[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória

[Anderson Torres]

Em qua., 13 de mar. de 2024 às 13:07, Claudio Buffara
 escreveu:
>
> Mas este caso tem 7 pessoas. E o enunciado fala em 3 A e 3 C.
>
> On Wed, Mar 13, 2024 at 9:28 AM Pedro Júnior  
> wrote:
>>
>> Eu pensei sim, mas e os casos do tipo ACCACAC. Esse caso não entra na conta 
>> 6! - 2* 3!* 3!.
>>
>> Em qua., 13 de mar. de 2024 às 09:09, Claudio Buffara 
>>  escreveu:
>>>
>>> Pense no oposto: de quantas maneiras as crianças e adultos podem se sentar 
>>> separados uns dos outros.
>>>
>>> On Wed, Mar 13, 2024 at 8:39 AM Pedro Júnior  
>>> wrote:

 Olá pessoal, bom dia.
 Alguém poderia me ajudar nesse problema?

 Seis poltronas enfileiradas em um cinema e entram 3 adultos e 3 crianças. 
 De quantas maneiras podem sentar-se 2 crianças juntas e dois adultos 
 juntos?


Eu pensei numa maneira muito feia: enumeração na raça!

AAA CCC +

AACACC +
AACCAC +
AACCCA +

ACAACC +
ACACAC -
ACACCA -

CAAACC +
CAACAC -
CAACCC +

ACCAAC +
ACCACA -
ACCCAA +

CACAAC -
CACACA -
CACCAA +

CCAAAC +
CCAACA +
CCACAA +

CCC AAA +

20 possibilidades. Apenas 14 servem.
Cada uma nos permite permutar as crianças seis vezes, os adultos outras seis.
6x6x14, que dá meh.


 Desde já fico grato!

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>>
>> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
>>
>> Professor de Matemática
>>
>> Geo João Pessoa – PB
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória

[Claudio Buffara]

Mas este caso tem 7 pessoas. E o enunciado fala em 3 A e 3 C.

On Wed, Mar 13, 2024 at 9:28 AM Pedro Júnior 
wrote:

> Eu pensei sim, mas e os casos do tipo ACCACAC. Esse caso não entra na
> conta 6! - 2* 3!* 3!.
>
> Em qua., 13 de mar. de 2024 às 09:09, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Pense no oposto: de quantas maneiras as crianças e adultos podem se
>> sentar separados uns dos outros.
>>
>> On Wed, Mar 13, 2024 at 8:39 AM Pedro Júnior 
>> wrote:
>>
>>> Olá pessoal, bom dia.
>>> Alguém poderia me ajudar nesse problema?
>>>
>>> Seis poltronas enfileiradas em um cinema e entram 3 adultos e 3
>>> crianças. De quantas maneiras podem sentar-se 2 crianças juntas e dois
>>> adultos juntos?
>>>
>>>
>>> Desde já fico grato!
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
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>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
>
> Professor de Matemática
>
> Geo João Pessoa – PB
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória

[Pedro Júnior]

Eu pensei sim, mas e os casos do tipo ACCACAC. Esse caso não entra na conta
6! - 2* 3!* 3!.

Em qua., 13 de mar. de 2024 às 09:09, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Pense no oposto: de quantas maneiras as crianças e adultos podem se sentar
> separados uns dos outros.
>
> On Wed, Mar 13, 2024 at 8:39 AM Pedro Júnior 
> wrote:
>
>> Olá pessoal, bom dia.
>> Alguém poderia me ajudar nesse problema?
>>
>> Seis poltronas enfileiradas em um cinema e entram 3 adultos e 3 crianças.
>> De quantas maneiras podem sentar-se 2 crianças juntas e dois adultos juntos?
>>
>>
>> Desde já fico grato!
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> acredita-se estar livre de perigo.



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Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Combinatória

[Claudio Buffara]

Pense no oposto: de quantas maneiras as crianças e adultos podem se sentar
separados uns dos outros.

On Wed, Mar 13, 2024 at 8:39 AM Pedro Júnior 
wrote:

> Olá pessoal, bom dia.
> Alguém poderia me ajudar nesse problema?
>
> Seis poltronas enfileiradas em um cinema e entram 3 adultos e 3 crianças.
> De quantas maneiras podem sentar-se 2 crianças juntas e dois adultos juntos?
>
>
> Desde já fico grato!
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento

[Anderson Torres]

Em seg., 4 de mar. de 2024 às 09:53, Pedro José  escreveu:
>
> Bom dia!
> Mas provar que ocorrendo as duas está certo, não é o que foi pedido.

Não foi isso que ele fez. Ele demonstrou que ambas as expressões são
equivalentes a r==7s (mod17).
Portanto, ambas são equivalentes entre si.

> Pode ser que ocorrendo as duas esteja OK e também que haja pelo menos um 
> caso, que dá certo para a primeira assertiva e não ocorre para a segunda ou 
> pode ter pelo menos um caso que ocorra para a segunda e não ocorra para 
> primeira, já é suficiente para furar.
> O certo é:
> supor (i) e mostrar que ocorre(ii) e depois provar a volta, supor (ii) e 
> mostrar que ocorre (i).

Essa é uma das maneiras de se demonstrar equivalências, não a única.
A bem da verdade, você simplesmente reverteu a ida para provar a volta
- bastava mostrar que cada implicação era reversível para assim
economizar duas linhas.

> (i) 9r + 5s | 17. 17s + 17r | 17 (iii) logo 4*(i)-2(iii) ==>  2r - 14s | 17 
> (iv).
> Como 17s! 17 (v); (1v)+ (v) ==> 2r+3s | 17. Provada a ida. 17
> 2r +3s |17 (ii) . Mas 17r + 17 s | 17 (iii). (iii)- 4*(i) ==> 9r +5s | 17 
> Provada a volta.
> logo 9r + 5s | 17 <=> 2r+ 3s | 17 C.Q.D.
>
>
> Cordialmente,
> PJMS
>
> Em sáb., 2 de mar. de 2024 às 12:37, Marcone Borges 
>  escreveu:
>>
>> Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r + 3s 
>> divide 17.
>> De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que
>> r==7s (mod17). Daí sai a resposta.
>> Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s)
>> Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas 
>> expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também 
>> será?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento

[Anderson Torres]

Em sáb., 2 de mar. de 2024 às 15:28, Claudio Buffara
 escreveu:
>
> Isso só perguntando pra quem elaborou a questão.
> Mas a ideia pode ter surgido quando, ao manipular expressões desse tipo, a 
> pessoa notou que:
> 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s)
> e isso a fez pensar no enunciado.

Eu me lembro de ter visto expressões semelhantes com outros módulos
(primos, por que será?) faz muito tempo.
Para mim o mais interessante é descobrir equivalências.
Por exemplo, se Ax+By é múltiplo de 17, quem seria C tal que x-Cy é
múltiplo de 7? Isso é basicamente uma classe de equivalência.

Na verdade daria para fazer o contrário:
se C não é múltiplo de 17, então Kx+y é múltiplo de 17 se e somente se
(CK mod 17)x+(C mod 17)y também for.
Daí é só reduzir CK e C módulo 17.

Com isso dá para gerar problemas interessantes:

- Se x+10y é múltiplo de 17, então 9x+90y, ou 9x+5y, são múltiplos de
y (e vice-versa)
- Se x+10y é múltiplo de 17, então 2x+20y, ou 2x+3y, são múltiplos de
y (e vice-versa)

Logo,
- Se 9x+5y é múltiplo de 17, então 2x+3y é múltiplo de y (e vice-versa).

>
>
> On Sat, Mar 2, 2024 at 12:37 PM Marcone Borges  
> wrote:
>>
>> Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r + 3s 
>> divide 17.
>> De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que
>> r==7s (mod17). Daí sai a resposta.
>> Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s)
>> Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas 
>> expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também 
>> será?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento

[Pedro José]

Bom dia!
Mas provar que ocorrendo as duas está certo, não é o que foi pedido.
Pode ser que ocorrendo as duas esteja OK e também que haja pelo menos um
caso, que dá certo para a primeira assertiva e não ocorre para a segunda ou
pode ter pelo menos um caso que ocorra para a segunda e não ocorra para
primeira, já é suficiente para furar.
O certo é:
supor (i) e mostrar que ocorre(ii) e depois provar a volta, supor (ii) e
mostrar que ocorre (i).
(i) 9r + 5s | 17. 17s + 17r | 17 (iii) logo 4*(i)-2(iii) ==>  2r - 14s | 17
(iv).
Como 17s! 17 (v); (1v)+ (v) ==> 2r+3s | 17. Provada a ida. 17
2r +3s |17 (ii) . Mas 17r + 17 s | 17 (iii). (iii)- 4*(i) ==> 9r +5s | 17
Provada a volta.
logo 9r + 5s | 17 <=> 2r+ 3s | 17 C.Q.D.


Cordialmente,
PJMS

Em sáb., 2 de mar. de 2024 às 12:37, Marcone Borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r +
> 3s divide 17.
> De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que
> r==7s (mod17). Daí sai a resposta.
> Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s)
> Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas
> expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também
> será?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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Re: [obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento

[Claudio Buffara]

Isso só perguntando pra quem elaborou a questão.
Mas a ideia pode ter surgido quando, ao manipular expressões desse tipo, a
pessoa notou que:
9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s)
e isso a fez pensar no enunciado.


On Sat, Mar 2, 2024 at 12:37 PM Marcone Borges 
wrote:

> Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r +
> 3s divide 17.
> De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que
> r==7s (mod17). Daí sai a resposta.
> Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s)
> Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas
> expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também
> será?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade e frações

[Pedro Júnior]

Desculpas, Cláudio. É isso mesmo, com "a" e "b" inteiros e positivos.

Obrigado pela brilhante solução.

Em ter, 27 de fev de 2024 01:41, Claudio Buffara 
escreveu:

> Deveria ser a e b inteiros positivos, não?
> Pois se forem inteiros sem restrição, então como 2022/2023 < 2022,5/2023,5
> < 2023/2024, bastaria tomar a sequência:
> a(n) = -20225*n  e  b(n) = -20235*n.
> Daí teríamos 2022/2023 < a(n)/b(n) < 2023/2024 e a sequência a(n)+b(n)
> seria ilimitada inferiormente.
>
> Assim, suponhamos que a e b sejam inteiros positivos.
> 2022/2023 < a/b < 2023/2024 implica que b > a+1, já que a sequência
> (n/(n+1)) é crescente.
> Além disso, usando razões e proporções, achamos que:
> 2022 < a/(b-a) < 2023 < b/(b-a) < 2024
> ==> para que a+b seja o menor possível, b-a deverá ser o menor possível.
> E o menor valor possível de b-a é 2.
> Usando frações equivalentes, dá pra escrever 4044/4046 < a/b < 4046/4048 e
> daí teríamos uma única fração a/b com b - a = 2.
> Seria a/b = 4045/4047 ==> a+b mínimo = 8092.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
>
> On Mon, Feb 26, 2024 at 10:12 PM Pedro Júnior 
> wrote:
>
>> Quem puder me ajudar, fixo grato.
>>
>> Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b <
>> 2023/2024, determine o menos calor da soma a + b.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade e frações

[Claudio Buffara]

Deveria ser a e b inteiros positivos, não?
Pois se forem inteiros sem restrição, então como 2022/2023 < 2022,5/2023,5
< 2023/2024, bastaria tomar a sequência:
a(n) = -20225*n  e  b(n) = -20235*n.
Daí teríamos 2022/2023 < a(n)/b(n) < 2023/2024 e a sequência a(n)+b(n)
seria ilimitada inferiormente.

Assim, suponhamos que a e b sejam inteiros positivos.
2022/2023 < a/b < 2023/2024 implica que b > a+1, já que a sequência
(n/(n+1)) é crescente.
Além disso, usando razões e proporções, achamos que:
2022 < a/(b-a) < 2023 < b/(b-a) < 2024
==> para que a+b seja o menor possível, b-a deverá ser o menor possível.
E o menor valor possível de b-a é 2.
Usando frações equivalentes, dá pra escrever 4044/4046 < a/b < 4046/4048 e
daí teríamos uma única fração a/b com b - a = 2.
Seria a/b = 4045/4047 ==> a+b mínimo = 8092.

[]s,
Claudio.




On Mon, Feb 26, 2024 at 10:12 PM Pedro Júnior 
wrote:

> Quem puder me ajudar, fixo grato.
>
> Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b <
> 2023/2024, determine o menos calor da soma a + b.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade e frações

[Alexandre Antunes]

Vejam se este caminho é uma possibilidade (sujeita a ajustes e correções.
Fiquem à vontade!)
2022/2023 < a/b < 2023/2024 (I)
2022/2023 < (a+b-b)/b < 2023/2024
2022/2023 < (a+b)/b-b/b < 2023/2024
2022/2023 < (a+b)/b-1 < 2023/2024
2022/2023 +1< (a+b)/b-1 +1 < 2023/2024+1
(2022+2023)/2023 < (a+b)/b < (2023+2024)/2024
4045/2023 < (a+b)/b < 4047/2024
1,999505... aprox 2 < (a+b)/b < 1.999505... approx 2
*2 < (a+b)/b < 2 => (a+b)/b = 2(II)*

De (I), tem-se que  2022/2023 = 0,999505... aprox 1 < a/b < 2023/2024 =
0,999505... aprox 1
*1 < a/b < 1 =>   a/b = 1  (III)*

Sendo a e b inteiros, de (II) e (III), pode-se concluir que a=b=-1 e
somando a+b = -2.

Atenciosamente,

Prof. Dsc. Alexandre Antunes
www alexandre antunes com br


Em seg., 26 de fev. de 2024 às 22:11, Pedro Júnior <
pedromatematic...@gmail.com> escreveu:

> Quem puder me ajudar, fixo grato.
>
> Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b <
> 2023/2024, determine o menos calor da soma a + b.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: Const. de triângulo

[Anderson Torres]

Em ter, 16 de jan de 2024 12:23, Claudio Buffara 
escreveu:

> "Há vários problemas de CT com duas soluções."
>
> Claro!...   Fora o óbvio , com infinitas soluções (todas
> semelhantes entre si...) tem o  se, por exemplo, A for agudo e a < b
> < a/sen(A).
>
> O Geogebra certamente é uma tremenda ferramenta.
> Mas quantos professores sabem usá-lo adequadamente?
>


1. Quantos professores têm contato? Mesmo fatorando o acesso à internet,
ainda creio serem poucos

2. Seria interessante se fosse adotado, é bem lúdico!


> []s,
> Claudio.
>
>
> On Mon, Jan 15, 2024 at 7:53 PM Luís Lopes  wrote:
>
>> Oi Claudio,
>>
>> Eu acho que para os problemas no contexto que estamos falando a álgebra
>> pode decidir. Como o 17-gon. É construtível mas talvez a construção em si
>> poderia não ser conhecida. Os problemas dados 3 pontos da lista do Wernick
>> também precisaram de pesquisas para se decidir. Mas não sei muito sobre o
>> assunto.
>>
>> Há vários problemas de CT com duas soluções.
>>
>> O problema do quadrilátero é muito legal e também muito difícil acho que
>> para qualquer um. Há soluções (não sei se são fundamentalmente diferentes)
>> no livro do Virgílio, Court e do FG-M.
>>
>> Mas, pra mim, a principal função destes problemas de construção e’
>> pedagógica.
>>
>> É isso aí. Muita criatividade. E o Geogebra pode ajudar muito.
>>
>> Abs,
>> Luís
>>
>>
>>
>> On Jan 14, 2024, at 11:21 AM, Claudio Buffara 
>> wrote:
>>
>> Não tenho dúvidas de que o nível de dificuldade destes problemas varia de
>> “trivial” até “extremamente difícil”. Talvez até existam problemas em
>> aberto - ninguém acha uma solução e nem consegue provar que não existe
>> solução.
>>
>> O problem dos dados e’ interessante: existem triplas de dados que
>> resultam em dois ou mais triângulos não congruentes? Os casos clássicos de
>> congruência sugerem que a resposta é não. Mas talvez alguns tipos de dado
>> sejam mais “fracos” e não determinem totalmente o triângulo.
>>
>> Saindo dos triângulos, um legal e não muito fácil (pra mim…) é construir
>> um quadrilátero inscritível dados os comprimentos dos lados.
>>
>> Mas, pra mim, a principal função destes problemas de construção e’
>> pedagógica. Inseridos num curso de geometria, eles são uma variante
>> interessante de problemas métricos (a enorme maioria dos problemas vistos
>> na escola) nos quais os estudantes precisam usar a criatividade pra aplicar
>> propriedades básicas de figuras geométricas simples mas de um jeito
>> diferente, com muito mais necessidade de visualização.
>>
>> []s,
>> Claudio
>>
>> Em dom., 14 de jan. de 2024 às 11:41, Luís Lopes 
>> escreveu:
>>
>>> Oi Claudio,
>>>
>>> Mando pra vc com CC pra lista pra fazer mais um teste e ver se a lista
>>> recebe. Reply não funciona.
>>>
>>> Outra maneira seria usando o triângulo AMaMb. Esse problema é simples.
>>> Mais interessantes são (d_a; e_a bissetrizes interna e externa)  e
>>>  e os primos esquecidos <,e_a>.
>>>
>>> Problemas com e_a não são muito vistos. Como aquele que apareceu no
>>> WhatsApp do Madeira: construir o triângulo retângulo dados D_b, D_c e X,
>>> ponto do incírculo na reta BC. Não considerei com E_b , E_c, a gente acaba
>>> esquecendo. Nem sei como seria. Ou até com X_a, ponto do
>>> A-exincírculo. A lista é enorme.
>>>
>>> Considere agora . Tirei o < _a>. Bem fácil. E como dados dois qq
>>> entre  o terceiro fica determinado (sem falar em
>>> B-C), então  e  também são fáceis. E  cai na
>>> categoria  e .
>>>
>>> O que pode ser um desafio é a discussão sobre os dados nos problemas
>>> . Todos eles têm somente uma solução (considerando triângulos não
>>> congruentes, a segunda solução no , m>=h> não conta). No  os
>>> dados têm que satisfazer d sin(A/2) < h <= d. Para  não sei como
>>> determinar.
>>>
>>> Abs,
>>> Luís
>>>
>>>
>>> On Jan 14, 2024, at 7:48 AM, Claudio Buffara 
>>> wrote:
>>>
>>> 
>>>
>>> Trace AM com comprimento m_a.
>>> Trace a circunferência com diâmetro AM.
>>> Trace AP com comprimento h_a e P na circunferência.
>>>
>>> * M será o ponto médio de BC e P o pé da altura relativa a A.
>>>
>>> Prolonga AM até MA', com AM = MA'.
>>>
>>> * AA' será a diagonal do paralelogramo ABA'C, cujas diagonais se
>>> bissectam em M.
>>>
>>> Traça arco capaz de 180-A sobre AA'.
>>>
>>> * Já que, num paralelogramo, ângulos consecutivos são suplementares.
>>>
>>> Chame de B o ponto de intersecção deste arco capaz com a reta PM.
>>> Marque C na reta PM tal que B-M-C e MC = MB.
>>> E acabou.
>>>
>>> Há outra solução marcando P na outra semicircunferência de diâmetro AM
>>> (a menos que h_a = m_a).
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>> On Sun, Jan 14, 2024 at 12:58 AM Luís Lopes 
>>> wrote:
>>>
 Saudações, oi Anderson,

 Soluções usando fórmulas servem para mostrar que o triângulo é
 construtível e qual é sua forma e tamanho. Já ajuda naquela parte - suponha
 o problema resolvido. Mas a construção procurada deverá ser feita usando as
 propriedades da figura.

 Posso mandar no 

[obm-l] Re: [obm-l] Const. de triângulo

[Anderson Torres]

Em dom., 14 de jan. de 2024 às 00:58, Luís Lopes
 escreveu:
>
> Saudações, oi Anderson,
>
> Soluções usando fórmulas servem para mostrar que o triângulo é construtível e 
> qual é sua forma e tamanho.

Mostrar que é construtível, neste caso, implica mostrar a construção.
E ela é recheada de

> Já ajuda naquela parte - suponha o problema resolvido. Mas a construção 
> procurada deverá ser feita usando as propriedades da figura.
>
> Posso mandar no privado para quem se interessar as construções com as figuras 
> que um correspondente me enviou. Esse que tem h_c/b como dado é bem 
> interessante.
>
> Agora o problema  pode ser resolvido de 3 ou mais maneiras. Com 
> medianas é sempre bom pensar em simetrias e paralelogramos.

Acabei de resolver. A minha ideia foi a fórmula da mediana, que é
basicamente uma lei dos cossenos no triângulo (b,c,180-A).
Com isso, fica fácil construir o arco de circunferência que olha o
dobro da mediana de um ângulo 180-A.

Como disse antes, a solução full eu mando outro dia.

>
> Luís
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Const. de triângulo

[Claudio Buffara]

Não tenho dúvidas de que o nível de dificuldade destes problemas varia de
“trivial” até “extremamente difícil”. Talvez até existam problemas em
aberto - ninguém acha uma solução e nem consegue provar que não existe
solução.

O problem dos dados e’ interessante: existem triplas de dados que resultam
em dois ou mais triângulos não congruentes? Os casos clássicos de
congruência sugerem que a resposta é não. Mas talvez alguns tipos de dado
sejam mais “fracos” e não determinem totalmente o triângulo.

Saindo dos triângulos, um legal e não muito fácil (pra mim…) é construir um
quadrilátero inscritível dados os comprimentos dos lados.

Mas, pra mim, a principal função destes problemas de construção e’
pedagógica. Inseridos num curso de geometria, eles são uma variante
interessante de problemas métricos (a enorme maioria dos problemas vistos
na escola) nos quais os estudantes precisam usar a criatividade pra aplicar
propriedades básicas de figuras geométricas simples mas de um jeito
diferente, com muito mais necessidade de visualização.

[]s,
Claudio

Em dom., 14 de jan. de 2024 às 11:41, Luís Lopes 
escreveu:

> Oi Claudio,
>
> Mando pra vc com CC pra lista pra fazer mais um teste e ver se a lista
> recebe. Reply não funciona.
>
> Outra maneira seria usando o triângulo AMaMb. Esse problema é simples.
> Mais interessantes são (d_a; e_a bissetrizes interna e externa)  e
>  e os primos esquecidos <,e_a>.
>
> Problemas com e_a não são muito vistos. Como aquele que apareceu no
> WhatsApp do Madeira: construir o triângulo retângulo dados D_b, D_c e X,
> ponto do incírculo na reta BC. Não considerei com E_b , E_c, a gente acaba
> esquecendo. Nem sei como seria. Ou até com X_a, ponto do
> A-exincírculo. A lista é enorme.
>
> Considere agora . Tirei o < _a>. Bem fácil. E como dados dois qq
> entre  o terceiro fica determinado (sem falar em
> B-C), então  e  também são fáceis. E  cai na
> categoria  e .
>
> O que pode ser um desafio é a discussão sobre os dados nos problemas
> . Todos eles têm somente uma solução (considerando triângulos não
> congruentes, a segunda solução no , m>=h> não conta). No  os
> dados têm que satisfazer d sin(A/2) < h <= d. Para  não sei como
> determinar.
>
> Abs,
> Luís
>
>
> On Jan 14, 2024, at 7:48 AM, Claudio Buffara 
> wrote:
>
> 
>
> Trace AM com comprimento m_a.
> Trace a circunferência com diâmetro AM.
> Trace AP com comprimento h_a e P na circunferência.
>
> * M será o ponto médio de BC e P o pé da altura relativa a A.
>
> Prolonga AM até MA', com AM = MA'.
>
> * AA' será a diagonal do paralelogramo ABA'C, cujas diagonais se bissectam
> em M.
>
> Traça arco capaz de 180-A sobre AA'.
>
> * Já que, num paralelogramo, ângulos consecutivos são suplementares.
>
> Chame de B o ponto de intersecção deste arco capaz com a reta PM.
> Marque C na reta PM tal que B-M-C e MC = MB.
> E acabou.
>
> Há outra solução marcando P na outra semicircunferência de diâmetro AM (a
> menos que h_a = m_a).
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Sun, Jan 14, 2024 at 12:58 AM Luís Lopes  wrote:
>
>> Saudações, oi Anderson,
>>
>> Soluções usando fórmulas servem para mostrar que o triângulo é
>> construtível e qual é sua forma e tamanho. Já ajuda naquela parte - suponha
>> o problema resolvido. Mas a construção procurada deverá ser feita usando as
>> propriedades da figura.
>>
>> Posso mandar no privado para quem se interessar as construções com as
>> figuras que um correspondente me enviou. Esse que tem h_c/b como dado é bem
>> interessante.
>>
>> Agora o problema  pode ser resolvido de 3 ou mais maneiras.
>> Com medianas é sempre bom pensar em simetrias e paralelogramos.
>>
>> Luís
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
>
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Const. de triângulo

[Claudio Buffara]

Trace AM com comprimento m_a.
Trace a circunferência com diâmetro AM.
Trace AP com comprimento h_a e P na circunferência.

* M será o ponto médio de BC e P o pé da altura relativa a A.

Prolonga AM até MA', com AM = MA'.

* AA' será a diagonal do paralelogramo ABA'C, cujas diagonais se bissectam
em M.

Traça arco capaz de 180-A sobre AA'.

* Já que, num paralelogramo, ângulos consecutivos são suplementares.

Chame de B o ponto de intersecção deste arco capaz com a reta PM.
Marque C na reta PM tal que B-M-C e MC = MB.
E acabou.

Há outra solução marcando P na outra semicircunferência de diâmetro AM (a
menos que h_a = m_a).

[]s,
Claudio.


On Sun, Jan 14, 2024 at 12:58 AM Luís Lopes  wrote:

> Saudações, oi Anderson,
>
> Soluções usando fórmulas servem para mostrar que o triângulo é
> construtível e qual é sua forma e tamanho. Já ajuda naquela parte - suponha
> o problema resolvido. Mas a construção procurada deverá ser feita usando as
> propriedades da figura.
>
> Posso mandar no privado para quem se interessar as construções com as
> figuras que um correspondente me enviou. Esse que tem h_c/b como dado é bem
> interessante.
>
> Agora o problema  pode ser resolvido de 3 ou mais maneiras. Com
> medianas é sempre bom pensar em simetrias e paralelogramos.
>
> Luís
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Const. de triangulo

[Anderson Torres]

Em qui, 11 de jan de 2024 17:32, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

>
>
> Em qui, 11 de jan de 2024 12:40, Luís Lopes 
> escreveu:
>
>> Vou mandar um texto bem carequinha.
>>
>> h_a,m_a,h_c:b
>>
>
> Esse não fiz ainda.
>

Quanto a esse aqui, o máximo que consegui foi:

h_c/b = ach_c/abc = a.2S/4SR = a/2R = sin(A).

Então sabemos o ângulo A, h_a e m_a.

Com h_a e m_a nós construímos o ponto A e a reta BC.
O problemão agora é onde meter esse ângulo A nisso tudo.
Tentei algumas ideias mas sem sucesso...

CLARO, eu posso ser altamente ignorante e mostrar fórmulas para a,b,c em
termos de A, h_a e m_a, mas isso seria muita sacanagem.



> b+c,h_a,h_b:h_c
>>
>
> Bem, ah_a=bh_b=ch_c = 2S onde S é a área de ABC.
> Assim, c/b = hb/hc.
>
> Conhecendo b+c e c/b, obtemos c e b (é uma construção fácil via
> paralelismo).
>
> Conhecendo b, c e h_a, é fácil obter o triângulo: marca o segmento AHa, a
> perpendicular por A, e depois os círculos de raios b e c por A.
>
> Mais tarde eu escrevo isso de forma algorítmica.
>
>
>
>
>> Luís
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: Re: [obm-l] Const. de triangulo

[qedtexte]

Vou tentar reply por aqui. Fiz reply no hotmail e no chegou. 


Obrigado pela soluo (AT). Finalmente consegui as 
construes dos dois problemas com as figuras.
Posso mand-las no privado para quem se interessar.

Lus


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Const. de triangulo

[Anderson Torres]

Em qui, 11 de jan de 2024 17:59, Marcelo Gonda Stangler <
marcelo.gonda.stang...@gmail.com> escreveu:

> Qual o objetivo disso?
>

Dadas certas informações, construir um triângulo com régua e compasso


> Em qui., 11 de jan. de 2024 5:41 PM, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>

>>
>> Em qui, 11 de jan de 2024 12:40, Luís Lopes 
>> escreveu:
>>
>>> Vou mandar um texto bem carequinha.
>>>
>>> h_a,m_a,h_c:b
>>>
>>
>> Esse não fiz ainda.
>>
>> b+c,h_a,h_b:h_c
>>>
>>
>> Bem, ah_a=bh_b=ch_c = 2S onde S é a área de ABC.
>> Assim, c/b = hb/hc.
>>
>> Conhecendo b+c e c/b, obtemos c e b (é uma construção fácil via
>> paralelismo).
>>
>> Conhecendo b, c e h_a, é fácil obter o triângulo: marca o segmento AHa, a
>> perpendicular por A, e depois os círculos de raios b e c por A.
>>
>> Mais tarde eu escrevo isso de forma algorítmica.
>>
>>
>>
>>
>>> Luís
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> =
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Const. de triangulo

[Marcelo Gonda Stangler]

Qual o objetivo disso?

Em qui., 11 de jan. de 2024 5:41 PM, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

>
>
> Em qui, 11 de jan de 2024 12:40, Luís Lopes 
> escreveu:
>
>> Vou mandar um texto bem carequinha.
>>
>> h_a,m_a,h_c:b
>>
>
> Esse não fiz ainda.
>
> b+c,h_a,h_b:h_c
>>
>
> Bem, ah_a=bh_b=ch_c = 2S onde S é a área de ABC.
> Assim, c/b = hb/hc.
>
> Conhecendo b+c e c/b, obtemos c e b (é uma construção fácil via
> paralelismo).
>
> Conhecendo b, c e h_a, é fácil obter o triângulo: marca o segmento AHa, a
> perpendicular por A, e depois os círculos de raios b e c por A.
>
> Mais tarde eu escrevo isso de forma algorítmica.
>
>
>
>
>> Luís
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Const. de triangulo

[Anderson Torres]

Em qui, 11 de jan de 2024 12:40, Luís Lopes 
escreveu:

> Vou mandar um texto bem carequinha.
>
> h_a,m_a,h_c:b
>

Esse não fiz ainda.

b+c,h_a,h_b:h_c
>

Bem, ah_a=bh_b=ch_c = 2S onde S é a área de ABC.
Assim, c/b = hb/hc.

Conhecendo b+c e c/b, obtemos c e b (é uma construção fácil via
paralelismo).

Conhecendo b, c e h_a, é fácil obter o triângulo: marca o segmento AHa, a
perpendicular por A, e depois os círculos de raios b e c por A.

Mais tarde eu escrevo isso de forma algorítmica.




> Luís
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Const. de triangulo

[Anderson Torres]

Em qui, 11 de jan de 2024 12:40, Luís Lopes 
escreveu:

> Vou mandar um texto bem carequinha.
>
> h_a,m_a,h_c:b
> b+c,h_a,h_b:h_c
>


Eu não entendi nada.


> Luís
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] OBM 88 Problema 6.

[Anderson Torres]

Em dom., 31 de dez. de 2023 às 00:56, Pedro José  escreveu:
>
> Boa noite!
> Cláudio, minha preocupação é com a solução em si da equação.
> O problema original pede que demonstre que k é um quadrado perfeito. Todas 
> soluções que vi são baseadas nas relações de Girad ou Vieta's fórmula como 
> chamam lá fora.
> Eu parti do conhecimento de que k tem de ser quadrado perfeito.
> Consegui provar que tirando as soluções triviais a=0 ou b=0 ou a=b=1 
> b>=raiz(k)
> Aí achei a primeira solução para a equação, sem perda de generalidade, 
> considerei a>b, a=b só ocorre para a=b=1 ou a=b=0. Lá fora acho que nem 
> consideram 0 natural. Seguem a risca como foi o postulado de Peano.

O enunciado original dizia INTEIRO POSITIVO, e não "natural".
Os proponentes da IMO têm uma certa noção dessas pequenas polêmicas,
então eles costumam ser bastante verbosos sobre se 0 é considerado ou
não parte das soluções.
Curiosidade: na França 0 é considerado positivo E negativo ao mesmo tempo.
https://mathfour.com/arithmetic/is-zero-positive-or-negative

> Então para cada k=w^2 com w>1
> Tem um conjunto com uma sequência infinita de soluções.
> Sk={si=(ai,bi,k): i natural e i>=1| s1=(w^3,w,w^2) e si+1=(ai*w^2-bi, ai, 
> w^2).
> Consigo provar que todos termos da sequência são soluções.
> Não consigo provar que se há uma solução (a*,b*, k*) então (a*,b*,k*) ou 
> (b*,a*, k*) pertence a sequência Sk para k=w^2.

Ué, você pode imitar a solução do problema original. Se (a*,b*,K) é
solução E não está na rota dourada, então é possível encontrar uma
solução menor fora da rota dourada também, e assim por diante até
chegar na solução minimal. Mas a solução minimal é justo a que inicia
a rota dourada, absurdo.

> Eu não acho a solução da equação, só do problema como foi pedido, mostrar que 
> k é um QP, sem no entanto achar todas as soluções
>
> Cordialmente,
> PJMS
>
> Em sex., 29 de dez. de 2023 09:18, Claudio Buffara 
>  escreveu:
>>
>> Dá um Google em "IMO 88".
>> Vai ter até vídeo com a solução deste problema.
>>
>> On Thu, Dec 28, 2023 at 4:35 PM Pedro José  wrote:
>>>
>>> Boa tarde!
>>> Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar 
>>> com a pretensão de abranger todas as soluções da equação:
>>>
>>> (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa restrição 
>>> para retirar as soluções triviais.
>>> E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora pela 
>>> restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b.
>>> O problema era provar que k era um quadrado perfeito.
>>> Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do 
>>> problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação.
>>> Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para dar 
>>> divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter encontrado 
>>> todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no Universo dos 
>>> Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1.
>>>
>>> Agradeço quem puder me orientar.
>>>
>>> Cordialmente,
>>> PJMS
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] OBM 88 Problema 6.

[Pedro José]

Boa noite!
Cláudio, minha preocupação é com a solução em si da equação.
O problema original pede que demonstre que k é um quadrado perfeito. Todas
soluções que vi são baseadas nas relações de Girad ou Vieta's fórmula como
chamam lá fora.
Eu parti do conhecimento de que k tem de ser quadrado perfeito.
Consegui provar que tirando as soluções triviais a=0 ou b=0 ou a=b=1
b>=raiz(k)
Aí achei a primeira solução para a equação, sem perda de generalidade,
considerei a>b, a=b só ocorre para a=b=1 ou a=b=0. Lá fora acho que nem
consideram 0 natural. Seguem a risca como foi o postulado de Peano.
Então para cada k=w^2 com w>1
Tem um conjunto com uma sequência infinita de soluções.
Sk={si=(ai,bi,k): i natural e i>=1| s1=(w^3,w,w^2) e si+1=(ai*w^2-bi, ai,
w^2).
Consigo provar que todos termos da sequência são soluções.
Não consigo provar que se há uma solução (a*,b*, k*) então (a*,b*,k*) ou
(b*,a*, k*) pertence a sequência Sk para k=w^2.
Eu não acho a solução da equação, só do problema como foi pedido, mostrar
que k é um QP, sem no entanto achar todas as soluções

Cordialmente,
PJMS

Em sex., 29 de dez. de 2023 09:18, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Dá um Google em "IMO 88".
> Vai ter até vídeo com a solução deste problema.
>
> On Thu, Dec 28, 2023 at 4:35 PM Pedro José  wrote:
>
>> Boa tarde!
>> Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar
>> com a pretensão de abranger todas as soluções da equação:
>>
>> (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa
>> restrição para retirar as soluções triviais.
>> E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora pela
>> restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b.
>> O problema era provar que k era um quadrado perfeito.
>> Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do
>> problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação.
>> Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para
>> dar divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter
>> encontrado todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no
>> Universo dos Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1.
>>
>> Agradeço quem puder me orientar.
>>
>> Cordialmente,
>> PJMS
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] OBM 88 Problema 6.

[Claudio Buffara]

Dá um Google em "IMO 88".
Vai ter até vídeo com a solução deste problema.

On Thu, Dec 28, 2023 at 4:35 PM Pedro José  wrote:

> Boa tarde!
> Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar
> com a pretensão de abranger todas as soluções da equação:
>
> (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa
> restrição para retirar as soluções triviais.
> E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora pela
> restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b.
> O problema era provar que k era um quadrado perfeito.
> Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do
> problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação.
> Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para dar
> divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter encontrado
> todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no Universo dos
> Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1.
>
> Agradeço quem puder me orientar.
>
> Cordialmente,
> PJMS
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] OBM 88 Problema 6.

[Pedro José]

Peço máxima vênia. Nem.reparata que fizera uma referência errada. OBM ao
invés de IMO. Interpretei erroneamente como uma censura. Só depois é que
reparei que falhará na referência.
Minhas escusas.

Cordialmente, PJMS.

Em qui., 28 de dez. de 2023 19:47, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

>
>
> Em qui, 28 de dez de 2023 19:01, Pedro José 
> escreveu:
>
>> E daí?
>>
>
> E daí e daí?
>
>
>> Em qui., 28 de dez. de 2023 18:42, Anderson Torres <
>> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Isso não é da OBM mas da IMO
>>>
>>> Em qui, 28 de dez de 2023 16:35, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa tarde!
 Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui
 provar com a pretensão de abranger todas as soluções da equação:

 (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa
 restrição para retirar as soluções triviais.
 E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora
 pela restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b.
 O problema era provar que k era um quadrado perfeito.
 Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do
 problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação.

>>>
>>> Sim, o próprio método de resolução por descenso provê um método de
>>> listagem das soluções.
>>>
>>> Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para
 dar divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter
 encontrado todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no
 Universo dos Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1.

 Agradeço quem puder me orientar.

 Cordialmente,
 PJMS

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] OBM 88 Problema 6.

[Anderson Torres]

Em qui, 28 de dez de 2023 19:01, Pedro José  escreveu:

> E daí?
>

E daí e daí?


> Em qui., 28 de dez. de 2023 18:42, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>> Isso não é da OBM mas da IMO
>>
>> Em qui, 28 de dez de 2023 16:35, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar
>>> com a pretensão de abranger todas as soluções da equação:
>>>
>>> (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa
>>> restrição para retirar as soluções triviais.
>>> E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora
>>> pela restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b.
>>> O problema era provar que k era um quadrado perfeito.
>>> Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do
>>> problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação.
>>>
>>
>> Sim, o próprio método de resolução por descenso provê um método de
>> listagem das soluções.
>>
>> Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para
>>> dar divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter
>>> encontrado todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no
>>> Universo dos Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1.
>>>
>>> Agradeço quem puder me orientar.
>>>
>>> Cordialmente,
>>> PJMS
>>>
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Re: [obm-l] OBM 88 Problema 6.

[Pedro José]

E daí?

Em qui., 28 de dez. de 2023 18:42, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Isso não é da OBM mas da IMO
>
> Em qui, 28 de dez de 2023 16:35, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar
>> com a pretensão de abranger todas as soluções da equação:
>>
>> (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa
>> restrição para retirar as soluções triviais.
>> E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora pela
>> restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b.
>> O problema era provar que k era um quadrado perfeito.
>> Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do
>> problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação.
>>
>
> Sim, o próprio método de resolução por descenso provê um método de
> listagem das soluções.
>
> Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para dar
>> divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter encontrado
>> todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no Universo dos
>> Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1.
>>
>> Agradeço quem puder me orientar.
>>
>> Cordialmente,
>> PJMS
>>
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Re: [obm-l] OBM 88 Problema 6.

[Anderson Torres]

Isso não é da OBM mas da IMO

Em qui, 28 de dez de 2023 16:35, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar
> com a pretensão de abranger todas as soluções da equação:
>
> (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa
> restrição para retirar as soluções triviais.
> E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora pela
> restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b.
> O problema era provar que k era um quadrado perfeito.
> Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do
> problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação.
>

Sim, o próprio método de resolução por descenso provê um método de listagem
das soluções.

Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para dar
> divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter encontrado
> todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no Universo dos
> Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1.
>
> Agradeço quem puder me orientar.
>
> Cordialmente,
> PJMS
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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Re: [obm-l] OBM 88 Problema 6.

[Anderson Torres]

Em qui, 28 de dez de 2023 17:40, Bruno Bianchi Pagani <
brunobianchipag...@gmail.com> escreveu:

> Como que eu saio disso?
>

procure pelas instruções de unsubscribe.


> On Thu, Dec 28, 2023, 4:35 PM Pedro José  wrote:
>
>> Boa tarde!
>> Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar
>> com a pretensão de abranger todas as soluções da equação:
>>
>> (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa
>> restrição para retirar as soluções triviais.
>> E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora pela
>> restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b.
>> O problema era provar que k era um quadrado perfeito.
>> Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do
>> problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação.
>> Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para
>> dar divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter
>> encontrado todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no
>> Universo dos Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1.
>>
>> Agradeço quem puder me orientar.
>>
>> Cordialmente,
>> PJMS
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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Re: [obm-l] OBM 88 Problema 6.

[Bruno Bianchi Pagani]

Como que eu saio disso?

On Thu, Dec 28, 2023, 4:35 PM Pedro José  wrote:

> Boa tarde!
> Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar
> com a pretensão de abranger todas as soluções da equação:
>
> (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa
> restrição para retirar as soluções triviais.
> E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora pela
> restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b.
> O problema era provar que k era um quadrado perfeito.
> Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do
> problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação.
> Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para dar
> divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter encontrado
> todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no Universo dos
> Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1.
>
> Agradeço quem puder me orientar.
>
> Cordialmente,
> PJMS
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Pesagens ( Balança Eletrônica)

[Claudio Buffara]

Por que você não começa com um caso menor, tal como 4, 6 ou 9 moedas no
total?

Como você não consegue distinguir, numa dada pesagem, um grupo só com
moedas verdadeiras e um grupo com 2 moedas falsas, um algoritmo
pra resolver este problema com o menor número possível de pesagens não me
parece óbvio.  Daí, a análise de um caso menor pode dar alguma luz.

[]s,
Claudio.


On Sun, Nov 19, 2023 at 3:50 PM Jeferson Almir 
wrote:

> Eu tinha errado umas contas, mas sua cota está correta Ralph, preciso
> montar um exemplo com 21 pesagens
>
> Em dom., 19 de nov. de 2023 às 15:00, Jeferson Almir <
> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>
>> Pelo visto, está sim Ralph!! Agora temos que montar uma estratégia que
>> com 21 pesagens.
>>
>> Em dom., 19 de nov. de 2023 às 13:55, Ralph Costa Teixeira <
>> ralp...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Existem 2022*2021/2 possibilidades para as 2 falsas. Qualquer estratégia
>>> que seja criada com k pesagens que dão apenas 2 respostas cada distingue no
>>> máximo dentre 2^k possibilidades. Então devemos ter 2^k >= 2022*2021/2...
>>> hmm, isso daria k como pelo menos 21? Errei algo?
>>>
>>> On Sun, Nov 19, 2023, 12:16 Jeferson Almir 
>>> wrote:
>>>
 Amigos, encontrei como K mínimo o valor 11 mas desconfio que seja
 menos. Se alguém souber uma ideia que acabe o problema serei grato.


 Em Villa Par todas as moedas autênticas pesam uma quantidade par de
 gramas e todas as moedas falsas pesam uma quantidade impar de gramas.

 Se você tiver 2022 moedas entre as quais sabe que exatamente 2 são
 falsas.

 Se tiver uma balança eletrônica que informe apenas se o peso total dos
 objetos colocados nela é par ou impar.

 Determine o valor mínimo de k para qualquer estratégia que permita
 identificar as moedas falsas usando a balança  no máximo k vezes.

 --
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 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
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>>
>>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Pesagens ( Balança Eletrônica)

[Jeferson Almir]

Eu tinha errado umas contas, mas sua cota está correta Ralph, preciso
montar um exemplo com 21 pesagens

Em dom., 19 de nov. de 2023 às 15:00, Jeferson Almir <
jefersonram...@gmail.com> escreveu:

> Pelo visto, está sim Ralph!! Agora temos que montar uma estratégia que com
> 21 pesagens.
>
> Em dom., 19 de nov. de 2023 às 13:55, Ralph Costa Teixeira <
> ralp...@gmail.com> escreveu:
>
>> Existem 2022*2021/2 possibilidades para as 2 falsas. Qualquer estratégia
>> que seja criada com k pesagens que dão apenas 2 respostas cada distingue no
>> máximo dentre 2^k possibilidades. Então devemos ter 2^k >= 2022*2021/2...
>> hmm, isso daria k como pelo menos 21? Errei algo?
>>
>> On Sun, Nov 19, 2023, 12:16 Jeferson Almir 
>> wrote:
>>
>>> Amigos, encontrei como K mínimo o valor 11 mas desconfio que seja menos.
>>> Se alguém souber uma ideia que acabe o problema serei grato.
>>>
>>>
>>> Em Villa Par todas as moedas autênticas pesam uma quantidade par de
>>> gramas e todas as moedas falsas pesam uma quantidade impar de gramas.
>>>
>>> Se você tiver 2022 moedas entre as quais sabe que exatamente 2 são
>>> falsas.
>>>
>>> Se tiver uma balança eletrônica que informe apenas se o peso total dos
>>> objetos colocados nela é par ou impar.
>>>
>>> Determine o valor mínimo de k para qualquer estratégia que permita
>>> identificar as moedas falsas usando a balança  no máximo k vezes.
>>>
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>>
>>
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>
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Pesagens ( Balança Eletrônica)

[Jeferson Almir]

Pelo visto, está sim Ralph!! Agora temos que montar uma estratégia que com
21 pesagens.

Em dom., 19 de nov. de 2023 às 13:55, Ralph Costa Teixeira <
ralp...@gmail.com> escreveu:

> Existem 2022*2021/2 possibilidades para as 2 falsas. Qualquer estratégia
> que seja criada com k pesagens que dão apenas 2 respostas cada distingue no
> máximo dentre 2^k possibilidades. Então devemos ter 2^k >= 2022*2021/2...
> hmm, isso daria k como pelo menos 21? Errei algo?
>
> On Sun, Nov 19, 2023, 12:16 Jeferson Almir 
> wrote:
>
>> Amigos, encontrei como K mínimo o valor 11 mas desconfio que seja menos.
>> Se alguém souber uma ideia que acabe o problema serei grato.
>>
>>
>> Em Villa Par todas as moedas autênticas pesam uma quantidade par de
>> gramas e todas as moedas falsas pesam uma quantidade impar de gramas.
>>
>> Se você tiver 2022 moedas entre as quais sabe que exatamente 2 são falsas.
>>
>> Se tiver uma balança eletrônica que informe apenas se o peso total dos
>> objetos colocados nela é par ou impar.
>>
>> Determine o valor mínimo de k para qualquer estratégia que permita
>> identificar as moedas falsas usando a balança  no máximo k vezes.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Pesagens ( Balança Eletrônica)

[Ralph Costa Teixeira]

Existem 2022*2021/2 possibilidades para as 2 falsas. Qualquer estratégia
que seja criada com k pesagens que dão apenas 2 respostas cada distingue no
máximo dentre 2^k possibilidades. Então devemos ter 2^k >= 2022*2021/2...
hmm, isso daria k como pelo menos 21? Errei algo?

On Sun, Nov 19, 2023, 12:16 Jeferson Almir  wrote:

> Amigos, encontrei como K mínimo o valor 11 mas desconfio que seja menos.
> Se alguém souber uma ideia que acabe o problema serei grato.
>
>
> Em Villa Par todas as moedas autênticas pesam uma quantidade par de gramas
> e todas as moedas falsas pesam uma quantidade impar de gramas.
>
> Se você tiver 2022 moedas entre as quais sabe que exatamente 2 são falsas.
>
> Se tiver uma balança eletrônica que informe apenas se o peso total dos
> objetos colocados nela é par ou impar.
>
> Determine o valor mínimo de k para qualquer estratégia que permita
> identificar as moedas falsas usando a balança  no máximo k vezes.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4

[Ralph Costa Teixeira]

Oi, Alexandre. Quando a gente escreve uma "pilha" de potências sem
parênteses, a convenção é que ela deve ser calculada "de cima para baixo."
Por exemplo:

2^3^4 = 2^(3^4)=2^81 (convenção usual)
ao invés de
(2^3)^4=2^12 (essa precisa de parênteses ali no 2^3).

No caso, acho que o pessoal falava de
x^x^x^x = x^(x^(x^x)) = coisa complicada que depende do x e que eu não sei
simplificar mais que isso ;D
ao invés de
((x^x)^x)^x = x^(x^3)

Ralph.

On Wed, Nov 1, 2023 at 7:45 PM Alexandre Antunes <
prof.alexandreantu...@gmail.com> wrote:

> Boa noite,
>
> Tem uma coisa que não estou entendendo  ... Enxergo ,  a expressão
> infinita de x elevada a x elevada a x (aplicando a propriedade de potência
> de potência) ... Como segue
>
> x^(x^(n-1)) = 2
> E
> x^(x^(n-1)) = 4
> Com n tendendo a infinito.
>
> log x . log x = log (log 2))/(n-1)
> E
> log x . log x = log (log 4))/(n-1)
>
> Para n tendendo a infinito
>
> log x . log x =0
>
> log^2 x = 0
>
> Tem sentido?!!? Ou viajei?
>
>
> Outra coisa, essas equações soltas, sem algum tipo de restrição do valor
> de x fica um pouco sem rumo!
>
>
>
> Em qua, 1 de nov de 2023 18:37, Pacini Bores 
> escreveu:
>
>> Oi Claudio, mas sabe,  o que mais me incomoda é o fato de que em  lnx =
>> lnL/L, se tomarmos a função g(L) = lnL/L , teremos  0< g(L) <= 1/e. Para
>> um único valor de "x" temos dois valores para L e, daí reforçando ( não sei
>> se estou bobeando em algo) a ideia  de que na hipótese de existir lim
>> a(n+1) = lim a(n) = L ,e se tomarmos  L=15 por exemplo , teremos um único
>> "x" no intervalo em que colocastes anteriormente. No Wolfram ou geogebra
>> fui fazendo f(x)= x^x^x... com o aumento na quantidade  de"x" , o gráfico
>> me pareceu crescente a partir de um certo momento e tendo sempre uma reta
>> paralela ao eixo horizontal intersectando sempre o gráfico de "f(x)" . Ou
>> seja, aquele fato de que x^x^x...=4 e dizer que é impossível me causou
>> estranheza. Desculpem se estou cometendo erros conceituais, mas de qualquer
>> forma agradeço a  atenção de todos.
>>
>> Pacini
>>
>> Em qua., 1 de nov. de 2023 às 16:17, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Dando um Google em x^x^x, eu achei sites que NADA tinham a ver com este
>>> problema...
>>> Mas procurando um pouco mais, achei a afirmação (sem demonstração) de
>>> que a sequência converge para e^(-e) <= x <= e^(1/e).
>>> Explorando numericamente, me convenci de que isso está (provavelmente)
>>> correto.
>>> Ou seja, dado x naquele intervalo, existe L tal que x^L = L
>>> Em particular, L = 1/e ==> (e^(-e))^(1/e) = 1/e,  e  L = e ==>
>>> (e^(1/e))^e = e.
>>> Ou seja, minha conjectura é: a função f é crescente, tem domínio
>>> [e^(-e),e^(1/e)] e imagem [1/e,e].
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>> On Wed, Nov 1, 2023 at 1:21 PM Claudio Buffara <
>>> claudio.buff...@gmail.com> wrote:
>>>
 A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por:
 a(0) = x   e   a(n+1) = x^a(n)
 e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual
 limite.

 Se a(n) convergir para L, então  x^L = L.

 Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2).

 Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x =
 raiz(2), a sequência parece convergir para 2.

 O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo
 I de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) =
 limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x.
 Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I,
 f(raiz(2)) = 2, e 4 não pertence a f(I).

 O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I).  Vamos ver...

 Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L).
 Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a
 e^(1/e), para L = e.
 ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 -
 log(L))/L^2 = 0 para L = e )
 Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e).
 Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e.
 Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à
 imagem de f.

 []s,
 Claudio.



 On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores 
 wrote:

> Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas
> equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma
> resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é
> possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver
> errado), é que o "x"  é que varia entre "0" e  " e^(1/e)" para que a
> igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis
> para "k", enquanto há apenas um valor para "x".
>
> A minha pergunta : Estou errando em algo ?
>
> Pacini
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


>>> --
>>> Esta 

Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4

[Pacini Bores]

Ok Claudio, obrigado.
Abraços

Em qua., 1 de nov. de 2023 às 19:18, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Se entendi direito, você pegou L = 15 e fez x = 15^(1/15) = 1,19786.  Foi
> isso?
> Mas este x está no intervalo [e^(-e), e^(1/e)].
> Daí, pra este x, a sequência converge (pra 1,254088...).
>
> Pra x > 1, quando você aumenta a "quantidade de x" o valor da torre de
> expoentes aumenta.
> Ou seja, x > 1 ==> x < x^x < x^x^x < ...
> Mas o que acontece é que, para x > e^(1/e), a sequência (x, x^x, x^x^x,
> ... )  cresce para além de qualquer limite (ou seja, diverge
> para +infinito).
> E para 1 < x <= e^(1/e), ela converge para um limite <= e.
> Não tem "meio-termo", ou seja, não existe x tal que x^x^x^... = 4 ou
> qualquer outro número > e.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
>
>
>
> On Wed, Nov 1, 2023 at 6:38 PM Pacini Bores  wrote:
>
>> Oi Claudio, mas sabe,  o que mais me incomoda é o fato de que em  lnx =
>> lnL/L, se tomarmos a função g(L) = lnL/L , teremos  0< g(L) <= 1/e. Para
>> um único valor de "x" temos dois valores para L e, daí reforçando ( não sei
>> se estou bobeando em algo) a ideia  de que na hipótese de existir lim
>> a(n+1) = lim a(n) = L ,e se tomarmos  L=15 por exemplo , teremos um único
>> "x" no intervalo em que colocastes anteriormente. No Wolfram ou geogebra
>> fui fazendo f(x)= x^x^x... com o aumento na quantidade  de"x" , o gráfico
>> me pareceu crescente a partir de um certo momento e tendo sempre uma reta
>> paralela ao eixo horizontal intersectando sempre o gráfico de "f(x)" . Ou
>> seja, aquele fato de que x^x^x...=4 e dizer que é impossível me causou
>> estranheza. Desculpem se estou cometendo erros conceituais, mas de qualquer
>> forma agradeço a  atenção de todos.
>>
>> Pacini
>>
>> Em qua., 1 de nov. de 2023 às 16:17, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Dando um Google em x^x^x, eu achei sites que NADA tinham a ver com este
>>> problema...
>>> Mas procurando um pouco mais, achei a afirmação (sem demonstração) de
>>> que a sequência converge para e^(-e) <= x <= e^(1/e).
>>> Explorando numericamente, me convenci de que isso está (provavelmente)
>>> correto.
>>> Ou seja, dado x naquele intervalo, existe L tal que x^L = L
>>> Em particular, L = 1/e ==> (e^(-e))^(1/e) = 1/e,  e  L = e ==>
>>> (e^(1/e))^e = e.
>>> Ou seja, minha conjectura é: a função f é crescente, tem domínio
>>> [e^(-e),e^(1/e)] e imagem [1/e,e].
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>> On Wed, Nov 1, 2023 at 1:21 PM Claudio Buffara <
>>> claudio.buff...@gmail.com> wrote:
>>>
 A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por:
 a(0) = x   e   a(n+1) = x^a(n)
 e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual
 limite.

 Se a(n) convergir para L, então  x^L = L.

 Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2).

 Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x =
 raiz(2), a sequência parece convergir para 2.

 O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo
 I de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) =
 limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x.
 Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I,
 f(raiz(2)) = 2, e 4 não pertence a f(I).

 O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I).  Vamos ver...

 Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L).
 Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a
 e^(1/e), para L = e.
 ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 -
 log(L))/L^2 = 0 para L = e )
 Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e).
 Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e.
 Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à
 imagem de f.

 []s,
 Claudio.



 On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores 
 wrote:

> Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas
> equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma
> resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é
> possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver
> errado), é que o "x"  é que varia entre "0" e  " e^(1/e)" para que a
> igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis
> para "k", enquanto há apenas um valor para "x".
>
> A minha pergunta : Estou errando em algo ?
>
> Pacini
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de 

Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4

[Alexandre Antunes]

Boa noite,

Tem uma coisa que não estou entendendo  ... Enxergo ,  a expressão infinita
de x elevada a x elevada a x (aplicando a propriedade de potência de
potência) ... Como segue

x^(x^(n-1)) = 2
E
x^(x^(n-1)) = 4
Com n tendendo a infinito.

log x . log x = log (log 2))/(n-1)
E
log x . log x = log (log 4))/(n-1)

Para n tendendo a infinito

log x . log x =0

log^2 x = 0

Tem sentido?!!? Ou viajei?


Outra coisa, essas equações soltas, sem algum tipo de restrição do valor de
x fica um pouco sem rumo!



Em qua, 1 de nov de 2023 18:37, Pacini Bores 
escreveu:

> Oi Claudio, mas sabe,  o que mais me incomoda é o fato de que em  lnx =
> lnL/L, se tomarmos a função g(L) = lnL/L , teremos  0< g(L) <= 1/e. Para
> um único valor de "x" temos dois valores para L e, daí reforçando ( não sei
> se estou bobeando em algo) a ideia  de que na hipótese de existir lim
> a(n+1) = lim a(n) = L ,e se tomarmos  L=15 por exemplo , teremos um único
> "x" no intervalo em que colocastes anteriormente. No Wolfram ou geogebra
> fui fazendo f(x)= x^x^x... com o aumento na quantidade  de"x" , o gráfico
> me pareceu crescente a partir de um certo momento e tendo sempre uma reta
> paralela ao eixo horizontal intersectando sempre o gráfico de "f(x)" . Ou
> seja, aquele fato de que x^x^x...=4 e dizer que é impossível me causou
> estranheza. Desculpem se estou cometendo erros conceituais, mas de qualquer
> forma agradeço a  atenção de todos.
>
> Pacini
>
> Em qua., 1 de nov. de 2023 às 16:17, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Dando um Google em x^x^x, eu achei sites que NADA tinham a ver com este
>> problema...
>> Mas procurando um pouco mais, achei a afirmação (sem demonstração) de que
>> a sequência converge para e^(-e) <= x <= e^(1/e).
>> Explorando numericamente, me convenci de que isso está (provavelmente)
>> correto.
>> Ou seja, dado x naquele intervalo, existe L tal que x^L = L
>> Em particular, L = 1/e ==> (e^(-e))^(1/e) = 1/e,  e  L = e ==>
>> (e^(1/e))^e = e.
>> Ou seja, minha conjectura é: a função f é crescente, tem domínio
>> [e^(-e),e^(1/e)] e imagem [1/e,e].
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>> On Wed, Nov 1, 2023 at 1:21 PM Claudio Buffara 
>> wrote:
>>
>>> A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por:
>>> a(0) = x   e   a(n+1) = x^a(n)
>>> e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual
>>> limite.
>>>
>>> Se a(n) convergir para L, então  x^L = L.
>>>
>>> Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2).
>>>
>>> Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2),
>>> a sequência parece convergir para 2.
>>>
>>> O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo
>>> I de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) =
>>> limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x.
>>> Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I,
>>> f(raiz(2)) = 2, e 4 não pertence a f(I).
>>>
>>> O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I).  Vamos ver...
>>>
>>> Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L).
>>> Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e),
>>> para L = e.
>>> ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2
>>> = 0 para L = e )
>>> Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e).
>>> Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e.
>>> Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à
>>> imagem de f.
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>>
>>> On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores 
>>> wrote:
>>>
 Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas
 equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma
 resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é
 possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver
 errado), é que o "x"  é que varia entre "0" e  " e^(1/e)" para que a
 igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis
 para "k", enquanto há apenas um valor para "x".

 A minha pergunta : Estou errando em algo ?

 Pacini

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4

[Claudio Buffara]

Se entendi direito, você pegou L = 15 e fez x = 15^(1/15) = 1,19786.  Foi
isso?
Mas este x está no intervalo [e^(-e), e^(1/e)].
Daí, pra este x, a sequência converge (pra 1,254088...).

Pra x > 1, quando você aumenta a "quantidade de x" o valor da torre de
expoentes aumenta.
Ou seja, x > 1 ==> x < x^x < x^x^x < ...
Mas o que acontece é que, para x > e^(1/e), a sequência (x, x^x, x^x^x, ...
)  cresce para além de qualquer limite (ou seja, diverge para +infinito).
E para 1 < x <= e^(1/e), ela converge para um limite <= e.
Não tem "meio-termo", ou seja, não existe x tal que x^x^x^... = 4 ou
qualquer outro número > e.

[]s,
Claudio.






On Wed, Nov 1, 2023 at 6:38 PM Pacini Bores  wrote:

> Oi Claudio, mas sabe,  o que mais me incomoda é o fato de que em  lnx =
> lnL/L, se tomarmos a função g(L) = lnL/L , teremos  0< g(L) <= 1/e. Para
> um único valor de "x" temos dois valores para L e, daí reforçando ( não sei
> se estou bobeando em algo) a ideia  de que na hipótese de existir lim
> a(n+1) = lim a(n) = L ,e se tomarmos  L=15 por exemplo , teremos um único
> "x" no intervalo em que colocastes anteriormente. No Wolfram ou geogebra
> fui fazendo f(x)= x^x^x... com o aumento na quantidade  de"x" , o gráfico
> me pareceu crescente a partir de um certo momento e tendo sempre uma reta
> paralela ao eixo horizontal intersectando sempre o gráfico de "f(x)" . Ou
> seja, aquele fato de que x^x^x...=4 e dizer que é impossível me causou
> estranheza. Desculpem se estou cometendo erros conceituais, mas de qualquer
> forma agradeço a  atenção de todos.
>
> Pacini
>
> Em qua., 1 de nov. de 2023 às 16:17, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Dando um Google em x^x^x, eu achei sites que NADA tinham a ver com este
>> problema...
>> Mas procurando um pouco mais, achei a afirmação (sem demonstração) de que
>> a sequência converge para e^(-e) <= x <= e^(1/e).
>> Explorando numericamente, me convenci de que isso está (provavelmente)
>> correto.
>> Ou seja, dado x naquele intervalo, existe L tal que x^L = L
>> Em particular, L = 1/e ==> (e^(-e))^(1/e) = 1/e,  e  L = e ==>
>> (e^(1/e))^e = e.
>> Ou seja, minha conjectura é: a função f é crescente, tem domínio
>> [e^(-e),e^(1/e)] e imagem [1/e,e].
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>> On Wed, Nov 1, 2023 at 1:21 PM Claudio Buffara 
>> wrote:
>>
>>> A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por:
>>> a(0) = x   e   a(n+1) = x^a(n)
>>> e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual
>>> limite.
>>>
>>> Se a(n) convergir para L, então  x^L = L.
>>>
>>> Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2).
>>>
>>> Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2),
>>> a sequência parece convergir para 2.
>>>
>>> O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo
>>> I de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) =
>>> limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x.
>>> Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I,
>>> f(raiz(2)) = 2, e 4 não pertence a f(I).
>>>
>>> O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I).  Vamos ver...
>>>
>>> Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L).
>>> Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e),
>>> para L = e.
>>> ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2
>>> = 0 para L = e )
>>> Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e).
>>> Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e.
>>> Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à
>>> imagem de f.
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>>
>>> On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores 
>>> wrote:
>>>
 Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas
 equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma
 resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é
 possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver
 errado), é que o "x"  é que varia entre "0" e  " e^(1/e)" para que a
 igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis
 para "k", enquanto há apenas um valor para "x".

 A minha pergunta : Estou errando em algo ?

 Pacini

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Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4

[Pacini Bores]

Oi Claudio, mas sabe,  o que mais me incomoda é o fato de que em  lnx =
lnL/L, se tomarmos a função g(L) = lnL/L , teremos  0< g(L) <= 1/e. Para
um único valor de "x" temos dois valores para L e, daí reforçando ( não sei
se estou bobeando em algo) a ideia  de que na hipótese de existir lim
a(n+1) = lim a(n) = L ,e se tomarmos  L=15 por exemplo , teremos um único
"x" no intervalo em que colocastes anteriormente. No Wolfram ou geogebra
fui fazendo f(x)= x^x^x... com o aumento na quantidade  de"x" , o gráfico
me pareceu crescente a partir de um certo momento e tendo sempre uma reta
paralela ao eixo horizontal intersectando sempre o gráfico de "f(x)" . Ou
seja, aquele fato de que x^x^x...=4 e dizer que é impossível me causou
estranheza. Desculpem se estou cometendo erros conceituais, mas de qualquer
forma agradeço a  atenção de todos.

Pacini

Em qua., 1 de nov. de 2023 às 16:17, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Dando um Google em x^x^x, eu achei sites que NADA tinham a ver com este
> problema...
> Mas procurando um pouco mais, achei a afirmação (sem demonstração) de que
> a sequência converge para e^(-e) <= x <= e^(1/e).
> Explorando numericamente, me convenci de que isso está (provavelmente)
> correto.
> Ou seja, dado x naquele intervalo, existe L tal que x^L = L
> Em particular, L = 1/e ==> (e^(-e))^(1/e) = 1/e,  e  L = e ==> (e^(1/e))^e
> = e.
> Ou seja, minha conjectura é: a função f é crescente, tem domínio
> [e^(-e),e^(1/e)] e imagem [1/e,e].
>
> []s,
> Claudio.
>
> On Wed, Nov 1, 2023 at 1:21 PM Claudio Buffara 
> wrote:
>
>> A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por:
>> a(0) = x   e   a(n+1) = x^a(n)
>> e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual
>> limite.
>>
>> Se a(n) convergir para L, então  x^L = L.
>>
>> Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2).
>>
>> Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2),
>> a sequência parece convergir para 2.
>>
>> O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo I
>> de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) =
>> limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x.
>> Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I, f(raiz(2))
>> = 2, e 4 não pertence a f(I).
>>
>> O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I).  Vamos ver...
>>
>> Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L).
>> Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e),
>> para L = e.
>> ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2
>> = 0 para L = e )
>> Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e).
>> Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e.
>> Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à
>> imagem de f.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>>
>> On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores 
>> wrote:
>>
>>> Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas
>>> equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma
>>> resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é
>>> possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver
>>> errado), é que o "x"  é que varia entre "0" e  " e^(1/e)" para que a
>>> igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis
>>> para "k", enquanto há apenas um valor para "x".
>>>
>>> A minha pergunta : Estou errando em algo ?
>>>
>>> Pacini
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Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4

[Claudio Buffara]

Dando um Google em x^x^x, eu achei sites que NADA tinham a ver com este
problema...
Mas procurando um pouco mais, achei a afirmação (sem demonstração) de que a
sequência converge para e^(-e) <= x <= e^(1/e).
Explorando numericamente, me convenci de que isso está (provavelmente)
correto.
Ou seja, dado x naquele intervalo, existe L tal que x^L = L
Em particular, L = 1/e ==> (e^(-e))^(1/e) = 1/e,  e  L = e ==> (e^(1/e))^e
= e.
Ou seja, minha conjectura é: a função f é crescente, tem domínio
[e^(-e),e^(1/e)] e imagem [1/e,e].

[]s,
Claudio.

On Wed, Nov 1, 2023 at 1:21 PM Claudio Buffara 
wrote:

> A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por:
> a(0) = x   e   a(n+1) = x^a(n)
> e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual
> limite.
>
> Se a(n) convergir para L, então  x^L = L.
>
> Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2).
>
> Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2), a
> sequência parece convergir para 2.
>
> O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo I
> de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) =
> limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x.
> Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I, f(raiz(2))
> = 2, e 4 não pertence a f(I).
>
> O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I).  Vamos ver...
>
> Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L).
> Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e),
> para L = e.
> ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2 =
> 0 para L = e )
> Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e).
> Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e.
> Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à
> imagem de f.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores  wrote:
>
>> Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas
>> equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma
>> resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é
>> possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver
>> errado), é que o "x"  é que varia entre "0" e  " e^(1/e)" para que a
>> igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis
>> para "k", enquanto há apenas um valor para "x".
>>
>> A minha pergunta : Estou errando em algo ?
>>
>> Pacini
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4

[Pacini Bores]

Ok Marcelo, ciente.


Abraços

Em qua., 1 de nov. de 2023 às 15:46, Marcelo Gonda Stangler <
marcelo.gonda.stang...@gmail.com> escreveu:

> Note, que o engano está, no caso de encontrar o valor quando L=4, em pular
> de 'se há convergência, x=raiz(2)' para 'x=raiz(2) equivale à convergência'
>
> Abs
>
> Em qua, 1 de nov de 2023 08:47, Pacini Bores 
> escreveu:
>
>> Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas
>> equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma
>> resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é
>> possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver
>> errado), é que o "x"  é que varia entre "0" e  " e^(1/e)" para que a
>> igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis
>> para "k", enquanto há apenas um valor para "x".
>>
>> A minha pergunta : Estou errando em algo ?
>>
>> Pacini
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4

[Marcelo Gonda Stangler]

Note, que o engano está, no caso de encontrar o valor quando L=4, em pular
de 'se há convergência, x=raiz(2)' para 'x=raiz(2) equivale à convergência'

Abs

Em qua, 1 de nov de 2023 08:47, Pacini Bores 
escreveu:

> Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas
> equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma
> resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é
> possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver
> errado), é que o "x"  é que varia entre "0" e  " e^(1/e)" para que a
> igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis
> para "k", enquanto há apenas um valor para "x".
>
> A minha pergunta : Estou errando em algo ?
>
> Pacini
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4

[Pacini Bores]

Oi Claudio, obrigado pelo esclarecimento. O que eu vejo sempre é alguns
dando simplesmente a resposta  que para L=4 o problema se torna impossível,
e na verdade necessita de uma análise  de como você bem colocou.

Abraços
Pacini

Em qua., 1 de nov. de 2023 às 13:34, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por:
> a(0) = x   e   a(n+1) = x^a(n)
> e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual
> limite.
>
> Se a(n) convergir para L, então  x^L = L.
>
> Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2).
>
> Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2), a
> sequência parece convergir para 2.
>
> O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo I
> de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) =
> limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x.
> Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I, f(raiz(2))
> = 2, e 4 não pertence a f(I).
>
> O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I).  Vamos ver...
>
> Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L).
> Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e),
> para L = e.
> ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2 =
> 0 para L = e )
> Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e).
> Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e.
> Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à
> imagem de f.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores  wrote:
>
>> Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas
>> equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma
>> resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é
>> possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver
>> errado), é que o "x"  é que varia entre "0" e  " e^(1/e)" para que a
>> igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis
>> para "k", enquanto há apenas um valor para "x".
>>
>> A minha pergunta : Estou errando em algo ?
>>
>> Pacini
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4

[Claudio Buffara]

A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por:
a(0) = x   e   a(n+1) = x^a(n)
e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual
limite.

Se a(n) convergir para L, então  x^L = L.

Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2).

Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2), a
sequência parece convergir para 2.

O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo I
de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) =
limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x.
Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I, f(raiz(2)) =
2, e 4 não pertence a f(I).

O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I).  Vamos ver...

Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L).
Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e),
para L = e.
( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2 =
0 para L = e )
Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e).
Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e.
Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à
imagem de f.

[]s,
Claudio.



On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores  wrote:

> Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas
> equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma
> resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é
> possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver
> errado), é que o "x"  é que varia entre "0" e  " e^(1/e)" para que a
> igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis
> para "k", enquanto há apenas um valor para "x".
>
> A minha pergunta : Estou errando em algo ?
>
> Pacini
>
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação

[Daniel Jelin]

Obrigado, Marcelo, abs!

Em qua., 25 de out. de 2023 00:24, Marcelo Gonda Stangler <
marcelo.gonda.stang...@gmail.com> escreveu:

> Este problema, com um pouco de uso de substituição pode ser mostrado como
> análogo a isolar em x: k=x-e^(-1/x+1)
> Tu precisas limitar o "quanto" estás disposto a fatorar, pois poderiamos
> isolar x deixando-o em função de f(x) tal que f(x)-e^(-1/f(x)+1)=k. Mas
> suspeito que não é isto que queres.
> Se estamos falando de isolar algebricamente x, podemos notar alguns pontos:
>   Exp(x) para valores não triviais causa transformações relativas a x na
> base minimal que contém x de extensão sobre A, o corpo dos algébricos.
>   Se k é algébrico não nulo, x deve ser transcedental, visto que e é
> transcedental e (-1/x+1) pertence ao corpo dos A[x], assim x ser algebráico
> seria um absurdo.
>   Se x é algébrico, à exceção de 1, raiz de -1/x+1, k será transcedental
> uma vez que e o é.
> Assim, à exceção do caso (k,x)=(0,1), não haverá soluções em que x e k são
> algebráicos. Então, ao isolar o x, obteriamos algo em relação a "e" ou "ln".
> Como k=x-e^(-1/x+1), a base minimal de extensão que contém k é a união
> desta base de x, e da base transformada de x por Exp().
> Assim, a base minimal de x teria que ser a união da base de k e da base
> transformada de k por Exp() (1) ou Ln() (2).
> (1) implica que ambos são algébricos e (k,x)=(0,1)
> (2) implica que BM(x) = BM(k) U BM(Ln(k)) = BM(x) U BM(Exp(x)) U
> BM(Ln(k)), também implica (k,x)=(0,1)
>
> Dessa forma provamos que é impossível 'isolar' o x em função de k.
>
> Em ter, 24 de out de 2023 21:15, Daniel Jelin 
> escreveu:
>
>> Caros, olá. Tenho a seguinte equação: 1/ln(x) - 1/(x-1) = k, com x e k
>> reais. Quero isolar o x, mas não consigo. Pergunto: alguém tem alguma dica?
>> E pergunto tb: é possível que simplesmente não haja meios de isolar o x?
>> Nesse caso, como se prova isso? abs.
>>
>> --
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>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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[obm-l] Re: [obm-l] equação

[Marcelo Gonda Stangler]

Este problema, com um pouco de uso de substituição pode ser mostrado como
análogo a isolar em x: k=x-e^(-1/x+1)
Tu precisas limitar o "quanto" estás disposto a fatorar, pois poderiamos
isolar x deixando-o em função de f(x) tal que f(x)-e^(-1/f(x)+1)=k. Mas
suspeito que não é isto que queres.
Se estamos falando de isolar algebricamente x, podemos notar alguns pontos:
  Exp(x) para valores não triviais causa transformações relativas a x na
base minimal que contém x de extensão sobre A, o corpo dos algébricos.
  Se k é algébrico não nulo, x deve ser transcedental, visto que e é
transcedental e (-1/x+1) pertence ao corpo dos A[x], assim x ser algebráico
seria um absurdo.
  Se x é algébrico, à exceção de 1, raiz de -1/x+1, k será transcedental
uma vez que e o é.
Assim, à exceção do caso (k,x)=(0,1), não haverá soluções em que x e k são
algebráicos. Então, ao isolar o x, obteriamos algo em relação a "e" ou "ln".
Como k=x-e^(-1/x+1), a base minimal de extensão que contém k é a união
desta base de x, e da base transformada de x por Exp().
Assim, a base minimal de x teria que ser a união da base de k e da base
transformada de k por Exp() (1) ou Ln() (2).
(1) implica que ambos são algébricos e (k,x)=(0,1)
(2) implica que BM(x) = BM(k) U BM(Ln(k)) = BM(x) U BM(Exp(x)) U BM(Ln(k)),
também implica (k,x)=(0,1)

Dessa forma provamos que é impossível 'isolar' o x em função de k.

Em ter, 24 de out de 2023 21:15, Daniel Jelin 
escreveu:

> Caros, olá. Tenho a seguinte equação: 1/ln(x) - 1/(x-1) = k, com x e k
> reais. Quero isolar o x, mas não consigo. Pergunto: alguém tem alguma dica?
> E pergunto tb: é possível que simplesmente não haja meios de isolar o x?
> Nesse caso, como se prova isso? abs.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Números primos

[Anderson Torres]

Em qua, 4 de out de 2023 15:49, carlos h Souza 
escreveu:

> Boa tarde,
>
> Para fins didáticos é mais fácil encontrar os números primos em forma de
> fatoração numérica ou usar o Crivo de Eratóstenes ?
>


Fatoração, de longe.

Os primos são definidos precisamente como "os infatoráveis".

Já o crivo de Eratóstenes é um algoritmo de classificação em massa.

Pensa da seguinte forma: para verificar se um número N é primo, o que é
mais natural:
- tentar dividir em k partes iguais, para todos os k pequenos;
- escrever todos os números de 1 a N num papel e ir furando o papel de
acordo com uma regra mágica?



> Obrigados a todos.
>
> --
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[obm-l] Re: [obm-l] Números primos

[Claudio Buffara]

Fatoração, com certeza.  Por exemplo, diga pra garotada analisar os números
de 2 a 100 e determinar quais podem ser expressos como produto de números
naturais menores.  Como dica, pra facilitar o trabalho, diga pra eles
consultarem a tabuada (e também pra observarem que, na tabuada, nem todos
os números aparecem como resultado de alguma multiplicação).  Acho que
essa é uma boa motivação pra definição de número primo.
As dificuldades encontradas por eles nesta tarefa podem motivar a busca de
uma forma sistemática (um algoritmo) pra determinar os números primos na
sequência de números naturais. Esse seria o crivo de Eratóstenes, cuja
descoberta poderia ser guiada por perguntas e dicas pertinentes.

Outra forma de motivar a definição de primo é representar o natural N (N =
1, 2, 3, ...) por N bolinhas, que devem ser dispostas num arranjo
retangular com 2 ou mais linhas (ou colunas).  Para alguns valores de N,
isso será impossível.  Estes são os números primos.
Numa digressão, faça a garotada determinar pra quais N as bolinhas podem
ser particionadas em pares (conjuntos com 2 elementos)... daí o nome.
Há vários probleminhas interessantes que podem ser resolvidos com esta
representação dos números - o do jovem Gauss, por exemplo, ou o da soma dos
ímpares consecutivos, ou determinar pra quais N o arranjo pode ter o mesmo
número de linhas e de colunas.

[]s,
Claudio.


On Wed, Oct 4, 2023 at 3:49 PM carlos h Souza  wrote:

> Boa tarde,
>
> Para fins didáticos é mais fácil encontrar os números primos em forma de
> fatoração numérica ou usar o Crivo de Eratóstenes ?
>
> Obrigados a todos.
>
> --
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] f(f(x))=e^(-x)

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira]

Por outro lado existem funções (necessariamente descontínuas) de R em R que
satisfazem essa equação funcional. Vou tentar
descrever uma delas.
Seja a=LambertW(1)~0,5671432904... a solução real de e^(-x)=x, como o Ralph
mencionou. Vou escrever g(x)=e^(-x).
Queremos f(f(x))=g(x). Vamos definir recursivamente g^n(x) por g^0(x)=x,
g^(n+1)(x)=g(g^n(x)). Vou usar o seguinte fato,
que deixo como exercício: para todo y real diferente de a existe um único x
em (-infinito,0] e um único n natural tais que y=g^n(x).
Definimos f(x) para x em (-infinito,-1] como f(x)=-(x+1)/x (assim f leva
(-infinito,-1] em (-1,0]), e definimos f em (-1,0] para
termos f(f(x))=g(x) se x está em (-infinito,-1], ou seja, f(y)=e^(1/(y+1))
para y em (-1,0]. A partir daí, se y=g^n(x) com n
natural e x em (-infinito,0], definimos f(y)=g^n(f(x)).Finalmente definimos
f(a)=a.
Abraços,
Gugu

On Sat, Sep 23, 2023 at 9:32 PM Ralph Costa Teixeira 
wrote:

> P.S.: Existe um argumento simples para mostrar que NÃO existe *f:R->R*
> *contínua* com f(f(x))=g(x) que serve para qualquer g estritamente
> decrescente (como esta g(x)=e^(-x)). Funciona assim:
>
> i) f teria que ser bijetiva. Afinal, f(a)=f(b) implica f(f(a))=f(f(b)) e,
> daqui (g bijetiva) vem a=b.
> ii) Mas f bijetiva continua em R implica f (estritamente) monótona!
> iiia) se f (estritamente) crescente, absurdo, pois f(f(x))=g(x) seria
> crescente;
> iiib) se f (estritamente) decrescente, absurdo, pois f(f(x))=g(x) seria
> crescente de novo!
>
> Ralph.
>
> On Sat, Sep 23, 2023 at 9:03 PM Ralph Costa Teixeira 
> wrote:
>
>> Tecnicamente esta f existe: você pode tomar f:{a}->{a} dada por f(a)=a
>> onde a=LambertW(1)~0,56714...  (a raiz de e^(-x)=x).  ;D ;D ;D
>>
>> Ou melhor dizendo: o problema fala algo sobre o domínio dessa f? Ou dela
>> ser contínua, pelo menos?
>>
>>
>> On Sat, Sep 23, 2023 at 8:25 PM Luís Lopes  wrote:
>>
>>> Saudações,
>>>
>>> Existe tal f? Se sim, qual seria?
>>>
>>> Recebi um e-mail com esta pergunta, sem maiores detalhes. Pelo e-mail,
>>> tal f não existe. Problema encontrado pelo remetente no YouTube.
>>>
>>> Luís
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> =
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>>>
>>
> --
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Re: [obm-l] f(f(x))=e^(-x)

[Ralph Costa Teixeira]

P.S.: Existe um argumento simples para mostrar que NÃO existe *f:R->R*
*contínua* com f(f(x))=g(x) que serve para qualquer g estritamente
decrescente (como esta g(x)=e^(-x)). Funciona assim:

i) f teria que ser bijetiva. Afinal, f(a)=f(b) implica f(f(a))=f(f(b)) e,
daqui (g bijetiva) vem a=b.
ii) Mas f bijetiva continua em R implica f (estritamente) monótona!
iiia) se f (estritamente) crescente, absurdo, pois f(f(x))=g(x) seria
crescente;
iiib) se f (estritamente) decrescente, absurdo, pois f(f(x))=g(x) seria
crescente de novo!

Ralph.

On Sat, Sep 23, 2023 at 9:03 PM Ralph Costa Teixeira 
wrote:

> Tecnicamente esta f existe: você pode tomar f:{a}->{a} dada por f(a)=a
> onde a=LambertW(1)~0,56714...  (a raiz de e^(-x)=x).  ;D ;D ;D
>
> Ou melhor dizendo: o problema fala algo sobre o domínio dessa f? Ou dela
> ser contínua, pelo menos?
>
>
> On Sat, Sep 23, 2023 at 8:25 PM Luís Lopes  wrote:
>
>> Saudações,
>>
>> Existe tal f? Se sim, qual seria?
>>
>> Recebi um e-mail com esta pergunta, sem maiores detalhes. Pelo e-mail,
>> tal f não existe. Problema encontrado pelo remetente no YouTube.
>>
>> Luís
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>

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Re: [obm-l] f(f(x))=e^(-x)

[Ralph Costa Teixeira]

Tecnicamente esta f existe: você pode tomar f:{a}->{a} dada por f(a)=a onde
a=LambertW(1)~0,56714...  (a raiz de e^(-x)=x).  ;D ;D ;D

Ou melhor dizendo: o problema fala algo sobre o domínio dessa f? Ou dela
ser contínua, pelo menos?


On Sat, Sep 23, 2023 at 8:25 PM Luís Lopes  wrote:

> Saudações,
>
> Existe tal f? Se sim, qual seria?
>
> Recebi um e-mail com esta pergunta, sem maiores detalhes. Pelo e-mail, tal
> f não existe. Problema encontrado pelo remetente no YouTube.
>
> Luís
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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Re: [obm-l] f(f(x))=e^(-x)

[Ian Barquette]

Se f(x) puder ser constante, a aproximação de ~10^(-8) de diferença
é 0.567143290

Em sáb., 23 de set. de 2023 20:25, Luís Lopes 
escreveu:

> Saudações,
>
> Existe tal f? Se sim, qual seria?
>
> Recebi um e-mail com esta pergunta, sem maiores detalhes. Pelo e-mail, tal
> f não existe. Problema encontrado pelo remetente no YouTube.
>
> Luís
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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Re: [obm-l] Conjuntos

[Pedro José]

Boa tarde!
Vou considerar 3 números mesmo.
3, 3, 3 é um número só repetido três  vezes.
Os três números obrigatoriamente estarão em P.A. Então usando a menor razão
r <>0;
temos r=1
{1,2,3} {2,3,4}...{2020, 2021, 2022}
{2021, 2022, 2023} temos 2021 conjuntos para r=1.
É fácil observar que para r=2 o último
conjunto será  {2019, 2021, 2023} assim sendo teremos 2019 conjuntos.
E a cada unidade que aumentamos em r diminuímos em 2 o número de conjuntos
Até que chegaremos a um conjunto apenas. {1, 1012, 2023}
Logo o número de conjuntos N será a soma de:
N= 1 + 3 +5+..2019+2021, que é uma PA de razão 2.
seja n o número de termos da PA
n=(2021-1)/2+1=1011
N=(1+2021)*1011/2=1.022.121

Cordialmente,
PJMS


Em ter., 8 de ago. de 2023 19:53, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> mande uma vez somente.
>
> Em ter, 8 de ago de 2023 12:33, Jamil Silva 
> escreveu:
>
>> Quantos conjuntos de três números inteiros positivos menores ou iguais a
>> 2023 contêm a média aritmética de seus elementos ?
>>
>> --
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>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Comunicação

[qedtexte]

Sauda,c~oes,

O Renato Madeira administra um. Ele pede somente que quem pedir
para se inscrever que se identifique cono membro desta lista.

Renato Madeira
WhatsApp: 55 21 99889 1516

Lus Lopes





Data: 25/08/2023
De: Priscila Santana priscila@hotmail.com
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Comunicao 
Ol! 

Existe algum grupo de discusso de questes olmpicas no WhatsApp? 

Atte. 



Priscila S. da Paz 



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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Comunicação

[Tiago Sandino]

https://t.me/+jz8XW7bgRqNlOTg5

Criei esse grupo no telegram. A principal vantagem do Telegram em relação
ao Whatsapp é que quem entra pode ter acesso a todas as mensagens e
arquivos anteriores. A quantidade de membros que podem entrar é de 200.000.
Tô pensando aqui em umas regras também, tais como proibição de pirataria,
spam e algumas coisas a mais que podemos discutir lá. Melhor que isso, só
se alguém fizesse um fórum e fosse possível escrever em latex lá. Tem o
AOPS ok, mas nada nosso mesmo. Fiquem à vontade para entrar. Se o link
expirar, podem me solicitar outro por aqui.

Att.
*Prof. Tiago Sandino*
*85 999134896*

Em seg., 28 de ago. de 2023 02:02, Rogerio Ponce 
escreveu:

> Ola pessoal!
>
> Nesta lista, da qual participamos, qualquer um (mesmo que não esteja
> inscrito na lista) pode acessar os arquivos, fazer pesquisas e ler
> todos os problemas e suas solucoes.
>
> No whatsapp, isto seria impossivel, a menos que o individuo ja
> estivesse participando desde o inicio.
>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
> On Sat, Aug 26, 2023 at 1:36 PM Esdras Muniz 
> wrote:
> >
> > Seria muito legal se existisse.
> >
> > Em sex, 25 de ago de 2023 18:24, Priscila Santana <
> priscila@hotmail.com> escreveu:
> >>
> >>
> >> Olá!
> >>
> >> Existe algum grupo de discussão de questões olímpicas no WhatsApp?
> >>
> >> Atte.
> >>
> >> Priscila S. da Paz
> >>
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Comunicação

[Rogerio Ponce]

Ola pessoal!

Nesta lista, da qual participamos, qualquer um (mesmo que não esteja
inscrito na lista) pode acessar os arquivos, fazer pesquisas e ler
todos os problemas e suas solucoes.

No whatsapp, isto seria impossivel, a menos que o individuo ja
estivesse participando desde o inicio.

[]'s
Rogerio Ponce

On Sat, Aug 26, 2023 at 1:36 PM Esdras Muniz  wrote:
>
> Seria muito legal se existisse.
>
> Em sex, 25 de ago de 2023 18:24, Priscila Santana  
> escreveu:
>>
>>
>> Olá!
>>
>> Existe algum grupo de discussão de questões olímpicas no WhatsApp?
>>
>> Atte.
>>
>> Priscila S. da Paz
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Comunicação

[Marcelo Gonda Stangler]

https://chat.whatsapp.com/CNGgk3NcgwY4AFsB61COXB
Quem sabe?

On Sat, Aug 26, 2023 at 1:36 PM Esdras Muniz 
wrote:

> Seria muito legal se existisse.
>
> Em sex, 25 de ago de 2023 18:24, Priscila Santana <
> priscila@hotmail.com> escreveu:
>
>>
>> Olá!
>>
>> Existe algum grupo de discussão de questões olímpicas no WhatsApp?
>>
>> Atte.
>>
>> *Priscila S. da Paz*
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Comunicação

[Esdras Muniz]

Seria muito legal se existisse.

Em sex, 25 de ago de 2023 18:24, Priscila Santana 
escreveu:

>
> Olá!
>
> Existe algum grupo de discussão de questões olímpicas no WhatsApp?
>
> Atte.
>
> *Priscila S. da Paz*
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: teoria dos números

[Israel Meireles Chrisostomo]

Muito obrigado!

Em qui., 10 de ago. de 2023 22:27, Ian Barquette <
ianbarquettelou...@gmail.com> escreveu:

> Se a função já está definida, e você quer apenas pontuar os limites dela,
> seria o conceito de imagem da função:
>
> Im(f) = (0, 1) = ]0, 1[
>
>
>
> Caso a função não esteja definida, a restrição seria o contradomínio da
> função:
>
> CD(f) = (0, 1) = ]0, 1[
>
> Ao definir a função, considerando C um conjunto qualquer,
>
> f: C -> (0, 1)
>
> Em qui., 10 de ago. de 2023 20:11, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Como faço para definir em notação de conjuntos uma função com a
>> restrição, tipo 0> Seria (0,1]x(0,1]?
>>
>> Em qui., 10 de ago. de 2023 às 20:15, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Como faço para definir em notação de conjuntos uma função com a
>>> restrição, tipo f(x)<1
>>> Seria (0,1]x(0,1]?
>>>
>>> --
>>> Israel Meireles Chrisostomo
>>>
>>
>>
>> --
>> Israel Meireles Chrisostomo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: teoria dos números

[Ian Barquette]

Se a função já está definida, e você quer apenas pontuar os limites dela,
seria o conceito de imagem da função:

Im(f) = (0, 1) = ]0, 1[



Caso a função não esteja definida, a restrição seria o contradomínio da
função:

CD(f) = (0, 1) = ]0, 1[

Ao definir a função, considerando C um conjunto qualquer,

f: C -> (0, 1)

Em qui., 10 de ago. de 2023 20:11, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Como faço para definir em notação de conjuntos uma função com a restrição,
> tipo 0 Seria (0,1]x(0,1]?
>
> Em qui., 10 de ago. de 2023 às 20:15, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Como faço para definir em notação de conjuntos uma função com a
>> restrição, tipo f(x)<1
>> Seria (0,1]x(0,1]?
>>
>> --
>> Israel Meireles Chrisostomo
>>
>
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Conjuntos

[Anderson Torres]

mande uma vez somente.

Em ter, 8 de ago de 2023 12:33, Jamil Silva 
escreveu:

> Quantos conjuntos de três números inteiros positivos menores ou iguais a
> 2023 contêm a média aritmética de seus elementos ?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Contagem

[Anderson Torres]

Em ter, 8 de ago de 2023 19:11, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

>
>
> Em ter, 8 de ago de 2023 13:01, Jamil Silva  escreveu:
>
>> Quantos conjuntos de três números inteiros positivos menores ou iguais a
>> 2023 contêm a média aritmética de seus elementos ?
>>
>
> Bem, a ideia é escolher dois números diferentes e com a mesma paridade,
> pois eles determinarão a média - a qual será inteira e estará entre eles.
>
> Temos 1011 pares e 1012 ímpares, o que nos dá C(1011,2)+C(1012,2) = 1012^2.
>

Aqui errei a contagem, deveria ser 1011^2


> Agora tô curioso, como demonstrar que o resultado para 2n-1 é n^2 com
> bijeção?
>

2N+1, no caso aqui, dá N^2

Como associar trincas de PAs com casas de um tabuleiro de xadrez nXn?
>
> Talvez não seja algo muito bonito, porque para 2n o resultado é n^2-n.
>

Para 2N dá N^2-N, aqui tá certo.


>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Contagem

[Anderson Torres]

Em ter, 8 de ago de 2023 13:01, Jamil Silva  escreveu:

> Quantos conjuntos de três números inteiros positivos menores ou iguais a
> 2023 contêm a média aritmética de seus elementos ?
>

Bem, a ideia é escolher dois números diferentes e com a mesma paridade,
pois eles determinarão a média - a qual será inteira e estará entre eles.

Temos 1011 pares e 1012 ímpares, o que nos dá C(1011,2)+C(1012,2) = 1012^2.

Agora tô curioso, como demonstrar que o resultado para 2n-1 é n^2 com
bijeção?
Como associar trincas de PAs com casas de um tabuleiro de xadrez nXn?

Talvez não seja algo muito bonito, porque para 2n o resultado é n^2-n.

>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Contagem

[Claudio Buffara]

O que vc quer é o número de PAs de 3 termos distintos contidas em
{1,2,3,...,2023}.
Daí dá pra enumerar na mão e achar o padrão:
(1,2,3), (2,3,4), ..., (2021,2022,2023) ==> 2021 PAs de razão 1
(1,3,5), (2,4,6), ..., (2019,2021,2023) ==> 2019 PAs de razão 2
(1,4,7), (2,6,8), ..., (2017,2020,2023) ==> 2017 PAs de razão 3
...
(1,1011,2021), (2,1012,2022), (3,2023,2023) ==> 3 PAs de razão 1010
(1,1012,2023) ==> 1 PA de razão 1011.
Total = 1+3+5+...+2017+2019+2021 = 1011^2 = 1022121 PAs.


On Tue, Aug 8, 2023 at 1:02 PM Jamil Silva  wrote:

> Quantos conjuntos de três números inteiros positivos menores ou iguais a
> 2023 contêm a média aritmética de seus elementos ?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Sugestão para alunos do 6° ano

[Pazó 0192]

Acho que os livros da SBM são muito bons para quem está começando:

Primeiros passos em Geometria
Primeiros passos em Combinatória, Aritmética e Álgebra
Problemas Olímpicos de Matemática para o Nível 1

On Fri, Jun 30, 2023 at 10:12 PM Marcelo Salhab Brogliato <
msbro...@gmail.com> wrote:

> Pessoal, tenho uma prima que está no 6° ano e adora matemática. Acabei de
> ensinar algumas brincadeiras de adivinhar o número usando álgebra básica e
> ela adorou!
>
> Alguém tem alguma recomendação de livros que possam incentivá-la ainda
> mais com matemática?
>
> Eu pensei no Círculos Matemáticos A Experiência Russa, mas não me parece
> ser adequado para a idade dela. Já comprei o conjunto de Matemática
> Elementar do Iezzi mas ainda não é a hora.
>
> Abraços,
> Salhab
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] OBM 2022 Problema

[Felipe Giglio]

problema 6 obm 2022 nivel 2

On Tue, Jun 13, 2023, 14:49 Anderson Torres 
wrote:

> De onde é esse problema?
>
> Em ter, 13 de jun de 2023 07:50, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Determine o maior inteiro positivo k para o qual a afirmação é
>> verdadeira: Dados k subconjuntos distintos do conjunto {1, 2, 3, ...,
>> 2023}, cada um com 1011 elementos, é possível particionar os subconjuntos
>> em duas coleções em  a forma que quaisquer dois subconjuntos na mesma
>> coleção têm algum elemento em comum.
>>
>>
>>
>> Abraço do Douglas Oliveira.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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Re: [obm-l] OBM 2022 Problema

[Anderson Torres]

De onde é esse problema?

Em ter, 13 de jun de 2023 07:50, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Determine o maior inteiro positivo k para o qual a afirmação é verdadeira:
> Dados k subconjuntos distintos do conjunto {1, 2, 3, ..., 2023}, cada um
> com 1011 elementos, é possível particionar os subconjuntos em duas coleções
> em  a forma que quaisquer dois subconjuntos na mesma coleção têm algum
> elemento em comum.
>
>
>
> Abraço do Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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Re: [obm-l] Diferencial de ordem superior

[Bob Roy]

Obrigado Anderson.

A minha dúvida surgiu pois no livro do Dacorso Neto, ele fala de  dx^2 como
(dx)^2..

Bob Roy


Em dom., 11 de jun. de 2023 às 07:13, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

>
>
> Em qui, 8 de jun de 2023 09:03, Bob Roy  escreveu:
>
>> Olá pessoal,
>> A notação de leibniz para f´´(x) = d^2(f) / dx^2 é apenas uma notação ?
>> ou podemos isolar os numeradores?
>> Vejo em alguns livros colocando dx^2 como (dx)^2..
>>
>
> Sim, é apenas uma notação. Uma muito bem feita, mas apenas uma notação.
>
>
>
>> Bob Roy
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Diferencial de ordem superior

[Anderson Torres]

Em qui, 8 de jun de 2023 09:03, Bob Roy  escreveu:

> Olá pessoal,
> A notação de leibniz para f´´(x) = d^2(f) / dx^2 é apenas uma notação ? ou
> podemos isolar os numeradores?
> Vejo em alguns livros colocando dx^2 como (dx)^2..
>

Sim, é apenas uma notação. Uma muito bem feita, mas apenas uma notação.



> Bob Roy
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Irracionalidade de pi

[jose rodrigo]

o famoso complexo de gênio.


On Sat, May 27, 2023 at 12:42 AM Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> wrote:

>
>
> Em sex, 26 de mai de 2023 18:25, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>>
>> eu quero uma audiência com um matemático profissional, eu acabei de
>> provar a irracionalidade de pi. alguém com tempo para corrigir?
>>
>
>
> O que tem de especial nisso para desejar um matemático profissional?
>
> --
>> Israel Meireles Chrisostomo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Irracionalidade de pi

[Anderson Torres]

Em sex, 26 de mai de 2023 18:25, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

>
> eu quero uma audiência com um matemático profissional, eu acabei de provar
> a irracionalidade de pi. alguém com tempo para corrigir?
>


O que tem de especial nisso para desejar um matemático profissional?

-- 
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Irracionalidade de pi

[Desire Yema]

você pode mandar a prova qui assim todo mundo pode ver e criticar

Le ven. 26 mai 2023 à 18:25, Israel Meireles Chrisostomo
 a écrit :
>
>
> eu quero uma audiência com um matemático profissional, eu acabei de provar a 
> irracionalidade de pi. alguém com tempo para corrigir?
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Propriedade do no 7

[Claudio Buffara]

Iniciando uma discussão sobre pedagogia...

Quem acha que esse tipo de problema deveria fazer parte do currículo de
álgebra na escola, digamos a partir do 8o ou 9o ano?
Há vários outros na mesma linha...
1) Ache todas as triplas de primos trigêmeos (triplas de naturais da forma
(n,n+2,n+4) em que todos são primos);
2) O quadrado de um inteiro ímpar excede em 1 algum múltiplo de 8;
3) Ache todos os primos da forma n^4 + 4^m
4) Ache todos os naturais que podem ser expressos como uma diferença de
quadrados de naturais.  Pra quais naturais essa expressão é única?
etc...

Problemas do tipo "ache todos" ou "prove que não existe"  são interessantes
porque mostram pra garotada que nem  todo problema tem uma solução única e
que provar que um dado problema não tem solução também é, de certa forma,
uma solução.

[]s,
Claudio.


On Thu, May 11, 2023 at 10:57 AM Caio Costa  wrote:

> N = n³-1 = (n-1)*(n² + n + 1).
> n-1 divide n³ - 1, logo se n³ -1 é primo, então n-1 = 1, daí n = 2 e N = 7.
>
> Em qui., 11 de mai. de 2023 às 11:23, Luiz Alberto Salomao <
> ladsalo...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá, Artur
>> Cultura sempre é útil. Muito bacana!
>> Você conhece alguma prova desse resultado?
>> Luiz Alberto.
>>
>> Em qui., 11 de mai. de 2023 às 08:20, Artur Costa Steiner <
>> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> 7 é o único primo seguido por um cubo. Alguns talvez achem isso uma
>>> curiosidade interessante. Outros talvez achem cultura inútil.rsss
>>>
>>> Artur
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Propriedade do no 7

[Artur Costa Steiner]

O Caio apresentou a prova.
Artur

Em qui., 11 de mai. de 2023 11:57, Caio Costa 
escreveu:

> N = n³-1 = (n-1)*(n² + n + 1).
> n-1 divide n³ - 1, logo se n³ -1 é primo, então n-1 = 1, daí n = 2 e N = 7.
>
> Em qui., 11 de mai. de 2023 às 11:23, Luiz Alberto Salomao <
> ladsalo...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá, Artur
>> Cultura sempre é útil. Muito bacana!
>> Você conhece alguma prova desse resultado?
>> Luiz Alberto.
>>
>> Em qui., 11 de mai. de 2023 às 08:20, Artur Costa Steiner <
>> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> 7 é o único primo seguido por um cubo. Alguns talvez achem isso uma
>>> curiosidade interessante. Outros talvez achem cultura inútil.rsss
>>>
>>> Artur
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Propriedade do no 7

[Caio Costa]

N = n³-1 = (n-1)*(n² + n + 1).
n-1 divide n³ - 1, logo se n³ -1 é primo, então n-1 = 1, daí n = 2 e N = 7.

Em qui., 11 de mai. de 2023 às 11:23, Luiz Alberto Salomao <
ladsalo...@gmail.com> escreveu:

> Olá, Artur
> Cultura sempre é útil. Muito bacana!
> Você conhece alguma prova desse resultado?
> Luiz Alberto.
>
> Em qui., 11 de mai. de 2023 às 08:20, Artur Costa Steiner <
> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
>
>> 7 é o único primo seguido por um cubo. Alguns talvez achem isso uma
>> curiosidade interessante. Outros talvez achem cultura inútil.rsss
>>
>> Artur
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Propriedade do no 7

[Luiz Alberto Salomao]

Olá, Artur
Cultura sempre é útil. Muito bacana!
Você conhece alguma prova desse resultado?
Luiz Alberto.

Em qui., 11 de mai. de 2023 às 08:20, Artur Costa Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:

> 7 é o único primo seguido por um cubo. Alguns talvez achem isso uma
> curiosidade interessante. Outros talvez achem cultura inútil.rsss
>
> Artur
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Uma recorrência diferente

[Esdras Muniz]

Vc pode pegar a função geratriz e usar a fórmula de Ramanujan pra calcular
o termo geral. Acredito que a função geratriz seja: e^{x^2/2+x}, já na
forma (x_n)x^n/n!...

Em qui, 6 de abr de 2023 19:03, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <
g...@impa.br> escreveu:

> Caro Vanderlei,
> Não parece haver uma fórmula fechada muito simples. Veja
> https://oeis.org/A85 para várias referências
> sobre essa sequência.
> Abraços,
> Gugu
>
> On Wed, Apr 5, 2023 at 11:41 PM Professor Vanderlei Nemitz <
> vanderma...@gmail.com> wrote:
>
>> Oi, mestres!
>>
>> Estava resolvendo um problema de combinatória e obtive essa recorrência:
>>
>> *x(n) = x(n - 1) + (n - 1).x(n - 2), com x1 = 1 e x2 = 2*.
>>
>> Por exemplo, x3 = x2 + 2.x1 e x9 = x8 + 8.x7
>>
>> Como resolver quando os coeficientes não são todos constantes?
>>
>> Apenas como curiosidade, o problema que originou a recorrência é:
>> (IME - RJ) - Um professor dá um teste surpresa para uma turma de 9
>> alunos, e diz que o teste pode ser feito sozinho ou em grupos de 2 alunos.
>> De quantas formas a turma pode ser organizar para fazer o teste? (Por
>> exemplo, uma turma de 3 alunos pode ser organizar de 4 formas e uma turma
>> de 4 alunos pode se organizar de 10 formas)
>>
>>
>>
>> 
>>  Não
>> contém vírus.www.avast.com
>> 
>> <#m_-6699161896707809793_m_4118911927943204904_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Uma recorrência diferente

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira]

Caro Vanderlei,
Não parece haver uma fórmula fechada muito simples. Veja
https://oeis.org/A85 para várias referências
sobre essa sequência.
Abraços,
Gugu

On Wed, Apr 5, 2023 at 11:41 PM Professor Vanderlei Nemitz <
vanderma...@gmail.com> wrote:

> Oi, mestres!
>
> Estava resolvendo um problema de combinatória e obtive essa recorrência:
>
> *x(n) = x(n - 1) + (n - 1).x(n - 2), com x1 = 1 e x2 = 2*.
>
> Por exemplo, x3 = x2 + 2.x1 e x9 = x8 + 8.x7
>
> Como resolver quando os coeficientes não são todos constantes?
>
> Apenas como curiosidade, o problema que originou a recorrência é:
> (IME - RJ) - Um professor dá um teste surpresa para uma turma de 9 alunos,
> e diz que o teste pode ser feito sozinho ou em grupos de 2 alunos. De
> quantas formas a turma pode ser organizar para fazer o teste? (Por exemplo,
> uma turma de 3 alunos pode ser organizar de 4 formas e uma turma de 4
> alunos pode se organizar de 10 formas)
>
>
>
> 
>  Não
> contém vírus.www.avast.com
> 
> <#m_4118911927943204904_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Uma recorrência diferente

[Anderson Torres]

Em qua., 5 de abr. de 2023 às 23:40, Professor Vanderlei Nemitz <
vanderma...@gmail.com> escreveu:

> Oi, mestres!
>
> Estava resolvendo um problema de combinatória e obtive essa recorrência:
>
> *x(n) = x(n - 1) + (n - 1).x(n - 2), com x1 = 1 e x2 = 2*.
>
> Por exemplo, x3 = x2 + 2.x1 e x9 = x8 + 8.x7
>
> Como resolver quando os coeficientes não são todos constantes?
>

Nem sempre dá para esperar que uma recorrência seja "resolvível".

Você pode ir tabelando e graficando alguns valores para ver se surge alguma
coisa, e daí imaginar alguma fórmula, algo como "bem, isso aqui parece um
gráfico de um fatorial"...

E, na real, nem sempre é tão útil ter uma fórmula pronta. Um computador
pode muito bem calcular os termos dessa sequência, em um processo idêntico
ao que um ser humano faria só que mais rápido (e com menos chance de
errar). E o vestibular não exigiu calcular isso para n=100, mas apenas para
n=9.

Todavia, é uma boa fuçar. Pensei em algo como usar uma sequência auxiliar,
y(n)=x(n+1)/x(n). Isso nos daria uma outra recorrência, a saber,

y(n)=1+(n/y(n-1))

O que estranhamente gera uma espécie de fração contínua. Mas não consigo
imaginar algo muito melhor que isso.



>
> Apenas como curiosidade, o problema que originou a recorrência é:
> (IME - RJ) - Um professor dá um teste surpresa para uma turma de 9 alunos,
> e diz que o teste pode ser feito sozinho ou em grupos de 2 alunos. De
> quantas formas a turma pode ser organizar para fazer o teste? (Por exemplo,
> uma turma de 3 alunos pode ser organizar de 4 formas e uma turma de 4
> alunos pode se organizar de 10 formas)
>

>
>
> 
>  Não
> contém vírus.www.avast.com
> 
> <#m_-8406560445346393254_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Cone Sul

[Anderson Torres]

Em seg., 13 de mar. de 2023 às 10:42, Armando Staib
 escreveu:
>
> Rsse repositorio é PAGO  certo!?

Não.

>
> Em seg, 13 de mar de 2023 10:26, Ian Barquette  
> escreveu:
>>
>> O repositório da "Art of Problem Solving" é muito completo, porém as 
>> questões são em inglês
>>
>> Em seg., 13 de mar. de 2023 09:09, Pedro Júnior 
>>  escreveu:
>>>
>>> Olá pessoal, muito bom dia.
>>> Gostaria de saber se tem um site oficial da competição "Cone Sul de 
>>> Matemática"? Procurei o banco de provas pelo Google e não encontrei. Me 
>>> remete ao site da OBM e também não vi por lá.
>>>
>>> Desde já fico grato.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Cone Sul

[Pazó 0192]

No site https://sites.google.com/site/selecaoconesul/ você encontrará todo
material para treinamento e os testes da seletiva da Cone Sul, além de
várias outras informações.

On Mon, Mar 13, 2023 at 9:09 AM Pedro Júnior 
wrote:

> Olá pessoal, muito bom dia.
> Gostaria de saber se tem um site oficial da competição "Cone Sul de
> Matemática"? Procurei o banco de provas pelo Google e não encontrei. Me
> remete ao site da OBM e também não vi por lá.
>
> Desde já fico grato.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Cone Sul

[João]

Também tem o site do treinamento da cone sul do brasil, com listas e testes
de seleção
https://sites.google.com/site/selecaoconesul/


On Mon, 13 Mar 2023 at 10:26 Ian Barquette 
wrote:

> O repositório da "Art of Problem Solving" é muito completo, porém as
> questões são em inglês
>
> Em seg., 13 de mar. de 2023 09:09, Pedro Júnior <
> pedromatematic...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá pessoal, muito bom dia.
>> Gostaria de saber se tem um site oficial da competição "Cone Sul de
>> Matemática"? Procurei o banco de provas pelo Google e não encontrei. Me
>> remete ao site da OBM e também não vi por lá.
>>
>> Desde já fico grato.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Cone Sul

[Armando Staib]

Rsse repositorio é PAGO  certo!?

Em seg, 13 de mar de 2023 10:26, Ian Barquette 
escreveu:

> O repositório da "Art of Problem Solving" é muito completo, porém as
> questões são em inglês
>
> Em seg., 13 de mar. de 2023 09:09, Pedro Júnior <
> pedromatematic...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá pessoal, muito bom dia.
>> Gostaria de saber se tem um site oficial da competição "Cone Sul de
>> Matemática"? Procurei o banco de provas pelo Google e não encontrei. Me
>> remete ao site da OBM e também não vi por lá.
>>
>> Desde já fico grato.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Cone Sul

[Ian Barquette]

O repositório da "Art of Problem Solving" é muito completo, porém as
questões são em inglês

Em seg., 13 de mar. de 2023 09:09, Pedro Júnior 
escreveu:

> Olá pessoal, muito bom dia.
> Gostaria de saber se tem um site oficial da competição "Cone Sul de
> Matemática"? Procurei o banco de provas pelo Google e não encontrei. Me
> remete ao site da OBM e também não vi por lá.
>
> Desde já fico grato.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Cone Sul

[Anderson Torres]

Em seg, 13 de mar de 2023 09:09, Pedro Júnior 
escreveu:

> Olá pessoal, muito bom dia.
> Gostaria de saber se tem um site oficial da competição "Cone Sul de
> Matemática"? Procurei o banco de provas pelo Google e não encontrei. Me
> remete ao site da OBM e também não vi por lá.
>

Já tentou o Mathlinks? Se você só está à procura dos enunciados, lá tem.


> Desde já fico grato.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Cone Sul

[Arthur Vieira]

https://www.obm.org.br/como-se-preparar/provas-e-gabaritos/

Tem que descer um pouco, mas tem as provas dessa e de outras competições.

Em seg., 13 de mar. de 2023 às 09:09, Pedro Júnior <
pedromatematic...@gmail.com> escreveu:

> Olá pessoal, muito bom dia.
> Gostaria de saber se tem um site oficial da competição "Cone Sul de
> Matemática"? Procurei o banco de provas pelo Google e não encontrei. Me
> remete ao site da OBM e também não vi por lá.
>
> Desde já fico grato.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Seria por distribuição binomial ou alguma recorrência

[Anderson Torres]

Em ter, 28 de fev de 2023 11:52, Bianca Flores 
escreveu:

> Alguém poderia ajudar com essa questão: estou frustrada porque não consigo
> chegar ao gabarito E.
>
> Um estudante preenche, aleatoriamente e de forma independente cada uma das
> questões, um exame de múltipla escolha com 5 respostas possíveis (das quais
> apenas uma é correta) para cada uma de 25 questões. A probabilidade que ele
> acerte um número par de questões é dada por:
>
> (A)(1-(4/5)^25)/2
> (B)(1-(3/5)^25)/2
> (C)((3/5)^25)/2
> (D)(1+(4/5)^25)/2
> (E)(1+(3/5)^25)/2
>

Bem, a probabilidade de acertar k questões de n é C(n,k) (1/5)^k
(4/5)^(n-k).
Soma isso para todo k par (lá ele) e vê no que dá.


>
> Tento de todas as formar usar a distribuição binomial, alguma recorrência,
> mas sem sucesso.
> Bianca
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Seria por distribuição binomial ou alguma recorrência

[joao pedro b menezes]

A probabilidade do estudante acertar um número n de questões é [ (1/5)^n *
(4/5)^(25-n) ] * n!*(25-n)!/25! . ( o primeiro segmento, separo por [
...], indica a probabilidade de ele acertar n questões em uma ordem
definida, enquanto a segunda parte se refere ao número de combinações
possíveis em que ele acerta n questões ) . Agora é somar e fatorar

On Tue, Feb 28, 2023, 11:52 Bianca Flores  wrote:

> Alguém poderia ajudar com essa questão: estou frustrada porque não consigo
> chegar ao gabarito E.
>
> Um estudante preenche, aleatoriamente e de forma independente cada uma das
> questões, um exame de múltipla escolha com 5 respostas possíveis (das quais
> apenas uma é correta) para cada uma de 25 questões. A probabilidade que ele
> acerte um número par de questões é dada por:
>
> (A)(1-(4/5)^25)/2
> (B)(1-(3/5)^25)/2
> (C)((3/5)^25)/2
> (D)(1+(4/5)^25)/2
> (E)(1+(3/5)^25)/2
>
> Tento de todas as formar usar a distribuição binomial, alguma recorrência,
> mas sem sucesso.
> Bianca
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Seria por distribuição binomial ou alguma recorrência

[Esdras Muniz]

Letra E na verdade 

Em ter., 28 de fev. de 2023 às 11:52, Bianca Flores 
escreveu:

> Alguém poderia ajudar com essa questão: estou frustrada porque não consigo
> chegar ao gabarito E.
>
> Um estudante preenche, aleatoriamente e de forma independente cada uma das
> questões, um exame de múltipla escolha com 5 respostas possíveis (das quais
> apenas uma é correta) para cada uma de 25 questões. A probabilidade que ele
> acerte um número par de questões é dada por:
>
> (A)(1-(4/5)^25)/2
> (B)(1-(3/5)^25)/2
> (C)((3/5)^25)/2
> (D)(1+(4/5)^25)/2
> (E)(1+(3/5)^25)/2
>
> Tento de todas as formar usar a distribuição binomial, alguma recorrência,
> mas sem sucesso.
> Bianca
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Seria por distribuição binomial ou alguma recorrência

[Esdras Muniz]

Veja 1 como a soma de todas as probabilidades possíveis e (3/5)^25 como a
probabilidade de ele acertas uma quantidade par menos a probabilidade de
ele acertar uma quantidade ímpar.

Em ter., 28 de fev. de 2023 às 11:58, Esdras Muniz <
esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:

> Acredito que é letra B. Vc pode fazer usando binômio de Newton…
>
> Em ter., 28 de fev. de 2023 às 11:52, Bianca Flores 
> escreveu:
>
>> Alguém poderia ajudar com essa questão: estou frustrada porque não
>> consigo chegar ao gabarito E.
>>
>> Um estudante preenche, aleatoriamente e de forma independente cada uma
>> das questões, um exame de múltipla escolha com 5 respostas possíveis (das
>> quais apenas uma é correta) para cada uma de 25 questões. A probabilidade
>> que ele acerte um número par de questões é dada por:
>>
>> (A)(1-(4/5)^25)/2
>> (B)(1-(3/5)^25)/2
>> (C)((3/5)^25)/2
>> (D)(1+(4/5)^25)/2
>> (E)(1+(3/5)^25)/2
>>
>> Tento de todas as formar usar a distribuição binomial, alguma
>> recorrência, mas sem sucesso.
>> Bianca
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
> --
> Esdras Muniz Mota
> Mestrando em Matemática
> Universidade Federal do Ceará
>
>
> --
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Seria por distribuição binomial ou alguma recorrência

[Esdras Muniz]

Acredito que é letra B. Vc pode fazer usando binômio de Newton…

Em ter., 28 de fev. de 2023 às 11:52, Bianca Flores 
escreveu:

> Alguém poderia ajudar com essa questão: estou frustrada porque não consigo
> chegar ao gabarito E.
>
> Um estudante preenche, aleatoriamente e de forma independente cada uma das
> questões, um exame de múltipla escolha com 5 respostas possíveis (das quais
> apenas uma é correta) para cada uma de 25 questões. A probabilidade que ele
> acerte um número par de questões é dada por:
>
> (A)(1-(4/5)^25)/2
> (B)(1-(3/5)^25)/2
> (C)((3/5)^25)/2
> (D)(1+(4/5)^25)/2
> (E)(1+(3/5)^25)/2
>
> Tento de todas as formar usar a distribuição binomial, alguma recorrência,
> mas sem sucesso.
> Bianca
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] cadeira de 3 pés

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

On Mon, Jan 23, 2023 at 12:52 PM Claudio Buffara
 wrote:
>
> Obrigado, Wagner e Ponce:
>
> Eu tinha pensado em algo na linha do que o Ponce escreveu, ainda que em 
> certos casos patológicos (pelo menos de piso...) o terceiro pé pode não 
> encontrar apoio: imagine um piso com um pico fino em algum lugar (p.ex. a 
> superfície gerada pela revolução de z = 1/(1+(x^2+y^2)^20) em torno do eixo 
> z). Neste caso, precisaríamos de uma cadeira bem pequena, ou pelo menos com 
> as pontas dos pés bem próximas umas das outras.

Pois é, eu acho que tem uma questão interessante de estabilidade que é
a seguinte: se você pegar um banco de 3 pés e botar na encosta de uma
montanha (bem íngreme!), ele vai rolar ladeira abaixo.  Porque a
projeção do centro de gravidade cai fora do triângulo determinado pelo
contato com o solo (que define as normais que podem segurar a cadeira
em posição estática).  Uma cadeira de 4 pés só é bamba porque uma
pessoa não consegue ficar (infinitesimalmente) parada, e daí o centro
de gravidade oscila entre os triângulos formados por dois pares de
três apoios, por exemplo ABC e ACD.

Bernardo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] cadeira de 3 pés

[Claudio Buffara]

" No mundo 2D um banco de 2 pernas não balança, mas um de 3 pernas pode
balançar."

Aqui estamos falando de uma curva no plano e de um número real positivo d,
suficientemente pequeno de modo que, para todo ponto A na curva, existe um
ponto B na curva com dist(A,B) = d.
A e B são as pontas das pernas do banco 2D.
Isso será verdade se todo ponto da curva for o centro de uma circunferência
de raio d que intersecta a curva.

Um terceiro ponto C, a distâncias predeterminadas de A e B, pode não
pertencer à curva (ou seja, o triângulo ABC não estará inscrito na curva).
Mas é possível deslizar a corda AB, de comprimento constante, ao longo de
toda a curva.

No caso 3D, temos uma superfície no espaço e 3 números reais positivos a,
b, c, com cada um menor do que a soma dos outros dois, de modo que, para
cada A na superfície, é possível achar B e C na superfície com dist(A,B) =
c, dist(A,C) = b e dist(B,C) = a.
E é possível deslizar o triângulo ABC, com lados de comprimento constante,
ao longo de toda a superfície.
Mas, fixado A na superfície, não me parece tão simples construir B e C.


On Mon, Jan 23, 2023 at 11:29 AM Eduardo Wagner  wrote:

> O banco de 3 pernas não balança porque nosso mundo é tridimensional.
> Não tem nada a ver com plano ou triângulo. Um banco de 3 pernas não
> balança se for colocado
> no teto de um carro.
> No mundo 2D um banco de 2 pernas não balança, mas um de 3 pernas pode
> balançar.
> Em um mundo 4D uma cadeira de 4 pernas não balança.
> Wbs
> Wagner
>
>
> Em dom., 22 de jan. de 2023 às 23:24, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Achei na internet duas explicações distintas para a estabilidade de uma
>> cadeira (ou mesa ou banco) de 3 pés.
>> Aqui estão:
>> https://www.somatematica.com.br/curiosidades/c98.php
>>
>> http://colegiofarroupilha.com.br/site/qual-cadeira-e-mais-firme-a-que-tem-tres-ou-quatro-pes/
>>
>> Qual das duas é a explicação correta?
>> Ou nenhuma das duas? E, nesse caso, qual a explicação?
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] cadeira de 3 pés

[Claudio Buffara]

Obrigado, Wagner e Ponce:

Eu tinha pensado em algo na linha do que o Ponce escreveu, ainda que em
certos casos patológicos (pelo menos de piso...) o terceiro pé pode não
encontrar apoio: imagine um piso com um pico fino em algum lugar (p.ex. a
superfície gerada pela revolução de z = 1/(1+(x^2+y^2)^20) em torno do eixo
z). Neste caso, precisaríamos de uma cadeira bem pequena, ou pelo menos com
as pontas dos pés bem próximas umas das outras.

Mas, pelo que o Wagner escreveu, acho que ainda tem um teorema mais
profundo aí.

[]s,
Claudio.


On Mon, Jan 23, 2023 at 11:54 AM Rogerio Ponce  wrote:

> Ola' Claudio!
> Eu diria que as duas explicações estão erradas, pois não se depende de
> ter apenas um plano definido pelas pontas dos pés, visto que uma
> cadeira de 4 pés pode, perfeitamente, ter as pontas dos 4 pés em
> apenas um plano, e, ainda assim, ela não é necessariamente estável.
>
> Um explicação menos ruim é que, numa cadeira de 3 pés, sempre podemos
> apoiar quaisquer 2 pés num piso (mesmo irregular), e, em torno do eixo
> definido pelos 2 pés já apoiados, podemos girar a cadeira até que o
> terceiro pé encontre o piso, de modo que a cadeira fique totalmente
> apoiada.
> Já numa cadeira de 4 pés, é comum que um dos pés fique sem contato com
> o chão, permitindo que a cadeira oscile em torno do eixo definido
> pelos 2 pés vizinhos ao pé sem contato.
>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
> On Sun, Jan 22, 2023 at 11:23 PM Claudio Buffara
>  wrote:
> >
> > Achei na internet duas explicações distintas para a estabilidade de uma
> cadeira (ou mesa ou banco) de 3 pés.
> > Aqui estão:
> > https://www.somatematica.com.br/curiosidades/c98.php
> >
> http://colegiofarroupilha.com.br/site/qual-cadeira-e-mais-firme-a-que-tem-tres-ou-quatro-pes/
> >
> > Qual das duas é a explicação correta?
> > Ou nenhuma das duas? E, nesse caso, qual a explicação?
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] cadeira de 3 pés

[Anderson Torres]

Em seg, 23 de jan de 2023 11:54, Rogerio Ponce 
escreveu:

> Ola' Claudio!
> Eu diria que as duas explicações estão erradas, pois não se depende de
> ter apenas um plano definido pelas pontas dos pés, visto que uma
> cadeira de 4 pés pode, perfeitamente, ter as pontas dos 4 pés em
> apenas um plano, e, ainda assim, ela não é necessariamente estável.
>

Como não? A ideia de botar um calço é precisamente estabilizar o pé que não
encosta na superfície. E, exceto em feiras de ciências e circos, o chão
costuma ser plano.


> Um explicação menos ruim é que, numa cadeira de 3 pés, sempre podemos
> apoiar quaisquer 2 pés num piso (mesmo irregular), e, em torno do eixo
> definido pelos 2 pés já apoiados, podemos girar a cadeira até que o
> terceiro pé encontre o piso, de modo que a cadeira fique totalmente
> apoiada.
> Já numa cadeira de 4 pés, é comum que um dos pés fique sem contato com
> o chão, permitindo que a cadeira oscile em torno do eixo definido
> pelos 2 pés vizinhos ao pé sem contato.
>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
> On Sun, Jan 22, 2023 at 11:23 PM Claudio Buffara
>  wrote:
> >
> > Achei na internet duas explicações distintas para a estabilidade de uma
> cadeira (ou mesa ou banco) de 3 pés.
> > Aqui estão:
> > https://www.somatematica.com.br/curiosidades/c98.php
> >
> http://colegiofarroupilha.com.br/site/qual-cadeira-e-mais-firme-a-que-tem-tres-ou-quatro-pes/
> >
> > Qual das duas é a explicação correta?
> > Ou nenhuma das duas? E, nesse caso, qual a explicação?
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] cadeira de 3 pés

[Anderson Torres]

Em seg, 23 de jan de 2023 11:15, Claudio Buffara 
escreveu:

> Será que o argumento usando apenas o plano é suficiente?  Pois um banco de
> 3 pés também fica estável num piso irregular.
>

Mas nem toda cadeira de quatro pés fica estável em qualquer piso irregular.

A ideia subjacente ainda é a de "planidade". Os pés da cadeira estão na
intersecção entre o "plano dos pés" e o piso.
Mas o mesmo não se aplica às cadeiras quadrúpedes, pois nem sempre existe
um "plano dos pés".

Se bem que neste último caso é possível que os pés da mesa sejam coplanares
mas a superfície não o seja. Ou pior ainda, forçando um pouco na
continuidade, pode ser que qualquer cadeira de quatro pés se encaixe em
qualquer superfície não-plana.

Ou não. Se pegarmos por exemplo o mapa topográfico de uma planície com um
poço escavado e a distância entre dois pés da mesa sempre for maior que o
diâmetro do poço, não tem como encaixar uma mesa torta de quatro pés.

Estranho...

O resultado mais geral em que pensei foi o seguinte: dada qualquer
> superfície bi-dimensional contínua (por exemplo, que seja o gráfico de uma
> função contínua de RxR em R - uma suposição razoável se estamos tentando
> modelar um piso), você sempre consegue encostar nela as pontas dos 3 pés do
> banco, de modo que o banco fique "firme" ou sem folgas.
> Ou, mais formalmente, dado um triângulo ABC no espaço, existe uma
> isometria (do espaço) tal que as imagens de A, B e C por esta isometria
> estão em S.
>

Pensei algo do gênero, mas de maneira bem menos elaborada: dados um
triângulo ABC e dois pontos A',B' em uma superfície contínua que distam AB,
existe um ponto C´ tal que ABC = A'B'C'


> Enfim, esse talvez seja um problema mais de topologia do que de geometria.
> Pois, no fim das contas, "3 pontos não colineares determinam um único
> plano", assim como "2 pontos determinam uma única reta" são afirmações que
> têm um certo ar topológico, pelo menos pra mim.
>

> []s,
> Claudio.
>
> On Mon, Jan 23, 2023 at 7:02 AM Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> wrote:
>
>>
>>
>> Em dom, 22 de jan de 2023 23:23, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Achei na internet duas explicações distintas para a estabilidade de uma
>>> cadeira (ou mesa ou banco) de 3 pés.
>>> Aqui estão:
>>> https://www.somatematica.com.br/curiosidades/c98.php
>>>
>>> http://colegiofarroupilha.com.br/site/qual-cadeira-e-mais-firme-a-que-tem-tres-ou-quatro-pes/
>>>
>>
>> Nesse caso específico, a primeira me parece mais correta. Ou melhor, a
>> segunda tem falhas.
>>
>> A rigidez dos triângulos (TCC caso LLL de igualdade de triângulos) é
>> irrelevante para a questão da cadeira bamba. Em qualquer cadeira física e
>> palpável, as pernas são rígidas - portanto o polígono formado pelas
>> extremidades dessas pernas é rígido também.
>>
>> Mas um polígono rígido não é necessariamente um polígono bidimensional -
>> o que a cadeira bamba de 4 pernas exemplifica perfeitamente.
>>
>> Contate o webmaster da segunda página sugerindo correções!
>>
>>
>>> Qual das duas é a explicação correta?
>>> Ou nenhuma das duas? E, nesse caso, qual a explicação?
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] cadeira de 3 pés

[Rogerio Ponce]

Ola' Claudio!
Eu diria que as duas explicações estão erradas, pois não se depende de
ter apenas um plano definido pelas pontas dos pés, visto que uma
cadeira de 4 pés pode, perfeitamente, ter as pontas dos 4 pés em
apenas um plano, e, ainda assim, ela não é necessariamente estável.

Um explicação menos ruim é que, numa cadeira de 3 pés, sempre podemos
apoiar quaisquer 2 pés num piso (mesmo irregular), e, em torno do eixo
definido pelos 2 pés já apoiados, podemos girar a cadeira até que o
terceiro pé encontre o piso, de modo que a cadeira fique totalmente
apoiada.
Já numa cadeira de 4 pés, é comum que um dos pés fique sem contato com
o chão, permitindo que a cadeira oscile em torno do eixo definido
pelos 2 pés vizinhos ao pé sem contato.

[]'s
Rogerio Ponce

On Sun, Jan 22, 2023 at 11:23 PM Claudio Buffara
 wrote:
>
> Achei na internet duas explicações distintas para a estabilidade de uma 
> cadeira (ou mesa ou banco) de 3 pés.
> Aqui estão:
> https://www.somatematica.com.br/curiosidades/c98.php
> http://colegiofarroupilha.com.br/site/qual-cadeira-e-mais-firme-a-que-tem-tres-ou-quatro-pes/
>
> Qual das duas é a explicação correta?
> Ou nenhuma das duas? E, nesse caso, qual a explicação?
>
> []s,
> Claudio.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] cadeira de 3 pés

[Eduardo Wagner]

O banco de 3 pernas não balança porque nosso mundo é tridimensional.
Não tem nada a ver com plano ou triângulo. Um banco de 3 pernas não balança
se for colocado
no teto de um carro.
No mundo 2D um banco de 2 pernas não balança, mas um de 3 pernas pode
balançar.
Em um mundo 4D uma cadeira de 4 pernas não balança.
Wbs
Wagner


Em dom., 22 de jan. de 2023 às 23:24, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Achei na internet duas explicações distintas para a estabilidade de uma
> cadeira (ou mesa ou banco) de 3 pés.
> Aqui estão:
> https://www.somatematica.com.br/curiosidades/c98.php
>
> http://colegiofarroupilha.com.br/site/qual-cadeira-e-mais-firme-a-que-tem-tres-ou-quatro-pes/
>
> Qual das duas é a explicação correta?
> Ou nenhuma das duas? E, nesse caso, qual a explicação?
>
> []s,
> Claudio.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] cadeira de 3 pés

[Claudio Buffara]

Será que o argumento usando apenas o plano é suficiente?  Pois um banco de
3 pés também fica estável num piso irregular.
O resultado mais geral em que pensei foi o seguinte: dada qualquer
superfície bi-dimensional contínua (por exemplo, que seja o gráfico de uma
função contínua de RxR em R - uma suposição razoável se estamos tentando
modelar um piso), você sempre consegue encostar nela as pontas dos 3 pés do
banco, de modo que o banco fique "firme" ou sem folgas.
Ou, mais formalmente, dado um triângulo ABC no espaço, existe uma isometria
(do espaço) tal que as imagens de A, B e C por esta isometria estão em S.

Enfim, esse talvez seja um problema mais de topologia do que de geometria.
Pois, no fim das contas, "3 pontos não colineares determinam um único
plano", assim como "2 pontos determinam uma única reta" são afirmações que
têm um certo ar topológico, pelo menos pra mim.

[]s,
Claudio.

On Mon, Jan 23, 2023 at 7:02 AM Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> wrote:

>
>
> Em dom, 22 de jan de 2023 23:23, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Achei na internet duas explicações distintas para a estabilidade de uma
>> cadeira (ou mesa ou banco) de 3 pés.
>> Aqui estão:
>> https://www.somatematica.com.br/curiosidades/c98.php
>>
>> http://colegiofarroupilha.com.br/site/qual-cadeira-e-mais-firme-a-que-tem-tres-ou-quatro-pes/
>>
>
> Nesse caso específico, a primeira me parece mais correta. Ou melhor, a
> segunda tem falhas.
>
> A rigidez dos triângulos (TCC caso LLL de igualdade de triângulos) é
> irrelevante para a questão da cadeira bamba. Em qualquer cadeira física e
> palpável, as pernas são rígidas - portanto o polígono formado pelas
> extremidades dessas pernas é rígido também.
>
> Mas um polígono rígido não é necessariamente um polígono bidimensional - o
> que a cadeira bamba de 4 pernas exemplifica perfeitamente.
>
> Contate o webmaster da segunda página sugerindo correções!
>
>
>> Qual das duas é a explicação correta?
>> Ou nenhuma das duas? E, nesse caso, qual a explicação?
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] cadeira de 3 pés

[Anderson Torres]

Em dom, 22 de jan de 2023 23:23, Claudio Buffara 
escreveu:

> Achei na internet duas explicações distintas para a estabilidade de uma
> cadeira (ou mesa ou banco) de 3 pés.
> Aqui estão:
> https://www.somatematica.com.br/curiosidades/c98.php
>
> http://colegiofarroupilha.com.br/site/qual-cadeira-e-mais-firme-a-que-tem-tres-ou-quatro-pes/
>

Nesse caso específico, a primeira me parece mais correta. Ou melhor, a
segunda tem falhas.

A rigidez dos triângulos (TCC caso LLL de igualdade de triângulos) é
irrelevante para a questão da cadeira bamba. Em qualquer cadeira física e
palpável, as pernas são rígidas - portanto o polígono formado pelas
extremidades dessas pernas é rígido também.

Mas um polígono rígido não é necessariamente um polígono bidimensional - o
que a cadeira bamba de 4 pernas exemplifica perfeitamente.

Contate o webmaster da segunda página sugerindo correções!


> Qual das duas é a explicação correta?
> Ou nenhuma das duas? E, nesse caso, qual a explicação?
>
> []s,
> Claudio.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.