[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Anderson Torres]

Em sáb., 4 de jul. de 2020 às 20:29, marcone augusto araújo borges
 escreveu:
>
> Determinar os inteiros positivos x tais que (x^5+5x2+x+1) é múltiplo de 121

Tente ver primeiro por 11. Isso já dá uma reduzida.

> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Pedro José]

Boa tarde!

Daria para ter melhorado a procura para (10x+6)^3
10x(5x+8) = 20 mod125 ==> 10x(5x+8)=20 + 250*q ==> x(5x+8)=2 +25 q ==>
x(5x+8) = 2 mod 25
x(5x+8) tem que acabar em 2 ou em 7.
1 não
2 não
3 não
4 temos 28*4=112 não atende.
5 não
6 não
7 não
8 não
9 temos 477 = 2 mod25 OK!!!
10 não
11 não
12  não

Assim para 124 resíduos, só precisamos verificar 6 resíduos. 6, 21, 71,
121, 46 e 96. Diminuiu bastante a procura. Embora, deva haver uma forma
mais elegante.

Saudações,
PJMS




Em qua., 6 de nov. de 2019 às 11:32, Pedro José 
escreveu:

> Boa tarde!
> Esqueci o "vai um" que a tia Loló me ensinou: 346 e não 246.
>
> Desculpem-me,
> PJMS
>
> Em qua., 6 de nov. de 2019 às 10:59, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>>
>> Só consegui na grosseria.
>>
>> Para que o resto por 125 acabe em 1, x deverá acabar em 1 ou em 6.
>>
>> 6^3=216 não atende
>>
>> (10x+1)^3 = 300x^2 + 30x +1 = 111 mod 125 ==> 300x^2 + 30x= 110 + 250 q,
>> com q pertencente a |N.
>> 30x^2+3x =11 +25q.
>>
>> Tem que ser um x entre [1,12] e o produto 3x (10x+1) tem que acabar com 1
>> ou 6.
>> Quem vai comandar é 3x, únicos candidatos 2, 7 e 12.
>> x=2 ==>126=1 mod25 não atende.
>> x=7 ==> 1491= 16 mod 25
>> x=12 ==> 4356 = 6 mod25
>>
>> Logo não há número terminado em 1 que atenda o proposto.
>>
>> (10x+6)^3= 1800x^2 + 1080x + 216 = 111 mod 125 ==> 10x(5x+8) = 20 mod125
>> aqui não encontrei restrição, tem de ir na marra.
>> 1 ==>130 = 20 mod 125, não atende
>> 2==> 360 = 20 mod 125 não
>> 3==> 690 = 20 mod 125 não
>> 4 ==> 1120 = 20 mod 125 não
>> 5 ==> 1650 = 20 mod 125 não
>> 6===> 2280 = 20 mod125 não
>> 7 ==> 3010 = 20 mod125 não
>> 8==> 3840 =20 mod125 não
>> 9==> 4770 = 20 mod125 OK!
>> 10 ==> 5800 = 20 mod125 não
>> 11 ==> 6930 = 20 mod 125 não
>> 12 ==> 8160 = 20 mod125 não.
>>
>> Dentre os resíduos apenas os côngruos de 96 atendem. Como são os
>> primeiros positivos.
>> (96, 96 + 125, 96+250)= (96, 221, 246).
>>
>> Deve haver alguma forma mais elegante.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>>
>> Em ter., 5 de nov. de 2019 às 23:30, marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Determine os três menores inteiros positivos x, tais que x^3 = = 111
>>> (mod 5^3).
>>> Desde já agradeço
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Pedro José]

Boa tarde!
Esqueci o "vai um" que a tia Loló me ensinou: 346 e não 246.

Desculpem-me,
PJMS

Em qua., 6 de nov. de 2019 às 10:59, Pedro José 
escreveu:

> Boa tarde!
>
> Só consegui na grosseria.
>
> Para que o resto por 125 acabe em 1, x deverá acabar em 1 ou em 6.
>
> 6^3=216 não atende
>
> (10x+1)^3 = 300x^2 + 30x +1 = 111 mod 125 ==> 300x^2 + 30x= 110 + 250 q,
> com q pertencente a |N.
> 30x^2+3x =11 +25q.
>
> Tem que ser um x entre [1,12] e o produto 3x (10x+1) tem que acabar com 1
> ou 6.
> Quem vai comandar é 3x, únicos candidatos 2, 7 e 12.
> x=2 ==>126=1 mod25 não atende.
> x=7 ==> 1491= 16 mod 25
> x=12 ==> 4356 = 6 mod25
>
> Logo não há número terminado em 1 que atenda o proposto.
>
> (10x+6)^3= 1800x^2 + 1080x + 216 = 111 mod 125 ==> 10x(5x+8) = 20 mod125
> aqui não encontrei restrição, tem de ir na marra.
> 1 ==>130 = 20 mod 125, não atende
> 2==> 360 = 20 mod 125 não
> 3==> 690 = 20 mod 125 não
> 4 ==> 1120 = 20 mod 125 não
> 5 ==> 1650 = 20 mod 125 não
> 6===> 2280 = 20 mod125 não
> 7 ==> 3010 = 20 mod125 não
> 8==> 3840 =20 mod125 não
> 9==> 4770 = 20 mod125 OK!
> 10 ==> 5800 = 20 mod125 não
> 11 ==> 6930 = 20 mod 125 não
> 12 ==> 8160 = 20 mod125 não.
>
> Dentre os resíduos apenas os côngruos de 96 atendem. Como são os primeiros
> positivos.
> (96, 96 + 125, 96+250)= (96, 221, 246).
>
> Deve haver alguma forma mais elegante.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
> Em ter., 5 de nov. de 2019 às 23:30, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Determine os três menores inteiros positivos x, tais que x^3 = = 111 (mod
>> 5^3).
>> Desde já agradeço
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Pedro José]

Boa tarde!

Só consegui na grosseria.

Para que o resto por 125 acabe em 1, x deverá acabar em 1 ou em 6.

6^3=216 não atende

(10x+1)^3 = 300x^2 + 30x +1 = 111 mod 125 ==> 300x^2 + 30x= 110 + 250 q,
com q pertencente a |N.
30x^2+3x =11 +25q.

Tem que ser um x entre [1,12] e o produto 3x (10x+1) tem que acabar com 1
ou 6.
Quem vai comandar é 3x, únicos candidatos 2, 7 e 12.
x=2 ==>126=1 mod25 não atende.
x=7 ==> 1491= 16 mod 25
x=12 ==> 4356 = 6 mod25

Logo não há número terminado em 1 que atenda o proposto.

(10x+6)^3= 1800x^2 + 1080x + 216 = 111 mod 125 ==> 10x(5x+8) = 20 mod125
aqui não encontrei restrição, tem de ir na marra.
1 ==>130 = 20 mod 125, não atende
2==> 360 = 20 mod 125 não
3==> 690 = 20 mod 125 não
4 ==> 1120 = 20 mod 125 não
5 ==> 1650 = 20 mod 125 não
6===> 2280 = 20 mod125 não
7 ==> 3010 = 20 mod125 não
8==> 3840 =20 mod125 não
9==> 4770 = 20 mod125 OK!
10 ==> 5800 = 20 mod125 não
11 ==> 6930 = 20 mod 125 não
12 ==> 8160 = 20 mod125 não.

Dentre os resíduos apenas os côngruos de 96 atendem. Como são os primeiros
positivos.
(96, 96 + 125, 96+250)= (96, 221, 246).

Deve haver alguma forma mais elegante.

Saudações,
PJMS



Em ter., 5 de nov. de 2019 às 23:30, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Determine os três menores inteiros positivos x, tais que x^3 = = 111 (mod
> 5^3).
> Desde já agradeço
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Pedro José]

 Boa tarde!
Primeiramente, temos que considerar k positivo.
Depois temos que calcular  ord19 10
Mas ord19 10 | Fi(19)=18 então os possíveis valores são: 1, 2, 3, 6, 9 ,18.
Pois, ord19 10| Fi(19)
10^1=10; 1 não atente
10^2= 100= 5 mod19; 2 não atende
10^3= 5*10= 12 mod 19; 3 não atende
10^6= (10^3)^2= 144= 11 mod19, 6 não atende
10^9=10^3*10^6=132= 18 mod19; 9 não atende. Portanto, ord19 10=Fi(19)=18,
ou seja, 10 é uma raiz primitiva  mod19.
se 10^ko =2 ==>10^(ko+n* ord19 10)= 2
Mas 2.10= 1 mod19 ==> Portanto, 10^18=2*10 mod 19; e (19,10)=1, temos que
10^17=2 mod 19; portanto k=17 é o primeira solução positiva.
Pois, se existisse um k< 17, com 10^k=2, teríamos que 10^(k+1)=1 com k+1
<18 = ord19 10, absurdo.
Então a primeira é para k=17
E as seguintes, 35 e 53.
Note que foi necessário restringir k como positivo, pois, 10^-1, 10^-19,
10^-37, 10^-55... são soluções
Não sei se ficou claro, mas se houvesse um período p menor que 18 = ord19
10. 10^xo =10^(xo+p) mod19, teríamos 10^p=1 mod19, com p< 18 = ord19 1;
absurdo.
Saudações,
PJMS


Em sex, 25 de out de 2019 às 00:15, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Quais são as 3 primeiras soluções da congruência 10^k = = 2 (mod 19)?
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Pedro José]

Boa tarde!
Primeiramente, temos que calcular  ord19 10 .
Mas ord19 10 | Fi(19)=18 então os possíveis valores são: 1, 2, 3, 6, 9 ,18
1 não atente
10^2= 100= 5 mod19; 2 não atende
10^3= 5*10= 12 mod 19; 3 não atende
10^6= 5*12 =

Em sex, 25 de out de 2019 às 00:15, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Quais são as 3 primeiras soluções da congruência 10^k = = 2 (mod 19)?
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência (?)

[Pedro José]

Boa noite!
Faltara também a explicação.
Seja a = r  mod 10 então a^n=(r)^n  mod 100  se n é múltiplo de 10.
Mas é só usar o binômio de Newton, para (10q+r)^n  só sobra o último termo.

Saudações.

Em qua, 9 de out de 2019 às 11:09, Pedro José 
escreveu:

> Bom dia!
>
> Achei um outro modo de resolver, só que ao retornar me apercebi de que
> "engolira a classe 6', ao invés de ir na PA(2,4,6,8) segui pela PG (2,4,8)
>
> Faltou então para o algarismo 6.
>
> 6^20=2^20.3^20 e ord1003=20então 2^20= 1 mod 100 então 6=^20=2^20 mod
> 100
> Se 3^n= 1 mod100 então 3^n= 1 mod10
> ord103=4
> (3)^n=1 mod100 então né múltiplo de 4. Então n=4k par k>1 inteiro.
> (3)^n=(81)^k=(10*8+1)^k
> Pelo binômio de Newton, só sobram os dois últimos termos. Os demais terão
> 10^m com m>2 que côngruo de 0  mod100
> k.10*8 +1, e portanto o menor k que satisfaz é k=5. Então ord1003=20
>
> Com isso completa o que faltara da resolução anterior.
>
> 2^10=1024=24 mod100
> 2^20=24^2=76 mod100
> 4^20=(2^20)^2=76^2=(-24)^2=576=76 mod100
> 8^20=2^20.4^20=76^2=24 mod100
> 6^20=3^20.2^20=2^20 pois ord1003=20
>
> Essa última ficou melhor.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em sáb, 5 de out de 2019 às 08:58, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Bom dia!
>> Esdras, tem como postar a resposta.
>> Não consigo ver a^p=a modp, para p primo se encaixando no problema, pois
>> 10 não é primo.
>>
>> Grato!
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em sex, 4 de out de 2019 às 20:20, Esdras Muniz <
>> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Dá pra fazer tb usando o pequeno teorema de Fermat.
>>>
>>>
>>> 
>>>  Livre
>>> de vírus. www.avast.com
>>> .
>>>
>>> <#m_3285326544539962876_m_-140568092169550719_m_1063528150960112747_m_-1601668305501320773_m_-5542290881960747167_m_-611650024147786599_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>>
>>> Em sex, 4 de out de 2019 às 17:36, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa tarde!
 Com minhas escusas retificação da solução.
 n<>o mod10 e não: "n<> 0 mod100"
 (100,4) <>1 e não: "(100,4) =1"
 b^x não se repete e não: "b^x não se repetem"
 Sds,
 PJMS.


 Em sex, 4 de out de 2019 às 17:16, Pedro José 
 escreveu:

> Boa tarde!
> Se 10 não divide n então n<>0 mod100; pois nesse caso daria "00".
> Então os números são 2,4 ou 8 côngruos mod10.
> 2^20=4^10
> 8^20 = 4^40
> 4^1= 4 mod10
> 4^2=6 mod10
> 4^3= 4 mod10
> Logo temos que 4^(2m+1) = 4 mod 10 (i)
> Se
> a=4 mod 100 ==> a=4 mod 10 (ii)
>
> Então vamos procurar o período de a^n mod100,  Não existe a que
> satisfaça a^m= 1 mod100, com m<>0, pois (100,4)=1
> Vamos tentar verificar se há repetição do 4.
> De (i) e (ii) , temos que: 4^(2m+1) = 4 mod 100
> m=1 ==> 4^3 = 64 mod 104, não serve
> m=2 ==> 4^5= (4^(3*2))*8 = 28*8= 224=24 mod 100, não serve
> m=3 ==> 4^7= 24*16=384=84 mod 100
> m=4 ==> 4^9= (2*84)*8=68*8= 544=44 mod100
> m=5 ==> 4^11=44*16= 704= 4 mod 100
> Portanto o período de 4^a mod100 é 1gual a 10, ou seja, 4^a=4(10x+a)
> mod100. com x,a não nulos (Cuidado, que para alguns casos em que (b,m)<>1,
> b^x não se repetem para x < xo,e.g., 2^a= 2 mod 100, só é atendido para
> a=1, aí tem de sair no braço para ver qual que se repete e pode-se gastar
> mais tempo. Por sorte o quatro repetiu. Mas o enunciado dava a dica de que
> repetiria, pois, 4^20=4^10 mod 100 para que o problema tenha uma solução
> única.
> 4^20 = 4^10= 4^9*4=44*4=176=76 mod100
> 8^20=4^40=4^10=76 mod100
> 2^20=4^10=76 mod 100.
>
> Portanto o algarismo da dezena é 7 e das unidades 6.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
> Em qui, 3 de out de 2019 às 17:51, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Se n é um número natural par não divisível por 10, quais são os dois
>> últimos algarismos de n^20?
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esdras Muniz Mota
>>> Mestrando em Matemática
>>> Universidade Federal do Ceará
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência (?)

[Pedro José]

Bom dia!

Achei um outro modo de resolver, só que ao retornar me apercebi de que
"engolira a classe 6', ao invés de ir na PA(2,4,6,8) segui pela PG (2,4,8)

Faltou então para o algarismo 6.

6^20=2^20.3^20 e ord1003=20então 2^20= 1 mod 100 então 6=^20=2^20 mod100
Se 3^n= 1 mod100 então 3^n= 1 mod10
ord103=4
(3)^n=1 mod100 então né múltiplo de 4. Então n=4k par k>1 inteiro.
(3)^n=(81)^k=(10*8+1)^k
Pelo binômio de Newton, só sobram os dois últimos termos. Os demais terão
10^m com m>2 que côngruo de 0  mod100
k.10*8 +1, e portanto o menor k que satisfaz é k=5. Então ord1003=20

Com isso completa o que faltara da resolução anterior.

2^10=1024=24 mod100
2^20=24^2=76 mod100
4^20=(2^20)^2=76^2=(-24)^2=576=76 mod100
8^20=2^20.4^20=76^2=24 mod100
6^20=3^20.2^20=2^20 pois ord1003=20

Essa última ficou melhor.

Saudações,
PJMS


Em sáb, 5 de out de 2019 às 08:58, Pedro José 
escreveu:

> Bom dia!
> Esdras, tem como postar a resposta.
> Não consigo ver a^p=a modp, para p primo se encaixando no problema, pois
> 10 não é primo.
>
> Grato!
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em sex, 4 de out de 2019 às 20:20, Esdras Muniz 
> escreveu:
>
>> Dá pra fazer tb usando o pequeno teorema de Fermat.
>>
>>
>> 
>>  Livre
>> de vírus. www.avast.com
>> .
>>
>> <#m_-140568092169550719_m_1063528150960112747_m_-1601668305501320773_m_-5542290881960747167_m_-611650024147786599_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
>> Em sex, 4 de out de 2019 às 17:36, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Com minhas escusas retificação da solução.
>>> n<>o mod10 e não: "n<> 0 mod100"
>>> (100,4) <>1 e não: "(100,4) =1"
>>> b^x não se repete e não: "b^x não se repetem"
>>> Sds,
>>> PJMS.
>>>
>>>
>>> Em sex, 4 de out de 2019 às 17:16, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa tarde!
 Se 10 não divide n então n<>0 mod100; pois nesse caso daria "00".
 Então os números são 2,4 ou 8 côngruos mod10.
 2^20=4^10
 8^20 = 4^40
 4^1= 4 mod10
 4^2=6 mod10
 4^3= 4 mod10
 Logo temos que 4^(2m+1) = 4 mod 10 (i)
 Se
 a=4 mod 100 ==> a=4 mod 10 (ii)

 Então vamos procurar o período de a^n mod100,  Não existe a que
 satisfaça a^m= 1 mod100, com m<>0, pois (100,4)=1
 Vamos tentar verificar se há repetição do 4.
 De (i) e (ii) , temos que: 4^(2m+1) = 4 mod 100
 m=1 ==> 4^3 = 64 mod 104, não serve
 m=2 ==> 4^5= (4^(3*2))*8 = 28*8= 224=24 mod 100, não serve
 m=3 ==> 4^7= 24*16=384=84 mod 100
 m=4 ==> 4^9= (2*84)*8=68*8= 544=44 mod100
 m=5 ==> 4^11=44*16= 704= 4 mod 100
 Portanto o período de 4^a mod100 é 1gual a 10, ou seja, 4^a=4(10x+a)
 mod100. com x,a não nulos (Cuidado, que para alguns casos em que (b,m)<>1,
 b^x não se repetem para x < xo,e.g., 2^a= 2 mod 100, só é atendido para
 a=1, aí tem de sair no braço para ver qual que se repete e pode-se gastar
 mais tempo. Por sorte o quatro repetiu. Mas o enunciado dava a dica de que
 repetiria, pois, 4^20=4^10 mod 100 para que o problema tenha uma solução
 única.
 4^20 = 4^10= 4^9*4=44*4=176=76 mod100
 8^20=4^40=4^10=76 mod100
 2^20=4^10=76 mod 100.

 Portanto o algarismo da dezena é 7 e das unidades 6.

 Saudações,
 PJMS




 Em qui, 3 de out de 2019 às 17:51, marcone augusto araújo borges <
 marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Se n é um número natural par não divisível por 10, quais são os dois
> últimos algarismos de n^20?
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esdras Muniz Mota
>> Mestrando em Matemática
>> Universidade Federal do Ceará
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência (?)

[Pedro José]

Bom dia!
Esdras, tem como postar a resposta.
Não consigo ver a^p=a modp, para p primo se encaixando no problema, pois 10
não é primo.

Grato!

Saudações,
PJMS


Em sex, 4 de out de 2019 às 20:20, Esdras Muniz 
escreveu:

> Dá pra fazer tb usando o pequeno teorema de Fermat.
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
>
> <#m_-5542290881960747167_m_-611650024147786599_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> Em sex, 4 de out de 2019 às 17:36, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Com minhas escusas retificação da solução.
>> n<>o mod10 e não: "n<> 0 mod100"
>> (100,4) <>1 e não: "(100,4) =1"
>> b^x não se repete e não: "b^x não se repetem"
>> Sds,
>> PJMS.
>>
>>
>> Em sex, 4 de out de 2019 às 17:16, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Se 10 não divide n então n<>0 mod100; pois nesse caso daria "00".
>>> Então os números são 2,4 ou 8 côngruos mod10.
>>> 2^20=4^10
>>> 8^20 = 4^40
>>> 4^1= 4 mod10
>>> 4^2=6 mod10
>>> 4^3= 4 mod10
>>> Logo temos que 4^(2m+1) = 4 mod 10 (i)
>>> Se
>>> a=4 mod 100 ==> a=4 mod 10 (ii)
>>>
>>> Então vamos procurar o período de a^n mod100,  Não existe a que
>>> satisfaça a^m= 1 mod100, com m<>0, pois (100,4)=1
>>> Vamos tentar verificar se há repetição do 4.
>>> De (i) e (ii) , temos que: 4^(2m+1) = 4 mod 100
>>> m=1 ==> 4^3 = 64 mod 104, não serve
>>> m=2 ==> 4^5= (4^(3*2))*8 = 28*8= 224=24 mod 100, não serve
>>> m=3 ==> 4^7= 24*16=384=84 mod 100
>>> m=4 ==> 4^9= (2*84)*8=68*8= 544=44 mod100
>>> m=5 ==> 4^11=44*16= 704= 4 mod 100
>>> Portanto o período de 4^a mod100 é 1gual a 10, ou seja, 4^a=4(10x+a)
>>> mod100. com x,a não nulos (Cuidado, que para alguns casos em que (b,m)<>1,
>>> b^x não se repetem para x < xo,e.g., 2^a= 2 mod 100, só é atendido para
>>> a=1, aí tem de sair no braço para ver qual que se repete e pode-se gastar
>>> mais tempo. Por sorte o quatro repetiu. Mas o enunciado dava a dica de que
>>> repetiria, pois, 4^20=4^10 mod 100 para que o problema tenha uma solução
>>> única.
>>> 4^20 = 4^10= 4^9*4=44*4=176=76 mod100
>>> 8^20=4^40=4^10=76 mod100
>>> 2^20=4^10=76 mod 100.
>>>
>>> Portanto o algarismo da dezena é 7 e das unidades 6.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Em qui, 3 de out de 2019 às 17:51, marcone augusto araújo borges <
>>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>>
 Se n é um número natural par não divisível por 10, quais são os dois
 últimos algarismos de n^20?
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esdras Muniz Mota
> Mestrando em Matemática
> Universidade Federal do Ceará
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência (?)

[Esdras Muniz]

Dá pra fazer tb usando o pequeno teorema de Fermat.


Livre
de vírus. www.avast.com
.
<#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

Em sex, 4 de out de 2019 às 17:36, Pedro José 
escreveu:

> Boa tarde!
> Com minhas escusas retificação da solução.
> n<>o mod10 e não: "n<> 0 mod100"
> (100,4) <>1 e não: "(100,4) =1"
> b^x não se repete e não: "b^x não se repetem"
> Sds,
> PJMS.
>
>
> Em sex, 4 de out de 2019 às 17:16, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Se 10 não divide n então n<>0 mod100; pois nesse caso daria "00".
>> Então os números são 2,4 ou 8 côngruos mod10.
>> 2^20=4^10
>> 8^20 = 4^40
>> 4^1= 4 mod10
>> 4^2=6 mod10
>> 4^3= 4 mod10
>> Logo temos que 4^(2m+1) = 4 mod 10 (i)
>> Se
>> a=4 mod 100 ==> a=4 mod 10 (ii)
>>
>> Então vamos procurar o período de a^n mod100,  Não existe a que satisfaça
>> a^m= 1 mod100, com m<>0, pois (100,4)=1
>> Vamos tentar verificar se há repetição do 4.
>> De (i) e (ii) , temos que: 4^(2m+1) = 4 mod 100
>> m=1 ==> 4^3 = 64 mod 104, não serve
>> m=2 ==> 4^5= (4^(3*2))*8 = 28*8= 224=24 mod 100, não serve
>> m=3 ==> 4^7= 24*16=384=84 mod 100
>> m=4 ==> 4^9= (2*84)*8=68*8= 544=44 mod100
>> m=5 ==> 4^11=44*16= 704= 4 mod 100
>> Portanto o período de 4^a mod100 é 1gual a 10, ou seja, 4^a=4(10x+a)
>> mod100. com x,a não nulos (Cuidado, que para alguns casos em que (b,m)<>1,
>> b^x não se repetem para x < xo,e.g., 2^a= 2 mod 100, só é atendido para
>> a=1, aí tem de sair no braço para ver qual que se repete e pode-se gastar
>> mais tempo. Por sorte o quatro repetiu. Mas o enunciado dava a dica de que
>> repetiria, pois, 4^20=4^10 mod 100 para que o problema tenha uma solução
>> única.
>> 4^20 = 4^10= 4^9*4=44*4=176=76 mod100
>> 8^20=4^40=4^10=76 mod100
>> 2^20=4^10=76 mod 100.
>>
>> Portanto o algarismo da dezena é 7 e das unidades 6.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>>
>>
>> Em qui, 3 de out de 2019 às 17:51, marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Se n é um número natural par não divisível por 10, quais são os dois
>>> últimos algarismos de n^20?
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência (?)

[Pedro José]

Boa tarde!
Com minhas escusas retificação da solução.
n<>o mod10 e não: "n<> 0 mod100"
(100,4) <>1 e não: "(100,4) =1"
b^x não se repete e não: "b^x não se repetem"
Sds,
PJMS.


Em sex, 4 de out de 2019 às 17:16, Pedro José 
escreveu:

> Boa tarde!
> Se 10 não divide n então n<>0 mod100; pois nesse caso daria "00".
> Então os números são 2,4 ou 8 côngruos mod10.
> 2^20=4^10
> 8^20 = 4^40
> 4^1= 4 mod10
> 4^2=6 mod10
> 4^3= 4 mod10
> Logo temos que 4^(2m+1) = 4 mod 10 (i)
> Se
> a=4 mod 100 ==> a=4 mod 10 (ii)
>
> Então vamos procurar o período de a^n mod100,  Não existe a que satisfaça
> a^m= 1 mod100, com m<>0, pois (100,4)=1
> Vamos tentar verificar se há repetição do 4.
> De (i) e (ii) , temos que: 4^(2m+1) = 4 mod 100
> m=1 ==> 4^3 = 64 mod 104, não serve
> m=2 ==> 4^5= (4^(3*2))*8 = 28*8= 224=24 mod 100, não serve
> m=3 ==> 4^7= 24*16=384=84 mod 100
> m=4 ==> 4^9= (2*84)*8=68*8= 544=44 mod100
> m=5 ==> 4^11=44*16= 704= 4 mod 100
> Portanto o período de 4^a mod100 é 1gual a 10, ou seja, 4^a=4(10x+a)
> mod100. com x,a não nulos (Cuidado, que para alguns casos em que (b,m)<>1,
> b^x não se repetem para x < xo,e.g., 2^a= 2 mod 100, só é atendido para
> a=1, aí tem de sair no braço para ver qual que se repete e pode-se gastar
> mais tempo. Por sorte o quatro repetiu. Mas o enunciado dava a dica de que
> repetiria, pois, 4^20=4^10 mod 100 para que o problema tenha uma solução
> única.
> 4^20 = 4^10= 4^9*4=44*4=176=76 mod100
> 8^20=4^40=4^10=76 mod100
> 2^20=4^10=76 mod 100.
>
> Portanto o algarismo da dezena é 7 e das unidades 6.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
> Em qui, 3 de out de 2019 às 17:51, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Se n é um número natural par não divisível por 10, quais são os dois
>> últimos algarismos de n^20?
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência (?)

[Pedro José]

Boa tarde!
Se 10 não divide n então n<>0 mod100; pois nesse caso daria "00".
Então os números são 2,4 ou 8 côngruos mod10.
2^20=4^10
8^20 = 4^40
4^1= 4 mod10
4^2=6 mod10
4^3= 4 mod10
Logo temos que 4^(2m+1) = 4 mod 10 (i)
Se
a=4 mod 100 ==> a=4 mod 10 (ii)

Então vamos procurar o período de a^n mod100,  Não existe a que satisfaça
a^m= 1 mod100, com m<>0, pois (100,4)=1
Vamos tentar verificar se há repetição do 4.
De (i) e (ii) , temos que: 4^(2m+1) = 4 mod 100
m=1 ==> 4^3 = 64 mod 104, não serve
m=2 ==> 4^5= (4^(3*2))*8 = 28*8= 224=24 mod 100, não serve
m=3 ==> 4^7= 24*16=384=84 mod 100
m=4 ==> 4^9= (2*84)*8=68*8= 544=44 mod100
m=5 ==> 4^11=44*16= 704= 4 mod 100
Portanto o período de 4^a mod100 é 1gual a 10, ou seja, 4^a=4(10x+a)
mod100. com x,a não nulos (Cuidado, que para alguns casos em que (b,m)<>1,
b^x não se repetem para x < xo,e.g., 2^a= 2 mod 100, só é atendido para
a=1, aí tem de sair no braço para ver qual que se repete e pode-se gastar
mais tempo. Por sorte o quatro repetiu. Mas o enunciado dava a dica de que
repetiria, pois, 4^20=4^10 mod 100 para que o problema tenha uma solução
única.
4^20 = 4^10= 4^9*4=44*4=176=76 mod100
8^20=4^40=4^10=76 mod100
2^20=4^10=76 mod 100.

Portanto o algarismo da dezena é 7 e das unidades 6.

Saudações,
PJMS




Em qui, 3 de out de 2019 às 17:51, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Se n é um número natural par não divisível por 10, quais são os dois
> últimos algarismos de n^20?
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Caio Costa]

2000 = 2⁴.5³
1776 é múltiplo de 16
1776 % 125 = 26
26⁵ % 125 = 1
Assim, 1776^(2011!) % 125 = (26^5)^(2011!/5) % 125 = 1
Precisamos agora achar o menor k tal que 125k + 1 é múltiplo de 16.
Por inspeção, k = 11.
Logo, o número 125*11 + 1 = 1376 é o resto pedido.

Em ter, 23 de jul de 2019 às 16:11, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Qual é o resto da divisão de 1776^2011! por 2000?
> Desde já agradeço.
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência(?)

[Pedro José]

Bom dia!

Envio espúrio, digitando o resto.

Em 30 de outubro de 2015 11:41, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> Podemos generalizar e mostrar que:
>
> 1^k + 2^k + 3^k +...+ (p-2)^k = (p-1)^k= (p-1)^k ≡ a mod p, onde a ≡ 0 se
> (p-1) não divide k ou a ≡ -1 se (p-1) divide k, onde p é primo.
>
> Se (p-1) divide k é fácil por Euller Fermat x^(p-1) ≡ 1 mod p ==>x^k ≡ 1.
> Como há p-1 parcelas côngruas a 1, o resultado é (p-1) que é côngruo a -1.
>
>
>
>
>
>
>
> Em 30 de outubro de 2015 10:32, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Mostre que 1^10 + 2^10 + ... + 100^10 é divisível por 101
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência(?)

[Pedro José]

Bom dia!

Podemos generalizar e mostrar que:

1^k + 2^k + 3^k +...+ (p-2)^k = (p-1)^k= (p-1)^k ≡ a mod p, onde a ≡ 0 se
(p-1) não divide k ou a ≡ -1 se (p-1) divide k, onde p é primo.

Se (p-1) divide k é fácil por Euller Fermat x^(p-1) ≡ 1 mod p ==>x^k ≡ 1.
Como há p-1 parcelas côngruas a 1, o resultado é (p-1) que é côngruo a -1.







Em 30 de outubro de 2015 10:32, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Mostre que 1^10 + 2^10 + ... + 100^10 é divisível por 101
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência(?)

[Pedro José]

Bom dia!

Podemos generalizar e mostrar que:

1^k + 2^k + 3^k +...+ (p-2)^k + (p-1)^k ≡ a mod p, onde a ≡ 0 se (p-1) não
divide k ou a ≡ -1 se (p-1) divide k, onde p é primo.

Se (p-1) divide k é fácil por Euller Fermat x^(p-1) ≡ 1 mod p ==>x^k ≡ 1.
Como há p-1 parcelas côngruas a 1, o resultado é (p-1) que é côngruo a -1.
Se (p-1) não divide k.

Temos que existe uma raiz primitiva g mod p.

Como a raiz primitiva módulo m é uma geratriz de (Z/Zm*) = {g^1, g^2,g^3,
..., g^(Ф(m) -1), g^Ф(m)}
Como p é primo, Ф(p) = p-1 ==> (Z/Zp)* = {1, 2, 3, ..., p-2, p-1} = {g^1,
g^2,g^3, ..., g^(Ф(p) -1), g^Ф(p)}
Nota (Z/Zm*) é o conjunto das classes de congruência mod m, onde os
elementos são coprimos com m.
A notação correta deveria ter uma barrinha em cima de 1, 2, etc
_
1 = { ... 1-2m, 1-m, 1, 1+m, 1+2m...}
Se p é primo p admite raiz primitiva, então:
Existe g tal que {1, 2, 3, ..., p-2, p-1} = {g^1, g^2,g^3, ..., g^(Ф(p) -1),
g^Ф(p)}
1^k + 2^k + 3^k +...+ (p-2)^k + (p-1)^k ≡ g^k + g^(2k) + g^(3k) +...+
g^((p-3)k) + g^((p-2)k) + g^((p-1)k) ≡ S mod p (i)
Multiplicando-se por g^k ambos os lados:
g^k +g^(2k) + g^(3k) +...+ g^((p-2)k) + g^((p-1)k) ≡ g^k.S mod p
Por (i) temos que g^k.S ≡ S mod p ==> (g^k-1)S ≡ 0 mod p
Então S ≡ 0 mod p ou g^k ≡ 1 mod p
Como g é raiz primitiva e (p-1) não divide k acarreta que g^k ǂ 1 mod p
Logo S ≡ 0 mod p ==> S divide p.

100 não divide 10 e 101 é primo, logo a soma divide 101, para o exemplo
solicitado.

Mais detalhes e demosntrações:
http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf e definição de raiz
primitiva.

Saudações,
PJMS





Em 30 de outubro de 2015 11:41, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> Envio espúrio, digitando o resto.
>
> Em 30 de outubro de 2015 11:41, Pedro José  escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> Podemos generalizar e mostrar que:
>>
>> 1^k + 2^k + 3^k +...+ (p-2)^k = (p-1)^k= (p-1)^k ≡ a mod p, onde a ≡ 0 se
>> (p-1) não divide k ou a ≡ -1 se (p-1) divide k, onde p é primo.
>>
>> Se (p-1) divide k é fácil por Euller Fermat x^(p-1) ≡ 1 mod p ==>x^k ≡
>> 1. Como há p-1 parcelas côngruas a 1, o resultado é (p-1) que é côngruo a
>> -1.
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> Em 30 de outubro de 2015 10:32, marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Mostre que 1^10 + 2^10 + ... + 100^10 é divisível por 101
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] (Congruência de triângulos e quadriláteros)

[saulo nilson]

(a-c)/D1=(b-x)/D2


2014-08-20 8:56 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com:

 Então Warley, quando falou de artista plástico acho que entendi o que pede
 na letra a.
 Faz assim chamando o paralelogramo de ABCD, coloque-o no R^3 e imagine que
 A=(m,n,a); B=(r,s,b); C=(p,q,c) e D=(x,y,z), no caso em questão o que voce
 quer é z em função de a, b e c, assim use segmentos orientados, como é
 paralelogramo AB=DC, assim C-D=B-A,  e substituindo os pontos terá (  ,
  ,c-z)=(  ,  ,b-a);
 perceba que não interessa abcissa e ordenada e sim as cotas, logo c-z=b-a,
 a última dimensão que você quer será z=a+c-b.

 Quanto a letra b não entendi o que quer.

 Abraços
 Douglas Oliveira.


 Em 19 de agosto de 2014 23:05, warley ferreira lulu...@yahoo.com.br
 escreveu:



 Boa tarde pessoal,
 gostaria de uma ajuda nesta questão.
 Desde já, agradeço.
 Att.
 Warley Souza

 Questão um (Congruência de triângulos e quadriláteros)

 a) Uma mesa decorativa inclinada em forma de paralelogramo foi criada por
 um artista
 plástico. A medida de um dos pés da mesa deveria ser de a cm. O segundo
 pé mediria b
 cm e o terceiro mediria c cm. Determine o tamanho x do quarto pé para que
 a mesa não
 manque.

 b) Substitua no item anterior o paralelogramo por um quadrilátero convexo
 ou não.


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[obm-l] Re: [obm-l] (Congruência de triângulos e quadriláteros)

[Douglas Oliveira de Lima]

Então Warley, quando falou de artista plástico acho que entendi o que pede
na letra a.
Faz assim chamando o paralelogramo de ABCD, coloque-o no R^3 e imagine que
A=(m,n,a); B=(r,s,b); C=(p,q,c) e D=(x,y,z), no caso em questão o que voce
quer é z em função de a, b e c, assim use segmentos orientados, como é
paralelogramo AB=DC, assim C-D=B-A,  e substituindo os pontos terá (  ,
 ,c-z)=(  ,  ,b-a);
perceba que não interessa abcissa e ordenada e sim as cotas, logo c-z=b-a,
a última dimensão que você quer será z=a+c-b.

Quanto a letra b não entendi o que quer.

Abraços
Douglas Oliveira.


Em 19 de agosto de 2014 23:05, warley ferreira lulu...@yahoo.com.br
escreveu:



 Boa tarde pessoal,
 gostaria de uma ajuda nesta questão.
 Desde já, agradeço.
 Att.
 Warley Souza

 Questão um (Congruência de triângulos e quadriláteros)

 a) Uma mesa decorativa inclinada em forma de paralelogramo foi criada por
 um artista
 plástico. A medida de um dos pés da mesa deveria ser de a cm. O segundo pé
 mediria b
 cm e o terceiro mediria c cm. Determine o tamanho x do quarto pé para que
 a mesa não
 manque.

 b) Substitua no item anterior o paralelogramo por um quadrilátero convexo
 ou não.


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[obm-l] Re: [obm-l] Congruência(não quero a solução)

[Douglas Oliveira de Lima]

Coloquei no wolfram , não dividiu não !
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%5E10+%2B+2%5E10+%2B+3%5E10%2B4%5E10%2B5%5E10%2B6%5E10%2B7%5E10%2B8%5E10%2B9%5E10+%2B+10%5E10%29%2F101


Em 13 de junho de 2014 19:22, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Eu gostaria de alguma pista para a questão:
 Mostre que 101 divide 1^10 + 2^10 + ... + 10^10
 Se não me engano 1^100 + 2^100 + ... + 100^100 = = -1 (mod 101)
 Claro que 101 divide 1+2+...+ 100,mas...

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[obm-l] Re: [obm-l] Congruência(não quero a solução)

[Douglas Oliveira de Lima]

E mostra que dá resto 74 , voce quer chegar no resto??


Em 13 de junho de 2014 19:44, Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Coloquei no wolfram , não dividiu não !

 http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%5E10+%2B+2%5E10+%2B+3%5E10%2B4%5E10%2B5%5E10%2B6%5E10%2B7%5E10%2B8%5E10%2B9%5E10+%2B+10%5E10%29%2F101


 Em 13 de junho de 2014 19:22, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

  Eu gostaria de alguma pista para a questão:
 Mostre que 101 divide 1^10 + 2^10 + ... + 10^10
 Se não me engano 1^100 + 2^100 + ... + 100^100 = = -1 (mod 101)
 Claro que 101 divide 1+2+...+ 100,mas...

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência módulo m

[Pacini Bores]

Observe que são apenas 11 valores para  a devida verificação, portanto sem
grandes trabalhos, ok ?

Pacini


Em 2 de maio de 2014 01:43, ruymat...@ig.com.br escreveu:

  Módulo 11.




 Em 02/05/2014 00:49, Cassio Anderson Feitosa escreveu:

  Em qual módulo?

 Em 2 de maio de 2014 00:42, ruymat...@ig.com.br escreveu:

  É fácil ver que para todo inteiro x, x^5 é côngruo a -1, 0 e 1 apenas.
 Mas como prova-lo para todos sem ter que testar um a um dos possíveis
 valores de x ( x=1,2,3,4,5,6,...)? Abraços e agradecimentos antecipados a
 quem responder .

R.O.




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 Cássio Anderson
 Graduando em Matemática - UFPB

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência módulo m

[Pedro José]

Boa tarde!

Ruy,

Observe que são onze classe de congruência módulo 11:

Não tenho como colocar a barra acima dos números, mas enxergue a barra.

0 = {...-33, -22, -11, 0, 11, 22, 33...}
1 = {-32, -21, -10, 1, 12, 23, 34}

E assim sucessivamente até 10 = {...-23, -12, -1, 10, 21, 32...}


É fácil provar que as classes módulo m preservam a adição, basta usar
divisão de Euclides e fechamento da adição(por tabela  fechamento da
multiplicação) em Z.

Se preservam a adição preservam a multiplicação e a potenciação.

Portanto qualquer elemento de uma classe de congruência elevado a um dado
inteiro terá a mesma congruência módulo p.

Razão pela qual o colega informou que bastam serem verificados 11 valores
para congruência módulo 11.

Saudações,
PJMS





Em 2 de maio de 2014 08:15, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu:

 Observe que são apenas 11 valores para  a devida verificação, portanto sem
 grandes trabalhos, ok ?

 Pacini


 Em 2 de maio de 2014 01:43, ruymat...@ig.com.br escreveu:

  Módulo 11.




 Em 02/05/2014 00:49, Cassio Anderson Feitosa escreveu:

  Em qual módulo?

 Em 2 de maio de 2014 00:42, ruymat...@ig.com.br escreveu:

  É fácil ver que para todo inteiro x, x^5 é côngruo a -1, 0 e 1 apenas.
 Mas como prova-lo para todos sem ter que testar um a um dos possíveis
 valores de x ( x=1,2,3,4,5,6,...)? Abraços e agradecimentos antecipados a
 quem responder .

R.O.




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 Cássio Anderson
 Graduando em Matemática - UFPB

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência módulo m

[ruymatrix]

 

Obrigado a todos os que responderam as minhas duvidas sobre congruência.
Só agora estou me familiarizando com o tema, tão apreciado pelas
olimpíadas. Todas as duvidas foram sanadas. Obrigado Pacini, 

Em 02/05/2014 08:15, Pacini Bores escreveu: 

 Observe que são apenas 11 valores para a devida verificação, portanto sem 
 grandes trabalhos, ok ? 
 
 Pacini, Terence, Cássio, enfim, todos. 
 
 Em 2 de maio de 2014 01:43, ruymat...@ig.com.br escreveu:
 
 Módulo 11. 
 
 Em 02/05/2014 00:49, Cassio Anderson Feitosa escreveu: 
 
 Em qual módulo?
 
 Em 2 de maio de 2014 00:42, ruymat...@ig.com.br escreveu:
 
 É fácil ver que para todo inteiro x, x^5 é côngruo a -1, 0 e 1 apenas. Mas 
 como prova-lo para todos sem ter que testar um a um dos possíveis valores de 
 x ( x=1,2,3,4,5,6,...)? Abraços e agradecimentos antecipados a quem responder 
 . 
 
 R.O. 
 
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 Cássio Anderson 
 Graduando em Matemática - UFPB 
 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e 
 
 acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência módulo m

[Pacini Bores]

Olá,

Para o (2), todo   n da forma  52k+12 , satisfaz a condição do problema,

Pacini


Em 30 de abril de 2014 21:41, terence thirteen
peterdirich...@gmail.comescreveu:

 Este primeiro tem uma solução bonita e outra mágica.

 Mágica: módulo 11 no bicho! Veja que x^5 só pode assumir os valores 0,1,-1
 módulo 11, e os quadrados módulo 11 são fáceis de achar. Daí você pode ver
 que não tem como combinar os resultados!

 A segunda você pode fazer quase do mesmo jeito. Basta calcular os restos
 de cada parcelinha.






 Em 30 de abril de 2014 16:02, ruymat...@ig.com.br escreveu:

  1) Prove que a equação y^2=x^5-4 não tem soluções inteiras.

 2) Para que valores de n o número 5^n+n^5 é divisível por 13?

 Agradeço antecipadamente a quem resolver. PS- Faz anos que não uso
 congruência módulo m, e por isso estou enferrujado . Estou retomando, mas
 esses dois travaram.

  Abraços.

R.O.




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 Torres

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[obm-l] Re: [obm-l] Congruência módulo m

[Cassio Anderson Feitosa]

Em qual módulo?

Em 2 de maio de 2014 00:42, ruymat...@ig.com.br escreveu:

  É fácil ver que para todo inteiro x, x^5 é côngruo a -1, 0 e 1 apenas.
 Mas como prova-lo para todos sem ter que testar um a um dos possíveis
 valores de x ( x=1,2,3,4,5,6,...)? Abraços e agradecimentos antecipados a
 quem responder .

R.O.




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Cássio Anderson
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência módulo m

[ruymatrix]

 

Módulo 11. 

Em 02/05/2014 00:49, Cassio Anderson Feitosa escreveu: 

 Em qual módulo?
 
 Em 2 de maio de 2014 00:42, ruymat...@ig.com.br escreveu:
 
 É fácil ver que para todo inteiro x, x^5 é côngruo a -1, 0 e 1 apenas. Mas 
 como prova-lo para todos sem ter que testar um a um dos possíveis valores de 
 x ( x=1,2,3,4,5,6,...)? Abraços e agradecimentos antecipados a quem 
 responder . 
 
 R.O. 
 
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[obm-l] Re: [obm-l] Congruência módulo m

[terence thirteen]

Este primeiro tem uma solução bonita e outra mágica.

Mágica: módulo 11 no bicho! Veja que x^5 só pode assumir os valores 0,1,-1
módulo 11, e os quadrados módulo 11 são fáceis de achar. Daí você pode ver
que não tem como combinar os resultados!

A segunda você pode fazer quase do mesmo jeito. Basta calcular os restos de
cada parcelinha.






Em 30 de abril de 2014 16:02, ruymat...@ig.com.br escreveu:

  1) Prove que a equação y^2=x^5-4 não tem soluções inteiras.

 2) Para que valores de n o número 5^n+n^5 é divisível por 13?

 Agradeço antecipadamente a quem resolver. PS- Faz anos que não uso
 congruência módulo m, e por isso estou enferrujado . Estou retomando, mas
 esses dois travaram.

  Abraços.

R.O.




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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência(?)

[marcone augusto araújo borges]

Eu vi depois:
a^p ==b^p(modp) = a^p ==b^p(modp^2)
Como 46^47==(-48)^47 = - 48^47(mod47),então 46^47 == - 48^47(mod47^2)46^47 + 
48^47 == 0(mod47^2)  
 Date: Tue, 20 Aug 2013 10:39:25 -0300
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência(?)
 From: bernardo...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 2013/8/20 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
  Mostre que 46^47 + 48^47 divide 47^2
 Você quer que um número gigantesco divida um número pequenininho? Ou é
 ao contrário?
 
  Eu só consegui desenvolvendo (47 - 1)^47 + (47 + 1)^47.
  Como fazer por congruência?
 Acho que dá pra fazer, mas no fim das contas é mais fácil expandir
 como você pensou, porque para usar congruências você tem que fazer
 tudo módulo 47^2... e daí as contas vão ficar feias... Note que o
 pulo do gato é que C(47,p) é divisível por 47 para todo 0  p  47,
 daí nem adianta muito você tentar simplificar 46^2 = (47 - 1)^2 ==
 -2*47 + 1 (mod 47^2) e 48^2 == 2*47 + 1.
 
 Abraços,
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 -- 
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 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
  
-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Congruência(?)

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/8/20 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
 Mostre que 46^47 + 48^47 divide 47^2
Você quer que um número gigantesco divida um número pequenininho? Ou é
ao contrário?

 Eu só consegui desenvolvendo (47 - 1)^47 + (47 + 1)^47.
 Como fazer por congruência?
Acho que dá pra fazer, mas no fim das contas é mais fácil expandir
como você pensou, porque para usar congruências você tem que fazer
tudo módulo 47^2... e daí as contas vão ficar feias... Note que o
pulo do gato é que C(47,p) é divisível por 47 para todo 0  p  47,
daí nem adianta muito você tentar simplificar 46^2 = (47 - 1)^2 ==
-2*47 + 1 (mod 47^2) e 48^2 == 2*47 + 1.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência(?)

[marcone augusto araújo borges]

Obrigado.Quanto ao pulo do gato eu entendi,mas eu pensei nos expoentes de 
47,todos maiores que 2,exceto no termo C(47,1)*47^1*(-1)^46,que acaba dando um 
fator 47^2,e no termo igual a -1.

 Date: Tue, 20 Aug 2013 10:39:25 -0300
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência(?)
 From: bernardo...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 2013/8/20 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
  Mostre que 46^47 + 48^47 divide 47^2
 Você quer que um número gigantesco divida um número pequenininho? Ou é
 ao contrário?
 
  Eu só consegui desenvolvendo (47 - 1)^47 + (47 + 1)^47.
  Como fazer por congruência?
 Acho que dá pra fazer, mas no fim das contas é mais fácil expandir
 como você pensou, porque para usar congruências você tem que fazer
 tudo módulo 47^2... e daí as contas vão ficar feias... Note que o
 pulo do gato é que C(47,p) é divisível por 47 para todo 0  p  47,
 daí nem adianta muito você tentar simplificar 46^2 = (47 - 1)^2 ==
 -2*47 + 1 (mod 47^2) e 48^2 == 2*47 + 1.
 
 Abraços,
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 -- 
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  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência(?)

[marcone augusto araújo borges]

Muito bom.
 From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência(?)
Date: Sun, 17 Mar 2013 00:32:09 -0300




Como n tem 2 algarismos, sendo n = (10a+b)

10^n-n tem (n-2) noves seguidos do número (100-n)

Para b=0, S(10^n-n) = (10a-2).9 + (10-a) = 89a-8 = (mod.170)
Analizando mod.10, -a+2 = 0 (mod 10), a = 2 (mod 10), a = 2 satizfaz
Analizando mod.17, 4a-8 = 0 (mod 17) - a-2 = 0 (mod.17), 2 satizfaz

Para b!= 0, S(100-n) = (9-a) + (10-b) = 19-(a+b)
S(10^n-n) =  (10a+b-2).9 + 19-(a+b) = 89a + 8b + 1
Analizando mod.10, -a-2b+1 = 0 (mod 10), a+2b = 1 (mod 10)
Analizando mod.17, 4a+8b-16 = 0 (mod  17), a+2b = 4 (mod 17)
a+2b = k
k=10x+1 = 17y+4 - (17y+3)/10 = x = 2-3(y-1)/10, y = 10Y+ 1
Desse modo k = 170Y + 21,
a+2b = 21
Temos a ímpar
a=3 - b=9
a=5, b=8
a=7, b=7
a=9, b=6

Logo n = 20, 39, 58, 77, 96 satisfazem

[]`s
João

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Congruência(?)
Date: Sun, 17 Mar 2013 01:02:24 +




Determine todos os números naturais N de dois algarismos para os quais a soma 
dos
algarismos de 10^N - N seja divisível por 170.

  

[obm-l] RE: [obm-l] Congruência(?)

[João Maldonado]

Como n tem 2 algarismos, sendo n = (10a+b)

10^n-n tem (n-2) noves seguidos do número (100-n)

Para b=0, S(10^n-n) = (10a-2).9 + (10-a) = 89a-8 = (mod.170)
Analizando mod.10, -a+2 = 0 (mod 10), a = 2 (mod 10), a = 2 satizfaz
Analizando mod.17, 4a-8 = 0 (mod 17) - a-2 = 0 (mod.17), 2 satizfaz

Para b!= 0, S(100-n) = (9-a) + (10-b) = 19-(a+b)
S(10^n-n) =  (10a+b-2).9 + 19-(a+b) = 89a + 8b + 1
Analizando mod.10, -a-2b+1 = 0 (mod 10), a+2b = 1 (mod 10)
Analizando mod.17, 4a+8b-16 = 0 (mod  17), a+2b = 4 (mod 17)
a+2b = k
k=10x+1 = 17y+4 - (17y+3)/10 = x = 2-3(y-1)/10, y = 10Y+ 1
Desse modo k = 170Y + 21,
a+2b = 21
Temos a ímpar
a=3 - b=9
a=5, b=8
a=7, b=7
a=9, b=6

Logo n = 20, 39, 58, 77, 96 satisfazem

[]`s
João

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Congruência(?)
Date: Sun, 17 Mar 2013 01:02:24 +




Determine todos os números naturais N de dois algarismos para os quais a soma 
dos
algarismos de 10^N - N seja divisível por 170.

  

[obm-l] RE: [obm-l] Congruência

[Maikel Andril Marcelino]

Tentepelo teorema de Fermat

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Congruência
Date: Thu, 14 Feb 2013 00:20:57 +








Alguem resolveria essa?
 
Prove que 2^1093 - 2 é divisível por 1093^2

  

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Rogerio Ponce]

Ola' Thiago,

Vou representar o resto da divisao de N por D como N%D.

Tambem estou considerando que o operador % (resto da divisao) tem
precedencia menor que ** (exponenciacao).

Ou seja, queremos o valor de

  [ 41**41+36**36] % 77

= [ 41**41%77 +36**36%77 ] % 77

= [ 41**41%77 + (-41)**36%77 ] % 77

= [ 41**41%77 +41**36%77 ] % 77

= [ 41**41+41**36] % 77

= [(41**5 + 1) *   41**36] % 77


Ora, o fator (41**5 + 1) pode ser reescrito como ((42-1)**5 + 1), e a
expansao de (42-1)**5 tem quase todos os termos multiplos de potencias de
42, com excecao do ultimo, que vale -1**5 = -1.
Portanto, ((42-1)**5 + 1) e' multiplo de 42, que e' multiplo de 7.

Por outro lado, o mesmo fator (41**5 + 1) pode ser reescrito como
((44-3)**5 + 1), e a expansao de (44-3)**5 tem quase todos os termos
multiplos de potencias de 44 (que e' multiplo de 11), com excecao do
ultimo, que vale -3**5 = -243.
Como -243 + 1 = -242, que tambem e' multiplo de 11, entao ((44-3)**5 + 1)
e' multiplo de 11.

Assim, o fator (41**5 + 1) e' multiplo de 7 e de 11, de modo que a
expressao original e' multipla de 77.

Logo o resto vale zero.

[]'s
Rogerio Ponce


Em 25 de junho de 2012 18:43, Thiago Bersch thiago_t...@hotmail.comescreveu:

  Qual o resto da divisão de 36^36+41^41 por 77 ?

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Ralph Teixeira]

Vai parecer magica, porque eu fiz dum jeito meio feioso e depois arrumei:

Queremos mostrar que:
2^(2p-3)-2^(p-2) + 72 = 0 (mod 100)

Farei x=2^(p-4) (note que p=4), para enxergar isso melhor:
32x^2-4x+72=0 (mod 100)

Magiquinha:
32x^2-4x-28=0 (mod 100)

Agora dah para fatorar!
4(8x^2-x-7)=0 (mod 100)
4(8x+7)(x-1)=0 (mod 100)

Agora, como x=2^(p-4)=16^((p-4)/4), entao x=1 (mod 5).
Portanto, 8x+7=15=0 (mod 5)  e x-1=0 (mod 5). Isto mostra que (8x+7)(x-1)=0
(mod 25), e portanto acabou.

Abraco,
Ralph

2012/6/4 Alan Pellejero mathhawk2...@yahoo.com.br

 Boa tarde,

 Gostaria de pedir o auxílio dos senhores para mostrar que:

  2^(2p-3) + 72 .=. 2^(p-2) (mod 100), sendo p um múltiplo de quatro
 positivo.

 Nota: o símbolo .=.  significa côngruo.

 Agradeço a ajuda.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência modulo n

[Carlos Victor]

Olá  Kleber ,

Usando o teorema de Euler temos que  12^20 é congruo a 1 mod (25). Elevando
a 657 , temos que  12^13140 é congruo 1 mod(25).Logo , basta ver a divisão
de 12^5 por 25 , ok ?.

Teorema de Euler :Sejam a,m naturais com m  1 e mdc(a,m) =1. Então  a^(fi
de m) é congruo a 1 modm .

Abraços

Carlos  Victor

Em 16 de dezembro de 2011 13:49, Kleber Bastos klebe...@gmail.comescreveu:


 Queria saber qual o método para calcular:
 Dado que 12^13145(mod 25), calcular o resto da divisão de 12^13145 por 25.

 Desde já agradeço a ajuda.
 Abraços, Kleber.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência modulo n

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2011/12/16 Kleber Bastos klebe...@gmail.com:

 Queria saber qual o método para calcular:
 Dado que 12^13145(mod 25), calcular o resto da divisão de 12^13145 por 25.
Como os números são pequenos, é mais fácil ir na força bruta. Ou seja:
12^2 = 144 = -6 mod 25
12^4 = (-6)^2 = 36 = 11 mod 25
12^8 = 11^2 = 121 = -4 mod 25
12^10 = 12^2 * 12^8 = (-6)*(-4) = 24 = -1 mod 25
Logo 12^20 = 1 mod 25

Assim, 12^13145 = 12^a mod 25 se a = 13145 mod 25, ou seja, a = 5.
12^5 = 12*11 = 132 = 7 mod 25

Obs: sabemos que 12 é primo com 25, portanto 12^phi(25) = 1 mod 25.
Aqui, phi é a função de Euler, e vale 5*4 = 20, o que é coerente com o
que a gente fez. Poderíamos ter usado direto phi(25) = 20, e ter
continuado a partir do Assim,  do segundo parágrafo, mas o fato é
que (como eu disse) não precisa disso nesse caso.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência

[Kleber Bastos]

Bom dia, pensei assim:

13 = 3 mod(10)
13^2 = -1 mod(10)
13^4 = -1^2 mod(10)
13^4 = 1 mod(10)
(13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10)
(13)^9^9 = 1 mod(10)

Ou seja, Resto igual a 1. Que será o último algarismo.
Será que tá errado?

Abraços, Kleber.

2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com


 Se for  13^(9^9) mod(10) = 3^(9^9) mod(10)

 Vamos analisar 3^x  mod 10
 3^0 = 1  (4k)
 3^1 = 3  (4k+1)
 3^2 = 9  (4k+2)
 3^3 = 7  (4k+3)

 9^9  mod(4) = 1^9 mod(4) = 1

 Logo  9^9  = 4k+1 e  3^(4k+1 = 3 mod(10)

 Resposta: 3

 --
 Date: Sun, 27 Nov 2011 21:13:15 -0200
 Subject: [obm-l] Congruência
 From: klebe...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Olá amigos,

 O exercício é simples, mas não estou conseguindo visualizar essa solução.

 Achar o último algarismo de (13)^9^9 (13 elevado a 9^9).

 Desde de já agradeço a ajuda.

 Abraços,

 --
 Kleber (Ps. fiz por congruência módulo 10, mas não cheguei a conclusão)




-- 
Kleber B. Bastos

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência

[João Maldonado]

Como você  disse,  13^4 = 1  mod(10), analisando 13, ou 3, mod 10,  concluimos 
que 13^n = 1 mod(10) se n = 4k,  ou seja, se n é múltiplo de 4.   Mas 9^9 não é 
múltiplo de 4
Para  ficar  mais claro
13^0 = 113^0 = 113^0 = 113^0 = 113^0 = 113^0 = 113^0 = 113^0 = 113^0 = 113^0 = 
113^0 = 113^0 = 113^0 = 1
Date: Mon, 28 Nov 2011 07:27:19 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência
From: klebe...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Bom dia, pensei assim:

13 = 3 mod(10)
13^2 = -1 mod(10)
13^4 = -1^2 mod(10)
13^4 = 1 mod(10)
(13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10)
(13)^9^9 = 1 mod(10)

Ou seja, Resto igual a 1. Que será o último algarismo.

Será que tá errado?

Abraços, Kleber.

2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com







Se for  13^(9^9) mod(10) = 3^(9^9) mod(10)
Vamos analisar 3^x  mod 103^0 = 1  (4k)3^1 = 3  (4k+1)3^2 = 9  (4k+2)3^3 = 7  
(4k+3)

9^9  mod(4) = 1^9 mod(4) = 1
Logo  9^9  = 4k+1 e  3^(4k+1 = 3 mod(10)
Resposta: 3

Date: Sun, 27 Nov 2011 21:13:15 -0200
Subject: [obm-l] Congruência

From: klebe...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá amigos,

O exercício é simples, mas não estou conseguindo visualizar essa solução.


Achar o último algarismo de (13)^9^9 (13 elevado a 9^9).

Desde de já agradeço a ajuda.

Abraços, 

-- 
Kleber (Ps. fiz por congruência módulo 10, mas não cheguei a conclusão)
  


-- 
Kleber B. Bastos
  

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência

[João Maldonado]

Desculpe pelo outro email, saiu errado
Como você  disse,  13^4 = 1  mod(10), analisando 13, ou 3, mod 10,  concluimos 
que 13^n = 1 mod(10) se n = 4k,  ou seja, se n é múltiplo de 4.   Mas 9^9 não é 
múltiplo de 4Portanto é impossível que 13^(9^9) = 1 mod(10)
Para  ficar  mais claro
13^0 = 1  (4k)13^1 = 3  (4k+1)13^2 = 9  (4k+2)13^3 = 7  (4k+3)13^4 = 1  
(4k)13^5 = 3  (4k+1)13^6 = 9  (4k+2)13^7 = 7  (4k+3)13^8 = 1  (4k)13^9 = 3  
(4k+1)13^10 = 9  (4k+2)13^11 = 7  (4k+3)13^12 = 1  (4k)13^13 = 3  (4k+1)...
O 1, 3, 9, 7  vai se repetindo
Não entendi essa passagem que você fez
13^4 = 1 mod(10)
(13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10)

Sim, 13^4 = 1 mod(10)Mas 13 não
[]'sJoao
Date: Mon, 28 Nov 2011 07:27:19 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência
From: klebe...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Bom dia, pensei assim:

13 = 3 mod(10)
13^2 = -1 mod(10)
13^4 = -1^2 mod(10)
13^4 = 1 mod(10)
(13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10)
(13)^9^9 = 1 mod(10)

Ou seja, Resto igual a 1. Que será o último algarismo.

Será que tá errado?

Abraços, Kleber.

2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com







Se for  13^(9^9) mod(10) = 3^(9^9) mod(10)
Vamos analisar 3^x  mod 103^0 = 1  (4k)3^1 = 3  (4k+1)3^2 = 9  (4k+2)3^3 = 7  
(4k+3)

9^9  mod(4) = 1^9 mod(4) = 1
Logo  9^9  = 4k+1 e  3^(4k+1 = 3 mod(10)
Resposta: 3

Date: Sun, 27 Nov 2011 21:13:15 -0200
Subject: [obm-l] Congruência

From: klebe...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá amigos,

O exercício é simples, mas não estou conseguindo visualizar essa solução.


Achar o último algarismo de (13)^9^9 (13 elevado a 9^9).

Desde de já agradeço a ajuda.

Abraços, 

-- 
Kleber (Ps. fiz por congruência módulo 10, mas não cheguei a conclusão)
  


-- 
Kleber B. Bastos
  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência

[Kleber Bastos]

13^4=1 mod(10) , elevando o 13 a qualquer potência o 1 poderá se elevar
pela mesma potência (pela proprieda de congruência). Por isso que pulei
direto para  (13)^9^9 = (1)^9^9 mod 10 ...(13)^387420489 = (1)^387420489
mod 10. Ou seja, (13)^9^9 = 1 mod (10)

Não sei se é certo, por isso perguntei.

Abraços, Kleber.

2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com387420489

  Desculpe pelo outro email, saiu errado

 Como você  disse,  13^4 = 1  mod(10), analisando 13, ou 3, mod 10,
  concluimos que 13^n = 1 mod(10) se n = 4k,  ou seja, se n é múltiplo de 4.
   Mas 9^9 não é múltiplo de 4
 Portanto é impossível que 13^(9^9) = 1 mod(10)

 Para  ficar  mais claro

 13^0 = 1  (4k)
 13^1 = 3  (4k+1)
 13^2 = 9  (4k+2)
 13^3 = 7  (4k+3)
 13^4 = 1  (4k)
 13^5 = 3  (4k+1)
 13^6 = 9  (4k+2)
 13^7 = 7  (4k+3)
 13^8 = 1  (4k)
 13^9 = 3  (4k+1)
 13^10 = 9  (4k+2)
 13^11 = 7  (4k+3)
 13^12 = 1  (4k)
 13^13 = 3  (4k+1)
 ...

 O 1, 3, 9, 7  vai se repetindo

 Não entendi essa passagem que você fez

 13^4 = 1 mod(10)
 (13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10)


 Sim, 13^4 = 1 mod(10)
 Mas 13 não

 []'s
 Joao

 --
 Date: Mon, 28 Nov 2011 07:27:19 -0200
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência

 From: klebe...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 Bom dia, pensei assim:

 13 = 3 mod(10)
 13^2 = -1 mod(10)
 13^4 = -1^2 mod(10)
 13^4 = 1 mod(10)
 (13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10)
 (13)^9^9 = 1 mod(10)

 Ou seja, Resto igual a 1. Que será o último algarismo.
 Será que tá errado?

 Abraços, Kleber.

 2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com


 Se for  13^(9^9) mod(10) = 3^(9^9) mod(10)

 Vamos analisar 3^x  mod 10
 3^0 = 1  (4k)
 3^1 = 3  (4k+1)
 3^2 = 9  (4k+2)
 3^3 = 7  (4k+3)

 9^9  mod(4) = 1^9 mod(4) = 1

 Logo  9^9  = 4k+1 e  3^(4k+1 = 3 mod(10)

 Resposta: 3

 --
 Date: Sun, 27 Nov 2011 21:13:15 -0200
 Subject: [obm-l] Congruência
 From: klebe...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Olá amigos,

 O exercício é simples, mas não estou conseguindo visualizar essa solução.

 Achar o último algarismo de (13)^9^9 (13 elevado a 9^9).

 Desde de já agradeço a ajuda.

 Abraços,

 --
 Kleber (Ps. fiz por congruência módulo 10, mas não cheguei a conclusão)




 --
 Kleber B. Bastos




-- 
Kleber B. Bastos

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência

[João Maldonado]

Na verdade é quase isso
13^4 =  1 mod(10),  elevando o 13^4 ( e não o 13) a qualquer potência o 1 será 
elevado à mesma

Date: Mon, 28 Nov 2011 12:51:38 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência
From: klebe...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

13^4=1 mod(10) , elevando o 13 a qualquer potência o 1 poderá se elevar pela 
mesma potência (pela proprieda de congruência). Por isso que pulei direto para  
(13)^9^9 = (1)^9^9 mod 10 ...(13)^387420489 = (1)^387420489 mod 10. Ou seja, 
(13)^9^9 = 1 mod (10)


Não sei se é certo, por isso perguntei.

Abraços, Kleber.

2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com387420489






Desculpe pelo outro email, saiu errado

Como você  disse,  13^4 = 1  mod(10), analisando 13, ou 3, mod 10,  concluimos 
que 13^n = 1 mod(10) se n = 4k,  ou seja, se n é múltiplo de 4.   Mas 9^9 não é 
múltiplo de 4
Portanto é impossível que 13^(9^9) = 1 mod(10)

Para  ficar  mais claro

13^0 = 1  (4k)
13^1 = 3  (4k+1)13^2 = 9  (4k+2)
13^3 = 7  (4k+3)13^4 = 1  (4k)
13^5 = 3  (4k+1)13^6 = 9  (4k+2)
13^7 = 7  (4k+3)13^8 = 1  (4k)
13^9 = 3  (4k+1)13^10 = 9  (4k+2)
13^11 = 7  (4k+3)13^12 = 1  (4k)
13^13 = 3  (4k+1)...

O 1, 3, 9, 7  vai se repetindo

Não entendi essa passagem que você fez

13^4 = 1 mod(10)
(13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10)



Sim, 13^4 = 1 mod(10)Mas 13 não

[]'s
Joao
Date: Mon, 28 Nov 2011 07:27:19 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência
From: klebe...@gmail.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Bom dia, pensei assim:

13 = 3 mod(10)
13^2 = -1 mod(10)
13^4 = -1^2 mod(10)
13^4 = 1 mod(10)
(13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10)

(13)^9^9 = 1 mod(10)

Ou seja, Resto igual a 1. Que será o último algarismo.

Será que tá errado?

Abraços, Kleber.

2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com








Se for  13^(9^9) mod(10) = 3^(9^9) mod(10)
Vamos analisar 3^x  mod 103^0 = 1  (4k)3^1 = 3  (4k+1)3^2 = 9  (4k+2)3^3 = 7  
(4k+3)


9^9  mod(4) = 1^9 mod(4) = 1
Logo  9^9  = 4k+1 e  3^(4k+1 = 3 mod(10)
Resposta: 3

Date: Sun, 27 Nov 2011 21:13:15 -0200
Subject: [obm-l] Congruência


From: klebe...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá amigos,

O exercício é simples, mas não estou conseguindo visualizar essa solução.



Achar o último algarismo de (13)^9^9 (13 elevado a 9^9).

Desde de já agradeço a ajuda.

Abraços, 

-- 
Kleber (Ps. fiz por congruência módulo 10, mas não cheguei a conclusão)
  


-- 
Kleber B. Bastos
  


-- 
Kleber B. Bastos
  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência

[Kleber Bastos]

Olá João,

Obrigado pelo esclarecimento.

Abração, Kleber.

Em 28 de novembro de 2011 13:06, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
 escreveu:


 Na verdade é quase isso

 13^4 =  1 mod(10),  elevando o 13^4 ( e não o 13) a qualquer potência o 1
 será elevado à mesma

 --
 Date: Mon, 28 Nov 2011 12:51:38 -0200
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l]
 Congruência

 From: klebe...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 13^4=1 mod(10) , elevando o 13 a qualquer potência o 1 poderá se elevar
 pela mesma potência (pela proprieda de congruência). Por isso que pulei
 direto para  (13)^9^9 = (1)^9^9 mod 10 ...(13)^387420489 = (1)^387420489
 mod 10. Ou seja, (13)^9^9 = 1 mod (10)

 Não sei se é certo, por isso perguntei.

 Abraços, Kleber.

 2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com387420489

  Desculpe pelo outro email, saiu errado

 Como você  disse,  13^4 = 1  mod(10), analisando 13, ou 3, mod 10,
  concluimos que 13^n = 1 mod(10) se n = 4k,  ou seja, se n é múltiplo de 4.
   Mas 9^9 não é múltiplo de 4
 Portanto é impossível que 13^(9^9) = 1 mod(10)

 Para  ficar  mais claro

 13^0 = 1  (4k)
 13^1 = 3  (4k+1)
 13^2 = 9  (4k+2)
 13^3 = 7  (4k+3)
 13^4 = 1  (4k)
 13^5 = 3  (4k+1)
 13^6 = 9  (4k+2)
 13^7 = 7  (4k+3)
 13^8 = 1  (4k)
 13^9 = 3  (4k+1)
 13^10 = 9  (4k+2)
 13^11 = 7  (4k+3)
 13^12 = 1  (4k)
 13^13 = 3  (4k+1)
 ...

 O 1, 3, 9, 7  vai se repetindo

 Não entendi essa passagem que você fez

 13^4 = 1 mod(10)
 (13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10)


 Sim, 13^4 = 1 mod(10)
 Mas 13 não

 []'s
 Joao

 --
 Date: Mon, 28 Nov 2011 07:27:19 -0200
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência

 From: klebe...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 Bom dia, pensei assim:

 13 = 3 mod(10)
 13^2 = -1 mod(10)
 13^4 = -1^2 mod(10)
 13^4 = 1 mod(10)
 (13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10)
 (13)^9^9 = 1 mod(10)

 Ou seja, Resto igual a 1. Que será o último algarismo.
 Será que tá errado?

 Abraços, Kleber.

 2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com


 Se for  13^(9^9) mod(10) = 3^(9^9) mod(10)

 Vamos analisar 3^x  mod 10
 3^0 = 1  (4k)
 3^1 = 3  (4k+1)
 3^2 = 9  (4k+2)
 3^3 = 7  (4k+3)

 9^9  mod(4) = 1^9 mod(4) = 1

 Logo  9^9  = 4k+1 e  3^(4k+1 = 3 mod(10)

 Resposta: 3

 --
 Date: Sun, 27 Nov 2011 21:13:15 -0200
 Subject: [obm-l] Congruência
 From: klebe...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Olá amigos,

 O exercício é simples, mas não estou conseguindo visualizar essa solução.

 Achar o último algarismo de (13)^9^9 (13 elevado a 9^9).

 Desde de já agradeço a ajuda.

 Abraços,

 --
 Kleber (Ps. fiz por congruência módulo 10, mas não cheguei a conclusão)




 --
 Kleber B. Bastos




 --
 Kleber B. Bastos




-- 
Kleber B. Bastos

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Marcelo Costa]

É o mesmo que achar o resto da divisão do número por 10.

13 congruente a 3 mod 10

13^3 congruente a  7  mod 10

Assim sugere que

13^(9^9) = 13^(3^18) congruente a 7 mod 10

13^1 , resto 3
13^2, resto 9
13^3, resto 7


Ao meu ver o resto seria 7, se alguém percebeu algum erro me corrijam por
favo, obrigado.


Em 27 de novembro de 2011 21:13, Kleber Bastos klebe...@gmail.comescreveu:

 Olá amigos,

 O exercício é simples, mas não estou conseguindo visualizar essa solução.

 Achar o último algarismo de (13)^9^9 (13 elevado a 9^9).

 Desde de já agradeço a ajuda.

 Abraços,

 --
 Kleber (Ps. fiz por congruência módulo 10, mas não cheguei a conclusão)

[obm-l] RE: [obm-l] Congruência

[João Maldonado]

Se for  13^(9^9) mod(10) = 3^(9^9) mod(10)
Vamos analisar 3^x  mod 103^0 = 1  (4k)3^1 = 3  (4k+1)3^2 = 9  (4k+2)3^3 = 7  
(4k+3)
9^9  mod(4) = 1^9 mod(4) = 1
Logo  9^9  = 4k+1 e  3^(4k+1 = 3 mod(10)
Resposta: 3

Date: Sun, 27 Nov 2011 21:13:15 -0200
Subject: [obm-l] Congruência
From: klebe...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá amigos,

O exercício é simples, mas não estou conseguindo visualizar essa solução.

Achar o último algarismo de (13)^9^9 (13 elevado a 9^9).

Desde de já agradeço a ajuda.

Abraços, 

-- 
Kleber (Ps. fiz por congruência módulo 10, mas não cheguei a conclusão)
  

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência!!!

[rodrigocientista]

qualquer número que tenha como fator 2 e 5, tem como fator 10 e termina em 0, 
se o problema se refere a pelo menos um dos fatores, aí a coisa muda de figura, 
pois podemos usar uma combinação de 7 e 3, tal que N = 3^a*7^b, então o 
problema seria: existe solução para a equação 3^a*7^b == 11 mod 100?
  - Original Message - 
  From: Pedro Júnior 
  To: obm-l 
  Sent: Thursday, June 05, 2008 4:57 AM
  Subject: [obm-l] Congruência!!!


  01) Existe um inteiro positivo tal que seus fatores primos pertenem ao 
conjunto {2, 3, 5, 7} e que terminam em 11? Se existir, ache o menor deles. Se 
não existir, mostre porquê.

  claramente percebe-se que tal problema poderá ser feito sem congruência, mas, 
como esse problema faz parte de uma lista de exercícios de congruência então, 
queria saber como faço...

  Abraços a todos.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência de Triângulos

[marcio aparecido]

estou na oitava série, nesse periodo eu tentei umas 4, 5 vezes fazer!!

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência de Triângulos

[marcio aparecido]

não consegui demostrar

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência de Triângulos

[Victor]

use o teorema (ou como alguns chamam lei) dos senos que sai.
  - Original Message - 
  From: marcio aparecido 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, October 09, 2007 12:34 PM
  Subject: [obm-l] Congruência de Triângulos


  Como eu posso fazer para provar os casos ALA e LLL de congruência de 
triângulos ?? 

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência modular

[Ronaldo Alonso]

Olá Bruna.  Vc pode pensar assim que não está errado.
 Creio que sua pergunta tem a ver com propriedades da congruência quevc ainda 
não está familiarizada.
Por exemplo: Se b ≡ 1 mod 2   então b^2 ≡ 1 mod 2A pergunta q vc deve estar se 
fazendo, é como isso é concluído?
   As congruências podem ser somadas e multiplicadas, por exemplo tomeduas 
congruências:a  ≡ b mod cc  ≡ d mod c
então temos que (ac)  ≡  (bd) mod c
   Voltando ao exemplo anterior, tome duas congruencias
b ≡ 1 mod 2b ≡ 1 mod 2
multiplique as duas:
  b^2 ≡  1 mod 2
(sacou?).   Agora tome duas congruências:

  b^2 ≡  1 mod 2   1 ≡  1 mod 2
 some uma com a  outra:

  b^2 + 1 ≡ ( 1 + 1) mod 2   ≡   2  mod 2   ≡   0  mod 2
2 e 0 pertencem a mesma classe de congruência módulo 2 (os pares) portanto .. ≡ 
  8 ≡ 6 ≡  4 ≡  2 ≡   0  mod 2
 Acho que essa página pode acrescentar algo::  
http://math.usask.ca/encryption/lessons/lesson05/page4.html
 Em relação a exercícios novos é só vc entrar em contato com o pessoal que 
jáparticipou de olimpiadas brasileiras ou internacionais que eles tem 
bastantematereial e experiência podem te fornecer.   Espero que minha humilde 
contribuição tenha te ajudado.
[]s
Ronaldo Luiz Alonso
On 3/29/07, Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] wrote: Marcelo, muito obrigado acho que agora foi, só fiquei na 
dúvida em uma coisa, só pra ver se estou no caminho certo. quando você afirno que b^2+1 ≡ 2 ≡ 0 (mod 2) b^2+1 
= 0 (mod 2) porque 2 ≡ 0 (mod 2) assim 2 divide 2, ou seja, deixa resto 0. assim b^2+1 ≡ 0 ≡ 2 (mod 2). 
mais uma coisa vocês tem mais alguns exercicios desse tipo pra mim treinar um pouco. Bjnhos, muito obrigado 
pela atenção e paciência comigo.

-- -Analista de 
DesenvolvimentoConselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência modular

[Bruna Carvalho]

Marcelo, muito obrigado acho que agora foi, só fiquei na dúvida em uma
coisa, só pra ver se estou no caminho certo.
quando você afirno que b^2+1 ≡ 2 ≡ 0 (mod 2)
b^2+1 = 0 (mod 2) porque 2 ≡ 0 (mod 2) assim 2 divide 2, ou seja, deixa
resto 0.
assim b^2+1 ≡ 0 ≡ 2 (mod 2).

mais uma coisa vocês tem mais alguns exercicios desse tipo pra mim treinar
um pouco.

Bjnhos, muito obrigado pela atenção e paciência comigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência modular

[Marcelo Salhab Brogliato]

Ola Bruna,

veja bem: b = 2k+1... entao b = 1 (mod 2)
elevando ao quadrado: b^2 = 1 (mod 2)
agora, somando 1, temos: b^2+1 = 2 = 0 (mod 2)

espero que tenha ajudado
abracos,
Salhab

  - Original Message - 
  From: Bruna Carvalho 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, March 28, 2007 7:53 PM
  Subject: Re: [obm-l] Congruência modular


  Vamos ver se consigo, peguei um exercício bem simples pra tentar.
  Sejam a e b números naturais assim relacionados:
  a = 1 + b^2. Se b é ímpar, provar que a é par.

  fiz assim:
  a = 1 + b^2
  b = 2k + 1

  então temos:
  a = 1 + (2k+1)^2
  a = 1 + 4k^2 + 4k + 1
  a = 4k^2 + 4k + 2
  a = 2(2k^2 + 2k + 1)

  como a tem um fator 2 ele vai ser par, se ele é par deixa 0 na divisão por 2, 
então:
  a ≡ 0 (mod 2).

  mas se eu for começar a fazer o exercício por congruência eu não consigo, só 
consigo concluir 
  que a ≡ 0 (mod 2).

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência modular

[R Parenti]

dá para fazer essa questão por PIF
foi mal, eu nao vou fazer pq eu já tou de saída, mai essa questão é feita por 
isso
tipo, se o caso( n ) acontece, logo o caso ( n+1 ), ocorre, ok??
abraços
  - Original Message - 
  From: Bruna Carvalho 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Saturday, March 24, 2007 2:19 PM
  Subject: [obm-l] Congruência modular


  Se n é ímpar, prove que n²-1 é divisível por 8.
  Eu quero aprender como faz esse tipo de questão por congruência, alguém pode 
me dar uma ajudinha.
  bjos.

  -- 
  Bjos, 
  Bruna 

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência modular

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

n = 1(mod 8) ... n^2 = 1 (mod8) ... n^2-1 = 0(mod 8)
n = 3(mod 8) ... n^2 = 9 = 1 (mod8) ... n^2 - 1 = 0 (mod 8)
n = 5(mod 8) ... n^2 = 25 = 1(mod 8) ... n^2 - 1 = 0 (mod 8)
n = 7(mod 8) ... n^2 = 49 = 1(mod 8) ... n^2 - 1 = 0 (mod 8)

logo, esta provado que se para n impar, n^2 - 1 é divisivel por 8..

uma outra demonstracao seria:
n = 2k+1 ... n^2 - 1 = 4k^2 + 4k = 4(k^2 + k)
temos que mostrar que k^2 + k  = 0 (mod2)
se k = 0 (mod2), entao: k^2 = 0(mod2) ... k^2+k = 0(mod2)
se k = 1 (mod2), entao: k^2 = 1(mod2) ... k^2+k = 2 = 0(mod2)
tambem esta provado..

outro jeito ainda seria: se k é par, k^2 é par, k^2 + k é par, logo, é 
divisivel por 2...
se k é impar, k^2 é impar, k^2 + k é par (a soma de 2 impares é sempre par), 
logo, é divisivel por 2
[esse demonstracao eh analoga a anterior]


abracos,
Salhab

  - Original Message - 
  From: Bruna Carvalho 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Saturday, March 24, 2007 2:19 PM
  Subject: [obm-l] Congruência modular


  Se n é ímpar, prove que n²-1 é divisível por 8.
  Eu quero aprender como faz esse tipo de questão por congruência, alguém pode 
me dar uma ajudinha.
  bjos.

  -- 
  Bjos, 
  Bruna 

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência modular

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

vamos testar para n=1 ... 1^2 - 1 = 0 ok
para n=3 ... 3^2 - 1 = 8 ok
suponha que vale para n ímpar, entao, vamos mostrar que vale para n+2 (proximo 
impar)

(n+2)^2 - 1 = n^2 + 4n + 4 - 1 = (n^2 -1) + 4n + 4 .. opa, por hipotese: n^2 - 
1 é divisivel por 8, entao temos que mostrar
que 4n+4 tambem é... de fato: 4n+4 = 4(n+1) ... como n é impar, n+1 é par, 
logo, 4(n+1) é divisivel por 8...
e esta provado por inducao

abracos,
Salhab

  - Original Message - 
  From: R Parenti 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Saturday, March 24, 2007 3:18 PM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência modular


  dá para fazer essa questão por PIF
  foi mal, eu nao vou fazer pq eu já tou de saída, mai essa questão é feita por 
isso
  tipo, se o caso( n ) acontece, logo o caso ( n+1 ), ocorre, ok??
  abraços
- Original Message - 
From: Bruna Carvalho 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Saturday, March 24, 2007 2:19 PM
Subject: [obm-l] Congruência modular


Se n é ímpar, prove que n²-1 é divisível por 8.
Eu quero aprender como faz esse tipo de questão por congruência, alguém 
pode me dar uma ajudinha.
bjos.

-- 
Bjos, 
Bruna 

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência, módulo m

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Bruna,

vou te mostrar algumas coisas simples. Uma abordagem mais completa pode ser 
vista no site do Nicolau aqui da lista, porem, nao sei o endereco. Acredito que 
alguem nos forneca! :)

Vamos comecar com exemplos.. hehe :)
Vejamos que: 4 = 5*0 + 4 ... isto é, 4 deixa resto 4 quando dividido por 5...
Agora... 89 = 5*17 + 4... isto é, 89 deixa resto 4 quando dividido por 5...
assim como todo numero da forma 5k + 4, onde k é inteiro, deixa resto 4 quanto 
dividido por 5...
entao, quando trabalhamos com modulo 5, dizemos que todos esses numeros sao 
iguais... ou, mais corretamente, deixam o mesmo resto...
entao: 4 = 9 = 89 (mod 5) 
podemos aplicar isso pra qualquer numero...
note que a subtracao de quaisquer 2 numeros que tenham essa propriedade é um 
numero divisivel por 5.. vejamos:
9 - 4 = 5 = 5*1 + 0
89 - 4 = 5*17 + 0

utilizamos isso qdo nao nos importa qual o quociente da divisao, mas sim o 
resto dela!

temos algumas propriedades interessantes... vejamos:

a = b (mod m) significa que existe k1 inteiro, tal que: a = mk1 + b
c = d (mod m) significa que existe k2 inteiro, tal que: c = mk2 + d
somando as duas, temos: a + c = m(k1 + k2) + b + d ... isto é: a + c = b + d 
(mod m)
se fizermos c = a, b = d, temos: 2a = 2b (mod m)... ou, mais genericamente, se 
a = b(modm), entao: ka = kb (mod m) para qualquer k inteiro...

é facil mostrar (tente ai) que: se a = b (mod m)  e c = d (mod m), entao: ac = 
bd (mod m)
desta propriedade, tambem tiramos que, se: a = b (mod m), entao: a^k = b^k (mod 
m) ... para k inteiro!

vamos ver uma utilidade pra isso...
sabe aquela regrinha: um numero eh divisivel por 3 se a soma de seus digitos 
tambem for?

vejamos: 10 = 1 (mod 3)  pois: 10 = 3*3 + 1 .. ou, 10 deixa resto 1 quando 
dividido por 3... ou, 10 - 1 é divisivel por 3 (sao todas formulacoes iguais)

agora, pegue um numero qualquer, ele pode ser escrito como: Somatorio(i=0 até 
n) a_i * 10^i. onde a_i sao os seus digitos..
por exemplo: 123 = 1 * 10^2 + 2 * 10^1 + 3 * 10^0 ... entendeu?

bom, a_i = a_i (mod 3) 10 = 1 (mod3) ... 10^i = 1^i = 1 (mod3) ... 
multiplicando, temos: a_i * 10^i = a_i (mod 3)
somando todos os a_i, temos: Somatorio (i=0 até n) a_i * 10^i = Somatorio (i=0 
até n) i (mod 3)
se somatorio (i=0 até n) a_i = 0 (mod 3), isto é, a soma dos digitos eh 
divisivel por 3, entao o numero tambem eh divisivel por 3..
e esta provada nossa regrinha! :)

facilmente mostramos regra pra 2, 5, 7, 11... tente ai!

bom, é uma introducao né?
espero ter esclarecido um pouco!

abracos,
Salhab


  - Original Message - 
  From: Bruna Carvalho 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, March 23, 2007 12:52 PM
  Subject: [obm-l] Congruência, módulo m


  Alguém poderia me ajudar em como usar, para que serve a tal de congruência 
mod m, alguns exemplos de apliacação.

  -- 
  Bjos, 
  Bruna 

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

vou apenas resolver o problema pq to com pressa..
se tiver duvidas, dps eu respondo com calma! ok?

pra descobrir o ultimo digito, temos que saber o resto da divisao de 777^777 
por 10..

isto é: 777^777 mod 10

777 = 7 mod 10 (pois deixa resto 7 qdo dividido)

777 = 3*7*37

7^1 = 7 mod 10
7^2 = 49 = 9 mod 10
7^3 = 7^2*7 = 9*7 = 63 = 3 mod 10
7^4 = 7^3*7 = 3*7 = 21 = 1 mod 10
7^5 = 7^4*7 = 7 mod 10

opa.. temos uma periodicidade, pois:
7^6 = 7^5*7 = 7*7 = 9 mod 10

assim, temos que descobrir o resto de 777 quando divido por 4
vejamos: 3*7 = 21 = 1 mod 4
777 = 3*7*37 = 37*1 = 37 = 1 mod 4

assim, 777^777 tem resto 7 quando dividido por 10.. isto é, tem 7 como 
ultimo digito.


abracos,
Salhab





- Original Message - 
From: Josh Rodrigues [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, March 04, 2007 1:23 PM
Subject: [obm-l] Congruência


Olá, estive dando uma olhada no site do grupoteorema que citaram 
anteriormente aqui na lista e vi um artigo sobre congruências. Fiquei 
interessado pois ouvi dizer que essa ferramenta ajuda bastante a resolver 
e provar vários problemas. Só que eu não entendi como se aplica, li as 
propriedades mas não entendi muito bem como usá-las. No primeiro problema 
diz Qual o último dígito de 777^777?. Gostaria de ter esse problema 
resolvido para que eu entenda como se aplica essas propriedades.


Obrigado pela atenção.

_
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outras ameaças! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
= 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] congruência

[leandro-epcar]

Obrigado Carlos, valeu pela dica!!!
 


-- Início da mensagem original --- 

De: [EMAIL PROTECTED] 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
Cc: 
Data: Sun, 15 Oct 2006 23:03:27 -0200 
Assunto: Re: [obm-l] congruência 

 Oi, Leandro, 
 
 Não custa lembrar qual o contexto original da questão postada, pois 
 esta questão, particularmente não veio do nada... 
 
 Primos de Fermat 
 
 Um número é primo de Fermat se é primo e é da forma 2^n + 1. É 
 simples perceber que se N é primo de Fermat, o expoente n deve ser 
 potência de 2. Assim, para k = 0 a 4, N = 2^(2^k) + 1 são de fato 
 primos (3, 5, 17, 257 e 65.537), mas Fermat havia conjecturado que qq 
 cara da forma 2^(2^k) + 1 era primo, o que se mostrou não ser verdade 
 para k = 5, que é exatamente o problema que você propôs (e cuja 
 solução, clássica, já foi postada). 
 
 Nehab 
 
 
 At 12:44 15/10/2006, you wrote: 
 Demonstre que (2^32)+1 é divisível por 641 
 

[obm-l] Re:[obm-l] congruência

[Giuliano \(stuart\)]

Temos que 2^4+5^4=0(mod 641) (basta testar 625+16=641)
=2^4=-5^4(mod641) e temos que 2^7*5=-1(mod641) (basta ver que 
2^7*5=128*5=640=641-1)
temos que 2^32=2^28*2^4
temos que provar que
2^32=2^28*2^4=-1(mod 641)=5^4*2^28*2^4=-5^4(mod 641)=
(5^1*2^4)^4 * 2^4=-5^4(mod 641) = (-1)^4 * 2^4=-5^4(mod 641)
=2^4=-5^4(mod 641) o que foi mostrado no início.
Abraços,
Giuliano Pezzolo Giacaglia
(Stuart)
 Demonstre que (2^32)+1 é divisível por 641




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Will]

Fabio, dê uma olhada como euresolvi as duas 
primeiras. 
Veja se você entende o que fiz, da mesma maneira é 
possível resolver as outras. 
Se quiser, eu passo a solução completa, 
abraço.

Vou usar o caractere ~ para congruencias, para 
evitar problemas nos leitores de mail.

(1) Verdadeira

2^4 ~ 1(mod5) -- (2^4)^25 ~ 1 
(mod5)
3^4 ~ 1(mod5) -- (3^4)^25 ~ 1 
(mod5)

(2) Falsa
2^3 ~1 (mod7) -- (2^3)^33 ~ 1 (mod7) -- 
(2^99).2 ~ 2 (mod7)
3^6 ~1 (mod7) -- (3^6)^16 ~ 1 (mod7) -- 
(3^96).3^4 ~ 3^4 ~ 4 (mod7)

Will


  - Original Message - 
  From: 
  Fabio Bernardo 
  
  To: obm 
  Sent: Wednesday, July 09, 2003 11:17 
  PM
  Subject: [obm-l] Congruência
  
  
  Pessoal, não consegui fazes esses. Alguém pode me ajudar?
  
  1) Considere as afirmativas:
  
  
  (1) 21003100(mod5)
  
  (2) 21003100(mod7)
  
  (3) 21003100(mod13)
  (4) 21003100(mod211)
  
  O número daquelas que são falsas é:
  
  a) 0
  b) 1
  c) 2
  d) 3
  e) 4