Por outro lado existem funções (necessariamente descontínuas) de R em R que
satisfazem essa equação funcional. Vou tentar
descrever uma delas.
Seja a=LambertW(1)~0,5671432904... a solução real de e^(-x)=x, como o Ralph
mencionou. Vou escrever g(x)=e^(-x).
Queremos f(f(x))=g(x). Vamos definir
Caro Vanderlei,
Não parece haver uma fórmula fechada muito simples. Veja
https://oeis.org/A85 para várias referências
sobre essa sequência.
Abraços,
Gugu
On Wed, Apr 5, 2023 at 11:41 PM Professor Vanderlei Nemitz <
vanderma...@gmail.com> wrote:
> Oi, mestres!
>
> Estava
Gugu
é múltiplo de 81
On Fri, Jan 28, 2022 at 5:28 PM Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <
g...@impa.br> wrote:
> Mas acho que lá uma solução está incompleta e as outras duas erradas...
>
> On Fri, Jan 28, 2022 at 5:11 PM Gabriel Torkomian
> wrote:
>
>> https
Mas acho que lá uma solução está incompleta e as outras duas erradas...
On Fri, Jan 28, 2022 at 5:11 PM Gabriel Torkomian wrote:
> https://artofproblemsolving.com/community/q1h2640462p22841017
> Tem no aops
>
> Em sex., 28 de jan. de 2022 10:32, Israel Meireles Chrisostomo <
>
at 4:57 PM Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> wrote:
> Muito obrigado professor gugu
>
> Em sex, 2 de abr de 2021 16:00, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <
> g...@impa.br> escreveu:
>
>> Não. Se a=sqrt(2) e b=pi então a^3+b.a^2-2a-2b=0,
Não. Se a=sqrt(2) e b=pi então a^3+b.a^2-2a-2b=0, por exemplo.
Em sex, 2 de abr de 2021 15:31, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
> Se u é um número transcendente e v é um número, se u,v são
> algebricamente dependentes então v é transcendente?
>
>
> Em sex.,
Caro Israel,
Sim. Suponha que x e y são algebricamente dependentes sobre um corpo de
base K. Se y é algébrico, K(y)|K é uma extensão algébrica. Como x é raiz de
uma equação polinomial com coeficientes em K(y) (pois x e y são
algebricamente dependentes), a extensão K(x,y)=K(y)(x)|K(y) é algébrica.
Acho que a pergunta deve ser qual é o maior inteiro positivo que divide
essa expressão para todo valor de n ao mesmo tempo.
On Tue, Mar 17, 2020 at 6:58 AM Pedro José wrote:
> Bom dia!
> Se você considerar a expressão n(427-90n-70n^2+45n^3+18n^4)
> D=|n(427-90n-70n^2+45n^3+18n^4)|
> Por
Oi pessoal,
Eu achava que sairia mais fácil olhando em Z[i.sqrt(2)], mas mesmo assim dá
trabalho. Há uma discussão bem mais completa sobre esse problema (que caiu
em uma olimpíada polonesa) em
https://mathoverflow.net/questions/250312/diophantine-equation-3n-1-2x2
Em particular há uma solução que
Há uma menção a esse problema em
https://math.stackexchange.com/questions/2826307/integer-solutions-of-3n-1-2m2
Uma sugestão é usar o fato de que Z[i.sqrt(2)] é um domínio de fatoração
única, e escrever 1+2b^2 como (1+b.i.sqrt(2))(1-b.i.sqrt(2)).
Notem que 3 se fatora aí como (1+i.sqrt(2))(1-
Caro Artur,
Seja d>0 pequeno. Existem K compacto e U aberto com K C A C U e
m(A)-d
(A interseção (x+A)) C (K interseção (x+K)) U (A\K) U (x+(A\K)), temos
f(x)=m(A interseção (x+A))
m(K interseção (x+K))>f(x)-2d, para todo x em R^n.
Seja agora V aberto contendo (K interseção (x+K)) com
Oi Nicolau,
Mas se eu perguntar a ele (e isso, nessa interpretação, é uma pergunta só):
diga sobre cada um de vocês se é honesto ou não (na verdade a pergunta da
minha solução não é bem essa, mas algo como se eu perguntasse a você sobre
se cada um de vocês é honesto ou não, o que você
Caro Danilo,
Fazendo z=a+bi, queremos provar que
(e^a.cosb-1)^2+(e^a.senb)^2=(e^((a^2+b^2)^(1/2)-1)^2, o que equivale a
e^(2a)-2e^a.cosb=e^(2(a^2+b^2)^(1/2))-2e^((a^2+b^2)^(1/2)).
Vamos mostrar que 0=x=y implica e^(2y)-2e^y-(e^(2x)-2e^x=e^x(y^2-x^2).
Escrevendo y=x+h, isso equivale a
nome
de Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira
Enviada em: Monday, July 25, 2005 12:47 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade com complexos
Caro Danilo,
Fazendo z=a+bi, queremos provar que
(e^a.cosb-1)^2+(e^a.senb)^2=(e^((a^2+b^2)^(1/2)-1)^2, o que equivale a
e^(2a
fazer
n=p-2. Estranha essa solução, pois aí o problema fica trivial.
Um abraço. Pedro.
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira
Enviada em: Sunday, July 24, 2005 12:13 AM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re
Caro Marcos,
Temos (1+x)^2^m=1+x^2^m (mod 2). Assim, se k(1)k(2)...k(r),
(1+x)^(2^k(1)+2^k(2)+...+2^(k(r))=(1+x^2^k(1))(x^2^k(2))...(1+x^2^k(r))
(mod 2), e isso tem 2^r coeficientes iguais a 1 e os outros iguais a 0.
Assim, se m tem r bits não nulos, ha' 2^r valores de k com 0=k=m tais que
Oi Marcos,
É isso mesmo! E essa probabilidade é, de fato, igual a
1-(3^n+2)/(2^(n-1).(2^n+1)+2^n+1), como segue das minhas contas.
Abraços,
Gugu
Olá Gugu! Muito obrigado pela atenção! Para esse problema achei o
seguinte valor para
Oi pessoal,
Segue uma solução do problema 6, após a mensagem original do Shine.
Abraços,
Gugu
Oi gente, lá vai o segundo dia da IMO.
Como a primeira prova de ontem, eu mesmo traduzi
agora.
Ainda não pensei nos problemas de hoje, mas eles
parecem ser bem legais!
Os de
Mais uma vez esqueci de mandar o problema... Agora via o problema 6,
após a mensagem do Shine.
Abraços,
Gugu
Oi gente, lá vai o segundo dia da IMO.
Como a primeira prova de ontem, eu mesmo traduzi
agora.
Ainda não pensei nos problemas de hoje, mas eles
parecem ser bem
Oi pessoal,
Segue solução do problema 4 após a mensagem do Shine. Creio que isso
completa as minhas soluções da IMO. Comentários, dúvidas, críticas, etc
serão muito bem vindos.
Abraços,
Gugu
Oi gente, lá vai o segundo dia da IMO.
Como a primeira prova de ontem, eu mesmo
Oi pessoal,
Resolvi compilar as minhas soluções de cada um dos dias para fins de
referência (em particular porque algumas de minhas mensagens anteriores
foram um pouco confusas, ou por não ter a solução junto ou por não dizerem
no subject sobre que problema tratavam). Seguem aqui (como
Oi pessoal,
Aí vão minhas soluções do segundo dia, como mencionado na mensagem
anterior.
Abraços,
Gugu
Oi gente, lá vai o segundo dia da IMO.
Como a primeira prova de ontem, eu mesmo traduzi
agora.
Ainda não pensei nos problemas de hoje, mas eles
parecem ser bem legais!
Oi pessoal,
Segue uma solução do Problema 3 (após a mensagem original).
Abraços,
Gugu
Oi gente,
Acabei de ver a primeira prova da IMO no site
http://www.mathlinks.ro/
Lá vão os enunciados (eu mesmo traduzi agora).
1. Escolhemos seis pontos sobre os lados do triângulo
Oi Domingos et al,
Essa eu fiz assim: se 1=ij então |a_i-a_j|j, senão, fazendo
n=|a_i-a_j|, temos 1=ij=n mas a_i e a_j deixam o mesmo resto na divisão
por n. Assim, para todo n=1, {a_1,a_2,...,a_n} tem que ser um intervalo,
isto é, um conjunto de n inteiros consecutivos (com efeito, pelo
Oi pessoal,
Segue uma solução (por analítica, para manter a tradição) do problema 5
da IMO, após a mensagem original do Shine.
Abraços,
Gugu
Oi gente, lá vai o segundo dia da IMO.
Como a primeira prova de ontem, eu mesmo traduzi
agora.
Ainda não pensei nos problemas
Acho que mandei a mensagem anterior sem a solução. Agora la está lá...
Abraços,
Gugu
Oi gente, lá vai o segundo dia da IMO.
Como a primeira prova de ontem, eu mesmo traduzi
agora.
Ainda não pensei nos problemas de hoje, mas eles
parecem ser bem legais!
Os de ontem foram bem
Oi pessoal,
Vou mandar a minha solução (com contas, naturalmente) do problema 1,
após a cópia da mensagem original do Shine, para ninguém que queira pensar
antes no problema ler involuntariamente a solução. Depois, se não houver
objeções, eu mando as minhas soluções dos problemas que faltam.
Mais precisamente, a solução deste problema esta' em
http://www.ucl.ac.uk/~ucahjej/imc/imc1997/prob_sol1.pdf
Ele é o problema 3 da IMC de 1997. A solução é curta, mas depende de uma
idéia que eu não tive quando pensei nele, recentemente, e acabei não
conseguindo uma solução completa...
.
[]'s
Shine
--- Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Pelo que eu entendi, os A_i são dados e os N_i
variam sobre as t-uplas de
naturais cuja soma e' n. Uma prova relativamente
curta e' a seguinte:
escreva (1+x)^A=produto((1+x)^A_j,j=1..t) e olhe
para o coeficiente
Pelo que eu entendi, os A_i são dados e os N_i variam sobre as t-uplas de
naturais cuja soma e' n. Uma prova relativamente curta e' a seguinte:
escreva (1+x)^A=produto((1+x)^A_j,j=1..t) e olhe para o coeficiente de x^n
em cada um dos dois lados: eles são C(A,n) e
Oi Cláudio,
Isso não é exatamente verdade não. A seqüência a(n) converge se e somente
se e^(-e) = x = e^(1/e). Se 0xe^(-e), a seqüência a(n) tem dois valores
de aderência em (0,1). O caso 0x1 da' um pouco mais de trabalho que o aso
x = 1, mas também é legal.
Abraços,
Gugu
Esse
On Fri, May 13, 2005 at 01:48:56PM -0300, Carlos Gustavo Tamm de Araujo
Moreira wrote:
Oi Claudio,
Qual e' esse problema 26 da secao 2.5 ?
Gostei muito do exemplo do Nicolau. Eu pensei em alguns outros depois de
responder a mensagem, por exemplo, um grupo G gerado por a e b com b de
obrigado.
[]s,
Claudio.
on 13.05.05 00:19, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi, pessoal:
Preciso de ajuda nos seguintes problemas sobre grupos do Herstein - Topics
in Algebra:
Secao 2.4:
13) De um exemplo de um conjunto S, fechado em relacao a uma
:12AM -0300, Carlos Gustavo Tamm de Araujo
Moreira wrote:
8) De um exemplo de um grupo G, um subgrupo H, e um elemento a de G tais
que
aHa^(-1) estah propriamente contido em H.
Um tal H, se existir, tem que ser necessariamente infinito, alem de
nao-abeliano. Eu imagino que deva haver algum
Vamos lá: (z^m-w^m)/(z-w)=z^(m-1)+z^(m-2)w+...+w^(m-1). Isso menos m.w^(m-1)
da' soma(k=1 a m-1)(w^(m-k-1).(z^k-w^k))=(z-w).soma(k=1 a m-1)(w^(m-k-1).s_k),
onde s_k=z^(k-1)+z^(k-2)w+...+w^(k-1). Nessa soma cada termo w^(m-j-2).z^j
com 0=j=m-2 aparece m-j-1 vezes (desde k=j+1 até k=m-1), o que
Oi, pessoal:
Preciso de ajuda nos seguintes problemas sobre grupos do Herstein - Topics
in Algebra:
Secao 2.4:
13) De um exemplo de um conjunto S, fechado em relacao a uma operacao
associativa * e tal que:
i) Existe e em S, tal que a*e = a, para todo a em S;
ii) Para todo a em S, existe y(a)
Se p divide (a+b.raiz(3))(c+d.raiz(3)), entao p divide
(a^2-3b^2)(c^2-3d^2), e logo p divide um desses fatores, digamos a^2-3b^2.
Como x^2-3 'e irredutivel, e logo nao tem raiz em Z/pZ, se p divide a^2-3b^2
entao p divide b (senao b e' invertivel em Z/pZ, e a/b e' raiz de x^2-3), e
logo p
Oi Cláudio,
De a^(-1)*b^2*a=b^3 segue b^2*a*b^(-2)=a*b. De b^(-1)*a^2*b = a^3 segue
b^(-2)*a^4*b^2=b^(-1)*a^6*b=a^9, donde a^4=b^2*a^9*b^(-2)=(a*b)^9.
Analogamente, b^4=(b*a)^9. Assim, b*a^4=b*(a*b)^9=(b*a)^9*b=b^4*a, donde
a^3=b^3, e de a^(-1)*b^2*a=b^3=a^3 segue b^2=a^3=b^3, donde b=e, e
Bem, eu acho que sei fazer. Não sei se isso já foi estudado antes. Vou
dar um tempo para o pessoal pensar, e depois eu escrevo (para quem quiser eu
posso mandar pelo menos o enunciado da caracterização logo em uma mensagem
pessoal).
Abraços,
Gugu
Uma pergunta que eu acho
Oi Claudio,
DADA uma série condicionalmente convergente, o conjunto das bijeções que
preservam a convergência, como abaixo, certamente depende da série. Por
exemplo, para a série 1-1/raiz(2)+1/raiz(3)-1/raiz(4)+..., a bijeção f dada
por f(3k-2)=2k-1, f(3k-1)=4k-2, f(3k)=4k, para todo k=1
Vamos ver essa: ax+by=ax+bc/x, que é mínimo quando ax=bc/x, i.e., quando
x=raiz(bc/a), e nesse caso a expressão vale 2.raiz(abc). Da' para ver que
ax+bc/x=2.raiz(abc) via ax+bc/x-2.raiz(abc)=(raiz(ax)-raiz(bc/x))^2.
Abraços,
Gugu
06) Dados a, b e c positivos, determinar x e
Caro Paulo,
A pergunta deve ser qual é o MAIOR valor possível para s, não ? De fato,
se for mesmo o menor, a resposta é trivialmente 0. X_1 pode ser tão próximo
de 0 quanto queiramos, o que faz X_1/(1+X_1) ainda mais próximo de 0. Vamos
então mudar desse jeito o enunciado, e tentar resolver
Caro Tertuliano,
Da' para provar que f é contínua num conjunto denso. Mais do que isso, f tem
que ser contínua num conjunto residual, i.e., que contém uma interseção
enumerável de abertos densos em [0,1] (lembremos do teorema de Baire: toda
interseção enumerável de abertos densos (em R ou
Caros Wilner e Rafael,
a1=-a,a2=a,a1+a3=2, logo a3=2+a. As proximas menores somas possiveis sao
a1+a4 e a2+a3, e ambas devem valer 4, logo -a+a4=4, donde a4=4+a e 2+2a=4,
donde a=1. Assim, a1=-1, a2=1, a3=3, a4=5 e, como devemos ter a4+a5=15,
a5=10. Os numeros sao, portanto: -1,1,3,5,10. E
Da Eureka 18, página 61:
Você sabia
Que existem infinitos inteiros positivos ímpares k tais que k.2^n+1 é composto
para todo n ? Tais inteiros k são chamados números de Sierpinski. Em 1962,
John Selfridge provou que 78557 é um número de Sierpinski, e conjectura-se
que seja o menor deles.
.
Abraços,
Gugu
Acho q vc tem razão... não me ocorre como consertar,
exceto colocando uma restrição adicional. Acho que só
vale para A-B e c, primos entre si.
[]´s
--- Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira
[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Caro Demetrio,
No fim da sua explicacao
Caros colegas:
Seguem abaixo problemas propostos na lista obm-l desde outubro de 2004 que
ainda nao foram resolvidos:
[]s,
Claudio.
28) Seja A = conjunto dos inteiros positivos livres de quadrados e que tem
um numero ímpar de fatores primos (distintos, claro!)
Assim, A contém todos os
Caro Domingos,
Note que a diferenca entre as duas somas e' soma(p=n,k=2)[n/p^k]=
soma(p=n)(n/p(p-1))=O(n) (aqui p percorre os primos), donde, como voce
mostrou que uma das somas e' assintoticamente n.loglog(n), a outra
automaticamente tambem e'. Note que voce so' usou ii), que e' mais facil
Caro Demetrio,
No fim da sua explicacao, A-B nao pode ser uma potencia de y ? Nesse
caso, todos os fatores primos de A-B sao fatores primos de y.A^(y-1), e eu
nao entendi como voce conclui.
Abracos,
Gugu
--- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
escreveu:
*
10) Seja P
,
Gugu
Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira wrote:
Caro Domingos,
Note que a diferenca entre as duas somas e' soma(p=n,k=2)[n/p^k]=
soma(p=n)(n/p(p-1))=O(n) (aqui p percorre os primos), donde, como voce
mostrou que uma das somas e' assintoticamente n.loglog(n)
Já imaginava que fosse dar
Caros amigos da lista,
O Marcelo Viana, que esta' coordenando as jornadas de iniciação
científica no IMPA me pediu para dar publicidade ao evento, que o Domingos
mencionou. Na página abaixo ha' informações detalhadas:
http://www.impa.br/Conferencias/Jornadas_IC/
Vou citar um trecho dela:
E' costume usar a notacao A^B para o conjunto de todas as funcoes de B em
A. Quando A e' um corpo isso e' um espaco vetorial sobre A.
Abracos,
Gugu
Pessoal, este problema tirado do capitulo 8 (The Topology of Cartesian
Spaces) me parece ser simples por ser um dos primeiros
Eu também certamente ja' escrevi muita bobagem nesta lista...
Abracos,
Gugu
On Wed, Apr 21, 2004 at 02:15:38PM -0300, Domingos Jr. wrote:
Tenho certeza de que apresentando idéias você será levado a sério, mesmo que
essas idéias estejam erradas. Todo mundo aqui já postou coisa
Acho que nao da' nao. Nao existe nem uma funcao g (nesse caso g=f')
derivavel de [0,infinito) em R com g'(t)+(g(t))^2 -1 para todo t grande:
nesse caso teriamos g'(t) -1 para todo t grande, donde g(t) tende a
-infinito quando t- infinito, e logo, para t grande, g(t) e' negativo,
mas tambem
Caros Claudio e Dirichlet,
Bacana esse problema.
Vamos la': Dadas essas condicoes, se a pertence a X entao
b(n)=a^(n+2)+4.(a^n+a^(n-1)+...+a+1)=a^(n+2)+4.(a^(n+1)-1)/(a-1) pertence a
X para todo n, mas para todo primo q (digamos q=b(0)=a^2+4), b(n) (mod q) e'
periodica com periodo
Caro Niski,
Desculpe, so' agora vi a sua mensagem.
Temos f'(x)=2+sen(x), que e' sempre maior que 0 entre 0 e pi/2, donde f
e' crescente, e logo, como f(0)=-1 e f(pi/2)=pi, f tem uma unica raiz entre
0 e pi/2.
Como phi'(x)=-sen(x)/2, que tem modulo sempre menor ou igual a 1/2, segue
On Wed, Mar 31, 2004 at 12:10:11AM -0300, Rafael wrote:
É verdade, Nicolau, para o proposto, não houve qualquer erro. Entretanto,
lendo com mais atenção, surgiram-me duas perguntas:
1) Qual é a vantagem de se calcular a soma até n (exclusive)?
Os números de Bernoulli usuais são os que
Caro Jorge Luis,
Se ele comprar n jornais, o valor esperado do lucro e'
soma(k=1 a n)(0,01*0,4*k)+0,01*(100-n)*0,4*n-0,15*n=
0,004*(n(n+1)/2+n*(100-n))-0,15*n=-0,002*n^2+0,252*n, que e' maximo para
n=0,252/0,004=63. Assim, ele deve adquirir 63 jornais (a menos que eu tenha
errado a
Caros Salvador et al,
Essa serie converge sim, mas nao e' muito facil provar. A minha solucao
usa o fato de pi ser diofantino (o que tem a ver com a linha que o Salvador
sugeriu - a ideia principal e' que aproximacoes racionais boas nao sao
frequentes demais): de fato, para todo racional
Uma bem classica e' A={numeros diofantinos} e B=Q U {numeros de Liouville}.
Um numero irracional x e' de Liouville se |x-p/q|1/q^n tem solucao racional
p/q com q=2 para todo n natural, e e' diofantino caso contrario.
Abracos,
Gugu
Oi, pessoal:
Alguem saberia exibir uma
Oi Claudio,
Nao e' nao. De fato, n (mod 2.pi) e' uniformemente distribuida em
[0,2.pi], e isso implica que cos(n) e' distribuido em [-1,1] de acordo com a
imagem da medida de Lebesgue normalizada em [0,pi] pela funcao cos(x), ou
seja, a probabilidade de termos -1=a=cos(n)=b=1 e'
Oi Artur,
Oi Duda!
Se X_1,... e X_n estao em P(A), entao cada X_i esta contido s em Uniao =
X_i.
Pelas condicoes dadas, segue-se que F(Uniao X_i) estah contido em cada =
um
dos F(X_i). Logo, F(Uniao X_i) estah contido em Interseccao F(X_i). Alem
disto, temos que Interseccao F(X_i) esta contido
Oi Claudio,
Vamos la':
Oi, Artur e Duda:
Esse problema do livro do Elon me sugeriu dois problemas de combinatoria.
1) Seja A um conjunto qualquer e F: A - A uma funcao tal que, para todo x
em A vale F(F(x)) = x. F eh chamada uma involucao em A. Eh facil ver que
toda involucao em A eh
Bem, voce quase ja' provou isso: a monotonicidade mostra que a(n)
converge a a e b(b) a b com a=1=b. Para n grande trocamos um par perto de
(a,b) por um par perto de (a.b,b) ou por um par perto de (a,a.b). Assim,
devemos ter a.b=a, donde b=1 ou a.b=b, donde a=1. Assim, a=1 ou b=1. Se a=1
e b1,
Caros colegas,
No segundo semestre havera' reunioes semanais de treinamento olimpico no
IMPA, alternadamente as segundas e as tercas feiras. Na proxima terca, 2 de
setembro, a reuniao sera' comandada pelo Marcio Cohen. A reuniao seguinte
sera' na segunda, 8 de setembro, comandada pelo
Caros Paulo e Okakamo,
Nao sei a qual mensagem do Dirichlet voces se referem, mas a que eu vi (e
da qual reproduzo abaixo uma parte) sobre o problema 6 menciona
explicitamente que e' do Tengan a solucao que ele copia. Se for assim acho
que voces estao exagerando um pouco...
Abracos,
alinham.
Vamos calcular a razao HQ/IG:
HQ/IG=HM/AB=(HM-HQ)/(AB-GI)=MQ/(AB+DE)=cos 60°,e de acordo com o dever de
casa(voce fez?),COMEMORE!!
Sera que ressa vai pra Eureka! ?Vou enviar JA!!!
UM ABRAÇAO!Ass.:Johann
** FIM DA MENSAGEM DO DIRICHLET
From: Carlos Gustavo Tamm de
Caro Claudio,
Tanto o liminf quanto limsup acima sao sabidamente infinitos. Sabe-se que
liminf(X(n)log(n)/(n^(1/2).log log log (n)))=-1/2 e que
limsup(X(n)log(n)/n^(1/2).log log log(n)))=+1/2. Isso e' um teorema do
Littlewood (vi isso no livro do A. E. Ingham, The distribution of prime
Caro Domingos,
Voce pode esquecer as minhas tres primeiras linhas: elas so' servem como
explicacao de como eu cheguei a essa solucao (e alias nao estao bem
escritas: eu devia ter dito que o conjunto dos elevadores (ou, mais
propriamente, o conjunto dos conjuntos de andares nos quais para cada
Caros Ed et al,
Eu queria agradecer (com algum atraso; eu estava na SBPC em Recife, com o
Paulo Jose', e nao estava facil conseguir computador) as mensagens (um tanto
exageradas, como a sua e a do Wagner) sobre ter entrado um probleminha nosso
na IMO. E' claro que eu tambem fiquei
Uma ideia e' usar a formula de Stirling: n! e' aproximadamente
n^n.e^(-n).raiz(2.n.pi) (a razao tende a 1 quando n tende a infinito).
Segundo o Mathematica, isso(com alguma estimativa razoanel para a diferenca
entre a razao acima e 1, que de fato e' menor que 1/n) implica que um mol
fatorial
Cara Alininha,
Na verdade eu acho que nao entendi bem o seu enunciado: Voce usa o nome A
para dois conjuntos: o subconjunto convexo de X dado inicialmente e
A= {(a,t) tal que a pertence a a e f(a)= t}. Por outro lado, voce define o
conjunto B mas depois nao fala mais nele... A qual conjunto
Oi Nicolau,
E' sabido como essa sequencia cresce assintoticamente ?
Abracos,
Gugu
On Wed, Jul 02, 2003 at 10:06:48AM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caros colegas, aqui vai um bom exercicio de contagem.
Seja S uma matriz nxn com entradas em {1,... ,n} que nao possui
Definicao nao se demonstra, mas vou mencionar dois fatos a favor de
definir 0^0=1:
i) Pelo binomio de Newton, 0^k=(1-1)^k=Soma(j=0 ate' k)(C(k,j).(-1)^j, para
todo k natural. Fazendo k=0, temos 0^0=C(0,0).(-1)^0=0!/(0!.0!)=1 (note que
1=1!=1.0! mostra que 0!=1 e' a definicao natural de 0!). Em
Caro Thiago,
O ideal seria convencer a sua universidade a se cadastrar, o que nao e'
dificil e e' gratuito. Assim, outros alunos poderiam fazer a prova. Se isso
nao for possivel, voce pode fazer a prova em outra universidade cadastrada
(mas nesse caso voce deve entrar antes em contato com o
Caros colegas,
Seguem abaixo (no texto) comentarios sobre o segundo problema que eu
propus.
Abracos,
Gugu
Caros colegas,
Coloquei na minha pagina (www.impa.br/~gugu , mais precisamente em
www.impa.br/~gugu/ChebSum2.ps ) uma versao atualizada da nota que eu
Voce tambem podia dar uma olhada no meu livro com o Nicolau Primos de
Mersenne (e outros primos muito grandes), que esta' disponivel na minha
pagina www.impa.br/~gugu e na do Nicolau www.mat.puc-rio.br/~nicolau
Tambem tem o livro Introducao a teoria dos numeros (com enfase em
aproximacoes
Cara Alininha,
Use o fato de que um funcional linear que nao e' continuo nao e'
limitado, ou seja, voce pode encontrar elementos v de X com |v| 1 e |f(v)|
tao grande quanto voce quiser para mostrar que, dado x em X existem
elementos do nucleo de f (a imagem inversa de 0) arbitrariamente
Caros colegas,
Coloquei na minha pagina (www.impa.br/~gugu , mais precisamente em
www.impa.br/~gugu/ChebSum.ps ) uma nota que prova que o polinomio maximo do
problema 2 do Duda e' o n-esimo polinomio de Chebyshev P_n (na nota eu chamo
de T_n), como eu mencionei abaixo (de fato eu enunciei
- Original Message -
From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, June 12, 2003 1:09 AM
Subject: Re: [obm-l] Primos em PA
Caro Claudio,
O teorema de Dirichlet claramente implica a afirmacao do problema 8.
Por
outro lado
Caro Leandro,
Eu nao lembro de ter feito essa conta, mas posso fazer. Por outro lado,
nao e' Tammus, e' Tamm... :-)
Derivando Si(x+1)Cos(1) - Ci(x+1)Sen(1) obtemos
Cos(1).Sen(x+1)/(x+1)-Sen(1)(1/(x+1)+((Cos(x+1)-1)/(x+1))=
Eu acho que quando k^3 = N (k+1)^3 o resto da extracao da raiz cubica de
m deve ser N-k^3. Isso de o resto ser o maior possivel deve querer dizer que
N=(k+1)^3-1. Assim, 3.k^2+3.k=126, k^2+k-42=0, donde k=6 e N=342, letra b).
Abracos,
Gugu
Amigos da OBM lista,
gostaria de uma
Caro Rafael,
Tem uma fatoracao que e' assim: x^4+4.y^4=(x^2+2.y^2)^2-(2xy)^2=
=(x^2+2xy+2.y^2)(x^2-2xy+2.y^2). No nosso caso, sendo n impar, n=2k+1,
temos n^4+4^n=n^4+4.(2^k)^4=(n^2+2^(k+1).n+2^(2k+1))(n^2-2^(k+1).n+2^(2k+1)),
que e' sempre composto se k=1.
Abracos,
Gugu
Oi
Caro Wagner,
De fato eu ainda nao achei nenhuma evidencia de que o Poncelet soubesse
como provar o seu porisma. Seria bom se alguem tivesse alguma boa referencia
sobre isso...As provas que eu e o Nicolau conhecemos nao sao nada
elementares (a mais simples usa fatos sobre superficies de
O Tomei tem alguma referencia sobre a prova do Poncelet ? Que tecnicas
ela usa ?
Abracos,
Gugu
On Thu, Jun 05, 2003 at 05:22:55PM -0300, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira wrote:
Caro Wagner,
De fato eu ainda nao achei nenhuma evidencia de que o Poncelet soubesse
Caro Claudio,
Eu estou convencido de que isso e' tao dificil quanto o teorema de
Dirichlet. Falando nisso, alguem sabe uma prova elementar e relativamente
simples de que existem infinitos primos da forma 5k+2 (isso certamente
seguiria do problema abaixo) ?
Abracos,
Gugu
Boa ideia: g(x)=x^2-1996 tem dois pontos fixos e dois pontos periodicos
de periodo 2 (pontos x e y tais que f(x)=y e f(y)=x) - desenhem o grafico de
g(x) para ver isso. Por outro lado, como f(f(x))=g(x), um ponto periodico de
periodo 2 de g e' um ponto periodico de periodo 4 de f: x, f(x),
Caro Claudio,
E' interessante notar que isso da' uma prova da desigualdade das medias
aritmetica e geometrica usando a desigualdade do rearranjo (nesse caso na
versao que determina o menor produto interno possivel de um vetor por um
rearranjo seu) : sejam x(1),...,x(n) positivos. Nao ha'
possivelmente eram os polinômios de Chebychev. Eu
recebi sua resposta, e fui estudar em um livro de Teoria da Aproximação
alguns fatos básicos, antes de estudar os polinômios de Chebychev. Em alguns
dias, responderei à sua mensagem.
Grato!
Um abraço,
Duda.
From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira
O caso n=3 (ou uma coisa equivalente) caiu, se eu nao me engano, na 10a.
OBM (que eu fiz; na verdade esse foi o problema que eu nao fiz), e segue
tambem, se eu nao me engano, da formula para a distancia entre o
circuncentro e o incentro de um triangulo (acho que e' raiz(R^2-2Rr)).
Abracos,
Oi Claudio,
Bom problema. De fato, sup(A)=e. Voce(s) quer(em) pensar mais ou quer(em)
ver uma solucao ?
Abracos,
Gugu
Oi, Gugu e Luis:
Baseado na ultima mensagem (do Gugu) temos um novo
problema derivado desse:
Qual a maior base de logaritmos para a qual a serie converge
Caros colegas,
A solucao do Marcio para o problema 3 abaixo esta' otima, mas pelo que eu
entendi do enunciado, ele calculou 1-q_n, onde q_n e' a probabilidade
pedida. Assim, q_n e' igual a
1-((10+5sqrt(2))/16).((2+2sqrt(2))/5)^n-((10-5sqrt(2))/16).((2-2sqrt(2))/5)^n.
Como eu tinha
De fato o Mathematica 3.0 for Solaris diz o seguinte:
In[1]:= Integrate[Sin[x]/(1+x),x]
Out[1]= -(CosIntegral[1 + x] Sin[1]) + Cos[1] SinIntegral[1 + x]
In[2]:= ? SinIntegral
SinIntegral[x] gives the sine integral Integrate[Sin[t]/t, {t, 0, x}].
In[3]:= ? CosIntegral
CosIntegral[x] gives the
So' uma observacao:
Essa solucao que eu escrevi esta' admitindo que o primeiro salario e' o
do mes 1. Se for o do mes 0 a resposta muda um pouco: passaremos a ter
A+B = r_0 = a
A.((i+p)/p)+B = r_1 = a+b+(i/p).a,
donde A=(bp+ai)/i e B=-bp/i, donde
r_j=((bp+ai)/i).((i+p)/p)^j-bp/i.
Esse
Caro Raul,
Nao entendi sua objecao quanto a solucao que esta' em
http://www.obm.org.br/provas/obm2002/obm20021fase.htm
Nessa solucao, comecamos a elevar de cima para baixo (em particular 7^7^7 e'
7^823543, e nao 7^49). Qual e' a solucao que voce tem em maos ?
Abracos,
Gugu
Caro Luis,
Nao sei se o Rousseau entendeu o enunciado. Acho que ele esta' pensando
que o numero de logs e' constante, e ai o resultado e' bem classico. Nesse
problema o numero de logs em cada termo depende de n (ou de x, na integral).
Ou seja: a funcao e' 1/x entre 1 e e, 1/(x.log(x)) entre
Caro Duda,
O problema 2 e' realmente muito interessante. Acho que para todo n o
maximo e' atingido pelo n-esimo polinomio de Chebyshev P_n(x) (que e'
definido por cos(nx)=P_n(cos(x)), e satisfaz a recorrencia
P_(n+1)(x)=2x.P_n(x)-P_(n-1)(x), P_0(x)=1, P_1(x)=x). O valor da soma dos
modulos
Primeiramente, obrigado Carlos por responder a questão.
O problema é que ainda curso o ensino médio, e não
conheço os conceitos de derivada. Na verdade, eu tenho a
resolução dessa questão, mas não entendi alguns pontos
sobre a verificação da sobrejeção. Estou mandando
novamente a pergunta,
Caro Luis,
Isso so' vale se o grau de P for menor que n, por exemplo: x/(x-1) nao e'
igual a 1/(x-1), como o seu enunciado implicaria...
Seja R(x)=soma(k=1 ate' n)([P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]).
R(x) e' uma funcao racional cujo denominador e' o produto para k variando
entre 1 e n de
Bem, pela interpretacao abaixo, que parece razoavel, o problema e' achar
uma solucao de k(k+1)/2-r(r+1)/2=0 (mod n) com 1=rk e k minimo. Temos que
k(k+1)/2-r(r+1)/2=(k-r)(k+r+1)/2. Queremos entao achar dois numeros (k-r e
k+r+1) com paridades distintas, cuja diferenca e' pelo menos 3, cujo
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