Re: [obm-l] Integral nula

[Artur Steiner]

Aliás, no momento eu não me lembro se os conjuntos magros são da 1a ou da
2a categoria. O G e o F de Gdelta e de Fsigma são iniciais de palavras
quilométricas em alemão. A letra grega sigma geralmente significa uma
característica relativa a enumerabilidade, como sigma-álgebra, sigma-finito.

Artur Costa Steiner

Em seg, 27 de ago de 2018 14:45, Artur Costa Steiner 
escreveu:

> Eu acho que a grande maioria dos alunos iria julgar que este tipo de
> discussão não serve para nada. Pouquíssimos iriam ficar motivados.Os
> participantes desta lista são exceção.
>
> Quanto ao problema que o Cláudio propôs, uma forma de provar é com base no
> fato de que o conjunto das continuidades de uma função de R em R é um
> Gdelta (isto é uma particularização para R de funções entre espaços
> topológicos). E os racionais não sâo um Gdelta.
>
> Se Q fosse Gdelta, o conjunto dos irracionais I seria Fsigma e,
> consequentemente, estaria contido numa união enumerável de fechados. Como I
> tem interior vazio, todos estes fechados teriam interior vazio e I seria
> "magro" na classificação dr Baire. Mas isto implicaria que R =  I união Q
> fosse magro, contrariamente ao fato de que R é um espaço de Baire.
>
> Uma possível prova de que o conjunto das continuidades é Gdelta baseia-se
> no conceito de oscilaçào de uma função em um ponto e em um conjunto.
>
> Artur
>
> Em 27 de ago de 2018 11:03, "Claudio Buffara" 
> escreveu:
>
> Acho que você foi uma exceção.
>
> Se foi uma aula de cálculo normal, pra alunos normais, o mais provável é
> que mais da metade da turma não tenha entendido os detalhes técnicos e
> muito menos a significância do exemplo, já que realmente é muito difícil
> (pelo menos pra mim) visualizar a situação "patológica" de uma função
> continua nos irracionais mas descontínua nos racionais. Até porque, a meu
> ver, a definição de continuidade é, dentre todas que aparecem num curso de
> cálculo, a que leva mais tempo pra ser digerida (muito mais do que derivada
> e integral, por exemplo, em que a situação pode ser visualizada com muito
> mais facilidade).
>
> Dito isso, não acho que este exemplo vá conseguir motivar quem quer que
> seja a estudar matemática. Acho que quem se empolga com ele já foi
> "fisgado" pela matemática muito antes, talvez no ensino fundamental, e
> muito provavelmente começou a estudar cálculo antes dele ser exigido
> oficialmente na escola ou faculdade.
>
> De qualquer forma, aqui vai um problema que complementa o da função de
> Thomae (e eu não sabia que ela tinha este nome!): prove que não existe uma
> função de R em R que seja contínua nos racionais e descontínua nos
> irracionais.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Sun, Aug 26, 2018 at 4:34 PM Thácio Hahn dos Santos 
> wrote:
>
>> Uma variação interessante da segunda parte do problema, pra quem não
>> conhece, é a Função de Thomae, onde c(x) passa a valer 1/q para todo x
>> racional diferente de zero expresso por p/q, com p e q primos entre si.
>> Tomando, sem perda de generalidade, um epsilon racional 1/r, tem-se c(x) <
>> epsilon para todo x racional p/q com q > r. c(x) só pode exceder epsilon,
>> portanto, quando q <= r, restando um número finito de possibilidades para
>> q, dado algum r. Toma-se delta como a menor distância entre x e um desses
>> (finitos) pontos em que c excede epsilon. Segue que c é contínua nos
>> irracionais, ao contrário da função do problema inicial.
>> E é também Riemann-integrável com integral zero, já que o conjunto de
>> pontos em que a  função é positiva (racionais) é enumerável e portanto tem
>> medida de Lebesgue nula, sendo desprezível na integração.
>>
>> Foi a menção a essa função, por parte de um professor de Cálculo no
>> primeiro semestre da faculdade, destacando suas propriedades estranhas por
>> ser integrável em qualquer intervalo sem ser diferenciável em ponto algum,
>> que eu despertei interesse pelo Cálculo e mais especificamente pelas
>> famigeradas funções patológicas, rs. Essas curiosidades e exemplos exóticos
>> são excelentes pra chamar atenção da garotada. Fica aí uma dica aos
>> professores e futuros professores da lista.
>>
>> Um abraço.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral nula

[Claudio Buffara]

Acho que poucas áreas da matemática têm uma nomenclatura pior (menos
intuitiva) do que a teoria de Baire. G-delta, F-sigma, conjuntos de
primeira e segunda categoria, etc. É de lascar...
"Conjunto Magro" já é um pouquinho melhor.


On Mon, Aug 27, 2018 at 2:45 PM Artur Costa Steiner 
wrote:

> Eu acho que a grande maioria dos alunos iria julgar que este tipo de
> discussão não serve para nada. Pouquíssimos iriam ficar motivados.Os
> participantes desta lista são exceção.
>
> Quanto ao problema que o Cláudio propôs, uma forma de provar é com base no
> fato de que o conjunto das continuidades de uma função de R em R é um
> Gdelta (isto é uma particularização para R de funções entre espaços
> topológicos). E os racionais não sâo um Gdelta.
>
> Se Q fosse Gdelta, o conjunto dos irracionais I seria Fsigma e,
> consequentemente, estaria contido numa união enumerável de fechados. Como I
> tem interior vazio, todos estes fechados teriam interior vazio e I seria
> "magro" na classificação dr Baire. Mas isto implicaria que R =  I união Q
> fosse magro, contrariamente ao fato de que R é um espaço de Baire.
>
> Uma possível prova de que o conjunto das continuidades é Gdelta baseia-se
> no conceito de oscilaçào de uma função em um ponto e em um conjunto.
>
> Artur
>
> Em 27 de ago de 2018 11:03, "Claudio Buffara" 
> escreveu:
>
> Acho que você foi uma exceção.
>
> Se foi uma aula de cálculo normal, pra alunos normais, o mais provável é
> que mais da metade da turma não tenha entendido os detalhes técnicos e
> muito menos a significância do exemplo, já que realmente é muito difícil
> (pelo menos pra mim) visualizar a situação "patológica" de uma função
> continua nos irracionais mas descontínua nos racionais. Até porque, a meu
> ver, a definição de continuidade é, dentre todas que aparecem num curso de
> cálculo, a que leva mais tempo pra ser digerida (muito mais do que derivada
> e integral, por exemplo, em que a situação pode ser visualizada com muito
> mais facilidade).
>
> Dito isso, não acho que este exemplo vá conseguir motivar quem quer que
> seja a estudar matemática. Acho que quem se empolga com ele já foi
> "fisgado" pela matemática muito antes, talvez no ensino fundamental, e
> muito provavelmente começou a estudar cálculo antes dele ser exigido
> oficialmente na escola ou faculdade.
>
> De qualquer forma, aqui vai um problema que complementa o da função de
> Thomae (e eu não sabia que ela tinha este nome!): prove que não existe uma
> função de R em R que seja contínua nos racionais e descontínua nos
> irracionais.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Sun, Aug 26, 2018 at 4:34 PM Thácio Hahn dos Santos 
> wrote:
>
>> Uma variação interessante da segunda parte do problema, pra quem não
>> conhece, é a Função de Thomae, onde c(x) passa a valer 1/q para todo x
>> racional diferente de zero expresso por p/q, com p e q primos entre si.
>> Tomando, sem perda de generalidade, um epsilon racional 1/r, tem-se c(x) <
>> epsilon para todo x racional p/q com q > r. c(x) só pode exceder epsilon,
>> portanto, quando q <= r, restando um número finito de possibilidades para
>> q, dado algum r. Toma-se delta como a menor distância entre x e um desses
>> (finitos) pontos em que c excede epsilon. Segue que c é contínua nos
>> irracionais, ao contrário da função do problema inicial.
>> E é também Riemann-integrável com integral zero, já que o conjunto de
>> pontos em que a  função é positiva (racionais) é enumerável e portanto tem
>> medida de Lebesgue nula, sendo desprezível na integração.
>>
>> Foi a menção a essa função, por parte de um professor de Cálculo no
>> primeiro semestre da faculdade, destacando suas propriedades estranhas por
>> ser integrável em qualquer intervalo sem ser diferenciável em ponto algum,
>> que eu despertei interesse pelo Cálculo e mais especificamente pelas
>> famigeradas funções patológicas, rs. Essas curiosidades e exemplos exóticos
>> são excelentes pra chamar atenção da garotada. Fica aí uma dica aos
>> professores e futuros professores da lista.
>>
>> Um abraço.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral nula

[Artur Costa Steiner]

Eu acho que a grande maioria dos alunos iria julgar que este tipo de
discussão não serve para nada. Pouquíssimos iriam ficar motivados.Os
participantes desta lista são exceção.

Quanto ao problema que o Cláudio propôs, uma forma de provar é com base no
fato de que o conjunto das continuidades de uma função de R em R é um
Gdelta (isto é uma particularização para R de funções entre espaços
topológicos). E os racionais não sâo um Gdelta.

Se Q fosse Gdelta, o conjunto dos irracionais I seria Fsigma e,
consequentemente, estaria contido numa união enumerável de fechados. Como I
tem interior vazio, todos estes fechados teriam interior vazio e I seria
"magro" na classificação dr Baire. Mas isto implicaria que R =  I união Q
fosse magro, contrariamente ao fato de que R é um espaço de Baire.

Uma possível prova de que o conjunto das continuidades é Gdelta baseia-se
no conceito de oscilaçào de uma função em um ponto e em um conjunto.

Artur

Em 27 de ago de 2018 11:03, "Claudio Buffara" 
escreveu:

Acho que você foi uma exceção.

Se foi uma aula de cálculo normal, pra alunos normais, o mais provável é
que mais da metade da turma não tenha entendido os detalhes técnicos e
muito menos a significância do exemplo, já que realmente é muito difícil
(pelo menos pra mim) visualizar a situação "patológica" de uma função
continua nos irracionais mas descontínua nos racionais. Até porque, a meu
ver, a definição de continuidade é, dentre todas que aparecem num curso de
cálculo, a que leva mais tempo pra ser digerida (muito mais do que derivada
e integral, por exemplo, em que a situação pode ser visualizada com muito
mais facilidade).

Dito isso, não acho que este exemplo vá conseguir motivar quem quer que
seja a estudar matemática. Acho que quem se empolga com ele já foi
"fisgado" pela matemática muito antes, talvez no ensino fundamental, e
muito provavelmente começou a estudar cálculo antes dele ser exigido
oficialmente na escola ou faculdade.

De qualquer forma, aqui vai um problema que complementa o da função de
Thomae (e eu não sabia que ela tinha este nome!): prove que não existe uma
função de R em R que seja contínua nos racionais e descontínua nos
irracionais.

[]s,
Claudio.


On Sun, Aug 26, 2018 at 4:34 PM Thácio Hahn dos Santos 
wrote:

> Uma variação interessante da segunda parte do problema, pra quem não
> conhece, é a Função de Thomae, onde c(x) passa a valer 1/q para todo x
> racional diferente de zero expresso por p/q, com p e q primos entre si.
> Tomando, sem perda de generalidade, um epsilon racional 1/r, tem-se c(x) <
> epsilon para todo x racional p/q com q > r. c(x) só pode exceder epsilon,
> portanto, quando q <= r, restando um número finito de possibilidades para
> q, dado algum r. Toma-se delta como a menor distância entre x e um desses
> (finitos) pontos em que c excede epsilon. Segue que c é contínua nos
> irracionais, ao contrário da função do problema inicial.
> E é também Riemann-integrável com integral zero, já que o conjunto de
> pontos em que a  função é positiva (racionais) é enumerável e portanto tem
> medida de Lebesgue nula, sendo desprezível na integração.
>
> Foi a menção a essa função, por parte de um professor de Cálculo no
> primeiro semestre da faculdade, destacando suas propriedades estranhas por
> ser integrável em qualquer intervalo sem ser diferenciável em ponto algum,
> que eu despertei interesse pelo Cálculo e mais especificamente pelas
> famigeradas funções patológicas, rs. Essas curiosidades e exemplos exóticos
> são excelentes pra chamar atenção da garotada. Fica aí uma dica aos
> professores e futuros professores da lista.
>
> Um abraço.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral nula

[Claudio Buffara]

Meu comentário foi puramente de ordem didática e motivacional.

Numa aula de cálculo 1, em que a grande maioria dos alunos está sendo
exposta a vários conceitos novos e, talvez pela primeira vez, a
demonstrações rigorosas de teoremas, existem muitas fichas que precisam
cair antes que um exemplo tal como a função de Thomae possa ser
adequadamente compreendido. Assim, a apresentação dela em tal curso pode
até ser contraproducente do ponto de vista didático, confundindo ainda mais
alunos que já estavam confusos.

Eu acho que as pessoas que gostam de matemática são atraídas pela matéria
antes mesmo do ensino médio. E a maior parte destas descobre a matemática
por conta própria, fora das aulas oficiais da escola, já que o currículo e
os livros didáticos atuais não ajudam (a meu ver!) a despertar o interesse.

Há quem diga que continuidade só deveria ser apresentada num segundo curso
de cálculo ou num curso de análise real, após o estudante ter se acostumado
com conceitos que, do ponto de vista didático, deveriam vir antes, tais
como limites, derivadas, integrais e séries. O falecido professor Geraldo
Ávila defendia esta posição. Vide o artigo dele no no. 33 (dez/2002) da
Revista Matemática Universitária. Para uma opinião divergente, veja o
artigo da profa. Alciléia de Mello no no. 4 (dez/1986) da mesma revista.
Ambos podem ser encontrados aqui: https://rmu.sbm.org.br/artigos/

Em particular, eu gosto muito da ideia da profa. Alciléia de interpretar
epsilons e deltas como margens de erro (um conceito razoavelmente
concreto), e acho até que é possível elaborar um primeiro curso de cálculo
com base nesta ideia.

Se você pensar bem, a maioria dos conceitos do cálculo diz respeito à
aproximação de funções por meio de funções mais simples - por exemplo, a
derivada, mesmo (e talvez especialmente) em várias variáveis, é a
aproximação de uma função arbitrária (que cumpre certas condições) por meio
de uma função afim; uma série de potências é a aproximação de uma função
por um polinômio; a integral de Riemann é a aproximação de uma função
arbitrária por funções degrau; etc. E, como em todo processo de
aproximação, é preciso falar em margem de erro.

De resto, eu gostaria de ver uma aplicação da função de Thomae que não
fosse como exemplo de função contínua nos irracionais e descontínua nos
racionais. E não vale falar em "fractal", pois um exemplo melhor disso é o
da função de Weierstrass, contínua em todo ponto mas sem derivada em ponto
algum.

[]s,
Claudio.



On Mon, Aug 27, 2018 at 12:18 PM Thácio Hahn dos Santos 
wrote:

> A função foi apenas mencionada, junto com a Função de Dirichlet, e suas
> propriedades foram descritas obviamente sem ser demonstradas. Foi só um
> exemplo curioso que contraria a noção intuitiva de continuidade e mesmo de
> integrabilidade das funções mais cotidianas. Foi apenas um parênteses de 5
> minutos numa aula normal para calouros que mal sabiam integrar, não uma
> aula de análise sobre demonstração por epsilons e deltas para prodígios
> apaixonados por Matemática. O nome da função sequer foi mencionado e eu só
> fui saciar a curiosidade de entender o porquê de suas propriedades anos
> mais tarde, folheando um livro do Elon. A demonstração (bem grosseira, por
> sinal) que fiz acima foi omitida na aula e só deixei aqui supondo que
> pudesse ser útil a alguém da lista.
> Acho essa "fuga" dos assuntos mais práticos (embora a Função de Thomae não
> seja em hipótese alguma inútil ou sem aplicação) bastante saudável e era
> consenso, pelo menos na minha turma, que era preferível saber que aquilo
> que aprendemos está lastreado em definições rigorosas (que conheceríamos e
> compreenderíamos só mais tarde) e que não se sai ensinando continuidade
> como "aquele gráfico em que não se tira o lápis do papel". Mas são apenas
> opiniões.
> Em todo o caso, é possível sim que eu seja mesmo só uma exceção.
>
> Um abraço.
>
> On Aug 27, 2018 11:03 AM, "Claudio Buffara" 
> wrote:
>
> Acho que você foi uma exceção.
>
> Se foi uma aula de cálculo normal, pra alunos normais, o mais provável é
> que mais da metade da turma não tenha entendido os detalhes técnicos e
> muito menos a significância do exemplo, já que realmente é muito difícil
> (pelo menos pra mim) visualizar a situação "patológica" de uma função
> continua nos irracionais mas descontínua nos racionais. Até porque, a meu
> ver, a definição de continuidade é, dentre todas que aparecem num curso de
> cálculo, a que leva mais tempo pra ser digerida (muito mais do que derivada
> e integral, por exemplo, em que a situação pode ser visualizada com muito
> mais facilidade).
>
> Dito isso, não acho que este exemplo vá conseguir motivar quem quer que
> seja a estudar matemática. Acho que quem se empolga com ele já foi
> "fisgado" pela matemática muito antes, talvez no ensino fundamental, e
> muito provavelmente começou a estudar cálculo antes dele ser exigido
> oficialmente na escola ou faculdade.
>
> De qualquer forma, aqui vai um problema que complementa o 

Re: [obm-l] Integral nula

[Thácio Hahn dos Santos]

A função foi apenas mencionada, junto com a Função de Dirichlet, e suas
propriedades foram descritas obviamente sem ser demonstradas. Foi só um
exemplo curioso que contraria a noção intuitiva de continuidade e mesmo de
integrabilidade das funções mais cotidianas. Foi apenas um parênteses de 5
minutos numa aula normal para calouros que mal sabiam integrar, não uma
aula de análise sobre demonstração por epsilons e deltas para prodígios
apaixonados por Matemática. O nome da função sequer foi mencionado e eu só
fui saciar a curiosidade de entender o porquê de suas propriedades anos
mais tarde, folheando um livro do Elon. A demonstração (bem grosseira, por
sinal) que fiz acima foi omitida na aula e só deixei aqui supondo que
pudesse ser útil a alguém da lista.
Acho essa "fuga" dos assuntos mais práticos (embora a Função de Thomae não
seja em hipótese alguma inútil ou sem aplicação) bastante saudável e era
consenso, pelo menos na minha turma, que era preferível saber que aquilo
que aprendemos está lastreado em definições rigorosas (que conheceríamos e
compreenderíamos só mais tarde) e que não se sai ensinando continuidade
como "aquele gráfico em que não se tira o lápis do papel". Mas são apenas
opiniões.
Em todo o caso, é possível sim que eu seja mesmo só uma exceção.

Um abraço.

On Aug 27, 2018 11:03 AM, "Claudio Buffara" 
wrote:

Acho que você foi uma exceção.

Se foi uma aula de cálculo normal, pra alunos normais, o mais provável é
que mais da metade da turma não tenha entendido os detalhes técnicos e
muito menos a significância do exemplo, já que realmente é muito difícil
(pelo menos pra mim) visualizar a situação "patológica" de uma função
continua nos irracionais mas descontínua nos racionais. Até porque, a meu
ver, a definição de continuidade é, dentre todas que aparecem num curso de
cálculo, a que leva mais tempo pra ser digerida (muito mais do que derivada
e integral, por exemplo, em que a situação pode ser visualizada com muito
mais facilidade).

Dito isso, não acho que este exemplo vá conseguir motivar quem quer que
seja a estudar matemática. Acho que quem se empolga com ele já foi
"fisgado" pela matemática muito antes, talvez no ensino fundamental, e
muito provavelmente começou a estudar cálculo antes dele ser exigido
oficialmente na escola ou faculdade.

De qualquer forma, aqui vai um problema que complementa o da função de
Thomae (e eu não sabia que ela tinha este nome!): prove que não existe uma
função de R em R que seja contínua nos racionais e descontínua nos
irracionais.

[]s,
Claudio.


On Sun, Aug 26, 2018 at 4:34 PM Thácio Hahn dos Santos 
wrote:

> Uma variação interessante da segunda parte do problema, pra quem não
> conhece, é a Função de Thomae, onde c(x) passa a valer 1/q para todo x
> racional diferente de zero expresso por p/q, com p e q primos entre si.
> Tomando, sem perda de generalidade, um epsilon racional 1/r, tem-se c(x) <
> epsilon para todo x racional p/q com q > r. c(x) só pode exceder epsilon,
> portanto, quando q <= r, restando um número finito de possibilidades para
> q, dado algum r. Toma-se delta como a menor distância entre x e um desses
> (finitos) pontos em que c excede epsilon. Segue que c é contínua nos
> irracionais, ao contrário da função do problema inicial.
> E é também Riemann-integrável com integral zero, já que o conjunto de
> pontos em que a  função é positiva (racionais) é enumerável e portanto tem
> medida de Lebesgue nula, sendo desprezível na integração.
>
> Foi a menção a essa função, por parte de um professor de Cálculo no
> primeiro semestre da faculdade, destacando suas propriedades estranhas por
> ser integrável em qualquer intervalo sem ser diferenciável em ponto algum,
> que eu despertei interesse pelo Cálculo e mais especificamente pelas
> famigeradas funções patológicas, rs. Essas curiosidades e exemplos exóticos
> são excelentes pra chamar atenção da garotada. Fica aí uma dica aos
> professores e futuros professores da lista.
>
> Um abraço.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral nula

[Claudio Buffara]

Acho que você foi uma exceção.

Se foi uma aula de cálculo normal, pra alunos normais, o mais provável é
que mais da metade da turma não tenha entendido os detalhes técnicos e
muito menos a significância do exemplo, já que realmente é muito difícil
(pelo menos pra mim) visualizar a situação "patológica" de uma função
continua nos irracionais mas descontínua nos racionais. Até porque, a meu
ver, a definição de continuidade é, dentre todas que aparecem num curso de
cálculo, a que leva mais tempo pra ser digerida (muito mais do que derivada
e integral, por exemplo, em que a situação pode ser visualizada com muito
mais facilidade).

Dito isso, não acho que este exemplo vá conseguir motivar quem quer que
seja a estudar matemática. Acho que quem se empolga com ele já foi
"fisgado" pela matemática muito antes, talvez no ensino fundamental, e
muito provavelmente começou a estudar cálculo antes dele ser exigido
oficialmente na escola ou faculdade.

De qualquer forma, aqui vai um problema que complementa o da função de
Thomae (e eu não sabia que ela tinha este nome!): prove que não existe uma
função de R em R que seja contínua nos racionais e descontínua nos
irracionais.

[]s,
Claudio.


On Sun, Aug 26, 2018 at 4:34 PM Thácio Hahn dos Santos 
wrote:

> Uma variação interessante da segunda parte do problema, pra quem não
> conhece, é a Função de Thomae, onde c(x) passa a valer 1/q para todo x
> racional diferente de zero expresso por p/q, com p e q primos entre si.
> Tomando, sem perda de generalidade, um epsilon racional 1/r, tem-se c(x) <
> epsilon para todo x racional p/q com q > r. c(x) só pode exceder epsilon,
> portanto, quando q <= r, restando um número finito de possibilidades para
> q, dado algum r. Toma-se delta como a menor distância entre x e um desses
> (finitos) pontos em que c excede epsilon. Segue que c é contínua nos
> irracionais, ao contrário da função do problema inicial.
> E é também Riemann-integrável com integral zero, já que o conjunto de
> pontos em que a  função é positiva (racionais) é enumerável e portanto tem
> medida de Lebesgue nula, sendo desprezível na integração.
>
> Foi a menção a essa função, por parte de um professor de Cálculo no
> primeiro semestre da faculdade, destacando suas propriedades estranhas por
> ser integrável em qualquer intervalo sem ser diferenciável em ponto algum,
> que eu despertei interesse pelo Cálculo e mais especificamente pelas
> famigeradas funções patológicas, rs. Essas curiosidades e exemplos exóticos
> são excelentes pra chamar atenção da garotada. Fica aí uma dica aos
> professores e futuros professores da lista.
>
> Um abraço.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral nula

[Thácio Hahn dos Santos]

Uma variação interessante da segunda parte do problema, pra quem não
conhece, é a Função de Thomae, onde c(x) passa a valer 1/q para todo x
racional diferente de zero expresso por p/q, com p e q primos entre si.
Tomando, sem perda de generalidade, um epsilon racional 1/r, tem-se c(x) <
epsilon para todo x racional p/q com q > r. c(x) só pode exceder epsilon,
portanto, quando q <= r, restando um número finito de possibilidades para
q, dado algum r. Toma-se delta como a menor distância entre x e um desses
(finitos) pontos em que c excede epsilon. Segue que c é contínua nos
irracionais, ao contrário da função do problema inicial.
E é também Riemann-integrável com integral zero, já que o conjunto de
pontos em que a  função é positiva (racionais) é enumerável e portanto tem
medida de Lebesgue nula, sendo desprezível na integração.

Foi a menção a essa função, por parte de um professor de Cálculo no
primeiro semestre da faculdade, destacando suas propriedades estranhas por
ser integrável em qualquer intervalo sem ser diferenciável em ponto algum,
que eu despertei interesse pelo Cálculo e mais especificamente pelas
famigeradas funções patológicas, rs. Essas curiosidades e exemplos exóticos
são excelentes pra chamar atenção da garotada. Fica aí uma dica aos
professores e futuros professores da lista.

Um abraço.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral nula

[Claudio Buffara]

Acho que não precisa entrar na integral de Lebesgue.
Como os pontos de descontinuidade formam um conjunto de medida nula, a
Riemann-integrabilidade está provada.
Como c(x) = 0 em [0,1], exceto por um conjunto de medida nula (justamente o
conjunto de Cantor), no qual c(x) = 1, a integral só pode ser igual a zero.
Basta cobrir o conjunto de Cantor com uma união enumerável de intervalos
fechados cuja soma dos comprimentos é <= epsilon = número positivo
arbitrariamente pequeno e definir f:[0,1] -> R por f(x) = 1 se x pertence a
algum destes intervalos e f(x) = 0, caso contrário.
Então c(x) <= f(x) em [0,1] ==> Integral(0...1) c(x)dx <= Integral(0...1)
f(x)dx <= epsilon ==> Integral = 0.



On Sat, Aug 25, 2018 at 8:41 PM Artur Steiner 
wrote:

> Os argumentos estão perfeitos, mas o critério de Lebesgue só garante a
> integrabilidade de Riemann, certo? Para concluir que a integral de Riemann
> é nula, precisamos antes verificar  que a integral de Lebesgue com a medida
> de Lebesgue é nula Isto é imediato, pois o conjunto de Cantor tem esta
> medida nula. E em virtude de outro teorema, se f é Riemann integrável em um
> intervalo compacto, então f é Lebesgue integrável e as duas integrsis
> coincidem.
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em sáb, 25 de ago de 2018 19:25, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> O conjunto de Cantor é o complementar em [0,1] de uma união disjunta de
>> intervalos abertos cuja soma dos comprimento tem limite 1.
>> Logo, tem medida nula.
>> A função característica deste conjunto é descontínua em todos os seus
>> pontos, mas contínua (e igual a 0) em todos os demais pontos de [0,1], já
>> que cada um destes últimos pertence a algum intervalo aberto.
>> Assim, a função característica do conjunto de Cantor é integrável (pelo
>> critério de Lebesgue) e igual a zero.
>>
>> Já a função característica de Q é descontínua em todo ponto (qualquer
>> número real é limite de uma sequência de racionais e de uma sequência de
>> irracionais).
>> Logo, não é Riemann-integrável.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>>
>> On Sat, Aug 25, 2018 at 7:09 PM Artur Steiner <
>> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Sendo c a função característica do conjunto de Cantor, mostre que
>>>
>>> Integral [0, 1] c(x) dx =0
>>>
>>> Explique porque os seus argumentos não vigoram se c for a função
>>> característica dos racionais.
>>>
>>> Artur Costa Steiner
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral nula

[Artur Steiner]

Os argumentos estão perfeitos, mas o critério de Lebesgue só garante a
integrabilidade de Riemann, certo? Para concluir que a integral de Riemann
é nula, precisamos antes verificar  que a integral de Lebesgue com a medida
de Lebesgue é nula Isto é imediato, pois o conjunto de Cantor tem esta
medida nula. E em virtude de outro teorema, se f é Riemann integrável em um
intervalo compacto, então f é Lebesgue integrável e as duas integrsis
coincidem.

Artur Costa Steiner

Em sáb, 25 de ago de 2018 19:25, Claudio Buffara 
escreveu:

> O conjunto de Cantor é o complementar em [0,1] de uma união disjunta de
> intervalos abertos cuja soma dos comprimento tem limite 1.
> Logo, tem medida nula.
> A função característica deste conjunto é descontínua em todos os seus
> pontos, mas contínua (e igual a 0) em todos os demais pontos de [0,1], já
> que cada um destes últimos pertence a algum intervalo aberto.
> Assim, a função característica do conjunto de Cantor é integrável (pelo
> critério de Lebesgue) e igual a zero.
>
> Já a função característica de Q é descontínua em todo ponto (qualquer
> número real é limite de uma sequência de racionais e de uma sequência de
> irracionais).
> Logo, não é Riemann-integrável.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> On Sat, Aug 25, 2018 at 7:09 PM Artur Steiner <
> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote:
>
>> Sendo c a função característica do conjunto de Cantor, mostre que
>>
>> Integral [0, 1] c(x) dx =0
>>
>> Explique porque os seus argumentos não vigoram se c for a função
>> característica dos racionais.
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral nula

[Claudio Buffara]

O conjunto de Cantor é o complementar em [0,1] de uma união disjunta de
intervalos abertos cuja soma dos comprimento tem limite 1.
Logo, tem medida nula.
A função característica deste conjunto é descontínua em todos os seus
pontos, mas contínua (e igual a 0) em todos os demais pontos de [0,1], já
que cada um destes últimos pertence a algum intervalo aberto.
Assim, a função característica do conjunto de Cantor é integrável (pelo
critério de Lebesgue) e igual a zero.

Já a função característica de Q é descontínua em todo ponto (qualquer
número real é limite de uma sequência de racionais e de uma sequência de
irracionais).
Logo, não é Riemann-integrável.

[]s,
Claudio.



On Sat, Aug 25, 2018 at 7:09 PM Artur Steiner 
wrote:

> Sendo c a função característica do conjunto de Cantor, mostre que
>
> Integral [0, 1] c(x) dx =0
>
> Explique porque os seus argumentos não vigoram se c for a função
> característica dos racionais.
>
> Artur Costa Steiner
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral interessante

[Artur Costa Steiner]

É isso mesmo. E os limites são 0 e 1, digitei errado.

Aquela outra integral também não é tão difícil quando se conhecem as
propriedades da funçào gama.

Artur

Em qui, 2 de ago de 2018 21:53, Claudio Buffara 
escreveu:

> Os limites de integração devem ser 0 e 1 e não 0 e +infinito.
>
> Esse é um resultado relativamente conhecido e o truque-padrão é usar a
> substituição x = e^(-t).
>
> Daí, Integral(0...1) x^(-x)*dx vira Integral(0...+infinito)
> e^(t*e^(-t))*e^(-t)*dt.
> Expressando e^((t*e^(-t)) em série e fazendo algumas manipulações
> algébricas, você cai numa série infinita de integrais que são, de fato,
> expressões pra função Gama.
> Mais alguma álgebra e o resultado sai.
>
> []s,
> Claudio.
>
> 2018-08-01 21:13 GMT-03:00 Artur Steiner :
>
>> Mostre que
>>
>> Int (0 a oo) dx/x^x = 1/1^1 + 1/2^2 ... + 1/n^n 
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Integral interessante

[Claudio Buffara]

Os limites de integração devem ser 0 e 1 e não 0 e +infinito.

Esse é um resultado relativamente conhecido e o truque-padrão é usar a
substituição x = e^(-t).

Daí, Integral(0...1) x^(-x)*dx vira Integral(0...+infinito)
e^(t*e^(-t))*e^(-t)*dt.
Expressando e^((t*e^(-t)) em série e fazendo algumas manipulações
algébricas, você cai numa série infinita de integrais que são, de fato,
expressões pra função Gama.
Mais alguma álgebra e o resultado sai.

[]s,
Claudio.

2018-08-01 21:13 GMT-03:00 Artur Steiner :

> Mostre que
>
> Int (0 a oo) dx/x^x = 1/1^1 + 1/2^2 ... + 1/n^n 
>
> Artur Costa Steiner
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Integral interessante

[luciano rodrigues]

De acordo com wolfram essa integral dá aproximadamente 1,995 e o somatório dá 
1,291.
http://m.wolframalpha.com/input/?i=integral+x%5E%28-x%29+from+0+to+infinity

http://m.wolframalpha.com/input/?i=sigma+n%5E%28-n%29

> Em 1 de ago de 2018, às 21:13, Artur Steiner  
> escreveu:
> 
> Mostre que
> 
> Int (0 a oo) dx/x^x = 1/1^1 + 1/2^2 ... + 1/n^n 
> 
> Artur Costa Steiner
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Integral

[Anderson Torres]

Em 18 de agosto de 2017 22:19, Artur Costa Steiner
 escreveu:
> Nada do que tentei levou a uma solução fechada. Mas pode ser que alguém
> consiga.
>
> Artur
>
> Enviado do meu iPad
>
> Em 18 de ago de 2017, às 7:11 PM, Pacini Bores 
> escreveu:
>
> Olá , a integral de x^2.(secx)^2 tem solução fechada?

O Wolfram diz que não...

>
> Agradeço desde já
>
> Pacini
>
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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Re: [obm-l] Integral

[Artur Costa Steiner]

Nada do que tentei levou a uma solução fechada. Mas pode ser que alguém consiga.

Artur

Enviado do meu iPad

> Em 18 de ago de 2017, às 7:11 PM, Pacini Bores  
> escreveu:
> 
> Olá , a integral de x^2.(secx)^2 tem solução fechada?
> 
> Agradeço desde já
> 
> Pacini
> 
>  
> 
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Integral complexa

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2017-06-26 3:06 GMT+02:00 Artur Costa Steiner :
> Esse me parece interessante

+1 ;-)

Dica: estude a função z^n(z - 2).

> Sejam P_n o polinômio definido nos complexos por P_n(z) = (z^n) (z - 2)  -  
> 1, n inteiro  positivo, e c a circunferência do disco aberto D(0, 1) . 
> Mostre que:
>
> 1) I_n = Integral_c dz/(P_n(z)) existe para todo n
>
> 2) Dentre os zeros de P_n, existe um, z_n, tal que I_n pode ser expresso em 
> forma fechada como função de n e de z_n.
>
> 3) lim n --> oo I_n = 0
>
> Abraços
>
> Artur
>
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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>
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Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] Integral e Derivada

[Anselmo Alves de Sousa]

Muito obrigado Carlos,

Ficou bem claro e didático. Estou enferrujado nas derivadas parciais!

Abs,
Sousa

Em 9 de fevereiro de 2017 13:18, Carlos Gomes 
escreveu:

> Ola Anselmo. Tenho sugestoes:
>
> 1) Na primeira, \sqrt(1-cosx) < ou = \sqrt(2) pois a expressao
> \sqrt(1-cosx) assume o seu maior valor quando cosx=-1. Assim,
>
> \int_1^{\infty} \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{x^3}} dx < ou =
>
> \int_1^{\infty} \sqrt{\frac{\sqrt(2)}{x^3}} dx =
>
> \sqrt(2)\int_1^{\infty} \sqrt{\frac{1}{x^3}} dx =
>
> \sqrt(2). lim_{a \to \infty} \int_1^a {\frac{1}{x^3}}^{1/2} dx =
>
> \sqrt(2). lim_{a \to \infty} \int_1^a x^{-3/2} dx =
>
> \sqrt(2). lim_{a \to \infty} [x^{-1/2}/(-1/2) ] =
>
> -2\sqrt(2). lim_{a \to \infty} [ 1/\sqrt{x}]_1^a =
>
> -2\sqrt(2). lim_{a \to \infty} [ /\sqrt{a} - /\sqrt{1} ] =
>
> -2\sqrt(2). [ 0-1 ] = 2\sqrt(2)  <  3.
>
>
> 2) Essa basta aplicar diretamente a formula:
>
> se F(x)=\int_a(x)^b(x) g(x,y)dy , entao
>
> F'(x) = g(x,b(x)).b'(x) - g(x,a(x)).a'(x)  +  \int_a(x)^b(x) d/dx
> g(x,y)dy
>
>  [essa ultima derivada que aparece nessa ultima integral e a derivada
> parcial em relacao a x]
>
> No caso da sua questao,  a(x)=x , b(x)=\sqrt{x} , g(x,y)= exp(xy^2)/y.
>
> Pronto...faz essas continhas que agora sai...se nao consegir me fala aue
> termino p vc, eh que estou num pc com um teclado sem conficuracao em
> portugues eh horrivel para digitar...por isso nao pus nenhum acento.
>
> Abraco, Cgomes.
>
>
>
>
>
>
>
>
> Em 9 de fevereiro de 2017 14:47, Anselmo Alves de Sousa <
> starterm...@gmail.com> escreveu:
>
>> Muito grato pela disca, mas ainda não consegui. A primeira, segundo a
>> resposta f(x) é integrável no intervalo e não supera 3. Na segunda cheguei
>> perto, mas ainda não entendi a parte 'derivando dentro da integral'. Se
>> puder resolver, agradeço!
>>
>> sds,
>> Sousa
>>
>> Em 8 de fevereiro de 2017 21:19, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
>> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> 2017-02-08 16:26 GMT-02:00 Anselmo Alves de Sousa >> >:
>>> > Solicito auxílio pra resolver:
>>> >
>>> > 1. \int_1^{\infty} \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{x^3}} dx
>>>
>>> Ela é claramente finita.
>>> O *quanto* ela vale, acho que só numericamente; acho que nem com
>>> resíduos sai.  E como o integrando nem é diferenciável, vai dar
>>> trabalho...
>>>
>>> > 2. obter a derivada de f(x) = \int_{x}^{\sqrt{x}}\frac{\exp(xy^2)}{y}
>>> dy
>>>
>>> Tem que ter cuidado com a derivada, mas não é difícil.  Você vai ficar
>>> com três termos: um derivando no limite inferior, outro no limite
>>> superior (! cuidado: regra da cadeia para a sqrt) e depois a derivada
>>> dentro da integral.  A "parte boa" é que a derivada dentro da integral
>>> fará aparecer um y^2 que permite efetuar analiticamente a integral
>>> depois da mudança t = y^2, dt = 2ydy. (antes não daria certo)
>>>
>>> Abraços,
>>> --
>>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral e Derivada

[Carlos Gomes]

Ola Anselmo. Tenho sugestoes:

1) Na primeira, \sqrt(1-cosx) < ou = \sqrt(2) pois a expressao
\sqrt(1-cosx) assume o seu maior valor quando cosx=-1. Assim,

\int_1^{\infty} \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{x^3}} dx < ou =

\int_1^{\infty} \sqrt{\frac{\sqrt(2)}{x^3}} dx =

\sqrt(2)\int_1^{\infty} \sqrt{\frac{1}{x^3}} dx =

\sqrt(2). lim_{a \to \infty} \int_1^a {\frac{1}{x^3}}^{1/2} dx =

\sqrt(2). lim_{a \to \infty} \int_1^a x^{-3/2} dx =

\sqrt(2). lim_{a \to \infty} [x^{-1/2}/(-1/2) ] =

-2\sqrt(2). lim_{a \to \infty} [ 1/\sqrt{x}]_1^a =

-2\sqrt(2). lim_{a \to \infty} [ /\sqrt{a} - /\sqrt{1} ] =

-2\sqrt(2). [ 0-1 ] = 2\sqrt(2)  <  3.


2) Essa basta aplicar diretamente a formula:

se F(x)=\int_a(x)^b(x) g(x,y)dy , entao

F'(x) = g(x,b(x)).b'(x) - g(x,a(x)).a'(x)  +  \int_a(x)^b(x) d/dx
g(x,y)dy

 [essa ultima derivada que aparece nessa ultima integral e a derivada
parcial em relacao a x]

No caso da sua questao,  a(x)=x , b(x)=\sqrt{x} , g(x,y)= exp(xy^2)/y.

Pronto...faz essas continhas que agora sai...se nao consegir me fala aue
termino p vc, eh que estou num pc com um teclado sem conficuracao em
portugues eh horrivel para digitar...por isso nao pus nenhum acento.

Abraco, Cgomes.








Em 9 de fevereiro de 2017 14:47, Anselmo Alves de Sousa <
starterm...@gmail.com> escreveu:

> Muito grato pela disca, mas ainda não consegui. A primeira, segundo a
> resposta f(x) é integrável no intervalo e não supera 3. Na segunda cheguei
> perto, mas ainda não entendi a parte 'derivando dentro da integral'. Se
> puder resolver, agradeço!
>
> sds,
> Sousa
>
> Em 8 de fevereiro de 2017 21:19, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>
>> 2017-02-08 16:26 GMT-02:00 Anselmo Alves de Sousa > >:
>> > Solicito auxílio pra resolver:
>> >
>> > 1. \int_1^{\infty} \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{x^3}} dx
>>
>> Ela é claramente finita.
>> O *quanto* ela vale, acho que só numericamente; acho que nem com
>> resíduos sai.  E como o integrando nem é diferenciável, vai dar
>> trabalho...
>>
>> > 2. obter a derivada de f(x) = \int_{x}^{\sqrt{x}}\frac{\exp(xy^2)}{y}
>> dy
>>
>> Tem que ter cuidado com a derivada, mas não é difícil.  Você vai ficar
>> com três termos: um derivando no limite inferior, outro no limite
>> superior (! cuidado: regra da cadeia para a sqrt) e depois a derivada
>> dentro da integral.  A "parte boa" é que a derivada dentro da integral
>> fará aparecer um y^2 que permite efetuar analiticamente a integral
>> depois da mudança t = y^2, dt = 2ydy. (antes não daria certo)
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral e Derivada

[Anselmo Alves de Sousa]

Muito grato pela disca, mas ainda não consegui. A primeira, segundo a
resposta f(x) é integrável no intervalo e não supera 3. Na segunda cheguei
perto, mas ainda não entendi a parte 'derivando dentro da integral'. Se
puder resolver, agradeço!

sds,
Sousa

Em 8 de fevereiro de 2017 21:19, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2017-02-08 16:26 GMT-02:00 Anselmo Alves de Sousa :
> > Solicito auxílio pra resolver:
> >
> > 1. \int_1^{\infty} \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{x^3}} dx
>
> Ela é claramente finita.
> O *quanto* ela vale, acho que só numericamente; acho que nem com
> resíduos sai.  E como o integrando nem é diferenciável, vai dar
> trabalho...
>
> > 2. obter a derivada de f(x) = \int_{x}^{\sqrt{x}}\frac{\exp(xy^2)}{y} dy
>
> Tem que ter cuidado com a derivada, mas não é difícil.  Você vai ficar
> com três termos: um derivando no limite inferior, outro no limite
> superior (! cuidado: regra da cadeia para a sqrt) e depois a derivada
> dentro da integral.  A "parte boa" é que a derivada dentro da integral
> fará aparecer um y^2 que permite efetuar analiticamente a integral
> depois da mudança t = y^2, dt = 2ydy. (antes não daria certo)
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral e Derivada

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2017-02-08 16:26 GMT-02:00 Anselmo Alves de Sousa :
> Solicito auxílio pra resolver:
>
> 1. \int_1^{\infty} \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{x^3}} dx

Ela é claramente finita.
O *quanto* ela vale, acho que só numericamente; acho que nem com
resíduos sai.  E como o integrando nem é diferenciável, vai dar
trabalho...

> 2. obter a derivada de f(x) = \int_{x}^{\sqrt{x}}\frac{\exp(xy^2)}{y} dy

Tem que ter cuidado com a derivada, mas não é difícil.  Você vai ficar
com três termos: um derivando no limite inferior, outro no limite
superior (! cuidado: regra da cadeia para a sqrt) e depois a derivada
dentro da integral.  A "parte boa" é que a derivada dentro da integral
fará aparecer um y^2 que permite efetuar analiticamente a integral
depois da mudança t = y^2, dt = 2ydy. (antes não daria certo)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

Re: [obm-l] Integral definida: dúvida básica

[Artur Costa Steiner]

Isso é muito comum quando não se exige rigor matemático. Muito professores de 
Física costumam fazer isto. Mas na realidade está conceitualmente errado. Uma 
mesma variável não pode aparecer como argumento do integrando e como limite de 
integração. 

Por exemplo, Integral [1, x] 1/x dx é matematicamente sem sentido.



Artur Costa Steiner

> Em 5 de out de 2015, às 18:56, Israel Meireles Chrisostomo 
>  escreveu:
> 
> se eu integrar com um dos  intervalos de integração na mesma variável que 
> a variável x do dx, tem problema?Tipo int 0 to x, f(x) dx, o x do dx e o x 
> do intervalo, é errado?
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Integral definida: dúvida básica

[Israel Meireles Chrisostomo]

Artur se vc tiver tempo, pode me dizer se esta demonstração que fiz está
correta?
https://docs.google.com/viewer?a=v=sites=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxpc3JhZWxtY2hyaXNvc3RvbW98Z3g6YzY5ZTlkNTEyY2Y3ZWE1

Em 5 de outubro de 2015 20:00, Artur Costa Steiner 
escreveu:

> Isso é muito comum quando não se exige rigor matemático. Muito professores
> de Física costumam fazer isto. Mas na realidade está conceitualmente
> errado. Uma mesma variável não pode aparecer como argumento do integrando e
> como limite de integração.
>
> Por exemplo, Integral [1, x] 1/x dx é matematicamente sem sentido.
>
>
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em 5 de out de 2015, às 18:56, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
> se eu integrar com um dos intervalos de integração na mesma variável
> que a variável x do dx, tem problema?Tipo int 0 to x, f(x) dx, o x do dx e
> o x do intervalo, é errado?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral interessante

[Artur Costa Steiner]

É isso aí. Parecia extremamente complicado, não é? Para mostrar a convergência, 
podemos também comparar com lnz/(z^2). Esta é fácil de integrar de 1 a oo e 
converge.

Artur Costa Steiner

 Em 07/01/2015, às 18:17, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:
 
 Gostei, bem bonitinho!
 
 Primeiro faremos x=az onde 0zInf:
 
 I(a)=1/a * Int (0,+Inf) (lna+lnz) / (z^2+1) dz
 
 A parte do lna nao eh dificil, cai em arctan(z)... Esta parte deu pi.lna/(2a).
 
 Agora para a outra parte do lnz/(z^2+1)... vamos dividir a integral em duas: 
 uma de 0 a 1, a outra de 1 a +Inf. Na primeira parte, tomemos w=1/z:
 
 Int (0,1) lnz/(z^2+1) dz = Int (+Inf,1) -lnw / (1/w^2 + 1) . (-1/w^2) dw = 
 Int (1,+Inf) -lnw/(w^2+1) dw
 
 Entao, supondo que tudo converge bonitinho, a integral de 0 a 1 CANCELA a 
 integral de 1 a +Inf! Portanto, a resposta eh mesmo apenas pi.lna/(2a).
 
 (Fica faltando a parte de mostrar que essas integrais improprias convergem, 
 mas isto eh mais facil -- compare com 1/z^(1.5), por exemplo, perto de 
 z=+Inf.)
 
 Abraco, Ralph.
 
 
 2015-01-07 9:23 GMT-02:00 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 Para a  0, determinar
 
 I(a) = Int (0, oo) ln(x)/(x^2 + a^2)
 
 Abraços.
 
 Artur Costa Steiner
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Re: [obm-l] Integral interessante

[Ralph Teixeira]

Gostei, bem bonitinho!

Primeiro faremos x=az onde 0zInf:

I(a)=1/a * Int (0,+Inf) (lna+lnz) / (z^2+1) dz

A parte do lna nao eh dificil, cai em arctan(z)... Esta parte deu
pi.lna/(2a).

Agora para a outra parte do lnz/(z^2+1)... vamos dividir a integral em
duas: uma de 0 a 1, a outra de 1 a +Inf. Na primeira parte, tomemos w=1/z:

Int (0,1) lnz/(z^2+1) dz = Int (+Inf,1) -lnw / (1/w^2 + 1) . (-1/w^2) dw =
Int (1,+Inf) -lnw/(w^2+1) dw

Entao, supondo que tudo converge bonitinho, a integral de 0 a 1 CANCELA a
integral de 1 a +Inf! Portanto, a resposta eh mesmo apenas pi.lna/(2a).

(Fica faltando a parte de mostrar que essas integrais improprias convergem,
mas isto eh mais facil -- compare com 1/z^(1.5), por exemplo, perto de
z=+Inf.)

Abraco, Ralph.


2015-01-07 9:23 GMT-02:00 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:

 Para a  0, determinar

 I(a) = Int (0, oo) ln(x)/(x^2 + a^2)

 Abraços.

 Artur Costa Steiner
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Re: [obm-l] Integral interessante

[saulo nilson]

x=ae^y
dx=ae^ydy
I=Int (lna+y)e^ydy/a(e^2y+1)=(1/2a)(lnaInt dy/coshy+
+Int ydy/coshy)=
=(1/2a)(-1/2 i (Li_2(-i e^(-y))-Li_2(i e^(-y))-y(log(1-i e^(-y))-log(1+i
e^(-y
y=-oo e oo

ine
2015-01-07 9:23 GMT-02:00 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:

 Para a  0, determinar

 I(a) = Int (0, oo) ln(x)/(x^2 + a^2)

 Abraços.

 Artur Costa Steiner
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Re: [obm-l] Integral

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2014-11-27 13:39 GMT-02:00 João Sousa starterm...@hotmail.com:
 Pessoal, gostaria de uma solução para:

 \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{\sqrt{2\pi \theta}}
 \exp{-\frac{x^2}{2\theta}} dx.

Faça por partes. Dica extra: calcule a derivada de exp(-x^2).
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] Integral definida

[Artur Costa Steiner]

Vamos fazer algo geral, para facilitar. Seja f uma função
integrável, simétrica com relação ao eixo vertical x = a, tal que Int [0,
2a] f(x) dx = A. Caso de f(x) = exp((x - 2)^4), com a = 2

Temos que F'(x) = f(x) e que F(2a) = A

Seja I = Int[0, 2a] F(x) dx

Por partes, com u = F e dv = dx, obtemos,

I = [x F(x)] [0 a 2a] - Int [0, 2a] x F'(x) dx = 2a F(2a) - 0 F(0) - Int
[0, 2a] x f(x) dx

I = 2aA - Int [0, 2a] x f(x) dx (1)


Temos ainda que

Int [0, 2a] x f(x) dx = Int [-a, a] (x + a) f(x + a) dx = Int [-a, a] x f(x
+ a) dx + a Int [-a, a] f(x + a) dx

Como f é simétrica com relação ao eixo x = a, f(x + a) é simétrica com
relação ao eixo x = a - a = 0, ou seja, é uma função par. Logo x f(x + a) é
ímpar, de modo que sua integral sobre [-a, a] é 0. E Int [-a, a] f(x + a)
dx = Int [0, 2a] f(x) dx = A. Logo,

Int [[0, 2a] x f(x) dx = 0 + aA = aA

Finalmente, de (1) concluímos que

Int [0, 2a] F(x) dx = 2aA - aA = aA

No caso dado, a = 2 e a integral pedida é 2A.

Artur





Em segunda-feira, 3 de novembro de 2014, Amanda Merryl sc...@hotmail.com
escreveu:

 Bom dia a todos. Gostaria de alguma ajuda aqui.

 É dado que Int [0, 4] exp((t - 2)^4) dt  = A. Seja F dada por F(x) = Int
 [0, x] exp((t - 2)^4) dt. Determine Int [0, 4] F(x) dx.

 Obrigada

 Amanda
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[obm-l] Re: [obm-l] integral alguém se habilita?

[saulo nilson]

I=itntegral
I (10x^2+18)/3sqrt2sqrt(x^2+2)(5x^2+9)  dx
I 10x^2/3sqrt2sqrt(5x^4+19x^2+18)+6/sqrt(2)sqrt(5x^4+19x^2+18) dx
I 6/sqrt(2)sqrt(5x^4+19x^2+18) dx
= 6/sqrt2 I 1/sqrt((sqrt5*x^2+19/2sqrt5)^2+18-(19/2sqrt5)^2)
5x^2+19/2sqrt5=u
10xdx=du
dx=du/10x
=du/10sqrt(u-19/2sqrt5)/5
=6sqrt5/10*sqrt2 * I 1/sqrt(u-19/2sqrt5)sqrt (u^2+18-(19/2sqrt5))
e catalogada em livros
vc tem que fazer a substituiçao
1/(u-19/2sqrt5)=y
que cai em outra integral catalogada







2014-02-28 14:27 GMT-03:00 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:

  integrate (sqrt((10x^2+18)/(9x^2+18))) dx

 alguém saberia fazer?

 coloquei no Wolfram e me assustei, abraços Hermann

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Re: [obm-l] Integral

[saulo nilson]

x=tany

R=lnseny=lnx/(1+x^2)



2013/10/23 Prof Marcus marcusaureli...@globo.com

 Alguém pode dar uma ideia nessa integral?

 integral dx/x^1/2(x+1)

 obrigado



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Re: [obm-l] Integral

[saulo nilson]

ln(x/sqrt(1+x^2))


2013/10/24 saulo nilson saulo.nil...@gmail.com

 x=tany

 R=lnseny=lnx/(1+x^2)



 2013/10/23 Prof Marcus marcusaureli...@globo.com

 Alguém pode dar uma ideia nessa integral?

 integral dx/x^1/2(x+1)

 obrigado



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Re: [obm-l] Integral

[Athos Cotta Couto]

Tomando x^(1/2) = u = du/dx = 1/(2*x^(1/2)) =  dx/x^(1/2) = 2*du
Substituindo na integral, obtemos:
integral de 2*du/(u^2+1) = 2*arctg(u) + K = 2*arctg(x^1/2) + K


Em 24 de outubro de 2013 06:05, saulo nilson saulo.nil...@gmail.comescreveu:

 ln(x/sqrt(1+x^2))


 2013/10/24 saulo nilson saulo.nil...@gmail.com

 x=tany

 R=lnseny=lnx/(1+x^2)



 2013/10/23 Prof Marcus marcusaureli...@globo.com

 Alguém pode dar uma ideia nessa integral?

 integral dx/x^1/2(x+1)

 obrigado



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Re: [obm-l] Integral

[wagner]

f(x)=ln(sqrt(x)-1)-ln(sqrt(x)+1)



Quoting saulo nilson saulo.nil...@gmail.com:


x=tany

R=lnseny=lnx/(1+x^2)



2013/10/23 Prof Marcus marcusaureli...@globo.com


Alguém pode dar uma ideia nessa integral?

integral dx/x^1/2(x+1)

obrigado



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Re: [obm-l] Integral

[Artur Costa Steiner]

Grande solução , Bernardo. Eu ia tentar por resíduos, mas esta foi melhor!

Artur

Em domingo, 28 de julho de 2013, Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu:

 2013/7/28 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com javascript:;:
  Numa primeira análise, podemos afirmar que esta integral existe. Para x
  1, |(e^(-x) - e^(-ex))/x|  1. Como a integral de 1 a oo de e^(-x) -
 e^(-ex) claramente existe e é finita, a sua integral existe e é finita em
 [1, oo). Na realidade, é positiva, pois o integrando é positivo.
 
  Assim, se a integral imprópria sobre (0, 1] for finita, a integral sobre
 (0, oo) existirá. Temos que o integrando é uma função contínua em (0, 1] e
 que  lim x -- 0+ (e^(-x) - e^-ex)/x =  e - 1. Logo, a função é limitada em
 (0, 1]. Se vc extender o domínio para [0, oo) definindo g(0) = e - 1, vc
 obtém uma função contínua, logo integrável, em [0, 1]. E esta integral é
 igual à integral imprópria da função original sobre (0, 1].
 
  Assim, sua integral existe e é finita sobre (0, oo). Mas determiná-la,
  não parece uma tarefa fácil. Achar a primitiva em forma fechada, acho que
 não dá.

 Queremos integrar [ exp(-x) - exp(-ex) ]/x de 0 a infinito, e o Artur
 já fez o favor de mostrar que a integral existe. Agora é só calcular.
 Vamos por integrais impróprias, mesmo que eu ache que deve ter uma
 solução usando resíduos:

 I = limite eps-0 int_eps^infinito  [ exp(-x) - exp(-ex) ]/x dx. Chame
 essa integral de I_eps.

 I_eps = int_eps^infinito exp(-x)/x dx - int_eps^infinito exp(-ex)/x dx
 = I_eps_1 - I_eps_2.

 Agora, faça uma mudança de variáveis y = ex na segunda integral, ela vira

 I_eps_2 = int_eps^infinito exp(-ex)/x dx = int_(e * eps)^infinito
 exp(-y)  dy (Note que dx/x = dy/y para y = k*x, qualquer que seja k).

 Assim, I_eps = integral de eps até (e * eps) exp(-x) dx/x = integral
 de 1 até e de exp(-u*eps) du/u (para x = u*eps, mesma observação
 anterior)

 Mas quando eps-0, o integrando tende (uniformemente ! em [1,e]) à
 função 1/u. E essa integral é o logaritmo de e, ou seja, 1.

 Abraços,

 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] Integral

[Bob Roy]

Obrigado Bernardo pela linda solução.

Bob


Em 28 de julho de 2013 17:26, Artur Costa Steiner
steinerar...@gmail.comescreveu:

 Numa primeira análise, podemos afirmar que esta integral existe. Para x 
 1, |(e^(-x) - e^(-ex))/x|  1. Como a integral de 1 a oo de e^(-x) -
 e^(-ex) claramente existe e é finita, a sua integral existe e é finita em
 [1, oo). Na realidade, é positiva, pois o integrando é positivo.

 Assim, se a integral imprópria sobre (0, 1] for finita, a integral sobre
 (0, oo) existirá. Temos que o integrando é uma função contínua em (0, 1] e
 que  lim x -- 0+ (e^(-x) - e^-ex)/x =  e - 1. Logo, a função é limitada em
 (0, 1]. Se vc extender o domínio para [0, oo) definindo g(0) = e - 1, vc
 obtém uma função contínua, logo integrável, em [0, 1]. E esta integral é
 igual à integral imprópria da função original sobre (0, 1].

 Assim, sua integral existe e é finita sobre (0, oo). Mas determiná-la,
  não parece uma tarefa fácil. Achar a primitiva em forma fechada, acho que
 não dá.



 Artur Costa Steiner

 Em 28/07/2013, às 16:43, Bob Roy bob...@globo.com escreveu:

  Olá pessoal,
 
  a integral acabou não sendo enviada.
 
  integral de zero a infinito de ( e^(-x) - e^(-ex))/x .
 
  Obrigado
 
  Bob
 
 
 
  --
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Re: [obm-l] Integral

[Artur Costa Steiner]

Numa primeira análise, podemos afirmar que esta integral existe. Para x  1, 
|(e^(-x) - e^(-ex))/x|  1. Como a integral de 1 a oo de e^(-x) - e^(-ex) 
claramente existe e é finita, a sua integral existe e é finita em [1, oo). Na 
realidade, é positiva, pois o integrando é positivo.

Assim, se a integral imprópria sobre (0, 1] for finita, a integral sobre (0, 
oo) existirá. Temos que o integrando é uma função contínua em (0, 1] e que  lim 
x -- 0+ (e^(-x) - e^-ex)/x =  e - 1. Logo, a função é limitada em (0, 1]. Se 
vc extender o domínio para [0, oo) definindo g(0) = e - 1, vc obtém uma função 
contínua, logo integrável, em [0, 1]. E esta integral é igual à integral 
imprópria da função original sobre (0, 1]. 

Assim, sua integral existe e é finita sobre (0, oo). Mas determiná-la,  não 
parece uma tarefa fácil. Achar a primitiva em forma fechada, acho que não dá.



Artur Costa Steiner

Em 28/07/2013, às 16:43, Bob Roy bob...@globo.com escreveu:

 Olá pessoal,
 
 a integral acabou não sendo enviada.
 
 integral de zero a infinito de ( e^(-x) - e^(-ex))/x .
 
 Obrigado
 
 Bob
 
 
 
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Re: [obm-l] Integral

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/7/28 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 Numa primeira análise, podemos afirmar que esta integral existe. Para x  1, 
 |(e^(-x) - e^(-ex))/x|  1. Como a integral de 1 a oo de e^(-x) - e^(-ex) 
 claramente existe e é finita, a sua integral existe e é finita em [1, oo). Na 
 realidade, é positiva, pois o integrando é positivo.

 Assim, se a integral imprópria sobre (0, 1] for finita, a integral sobre (0, 
 oo) existirá. Temos que o integrando é uma função contínua em (0, 1] e que  
 lim x -- 0+ (e^(-x) - e^-ex)/x =  e - 1. Logo, a função é limitada em (0, 
 1]. Se vc extender o domínio para [0, oo) definindo g(0) = e - 1, vc obtém 
 uma função contínua, logo integrável, em [0, 1]. E esta integral é igual à 
 integral imprópria da função original sobre (0, 1].

 Assim, sua integral existe e é finita sobre (0, oo). Mas determiná-la,  não 
 parece uma tarefa fácil. Achar a primitiva em forma fechada, acho que não dá.

Queremos integrar [ exp(-x) - exp(-ex) ]/x de 0 a infinito, e o Artur
já fez o favor de mostrar que a integral existe. Agora é só calcular.
Vamos por integrais impróprias, mesmo que eu ache que deve ter uma
solução usando resíduos:

I = limite eps-0 int_eps^infinito  [ exp(-x) - exp(-ex) ]/x dx. Chame
essa integral de I_eps.

I_eps = int_eps^infinito exp(-x)/x dx - int_eps^infinito exp(-ex)/x dx
= I_eps_1 - I_eps_2.

Agora, faça uma mudança de variáveis y = ex na segunda integral, ela vira

I_eps_2 = int_eps^infinito exp(-ex)/x dx = int_(e * eps)^infinito
exp(-y)  dy (Note que dx/x = dy/y para y = k*x, qualquer que seja k).

Assim, I_eps = integral de eps até (e * eps) exp(-x) dx/x = integral
de 1 até e de exp(-u*eps) du/u (para x = u*eps, mesma observação
anterior)

Mas quando eps-0, o integrando tende (uniformemente ! em [1,e]) à
função 1/u. E essa integral é o logaritmo de e, ou seja, 1.

Abraços,

-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.


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Re: [obm-l] Integral interessante

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/2/24 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 Seja f uma função real ímpar, contínua em toda a reta real. Seja a  0. 
 Determine Int[-a, a] 1/(e^(f(x)) + 1) dx

Se eu não errei as contas, I = a. Para conferir, f(x) = 0, dá certo.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.


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Re: [obm-l] Integral interessante

[Artur Costa Steiner]

É I = a sim.

Abraços.

Artur Costa Steiner

Em 01/03/2013, às 12:20, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2013/2/24 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 Seja f uma função real ímpar, contínua em toda a reta real. Seja a  0. 
 Determine Int[-a, a] 1/(e^(f(x)) + 1) dx
 
 Se eu não errei as contas, I = a. Para conferir, f(x) = 0, dá certo.
 
 Abraços,
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 -- 
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Re: [obm-l] Integral

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/8/30 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com:
 Me pediram um exemplo de uma função que tem integral finita, mas que f^2 não
 tem integral finita.

 Fiquei quebrando a cabeça um tempão, mas não consegui.

 Alguém tem alguma ideia?

Tem vários exemplos clássicos, mas o importante é *como* fazer.

Existem dois jeitos de uma integral ser infinita: porque o domínio é
grande, ou porque o valor é grande. Refrescando a memória, você deve
lembrar que 1/x tem *ambos* problemas. Quando você integra de 1 até
infinito, dá infinito (log(M) - log(1) com M - infinito) e quando
você integra de 0 até 1 também (log(1) - log(eps) com eps - 0). Bom,
temos um candidato (se der!) para f^2.

Agora, vejamos. Tirando a raiz quadrada de 1/x, quando x - infinito,
isso quer dizer que a função fica MAIOR AINDA! Portanto, a integral
com certeza ainda é infinita. Aliás, qualquer função cuja integral dá
+infinito sem divergir em algum ponto (isso incluiu os +- infinito),
ou é maior do que 1 num intervalo de tamanho infinito (e isso explica
porque que dá +infinito a integral) e nesse caso não adianta tirar
raiz, vai continuar  1 ; ou então é menor do que 1, e quando você
tira a raiz, fica maior ainda. Assim, nunca vai dar certo no
infinito.

Sobrou o caso de ser na parte (0,1). Aqui, como  x  1, temos que 1/x
 raiz(1/x)  1, ou seja, a função DIMINUIU. Isso é muito bom, porque
(se você lembra) a 1/x é o limite de 1/x^alfa ter integral finita ou
não. Agora, basta verificar que realmente 1/raiz(x) é integrável em
(0,1). Isso eu deixo pra você conferir (mas a gente acabou de provar
que ela NÃO é integrável em (1, infinito), ou seja, ainda falta um
pouquinho).

A última parte é uma roubadinha  (ou roubadona, para o pessoal
analítico como Cauchy, Euler e amigos): pegue a função raiz(1/|x|)
para x entre -1 e 1, e depois cole uma função afim qualquer que
ligue até o zero, por exemplo subindo de -2 até -1 numa reta, depois
seguindo a 1/raiz(x), sobe, vai ao infinito no zero, volta até 1 em
x=1, e depois desce numa reta simétrica até o zero em x=2. Pronto,
essa função é com certeza integrável, porque é a soma de duas que são,
mas o quadrado dela tem uma parte que vai dar infinito.


-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] INTEGRAL COMPLEXA

[Rogério Possi Júnior]

Pessoal,
 
Alguém tentou resolver?
 
Sds,
 
Rogério
 



From: roposs...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] INTEGRAL COMPLEXA
Date: Mon, 23 Apr 2012 13:38:03 -0300




Sim Bernardo ... podemos utilizar o Teorema dos Resíduos de Cauchy ... mas ... 
ainda não consegui resolver ...
 
Sds,
 
Rogério
 


 Date: Mon, 23 Apr 2012 17:53:44 +0200
 Subject: Re: [obm-l] INTEGRAL COMPLEXA
 From: bernardo...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 2012/4/23 Rogério Possi Júnior roposs...@hotmail.com:
  Pessoal,
 
  Segue uma questão de integral complexa:
 
  INTEGRAL DE LINHA [(1 / ( (Z^100 + 1).(Z-4) )]dZ, onde a integral é
  calculada sobre C: MÓD[Z]=3
 
 Você já ouviu falar de resíduos? Daonde surgiu esse problema?
 
 Abraços,
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
  

Re: [obm-l] INTEGRAL COMPLEXA

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/4/23 Rogério Possi Júnior roposs...@hotmail.com:
 Pessoal,

 Segue uma questão de integral complexa:

 INTEGRAL DE LINHA [(1 / ( (Z^100 + 1).(Z-4) )]dZ, onde a integral é
 calculada sobre C: MÓD[Z]=3

Você já ouviu falar de resíduos? Daonde surgiu esse problema?

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] INTEGRAL COMPLEXA

[Rogério Possi Júnior]

Sim Bernardo ... podemos utilizar o Teorema dos Resíduos de Cauchy ... mas ... 
ainda não consegui resolver ...
 
Sds,
 
Rogério
 

 Date: Mon, 23 Apr 2012 17:53:44 +0200
 Subject: Re: [obm-l] INTEGRAL COMPLEXA
 From: bernardo...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 2012/4/23 Rogério Possi Júnior roposs...@hotmail.com:
  Pessoal,
 
  Segue uma questão de integral complexa:
 
  INTEGRAL DE LINHA [(1 / ( (Z^100 + 1).(Z-4) )]dZ, onde a integral é
  calculada sobre C: MÓD[Z]=3
 
 Você já ouviu falar de resíduos? Daonde surgiu esse problema?
 
 Abraços,
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
  

RE: [obm-l] integral

[João Maldonado]

Faça x = y²dx = 2ydyA integral fica  (y+1).2y. dy = 2y³/3 + y²
[]'sJoão

Date: Sun, 18 Sep 2011 21:54:24 -0300
Subject: [obm-l] integral
From: teliog...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Boa noite, mestres
poderiam explicar como resolver a integral em anexo? Tentei muito, mas não 
consegui pensar em nenhuma técnica ou artifício.
agradeço a ajuda

Thelio

Re: [obm-l] integral

[charles]

Acho que isso ajuda : x + 2*x^(1/2) + 1 = (x^(1/2) + 1)^2.

-- 
Charles B de M Brito
Engenharia de Computação - 3º ano
Instituto Militar de Engenharia

[obm-l] RE: [obm-l] Integral difícil

[João Maldonado]

 Deixa eu reformular a pergunta 
Uma pergunta de  física no ITA consiste em  calcular  a energia dissipada por 
um  resistor num  circuito RC série  (não se preocupe, vou fazer a parte 
física) Sabe-se que:
U = U0 -o.d/E0o =  Q/AQ =Integral[ i.dt   ]i = U/RE = Integral[R.i²   dt] 
sendo:
U -  tensão   resultante em função do tempoU0 - tensão da bateria 
 o -  densidade de carga no capacitord - distância entre as armaduras do 
capacitorE0 - permissividade no vácuo Q -  carga acumulada no  capacitor em 
função do  tempoi - corrente que flui sobre o  circuito  em função  do tempoR 
-  resistência do resistorE -  energia dissipada pelo resistor em função do 
tempo

Primeiramente  achei a expressão:Integral[i.dt]  = (U0-i.R) A E0 /d
Derivando  os 2 ladosi.dt =  (- RE0A/d)  didt = (-RE0A/d)  di/iIntegrandot = 
(-R.E0.A/d).ln|i|i = e^(-t.d/R.E0.A)
Substituindo  C = E0.A/d
i = e^(-t/RC)
Quando  t = 0,teríamos i = 1,  o que é um absurdo
pois quando  t = 0,  i = U0/R 

Já  que  a integral sempre  despreza a constante  final, pensei que talvez  
houvesse   algo que ainda  não está na fórmulla, até porque  ao  substituirmos  
i na equação original,  
Integral[i.dt]  = (U0-i.R) A E0 /d

fica sobrando  U0.C
Talvez  algo do tipo  U0/R e^(-t/RC) resolvesse o  problema (t = 0,  i = U0/R), 
 ou talvez não tem nada haver,  mas em qualquer  caso, como posso resolver essa 
integral?
[]'sJoão
From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Integral difícil
Date: Thu, 8 Sep 2011 14:28:27 -0300








Como  resolvo a integral  :

Integral[i.dt]  = (U0-i.R) A E0 /d
Queria  i em função de t
[]'sJoão
  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Integral difícil

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2011/9/8 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com:
  Deixa eu reformular a pergunta
 Uma pergunta de  física no ITA consiste em  calcular  a energia dissipada
 por um  resistor num  circuito RC série  (não se preocupe, vou fazer a parte
 física)

[...Física...]

 Primeiramente  achei a expressão:
 Integral[i.dt]  = (U0-i.R) A E0 /d

Uma coisa que ajudaria bastante a resolver esse tipo de questão é se
livrar das constantes. É claro que você não pode fazer isso de
qualquer forma, mas veja que U0, R, A, E0 e d são constantes (e é
\epsilon_0 para a permissividade do vácuo, logo seria melhor chamar de
e0 , eu fiquei um tempo achando que era energia armazenada inicial...)
então o que você quer na verdade é resolver

Integral i(t) dt = a - b*i (com a = U0 A E0 /d e b = R A E0 / d)

O que *ainda* não é preciso o suficiente, e eu vou interpretar (dada a
forma como você continuou) que é:

Integral, de t=0 até t=T de i(t) dt = a - b * i(T)

 Derivando  os 2 lados
 i.dt =  (- RE0A/d)  di

e derivando dos dois lados a fórmula anterior (com relação a T, que é
uma variável da minha fórmula, note que t é a variável de integração,
ela não existe do lado de fora da integral para podermos derivar!!)
temos realmente

i(T) = - b di/dT (T)

que é a fórmula que você obteve, com dependência explícita da variável
(e menos explícita das constantes... cada chato com sua mania, eu faço
questão de escrever todas as variáveis para não confundir as coisas)

 dt = (-RE0A/d)  di/i

Só para continuar o paralelo,

dT = -b di / i(T)

 Integrando
 t = (-R.E0.A/d).ln|i|

é aqui que faltou a sua constante (como você mesmo adivinhou). Como
eu estou com uma variável diferente, tenho que achar mais uma variável
de tempo. Como acabaram os t, eu vou usar s (de segundos se você
quiser)

Integral de T=0 até T=s dT = Integral de i=i(0) até i=i(s) -b di/i

Note que a segunda fórmula contém *também* uma mudança de variáveis,
antes era uma integral de T=0 até T=s de uma função que só dependia de
i, e assim a gente troca a integral em T por uma integral em i, e
compõe os limites da integral. Continuando, temos

s - 0 = -b ( ln(i(s)) - ln(i(0)) )

Ou seja

ln(i(s)) = -s/b + ln(i(0))

Ora, i(0) é a corrente inicial, que é de qualquer forma
Tensão/Resistência, mas acontece que nós *conhecemos* a Tensão inicial
(e a resistência não muda), e portanto i(0) = U0 / R. Tomando
exponenciais,

i(s) = U0/R * exp(-s/b)

 i = e^(-t.d/R.E0.A)
 Substituindo  C = E0.A/d
 i = e^(-t/RC)
 Quando  t = 0,teríamos i = 1,  o que é um absurdo
 pois quando  t = 0,  i = U0/R

O que confirma que eu e você temos a mesma idéia da corrente inicial :))

 Já  que  a integral sempre  despreza a constante  final, pensei que talvez
  houvesse   algo que ainda  não está na fórmulla, até porque  ao
  substituirmos  i na equação original,
 Integral[i.dt]  = (U0-i.R) A E0 /d

 fica sobrando  U0.C
 Talvez  algo do tipo  U0/R e^(-t/RC) resolvesse o  problema (t = 0,  i =
 U0/R),  ou talvez não tem nada haver,  mas em qualquer  caso, como posso
 resolver essa integral?

Nada *a* *ver*, no que toca o português. Em matemática, por outro
lado, tem *tudo* a ver. Faz parte do conhecimento habitual
(universitário...) que soluções de equações diferenciais lineares
formam um espaço vetorial. Como a equação que você obtém é realmente
linear, tudo ok. Assim, ao achar uma solução, você apenas tem que
acertar qual é o múltiplo correto que dá a solução para a condição
inicial que você tem. Repare que isso *só* vale para equações
diferenciais lineares, que são bastante comuns, mas longe de serem
todas que há!

Comentário final: tudo o que você fez tá bem certinho, mas faltou só
prestar atenção em como carregar a constante ao longo das contas.
Lembre que quando você integra, tem que carregar uma constante dos
*dois* lados da equação. Muitas vezes (principalmente em exercícios)
um dos lados será zero, mas na vida real, provavelmente os dois lados
serão não nulos, e é sempre melhor você ter constantes com sentido
do que ter apenas uma constante de um dos lados da equação. Ainda mais
que, se for o caso de uma equação diferencial não-linear, a
dependência com as constantes é bm mais complicada (mas também é
bem menos provável que você consiga integrar explicitamente como a
gente fez aqui, então)

 []'s
 João

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Integral difícil

[João Maldonado]

Valeu Bernardo  , assim ficou fácil enxergar

Vou lembrar do  a ver da próxima vez :)
[]'sJoão

 Date: Thu, 8 Sep 2011 22:27:42 +0200
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Integral difícil
 From: bernardo...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 2011/9/8 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com:
   Deixa eu reformular a pergunta
  Uma pergunta de  física no ITA consiste em  calcular  a energia dissipada
  por um  resistor num  circuito RC série  (não se preocupe, vou fazer a parte
  física)
 
 [...Física...]
 
  Primeiramente  achei a expressão:
  Integral[i.dt]  = (U0-i.R) A E0 /d
 
 Uma coisa que ajudaria bastante a resolver esse tipo de questão é se
 livrar das constantes. É claro que você não pode fazer isso de
 qualquer forma, mas veja que U0, R, A, E0 e d são constantes (e é
 \epsilon_0 para a permissividade do vácuo, logo seria melhor chamar de
 e0 , eu fiquei um tempo achando que era energia armazenada inicial...)
 então o que você quer na verdade é resolver
 
 Integral i(t) dt = a - b*i (com a = U0 A E0 /d e b = R A E0 / d)
 
 O que *ainda* não é preciso o suficiente, e eu vou interpretar (dada a
 forma como você continuou) que é:
 
 Integral, de t=0 até t=T de i(t) dt = a - b * i(T)
 
  Derivando  os 2 lados
  i.dt =  (- RE0A/d)  di
 
 e derivando dos dois lados a fórmula anterior (com relação a T, que é
 uma variável da minha fórmula, note que t é a variável de integração,
 ela não existe do lado de fora da integral para podermos derivar!!)
 temos realmente
 
 i(T) = - b di/dT (T)
 
 que é a fórmula que você obteve, com dependência explícita da variável
 (e menos explícita das constantes... cada chato com sua mania, eu faço
 questão de escrever todas as variáveis para não confundir as coisas)
 
  dt = (-RE0A/d)  di/i
 
 Só para continuar o paralelo,
 
 dT = -b di / i(T)
 
  Integrando
  t = (-R.E0.A/d).ln|i|
 
 é aqui que faltou a sua constante (como você mesmo adivinhou). Como
 eu estou com uma variável diferente, tenho que achar mais uma variável
 de tempo. Como acabaram os t, eu vou usar s (de segundos se você
 quiser)
 
 Integral de T=0 até T=s dT = Integral de i=i(0) até i=i(s) -b di/i
 
 Note que a segunda fórmula contém *também* uma mudança de variáveis,
 antes era uma integral de T=0 até T=s de uma função que só dependia de
 i, e assim a gente troca a integral em T por uma integral em i, e
 compõe os limites da integral. Continuando, temos
 
 s - 0 = -b ( ln(i(s)) - ln(i(0)) )
 
 Ou seja
 
 ln(i(s)) = -s/b + ln(i(0))
 
 Ora, i(0) é a corrente inicial, que é de qualquer forma
 Tensão/Resistência, mas acontece que nós *conhecemos* a Tensão inicial
 (e a resistência não muda), e portanto i(0) = U0 / R. Tomando
 exponenciais,
 
 i(s) = U0/R * exp(-s/b)
 
  i = e^(-t.d/R.E0.A)
  Substituindo  C = E0.A/d
  i = e^(-t/RC)
  Quando  t = 0,teríamos i = 1,  o que é um absurdo
  pois quando  t = 0,  i = U0/R
 
 O que confirma que eu e você temos a mesma idéia da corrente inicial :))
 
  Já  que  a integral sempre  despreza a constante  final, pensei que talvez
   houvesse   algo que ainda  não está na fórmulla, até porque  ao
   substituirmos  i na equação original,
  Integral[i.dt]  = (U0-i.R) A E0 /d
 
  fica sobrando  U0.C
  Talvez  algo do tipo  U0/R e^(-t/RC) resolvesse o  problema (t = 0,  i =
  U0/R),  ou talvez não tem nada haver,  mas em qualquer  caso, como posso
  resolver essa integral?
 
 Nada *a* *ver*, no que toca o português. Em matemática, por outro
 lado, tem *tudo* a ver. Faz parte do conhecimento habitual
 (universitário...) que soluções de equações diferenciais lineares
 formam um espaço vetorial. Como a equação que você obtém é realmente
 linear, tudo ok. Assim, ao achar uma solução, você apenas tem que
 acertar qual é o múltiplo correto que dá a solução para a condição
 inicial que você tem. Repare que isso *só* vale para equações
 diferenciais lineares, que são bastante comuns, mas longe de serem
 todas que há!
 
 Comentário final: tudo o que você fez tá bem certinho, mas faltou só
 prestar atenção em como carregar a constante ao longo das contas.
 Lembre que quando você integra, tem que carregar uma constante dos
 *dois* lados da equação. Muitas vezes (principalmente em exercícios)
 um dos lados será zero, mas na vida real, provavelmente os dois lados
 serão não nulos, e é sempre melhor você ter constantes com sentido
 do que ter apenas uma constante de um dos lados da equação. Ainda mais
 que, se for o caso de uma equação diferencial não-linear, a
 dependência com as constantes é bm mais complicada (mas também é
 bem menos provável que você consiga integrar explicitamente como a
 gente fez aqui, então)
 
  []'s
  João
 
 Abraços,
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
  

[obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil

[Eduardo Wilner]

O problema de sinal é delicado. Devemos tomar cuidado com a convenção do ângulo 

alpha, que agora tomo medido da base no sentido anti-horário:

-  (1/R).v.(dv)/(dw) = g.sen w + u.g.cos w + u.v^2/R ,

que se parece mais com a (sua?) versão do jaumzaum indicada no link doSammyS.

Digo parece pois há a diferença, p.ex., do sinal negativo no primeiro membro.

Curioso que para u = 0,5 pode-se resolver facilmente a eq. dif. mas dá um 
problemão para alfa = 0 ...



--- Em sex, 8/7/11, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:

De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Assunto: [obm-l] Integral difícil
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 8 de Julho de 2011, 21:55






Boa Tarde a todos
Recentemente postei uma integral que não consegui resolver no fórum  
PHYSICSFORUMS mas não obtive nenhuma resposta satisfatória.O problema a seguir 
é uma preparação para a IPhO, embora só a parte matemática interesse
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=512186
Reduzi o problema a equação encontrada no link acima, queria achar a função de 
velocidade em função da distância, S.   

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil

[João Maldonado]

Valeu Eduardo.
Há algum geito de resolvermos a equação diferencial de um modo geral?Como tinha 
dito sou aluno do terceiro colegial não tenho nenhuma idéia de como resolver .
Aliás, teria se não existesse o uv²/R, daí passaria o dw para o outro lado e 
integraria  os 2 lados, o  primeiro em função de v e o segundo em função de 
wMas com o uv²/R, ao integrar, ficaria v²/2R =  -g(-cosw  + usenw )-
(u/R)  I(v².dw)I(v².dw) =  g(cosw -usenw)R/u - v²
Como resolvo isso?  Tentei chuta as funções v até que uma desse certo, mas  não 
consegui
Date: Sun, 10 Jul 2011 09:42:09 -0700
From: eduardowil...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil
To: obm-l@mat.puc-rio.br

O problema de sinal é delicado. Devemos tomar cuidado com a convenção do ângulo 

alpha, que agora tomo medido da base no sentido anti-horário:

-  (1/R).v.(dv)/(dw) = g.sen w + u.g.cos w + u.v^2/R ,

que se parece mais com a (sua?) versão do jaumzaum indicada no link doSammyS.

Digo parece pois há a diferença, p.ex., do sinal negativo no primeiro membro.

Curioso que para u = 0,5 pode-se resolver facilmente a eq. dif. mas dá um 
problemão para alfa = 0 ...



--- Em sex, 8/7/11, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:

De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Assunto: [obm-l] Integral difícil
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 8
 de Julho de 2011, 21:55






Boa Tarde a todos
Recentemente postei uma integral que não consegui resolver no fórum  
PHYSICSFORUMS mas não obtive nenhuma resposta satisfatória.O problema a seguir 
é uma preparação para a IPhO, embora só a parte matemática interesse
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=512186
Reduzi o problema
 a equação encontrada no link acima, queria achar a função de velocidade em 
função da distância, S. 

   
  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil

[Ralph Teixeira]

Oi, Joao.

Certamente, ha um monte de teoria sobre Equacoes Diferenciais Ordinarias, um
monte mesmo; ha varios tipos de EDOs que se resolvem por varios metodos, e
um monte de EDOs que nao tem solucao ou que nao se resolve por integrais
simples.

Essa ai bom, eu nao acompanhei a discussao, mas u, R e g sao constantes?
Se forem, voce pode:

i) Trocar de funcao; ao inves de v, trabalhe com F(w)=(v(w))^2; entao
v.dv/dw eh (1/2)(dF/dw), e a EDO em F eh mais simples que a EDO em v.
ii) De fato, voce fica com uma EDO linear de primeira ordem em F, que pode
ser escrita na forma F`+b(w).F=c(w). Estas EDOs podem ser resolvidas por um
metodo chamado FATOR INTEGRANTE, que eh:
-- Multiplique os dois lados por G(w)=e^(Integral de b(w)).
-- Agora o lado esquerdo eh d(F.G)/dw, isto eh, ficamos com
d(FG)/dw=G(w)c(w).
-- Integrando dw, fica FG=Int(Gc)+K, ou seja, F=(Int(Gc)+K)/G

Abraco,
  Ralph
2011/7/10 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com

  Valeu Eduardo.

 Há algum geito de resolvermos a equação diferencial de um modo geral?
 Como tinha dito sou aluno do terceiro colegial não tenho nenhuma idéia de
 como resolver .

 Aliás, teria se não existesse o uv²/R, daí passaria o dw para o outro lado
 e integraria  os 2 lados, o  primeiro em função de v e o segundo em função
 de w
 Mas com o uv²/R, ao integrar, ficaria v²/2R =  -g(-cosw  + usenw )-
  (u/R)  I(v².dw)
 I(v².dw) =  g(cosw -usenw)R/u - v²

 Como resolvo isso?  Tentei chuta as funções v até que uma desse certo, mas
  não consegui

 --
 Date: Sun, 10 Jul 2011 09:42:09 -0700
 From: eduardowil...@yahoo.com.br
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 O problema de sinal é delicado. Devemos tomar cuidado com a convenção do
 ângulo

 alpha, que agora tomo medido da base no sentido anti-horário:

 -  (1/R).v.(dv)/(dw) = g.sen w + u.g.cos w + u.v^2/R ,

 que se parece mais com a (sua?) versão do jaumzaum indicada no link
 doSammyS.

 Digo parece pois há a diferença, p.ex., do sinal negativo no primeiro
 membro.

 Curioso que para u = 0,5 pode-se resolver facilmente a eq. dif. mas dá um
 problemão para alfa = 0 ...



 --- Em *sex, 8/7/11, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com*escreveu:


 De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
 Assunto: [obm-l] Integral difícil
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Sexta-feira, 8 de Julho de 2011, 21:55

  Boa Tarde a todos

 Recentemente postei uma integral que não consegui resolver no fórum
  PHYSICSFORUMS mas não obtive nenhuma resposta satisfatória.
 O problema a seguir é uma preparação para a IPhO, embora só a parte
 matemática interesse

 http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=512186

 Reduzi o problema a equação encontrada no link acima, queria achar a função
 de velocidade em função da distância, S.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil

[João Maldonado]

Valeu Ralph, Mas ainda não entendi porque
dF G(w) + b(w) F G(w) = d(FG)/dw
Aliás, consegui resolver a integral desse modo :)Como acho o valor de K? seria 
o Vo ²?
[]'sJoão
Date: Sun, 10 Jul 2011 22:52:23 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Oi, Joao. Certamente, ha um monte de teoria sobre Equacoes Diferenciais 
Ordinarias, um monte mesmo; ha varios tipos de EDOs que se resolvem por varios 
metodos, e um monte de EDOs que nao tem solucao ou que nao se resolve por 
integrais simples.
 Essa ai bom, eu nao acompanhei a discussao, mas u, R e g sao constantes? 
Se forem, voce pode: i) Trocar de funcao; ao inves de v, trabalhe com 
F(w)=(v(w))^2; entao v.dv/dw eh (1/2)(dF/dw), e a EDO em F eh mais simples que 
a EDO em v.
ii) De fato, voce fica com uma EDO linear de primeira ordem em F, que pode ser 
escrita na forma F`+b(w).F=c(w). Estas EDOs podem ser resolvidas por um metodo 
chamado FATOR INTEGRANTE, que eh:-- Multiplique os dois lados por 
G(w)=e^(Integral de b(w)).
-- Agora o lado esquerdo eh d(F.G)/dw, isto eh, ficamos com d(FG)/dw=G(w)c(w). 
-- Integrando dw, fica FG=Int(Gc)+K, ou seja, F=(Int(Gc)+K)/G Abraco,  
Ralph

2011/7/10 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com






Valeu Eduardo.
Há algum geito de resolvermos a equação diferencial de um modo geral?Como tinha 
dito sou aluno do terceiro colegial não tenho nenhuma idéia de como resolver .

Aliás, teria se não existesse o uv²/R, daí passaria o dw para o outro lado e 
integraria  os 2 lados, o  primeiro em função de v e o segundo em função de 
wMas com o uv²/R, ao integrar, ficaria v²/2R =  -g(-cosw  + usenw )-
(u/R)  I(v².dw)
I(v².dw) =  g(cosw -usenw)R/u - v²
Como resolvo isso?  Tentei chuta as funções v até que uma desse certo, mas  não 
consegui
Date: Sun, 10 Jul 2011 09:42:09 -0700
From: eduardowil...@yahoo.com.br

Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil
To: obm-l@mat.puc-rio.br


O problema de sinal é delicado. Devemos tomar cuidado com a convenção do ângulo 

alpha, que agora tomo medido da base no sentido anti-horário:

-  (1/R).v.(dv)/(dw) = g.sen w + u.g.cos w + u.v^2/R ,

que se parece mais com a (sua?) versão do jaumzaum indicada no link doSammyS.


Digo parece pois há a diferença, p.ex., do sinal negativo no primeiro membro.

Curioso que para u = 0,5 pode-se resolver facilmente a eq. dif. mas dá um 
problemão para alfa = 0 ...



--- Em sex, 8/7/11, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:


De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Assunto: [obm-l] Integral difícil

Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 8
 de Julho de 2011, 21:55






Boa Tarde a todos

Recentemente postei uma integral que não consegui resolver no fórum  
PHYSICSFORUMS mas não obtive nenhuma resposta satisfatória.O problema a seguir 
é uma preparação para a IPhO, embora só a parte matemática interesse

http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=512186

Reduzi o problema
 a equação encontrada no link acima, queria achar a função de velocidade em 
função da distância, S. 

  
 
  

  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil

[João Maldonado]

   

From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil
Date: Mon, 11 Jul 2011 00:05:22 -0300








Valeu Ralph, Mas ainda não entendi porque
dF G(w) + b(w) F G(w) = d(FG)/dw
Aliás, consegui resolver a integral desse modo :)Como acho o valor de K? seria 
o Vo ²?
[]'sJoão
Date: Sun, 10 Jul 2011 22:52:23 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Oi, Joao. Certamente, ha um monte de teoria sobre Equacoes Diferenciais 
Ordinarias, um monte mesmo; ha varios tipos de EDOs que se resolvem por varios 
metodos, e um monte de EDOs que nao tem solucao ou que nao se resolve por 
integrais simples.
 Essa ai bom, eu nao acompanhei a discussao, mas u, R e g sao constantes? 
Se forem, voce pode: i) Trocar de funcao; ao inves de v, trabalhe com 
F(w)=(v(w))^2; entao v.dv/dw eh (1/2)(dF/dw), e a EDO em F eh mais simples que 
a EDO em v.
ii) De fato, voce fica com uma EDO linear de primeira ordem em F, que pode ser 
escrita na forma F`+b(w).F=c(w). Estas EDOs podem ser resolvidas por um metodo 
chamado FATOR INTEGRANTE, que eh:-- Multiplique os dois lados por 
G(w)=e^(Integral de b(w)).
-- Agora o lado esquerdo eh d(F.G)/dw, isto eh, ficamos com d(FG)/dw=G(w)c(w). 
-- Integrando dw, fica FG=Int(Gc)+K, ou seja, F=(Int(Gc)+K)/G Abraco,  
Ralph

2011/7/10 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com






Valeu Eduardo.
Há algum geito de resolvermos a equação diferencial de um modo geral?Como tinha 
dito sou aluno do terceiro colegial não tenho nenhuma idéia de como resolver .

Aliás, teria se não existesse o uv²/R, daí passaria o dw para o outro lado e 
integraria  os 2 lados, o  primeiro em função de v e o segundo em função de 
wMas com o uv²/R, ao integrar, ficaria v²/2R =  -g(-cosw  + usenw )-
(u/R)  I(v².dw)
I(v².dw) =  g(cosw -usenw)R/u - v²
Como resolvo isso?  Tentei chuta as funções v até que uma desse certo, mas  não 
consegui
Date: Sun, 10 Jul 2011 09:42:09 -0700
From: eduardowil...@yahoo.com.br

Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil
To: obm-l@mat.puc-rio.br


O problema de sinal é delicado. Devemos tomar cuidado com a convenção do ângulo 

alpha, que agora tomo medido da base no sentido anti-horário:

-  (1/R).v.(dv)/(dw) = g.sen w + u.g.cos w + u.v^2/R ,

que se parece mais com a (sua?) versão do jaumzaum indicada no link doSammyS.


Digo parece pois há a diferença, p.ex., do sinal negativo no primeiro membro.

Curioso que para u = 0,5 pode-se resolver facilmente a eq. dif. mas dá um 
problemão para alfa = 0 ...



--- Em sex, 8/7/11, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:


De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Assunto: [obm-l] Integral difícil

Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 8
 de Julho de 2011, 21:55






Boa Tarde a todos

Recentemente postei uma integral que não consegui resolver no fórum  
PHYSICSFORUMS mas não obtive nenhuma resposta satisfatória.O problema a seguir 
é uma preparação para a IPhO, embora só a parte matemática interesse

http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=512186

Reduzi o problema
 a equação encontrada no link acima, queria achar a função de velocidade em 
função da distância, S. 

  
 
  


  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil

[Ralph Teixeira]

G foi cuidadosamente escolhida para que isto valha. Afinal, note que:

d(FG)/dw=F`G+FG`

e note que G=e^(Int b), entao pela Regra da Cadeia G`=e^(Int b)(d(Int
b)/dw)=b.e^(Int b)=bG

Para achar quaisquer constantes de integracao, substitua um valor conhecido
(t=0 e v(0)=v_0, como voce sugeriu) e calibre a constante.

(No exemplo em questao, K=F_0G_0=(v_0)^2, como voce disse, *desde que voce
tome G(0)=1*)

Abraco,
   Ralph
2011/7/11 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com

  Valeu Ralph, Mas ainda não entendi porque

 dF G(w) + b(w) F G(w) = d(FG)/dw

 Aliás, consegui resolver a integral desse modo :)
 Como acho o valor de K? seria o Vo ²?

 []'s
 João

 --
 Date: Sun, 10 Jul 2011 22:52:23 -0300
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil
 From: ralp...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 Oi, Joao.

 Certamente, ha um monte de teoria sobre Equacoes Diferenciais Ordinarias,
 um monte mesmo; ha varios tipos de EDOs que se resolvem por varios metodos,
 e um monte de EDOs que nao tem solucao ou que nao se resolve por integrais
 simples.

 Essa ai bom, eu nao acompanhei a discussao, mas u, R e g sao
 constantes? Se forem, voce pode:

 i) Trocar de funcao; ao inves de v, trabalhe com F(w)=(v(w))^2; entao
 v.dv/dw eh (1/2)(dF/dw), e a EDO em F eh mais simples que a EDO em v.
 ii) De fato, voce fica com uma EDO linear de primeira ordem em F, que pode
 ser escrita na forma F`+b(w).F=c(w). Estas EDOs podem ser resolvidas por um
 metodo chamado FATOR INTEGRANTE, que eh:
 -- Multiplique os dois lados por G(w)=e^(Integral de b(w)).
 -- Agora o lado esquerdo eh d(F.G)/dw, isto eh, ficamos com
 d(FG)/dw=G(w)c(w).
 -- Integrando dw, fica FG=Int(Gc)+K, ou seja, F=(Int(Gc)+K)/G

 Abraco,
   Ralph
 2011/7/10 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com

  Valeu Eduardo.

 Há algum geito de resolvermos a equação diferencial de um modo geral?
 Como tinha dito sou aluno do terceiro colegial não tenho nenhuma idéia de
 como resolver .

 Aliás, teria se não existesse o uv²/R, daí passaria o dw para o outro lado
 e integraria  os 2 lados, o  primeiro em função de v e o segundo em função
 de w
 Mas com o uv²/R, ao integrar, ficaria v²/2R =  -g(-cosw  + usenw )-
  (u/R)  I(v².dw)
 I(v².dw) =  g(cosw -usenw)R/u - v²

 Como resolvo isso?  Tentei chuta as funções v até que uma desse certo, mas
  não consegui

 --
 Date: Sun, 10 Jul 2011 09:42:09 -0700
 From: eduardowil...@yahoo.com.br
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 O problema de sinal é delicado. Devemos tomar cuidado com a convenção do
 ângulo

 alpha, que agora tomo medido da base no sentido anti-horário:

 -  (1/R).v.(dv)/(dw) = g.sen w + u.g.cos w + u.v^2/R ,

 que se parece mais com a (sua?) versão do jaumzaum indicada no link
 doSammyS.

 Digo parece pois há a diferença, p.ex., do sinal negativo no primeiro
 membro.

 Curioso que para u = 0,5 pode-se resolver facilmente a eq. dif. mas dá um
 problemão para alfa = 0 ...



 --- Em *sex, 8/7/11, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com*escreveu:


 De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
 Assunto: [obm-l] Integral difícil
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Sexta-feira, 8 de Julho de 2011, 21:55

  Boa Tarde a todos

 Recentemente postei uma integral que não consegui resolver no fórum
  PHYSICSFORUMS mas não obtive nenhuma resposta satisfatória.
 O problema a seguir é uma preparação para a IPhO, embora só a parte
 matemática interesse

 http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=512186

 Reduzi o problema a equação encontrada no link acima, queria achar a função
 de velocidade em função da distância, S.

[obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil

[Eduardo Wilner]

O problema de número de variáveis pode se resolvido se escrevermos.
(chamando alfa de w = s/R)
a = [(dv)/(R.dw)].v    ou (1/R).v.(dv)/(dw) = g.sen w - u.g.cos w - u.v^2/R ,

onde temos v como função de w=alfa (parece que vc, é o jaumzaun ? que 
enganou-se um pouco com os sinais).

Agora o problema é resolver a equação diferencial ...

[ ]s

--- Em sex, 8/7/11, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:

De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Assunto: [obm-l] Integral difícil
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 8 de Julho de 2011, 21:55






Boa Tarde a todos
Recentemente postei uma integral que não consegui resolver no fórum  
PHYSICSFORUMS mas não obtive nenhuma resposta satisfatória.O problema a seguir 
é uma preparação para a IPhO, embora só a parte matemática interesse
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=512186
Reduzi o problema a equação encontrada no link acima, queria achar a função de 
velocidade em função da distância, S.   

Re: [obm-l] Integral

[Bruno França dos Reis]

Seja f: R - R definida por f(x) = x.

df/dx = 1.

Logo, uma integral indefinida da função g: R - R definida por g(x) = 1 é f.

Serve?

--
Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16

http://brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com

GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key

e^(pi*i)+1=0


2009/10/7 Wagner w...@bol.com.br

  Olá a todos da lista
 Tenho uma questão:
 Provar que a integral indefinida de 1 é X
 Grato
 Wagner


 __ Informação do ESET NOD32 Antivirus, versão da vacina 4487
 (20091007) __

 A mensagem foi verificada pelo ESET NOD32 Antivirus.

 http://www.eset.com

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral 'difícil '

[lucianarodriggues]

Em 27/05/2009 00:22, Angelo Schranko  quintern...@yahoo.com.br  escreveu:
Ralph, obrigado pela análise.Também tenho vários argumentos para a não existência de tal integral, contudo, sua resposta pelo Mathematica dá -3/2 + eDe fato está escrito corretamente!Está no exercício 55 do livro "Numerical Methods for Engineers and Scientists", Joe D. Hoffman.http://www.4shared.com/file/18204220/5da74c3c/Numerical_Methods_for_Engineers_and_Scientists_2nd_Edition.html?s=1Obrigado--- Em ter, 26/5/09, Ralph Teixeira escreveu: De: Ralph Teixeira  Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Integral 'difícil' Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 26 de Maio de 2009, 22:20 Oi, Angelo.   Vi aqui por alto, talvez eu esteja falando bobagem... Eu acho que esta integral iterada nao existe. O problema eh que a integral de dentro, que eh impropria pois y^-1 eh descontinua em y=0, diverge! De fato: Int[0,e^x] (x^2+y^-1) dy = x^2.y+lny (y de 0 ateh e^x) = lim(b-0) (x^2.e^x+x)-(x^2.b+lnb) = -Inf ?!?   Pensando de outro jeito: note que f(x,y)=x^2+y^(-1) eh positiva na regiao R que voce deu (0 0 S:0 eu soh preciso de a,b1). Se a integral de f em R existisse, seria maior ou igual que a integral de f em S, certo (pois f eh positiva, e S estah contido em R)? Mas:  Int(0,1)Int(a,b) x^2+y^(-1) dydx=Int(0,1) x^2(b-a)+ln(b/a) dx = (b-a)/3 + ln(b/a)  Mantendo b fixo e tomando a-0, isto se aproxima de +Inf. Entao, a sua integral eh maior do que a integral em S, que por sua vez fica maior que qualquer numero positivo Ela nao pode existir! Confere a digitacao da questao para a gente?   Abraco,           Ralph  2009/5/26 Angelo SchrankoPessoal, alguém pode me ajudar por favor??? Como resolver analiticamente a seguinte integral dupla?   Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx  Obrigado.  R. -3/2 + e        Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com   = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html  =   Veja quais são os assuntos do momento no Yah
 oo! +Buscadoshttp://br.maisbuscados.yahoo.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Integral 'difícil'

[lucianarodriggues]

Em 26/05/2009 22:20, Ralph Teixeira  ralp...@gmail.com  escreveu:

Oi, Angelo.
 
Vi aqui por alto, talvez eu esteja falando bobagem... Eu acho que esta integral iterada nao existe. O problema eh que a integral de dentro, que eh impropria pois y^-1 eh descontinua em y=0, diverge! De fato:
Int[0,e^x] (x^2+y^-1) dy = x^2.y+lny (y de 0 ateh e^x) = lim(b-0) (x^2.e^x+x)-(x^2.b+lnb) = -Inf ?!?
 
Pensando de outro jeito: note que f(x,y)=x^2+y^(-1) eh positiva na regiao R que voce deu (0
Int(0,1)Int(a,b) x^2+y^(-1) dydx=Int(0,1) x^2(b-a)+ln(b/a) dx = (b-a)/3 + ln(b/a)
Mantendo b fixo e tomando a-0, isto se aproxima de +Inf. Entao, a sua integral eh maior do que a integral em S, que por sua vez fica maior que qualquer numero positivo Ela nao pode existir! Confere a digitacao da questao para a gente?
Abraco,
          Ralph
2009/5/26 Angelo Schranko quintern...@yahoo.com.br
Pessoal, alguém pode me ajudar por favor???Como resolver analiticamente a seguinte integral dupla?Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydxObrigado.R. -3/2 + e     Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscadoshttp://br.maisbuscados.yahoo.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral 'difíc il'

[Ralph Teixeira]

Tá... bom, então eu acho que ele errou na digitação, pois aquela integral,
pô, diverge Não consigo ver onde eu teria errado... :(

Quanto ao Mathematica, só consigo chegar ao e-3/2 cometendo um erro
esquisito: supondo ln(0)=0. Afinal, a integral de dentro seria:

Int[0,e^x] x^2+1/y dy = x^2e^x+ln(e^x)-ln(0)

Se absurdamente fizermos ln(0)=0 (ou, sei lá, como ele não existe eu o
ignoro e continuo o resto, já que fui mal programado por alguém), a integral
original daria:

Int[0,x]x^2e^x+xdx=e-3/2...

(Será que não é e-3/2+Inf??)

Contra o livro e contra o software! Coragem!

Abraço,
  Ralph

2009/5/27 Angelo Schranko quintern...@yahoo.com.br

Ralph, obrigado pela análise.
Também tenho vários argumentos para a não existência de tal integral,
contudo, sua resposta pelo Mathematica dá -3/2 + e

De fato está escrito corretamente!

Está no exercício 55 do livro Numerical Methods for Engineers and
Scientists, Joe D. Hoffman.

http://www.4shared.com/file/18204220/5da74c3c/Numerical_Methods_for_Engineers_and_Scientists_2nd_Edition.html?s=1

Obrigado

--- Em ter, 26/5/09, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Integral 'difícil'
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Terça-feira, 26 de Maio de 2009, 22:20
 Oi, Angelo.

 Vi aqui por alto, talvez eu esteja falando bobagem...
 Eu acho que esta integral iterada nao existe. O problema eh
 que a integral de dentro, que eh impropria pois y^-1 eh
 descontinua em y=0, diverge! De fato:
 Int[0,e^x] (x^2+y^-1) dy = x^2.y+lny (y de 0 ateh e^x)
 = lim(b-0) (x^2.e^x+x)-(x^2.b+lnb) = -Inf ?!?

 Pensando de outro jeito: note que f(x,y)=x^2+y^(-1)
 eh positiva na regiao R que voce deu (0x1,
 0ye^x). Agora, considere o retangulozinho
 S:0x1, ayb onde a,b sao bem pequenos (bom,
 eu soh preciso de a,b1). Se a integral de f em R
 existisse, seria maior ou igual que a integral de f em S,
 certo (pois f eh positiva, e S estah contido em R)?
 Mas:

 Int(0,1)Int(a,b) x^2+y^(-1) dydx=Int(0,1)
 x^2(b-a)+ln(b/a) dx = (b-a)/3 + ln(b/a)
 Mantendo b fixo e tomando a-0, isto se aproxima
 de +Inf. Entao, a sua integral eh maior do que a integral em
 S, que por sua vez fica maior que qualquer numero
 positivo Ela nao pode existir! Confere a digitacao da
 questao para a gente?


 Abraco,
   Ralph

 2009/5/26 Angelo Schranko quintern...@yahoo.com.br


 Pessoal, alguém pode me ajudar por favor???
 Como resolver analiticamente a seguinte integral dupla?


 Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx

 Obrigado.

 R. -3/2 + e


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=

[obm-l] Re: [obm-l] Integral 'difícil'

[lucianarodriggues]

Em 26/05/2009 20:30, Angelo Schranko  quintern...@yahoo.com.br  escreveu:
Pessoal, alguém pode me ajudar por favor???Como resolver analiticamente a seguinte integral dupla?Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydxObrigado.R. -3/2 + eVeja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscadoshttp://br.maisbuscados.yahoo.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Integral 'difícil'

[Ralph Teixeira]

Oi, Angelo.

Vi aqui por alto, talvez eu esteja falando bobagem... Eu acho que esta
integral iterada nao existe. O problema eh que a integral de dentro, que eh
impropria pois y^-1 eh descontinua em y=0, diverge! De fato:
Int[0,e^x] (x^2+y^-1) dy = x^2.y+lny (y de 0 ateh e^x) = lim(b-0)
(x^2.e^x+x)-(x^2.b+lnb) = -Inf ?!?

Pensando de outro jeito: note que f(x,y)=x^2+y^(-1) eh positiva na regiao R
que voce deu (0x1, 0ye^x). Agora, considere o retangulozinho S:0x1,
ayb onde a,b sao bem pequenos (bom, eu soh preciso de a,b1). Se a
integral de f em R existisse, seria maior ou igual que a integral de f em S,
certo (pois f eh positiva, e S estah contido em R)? Mas:
Int(0,1)Int(a,b) x^2+y^(-1) dydx=Int(0,1) x^2(b-a)+ln(b/a) dx = (b-a)/3 +
ln(b/a)
Mantendo b fixo e tomando a-0, isto se aproxima de +Inf. Entao, a sua
integral eh maior do que a integral em S, que por sua vez fica maior que
qualquer numero positivo Ela nao pode existir! Confere a digitacao da
questao para a gente?

Abraco,
  Ralph
2009/5/26 Angelo Schranko quintern...@yahoo.com.br


 Pessoal, alguém pode me ajudar por favor???
 Como resolver analiticamente a seguinte integral dupla?

 Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx

 Obrigado.

 R. -3/2 + e


  Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral 'difícil '

[Angelo Schranko]

Ralph, obrigado pela análise.
Também tenho vários argumentos para a não existência de tal integral, contudo, 
sua resposta pelo Mathematica dá -3/2 + e

De fato está escrito corretamente!

Está no exercício 55 do livro Numerical Methods for Engineers and Scientists, 
Joe D. Hoffman.

http://www.4shared.com/file/18204220/5da74c3c/Numerical_Methods_for_Engineers_and_Scientists_2nd_Edition.html?s=1

Obrigado

--- Em ter, 26/5/09, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Integral 'difícil'
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Terça-feira, 26 de Maio de 2009, 22:20
 Oi, Angelo.
  
 Vi aqui por alto, talvez eu esteja falando bobagem...
 Eu acho que esta integral iterada nao existe. O problema eh
 que a integral de dentro, que eh impropria pois y^-1 eh
 descontinua em y=0, diverge! De fato:
 Int[0,e^x] (x^2+y^-1) dy = x^2.y+lny (y de 0 ateh e^x)
 = lim(b-0) (x^2.e^x+x)-(x^2.b+lnb) = -Inf ?!?
  
 Pensando de outro jeito: note que f(x,y)=x^2+y^(-1)
 eh positiva na regiao R que voce deu (0x1,
 0ye^x). Agora, considere o retangulozinho
 S:0x1, ayb onde a,b sao bem pequenos (bom,
 eu soh preciso de a,b1). Se a integral de f em R
 existisse, seria maior ou igual que a integral de f em S,
 certo (pois f eh positiva, e S estah contido em R)?
 Mas:
 
 Int(0,1)Int(a,b) x^2+y^(-1) dydx=Int(0,1)
 x^2(b-a)+ln(b/a) dx = (b-a)/3 + ln(b/a) 
 Mantendo b fixo e tomando a-0, isto se aproxima
 de +Inf. Entao, a sua integral eh maior do que a integral em
 S, que por sua vez fica maior que qualquer numero
 positivo Ela nao pode existir! Confere a digitacao da
 questao para a gente?
 
 
 Abraco,
   Ralph
 
 2009/5/26 Angelo Schranko quintern...@yahoo.com.br
 
 
 Pessoal, alguém pode me ajudar por favor???
 Como resolver analiticamente a seguinte integral dupla?
 
 
 Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx
 
 Obrigado.
 
 R. -3/2 + e
 
 
      Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo!
 +Buscados
 http://br.maisbuscados.yahoo.com
 
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
 lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
 
 
 


  Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re : [obm-l] Integral dupla - Resolução analíti c a

[Angelo Schranko]

Sim, o enunciado está correto. Calculei no matlab também.

[]´s

--- Em dom, 24/5/09, Arlane Manoel S Silva ar...@usp.br escreveu:

 De: Arlane Manoel S Silva ar...@usp.br
 Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral dupla - 
 Resolução analíti ca
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Domingo, 24 de Maio de 2009, 18:33
   Nas minhas contas deu
 infinito. O enunciado é este mesmo?
 
 
 Citando Angelo Schranko quintern...@yahoo.com.br:
 
  
  ???
  
  --- Em sáb, 23/5/09, lucianarodrigg...@uol.com.br 
 lucianarodrigg...@uol.com.br
 escreveu:
  
  De: lucianarodrigg...@uol.com.br
 lucianarodrigg...@uol.com.br
  Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral
 dupla - Resolução  analíti ca
  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
  Data: Sábado, 23 de Maio de 2009, 17:15
  
  
  Em 23/05/2009 11:58, Angelo Schranko
   quintern...@yahoo.com.br
 
  escreveu:Olá, obrigado, mas
  creio que esteja incorreto, pois a resposta
 é-3/2 +
  e.A sua solução dá 5/2
  -2e/3Obrigado.--- Em qua, 20/5/09,
  Arlane Manoel S Silva  escreveu: De:
 Arlane
  Manoel S Silva  Assunto: Re: [obm-l] Integral
 dupla
  - Resolução analítica Para:
  obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Quarta-feira, 20 de Maio
  de 2009, 18:08    Usando o Teorema
  de Fubini, basta mudar a ordem de
  integração:  Int[0,1]Int[0,
 e^x](x^2
  + y^-1)dydx=Int[1,e]Int[0, ln(y)](x^2 +
  y^-1)dxdy dai segue facilmente
Citando Angelo Schranko :
 Pessoal, como resolver
  analiticamente a
    seguinte integral dupla?
 
   Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx
Obrigado. 
          Veja quais
 são
  os assuntos do momento no Yahoo!
 +Buscados
   http://br.maisbuscados.yahoo.com
 
  
 
 =
   Instruções para entrar na lista, sair
 da lista
  e usar a lista em 
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  
 
 =
  -- 
           Arlane Manoel S
  Silva    Departamento de
 Matemática
  Aplicada Instituto de Matemática e
  Estatística-USP  
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da
 lista e usar
  a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
        Veja quais são
 os assuntos do
  momento no Yahoo!
  +Buscadoshttp://br.maisbuscados.yahoo.com=Instruções
  para entrar na lista, sair da lista e usar a
 lista
  emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e
 usar a
  lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
  
  
  
        Veja quais são os
 assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
  http://br.maisbuscados.yahoo.com
  
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e
 usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
  
 
 
 
 --        Arlane Manoel S Silva
   Departamento de Matemática Aplicada
 Instituto de Matemática e Estatística-USP
 
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
 lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
 


  Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re : [obm-l] Integral dupla - Resolução analíti c a

[lucianarodriggues]

Em 25/05/2009 10:12, Angelo Schranko  quintern...@yahoo.com.br  escreveu:Sim, o enunciado está correto. Calculei no matlab também.[]´s--- Em dom, 24/5/09, Arlane Manoel S Silva <ar...@usp.br> escreveu:> De: Arlane Manoel S Silva <ar...@usp.br>> Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral dupla - Resolução analíti ca> Para: obm-l@mat.puc-rio.br> Data: Domingo, 24 de Maio de 2009, 18:33>   Nas minhas contas deu> infinito. O enunciado é este mesmo?> > > Citando Angelo Schranko <quintern...@yahoo.com.br>:> > > > > ???> > > > --- Em sáb, 23/5/09, lucianarodrigg...@uol.com.br > <lucianarodrigg...@uol.com.br>> escreveu:> > > >> De: lucianarodrigg...@uol.com.br> > >> Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral> dupla - Resolução  analíti ca> >> Para: obm-l@mat.puc-rio.br> >> Data: Sábado, 23 de Maio de 2009, 17:15> >> > >> > >> Em 23/05/2009 11:58, Angelo Schranko> >> < quintern...@yahoo.com.br> >> >> escreveu:Olá, obrigado, mas> >> creio que esteja incorreto, pois a resposta> é-3/2 +> >> e.A sua solução dá 5/2> >> -2e/3Obrigado.--- Em qua, 20/5/09,> >> Arlane Manoel S Silva  escreveu:> De:> Arlane> >> Manoel S Silva > Assunto: Re: [obm-l] Integral> dupla> >> - Resolução analítica> Para:> >> obm-l@mat.puc-rio.br>> Data: Quarta-feira, 20 de Maio> >> de 2009, 18:08>    Usando o Teorema> >> de> Fubini, basta mudar a ordem de> >> integração:> > Int[0,1]Int[0,> e^x](x^2> >> + y^-1)dydx=Int[1,e]Int[0,> ln(y)](x^2 +> >> y^-1)dxdy> dai segue faci
 lmente>> >> > > Citando Angelo Schranko :>> >> > > > Pessoal, como resolver> >> analiticamente a> >>   seguinte> integral dupla?>> >>> >> > Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx>> >> >> > Obrigado.> >>> >> >> >       Veja quais> são> >> os> assuntos do momento no Yahoo!> +Buscados>> >> > http://br.maisbuscados.yahoo.com>> >>> >> >>> >>> =>> >> > Instruções para entrar na lista, sair> da lista> >> e> usar a lista em> >> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html>> >> >>> >>> =>> >> >> > > > -- >> >>          Arlane Manoel S>> >> Silva>    Departamento de> Matemática> >> Aplicada> Instituto de Matemática e> >> Estatística
 -USP> > >> >>> =>> >> Instruções para entrar na lista, sair da> lista e usar> >> a> lista em>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html>> >>> =>> >>       Veja quais são> os assuntos do> >> momento no Yahoo!> >> +Buscadoshttp://br.maisbuscados.yahoo.com=Instruções> >> para entrar na lista, sair da lista e usar a> lista> >> emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=> >>> => >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e> usar a> >> lista em> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obml
 istas/obm-l.html> >>> => >> > > > > > >       Veja quais são os> assuntos do momento no Yahoo! +Buscados> > http://br.maisbuscados.yahoo.com> > > >> => > Instruções para entrar na lista, sair da lista e> usar a lista em> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html> >> => > > > > > --        Arlane Manoel S Silva>   Departamento de Matemática Aplicada> Instituto de Matemática e Estatística-USP> > > => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a> lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html> ===
 ==>   Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscadoshttp://br.maisbuscados.yahoo.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral dupla - Resolução analíti ca

[Arlane Manoel S Silva]

  Nas minhas contas deu infinito. O enunciado é este mesmo?


Citando Angelo Schranko quintern...@yahoo.com.br:



???

--- Em sáb, 23/5/09, lucianarodrigg...@uol.com.br   
lucianarodrigg...@uol.com.br escreveu:



De: lucianarodrigg...@uol.com.br lucianarodrigg...@uol.com.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral dupla - Resolução  
 analíti ca

Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sábado, 23 de Maio de 2009, 17:15


Em 23/05/2009 11:58, Angelo Schranko
 quintern...@yahoo.com.br 
escreveu:Olá, obrigado, mas
creio que esteja incorreto, pois a resposta é-3/2 +
e.A sua solução dá 5/2
-2e/3Obrigado.--- Em qua, 20/5/09,
Arlane Manoel S Silva  escreveu: De: Arlane
Manoel S Silva  Assunto: Re: [obm-l] Integral dupla
- Resolução analítica Para:
obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 20 de Maio
de 2009, 18:08    Usando o Teorema
de Fubini, basta mudar a ordem de
integração:  Int[0,1]Int[0, e^x](x^2
+ y^-1)dydx=Int[1,e]Int[0, ln(y)](x^2 +
y^-1)dxdy dai segue facilmente
  Citando Angelo Schranko :
   Pessoal, como resolver
analiticamente a
  seguinte integral dupla? 
 Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx
  Obrigado. 
        Veja quais são
os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
 http://br.maisbuscados.yahoo.com 

=
 Instruções para entrar na lista, sair da lista
e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

=
-- 
         Arlane Manoel S
Silva    Departamento de Matemática
Aplicada Instituto de Matemática e
Estatística-USP  
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar
a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
  Veja quais são os assuntos do
momento no Yahoo!
+Buscadoshttp://br.maisbuscados.yahoo.com=Instruções
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=




  Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=





--
Arlane Manoel S Silva
  Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática e Estatística-USP


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Integral dupla - Resolução analíti ca

[Angelo Schranko]

Olá, obrigado, mas creio que esteja incorreto, pois a resposta é
-3/2 + e.

A sua solução dá 5/2 -2e/3

Obrigado.

--- Em qua, 20/5/09, Arlane Manoel S Silva ar...@usp.br escreveu:

 De: Arlane Manoel S Silva ar...@usp.br
 Assunto: Re: [obm-l] Integral dupla - Resolução analítica
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Quarta-feira, 20 de Maio de 2009, 18:08
    Usando o Teorema de
 Fubini, basta mudar a ordem de integração:
 
 Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx=Int[1,e]Int[0,
 ln(y)](x^2 + y^-1)dxdy
 dai segue facilmente
 
 
 Citando Angelo Schranko quintern...@yahoo.com.br:
 
 
  Pessoal, como resolver analiticamente a seguinte
 integral dupla?
 
  Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx
 
  Obrigado.
 
 
        Veja quais são os
 assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
  http://br.maisbuscados.yahoo.com
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e
 usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
 
 
 
 
 -- 
          Arlane Manoel S
 Silva
    Departamento de Matemática Aplicada
 Instituto de Matemática e Estatística-USP
 
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
 lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
 


  Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral dupla - Resolução analíti ca

[lucianarodriggues]

Em 23/05/2009 11:58, Angelo Schranko  quintern...@yahoo.com.br  escreveu:Olá, obrigado, mas creio que esteja incorreto, pois a resposta é-3/2 + e.A sua solução dá 5/2 -2e/3Obrigado.--- Em qua, 20/5/09, Arlane Manoel S Silva <ar...@usp.br> escreveu:> De: Arlane Manoel S Silva <ar...@usp.br>> Assunto: Re: [obm-l] Integral dupla - Resolução analítica> Para: obm-l@mat.puc-rio.br> Data: Quarta-feira, 20 de Maio de 2009, 18:08>    Usando o Teorema de> Fubini, basta mudar a ordem de integração:> > Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx=Int[1,e]Int[0,> ln(y)](x^2 + y^-1)dxdy> dai segue facilmente> > > Citando Angelo Schranko <quintern...@yahoo.com.br>:> > > > Pessoal, como resolver analiticamente a
  seguinte> integral dupla?> >> > Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx> >> > Obrigado.> >> >> >       Veja quais são os> assuntos do momento no Yahoo! +Buscados> > http://br.maisbuscados.yahoo.com> >> >> => > Instruções para entrar na lista, sair da lista e> usar a lista em> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html> >> => >> > > > -- >          Arlane Manoel S> Silva>    Departamento de Matemática Aplicada> Instituto de Matemática e Estatística-USP> > > => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a> lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<br/
 >> =>   Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscadoshttp://br.maisbuscados.yahoo.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Integral dupla - Resolução analítica

[Arlane Manoel S Silva]

  Usando o Teorema de Fubini, basta mudar a ordem de integração:

Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx=Int[1,e]Int[0, ln(y)](x^2 + y^-1)dxdy
dai segue facilmente


Citando Angelo Schranko quintern...@yahoo.com.br:



Pessoal, como resolver analiticamente a seguinte integral dupla?

Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx

Obrigado.


  Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=





--
Arlane Manoel S Silva
  Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática e Estatística-USP


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por que é imposs ível?

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Só pra dizer mais umas coisas legais :

O Elon tem no livro dele (não sei mais se é o Análise Real ou o Curso
de Análise, volume 1, claro) a mesma idéia pra definir senos e
cossenos. Pra quem gosta de cálculo diferencial, esse é um prato cheio
pra lembrar como fazer algumas contas, e, melhor ainda, ver que
realmente seno e cosseno estão bem-definidas e tal:

1) seja f'' + f = 0 uma função tal que f(0) = 0, f'(0) = 1 (qualquer
semelhança com o seno é pura coincidência)
2) Chame (sei lá por quê...) g = f', e note que g'' = f''' = (-f)' =
-f' = -g, logo g'' + g = 0 também, que legal, e g' = f'' = -f
3) Note que g^2 + f^2 = 1 : derivando, dá 2gg' + 2ff' = -2gf + 2fg =
0, logo é constante, logo g^2 + f^2 = g(0)^2 + f(0)^2 = 1 + 0 = 1
4) Como g(0) = 1  1/2, e f' = g, temos que f é monótona crescente num
intervalo em torno de zero. Como g^2 = 1 - f^2, g é monótona
decrescente.
5) Existe um ponto x  0 em que g(x) = 0 : senão, g seria sempre maior
do que zero (pois g(0) = 1  0, teorema do valor intermediário), logo
f seria sempre crescente. Olhando de novo para f' = g, temos que num
intervalinho em torno do zero, f'  1/2, logo f  1/2 * comprimento do
intervalinho. Como g' = -f, além desse intervalinho (digamos [0,a], g
está ABAIXO de uma reta de inclinação -f(a)  -a/2. Logo g *tem que*
cruzar zero.
6) Chame esse ponto mágico de primeira anulação de g de A (como anulação !)
Note que g'(A) = 1 ou -1 (porque g' = -f, f(A)^2 = 1 - g(A)^2 !) e
como g é positiva entre 0 e A, temos f crescente, logo f positiva,
logo f(A) = 1, logo g'(A) = -1
7) Use isso para ver que -g'(x+A) é uma solução também da equação, com
mesmas condições e o mais. Repetindo duas vezes, você descobrirá que
f(x+4A) = f(x) (atenção pros sinais)
8) Prove agora as fórmulas mágicas de soma e subtração de senos e
cossenos que você conhece usando derivada, por exemplo : f''(a+x) =
-f(a+x) é solução da equação diferencial, e (f(a)g(x) + f(x)g(a))'' =
f(a)g''(x) + f''(x)g(a) = f(a)(-g(x)) + (-f(x))g(a) = -(f(a)g(x) +
f(x)g(a)) também é solução, e note que f(a+0) = f(a) e f(a)g(0) +
f(0)g(a) = f(a)*1 +0*g(a) = f(a) e a primeira derivada também
coincide, logo as funções são iguais.
9) Essas funções estão definidas em toda a reta real, f(-x) = -f(x), e
se a gente chamar A = pi/2, temos uma nova definição de pi.

Uma idéia ainda mais ousada é definir seno e cosseno pela série deles
seno(x) = soma (-1)^n x^(2n+1) / (2n +1)!, convergente em toda a reta
(e normalmente em cada intervalo finito) pelo critério de d'Alembert.
Isso dá imediatamente a equação diferencial (pra provar que ela se
anula e o resto) e a série de Taylor, as derivadas, os limites
sin(x)/x pra x-0 etc.

Outra coisa : o Liouville provou um teorema descrevendo um algoritmo
de integração que decide se uma função é integrável ou não em termos
simples (com uma definição do que sejam termos simples, claro). Ela
usa uns conceitos de Álgebra pra funcionar, e é bem interessante do
ponto de vista moderno : considerar todas as funções de uma vez só é
permite provar o teorema, enquanto uma análise caso a caso não. Um
link (não achei um pdf com a demo, mas deve dar pra encontrar) :
http://www.sosmath.com/calculus/integration/fant/fant.html

2009/3/24 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com:
 Oi, Bouskela. Você tem uma certa razão... Mas, sinceramente, o que
 diabos é e^x? Mais espcificamente, o que é e^pi, por exemplo? Dá para
 definir por limites usando números racionais, mas dá um certo
 trabalhinho...

 Então tem um pessoal que prefere DEFINIR o logaritmo pela integral, e
 DEFINIR a função e^x como sendo a inversa do ln (assim, este tal de
 e por definição seria o número cujo ln é 1!). Neste novo universo,
 as coisas se encaixam elegantemente (e, de bônus, responde-se a
 pergunta do meu parágrafo anterior). Mais detalhadamente, a ordem
 lógica desse pessoal é:

 *Alerta! Texto DENSO a seguir! Nada difícil, mas está denso!*

 0. Não sabemos o que é ln, nunca ouvimos falar de e, não temos a
 mínima idéia do que seja a^x quando x não é racional.
 1. Para x em (0,+Inf), definimos ln(x)=Int(1 a x) 1/t dt. Assim,
 d(lnx)/dx=1/x e ln1=0.
 2. Conclua que ln(x) é crescente (pois a derivada é +).
 (2a. Em particular, note que ln2ln1=0.)
 3. Mostre que ln(x^r)=r.ln(x) (pelo menos para r racional)
 -- Um jeito é: tome h(x)=ln(x^r)-rln(x); derivando, usando a Regra da
 Cadeia e (1), vem h'(x)=0. Então h(x)=h(1)=0.
 4. Usando 2a e 3, temos que ln(2^r)=r.ln2 pode ser tão grande quanto
 quisermos se r for grande, e tão negativo quanto quisermos se r for
 bem negativo. Assim, a imagem desta misteriosa ln(x) é o intervalo
 (-Inf, +Inf).
 5. Por (2), lnx é monótona, então invertível; vamos chamar sua inversa
 de exp(x):(-Inf, +Inf) - (0,+Inf) (estes intervalos vêm de (4) e
 (1)).
 6. Mostre que exp(rx)=exp(x)^r (pelo menos para r racional)
 -- Um jeito: use que exp(rx)=exp(rln(exp(x)))=exp(ln(exp(x)^r))=exp(x)^r.
 7. DEFINIÇÃO: e=exp(1). Assim, exp(x)=exp(x.1)=exp(1)^x=e^x (pelo
 menos para x racional)
 8. Agora é o contrário: a 

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm -l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por que é impossível?

[Albert Bouskela]

Olá a todos!

Esta Lista é realmente muito legal! É com prazer e estímulo que participo
dela.

Para mim, o melhor da Lista é que um estudante propõe um problema mais ou
menos assim:

Paulo tem o dobro da idade de Pedro. Pedro tem 10 anos. Qual é a idade de
Paulo?

Aí, o primeiro cara responde 20 anos. O segundo pergunta se o aniversário de
Pedro coincide com o de Paulo. O terceiro considera que a idade evolui de
forma contínua, e não discreta, portanto não há uma resposta exata, já que
os aniversários não podem ser absolutamente coincidentes. O quarto indaga em
que sistema (métrica) de numeração estão expressas as idades. O quinto expõe
que sendo Paulo um adulto e Pedro uma criança, a massa corporal de Paulo é
maior do que a de Pedro, daí, pela Teoria da Relatividade, o tempo evolui
mais rapidamente para Pedro do que para Paulo - como as massas de ambos não
foram informadas, o problema está indeterminado. O sexto explica que, além
da falta da informação referente às massas, Paulo, por ser mais velho, já
andou (se deslocou) mais do que Pedro, daí (novamente pela Relatividade de
Einstein) o espaço-tempo dos dois é diferente: Paulo já viveu mais do que o
dobro do que viveu Pedro. E por aí vai...

O que quero dizer é que essa discussão sobre integrais e definições, digamos
não ortodoxas, de algumas funções foi bastante interessante. Eu mesmo me
lembro que há 10 - 15 anos atrás (como eu já estou ficando velho!) discuti
com o Nicolau Saldanha sobre a definição da função Gama. Da mesma forma,
tudo começou quando um estudante perguntou o valor numérico do fatorial de
pi (pi!). Depois de algumas mensagens, o Nicolau quis estender o domínio
da função Gama para o R^n (ou mesmo matrizes), mas preservando a
correspondência dessa função com o fatorial dos números naturais. Eu já
queria definir a função Gama de acordo com as suas propriedades em Relação à
Transformada de Laplace - bacana, não? Pois é...  

Finalizando, acho que não fui claro em um ponto de minhas mensagens
anteriores:

O que quis dizer foi: ainda não foi descoberto um algoritmo generalizado
para o cálculo das integrais indefinidas. Acredito, até, que se possa provar
a impossibilidade de um algoritmo assim. Daí, EM PRINCÍPIO, não é possível
calcular a integral indefinida de uma função genérica - só é possível
calcular a integral indefinida de determinadas famílias de funções. Daí, EM
PRINCÍPIO, a integral indefinida de uma certa função não pode ser calculada,
até que alguém, por algum método a descubra (aí valendo até a intuição) - é
isto.

Saudações a todos,
Albert Bouskela
bousk...@gmail.com
bousk...@ymail.com

 -Original Message-
 From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br]
 On Behalf Of Bernardo Freitas Paulo da Costa
 Sent: Wednesday, March 25, 2009 4:45 AM
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re:
[obm-l] Re:
 [obm-l] Integral de exp(x^-2), por que é impossível?
 
 Só pra dizer mais umas coisas legais :
 
 O Elon tem no livro dele (não sei mais se é o Análise Real ou o Curso
 de Análise, volume 1, claro) a mesma idéia pra definir senos e
 cossenos. Pra quem gosta de cálculo diferencial, esse é um prato cheio
 pra lembrar como fazer algumas contas, e, melhor ainda, ver que
 realmente seno e cosseno estão bem-definidas e tal:
 
 1) seja f'' + f = 0 uma função tal que f(0) = 0, f'(0) = 1 (qualquer
 semelhança com o seno é pura coincidência)
 2) Chame (sei lá por quê...) g = f', e note que g'' = f''' = (-f)' =
 -f' = -g, logo g'' + g = 0 também, que legal, e g' = f'' = -f
 3) Note que g^2 + f^2 = 1 : derivando, dá 2gg' + 2ff' = -2gf + 2fg =
 0, logo é constante, logo g^2 + f^2 = g(0)^2 + f(0)^2 = 1 + 0 = 1
 4) Como g(0) = 1  1/2, e f' = g, temos que f é monótona crescente num
 intervalo em torno de zero. Como g^2 = 1 - f^2, g é monótona
 decrescente.
 5) Existe um ponto x  0 em que g(x) = 0 : senão, g seria sempre maior
 do que zero (pois g(0) = 1  0, teorema do valor intermediário), logo
 f seria sempre crescente. Olhando de novo para f' = g, temos que num
 intervalinho em torno do zero, f'  1/2, logo f  1/2 * comprimento do
 intervalinho. Como g' = -f, além desse intervalinho (digamos [0,a], g
 está ABAIXO de uma reta de inclinação -f(a)  -a/2. Logo g *tem que*
 cruzar zero.
 6) Chame esse ponto mágico de primeira anulação de g de A (como anulação
 !)
 Note que g'(A) = 1 ou -1 (porque g' = -f, f(A)^2 = 1 - g(A)^2 !) e
 como g é positiva entre 0 e A, temos f crescente, logo f positiva,
 logo f(A) = 1, logo g'(A) = -1
 7) Use isso para ver que -g'(x+A) é uma solução também da equação, com
 mesmas condições e o mais. Repetindo duas vezes, você descobrirá que
 f(x+4A) = f(x) (atenção pros sinais)
 8) Prove agora as fórmulas mágicas de soma e subtração de senos e
 cossenos que você conhece usando derivada, por exemplo : f''(a+x) =
 -f(a+x) é solução da equação diferencial, e (f(a)g(x) + f(x)g(a))'' =
 f(a)g''(x) + f''(x)g(a) = f(a)(-g(x)) + (-f(x))g(a) = -(f(a)g(x) +
 f

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de exp( x^-2), por que é impossível?

[Ralph Teixeira]

Eh, mas esta eh a integral da nota de aula eh DEFINIDA, de -Inf a
+Inf. Esta dah para calcular passando por integrais duplas e
coordenadas polares (este calculo eh belissimo, neh?).

A integral INDEFINIDA (ou a integral definida F(x)=Int (0 a x)
exp(-t^2) dt ) eh impossivel... bom, no sentido que o Leandro falou
ali em cima: nao dah para escreve-la usando apenas as chamadas
funcoes elementares (sin, cos, ln, exponenciais... esqueci alguma?)
e somas, subtracoes, multiplicacoes, divisoes e raizes (FINITAS). Acho
que o Cesar queria ver a demonstracao deste fato; infelizmente, eu nao
a conheco... alias, nao tenho ideia de como seja esta demonstracao.

Agora, se usarmos funcoes nao elementares, dah para escrever sim (por
exemplo, usando a funcao erf, como disse o Bouskela, que por sua vez
eh uma outra integral destas impossiveis, com aspas). Outra
possibilidade para resolve-la (talvez o verbo correto aqui fosse
re-escreve-la...) eh por serie de potencias.

exp(-x^2)=1-x^2+x^4/2!-x^6/3!+x^8/4!-x^10/5!+...+(-1)^n . x^(2n)/n!+...
F(x)=x-x^3/3+x^5/10-x^7/42+x^9/212-x^11/1320+...+(-1)^n.x^(2n+1)/((2n+1).n!)+...

Reforcando de novo o que o Leandro disse, esta divisao entre funcoes
elementares e nao-elementares eh um tanto arbitraria; quase dah
para argumentar que a funcao F(x)=Int (0 a x) exp(-t^2) dt eh tao
elementar quanto o seno, e tao dificil de calcular quanto o seno.
Pense bem: como calcular F(1), e como calcular sin(1)? Eh mais uma
questao de costume -- a gente mexe com o seno frequentemente, mas
raramente com esta F que nem nome ganhou.

Abraco,
   Ralph
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por q ue é impossível?

[Iuri]

O problema é que não existe primitiva de e^(-x^2), mas pode-se calcular a
integral numericamente ou até analiticamente dependendo do intervalo de
integração. Ela é convergente em todo R.

Resultados possíveis de se encontrar analiticamente é a integral de zero a
infinito ou de -infinito a +infinito.

Iuri

2009/3/23 Paulo Cesar pcesa...@gmail.com



 Essa integral não é impossível. Só não é possível resolver pelos métodos
 convencionais.
 Já vi a solução numa aula de cálculo 3, faz muito tempo. Caso eu encontre,
 publico aqui. mas acho que até lá um dos mestres da lista já terá resolvido.

 Abraço

 PC

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por que é imp ossível?

[Albert Bouskela]

Olá!

Bem, gostei das respostas, mas tenho algumas (só três) observações:

1ª)   De fato, podemos muito bem definir algumas funções através de
integrais, p.ex., Bessel, Gama, Legendre etc. Essas funções são
perfeitamente aceitas e, aliás, de bastante utilidade.

2ª)   Acredito que não seja possível demonstrar a impossibilidade de se
encontrar uma determinada integral indefinida, expressa apenas através das
funções mais básicas. I.e., em princípio, a integral indefinida (expressa
apenas através das funções mais básicas) de qualquer função NÃO existe, ou
não pode ser calculada (no sentido convencional), até que se consiga, por
qualquer meio (admitindo-se até chutar, ou inferir), determiná-la, e, aí,
vale o Teorema Fundamental do Cálculo. Um bom exemplo é a integral de
sqrt(sin(x)).

3ª)   Um dos participantes da Lista mencionou que se pode definir a função
ln(x) como sendo a integral da função 1/x . Poder, até pode, mas vai dar uma
baita complicação: - vou apresentar 2 teoremas:

Definições:
Seja e um número real tal que:  e = limite [ (1+1/x)^x , x=+infinito ] .
Seja f uma função tal que:  f(x) = e^x .

Afirmativa (a ser provada - é fácil!):  f possui função inversa:  f(-1) =
g .

1º Teorema:
Se  f(-1)=g , então  integral [1/x , x]=g(x)   ...   muito fácil de se
demonstrar!

Já o 2º Teorema...

Definições:
Seja e um número real tal que:  e = limite [ (1+1/x)^x , x=+infinito ] .
Seja f uma função tal que:  f(x) = e^x . 

2º Teorema:
Lembro que o 1º Teorema não vale mais, porque a função g ainda não foi
definida.  
Se  integral [1/x , x]=g(x) , então  g=f(-1)   ...   não é fácil de se
demonstrar!   

AB
bousk...@gmail.com
bousk...@ymail.com

 -Original Message-
 From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br]
 On Behalf Of Ralph Teixeira
 Sent: Tuesday, March 24, 2009 10:10 AM
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de
exp(x^-2), por
 que é impossível?
 
 Eh, mas esta eh a integral da nota de aula eh DEFINIDA, de -Inf a
 +Inf. Esta dah para calcular passando por integrais duplas e
 coordenadas polares (este calculo eh belissimo, neh?).
 
 A integral INDEFINIDA (ou a integral definida F(x)=Int (0 a x)
 exp(-t^2) dt ) eh impossivel... bom, no sentido que o Leandro falou
 ali em cima: nao dah para escreve-la usando apenas as chamadas
 funcoes elementares (sin, cos, ln, exponenciais... esqueci alguma?)
 e somas, subtracoes, multiplicacoes, divisoes e raizes (FINITAS). Acho
 que o Cesar queria ver a demonstracao deste fato; infelizmente, eu nao
 a conheco... alias, nao tenho ideia de como seja esta demonstracao.
 
 Agora, se usarmos funcoes nao elementares, dah para escrever sim (por
 exemplo, usando a funcao erf, como disse o Bouskela, que por sua vez
 eh uma outra integral destas impossiveis, com aspas). Outra
 possibilidade para resolve-la (talvez o verbo correto aqui fosse
 re-escreve-la...) eh por serie de potencias.
 
 exp(-x^2)=1-x^2+x^4/2!-x^6/3!+x^8/4!-x^10/5!+...+(-1)^n . x^(2n)/n!+...
 F(x)=x-x^3/3+x^5/10-x^7/42+x^9/212-x^11/1320+...+(-
 1)^n.x^(2n+1)/((2n+1).n!)+...
 
 Reforcando de novo o que o Leandro disse, esta divisao entre funcoes
 elementares e nao-elementares eh um tanto arbitraria; quase dah
 para argumentar que a funcao F(x)=Int (0 a x) exp(-t^2) dt eh tao
 elementar quanto o seno, e tao dificil de calcular quanto o seno.
 Pense bem: como calcular F(1), e como calcular sin(1)? Eh mais uma
 questao de costume -- a gente mexe com o seno frequentemente, mas
 raramente com esta F que nem nome ganhou.
 
 Abraco,
Ralph
 ===
 ==
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 ===
 ==


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por que é impossível?

[Ralph Teixeira]

Oi, Bouskela. Você tem uma certa razão... Mas, sinceramente, o que
diabos é e^x? Mais espcificamente, o que é e^pi, por exemplo? Dá para
definir por limites usando números racionais, mas dá um certo
trabalhinho...

Então tem um pessoal que prefere DEFINIR o logaritmo pela integral, e
DEFINIR a função e^x como sendo a inversa do ln (assim, este tal de
e por definição seria o número cujo ln é 1!). Neste novo universo,
as coisas se encaixam elegantemente (e, de bônus, responde-se a
pergunta do meu parágrafo anterior). Mais detalhadamente, a ordem
lógica desse pessoal é:

*Alerta! Texto DENSO a seguir! Nada difícil, mas está denso!*

0. Não sabemos o que é ln, nunca ouvimos falar de e, não temos a
mínima idéia do que seja a^x quando x não é racional.
1. Para x em (0,+Inf), definimos ln(x)=Int(1 a x) 1/t dt. Assim,
d(lnx)/dx=1/x e ln1=0.
2. Conclua que ln(x) é crescente (pois a derivada é +).
(2a. Em particular, note que ln2ln1=0.)
3. Mostre que ln(x^r)=r.ln(x) (pelo menos para r racional)
-- Um jeito é: tome h(x)=ln(x^r)-rln(x); derivando, usando a Regra da
Cadeia e (1), vem h'(x)=0. Então h(x)=h(1)=0.
4. Usando 2a e 3, temos que ln(2^r)=r.ln2 pode ser tão grande quanto
quisermos se r for grande, e tão negativo quanto quisermos se r for
bem negativo. Assim, a imagem desta misteriosa ln(x) é o intervalo
(-Inf, +Inf).
5. Por (2), lnx é monótona, então invertível; vamos chamar sua inversa
de exp(x):(-Inf, +Inf) - (0,+Inf) (estes intervalos vêm de (4) e
(1)).
6. Mostre que exp(rx)=exp(x)^r (pelo menos para r racional)
-- Um jeito: use que exp(rx)=exp(rln(exp(x)))=exp(ln(exp(x)^r))=exp(x)^r.
7. DEFINIÇÃO: e=exp(1). Assim, exp(x)=exp(x.1)=exp(1)^x=e^x (pelo
menos para x racional)
8. Agora é o contrário: a gente vai MOSTRAR que e=lim ln(1+1/x)^x
quando x vai para Inf. Como? Use L´Hôpital nesta indeterminação do
tipo 1^(+Inf).
9. DEFINIÇÃO: x^y=exp(y.lnx) sempre que x0, para qualquer y,
inclusive y irracional.

Parece que dá MUITO mais trabalho (poxa, são uns 10 teoreminhas
encadeados)... Mas, no processo, a gente prova elegantemente todas as
propriedades dos logaritmos e das exponenciais (bom, tem algumas que
eu não pus aqui, mas que saem de maneira similar).

Quando a gente dá Cálculo 1 *para a matemática* aqui na UFF, a gente
reserva uma aula de 2 horas para falar disso. Eu começo a aula fazendo
o passo 0. Aí eu pergunto: quanto é ln(a.b)? Quanto é ln(10^6)? Quanto
vale e? Respostas corretas (antes do passo 1): não tenho ideia, nunca
vi mais gordoo, é, que é? :) :) :)

Abraço a todos,
Ralph

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por que é imposs ível?

[Paulo Cesar]

Essa integral não é impossível. Só não é possível resolver pelos métodos
convencionais.
Já vi a solução numa aula de cálculo 3, faz muito tempo. Caso eu encontre,
publico aqui. mas acho que até lá um dos mestres da lista já terá resolvido.

Abraço

PC

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por q ue é impossível?

[Felipe]

Como Paulo falou, nao eh impossivel, so nao existe primitiva conhecida.
Existe um modo de resolver por integral dupla utilizando-se do Teorema de
Fubini.
Abracos!

2009/3/23 Paulo Cesar pcesa...@gmail.com



 Essa integral não é impossível. Só não é possível resolver pelos métodos
 convencionais.
 Já vi a solução numa aula de cálculo 3, faz muito tempo. Caso eu encontre,
 publico aqui. mas acho que até lá um dos mestres da lista já terá resolvido.

 Abraço

 PC

[obm-l] RE: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por que é impossível?

[Albert Bouskela]

Olá,

 

As integrais do tipo  e^(ax)  são obtidas a partir da derivação da função
erro, assim:

 

Integral [ e^(-a*x^2)dx ] = sqrt(pi)*erf(x*sqrt(a)/2*sqrt(a) , onde “erf” é
a função erro.

 

Para deduzir a integral acima, basta saber que:

 

d(erf(x))/dx = 2*e^(-x^2)/sqrt(pi)

 

Ou, numa forma mais geral:

 

d(erf(ax))/dx = 2a * e^(-a^2 * x^2)/sqrt(pi)

 

AB

 mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com

 mailto:bousk...@ymail.com bousk...@ymail.com

 

From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of César Santos
Sent: Monday, March 23, 2009 10:37 AM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por que é impossível?

 


Alguém poderia me dar uma demonstração da impossibilidade de se encontrar a
integral indfeinida de e^(-x²)?

 

  _  

Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top
http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/
  10 - Celebridades
http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/
celebridades/  - Música
http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/
m%C3%BAsica/  - Esportes
http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/
esportes/ 

[obm-l] RE: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por que é i mpossível? CORREÇÃO!!!

[Albert Bouskela]

CORREÇÃO!!!

 

Olá,

 

As integrais do tipo  e^(-a*x^2)  são obtidas a partir da derivação da
função erro, assim:

 

Integral [ e^(-a*x^2)dx ] = sqrt(pi)*erf(x*sqrt(a)/2*sqrt(a) , onde “erf” é
a função erro.

 

Para deduzir a integral acima, basta saber que:

 

d(erf(x))/dx = 2*e^(-x^2)/sqrt(pi)

 

Ou, numa forma mais geral:

 

d(erf(ax))/dx = 2a * e^(-a^2 * x^2)/sqrt(pi)

 

AB

bousk...@gmail.com

bousk...@ymail.com

 

From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of César Santos
Sent: Monday, March 23, 2009 10:37 AM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por que é impossível?

 


Alguém poderia me dar uma demonstração da impossibilidade de se encontrar a
integral indfeinida de e^(-x²)?

 

  _  

Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top
http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por q ue é impossível?

[silverratio]

Olá,

Quando dizemos que essa integral indefinida é impossível, queremos dizer na
verdade que não existe uma
função construída usando somas, diferenças, quocientes, produtos e
composições das funções elementares
seno, cosseno, logaritmo, polinômios, etc.. cuja derivada seja e^(-x²).

Nesse sentido, ela é impossível.

Isto não significa, entretanto, que essa função não tenha primitiva no
sentido geral.

A função definida por F( x ) = integral (de 0 até x) e^(-t²) dt é uma
primitiva; o teorema
fundamental do cálculo dá imediatamente que F'( x ) = e^(-x²).

Se considerarmos essa função F como sendo uma função elementar, então agora
aquela integral
admite primitiva em termos de funções elementares.

Aliás, não há motivo algum para que essa função seja considerada menos
elementar do que seno,
cosseno ou logaritmo.

De fato, o que é o logaritmo natural, senão um nome que damos à integral de
1/x? Essa é uma definição
adotada frequentemente.

Abraço,

- Leandro.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de e xp(x^-2), por que é impossível?

[fabrici...@usp.br]

A quem interessar, scaneei minha nota de aula de quando fiz cálculo iv.

http://img257.imageshack.us/gal.php?g=int01.jpg

.

On Mar 23, 2009, at 17:55 , Felipe wrote:

Como Paulo falou, nao eh impossivel, so nao existe primitiva  
conhecida. Existe um modo de resolver por integral dupla utilizando- 
se do Teorema de Fubini.

Abracos!

2009/3/23 Paulo Cesar pcesa...@gmail.com


Essa integral não é impossível. Só não é possível resolver pelos  
métodos convencionais.
Já vi a solução numa aula de cálculo 3, faz muito tempo. Caso eu  
encontre, publico aqui. mas acho que até lá um dos mestres da lista  
já terá resolvido.


Abraço

PC




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] integral do PME journal

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes, 
 
Oi Carlos  Victor, 
 
Será  que o desenvolvimento abaixo está  correto ?
Está. []'s 
Luís 
 



Date: Tue, 16 Dec 2008 15:24:48 -0200From: victorcar...@globo.comto: 
ob...@mat.puc-rio.brsubject: Re: [obm-l] integral do PME journal
Olá ,
Será  que o desenvolvimento abaixo está  correto ?
 
Desenvolvendo a sére  de ln(1+x) , dividindo por x  e calculando a integral 
definida  da série resultante , encontramos  a  seguinte  soma :
 
1 - 1/4 + 1/9 - 1/16 + 1/25 - ...  = (pi)^2/12 .
 
Abraços 
 
Carlos  Victor
2008/12/16 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com

Sauda,c~oes,  Numa das mensagens trocadas recentemente com o prof. Rousseau ele 
mandou o problema \int_0^1 (ln(1+x)/x) dx que foi publicado no jornal do 
assunto.  Não mexo nisso há muito tempo. Será que sai por partes?  []'s Luís 
 

Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver 
offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu!
_
Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o 
Messenger! É GRÁTIS!
http://www.msn.com.br/emoticonpack

Re: [obm-l] integral do PME journal

[Carlos Alberto da Silva Victor]

Olá ,
Será  que o desenvolvimento abaixo está  correto ?

Desenvolvendo a sére  de ln(1+x) , dividindo por x  e calculando a integral
definida  da série resultante , encontramos  a  seguinte  soma :

1 - 1/4 + 1/9 - 1/16 + 1/25 - ...  = (pi)^2/12 .

Abraços

Carlos  Victor

2008/12/16 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com

 Sauda,c~oes,

 Numa das mensagens trocadas recentemente com
 o prof. Rousseau ele mandou o problema

 \int_0^1 (ln(1+x)/x) dx

 que foi publicado no jornal do assunto.

 Não mexo nisso há muito tempo. Será
 que sai por partes?

 []'s
 Luís


 --
 Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver
 offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o 
 seu!http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br

Re: [obm-l] integral do PME journal

[Walter Tadeu Nogueira da Silveira]

Se eu leio os parenteses certo, dá para escrever:

int_0^1 [ln(1+x)-lnx]

a) int lnx sai por partes chamando u=lnx e dv=1.dx. Logo, du = 1/x dx e v =
x
int lnx  dx = int ln.1dx = x.lnx- int[x. 1/x] =xlnx - int(1)
int lnx = xlnx - x.

b) int ln(1+x) deve sair da mesma forma.

Abraços
2008/12/16 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com

 Sauda,c~oes,

 Numa das mensagens trocadas recentemente com
 o prof. Rousseau ele mandou o problema

 \int_0^1 (ln(1+x)/x) dx

 que foi publicado no jornal do assunto.

 Não mexo nisso há muito tempo. Será
 que sai por partes?

 []'s
 Luís


 --
 Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver
 offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o 
 seu!http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br




-- 
Walter Tadeu Nogueira da Silveira
http://www.professorwaltertadeu.mat.br

Re: [obm-l] Integral

[m.r650200]

2 ( dv/(1+v) ) - ( ( v + 1)dv / (1+v) )
 bom sempre quebrar um problema em vrios. Isso pode tornar as coisas
mais fceis...
warley ferreira wrote:

  

  


Queria saber como resolver essa integral
Integral de 1- v dv
 (v+1)^2
Obrigado
Warley Souza

  

  
  
  Novos endereos, o Yahoo! que voc conhece. Crie
um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com.




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Integral

[Carlos Nehab]

Oi, Warley,

Ai meus tempos Escreva 1 - v como - (v + 1) + 2 e separe em
duas fraes... Vai rolar log e uma potenciazinha... Viu?

Nehab

warley ferreira escreveu:

  

  


Queria saber como resolver essa integral
Integral de 1- v dv
 (v+1)^2
Obrigado
Warley Souza

  

  
  
  Novos endereos, o Yahoo! que voc conhece. Crie
um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com.



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Integral

[Ralph Teixeira]

Enquanto ha varias solucoes, para mim a mais facil eh fazer a substituicao
u=v+1, que simplifica o denominador um bocado, e seguir dai para a frente:

Int ((1-v)/(1+v)^2 dv) = Int ((1-(u-1))/u^2 du)=Int (2/u^2 - 1/u du) = -2/u
- ln |u| + C = -2/(v+1) - ln|v+1| + C.

Abraco,
  Ralph
On Wed, Sep 24, 2008 at 10:18 AM, warley ferreira [EMAIL PROTECTED]wrote:


 Queria saber como resolver essa integral
 Integral de*1- v * dv
(v+1)^2
 Obrigado
 Warley Souza

  --
 Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email 
 novohttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.new.mail.yahoo.com/addressescom
  a sua cara @
 ymail.com ou @rocketmail.com.

Re: [obm-l] Integral de Fourier

[César Santos]

A integral:
int from{-%Infinito} to {%Infinito} f(v)cos(wx-wv)dv

--- Em dom, 22/6/08, César Santos [EMAIL PROTECTED] escreveu:

De: César Santos [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Integral de Fourier
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Domingo, 22 de Junho de 2008, 16:41







Pessoal, gostaria que me ajudassem a provar que a integral em anexo é uma 
função par de w. Intuitivamente parece razoável, já que integrando-se em 
relação a v, sobra cosseno de (alguma coisa de w), e cosseno é função par. Mas 
isso parece muito pouco formal.


Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara 
@ymail.com ou @rocketmail.com.


  Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua 
cara @ymail.com ou @rocketmail.com.
http://br.new.mail.yahoo.com/addresses

Re: [obm-l] Integral de Fourier

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá César,
seja F(w) = int[-inf, +inf] f(v)cos[w(x-v)]dv
assim, F(-w) = int[-inf, +inf] f(v)cos[-w(x-v)]dv = int[-inf, +inf]
f(v)cos[w(x-v)]dv = F(w)
utilizei que cos(-a) = cos(a)

abraços,
Salhab


2008/6/23 César Santos [EMAIL PROTECTED]:

 A integral:

 int from{-%Infinito} to {%Infinito} f(v)cos(wx-wv)dv


 --- Em *dom, 22/6/08, César Santos [EMAIL PROTECTED]* escreveu:

 De: César Santos [EMAIL PROTECTED]
 Assunto: [obm-l] Integral de Fourier
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Domingo, 22 de Junho de 2008, 16:41

Pessoal, gostaria que me ajudassem a provar que a integral em anexo é
 uma função par de w. Intuitivamente parece razoável, já que integrando-se em
 relação a v, sobra cosseno de (alguma coisa de w), e cosseno é função par.
 Mas isso parece muito pouco formal.

 --
 Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email 
 novohttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.new.mail.yahoo.com/addressescom
  a sua cara @
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 Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email 
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  a sua cara @
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Re: [obm-l] Integral de Fourier

[Bruno França dos Reis]

César, vc poderia mandar a sua integral escrita no texto do email?

Senão, é necessário primeiramente saber que programa usar para abrir .odf,
e para os que não tem o tal programa, precisam instalá-lo. O trabalho é
MUITO grande simplesmente para responder uma questãozinha boba que chega por
email numa lista de discussão. Colocando direto no corpo do email, vc atinge
mais pessoas que podem se interessar em responder.

Bruno
ps: devia-se proibir o envio à lista de anexos que não fossem imagens (jpg,
png, gif), já que estas são bem úteis para problemas de geometria e
praticamente qualquer computador hoje em dia pode abri-las com um simples
clique.

2008/6/22 César Santos [EMAIL PROTECTED]:

 Pessoal, gostaria que me ajudassem a provar que a integral em anexo é uma
 função par de w. Intuitivamente parece razoável, já que integrando-se em
 relação a v, sobra cosseno de (alguma coisa de w), e cosseno é função par.
 Mas isso parece muito pouco formal.

 --
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 novohttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.new.mail.yahoo.com/addressescom
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e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] Integral de superfície dúvida (questão simples)

[César Santos]

 Obrigado Arlane pela resposta, mas sobre isso eu já sabia, o que eu quero 
saber é quais são os limites de integraçao para x e y.

Arlane Manoel S Silva [EMAIL PROTECTED] escreveu: Seria ótimo fazer uma 
figura, primeiro. Note que a equação 2x + 3y + z =6
determina um plano no R^3 e a porção que é corta pelos eixos forma um  
triângulo de vértices (0,0,6), (3,0,0) e (0,2,0). É possível resolver  
geometricamente.
Um outro modo é usando integral de superfície.
Considere a função z:=z(x,y)=6-2x-3y e use a definição.

Citando César Santos :

 Calcule área da porção do plano 2x + 3y + z =6 que é cortada pelos   
 três planos coordenados. Resp. 3V14 (três raiz de quatorze). Alguém   
 poderia me explicar a resolução da questão, por favor?

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Arlane Manoel S Silva
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Re: [obm-l] Integral de superfície dúvida (questão simples)

[Arlane Manoel S Silva]

  Quando z=0 temos a variação entre x e y, ou seja, 2x+3y=6. Assim,
y=2x/3 + 2. Logo, x varia de 0 até 3 e y varia de 0 até 2x/3 + 2 .

  Acho que é isso.


Citando César Santos [EMAIL PROTECTED]:

 Obrigado Arlane pela resposta, mas sobre isso eu já sabia, o que eu  
 quero saber é quais são os limites de integraçao para x e y.


Arlane Manoel S Silva [EMAIL PROTECTED] escreveu: Seria ótimo fazer  
 uma figura, primeiro. Note que a equação 2x + 3y + z =6

determina um plano no R^3 e a porção que é corta pelos eixos forma um
triângulo de vértices (0,0,6), (3,0,0) e (0,2,0). É possível resolver
geometricamente.
Um outro modo é usando integral de superfície.
Considere a função z:=z(x,y)=6-2x-3y e use a definição.

Citando César Santos :


Calcule área da porção do plano 2x + 3y + z =6 que é cortada pelos
três planos coordenados. Resp. 3V14 (três raiz de quatorze). Alguém
poderia me explicar a resolução da questão, por favor?

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RE: [obm-l] integral simples

[LEANDRO L RECOVA]

Voce quer saber a primitiva ou e uma integral definida? Se for definida, 
quais sao os limites de integracao?




From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] integral simples
Date: Sat, 1 Dec 2007 17:47:41 -0800 (PST)

Olá alguem sabe como que resolvo a seguinte integral:
$e^x / x.


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RE: [obm-l] Integral de cossecante de x.

[Anselmo Alves de Sousa]

vlw pela dica!!!


Date: Thu, 22 Nov 2007 19:29:36 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] 
Integral de cossecante de x.To: obm-l@mat.puc-rio.br
A fim de não ser acusado (novamente) como um estraga prazer e fanfarrão, darei 
uma dica: Multiplique cossecx por (cossecx + cotgx)/(cossecx + cotgx)e depois 
faça u = cossecx + cotgx
 
[ ]´sAngeloAnselmo Alves de Sousa [EMAIL PROTECTED] escreveu:


Amigos, como não gosto muito de decoreba, estava tentando relembrar como 
calcular integral de cossec(x), pois estou resolvendo um problema que terminou 
assim. gostaria de ajuda para chegar ao resultado:int[cossec(x)].dx = ??? 
Obrigado por qualquer orientação. Anselmo :-)  O muito estudar é enfado para a 
carne(Rei Salomão)  

Encontre o que você procura com mais eficiência! Instale já a Barra de 
Ferramentas com Windows Desktop Search! É GRÁTIS! 


Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! 
_
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http://www.livemaps.com.br/index.aspx?tr=true

Re: [obm-l] Integral

[LEANDRO L RECOVA]

Vivian,

Tens razao, devia ter feito uma substituicao diferente. Nao estava com lapis 
e papel do lado. Agora arranjei um aqui e fiz. No seu resultado, nao sei se 
voce quis dizer arco-tangente ou arco-cotangente. A minha integral coincide 
com a sua se considerar o arco-cotangente e eu a derivei essa vez e esta 
correta agora.


Olha, quando voce ver potencias de x ao quadrado, por exemplo, x^2+4, 1-x^2, 
etc, tente construir um triangulo retangulo e coloque nos catetos por 
exemplo, no seu caso, o cateto oposto como a variavel sqrt(2), o cateto 
adjacente a variavel x, o angulo entre a hipotenusa e cateto adjancente voce 
chama de t, e a hipotenusa sera sqrt(x^2+2). Isso e o que chamei de 
substituicao trigonometrica. Nao foi magica como o nosso amigo anterior 
falou e nem arte, e um artificio matematico que todo professor de calculo 
ensina os estudantes a fazer.


Voltando ao problema,

sin(t)=sqrt(2/x^2+2)  (Faca o triangulo retangulo como eu disse).
x=sqrt(2)cotg(t)  (Confira no triangulo retangulo)

= dx=-sqrt(2)cosec^2(t)

1/(x^2+2)^2 = sin^4(t)/4

Entao,

I = int (sin^4(t)/4)*(-sqrt(2)cosec^2(t))dt

I = -sqrt(2)*int(sin^2(t))/4 dt

I = -(sqrt(2)/4) * int (1/2 - cos(2t)/2)dt

I = -(sqrt(2)/8) * [t - sin(2t)/2] + C

Lembre que sin(2t)=2*cost(2)*sin(t)=2*(sqrt(2/x^2+2)*(x/x^2+2); entao,


I = -(1/4*sqrt(2))*[actg(x/sqrt(2)) - (sqrt(2).x)/(x^2+2)] + C

I = x/(4*(x^2+2)) - (1/4*sqrt(2))*arccotg(x/sqrt(2));


Lembre-se que 1-sin^2(t)=cos(2t) = sin^2(t)=1/2-cos(2t)/2


Saudacoes,

Leandro
Los Angeles, CA.



From: Vivian Heinrichs [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Integral
Date: Fri, 12 Oct 2007 21:28:42 -0300

Desculpe minha ignorância, mas o que é sqrt?
Em um livro vi que a resposta da Integral I = dx/(x^2 + 2)^2 é igual a
(x/4(x^2 + 2)) + 1/(4*2^1/2) * arctg (x/(2*1/2)) + C, sendo C a 
constante...

Não cosigo chegar a esta resposta... e por minha ignorância não cosegui
entender a resolução proposta...
Se alguém coseguir me ajudar, agradeço...
Muito Obrigada.


Em 12/10/07, LEANDRO L RECOVA [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Voce pode usar a seguinte substituicao trigonometrica:

 (1) sin(t)=sqrt(2)/(x^2+2)

 (2) x=sqrt(2).cotg(t)

 Entao, de (2) temos:

 dx=-sqrt(2)cosec^2(t)

 Substituindo na integral temos,

 I = int [ -sqrt(2)*csc^2(t)/(2/sin^2(t)]dt

 I = int [-sqrt(2)/2]dt

 I = [-sqrt(2)/2]*t + C,  C e uma constante de integracao. Substituindo 
(1)

 nessa equacao temos

 I = [-sqrt(2)/2]*arcsin(2/(x^2+2)) + C

 Saudacoes rubro-negras,

 Leandro
 Los Angeles, CA.

 From: Vivian Heinrichs [EMAIL PROTECTED]
 Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Integral
 Date: Fri, 12 Oct 2007 13:30:33 -0300
 
 Olá pessoal...
 Gostaria de saber se alguém sabe resolver a Integral : I = dx/(x^2 + 
2)^2

 ,
 sendo que I é a Integral.
 Obrigada.


 
=

 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
=





=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Integral

[Vivian Heinrichs]

Muito Obrigada Leandro... Ajudou bastante.


Em 15/10/07, LEANDRO L RECOVA [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Vivian,

 Tens razao, devia ter feito uma substituicao diferente. Nao estava com
 lapis
 e papel do lado. Agora arranjei um aqui e fiz. No seu resultado, nao sei
 se
 voce quis dizer arco-tangente ou arco-cotangente. A minha integral
 coincide
 com a sua se considerar o arco-cotangente e eu a derivei essa vez e esta
 correta agora.

 Olha, quando voce ver potencias de x ao quadrado, por exemplo, x^2+4,
 1-x^2,
 etc, tente construir um triangulo retangulo e coloque nos catetos por
 exemplo, no seu caso, o cateto oposto como a variavel sqrt(2), o cateto
 adjacente a variavel x, o angulo entre a hipotenusa e cateto adjancente
 voce
 chama de t, e a hipotenusa sera sqrt(x^2+2). Isso e o que chamei de
 substituicao trigonometrica. Nao foi magica como o nosso amigo anterior
 falou e nem arte, e um artificio matematico que todo professor de calculo
 ensina os estudantes a fazer.

 Voltando ao problema,

 sin(t)=sqrt(2/x^2+2)  (Faca o triangulo retangulo como eu disse).
 x=sqrt(2)cotg(t)  (Confira no triangulo retangulo)

 = dx=-sqrt(2)cosec^2(t)

 1/(x^2+2)^2 = sin^4(t)/4

 Entao,

 I = int (sin^4(t)/4)*(-sqrt(2)cosec^2(t))dt

 I = -sqrt(2)*int(sin^2(t))/4 dt

 I = -(sqrt(2)/4) * int (1/2 - cos(2t)/2)dt

 I = -(sqrt(2)/8) * [t - sin(2t)/2] + C

 Lembre que sin(2t)=2*cost(2)*sin(t)=2*(sqrt(2/x^2+2)*(x/x^2+2); entao,


 I = -(1/4*sqrt(2))*[actg(x/sqrt(2)) - (sqrt(2).x)/(x^2+2)] + C

 I = x/(4*(x^2+2)) - (1/4*sqrt(2))*arccotg(x/sqrt(2));


 Lembre-se que 1-sin^2(t)=cos(2t) = sin^2(t)=1/2-cos(2t)/2


 Saudacoes,

 Leandro
 Los Angeles, CA.


 From: Vivian Heinrichs [EMAIL PROTECTED]
 Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: Re: [obm-l] Integral
 Date: Fri, 12 Oct 2007 21:28:42 -0300
 
 Desculpe minha ignorância, mas o que é sqrt?
 Em um livro vi que a resposta da Integral I = dx/(x^2 + 2)^2 é igual a
 (x/4(x^2 + 2)) + 1/(4*2^1/2) * arctg (x/(2*1/2)) + C, sendo C a
 constante...
 Não cosigo chegar a esta resposta... e por minha ignorância não cosegui
 entender a resolução proposta...
 Se alguém coseguir me ajudar, agradeço...
 Muito Obrigada.
 
 
 Em 12/10/07, LEANDRO L RECOVA [EMAIL PROTECTED] escreveu:
  
   Voce pode usar a seguinte substituicao trigonometrica:
  
   (1) sin(t)=sqrt(2)/(x^2+2)
  
   (2) x=sqrt(2).cotg(t)
  
   Entao, de (2) temos:
  
   dx=-sqrt(2)cosec^2(t)
  
   Substituindo na integral temos,
  
   I = int [ -sqrt(2)*csc^2(t)/(2/sin^2(t)]dt
  
   I = int [-sqrt(2)/2]dt
  
   I = [-sqrt(2)/2]*t + C,  C e uma constante de integracao. Substituindo
 (1)
   nessa equacao temos
  
   I = [-sqrt(2)/2]*arcsin(2/(x^2+2)) + C
  
   Saudacoes rubro-negras,
  
   Leandro
   Los Angeles, CA.
  
   From: Vivian Heinrichs [EMAIL PROTECTED]
   Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
   To: obm-l@mat.puc-rio.br
   Subject: [obm-l] Integral
   Date: Fri, 12 Oct 2007 13:30:33 -0300
   
   Olá pessoal...
   Gostaria de saber se alguém sabe resolver a Integral : I = dx/(x^2 +
 2)^2
   ,
   sendo que I é a Integral.
   Obrigada.
  
  
  
 =
   Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
   http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  
 =
  


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

Re: [obm-l] Integral

[Vivian Heinrichs]

Referente a integral I = dx/(x^2 + 2)^2, consegui achar a seguinte solução:

1) tg^2(t) + 1 = sec^2(t)
2) x = sqrt(2)*tg(t)

De 2 temos que :

dx = sqrt(2)* sec^2(t) dt

Substituindo:

I = int sqrt(2))* sec^2(t) / (2*tg^2(t) + 2)^2 dt
I = int sqrt(2))* sec^2(t) / (2*(tg^2 + 1))^2 dt

Substituindo 1 na integral temos,

I = int sqrt(2))* sec^2(t) / (2*(sec^2(t)))^2 dt
I = int sqrt(2) / 4*sec^2(t) dt
I = int (sqrt(2) /4)* cos^2(t) dt

I = (sqrt(2)/ 4)* (t/2 + sen(2t)/4) + C
I = sqrt(2)*t / 8 + sqrt(2) sen(2t) + C

3) t = arctg (x/sqrt(2))
4) sen(2t) = 2*sqrt(2)*x / (x^2 + 2)^2

Substituindo em I, temos:

I = sqrt(2)* (arctg (x/sqrt(2)) / 8) + sqrt(2) (2*sqrt(2)*x / (x^2 + 2)^2) +
C

Arrumando:

I = (x/4(x^2 + 2)^2) + 1/(4*sqrt(2)) * arctg (x/(sqrt(2)) + C, sendo C a
constante...

Desde modo consigo resolver a Integral, porém eu não entendo a parte inicial
da resolução que coloca que :
 2) x = sqrt(2)*tg(t)

Se eu entender isto, resolvo o resto... Se alguém conseguir me explicar,
ficarei eternamente grata...

Muito obrigada...

(E *LEANDRO L RECOVA, *eu derivei a sua resolução da integral e vi que ela
não voltava a integral original, portanto acho que está errada. Por favor,
comunique-se se eu estiver errada. Muito Obrigada)

Em 12/10/07, João Luís Gomes Guimarães [EMAIL PROTECTED] escreveu:

  Vivian,

 sqrt é raiz quadrada. é do inglês square root.

 - Original Message -
 *From:* Vivian Heinrichs [EMAIL PROTECTED]
 *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
  *Sent:* Friday, October 12, 2007 9:28 PM
 *Subject:* Re: [obm-l] Integral


 Desculpe minha ignorância, mas o que é sqrt?
 Em um livro vi que a resposta da Integral I = dx/(x^2 + 2)^2 é igual a
 (x/4(x^2 + 2)) + 1/(4*2^1/2) * arctg (x/(2*1/2)) + C, sendo C a constante...
 Não cosigo chegar a esta resposta... e por minha ignorância não cosegui
 entender a resolução proposta...
 Se alguém coseguir me ajudar, agradeço...
 Muito Obrigada.


 Em 12/10/07, LEANDRO L RECOVA [EMAIL PROTECTED] escreveu:
 
  Voce pode usar a seguinte substituicao trigonometrica:
 
  (1) sin(t)=sqrt(2)/(x^2+2)
 
  (2) x=sqrt(2).cotg(t)
 
  Entao, de (2) temos:
 
  dx=-sqrt(2)cosec^2(t)
 
  Substituindo na integral temos,
 
  I = int [ -sqrt(2)*csc^2(t)/(2/sin^2(t)]dt
 
  I = int [-sqrt(2)/2]dt
 
  I = [-sqrt(2)/2]*t + C,  C e uma constante de integracao. Substituindo
  (1)
  nessa equacao temos
 
  I = [-sqrt(2)/2]*arcsin(2/(x^2+2)) + C
 
  Saudacoes rubro-negras,
 
  Leandro
  Los Angeles, CA.
 
  From: Vivian Heinrichs [EMAIL PROTECTED] 
  Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
  Subject: [obm-l] Integral
  Date: Fri, 12 Oct 2007 13:30:33 -0300
  
  Olá pessoal...
  Gostaria de saber se alguém sabe resolver a Integral : I = dx/(x^2 +
  2)^2 ,
  sendo que I é a Integral.
  Obrigada.
 
 
  =
 
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =
 
 

Re: [obm-l] Integral

[silverratio]

Olá Vivian,

Não sei exatamente o que você não entendeu sobre a parte 2, onde
a solução que você tem faz x = sqrt(2)*tg(t), mas vamos lá..

Em primeiro lugar, a equação:

2) x = sqrt(2)*tg(t)

deve ser entendida como uma aplicação do Teorema de Mudança de
Variáveis; o que você está fazendo é pensar em x como uma função
de t, efetivamente, porque espera-se que isto de alguma forma
simplifique a integral.

Bom.. existem critérios pra fazer isto. Entre eles, que a sua nova
função, agora em t, que você irá substituir, seja ela própria diferenciável,
em t, e a sua derivada seja contínua.

Você pode verificar que de fato sqrt(2)*tg(t) é diferenciável, e a derivada,
sqrt(2)*sec^2(t), é contínua.

O uso das fórmulas: x = sqrt(2)*tg(t), dx = sqrt(2)*sec^2(t) dt  é mais
como uma maneira poética de lembrar do Teorema do que uma igualdade
propriamente falando, apesar de que dá pra tornar estas igualdades
precisas.

Agora, o uso dessa substituição em particular talvez tenha parecido um
tanto quanto mágico. É porque integração num certo sentido é mesmo
como uma arte, não uma ciência. A gente precisa praticar um monte até
adquirir um certo bom senso sobre qual substituição usar em cada caso..

Abraço,

- Leandro.

PS.: Desculpe se não era nada disso que você não tinha entendido, e eu
estiver só chovendo no molhado... heheheh..

RE: [obm-l] Integral

[LEANDRO L RECOVA]

Voce pode usar a seguinte substituicao trigonometrica:

(1) sin(t)=sqrt(2)/(x^2+2)

(2) x=sqrt(2).cotg(t)

Entao, de (2) temos:

dx=-sqrt(2)cosec^2(t)

Substituindo na integral temos,

I = int [ -sqrt(2)*csc^2(t)/(2/sin^2(t)]dt

I = int [-sqrt(2)/2]dt

I = [-sqrt(2)/2]*t + C,  C e uma constante de integracao. Substituindo (1) 
nessa equacao temos


I = [-sqrt(2)/2]*arcsin(2/(x^2+2)) + C

Saudacoes rubro-negras,

Leandro
Los Angeles, CA.


From: Vivian Heinrichs [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Integral
Date: Fri, 12 Oct 2007 13:30:33 -0300

Olá pessoal...
Gostaria de saber se alguém sabe resolver a Integral : I = dx/(x^2 + 2)^2 ,
sendo que I é a Integral.
Obrigada.



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Integral

[Vivian Heinrichs]

Desculpe minha ignorância, mas o que é sqrt?
Em um livro vi que a resposta da Integral I = dx/(x^2 + 2)^2 é igual a
(x/4(x^2 + 2)) + 1/(4*2^1/2) * arctg (x/(2*1/2)) + C, sendo C a constante...
Não cosigo chegar a esta resposta... e por minha ignorância não cosegui
entender a resolução proposta...
Se alguém coseguir me ajudar, agradeço...
Muito Obrigada.


Em 12/10/07, LEANDRO L RECOVA [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Voce pode usar a seguinte substituicao trigonometrica:

 (1) sin(t)=sqrt(2)/(x^2+2)

 (2) x=sqrt(2).cotg(t)

 Entao, de (2) temos:

 dx=-sqrt(2)cosec^2(t)

 Substituindo na integral temos,

 I = int [ -sqrt(2)*csc^2(t)/(2/sin^2(t)]dt

 I = int [-sqrt(2)/2]dt

 I = [-sqrt(2)/2]*t + C,  C e uma constante de integracao. Substituindo (1)
 nessa equacao temos

 I = [-sqrt(2)/2]*arcsin(2/(x^2+2)) + C

 Saudacoes rubro-negras,

 Leandro
 Los Angeles, CA.

 From: Vivian Heinrichs [EMAIL PROTECTED]
 Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Integral
 Date: Fri, 12 Oct 2007 13:30:33 -0300
 
 Olá pessoal...
 Gostaria de saber se alguém sabe resolver a Integral : I = dx/(x^2 + 2)^2
 ,
 sendo que I é a Integral.
 Obrigada.


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

Re: [obm-l] Integral

[João Luís Gomes Guimarães]

Vivian,

sqrt é raiz quadrada. é do inglês square root.
  - Original Message - 
  From: Vivian Heinrichs 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, October 12, 2007 9:28 PM
  Subject: Re: [obm-l] Integral


  Desculpe minha ignorância, mas o que é sqrt?
  Em um livro vi que a resposta da Integral I = dx/(x^2 + 2)^2 é igual a 
(x/4(x^2 + 2)) + 1/(4*2^1/2) * arctg (x/(2*1/2)) + C, sendo C a constante... 
Não cosigo chegar a esta resposta... e por minha ignorância não cosegui 
entender a resolução proposta... 
  Se alguém coseguir me ajudar, agradeço...
  Muito Obrigada.

   
  Em 12/10/07, LEANDRO L RECOVA [EMAIL PROTECTED] escreveu: 
Voce pode usar a seguinte substituicao trigonometrica:

(1) sin(t)=sqrt(2)/(x^2+2)

(2) x=sqrt(2).cotg(t) 

Entao, de (2) temos:

dx=-sqrt(2)cosec^2(t)

Substituindo na integral temos,

I = int [ -sqrt(2)*csc^2(t)/(2/sin^2(t)]dt

I = int [-sqrt(2)/2]dt

I = [-sqrt(2)/2]*t + C,  C e uma constante de integracao. Substituindo (1) 
nessa equacao temos

I = [-sqrt(2)/2]*arcsin(2/(x^2+2)) + C

Saudacoes rubro-negras,

Leandro
Los Angeles, CA.

From: Vivian Heinrichs [EMAIL PROTECTED] 
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Integral
Date: Fri, 12 Oct 2007 13:30:33 -0300 

Olá pessoal...
Gostaria de saber se alguém sabe resolver a Integral : I = dx/(x^2 + 2)^2 ,
sendo que I é a Integral.
Obrigada.


= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
= 

Re: [obm-l] integral

[Arlane Manoel S Silva]

   Basta notar que
   int (tdt) / (1 - sqrt(2)t - t^2) = int {-t/[(t-t1)(t-t2)]}dt,
  onde
 t1= -[sqrt(2)+sqrt(6)]/2
   e
 t2= -[sqrt(2)-sqrt(6)]/2
 daí é só resolver através de frações parciais...


Citando Marcus [EMAIL PROTECTED]:


Alguém tem uma idéia para resolver esta integral...integral de (tdt) / 1 -
sqrt(2)t - t^2



Marcus Aurélio








--
Arlane Manoel S Silva
  MAT-IME-USP


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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