Re: [obm-l] Vetores paralelos e normais
Obrigado PJMS Em 16 de março de 2015 10:09, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Bom dia! 1) Você cálcula a derivadada função y = x^2 em relação a x. Aplica a derivada no ponto x =2. Sendo assim: Você define a tangente do ângulo θ que a reta tangente a parábola no ponto (2,4) fará com o eixo OX. O vetor vai ser paralelo a essa reta e também fará o mesmo ângulo. Logo será um vetor sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo, cujo comprimento é 1 (vetor unitário), senθ como medida do cateto oposto e cosθ como medidada do cateto adjacente. Aí você encontrará duas soluções, uma com sentido ascendente (cosθ;senθ) e outro descendente. Ai você acha P1 = (2+cosθ , 4 + senθ) como a extremidade do vetor ascendente e troca os sinais do vetor (cosθ, senθ) e obtem P2= (2-cosθ;4-senθ) 2) Como é o mesmo ponto, basta trocar de posições a ordenada e abcissa do vetor (cosθ ; senθ) e trocar o sinal de um deles e obtém (senθ, -cosθ) rotação no sentido trigonométrico, apontando para o centro de curvatura da curva (para a concavidade) obtendo: P3 = (2+senθ , 4 - cosθ) e trocando o sinal do vetor (senθ, -cosθ) com sentido oposto e aplicando em (2,4) tem-se P4 =(2-senθ , 4+ cosθ) Saudações, PJMS Em 14 de março de 2015 13:13, Richard Vilhena ragnarok.liv...@gmail.com escreveu: Ficaria grato por qualquer sugestão que me ajude a resolver essas duas questões. Obrigado. 1)Ache dois vetores unitários, cada um deles tendo uma representação posicional cujo ponto inicial é (2,4) e sendo tangente à parábola y = x^2 nesse ponto. 2)Ache dois vetores unitários, cada um deles tendo uma representação posicional cujo ponto inicial é (2,4) e sendo normal à parábola y = x^2 nesse ponto [[ ]]'s -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Vetores paralelos e normais
Bom dia! 1) Você cálcula a derivadada função y = x^2 em relação a x. Aplica a derivada no ponto x =2. Sendo assim: Você define a tangente do ângulo θ que a reta tangente a parábola no ponto (2,4) fará com o eixo OX. O vetor vai ser paralelo a essa reta e também fará o mesmo ângulo. Logo será um vetor sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo, cujo comprimento é 1 (vetor unitário), senθ como medida do cateto oposto e cosθ como medidada do cateto adjacente. Aí você encontrará duas soluções, uma com sentido ascendente (cosθ;senθ) e outro descendente. Ai você acha P1 = (2+cosθ , 4 + senθ) como a extremidade do vetor ascendente e troca os sinais do vetor (cosθ, senθ) e obtem P2= (2-cos θ;4-senθ) 2) Como é o mesmo ponto, basta trocar de posições a ordenada e abcissa do vetor (cosθ ; senθ) e trocar o sinal de um deles e obtém (senθ, -cosθ) rotação no sentido trigonométrico, apontando para o centro de curvatura da curva (para a concavidade) obtendo: P3 = (2+senθ , 4 - cosθ) e trocando o sinal do vetor (senθ, -cosθ) com sentido oposto e aplicando em (2,4) tem-se P4 =(2-senθ , 4+ cosθ) Saudações, PJMS Em 14 de março de 2015 13:13, Richard Vilhena ragnarok.liv...@gmail.com escreveu: Ficaria grato por qualquer sugestão que me ajude a resolver essas duas questões. Obrigado. 1)Ache dois vetores unitários, cada um deles tendo uma representação posicional cujo ponto inicial é (2,4) e sendo tangente à parábola y = x^2 nesse ponto. 2)Ache dois vetores unitários, cada um deles tendo uma representação posicional cujo ponto inicial é (2,4) e sendo normal à parábola y = x^2 nesse ponto [[ ]]'s -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Vetores
Voce tem que tomar o conjugado complexo. Sent from my iPhone On Nov 21, 2013, at 8:11 AM, Athos Cotta Couto cotta.co...@gmail.com wrote: Olá. Para dois vetores u e v serem iguais em um espaço vetorial real E, basta que: u,x = v,x Para todo x em E (ou para todo x de uma base de E). Agora, tomando um espaço complexo, gostaria de saber se a condição: u,x+x,u = v,x+x,v É suficiente para falarmos que u = v. Se sim, por que? Se não, há uma semelhante? Obrigado pela ajuda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Vetores
Eu gosto de fazer assim, usando o produto interno u,v de dois vetores u e v: u+v eh paralelo aa bissetriz sse u+v,u/|u||u+v| = u+v,v/|v||u+v| (pois estes sao os cossenos dos angulos de u+v com u e v respectivamente; note-se que estou usando que u+v sempre estah no menor angulo ENTRE u e v) sse (u,u+v,u)|v| = (u,v+v,v)|u| sse (|u||v|-u,v)(|u|-|v|)=0 sse |u|=|v| jah que, como u e v nao sao paralelos, temos |u||v| u,v. Note que tambem usei que |u|,|v| e |u+v| sao nao nulos, o que vem do fato de u e v serem lados de um paralelogramo supostamente nao degenerado. Abraco, Ralph 2011/9/27 Kleber Bastos klebe...@gmail.com Alguém poderia dar uma luz na seguinte questão: *No paralelogramo de lados u e v, prove que u + v é paralelo à bissetriz do ângulo formado por u e v se, e somente se, | u | = | v |* -- Bastos
Re: [obm-l] Vetores
Olá Ralph, Eu pensei da seguinte forma: (I) Se |u|=|v| , o paralelogramo específico será um quadrado e u+v será a diagonal do quadrado, no caso coincidente (paralela) a bissetriz. (II) Se u e v lados de um paralelogramo, u+v paralelo a brissetriz, é fácil ver que u-v será perpendicular a u+v, em outras palavras, o produto escalar entre (u+v) e (u-v) tem que ser nulo, fazendo as contas, temos (u+v).(u-v)=0, u^2-uv+vu-v^2=0, u^2=v^2, ou seja, |u|=|v|. Será que está certo tb? Em 28 de setembro de 2011 18:14, Ralph Teixeira ralp...@gmail.comescreveu: Eu gosto de fazer assim, usando o produto interno u,v de dois vetores u e v: u+v eh paralelo aa bissetriz sse u+v,u/|u||u+v| = u+v,v/|v||u+v| (pois estes sao os cossenos dos angulos de u+v com u e v respectivamente; note-se que estou usando que u+v sempre estah no menor angulo ENTRE u e v) sse (u,u+v,u)|v| = (u,v+v,v)|u| sse (|u||v|-u,v)(|u|-|v|)=0 sse |u|=|v| jah que, como u e v nao sao paralelos, temos |u||v| u,v. Note que tambem usei que |u|,|v| e |u+v| sao nao nulos, o que vem do fato de u e v serem lados de um paralelogramo supostamente nao degenerado. Abraco, Ralph 2011/9/27 Kleber Bastos klebe...@gmail.com Alguém poderia dar uma luz na seguinte questão: *No paralelogramo de lados u e v, prove que u + v é paralelo à bissetriz do ângulo formado por u e v se, e somente se, | u | = | v |* -- Bastos -- Kleber B. Bastos
Re: [obm-l] Vetores
esse é o jeito algébrico!! On Wed, 28 Sep 2011 18:14:35 -0300, Ralph Teixeira wrote: Eu gosto de fazer assim, usando o produto internode dois vetores u e v: u+v eh paralelo aa bissetriz sse /|u||u+v| =/|v||u+v| (pois estes sao os cossenos dos angulos de u+v com u e v respectivamente; note-se que estou usando que u+v sempre estah no menor angulo ENTRE u e v) sse (+)|v| = (+)|u| sse (|u||v|-)(|u|-|v|)=0 sse |u|=|v| jah que, como u e v nao sao paralelos, temos |u||v| . Note que tambem usei que |u|,|v| e |u+v| sao nao nulos, o que vem do fato de u e v serem lados de um paralelogramo supostamente nao degenerado. Abraco, Ralph 2011/9/27 Kleber Bastos Alguém poderia dar uma luz na seguinte questão: NO PARALELOGRAMO DE LADOS U E V, PROVE QUE U + V É PARALELO À BISSETRIZ DO ÂNGULO FORMADO POR U E V SE, E SOMENTE SE, | U | = | V | -- Bastos Links: -- [1] mailto:klebe...@gmail.com
Re: [obm-l] Vetores
A questão pode ter uma ajudinha da geometria plana, com sabemos, o vetor u+v é representado pela diagonal (podemos dizer que é pela diagonal maior do paralelogramo), tambem sabemos que as diagonais de um paralelogramo se cortam em sues pontos médios, daí pelo teorema da bissetriz interna sai fácil porém a solução algébrica por vetores tambem sai , mas escreve mais ,. um abraço. Douglas Oliveira On Tue, 27 Sep 2011 23:29:28 -0300, Kleber Bastos wrote: Alguém poderia dar uma luz na seguinte questão: NO PARALELOGRAMO DE LADOS U E V, PROVE QUE U + V É PARALELO À BISSETRIZ DO ÂNGULO FORMADO POR U E V SE, E SOMENTE SE, | U | = | V | -- Bastos
Re: [obm-l] vetores e baricentro
Oi, Ralph e Bernardo e demais colegas da Lista, Ficou legal esta histria e a eu resolvi conversar com meu melhor amigo (que tambm craque nestas coisas, como vocs) e fomos adiante. Mas antes, uma palavrinha de esclarecimento: meu conhecimento de Anlise Real / etc circunscrito a poucos mas timos cursos/livros: um curso de Anlise com o Elon e de Anlise Funcional com o Joo Bosco Prolla (em 1969) - no foi erro de digitao no... (l no Impa da Praa Tiradentes); outro baseado no Diedonn com o Barbosa na UFF (ele era prof de Lgica e outros delrios no IME e depois foi Reitor da UFF); outro curso muito interessante foi com o Luis Oswaldo, uma figuraa, baseado no livro Irrational Numbers (do Niven). Portanto, no Parque dos Dinossauros VII, farei uma pontinha... Depois andei perturbando a cabea de algumas turmas do IME com o Burbaki (Theory of Sets) e o Kitchens (clculo para a galera do 1 ano bsico l no IME). Feitas estas ressalvas, talvez fique claro que minha paixo e competncia so maiores na arte de ensinar do que na arte de resolver problemas, e me delicio com as solues geniais que rolam por ai. Mas confesso que minha praia "como ensinar determinado tpico de forma mais esclarecedora e/ou facilitar o processo de amadurecimento matemtico dos meninos...". Ai vo portanto duas questes, onde a primeira eu penso que sei a resposta completa, mas a segunda no tenho a menor idia. a) O Conjunto de Cantor (e seus "derivados", como o tringulo de Sierpinski e o Floco de Neve de Koch) por exemplo, possuem quais dos "centros de equilbrio" que foram discutidos? b) Ser que d para exibir algum conjunto em R2, limitado e sem centro de gravidade (seja l em qualquer uma das definies discutidas) ? Ser que tal conjunto tem que ser MUITO sinistro? Abrao a vocs Nehab Ralph Teixeira escreveu: Bom, ok, neste caso: vale a pena notar que as diferentes nocoes de baricentro que o Bernardo mencionou NAO sao identicas. Por exemplo, tome um triangulo retangulo isosceles ABC, hipotenusa BC. O baricentro que eu gosto de usar eh o centro de massa "dos vertices", que neste caso coincide com o centro de massa do "interior do triangulo". Mas o centro de massa "do perimetro" eh outro! Afinal, os medios de AB e AC entram com peso 1, mas o medio de BC entra com peso raiz(2)... No espaco, ha outros problemas. Dado o poligono ABCD, o centro de massa dos vertices seria (A+B+C+D)/4; o do "perimetro" fica em outro lugar que depende um pouco mais dos comprimentos dos lados. E o do "interior 2D do poligono" nem estah definido, porque nao eh claro quais sao as "faces 2Ddo poligono ABCD". Enfim, tem o centro de massa do tetraedro ABCD, este sim que coincide com o centro de massa dos vertices; se eu entendi bem, era deste tipo de surpresa que o Bernardo falava. Entao, em suma, concordo com o Nehab e o Bernardo: pensar nessas coisas eh bem instigante e divertido... :) Abraco, Ralph. P.S.: mesmo no caso 2D, quando o poligono nao eh convexo, o centro de massa pode ficar fora do interior do poligono, entao aas vezes a gente vai ter que "segurar o poligono pelo ponto sem massa" de qualquer jeito... :) 2010/5/13 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com O Ralph e Nehab, bom, eu vou dar uma de intrometido e tentar adivinhar o que o Nehab queria, e que o Ralph no respondeu. Talvez seja s porqu o que eu vou dizer em seguida foi (e continua sendo) uma das coisas que mais me fascina e perturba. Mas o seguinte: T, ok, voc (Ralph) definiu o baricentro como sendo o ponto de equilbrio de massas pontuais no vrtice de um polgono. Muito bem, essa noo interessante, e simples, o que fundamental para trabalhar. Mas acontece que o Nehab acha (e eu tambm) que uma coisa importante de um baricentro poder "pegar o baricentro e segurar a figura sem ela se mexer". E infelizmente, ningum vai segurar um polgono que no tem massa no centro pelo centro dele. Pelo menos no na escola, sem foras que agem distncia como a gravidade. Da que eu acho que a idia do Nehab muito boa, "no, galera, o baricentro o centro da figura plana inteira !" (leia-se com massa uniforme, claro). Parece mais palpvel, e inclusive isso que a gente vai fazer com os polgonos, n? Mas surge um problema mais profundo: e como a gente calcula agora esse baricentro de uma infinidade de pontos? E o pior de tudo, como que a gente prova que vai sempre dar a mesma coisa que s botar massas pontuais nos vrtices? E mais grave ainda: ser que essas mesmas contas continuam vlidas para os slidos (que so os nicos objetos realmente reais que existem!!!)? Indo um pouco mais a frente, surge uma outra interpretao: "e se em vez de massas pontuais - um pouco forado, ainda mais para ser uma estrutura rgida - fosse somente o bordo do polgono?". Puxa, mais uma outra definio, que tambm pode ser til, e paf, mais um problema de tentar provar que d tudo igual... Depois que eu me acostumei com integrao, isso mudou de cara, e principalmente de mtodo. Eu sabia como fazer as
Re: [obm-l] vetores e baricentro
O Ralph e Nehab, bom, eu vou dar uma de intrometido e tentar adivinhar o que o Nehab queria, e que o Ralph não respondeu. Talvez seja só porquê o que eu vou dizer em seguida foi (e continua sendo) uma das coisas que mais me fascina e perturba. Mas é o seguinte: Tá, ok, você (Ralph) definiu o baricentro como sendo o ponto de equilíbrio de massas pontuais no vértice de um polígono. Muito bem, essa noção é interessante, e simples, o que é fundamental para trabalhar. Mas acontece que o Nehab acha (e eu também) que uma coisa importante de um baricentro é poder pegar o baricentro e segurar a figura sem ela se mexer. E infelizmente, ninguém vai segurar um polígono que não tem massa no centro pelo centro dele. Pelo menos não na escola, sem forças que agem à distância como a gravidade. Daí que eu acho que a idéia do Nehab é muito boa, não, galera, o baricentro é o centro da figura plana inteira ! (leia-se com massa uniforme, é claro). Parece mais palpável, e inclusive é isso que a gente vai fazer com os polígonos, né? Mas surge um problema mais profundo: e como a gente calcula agora esse baricentro de uma infinidade de pontos? E o pior de tudo, como é que a gente prova que vai sempre dar a mesma coisa que só botar massas pontuais nos vértices? E mais grave ainda: será que essas mesmas contas continuam válidas para os sólidos (que são os únicos objetos realmente reais que existem!!!)? Indo um pouco mais a frente, surge uma outra interpretação: e se em vez de massas pontuais - um pouco forçado, ainda mais para ser uma estrutura rígida - fosse somente o bordo do polígono?. Puxa, mais uma outra definição, que também pode ser útil, e paf, mais um problema de tentar provar que dá tudo igual... Depois que eu me acostumei com integração, isso mudou de cara, e principalmente de método. Eu sabia como fazer as contas, não precisava mais de algumas fórmulas mágicas (mesmo que na maior parte do tempo fossem elas que eu usasse, porque vai muito mais rápido!!) e me sentia capaz de resolver qualquer problema do gênero. Mas persiste o espanto que muitas dessas noções coincidam, e principalmente o fato de nem sempre coincidirem me faz pensar que talvez a gente tenha deixado passar alguma coisa importante... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa P.S.: para quem é físico de corpo e alma, além de matemático, os exemplos de segurar no baricentro só funcionam se não houver momento no dito-cujo, senão mesmo que a gente segure no ponto certo, a figura vai rodar sem perder o eixo, mas como um dedo não é como um ponto material, vai escorregar e cair. Ou então, espere dar 180° e vai ficar embaixo do dedo ;-) 2010/5/13 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com: Oi, Nehab. Pensando vetorialmente, dah para pensar no baricentro de varias formas distintas... Afinal, voce pode agrupar o somatorio SUM Ai de varias maneiras... Por exemplo: -- O baricentro do hexagono A1A2...A6 eh o baricentro do triangulo cujos vertices sao os medios das diagonais A1A4, A2A5 e A3A6; -- ...alias, escolha quaisquer 3 diagonais que nao tenham vertice em comum, tome seus medios, e a propriedade acima estah valendo, o ponto eh o mesmo. -- ... se preferir, olhe os baricentros dos triangulos A1A3A5 e A2A4A6; o medio do segmento que os une tambem eh o baricentro do poligono. -- ... ou, tome o baricentro M de A1A2A3A4 e o medio N de A5A6; o baricentro divide o segmento MN na razao 4:2, isto eh, 2:1. (Imagina o noh que vai ser provar a coincidencia desses pontos sem vetores :( ) Note-se que o poligono nao precisa ser plano; a soma vetorial se comporta igualmente bem no espaco -- ou em R^4, ou :) Para heptagono, por falta de divisores de 7, teriamos que ser mais criativos... Tipo, tome o baricentro de A1A2A3 e o baricentro de A4A5A6. Tome o medio M do segmento que liga estes dois baricentros. O baricentro do heptagono A1...A7 divide o segmento MA7 na razao 1:6. (Os triangulos poderiam ser agrupados de varios jeitos) (Para quem usa softwares de Geometria Dinamica, isto dah ideia de milhoes de figurinhas legais para fazer) Abraco, Ralph. 2010/5/12 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, Ralph e Hermann, (tô tão ausente da lista, mas com muitas saudades) Pois é Ralph: mas já andei provocando meus alunos a pensar no manjado polígono de cartolina recortado com tesoura... Coisa bem no concreto. (eu prefiro sair fora de particulas iguais nos vértices, pois acho mais natural pensar na massa distribuída na superfície do polígono e tentar fazê-los ver o baricentro como o ponto do equilíbrio. Daí começo com o óbvio: a) Num segmento, é o ponto médio (tá bom, não é polígono); b) Num triângulo é a sabida interseção das medianas; c) Num quadrilátero é o ponto médio do segmento que une os pontos médios das diagonais... Ou seja, a pergunta que costumo fazer é: Dá pra gente ver geometricamente isto continuar? Se o polígono tem n vértices, há algum tipo de n para o qual a gente continua a achar o equilíbrio pensando de alguma forma nas
Re: [obm-l] vetores e baricentro
Bom, ok, neste caso: vale a pena notar que as diferentes nocoes de baricentro que o Bernardo mencionou NAO sao identicas. Por exemplo, tome um triangulo retangulo isosceles ABC, hipotenusa BC. O baricentro que eu gosto de usar eh o centro de massa dos vertices, que neste caso coincide com o centro de massa do interior do triangulo. Mas o centro de massa do perimetro eh outro! Afinal, os medios de AB e AC entram com peso 1, mas o medio de BC entra com peso raiz(2)... No espaco, ha outros problemas. Dado o poligono ABCD, o centro de massa dos vertices seria (A+B+C+D)/4; o do perimetro fica em outro lugar que depende um pouco mais dos comprimentos dos lados. E o do interior 2D do poligono nem estah definido, porque nao eh claro quais sao as faces 2D do poligono ABCD. Enfim, tem o centro de massa do tetraedro ABCD, este sim que coincide com o centro de massa dos vertices; se eu entendi bem, era deste tipo de surpresa que o Bernardo falava. Entao, em suma, concordo com o Nehab e o Bernardo: pensar nessas coisas eh bem instigante e divertido... :) Abraco, Ralph. P.S.: mesmo no caso 2D, quando o poligono nao eh convexo, o centro de massa pode ficar fora do interior do poligono, entao aas vezes a gente vai ter que segurar o poligono pelo ponto sem massa de qualquer jeito... :) 2010/5/13 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com O Ralph e Nehab, bom, eu vou dar uma de intrometido e tentar adivinhar o que o Nehab queria, e que o Ralph não respondeu. Talvez seja só porquê o que eu vou dizer em seguida foi (e continua sendo) uma das coisas que mais me fascina e perturba. Mas é o seguinte: Tá, ok, você (Ralph) definiu o baricentro como sendo o ponto de equilíbrio de massas pontuais no vértice de um polígono. Muito bem, essa noção é interessante, e simples, o que é fundamental para trabalhar. Mas acontece que o Nehab acha (e eu também) que uma coisa importante de um baricentro é poder pegar o baricentro e segurar a figura sem ela se mexer. E infelizmente, ninguém vai segurar um polígono que não tem massa no centro pelo centro dele. Pelo menos não na escola, sem forças que agem à distância como a gravidade. Daí que eu acho que a idéia do Nehab é muito boa, não, galera, o baricentro é o centro da figura plana inteira ! (leia-se com massa uniforme, é claro). Parece mais palpável, e inclusive é isso que a gente vai fazer com os polígonos, né? Mas surge um problema mais profundo: e como a gente calcula agora esse baricentro de uma infinidade de pontos? E o pior de tudo, como é que a gente prova que vai sempre dar a mesma coisa que só botar massas pontuais nos vértices? E mais grave ainda: será que essas mesmas contas continuam válidas para os sólidos (que são os únicos objetos realmente reais que existem!!!)? Indo um pouco mais a frente, surge uma outra interpretação: e se em vez de massas pontuais - um pouco forçado, ainda mais para ser uma estrutura rígida - fosse somente o bordo do polígono?. Puxa, mais uma outra definição, que também pode ser útil, e paf, mais um problema de tentar provar que dá tudo igual... Depois que eu me acostumei com integração, isso mudou de cara, e principalmente de método. Eu sabia como fazer as contas, não precisava mais de algumas fórmulas mágicas (mesmo que na maior parte do tempo fossem elas que eu usasse, porque vai muito mais rápido!!) e me sentia capaz de resolver qualquer problema do gênero. Mas persiste o espanto que muitas dessas noções coincidam, e principalmente o fato de nem sempre coincidirem me faz pensar que talvez a gente tenha deixado passar alguma coisa importante... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa P.S.: para quem é físico de corpo e alma, além de matemático, os exemplos de segurar no baricentro só funcionam se não houver momento no dito-cujo, senão mesmo que a gente segure no ponto certo, a figura vai rodar sem perder o eixo, mas como um dedo não é como um ponto material, vai escorregar e cair. Ou então, espere dar 180° e vai ficar embaixo do dedo ;-) 2010/5/13 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com: Oi, Nehab. Pensando vetorialmente, dah para pensar no baricentro de varias formas distintas... Afinal, voce pode agrupar o somatorio SUM Ai de varias maneiras... Por exemplo: -- O baricentro do hexagono A1A2...A6 eh o baricentro do triangulo cujos vertices sao os medios das diagonais A1A4, A2A5 e A3A6; -- ...alias, escolha quaisquer 3 diagonais que nao tenham vertice em comum, tome seus medios, e a propriedade acima estah valendo, o ponto eh o mesmo. -- ... se preferir, olhe os baricentros dos triangulos A1A3A5 e A2A4A6; o medio do segmento que os une tambem eh o baricentro do poligono. -- ... ou, tome o baricentro M de A1A2A3A4 e o medio N de A5A6; o baricentro divide o segmento MN na razao 4:2, isto eh, 2:1. (Imagina o noh que vai ser provar a coincidencia desses pontos sem vetores :( ) Note-se que o poligono nao precisa ser plano; a soma vetorial se comporta
Re: [obm-l] vetores e baricentro [Quase off-topic]
Oi, Bernardo Caramba: você leu meus pensamentos ! Pegar o baricentro! Você tocou no ponto e na alma e este é um dos aspectos mais fascinantes desta Lista. Vários olhares sobre uma mesma questão. E de intrometido não tem nada, pois me é extremamente prazeroso ler suas intervenções na lista. Elas me fascinam, são cuidadosas e acolhedoras. E de fato, às vezes eu lanço apenas um idéia vinculada a como ensinar determinada geringonça de outra forma, sem necessariamente ser um problema a resolver. Como se eu estivesse escrevendo um pensamento. Quanto à interpretação de usar a borda (que também adoro) a gente tem algumas surpresas: já postei na Lista o caso do triângulo e, pasme, o eleito é o incentro - caso a densidade linear seja uniforme e a mesma nos 3 lados do triângulo. Não acho muito intuitivo não, mas lembro que o Rogério Ponce (amigo de longa data) adorou o problema na época. Grande abraço, Nehab Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu: O Ralph e Nehab, bom, eu vou dar uma de intrometido e tentar adivinhar o que o Nehab queria, e que o Ralph não respondeu. Talvez seja só porquê o que eu vou dizer em seguida foi (e continua sendo) uma das coisas que mais me fascina e perturba. Mas é o seguinte: Tá, ok, você (Ralph) definiu o baricentro como sendo o ponto de equilíbrio de massas pontuais no vértice de um polígono. Muito bem, essa noção é interessante, e simples, o que é fundamental para trabalhar. Mas acontece que o Nehab acha (e eu também) que uma coisa importante de um baricentro é poder pegar o baricentro e segurar a figura sem ela se mexer. E infelizmente, ninguém vai segurar um polígono que não tem massa no centro pelo centro dele. Pelo menos não na escola, sem forças que agem à distância como a gravidade. Daí que eu acho que a idéia do Nehab é muito boa, não, galera, o baricentro é o centro da figura plana inteira ! (leia-se com massa uniforme, é claro). Parece mais palpável, e inclusive é isso que a gente vai fazer com os polígonos, né? Mas surge um problema mais profundo: e como a gente calcula agora esse baricentro de uma infinidade de pontos? E o pior de tudo, como é que a gente prova que vai sempre dar a mesma coisa que só botar massas pontuais nos vértices? E mais grave ainda: será que essas mesmas contas continuam válidas para os sólidos (que são os únicos objetos realmente reais que existem!!!)? Indo um pouco mais a frente, surge uma outra interpretação: e se em vez de massas pontuais - um pouco forçado, ainda mais para ser uma estrutura rígida - fosse somente o bordo do polígono?. Puxa, mais uma outra definição, que também pode ser útil, e paf, mais um problema de tentar provar que dá tudo igual... Depois que eu me acostumei com integração, isso mudou de cara, e principalmente de método. Eu sabia como fazer as contas, não precisava mais de algumas fórmulas mágicas (mesmo que na maior parte do tempo fossem elas que eu usasse, porque vai muito mais rápido!!) e me sentia capaz de resolver qualquer problema do gênero. Mas persiste o espanto que muitas dessas noções coincidam, e principalmente o fato de nem sempre coincidirem me faz pensar que talvez a gente tenha deixado passar alguma coisa importante... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] vetores e baricentro
Uma definição mais física seria: o baricentro é o centro de gravidade de uma figura, supondo que ela fose feita de um material homogeneo. Em 11 de maio de 2010 23:20, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Bom, a minha definicao de baricentro eh vetorial: o baricentro do poligono A1A2...An eh o ponto correspondente ao vetor (A1+A2+A3+...+An)/n. Seria o centro de massa de um conjunto de n particulas de mesma massa colocadas nos vertices. Infelizmente (ou felizmente?), esta definicao eh virtualmente equivalente ao seu problema, pois as seguintes linhas sao equivalentes: SUM (G-Ai)=0 SUM G = SUM Ai nG = SUM Ai G= (SUM Ai)/n (SUM eh somatorio, i=1 a n) Ajudou? Abraco, Ralph 2010/5/11 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br Boa noite. Existe baricentro de um polígono? Se não. Perdoem minha ignorância. Se sim. Eis um exercício que gostaria de uma ajuda: Dado um polígono formado pelos pontos A1, A2, An. Provar que o Somatório dos vetores GAi = vetor nulo. Onde G é o baricentro do polígono. Muito obrigado Hermann -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] vetores e baricentro
Oi, Ralph e Hermann, (t to ausente da lista, mas com muitas saudades) Pois Ralph: mas j andei provocando meus alunos a pensar no manjado polgono de cartolina recortado com tesoura... Coisa bem no concreto. (eu prefiro sair fora de particulas iguais nos vrtices, pois acho mais natural "pensar na massa distribuda na superfcie" do polgono e tentar faz-los ver o "baricentro" como o ponto do "equilbrio". Da comeo com o bvio: a) Num segmento, o ponto mdio (t bom, no polgono); b) Num tringulo a "sabida" interseo das medianas; c) Num quadriltero o ponto mdio do segmento que une os pontos mdios das diagonais... Ou seja, a pergunta que costumo fazer : D pra gente "ver" geometricamente isto continuar? Se o polgono tem n vrtices, h algum tipo de n para o qual a gente continua a achar o "equilbrio" pensando de alguma forma nas diagonais? E nas mdias de suas coordenadas (como voc abordou)? No pentgono, hexagono e heptgono as coisas funcionam? Onde d zebra? E se agora a gente for pro R^3. Num tetraedro do R^3; ou paraleleppedo no R3; etc. Abraos a todos, Nehab Ralph Teixeira escreveu: Bom, a minha definicao de baricentro eh vetorial: o baricentro do poligono A1A2...An eh o ponto correspondente ao vetor (A1+A2+A3+...+An)/n. Seria o centro de massa de um conjunto de n particulas de mesma massa colocadas nos vertices. Infelizmente (ou felizmente?), esta definicao eh virtualmente equivalente ao seu problema, pois as seguintes linhas sao equivalentes: SUM (G-Ai)=0 SUM G = SUM Ai nG= SUM Ai G= (SUM Ai)/n (SUM eh somatorio, i=1 a n) Ajudou? Abraco, Ralph 2010/5/11 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br Boa noite. Existe baricentro de um polgono? Se no. Perdoem minha ignorncia. Se sim. Eis um exerccio que gostaria de uma ajuda: Dado um polgono formado pelos pontos A1, A2, An. Provar que o Somatrio dos vetores GAi = vetor nulo. Onde G o baricentro do polgono. Muito obrigado Hermann = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] vetores e baricentro
Oi, Nehab. Pensando vetorialmente, dah para pensar no baricentro de varias formas distintas... Afinal, voce pode agrupar o somatorio SUM Ai de varias maneiras... Por exemplo: -- O baricentro do hexagono A1A2...A6 eh o baricentro do triangulo cujos vertices sao os medios das diagonais A1A4, A2A5 e A3A6; -- ...alias, escolha quaisquer 3 diagonais que nao tenham vertice em comum, tome seus medios, e a propriedade acima estah valendo, o ponto eh o mesmo. -- ... se preferir, olhe os baricentros dos triangulos A1A3A5 e A2A4A6; o medio do segmento que os une tambem eh o baricentro do poligono. -- ... ou, tome o baricentro M de A1A2A3A4 e o medio N de A5A6; o baricentro divide o segmento MN na razao 4:2, isto eh, 2:1. (Imagina o noh que vai ser provar a coincidencia desses pontos sem vetores :( ) Note-se que o poligono nao precisa ser plano; a soma vetorial se comporta igualmente bem no espaco -- ou em R^4, ou :) Para heptagono, por falta de divisores de 7, teriamos que ser mais criativos... Tipo, tome o baricentro de A1A2A3 e o baricentro de A4A5A6. Tome o medio M do segmento que liga estes dois baricentros. O baricentro do heptagono A1...A7 divide o segmento MA7 na razao 1:6. (Os triangulos poderiam ser agrupados de varios jeitos) (Para quem usa softwares de Geometria Dinamica, isto dah ideia de milhoes de figurinhas legais para fazer) Abraco, Ralph. 2010/5/12 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, Ralph e Hermann, (tô tão ausente da lista, mas com muitas saudades) Pois é Ralph: mas já andei provocando meus alunos a pensar no manjado polígono de cartolina recortado com tesoura... Coisa bem no concreto. (eu prefiro sair fora de particulas iguais nos vértices, pois acho mais natural pensar na massa distribuída na superfície do polígono e tentar fazê-los ver o baricentro como o ponto do equilíbrio. Daí começo com o óbvio: a) Num segmento, é o ponto médio (tá bom, não é polígono); b) Num triângulo é a sabida interseção das medianas; c) Num quadrilátero é o ponto médio do segmento que une os pontos médios das diagonais... Ou seja, a pergunta que costumo fazer é: Dá pra gente ver geometricamente isto continuar? Se o polígono tem n vértices, há algum tipo de n para o qual a gente continua a achar o equilíbrio pensando de alguma forma nas diagonais? E nas médias de suas coordenadas (como você abordou)? No pentágono, hexagono e heptágono as coisas funcionam? Onde dá zebra? E se agora a gente for pro R^3. Num tetraedro do R^3; ou paralelepípedo no R3; etc. Abraços a todos, Nehab Ralph Teixeira escreveu: Bom, a minha definicao de baricentro eh vetorial: o baricentro do poligono A1A2...An eh o ponto correspondente ao vetor (A1+A2+A3+...+An)/n. Seria o centro de massa de um conjunto de n particulas de mesma massa colocadas nos vertices. Infelizmente (ou felizmente?), esta definicao eh virtualmente equivalente ao seu problema, pois as seguintes linhas sao equivalentes: SUM (G-Ai)=0 SUM G = SUM Ai nG = SUM Ai G= (SUM Ai)/n (SUM eh somatorio, i=1 a n) Ajudou? Abraco, Ralph 2010/5/11 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br Boa noite. Existe baricentro de um polígono? Se *não*. Perdoem minha ignorância. Se *sim*. Eis um exercício que gostaria de uma ajuda: Dado um polígono formado pelos pontos A1, A2, An. Provar que o Somatório dos vetores GAi = vetor nulo. Onde G é o baricentro do polígono. Muito obrigado Hermann = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
Re: [obm-l] Vetores
1) (1,0,1)x + (0,2,1)y + (1,-1,1)z = (2,1,3) (I) x+z = 2 (II) 2y-z=1 (III) x+y+z = 3 (IV) = (I) em (III) = y + 2 = 3 = y = 1 (V) = (IV) em (II) = 2 - z = 1 = z = 1 (V) em (I) = x + 1 = 2 = x = 1 Então: (2,1,3) pertence ao subespaço vetorial do R3 gerado pelos vetores (1,0,1) , (0,2,1), (1,-1,1). 2) (-1,2,1)x + (1,0,2)y + (2,-2,1)z = (a,b,c) -x+y+2z = a = x =y+2z-a 2x-2z=b = 2y+4z-2a-2z=b = 2y+2z-2a = b = y = (b+2a-2z)/2 x+2y+z=c = y+2z-a+2y+z=c = 3y+3z-a = c = 3/2(b+2a-2z) +3z - a = c = 3b/2 + 3a - 3z + 3z - a = c = 3b/2 + 2a = c = 3b + 4a = 2c R: 3b + 4a = 2c 2009/10/17 Bruna Carvalho bruna.carvalho.p...@gmail.com Poderiam me ajudar com essas duas questões? 1) Verificar se o vetor α = (2,1,3) pertence ao subespaço vetorial do R3, gerado pelos vetores (1,0,1) , (0,2,1), (1,-1,1). 2) Qual a relação entre a, b e c, para que o vetor (a,b,c) do R3 pertença ao subespaço vetorial gerado por (-1,2,1), (1,0,2) e (2,-2,1) ? -- Bjos, Bruna
RE: [obm-l] Vetores
Olá! Inicialmente, acho que esses exercícios não deveriam fazer parte desta Lista, mas... Faça assim: [1] V = (x, y, z) V é ortogonal a U, logo o produto escalar é nulo: 2x 3y 12z = 0 V é paralelo a W, logo o produto vetorial é nulo. Logo, o determinante [i, j, k / x, y, z / -6, 4, -2] é nulo. Logo a 2ª e a 3ª linha são LD. Logo: x = k(-6) = -6k ; y=k(4) = 4k ; z = k(-2) = -2k É só resolver... [2] O triângulo é reto em A: AB.AC=0 ; BA.BC = 5*12*cos(B) ; CA.CB = 5*12*cos(C) B = arctan(5/12) ; C = arctan(12/5) É só resolver... Albert Bouskela mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com mailto:bousk...@ymail.com bousk...@ymail.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of marcio aparecido Sent: Tuesday, April 14, 2009 1:56 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Vetores 1-Determinar o Vetor V, ortogonal ao vetor U = (2,-3,-12), e colinear ao vetor W=(-6,4,-2) 2-Os lados de um triângulo retângulos ABC reto em A medem 5, 12 e 13. Cacular AB.AC+BA.BC+CA.CB.
[obm-l] RE: [obm-l] Vetores - CORREÇÃO
CORREÇÃO! Olá! Inicialmente, acho que esses exercícios não deveriam fazer parte desta Lista, mas... Faça assim: [1] V = (x, y, z) V é ortogonal a U, logo o produto escalar é nulo: 2x 3y 12z = 0 V é paralelo a W, logo o produto vetorial é nulo. Logo, o determinante [i, j, k / x, y, z / -6, 4, -2] é nulo. Logo a 2ª e a 3ª linha são LD. Logo: x = k(-6) = -6k ; y=k(4) = 4k ; z = k(-2) = -2k É só resolver... [2] O triângulo é reto em A: AB.AC=0 ; BA.BC = 12*13*cos(B) ; CA.CB = 5*13*cos(C) B = arctan(5/12) ; C = arctan(12/5) A hipotenusa (lado oposto ao ângulo A) só pode ser o maior dos 3 lados do triângulo: 13 É só resolver... vai dar um resultado legal... compare-o com (o quadrado da) a hipotenusa... ou com o Teorema de Pitágoras... Albert Bouskela mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com mailto:bousk...@ymail.com bousk...@ymail.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of marcio aparecido Sent: Tuesday, April 14, 2009 1:56 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Vetores 1-Determinar o Vetor V, ortogonal ao vetor U = (2,-3,-12), e colinear ao vetor W=(-6,4,-2) 2-Os lados de um triângulo retângulos ABC reto em A medem 5, 12 e 13. Cacular AB.AC+BA.BC+CA.CB.
Re: [obm-l] Vetores
Bouskela, permita-me discordar mas quando eu estava no inicio do ensino médio eu trazia da escola vários exercícios desse tipo, foi fazendo perguntas numericas sem preocupação com demonstração ou entender a lógica por trás disso que eu comecei a me preocupar com demonstrações. Isso por causa dessa lista e de um professor. Sempre que eu fazia uma pergunta alguém acabava indicando um link, um livro, uma demonstração, um método mais geral, um artigo numa revista e por aí vai :) Abraços, Denisson 2009/4/14 Albert Bouskelantas bousk...@ymail.com Olá! Inicialmente, acho que esses exercícios não deveriam fazer parte desta Lista, mas... a-s Faça assim: [1] V = (x, y, z) V é ortogonal a U, logo o produto escalar é nulo: 2x – 3y – 12z = 0 V é paralelo a W, logo o produto vetorial é nulo. Logo, o determinante [i, j, k / x, y, z / -6, 4, -2] é nulo. Logo a 2ª e a 3ª linha são LD. Logo: x = k(-6) = -6k ; y=k(4) = 4k ; z = k(-2) = -2k É só resolver... [2] O triângulo é reto em A: AB.AC=0 ; BA.BC = 12*13*cos(B) ; CA.CB = 5*13*cos(C) B = arctan(5/12) ; C = arctan(12/5) A hipotenusa (lado oposto ao ângulo A) só pode ser o maior dos 3 lados do triângulo: 13 É só resolver... vai dar um resultado legal... compare-o com (o quadrado da) a hipotenusa... ou com o Teorema de Pitágoras... Sds., *AB* bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em *ter, 14/4/09, marcio aparecido marcio.aparec...@gmail.com*escreveu: De: marcio aparecido marcio.aparec...@gmail.com Assunto: [obm-l] Vetores Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 14 de Abril de 2009, 16:55 1-Determinar o Vetor V, ortogonal ao vetor U = (2,-3,-12), e colinear ao vetor W=(-6,4,-2) 2-Os lados de um triângulo retângulos ABC reto em A medem 5, 12 e 13. Cacular AB.AC http://ab.ac/+BA.BC+CA.CB. -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/ -- Denisson
Re: [obm-l] Vetores
como o produto escalar U.W é zero, o vetor V = aW, sendo a um real diferente de 0. - Original Message - From: marcio aparecido To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Vetores Date: Tue, 14 Apr 2009 13:55:42 -0300 1-Determinar o Vetor V, ortogonal ao vetor U = (2,-3,-12), e colinear ao vetor W=(-6,4,-2) 2-Os lados de um triângulo retângulos ABC reto em A medem 5, 12 e 13. Cacular AB.AC+BA.BC+CA.CB. -- Powered By Outblaze
Re: [obm-l] Vetores
Olá! Inicialmente, acho que esses exercícios não deveriam fazer parte desta Lista, mas... Faça assim: [1] V = (x, y, z) V é ortogonal a U, logo o produto escalar é nulo: 2x – 3y – 12z = 0 V é paralelo a W, logo o produto vetorial é nulo. Logo, o determinante [i, j, k / x, y, z / -6, 4, -2] é nulo. Logo a 2ª e a 3ª linha são LD. Logo: x = k(-6) = -6k ; y=k(4) = 4k ; z = k(-2) = -2k É só resolver... [2] O triângulo é reto em A: AB.AC=0 ; BA.BC = 12*13*cos(B) ; CA.CB = 5*13*cos(C) B = arctan(5/12) ; C = arctan(12/5) A hipotenusa (lado oposto ao ângulo A) só pode ser o maior dos 3 lados do triângulo: 13 É só resolver... vai dar um resultado legal... compare-o com (o quadrado da) a hipotenusa... ou com o Teorema de Pitágoras... Sds., AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em ter, 14/4/09, marcio aparecido marcio.aparec...@gmail.com escreveu: De: marcio aparecido marcio.aparec...@gmail.com Assunto: [obm-l] Vetores Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 14 de Abril de 2009, 16:55 1-Determinar o Vetor V, ortogonal ao vetor U = (2,-3,-12), e colinear ao vetor W=(-6,4,-2) 2-Os lados de um triângulo retângulos ABC reto em A medem 5, 12 e 13. Cacular AB.AC+BA.BC+CA.CB. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Vetores
Hummm... Verifiquei que há uma pegadinha no 1º problema: U e W são ortogonais (o produto escalar é nulo), logo a 2ª condição de contorno (paralelo a W) engloba a 1ª (ortogonal a U). Logo: V = k.W = (-6k, 4k, -2k) , sendo k um escalar qualquer. Saudações, AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em ter, 14/4/09, Albert Bouskela bousk...@ymail.com escreveu: De: Albert Bouskela bousk...@ymail.com Assunto: Re: [obm-l] Vetores Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 14 de Abril de 2009, 20:36 Olá! Inicialmente, acho que esses exercícios não deveriam fazer parte desta Lista, mas... Faça assim: [1] V = (x, y, z) V é ortogonal a U, logo o produto escalar é nulo: 2x – 3y – 12z = 0 V é paralelo a W, logo o produto vetorial é nulo. Logo, o determinante [i, j, k / x, y, z / -6, 4, -2] é nulo. Logo a 2ª e a 3ª linha são LD. Logo: x = k(-6) = -6k ; y=k(4) = 4k ; z = k(-2) = -2k É só resolver... [2] O triângulo é reto em A: AB.AC=0 ; BA.BC = 12*13*cos(B) ; CA.CB = 5*13*cos(C) B = arctan(5/12) ; C = arctan(12/5) A hipotenusa (lado oposto ao ângulo A) só pode ser o maior dos 3 lados do triângulo: 13 É só resolver... vai dar um resultado legal... compare-o com (o quadrado da) a hipotenusa... ou com o Teorema de Pitágoras... Sds., AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em ter, 14/4/09, marcio aparecido marcio.aparec...@gmail.com escreveu: De: marcio aparecido marcio.aparec...@gmail.com Assunto: [obm-l] Vetores Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 14 de Abril de 2009, 16:55 1-Determinar o Vetor V, ortogonal ao vetor U = (2,-3,-12), e colinear ao vetor W=(-6,4,-2) 2-Os lados de um triângulo retângulos ABC reto em A medem 5, 12 e 13. Cacular AB.AC+BA.BC+CA.CB. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Vetores e complexos etc
Oi, Sergio,
Como o Arthur tambm te respondeu, como sempre de forma maravilhosa,
agora voc tem duas respostas diferentes mas complementares para sua
pergunta.
Mas engraado. Voc sacou o "meu" ponto.
O
entusiamo realmente de adolescente quando se trata de fazer os
meninos criarem intuio sobre os conceitos
e o ferramental matemtico. S assim eu acho que criaro "jogo de
cintura" para serem bons "resolvedores de problemas" no futuro E
de fato eu abro mo
mesmo de "formalismos" na primeira (e segunda) apresentao de um
conceito novo.
Meu entendimento (e no estou s nisto, tenho timas companhias... - o
velho Piaget e principalmente o Vigotsky - de quem sou profundo
admirador..., que o mtodo dedutivo s pode ser
usado quando j h alguma intuio desenvolvida na cabea dos
meninos. Por isto, no tenho nenhum constrangimento de ser
"radicalmente intuitivo"...
Mas no tenha dvidas: quando comecei (h uns 40 e tal anos) eu dava
aula para mim, no para os alunos. Tenho esta conscincia crtica. Mas
alguns anos depois (no foi to rpido como eu gostaria...) eu descobri
que tinha que dar aula para os alunos... Acho at que alguns coroas da
lista (rsrsrsrsrs) me pegaram na fase jovem narcsica (aquela em que a
gente d aula para a gente mesmo). Meu trauma foi quando pela
primeira vez tive que ensinar os "epsilons e deltas" de limites...
Caramba, quase fui linchado pelos alunos... E eles tinham razo: eu
bem que merecia um enforcamentozinho...
Mas veja, sou absolutamente favorvel ao formalismo. A questo
apenas em que momento os meninos esto em condies de assimil-lo.
Quanto ao produto de complexos, no h muito o que dizer de
criativo... A gente comea pela lgebra, como de se esperar zw =
(a+bi)(c+di) etc mas o interessante claro, mostrar que se |w | =
1 o que voc tem uma rotao, o que l na frente nos possibilita
matar inmeros problemas clssicos de Geometria usando complexos...
Se voc fissurado neste tema (como eu sou) veja possivelmente o
melhor link atual sobre isto:
http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/ComplexNumbersGeometry.shtml
Abrao
Nehab
PS: Acho que me deu uma certa preguia para detalhar o "acima" mas
mesmo assim acho que sua pergunta original foi respondida... Se voc
discordar, reclame...
Srgio Martins da Silva escreveu:
Nehab,
Gostei do entusiasmo pela didtica.
Aguardo o produto de complexos.
Abraos,
Srgio
-
Original Message -
From:
Carlos Nehab
To:
obm-l@mat.puc-rio.br
Sent:
Wednesday, November 14, 2007 12:05 AM
Subject:
Re: [obm-l] Vetores e complexos etc
Oi, Srgio,
Interessante a pergunta e tive um ataque maluco de prolixidade na
resposta Virou quase uma aula de introduo a como "criar intuio
sobre isto" mas j que escrevi , ai vai :-)
Ficou ENOORME Espero que te
ajuda... e que o majordomo no me "cape"...
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
RE: [obm-l] Vetores e complexos etc
Sauda,c~oes, E já que estamos nisso. Qual a diferença entre imagem e afixo no plano de Argand-Gauss: (a,b)=a+bi é imagem e/ou afixo ou nada disso? []'s Luís From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Vetores e complexos etcDate: Thu, 15 Nov 2007 14:46:34 -0200 Nehab, Gostei do entusiasmo pela didática. Aguardo o produto de complexos. Abraços, Sérgio _ Receba as últimas notícias do Brasil e do mundo direto no seu Messenger com Alertas MSN! É GRÁTIS! http://alertas.br.msn.com/
Re: [obm-l] Vetores e complexos
Artur, Gostei da perspectiva de estruturas algébricas. Obrigado, Sérgio - Original Message - From: Artur Costa Steiner To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, November 14, 2007 10:20 AM Subject: RES: [obm-l] Vetores e complexos A diferença fundamental entre o plano cartesiano e o plano complexo não reside, na realidade, na natureza de seus componentes. Tanto os elementos de R^2 como os elementos dos complexos C são pares ordenados de números reais. Ate aí, não há absolutamente nenhuma diferença. A diferenca aparece quando deixamos de considera-los apenas como conjuntos e passamos a considera-los como estruturas algebricas. O R^2 eh um espaco vetorial sobre o corpo dos reais, mas o R^2, com a estrutura algebrica nele definida, nao eh um corpo, Nao podemos dois multiplicar elementos de R^2 e obter outro elemento de R^2. O chamado produto escalar, ou interno, nao atende a esta condicao. Nem o chamado produto vetorial, geralmente definido em R^3, na Fisica, e muito usado na mecanica e no eletromagnetismo. Mas, quando equipamos R^2 com as operacoes de soma e multiplicacao, definidas por (a ,b) + (c , d) = (a +b, c + d) e (a ,b) * (c , d) = ((ac - bd) , (ad + bc)), obtemos um corpo. A estrutura algebrica conhecida como corpo e que satisfaz a todos os axiomas que a definem. Assim, vistos meramente como conjuntos, R^2 e C sao identicos. Mas vistos como estruturas algebricas, sao diferentes. De forma rigorosa, ao nos referrimos ao corpo dos complexos, nao deveriamos escrever apenas C, mas sim (C, + , *), para siginificar um corpo com relacao as operacoes de adicao e multiplicacao anteriormente citadas. Uma terna composta pelo conjunto C, formado pelos pares de reais, pela operacao + e pela operacao *, jah citadas. Mas, por uma questao de simplicidade, escreve-se apenas C, estando subentendida estrutura de corpo e as operacoes + e *.. Eh usual representar-se o elemento de C de parte real a e parte imaginaria b por a + bi, e nao por (a, b). Mas eh a mesma coisa. Isso dah aos complexos um sentido mais de numero e podemos entao dizer que os reais sao subconnjunto (ou melhor, sub corpo) de C, formado pelos elementos com parte imaginaria nula. Matematicamente, hah um isomorfismo entre o conjunto dos pares (a, b) e os numeros a + bi, o qual identifica um conjunto com o outro. Por exemplo, o real 1 eh identificado com (1,0) e i é identificado com (0 , 1). Em um bom livro de algebra voce acha estes conceitos. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de colombo Enviada em: terça-feira, 13 de novembro de 2007 21:08 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Vetores e complexos Não tem nenhuma diferença, a única coisa que muda é que quando estamos no plano complexo podemos multiplicar os vetores (a,b)(c,d), o que não existia no plano cartesiano. E lógico quando podemos multiplicar os vetores, dizemos que estamos multiplicando números complexos. t+ Jones On Nov 13, 2007 1:12 PM, Sérgio Martins [EMAIL PROTECTED] wrote: Colegas, Qual a diferença do plano cartesiano para o plano complexo, ou seja, entre (a,b) representando um vetor e um número complexo? Um abraço, Sérgio
Re: [obm-l] Vetores e complexos etc
Nehab, Gostei do entusiasmo pela didática. Aguardo o produto de complexos. Abraços, Sérgio - Original Message - From: Carlos Nehab To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, November 14, 2007 12:05 AM Subject: Re: [obm-l] Vetores e complexos etc Oi, Sérgio, Interessante a pergunta e tive um ataque maluco de prolixidade na resposta Virou quase uma aula de introdução a como criar intuição sobre isto mas já que escrevi , ai vai :-) Ficou ENOORME Espero que te ajuda... e que o majordomo não me cape...
Re: [obm-l] Vetores e complexos
Não tem nenhuma diferença, a única coisa que muda é que quando estamos no plano complexo podemos multiplicar os vetores (a,b)(c,d), o que não existia no plano cartesiano. E lógico quando podemos multiplicar os vetores, dizemos que estamos multiplicando números complexos. t+ Jones On Nov 13, 2007 1:12 PM, Sérgio Martins [EMAIL PROTECTED] wrote: Colegas, Qual a diferença do plano cartesiano para o plano complexo, ou seja, entre (a,b) representando um vetor e um número complexo? Um abraço, Sérgio
Re: [obm-l] Vetores e complexos etc
Oi, Srgio, Interessante a pergunta e tive um ataque maluco de prolixidade na resposta Virou quase uma aula de introduo a como "criar intuio sobre isto" mas j que escrevi , ai vai :-) Ficou ENOORME Espero que te ajuda... e que o majordomo no me "cape"... 0) No fundo no fundo, um "par de eixos" um belo artifcio para modelar inmeros objetos ou situaes em matemtica (e fsica, etc), que ajudam um bocado a gente. Vamos a seu primeiro exemplo, o Plano Cartesiano... (no fundo voc falou pelo menos em 3 abstraes: plano cartesiano, vetores e complexos... vamos devagar... 1) Primeiro pensemos no problema de posicionar um ponto em um plano, usando os dois eixos como "referenciais" (como poderamos estar interessados em posicionar um ponto na Terra, atravs da longitude e latitude; ou a posio de uma casa no jogo de batalha naval, etc). Ai, claro, que dois nmeros (a tal da abscissa e da ordenada) resolvem adequadamente esta situao. Ento conseguimos associar (biunivocamente) um ponto do plano a um par de nmeros e reciprocamente (sem entrar no merito - nem agora nem depois - , que a reta e os reais so amiguinhos). Veja que, concretamente, um ponto (uma abstrao geomtrica) no tem NADA, absolutamente NADA que haver com um par de nmeros (outra abstrao), mas esta "identificao" nos pemite trabalhar em dois "ambientes" diferentes e nos permite associar, portanto, conjunto de pares de nmeros a um conjunto de pontos do plano (que no fundo uma figura - ou seja, um objeto da geometria) Portanto, associamos pares de nmeros a figura da geometria plana. 2) Vejamos, agora outra associao. Dada uma "relao real - uma equao ou inequao" envolvendo duas variveis, por exemplo, y = 2x + 1, podemos imaginar que ela verdadeira para vrios pares de nmeros x e y e como j pensamos em pares de nmeros reais h pouco, poderamos ento imaginar que o conjunto soluo desta "relao" identificvel com um conjunto de pontos do plano... Ento, olha que genial: conseguimos (viva Descartes etc) associar um conjunto de pontos do plano (uma figura geomtrica) a uma equao (uma outra abstrao)... Da, "olhamos" para a equao x^2 + y^2 = 1 e "vemos" uma circunferncia. No brbaro a naturalidade com que fazemos isto sem muitas vezes perceber a brutal abstrao envolvida ? Ah, adoraria que todos os profesores do mundo percebessem como isto um novo paradigma para o(a)s menino(a)s de 7a e 8a srie (agora 8a e 9a)... No a toa que neguinho chega no segundo grau - muitas vezes no vestiba - , e no consegue entender NADA, mas NADA de NADA de NDA de geometria analitica... Foram maltratados l no incio... e tambm no fim :-) . 3) Vetorzinhos da Fsica... A gente aprende que um vetor fica definido quando conhecemos sua direo, sentido e mdulo. Bem, ai adoraramos que as setinhas nos ajudassem (pois setinhas possuem tamanho, direo e sentido...). Mas uma setinha de um ponto A a um ponto B NO um vetor. Verdade que outras setinhas tambm podem ter o mesmo mdulo direo e sentido e ento um vetor identificado com o conjunto das setinhas bl, bl, bl (ta uma boa oportunidade para falar em relaes de equivalncia - entre setinhas, etc, etc) Ento, podemos imaginar que til pr caramba representar um vetor de tal mdulo, direo e sentido por uma setinha na origem de um sistema de eixos (ortogonais). A, d para perceber que suas projees sobre os eixos coincidem com as coordenadas do ponto extremo da setinha anterior... (um pulo do gato!). Ento ficou interessante identificarmos um vetor por um par de nmeros que representam suas projees sobre os dois eixos e ao mesmo tempo tal par de numeros seria (tambm) o ponto extremidade da setinha de origem na origem e que o representa Depois, o professor de Fsica nos ensina como somar vetores, subtrair e a gente fica feliz da vida pois descobrimos que basta somar ou subtaris as componentes dos dois vetores que obtemos o vetor soma. Ou seja, descobrirmos que til imaginar que estamos somando e subtraindo pares de nmeros reais pois isto MUITO til para a Fsica Ento, os pares de nmeros que antes serviam para "localizar" um ponto no plano, tiveram outra funcionalidade. Quando imaginamso que os pares de nmeros representam vetores do plano (suas componentes) j botamos as manguinas de fora e estamos somando e subtarindo pares de nmeros reais PORQUE TILpelo menos pros nossos vetorzinhos... Mas ai (para no me alongar quase infinitamente...) a Fsica vem com o papo que interessante calcular a projeo de um vetor u = (u1, u2) sobre outro vetor v = (v1, v2), por exemplo, onde u1 e v1 so as projees de u e v sobre Ox e u2 e v2 sobre Oy. Ai a gente percebe que a conta a fazer |u|. cos alfa, onde alfa o ngulo entre u e v... e esta conta d u1.v1 + u2.v2 que a Fsica (e ns tambm) adoramos chamar de produto escalar de dois vetores(usando a lei dos cosenos a gente mostra isto). Ento, os tadinhos dos pares de pontos que comearam apenas sendo uma forma til de localizar pontos no plano, alm de j terem sido "somados" e
Re: [obm-l] vetores
Olá, pessoal. Agradeço pelo empenho que vocês estão tendo com essa questão. Ela caiu no Concurso de Admissão da Escola Naval, em 1986. Verifiquei a prova que tenho (não original) e não encontrei qualquer omissão de dados, porém se alguém tiver a original, que nos passem, por favor. a= ai+bj b=ci+dj a^2+b^2=49 i j k a b 0 c d 0 a*b=k(ad-bc) ad-bc=rq41 c^2+d^2=9 MP= ei+fj a somaa entre MP e a e b e a mesma mod(a*MP)=mod(b*MP) af-be + cf-de=3*7*20/21 2rq42*(seny/2)*(10)=20 sen(y/2)=rq42/42 angulo entre MP e a e b a direçao de MP e dada por 2rq42*(cos(a+b)/2 *i+sen(a+b)/2 *j MQ=7cosai+7senaj-3cosbi-3senbj MQ=i (7cosa-3cosb)+j*(7sena-3senb) rq41=3*7*senteta costeta=rrq(1-41/441)=20/21=cos(a-b) fazendo o produto vetorial 2rq42*7*senacos(a+b)/2-6rq42senbcos(a+b)/2-14rq42sen(a+b)/2*cosa+6rq42*sen(a+b)/2*cosb= =14rq42*sen(a-b)/2+6rq42*sen(a-b)/2 sen(a-b)/2*20rq42= 20rq42*rq(1-20/21)/2 =20 e a area e 20/2=10 tambem achei 10 Nao entendi porque a direçao de MP e dada por a/7 +b/3, ja que isso da somente a soma dos cosssenos e senos dos angulos diretores On 2/24/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, pessoal. Poderiam resolver esta, por favor. Abraços e muito obrigado. O módulo do produto vetorial dos vetores a e b, que formam um ângulo obtuso, é rq41 e |a| = 7 e |b| = 3 MPtem a direção da bissetriz do ângulo de a e b e |MP| = 2rq42; MQ = a - b. A área do triângulo MPQ é: a) 10rq41. b) 8rq42. c) 20rq41. d) 4rq42.e) 2rq41rq42.
Re: [obm-l] vetores
Olá Saulo!!! Gostaria de saber se você poderia tirar algumas dúvidas que tenho em relação a sua solução. On 3/17/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: a= ai+bj b=ci+dj a^2+b^2=49 i j k a b 0 c d 0 a*b=k(ad-bc) ad-bc=rq41 c^2+d^2=9 MP= ei+fj As três linhas a seguir: Por que a soma entre MP e A é a mesma entre MP e B??? Por que o módulo do produto vetorial entre A e MP é igual ao de B e MP??? A soma (af-be + cf-de) seria o produto escalar?, já que 3*7*20/21 é o produto entre o módulo de A, de B e o coseno formado entre esses 2 vetores e equivale à relação A.B = |A||B|cos(alfa), onde alfa é o ângulo formado por A e B. a somaa entre MP e a e b e a mesma mod(a*MP)=mod(b*MP) af-be + cf-de=3*7*20/21 Na próxima linha o que seriam 10 e 20 na equação??? 2rq42*(seny/2)*(10)=20 sen(y/2)=rq42/42 angulo entre MP e a e b a direçao de MP e dada por 2rq42*(cos(a+b)/2 *i+sen(a+b)/2 *j MQ=7cosai+7senaj-3cosbi-3senbj MQ=i (7cosa-3cosb)+j*(7sena-3senb) rq41=3*7*senteta costeta=rrq(1-41/441)=20/21=cos(a-b) fazendo o produto vetorial Qual seria esse produto vetorial??? Entre quais vetores??? 2rq42*7*senacos(a+b)/2-6rq42senbcos(a+b)/2-14rq42sen(a+b)/2*cosa+6rq42*sen(a+b)/2*cosb= =14rq42*sen(a-b)/2+6rq42*sen(a-b)/2 sen(a-b)/2*20rq42= 20rq42*rq(1-20/21)/2 =20 e a area e 20/2=10 tambem achei 10 Nao entendi porque a direçao de MP e dada por a/7 +b/3, ja que isso da somente a soma dos cosssenos e senos dos angulos diretores Será que aquela solução que tem como resposta 10rq41 está errada??? Mas nenhuma das resposta é 10. Alguém saberia qual a solução desse problema e se a solução que passei e a do Saulo que deram a mesma resposta possui algum erro??? Agradeço a atenção de todos. Abraços! On 2/24/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, pessoal. Poderiam resolver esta, por favor. Abraços e muito obrigado. O módulo do produto vetorial dos vetores *a* e *b*, que formam um ângulo obtuso, é rq41 e |*a*| = 7 e |*b*| = 3 MP**tem a direção da bissetriz do ângulo de *a* e *b* e |*MP*| = 2rq42; *MQ * = *a* – *b*. A área do triângulo MPQ é: a) 10rq41. b) 8rq42. c) 20rq41. d) 4rq42.e) 2rq41rq42. -- Henrique
Re: [obm-l] vetores
e que eu tinha feito de um jeito, mas depois eu achei que estava errado e fiz de outro jeito aquela soma esta errrada e que a bisstriz divide a area entre MP e a e b em duas areas iguais, dadas por produtos vetoriais, por isso apareceu seno, y/2 e a metade do angulo entre a e b, que e dado por costeta=02/21, eu achei que eram iguais em uma primeira estivamativa, mas depois vi que eradiferentes, entao achei a sua soma que e dada pelo produto vetorial entre a e b , por isso apareceu 3*7*senteta, que eu colequei cosseno, mas eu nao usei isso na resoluçao. a= ai+bj b=ci+dj a^2+b^2=49 i j k a b 0 c d 0 a*b=k(ad-bc) ad-bc=rq41 c^2+d^2=9 MP= ei+fj nao entendi porque a direçao da bissetriz e dada por a/7 +b/3, ja que isso e somente soma de cossenos e senos diretores dos dois vetores, ai eu fiz, se o vetor a tem angulo diretor a , e e o maior, o angulo entre a e b e dado por, a-b, e MP faz um angulo de (a-b)/2 com a e b, logo a sua direçao e dada por (a-b)/2+b= (a+b)/2 as linhas abaixo sao o protudo vetoria entre MP e MQ para dar a area procurada, a area e dada por MOdulo de (MP*MQ)/2 MP=2rq42*(cos(a+b)/2 *i+sen(a+b)/2 *j MQ=i (7cosa-3cosb)+j*(7sena-3senb) fazendo o produto vetorial 2rq42*7*senacos(a+b)/2-6rq42senbcos(a+b)/2-14rq42sen(a+b)/2*cosa+6rq42*sen(a+b)/2*cosb= =14rq42*sen(a-b)/2+6rq42*sen(a-b)/2 sen(a-b)/2*20rq42= 20rq42*rq(1-20/21)/2 =20 e a area e 20/2=10 On 3/18/07, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Saulo!!! Gostaria de saber se você poderia tirar algumas dúvidas que tenho em relação a sua solução. On 3/17/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: a= ai+bj b=ci+dj a^2+b^2=49 i j k a b 0 c d 0 a*b=k(ad-bc) ad-bc=rq41 c^2+d^2=9 MP= ei+fj As três linhas a seguir: Por que a soma entre MP e A é a mesma entre MP e B??? Por que o módulo do produto vetorial entre A e MP é igual ao de B e MP??? A soma (af-be + cf-de) seria o produto escalar?, já que 3*7*20/21 é o produto entre o módulo de A, de B e o coseno formado entre esses 2 vetores e equivale à relação A.B = |A||B|cos(alfa), onde alfa é o ângulo formado por A e B. a somaa entre MP e a e b e a mesma mod(a*MP)=mod(b*MP) af-be + cf-de=3*7*20/21 Na próxima linha o que seriam 10 e 20 na equação??? 2rq42*(seny/2)*(10)=20 sen(y/2)=rq42/42 angulo entre MP e a e b a direçao de MP e dada por 2rq42*(cos(a+b)/2 *i+sen(a+b)/2 *j MQ=7cosai+7senaj-3cosbi-3senbj MQ=i (7cosa-3cosb)+j*(7sena-3senb) rq41=3*7*senteta costeta=rrq(1-41/441)=20/21=cos(a-b) fazendo o produto vetorial Qual seria esse produto vetorial??? Entre quais vetores??? 2rq42*7*senacos(a+b)/2-6rq42senbcos(a+b)/2-14rq42sen(a+b)/2*cosa+6rq42*sen(a+b)/2*cosb= =14rq42*sen(a-b)/2+6rq42*sen(a-b)/2 sen(a-b)/2*20rq42= 20rq42*rq(1-20/21)/2 =20 e a area e 20/2=10 tambem achei 10 Nao entendi porque a direçao de MP e dada por a/7 +b/3, ja que isso da somente a soma dos cosssenos e senos dos angulos diretores Será que aquela solução que tem como resposta 10rq41 está errada??? Mas nenhuma das resposta é 10. Alguém saberia qual a solução desse problema e se a solução que passei e a do Saulo que deram a mesma resposta possui algum erro??? Agradeço a atenção de todos. Abraços! On 2/24/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, pessoal. Poderiam resolver esta, por favor. Abraços e muito obrigado. O módulo do produto vetorial dos vetores *a* e *b*, que formam um ângulo obtuso, é rq41 e |*a*| = 7 e |*b*| = 3 MP**tem a direção da bissetriz do ângulo de *a* e *b* e |*MP*| = 2rq42; *MQ *= *a* – *b*. A área do triângulo MPQ é: a) 10rq41. b) 8rq42. c) 20rq41. d) 4rq42.e) 2rq41rq42. -- Henrique
Re: [obm-l] vetores
continuando, nao entendi porque a/7+b/3 da a direçao da bissetriaz ja que quando vc divide o vetor pelo seu modulo, vc encontra senos e cossenos dos angulo diretores. On 3/18/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: e que eu tinha feito de um jeito, mas depois eu achei que estava errado e fiz de outro jeito aquela soma esta errrada e que a bisstriz divide a area entre MP e a e b em duas areas iguais, dadas por produtos vetoriais, por isso apareceu seno, y/2 e a metade do angulo entre a e b, que e dado por costeta=02/21, eu achei que eram iguais em uma primeira estivamativa, mas depois vi que eradiferentes, entao achei a sua soma que e dada pelo produto vetorial entre a e b , por isso apareceu 3*7*senteta, que eu colequei cosseno, mas eu nao usei isso na resoluçao. a= ai+bj b=ci+dj a^2+b^2=49 i j k a b 0 c d 0 a*b=k(ad-bc) ad-bc=rq41 c^2+d^2=9 MP= ei+fj nao entendi porque a direçao da bissetriz e dada por a/7 +b/3, ja que isso e somente soma de cossenos e senos diretores dos dois vetores, ai eu fiz, se o vetor a tem angulo diretor a , e e o maior, o angulo entre a e b e dado por, a-b, e MP faz um angulo de (a-b)/2 com a e b, logo a sua direçao e dada por (a-b)/2+b= (a+b)/2 as linhas abaixo sao o protudo vetoria entre MP e MQ para dar a area procurada, a area e dada por MOdulo de (MP*MQ)/2 MP=2rq42*(cos(a+b)/2 *i+sen(a+b)/2 *j MQ=i (7cosa-3cosb)+j*(7sena-3senb) fazendo o produto vetorial 2rq42*7*senacos(a+b)/2-6rq42senbcos(a+b)/2-14rq42sen(a+b)/2*cosa+6rq42*sen(a+b)/2*cosb= =14rq42*sen(a-b)/2+6rq42*sen(a-b)/2 sen(a-b)/2*20rq42= 20rq42*rq(1-20/21)/2 =20 e a area e 20/2=10 On 3/18/07, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Saulo!!! Gostaria de saber se você poderia tirar algumas dúvidas que tenho em relação a sua solução. On 3/17/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: a= ai+bj b=ci+dj a^2+b^2=49 i j k a b 0 c d 0 a*b=k(ad-bc) ad-bc=rq41 c^2+d^2=9 MP= ei+fj As três linhas a seguir: Por que a soma entre MP e A é a mesma entre MP e B??? Por que o módulo do produto vetorial entre A e MP é igual ao de B e MP??? A soma (af-be + cf-de) seria o produto escalar?, já que 3*7*20/21 é o produto entre o módulo de A, de B e o coseno formado entre esses 2 vetores e equivale à relação A.B = |A||B|cos(alfa), onde alfa é o ângulo formado por A e B. a somaa entre MP e a e b e a mesma mod(a*MP)=mod(b*MP) af-be + cf-de=3*7*20/21 Na próxima linha o que seriam 10 e 20 na equação??? 2rq42*(seny/2)*(10)=20 sen(y/2)=rq42/42 angulo entre MP e a e b a direçao de MP e dada por 2rq42*(cos(a+b)/2 *i+sen(a+b)/2 *j MQ=7cosai+7senaj-3cosbi-3senbj MQ=i (7cosa-3cosb)+j*(7sena-3senb) rq41=3*7*senteta costeta=rrq(1-41/441)=20/21=cos(a-b) fazendo o produto vetorial Qual seria esse produto vetorial??? Entre quais vetores??? 2rq42*7*senacos(a+b)/2-6rq42senbcos(a+b)/2-14rq42sen(a+b)/2*cosa+6rq42*sen(a+b)/2*cosb= =14rq42*sen(a-b)/2+6rq42*sen(a-b)/2 sen(a-b)/2*20rq42= 20rq42*rq(1-20/21)/2 =20 e a area e 20/2=10 tambem achei 10 Nao entendi porque a direçao de MP e dada por a/7 +b/3, ja que isso da somente a soma dos cosssenos e senos dos angulos diretores Será que aquela solução que tem como resposta 10rq41 está errada??? Mas nenhuma das resposta é 10. Alguém saberia qual a solução desse problema e se a solução que passei e a do Saulo que deram a mesma resposta possui algum erro??? Agradeço a atenção de todos. Abraços! On 2/24/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, pessoal. Poderiam resolver esta, por favor. Abraços e muito obrigado. O módulo do produto vetorial dos vetores *a* e *b*, que formam um ângulo obtuso, é rq41 e |*a*| = 7 e |*b*| = 3 MP**tem a direção da bissetriz do ângulo de *a* e *b* e |*MP*| = 2rq42; *MQ *= *a* – *b*. A área do triângulo MPQ é: a) 10rq41. b) 8rq42. c) 20rq41. d) 4rq42.e) 2rq41rq42. -- Henrique
Re: [obm-l] vetores
Sim. As componentes são dadas por |módulo|.(seno ou coseno). Acredito que o autor da resposta daquele tópico é http://w3.impa.br/~ralph/ Será que ele ainda freqüenta a lista??? Alguém saberia indicar onde cometemos algum engano nas soluções apresentadas. On 3/18/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: continuando, nao entendi porque a/7+b/3 da a direçao da bissetriaz ja que quando vc divide o vetor pelo seu modulo, vc encontra senos e cossenos dos angulo diretores. On 3/18/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: e que eu tinha feito de um jeito, mas depois eu achei que estava errado e fiz de outro jeito aquela soma esta errrada e que a bisstriz divide a area entre MP e a e b em duas areas iguais, dadas por produtos vetoriais, por isso apareceu seno, y/2 e a metade do angulo entre a e b, que e dado por costeta=02/21, eu achei que eram iguais em uma primeira estivamativa, mas depois vi que eradiferentes, entao achei a sua soma que e dada pelo produto vetorial entre a e b , por isso apareceu 3*7*senteta, que eu colequei cosseno, mas eu nao usei isso na resoluçao. a= ai+bj b=ci+dj a^2+b^2=49 i j k a b 0 c d 0 a*b=k(ad-bc) ad-bc=rq41 c^2+d^2=9 MP= ei+fj nao entendi porque a direçao da bissetriz e dada por a/7 +b/3, ja que isso e somente soma de cossenos e senos diretores dos dois vetores, ai eu fiz, se o vetor a tem angulo diretor a , e e o maior, o angulo entre a e b e dado por, a-b, e MP faz um angulo de (a-b)/2 com a e b, logo a sua direçao e dada por (a-b)/2+b= (a+b)/2 as linhas abaixo sao o protudo vetoria entre MP e MQ para dar a area procurada, a area e dada por MOdulo de (MP*MQ)/2 MP=2rq42*(cos(a+b)/2 *i+sen(a+b)/2 *j MQ=i (7cosa-3cosb)+j*(7sena-3senb) fazendo o produto vetorial 2rq42*7*senacos(a+b)/2-6rq42senbcos(a+b)/2-14rq42sen(a+b)/2*cosa+6rq42*sen(a+b)/2*cosb= =14rq42*sen(a-b)/2+6rq42*sen(a-b)/2 sen(a-b)/2*20rq42= 20rq42*rq(1-20/21)/2 =20 e a area e 20/2=10 On 3/18/07, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Saulo!!! Gostaria de saber se você poderia tirar algumas dúvidas que tenho em relação a sua solução. On 3/17/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: a= ai+bj b=ci+dj a^2+b^2=49 i j k a b 0 c d 0 a*b=k(ad-bc) ad-bc=rq41 c^2+d^2=9 MP= ei+fj As três linhas a seguir: Por que a soma entre MP e A é a mesma entre MP e B??? Por que o módulo do produto vetorial entre A e MP é igual ao de B e MP??? A soma (af-be + cf-de) seria o produto escalar?, já que 3*7*20/21 é o produto entre o módulo de A, de B e o coseno formado entre esses 2 vetores e equivale à relação A.B = |A||B|cos(alfa), onde alfa é o ângulo formado por A e B. a somaa entre MP e a e b e a mesma mod(a*MP)=mod(b*MP) af-be + cf-de=3*7*20/21 Na próxima linha o que seriam 10 e 20 na equação??? 2rq42*(seny/2)*(10)=20 sen(y/2)=rq42/42 angulo entre MP e a e b a direçao de MP e dada por 2rq42*(cos(a+b)/2 *i+sen(a+b)/2 *j MQ=7cosai+7senaj-3cosbi-3senbj MQ=i (7cosa-3cosb)+j*(7sena-3senb) rq41=3*7*senteta costeta=rrq(1-41/441)=20/21=cos(a-b) fazendo o produto vetorial Qual seria esse produto vetorial??? Entre quais vetores??? 2rq42*7*senacos(a+b)/2-6rq42senbcos(a+b)/2-14rq42sen(a+b)/2*cosa+6rq42*sen(a+b)/2*cosb= =14rq42*sen(a-b)/2+6rq42*sen(a-b)/2 sen(a-b)/2*20rq42= 20rq42*rq(1-20/21)/2 =20 e a area e 20/2=10 tambem achei 10 Nao entendi porque a direçao de MP e dada por a/7 +b/3, ja que isso da somente a soma dos cosssenos e senos dos angulos diretores Será que aquela solução que tem como resposta 10rq41 está errada??? Mas nenhuma das resposta é 10. Alguém saberia qual a solução desse problema e se a solução que passei e a do Saulo que deram a mesma resposta possui algum erro??? Agradeço a atenção de todos. Abraços! On 2/24/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, pessoal. Poderiam resolver esta, por favor. Abraços e muito obrigado. O módulo do produto vetorial dos vetores *a* e *b*, que formam um ângulo obtuso, é rq41 e |*a*| = 7 e |*b*| = 3 MP**tem a direção da bissetriz do ângulo de *a* e *b* e |*MP*| = 2rq42; *MQ *= *a* – *b*. A área do triângulo MPQ é: a) 10rq41. b) 8rq42. c) 20rq41. d) 4rq42.e) 2rq41rq42. -- Henrique -- Henrique
Re: [obm-l] vetores
a= ai+bj b=ci+dj a^2+b^2=49 i j k a b 0 c d 0 a*b=k(ad-bc) ad-bc=rq41 c^2+d^2=9 MP= ei+fj a somaa entre MP e a e b e a mesma mod(a*MP)=mod(b*MP) af-be + cf-de=3*7*20/21 2rq42*(seny/2)*(10)=20 sen(y/2)=rq42/42 angulo entre MP e a e b a direçao de MP e dada por 2rq42*(cos(a+b)/2 *i+sen(a+b)/2 *j MQ=7cosai+7senaj-3cosbi-3senbj MQ=i (7cosa-3cosb)+j*(7sena-3senb) rq41=3*7*senteta costeta=rrq(1-41/441)=20/21=cos(a-b) fazendo o produto vetorial 2rq42*7*senacos(a+b)/2-6rq42senbcos(a+b)/2-14rq42sen(a+b)/2*cosa+6rq42*sen(a+b)/2*cosb= =14rq42*sen(a-b)/2+6rq42*sen(a-b)/2 sen(a-b)/2*20rq42= 20rq42*rq(1-20/21)/2 =20 e a area e 20/2=10 tambem achei 10 Nao entendi porque a direçao de MP e dada por a/7 +b/3, ja que isso da somente a soma dos cosssenos e senos dos angulos diretores On 2/24/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, pessoal. Poderiam resolver esta, por favor. Abraços e muito obrigado. O módulo do produto vetorial dos vetores *a* e *b*, que formam um ângulo obtuso, é rq41 e |*a*| = 7 e |*b*| = 3 MP**tem a direção da bissetriz do ângulo de *a* e *b* e |*MP*| = 2rq42; *MQ* = *a* – *b*. A área do triângulo MPQ é: a) 10rq41. b) 8rq42. c) 20rq41. d) 4rq42. e) 2rq41rq42.
Re: [obm-l] vetores
Alguém sabe onde eu me enganei na solução P.S.: No outro e-mail que enviei tem o desenho representando a situação. On 3/9/07, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Arkon e pessoal da lista!!! Estou enviando os passos que segui para a solução do exercício mas não cheguei a nenhum dos resultados que você colocou. Pediria que alguém apontasse onde está o erro que cometi durante a solução. Estou enviando em anexo a representação dos vetores que utilizei para resolver o problema (espero que o desenho esteja correto). Observando o desenho, a área do triângulo MPQ que queremos é A = 1/2.|a-b|.2.sqrt(42).sen(theta + alfa/2), utilizando a igualdade para cálculo da área do triângulo com lados |a-b| e 2.sqrt(42) que formam um ângulo de (theta + alfa/2). Como o enunciado diz que o módulo do produto vetorial dos vetores a e b é sqrt(41) temos: |a x b| = |a|.|b|.sen(alfa), onde alfa é o ângulo obtuso entre a e b. sqrt(41) = 7.3.sen(alfa) - sen(alfa) = sqrt(41)/21. Caso você queira uma demonstração de como o módulo do produto vetorial entre dois vetores é dado pelo produto dos módulos e do seno formado entre eles posso enviar em outra mensagem. Também posso colocar a demonstração do vetor resultado do produto vetorial entre dois vetores que é um vetor perpendicular a ambos e que suas componentes podem ser calculadas a partir do cálculo do determinante de uma matriz composta pelas componentes dos dois vetores. Me lembro até que sempre procurei uma demonstração das relações do produto vetorial em livros de Álgebra Linear mas em todos os livros que procurei não encontrava. Fiquei tentando resolver até que encontrei uma demonstração clara utilizando sistemas lineares homogêneos para achar o determinante que fornece o vetor perpendicular e utilizando relações trigonométricas simples e produtos notáveis para encontrar a igualdade |a x b| = |a|.|b|.sen(alfa) que representa a área do paralelegramo formado entre os vetores a e b. Caso alguém possa indicar o livro que contenha boas demonstrações ficaria muito grato. Continuando o exercício: Tendo o sen(alfa) podemos calcular o cos(alfa). cos(alfa) = sqrt(1 - (sen(alfa))^2) = sqrt(1 - 41/441) = sqrt((441-41)/441) = sqrt(400/441) = 20/21. Com o cos(alfa) calculado podemos encontrar o valor do módulo de a-b através da lei dos cosenos. |a-b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2.|a|.|b|.cos(alfa) = 49 + 9 - 2.21.20/21 = 58 - 40 = 18 - |a-b| = sqrt(18) = 3.sqrt(2) Com o cos(alfa) também podemos encontrar o valor de sen(alfa/2) com a relação trigonométrica cos(alfa) = 1 - 2.(sen(alfa/2))^2 - 20/21 = 1 - 2.(sen(alfa/2))^2 - 2.(sen(alfa/2))^2 = 1/21 - (sen(alfa/2))^2 = 1/42 - sen(alfa/2) = sqrt(42)/42. Com o sen(alfa/2) calculamos cos(alfa/2) que é sqrt(1722)/42 Através da lei dos senos podemos encontrar o valor de sen(theta) com a seguinte igualdade: |a-b|/sen(alfa) = |-b|/sen(theta) - sen(theta) = sqrt( 41.2)/42. Com o sen(theta) calculamos o cos(theta) que é 29.sqrt (2)/42. Agora podemos calcular o valor do sen(theta + alfa/2) = sen(theta).cos(alfa/2) + sen(alfa/2).cos(theta) = (sqrt(41.2)/42).(sqrt(1722)/42) + (sqrt(42)/42).(29.sqrt(2)/42) = (sqrt(2.41.2.3.7.41)/42^2) + (29.sqrt ( 2.21.2)/42^2) = 2.41.sqrt(21)/42^2 + 2.29.sqrt(21)/42^2 = 140.sqrt(21)/( 2.21)^2 = (2.2.5.7.sqrt(21))/(2.2.3.7.3.7) = 5.sqrt(21)/63 Finalmente podemos calcular a área do triângulo MPQ. A = 1/2.3.sqrt(2).2.sqrt(42).5.sqrt(21)/63 = 5.sqrt(2.2.21.21)/21 = 5.2 = 10 Além da tentativa solução (que espero ser corrigida) encontrei essa solução nos arquivos da lista da OBM: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.1999a/msg00187.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.1999a/msg00187.htmlonde a resposta encontrada é 10.sqrt(41). Onde será que errei para faltar o valor sqrt(41) multiplicando o 10??? Abraços!!! On 2/24/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, pessoal. Poderiam resolver esta, por favor. Abraços e muito obrigado. O módulo do produto vetorial dos vetores *a* e *b*, que formam um ângulo obtuso, é rq41 e |*a*| = 7 e |*b*| = 3.*MP *tem a direção da bissetriz do ângulo de *a* e *b* e |*MP*| = 2rq42; * MQ* = *a* – *b*. A área do triângulo MPQ é: a) 10rq41. b) 8rq42. c) 20rq41. d) 4rq42.e) 2rq41rq42. -- Henrique -- Henrique
Re:[obm-l] vetores.1
Ola, a.b = 0 (perpendiculares) a.c = 1/2 b.c = 2 * 1/2 = 1 |p|^2 = p.p = (3a-b+c).(3a-b+c) = 9a.a - 3a.b + 3a.c - 3a.b + b.b - b.c + 3a.c - b.c + c.c p.p = 9 + 3/2 + 4 - 1 + 3/2 - 1 + 1 = 9 + 3 + 4 - 1 = 15 |p| = rq15 abracos, Salhab Olá, pessoal. Mais uma de vetores. Por favor me mandem a resolução. Desde já agradeço. Abraços. Os vetores a e b são perpendiculares e c forma com a e b ângulos iguais a pi/3 rd. Se a e c são unitários, |b| = 2 e p = 3a b + c, então |p| é igual a: a) rq5. b) rq2. c) rq15.d) 2. e) 2rq3. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] vetores
Se alguém puder ajudar : Uma partícula partindo do ponto (1/sqrt(3),0) se move com vetor posição p(t)=(x(t),y(t)).Sabe-se que o vetor velocidade V(t)=(-y(t),3x(t)). a)Mostre que em cada instante t , o vetor aceleração é paralelo ao vetor posição. b)Determine o vetor posição p(t). c)Mostre que a curva descrita pela partícula é uma elipse. b)(-y(t);3x(t))=(x'(t);y'(t)) -x'(t)=y(t) (I) y'(t)=3x(t) (II) Derivando I com relação a t, vem y'(t) = -x''(t) (III) Substituindo III em II, vem x''(t)+3x(t)=0 (Eq. dif. ord. linear homogênea) Para determinar x(t), basta portanto resolver o PVI: x''(t)+3x(t)=0 x(0)=1/sqrt(3) (supondo que o corpo parta da origem dos tempos) Dai basta resolver esta EDO linear pela meta-variação dos parâmetros, por exemplo, e substituir a condição de contorno para encontrar a constante (Essa parte deixo para você). Encontrado x(t) deriva-se com relação a t e substitua x'(t) em I para encontrar y(t). Assim você terá o vetor posição. Essa parte deixo para você. Até mais. Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Vetores
4) (3/2) V 3) V = - (raiz de 2) d 2) C = 2D equivale a (x - y )A + (x+2)B = (2y - 4)A + (2y - 2x)B Se A e B não forem paralelos, devemos ter x - y = 2y - 4 e x+2 = 2y - 2x. x = 3y - 4 e 3x + 2 = 2y x = 2/7 ey = 10/7 1) Voce estah certo e o gabarito, errado. Em Mon, 24 Mar 2003 22:43:17 -0300, amurpe [EMAIL PROTECTED] disse: Oi pessoal , estou com duvidas nos seguintes problemas , gostaria de uam ajuda de voces. 1) sendo AD=1/3AB e Be=-2/3BC , exprima DE em função de AB e BC.Resp: 2/3 (AB-BC). ( Neste problema encontrei + ao invés de menos). 2) dados os vetores A e B tais que c=(x-y)A+(x+2)B e D= (y-2)A-(x-y)B, calcule e e y de modo que C=2D. 3)O vetor V está localizado no eixo D do vetor unitário d. Dê a expressão de V em função de d , sabendo que V tem módulo raiz de 2 e sentido oposto ao eixo. 4)Dê a expressão do vetor unitário u de um eixo D no qual está localizado o vetor V de módulo 2/3 e mesmo sentido do eixo. Obrigado , Amurpe __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Vetores e Geometria
Olá colegas da lista, Alguém poderia me ajudar com o seguinte problema? Demonstre que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo às bases e sua medida é a semi-diferença das medidas das bases. Obrigada, Carol Construa um trapézio de vertices A, B, C, D. Trace pelo ponto médio (E) de AD uma paralela (r) as bases AB e CD. Chame de M1 a intersecção de DB com EF onde F é a intesecçao de r om BC, e M2 a intersecçao de r com AC. Bom! EM1 é base média de DAB, logo M1 é médio de BD, e então M1F é base média de BDC (M1F = CD/2 e F é medio BC), com isso M2 é medio de AC, pois r // AB e F ´pe medio de BC. Como M2F é base média de ABC entao M2F = AB/2, e ainda M1M2 = M1F - M2F = (CD-AB)/2. Arnaldo. _ O MSN Photos é o jeito mais fácil de compartilhar, editar e imprimir suas fotos preferidas: http://photos.msn.com.br/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = http://www.ieg.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Vetores e Geometria
From: Ana Carolina Boero<[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Vetores e Geometria Date: Wed, 20 Mar 2002 21:36:15 -0300 Ol colegas da lista, Algum poderia me ajudar com o seguinte problema? Demonstre que o segmento que une os pontos mdios das diagonais de um trapzio paralelo s bases e sua medida a semi-diferena das medidas das bases. Obrigada, Carol ANSWER _Este teorema e facil.Seja ABCD o dito trapezio e MN sua base media,M no lado AD.Sejam M',N' os pontos medios das diagonais BD e AC(veja que o tal segmento e parte da base media).Por semelhana,2MM'=AB=2NN'.E 2MN=AB+CD.Logo 2M'N'=2MN-2MM'-2NN'=AB+CD-AB-AB=CD-AB.Mas o que tem vetores nisso tudo? _ ___ O MSN Photos o jeito mais fcil de compartilhar, editar e imprimir suas fotos preferidas: http://photos.msn.com.br/support/worldwide.aspx = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista <[EMAIL PROTECTED]> = Associe-se ao maior serviço de e-mail do mundo através do MSN Hotmail. http://www.hotmail.com/BR = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Vetores e Geometria
Olá lista, Considere o trapézio ABCD, onde A, B são as extremidades da base menor e C, D são as extremidades da base maior. Podemos mover o trapézio no plano para que a sua base maior fique sobre o eixo x, com o ponto C na origem. Assim, vamos fornecer coordenadas aos pontos do nosso trapézio: A = (x1,y1) B = (x2,y1) C = (0,0) D = (x3,0) Fica claro que o comprimento da base maior é |CD|=x3, e o comprimento da base menor é |AB|=x2-x1. Os pontos médios das diagonais são dados por: Para a diagonal CB: P1=( x2/2 , y1/2 ) Para a diagonal AD: P2=( (x1+x3)/2 , y1/2) Logo, o vetor que vai de P1 a P2 é dado por: P1P2=( (x1-x2+x3)/2 , 0) Observamos que esse vetor (que corresponde ao segmento que nos interessa) é múltiplo do vetor (1,0), e portanto é paralelo às bases do trapézio. O seu comprimento é (x1-x2+x3)/2, o que é também (|CD| - |AB|)/2 (semi-diferença das medidas das bases). Abraços, Claudio. Olá colegas da lista, Alguém poderia me ajudar com o seguinte problema? Demonstre que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo às bases e sua medida é a semi-diferença das medidas das bases. Obrigada, Carol --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.333 / Virus Database: 187 - Release Date: 08/03/02
Re: [obm-l] Vetores e Geometria
Tem a ver como tem em toda a geometria..varios problemas de geometria podem ser resolvidos usando-se vetores.. Nesse, uma solucao poderia ser chamar os vertices de 0,B,C,D, (ondeX representaum vetor que sai da origem e para em X) de modo que (C-D)=k*B, k real positivo. O modulo do segmento que une os medios das diagonais eh |(B+D)/2 - C/2| = 0.5*|B + (D-C)| = 0.5*|(1-k)*B| Por outro lado a semidiferenca tem modulo | |B|-|C-D| | = | |B| - k*|B| | = |(1-k)*|B||... Um outro problema q me vem na cabeca agora fica pra lista pro pessoal tentar (por vetores eh mais legal!): Seja ABCD um paralelogramo. Mostre que oortocentrodo triangulo ABD, o circumcentro do triangulo BCD e o ponto C estao alinhados. Marcio - Original Message - From: RICARDO CHAVES To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 21, 2002 3:44 PM Subject: Re: [obm-l] Vetores e Geometria From: "Ana Carolina Boero"<[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Vetores e Geometria Date: Wed, 20 Mar 2002 21:36:15 -0300 Olá colegas da lista, Alguém poderia me ajudar com o seguinte problema? Demonstre que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo às bases e sua medida é a semi-diferença das medidas das bases. Obrigada, Carol ANSWER _Este teorema e facil.Seja ABCD o dito trapezio e MN sua base media,M no lado AD.Sejam M',N' os pontos medios das diagonais BD e AC(veja que o tal segmento e parte da base media).Por semelhança,2MM'=AB=2NN'.E 2MN=AB+CD.Logo 2M'N'=2MN-2MM'-2NN'=AB+CD-AB-AB=CD-AB.Mas o que tem vetores nisso tudo?
