[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração prima de n!
Sim, porque, se o primo p satisfizer a tais condições, então, para k >= 2, p^k >= n. Logo, se p estiver na fatoração de n!, p tem expoente 1. Artur Em sáb, 29 de dez de 2018 16:58, Pedro José Boa tarde! > Na verdade: n/2 >= [raiz(n)]. > Mas vale da mesma forma. > > Saudações, > PJMS > > Em sáb, 29 de dez de 2018 13:36, Pedro José >> Bom dia! >> Com o teorema mencionado dá para mostrar que existe pelo menos um primo >> >=[raiz(n) +1] e <= n. >> Para n = 2 ou n =3 é imediato. >> para n>=4: n/2>= raiz(n) >=[raiz(n)] + 1. >> Vou dar uma olhada no Wikipedia. Não conhecia esse teorema. >> Mas só para tirar uma dúvida, está correto afirmar que ocorrerá para >> qualquer fator p que seja maior ou igual que [raiz(n)+1] e menor ou ogual >> que n? >> Saudações, >> PJMS >> >> Em qui, 27 de dez de 2018 21:03, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com escreveu: >> >>> Médio... vê na Wikipedia >>> >>> Enviado do meu iPhone >>> >>> Em 27 de dez de 2018, à(s) 14:24, Artur Steiner < >>> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: >>> >>> Obrigado a todos. >>> >>> Tinha esquecido do que é atualmente o teorema de Bertrand. A >>> demonstração é muito complicada? >>> >>> Artur Costa Steiner >>> >>> Em qui, 27 de dez de 2018 00:38, Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com escreveu: >>> É o maior primo <= n. Pelo teorema (“postulado†) de Bertrand (se p é primo, então existe um primo q tal que p < q < 2p). Enviado do meu iPhone Em 26 de dez de 2018, à (s) 19:44, Artur Steiner < artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > Mostre que, para n >= 2, a fatoração prima de n! contém um fator com expoente 1. > > Abraços. > > Artur Costa Steiner > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e  acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração prima de n!
Boa tarde! Na verdade: n/2 >= [raiz(n)]. Mas vale da mesma forma. Saudações, PJMS Em sáb, 29 de dez de 2018 13:36, Pedro José Bom dia! > Com o teorema mencionado dá para mostrar que existe pelo menos um primo > >=[raiz(n) +1] e <= n. > Para n = 2 ou n =3 é imediato. > para n>=4: n/2>= raiz(n) >=[raiz(n)] + 1. > Vou dar uma olhada no Wikipedia. Não conhecia esse teorema. > Mas só para tirar uma dúvida, está correto afirmar que ocorrerá para > qualquer fator p que seja maior ou igual que [raiz(n)+1] e menor ou ogual > que n? > Saudações, > PJMS > > Em qui, 27 de dez de 2018 21:03, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com escreveu: > >> Médio... vê na Wikipedia >> >> Enviado do meu iPhone >> >> Em 27 de dez de 2018, à(s) 14:24, Artur Steiner < >> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: >> >> Obrigado a todos. >> >> Tinha esquecido do que é atualmente o teorema de Bertrand. A >> demonstração é muito complicada? >> >> Artur Costa Steiner >> >> Em qui, 27 de dez de 2018 00:38, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com escreveu: >> >>> É o maior primo <= n. >>> Pelo teorema (“postulado†) de Bertrand (se p é primo, então existe >>> um primo q tal que p < q < 2p). >>> >>> Enviado do meu iPhone >>> >>> Em 26 de dez de 2018, à (s) 19:44, Artur Steiner < >>> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: >>> >>> > Mostre que, para n >= 2, a fatoração prima de n! contém um >>> fator com expoente 1. >>> > >>> > Abraços. >>> > >>> > Artur Costa Steiner >>> > >>> > -- >>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> > acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>>  acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> = >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> = >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração prima de n!
Sim, porque se o primo p satisfizer a esta condição, então, para todo k >= 2, temos p^k > n. Logo, se p aparecer na fatoração de n!, será com expoente 1. Artur Enviado do meu Samsung Mobile da Claro Mensagem original De: Pedro José Data: 29/12/2018 13:36 (GMT-03:00) Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração prima de n! Bom dia!Com o teorema mencionado dá para mostrar que existe pelo menos um primo >=[raiz(n) +1] e <= n.Para n = 2 ou n =3 é imediato.para n>=4: n/2>= raiz(n) >=[raiz(n)] + 1. Vou dar uma olhada no Wikipedia. Não conhecia esse teorema.Mas só para tirar uma dúvida, está correto afirmar que ocorrerá para qualquer fator p que seja maior ou igual que [raiz(n)+1] e menor ou ogual que n?Saudações, PJMS Em qui, 27 de dez de 2018 21:03, Claudio Buffara escreveu: Obrigado a todos. Tinha esquecido do que é atualmente o teorema de Bertrand. A demonstração é muito complicada? Artur Costa Steiner Em qui, 27 de dez de 2018 00:38, Claudio Buffara escreveu: > Mostre que, para n >= 2, a fatoração prima de n! contém um fator com > expoente 1. > > Abraços. > > Artur Costa Steiner > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e  acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração prima de n!
Bom dia! Com o teorema mencionado dá para mostrar que existe pelo menos um primo >=[raiz(n) +1] e <= n. Para n = 2 ou n =3 é imediato. para n>=4: n/2>= raiz(n) >=[raiz(n)] + 1. Vou dar uma olhada no Wikipedia. Não conhecia esse teorema. Mas só para tirar uma dúvida, está correto afirmar que ocorrerá para qualquer fator p que seja maior ou igual que [raiz(n)+1] e menor ou ogual que n? Saudações, PJMS Em qui, 27 de dez de 2018 21:03, Claudio Buffara Médio... vê na Wikipedia > > Enviado do meu iPhone > > Em 27 de dez de 2018, à(s) 14:24, Artur Steiner < > artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > > Obrigado a todos. > > Tinha esquecido do que é atualmente o teorema de Bertrand. A > demonstração é muito complicada? > > Artur Costa Steiner > > Em qui, 27 de dez de 2018 00:38, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com escreveu: > >> É o maior primo <= n. >> Pelo teorema (“postulado†) de Bertrand (se p é primo, então existe >> um primo q tal que p < q < 2p). >> >> Enviado do meu iPhone >> >> Em 26 de dez de 2018, à (s) 19:44, Artur Steiner < >> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: >> >> > Mostre que, para n >= 2, a fatoração prima de n! contém um >> fator com expoente 1. >> > >> > Abraços. >> > >> > Artur Costa Steiner >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>  acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração prima de n!
Médio... vê na Wikipedia Enviado do meu iPhone Em 27 de dez de 2018, à(s) 14:24, Artur Steiner escreveu: > Obrigado a todos. > > Tinha esquecido do que é atualmente o teorema de Bertrand. A demonstração > é muito complicada? > > Artur Costa Steiner > > Em qui, 27 de dez de 2018 00:38, Claudio Buffara escreveu: >> É o maior primo <= n. >> Pelo teorema (“postuladoâ€) de Bertrand (se p é primo, então existe um >> primo q tal que p < q < 2p). >> >> Enviado do meu iPhone >> >> Em 26 de dez de 2018, à (s) 19:44, Artur Steiner >> escreveu: >> >> > Mostre que, para n >= 2, a fatoração prima de n! contém um fator >> > com expoente 1. >> > >> > Abraços. >> > >> > Artur Costa Steiner >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>  acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Fatoração prima de n!
Obrigado a todos. Tinha esquecido do que é atualmente o teorema de Bertrand. A demonstração é muito complicada? Artur Costa Steiner Em qui, 27 de dez de 2018 00:38, Claudio Buffara É o maior primo <= n. > Pelo teorema (“postulado”) de Bertrand (se p é primo, então existe um > primo q tal que p < q < 2p). > > Enviado do meu iPhone > > Em 26 de dez de 2018, à(s) 19:44, Artur Steiner < > artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > > > Mostre que, para n >= 2, a fatoração prima de n! contém um fator com > expoente 1. > > > > Abraços. > > > > Artur Costa Steiner > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Fatoração prima de n!
Boa tarde! Não sei como provar que existe pelo menos um primop tq n >= p >= [raiz(n)] +1. Mas na verdade todos os primos p, tq tq n >= p >= [raiz(n)] +1, terão expoente =1. Onde [x] = parte inteira de x. Sds, PJMS Em qui, 27 de dez de 2018 às 00:38, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > É o maior primo <= n. > Pelo teorema (“postulado”) de Bertrand (se p é primo, então existe um > primo q tal que p < q < 2p). > > Enviado do meu iPhone > > Em 26 de dez de 2018, à(s) 19:44, Artur Steiner < > artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > > > Mostre que, para n >= 2, a fatoração prima de n! contém um fator com > expoente 1. > > > > Abraços. > > > > Artur Costa Steiner > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] fatoração
Caro Amigo Carlos Nehab, obrigado pela explicação. Você poderia me indicar um livro que tivesse bastante fatoração e produtos notáveis? Abraços Hermann Oi, x3 + x2y + x2y + x2y + xy2 + xy2 + xy2 + y3 = (x3 + x2y) + 2(x2y+xy2) + (xy2 + y3) = x2*(x+y)* + 2xy*(x+y)* + y2*(x+y) * = (x2+2xy+y2)(x+y) = (x+y)3... The end... From: ilhadepaqu...@bol.com.br Sent: Tuesday, September 12, 2017 2:23 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] fatoração Meus amigos, por favor, como fatorar (agrupando!?) x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 e chegar em (x+y)^3 ? (x+y)^3=x^3 + 3x^2y+3xy^2+y^3 Perdoem –me ! Abraços Hermann -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] fatoração
Oi, x3 + x2y + x2y + x2y + xy2 + xy2 + xy2 + y3 = (x3 + x2y) + 2(x2y+xy2) + (xy2 + y3) = x2*(x+y)* + 2xy*(x+y)* + y2*(x+y) * = (x2+2xy+y2)(x+y) = (x+y)3... The end... Em 12 de setembro de 2017 14:23,escreveu: > Meus amigos, por favor, como fatorar (agrupando!?) x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + > y^3 e chegar em (x+y)^3 ? > > (x+y)^3=x^3 + 3x^2y+3xy^2+y^3 > > Perdoem –me ! > > Abraços > > Hermann > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] fatoração
Mas isto não é matar mosquito com bazuca? Em 15 de maio de 2013 23:29, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.comescreveu: Um jeito que sempre funciona é usar a fatoração de ferrari. Ela resolve qualquer equação de 4 grau fatorando-a em duas equações de segundo grau. Não é sempre que os coeficientes são inteiros ou racionais, mas nesse caso (como você já viu na resposta) eles são. Primeiramente deve-se deixar o coefiente de quarto grau como 1, já fizemos isso Depois devemos mudar a variável para cancelar o termo de terceiro grau. Dada a equação x^4 + ax³ + bx² + cx + d=0 Escolha x=(y-a/4) No nosso caso x=(y-1/2) Resulta em: y^4 -5/2 y² -4y -7/16=0 Agora rearrange os termos: Termo do quarto grau do lado esquerdo e os demais do lado direito. Some Ay² +B de ambos os lados para construir dois quadrados perfeitos (um quadrado perfeito tem delta=0) y^4 + Ay² + B = (A+5/2)y² + 4y + (B+7/16) Temos A² = 4B 16 = 4(A+5/2)(B+7/16) (multiplicando por 32) 128 = (2A+5)(16B+7) 128 = (2A+5)(4A²+7) Agora resolvemos a equação do terceiro grau (no caso geral se resolve por cardano, mas como sabemos que as raízes são racionais, resolvemos pelo teorema das raízes racionais) A=3/2 Desse modo B = 9/16 E achamos: (y²+3/4)² = (2y + 1)² (y² - 2y - 1/4)(y² + 2y +7/4) = 0 Substituindo (x² - x - 1)(x² + 3x + 3) = 0 Abraço João -- Date: Wed, 15 May 2013 16:47:23 -0300 Subject: [obm-l] fatoração From: oliho...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br O polinômio p(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 - 6x - 3 se fatora como p(x) = (x^2 - x - 1).(x^2 + 3x + 3) Alguém poderia me ajudar em como chegar a essa fatoração? Agradeço a ajuda. -- /**/ 神が祝福 Torres
[obm-l] Re: [obm-l] fatoração
Uma ideia inicial seria tentar raízes racionais - acho que não vai funcionar. Depois disso, resta tentar a sorte com P(x)=(x^2-px+q)(x^2-rx+s) e ter um pouquinho de fé... Talvez outra ideia seria tentar algo relacionado a raízes da unidade, mas não vou arriscar... Em 15 de maio de 2013 16:47, Mauricio Barbosa oliho...@gmail.com escreveu: O polinômio p(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 - 6x - 3 se fatora como p(x) = (x^2 - x - 1).(x^2 + 3x + 3) Alguém poderia me ajudar em como chegar a essa fatoração? Agradeço a ajuda. -- /**/ 神が祝福 Torres
[obm-l] RE: [obm-l] fatoração
Um jeito que sempre funciona é usar a fatoração de ferrari. Ela resolve qualquer equação de 4 grau fatorando-a em duas equações de segundo grau. Não é sempre que os coeficientes são inteiros ou racionais, mas nesse caso (como você já viu na resposta) eles são. Primeiramente deve-se deixar o coefiente de quarto grau como 1, já fizemos isso Depois devemos mudar a variável para cancelar o termo de terceiro grau. Dada a equação x^4 + ax³ + bx² + cx + d=0 Escolha x=(y-a/4) No nosso caso x=(y-1/2) Resulta em: y^4 -5/2 y² -4y -7/16=0 Agora rearrange os termos: Termo do quarto grau do lado esquerdo e os demais do lado direito. Some Ay² +B de ambos os lados para construir dois quadrados perfeitos (um quadrado perfeito tem delta=0) y^4 + Ay² + B = (A+5/2)y² + 4y + (B+7/16) Temos A² = 4B 16 = 4(A+5/2)(B+7/16) (multiplicando por 32) 128 = (2A+5)(16B+7) 128 = (2A+5)(4A²+7) Agora resolvemos a equação do terceiro grau (no caso geral se resolve por cardano, mas como sabemos que as raízes são racionais, resolvemos pelo teorema das raízes racionais) A=3/2 Desse modo B = 9/16 E achamos: (y²+3/4)² = (2y + 1)² (y² - 2y - 1/4)(y² + 2y +7/4) = 0 Substituindo (x² - x - 1)(x² + 3x + 3) = 0 Abraço João Date: Wed, 15 May 2013 16:47:23 -0300 Subject: [obm-l] fatoração From: oliho...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br O polinômio p(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 - 6x - 3se fatora como p(x) = (x^2 - x - 1).(x^2 + 3x + 3)Alguém poderia me ajudar em como chegar a essa fatoração?Agradeço a ajuda.
[obm-l] RE: [obm-l] Fatoração(?)
(a+b)( (a+b)²-3ab ) + (c+d)( (c+d)² -3cd) = 0 (a+b) = -(c+d) (a+b)( (a+b)²-3ab ) = (a+b)( (c+d)²-3cd ) 1) Ou (a+b) = 0 2) Ou ab=cd Desse modo c+d = -(a+b) cd = ab Gera uma equação do segundo grau - (c,d) = (-a, -b) Desse modo c+a = 0 ou c+b = 0 CQD From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Fatoração(?) Date: Mon, 11 Feb 2013 23:04:17 + Se a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = a + b + c + d = o,mostre que a soma de dois desses números é zero.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] fatoração de polinômio
É, o jeito braçal,depois de muito treino, acaba funcionando na maioria das questões... a dúvida quanto a isso era apenas formalismo mesmo, já que de antemão dá p desconfiar que o polinômio vai ser fatorado apenas com coeficientes inteiros (a questão simplesmente já pedia para fatorar). Tenta fatorar no braço x^3+7x^2+7x+14 pra ver.
Re: [obm-l] RE: [obm-l] fatoração de polinômio
Some e subtraia x^2. Fica assim: x^5-x^2+x^2+x+1=x^2(x^3-1)+x^2+x+1=x^2(x-1)(x^2+x+1)+x^2+x+1= (x^2+x+1)(x^3-x^2+1) Essa é das antigas, do livro Álgebra 1, do Wagner e do Morgado. Esse tipo de fatoração é muito difícil. Somar e subtrair coisas costuma dar muita dor de cabeça até que se descubra o que fazer. Um abraço. Paulo Cesar Sampaio Jr. Enviado via iPad Em 11/10/2011, às 00:34, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu: Eu faria assim, x^5+ x + 1 = T=x^5 + x^3 + x + (1-x^3)= x(x^4 + x² + 1) + (1-x)(x²+x+1) Fazendo k =(x^4 + x² + 1) y=x² temos k=y²+y+1 = (y³-1)/(y-1)=(x^6-1)/(x²-1)=(x³-1)(x³+1)/(x+1)(x-1)=(x²-x+1)(x²+x+1) Logo T=(x²+x+1)(x³-x²+x) + (1-x)(x²+x+1) T=(x²+x+1)(x³-x²+1) []'s João From: luan_gabrie...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] fatoração de polinômio Date: Tue, 11 Oct 2011 03:57:55 +0300 Boa noite, entrei hoje na lista,espero ter mandado pro e-mail certo. A questão é encontrar uma fatoração para o polinômio: X^5+X+1 Agradeço a ajuda.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] fatoração de polinômio
Vlw galera! CC: obm-l@mat.puc-rio.br From: pcesa...@gmail.com Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] fatoração de polinômio Date: Tue, 11 Oct 2011 06:19:34 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br Some e subtraia x^2. Fica assim: x^5-x^2+x^2+x+1=x^2(x^3-1)+x^2+x+1=x^2(x-1)(x^2+x+1)+x^2+x+1= (x^2+x+1)(x^3-x^2+1)Essa é das antigas, do livro Álgebra 1, do Wagner e do Morgado. Esse tipo de fatoração é muito difícil. Somar e subtrair coisas costuma dar muita dor de cabeça até que se descubra o que fazer. Um abraço. Paulo Cesar Sampaio Jr.Enviado via iPad Em 11/10/2011, às 00:34, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu: Eu faria assim, x^5+ x + 1 = T=x^5 + x^3 + x + (1-x^3)=x(x^4 + x² + 1) + (1-x)(x²+x+1) Fazendo k =(x^4 + x² + 1)y=x²temos k=y²+y+1 = (y³-1)/(y-1)=(x^6-1)/(x²-1)=(x³-1)(x³+1)/(x+1)(x-1)=(x²-x+1)(x²+x+1)Logo T=(x²+x+1)(x³-x²+x) + (1-x)(x²+x+1)T=(x²+x+1)(x³-x²+1) []'sJoão From: luan_gabrie...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] fatoração de polinômio Date: Tue, 11 Oct 2011 03:57:55 +0300 Boa noite, entrei hoje na lista,espero ter mandado pro e-mail certo. A questão é encontrar uma fatoração para o polinômio: X^5+X+1 Agradeço a ajuda.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] fatoração de polinômio
Outra maneira é tentar uma raiz cúbica da unidade. Me respondam uma coisa: por que raios vocês tentam demonstrar que o polinômiuo é redutível, e depois é que vão fatorá-lo? Não é melhor fatorar de uma vez? E ainda prefiro a solução braçal. Ficar epnsando em sacadinhas mágicas não é meu esporte favorito... Em 11/10/11, Luan Gabrielluan_gabrie...@hotmail.com escreveu: Vlw galera! CC: obm-l@mat.puc-rio.br From: pcesa...@gmail.com Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] fatoração de polinômio Date: Tue, 11 Oct 2011 06:19:34 -0300 To: obm-l@mat.puc-rio.br Some e subtraia x^2. Fica assim: x^5-x^2+x^2+x+1=x^2(x^3-1)+x^2+x+1=x^2(x-1)(x^2+x+1)+x^2+x+1= (x^2+x+1)(x^3-x^2+1)Essa é das antigas, do livro Álgebra 1, do Wagner e do Morgado. Esse tipo de fatoração é muito difícil. Somar e subtrair coisas costuma dar muita dor de cabeça até que se descubra o que fazer. Um abraço. Paulo Cesar Sampaio Jr.Enviado via iPad Em 11/10/2011, às 00:34, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu: Eu faria assim, x^5+ x + 1 = T=x^5 + x^3 + x + (1-x^3)=x(x^4 + x² + 1) + (1-x)(x²+x+1) Fazendo k =(x^4 + x² + 1)y=x²temos k=y²+y+1 = (y³-1)/(y-1)=(x^6-1)/(x²-1)=(x³-1)(x³+1)/(x+1)(x-1)=(x²-x+1)(x²+x+1)Logo T=(x²+x+1)(x³-x²+x) + (1-x)(x²+x+1)T=(x²+x+1)(x³-x²+1) []'sJoão From: luan_gabrie...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] fatoração de polinômio Date: Tue, 11 Oct 2011 03:57:55 +0300 Boa noite, entrei hoje na lista,espero ter mandado pro e-mail certo. A questão é encontrar uma fatoração para o polinômio: X^5+X+1 Agradeço a ajuda. -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] fatoração de polinômio
Opa, para cálculos mecânicos porém chatos, um site excelente é o Wolfram Alpha. você coloca o polinômio (ou qualquer coisa computável), e ele te dá informações sobre a coisa. por exemplo, se você coloca um polinômio, ele te diz as raízes, as fatorações possíveis, o gráfico, etc. Se você coloca uma matriz, ele te diz informações sobre os autovalores, o determinante, o traço, etc. Se você coloca o nome de um país, ele te dá a data de independência, a quantidade de habitantes, a renda per capita, etc. http://www.wolframalpha.com/input/?i=X%5E5%2BX%2B1+ Me desculpem se a minha mensagem parece muito propaganda, principalmente por que eu quase nunca escrevo para a lista, mas eu acho que é uma ferramenta realmente útil. E ele tem uma opção de show steps, então você pode ver como ele chegou a cada resultado, o que torna ele um pouco mais didático. abraços 2011/10/10 Luan Gabriel luan_gabrie...@hotmail.com: Boa noite, entrei hoje na lista,espero ter mandado pro e-mail certo. A questão é encontrar uma fatoração para o polinômio: X^5+X+1 Agradeço a ajuda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] fatoração de polinômio
sempre tem o wolfram alpha, http://www.wolframalpha.com/input/?i=+X^5%2BX%2B1+ , mas nao sei se eh esse o objetivo Em 10 de outubro de 2011 21:57, Luan Gabriel luan_gabrie...@hotmail.comescreveu: Boa noite, entrei hoje na lista,espero ter mandado pro e-mail certo. A questão é encontrar uma fatoração para o polinômio: X^5+X+1 Agradeço a ajuda.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] fatoração de polinômio
Olhei o site, e realmente é muito bom. Quanto ao problema, ele não apresenta uma maneira prática de fatoração;pelo contrário, usa algo muito bizarro. De qualquer forma, vi a forma fatorada e,como era de se esperar, ele é redutível nos Z e a fatoração resulta em dois polinômios primitivos. Tentei provar que o polinômio inicial era redutível nos Z,mas não consegui. Então,não sei se a suposição de que o polinômio pode ser fatorado em (X^3+aX^2+bX+1).(X^2+cX+1) é verdadeira. Date: Mon, 10 Oct 2011 22:46:50 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] fatoração de polinômio From: pedromn...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br sempre tem o wolfram alpha, http://www.wolframalpha.com/input/?i=+X^5%2BX%2B1+ , mas nao sei se eh esse o objetivo Em 10 de outubro de 2011 21:57, Luan Gabriel luan_gabrie...@hotmail.com escreveu: Boa noite, entrei hoje na lista,espero ter mandado pro e-mail certo. A questão é encontrar uma fatoração para o polinômio: X^5+X+1 Agradeço a ajuda.
[obm-l] FW: [obm-l] Re: [obm-l] fatoração de polinômio
Como falei, consegui provar pelo lema de gauss, substituindo x por x+1, que o polinômio é redutível nos Z, e assim aquele método de supor a fatoração fica restrito a encontrar inteiros que satisfaçam o problema.Mesmo assim, é um método muito braçal, acho que existe algo por trás do problema. Se alguém tiver uma luz, agradeço! From: luan_gabrie...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] fatoração de polinômio Date: Tue, 11 Oct 2011 05:17:33 +0300 Olhei o site, e realmente é muito bom. Quanto ao problema, ele não apresenta uma maneira prática de fatoração;pelo contrário, usa algo muito bizarro. De qualquer forma, vi a forma fatorada e,como era de se esperar, ele é redutível nos Z e a fatoração resulta em dois polinômios primitivos. Tentei provar que o polinômio inicial era redutível nos Z,mas não consegui. Então,não sei se a suposição de que o polinômio pode ser fatorado em (X^3+aX^2+bX+1).(X^2+cX+1) é verdadeira. Date: Mon, 10 Oct 2011 22:46:50 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] fatoração de polinômio From: pedromn...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br sempre tem o wolfram alpha, http://www.wolframalpha.com/input/?i=+X^5%2BX%2B1+ , mas nao sei se eh esse o objetivo Em 10 de outubro de 2011 21:57, Luan Gabriel luan_gabrie...@hotmail.com escreveu: Boa noite, entrei hoje na lista,espero ter mandado pro e-mail certo. A questão é encontrar uma fatoração para o polinômio: X^5+X+1 Agradeço a ajuda.
[obm-l] Re: [obm-l] fatoração de polinômio
Como falei, consegui provar pelo lema de gauss, substituindo x por x+1, que o polinômio é redutível nos Z, e assim aquele método de supor a fatoração fica restrito a encontrar inteiros que satisfaçam o problema.Mesmo assim, é um método muito braçal, acho que existe algo por trás do problema. Se alguém tiver uma luz, agradeço!
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] fatoração de polinômio
Como falei, consegui provar pelo lema de gauss, substituindo x por x+1, que o polinômio é redutível nos Z, e assim aquele método de supor a fatoração fica restrito a encontrar inteiros que satisfaçam o problema.Mesmo assim, é um método muito braçal, acho que existe algo por trás do problema. Se alguém tiver uma luz, agradeço!
[obm-l] RE: [obm-l] fatoração de polinômio
Eu faria assim, x^5+ x + 1 = T=x^5 + x^3 + x + (1-x^3)=x(x^4 + x² + 1) + (1-x)(x²+x+1) Fazendo k =(x^4 + x² + 1)y=x²temos k=y²+y+1 = (y³-1)/(y-1)=(x^6-1)/(x²-1)=(x³-1)(x³+1)/(x+1)(x-1)=(x²-x+1)(x²+x+1)Logo T=(x²+x+1)(x³-x²+x) + (1-x)(x²+x+1)T=(x²+x+1)(x³-x²+1) []'sJoão From: luan_gabrie...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] fatoração de polinômio Date: Tue, 11 Oct 2011 03:57:55 +0300 Boa noite, entrei hoje na lista,espero ter mandado pro e-mail certo. A questão é encontrar uma fatoração para o polinômio: X^5+X+1 Agradeço a ajuda.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Fatoração
2010/6/21 Thiago Tarraf Varella thiago_...@hotmail.com: Verdade! 2(x+1)(x-1/2)(2x²-x+1) 2(x+1)(2x-1)(2x²-x+1)/2 (x+1)(2x-1)(2x²-x+1) Aí acaba, né? Porquê ? (2x^2 - x + 1) = (x - 1/4 - i*raiz(7)/4)*(x - 1/4 + i*raiz(7)/4) Repare que dizer que não vale complexos é exatamente a mesma coisa que dizer que também não vale fazer (x^3 - 2) = (x - raiz3(2))*(x^2 + x*raiz3(2) + raiz3(4)). O que é mais ou menos arbitrário, a menos que você especifique que você só aceita polinômios com coeficientes racionais. E porquê não inteiros? Mas nada disso tá dito no enunciado. Não que eu tenha visto muitos enunciados que digam explicitamente fatore o polinômio abaixo em Q[X] (ou Z[X], ou R[X], ou ), mas de certa forma isso é um equivalente do que o Ralph diz em combinatória, aqui fica bom, o enunciado é vago, vamos supor que ele quer dizer que é para fatorar em Z[X], que é o que parece razoável, já que todos os coeficientes são inteiros. ;D -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
errata: (2x²)² - (x-1)² 2010/6/20 Paulo Vedana paulo.ved...@poli.usp.br (2x)² - (x-1)² Agora é só fazer a diferença de quadrados e terminar. Dica: fatoração é pura PRÁTICA. Então, vai em frente que esse é o caminho! Abraço, Paulo Vedana. 2010/6/20 Lucas Hagemaister lucashagemais...@msn.com Como fatorar: 4x^4(x na quarta) -x² +2x -1 Tentei de várias maneiras, mas nunca consegui completar a fatoração. Agradeço desde já. Abraço -- O SEU NAVEGADOR PODE TE PROTEGER DE FRAUDES NA WEB. VEJA DICAS DE INTERNET EXPLORER 8http://www.microsoft.com/brasil/windows/internet-explorer/features/stay-safer-online.aspx?tabid=1catid=1WT.mc_id=1588
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Fatoração
ainda dá pra fatorar mais! 2010/6/20 Thiago Tarraf Varella thiago_...@hotmail.com Eu cheguei nisso: 4x^4 - x² + 2x - 1 4x^4 - (x²-2x+1) 3o./4o. Caso de fatoração: 4x^4 - (x-1)² (2x²)² - (x-1)² 4o./5o. Caso de fatoração: (2x² + x - 1)(2x² - x + 1) Espero que tenha ajudado! Thiago -- From: lucashagemais...@msn.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Fatoração Date: Sun, 20 Jun 2010 20:01:09 -0300 Como fatorar: 4x^4(x na quarta) -x² +2x -1 Tentei de várias maneiras, mas nunca consegui completar a fatoração. Agradeço desde já. Abraço -- O SEU NAVEGADOR PODE TE PROTEGER DE FRAUDES NA WEB. VEJA DICAS DE INTERNET EXPLORER 8http://www.microsoft.com/brasil/windows/internet-explorer/features/stay-safer-online.aspx?tabid=1catid=1WT.mc_id=1588 -- TRANSFORME SUAS FOTOS EM EMOTICONS PARA O MESSENGER. CLIQUE AQUI E VEJA COMO.http://ilm.windowslive.com.br/?ocid=ILM:Live:Hotmail:Tagline:1x1:TRANSFORME77:-
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm -l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Fatoração
Verdade!2(x+1)(x-1/2)(2x²-x+1)2(x+1)(2x-1)(2x²-x+1)/2(x+1)(2x-1)(2x²-x+1)Aí acaba, né?;D From: lucashagemais...@msn.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Fatoração Date: Sun, 20 Jun 2010 22:44:44 -0300 Esquece, entendi o pq. Obrigado =) Date: Sun, 20 Jun 2010 22:20:30 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Fatoração From: paulo.ved...@poli.usp.br To: obm-l@mat.puc-rio.br ainda dá pra fatorar mais! 2010/6/20 Thiago Tarraf Varella thiago_...@hotmail.com Eu cheguei nisso: 4x^4 - x² + 2x - 1 4x^4 - (x²-2x+1) 3o./4o. Caso de fatoração: 4x^4 - (x-1)² (2x²)² - (x-1)² 4o./5o. Caso de fatoração: (2x² + x - 1)(2x² - x + 1) Espero que tenha ajudado! Thiago From: lucashagemais...@msn.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Fatoração Date: Sun, 20 Jun 2010 20:01:09 -0300 Como fatorar: 4x^4(x na quarta) -x² +2x -1 Tentei de várias maneiras, mas nunca consegui completar a fatoração. Agradeço desde já. Abraço O SEU NAVEGADOR PODE TE PROTEGER DE FRAUDES NA WEB. VEJA DICAS DE INTERNET EXPLORER 8 TRANSFORME SUAS FOTOS EM EMOTICONS PARA O MESSENGER. CLIQUE AQUI E VEJA COMO. O SEU NAVEGADOR PODE TE PROTEGER DE FRAUDES NA WEB. VEJA DICAS DE INTERNET EXPLORER 8 _ ACESSE O MESSENGER DO SEU CELULAR AGORA MESMO. CLIQUE E VEJA AQUI UM PASSO A PASSO. http://celular.windowslive.com.br/messenger.asp?produto=Messengerutm_source=Live_Hotmailutm_medium=Taglineutm_content=ACESSEOMES83utm_campaign=MobileServices
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração de 5 ^1985 - 1.
Olá , Esta questão realmente não é fácil , como de repente pode parecer . Ela foi proposta numa Olimpíada Internacional e não usada e, foi também proposta na RPM - 18 . A solução do Vidal teve um brilhantismo , pois explicou em detalhes os passos . Abraços Carlos Victor 2009/4/6 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, Vidal (e Fabricio), Já que meu neto não está aqui em casa... :-) e como gostei tanto de suas continhas de cabeça, fucei um site que tenho certeza que vocês vão gostar Tem coisas surreais http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/main.htm Abraços, Nehab ( *Vidal escreveu: Caro Fabrício, Eu também passei por esta etapa (produto de dois polinômios de grau 2) durante o pequeno tempo que pensei na solução, depois de provocado pelo Nehab. Mas infelizmente os fatores não eram inteiros. Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com 2009/4/6 fabrici...@usp.br fabrici...@usp.br Vidal, muito boa a sacada. Eu tinha tentado escrever como o produto de dois polinômios de grau 2, sem sucesso. Parabéns pela solução. Um abraço. . On Apr 6, 2009, at 03:21 , *Vidal wrote: Caros Fabrício e Nehab, Achar um fator foi fácil, o problema foi quebrar o quociente nos outros dois. Fiz assim: 5^1985 - 1 = (5^397)^5 - 1 Seja x = 5^397. Então queremos fatorar x^5 - 1 que, de imediato, resulta em (x - 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1), ou seja, um dos fatores é 5^397 - 1. Falta fatorar x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 de uma forma conveniente. Após um tempinho (pouca coisa, até no Fla x Flu no Maracanã estava rabiscando...), tive a idéia de tentar escrever a expressão como uma adequada diferença de dois quadrados. Caso conseguisse, o problema estaria resolvido, pois um fator seria a soma e outro, a diferença. Arbitrei o primeiro quadrado como (x^2 + ax + 1)^2, que já geraria o termo de quarto grau e o termo independente corretos. E coloquei o segundo quadrado como 5x(x+b)^2, pois como x = 5^397, 5x = 5^398 seria um quadrado perfeito. Igualando as expressões (e rezando para encontrar valores de a e b compatíveis), veio: (x^2 + ax + 1)^2 - 5x(x+b)^2 = x^4 + (2a -5)x^3 + (a^2 - 10b + 2)x^2 + (2a - 5b^2)x + 1 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Assim: 2a -5 = 1 = a = 3 a^2 - 10b + 2 = 1 = b = 1 Agora era hora da onça beber água: 2a - 5b^2 = 1 Mas a = 3 e b = 1 satisfazem ! Eureka ! x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2 - 5x(x+1)^2 Substituindo x por 5^397: ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5*5^397*(5^397 + 1)^2 = = ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5^398*(5^397 + 1)^2 (diferença de quadrados) = = (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) - 5^199*(5^397 + 1)) * (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) + 5^199*(5^397 + 1)) (produto da diferença pela soma) = = (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Os três fatores são claramente maiores que 5^100, conforme solicitado. Então: 5^1985 -1 = (5^397 - 1) * (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Como já são três da manhã e já perdi o sono mesmo, resolvi fazer umas continhas de cabeça, tal como o Ralph fez outro dia desses... 5^397-1 = 2 x 2 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x C258 5^794 -5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1 = 71 x 399.091.951.801 x C542 5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1 = 11 x 146.891 x C549 Logo: 5^1985 -1 = 2 x 2 x 11 x 71 x 146.891 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x 399.091.951.801 x C258 x C542 x C549 (onde Cn são números compostos de n algarismos). A fatoração de C258, C542 e C549 fica como exercício ... :) Abraços, Vidal. P.S. Nehab: Apesar de não nos conhecermos pessoalmente, temos um grande amigo em comum: o Manuel Martins Filho, professor de Informática da Carioca ! Abraços ! :: vi...@mail.com *** 2009/4/5 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, gente, Fabricio postou este interessante problema e aparentemente ninguém deu muita bola, talvez achando que é óbvio. Não achei óbvio não. Quem resolveu? Abraços, Nehab fabrici...@usp.br escreveu: Caros colegas, mexendo em algumas listas antigas de exercícios, um me chamou muito a atenção. Pede pra fatorar 5^1985 - 1 num produto de três inteiros maiores que 5^100. Pra facilitar um possível avanço, 1985 pode ser escrito como 5 x 397 (ambos primos). . = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração de 5^ 1985 - 1.
Oi, Vidal, Muito legal a sacao bem sucedida de forar a diferena entre quadrados, e com muita criatividade ... Eu no tinha conseguido matar o problema. Quanto ao Manuel somos amigos h 30 anos e j percorremos muito cho juntos. Nos conhecemos no SERPRO, quando ramos funcionrios de uma rea maluca de Estatstica, Modelagem , etc (era onde eles colocavam os caras que, alm de programar, como todo mundo de l programava, sabiam tambm fazer umas continhas mgicas como a que voc fez no problema abaixo..). E nesta poca eu ainda dava aula no IME, de Lgica, Anlise Linear, Clculo ,1,2..., N..., etc). Pr voc ter uma idia meu cargo era de Matemgico Ahhh , que emoo quando penso nas pessoas bacanas com quem convivi naquela poca. Todas geniais... Gostosas saudades... Mas no sei se voc sabe, eu fui coordenador de Cursos de Computao da Carioca e Gerente de Tecnologia durante uns 2 anos, h uns 10 anos ... E l estava o Manuel que foi quem me seduziu a trabalhar l... Um grande abrao, Nehab PS: De onde voc conhece o Manuel? Da night? Dos botequins e rodadas de violo? Ou foi aluno dele? *Vidal escreveu: Caros Fabrcio e Nehab, Achar um fator foi fcil, o problema foi "quebrar" o quociente nos outros dois. Fiz assim: 5^1985 - 1 = (5^397)^5 - 1 Seja x = 5^397. Ento queremos fatorar x^5 - 1 que, de imediato, resulta em (x - 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1), ou seja, um dos fatores 5^397 - 1. Falta fatorar x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 de uma forma conveniente. Aps um tempinho (pouca coisa, at no Fla x Flu no Maracan estava rabiscando...), tive a idia de tentar escrever a expresso como uma adequada diferena de dois quadrados. Caso conseguisse, o problema estaria resolvido, pois um fator seria a soma e outro, a diferena. Arbitrei o primeiro quadrado como (x^2 + ax + 1)^2, que j geraria o termo de quarto grau e o termo independente corretos. E coloquei o segundo quadrado como 5x(x+b)^2, pois como x = 5^397, 5x = 5^398 seria um quadrado perfeito. Igualando as expresses (e rezando para encontrar valores de a e b compatveis), veio: (x^2 + ax + 1)^2 - 5x(x+b)^2 = x^4 + (2a -5)x^3 + (a^2 - 10b + 2)x^2 + (2a - 5b^2)x + 1 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Assim: 2a -5 = 1 = a = 3 a^2 - 10b + 2 = 1 = b = 1 Agora era hora da ona beber gua: 2a - 5b^2 = 1 Mas a = 3 e b = 1 satisfazem ! Eureka ! x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2 - 5x(x+1)^2 Substituindo x por 5^397: ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5*5^397*(5^397 + 1)^2 = = ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5^398*(5^397 + 1)^2 (diferena de quadrados) = = (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) - 5^199*(5^397 + 1)) * (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) + 5^199*(5^397 + 1)) (produto da diferena pela soma) = = (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Os trs fatores so claramente maiores que 5^100, conforme solicitado. Ento: 5^1985 -1 = (5^397 - 1) * (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Como j so trs da manh e j perdi o sono mesmo, resolvi fazer umas "continhas de cabea", tal como o Ralph fez outro dia desses... 5^397-1 = 2 x 2 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x C258 5^794 -5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1 = 71 x 399.091.951.801 x C542 5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1 = 11 x 146.891 x C549 Logo: 5^1985 -1 = 2 x 2 x 11 x 71 x 146.891 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x 399.091.951.801 x C258 x C542 x C549 (onde Cn so nmeros compostos de n algarismos). A fatorao de C258, C542 e C549 fica como exerccio ... :) Abraos, Vidal. P.S. Nehab: Apesar de no nos conhecermos pessoalmente, temos um grande amigo em comum: o Manuel Martins Filho, professor de Informtica da Carioca ! Abraos ! :: vi...@mail.com *** 2009/4/5 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, gente, Fabricio postou este interessante problema e aparentemente ningum deu muita bola, talvez achando que bvio. No achei bvio no. Quem resolveu? Abraos, Nehab fabrici...@usp.br escreveu: Caros colegas, mexendo em algumas listas antigas de exerccios, um me chamou muito a ateno. Pede pra fatorar 5^1985 - 1 num produto de trs inteiros maiores que 5^100. Pra facilitar um possvel avano, 1985 pode ser escrito como 5 x 397 (ambos primos). . = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
[obm-l] Re: [obm-l] Fatoração de 5^1985 - 1.
Caros Fabrício e Nehab, Achar um fator foi fácil, o problema foi quebrar o quociente nos outros dois. Fiz assim: 5^1985 - 1 = (5^397)^5 - 1 Seja x = 5^397. Então queremos fatorar x^5 - 1 que, de imediato, resulta em (x - 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1), ou seja, um dos fatores é 5^397 - 1. Falta fatorar x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 de uma forma conveniente. Após um tempinho (pouca coisa, até no Fla x Flu no Maracanã estava rabiscando...), tive a idéia de tentar escrever a expressão como uma adequada diferença de dois quadrados. Caso conseguisse, o problema estaria resolvido, pois um fator seria a soma e outro, a diferença. Arbitrei o primeiro quadrado como (x^2 + ax + 1)^2, que já geraria o termo de quarto grau e o termo independente corretos. E coloquei o segundo quadrado como 5x(x+b)^2, pois como x = 5^397, 5x = 5^398 seria um quadrado perfeito. Igualando as expressões (e rezando para encontrar valores de a e b compatíveis), veio: (x^2 + ax + 1)^2 - 5x(x+b)^2 = x^4 + (2a -5)x^3 + (a^2 - 10b + 2)x^2 + (2a - 5b^2)x + 1 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Assim: 2a -5 = 1 = a = 3 a^2 - 10b + 2 = 1 = b = 1 Agora era hora da onça beber água: 2a - 5b^2 = 1 Mas a = 3 e b = 1 satisfazem ! Eureka ! x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2 - 5x(x+1)^2 Substituindo x por 5^397: ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5*5^397*(5^397 + 1)^2 = = ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5^398*(5^397 + 1)^2 (diferença de quadrados) = = (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) - 5^199*(5^397 + 1)) * (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) + 5^199*(5^397 + 1)) (produto da diferença pela soma) = = (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Os três fatores são claramente maiores que 5^100, conforme solicitado. Então: 5^1985 -1 = (5^397 - 1) * (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Como já são três da manhã e já perdi o sono mesmo, resolvi fazer umas continhas de cabeça, tal como o Ralph fez outro dia desses... 5^397-1 = 2 x 2 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x C258 5^794 -5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1 = 71 x 399.091.951.801 x C542 5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1 = 11 x 146.891 x C549 Logo: 5^1985 -1 = 2 x 2 x 11 x 71 x 146.891 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x 399.091.951.801 x C258 x C542 x C549 (onde Cn são números compostos de n algarismos). A fatoração de C258, C542 e C549 fica como exercício ... :) Abraços, Vidal. P.S. Nehab: Apesar de não nos conhecermos pessoalmente, temos um grande amigo em comum: o Manuel Martins Filho, professor de Informática da Carioca ! Abraços ! :: vi...@mail.com *** 2009/4/5 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, gente, Fabricio postou este interessante problema e aparentemente ninguém deu muita bola, talvez achando que é óbvio. Não achei óbvio não. Quem resolveu? Abraços, Nehab fabrici...@usp.br escreveu: Caros colegas, mexendo em algumas listas antigas de exercícios, um me chamou muito a atenção. Pede pra fatorar 5^1985 - 1 num produto de três inteiros maiores que 5^100. Pra facilitar um possível avanço, 1985 pode ser escrito como 5 x 397 (ambos primos). . = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração de 5^1985 - 1.
Vidal, muito boa a sacada. Eu tinha tentado escrever como o produto de dois polinômios de grau 2, sem sucesso. Parabéns pela solução. Um abraço. . On Apr 6, 2009, at 03:21 , *Vidal wrote: Caros Fabrício e Nehab, Achar um fator foi fácil, o problema foi quebrar o quociente nos outros dois. Fiz assim: 5^1985 - 1 = (5^397)^5 - 1 Seja x = 5^397. Então queremos fatorar x^5 - 1 que, de imediato, resulta em (x - 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1), ou seja, um dos fatores é 5^397 - 1. Falta fatorar x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 de uma forma conveniente. Após um tempinho (pouca coisa, até no Fla x Flu no Maracanã estava rabiscando...), tive a idéia de tentar escrever a expressão como uma adequada diferença de dois quadrados. Caso conseguisse, o problema estaria resolvido, pois um fator seria a soma e outro, a diferença. Arbitrei o primeiro quadrado como (x^2 + ax + 1)^2, que já geraria o termo de quarto grau e o termo independente corretos. E coloquei o segundo quadrado como 5x(x+b)^2, pois como x = 5^397, 5x = 5^398 seria um quadrado perfeito. Igualando as expressões (e rezando para encontrar valores de a e b compatíveis), veio: (x^2 + ax + 1)^2 - 5x(x+b)^2 = x^4 + (2a -5)x^3 + (a^2 - 10b + 2) x^2 + (2a - 5b^2)x + 1 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Assim: 2a -5 = 1 = a = 3 a^2 - 10b + 2 = 1 = b = 1 Agora era hora da onça beber água: 2a - 5b^2 = 1 Mas a = 3 e b = 1 satisfazem ! Eureka ! x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2 - 5x(x+1)^2 Substituindo x por 5^397: ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5*5^397*(5^397 + 1)^2 = = ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5^398*(5^397 + 1)^2 (diferença de quadrados) = = (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) - 5^199*(5^397 + 1)) * (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) + 5^199*(5^397 + 1)) (produto da diferença pela soma) = = (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Os três fatores são claramente maiores que 5^100, conforme solicitado. Então: 5^1985 -1 = (5^397 - 1) * (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Como já são três da manhã e já perdi o sono mesmo, resolvi fazer umas continhas de cabeça, tal como o Ralph fez outro dia desses... 5^397-1 = 2 x 2 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x C258 5^794 -5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1 = 71 x 399.091.951.801 x C542 5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1 = 11 x 146.891 x C549 Logo: 5^1985 -1 = 2 x 2 x 11 x 71 x 146.891 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x 399.091.951.801 x C258 x C542 x C549 (onde Cn são números compostos de n algarismos). A fatoração de C258, C542 e C549 fica como exercício ... :) Abraços, Vidal. P.S. Nehab: Apesar de não nos conhecermos pessoalmente, temos um grande amigo em comum: o Manuel Martins Filho, professor de Informática da Carioca ! Abraços ! :: vi...@mail.com *** 2009/4/5 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, gente, Fabricio postou este interessante problema e aparentemente ninguém deu muita bola, talvez achando que é óbvio. Não achei óbvio não. Quem resolveu? Abraços, Nehab fabrici...@usp.br escreveu: Caros colegas, mexendo em algumas listas antigas de exercícios, um me chamou muito a atenção. Pede pra fatorar 5^1985 - 1 num produto de três inteiros maiores que 5^100. Pra facilitar um possível avanço, 1985 pode ser escrito como 5 x 397 (ambos primos). . = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html == === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração de 5^1985 - 1.
Caro Fabrício, Eu também passei por esta etapa (produto de dois polinômios de grau 2) durante o pequeno tempo que pensei na solução, depois de provocado pelo Nehab. Mas infelizmente os fatores não eram inteiros. Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com 2009/4/6 fabrici...@usp.br fabrici...@usp.br Vidal, muito boa a sacada. Eu tinha tentado escrever como o produto de dois polinômios de grau 2, sem sucesso. Parabéns pela solução. Um abraço. . On Apr 6, 2009, at 03:21 , *Vidal wrote: Caros Fabrício e Nehab, Achar um fator foi fácil, o problema foi quebrar o quociente nos outros dois. Fiz assim: 5^1985 - 1 = (5^397)^5 - 1 Seja x = 5^397. Então queremos fatorar x^5 - 1 que, de imediato, resulta em (x - 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1), ou seja, um dos fatores é 5^397 - 1. Falta fatorar x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 de uma forma conveniente. Após um tempinho (pouca coisa, até no Fla x Flu no Maracanã estava rabiscando...), tive a idéia de tentar escrever a expressão como uma adequada diferença de dois quadrados. Caso conseguisse, o problema estaria resolvido, pois um fator seria a soma e outro, a diferença. Arbitrei o primeiro quadrado como (x^2 + ax + 1)^2, que já geraria o termo de quarto grau e o termo independente corretos. E coloquei o segundo quadrado como 5x(x+b)^2, pois como x = 5^397, 5x = 5^398 seria um quadrado perfeito. Igualando as expressões (e rezando para encontrar valores de a e b compatíveis), veio: (x^2 + ax + 1)^2 - 5x(x+b)^2 = x^4 + (2a -5)x^3 + (a^2 - 10b + 2)x^2 + (2a - 5b^2)x + 1 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Assim: 2a -5 = 1 = a = 3 a^2 - 10b + 2 = 1 = b = 1 Agora era hora da onça beber água: 2a - 5b^2 = 1 Mas a = 3 e b = 1 satisfazem ! Eureka ! x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2 - 5x(x+1)^2 Substituindo x por 5^397: ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5*5^397*(5^397 + 1)^2 = = ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5^398*(5^397 + 1)^2 (diferença de quadrados) = = (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) - 5^199*(5^397 + 1)) * (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) + 5^199*(5^397 + 1)) (produto da diferença pela soma) = = (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Os três fatores são claramente maiores que 5^100, conforme solicitado. Então: 5^1985 -1 = (5^397 - 1) * (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Como já são três da manhã e já perdi o sono mesmo, resolvi fazer umas continhas de cabeça, tal como o Ralph fez outro dia desses... 5^397-1 = 2 x 2 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x C258 5^794 -5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1 = 71 x 399.091.951.801 x C542 5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1 = 11 x 146.891 x C549 Logo: 5^1985 -1 = 2 x 2 x 11 x 71 x 146.891 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x 399.091.951.801 x C258 x C542 x C549 (onde Cn são números compostos de n algarismos). A fatoração de C258, C542 e C549 fica como exercício ... :) Abraços, Vidal. P.S. Nehab: Apesar de não nos conhecermos pessoalmente, temos um grande amigo em comum: o Manuel Martins Filho, professor de Informática da Carioca ! Abraços ! :: vi...@mail.com *** 2009/4/5 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, gente, Fabricio postou este interessante problema e aparentemente ninguém deu muita bola, talvez achando que é óbvio. Não achei óbvio não. Quem resolveu? Abraços, Nehab fabrici...@usp.br escreveu: Caros colegas, mexendo em algumas listas antigas de exercícios, um me chamou muito a atenção. Pede pra fatorar 5^1985 - 1 num produto de três inteiros maiores que 5^100. Pra facilitar um possível avanço, 1985 pode ser escrito como 5 x 397 (ambos primos). . = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração de 5^1985 - 1.
Oi, Vidal (e Fabricio), J que meu neto no est aqui em casa... :-) e como gostei tanto de suas continhas de cabea, fucei um site que tenho certeza que vocs vo gostar Tem coisas surreais http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/main.htm Abraos, Nehab ( *Vidal escreveu: Caro Fabrcio, Eu tambm passei por esta etapa (produto de dois polinmios de grau 2) durante o "pequeno" tempo que pensei na soluo, depois de "provocado" pelo Nehab. Mas infelizmente os fatores no eram inteiros. Abraos, Vidal. :: vi...@mail.com 2009/4/6 fabrici...@usp.br fabrici...@usp.br Vidal, muito boa a sacada. Eu tinha tentado escrever como o produto de dois polinmios de grau 2, sem sucesso. Parabns pela soluo. Um abrao. . On Apr 6, 2009, at 03:21 , *Vidal wrote: Caros Fabrcio e Nehab, Achar um fator foi fcil, o problema foi "quebrar" o quociente nos outros dois. Fiz assim: 5^1985 - 1 = (5^397)^5 - 1 Seja x = 5^397. Ento queremos fatorar x^5 - 1 que, de imediato, resulta em (x - 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1), ou seja, um dos fatores 5^397 - 1. Falta fatorar x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 de uma forma conveniente. Aps um tempinho (pouca coisa, at no Fla x Flu no Maracan estava rabiscando...), tive a idia de tentar escrever a expresso como uma adequada diferena de dois quadrados. Caso conseguisse, o problema estaria resolvido, pois um fator seria a soma e outro, a diferena. Arbitrei o primeiro quadrado como (x^2 + ax + 1)^2, que j geraria o termo de quarto grau e o termo independente corretos. E coloquei o segundo quadrado como 5x(x+b)^2, pois como x = 5^397, 5x = 5^398 seria um quadrado perfeito. Igualando as expresses (e rezando para encontrar valores de a e b compatveis), veio: (x^2 + ax + 1)^2 - 5x(x+b)^2 = x^4 + (2a -5)x^3 + (a^2 - 10b + 2)x^2 + (2a - 5b^2)x + 1 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Assim: 2a -5 = 1 = a = 3 a^2 - 10b + 2 = 1 = b = 1 Agora era hora da ona beber gua: 2a - 5b^2 = 1 Mas a = 3 e b = 1 satisfazem ! Eureka ! x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2 - 5x(x+1)^2 Substituindo x por 5^397: ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5*5^397*(5^397 + 1)^2 = = ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5^398*(5^397 + 1)^2 (diferena de quadrados) = = (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) - 5^199*(5^397 + 1)) * (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) + 5^199*(5^397 + 1)) (produto da diferena pela soma) = = (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Os trs fatores so claramente maiores que 5^100, conforme solicitado. Ento: 5^1985 -1 = (5^397 - 1) * (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Como j so trs da manh e j perdi o sono mesmo, resolvi fazer umas "continhas de cabea", tal como o Ralph fez outro dia desses... 5^397-1 = 2 x 2 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x C258 5^794 -5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1 = 71 x 399.091.951.801 x C542 5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1 = 11 x 146.891 x C549 Logo: 5^1985 -1 = 2 x 2 x 11 x 71 x 146.891 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x 399.091.951.801 x C258 x C542 x C549 (onde Cn so nmeros compostos de n algarismos). A fatorao de C258, C542 e C549 fica como exerccio ... :) Abraos, Vidal. P.S. Nehab: Apesar de no nos conhecermos pessoalmente, temos um grande amigo em comum: o Manuel Martins Filho, professor de Informtica da Carioca ! Abraos ! :: vi...@mail.com *** 2009/4/5 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, gente, Fabricio postou este interessante problema e aparentemente ningum deu muita bola, talvez achando que bvio. No achei bvio no. Quem resolveu? Abraos, Nehab fabrici...@usp.br escreveu: Caros colegas, mexendo em algumas listas antigas de exerccios, um me chamou muito a ateno. Pede pra fatorar 5^1985 - 1 num produto de trs inteiros maiores que 5^100. Pra facilitar um possvel avano, 1985 pode ser escrito como 5 x 397 (ambos primos). . = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Oi Marcelo então na minha apostilas está escrito exatamente assim fatore x+1, para x=0. la tem uma reposta bem feia feia, cheia de radicais. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Bruna eh estranha a sua pergunta, mas talvez o autor deseja que você faça o seguinte: x+1=[raizcúbica(x)]^3 + [raizcúbica(1)]^3 . agora use a identidade a^3+b^3=(a+b).(a^2-ab+b^2) , fazendo a=raizcúbica(x)] e b=raizcúbica(1)] daí você obtém x+1=[raizcúbica(x)]^3 + [raizcúbica(1)]^3 = [raizcúbica(x) + 1].[(raizcúbica(x))^2-raizcúbica(x)+1]. Valew Cgomes - Original Message - From: Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, January 24, 2007 6:55 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração Oi Marcelo então na minha apostilas está escrito exatamente assim fatore x+1, para x=0. la tem uma reposta bem feia feia, cheia de radicais. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.410 / Virus Database: 268.17.8/649 - Release Date: 23/1/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Olá Bruna, não entendi direito o q quer dizer com fatorar x+1... acredito que seja escrever de uma forma mais complexa.. por exemplo: (x^2 - 1)/(x - 1) ... claro que esta bem facil concluir que é x+1, mas já é uma fatoração né? 1 = sen(25) / cos(65) = sen(50) / [2 * cos(25) * cos(65)] x = sen(arcsen(x)) = sen[2arcsen(x)] / { 2 * cos[arcsen(x)] } x + 1 = sen[2arcsen(x)] / { 2 * cos[arcsen(x)] } + sen(50) / [2 * cos(25) * cos(65)] = { 2 * cos(25) * cos(65) * sen[2arcsen(x)] + 2 * sen(50) * sen[2arcsen(x)] } / { 2 * cos[arcsen(x)] * 2 * cos(25) * cos(65) } x + 1 = { cos(25) * cos(65) * sen[2arcsen(x)] + sen(50) * sen[2arcsen(x)] } / { 2 * cos[arcsen(x)] * cos(25) * cos(65) } bom.. nao sei c era isso o esperado.. mas.. :) abraços, Salhab - Original Message - From: Bruna Carvalho To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 22, 2007 2:18 PM Subject: [obm-l] Fatoração Fatorar x+1, para x=0. -- Bjos, Bruna
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Fatoração
Salhab [ k4ss ] escreveu: (a+b+c)^4 = 1 *fatorando*.. temos: a^4 + b^4 + c^4 + 4 [(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + 2abc] = 1 a^4 + b^4 + c^4 + 4 * 1/4 = 1 a^4 + b^4 + c^4 = 0 Sem querer ser chato, gostaria de fazer uma pequeníssima correção nas palavras: no caso, o correto é *expandindo*, e não fatorando. Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Fatoração
Ops desculpe, mandei mensagens erradas... _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Fatoração
(a+b+c)^2= a^2+ab+ac+b^2+ba+bc+c^2+ca+cb= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2cb From: Dymitri Cardoso Leão [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Fatoração Date: Tue, 21 Feb 2006 19:34:29 + Oh só galera, me pareceu fácil, mas não estou enxergando alguma coisa, e empaquei nesta questão. Se a+b+c=1 e a^2 + b^2 + c^2 =0, calcule a^4+b^4+c^4. Sei que a resposta é 1/2. Depois de muita manipulação algébrica, cheguei em uma expressão envolvendo a soma pedida e o produto abc, deu -1/2 + 4abc, mas não consegui tirar este produto dos dados. Ajudem aí. Notação: x^y (x elevado a y) _ Com o MSN Spaces você divide seu blog, suas fotos, sua lista de música e muito mais com seus amigos! Crie já o seu espaço online e com seus amigos! E só entra no http://spaces.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Fatoração
Olá, a+b+c = 1 (a+b+c)^2 = 1 a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) = 1 mas a^2 + b^2 + c^2 = 0, logo: ab + ac + bc = 1/2 (ab+ac+bc)^2 = 1/4 (ab)^2 + (ac)^2 + (bc)^2 + 2(bca^2 + acb^2 + abc^2) = 1/4 (ab)^2 + (ac)^2 + (bc)^2 + 2abc(a+b+c) = 1/4 (ab)^2 + (ac)^2 + (bc)^2 + 2abc = 1/4 Ok! (a+b+c)^4 = 1 fatorando.. temos: a^4 + b^4 + c^4 + 4 [(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + 2abc] = 1 a^4 + b^4 + c^4 + 4 * 1/4 = 1 a^4 + b^4 + c^4 = 0 po, absurdo.. rs rs! axo q errei alguma continha.. mas eh por ai! soh conferir as coisas.. espero ter ajudado! abraços, Salhab Oh só galera, me pareceu fácil, mas não estou enxergando alguma coisa, e empaquei nesta questão. Se a+b+c=1 e a^2 + b^2 + c^2 =0, calcule a^4+b^4+c^4. Sei que a resposta é 1/2. Depois de muita manipulação algébrica, cheguei em uma expressão envolvendo a soma pedida e o produto abc, deu -1/2 + 4abc, mas não consegui tirar este produto dos dados. Ajudem aí. Notação: x^y (x elevado a y) _ Com o MSN Spaces você divide seu blog, suas fotos, sua lista de música e muito mais com seus amigos! Crie já o seu espaço online e com seus amigos! E só entra no http://spaces.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] fatoração...
Olá, cara, se for questao de teste, faca assim: a+b+c = 0... hmm.. a=3, b=-2, c=-1 ... ok! (a-b)/c = (3 + 2)/(-1) = -5 (b-c)/a = (-2+1)/3 = -1/3 (c-a)/b = (-1-3)/(-2) = 2 -5 -1/3 + 2 = -3 -1/3 = -10/3 -1/5 - 3 + 1/2 = [ -2 - 30 + 5 ] / 10 = -27/10 (-10/3) * (-27/10) = 9 mas, se for questao dissertativa.. axo q eh braco mesmo! pelo menos nao vi uma saida simples... abraços, Salhab - Original Message - From: Carlos Gomes To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, February 10, 2006 9:51 AM Subject: [obm-l] fatoração... V se alguem me ajuda com essa... Se a+b+c=0, qual o valor da expressão [(a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b].[c/(a-b) + a/(b-c) + b/(c-a)] o gabarito dá como resposta 9...tá dando muito trabalho...v se alguem descobre algum atalho...valew...um abraço à todos Cgomes-- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re:[obm-l] fatoração...
Esse tipo de problema sempre da um trabalhinho.Mas eu nãotentaria a resolução genérica em uma prova de multipla escolha,tascaria 3 números cujo a soma da ZERO e pronto! Chamei a primeira parte de I e a segunda de II. Observe que , c(b-c)(c-a) = c(bc-ab-c^2 + ac) = c(-ab+c(b-c+a)) = c(-ab-2c^2) = -abc -2c^3 c(b-c)(c-a) = -abc -2c^3 (i) O mesmo raciocinio serve para concluir que : a(a-b)(c-a) = -abc-2a^3 (ii) b(a-b)(b-c) = -abc-2b^3 (iii) Aparte II fica : II = [(i)+(ii)+(iii)]/(a-b)(b-c)(c-a) = [-3abc -2(a^3 + b^3 +c^3)]/(a-b)(b-c)(c-a) Agora veja que : (a-b)(b-c)(c-a) = abc - b*a^2 - a*c^2 + c*a^2 + c*b^2 + a*b^2 + b*c^2 -abc A parte I fica: I=[ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)]/abc I=[b*a^2 -a*b^2 +c*b^2 -b*c^2 + a*c^2 - c*a^2]/abc I=[b*a^2 -a*b^2 +c*b^2 -b*c^2 + a*c^2 - c*a^2 + abc - abc]/abc I= -[(a-b)(b-c)(c-a)]abc Agora multiplicando I*II : I*II=[3abc +2(a^3 + b^3 +c^3)]/abc = 3+ 2[(a^3 + b^3 +c^3)]/abc Se vc fizer (a+b+c)^3 = 0 e isolar de um lado a^3 + b^3 +c^3, vai encontrar : a^3 + b^3 +c^3 = -3(a*b^2 + a*c^2 + b*a^2 + c*a^2 + b*c^2 + c*b^2 + 2abc) [a^3 + b^3 +c^3]abc = -3(b/c + c/b + a/c + a/b + c/a + b/a + 2) Observe agora que : a/c = -1 -b/c c/b = -1-a/b c/a = -1-b/a Substiruindo : [a^3 + b^3 +c^3]abc = -3(-3 + 2) = 3 Finalmente: I*II = 3 + 2*3 = 9 -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Fri, 10 Feb 2006 09:51:27 -0200 Assunto: [obm-l] fatoração... V se alguem me ajuda com essa... Se a+b+c=0, qual o valor da expressão [(a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b].[c/(a-b) + a/(b-c) + b/(c-a)] o gabarito dá como resposta 9...tá dando muito trabalho...v se alguem descobre algum atalho...valew...um abraço à todos Cgomes -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] fatoração...
valew Luiz muito obrigado! - Original Message - From: Luiz H. Barbosa To: obm-l Sent: Friday, February 10, 2006 7:53 PM Subject: [obm-l] Re:[obm-l] fatoração... Esse tipo de problema sempre da um trabalhinho.Mas eu nãotentaria a resolução genérica em uma prova de multipla escolha,tascaria 3 números cujo a soma da ZERO e pronto! Chamei a primeira parte de I e a segunda de II. Observe que , c(b-c)(c-a) = c(bc-ab-c^2 + ac) = c(-ab+c(b-c+a)) = c(-ab-2c^2) = -abc -2c^3 c(b-c)(c-a) = -abc -2c^3 (i) O mesmo raciocinio serve para concluir que : a(a-b)(c-a) = -abc-2a^3 (ii) b(a-b)(b-c) = -abc-2b^3 (iii) Aparte II fica : II = [(i)+(ii)+(iii)]/(a-b)(b-c)(c-a) = [-3abc -2(a^3 + b^3 +c^3)]/(a-b)(b-c)(c-a) Agora veja que : (a-b)(b-c)(c-a) = abc - b*a^2 - a*c^2 + c*a^2 + c*b^2 + a*b^2 + b*c^2 -abc A parte I fica: I=[ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)]/abc I=[b*a^2 -a*b^2 +c*b^2 -b*c^2 + a*c^2 - c*a^2]/abc I=[b*a^2 -a*b^2 +c*b^2 -b*c^2 + a*c^2 - c*a^2 + abc - abc]/abc I= -[(a-b)(b-c)(c-a)]abc Agora multiplicando I*II : I*II=[3abc +2(a^3 + b^3 +c^3)]/abc = 3+ 2[(a^3 + b^3 +c^3)]/abc Se vc fizer (a+b+c)^3 = 0 e isolar de um lado a^3 + b^3 +c^3, vai encontrar : a^3 + b^3 +c^3 = -3(a*b^2 + a*c^2 + b*a^2 + c*a^2 + b*c^2 + c*b^2 + 2abc) [a^3 + b^3 +c^3]abc = -3(b/c + c/b + a/c + a/b + c/a + b/a + 2) Observe agora que : a/c = -1 -b/c c/b = -1-a/b c/a = -1-b/a Substiruindo : [a^3 + b^3 +c^3]abc = -3(-3 + 2) = 3 Finalmente: I*II = 3 + 2*3 = 9 -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Fri, 10 Feb 2006 09:51:27 -0200 Assunto: [obm-l] fatoração... V se alguem me ajuda com essa... Se a+b+c=0, qual o valor da expressão [(a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b].[c/(a-b) + a/(b-c) + b/(c-a)] o gabarito dá como resposta 9...tá dando muito trabalho...v se alguem descobre algum atalho...valew...um abraço à todos Cgomes -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re:[obm-l] Fatoração na questã o do DIVISOR
Não entendi como o Cláudio fatorou o polonômio a^33-a^19-a^17-1 abaixo. Tem alguma regra geral para essa fatoração? Aklias, sera que da para fatorar o polinomio a^33-a^19-a^17-1 ? Certamente. Isso eh igual a (a + 1)*f(a), onde f(a) é mônico de grau 32. Aliás, isso dá uma solução mais natural para o problema original, com a = 2, pois mostra que além de ser ímpar, a expressão é divisível por 3. []s, Claudio. Desculpe, pela simplicidade da pergunta, mas oq vem a ser monico de grau 32? __ UOL Fone: Fale com o Brasil e o Mundo com at 90% de economia http://www.uol.com.br/fone
[obm-l] RE: [obm-l] Fatoração na questão do DIVISOR
Bem, respondendo especificamente à sua pergunta: se x for raiz de p(a), então (a - x) divide p(a), e foi o que o Cláudio usou com x = -1. De uma forma mais geral, se x for raiz de p(a) e q(a) for o polinômio irredutível de x sobre o corpo base F (p e q são polinômios em F[a]), então q(a) divide p(a) em F. Assim por exemplo qualquer polinômio p(a) com coeficientes racionais tal que sqrt(2) seja raiz de p, então q(a) = a^2 - 2 (irredutível de sqrt(2) sobre os racionais) é divisor de p(a) sobre os racionais. []s, Daniel ''Não entendi como o Cláudio fatorou o polonômio a^33-a^19-a^17-1 ''abaixo. Tem alguma regra geral para essa fatoração? '' '' Aklias, sera que da para fatorar o polinomio '' a^33-a^19-a^17-1 ? '' '' Certamente. '' Isso eh igual a (a + 1)*f(a), onde f(a) é mônico de grau 32. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Fatoração II
p(x) = x^6 + x^3 + 1 = (x^9 - 1)/(x^3 - 1) Ou seja, as raízes de p(x) são as raízes nonas da unidade com exceção de 1, exp(i*2pi/3) e exp(i*4pi/3). Seja w = exp(i*2pi/9). Então as raízes de x^6 + x^3 + 1 são: w, w^2, w^4, w^(-1), w^(-2) e w^(-4). w + w^(-1) = 2*cos(2pi/9) = A w^2 + w^(-2) = 2*cos(4pi/9) = B w^4 + w^(-4) = 2*cos(8pi/9) = C Logo: p(x) = (x - w)*(x - w^(-1))*(x - w^2)*(x - w^(-2))*(x - w^4)*(x - w^(-4)) == p(x) = (x^2 - Ax + 1)*(x^2 - Bx + 1)*(x^2 - Cx + 1) Obs 1: A, B e C são irracionais; Obs 2: p(x) é irredutível sobre Q. []s, Claudio. - Original Message - From: niski [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, May 10, 2004 1:56 PM Subject: [obm-l] Fatoração II Vamos ver agora. Fatore x^6 + x^3 + 1 Obs. Para evitar respostas do tipo 1*(x^6 + x^3 + 1) ou sobre o que realmente significa fatorar, eu cheguei numa expressao do tipo (f(x) - Ax + B)(f(x) - Cx + B)(f(x) - Dx + C) onde A,B,C,D sao constantes e f é uma funcao... Depois eu coloco exatamente qual foi a minha resposta. Mas sera que alguem sabe um jeito simples de fazer? Abraços -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração II
É isso mesmo Claudio. Eu não apelei para a forma exponecial dos complexos. Veja x^6 + x^3 + 1 = 0 t = x^3 t=-1/2 +- (sqrt(3)/2)i x = ((|z|)^(1/n))(cos(phi) + isen(phi)) phi = (theta + h2pi)/n No caso temos |z| = 1 theta = 2pi/3 n = 3 Assim h = 0 = phi = 2pi/2 h = 1 = phi = 8pi/9 h = 2 = phi = 14pi/9 Agora considere que para um polinomio do 2 grau p(x) = [x-(a+bi)][x-(a-bi)] p(x) = x^2 - 2ax + a^2 + b^2 a = ro*cos(phi) , b = ro*sin(phi) entao p(x) = x^2 - 2*ro*cos(phi)*x + ((ro)^2)((sin(phi))^2 + (cos(phi))^2) p(x) = x^2 - 2*ro*cos(phi)*x + (ro)^2 Acoplando isso para o polinomio em questao x^6 + x^3 + 1 = (x^2 - 2*cos(2pi/9)x + 1)(x^2 - 2*cos(8pi/9)x + 1)(x^2 - 2*cos(14pi/9)x + 1) Cláudio (Prática) wrote: p(x) = x^6 + x^3 + 1 = (x^9 - 1)/(x^3 - 1) Ou seja, as raízes de p(x) são as raízes nonas da unidade com exceção de 1, exp(i*2pi/3) e exp(i*4pi/3). Seja w = exp(i*2pi/9). Então as raízes de x^6 + x^3 + 1 são: w, w^2, w^4, w^(-1), w^(-2) e w^(-4). w + w^(-1) = 2*cos(2pi/9) = A w^2 + w^(-2) = 2*cos(4pi/9) = B w^4 + w^(-4) = 2*cos(8pi/9) = C Logo: p(x) = (x - w)*(x - w^(-1))*(x - w^2)*(x - w^(-2))*(x - w^4)*(x - w^(-4)) == p(x) = (x^2 - Ax + 1)*(x^2 - Bx + 1)*(x^2 - Cx + 1) Obs 1: A, B e C são irracionais; Obs 2: p(x) é irredutível sobre Q. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Fatoração ( IMO )
Fábio, Acho pouco provável que esse tipo de exercício tenha caído numa IMO, mas... (x + y)^7 - (x^7 + y^7) = 7xy(x + y)(x^2 + xy + y^2)^2 Uma identidade semelhante foi usada por Lamé na demonstração do Último Teorema de Fermat para n = 7. (x + y + z)^7 - (x^7 + y^7 + z^7) = = 7(x+y)(x+z)(y+z)[(x^2 + y^2 + z^2 + xy + xz + yz)^2 + xyz(x + y + z)] Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Fabio Contreiras To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, May 09, 2004 2:32 PM Subject: [obm-l] Fatoração ( IMO ) Alguem tem ideia de como fatorar isso? Um Abraço! ( x + y )^7 - ( x^7 + y^7 ) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração ( IMO )
Valeu rafael, po então foi lorota do cara que me passou isso :) abraços! - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: OBM-L [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, May 09, 2004 2:55 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração ( IMO ) Fábio, Acho pouco provável que esse tipo de exercício tenha caído numa IMO, mas... (x + y)^7 - (x^7 + y^7) = 7xy(x + y)(x^2 + xy + y^2)^2 Uma identidade semelhante foi usada por Lamé na demonstração do Último Teorema de Fermat para n = 7. (x + y + z)^7 - (x^7 + y^7 + z^7) = = 7(x+y)(x+z)(y+z)[(x^2 + y^2 + z^2 + xy + xz + yz)^2 + xyz(x + y + z)] Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Fabio Contreiras To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, May 09, 2004 2:32 PM Subject: [obm-l] Fatoração ( IMO ) Alguem tem ideia de como fatorar isso? Um Abraço! ( x + y )^7 - ( x^7 + y^7 ) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração ( IMO )
Fabio Contreiras said: Valeu rafael, po então foi lorota do cara que me passou isso :) abraços! [...] Eu acho que você quer o seguinte problema: (IMO-84) Encontre todos os inteiros a, b tais que ab(a+b) não é múltiplo de 7 mas (a+b)^7 - (a^7 + b^7) é divisível por 7^7. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração ( IMO )
Graças ao Fábio D. Moreira, agora sabemos que a lorota foi parcial... Como o problema, pelo visto, interessou a várias pessoas da lista, eis a demonstração que eu havia omitido: (x + y)^7 - x^7 - y^7 = = 7x^6y + 21x^5.y^2 + 35x^4.y^3 + 35x^3.y^4 + 21x^2.y^5 + 7x.y^6 = 7xy(x^5 + 3x^4.y + 5x^3.y^2 + 5x^2.y^2 + 3x.y^4 + y^5) = 7xy[(x+y)(x^4-x^3.y+x^2.y^2-x.y^3+y^4+3xy(x^3+y^3)+5x^2.y^2(x+y)] = 7xy[(x+y)(x^4-x^3.y+x^2.y^2-x.y^3+y^4+3xy(x+y)(x^2-xy+y^2)+5x^2.y^2(x+y)] = 7xy(x+y)[x^4-x^3.y+x^2.y^2-x.y^3+y^4+3xy(x^2-xy+y^2)+5x^2.y^2] = 7xy(x+y)[x^4 - x^3.y - x.y^3 + y^4 + 3xy(x^2 + xy + y^2)] = 7xy(x+y)[x(x^3 - y^3) - y(x^3 - y^3) + 3xy(x^2 + xy + y^2)] = 7xy(x+y)[(x-y)(x^3 - y^3) + 3xy(x^2 + xy + y^2)] = 7xy(x+y)[(x-y)(x-y)(x^2 + xy + y^2) + 3xy(x^2 + xy + y^2)] = 7xy(x+y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - 2xy + y^2 + 3xy) = 7xy(x+y)(x^2 + xy + y^2)^2 Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Fabio Contreiras [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, May 09, 2004 4:00 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração ( IMO ) Valeu rafael, po então foi lorota do cara que me passou isso :) abraços! - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: OBM-L [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, May 09, 2004 2:55 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração ( IMO ) Fábio, Acho pouco provável que esse tipo de exercício tenha caído numa IMO, mas... (x + y)^7 - (x^7 + y^7) = 7xy(x + y)(x^2 + xy + y^2)^2 Uma identidade semelhante foi usada por Lamé na demonstração do Último Teorema de Fermat para n = 7. (x + y + z)^7 - (x^7 + y^7 + z^7) = = 7(x+y)(x+z)(y+z)[(x^2 + y^2 + z^2 + xy + xz + yz)^2 + xyz(x + y + z)] Abraços, Rafael de A. Sampaio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Ola Rafael, Voce poderia me dizer como voce fez a divisao de x^3 + y^3 por (x+y) ? ps: eu ate conheco a divisao pelo metodo da chave, mas nao estou conseguindo neste caso. Em uma mensagem de 4/3/2004 03:11:46 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Marcelo, Uma forma de você conseguir "fatorações mágicas" é raciocinar baseando-se nas identidades que já conhece, ou ainda, como se se tratassem de equações. Por exemplo, vou demonstrar a soma de dois cubos: x^3 + y^3 = 0 == x^3 = -y^3 == x = - y == x + y = 0 Assim, temos que (x+y) é um dos fatores de x^3 + y^3. Se você utilizar o método da chave (algoritmo de Euclides), dividindo x^3 + y^3 por (x+y), obterá x^3+y^3 = (x+y)(x^2+y^2-xy). O seu caso é a soma de três cubos subtraída do triplo do produto das três variáveis: x^3+y^3+z^3-3xyz. Aqui o raciocínio usado traria: x^3+y^3+z^3-3xyz = 0 == x^3+y^3+z^3 = 3xyz. Não se obtém uma resposta direta, mas vale a pena observar que a igualdade deixa uma suspeita: o fator deve depender de x, y e z. Se você supuser esse fator como (x+y+z) e utilizar o método da chave novamente, verá que x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz). É bastante claro que isso foi uma tentativa, poderia não ter dado certo. Fatorar nem sempre é uma tarefa fácil, lembro-me de que Lamé usou a fatoração de (X+Y+Z)^7-(X^7+Y^7+Z^7) para provar que o Último Teorema de Fermat é verdadeiro para n = 7. E, acredite, o que ele fez não foi nada, nada óbvio. Enfim, não há uma receita, mas conhecendo-se (ou desconfiando-se) de um fator, isso ajuda muito! Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: "k4ssmat" [EMAIL PROTECTED] To: "Lista" [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 04, 2004 1:56 AM Subject: [obm-l] Fatoração Olá, sou novo na lista, é uma honra conversar sobre matemática com tantos entendidos do assunto. Estou estudando para o vestibular e peguei um exercício de uma das olimpiadas internacionais de matematica (pelo menos é o que dizia no exercicio), que segue abaixo: Fatore: x^3 + y^3 + z^3 - 3*x*y*z Consegui fatorar por diversos caminhos diferentes, mas não obtendo a resposta. Então peguei a resposta, e a entendi perfeitamente, o que me faltou foi visão. Pois a resposta foi apenas um outro caminho que eu ainda não tinha tentado. Gostaria de dicas, ou exercícios que me ajudem a "enxegar" essas fatorações. Estou aqui com mais 5 exercícios, sendo 1 deles de uma olimpiada brasileira de matematica, que ainda não consegui fazer e após sua ajuda, espero conseguir. Obrigado Marcelo
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Rafael, Vou tentar desenhar aqui a construção do algoritmo e, por fim, explico o raciocínio. x^3 + y^3 | x + y - x^3 - x^2y |¯ | x^2 - xy + y^2 - x^2*y + y^3 | x^2*y + x*y^2 | | x*y^2 + y^3 | - x*y^2 - y^3 | | 0 | O método da chave é um algoritmo que funciona da seguinte forma: o primeiro termo do dividendo é dividido pelo primeiro termo do divisor, isto é, x^3/x = x^2. Este resultado (x^2) é multiplicado pelo divisor e subtraído do dividendo (x^3 + y^3), ou seja, -(x^2*x + x^2*y) = -(x^3 + x^2*y). Após a subtração, ficamos com -x^2*y + y^3. O processo se reinicia: -x^2*y, que é agora o primeiro termo do dividendo, é dividido pelo primeiro termo do divisor: -x^2*y/x = -xy. Este resultado (-xy) é multiplicado pelo divisor e subtraído do último dividendo (-x^2*y + y^3), ficamos com: x*y^2 + y^3. E o mesmo se repete: x*y^2 / x = y^2, que é multiplicado pelo divisor, subtraído do último dividendo (x*y^3 + y^3), resultando em 0 (divisão exata). Duas observações são importantes sobre o algoritmo: a cada passo da divisão, o primeiro termo do dividendo é cancelado, e a divisão continua até que se obtenha 0 (divisão exata) ou um polinômio de grau menor que o do divisor. E, por fim, se você prestar atenção ao algoritmo, verá que ele é bem semelhante ao da divisão euclidiana para os números e a sua justificativa (demonstração) é basicamente a mesma. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 04, 2004 5:40 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração Ola Rafael, Voce poderia me dizer como voce fez a divisao de x^3 + y^3 por (x+y) ? ps: eu ate conheco a divisao pelo metodo da chave, mas nao estou conseguindo neste caso. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Marcelo, Uma forma de você conseguir fatorações mágicas é raciocinar baseando-se nas identidades que já conhece, ou ainda, como se se tratassem de equações. Por exemplo, vou demonstrar a soma de dois cubos: x^3 + y^3 = 0 == x^3 = -y^3 == x = - y == x + y = 0 Assim, temos que (x+y) é um dos fatores de x^3 + y^3. Se você utilizar o método da chave (algoritmo de Euclides), dividindo x^3 + y^3 por (x+y), obterá x^3+y^3 = (x+y)(x^2+y^2-xy). O seu caso é a soma de três cubos subtraída do triplo do produto das três variáveis: x^3+y^3+z^3-3xyz. Aqui o raciocínio usado traria: x^3+y^3+z^3-3xyz = 0 == x^3+y^3+z^3 = 3xyz. Não se obtém uma resposta direta, mas vale a pena observar que a igualdade deixa uma suspeita: o fator deve depender de x, y e z. Se você supuser esse fator como (x+y+z) e utilizar o método da chave novamente, verá que x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz). É bastante claro que isso foi uma tentativa, poderia não ter dado certo. Fatorar nem sempre é uma tarefa fácil, lembro-me de que Lamé usou a fatoração de (X+Y+Z)^7-(X^7+Y^7+Z^7) para provar que o Último Teorema de Fermat é verdadeiro para n = 7. E, acredite, o que ele fez não foi nada, nada óbvio. Enfim, não há uma receita, mas conhecendo-se (ou desconfiando-se) de um fator, isso ajuda muito! Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: k4ssmat [EMAIL PROTECTED] To: Lista [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 04, 2004 1:56 AM Subject: [obm-l] Fatoração Olá, sou novo na lista, é uma honra conversar sobre matemática com tantos entendidos do assunto. Estou estudando para o vestibular e peguei um exercício de uma das olimpiadas internacionais de matematica (pelo menos é o que dizia no exercicio), que segue abaixo: Fatore: x^3 + y^3 + z^3 - 3*x*y*z Consegui fatorar por diversos caminhos diferentes, mas não obtendo a resposta. Então peguei a resposta, e a entendi perfeitamente, o que me faltou foi visão. Pois a resposta foi apenas um outro caminho que eu ainda não tinha tentado. Gostaria de dicas, ou exercícios que me ajudem a enxegar essas fatorações. Estou aqui com mais 5 exercícios, sendo 1 deles de uma olimpiada brasileira de matematica, que ainda não consegui fazer e após sua ajuda, espero conseguir. Obrigado Marcelo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Brigadão ae!!! : ) |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. Esta errado Eduardo. É pedido para fatorar em R voce restringiu o dominio, logo não obedebeu as condicoes do enunciado. Veja o resultado da fatoracao na minha msg. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
From: niski [EMAIL PROTECTED] Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. Esta errado Eduardo. É pedido para fatorar em R voce restringiu o dominio, logo não obedebeu as condicoes do enunciado. Veja o resultado da fatoracao na minha msg. Niski, eu disse a seguinte frase: Quando queremos fatorar a expressão (x^6 + x^3y^3 + y^6) nos reais, estamos interessados em encontrar uma expressão produto ou quociente que valha para todos os pontos do plano (x, y). No caso a expressão (x^9 - y^9)/(x^3 - y^3) = (x^6 + x^3y^3 + y^6) SÓ VALE QUANDO (x^3 - y^3) não é zero, ou seja quando x é diferente de y. Portanto essa fatoração funciona em todos os pontos (x, y) do plano, excetuando-se a reta afim, onde vale x=y Repare na conclusão: Portanto essa fatoração funciona em todos os pontos (x, y) do plano, EXCETUANDO-SE a reta afim, onde vale x=y. Se você ler todo o meu e-mail, vai ver que isso quer dizer que essa NÃO É UMA FATORAÇÃO VÁLIDA NOS REAIS, como você diz. Eu estava tentando explicar o que era esse domínio de fatoração, era essa a minha intenção. Um abraço! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Nao pois suponha x=1 e y=1 1^6 + 1^3.1^3 + 1^6 = 3 que e diferente de (1^9 - 1^9)/(1^3 - 1^3) Detalhe eu falei fatoracao em reais e nao em complexos! Muito obrigado pela forca, creio que chegaremos ha algum lugar logo logo. Ate -- Mensagem original -- (x^6 + x^3.y^3 + y^6)(x^3 - y^3) = x^9 - y^9 x^6 + x^3.y^3 + y^6= (x^9 - y^9)/(x^3 - y^3) seria isso? []'s Igor... - Original Message - From: hilhend [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, June 19, 2002 8:31 PM Subject: [obm-l] Fatoração Estou enviando a todos novamente aquele expressao a fatorar em re ais X^6 +X^3.Y^3 + Y^6 pois acredito nao tenha sido visto na imensidao de mensagens. Se o problema for inconsistente mostre que e. Um abraço a todos. E ae igor , como é que ta ? a resolução dessa questão foi feita pelo Morgado a poucos dias , ach o que o hilhend não viu , ae esta denovo. x^6 +y^6 + x^3.y^3 = (x^9-y^9)/(x^3-y^3) x^9-y^9 = Produtorio de (x-ycis 2kpi/9) com k variando de 0 a 8 Os fatores correspondentes a k = 0, 3 e 6, multiplicados dao x^3- y^3. Logo, x^6 +y^6 + x^3.y^3 = Produtorio de (x- ycis 2kpi/9) com k= 1,2,4, 5,7, 8 . Estah fatorado como um produto de 6 fatores complexos de primeiro grau. Grupando os fatores 1-8, 2-7 e 4-5, obtem- se uma fatoraçao em tres fatores reais de grau 2. |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Oi pessoal, Olhei para a fatoração e não entendi a explicação: Nao. Pq o dominio é Reais. Com a sua fatoracao (onde tem uma divisao) x^3 nao pode ser igual a y^3 o que restringe o dominio. Poderiam ser mais didáticos na explicação, Sds: Thomas. - Original Message - From: niski [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, June 19, 2002 10:34 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração Igor Castro wrote: (x^6 + x^3.y^3 + y^6)(x^3 - y^3) = x^9 - y^9 x^6 + x^3.y^3 + y^6= (x^9 - y^9)/(x^3 - y^3) seria isso? Nao. Pq o dominio é Reais. Com a sua fatoracao (onde tem uma divisao) x^3 nao pode ser igual a y^3 o que restringe o dominio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Oi Thomas, acontece o seguinte. Alguém pede uma fatoração da expressão 1 + x + x^2 nos reais, o que quer dizer que querem expressar essa mesma expressão como um produto ou quociente de expressões (possivelmente mais simples) de forma que para todo x real (esse é o domínio explícito: domínio no sentido de considerarmos f(x) = 1 + x + x^2 uma função de domínio real f:R-R) ela se iguala à expressão produto ou quociente. Por exemplo. Temos que (1 + x + x^2)*(x - 1) = (x + x^2 + x^3) - (1 + x + x^2) = (x^3 - 1) ou seja (1 + x + x^2)*(x - 1) = (x^3 - 1) e essa expressão vale para TODO o x real, aí ficamos tentados a escrever (1 + x + x^2) = (x^3 - 1)/(x - 1) o que ainda é verdade, mas só no caso de (x - 1) ser diferente de 0, portanto o domínio onde vale a expressão (x^3 - 1)/(x - 1) é os reais menos o zero, e por isso essa não é uma fatoração válida para todos os reais. Por que surge a restrição na hora do quociente? Se temos a*b = c podemos dizer que vale a = c/b só se b for diferente de zero. Se quiséssemos fatorar a expressão (x^3 - 1)/(x - 1) nos reais sem o zero, aí sim poderíamos dizer (x^3 - 1)/(x - 1) = (1 + x + x^2) pois nesse domínio as duas expressões sempre são iguais. Um outro exemplo é o seguinte. A expressão (x^2 - y^2) pode ser fatorada da seguinte forma (x^2 - y^2) = (x + y)*(x - y) E a expressão da direita vale para todos os reais, por isso é uma fatoração válida. Um outro exemplo ainda é o seguinte. Fatorar, nos reais, a expressão (1 - x^2 + x^4) multiplique-a por (x^2 + 1) (1 - x^2 + x^4)*(x^2 + 1) = (x^2 - x^4 + x^6) + (1 - x^2 + x^4) = (x^6 + 1) o que nos deixa tentados a escrever (1 - x^2 + x^4) = (x^6 + 1)/(x^2 + 1) o que é verdade para todos os reais, então temos uma fatoração válida nos reais. Já nos complexos ela não é válida, pois (x^6 + 1)/(x^2 + 1) não está definida para x=i. Quando queremos fatorar a expressão (x^6 + x^3y^3 + y^6) no reais, estamos interessados em encontrar uma expressão produto ou quociente que valha para todos os pontos do plano (x, y). No caso a expressão (x^9 - y^9)/(x^3 - y^3) = (x^6 + x^3y^3 + y^6) só vale quando (x^3 - y^3) não é zero, ou seja quando x é diferente de y. Portanto essa fatoração funciona funciona em todos os pontos (x, y) do plano, excetuando-se a reta afim, onde vale x=y Espero não ter sido muito simplório e que tenha explicado o que interessa. Um abraço a todos! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. From: Thomas de Rossi [EMAIL PROTECTED] Oi pessoal, Olhei para a fatoração e não entendi a explicação: Nao. Pq o dominio é Reais. Com a sua fatoracao (onde tem uma divisao) x^3 nao pode ser igual a y^3 o que restringe o dominio. Poderiam ser mais didáticos na explicação, Sds: Thomas. - Original Message - From: niski [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, June 19, 2002 10:34 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração Igor Castro wrote: (x^6 + x^3.y^3 + y^6)(x^3 - y^3) = x^9 - y^9 x^6 + x^3.y^3 + y^6= (x^9 - y^9)/(x^3 - y^3) seria isso? Nao. Pq o dominio é Reais. Com a sua fatoracao (onde tem uma divisao) x^3 nao pode ser igual a y^3 o que restringe o dominio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Alguem sabe algumas formas de fatoração da expressão abaixo a^3 + b^3 + c^3 - 3abc a^3 + b^3 + c^3 -3abc = = (a+b+c)(aa+bb+cc-ab-ac-bc) Eric = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
A fatoração não poderia ser também algo como ? ( x^5 + (1+raiz(-3))/2 ) ( x^5 + (1-raiz(-3))/2 ) Abs, Giovanni [EMAIL PROTECTED] 03/26/02 01:35 On Tue, Mar 26, 2002 at 10:51:18AM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: E aí pessoal, alguém resolveu aquele problema de fatoração? (Fatorar x^10+x^5+1) Um monte de gente! (inclusive eu) Você tem certeza de que está *lendo* as mensagens da lista? Você está lendo esta frase que eu estou escrevendo agora? []s, N. PS: x^10 + x^5 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
From: Giovanni Gabriel<[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To:<[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Fatorao Date: Tue, 26 Mar 2002 14:44:32 -0300 A fatorao no poderia ser tambm algo como ? ( x^5 + (1+raiz(-3))/2 ) ( x^5 + (1-raiz(-3))/2 ) Abs, Giovanni ANSWER A tua resposta e NAO.No problema subentende-se fatorar em polinomios(ou seja,sem apelar para coeficientes nao-naturais).Logo... Enfim,voce pode usar isso como arma em varios tipos de problema,mas nao nesse.Ate mais!! []s,Anderson [EMAIL PROTECTED] 03/26/02 01:35 On Tue, Mar 26, 2002 at 10:51:18AM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: E a pessoal, algum resolveu aquele problema de fatorao? (Fatorar x^10+x^5+1) Um monte de gente! (inclusive eu) Voc tem certeza de que est *lendo* as mensagens da lista? Voc est lendo esta frase que eu estou escrevendo agora? []s, N. PS: x^10 + x^5 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1) Me = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista <[EMAIL PROTECTED]> = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista <[EMAIL PROTECTED]> = Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Como dizia o Rafael que apresentou o problema: Sobre a fatoração x^10 + x^5 + 1, esqueci de falar que os coeficientes devem ser inteiros. Então não poderia ser do jeito que vc mostrou. Até mais Vinicius Fortuna - Original Message - From: Giovanni Gabriel [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 26, 2002 2:44 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração A fatoração não poderia ser também algo como ? ( x^5 + (1+raiz(-3))/2 ) ( x^5 + (1-raiz(-3))/2 ) Abs, Giovanni = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
On Tue, Mar 26, 2002 at 10:51:18AM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: E aí pessoal, alguém resolveu aquele problema de fatoração? (Fatorar x^10+x^5+1) Um monte de gente! (inclusive eu) Você tem certeza de que está *lendo* as mensagens da lista? Você está lendo esta frase que eu estou escrevendo agora? []s, N. PS: x^10 + x^5 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Boa pergunta. Alguem havia dito que os coeficientes deveriam ser inteiros. A rigor, neste tipo de problema, deve-se dizer onde devem estar os coeficientes. mas muitas vezes fica implicito na cabeca de todo mundo que os coficientes devem ser reais; se possivel, racionais; se possivel, inteiros. Reforco a observacao do Nicolau: o problema ja foi resolvido por varios. JP - Original Message - From: Giovanni Gabriel [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 26, 2002 2:44 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração A fatoração não poderia ser também algo como ? ( x^5 + (1+raiz(-3))/2 ) ( x^5 + (1-raiz(-3))/2 ) Abs, Giovanni [EMAIL PROTECTED] 03/26/02 01:35 On Tue, Mar 26, 2002 at 10:51:18AM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: E aí pessoal, alguém resolveu aquele problema de fatoração? (Fatorar x^10+x^5+1) Um monte de gente! (inclusive eu) Você tem certeza de que está *lendo* as mensagens da lista? Você está lendo esta frase que eu estou escrevendo agora? []s, N. PS: x^10 + x^5 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Pondo x^5=z, o polinomio p(x)=x^2+x^5+1 fica z^2+z+1=(z-a)(z+a)=0, onde a=cis(2pi/3). Logo qualquer raiz quinta de a eh raiz de p(x). Porem b=cis(4pi/3) eh uma raiz quinta de a. De fato: b^5=cis(20pi/3)= cis(2pi/3)=a. Logo b (e seu conjugado ~b) sao raizes de p(x), o qual eh, portanto, divisivel por (x-b)(x-~b)=x^2-2cos(4pi/3)+1=x^2+2x+1. Dividindo: p(x)=(x^2+x+1)(x^8-x^7+...). JP PS1: Nao vou tripudiar nem escrever viva os complexos! PS2: Em nenhum lugar, tomamos o cuidado de que os coeficientes fossem inteiros, mas acabaram sendo. JP - Original Message - From: Rafael WC [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 24, 2002 8:38 PM Subject: [obm-l] Fatoração Olá Pessoal! Preciso fatorar essa expressão em dois fatores: x^10 + x^5 + 1 Parece fácil, mas não consegui ainda. Obrigado, Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! Movies - coverage of the 74th Academy Awards® http://movies.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Problema:Fatorar x^10+x^5+1. Resposta: Comece pensando em t=x^5 e notando que t^2+t+1 = (t^3-1)/(t-1) -- veja abaixo. No segundo passo, fatorei o x^15-1, mas agora pensando em u=x^3 e u^5-1 = (u-1)(u^4+u^3+u^2+1). Daí pra frente, é só rearrumar as coisas cruzando os dedos para dar certo. x^10+x^5+1 = (x^15-1)/(x^5-1) = {(x^3-1)(x^12+x^9+x^6+x^3+1)}/{(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)} = = {(x^3-1)/(x-1)}{(x^12+x^9+x^6+x^3+1)/(x^4+x^3+x^2+x+1)} = (x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1) --//-- Traduzindo em complexos: as raízes de x^10+x^5+1 são as raízes 15as da unidade, tirando as raizes quintas, como a minha primeira igualdade acima mostra. Isto é, se a é uma raiz primitiva de ordem 15 (digamos, a=e^(2(Pi)i/15)), entao as raizes de x^10+x^5+1 sao {a, a^2, a^4, a^5, a^7, a^8, a^10, a^11, a^13, a^14} Mas a^5 e a^10 sao as duas raizes cubicas complexas da unidade! Juntas elas sao raizes do polinomio (x^3-1)/(x-1) = x^2+x+1 (=(x-a^5)(x-a^10)) E portanto x^2+x+1 divide x^10+x^5+1. O resto é fazer a conta da divisão e torcer para dar tudo inteiro. Abraço, Ralph = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
On Sun, Mar 24, 2002 at 03:38:50PM -0800, Rafael WC wrote: Olá Pessoal! Preciso fatorar essa expressão em dois fatores: x^10 + x^5 + 1 (x^2 + x + 1)(x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1) O maple faz isso automaticamente. Se o que você quer é fazer manualmente, talvez uma solução seja observar que w = exp(2 Pi i/3) é raiz do seu polinômio donde (x - w)(x - w^2) = x^2 + x + 1 é fator. Ou talvez você deva observar que o que a equação está dizendo é que x^5 = w ou x^5 = w^2 donde o que você quer são algumas das raízes de ordem 15 da unidade. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =