Re: [obm-l] Amigo secreto ENEM
Olá, Anderson! Boa noite! Vou consultar o Google. Muito obrigado pela dica! Luiz Em ter, 23 de fev de 2021 10:55 AM, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > Em qui., 28 de jan. de 2021 às 13:15, Luiz Antonio Rodrigues > escreveu: > > > > Olá, pessoal! > > Boa tarde! > > Estou acompanhando com interesse a discussão, mas gostaria de pedir uma > indicação de site ou outro material que trate de permutações caóticas. > > Procure por derangements no Google. > > > Muito obrigado! > > Abraços! > > Luiz > > > > Em qui, 28 de jan de 2021 11:38 AM, Arthur Queiroz < > arthurqu...@gmail.com> escreveu: > >> > >> Uma pergunta: você assume que o número de sorteios é !10. Mas e se, em > meio ao sorteio, nossa permutação caótica seja tal que seja formado um > ciclo indesejado? Digamos A->B->C->A. Como o sorteio continuará nesse caso? > Será escolhida aleatoriamente uma pessoa de fora do ciclo para continuar? > Isso não afetaria esse !10? > >> > >> Em ter, 26 de jan de 2021 17:26, Ralph Costa Teixeira < > ralp...@gmail.com> escreveu: > >>> > >>> Deixa eu copiar o que escrevi em outro lugar... :D :D > >>> > >>> Primeiro: não fica claro do enunciado se "auto-sorteios" (alguém > sortear o próprio nome) são permitidos ou não, e isto ALTERA a resposta. :( > >>> > >>> Vejamos possíveis respostas corretas: > >>> > >>> ---///--- > >>> > >>> SE AUTO-SORTEIOS FOREM PERMITIDOS: > >>> Em resumo, temos 1/10 de chance de A iniciar o sorteio, e 1/10 de > chance de B terminar (1/10 sim, pois A *pode* terminar). Assim, a resposta > seria 1/10*1/10*2=1/50. > >>> > >>> Com mais detalhes para justificar o segundo "1/10": > >>> -- Número de sorteios possíveis = 10! > >>> -- Número de sorteios que formam um único ciclo de tamanho 10 = 9! > >>> -- Note que ter um ciclo de tamanho 10 equivale a terminar com quem > inicia; portanto, a chance de o amigo secreto terminar com o mesmo que > iniciou seria 9!/10!=1/10 (que é independente de quem começa). > >>> > >>> Assim: > >>> -- Chance de A iniciar = 1/10; > >>> Agora, DADO QUE A INICIOU: > >>> Chance de A terminar = 9!/10! = 1/10 > >>> Portanto, chance de não terminar com A: 9/10 > >>> Chance de B terminar (por simetria): (9/10) /9 = 1/10 > >>> > >>> Isso nos dá 1/10*1/10 = 1/100 de chance do amigo secreto começar por A > e terminar com B. Portanto a resposta seria o dobro, 1/50. > >>> > >>> ---///--- > >>> SE AUTO-SORTEIOS SÃO PROIBIDOS: > >>> -- Número de sorteios (desarranjos) possíveis = !10 (vou escrever > K=!10 daqui por diante); > >>> -- Número de sorteios que formam um único ciclo de tamanho 10 = 9! > >>> -- Portanto, a chance de o amigo secreto terminar com o mesmo que > iniciou seria 9!/K (que é independente de quem começa). > >>> > >>> Assim: > >>> -- Chance de A iniciar = 1/10; > >>> Agora, DADO QUE A INICIOU: > >>> Chance de A terminar = 9!/K > >>> Portanto, chance de não terminar com A: 1-9!/K > >>> Chance de B terminar (por simetria): (1-9!/K) /9 = (K-9!)/(9K) > >>> > >>> Isso nos dá 1/10* (K-9!)/(9K) = (K-9!)/(90K) de chance do amigo > secreto começar por A e terminar com B. Portanto a resposta seria o dobro, > (K-9!)/(45K). Fazendo a conta com a ajuda do computador, achei 12001/741645. > >>> > >>> Abraço, Ralph. > >>> > >>> > >>> > >>> On Tue, Jan 26, 2021 at 1:45 PM Professor Vanderlei Nemitz < > vanderma...@gmail.com> wrote: > >>>> > >>>> Oi, pessoal! > >>>> > >>>> Com certeza vocês estão acompanhando desde domingo as resoluções da > questão do ENEM do amigo secreto. > >>>> Além da resposta proposta, 1/45, que parece não estar correta, já vi > outras duas, 12001/741645 (ETAPA e ANGLO), que consideram também que o > sorteio anterior para definir "quem presenteia quem", e 7/360, do vídeo a > seguir: > >>>> > >>>> https://www.youtube.com/watch?v=c-t_BAMASKE > >>>> > >>>> Gostaria da opinião (e se possível, uma resolução) dos especialistas > da lista (Ralph e cia :)) > >>>> > >>>> Muito obrigado! > >>>> > >>>> > >>>> > >>>> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Amigo secreto ENEM
Olá, Ralph! Sim, serve! Com certeza! Muito obrigado! Abraços! Luiz Em qui, 28 de jan de 2021 1:59 PM, Ralph Costa Teixeira escreveu: > A wikipedia tem um comecinho: > https://pt.wikipedia.org/wiki/Desarranjo > https://en.wikipedia.org/wiki/Derangement > Serve? > > On Thu, Jan 28, 2021 at 1:15 PM Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> wrote: > >> Olá, pessoal! >> Boa tarde! >> Estou acompanhando com interesse a discussão, mas gostaria de pedir uma >> indicação de site ou outro material que trate de permutações caóticas. >> Muito obrigado! >> Abraços! >> Luiz >> >> Em qui, 28 de jan de 2021 11:38 AM, Arthur Queiroz >> escreveu: >> >>> Uma pergunta: você assume que o número de sorteios é !10. Mas e se, em >>> meio ao sorteio, nossa permutação caótica seja tal que seja formado um >>> ciclo indesejado? Digamos A->B->C->A. Como o sorteio continuará nesse caso? >>> Será escolhida aleatoriamente uma pessoa de fora do ciclo para continuar? >>> Isso não afetaria esse !10? >>> >>> Em ter, 26 de jan de 2021 17:26, Ralph Costa Teixeira >>> escreveu: >>> >>>> Deixa eu copiar o que escrevi em outro lugar... :D :D >>>> >>>> Primeiro: não fica claro do enunciado se "auto-sorteios" (alguém >>>> sortear o próprio nome) são permitidos ou não, e isto ALTERA a resposta. :( >>>> >>>> Vejamos possíveis respostas corretas: >>>> >>>> ---///--- >>>> >>>> SE AUTO-SORTEIOS FOREM PERMITIDOS: >>>> Em resumo, temos 1/10 de chance de A iniciar o sorteio, e 1/10 de >>>> chance de B terminar (1/10 sim, pois A *pode* terminar). Assim, a resposta >>>> seria 1/10*1/10*2=1/50. >>>> >>>> Com mais detalhes para justificar o segundo "1/10": >>>> -- Número de sorteios possíveis = 10! >>>> -- Número de sorteios que formam um único ciclo de tamanho 10 = 9! >>>> -- Note que ter um ciclo de tamanho 10 equivale a terminar com quem >>>> inicia; portanto, a chance de o amigo secreto terminar com o mesmo que >>>> iniciou seria 9!/10!=1/10 (*que é independente de quem começa*). >>>> >>>> Assim: >>>> -- Chance de A iniciar = 1/10; >>>> Agora, DADO QUE A INICIOU: >>>> Chance de A terminar = 9!/10! = 1/10 >>>> Portanto, chance de não terminar com A: 9/10 >>>> Chance de B terminar (por simetria): (9/10) /9 = 1/10 >>>> >>>> Isso nos dá 1/10*1/10 = 1/100 de chance do amigo secreto começar por A >>>> e terminar com B. Portanto a resposta seria o dobro, 1/50. >>>> >>>> ---///--- >>>> SE AUTO-SORTEIOS SÃO PROIBIDOS: >>>> -- Número de sorteios (desarranjos) possíveis = !10 (vou escrever K=!10 >>>> daqui por diante); >>>> -- Número de sorteios que formam um único ciclo de tamanho 10 = 9! >>>> -- Portanto, a chance de o amigo secreto terminar com o mesmo que >>>> iniciou seria 9!/K (que é independente de quem começa). >>>> >>>> Assim: >>>> -- Chance de A iniciar = 1/10; >>>> Agora, DADO QUE A INICIOU: >>>> Chance de A terminar = 9!/K >>>> Portanto, chance de não terminar com A: 1-9!/K >>>> Chance de B terminar (por simetria): (1-9!/K) /9 = (K-9!)/(9K) >>>> >>>> Isso nos dá 1/10* (K-9!)/(9K) = (K-9!)/(90K) de chance do amigo secreto >>>> começar por A e terminar com B. Portanto a resposta seria o dobro, >>>> (K-9!)/(45K). Fazendo a conta com a ajuda do computador, achei >>>> 12001/741645. >>>> >>>> Abraço, Ralph. >>>> >>>> >>>> >>>> On Tue, Jan 26, 2021 at 1:45 PM Professor Vanderlei Nemitz < >>>> vanderma...@gmail.com> wrote: >>>> >>>>> Oi, pessoal! >>>>> >>>>> Com certeza vocês estão acompanhando desde domingo as resoluções da >>>>> questão do ENEM do amigo secreto. >>>>> Além da resposta proposta, *1/45*, que parece não estar correta, já >>>>> vi outras duas, *12001/741645* (ETAPA e ANGLO), que consideram também >>>>> que o sorteio anterior para definir "quem presenteia quem", e *7/360*, >>>>> do vídeo a seguir: >>>>> >>>>> https://www.youtube.com/watch?v=c-t_BAMASKE >>>>> >>>>> Gostaria da opinião (e se possível, uma resolução) dos especialistas >>>>> da lista (Ralph e cia :)) >>>>> >>>>> Muito obrigado! >>>>> >>>>> >>>>> >>>>> >>>>> >>>>
Re: [obm-l] Amigo secreto ENEM
Olá, pessoal! Boa tarde! Estou acompanhando com interesse a discussão, mas gostaria de pedir uma indicação de site ou outro material que trate de permutações caóticas. Muito obrigado! Abraços! Luiz Em qui, 28 de jan de 2021 11:38 AM, Arthur Queiroz escreveu: > Uma pergunta: você assume que o número de sorteios é !10. Mas e se, em > meio ao sorteio, nossa permutação caótica seja tal que seja formado um > ciclo indesejado? Digamos A->B->C->A. Como o sorteio continuará nesse caso? > Será escolhida aleatoriamente uma pessoa de fora do ciclo para continuar? > Isso não afetaria esse !10? > > Em ter, 26 de jan de 2021 17:26, Ralph Costa Teixeira > escreveu: > >> Deixa eu copiar o que escrevi em outro lugar... :D :D >> >> Primeiro: não fica claro do enunciado se "auto-sorteios" (alguém sortear >> o próprio nome) são permitidos ou não, e isto ALTERA a resposta. :( >> >> Vejamos possíveis respostas corretas: >> >> ---///--- >> >> SE AUTO-SORTEIOS FOREM PERMITIDOS: >> Em resumo, temos 1/10 de chance de A iniciar o sorteio, e 1/10 de chance >> de B terminar (1/10 sim, pois A *pode* terminar). Assim, a resposta seria >> 1/10*1/10*2=1/50. >> >> Com mais detalhes para justificar o segundo "1/10": >> -- Número de sorteios possíveis = 10! >> -- Número de sorteios que formam um único ciclo de tamanho 10 = 9! >> -- Note que ter um ciclo de tamanho 10 equivale a terminar com quem >> inicia; portanto, a chance de o amigo secreto terminar com o mesmo que >> iniciou seria 9!/10!=1/10 (*que é independente de quem começa*). >> >> Assim: >> -- Chance de A iniciar = 1/10; >> Agora, DADO QUE A INICIOU: >> Chance de A terminar = 9!/10! = 1/10 >> Portanto, chance de não terminar com A: 9/10 >> Chance de B terminar (por simetria): (9/10) /9 = 1/10 >> >> Isso nos dá 1/10*1/10 = 1/100 de chance do amigo secreto começar por A e >> terminar com B. Portanto a resposta seria o dobro, 1/50. >> >> ---///--- >> SE AUTO-SORTEIOS SÃO PROIBIDOS: >> -- Número de sorteios (desarranjos) possíveis = !10 (vou escrever K=!10 >> daqui por diante); >> -- Número de sorteios que formam um único ciclo de tamanho 10 = 9! >> -- Portanto, a chance de o amigo secreto terminar com o mesmo que iniciou >> seria 9!/K (que é independente de quem começa). >> >> Assim: >> -- Chance de A iniciar = 1/10; >> Agora, DADO QUE A INICIOU: >> Chance de A terminar = 9!/K >> Portanto, chance de não terminar com A: 1-9!/K >> Chance de B terminar (por simetria): (1-9!/K) /9 = (K-9!)/(9K) >> >> Isso nos dá 1/10* (K-9!)/(9K) = (K-9!)/(90K) de chance do amigo secreto >> começar por A e terminar com B. Portanto a resposta seria o dobro, >> (K-9!)/(45K). Fazendo a conta com a ajuda do computador, achei 12001/741645. >> >> Abraço, Ralph. >> >> >> >> On Tue, Jan 26, 2021 at 1:45 PM Professor Vanderlei Nemitz < >> vanderma...@gmail.com> wrote: >> >>> Oi, pessoal! >>> >>> Com certeza vocês estão acompanhando desde domingo as resoluções da >>> questão do ENEM do amigo secreto. >>> Além da resposta proposta, *1/45*, que parece não estar correta, já vi >>> outras duas, *12001/741645* (ETAPA e ANGLO), que consideram também que >>> o sorteio anterior para definir "quem presenteia quem", e *7/360*, do >>> vídeo a seguir: >>> >>> https://www.youtube.com/watch?v=c-t_BAMASKE >>> >>> Gostaria da opinião (e se possível, uma resolução) dos especialistas da >>> lista (Ralph e cia :)) >>> >>> Muito obrigado! >>> >>> >>> >>> >>> >>
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Decrescimento de Funções Exponenciais
Olá, Ralph! Tudo bem? Muito obrigado! Vou acessar os links! Abraço! Luiz Em ter, 12 de mai de 2020 8:35 PM, Ralph Costa Teixeira escreveu: > Bom, o assunto me parece ser "crescimento/decrescimento assintótico"... > Não consigo pensar num texto para recomendar, mas olhe aqui: > https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation > E, em especial: > https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation#Little-o_notation > > Abraço, Ralph. > > On Tue, May 12, 2020 at 7:09 PM Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> wrote: > >> Olá, Ralph! >> Tudo bem? >> Sim, melhorou muito! >> Muito obrigado! >> Então, na função (5), nós temos uma incerteza... >> Eu não havia percebido isso... >> Muito interessante... >> Vou ler mais sobre o assunto... >> Você conhece algum bom livro que trate disso com mais profundidade? >> Abraço! >> Luiz >> >> >> Em ter, 12 de mai de 2020 3:04 PM, Ralph Costa Teixeira < >> ralp...@gmail.com> escreveu: >> >>> O assunto é delicado. Primeiro, precisamos de uma boa definição de >>> "decresce mais rápido" (a gente diz que as exponenciais decrescem rápido, >>> mas se você ler **ao pé da letra** isso é falso! A velocidade delas vai >>> para 0 quando t vai para infinito... ou seja, elas decrescem mito >>> devagar!?!?). Para esclarecer, suponho que queremos usar esta aqui: >>> >>> DEF. f(x) decresce (para 0) mais rápido (quando x vai para +Inf) do que >>> g(x) quando lim f(x)/g(x) =0 (quando x vai para +Inf). >>> >>> Agora sim, você resolve tudo: >>> >>> 1) lim h(x)^2/h(x) = 0, portanto h^2 decresce mais rapido que h; >>> 2) lim g(x)^2/h(x) = lim g(x)/h(x) . g(x) = 0.0=0, portanto g^2 decresce >>> mais rapido que h; >>> 3) lim f(x)*g(x)/h(x) = lim f(x) * (g(x)/h(x)) =0 (com f limitada), >>> portanto fg decresce mais rapido que h; >>> 4) lim sqrt(h)/h = lim 1/sqrt(h) =+Inf; assim, lim h/sqrt(h) = 0, ou >>> seja, h decresce mais rapido que sqrt(h); >>> 5) lim sqrt(g)/h = ??? Nao da para saber. Poderia ser g(x)=1/x^n e >>> h(x)=1/x. Tomando n<2 ou n>2 podemos obter ambos comportamentos. >>> >>> Melhorou? >>> >>> Abraço, Ralph. >>> >>> On Tue, May 12, 2020 at 9:52 AM Luiz Antonio Rodrigues < >>> rodrigue...@gmail.com> wrote: >>> >>>> Olá, pessoal! >>>> >>>> Bom dia! >>>> >>>> Tudo bem? >>>> >>>> Estou tentando resolver um problema há uns 10 dias. >>>> >>>> Já tentei de tudo e estou com dúvidas. >>>> >>>> O problema é o seguinte: >>>> >>>> São dadas duas funções: h(x) e g(x). >>>> >>>> A função g(x) tende a zero mais rápido do que h(x), quando x tende a >>>> infinito. >>>> >>>> O problema pede que as seguintes funções sejam comparadas com h(x): >>>> >>>> >>>>1. >>>> >>>>(h(x))^2 >>>>2. >>>> >>>>(g(x))^2 >>>>3. >>>> >>>>f(x)*g(x) >>>>4. >>>> >>>>sqrt(h(x)) >>>>5. >>>> >>>>sqrt(g(x)) >>>> >>>> >>>> A pergunta é: quais dessas funções decrescem mais rápido do que h(x), >>>> quando x tende a infinito? >>>> >>>> Eu usei, entre outras, as seguintes funções: >>>> >>>> >>>> 1/ln(x) >>>> >>>> 1/x >>>> >>>> 1/x^5 >>>> >>>> 1/e^x >>>> >>>> >>>> Utilizei a regra de L’Hospital e descobri que a única função que não >>>> decresce mais rápido do que h(x) é a (4). >>>> >>>> Também utilizei softwares gráficos e confirmei o meu resultado. >>>> >>>> Só sei que a resposta não está correta, mas ainda não sei qual seria a >>>> solução. >>>> >>>> Não consigo entender o motivo... >>>> >>>> Será que preciso achar um contra-exemplo? >>>> >>>> Alguém pode me ajudar? >>>> >>>> Muito obrigado! >>>> >>>> Abraços! >>>> >>>> Luiz >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Decrescimento de Funções Exponenciais
Olá, Ralph! Tudo bem? Sim, melhorou muito! Muito obrigado! Então, na função (5), nós temos uma incerteza... Eu não havia percebido isso... Muito interessante... Vou ler mais sobre o assunto... Você conhece algum bom livro que trate disso com mais profundidade? Abraço! Luiz Em ter, 12 de mai de 2020 3:04 PM, Ralph Costa Teixeira escreveu: > O assunto é delicado. Primeiro, precisamos de uma boa definição de > "decresce mais rápido" (a gente diz que as exponenciais decrescem rápido, > mas se você ler **ao pé da letra** isso é falso! A velocidade delas vai > para 0 quando t vai para infinito... ou seja, elas decrescem mito > devagar!?!?). Para esclarecer, suponho que queremos usar esta aqui: > > DEF. f(x) decresce (para 0) mais rápido (quando x vai para +Inf) do que > g(x) quando lim f(x)/g(x) =0 (quando x vai para +Inf). > > Agora sim, você resolve tudo: > > 1) lim h(x)^2/h(x) = 0, portanto h^2 decresce mais rapido que h; > 2) lim g(x)^2/h(x) = lim g(x)/h(x) . g(x) = 0.0=0, portanto g^2 decresce > mais rapido que h; > 3) lim f(x)*g(x)/h(x) = lim f(x) * (g(x)/h(x)) =0 (com f limitada), > portanto fg decresce mais rapido que h; > 4) lim sqrt(h)/h = lim 1/sqrt(h) =+Inf; assim, lim h/sqrt(h) = 0, ou seja, > h decresce mais rapido que sqrt(h); > 5) lim sqrt(g)/h = ??? Nao da para saber. Poderia ser g(x)=1/x^n e > h(x)=1/x. Tomando n<2 ou n>2 podemos obter ambos comportamentos. > > Melhorou? > > Abraço, Ralph. > > On Tue, May 12, 2020 at 9:52 AM Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> wrote: > >> Olá, pessoal! >> >> Bom dia! >> >> Tudo bem? >> >> Estou tentando resolver um problema há uns 10 dias. >> >> Já tentei de tudo e estou com dúvidas. >> >> O problema é o seguinte: >> >> São dadas duas funções: h(x) e g(x). >> >> A função g(x) tende a zero mais rápido do que h(x), quando x tende a >> infinito. >> >> O problema pede que as seguintes funções sejam comparadas com h(x): >> >> >>1. >> >>(h(x))^2 >>2. >> >>(g(x))^2 >>3. >> >>f(x)*g(x) >>4. >> >>sqrt(h(x)) >>5. >> >>sqrt(g(x)) >> >> >> A pergunta é: quais dessas funções decrescem mais rápido do que h(x), >> quando x tende a infinito? >> >> Eu usei, entre outras, as seguintes funções: >> >> >> 1/ln(x) >> >> 1/x >> >> 1/x^5 >> >> 1/e^x >> >> >> Utilizei a regra de L’Hospital e descobri que a única função que não >> decresce mais rápido do que h(x) é a (4). >> >> Também utilizei softwares gráficos e confirmei o meu resultado. >> >> Só sei que a resposta não está correta, mas ainda não sei qual seria a >> solução. >> >> Não consigo entender o motivo... >> >> Será que preciso achar um contra-exemplo? >> >> Alguém pode me ajudar? >> >> Muito obrigado! >> >> Abraços! >> >> Luiz >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Decrescimento de Funções Exponenciais
Olá, Pedro! Tudo bem? Muito obrigado por sua resposta. Funcionou! O problema estava na função (5). Mas eu estive pensando no que acontece com esta função. É como se ela coincidisse, quando x tende a infinito, com a função original (h(x))? Isto é muito interessante... Em ter, 12 de mai de 2020 12:09 PM, Pedro Angelo escreveu: > Sobre o item 5, o que acontece se h(x)=x^(-1) e g(x)=x^(-1.1) ? > > Le mar. 12 mai 2020 à 09:52, Luiz Antonio Rodrigues > a écrit : > > > > Olá, pessoal! > > > > Bom dia! > > > > Tudo bem? > > > > Estou tentando resolver um problema há uns 10 dias. > > > > Já tentei de tudo e estou com dúvidas. > > > > O problema é o seguinte: > > > > > > São dadas duas funções: h(x) e g(x). > > > > A função g(x) tende a zero mais rápido do que h(x), quando x tende a > infinito. > > > > O problema pede que as seguintes funções sejam comparadas com h(x): > > > > > > (h(x))^2 > > > > (g(x))^2 > > > > f(x)*g(x) > > > > sqrt(h(x)) > > > > sqrt(g(x)) > > > > > > A pergunta é: quais dessas funções decrescem mais rápido do que h(x), > quando x tende a infinito? > > > > Eu usei, entre outras, as seguintes funções: > > > > > > 1/ln(x) > > > > 1/x > > > > 1/x^5 > > > > 1/e^x > > > > > > Utilizei a regra de L’Hospital e descobri que a única função que não > decresce mais rápido do que h(x) é a (4). > > > > Também utilizei softwares gráficos e confirmei o meu resultado. > > > > Só sei que a resposta não está correta, mas ainda não sei qual seria a > solução. > > > > Não consigo entender o motivo... > > > > Será que preciso achar um contra-exemplo? > > > > Alguém pode me ajudar? > > > > Muito obrigado! > > > > Abraços! > > > > Luiz > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Decrescimento de Funções Exponenciais
Olá, pessoal! Bom dia! Tudo bem? Estou tentando resolver um problema há uns 10 dias. Já tentei de tudo e estou com dúvidas. O problema é o seguinte: São dadas duas funções: h(x) e g(x). A função g(x) tende a zero mais rápido do que h(x), quando x tende a infinito. O problema pede que as seguintes funções sejam comparadas com h(x): 1. (h(x))^2 2. (g(x))^2 3. f(x)*g(x) 4. sqrt(h(x)) 5. sqrt(g(x)) A pergunta é: quais dessas funções decrescem mais rápido do que h(x), quando x tende a infinito? Eu usei, entre outras, as seguintes funções: 1/ln(x) 1/x 1/x^5 1/e^x Utilizei a regra de L’Hospital e descobri que a única função que não decresce mais rápido do que h(x) é a (4). Também utilizei softwares gráficos e confirmei o meu resultado. Só sei que a resposta não está correta, mas ainda não sei qual seria a solução. Não consigo entender o motivo... Será que preciso achar um contra-exemplo? Alguém pode me ajudar? Muito obrigado! Abraços! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Determinante de uma Matriz
Olá, Ralph! Tudo bem? Eu achei fantástica esta abordagem! Sim, ficou mais natural assim! E tudo ficou muito claro. Nunca havia pensado desta forma. Muito obrigado! Abraços! Luiz Em sex, 13 de mar de 2020 5:53 PM, Ralph Teixeira escreveu: > Sim, determinante eh algo um pouco "estranho" sim inicialmente, nao eh um > conceito tao natural quanto outros que se apresentam no ensino medio. > > Mas dou aqui algumas dicas de como pensar nele inicialmente: > > 1. UMA ABORDAGEM ALGEBRICA > 1a. Caso 2x2. > Ao resolver o sistema linear: > ax+by=A > cx+dy=B > voce obtem **tentativamente** > x=(Ad-Bb)/(ad-bc) > y=(-Ac+Ba)/(ad-bc) > > Digo "tentativamente" pois, se ad-bc=0, o que eu escrevi estah errado. Eu > devia ter dito o seguinte: > > i) Se ad-bc<>0, entao a unica solucao do sistema eh aquele x e y ali em > cima; > ii) Se ad-bc=0... bom, depende dos outros caras, mas em suma o sistema vai > ser IMPOSSIVEL ou INDETERMINADO. > > Em suma, o valor (0 ou nao 0) de ad-bc diz sozinho se o sistema tem uma > unica solucao ou nao. Compare isso com o b^2-4ac da quadratica, que diz > sozinho quantas raizes a quadratica tem! Da mesma forma que chamamos > DELTA=b^2-4ac e analisamos esse cara para entender melhor a quadratica, > vamos chamar det([a,b;c,d])=ad-bc, uma especie de "discriminante" do > sistema linear... Ok, mas o nome oficial eh DETERMINANTE da MATRIZ > [a,b;c,d]. > > 1b. Caso nxn. > Ao resolver o sistema linear > Mx=b > onde M eh uma matriz nxn, x eh um vetor (incognita) nx1 e b eh um > vetor (dado) nx1, nota-se que este sistema tem raiz unica quando uma certa > quantidade (que depende apenas de M, nao de b -- surpreendente, nao?) NAO > vale 0. Esta quantidade eh o DETERMINANTE da matriz M, e infelizmente tem > uma expressao feiosa quando n eh grande... > > Em suma: o determinante de uma matriz M diz se o sistema Mx=b tem > solucao unica ou nao > > (Agora eu teria que convencer voce que sistemas lineares sao > relevantes Bom, deixa eu dizer que SAO. :D) > > ---///--- > Mas tem gente que acha isso algebrico demais. Vamos tentar algo mais > geometrico! > > 2. UMA ABORDAGEM GEOMETRICA > 2a. Caso 2x2. > Considere um paralelogramos cujos lados sao os vetores v=(a,b) e w=(c,d). > Qual a area deste paralelogramo? > > Se voce fizer a conta, voce descobre que a area eh ad-bc (ou o negativo > disto, depende da ordem dos vetores). Puxa, entao talvez seja legal definir > uma especie de "area com sinal" dada por: > > AREA COM SINAL = [v,w] = ad-bc > > Ou, que tal chamar isto de DETERMINANTE da matriz cujas colunas sao v e w? > Ok, feito! > > (O sinal pode ser explicado com a regra da mao direita Mas deixa eu > ficar no basicao, acho que voce soh quer o SIGNIFICADO, nao detalhes.) > > Em suma, o DETERMINANTE de uma matriz 2x2 eh a AREA (com sinal) do > paralelogramo cujos lados sao equivalentes aos vetores colunas da matriz. > > 2b. Caso 3x3. > Considere um paralelepipedo P, 3-dimensional, cujos lados sao os vetores > v1, v2 e v3. Vamos DEFINIR o determinante da matriz cujas colunas sao v1, > v2 e v3 como sendo o VOLUME desse paralelepipedo P (com sinal, que depnde > da orientacao de v1/v2/v3). Tem gente que ateh escreve assim: > > det(v1,v2,v3) = expressao horrorosa envolvendo as coordenadas dos 3 > vetores = volume (P) (com sinal) > > como se o determinante fosse uma funcao de 3 vetores ao inves de ser de > uma matriz... > > 2n. Caso nxn > Sejam v1, v2, ..., vn vetores com n coordenadas cada. O determinante da > matriz cujas colunas sao v1, v2, ..., vn pode ser DEFINIDO como o volume do > paralelepipedo cujas arestas sao v1, v2, ..., vn respectivamente (com sinal > que depende da orientacao, mas a discussao sobre o que significa > "orientacao" deixo para depois; com certeza, o volume eh o MODULO desse > determinante). > > Ficou um pouco mais natural assim? Dah ateh para enxergar algumas das > propriedades basicas pensando assim. Por exemplo, se dois dos vetores forem > paralelos, o seu paralelepipedo fica "achatado" e portanto o volume eh 0 -- > ou seja, se duas das colunas forem multiplas uma da outra, o determinante > eh 0. > > Abraco, Ralph. > > On Fri, Mar 13, 2020 at 11:30 AM Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> wrote: > >> Olá, pessoal! >> Tudo bem? >> Há bastante tempo eu venho fazendo pesquisas sobre o significado do >> determinante de uma matriz. >> Livros, professores, internet... >> Não adianta... >> Parece que o determinante de uma matriz é algo nebuloso... >> E o cálculo de um determinante é mais misterioso ainda... >> Parece maluquice. >> Alguém já leu ou ouviu algo interessante sobre isso? >> Muito obrigado! >> Abraços! >> Luiz >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Determinante de uma Matriz
Olá, pessoal! Tudo bem? Há bastante tempo eu venho fazendo pesquisas sobre o significado do determinante de uma matriz. Livros, professores, internet... Não adianta... Parece que o determinante de uma matriz é algo nebuloso... E o cálculo de um determinante é mais misterioso ainda... Parece maluquice. Alguém já leu ou ouviu algo interessante sobre isso? Muito obrigado! Abraços! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Zero Elevado a Zero
Olá, Artur! Tudo bem? Vou procurar! Se eu achar algo interessante, escrevo. Muito obrigado e um abraço! Em ter, 18 de fev de 2020 9:25 AM, Artur Costa Steiner < artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > Esse material não conheço, mas deve ter na Internet. > > Artur > > Em seg, 17 de fev de 2020 13:01, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, Artur! >> Tudo bem? >> Isso é muito interessante... >> Você conhece algum material que traga a história do desenvolvimento >> dessas convenções? >> Gosto demais desse tipo de assunto... >> Abraço! >> Luiz >> >> >> Em seg, 17 de fev de 2020 1:37 AM, Artur Costa Steiner < >> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: >> >>> Aliás, para a<>0, a^0 = 1 também é uma convenção. Tomando-se por base a >>> definição de potência para expoente inteiro positivo, não é possível provar >>> que a^0 = 1. Já vi uma clássica "prova" disso, mas é logicamente >>> inconsistente. >>> >>> Até a^1 = a é uma definição, pois nâo existe produto com um único fator. >>> >>> Artur >>> >>> Em dom, 16 de fev de 2020 23:47, Artur Costa Steiner < >>> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> Na matemática há algumas convenções um tanto estranhas, como 0! = 1. >>>> >>>> Artur >>>> >>>> >>>> Em dom, 16 de fev de 2020 22:43, Luiz Antonio Rodrigues < >>>> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>>> >>>>> Olá, Ralph! >>>>> Tudo bem? >>>>> Também fiquei curioso e obtive as seguintes respostas: >>>>> >>>>> Calculadora científica HP: function error. >>>>> Calculadora científica Casio: math error. >>>>> Photomath: undefined. >>>>> Calculadora científica do iPhone: error. >>>>> Calculadora científica online calculator-1.com: calculation error. >>>>> >>>>> Interessante, não é? >>>>> Abraço! >>>>> Luiz >>>>> >>>>> Em dom, 16 de fev de 2020 9:37 PM, Ralph Teixeira >>>>> escreveu: >>>>> >>>>>> Curiosidade: na calculadora do Google, e também na calculadora padrão >>>>>> do Windows 10, 0^0=1. >>>>>> >>>>>> Em contrapartida: o Wolfram Alpha diz "undefined". >>>>>> >>>>>> Abraco, Ralph. >>>>>> >>>>>> On Sun, Feb 16, 2020 at 4:19 PM Luiz Antonio Rodrigues < >>>>>> rodrigue...@gmail.com> wrote: >>>>>> >>>>>>> Olá, Bernardo! >>>>>>> Olá, Artur! >>>>>>> Muito obrigado pela resposta. >>>>>>> Eu vou acessar o link para ver a argumentação do Ralph, que eu >>>>>>> desconheço. >>>>>>> Eu sei que é uma discussão meio "inútil", mas gosto desse tipo de >>>>>>> troca de ideias. >>>>>>> Acho que aprendo muito! >>>>>>> Principalmente porque esse era um assunto "resolvido" para mim... >>>>>>> Não tinha dúvidas quanto a isso e agora vejo que não é bem assim... >>>>>>> Abraços! >>>>>>> Luiz >>>>>>> >>>>>>> >>>>>>> Em sáb, 15 de fev de 2020 9:22 PM, Artur Costa Steiner < >>>>>>> steinerar...@gmail.com> escreveu: >>>>>>> >>>>>>>> É inútil discutir o valoe de 0^0. Não há como provar nada com >>>>>>>> relação a isso. Comumente se define que 0^0 =1 porque esta é uma >>>>>>>> definição >>>>>>>> conveniente. Por exemplo, em séries de potências. >>>>>>>> >>>>>>>> Artur >>>>>>>> >>>>>>>> Em sáb, 15 de fev de 2020 20:55, Luiz Antonio Rodrigues < >>>>>>>> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>>>>>>> >>>>>>>>> Olá, pessoal! >>>>>>>>> Tudo bem? >>>>>>>>> Eu aprendi que qualquer número elevado a zero é 1, mas com exceção >>>>>>>>> do zero. >>>>>>>>> Também aprendi que 0^0, assim como 0/0, representam >>>>>>>>> indeterminações. >>>>>>>>
Re: [obm-l] Zero Elevado a Zero
Olá, Artur! Tudo bem? Isso é muito interessante... Você conhece algum material que traga a história do desenvolvimento dessas convenções? Gosto demais desse tipo de assunto... Abraço! Luiz Em seg, 17 de fev de 2020 1:37 AM, Artur Costa Steiner < artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > Aliás, para a<>0, a^0 = 1 também é uma convenção. Tomando-se por base a > definição de potência para expoente inteiro positivo, não é possível provar > que a^0 = 1. Já vi uma clássica "prova" disso, mas é logicamente > inconsistente. > > Até a^1 = a é uma definição, pois nâo existe produto com um único fator. > > Artur > > Em dom, 16 de fev de 2020 23:47, Artur Costa Steiner < > artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > >> Na matemática há algumas convenções um tanto estranhas, como 0! = 1. >> >> Artur >> >> >> Em dom, 16 de fev de 2020 22:43, Luiz Antonio Rodrigues < >> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >> >>> Olá, Ralph! >>> Tudo bem? >>> Também fiquei curioso e obtive as seguintes respostas: >>> >>> Calculadora científica HP: function error. >>> Calculadora científica Casio: math error. >>> Photomath: undefined. >>> Calculadora científica do iPhone: error. >>> Calculadora científica online calculator-1.com: calculation error. >>> >>> Interessante, não é? >>> Abraço! >>> Luiz >>> >>> Em dom, 16 de fev de 2020 9:37 PM, Ralph Teixeira >>> escreveu: >>> >>>> Curiosidade: na calculadora do Google, e também na calculadora padrão >>>> do Windows 10, 0^0=1. >>>> >>>> Em contrapartida: o Wolfram Alpha diz "undefined". >>>> >>>> Abraco, Ralph. >>>> >>>> On Sun, Feb 16, 2020 at 4:19 PM Luiz Antonio Rodrigues < >>>> rodrigue...@gmail.com> wrote: >>>> >>>>> Olá, Bernardo! >>>>> Olá, Artur! >>>>> Muito obrigado pela resposta. >>>>> Eu vou acessar o link para ver a argumentação do Ralph, que eu >>>>> desconheço. >>>>> Eu sei que é uma discussão meio "inútil", mas gosto desse tipo de >>>>> troca de ideias. >>>>> Acho que aprendo muito! >>>>> Principalmente porque esse era um assunto "resolvido" para mim... >>>>> Não tinha dúvidas quanto a isso e agora vejo que não é bem assim... >>>>> Abraços! >>>>> Luiz >>>>> >>>>> >>>>> Em sáb, 15 de fev de 2020 9:22 PM, Artur Costa Steiner < >>>>> steinerar...@gmail.com> escreveu: >>>>> >>>>>> É inútil discutir o valoe de 0^0. Não há como provar nada com relação >>>>>> a isso. Comumente se define que 0^0 =1 porque esta é uma definição >>>>>> conveniente. Por exemplo, em séries de potências. >>>>>> >>>>>> Artur >>>>>> >>>>>> Em sáb, 15 de fev de 2020 20:55, Luiz Antonio Rodrigues < >>>>>> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>>>>> >>>>>>> Olá, pessoal! >>>>>>> Tudo bem? >>>>>>> Eu aprendi que qualquer número elevado a zero é 1, mas com exceção >>>>>>> do zero. >>>>>>> Também aprendi que 0^0, assim como 0/0, representam indeterminações. >>>>>>> Na minha calculadora científica, a operação 0^0 resulta em erro. >>>>>>> Acontece que há pouco tempo eu vi num livro que era utilizado num >>>>>>> conceituado colégio de São Paulo que 0^0=1. >>>>>>> Resolvi consultar a internet e descobri que essa discussão já >>>>>>> existia no tempo em que Euler era vivo... >>>>>>> Um dos sites que eu consultei diz que existem três respostas >>>>>>> possíveis, dependendo do contexto: >>>>>>> a) 0^0 é inexistente >>>>>>> b) 0^0 é indeterminado >>>>>>> c) 0^0=1 >>>>>>> Não fiquei convencido e acho que o item (b) é o correto, da forma >>>>>>> como eu aprendi. >>>>>>> O que vocês pensam sobre isso? >>>>>>> Abraços! >>>>>>> Luiz >>>>>>> >>>>>>> -- >>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>> >>>>>> >>>>>> -- >>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Zero Elevado a Zero
Olá, Ralph! Tudo bem? Também fiquei curioso e obtive as seguintes respostas: Calculadora científica HP: function error. Calculadora científica Casio: math error. Photomath: undefined. Calculadora científica do iPhone: error. Calculadora científica online calculator-1.com: calculation error. Interessante, não é? Abraço! Luiz Em dom, 16 de fev de 2020 9:37 PM, Ralph Teixeira escreveu: > Curiosidade: na calculadora do Google, e também na calculadora padrão do > Windows 10, 0^0=1. > > Em contrapartida: o Wolfram Alpha diz "undefined". > > Abraco, Ralph. > > On Sun, Feb 16, 2020 at 4:19 PM Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> wrote: > >> Olá, Bernardo! >> Olá, Artur! >> Muito obrigado pela resposta. >> Eu vou acessar o link para ver a argumentação do Ralph, que eu desconheço. >> Eu sei que é uma discussão meio "inútil", mas gosto desse tipo de troca >> de ideias. >> Acho que aprendo muito! >> Principalmente porque esse era um assunto "resolvido" para mim... >> Não tinha dúvidas quanto a isso e agora vejo que não é bem assim... >> Abraços! >> Luiz >> >> >> Em sáb, 15 de fev de 2020 9:22 PM, Artur Costa Steiner < >> steinerar...@gmail.com> escreveu: >> >>> É inútil discutir o valoe de 0^0. Não há como provar nada com relação a >>> isso. Comumente se define que 0^0 =1 porque esta é uma definição >>> conveniente. Por exemplo, em séries de potências. >>> >>> Artur >>> >>> Em sáb, 15 de fev de 2020 20:55, Luiz Antonio Rodrigues < >>> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> Olá, pessoal! >>>> Tudo bem? >>>> Eu aprendi que qualquer número elevado a zero é 1, mas com exceção do >>>> zero. >>>> Também aprendi que 0^0, assim como 0/0, representam indeterminações. >>>> Na minha calculadora científica, a operação 0^0 resulta em erro. >>>> Acontece que há pouco tempo eu vi num livro que era utilizado num >>>> conceituado colégio de São Paulo que 0^0=1. >>>> Resolvi consultar a internet e descobri que essa discussão já existia >>>> no tempo em que Euler era vivo... >>>> Um dos sites que eu consultei diz que existem três respostas possíveis, >>>> dependendo do contexto: >>>> a) 0^0 é inexistente >>>> b) 0^0 é indeterminado >>>> c) 0^0=1 >>>> Não fiquei convencido e acho que o item (b) é o correto, da forma como >>>> eu aprendi. >>>> O que vocês pensam sobre isso? >>>> Abraços! >>>> Luiz >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Zero Elevado a Zero
Olá, Bernardo! Olá, Artur! Muito obrigado pela resposta. Eu vou acessar o link para ver a argumentação do Ralph, que eu desconheço. Eu sei que é uma discussão meio "inútil", mas gosto desse tipo de troca de ideias. Acho que aprendo muito! Principalmente porque esse era um assunto "resolvido" para mim... Não tinha dúvidas quanto a isso e agora vejo que não é bem assim... Abraços! Luiz Em sáb, 15 de fev de 2020 9:22 PM, Artur Costa Steiner < steinerar...@gmail.com> escreveu: > É inútil discutir o valoe de 0^0. Não há como provar nada com relação a > isso. Comumente se define que 0^0 =1 porque esta é uma definição > conveniente. Por exemplo, em séries de potências. > > Artur > > Em sáb, 15 de fev de 2020 20:55, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, pessoal! >> Tudo bem? >> Eu aprendi que qualquer número elevado a zero é 1, mas com exceção do >> zero. >> Também aprendi que 0^0, assim como 0/0, representam indeterminações. >> Na minha calculadora científica, a operação 0^0 resulta em erro. >> Acontece que há pouco tempo eu vi num livro que era utilizado num >> conceituado colégio de São Paulo que 0^0=1. >> Resolvi consultar a internet e descobri que essa discussão já existia no >> tempo em que Euler era vivo... >> Um dos sites que eu consultei diz que existem três respostas possíveis, >> dependendo do contexto: >> a) 0^0 é inexistente >> b) 0^0 é indeterminado >> c) 0^0=1 >> Não fiquei convencido e acho que o item (b) é o correto, da forma como eu >> aprendi. >> O que vocês pensam sobre isso? >> Abraços! >> Luiz >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Zero Elevado a Zero
Olá, pessoal! Tudo bem? Eu aprendi que qualquer número elevado a zero é 1, mas com exceção do zero. Também aprendi que 0^0, assim como 0/0, representam indeterminações. Na minha calculadora científica, a operação 0^0 resulta em erro. Acontece que há pouco tempo eu vi num livro que era utilizado num conceituado colégio de São Paulo que 0^0=1. Resolvi consultar a internet e descobri que essa discussão já existia no tempo em que Euler era vivo... Um dos sites que eu consultei diz que existem três respostas possíveis, dependendo do contexto: a) 0^0 é inexistente b) 0^0 é indeterminado c) 0^0=1 Não fiquei convencido e acho que o item (b) é o correto, da forma como eu aprendi. O que vocês pensam sobre isso? Abraços! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cálculo do Volume de um Sólido
Olá, Ralph! Tudo bem? Eu gostei muito da maneira que você indicou na segunda opção de resolução. Olhamos o plano xy "por cima" e calculamos a integral "empilhando" os trapézios em relação ao eixo z. Muito obrigado pela resposta! Abraços! Luiz Em qua, 12 de fev de 2020 2:27 PM, Ralph Teixeira escreveu: > Vamos fixar um z (entre 0 e 2) para desenhar a seção horizontal. Como > x+y=z^2 e x+y=2z são duas retas paralelas, a seção horizontal é um trapézio > mais ou menos assim: > > |\ > | \ > | \ > | \ > |\ > \\ > \\ > > As retas inclinadas são x+y=z^2, e x+y=2z. A reta vertical é o eixo y > entre z^2 e z, e a horizontal é o eixo x entre z^2 e z. > > Então o problema na sua integral é que nem sempre o x vai de z^2-y até > 2z-y, depende do valor de y! Trace uma vareta horizontal atravessando o > trapézio: > > -- Na parte "de baixo" do trapézio, a vareta fura o trapézio nas duas > retas inclinadas, ou seja, ali temos o x variando de z^2-y até 2z-y que nem > você falou. Mas isso é só na parte de baixo, ou seja, apenas quando 0 -- Na parte de cima, a vareta fura na reta vertrical e na inclinada, isto > é, 0 > Ou seja, para resolver isso com uma integral tripla dxdydz, vai ter que > dividi-la em duas: > > Int (0 a 2) Int (0 a z^2) Int (z^2-y a 2z-y) dx dy dz + > + Int (0 a 2) Int (z^2 a z) Int (0 a 2z-y) dx dy dz > > ---///--- > > Outra opção (equivalente ao que o Buffara fez, mas subtraindo no plano > antes de integrar para achar o volume): o trapézio pode ser pensado como a > diferença de dois triângulos retângulos isósceles com vértice na origem -- > um grande tem cateto 2z, o pequeno z^2. Então a área de cada trapézio é: > > [(2z)^2 - (z^2)^2]/2 = 2z^2-z^4/2 > > que, naturalmente, varia com z. Note que, como era de se esperar, a área > dá 0 em z=0 e z=2. > > Agora é só integrar essa área para 0<=z<=2. Ou seja: > > Volume = 2.2^3/3 - 2^5/10 = 16/3 - 16/5 = 32/15. > > Abraço, Ralph. > > > On Wed, Feb 12, 2020 at 9:29 AM Pedro José wrote: > >> Bom dia! >> Alguém poderia me ajudar e mostrar onde errei os limites? Resolvendo por >> integral tripla, usando f(x,y,z)=1. >> >> Grato, >> PJMS >> >> Em ter, 11 de fev de 2020 13:11, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> >>> Resolvi por método numérico usando, pelo menos penso eu, os mesmos >>> limites e encontrei 2,1329, muito próximo da resposta. Gostaria que alguém >>> me ajudasse onde errei na integral tripla. >>> Usei z^2-y e 2z-y como os limites para integral em dx. Em seguida, z^2 e >>> 2z para dy e finalmente 0 e 2 para dz. >>> Onde está o erro? >>> Grato, >>> PJMS >>> >>> Em ter, 11 de fev de 2020 12:49, Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> O sólido é a região do 1o octante (todas as coordenadas positivas) >>>> compreendida entre os planos x-z e y-z, acima do plano z = (x+y)/2 e abaixo >>>> da z = raiz(x+y). >>>> A superfície e o plano se intersectam numa reta: >>>> raiz(x+y) = (x+y)/2 ==> x+y = (x+y)^2/4 ==> x+y = 4, contida no plano z >>>> = 2. >>>> >>>> Assim, o volume pode ser dado pela diferença entre duas integrais >>>> duplas, calculadas sobre o domínio D, no plano x-y, dado por x > 0, y > 0 e >>>> x+y = 4. >>>> Volume = Integral(D) raiz(x+y)*dA - Integral(D) (x+y)/2*dA. >>>> >>>> Usando coordenadas cartesianas, a primeira integral fica: >>>> Integral(x=0...4)Integral(y=0...4-x)*raiz(x+y)*dy*dx >>>> = Integral(0...4) (2/3)*(4^(3/2) - x^(3/2))*dx >>>> = Integral(0...4) (16/3 - (2/3)*x^(3/2)) >>>> = 64/3 - (4/15)*4^(5/2) >>>> = 64/3 - 128/15 >>>> = 64/5 >>>> >>>> A segunda integral é: >>>> Integral(x=0...4)Integral(y=0...4-x) (x+y)/2*dy*dx >>>> = Integral(x=0...4) (1/2)*(x*(4-x) + (4-x)^2/2)*dx >>>> = Integral(0...4) (4 - x^2/4)*dx >>>> = 32/3 >>>> >>>> Logo, o volume é 64/5 - 32/3 = 32/15 (se não errei nenhuma conta...) >>>> >>>> []s, >>>> Claudio. >>>> >>>> >>>> On Mon, Feb 3, 2020 at 8:55 PM Luiz Antonio Rodrigues < >>>> rodrigue...@gmail.com> wrote: >>>> >>>>> Olá, pessoal! >>>>> Tudo bem? >>>>> Estou tentando resolver o seguinte problema: >>>>> >>>>> Ache o volume da região tridimensional definida por: >>>&
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cálculo do Volume de um Sólido
Olá, Claudio! Olá, Pedro! Tudo bem? Muito obrigado pela resposta! Eu estava tentando resolver o problema "empilhando" secções do plano xy, mas demorei para perceber que eram trapézios. Isso não deixa de ser uma forma de integração. Vocês podem me indicar um bom material para eu aprender a trabalhar com as integrais duplas e triplas? Percebi que pelas integrais duplas é bem mais fácil. Não tenho muito conhecimento para utilizar as integrais triplas. Abraços! Luiz Em qua, 12 de fev de 2020 9:29 AM, Pedro José escreveu: > Bom dia! > Alguém poderia me ajudar e mostrar onde errei os limites? Resolvendo por > integral tripla, usando f(x,y,z)=1. > > Grato, > PJMS > > Em ter, 11 de fev de 2020 13:11, Pedro José > escreveu: > >> Boa tarde! >> >> Resolvi por método numérico usando, pelo menos penso eu, os mesmos >> limites e encontrei 2,1329, muito próximo da resposta. Gostaria que alguém >> me ajudasse onde errei na integral tripla. >> Usei z^2-y e 2z-y como os limites para integral em dx. Em seguida, z^2 e >> 2z para dy e finalmente 0 e 2 para dz. >> Onde está o erro? >> Grato, >> PJMS >> >> Em ter, 11 de fev de 2020 12:49, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> O sólido é a região do 1o octante (todas as coordenadas positivas) >>> compreendida entre os planos x-z e y-z, acima do plano z = (x+y)/2 e abaixo >>> da z = raiz(x+y). >>> A superfície e o plano se intersectam numa reta: >>> raiz(x+y) = (x+y)/2 ==> x+y = (x+y)^2/4 ==> x+y = 4, contida no plano z >>> = 2. >>> >>> Assim, o volume pode ser dado pela diferença entre duas integrais >>> duplas, calculadas sobre o domínio D, no plano x-y, dado por x > 0, y > 0 e >>> x+y = 4. >>> Volume = Integral(D) raiz(x+y)*dA - Integral(D) (x+y)/2*dA. >>> >>> Usando coordenadas cartesianas, a primeira integral fica: >>> Integral(x=0...4)Integral(y=0...4-x)*raiz(x+y)*dy*dx >>> = Integral(0...4) (2/3)*(4^(3/2) - x^(3/2))*dx >>> = Integral(0...4) (16/3 - (2/3)*x^(3/2)) >>> = 64/3 - (4/15)*4^(5/2) >>> = 64/3 - 128/15 >>> = 64/5 >>> >>> A segunda integral é: >>> Integral(x=0...4)Integral(y=0...4-x) (x+y)/2*dy*dx >>> = Integral(x=0...4) (1/2)*(x*(4-x) + (4-x)^2/2)*dx >>> = Integral(0...4) (4 - x^2/4)*dx >>> = 32/3 >>> >>> Logo, o volume é 64/5 - 32/3 = 32/15 (se não errei nenhuma conta...) >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> On Mon, Feb 3, 2020 at 8:55 PM Luiz Antonio Rodrigues < >>> rodrigue...@gmail.com> wrote: >>> >>>> Olá, pessoal! >>>> Tudo bem? >>>> Estou tentando resolver o seguinte problema: >>>> >>>> Ache o volume da região tridimensional definida por: >>>> >>>> z^2>>> >>>> Sendo que: >>>> x>0 e y>0 e z>0 >>>> >>>> Com o auxílio de um software eu consegui visualizar o sólido em questão. >>>> Eu calculei o volume do sólido girando em torno do eixo z e dividindo o >>>> resultado por 4. >>>> A resposta que eu obtive foi (16*pi)/15, que não está correta. >>>> Já refiz os cálculos muitas vezes e chego sempre na mesma resposta. >>>> Alguém pode me ajudar? >>>> Muito obrigado e um abraço! >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cálculo do Volume de um Sólido
Olá, Pedro! Vou pensar na questão novamente e ver se consigo chegar na resposta. Eu escreverei para dizer se consegui. Muito obrigado! Abraços! Luiz Em seg, 10 de fev de 2020 7:19 PM, Pedro José escreveu: > Boa noite! > Não sei onde errei está dando exatamente a metade 16/15. > Saudações, > PJMS > > Em seg, 10 de fev de 2020 15:46, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, Pedro! >> Tudo bem? >> Obrigado pela resposta! >> A resposta realmente não tem pi: é 32/15. >> Eu percebi ontem que o meu erro foi fazer uma rotação em torno do eixo z. >> Se seccionarmos a figura no plano xy teremos um trapézio. >> Vou pensar na sua sugestão e tentar fazer tudo de novo. >> Muito obrigado! >> Abraços! >> Luiz >> >> >> >> Em seg, 10 de fev de 2020 1:38 PM, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> Como no caso você tem a resposta, facilitaria se a expusesse. >>> Para evitar que postemos soluções erradas. >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> Em qui., 6 de fev. de 2020 às 07:41, Anderson Torres < >>> torres.anderson...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> Em seg., 3 de fev. de 2020 às 20:55, Luiz Antonio Rodrigues >>>> escreveu: >>>> > >>>> > Olá, pessoal! >>>> > Tudo bem? >>>> > Estou tentando resolver o seguinte problema: >>>> > >>>> > Ache o volume da região tridimensional definida por: >>>> > >>>> > z^2>>> > >>>> > Sendo que: >>>> > x>0 e y>0 e z>0 >>>> > >>>> > Com o auxílio de um software eu consegui visualizar o sólido em >>>> questão. >>>> > Eu calculei o volume do sólido girando em torno do eixo z e dividindo >>>> o resultado por 4. >>>> > A resposta que eu obtive foi (16*pi)/15, que não está correta. >>>> > Já refiz os cálculos muitas vezes e chego sempre na mesma resposta. >>>> > Alguém pode me ajudar? >>>> >>>> Tem como cê enviar as contas e o desenho que cê fez? >>>> >>>> > Muito obrigado e um abraço! >>>> > >>>> > -- >>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> > acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> >>>> = >>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>>> >>>> = >>>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cálculo do Volume de um Sólido
Olá, Pedro! Tudo bem? Obrigado pela resposta! A resposta realmente não tem pi: é 32/15. Eu percebi ontem que o meu erro foi fazer uma rotação em torno do eixo z. Se seccionarmos a figura no plano xy teremos um trapézio. Vou pensar na sua sugestão e tentar fazer tudo de novo. Muito obrigado! Abraços! Luiz Em seg, 10 de fev de 2020 1:38 PM, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Como no caso você tem a resposta, facilitaria se a expusesse. > Para evitar que postemos soluções erradas. > > Saudações, > PJMS > > Em qui., 6 de fev. de 2020 às 07:41, Anderson Torres < > torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > >> Em seg., 3 de fev. de 2020 às 20:55, Luiz Antonio Rodrigues >> escreveu: >> > >> > Olá, pessoal! >> > Tudo bem? >> > Estou tentando resolver o seguinte problema: >> > >> > Ache o volume da região tridimensional definida por: >> > >> > z^2> > >> > Sendo que: >> > x>0 e y>0 e z>0 >> > >> > Com o auxílio de um software eu consegui visualizar o sólido em questão. >> > Eu calculei o volume do sólido girando em torno do eixo z e dividindo o >> resultado por 4. >> > A resposta que eu obtive foi (16*pi)/15, que não está correta. >> > Já refiz os cálculos muitas vezes e chego sempre na mesma resposta. >> > Alguém pode me ajudar? >> >> Tem como cê enviar as contas e o desenho que cê fez? >> >> > Muito obrigado e um abraço! >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Cálculo do Volume de um Sólido
Olá, pessoal! Tudo bem? Estou tentando resolver o seguinte problema: Ache o volume da região tridimensional definida por: z^20 e y>0 e z>0 Com o auxílio de um software eu consegui visualizar o sólido em questão. Eu calculei o volume do sólido girando em torno do eixo z e dividindo o resultado por 4. A resposta que eu obtive foi (16*pi)/15, que não está correta. Já refiz os cálculos muitas vezes e chego sempre na mesma resposta. Alguém pode me ajudar? Muito obrigado e um abraço! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Volume de um Toroide
Olá, Bernardo! Muito obrigado pela sua resposta! Sim, estou estudando Cálculo 1. Já li suas instruções e vou colocar tudo no papel. Já percebi que errei, por exemplo, nos extremos das integrais. Escrevo novamente se novas dúvidas surgirem. Abraços! Luiz Em qui, 30 de jan de 2020 12:59 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com> escreveu: > Olá, > > On Thu, Jan 30, 2020 at 11:21 AM Luiz Antonio Rodrigues > wrote: > > Estou tentando resolver um problema há alguns dias e não estou > conseguindo chegar numa resposta correta. > > O problema é o seguinte: > > > > Qual a integral que representa o volume do disco > > > > ((x-b)^2)+y^2 > > > que gira em torno do eixo y? > > Considere 0 > Eu imagino que você esteja fazendo Cálculo. Provavelmente, cálculo 1. > E não vou responder, mas espero te ajudar a entender isso. > > Pense num retângulo bem pequeno, no ponto (x,y), de lados (dx,dy). > Agora, RODE este quadradinho em torno do eixo y. > 1) Visualize o sólido gerado por esta rotação. E depois desenhe. > Desenhe mais de um, inclusive, para ver como eles ficam quando mudar o > x, o y, ou os dois. Também faça um mudando dx ou dy. Se familiarize > com o problema! > 2) Dê uma APROXIMAÇÃO para o volume deste sólido, em função de (x, y, > dx, dy). Repare que deve ser algo "pequeno". Se um dos lados tender > a zero, o volume deve zerar também, então deve ser alguma coisa que > COMEÇA com dx * dy. Deve ter termos "de mais alto grau" (tipo > dx*dx*dy, ou dx*dy*dy*dy), mas estes a gente vai poder jogar fora > depois. Se preocupe com o termo que vai aparecer multiplicando o > dx*dy - esta será sua aproximação. > 3) Agora, faça um monte de retângulos (ou quadrados, se é você quem > escolhe!!) dentro do círculo. Se você rodar cada um, vai dar um > volume. Se você somar todos os volumes, dá o volume do círculo > rodado. > - Mas peraí: não dá para preencher o círculo com quadrados do mesmo > tamanho. É verdade. Vai sobrar (ou faltar) um treco no bordo. Mas > isso deve (também!) tender a zero quando você diminuir o lado do > quadrado. > 4) Isso que você escreveu é uma "soma de Riemann" (que alguns gregos - > tipo Arquimedes - já sabiam fazer) para o volume do seu sólido de > rotação. É uma soma dupla (tem quadradinhos nas duas direções), vai > virar uma integral dupla. > 5) Faça de novo um desenho: agora, de como você vai calcular a soma > dupla, somando na horizontal ou na vertical primeiro. Repare que o > número de quadradinhos muda em cada "fatia", aumentando e depois > diminuindo. Este MESMO desenho te diz como vão ser os limites de > integração da integral dupla. > - Poxa, eu ainda estou em Cálculo 1, e você vem falar de integrais > duplas. É. Acho que é mais natural montar o problema assim. Porque > eu acho que a grande ideia do cálculo é justamente dividir em trecos > minúsculos, aproximar, somar. A integral que vai aparecer, apareceu. > Note que, só neste problema, você já vai ver uma das coisas mais > legais de integrais duplas: que os limites de integração "de dentro" > dependem da variável de integração "de fora" - já que tem mais > quadradinhos no centro do disco do que nos bordos. > 6) A integral, fazendo dx e dy serem "infinitesimais", também faz com > que as aproximações sejam cada vez melhores, e que o erro no bordo > também seja cada vez menor. Se você quiser pensar mais nisso, ótimo: > você quer fazer (um tipo de) análise. > 7) Agora, basta calcular a integral. Essa é a parte FÁCIL: o > importante é entender como sair do problema "real" (ou matemático) e > chegar na integral. > > > Primeiro eu preciso resolver usando dx e depois dy. > > Por fim, o problema pede o valor do volume em termos de a e b. > > Fazer "primeiro com dx" de "depois com dy" é só "resolver a integral > dupla" primeiro em y, ou primeiro em x. Também pode ser pensado > "fatiando" o seu círculo não em retângulos pequenos nas duas direções, > mas em apenas uma. Mas eu acho isso mais complicado do que precisa (e > dá uns nomes estilosos tipo "cascas cilíndricas" e tal, mas não acho > que seja muito iluminador se você não entendeu estes quadradinhos...) > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Volume de um Toroide
Olá, pessoal! Tudo bem? Estou tentando resolver um problema há alguns dias e não estou conseguindo chegar numa resposta correta. O problema é o seguinte: Qual a integral que representa o volume do disco ((x-b)^2)+y^2
Re: [obm-l] Soma de Riemann
Olá, Bernardo! Boa tarde! Vou acessar os links que você indicou. Muito obrigado! Luiz Em qua, 15 de jan de 2020 1:25 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com> escreveu: > On Tue, Jan 14, 2020 at 9:45 PM Claudio Buffara > wrote: > > O artigo é esse aqui: > > > https://epocanegocios.globo.com/Informacao/Dilemas/noticia/2014/12/elas-precisam-de-reengenharia.html > > É de 2014, mas ino que a situação não tenha mudado muito de lá pra cá. > > Há algumas tentativas de mudança. Uma delas, o recém-criado curso de > Engenharia Matemática da UFRJ. Inspirado, em parte, da experiência de > intercâmbio com a Polytechnique e a ENSTA (tanto de professores como > de alunos), e buscando integrar a sólida formação em matemática e > ciências básicas com o maior centro de pesquisa em engenharia da > América Latina, a COPPE. > > Para mais detalhes sobre o curso, confiram > > https://sites.google.com/matematica.ufrj.br/aplicada/engenharia-matem%C3%A1tica > > http://www.im.ufrj.br/index.php/pt/noticias-e-eventos/noticias/247-saiba-mais-sobre-o-novo-curso-engenharia-matematica > > E, para quem quiser ler a proposta integral: > http://www.im.ufrj.br/images/documentos/projeto_engenhariamatematica.pdf > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Desconhecida
Olá, Anderson! Bom dia! Visitei o site que você indicou. É muito bom! Muito obrigado! Abs Em qua, 15 de jan de 2020 8:11 AM, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > Em sex., 20 de dez. de 2019 às 18:24, Luiz Antonio Rodrigues > escreveu: > > > > Olá, Esdras! > > Eu de novo! > > Você, ou alguém do grupo, pode me indicar um bom material relacionado às > funções transcendentes? > > É um assunto que me interessa bastante! > > Abraços! > > Luiz > > > > Em sex, 20 de dez de 2019 4:38 PM, Esdras Muniz < > esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu: > >> > >> Acho que essa função é trancendente. > > Pelo que eu sei, existe um algoritmo (sim, um programa de computador) > que verifica se uma funçao é ou não passível de "integração > bonitinha". > > Sempre que a dúvida bater, use esse site: > > https://www.integral-calculator.com/ > > >> > >> Em sex, 20 de dez de 2019 14:42, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >>> > >>> Olá, pessoal! > >>> Tudo bem? > >>> Estou tentando, há alguns dias, resolver o seguinte problema: > >>> > >>> Preciso descobrir uma função f(x) cuja derivada é sen(x^3). Sabe-se > que f(0)=2. > >>> > >>> Utilizei um software e mesmo assim não cheguei numa resposta para esta > integral... > >>> Alguém sabe se esta função é de algum tipo "especial"? > >>> Muito obrigado! > >>> Luiz > >>> > >>> -- > >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >>> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Riemann
Olá, Claudio! Tudo bem? Muito obrigado pelas sugestões. Eu vi na Amazon os títulos: A Problem Book in Algebra - Krechmar Problems in Higher Algebra - Faddeev & Sominskii São esses? O que você disse é verdade, muitas vezes eu recorro aos softwares para verificar minhas respostas. Eu gostaria bastante de ler o artigo que você citou. Muito obrigado! Abs. Em ter, 14 de jan de 2020 5:01 PM, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Estas somas trigonométricas (e várias outras) são obtidas sem grandes > dificuldades, mas com alguma álgebra, usando números complexos. > > O melhor caminho, a meu ver, seria vc conseguir um daqueles livros russos > clássicos - Krechmar ou Faddev-Sominski - que contém coletâneas de > problemas resolvidos sobre este tema e muitos outros. > > Agora, me parece que a habilidade de computar estas somas “na mão”, usando > complexos e/ou alguns truques algébricos (ou até mesmo integrais) tem se > desvalorizado recentemente devido à existência e ampla disponibilidade de > softwares gratuitos tais como o Wolfram Alpha, que calculam qualquer soma > dessas. > > Recentemente li um artigo que toca um pouco neste tema, da necessidade de > modernização dos cursos de exatas. Vou procurar e postarei aqui. > > Abs > > > Enviado do meu iPhone > > Em 14 de jan de 2020, à(s) 12:07, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > > > Olá, Artur! > Tudo bem? > Agradeço sua resposta. > O problema diz: > > É dado o somatório de: > > sen(k*b/n) > > Onde k varia de 1 até n. > > Calcule o limite deste somatório dividido por n, quando n tende a > infinito. > > O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. > > Seguindo a sugestão do Claudio, calculei o somatório dos senos em P.A. > Depois eu calculei o limite solicitado. > Cheguei n mesma resposta do Claudio, que está correta. > Aproveito para pedir uma indicação de material sobre este assunto, que > considero bastante interessante. > Muito obrigado! > Luiz > > > Em ter, 14 de jan de 2020 1:32 AM, Artur Costa Steiner < > artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > >> Este somatório não é uma soma de Riemann. Seria se fosse >> >> S(n) = 1/n Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). >> >> Mas é S(n) = Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). Não se divide por n. >> >> Tem ceteza de que pelo outro processo vc chegou no seu somatório à >> expressão correspondente ao caso da soma de Riemann? >> >> Se fizermos b = pi/2, no seu somatorio temos para todo n que S(n) > >> sen(pi/2) = 1.Logo, se o limite com n indo para oo existir, será >= 1.Mas >> entrando com b = pi/2 na fórmula da soma de Riemann, obtemos 2/pi < 1. >> >> Me corrija se eu tiver cometido algum erro. >> >> Abraços >> >> Artur >> >> Em seg, 13 de jan de 2020 18:04, Luiz Antonio Rodrigues < >> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >> >>> Olá, Claudio! >>> Tudo bem? >>> Sim, foi esse resultado que eu achei! >>> Muito obrigado pela ajuda! >>> >>> Em seg, 13 de jan de 2020 5:02 PM, Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> É a soma de n retângulos, todos com base 1/n e o k-esimo com altura >>>> sen(kb/n): logo, o limite e’ a integral superior (portanto, a integral >>>> definida) de sen(bx) no intervalo [0,1]. >>>> >>>> A antiderivada é (-1/b)*cos(bx). >>>> >>>> Logo, a integral é (1 - cos(b))/b. >>>> >>>> Enviado do meu iPhone >>>> >>>> Em 13 de jan de 2020, à (s) 07:04, Esdras Muniz < >>>> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu: >>>> >>>>  >>>> Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. DaÃÂ, >>>> como Sen é integravel, esse limite vai ser Sen(b). >>>> >>>> Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues < >>>> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>>> >>>>> Olá, pessoal! >>>>> Tudo bem? >>>>> Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo >>>>> descobrir onde está meu erro. >>>>> Alguém pode me ajudar? >>>>> >>>>> O problema é o seguinte: >>>>> >>>>> É dado o somatório de: >>>>> >>>>> sen(k*b/n) >>>>> >>>>> Onde k varia de 1 até n. >>>>> >>>>> Preciso calcular o limite deste somatório divid
Re: [obm-l] Soma de Riemann
Olá, Artur! Tudo bem? Agradeço sua resposta. O problema diz: É dado o somatório de: sen(k*b/n) Onde k varia de 1 até n. Calcule o limite deste somatório dividido por n, quando n tende a infinito. O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. Seguindo a sugestão do Claudio, calculei o somatório dos senos em P.A. Depois eu calculei o limite solicitado. Cheguei n mesma resposta do Claudio, que está correta. Aproveito para pedir uma indicação de material sobre este assunto, que considero bastante interessante. Muito obrigado! Luiz Em ter, 14 de jan de 2020 1:32 AM, Artur Costa Steiner < artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > Este somatório não é uma soma de Riemann. Seria se fosse > > S(n) = 1/n Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). > > Mas é S(n) = Soma(k = 1, n) sen(k*b/n). Não se divide por n. > > Tem ceteza de que pelo outro processo vc chegou no seu somatório à > expressão correspondente ao caso da soma de Riemann? > > Se fizermos b = pi/2, no seu somatorio temos para todo n que S(n) > > sen(pi/2) = 1.Logo, se o limite com n indo para oo existir, será >= 1.Mas > entrando com b = pi/2 na fórmula da soma de Riemann, obtemos 2/pi < 1. > > Me corrija se eu tiver cometido algum erro. > > Abraços > > Artur > > Em seg, 13 de jan de 2020 18:04, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, Claudio! >> Tudo bem? >> Sim, foi esse resultado que eu achei! >> Muito obrigado pela ajuda! >> >> Em seg, 13 de jan de 2020 5:02 PM, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> É a soma de n retângulos, todos com base 1/n e o k-esimo com altura >>> sen(kb/n): logo, o limite e’ a integral superior (portanto, a integral >>> definida) de sen(bx) no intervalo [0,1]. >>> >>> A antiderivada é (-1/b)*cos(bx). >>> >>> Logo, a integral é (1 - cos(b))/b. >>> >>> Enviado do meu iPhone >>> >>> Em 13 de jan de 2020, à(s) 07:04, Esdras Muniz < >>> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu: >>> >>> >>> Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. DaÃ, como >>> Sen é integravel, esse limite vai ser Sen(b). >>> >>> Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues < >>> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> Olá, pessoal! >>>> Tudo bem? >>>> Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo descobrir >>>> onde está meu erro. >>>> Alguém pode me ajudar? >>>> >>>> O problema é o seguinte: >>>> >>>> É dado o somatório de: >>>> >>>> sen(k*b/n) >>>> >>>> Onde k varia de 1 até n. >>>> >>>> Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n >>>> tende a infinito. >>>> >>>> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. >>>> >>>> Eu cheguei no valor zero, que está errado. >>>> O problema parece simples... >>>> Agradeço desde já! >>>> Luiz >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Riemann
Olá, Claudio! Tudo bem? Sim, foi esse resultado que eu achei! Muito obrigado pela ajuda! Em seg, 13 de jan de 2020 5:02 PM, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > É a soma de n retângulos, todos com base 1/n e o k-esimo com altura > sen(kb/n): logo, o limite e’ a integral superior (portanto, a integral > definida) de sen(bx) no intervalo [0,1]. > > A antiderivada é (-1/b)*cos(bx). > > Logo, a integral é (1 - cos(b))/b. > > Enviado do meu iPhone > > Em 13 de jan de 2020, à(s) 07:04, Esdras Muniz > escreveu: > > > Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. DaÃ, como Sen > é integravel, esse limite vai ser Sen(b). > > Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, pessoal! >> Tudo bem? >> Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo descobrir >> onde está meu erro. >> Alguém pode me ajudar? >> >> O problema é o seguinte: >> >> É dado o somatório de: >> >> sen(k*b/n) >> >> Onde k varia de 1 até n. >> >> Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n tende >> a infinito. >> >> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. >> >> Eu cheguei no valor zero, que está errado. >> O problema parece simples... >> Agradeço desde já! >> Luiz >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de Riemann
Olá, Claudio! Olá, Esdras! Tudo bem? Muito obrigado pela ajuda! Eu segui a dica do Claudio e calculei o somatório dos senos em P.A. Depois eu calculei o limite desse somatório dividido por n. Mas eu cheguei em (1/b)*(1-cos(b)) O que será que houve? Esdras, você considerou o somatório dividido por n? Em seg, 13 de jan de 2020 9:04 AM, Esdras Muniz escreveu: > Esse limite vai ser a integral inferior de sen(x) de 0 a b. Daí, como Sen > é integravel, esse limite vai ser Sen(b). > > Em dom, 12 de jan de 2020 19:19, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, pessoal! >> Tudo bem? >> Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo descobrir onde >> está meu erro. >> Alguém pode me ajudar? >> >> O problema é o seguinte: >> >> É dado o somatório de: >> >> sen(k*b/n) >> >> Onde k varia de 1 até n. >> >> Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n tende >> a infinito. >> >> O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. >> >> Eu cheguei no valor zero, que está errado. >> O problema parece simples... >> Agradeço desde já! >> Luiz >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Soma de Riemann
Olá, pessoal! Tudo bem? Estou pensando neste problema há vários dias e não consigo descobrir onde está meu erro. Alguém pode me ajudar? O problema é o seguinte: É dado o somatório de: sen(k*b/n) Onde k varia de 1 até n. Preciso calcular o limite deste somatório dividido por n, quando n tende a infinito. O problema pede que se relacione este limite com uma soma de Riemann. Eu cheguei no valor zero, que está errado. O problema parece simples... Agradeço desde já! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Integrais Definidas
Olá, Ralph! Olá, Alexandre! Sim! Bobeamos! Muito obrigado! Um abraço! Em qua, 1 de jan de 2020 11:58 PM, Alexandre Antunes < prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu: > > Verdade Ralph ... Demos bobeira!!! > > > > Atenciosamente, > > Prof. Msc. Alexandre Antunes > www alexandre antunes com br > > > Em qua., 1 de jan. de 2020 às 23:04, Ralph Teixeira > escreveu: > >> Quando voce muda a variavel numa integral definida, tem que lembrar de >> mudar tambem os limites de integracao. >> >> Entao, vamos "calcular" G(x). Temos: >> G(x) = Int (0,x) cos((pi*u^2)/2) du >> Como voce sugeriu, tomemos t = raiz(pi/2) u. Entao: >> >> i) dt=raiz(pi/2) du >> ii) Quando u varia de 0 a x, temos que t varia de...? >> Oras, quando u=0, temos t=raiz(pi/2).0=0... >> ...e quando u=x, temos t=raiz(pi/2).x. >> Entao o intervalo de integracao para t deve ser (0,raiz(pi/2)x). >> >> Assim: >> >> G(x) = Int (0,raiz(pi/2)x) cos(t^2) dt / raiz(pi/2) = raiz(2/pi) * >> F(raiz(pi/2).x) >> >> Abraco, Ralph. >> >> On Wed, Jan 1, 2020 at 12:01 PM Luiz Antonio Rodrigues < >> rodrigue...@gmail.com> wrote: >> >>> Olá, pessoal! >>> Feliz Ano Novo! >>> Estou tentando resolver o seguinte problema há alguns dias: >>> >>> São dadas: >>> >>> F(x)=integral de zero a x de cos(t^2)dt >>> >>> G(x)=integral de zero a x de cos((pi*u^2)/2)du >>> >>> Faça uma mudança de variável e mostre que: >>> >>> G(x)=a*F(b*x) >>> >>> Quais são os valores de a e b? >>> >>> Eu consegui achar o valor de a, que é: >>> >>> sqrt(2)/sqrt(pi) >>> >>> Está correto! >>> >>> O problema é que não consigo achar o valor de b. Acho que estou me >>> atrapalhando com as variáveis x e t. >>> Alguém pode me ajudar? >>> Muito obrigado e um abraço! >>> Luiz >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Integrais Definidas
Certo! Muito obrigado! Em qua, 1 de jan de 2020 9:05 PM, Alexandre Antunes < prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu: > > Farei o mesmo por aqui!!! > > > > Atenciosamente, > > Prof. Msc. Alexandre Antunes > www alexandre antunes com br > > > Em qua., 1 de jan. de 2020 às 20:31, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Não... >> Vou pensar mais sobre o problema... >> >> Em qua, 1 de jan de 2020 7:33 PM, Alexandre Antunes < >> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu: >> >>> >>> Não poderia ser, realmente, b = 1? >>> >>> >>> >>> Atenciosamente, >>> >>> Prof. Msc. Alexandre Antunes >>> www alexandre antunes com br >>> >>> >>> Em qua., 1 de jan. de 2020 às 19:11, Luiz Antonio Rodrigues < >>> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> Sim, foi o que eu fiz também! >>>> Agora há pouco, pensando que (pi/2)*(u^2)=t^2, achei que b seria >>>> (pi/2). >>>> Também não é... >>>> Eu ainda não sei qual o valor correto de b... >>>> >>>> Em qua, 1 de jan de 2020 5:53 PM, Alexandre Antunes < >>>> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu: >>>> >>>>> >>>>> Qual seria o valor correto de b? Você sabe? >>>>> >>>>> Eu tinha feito uma forma análoga a sua ... chamei u = sqrt(2/pi)*t >>>>> para chegar, em G(x), aparecendo a "integral de 0 a x" cos t^2 dt = F(x). >>>>> >>>>> >>>>> >>>>> Atenciosamente, >>>>> >>>>> Prof. Msc. Alexandre Antunes >>>>> www alexandre antunes com br >>>>> >>>>> >>>>> Em qua., 1 de jan. de 2020 às 17:21, Luiz Antonio Rodrigues < >>>>> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>>>> >>>>>> Olá, Alexandre! >>>>>> Muito obrigado pela resposta! >>>>>> Eu cheguei, agora há pouco, em b=1. >>>>>> Não está correto... >>>>>> O valor de a que eu achei está certo. >>>>>> Eu fiz a seguinte substituição: >>>>>> >>>>>> t=sqrt(pi/2)*u >>>>>> >>>>>> Foi assim que cheguei ao valor correto de a. >>>>>> Mas b não é 1. >>>>>> Qual será o erro? >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> Em qua, 1 de jan de 2020 4:47 PM, Alexandre Antunes < >>>>>> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu: >>>>>> >>>>>>> >>>>>>> Boa tarde, >>>>>>> >>>>>>> Não seria o que fez, sendo b = 1 ? >>>>>>> >>>>>>> Qual a substituição que você fez? >>>>>>> >>>>>>> >>>>>>> >>>>>>> Atenciosamente, >>>>>>> >>>>>>> Prof. Msc. Alexandre Antunes >>>>>>> www alexandre antunes com br >>>>>>> >>>>>>> >>>>>>> Em qua., 1 de jan. de 2020 às 12:01, Luiz Antonio Rodrigues < >>>>>>> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>>>>>> >>>>>>>> Olá, pessoal! >>>>>>>> Feliz Ano Novo! >>>>>>>> Estou tentando resolver o seguinte problema há alguns dias: >>>>>>>> >>>>>>>> São dadas: >>>>>>>> >>>>>>>> F(x)=integral de zero a x de cos(t^2)dt >>>>>>>> >>>>>>>> G(x)=integral de zero a x de cos((pi*u^2)/2)du >>>>>>>> >>>>>>>> Faça uma mudança de variável e mostre que: >>>>>>>> >>>>>>>> G(x)=a*F(b*x) >>>>>>>> >>>>>>>> Quais são os valores de a e b? >>>>>>>> >>>>>>>> Eu consegui achar o valor de a, que é: >>>>>>>> >>>>>>>> sqrt(2)/sqrt(pi) >>>>>>>> >>>>>>>> Está correto! >>>>>>>> >>>>>>>> O problema é que não consigo achar o valor de b. Acho que estou me >>>>>>>> atrapalhando com as variáveis x e t. >>>>>>>> Alguém pode me ajudar? >>>>>>>> Muito obrigado e um abraço! >>>>>>>> Luiz >>>>>>>> >>>>>>>> >>>>>>>> >>>>>>>> >>>>>>>> >>>>>>>> >>>>>>>> >>>>>>>> -- >>>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>>> >>>>>>> >>>>>>> -- >>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>> >>>>>> >>>>>> -- >>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Integrais Definidas
Não... Vou pensar mais sobre o problema... Em qua, 1 de jan de 2020 7:33 PM, Alexandre Antunes < prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu: > > Não poderia ser, realmente, b = 1? > > > > Atenciosamente, > > Prof. Msc. Alexandre Antunes > www alexandre antunes com br > > > Em qua., 1 de jan. de 2020 às 19:11, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Sim, foi o que eu fiz também! >> Agora há pouco, pensando que (pi/2)*(u^2)=t^2, achei que b seria (pi/2). >> Também não é... >> Eu ainda não sei qual o valor correto de b... >> >> Em qua, 1 de jan de 2020 5:53 PM, Alexandre Antunes < >> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu: >> >>> >>> Qual seria o valor correto de b? Você sabe? >>> >>> Eu tinha feito uma forma análoga a sua ... chamei u = sqrt(2/pi)*t para >>> chegar, em G(x), aparecendo a "integral de 0 a x" cos t^2 dt = F(x). >>> >>> >>> >>> Atenciosamente, >>> >>> Prof. Msc. Alexandre Antunes >>> www alexandre antunes com br >>> >>> >>> Em qua., 1 de jan. de 2020 às 17:21, Luiz Antonio Rodrigues < >>> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> Olá, Alexandre! >>>> Muito obrigado pela resposta! >>>> Eu cheguei, agora há pouco, em b=1. >>>> Não está correto... >>>> O valor de a que eu achei está certo. >>>> Eu fiz a seguinte substituição: >>>> >>>> t=sqrt(pi/2)*u >>>> >>>> Foi assim que cheguei ao valor correto de a. >>>> Mas b não é 1. >>>> Qual será o erro? >>>> >>>> >>>> >>>> Em qua, 1 de jan de 2020 4:47 PM, Alexandre Antunes < >>>> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu: >>>> >>>>> >>>>> Boa tarde, >>>>> >>>>> Não seria o que fez, sendo b = 1 ? >>>>> >>>>> Qual a substituição que você fez? >>>>> >>>>> >>>>> >>>>> Atenciosamente, >>>>> >>>>> Prof. Msc. Alexandre Antunes >>>>> www alexandre antunes com br >>>>> >>>>> >>>>> Em qua., 1 de jan. de 2020 às 12:01, Luiz Antonio Rodrigues < >>>>> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>>>> >>>>>> Olá, pessoal! >>>>>> Feliz Ano Novo! >>>>>> Estou tentando resolver o seguinte problema há alguns dias: >>>>>> >>>>>> São dadas: >>>>>> >>>>>> F(x)=integral de zero a x de cos(t^2)dt >>>>>> >>>>>> G(x)=integral de zero a x de cos((pi*u^2)/2)du >>>>>> >>>>>> Faça uma mudança de variável e mostre que: >>>>>> >>>>>> G(x)=a*F(b*x) >>>>>> >>>>>> Quais são os valores de a e b? >>>>>> >>>>>> Eu consegui achar o valor de a, que é: >>>>>> >>>>>> sqrt(2)/sqrt(pi) >>>>>> >>>>>> Está correto! >>>>>> >>>>>> O problema é que não consigo achar o valor de b. Acho que estou me >>>>>> atrapalhando com as variáveis x e t. >>>>>> Alguém pode me ajudar? >>>>>> Muito obrigado e um abraço! >>>>>> Luiz >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> -- >>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Integrais Definidas
Sim, foi o que eu fiz também! Agora há pouco, pensando que (pi/2)*(u^2)=t^2, achei que b seria (pi/2). Também não é... Eu ainda não sei qual o valor correto de b... Em qua, 1 de jan de 2020 5:53 PM, Alexandre Antunes < prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu: > > Qual seria o valor correto de b? Você sabe? > > Eu tinha feito uma forma análoga a sua ... chamei u = sqrt(2/pi)*t para > chegar, em G(x), aparecendo a "integral de 0 a x" cos t^2 dt = F(x). > > > > Atenciosamente, > > Prof. Msc. Alexandre Antunes > www alexandre antunes com br > > > Em qua., 1 de jan. de 2020 às 17:21, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, Alexandre! >> Muito obrigado pela resposta! >> Eu cheguei, agora há pouco, em b=1. >> Não está correto... >> O valor de a que eu achei está certo. >> Eu fiz a seguinte substituição: >> >> t=sqrt(pi/2)*u >> >> Foi assim que cheguei ao valor correto de a. >> Mas b não é 1. >> Qual será o erro? >> >> >> >> Em qua, 1 de jan de 2020 4:47 PM, Alexandre Antunes < >> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu: >> >>> >>> Boa tarde, >>> >>> Não seria o que fez, sendo b = 1 ? >>> >>> Qual a substituição que você fez? >>> >>> >>> >>> Atenciosamente, >>> >>> Prof. Msc. Alexandre Antunes >>> www alexandre antunes com br >>> >>> >>> Em qua., 1 de jan. de 2020 às 12:01, Luiz Antonio Rodrigues < >>> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> Olá, pessoal! >>>> Feliz Ano Novo! >>>> Estou tentando resolver o seguinte problema há alguns dias: >>>> >>>> São dadas: >>>> >>>> F(x)=integral de zero a x de cos(t^2)dt >>>> >>>> G(x)=integral de zero a x de cos((pi*u^2)/2)du >>>> >>>> Faça uma mudança de variável e mostre que: >>>> >>>> G(x)=a*F(b*x) >>>> >>>> Quais são os valores de a e b? >>>> >>>> Eu consegui achar o valor de a, que é: >>>> >>>> sqrt(2)/sqrt(pi) >>>> >>>> Está correto! >>>> >>>> O problema é que não consigo achar o valor de b. Acho que estou me >>>> atrapalhando com as variáveis x e t. >>>> Alguém pode me ajudar? >>>> Muito obrigado e um abraço! >>>> Luiz >>>> >>>> >>>> >>>> >>>> >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Integrais Definidas
Olá, Alexandre! Muito obrigado pela resposta! Eu cheguei, agora há pouco, em b=1. Não está correto... O valor de a que eu achei está certo. Eu fiz a seguinte substituição: t=sqrt(pi/2)*u Foi assim que cheguei ao valor correto de a. Mas b não é 1. Qual será o erro? Em qua, 1 de jan de 2020 4:47 PM, Alexandre Antunes < prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu: > > Boa tarde, > > Não seria o que fez, sendo b = 1 ? > > Qual a substituição que você fez? > > > > Atenciosamente, > > Prof. Msc. Alexandre Antunes > www alexandre antunes com br > > > Em qua., 1 de jan. de 2020 às 12:01, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, pessoal! >> Feliz Ano Novo! >> Estou tentando resolver o seguinte problema há alguns dias: >> >> São dadas: >> >> F(x)=integral de zero a x de cos(t^2)dt >> >> G(x)=integral de zero a x de cos((pi*u^2)/2)du >> >> Faça uma mudança de variável e mostre que: >> >> G(x)=a*F(b*x) >> >> Quais são os valores de a e b? >> >> Eu consegui achar o valor de a, que é: >> >> sqrt(2)/sqrt(pi) >> >> Está correto! >> >> O problema é que não consigo achar o valor de b. Acho que estou me >> atrapalhando com as variáveis x e t. >> Alguém pode me ajudar? >> Muito obrigado e um abraço! >> Luiz >> >> >> >> >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Integrais Definidas
Olá, pessoal! Feliz Ano Novo! Estou tentando resolver o seguinte problema há alguns dias: São dadas: F(x)=integral de zero a x de cos(t^2)dt G(x)=integral de zero a x de cos((pi*u^2)/2)du Faça uma mudança de variável e mostre que: G(x)=a*F(b*x) Quais são os valores de a e b? Eu consegui achar o valor de a, que é: sqrt(2)/sqrt(pi) Está correto! O problema é que não consigo achar o valor de b. Acho que estou me atrapalhando com as variáveis x e t. Alguém pode me ajudar? Muito obrigado e um abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Desconhecida
Olá, Esdras! Eu de novo! Você, ou alguém do grupo, pode me indicar um bom material relacionado às funções transcendentes? É um assunto que me interessa bastante! Abraços! Luiz Em sex, 20 de dez de 2019 4:38 PM, Esdras Muniz escreveu: > Acho que essa função é trancendente. > > Em sex, 20 de dez de 2019 14:42, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, pessoal! >> Tudo bem? >> Estou tentando, há alguns dias, resolver o seguinte problema: >> >> Preciso descobrir uma função f(x) cuja derivada é sen(x^3). Sabe-se que >> f(0)=2. >> >> Utilizei um software e mesmo assim não cheguei numa resposta para esta >> integral... >> Alguém sabe se esta função é de algum tipo "especial"? >> Muito obrigado! >> Luiz >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Função Desconhecida
Olá, Esdras! Muito obrigado pela resposta! Vou fazer uma pesquisa sobre este assunto! Um abraço! Luiz Em sex, 20 de dez de 2019 4:38 PM, Esdras Muniz escreveu: > Acho que essa função é trancendente. > > Em sex, 20 de dez de 2019 14:42, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, pessoal! >> Tudo bem? >> Estou tentando, há alguns dias, resolver o seguinte problema: >> >> Preciso descobrir uma função f(x) cuja derivada é sen(x^3). Sabe-se que >> f(0)=2. >> >> Utilizei um software e mesmo assim não cheguei numa resposta para esta >> integral... >> Alguém sabe se esta função é de algum tipo "especial"? >> Muito obrigado! >> Luiz >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Função Desconhecida
Olá, pessoal! Tudo bem? Estou tentando, há alguns dias, resolver o seguinte problema: Preciso descobrir uma função f(x) cuja derivada é sen(x^3). Sabe-se que f(0)=2. Utilizei um software e mesmo assim não cheguei numa resposta para esta integral... Alguém sabe se esta função é de algum tipo "especial"? Muito obrigado! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Máximo e Mínimo de uma Função
Olá, Pedro! Tudo bem? Muito obrigado pela ajuda! Gostei muito dessa forma de pensar no problema. Vou fazer o que você indicou. Um abraço! Luiz On Sun, Nov 3, 2019, 8:00 AM Pedro José wrote: > Bom dia! > Eu coloquei só o resultado do cálculo. > Note que, para cada jogo de pontos, há três pontos. Os dois da extremidade > possuem sinais diversos na primeira derivada. Significa que entre eles a > derivada se anula porque é contínua. > > Como o cos(x) apresenta picos de Pi/2 em Pi/2. Você pode fazer uma tabela > com pontos defasados em 0,5 e verificar quando ocorre uma variação de sinal > na derivada. Aí entre esses pontos tem um que anula a derivada. > Pode-se fazer um segmento de reta e ver onde se anula. Nesse ponto calcula > de novo o valor da derivada e dececide entre que pontos estão. Até que o > intervalo fique nem pequeno ou o valor da derivada bem próximo de zero. > Mas pode usar pesquisa binária que é mais simples. Calcula a média dos "x" > e o valor da derivada na média. Depois define entre que pontos se anula. > > Saudações, > PJMS > > Em sáb, 2 de nov de 2019 21:20, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, Pedro! >> Boa noite! >> Tudo bem? >> Muito obrigado pelas informações! >> Vou aguardar seus cálculos! >> Um abraço! >> Luiz >> >> On Sat, Nov 2, 2019, 6:02 PM Pedro José wrote: >> >>> Boa tarde! >>> >>> Quando se fala em o máximo e o mínimo. Entendo como sendo globais, ou >>> vão acontecer nas extremidades ou em algum máximo e mínimo local, que >>> também será global. >>> >>> f(-12) = 0,453 >>> f(-3) = -0,475 >>> >>> Não se está pedindo qual o máximo ou mínimo. Se fosse isso dever-se-ia >>> usar algum método numérico. >>> Mas a função é contínua nesse intervalo, se ela for monótona esses >>> seriam o máximo e mínimo. >>> >>> Mas se não for ou o máximo e mínimo ocorrerá nas extremidades ou em >>> algum ponto de derivada zero. Mas está garantido que exista tanto máximo >>> quanto mínimo. >>> >>> Os intervalos, aos quais o 0 pertence também não tem pois a Lim f(x) >>> quando x --> 0+ não existe, tende a 00 e quando tende a )- também não >>> existe, tende a -oo. >>> >>> E o último intervalo certamente terá um máximo. Mas não um mínimo pois a >>> primeira parcela de f(x), é monótona decrescente e tende a zero quando >>> x-->oo e a segundo oscila periodicamente. >>> >>> Vamos supor que o mínimo ocorra em xo ==> 1/xo + sen(xo). Agora pegando >>> o menor valor de x1 com x1> xo e sen (x1) =1 temos que f(x1) = 1/x1 + >>> sen(x1) >>> >>> onde 1/x1 <1/xo e sen(x1)<=sen(xo) ==> f(x1) < f(xo), absurdo. Não >>> existe mínimo. >>> >>> A resposta certa é a a) >>> >>> Vou tentar achá-los por método numérico e dou uma "garibada" na resposta. >>> >>> Saudações, >>> PJMS. >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> Em sáb., 2 de nov. de 2019 às 16:28, Luiz Antonio Rodrigues < >>> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> Olá, Esdras! >>>> Olá, Rodrigo! >>>> Tudo bem? >>>> Muito obrigado pela ajuda! >>>> Sim, eu também pensei que a questão não tem solução... >>>> Vou começar a pensar que o problema pede intervalo, ou intervalos, nos >>>> quais existam mínimos ou máximos locais. >>>> Se for assim, acho que a saída é pensar nos intervalos onde o zero não >>>> está presente... >>>> Acho que meu erro foi pensar que em intervalos fechados existem, com >>>> certeza, máximos e mínimos locais... >>>> Vou continuar pensando e escrevo se tiver novidades. >>>> Abraços! >>>> Luiz >>>> >>>> On Sat, Nov 2, 2019, 2:55 PM Rodrigo Ângelo >>>> wrote: >>>> >>>>> Luiz, >>>>> >>>>> Quando x tende a zero pela direita e pela esquerda, f tende a mais e >>>>> menos infinito, respetivamente. >>>>> >>>>> À rigor, a função não tem máximo nem mínimo, porque para todo x no >>>>> domínio da f, é possível encontrar um xmax e um xmin tais que f(xmax) > >>>>> f(x) e f(xmin) < f(x). >>>>> >>>>> Dito isso, eu responderia a alternativa c) por ser a única que contém >>>>> o zero. >>>>> >
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Máximo e Mínimo de uma Função
Olá, Pedro! Boa noite! Tudo bem? Muito obrigado pelas informações! Vou aguardar seus cálculos! Um abraço! Luiz On Sat, Nov 2, 2019, 6:02 PM Pedro José wrote: > Boa tarde! > > Quando se fala em o máximo e o mínimo. Entendo como sendo globais, ou vão > acontecer nas extremidades ou em algum máximo e mínimo local, que também > será global. > > f(-12) = 0,453 > f(-3) = -0,475 > > Não se está pedindo qual o máximo ou mínimo. Se fosse isso dever-se-ia > usar algum método numérico. > Mas a função é contínua nesse intervalo, se ela for monótona esses seriam > o máximo e mínimo. > > Mas se não for ou o máximo e mínimo ocorrerá nas extremidades ou em algum > ponto de derivada zero. Mas está garantido que exista tanto máximo quanto > mínimo. > > Os intervalos, aos quais o 0 pertence também não tem pois a Lim f(x) > quando x --> 0+ não existe, tende a 00 e quando tende a )- também não > existe, tende a -oo. > > E o último intervalo certamente terá um máximo. Mas não um mínimo pois a > primeira parcela de f(x), é monótona decrescente e tende a zero quando > x-->oo e a segundo oscila periodicamente. > > Vamos supor que o mínimo ocorra em xo ==> 1/xo + sen(xo). Agora pegando o > menor valor de x1 com x1> xo e sen (x1) =1 temos que f(x1) = 1/x1 + sen(x1) > > onde 1/x1 <1/xo e sen(x1)<=sen(xo) ==> f(x1) < f(xo), absurdo. Não existe > mínimo. > > A resposta certa é a a) > > Vou tentar achá-los por método numérico e dou uma "garibada" na resposta. > > Saudações, > PJMS. > > > > > > > > > > > Em sáb., 2 de nov. de 2019 às 16:28, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, Esdras! >> Olá, Rodrigo! >> Tudo bem? >> Muito obrigado pela ajuda! >> Sim, eu também pensei que a questão não tem solução... >> Vou começar a pensar que o problema pede intervalo, ou intervalos, nos >> quais existam mínimos ou máximos locais. >> Se for assim, acho que a saída é pensar nos intervalos onde o zero não >> está presente... >> Acho que meu erro foi pensar que em intervalos fechados existem, com >> certeza, máximos e mínimos locais... >> Vou continuar pensando e escrevo se tiver novidades. >> Abraços! >> Luiz >> >> On Sat, Nov 2, 2019, 2:55 PM Rodrigo Ângelo >> wrote: >> >>> Luiz, >>> >>> Quando x tende a zero pela direita e pela esquerda, f tende a mais e >>> menos infinito, respetivamente. >>> >>> À rigor, a função não tem máximo nem mínimo, porque para todo x no >>> domínio da f, é possível encontrar um xmax e um xmin tais que f(xmax) > >>> f(x) e f(xmin) < f(x). >>> >>> Dito isso, eu responderia a alternativa c) por ser a única que contém o >>> zero. >>> >>> On Sat, Nov 2, 2019, 13:53 Luiz Antonio Rodrigues >>> wrote: >>> >>>> Olá, pessoal! >>>> Bom dia! >>>> Estou tentando resolver o seguinte problema: >>>> >>>> É dada a função: >>>> >>>> f(x)=(1/x)+sen(x) >>>> >>>> Pergunta-se: >>>> >>>> Em quais intervalos abaixo é garantido que encontremos o máximo e o >>>> mínimo desta função? >>>> >>>> a) [-12;-3] >>>> b) (-2;-1) >>>> c) [-pi;pi] >>>> d) [pi;2pi] >>>> e) [5;+ infinito) >>>> >>>> Eu só consegui encontrar um ponto crítico em x=0. >>>> Ele não é o único, pois vi isso num gráfico da função. >>>> Não sei como resolver a equação f'(x)=0. >>>> Acho que estamos lidando com números complexos. >>>> Intervalos fechados fazem parte da solução? >>>> Pergunto isso porque foi minha resposta, que está errada. >>>> Estou confuso. >>>> Alguém pode me ajudar? >>>> Muito obrigado e um abraço! >>>> Luiz >>>> >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Bibliografia
Olá, Esdras! Tudo bem? Muito obrigado pela informação! Vou procurar esses livros! Um abraço! Luiz On Sat, Nov 2, 2019, 3:59 PM Esdras Muniz wrote: > Tem o "Elon fino" Análise real do Elon Lages Lima. > Sobre limite, tem muita biografia em outras línguas, tem um livro muito > bom em italiano, mas não sei se tem em inglês, o livro do Pagani. > > Em sex, 1 de nov de 2019 17:01, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, pessoal! >> Tudo bem? >> Eu preciso de um favor: duas indicações bibliográficas: >> >> 1) Um livro de Cálculo que trate limites de uma maneira mais profunda. >> >> 2) Um livro de Análise Real para principiantes; eu tenho o do Rudin, mas >> acho que, no momento, ele é muito avançado para mim. >> >> Muito obrigado! >> Um abraço! >> Luiz >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Máximo e Mínimo de uma Função
Olá, Esdras! Olá, Rodrigo! Tudo bem? Muito obrigado pela ajuda! Sim, eu também pensei que a questão não tem solução... Vou começar a pensar que o problema pede intervalo, ou intervalos, nos quais existam mínimos ou máximos locais. Se for assim, acho que a saída é pensar nos intervalos onde o zero não está presente... Acho que meu erro foi pensar que em intervalos fechados existem, com certeza, máximos e mínimos locais... Vou continuar pensando e escrevo se tiver novidades. Abraços! Luiz On Sat, Nov 2, 2019, 2:55 PM Rodrigo Ângelo wrote: > Luiz, > > Quando x tende a zero pela direita e pela esquerda, f tende a mais e menos > infinito, respetivamente. > > À rigor, a função não tem máximo nem mínimo, porque para todo x no domínio > da f, é possível encontrar um xmax e um xmin tais que f(xmax) > f(x) e > f(xmin) < f(x). > > Dito isso, eu responderia a alternativa c) por ser a única que contém o > zero. > > On Sat, Nov 2, 2019, 13:53 Luiz Antonio Rodrigues > wrote: > >> Olá, pessoal! >> Bom dia! >> Estou tentando resolver o seguinte problema: >> >> É dada a função: >> >> f(x)=(1/x)+sen(x) >> >> Pergunta-se: >> >> Em quais intervalos abaixo é garantido que encontremos o máximo e o >> mínimo desta função? >> >> a) [-12;-3] >> b) (-2;-1) >> c) [-pi;pi] >> d) [pi;2pi] >> e) [5;+ infinito) >> >> Eu só consegui encontrar um ponto crítico em x=0. >> Ele não é o único, pois vi isso num gráfico da função. >> Não sei como resolver a equação f'(x)=0. >> Acho que estamos lidando com números complexos. >> Intervalos fechados fazem parte da solução? >> Pergunto isso porque foi minha resposta, que está errada. >> Estou confuso. >> Alguém pode me ajudar? >> Muito obrigado e um abraço! >> Luiz >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Máximo e Mínimo de uma Função
Olá, pessoal! Bom dia! Estou tentando resolver o seguinte problema: É dada a função: f(x)=(1/x)+sen(x) Pergunta-se: Em quais intervalos abaixo é garantido que encontremos o máximo e o mínimo desta função? a) [-12;-3] b) (-2;-1) c) [-pi;pi] d) [pi;2pi] e) [5;+ infinito) Eu só consegui encontrar um ponto crítico em x=0. Ele não é o único, pois vi isso num gráfico da função. Não sei como resolver a equação f'(x)=0. Acho que estamos lidando com números complexos. Intervalos fechados fazem parte da solução? Pergunto isso porque foi minha resposta, que está errada. Estou confuso. Alguém pode me ajudar? Muito obrigado e um abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Bibliografia
Olá, pessoal! Tudo bem? Eu preciso de um favor: duas indicações bibliográficas: 1) Um livro de Cálculo que trate limites de uma maneira mais profunda. 2) Um livro de Análise Real para principiantes; eu tenho o do Rudin, mas acho que, no momento, ele é muito avançado para mim. Muito obrigado! Um abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Domínio de uma Função
Olá, Pedro! Tudo bem? Vou ficar atento em relação ao que você mencionou. Muito obrigado pela ajuda! Um abraço! Luiz On Wed, Oct 30, 2019, 1:14 PM Pedro José wrote: > Boa tarde! > Faltara mencionar que o máximo também era local. > Quando eu falo vizinhança de 0, é 0+ e 0- > Se você observar para 0+ temos a primeira derivada positiva, logo a função > é crescente. x^(-1/3)+1 > Para 0- o primeiro termo se sobressai ao segundo e a derivada é negativa, > logo o valor também cresce se andarmos para esquerda, logo é mínimo local. > Mas se a função tiver um comportamento monótono, tanto a esquerda quanto a > direita do ponto, num intervalo mais amplo, você pode usar esse intervalo > para analisar. > Só lembre que se na prova, caso você seja estudante, não pode usar excel. > > Saudações, > PJMS > > Em ter, 29 de out de 2019 às 21:54, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, Pedro! >> Olá, Claudio! >> Tudo bem? >> Sim, cheguei agora há pouco nestes valores para máximo e mínimo locais. >> Muito obrigado! >> E você citou a minha próxima dúvida: existe um tamanho "ideal" para o >> intervalo na vizinhança do ponto crítico? >> Eu sei que ele não pode ser muito grande... >> Mas ele pode ser bem pequeno? >> Por exemplo, se o ponto crítico tiver x=5, o intervalo pode ser (4,6)? >> E (4.5,5.5)? >> Fiz várias pesquisas na internet e continuo confuso... >> Claudio, vou seguir sua sugestão para analisar outras funções utiluzando >> o Excel. >> Muito obrigado pela ajuda! >> Luiz >> >> >> >> On Tue, Oct 29, 2019, 7:38 PM Pedro José wrote: >> >>> Boa noite. >>> Não tinha conhecimento do fato citado por Ralph; >>> Mas essa função tem um mínimo local em x=0 e um máximo em x=-1 >>> No ponto x=1 a segunda derivada é negativa, Em x=0 não existe a primeira >>> derivad, tem que fazer análise da vizinhança do ponto. >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> Em ter, 29 de out de 2019 às 12:29, Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> Use uma planilha. Eu acho melhor pra analisar funções. >>>> >>>> Enviado do meu iPhone >>>> >>>> Em 29 de out de 2019, à(s) 11:23, Luiz Antonio Rodrigues < >>>> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>>> >>>> >>>> Olá, Claudio! >>>> Bom dia! >>>> Foi assim que eu pensei também... >>>> Não entendi por que a calculadora gráfica indicou domÃnio [0, + >>>> infinito). >>>> Vou verificar tudo novamente... >>>> Muito obrigado pela ajuda! >>>> Abraço! >>>> Luiz >>>> >>>> On Tue, Oct 29, 2019, 10:49 AM Claudio Buffara < >>>> claudio.buff...@gmail.com> wrote: >>>> >>>>> Estritamente falando, o domÃnio da função não foi definido. >>>>> Nestes casos, o usual é tomar por domÃnio o maior subconjunto de R >>>>> no qual a fórmula faz sentido. >>>>> E, neste caso especÃfico, a fórmula faz sentido para todo x real. >>>>> >>>>> O gráfico de h(x) = x^(2/3) tem uma "ponta" em x = 0, de modo que a >>>>> derivada h'(x) não é definida na origem. >>>>> >>>>> Mas não deveria haver problema algum em x = -1. >>>>> >>>>> >>>>> On Tue, Oct 29, 2019 at 4:57 AM Luiz Antonio Rodrigues < >>>>> rodrigue...@gmail.com> wrote: >>>>> >>>>>> Olá, pessoal! >>>>>> Tudo bem? >>>>>> Estou tentando descobrir os pontos de máximo e mÃnimo da função: >>>>>> >>>>>> f(x)=1.5*(x)^(2/3)+x >>>>>> >>>>>> A primeira derivada se anula em x=-1. >>>>>> Mas porque -1 não pertence ao domÃnio da função? >>>>>> Vi isso numa calculadora gráfica. >>>>>> Eu não consigo entender isso... >>>>>> Não estou tirando a raiz cúbica de um número ao quadrado? >>>>>> Alguém pode me ajudar? >>>>>> Muito obrigado! >>>>>> Luiz >>>>>> >>>>>> -- >>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Domínio de uma Função
Olá, Pedro! Olá, Claudio! Tudo bem? Sim, cheguei agora há pouco nestes valores para máximo e mínimo locais. Muito obrigado! E você citou a minha próxima dúvida: existe um tamanho "ideal" para o intervalo na vizinhança do ponto crítico? Eu sei que ele não pode ser muito grande... Mas ele pode ser bem pequeno? Por exemplo, se o ponto crítico tiver x=5, o intervalo pode ser (4,6)? E (4.5,5.5)? Fiz várias pesquisas na internet e continuo confuso... Claudio, vou seguir sua sugestão para analisar outras funções utiluzando o Excel. Muito obrigado pela ajuda! Luiz On Tue, Oct 29, 2019, 7:38 PM Pedro José wrote: > Boa noite. > Não tinha conhecimento do fato citado por Ralph; > Mas essa função tem um mínimo local em x=0 e um máximo em x=-1 > No ponto x=1 a segunda derivada é negativa, Em x=0 não existe a primeira > derivad, tem que fazer análise da vizinhança do ponto. > > Saudações, > PJMS > > Em ter, 29 de out de 2019 às 12:29, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Use uma planilha. Eu acho melhor pra analisar funções. >> >> Enviado do meu iPhone >> >> Em 29 de out de 2019, à(s) 11:23, Luiz Antonio Rodrigues < >> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >> >> >> Olá, Claudio! >> Bom dia! >> Foi assim que eu pensei também... >> Não entendi por que a calculadora gráfica indicou domÃnio [0, + >> infinito). >> Vou verificar tudo novamente... >> Muito obrigado pela ajuda! >> Abraço! >> Luiz >> >> On Tue, Oct 29, 2019, 10:49 AM Claudio Buffara >> wrote: >> >>> Estritamente falando, o domÃnio da função não foi definido. >>> Nestes casos, o usual é tomar por domÃnio o maior subconjunto de R no >>> qual a fórmula faz sentido. >>> E, neste caso especÃfico, a fórmula faz sentido para todo x real. >>> >>> O gráfico de h(x) = x^(2/3) tem uma "ponta" em x = 0, de modo que a >>> derivada h'(x) não é definida na origem. >>> >>> Mas não deveria haver problema algum em x = -1. >>> >>> >>> On Tue, Oct 29, 2019 at 4:57 AM Luiz Antonio Rodrigues < >>> rodrigue...@gmail.com> wrote: >>> >>>> Olá, pessoal! >>>> Tudo bem? >>>> Estou tentando descobrir os pontos de máximo e mÃnimo da função: >>>> >>>> f(x)=1.5*(x)^(2/3)+x >>>> >>>> A primeira derivada se anula em x=-1. >>>> Mas porque -1 não pertence ao domÃnio da função? >>>> Vi isso numa calculadora gráfica. >>>> Eu não consigo entender isso... >>>> Não estou tirando a raiz cúbica de um número ao quadrado? >>>> Alguém pode me ajudar? >>>> Muito obrigado! >>>> Luiz >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Domínio de uma Função
Oi, Claudio! Tudo bem? Você sugere uma planilha tipo Excel ou Numbers? Eu nunca pensei nisso... Acho que é uma ideia excelente! On Tue, Oct 29, 2019, 12:29 PM Claudio Buffara wrote: > Use uma planilha. Eu acho melhor pra analisar funções. > > Enviado do meu iPhone > > Em 29 de out de 2019, à(s) 11:23, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > > > Olá, Claudio! > Bom dia! > Foi assim que eu pensei também... > Não entendi por que a calculadora gráfica indicou domÃnio [0, + > infinito). > Vou verificar tudo novamente... > Muito obrigado pela ajuda! > Abraço! > Luiz > > On Tue, Oct 29, 2019, 10:49 AM Claudio Buffara > wrote: > >> Estritamente falando, o domÃnio da função não foi definido. >> Nestes casos, o usual é tomar por domÃnio o maior subconjunto de R no >> qual a fórmula faz sentido. >> E, neste caso especÃfico, a fórmula faz sentido para todo x real. >> >> O gráfico de h(x) = x^(2/3) tem uma "ponta" em x = 0, de modo que a >> derivada h'(x) não é definida na origem. >> >> Mas não deveria haver problema algum em x = -1. >> >> >> On Tue, Oct 29, 2019 at 4:57 AM Luiz Antonio Rodrigues < >> rodrigue...@gmail.com> wrote: >> >>> Olá, pessoal! >>> Tudo bem? >>> Estou tentando descobrir os pontos de máximo e mÃnimo da função: >>> >>> f(x)=1.5*(x)^(2/3)+x >>> >>> A primeira derivada se anula em x=-1. >>> Mas porque -1 não pertence ao domÃnio da função? >>> Vi isso numa calculadora gráfica. >>> Eu não consigo entender isso... >>> Não estou tirando a raiz cúbica de um número ao quadrado? >>> Alguém pode me ajudar? >>> Muito obrigado! >>> Luiz >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Domínio de uma Função
Olá, Ralph! Tudo bem? Eu fiz o que você sugeriu. Dessa vez eu usei uma calculadora científica simples e funcionou... Então o domínio é o conjunto dos reais. Vou continuar pensando no problema... Muito obrigado pela ajuda! Um abraço! Luiz On Tue, Oct 29, 2019, 11:49 AM Ralph Teixeira wrote: > Muitas calculadoras evitam elevar números negativos a frações (que > realmente costumam dar problemas -- se você trocar a=2/3 por um número real > muito próximo, a função x^a pode NÃO estar definida para x<0). E em x^(2/3) > você faz o 2/3 antes de exponenciar, então a calculadora não sabe que "tem > um quadrado" ali. > > Experimente o seguinte: tente (x^2)^(1/3), ao invés de x^(2/3) -- a > calculadora ainda reclama? Melhor ainda, tem algum símbolo específico para > raiz cúbica? Talvez algo como raiz3(x^2)? Aposto que ela se sai melhor se > escrever assim. > > Abraço, Ralph. > > On Tue, Oct 29, 2019 at 10:49 AM Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> wrote: > >> Estritamente falando, o domínio da função não foi definido. >> Nestes casos, o usual é tomar por domínio o maior subconjunto de R no >> qual a fórmula faz sentido. >> E, neste caso específico, a fórmula faz sentido para todo x real. >> >> O gráfico de h(x) = x^(2/3) tem uma "ponta" em x = 0, de modo que a >> derivada h'(x) não é definida na origem. >> >> Mas não deveria haver problema algum em x = -1. >> >> >> On Tue, Oct 29, 2019 at 4:57 AM Luiz Antonio Rodrigues < >> rodrigue...@gmail.com> wrote: >> >>> Olá, pessoal! >>> Tudo bem? >>> Estou tentando descobrir os pontos de máximo e mínimo da função: >>> >>> f(x)=1.5*(x)^(2/3)+x >>> >>> A primeira derivada se anula em x=-1. >>> Mas porque -1 não pertence ao domínio da função? >>> Vi isso numa calculadora gráfica. >>> Eu não consigo entender isso... >>> Não estou tirando a raiz cúbica de um número ao quadrado? >>> Alguém pode me ajudar? >>> Muito obrigado! >>> Luiz >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Domínio de uma Função
Olá, Claudio! Bom dia! Foi assim que eu pensei também... Não entendi por que a calculadora gráfica indicou domínio [0, + infinito). Vou verificar tudo novamente... Muito obrigado pela ajuda! Abraço! Luiz On Tue, Oct 29, 2019, 10:49 AM Claudio Buffara wrote: > Estritamente falando, o domínio da função não foi definido. > Nestes casos, o usual é tomar por domínio o maior subconjunto de R no qual > a fórmula faz sentido. > E, neste caso específico, a fórmula faz sentido para todo x real. > > O gráfico de h(x) = x^(2/3) tem uma "ponta" em x = 0, de modo que a > derivada h'(x) não é definida na origem. > > Mas não deveria haver problema algum em x = -1. > > > On Tue, Oct 29, 2019 at 4:57 AM Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> wrote: > >> Olá, pessoal! >> Tudo bem? >> Estou tentando descobrir os pontos de máximo e mínimo da função: >> >> f(x)=1.5*(x)^(2/3)+x >> >> A primeira derivada se anula em x=-1. >> Mas porque -1 não pertence ao domínio da função? >> Vi isso numa calculadora gráfica. >> Eu não consigo entender isso... >> Não estou tirando a raiz cúbica de um número ao quadrado? >> Alguém pode me ajudar? >> Muito obrigado! >> Luiz >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Domínio de uma Função
Olá, pessoal! Tudo bem? Estou tentando descobrir os pontos de máximo e mínimo da função: f(x)=1.5*(x)^(2/3)+x A primeira derivada se anula em x=-1. Mas porque -1 não pertence ao domínio da função? Vi isso numa calculadora gráfica. Eu não consigo entender isso... Não estou tirando a raiz cúbica de um número ao quadrado? Alguém pode me ajudar? Muito obrigado! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Aproximação Linear e Quadrática
Olá, Ralph! Olá, Rodrigo! Tudo bem? Tudo indica que sim! Se eu obtiver alguma outra informação, mando uma mensagem. Muito obrigado pela ajuda! Um abraço! On Sun, Oct 13, 2019, 8:36 AM Rodrigo Ângelo wrote: > Também acho que está correto. > > x=0 é ponto de inflexão de f(x)=x^3 > > Perto de 0 a função se parece com a função constante 0 > > On Sun, Oct 13, 2019, 00:00 Ralph Teixeira wrote: > >> Pois eh, para mim essas sao as respostas corretas: "0" e "0" de novo. Se >> voce usar Serie de Taylor, faz sentido! Perto de 0, x^3 fica mais bem >> aproximado pela expressao "0" do que qualquer outra funcao afim ou >> quadratica! >> >> Abraco, Ralph. >> >> On Sat, Oct 12, 2019 at 7:29 PM Luiz Antonio Rodrigues < >> rodrigue...@gmail.com> wrote: >> >>> Olá, Ralph! >>> Tudo bem? >>> Sim, eu pensei nisso... >>> >>> Para a aproximação linear eu usei: >>> L(x) ~= f(0) + f'(0)*x = 0 >>> >>> Para a quadrática: >>> Q(x) ~= f(0) + f'(0)*x + (1/2)*f''(0)*x^2 = 0 >>> >>> Estranho, não é? >>> >>> >>> On Sat, Oct 12, 2019, 7:09 PM Ralph Teixeira wrote: >>> >>>> Hm, por que nao eh a resposta correta? x^3 eh BEM perto de 0 quando x >>>> eh pequeno... >>>> >>>> Abraco, Ralph. >>>> >>>> On Sat, Oct 12, 2019 at 5:15 PM Luiz Antonio Rodrigues < >>>> rodrigue...@gmail.com> wrote: >>>> >>>>> Olá, pessoal! >>>>> Boa tarde! >>>>> Tudo bem? >>>>> Preciso de uma dica. >>>>> Estou calculando as aproximações linear e quadrática de: >>>>> >>>>> f(x)=x^3 >>>>> >>>>> Nas duas eu obtive zero, usando a série de Taylor, que não é a >>>>> resposta correta. >>>>> Alguém tem alguma ideia? >>>>> Muito obrigado! >>>>> Luiz >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aproximação Linear e Quadrática
Olá, Ralph! Tudo bem? Sim, eu pensei nisso... Para a aproximação linear eu usei: L(x) ~= f(0) + f'(0)*x = 0 Para a quadrática: Q(x) ~= f(0) + f'(0)*x + (1/2)*f''(0)*x^2 = 0 Estranho, não é? On Sat, Oct 12, 2019, 7:09 PM Ralph Teixeira wrote: > Hm, por que nao eh a resposta correta? x^3 eh BEM perto de 0 quando x eh > pequeno... > > Abraco, Ralph. > > On Sat, Oct 12, 2019 at 5:15 PM Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> wrote: > >> Olá, pessoal! >> Boa tarde! >> Tudo bem? >> Preciso de uma dica. >> Estou calculando as aproximações linear e quadrática de: >> >> f(x)=x^3 >> >> Nas duas eu obtive zero, usando a série de Taylor, que não é a resposta >> correta. >> Alguém tem alguma ideia? >> Muito obrigado! >> Luiz >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: Aproximação Linear e Quadrática
Desculpe, esqueci de dizer que a aproximação é para x=0. On Sat, Oct 12, 2019, 5:04 PM Luiz Antonio Rodrigues wrote: > Olá, pessoal! > Boa tarde! > Tudo bem? > Preciso de uma dica. > Estou calculando as aproximações linear e quadrática de: > > f(x)=x^3 > > Nas duas eu obtive zero, usando a série de Taylor, que não é a resposta > correta. > Alguém tem alguma ideia? > Muito obrigado! > Luiz > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Aproximação Linear e Quadrática
Olá, pessoal! Boa tarde! Tudo bem? Preciso de uma dica. Estou calculando as aproximações linear e quadrática de: f(x)=x^3 Nas duas eu obtive zero, usando a série de Taylor, que não é a resposta correta. Alguém tem alguma ideia? Muito obrigado! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema de Cálculo
Olá, pessoal! Boa tarde! Tudo bem? Estou tentando resolver um problema que tem duas partes. O problema é o seguinte: Uma senhora vai servir sorvete para uma sobrinha numa taça de formato cônico. O diâmetro da taça vale 3 e a altura da taça vale 6. As medidas estão em polegadas. Na primeira parte do problema, pede-se uma fórmula que forneça a altura da porção de sorvete servida em função do volume desta porção. Já fiz isso e a resposta é: h=(48*V/pi)^(1/3) A resposta está correta. Estou com dificuldade na segunda parte, que diz que a sobrinha quer uma porção de 3 polegadas de altura. Ela diz que o erro na altura |Δh| seja <= 0.01. A senhora só possui colheres com erro na medida de volume |Δv| <= 0.1 e não há marcações na taça. Ache o volume exato, em termos de pi, de sorvete que a senhora vai servir para sua sobrinha. Então aproxime o erro na medida da altura |Δh| em termos do erro na medida do volume |Δv|. Alguém pode me ajudar? Agradeço desde já! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema sobre Derivadas
Olá, Claudio! Olá, Gabriel! Muito obrigado pela ajuda! Tudo ficou claro agora! Abraços Luiz On Fri, Aug 30, 2019, 3:15 PM Claudio Buffara wrote: > h'(x) = g'(f(x))*f'(x) ==> h'(3) = g'(f(3))*f'(3) = g'(5)*3 = 4*3 = 12. > > Imagino que a sua dificuldade esteja em como aplicar a regra da cadeia, > que nos livros de cálculo é normalmente enunciada como: > dy/dx = dy/du * du/dx (*) > sem especificar quem são os argumentos (variáveis independentes) das > funções e nem em que pontos as derivadas são calculadas. > > A fórmula que escrevi acima explicita isso: h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) > ==> h'(x) = g'(f(x))*f'(x). > Assim, a derivada de h no ponto x = a, é dada por h'(a) = g'(f(a))*f'(a) > > Na fórmula (*) está implícito (mas deveria ser explicitado pelo autor do > livro) que y é uma função (digamos, g) do argumento u, e u, por sua vez, é > uma função (digamos, f) do argumento x. > Logo, y = g(u) e u = f(x), o que implica que y = g(f(x)). > Se queremos calcular dy/dx (a derivada de y em relação a x) no ponto x = > a, de fato, queremos a derivada da função composta gof no ponto x = a. > > Ou seja, dy/dx(x=a) = (gof)'(a) > > Em (*), dy/du é a derivada de g em relação a u, calculada no ponto u = > f(a) ==> dy/du(u=f(a)) = g'(f(a)). > E du/dx é a derivada de f em relação a x, calculada no ponto x = a ==> > du/dx(x=a) = f'(a). > > Assim, os livros de cálculo que apresentassem a fórmula (*) deveriam, no > mínimo, escrevê-la como: > dy/dx(x=a) = dy/du(u=u(a)) * du/dx(x=a) > Ou seja, explicitando em que ponto cada derivada é calculada. > > Espero que isso tenha ajudado. > > []s, > Claudio. > > > On Fri, Aug 30, 2019 at 2:16 PM Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> wrote: > >> Olá, pessoal! >> Boa tarde! >> Tudo bem? >> Estou confuso com o problema abaixo. >> Alguém pode me ajudar? >> Reconheço que tenho falhas graves em Cálculo e aproveito para pedir uma >> indicação de material para estudar. >> Muito obrigado! >> >> Temos duas funções f e g e sabemos que: >> >> f(3)=5 >> f'(3)=3 >> >> f(4)=2 >> f'(4)= -3 >> >> f(5)=1 >> f'(5)=7 >> >> g(3)=4 >> g'(3)=5 >> >> g(5)=3 >> g'(5)=4 >> >> Se h(x)=g(f(x)), quanto vale h'(3)? >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema sobre Derivadas
Olá, pessoal! Boa tarde! Tudo bem? Estou confuso com o problema abaixo. Alguém pode me ajudar? Reconheço que tenho falhas graves em Cálculo e aproveito para pedir uma indicação de material para estudar. Muito obrigado! Temos duas funções f e g e sabemos que: f(3)=5 f'(3)=3 f(4)=2 f'(4)= -3 f(5)=1 f'(5)=7 g(3)=4 g'(3)=5 g(5)=3 g'(5)=4 Se h(x)=g(f(x)), quanto vale h'(3)? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aproximação Linear
Olá, Claudio! Sim! Foi exatamente isso que aconteceu comigo! Muito obrigado pela ajuda! On Sun, Aug 25, 2019, 1:27 PM Claudio Buffara wrote: > Fico feliz de ter podido ajudar! > > Infelizmente, os livros de cálculo focam quase que exclusivamente na noção > de derivada como a inclinação da reta tangente ao gráfico da função. > Obviamente isso está correto, mas é apenas uma forma de ver a derivada, e > que não é facilmente generalizável pra 2 ou mais dimensões. > Um outro ponto de vista, que às vezes é mais útil, especialmente no R^n, é > entender a derivada como uma transformação linear que aproxima a função na > vizinhança de um ponto, com um erro que tende a zero mais rapidamente do > que o erro na determinação do ponto do domínio. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aproximação Linear
Olá, Claudio! Sim, isso mesmo! Eu estava com dúvidas exatamente na parte do erro, mas agora tudo ficou claro. Muito obrigado! On Sun, Aug 25, 2019, 12:54 PM Claudio Buffara wrote: > Se a função que você quer aproximar for derivável no ponto a, então a > aproximação linear (ou, mais precisamente, afim) é: > f(x) = f(a) + f'(a)*(x-a) + o(x-a), onde o(x-a) é o erro na aproximação e > tal que o(x-a)/(x-a) tende a 0 quando x ->a. > Isso vale pra n dimensões (e, neste caso, a derivada é uma transformação > linear). > > É essa a aproximação linear que você tem em mente? > > On Sun, Aug 25, 2019 at 12:24 PM Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> wrote: > >> Olá, pessoal! >> Boa tarde! >> Alguém pode me indicar um bom material sobre Aproximação Linear? >> Pode ser em inglês. >> Muito obrigado! >> Luiz >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Aproximação Linear
Olá, pessoal! Boa tarde! Alguém pode me indicar um bom material sobre Aproximação Linear? Pode ser em inglês. Muito obrigado! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Infinito
Olá, Daniel! Boa noite! Concordo com você... Acho que eu deveria ter dito que 1/x se aproxima do infinito quando x tende a zero... Mas é um aluno do Ensino Médio... Conclusão: seu argumento é muito melhor! Muito obrigado e um abraço! Luiz On Thu, Apr 18, 2019, 6:26 PM Daniel Quevedo wrote: > Luiz 1/0 é impossível de ser efetuado. Uma maneira bem informal d mostrar > é falar q é igual a um número x. Assim, 0.x =1 (não há nenhum x q satisfaça > a equação) > Se fizer o mesmo com 0/0=x => 0.x = 0 => é indeterminado pq qqr número > satisfaz. > > Obs essa explicação não estaria tecnicamente correta, mas acho q mostra o > fato > > Em qui, 18 de abr de 2019 às 18:09, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, pessoal! >> Tudo bem? >> Um aluno do Ensino Médio me perguntou se 1 é infinitas vezes maior que >> zero. >> Eu respondi que 1/0 é infinito, mas que infinito vezes zero não pode ser >> 1. >> Mas confesso que fiquei com dúvidas sobre isso... >> O que vocês pensam a respeito? >> Um abraço! >> Luiz >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Infinito
Olá, pessoal! Tudo bem? Um aluno do Ensino Médio me perguntou se 1 é infinitas vezes maior que zero. Eu respondi que 1/0 é infinito, mas que infinito vezes zero não pode ser 1. Mas confesso que fiquei com dúvidas sobre isso... O que vocês pensam a respeito? Um abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Problema de Matemática Financeira
Olá, Pedro! Seguirei seu conselho: vou conversar com alguém que entenda bastante do assunto. Muito obrigado e um abraço! Luiz On Sun, Mar 31, 2019, 7:23 PM Pedro José wrote: > Boa noite! > > Mas tem de verificar se é praxe fazer assim ou não. Nos juros compostos, > você pode trabalhar com qualquer referência no tempo e depois levar para > uma mesma que dá a mesma coisa. > > Juro simples não. Ma ninguém trabalha com juro simples. Tem que ver uma > pessoa que entenda de financeira. Pois, fica difícil adivinhar qual o > método a utilizar. > > Em dom, 31 de mar de 2019 às 18:29, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, Pedro! >> Tudo bem? >> Concordo com suas observações. >> Eu havia chegado no valor calculado no item (1). >> Mas eu entendi os cálculos dos itens (2) e (3). >> Agora sim eu percebi qual deve ser o raciocínio para resolver o problema! >> Muito obrigado pela ajuda! >> Um abraço! >> Luiz >> >> On Sun, Mar 31, 2019, 1:04 PM Pedro José wrote: >> >>> Bom dia! >>> >>> Primeiramente, nenhuma instituição empresta a juros simples. Segundo, >>> nenhuma instituição permite que o pagamento fique a vontade do cliente. Há >>> mora para esse caso. >>> Não consigo entender a natureza desses problemas. >>> Não entendo muito de matemática financeira. Mas o cálculo à taxa de >>> juros simples não se conserva no tempo de referência. >>> Vamos fazer três fluxos de Caixa: >>> >>> 1) Se tomei 50.000 de empréstimo e paguei 5.000, só peguei 45.000 de >>> empréstimo. O resto é só para testar se o solicitante do empréstimo tem >>> algum "oxigênio" >>> dívida inicial de 45.000 >>> 9 meses depois a dívida seria de: 45.000 * 1,27 = 57.150,00 >>> Pago 9.000 minha dívida passou a ser de 48.150,00 >>> Daí a 6meses (15 do pedido de empréstimo) minha dívida seria de >>> 48.150,00 * 1,18 = 56.817,00 >>> Pago 15.000, passo a dever 41,817,00 >>> Daí a 9 meses passaria a dever 41.817*1,27= 53.107,57 >>> >>> 2) Vamos levar tudo para 2 anos agora. >>> >>> 45.000,00*1,72=77.4000,00 (dívida) >>> 9.000,00 * 1,45 = 13.050 (amortização) >>> 15.000,00*1,27 = 19.050 (amortização) >>> Dívida restante = 45.300,00 >>> >>> 2) Vamos trazer tudo para o valor presente: >>> >>> 45.000,00 fica >>> 9.000,00/1,27 = 7.086,614 >>> 15.000,00/1,45 = 10.344,883 >>> Divída no dia do empréstimo: 27.568,56 >>> Dívida após dois anos: 27.568.56*1,72= 47.417,92 >>> >>> Não sei se há alguma convenção para fazer o fluxo de caixa nesse sistema >>> de juros, que não existe. >>> >>> Talvez alguém que entenda de financeira possa ajudá-lo. >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> >>> Em sex, 29 de mar de 2019 às 22:19, Luiz Antonio Rodrigues < >>> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> Olá, pessoal! >>>> Tudo bem? >>>> Resolvi o problema abaixo e não consigo chegar na resposta. >>>> Alguém pode me ajudar? >>>> Muito obrigado e um abraço! >>>> Luiz >>>> >>>> A empresa SoDevo S.A comprou um equipamento cujo valor a vista era R$ >>>> 50.000,00. A empresa pagou 10% de entrada e concordou em financiar o >>>> restante a uma taxa de juros simples de 3% a.m. Se a empresa pagar ao banco >>>> R$ 9.000,00 nove meses após a compra e R$ 15.000,00 quinze meses após a >>>> compra, quanto precisará pagar para liquidar o financiamento dois anos >>>> depois da compra? Resposta: R$ 47.417,92 >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de Matemática Financeira
Olá, Pedro! Tudo bem? Concordo com suas observações. Eu havia chegado no valor calculado no item (1). Mas eu entendi os cálculos dos itens (2) e (3). Agora sim eu percebi qual deve ser o raciocínio para resolver o problema! Muito obrigado pela ajuda! Um abraço! Luiz On Sun, Mar 31, 2019, 1:04 PM Pedro José wrote: > Bom dia! > > Primeiramente, nenhuma instituição empresta a juros simples. Segundo, > nenhuma instituição permite que o pagamento fique a vontade do cliente. Há > mora para esse caso. > Não consigo entender a natureza desses problemas. > Não entendo muito de matemática financeira. Mas o cálculo à taxa de juros > simples não se conserva no tempo de referência. > Vamos fazer três fluxos de Caixa: > > 1) Se tomei 50.000 de empréstimo e paguei 5.000, só peguei 45.000 de > empréstimo. O resto é só para testar se o solicitante do empréstimo tem > algum "oxigênio" > dívida inicial de 45.000 > 9 meses depois a dívida seria de: 45.000 * 1,27 = 57.150,00 > Pago 9.000 minha dívida passou a ser de 48.150,00 > Daí a 6meses (15 do pedido de empréstimo) minha dívida seria de 48.150,00 > * 1,18 = 56.817,00 > Pago 15.000, passo a dever 41,817,00 > Daí a 9 meses passaria a dever 41.817*1,27= 53.107,57 > > 2) Vamos levar tudo para 2 anos agora. > > 45.000,00*1,72=77.4000,00 (dívida) > 9.000,00 * 1,45 = 13.050 (amortização) > 15.000,00*1,27 = 19.050 (amortização) > Dívida restante = 45.300,00 > > 2) Vamos trazer tudo para o valor presente: > > 45.000,00 fica > 9.000,00/1,27 = 7.086,614 > 15.000,00/1,45 = 10.344,883 > Divída no dia do empréstimo: 27.568,56 > Dívida após dois anos: 27.568.56*1,72= 47.417,92 > > Não sei se há alguma convenção para fazer o fluxo de caixa nesse sistema > de juros, que não existe. > > Talvez alguém que entenda de financeira possa ajudá-lo. > > Saudações, > PJMS > > > Em sex, 29 de mar de 2019 às 22:19, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, pessoal! >> Tudo bem? >> Resolvi o problema abaixo e não consigo chegar na resposta. >> Alguém pode me ajudar? >> Muito obrigado e um abraço! >> Luiz >> >> A empresa SoDevo S.A comprou um equipamento cujo valor a vista era R$ >> 50.000,00. A empresa pagou 10% de entrada e concordou em financiar o >> restante a uma taxa de juros simples de 3% a.m. Se a empresa pagar ao banco >> R$ 9.000,00 nove meses após a compra e R$ 15.000,00 quinze meses após a >> compra, quanto precisará pagar para liquidar o financiamento dois anos >> depois da compra? Resposta: R$ 47.417,92 >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema de Matemática Financeira
Olá, pessoal! Tudo bem? Resolvi o problema abaixo e não consigo chegar na resposta. Alguém pode me ajudar? Muito obrigado e um abraço! Luiz A empresa SoDevo S.A comprou um equipamento cujo valor a vista era R$ 50.000,00. A empresa pagou 10% de entrada e concordou em financiar o restante a uma taxa de juros simples de 3% a.m. Se a empresa pagar ao banco R$ 9.000,00 nove meses após a compra e R$ 15.000,00 quinze meses após a compra, quanto precisará pagar para liquidar o financiamento dois anos depois da compra? Resposta: R$ 47.417,92 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema Simples de Probabilidade
Olá, Pedro! Tudo bem? Muito obrigado pela resposta! Um abraço! Luiz On Thu, Nov 22, 2018, 7:13 PM Pedro José Boa noite! > > Considerando o modelo equiprovável, já que não há menção ao contrário. > Resolvi de outra maneira e também deu 13/35. > > Caminhos possíveis: PBB, BPB e BBQ ==> 2*(4*3*2)/(7*6*5) + (3*2)/(7*6)= > 13/35 > P preta, B branca Q qualquer > Menor do que 1/2, o que é esperado, uma vez que há mais bolas pretas do > que brancas, não há como a probabilidade de se tirar mais brancas, seja > superior a 50%, a menos se o modelo não for equiprovável. > > Saudações, > PJMS > > > Em qui, 22 de nov de 2018 às 07:35, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, Ralph! >> Bom dia! >> Cheguei neste resultado também! >> Conclusão: gabarito incorreto! >> Muito obrigado pela ajuda! >> Um abraço! >> Luiz >> >> On Thu, Nov 22, 2018, 1:58 AM Ralph Teixeira > >>> Bolas B1,B2,B3,P1,P2,P3,P4. >>> >>> Ha C(7,3)=35 maneiras igualmente provaveis de retirar 3 bolas >>> simultaneamente (ignoro a ordem). >>> >>> Destas, tem C(3,2).C(4,1)+C(3,3).C(4,0) = 12+1=13 maneiras de tirar pelo >>> menos 2 brancas (12 maneiras de tirar 2 brancas e 1 reta, mais uma de tirar >>> 3 brancas). >>> >>> Entao eu acho 13/35... que nao eh 60%. Errei algo? :( >>> >>> Abraco, Ralph. >>> >>> On Wed, Nov 21, 2018 at 11:12 PM Luiz Antonio Rodrigues < >>> rodrigue...@gmail.com> wrote: >>> >>>> Olá, pessoal! >>>> Tudo bem? >>>> Resolvi o seguinte problema, que é simples, de muitas maneiras e não >>>> chego na resposta do gabarito, que supostamente é 60%. >>>> >>>> Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 pretas. São retiradas >>>> simultaneamente 3 bolas da urna. Qual a probabilidade de que pelo menos 2 >>>> bolas brancas sejam retiradas? >>>> >>>> Alguém pode me ajudar. >>>> Muito obrigado e um abraço! >>>> Luiz >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema Simples de Probabilidade
Olá, Ralph! Bom dia! Cheguei neste resultado também! Conclusão: gabarito incorreto! Muito obrigado pela ajuda! Um abraço! Luiz On Thu, Nov 22, 2018, 1:58 AM Ralph Teixeira Bolas B1,B2,B3,P1,P2,P3,P4. > > Ha C(7,3)=35 maneiras igualmente provaveis de retirar 3 bolas > simultaneamente (ignoro a ordem). > > Destas, tem C(3,2).C(4,1)+C(3,3).C(4,0) = 12+1=13 maneiras de tirar pelo > menos 2 brancas (12 maneiras de tirar 2 brancas e 1 reta, mais uma de tirar > 3 brancas). > > Entao eu acho 13/35... que nao eh 60%. Errei algo? :( > > Abraco, Ralph. > > On Wed, Nov 21, 2018 at 11:12 PM Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> wrote: > >> Olá, pessoal! >> Tudo bem? >> Resolvi o seguinte problema, que é simples, de muitas maneiras e não >> chego na resposta do gabarito, que supostamente é 60%. >> >> Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 pretas. São retiradas simultaneamente >> 3 bolas da urna. Qual a probabilidade de que pelo menos 2 bolas brancas >> sejam retiradas? >> >> Alguém pode me ajudar. >> Muito obrigado e um abraço! >> Luiz >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema Simples de Probabilidade
Olá, pessoal! Tudo bem? Resolvi o seguinte problema, que é simples, de muitas maneiras e não chego na resposta do gabarito, que supostamente é 60%. Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 pretas. São retiradas simultaneamente 3 bolas da urna. Qual a probabilidade de que pelo menos 2 bolas brancas sejam retiradas? Alguém pode me ajudar. Muito obrigado e um abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema de Trigonometria
Olá, Ralph! Bom dia! Muito obrigado pela ajuda! Agora o problema faz sentido! Um abraço! Luiz On Tue, Nov 6, 2018, 10:45 PM Ralph Teixeira Eles disseram que a expressão eh uma identidade **em x**. Abrindo a > expressão da direita e organizando, o que foi dado eh que: > sinx+2cosx=(Asiny)sinx+(Acosy)cosx vale para todo x real. > > Como A e y sao NUMEROS (nao dependem de x), o unico jeito de isso > acontecer eh se os coeficientes de sinx e cosx de um lado coincidirem com > os coeficientes do outro lado, respectivamente (se você ainda não acredita > nisso, explico no "Mais Embaixo"). Então devemos ter: > Asiny=1 > Acosy=2 > Elevando ao quadrado e somando, vem A^2=5, ou seja, A=raiz(5) (pois eles > falaram que A>0). > > Abraco, Ralph. > > M.E.: a afirmacao que eu fiz equivale a dizer que sinx e cosx sao funcoes > linearmente independentes... em suma, estou dizendo que Bsinx+Ccosx=0 (para > todo x) se, e somente se, B=C=0. De fato, se B fosse nao nulo, teriamos > rearrumando que tanx=-C/B PARA TODO x REAL!! Isso eh claramente absurdo, > tanx nao eh uma funcao constante que nao depende de x! Entao a conclusao eh > que B=0, e portanto Ccosx=0 para todo x real, e dali C=0 tambem. > > Para conectar o problema original com este papo do paragrafo anterior, > pegue aquela identidade em x em cima e escreva-a assim: > (Asiny-2) sinx + (Acosy-2) cosx = 0 > Como os caras entre parenteses sao numeros, nao dependem de x, voce pode > chama-los de B e C... e entao recai no que eu falei sobre linearmente > independentes ali, ou seja, devemos ter B=C=0, e entao Asiny=1 e Acosy=2, > como falamos antes. > > On Tue, Nov 6, 2018 at 9:59 PM Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> wrote: > >> Olá, boa noite! >> Transcrevi abaixo uma questão da Fuvest (SP). Já vi a resolução em vários >> sites, mas achei tudo muito estranho... >> Alguém pode me ajudar? >> Muito obrigado e um abraço! >> Luiz >> >> Sabe-se que existem números reais A e y, sendo A > 0, tais que: >> >> senx + 2cosx=Acos(x-y) >> >> para todo x real. Qual o valor de A? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema de Trigonometria
Olá, boa noite! Transcrevi abaixo uma questão da Fuvest (SP). Já vi a resolução em vários sites, mas achei tudo muito estranho... Alguém pode me ajudar? Muito obrigado e um abraço! Luiz Sabe-se que existem números reais A e y, sendo A > 0, tais que: senx + 2cosx=Acos(x-y) para todo x real. Qual o valor de A? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RES: [obm-l] ensino de matemática
Olá pessoal!
Bom dia!
Eu havia pensado em produzir um pequeno texto sobre a minha graduação, mas
acho interessante começar a discussão com algo que aconteceu no primeiro
dia de aula da meu curso de Licenciatura...
Numa sala de 50 pessoas, uma boa parte dos alunos respondeu 'não' a uma
pergunta da professora de Laboratório de Matemática: 'Quem pretende ser
professor de matemática?'. Eu fiquei espantado, mas pior foi no dia da
Colação de Grau: o número de formandos não chegava a 10...
O que vocês pensam sobre isso?
Um abraço!
Luiz Antonio
On Thu, Jul 19, 2018, 11:39 PM Anderson Torres
wrote:
> Opa! Mantenham-me informado!
> Em seg, 16 de jul de 2018 às 12:39, Manoel Cesar Valente Lopes
> escreveu:
> >
> > Me inclua nesta discussão!
> >
> >
> >
> > De: owner-ob...@mat.puc-rio.br Em nome de
> Claudio Buffara
> > Enviada em: Wednesday, July 11, 2018 12:30 PM
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Assunto: [obm-l] ensino de matemática
> >
> >
> >
> > Prezados colegas da lista:
> >
> >
> >
> > Entendo que o tema pode ser off-topic pois não trata especificamente de
> problemas olímpicos, mas aqui vai de qualquer forma...
> >
> >
> >
> > Algum de vocês se interessa pelo ensino de matemática (escolar ou
> universitário)?
> >
> >
> >
> > Pergunto porque há anos tenho pensado na melhor forma de ensinar
> matemática (principalmente em termos de composição do currículo e de
> apresentação dos tópicos nos livros didáticos), estou convencido de que não
> estamos fazendo certo, nem na escola e nem na universidade, e gostaria de
> ter gente interessada pra debater idéias e, quem sabe, elaborar algum
> projeto mais concreto.
> >
> >
> >
> > Em linhas gerais, discordo da ordem em que os assuntos são abordados, na
> maioria dos livros.
> >
> > O foco é muito mais na ordem lógica (seguindo o rigor do método
> axiomático, mesmo em livros pra ensino médio) sem nenhuma preocupação:
> >
> > - com a motivação para os resultados que são apresentados (e, nos
> ensinos fundamental e médio, quase nunca demonstrados);
> >
> > - com tornar estes resultados intuitivos para o estudante.
> >
> >
> >
> > Também acho que certos assuntos deveriam ser incluídos e outros
> excluídos do currículo, mas este, pra mim, é um problema menor. Pois,
> qualquer que seja o tópico, se for bem ensinado e incentivar o aluno a
> pensar, já tá valendo.
> >
> >
> >
> > A meu ver, seria ideal se cada tópico do currículo de matemática fosse
> apresentado seguindo a sequência:
> >
> > identificação de padrões ("patterns") ==> formulação de conjecturas ==>
> demonstração destas conjecturas.
> >
> > Pois esta é a maneira como a matemática é criada.
> >
> > Mas acho que muito poucos professores estão capacitados pra ensinar
> matemática deste jeito.
> >
> >
> >
> > Em particular, no Ensino Médio, a ênfase nos últimos anos tem sido na
> tal contextualização, que pode ser vista em todo o seu esplendor nas provas
> do Enem.
> >
> > O resultado disso me parece ser um retrocesso na formação matemática dos
> alunos e também a disseminação da mentalidade de que a única matemática que
> deve ser estudada é aquela que é usada no dia-a-dia dos cidadãos comuns.
> >
> >
> >
> > E, na universidade, a coisa não é muito melhor, mesmo num assunto que só
> é visto na graduação em matemática. a análise real.
> >
> > Vejam só:
> >
> > Os livros tratam da topologia da reta antes de conceitos tais como
> compacidade e conexidade se mostrarem realmente necessários (o que, de
> fato, só ocorre em dimensão > 1; na reta, quase tudo pode ser demonstrado
> com base em sequências e no método da bisseção, que são coisas bastante
> intuitivas, mas que quase nunca são usadas).
> >
> >
> >
> > Limites e continuidade podem ser introduzidos também com base em
> sequências, interpretando-se os epsilons como margens de erro em
> aproximação.
> >
> >
> >
> > Aliás, a noção de que análise nada mais é do que uma teoria de
> aproximações quase nunca é mencionada.
> >
> > Por exemplo, foi só estudando a análise do R^n é que eu me dei conta de
> que a derivada é uma aproximação de uma função arbitrária por uma função
> afim.
> >
> > Antes disso, eu só sabia que "derivada = inclinação da reta tangente".
> >
> >
> >
> > Os livros também mencionam critérios de convergência de séries
> (Dirichlet, Abel, etc.) que vêm do nada (pois foram inventados para o
> estudo de séries de Fourier, que estes liros não abordam).
> >
> >
> >
> > E o principal resultado sobre convergência de séries de potências
> decorre quase trivialmente do estudo das PGs infinitas (assunto de Ensino
> Médio). Mas qual livro deixa isso explícito?
> >
> >
> >
> > E, pra terminar, poucos têm uma figura para ilustrar o teorema
> fundamental do cálculo que, com uma figura bem feita, fica bem intuitivo.
> No entanto, a análise na reta em geral é apresentada com um caráter
> aritmético/algébrico, mas quase nunca geométrico.
> >
> >
> >
> > Obrigado pela atenção.
> >
> >
> >
> > []s,
> >
> > Claudio.
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pe
Re: [obm-l] Propriedade dos Reais
Olá, Claudio! Muito obrigado pela ajuda! Eu vou fazer comentários sobre o curso que concluí. Acho que é uma excelente ideia. Vou produzir um pequeno texto e publicá-lo aqui no grupo. Um abraço! Luiz Antonio On Sun, Jul 15, 2018, 4:38 PM Claudio Buffara wrote: > Boa sorte! > Lembre-se de que, nesta lista de discussão, tem sempre gente disposta a > ajudar e tirar dúvidas. > > Pra teoria dos números, tem um livro chamado Teoria dos Números, da mesma > coleção do Curso de Análise (Projeto Euclides), escrito por 4 autores, um > dos quais é o Nicolau Corção Saldanha, administrador da lista obm-l. Um dos > outros é o Gugu (Carlos Gustavo Moreira), que também participa desta lista. > > E se você empacar no Curso de Análise, dê uma olhada no Análise Real - > vol. 1, também do Elon, que é mais em nível de graduação, mas cobre os > mesmos tópicos em cerca de metade do número de páginas, e tem soluções pra > todos os problemas propostos. Tem tudo aqui: > https://loja.sbm.org.br/index.php/#&panel1-2 > > *** > > Pra tentar começar o debate sobre educação matemática, você poderia dar > suas impressões gerais do curso de Licenciatura em Matemática da USP (que > imagino que esteja entre os melhores do Brasil). > Na sua opinião, quais os pontos fortes e fracos do curso? > Quanto do curso é destinado a ensinar, aos futuros professores, os > conteúdos que eles irão ensinar aos alunos de 6o a 12o ano? > Ou parte-se do princípio de que estes conteúdos já são conhecidos, dado > que os candidatos cursaram o EF2 e o EM? > O curso oferece alguma cadeira de resolução de problemas ou de raciocínio > matemático? > > []s, > Claudio. > > > > > > 2018-07-15 14:43 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues : > >> Oi, Claudio! >> Boa tarde! >> Eu cursei Licenciatura em Matemática na USP (S. Paulo). Perdi muitos >> conteúdos que são vistos no Bacharelado... >> Vou seguir seu conselho e estudar Análise e Teoria dos Números. Depois >> estudarei Geometria. >> Vou comprar o livro do Elon Lages Lima. >> Muito obrigado pela ajuda! >> Um abraço! >> Luiz Antonio >> >> >> On Sun, Jul 15, 2018, 1:18 PM Claudio Buffara >> wrote: >> >>> Oi, Luiz Antonio: >>> >>> Lógica e Teoria dos Conjuntos são assuntos meio áridos e, assim, pra >>> estudar sozinho, você precisa de uma bela dose de determinação, >>> concentração e café forte. >>> Mesmo um livro para auto-didatas, como o do Goldrei, tem passagens meio >>> chatinhas de entender, quando vistas pela primeira vez (eu tenho este livro >>> e sei...) >>> >>> Qual foi a sua graduação? >>> >>> Não sei qual o seu objetivo, mas se é estudar lógica APLICADA À >>> MATEMÁTICA, eu iria por outro caminho e, ao invés de Teoria dos Conjuntos, >>> estudaria Análise, Teoria dos Números, ou Geometria. Ao estudar estes >>> assuntos, você aprende lógica ao vê-la aplicada à demonstração de teoremas >>> e na resolução de problemas. E, a meu ver, mata dois coelhos com uma >>> cajadada só, aprendendo lógica e o assunto em si. >>> >>> Na minha opinião (e sei que há divergências!) os 3 primeiros capítulos >>> do Curso da Análise, vol. 1, do Elon Lages Lima, têm tudo o que você >>> precisa saber sobre conjuntos, funções e números (naturais, racionais e >>> reais) pra prosseguir no estudo da Matemática. A exposição é clara e os >>> exercícios são muito bons (alguns são bem difíceis). No mais, é um livro >>> barato (R$ 30,00 na loja virtual da SBM) e, salvo engano, ainda é a >>> referência básica de análise na reta em língua portuguesa. >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> 2018-07-15 12:07 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues >> >: >>> >>>> Olá, Ralph! >>>> Olá, Artur! >>>> Boa tarde! >>>> Muito obrigado pela ajuda! >>>> Claudio, concordo totalmente com você! O ensino de matemática no Ensino >>>> Fundamental e no Ensino Médio é, na minha opinião, um fiasco... Acho que >>>> essa discussão é muito conveniente... >>>> Eu já terminei a graduação e estou estudando Lógica e Teoria dos >>>> Conjuntos por minha conta... Estou usando os livros 'Classic Set Theory', >>>> de Derek Goldrei e 'Logic, Proof, and Sets', de Marvin L. Bittinger. O >>>> primeiro deles é destinado a autodidatas, mas tenho dificuldades para >>>> acompanhá-lo... A minha pergunta apareceu em decorrência dele... O segundo >>>> é excelente e bem interativo... Consigo acompanhá-lo sem problemas... >>&g
Re: [obm-l] Propriedade dos Reais
Oi, Claudio! Boa tarde! Eu cursei Licenciatura em Matemática na USP (S. Paulo). Perdi muitos conteúdos que são vistos no Bacharelado... Vou seguir seu conselho e estudar Análise e Teoria dos Números. Depois estudarei Geometria. Vou comprar o livro do Elon Lages Lima. Muito obrigado pela ajuda! Um abraço! Luiz Antonio On Sun, Jul 15, 2018, 1:18 PM Claudio Buffara wrote: > Oi, Luiz Antonio: > > Lógica e Teoria dos Conjuntos são assuntos meio áridos e, assim, pra > estudar sozinho, você precisa de uma bela dose de determinação, > concentração e café forte. > Mesmo um livro para auto-didatas, como o do Goldrei, tem passagens meio > chatinhas de entender, quando vistas pela primeira vez (eu tenho este livro > e sei...) > > Qual foi a sua graduação? > > Não sei qual o seu objetivo, mas se é estudar lógica APLICADA À > MATEMÁTICA, eu iria por outro caminho e, ao invés de Teoria dos Conjuntos, > estudaria Análise, Teoria dos Números, ou Geometria. Ao estudar estes > assuntos, você aprende lógica ao vê-la aplicada à demonstração de teoremas > e na resolução de problemas. E, a meu ver, mata dois coelhos com uma > cajadada só, aprendendo lógica e o assunto em si. > > Na minha opinião (e sei que há divergências!) os 3 primeiros capítulos do > Curso da Análise, vol. 1, do Elon Lages Lima, têm tudo o que você precisa > saber sobre conjuntos, funções e números (naturais, racionais e reais) pra > prosseguir no estudo da Matemática. A exposição é clara e os exercícios são > muito bons (alguns são bem difíceis). No mais, é um livro barato (R$ 30,00 > na loja virtual da SBM) e, salvo engano, ainda é a referência básica de > análise na reta em língua portuguesa. > > []s, > Claudio. > > > 2018-07-15 12:07 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues : > >> Olá, Ralph! >> Olá, Artur! >> Boa tarde! >> Muito obrigado pela ajuda! >> Claudio, concordo totalmente com você! O ensino de matemática no Ensino >> Fundamental e no Ensino Médio é, na minha opinião, um fiasco... Acho que >> essa discussão é muito conveniente... >> Eu já terminei a graduação e estou estudando Lógica e Teoria dos >> Conjuntos por minha conta... Estou usando os livros 'Classic Set Theory', >> de Derek Goldrei e 'Logic, Proof, and Sets', de Marvin L. Bittinger. O >> primeiro deles é destinado a autodidatas, mas tenho dificuldades para >> acompanhá-lo... A minha pergunta apareceu em decorrência dele... O segundo >> é excelente e bem interativo... Consigo acompanhá-lo sem problemas... >> É isso... >> Um abraço! >> Luiz >> >> >> >> On Sun, Jul 15, 2018, 12:31 AM Claudio Buffara >> wrote: >> >>> Oi, Luiz Antonio: >>> >>> Que curso é este que você está fazendo? >>> E que livro você está usando? >>> >>> Pergunto porque é este tipo de dificuldade (lógica aplicada a >>> demonstrações em matemática) que me leva a crer que a matemática não está >>> sendo ensinada da forma correta. >>> E esse é justamente o tema do debate que eu gostaria de ver acontecer >>> aqui neste grupo. >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> 2018-07-14 16:34 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues >> >: >>> >>>> Olá, pessoal! >>>> Boa tarde! >>>> Porque dizemos que x<=x para todo x real? >>>> É algo que eu não consigo entender... >>>> Muito obrigado e um abraço! >>>> Luiz >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Propriedade dos Reais
Olá, Ralph! Olá, Artur! Boa tarde! Muito obrigado pela ajuda! Claudio, concordo totalmente com você! O ensino de matemática no Ensino Fundamental e no Ensino Médio é, na minha opinião, um fiasco... Acho que essa discussão é muito conveniente... Eu já terminei a graduação e estou estudando Lógica e Teoria dos Conjuntos por minha conta... Estou usando os livros 'Classic Set Theory', de Derek Goldrei e 'Logic, Proof, and Sets', de Marvin L. Bittinger. O primeiro deles é destinado a autodidatas, mas tenho dificuldades para acompanhá-lo... A minha pergunta apareceu em decorrência dele... O segundo é excelente e bem interativo... Consigo acompanhá-lo sem problemas... É isso... Um abraço! Luiz On Sun, Jul 15, 2018, 12:31 AM Claudio Buffara wrote: > Oi, Luiz Antonio: > > Que curso é este que você está fazendo? > E que livro você está usando? > > Pergunto porque é este tipo de dificuldade (lógica aplicada a > demonstrações em matemática) que me leva a crer que a matemática não está > sendo ensinada da forma correta. > E esse é justamente o tema do debate que eu gostaria de ver acontecer aqui > neste grupo. > > []s, > Claudio. > > > 2018-07-14 16:34 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues : > >> Olá, pessoal! >> Boa tarde! >> Porque dizemos que x<=x para todo x real? >> É algo que eu não consigo entender... >> Muito obrigado e um abraço! >> Luiz >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] ensino de matemática
Eu também tenho interesse
Um abraço!
Luiz
On Wed, Jul 11, 2018, 3:12 PM Claudio Buffara
wrote:
> Oi, Nehab:
>
> Muito obrigado pela resposta.
>
> De fato, não sei se você se lembra de mim daquela época, mas fui seu aluno
> na turma IME-ITA do Impacto em 1981.
>
> Vamos ver se mais alguém se manifesta e daí combinamos algo.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-07-11 13:55 GMT-03:00 Carlos Nehab :
>
>> Bem, Claudio,
>>
>> A gente se conhece por essas bandas há tempos.
>>
>> Subscrevo suas observações e, motivado por cafezinho, chopp, e/ou outras
>> cabeças pensantes, até ousaria complementá-las. Rsrsrs.
>>
>> Sim, tenho MUITO interesse em pensarmos juntos.
>>
>> Grande abraço
>> Nehab
>>
>>
>>
>> Em Qua, 11 de jul de 2018 12:38, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Prezados colegas da lista:
>>>
>>> Entendo que o tema pode ser off-topic pois não trata especificamente de
>>> problemas olímpicos, mas aqui vai de qualquer forma...
>>>
>>> Algum de vocês se interessa pelo ensino de matemática (escolar ou
>>> universitário)?
>>>
>>> Pergunto porque há anos tenho pensado na melhor forma de ensinar
>>> matemática (principalmente em termos de composição do currículo e de
>>> apresentação dos tópicos nos livros didáticos), estou convencido de que não
>>> estamos fazendo certo, nem na escola e nem na universidade, e gostaria de
>>> ter gente interessada pra debater idéias e, quem sabe, elaborar algum
>>> projeto mais concreto.
>>>
>>> Em linhas gerais, discordo da ordem em que os assuntos são abordados, na
>>> maioria dos livros.
>>> O foco é muito mais na ordem lógica (seguindo o rigor do método
>>> axiomático, mesmo em livros pra ensino médio) sem nenhuma preocupação:
>>> - com a motivação para os resultados que são apresentados (e, nos
>>> ensinos fundamental e médio, quase nunca demonstrados);
>>> - com tornar estes resultados intuitivos para o estudante.
>>>
>>> Também acho que certos assuntos deveriam ser incluídos e outros
>>> excluídos do currículo, mas este, pra mim, é um problema menor. Pois,
>>> qualquer que seja o tópico, se for bem ensinado e incentivar o aluno a
>>> pensar, já tá valendo.
>>>
>>> A meu ver, seria ideal se cada tópico do currículo de matemática fosse
>>> apresentado seguindo a sequência:
>>> identificação de padrões ("patterns") ==> formulação de conjecturas ==>
>>> demonstração destas conjecturas.
>>> Pois esta é a maneira como a matemática é criada.
>>> Mas acho que muito poucos professores estão capacitados pra ensinar
>>> matemática deste jeito.
>>>
>>> Em particular, no Ensino Médio, a ênfase nos últimos anos tem sido na
>>> tal contextualização, que pode ser vista em todo o seu esplendor nas provas
>>> do Enem.
>>> O resultado disso me parece ser um retrocesso na formação matemática dos
>>> alunos e também a disseminação da mentalidade de que a única matemática que
>>> deve ser estudada é aquela que é usada no dia-a-dia dos cidadãos comuns.
>>>
>>> E, na universidade, a coisa não é muito melhor, mesmo num assunto que só
>>> é visto na graduação em matemática. a análise real.
>>> Vejam só:
>>> Os livros tratam da topologia da reta antes de conceitos tais como
>>> compacidade e conexidade se mostrarem realmente necessários (o que, de
>>> fato, só ocorre em dimensão > 1; na reta, quase tudo pode ser demonstrado
>>> com base em sequências e no método da bisseção, que são coisas bastante
>>> intuitivas, mas que quase nunca são usadas).
>>>
>>> Limites e continuidade podem ser introduzidos também com base em
>>> sequências, interpretando-se os epsilons como margens de erro em
>>> aproximação.
>>>
>>> Aliás, a noção de que análise nada mais é do que uma teoria de
>>> aproximações quase nunca é mencionada.
>>> Por exemplo, foi só estudando a análise do R^n é que eu me dei conta de
>>> que a derivada é uma aproximação de uma função arbitrária por uma função
>>> afim.
>>> Antes disso, eu só sabia que "derivada = inclinação da reta tangente".
>>>
>>> Os livros também mencionam critérios de convergência de séries
>>> (Dirichlet, Abel, etc.) que vêm do nada (pois foram inventados para o
>>> estudo de séries de Fourier, que estes liros não abordam).
>>>
>>> E o principal resultado sobre convergência de séries de potências
>>> decorre quase trivialmente do estudo das PGs infinitas (assunto de Ensino
>>> Médio). Mas qual livro deixa isso explícito?
>>>
>>> E, pra terminar, poucos têm uma figura para ilustrar o teorema
>>> fundamental do cálculo que, com uma figura bem feita, fica bem intuitivo.
>>> No entanto, a análise na reta em geral é apresentada com um caráter
>>> aritmético/algébrico, mas quase nunca geométrico.
>>>
>>> Obrigado pela atenção.
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredi
[obm-l] Propriedade dos Reais
Olá, pessoal! Boa tarde! Porque dizemos que x<=x para todo x real? É algo que eu não consigo entender... Muito obrigado e um abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] União de Dois Conjuntos
Olá, pessoal!
Boa noite!
Muito obrigado pela ajuda!
As piadas foram ótimas!
Um abração!
Luiz
On Wed, Jul 4, 2018, 8:31 PM Daniel Quevedo wrote:
> Mas calma aí, as vezes o contexto determina se a disjunção é inclusiva ou
> exclusiva. No caso da mãe grávida o ou é exclusivo. Mas d um modo geral na
> matemática o ou é inclusivo
>
> Em qua, 4 de jul de 2018 às 20:14, escreveu:
>
>> Não resisto:
>>
>> A futura mãe, grávida, após os exames, pergunta ao médico:
>> "É menino ou menina?"
>> Resposta do médico; SIM.
>>
>>
>>
>> Quoting Claudio Buffara :
>>
>> > A união de dois conjuntos é definida com base no conectivo lógico "OU"
>> (x
>> > pertence a A união B <==> x pertence a A OU x pertence a B).
>> > E, em matemática (e em lógica), o "OU" não é exclusivo (ao contrário do
>> uso
>> > quotidiano deste conectivo).
>> > Ou seja, dadas as proposições P e Q, a proposição composta "P OU Q" será
>> > verdadeira em três situações:
>> > P verdadeira e Q falsa,
>> > P falsa e Q verdadeira, e
>> > P e Q ambas verdadeiras.
>> > Assim, o matemático é o sujeito que, quando perguntado se prefere
>> açúcar ou
>> > adoçante no seu café, responde "Sim".
>> >
>> > []s,
>> > Claudio.
>> >
>> >
>> > 2018-07-04 17:56 GMT-03:00 Ronei Lima Badaró :
>> >
>> >> Acredito que seja para ser didático já que o "ou" em casos do cotidiano
>> >> pode ser excludente.
>> >>
>> >> Em Qua, 4 de jul de 2018 17:52, Alexandre Antunes <
>> >> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:
>> >>
>> >>>
>> >>> Nessa definição ele separa apenas na parte de A (sem a parte comum a
>> B),
>> >>> parte de B (sem a parte comum a A) e a interseção entre A e B.
>> >>>
>> >>> Em Qua, 4 de jul de 2018 17:14, Luiz Antonio Rodrigues <
>> >>> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>> >>>
>> >>>> Olá, boa tarde!
>> >>>> Eu achei a definição abaixo na Wikipedia.
>> >>>> Não entendi porque tenho que considerar a intersecção também...
>> >>>> Alguém pode me ajudar?
>> >>>> Muito obrigado!
>> >>>> Luiz
>> >>>>
>> >>>> The *union of two sets* A and B is the *set* of elements which are in
>> >>>> A, in B, or in *both* A and B. For example, if A = {1, 3, 5, 7} and
>> B =
>> >>>> {1, 2, 4, 6} then A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
>> >>>>
>> >>>> --
>> >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >>>> acredita-se estar livre de perigo.
>> >>>
>> >>>
>> >>> --
>> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >>> acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >>
>> >> --
>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] União de Dois Conjuntos
Também pensei nisso, mas quando dizemos "pertence a A ou a B" já não
estamos considerando a intersecção também?
É essa a minha dúvida...
On Wed, Jul 4, 2018, 5:30 PM Olson wrote:
> Acredito que a intersecção seja somente os termos em comum, enquanto a
> união também considera os termos que não estão em comum.
>
> Em qua, 4 de jul de 2018 17:14, Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá, boa tarde!
>> Eu achei a definição abaixo na Wikipedia.
>> Não entendi porque tenho que considerar a intersecção também...
>> Alguém pode me ajudar?
>> Muito obrigado!
>> Luiz
>>
>> The *union of two sets* A and B is the *set* of elements which are in A,
>> in B, or in *both* A and B. For example, if A = {1, 3, 5, 7} and B = {1,
>> 2, 4, 6} then A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] União de Dois Conjuntos
Olá, boa tarde!
Eu achei a definição abaixo na Wikipedia.
Não entendi porque tenho que considerar a intersecção também...
Alguém pode me ajudar?
Muito obrigado!
Luiz
The *union of two sets* A and B is the *set* of elements which are in A, in
B, or in *both* A and B. For example, if A = {1, 3, 5, 7} and B = {1, 2, 4,
6} then A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Livro de Matemática Discreta
Olá, Jones! Boa tarde! Muito obrigado! Um abraço! Luiz On May 23, 2018 9:38 PM, "Jones Colombo" wrote: Dá uma olhada no final de Álgebra Linear do Elon Lages Lima. [@] Jones 2018-05-19 14:25 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues : > Olá, pessoal! > Boa tarde! > Alguém pode me indicar um bom livro que contenha recorrências? > Muito obrigado e um abraço! > Luiz > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Livro de Matemática Discreta
Olá, Claudio! Boa tarde! Muito obrigado pela ajuda! Um abraço! Luiz On Wed, May 23, 2018, 12:09 PM Claudio Buffara wrote: > Dê uma olhada na Eureka no. 9. Pode ser um bom ponto de partida (e é > grátis...) > https://www.obm.org.br/revista-eureka/ > > []s, > Claudio. > > 2018-05-19 14:25 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues : > >> Olá, pessoal! >> Boa tarde! >> Alguém pode me indicar um bom livro que contenha recorrências? >> Muito obrigado e um abraço! >> Luiz >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Livro de Matemática Discreta
Olá, pessoal! Boa tarde! Alguém pode me indicar um bom livro que contenha recorrências? Muito obrigado e um abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indicação de Livro
Olá, Danillo! Muito obrigado pela dica! Um abraço! Luiz On Tue, May 1, 2018, 9:45 PM DANILLO wrote: > Um livro que gostei bastante e é "open source" é o: > https://courses.csail.mit.edu/6.042/spring18/mcs.pdf. > > Att. Danillo Lima > > > > 2018-05-01 21:20 GMT-03:00 DANILLO : > >> Um livro que gostei bastante e é "open source" é o: >> https://courses.csail.mit.edu/6.042/spring18/mcs.pdf. >> >> Att. Danillo Lima >> >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indicação de Livro
Muito obrigado pelas sugestões! Um abraço! On Tue, May 1, 2018, 8:01 PM Yair Benjamini wrote: > Tb recomendo o How to prove it - Daniel J. Velleman > Alem dele, alguns livros de matemática discreta abordam demonstrações. > Que eu me lembre no momento: > 1)K. Rosen - Matemática discreta e suas aplicações. > 2)E. Scheinerman - Matemática discreta : uma introdução > > boa sorte > Benjamin > > 2018-04-28 13:05 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues : > > Olá, amigos! > > Boa tarde! > > Ontem eu fiz uma avaliação na universidade e fui mal na prova. > > Porque eu não estudei? Não! > > Porque não tenho conhecimentos sólidos necessários para um curso > superior, > > principalmente de lógica e demonstrações... > > Alguém pode me indicar um (ou mais de um) livro para eu estudar por minha > > conta? Pode ser em Inglês... > > Muito obrigado e um abraço! > > Luiz > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercício sobre Conjuntos
Oi, Anderson!
Muito obrigado pela ajuda!
Um abraço!
Luiz
On Sun, Apr 29, 2018, 10:38 AM Anderson Torres
wrote:
> Em 25 de abril de 2018 22:27, Jaare Oregim
> escreveu:
> >
> >
> > 2018-04-07 17:14 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> >>
> >>
> >> Mas se, por exemplo, 1 pertencer a A (o que não é vedado, a princípio,
> >> pelo enunciado), então A = N (supondo que 0 não é natural) ou então
> (supondo
> >> que 0 é natural) N\{0} está contido em A.
> >> Ou seja, não é possível determinar qual o menor elemento de A. Apenas
> que
> >> este é <= 3.
> >>
> >> Mesmo supondo que 3 seja o menor elemento de A, não dá pra garantir que
> o
> >> próximo elemento é 3+3 = 6, pois as condições do enunciado não impedem
> que 4
> >> ou 5 pertençam a A.
> >>
> >> []s,
> >> Claudio.
> >
> >
> >
> > Parece-me claro que 3 deva ser o menor elemento já que a definição é
> > recursiva.
>
> Isso não é dito em momento algum, e nada impede a existência de um
> conjunto contendo 1 e satisfazendo o enunciado.
>
> E de "a definição é recursiva" não é possível derivar "3 deve ser o
> menor elemento", como já foi mostrado.
>
> > Daí um aplicação do princípio da boa ordenação garante a inclusão que
> está
> > faltando:
> > Se a inclusão não for verdadeira o conjunto C dos membros de A que não
> são
> > multiplos de 3 é nãõ vazio.
> > Tome m o min de C. Como m>3 e m em A, pela regra de formação de A, m=x+y
> com
> > x,y em A, portanto m em A. Contradição.
> >
> >>
> >>
> >>
> >> 2018-04-07 16:33 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com>:
> >>>
> >>> Olá, pessoal!
> >>> Boa tarde!
> >>> Estou tentando fazer o exercício abaixo:
> >>>
> >>> Considere um conjunto A de números naturais definido recursivamente da
> >>> seguinte maneira:
> >>> I. 3∈A;
> >>> II. se x∈A e y∈A então x+y∈A. Prove que A é o conjunto dos múltiplos
> >>> de 3.
> >>>
> >>> Estou com muitas dúvidas:
> >>> . Posso dizer que 3 é o menor elemento de A?
> >>> . Se 3 é o menor elemento, como determino o próximo elemento?
> >>> . Se A é o conjunto dos múltiplos de 3, como fica o zero?
> >>> . Posso fazer a demonstração por indução?
> >>>
> >>> Agradeço qualquer ajuda.
> >>> Muito obrigado e um abraço!
> >>> Luiz
> >>>
> >>>
> >>> --
> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indicação de Livro
Olá, Mauricio! Boa noite! Muito obrigado! Um abraço! Luiz On Sat, Apr 28, 2018, 5:42 PM Mauricio de Araujo < mauricio.de.ara...@gmail.com> wrote: > how to prove it => > https://drive.google.com/file/d/1D4s5ejFGQxraGnQaCDRndmrInoq7YlQx/view?usp=sharing > > se gostar compre! > > Att. > > -- > Abraços, > Mauricio de Araujo > [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ] > > 2018-04-28 13:30 GMT-03:00 Igor Caetano Diniz : > >> How to prove it do author Daniel Valleman(se eu não estiver errado) >> >> Excelente livro e muito claro. >> Outro bom de ter eh o Paul Halmos, Naive set theory >> >> On Sat, Apr 28, 2018, 13:17 Luiz Antonio Rodrigues >> wrote: >> >>> Olá, amigos! >>> Boa tarde! >>> Ontem eu fiz uma avaliação na universidade e fui mal na prova. >>> Porque eu não estudei? Não! >>> Porque não tenho conhecimentos sólidos necessários para um curso >>> superior, principalmente de lógica e demonstrações... >>> Alguém pode me indicar um (ou mais de um) livro para eu estudar por >>> minha conta? Pode ser em Inglês... >>> Muito obrigado e um abraço! >>> Luiz >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indicação de Livro
Olá, Claudio! Muito obrigado! Um abraço! Luiz On Sat, Apr 28, 2018, 3:27 PM Claudio Buffara wrote: > Ou então pegue livros de análise, teoria dos números, geometria > euclidiana, etc. e preste atenção nas ideias usadas nas demonstrações. > > Abs, > Cláudio. > > Enviado do meu iPhone > > Em 28 de abr de 2018, à(s) 13:30, Igor Caetano Diniz < > icaetanodi...@gmail.com> escreveu: > > How to prove it do author Daniel Valleman(se eu não estiver errado) > > Excelente livro e muito claro. > Outro bom de ter eh o Paul Halmos, Naive set theory > > On Sat, Apr 28, 2018, 13:17 Luiz Antonio Rodrigues > wrote: > >> Olá, amigos! >> Boa tarde! >> Ontem eu fiz uma avaliação na universidade e fui mal na prova. >> Porque eu não estudei? Não! >> Porque não tenho conhecimentos sólidos necessários para um curso >> superior, principalmente de lógica e demonstrações... >> Alguém pode me indicar um (ou mais de um) livro para eu estudar por >> minha conta? Pode ser em Inglês... >> Muito obrigado e um abraço! >> Luiz >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indicação de Livro
Olá, Igor! Muito obrigado! Um abraço! Luiz On Sat, Apr 28, 2018, 1:41 PM Igor Caetano Diniz wrote: > How to prove it do author Daniel Valleman(se eu não estiver errado) > > Excelente livro e muito claro. > Outro bom de ter eh o Paul Halmos, Naive set theory > > On Sat, Apr 28, 2018, 13:17 Luiz Antonio Rodrigues > wrote: > >> Olá, amigos! >> Boa tarde! >> Ontem eu fiz uma avaliação na universidade e fui mal na prova. >> Porque eu não estudei? Não! >> Porque não tenho conhecimentos sólidos necessários para um curso >> superior, principalmente de lógica e demonstrações... >> Alguém pode me indicar um (ou mais de um) livro para eu estudar por minha >> conta? Pode ser em Inglês... >> Muito obrigado e um abraço! >> Luiz >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Indicação de Livro
Olá, amigos! Boa tarde! Ontem eu fiz uma avaliação na universidade e fui mal na prova. Porque eu não estudei? Não! Porque não tenho conhecimentos sólidos necessários para um curso superior, principalmente de lógica e demonstrações... Alguém pode me indicar um (ou mais de um) livro para eu estudar por minha conta? Pode ser em Inglês... Muito obrigado e um abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida num Enunciado
Olá, Bernardo! Boa noite! Vou tentar fazer a resolução graficamente... Muito obrigado! Um abraço! Luiz On Wed, Apr 25, 2018, 9:55 PM Pedro José wrote: > Boa noite! > Cláudio, > o problema tem restrição r>0. Não dá para seguir nessa linha de r< 0. > Saudações, > PJMS > > Em 25 de abr de 2018 21:42, "Bernardo Freitas Paulo da Costa" < > bernardo...@gmail.com> escreveu: > >> 2018-04-25 20:20 GMT-03:00 Pedro José : >> > Boa tarde! >> > Realmente o enunciado está mal feito. >> > >> > Se |x+3| < r, não pode ser para todo o Real. Na verdade é x pertence a >> |R. >> > >> > x^2 -10x + 9 >0 ==> x pertence a A = (-oo, 1) U (9,oo) >> > >> > então temos que escolher r de modo que quando resolvamos |x + 3| < r, >> tenha >> > x num subconjunto de A >> > >> > x < -3 ==> x+3 < 0 ==> -x -3 < r ==> r > x+3 Se r > 4 vai ter 1=< x =<9 >> > atendendo |x +3| <4 + delta. Portanto x <4 >> > então |x+3| < 4, conferindo >> > x > -3 ==> x+3 <4 ==> x<1, atende. >> > se x<-3 atende por hipótese. Mas se quiser conferir. -x - 3 < 4 : -x < >> 7: x >> >>7, mas x <-3, não tem solução. >> > >> > x>=- 3 ==> x+3>=0 ==> x+3 < r. Se r >=4, existirá solução em [1,9]. >> > >> > Portanto r pertence a (0,4) >> >> Só um detalhe: r = 4 também serve: se |x+3| < 4, temos -7 < x < 1, que >> está contido em A. >> >> A minha forma preferida de resolver este exercício é gráfica: >> desenhamos o conjunto A, depois tomamos P = -3, e traçamos um >> intervalo simétrico em P de maior raio possível contido em A. Dá r <= >> 4 ou r < 4 (no desenho, é difícil decidir entre o estrito ou não) e >> daí tem que pensar um pouco para detectar se r = 4 serve. >> >> Abraços, >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida num Enunciado
Olá, Claudio! Boa noite! Eu não havia percebido que o consequente é falso... Preciso ficar mais atento! Muito obrigado pela ajuda! Um abraço! Luiz On Wed, Apr 25, 2018, 8:49 PM Claudio Buffara wrote: > O consequente (x^2 - 10x + 9 > 0 para todo x real) é falso (tome qualquer > x no intervalo [1,9]). > > Logo, para a implicação ser verdadeira, o antecedente ( |x+3| < r ) deve > ser falso, o que ocorre se e somente se r < 0. > > É mais ou menos a mesma coisa que (se 1 < 0, então 3+5 = 7), que é uma > sentença verdadeira (Falso -> Falso é Verdadeiro). > > []s, > Claudio. > > 2018-04-25 16:41 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues : > >> Olá, pessoal! >> Boa tarde! >> Estou tentando fazer o exercício abaixo, mas o problema é que eu não >> entendi o enunciado... >> >> Determine para quais valores de r (r>0) a implicação é verdadeira: >> |x+3| x^2 - 10x + 9 > 0 para todo x real. >> >> Agradeço qualquer ajuda! >> Um abraço! >> Luiz >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida num Enunciado
Olá, Pedro! Boa noite! O resultado é esse mesmo. Agora eu entendi o que o problema pede. Muito obrigado! Um abraço! Luiz On Wed, Apr 25, 2018, 8:29 PM Pedro José wrote: > Boa tarde! > Realmente o enunciado está mal feito. > > Se |x+3| < r, não pode ser para todo o Real. Na verdade é x pertence a |R. > > x^2 -10x + 9 >0 ==> x pertence a A = (-oo, 1) U (9,oo) > > então temos que escolher r de modo que quando resolvamos |x + 3| < r, > tenha x num subconjunto de A > > x < -3 ==> x+3 < 0 ==> -x -3 < r ==> r > x+3 Se r > 4 vai ter 1=< x =<9 > atendendo |x +3| <4 + delta. Portanto x <4 > então |x+3| < 4, conferindo > x > -3 ==> x+3 <4 ==> x<1, atende. > se x<-3 atende por hipótese. Mas se quiser conferir. -x - 3 < 4 : -x < 7: > x >7, mas x <-3, não tem solução. > > x>=- 3 ==> x+3>=0 ==> x+3 < r. Se r >=4, existirá solução em [1,9]. > > Portanto r pertence a (0,4) > > creio que seja isso. > > Saudações, > PJMS. > > > > Em 25 de abril de 2018 16:41, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, pessoal! >> Boa tarde! >> Estou tentando fazer o exercício abaixo, mas o problema é que eu não >> entendi o enunciado... >> >> Determine para quais valores de r (r>0) a implicação é verdadeira: >> |x+3| x^2 - 10x + 9 > 0 para todo x real. >> >> Agradeço qualquer ajuda! >> Um abraço! >> Luiz >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Dúvida num Enunciado
Olá, pessoal! Boa tarde! Estou tentando fazer o exercício abaixo, mas o problema é que eu não entendi o enunciado... Determine para quais valores de r (r>0) a implicação é verdadeira: |x+3| x^2 - 10x + 9 > 0 para todo x real. Agradeço qualquer ajuda! Um abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Inequação Modular
Olá, Pedro! Gostei muito do método! Muito obrigado e um abraço! Luiz On Tue, Apr 24, 2018, 9:37 PM Pedro José wrote: > Boa noite! > > Chamei a atenção para uma particularidade. Mas, de regra, para esse tipo > de problema, devemos ser metódicos. > Por exemplo fazer uma tabela como abaixo, listando todas as raízes em > ordem crescente e estudando os sinais das expressões que estão em módulo, > para cada intervalo. Se for >=0, basta substituir o módulo por parênteses, > caso < 0 inverte o sinal e substitui o módulo por parênteses. > > > > > Assim você particionaria os Reais em x r3 <= x < r4; r4 <= x < r5 e x >= r5. > > Por exemplo quando estudar o intervalo r2 <= x < r3 > > As expressões I e IV trocariam de sinal e a II e III continuariam iguais. > Não tem que se preocupar com "maior ou menor que zero". Tem que se > preocupar só com as raízes e o sinal de cada expressão em cada intervalo. > > Saudações, > PJMS. > > > Em 24 de abril de 2018 20:13, Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, Pedro! >> Boa noite! >> Muito obrigado! >> Um abraço! >> Luiz >> >> On Mon, Apr 23, 2018, 5:21 PM Pedro José wrote: >> >>> Boa tarde! >>> >>> Se x <0 não precisa resolver, não tem solução. >>> |x-2|>2 e -x. |×+2| >0. >>> Portanto será sempre maior do que dois. >>> Saudações, >>> PJMS. >>> >>> Em 23 de abr de 2018 16:57, "Luiz Antonio Rodrigues" < >>> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> Olá, Rodrigo! >>>> Olá, Claudio! >>>> Muito obrigado pela ajuda! >>>> Um abração! >>>> Luiz >>>> >>>> On Mon, Apr 23, 2018, 3:09 PM Rodrigo Ângelo >>>> wrote: >>>> >>>>> Olá, Luiz Antonio >>>>> >>>>> Não é muito sofisticado, mas eu geralmente analiso separadamente: >>>>> Se x >= 0, então: >>>>> x.|x+2| = | x(x+2) | >>>>> >>>>> |x-2| - | x(x+2) | < 1 >>>>> |x-2| < 1 + | x(x+2) | >>>>> 1 + | x(x+2) | > |x-2| >>>>> | x(x+2) | > |x-2| - 1 >>>>> x(x+2) < 1 - |x-2| >>>>> ou x(x+2) > |x-2| - 1 >>>>> |x-2|< 1 - x(x+2) >>>>> ou |x-2| < x(x+2) + 1 >>>>> x(x+2) - 1 < x-2 < 1 - x(x+2) >>>>> ou -x(x+2) -1 < x-2 < x(x+2) + 1 >>>>> x(x+2) - 1 < x-2 E x-2 < 1 - x(x+2) ou >>>>> -x(x+2) -1 < x-2 E x-2 < x(x+2) + 1 >>>>> x(x+2) - 1 - x +2 < 0E x-2 < 1 - x(x+2)ou >>>>> -x(x+2) -1 + 2 - x < 0 E x(x+2) + 1 +2 -x > 0 >>>>> x²+x+1 < 0 Ex-2 < 1 - x(x+2) >>>>> ou -x²-3x+1 < 0 E x² + x + 3 > 0 >>>>> ... não tem solução neste caso ou >>>>> x > (raiz(13) - 3 )/2 E x pertence aos reais >>>>> >>>>> logo, se x >= 0, para x satisfazer a inequação devemos ter x > >>>>> (raiz(13) - 3 )/2 >>>>> >>>>> Se x < 0, então >>>>> x.|x+2| = | (-x) . (x+2)| >>>>> ... (segue de forma semelhante) >>>>> >>>>> >>>>> On Mon, Apr 23, 2018 at 1:30 PM Luiz Antonio Rodrigues < >>>>> rodrigue...@gmail.com> wrote: >>>>> >>>>>> Olá, pessoal! >>>>>> Estou tentando resolver esta inequação: >>>>>> >>>>>> |x-2| - x.|x + 2| < 1 >>>>>> >>>>>> Tentei a técnica do "varalzinho" mas não deu certo! >>>>>> Será que alguém pode me ajudar? >>>>>> Não quero resolver graficamente... >>>>>> Muito obrigado e um abraço! >>>>>> Luiz >>>>>> >>>>>> -- >>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Módulo do Inverso de um Número
Olá, Artur! Olá, Rodrigo! Muito obrigado pela ajuda! Um abraço! Luiz On Wed, Apr 25, 2018, 12:08 AM Rodrigo Ângelo wrote: > Acho que dá pra fazer direto usando que |x| = raiz(x^2) > > |1/x| = raiz ( (1/x)^2 ) = raiz(1)/raiz(x^2) = 1/|x| > > - Rodrigo > > On Tue, Apr 24, 2018 at 9:11 PM Artur Steiner < > artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: > >> Suponho que vc se refira aos reais. >> >> O inverso existe se, e somente se, x <> 0. >> >> Se x < 0, |x| = -x, 1/x < 0, |1/x| = -1/x = 1/(-x) = 1/|x| >> >> Se x > 0, |x| = x, 1/x > 0, |1/x| = 1/x = 1/|x| >> >> Artur Costa Steiner >> >> Em Ter, 24 de abr de 2018 20:36, Luiz Antonio Rodrigues < >> rodrigue...@gmail.com> escreveu: >> >>> Olá, pessoal! >>> Boa noite! >>> Estou tentando provar que |1/x|=1/|x| >>> É tão simples que peço desculpas pela ignorância... Mas não consigo >>> concluir a prova... Eu pensei em partir dos casos, baseados na definição... >>> Não deu certo... >>> Alguém pode me ajudar? >>> Muito obrigado e um abraço! >>> Luiz >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Módulo do Inverso de um Número
Olá, pessoal! Boa noite! Estou tentando provar que |1/x|=1/|x| É tão simples que peço desculpas pela ignorância... Mas não consigo concluir a prova... Eu pensei em partir dos casos, baseados na definição... Não deu certo... Alguém pode me ajudar? Muito obrigado e um abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Inequação Modular
Olá, Pedro! Boa noite! Muito obrigado! Um abraço! Luiz On Mon, Apr 23, 2018, 5:21 PM Pedro José wrote: > Boa tarde! > > Se x <0 não precisa resolver, não tem solução. > |x-2|>2 e -x. |×+2| >0. > Portanto será sempre maior do que dois. > Saudações, > PJMS. > > Em 23 de abr de 2018 16:57, "Luiz Antonio Rodrigues" < > rodrigue...@gmail.com> escreveu: > >> Olá, Rodrigo! >> Olá, Claudio! >> Muito obrigado pela ajuda! >> Um abração! >> Luiz >> >> On Mon, Apr 23, 2018, 3:09 PM Rodrigo Ângelo >> wrote: >> >>> Olá, Luiz Antonio >>> >>> Não é muito sofisticado, mas eu geralmente analiso separadamente: >>> Se x >= 0, então: >>> x.|x+2| = | x(x+2) | >>> >>> |x-2| - | x(x+2) | < 1 >>> |x-2| < 1 + | x(x+2) | >>> 1 + | x(x+2) | > |x-2| >>> | x(x+2) | > |x-2| - 1 >>> x(x+2) < 1 - |x-2| >>> ou x(x+2) > |x-2| - 1 >>> |x-2|< 1 - x(x+2) >>> ou |x-2| < x(x+2) + 1 >>> x(x+2) - 1 < x-2 < 1 - x(x+2) >>> ou -x(x+2) -1 < x-2 < x(x+2) + 1 >>> x(x+2) - 1 < x-2 E x-2 < 1 - x(x+2)ou >>> -x(x+2) -1 < x-2 E x-2 < x(x+2) + 1 >>> x(x+2) - 1 - x +2 < 0E x-2 < 1 - x(x+2)ou >>> -x(x+2) -1 + 2 - x < 0 E x(x+2) + 1 +2 -x > 0 >>> x²+x+1 < 0 Ex-2 < 1 - x(x+2) ou >>> -x²-3x+1 < 0 E x² + x + 3 > 0 >>> ... não tem solução neste caso ou x >>> > (raiz(13) - 3 )/2 E x pertence aos reais >>> >>> logo, se x >= 0, para x satisfazer a inequação devemos ter x > (raiz(13) >>> - 3 )/2 >>> >>> Se x < 0, então >>> x.|x+2| = | (-x) . (x+2)| >>> ... (segue de forma semelhante) >>> >>> >>> On Mon, Apr 23, 2018 at 1:30 PM Luiz Antonio Rodrigues < >>> rodrigue...@gmail.com> wrote: >>> >>>> Olá, pessoal! >>>> Estou tentando resolver esta inequação: >>>> >>>> |x-2| - x.|x + 2| < 1 >>>> >>>> Tentei a técnica do "varalzinho" mas não deu certo! >>>> Será que alguém pode me ajudar? >>>> Não quero resolver graficamente... >>>> Muito obrigado e um abraço! >>>> Luiz >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Inequação Modular
Olá, Rodrigo! Olá, Claudio! Muito obrigado pela ajuda! Um abração! Luiz On Mon, Apr 23, 2018, 3:09 PM Rodrigo Ângelo wrote: > Olá, Luiz Antonio > > Não é muito sofisticado, mas eu geralmente analiso separadamente: > Se x >= 0, então: > x.|x+2| = | x(x+2) | > > |x-2| - | x(x+2) | < 1 > |x-2| < 1 + | x(x+2) | > 1 + | x(x+2) | > |x-2| > | x(x+2) | > |x-2| - 1 > x(x+2) < 1 - |x-2| > ou x(x+2) > |x-2| - 1 > |x-2|< 1 - x(x+2) > ou |x-2| < x(x+2) + 1 > x(x+2) - 1 < x-2 < 1 - x(x+2)ou > -x(x+2) -1 < x-2 < x(x+2) + 1 > x(x+2) - 1 < x-2 E x-2 < 1 - x(x+2)ou > -x(x+2) -1 < x-2 E x-2 < x(x+2) + 1 > x(x+2) - 1 - x +2 < 0E x-2 < 1 - x(x+2)ou > -x(x+2) -1 + 2 - x < 0 E x(x+2) + 1 +2 -x > 0 > x²+x+1 < 0 Ex-2 < 1 - x(x+2) ou > -x²-3x+1 < 0 E x² + x + 3 > 0 > ... não tem solução neste caso ou x > > (raiz(13) - 3 )/2 E x pertence aos reais > > logo, se x >= 0, para x satisfazer a inequação devemos ter x > (raiz(13) - > 3 )/2 > > Se x < 0, então > x.|x+2| = | (-x) . (x+2)| > ... (segue de forma semelhante) > > > On Mon, Apr 23, 2018 at 1:30 PM Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> wrote: > >> Olá, pessoal! >> Estou tentando resolver esta inequação: >> >> |x-2| - x.|x + 2| < 1 >> >> Tentei a técnica do "varalzinho" mas não deu certo! >> Será que alguém pode me ajudar? >> Não quero resolver graficamente... >> Muito obrigado e um abraço! >> Luiz >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Inequação Modular
Olá, pessoal! Estou tentando resolver esta inequação: |x-2| - x.|x + 2| < 1 Tentei a técnica do "varalzinho" mas não deu certo! Será que alguém pode me ajudar? Não quero resolver graficamente... Muito obrigado e um abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Cantor
Olá, Bernardo! Muito obrigado! Ficou claro! Essa diagonal é a "diagonal de Cantor"? Um abraço! Luiz On Sun, Apr 15, 2018, 7:04 AM Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com> wrote: > 2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues : > > Olá, amigos! > > Bom dia! > > Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho que eu > > reproduzi abaixo. > > > > > > A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é possível > > obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos. > > (...) > > Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os termos > > são iguais a zero ou um. > > Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada > sequência de > > C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma > sequência s > > formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo: se o > > primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é 1; > senão, é > > zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo de s > é 1; > > senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo s(n) como > > sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s assim > > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n). Logo, > não > > pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os > elementos de > > C aparecessem como imagem! > > Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de construir > uma > > bijeção de N em C. > > > > Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s assim > > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)." > > Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo. Claro que um > exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada. > > Suponha, assim, que f seja da seguinte forma: > 1 -> 0100101010101 > 2 -> 010101010101 > 3 -> 11001 > 4 -> > 5 -> 1110111010101 > > Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de > cada um dos elementos, um a um: > > O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1). > Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um: > > s = 1 > > O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que é 1): > > s = 10 > > O terceiro elemento, oposto do terceiro de f(3), dá s = 100... > O quarto, s = 1001... > O quinto, s = 10010 > > Agora, repare s não pode ser f(1), nem f(2), nem f(3), nem f(4), ... > Porque o primeiro elemento de s é diferente do primeiro de f(1). O > segundo de s, diferente do segundo de f(2). E assim por diante. > Muitas vezes, num quadro-negro, o pessoal faz a tabela que eu esbocei > acima, e envolve os elementos da "diagonal descendente", e depois cria > a sequência dos opostos. > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Cantor
Olá, Ronei! Fiz essa pergunta para o Bernardo... Um abraço! Luiz On Sun, Apr 15, 2018, 7:23 AM Ronei Lima Badaró wrote: > Não é a tal diagonal de Cantor? > > Em Dom, 15 de abr de 2018 07:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa < > bernardo...@gmail.com> escreveu: > >> 2018-04-15 5:36 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues : >> > Olá, amigos! >> > Bom dia! >> > Estou lendo "Matemática Discreta" da SBM e me deparei com o trecho que >> eu >> > reproduzi abaixo. >> > >> > >> > A principal contribuição de Cantor foi exibir casos em que não é >> possível >> > obter uma bijeção entre dois conjuntos infinitos. >> > (...) >> > Seja C o conjunto de todas as sequências infinitas em que todos os >> termos >> > são iguais a zero ou um. >> > Suponhamos que fosse possível uma função f: N -> C, em que cada >> sequência de >> > C aparecesse exatamente uma vez como imagem. Vamos construir uma >> sequência s >> > formada por 0s e 1s (ou seja, um elemento de C) do seguinte modo: se o >> > primeiro termo da sequência f(1) é zero, o primeiro termo de s é 1; >> senão, é >> > zero. Se o segundo termo da sequência f(2) é zero, o segundo termo de s >> é 1; >> > senão, é zero. Prosseguimos, sempre escolhendo o n-ésimo termo s(n) como >> > sendo o oposto do n-ésimo termo da sequência f(n). A sequência s assim >> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n). Logo, >> não >> > pertence à imagem de f. Mas nossa suposição era de que todos os >> elementos de >> > C aparecessem como imagem! >> > Temos, assim, uma contradição, que mostra a impossibilidade de >> construir uma >> > bijeção de N em C. >> > >> > Já o reli diversas vezes. Eu "travei" na frase "A sequência s assim >> > construída difere pelo menos na posição n de cada sequência f(n)." >> >> Acho que ajuda a entender se você fizer um exemplo. Claro que um >> exemplo não prova nada, mas espero que ilumine a construção usada. >> >> Suponha, assim, que f seja da seguinte forma: >> 1 -> 0100101010101 >> 2 -> 010101010101 >> 3 -> 11001 >> 4 -> >> 5 -> 1110111010101 >> >> Agora, vou construir a tal da sequência s, "descobrindo" o valor de >> cada um dos elementos, um a um: >> >> O primeiro elemento de s é o "oposto" do primeiro elemento de f(1). >> Como o primeiro elemento de f(1) é 0, vai ser um: >> >> s = 1 >> >> O segundo elemento de s é o oposto do segundo elemento de f(2) (que é 1): >> >> s = 10 >> >> O terceiro elemento, oposto do terceiro de f(3), dá s = 100... >> O quarto, s = 1001... >> O quinto, s = 10010 >> >> Agora, repare s não pode ser f(1), nem f(2), nem f(3), nem f(4), ... >> Porque o primeiro elemento de s é diferente do primeiro de f(1). O >> segundo de s, diferente do segundo de f(2). E assim por diante. >> Muitas vezes, num quadro-negro, o pessoal faz a tabela que eu esbocei >> acima, e envolve os elementos da "diagonal descendente", e depois cria >> a sequência dos opostos. >> >> Abraços, >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
