Oi, Cláudio
'>'-- Mensagem Original --
'>'Date: Wed, 6 Apr 2005 17:46:51 -0300
'>'Subject: [obm-l] Quadrado Mágico
'>'From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
'>'To: "obm-l"
'>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
'>'
'>'
'>'Acho que sei como demonstrar que L_i (1<=i<=n), C_j (1<=j<=n-1),
Oi,
Chame de S_k a soma f(1) + ... + f(k). É fácil ver que f(2n + 1) = f(2n),
e também que f(1) = 0. Se B_k = número de múltiplos de 2^k menores ou iguais
a n, vale f(n) = B_1 + B_2 + ... (a partir de um certo x, k>=x implica B_k
= 0).
Como B_k é a parte inteira de n/2^k (denota-se [n/2^k]), isto
Na minha resolução anterior, eu acabei confundindo D_x = 1 + 2 + ... + 2^x
por não ter escrito D_x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x, e acabei, em vez
de somando de 1 a 2^x, pegando apenas as potências de 2... Por isso o erro!
Espero ter consertado... abaixo, a resolução devidamente alterada. Agora
Hehehe, para variar, eu não acerto nem de segunda... Vc está certo, Bruno,
S_3 = 2 (fiquei com o f(3) na cabeça...), e então basta acrescentar 2^9
ao meu resultado anterior, obtendo S_1023 = 2^19 - 3*2^11 + 2^9 = 518656,
e finalmente nossas respostas coicidem!
[]s,
Daniel
'>'-- Mensagem Original
'>'2) Seja f de Rn em Rn uma funcao de classe C1 assuma q
'>'/f'(x)/ < 1 para todo x em Rn. Considere g(x)=x+f(x).
'>'Mostre q g eh sobrejetiva.
Se com |f'(x)| vc está designando a norma usual de matrizes, ie, |f'(x)|
= sup{[f'(x)]h tal que |h| = 1}, eu sei provar o caso |f'(x)| <= a < 1 para
t
Oi,
Não entendi duas coisas: g e f são funções de R^n em R, então o que seria
(f o g)(t)? Mesmo trocando por (f o alfa) (e as contas para a derivada estão
de acordo), vale = r^2 + sen(2t)*, que não é constante
(r = |A| = |B|). Aliás, = cos(2t)*.
[]s,
Daniel
'>'Lá vai.
'>'Sejam A e B dois ponto
Sim, claro Fixado A e fazendo B variar de modo que A e B sejam
perpendiculares,
e finalmente fazendo t variar, temos uma parametrização da esfera... Beleza
[]s,
Daniel
'>'Mil perdoes.
'>'de fato, o que eu queria escrever era
'>'(f o alfa)'(t) = grad(f(alfa(t)).alfa'(t) = g(alfa(t))alfa(t)
Oi, Éder,
Eu teria feito a mesma coisa, para mim está ok. É fácil ver que X(q,t) está
em M para todo (q,t), e, dado Y em M, ele certamente tem coordenada z em
[0,1], e quanto a x e y, estão no círculo do enunciado, que é parametrizável
por q com t fixo usando a sua função X(q,t).
[]s,
Daniel
'>'
Oi, Léo,
Chame M = sup u(contorno de B) e k = inf u(contorno de B). Vale 2pi*k <=
I(r) <= 2pi*M para todo r. Como u é contínua, dado e > 0 existe d > 0 tal
que se x está no disco de raio d e centro p então |u(x) - u(p)| < e/2. Como
r -> 0, podemos tomar r < d/2, logo certamente |M - k| < e pela des
A primeira sai diretamente do teorema de Gauss.
Para a segunda, estou assumindo que B é a bola de raio R. Então chamando
de m(R) a expressão dada (R é variável aqui; mas como a idéia é mostrar
q m(R) é constante), queremos mostrar que m(R) = u(p). Via translações,
pode-se supor que p é a orige
Não saiu a notação do produto interno Abaixo, corrigido:
'>'A primeira sai diretamente do teorema de Gauss.
'>'
'>'Para a segunda, estou assumindo que B é a bola de raio R. Então chamando
'>'de m(R) a expressão dada (R é variável aqui; mas como a idéia é mostrar
'>'q m(R) é constante)
Oi, Maurício,
é possível resolver essa como aplicação imediata do teorema de lucas, que
é o seguinte:
Se m = a_k*p^k + a_(k-1)*p^(k-1) + ... + a_1*p + a_0 e n = b_k*p^k + ...
+ b_0 (representação na base p), denotando B(m,n) a combinação de m elementos
tomados n a n, vale
B(m,n) == B(a_0,b_0)*B(a
Maurício,
o resultado só vale para potências de primos. Repare que todos os seus exemplos
são construídos com números compostos. A demonstração do Cláudio está ok.
[]s,
Daniel
'>' Cláudio, Daniel, outros,
'>'
'>' Consegui encontrar vários contra-exemplos para esse
'>'problema. Sendo comb(a,
Bem, respondendo especificamente à sua pergunta: se x for raiz de p(a),
então (a - x) divide p(a), e foi o que o Cláudio usou com x = -1.
De uma forma mais geral, se x for raiz de p(a) e q(a) for o polinômio
irredutível
de x sobre o corpo base F (p e q são polinômios em F[a]), então q(a) divide
p
Olá
Seja Q = conjunto de todos os quintetos entre os 12 alunos e seja T = conjunto
de todos os times formados ao longo do ano. Construa uma função f: Q -->
T que associa cada quinteto ao seu time. f foi feita para ser sobrejetora.
Suponha t_1 = (1,2,3,4,5,6) = f(q_1), onde q_1 = (1,2,3,4,5). Se q
A minha resolução (pra variar) está errada, pois ela não leva em conta que
um time escolhido determina o time adversário...
[]s,
Daniel
'>'Olá
'>'
'>'Seja Q = conjunto de todos os quintetos entre os 12 alunos e seja T
= conjunto
'>'de todos os times formados ao longo do ano. Construa uma funç
COmbinatória geralmente tem essas controvérsias Eu afirmei que minha
resolução estava errada por não levar em conta o time adversário.
Além disso, estou assumindo que o enunciado seja verdadeiro, isto é, de
que para TODO QUINTETO CORRESPONDE UM TIME e de maneira a não violar a condição
de que
Oi,
Eu tenho lá as minhas dúvidas quanto à veracidade do enunciado... Alguém
aqui na lista saberia provar que é possível esta situação: Para todos os
quintetos possíveis dentre 12 pessoas, associar um time de 6 jogadores de
maneira que dois times diferentes tenham no máximo 4 jogadores em comum?
[
'>'Há uma descrição de como construir um aqui:
'>'
'>'http://web.usna.navy.mil/~wdj/hexad/node2.html
Não estou conseguindo acessar esta página!!!
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://
Ok!
[]s,
Daniel
'>'> '>'Há uma descrição de como construir um aqui:
'>'> '>'
'>'> '>'http://web.usna.navy.mil/~wdj/hexad/node2.html
'>'>
'>'> Não estou conseguindo acessar esta página!!!
'>'
'>'Você pode procurar por "Steiner System" no google.
'>'Uma outra página boa é a seguinte:
'>
Eis um probleminha fácil mas com um resultado "cultural":
Suponha que tenhamos vários ladrilhos idênticos com formato de um polígono
regular e queremos juntar todos eles por um vértice comum e de maneira "lisa"
sobre um plano, de modo a formar um único polígono não necessariamente regular
mas com
'>'Se p_n denota o e-nesimo primo, mostrar q
'>'p_(n+1) =< p_1...p_n + 1.
Oi,
Se p_(n+1) é maior do que X = p_1...p_n + 1, quem seriam os primos divisores
de X?
[]s,
Daniel
=
Instruções para entrar na lista, sair da list
A "segunda pergunta" foi apenas uma dica para provar o enunciado por
contradição,
ok?
[]s,
Daniel
'>'Apesar da segunda pergunta ser um pouco incoerente (pois contradiz a
'>'demonstração), supondo que X seja primo, não existem divisores primos
deste
'>'(senão ele não seria primo!)
'>'Não sei
Bem, a sentença
"se x é um número NATURAL tal que x^2 + 1 = 0, então x está em {-1, 1}"
é verdadeira sim, mas é falsa no caso de x poder ser um número complexo
como o Artur colocou.
A informação de que x era natural é vital, e vc a omitiu no seu primeiro
e-mail, e então cada um supôs o x estando e
Estou apanhando desse problema jah faz algum tempo... Alguem poderia me
dar uma maozinha?
Se V eh um espaco vetorial sobre um corpo infinito F, demonstrar que V nao
pode ser representado pela reuniao (da teoria dos conjuntos) de um numero
finito de subespacos proprios.
Como observacao, esse probl
Pessoal, acabei de matar esse (eh um tanto trivial...), valeu
[]s,
Daniel
'>'Estou apanhando desse problema jah faz algum tempo... Alguem poderia
me
'>'dar uma maozinha?
'>'
'>'Se V eh um espaco vetorial sobre um corpo infinito F, demonstrar que
V nao
'>'pode ser representado pela reuniao (d
'>'Encontre um conjunto de irracionais que nao seja enumeravel e seja fechado
'>'com relacao aa soma
Observe que se V é um espaço vetorial de dimensão enumerável sobre Q
(racionais),
então V é isomorfo ao espaço dos polinômios em uma variável sobre Q, e,
portanto, V é enumerável. Em particular,
Mais legal ainda: se K é o corpo dos números algébricos, portanto enumerável,
então a construção abaixo (trocando-se Q por K) dá um conjunto não-enumerável
de transcendentes fechado para a soma, não?
[]s,
Daniel
'>'-- Mensagem Original --
'>'Date: Thu, 11 Aug 2005 21:28:31 -0300
'>'From: [EMAI
As séries são em 2^(k!) e não 2^k
'>'-- Mensagem Original --
'>'Date: Sun, 14 Aug 2005 18:08:53 -0300
'>'From: Angelo Barone Netto <[EMAIL PROTECTED]>
'>'To: obm-l@mat.puc-rio.br
'>'Subject: Re: RES: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao
aa
'>'soma
'>'Reply-To: obm-l@mat.puc-r
Olá!
Considere o polinômio f(c) = c^3 - (3ab)c - (a^3 + b^3). Como estamos num
triângulo, a idéia é mostrar que no intervalo (0, a + b) o polinômio é negativo.
Repare que (a + b) é raiz de f. Dividindo f por c - (a + b), você chega
no polinômio g(c) = c^2 + (a + b)c + (a + b)^2 - 3ab. O discrimina
f(x) = f((x - 8) + 8) = f((x - 8) + f(2)) = x - 8 + f(f(2)) = x - 8 + f(8).
Assim, 8 = f(2) = -6 + f(8) ==> f(8) = 14. ==> f(x) = x + 6.
[]s,
Daniel
'>'Seja f(x+f(y)) = x + f(f(y)) e f(2) = 8. Calcule f(2005)
=
Instruçõe
Oi,
Chame de A a fração de questões de álgebra, isto é, o número de questões
de álgebra dividido pelo total de questões, G a de geometria e L a de lógica.
Se a, g e l (minúsculas) são a fração de questões certas com relação ao
total, o enunciado diz que
a = 0,5*A
g = 0,7*G
l = 0,8*L
a + l = 0,62*
Olá!
Seja z = arccos(x). Vale
cos[(n+1)*z] = cos(n*z)*cos(z) - sen(n*z)*sen(z)
cos[(n-1)*z] = cos(n*z)*cos(z) + sen(n*z)*sen(z)
Portanto,
cos[(n+1)*z] = 2*cos(n*z)*cos(z) - cos[(n-1)*z]
Assim vc arruma uma recorrência
f_(n+1) = 2*f_n*x - f_(n-1) para n>1,
onde f_1(x) = x e f_2(x) = 2*x^2 - 1.
Olá,
Suponha que houvesse uma ordem em C. Comece mostrando que 1 está em C+,
e portanto -1 não está em C+. Como i^2 = -1, i^2 não está em C+, uma contradição
com a ajuda q o enunciado te dá antes da pergunta.
[]s,
Daniel
'>' Uma ordem num corpo IK consiste em dar um subconjunto
'>'IK+ de IK t.q
Tem o "Spivakinho", "Calculus on Manifolds", que trata da parte do cálculo
de várias variáveis, mas acho que num primeiro contato, o livro do Courant
é mais interessante e mais acessível.
O do Spivak trata a parte de integração em R^n de uma maneira mais abstrata
e concisa, sendo o objetivo do liv
Olá,
Use A\B = (A U B)\B (analogamente para B\A) e separe os casos mi(A U B)
finita ou infinita.
[]s,
Daniel
'>'Sejam (X, X_, mi) um espaço de medida. Prove que se A,B pertencem a
X_ e
'>'mi((A\B) U (B\A)) = 0 , entao mi(A) = mi(B)
'>'
'>'Bom,
'>'como A\B e B\A sao disjuntos
'>'mi(A\B) + m
Olá!
Bem, todas as n raízes de p são reais (para que faça sentido falar que todas
são negativas), portanto p(x) = (x + y_1)*(x + y_2)* ... *(x + y_n), onde
y_i > 0 para todo i. A idéia é encarar p(1) como função de y_1, ..., y_n
sujeita às condições y_i > 0 e y_1*...*y_n = 1, e usar multiplicadore
Qualquer livro razoável de cálculo de várias variáveis, na pior das hipóteses
use o google. No entanto, é muito provável que exista uma resposta mais
elementar, por exemplo usando alguma indução vinda de alguma escolha esperta
dentre as raízes (aliás, foi a minha primeira tentativa, mas não deu em
Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com essa "solução" que nem exigi
muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste assunto.
[]s,
Daniel
'>'Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. Soh que, na realidade,
o
'>'problema nao se encerra no ponto em que vc parou. Os multiplicadore
'>'E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal
conjunto
'>'seja fechado?
Se entendi direito, vc quer um conjunto A na reta com interior vazio, medida
positiva (m(A) > 0) e que seja fechado. Neste caso, acho que tal conjunto
não existe; vai abaixo a minha tentativa de most
O erro crucial foi ignorar o fato de que a união dos fechos pode ser diferente
do fecho da união!
[]s,
Daniel
'>'>Ou seja, você está dizendo que se (R - X) é uma união enumerável de
'>'intervalos abertos e é denso em R, então X é no máximo enumerável?
'>'>
'>'>Eu tenho certeza de que você con
Se vc está pensando no exemplo X que vai embolotando o n-ésimo racional
com intervalos abertos de raio eps/(2^(n+1)) (na verdade, o complementar
desse X), acho que basta pegar esse épsilon irracional; isso garante que
não teremos coisas do tipo (a,b) (b,c). Por outro lado, X é denso em R,
então qua
(NP, NP, P) e (P, NP, NP) (NP = não político, P = político) são realmente
duas soluções, até onde eu enxergo nenhuma delas fere as hipóteses do problema.
Embora seja então impossível concluir quem é o que (exceto o segundo nativo),
dá para afirmar que exatamente um dos três é político, de maneira q
Olá... olhando o gabarito da prova da UFRJ deste domingo, tive que discordar
da resposta dada à última questão da prova de matemática. A questão é:
"Em um jogo, cada partida consiste no lançamento de uma moeda honesta ATÉ
dez vezes. Se o número de caras obtidas atingir o valor cinco, você perde;
c
'>'> "Em um jogo, cada partida consiste no lançamento de uma moeda honesta
ATÉ
'>'> dez vezes. Se o número de caras obtidas atingir o valor cinco, você
perde;
'>'> caso contrário, você ganha. Calcule a probabilidade de você ganhar
uma
'>'partida
'>'> desse jogo."
'>'
'>'Não vi o gabarito, vo
Tem razão, agora estou convencido...
[]s,
Daniel
'>'Usando o mesmo raciocinio que vc apresenta vc tb garante a vitoria com
6
'>'
'>'jogadas e raramente teria que lancar 10 moedas. Ou ja teria ganho ou
ja
'>'
'>'teria perdido antes. Isso faria, de novo usando a sua ideia, o numero
de
'>'
'>'> Esse é o raciocínio do gabarito, mas se eu estivesse jogando esse jogo
'>'e
'>'> tirasse 5 caras nas 5 primeiras jogadas, para que me importaria jogar
os
'>'> outros 5 lançamentos se eu já perdi? Da mesma forma que, numa melhor
de
'>'5,
'>'> se eu estivesse perdendo de 3 a 0, para que jo
Agora ficou bem claro pra mim... Valeu
[]s,
Daniel
'>'-- Mensagem Original --
'>'Date: Tue, 29 Nov 2005 10:26:20 -0200
'>'From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>
'>'To: obm-l@mat.puc-rio.br
'>'Subject: Re: [obm-l] probabilidade (ufrj)
'>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
'>'
'>'
'>'
Se f não é contínua, no enunciado nada me impede de fazer f(x) = 1 para
todo x irracional e f(y) = pi para todo y racional, já que não tem nada
exigindo injetividade ou sobrejetividade.
Por outro lado, se quiséssemos f contínua, realmente não é possível. Seja
I um intervalo, f:I --> R satisfazendo
'>'Pessoal, como eu posso verificar qual é o menor número de
'>'elementos de um conjunto gerador de C^2 visto como espaço
'>'vetorial sobre o conjunto dos racionais?
Po, a dimensão de C^2 como um espaço sobre os racionais é infinita, logo
um gerador teria infinitos elementos. Pra ver isso, no
'>' 1) Seja G um grupo e H subgrupo de G de indice n. Provar que g^n! está
em
'>'H, para todo g em G.
Olá, faz um certo tempo que não mexo com isso, mas lá vai:
Para n > 1, sejam k e r inteiros positivos. Se g^(r + k) e g^k estão numa
mesma classe lateral Hx, temos g^(k+r) = h_1*x e g^k = h_2*x
'>'Se |z-2| = 1, quais os valores máximo e minimo |z+i| pode assumir ?
Pensando nos complexos como R^2 e passando para senos e cossenos, acho que
fica mais padrão. Como |z - 2| = 1, temos que em R^2 z é do tipo (2 + cos(t),
sen(t)), de modo que z + i = (2 + cos(t), 1 + sen(t)). Achar extremos de
Hum... existe também uma maneira elementar (sem cálculo) de se chegar nesse
resultado. É o seguinte: primeiramente, dados uma circunferência C de centro
O e um ponto A fora dela, é fácil provar que os pontos mais próximo e distante
de A em C são aqueles que estão na reta OA.
Que o mais próximo est
Olá,
Bem, achei meio enrolado o que vc falou depois de (i) em diante... A questão
é mostrar que todo subgrupo de Z é do tipo H = {km | k está em Z}, e tb que
todo H desse tipo é subgrupo. Esta última afirmação vc mostrou em (i).
Para provar que todo subgrupo H consiste em múltiplos de um certo m,
Vou chamar de V esse espaço, e assumir que essas sequências são de números
reais.
A é limitado pela sua própria definição, e é fechado pela continuidade da
norma em (V, ||.||): se X_n é uma sequência em A convergindo para X, então
||X|| = ||lim X_n|| = lim ||X_n|| <= 1 pois ||X_n|| <=1 para todo n
'>'Olá Daniel:
'>'
'>'> Se a_1, ..., a_k são elementos de V, seja S(a_1, ..., a_k) ...
'>'
'>'... Vc não quiz dizer elementos de A? Não?
Sim!!
[]s,
Daniel
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lis
'>'Eh verdade que, em todo espaco metrico, o fecho de uma bola aberta eh
a bola
'>'fechada de mesmos centro e raio?
Não. Por exemplo, Z com a métrica vinda do valor absoluto: a bola aberta
unitária de centro em x é {x}, logo ela também é fechada e então coincide
com o fecho. Por outro lado, a bo
Bacana... Eu cheguei a pensar em coisas como densidade da imagem de d(XxX)
sobre determinados compactos, mas não deu em nada principalmente depois
do contra-exemplo X = {circunferências de raio natural}U{eixo x} contido
em R^2, com a métrica usual.
[]s,
Daniel
'>'-- Mensagem Original --
'>'Date
'>'Considere uma funcao real sobrejetora f tal que f(f(x)+y)=x+f(y) para
todo
'>'x, y reais. Determine f(0).
Como f é sobrejetora, existe s em R tal que f(s) = 0. Ponto x = s, y = f(s),
temos da relação que
f(f(s) + f(s)) = s + f(f(s)) ==> f(0) = s + f(0) ==> s = 0.
Assim, f(0) = 0.
[]s,
Dani
'>'Seja ABC um triângulo cujo circuncentro é O.
'>'Qual a resultante (soma) dos vetores OA, OB e OC?
Que coisa, nunca havia pensado nessa soma e no que ela é!Interessante!
Para facilitar a vida, podemos imaginar a circunferência circunscrita como
o círculo unitário de centro na origem do plano
'>'Considere um quadrado ABCD e pontos X,Y,Z,Q nos lados AB,BC,CD,DA
respectivamente.
'>'Determine o menor valor que pode assumir o perímetro do quadrilatero
XYZW.
Olá. A idéia chave é a seguinte: Para X e Z quaisquer, ambos diferentes
de A, B, C, D, temos que Y e W ficam determinados por X e Z
'>'Srs,
'>'
'>'Favor criticar (válidar ou não) o reciocínio abaixo
'>'
'>'a) para termos o menor perímetro no quadrilátero xyzw significa que
'>'á área dos quatros triângulos
'>' restantes (axw, bxy, cyz e dwz) devem ser máximas. Para isso
as
'>'hipotenusas devem saer máximas o que oc
'>'Seja P um pto fixo,O o centro de um circulo e AB uma corda variavel paralela
'>'a OP. mostre q a soma PA^2 + PB^2 é cte.
Olá! Trazendo esse problema para o plano complexo, e supondo que O é a origem,
P está no eixo real e a circunferência tem raio r, seja P = x real e A =
r*e^(ia), B = r*e^(
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