[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?
Em qua., 26 de ago. de 2020 às 18:29, Pedro José escreveu: > > Boa noite! > Anderson, > achei legal a sua visão. Mas não consegui evoluir com nada. > Todavia, fiquei com uma dúvida. Como x+y é um dos ângulos do triângulo temos > a restrição 0 E entendo que tanto para cotg(x) + cot(y) , como para tg(x) + tg(y) ocorrerá > um mínimo em x=y=K/2, onde x+y=k,k sendo um constante. > Não acompanhei a sua dedução d quando um é mínimo o outro é máximo. Eu não fui muito claro. Você converteu o problema em "calcule o valor mínimo de cot(x)+cot(y) com x+y fixo". Isso é essencialmente o mesmo que resolver o problema "calcule o valor mínimo de tan(a)+tan(b) com a+b fixo" - pois sabendo resolver um é só usar a mesma solução para x=90-a, y=90-b. > > Saudações, > PJMS > > Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:40, Anderson Torres > escreveu: >> >> Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:03, Anderson Torres >> escreveu: >> > >> > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José >> > escreveu: >> > > >> > > Boa noite! >> > > Cláudio, >> > > não consegui nada geométrico. >> > > O máximo que atingi foi: >> > > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + >> > > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. >> > > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre >> > > quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das >> > > bissetrizes e logo I. >> > > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. >> > >> > Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada. >> > Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a >> > geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de >> > números. >> > >> > Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação >> > geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos >> > apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de >> > semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um >> > quadrilátero cíclico. >> >> Acrescentando mais coisas: se queremos minimizar cot(x) +cot(y) com >> x+y fixo, isto é equivalente a minimizar tan(90-x)+tan(90-y) com >> 90-x+90-y fixo. Ou como maximizar tan(x) + tan(y) com x+y fixo. >> >> Geometricamente, tangente é cateto oposto dividido por cateto >> adjacente. Logo uma soma de tangentes com catetos adjacentes iguais >> equivale a uma soma de catetos opostos! Assim sendo, nosso problema >> pode ser pensado da seguinte forma: >> >> Dados um ponto A e uma reta d fixos, temos que construir duas retas x >> e y, com ângulo 'alfa' entre elas, ambas passando por A e tais que a >> distância entre os pontos X e Y, que elas geram ao intersectar d, seja >> mínima. >> >> Daí fica fácil argumentar que a altura por A também tem que ser a >> bissetriz por A. >> >> No fundo do fundo é uma forma de geometrizar a solução trigonométrica. >> A trigonometria se torna apenas um atalho. >> >> Vou formalizar isso mais tarde, com desenhos e tudo. >> >> >> >> > >> > Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense >> > VS geometria paulista: >> > https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf >> > >> > >> > > >> > > Saudações, >> > > PJMS >> > > >> > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara >> > > escreveu: >> > >> >> > >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? >> > >> E que torne o resultado mais intuitivo? >> > >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos >> > >> lados, pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, >> > >> a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. >> > >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, >> > >> que P deva ser equidistante dos três. >> > >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior >> > >> lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal >> > >> que a/h_a = b/h_b = c/h_c. >> > >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente >> > >> neste caso. >> > >> >> > >> >> > >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco >> > >> wrote: >> > >>> >> > >>> Olá, Vanderlei. >> > >>> Por Cauchy-Schwarz, temos >> > >>> >> > >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) >> > >>> >> > >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a >> > >>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o >> > >>> semi-perimetro. >> > >>> >> > >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = >> > >>> hc, ou seja, quando P é o incentro do triângulo >> > >>> >> > >>> Abraços, >> > >>> Matheus >> > >>> >> > >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz >> > >>> escreveu: >> > >> > Bom dia! >> > >> > Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive >> > êxito. Alguém ajuda? >> > Muito agradecido! >> > >> > Seja P um ponto no
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Boa noite! Anderson, achei legal a sua visão. Mas não consegui evoluir com nada. Todavia, fiquei com uma dúvida. Como x+y é um dos ângulos do triângulo temos a restrição 0 escreveu: > Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:03, Anderson Torres > escreveu: > > > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José > escreveu: > > > > > > Boa noite! > > > Cláudio, > > > não consegui nada geométrico. > > > O máximo que atingi foi: > > > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. > > > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que > ocorre quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das > bissetrizes e logo I. > > > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. > > > > Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada. > > Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a > > geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de > > números. > > > > Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação > > geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos > > apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de > > semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um > > quadrilátero cíclico. > > Acrescentando mais coisas: se queremos minimizar cot(x) +cot(y) com > x+y fixo, isto é equivalente a minimizar tan(90-x)+tan(90-y) com > 90-x+90-y fixo. Ou como maximizar tan(x) + tan(y) com x+y fixo. > > Geometricamente, tangente é cateto oposto dividido por cateto > adjacente. Logo uma soma de tangentes com catetos adjacentes iguais > equivale a uma soma de catetos opostos! Assim sendo, nosso problema > pode ser pensado da seguinte forma: > > Dados um ponto A e uma reta d fixos, temos que construir duas retas x > e y, com ângulo 'alfa' entre elas, ambas passando por A e tais que a > distância entre os pontos X e Y, que elas geram ao intersectar d, seja > mínima. > > Daí fica fácil argumentar que a altura por A também tem que ser a > bissetriz por A. > > No fundo do fundo é uma forma de geometrizar a solução trigonométrica. > A trigonometria se torna apenas um atalho. > > Vou formalizar isso mais tarde, com desenhos e tudo. > > > > > > > Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense > > VS geometria paulista: > > https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf > > > > > > > > > > Saudações, > > > PJMS > > > > > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > > >> > > >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica > disso? E que torne o resultado mais intuitivo? > > >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos > lados, pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a > cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. > > >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a > priori, que P deva ser equidistante dos três. > > >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior > lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que > a/h_a = b/h_b = c/h_c. > > >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente > neste caso. > > >> > > >> > > >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco < > matheusse...@gmail.com> wrote: > > >>> > > >>> Olá, Vanderlei. > > >>> Por Cauchy-Schwarz, temos > > >>> > > >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) > > >>> > > >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a > expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o semi-perimetro. > > >>> > > >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb > = hc, ou seja, quando P é o incentro do triângulo > > >>> > > >>> Abraços, > > >>> Matheus > > >>> > > >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz < > vanderma...@gmail.com> escreveu: > > > > Bom dia! > > > > Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive > êxito. Alguém ajuda? > > Muito agradecido! > > > > Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as > distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor > mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do > triângulo ABC. > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > >>> > > >>> > > >>> -- > > >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > >>> acredita-se estar livre de perigo. > > >> > > >> > > >> -- > > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > > > > -- > > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >
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Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:03, Anderson Torres escreveu: > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José > escreveu: > > > > Boa noite! > > Cláudio, > > não consegui nada geométrico. > > O máximo que atingi foi: > > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + > > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. > > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre > > quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes > > e logo I. > > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. > > Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada. > Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a > geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de > números. > > Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação > geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos > apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de > semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um > quadrilátero cíclico. Acrescentando mais coisas: se queremos minimizar cot(x) +cot(y) com x+y fixo, isto é equivalente a minimizar tan(90-x)+tan(90-y) com 90-x+90-y fixo. Ou como maximizar tan(x) + tan(y) com x+y fixo. Geometricamente, tangente é cateto oposto dividido por cateto adjacente. Logo uma soma de tangentes com catetos adjacentes iguais equivale a uma soma de catetos opostos! Assim sendo, nosso problema pode ser pensado da seguinte forma: Dados um ponto A e uma reta d fixos, temos que construir duas retas x e y, com ângulo 'alfa' entre elas, ambas passando por A e tais que a distância entre os pontos X e Y, que elas geram ao intersectar d, seja mínima. Daí fica fácil argumentar que a altura por A também tem que ser a bissetriz por A. No fundo do fundo é uma forma de geometrizar a solução trigonométrica. A trigonometria se torna apenas um atalho. Vou formalizar isso mais tarde, com desenhos e tudo. > > Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense > VS geometria paulista: > https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf > > > > > > Saudações, > > PJMS > > > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara > > escreveu: > >> > >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E > >> que torne o resultado mais intuitivo? > >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, > >> pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a > >> cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. > >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que > >> P deva ser equidistante dos três. > >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado > >> e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que > >> a/h_a = b/h_b = c/h_c. > >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste > >> caso. > >> > >> > >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco > >> wrote: > >>> > >>> Olá, Vanderlei. > >>> Por Cauchy-Schwarz, temos > >>> > >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) > >>> > >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a > >>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o > >>> semi-perimetro. > >>> > >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, > >>> ou seja, quando P é o incentro do triângulo > >>> > >>> Abraços, > >>> Matheus > >>> > >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz > >>> escreveu: > > Bom dia! > > Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. > Alguém ajuda? > Muito agradecido! > > Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as > distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor > mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do > triângulo ABC. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > >>> > >>> > >>> -- > >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >>> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José escreveu: > > Boa noite! > Cláudio, > não consegui nada geométrico. > O máximo que atingi foi: > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre > quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes e > logo I. > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada. Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de números. Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um quadrilátero cíclico. Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense VS geometria paulista: https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf > > Saudações, > PJMS > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara > escreveu: >> >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E que >> torne o resultado mais intuitivo? >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, >> pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a cresceria >> e a expressão se afastaria do valor mínimo. >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que P >> deva ser equidistante dos três. >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado e >> conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que a/h_a = >> b/h_b = c/h_c. >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste >> caso. >> >> >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco >> wrote: >>> >>> Olá, Vanderlei. >>> Por Cauchy-Schwarz, temos >>> >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) >>> >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a >>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o semi-perimetro. >>> >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, >>> ou seja, quando P é o incentro do triângulo >>> >>> Abraços, >>> Matheus >>> >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz >>> escreveu: Bom dia! Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. Alguém ajuda? Muito agradecido! Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do triângulo ABC. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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Realmente, não era isso que eu estava procurando... mas valeu! É outra solução. On Tue, Aug 18, 2020 at 7:51 PM Pedro José wrote: > Boa noite! > Cláudio, > não consegui nada geométrico. > O máximo que atingi foi: > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre > quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes > e logo I. > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. > > Saudações, > PJMS > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E >> que torne o resultado mais intuitivo? >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, >> pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, >> a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, >> que P deva ser equidistante dos três. >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior >> lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que >> a/h_a = b/h_b = c/h_c. >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste >> caso. >> >> >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco >> wrote: >> >>> Olá, Vanderlei. >>> Por Cauchy-Schwarz, temos >>> >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) >>> >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a >>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o >>> semi-perimetro. >>> >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = >>> hc, ou seja, quando P é o incentro do triângulo >>> >>> Abraços, >>> Matheus >>> >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz < >>> vanderma...@gmail.com> escreveu: >>> Bom dia! Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. Alguém ajuda? Muito agradecido! Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do triângulo ABC. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?
Boa noite! Cláudio, não consegui nada geométrico. O máximo que atingi foi: a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)] + [cotg(B1) +cotg (B2)] + co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C. Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes e logo I. Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB. Saudações, PJMS Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E > que torne o resultado mais intuitivo? > É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, > pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, > a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. > Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que > P deva ser equidistante dos três. > De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado > e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que > a/h_a = b/h_b = c/h_c. > O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste > caso. > > > On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco > wrote: > >> Olá, Vanderlei. >> Por Cauchy-Schwarz, temos >> >> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) >> >> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a >> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o >> semi-perimetro. >> >> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, >> ou seja, quando P é o incentro do triângulo >> >> Abraços, >> Matheus >> >> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz < >> vanderma...@gmail.com> escreveu: >> >>> Bom dia! >>> >>> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. >>> Alguém ajuda? >>> Muito agradecido! >>> >>> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as >>> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor >>> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do >>> triângulo ABC. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?
Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E que torne o resultado mais intuitivo? É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo. Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que P deva ser equidistante dos três. De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que a/h_a = b/h_b = c/h_c. O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste caso. On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco wrote: > Olá, Vanderlei. > Por Cauchy-Schwarz, temos > > (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) > > Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a > expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o > semi-perimetro. > > Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, > ou seja, quando P é o incentro do triângulo > > Abraços, > Matheus > > Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz < > vanderma...@gmail.com> escreveu: > >> Bom dia! >> >> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. >> Alguém ajuda? >> Muito agradecido! >> >> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as >> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor >> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do >> triângulo ABC. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?
Muito obrigado, Matheus! Pensei nas outras desigualdades, menos em Cauchy-Schwarz. Muito bom! Em dom, 16 de ago de 2020 10:11, Matheus Secco escreveu: > Olá, Vanderlei. > Por Cauchy-Schwarz, temos > > (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) > > Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a > expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o > semi-perimetro. > > Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, > ou seja, quando P é o incentro do triângulo > > Abraços, > Matheus > > Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz < > vanderma...@gmail.com> escreveu: > >> Bom dia! >> >> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. >> Alguém ajuda? >> Muito agradecido! >> >> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as >> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor >> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do >> triângulo ABC. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?
Olá, Vanderlei. Por Cauchy-Schwarz, temos (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2. (#) Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o semi-perimetro. Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, ou seja, quando P é o incentro do triângulo Abraços, Matheus Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz < vanderma...@gmail.com> escreveu: > Bom dia! > > Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. > Alguém ajuda? > Muito agradecido! > > Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as > distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor > mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do > triângulo ABC. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?
Bom dia! Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. Alguém ajuda? Muito agradecido! Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do triângulo ABC. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Geometria plana
Sejam Γ uma circunferência de centro O e k uma reta tangente a Γ em A. Tome B um ponto em Γ (diferente do ponto diametralmente oposto a A em Γ) e seja C o simétrico de B em relação a k. Sejam E, distinto de A, o ponto de interseção de Γ com a reta (CA) e D, distinto de E, a interseção das circunferências circunscritas aos trângulos BCE e AOE. (a) Calcule o . (b) Prove que B, O e D são colineares. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria plana
Obrigado Julio, incrivel solucao. So corrija AB=AC=AQ=R Abraco Douglas Oliveira. Em seg, 25 de fev de 2019 10:38, Julio César Saldaña Pumarica < saldana...@pucp.edu.pe> escreveu: > Na prolongação do BP ubique o ponto Q tal que AQ=AB. Chamemos AC=R, então > temos AB=AC+AQ=R. > > Completando ângulos: > Analisse o triângulo MAQ. Dado que o circunferencia circunscrita mede 60 e portanto o raio de essa > circunferência é igual ao lado AQ, ouseja R. > > Seja O o centro de essa circunferência (circunscrita ao triângulo MAQ). > Então OM=OA=OQ=R > > Completando mais ângulos, obtemos com os arcos da circunferencia, mas também da para fazer com soma de > ângulos en triângulos, alguns isósceles) > > Compare os triângulos CAQ e MOQ, ambos são isósceles com lados iguais a R > formando ângulos iguais a 100. Então cumprem o caso LAL de congruência. > Logo QC=QM e portando o triângulo MQC é isósceles: x+x+20=180, então x=80 > > > > > > > El dom., 24 feb. 2019 a las 11:39, matematica10complicada (< > profdouglaso.del...@gmail.com>) escribió: > >> Ola amigos, alguem ja fez essa questao abaixo? >> >> Eu fiz por trigonometria e achei 80 graus. >> Gostaria de uma ajuda para fazer por construcao. >> >> Problema: >> Num triangulo ABC isosceles , onde AB=AC, o angulo A mede 40 graus, >> traca-se BP com P em AC, e o angulo ABP mede 20 graus. Toma-se um ponto M >> em BP de modo que AP=PM, determinar o angulo PMC. >> >> Valeh pela ajuda >> Douglas Oliveira. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria plana
Na prolongação do BP ubique o ponto Q tal que AQ=AB. Chamemos AC=R, então temos AB=AC+AQ=R. Completando ângulos: ) escribió: > Ola amigos, alguem ja fez essa questao abaixo? > > Eu fiz por trigonometria e achei 80 graus. > Gostaria de uma ajuda para fazer por construcao. > > Problema: > Num triangulo ABC isosceles , onde AB=AC, o angulo A mede 40 graus, > traca-se BP com P em AC, e o angulo ABP mede 20 graus. Toma-se um ponto M > em BP de modo que AP=PM, determinar o angulo PMC. > > Valeh pela ajuda > Douglas Oliveira. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Geometria plana
Ola amigos, alguem ja fez essa questao abaixo? Eu fiz por trigonometria e achei 80 graus. Gostaria de uma ajuda para fazer por construcao. Problema: Num triangulo ABC isosceles , onde AB=AC, o angulo A mede 40 graus, traca-se BP com P em AC, e o angulo ABP mede 20 graus. Toma-se um ponto M em BP de modo que AP=PM, determinar o angulo PMC. Valeh pela ajuda Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] geometria plana
Legal! Obrigado, Ralph! A relação entre estas 3 soluções cabe bem na discussão que eu queria ter sobre educação matemática (resolução de problemas é uma parte importante dela). A solução por geometria sintética eu já conhecia. Ela usa construções auxiliares, no caso, paralelogramos construídos a partir de duas das medianas. Neste problema, as construções auxiliares são mais ou menos óbvias. Mas há vários problemas de geometria cuja solução sintética usa construções auxiliares nada óbvias e que parecem vir "do além". Imagino que esta seja a fonte mais comum de dificuldade em problemas olímpicos de geometria. A solução por vetores (que é essencialmente algébrica) também usa paralelogramos, mas de forma implícita. Pois a soma de vetores no plano (na qual a solução é baseada) obedece à chamada "lei do paralelogramo". De fato, me parece possível definir um paralelogramo a partir da soma de vetores, mais ou menos assim: dados os pontos A, B, C no plano, e definindo os vetores v = AB e w = AC, então o ponto D tal que AD = v + w é tal que os pontos A, B, C, D são vértices de um paralelogramo (no caso, o paralelogramo ABDC). É interessante que, por causa disso, o uso de vetores dispensa a busca de uma construção auxiliar, o que resulta numa solução mais "automática". Ou seja, o uso de vetores em geometria foi um avanço tecnológico, que suplantou, em vários casos, o "artesanato" da solução sintética. A ideia de usar uma transformação afim, que me ocorreu porque o Anderson Torres mencionou "homotetia" (um tipo específico de transformação afim) em relação a outro problema, no fundo também usa vetores mas, além deles, também usa transformações lineares e uma estratégia de solução que, em linhas gerais, é: 1) usar uma transformação invertível pra transformar o problema original num outro mais fácil de resolver (no caso, o problema original proposto para um triângulo equilátero); 2) resolver o problema mais fácil; 3) usar a transformação inversa pra obter automaticamente a solução do problema original (triângulo qualquer). Este tipo de estratégia é usado toda vez que fazemos uma "mudança de variáveis". *** A solução sintética também usa o fato de que as medianas de um triângulo o subdividem em seis triângulos de mesma área. Em geral, três cevianas que são concorrentes subdividem um triângulo em seis outros triângulos e o uso "esperto" das áreas destes triângulos resulta numa demonstração razoavelmente simples e intuitiva do teorema de Ceva (vide, por exemplo, o livro Geometry Revisited, de Coxeter e Greitzer). A demonstração usual de Ceva usa semelhança: no triângulo ABC, com cevianas concorrentes AM, BN e CP, trace a reta r contendo A e paralela a BC e, em seguida, considere os pontos Q e R de intersecção das cevianas BN e CP (ou seus prolongamentos) com a reta r. Usando semelhança de pares de triângulos adequados e alguma álgebra, chega-se à relação de Ceva: AP/PB * BM/MC * CN/NA = 1. Mas o que eu queria dizer é que acho bem possível que as teorias de área e de semelhança sejam equivalentes, no sentido de que tudo o que é possível demonstrar por meio de uma delas também é possível por meio da outra. O que me leva a dizer isso é o seguinte: no triângulo ABC, com alturas BH e CK, temos: 1) 2*área(ABC) = AB*CK = AC*BH e 2) a semelhança dos triângulos retângulos AHB e AKC (ângulo A comum) implica que: AB/BH = AC/CK <==> AB*CK = AC*BH Ou seja, chega-se à mesma relação (algébrica) entre elementos de um triângulo por dois caminhos aparentemente distintos: área e semelhança. Hoje em dia, estas duas teorias são apresentadas supondo-se conhecidas as propriedades dos números reais (vide Medida e Forma em Geometria, do Elon Lages Lima). Em particular, este livro (que é ótimo) apresenta a teoria da semelhança com base na definição: As figuras planas F e G são ditas semelhantes (de razão k) se existir uma função f:F -> G e um número real positivo k tais que, para quaisquer pontos X e Y de F: dist(f(X),f(Y)) = k*dist(X,Y), onde dist(X,Y) = distância entre X e Y = medida do segmento XY. []s, Claudio. 2018-07-29 19:44 GMT-03:00 Ralph Teixeira : > Sim! Quando aplica-se qualquer transformacao linear a um objeto, a razao > entre o volume da figura nova e o da figura antiga eh constante e igual ao > determinante da transformacao! Entao ambas as areas ficariam multiplicadas > pelo mesmo numero, e a razao se manteria! > > Outro detalhe: teria que ver se a transformacao linear leva medianas em > medianas... Mas isso tambem eh verdade e vem direto da definicao de > "transf. linear", pontos medios se preservam. > > Abraco, Ralph. > > On Sun, Jul 29, 2018 at 5:53 PM Claudio Buffara > wrote: > >> Idéia que me ocorreu: todo triângulo é afim-equivalente a um triângulo >> equilátero. >> Mediante translações, as medianas de um triângulo equilátero de lado 1 >> formam um triângulo equilátero cujos lados medem raiz(3)/2 e, portanto, >> cuja área é 3/4. >> Será que uma transformação afim preserva a razão entre as áreas do >>
Re: [obm-l] geometria plana
Pra mim não é tão fácil ver 3, to enferrujado na geometria plana. Pra justificar acho que uma boa forma de ver é dizer que o triângulo APQ é congruente ao PBC. Para concluir, o caminho mais curto que eu vi foi usar que o triângulo MNR é semelhante ao BAN, e a razão é 1/2. Em 28 de julho de 2018 20:51, Claudio Buffara escreveu: > Idéia que me ocorreu: todo triângulo é afim-equivalente a um triângulo > equilátero. > Mediante translações, as medianas de um triângulo equilátero de lado 1 > formam um triângulo equilátero cujos lados medem raiz(3)/2 e, portanto, > cuja área é 3/4. > Será que uma transformação afim preserva a razão entre as áreas do > triângulo original e do triângulo “medianico”? > > Abs, > Cláudio. > > Enviado do meu iPhone > > Em 28 de jul de 2018, à(s) 19:08, matematica10complicada < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > > Então,podemos fazer o seguinte: > > Considere um triângulo ABC, cujas medianas são AM, BN, CP, e baricentro > G desta forma > > 1)Monte um paralelogramo BNQM de forma que MQ intercepte AC em R. > > 2)Como o baricentro divide em seis áreas iguais, temos que a área do > triângulo AGN será 1/6. > > 3)É fácil ver que MQ=BN, e AQ=CP. > > 4) Desta forma a área procurada será a do triângulo AMQ que é o dobro > da área do triângulo AMR=3/8. > > Portanto a resposta é 3/4. > > > Douglas Oliveira. > Grande Abraço. > > Em 28 de julho de 2018 16:32, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > >> Seja um triangulo ABC cuja area eh igual a 1. Determinar a area do >> triangulo cujos lados sao iguais à s medianas do triangulo ABC >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] geometria plana
Sim! Quando aplica-se qualquer transformacao linear a um objeto, a razao entre o volume da figura nova e o da figura antiga eh constante e igual ao determinante da transformacao! Entao ambas as areas ficariam multiplicadas pelo mesmo numero, e a razao se manteria! Outro detalhe: teria que ver se a transformacao linear leva medianas em medianas... Mas isso tambem eh verdade e vem direto da definicao de "transf. linear", pontos medios se preservam. Abraco, Ralph. On Sun, Jul 29, 2018 at 5:53 PM Claudio Buffara wrote: > Idéia que me ocorreu: todo triângulo é afim-equivalente a um triângulo > equilátero. > Mediante translações, as medianas de um triângulo equilátero de lado 1 > formam um triângulo equilátero cujos lados medem raiz(3)/2 e, portanto, > cuja área é 3/4. > Será que uma transformação afim preserva a razão entre as áreas do > triângulo original e do triângulo “medianico”? > > Abs, > Cláudio. > > Enviado do meu iPhone > > Em 28 de jul de 2018, à(s) 19:08, matematica10complicada < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > > Então,podemos fazer o seguinte: > > Considere um triângulo ABC, cujas medianas são AM, BN, CP, e baricentro > G desta forma > > 1)Monte um paralelogramo BNQM de forma que MQ intercepte AC em R. > > 2)Como o baricentro divide em seis áreas iguais, temos que a área do > triângulo AGN será 1/6. > > 3)É fácil ver que MQ=BN, e AQ=CP. > > 4) Desta forma a área procurada será a do triângulo AMQ que é o dobro > da área do triângulo AMR=3/8. > > Portanto a resposta é 3/4. > > > Douglas Oliveira. > Grande Abraço. > > Em 28 de julho de 2018 16:32, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > >> Seja um triangulo ABC cuja area eh igual a 1. Determinar a area do >> triangulo cujos lados sao iguais à s medianas do triangulo ABC >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] geometria plana
Idéia que me ocorreu: todo triângulo é afim-equivalente a um triângulo equilátero. Mediante translações, as medianas de um triângulo equilátero de lado 1 formam um triângulo equilátero cujos lados medem raiz(3)/2 e, portanto, cuja área é 3/4. Será que uma transformação afim preserva a razão entre as áreas do triângulo original e do triângulo “medianico”? Abs, Cláudio. Enviado do meu iPhone Em 28 de jul de 2018, à(s) 19:08, matematica10complicada escreveu: > Então,podemos fazer o seguinte: > > Considere um triângulo ABC, cujas medianas são AM, BN, CP, e baricentro G > desta forma > > 1)Monte um paralelogramo BNQM de forma que MQ intercepte AC em R. > > 2)Como o baricentro divide em seis áreas iguais, temos que a área do > triângulo AGN será 1/6. > > 3)É fácil ver que MQ=BN, e AQ=CP. > > 4) Desta forma a área procurada será a do triângulo AMQ que é o dobro da > área do triângulo AMR=3/8. > > Portanto a resposta é 3/4. > > > Douglas Oliveira. > Grande Abraço. > > Em 28 de julho de 2018 16:32, marcone augusto araújo borges > escreveu: >> Seja um triangulo ABC cuja area eh igual a 1. Determinar a area do >> triangulo cujos lados sao iguais à s medianas do triangulo ABC >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] geometria plana
Então,podemos fazer o seguinte: Considere um triângulo ABC, cujas medianas são AM, BN, CP, e baricentro G desta forma 1)Monte um paralelogramo BNQM de forma que MQ intercepte AC em R. 2)Como o baricentro divide em seis áreas iguais, temos que a área do triângulo AGN será 1/6. 3)É fácil ver que MQ=BN, e AQ=CP. 4) Desta forma a área procurada será a do triângulo AMQ que é o dobro da área do triângulo AMR=3/8. Portanto a resposta é 3/4. Douglas Oliveira. Grande Abraço. Em 28 de julho de 2018 16:32, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Seja um triangulo ABC cuja area eh igual a 1. Determinar a area do > triangulo cujos lados sao iguais às medianas do triangulo ABC > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] geometria plana
Vamos fazer este por vetores... Mas primeiro um tiquinho de notacao: dados dois vetores v e w no plano, vou escrever [v,w] para o determinante da matriz cujas colunas sao v e w; em outras palavras, [v,w] eh a area do paralelogramo cujos lados sao v e w, com sinal determinado pela orientacao. Uma propriedade importante do determinante eh que ele eh linear em cada uma das suas coordenadas (ou seja, ele eh "bilinear"). Em outras palavras, voce pode usar a propriedade distributiva como se ele fosse um produto: [ka+b,c]=k[a,c]+[b,c] e [a,kb+c]=k[a,b]+[a,c] para quaisquer vetores a,b,c, e qualquer escalar k. Outra propriedade essencial eh que [v,w]=-[w,v] para quaisquer v e w; em particular, [x,x]=0 para todo vetor x. Com isso em mente, o problema eh facil. Escreva AB=2v e AC=2w (vetores). Supondo spdg uma das orientacoes possiveis, o problema diz que [2v,2w]=2, isto eh, [v,w]=1/2. Agora, as medianas sao (faca uma figura) v-2w, w-2v e v+w (dos vertices para os pontos medios). Note que a soma desses 3 vetores eh zero, entao o triangulo cujos lados sao as medianas eh exatamente o triangulo cujos lados sao esses 3 vetores! Portanto, a area pedida eh a metade de [w-2v,v-2w]... Usando a propriedade distributiva, esse produto fica [w,v]-2[w,w]-2[v,v]+4[v,w]=-1/2-0-0+4/2=3/2. Ou seja, a resposta eh 3/4. Abraco, Ralph. On Sat, Jul 28, 2018 at 4:43 PM marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> wrote: > Seja um triangulo ABC cuja area eh igual a 1. Determinar a area do > triangulo cujos lados sao iguais às medianas do triangulo ABC > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] geometria plana
Seja um triangulo ABC cuja area eh igual a 1. Determinar a area do triangulo cujos lados sao iguais às medianas do triangulo ABC -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria plana
Pensei na seguinte solução usando congruência de triângulos 1. Pela condição do perímetro podemos deduzir que PQ=PB+QD 2. Estique o segemento AB até o ponto T tal que BT=QD, então os triângulos TBC e QCD são congruentes pelo caso L.A.L.; e portanto concluimos que CT=CQ. Notemos também que PT=PQ 3. Calculemos o ângulo TCQ. Este é igual a TCB+BCQ, mas como TCB=QCD (pela congruência do ponto 2), então TCQ=QCD+BCQ=90 4. Finalmente notemos que os triângulos TCP e PCQ são congruentes pelo caso L.L.L, e portanto os ângulos TCP e PCQ são iguais, e como ambos somam 90, cada um deve ser 45 Julio 2018-04-02 16:36 GMT-03:00 Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>: > Tudo bem. > Mas minha dúvida é outra: como/por que você pensou em usar a > circunferência centrada em C e passando por B e D? > > Este é um dos temas que mais me interessa em matemática: de onde vêm as > idéias não óbvias? > Inspiração divina? > Experiência ("já vi algo parecido antes")? > Muita transpiração? > > Pois, neste problema, após chamar AP de x e AQ de y, minha primeira > tentativa foi usar Pitágoras para determinar CP e CQ e daí usar a lei dos > cossenos pra determinar o ângulo PCQ. Caí num emaranhado algébrico. > Daí, me ocorreu a ideia de calcular PCQ como sendo 90 - (PCB + QCD) e, ao > fazer isso, percebi que tan(PCB) = 1-x, etc... Com um pouco de > trigonometria e álgebra, cheguei à resposta. > > Mas, a meu ver, a solução mais elegante é a que usa o círculo. Só que não > é óbvio, a priori, que aquele círculo ajuda. > > Mesmo levando em conta que, pelo enunciado, o ângulo PCQ provavelmente > deve ter medida invariante, independentemente de AP e AQ, ainda assim não é > óbvio (pelo menos pra mim) que o círculo mata o problema. Por outro lado, > se o ângulo PCQ tem medida invariante, então tomando o caso extremo P = B e > Q = A (portanto, o triângulo APQ é degenerado) constatamos facilmente que > PCQ (no caso, ACB) deve medir 45 graus. > > []s, > Claudio. > > > > 2018-04-02 16:13 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com>: > >> Da para fazer uma prova por absurdo. >> Fica bom, suponha que a reta nao tangencia a circunferencia entao trace a >> tangente e vai chegar em um absurdo. >> >> Abraco >> Douglas Oliveira. >> >> Em seg, 2 de abr de 2018 11:14, Claudio Arconcher <arclaud...@hotmail.com> >> escreveu: >> >>> Bom dia caros colegas. >>> >>> Ponhamos ABCD o quadrado (o ponto A está no lado de baixo e à esquerda, >>> segue-se o ponto B à direita, C e D estão no lado de acima fechando o >>> circuito ABCD ). >>> >>> Ponhamos: AP=x e AQ=y, segue-se, QD=1-y e PB=1-x. >>> >>> Tracemos a circunferência de centro C e raio 1, ela tangencia AD em D e >>> AB em B, agora seja M um ponto no quarto dessa circunferência interno ao >>> quadrado ABCD e tracemos a tangente a ela por M, cortando AD em Q e AB em P >>> ( serão, de fato os pontos esperados ), tem-se: QD=1-y = QM e PB=1 – x = >>> PM, o perímetro do triângulo retângulo QAP é igual a 2. Reciprocamente se >>> consideramos o triângulo AQP de perímetro 2 fixado antes o ponto M será o >>> mesmo, todos esses triângulos são assim obtidos, com PQ tangente à >>> circunferência em um ponto M com a propriedade descrita. >>> >>> Agora basta examinar as congruências dos triângulos retângulos CDQ e CMQ >>> e, também, CBP e CMP, isso nos leva a concluir que o ângulo PCQ mede 45 º. >>> >>> Espero que o “coelhinho da Páscoa” concorde comigo. >>> >>> Abraço. >>> >>> Cláudio. >>> >>> >>> >>> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em >>> nome de *Douglas Oliveira de Lima >>> *Enviada em:* domingo, 1 de abril de 2018 17:25 >>> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br >>> *Assunto:* [obm-l] Geometria plana >>> >>> >>> >>> Olá amigos, pra quem gosta de geometria plana, compartilhando aqui uma >>> questão do coelhinho da páscoa que achei legal. >>> >>> >>> >>> 1) Em um quadrado ABCD de lado unitário tomam-se os pontos P e Q sobre >>> os lados AB e AD respectivamente, de modo que o perímetro do triângulo APQ >>> seja igual a 2. Calcule a medida do ângulo PCQ. >>> >>> >>> >>> Um abraço >>> >>> >>> >>> Douglas Oliveira. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>>
Re: [obm-l] Geometria plana
Tudo bem. Mas minha dúvida é outra: como/por que você pensou em usar a circunferência centrada em C e passando por B e D? Este é um dos temas que mais me interessa em matemática: de onde vêm as idéias não óbvias? Inspiração divina? Experiência ("já vi algo parecido antes")? Muita transpiração? Pois, neste problema, após chamar AP de x e AQ de y, minha primeira tentativa foi usar Pitágoras para determinar CP e CQ e daí usar a lei dos cossenos pra determinar o ângulo PCQ. Caí num emaranhado algébrico. Daí, me ocorreu a ideia de calcular PCQ como sendo 90 - (PCB + QCD) e, ao fazer isso, percebi que tan(PCB) = 1-x, etc... Com um pouco de trigonometria e álgebra, cheguei à resposta. Mas, a meu ver, a solução mais elegante é a que usa o círculo. Só que não é óbvio, a priori, que aquele círculo ajuda. Mesmo levando em conta que, pelo enunciado, o ângulo PCQ provavelmente deve ter medida invariante, independentemente de AP e AQ, ainda assim não é óbvio (pelo menos pra mim) que o círculo mata o problema. Por outro lado, se o ângulo PCQ tem medida invariante, então tomando o caso extremo P = B e Q = A (portanto, o triângulo APQ é degenerado) constatamos facilmente que PCQ (no caso, ACB) deve medir 45 graus. []s, Claudio. 2018-04-02 16:13 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com>: > Da para fazer uma prova por absurdo. > Fica bom, suponha que a reta nao tangencia a circunferencia entao trace a > tangente e vai chegar em um absurdo. > > Abraco > Douglas Oliveira. > > Em seg, 2 de abr de 2018 11:14, Claudio Arconcher <arclaud...@hotmail.com> > escreveu: > >> Bom dia caros colegas. >> >> Ponhamos ABCD o quadrado (o ponto A está no lado de baixo e à esquerda, >> segue-se o ponto B à direita, C e D estão no lado de acima fechando o >> circuito ABCD ). >> >> Ponhamos: AP=x e AQ=y, segue-se, QD=1-y e PB=1-x. >> >> Tracemos a circunferência de centro C e raio 1, ela tangencia AD em D e >> AB em B, agora seja M um ponto no quarto dessa circunferência interno ao >> quadrado ABCD e tracemos a tangente a ela por M, cortando AD em Q e AB em P >> ( serão, de fato os pontos esperados ), tem-se: QD=1-y = QM e PB=1 – x = >> PM, o perímetro do triângulo retângulo QAP é igual a 2. Reciprocamente se >> consideramos o triângulo AQP de perímetro 2 fixado antes o ponto M será o >> mesmo, todos esses triângulos são assim obtidos, com PQ tangente à >> circunferência em um ponto M com a propriedade descrita. >> >> Agora basta examinar as congruências dos triângulos retângulos CDQ e CMQ >> e, também, CBP e CMP, isso nos leva a concluir que o ângulo PCQ mede 45 º. >> >> Espero que o “coelhinho da Páscoa” concorde comigo. >> >> Abraço. >> >> Cláudio. >> >> >> >> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em >> nome de *Douglas Oliveira de Lima >> *Enviada em:* domingo, 1 de abril de 2018 17:25 >> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br >> *Assunto:* [obm-l] Geometria plana >> >> >> >> Olá amigos, pra quem gosta de geometria plana, compartilhando aqui uma >> questão do coelhinho da páscoa que achei legal. >> >> >> >> 1) Em um quadrado ABCD de lado unitário tomam-se os pontos P e Q sobre >> os lados AB e AD respectivamente, de modo que o perímetro do triângulo APQ >> seja igual a 2. Calcule a medida do ângulo PCQ. >> >> >> >> Um abraço >> >> >> >> Douglas Oliveira. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email_source=link_campaign=sig-email_content=emailclient> >> Livre >> de vírus. www.avast.com >> <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email_source=link_campaign=sig-email_content=emailclient>. >> >> <#m_2647765965440199561_m_3844324294932745576_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria plana
Da para fazer uma prova por absurdo. Fica bom, suponha que a reta nao tangencia a circunferencia entao trace a tangente e vai chegar em um absurdo. Abraco Douglas Oliveira. Em seg, 2 de abr de 2018 11:14, Claudio Arconcher <arclaud...@hotmail.com> escreveu: > Bom dia caros colegas. > > Ponhamos ABCD o quadrado (o ponto A está no lado de baixo e à esquerda, > segue-se o ponto B à direita, C e D estão no lado de acima fechando o > circuito ABCD ). > > Ponhamos: AP=x e AQ=y, segue-se, QD=1-y e PB=1-x. > > Tracemos a circunferência de centro C e raio 1, ela tangencia AD em D e AB > em B, agora seja M um ponto no quarto dessa circunferência interno ao > quadrado ABCD e tracemos a tangente a ela por M, cortando AD em Q e AB em P > ( serão, de fato os pontos esperados ), tem-se: QD=1-y = QM e PB=1 – x = > PM, o perímetro do triângulo retângulo QAP é igual a 2. Reciprocamente se > consideramos o triângulo AQP de perímetro 2 fixado antes o ponto M será o > mesmo, todos esses triângulos são assim obtidos, com PQ tangente à > circunferência em um ponto M com a propriedade descrita. > > Agora basta examinar as congruências dos triângulos retângulos CDQ e CMQ > e, também, CBP e CMP, isso nos leva a concluir que o ângulo PCQ mede 45 º. > > Espero que o “coelhinho da Páscoa” concorde comigo. > > Abraço. > > Cláudio. > > > > *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em > nome de *Douglas Oliveira de Lima > *Enviada em:* domingo, 1 de abril de 2018 17:25 > *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br > *Assunto:* [obm-l] Geometria plana > > > > Olá amigos, pra quem gosta de geometria plana, compartilhando aqui uma > questão do coelhinho da páscoa que achei legal. > > > > 1) Em um quadrado ABCD de lado unitário tomam-se os pontos P e Q sobre os > lados AB e AD respectivamente, de modo que o perímetro do triângulo APQ > seja igual a 2. Calcule a medida do ângulo PCQ. > > > > Um abraço > > > > Douglas Oliveira. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email_source=link_campaign=sig-email_content=emailclient> > Livre > de vírus. www.avast.com > <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email_source=link_campaign=sig-email_content=emailclient>. > <#m_3844324294932745576_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria plana
Entao Claudio, eu pensei assim tb, mas a parte do reciprocamente, me deixa incomodado, pois se o perimetro for 2 como provar que a circunferencia tangencia em M. Douglas Oliveira. Em seg, 2 de abr de 2018 11:14, Claudio Arconcher <arclaud...@hotmail.com> escreveu: > Bom dia caros colegas. > > Ponhamos ABCD o quadrado (o ponto A está no lado de baixo e à esquerda, > segue-se o ponto B à direita, C e D estão no lado de acima fechando o > circuito ABCD ). > > Ponhamos: AP=x e AQ=y, segue-se, QD=1-y e PB=1-x. > > Tracemos a circunferência de centro C e raio 1, ela tangencia AD em D e AB > em B, agora seja M um ponto no quarto dessa circunferência interno ao > quadrado ABCD e tracemos a tangente a ela por M, cortando AD em Q e AB em P > ( serão, de fato os pontos esperados ), tem-se: QD=1-y = QM e PB=1 – x = > PM, o perímetro do triângulo retângulo QAP é igual a 2. Reciprocamente se > consideramos o triângulo AQP de perímetro 2 fixado antes o ponto M será o > mesmo, todos esses triângulos são assim obtidos, com PQ tangente à > circunferência em um ponto M com a propriedade descrita. > > Agora basta examinar as congruências dos triângulos retângulos CDQ e CMQ > e, também, CBP e CMP, isso nos leva a concluir que o ângulo PCQ mede 45 º. > > Espero que o “coelhinho da Páscoa” concorde comigo. > > Abraço. > > Cláudio. > > > > *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em > nome de *Douglas Oliveira de Lima > *Enviada em:* domingo, 1 de abril de 2018 17:25 > *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br > *Assunto:* [obm-l] Geometria plana > > > > Olá amigos, pra quem gosta de geometria plana, compartilhando aqui uma > questão do coelhinho da páscoa que achei legal. > > > > 1) Em um quadrado ABCD de lado unitário tomam-se os pontos P e Q sobre os > lados AB e AD respectivamente, de modo que o perímetro do triângulo APQ > seja igual a 2. Calcule a medida do ângulo PCQ. > > > > Um abraço > > > > Douglas Oliveira. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email_source=link_campaign=sig-email_content=emailclient> > Livre > de vírus. www.avast.com > <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email_source=link_campaign=sig-email_content=emailclient>. > <#m_3844324294932745576_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria plana
Legal! A minha foi diferente (e menos elegante, pois usou trigonometria e bastante álgebra). Com a sua notação, teremos: tan(PCB) = 1-x tan(QCD) = 1-y x+y+raiz(x^2+y^2) = 2 A ideia é determinar PCB+QCD = 90 - PCQ. Usando a fórmula de tan(a+b) e após algumas simplificações, obtemos tan(PCB+QCD) = (2-x-y)/(x+y-xy) x+y+raiz(x^2+y^2) = 2 ==> x^2+y^2 = (2-x-y)^2 ==> xy = 2x+2y-2 ==> tan(PCB+QCD) = (2-x-y)/(x+y-2x-2y+2) = 1 ==> PCB+QCD = 45 = 90 - PCQ ==> PCQ = 45. *** Agora, não é óbvio que o círculo de centro C e raio 1 tangencia todos os segmentos PQ tais que APQ tem perímetro 2. Como você teve esta ideia? []s, Claudio. 2018-04-02 11:02 GMT-03:00 Claudio Arconcher <arclaud...@hotmail.com>: > Bom dia caros colegas. > > Ponhamos ABCD o quadrado (o ponto A está no lado de baixo e à esquerda, > segue-se o ponto B à direita, C e D estão no lado de acima fechando o > circuito ABCD ). > > Ponhamos: AP=x e AQ=y, segue-se, QD=1-y e PB=1-x. > > Tracemos a circunferência de centro C e raio 1, ela tangencia AD em D e AB > em B, agora seja M um ponto no quarto dessa circunferência interno ao > quadrado ABCD e tracemos a tangente a ela por M, cortando AD em Q e AB em P > ( serão, de fato os pontos esperados ), tem-se: QD=1-y = QM e PB=1 – x = > PM, o perímetro do triângulo retângulo QAP é igual a 2. Reciprocamente se > consideramos o triângulo AQP de perímetro 2 fixado antes o ponto M será o > mesmo, todos esses triângulos são assim obtidos, com PQ tangente à > circunferência em um ponto M com a propriedade descrita. > > Agora basta examinar as congruências dos triângulos retângulos CDQ e CMQ > e, também, CBP e CMP, isso nos leva a concluir que o ângulo PCQ mede 45 º. > > Espero que o “coelhinho da Páscoa” concorde comigo. > > Abraço. > > Cláudio. > > > > *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em > nome de *Douglas Oliveira de Lima > *Enviada em:* domingo, 1 de abril de 2018 17:25 > *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br > *Assunto:* [obm-l] Geometria plana > > > > Olá amigos, pra quem gosta de geometria plana, compartilhando aqui uma > questão do coelhinho da páscoa que achei legal. > > > > 1) Em um quadrado ABCD de lado unitário tomam-se os pontos P e Q sobre os > lados AB e AD respectivamente, de modo que o perímetro do triângulo APQ > seja igual a 2. Calcule a medida do ângulo PCQ. > > > > Um abraço > > > > Douglas Oliveira. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email_source=link_campaign=sig-email_content=emailclient> > Livre > de vírus. www.avast.com > <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email_source=link_campaign=sig-email_content=emailclient>. > <#m_8113871720371556026_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
RES: [obm-l] Geometria plana
Bom dia caros colegas. Ponhamos ABCD o quadrado (o ponto A está no lado de baixo e à esquerda, segue-se o ponto B à direita, C e D estão no lado de acima fechando o circuito ABCD ). Ponhamos: AP=x e AQ=y, segue-se, QD=1-y e PB=1-x. Tracemos a circunferência de centro C e raio 1, ela tangencia AD em D e AB em B, agora seja M um ponto no quarto dessa circunferência interno ao quadrado ABCD e tracemos a tangente a ela por M, cortando AD em Q e AB em P ( serão, de fato os pontos esperados ), tem-se: QD=1-y = QM e PB=1 – x = PM, o perímetro do triângulo retângulo QAP é igual a 2. Reciprocamente se consideramos o triângulo AQP de perímetro 2 fixado antes o ponto M será o mesmo, todos esses triângulos são assim obtidos, com PQ tangente à circunferência em um ponto M com a propriedade descrita. Agora basta examinar as congruências dos triângulos retângulos CDQ e CMQ e, também, CBP e CMP, isso nos leva a concluir que o ângulo PCQ mede 45 º. Espero que o “coelhinho da Páscoa” concorde comigo. Abraço. Cláudio. De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Douglas Oliveira de Lima Enviada em: domingo, 1 de abril de 2018 17:25 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Geometria plana Olá amigos, pra quem gosta de geometria plana, compartilhando aqui uma questão do coelhinho da páscoa que achei legal. 1) Em um quadrado ABCD de lado unitário tomam-se os pontos P e Q sobre os lados AB e AD respectivamente, de modo que o perímetro do triângulo APQ seja igual a 2. Calcule a medida do ângulo PCQ. Um abraço Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. [https://ipmcdn.avast.com/images/icons/icon-envelope-tick-round-orange-animated-no-repeat-v1.gif]<https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email_source=link_campaign=sig-email_content=emailclient> Livre de vírus. www.avast.com<https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email_source=link_campaign=sig-email_content=emailclient>. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Geometria plana
Olá amigos, pra quem gosta de geometria plana, compartilhando aqui uma questão do coelhinho da páscoa que achei legal. 1) Em um quadrado ABCD de lado unitário tomam-se os pontos P e Q sobre os lados AB e AD respectivamente, de modo que o perímetro do triângulo APQ seja igual a 2. Calcule a medida do ângulo PCQ. Um abraço Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria plana
Eu fiz algo parecido , também cheguei na mesma resposta, eu cheguei na expressão (m+n-n^2-m^2)/(m+n)(2-m-n) e tinha que maximizar isso com m e n entre zero e um. Obrigado. Douglas Oliveira. Em 12 de jul de 2017 4:10 PM, "Pedro José"escreveu: > Boa tarde! > > Só faltaram as definições de a e b, a é a medida do segmento BF e b a do > segmento CG. > > Desculpem-me, > PJMS > > Em 12 de julho de 2017 09:08, Pedro José escreveu: > >> Bom dia! >> >> Estava indo pelo caminho errado, derivadas parciais. >> >> x + y = ab/(a+b) + (1-a) (1-b) / (2-(a+b)) = ((a+b) - (a^2+b^2))/ (2(a+b) >> - (a+b)^2) >> >> Agora ficou fácil, basta mostrar que 2(a^2+b^2) >= (a+b)^2, o que implica >> em x + y <= 0,5 e S(PFQG) <= 1/4 >> Mas por Cauchy-Shwarz fica clara a desigualdade e o caso particular da >> igualdade só se dá para a = b. >> Portanto, a=b é a condição e a área máxima é 1/4. Atentar que a e b não >> podem assumir os valores 0 ou 1. >> >> Saudações, >> PJMS >> >> Em 11 de julho de 2017 20:50, Pedro José escreveu: >> >>> Boa noite! >>> >>> Não consegui por completo, mas a solução é 1/4 e vale para BF=CG . BF<>0 >>> e BF <>1 >>> >>> S(PFQG) = S(FCD) - S(QCG) - S(PGD) ==> S(PFQG) = 1/2 - S(QCG) - S(PGD) >>> (i) >>> >>> S (AGD) + S(BCG) = CG/2 +GD/2 = 1/2 >>> >>> S(QCG) + S(PGD) + S(APD) + S(BCQ) = S (AGD) + S(BCG) = 1/2 (ii) >>> >>> por (i), se S(PFQG) é máximo então S(QCG) + S(PGD) é mínimo. >>> >>> por (ii) se S(QCG) + S(PGD) é mínimo, então S(APD) + S(BCQ) é máximo. >>> (iii) >>> >>> seja x a medida da altura do triângulo BCQ, relativo ao vértice Q e y a >>> altura do triângulo APD, relativa à P, de (iii) temos que x+ y deve ser >>> máximo. >>> >>> x = ab/(a+b) e y = (1-a) (1-b) / (2-(a+b)), onde x é a medida de BF e y >>> a medida de CG. >>> É fácil mostrar que quando a=b ==> x+ y = 1/2 e S(PFQG) = 1/4. >>> >>> Difícil, pelo menos para mim, é mostrar que x + y < 0,5, quando a<>b e >>> por conseguinte S(PFQG) < 1/4. >>> >>> Morri na praia. >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> >>> Em 10 de julho de 2017 10:48, Douglas Oliveira de Lima < >>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >>> Sejam F e G pontos sobre AB e CD de um quadrado unitário ABCD. AG e DF se interceptam em P, e CF e BG se interceptam em Q. Determinar a posição dos pontos F e G para que o quadrilátero PFQG tenha área máxima. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria plana
Boa tarde! Só faltaram as definições de a e b, a é a medida do segmento BF e b a do segmento CG. Desculpem-me, PJMS Em 12 de julho de 2017 09:08, Pedro Joséescreveu: > Bom dia! > > Estava indo pelo caminho errado, derivadas parciais. > > x + y = ab/(a+b) + (1-a) (1-b) / (2-(a+b)) = ((a+b) - (a^2+b^2))/ (2(a+b) > - (a+b)^2) > > Agora ficou fácil, basta mostrar que 2(a^2+b^2) >= (a+b)^2, o que implica > em x + y <= 0,5 e S(PFQG) <= 1/4 > Mas por Cauchy-Shwarz fica clara a desigualdade e o caso particular da > igualdade só se dá para a = b. > Portanto, a=b é a condição e a área máxima é 1/4. Atentar que a e b não > podem assumir os valores 0 ou 1. > > Saudações, > PJMS > > Em 11 de julho de 2017 20:50, Pedro José escreveu: > >> Boa noite! >> >> Não consegui por completo, mas a solução é 1/4 e vale para BF=CG . BF<>0 >> e BF <>1 >> >> S(PFQG) = S(FCD) - S(QCG) - S(PGD) ==> S(PFQG) = 1/2 - S(QCG) - S(PGD) >> (i) >> >> S (AGD) + S(BCG) = CG/2 +GD/2 = 1/2 >> >> S(QCG) + S(PGD) + S(APD) + S(BCQ) = S (AGD) + S(BCG) = 1/2 (ii) >> >> por (i), se S(PFQG) é máximo então S(QCG) + S(PGD) é mínimo. >> >> por (ii) se S(QCG) + S(PGD) é mínimo, então S(APD) + S(BCQ) é máximo. >> (iii) >> >> seja x a medida da altura do triângulo BCQ, relativo ao vértice Q e y a >> altura do triângulo APD, relativa à P, de (iii) temos que x+ y deve ser >> máximo. >> >> x = ab/(a+b) e y = (1-a) (1-b) / (2-(a+b)), onde x é a medida de BF e y a >> medida de CG. >> É fácil mostrar que quando a=b ==> x+ y = 1/2 e S(PFQG) = 1/4. >> >> Difícil, pelo menos para mim, é mostrar que x + y < 0,5, quando a<>b e >> por conseguinte S(PFQG) < 1/4. >> >> Morri na praia. >> >> Saudações, >> PJMS >> >> >> Em 10 de julho de 2017 10:48, Douglas Oliveira de Lima < >> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >> >>> Sejam F e G pontos sobre AB e CD de um quadrado unitário ABCD. AG e DF >>> se interceptam em P, >>> e CF e BG se interceptam em Q. Determinar a posição dos pontos F e G >>> para que o quadrilátero PFQG tenha área máxima. >>> >>> Douglas Oliveira. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria plana
Bom dia! Estava indo pelo caminho errado, derivadas parciais. x + y = ab/(a+b) + (1-a) (1-b) / (2-(a+b)) = ((a+b) - (a^2+b^2))/ (2(a+b) - (a+b)^2) Agora ficou fácil, basta mostrar que 2(a^2+b^2) >= (a+b)^2, o que implica em x + y <= 0,5 e S(PFQG) <= 1/4 Mas por Cauchy-Shwarz fica clara a desigualdade e o caso particular da igualdade só se dá para a = b. Portanto, a=b é a condição e a área máxima é 1/4. Atentar que a e b não podem assumir os valores 0 ou 1. Saudações, PJMS Em 11 de julho de 2017 20:50, Pedro Joséescreveu: > Boa noite! > > Não consegui por completo, mas a solução é 1/4 e vale para BF=CG . BF<>0 e > BF <>1 > > S(PFQG) = S(FCD) - S(QCG) - S(PGD) ==> S(PFQG) = 1/2 - S(QCG) - S(PGD) (i) > > S (AGD) + S(BCG) = CG/2 +GD/2 = 1/2 > > S(QCG) + S(PGD) + S(APD) + S(BCQ) = S (AGD) + S(BCG) = 1/2 (ii) > > por (i), se S(PFQG) é máximo então S(QCG) + S(PGD) é mínimo. > > por (ii) se S(QCG) + S(PGD) é mínimo, então S(APD) + S(BCQ) é máximo. (iii) > > seja x a medida da altura do triângulo BCQ, relativo ao vértice Q e y a > altura do triângulo APD, relativa à P, de (iii) temos que x+ y deve ser > máximo. > > x = ab/(a+b) e y = (1-a) (1-b) / (2-(a+b)), onde x é a medida de BF e y a > medida de CG. > É fácil mostrar que quando a=b ==> x+ y = 1/2 e S(PFQG) = 1/4. > > Difícil, pelo menos para mim, é mostrar que x + y < 0,5, quando a<>b e por > conseguinte S(PFQG) < 1/4. > > Morri na praia. > > Saudações, > PJMS > > > Em 10 de julho de 2017 10:48, Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> Sejam F e G pontos sobre AB e CD de um quadrado unitário ABCD. AG e DF se >> interceptam em P, >> e CF e BG se interceptam em Q. Determinar a posição dos pontos F e G para >> que o quadrilátero PFQG tenha área máxima. >> >> Douglas Oliveira. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria plana
Boa noite! Não consegui por completo, mas a solução é 1/4 e vale para BF=CG . BF<>0 e BF <>1 S(PFQG) = S(FCD) - S(QCG) - S(PGD) ==> S(PFQG) = 1/2 - S(QCG) - S(PGD) (i) S (AGD) + S(BCG) = CG/2 +GD/2 = 1/2 S(QCG) + S(PGD) + S(APD) + S(BCQ) = S (AGD) + S(BCG) = 1/2 (ii) por (i), se S(PFQG) é máximo então S(QCG) + S(PGD) é mínimo. por (ii) se S(QCG) + S(PGD) é mínimo, então S(APD) + S(BCQ) é máximo. (iii) seja x a medida da altura do triângulo BCQ, relativo ao vértice Q e y a altura do triângulo APD, relativa à P, de (iii) temos que x+ y deve ser máximo. x = ab/(a+b) e y = (1-a) (1-b) / (2-(a+b)), onde x é a medida de BF e y a medida de CG. É fácil mostrar que quando a=b ==> x+ y = 1/2 e S(PFQG) = 1/4. Difícil, pelo menos para mim, é mostrar que x + y < 0,5, quando a<>b e por conseguinte S(PFQG) < 1/4. Morri na praia. Saudações, PJMS Em 10 de julho de 2017 10:48, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Sejam F e G pontos sobre AB e CD de um quadrado unitário ABCD. AG e DF se > interceptam em P, > e CF e BG se interceptam em Q. Determinar a posição dos pontos F e G para > que o quadrilátero PFQG tenha área máxima. > > Douglas Oliveira. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Geometria plana
Sejam F e G pontos sobre AB e CD de um quadrado unitário ABCD. AG e DF se interceptam em P, e CF e BG se interceptam em Q. Determinar a posição dos pontos F e G para que o quadrilátero PFQG tenha área máxima. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana
Note que os triângulos ABD e BCE são equivalentes (mesma área). Baseado nisso podemos concluir que BE=AD; pois areas iguais e alturas iguais implica bases iguais. Então os triângulos ABD e BCE além de equivalente são congruentes (L.A.L.). Portanto
[obm-l] Geometria plana
Num triângulo equilátero ABC, as cevianas BD e CE se encontram em P, se a área do triângulo BCP é igual a área do quadrilátero ADPE , determine o ângulo BPC. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)
Boa noite! Bela e simples solução! Saudações, PJMS Em 29 de junho de 2017 18:21, Julio César Saldaña <saldana...@pucp.edu.pe> escreveu: > > > Aproveitando que APC é isósceles (pois CA=CP), eu desenhei a altura CH, > então > AH=HP e anguloACH=anguloHCP=20; mas como também anguloPCB=20, decidi > desenhar a > perpendicular PN sobre BC, así temos PN=PH=HA. Aí não resisti e estiquei > PN até > K, onde NK=PN. Desenhei a linha BK também. > > Nesse ponto me encontrei com um problema que já tinha resolvido faz algum > tempo > mas não lembro. Então ensaiei outra solução. O problema é provar que P é o > circuncentro do triângulo ABK. Desta vez argumento assim: como anguloBAK=30 > então BK é igual ao circunrádio do triângulo ABK. Mas note que BK=BP (pois > BC é > mediatriz de PK). Então pronto, P encontrase na mediatriz de AK e também se > encontra a uma distância de B igual ao circunradio, logo P é o > circuncentro do > triângulo ABK. > > Com isso, o triângulo PBK é equilátero e portanto anguloPBN=30. Portanto > anguloBEC=90 => EM é mediana relativa à hipotenusa do triângulo retângulo > BEC. > Resposta: anguloMEC=60 > > Espero não ter me engando, mas vou fazer um double check e também vou > tentar > lembrar a outra forma de provar que P é circuncentro de ABK > > Julio Saldaña > > > -- Mensaje original --- > De : obm-l@mat.puc-rio.br > Para : obm-l@mat.puc-rio.br > Fecha : Wed, 28 Jun 2017 14:43:07 -0300 > Asunto : Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda) > >Opa desculpe, CF é ceviana que passa por P. > > > >Em 28 de jun de 2017 11:05 AM, "Pedro José" <petroc...@gmail.com> > escreveu: > > > >> Bom dia! > >> > >> O ponto F não foi definido, mas foram definidas duas medidas de > ângulos > >> aos quais o ponto F pertence: BCF=20 graus e FCA=40 graus. > >> Não faltou definir o ponto F? > >> > >> Sds, > >> PJMS > >> > >> Em 28 de junho de 2017 09:15, Douglas Oliveira de Lima < > >> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> > >>> Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão: > >>> > >>> Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no > >>> ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 > graus, > >>> traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os > >>> pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME. > >>> > >>> GRATO!! > >>> Douglas Oliveira. > >>> > >>> -- > >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > >>> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > >-- > >Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > __ > Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese > a: > http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)
Aproveitando que APC é isósceles (pois CA=CP), eu desenhei a altura CH, então AH=HP e anguloACH=anguloHCP=20; mas como também anguloPCB=20, decidi desenhar a perpendicular PN sobre BC, así temos PN=PH=HA. Aí não resisti e estiquei PN até K, onde NK=PN. Desenhei a linha BK também. Nesse ponto me encontrei com um problema que já tinha resolvido faz algum tempo mas não lembro. Então ensaiei outra solução. O problema é provar que P é o circuncentro do triângulo ABK. Desta vez argumento assim: como anguloBAK=30 então BK é igual ao circunrádio do triângulo ABK. Mas note que BK=BP (pois BC é mediatriz de PK). Então pronto, P encontrase na mediatriz de AK e também se encontra a uma distância de B igual ao circunradio, logo P é o circuncentro do triângulo ABK. Com isso, o triângulo PBK é equilátero e portanto anguloPBN=30. Portanto anguloBEC=90 => EM é mediana relativa à hipotenusa do triângulo retângulo BEC. Resposta: anguloMEC=60 Espero não ter me engando, mas vou fazer um double check e também vou tentar lembrar a outra forma de provar que P é circuncentro de ABK Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Wed, 28 Jun 2017 14:43:07 -0300 Asunto : Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda) Opa desculpe, CF é ceviana que passa por P. Em 28 de jun de 2017 11:05 AM, "Pedro José" <petroc...@gmail.com> escreveu: Bom dia! O ponto F não foi definido, mas foram definidas duas medidas de ângulos aos quais o ponto F pertence: BCF=20 graus e FCA=40 graus. Não faltou definir o ponto F? Sds, PJMS Em 28 de junho de 2017 09:15, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão: Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 graus, traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME. GRATO!! Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)
Opa desculpe, CF é ceviana que passa por P. Em 28 de jun de 2017 11:05 AM, "Pedro José"escreveu: > Bom dia! > > O ponto F não foi definido, mas foram definidas duas medidas de ângulos > aos quais o ponto F pertence: BCF=20 graus e FCA=40 graus. > Não faltou definir o ponto F? > > Sds, > PJMS > > Em 28 de junho de 2017 09:15, Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão: >> >> Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no >> ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 graus, >> traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os >> pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME. >> >> GRATO!! >> Douglas Oliveira. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)
Bom dia! O ponto F não foi definido, mas foram definidas duas medidas de ângulos aos quais o ponto F pertence: BCF=20 graus e FCA=40 graus. Não faltou definir o ponto F? Sds, PJMS Em 28 de junho de 2017 09:15, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão: > > Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no > ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 graus, > traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os > pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME. > > GRATO!! > Douglas Oliveira. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Geometria plana (Ajuda)
Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão: Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 graus, traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME. GRATO!! Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Geometria Plana
Recentemente me ocupei com alguns pensamentos que não sei se são ou não inúteis:é possível provar que em uma circunferência com um dado raio fixo se pode inscrever triângulos com todos os ângulos possíveis?Isto é,como posso ter certeza que dada uma circunferência sempre haverá um triângulo com ângulos a,b e c, sendo a,b,c reais quaisquer(obviamente a>0,b>0,c>0 e a+b+c=pi).Isso me parece uma consequência imediata do fato de todo triângulo ser circunscritível e por haver proporcionalidade entre as circunferências...Mas como provar isso com argumentos claros e simples? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria Plana
Obrigado Ralph Em 26 de novembro de 2015 22:57, Ralph Teixeiraescreveu: > Sim, ha um argumento simples e convincente para a existencia de tal > triangulo. > > Comece pela circunferencia de raio R. Marque nela ARCOS consecutivos de > comprimento angular 2a, 2b e 2c (como 2a+2b+2c=2pi, o terceiro arco termina > onde o primeiro comeca). Use as pontas destes arcos para serem os vertices > de um triangulo; os angulos do triangulo serao inscritos, e assim valerao > metade dos arcos, isto eh, a, b e c exatamente. > > Abraco, Ralph. > > 2015-11-26 22:34 GMT-02:00 Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com>: > >> Recentemente me ocupei com alguns pensamentos que não sei se são ou não >> inúteis:é possível provar que em uma circunferência com um dado raio fixo >> se pode inscrever triângulos com todos os ângulos possíveis?Isto é,como >> posso ter certeza que dada uma circunferência sempre haverá um triângulo >> com ângulos a,b e c, sendo a,b,c reais quaisquer(obviamente a>0,b>0,c>0 e >> a+b+c=pi).Isso me parece uma consequência imediata do fato de todo >> triângulo ser circunscritível e por haver proporcionalidade entre as >> circunferências...Mas como provar isso com argumentos claros e simples? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria Plana
Sim, ha um argumento simples e convincente para a existencia de tal triangulo. Comece pela circunferencia de raio R. Marque nela ARCOS consecutivos de comprimento angular 2a, 2b e 2c (como 2a+2b+2c=2pi, o terceiro arco termina onde o primeiro comeca). Use as pontas destes arcos para serem os vertices de um triangulo; os angulos do triangulo serao inscritos, e assim valerao metade dos arcos, isto eh, a, b e c exatamente. Abraco, Ralph. 2015-11-26 22:34 GMT-02:00 Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com>: > Recentemente me ocupei com alguns pensamentos que não sei se são ou não > inúteis:é possível provar que em uma circunferência com um dado raio fixo > se pode inscrever triângulos com todos os ângulos possíveis?Isto é,como > posso ter certeza que dada uma circunferência sempre haverá um triângulo > com ângulos a,b e c, sendo a,b,c reais quaisquer(obviamente a>0,b>0,c>0 e > a+b+c=pi).Isso me parece uma consequência imediata do fato de todo > triângulo ser circunscritível e por haver proporcionalidade entre as > circunferências...Mas como provar isso com argumentos claros e simples? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: {Disarmed} Re: [obm-l] Re: {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana
Muito boa, vou guardar. Obrigado Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Tue, 3 Mar 2015 22:13:54 -0300 Asunto : {Disarmed} Re: [obm-l] Re: {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana Vou compartilhar uma para termos soluções alternativas: 1)Circunscreva um cÃrculo ao triângulo ABC. 2) Prolongue AD até tocar o cÃrculo em F. 3)Trace de B para F e de C para F. 4)Encontre BFA=AFC=90-(BAC)/2 5)Como FA é uma bissetriz teremos BF=2FC. 6)Como BEF é isósceles, tome um ponto M médio de BF e Trace EM. 7)Os triângulos EMF e EFC são congruentes, assim FEC=(BAC) /2 Douglas Oliveira. Em 03/03/2015 16:04, Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe escreveu: Isso mesmo, M �ponto medio de BE, obrigado Julio Salda馻 -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Tue, 3 Mar 2015 15:33:26 -0300 Asunto : {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana Bela soluè½è«o. houve sè´¸ um pequeno erro de digitaè½è«o : M è ponto mè dio de BE, ok ? Pacini Em 3 de marè½o de 2015 11:53, Julio Cè sar Salda帽a saldana...@pucp.edu.pe escreveu: Fiz assim, mas cuidado, costumo me equivocar muito. Podem verificar? Notar que ABE=EAC. Seja N de AC tal que DN è paralelo è¿ AB, entè«o DN=NC e AN=2.DN Como os trièngulos ABE e ADN sè«o semelhantes entè«o BE=2.AE Seja M o ponto medio de AE, entè«o BM=ME=AE, e AME=MAE=40. Os trièngulos BAM e EAC sè«o congruentes, por tanto igualamos èngulos externos respectivos: DEC=40. Julio Salda帽a -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Mon, 2 Mar 2015 09:23:52 -0300 Asunto : [obm-l] Geometria plana Olèé, bom dia quero compartilhar uma boa questèæ¢o de geometria com os senhores, Q1) Num trièångulo isèé²sceles ABC com AB=AC, toma-se um ponto D no lado BC de forma que BD=2CD e um ponto E em AD tal que os èångulos BAC e BED sejam iguais a 80 graus, encontrar o valor do èångulo DEC. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivérus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletén Electrè´¸nico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivérus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruè½ç«es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivéus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boleté Electré«ico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivéus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruç²es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana
Fiz assim, mas cuidado, costumo me equivocar muito. Podem verificar? Notar que ABE=EAC. Seja N de AC tal que DN é paralelo à AB, então DN=NC e AN=2.DN Como os triângulos ABE e ADN são semelhantes então BE=2.AE Seja M o ponto medio de AE, então BM=ME=AE, e AME=MAE=40. Os triângulos BAM e EAC são congruentes, por tanto igualamos ângulos externos respectivos: DEC=40. Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Mon, 2 Mar 2015 09:23:52 -0300 Asunto : [obm-l] Geometria plana Olá, bom dia quero compartilhar uma boa questão de geometria com os senhores, Q1) Num triângulo isósceles ABC com AB=AC, toma-se um ponto D no lado BC de forma que BD=2CD e um ponto E em AD tal que os ângulos BAC e BED sejam iguais a 80 graus, encontrar o valor do ângulo DEC. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
{Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana
Bela solução. houve só um pequeno erro de digitação : M é ponto médio de BE, ok ? Pacini Em 3 de março de 2015 11:53, Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe escreveu: Fiz assim, mas cuidado, costumo me equivocar muito. Podem verificar? Notar que ABE=EAC. Seja N de AC tal que DN é paralelo à AB, então DN=NC e AN=2.DN Como os triângulos ABE e ADN são semelhantes então BE=2.AE Seja M o ponto medio de AE, então BM=ME=AE, e AME=MAE=40. Os triângulos BAM e EAC são congruentes, por tanto igualamos ângulos externos respectivos: DEC=40. Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Mon, 2 Mar 2015 09:23:52 -0300 Asunto : [obm-l] Geometria plana Olá, bom dia quero compartilhar uma boa questão de geometria com os senhores, Q1) Num triângulo isósceles ABC com AB=AC, toma-se um ponto D no lado BC de forma que BD=2CD e um ponto E em AD tal que os ângulos BAC e BED sejam iguais a 80 graus, encontrar o valor do ângulo DEC. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana
Isso mesmo, M é ponto medio de BE, obrigado Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Tue, 3 Mar 2015 15:33:26 -0300 Asunto : {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana Bela solução. houve só um pequeno erro de digitação : M é ponto médio de BE, ok ? Pacini Em 3 de março de 2015 11:53, Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe escreveu: Fiz assim, mas cuidado, costumo me equivocar muito. Podem verificar? Notar que ABE=EAC. Seja N de AC tal que DN é paralelo à AB, então DN=NC e AN=2.DN Como os triângulos ABE e ADN são semelhantes então BE=2.AE Seja M o ponto medio de AE, então BM=ME=AE, e AME=MAE=40. Os triângulos BAM e EAC são congruentes, por tanto igualamos ângulos externos respectivos: DEC=40. Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Mon, 2 Mar 2015 09:23:52 -0300 Asunto : [obm-l] Geometria plana Olá, bom dia quero compartilhar uma boa questão de geometria com os senhores, Q1) Num triângulo isósceles ABC com AB=AC, toma-se um ponto D no lado BC de forma que BD=2CD e um ponto E em AD tal que os ângulos BAC e BED sejam iguais a 80 graus, encontrar o valor do ângulo DEC. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el BoletÃn Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
{Disarmed} Re: [obm-l] Re: {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana
Vou compartilhar uma para termos soluções alternativas: 1)Circunscreva um círculo ao triângulo ABC. 2) Prolongue AD até tocar o círculo em F. 3)Trace de B para F e de C para F. 4)Encontre BFA=AFC=90-(BAC)/2 5)Como FA é uma bissetriz teremos BF=2FC. 6)Como BEF é isósceles, tome um ponto M médio de BF e Trace EM. 7)Os triângulos EMF e EFC são congruentes, assim FEC=(BAC) /2 Douglas Oliveira. Em 03/03/2015 16:04, Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe escreveu: Isso mesmo, M �ponto medio de BE, obrigado Julio Salda馻 -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Tue, 3 Mar 2015 15:33:26 -0300 Asunto : {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana Bela solu莽茫o. houve s贸 um pequeno erro de digita莽茫o : M 茅 ponto m茅dio de BE, ok ? Pacini Em 3 de mar莽o de 2015 11:53, Julio C茅sar Salda帽a saldana...@pucp.edu.pe escreveu: Fiz assim, mas cuidado, costumo me equivocar muito. Podem verificar? Notar que ABE=EAC. Seja N de AC tal que DN 茅 paralelo 脿 AB, ent茫o DN=NC e AN=2.DN Como os tri芒ngulos ABE e ADN s茫o semelhantes ent茫o BE=2.AE Seja M o ponto medio de AE, ent茫o BM=ME=AE, e AME=MAE=40. Os tri芒ngulos BAM e EAC s茫o congruentes, por tanto igualamos 芒ngulos externos respectivos: DEC=40. Julio Salda帽a -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Mon, 2 Mar 2015 09:23:52 -0300 Asunto : [obm-l] Geometria plana Ol脙隆, bom dia quero compartilhar uma boa quest脙拢o de geometria com os senhores, Q1) Num tri脙垄ngulo is脙鲁sceles ABC com AB=AC, toma-se um ponto D no lado BC de forma que BD=2CD e um ponto E em AD tal que os 脙垄ngulos BAC e BED sejam iguais a 80 graus, encontrar o valor do 脙垄ngulo DEC. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv铆rus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Bolet铆n Electr贸nico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv铆rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru莽玫es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv韗us e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Bolet韓 Electr髇ico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv韗us e acredita-se estar livre de perigo. = Instru珲es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria plana
E' verdade, Douglas, engraxei a meia... :) []'s Rogerio Ponce 2015-03-02 20:42 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com: Está correto Ponce de uma olhada com calma. Forte abraço. Em 02/03/2015 19:56, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu: Ola' Douglas, eu acho que tem algum engano no enunciado. Se D pertence ao lado BC, me parece impossivel que os angulos BAC e BED sejam iguais entre si. []'s Rogerio Ponce 2015-03-02 9:23 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com: Olá, bom dia quero compartilhar uma boa questão de geometria com os senhores, Q1) Num triângulo isósceles ABC com AB=AC, toma-se um ponto D no lado BC de forma que BD=2CD e um ponto E em AD tal que os ângulos BAC e BED sejam iguais a 80 graus, encontrar o valor do ângulo DEC. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria plana
Ola' Douglas, eu acho que tem algum engano no enunciado. Se D pertence ao lado BC, me parece impossivel que os angulos BAC e BED sejam iguais entre si. []'s Rogerio Ponce 2015-03-02 9:23 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com: Olá, bom dia quero compartilhar uma boa questão de geometria com os senhores, Q1) Num triângulo isósceles ABC com AB=AC, toma-se um ponto D no lado BC de forma que BD=2CD e um ponto E em AD tal que os ângulos BAC e BED sejam iguais a 80 graus, encontrar o valor do ângulo DEC. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria plana
Está correto Ponce de uma olhada com calma. Forte abraço. Em 02/03/2015 19:56, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu: Ola' Douglas, eu acho que tem algum engano no enunciado. Se D pertence ao lado BC, me parece impossivel que os angulos BAC e BED sejam iguais entre si. []'s Rogerio Ponce 2015-03-02 9:23 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com: Olá, bom dia quero compartilhar uma boa questão de geometria com os senhores, Q1) Num triângulo isósceles ABC com AB=AC, toma-se um ponto D no lado BC de forma que BD=2CD e um ponto E em AD tal que os ângulos BAC e BED sejam iguais a 80 graus, encontrar o valor do ângulo DEC. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Geometria plana
Olá, bom dia quero compartilhar uma boa questão de geometria com os senhores, Q1) Num triângulo isósceles ABC com AB=AC, toma-se um ponto D no lado BC de forma que BD=2CD e um ponto E em AD tal que os ângulos BAC e BED sejam iguais a 80 graus, encontrar o valor do ângulo DEC. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Geometria plana
Olá , boa noite , não consigo achar o centro homotético desta questão. Me ajudem por favor. Seja *ABC* um triângulo com incentro *I* e incírculo *w*. O círculo *w**A* tangencia externamente *w* e toca os lados *AB* e *AC* em *A*1 e *A*2, respectivamente. Seja *rA* a reta *A*1*A*2. Defina *rB* e *rC* de modo análogo. As retas *rA*, *rB* e *rC* determinam um triângulo *XYZ*. Prove que o incentro de *XYZ*, o circuncentro de *XYZ* e *I* são colineares. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria Plana
A altura do triangulo toca AC em H, e assim (EC)^2=AC.CH, como a área do triângulo ABC e igual a (4r^2-1)^(1/2), sendo r o raio da circunferência citada no enunciado, entao (4r^2-1)^(1/2)=2r.(BH)/2, assim BH=((4r^2-1)^(1/2))/r, e aplicando pitagoras no triângulo BCH teremos (CH)^2=4-(BH)^2, assim CH=1/r, e como (EC)^2=AC.CH, (EC)^2=2r.1/r, EC=2^(1/2), ou seja raiz de 2. Em 23 de maio de 2014 00:46, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.comescreveu: Olá, Alguém pode me ajudar no exercício que segue Seja ABC um triângulo isósceles, com AB=AC. Com centro no ponto médio de AC, traça-se uma circunferência de diâmetro AB. Por B, traçamos uma altura do triângulo, que intercepta a circunferência em E. Sabendo que BC=2, determine o valor de CE. Desde já, agradeço pela devida atenção -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Plana
Seja M a interseção de BC com a circunferência, então AM é altura. Então MEC = MAC = EBC. Devido a ter os mesmos ângulos, os triângulos BEC e MEC são semeljantes, então EC / 1 = 2/ EC, por tanto EC = sqrt(2). Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Fri, 23 May 2014 00:46:24 -0300 Asunto : [obm-l] Geometria Plana Olá, Alguém pode me ajudar no exercÃcio que segue Seja ABC um triângulo isósceles, com AB=AC. Com centro no ponto médio de AC, traça-se uma circunferência de diâmetro AB. Por B, traçamos uma altura do triângulo, que intercepta a circunferência em E. Sabendo que BC=2, determine o valor de CE. Desde já, agradeço pela devida atenção -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria Plana
Valeu pessoal, obrigado. Raphael Aureliano Praticante de Oficial de Náutica (Piloto) Guarda-Marinha (RM-2) Em 23/05/2014 11:26, Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe escreveu: Seja M a interseção de BC com a circunferência, então AM é altura. Então MEC = MAC = EBC. Devido a ter os mesmos ângulos, os triângulos BEC e MEC são semeljantes, então EC / 1 = 2/ EC, por tanto EC = sqrt(2). Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Fri, 23 May 2014 00:46:24 -0300 Asunto : [obm-l] Geometria Plana Olá, Alguém pode me ajudar no exercÃcio que segue Seja ABC um triângulo isósceles, com AB=AC. Com centro no ponto médio de AC, traça-se uma circunferência de diâmetro AB. Por B, traçamos uma altura do triângulo, que intercepta a circunferência em E. Sabendo que BC=2, determine o valor de CE. Desde já, agradeço pela devida atenção -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Geometria Plana
Olá, Alguém pode me ajudar no exercício que segue Seja ABC um triângulo isósceles, com AB=AC. Com centro no ponto médio de AC, traça-se uma circunferência de diâmetro AB. Por B, traçamos uma altura do triângulo, que intercepta a circunferência em E. Sabendo que BC=2, determine o valor de CE. Desde já, agradeço pela devida atenção -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Geometria Plana - Relações Trigonométricas
Ola Pessoal, Eu não sei se já postei isso aqui, mas trabalhando em alguns problemas, encontrei algumas coisas interessantes : A) Relações Trigonométrica entre os ângulos de um triângulo qualquer (fiz os cálculos usando um triangulo acutângulo qqer de lados x,y e z) 1) Cos2X + Cos2Y + Cos2Z + 2CosXCosYCosZ = 1 Quando um dos ângulos é 90º , a relação se reduz a : Cos2X + Cos2Y = 1 Como X+Y = 90º Cos2X + Sen2X = 1 De (1), resultam as seguintes relações : 2) Cos2Y + Cos2Z + 2CosXCosYCosZ = Sen2X 3) Cos2X + Cos2Z + 2CosXCosYCosZ = Sen2Y 4) Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ = Sen2Z 5) 4R2 (Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ) = z2 E as outras relações envolvendo R e x e R e y R raio do círculo circunscrito e x,y e z lados do triangulo. 6) 2 = Sen2X + Sen2Y + Sen2Z - 2CosXCosYCosZ 6) 1 + Sen2X + Cos2X = Sen2X + Sen2Y + Sen2Z - 2CosXCosYCosZ Pela lei dos Senos, temos que SenX, SenY e SenZ formam um triangulo semelhante ao triângulo de lados x, y e z. Dessa forma, temos : Sen2Z = Sen2X + Sen2Y - 2SenXSenYCosZ De (4) temos que : Sen2Z = Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ Ou seja, os triângulos de lado SenX, SenY e SenZ e CosX, CosY e SenZ formam um quadrilátero inscritível com diagonal SenZ, em um cíuculo cujo raio R = ½ A) Ternos Pitagóricos Primitivos Dado o terno pitagórico a,b e c, 3 x 4 x 5 = 60 divide abc Eu procurei na internet e não achei essas relações. Vcs sabem de alguma coisa? Abs Felipe -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria Plana - Relações Trigonométricas
Eu tinha umas relações da forma (ab+ac+bc)/abc com alturas e senos, mas não sei onde guardei. Sobre as ternas: Sabe-se que (m²-n²)² + (2mn)² = (m²+n²)² Seja a=(m²-n²), b=2mn e c = (m²+n²) Divisibilidade por 4: Para m par e n par é automático 4|abc Para m ímpar e n par, 4|2mn, então 4|abc Para m ímpar e n ímpar, é garantido que m² e n² são divisíveis por 2 (melhor, por 4 ja que ambos são da forma 4k+1 m² é côngruo a n² módulo 4), como b é divisível por 2 fica 4|abc. (2k+1)² = 4k²+4k+1 = 4(k²+k)+1 - 4r+1 Divisibilidade por 3: Caso em que a ou b é da forma 3k é automático 3|abc. Caso em que a ou b são da forma 3k+1 ou 3k+2:7 (3k+1)² = 9k²+6k+1 - 3(3k²+2k)+1 - 3r+1 (3k+2)² = 9k²+12k+4 - 3(3k²+4k+1)+1 - 3r+1 Ou seja, a² é côngruo com b² módulo 3. m²-n² garante 3|abc. Divisibilidade por 5: Caso em que a ou b é da forma 5k é automático 5|abc. Caso em que a ou b são da forma 5k+1 ou 5k+4: (5k+1)² = 25k²+10k+1 - 5(5k²+2k)+1 - 5r+1 (5k+4)² = 25k²+40k+16 - 5(5k²+8k+3)+1 - 5r+1 Caso em que a ou b são da forma 5k+2 ou 5k+3: (5k+2)² = 25k²+20k+4 - 5(5k²+4k)+4 - 5s+4 (5k+3)² = 25k²+30k+9 - 5(5k²+6k+1)+4 - 5s+4 Para o caso de a e b serem da forma 5k+1 ou 5k+4, m² é côngruo a n² módulo 5, logo m²-n² garante 5|abc. Para o caso de a e b serem da forma 5k+2 ou 5k+3, m² é côngruo a n² módulo 5, logo m²-n² garante 5|abc. No caso de m² ser incôngruo a n², temos que suas somas são côngruas módulo 5. Um é da forma 5k+1 ou 5k+4 e o outro é da forma 5k+2 ou 5k+3. Logo um deles assume a forma 5r+1 e o outro a forma 5s+4 oui vice-versa. Portanto m²+n² garante 5|abc. Portanto 3.4.5 = 30|abc sendo a,b,c uma terna pitagórica. Em Mon, 28 Apr 2014 19:31:59 -0700 (PDT) luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu: Ola Pessoal, Eu não sei se já postei isso aqui, mas trabalhando em alguns problemas, encontrei algumas coisas interessantes : A) Relações Trigonométrica entre os ângulos de um triângulo qualquer (fiz os cálculos usando um triangulo acutângulo qqer de lados x,y e z) 1) Cos2X + Cos2Y + Cos2Z + 2CosXCosYCosZ = 1 Quando um dos ângulos é 90º , a relação se reduz a : Cos2X + Cos2Y = 1 Como X+Y = 90º Cos2X + Sen2X = 1 De (1), resultam as seguintes relações : 2) Cos2Y + Cos2Z + 2CosXCosYCosZ = Sen2X 3) Cos2X + Cos2Z + 2CosXCosYCosZ = Sen2Y 4) Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ = Sen2Z 5) 4R2 (Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ) = z2 E as outras relações envolvendo R e x e R e y R raio do círculo circunscrito e x,y e z lados do triangulo. 6) 2 = Sen2X + Sen2Y + Sen2Z - 2CosXCosYCosZ 6) 1 + Sen2X + Cos2X = Sen2X + Sen2Y + Sen2Z - 2CosXCosYCosZ Pela lei dos Senos, temos que SenX, SenY e SenZ formam um triangulo semelhante ao triângulo de lados x, y e z. Dessa forma, temos : Sen2Z = Sen2X + Sen2Y - 2SenXSenYCosZ De (4) temos que : Sen2Z = Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ Ou seja, os triângulos de lado SenX, SenY e SenZ e CosX, CosY e SenZ formam um quadrilátero inscritível com diagonal SenZ, em um cíuculo cujo raio R = ½ A) Ternos Pitagóricos Primitivos Dado o terno pitagórico a,b e c, 3 x 4 x 5 = 60 divide abc Eu procurei na internet e não achei essas relações. Vcs sabem de alguma coisa? Abs Felipe -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Geometria Plana Peruana
Pessoal, qual o pulo do Gato?  En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la bisetriz interior BD, tal que BI=a e ID=b. Calcule el área de la región triangular ABC, siendo I incentro del triángulo ABC.  A) [b²(a+b)]/[2(a-b)]   B) [a²(a+b)]/[2(a-b)]  C) [a²(a+b)]/(a-b)  D) [a²(a-b)]/(a+b)  E) [2a²(a+b)]/(a-b) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Plana - Triângulo
Carlos Vitor, poderia explicar por que o quadrilatero ACHE eh ciclico? Vc. estah considerando EH paralelo a AC? Por que? [ ]'s
[obm-l] Geometria Plana - Triângulo
Pessoal, qual o bizu?  Em um triângulo ABC, traçam-se as alturas AH e CE. Se AB=5m, BC=6m e AC=7m, calcule EH.  (A) 7/5 m (B) 9/5 m (C) 10/7 m (D) 10/3 m (E) 2 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Plana - Triângulo
Olá Arkon , Uma solução é : Seja O o ortocentro de ABC . Observe que o triângulo AOC é semelhante ao triângulo OEH , pois o quadrilátero ACHE é inscritível . Seja x = EH , então 7/x = AO/EO e como OE = OA.cosB . Usando a lei dos cosenos encontre cosB = 1/5 e daí x =7/5 , ok ? .Acredito que pensar no círculo dos nove pontos pode também resolver . Confira as contas . Abraços Carlos Victor Em 28 de agosto de 2012 19:31, arkon ar...@bol.com.br escreveu: Pessoal, qual o bizu?  Em um triângulo ABC, traçam-se as alturas AH e CE. Se AB=5m, BC=6m e AC=7m, calcule EH.  (A) 7/5 m (B) 9/5 m (C) 10/7 m (D) 10/3 m (E) 2 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] GEOMETRIA PLANA DEMONSTRAÇ ÃO
Muitíssimo obrigado e boas festas! Em 20 de dezembro de 2010 23:11, Eduardo Beltrao e-...@ig.com.br escreveu: Prezado Marcelo, Após algum tempo solucionando o problema proposto, cheguei a uma resposta muito próxima da que você postou aqui. A solução transcrevo abaixo, porém peço para que verifique se o resultado correto é realmente (OG)^2 = R^2 - 1/3*(A^2 + B^2 + C^2), e não (OG)^2 = R^2 - 1/9*(A^2 + B^2 + C^2). Atenciosamente, Eduardo Beltrão _ Sejam AB = c, AC = b e BC = a os lados do triângulo ABC. Sejam M, N e P os pontos médios de BC, AC e AB, respectivamente. OBS: Para efeito de visualização, considere BC o lado do triângulo mais próximo do centro O do círculo. Observe que o triângulo OMC é retângulo, e assim: (OM)^2 + (CM)^2 = (OC)^2 ( I ) No triângulo AMC temos que, pela lei dos cossenos: (AC)^2 = (AM)^2 + (CM)^2 - 2*(AM)*(CM)*cos(A^MC) ( II ) Também pela lei dos cossenos, temos, no triângulo ABM, que: (AB)^2 = (AM)^2 + (BM)^2 - 2*(AM)*(BM)*cos(180º - A^MC) ( III ) Em ( III ), como M é ponto médio de BC temos: (AB)^2 = (AM)^2 + (CM)^2 + 2*(AM)*(CM)*cos(A^MC) ( IV ) Somando membro a membro as equações ( II ) e ( IV ), temos: (AC)^2 + (AB)^2 = 2*(AM)^2 + 2*(CM)^2 (AM)^2 = [(AC)^2 + (AB)^2 - 2*(CM)^2]/2 ( V ) Como G é baricentro do triângulo ABC, então: GM = (AM)/3 ( VI ) No triângulo OBM temos, pela lei dos cossenos: (OA)^2 = (OM)^2 + (AM)^2 - 2*(OM)*(AM)*cos(O^MA) ( VII ) Também pela lei dos cossenos, no triângulo OGM, temos: (OG)^2 = (OM)^2 + (GAM)^2 - 2*(OM)*(GM)*cos(O^MG) ( VIII ) Observe que os ângulos O^MA e O^MG são iguais, pois A e G são pontos do mesmo segmento AM. Assim, manipulando as equações (VII) e (VIII) temos: [(OM)^2 + (AM)^2 - (OA)^2]/AM = [(OM)^2 + (GM)^2 - (OG)^2]/GM ( IX ) Substituindo (I) e (VI) em (IX), temos: (OC)^2 - (CM)^2 + (AM)^2 - (OA)^2 = 3*[(OC)^2 - (CM)^2 + ((AM)/3)^2 - (OG)^2] (OC)^2 - (CM)^2 + (AM)^2 - (OA)^2 = 3*(OC)^2 - 3*(CM)^2 + [(AM)^2]/3 - 3*(OG)^2 Como OA = OC = R, temos: R^2 - (CM)^2 + (AM)^2 - R^2 = 3*(R^2) - 3*(CM)^2 + [(AM)^2]/3 - 3*(OG)^2 (AM)^2 - (CM)^2 = 3*(R^2) - 3*(CM)^2 + [(AM)^2]/3 - 3*(OG)^2 ( X ) por fim, substituindo (V) em (X), temos: [(AC)^2 + (AB)^2 - 2*(CM)^2]/2 - (CM)^2 = 3*(R^2) - 3*(CM)^2 + [(AC)^2 + (AB)^2 - 2*(CM)^2]/6 - 3*(OG)^2 Manipulando a equação acima, de modo a isolar o termo (OC)^2, temos que: (OG)^2 = R^2 - (a^2 + b^2 + c^2)/9 Em 17 de dezembro de 2010 07:39, Marcelo Costa mat.mo...@gmail.comescreveu: CONSIDERE UM TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO ABC, CUJOS OS LADOS MEDEM A, B e C, INSCRITO NUM CÍRUCULO DE RAIO R E CENTRO O. SENDO G O BARICENTRO DO TRIÂNGULO ABC, MOSTRE QUE: (OG)^2 = R^2 - 1/3*(A^2 + B^2 + C^2) AGRADEÇO DESDE JÁ A ATENÇÃO DOS COLEGAS, OBRIGADO!
[obm-l] Re: [obm-l] GEOMETRIA PLANA DEMONSTRAÇÃO
Prezado Marcelo, Após algum tempo solucionando o problema proposto, cheguei a uma resposta muito próxima da que você postou aqui. A solução transcrevo abaixo, porém peço para que verifique se o resultado correto é realmente (OG)^2 = R^2 - 1/3*(A^2 + B^2 + C^2), e não (OG)^2 = R^2 - 1/9*(A^2 + B^2 + C^2). Atenciosamente, Eduardo Beltrão _ Sejam AB = c, AC = b e BC = a os lados do triângulo ABC. Sejam M, N e P os pontos médios de BC, AC e AB, respectivamente. OBS: Para efeito de visualização, considere BC o lado do triângulo mais próximo do centro O do círculo. Observe que o triângulo OMC é retângulo, e assim: (OM)^2 + (CM)^2 = (OC)^2 ( I ) No triângulo AMC temos que, pela lei dos cossenos: (AC)^2 = (AM)^2 + (CM)^2 - 2*(AM)*(CM)*cos(A^MC) ( II ) Também pela lei dos cossenos, temos, no triângulo ABM, que: (AB)^2 = (AM)^2 + (BM)^2 - 2*(AM)*(BM)*cos(180º - A^MC) ( III ) Em ( III ), como M é ponto médio de BC temos: (AB)^2 = (AM)^2 + (CM)^2 + 2*(AM)*(CM)*cos(A^MC) ( IV ) Somando membro a membro as equações ( II ) e ( IV ), temos: (AC)^2 + (AB)^2 = 2*(AM)^2 + 2*(CM)^2 (AM)^2 = [(AC)^2 + (AB)^2 - 2*(CM)^2]/2 ( V ) Como G é baricentro do triângulo ABC, então: GM = (AM)/3 ( VI ) No triângulo OBM temos, pela lei dos cossenos: (OA)^2 = (OM)^2 + (AM)^2 - 2*(OM)*(AM)*cos(O^MA) ( VII ) Também pela lei dos cossenos, no triângulo OGM, temos: (OG)^2 = (OM)^2 + (GAM)^2 - 2*(OM)*(GM)*cos(O^MG) ( VIII ) Observe que os ângulos O^MA e O^MG são iguais, pois A e G são pontos do mesmo segmento AM. Assim, manipulando as equações (VII) e (VIII) temos: [(OM)^2 + (AM)^2 - (OA)^2]/AM = [(OM)^2 + (GM)^2 - (OG)^2]/GM ( IX ) Substituindo (I) e (VI) em (IX), temos: (OC)^2 - (CM)^2 + (AM)^2 - (OA)^2 = 3*[(OC)^2 - (CM)^2 + ((AM)/3)^2 - (OG)^2] (OC)^2 - (CM)^2 + (AM)^2 - (OA)^2 = 3*(OC)^2 - 3*(CM)^2 + [(AM)^2]/3 - 3*(OG)^2 Como OA = OC = R, temos: R^2 - (CM)^2 + (AM)^2 - R^2 = 3*(R^2) - 3*(CM)^2 + [(AM)^2]/3 - 3*(OG)^2 (AM)^2 - (CM)^2 = 3*(R^2) - 3*(CM)^2 + [(AM)^2]/3 - 3*(OG)^2 ( X ) por fim, substituindo (V) em (X), temos: [(AC)^2 + (AB)^2 - 2*(CM)^2]/2 - (CM)^2 = 3*(R^2) - 3*(CM)^2 + [(AC)^2 + (AB)^2 - 2*(CM)^2]/6 - 3*(OG)^2 Manipulando a equação acima, de modo a isolar o termo (OC)^2, temos que: (OG)^2 = R^2 - (a^2 + b^2 + c^2)/9 Em 17 de dezembro de 2010 07:39, Marcelo Costa mat.mo...@gmail.comescreveu: CONSIDERE UM TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO ABC, CUJOS OS LADOS MEDEM A, B e C, INSCRITO NUM CÍRUCULO DE RAIO R E CENTRO O. SENDO G O BARICENTRO DO TRIÂNGULO ABC, MOSTRE QUE: (OG)^2 = R^2 - 1/3*(A^2 + B^2 + C^2) AGRADEÇO DESDE JÁ A ATENÇÃO DOS COLEGAS, OBRIGADO!
[obm-l] GEOMETRIA PLANA DEMONSTRAÇÃO
CONSIDERE UM TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO ABC, CUJOS OS LADOS MEDEM A, B e C, INSCRITO NUM CÍRUCULO DE RAIO R E CENTRO O. SENDO G O BARICENTRO DO TRIÂNGULO ABC, MOSTRE QUE: (OG)^2 = R^2 - 1/3*(A^2 + B^2 + C^2) AGRADEÇO DESDE JÁ A ATENÇÃO DOS COLEGAS, OBRIGADO!
[obm-l] GEOMETRIA PLANA DEMONSTRAÇÃO
CONSIDERE UM TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO ABC, CUJOS OS LADOS MEDEM A, B e C, INSCRITO NUM CÍRUCULO DE RAIO R E CENTRO O. SENDO G O BARICENTRO DO TRIÂNGULO ABC, MOSTRE QUE: (OG)^2 = R^2 - 1/3*(A^2 + B^2 + C^2) AGRADEÇO DESDE JÁ A ATENÇÃO DOS COLEGAS, OBRIGADO!
[obm-l] RES: [obm-l] Geometria plana- triângulo retângulo
Seja M o ponto médio da hipotenusa e H o pé da perpendicular tirada do vértice A sobre a hipotenusa BC. O triângulo ABH é retângulo em H com ângulo em B medindo 50º e ângulo em A medindo 40º. O triângulo AMC é isósceles com ângulos em A e C medindo 40º. O ângulo HAM mede 10º. Creio que é isso. Saludos. Claudio _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Lucas Hagemaister Enviada em: quarta-feira, 17 de novembro de 2010 22:21 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Geometria plana- triângulo retângulo No triângulo retângulo ABC, sendo med(B)=50º, o ângulo formado pela altura e pela mediana traçadas a partir do vértice do ângulo reto A mede quanto?
[obm-l] Geometria plana- tri ângulo retângulo
No triângulo retângulo ABC, sendo med(B)=50º, o ângulo formado pela altura e pela mediana traçadas a partir do vértice do ângulo reto A mede quanto?
Re: [obm-l] Geometria Plana CN
Preturlan, esta questão do CN é de que ano? Se M fosse ponto médio de HX e não de BC a solução apresentada seria legal. Como o CN geralmente comete erros nos enunciados, esta está parecendo mais uma. Em todo caso se você conseguir uma solução não se esqueça de postar. 2009/6/5 Joâo Gabriel Preturlan jgpretur...@uol.com.br *Caro Colega,* * * *Primeiramente agradeço pela solução. Mas caí num dilema... como provar que o ponto X é simétrico ao Ortocentro em relação ao ponto médio?* * * *Conheço um fato de simetria somente: o ponto que está na circunferência circunscrita e está determinado pela reta suporte da altura é simétrico ao ortocentro em relação ao ponto que a altura corta o lado do triângulo (não sei se fui claro). Inclusive, isso é fácil de demonstrar.* * * *Agora, não consegui provar a proposição que você fez... Você ou alguém conhece a demonstração desse caso? Se alguém puder me ajudar agradeço imensamente.* * * *[]’s* *João Gabriel Preturlan* *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em nome de *Nhampari Midori *Enviada em:* quinta-feira, 4 de junho de 2009 10:24 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* RES: [obm-l] Geometria Plana CN Olá João Gabriel É bem conhecido que os pontos simétricos do ortocentro em relação aos lados de um triângulo estão sobre a circunferência circunscrita. Usando esse fato fica fácil de se ver que X é o simétrico de H com relação a M. Seja P o pé da altura relativa ao vértice B com relação ao lado AC. Examinando o triângulo YHX notamos que PM é a base média com relação ao lado XY. Assim XY mede o dobro de PM. Agora PM é a metade do lado BC ( basta olhar para o triângulo retângulo BPC). Conclusão XY=BC=27. Veja se está claro. Um abraço. Nhampari. -- *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em nome de *Joâo Gabriel Preturlan *Enviada em:* quarta-feira, 3 de junho de 2009 23:25 *Para:* OBM-L *Assunto:* [obm-l] Geometria Plana CN *Gostaria de ajuda na seguinte questão:* * * *“Sejam o triângulo ABC de lados AB= 25, AC=26, BC=27cm, H o ortocentro de ABC e M o ponto médio do lado BC. Seja X o ponto em que a reta HM intersecta o arco BC(que não contém A) da circunferência circunscrita a ABC. Seja Y o ponto de interseção da reta BH com a circunferência, distinto de B. Determine a medida de XY. a)28 b)27 c)26 d)25 e)24”* * * *[]’s* *João Gabriel Preturlan* Nenhum vírus encontrado nessa mensagem recebida. Verificado por AVG - www.avgbrasil.com.br Versão: 8.5.339 / Banco de dados de vírus: 270.12.53/2155 - Data de Lançamento: 06/04/09 17:55:00
Re: RES: [obm-l] Geometria Plana CN
Em 05/06/2009 23:56, Joâo Gabriel Preturlan jgpretur...@uol.com.br escreveu: v\:* {behavior:url(#default#VML);} o\:* {behavior:url(#default#VML);} w\:* {behavior:url(#default#VML);} .shape {behavior:url(#default#VML);} Caro Colega,  Primeiramente agradeço pela solução. Mas caà num dilema... como provar que o ponto X é simétrico ao Ortocentro em relação ao ponto médio?  Conheço um fato de simetria somente: o ponto que está na circunferência circunscrita e está determinado pela reta suporte da altura é simétrico ao ortocentro em relação ao ponto que a altura corta o lado do triângulo (não sei se fui claro). Inclusive, isso é fácil de demonstrar.  Agora, não consegui provar a proposição que você fez... Você ou alguém conhece a demonstração desse caso? Se alguém puder me ajudar agradeço imensamente.  []âs João Gabriel Preturlan  De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Nhampari MidoriEnviada em: quinta-feira, 4 de junho de 2009 10:24Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: RES: [obm-l] Geometria Plana CN  Olá João Gabriel à bem conhecido que os pontos simétricos do ortocentro em relação aos lados de um triângulo estão sobre a circunferência circunscrita. Usando esse fato fica fácil de se ver que X é o simétrico de H com relação a M. Seja P o pé da altura relativa ao vértice B com relação ao lado AC. Examinando o triângulo YHX notamos que PM é a base média com relação ao lado XY. Assim XY mede o dobro de PM. Agora PM é a metade do lado BC ( basta olhar para o triângulo retângulo BPC). Conclusão XY=BC=27. Veja se está claro. Um abraço. Nhampari.   De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Joâo Gabriel PreturlanEnviada em: quarta-feira, 3 de junho de 2009 23:25Para: OBM-LAssunto: [obm-l] Geometria Plana CN  Gostaria de ajuda na seguinte questão:  âSejam o triângulo ABC de lados AB= 25, AC=26, BC=27cm, H o ortocentro de ABC e M o ponto médio do lado BC. Seja X o ponto em que a reta HM intersecta o arco BC(que não contém A) da circunferência circunscrita a ABC. Seja Y o ponto de interseção da reta BH com a circunferência, distinto de B. Determine a medida de XY.a)28b)27c)26d)25e)24â  []âs João Gabriel Preturlan Nenhum vÃrus encontrado nessa mensagem recebida.Verificado por AVG - www.avgbrasil.com.brVersão: 8.5.339 / Banco de dados de vÃrus: 270.12.53/2155 - Data de Lançamento: 06/04/09 17:55:00 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria Plana CN
Em 03/06/2009 23:25, Joâo Gabriel Preturlan jgpretur...@uol.com.br escreveu: Gostaria de ajuda na seguinte questão:  âSejam o triângulo ABC de lados AB= 25, AC=26, BC=27cm, H o ortocentro de ABC e M o ponto médio do lado BC. Seja X o ponto em que a reta HM intersecta o arco BC(que não contém A) da circunferência circunscrita a ABC. Seja Y o ponto de interseção da reta BH com a circunferência, distinto de B. Determine a medida de XY.a)28b)27c)26d)25e)24â  []âs João Gabriel Preturlan = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: [obm-l] Geometria Plana CN
Caro Colega, Primeiramente agradeço pela solução. Mas caí num dilema... como provar que o ponto X é simétrico ao Ortocentro em relação ao ponto médio? Conheço um fato de simetria somente: o ponto que está na circunferência circunscrita e está determinado pela reta suporte da altura é simétrico ao ortocentro em relação ao ponto que a altura corta o lado do triângulo (não sei se fui claro). Inclusive, isso é fácil de demonstrar. Agora, não consegui provar a proposição que você fez... Você ou alguém conhece a demonstração desse caso? Se alguém puder me ajudar agradeço imensamente. []s João Gabriel Preturlan De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Nhampari Midori Enviada em: quinta-feira, 4 de junho de 2009 10:24 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: RES: [obm-l] Geometria Plana CN Olá João Gabriel É bem conhecido que os pontos simétricos do ortocentro em relação aos lados de um triângulo estão sobre a circunferência circunscrita. Usando esse fato fica fácil de se ver que X é o simétrico de H com relação a M. Seja P o pé da altura relativa ao vértice B com relação ao lado AC. Examinando o triângulo YHX notamos que PM é a base média com relação ao lado XY. Assim XY mede o dobro de PM. Agora PM é a metade do lado BC ( basta olhar para o triângulo retângulo BPC). Conclusão XY=BC=27. Veja se está claro. Um abraço. Nhampari. _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Joâo Gabriel Preturlan Enviada em: quarta-feira, 3 de junho de 2009 23:25 Para: OBM-L Assunto: [obm-l] Geometria Plana CN Gostaria de ajuda na seguinte questão: Sejam o triângulo ABC de lados AB= 25, AC=26, BC=27cm, H o ortocentro de ABC e M o ponto médio do lado BC. Seja X o ponto em que a reta HM intersecta o arco BC(que não contém A) da circunferência circunscrita a ABC. Seja Y o ponto de interseção da reta BH com a circunferência, distinto de B. Determine a medida de XY. a)28 b)27 c)26 d)25 e)24 []s João Gabriel Preturlan Nenhum vírus encontrado nessa mensagem recebida. Verificado por AVG - www.avgbrasil.com.br Versão: 8.5.339 / Banco de dados de vírus: 270.12.53/2155 - Data de Lançamento: 06/04/09 17:55:00
RES: [obm-l] Geometria Plana CN
Olá João Gabriel É bem conhecido que os pontos simétricos do ortocentro em relação aos lados de um triângulo estão sobre a circunferência circunscrita. Usando esse fato fica fácil de se ver que X é o simétrico de H com relação a M. Seja P o pé da altura relativa ao vértice B com relação ao lado AC. Examinando o triângulo YHX notamos que PM é a base média com relação ao lado XY. Assim XY mede o dobro de PM. Agora PM é a metade do lado BC ( basta olhar para o triângulo retângulo BPC). Conclusão XY=BC=27. Veja se está claro. Um abraço. Nhampari. _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Joâo Gabriel Preturlan Enviada em: quarta-feira, 3 de junho de 2009 23:25 Para: OBM-L Assunto: [obm-l] Geometria Plana CN Gostaria de ajuda na seguinte questão: Sejam o triângulo ABC de lados AB= 25, AC=26, BC=27cm, H o ortocentro de ABC e M o ponto médio do lado BC. Seja X o ponto em que a reta HM intersecta o arco BC(que não contém A) da circunferência circunscrita a ABC. Seja Y o ponto de interseção da reta BH com a circunferência, distinto de B. Determine a medida de XY. a)28 b)27 c)26 d)25 e)24 []s João Gabriel Preturlan
Re: RES: [obm-l] Geometria Plana CN
Em 04/06/2009 10:23, Nhampari Midori barz...@dglnet.com.br escreveu: v\:* {behavior:url(#default#VML);} o\:* {behavior:url(#default#VML);} w\:* {behavior:url(#default#VML);} .shape {behavior:url(#default#VML);} st1\:*{behavior:url(#default#ieooui) } Olá João Gabriel à bem conhecido que os pontos simétricos do ortocentro em relação aos lados de um triângulo estão sobre a circunferência circunscrita. Usando esse fato fica fácil de se ver que X é o simétrico de H com relação a M. Seja P o pé da altura relativa ao vértice B com relação ao lado AC. Examinando o triângulo YHX notamos que PM é a base média com relação ao lado XY. Assim XY mede o dobro de PM. Agora PM é a metade do lado BC ( basta olhar para o triângulo retângulo BPC). Conclusão XY=BC=27. Veja se está claro. Um abraço. Nhampari.   De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Joâo Gabriel PreturlanEnviada em: quarta-feira, 3 de junho de 2009 23:25Para: OBM-LAssunto: [obm-l] Geometria Plana CN  Gostaria de ajuda na seguinte questão:  âSejam o triângulo ABC de lados AB= 25, AC=26, BC=27cm, H o ortocentro de ABC e M o ponto médio do lado BC. Seja X o ponto em que a reta HM intersecta o arco BC(que não contém A) da circunferência circunscrita a ABC. Seja Y o ponto de interseção da reta BH com a circunferência, distinto de B. Determine a medida de XY.a)28b)27c)26d)25e)24â  []âs João Gabriel Preturlan = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Geometria Plana CN
Gostaria de ajuda na seguinte questão: Sejam o triângulo ABC de lados AB= 25, AC=26, BC=27cm, H o ortocentro de ABC e M o ponto médio do lado BC. Seja X o ponto em que a reta HM intersecta o arco BC(que não contém A) da circunferência circunscrita a ABC. Seja Y o ponto de interseção da reta BH com a circunferência, distinto de B. Determine a medida de XY. a)28 b)27 c)26 d)25 e)24 []s João Gabriel Preturlan
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria Plana - 3 problema s clássicos
Em 26/05/2009 09:00, Fernando Lima Gama Junior fgam...@gmail.com escreveu:Começou... Fernando GamaSent from Brasilia, DF, Brazil 2009/5/26Em 25/05/2009 22:05, Carlos Nehab < ne...@infolink.com.br > escreveu: Aos aficcionados:Três problemas clássicos e interessantes de geometria plana:1) Dado um triângulo ABC, identifique o triângulo de perÃmetro mÃnimo nele inscrito (cada vértice - P, Q e R, em um lado distinto de ABC).2) Determinar o centro de uma circunferência dada utilizando apenas compasso.3) Determinar o ponto médio de um segmento dado, utilizando apenas compasso (difÃcil).Nehab=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Plana - 3 problemas clássicos
Em 25/05/2009 22:05, Carlos Nehab ne...@infolink.com.br escreveu:Aos aficcionados:Três problemas clássicos e interessantes de geometria plana:1) Dado um triângulo ABC, identifique o triângulo de perÃmetro mÃnimo nele inscrito (cada vértice - P, Q e R, em um lado distinto de ABC).2) Determinar o centro de uma circunferência dada utilizando apenas compasso.3) Determinar o ponto médio de um segmento dado, utilizando apenas compasso (difÃcil).Nehab=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria Plana - 3 problema s clássicos
Começou... Fernando Gama Sent from Brasilia, DF, Brazil 2009/5/26 lucianarodrigg...@uol.com.br Em 25/05/2009 22:05, *Carlos Nehab ne...@infolink.com.br * escreveu: Aos aficcionados: Três problemas clássicos e interessantes de geometria plana: 1) Dado um triângulo ABC, identifique o triângulo de perímetro mínimo nele inscrito (cada vértice - P, Q e R, em um lado distinto de ABC). 2) Determinar o centro de uma circunferência dada utilizando apenas compasso. 3) Determinar o ponto médio de um segmento dado, utilizando apenas compasso (difícil). Nehab = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Plana - 3 problemas clássico s
Olá Carlos, Não sou muito bom nestes tipos de problemas. Porém, com relação ao 3o., dado um segmento qqer AB, não bastaria utilizarmos o procedimento padrão para traçar mediatriz, só que, ao invés de unirmos os pontos C e D, obtidos com a utilização do compasso, traçaríamos a ciscunferência com centro em A ou B e tangente ao segmento ? Um outro problema muito legal : Duas circunferências secantes se interceptam nos pontos A e B. Traçar o segmento CD, passando por A ( C em uma circunferência e D na outra), de modo que os segmentos CA=AD. Abs Felipe --- Em seg, 25/5/09, Carlos Nehab ne...@infolink.com.br escreveu: De: Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Assunto: [obm-l] Geometria Plana - 3 problemas clássicos Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 25 de Maio de 2009, 22:05 Aos aficcionados: Três problemas clássicos e interessantes de geometria plana: 1) Dado um triângulo ABC, identifique o triângulo de perímetro mínimo nele inscrito (cada vértice - P, Q e R, em um lado distinto de ABC). 2) Determinar o centro de uma circunferência dada utilizando apenas compasso. 3) Determinar o ponto médio de um segmento dado, utilizando apenas compasso (difícil). Nehab = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Geometria Plana - 3 problemas clássicos
Aos aficcionados: Três problemas clássicos e interessantes de geometria plana: 1) Dado um triângulo ABC, identifique o triângulo de perímetro mínimo nele inscrito (cada vértice - P, Q e R, em um lado distinto de ABC). 2) Determinar o centro de uma circunferência dada utilizando apenas compasso. 3) Determinar o ponto médio de um segmento dado, utilizando apenas compasso (difícil). Nehab = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Geometria plana
O círculo inscrito num setor de 60º e raio R tem área k.p.R2, onde k vale:
Re: [obm-l] geometria plana
Considere a circunferência inscrita no triângulo retângulo ABC em questão, seja r seu raio.Vamos imaginar a seguinte construção geométrica: Passo 1 - Ponta seca do compasso em A trace o arco que passa por C até cortar a hipotenusa em E. Passo 2 - Ponta seca em B trace o arco que passa por C e corta a hipotenusa em D. É fácil concluir que DE=2r ( basta acompanhar os movimentos dos pontos de tangência do incírculo sobre os catetos nos traçados anteriores ). Agora o que se pede para provar é que DG + EF = 2r. Examine o triângulo retângulo ADG para concluir que DG=(b - 2r )xsenA=(b - 2r )xa/c, do mesmo modo examinando o triangulo retângulo BEF podemos concluir que EF=(a - 2r )xb/c. Somando membro a membro obtemos DG + EF = ( ab - 2ar + ab - 2br )/c, agora ab é o dobro da área do triângulo ABC, que é igual a (a+b+c)xr. Uma simples substituição da expressão 2ab por essa última fornece o resultado desejado. Espero ter ajudado. Tarso de Moura Leitão.
RES: [obm-l] geometria plana
Obrigado pela brilhante solução, Tarso. Tanto é que pela construção mesmo é possível provar a identidade somando os segmentos. Mas, será que você ou alguém não conhece uma forma que eu não precise de materiais de desenho geométrico para resolver a questão? Por exemplo usando semelhança de triângulos, paralelismo e os recursos tradicionais que usamos para resolver um problema em sala de aula. Vou colar o problema novamente: Na figura, temos que BD=BC e AE=AC. Prove que DE=EF+DG. imagem.GIF Grato! João Gabriel Preturlan A Palavra de Deus até os confins da Terra! Acesse: http://www.assembleia.org.br/ http://www.assembleia.org.br/ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Tarso de Moura Leitão Enviada em: segunda-feira, 15 de dezembro de 2008 08:27 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] geometria plana Considere a circunferência inscrita no triângulo retângulo ABC em questão, seja r seu raio.Vamos imaginar a seguinte construção geométrica: Passo 1 - Ponta seca do compasso em A trace o arco que passa por C até cortar a hipotenusa em E. Passo 2 - Ponta seca em B trace o arco que passa por C e corta a hipotenusa em D. É fácil concluir que DE=2r ( basta acompanhar os movimentos dos pontos de tangência do incírculo sobre os catetos nos traçados anteriores ). Agora o que se pede para provar é que DG + EF = 2r. Examine o triângulo retângulo ADG para concluir que DG=(b - 2r )xsenA=(b - 2r )xa/c, do mesmo modo examinando o triangulo retângulo BEF podemos concluir que EF=(a - 2r )xb/c. Somando membro a membro obtemos DG + EF = ( ab - 2ar + ab - 2br )/c, agora ab é o dobro da área do triângulo ABC, que é igual a (a+b+c)xr. Uma simples substituição da expressão 2ab por essa última fornece o resultado desejado. Espero ter ajudado. Tarso de Moura Leitão. No virus found in this incoming message. Checked by AVG - http://www.avg.com Version: 8.0.176 / Virus Database: 270.9.18/1848 - Release Date: 14/12/2008 12:28 image001.gif
Re: [obm-l] geometria plana
Tarso, não entendi a que movimento você se refere. Minha solução é a standard: DE = AB - AD - EB = AB - (AB - BC) - (AB - AC) = AC + BC - AB Da semelhança de AGD e ABC: AD/AB = (AB - BC)/AB = GD/BC = 1 - BC/AB GD = BC - BC²/AB Analogamente, EF = AC - AC²/AB Somando: GD + EF = AC + AB - (AC² + BC²)/AB = AC + BC - AB = DE Com uma boa figura dá para conjecturar que, se H é o pé da altura relativa à hipotenusa de ABC, então DG = DH e EF = EH. Creio que uma solução melhor pode ser obtida a partir da prova dessa conjectura. 2008/12/15 Tarso de Moura Leitão barz...@dglnet.com.br Considere a circunferência inscrita no triângulo retângulo ABC em questão, seja r seu raio.Vamos imaginar a seguinte construção geométrica: Passo 1 - Ponta seca do compasso em A trace o arco que passa por C até cortar a hipotenusa em E. Passo 2 - Ponta seca em B trace o arco que passa por C e corta a hipotenusa em D. É fácil concluir que DE=2r ( basta acompanhar os movimentos dos pontos de tangência do incírculo sobre os catetos nos traçados anteriores ). Agora o que se pede para provar é que DG + EF = 2r. Examine o triângulo retângulo ADG para concluir que DG=(b - 2r )xsenA=(b - 2r )xa/c, do mesmo modo examinando o triangulo retângulo BEF podemos concluir que EF=(a - 2r )xb/c. Somando membro a membro obtemos DG + EF = ( ab - 2ar + ab - 2br )/c, agora ab é o dobro da área do triângulo ABC, que é igual a (a+b+c)xr. Uma simples substituição da expressão 2ab por essa última fornece o resultado desejado. Espero ter ajudado. Tarso de Moura Leitão.
RE: [obm-l] geometria plana
Os triângulos AEC e DBC são isósceles. Ângulo BCD = BDC = x , ACE = AEC = y. Seja DC = m , CE = n. Da figura, GD = m.cosx e EF = n.cos y. Logo GD + EF = m.cosx + n.cosy. Lei dos Senos em DEC: DE/sin(x+y) = DC/siny = EC/sinx = 2R. Logo m = 2R.siny e n = 2R.sinx e DE = 2R.sin(x+y) GD + EF = 2R(siny.cosx + sinx.cosy) = 2R.sin(x+y) = DE , como queríamos demonstrar. Date: Mon, 15 Dec 2008 14:58:09 -0200 From: ommene...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] geometria plana Tarso, não entendi a que movimento você se refere. Minha solução é a standard: DE = AB - AD - EB = AB - (AB - BC) - (AB - AC) = AC + BC - AB Da semelhança de AGD e ABC: AD/AB = (AB - BC)/AB = GD/BC = 1 - BC/AB GD = BC - BC²/AB Analogamente, EF = AC - AC²/AB Somando: GD + EF = AC + AB - (AC² + BC²)/AB = AC + BC - AB = DE Com uma boa figura dá para conjecturar que, se H é o pé da altura relativa à hipotenusa de ABC, então DG = DH e EF = EH. Creio que uma solução melhor pode ser obtida a partir da prova dessa conjectura. 2008/12/15 Tarso de Moura Leitão barz...@dglnet.com.br Considere a circunferência inscrita no triângulo retângulo ABC em questão, seja r seu raio.Vamos imaginar a seguinte construção geométrica: Passo 1 - Ponta seca do compasso em A trace o arco que passa por C até cortar a hipotenusa em E. Passo 2 - Ponta seca em B trace o arco que passa por C e corta a hipotenusa em D. É fácil concluir que DE=2r ( basta acompanhar os movimentos dos pontos de tangência do incírculo sobre os catetos nos traçados anteriores ). Agora o que se pede para provar é que DG + EF = 2r. Examine o triângulo retângulo ADG para concluir que DG=(b - 2r )xsenA=(b - 2r )xa/c, do mesmo modo examinando o triangulo retângulo BEF podemos concluir que EF=(a - 2r )xb/c. Somando membro a membro obtemos DG + EF = ( ab - 2ar + ab - 2br )/c, agora ab é o dobro da área do triângulo ABC, que é igual a (a+b+c)xr. Uma simples substituição da expressão 2ab por essa última fornece o resultado desejado. Espero ter ajudado. Tarso de Moura Leitão. _ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br
Re: [obm-l] geometria plana
Olá Otávio e João Gabriel, vou descrever a propriedade do triângulo retângulo que usei. Pois bem seja ABC triângulo retângulo ( conforme o desenho do João Gabriel ). Conside re agora seu incírculo ( é o círculo inscrito ) com seus respectivos pontos de tangência sobre os catetos e sobre a hipotenusa. Com centro sobre cada extremidade da hipotenusa rode cada um dos catetos até fazê-los coincidir sobre a hipotenusa, pois bem há um segmento que é a sobreposição dos catetos sobre a hipotenusa, esse segmento tem por medida 2r ( diâmetro do incírculo ). O que afirmo é: se acompanho a rotação dos catetos olhando para os pontos de tangência do incírculo sobre eles vejo imediatamente que coincidirão sobre a hipotenusa exatamente sobre o ponto de tangência do incírculo sobre a hipotenusa. Todo o resto são cálculos simples. Espero ter ajudado. Um abraço. Tarso de Moura Leitão
[obm-l] geometria plana
Boa Noite a todos! Gostaria de ajuda para encontrar uma solução para o seguinte problema: Na figura, temos que BD=BC e AE=AC. Prove que DE=EF+DG. imagem.GIF Grato pela ajuda! João Gabriel Preturlan A Palavra de Deus até os confins da Terra! Acesse: http://www.assembleia.org.br/ http://www.assembleia.org.br/ image001.gif
Re: [obm-l] Geometria Plana - Área
Dá uma olhada: http://img219.imageshack.us/my.php?image=geometriaareaav2nd1.jpg Por semelhança (deixei indicado na figura), da pra achar o t. E, como t é altura do triangulo destacado, é só fazer base vezes altura sobre 2. Abraço. 2008/11/12 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Propus para alguns alunos o seguinte exercício: Na figura a seguir, o quadrado e o triângulo tem lados com medida 1. http://img520.imageshack.us/my.php?image=geometriaareaav2.png Pede-se a área destacada. Gostaria de ver a resolução dos colegas, na esperança de que alguém tenha uma idéia mais simples do que a minha. Geometria analítica é uma opção, mas procuro alguma solução criativa. É isso. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Geometria Plana - Área
Propus para alguns alunos o seguinte exercício: Na figura a seguir, o quadrado e o triângulo tem lados com medida 1. http://img520.imageshack.us/my.php?image=geometriaareaav2.png Pede-se a área destacada. Gostaria de ver a resolução dos colegas, na esperança de que alguém tenha uma idéia mais simples do que a minha. Geometria analítica é uma opção, mas procuro alguma solução criativa. É isso. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Geometria Plana,Onde está P?
ABC é um triângulo retângulo de hipotenusa BC e altura AH. Seja P um ponto do mesmo semi-plano de A em relação à reta suporte de BC. Os ângulos HPC e ABC são iguais a 15º. Se o segmento PH é o maior possível, pode-se afirmar que PH é igual a: a) AC b) AB c) BC/2 d) HC/2 e) AH
Re: [obm-l] Geometria Plana,Onde está P?
Citando JOSE AIRTON CARNEIRO [EMAIL PROTECTED]: ABC é um triângulo retângulo de hipotenusa BC e altura AH. Seja P um ponto do mesmo semi-plano de A em relação à reta suporte de BC. Os ângulos HPC e ABC são iguais a 15º. Se o segmento PH é o maior possível, pode-se afirmar que PH é igual a: a) AC b) AB c) BC/2 d) HC/2 e) AH Fiz uma figura para ajudar! Consideremos o triângulo ABC como no enunciado. Note que os triângulos retângulos ABC e AHC são semelhantes, e portanto vale AC/HC = BC/AC(1). Como o ponto P olha o segmento HC sob um ângulo de 15°, isto significa que ele está no ARCO CAPAZ determinado pelo segmento HC e pelo ângulo de 15°, e ainda, o tal arco capaz está no mesmo semi-plano, determinado pela reta suporte BC, que o ponto A. É claro que este arco determina uma circunferência, digamos C. Por outro lado, o comprimento HP é máximo, o que significa que o segmento HP é um diâmetro da circunferência C, e portanto o triângulo HCP é reto. Disto segue que os triângulos retângulos HCP e ABC são semelhantes. Logo, CH/CA = HP/BC e de (1) resulta que AC/BC = HP/BC de onde concluimos que HP=AC. Alternativa A. inté -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estatística-USP attachment: fig1.png
Re: [obm-l] Geometria Plana
Em 27/07/08, Anderson Weber [EMAIL PROTECTED] escreveu: Obtive 52 graus como resposta, mas não entendi a função do ponto E no problema. Um abraço. Anderson As alternativas são: a) 100 b) 88 c) 76 d) 54 e) 44 *De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] *Em nome de *JOSE AIRTON CARNEIRO *Enviada em:* sexta-feira, 25 de julho de 2008 21:30 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] Geometria Plana Num triângulo ABC, AB = AC, o ponto interno ao lado AC é determinado de modo que DC = BC. Prolonga-se o lado BC (no sentido de B para C) até o ponto E de modo que CE = BC. Se o ângulo ABD mede 12º, qual a medida, em graus, do ângulo BAC?
RES: [obm-l] Geometria Plana
Obtive 52 graus como resposta, mas não entendi a função do ponto E no problema. Um abraço. Anderson De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de JOSE AIRTON CARNEIRO Enviada em: sexta-feira, 25 de julho de 2008 21:30 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Geometria Plana Num triângulo ABC, AB = AC, o ponto interno ao lado AC é determinado de modo que DC = BC. Prolonga-se o lado BC (no sentido de B para C) até o ponto E de modo que CE = BC. Se o ângulo ABD mede 12º, qual a medida, em graus, do ângulo BAC?
Re: [obm-l] Geometria Plana
Em 26/07/08, João Gabriel Preturlan [EMAIL PROTECTED] escreveu: Boa Noite! Veja se serei claro... se tiver alguma duvida quanto ao que eu vou propor é só me avisar... Acho que dessa forma está certo: (Fazer o desenho ajuda muito) Como conseqüência do que é dado, o ângulo(ABC)=ângulo(ACB)=b. Além disso, podemos considerar o ângulo(BAC)=a. Assim, produziremos a eq. I: a + 2b = 180 Como Ang(ABD)=12 graus, logo Ang(CBD) = b – 12... Assim, também tem-se que, como BC=CD, o Ang(BDC) = b – 12 também. Fora isso, o Próprio Ang(BDC) é externo e oposto em relação aos ângulos ABD e BAD do triangulo ABD. Logo, como ele equivale a soma dos opostos, Ang(BDC) = Ang(BAD) + Ang(ABD). Assim, como Ang(BAD) é congruente ao Ang(BAC), temos a eq. II: b – 12 = a + 12 Logo, organizando um sisteminha: eq. I: a + 2b = 180 eq. II: b – a = 24 têm-se que a=44 graus... Não sei se acertei, porque eu não entendo o porquê do examinador dar qualquer informação referente ao ponto E se ela não chega a ser usada para achar a informação desejada. Ainda mais pelo fato de aparecer a semi-circunferência provando que o ângulo BDE é reto. Bom, se a pergunta for esse mesmo essa é a resolução que eu proponho... Abraço, JG *De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] *Em nome de *JOSE AIRTON CARNEIRO *Enviada em:* sexta-feira, 25 de julho de 2008 21:30 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] Geometria Plana Num triângulo ABC, AB = AC, o ponto interno ao lado AC é determinado de modo que DC = BC. Prolonga-se o lado BC (no sentido de B para C) até o ponto E de modo que CE = BC. Se o ângulo ABD mede 12º, qual a medida, em graus, do ângulo BAC? No virus found in this incoming message. Checked by AVG - http://www.avg.com Version: 8.0.138 / Virus Database: 270.5.6/1572 - Release Date: 25/07/2008 06:51 Obrigado joão. Você está certissimo,quanto ao ponto E, se têm alguma finalidade você provou que é desnecessária. Desculpe ter omitido no enunciado (o ponto D interno ao lado AC).
[obm-l] Geometria Plana
Num triângulo ABC, AB = AC, o ponto interno ao lado AC é determinado de modo que DC = BC. Prolonga-se o lado BC (no sentido de B para C) até o ponto E de modo que CE = BC. Se o ângulo ABD mede 12º, qual a medida, em graus, do ângulo BAC?
RES: [obm-l] Geometria Plana
Boa Noite! Veja se serei claro... se tiver alguma duvida quanto ao que eu vou propor é só me avisar... Acho que dessa forma está certo: (Fazer o desenho ajuda muito) Como conseqüência do que é dado, o ângulo(ABC)=ângulo(ACB)=b. Além disso, podemos considerar o ângulo(BAC)=a. Assim, produziremos a eq. I: a + 2b = 180 Como Ang(ABD)=12 graus, logo Ang(CBD) = b 12... Assim, também tem-se que, como BC=CD, o Ang(BDC) = b 12 também. Fora isso, o Próprio Ang(BDC) é externo e oposto em relação aos ângulos ABD e BAD do triangulo ABD. Logo, como ele equivale a soma dos opostos, Ang(BDC) = Ang(BAD) + Ang(ABD). Assim, como Ang(BAD) é congruente ao Ang(BAC), temos a eq. II: b 12 = a + 12 Logo, organizando um sisteminha: eq. I: a + 2b = 180 eq. II: b a = 24 têm-se que a=44 graus... Não sei se acertei, porque eu não entendo o porquê do examinador dar qualquer informação referente ao ponto E se ela não chega a ser usada para achar a informação desejada. Ainda mais pelo fato de aparecer a semi-circunferência provando que o ângulo BDE é reto. Bom, se a pergunta for esse mesmo essa é a resolução que eu proponho... Abraço, JG De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de JOSE AIRTON CARNEIRO Enviada em: sexta-feira, 25 de julho de 2008 21:30 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Geometria Plana Num triângulo ABC, AB = AC, o ponto interno ao lado AC é determinado de modo que DC = BC. Prolonga-se o lado BC (no sentido de B para C) até o ponto E de modo que CE = BC. Se o ângulo ABD mede 12º, qual a medida, em graus, do ângulo BAC? No virus found in this incoming message. Checked by AVG - http://www.avg.com Version: 8.0.138 / Virus Database: 270.5.6/1572 - Release Date: 25/07/2008 06:51
[obm-l] Geometria Plana / Algebra
Se alguem puder me ajudar com esses 2 exercicios O de geometria tem um desenho, então hospedei o mesmo nesse link http://img148.imageshack.us/img148/5118/exercicioyi6.gif Resposta: a²(2.3^0,5 - 1) / 44 O de algebra é: Fatore x+1, para x=0 Resposta: (x^0,5 + 2^0,5.x^0,25 + 1) . (x^0,5 - 2^0,5.x^0,25 + 1) Esse exercicio de algebra me parece estranho, pois a variavel fica dentro da raiz, alguem poderia me explicar por favor? Abraço a Todos e Obrigado - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Geometria Plana / Algebra
Só uma ajuda então (pro de geometria, o de álgebra, como você falou, é pouco claro...) Esse exercício mostra bem como é importante usar vários lados da geometria juntos... a área do triângulo hachurado é (base * altura) / 2 Pegue a base no lado do quadrado, que essa é fácil de calcular. Agora, é achar a altura. Bom, aqui, você bota tudo nos eixos, um dos jeitos é você botar o ponto de contato como origem, daí uma reta é y = x raiz(3) e a outra y = a/2 - x/2 (pra achar o a/2 e o x/2, basta você ver quanto vale em cima da origem (0,a/2) e depois num outro ponto qualquer - como (a,0) ou (-a,a) - pra achar o 1/2 * x). Você quer achar a altura, que é medida pelo x : substitua e seja feliz. On Fri, Mar 28, 2008 at 3:19 PM, Gustavo Souza [EMAIL PROTECTED] wrote: Se alguem puder me ajudar com esses 2 exercicios O de geometria tem um desenho, então hospedei o mesmo nesse link http://img148.imageshack.us/img148/5118/exercicioyi6.gif Resposta: a²(2.3^0,5 - 1) / 44 O de algebra é: Fatore x+1, para x=0 Resposta: (x^0,5 + 2^0,5.x^0,25 + 1) . (x^0,5 - 2^0,5.x^0,25 + 1) Esse exercicio de algebra me parece estranho, pois a variavel fica dentro da raiz, alguem poderia me explicar por favor? Abraço a Todos e Obrigado Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria Plana
Você pode usar um ponto auxiliar P e tentar forma um Triângulo Equilátero ACP. Observando os ângulos e os lados, verificamos que os triangulos ABP e ACD são congruentes e o ânuglo BPC tem 160º e é o angulo do vértice do Triangulo Isosceles BPC. Logo BCD tem 10º. JVB. On 12/10/07, Gustavo Souza [EMAIL PROTECTED] wrote: como saber o seno de 40 e seno de 100??? [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] escreveu: Gustavo Souza escreveu: Seja o triângulo ABC e o ponto D contido na reta AB. Seja tambem o valor de BÂC = 100º e o valor e o valor de A^CD = 40º calcule o valor do angulo B^CD, sabendo que AB=CD ... Ae gente, tentei pra caramba resolver esse + naum rolou, quem puder dar uma força... Estou enviando um link com a foto do triangulo nela, kem kiser ver pra fikar melhor... Obrigado http://img155.imageshack.us/my.php?image=triangulonw3.jpg - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Olá gustavo. Se chamarmos de y o ângulo D^BC, teremos que como soma total dos ângulos do triângulo é de 180°, então 100 + ( 40 + x ) + y = 180 ou seja y = 40 - x Usando agora a lei dos senos, temos que CD/sen(100) = AD/sen(40) ou AD = [ sen(40)/sen(100) ] CD e tambem temos que CD/sen(y) = DB/sen(x) ou DB = [ sen(x)/sen(y) ] CD como AD + DB = AB = CD, então AD + DB = [ sen(40)/sen(100) ] CD + [ sen(x)/sen(y) ] CD = CD = = [ sen(40)/sen(100) ] + [ sen(x)/sen(y) ] = 1 Mas y= 40 - x, portanto sen(y) = sen( 40 - x ) = sen(40) cos(x) + sen(x) cos(100) logo, teremos [ sen(40)/sen(100) ] + { sen(x)/[ sen(40) cos(x) + sen(x) cos(100) ] } = 1 = sen(x)/[ sen(40) cos(x) + sen(x) cos(100) ] = 1 - [ sen(40)/sen(100) ] = sen(x)/[ sen(40) cos(x) + sen(x) cos(100) ] = [ sen(100) - sen(40) ]/sen(100) = [ sen(40) cos(x) + sen(x) cos(100) ]/sen(x) = sen(100)/[ sen(100) - sen(40) ] = sen(40) cotg(x) + cos(100) = sen(100)/[ sen(100) - sen(40) ] = cotg(x) = { sen(100)/[ sen(100) - sen(40) ] - cos(100) }/sen(40) = = { sen(100) - cos(100)[ sen(100) - sen(40) ] }/{ sen(40)[ sen(100) - sen(40) ] } ou ainda tg(x) = { sen(40) [ sen(100) - sen(40) ] }/{ sen(100)[ 1 - cos(100) ] - sen(40) ] } e assim x = arctg({ sen(40) [ sen(100) - sen(40) ] }/{ sen(100)[ 1 - cos(100) ] - sen(40) ] }) Eu tô meio sem tempo, se esperar eu envio a simplificação deste emaranhado de senos e cossenos, mas para resumir a opera, o valor de x é esse, só temos que simplificar o último termo para ser uma tangente. Qualquer dúvida, pode mandar. Até mais. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =