subject:"Re\: \[obm\-l\] Geometria"

Re: [obm-l] geometria

2021-09-28 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo

Muito obrigado

Em seg, 27 de set de 2021 21:25, Claudio Buffara 
escreveu:

> O caso LLL de congruência implica que, dados 3 segmentos que obedecem aa
> desigualdade triangular, o triângulo que os tem como lados é unicamente
> determinado, a menos de uma isometria.
>
> Enviado do meu iPhone
>
> > Em 27 de set. de 2021, à(s) 19:50, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
> >
> > 
> >
> > OlÃ¡ pessoal. como faÃ§o para provar que o triÃ¢ngulo Ã© um polÃgono
> rÃgido?
> >
> >
> > AbraÃ§os, muito obrigado
> > --
> > Israel Meireles Chrisostomo
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] geometria

2021-09-27 Por tôpico Claudio Buffara

O caso LLL de congruência implica que, dados 3 segmentos que obedecem aa 
desigualdade triangular, o triângulo que os tem como lados é unicamente 
determinado, a menos de uma isometria.

Enviado do meu iPhone

> Em 27 de set. de 2021, à(s) 19:50, Israel Meireles Chrisostomo 
>  escreveu:
> 
> 
> 
> OlÃ¡ pessoal. como faÃ§o para provar que o triÃ¢ngulo Ã© um polÃgono rÃgido?
> 
> 
> AbraÃ§os, muito obrigado
> -- 
> Israel Meireles Chrisostomo
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?

2020-08-27 Por tôpico Anderson Torres

Em qua., 26 de ago. de 2020 às 18:29, Pedro José  escreveu:
>
> Boa noite!
> Anderson,
> achei legal a sua visão. Mas não consegui evoluir com nada.
> Todavia, fiquei com uma dúvida. Como x+y é um dos ângulos do triângulo temos 
> a restrição 0 E entendo que tanto para cotg(x) + cot(y) , como para tg(x) + tg(y) ocorrerá 
> um mínimo em x=y=K/2, onde x+y=k,k sendo um constante.
> Não acompanhei a sua dedução d quando um é mínimo o outro é máximo.

Eu não fui muito claro.

Você converteu o problema em "calcule o valor mínimo de cot(x)+cot(y)
com x+y fixo". Isso é essencialmente o mesmo que resolver o problema
"calcule o valor mínimo de tan(a)+tan(b) com a+b fixo" - pois sabendo
resolver um é só usar a mesma solução para x=90-a, y=90-b.

>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:40, Anderson Torres 
>  escreveu:
>>
>> Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:03, Anderson Torres
>>  escreveu:
>> >
>> > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José  
>> > escreveu:
>> > >
>> > > Boa noite!
>> > > Cláudio,
>> > > não consegui nada geométrico.
>> > > O máximo que atingi foi:
>> > > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)]  + [cotg(B1) +cotg (B2)] + 
>> > > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C.
>> > > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre 
>> > > quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das 
>> > > bissetrizes e logo I.
>> > > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB.
>> >
>> > Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada.
>> > Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a
>> > geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de
>> > números.
>> >
>> > Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação
>> > geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos
>> > apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de
>> > semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um
>> > quadrilátero cíclico.
>>
>> Acrescentando mais coisas: se queremos minimizar cot(x) +cot(y) com
>> x+y fixo, isto é equivalente a minimizar tan(90-x)+tan(90-y) com
>> 90-x+90-y fixo. Ou como maximizar tan(x) + tan(y) com x+y fixo.
>>
>> Geometricamente, tangente é cateto oposto dividido por cateto
>> adjacente. Logo uma soma de tangentes com catetos adjacentes iguais
>> equivale a uma soma de catetos opostos! Assim sendo, nosso problema
>> pode ser pensado da seguinte forma:
>>
>> Dados um ponto A e uma reta d fixos, temos que construir duas retas x
>> e y, com ângulo 'alfa' entre elas, ambas passando por A e tais que a
>> distância entre os pontos X e Y, que elas geram ao intersectar d, seja
>> mínima.
>>
>> Daí fica fácil argumentar que a altura por A também tem que ser a
>> bissetriz por A.
>>
>> No fundo do fundo é uma forma de geometrizar a solução trigonométrica.
>> A trigonometria se torna apenas um atalho.
>>
>> Vou formalizar isso mais tarde, com desenhos e tudo.
>>
>>
>>
>> >
>> > Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense
>> > VS geometria paulista:
>> > https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf
>> >
>> >
>> > >
>> > > Saudações,
>> > > PJMS
>> > >
>> > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara 
>> > >  escreveu:
>> > >>
>> > >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? 
>> > >> E que torne o resultado mais intuitivo?
>> > >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos 
>> > >> lados, pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, 
>> > >> a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo.
>> > >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, 
>> > >> que P deva ser equidistante dos três.
>> > >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior 
>> > >> lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal 
>> > >> que a/h_a = b/h_b = c/h_c.
>> > >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente 
>> > >> neste caso.
>> > >>
>> > >>
>> > >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco  
>> > >> wrote:
>> > >>>
>> > >>> Olá, Vanderlei.
>> > >>> Por Cauchy-Schwarz, temos
>> > >>>
>> > >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2.  (#)
>> > >>>
>> > >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a 
>> > >>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o 
>> > >>> semi-perimetro.
>> > >>>
>> > >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = 
>> > >>> hc, ou seja, quando P é o incentro do triângulo
>> > >>>
>> > >>> Abraços,
>> > >>> Matheus
>> > >>>
>> > >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz 
>> > >>>  escreveu:
>> > 
>> >  Bom dia!
>> > 
>> >  Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive 
>> >  êxito. Alguém ajuda?
>> >  Muito agradecido!
>> > 
>> >  Seja P um ponto no

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?

2020-08-26 Por tôpico Pedro José

Boa noite!
Anderson,
achei legal a sua visão. Mas não consegui evoluir com nada.
Todavia, fiquei com uma dúvida. Como x+y é um dos ângulos do triângulo
temos a restrição 0 escreveu:

> Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:03, Anderson Torres
>  escreveu:
> >
> > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José 
> escreveu:
> > >
> > > Boa noite!
> > > Cláudio,
> > > não consegui nada geométrico.
> > > O máximo que atingi foi:
> > > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)]  + [cotg(B1) +cotg (B2)] +
> co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C.
> > > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que
> ocorre quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das
> bissetrizes e logo I.
> > > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB.
> >
> > Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada.
> > Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a
> > geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de
> > números.
> >
> > Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação
> > geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos
> > apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de
> > semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um
> > quadrilátero cíclico.
>
> Acrescentando mais coisas: se queremos minimizar cot(x) +cot(y) com
> x+y fixo, isto é equivalente a minimizar tan(90-x)+tan(90-y) com
> 90-x+90-y fixo. Ou como maximizar tan(x) + tan(y) com x+y fixo.
>
> Geometricamente, tangente é cateto oposto dividido por cateto
> adjacente. Logo uma soma de tangentes com catetos adjacentes iguais
> equivale a uma soma de catetos opostos! Assim sendo, nosso problema
> pode ser pensado da seguinte forma:
>
> Dados um ponto A e uma reta d fixos, temos que construir duas retas x
> e y, com ângulo 'alfa' entre elas, ambas passando por A e tais que a
> distância entre os pontos X e Y, que elas geram ao intersectar d, seja
> mínima.
>
> Daí fica fácil argumentar que a altura por A também tem que ser a
> bissetriz por A.
>
> No fundo do fundo é uma forma de geometrizar a solução trigonométrica.
> A trigonometria se torna apenas um atalho.
>
> Vou formalizar isso mais tarde, com desenhos e tudo.
>
>
>
> >
> > Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense
> > VS geometria paulista:
> > https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf
> >
> >
> > >
> > > Saudações,
> > > PJMS
> > >
> > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
> > >>
> > >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica
> disso? E que torne o resultado mais intuitivo?
> > >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos
> lados, pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a
> cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo.
> > >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a
> priori, que P deva ser equidistante dos três.
> > >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior
> lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que
> a/h_a = b/h_b = c/h_c.
> > >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente
> neste caso.
> > >>
> > >>
> > >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco <
> matheusse...@gmail.com> wrote:
> > >>>
> > >>> Olá, Vanderlei.
> > >>> Por Cauchy-Schwarz, temos
> > >>>
> > >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2.  (#)
> > >>>
> > >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a
> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o semi-perimetro.
> > >>>
> > >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb
> = hc, ou seja, quando P é o incentro do triângulo
> > >>>
> > >>> Abraços,
> > >>> Matheus
> > >>>
> > >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz <
> vanderma...@gmail.com> escreveu:
> > 
> >  Bom dia!
> > 
> >  Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive
> êxito. Alguém ajuda?
> >  Muito agradecido!
> > 
> >  Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as
> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor
> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do
> triângulo ABC.
> > 
> >  --
> >  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >  acredita-se estar livre de perigo.
> > >>>
> > >>>
> > >>> --
> > >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > >>> acredita-se estar livre de perigo.
> > >>
> > >>
> > >> --
> > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > >> acredita-se estar livre de perigo.
> > >
> > >
> > > --
> > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?

2020-08-20 Por tôpico Anderson Torres

Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:03, Anderson Torres
 escreveu:
>
> Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José  
> escreveu:
> >
> > Boa noite!
> > Cláudio,
> > não consegui nada geométrico.
> > O máximo que atingi foi:
> > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)]  + [cotg(B1) +cotg (B2)] + 
> > co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C.
> > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre 
> > quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes 
> > e logo I.
> > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB.
>
> Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada.
> Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a
> geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de
> números.
>
> Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação
> geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos
> apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de
> semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um
> quadrilátero cíclico.

Acrescentando mais coisas: se queremos minimizar cot(x) +cot(y) com
x+y fixo, isto é equivalente a minimizar tan(90-x)+tan(90-y) com
90-x+90-y fixo. Ou como maximizar tan(x) + tan(y) com x+y fixo.

Geometricamente, tangente é cateto oposto dividido por cateto
adjacente. Logo uma soma de tangentes com catetos adjacentes iguais
equivale a uma soma de catetos opostos! Assim sendo, nosso problema
pode ser pensado da seguinte forma:

Dados um ponto A e uma reta d fixos, temos que construir duas retas x
e y, com ângulo 'alfa' entre elas, ambas passando por A e tais que a
distância entre os pontos X e Y, que elas geram ao intersectar d, seja
mínima.

Daí fica fácil argumentar que a altura por A também tem que ser a
bissetriz por A.

No fundo do fundo é uma forma de geometrizar a solução trigonométrica.
A trigonometria se torna apenas um atalho.

Vou formalizar isso mais tarde, com desenhos e tudo.



>
> Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense
> VS geometria paulista:
> https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf
>
>
> >
> > Saudações,
> > PJMS
> >
> > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara 
> >  escreveu:
> >>
> >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E 
> >> que torne o resultado mais intuitivo?
> >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, 
> >> pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a 
> >> cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo.
> >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que 
> >> P deva ser equidistante dos três.
> >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado 
> >> e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que 
> >> a/h_a = b/h_b = c/h_c.
> >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste 
> >> caso.
> >>
> >>
> >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco  
> >> wrote:
> >>>
> >>> Olá, Vanderlei.
> >>> Por Cauchy-Schwarz, temos
> >>>
> >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2.  (#)
> >>>
> >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a 
> >>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o 
> >>> semi-perimetro.
> >>>
> >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, 
> >>> ou seja, quando P é o incentro do triângulo
> >>>
> >>> Abraços,
> >>> Matheus
> >>>
> >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz 
> >>>  escreveu:
> 
>  Bom dia!
> 
>  Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. 
>  Alguém ajuda?
>  Muito agradecido!
> 
>  Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as 
>  distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor 
>  mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do 
>  triângulo ABC.
> 
>  --
>  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
> >>>
> >>>
> >>> --
> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?

2020-08-20 Por tôpico Anderson Torres

Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José  escreveu:
>
> Boa noite!
> Cláudio,
> não consegui nada geométrico.
> O máximo que atingi foi:
> a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)]  + [cotg(B1) +cotg (B2)] + 
> co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C.
> Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre 
> quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes e 
> logo I.
> Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB.

Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada.
Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a
geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de
números.

Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação
geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos
apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de
semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um
quadrilátero cíclico.

Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense
VS geometria paulista:
https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf


>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara 
>  escreveu:
>>
>> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E que 
>> torne o resultado mais intuitivo?
>> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados, 
>> pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a cresceria 
>> e a expressão se afastaria do valor mínimo.
>> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que P 
>> deva ser equidistante dos três.
>> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado e 
>> conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que a/h_a = 
>> b/h_b = c/h_c.
>> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste 
>> caso.
>>
>>
>> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco  
>> wrote:
>>>
>>> Olá, Vanderlei.
>>> Por Cauchy-Schwarz, temos
>>>
>>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2.  (#)
>>>
>>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a 
>>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o semi-perimetro.
>>>
>>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc, 
>>> ou seja, quando P é o incentro do triângulo
>>>
>>> Abraços,
>>> Matheus
>>>
>>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz 
>>>  escreveu:

 Bom dia!

 Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito. 
 Alguém ajuda?
 Muito agradecido!

 Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as 
 distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor 
 mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do 
 triângulo ABC.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?

2020-08-18 Por tôpico Claudio Buffara

Realmente, não era isso que eu estava procurando...  mas valeu! É outra
solução.


On Tue, Aug 18, 2020 at 7:51 PM Pedro José  wrote:

> Boa noite!
> Cláudio,
> não consegui nada geométrico.
> O máximo que atingi foi:
> a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)]  + [cotg(B1) +cotg (B2)] +
> co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C.
> Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre
> quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes
> e logo I.
> Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E
>> que torne o resultado mais intuitivo?
>> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados,
>> pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo,
>> a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo.
>> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori,
>> que P deva ser equidistante dos três.
>> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior
>> lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que
>> a/h_a = b/h_b = c/h_c.
>> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste
>> caso.
>>
>>
>> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco 
>> wrote:
>>
>>> Olá, Vanderlei.
>>> Por Cauchy-Schwarz, temos
>>>
>>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2.  (#)
>>>
>>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a
>>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o
>>> semi-perimetro.
>>>
>>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb =
>>> hc, ou seja, quando P é o incentro do triângulo
>>>
>>> Abraços,
>>> Matheus
>>>
>>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz <
>>> vanderma...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Bom dia!

 Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito.
 Alguém ajuda?
 Muito agradecido!

 Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as
 distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor
 mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do
 triângulo ABC.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?

2020-08-18 Por tôpico Pedro José

Boa noite!
Cláudio,
não consegui nada geométrico.
O máximo que atingi foi:
a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)]  + [cotg(B1) +cotg (B2)] +
co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C.
Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre
quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes
e logo I.
Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB.

Saudações,
PJMS

Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E
> que torne o resultado mais intuitivo?
> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados,
> pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo,
> a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo.
> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que
> P deva ser equidistante dos três.
> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado
> e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que
> a/h_a = b/h_b = c/h_c.
> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste
> caso.
>
>
> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco 
> wrote:
>
>> Olá, Vanderlei.
>> Por Cauchy-Schwarz, temos
>>
>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2.  (#)
>>
>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a
>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o
>> semi-perimetro.
>>
>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc,
>> ou seja, quando P é o incentro do triângulo
>>
>> Abraços,
>> Matheus
>>
>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz <
>> vanderma...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Bom dia!
>>>
>>> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito.
>>> Alguém ajuda?
>>> Muito agradecido!
>>>
>>> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as
>>> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor
>>> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do
>>> triângulo ABC.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?

2020-08-18 Por tôpico Claudio Buffara

Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E
que torne o resultado mais intuitivo?
É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados,
pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo,
a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo.
Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que
P deva ser equidistante dos três.
De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado
e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que
a/h_a = b/h_b = c/h_c.
O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste
caso.

On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco 
wrote:

> Olá, Vanderlei.
> Por Cauchy-Schwarz, temos
>
> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2.  (#)
>
> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a
> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o
> semi-perimetro.
>
> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc,
> ou seja, quando P é o incentro do triângulo
>
> Abraços,
> Matheus
>
> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz <
> vanderma...@gmail.com> escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito.
>> Alguém ajuda?
>> Muito agradecido!
>>
>> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as
>> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor
>> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do
>> triângulo ABC.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?

2020-08-17 Por tôpico Professor Vanderlei Nemitz

Muito obrigado, Matheus!
Pensei nas outras desigualdades, menos em Cauchy-Schwarz.

Muito bom!

Em dom, 16 de ago de 2020 10:11, Matheus Secco 
escreveu:

> Olá, Vanderlei.
> Por Cauchy-Schwarz, temos
>
> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2.  (#)
>
> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a
> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o
> semi-perimetro.
>
> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc,
> ou seja, quando P é o incentro do triângulo
>
> Abraços,
> Matheus
>
> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz <
> vanderma...@gmail.com> escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito.
>> Alguém ajuda?
>> Muito agradecido!
>>
>> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as
>> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor
>> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do
>> triângulo ABC.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?

2020-08-16 Por tôpico Matheus Secco

Olá, Vanderlei.
Por Cauchy-Schwarz, temos

(a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2.  (#)

Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a
expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o
semi-perimetro.

Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc,
ou seja, quando P é o incentro do triângulo

Abraços,
Matheus

Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz <
vanderma...@gmail.com> escreveu:

> Bom dia!
>
> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito.
> Alguém ajuda?
> Muito agradecido!
>
> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as
> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor
> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do
> triângulo ABC.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica

2019-07-18 Por tôpico Claudio Buffara

Se a reta for perpendicular a MN, intersectando o segmento no ponto P, digamos, 
então a solução é Q = P.
Isso pode ser visto sem cálculo. Apenas comPitágoras  e algebra 
(especificamente, a identidade:
 raiz(a) - raiz(b) = (a - b)/(raiz(a) +  raiz(b))

Pro caso da reta ser oblíqua, Pitágoras é substituído pela lei dos cossenos e a 
álgebra fica mais chatinha.

Abs

Enviado do meu iPhone

Em 17 de jul de 2019, à(s) 23:36, Rodrigo Ângelo  
escreveu:

> Acho que neste caso dÃ¡ pra usar hipÃ©rbolesÂ 
> 
> Uma sequÃªncia de hipÃ©rboles que passam por M e N, com um foco em Q1, Q2, 
> ..., Qn tenderia Ã  Q que maximiza a diferenÃ§a entre distÃ¢ncias quando as 
> retas que passam por MQ e NQ sÃ£o perpendiculares, certo?
> 
>> On Tue, Jul 16, 2019, 1:50 PM Vanderlei Nemitz  wrote:
>> Com certeza! Ã‰ que nesse caso os pontos estÃ£o em semiplanos opostos. 
>> Talvez seria isso que eu gostaria de perguntar. SerÃ¡ que nesse caso sim?
>> Mas e sem derivadas? SerÃ¡ possÃvel resolver? Preciso apresentar a 
>> soluÃ§Ã£o para alunos que nÃ£o estudaram derivadas...
>> 
>> Muito obrigado!
>> 
>> Em ter, 16 de jul de 2019 Ã s 13:30, Claudio Buffara 
>>  escreveu:
>>> A resposta da 2a questÃ£o Ã© NÃƒO. Pense em M e N prÃ³ximos um do outro e 
>>> tÃ£o distantes da reta que o Ã¢ngulo MQN Ã© sempre agudo.
>>> 
>>> Abs
>>> 
>>> Enviado do meu iPhone
>>> 
>>> Em 16 de jul de 2019, Ã (s) 15:44, Vanderlei Nemitz  
>>> escreveu:
>>> 
>>> > Pessoal, ÃƒÂ© possÃƒÂvel resolver a seguinte questÃƒÂ£o sem utilizar 
>>> > derivadas?
>>> > 
>>> > Determinar as coordenadas de um ponto Q pertencente ÃƒÂ  reta de 
>>> > equaÃƒÂ§ÃƒÂ£o y = 3x - 1 tal que a diferenÃƒÂ§a de suas distÃƒÂ¢ncias aos 
>>> > pontos M(4, 1) e N(0, 4) seja mÃƒÂ¡xima.
>>> > 
>>> > A resposta mostra que o triÃƒÂ¢ngulo MQN ÃƒÂ© retÃƒÂ¢ngulo em Q, para que 
>>> > a diferenÃƒÂ§a seja mÃƒÂ¡xima. Isso ocorre sempre?
>>> > 
>>> > 
>>> > Muito obrigado!
>>> > 
>>> > Vander
>>> > 
>>> > -- 
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e 
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
>>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> 
>>> =
>>> Instruï¿½Ãµes para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica

2019-07-17 Por tôpico Rodrigo Ângelo

Acho que neste caso dá pra usar hipérboles

Uma sequência de hipérboles que passam por M e N, com um foco em Q1, Q2,
..., Qn tenderia à Q que maximiza a diferença entre distâncias quando as
retas que passam por MQ e NQ são perpendiculares, certo?

On Tue, Jul 16, 2019, 1:50 PM Vanderlei Nemitz 
wrote:

> Com certeza! É que nesse caso os pontos estão em semiplanos opostos.
> Talvez seria isso que eu gostaria de perguntar. Será que nesse caso sim?
> Mas e sem derivadas? Será possível resolver? Preciso apresentar a solução
> para alunos que não estudaram derivadas...
>
> Muito obrigado!
>
> Em ter, 16 de jul de 2019 às 13:30, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> A resposta da 2a questão é NÃO. Pense em M e N próximos um do outro e tão
>> distantes da reta que o ângulo MQN é sempre agudo.
>>
>> Abs
>>
>> Enviado do meu iPhone
>>
>> Em 16 de jul de 2019, à(s) 15:44, Vanderlei Nemitz 
>> escreveu:
>>
>> > Pessoal, Ã© possÃvel resolver a seguinte questÃ£o sem utilizar
>> derivadas?
>> >
>> > Determinar as coordenadas de um ponto Q pertencente Ã  reta de
>> equaÃ§Ã£o y = 3x - 1 tal que a diferenÃ§a de suas distÃ¢ncias aos pontos
>> M(4, 1) e N(0, 4) seja mÃ¡xima.
>> >
>> > A resposta mostra que o triÃ¢ngulo MQN Ã© retÃ¢ngulo em Q, para que a
>> diferenÃ§a seja mÃ¡xima. Isso ocorre sempre?
>> >
>> >
>> > Muito obrigado!
>> >
>> > Vander
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica

2019-07-16 Por tôpico Vanderlei Nemitz

Com certeza! É que nesse caso os pontos estão em semiplanos opostos. Talvez
seria isso que eu gostaria de perguntar. Será que nesse caso sim?
Mas e sem derivadas? Será possível resolver? Preciso apresentar a solução
para alunos que não estudaram derivadas...

Muito obrigado!

Em ter, 16 de jul de 2019 às 13:30, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> A resposta da 2a questão é NÃO. Pense em M e N próximos um do outro e tão
> distantes da reta que o ângulo MQN é sempre agudo.
>
> Abs
>
> Enviado do meu iPhone
>
> Em 16 de jul de 2019, à(s) 15:44, Vanderlei Nemitz 
> escreveu:
>
> > Pessoal, Ã© possÃvel resolver a seguinte questÃ£o sem utilizar
> derivadas?
> >
> > Determinar as coordenadas de um ponto Q pertencente Ã  reta de equaÃ§Ã£o
> y = 3x - 1 tal que a diferenÃ§a de suas distÃ¢ncias aos pontos M(4, 1) e
> N(0, 4) seja mÃ¡xima.
> >
> > A resposta mostra que o triÃ¢ngulo MQN Ã© retÃ¢ngulo em Q, para que a
> diferenÃ§a seja mÃ¡xima. Isso ocorre sempre?
> >
> >
> > Muito obrigado!
> >
> > Vander
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria analítica

2019-07-16 Por tôpico Claudio Buffara

A resposta da 2a questão é NÃO. Pense em M e N próximos um do outro e tão 
distantes da reta que o ângulo MQN é sempre agudo.

Abs

Enviado do meu iPhone

Em 16 de jul de 2019, à(s) 15:44, Vanderlei Nemitz  
escreveu:

> Pessoal, Ã© possÃvel resolver a seguinte questÃ£o sem utilizar derivadas?
> 
> Determinar as coordenadas de um ponto Q pertencente Ã  reta de equaÃ§Ã£o y = 
> 3x - 1 tal que a diferenÃ§a de suas distÃ¢ncias aos pontos M(4, 1) e N(0, 4) 
> seja mÃ¡xima.
> 
> A resposta mostra que o triÃ¢ngulo MQN Ã© retÃ¢ngulo em Q, para que a 
> diferenÃ§a seja mÃ¡xima. Isso ocorre sempre?
> 
> 
> Muito obrigado!
> 
> Vander
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Geometria

2019-07-15 Por tôpico Prof. Douglas Oliveira

Opa , desculpa era quadrado

Em seg, 15 de jul de 2019 22:58, Joao Breno 
escreveu:

> ABCD é um quadrilátero qualquer ou um retângulo?
>
> Att, Breno.
>
> Em seg, 15 de jul de 2019 22:18, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá amigos podem me ajudar no seguinte problema?
>>
>> Dado um [image: $ABCD$], onde [image: $M,K, L$] e [image: $N$] são
>> pontos nos lados [image: $AB, BC,CD$] e [image: $DA$], respectivamente,
>> tal que [image: $\angle MKA =\angle KAL = \angle ALN = 45^o$]. Prove que 
>> [image:
>> $MK^2 + AL^2 = AK^2 + LN^2$]
>>
>> Att
>> Douglas Oliveira
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria

2019-07-15 Por tôpico Joao Breno

ABCD é um quadrilátero qualquer ou um retângulo?

Att, Breno.

Em seg, 15 de jul de 2019 22:18, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá amigos podem me ajudar no seguinte problema?
>
> Dado um [image: $ABCD$], onde [image: $M,K, L$] e [image: $N$] são pontos
> nos lados [image: $AB, BC,CD$] e [image: $DA$], respectivamente, tal que 
> [image:
> $\angle MKA =\angle KAL = \angle ALN = 45^o$]. Prove que [image: $MK^2 +
> AL^2 = AK^2 + LN^2$]
>
> Att
> Douglas Oliveira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria triangulo

2019-04-07 Por tôpico matematica10complicada

Obrigado Julio, sempre com excelentes construções.

Em sex, 5 de abr de 2019 às 13:38, Julio César Saldaña Pumarica <
saldana...@pucp.edu.pe> escreveu:

> Trace DP perpendicular a BE com P em BC, logo BP=BD. Seja Q o ponto comum
> a DP e BE
> Calculando os ângulos (os que dá para calcular), obtemos  CP=PD (chamemos R à essa distância, CP=PD=R)
> Em BQ marque o ponto T tal que o triângulo PTD seja equilátero (os lados
> medem R)
>
> O ângulo ETD mede 30 (igual ao ângulo ECD), logo o quadrilátero CEDT é
> cíclico (inscritível, sei lá o nome em português).
>
> Por outro lado, observe que PC=PT (=R), então complete os ângulos no
> triângulo isósceles CPT, vai descobrir 
> Finalmente no  quadrilátero CEDT que é cíclico, 
>
>
>
>
>
> El mié., 3 abr. 2019 a las 15:42, matematica10complicada (<
> profdouglaso.del...@gmail.com>) escribió:
>
>> Alguem temnuma construcao esperta pra essa?
>>
>> Num triangulo retangulo ABC , retangulo em A , o angulo ABC=20 graus, 
>> traca-se
>> a bissetriz deste  angulo que toca o lado AC em E. Em seguida, traca-se
>> a reta CD com D em AB tal que ACD=30, determinar o angulo CDE.
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria triangulo

2019-04-05 Por tôpico Julio César Saldaña Pumarica

Trace DP perpendicular a BE com P em BC, logo BP=BD. Seja Q o ponto comum a
DP e BE
Calculando os ângulos (os que dá para calcular), obtemos ) escribió:

> Alguem temnuma construcao esperta pra essa?
>
> Num triangulo retangulo ABC , retangulo em A , o angulo ABC=20 graus, traca-se
> a bissetriz deste  angulo que toca o lado AC em E. Em seguida, traca-se a
> reta CD com D em AB tal que ACD=30, determinar o angulo CDE.
>
> Douglas Oliveira.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria plana

2019-02-26 Por tôpico matematica10complicada

Obrigado Julio, incrivel solucao.
So corrija AB=AC=AQ=R

Abraco
Douglas Oliveira.

Em seg, 25 de fev de 2019 10:38, Julio César Saldaña Pumarica <
saldana...@pucp.edu.pe> escreveu:

> Na prolongação do BP ubique o ponto Q tal que AQ=AB. Chamemos AC=R, então
> temos AB=AC+AQ=R.
>
> Completando ângulos: 
> Analisse o triângulo MAQ. Dado que o  circunferencia circunscrita mede 60 e portanto o raio de essa
> circunferência é igual ao lado AQ, ouseja R.
>
> Seja O o centro de essa circunferência (circunscrita ao triângulo MAQ).
> Então OM=OA=OQ=R
>
> Completando mais ângulos, obtemos  com os arcos da circunferencia, mas também da para fazer com soma de
> ângulos en triângulos, alguns isósceles)
>
> Compare os triângulos  CAQ e MOQ, ambos são isósceles com lados iguais a R
> formando ângulos iguais a 100. Então cumprem o caso LAL de congruência.
> Logo QC=QM e portando o triângulo  MQC é isósceles: x+x+20=180, então x=80
>
>
>
>
>
>
> El dom., 24 feb. 2019 a las 11:39, matematica10complicada (<
> profdouglaso.del...@gmail.com>) escribió:
>
>> Ola amigos, alguem ja fez essa questao abaixo?
>>
>> Eu fiz por trigonometria e achei 80 graus.
>> Gostaria de uma ajuda para fazer por construcao.
>>
>> Problema:
>> Num triangulo ABC isosceles , onde AB=AC, o angulo A mede 40 graus,
>> traca-se BP com P em AC, e o angulo ABP mede 20 graus. Toma-se um ponto M
>> em BP de modo que AP=PM, determinar o angulo PMC.
>>
>> Valeh pela ajuda
>> Douglas Oliveira.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria plana

2019-02-25 Por tôpico Julio César Saldaña Pumarica

Na prolongação do BP ubique o ponto Q tal que AQ=AB. Chamemos AC=R, então
temos AB=AC+AQ=R.

Completando ângulos: ) escribió:

> Ola amigos, alguem ja fez essa questao abaixo?
>
> Eu fiz por trigonometria e achei 80 graus.
> Gostaria de uma ajuda para fazer por construcao.
>
> Problema:
> Num triangulo ABC isosceles , onde AB=AC, o angulo A mede 40 graus,
> traca-se BP com P em AC, e o angulo ABP mede 20 graus. Toma-se um ponto M
> em BP de modo que AP=PM, determinar o angulo PMC.
>
> Valeh pela ajuda
> Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] geometria plana

2018-07-29 Por tôpico Claudio Buffara

Legal! Obrigado, Ralph!

A relação entre estas 3 soluções cabe bem na discussão que eu queria ter
sobre educação matemática (resolução de problemas é uma parte importante
dela).

A solução por geometria sintética eu já conhecia. Ela usa construções
auxiliares, no caso, paralelogramos construídos a partir de duas das
medianas. Neste problema, as construções auxiliares são mais ou menos
óbvias. Mas há vários problemas de geometria cuja solução sintética usa
construções auxiliares nada óbvias e que parecem vir "do além". Imagino que
esta seja a fonte mais comum de dificuldade em problemas olímpicos de
geometria.

A solução por vetores (que é essencialmente algébrica) também usa
paralelogramos, mas de forma implícita. Pois a soma de vetores no plano (na
qual a solução é baseada) obedece à chamada "lei do paralelogramo". De
fato, me parece possível definir um paralelogramo a partir da soma de
vetores, mais ou menos assim: dados os pontos A, B, C no plano, e definindo
os vetores v = AB e w = AC, então o ponto D tal que AD = v + w é tal que os
pontos A, B, C, D são vértices de um paralelogramo (no caso, o
paralelogramo ABDC).
É interessante que, por causa disso, o uso de vetores dispensa a busca de
uma construção auxiliar, o que resulta numa solução mais "automática". Ou
seja, o uso de vetores em geometria foi um avanço tecnológico, que
suplantou, em vários casos, o "artesanato" da solução sintética.

A ideia de usar uma transformação afim, que me ocorreu porque o Anderson
Torres mencionou "homotetia" (um tipo específico de transformação afim) em
relação a outro problema, no fundo também usa vetores mas, além deles,
também usa transformações lineares e uma estratégia de solução que, em
linhas gerais, é:
1) usar uma transformação invertível pra transformar o problema original
num outro mais fácil de resolver (no caso, o problema original proposto
para um triângulo equilátero);
2) resolver o problema mais fácil;
3) usar a transformação inversa pra obter automaticamente a solução do
problema original (triângulo qualquer).
Este tipo de estratégia é usado toda vez que fazemos uma "mudança de
variáveis".

***

A solução sintética também usa o fato de que as medianas de um triângulo o
subdividem em seis triângulos de mesma área.

Em geral, três cevianas que são concorrentes subdividem um triângulo em
seis outros triângulos e o uso "esperto" das áreas destes triângulos
resulta numa demonstração razoavelmente simples e intuitiva do teorema de
Ceva (vide, por exemplo, o livro Geometry Revisited, de Coxeter e Greitzer).

A demonstração usual de Ceva usa semelhança: no triângulo ABC, com cevianas
concorrentes AM, BN e CP, trace a reta r contendo A e paralela a BC e, em
seguida, considere os pontos Q e R de intersecção das cevianas BN e CP (ou
seus prolongamentos) com a reta r. Usando semelhança de pares de triângulos
adequados e alguma álgebra, chega-se à relação de Ceva: AP/PB * BM/MC *
CN/NA = 1.

Mas o que eu queria dizer é que acho bem possível que as teorias de área e
de semelhança sejam equivalentes, no sentido de que tudo o que é possível
demonstrar por meio de uma delas também é possível por meio da outra.

O que me leva a dizer isso é o seguinte: no triângulo ABC, com alturas BH e
CK, temos:
1) 2*área(ABC) = AB*CK = AC*BH
e
2) a semelhança dos triângulos retângulos AHB e AKC (ângulo A comum)
implica que:
AB/BH = AC/CK  <==>  AB*CK = AC*BH

Ou seja, chega-se à mesma relação (algébrica) entre elementos de um
triângulo por dois caminhos aparentemente distintos: área e semelhança.

Hoje em dia, estas duas teorias são apresentadas supondo-se conhecidas as
propriedades dos números reais (vide Medida e Forma em Geometria, do Elon
Lages Lima).
Em particular, este livro (que é ótimo) apresenta a teoria da semelhança
com base na definição:
As figuras planas F e G são ditas semelhantes (de razão k) se existir uma
função f:F -> G e um número real positivo k tais que, para quaisquer pontos
X e Y de F:
dist(f(X),f(Y)) = k*dist(X,Y), onde dist(X,Y) = distância entre X e Y =
medida do segmento XY.

[]s,
Claudio.

2018-07-29 19:44 GMT-03:00 Ralph Teixeira :

> Sim! Quando aplica-se qualquer transformacao linear a um objeto, a razao
> entre o volume da figura nova e o da figura antiga eh constante e igual ao
> determinante da transformacao! Entao ambas as areas ficariam multiplicadas
> pelo mesmo numero, e a razao se manteria!
>
> Outro detalhe: teria que ver se a transformacao linear leva medianas em
> medianas... Mas isso tambem eh verdade e vem direto da definicao de
> "transf. linear", pontos medios se preservam.
>
> Abraco, Ralph.
>
> On Sun, Jul 29, 2018 at 5:53 PM Claudio Buffara 
> wrote:
>
>> Idéia que me ocorreu: todo triângulo é afim-equivalente a um triângulo
>> equilátero.
>> Mediante translações, as medianas de um triângulo equilátero de lado 1
>> formam um triângulo equilátero cujos lados medem raiz(3)/2 e, portanto,
>> cuja área é 3/4.
>> Será que uma transformação afim preserva a razão entre as áreas do
>>

Re: [obm-l] geometria plana

2018-07-29 Por tôpico Esdras Muniz

Pra mim não é tão fácil ver 3, to enferrujado na geometria plana. Pra
justificar acho que uma boa forma de ver é dizer que o triângulo APQ é
congruente ao PBC. Para concluir, o caminho mais curto que eu vi foi usar
que o triângulo MNR é semelhante ao BAN, e a razão é 1/2.

Em 28 de julho de 2018 20:51, Claudio Buffara 
escreveu:

> Idéia que me ocorreu: todo triângulo é afim-equivalente a um triângulo
> equilátero.
> Mediante translações, as medianas de um triângulo equilátero de lado 1
> formam um triângulo equilátero cujos lados medem raiz(3)/2 e, portanto,
> cuja área é 3/4.
> Será que uma transformação afim preserva a razão entre as áreas do
> triângulo original e do triângulo “medianico”?
>
> Abs,
> Cláudio.
>
> Enviado do meu iPhone
>
> Em 28 de jul de 2018, à(s) 19:08, matematica10complicada <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
> EntÃ£o,podemos fazer o seguinte:
>
> Considere um triÃ¢ngulo ABC, cujas medianas sÃ£o AM, BN, CP, e baricentro
> G desta forma
>
> 1)Monte um paralelogramo BNQM de forma que MQ intercepte AC em R.
>
> 2)Como o baricentro divide em seis Ã¡reas iguais, temos que a Ã¡rea do
> triÃ¢ngulo AGN serÃ¡ 1/6.
>
> 3)Ã‰ fÃ¡cil ver que MQ=BN, e AQ=CP.
>
> 4) Desta forma a Ã¡rea procurada serÃ¡ a do triÃ¢ngulo AMQ que Ã© o dobro
> da Ã¡rea do triÃ¢ngulo AMR=3/8.
>
> Portanto a resposta Ã© 3/4.
>
>
> Douglas Oliveira.
> Grande AbraÃ§o.
>
> Em 28 de julho de 2018 16:32, marcone augusto araÃºjo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Seja um triangulo ABC cuja area eh igual aÂ 1. Determinar a area do
>> triangulo cujosÂ  lados sao iguais Ã s medianas do triangulo ABC
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>



-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] geometria plana

2018-07-29 Por tôpico Ralph Teixeira

Sim! Quando aplica-se qualquer transformacao linear a um objeto, a razao
entre o volume da figura nova e o da figura antiga eh constante e igual ao
determinante da transformacao! Entao ambas as areas ficariam multiplicadas
pelo mesmo numero, e a razao se manteria!

Outro detalhe: teria que ver se a transformacao linear leva medianas em
medianas... Mas isso tambem eh verdade e vem direto da definicao de
"transf. linear", pontos medios se preservam.

Abraco, Ralph.

On Sun, Jul 29, 2018 at 5:53 PM Claudio Buffara 
wrote:

> Idéia que me ocorreu: todo triângulo é afim-equivalente a um triângulo
> equilátero.
> Mediante translações, as medianas de um triângulo equilátero de lado 1
> formam um triângulo equilátero cujos lados medem raiz(3)/2 e, portanto,
> cuja área é 3/4.
> Será que uma transformação afim preserva a razão entre as áreas do
> triângulo original e do triângulo “medianico”?
>
> Abs,
> Cláudio.
>
> Enviado do meu iPhone
>
> Em 28 de jul de 2018, à(s) 19:08, matematica10complicada <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
> EntÃ£o,podemos fazer o seguinte:
>
> Considere um triÃ¢ngulo ABC, cujas medianas sÃ£o AM, BN, CP, e baricentro
> G desta forma
>
> 1)Monte um paralelogramo BNQM de forma que MQ intercepte AC em R.
>
> 2)Como o baricentro divide em seis Ã¡reas iguais, temos que a Ã¡rea do
> triÃ¢ngulo AGN serÃ¡ 1/6.
>
> 3)Ã‰ fÃ¡cil ver que MQ=BN, e AQ=CP.
>
> 4) Desta forma a Ã¡rea procurada serÃ¡ a do triÃ¢ngulo AMQ que Ã© o dobro
> da Ã¡rea do triÃ¢ngulo AMR=3/8.
>
> Portanto a resposta Ã© 3/4.
>
>
> Douglas Oliveira.
> Grande AbraÃ§o.
>
> Em 28 de julho de 2018 16:32, marcone augusto araÃºjo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Seja um triangulo ABC cuja area eh igual aÂ 1. Determinar a area do
>> triangulo cujosÂ  lados sao iguais Ã s medianas do triangulo ABC
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] geometria plana

2018-07-29 Por tôpico Claudio Buffara

Idéia que me ocorreu: todo triângulo é afim-equivalente a um triângulo 
equilátero.
Mediante translações, as medianas de um triângulo equilátero de lado 1 formam 
um triângulo equilátero cujos lados medem raiz(3)/2 e, portanto, cuja área é 
3/4.
Será que uma transformação afim preserva a razão entre as áreas do triângulo 
original e do triângulo “medianico”?

Abs,
Cláudio.

Enviado do meu iPhone

Em 28 de jul de 2018, à(s) 19:08, matematica10complicada 
 escreveu:

> EntÃ£o,podemos fazer o seguinte:
> 
> Considere um triÃ¢ngulo ABC, cujas medianas sÃ£o AM, BN, CP, e baricentro G 
> desta forma
> 
> 1)Monte um paralelogramo BNQM de forma que MQ intercepte AC em R.
> 
> 2)Como o baricentro divide em seis Ã¡reas iguais, temos que a Ã¡rea do 
> triÃ¢ngulo AGN serÃ¡ 1/6.
> 
> 3)Ã‰ fÃ¡cil ver que MQ=BN, e AQ=CP.
> 
> 4) Desta forma a Ã¡rea procurada serÃ¡ a do triÃ¢ngulo AMQ que Ã© o dobro da 
> Ã¡rea do triÃ¢ngulo AMR=3/8.
> 
> Portanto a resposta Ã© 3/4.
> 
> 
> Douglas Oliveira.
> Grande AbraÃ§o.
> 
> Em 28 de julho de 2018 16:32, marcone augusto araÃºjo borges 
>  escreveu:
>> Seja um triangulo ABC cuja area eh igual aÂ 1. Determinar a area do 
>> triangulo cujosÂ  lados sao iguais Ã s medianas do triangulo ABC
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] geometria plana

2018-07-28 Por tôpico matematica10complicada

Então,podemos fazer o seguinte:

Considere um triângulo ABC, cujas medianas são AM, BN, CP, e baricentro G
desta forma

1)Monte um paralelogramo BNQM de forma que MQ intercepte AC em R.

2)Como o baricentro divide em seis áreas iguais, temos que a área do
triângulo AGN será 1/6.

3)É fácil ver que MQ=BN, e AQ=CP.

4) Desta forma a área procurada será a do triângulo AMQ que é o dobro da
área do triângulo AMR=3/8.

Portanto a resposta é 3/4.


Douglas Oliveira.
Grande Abraço.

Em 28 de julho de 2018 16:32, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Seja um triangulo ABC cuja area eh igual a 1. Determinar a area do
> triangulo cujos  lados sao iguais às medianas do triangulo ABC
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] geometria plana

2018-07-28 Por tôpico Ralph Teixeira

Vamos fazer este por vetores... Mas primeiro um tiquinho de notacao: dados
dois vetores v e w no plano, vou escrever [v,w] para o determinante da
matriz cujas colunas sao v e w; em outras palavras, [v,w] eh a area do
paralelogramo cujos lados sao v e w, com sinal determinado pela orientacao.

Uma propriedade importante do determinante eh que ele eh linear em cada uma
das suas coordenadas (ou seja, ele eh "bilinear"). Em outras palavras, voce
pode usar a propriedade distributiva como se ele fosse um produto:
[ka+b,c]=k[a,c]+[b,c] e [a,kb+c]=k[a,b]+[a,c] para quaisquer vetores a,b,c,
e qualquer escalar k. Outra propriedade essencial eh que [v,w]=-[w,v] para
quaisquer v e w; em particular, [x,x]=0 para todo vetor x.

Com isso em mente, o problema eh facil. Escreva AB=2v e AC=2w (vetores).
Supondo spdg uma das orientacoes possiveis, o problema diz que [2v,2w]=2,
isto eh, [v,w]=1/2.

Agora, as medianas sao (faca uma figura) v-2w, w-2v e v+w (dos vertices
para os pontos medios). Note que a soma desses 3 vetores eh zero, entao o
triangulo cujos lados sao as medianas eh exatamente o triangulo cujos lados
sao esses 3 vetores!

Portanto, a area pedida eh a metade de  [w-2v,v-2w]... Usando a propriedade
distributiva, esse produto fica
[w,v]-2[w,w]-2[v,v]+4[v,w]=-1/2-0-0+4/2=3/2. Ou seja, a resposta eh 3/4.

Abraco, Ralph.

On Sat, Jul 28, 2018 at 4:43 PM marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> wrote:

> Seja um triangulo ABC cuja area eh igual a 1. Determinar a area do
> triangulo cujos  lados sao iguais às medianas do triangulo ABC
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria

2018-04-12 Por tôpico Pedro José

Boa noite!

Aí dá um valor mais estranho.

x= (-94+2raiz(4009))/24 ~ 1,3597

Saudações.


Em 12 de abril de 2018 17:19, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
>
> Intercepta sim, por baixo. Só olhei para um lado.
>
> Sds,
> PJMS.
>
> Em 12 de abril de 2018 17:16, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa tarde!
>>
>> Claudio,
>> Você tem o link para o problema que você mencionou?
>>
>> Pois se for 3 ; 5 e x.
>>
>> Se escolhermos um ponto M na semi reta BQ, que não pertença a BQ, PQM >
>> 120 graus, pois PQB < PBQ=60 graus, logo R não poderá estar no mesmo
>> semi-plano.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em 12 de abril de 2018 16:21, Pedro José  escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>>
>>> O ponto D está sobre a reta, os pontos PQR é que estarão fora dela para
>>> formarem os triângulos equiláteros e todos num mesmo semi-plano, definido
>>> pela reta.
>>>
>>> saudações.,
>>> PJMS
>>>
>>> Em 12 de abril de 2018 15:34, Claudio Arconcher 
>>> escreveu:
>>>
 Caros colegas, se bem entendi, o ponto D não pode ser marcado sobre a
 reta, ele deve ser construído.

 A construção do ponto D é simples: tome-se o ponto Q`, simétrico do
 ponto Q, com relação à reta suporte dos pontos A,B e C, o quadrilátero
 PQRQ` é cíclico já que o ângulo BQ`C mede 60º e o ângulo PQR deve ser de
 120º.

 A intersecção dessa circunferência com a  reta por C paralela à reta
 BQ, fazendo 60º com a suporte mencionada, produz o ponto R, lado do
 terceiro triângulo equilátero CDR, aí sai o ponto D.

 Uma construção utilizando o Geogebra mostra que as medidas deveriam ser
 3,5 e x, e não 5,3 e x .

 Por favor confiram.

 Abraço.

 Claudio



 *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
 nome de *Douglas Oliveira de Lima
 *Enviada em:* quinta-feira, 12 de abril de 2018 08:56
 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
 *Assunto:* [obm-l] Geometria



 Caros amigos , tenho um problema bem legal e estou compartilhando. Ai
 vai:



 Numa reta marcam-se os pontos A,B,C,D nesta ordem , e no mesmo
 semiplano constroem-se os triângulos equiláteros ABP, BCQ e CDR de lados 5,
 3 e x respectivamente, sendo o angulo PQR igual a 120 graus, determine x.







 Será que teria alguma construção bonita para solucionå-lo?



 Abraco

 Douglas Oliveira.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


 
  Livre
 de vírus. www.avast.com
 .

 <#m_-5109379186544672504_m_-7806356708655660312_m_-2341905678137757476_m_7532866923117268419_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria

2018-04-12 Por tôpico Pedro José

Boa tarde!

Intercepta sim, por baixo. Só olhei para um lado.

Sds,
PJMS.

Em 12 de abril de 2018 17:16, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
>
> Claudio,
> Você tem o link para o problema que você mencionou?
>
> Pois se for 3 ; 5 e x.
>
> Se escolhermos um ponto M na semi reta BQ, que não pertença a BQ, PQM >
> 120 graus, pois PQB < PBQ=60 graus, logo R não poderá estar no mesmo
> semi-plano.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em 12 de abril de 2018 16:21, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa tarde!
>>
>> O ponto D está sobre a reta, os pontos PQR é que estarão fora dela para
>> formarem os triângulos equiláteros e todos num mesmo semi-plano, definido
>> pela reta.
>>
>> saudações.,
>> PJMS
>>
>> Em 12 de abril de 2018 15:34, Claudio Arconcher 
>> escreveu:
>>
>>> Caros colegas, se bem entendi, o ponto D não pode ser marcado sobre a
>>> reta, ele deve ser construído.
>>>
>>> A construção do ponto D é simples: tome-se o ponto Q`, simétrico do
>>> ponto Q, com relação à reta suporte dos pontos A,B e C, o quadrilátero
>>> PQRQ` é cíclico já que o ângulo BQ`C mede 60º e o ângulo PQR deve ser de
>>> 120º.
>>>
>>> A intersecção dessa circunferência com a  reta por C paralela à reta BQ,
>>> fazendo 60º com a suporte mencionada, produz o ponto R, lado do terceiro
>>> triângulo equilátero CDR, aí sai o ponto D.
>>>
>>> Uma construção utilizando o Geogebra mostra que as medidas deveriam ser
>>> 3,5 e x, e não 5,3 e x .
>>>
>>> Por favor confiram.
>>>
>>> Abraço.
>>>
>>> Claudio
>>>
>>>
>>>
>>> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
>>> nome de *Douglas Oliveira de Lima
>>> *Enviada em:* quinta-feira, 12 de abril de 2018 08:56
>>> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
>>> *Assunto:* [obm-l] Geometria
>>>
>>>
>>>
>>> Caros amigos , tenho um problema bem legal e estou compartilhando. Ai
>>> vai:
>>>
>>>
>>>
>>> Numa reta marcam-se os pontos A,B,C,D nesta ordem , e no mesmo semiplano
>>> constroem-se os triângulos equiláteros ABP, BCQ e CDR de lados 5, 3 e x
>>> respectivamente, sendo o angulo PQR igual a 120 graus, determine x.
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Será que teria alguma construção bonita para solucionå-lo?
>>>
>>>
>>>
>>> Abraco
>>>
>>> Douglas Oliveira.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>>  Livre
>>> de vírus. www.avast.com
>>> .
>>>
>>> <#m_-7806356708655660312_m_-2341905678137757476_m_7532866923117268419_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria

2018-04-12 Por tôpico Pedro José

Boa tarde!

Claudio,
Você tem o link para o problema que você mencionou?

Pois se for 3 ; 5 e x.

Se escolhermos um ponto M na semi reta BQ, que não pertença a BQ, PQM > 120
graus, pois PQB < PBQ=60 graus, logo R não poderá estar no mesmo semi-plano.

Saudações,
PJMS

Em 12 de abril de 2018 16:21, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
>
> O ponto D está sobre a reta, os pontos PQR é que estarão fora dela para
> formarem os triângulos equiláteros e todos num mesmo semi-plano, definido
> pela reta.
>
> saudações.,
> PJMS
>
> Em 12 de abril de 2018 15:34, Claudio Arconcher 
> escreveu:
>
>> Caros colegas, se bem entendi, o ponto D não pode ser marcado sobre a
>> reta, ele deve ser construído.
>>
>> A construção do ponto D é simples: tome-se o ponto Q`, simétrico do ponto
>> Q, com relação à reta suporte dos pontos A,B e C, o quadrilátero PQRQ` é
>> cíclico já que o ângulo BQ`C mede 60º e o ângulo PQR deve ser de 120º.
>>
>> A intersecção dessa circunferência com a  reta por C paralela à reta BQ,
>> fazendo 60º com a suporte mencionada, produz o ponto R, lado do terceiro
>> triângulo equilátero CDR, aí sai o ponto D.
>>
>> Uma construção utilizando o Geogebra mostra que as medidas deveriam ser
>> 3,5 e x, e não 5,3 e x .
>>
>> Por favor confiram.
>>
>> Abraço.
>>
>> Claudio
>>
>>
>>
>> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
>> nome de *Douglas Oliveira de Lima
>> *Enviada em:* quinta-feira, 12 de abril de 2018 08:56
>> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
>> *Assunto:* [obm-l] Geometria
>>
>>
>>
>> Caros amigos , tenho um problema bem legal e estou compartilhando. Ai vai:
>>
>>
>>
>> Numa reta marcam-se os pontos A,B,C,D nesta ordem , e no mesmo semiplano
>> constroem-se os triângulos equiláteros ABP, BCQ e CDR de lados 5, 3 e x
>> respectivamente, sendo o angulo PQR igual a 120 graus, determine x.
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> Será que teria alguma construção bonita para solucionå-lo?
>>
>>
>>
>> Abraco
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> 
>>  Livre
>> de vírus. www.avast.com
>> .
>>
>> <#m_-2341905678137757476_m_7532866923117268419_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria

2018-04-12 Por tôpico Pedro José

Boa tarde!

O ponto D está sobre a reta, os pontos PQR é que estarão fora dela para
formarem os triângulos equiláteros e todos num mesmo semi-plano, definido
pela reta.

saudações.,
PJMS

Em 12 de abril de 2018 15:34, Claudio Arconcher 
escreveu:

> Caros colegas, se bem entendi, o ponto D não pode ser marcado sobre a
> reta, ele deve ser construído.
>
> A construção do ponto D é simples: tome-se o ponto Q`, simétrico do ponto
> Q, com relação à reta suporte dos pontos A,B e C, o quadrilátero PQRQ` é
> cíclico já que o ângulo BQ`C mede 60º e o ângulo PQR deve ser de 120º.
>
> A intersecção dessa circunferência com a  reta por C paralela à reta BQ,
> fazendo 60º com a suporte mencionada, produz o ponto R, lado do terceiro
> triângulo equilátero CDR, aí sai o ponto D.
>
> Uma construção utilizando o Geogebra mostra que as medidas deveriam ser
> 3,5 e x, e não 5,3 e x .
>
> Por favor confiram.
>
> Abraço.
>
> Claudio
>
>
>
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
> nome de *Douglas Oliveira de Lima
> *Enviada em:* quinta-feira, 12 de abril de 2018 08:56
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* [obm-l] Geometria
>
>
>
> Caros amigos , tenho um problema bem legal e estou compartilhando. Ai vai:
>
>
>
> Numa reta marcam-se os pontos A,B,C,D nesta ordem , e no mesmo semiplano
> constroem-se os triângulos equiláteros ABP, BCQ e CDR de lados 5, 3 e x
> respectivamente, sendo o angulo PQR igual a 120 graus, determine x.
>
>
>
>
>
>
>
> Será que teria alguma construção bonita para solucionå-lo?
>
>
>
> Abraco
>
> Douglas Oliveira.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
> <#m_7532866923117268419_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria

2018-04-12 Por tôpico Pedro José

Boa tarde!

Sai também por tg(a+b)

M projeção de P em AB
N projeção de Q em PM
S projeção de R em CD
T projeção de Q em RS
PQN + RQT = 60.
tg(PQN) = raiz(3)/4
tg(RQT) = a
(raiz(3)/4 + a) / (1-raiz(3).a/4) = raiz(3) ==> a = 3raiz(3)/7

[(x-3).raiz(3)/2] / [(x+3)/2] = 3raiz(3)/7
x=30/4=7,5.

Por geometria, puramente, vai ficar complicado.

Saudações,
PJMS



Em 12 de abril de 2018 12:32, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
>
> Uma ajuda, para resolver o problema de trás para frente. Talvez,
> conhecendo o resultado ajude.
>
> Valendo-se da álgebra linear.
>
> Não sei como colocar as setinhas do vetor, vão sem a seta, mesmo.
>
> Seja u = x/2.
>
> a=QP= (-4;raiz(3)) ==> |a| = raiz(19)
>
> b= QR = (1,5 + u; (2u-3)raiz(3)/2) ==> |b| = raiz(4a^2 - 6a + 9)
>
> a.b = |a|.|b|.cos(120) = a1b1 +a2.b2
> a.b = -1/2.raiz(19).raiz(4a^2-6a+9) = -1/2(2a+21)
> 19.(4u^2 - 6u +9) = 4u^2 + 84u + 441
> 72u^2 - 198 u - 270 = 0
> 12u^2 -33u -45 =0
>
> x=2u= 7,5  se não errei as contas.
>
> Vou almoçar.
> À tarde ocupado. Só à noite. Se alguém não tiver respondido.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
>
> Em 12 de abril de 2018 08:55, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Caros amigos , tenho um problema bem legal e estou compartilhando. Ai vai:
>>
>> Numa reta marcam-se os pontos A,B,C,D nesta ordem , e no mesmo semiplano
>> constroem-se os triângulos equiláteros ABP, BCQ e CDR de lados 5, 3 e x
>> respectivamente, sendo o angulo PQR igual a 120 graus, determine x.
>>
>>
>>
>> Será que teria alguma construção bonita para solucionå-lo?
>>
>> Abraco
>> Douglas Oliveira.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria

2018-04-12 Por tôpico Pedro José

Boa tarde!

Uma ajuda, para resolver o problema de trás para frente. Talvez, conhecendo
o resultado ajude.

Valendo-se da álgebra linear.

Não sei como colocar as setinhas do vetor, vão sem a seta, mesmo.

Seja u = x/2.

a=QP= (-4;raiz(3)) ==> |a| = raiz(19)

b= QR = (1,5 + u; (2u-3)raiz(3)/2) ==> |b| = raiz(4a^2 - 6a + 9)

a.b = |a|.|b|.cos(120) = a1b1 +a2.b2
a.b = -1/2.raiz(19).raiz(4a^2-6a+9) = -1/2(2a+21)
19.(4u^2 - 6u +9) = 4u^2 + 84u + 441
72u^2 - 198 u - 270 = 0
12u^2 -33u -45 =0

x=2u= 7,5  se não errei as contas.

Vou almoçar.
À tarde ocupado. Só à noite. Se alguém não tiver respondido.

Saudações,
PJMS.


Em 12 de abril de 2018 08:55, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Caros amigos , tenho um problema bem legal e estou compartilhando. Ai vai:
>
> Numa reta marcam-se os pontos A,B,C,D nesta ordem , e no mesmo semiplano
> constroem-se os triângulos equiláteros ABP, BCQ e CDR de lados 5, 3 e x
> respectivamente, sendo o angulo PQR igual a 120 graus, determine x.
>
>
>
> Será que teria alguma construção bonita para solucionå-lo?
>
> Abraco
> Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria plana

2018-04-02 Por tôpico Julio César Saldaña Pumarica

Pensei na seguinte solução usando congruência de triângulos

1. Pela condição do perímetro podemos deduzir que PQ=PB+QD

2. Estique o segemento AB até o ponto T tal que BT=QD, então os triângulos
TBC e QCD são congruentes pelo caso L.A.L.; e portanto concluimos que
CT=CQ. Notemos também que PT=PQ

3. Calculemos o ângulo TCQ. Este é igual a TCB+BCQ, mas como TCB=QCD (pela
congruência do ponto 2), então TCQ=QCD+BCQ=90

4. Finalmente notemos que os triângulos TCP e PCQ são congruentes pelo caso
L.L.L, e portanto os ângulos TCP e PCQ são iguais, e como ambos somam 90,
cada um deve ser 45

Julio

2018-04-02 16:36 GMT-03:00 Claudio Buffara :

> Tudo bem.
> Mas minha dúvida é outra: como/por que você pensou em usar a
> circunferência centrada em C e passando por B e D?
>
> Este é um dos temas que mais me interessa em matemática: de onde vêm as
> idéias não óbvias?
> Inspiração divina?
> Experiência ("já vi algo parecido antes")?
> Muita transpiração?
>
> Pois, neste problema, após chamar AP de x e AQ de y, minha primeira
> tentativa foi usar Pitágoras para determinar CP e CQ e daí usar a lei dos
> cossenos pra determinar o ângulo PCQ. Caí num emaranhado algébrico.
> Daí, me ocorreu a ideia de calcular PCQ como sendo 90 - (PCB + QCD) e, ao
> fazer isso, percebi que tan(PCB) = 1-x, etc... Com um pouco de
> trigonometria e álgebra, cheguei à resposta.
>
> Mas, a meu ver, a solução mais elegante é a que usa o círculo. Só que não
> é óbvio, a priori, que aquele círculo ajuda.
>
> Mesmo levando em conta que, pelo enunciado, o ângulo PCQ provavelmente
> deve ter medida invariante, independentemente de AP e AQ, ainda assim não é
> óbvio (pelo menos pra mim) que o círculo mata o problema. Por outro lado,
> se o ângulo PCQ tem medida invariante, então tomando o caso extremo P = B e
> Q = A (portanto, o triângulo APQ é degenerado) constatamos facilmente que
> PCQ (no caso, ACB) deve medir 45 graus.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> 2018-04-02 16:13 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>
>> Da para fazer uma prova por absurdo.
>> Fica bom, suponha que a reta nao tangencia a circunferencia entao trace a
>> tangente e vai chegar em um absurdo.
>>
>> Abraco
>> Douglas Oliveira.
>>
>> Em seg, 2 de abr de 2018 11:14, Claudio Arconcher 
>> escreveu:
>>
>>> Bom dia caros colegas.
>>>
>>> Ponhamos ABCD o quadrado (o ponto A está no lado de baixo e à esquerda,
>>> segue-se o ponto B à direita, C e D estão no lado de acima fechando o
>>> circuito ABCD ).
>>>
>>> Ponhamos: AP=x e AQ=y, segue-se, QD=1-y e PB=1-x.
>>>
>>> Tracemos a circunferência de centro C e raio 1, ela tangencia AD em D e
>>> AB em B, agora seja M um ponto no quarto dessa circunferência interno ao
>>> quadrado ABCD e tracemos a tangente a ela por M, cortando AD em Q e AB em P
>>> ( serão, de fato os pontos esperados ), tem-se: QD=1-y = QM e PB=1 – x =
>>> PM, o perímetro do triângulo retângulo QAP é igual a 2. Reciprocamente se
>>> consideramos o triângulo AQP de perímetro 2 fixado antes o ponto M será o
>>> mesmo, todos esses triângulos são assim obtidos, com PQ tangente à
>>> circunferência em um ponto M com a propriedade descrita.
>>>
>>> Agora basta examinar as congruências dos triângulos retângulos CDQ e CMQ
>>> e, também, CBP e CMP, isso nos leva a concluir que o ângulo PCQ mede 45 º.
>>>
>>> Espero que o “coelhinho da Páscoa” concorde comigo.
>>>
>>> Abraço.
>>>
>>> Cláudio.
>>>
>>>
>>>
>>> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
>>> nome de *Douglas Oliveira de Lima
>>> *Enviada em:* domingo, 1 de abril de 2018 17:25
>>> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
>>> *Assunto:* [obm-l] Geometria plana
>>>
>>>
>>>
>>> Olá amigos, pra quem gosta de geometria plana, compartilhando aqui uma
>>> questão do coelhinho da páscoa que achei legal.
>>>
>>>
>>>
>>> 1) Em um quadrado ABCD de lado unitário tomam-se os pontos P e Q sobre
>>> os lados AB e AD respectivamente, de modo que o perímetro do triângulo APQ
>>> seja igual a 2. Calcule a medida do ângulo  PCQ.
>>>
>>>
>>>
>>> Um abraço
>>>
>>>
>>>
>>> Douglas Oliveira.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>>  Livre
>>> de vírus. www.avast.com
>>> .
>>>
>>> <#m_-5665104085043217724_m_2647765965440199561_m_3844324294932745576_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo

Re: [obm-l] Geometria plana

2018-04-02 Por tôpico Claudio Buffara

Tudo bem.
Mas minha dúvida é outra: como/por que você pensou em usar a circunferência
centrada em C e passando por B e D?

Este é um dos temas que mais me interessa em matemática: de onde vêm as
idéias não óbvias?
Inspiração divina?
Experiência ("já vi algo parecido antes")?
Muita transpiração?

Pois, neste problema, após chamar AP de x e AQ de y, minha primeira
tentativa foi usar Pitágoras para determinar CP e CQ e daí usar a lei dos
cossenos pra determinar o ângulo PCQ. Caí num emaranhado algébrico.
Daí, me ocorreu a ideia de calcular PCQ como sendo 90 - (PCB + QCD) e, ao
fazer isso, percebi que tan(PCB) = 1-x, etc... Com um pouco de
trigonometria e álgebra, cheguei à resposta.

Mas, a meu ver, a solução mais elegante é a que usa o círculo. Só que não é
óbvio, a priori, que aquele círculo ajuda.

Mesmo levando em conta que, pelo enunciado, o ângulo PCQ provavelmente deve
ter medida invariante, independentemente de AP e AQ, ainda assim não é
óbvio (pelo menos pra mim) que o círculo mata o problema. Por outro lado,
se o ângulo PCQ tem medida invariante, então tomando o caso extremo P = B e
Q = A (portanto, o triângulo APQ é degenerado) constatamos facilmente que
PCQ (no caso, ACB) deve medir 45 graus.

[]s,
Claudio.



2018-04-02 16:13 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com>:

> Da para fazer uma prova por absurdo.
> Fica bom, suponha que a reta nao tangencia a circunferencia entao trace a
> tangente e vai chegar em um absurdo.
>
> Abraco
> Douglas Oliveira.
>
> Em seg, 2 de abr de 2018 11:14, Claudio Arconcher 
> escreveu:
>
>> Bom dia caros colegas.
>>
>> Ponhamos ABCD o quadrado (o ponto A está no lado de baixo e à esquerda,
>> segue-se o ponto B à direita, C e D estão no lado de acima fechando o
>> circuito ABCD ).
>>
>> Ponhamos: AP=x e AQ=y, segue-se, QD=1-y e PB=1-x.
>>
>> Tracemos a circunferência de centro C e raio 1, ela tangencia AD em D e
>> AB em B, agora seja M um ponto no quarto dessa circunferência interno ao
>> quadrado ABCD e tracemos a tangente a ela por M, cortando AD em Q e AB em P
>> ( serão, de fato os pontos esperados ), tem-se: QD=1-y = QM e PB=1 – x =
>> PM, o perímetro do triângulo retângulo QAP é igual a 2. Reciprocamente se
>> consideramos o triângulo AQP de perímetro 2 fixado antes o ponto M será o
>> mesmo, todos esses triângulos são assim obtidos, com PQ tangente à
>> circunferência em um ponto M com a propriedade descrita.
>>
>> Agora basta examinar as congruências dos triângulos retângulos CDQ e CMQ
>> e, também, CBP e CMP, isso nos leva a concluir que o ângulo PCQ mede 45 º.
>>
>> Espero que o “coelhinho da Páscoa” concorde comigo.
>>
>> Abraço.
>>
>> Cláudio.
>>
>>
>>
>> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
>> nome de *Douglas Oliveira de Lima
>> *Enviada em:* domingo, 1 de abril de 2018 17:25
>> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
>> *Assunto:* [obm-l] Geometria plana
>>
>>
>>
>> Olá amigos, pra quem gosta de geometria plana, compartilhando aqui uma
>> questão do coelhinho da páscoa que achei legal.
>>
>>
>>
>> 1) Em um quadrado ABCD de lado unitário tomam-se os pontos P e Q sobre
>> os lados AB e AD respectivamente, de modo que o perímetro do triângulo APQ
>> seja igual a 2. Calcule a medida do ângulo  PCQ.
>>
>>
>>
>> Um abraço
>>
>>
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> 
>>  Livre
>> de vírus. www.avast.com
>> .
>>
>> <#m_2647765965440199561_m_3844324294932745576_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria plana

2018-04-02 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima

Da para fazer uma prova por absurdo.
Fica bom, suponha que a reta nao tangencia a circunferencia entao trace a
tangente e vai chegar em um absurdo.

Abraco
Douglas Oliveira.

Em seg, 2 de abr de 2018 11:14, Claudio Arconcher 
escreveu:

> Bom dia caros colegas.
>
> Ponhamos ABCD o quadrado (o ponto A está no lado de baixo e à esquerda,
> segue-se o ponto B à direita, C e D estão no lado de acima fechando o
> circuito ABCD ).
>
> Ponhamos: AP=x e AQ=y, segue-se, QD=1-y e PB=1-x.
>
> Tracemos a circunferência de centro C e raio 1, ela tangencia AD em D e AB
> em B, agora seja M um ponto no quarto dessa circunferência interno ao
> quadrado ABCD e tracemos a tangente a ela por M, cortando AD em Q e AB em P
> ( serão, de fato os pontos esperados ), tem-se: QD=1-y = QM e PB=1 – x =
> PM, o perímetro do triângulo retângulo QAP é igual a 2. Reciprocamente se
> consideramos o triângulo AQP de perímetro 2 fixado antes o ponto M será o
> mesmo, todos esses triângulos são assim obtidos, com PQ tangente à
> circunferência em um ponto M com a propriedade descrita.
>
> Agora basta examinar as congruências dos triângulos retângulos CDQ e CMQ
> e, também, CBP e CMP, isso nos leva a concluir que o ângulo PCQ mede 45 º.
>
> Espero que o “coelhinho da Páscoa” concorde comigo.
>
> Abraço.
>
> Cláudio.
>
>
>
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
> nome de *Douglas Oliveira de Lima
> *Enviada em:* domingo, 1 de abril de 2018 17:25
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* [obm-l] Geometria plana
>
>
>
> Olá amigos, pra quem gosta de geometria plana, compartilhando aqui uma
> questão do coelhinho da páscoa que achei legal.
>
>
>
> 1) Em um quadrado ABCD de lado unitário tomam-se os pontos P e Q sobre os
> lados AB e AD respectivamente, de modo que o perímetro do triângulo APQ
> seja igual a 2. Calcule a medida do ângulo  PCQ.
>
>
>
> Um abraço
>
>
>
> Douglas Oliveira.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
> <#m_3844324294932745576_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria plana

2018-04-02 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima

Entao Claudio, eu pensei assim tb, mas a parte do reciprocamente, me deixa
incomodado, pois se o perimetro for 2 como provar que a circunferencia
tangencia em M.

Douglas Oliveira.

Em seg, 2 de abr de 2018 11:14, Claudio Arconcher 
escreveu:

> Bom dia caros colegas.
>
> Ponhamos ABCD o quadrado (o ponto A está no lado de baixo e à esquerda,
> segue-se o ponto B à direita, C e D estão no lado de acima fechando o
> circuito ABCD ).
>
> Ponhamos: AP=x e AQ=y, segue-se, QD=1-y e PB=1-x.
>
> Tracemos a circunferência de centro C e raio 1, ela tangencia AD em D e AB
> em B, agora seja M um ponto no quarto dessa circunferência interno ao
> quadrado ABCD e tracemos a tangente a ela por M, cortando AD em Q e AB em P
> ( serão, de fato os pontos esperados ), tem-se: QD=1-y = QM e PB=1 – x =
> PM, o perímetro do triângulo retângulo QAP é igual a 2. Reciprocamente se
> consideramos o triângulo AQP de perímetro 2 fixado antes o ponto M será o
> mesmo, todos esses triângulos são assim obtidos, com PQ tangente à
> circunferência em um ponto M com a propriedade descrita.
>
> Agora basta examinar as congruências dos triângulos retângulos CDQ e CMQ
> e, também, CBP e CMP, isso nos leva a concluir que o ângulo PCQ mede 45 º.
>
> Espero que o “coelhinho da Páscoa” concorde comigo.
>
> Abraço.
>
> Cláudio.
>
>
>
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
> nome de *Douglas Oliveira de Lima
> *Enviada em:* domingo, 1 de abril de 2018 17:25
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* [obm-l] Geometria plana
>
>
>
> Olá amigos, pra quem gosta de geometria plana, compartilhando aqui uma
> questão do coelhinho da páscoa que achei legal.
>
>
>
> 1) Em um quadrado ABCD de lado unitário tomam-se os pontos P e Q sobre os
> lados AB e AD respectivamente, de modo que o perímetro do triângulo APQ
> seja igual a 2. Calcule a medida do ângulo  PCQ.
>
>
>
> Um abraço
>
>
>
> Douglas Oliveira.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
> <#m_3844324294932745576_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria plana

2018-04-02 Por tôpico Claudio Buffara

Legal!

A minha foi diferente (e menos elegante, pois usou trigonometria e bastante
álgebra).
Com a sua notação, teremos:
tan(PCB) = 1-x
tan(QCD) = 1-y
x+y+raiz(x^2+y^2) = 2

A ideia é determinar PCB+QCD = 90 - PCQ.

Usando a fórmula de tan(a+b) e após algumas simplificações, obtemos
tan(PCB+QCD) = (2-x-y)/(x+y-xy)

x+y+raiz(x^2+y^2) = 2 ==> x^2+y^2 = (2-x-y)^2 ==> xy = 2x+2y-2 ==>

tan(PCB+QCD) = (2-x-y)/(x+y-2x-2y+2) = 1 ==> PCB+QCD = 45 = 90 - PCQ ==>
PCQ = 45.

***

Agora, não é óbvio que o círculo de centro C e raio 1 tangencia todos os
segmentos PQ tais que APQ tem perímetro 2.
Como você teve esta ideia?

[]s,
Claudio.


2018-04-02 11:02 GMT-03:00 Claudio Arconcher :

> Bom dia caros colegas.
>
> Ponhamos ABCD o quadrado (o ponto A está no lado de baixo e à esquerda,
> segue-se o ponto B à direita, C e D estão no lado de acima fechando o
> circuito ABCD ).
>
> Ponhamos: AP=x e AQ=y, segue-se, QD=1-y e PB=1-x.
>
> Tracemos a circunferência de centro C e raio 1, ela tangencia AD em D e AB
> em B, agora seja M um ponto no quarto dessa circunferência interno ao
> quadrado ABCD e tracemos a tangente a ela por M, cortando AD em Q e AB em P
> ( serão, de fato os pontos esperados ), tem-se: QD=1-y = QM e PB=1 – x =
> PM, o perímetro do triângulo retângulo QAP é igual a 2. Reciprocamente se
> consideramos o triângulo AQP de perímetro 2 fixado antes o ponto M será o
> mesmo, todos esses triângulos são assim obtidos, com PQ tangente à
> circunferência em um ponto M com a propriedade descrita.
>
> Agora basta examinar as congruências dos triângulos retângulos CDQ e CMQ
> e, também, CBP e CMP, isso nos leva a concluir que o ângulo PCQ mede 45 º.
>
> Espero que o “coelhinho da Páscoa” concorde comigo.
>
> Abraço.
>
> Cláudio.
>
>
>
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
> nome de *Douglas Oliveira de Lima
> *Enviada em:* domingo, 1 de abril de 2018 17:25
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* [obm-l] Geometria plana
>
>
>
> Olá amigos, pra quem gosta de geometria plana, compartilhando aqui uma
> questão do coelhinho da páscoa que achei legal.
>
>
>
> 1) Em um quadrado ABCD de lado unitário tomam-se os pontos P e Q sobre os
> lados AB e AD respectivamente, de modo que o perímetro do triângulo APQ
> seja igual a 2. Calcule a medida do ângulo  PCQ.
>
>
>
> Um abraço
>
>
>
> Douglas Oliveira.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
> <#m_8113871720371556026_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

2017-08-22 Por tôpico Francisco Barreto

perdão

On Tue, 22 Aug 2017 at 20:04 Ralph Teixeira  wrote:

> Usando Geometria: seja M o ponto medio de AB. Note que M eh fixo.
>
> O Teorema de Apolonio
>  diz que
>
> PA^2+PB^2 = 2(PM^2+a^2)
>
> (obs: isso vale mesmo que P esteja na reta AB). Entao PM^2=k^2/2 - a^2 eh
> fixo. Assim, tipicamente o lugar geometrico de P eh um circulo de centro M
> e raio quadrado k^2/2 - a^2...
>
> Digo "tipicamente" porque temos que analisar se esse raio existe mesmo...
> Entao:
> a) Se k^2<2a^2, entao o L.G. serah vazio
> b) Se k^2=2a^2, entao o L.G. serah apenas o ponto M.
> c) Se k^2>2a^2, entao realmente dah aquele circulo que eu citei -- mas
> tecnicamente tem que ver se os pontos onde esse circulo corta a reta AB
> tambem servem, porque PAB nao seria tecnicamente um triangulo (resposta:
> sim, servem!).
>
> Usando Vetores: (uso  para produto interno)
> +=k^2
> 2-2-2++=k^2
> -=(k^2--)/2
> Agora complete quadrados
> -2+<(A+B)/2,(A+B)/2> = (k^2
> --)/2+<(A+B)/2,(A+B)/2>
>  = k^2/2  -<(A-B)/2,(A-B)/2> = k^2/2 - a^2
> ||P - (A+B)/2|| ^ 2 = k^2/2 - a^2
> Ou seja, a distancia de P a M=(A+B)/2 eh fixa e igual a k^2/2-a^2
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2017-08-22 19:31 GMT-03:00 André Lauer :
>
>> Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema:
>> São dados dois pontos A e B. Determine o lugar geométrico de P tal que
>> d(A,P)^2 + d(P,B)^2 = k^2 onde k é uma constante dada.
>> Se d(A,B) = 2a, determine para que valores de k o problema tem solução.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

2017-08-22 Por tôpico Ralph Teixeira

Usando Geometria: seja M o ponto medio de AB. Note que M eh fixo.

O Teorema de Apolonio 
diz que

PA^2+PB^2 = 2(PM^2+a^2)

(obs: isso vale mesmo que P esteja na reta AB). Entao PM^2=k^2/2 - a^2 eh
fixo. Assim, tipicamente o lugar geometrico de P eh um circulo de centro M
e raio quadrado k^2/2 - a^2...

Digo "tipicamente" porque temos que analisar se esse raio existe mesmo...
Entao:
a) Se k^2<2a^2, entao o L.G. serah vazio
b) Se k^2=2a^2, entao o L.G. serah apenas o ponto M.
c) Se k^2>2a^2, entao realmente dah aquele circulo que eu citei -- mas
tecnicamente tem que ver se os pontos onde esse circulo corta a reta AB
tambem servem, porque PAB nao seria tecnicamente um triangulo (resposta:
sim, servem!).

Usando Vetores: (uso  para produto interno)
+=k^2
2-2-2++=k^2
-=(k^2--)/2
Agora complete quadrados
-2+<(A+B)/2,(A+B)/2> = (k^2
--)/2+<(A+B)/2,(A+B)/2>
 = k^2/2  -<(A-B)/2,(A-B)/2> = k^2/2 - a^2
||P - (A+B)/2|| ^ 2 = k^2/2 - a^2
Ou seja, a distancia de P a M=(A+B)/2 eh fixa e igual a k^2/2-a^2

Abraco, Ralph.

2017-08-22 19:31 GMT-03:00 André Lauer :

> Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema:
> São dados dois pontos A e B. Determine o lugar geométrico de P tal que
> d(A,P)^2 + d(P,B)^2 = k^2 onde k é uma constante dada.
> Se d(A,B) = 2a, determine para que valores de k o problema tem solução.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

2017-08-22 Por tôpico Francisco Barreto

acho que faltou dr nome aos bois, as coordenadas.

On Tue, 22 Aug 2017 at 19:45 Francisco Barreto 
wrote:

> a hipotenusa tem que ser d(A,B), não? Se for o caso vale k ao quadrado e
> 2a.
>
> On Tue, 22 Aug 2017 at 19:37 André Lauer 
> wrote:
>
>> Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema:
>> São dados dois pontos A e B. Determine o lugar geométrico de P tal que
>> d(A,P)^2 + d(P,B)^2 = k^2 onde k é uma constante dada.
>> Se d(A,B) = 2a, determine para que valores de k o problema tem solução.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica

2017-08-22 Por tôpico Francisco Barreto

a hipotenusa tem que ser d(A,B), não? Se for o caso vale k ao quadrado e 2a.

On Tue, 22 Aug 2017 at 19:37 André Lauer  wrote:

> Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema:
> São dados dois pontos A e B. Determine o lugar geométrico de P tal que
> d(A,P)^2 + d(P,B)^2 = k^2 onde k é uma constante dada.
> Se d(A,B) = 2a, determine para que valores de k o problema tem solução.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria plana

2017-07-13 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima

Eu fiz algo parecido , também cheguei na mesma resposta, eu cheguei na
expressão (m+n-n^2-m^2)/(m+n)(2-m-n) e tinha que maximizar isso com m e n
entre zero e um.

Obrigado.

Douglas Oliveira.

Em 12 de jul de 2017 4:10 PM, "Pedro José"  escreveu:

> Boa tarde!
>
> Só faltaram as definições de a e b, a é a medida do segmento BF e b a do
> segmento CG.
>
> Desculpem-me,
> PJMS
>
> Em 12 de julho de 2017 09:08, Pedro José  escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> Estava indo pelo caminho errado, derivadas parciais.
>>
>> x + y = ab/(a+b) + (1-a) (1-b) / (2-(a+b)) = ((a+b) - (a^2+b^2))/ (2(a+b)
>> - (a+b)^2)
>>
>> Agora ficou fácil, basta mostrar que 2(a^2+b^2) >= (a+b)^2, o que implica
>> em x + y <= 0,5 e S(PFQG) <= 1/4
>> Mas por Cauchy-Shwarz fica clara a desigualdade e o caso particular da
>> igualdade só se dá para a = b.
>> Portanto, a=b é a condição e a área máxima é 1/4. Atentar que a e b não
>> podem assumir os valores 0 ou 1.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em 11 de julho de 2017 20:50, Pedro José  escreveu:
>>
>>> Boa noite!
>>>
>>> Não consegui por completo, mas a solução é 1/4 e vale para BF=CG . BF<>0
>>> e BF <>1
>>>
>>> S(PFQG) =  S(FCD) - S(QCG) - S(PGD) ==> S(PFQG) = 1/2 - S(QCG) - S(PGD)
>>> (i)
>>>
>>> S (AGD) + S(BCG) = CG/2 +GD/2 = 1/2
>>>
>>> S(QCG) + S(PGD) + S(APD) + S(BCQ) = S (AGD) + S(BCG) = 1/2 (ii)
>>>
>>> por (i), se S(PFQG) é máximo então S(QCG) + S(PGD) é mínimo.
>>>
>>> por (ii) se S(QCG) + S(PGD) é mínimo, então S(APD) + S(BCQ) é máximo.
>>> (iii)
>>>
>>> seja x a medida da altura do triângulo BCQ, relativo ao vértice Q e y a
>>> altura do triângulo APD, relativa à P, de (iii) temos que x+ y deve ser
>>> máximo.
>>>
>>> x = ab/(a+b) e y = (1-a) (1-b) / (2-(a+b)), onde x é a medida de BF e y
>>> a medida de CG.
>>> É fácil mostrar que quando a=b ==> x+ y = 1/2 e S(PFQG) = 1/4.
>>>
>>> Difícil, pelo menos para mim, é mostrar que x + y < 0,5, quando a<>b e
>>> por conseguinte S(PFQG) < 1/4.
>>>
>>> Morri na praia.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>> Em 10 de julho de 2017 10:48, Douglas Oliveira de Lima <
>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Sejam F e G pontos sobre AB e CD de um quadrado unitário ABCD. AG e DF
 se interceptam em P,
 e CF e BG se interceptam em Q. Determinar a posição dos pontos F e G
 para que o quadrilátero PFQG tenha área máxima.

 Douglas Oliveira.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria plana

2017-07-12 Por tôpico Pedro José

Boa tarde!

Só faltaram as definições de a e b, a é a medida do segmento BF e b a do
segmento CG.

Desculpem-me,
PJMS

Em 12 de julho de 2017 09:08, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> Estava indo pelo caminho errado, derivadas parciais.
>
> x + y = ab/(a+b) + (1-a) (1-b) / (2-(a+b)) = ((a+b) - (a^2+b^2))/ (2(a+b)
> - (a+b)^2)
>
> Agora ficou fácil, basta mostrar que 2(a^2+b^2) >= (a+b)^2, o que implica
> em x + y <= 0,5 e S(PFQG) <= 1/4
> Mas por Cauchy-Shwarz fica clara a desigualdade e o caso particular da
> igualdade só se dá para a = b.
> Portanto, a=b é a condição e a área máxima é 1/4. Atentar que a e b não
> podem assumir os valores 0 ou 1.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em 11 de julho de 2017 20:50, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa noite!
>>
>> Não consegui por completo, mas a solução é 1/4 e vale para BF=CG . BF<>0
>> e BF <>1
>>
>> S(PFQG) =  S(FCD) - S(QCG) - S(PGD) ==> S(PFQG) = 1/2 - S(QCG) - S(PGD)
>> (i)
>>
>> S (AGD) + S(BCG) = CG/2 +GD/2 = 1/2
>>
>> S(QCG) + S(PGD) + S(APD) + S(BCQ) = S (AGD) + S(BCG) = 1/2 (ii)
>>
>> por (i), se S(PFQG) é máximo então S(QCG) + S(PGD) é mínimo.
>>
>> por (ii) se S(QCG) + S(PGD) é mínimo, então S(APD) + S(BCQ) é máximo.
>> (iii)
>>
>> seja x a medida da altura do triângulo BCQ, relativo ao vértice Q e y a
>> altura do triângulo APD, relativa à P, de (iii) temos que x+ y deve ser
>> máximo.
>>
>> x = ab/(a+b) e y = (1-a) (1-b) / (2-(a+b)), onde x é a medida de BF e y a
>> medida de CG.
>> É fácil mostrar que quando a=b ==> x+ y = 1/2 e S(PFQG) = 1/4.
>>
>> Difícil, pelo menos para mim, é mostrar que x + y < 0,5, quando a<>b e
>> por conseguinte S(PFQG) < 1/4.
>>
>> Morri na praia.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em 10 de julho de 2017 10:48, Douglas Oliveira de Lima <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Sejam F e G pontos sobre AB e CD de um quadrado unitário ABCD. AG e DF
>>> se interceptam em P,
>>> e CF e BG se interceptam em Q. Determinar a posição dos pontos F e G
>>> para que o quadrilátero PFQG tenha área máxima.
>>>
>>> Douglas Oliveira.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria plana

2017-07-12 Por tôpico Pedro José

Bom dia!

Estava indo pelo caminho errado, derivadas parciais.

x + y = ab/(a+b) + (1-a) (1-b) / (2-(a+b)) = ((a+b) - (a^2+b^2))/ (2(a+b) -
(a+b)^2)

Agora ficou fácil, basta mostrar que 2(a^2+b^2) >= (a+b)^2, o que implica
em x + y <= 0,5 e S(PFQG) <= 1/4
Mas por Cauchy-Shwarz fica clara a desigualdade e o caso particular da
igualdade só se dá para a = b.
Portanto, a=b é a condição e a área máxima é 1/4. Atentar que a e b não
podem assumir os valores 0 ou 1.

Saudações,
PJMS

Em 11 de julho de 2017 20:50, Pedro José  escreveu:

> Boa noite!
>
> Não consegui por completo, mas a solução é 1/4 e vale para BF=CG . BF<>0 e
> BF <>1
>
> S(PFQG) =  S(FCD) - S(QCG) - S(PGD) ==> S(PFQG) = 1/2 - S(QCG) - S(PGD) (i)
>
> S (AGD) + S(BCG) = CG/2 +GD/2 = 1/2
>
> S(QCG) + S(PGD) + S(APD) + S(BCQ) = S (AGD) + S(BCG) = 1/2 (ii)
>
> por (i), se S(PFQG) é máximo então S(QCG) + S(PGD) é mínimo.
>
> por (ii) se S(QCG) + S(PGD) é mínimo, então S(APD) + S(BCQ) é máximo. (iii)
>
> seja x a medida da altura do triângulo BCQ, relativo ao vértice Q e y a
> altura do triângulo APD, relativa à P, de (iii) temos que x+ y deve ser
> máximo.
>
> x = ab/(a+b) e y = (1-a) (1-b) / (2-(a+b)), onde x é a medida de BF e y a
> medida de CG.
> É fácil mostrar que quando a=b ==> x+ y = 1/2 e S(PFQG) = 1/4.
>
> Difícil, pelo menos para mim, é mostrar que x + y < 0,5, quando a<>b e por
> conseguinte S(PFQG) < 1/4.
>
> Morri na praia.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em 10 de julho de 2017 10:48, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Sejam F e G pontos sobre AB e CD de um quadrado unitário ABCD. AG e DF se
>> interceptam em P,
>> e CF e BG se interceptam em Q. Determinar a posição dos pontos F e G para
>> que o quadrilátero PFQG tenha área máxima.
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria plana

2017-07-11 Por tôpico Pedro José

Boa noite!

Não consegui por completo, mas a solução é 1/4 e vale para BF=CG . BF<>0 e
BF <>1

S(PFQG) =  S(FCD) - S(QCG) - S(PGD) ==> S(PFQG) = 1/2 - S(QCG) - S(PGD) (i)

S (AGD) + S(BCG) = CG/2 +GD/2 = 1/2

S(QCG) + S(PGD) + S(APD) + S(BCQ) = S (AGD) + S(BCG) = 1/2 (ii)

por (i), se S(PFQG) é máximo então S(QCG) + S(PGD) é mínimo.

por (ii) se S(QCG) + S(PGD) é mínimo, então S(APD) + S(BCQ) é máximo. (iii)

seja x a medida da altura do triângulo BCQ, relativo ao vértice Q e y a
altura do triângulo APD, relativa à P, de (iii) temos que x+ y deve ser
máximo.

x = ab/(a+b) e y = (1-a) (1-b) / (2-(a+b)), onde x é a medida de BF e y a
medida de CG.
É fácil mostrar que quando a=b ==> x+ y = 1/2 e S(PFQG) = 1/4.

Difícil, pelo menos para mim, é mostrar que x + y < 0,5, quando a<>b e por
conseguinte S(PFQG) < 1/4.

Morri na praia.

Saudações,
PJMS


Em 10 de julho de 2017 10:48, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Sejam F e G pontos sobre AB e CD de um quadrado unitário ABCD. AG e DF se
> interceptam em P,
> e CF e BG se interceptam em Q. Determinar a posição dos pontos F e G para
> que o quadrilátero PFQG tenha área máxima.
>
> Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana

2017-07-08 Por tôpico Julio César Saldaña




Note que os triângulos ABD e BCE são equivalentes (mesma área).
Baseado nisso podemos concluir que BE=AD; pois areas iguais e alturas iguais
implica bases iguais.

Então os triângulos ABD e BCE além de equivalente são congruentes (L.A.L.).
Portanto

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)

2017-07-03 Por tôpico Pedro José

Boa noite!

Bela e simples solução!

Saudações,
PJMS

Em 29 de junho de 2017 18:21, Julio César Saldaña <saldana...@pucp.edu.pe>
escreveu:

>
>
> Aproveitando que APC é isósceles (pois CA=CP), eu desenhei a altura CH,
> então
> AH=HP e anguloACH=anguloHCP=20; mas como também anguloPCB=20, decidi
> desenhar a
> perpendicular PN sobre BC, así temos PN=PH=HA. Aí não resisti e estiquei
> PN até
> K, onde NK=PN. Desenhei a linha BK também.
>
> Nesse ponto me encontrei com um problema que já tinha resolvido faz algum
> tempo
> mas não lembro. Então ensaiei outra solução. O problema é provar que P é o
> circuncentro do triângulo ABK. Desta vez argumento assim: como anguloBAK=30
> então BK é igual ao circunrádio do triângulo ABK. Mas note que BK=BP (pois
> BC é
> mediatriz de PK). Então pronto, P encontrase na mediatriz de AK e também se
> encontra a uma distância de B igual ao circunradio, logo P é o
> circuncentro do
> triângulo ABK.
>
> Com isso, o triângulo PBK é equilátero e portanto anguloPBN=30. Portanto
> anguloBEC=90 => EM é mediana relativa à hipotenusa do triângulo retângulo
> BEC.
> Resposta: anguloMEC=60
>
> Espero não ter me engando, mas vou fazer um double check e também vou
> tentar
> lembrar a outra forma de provar que P é circuncentro de ABK
>
> Julio Saldaña
>
>
> -- Mensaje original ---
> De : obm-l@mat.puc-rio.br
> Para : obm-l@mat.puc-rio.br
> Fecha : Wed, 28 Jun 2017 14:43:07 -0300
> Asunto : Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)
> >Opa desculpe, CF Ã© ceviana que passa por P.
> >
> >Em 28 de jun de 2017 11:05 AM, "Pedro JosÃ©" <petroc...@gmail.com>
> escreveu:
> >
> >> Bom dia!
> >>
> >> O ponto F nÃ£o foi definido, mas foram definidas duas medidas de
> Ã¢ngulos
> >> aos quais o ponto F pertence: BCF=20 graus e FCA=40 graus.
> >> NÃ£o faltou definir o ponto F?
> >>
> >> Sds,
> >> PJMS
> >>
> >> Em 28 de junho de 2017 09:15, Douglas Oliveira de Lima <
> >> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
> >>
> >>> OlÃ¡ meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questÃ£o:
> >>>
> >>> Num triÃ¢ngulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no
> >>> ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40
> graus,
> >>> traÃ§ando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os
> >>> pontos E e M, sendo M ponto mÃ©dio de BC, determinar o Ã¢ngulo CME.
> >>>
> >>> GRATO!!
> >>> Douglas Oliveira.
> >>>
> >>> --
> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
> >>> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >--
> >Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
>
>
> __
> Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese
> a:
> http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)

2017-06-29 Por tôpico Julio César Saldaña




Aproveitando que APC é isósceles (pois CA=CP), eu desenhei a altura CH, então 
AH=HP e anguloACH=anguloHCP=20; mas como também anguloPCB=20, decidi desenhar a 
perpendicular PN sobre BC, así temos PN=PH=HA. Aí não resisti e estiquei PN até 
K, onde NK=PN. Desenhei a linha BK também.


Nesse ponto me encontrei com um problema que já tinha resolvido faz algum tempo 
mas não lembro. Então ensaiei outra solução. O problema é provar que P é o 
circuncentro do triângulo ABK. Desta vez argumento assim: como anguloBAK=30 
então BK é igual ao circunrádio do triângulo ABK. Mas note que BK=BP (pois BC é 
mediatriz de PK). Então pronto, P encontrase na mediatriz de AK e também se 
encontra a uma distância de B igual ao circunradio, logo P é o circuncentro do 
triângulo ABK.


Com isso, o triângulo PBK é equilátero e portanto anguloPBN=30. Portanto 
anguloBEC=90 => EM é mediana relativa à hipotenusa do triângulo retângulo BEC. 
Resposta: anguloMEC=60


Espero não ter me engando, mas vou fazer um double check e também vou tentar 
lembrar a outra forma de provar que P é circuncentro de ABK


Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Wed, 28 Jun 2017 14:43:07 -0300
Asunto : Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)

Opa desculpe, CF Ã© ceviana que passa por P.

Em 28 de jun de 2017 11:05 AM, "Pedro JosÃ©" <petroc...@gmail.com> escreveu:


Bom dia!

O ponto F nÃ£o foi definido, mas foram definidas duas medidas de Ã¢ngulos
aos quais o ponto F pertence: BCF=20 graus e FCA=40 graus.
NÃ£o faltou definir o ponto F?

Sds,
PJMS

Em 28 de junho de 2017 09:15, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:


OlÃ¡ meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questÃ£o:

Num triÃ¢ngulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no
ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 graus,
traÃ§ando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os
pontos E e M, sendo M ponto mÃ©dio de BC, determinar o Ã¢ngulo CME.

GRATO!!
Douglas Oliveira.

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
acredita-se estar livre de perigo.




--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
acredita-se estar livre de perigo.


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.




__
Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a:
http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)

2017-06-28 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima

Opa desculpe, CF é ceviana que passa por P.

Em 28 de jun de 2017 11:05 AM, "Pedro José"  escreveu:

> Bom dia!
>
> O ponto F não foi definido, mas foram definidas duas medidas de ângulos
> aos quais o ponto F pertence: BCF=20 graus e FCA=40 graus.
> Não faltou definir o ponto F?
>
> Sds,
> PJMS
>
> Em 28 de junho de 2017 09:15, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão:
>>
>> Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no
>> ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 graus,
>> traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os
>> pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME.
>>
>> GRATO!!
>> Douglas Oliveira.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)

2017-06-28 Por tôpico Pedro José

Bom dia!

O ponto F não foi definido, mas foram definidas duas medidas de ângulos aos
quais o ponto F pertence: BCF=20 graus e FCA=40 graus.
Não faltou definir o ponto F?

Sds,
PJMS

Em 28 de junho de 2017 09:15, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão:
>
> Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no
> ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 graus,
> traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os
> pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME.
>
> GRATO!!
> Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria

2017-04-20 Por tôpico Marcelo de Moura Costa

Grato a todos pela atenção

Em 19 de abr de 2017 11:36 PM,  escreveu:

> Brilliant!
>
>
> Quoting Julio César Saldaña :
>
> Imagino que D esteja sobre BC. Se for esse o caso:
>>
>> ABD e AEC são congruentes.
>>
>> Ángulo BAD = ángulo ECA e por isso ângulo DFC = 60, logo BEFD é
>> inscritível.
>>
>> EB = 2. BD e como ângulo B = 60 então ângulo EDB=90.
>>
>> Como BEFD é inscritível então ângulo BFE=90 e finalmente ângulo BFC=90
>>
>> Julio Saldaña
>>
>>
>> -- Mensaje original ---
>> De : obm-l@mat.puc-rio.br
>> Para : obm-l@mat.puc-rio.br
>> Fecha : Mon, 17 Apr 2017 11:55:34 -0300
>> Asunto : [obm-l] Geometria
>>
>>> Bom dia a todos,
>>>
>>> Gostaria de uma ajuda com o seguinte problema:
>>>
>>> Dado um triÃ¢ngulo equilÃ¡tero ABC, tal que sobre o lado AB tenhamos um
>>> ponto
>>> E e sobre o AC tenhamos um ponto D, com AE=BD=AB/3. Se as cevianas AD e
>>> CE
>>> intersectam  no ponto F, qual a medida do Ã¢ngulo BFC?
>>>
>>> Grato pela atenÃ§Ã£o.
>>>
>>> AbraÃ§os,
>>>
>>> Marcelo
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> "MatemÃ¡tica Ã© o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo"
>>> Galileu Galilei
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> 
>> __
>> Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP,
>> ingrese a:
>> http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria

2017-04-19 Por tôpico wagner


Brilliant!


Quoting Julio César Saldaña :


Imagino que D esteja sobre BC. Se for esse o caso:

ABD e AEC são congruentes.

Ángulo BAD = ángulo ECA e por isso ângulo DFC = 60, logo BEFD é inscritível.

EB = 2. BD e como ângulo B = 60 então ângulo EDB=90.

Como BEFD é inscritível então ângulo BFE=90 e finalmente ângulo BFC=90

Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Mon, 17 Apr 2017 11:55:34 -0300
Asunto : [obm-l] Geometria

Bom dia a todos,

Gostaria de uma ajuda com o seguinte problema:

Dado um triÃ¢ngulo equilÃ¡tero ABC, tal que sobre o lado AB  
tenhamos um ponto

E e sobre o AC tenhamos um ponto D, com AE=BD=AB/3. Se as cevianas AD e CE
intersectam  no ponto F, qual a medida do Ã¢ngulo BFC?

Grato pela atenÃ§Ã£o.

AbraÃ§os,

Marcelo




"MatemÃ¡tica Ã© o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo"
Galileu Galilei

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.


__
Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a:
http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=





--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria

2017-04-17 Por tôpico Julio César Saldaña




Imagino que D esteja sobre BC. Se for esse o caso:

ABD e AEC são congruentes.

Ángulo BAD = ángulo ECA e por isso ângulo DFC = 60, logo BEFD é inscritível.

EB = 2. BD e como ângulo B = 60 então ângulo EDB=90.

Como BEFD é inscritível então ângulo BFE=90 e finalmente ângulo BFC=90

Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Mon, 17 Apr 2017 11:55:34 -0300
Asunto : [obm-l] Geometria

Bom dia a todos,

Gostaria de uma ajuda com o seguinte problema:

Dado um triÃ¢ngulo equilÃ¡tero ABC, tal que sobre o lado AB tenhamos um ponto
E e sobre o AC tenhamos um ponto D, com AE=BD=AB/3. Se as cevianas AD e CE
intersectam  no ponto F, qual a medida do Ã¢ngulo BFC?

Grato pela atenÃ§Ã£o.

AbraÃ§os,

Marcelo




"MatemÃ¡tica Ã© o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo"
Galileu Galilei

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.




__
Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a:
http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Geometria

2017-04-17 Por tôpico Anderson Torres

AD não é ceviana, pois é parte do lado AC. Poderia corrigir?

Em 17 de abril de 2017 11:55, Marcelo de Moura Costa
 escreveu:
> Bom dia a todos,
>
> Gostaria de uma ajuda com o seguinte problema:
>
> Dado um triângulo equilátero ABC, tal que sobre o lado AB tenhamos um ponto
> E e sobre o AC tenhamos um ponto D, com AE=BD=AB/3. Se as cevianas AD e CE
> intersectam  no ponto F, qual a medida do ângulo BFC?
>
> Grato pela atenção.
>
> Abraços,
>
> Marcelo
>
>
>
>
> "Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo"
> Galileu Galilei
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Geometria Plana

2015-11-26 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo

Obrigado Ralph

Em 26 de novembro de 2015 22:57, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Sim, ha um argumento simples e convincente para a existencia de tal
> triangulo.
>
> Comece pela circunferencia de raio R. Marque nela ARCOS consecutivos de
> comprimento angular 2a, 2b e 2c (como 2a+2b+2c=2pi, o terceiro arco termina
> onde o primeiro comeca). Use as pontas destes arcos para serem os vertices
> de um triangulo; os angulos do triangulo serao inscritos, e assim valerao
> metade dos arcos, isto eh, a, b e c exatamente.
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2015-11-26 22:34 GMT-02:00 Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com>:
>
>> Recentemente me ocupei com alguns pensamentos que não sei se são ou não
>> inúteis:é possível provar que em uma circunferência com um dado raio fixo
>> se pode inscrever triângulos com todos os ângulos possíveis?Isto é,como
>> posso ter certeza que dada uma circunferência sempre haverá um triângulo
>> com ângulos a,b e c, sendo a,b,c reais quaisquer(obviamente a>0,b>0,c>0 e
>> a+b+c=pi).Isso me parece uma consequência imediata do fato de todo
>> triângulo ser circunscritível e por haver proporcionalidade entre as
>> circunferências...Mas como provar isso com argumentos claros e simples?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria Plana

2015-11-26 Por tôpico Ralph Teixeira

Sim, ha um argumento simples e convincente para a existencia de tal
triangulo.

Comece pela circunferencia de raio R. Marque nela ARCOS consecutivos de
comprimento angular 2a, 2b e 2c (como 2a+2b+2c=2pi, o terceiro arco termina
onde o primeiro comeca). Use as pontas destes arcos para serem os vertices
de um triangulo; os angulos do triangulo serao inscritos, e assim valerao
metade dos arcos, isto eh, a, b e c exatamente.

Abraco, Ralph.

2015-11-26 22:34 GMT-02:00 Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com>:

> Recentemente me ocupei com alguns pensamentos que não sei se são ou não
> inúteis:é possível provar que em uma circunferência com um dado raio fixo
> se pode inscrever triângulos com todos os ângulos possíveis?Isto é,como
> posso ter certeza que dada uma circunferência sempre haverá um triângulo
> com ângulos a,b e c, sendo a,b,c reais quaisquer(obviamente a>0,b>0,c>0 e
> a+b+c=pi).Isso me parece uma consequência imediata do fato de todo
> triângulo ser circunscritível e por haver proporcionalidade entre as
> circunferências...Mas como provar isso com argumentos claros e simples?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica em 3 dimensões

2015-10-30 Por tôpico Sávio Ribas

Mas isso eh uma esfera de raio r (assumindo que x_1, y_1 e z_1 são
variáveis). Eh soh uma aplicação de Pitagoras...

Em 30 de outubro de 2015 14:57, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Olá pessoal alguém sabe como provar que a equação da reta é
> (x_1-x_0)²+(y_1-y_0)²+(z_1-z_0)²=r²? onde r é o comprimento da reta
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Analítica em 3 dimensões

2015-10-30 Por tôpico Rígille Scherrer Borges Menezes

Hmmm, me confundi. Mas a equação de um segmento de reta com certeza é:
d(a, x) + d(x, b) = d(a, b)
Onde x é a variável e d(x, y) é a distância entre x e y.

Em sexta-feira, 30 de outubro de 2015, Rígille Scherrer Borges Menezes <
rigillesbmene...@gmail.com> escreveu:

> Vc quer dizer de segmento de reta talveZ? Acho que uma boa ideia é usar a
> desigualdade triangular.
>
> Em sexta-feira, 30 de outubro de 2015, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá pessoal alguém sabe como provar que a equação da reta é
>> (x_1-x_0)²+(y_1-y_0)²+(z_1-z_0)²=r²? onde r é o comprimento da reta
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria

2015-09-08 Por tôpico Pedro José

Boa tarde!

É DC, erro de digitação.

Saudações,
PJMS

Em 8 de setembro de 2015 15:58, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> É BC ou DC?
> Em 08/09/2015 10:17, "Pedro José"  escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> Uma ajuda.
>>
>> Seja um triângulo ABC, são traçadas três cevianas que se interceptam em
>> um único ponto D, no interior do triângulo.
>> Sejam M, N e P os pés das cevianas e DM, DN e DP são congruentes com
>> medida igual a 3.
>> A soma das medidas dos segmentos DA, DB e BC é igual a 143. Calcule o
>> produto das medidas desses segmentos.
>>
>> Grato,
>> PJMS
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria

2015-09-08 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima

É BC ou DC?
Em 08/09/2015 10:17, "Pedro José"  escreveu:

> Bom dia!
>
> Uma ajuda.
>
> Seja um triângulo ABC, são traçadas três cevianas que se interceptam em um
> único ponto D, no interior do triângulo.
> Sejam M, N e P os pés das cevianas e DM, DN e DP são congruentes com
> medida igual a 3.
> A soma das medidas dos segmentos DA, DB e BC é igual a 143. Calcule o
> produto das medidas desses segmentos.
>
> Grato,
> PJMS
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica em Três dimensões

2015-07-23 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo

Ogrigado Ralph, vc sempre respondendo rápido, obrigado mesmo!Vlw, era isso
mesmo o t era fixovlw

Em 23 de julho de 2015 23:04, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 Hm, pera, tem 4 variaveis ai. A letra t representa um numero fixo, e as
 variaveis sao x, y e z? Vou supor que sim, senao eh uma superficie em 4
 dimensoes.

 Bom, entao a resposta eh sim, representa. Se esta figura tem nome proprio,
 bom, ok, nao sei. :)

 Mas notei que se voce botar x=t.sina, y=t.sinb e z=t.sinc e ignorar alguns
 sinais chatos, voce fica com tana.tanb+tanb.tanc+tana.tanc=1, ou seja,
 tana=(tanb.tanc-1)/(tanb+tanc)=-cot(b+c)=tan(b+c-pi/2). Entao sua equacao
 eh quase equivalente a

 a=k.pi+b+c-pi/2.

 E isto eh um plano... Ou seja, sua superficie seria tomar um plano do tipo
 a-b-c=k.pi=pi/2 (ou alguns planos, variando k, e mais alguns variando os
 sinais ali) no espaco abc e entao senificar as coordenadas.

 Abraco, Ralph.

 2015-07-23 21:15 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com:

 Alguém sabe se a equação abaixo representa alguma figura geométrica em 3
 dimensões?

 xy/(sqrt{t²-x²}sqrt{t²-y²})+xz/(sqrt{t²-x²}sqrt{t²-z²})+yz/(sqrt{t²-y²}sqrt{t²-z²})=1

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica em Três dimensões

2015-07-23 Por tôpico Ralph Teixeira

Hm, pera, tem 4 variaveis ai. A letra t representa um numero fixo, e as
variaveis sao x, y e z? Vou supor que sim, senao eh uma superficie em 4
dimensoes.

Bom, entao a resposta eh sim, representa. Se esta figura tem nome proprio,
bom, ok, nao sei. :)

Mas notei que se voce botar x=t.sina, y=t.sinb e z=t.sinc e ignorar alguns
sinais chatos, voce fica com tana.tanb+tanb.tanc+tana.tanc=1, ou seja,
tana=(tanb.tanc-1)/(tanb+tanc)=-cot(b+c)=tan(b+c-pi/2). Entao sua equacao
eh quase equivalente a

a=k.pi+b+c-pi/2.

E isto eh um plano... Ou seja, sua superficie seria tomar um plano do tipo
a-b-c=k.pi=pi/2 (ou alguns planos, variando k, e mais alguns variando os
sinais ali) no espaco abc e entao senificar as coordenadas.

Abraco, Ralph.

2015-07-23 21:15 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo 
israelmchrisost...@gmail.com:

 Alguém sabe se a equação abaixo representa alguma figura geométrica em 3
 dimensões?

 xy/(sqrt{t²-x²}sqrt{t²-y²})+xz/(sqrt{t²-x²}sqrt{t²-z²})+yz/(sqrt{t²-y²}sqrt{t²-z²})=1

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria(Incentro)

2015-05-02 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima

1) Opa, fiz aqui de um jeito não muito elegante, seja BD=CD=l, IE=x e IF=y,
e seja o angulo BAC=2z, assim
x+y=AD\2, mas no quadrilatero ACDB c.l+b.l=AD.a, l.(b+c)=AD.a.

2) Agora vamos calcular a área do quadrilátero ACDB de duas formas :
(1\2).c.AD.sen(z)+(1\2).b.AD.sen(z)=l.x/2 + l.y/2 +(1/2).c.AI.sen(z)
 +(1/2).b.AI.sen(z),
mas como AI=AD-l (prove isso, é fácil), temos (1/2).AD.sen(z).(b+c)=l.AD/4
+ AI.sen(z)(b+c)/2 ,
logo (l/2)sen(z)(b+c)=l.AD/4,
ou seja, sen(z)=AD/2(b+c) e cos(z)=a/2l, sen(z).cos(z)=1/4, assim 2z=30.


OBS: Os lados AB=c, AC=b e BC=a.
Um abraço.
Douglas Oliveira.

Em 2 de maio de 2015 09:22, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com
escreveu:

 Bom dia,

 Alguém poderia ajudar-me no problema a seguir?

  Seja I o incentro do triângulo ABC e D o ponto de interseção de AI com o
 círculo circunscrito de ABC. Sejam E e F os pés das perpendiculares
 baixadas a partir de I sobre BD e CD, respectivamente. Se IE + IF = AD/2 ,
 determine o ângulo BÂC.

 Obrigada,
 Mariana

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria(Incentro)

2015-05-02 Por tôpico Mariana Groff

 Me ajudou muito. Obrigada!

Em 2 de maio de 2015 10:13, Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 1) Opa, fiz aqui de um jeito não muito elegante, seja BD=CD=l, IE=x e
 IF=y,
 e seja o angulo BAC=2z, assim
 x+y=AD\2, mas no quadrilatero ACDB c.l+b.l=AD.a, l.(b+c)=AD.a.

 2) Agora vamos calcular a área do quadrilátero ACDB de duas formas :
 (1\2).c.AD.sen(z)+(1\2).b.AD.sen(z)=l.x/2 + l.y/2 +(1/2).c.AI.sen(z)
  +(1/2).b.AI.sen(z),
 mas como AI=AD-l (prove isso, é fácil), temos (1/2).AD.sen(z).(b+c)=l.AD/4
 + AI.sen(z)(b+c)/2 ,
 logo (l/2)sen(z)(b+c)=l.AD/4,
 ou seja, sen(z)=AD/2(b+c) e cos(z)=a/2l, sen(z).cos(z)=1/4, assim 2z=30.


 OBS: Os lados AB=c, AC=b e BC=a.
 Um abraço.
 Douglas Oliveira.

 Em 2 de maio de 2015 09:22, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com
 escreveu:

 Bom dia,

 Alguém poderia ajudar-me no problema a seguir?

  Seja I o incentro do triângulo ABC e D o ponto de interseção de AI com o
 círculo circunscrito de ABC. Sejam E e F os pés das perpendiculares
 baixadas a partir de I sobre BD e CD, respectivamente. Se IE + IF = AD/2 ,
 determine o ângulo BÂC.

 Obrigada,
 Mariana

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria

2015-03-08 Por tôpico Pacini Bores

Interessante é que este problema tem uma versão que está na dissertação do
prof Carlos Victor que  é a seguinte : ABC é isósceles AB=AC  com AD= BC e
AD passa pelo circuncentro de ABC . Determine o ângulo BAC.

A resposta é 20º e teremos  ABD com 10º.

Será que a recíproca é verdadeira ? Ou seja, no problema proposto pelo
Douglas, teremos necessariamente BAC igual a 20º ?

E o que é mais interessante, utilizando trigonometria encontramos 20º.

Abraços

Pacini



Em 6 de março de 2015 20:31, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com
escreveu:

 Agora vim ver q vc queria sem a lei dos senos.

 Em 6 de março de 2015 20:20, Douglas Oliveira de Lima 
 profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Nao consegui concluir dessa forma.

 Em 6 de março de 2015 19:30, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com
 escreveu:


 Em 6 de março de 2015 19:30, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com
 escreveu:

 Tome E pertencente ao lado AB, tal que o ângulo BDE vale 10°, daí trace
 as retes DE e EC, marque os ângulos e conclua.

 Em 6 de março de 2015 19:06, Douglas Oliveira de Lima 
 profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Olá, será que existe uma solução por traçados para seguinte questao:
 Dado um triângulo isósceles ABC com AB=AC,  e um ponto D no lado AC
 tal que AD=BC,  e o ângulo ABD vale 10 graus,  achar o ângulo BAC.

 Douglas oliveira

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




 --
 Esdras Muniz Mota
 Mestrando em Matemática
 Universidade Federal do Ceará





 --
 Esdras Muniz Mota
 Mestrando em Matemática
 Universidade Federal do Ceará



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




 --
 Esdras Muniz Mota
 Mestrando em Matemática
 Universidade Federal do Ceará



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria

2015-03-06 Por tôpico Esdras Muniz

Agora vim ver q vc queria sem a lei dos senos.

Em 6 de março de 2015 20:20, Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Nao consegui concluir dessa forma.

 Em 6 de março de 2015 19:30, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com
 escreveu:


 Em 6 de março de 2015 19:30, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com
 escreveu:

 Tome E pertencente ao lado AB, tal que o ângulo BDE vale 10°, daí trace
 as retes DE e EC, marque os ângulos e conclua.

 Em 6 de março de 2015 19:06, Douglas Oliveira de Lima 
 profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Olá, será que existe uma solução por traçados para seguinte questao:
 Dado um triângulo isósceles ABC com AB=AC,  e um ponto D no lado AC tal
 que AD=BC,  e o ângulo ABD vale 10 graus,  achar o ângulo BAC.

 Douglas oliveira

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




 --
 Esdras Muniz Mota
 Mestrando em Matemática
 Universidade Federal do Ceará





 --
 Esdras Muniz Mota
 Mestrando em Matemática
 Universidade Federal do Ceará



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria

2015-03-06 Por tôpico Esdras Muniz

Em 6 de março de 2015 19:30, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com
escreveu:

 Tome E pertencente ao lado AB, tal que o ângulo BDE vale 10°, daí trace as
 retes DE e EC, marque os ângulos e conclua.

 Em 6 de março de 2015 19:06, Douglas Oliveira de Lima 
 profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Olá, será que existe uma solução por traçados para seguinte questao:
 Dado um triângulo isósceles ABC com AB=AC,  e um ponto D no lado AC tal
 que AD=BC,  e o ângulo ABD vale 10 graus,  achar o ângulo BAC.

 Douglas oliveira

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




 --
 Esdras Muniz Mota
 Mestrando em Matemática
 Universidade Federal do Ceará





-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria

2015-03-06 Por tôpico Esdras Muniz

Tome E pertencente ao lado AB, tal que o ângulo BDE vale 10°, daí trace as
retes DE e EC, marque os ângulos e conclua.

Em 6 de março de 2015 19:06, Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Olá, será que existe uma solução por traçados para seguinte questao:
 Dado um triângulo isósceles ABC com AB=AC,  e um ponto D no lado AC tal
 que AD=BC,  e o ângulo ABD vale 10 graus,  achar o ângulo BAC.

 Douglas oliveira

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria

2015-03-06 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima

Nao consegui concluir dessa forma.

Em 6 de março de 2015 19:30, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com
escreveu:


 Em 6 de março de 2015 19:30, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com
 escreveu:

 Tome E pertencente ao lado AB, tal que o ângulo BDE vale 10°, daí trace as
 retes DE e EC, marque os ângulos e conclua.

 Em 6 de março de 2015 19:06, Douglas Oliveira de Lima 
 profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Olá, será que existe uma solução por traçados para seguinte questao:
 Dado um triângulo isósceles ABC com AB=AC,  e um ponto D no lado AC tal
 que AD=BC,  e o ângulo ABD vale 10 graus,  achar o ângulo BAC.

 Douglas oliveira

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




 --
 Esdras Muniz Mota
 Mestrando em Matemática
 Universidade Federal do Ceará





 --
 Esdras Muniz Mota
 Mestrando em Matemática
 Universidade Federal do Ceará



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: {Disarmed} Re: [obm-l] Re: {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana

2015-03-04 Por tôpico Julio César Saldaña




Muito boa, vou guardar.

Obrigado

Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Tue, 3 Mar 2015 22:13:54 -0300
Asunto : {Disarmed} Re: [obm-l] Re: {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria
plana

Vou compartilhar uma para termos soluÃ§Ãµes alternativas:
1)Circunscreva um cÃrculo ao triÃ¢ngulo ABC.
2) Prolongue AD atÃ© tocar o cÃrculo em F.
3)Trace de B para F e de C para F.
4)Encontre BFA=AFC=90-(BAC)/2
5)Como FA Ã© uma bissetriz teremos BF=2FC.
6)Como BEF Ã© isÃ³sceles,  tome um ponto M mÃ©dio  de BF e Trace EM.
7)Os triÃ¢ngulos EMF e EFC sÃ£o congruentes,  assim FEC=(BAC) /2

Douglas Oliveira.
Em 03/03/2015 16:04, Julio CÃ©sar SaldaÃ±a saldana...@pucp.edu.pe
escreveu:




Isso mesmo, M ï¿½ponto medio de BE,

obrigado


Julio Saldaé¦»


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Tue, 3 Mar 2015 15:33:26 -0300
Asunto : {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana
Bela soluè½è«o.

houve sè´¸ um pequeno erro de digitaè½è«o : M è ponto mèdio de BE, ok ?

Pacini

Em 3 de marè½o de 2015 11:53, Julio Cèsar Saldaå¸½a saldana...@pucp.edu.pe
escreveu:



 Fiz assim, mas cuidado, costumo me equivocar muito. Podem verificar?

 Notar que ABE=EAC.

 Seja N de AC tal que DN è paralelo è¿ AB, entè«o DN=NC e AN=2.DN

 Como os trièngulos ABE e ADN sè«o semelhantes entè«o BE=2.AE

 Seja M o ponto medio de AE, entè«o BM=ME=AE, e AME=MAE=40.

 Os trièngulos BAM e EAC sè«o congruentes, por tanto igualamos èngulos
 externos
 respectivos: DEC=40.


 Julio Saldaå¸½a


 -- Mensaje original ---
 De : obm-l@mat.puc-rio.br
 Para : obm-l@mat.puc-rio.br
 Fecha : Mon, 2 Mar 2015 09:23:52 -0300
 Asunto : [obm-l] Geometria plana
 Olèé,  bom dia quero compartilhar uma boa questèæ¢o de geometria

com os

 senhores,
 Q1) Num trièångulo isèé²sceles ABC com AB=AC,  toma-se um ponto D no
lado
 BC
 de forma que BD=2CD e um ponto E em AD tal que os èångulos BAC e BED
sejam
 iguais a 80 graus,   encontrar o valor do èångulo DEC.
 
 Douglas Oliveira.
 
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivérus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 


 __
 Si desea recibir, semanalmente, el Boletén Electrè´¸nico de la PUCP,
ingrese
 a:
 http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivérus e
  acredita-se estar livre de perigo.


=
 Instruè½ç«es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

=


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivéus e
 acredita-se estar livre de perigo.



__
Si desea recibir, semanalmente, el Boleté Electré«ico de la PUCP, ingrese a:
http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivéus e
 acredita-se estar livre de perigo.

=
Instruç²es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.




__
Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a:
http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana

2015-03-03 Por tôpico Julio César Saldaña




Fiz assim, mas cuidado, costumo me equivocar muito. Podem verificar?

Notar que ABE=EAC.

Seja N de AC tal que DN é paralelo à AB, então DN=NC e AN=2.DN

Como os triângulos ABE e ADN são semelhantes então BE=2.AE

Seja M o ponto medio de AE, então BM=ME=AE, e AME=MAE=40. 


Os triângulos BAM e EAC são congruentes, por tanto igualamos ângulos externos
respectivos: DEC=40.


Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Mon, 2 Mar 2015 09:23:52 -0300
Asunto : [obm-l] Geometria plana

OlÃ¡,  bom dia quero compartilhar uma boa questÃ£o de geometria com os
senhores,
Q1) Num triÃ¢ngulo isÃ³sceles ABC com AB=AC,  toma-se um ponto D no lado BC
de forma que BD=2CD e um ponto E em AD tal que os Ã¢ngulos BAC e BED sejam
iguais a 80 graus,   encontrar o valor do Ã¢ngulo DEC.

Douglas Oliveira.

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.




__
Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a:
http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

{Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana

2015-03-03 Por tôpico Pacini Bores

Bela solução.

houve só um pequeno erro de digitação : M é ponto médio de BE, ok ?

Pacini

Em 3 de março de 2015 11:53, Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe
escreveu:



 Fiz assim, mas cuidado, costumo me equivocar muito. Podem verificar?

 Notar que ABE=EAC.

 Seja N de AC tal que DN é paralelo à AB, então DN=NC e AN=2.DN

 Como os triângulos ABE e ADN são semelhantes então BE=2.AE

 Seja M o ponto medio de AE, então BM=ME=AE, e AME=MAE=40.

 Os triângulos BAM e EAC são congruentes, por tanto igualamos ângulos
 externos
 respectivos: DEC=40.


 Julio Saldaña


 -- Mensaje original ---
 De : obm-l@mat.puc-rio.br
 Para : obm-l@mat.puc-rio.br
 Fecha : Mon, 2 Mar 2015 09:23:52 -0300
 Asunto : [obm-l] Geometria plana
 OlÃ¡,  bom dia quero compartilhar uma boa questÃ£o de geometria com os
 senhores,
 Q1) Num triÃ¢ngulo isÃ³sceles ABC com AB=AC,  toma-se um ponto D no lado
 BC
 de forma que BD=2CD e um ponto E em AD tal que os Ã¢ngulos BAC e BED sejam
 iguais a 80 graus,   encontrar o valor do Ã¢ngulo DEC.
 
 Douglas Oliveira.
 
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 


 __
 Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese
 a:
 http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana

2015-03-03 Por tôpico Julio César Saldaña




Isso mesmo, M é ponto medio de BE,

obrigado


Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Tue, 3 Mar 2015 15:33:26 -0300
Asunto : {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana

Bela soluÃ§Ã£o.

houve sÃ³ um pequeno erro de digitaÃ§Ã£o : M Ã© ponto mÃ©dio de BE, ok ?

Pacini

Em 3 de marÃ§o de 2015 11:53, Julio CÃ©sar SaldaÃ±a saldana...@pucp.edu.pe
escreveu:




Fiz assim, mas cuidado, costumo me equivocar muito. Podem verificar?

Notar que ABE=EAC.

Seja N de AC tal que DN Ã© paralelo Ã  AB, entÃ£o DN=NC e AN=2.DN

Como os triÃ¢ngulos ABE e ADN sÃ£o semelhantes entÃ£o BE=2.AE

Seja M o ponto medio de AE, entÃ£o BM=ME=AE, e AME=MAE=40.

Os triÃ¢ngulos BAM e EAC sÃ£o congruentes, por tanto igualamos Ã¢ngulos
externos
respectivos: DEC=40.


Julio SaldaÃ±a


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Mon, 2 Mar 2015 09:23:52 -0300
Asunto : [obm-l] Geometria plana
OlÃÂ¡,  bom dia quero compartilhar uma boa questÃÂ£o de geometria com os
senhores,
Q1) Num triÃÂ¢ngulo isÃÂ³sceles ABC com AB=AC,  toma-se um ponto D no lado
BC
de forma que BD=2CD e um ponto E em AD tal que os ÃÂ¢ngulos BAC e BED sejam
iguais a 80 graus,   encontrar o valor do ÃÂ¢ngulo DEC.

Douglas Oliveira.

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
 acredita-se estar livre de perigo.



__
Si desea recibir, semanalmente, el BoletÃn ElectrÃ³nico de la PUCP, ingrese
a:
http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
 acredita-se estar livre de perigo.

=
InstruÃ§Ãµes para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.




__
Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a:
http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

{Disarmed} Re: [obm-l] Re: {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana

2015-03-03 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima

Vou compartilhar uma para termos soluções alternativas:
1)Circunscreva um círculo ao triângulo ABC.
2) Prolongue AD até tocar o círculo em F.
3)Trace de B para F e de C para F.
4)Encontre BFA=AFC=90-(BAC)/2
5)Como FA é uma bissetriz teremos BF=2FC.
6)Como BEF é isósceles,  tome um ponto M médio  de BF e Trace EM.
7)Os triângulos EMF e EFC são congruentes,  assim FEC=(BAC) /2

Douglas Oliveira.
Em 03/03/2015 16:04, Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe
escreveu:



 Isso mesmo, M �ponto medio de BE,

 obrigado


 Julio Salda馻


 -- Mensaje original ---
 De : obm-l@mat.puc-rio.br
 Para : obm-l@mat.puc-rio.br
 Fecha : Tue, 3 Mar 2015 15:33:26 -0300
 Asunto : {Disarmed} Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana
 Bela solu莽茫o.
 
 houve s贸 um pequeno erro de digita莽茫o : M 茅 ponto m茅dio de BE, ok ?
 
 Pacini
 
 Em 3 de mar莽o de 2015 11:53, Julio C茅sar Salda帽a saldana...@pucp.edu.pe
 escreveu:
 
 
 
  Fiz assim, mas cuidado, costumo me equivocar muito. Podem verificar?
 
  Notar que ABE=EAC.
 
  Seja N de AC tal que DN 茅 paralelo 脿 AB, ent茫o DN=NC e AN=2.DN
 
  Como os tri芒ngulos ABE e ADN s茫o semelhantes ent茫o BE=2.AE
 
  Seja M o ponto medio de AE, ent茫o BM=ME=AE, e AME=MAE=40.
 
  Os tri芒ngulos BAM e EAC s茫o congruentes, por tanto igualamos 芒ngulos
  externos
  respectivos: DEC=40.
 
 
  Julio Salda帽a
 
 
  -- Mensaje original ---
  De : obm-l@mat.puc-rio.br
  Para : obm-l@mat.puc-rio.br
  Fecha : Mon, 2 Mar 2015 09:23:52 -0300
  Asunto : [obm-l] Geometria plana
  Ol脙隆,  bom dia quero compartilhar uma boa quest脙拢o de geometria com os
  senhores,
  Q1) Num tri脙垄ngulo is脙鲁sceles ABC com AB=AC,  toma-se um ponto D no
 lado
  BC
  de forma que BD=2CD e um ponto E em AD tal que os 脙垄ngulos BAC e BED
 sejam
  iguais a 80 graus,   encontrar o valor do 脙垄ngulo DEC.
  
  Douglas Oliveira.
  
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv铆rus e
   acredita-se estar livre de perigo.
  
 
 
  __
  Si desea recibir, semanalmente, el Bolet铆n Electr贸nico de la PUCP,
 ingrese
  a:
  http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/
 
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv铆rus e
   acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
  Instru莽玫es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
 
 
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv韗us e
  acredita-se estar livre de perigo.
 


 __
 Si desea recibir, semanalmente, el Bolet韓 Electr髇ico de la PUCP, ingrese a:
 http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv韗us e
  acredita-se estar livre de perigo.

 =
 Instru珲es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria plana

2015-03-03 Por tôpico Rogerio Ponce

E' verdade, Douglas, engraxei a meia...
:)

[]'s
Rogerio Ponce

2015-03-02 20:42 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com:

 Está correto Ponce de uma olhada com calma.
 Forte abraço.
 Em 02/03/2015 19:56, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu:

 Ola' Douglas,
 eu acho que tem algum engano no enunciado.
 Se D pertence ao lado BC, me parece impossivel que os angulos BAC e BED
 sejam iguais entre si.
 []'s
 Rogerio Ponce

 2015-03-02 9:23 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima 
 profdouglaso.del...@gmail.com:

 Olá,  bom dia quero compartilhar uma boa questão de geometria com os
 senhores,
 Q1) Num triângulo isósceles ABC com AB=AC,  toma-se um ponto D no lado
 BC de forma que BD=2CD e um ponto E em AD tal que os ângulos BAC e BED
 sejam iguais a 80 graus,   encontrar o valor do ângulo DEC.

 Douglas Oliveira.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria plana

2015-03-02 Por tôpico Rogerio Ponce

Ola' Douglas,
eu acho que tem algum engano no enunciado.
Se D pertence ao lado BC, me parece impossivel que os angulos BAC e BED
sejam iguais entre si.
[]'s
Rogerio Ponce

2015-03-02 9:23 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com:

 Olá,  bom dia quero compartilhar uma boa questão de geometria com os
 senhores,
 Q1) Num triângulo isósceles ABC com AB=AC,  toma-se um ponto D no lado BC
 de forma que BD=2CD e um ponto E em AD tal que os ângulos BAC e BED sejam
 iguais a 80 graus,   encontrar o valor do ângulo DEC.

 Douglas Oliveira.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria plana

2015-03-02 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima

Está correto Ponce de uma olhada com calma.
Forte abraço.
Em 02/03/2015 19:56, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu:

 Ola' Douglas,
 eu acho que tem algum engano no enunciado.
 Se D pertence ao lado BC, me parece impossivel que os angulos BAC e BED
 sejam iguais entre si.
 []'s
 Rogerio Ponce

 2015-03-02 9:23 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima 
 profdouglaso.del...@gmail.com:

 Olá,  bom dia quero compartilhar uma boa questão de geometria com os
 senhores,
 Q1) Num triângulo isósceles ABC com AB=AC,  toma-se um ponto D no lado BC
 de forma que BD=2CD e um ponto E em AD tal que os ângulos BAC e BED sejam
 iguais a 80 graus,   encontrar o valor do ângulo DEC.

 Douglas Oliveira.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria.

2014-11-05 Por tôpico Pedro José

Bom dia!

Obrigado! Não sou do ramo. Na verdade sou engenheiro. Mas é um belo
problema.
Até recordei um professor meu do ginásio, que falava que quem seguisse
exatas, iria matar muitos problemas com o teorema do bico, como ele
chamava. As bissetrizes internas de dois ângulos e a bissetriz interna do
ângulo remanescente de um triângulo concorrem em um único ponto ..

Grato,
PJMS.


Em 3 de novembro de 2014 18:30, Carlos Victor victorcar...@globo.com
escreveu:

 Oi  Pedro, esse  é um problema bem difícil e a solução, o Gandhi ( Antonio
 Luis) me mostrou um tempo atrás ( 1997 se não me engano...). Vou tentar
 escrevê-lo. Faça uma figura e acompanhe, ok ?

 Vamos lá :

 Vamos escolher dois pontos  M e N sobre BC, tais que N seja o simétrico de
 E( ângulo em E igual a 18) em relação à bissetriz CF  e M o simétrico  de F
 em relação à bissetriz  BE. Trace NI, NF  e trace ME.  Seja Q o encontro de
 ME com FC. Conclua que os ângulos MQF, MQN e NQC são iguais a 60º. Como FN
 é bissetriz do ângulo MFQ e NQ é bissetriz externa do ângulo MQF, temos
  que MN é bissetriz externa do ângulo QMF e daí encontre o ângulo interno
 em B igual a 72º. Como o ângulo em A é 96º , temos que o ângulo interno em
 C é igual 12º.

 Donde  B- C = 60º, UFA !!!.

 Caso não entenda alguma parte , escreva, ok ?


 Abraços

 Carlos  Victor

 Em 3 de novembro de 2014 13:37, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Seja ABC um triângulo e E e F os pés das bissetrizes internas dos ângulos
 B e C respectivamente. Sabendo-se que os ângulos E e F do triângulo EIF,
 onde I é o incentro de ABC, medem 18 e 24 graus, calcule B-C.

 Alguém tem alguma ideia?

 Grato,
 PJMS

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria.

2014-11-03 Por tôpico Carlos Victor

Oi  Pedro, esse  é um problema bem difícil e a solução, o Gandhi ( Antonio
Luis) me mostrou um tempo atrás ( 1997 se não me engano...). Vou tentar
escrevê-lo. Faça uma figura e acompanhe, ok ?

Vamos lá :

Vamos escolher dois pontos  M e N sobre BC, tais que N seja o simétrico de
E( ângulo em E igual a 18) em relação à bissetriz CF  e M o simétrico  de F
em relação à bissetriz  BE. Trace NI, NF  e trace ME.  Seja Q o encontro de
ME com FC. Conclua que os ângulos MQF, MQN e NQC são iguais a 60º. Como FN
é bissetriz do ângulo MFQ e NQ é bissetriz externa do ângulo MQF, temos
 que MN é bissetriz externa do ângulo QMF e daí encontre o ângulo interno
em B igual a 72º. Como o ângulo em A é 96º , temos que o ângulo interno em
C é igual 12º.

Donde  B- C = 60º, UFA !!!.

Caso não entenda alguma parte , escreva, ok ?


Abraços

Carlos  Victor

Em 3 de novembro de 2014 13:37, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Seja ABC um triângulo e E e F os pés das bissetrizes internas dos ângulos
 B e C respectivamente. Sabendo-se que os ângulos E e F do triângulo EIF,
 onde I é o incentro de ABC, medem 18 e 24 graus, calcule B-C.

 Alguém tem alguma ideia?

 Grato,
 PJMS

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria

2014-10-31 Por tôpico Pedro José

Bom dia!

Esse problema é lindo. O que me surpeende é que tem uma infinidade de
classes de triângulos semelhantes e em todas os lados estão em PA.

A chave da solução está na dica do Carlos, do uso da lei dos senos no
triângulo OAH.

Mas a solução da segunda parte, pelo valor dos lados é um pouco pesada.

Se rebater D em relação a AB e obter P1 e rebater D em relação a AC e obter
P2.

P1, P2, E e F serão colineares  e o comprimento P1P2 será o perímetro do
triângulo órtico.
P1P2 = 2 . AD . senA = 2p' (pelo triângulo isósceles P1P2A de ângulo P1AP2
medindo 2A.

O triângulo BDF é semelhante ao ABC, então DF = b. cosB = AD . cosB / senA.

2p'/DF = 2 senA . senC/cosB (i)

cosB = 2cosACos C e cosB = -cos(180-B) == 2cosA.cosB = - cosA.cosB +
senAsenB == senAsenB = 3/2 . cosB.

Utilizando em (i) fica que 2p'/DF = 3 == os lados estão em PA.

Mas sem a dica teria ficado no caminho.

Sds,
PJMS.



Em 26 de outubro de 2014 16:04, Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Valeu mestre Carlos!!! A boa saída trigonométrica
 Gostei muito da solução.
 Forte abraço!!


 Em 25 de outubro de 2014 15:42, Carlos Victor victorcar...@globo.com
 escreveu:

 Oi  Douglas,

 Pense assim :

 1) Mostre inicialmente que aplicando a lei dos senos para o triângulo
 OHA, encontramos

 cosB =2cosA.cosC., sabendo que AH = 2. OS, onde  S é o ponto médio de CB.

 2) Sabendo que os lados do triângulo órtico são dados por :

 Rsen2A, Rsen2B e Rsen2C e fazendo a semi-soma do primeiro com o último, e
 utilizando (1),

 conclua que esse triângulos tem as medidas dos lados em PA, ok ?

 Nota : R é o raio do círculo circunscrito ao triângulo. ( confira as
 contas)


 Abraços

 Carlos Victor




 Em 24 de outubro de 2014 07:07, Douglas Oliveira de Lima 
 profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Bom dia a todos, não vi solução para essa questão,

 Sejam H, O o ortocentro e o circuncentro do triÂngulo ABC. AD, BE e CF são
 as alturas relativas aos vértices A, B e C. Suponha que OH seja
 paralelo a AC. Mostre que os lados do triângulo DEF estão em progressão
 aritmética.


 Agradeço a ajuda!!

 Douglas Oliveira.




 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria

2014-10-26 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima

Valeu mestre Carlos!!! A boa saída trigonométrica
Gostei muito da solução.
Forte abraço!!


Em 25 de outubro de 2014 15:42, Carlos Victor victorcar...@globo.com
escreveu:

 Oi  Douglas,

 Pense assim :

 1) Mostre inicialmente que aplicando a lei dos senos para o triângulo OHA,
 encontramos

 cosB =2cosA.cosC., sabendo que AH = 2. OS, onde  S é o ponto médio de CB.

 2) Sabendo que os lados do triângulo órtico são dados por :

 Rsen2A, Rsen2B e Rsen2C e fazendo a semi-soma do primeiro com o último, e
 utilizando (1),

 conclua que esse triângulos tem as medidas dos lados em PA, ok ?

 Nota : R é o raio do círculo circunscrito ao triângulo. ( confira as
 contas)


 Abraços

 Carlos Victor




 Em 24 de outubro de 2014 07:07, Douglas Oliveira de Lima 
 profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Bom dia a todos, não vi solução para essa questão,

 Sejam H, O o ortocentro e o circuncentro do triÂngulo ABC. AD, BE e CF são
 as alturas relativas aos vértices A, B e C. Suponha que OH seja paralelo
 a AC. Mostre que os lados do triângulo DEF estão em progressão
 aritmética.


 Agradeço a ajuda!!

 Douglas Oliveira.




 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria

2014-10-25 Por tôpico Carlos Victor

Oi  Douglas,

Pense assim :

1) Mostre inicialmente que aplicando a lei dos senos para o triângulo OHA,
encontramos

cosB =2cosA.cosC., sabendo que AH = 2. OS, onde  S é o ponto médio de CB.

2) Sabendo que os lados do triângulo órtico são dados por :

Rsen2A, Rsen2B e Rsen2C e fazendo a semi-soma do primeiro com o último, e
utilizando (1),

conclua que esse triângulos tem as medidas dos lados em PA, ok ?

Nota : R é o raio do círculo circunscrito ao triângulo. ( confira as contas)


Abraços

Carlos Victor




Em 24 de outubro de 2014 07:07, Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Bom dia a todos, não vi solução para essa questão,

 Sejam H, O o ortocentro e o circuncentro do triÂngulo ABC. AD, BE e CF são
 as alturas relativas aos vértices A, B e C. Suponha que OH seja paralelo
 a AC. Mostre que os lados do triângulo DEF estão em progressão aritmética.


 Agradeço a ajuda!!

 Douglas Oliveira.




 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria Espacial - IME 1971

2014-10-11 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima

Opa!! Vamos lá então, você pode usar analítica se quiser, fica bem fácil,
mas não vamos usar, vamos pelo método mais antigo, considere um cubo
apoiado na base ABCD, e com base superior EFGH, com as verticais AE, BF,
CG, DH, chamando o centro da esfera de raio R de O.  Como ela tangência
as faces do triedro teremos um alinhamento dos pontos A, O, G, assim
a.sqrt(3)=R+R.sqrt(3), sendo O' o centro do círculo contido na face
EFGH(interceção da esfera com a face), OO'=a-R, GO'=r, e OG=R, e o
triângulo GOO' é retângulo, assim R^2=r^2+(a-R)^2. Logo a resposta será
letra C.

Douglas Oliveira.

Em 10 de outubro de 2014 23:45, Martins Rama martin...@pop.com.br
escreveu:

 Caros amigos, alguém pode ajudar?

 (IME-1971) Uma esfera de raio 'R' é tangente às faces de um dos triedros
 de um cubo de aresta 'a'. Um vértice do cubo pertence à superfície
 esférica. Calcule o raio 'r' da interseção da esfera com o plano de uma das
 faces do cubo que cortam a esfera, em função apenas da aresta 'a' do cubo.

 a) a . sqrt(2)/2
 b) a . (sqrt(2) - 1)
 c) a . [(sqrt(3) -1)(sqrt(2)]/2
 d) a . (1 - sqrt(3))
 e) a . (sqrt(3) -1)/2

 Abraços.
 Martins Rama.
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria Espacial - IME 1971

2014-10-11 Por tôpico Martins Rama


Valeu, Douglas.
Já vi o meu erro. Havia feito do mesmo jeito, mas não chegava à  
resposta. Parava num radical duplo e nem pensei em simplificá-lo.


Agora, não havia pensado em fazer por Analítica. Como ficaria essa  
solução? Mais simples? Se puder compartilhar, seria ótimo.


Grande abraço e obrigado pela pronta ajuda.

Martins Rama.


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Geometria Espacial - IME 1971

2014-10-11 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima

Por analítica pularia a etapa do alinhamento dos pontos A, O, G, escrevemos
a equação da esfera de raio R, fica (x-R)^2+(y-R)^2+(z-R)^2=R^2, e o ponto
P=(a,a,a) pertence à ela, logo 3(a-R)^2=R^2, e a equação do plano EFGH será
0x+0y+z=a, substituindo z=a na equação fica, (x-R)^2+(y-R)^2+(a-R)^2=R^2,
logo (x-R)^2+(y-R)^2=-(a-R)^2+R^2=r^2 . ai pronto.

Em 11 de outubro de 2014 10:12, Martins Rama martin...@pop.com.br
escreveu:

 Valeu, Douglas.
 Já vi o meu erro. Havia feito do mesmo jeito, mas não chegava à
 resposta. Parava num radical duplo e nem pensei em simplificá-lo.

 Agora, não havia pensado em fazer por Analítica. Como ficaria essa
 solução? Mais simples? Se puder compartilhar, seria ótimo.

 Grande abraço e obrigado pela pronta ajuda.

 Martins Rama.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria

2014-09-15 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima

Olá Marcone, essa questão caiu na prova de sábado agora, OBMEP, certo?
Minha esposa a fez e me falou dela,
vamos lá por geometria plana, pode fazer a área do trapézio AEFC e retirar
AGB, BEF e CFG, assim ficará
AEFC=(3+1)2/2=4, AGB=(2-x)2/2=2-x, BEF=1.2/2=1, CFG=1.x/2=x/2, Assim no
final teremos Área=4-(2-x)-1-x/2=1+x/2

Abracos do Douglas Oliveira

Em 14 de setembro de 2014 13:57, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Seja um quadrado ABCD cujo lado mede 2 e um ponto G na sua diagonal AC.
 Considere o retângulo  BEFC com CF = BE = 1.Qual a área do triângulo BFG
 (AEFD é um retângulo com DF = AE =3) em em função da distância x do ponto
 G à base DC do quadrado?

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

RE: [obm-l] Geometria(obmep 2014)

2014-06-05 Por tôpico marcone augusto araújo borges

A diagonal de um paralelogramo dividi-o em dois triangulos de mesma areaEntao 
(ABC) = (BCD) = 12
DF é mediana de BCD entao (CDF) é metade de (BCD) e 1/4 de (ABCD) Como DE é 
mediana de ABD entao (ADE) é 1/4 de (ABCD) BEF é semelhante a ABC e EF = 1/2 . 
AC, entao (BEF) é 1/4 de (ABC) e 1/8 de (ABCD) Seja I o ponto de encontro das 
diagonais de ABCD.Note que AI e ED sao medianas de ABD e H é baricentro,entao 
EH = 1/3.ED,dai (AEH) = 1/3(ADE) = 1/12.(ABCD)Mostra-se analogamente que (CFG) 
= 1/12.(ABCD)Finalmente (EFGH) = (ABC) - (BEF) - (AEH) - (CFG) = 12 - 3 - 2 - 2 
= 5
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Geometria(obmep 2014)
Date: Mon, 2 Jun 2014 12:20:17 +




Questão 16,nível 3
O paralelogramo ABCD tem área 24cm^2 e os pontos E e F são os pontos médios dos 
lados AB e BC, respectivamente.Qual é a área do quadrilátero EFGH?H e G são os 
pontos de encontro de DE e AC e de DF e AC, respectivamente.


  
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria(obmep 2014)

2014-06-02 Por tôpico Hermann

Marcone comparando  áreas (de triângulos base e altura) cheguei no valor de 
10A/24 onde A é metade do paralelogramo, logo resposta 5cm^2

abraços
Hermann 


- Original Message - 
  From: marcone augusto araújo borges 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, June 02, 2014 9:20 AM
  Subject: [obm-l] Geometria(obmep 2014)


  Questão 16,nível 3


  O paralelogramo ABCD tem área 24cm^2 e os pontos E e F são os pontos médios 
  dos lados AB e BC, respectivamente.Qual é a área do quadrilátero EFGH?
  H e G são os pontos de encontro de DE e AC e de DF e AC, respectivamente.







  -- 
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
  acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria(obmep 2014)

2014-06-02 Por tôpico Pedro José

Boa tarde!

Seja S1 a área do ∆ AHD, S2 a do ∆ HGD e S3 a do ∆ GCD e S a área do
paralelogramo.

∆ BEF ~ ∆ ABC (LAL) == S(∆ BEF)= 1/8 S
∆ AEH ~ ∆ HDC (AAA) == S (∆AEH) = 1/4 * (S2 + S3) e AH = 1/3 AC (i)
∆ FGC ~ ∆ AGD (AAA) == S (∆ FGC) = 1/4 * (S1+S2) e GC = 1/3 AC (ii)
(i) e (ii) == HG = 1/3 AC

∆ EFD ~ ∆ HHD (AAA) e EF = 1/2 Ac e HG = 1/3 AC == S(EFGH) = 5/4 S2.

S(∆ BEF) +  S (∆AEH) +   S (∆ FGC) +  S(EFGH) = 1/2 S
1/8 S + 1/4 S2 + 1/4 (S1 + S2 + S3) + 5/4 S2 = 1/2 S
S1 + S2 + S3 = 1/2 S == 3/2 S2 = 1/4 S == S2 = 1/6 S ==  S(EFGH) = 5/4
*1/6 * S = 5/24 * S =* 5 cm^2.*

Ou pode-se observar que o quaduadrilátero é um trapézio.

S = AC * Hb, onde Hb é alttura do ∆ ABC, relativa ao lado AC.
Seja hb a altura do∆ BEF  relativa ao lado EF. Como ∆ BEF ~ ∆ ABC (LAL)==
hb = 1/2 * Hb

Portanto a altura do EFGH é Hb - hb = 1/2Hb == S(EFGH)= 0,5 * (0,5*AC +
1/3* AC) * Hb/2

S(EFGH)= 5/24 * S =* 5 cm^2.*

Saudações,
PJMS


Em 2 de junho de 2014 11:01, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:

  Marcone comparando  áreas (de triângulos base e altura) cheguei no
 valor de 10A/24 onde A é metade do paralelogramo, logo resposta 5cm^2

 abraços
 Hermann


 - Original Message -

 *From:* marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
 *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
 *Sent:* Monday, June 02, 2014 9:20 AM
 *Subject:* [obm-l] Geometria(obmep 2014)

 Questão 16,nível 3

 O paralelogramo ABCD tem área 24cm^2 e os pontos E e F são os pontos
 médios
 dos lados AB e BC, respectivamente.Qual é a área do quadrilátero EFGH?
 H e G são os pontos de encontro de DE e AC e de DF e AC, respectivamente.




 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria(OBMEP)

2014-06-02 Por tôpico Hermann

Mostra aqui sua solução
  - Original Message - 
  From: marcone augusto araújo borges 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, June 02, 2014 9:52 PM
  Subject: [obm-l] Geometria(OBMEP)


  Obrigado pelas soluções.
  Depois eu consegui resolver usando propriedades das medianas.
  Inclusive baricentro.



  -- 
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
  acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria Plana

2014-05-23 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima

A altura do triangulo toca AC em H, e assim (EC)^2=AC.CH, como a área do
triângulo ABC
e igual a (4r^2-1)^(1/2), sendo r o raio da circunferência citada no
enunciado, entao (4r^2-1)^(1/2)=2r.(BH)/2, assim BH=((4r^2-1)^(1/2))/r, e
aplicando pitagoras no triângulo BCH teremos (CH)^2=4-(BH)^2, assim CH=1/r,
e como (EC)^2=AC.CH, (EC)^2=2r.1/r, EC=2^(1/2), ou seja raiz de 2.



Em 23 de maio de 2014 00:46, Raphael Aureliano raphael0...@gmail.comescreveu:

 Olá,
 Alguém pode me ajudar no exercício que segue

 Seja ABC um triângulo isósceles, com AB=AC. Com centro no ponto médio de
 AC, traça-se uma circunferência de diâmetro AB. Por B, traçamos uma altura
 do triângulo, que intercepta a circunferência em E. Sabendo que BC=2,
 determine o valor de CE.

 Desde já, agradeço pela devida atenção

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Plana

2014-05-23 Por tôpico Julio César Saldaña




Seja M a interseção de BC com a circunferência, então AM é altura. Então MEC =
MAC = EBC.

Devido a ter os mesmos ângulos, os triângulos BEC e MEC são semeljantes, então
EC / 1 = 2/ EC, por tanto EC = sqrt(2).

Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Fri, 23 May 2014 00:46:24 -0300
Asunto : [obm-l] Geometria Plana

OlÃ¡,
AlguÃ©m pode me ajudar no exercÃcio que segue

Seja ABC um triÃ¢ngulo isÃ³sceles, com AB=AC. Com centro no ponto mÃ©dio de
AC, traÃ§a-se uma circunferÃªncia de diÃ¢metro AB. Por B, traÃ§amos uma altura
do triÃ¢ngulo, que intercepta a circunferÃªncia em E. Sabendo que BC=2,
determine o valor de CE.

Desde jÃ¡, agradeÃ§o pela devida atenÃ§Ã£o

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.




__
Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a:
http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria Plana

2014-05-23 Por tôpico Raphael Aureliano

Valeu pessoal,  obrigado.

Raphael Aureliano

Praticante de Oficial de Náutica (Piloto)
Guarda-Marinha (RM-2)
Em 23/05/2014 11:26, Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe
escreveu:



 Seja M a interseção de BC com a circunferência, então AM é altura. Então
 MEC =
 MAC = EBC.

 Devido a ter os mesmos ângulos, os triângulos BEC e MEC são semeljantes,
 então
 EC / 1 = 2/ EC, por tanto EC = sqrt(2).

 Julio Saldaña


 -- Mensaje original ---
 De : obm-l@mat.puc-rio.br
 Para : obm-l@mat.puc-rio.br
 Fecha : Fri, 23 May 2014 00:46:24 -0300
 Asunto : [obm-l] Geometria Plana
 OlÃ¡,
 AlguÃ©m pode me ajudar no exercÃcio que segue
 
 Seja ABC um triÃ¢ngulo isÃ³sceles, com AB=AC. Com centro no ponto mÃ©dio
 de
 AC, traÃ§a-se uma circunferÃªncia de diÃ¢metro AB. Por B, traÃ§amos uma
 altura
 do triÃ¢ngulo, que intercepta a circunferÃªncia em E. Sabendo que BC=2,
 determine o valor de CE.
 
 Desde jÃ¡, agradeÃ§o pela devida atenÃ§Ã£o
 
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 


 __
 Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese
 a:
 http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria Plana - Relações Trigonométricas

2014-04-28 Por tôpico Listeiro 037


Eu tinha umas relações da forma (ab+ac+bc)/abc com alturas e senos, mas
não sei onde guardei. Sobre as ternas:

Sabe-se que

(m²-n²)² + (2mn)² = (m²+n²)²

Seja a=(m²-n²), b=2mn e c = (m²+n²)

Divisibilidade por 4:

Para m par e n par é automático 4|abc
Para m ímpar e n par, 4|2mn, então 4|abc
Para m ímpar e n ímpar, é garantido que m² e n² são divisíveis por 2
(melhor, por 4 ja que ambos são da forma 4k+1 m² é côngruo a n² módulo
4), como b é divisível por 2 fica 4|abc.

(2k+1)² = 4k²+4k+1 = 4(k²+k)+1 - 4r+1

Divisibilidade por 3:

Caso em que a ou b é da forma 3k é automático 3|abc.

Caso em que a ou b são da forma 3k+1 ou 3k+2:7

(3k+1)² = 9k²+6k+1 - 3(3k²+2k)+1 - 3r+1
(3k+2)² = 9k²+12k+4 - 3(3k²+4k+1)+1 - 3r+1

Ou seja, a² é côngruo com b² módulo 3.

m²-n² garante 3|abc.

Divisibilidade por 5:

Caso em que a ou b é da forma 5k é automático 5|abc.

Caso em que a ou b são da forma 5k+1 ou 5k+4:
(5k+1)² = 25k²+10k+1 - 5(5k²+2k)+1 - 5r+1
(5k+4)² = 25k²+40k+16 - 5(5k²+8k+3)+1 - 5r+1

Caso em que a ou b são da forma 5k+2 ou 5k+3:
(5k+2)² = 25k²+20k+4 - 5(5k²+4k)+4 - 5s+4
(5k+3)² = 25k²+30k+9 - 5(5k²+6k+1)+4 - 5s+4

Para o caso de a e b serem da forma 5k+1 ou 5k+4, m² é côngruo a n²
módulo 5, logo m²-n² garante 5|abc.

Para o caso de a e b serem da forma 5k+2 ou 5k+3, m² é côngruo a n²
módulo 5, logo m²-n² garante 5|abc.

No caso de m² ser incôngruo a n², temos que suas somas são côngruas
módulo 5. Um é da forma 5k+1 ou 5k+4 e o outro é da forma 5k+2 ou 5k+3.
Logo um deles assume a forma 5r+1 e o outro a forma 5s+4 oui
vice-versa. Portanto m²+n² garante 5|abc.

Portanto 3.4.5 = 30|abc sendo a,b,c uma terna pitagórica.


Em Mon, 28 Apr 2014 19:31:59 -0700 (PDT)
luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:

 Ola Pessoal,
 
 Eu não sei se já postei isso aqui, mas trabalhando em alguns
 problemas, encontrei algumas coisas interessantes :
 
 A) Relações Trigonométrica entre os ângulos de um triângulo
 qualquer (fiz os cálculos usando um triangulo acutângulo qqer de
 lados x,y e z) 
 1) Cos2X + Cos2Y + Cos2Z +
 2CosXCosYCosZ = 1
  
 Quando um dos ângulos é 90º , a relação se reduz a :
  
 Cos2X + Cos2Y  = 1
  
 Como X+Y = 90º
  
 Cos2X + Sen2X  = 1
  
 De (1),  resultam as seguintes relações :
  
 2) Cos2Y + Cos2Z + 2CosXCosYCosZ = Sen2X
  
 3) Cos2X + Cos2Z + 2CosXCosYCosZ = Sen2Y
  
 4) Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ = Sen2Z
  
 5) 4R2 (Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ)
 = z2 
 
 E as outras relações envolvendo R e x  e R e y
 
  
 R raio do círculo circunscrito e x,y e z lados do triangulo.
  
 6) 2 = Sen2X + Sen2Y + Sen2Z
 - 2CosXCosYCosZ
 
 6) 1 + Sen2X + Cos2X  = Sen2X + Sen2Y + Sen2Z - 2CosXCosYCosZ
 
  
 Pela lei dos Senos, temos que SenX, SenY e SenZ formam um
 triangulo semelhante ao triângulo de lados x, y e z. Dessa forma,
 temos : 
 Sen2Z = Sen2X + Sen2Y - 2SenXSenYCosZ 
  
 De (4) temos que :
  
 Sen2Z = Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ 
  
 Ou seja, os triângulos de lado SenX, SenY e SenZ e CosX,
 CosY e SenZ formam um quadrilátero inscritível com diagonal SenZ, em
 um cíuculo cujo raio R = ½
 
 A) Ternos Pitagóricos Primitivos
 
 Dado o terno pitagórico a,b e c,  3 x 4 x 5 = 60 divide abc
 
 Eu procurei na internet e não achei essas relações. Vcs sabem de
 alguma coisa?
 
 Abs
 Felipe





-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l]Geometria - OBM2012 - Terceira Fase - Nível 2

2014-04-06 Por tôpico PONCE

 Amigo Raphael,
 Vai abaixo uma resolução simplificada.Inicialmente,prova-se
facilmente,EB = EC  e  BEC = 36 graus.Devido a simétria, em
relação a mediatriz do lado CD, conclui-se que o triangulo BME  é
equilátero.Dai   EC = EB =EM e, portanto, conclui-se que E é o
centro de uma circunferência que passa pelos pontos  M,B e C. 
 Das propriedades de ângulos inscrito e central de uma
circunferência, tem-se:  2 BMC = BEC
= 36 graus, o que implica  BMC = 18 graus.
 Ainda da simétria mencionada acima, EMD = BMC = 18
graus.Consequentemente, do vértice M do triãngulo equilátero MNP,  
 CMD = 60 - EMD - BMC = 60 - 36 =
24 graus.RESPOSTA: 24 grausDesculpe-me por qualquer falha e a
resolução simplificada acima.Do sempre amigo
 LUIZ PONCE 
 On Dom 06/04/14 12:15 , Raphael Aureliano raphael0...@gmail.com sent:
Boa tarde pessoal, 
 Alguém poderia me ajudar no problema que segue abaixo?   

Seja ABCDE um pentágono regular inscrito em um triângulo equilatero
MNP, determine o ângulo CMD. 

Na figura, CD está em NP,  B em MN e E em MP.  

Obrigado pela atenção  

Cordialmente,  

Raphael Aureliano 

Praticante de Oficial de Náutica (Piloto)
 Guarda-Marinha (RM-2) 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e  
  acredita-se estar livre de perigo. 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria(IME)

2014-03-06 Por tôpico Hermann

veja esse link

http://www.grupoideal.com.br/idealmilitar/pdf/gab_ime_mat_2004.pdf

ou 

Você não tem o livro do Sérgio?
A Matemática no Vestibular do IME - Sérgio Lima Netto 
http://www.vestseller.com.br/

ou um dos arquivos dele anes de virar livro?

abraços
Hermann
  - Original Message - 

  abraços
  Hermann
  From: marcone augusto araújo borges 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, March 06, 2014 9:33 AM
  Subject: [obm-l] Geometria(IME)


  Um quadrilátero convexo ABCD está inscrito em um círculo de diâmetro d.
  Sabe-se que AB = BC = a,AD = d,CD = b,com a,b e d diferentes de zero.

  a) Mostre que d^2 = bd + 2a^2

  b) Se a,b e d são números inteiros  e a  é diferente de b,mostre que d não 
pode ser primo.


  -- 
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
  acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria(IME)

2014-03-06 Por tôpico Hermann

achei um link antigo do Sergio

http://ucbweb.castelobranco.br/webcaf/arquivos/23863/4890/Copia_de_ime_1944_2008.pdf

veja a página 16
e 
página 162

abraços
Hermann
  - Original Message - 
  From: marcone augusto araújo borges 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, March 06, 2014 9:33 AM
  Subject: [obm-l] Geometria(IME)


  Um quadrilátero convexo ABCD está inscrito em um círculo de diâmetro d.
  Sabe-se que AB = BC = a,AD = d,CD = b,com a,b e d diferentes de zero.

  a) Mostre que d^2 = bd + 2a^2

  b) Se a,b e d são números inteiros  e a  é diferente de b,mostre que d não 
pode ser primo.


  -- 
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
  acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

RE: [obm-l] Geometria(IME)

2014-03-06 Por tôpico marcone augusto araújo borges

Muito obrigado!

From: ilhadepaqu...@bol.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Geometria(IME)
Date: Thu, 6 Mar 2014 11:27:29 -0300








achei um link antigo do Sergio
 
http://ucbweb.castelobranco.br/webcaf/arquivos/23863/4890/Copia_de_ime_1944_2008.pdf
 
veja a página 16
e 
página 162
 
abraços
Hermann

  - Original Message - 
  From: 
  marcone augusto araújo borges 
  
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, March 06, 2014 9:33 
  AM
  Subject: [obm-l] Geometria(IME)
  

  Um quadrilátero convexo ABCD está inscrito em um círculo de 
  diâmetro d.
Sabe-se que AB = BC = a,AD = d,CD = b,com a,b e d diferentes de 
  zero.

a) Mostre que d^2 = bd + 2a^2

b) Se a,b e d são números 
  inteiros  e a  é diferente de b,mostre que d não pode ser 
  primo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de 
  antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] geometria analitica, frase do Elon...

2013-08-26 Por tôpico Ralph Teixeira

Dica: voce pode pensar que r^2=x^2+y^2. Entao desenhe no plano rz a
regiao 1+z^2=r^2=5 (apenas para r=0). Como a regiao U nao depende
especificamente de x ou y, mas apenas de r=sqrt(x^2+y^2), a regiao U
serah a regiao que voce desenhou no plano rz, rodada em torno do eixo
z.

Agora tem todo o trabalho de decifrar a regiao 1+z^2=r^2=5 -- eh toda sua!

Abraco,
  Ralph

P.S.: Eu descobri um dia desses que, se voce entrar algo como
z=sqrt(x^2+y^2-1) no Google, pelo menos aqui no meu Chrome, ele faz um
grafico 3D da superficie! Legal!

2013/8/25 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:
 No excelente curso dado no IMPA para professores do ensino médio, assisti ao
 de 1996, pelos professores, Elon, falecido Morgado, Wagner e PC, foi falado
 a seguinte frase que depois acabou virando o livro: exame de textos Análise
 de livros para o ensino médio do prof Elon.

 o teor da  frase dizia mais ou menos  o seguinte: que o professor na maioria
 das vezes tem como tutor (unicamente) péssimos livros no Brasil...

 Meus amigos esse professor aqui, já por diversas vezes foi ajudado nesse
 fórum, como não canso de agradecer.

 Só que no momento to precisando muito da ajuda dos amigos, eu preciso
 descobrir um livro que entre outras coisas me ensine a encontrar a fronteira
 do sólido

 U={(x,y,z) E R^3/ 1+z^2=x^2+y^2=5}

 eu lembro que no livro de cálculo do SHEIK tinha isso, mas não to achando
 ele nas minhas bagunças, alguém confirma ou me indica um outro.

 Abraços
 Hermann
 ps: me perdoem ter mais ou menos repetido a pergunta, to precisando mesmo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

1 2 3 4 5 6 >

1 - 100 de 564 matches

Mail list logo