[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos e equações

[Prof. Douglas Oliveira]

Opa mestre Claudio, muito obrigado, gostei da solução.

Douglas Oliveira

Em qua, 17 de jun de 2020 17:00, Claudio Buffara 
escreveu:

> Aquele 1+i sugere que se forme uma equação em z, onde z = (1+i)/raiz(2) *
> x, ou seja, cujas raízes sejam as da equação original giradas de 45 graus
> no sentido anti-horário e sem coeficientes complexos.
> z = (1+i)/raiz(2) * x ==> x = (1-i)/raiz(2) * z
> Assim, x^4 + 4(1+i)x + 1 = 0 ==> -z^4 + 4*raiz(2)*z + 1 = 0
> Consideremos f(z) = z^4 - 4*raiz(2)*z - 1  (multiplicar os coeficientes
> por -1 não altera as raízes).
> f(-1) = 4*raiz(2) > 0
> f(0) = -1 < 0
> f(raiz(2)) = -5 < 0
> f(2) =15 - 8*raiz(2) > 0 ==> f tem (pelo menos) duas raízes reais: uma
> entre -1 e 0 e outra entre raiz(2) e 2.
> Mas f'(z) = 4z^3 - 4*raiz(2) ==> f'(z) < 0 para z < 2^(1/6) (logo, para z
> < 0) e f'(z) > 0 para z > 2^(1/6) (logo, para z > raiz(2)), de modo que
> estas são as únicas raízes reais de f.
> Se duas das raízes da equação original, ao serem giradas de 45 graus no
> sentido anti-horário, se tornam reais, então aquelas raízes estavam na reta
> Im(z) = -Re(z).
> Além disso, como, após giradas, uma se tornou negativa e a outra positiva,
> isso significa que a primeira está no 2o quadrante e a segunda no 4o
> quadrante.
>
> Dadas as magnitudes das raízes giradas (a primeira entre -1 e 0 e a
> segunda maior do que raiz(2)), também concluímos que a soma delas está no
> 4o quadrante, ou seja, é da forma p*(1-i), com p > 0.
> Além disso, o produto delas é da forma (1/q)*i, com q > 0.
>
> Chame as outras duas raízes da equação original de a e b.
> Então, como a soma das raízes é zero, vale a+b = -p(1-i) = p(-1+i): um
> ponto do 2o quadrante sobre a reta Im(z) = -Re(z)   (1)
> Como o produto das raízes é 1, vale a*b = -q*i, um ponto do eixo
> imaginário negativo
> A localização do produto a*b implica que a/|a| e b/|b| são números
> complexos (de módulo unitário) e simétricos em relação à reta Im(z) =
> -Re(z)   (2)
> (1) e (2) implicam que a e b têm o mesmo módulo R
>
> (2) também implica que, sobre a e b:
> OU ambos pertencem ao 2o quadrante
> OU um deles pertence ao 1o e o outro ao 3o quadrante
> OU ambos pertencem ao 4o quadrante.
>
> De cara dá pra eliminar a última alternativa, já que isso implicaria que
> a+b pertence ao 4o quadrante, o que não é o caso.
>
> Resta eliminar a 1a alternativa.
> Assim, suponhamos que a e b pertencem ao 2o quadrante.
>
> Neste caso, a+b = p(-1+i) ==> |a+b| = p*raiz(2) > R*raiz(2) ==> 2*p^2 >
> 2*R^2
> E também, de qualquer jeito, ab = -qi ==> q = R^2
>
> Da equação, também sabemos que ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0 ==>
> ab + cd + (a+b)(c+d) = 0 ==>
> -q*i + (1/q)*i + p(-1+i)*p*(1-i) = 0 ==>
> 1/q - q + 2p^2 = 0
> 1/q - q + 2R^2 < 0 ==>
> 1/R^2 - R^2 + 2*R^2 < 1/R^2 + < 0 ==> contradição ==> a e b não pertencem
> ao 2o quadrante.
>
> Logo, temos que concluir que, sobre as outras duas raízes, que uma
> pertence ao 1o e a outra ao 3o quadrante.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Wed, Jun 17, 2020 at 9:01 AM Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>
>> Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da
>> equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e
>> percebi que existe uma em cada quadrante.
>>
>> Mas não consigo achar uma saída.
>>
>> Obrigado.
>> Douglas Oliveira
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Números complexos e equações

[Claudio Buffara]

Aquele 1+i sugere que se forme uma equação em z, onde z = (1+i)/raiz(2) *
x, ou seja, cujas raízes sejam as da equação original giradas de 45 graus
no sentido anti-horário e sem coeficientes complexos.
z = (1+i)/raiz(2) * x ==> x = (1-i)/raiz(2) * z
Assim, x^4 + 4(1+i)x + 1 = 0 ==> -z^4 + 4*raiz(2)*z + 1 = 0
Consideremos f(z) = z^4 - 4*raiz(2)*z - 1  (multiplicar os coeficientes por
-1 não altera as raízes).
f(-1) = 4*raiz(2) > 0
f(0) = -1 < 0
f(raiz(2)) = -5 < 0
f(2) =15 - 8*raiz(2) > 0 ==> f tem (pelo menos) duas raízes reais: uma
entre -1 e 0 e outra entre raiz(2) e 2.
Mas f'(z) = 4z^3 - 4*raiz(2) ==> f'(z) < 0 para z < 2^(1/6) (logo, para z <
0) e f'(z) > 0 para z > 2^(1/6) (logo, para z > raiz(2)), de modo que estas
são as únicas raízes reais de f.
Se duas das raízes da equação original, ao serem giradas de 45 graus no
sentido anti-horário, se tornam reais, então aquelas raízes estavam na reta
Im(z) = -Re(z).
Além disso, como, após giradas, uma se tornou negativa e a outra positiva,
isso significa que a primeira está no 2o quadrante e a segunda no 4o
quadrante.

Dadas as magnitudes das raízes giradas (a primeira entre -1 e 0 e a segunda
maior do que raiz(2)), também concluímos que a soma delas está no 4o
quadrante, ou seja, é da forma p*(1-i), com p > 0.
Além disso, o produto delas é da forma (1/q)*i, com q > 0.

Chame as outras duas raízes da equação original de a e b.
Então, como a soma das raízes é zero, vale a+b = -p(1-i) = p(-1+i): um
ponto do 2o quadrante sobre a reta Im(z) = -Re(z)   (1)
Como o produto das raízes é 1, vale a*b = -q*i, um ponto do eixo imaginário
negativo
A localização do produto a*b implica que a/|a| e b/|b| são números
complexos (de módulo unitário) e simétricos em relação à reta Im(z) =
-Re(z)   (2)
(1) e (2) implicam que a e b têm o mesmo módulo R

(2) também implica que, sobre a e b:
OU ambos pertencem ao 2o quadrante
OU um deles pertence ao 1o e o outro ao 3o quadrante
OU ambos pertencem ao 4o quadrante.

De cara dá pra eliminar a última alternativa, já que isso implicaria que
a+b pertence ao 4o quadrante, o que não é o caso.

Resta eliminar a 1a alternativa.
Assim, suponhamos que a e b pertencem ao 2o quadrante.

Neste caso, a+b = p(-1+i) ==> |a+b| = p*raiz(2) > R*raiz(2) ==> 2*p^2 >
2*R^2
E também, de qualquer jeito, ab = -qi ==> q = R^2

Da equação, também sabemos que ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0 ==>
ab + cd + (a+b)(c+d) = 0 ==>
-q*i + (1/q)*i + p(-1+i)*p*(1-i) = 0 ==>
1/q - q + 2p^2 = 0
1/q - q + 2R^2 < 0 ==>
1/R^2 - R^2 + 2*R^2 < 1/R^2 + < 0 ==> contradição ==> a e b não pertencem
ao 2o quadrante.

Logo, temos que concluir que, sobre as outras duas raízes, que uma pertence
ao 1o e a outra ao 3o quadrante.

[]s,
Claudio.


On Wed, Jun 17, 2020 at 9:01 AM Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:

> Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da
> equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e
> percebi que existe uma em cada quadrante.
>
> Mas não consigo achar uma saída.
>
> Obrigado.
> Douglas Oliveira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Números complexos e equações

[Prof. Douglas Oliveira]

Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da
equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e
percebi que existe uma em cada quadrante.

Mas não consigo achar uma saída.

Obrigado.
Douglas Oliveira

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[obm-l] Números complexos (valor mínimo)

[Prof. Douglas Oliveira]

Olá amigos, gostaria de uma ajuda.
Sem usar derivadas...
Como calcular o valor mínimo de lz^4+z+1/2l^2 onde o modelo de z vale 1.

Saudacoes
Douglas Oliveira

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[obm-l] Números complexos

[Alexandre Antunes]

Bom dia,

Quais as raízes cúbicas de -1?

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[obm-l] Números complexos

[Israel Meireles Chrisostomo]

Olá pessoal, gostaria de saber se é possível resolver a equação:

(x+i)^{4n}=Re(z)

onde z é um número complexo qualquer e Re(z) denota a parte real de z.Isto
é, em outras palavras gostaria de saber todos os valores de x para os
quais (x+i)^{4n} é real .De cara, dá para ver que x=0 é um desses valores,
mas como provo que esse é o único(ou não)...

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Re: [obm-l] [obm-l] Números Complexos

[mathhawk2003]

u=wi=>u=(zi)i=>u=zi^2.:u=-z.
(alternativa "a")

 Mensagem original De : Daniel Rocha 
<daniel.rocha@gmail.com> Data:10/07/2016  13:04  (GMT-03:00) 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] [obm-l] 
Números Complexos 
Alguém poderia, por favor, solucionar o problema abaixo:

Os números complexos z, w, u são tais que w/z = u/w = i (i é a unidade 
imaginária). É correto afirmar que:

a) z é oposto de u.
b) z é o conjugado de u.
c) z é o quadrado de u.
d) z é igual a u.
e) z é igual a u + w.


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acredita-se estar livre de perigo.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Números Complexos

[Daniel Rocha]

Muito Obrigado, Carlos !!!

Em 10 de julho de 2016 22:05, Carlos Gomes  escreveu:

> Olá Daniel,
>
> vc faz assim,
>
> Ora, como w/z=u/w=i, segue que w=i.z e u=i.w. Assim,
>
> u=i.w=i.(i.z)=i^2.z=-1.z=-z ==> z=-u , ou seja, z é o posto de u.
> (Alternativa "a")
>
> Abraco, Cgomes.
>
> Em 10 de julho de 2016 13:04, Daniel Rocha 
> escreveu:
>
>> Alguém poderia, por favor, solucionar o problema abaixo:
>>
>> Os números complexos z, w, u são tais que w/z = u/w = i (i é a unidade
>> imaginária). É correto afirmar que:
>>
>> a) z é oposto de u.
>> b) z é o conjugado de u.
>> c) z é o quadrado de u.
>> d) z é igual a u.
>> e) z é igual a u + w.
>>
>>
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>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Números Complexos

[Carlos Gomes]

Olá Daniel,

vc faz assim,

Ora, como w/z=u/w=i, segue que w=i.z e u=i.w. Assim,

u=i.w=i.(i.z)=i^2.z=-1.z=-z ==> z=-u , ou seja, z é o posto de u.
(Alternativa "a")

Abraco, Cgomes.

Em 10 de julho de 2016 13:04, Daniel Rocha 
escreveu:

> Alguém poderia, por favor, solucionar o problema abaixo:
>
> Os números complexos z, w, u são tais que w/z = u/w = i (i é a unidade
> imaginária). É correto afirmar que:
>
> a) z é oposto de u.
> b) z é o conjugado de u.
> c) z é o quadrado de u.
> d) z é igual a u.
> e) z é igual a u + w.
>
>
> --
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> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] [obm-l] Números Complexos

[Daniel Rocha]

Alguém poderia, por favor, solucionar o problema abaixo:

Os números complexos z, w, u são tais que w/z = u/w = i (i é a unidade
imaginária). É correto afirmar que:

a) z é oposto de u.
b) z é o conjugado de u.
c) z é o quadrado de u.
d) z é igual a u.
e) z é igual a u + w.

-- 
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[obm-l] Números complexos

[Vanderlei Nemitz]

Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do
Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos:

*No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e C,
respectivamente, demonstre que *

*a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)*

*Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices do
triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) + 1
= 0.*

Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde
utilizar a identidade sugerida.

Obrigado,

Vanderlei

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Números complexos

[Willy George Amaral Petrenko]

Vc quer uma dica ou a solução?

Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a ver
com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária na
igualdade acima, o 1 morre.

Se quiser a solução responde.

2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do
 Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos:

 *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e C,
 respectivamente, demonstre que *

 *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)*

 *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices
 do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) +
 1 = 0.*

 Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde
 utilizar a identidade sugerida.

 Obrigado,

 Vanderlei

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos

[Vanderlei Nemitz]

Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado para
prosseguir.

Muito obrigado pela ajuda!

Vanderlei

Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko 
wgapetre...@gmail.com escreveu:

 Vc quer uma dica ou a solução?

 Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a ver
 com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária na
 igualdade acima, o 1 morre.

 Se quiser a solução responde.

 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do
 Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos:

 *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e
 C, respectivamente, demonstre que *

 *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)*

 *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices
 do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) +
 1 = 0.*

 Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde
 utilizar a identidade sugerida.

 Obrigado,

 Vanderlei

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 acredita-se estar livre de perigo.



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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos

[Willy George Amaral Petrenko]

A = z1; B = z2; C = z3

(z1-z2) é o vetor correspondente ao lado c. (z1-z2)/(z1-z3) é um complexo
que tem argumento igual ao ângulo Â. Então pela igualdade:

(z1-z2)/(z1-z3) + (z2-z3)/(z1-z3) + 1 = Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z
1-z3)} = 0 = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen  =  |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C = |(z1
-z2)| * sen  =  |(z2-z3)| * sen C = c senA = a senC = a/senA = c/senC.
cqd

2014-09-08 12:31 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado para
 prosseguir.

 Muito obrigado pela ajuda!

 Vanderlei

 Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko 
 wgapetre...@gmail.com escreveu:

 Vc quer uma dica ou a solução?

 Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a ver
 com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária na
 igualdade acima, o 1 morre.

 Se quiser a solução responde.

 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do
 Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos:

 *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e
 C, respectivamente, demonstre que *

 *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)*

 *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices
 do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) +
 1 = 0.*

 Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde
 utilizar a identidade sugerida.

 Obrigado,

 Vanderlei

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos

[Vanderlei Nemitz]

Valeu, Willy! Só não ficou muito clara a seguinte passagem:

 Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z1-z3)} = 0 = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen Â
 =  |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C

Como que a soma nula transformou-se em uma igualdade?

Obrigado!


Em 8 de setembro de 2014 13:07, Willy George Amaral Petrenko 
wgapetre...@gmail.com escreveu:

 A = z1; B = z2; C = z3

 (z1-z2) é o vetor correspondente ao lado c. (z1-z2)/(z1-z3) é um complexo
 que tem argumento igual ao ângulo Â. Então pela igualdade:

 (z1-z2)/(z1-z3) + (z2-z3)/(z1-z3) + 1 = Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3
 )/(z1-z3)} = 0 = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen  =  |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C
 = |(z1-z2)| * sen  =  |(z2-z3)| * sen C = c senA = a senC = a/senA =
 c/senC. cqd

 2014-09-08 12:31 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado para
 prosseguir.

 Muito obrigado pela ajuda!

 Vanderlei

 Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko 
 wgapetre...@gmail.com escreveu:

 Vc quer uma dica ou a solução?

 Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a
 ver com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária
 na igualdade acima, o 1 morre.

 Se quiser a solução responde.

 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro
 do Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números 
 complexos:

 *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e
 C, respectivamente, demonstre que *

 *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)*

 *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os
 vértices do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 –
 z3)/(z3 – z1) + 1 = 0.*

 Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde
 utilizar a identidade sugerida.

 Obrigado,

 Vanderlei

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos

[Willy George Amaral Petrenko]

Ah sim, eu fui um pouco descuidado com o sinal _ o que quer dizer que eu
errei :( mas a ideia está certa:)

Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z1-z3)} = 0 = Im{(z1-z2)/(z1-z3)} = Im{(z
3-z2)/(z1-z3)}

Aqui só se pode afirmar que Im{(z1-z2)/(z1-z3)} = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen
Â, dependendo da orientação do triângulo (ou seja, dependendo se o complexo
z1-z2 tem argumento maior do que o complexo z1-z3). Caso contrário seria
..sen - Â. Mas aí vc repara que independente da orientação, ambos Im{(z1
-z2)/(z1-z3)} e Im{(z3-z2)/(z1-z3)} tem o mesmo sinal. Daí, tendo em vista
que sen (- Â) = - sen Â, segue o raciocínio normalmente.

2014-09-08 22:15 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Valeu, Willy! Só não ficou muito clara a seguinte passagem:

  Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z1-z3)} = 0 = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen
 Â  =  |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C

 Como que a soma nula transformou-se em uma igualdade?

 Obrigado!


 Em 8 de setembro de 2014 13:07, Willy George Amaral Petrenko 
 wgapetre...@gmail.com escreveu:

 A = z1; B = z2; C = z3

 (z1-z2) é o vetor correspondente ao lado c. (z1-z2)/(z1-z3) é um
 complexo que tem argumento igual ao ângulo Â. Então pela igualdade:

 (z1-z2)/(z1-z3) + (z2-z3)/(z1-z3) + 1 = Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3
 )/(z1-z3)} = 0 = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen  =  |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C
 = |(z1-z2)| * sen  =  |(z2-z3)| * sen C = c senA = a senC = a/senA =
 c/senC. cqd

 2014-09-08 12:31 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado
 para prosseguir.

 Muito obrigado pela ajuda!

 Vanderlei

 Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko 
 wgapetre...@gmail.com escreveu:

 Vc quer uma dica ou a solução?

 Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a
 ver com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária
 na igualdade acima, o 1 morre.

 Se quiser a solução responde.

 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro
 do Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números 
 complexos:

 *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B
 e C, respectivamente, demonstre que *

 *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)*

 *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os
 vértices do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 –
 z3)/(z3 – z1) + 1 = 0.*

 Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e
 onde utilizar a identidade sugerida.

 Obrigado,

 Vanderlei

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[obm-l] Números complexos-Dú vida

[marcone augusto araújo borges]

Considere o número complexo v=1+i.Se z é um número complexo tal que o módulo de 
(z+v) = 3*raiz(2),então qual o menor valor de módulo de z ?
  

[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos-Dúvida

[Breno Vieira]

Da equação |z+v|=|z|+|v| podemos dizer |z|=|z+v|-|v|, logo, |z|=2sqrt(2).
Uma outra maneira de pensar o problema é considerando que |z+v| representa a 
distância de z ao ponto -v, logo a equação |z+v|=3sqrt(2) representa uma 
circunferência de centro em -1-i e raio 3sqrt2, o modulo mínimo de z equivale à 
distância mínima de um ponto da circunferência à origem do sistema de modo que 
tal distância vale R-|v|=3sqrt(2)-sqrt(2)=2sqrt(2).

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Números complexos-Dúvida
Date: Thu, 14 Oct 2010 01:02:44 +








Considere o número complexo v=1+i.Se z é um número complexo tal que o módulo de 
(z+v) = 3*raiz(2),então qual o menor valor de módulo de z ?

 
  

[obm-l] Números complexos (FEIUC-67)

[Emanuel Valente]

Olá pessoal, estou enrroscado no seguinte exercício do livro antigo do
Iezzi. Pra ser mais preciso: Vol. 6 pág 25f, exer 35.

Escrever o número complexo 1/(1-i) -1/i na forma a+bi e na trigonométrica.

A forma a+bi é fácil, mas a trigonométrica não está batendo com o gabarito.

Obrigado a todos desde já!

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Números complexos (FEIUC-67)

[albert richerd carnier guedes]

Emanuel Valente escreveu:

Olá pessoal, estou enrroscado no seguinte exercício do livro antigo do
Iezzi. Pra ser mais preciso: Vol. 6 pág 25f, exer 35.

Escrever o número complexo 1/(1-i) -1/i na forma a+bi e na trigonométrica.

A forma a+bi é fácil, mas a trigonométrica não está batendo com o gabarito.

Obrigado a todos desde já!

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

  
Ficaria mais fácil se você colocasse a resposta do gabarito para 
comparar, mas vou mandar a resposta e você confirma.


Comecemos com a forma a+ib de 1/(1-i)

1/( 1 - i ) = [1/( 1 - i )][( 1 + i )/( 1 + i )] = ( 1 + i )/2 = 1/2 + i/2
= a=1/2  e b=1/2

Para fazer em forma trigonométrica faça

sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/sqrt(2)
cos(x) = [ a/sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/2 ][ 1/sqrt( 1/2 ) ] = sqrt(2)/2 = 
1/sqrt(2)

sen(x) = b/sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/sqrt(2)

onde denoto sqrt(x) como a raiz quadrada de x.
Assim, temos que como

cos(x) = 1/sqrt(2)

então x=pi/4 portanto dá para fazer

1/( 1 - i ) =  [ 1/sqrt(2) ][ cos(pi/4)+ i sen(pi/4) ]

Claro que a resposta serve para todos os x na forma

x= 2n pi + pi/4 = [ 8n + 1 ][ pi/4 ]

onde n é um inteiro qualquer.

Com -1/i fazemos

-1/i = [-1/i][ i/i ] = i= a=0 e b=1

Na forma trigonométrica

sqrt( a^2 + b^2 ) = 1
cos(x) = 0
sen(x) = 1

logo , x= pi/2, o que fica

-1/i = i*sen(pi/2)

que também serve para x na forma

x= 2n pi + pi/2 = [ 4n + 1 ][ pi/2 ]

Confirma se corresponde ao gabarito e qualquer dúvida mande mais emails, 
falou ?

Até mais.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Números complexos (FEIUC-67)

[Emanuel Valente]

albert richerd carnier guedes wrote: 
Ficaria mais fácil se você colocasse a resposta do gabarito para 
comparar, mas vou mandar a resposta e você confirma.


Comecemos com a forma a+ib de 1/(1-i)

1/( 1 - i ) = [1/( 1 - i )][( 1 + i )/( 1 + i )] = ( 1 + i )/2 = 1/2 + 
i/2

= a=1/2  e b=1/2

Para fazer em forma trigonométrica faça

sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/sqrt(2)
cos(x) = [ a/sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/2 ][ 1/sqrt( 1/2 ) ] = sqrt(2)/2 = 
1/sqrt(2)

sen(x) = b/sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/sqrt(2)

onde denoto sqrt(x) como a raiz quadrada de x.
Assim, temos que como

cos(x) = 1/sqrt(2)

então x=pi/4 portanto dá para fazer

1/( 1 - i ) =  [ 1/sqrt(2) ][ cos(pi/4)+ i sen(pi/4) ]

Claro que a resposta serve para todos os x na forma

x= 2n pi + pi/4 = [ 8n + 1 ][ pi/4 ]

onde n é um inteiro qualquer.

Com -1/i fazemos

-1/i = [-1/i][ i/i ] = i= a=0 e b=1

Na forma trigonométrica

sqrt( a^2 + b^2 ) = 1
cos(x) = 0
sen(x) = 1

logo , x= pi/2, o que fica

-1/i = i*sen(pi/2)

que também serve para x na forma

x= 2n pi + pi/2 = [ 4n + 1 ][ pi/2 ]

Confirma se corresponde ao gabarito e qualquer dúvida mande mais 
emails, falou ?

Até mais.


Olá,

Albert, você repartiu o 1/(1-i) -1/i em dois números. No exercício tem 
somente um número complexo, que é o 1/(1-i) -1/i. Aproveitando o post, 
irei mostrar meus cálculos comparando com o gabarito.


Calculando na forma a + bi:

1/(1-i) -1/i  = [i -(1-i)]/i(1-i)  = [(-1 + 2i)/(i+1)]*(i-1)/(i-1) = 
(-1 -3i)/-2 = 1/2 + 3i/2


Forma Trigonométrica de z = 1/2 + 3i/2

módulo = p

p = sqrt(1/4 + 9/4) = sqrt(10)/2

cos(a) = (1/2)/sqrt(10)/2 = sqrt(10)/10
sen(b) = (3/2)/sqrt(10)/2 =3*sqrt(10)/10

logo:

z = [sqrt(10)/2] * [cos(arc sen[3*sqrt(10)/10] + i*sen(arc cos[sqrt(10)/10]]

Gabarito:

forma a + bi: 1/2 + 3i/2

forma trigonometrica: z = [sqrt(10)/2] * [cos(arc tg[3]) + i*sen(arc tg[3])]


Abraço a todos!
=
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=

[obm-l] Números complexos e equações

[Bruno Carvalho]

Prezados, bom dia.
  Peço uma orientação para a resolução do seguinte problema:
  1) Calcular a raiz quarta de (-1+i).
  Encontrei como solução ( expressão) geral:
  Z= (2)^1/8 [cos( 3*pi/16 +k*pi/2) +  isen(3*pi/16 +k*pi/2)
  está correto ?
  2) Qual o polinômio de menor grau possível de coeficientes inteiros, de tal 
modo que:
  (1+ raiz de 3)  ,i , raiz de três, e 1/4 sejam raizes de p(x) .
  Mais uma vez obrigado.
  Bruno

   
-
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[obm-l] Números Complexos

[Henrique Rennó]

Olá pessoal da lista!!!

Estou repetindo uma mensagem que havia postado na semana passada, pois
não houve respostas:

Estou lendo um artigo em inglês sobre números complexos e gostaria de
saber como mostrar o seguinte (tentarei colocar traduzido):

O algoritmo de Euclides para números complexos é uma conseqüência do
algoritmo de Euclides para inteiros. Se alfa é um número complexo e se
beta é um número complexo não nulo, então existe um número complexo
gama tal que o número complexo

delta = alfa - beta * gama

satisfaz a inequação

delta' * delta  beta' * beta.

O número gama é escolhido de forma que o número complexo

beta' * alfa - beta' * beta * gama

é igual a

u + v * i

para inteiros u e v os quais satisfazem as inequações

-beta' * beta = 2 * u = beta' * beta

e

-beta' * beta = 2 * v = beta' * beta.

A inequação

4 * u^2 + 4 * v^2 = 2 * (beta' * beta)^2

é então satisfeita.

Desde que

beta' * delta = u + v * i

a inequação

(beta' * beta) * (delta' * delta) = u^2 + v^2

é satisfeita.

Desde que

beta' * beta

seja positivo, a inequação

2 * delta' * delta = beta' * beta

é satisfeita.


O apóstrofo representa o conjugado e i representa a parte imaginária
do número complexo.

Qualquer problema com relação ao exposto, posso enviar o arquivo pdf
do artigo em anexo.

Este artigo pode ser achado em pdf:
http://www.math.purdue.edu/~branges/site/Papers

Acho que esta página foi colocada no ar após matemáticos da
Universidade de Purdue disserem ter provado a Hipótese de Riemann, mas
dias depois foi disponibilizado outro arquivo com uma desculpa porque
a prova estava errada.

O que escrevi acima para sanar minhas dúvidas está no arquivo Complex
Analysis - Chapter 1.

Espero que alguém responda para tirar minha dúvida, pois sozinho estou
com muitas dificuldades em entender esta parte do artigo e não sei se
é fundamental para um bom entendimento dos artigos com as supostas
provas da Hipótese de Riemann.

Estou há um tempo estudando a Hipótese de Riemann desde que eu adquiri
o livro Os Problemas do Milênio do autor Keith Devlin. Após terminar
de ler o primeiro capítulo, que é sobre a hipótese, fui atrás de mais
literatura sobre o assunto e achei o livro Prime Obsession do autor
John Derbyshire. Acabando de ler este último fui atrás de outras
fontes e achei uma mensagem aqui na lista da OBM postado pelo
Demétrio.

Enfim, agradeço pela atenção ao ler minha mensagem. Fico no aguardo de
uma ajuda.

Abraços!!!

--
Henrique
Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão
pequeno que não possa ensinar.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Números Complexos

[Ronaldo Luiz Alonso]

Estou repetindo uma mensagem que havia postado na semana passada, pois
não houve respostas:


Esse problema é complicado para provar, assim de sopetão ...
   Estou c/ pouco tempo agora.
Mas vou analisar em casa com calma e se conseguir alguma coisa 
significativa

eu coloco aqui (se alguém não o fizer antes).

[]s 


=
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Complexos

[Henrique Rennó]

Olá Ronaldo!!!

Agradeço deveras sua atenção e de todo pessoal que porventura possa me ajudar.

Abraços!!!

On 3/13/06, Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote:
  Estou repetindo uma mensagem que havia postado na semana passada, pois
  não houve respostas:

  Esse problema é complicado para provar, assim de sopetão ...
 Estou c/ pouco tempo agora.
  Mas vou analisar em casa com calma e se conseguir alguma coisa
 significativa
  eu coloco aqui (se alguém não o fizer antes).

 []s

 =
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--
Henrique
Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão
pequeno que não possa ensinar.

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[obm-l] Números complexos

[Henrique Rennó]

Olá pessoal da lista!!!

Estou lendo um artigo em inglês sobre números complexos e gostaria de
saber como mostrar o seguinte (tentarei colocar traduzido):

O algoritmo de Euclides para números complexos é uma conseqüência do
algoritmo de Euclides para inteiros. Se alfa é um número complexo e se
beta é um número complexo não nulo, então existe um número complexo
gama tal que o número complexo

delta = alfa - beta * gama

satisfaz a inequação

delta' * delta  beta' * beta.

O número gama é escolhido de forma que o número complexo

beta' * alfa - beta' * beta * gama

é igual a

u + v * i

para inteiros u e v os quais satisfazem as inequações

-beta' * beta = 2 * u = beta' * beta

e

-beta' * beta = 2 * v = beta' * beta.

A inequação

4 * u^2 + 4 * v^2 = 2 * (beta' * beta)^2

é então satisfeita.

Desde que

beta' * delta = u + v * i

a inequação

(beta' * beta) * (delta' * delta) = u^2 + v^2

é satisfeita.

Desde que

beta' * beta

seja positivo, a inequação

2 * gama' * gama = beta' * beta

é satisfeita.


O apóstrofo representa o conjugado e i representa a parte imaginária
do número complexo.

Qualquer problema com relação ao exposto, posso enviar o arquivo pdf
do artigo em anexo.

Abraços!!!

--
Henrique

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[obm-l] números complexos

[vinicius aleixo]

Olá,Estava estudando números complexos e tive a seguinte dúvida:  Quais as propriedades de polinômios eu posso utilizar ao operar com números complexos??   por exemplo, na equaçãow^2 + |w| = 0, poderia afirmar q a soma das raizes é iguala 0?Sejam a e b números reais não nulos e Z1 = a + bi uma das raízes n-ésima da unidade.  1/Z1 é uma das raízes da unidade?512 =(2 - 2i)^n , n é inteiro?AbraçosVinícius
		 
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Re: [obm-l] Números complexos

[saulonpb]

 Z^2=2(1+2i-1)=4i 
w^3=1+3iraiz3-9-i3raiz3=-8 
 w^6=w^3*w^3=64 
z^4=z^2*z^2=-16 
logo 
m=modulo^2((64-48+4i)/(4i-8+6-2i))=modulo^2((16+4i)/(-2+2i))= 
=modulo^2[(8+2i)/(i-1)]=modulo^2[(8i+8-2+2i)/-2]= 
=modulo^2[-5i-3]=34 
alternativa a 
vc pode tentar obter o resultado transformando z e w para a forma polar e 
depois achar z^4,w^3, etc, mas neste caso vc tem que prestar atenção na hora 
de encontrar o angulo polar, se vc colocar o angulo errado, o resultado 
sairá errado e vc vai perder muito tempo na questão, caso tenha alguma 
duvida sobre isso e so me responder. 
Um abraço, saulo. 
Em 25 Jul 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 


-- Alguém pode me ajudar nessa questão do ITA? 
 
 Considere os números complexos: 
 
 z = 2 + i2 e w = 1 + i3 
 
 Se m = |w^6 + 3z^4 + 4i / z^2 + w^3 + 6 -2i| ^ 2, então m vale: 
 
 a) 34 
 b) 26 
 c) 16 
 d) 4 
 e) 1 
 
 -- Outra coisa, alguém sabe onde posso encontrar conceitos sobre 
Princípio da Indução Finita ? 
 
 Desde já agradeço, 
 
 Daniele. 
 
-- 

_
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[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos

[Rogerio Ponce]

Olá Daniele,
pense na representação vetorial de z e w: ambos têm módulo 2, com ângulos de 
45 e 60 graus respectivamente.

Portanto, m vale
|  [(64) + (-48) + (4i)]  /  [(4i) + (-8) + (6) - (2i)]  |  ^  2
ou seja,
| (16+4i) / (-2+2i) | ^ 2  =  (256+16)/(4+4) = 34
Assim, letra a é a resposta.
[]'s
Rogério.
---
-- Alguém pode me ajudar nessa questão do ITA?
Considere os números complexos:
z = #8730;2 + i#8730;2  e w = 1 + i#8730;3
Se m = |w^6 + 3z^4 + 4i / z^2 + w^3 + 6 -2i| ^ 2, então m vale:
a) 34
b) 26
c) 16
d) 4
e) 1
-- Outra coisa, alguém sabe onde posso encontrar conceitos sobre  Princípio 
da Indução FFinita ?

Desde já agradeço,
Daniele.
_
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http://messenger.msn.com.br

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Números complexos

[Daniela Yoshikawa]

Olá! Daniel!

Muito obrigado pelo site.

Saudações,

Daniele.
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[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos

[Daniela Yoshikawa]

Rogério, muito obrigado por resolvido a questão ! 

Saudações,

Daniele.
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[obm-l] Números complexos..Obrigado Rafael

[Daniela Yoshikawa]

Olá! Rafael, tudo bem?

Muito obrigado pelo site e pela resolução..você tem alguma prova do ita de 1980 ou 90 pra frente?
No que eu puder ajudar, conte comigo!

Desde já agradeço,

Daniele.
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[obm-l] Números complexos

[Daniela Yoshikawa]

-- Alguém pode me ajudar nessa questão do ITA?

Considere os números complexos:

z = 2 + i2 e w = 1 + i3

Se m = |w^6 + 3z^4 + 4i / z^2 + w^3 + 6 -2i| ^ 2, então m vale:

a) 34
b) 26 
c) 16
d) 4
e)1

-- Outra coisa, alguém sabe onde posso encontrar conceitos sobre Princípio da Indução FFinita ?

Desde já agradeço,

Daniele.
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[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos e outro

[Rogério Moraes de Carvalho]

Olá Pedro,

Os problemas 2 e 3 já foram resolvidos.

O problema 1 pode ser resolvido facilmente pela aplicação de dois teoremas,
um dos quais foi colocado no enunciado.

TEOREMA 1: Se r é o resto da divisão de a por b então o resto da divisão de
a^n por b é igual ao resto da divisão de r ^n por b.

TEOREMA 2: Se r é o resto da divisão de a por 9, então r é o resto da
divisão da soma dos algarismos de a por 9.


RESOLUÇÃO POSSÍVEL PARA O PROBLEMA 1:

Adote a seguinte notação: r(a, b) - resto da divisão de a por b.
Aplicando o teorema 2 sucessivas vezes, teremos:
r(5342177,9)= r(5+3+4+2+1+7+7,9)= r(29,9)=r(2+9,9)=r(11,9)=r(1+1,9)=2
Aplicando o teorema 1 e depois o teorema 2 sucessivas vezes:
r(5342177^8,9)=r(2^8,9)=r(256,9)=r(2+5+6,9)=r(13,9)=r(1+3,9)=4

Resposta: 4


Abraços,

Rogério Moraes de Carvalho

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of pedro rajão
Sent: sábado, 29 de maio de 2004 18:09
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Números complexos e outro

Olá

Eis alguns exercícios :

1 ] Sejam a e b dois números naturais com b # 0 . Se r é oresto da divisão 
de a por b então o resto da divisão de a^n por b é igual ao resto da divisão

de r ^n por b . Utilizando este teorema , calcular o resto da divisão de 
[5342177]^8 por 9.

2 ]  ITA - As raízes de ordem 4 do número z=e^Pi*i/2  , onde i é a unidade 
imaginária , são [na forma trigonométrica] ?

3 ]  ITA - Seja S o conjunto dos números complexos que satisfazem, 
simultaneamente às equções
| z - 3 i | = 3 e | z + i | = | z - 2 - i |
O produto de todos os elememtos de S é iguaL a ?

_
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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=

[obm-l] Números complexos e outro

[pedro rajão]

Olá
Eis alguns exercícios :
1 ] Sejam a e b dois números naturais com b # 0 . Se r é oresto da divisão 
de a por b então o resto da divisão de a^n por b é igual ao resto da divisão 
de r ^n por b . Utilizando este teorema , calcular o resto da divisão de 
[5342177]^8 por 9.

2 ]  ITA - As raízes de ordem 4 do número z=e^Pi*i/2  , onde i é a unidade 
imaginária , são [na forma trigonométrica] ?

3 ]  ITA - Seja S o conjunto dos números complexos que satisfazem, 
simultaneamente às equções
| z - 3 i | = 3 e | z + i | = | z - 2 - i |
O produto de todos os elememtos de S é iguaL a ?

_
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=

[obm-l] Re:[obm-l] Números complexos e outro

[Osvaldo]

2° ex.

Usando a def. de exponencial complexa, mesmo assim 
temos:

z=e^Pi*i/2 =e^(0+i.pi/2)=e^0.(cos(pi/2)+i.sen(pi/2))

Assim as raízes quartas de z são da forma:

z_k=1^4.{cos[(pi/2+2kpi)/4]+i.sen[(pi/2+2kpi)/4] para 
k=0,1,2,3.


Assim as raizes são:

z_1=1.(cos(pi/2)+i.sen(pi/2))
z_2=1.(cos(5pi/8)+i.sen(5pi/8))
z_3=1.(cos(9pi/8)+i.sen(9pi/8))
z_4=1.(cos(13pi/8)+i.sen(13pi/8))


Axo que deva ser isto. A definição de exp.complexa é 
fundamental para o estudo de números complexos (no 
ensino médio não creio que seja dada, eu vi semestre 
passado.) A definição é a seguinte: e^(x+i.y)=
e^x.(cosy+i.seny). Para encontrar e^i faça a expansão 
da exponencial supondo que esta satisfaça as prop. do 
corpo dos reais, desta maneira separe os termos de 
ordem par dos de ordem impar.


falow ai


 Olá
 
 Eis alguns exercícios :
 
 1 ] Sejam a e b dois números naturais com b # 0 . Se 
r é oresto da divisão 
 de a por b então o resto da divisão de a^n por b é 
igual ao resto da divisão 
 de r ^n por b . Utilizando este teorema , calcular o 
resto da divisão de 
 [5342177]^8 por 9.
 
 2 ]  ITA - As raízes de ordem 4 do número 
z=e^Pi*i/2  , onde i é a unidade 
 imaginária , são [na forma trigonométrica] ?
 
 3 ]  ITA - Seja S o conjunto dos números complexos 
que satisfazem, 
 simultaneamente às equções
 | z - 3 i | = 3 e | z + i | = | z - 2 - i |
 O produto de todos os elememtos de S é iguaL a ?
 
 
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usar a lista em
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Osvaldo Mello Sponquiado 
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Re: [obm-l] Re:[obm-l] Números complexos e outro

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

Um errinho bobo na primeira raiz: onde está pi/2 é pi/8.

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-- Original Message ---
From: Osvaldo [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sat, 29 May 2004 19:35:33 -0300
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Números complexos e outro

 2° ex.
 
 Usando a def. de exponencial complexa, mesmo assim 
 temos:
 
 z=e^Pi*i/2 =e^(0+i.pi/2)=e^0.(cos(pi/2)+i.sen(pi/2))
 
 Assim as raízes quartas de z são da forma:
 
 z_k=1^4.{cos[(pi/2+2kpi)/4]+i.sen[(pi/2+2kpi)/4] para 
 k=0,1,2,3.
 
 Assim as raizes são:
 
 z_1=1.(cos(pi/2)+i.sen(pi/2))
 z_2=1.(cos(5pi/8)+i.sen(5pi/8))
 z_3=1.(cos(9pi/8)+i.sen(9pi/8))
 z_4=1.(cos(13pi/8)+i.sen(13pi/8))
 
 Axo que deva ser isto. A definição de exp.complexa é 
 fundamental para o estudo de números complexos (no 
 ensino médio não creio que seja dada, eu vi semestre 
 passado.) A definição é a seguinte: e^(x+i.y)=
 e^x.(cosy+i.seny). Para encontrar e^i faça a expansão 
 da exponencial supondo que esta satisfaça as prop. do 
 corpo dos reais, desta maneira separe os termos de 
 ordem par dos de ordem impar.
 
 falow ai
 
  Olá
  
  Eis alguns exercícios :
  
  1 ] Sejam a e b dois números naturais com b # 0 . Se 
 r é oresto da divisão 
  de a por b então o resto da divisão de a^n por b é 
 igual ao resto da divisão 
  de r ^n por b . Utilizando este teorema , calcular o 
 resto da divisão de 
  [5342177]^8 por 9.
  
  2 ]  ITA - As raízes de ordem 4 do número 
 z=e^Pi*i/2  , onde i é a unidade 
  imaginária , são [na forma trigonométrica] ?
  
  3 ]  ITA - Seja S o conjunto dos números complexos 
 que satisfazem, 
  simultaneamente às equções
  | z - 3 i | = 3 e | z + i | = | z - 2 - i |
  O produto de todos os elememtos de S é iguaL a ?
  
  
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[obm-l] Re:[obm-l] Re:[obm-l] Números complexos e outro

[Osvaldo]

Seja z=x+iy pert. a C. (x e y reais)

I) | z - 3 i |=| x+iy - 3 i |=sqrt(x^2+(y-3)^2)=3=
x^2+(y-3)^2=3 II)| z + i |=| x+iy + i |=sqrt(x^2+(y+1)
^2)=| z - 2 - i |=| x+iy - 2 - i |=sqrt((x-2)^2+(y-1)
^2)=(x-2)^2+(y-1)^2=x^2+(y+1)^2=-4x+4-
4y=0=x+y=1=y=1-x

Substituindo o resultado de II em I, vem que: 

x^2+(1-x-3)^2=3=x^2+(-x-2)^2=3=2x^2+4x+1=0=
x_1 = -1+sqrt(2)/2=y_1=2-sqrt(2)/2
x_2 = -1-sqrt(2)/2=y_2=2+sqrt(2)/2

Assim temos dois complexos no conjunto S:
z_1=-1+sqrt(2)/2+i.(2-sqrt(2)/2)
z_2=-1-sqrt(2)/2+i.(2+sqrt(2)/2)

Fazendo o produto destes dois complexos, temos:
z_1.z_2=(1/2 - 7/2)+i.[(-1+sqrt(2)/2).(2+sqrt(2)/2)+
(2-sqrt(2)/2).(-1-sqrt(2)/2)]=-3+i.(-2+1/2+sqrt(2)-sqrt
(2)/2-2+1/2-sqrt(2)+sqrt(2)/2)=-3-3i

Bom, acho que é isso.. falow cara!

  3 ]  ITA - Seja S o conjunto dos números complexos 
 que satisfazem, 
  simultaneamente às equções
  | z - 3 i | = 3 e | z + i | = | z - 2 - i |
  O produto de todos os elememtos de S é iguaL a ?
  
  
 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Números complexos e outro

[Osvaldo]

putz, ki vacilo!
na prova eu ja tinha rodado!...
vamo ve  se esse ano a prova vai ta mais facinha :-)


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 From: Osvaldo [EMAIL PROTECTED]
 To: obm-l [EMAIL PROTECTED]
 Sent: Sat, 29 May 2004 19:35:33 -0300
 Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Números complexos e outro
 
  2° ex.
  
  Usando a def. de exponencial complexa, mesmo assim 
  temos:
  
  z=e^Pi*i/2 =e^(0+i.pi/2)=e^0.(cos(pi/2)+i.sen
(pi/2))
  
  Assim as raízes quartas de z são da forma:
  
  z_k=1^4.{cos[(pi/2+2kpi)/4]+i.sen[(pi/2+2kpi)/4] 
para 
  k=0,1,2,3.
  
  Assim as raizes são:
  
  z_1=1.(cos(pi/2)+i.sen(pi/2))
  z_2=1.(cos(5pi/8)+i.sen(5pi/8))
  z_3=1.(cos(9pi/8)+i.sen(9pi/8))
  z_4=1.(cos(13pi/8)+i.sen(13pi/8))
  
  Axo que deva ser isto. A definição de exp.complexa 
é 
  fundamental para o estudo de números complexos (no 
  ensino médio não creio que seja dada, eu vi 
semestre 
  passado.) A definição é a seguinte: e^(x+i.y)=
  e^x.(cosy+i.seny). Para encontrar e^i faça a 
expansão 
  da exponencial supondo que esta satisfaça as prop. 
do 
  corpo dos reais, desta maneira separe os termos de 
  ordem par dos de ordem impar.
  
  falow ai
  
   Olá
   
   Eis alguns exercícios :
   
   1 ] Sejam a e b dois números naturais com b # 
0 . Se 
  r é oresto da divisão 
   de a por b então o resto da divisão de a^n por b 
é 
  igual ao resto da divisão 
   de r ^n por b . Utilizando este teorema , 
calcular o 
  resto da divisão de 
   [5342177]^8 por 9.
   
   2 ]  ITA - As raízes de ordem 4 do número 
  z=e^Pi*i/2  , onde i é a unidade 
   imaginária , são [na forma trigonométrica] ?
   
   3 ]  ITA - Seja S o conjunto dos números 
complexos 
  que satisfazem, 
   simultaneamente às equções
   | z - 3 i | = 3 e | z + i | = | z - 2 - i |
   O produto de todos os elememtos de S é iguaL a ?
   
   
  
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Re: [obm-l] Números complexos como matriz

[Ricardo Bittencourt]

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote:

2)Como e que se escreve a forma trigonometrica de uma matriz?
	Eu diria que é

(sqrt(a^2+b^2))*| sin(t) -cos(t) |
| cos(t)  sin(t) |
	onde t=arctg(b/a)

Se você fizer as contas, essa matriz aí é igual
à original: | a -b |
| b  a |

Ricardo Bittencourt   http://www.mundobizarro.tk
[EMAIL PROTECTED]   tenki ga ii kara sanpo shimashou
-- União contra o forward - crie suas proprias piadas --
=
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=

Re: [obm-l] Números complexos como matriz

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] Números complexos como matriz



on 18.03.04 14:25, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Neste caso I e a identidade, certo?
Sim.

Assim sendo, fazendo essa coisa classica, fica algo como 
(a+bi)^1999=1999.Podemos tentar escrever na forma trigonometrica, levando alguns fatos em conta...
Que fatos?

Alias,
1)O que e OMMS?
 Olimpiada de Matematica de Muricapeba da Serra.

2)Como e que se escreve a forma trigonometrica de uma matriz? 
Se: 
a + bi = R*(cos(t) + i*sen(t)) 
entao:
a -b = R*cos(t) -R*sen(t)
b a R*sen(t) R*cos(t)

Engracado que voce tenha se interessado pelo problema e o nao o Rafael, jah que foi ele que originou toda a discussao...


[]s,
Claudio.



Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Alias, dentro do espirito dessa lista, e pra mostrar a utilidade e o poder
desse conceito de isomorfismo, tente resolver este problema que caiu na OMMS
em 1999:

Seja M o conjunto de todas as matrizes da forma:
a -b
b a
onde a e b sao numeros reais.

Determine todas as matrizes A pertencentes a M tais que A^1999 = 1999*I.

[]s,
Claudio.

on 17.03.04 21:51, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 on 17.03.04 22:11, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
 Pessoal,
 
 Eu estava lendo que existe um estudo sobre números complexos, no qual um
 número complexo z = a + bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da
 forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 = a. Todas as propriedades dos
 números complexos poderiam ser obtidas através de matrizes, resultando em
 processos que transformam as características geométricas dos números
 complexos em algo simples.
 
 Até agora, notei que a raiz quadrada do determinante da matriz é o módulo de
 z. Alguém conhece mais sobre o assunto? Como se chama esse estudo?
 
 Esse eh um exemplo de isomorfismo, no caso entre dois corpos (conjuntos
 munidos de duas operacoes sujeitas as mesmas regras que, digamos, o conjunto
 dos racionais com adicao e multiplicacao).
 
 Um isomorfismo entre os corpos A e B eh uma bijecao f: A - B tal que f(x+y) =
 f(x)+f(y) e f(xy) = f(x)f(y) para quaisquer x, y em A.
 
 No seu caso, A = corpo dos complexos, munido das duas operacoes usuais -
 adicao e multiplicacao) e B = corpo das matrizes reais 2x2 da forma descrita
 acima, munido das operacoes de adicao e multiplicacao de matrizes.
 
 Por e! xemplo, o polinomio caracteristico da matriz:
 a -b
 b a
 eh p(x) = x^2 - 2ax + a^2 + b^2.
 Uma das raizes eh justamente a + bi.
 
 A existencia desse isomorfismo diz que, para todos os efeitos, pelo menos
 quanto ao comportamento algebrico dos seus elementos, A e B sao o mesmo
 corpo.
 
 []s,
 Claudio.




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TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI 

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Re: [obm-l] Números complexos como matriz

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

 --- Claudio Buffara
[EMAIL PROTECTED] escreveu:  on
18.03.04 14:25, Johann Peter Gustav Lejeune
 Dirichlet at
 [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
 Neste caso I e a identidade, certo?
 Sim.
 
 Assim sendo, fazendo essa coisa classica, fica
 algo como
 (a+bi)^1999=1999.Podemos tentar escrever na
 forma trigonometrica, levando
 alguns fatos em conta...
 Que fatos?

Por exemplo, o modulo do complexo e 
(1999)^(1/1999).Agora se a+bi=r*e^(it),
r=(a^2+b^2)^(1/2), podemos continuar a conta e
tornar a questao trivial...


 
 Alias,
 1)O que e OMMS?
 Olimpiada de Matematica de Muricapeba da Serra.
 
 2)Como e que se escreve a forma trigonometrica
 de uma matriz?
 Se: 
 a + bi = R*(cos(t) + i*sen(t))
 entao:
 a   -b   =  R*cos(t)  -R*sen(t)
 baR*sen(t)  R*cos(t)
 
 Engracado que voce tenha se interessado pelo
 problema e o nao o Rafael, jah
 que foi ele que originou toda a discussao...

Na verdade eu ja tinha visto algo parecido antes
quando era necessario saber quais naturais eram
expressiveis como soma de n quadrados.Para n=2
podemos usar esse fato e um pouco de TN para
achar os cabras...E uma forma modificada de
inteiros de Gauss, por assim dizer.

E tambem da para modificar um pouco e usar
quaternions para verificar o caso n=4.

 
 
 []s,
 Claudio.
 
 
 
 Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
 wrote:
 Alias, dentro do espirito dessa lista, e pra
 mostrar a utilidade e o poder
 desse conceito de isomorfismo, tente resolver
 este problema que caiu na OMMS
 em 1999:
 
 Seja M o conjunto de todas as matrizes da
 forma:
 a -b
 b a
 onde a e b sao numeros reais.
 
 Determine todas as matrizes A pertencentes a M
 tais que A^1999 = 1999*I.
 
 []s,
 Claudio.
 
 on 17.03.04 21:51, Claudio Buffara at
 [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
  on 17.03.04 22:11, Rafael at
 [EMAIL PROTECTED] wrote:
  
  Pessoal,
  
  Eu estava lendo que existe um estudo sobre
 números complexos, no qual um
  número complexo z = a + bi pode ser tratado
 como uma matriz quadrada 2x2 da
  forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 =
 a. Todas as propriedades dos
  números complexos poderiam ser obtidas
 através de matrizes, resultando em
  processos que transformam as características
 geométricas dos números
  complexos em algo simples.
  
  Até agora, notei que a raiz quadrada do
 determinante da matriz é o módulo de
  z. Alguém conhece mais sobre o assunto? Como
 se chama esse estudo?
  
  Esse eh um exemplo de isomorfismo, no caso
 entre dois corpos (conjuntos
  munidos de duas operacoes sujeitas as mesmas
 regras que, digamos, o conjunto
  dos racionais com adicao e multiplicacao).
  
  Um isomorfismo entre os corpos A e B eh uma
 bijecao f: A - B tal que f(x+y) =
  f(x)+f(y) e f(xy) = f(x)f(y) para quaisquer
 x, y em A.
  
  No seu caso, A = corpo dos complexos, munido
 das duas operacoes usuais -
  adicao e multiplicacao) e B = corpo das
 matrizes reais 2x2 da forma descrita
  acima, munido das operacoes de adicao e
 multiplicacao de matrizes.
  
  Por e! xemplo, o polinomio caracteristico da
 matriz:
  a -b
  b a
  eh p(x) = x^2 - 2ax + a^2 + b^2.
  Uma das raizes eh justamente a + bi.
  
  A existencia desse isomorfismo diz que, para
 todos os efeitos, pelo menos
  quanto ao comportamento algebrico dos seus
 elementos, A e B sao o mesmo
  corpo.
  
  []s,
  Claudio.
 
 
 
 

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[obm-l] Re: [obm-l] Números complexos como matriz

[Rafael]

Claudio,

Primeiramente, obrigado pela informações sobre o assunto. Tanto as suas
mensagens como a que o Artur escreveu foram muito elucidativas!

Perdoe-me não ter respondido antes ao seu problema, estava pensando sobre
ele. Aliás, mesmo que eu não tivesse respondido, não faria sentido pensar
que não teria sido de meu interesse. O mais provável seria eu não ter
encontrado alguma solução razoável...

Para ser sincero, o que me ocorre é que o conjunto M terá 1999 elementos,
pois:

z  = A = a  -b
  b   a

1 = I = 1   0
0   1

Assim, o problema se reduz a z^1999 = 1999, i.e., determinar as mil
novecentas e noventa e nove (!!!) raízes de z, tais que reescritas na forma
matricial seriam os elementos do conjunto M, e uma única dessas matrizes
possuindo a_12 = a21 = 0, isto é, parte imaginária nula de z.

O raciocínio é esse mesmo? Ou só foi impressão minha que você está
pretendendo que eu fique calculando raízes complexas dessa coisa até a
morte

Ahhh, me ocorreu outra coisa! Também não se poderia, geometricamente, pensar
que as 1999 raízes de z, ou ainda, as tais matrizes que você quer, formam um
1999-ágono? Seria uma figura bem interessante... ;-)


Abraços e obrigado!

Rafael de A. Sampaio





- Original Message -
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, March 17, 2004 10:32 PM
Subject: Re: [obm-l] Números complexos como matriz


Alias, dentro do espirito dessa lista, e pra mostrar a utilidade e o poder
desse conceito de isomorfismo, tente resolver este problema que caiu na OMMS
em 1999:

Seja M o conjunto de todas as matrizes da forma:
a  -b
b   a
onde a e b sao numeros reais.

Determine todas as matrizes A pertencentes a M tais que A^1999 = 1999*I.

[]s,
Claudio.






=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos como matriz

[Claudio Buffara]

on 18.03.04 20:05, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
 O raciocínio é esse mesmo? Ou só foi impressão minha que você está
 pretendendo que eu fique calculando raízes complexas dessa coisa até a
 morte

Se voce quiser...

Mas admita que o isomorfismo facilita bastante...
 
 Ahhh, me ocorreu outra coisa! Também não se poderia, geometricamente, pensar
 que as 1999 raízes de z, ou ainda, as tais matrizes que você quer, formam um
 1999-ágono? Seria uma figura bem interessante... ;-)
 
Isso eh verdade para as raizes n-esimas de qualquer complexo.
 
[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos como matriz

[Rafael]

Realmente facilita, Cláudio. Se compararmos a dificuldade, para um
computador, de se calcular uma matriz A^1999 com a de se extraírem 1999
raízes, não há o que comparar: o tempo disperdiçado com a primeira forma é
gigantesco.

Obrigado de novo!


Abraços,

Rafael de A. Sampaio




- Original Message -
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, March 18, 2004 11:13 PM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexoscomo matriz


Se voce quiser...

Mas admita que o isomorfismo facilita bastante...

Isso eh verdade para as raizes n-esimas de qualquer complexo.

[]s,
Claudio.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Números complexos como matriz

[Rafael]

Pessoal,

Eu estava lendo que existe um estudo sobre números complexos, no qual um
número complexo z = a + bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da
forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 = a. Todas as propriedades dos
números complexos poderiam ser obtidas através de matrizes, resultando em
processos que transformam as características geométricas dos números
complexos em algo simples.

Até agora, notei que a raiz quadrada do determinante da matriz é o módulo de
z. Alguém conhece mais sobre o assunto? Como se chama esse estudo?


Obrigado,

Rafael de A. Sampaio

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Números complexos como matriz

[Claudio Buffara]

on 17.03.04 22:11, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Pessoal,
 
 Eu estava lendo que existe um estudo sobre números complexos, no qual um
 número complexo z = a + bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da
 forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 = a. Todas as propriedades dos
 números complexos poderiam ser obtidas através de matrizes, resultando em
 processos que transformam as características geométricas dos números
 complexos em algo simples.
 
 Até agora, notei que a raiz quadrada do determinante da matriz é o módulo de
 z. Alguém conhece mais sobre o assunto? Como se chama esse estudo?
 
Esse eh um exemplo de isomorfismo, no caso entre dois corpos (conjuntos
munidos de duas operacoes sujeitas as mesmas regras que, digamos, o conjunto
dos racionais com adicao e multiplicacao).

Um isomorfismo entre os corpos A e B eh uma bijecao f: A - B tal que f(x+y)
= f(x)+f(y) e f(xy) = f(x)f(y) para quaisquer x, y em A.

No seu caso, A = corpo dos complexos, munido das duas operacoes usuais -
adicao e multiplicacao) e B = corpo das matrizes reais 2x2 da forma descrita
acima, munido das operacoes de adicao e multiplicacao de matrizes.

Por exemplo, o polinomio caracteristico da matriz:
a  -b
b   a
eh p(x) = x^2 - 2ax + a^2 + b^2.
Uma das raizes eh justamente a + bi.

A existencia desse isomorfismo diz que, para todos os efeitos, pelo menos
quanto ao comportamento algebrico dos seus elementos, A e B sao o mesmo
corpo.

[]s,
Claudio.


=
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[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos como matriz

[Artur Costa Steiner]

Isto me parece mais um caso tipico de isomorfismo, que identifica o conjunto
dos complexos - no caso, o corpop dos complexos - com o conjunto das
matrizes -tambem um corpo - da forma que vc citou. Um isomorfismo eh uma
bijecao entre dois corpos que preserva as operacoes de adicao e de
multiplicacao neles definidas. Se A e B sao corpos e f:A- B eh um
isomorfismo, entao para todos x e y em A temos f(x+y) = f(x) + f(y) e f(x*y)
= f(x)* f(y), onde + e * devem ser entendidas conforme definidas nos corpos
A e B. 
Eh atraves de um isomorfismoque chegamos aa representacao dos complexos
na forma a+ b*i, a qual nos permite considerar que numeros reais sao
complexos com parte imaginaria nula. Tambem atraves de isomorfismo podemos
idenficar o corpo das matrizes quadradas de ordem 1 e termo real com o corpo
dos reais.
Artur

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Rafael
Sent: Wednesday, March 17, 2004 10:12 PM
To: OBM-L
Subject: [obm-l] Números complexos como matriz

Pessoal,

Eu estava lendo que existe um estudo sobre números complexos, no qual um
número complexo z = a + bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da
forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 = a. Todas as propriedades dos
números complexos poderiam ser obtidas através de matrizes, resultando em
processos que transformam as características geométricas dos números
complexos em algo simples.

Até agora, notei que a raiz quadrada do determinante da matriz é o módulo
de
z. Alguém conhece mais sobre o assunto? Como se chama esse estudo?


Obrigado,

Rafael de A. Sampaio

=
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Re: [obm-l] Números complexos como matriz

[Claudio Buffara]

Alias, dentro do espirito dessa lista, e pra mostrar a utilidade e o poder
desse conceito de isomorfismo, tente resolver este problema que caiu na OMMS
em 1999:

Seja M o conjunto de todas as matrizes da forma:
a  -b
b   a
onde a e b sao numeros reais.

Determine todas as matrizes A pertencentes a M tais que A^1999 = 1999*I.

[]s,
Claudio.

on 17.03.04 21:51, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 on 17.03.04 22:11, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
 Pessoal,
 
 Eu estava lendo que existe um estudo sobre números complexos, no qual um
 número complexo z = a + bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da
 forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 = a. Todas as propriedades dos
 números complexos poderiam ser obtidas através de matrizes, resultando em
 processos que transformam as características geométricas dos números
 complexos em algo simples.
 
 Até agora, notei que a raiz quadrada do determinante da matriz é o módulo de
 z. Alguém conhece mais sobre o assunto? Como se chama esse estudo?
 
 Esse eh um exemplo de isomorfismo, no caso entre dois corpos (conjuntos
 munidos de duas operacoes sujeitas as mesmas regras que, digamos, o conjunto
 dos racionais com adicao e multiplicacao).
 
 Um isomorfismo entre os corpos A e B eh uma bijecao f: A - B tal que f(x+y) =
 f(x)+f(y) e f(xy) = f(x)f(y) para quaisquer x, y em A.
 
 No seu caso, A = corpo dos complexos, munido das duas operacoes usuais -
 adicao e multiplicacao) e B = corpo das matrizes reais 2x2 da forma descrita
 acima, munido das operacoes de adicao e multiplicacao de matrizes.
 
 Por exemplo, o polinomio caracteristico da matriz:
 a  -b
 b   a
 eh p(x) = x^2 - 2ax + a^2 + b^2.
 Uma das raizes eh justamente a + bi.
 
 A existencia desse isomorfismo diz que, para todos os efeitos, pelo menos
 quanto ao comportamento algebrico dos seus elementos, A e B sao o mesmo
 corpo.
 
 []s,
 Claudio.




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[obm-l] Números complexos ?

[pedro rajão]

Prismas
Quanto a essa questão é erro do autor.
ALguém sabe me informar sobre  algumas aplicações que utilizam números 
complexos e/ou suas utilidades ?
[exemplos, sites ... ] 0.o

_
MSN Messenger: converse com os seus amigos online.  
http://messenger.msn.com.br

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[obm-l] Re: [obm-l] Números complexos ?

[Rafael]

Pedro,

A que erro do autor você se refere sobre a questão dos prismas?



- Original Message -
From: pedro rajão [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, March 04, 2004 2:32 AM
Subject: [obm-l] Números complexos ?


Prismas
Quanto a essa questão é erro do autor.

ALguém sabe me informar sobre  algumas aplicações que utilizam números
complexos e/ou suas utilidades ?
[exemplos, sites ... ] 0.o

=
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[obm-l] números complexos

[levi queiroz]

Pessoal da lista por favor me tirem uma dúvida:

e^(a.b.i)= e^( ( a.i )^b), somente quando a e b forem inteiros?Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!

[obm-l] Re: [obm-l] números complexos

[Nicolau C. Saldanha]

On Thu, Jan 22, 2004 at 12:48:31PM -0300, levi queiroz wrote:
 
 
 Pessoal da lista por favor me tirem uma dúvida:
  
 e^(a.b.i)= e^( ( a.i )^b), somente quando a e b forem inteiros?

Acho que você cometeu algum erro de digitação, o que você
escreveu é falso mesmo para a e b inteiros.
Será que você queria escrever isto:

e^(a.b.i) = (e^(a.i))^b

Suponho que i = (-1). Isto é verdade para b inteiro, a podendo ser qq
número complexo. Para z complexo e w não inteiro a expressão z^w não
é bem definida. Gostaríamos de escrever

z^w = exp(w log(z))

mas log(z) não está bem definido, depende do corte. A equação

e^(a.b.i) = (e^(a.i))^b

para b não inteiro é correta para *alguma* interpretação do lado direito,
i.e., para *algum* corte.

[]s, N.
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[obm-l] Números complexos

[Ricardo Prins]

Primeira dúvida: existe representação gráfica da norma de um complexo?

outra dúvida: 

Seja z pertencente aos complexos. Determine z e o módulo do complexo 1 - z, sabendo-se que z é o complexo de módulo máximo tal que | z + sqrt(2)cis (pi)/3 | = 1.

e finalmente, 

prove que se x + x^ (- 1) = 2 cos n, então x^13 + x^(-13) = 2 cos 13n.

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Re: [obm-l] Números complexos

[A. C. Morgado]

3) x^2 - x.2cosn +1 = 0
x = cosn (+-) i sen n
x^13 = cos 13n (+-) i sen13n
x^(-13) = cos 13n (-+) i sen 13n
x^13 + x^(-13) = 2cos13n
Ricardo Prins wrote:

  
  Primeira dvida: existe representao grfica da norma de um complexo?
 
  
 
  outra dvida: 
 
  
 
  Seja z pertencente aos complexos. Determine z e o mdulo do
complexo 1 - z, sabendo-se que z  o complexo de mdulo mximo tal que |
z + sqrt(2)cis (pi)/3 | = 1.
 
  
 
  e finalmente, 
 
  
 
  prove que se x + x^ (- 1) = 2 cos n, ento x^13 + x^(-13)
= 2 cos 13n.
 
  
 
  
  
  
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Re: [obm-l] Números complexos

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] Números complexos



on 02.04.03 23:07, Ricardo Prins at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Primeira dúvida: existe representação gráfica da norma de um complexo?

Sim, em 3 dimensoes. 

A norma de x + iy eh igual a (x^2+y^2) (outras pessoas dizem que a norma eh raiz(x^2+y^2), mas eu chamo isso de modulo. Assim, pra mim: modulo = raiz(norma). Cuidado que a nomenclatura nao eh padrao).

De qualquer jeito, voce define a funcao N: R^2 -- R tal que:
N(x,y) = x^2 + y^2

Fazendo o complexo x + iy corresponder ao par ordenado (x,y) voce tem a sua representacao grafica: e o paraboloide de revolucao: z = x^2 + y^2.

Se N(x,y) = raiz(x^2+y^2), entao a representacao grafica sera a folha superior (localizada no semi-espaco z = 0) do cone z^2 - x^2 - y^2 = 0

*
 
outra dúvida: 
 
Seja z pertencente aos complexos. Determine z e o módulo do complexo 1 - z, sabendo-se que z é o complexo de módulo máximo tal que | z + sqrt(2)cis (pi)/3 | = 1.

Tem certeza que eh cis(pi)/3? Isso eh igual a -1/3.

Assim, voce vai ter | z - raiz(2)/3 | = 1 ==
 z pertence a circunferencia de centro em (raiz(2)/3,0) e raio 1 == 
|z| eh maximo se z = 1 + raiz(2)/3 ==
| 1 - z | = raiz(2)/3.

Por outro lado, se for cis(pi/3), voce terah:
| z + raiz(2)*cis(pi/3) | = 1 ==
z pertence a circunferencia de centro em (-raiz(2)/2,-raiz(6)/2) e raio 1 ==
| z | eh maximo se z tambem pertencer a circunferencia de centro na origem e que tangencia externamente a circunferencia acima.

z = x + iy ==
x/(-raiz(2)/2) = (1+raiz(2))/raiz(2) 
e
y/(-raiz(6)/2) = (1+raiz(2))/raiz(2) ==
x = (1+raiz(2))(-1/2) e y = (1+raiz(2))*(-raiz(3)/2) ==
z = (1+raiz(2))*cis(4*pi/3) ==
| 1 - z | = | (3+raiz(2))/2 + i*(1+raiz(2))*(raiz(3)/2) | =
raiz(20 + 12*raiz(2))/2 =
raiz(5 + 3*raiz(2))

*

e finalmente, 
 
prove que se x + x^ (- 1) = 2 cos n, então x^13 + x^(-13) = 2 cos 13n.
 
x + 1/x = 2*cos(n) == 

x^2 - 2*cos(n)*x + 1 = 0 ==

x = cis(n) e x^(-1) = cis(-n)
ou 
x = cis(-n) e x^(-1) = cis(n) ==

x^13 = cis(13n) e x^(-13) = cis(-13n)
ou
x^13 = cis(-13n) e x^(-13) = cis(13n) ==

de qualquer forma, x^13 + x^(-13) = 2*cos(13n)

[obm-l] Números complexos

[Eduardo]

Galera, estou com 
uma dúvida relacionada a números complexos, digamos que 
histórica.


A primeira definição 
é i^2 =-1 ou a definição foi feita primeiramente para (a; b)x(c; 
d)?

Abraços

Edu

Re: [obm-l] Números complexos

[A. C. Morgado]

A primeira. Em A matematica do Ensino Medio, volume 3, voce encontra uma
mini-historia dos complexos.
Morgado

Eduardo wrote:
  
  
 
  
 
  Galera,
estou com  uma dvida relacionada a nmeros complexos, digamos que  histrica.
 
  
 
  
 
  A primeira
definio   i^2 =-1 ou a definio foi feita primeiramente para (a; b)x(c;
 d)?
 
  
 
  Abraos
 
  
 
  Edu

[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos

[Artur Costa Steiner]

Pelo
que sei, a razão histórica para o a aprecimento dos complexos foi, de fato, a
tentativa de resover a equação x^2 = -1, isto é, achar raiz(-1).  A existência de tal número, se não estou
enganado, tornou-se patente por volta do Século XvII (não estou certo), quando
um matemático italiano, Cardano, desenvolveu uma fórmula algebricamente
perfeita para calcular as raizes de um caso especial (que não me lembro) de
equação polinomial do 3º grau. A fórmula chocou os matemáticos da época, poiis
envolvia radicais do segundo grau e, mesmo nos casos em que as raizes eram todas
reais, os radicandos frequentemente tornavam-se negativos. A fórmula de Cardano
apresenta pouco interesse prático, pois aplica-se a um caso muito particular que
quase nunca ocorre na prática. Mas serviu para alertar os matemáticos de que
havia algo além do conjunto dos reais , que , na época,provavelmente não tinha
tal denominação.



Criou-se
então a famosa unidade imaginária i, denominação bastante infeliz
mas que resistiu através dos séculos, em todas a línguas, creio eu. Na realidade
, os números reais são tão imaginários quanto os imaginários. Ou,
caso se prefira, podemos dizer que os imaginários são tão reais quanto os
reais. Talvez por causa do nome ïmaginário para os complexos tenha-se
chegado ao nome , também um tanto infeliz, de conjunto dos reais.



Anos
depois, Gauss, que estudou muito os complexos, deu aos mesmos a denominação de complexos,
que muitos julgam ser infeliz mas que também resistiu ao tempo e é hoje o termo
consagrado. Pela época de Gauss, creio eu, passou-se a ver os complexos de
forma mais profunda, isto é , como uma estrutura algébrica , como um corpo
bi-dimensional que apresenta as mesmas leias algébricas que os reais (não pode,
porém , ser ordenado como os reais). Hoje, quase todos os livros apresentam os
complexos como um corpo do tipo (a, b) a e b em R. Entretanto, a forma a+ bi
ainda é usada, talvez para enfatizar o caráter de número que os complexos
apresentam. Através de um isomofismo, podemos identificar o conjunto de pares (a,
b) com o conjunto dos números a+bi. Isomorfismo é uma bijeção entre
dois conjuntos que preserva características fundamentais, por exemplo f(a+b) = f(a)
+ f(b) e f(ab) = f(a) f(b),



Um
detalhe interesante. Existem espaços vetoriias n-dimensionais e até de dimensões
infinitas. Seria de se esperar que houvesse corpos algébricos de dimensão superior
a 2, mas não é o caso. Entretanto, uma vez li no newsgroup internacional sci.math
que há corpos de dimensões infinitas.



Espero
ter ajudado

Um
abraço

Artur

 





-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]] On
Behalf Of Eduardo
Sent: Monday, February 10, 2003 1:02 PM
To: Obm-L
Subject: [obm-l] Números complexos





Galera, estou com uma dúvida relacionada a números
complexos, digamos que histórica.

















A primeira definição é i^2 =-1 ou a definição foi feita
primeiramente para (a; b)x(c; d)?











Abraços











Edu

[obm-l] Números complexos...

[Afemano]

Olá

Gostaria de saber se eu posso usar a igualdade 
:
r(cos@ + isen@ )^n = r^n [ cos(n@) + isen(n@) ] 
para uma expressão dos reais do tipo :
( cos@ + xsen@) ^ n aplicando o mesmo 
processo..

Obrigado...

Re: [obm-l] Números complexos...

[498 - Artur Costa Steiner]

 This is a multi-part message in MIME format.
 
 
 Olá
 
 Gostaria de saber se eu posso usar a igualdade :
 r(cos@ + isen@ )^n = r^n [ cos(n@) + isen(n@) ] para uma expressão 
dos reais do tipo :
 ( cos@ + xsen@) ^ n aplicando o mesmo processo..
 
 Obrigado...

Não, isto não é válido. 
Artur 
 
 

-- 
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[obm-l] Números Complexos

[Gabriel Pérgola]

Ops! Mandei a mensagem pelo meu outro e-mail que nao eh cadastrado.
Mas agora tah aí com o certo!



E aí pessoal,

Gostaria de ver a resolução destes problemas de números complexos que não
consegui fazer:

1) Obtenha o argumento de sen 40º + i cos 40º

2) Determine o menor valor inteiro e positivo de n para o qual (1 + i
sqrt[3])^n é um numero real

3) Determine o menor valor inteiro e positivo de n para o qual (1 + i
sqrt[3])^n é um numero real positivo.

4) Obtenha as raizes complexas das equacoes:
a) x^5 = 1
b) x^6 = 1

5) Representando, no plano, as raizes complexas da equacao z^3 + 8 = 0,
obtem-se um triangulo. Calcule a area desse triangulo.

6) A quantidade de numeros complexos que tem o seu quadrado igual ao seu
conjugado é?

É isso! Agradeço qualquer ajuda.

Gabriel Pérgola


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[obm-l] Re: [obm-l] Números Complexos

[Vinicius José Fortuna]

- Original Message -
From: Tonik [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Números Complexos


 1) Obtenha o argumento de sen 40º + i cos 40º

 obviamente, 40º

Não seria 50 graus?

Ângulos em graus:
sen 40 + i cos 40 = cos(90-40) + i sen(90-40) = cos 50 + i sen 50

Logo, 50 graus.

Até mais

Vinicius Fortuna

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[Fwd: Re: [obm-l] Números Complexos]

[Augusto César Morgado]

5) Representando, no plano, as raizes complexas da equacao z^3 + 8 = 0,
obtem-se um triangulo. Calcule a area desse triangulo.
z^3 = -8
modulo de z = 2
As imagens das raizes da equaao sao vertices de um triangulo equilatero
inscrito num circulo de centro na origem e raio 2. O lado vale 2raiz de3
e a area vale 3raiz de 3.

6) (x+yi)^2 = x-yi
x^2-y^2 +2xyi = x-yi
x^2-y^2 = x e 2xy = -y
A segunda equaao dah y=0 ou x = -(1/2)
Substituindo na primeira, x=0 ou x=1 no primeiro caso, y = (+-) [raiz de3]/2
no segundo.
Ha quatro soluoes: 0 ;  1 ;  - 1/2 + (sqrt3)/2  ;  - 1/2 - (sqrt3)/2

Desde quando 0 nao eh complexo?
Morgado

 Original Message 

  

  From: 
  - Mon Sep 02 20:06:02 2002


  X-UIDL: 
  F5;!!GlU!!\?e"!I:m!!


  X-Mozilla-Status: 
  0001


  X-Mozilla-Status2: 
  


  Return-Path: 
  [EMAIL PROTECTED]


  Received: 
  from sucuri.mat.puc-rio.br (sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7])	by
trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id g82LZC4B009660	for [EMAIL PROTECTED];
Mon, 2 Sep 2002 18:35:12 -0300 (BRT)


  Received: 
  (from majordom@localhost)	by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3)
id SAA20705	for obm-l-MTTP; Mon, 2 Sep 2002 18:31:44 -0300


  Received: 
  from smtp.ieg.com.br (stone.protocoloweb.com.br [200.226.139.11])	by
sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA20701	for [EMAIL PROTECTED];
Mon, 2 Sep 2002 18:31:42 -0300


  Received: 
  from localhost ([EMAIL PROTECTED] [200.158.118.125])	by
smtp.ieg.com.br (IeG relay/8.9.3) with SMTP id g82LSDfE067536	for [EMAIL PROTECTED];
Mon, 2 Sep 2002 18:28:13 -0300 (BRT)


  From: 
  Tonik [EMAIL PROTECTED]


  To: 
  [EMAIL PROTECTED]


  Date: 
  Mon, 02 Sep 2002 18:31:23 -0300


  X-Priority: 
  3 (Normal)


  Organization: 
  Tonik


  In-Reply-To: 
  003201c2529c$f2084800$0200a8c0@dois


  Message-Id: 
  BA4WNB9ED86BAVRE0VQLYSC7HC7RM.3d73d8ab@localhost


  Subject: 
  Re: [obm-l] Nmeros Complexos


  MIME-Version: 
  1.0


  Content-Type: 
  text/plain; charset="iso-8859-1"


  X-Mailer: 
  Opera 6.04 build 1135


  Sender: 
  [EMAIL PROTECTED]


  Precedence: 
  bulk


  Reply-To: 
  [EMAIL PROTECTED]


  X-UIDL: 
  F5;!!GlU!!\?e"!I:m!!


  Status: 
  U

  



02/09/02 13:22:18, Gabriel Prgola  wrote:

E a pessoal,

Gostaria de ver a resoluo destes problemas de nmeros complexos que no
consegui fazer:

Sao exercicios simples, q vou fazer mais para me exercitar, pois sao mais 
trabalhosos do q desafiantes... cheque as contas!

1) Obtenha o argumento de sen 40 + i cos 40

obviamente, 40

2) Determine o menor valor inteiro e positivo de n para o qual (1 + i
sqrt[3])^n  um numero real

para (1 + i*sqrt(3))^n ser real, seu argumento devera ser 0 ou 180
ou k180, k E Z, passando (1+isqrt(3)) para a forma trigonometrica, 
temos:
modulo = sqrt(1^2 + sqrt(3)^2) = sqrt(1+3) = 2
argumento = arccos(1/2) = 60

entao temos (2*(cos60+isen60))^n =
= 2^n*(cos(60*n)+isen(60*n)
para que o argumento (60*n) de 0 ou 180 com n0, n E Z:

60*n=360, n=6
6
0*n=180, n=3

Logo a resposta eh 3.

3) Determine o menor valor inteiro e positivo de n para o qual (1 + i
sqrt[3])^n  um numero real positivo.

a mesma coisa, s que agora 180 nao serve (pois eh real negativo)
60*n=360, n=6

4) Obtenha as raizes complexas das equacoes:
a) x^5 = 1
b) x^6 = 1

x^5 = 1
x= raizquintupla(1*(cos0+isen0))
x= cos(0/5 + 360k/5) + isen(0/5 + 360k/5), 0=k5, k E Z

as raizes:
x= cos0+isen0 = 1 (nao eh complexa)
x= cos72+isen72
x= cos144+isen144
x= cos216+isen216
x= cos288+isen288

5) Representando, no plano, as raizes complexas da equacao z^3 + 8 = 0,
obtem-se um triangulo. Calcule a area desse triangulo.

z^3=-8 tem 3 raizes, por 3 ser impar, uma das raizes eh real
z= raizcubica(-8)
z= raizcubica( 8*(cos180+isen180) )
z= 2*(cos(180/3+360k/3)+isen(180/3+360k/3)), 0=k3
z= 2*(cos(60+120k)+isen(60+120k))
as 
raizes:
k=0, z=2*(cos60+isen60) = 2*(1/2 + i*sqrt(3)/2) = 1+i*sqrt(3)
k=1, z=2*(cos180+isen180) = 2*(-1 + i*0) = -2
k=2, z=2*(cos300+isen300) =
(sabe-se que 1+isqrt(3) eh raiz, entao seu conjugado, 1-isqrt(3) eh a 
terceira raiz)

entao temos os pontos do triangulo ABC no plano complexo:
A(1,  sqrt(3))
B(-2, 0)
C(1,  -sqrt(3))

Seja D a matriz:
|Ax Ay 1| 
|Bx By 1|
|Cx Cy 1|

Area = modulo do determinante de D sobre 2
Area = |sqrt(3)+2sqrt(3)-(-sqrt(3)-2sqrt(3))|/2
Area = 3sqrt(3)

6) A quantidade de numeros complexos que tem o seu quadrado igual ao seu
conjugado ?

Seja z um numero complexo, vc quer a qtde de n complexos que
z^2 = conjugado de z

pela forma trigonometrica, seja m o modulo e a o argumento:

m^2*(cos(2a)+isen(2a)) = m*(cos(a)-isen(a))
sabemos