[obm-l] Livros de Estruturas Algébricas
Boa tarde, Alguém poderia me indicar livros (em português ou inglês) com conteúdo didático sobre estruturas algébricas (grupos, anéis, corpos etc) que contenham bastante exercícios e problemas? Muito obrigado -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Cálculo 2 Serge Lang
Fiz uma pesquisa rápida no Google e encontrei este link, não sei se é o que precisa: https://dibene.files.wordpress.com/2011/04/serge-lang-calculus-of-several-variables.pdf 2015-09-16 21:04 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com>: > Alguém sabe onde encontro na net o pdf do livro Cálculo 2 do Serge Lang? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Provas antigas OBM
y=x+(a-c)/2 2015-02-15 23:58 GMT-02:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com: se mesmo, ou se, e somente se? Para fazer se: vamos multiplicar por 4 e completar quadrados: (2x+a)^2+(4b-a^2)=(2y+c)^2+(4d-c^2) Agora, se a^2-4b=c^2-4d, ficamos com (2x+a)^2=(2y+c)^2 que claramente tem infinitas solucoes inteiras do tipo 2x+a=2y+c; de fato, basta tomar x inteiro qualquer e y=x+(c-a)/2. Note que como a^2-4b=c^2-4d, entao a e c tem a mesma paridade, e portanto (c-a)/2 eh realmente inteiro. 2015-02-15 9:31 GMT-05:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Fui checar o site indicado por Terence e fiquei intrigado com a questão 4 de 1985. Sem ajuda eu não resolveria. E me pareceu que seriam duas parábolas com ´´mesmo delta´´ Se entendi o enunciado: a, b, c e d são inteiros. x^2 +ax + b = y^2 + cy + d tem infinitas soluções inteiras se a^2 - 4b = c^2 - 4d -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Sebos de Matemática e Física
Alguém sabe algum sebo online com livros de matemática e física para o Ensino Médio? Estou tentando encontrar os livros de matemática da coleção do Gentil et al. e de física do Bonjorno et al. Os links indicando quais são os livros estão abaixo. Obrigado http://emporioderaridades.mercadoshops.com.br/colecao-matematica-para-2%C2%BA-grau-gentil-marcondes-outros_5828xJM http://todaoferta.uol.com.br/comprar/fisica-fundamental-2-grau-volume-unico-LYWYKE2T8D#rmcl -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Livros de Física Matemática e a Probabilidade
4! para cada tipo de livro. 4!*4! para os dois tipos juntos. 2*4!*4! porque podem estar em posições trocadas na sequência. (2*4!*4!)/8! é a probabilidade porque 8! é o total de possibilidades. 2014-08-26 23:23 GMT-03:00 João Sousa starterm...@hotmail.com: Quatro livros de Matemática e quatro de Física serão arrumados aleatoriamente, um ao lado do outro, numa prateleira. Qual a probabilidade de que os livros de Matemática fiquem todos juntos e os de Física também fiquem todos juntos? Obrigado pela ajuda. João -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] infinitas ternas
Desculpe, já entendi. São todos os possíveis ângulos x onde a relação sen^2(x) + cos^2(x) = 1. 2014-03-05 14:03 GMT-03:00 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Por que sena=b/c=1/2 ou 2/3 ou 5/7 ? De onde surgiram esses valores? sena = sen(a) e a seria o mesmo a de a^2 nas equações? 2014-02-28 15:24 GMT-03:00 saulo nilson saulo.nil...@gmail.com: 5c^2+1997=3c^2+2c^2+1997 1997=2x+3y 2(a^2-c^2)+3(b^2-c^2)=1997 2x+3y=1997 que tem infinitas soluçoes inteiras como x=2*952+3*31, o que nos leva a um outro problema que e: a^2-c^2=x=-d^2 b^2-c^2=y=-e^2 onde a, b e c sao inteiros o que e equivalente a encontrar infinitos triangulos retangulos com lados inteiros, que ja foi feito aqui. b^2-a^2=y-x b^2+e^2=a^2+d^2=c^2 (b/c)^2+(e/c)^2=1 sena=b/c=1/2 ou 2/3 ou 5/7 que sao infinitos valores 2014-02-27 19:21 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Sejam a,b e c números inteiros positivos.Mostre que existem infinitas ternas (a,b,c) que são soluções da equação 2a^2 + 3b^2 - 5c^2 = 1997 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] infinitas ternas
Por que sena=b/c=1/2 ou 2/3 ou 5/7 ? De onde surgiram esses valores? sena = sen(a) e a seria o mesmo a de a^2 nas equações? 2014-02-28 15:24 GMT-03:00 saulo nilson saulo.nil...@gmail.com: 5c^2+1997=3c^2+2c^2+1997 1997=2x+3y 2(a^2-c^2)+3(b^2-c^2)=1997 2x+3y=1997 que tem infinitas soluçoes inteiras como x=2*952+3*31, o que nos leva a um outro problema que e: a^2-c^2=x=-d^2 b^2-c^2=y=-e^2 onde a, b e c sao inteiros o que e equivalente a encontrar infinitos triangulos retangulos com lados inteiros, que ja foi feito aqui. b^2-a^2=y-x b^2+e^2=a^2+d^2=c^2 (b/c)^2+(e/c)^2=1 sena=b/c=1/2 ou 2/3 ou 5/7 que sao infinitos valores 2014-02-27 19:21 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Sejam a,b e c números inteiros positivos.Mostre que existem infinitas ternas (a,b,c) que são soluções da equação 2a^2 + 3b^2 - 5c^2 = 1997 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] off-topic scratch
Geralmente, em demonstrações e provas de teoremas, segue-se uma sequência lógica de passos com a linguagem matemática que muitas vezes podem ser colocados na forma de pseudo-linguagem definindo um algoritmo. A lógica proposicional e de predicados, com seus muitos operadores, é um exemplo. 2013/12/15 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br OFF-TOPIC SCRATCH Em 1999 iniciei aulas de geometria com o CABRI num colégio de minha região. Realmente na época INOVADOR. Estava pensando em propor aulas de SCRATCH como um novo auxiliar no estudo (incentivo) a matemática. O Scratch me parece um LOGO hiper melhorado, lembro que na decada de 80 amigos achavam o LOGO genial. MINHA PERGUNTA: Alguém (além do OBAMA-EUA) concorda que o ensino precoce de programação vai contribuir para incentivar o aluno em matemática? Gostaria REALMENTE da opinião dos colegas do fórum. Obrigado Hermann ps: alguém no fórum usa o SCRATCH ou LOGO ou qq coisa semelhante? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] O Paradoxo da Flecha - Off Topic
Acho que depende da referência. 2013/8/26 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Pessoal, Vcs consiceram este paradoxo resolvido ? . O paradoxo da flecha*Para um objeto se mover, sua posição no espaço deve mudar, certo? Pois bem, esse paradoxo do filósofo grego Zeno de Eleia (495 a.C 430 a.C) diz que os objetos não se movem. Considere um instante como uma fotografia, cada espaço de tempo é uma fotografia na qual o objeto está parado. O exemplo usado por Zeno é o de uma flecha voando pelo ar. Se pudéssemos pegar o máximo de fotografias possíveis durante o movimento, em todas elas o objeto está parado, ou seja, ele jamais se moveu. *retirado do site BuleVoador. Abs Felipe -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] O Paradoxo da Flecha - Off Topic
Sobre os gêmeos, como E = mc^2, E/c^2 = m, ou seja, quanto mais próximo da velocidade da luz menor seria a massa de um corpo, e menos afetado pelas forças existentes, assim a pessoa envelheceria menos. Não seria isso? 2013/8/26 Albert Bouskela bousk...@ymail.com Olá! ** ** Zenão – é claro! – não conhecia a Transformada de Galileu, base do Movimento Relativo da mecânica newtoniana. ** ** Muito mais interessante é o Paradoxo dos Gêmeos, cuja solução ainda não é um consenso entre os físicos relativistas. ** ** -- *Albert Bouskela* bousk...@ymail.com ** ** *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em nome de *Henrique Rennó *Enviada em:* segunda-feira, 26 de agosto de 2013 15:40 *Para:* obm-l *Assunto:* Re: [obm-l] O Paradoxo da Flecha - Off Topic ** ** Acho que depende da referência. ** ** 2013/8/26 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br ** ** Pessoal, ** ** Vcs consiceram este paradoxo resolvido ? ** ** . O paradoxo da flecha*Para um objeto se mover, sua posição no espaço deve mudar, certo? Pois bem, esse paradoxo do filósofo grego Zeno de Eleia (495 a.C 430 a.C) diz que os objetos não se movem. Considere um instante como uma fotografia, cada espaço de tempo é uma fotografia na qual o objeto está parado. O exemplo usado por Zeno é o de uma flecha voando pelo ar. Se pudéssemos pegar o máximo de fotografias possíveis durante o movimento, em todas elas o objeto está parado, ou seja, ele jamais se moveu. ** ** *retirado do site BuleVoador. ** ** Abs Felipe ** ** -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. ** ** -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Enigma de Martin Gardner
O número pode ter algarismo 0? Se não, o menor número de persistência 1 seria 11. 2013/8/17 Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com Persistência de um número é o número de passos necessários para reduzi-lo a um único dígito multiplicando todos os seus algarismos para obter um segundo número, depois multiplicando todos os dígitos deste número para se obter um terceiro número, e assim por diante, até que um número de um dígito é obtido. Por exemplo, 77 tem uma persistência de quatro, porque requer quatro etapas para reduzi-lo a um dígito: 77-49-36-18-8. O menor número de persistência 1 é 10, o menor de persistência 2 é 25, o menor de persistência 3 é 39, e o menor de persistência 4 é 77. Qual é o menor número de persistência cinco? -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.* *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios.* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Enigma de Martin Gardner
Essa linha de código nem precisa: k=k-(k%10); 2013/8/19 Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com 679 Em 17 de agosto de 2013 22:30, Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu: Persistência de um número é o número de passos necessários para reduzi-lo a um único dígito multiplicando todos os seus algarismos para obter um segundo número, depois multiplicando todos os dígitos deste número para se obter um terceiro número, e assim por diante, até que um número de um dígito é obtido. Por exemplo, 77 tem uma persistência de quatro, porque requer quatro etapas para reduzi-lo a um dígito: 77-49-36-18-8. O menor número de persistência 1 é 10, o menor de persistência 2 é 25, o menor de persistência 3 é 39, e o menor de persistência 4 é 77. Qual é o menor número de persistência cinco? -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.* *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios.* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Probabilidade - muito interessante...
Se a primeira pessoa sentar justamente no seu assento, todas as outras também sentarão corretamente porque já tem os cartões de embarque e encontrarão seus assentos disponíveis e a última pessoa encontrará seu assento disponível. Se a primeira pessoa sentar no assento que a última sentaria, todas as outras irão sentar corretamente e a última encontrará seu assento ocupado pela primeira sobrando apenas o assento da primeira. Se a primeira sentar em um assento que não seja o dela nem o da última pessoa, uma das outras pessoas irá encontrar seu assento ocupado pela primeira e sentará ou no assento da primeira (e a última encontrará seu assento disponível), ou da última (e a última encontrará seu assento ocupado) ou em outro assento e as possibilidades para a próxima que iria sentar neste assento seriam as mesmas da anterior. O número de possibilidades é sempre par onde metade deixa o último assento disponível e metade deixa ocupado. A solução está correta? Será que existe uma solução mais simples? 2013/7/11 Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com *Recentemente, eu peguei um avião que tinha 137 assentos. Eu gosto sempre de ser o primeiro a embarcar e não foi diferente nesta ocasião. Infelizmente, assim que eu entrei no avião, percebi que havia perdido o meu cartão de embarque e não conseguia me lembrar de qual era o meu assento. Sem saber o que fazer, eu escolhi aleatoriamente um assento qualquer e me sentei. Claro que havia a probabilidade de 1/137 de eu ter escolhido o assento correto, ou seja, aquele que estava marcado no meu cartão de embarque. À medida que os demais passageiros embarcavam, cada um se dirigia ao seu assento e sentava-se, a menos que o mesmo estivesse ocupado. Neste caso, o passageiro abria mão de sentar-se no assento que estava originalmente atribuído a ele (conforme o cartão de embarque) e escolhia um outro assento qualquer para se sentar. Percebi que fui o único passageiro que perdeu o cartão de embarque.* * * *A questão que se coloca é a seguinte: qual a probabilidade de o último passageiro a embarcar encontrar o seu assento desocupado, ou seja, encontrar o assento que está no seu cartão de embarque disponível para ele se sentar?* Este problema está explicado no livro Introduction to counting and probability do David Patrick e tem uma resposta surpreendente: a probabilidade é de 50%... Para sentir a solução, vale a pena pensar no problema para os casos em que o avião tem 2, 3, 4 e 5 assentos... -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.* *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios.* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Primos
Considerando p1 e p2 dois primos consecutivos maiores que 2. Podemos escrever p1 = 2*m+1 e p2 = 2*n+1. p1+p2 = 2*(m+n+1). Se p1+p2 for o dobro de um primo, então m+n+1 seria esse primo. Mas, como n m, temos p1 = 2*m+1 m+n+1 2*n+1 = p2, ou seja, m+n+1 seria um primo entre os dois consecutivos, o que é uma contradição. 2013/7/11 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Mostre que a soma de dois primos consecutivos nunca é o dobro de um primo Peço ajuda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Dois problemas legais
Também seriam outras possibilidades. 2013/7/9 Nehab carlos.ne...@gmail.com Oi Rennó, Dúvida: Porque você não poderia usar na primeira face, por exemplo, 42 cartões, sendo 3 dobrados? Ou 44, sendo 7 dobrados? Abraços, Nehab On 07/07/2013 21:32, Henrique Rennó wrote: Problema 1: Para cobrir uma face do cubo que contém 9*9 = 81 quadrados são necessários 41 cartões, sendo que um foi dobrado ao meio (são 9*4 = 36 cartões para cobrir um retângulo 9x8 da face mais 4 cartões para uma coluna 8x1 e outro cartão dobrado para o quadrado restante). Assim, como cada cartão dobrado cobre dois quadrados restantes de duas faces adjacentes no cubo e existem 6 faces, sendo dobrados 3 cartões. 2013/7/6 Benedito bened...@ufrnet.br *Problema 1* Divide-se as faces de um cubo de dimensões 9 por 9 por 9 em quadradinhos unitários. Dispõe-se de 243 cartões na forma retangular 2 por 1, com os quais vamos cobrir todas a superfície do cubo, sem deixar espaços livres, e sem sobreposição de cartões. Para poder fazer isto, alguns cartões devem ser dobrados ao meio. Prove que a quantidade de cartões dobrados é ímpar. * * *Problema 2* Escrevem-se os números 1,2,3,...,100 nas casas de um tabuleiro 10 por 10, sem repetir qualquer um deles e colocando um só número em cada casa. Uma operação permitida é escolher duas casas e trocar de posição os números que estão escritos nelas. Demonstre que é possível realizar 35 operações ou menos, de maneira tal que se consiga que para duas casas vizinhas quaisquer a soma dos números nelas escritas seja um número composto. OBS.: Duas casas são vizinhas se possuem um lado em comum. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] aumento hipotenúzico
4^2 + 3^2 = 5^2, hipotenusa igual a 5. (0,9*4)^2 + (1,6*3)^2 = (x*5)^2, onde x indica a fração de aumento da hipotenusa em decimal. (0,9*4)^2 + (1,6*3)^2 = 3,6^2 + 4,8^2 = 12,96 + 23,04 = 36 = 25*x^2 -- x^2 = 36/25 = 1,44 -- x = 1,2 Aumento de 20%. 2013/7/10 Thelio Gama teliog...@gmail.com Prezados mestres, poderiam dar uma ajuda na seguinte questão? *Os catetos de um triângulo retângulo medem 4cm e 3cm. Se a medida do primeiro cateto for reduzida em 10% e a do segundo for aumentada em 60%, qual será a taxa de aumento da hipotenusa?* Obrigado a todos, abraços! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Dois problemas legais
Eu havia pensado que o 35 teria uma relação (e deve ter) com a quantidade de primos máxima (cada primo seria uma soma), mas a quantidade de primos possíveis é 45 e não 35 (desconsiderando o 2, já que não é possível representá-lo pela soma de dois números no tabuleiro). 2013/7/10 saulo nilson saulo.nil...@gmail.com os numeros primos possiveis de se encontrar tem o valor e no maximo 199, que contando tudo da 35 numeros entao vc tem que fazer no maximo 35 operaçoes para nao enconrar eles. 2013/7/6 Benedito bened...@ufrnet.br *Problema 1* Divide-se as faces de um cubo de dimensões 9 por 9 por 9 em quadradinhos unitários. Dispõe-se de 243 cartões na forma retangular 2 por 1, com os quais vamos cobrir todas a superfície do cubo, sem deixar espaços livres, e sem sobreposição de cartões. Para poder fazer isto, alguns cartões devem ser dobrados ao meio. Prove que a quantidade de cartões dobrados é ímpar. * * *Problema 2* Escrevem-se os números 1,2,3,...,100 nas casas de um tabuleiro 10 por 10, sem repetir qualquer um deles e colocando um só número em cada casa. Uma operação permitida é escolher duas casas e trocar de posição os números que estão escritos nelas. Demonstre que é possível realizar 35 operações ou menos, de maneira tal que se consiga que para duas casas vizinhas quaisquer a soma dos números nelas escritas seja um número composto. OBS.: Duas casas são vizinhas se possuem um lado em comum. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Dois problemas legais
Legal, quando vi o problema pensei em colocar pares e ímpares separados, já que a soma de dois pares ou dois ímpares é composta, e não tentei resolver o meio, mas agora vi que é bem simples, seria necessário escolher no máximo 10 pares (ou 10 ímpares) e trocar pelos pares (ou ímpares) de modo que a soma com os outros ímpares (ou pares) seja composta, caso a soma já não seja composta. 2013/7/10 Benedito bened...@ufrnet.br Uma sugestão para o problema 2: Divida o tabuleiro 10 por 10 em dois sub- tabuleiros 5 por 10. Com 25 movimentos ou menos você coloca todos os pares em um dos sub-tabuleiros e no outro os ímpares. Questão: Como resolver o problema para as duas colunas (5 e 6), do encontro dos pares com os ímpares, em, no máximo, 10 movimentos? Benedito ** ** *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em nome de *Henrique Rennó *Enviada em:* quarta-feira, 10 de julho de 2013 13:06 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* Re: [obm-l] Dois problemas legais ** ** Eu havia pensado que o 35 teria uma relação (e deve ter) com a quantidade de primos máxima (cada primo seria uma soma), mas a quantidade de primos possíveis é 45 e não 35 (desconsiderando o 2, já que não é possível representá-lo pela soma de dois números no tabuleiro). 2013/7/10 saulo nilson saulo.nil...@gmail.com os numeros primos possiveis de se encontrar tem o valor e no maximo 199, que contando tudo da 35 numeros entao vc tem que fazer no maximo 35 operaçoes para nao enconrar eles. ** ** 2013/7/6 Benedito bened...@ufrnet.br *Problema 1* Divide-se as faces de um cubo de dimensões 9 por 9 por 9 em quadradinhos unitários. Dispõe-se de 243 cartões na forma retangular 2 por 1, com os quais vamos cobrir todas a superfície do cubo, sem deixar espaços livres, e sem sobreposição de cartões. Para poder fazer isto, alguns cartões devem ser dobrados ao meio. Prove que a quantidade de cartões dobrados é ímpar. * * *Problema 2* Escrevem-se os números 1,2,3,...,100 nas casas de um tabuleiro 10 por 10, sem repetir qualquer um deles e colocando um só número em cada casa. Uma operação permitida é escolher duas casas e trocar de posição os números que estão escritos nelas. Demonstre que é possível realizar 35 operações ou menos, de maneira tal que se consiga que para duas casas vizinhas quaisquer a soma dos números nelas escritas seja um número composto. OBS.: Duas casas são vizinhas se possuem um lado em comum. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. ** ** -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. ** ** -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Dois problemas legais
Problema 1: Para cobrir uma face do cubo que contém 9*9 = 81 quadrados são necessários 41 cartões, sendo que um foi dobrado ao meio (são 9*4 = 36 cartões para cobrir um retângulo 9x8 da face mais 4 cartões para uma coluna 8x1 e outro cartão dobrado para o quadrado restante). Assim, como cada cartão dobrado cobre dois quadrados restantes de duas faces adjacentes no cubo e existem 6 faces, sendo dobrados 3 cartões. 2013/7/6 Benedito bened...@ufrnet.br *Problema 1* Divide-se as faces de um cubo de dimensões 9 por 9 por 9 em quadradinhos unitários. Dispõe-se de 243 cartões na forma retangular 2 por 1, com os quais vamos cobrir todas a superfície do cubo, sem deixar espaços livres, e sem sobreposição de cartões. Para poder fazer isto, alguns cartões devem ser dobrados ao meio. Prove que a quantidade de cartões dobrados é ímpar. * * *Problema 2* Escrevem-se os números 1,2,3,...,100 nas casas de um tabuleiro 10 por 10, sem repetir qualquer um deles e colocando um só número em cada casa. Uma operação permitida é escolher duas casas e trocar de posição os números que estão escritos nelas. Demonstre que é possível realizar 35 operações ou menos, de maneira tal que se consiga que para duas casas vizinhas quaisquer a soma dos números nelas escritas seja um número composto. OBS.: Duas casas são vizinhas se possuem um lado em comum. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] PORCENTAGEM
Com a primeira promoção o preço x de um produto será 0,8*x e depois da segunda promoção será 0,7*0,8*x = 0,56*x, ou seja, um desconto de 44%. 2013/7/2 Jorge Paulino jorge...@yahoo.com.br Pessoal, há uma resolução da FTD trazendo gabarito 44% nesta questão. http://www.csajaboticabal.org.**br/imagens/userfiles/files/** FTD%201%C2%BA%20ano/**Mat07a14V4(1).pdfhttp://www.csajaboticabal.org.br/imagens/userfiles/files/FTD%201%C2%BA%20ano/Mat07a14V4(1).pdf http://www.csajaboticabal.**org.br/imagens/userfiles/** files/FTD%201%C2%BA%20ano/**Mat07a14V4%281%29.pdfhttp://www.csajaboticabal.org.br/imagens/userfiles/files/FTD%201%C2%BA%20ano/Mat07a14V4%281%29.pdf Na minha opinião é 24%. O que acham? Necessitando vender suas mercadorias o mais rápido possível, uma loja faz uma promoção, reduzindo os preços em 20% durante 10 dias. Ao final desse período apresenta uma nova promoção, reduzindo os novos preços em 30%. Qual é o desconto dessa nova promoção em relação aos preços anteriores à primeira promoção? Grato, Jorge -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. ==**==** = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~**obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ==**==** = -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Estendendo o problema da Eureka! Calculando o limite
range deveria ser range(n,1,-1) considerando que o laço repetirá até 1, senão no último passo será calculada mais uma raíz quadrada. Se range repetir enquanto a variável for maior que o segundo parâmetro então range(n,0,-1) estaria certo. Sobre a questão, seria possível representar a desigualdade por frações contínuas, calculando o inverso? 2013/5/18 terence thirteen peterdirich...@gmail.com Olá povo! Estive observando este problema já proposto na Eureka! Demonstre que sqrt(1+sqrt(2+sqrt(3+...+sqrt(2000 2 A demonstração não é difícil, mas resolvi fazer numa calculadora para valores variados de '2000': def sqs(n): ... s = 0 ... for i in range(n,0,-1): ... s+=i ... s = s**(1/2) ... return (s) ... A partir de 20, a função dá 1.7579327566180045 Minha pergunta é óbvia: qual seria o limite de sqrt(1+sqrt(2+sqrt(3+...+sqrt(N? -- /**/ 神が祝福 Torres -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda
Como os 2 pacotes têm o mesmo número de bolinhas, seja essa quantidade x. Então no total são 2x bolinhas. No pacote com 4 cores existe x/4 bolinhas de cada cor e no de 3 cores x/3. O total de bolinhas vermelhas e verdes é x/4 + x/4 + x/3 e a fração é (x/4 + x/4 + x/3)/2x = 5/12. 2013/6/11 Marcelo de Moura Costa mat.mo...@gmail.com Já tentei resolver este problema de várias maneiras mas não acho a resposta, acredito que estou vacilando na interpretação. Agradeceria muito a ajuda. Guilherme tem bolinhas de gude guardadas em dois pacotes, que contêm o mesmo número desse produto. Elas têm quatro cores diferentes, sendo que, em um dos pacotes, há bolinhas vermelhas, brancas, pretas e verdes, em quantidades iguais, e, no outro, há somente bolinhas vermelhas, brancas e pretas, também em quantidades iguais. Como Guilherme está começando a aprender os conceitos básicos de fração, seu pai resolveu usar as bolinhas de gude para testá-lo. Assim, o desenho que representa o número de bolinhas vermelhas e verdes que Guilherme possui, em relação ao total, é: a) 5/6 b) 7/12 c) 4/6 d) 5/12 e) 2/6 Obrigado -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] questão bacana(quase me tira o sono)
As potências de 2 são dadas porque as somas de todas as potências anteriores a uma dada potência é sempre menor que essa potência, ou seja, 2^0 + 2^1 + 2^2 2^3, considerando a potência 2^3 (em uma representação binária com o 1 em uma posição, todos os números formados com 0s ou 1s em posições anteriores são menores e o número representado pelo primeiro 1 seguido de 0s é o próximo da sequência quando todos os outros são 1). Considerando uma representação binária com 101 dígitos em cada prato (expoentes 0, 1, 2, ..., 100) se o peso 2^100 estiver na direita, existem 2^100 (expoentes 0, 1, 2, ..., 99) que podem ser 1 ou 0 (o peso está ou não está no prato) e o expoente 100 é 0. Assim, existem 2^100 possibilidades. Quando o dígito é 1, o peso está no prato esquerdo, senão, se for 0, está no prato direito. Se o peso 2^99 estiver na direita, o peso 2^100 também tem que estar, então existem 2^99 (expoentes 0, 1, 2, ..., 98) possibilidades. Quando o peso 2^1 está na direita, existem apenas 2^1 possibilidades (expoente 0) dos dígitos serem 1 ou 0, neste caso, apenas um dígito. Existe mais a possibilidade de todos estarem no prato da direita, ou seja, 2^0. Portanto, no total existem 2^100 + 2^99 + 2^98 + ... + 2^1 + 2^0 = 2^101 - 1 possibilidades de colocar os pesos na balança atendendo à restrição dada. 2013/6/11 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com São dados uma balança de 2 pratos e os pesos 2^0,2^1,2^2,...2^100 gramas os pesos são colocados um a um de modo que o prato esquerdo nunca seja mais pesado que o prato direito.De quantos modos isso pode ser feito não consegui e agradeço a quem ajudar -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] questão bacana(quase me tira o sono)
Acho que a solução que coloquei está errada. Pensando nos expoentes de forma crescente: se for apenas o peso 2^0 ele tem que estar no prato da direita. Acrescentando o peso 2^1, ele deve ir para o prato da direita e o peso anterior tem 2^1 possibilidades. Acrescentando o peso 2^2, ele deve ir para o prato da direita e os outros pesos tem 2^2 possibilidades. Acrescentando o peso 2^3, ele deve ir também para o prato da direita e todos os outros 3 poderiam estar em um dos dois pratos, num total de 2^3 possibilidades. Assim, como o maior pesos é 2^100, existem 2^100 possibilidades. 2013/6/11 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com As potências de 2 são dadas porque as somas de todas as potências anteriores a uma dada potência é sempre menor que essa potência, ou seja, 2^0 + 2^1 + 2^2 2^3, considerando a potência 2^3 (em uma representação binária com o 1 em uma posição, todos os números formados com 0s ou 1s em posições anteriores são menores e o número representado pelo primeiro 1 seguido de 0s é o próximo da sequência quando todos os outros são 1). Considerando uma representação binária com 101 dígitos em cada prato (expoentes 0, 1, 2, ..., 100) se o peso 2^100 estiver na direita, existem 2^100 (expoentes 0, 1, 2, ..., 99) que podem ser 1 ou 0 (o peso está ou não está no prato) e o expoente 100 é 0. Assim, existem 2^100 possibilidades. Quando o dígito é 1, o peso está no prato esquerdo, senão, se for 0, está no prato direito. Se o peso 2^99 estiver na direita, o peso 2^100 também tem que estar, então existem 2^99 (expoentes 0, 1, 2, ..., 98) possibilidades. Quando o peso 2^1 está na direita, existem apenas 2^1 possibilidades (expoente 0) dos dígitos serem 1 ou 0, neste caso, apenas um dígito. Existe mais a possibilidade de todos estarem no prato da direita, ou seja, 2^0. Portanto, no total existem 2^100 + 2^99 + 2^98 + ... + 2^1 + 2^0 = 2^101 - 1 possibilidades de colocar os pesos na balança atendendo à restrição dada. 2013/6/11 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com São dados uma balança de 2 pratos e os pesos 2^0,2^1,2^2,...2^100 gramas os pesos são colocados um a um de modo que o prato esquerdo nunca seja mais pesado que o prato direito.De quantos modos isso pode ser feito não consegui e agradeço a quem ajudar -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Henrique -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Prove - desigualdade
Mas sabemos que: 1/x + 1/y + 1/z = 3(1/xyz)^(1/3) Como se chega nesta desigualdade? -- Henrique -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] mais uma de calculo
Não seria:
2a(x^3)/3 + 2cx = 0 e 6ax^2 + 2c 0
Se delta = 0 a função...
2013/6/7 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Sendo F(x) a integral indefinida de f(t)dt, temos F(x)=F(-x) --- f(x)0
Sendo f(x) = ax² + bx + c, com a0 e F(x) = ax³/3 + bx²/2 + cx + d
F(x) = F(-x) = 2ax³/3 + cx =0, para qualquer x=0
6ax² + 3c =0, basta ter a e c positivos
Se delta0 a função f(x) não satisfaz, se delta 0 ela satisfaz
a) x²+x+1
b) Falsa, exemplo (x-1)(x-2)
--
From: ilhadepaqu...@bol.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] mais uma de calculo
Date: Fri, 7 Jun 2013 00:00:03 -0300
Agradeço a ajuda da minha última pegunta e peço ajuda em mais uma,
desculpem-me.
Considere f: R- R contínua e a seguinte proposição:
Se Int[-x,x] {f(t) dt} = 0 para todo x= 0, então f(x)0
a) de um exemplo para a proposição
b) decida se a proposição é falsa ou verdadeira
abraços
Hermann
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Henrique
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Re: [obm-l] mais uma de calculo
2ax^2 + 2c 0 ou ax^2 + c 0
2013/6/8 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com
Não seria:
2a(x^3)/3 + 2cx = 0 e 6ax^2 + 2c 0
Se delta = 0 a função...
2013/6/7 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Sendo F(x) a integral indefinida de f(t)dt, temos F(x)=F(-x) --- f(x)0
Sendo f(x) = ax² + bx + c, com a0 e F(x) = ax³/3 + bx²/2 + cx + d
F(x) = F(-x) = 2ax³/3 + cx =0, para qualquer x=0
6ax² + 3c =0, basta ter a e c positivos
Se delta0 a função f(x) não satisfaz, se delta 0 ela satisfaz
a) x²+x+1
b) Falsa, exemplo (x-1)(x-2)
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To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] mais uma de calculo
Date: Fri, 7 Jun 2013 00:00:03 -0300
Agradeço a ajuda da minha última pegunta e peço ajuda em mais uma,
desculpem-me.
Considere f: R- R contínua e a seguinte proposição:
Se Int[-x,x] {f(t) dt} = 0 para todo x= 0, então f(x)0
a) de um exemplo para a proposição
b) decida se a proposição é falsa ou verdadeira
abraços
Hermann
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Henrique
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[obm-l] Re: [obm-l] cálculo 3 questões
2) Se f é uma função contínua, então Int[0,a]{f(x) dx} = Int[0,a]{f(a-x)
dx}
Acho que se a função for par, então a igualdade é verdadeira.
--
Henrique
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[obm-l] Re: Problema
Entendi a solução do problema. Minha dúvida estava errada.
2012/2/19 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com
Oi, bom dia.
No problema 2 do nível universitário da XXXII olimpíada brasileira de
matemática que está na Eureka! 34, por que se existem Np pares ordenados
(x, y), onde x, y pertence a {0, 1, 2, ..., p-1} e o número K = 5x^2 + 7y^2
- 1 é divisível por p, se p for 143 = 11.13, então o número de pares
ordenados é N11.N13? N11 não são os pares em que K é divisível apenas por
11 e N13 apenas por 13? Multiplicando os dois, temos os números de pares
em que K é divisível por 143? Por quê?
Obrigado
--
Henrique
--
Henrique
[obm-l] Problema
Oi, bom dia.
No problema 2 do nível universitário da XXXII olimpíada brasileira de
matemática que está na Eureka! 34, por que se existem Np pares ordenados
(x, y), onde x, y pertence a {0, 1, 2, ..., p-1} e o número K = 5x^2 + 7y^2
- 1 é divisível por p, se p for 143 = 11.13, então o número de pares
ordenados é N11.N13? N11 não são os pares em que K é divisível apenas por
11 e N13 apenas por 13? Multiplicando os dois, temos os números de pares em
que K é divisível por 143? Por quê?
Obrigado
--
Henrique
Re: [obm-l] Divisibilidade
Vi que para o expoente 4p: p = 1: 99*101 = , pois temos 99 + 9900. p = 2: 990099 = , pois temos 990099 + 99009900. Seguindo o mesma lógica, todo número da forma 9900990099... multiplicado por 101 resultará em um número da forma ... onde o número de noves deste é igual a 2 vezes o número de noves do primeiro. Como foram encontrados os outros restos? 2012/2/14 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Obrigado,eu tinha olhado errado o gabarito,q de fato dá letra D. Mas por q 10^(4p-1)=91(mod101)? -- Date: Tue, 14 Feb 2012 09:38:53 -0300 Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade From: tarsise...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Eu acho que você pode fazer assim Para p=1, temos 1) 10^(4p) = 1 (mod 101) 2) 10^(4p-1) = 91 (mod 101) 3) 10^(4p-2) = -1 (mod 101) 4) 10^(4p-3) = 10 (mod 101) Assim, de (3) tiramos que 10^(4p-2) +1 = 0 (mod 101) ou seja é divisível por 101. O que acaba nos levando a alternativa *D*. Uma vez que 4p -2 = 98 = 4p=100 =p=25 On Tue, Feb 14, 2012 at 8:40 AM, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com wrote: Sabemos q 10^n + 1 é múltiplo de 101 e n é um número de dois algarismos.Qual o maior valor possivel de n? a) 92 b) 94 c) 96 d) 98 e) 99 101^n é múltiplo de 101 (100+1)^n é múltiplo de 101 100^n + 1 é múltiplo de 101,se n é impar 10^202 + 1 é múltiplo de 101(para n=101) =10^202=-1(mod101) (1) Por sua vez,10^2=-1(mod101)=10^110 = - 1(mod101) (2) De (1) e de (2) vem: ...eu tava achando q ia dar 10^(202-110)=10^92...e n seria 92,q é a resposta do gabarito mas de (1) e (2) vem(?) 10^92=1(mod101) ou 10^92 - 1 é múltiplo de 101 Estou enrolado. -- Henrique
Re: [obm-l] Divisibilidade
Por que foram escolhidos os expoentes na forma 4p, 4p-1, 4p-2 e 4p-3? Poderiam ser utilizadas para resolver o problema também, por exemplo, 3p, 3p-1, 3p-2 ou 2p, 2p-1 ou 5p, 5p-1, 5p-2, 5p-3, 5p-4 ou quaisquer outras? 2012/2/14 tarsis Esau tarsise...@gmail.com Eu acho que você pode fazer assim Para p=1, temos 1) 10^(4p) = 1 (mod 101) 2) 10^(4p-1) = 91 (mod 101) 3) 10^(4p-2) = -1 (mod 101) 4) 10^(4p-3) = 10 (mod 101) Assim, de (3) tiramos que 10^(4p-2) +1 = 0 (mod 101) ou seja é divisível por 101. O que acaba nos levando a alternativa *D*. Uma vez que 4p -2 = 98 = 4p=100 =p=25 On Tue, Feb 14, 2012 at 8:40 AM, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com wrote: Sabemos q 10^n + 1 é múltiplo de 101 e n é um número de dois algarismos.Qual o maior valor possivel de n? a) 92 b) 94 c) 96 d) 98 e) 99 101^n é múltiplo de 101 (100+1)^n é múltiplo de 101 100^n + 1 é múltiplo de 101,se n é impar 10^202 + 1 é múltiplo de 101(para n=101) =10^202=-1(mod101) (1) Por sua vez,10^2=-1(mod101)=10^110 = - 1(mod101) (2) De (1) e de (2) vem: ...eu tava achando q ia dar 10^(202-110)=10^92...e n seria 92,q é a resposta do gabarito mas de (1) e (2) vem(?) 10^92=1(mod101) ou 10^92 - 1 é múltiplo de 101 Estou enrolado. -- Henrique
Re: [obm-l] Problema
Eu assumi erroneamente que as naves partiam dos pontos iniciais juntas e chegavam em seus pontos finais juntas no mesmo intervalo de tempo. Essa distância rq(3) seria percorrida em cada uma das direções pela nave mais rápida. 2012/2/6 Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br A velocidade da nave que viaja pela diagonal eh o triplo da que viaja pela aresta, percorrendo uma diastancia \sqrt3 vezes a percorrida pela segunda, portanto num intervalo de tempo menor. Como elas terminam as viagens no mesmo instante t=0, no instante t=-1 ( no exemplo da resolução ) , quando a nave alfa estah partindo de B, a nave beta ainda não está partindo ou estaria virtualmente num ponto aquem de A, no caso (1-\sqrt3)(1,1,1). Me parece que o problema seria mais Olímpico (e talvez fosse a intenção do autor, que se distraiu) se a nave que viaja pela diagonal tivesse velocidade \srt3 vezes a que viaja pela aresta, (quando sua pergunta teria a ver, como dizem os jovens) e a distancia seria minima no meio do percurso, igual a (sqrt2)/2... [ ]'s --- Em *dom, 5/2/12, Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com* escreveu: De: Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Assunto: [obm-l] Problema Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 5 de Fevereiro de 2012, 12:41 Oi, boa tarde. A solução do problema 1 da primeira fase do nível universitário na eureka 34 página 60 ( http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/eureka34.pdf) apresenta a função de posição considerando tempos inicial -1 e final 0, sendo a função do objeto mais rápido dada por B(t) = (1,1,1) + rq(3)*t*(1,1,1), onde rq é a raíz quadrada. Considerando t = -1 na equação, temos B(-1) = (1-rq(3), 1-rq(3), 1-rq(3)), que é diferente da posição inicial (0,0,0). Outra dúvida é como ficariam as funções se considerarmos como tempo inicial e final os valores 0 e 1, respectivamente. Obrigado -- Henrique -- Henrique
[obm-l] Problema
Oi, boa tarde. A solução do problema 1 da primeira fase do nível universitário na eureka 34 página 60 ( http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/eureka34.pdf) apresenta a função de posição considerando tempos inicial -1 e final 0, sendo a função do objeto mais rápido dada por B(t) = (1,1,1) + rq(3)*t*(1,1,1), onde rq é a raíz quadrada. Considerando t = -1 na equação, temos B(-1) = (1-rq(3), 1-rq(3), 1-rq(3)), que é diferente da posição inicial (0,0,0). Outra dúvida é como ficariam as funções se considerarmos como tempo inicial e final os valores 0 e 1, respectivamente. Obrigado -- Henrique
[obm-l] Convergência de Matriz
Suponha a matriz [aij]mxm, onde cada aij representa a probabilidade de um evento i levar a um evento j e aij 0 para todo i,j. Calculando as potências dessa matriz, é possível provar que ela converge para uma matriz P em que todas as colunas são iguais? Vi essa propriedade no livro Álgebra Linear do Boldrini, na parte sobre cadeias de Markov. -- Henrique
[obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
No problema diz pelo menos, pode ser 1, 2 ou 3 com a capacitação. Podemos resolver calculando o total de combinações incluindo todos os profissionais e excluindo aquelas que não tem profissionais com capacitação, ou seja, C(12, 3) - C(9, 3) = 220 - 84 = 136. 2011/10/5 Azincourt Azincourt aazinco...@yahoo.com.br: Boa tarde, Tenho uma dúvida no seguinte problema: O corpo clínico da pediatria de um certo hospital é composto por 12 profissionais, dos quais 3 são capacitados para atuação junto a crianças que apresentam necessidades educacionais especiais. Para fins de assessoria, deverá ser criada uma comissão de 3 profissionais, de tal maneira que 1 deles, pelo menos, tenha a capacitação referida. Quantas comissões distintas podem ser formadas nestas condições? Resolvi-o da seguinte forma: há três formas de escolher um dos profissionais capacitados. As outras duas vagas da comissão podem ser ocupadas por quaisquer 2 dos 11 profissionais restantes, de forma que o total de comissões seria 3*C(2,11) = 3*55 = 165. O gabarito da questão é 136. Eu achei a resolução na internet, mas não consegui entender em que ponto da análise estou errando. Obrigado! -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Função de Euler - T. Números
Aqui na página da Wikipedia tem uma boa demonstração dessa propriedade quando x e y são coprimos. http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_totient_function 2011/9/26 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com: Alguém sabe uma demonstração bem legal para a propriedade phi(x.y) = phi(x) . phi(y), onde essa função é a phi de Euler? -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória - mais um
Acho que a primeira fórmula seria C(u-w, w-1). 2011/9/12 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Olá, Queria saber como provar a que a quantidade de soluções inteiras positivas de um sistema com w variáveis da forma x1 + x2 +...+ xw = u é C(u-1, w-1) E que a quantidade de soluções inteiras não negativas é C(w+u-1, w-1) []'s João -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória - mais um
Ops, na verdade seria o que você colocou mesmo. 2011/9/13 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Acho que a primeira fórmula seria C(u-w, w-1). 2011/9/12 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Olá, Queria saber como provar a que a quantidade de soluções inteiras positivas de um sistema com w variáveis da forma x1 + x2 +...+ xw = u é C(u-1, w-1) E que a quantidade de soluções inteiras não negativas é C(w+u-1, w-1) []'s João -- Henrique -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] ALGORITMO BUBBLESORT
Seja o pseudo-código abaixo do Bubble Sort: para i = n até 2 faça para j = 1 até i-1 faça se(valor[j] valor[j+1]) troca(valor[j], valor[j+1]) fim-se fim-para fim-para quando i = n, j varia de 1 até n-1 -- no máximo n-1 trocas quando i = n-1, j varia de 1 até n-2 -- no máximo n-2 trocas ... quando i = 2, j varia de 1 até 1 -- no máximo 1 troca Máximo de trocas = (n-1 + n-2 + ... + 1) = (n-1 + 1)*(n-1)/2 = n*(n-1)/2 (Progressão Aritmética) Para n = 10, n*(n-1)/2 = 10*9/2 = 45 As estruturas de laço e a condição de troca podem variar com a implementação, mas o Bubble Sort sempre será da ordem O(n^2). Lista: (8,6,10,7,5) Varredura 1: (8,6,10,7,5) troca posições 1,2 (6,8,10,7,5) não troca posições 2,3 (6,8,10,7,5) troca posições 3,4 (6,8,7,10,5) troca posições 4,5 (6,8,7,5,10) Varredura 2: (6,8,7,5,10) não troca posições 1,2 (6,8,7,5,10) troca posições 2,3 (6,7,8,5,10) troca posições 3,4 (6,7,5,8,10) Varredura 3: (6,7,5,8,10) não troca posições 1,2 (6,7,5,8,10) troca posições 2,3 (6,5,7,8,10) Varredura 4: (6,5,7,8,10) troca posições 1,2 (5,6,7,8,10) 4 varreduras. 2011/9/7 arkon ar...@bol.com.br: Alguém pode dar uma forcinha? Para colocar em ordem crescente uma lista de n números reais, será utilizado o algoritmo conhecido como Bubblesort, que consiste em comparar elementos consecutivos da lista, trocando os mesmos de posição se o número da esquerda for maior. O processo se inicia da esquerda para a direita. A primeira varredura da lista coloca o maior elemento da lista na sua posição definitiva. A segunda varredura da lista se faz com a sublista obtida da primeira excluindo o último elemento, e assim sucessivamente. Com base nessa exposição, julgue os itens subsequentes. (1) Se n=10, o número de trocas efetuadas será menor ou igual a 45. (2) Se a lista é (8,6,10,7,5), será necessárias 3 varreduras para ordenar a lista. Gab.: C, E. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto
2011/5/25 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com: Ola' Paulo e colegas da lista, o problema e' encontrar a quantidade de divisoes de 8 bolas brancas, 10 pretas e 15 azuis entre 4 pessoas. Para isso, basta multiplicarmos a quantidade de formas de se dividir as bolas de cada cor entre as pessoas. Para as brancas, por exemplo, equivale a encontrarmos o numero de solucoes nao negativas da equacao: X1 + X2 + X3 + X4 = 8 e assim por diante. Lembrando que o numero de solucoes nao negativas de X1+...+Xn = p e' binom(n-1+p,n-1), obtemos o seguinte: As brancas podem ser divididas de binom( 10 , 2 ) = 45 formas diferentes. As pretas podem ser divididas de binom( 12 , 2 ) = 66 formas diferentes. E as azuis podem ser divididas de binom( 17 , 2 ) = 136 formas diferentes. Como n-1 = 3, seriam C(11,3), C(13,3) e C(18,3), não? Logo, ha' 45*66*136 formas diferentes de se distribuir todas bolas entre 4 pessoas. []'s Rogerio Ponce Em 25 de maio de 2011 00:38, Paulo Santa Rita paulosantar...@hotmail.com escreveu: Oi Willy e Rogerio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Não consigo entender o raciocínio de vocês. Vejam se é isso que vocês estão falando : Uma das duas pessoas ( digamos, o José ) pode receber 1) 0,1,2, ..., 8 bolas brancas. Seja A o conjunto dessas possibilidades 2) 0,1,2,...,10 bolas pretas. Seja B o conjunto dessas possibilidades 3) 0,1,2,...,15 bolas azuis. Seja C o conjunto dessas possibilidades A cardinalidade do produto cartesianos AxBxC encerra o total das possíveis maneiras de José receber as bolas. O restante é a parte da outra pessoa, digamos, da Maria. Assim, uma 3-upla (0,1,4) significa que Jose recebeu 1 bola preta e 4 azuis, ficando a Maria, portanto, com (8-0,10-1,15-4)=(8,9,11), ou seja, com 8 brancas, 9 pretas e 11 azuis. Se esse é o raciocínio, então ele está certo. NESTE CASO PARTICULAR ! Com mais pessoas - se entendi o que vocês disseram - o simples uso de combinações não resolve. Por exemplo, ao tomar Binom(11,3), estaremos considerando conjuntos identicos de 3 bolas brancas como se fossem distintos ... Confirmem se eu realmente entendi como vocês pensaram. Um abração PSR,425051100A1 Date: Tue, 24 May 2011 18:29:40 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Número de partições de um conjunto From: wgapetre...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/5/23 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Ola' Paulo e colegas da lista, minha sugestao e' calcular de quantas formas podemos dividir as bolas de cada cor ( -- #solucoes nao negativas), e multiplicar tudo no final. []'s Rogerio Ponce Isso me parece ser a maneira mais simples Existem 9 maneiras de se dividir 8 bolas identicas entre duas pessoas (e C(11,3) de dividir entre 4 pessoas). Faz a mesma coisa para as demais e depois multiplica. Obtemos 9*11*16, para 2 pessoas e obtemos C(11,3)*C(18,3)*C(13,3) para as 4 pessoas. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Blog interessante
Por que sen(2x) = cos(3x) ? 2011/5/22 DadosDeDeus Blog dadosded...@gmail.com: Caros companheiros, pedimos desculpas pelo incômodo da mensagem (não é spam! rs), mas gostaríamos de convidá-los a acessar o blog Dados de Deus (http://dadosdedeus.blogspot.com). Desenvolvido por estudantes das melhores universidades do país, o Dados consiste em uma página sem fins lucrativos que visa à divulgação da matemática com qualidade em diversos níveis, com postagens desde assuntos específicos para vestibulares (IME/ITA) e olimpíadas a tópicos pertinentes ao ensino superior. Em nosso último post publicamos duas formas interessantes de determinar sin18°, uma utilizando a geometria do pentágono regular e outra algébrica. Agradecimentos aliás aos professores Nehab e Victor (dinossauros da lista, rs) que nos mostraram em alguma aula esses belos raciocínios. Estamos abertos a críticas/sugestões e desde já agradecemos pela atenção. -- Al Marcos Valle Instituto Militar de Engenharia - IME http://dadosdedeus.blogspot.com -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] seno
2011/3/7 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: (x-sen15)(x-sen75) = 0 haha :D Claro q não deve ser isso o que você perguntou, mas eu realmente não entendi. Lembrando sen(x/2) = sqrt( (1-cosx)/2) sen15 = sqrt((1-cos30)/2) = sqrt(2-sqrt(3))/2 sen(x+y) = senxcosy + senycosx Daí é só fazer :// Agora se a pergunta foi se é possível achar uma EQUAÇÃO com coeficientes INTEIROS para sen15 ou sen75 é outra história. sen15 16x^4 - 16x^2 + 3 = 0 Como é encontrada essa equação? sen75 to com preeguiç Mas deixei a dica []'s From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] seno Date: Sun, 6 Mar 2011 18:52:54 + É possível encontrar uma expressão com raízes para o seno de 75 ou 15 graus.Isso é possível para que outros ângulos? -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Demonstração de somatório
Não estou decorando fórmulas, encontrei as duas fórmulas fechadas para os somatórios utilizando o binômio cúbico, se bem que o 4 multiplicado é muito mais simples. Obrigado pela demonstração anterior. 2011/3/3 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Henrique, pessoalmente eu acho o meu método (não sei se você já recebeu), mais fácil do que ficar decorando fórmulas, mas se você quiser fazer do seu jeito, tente para n par e n ímpar 2 casos distintos, e além disso o n' da segunda expressão serian/2 ou (n-1)/2, já que a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 é a soma até 2n, repare que: 2² + 4² +... +(2n)² = 4.(1² + 2² +...+n²) = 4 (n) (n+1)(2n +1)/6 = 2(n)(n+1(2n+1)/3 []'s João Date: Thu, 3 Mar 2011 14:01:59 -0300 Subject: [obm-l] Demonstração de somatório From: henrique.re...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada? 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1) Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2 + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ..., mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo: Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2) n: 1, soma: 1^2 n: 2, soma: 1^2 + 2^2 n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2 ... Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3) n: 1, soma: 2^2 n: 2, soma: 2^2 + 4^2 n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2 ... Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2 + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] A Rainha ataca novamente
Encontrei esse link: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/withoff.shtml A descrição que você deu parece não estar correta, pois colocar a rainha no canto inferior esquerdo é o objetivo do jogo. A posição inicial dela é qualquer posição arbitrária na linha mais acima ou na coluna mais a direita do tabuleiro. 2011/3/4 Victor Hugo Rodrigues victorhcr.victorh...@gmail.com: Pessoal da lista, passaram-me um problema há um tempo, mas desconheço a origem e a solução dele, se alguém sabe, poderia postá-la? Lá vai ele: Em um tabuleiro mxn, um rainha é posta no canto inferior esquerdo (corner) e se movimenta de acordo com suas regras no xadrez sendo que duas pessoas a movem alternadamente. Ganha quem chegar primeiro ao canto superior direito. Quem tem a estratégia vencedora? Victor Hugo C. Rodrigues -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Demonstração de somatório
Como pode ser demonstrada a igualdade abaixo? 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n+1)! - 1 -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: Demonstração de somatório
Acho que encontrei: 4! - 3! + 3! - 2! + 2! - 1! + 1! - 0! = 4.3! - 3! + 3.2! - 2! + 2.1! - 1! + 1.0! - 0! = (4-1).3! + (3-1).2! + (2-1).1! + (1-1).0! = 3.3! + 2.2! + 1.1! = 4! - 1 2011/3/4 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Como pode ser demonstrada a igualdade abaixo? 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n+1)! - 1 -- Henrique -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Demonstração de somatório
Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada? 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1) Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2 + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ..., mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo: Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2) n: 1, soma: 1^2 n: 2, soma: 1^2 + 2^2 n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2 ... Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3) n: 1, soma: 2^2 n: 2, soma: 2^2 + 4^2 n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2 ... Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2 + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Fórmula fechada para somatório
Desculpe, m varia de 1 até n+1, ou seja, m = 1, 2, ..., n+1, e não seria a fórmula de combinação, seria m(m+1)/2. 2011/2/22 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Eu estava utilizando essa forma mesmo para resolver diversos somatórios, resolvi até o somatório da quarta potência dos inteiros. No somatório que coloquei a dúvida, não havia desenvolvido a multiplicação, depois vi que seria a soma dos quadrados dos inteiros com a soma dos pares, bem simples. Mas estou em dúvida em outro somatório agora, seria a soma dos números triangulares, onde cada termo é a combinação de m dois a dois, com m iniciando em 2, ou seja, cada termo é da forma Cm,2, m = 2, 3, ..., n. 1 + 3 + 6 + ... + n(n+1)/2 = n(n+1)(n+2)/6 2011/2/16 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Vou dar uma dica para achar as somas dos quadrados, dos cubos, etc. Sendo Sa a soma 1+2+3+...+a Sa² a soma 1²+2²+3²+...+a² Sa³ 1³+2³+3³+...+a ³ e assim por diante Podemos calcular Sa^n da seguinte forma: Fazemos (a+1)^(n+1) Ex para Sa (a+1)² = a² + 2a + 1 Logo (0+1)² = 0² + 2.0 + 1 (1+1)² = 1² + 2.1 + 1 . . (a+1)² = a² +2a + 1 Somand: 1²+2²+3² +...+(a+1)²= 0²+1²+...+a²+2Sa+a+1 (a+1 )² - (a+1) = 2Sa S = a.(a+1)/2 Do mesmo modo (a+1)³ = 3Sa² + 3Sa + a + 1 Sa² = (2n³+3n²+n)/6 Sa³ = (Sa)² Vou deixar pra você a Sa^4 []'s João Date: Wed, 16 Feb 2011 16:16:13 -0200 Subject: [obm-l] Fórmula fechada para somatório From: henrique.re...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Como pode ser demonstrada a seguinte igualdade? 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n+2) = n(n+1)(2n+7)/6 -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Fórmula fechada para somatório
Eu estava utilizando essa forma mesmo para resolver diversos somatórios, resolvi até o somatório da quarta potência dos inteiros. No somatório que coloquei a dúvida, não havia desenvolvido a multiplicação, depois vi que seria a soma dos quadrados dos inteiros com a soma dos pares, bem simples. Mas estou em dúvida em outro somatório agora, seria a soma dos números triangulares, onde cada termo é a combinação de m dois a dois, com m iniciando em 2, ou seja, cada termo é da forma Cm,2, m = 2, 3, ..., n. 1 + 3 + 6 + ... + n(n+1)/2 = n(n+1)(n+2)/6 2011/2/16 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Vou dar uma dica para achar as somas dos quadrados, dos cubos, etc. Sendo Sa a soma 1+2+3+...+a Sa² a soma 1²+2²+3²+...+a² Sa³ 1³+2³+3³+...+a ³ e assim por diante Podemos calcular Sa^n da seguinte forma: Fazemos (a+1)^(n+1) Ex para Sa (a+1)² = a² + 2a + 1 Logo (0+1)² = 0² + 2.0 + 1 (1+1)² = 1² + 2.1 + 1 . . (a+1)² = a² +2a + 1 Somand: 1²+2²+3² +...+(a+1)²= 0²+1²+...+a²+2Sa+a+1 (a+1 )² - (a+1) = 2Sa S = a.(a+1)/2 Do mesmo modo (a+1)³ = 3Sa² + 3Sa + a + 1 Sa² = (2n³+3n²+n)/6 Sa³ = (Sa)² Vou deixar pra você a Sa^4 []'s João Date: Wed, 16 Feb 2011 16:16:13 -0200 Subject: [obm-l] Fórmula fechada para somatório From: henrique.re...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Como pode ser demonstrada a seguinte igualdade? 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n+2) = n(n+1)(2n+7)/6 -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Convergência de pi
2011/2/18 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com:
2011/2/17 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com:
A sequência $\frac{4}{1}, \frac{8}{3}, \frac{32}{9}, \frac{128}{45},
\frac{768}{225}, ...$ converge para pi muito lentamente. Sendo o
primeiro termo $a_1$, o segundo $a_2$ etc, a partir do segundo termo,
cada termo de índice par é igual ao termo anterior multiplicado por
$\frac{n}{n+1}$ e cada termo de índice ímpar é igual ao termo anterior
multiplicado por $\frac{n+1}{n}$, onde n é o índice. Como pode ser
demonstrada essa convergência?
Estou utilizando a notação do LaTeX. Caso usem o gmail, existe o
GmailTeX que pode ser instalado e ativado para visualizar os dados
acima.
Henrique, nada (mas absolutamente nada) contra o TeX. Mas um pouco
contra o uso forçado do Gmail: veja bem, se você dependesse de algo
que funcionasse no yahoo ? Puxando a analogia um pouco mais: pense no
futuro. Um mail em ASCII é como um livro, todos lêem. Um treco que
depende de montes de plugins e um webmail em particular, é como um
disquete de 5 1/2. Ninguém mais consegue ler hoje em dia. Eu tô
falando isso também porque acho meio exagerado você usar \frac etc e
tal em vez de simplesmente 4/1, 8/3, 32/9, 128/45, ... que me parece
muito melhor para todos. Inclusive os jovens da lista que nunca
ouviram falar de LaTeX, usam um e-mail no computador dos pais e
sabe-se lá se eles podem instalar um treco (ou se é que eles *sabem* o
que é isso).
Bom, isso dito, vamos à matemática.
Você tem duas seqüências, n_k e d_k (n = numerador, d = denominador).
n_1 = 4, d_1 = 1.
você tem duas recorrências, uma para os pares, outra para os ímpares. Veja:
n_{2k} = n_{2k-1} * 2k
d_{2k} = d_{2k-1} * (2k+1)
n_{2k+1} = n_{2k} * (2k+2)
d_{2k+1} = d_{2k} * (2k+1)
Assim,
n_{2k+2} = (2k+2) * n_{2k+1} = (2k+2)^2 n_{2k}
d_{2k+2} = (2k+3) * n_{2k+1} = (2k+3)*(2k+1) d_{2k}
n_{2k+1} = (2k+2) * n_{2k} = (2k+2)*2k * n_{2k-1}
d_{2k+1} = (2k+1) * d_{2k} = (2k+1)^2 * d_{2k-1}
Agora, lembre que (a+1)(a-1) = a^2 - 1, logo n/d é crescente nos k
pares, e decrescente nos k ímpares. Como a seqüência dos ímpares é
decrescente e limitada por 0, ela converge; seja L o seu limite. Como
o quociente dos pares pelos ímpares é (n+1)/n, que tende a 1, o limite
da seqüência dos pares existe também, e é o mesmo.
O quociente dos pares pelos ímpares seria n/(n+1), que tende a 1, com
n tendendo ao infinito. Não entendi por que sabendo que o quociente
dos pares pelos ímpares converge, conclui-se que o limite da sequência
dos pares é o mesmo que o da sequência dos ímpares.
Bom, agora eu suponho que você quer na verdade que eu mostre que L =
pi. Isso é mais complicado. Esse produto infinito é conhecido de antes
do cálculo, e se chama Produto de Wallis. Uma forma de mostrar isso
é o seguinte:
- sin(x) tem raízes 0, +- pi, +- 2pi, +- 3pi, etc, etc.
- sin(x)/x tem raízes simétricas, portanto é uma função de x^2
- sin(x)/x = 1 em x = 0
Assim, você pode tentar escrever o produto infinito
sin(x)/x = (1 - x^2 / pi^2)*(1 - x^2 / 4pi^2)*(1 - x^2 / 9pi^2)* ...
(veja que ambos os lados se anulam somente para x = +- pi, +- 2pi, ...
e que ambos valem 1 em x = 0. Essa belíssima idéia de comparar uma
função com infinitos zeros e um polinômio em (1 - x/raiz) é do Euler:
em vez de fazer (x - raiz) como a gente está acostumado, fazer (1 -
x/raiz) garante que o limite vai dar certo pelo menos para x = 0; isso
é o ponto crucial da demonstração de que ambos os lados são realmente
iguais).
Agora, substitua x = pi/2 nessa fórmula. Porquê ? Porque primeiro o
seno vai ser um número inteiro (a gente podia tentar pi/6 também, mas
o 6 não aparece tanto assim na sua fórmula para valer a pena, e os
outros ou são irracionais em pi, ou são de seno irracional). sin(pi/2)
= 1, e a fórmula fica
2/pi = (1 - 1/4) * (1 - 1/16) * (1 - 1/36) * ... = Produto(4n^2 - 1)/(4n^2).
Agora, é só expandir os n_k e d_k em ímpares / pares e ver que vai dar
certo.
Uma outra forma de demonstrar isso, que você deve ter visto num curso
de cálculo, é calcular as integrais de sin(x)^n, por indução, usando
sin(x)^2 = 1 - cos(x)^2 para criar um fator integrante. Daí você faz
uma integração por partes com
u = sin(x)^{n-2}*cos(x) e
dv = cos(x)dx
e daí vai aparecer um cos(x)^2. Que você transforma (de novo...) em 1
- sin(x)^2. Se você integrar de 0 a pi, isso dá uma fórmula de
recorrência
I_n = (n-1)/n I_{n-2} onde I_n = integral de 0 a pi sin(x)^n dx.
Agora note que I_n - I_{n+1} é muito pequeno, e tende a zero. Mas por
um lado I_0 = pi, e I_1 = 1, logo fazendo o produto até a etapa n,
você vê que tem uma relação entre pi e 1 dada por um monte de produtos
de cada lado. Passe todo mundo pro lado do 1, e você terá as suas
recorrências.
De qualquer forma, as demonstrações demandam um pouco de trabalho
porque você tem que ver que os produtos para os quais você tem uma
fórmula dão o mesmo resultado que o n_k/d_k. O mais legal é que
[obm-l] Solução de equação
Para resolver a equação e^x + e^(-x) = 3 seria apenas chamar e^x de y transformando a equação na equação do segundo grau y^2 - 3y + 1 = 0, resolver em y e aplicar o ln em y? Há alguma forma mais fácil? -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Convergência de pi
A sequência $\frac{4}{1}, \frac{8}{3}, \frac{32}{9}, \frac{128}{45},
\frac{768}{225}, ...$ converge para pi muito lentamente. Sendo o
primeiro termo $a_1$, o segundo $a_2$ etc, a partir do segundo termo,
cada termo de índice par é igual ao termo anterior multiplicado por
$\frac{n}{n+1}$ e cada termo de índice ímpar é igual ao termo anterior
multiplicado por $\frac{n+1}{n}$, onde n é o índice. Como pode ser
demonstrada essa convergência?
Estou utilizando a notação do LaTeX. Caso usem o gmail, existe o
GmailTeX que pode ser instalado e ativado para visualizar os dados
acima.
--
Henrique
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Fórmula fechada para somatório
Como pode ser demonstrada a seguinte igualdade? 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n+2) = n(n+1)(2n+7)/6 -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Convergência
Na sequência 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, ..., o denominador de cada termo a partir do segundo é a soma do numerador mais denominador anterior e o numerador é a soma de duas vezes o denominador mais numerador anterior. Essa sequência converge para raíz_quadrada(2). Como isso pode ser demonstrado? -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Convergência
Na verdade, gostaria de saber como pode ser encontrado que
x_{n+1} = x_n + y_n
y_{n+1} = 2*x_n + y_n
são as fórmulas recursivas de modo que a sequência possa convergir
para raíz_quadrada(2). Se ao invés de raíz_quadrada(2) fosse
raíz_quadrada(3), qual seria a recorrência?
2011/2/8 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com:
2011/2/8 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com:
Na sequência 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, ..., o denominador de cada
termo a partir do segundo é a soma do numerador mais denominador
anterior e o numerador é a soma de duas vezes o denominador mais
numerador anterior. Essa sequência converge para raíz_quadrada(2).
Como isso pode ser demonstrado?
Oi Henrique. Uma das coisas importantes nesse tipo de problemas é dar
nome aos burros. Assim, seja x_n a seqüência dos denominadores, y_n a
dos numeradores. Você quer calcular o limite y_n/x_n. Agora, veja que
você tem uma recorrência de x_n e y_n em função deles mesmos. Veja que
dá
x_{n+1} = x_n + y_n
y_{n+1} = 2*x_n + y_n
Mas o que você quer é o quociente. Vejamos o que dá pra fazer com y_n+1/x_n+1:
y_{n+1}/x_{n+1} = ( 2*x_n + y_n ) / (x_n + y_n ) = 1 + x_n / (x_n +
y_n ) = 1 + 1/(1 + y_n/x_n)
Agora, *se* existir um limite L para y_n/x_n, será o mesmo que para
y_{n+1}/x_{n+1}. Isso dá uma equação do segundo grau em L, você
resolve, e pronto.
Mas isso ainda não prova que converge ! Para provar a convergência, é preciso
1/ Fazer as contas com épsilons e n = N, e ver que dá certo pra todo
épsilon, ou
2/ Tentar mostrar uma propriedade que faça a convergência ficar clara.
Eu deixo você provar usando o método 1 (não é tão difícil assim: uma
vez que você sabe qual é o limite, é mais uma questão de estimar o
erro na etapa n, e tentar calcular como ele vai diminuir quando você
fizer a próxima operação! Dica: estime (y_n/x_n)^2 - 2 a cada vez,
você vai ver que o erro divide por mais do que 3).
O método 2 é o seguinte: veja que a seqüência é limitada: 0 x_n
y_n 2*x_n (veja que y_{n+1} = 2x_n + y_n 2(x_n + y_n) =
2*x_{n+1}), o que quer dizer que y_n/x_n está sempre entre 1 e 2. Bom,
a idéia é tentar provar que a seqüência é monótona (a gente não tem
tanto teorema assim que ajuda a provar a convergência das coisas...).
Mas nem vale a pena tentar: 1/1=1, 3/2=1,5, 7/5 = 1,4, e o outro 17/12
é muito chato pra fazer de cabeça. Mas você pode tentar outra coisa...
ela pode ficar oscilando em volta do limite.
Vamos calcular y_{n+2}/x_{n+2} (nunca perca a coragem, e até agora as
contas foram poucas!)
Isso dá (4 x_n + 3 y_n)/(3 x_n + 2 y_n). Fatorando y_n/x_n (afinal, é
com o quê a gente quer comparar), obtemos y_{n+2}/x_{n+2} = (y_n/x_n)
* (3 + 4 x_n/y_n) / (3 + 2 y_n/x_n). O que dá um fator multiplicativo
(3 + 4/a) / (3 + 2a), onde a = y_n/x_n. Suponha que a raiz(2). Neste
caso, a*a 2, logo 2a 4/a, o que faz um fator menor do que 1. Por
outro lado, se a raiz(2), o fator é maior do que 1.
O que quer dizer que temos quase tudo para ter uma seqüência que fica
oscilando entre o limite raiz(2).
Falta só provar que o y_{n+2}/x_{n+2} continua menor do que raiz(2),
mesmo depois de aumentar, se y_n/x_n for menor do que raiz(2), e
reciprocamente no outro caso. Isso é fácil de ver assim : suponha que
y_n/x_n raiz(2). Vejamos o que acontece com y_{n+1}/x_{n+1} = 1 +
1/(1 + y_n/x_n) 1 + 1/(1 + raiz(2)) = 1 + (raiz(2) - 1)/(2-1) =
raiz(2). Oba! E como mudando y_n/x_n raiz(2) a desigualdade na
recorrência muda de sinal, a gente provou:
1/ A seqüência fica alternadamente maior / menor do que raiz(2)
2/ A cada duas etapas (ou seja, quando o sinal volta a ser o mesmo),
está mais perto
3/ Agora, pegue o limite de cada uma das seqüências (a crescente e a
decrescente, par / ímpar se você prefere), que existe porque é
limitado e monótono (O teorema), eles satisfazem a mesma equação L =
L(3 + 4/L)/(3 + 2L), ou seja 3 + 4/L = 3 + 2L, ou seja L^2 = 2, e são
ambos positivos. Fim!
Depois de escrever isso tudo, eu acho que o método 1 foi o mais
fácil... (ok, precisa da idéia dos quadrados, mas é bastante razoável,
né?). A vantagem do método 2 é que ele funciona em muitos casos em que
é difícil obter uma estimativa da convergência!
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
--
Henrique
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] OBM terceira faze nivel 3 - Gabarito duvidoso
Só uma dúvida. Onde ficaria localizada a fonte de luz. Em 26 de janeiro de 2011 10:56, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu: Ola' Joao, eu diria que as duas solucoes estao erradas. A maior projecao gera um hexagono REGULAR. Como a diagonal do cubo mede sqrt(3), este sera' o diametro do circulo circunscrito ao hexagono. Logo a area do hexagono deve ser 6* [sqrt(3)/2 * sin60] * [sqrt(3)/2 * cos60] Ou seja, 9*sqrt(3)/8 []'s Rogerio Ponce 2011/1/26 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com OBM 2010 Terceira Fase PROBLEMA 3 Qual é a maior sombra que um cubo sólido de aresta 1 pode ter, no sol a pino? Observação: Entende-se “maior sombra de uma figura no sol a pino” como a maior área possível para a projeção ortogonal da figura sobre um plano. O que me perturba é que a resolução desse site dá que a maior sombra tem área sqrt(6) - 1 http://files.supergel57.webnode.com.br/20496-53215537a7/Resolu%C3%A7%C3%A3o%208.pdf Mas tome o seguinte: Coloque qualquer vértice do cubo (A) em contato com um plano de modo que o vértice oposto (B) forme uma reta perpendicular ao plano. As 3 arestas que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano. As 3 faces que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano. Logo os vértices adjacentes formam um tetraedro com base regular e sua lateral composta por triêngulos retângulos. Os vértices não adjacentes (com exceção de B) formam um tetraedro com base regular e sua lateral composta por triângulos equiláteros. Considerando a reta AB, esta é altura dos tetraedros. Logo fica fácil calcular a distância de AB e os vértices (2/3 da altura do triângulo da base). Essa distância é sqrt(6)/3 para todo os 6 vétices (não contando com A e B), já que os dois tetraedros tem a mesma base. Ou seja, é formado um hexágono de raio sqrt(6)/3 cuja área mede 6.(sqrt(6)/3)² sqrt(3)/4 = sqrt(3) sqrt(6) - 1. Pergunta: Qual das duas soluções está errada? -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] OBM terceira faze nivel 3 - Gabarito duvidoso
2011/1/26 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: OBM 2010 Terceira Fase PROBLEMA 3 Qual é a maior sombra que um cubo sólido de aresta 1 pode ter, no sol a pino? Observação: Entende-se “maior sombra de uma figura no sol a pino” como a maior área possível para a projeção ortogonal da figura sobre um plano. O que me perturba é que a resolução desse site dá que a maior sombra tem área sqrt(6) - 1 http://files.supergel57.webnode.com.br/20496-53215537a7/Resolu%C3%A7%C3%A3o%208.pdf Mas tome o seguinte: Coloque qualquer vértice do cubo (A) em contato com um plano de modo que o vértice oposto (B) forme uma reta perpendicular ao plano. As 3 arestas que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano. As 3 faces que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano. Logo os vértices adjacentes formam um tetraedro com base regular e sua lateral composta por triêngulos retângulos. Os vértices não adjacentes (com exceção de B) formam um tetraedro com base regular e sua lateral composta por triângulos equiláteros. Considerando a reta AB, esta é altura dos tetraedros. Logo fica fácil Por que a altura dos tetraedros seria o segmento AB? A altura não seria menor que esse segmento? O tetraedro que é formado por três triângulos retângulos tem medidas da base L*raíz(2) e os outros segmentos que unem os vértices da base ao vértice que define a altura (ponto A) tem medida L (medida do lado do cubo). A altura do triângulo da base seria L*raíz(3)/4, 2/3 seria L*raíz(3)/6 (que é a medida do cateto localizado no triângulo da base para encontrar a altura do tetraedro), e a altura do tetraedro seria L*raíz(33)/6. O segmento AB do cubo mede L*raíz(3) que é maior que L*raíz(33)/6. calcular a distância de AB e os vértices (2/3 da altura do triângulo da base). Essa distância é sqrt(6)/3 para todo os 6 vétices (não contando com A e B), já que os dois tetraedros tem a mesma base. Ou seja, é formado um hexágono de raio sqrt(6)/3 cuja área mede 6.(sqrt(6)/3)² sqrt(3)/4 = sqrt(3) sqrt(6) - 1. Pergunta: Qual das duas soluções está errada? -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Teoria dos números 2
Aplica-se semelhança para encontrar a altura da broca que perfurou o cone: (16-h)/2 = 16/6 -- 48-3h = 16 -- 3h = 32 -- h = 32/3 V = (1/3)*(pi*4)*(32/3) = 128*pi/9 Em 19 de janeiro de 2011 12:55, Ana Paula Almeida aps...@gmail.com escreveu: Quem puder dar uma ajuda no exercício abaixo : Uma broca de raio r = 2 perfura um cone circular reto de altura H = 16 e raio R = 6 ao longo de seu eixo central. O resultado é um tronco de cone perfurado conforme ilustrado acima. O volume do buraco cilíndrico é então -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números
Encontrei 6561 = 81^2, 6+5+6+1 = 18 e 8281 = 91^2, 8+2+8+1 = 19, mas a
resposta correta seria 6561, pois obedece a uma restrição dada no
desenvolvimento.
O menor quadrado perfeito com quatro dígitos é 1024 = 32^2 e o maior é
9801 = 99^2. Logo, a raíz quadrada precisa ser maior ou igual a 32 e
menor ou igual a 99.
Sejam a1, a2, a3, a4 os dígitos do quadrado perfeito e n a sua raíz
quadrada com dígitos n1 e n2. Assim,
1000*a1 + 100*a2 + 10*a3 + a4 = n^2 = (10*n1 + n2)^2 = 100*n1^2 +
20*n1*n2 + n2^2
Aplicando módulo 10 a ambos os lados da igualdade:
a4 = n2^2
Assim, como a4 é um dígito e possui valores 0,1,...,9 e é um quadrado
perfeito, a4 pode ser 0, 1, 4, 9, ou seja, n2 pode ser 0, 1, 2, 3.
Como a soma a1+ a2 + a3 + a4 = 10*n2 + n1, podemos escrever:
1: 1000*a1 + 100*a2 + 10*a3 + a4 = 999*a1 + 99*a2 + 9*a3 + a1+ a2 + a3
+ a4 = 999*a1 + 99*a2 + 9*a3 + 10*n2 + n1 = 999*a1 + 99*a2 + 9*a3 +
9*n2 + n2 + n1
2: 100*n1^2 + 20*n1*n2 + n2^2 = 99*n1^2 + 18*n1*n2 + n1^2 + 2*n1*n2 + n2^2
999*a1 + 99*a2 + 9*a3 + 9*n2 + n2 + n1 = 99*n1^2 + 18*n1*n2 + n1^2 +
2*n1*n2 + n2^2
Aplicando módulo 9 a ambos os lados da igualdade:
(n2 + n1) mod 9 = (n1^2 + 2*n1*n2 + n2^2) mod 9 = (n1 + n2)^2 mod 9
Como a*b mod x = [(a mod x)*(b mod x)] mod x:
(n1 + n2)^2 mod 9 = {[(n1 + n2) mod 9]*[(n1 + n2) mod 9]} mod 9
Assim, (n2 + n1) mod 9 = {[(n1 + n2) mod 9]*[(n1 + n2) mod 9]} mod 9, ou seja:
n2 + n1 = [(n1 + n2) mod 9]*[(n1 + n2) mod 9]
Portanto, n2 + n1 é igual a multiplicação de dois números, sendo cada
um deles entre 0 e 8, inclusive.
n2 pode ser 0, 1, 2, 3, então a soma n2 + n1 é no máximo 12, já que n1
pode ser no máximo 9.
Verificando as possibilidades de n1 e n2 para cada soma e considerando
apenas aquelas que formam um número maior ou igual a 32 e menor ou
igual a 99 ou que n1 esteja entre 0 e 8, inclusive e n2 esteja entre 0
e 3, inclusive:
0: n1 = 0, n2 = 0, n = 0 (inválido)
1: n1 = 1, n2 = 1, n = 11 (inválido)
2: n1 = 1, n2 = 2, n = 12 (inválido); n1 = 2, n2 = 1, n = 21 (inválido)
3: n1 = 1, n2 = 3, n = 13 (inválido); n1 = 3, n2 = 1, n = 31 (inválido)
4: n1 = 4, n2 = 1, n = 41 (válido); n1 = 2, n2 = 2, n = 22 (inválido)
5: n1 = 5, n2 = 1, n = 51 (válido)
6: n1 = 6, n2 = 1, n = 61 (válido); n1 = 2, n2 = 3, n = 23 (inválido);
n1 = 3, n2 = 2, n = 32 (válido)
7: n1 = 7, n2 = 1, n = 71 (válido)
8: n1 = 8, n2 = 1, n = 81 (válido); n1 = 4, n2 = 2, n = 42 (válido);
n1 = 2, n2 = 4, n = 24 (inválido)
9: n1 = 9, n2 = 1, n = 91 (inválido); n1 = 3, n2 = 3, = 33 (válido)
10: n1 = 5, n2 = 2, n = 52 (válido)
11: inválido
12: n1 = 6, n2 = 2, n = 62 (válido); n1 = 4, n2 = 3, n = 43 (válido);
n1 = 3, n2 = 4, n = 34 (válido)
Não encontrei outra forma além de testar cada um dos n marcados como
válidos, que são:
41, 51, 61, 32, 71, 81, 42, 33, 52, 62, 43, 34.
Desses, apenas 81 atende às condições do problema. Será que há outro número?
Em 18 de janeiro de 2011 17:32, Marcelo Costa mat.mo...@gmail.com escreveu:
Considere um número x que é um quadrado perfeito de quatro algarismos e cuja
a soma desses algarismos é igual ao número que se obtém lendo sua raiz
quadrada ao contrários. Encontre todos os números de x.
Agradeço desde já a atenção dada, obrigado!
--
Henrique
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=
Re: [obm-l] distancia no trapezio
Depois de traçar a paralela ao lado BC, o triângulo EDA é isósceles porque o ângulo CDA é 2*alfa e ao traçar a paralela ED, prolongando no ponto D os segmentos ED e CD o ângulo formado pelas extensões dos segmentos fora do trapézio é alfa, ou seja, o ângulo CDE é alfa (ângulos opostos pelo vértice). Assim, o ângulo EDA também é alfa (ângulo CDA - ângulo CDE = 2*alfa - alfa = alfa) e o triângulo EDA é isósceles (ângulo DEA = alfa e ângulo EDA = alfa). Como DA = 6, EA também = 6 e já que BE = 4 (mesma medida de CD), AB = 10. Da forma que você fez, traçando a outra paralela, não pode se dizer nada, pois não se sabe qual o valor do ângulo DCB, já que não há esse dado no problema. Em 10 de janeiro de 2011 11:04, Luís Lopes qed_te...@hotmail.com escreveu: Sauda¸c~oes, oi Carlos Victor, Fiz como vc, soh que tracei por C a paralela ao lado AD. Mas n~ao observei que o triângulo CBE é isósceles com base BC. Obrigado. Abraços, Luis Date: Sun, 9 Jan 2011 18:07:16 -0200 Subject: Re: [obm-l] distancia no trapezio From: victorcar...@globo.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Luis, Trace de D uma paralela ao lado BC que encontra AB por exemplo em E. Observe que BE = 4 e o triângulo EDA é isósceles e, donde EA = 6. Logo AB = 10 , ok ? . Verifique se esta ideia está correta . Abraços Carlos Victor Em 9 de janeiro de 2011 13:56, Luís Lopes qed_te...@hotmail.com escreveu: Sauda¸c~oes, Pediram-me para resolver o seguinte problema. No trapezio ABCD, CD=4 e DA=6. E tambem B=\alpha e D=2\alpha. Calcular AB. O desenho do trapezio eh C o---o D B o---o A Abra¸cos, Luis -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Demonstração
Como posso demonstrar o seguinte teorema da lógica proposicional utilizando os 3 axiomas abaixo? Teorema: (P')' - P Axiomas: 1. A - (B - A) 2. [A - (B - C)] - [(A - B) - (A - C)] 3. (A - B) - (B' - A') -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria dos Conjuntos
Como funciona a recorrência: 0 = {} e S(n) = n reunião {n}, já que
S(n) não depende de termos anteriores? O que seria reunião?
Em 22/12/10, Bruno França dos Reisbfr...@gmail.com escreveu:
Vinícius, A é o que? Uma variável livre? Se sim, não sei como lidar com essa
expressão aberta.
Se não, se eu puder tomar um exemplo de conjunto A, seja A = {0, 1, 2}. Para
ficarmos só dentro da teoria dos conjuntos, defina recursivamente 0 = {} e
S(n) = n reunião {n}, onde S(n) é dito sucessor de n -- quer dizer,
definição simples dos números naturais com os axiomas de Peano dentro da
teoria dos conjuntos.
Nesse caso, B = {x ∈ A; x∉x} resulta B = A, e A não é vazio.
Agora, reitero que não sei se entendi corretamente sua questão!
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
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e^(pi*i)+1=0
2010/12/22 Vinícius Harlock cortes...@gmail.com
Amigo Bruno, isso significa que posso escrever B={x ∈ A; x∉x}, não é?
Haveria outros exemplos? Ou somente o conjunto vazio se aplica?
Abraços
--
Henrique
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=
Re: [obm-l] Teoria dos Conjuntos
Pelo que vi na página 30 do documento citado pelo Vinícius, o x é um
conjunto que representa um elemento de um outro conjunto. Por isso, x
∉ x foi utilizado como propriedade.
Até onde sei, na teoria de conjuntos não são utilizados os símbolos de
pertinência ∈ e ∉ entre elementos que não sejam conjuntos.
Em 22 de dezembro de 2010 01:23, Bruno França dos Reis
bfr...@gmail.com escreveu:
Hugo, sobre toda a sua afirmação no seu email anterior, ou eu não entendi,
ou eu não concordo.
Qual é o problema de se escrever x∉x ou x∈x? Vou te dar um exemplo em que o
primeiro caso é perfeitamente válido.
Seja ∅ o conjunto vazio, definido axiomaticamente em ZFC por ∃∅∀x ¬(x∈∅), o
que é equivalente a ∃∅∀x (x∉∅). Para esse conjunto vazio, vale que ∅∉∅.
Poderia explicar melhor o que vc quis dizer?
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
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e^(pi*i)+1=0
2010/12/21 Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande...@gmail.com
A relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto. Assim, não
há propriedade em escrever x∉x, pois estaríamos usando a relação de
pertinência para relacionar dois elementos.
[]'s
Hugo
Em 21 de dezembro de 2010 12:45, Vinícius Harlock cortes...@gmail.com
escreveu:
É possível criar por meio do axioma da especificação um conjunto B={x ∈
A; x∉x}? Esse conjunto seria um conjunto vazio assim como C={x ∈ A; x
diferente x}?
--
Henrique
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Re: [obm-l] Teoria dos Conjuntos
Estou em dúvida sobre o que significa:
S(0) = 0 reunião {0}
S(1) = 1 reunião {1}
S(2) = 2 reunião {2}
...
Em 22 de dezembro de 2010 15:09, Bruno França dos Reis
bfr...@gmail.com escreveu:
n + 1 = S(n) = n reunião {n}
1 = S(0)
2 = S(1) = S(S(0))
...
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
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e^(pi*i)+1=0
2010/12/22 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com
Como funciona a recorrência: 0 = {} e S(n) = n reunião {n}, já que
S(n) não depende de termos anteriores? O que seria reunião?
Em 22/12/10, Bruno França dos Reisbfr...@gmail.com escreveu:
Vinícius, A é o que? Uma variável livre? Se sim, não sei como lidar com
essa
expressão aberta.
Se não, se eu puder tomar um exemplo de conjunto A, seja A = {0, 1, 2}.
Para
ficarmos só dentro da teoria dos conjuntos, defina recursivamente 0 = {}
e
S(n) = n reunião {n}, onde S(n) é dito sucessor de n -- quer dizer,
definição simples dos números naturais com os axiomas de Peano dentro da
teoria dos conjuntos.
Nesse caso, B = {x ∈ A; x∉x} resulta B = A, e A não é vazio.
Agora, reitero que não sei se entendi corretamente sua questão!
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
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e^(pi*i)+1=0
2010/12/22 Vinícius Harlock cortes...@gmail.com
Amigo Bruno, isso significa que posso escrever B={x ∈ A; x∉x}, não é?
Haveria outros exemplos? Ou somente o conjunto vazio se aplica?
Abraços
--
Henrique
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Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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--
Henrique
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teor ia dos números
Minha dúvida é sobre o expoente do termo a^'pq - 2q', não seria a^'pq - 2p' ? Em 18/12/10, Willy George do Amaral Petrenkowgapetre...@gmail.com escreveu: Escreva num papel e veja algum caso particular. Por exemplo: a^5 + a^4 + a^3 + a^2 + a + 1 = a^3*(a^2 + a + 1) + a^2 + a + 1 = (a^3 + 1)*(a^2 + a + 1) Repare que se n = 9, a primeira parcela ficaria (a^6 + a^3 + 1). 2010/12/17 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Não entendi como a^'n-1' + a^'n-2' + ... + a + 1 = (a^'pq - p' + a^'pq - 2q' + ... + a^p + 1)*(a^'p - 1' + a^'p - 2' + ... + a + 1). Em 17/12/10, Willy George do Amaral Petrenkowgapetre...@gmail.com escreveu: Observe que a^n - 1 = (a - 1)*(a^'n-1' + a^'n-2' + ... + a + 1). Se a^n - 1 é primo então a 1a parcela deve ser 1 (a 2a não pode para a0), e então a = 2. Agora observe que se n = p*q então a^'n-1' + a^'n-2' + ... + a + 1 = (a^'pq - p' + a^'pq - 2q' + ... + a^p + 1)*(a^'p - 1' + a^'p - 2' + ... + a + 1), ambas parcelas maiores que 1 para p,q 1. n composto = a^n - 1 composto logo a^n - 1 primo = n primo. 2010/12/16 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Mostre que se a e n são inteiros positivos,com n = 2 ,tais que a^n - 1 é primo,então necessariamente a = 2 e n é primo. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números
Não entendi como a^'n-1' + a^'n-2' + ... + a + 1 = (a^'pq - p' + a^'pq - 2q' + ... + a^p + 1)*(a^'p - 1' + a^'p - 2' + ... + a + 1). Em 17/12/10, Willy George do Amaral Petrenkowgapetre...@gmail.com escreveu: Observe que a^n - 1 = (a - 1)*(a^'n-1' + a^'n-2' + ... + a + 1). Se a^n - 1 é primo então a 1a parcela deve ser 1 (a 2a não pode para a0), e então a = 2. Agora observe que se n = p*q então a^'n-1' + a^'n-2' + ... + a + 1 = (a^'pq - p' + a^'pq - 2q' + ... + a^p + 1)*(a^'p - 1' + a^'p - 2' + ... + a + 1), ambas parcelas maiores que 1 para p,q 1. n composto = a^n - 1 composto logo a^n - 1 primo = n primo. 2010/12/16 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Mostre que se a e n são inteiros positivos,com n = 2 ,tais que a^n - 1 é primo,então necessariamente a = 2 e n é primo. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O produto de n inteiros consecutivos é múltiplo do fatorial de n
Em 09/12/10, Johann Dirichletpeterdirich...@gmail.com escreveu: Bem, respondendo: 1 - Errei: para k=0 o valor é 1 2 - Tem uma especie de dispositivo pratico, que funciona na mesma ideia do triangulo de Pascal: 0 0 0 0 0 ... 0 1 0 0 0 0 ... 0 1 0 0 0 ... 0 1 0 0 ... 0 1 0 ... 1 1 Este e o triangulo das diferenças de f(n,k). Depois de um numero finito de passos (n+1, se nao me engano) a ultima linha fica constante (neste caso igual a 1). Ai e so reverter... Existe uma formula pronta, mas eu quase nao decoro... Não entendi a relação desse triângulo de Pascal com o polinômio e como isso determina que o polinômio é sempre divisível por n! para quaisquer valores de n e k. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O pr oduto de n inteiros consecutivos é múltiplo do fatorial de n
Em 28/11/10, Johann Dirichletpeterdirich...@gmail.com escreveu: Por que este povo tem tanto pavor de uma prova que não use outros conceitos alem do enunciado? Eu mesmo conheço vários problemas que são resolvidos usando outras técnicas. Na IMO de Glasgow teve um problema de Teoria dos Números com uma solução que usava polinômios. E tem um monte de problemas de teoria dos números que se resolvem usando técnicas de combinatória (o teorema de Euler-Fermat, por exemplo). De todo modo, só pra não perder o propósito da mensagem: Uma maneira seria observar que f(n,k)=(k+1)(k+2)...(k+n)/n! é um polinômio de grau n em k. Ele é completamnte determinado se eu utilizar (n+1) valores de k. Para k de -1 até -n, este polinômio é igual a zero, e para k=n+1 ele vale 1. A partir daí, usando a fórmula de interpolação de Newton (ou uma modificação do triângulo de Pascal), este polinômio é inteiro para todo n inteiro. Como isso pode ser verificado? Em 27/11/10, Carlos Alberto da Silva Victorvictorcar...@globo.com escreveu: Olá Paulo, Verifique se esta ideia satisfaz o que desejas . Por indução : 1) para n=1,2 e 3 é fácil de observar tal fato . 2) hipótese : válida para n fatores consecutivos. 3) Tomemos (n+1) fatores consecutivos :P = k(k+1)(k+n-1).(k+n) .Por hipótese k(k+1)(k+n-1) é divisível por n! . Não é difícil mostrar que o produto de n fatores consecutivos é divisível por n .Como P possui (n+1) fatores, temos que o valor (n+1) está em um dos fatores(ou divisor de um dos fatores) de P e, já que n e (n+1) são primos entre si , P será divisível por n! e (n+1) , ou seja, divisível por (n+1)! , ok ? Abraços Carlos Victor Em 27 de novembro de 2010 18:29, Paulo Argolo argolopa...@hotmail.comescreveu: Obrigado, Tiago. O que desejo, na verdade, é obter uma demonstração que não use propriedades dos coeficientes binomiais, nem recorra à Análise Combinatória. Em suma: gostaria de ver uma prova puramente aritmética. Abraços do Paulo! -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Quadrinhos, histórioas e afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Um pouco sobre elétrons em movimento http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mathematica
Obrigado pelas informações. Usei a opção PlotRange. A versão que uso
não possui a opção AxesOrigin.
Em 07/10/10, Cesar Kawakamicesarkawak...@gmail.com escreveu:
O gráfico gerado pelo Mathematica está correto. O que acontece é que o
Mathematica pode, às vezes, não colocar os eixos na posição usual (0,0)
quando o Plot é feito com as opções padrão. Você pode forçar a origem ser
(0, 0) fazendo
Plot[1/(1 + Sqrt[x]), {x, 0, 10}, AxesOrigin - {0, 0}]
[]'s
Cesar
2010/10/7 Emanuel Valente emanuelvale...@gmail.com
Estranho, tente forcar: Faca algo do tipo:
Plot[1/(1+Sqrt[x]), {x,0,10},{y,0,10}]
Teste tambem no wolframalpha.com, pois seu backend é o próprio
mathematica.
2010/10/7 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com:
Olá,
Alguém aqui da lista usa o Mathematica? Eu executei o seguinte
comando, mas o resultado gráfico não parece estar correto.
Plot[1/(1+Sqrt[x]), {x,0,10}]
Nos reais, a função y = 1/(1+sqrt(x)) possui domínio [0,inf) e imagem
(0,1], mas o Mathematica plota valores negativos de y. E o ponto onde
a curva intersecta o eixo x muda dependendo dos valores passados como
intervalo para x.
--
Henrique
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Emanuel Valente
Instituto de Física de São Carlos - USP
http://twitter.com/epaduel
epad...@hotmail.com
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Henrique
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[obm-l] Sudoku
http://colunas.epoca.globo.com/vidautil/2010/08/19/o-sudoku-mais-dificil-do-mundo/ -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Compra de livros
Gostaria de saber algum site onde posso encontrar diversos livros da área de exatas, principalmente de matemática e realizar a compra online. Estou à procura do livro Programação Linear de Manuel Ramalhete. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Compra de livros
Obrigado pela indicação. Em 12/08/10, Adalberto Dornellesaadornell...@gmail.com escreveu: Oi Henrique, recomendo este: http://www.estantevirtual.com.br é muito bom. Tem acesso a varios sebos no país... inclusive o que você está procurando: Título/Autor Ano Estante VendedorUF Preço + info [ver livro: Programação Linear Vol 1] Programação Linear Vol 1 Manuel Ramalhete 1984Ciências Exatas Livraria Vitoria Henriquez [Este vendedor oferece frete grátis nas compras acima de R$ 100,00!] [Este vendedor aceita Pagamento Digital!] [Este vendedor é um Sebo] SP R$ 25,00[livro com descrição] [ver livro: Programação Linear Vol I e Vol II]Programação Linear Vol I e Vol II Manuel Ramalhete Jorge Guerreiro Alípio Magalhães 1984Ciências ExatasJoanadir Rocha [Este vendedor oferece frete grátis nas compras acima de R$ 100,00!] [Este vendedor é um Leitor] SP R$ 40,00 Abraço, Adalberto Em 12 de agosto de 2010 09:15, Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com escreveu: Gostaria de saber algum site onde posso encontrar diversos livros da área de exatas, principalmente de matemática e realizar a compra online. Estou à procura do livro Programação Linear de Manuel Ramalhete. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Compra de livros
A Livraria Cultura foi minha primeira opção, já que possuo conta e geralmente compro por lá. Infelizmente, o livro que procuro não está mais disponível, está como esgotado no fornecedor. Vou dar uma olhada na Livraria da Física. Obrigado Em 12/08/10, Benedito Tadeu V. Freireb...@ccet.ufrn.br escreveu: Henrique, Tente: Livraria Cultura ou Livraria da Física (os endereços você pode ver no google) Benedito -- Open WebMail Project (http://openwebmail.org) -- Original Message --- From: Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thu, 12 Aug 2010 09:15:21 -0300 Subject: [obm-l] Compra de livros Gostaria de saber algum site onde posso encontrar diversos livros da área de exatas, principalmente de matemática e realizar a compra online. Estou à procura do livro Programação Linear de Manuel Ramalhete. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = --- End of Original Message --- -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] P != NP
http://www.hpl.hp.com/personal/Vinay_Deolalikar/Papers/pnp12pt.pdf http://rjlipton.wordpress.com/2010/08/09/issues-in-the-proof-that-p%E2%89%A0np/ http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Deolalikar%27s_P!%3DNP_paper -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Funções Pares e Ímpares
Estou com uma dúvida a respeito de funções pares e ímpares. Por exemplo, as funções f(x) = x^2 e g(x) = 1/x são, respectivamente, par e ímpar. Se multiplicarmos uma pela outra temos a função h(x) = f(x)*g(x) = (x^2)*(1/x) = (x^2)/x = x, que é uma função ímpar. A função i(x) = f(x) + g(x) = x^2 + 1/x é uma função par. Minha dúvida é como é possível saber se a função resultante após uma operação entre funções é par ou ímpar. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções Pares e Ímpares
Errei colocando que h(x) = x^2 + 1/x é par. Gostaria de uma demonstração das seguintes propriedades: - A soma de duas funções de mesma paridade mantém essa paridade. - O produto de duas funções de mesma paridade é uma função par. - O produto de duas funções com paridades distintas é uma função ímpar. Encontrei as propriedades acima em http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%B5es_pares_e_%C3%ADmpares. Não sei sei pode ser considerada uma fonte confiável. Em 04/08/10, Bernardo Freitas Paulo da Costabernardo...@gmail.com escreveu: 2010/8/4 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Estou com uma dúvida a respeito de funções pares e ímpares. Por exemplo, as funções f(x) = x^2 e g(x) = 1/x são, respectivamente, par e ímpar. Se multiplicarmos uma pela outra temos a função h(x) = f(x)*g(x) = (x^2)*(1/x) = (x^2)/x = x, que é uma função ímpar. A função i(x) = f(x) + g(x) = x^2 + 1/x é uma função par. Minha dúvida é como é possível saber se a função resultante após uma operação entre funções é par ou ímpar. Uma regra fácil só vale pra multiplicação, por uma razão óbvia... ou para operações que não mudam o sinal, ou seja, par (operacao) par é sempre par, mas por exemplo ímpar (operação) ímpar nem sempre é par, nem sempre é ímpar... aliás, i(1) = 1 + 1/1 = 2 != 0 = (-1)^2 + 1/(-1) = i(-1) -- Henrique abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Fun damental da Aritmética
2010/5/12 Marco Bivar marco.bi...@gmail.com
Hum, tem um erro aí, que é que você quer que # ] p_{n}, p_{n+1} [ =
n, e não que seja menor do que p_n - p_1, que é o comprimento do
intervalo [p_{1}, p_{n} [.
O comprimento do intervalo ] p_{n}, p_{n+1} [ é p_{n+1}-p_{n}-1 como você
colocou, mas o comprimento do intervalo [p_{1}, p_{n} [ não é n-1 (que é a
quantidade de primos anteriores a p_{n}) e sim um número maior ou igual a
n-1 (sendo igual a n-1 apenas para p_{n} = 2 ou p_{n} = 3), já que n é um
índice para referenciar apenas os números primos e não todos os naturais.
Não há um erro. O intervalo #]p_{n},p_{n+1}[ é o mesmo que p_{n+1}-p_{n}-1,
que é quantidade de números compostos entre esses primos. O comprimento do
intervalo [p_{1},p_{n}[ é n-1. Então eu tenho p_{n+1}-p_{n}-1=n-1 (a
desigualdade que eu quero provar) que implica p_{n+1}-p_{n}=n.
Eu pessoalmente construi uma tabela com a verificação da desigualdade para
os 30.000 primeiros naturais primos. E é verdadeira.
Não entendi qual é a do todos com T maiúsculo,
Eu entendo perfeitamente, mas é que eu já considero este um problema de
difícil solução, que pode levar muito tempo até ser resolvido. Meu colega da
faculdade, por exemplo, observou que se esta desigualdade for válida para
todos os pares de números naturais primos consecutivos, demonstramos,
segundo ele, resultados importantes de Pomerance, etc., em só uma, duas
linhas de símbolos.
O T grande é para lembrar que você vai ser muito famoso (se provar esta
desigualdade).
Até.
---
MAB
--
Henrique
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] MANTRA PROBABIL ÍSTICO!
Então deveriam ser utilizadas combinações? 2009/10/13 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Oi, Henrique: mas estas possibilidades NAO SAO equiprovaveis (por exemplo, eh muito mais provavel que B tire 1000 do que 2010 caras) agora lembre-se do Mantra #2!!! Abraco, Ralph 2009/10/13 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: A tem 2009 moedas, enquanto B tem 2010 moedas. Ambos lançam suas moedas simultaneamente e observam o número de caras obtidas. Qual a probabilidade de que B obtenha mais caras do que A? Não sei se está correta a forma como proponho. Se A tirar 2009 caras, B terá que tirar 2010 para ter mais caras do que A; Se A tirar 2008 caras, B terá que tirar 2009 ou 2010 caras para ter mais caras do que A; e assim sucessivamente até se A tirar 0 caras, B terá que tirar 1, 2, ..., 2010 caras para ter mais caras do que A. Portanto, a quantidade de possibilidades será 1 + 2 + ... + 2010 = [(1+2010)*2010]/2 = 2011*1005. A quantidade de possibilidades total é 2010*2011 (para A pode ser 0, 1, 2, ..., 2009 e para B pode ser 0, 1, 2, ..., 2010). Assim, a probabilidade de B obter mais caras do que A no lançamento das moedas seria (2011*1005)/(2010*2011) = 1/2. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Henrique
[obm-l] Re: [obm-l] MANTRA PROBABILÍSTICO!
A tem 2009 moedas, enquanto B tem 2010 moedas. Ambos lançam suas moedas simultaneamente e observam o número de caras obtidas. Qual a probabilidade de que B obtenha mais caras do que A? Não sei se está correta a forma como proponho. Se A tirar 2009 caras, B terá que tirar 2010 para ter mais caras do que A; Se A tirar 2008 caras, B terá que tirar 2009 ou 2010 caras para ter mais caras do que A; e assim sucessivamente até se A tirar 0 caras, B terá que tirar 1, 2, ..., 2010 caras para ter mais caras do que A. Portanto, a quantidade de possibilidades será 1 + 2 + ... + 2010 = [(1+2010)*2010]/2 = 2011*1005. A quantidade de possibilidades total é 2010*2011 (para A pode ser 0, 1, 2, ..., 2009 e para B pode ser 0, 1, 2, ..., 2010). Assim, a probabilidade de B obter mais caras do que A no lançamento das moedas seria (2011*1005)/(2010*2011) = 1/2. -- Henrique
[obm-l] Re: [obm-l] Trigonometria ( equação tg)
Como podemos escrever 9pi/4 como 8pi/4 + pi/4 = 2pi + pi/4, o ângulo 9pi/4 e pi/4 são os mesmos, assim tg(9pi/4 + kpi) = tg(pi/4 + kpi). 2009/10/8 Gustavo Duarte gvdua...@hotlink.com.br A questão apresenta a seguinte equação: *tg X = tg ( 9pi )/4 *, pergunta-se: 1) A solução *X = ( 9pi)/4 + Kpi * dada como gabarito desta equação é iquivalente a soluão *X = pi/4 + Kpi* ( com k inteiro)? 2) A equação dada é equivalente a *tg x = tg pi/4 *ou seja possui soluções iguais ? ** Desde já agradeço alguma ajuda !! ** -- Henrique
Re: [obm-l] OURO PARA O BRASIL!
Existe algum site oficial da competição divulgando esses resultados? 2009/10/9 Olimpiada Brasileira de Matematica o...@impa.br OURO PARA O BRASIL! Equipe olímpica do Brasil conquista três medalhas de Ouro e uma de Bronze em Olimpíada Universitária de Matemática realizada na Colômbia O Brasil teve um ótimo desempenho na I Competição Iberoamericana Interuniversitária de Matemática – CIIM , realizada entre os dias 4 e 10 de outubro na cidade de Bogotá, Colômbia, conquistando ao todo 3 medalhas de ouro e uma de bronze. O estudante brasileiro Ramon Moreira Nunes, de Fortaleza – CE, conquistou a medalha de Ouro Especial na competição. A distinção corresponde a um prêmio especial outorgado somente aos melhores colocados dentre os ganhadores de medalha de ouro. Raphael Daigo Hirama de Campinas – SP e Edson Augusto Bezerra Lopes de Fortaleza – CE também conquistaram medalhas de ouro, enquanto Felipe Gonçalves Assis de Campina Grande – PB conquistou medalha de Bronze. A competição, realizada pela primeira vez este ano, contou com a participação de 55 estudantes e reuniu delegações de 6 países. O Brasil foi representado por uma equipe de 4 estudantes liderados pelo professor Rodrigo Villard Milet, do Rio de Janeiro – RJ. Da competição também participaram as equipes olímpicas da USP de São Paulo e do Instituto Militar de Engenharia – IME. A I Competição Iberoamericana Interuniversitária de Matemática tem a finalidade de incentivar o estudo da matemática e a excelência acadêmica na comunidade universitária iberoamericana, melhorando as capacidades científicas através da motivação e a competitividade internacional, ajudando assim ao desenvolvimento social, cultural e econômico dos países iberoamericanos. A participação brasileira na competição é organizada através da Olimpíada Brasileira de Matemática, iniciativa que desempenha um importante papel em relação à melhoria do ensino e descoberta de talentos para a pesquisa em Matemática nas modalidades de ensino fundamental e médio nas escolas públicas e privadas de todo o Brasil. A Olimpíada Brasileira de Matemática é um projeto conjunto da Sociedade Brasileira de Matemática, do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) e conta com o apoio do CNPq, do Instituto do Milênio Avanço Global e Integrado da Matemática Brasileira. Veja todos os resultados dos estudantes brasileiros Equipe Olímpica do Brasil Ramon Moreira Nunes - Medalha de Ouro Especial Rafael Daigo Hirama - Medalha de Ouro Edson Augusto Bezerra Lopes - Medalha de Ouro Felipe Gonçalves Assis - Medalha de Bronze Equipe Olímpica da Universidade de São Paulo - USP Gabriel Ponce - Medalha de Prata Rodolfo Collegari - Medalha de Bronze Equipe Olímpica do Instituto Militar de Engenharia - IME Thomás Yoiti Sasaki Hoshina - Medalha de Prata Diego Andrés de Barros Lima Barbosa - Medalha de Bronze Jordan Freitas Piva - Medalha de Bronze Kellem Corrêa Santos - Medalha de Bronze Mais informações: Assessoria de Imprensa Olimpíada Brasileira de Matemática Tel: 21-25295077 Fax: 21-25295023 e-mail:o...@impa.br e-mail%3a...@impa.br web site: www.obm.org.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Henrique
Re: [obm-l] Ligas Metalicas
Concordo com o Hugo, 5/11 é a razão entre partes de X e partes de Y, que contém frações diferentes de outro e prata. Na solução do Palmerim ele considerou 5/11 como a razão entre as massas de ouro e prata depois de fundir X e Y, mas 5 e 11 seriam quantas partes foram usadas de cada liga. E não seriam 27y/7 e 45y/7, seriam 25y/7 e 55y/7, em que a razão é 5/11 e não 5/9. A lógica da solução não é a correta. 2009/7/2 Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande...@gmail.com (...) nessa nova liga, a razão entre OURO e PRATA deve ser 5 : 11 (...) Não me parece que o enunciado diga isso. Na verdade, ele pergunta isso: (...) Qual a razao entre as massas de ouro e prata na nova liga? Na verdade, o enunciado diz: *as massas *de X e Y, na razao 5:11 Ou seja, na nova liga a razão entre o total de ouro e prata proveniente de X e o total de ouro e prata proveniente de Y é 5:11. Daí: 1 parte de X contém 2/5x de ouro e 3/5x de prata 1 parte de Y contém 3/10x de ouro e 7/10x de prata (sendo x o peso de uma parte) Na nova liga, há 5 partes de X para 11 partes de Y, portanto: 2x + 33/10x ouro para 3x + 77/10x de prata ou seja, 53/10x de ouro para 107/10x de prata ou seja, a nova razão é 53/107. Hugo. 2009/7/1 Palmerim Soares palmerimsoa...@gmail.com Olá Jose Aurimenes Na liga X há 2 partes de ouro e 3 de prata, então se 5x for a massa total da liga X, teremos 2x de ouro e 3x de prata.Usando o mesmo raciocínio para a liga Y teremos 3y de ouro e 7y de prata (a massa total da liga Y é 10y). Fundindo as massas das duas ligas, a nova liga terá: OURO: 2x + 3y ( *i* ) PRATA: 3x + 7y( *ii* ) Mas, nessa nova liga, a razão entre OURO e PRATA deve ser 5 : 11, então podemos escrever: 11(2x + 3y) = 5(3x + 7y), donde: x = 2y/7. Substitua agora este valor de x em ( *i* ) e em ( *ii* ) e você terá (na nova liga) as massas 27y/7 de OURO e 45y/7 de PRATA. Portanto, a razão (na nova liga) entre as massas de OURO e PRATA é: (27y/7) / (45y/7) que é igual a 5/9, a razão pedida. Abraços 2009/7/1 Jose Aurimenes profa...@yahoo.com.br Pessoal, peco ajuda na solucao. Dispomos de 2 ligas de ouro e prata. A liga X contem os metais, respectivamente, na razao de 2:3, e a liga Y os contem, respectivamente, na razao 3:7. Fundindo as massas de X e Y, na razao 5:11, obtemos uma nova liga. Qual a razao entre as massas de ouro e prata na nova liga? Antecipadamente agradeco. Aurimenes -- Palmerim -- Henrique
[obm-l] Re: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Números Pri mos
No começo do texto você cita que pelo teorema de Euclides existem infinitos primos, mas o teorema não é válido, pois supõe que exista um primo maior que todos e demonstra que existe um outro primo maior que o maior, gerando uma inconsistência e assim concluindo que não há um maior primo, ou seja, são infinitos. Mas quando se faz a suposição de que existe um maior primo, já é uma falha do teorema. Acredito que uma prova válida de que existem infinitos primos é através do somatório 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... que foi demonstrado por Euler e converge para infinito. 2009/6/24 Marco Bivar marco.bi...@gmail.com Caros colegas, Quero lhes contar que obtive um resultado sobre os números primos e que acho ser muito importante para a teoria dos números. Existe porém um grande problema para mim, pois não consigo ver pessoas que considerem a relevância de tal descoberta. Como sei que muitos de vocês se dedicam à teoria dos números, gostaria de compartilhar os resultados que obtive com alguns dentre vós. Primeiro, algo importante devo dizer: iniciei recentemente meu curso de Matemática na UFAM, mas este trabalho venho desenvolvendo-o muito antes, desde o ano 2005, portanto, desde já estou me considerando como matemático amador na apresentação do mesmo. O que apresento é a demonstração do Teorema da Ordinalidade dos Números Primos, com o que poderemos determinar a posição de um número primo *p*no conjunto dos números primos, para todo e qualquer valor de *p*. As consequências disso, o conjunto dos números *p*-complementares e a fórmula geral para calcular o *n*-ésimo numero primo são apresentadas na parte final do texto. Talvez eu não tenha o domínio da linguagem matemática formal necessária para descrever precisamente os fatos que observei e isso se reflete na construção do texto (mais palavras, menos letras) e no estilo. Então, àqueles que lerem o texto, considerem-no um tipo de rascunho aperfeiçoado. De qualquer maneira, acho que sei bem o que escrevi. (Afinal, as idéias são mais importantes que os símbolos que possam representá-las). Por favor, quem tiver interesse me mande um e-mail e eu lhe enviarei um PDF. (Caro colega Nicolau Saldanha, você que conhece bem o assunto, por favor me mande o e-mail). Minha única necessidade(!) neste momento é mostrar à comunidade que talvez meus resultados sejam (são!) importante para a teoria dos números e dos números primos. Sinceramente, Marco Bivar -- Henrique
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teorema da Ordin alidade dos Números Primos
2009/7/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Oi Henrique e obm-l, 2009/7/2 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: No começo do texto você cita que pelo teorema de Euclides existem infinitos primos, mas o teorema não é válido, pois supõe que exista um primo maior que todos e demonstra que existe um outro primo maior que o maior, gerando uma inconsistência e assim concluindo que não há um maior primo, ou seja, são infinitos. Isso se chama prova por (redução ao) absurdo, e consiste numa das ferramentas mais uteis em matemática (pois nem todas as demonstrações são construtivas. Ah, Euclides era (e para muitos, continua sendo) um dos grandes fundadores da logica, portanto, se você acha que uma das demonstrações dele está errada, pense bem forte, e verifique bem o que você vai dizer. No livro Os Problemas do Milênio do autor Keith Devlin (que o Marco Bivar colocou como uma das referências), ele coloca em apêndice a demonstração que Euclides fez e diz que essa demonstração não é verdadeira. Posso colocar a demonstração aqui caso necessário. Ela é lógica e simples de entender. Conheço muitos problemas que são demonstrados por absurdo (ou por contradição), mas a falha da demonstração de Euclides está onde ele diz que o novo primo gerado a partir do suposto maior primo é um novo número primo, o que pelo mencionado no livro é falso já que através de outras teorias ou listagens de primos geradas por computador esse novo número pode ser um composto. Mas quando se faz a suposição de que existe um maior primo, já é uma falha do teorema. Justamente, isso se chama a hipótese de absurdo. E é justamente por ela ser falsa que se chega a uma contradição, e o principio do terceiro excluído garante que na verdade ela é realmente falsa. Existem sistemas lógicos onde proposições não são necessariamente falsas ou verdadeiras, existindo uma terceira possibilidade, mas isso é bastante discutido em filosofia, não tanto assim em matemática (mesmo que talvez devesse sê-lo !) Acredito que uma prova válida de que existem infinitos primos é através do somatório 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... que foi demonstrado por Euler e converge para infinito. Ah, se você olhar bem, esta também é uma prova por absurdo : se fossem finitos números primos, a tal seqüência convergiria, e por um raciocínio muito esperto, se chega à conclusão de que a série harmônica divergiria, o que não é o caso ! Abraços lógicos, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Henrique
[obm-l] Re: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Números Pri mos
Você poderia me enviar o .pdf? 2009/6/24 Marco Bivar marco.bi...@gmail.com Caros colegas, Quero lhes contar que obtive um resultado sobre os números primos e que acho ser muito importante para a teoria dos números. Existe porém um grande problema para mim, pois não consigo ver pessoas que considerem a relevância de tal descoberta. Como sei que muitos de vocês se dedicam à teoria dos números, gostaria de compartilhar os resultados que obtive com alguns dentre vós. Primeiro, algo importante devo dizer: iniciei recentemente meu curso de Matemática na UFAM, mas este trabalho venho desenvolvendo-o muito antes, desde o ano 2005, portanto, desde já estou me considerando como matemático amador na apresentação do mesmo. O que apresento é a demonstração do Teorema da Ordinalidade dos Números Primos, com o que poderemos determinar a posição de um número primo *p*no conjunto dos números primos, para todo e qualquer valor de *p*. As consequências disso, o conjunto dos números *p*-complementares e a fórmula geral para calcular o *n*-ésimo numero primo são apresentadas na parte final do texto. Talvez eu não tenha o domínio da linguagem matemática formal necessária para descrever precisamente os fatos que observei e isso se reflete na construção do texto (mais palavras, menos letras) e no estilo. Então, àqueles que lerem o texto, considerem-no um tipo de rascunho aperfeiçoado. De qualquer maneira, acho que sei bem o que escrevi. (Afinal, as idéias são mais importantes que os símbolos que possam representá-las). Por favor, quem tiver interesse me mande um e-mail e eu lhe enviarei um PDF. (Caro colega Nicolau Saldanha, você que conhece bem o assunto, por favor me mande o e-mail). Minha única necessidade(!) neste momento é mostrar à comunidade que talvez meus resultados sejam (são!) importante para a teoria dos números e dos números primos. Sinceramente, Marco Bivar -- Henrique
[obm-l] Combinatória
Será que dá pra encontrar uma formulação para o seguinte problema? Sejam os números: a1, a1, a2, a3. De quantas formas podemos selecionar 3 dos 4 números de forma que a multiplicação não seja a mesma? No caso dos números dados existem 3 formas: a1*a1*a2 a1*a1*a3 a1*a2*a3 Outro exemplo: a1, a1, a2, a2, a3, a3, a4 13 formas: a1*a1*a2 a1*a1*a3 a1*a1*a4 a1*a2*a2 a1*a2*a3 a1*a2*a4 a1*a3*a3 a1*a3*a4 a2*a2*a3 a2*a2*a4 a2*a3*a3 a2*a3*a4 a3*a3*a4 -- Henrique
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
Eu coloquei números e citei a multiplicação por estar estudando a função de Möbius, mas poderiam ser letras ou quaisquer símbolos, pois o que estou tentando encontrar é uma fórmula de combinações que gere o resultado da quantidade de formas que podemos selecionar os símbolos de modo que não ocorram repetições de cada forma escolhida. Outro exemplo: A, A, B, C, D, D. Selecionar 3 a 3 os 6 elementos sem repetir. Total de 11 formas. AAB AAC AAD ABC ABD ACD ADD BCD BDD CDD Se pegamos o primeiro A, o segundo A e o primeiro D é o mesmo que pegar o segundo A, o primeiro D e o primeiro A, que seria a combinação AAD = ADA. Para ambos As e o outro D seria a mesma combinação. 2009/6/30 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Ola Henrique, a1, a2 e a3 são primos entre si ? primos ? qqer número ? Abs Felipe --- Em *ter, 30/6/09, Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com* escreveu: De: Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Assunto: [obm-l] Combinatória Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 30 de Junho de 2009, 11:16 Será que dá pra encontrar uma formulação para o seguinte problema? Sejam os números: a1, a1, a2, a3. De quantas formas podemos selecionar 3 dos 4 números de forma que a multiplicação não seja a mesma? No caso dos números dados existem 3 formas: a1*a1*a2 a1*a1*a3 a1*a2*a3 Outro exemplo: a1, a1, a2, a2, a3, a3, a4 13 formas: a1*a1*a2 a1*a1*a3 a1*a1*a4 a1*a2*a2 a1*a2*a3 a1*a2*a4 a1*a3*a3 a1*a3*a4 a2*a2*a3 a2*a2*a4 a2*a3*a3 a2*a3*a4 a3*a3*a4 -- Henrique -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Msicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/ -- Henrique
Re: [obm-l] Limite
2009/4/28 Angelo Schranko quintern...@yahoo.com.br Sim. lim (3^x - 1) / x = lim (e^(xln3) - 1) / x x-0 x-0 Fazendo: y = xln3 ln3 * lim (e^y - 1) / y y-0 Como lim (e^y - 1) / y = 1, logo: y-0 Esse limite acima seria um limite fundamental? Daria pra ser demonstrado? lim (3^x - 1) / x = ln3 x-0 [ ]´s Angelo --- Em ter, 28/4/09, Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com escreveu: De: Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Assunto: [obm-l] Limite Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 28 de Abril de 2009, 19:45 Existe uma forma algébrica de calcular o seguinte limite? lim (x - 0) (3^x - 1)/x -- Henrique Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Henrique
[obm-l] Limite
Existe uma forma algébrica de calcular o seguinte limite? lim (x - 0) (3^x - 1)/x -- Henrique
Re: [obm-l] Limite
Olá Ralph, Desculpas, coloquei errado no excel. Obrigado pela correção. 2009/4/16 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Eu tomara (tomara!) y=1/(x-1), não y=1/(1-x). É um sinalzinho de diferença. O limite era de x^(1/(1-x)), não era? Aposto que você estava colocando x^(1/(x-1)) no Excel -- assim dá e, daquele jeito dá 1/e. Abraço, Ralph 2009/4/16 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Olá Ralph e Marcelo, 2009/4/16 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com O que o Marcelo fez funciona (ele tirou a exponencicao do ln, que fica entao multiplicando do lado de fora do ln; depois ele se preocupou soh com o limite dentro de exp, tem que esquecer o exp por um instante -- esse limite de dentro eh que foi feito por L'Hopital) e eu acho que eh o jeito mais rapido. Mas, se ainda nao sabemos L'Hopital, temos a seguinte opcao: vamos fazer os limites laterais trocando variaveis. Pela direita, quando x - 1, vou tomar y=1/(x-1). Note que x - 1+ sse y - +Inf. Assim lim(x - 1+) x^[1/(1-x)] = lim(y - +Inf) (1+1/y)^(-y) = 1 / lim (y - +Inf) (1+1/y)^y=1/e Não sei se estou errado, mas seria lim(x - 1+) x^[1/(1-x)] = lim(y - +Inf) (1+1/y)^(y) e não lim(y - +Inf) (1+1/y)^(-y), já que y = 1/(1-x). Assim, a resposta seria e e não 1/e. Coloquei a fórmula no excel e para x-1, x^[1/(1-x)] tende a e. (imagino que este limite fundamental do denominador tenha sido feito previamente, talvez ateh como a definicao de e, senao temos que trabalhar mais) Para x - 1-, vou tomar z=1/(1-x). Note que, de novo, z - +Inf (eu mudei a variavel porque odeio trabalhar com -Inf, eu sempre me enrolo). Entao x=1-1/z, e: lim(x - 1-) x^[1/(1-x)] = lim(z - +Inf) (1-1/z)^z = 1/e (Este tambem jah deve ter sido feito... senao, faca agora z=h+1 e escreva: lim (h - +inf) (1-1/(h+1))^(h+1) = lim (h/(h+1))^(h+1) = 1/ [lim ((h+1)/h)^h . lim (h+1)/h]= 1/(e.1)=1/e.) Abraco, Ralph 2009/4/16 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Olá Marcelo, Desculpe, mas não entendi sua solução. Seria x^[1/(1-x)] = exp(ln x^[1/(1-x)]) como o Leandro citou e não exp[ln(x)/(1-x)]? O teorema de L'Hôpital seria que para derivadas (que são limites, certo?) onde surge uma indeterminação pode-se calcular a derivada da função tantas vezes quanto necessário e quando for possível (não existir mais a indeterminação) calcula-se o valor da função. Não entendi como você chegou em exp[(1/x)/(-1)]. Eu não mencionei, mas o exercício está num capítulo sobre limites. Assim, acredito que a solução não seria através de derivadas ou do Teorema de L'Hôpital. Obrigado! Abraços 2009/4/15 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Olá Henrique, x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] = exp(-1/x) Logo, o limite vale 1/e. abraços, Salhab 2009/4/15 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Existe uma solução algébrica para o seguinte limite? lim, x-1, x^[1/(1-x)] -- Henrique -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Henrique
Re: [obm-l] Limite
Olá Marcelo, Desculpe, mas não entendi sua solução. Seria x^[1/(1-x)] = exp(ln x^[1/(1-x)]) como o Leandro citou e não exp[ln(x)/(1-x)]? O teorema de L'Hôpital seria que para derivadas (que são limites, certo?) onde surge uma indeterminação pode-se calcular a derivada da função tantas vezes quanto necessário e quando for possível (não existir mais a indeterminação) calcula-se o valor da função. Não entendi como você chegou em exp[(1/x)/(-1)]. Eu não mencionei, mas o exercício está num capítulo sobre limites. Assim, acredito que a solução não seria através de derivadas ou do Teorema de L'Hôpital. Obrigado! Abraços 2009/4/15 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Olá Henrique, x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] = exp(-1/x) Logo, o limite vale 1/e. abraços, Salhab 2009/4/15 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Existe uma solução algébrica para o seguinte limite? lim, x-1, x^[1/(1-x)] -- Henrique -- Henrique
Re: [obm-l] Limite
Olá Ralph e Marcelo, 2009/4/16 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com O que o Marcelo fez funciona (ele tirou a exponencicao do ln, que fica entao multiplicando do lado de fora do ln; depois ele se preocupou soh com o limite dentro de exp, tem que esquecer o exp por um instante -- esse limite de dentro eh que foi feito por L'Hopital) e eu acho que eh o jeito mais rapido. Mas, se ainda nao sabemos L'Hopital, temos a seguinte opcao: vamos fazer os limites laterais trocando variaveis. Pela direita, quando x - 1, vou tomar y=1/(x-1). Note que x - 1+ sse y - +Inf. Assim lim(x - 1+) x^[1/(1-x)] = lim(y - +Inf) (1+1/y)^(-y) = 1 / lim (y - +Inf) (1+1/y)^y=1/e Não sei se estou errado, mas seria lim(x - 1+) x^[1/(1-x)] = lim(y - +Inf) (1+1/y)^(y) e não lim(y - +Inf) (1+1/y)^(-y), já que y = 1/(1-x). Assim, a resposta seria e e não 1/e. Coloquei a fórmula no excel e para x-1, x^[1/(1-x)] tende a e. (imagino que este limite fundamental do denominador tenha sido feito previamente, talvez ateh como a definicao de e, senao temos que trabalhar mais) Para x - 1-, vou tomar z=1/(1-x). Note que, de novo, z - +Inf (eu mudei a variavel porque odeio trabalhar com -Inf, eu sempre me enrolo). Entao x=1-1/z, e: lim(x - 1-) x^[1/(1-x)] = lim(z - +Inf) (1-1/z)^z = 1/e (Este tambem jah deve ter sido feito... senao, faca agora z=h+1 e escreva: lim (h - +inf) (1-1/(h+1))^(h+1) = lim (h/(h+1))^(h+1) = 1/ [lim ((h+1)/h)^h . lim (h+1)/h]= 1/(e.1)=1/e.) Abraco, Ralph 2009/4/16 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Olá Marcelo, Desculpe, mas não entendi sua solução. Seria x^[1/(1-x)] = exp(ln x^[1/(1-x)]) como o Leandro citou e não exp[ln(x)/(1-x)]? O teorema de L'Hôpital seria que para derivadas (que são limites, certo?) onde surge uma indeterminação pode-se calcular a derivada da função tantas vezes quanto necessário e quando for possível (não existir mais a indeterminação) calcula-se o valor da função. Não entendi como você chegou em exp[(1/x)/(-1)]. Eu não mencionei, mas o exercício está num capítulo sobre limites. Assim, acredito que a solução não seria através de derivadas ou do Teorema de L'Hôpital. Obrigado! Abraços 2009/4/15 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Olá Henrique, x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] = exp(-1/x) Logo, o limite vale 1/e. abraços, Salhab 2009/4/15 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Existe uma solução algébrica para o seguinte limite? lim, x-1, x^[1/(1-x)] -- Henrique -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Henrique
[obm-l] Limite
Existe uma solução algébrica para o seguinte limite? lim, x-1, x^[1/(1-x)] -- Henrique
Re: [obm-l] geometria areas e cevianas
O problema está escrito incorretamente, não? Em um alguma coisa DABC, AD, BE (E?), CF (F?) são concorrentes no ponto P... 2009/2/18 João Gabriel Preturlan jgpretur...@uol.com.br Boa Tarde! Gostaria de ajuda com o seguinte problema: Em um DABC, AD, BE, CF são concorrentes no ponto P tal que AP=PD=6, EP=3, PB=9 e CF=20. Qual é a área do DABC? Desde já agradeço. *João Gabriel Preturlan* A Palavra de Deus até os confins da Terra! Acesse: http://www.assembleia.org.br/ -- Henrique
Re: [obm-l] ajuda!!!!
Outra forma de resolver. Suponha que o muro terminado tenha 100 cm. Como o operário 1 termina em 5 dias sozinho, cada dia ele faz 20 cm. Os dois juntos levam 4 dias, seriam 25 cm por dia. Esse acréscimo de 5 cm pode ser considerado como feito pelo operário 2, ou seja, o operário 2 faz 5 cm de muro por dia. Para totalizar os 100 cm, caso ele fizesse sozinho, seriam necessários 100 / 5 = 20 dias. 2009/2/17 Debora Bagatin deborab...@ufpr.br DOIS OPERÁRIOS CONSTROEM UM MURO EM QUATRO DIAS. UM DELES, TRABALHANDO SOZINHO, CONSTRÓI O MESMO MURO EM 5 DIAS. PERGUNTA-SE: EM QUANTOS DIAS O OUTRO OPERÁRIO, TRABALHANDO SOZINHO, CONSEGUIRIA EXECUTAR A MESMA TAREFA? Este exercício se encontra no conteúdo de regra de tres simples de um livro do ensino fundamental. A resposta indicada é 20 dias, porem nao consigo encontrar uma lógica na sua resolução. Alguem pode me ajudar? Obrigado Debora = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Henrique
Re: [obm-l] aderente?
2009/1/28 Artur Costa Steiner artur.stei...@mme.gov.br
Se α pertencer a A, entao α eh automaticamente aderente a A (pertence ao
fecho de A).
A definição de aderência de um elemento a um conjunto é pertencer ao fecho
do conjunto? O que seria fecho de um conjunto?
Se α nao pertencer a A, entao, pela definicao de supremo, para todo eps 0
existe a em A tal que α - eps a α, do que deduzimos que toda vizinhanca
de α contem um elemento de A distinto de α. Logo, α eh ponto de acumulacao
de A, o que implica automaticamente que seja derente a A (esta em seu
fecho).
Assim, um conjunto poderia ter vários pontos de acumulação, sendo um para
cada elemento? E todo ponto de acumulação depende de todo ou algum valor
de eps? Se for todo poderia não existir o ponto de acumulação ou então
poderiam ser pontos de acumulação distintos para cada 'a'?
Nao eh verdade que α seja sempre ponto de acumulacao de A. Se α nao
pertencer a A, entao, conforme vimos, a afirmacao eh sempre verdaeira; mas,
se α pertencer a A, entao α pode ou nao ser ponto de acumulacao de A. Se A
= {1,2,3}, entao 3 eh supremo de A e A, sendo finito, nao possui nenhum
ponto de acumulacao. Se A = (0,1) U {2}, entao sup A = 2 e 2 nao eh ponto de
acumulacao de A. Mas se A = [0,1], entao sup A = 1 pertence a A e eh ponto
de acumulacao de A.
No conjunto [0,1], por que 1 é ponto de acumulação? Não deveria existir um
elemento maior que 1 pela definição?
[Artur Costa Steiner]
-Mensagem original-
*De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br]*em
nome de *Carlos Silva da Costa
*Enviada em:* domingo, 25 de janeiro de 2009 15:58
*Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
*Assunto:* [obm-l] aderente?
Pessoal,
poderiam me ajudar nessa questão?
Seja A ⊆ R limitado superiormente e seja α = sup A. Mostre que α e
aderente a A. E sempre verdade que α e um ponto de acumulacao de A?
obrigado,
abraços,
Carlos
--
Henrique
[obm-l] Re: [obm-l] Questão do Moysés Nussenzveig
Quando o ponteiro dos segundos percorrer 1s o ponteiro dos minutos terá percorrido 1/60min. Quando o ponteiro dos segundos percorrer 2s o ponteiro dos minutos terá percorrido 2/60min. Assim, quando o ponteiro dos segundos percorrer 60s o ponteiro dos minutos terá percorrido 60/60 = 1min. Logo, quando o ponteiro dos segundos está numa posição entre 1 e 59 inclusive, o ponteiro dos minutos está entre 2 posições, só ficando sobre uma posição quando os segundos atingirem 60. O único momento em que eles se encontram, ou seja, ficam um sobre o outro na mesma posição, é depois de 60 minutos ou 3600 segundos. O ponteiro das horas só chegará nesse ponto depois de 12h. Como são meio dia, o próximo horário será às 0h. 2009/1/19 Felipe Régis blut...@gmail.com Olá pessoal da lista, gostaria de pedir uma ajudinha com uma questão do Física Básica Vol 1, cap 3. Como achar, depois do meio dia, a hora em que pela primeira vez os 3 ponteiros de um relógio vão se encontrar? Bem, eu achei os períodos de encontro entre os ponteiros 2 a 2 (min-seg, min-hora, seg-hora). Sei que vão se encontrar no menor múltiplo comum... no entanto, os períodos são números decimais. Não sei se existe mmc de números decimais, nem sei como calculá-los. Alguém tem alguma sugestão? Resposta: meia noite. -- Henrique
Re: [obm-l] representação de pares ordenados
Realmente fiquei confuso. Você utilizou que (a, b) = { {a, b}, b } e em uma
mensagem anterior o Marcelo colocou que (a, b) = { {a}, {a, b} }. Assim, {
{a, b}, b } = { {a}, {a, b} }, o que não é verdade. Abaixo você escreve uma
das opções da definição de par ordenado, ou seja, poderiam haver diversos
conjuntos representando o mesmo par ordenado?
{ {a}, {a, b}, {a, c} } seria (a, b, c) ?
Nao serve pois teriamos (a,b,c)=(a,c,b), mesmo que bc.
{ {a}, {a, b}, {b, c} } seria (a, b, c) ?
Nao serve pois teriamos (a,b,a)=(a,a,b), mesmo que ab.
Não entendi essas observações.
Desculpe se estou parecendo chato persistindo nas explicações, mas esse
conceito não parece simples de definir e estou curioso procurando
entendê-lo.
2009/1/14 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Como alguem jah disse, essas definicoes sao interessantes sob o ponto
de vista formal, mas pra mim sacais demais para usar de verdade. Mas
vamos lah: vou usar:
(a,b)={{a,b},b}
Se voce realmente quiser generalizar para n-plas ordenadas, uma opcao
eh definir recursivamente:
(a1, a2,...,an)=((a1,a2,...,an-1),an)
ou seja, uma n-pla de objetos eh um par ordenado, cujo primeiro termo
eh uma (n-1)-pla ordenada e o segundo termo eh o ultimo objeto.
Usando isto e (a,b)={{a,b},b} (que eh uma das opcoes da definicao de
par ordenado), ficaria:
(a,b,c)=((a,b),c)={ {(a,b),c} ,c}={ { {{a,b},b} ,c},c}
Horrivel! Nao tenho nem coragem para ver se esta multitude de chaves
estah correta :)
Como voce mesmo colocou, aquelas tentativas de definicao de tripla
ordenada nao servem. Em resumo:
{ {a}, {a, b}, {a, c} } seria (a, b, c) ?
Nao serve pois teriamos (a,b,c)=(a,c,b), mesmo que bc.
{ {a}, {a, b}, {b, c} } seria (a, b, c) ?
Nao serve pois teriamos (a,b,a)=(a,a,b), mesmo que ab.
Abraco,
Ralph
2009/1/14 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com:
Alguém poderia explicar as dúvidas que coloquei? Estaria errada a forma
como
pensei os exemplos?
On Fri, Jan 9, 2009 at 4:36 PM, Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com
wrote:
E os seguintes casos?
1:
{ {a}, {a, b}, {a, c} } seria (a, b, c) ?
{ {a}, {a, b}, {b, c} } seria (a, b, c) ?
Conjuntos diferentes correspondendo ao mesmo par ordenado.
2:
{ {a}, {a, b}, {b} } seria (a, b, ?) ou (a, b, b)?
{ {b}, {a, b}, {a} } seria (b, a, ?) ou (b, a, a)?
Conjuntos iguais correspondendo a pares ordenados diferentes.
O número de elementos no conjunto (sejam outros conjuntos ou não) é que
especifica quantos elementos haverá no par ordenado? No caso 2, como a e
b
já foram usados, qual seria o terceiro elemento do par ordenado?
Estou pegando o conceito errado?
--
Henrique
--
Henrique
--
Henrique
Re: [obm-l] representação de pares ordenados
Obrigado Ralph! Entendi muito bem a idéia da definição. Foi uma explicação
bem clara.
2009/1/15 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Oi, Henrique.
Resposta curta:
1. Sim, ha varias opcoes -- mas nao eh **uma** definicao de par
ordenado que lhe dah varias opcoes de conjunto! Sao varias opcoes PARA
A DEFINICAO que voce vai usar. Escolha uma definicao, use-a, mas fique
soh com ela, ateh o final.
Por exemplo: tem gente que define os numeros naturais contendo o 0 (eu
gosto assim, acho que o Nicolau tambem), tem gente que define
comecando pelo 1 (o Elon, por exemplo, nos seus livros). Como nao ha
um consenso sobre qual destas definicoes eh a *correta*, a gente tem
que dizer qual definicao estah usando sempre que necessario. A unica
coisa que eu nao posso eh usar as DUAS DEFINICOES ao mesmo tempo -- ai
teriamos que 0 eh natural e nao eh ao mesmo tempo, e toda a minha
matematica vai por agua abaixo.
2. Para as triplas, voce escolhe a definicao que voce quiser, ou ateh
inventa uma nova. Mas eh muito importante que valha o seguinte:
(a,b,c)=(d,e,f) se e somente se a=d, b=e e c=f.
Se voce inventar uma definicao que nao satisfaca isso (uma onde
(1,2,3)=(1,3,2) ou algo assim), bom, suas triplas ordenadas nao terao
as mesmas propriedades de todas as triplas ordenadas que todo mundo
usa. Isso que eu quis dizer com nao serve.
---
Resposta comprida:
Como definir um par ordenado (e, consequentemente, definir AxB, isto
eh, A cartesiano B)? O que *queremos* eh o seguinte:
DEFINICAO 1. Um par ordenado (a,b) eh um objeto que tem a seguinte
propriedade: (a1,b1)=(a2,b2) se e somente se a1=a2 e b1=b2.
Se voce parar para pensar, esta eh realmente a *unica* propriedade que
precisamos dos pares ordenados -- soh sao iguais quando ambas as
componentes sao RESPECTIVAMENTE iguais. Agora, isto eh um pouco
estranho. Afinal, quando voce define um objeto por uma propriedade,
quem garante que existe ALGUM objeto no mundo que a satisfaz?
...
Bom, tem um pessoal que prefere a seguinte definicao:
DEFINICAO 2. Um par ordenado (a,b) eh o conjunto {{a,b},b}.
A vantagem desta eh que ela eh construtiva (bom, ela soh faz uso da
Teoria dos Conjuntos). Agora, tem gente que usa outras pequenas
variacoes, como (a,b)={{a,b},a} ou outras coisas parecidas. Que eu
saiba, nao existe um consenso (e um dos motivos de nao haver um padrao
eh que ninguem usa pra valer a definicao 2 ou suas variantes -- todo
mundo soh usa a propriedade dentro da DEFINICAO 1, que eh mais simples
e, no final, eh o que interessa).
O que fica faltando aqui eh mostrar que o objeto definido pela DEF2
tem de fato a propriedade lah da DEF1 (que, lembre-se, eh o que
queremos de fato). Entao, para sermos rigorosamente logicos,
precisamos provar:
PROPOSICAO: {{a1,b1},b1}={{a2,b2},b2} se e somente se a1=b1 e a2=b2.
Se a1, b1, a2, b2 forem objetos quaisquer, demonstrar isto eh
surpreendentemente dificil. A unica demonstracao que eu tenho precisa
usar um CANHAO de lema que eu nem sei se eh consenso entre os
matematicos: a ideia de que, na Teoria dos Conjuntos, eh proibido ter
um conjunto que pertenca a si mesmo ou a qualquer de seus elementos...
Se a1, b1, a2, b2 forem restritos a numeros, eu sei fazer: nao pode
ser b1={a2,b2} nem b2={a1,b1} (jah que o da esquerda eh um numero e o
da direita eh um conjunto de numeros); entao b1=b2 e {a1,b1}={a2,b2}.
Mas entao {a1,b1}={a2,b1}. Ou estes conjuntos sao ambos unitarios
(entao a1=b1 e a2=b1, donde vem a1=a2), ou ambos tem dois elementos
(entao para os conjuntos serem iguais devemos ter a1=a2).
Isto cuida da IDA do se e somente se. A volta eh imediata. CQD.
Em suma, mostramos que o objeto da DEFINICAO 2 tem a propriedade que
estah na DEFINICAO 1. O engracado eh que, agora, podemos voltar a usar
a definicao 1 sem problema algum -- a definicao 2 junto com a
PROPOSICAO mostram que ha, de fato, objetos que satisfazem a DEFINICAO
1, entao o grande defeito da DEFINICAO 1 acaba de sumir!
Puxa, eu sou prolixo demais. Serah que alguem se deu ao trabalho de
ler tudo isso? :)
Abraco,
Ralph
2009/1/15 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com:
Realmente fiquei confuso. Você utilizou que (a, b) = { {a, b}, b } e em
uma
mensagem anterior o Marcelo colocou que (a, b) = { {a}, {a, b} }. Assim,
{
{a, b}, b } = { {a}, {a, b} }, o que não é verdade. Abaixo você escreve
uma
das opções da definição de par ordenado, ou seja, poderiam haver
diversos
conjuntos representando o mesmo par ordenado?
{ {a}, {a, b}, {a, c} } seria (a, b, c) ?
Nao serve pois teriamos (a,b,c)=(a,c,b), mesmo que bc.
{ {a}, {a, b}, {b, c} } seria (a, b, c) ?
Nao serve pois teriamos (a,b,a)=(a,a,b), mesmo que ab.
Não entendi essas observações.
Desculpe se estou parecendo chato persistindo nas explicações, mas esse
conceito não parece simples de definir e estou curioso procurando
entendê-lo.
2009/1/14 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Como alguem jah disse
