[obm-l] Sequencias

[Israel Meireles Chrisostomo]

Alguém ai pode me ajudar, eis ai o link para  minha dúvida
https://math.stackexchange.com/questions/3089868/satisfy-the-recourrence-relation-s-n1x-2xs-nx-s-n-1x


-- 
Israel Meireles Chrisostomo


Livre
de vírus. www.avast.com
.
<#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] sequencias

[Claudio Buffara]

Acho que p_n e q_n podem ser as partes positiva e negativa de a_n (p_n =
max(a_n,0) e q_n = -min(a_n,0)), de modo que:
a_n = p_n - q_n   e   |a_n| = p_n + q_n  (*).
Pelo menos essa é a notação que o Elon usa no Curso de Análise - vol.1
(seção 7 do cap. 4)
Mas faltou dizer isso no enunciado!!!

Se for isso mesmo, então a implicação é falsa.
Tome (a_n) = (1,-1/2,1/3,-1/4,1/5,-1/6,1/7,...)
Então (p_n) = (1,0,1/3,0,1/5,0,1/7,0, ...) e (q_n) =
(0,1/2,0,1/4,0,1/6,0,...)
Mas Soma(a_n) converge pra log(2) enquanto que Soma(p_n) e Soma(q_n)
divergem, por comparação com a série harmônica.

A implicação verdadeira é Soma( |a_n| ) converge ==> Soma(p_n) e Soma(q_n)
convergem.
Esta sai com base na expressão (*) acima e no teste da comparação, já que 0
<= p_n, q_n <= |a_n|.

[]s,
Claudio.


On Mon, Sep 10, 2018 at 10:34 PM Artur Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> wrote:

> Não pode ser isso. As sequências p_n e q_n não têm nada a ver com a_n.
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em seg, 10 de set de 2018 20:56, Emanuel Oliveira 
> escreveu:
>
>> Ajuda nessa questão
>>
>> Se |soma(a_n)| < inf, então soma(p_n), soma(q_n) < inf
>>
>>
>> Grato.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] sequencias

[Artur Steiner]

Da forma como está, não é verdade. Se a_n = (-1)^(n + 1) 1/n, então Soma
a_n converge. Mas Soma p_n = 1 + 1/3 + 1/5 ,,, e Soma q_n = 1/2 + 1/4 + 1/6
,,,  divergem. Não seria Soma |a_n|  < inf ?  Aí é verdade.

Artur Costa Steiner

Em seg, 10 de set de 2018 22:45, Emanuel Oliveira 
escreveu:

> faltou um detalhe, desculpe.
>
> p_n=max{a_n,0} e q_n=max(-a_n,0).
>
>
> Em seg, 10 de set de 2018 às 22:34, Artur Steiner <
> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
>
>> Não pode ser isso. As sequências p_n e q_n não têm nada a ver com a_n.
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> Em seg, 10 de set de 2018 20:56, Emanuel Oliveira 
>> escreveu:
>>
>>> Ajuda nessa questão
>>>
>>> Se |soma(a_n)| < inf, então soma(p_n), soma(q_n) < inf
>>>
>>>
>>> Grato.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] sequencias

[Emanuel Oliveira]

faltou um detalhe, desculpe.

p_n=max{a_n,0} e q_n=max(-a_n,0).


Em seg, 10 de set de 2018 às 22:34, Artur Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:

> Não pode ser isso. As sequências p_n e q_n não têm nada a ver com a_n.
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em seg, 10 de set de 2018 20:56, Emanuel Oliveira 
> escreveu:
>
>> Ajuda nessa questão
>>
>> Se |soma(a_n)| < inf, então soma(p_n), soma(q_n) < inf
>>
>>
>> Grato.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] sequencias

[Artur Steiner]

Não pode ser isso. As sequências p_n e q_n não têm nada a ver com a_n.

Artur Costa Steiner

Em seg, 10 de set de 2018 20:56, Emanuel Oliveira 
escreveu:

> Ajuda nessa questão
>
> Se |soma(a_n)| < inf, então soma(p_n), soma(q_n) < inf
>
>
> Grato.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] sequencias

[Emanuel Oliveira]

Ajuda nessa questão

Se |soma(a_n)| < inf, então soma(p_n), soma(q_n) < inf


Grato.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Res: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II

[Klaus Ferraz]

eh verdade Claudio, eu só estava me adiantando um pouco. Mas vou ver essa parte 
de limites de sequencias nas proximas semanas.


- Mensagem original 
De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Terça-feira, 10 de Abril de 2007 16:37:13
Assunto: Re:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II


Oi, Klaus:
 
Sem querer ser chato (mas provavelmente sendo...):
Como você pode demonstrar que uma sequência convergente (a_n) e a soma de 
Cesaro correspondente ((a_1+...+a_n)/n) têm o mesmo limite se, aparentemente, 
você nem sabe a definição precisa de limite de uma sequência?
 
[]s,
Claudio.
 
De:[EMAIL PROTECTED]

Para:obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:Mon, 9 Apr 2007 15:58:35 -0700 (PDT)

Assunto:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II

Valeu Bruno França. Tah meio complicado pra eu entender. Mas de qualquer forma 
valeu.


- Mensagem original 
De: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 9 de Abril de 2007 18:22:29
Assunto: Re: [obm-l] SEQUENCIAS II


 Isso aí vem da definição de limite. Seria bom vc tê-la muito clara em sua 
 mente antes de tentar tais demonstrações.
 Veja só:
  
 Dizemos que a_k -- L quando k -- o se, para cada eps  0 existir um natural 
 N tal que para todo n  N teremos |a_n - L|  eps.
  
 Ou seja: escolha uma distância ao ponto L (ie, um intervalinho centrado em L, 
 com o tamanho que vc quiser); vc então verificará que a partir de certo 
 instante, para algum N suficientemente grande, todos os elementos 
 subsequêntes da sua seqüência cairão dentro desse intervalinho. Se isso 
 ocorrer para qualquer tamanho de intervalinho, por menor que seja, então 
 diremos que a_k tende a L qd k -- 0 (essa é a definiçãoa de limite de 
 maneira informal e em texto). 
  
 Pois bem, se b_k -- 0, isso quer dizer que para cada eps  0 podemos 
 encontrar N natural tal que n  N == |b_n - 0|  eps == |b_n|  eps, isso 
 pela própria definição de limite, concorda?
 Muito bem, se podemos garantir que existe esse número N tal que todos os 
 elementos a partir do N-ésimo caem todos a uma distância de no máximo eps do 
 pto 0, então podemos dizer o mesmo para uma outra distância, por exemplo, 
 eps/2. A essa nova distância corresponderá um outro número N', possivelmente 
 maior que N (isso é MUITO informal, mas só pra ficar mais fácil de 
 visualizar), tal que a partir do N'-ésimo elemento, todos estarão no máximo à 
 distância eps/2. 
  
 Agora vc pode se perguntar, de onde veio esse eps/2? E pq ele falou de um 
 n_1? Isso é um artifício muito usado em demonstrações que envolvem uso de 
 limites, quando há somas, por exemplo. Se vc quiser demonstrar que a_n -- A 
 e b_n - B implica (a_n + b_n) - (A+B)  (o que não é trivial), vc argumenta 
 mais ou menos assim: para qualquer eps positivo, podemos encontrar um natural 
 n_1 tal que todo mundo da sequência {a}, a partir desse n_1-ésimo elemento, 
 estará à distância máxima de eps/2 do número A. Da mesma forma, tomamos n_2 
 para a seq. {b} de forma que a partir desse n_2-ésimo elemento, todo mundo 
 estará à dist. max. de eps/2 do número B. Agora, se vc pegar o maior dos dois 
 naturais n_1 e n_2 (chamemos de N), então com certeza, a partir de N, para 
 qualquer uma das seqüências, estaremos a uma dist. de no máximo eps/2 do 
 respectivo limite. Agora se vc pegar a seq. c_n = a_n + b_n, a partir desse N 
 estaremos à distância eps/2 + eps/2 = eps do valor A+B. Assim vemos que
 para qualquer eps, podemos encontrar um natural N tal que a partir dele, a 
seq. c_n = a_n + b_n estará a no máximo uma distância eps de A+B!!! 
  
 Entendeu a idéia? Agora consegue entender essa passagem?
  
 Até mais
 Bruno França dos Reis

 
 On 4/9/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: 
 
Ola Claudio,
 não entendi b_k - 0 == existe n_1 tal que k  n_1 implica |b_k|  eps/2.
o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2?
Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro.
vlw.

 
- Mensagem original 
De: claudio.buffara  [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28 
Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II 
 


 -- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II

 Suponha que a_n--a. Mostre que :
 1/n*sum_(k=1, n) a_k--a.
 

Essa eh a manjadissima soma de Cesaro. 
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0.
Seja eps  0.
b_k - 0 == existe n_1 tal que k  n_1 implica |b_k|  eps/2.
Fixado n_1, existe n_2  n_1 tal que k  n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k  
eps/2. 
Mas entao, tomando k  n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k =
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k 
eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k  eps/2 + eps/2 = eps. 
Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a.


 Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule 
 lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.


Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima

Re:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II

[claudio\.buffara]

b_k - 0 significa que lim(k - infinito) b_k = 0
Isso quer dizer que, dado eps  0, existe n_1 em N (conjunto dos naturais) tal 
que:
se k  n_1 entao |b_k - 0| = |b_k|  eps.
Em portugues: dizer que b_k tende a 0 significa dizer que, para todos os k 
suficientemente grandes, b_k estarah tao proximo de 
zero quanto quisermos. Esta eh simplesmente a definicao de limite de uma 
sequencia.

Que tal entrar no Google e digitar: Cesaro sum?
De qualquer forma, a soma de Cesaro de uma sequencia (a_n) eh, por definicao, a 
sequencia (b_n) dada por:
b_n = (a_1+a_2+...+a_n)/n. Eu disse que eh manjadissima porque praticamente 
todos os livros de analise demonstram ou 
pedem, como exercicio, a demonstracao do resultado abaixo: se a_n - a, entao 
b_n - a.
Tambem pode acontecer de (a_n) divergir mas (b_n) convergir. Voce consegue dar 
um exemplo disso?

[]s,
Claudio.

-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Mon, 9 Apr 2007 12:17:33 -0700 (PDT)
Assunto: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II

 Ola Claudio,
  não entendi b_k - 0 == existe n_1 tal que k  n_1 implica |b_k|  eps/2.
 o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2?
 Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro.
 vlw.
 
 
 - Mensagem original 
 De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
 Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
 Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28
 Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II
 
 
 -- Cabeçalho original ---
 
 De: [EMAIL PROTECTED]
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Cópia: 
 Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
 Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II
 
  Suponha que a_n--a. Mostre que :
  1/n*sum_(k=1, n) a_k--a.
  
 
 Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
 Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0.
 Seja eps  0.
 b_k - 0 == existe n_1 tal que k  n_1 implica |b_k|  eps/2.
 Fixado n_1, existe n_2  n_1 tal que k  n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k  
 eps/2.
 Mas entao, tomando k  n_2, teremos:
 |b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k =
 |b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k 
 eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k  eps/2 + eps/2 = eps.
 Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a.
 
 
  Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule 
  lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.
 
 
 Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias 
 dos a_i.
 Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero.
 Caso contrario, escreva:
 a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1).
 Isso implica que a_k^n = a_1^n + ... + a_k^n = k*a_k^n ==
 a_k = (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) = k^(1/n)*a_k.
 Fazendo n - infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o 
 limite procurado eh igual a a_k.
 (alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma 
 infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da 
 soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k).
 
 Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n - 0+. 
 O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente.
 
 []s,
 Claudio.
 
 
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =
 
 __
 Fale com seus amigos  de graça com o novo Yahoo! Messenger 
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] SEQUENCIAS II

[Marcelo Salhab Brogliato]

Ola Klaus,

isto vem diretamente da definicao de lim b_k = 0 ...
vejamos:
lim a_k = L
qualquer que seja eps0, existe n tal que k  n implica |a_k - L|  eps

basta fazermos L=0, a_k = b_k e, ao inves de eps, vamos colocar eps/2

abracos,
Salhab



On 4/9/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:


Ola Claudio,
 não entendi b_k - 0 == existe n_1 tal que k  n_1 implica |b_k| 
eps/2.
o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2?
Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro.
vlw.


- Mensagem original 
De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28
Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II



-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II

 Suponha que a_n--a. Mostre que :
 1/n*sum_(k=1, n) a_k--a.


Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0.
Seja eps  0.
b_k - 0 == existe n_1 tal que k  n_1 implica |b_k|  eps/2.
Fixado n_1, existe n_2  n_1 tal que k  n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k 
eps/2.
Mas entao, tomando k  n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k =
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k 
eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k  eps/2 + eps/2 = eps.
Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a.


 Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule
 lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.


Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias
dos a_i.
Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero.
Caso contrario, escreva:
a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1).
Isso implica que a_k^n = a_1^n + ... + a_k^n = k*a_k^n ==
a_k = (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) = k^(1/n)*a_k.
Fazendo n - infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o
limite procurado eh igual a a_k.
(alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma
infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da
soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k).

Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n - 0+.
O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente.

[]s,
Claudio.



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


__
Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger
http://br.messenger.yahoo.com/


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II

[claudio\.buffara]

Oi, Klaus:

Sem querer ser chato (mas provavelmente sendo...):
Como você pode demonstrar que uma sequência convergente (a_n) e a soma de 
Cesaro correspondente ((a_1+...+a_n)/n) têm o mesmo limite se, aparentemente, 
você nem sabe a definição precisa de limite de uma sequência?

[]s,
Claudio.

De:[EMAIL PROTECTED]

Para:obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:Mon, 9 Apr 2007 15:58:35 -0700 (PDT)

Assunto:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II

Valeu Bruno França. Tah meio complicado pra eu entender. Mas de qualquer forma 
valeu.


- Mensagem original 
De: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 9 de Abril de 2007 18:22:29
Assunto: Re: [obm-l] SEQUENCIAS II


 Isso aí vem da definição de limite. Seria bom vc tê-la muito clara em sua 
 mente antes de tentar tais demonstrações.
 Veja só:

 Dizemos que a_k -- L quando k -- o se, para cada eps  0 existir um natural 
 N tal que para todo n  N teremos |a_n - L|  eps.

 Ou seja: escolha uma distância ao ponto L (ie, um intervalinho centrado em L, 
 com o tamanho que vc quiser); vc então verificará que a partir de certo 
 instante, para algum N suficientemente grande, todos os elementos 
 subsequêntes da sua seqüência cairão dentro desse intervalinho. Se isso 
 ocorrer para qualquer tamanho de intervalinho, por menor que seja, então 
 diremos que a_k tende a L qd k -- 0 (essa é a definiçãoa de limite de 
 maneira informal e em texto).

 Pois bem, se b_k -- 0, isso quer dizer que para cada eps  0 podemos 
 encontrar N natural tal que n  N == |b_n - 0|  eps == |b_n|  eps, isso 
 pela própria definição de limite, concorda?
 Muito bem, se podemos garantir que existe esse número N tal que todos os 
 elementos a partir do N-ésimo caem todos a uma distância de no máximo eps do 
 pto 0, então podemos dizer o mesmo para uma outra distância, por exemplo, 
 eps/2. A essa nova distância corresponderá um outro número N', possivelmente 
 maior que N (isso é MUITO informal, mas só pra ficar mais fácil de 
 visualizar), tal que a partir do N'-ésimo elemento, todos estarão no máximo à 
 distância eps/2.

 Agora vc pode se perguntar, de onde veio esse eps/2? E pq ele falou de um 
 n_1? Isso é um artifício muito usado em demonstrações que envolvem uso de 
 limites, quando há somas, por exemplo. Se vc quiser demonstrar que a_n -- A 
 e b_n - B implica (a_n + b_n) - (A+B)  (o que não é trivial), vc argumenta 
 mais ou menos assim: para qualquer eps positivo, podemos encontrar um natural 
 n_1 tal que todo mundo da sequência {a}, a partir desse n_1-ésimo elemento, 
 estará à distância máxima de eps/2 do número A. Da mesma forma, tomamos n_2 
 para a seq. {b} de forma que a partir desse n_2-ésimo elemento, todo mundo 
 estará à dist. max. de eps/2 do número B. Agora, se vc pegar o maior dos dois 
 naturais n_1 e n_2 (chamemos de N), então com certeza, a partir de N, para 
 qualquer uma das seqüências, estaremos a uma dist. de no máximo eps/2 do 
 respectivo limite. Agora se vc pegar a seq. c_n = a_n + b_n, a partir desse N 
 estaremos à distância eps/2 + eps/2 = eps do valor A+B. Assim vemos que para 
 qualquer eps, podemos encontrar um natural N tal que a partir dele, a seq. 
 c_n = a_n + b_n estará a no máximo uma distância eps de A+B!!!

 Entendeu a idéia? Agora consegue entender essa passagem?

 Até mais
 Bruno França dos Reis


 On 4/9/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:

Ola Claudio,
 não entendi b_k - 0 == existe n_1 tal que k  n_1 implica |b_k|  eps/2.
o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2?
Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro.
vlw.


- Mensagem original 
De: claudio.buffara  [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28
Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II



 -- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II

 Suponha que a_n--a. Mostre que :
 1/n*sum_(k=1, n) a_k--a.


Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0.
Seja eps  0.
b_k - 0 == existe n_1 tal que k  n_1 implica |b_k|  eps/2.
Fixado n_1, existe n_2  n_1 tal que k  n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k  
eps/2.
Mas entao, tomando k  n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k =
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k 
eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k  eps/2 + eps/2 = eps.
Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a.


 Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule
 lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.


Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos 
a_i.
Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero.
Caso contrario, escreva:
a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1).
Isso implica que a_k^n = a_1^n + ... + a_k^n = k*a_k^n ==
a_k = (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) = k^(1/n)*a_k.
Fazendo n - infinito e usando o teorema do sanduiche

Res: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II

[Klaus Ferraz]

Vlw Claudio, vou pensar!


- Mensagem original 
De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Terça-feira, 10 de Abril de 2007 7:50:54
Assunto: Re:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II


b_k - 0 significa que lim(k - infinito) b_k = 0
Isso quer dizer que, dado eps  0, existe n_1 em N (conjunto dos naturais) tal 
que:
se k  n_1 entao |b_k - 0| = |b_k|  eps.
Em portugues: dizer que b_k tende a 0 significa dizer que, para todos os k 
suficientemente grandes, b_k estarah tao proximo de 
zero quanto quisermos. Esta eh simplesmente a definicao de limite de uma 
sequencia.

Que tal entrar no Google e digitar: Cesaro sum?
De qualquer forma, a soma de Cesaro de uma sequencia (a_n) eh, por definicao, a 
sequencia (b_n) dada por:
b_n = (a_1+a_2+...+a_n)/n. Eu disse que eh manjadissima porque praticamente 
todos os livros de analise demonstram ou 
pedem, como exercicio, a demonstracao do resultado abaixo: se a_n - a, entao 
b_n - a.
Tambem pode acontecer de (a_n) divergir mas (b_n) convergir. Voce consegue dar 
um exemplo disso?

[]s,
Claudio.

-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Mon, 9 Apr 2007 12:17:33 -0700 (PDT)
Assunto: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II

 Ola Claudio,
  não entendi b_k - 0 == existe n_1 tal que k  n_1 implica |b_k|  eps/2.
 o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2?
 Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro.
 vlw.
 
 
 - Mensagem original 
 De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
 Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
 Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28
 Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II
 
 
 -- Cabeçalho original ---
 
 De: [EMAIL PROTECTED]
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Cópia: 
 Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
 Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II
 
  Suponha que a_n--a. Mostre que :
  1/n*sum_(k=1, n) a_k--a.
  
 
 Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
 Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0.
 Seja eps  0.
 b_k - 0 == existe n_1 tal que k  n_1 implica |b_k|  eps/2.
 Fixado n_1, existe n_2  n_1 tal que k  n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k  
 eps/2.
 Mas entao, tomando k  n_2, teremos:
 |b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k =
 |b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k 
 eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k  eps/2 + eps/2 = eps.
 Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a.
 
 
  Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule 
  lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.
 
 
 Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias 
 dos a_i.
 Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero.
 Caso contrario, escreva:
 a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1).
 Isso implica que a_k^n = a_1^n + ... + a_k^n = k*a_k^n ==
 a_k = (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) = k^(1/n)*a_k.
 Fazendo n - infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o 
 limite procurado eh igual a a_k.
 (alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma 
 infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da 
 soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k).
 
 Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n - 0+. 
 O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente.
 
 []s,
 Claudio.
 
 
 
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Res: [obm-l] SEQUENCIAS II

[Klaus Ferraz]

Ola Claudio,
 não entendi b_k - 0 == existe n_1 tal que k  n_1 implica |b_k|  eps/2.
o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2?
Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro.
vlw.


- Mensagem original 
De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28
Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II


-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II

 Suponha que a_n--a. Mostre que :
 1/n*sum_(k=1, n) a_k--a.
 

Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0.
Seja eps  0.
b_k - 0 == existe n_1 tal que k  n_1 implica |b_k|  eps/2.
Fixado n_1, existe n_2  n_1 tal que k  n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k  
eps/2.
Mas entao, tomando k  n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k =
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k 
eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k  eps/2 + eps/2 = eps.
Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a.


 Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule 
 lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.


Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos 
a_i.
Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero.
Caso contrario, escreva:
a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1).
Isso implica que a_k^n = a_1^n + ... + a_k^n = k*a_k^n ==
a_k = (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) = k^(1/n)*a_k.
Fazendo n - infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite 
procurado eh igual a a_k.
(alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma 
infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da 
soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k).

Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n - 0+. 
O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente.

[]s,
Claudio.



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Re: [obm-l] SEQUENCIAS II

[Bruno França dos Reis]

Isso aí vem da definição de limite. Seria bom vc tê-la muito clara em sua
mente antes de tentar tais demonstrações.
Veja só:

Dizemos que a_k -- L quando k -- o se, para cada eps  0 existir um
natural N tal que para todo n  N teremos |a_n - L|  eps.

Ou seja: escolha uma distância ao ponto L (ie, um intervalinho centrado em
L, com o tamanho que vc quiser); vc então verificará que a partir de certo
instante, para algum N suficientemente grande, todos os elementos
subsequêntes da sua seqüência cairão dentro desse intervalinho. Se isso
ocorrer para qualquer tamanho de intervalinho, por menor que seja, então
diremos que a_k tende a L qd k -- 0 (essa é a definiçãoa de limite de
maneira informal e em texto).

Pois bem, se b_k -- 0, isso quer dizer que para cada eps  0 podemos
encontrar N natural tal que n  N == |b_n - 0|  eps == |b_n|  eps, isso
pela própria definição de limite, concorda?
Muito bem, se podemos garantir que existe esse número N tal que todos os
elementos a partir do N-ésimo caem todos a uma distância de no máximo eps do
pto 0, então podemos dizer o mesmo para uma outra distância, por exemplo,
eps/2. A essa nova distância corresponderá um outro número N', possivelmente
maior que N (isso é MUITO informal, mas só pra ficar mais fácil de
visualizar), tal que a partir do N'-ésimo elemento, todos estarão no máximo
à distância eps/2.

Agora vc pode se perguntar, de onde veio esse eps/2? E pq ele falou de um
n_1? Isso é um artifício muito usado em demonstrações que envolvem uso de
limites, quando há somas, por exemplo. Se vc quiser demonstrar que a_n -- A
e b_n - B implica (a_n + b_n) - (A+B)  (o que não é trivial), vc argumenta
mais ou menos assim: para qualquer eps positivo, podemos encontrar um
natural n_1 tal que todo mundo da sequência {a}, a partir desse n_1-ésimo
elemento, estará à distância máxima de eps/2 do número A. Da mesma forma,
tomamos n_2 para a seq. {b} de forma que a partir desse n_2-ésimo elemento,
todo mundo estará à dist. max. de eps/2 do número B. Agora, se vc pegar o
maior dos dois naturais n_1 e n_2 (chamemos de N), então com certeza, a
partir de N, para qualquer uma das seqüências, estaremos a uma dist. de no
máximo eps/2 do respectivo limite. Agora se vc pegar a seq. c_n = a_n + b_n,
a partir desse N estaremos à distância eps/2 + eps/2 = eps do valor A+B.
Assim vemos que para qualquer eps, podemos encontrar um natural N tal que a
partir dele, a seq. c_n = a_n + b_n estará a no máximo uma distância eps de
A+B!!!

Entendeu a idéia? Agora consegue entender essa passagem?

Até mais
Bruno França dos Reis


On 4/9/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:


 Ola Claudio,
 não entendi *b_k - 0 == existe n_1 tal que k  n_1 implica |b_k| 
eps/2*.
o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2?
Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro.
vlw.


- Mensagem original 
De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28
Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II

-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II

 Suponha que a_n--a. Mostre que :
 1/n*sum_(k=1, n) a_k--a.


Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0.
Seja eps  0.
b_k - 0 == existe n_1 tal que k  n_1 implica |b_k|  eps/2.
Fixado n_1, existe n_2  n_1 tal que k  n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k 
eps/2.
Mas entao, tomando k  n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k =
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k 
eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k  eps/2 + eps/2 = eps.
Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a.


 Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule
 lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.


Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias
dos a_i.
Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero.
Caso contrario, escreva:
a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1).
Isso implica que a_k^n = a_1^n + ... + a_k^n = k*a_k^n ==
a_k = (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) = k^(1/n)*a_k.
Fazendo n - infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o
limite procurado eh igual a a_k.
(alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma
infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da
soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k).

Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n - 0+.

O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente.

[]s,
Claudio.



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Res: [obm-l] SEQUENCIAS II

[Klaus Ferraz]

Valeu Bruno França. Tah meio complicado pra eu entender. Mas de qualquer forma 
valeu.


- Mensagem original 
De: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 9 de Abril de 2007 18:22:29
Assunto: Re: [obm-l] SEQUENCIAS II


Isso aí vem da definição de limite. Seria bom vc tê-la muito clara em sua mente 
antes de tentar tais demonstrações.
Veja só:
 
Dizemos que a_k -- L quando k -- o se, para cada eps  0 existir um natural N 
tal que para todo n  N teremos |a_n - L|  eps.
 
Ou seja: escolha uma distância ao ponto L (ie, um intervalinho centrado em L, 
com o tamanho que vc quiser); vc então verificará que a partir de certo 
instante, para algum N suficientemente grande, todos os elementos subsequêntes 
da sua seqüência cairão dentro desse intervalinho. Se isso ocorrer para 
qualquer tamanho de intervalinho, por menor que seja, então diremos que a_k 
tende a L qd k -- 0 (essa é a definiçãoa de limite de maneira informal e em 
texto). 
 
Pois bem, se b_k -- 0, isso quer dizer que para cada eps  0 podemos encontrar 
N natural tal que n  N == |b_n - 0|  eps == |b_n|  eps, isso pela própria 
definição de limite, concorda?
Muito bem, se podemos garantir que existe esse número N tal que todos os 
elementos a partir do N-ésimo caem todos a uma distância de no máximo eps do 
pto 0, então podemos dizer o mesmo para uma outra distância, por exemplo, 
eps/2. A essa nova distância corresponderá um outro número N', possivelmente 
maior que N (isso é MUITO informal, mas só pra ficar mais fácil de visualizar), 
tal que a partir do N'-ésimo elemento, todos estarão no máximo à distância 
eps/2. 
 
Agora vc pode se perguntar, de onde veio esse eps/2? E pq ele falou de um n_1? 
Isso é um artifício muito usado em demonstrações que envolvem uso de limites, 
quando há somas, por exemplo. Se vc quiser demonstrar que a_n -- A e b_n - B 
implica (a_n + b_n) - (A+B)  (o que não é trivial), vc argumenta mais ou menos 
assim: para qualquer eps positivo, podemos encontrar um natural n_1 tal que 
todo mundo da sequência {a}, a partir desse n_1-ésimo elemento, estará à 
distância máxima de eps/2 do número A. Da mesma forma, tomamos n_2 para a seq. 
{b} de forma que a partir desse n_2-ésimo elemento, todo mundo estará à dist. 
max. de eps/2 do número B. Agora, se vc pegar o maior dos dois naturais n_1 e 
n_2 (chamemos de N), então com certeza, a partir de N, para qualquer uma das 
seqüências, estaremos a uma dist. de no máximo eps/2 do respectivo limite. 
Agora se vc pegar a seq. c_n = a_n + b_n, a partir desse N estaremos à 
distância eps/2 + eps/2 = eps do valor A+B. Assim vemos que para
 qualquer eps, podemos encontrar um natural N tal que a partir dele, a seq. c_n 
= a_n + b_n estará a no máximo uma distância eps de A+B!!! 
 
Entendeu a idéia? Agora consegue entender essa passagem?
 
Até mais
Bruno França dos Reis

 
On 4/9/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: 
Ola Claudio,
 não entendi b_k - 0 == existe n_1 tal que k  n_1 implica |b_k|  eps/2.
o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2?
Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro.
vlw.

 
- Mensagem original 
De: claudio.buffara  [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28 
Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II 



-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II

 Suponha que a_n--a. Mostre que :
 1/n*sum_(k=1, n) a_k--a.
 

Essa eh a manjadissima soma de Cesaro. 
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0.
Seja eps  0.
b_k - 0 == existe n_1 tal que k  n_1 implica |b_k|  eps/2.
Fixado n_1, existe n_2  n_1 tal que k  n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k  
eps/2. 
Mas entao, tomando k  n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k =
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k 
eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k  eps/2 + eps/2 = eps. 
Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a.


 Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule 
 lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.


Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos 
a_i. 
Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero.
Caso contrario, escreva:
a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1).
Isso implica que a_k^n = a_1^n + ... + a_k^n = k*a_k^n == 
a_k = (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) = k^(1/n)*a_k.
Fazendo n - infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite 
procurado eh igual a a_k.
(alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma 
infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da 
soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k).

Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n - 0+. 
O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente.

[]s,
Claudio.



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Instruções

Re:[obm-l] SEQUENCIAS II

[claudio\.buffara]

-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II

 Suponha que a_n--a. Mostre que :
 1/n*sum_(k=1, n) a_k--a.
 

Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0.
Seja eps  0.
b_k - 0 == existe n_1 tal que k  n_1 implica |b_k|  eps/2.
Fixado n_1, existe n_2  n_1 tal que k  n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k  
eps/2.
Mas entao, tomando k  n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k =
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k 
eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k  eps/2 + eps/2 = eps.
Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a.


 Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule 
 lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.


Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos 
a_i.
Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero.
Caso contrario, escreva:
a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1).
Isso implica que a_k^n = a_1^n + ... + a_k^n = k*a_k^n ==
a_k = (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) = k^(1/n)*a_k.
Fazendo n - infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite 
procurado eh igual a a_k.
(alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma 
infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da 
soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k).

Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n - 0+. 
O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente.

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[Klaus Ferraz]

Suponha que a_n--a. Mostre que :
1/n*sum_(k=1, n) a_k--a.

Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule 
lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.

Vlw.

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Re: [obm-l] Sequencias

[Iuri]

2) Calcule S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ... + 99^2 - 100^2

-S=(2²-1²) + (4²-3²) + (6²-5²) + ... + (100²-99²)

Fazendo diferencas de quadrados, temos: -S=
1.3+1.7+1.11+...+1.199=3+7+11+...+199 que é uma PA.

S=-(3+199).50/2=202.25=101*50=-5050


On 3/14/07, Julio Sousa [EMAIL PROTECTED] wrote:


1 ) A soma dos n primeiros termos de uma PA é n² + 4n. Calcule an
2) Calcule S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ... + 99^2 - 100^2

3) Calcule a soma dos n primeiros termos da PA 1 ; (n -1)/n ; (n - 2)/n


--
Atenciosamente
Júlio Sousa

Re: [obm-l] Sequencias

[saulo nilson]

sn=n^2+4n
s1=5=a1
n(n+4)=(5+an)*n/2
an=2n+3
s2=12=5+a2
a2=7
razao=r=a2-a1=2




On 3/14/07, Julio Sousa [EMAIL PROTECTED] wrote:


1 ) A soma dos n primeiros termos de uma PA é n² + 4n. Calcule an
2) Calcule S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ... + 99^2 - 100^2

3) Calcule a soma dos n primeiros termos da PA 1 ; (n -1)/n ; (n - 2)/n


--
Atenciosamente
Júlio Sousa

Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)

[Celso Souza]

Acho que eu não soube me expressar.
   
  Vejamos:
   
  1) Sim, uma sequencia é um conjunto de números. Ou seja, é uma reunião de 
números, só que não é APENAS um conjunto. Este conjunto deve ter outras 
propriedades, caso contrário não teria um nome diferente de conjunto.
   
  2) Este conjunto possui algumas propriedades. Um delas é a ORDEM. Isso recai 
no que disse o Bruno em outro mail. Se existe ORDEM, eu consigo montar uma 
BIJEÇAO entre esta sequencia e o conjunto dos naturais, por exemplo. Assim, 
posso afirmar que a1 é o PRIMEIRO termo, a2 o SEGUNDO termo, e assim por 
diante. Lembre-se que as funções são definidas de CONJUNTO para CONJUNTO.
   
  3) A questão de ordem, como colocou o Marcelo é explicada da seguinte forma: 
Para que dois conjuntos sejam iguais, é necessário que todos os elementos de A 
estejam em B e que todos os elementos de B estejam em A. Para o caso dos 
conjuntos ordenados, além da lei acima, devemos ter que a ordem deve permanecer 
a mesma.
   
  4) Eu não quis dizer que está correto escrever sequencias entre chaves. Eu só 
perguntei se por acaso, o indivíduo que escreveu o problema original não se 
confundiu com este fato, da existencia de conjuntos e conjuntos ordenados. 
Assim, claramente teremos:
   
i) { a , b , c } = { b , a , c } , pois para os conjuntos escrito 
entre chaves, a ordem não é importante.
   
ii) (a , b , c )  (b , c , a ), pois apesar de possuírem os 
mesmos elementos, a ORDEM não é a mesma.
   
 Bem, eu também não sei muito sobre matemática, inclusive, acho até que 
minha interpretação de conjunto possa estar errada. Mas segundo o que eu ví até 
hoje sobre conjuntos, acho que seria isso mesmo.
   
  Abraços !
   
  Celso

Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Olá Celso,
   
  vejamos por exemplo o conjunto { a, b } e o par ordenado (a, b)
  { a, b } = { b, a }, mas (a, b) != (b, a)
   
  nao conheco conjuntos ordenados... mas, um modo de representar um par 
ordenado por conjuntos
  seria (a, b) = { a, { a, b } } , neste caso, (a, b) = (c, d) sss a = c e b = 
d (usando a igualdade de conjuntos).
   
  uma n-upla ordenada seria: (a1, a2, ... , an) = { a1, { a1, a2 }, {a1, a2, 
a3}, ..., {a1, a2, ... , an } } na notacao
  de conjuntos!
   
  entendeu?
   
  entao, a notacao de chaves nao seria correta para sequencias, mas sim a 
notacao de n-uplas ordenadas.
  (1, 2, 3, ..., n)
   
  um abraço,
  Salhab
   
- Original Message - 
  From: Celso Souza 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, February 15, 2007 8:25 PM
  Subject: Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
  



Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu:   Comentários menores: eu 
não considero o uso de chaves {} adequado
para uma seqüência, chaves para mim são para conjuntos. 
  Nicolau,
   
 Sempre aprendi que sequências são conjuntos de números, porém, são 
conjuntos ORDENADOS. Tal como ocorre com pares ordenados, que são conjuntos 
ordenados.
   
 Eu entendo que sequências necessariamente são ordenadas, mas não deixam de 
ser conjuntos, não ?
   
  Celso

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Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)

[Nicolau C. Saldanha]

On Thu, Feb 15, 2007 at 08:25:07PM -0300, Celso Souza wrote:
 
 
 Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Comentários
 menores: eu não considero o uso de chaves {} adequado para uma seqüência,
 chaves para mim são para conjuntos. 

  Sempre aprendi que sequências são conjuntos de números, porém, são
  conjuntos ORDENADOS.

Uma seqüência é uma função com domínio N = {0,1,2,3,...}
ou outro conjunto parecido, como Z ou N-{0}.

Uma função pode ser identificada com um conjunto de pares ordenados.
Será que é isso que você quer dizer?

  Tal como ocorre com pares ordenados, que são
  conjuntos ordenados.

Não. Um conjunto ordenado é um conjunto no qual está definida uma relação
de ordem. Um par ordenado não é nada disso. O que se pode fazer é definir
(a,b) = {{a},{a,b}}. A razão para fazer isso é que em teoria dos conjuntos
qualquer coisa é um conjunto. Mas em outras áreas da matemática é melhor
pensar que existem vários tipos de objetos: números, conjuntos,
pares ordenados, funções, ...

  Eu entendo que sequências necessariamente são ordenadas, mas não deixam
  de ser conjuntos, não ?

Só são conjuntos no sentido técnico acima. O que você certamente não pode
é identificar a seqüência (a_0, a_1, a_2, ...) com o conjunto
{a_0, a_1, a_2, ...} pois o conjunto não percebe repetições nem ordem.

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)

[Nicolau C. Saldanha]

On Fri, Feb 16, 2007 at 07:58:19AM -0300, Celso Souza wrote:
 Acho que eu não soube me expressar.

   Vejamos:

   1) Sim, uma sequencia é um conjunto de números. Ou seja, é uma reunião de
   números, só que não é APENAS um conjunto. Este conjunto deve ter outras
   propriedades, caso contrário não teria um nome diferente de conjunto.

Como já foi dito, não. Uma seqüência pode ser identificada com um conjunto
de pares ordenados mas não com um conjunto de números.

   2) Este conjunto possui algumas propriedades. Um delas é a ORDEM. Isso
   recai no que disse o Bruno em outro mail. Se existe ORDEM, eu consigo
   montar uma BIJEÇAO entre esta sequencia e o conjunto dos naturais, por
   exemplo. Assim, posso afirmar que a1 é o PRIMEIRO termo, a2 o SEGUNDO
   termo, e assim por diante. Lembre-se que as funções são definidas de
   CONJUNTO para CONJUNTO.

Isto não reflete corretamente o conceito de seqüência.
Uma seqüência pode ter elementos repetidos, como
(1,0,2,0,3,4,0,5,6,0,7,8,9,10,0,11,12,0,13,14,15,16,0,17,18,0,19,20,21,...)

A imagem da seqüência (ou seja, o conjunto dos valores que ela assume)
é {0,1,2,3,4,5,...} mas nenhuma ordem neste conjunto traduz o fato de
que 0 aparece nas posições acima.

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)

[Ricardo]

Ai, essa doeu ate em mim :)

Melhoras
Abracos
Ricardo


- Original Message - 
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, February 16, 2007 2:18 PM
Subject: Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)



On Fri, Feb 16, 2007 at 07:58:19AM -0300, Celso Souza wrote:

Acho que eu não soube me expressar.

  Vejamos:

  1) Sim, uma sequencia é um conjunto de números. Ou seja, é uma reunião 
de

  números, só que não é APENAS um conjunto. Este conjunto deve ter outras
  propriedades, caso contrário não teria um nome diferente de conjunto.


Como já foi dito, não. Uma seqüência pode ser identificada com um conjunto
de pares ordenados mas não com um conjunto de números.


  2) Este conjunto possui algumas propriedades. Um delas é a ORDEM. Isso
  recai no que disse o Bruno em outro mail. Se existe ORDEM, eu consigo
  montar uma BIJEÇAO entre esta sequencia e o conjunto dos naturais, por
  exemplo. Assim, posso afirmar que a1 é o PRIMEIRO termo, a2 o SEGUNDO
  termo, e assim por diante. Lembre-se que as funções são definidas de
  CONJUNTO para CONJUNTO.


Isto não reflete corretamente o conceito de seqüência.
Uma seqüência pode ter elementos repetidos, como
(1,0,2,0,3,4,0,5,6,0,7,8,9,10,0,11,12,0,13,14,15,16,0,17,18,0,19,20,21,...)

A imagem da seqüência (ou seja, o conjunto dos valores que ela assume)
é {0,1,2,3,4,5,...} mas nenhuma ordem neste conjunto traduz o fato de
que 0 aparece nas posições acima.

[]s, N.
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[obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)

[Nicolau C. Saldanha]

On Thu, Feb 15, 2007 at 11:57:18AM -0200, Marcus Aurélio wrote:
 Alguem poderia me ajudar nessa questão? 
 
 Determine o termo geral da seqüência {3, 0, 5, 34, 135, 452, ...} e calcule
 em seguida a soma dos seus n primeiros termos.

Outros já responderam mas eu queria fazer uns comentários.

Dar meia dúzia de termos não determina uma seqüência.
Por exemplo, tome

p(t) = (8 t^5 - 60 t^4 + 200 t^3 - 240 t^2 + 47 t + 45)/15.

A sua seqüência começa com (p(0), p(1), p(2), p(3), p(4), p(5), ...)
e ela pode muito bem ter termo geral p(n). Uma fórmula mais simples
foi obtida (implicitamente) pelo Nehab:

g(t) = 2*3^t - 7*t + 1

A seqüência começa com (g(0), g(1), g(2), g(3), g(4), g(5), ...)
e ela pode muito bem ter termo geral g(n).

De forma mais idiota, ela também pode ser
(3, 0, 5, 34, 135, 452, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...).

É impossível saber qual a resposta certa. No máximo podemos dizer
que a resposta do Nehab é mais simples que as outras e que provavelmente
era o que o autor do problema tinha em mente. Note que eu não acho que
este seja um problema bem enunciado e que eu não aceitaria um problema
assim numa prova se eu estivesse na banca.

Por outro lado, conheçam a Online Encyclopaedia of Integer Sequences:

http://www.research.att.com/~njas/sequences/

Ela tem um sistema muito bom de tentar adivinhar uma seqüência
a partir de alguns termos. Experimentem!

Comentários menores: eu não considero o uso de chaves {} adequado
para uma seqüência, chaves para mim são para conjuntos. E tente
usar subjects mais informativos.

[]s, N.
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Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)

[Celso Souza]

Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Comentários menores: eu 
não considero o uso de chaves {} adequado
para uma seqüência, chaves para mim são para conjuntos. 
  Nicolau,
   
 Sempre aprendi que sequências são conjuntos de números, porém, são 
conjuntos ORDENADOS. Tal como ocorre com pares ordenados, que são conjuntos 
ordenados.
   
 Eu entendo que sequências necessariamente são ordenadas, mas não deixam de 
ser conjuntos, não ?
   
  Celso


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Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Celso,

vejamos por exemplo o conjunto { a, b } e o par ordenado (a, b)
{ a, b } = { b, a }, mas (a, b) != (b, a)

nao conheco conjuntos ordenados... mas, um modo de representar um par ordenado 
por conjuntos
seria (a, b) = { a, { a, b } } , neste caso, (a, b) = (c, d) sss a = c e b = d 
(usando a igualdade de conjuntos).

uma n-upla ordenada seria: (a1, a2, ... , an) = { a1, { a1, a2 }, {a1, a2, a3}, 
..., {a1, a2, ... , an } } na notacao
de conjuntos!

entendeu?

entao, a notacao de chaves nao seria correta para sequencias, mas sim a notacao 
de n-uplas ordenadas.
(1, 2, 3, ..., n)

um abraço,
Salhab

  - Original Message - 
  From: Celso Souza 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, February 15, 2007 8:25 PM
  Subject: Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)




  Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: 
Comentários menores: eu não considero o uso de chaves {} adequado
para uma seqüência, chaves para mim são para conjuntos. 

  Nicolau,

 Sempre aprendi que sequências são conjuntos de números, porém, são 
conjuntos ORDENADOS. Tal como ocorre com pares ordenados, que são conjuntos 
ordenados.

 Eu entendo que sequências necessariamente são ordenadas, mas não deixam de 
ser conjuntos, não ?

  Celso

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Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)

[Bruno França dos Reis]

A definicao de seqüência não é um conjunto de números. A definição de
seqüência em um cjto X é uma função f: N - X, onde N é o conjunto dos
números naturais. (cf http://planetmath.org/encyclopedia/Sequence.html)

Se agora  vc quiser entender uma função f: N - X como sendo um subconjunto
de N x X (N cartesiano X) (definido assim: a1 , a2 elemento N, b1, b2
elemento X; se a1 = a2 entao b1 = b2), aí beleza, a seqüência vc pode chamar
de conjunto, mas não um conjunto de números, mas sim um subconjunto de N
x X.

Falei bobagem?


Abraço!
Bruno

ps:

Procurando no google, vemos em diversas fontes (dentre elas o Mathworld do
Wolfram), dizendo que o termo conjunto ordenado é um termo ambíguo
querendo se referir ora a conjunto totalmente ordenado ora a conjunto
parcialmente ordenado, que não tem nada a ver com este tema.

Uma ordem parcial em um conjunto X é uma relação = com as seguintes
propriedades:
1) Reflexividade: a = a, para todo a em X
2) Transitividade: a = b, b = c  implica  a = c.
3) Anti-simetria: a = b e b = a  implica  a = b.

Um conjunto parcialmente ordenado é um par ordenado (X, =).

Um conjunto é dito totalmente ordenado quando podemos comparar quaisquer
seus 2 elementos, isto é: para todo x, y em X, temos que: x = y ou y = x.



On 2/15/07, Celso Souza [EMAIL PROTECTED] wrote:




*Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]* escreveu:

Comentários menores: eu não considero o uso de chaves {} adequado
para uma seqüência, chaves para mim são para conjuntos.

Nicolau,

   Sempre aprendi que sequências são conjuntos de números, porém, são
conjuntos ORDENADOS. Tal como ocorre com pares ordenados, que são conjuntos
ordenados.

   Eu entendo que sequências necessariamente são ordenadas, mas não deixam
de ser conjuntos, não ?

Celso

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--
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000

e^(pi*i)+1=0

Re: RES: [obm-l] sequencias

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Oi, Arthur,

Acho que analisando as subseqüências de sen(Ln(n)) a seguir dá para 
provar que sen(Ln(n)) não converge.


Chamando log2 de logaritmo na base 2 e fazendo log2(e) = p, temos: 
x(n) = sen (Ln(n) )  =  sen [  log2(n) / p ].


Se n  = 2^k , 2^(2k)  e 2^(3k), obtemos 3 subseqüências de x(n) que 
teriam que convergir para L, quais sejam:


a_k = sen k/p
b_k = sen 2k/p
c_k = sen 3k/p = sen(k/p) [ 3 - (4sen(k/p))^2 ]

Mas
De (sen2k/p) ^2 =  4.(senk/p)^2 .  [1 - (senk/p)^2 ]   teríamos   L = 
0, 1/2 ou - 1/2.
De  sen 3k/p = senk/p [ 3 - (4senk/p)^2]  teríamos  L =  L ( 3 - 
4L^2]  ou seja,  L = 0 ou sqr(3)/2   ou  - sqr(3)/2 .


Logo se provarmos que x(n) não pode convergir para L = 0, estará 
provado que x(n) não é convergente.


Amanhã vejo como fechar isto (que acho que deve ser fácil) pois já 
está na hora das corujas...

Até amanhã
Abraços,
Nehab.

At 15:11 1/2/2007, you wrote:

Outro contra exemplo talvez seja sen(ln(n)), mas embora pareca intuitivo que
esta sequencia divirja, ainda nao a consegui uma prova matematicamente
valida
Artur

-Mensagem original-
De: Artur Costa Steiner
Enviada em: quinta-feira, 1 de fevereiro de 2007 13:56
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RES: [obm-l] sequencias


No caso (i), a seq. não tem que ser convergente. Um contra-exemplo é a seq.
cujos termos são 0, 1, 1/2, 0, 1/3, 2/3, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, 1/5, ...

A lei de formação é um vai vem em [0,1] em que vc vai dividindo o intervalo
em subintervalos com comprimentos dados pelos  inversos dos inteiros
positivos. Vamos direto de 0 a 1, depois voltamos a 0 passando pelo 1/2,
depois vamos de novo para 1 passando agora por 1/3 e 2/3, aí voltamos para 0
por 3/4/, 2/4, 1/4 e assim sucessivamente. Esta seq. satisfaz aa condicoes
dadas mas não converge.

Artur



-Mensagem original-
De: carlos martins martins [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Enviada em: terça-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] sequencias


sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com sequências,

i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e  que
(x_n) é limitada.
  Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente.

ii) Se (a_n)  é uma sequência de números reais definida por
  a_1 = 1 e  a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ).
  Mostre que 1 = a_n = 2.

Na primeira não tive muito progresso.

Na segunda consegui mostrar por indução que 1 = a_n . Que a_n = 2, não
consegui, cheguei
a_n = 3.

_
Insta-le já o Windows Live Messenger. A nova geração do messenger.
http://get.live.com/messenger/overview

=
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Re:RES: [obm-l] sequencias

[claudio\.buffara]

 
 Seja ( a_n) um sequencia tal a_n  0 para todo  n  e [ a_(n+1) / a_n ] = 
 q^n, onde q e constante e 0  q  1. Calcule o valor da serie
 S =  a_1  +  a_2  + a_3 + ... + a_n + ...
 
 Um Abraco a todos
 Paulo Santa Rita

Oi, Paulo:

A soma eh S = a_1*(1 + q + q^3 + q^6 + ... + q^(n(n-1)/2) + ... )

Nao consegui achar uma formula fechada, mas se alguma existir nao deve ser 
muito obvia pois se a_1 for racional e q = 1/m, onde m eh 
um inteiro positivo  1, entao S eh irracional.

[]s,
Claudio.


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Re: [obm-l] sequencias

[claudio\.buffara]

Soh pra complementar:
sen(log(n+1)) - sen(log(n)) - 0 pois log(n+1) - log(n) = log(1+1/n) - 0 e a 
funcao seno eh uma contracao fraca (isso quer 
dizer que |sen(x) - sen(y)| = |x - y|, quaisquer que sejam x e y em R.
Pra ver isso, faca: 
|sen(x) - sen(y)| = 2*|sen((x-y)/2)|*|cos((x+y)/2)| = 2*|sen((x-y)/2)| = 
2*|(x-y)/2| = |x-y|.

O problema do argumento do Salhab eh que nem sempre eh verdade que x_n 
divergente implica sen(x_n) divergente.
Por exemplo, se a_n - a entao x_n = a_n + 2*pi*n - infinito, mas sen(x_n) - 
sen(a).

O mais provavel eh que o conjunto de valores de aderencia de sen(log(n)) seja o 
intervalo [-1,1]. Isso eh verdade para sen(n) e, 
se nao me engano, esse resultado jah foi bem discutido aqui na lista (bons 
tempos aqueles...). 

No caso presente, basta mostrar que sen(log(n)) tem mais de um valor de 
aderencia.
Vamos considerar um caso um pouco mais geral: seja (x_n) uma sequencia 
crescente, ilimitada e tal que (x_(n+1) - x_n) - 0 
(esse eh justamente o caso de log(n)). Como x_n eh crescente e ilimitada, 
podemos tomar indices n_1, n_2,  tais que:
n_k = maior indice tal que x_n_k = k*pi + pi/2 == 
x_n_k = k*pi + pi/2  x_(n_k + 1)  (**)
Mas (x_(n+1) - x_n) - 0. Em virtude de (**) e do teorema do sanduiche, isso 
quer dizer que:
lim(k - +inf) (k*pi + pi/2 - x_n_k) = 0. 
Logo, como seno eh continua:
(i) a subsequencia x_n_(2m-1) serah tal que sen(x_n_(2m-1)) - sen((2m-1)*pi + 
pi/2) = -1;
e
(ii) a subsequencia x_n_2m serah tal que sen(x_n_2m) - sen(2m*pi + pi/2) = 1.

Acho que eh isso.

[]s,
Claudio.



-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Fri, 2 Feb 2007 04:17:47 -0200
Assunto: Re: [obm-l] sequencias

 Olá Artur,
 
 sabemos que sen(x) diverge qdo x-inf... e que, se g(x) - inf qdo x-inf, 
 entao: lim (x-inf) f(g(x)) = lim (x-inf) f(x) ...
 deste modo, sen(ln(n)) diverge, pois ln(n)-inf qdo n-inf e sen(x) diverge 
 qdo x-inf..
 
 bom, qquer erro, por favor, me corrija!
 
 abraços,
 Salhab
 
 - Original Message - 
 From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Sent: Thursday, February 01, 2007 3:11 PM
 Subject: RES: [obm-l] sequencias
 
 
 Outro contra exemplo talvez seja sen(ln(n)), mas embora pareca intuitivo que
 esta sequencia divirja, ainda nao a consegui uma prova matematicamente
 valida
 Artur
 
 -Mensagem original-
 De: Artur Costa Steiner
 Enviada em: quinta-feira, 1 de fevereiro de 2007 13:56
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Assunto: RES: [obm-l] sequencias
 
 
 No caso (i), a seq. não tem que ser convergente. Um contra-exemplo é a seq.
 cujos termos são 0, 1, 1/2, 0, 1/3, 2/3, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, 1/5, ...
 
 A lei de formação é um vai vem em [0,1] em que vc vai dividindo o intervalo
 em subintervalos com comprimentos dados pelos  inversos dos inteiros
 positivos. Vamos direto de 0 a 1, depois voltamos a 0 passando pelo 1/2,
 depois vamos de novo para 1 passando agora por 1/3 e 2/3, aí voltamos para 0
 por 3/4/, 2/4, 1/4 e assim sucessivamente. Esta seq. satisfaz aa condicoes
 dadas mas não converge.
 
 Artur
 
 
 
 -Mensagem original-
 De: carlos martins martins [mailto:[EMAIL PROTECTED]
 Enviada em: terça-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Assunto: [obm-l] sequencias
 
 
 sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com sequências,
 
 i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e  que
 (x_n) é limitada.
   Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente.
 
 ii) Se (a_n)  é uma sequência de números reais definida por
   a_1 = 1 e  a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ).
   Mostre que 1 = a_n = 2.
 
 Na primeira não tive muito progresso.
 
 Na segunda consegui mostrar por indução que 1 = a_n . Que a_n = 2, não
 consegui, cheguei
 a_n = 3.
 
 _
 Insta-le já o Windows Live Messenger. A nova geração do messenger.
 http://get.live.com/messenger/overview
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 = 
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm

RES: [obm-l] sequencias

[Artur Costa Steiner]

De fato a sequencia eh densa [-1,1]. Justamente porque ln(n) - oo e l(n+1)
- ln(n) - 0.
Uma forma de ver isso dem formalizar: à media em que n vai aumentando, vamos
percorrendo o círculo, sendo que a diferença entre pontos consecutivos é
cada vez menor. Assim , se x está em [-1,1], entao qulquer intevalo aberto
contendo x eh visitado infinitas vezes por elentos de sin(ln(n)). Eh claro
que isso noa eh prova, soh a ideia
Artur 

-Mensagem original-
De: claudio.buffara [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Enviada em: sexta-feira, 2 de fevereiro de 2007 10:30
Para: obm-l
Assunto: Re: [obm-l] sequencias


Soh pra complementar:
sen(log(n+1)) - sen(log(n)) - 0 pois log(n+1) - log(n) = log(1+1/n) - 0 e
a funcao seno eh uma contracao fraca (isso quer 
dizer que |sen(x) - sen(y)| = |x - y|, quaisquer que sejam x e y em R.
Pra ver isso, faca: 
|sen(x) - sen(y)| = 2*|sen((x-y)/2)|*|cos((x+y)/2)| = 2*|sen((x-y)/2)| =
2*|(x-y)/2| = |x-y|.

O problema do argumento do Salhab eh que nem sempre eh verdade que x_n
divergente implica sen(x_n) divergente.
Por exemplo, se a_n - a entao x_n = a_n + 2*pi*n - infinito, mas sen(x_n)
- sen(a).

O mais provavel eh que o conjunto de valores de aderencia de sen(log(n))
seja o intervalo [-1,1]. Isso eh verdade para sen(n) e, 
se nao me engano, esse resultado jah foi bem discutido aqui na lista (bons
tempos aqueles...). 

No caso presente, basta mostrar que sen(log(n)) tem mais de um valor de
aderencia.
Vamos considerar um caso um pouco mais geral: seja (x_n) uma sequencia
crescente, ilimitada e tal que (x_(n+1) - x_n) - 0 
(esse eh justamente o caso de log(n)). Como x_n eh crescente e ilimitada,
podemos tomar indices n_1, n_2,  tais que:
n_k = maior indice tal que x_n_k = k*pi + pi/2 == 
x_n_k = k*pi + pi/2  x_(n_k + 1)  (**)
Mas (x_(n+1) - x_n) - 0. Em virtude de (**) e do teorema do sanduiche, isso
quer dizer que:
lim(k - +inf) (k*pi + pi/2 - x_n_k) = 0. 
Logo, como seno eh continua:
(i) a subsequencia x_n_(2m-1) serah tal que sen(x_n_(2m-1)) - sen((2m-1)*pi
+ pi/2) = -1;
e
(ii) a subsequencia x_n_2m serah tal que sen(x_n_2m) - sen(2m*pi + pi/2) =
1.

Acho que eh isso.

[]s,
Claudio.



-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Fri, 2 Feb 2007 04:17:47 -0200
Assunto: Re: [obm-l] sequencias

 Olá Artur,
 
 sabemos que sen(x) diverge qdo x-inf... e que, se g(x) - inf qdo x-inf,

 entao: lim (x-inf) f(g(x)) = lim (x-inf) f(x) ...
 deste modo, sen(ln(n)) diverge, pois ln(n)-inf qdo n-inf e sen(x)
diverge 
 qdo x-inf..
 
 bom, qquer erro, por favor, me corrija!
 
 abraços,
 Salhab
 
 - Original Message - 
 From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Sent: Thursday, February 01, 2007 3:11 PM
 Subject: RES: [obm-l] sequencias
 
 
 Outro contra exemplo talvez seja sen(ln(n)), mas embora pareca intuitivo
que
 esta sequencia divirja, ainda nao a consegui uma prova matematicamente
 valida
 Artur
 
 -Mensagem original-
 De: Artur Costa Steiner
 Enviada em: quinta-feira, 1 de fevereiro de 2007 13:56
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Assunto: RES: [obm-l] sequencias
 
 
 No caso (i), a seq. não tem que ser convergente. Um contra-exemplo é a
seq.
 cujos termos são 0, 1, 1/2, 0, 1/3, 2/3, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, 1/5, ...
 
 A lei de formação é um vai vem em [0,1] em que vc vai dividindo o
intervalo
 em subintervalos com comprimentos dados pelos  inversos dos inteiros
 positivos. Vamos direto de 0 a 1, depois voltamos a 0 passando pelo 1/2,
 depois vamos de novo para 1 passando agora por 1/3 e 2/3, aí voltamos para
0
 por 3/4/, 2/4, 1/4 e assim sucessivamente. Esta seq. satisfaz aa condicoes
 dadas mas não converge.
 
 Artur
 
 
 
 -Mensagem original-
 De: carlos martins martins [mailto:[EMAIL PROTECTED]
 Enviada em: terça-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Assunto: [obm-l] sequencias
 
 
 sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com
sequências,
 
 i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e  que
 (x_n) é limitada.
   Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente.
 
 ii) Se (a_n)  é uma sequência de números reais definida por
   a_1 = 1 e  a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ).
   Mostre que 1 = a_n = 2.
 
 Na primeira não tive muito progresso.
 
 Na segunda consegui mostrar por indução que 1 = a_n . Que a_n = 2, não
 consegui, cheguei
 a_n = 3.
 
 _
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 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

RES: [obm-l] sequencias

[Paulo Santa Rita]

Ola Carlos e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

O caso  i)  ja foi resolvido e discutido aqui por varios colegas. O caso  
ii)  e absolutamente trivial, pois se a_(n+1)   2 para algum  n 
teriamos (a_n) * [ 2  - (a_n/2)]  2   =   (a_n)^2  - 4*(a_n)  + 4   0   =   
(a_n   -   2)^20   = quadrado de numero real negativo
... ABSURDO !!!  Assim, como queriamos demonstrar, deve ser a_n   =   2 para 
todo  n .

Agora um outro sobre sequencias e series, nao tao simples como este :

Seja ( a_n) um sequencia tal a_n  0 para todo  n  e [ a_(n+1) / a_n ] = q^n, 
onde q e constante e 0  q  1. Calcule o valor da serie
S =  a_1  +  a_2  + a_3 + ... + a_n + ...

Um Abraco a todos
Paulo Santa Rita
6,120B,020207

 -Mensagem original-
 De: carlos martins martins [mailto:[EMAIL PROTECTED]
 Enviada em: terça-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Assunto: [obm-l] sequencias
 
 
 sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com
sequências,
 
 i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e  que
 (x_n) é limitada.
   Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente.
 
 ii) Se (a_n)  é uma sequência de números reais definida por
   a_1 = 1 e  a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ).
   Mostre que 1 = a_n = 2.
 
 Na primeira não tive muito progresso.
 
 Na segunda consegui mostrar por indução que 1 = a_n . Que a_n = 2, não
 consegui, cheguei
 a_n = 3.

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Re:RES: [obm-l] sequencias

[claudio\.buffara]

Pensando bem, a formalizacao eh uma adaptacao simples da solucao abaixo.
Dado a em [-1,1], tome b em [-pi/2,pi/2] tal que sen(b) = a.
Tome a subsequencia (x_n_k) onde n_k eh o maior indice tal que:
x_n_k = 2*pi*k + b  x_(n_k + 1).
Entao sen(x_n_k) converge para sen(b) = a.

[]s,
Claudio.

-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Fri, 2 Feb 2007 14:21:44 -0200
Assunto: RES: [obm-l] sequencias

 De fato a sequencia eh densa [-1,1]. Justamente porque ln(n) - oo e l(n+1)
 - ln(n) - 0.
 Uma forma de ver isso dem formalizar: à media em que n vai aumentando, vamos
 percorrendo o círculo, sendo que a diferença entre pontos consecutivos é
 cada vez menor. Assim , se x está em [-1,1], entao qulquer intevalo aberto
 contendo x eh visitado infinitas vezes por elentos de sin(ln(n)). Eh claro
 que isso noa eh prova, soh a ideia
 Artur 
 
 -Mensagem original-
 De: claudio.buffara [mailto:[EMAIL PROTECTED]
 Enviada em: sexta-feira, 2 de fevereiro de 2007 10:30
 Para: obm-l
 Assunto: Re: [obm-l] sequencias
 
 
 Soh pra complementar:
 sen(log(n+1)) - sen(log(n)) - 0 pois log(n+1) - log(n) = log(1+1/n) - 0 e
 a funcao seno eh uma contracao fraca (isso quer 
 dizer que |sen(x) - sen(y)| = |x - y|, quaisquer que sejam x e y em R.
 Pra ver isso, faca: 
 |sen(x) - sen(y)| = 2*|sen((x-y)/2)|*|cos((x+y)/2)| = 2*|sen((x-y)/2)| =
 2*|(x-y)/2| = |x-y|.
 
 O problema do argumento do Salhab eh que nem sempre eh verdade que x_n
 divergente implica sen(x_n) divergente.
 Por exemplo, se a_n - a entao x_n = a_n + 2*pi*n - infinito, mas sen(x_n)
 - sen(a).
 
 O mais provavel eh que o conjunto de valores de aderencia de sen(log(n))
 seja o intervalo [-1,1]. Isso eh verdade para sen(n) e, 
 se nao me engano, esse resultado jah foi bem discutido aqui na lista (bons
 tempos aqueles...). 
 
 No caso presente, basta mostrar que sen(log(n)) tem mais de um valor de
 aderencia.
 Vamos considerar um caso um pouco mais geral: seja (x_n) uma sequencia
 crescente, ilimitada e tal que (x_(n+1) - x_n) - 0 
 (esse eh justamente o caso de log(n)). Como x_n eh crescente e ilimitada,
 podemos tomar indices n_1, n_2,  tais que:
 n_k = maior indice tal que x_n_k = k*pi + pi/2 == 
 x_n_k = k*pi + pi/2  x_(n_k + 1)  (**)
 Mas (x_(n+1) - x_n) - 0. Em virtude de (**) e do teorema do sanduiche, isso
 quer dizer que:
 lim(k - +inf) (k*pi + pi/2 - x_n_k) = 0. 
 Logo, como seno eh continua:
 (i) a subsequencia x_n_(2m-1) serah tal que sen(x_n_(2m-1)) - sen((2m-1)*pi
 + pi/2) = -1;
 e
 (ii) a subsequencia x_n_2m serah tal que sen(x_n_2m) - sen(2m*pi + pi/2) =
 1.
 
 Acho que eh isso.
 
 []s,
 Claudio.
 
 
 
 -- Cabeçalho original ---
 
 De: [EMAIL PROTECTED]
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Cópia: 
 Data: Fri, 2 Feb 2007 04:17:47 -0200
 Assunto: Re: [obm-l] sequencias
 
  Olá Artur,
  
  sabemos que sen(x) diverge qdo x-inf... e que, se g(x) - inf qdo x-inf,
 
  entao: lim (x-inf) f(g(x)) = lim (x-inf) f(x) ...
  deste modo, sen(ln(n)) diverge, pois ln(n)-inf qdo n-inf e sen(x)
 diverge 
  qdo x-inf..
  
  bom, qquer erro, por favor, me corrija!
  
  abraços,
  Salhab
  
  - Original Message - 
  From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
  Sent: Thursday, February 01, 2007 3:11 PM
  Subject: RES: [obm-l] sequencias
  
  
  Outro contra exemplo talvez seja sen(ln(n)), mas embora pareca intuitivo
 que
  esta sequencia divirja, ainda nao a consegui uma prova matematicamente
  valida
  Artur
  
  -Mensagem original-
  De: Artur Costa Steiner
  Enviada em: quinta-feira, 1 de fevereiro de 2007 13:56
  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
  Assunto: RES: [obm-l] sequencias
  
  
  No caso (i), a seq. não tem que ser convergente. Um contra-exemplo é a
 seq.
  cujos termos são 0, 1, 1/2, 0, 1/3, 2/3, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, 1/5, ...
  
  A lei de formação é um vai vem em [0,1] em que vc vai dividindo o
 intervalo
  em subintervalos com comprimentos dados pelos  inversos dos inteiros
  positivos. Vamos direto de 0 a 1, depois voltamos a 0 passando pelo 1/2,
  depois vamos de novo para 1 passando agora por 1/3 e 2/3, aí voltamos para
 0
  por 3/4/, 2/4, 1/4 e assim sucessivamente. Esta seq. satisfaz aa condicoes
  dadas mas não converge.
  
  Artur
  
  
  
  -Mensagem original-
  De: carlos martins martins [mailto:[EMAIL PROTECTED]
  Enviada em: terça-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34
  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
  Assunto: [obm-l] sequencias
  
  
  sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com
 sequências,
  
  i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e  que
  (x_n) é limitada.
Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente.
  
  ii) Se (a_n)  é uma sequência de números reais definida por
a_1 = 1 e  a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ).
Mostre que 1 = a_n = 2.
  
  Na primeira não tive muito progresso.
  
  Na segunda consegui mostrar por indução que 1 = a_n . Que a_n = 2, não
  consegui, cheguei

RES: [obm-l] sequencias

[Artur Costa Steiner]

No caso (i), a seq. não tem que ser convergente. Um contra-exemplo é a seq.
cujos termos são 0, 1, 1/2, 0, 1/3, 2/3, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, 1/5, ... 

A lei de formação é um vai vem em [0,1] em que vc vai dividindo o intervalo
em subintervalos com comprimentos dados pelos  inversos dos inteiros
positivos. Vamos direto de 0 a 1, depois voltamos a 0 passando pelo 1/2,
depois vamos de novo para 1 passando agora por 1/3 e 2/3, aí voltamos para 0
por 3/4/, 2/4, 1/4 e assim sucessivamente. Esta seq. satisfaz aa condicoes
dadas mas não converge.

Artur  



-Mensagem original-
De: carlos martins martins [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Enviada em: terça-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] sequencias


sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com sequências,

i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e  que 
(x_n) é limitada.
  Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente.

ii) Se (a_n)  é uma sequência de números reais definida por
  a_1 = 1 e  a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ).
  Mostre que 1 = a_n = 2.

Na primeira não tive muito progresso.

Na segunda consegui mostrar por indução que 1 = a_n . Que a_n = 2, não 
consegui, cheguei
a_n = 3.

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RES: [obm-l] sequencias

[Artur Costa Steiner]

Outro contra exemplo talvez seja sen(ln(n)), mas embora pareca intuitivo que
esta sequencia divirja, ainda nao a consegui uma prova matematicamente
valida
Artur

-Mensagem original-
De: Artur Costa Steiner 
Enviada em: quinta-feira, 1 de fevereiro de 2007 13:56
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RES: [obm-l] sequencias


No caso (i), a seq. não tem que ser convergente. Um contra-exemplo é a seq.
cujos termos são 0, 1, 1/2, 0, 1/3, 2/3, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, 1/5, ... 

A lei de formação é um vai vem em [0,1] em que vc vai dividindo o intervalo
em subintervalos com comprimentos dados pelos  inversos dos inteiros
positivos. Vamos direto de 0 a 1, depois voltamos a 0 passando pelo 1/2,
depois vamos de novo para 1 passando agora por 1/3 e 2/3, aí voltamos para 0
por 3/4/, 2/4, 1/4 e assim sucessivamente. Esta seq. satisfaz aa condicoes
dadas mas não converge.

Artur  



-Mensagem original-
De: carlos martins martins [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Enviada em: terça-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] sequencias


sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com sequências,

i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e  que 
(x_n) é limitada.
  Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente.

ii) Se (a_n)  é uma sequência de números reais definida por
  a_1 = 1 e  a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ).
  Mostre que 1 = a_n = 2.

Na primeira não tive muito progresso.

Na segunda consegui mostrar por indução que 1 = a_n . Que a_n = 2, não 
consegui, cheguei
a_n = 3.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] sequencias

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Artur,

sabemos que sen(x) diverge qdo x-inf... e que, se g(x) - inf qdo x-inf, 
entao: lim (x-inf) f(g(x)) = lim (x-inf) f(x) ...
deste modo, sen(ln(n)) diverge, pois ln(n)-inf qdo n-inf e sen(x) diverge 
qdo x-inf..


bom, qquer erro, por favor, me corrija!

abraços,
Salhab

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From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, February 01, 2007 3:11 PM
Subject: RES: [obm-l] sequencias


Outro contra exemplo talvez seja sen(ln(n)), mas embora pareca intuitivo que
esta sequencia divirja, ainda nao a consegui uma prova matematicamente
valida
Artur

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De: Artur Costa Steiner
Enviada em: quinta-feira, 1 de fevereiro de 2007 13:56
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RES: [obm-l] sequencias


No caso (i), a seq. não tem que ser convergente. Um contra-exemplo é a seq.
cujos termos são 0, 1, 1/2, 0, 1/3, 2/3, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, 1/5, ...

A lei de formação é um vai vem em [0,1] em que vc vai dividindo o intervalo
em subintervalos com comprimentos dados pelos  inversos dos inteiros
positivos. Vamos direto de 0 a 1, depois voltamos a 0 passando pelo 1/2,
depois vamos de novo para 1 passando agora por 1/3 e 2/3, aí voltamos para 0
por 3/4/, 2/4, 1/4 e assim sucessivamente. Esta seq. satisfaz aa condicoes
dadas mas não converge.

Artur



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De: carlos martins martins [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Enviada em: terça-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34
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Assunto: [obm-l] sequencias


sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com sequências,

i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e  que
(x_n) é limitada.
 Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente.

ii) Se (a_n)  é uma sequência de números reais definida por
 a_1 = 1 e  a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ).
 Mostre que 1 = a_n = 2.

Na primeira não tive muito progresso.

Na segunda consegui mostrar por indução que 1 = a_n . Que a_n = 2, não
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a_n = 3.

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[obm-l] sequencias

[carlos martins martins]

sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com sequências,

i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e  que 
(x_n) é limitada.

 Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente.

ii) Se (a_n)  é uma sequência de números reais definida por
 a_1 = 1 e  a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ).
 Mostre que 1 = a_n = 2.

Na primeira não tive muito progresso.

Na segunda consegui mostrar por indução que 1 = a_n . Que a_n = 2, não 
consegui, cheguei

a_n = 3.

_
Insta-le já o Windows Live Messenger. A nova geração do messenger. 
http://get.live.com/messenger/overview


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Re: [obm-l] Sequencias de funcoes continuas (Rudin)

[niski lista]

Assim,
Considere F[K] = {x | |f[n](x)| = K, pra qq n 0}.
F[K] é fechado. Deixo pra voce verificar isso.
Ora, mas R = U F[K], uniao tomada de K = 1, ateh infinito, nos naturais.
O teorema de baire garante que para algum desses F[K] tem possui um
subconjunto aberto de interior nao vazio.  Seja F[M] este conjunto.
Extraia do seu subconjunto aberto de interior nao vazio um intervalo
I. Ora, I esta contido em F[M] e por definicao para todo x em I, vale
que |f[n](x) = M|. Como queriamos.

On 6/28/06, Mouse [EMAIL PROTECTED] wrote:

Olá pessoal! Esta é a minha primeira mensagem na Lista. Sou engenheiro
de formação mas há algum tempo venho estudando análise matematica por
hobby.
Este problema que estou enviando para a lista é do livro de Walter
Rudin, Real and Complex analysis. É o 13 do capitulo 5, acredito que
ninguem nesta lista tenha problemas com ingles entao vou deixar o
enunciado na forma original.

Let {f[n]} be a sequence of continuous real functions on the line which
converges at every point. Prove that there is an interval I and a number
M  oo such that |f[n](x)|  M for every x \in I and n = 1,2,3,... 


Estou empacado nele há algumas semanas! Alguem conhece a solucao ou pode
enviar para discutirmos?

Um abraço a todos!

Mouse
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Re: [obm-l] Sequencias de funcoes continuas (Rudin)

[Artur Costa Steiner]

De fato eu tambem vi este problema mais geral numa
edicao do livro do Rudin. Eh uma edicao de um livro
compado em 2002.

Considerando a reta real, o problema que o Mouse
postou leva a uma conclusao interesante. Existe um
intervalo, logo um intervalo compacto I, no qual
|f[n](x)|  M para todo n e todo x. As funcoes f[n]
sao continuas e, portanto, Lebesgue e Riemann
integraveis em I.  As integrais de Riemann e de
Lebesgue, portanto, coincidem. A seq. f[n] eh dominada
em I por M, logo pela funcao constante g(x) = M, que
eh integravel em I. Pelo teorema da convergencia
dominada de Lebesgue, a funcao limite f eh Lebesgue
integravel em I e a seq. das integrais de Lebesgue
(que se igualam aas de Riemann ) das funcoes f[n] em I
converge para a integral de Lebesgue de f. f tambem eh
dominada por M, logo limitada em I. Mas serah que eh
Riemann integravel em I? Se o conjunto das
descontinuidades de f em I tiver medida de Lebesgue
nula, a resposta eh sim, mas nao sei se isso eh 
verdade. O conjunto destas descontinuidades eh magro
na classificacao de Baire, mas isto nao implica que
tenha mnedida nula. 

Artur

--- niski lista [EMAIL PROTECTED] wrote:

 É engraçado que esse exercicio que o Artur citou
 estava na segunda
 edicao do Real and Complex analysis. Na terceira o
 Rudin simplificou e
 só deixou a que o Mouse postou.
 
 On 6/29/06, Artur Costa Steiner
 [EMAIL PROTECTED] wrote:
  O conjunto F(K) eh fechado porque F(K) = Inter
 (n=1,
  oo) {x | |f[n](x| = K}. A continuidade de f[n]
  implica que cada um dos conjuntos desta colecao 
 seja
  fechado, o que, por sua vez implica, que F(k) seja
  fechado.
  Um ponto interessante eh que este teorema nao se
  limita ao conjunto dos reais. A mesma prova mostra
  que, se X eh um espaco de Baire, Y eh um espaco
  metrico normado e f[n] eh uma sequencia de funcoes
  continuas de X em Y que convirja em todo o X,
 entao
  existem um aberto V em X e  M0 tais que
 ||f[n](x|| 
  M para todo natural n e todo x em V.
 
  Artur
 
  --- niski lista [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
   Assim,
   Considere F[K] = {x | |f[n](x)| = K, pra qq n
 0}.
   F[K] é fechado. Deixo pra voce verificar isso.
   Ora, mas R = U F[K], uniao tomada de K = 1, ateh
   infinito, nos naturais.
   O teorema de baire garante que para algum desses
   F[K] tem possui um
   subconjunto aberto de interior nao vazio.  Seja
 F[M]
   este conjunto.
   Extraia do seu subconjunto aberto de interior
 nao
   vazio um intervalo
   I. Ora, I esta contido em F[M] e por definicao
 para
   todo x em I, vale
   que |f[n](x) = M|. Como queriamos.
  
  
  
  
  
  
   On 6/28/06, Mouse [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá pessoal! Esta é a minha primeira mensagem
 na
   Lista. Sou engenheiro
de formação mas há algum tempo venho estudando
   análise matematica por
hobby.
Este problema que estou enviando para a lista
 é do
   livro de Walter
Rudin, Real and Complex analysis. É o 13 do
   capitulo 5, acredito que
ninguem nesta lista tenha problemas com ingles
   entao vou deixar o
enunciado na forma original.
   
Let {f[n]} be a sequence of continuous real
   functions on the line which
converges at every point. Prove that there is
 an
   interval I and a number
M  oo such that |f[n](x)|  M for every x \in
 I
   and n = 1,2,3,... 
   
   
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Mouse
   
  
 

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Re: [obm-l] Sequencias de funcoes continuas (Rudin)

[Artur Costa Steiner]

O conjunto F(K) eh fechado porque F(K) = Inter (n=1,
oo) {x | |f[n](x| = K}. A continuidade de f[n]
implica que cada um dos conjuntos desta colecao  seja
fechado, o que, por sua vez implica, que F(k) seja
fechado. 
Um ponto interessante eh que este teorema nao se
limita ao conjunto dos reais. A mesma prova mostra
que, se X eh um espaco de Baire, Y eh um espaco
metrico normado e f[n] eh uma sequencia de funcoes
continuas de X em Y que convirja em todo o X, entao
existem um aberto V em X e  M0 tais que ||f[n](x|| 
M para todo natural n e todo x em V.

Artur

--- niski lista [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Assim,
 Considere F[K] = {x | |f[n](x)| = K, pra qq n 0}.
 F[K] é fechado. Deixo pra voce verificar isso.
 Ora, mas R = U F[K], uniao tomada de K = 1, ateh
 infinito, nos naturais.
 O teorema de baire garante que para algum desses
 F[K] tem possui um
 subconjunto aberto de interior nao vazio.  Seja F[M]
 este conjunto.
 Extraia do seu subconjunto aberto de interior nao
 vazio um intervalo
 I. Ora, I esta contido em F[M] e por definicao para
 todo x em I, vale
 que |f[n](x) = M|. Como queriamos.
 
 
 
 
 
 
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  ninguem nesta lista tenha problemas com ingles
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  Let {f[n]} be a sequence of continuous real
 functions on the line which
  converges at every point. Prove that there is an
 interval I and a number
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 and n = 1,2,3,... 
 
 
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[obm-l] Sequencias de funcoes continuas (Rudin)

[Mouse]

Olá pessoal! Esta é a minha primeira mensagem na Lista. Sou engenheiro 
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hobby.
Este problema que estou enviando para a lista é do livro de Walter 
Rudin, Real and Complex analysis. É o 13 do capitulo 5, acredito que 
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enunciado na forma original.


Let {f[n]} be a sequence of continuous real functions on the line which 
converges at every point. Prove that there is an interval I and a number 
M  oo such that |f[n](x)|  M for every x \in I and n = 1,2,3,... 



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enviar para discutirmos?


Um abraço a todos!

Mouse
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RES: [obm-l] Sequencias e series

[Artur Costa Steiner]

Esta sequencia e uma progressao geometrica de razao p.  A serie geometrica
associada converge se, e somente se, |p| 1, de modo que, para chegarmos na
formula que vc deu, temos que assumir que |p| 1. Do contrario, a serie
oscila (crescendo em valor absoluto), se p -1, assume apenas 1 ou 0, se p=
-1, ou vai para ifinito , se p=1.   

Eh facil chegarmos a uma formula fechada para S_n = a_1 + ...a_n. Para p1,
multiplique S_n por p, subtraia S_n e veja o quenacontece. Depois, para |p|
1, faca n = oo e veja o que acontece.

Artur 


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Ricardo Serone
Enviada em: domingo, 11 de dezembro de 2005 12:19
Para: Lista
Assunto: [obm-l] Sequencias e series
Prioridade: Alta


To precisando de ajuda nos seguintes exercicios:

1 - Seja o termo an=p^(n-1), p E R e n E N . Seja, S o somatório dos termos 
de an de 1 até  + infinito; então demonstre que
Sn = 





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[obm-l] Sequencias e series

[Ricardo Serone]

To precisando de ajuda nos seguintes exercicios:

1 - Seja o termo an=p^(n-1), p E R e n E N . Seja, S o somatório dos termos 
de an de 1 até  + infinito; então demonstre que

Sn = (p^(n)-1)/(p-1).





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Re: [obm-l] Sequencias e series

[Marcos Martinelli]

 Na verdade, S seria o limite de (p^(n)-1)/(p-1). E a sequência {a_n} é na verdade uma P.G.

Re: [obm-l] Sequencias e series

[diego andres]

Isso sai devido que aparece auma p.g. de razao p ,entao a soma dos n primeiros termos eh : a1*(q^(n)-1)\(q-1) como no caso a1=1,q=p ai vem Sn = (p^(n)-1)/(p-1).Ricardo Serone [EMAIL PROTECTED] escreveu: To precisando de ajuda nos seguintes exercicios:1 - Seja o termo an=p^(n-1), p E R e n E N . Seja, S o somatório dos termos de an de 1 até  + infinito; então demonstre queSn = (p^(n)-1)/(p-1).=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
		 
Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.

Re: [obm-l] Sequencias

[Artur Costa Steiner]

Este exemplo do Bernardo eh bem legal. Eu dei aqueles outros exemplos porque
me vieram imediatamente aa cabeca.

O exemplo do Bernardo tem uma generalizacao para espacos metricos que
contenham um subconjunto denso e enumeravel. Tais espacos sao conhecidos
pela denominacao (a meu ver, muito infeliz) de espacos separaveis. Os R^n
enquandram-se precisamente neste caso, pois o conjunto dos  pontos com
coordenadas racionais eh enumeravel e  denso em R^n . 
Se S eh um espaco metrico e D eh um subconjunto denso e enumeravel de S,
entao qualquer sequencia que enumere os elementos de D tem como conjunto dos
pontos de aderencia o proprio S. Pelos mesmos motivos que o Bernardo expos. 

A respeito do exemplo que dei sobre a funcao |sen(n)| hah uma generalizacao
baseada no seguinte teorema: se f:R_R eh continua, periodica e
nao-constante em R e seu periodo fundamental p eh irracional, entao a
sequencia f(n) eh densa em f([0,p]). 
Abracos
Artur

- Mensagem Original 
_

Bom, sem usar um exemplo sofisticado como o do Arthur, um truque bem
legal para este tipo de problema é pensar racionalmente. Ou seja, tome
uma enumeração qualquer dos racionais do intervalo [0,1] = {x_1, x_2,
x_3, ...}. É claro que isto é uma seqüência, e o mais legal é que a
aderência é todo [0,1]. Pense porquê: um número real qualquer possui
vizinhanças arbitrariamente pequenas que contém infinitos números
racionais. Assim, em qualquer ponto da sequüência, como você só
retirou uma quantidade FINITA de termos, ainda restam infinitos,
portanto NENHUMA vizinhança destes números perdeu todos os INFINITOS
racionais que ela continha. Uma das aplicações é generalizar esta
demonstração (faça exatamente o mesmo) para espaços onde os racionais
sejam densos e enumeráveis (isso é para evitar maiores patologias,
tipo dimensão não-enumerável, coisas asssim), e é exatamente igual:
faça uma enumeração dos mesmos.


OPEN Internet e Informática
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[obm-l] Sequencias

[Tertuliano Carneiro]

Ola para todos!

Alguem poderia me ajudar nesses?

1) Achar uma sequencia que tenha o intervalo [0,1] comoconjunto dosseus valores de aderencia.

2) Se existem b nao nulo e k natural tq b= x_n = n^k para todo n suficientemente grande entao lim x_n^(1/n) =1.

Notacao: x_né a sequencia x(n)
=é menor ou igual

Um abraco!__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ 

[obm-l] Sequencias de A's, B's, C's

[Claudio Buffara]

on 27.10.04 22:25, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
 A propósito, usando as letras A, B e C podemos formar 3^n palavras de n
 letras. Quantas dessas palavras não possuem dois ou mais A's adjacentes?
 
Seja f(n) o numero de palavras de n letras nas condicoes do enunciado.

Eh facil ver que f(1) = 3, f(2) = 8 e f(3) = 22.

Seja n = 3 e consideremos uma palavra de n-1 letras sem A's adjacentes.
Vamos contar de quantas formas podemos escolher a n-esima letra.

Existem 4 casos possiveis:

1) a (n-1)-esima letra eh B ==
a n-esima letra pode ser A, B ou C == 3 possibilidades

2) a (n-1)-esima letra eh C ==
a n-esima letra pode ser A, B ou C == 3 possibilidades

3) as (n-2) e (n-1)-esimas letras sao BA ==
a n-esima letra pode ser B ou C == 2 possibilidades

4) as (n-2) e (n-1)-esimas letras sao CA ==
a n-esima letra pode ser B ou C == 2 possibilidades

Casos (1) e (2) originam 6*f(n-2) palavras de n letras.
Casos (3) e (4) originam 4*f(n-3) palavras de n letras

Logo, f(n) = 6*f(n-2) + 4*f(n-3) ==

Eq. caracteristica: x^3 - 6x - 4 = 0 ==
raizes: -2, 1+raiz(3) e 1-raiz(3)

f(n) = A*(1+raiz(3))^n + B*(1-raiz(3))^n + C*(-2)^n

Substituindo n = 1, 2 e 3, usando os valores correspondentes de f(n) e
resolvendo o sistema resultante, achamos:
A = (3+2*raiz(3))/6; B = (3-2*raiz(3))/6; C = 0

Ou seja:
f(n) = (1/6)*((3+2*raiz(3))*(1+raiz(3))^n + (3-2*raiz(3))*(1-raiz(3))^n)


[]s,
Claudio.


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Re: [obm-l] Sequencias de Cauchy

[Claudio Buffara]

on 01.10.03 23:32, Felipe Pina at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 
 Gostaria que alguém esclarecesse a segunite dúvida.
 
 Seja (X,d) um espaço métrico e x_n uma seqüência satisfazendo
 d( x_(n+1), x_n ) - 0.
 Sejam m e n inteiros positivos diferentes... spg, m  n
 
 - x_m - x_n = x_m - x_(m-1) + x_(m-1) - x_(m-2) + x_(m-2) - 
 + x_(n+1) - x(n)
 
 Usando a desigualdade triangular...
 
 - 0 = d( x_m, x_n ) = d( x_m, x_(m-1)) + d( x_(m-1), x_(m-2)) + 
 + d( x_(n+1) , x(n) )
 
 Por que não posso concluir que x_n é Cauchy se cada termo do lado
 direito fica arbitrariamente pequeno ? Se fosse o caso da implicação ser
 verdadeira, teríamos que a série harmônica seria convergente, mas não
 estou conseguindo entender onde está a falha no raciocínio...
 
Oi, Felipe:

Considere a sequencia x_n = log(n).

Entao, x_(n+1) - x_n = log(1 + 1/n) -- 0, mas (x_n) nao eh Cauchy pois eh
divergente.

Um abraco,
Claudio.


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Re: [obm-l] Sequencias de Cauchy

[Felipe Pina]

   Poxa Artur, muito obrigado pela sua explicação. Era exatamente isto que 
eu não conseguia enxergar.

--
[]s
Felipe Pina
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RE: [obm-l] Sequencias de Cauchy

[Artur Costa Steiner]

Nao ha de que! Este eh de fato um ponto um tanto sutil.
Abracos
Artur 
 
 Poxa Artur, muito obrigado pela sua explicação. Era exatamente
isto
 que
 eu não conseguia enxergar.
 

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[obm-l] Sequencias de Cauchy

[Felipe Pina]

   Gostaria que alguém esclarecesse a segunite dúvida.

   Seja (X,d) um espaço métrico e x_n uma seqüência satisfazendo 
d( x_(n+1), x_n ) - 0.
   Sejam m e n inteiros positivos diferentes... spg, m  n

- x_m - x_n = x_m - x_(m-1) + x_(m-1) - x_(m-2) + x_(m-2) -  
+ x_(n+1) - x(n)

   Usando a desigualdade triangular...

- 0 = d( x_m, x_n ) = d( x_m, x_(m-1)) + d( x_(m-1), x_(m-2)) +  
+ d( x_(n+1) , x(n) )

   Por que não posso concluir que x_n é Cauchy se cada termo do lado 
direito fica arbitrariamente pequeno ? Se fosse o caso da implicação ser 
verdadeira, teríamos que a série harmônica seria convergente, mas não 
estou conseguindo entender onde está a falha no raciocínio...

Obrigado,
Felipe Pina
=
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Re: [obm-l] Sequencias de Cauchy

[Marcio Afonso A. Cohen]

Porque o numero de termos eh arbitrariamente grande.

- Original Message -
From: Felipe Pina [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, October 01, 2003 11:32 PM
Subject: [obm-l] Sequencias de Cauchy



 Gostaria que alguém esclarecesse a segunite dúvida.

 Seja (X,d) um espaço métrico e x_n uma seqüência satisfazendo
 d( x_(n+1), x_n ) - 0.
 Sejam m e n inteiros positivos diferentes... spg, m  n

 - x_m - x_n = x_m - x_(m-1) + x_(m-1) - x_(m-2) + x_(m-2) - 
 + x_(n+1) - x(n)

 Usando a desigualdade triangular...

 - 0 = d( x_m, x_n ) = d( x_m, x_(m-1)) + d( x_(m-1), x_(m-2)) + 
 + d( x_(n+1) , x(n) )

 Por que não posso concluir que x_n é Cauchy se cada termo do lado
 direito fica arbitrariamente pequeno ? Se fosse o caso da implicação ser
 verdadeira, teríamos que a série harmônica seria convergente, mas não
 estou conseguindo entender onde está a falha no raciocínio...

 Obrigado,
 Felipe Pina
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[obm-l] Sequencias-questao 6 OBMU

[peterdirichlet2002]

Oi turma!!!Alguem sabe como obter a formula fechada para aquele problema
6 da OBMU, sem usar induçao,como na oficial,mais ou menos como series formais?
Falando nisso, apesar de eu ser ainda nivel 3 achei a prova do nivel U o
maximo!!!As questoes 1,2 e 5 poderiam cair no nivel tres e eram bem legais.A
do polinomio estava otima!
E entao,o que voces acham?



--
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Re: [obm-l] Sequencias convergentes

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira]

   Bem, voce quase ja' provou isso: a monotonicidade mostra que a(n)
converge a a e b(b) a b com a=1=b. Para n grande trocamos um par perto de
(a,b) por um par perto de (a.b,b) ou por um par perto de (a,a.b). Assim,
devemos ter a.b=a, donde b=1 ou a.b=b, donde a=1. Assim, a=1 ou b=1. Se a=1
e b1, para n grande acabamos caindo sempre no segundo caso, mas ai
a(n+1)=a(n), e logo a(n) fica constante e menor que 1 a partir desse ponto,
e logo converge a essa constante menor que 1, contradizendo a=1. O outro
caso (a1 e b=1) e' analogo, e portanto devemos ter a=b=1.
   Abracos,
Gugu
  

Oi, pessoal:

Noutro dia o Marcio Cohen deu uma bela demonstracao, usando fracoes
continuas, de que o conjunto {n*a - m; a irracional positivo, m,n: inteiros
positivos} eh denso em R.

A demonstracao do Marcio pode ser adaptada para se provar o seguinte:

Sejam a, b reais tais que 0  a  1  b e a^m*b^n  1, para quaisquer m, n
inteiros positivos.
Sejam as sequencias (a(k)) e (b(k)) definidas por:
a(1) = a; b(1) = b
Para n = 1:
a(n)*b(n)  1 == a(n+1) = a(n)*b(n)  e  b(n+1) = b(n);
a(n)*b(n)  1 == a(n+1) = a(n)  e  b(n+1) = a(n)*b(n).
Prove que: lim a(n) = lim b(n) = 1.

Levando em conta que a^m*b^n  1 para quaisquer inteiros positivos m e n se
e somente se log_b(a) eh irracional, nos caimos no problema anterior e
acabou...

Eu gostaria de ver uma demonstracao mais elementar deste resultado.

Por exemplo, eh facil ver que a(n) e b(n) sao monotonas e limitadas. Assim,
falta provar que sup(a(n)) = inf(b(n)) = 1.

Qulquer dica serah bem-vinda.

Um abraco,
Claudio.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Sequencias convergentes

[Claudio Buffara]

Nossa! Eu estava tao fixado em logaritmos, irracionais, fracoes continuas e
casas de pombos que acabei nao vendo o obvio == acabei desobedecendo o
axioma numero 2...

Obrigado, Gugu!

Um abraco,
Claudio.

on 16.09.03 20:19, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at [EMAIL PROTECTED]
wrote:

 Bem, voce quase ja' provou isso: a monotonicidade mostra que a(n)
 converge a a e b(b) a b com a=1=b. Para n grande trocamos um par perto de
 (a,b) por um par perto de (a.b,b) ou por um par perto de (a,a.b). Assim,
 devemos ter a.b=a, donde b=1 ou a.b=b, donde a=1. Assim, a=1 ou b=1. Se a=1
 e b1, para n grande acabamos caindo sempre no segundo caso, mas ai
 a(n+1)=a(n), e logo a(n) fica constante e menor que 1 a partir desse ponto,
 e logo converge a essa constante menor que 1, contradizendo a=1. O outro
 caso (a1 e b=1) e' analogo, e portanto devemos ter a=b=1.
 Abracos,
 Gugu
 
 
 Oi, pessoal:
 
 Noutro dia o Marcio Cohen deu uma bela demonstracao, usando fracoes
 continuas, de que o conjunto {n*a - m; a irracional positivo, m,n: inteiros
 positivos} eh denso em R.
 
 A demonstracao do Marcio pode ser adaptada para se provar o seguinte:
 
 Sejam a, b reais tais que 0  a  1  b e a^m*b^n  1, para quaisquer m, n
 inteiros positivos.
 Sejam as sequencias (a(k)) e (b(k)) definidas por:
 a(1) = a; b(1) = b
 Para n = 1:
 a(n)*b(n)  1 == a(n+1) = a(n)*b(n)  e  b(n+1) = b(n);
 a(n)*b(n)  1 == a(n+1) = a(n)  e  b(n+1) = a(n)*b(n).
 Prove que: lim a(n) = lim b(n) = 1.
 
 Levando em conta que a^m*b^n  1 para quaisquer inteiros positivos m e n se
 e somente se log_b(a) eh irracional, nos caimos no problema anterior e
 acabou...
 
 Eu gostaria de ver uma demonstracao mais elementar deste resultado.
 
 Por exemplo, eh facil ver que a(n) e b(n) sao monotonas e limitadas. Assim,
 falta provar que sup(a(n)) = inf(b(n)) = 1.
 
 Qulquer dica serah bem-vinda.
 
 Um abraco,
 Claudio.
 
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Re: [obm-l] Sequencias

[Manuel Valentim Pera]

Boa noite,

  Sobre seqüências de números reais que tem a propriedade

  Seja x_{k} uma sequencia de numeros reais tal que
 
  lim | x_{k+1} - x_{k} | = 0
 



  há uma coisa a mais que talvez mereça ser citada:

Vale o seguinte resultado:

  Suponha que a seqüência (x_k) de reais tem a propriedade acima.
  Se a é o limite inferior de (x_k) e b é o limite superior de (x_k) (a ou
b podem ser +- infinito) então para todo ponto z pertencente a [a,b]
existe uma subseqüência (x_(k_j)) de (x_k) que converge para z.

  (Chame-se a esta propriedade P*)

  A recíproca disto é falsa, mas vale a seguinte coisa, se (x_k) tem a
propriedade P* existe uma subseqüência (x_(k_j)) de (x_k), tal
que (x_(k_j)) tem
mesmo limite inferior que (x_k), mesmo limite superior que (x_k), e a
seqüência (x_(k_j)) tem a propriedade

lim | x_{k_{j+1}} - x_{k_j} | = 0

  As demonstrações disso eu fiz há algum tempo atrás, mas acho mais
divertido deixar para vocês pensarem.

Manuel Garcia

=
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Re: [obm-l] Sequencias

[Salvador Addas Zanata]

Pessoal,

Disse bobagem no item c).


Obrigado pela correcao, Manoel.


Segue o e-mail dele abaixo com a correcao.



Mais uma vez obrigado ao Manoel.



Um abraco,


Salvador



On Wed, 16 Jul 2003, Manuel Valentim Pera wrote:

 Salvador,

Mande um email para a lista dizendo que isso foi um engano, e' falso...

Eu procuro voce amanha e mostro um contra-exemplo.

A ideia e' comecar em 1 diminuir de 1/2 em 1/2 ate' ficar negativo
 depois cresca de 1/3 em 1/3 ate' passar 1, depois diminuir de 1/4 em 1/4
 ate' ficar negativo, ai' cresce de 1/5 em 1/5 ate'...

   Essa sequencia tem a propriedade desejada, e todos os pontos do
 intervalo [0,1] sao pontos limite da sequencia.

 Valem algumas coisas mais.

 Abraco,

 Mane'

 On Wed, 16 Jul 2003, Salvador Addas Zanata wrote:

 
 
  On Wed, 16 Jul 2003 [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
   Seja x_{k} uma sequencia de numeros reais tal que
  
   lim | x_{k+1} - x_{k} | = 0
  
   para cada item, demonstre ou dê um contra-exemplo:
  
   a) x_{k} é limitada.
 
  Se x_{k}=x_{k-1}+1/k, com x_{0}=0, entao x_{k} nao e limitada.
 
 
   b) x_{k} é convergente.
 
 
  Nao eh, pelo exemplo acima.
 
 
   c) se x_{k} é limitada então x_{k} é convergente.
  
 
  Isso eh verdade, e so imaginar que se ela nao fosse convergente, teria 2
  pontos de acumulacao pelo menos e isso implica um absurdo com a sua
  hipotese. Lembre que num compacto, toda seq. tem pontos de acumulacao.
 
 
 
  Abraco,
 
  Salvador
 
 
 
 
 
   agradeço qualquer ajuda !
  
  
  
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Re: [obm-l] Sequencias

[gugu]

   Outro contra-exemplo simpatico para o item c) e' x_k=cos(raiz(k)).
   Abracos,
   Gugu

Quoting Salvador Addas Zanata [EMAIL PROTECTED]:

 
 Pessoal,
 
 Disse bobagem no item c).
 
 
 Obrigado pela correcao, Manoel.
 
 
 Segue o e-mail dele abaixo com a correcao.
 
 
 
 Mais uma vez obrigado ao Manoel.
 
 
 
 Um abraco,
 
 
 Salvador
 
 
 
 On Wed, 16 Jul 2003, Manuel Valentim Pera wrote:
 
  Salvador,
 
 Mande um email para a lista dizendo que isso foi um engano, e'
 falso...
 
 Eu procuro voce amanha e mostro um contra-exemplo.
 
 A ideia e' comecar em 1 diminuir de 1/2 em 1/2 ate' ficar negativo
  depois cresca de 1/3 em 1/3 ate' passar 1, depois diminuir de 1/4 em 1/4
  ate' ficar negativo, ai' cresce de 1/5 em 1/5 ate'...
 
Essa sequencia tem a propriedade desejada, e todos os pontos do
  intervalo [0,1] sao pontos limite da sequencia.
 
  Valem algumas coisas mais.
 
  Abraco,
 
  Mane'
 
  On Wed, 16 Jul 2003, Salvador Addas Zanata wrote:
 
  
  
   On Wed, 16 Jul 2003 [EMAIL PROTECTED] wrote:
  
Seja x_{k} uma sequencia de numeros reais tal que
   
lim | x_{k+1} - x_{k} | = 0
   
para cada item, demonstre ou dê um contra-exemplo:
   
a) x_{k} é limitada.
  
   Se x_{k}=x_{k-1}+1/k, com x_{0}=0, entao x_{k} nao e limitada.
  
  
b) x_{k} é convergente.
  
  
   Nao eh, pelo exemplo acima.
  
  
c) se x_{k} é limitada então x_{k} é convergente.
   
  
   Isso eh verdade, e so imaginar que se ela nao fosse convergente, teria
 2
   pontos de acumulacao pelo menos e isso implica um absurdo com a sua
   hipotese. Lembre que num compacto, toda seq. tem pontos de acumulacao.
  
  
  
   Abraco,
  
   Salvador
  
  
  
  
  
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[obm-l] Sequencias

[ghaeser]

Seja x_{k} uma sequencia de numeros reais tal que

lim | x_{k+1} - x_{k} | = 0

para cada item, demonstre ou dê um contra-exemplo:

a) x_{k} é limitada.
b) x_{k} é convergente.
c) se x_{k} é limitada então x_{k} é convergente.

agradeço qualquer ajuda !



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Re: [obm-l] Sequencias

[Salvador Addas Zanata]

On Wed, 16 Jul 2003 [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Seja x_{k} uma sequencia de numeros reais tal que
 
 lim | x_{k+1} - x_{k} | = 0
 
 para cada item, demonstre ou dê um contra-exemplo:
 
 a) x_{k} é limitada.

Se x_{k}=x_{k-1}+1/k, com x_{0}=0, entao x_{k} nao e limitada.


 b) x_{k} é convergente.


Nao eh, pelo exemplo acima.


 c) se x_{k} é limitada então x_{k} é convergente.
 

Isso eh verdade, e so imaginar que se ela nao fosse convergente, teria 2
pontos de acumulacao pelo menos e isso implica um absurdo com a sua
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Abraco,

Salvador





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Re: [obm-l] Sequencias

[A. C. Morgado]

x(k) = ln(k) e x(k) = sqrt(k) sao bonitos contra-exemplos  para, 
simultaneamente, a e b.
Para nao desperdiçar o e-mail, aqui vai uma pergunta relativa ao item c. 
E se fosse x(k+2) em vez de x(k+1)?

[EMAIL PROTECTED] wrote:

Seja x_{k} uma sequencia de numeros reais tal que

lim | x_{k+1} - x_{k} | = 0

para cada item, demonstre ou dê um contra-exemplo:

a) x_{k} é limitada.
b) x_{k} é convergente.
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[obm-l] Re: [obm-l] Sequencias

[ghaeser]

Se fosse x{k+2}, tome x{k}=(-1)^k ..
x{k+2}-x{k}=0 , é limitada mas não converge.

Obrigado Morgado e Salvador pelas respostas !

Gabriel Haeser


-- Mensagem original --

x(k) = ln(k) e x(k) = sqrt(k) sao bonitos contra-exemplos  para, 
simultaneamente, a e b.
Para nao desperdiçar o e-mail, aqui vai uma pergunta relativa ao item c.

E se fosse x(k+2) em vez de x(k+1)?

[EMAIL PROTECTED] wrote:

Seja x_{k} uma sequencia de numeros reais tal que

lim | x_{k+1} - x_{k} | = 0

para cada item, demonstre ou dê um contra-exemplo:

a) x_{k} é limitada.
b) x_{k} é convergente.
c) se x_{k} é limitada então x_{k} é convergente.

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Re: [obm-l] sequencias

[larryp]

Com 4 termos, pode ser um monte de coisas, mas eu 
chutaria que é a sequencia dos dobros dos números primos.

Você já conhece esta aqui?
1 , 11 , 21 , 
1211 , 111221 , 


Pra quem gosta de sequências, aqui tem uma boa que 
está me dando trabalho.

Defina a seguinte seqência:

X(1) = 1

Para n  1:
X(n) = menor inteiro positivo tal que:
a) X(n) é diferente de todos os termos 
anteriores;
b) X(1) + X(2) + ... + X(n) é múltiplo de 
n.

Assim, X(2) = 3, X(3) = 2, X(4) = 6, 
etc...

Prove que todos os inteiros positivos aparecem 
exatamente uma vez nesta sequencia.

Um abraço,
Claudio.

  - Original Message - 
  From: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Monday, December 30, 2002 9:18 
  PM
  Subject: [obm-l] sequencias
  Desculpem não é 
  2,6,10,14 mas sim 4,6,10,14.