[obm-l] Re: [obm-l] Funções complexas - número de zeros em C
A minha conclusão de que f e g não têm zeros em C sse f = g está equivocada. É verdade que se f e g não têm zeros então f = g. Mas a recíproca não é verdadeira > >> Artur >> > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Funções complexas - número de zeros em C
Naquele meu outro post, houve um equívoco no enunciado do T. de Rouché. > A desigualdade > > |f(z) - g(z)| < |f(z)| + |g(z)| > > tem que valer apenas no traço W* da curva. > > Artur > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções complexas - número de zeros em C
Em qui, 30 de jul de 2020 16:22, Artur Costa Steiner
escreveu:
> Também me ocorreu isso, mas depois pensei em me basear no T. de Rouché (o
> da Análise Complexa, não o da Álgebra Linear). Em sua forma geral, este
> teorema diz:
>
> Se V um aberto do plano e W uma curva suave e fechada em V tal que Ind(W,
> z) = 0 ou 1 para z em V/W* (o traço de W) e = 0 para z em C/V. Se f e g são
> funções holomorfas em V tais que
>
> |f(z) - g(z)| < |f(z)| + |g(z)|
>
> para z em V/W*, então f e g têm o mesmo número de zeros no conjunto I = {z
> em V/W* : Ind(W,z) = 1-}
>
> Este teorema é particularmente interessante quando W é uma curva bonita em
> que se identifica claramente a área delimitada por W. Neste ,caso I é essa
> área. Caso típico do círculo de centro a e raio r, quando então I é o
> disco aberto D(a, r).
>
> No caso, vemos que, para que o limite dado faça sentido, para |z|
> suficientemente grande g não pode se anular. Logo, o conjunto Zg dos zeros
> de g é limitado. Se Zg for infinito, terá um ponto de acumulação em C, o
> domínio da inteira g. Pelas propriedades das funções holomorfas, g será
> entãoidenticamente nula, conflitando assim com o limite dado. Logo, Zg é
> finito, tendo n>= 0 elementos (contando multiplicidades).
>
> Como lim |z| --> oo f(z)/g(z) = 1, então lim |z| --> oo f(z)/g(z) - 1 = lim
> |z| --> oo [f(z) - g(z)]/g(z) = 0. Segue-se que lim |z| --> oo |f(z) -
> g(z|]/|g(z)) = 0, havendo portanto r0 > 0 tal que |z| > r0 => |f(z) -
> g(z)|/|g(z)| < 1 e, portanto,
>
> |f(z) - g(z)| < ||g(z)| (1)
>
> Assim, para r > r0, (1) vale no círculo de centro na origem e raio r,
> periferia de D(0 r). Pelo T de Rouché com V = C, f e g têm neste disco o
> mesmo número de zeros , ou seja, n zeros.
>
> Como isso vale pra todo r > r0, concluímos que f e f têm n zeros em C.
>
> Se f for um polinômio de grau n > 0 e g(z) = c_n z^n, c_n o coeficiente
> líder de f, temos uma prova do T. Fundamental da Álgebra que mostra que
> polinômios de grau n > 0 têm n zeros (ou raízes).
>
> Neste problema, cheguei a duas conclusões me parecem corretas:
>
> f e g não terão zeros em C esse f = g, g uma função que não se anule
>
> Se lim |z| --> oo g(z) = oo, então f e g são polinômios de mesmo grau
> positivo.
>
> Abs
>
> Artur
>
>
> Em qui, 30 de jul de 2020 13:43, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Será que fazendo w = 1/z e w -> 0 ajuda?
>>
>> On Thu, Jul 30, 2020 at 7:24 AM Artur Costa Steiner <
>> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Sejam f e g funções inteiras tais que lim |z| ---> oo f(z)/g(z) = 1.
>>> Mostre que f e g tem um número finito de zeros em C e que o número de zeros
>>> de f é igual ao número de zeros de g.
>>>
>>> Abs
>>>
>>> Artur
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções complexas - número de zeros em C
Também me ocorreu isso, mas depois pensei em me basear no T. de Rouché (o
da Análise Complexa, não o da Álgebra Linear). Em sua forma geral, este
teorema diz:
Se V um aberto do plano e W uma curva suave e fechada em V tal que Ind(W,
z) = 0 ou 1 para z em V/W* (o traço de W) e = 0 para z em C/V. Se f e g são
funções holomorfas em V tais que
|f(z) - g(z)| < |f(z)| + |g(z)|
para z em V/W*, então f e g têm o mesmo número de zeros no conjunto I = {z
em V/W* : Ind(W,z) = 1-}
Este teorema é particularmente interessante quando W é uma curva bonita em
que se identifica claramente a área delimitada por W. Neste ,caso I é essa
área. Caso típico do círculo de centro a e raio r, quando então I é o
disco aberto D(a, r).
No caso, vemos que, para que o limite dado faça sentido, para |z|
suficientemente grande g não pode se anular. Logo, o conjunto Zg dos zeros
de g é limitado. Se Zg for infinito, terá um ponto de acumulação em C, o
domínio da inteira g. Pelas propriedades das funções holomorfas, g será
entãoidenticamente nula, conflitando assim com o limite dado. Logo, Zg é
finito, tendo n>= 0 elementos (contando multiplicidades).
Como lim |z| --> oo f(z)/g(z) = 1, então lim |z| --> oo f(z)/g(z) - 1 = lim
|z| --> oo [f(z) - g(z)]/g(z) = 0. Segue-se que lim |z| --> oo |f(z) -
g(z|]/|g(z)) = 0, havendo portanto r0 > 0 tal que |z| > r0 => |f(z) -
g(z)|/|g(z)| < 1 e, portanto,
|f(z) - g(z)| < ||g(z)| (1)
Assim, para r > r0, (1) vale no círculo de centro na origem e raio r,
periferia de D(0 r). Pelo T de Rouché com V = C, f e g têm neste disco o
mesmo número de zeros , ou seja, n zeros.
Como isso vale pra todo r > r0, concluímos que f e f têm n zeros em C.
Se f for um polinômio de grau n > 0 e g(z) = c_n z^n, c_n o coeficiente
líder de f, temos uma prova do T. Fundamental da Álgebra que mostra que
polinômios de grau n > 0 têm n zeros (ou raízes).
Neste problema, cheguei a duas conclusões me parecem corretas:
f e g não terão zeros em C esse f = g, g uma função que não se anule
Se lim |z| --> oo g(z) = oo, então f e g são polinômios de mesmo grau
positivo.
Abs
Artur
Em qui, 30 de jul de 2020 13:43, Claudio Buffara
escreveu:
> Será que fazendo w = 1/z e w -> 0 ajuda?
>
> On Thu, Jul 30, 2020 at 7:24 AM Artur Costa Steiner <
> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote:
>
>> Sejam f e g funções inteiras tais que lim |z| ---> oo f(z)/g(z) = 1.
>> Mostre que f e g tem um número finito de zeros em C e que o número de zeros
>> de f é igual ao número de zeros de g.
>>
>> Abs
>>
>> Artur
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Funções complexas - número de zeros em C
Será que fazendo w = 1/z e w -> 0 ajuda? On Thu, Jul 30, 2020 at 7:24 AM Artur Costa Steiner < artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: > Sejam f e g funções inteiras tais que lim |z| ---> oo f(z)/g(z) = 1. > Mostre que f e g tem um número finito de zeros em C e que o número de zeros > de f é igual ao número de zeros de g. > > Abs > > Artur > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras
Olá Israel, coloquei um pdf em inglês sobre o assunto no link abaixo.Espero que te atenda. É recheado de exemplos... https://drive.google.com/file/d/0B-1sAhj7LSlyT1VwMkxGU3lvTkE/view?usp=sharing Em 28 de março de 2015 09:07, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: Alguém aí tem um material falando sobre funções geradoras? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras
Entra neste link e pega a eureka n 11 Abraços Hermann - Original Message - From: Maikel Andril Marcelino To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 28, 2015 6:53 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras Carlos Gomes manda aquele material Enviado do meu smartphone Samsung Galaxy. Obrigado Douglas Oliveira Em 28 de março de 2015 09:20, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Existe um material legal do Eduardo Tengan sobre séries formais da eureka eu acho. Abraços, Douglas Oliveira Em 28/03/2015 09:14, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: Alguém aí tem um material falando sobre funções geradoras? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras
http://www.obm.org.br/opencms/revista_eureka/ não enviei o link revista n 11 séries formais Abraços Hermann - Original Message - From: Maikel Andril Marcelino To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, March 28, 2015 6:53 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras Carlos Gomes manda aquele material Enviado do meu smartphone Samsung Galaxy. Obrigado Douglas Oliveira Em 28 de março de 2015 09:20, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Existe um material legal do Eduardo Tengan sobre séries formais da eureka eu acho. Abraços, Douglas Oliveira Em 28/03/2015 09:14, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: Alguém aí tem um material falando sobre funções geradoras? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras
Carlos Gomes manda aquele material Enviado do meu smartphone Samsung Galaxy. Obrigado Douglas Oliveira Em 28 de março de 2015 09:20, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Existe um material legal do Eduardo Tengan sobre séries formais da eureka eu acho. Abraços, Douglas Oliveira Em 28/03/2015 09:14, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: Alguém aí tem um material falando sobre funções geradoras? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras
Existe um material legal do Eduardo Tengan sobre séries formais da eureka eu acho. Abraços, Douglas Oliveira Em 28/03/2015 09:14, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: Alguém aí tem um material falando sobre funções geradoras? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções geradoras
Obrigado Douglas Oliveira Em 28 de março de 2015 09:20, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Existe um material legal do Eduardo Tengan sobre séries formais da eureka eu acho. Abraços, Douglas Oliveira Em 28/03/2015 09:14, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: Alguém aí tem um material falando sobre funções geradoras? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] funções injetivas
Olá.Até onde eu sei, os conceitos são os mesmos quaisquer que sejam as naturezas do domínio e do contradomínio da função. Não mudam uma vírgula sequer. From: dr.dhe...@outlook.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] funções injetivas Date: Fri, 21 Nov 2014 03:54:55 +0300 Olá pessoal, tudo bem? Minha dúvida é de cunho teórico. Há, no âmbito de funções de duas variáveis (ou mais) f(x,y), alguma generalização do conceito de injetividade, sobrejetividade e bijetividade? Att.Eduardo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
Olá! Veja que pra f(f(x))=x a gente precisa que f seja sobrejetora. Mas note que pra 1 estar na imagem de b, precisa existir x (diferente de -b) tal que (x+a)/(x+b)=1, ou seja, precisamos de a=b, mas nesse caso a imagem de f é só 1 e -1, e f ainda assim não é sobrejetora. Então não existem tais a e b. Talvez esse problema tenha resposta se trocar f(-b) por 1. Lucas Colucci Em 8 de setembro de 2013 00:18, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.comescreveu: Seja f: R-R definida por: f(x) = (x+a)/(x+b) se x != -b -1 se x = -b Se f(f(x)) = x qualquer que seja x pertencente aos reais, determine a.b Eu tentei fazer mas não to conseguindo achar f, alguém dá uma ajuda? O exercício parece ser bem fácil, mas não tá saindo por nada []'s João -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Funções periódicas nos complexos
2013/9/2 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
Olá amigos,
Oi Artur,
Se f for uma função meromorfa, periódica e não constante, então f tem algo
análogo a um período fundamental, isto é, existe um período p cujo valor
absoluto é positivo e mínimo. Não sei se este p é único. Todos os múltiplos
inteiros de p são períodos e estão na reta definida pelo argumento de p. No
caso, por exemplo, de f(z) = exp(z), p = 2 pi i.
Não, este p não é único. Existem funções meromorfas cujos períodos são
1 e i, que são portanto mínimos e diferentes. Mas, fora este fenômeno
meio especial, o que você falou está perfeitamente certo. Para ser
formal: como f não é constante, existe um ponto z tal que f'(z) é
diferente de zero, e portanto uma vizinhança onde f(z) != f(w) para
todo w na vizinhança. Assim, o conjunto dos períodos {p complexo /
f(w+p) = f(w) para todo w} é um subgrupo aditivo de C, onde zero é
isolado. Assim (mesma demonstração que em R) existe um valor r = min =
inf { |p| / p período, p != 0 }.
Mas pode haver outros períodos que não sejam múltiplos inteiros de p. É fácil
ver que estes últimos não estão sobre a reta acima citada. Ouvi, e não
consegui provar, que, dentre os períodos não múltiplos inteiros de p, há um
p' cuja distância à reta dos múltiplos inteiros de p é positiva e mínima. O
que eu consegui provar é que a distância euclidiana entre o conjunto dos
períodos da forma np, n inteiro, e o conjunto dos outros períodos é positiva.
É basicamente um argumento de inf = min em conjuntos discretos.
Considere todos os períodos que não estão na reta pZ, chame este
conjunto de PP. Eles estão todos a distância maior ou igual a r da
origem, e pela minimalidade de p, há apenas um número finito deles em
qualquer disco de raio R. Considere portanto uma aplicação f : PP
inter D_R x [0,p] - R dada pela distância de um ponto periódico em
D_R e um ponto no segmento 0-p. Ela é contínua, logo admite um mínimo
diferente de zero. Agora, se R é suficientemente grande, por conta da
simetria de translação, este mínimo será também o mínimo da função F :
PP x pR - R distância. (Formalize este último argumento. Dica: comece
estimando o mínimo com um ponto qualquer q em PP.)
Hum, relendo tudo aqui, eu vi que eu me confundi com a reta dos
múltiplos inteiros e provei que o mínimo é para todos os pontos da
reta, e não apenas (como fica claro na parte seguinte) que são apenas
os pontos pZ e todos os outros pontos que você está falando. A
demonstração, entretanto, é exatamente a mesma. Não dá pra fugir da
compacidade ;-).
Dê uma olhada em lattices na Wikipedia (em inglês, ou, com mais
figuras ainda, réseaux em francês). (adendo: palavrinha chata, ela
se diz reticulado ou retículo em português... muitas diferenças em
línguas simples!)
Parece também que p/p' não é real. E que o conjunto de todos os períodos é o
conjunto das combinações lineares inteiras de p e de p'. Que tais combinações
são períodos é imediato, mas além disto não há nenhum período que não se
enquadre em tais combinações.
Isso é um argumento muito legal de álgebra linear com coeficientes
inteiros / racionais. A idéia intuitiva é que um reticulado com mais
do que n geradores L.I. sobre Q, todos os geradores em R^n, não é
discreto. Assim, se p/q fosse real, teríamos dois geradores
independentes sobre Q, logo uma seqüência de pontos z_n - 0 onde
f(z_n) = f(0), logo f seria constante (e aqui você usa que f é
analítica).
Eu estou certo? Alguém conhece este assunto?
Se você quiser olhar para as funções meromorfas (bi-)periódicas, estas
são as belíssimas funções p de Weierstrass, e têm a ver com Teo dos
Números e geometria complexa. Se for mais a parte de Álgebra Linear,
tem também várias coisas (e também muitas coisas de Teo dos Números,
claro), e daí eu conheço menos...
Abraços
Artur
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Funções periódicas nos complexos
2013/9/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com:
2013/9/2 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
Olá amigos,
Oi Artur,
Se f for uma função meromorfa, periódica e não constante, então f tem algo
análogo a um período fundamental, isto é, existe um período p cujo valor
absoluto é positivo e mínimo. Não sei se este p é único. Todos os múltiplos
inteiros de p são períodos e estão na reta definida pelo argumento de p. No
caso, por exemplo, de f(z) = exp(z), p = 2 pi i.
Não, este p não é único. Existem funções meromorfas cujos períodos são
1 e i, que são portanto mínimos e diferentes. Mas, fora este fenômeno
meio especial, o que você falou está perfeitamente certo. Para ser
formal: como f não é constante, existe um ponto z tal que f'(z) é
diferente de zero, e portanto uma vizinhança onde f(z) != f(w) para
todo w na vizinhança. Assim, o conjunto dos períodos {p complexo /
f(w+p) = f(w) para todo w} é um subgrupo aditivo de C, onde zero é
isolado. Assim (mesma demonstração que em R) existe um valor r = min =
inf { |p| / p período, p != 0 }.
Ah, sim, faltou o exemplo:
considere a função
f(z) = sum_{m,n inteiros} 1/(z - m - n*i)^3
que é (por definição!) periódica de períodos 1 e i. É um pouco mais
chatinho ver que ela é meromorfa, porque daí você tem que provar que
ela é
- uma série convergente para z fora do reticulado {1,i} (use que 1/z^3
é integrável em R^2)
- que a derivada desta série convergente é também uma série
convergente, uniformemente sobre os compactos que não intersectam o
reticulado
porque daí ela será uma função com derivada contínua e z-linear,
portanto holomorfa em todos o C menos nos pólos do reticulado.
Para ver que ela é meromorfa nos pontos do reticulado, isole o termo
1/z^3 numa vizinhança de zero, repita os argumentos de cv uniforme e
veja que a derivada existe.
Como f é periódica, acabou.
Outra demonstração: tome |z| 1/3, expanda todos os termos exceto
1/z^3 em potências de z, usando 1/(z - a) = soma da série geométrica,
depois derivando a série 2 vezes, troque a ordem das somas (atenção
para aplicar Fubini direitinho) e veja que a série assim obtida é um
desenvolvimento de Laurent.
Essa é uma das funções de Weierstrass. Existe uma outra, mais
importante, que é a primitiva desta, mas é mais difícil mostrar que a
primitiva é periódica ;-) (e também é mais difícil mostrar que a
primitiva é uma função meromorfa bonitinha).
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções polinomiais e exponenciais nos complexos
Sugestão: 1) basta demonstrar para o caso em que a = 1 e k = 1. Pense na função g(z) = P(z) exp(-z) e no grande teorema de Picard. 2) também basta demonstrar para o caso a = 1, k = 1. E basta demonstrar para o eixo real. As raízes reais vão formar um conjunto limitado, talvez vazio. Se houver uma infinidade de raízes, o conjunto vai ter ponto de acumulação e aí o bicho pega. Abraços Artur Artur Costa Steiner Em 06/01/2013, às 22:31, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2012/12/12 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com: Seja P um polinômio complexo não constante e sejam k e a constantes complexas não nulas. Mostre que 1) a equação P(z) = k exp(az) tem uma infinidade de raízes 2) em toda reta do plano complexo, a equação acima tem um número finito de raízes. Antes de dar uma resposta completa, vou dar uma idéia só: Newton e periodicidade. Ah, sim, SPG, k = 1 e a = 1 também, mudando as variáveis, mas não é realmente útil no argumento, é mais pra limpar a notação. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções polinomiais e exponenciais nos complexos
2012/12/12 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com: Seja P um polinômio complexo não constante e sejam k e a constantes complexas não nulas. Mostre que 1) a equação P(z) = k exp(az) tem uma infinidade de raízes 2) em toda reta do plano complexo, a equação acima tem um número finito de raízes. Antes de dar uma resposta completa, vou dar uma idéia só: Newton e periodicidade. Ah, sim, SPG, k = 1 e a = 1 também, mudando as variáveis, mas não é realmente útil no argumento, é mais pra limpar a notação. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções Vetorias
O vetor velocidade da curva, h'(t)=(-a.sen(t), a.cos(t), b), para um dado t, é o coeficiente angular da reta tangente a curva em seu respectivo ponto. Seja o eixo z representado pelo vetor z=(0, 0, 1). Agora fazendo o produto escalar entre os vetores h'(t) e z, temos: ||h'(t)|| = (a²+b²)^(1/2) ||z|| = 1 ||h'(t)||.||z||.cos(k) = (-a.sen(t).0) + (a.cos(t).0) + (b.1) ((a²+b²)^(1/2)).cos(k) = b cos(k) = b / ( (a²+b²)^(1/2) ) Onde k é o angulo entre os vetores h'(t) e z. Em 24 de junho de 2011 22:06, Rafael Antunes de Andrade rafael.antunes2...@gmail.com escreveu: Por favor, podem me ajudar nessa questão Considere a hélice definida por h(t) = (a.cos(t) , a.sen(t) , b.t). Mostre que a reta tangente, em cada ponto da hélice, faz um ângulo constante com o eixo z, e que o cosseno desse ângulo é b / [(a² + b²) ^ 1/2] Obrigado
[obm-l] Re: [obm-l] Funções Pares e Ímpares
2010/8/4 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Estou com uma dúvida a respeito de funções pares e ímpares. Por exemplo, as funções f(x) = x^2 e g(x) = 1/x são, respectivamente, par e ímpar. Se multiplicarmos uma pela outra temos a função h(x) = f(x)*g(x) = (x^2)*(1/x) = (x^2)/x = x, que é uma função ímpar. A função i(x) = f(x) + g(x) = x^2 + 1/x é uma função par. Minha dúvida é como é possível saber se a função resultante após uma operação entre funções é par ou ímpar. Uma regra fácil só vale pra multiplicação, por uma razão óbvia... ou para operações que não mudam o sinal, ou seja, par (operacao) par é sempre par, mas por exemplo ímpar (operação) ímpar nem sempre é par, nem sempre é ímpar... aliás, i(1) = 1 + 1/1 = 2 != 0 = (-1)^2 + 1/(-1) = i(-1) -- Henrique abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções Pares e Ímpares
Errei colocando que h(x) = x^2 + 1/x é par. Gostaria de uma demonstração das seguintes propriedades: - A soma de duas funções de mesma paridade mantém essa paridade. - O produto de duas funções de mesma paridade é uma função par. - O produto de duas funções com paridades distintas é uma função ímpar. Encontrei as propriedades acima em http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%B5es_pares_e_%C3%ADmpares. Não sei sei pode ser considerada uma fonte confiável. Em 04/08/10, Bernardo Freitas Paulo da Costabernardo...@gmail.com escreveu: 2010/8/4 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Estou com uma dúvida a respeito de funções pares e ímpares. Por exemplo, as funções f(x) = x^2 e g(x) = 1/x são, respectivamente, par e ímpar. Se multiplicarmos uma pela outra temos a função h(x) = f(x)*g(x) = (x^2)*(1/x) = (x^2)/x = x, que é uma função ímpar. A função i(x) = f(x) + g(x) = x^2 + 1/x é uma função par. Minha dúvida é como é possível saber se a função resultante após uma operação entre funções é par ou ímpar. Uma regra fácil só vale pra multiplicação, por uma razão óbvia... ou para operações que não mudam o sinal, ou seja, par (operacao) par é sempre par, mas por exemplo ímpar (operação) ímpar nem sempre é par, nem sempre é ímpar... aliás, i(1) = 1 + 1/1 = 2 != 0 = (-1)^2 + 1/(-1) = i(-1) -- Henrique abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções Pares e Ímpares
2010/8/4 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Errei colocando que h(x) = x^2 + 1/x é par. Gostaria de uma demonstração das seguintes propriedades: - A soma de duas funções de mesma paridade mantém essa paridade. - O produto de duas funções de mesma paridade é uma função par. - O produto de duas funções com paridades distintas é uma função ímpar. Encontrei as propriedades acima em http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%B5es_pares_e_%C3%ADmpares. Não sei sei pode ser considerada uma fonte confiável. As provas são imediatas da definição. Uma função f é dita impar sse f(-x) = -f(x) Uma função f é dita par sse f(-x) = f(x) Então vamos trabalhar com os produtos. Seja g ímpar e f par: f(-x) * g(-x) = - f(x)*g(x) Então a função produto é ímpar. Se ambas forem pares: f(-x) * g(-x) = f(x) * g(x) então o produto é par Se ambas forem ímpares: f(-x) * g(-x) = (-f(x))*(-g(x)) f(-x) * g(-x) = f(x) * g(x) então o produto é par Suponha que f é par e g é par: Então f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) Então a função da soma é par Suponha que f é ímpar e g é impar: Então f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = - (f(x) + g(x)) Então a soma é ímpar. Note que criamos uma terceira função, diga h em todos os casos. Nos casos em que trabalhamos com o produto h(x) = f(x) * g(x), e quando trabalhamos com a soma h(x) = f(x) + g(x) O que fizemos foi provar nos casos acima que h(-x) = h(x), para quando o h fosse par, ou que h(-x) = -h(x) quando h fosse ímpar. -- []'s Lucas
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
Ah, esse professor é malandro. Mas ele deu a dica pra você na forma da função. Veja que a raiz quadrada só serve para garantir que x 2, senão, não teríamos um mínimo. Muito bem. Agora, como a raiz quadrada é crescente, basta achar o máximo de x^2/(x-2), não é? Uma idéia então é partir pra MA = MG (ou, na verdade, a média quadrática = MA). Eu acho mais bonitinho assim: suponha que você já conhece a resposta, e portanto você sabe que x^2 / (x-2) = A, sempre para todo x = 2. Muito bem, o que a gente pode concluir? Isso dá uma inequação do segundo grau, x^2 - Ax + 2A = 0. Que tem uma única solução, pois o mínimo é atingido uma única vez. Ou seja, Delta = 0. Ora, isso dá A^2 - 4*2A = 0, ou A = 8. Agora acabou. Você já sabe o mínimo, é sqrt(8) (pois a gente não tirou a raiz). E se ele pedir a abscissa, basta você achar o zero do polinômio quadrático lá em cima, agora que você já sabe quem é o A. Bonito problema, mas acho que na vida real uma coisa dessas se faria derivando mesmo, é mais metódico. Acho que o importante aqui é, antes de tudo, perceber que basta estudar antes da raiz quadrada. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2010/3/21 Emanuel Valente emanuelvale...@gmail.com: Pessoal, seguinte... Tô no primeiro ano de física na usp aqui de São Carlos. O professor enviou uma lista essa semana. Um dos exercícios é: Pede pra achar o conjunto dominio e imagem de sqrt((x^2)/(x-2)) Tentei resolver assim: =|x|/sqrt(x-2) , como o dominio da funcao é x2, logo o x é positivo, entao eu posso tirar o modulo: =x/sqrt(x-2) O problema tá pra descobrir o ponto mínimo da função. Sei que se eu derivar essa funcao e igualar a zero irei achar o ponto minimo, mas o professor ainda nao deu derivada, logo ele está querendo que façamos esse exercicio de uma outra maneira. Como? -- Emanuel Valente Instituto de Física de São Carlos - USP http://twitter.com/epaduel epad...@hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
2009/11/10 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Pessoal, Se duas funções algébricas ou trigonométricas f(x) e g(x), contínuas (não sei se é necessário que sejam), possuem a mesma imagem em um intervalo [a,b], podemos afirmar que f(x)=g(x) ?? O que você quer dizer por possuem a mesma imagem ? f([a,b]) = g([a,b]) ? ou f(x) = g(x) para todo x em [a,b] ? Veja que é MUITO diferente, e que uma é bem mais forte do que a outra. Segunda coisa, o que é uma função trigonométrica pra você ? sin, cos, etc e tal ? Vale compor ? senão, vale fazer sin(4x + x^2) ? qual justificativa para essas respostas (bom, pode ser simplesmente um exercício, mas seria mais legal ver claramente o que se quer fazer com cada uma) Terceiro: algumas das situações que eu proponho podem ser triviais (contra-exemplos evidentes), portanto pense um pouco se não dá pra achar um contra-exemplo rapidamente se for o caso. E senão, mande ver ! Abs Felipe Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções
Ola Bernardo, Esta questão surgiu por acaso. Deixa eu esclarecer então : O que quero dizer é se f(x) = g(x) para todo x em [a,b], então f(x)=g(x) para todo x .Qto ao segundo questionamento, creio que pode ser composta como vc sugeriu. Acho que agora a minha dúvida ficou mais clara, com a sua ajuda. Abs Felipe --- Em ter, 10/11/09, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Funções Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 10 de Novembro de 2009, 13:45 2009/11/10 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Pessoal, Se duas funções algébricas ou trigonométricas f(x) e g(x), contínuas (não sei se é necessário que sejam), possuem a mesma imagem em um intervalo [a,b], podemos afirmar que f(x)=g(x) ?? O que você quer dizer por possuem a mesma imagem ? f([a,b]) = g([a,b]) ? ou f(x) = g(x) para todo x em [a,b] ? Veja que é MUITO diferente, e que uma é bem mais forte do que a outra. Segunda coisa, o que é uma função trigonométrica pra você ? sin, cos, etc e tal ? Vale compor ? senão, vale fazer sin(4x + x^2) ? qual justificativa para essas respostas (bom, pode ser simplesmente um exercício, mas seria mais legal ver claramente o que se quer fazer com cada uma) Terceiro: algumas das situações que eu proponho podem ser triviais (contra-exemplos evidentes), portanto pense um pouco se não dá pra achar um contra-exemplo rapidamente se for o caso. E senão, mande ver ! Abs Felipe Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções
2009/11/10 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Ola Bernardo, Esta questão surgiu por acaso. Legal ! Essa é uma questão muito importante ! Deixa eu esclarecer então : O que quero dizer é se f(x) = g(x) para todo x em [a,b], então f(x)=g(x) para todo x .Qto ao segundo questionamento, creio que pode ser composta como vc sugeriu. Ok, isso mesmo... agora, precisamos formalizar um pouco mais o que será o seu funções algébricas e funções trigonométricas, para a gente poder dar uma resposta correta! Acho que agora a minha dúvida ficou mais clara, com a sua ajuda. Abs Felipe Se f e g forem polinômios, acho que você consegue provar que realmente f=g o tempo todo se f=g num intervalo. Se você já estudou funções complexas, você sabe também que isso vale para quaisquer duas funções holomorfas. Senão, é exatamente isso que você tem que estudar!! Com um pouco mais de análise, você pode conseguir demonstrar um resultado análogo para funções meromorfas, o que permite usar frações. Mas, por enquanto, nada de raízes, nem logaritmos, só polinômios, exponenciais, e outras funções regulares (e compostas, portanto seno, cosseno, etc ok, tangente é mais complicado, mas dá pra incorporar...) Bom, eu vou ficando por aqui, mas sugiro que você dê uma boa estudada nisso, ou, se já estudou, continue propondo mais funções que você gostaria de ver na lista da unicidade! Um grande abraço, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções
Oi, Walter. Voce estah usando x=n? Entao, no fundo no fundo, f(n) NAO EH uma funcao polinomial, porque tem alguma especie de (-1)^n... O que eu quis dizer eh que f(n) tem uma formula quadratica para n par, e outra formula quadratica para n impar. O que voce indica parece confirmar isto: afinal, se n for par, esse (-1)^n da formula que voce achou vira 1; juntando com o resto da formula que voce achou (que nem sei qual eh), deve ficar uma funcao quadratica em n. Se n for impar, entao o (-1)^n vira -1; fica OUTRA formula quadratica em n. Entao f(n)=p(n) se n eh par ou q(n) se n eh impar, onde p(n) e q(n) sao formulas quadraticas distintas. Foi isso que eu quis dizer. Para ser sincero, eu nunca cheguei a ver a formula final... mas, qualquer que fosse o numero n impar, o raciocinio que eu fiz daria sempre algo do tipo: f(n)=f(99)+(soma dos termos de uma P.A. com numero de termos que depende linearmente de n) Como f(99) eh alguma constante, e a soma dos termos de uma P.A. eh uma funcao quadratica do numero de termos, eu sabia que f(n)=quadratica(n) se eu me restringisse para n impar. Entao, nos impares, f(n) eh alguma funcao quadratica. Nos pares, por analogia, tambem daria uma funcao quadratica -- mas esta usaria outra constante e outra P.A! Entao, a principio, nos pares f tem OUTRA formula quadratica. Abraco, Ralph P.S.: Agora, note que voce pode definir f(x) DO JEITO QUE QUISER para 0x1, e mesmo assim ha uma funcao f(x) definida nos reais que coincide com isto que voce inventou no (0,1) e que satisfaz as condicoes do problema. Entao ha MUITAS funcoes f que satisfazem as condicoes do problema... Mas todas elas devem ter a formula que voce achou **nos inteiros**. 2009/10/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Muito obrigado, Prof Ralph e colegas Terminado a conta encontrei f(15) = -4946 (não esperava esse resultado...meio feio(rs)) Utilizando a fórmula geral aparece no final um (-1)^n .d que não havia considerado. Esse (-1)^n é a representação desta f(x) para os pares e outra para os ímpares? Pergunta: Como decido no caso se n é par ou ímpar? A função é do 2º grau, mas esse n não é o grau... Creio estar confuso nessa observação final do Ralph Obrigado mais uma vez 2009/10/31 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Prefiro fazer sem supor nada sobre a f(x), exceto os dados do problema. Entao vejamos. Como: f(x)+f(x+1)=x^2 f(x-1)+f(x)=(x-1)^2 Subtraindo, vem f(x+1)-f(x-1)=2x-1, ou seja, f(x+1)=f(x-1)+(2x-1) Isto significa que: f(17)=f(15)+31 f(19)=f(17)+35 f(21)=f(19)+39 ... f(99)=f(97)+195 Somando tudo, fica f(99)=f(15)+(31+35+39++195). Dentro dos parenteses temos a soma dos termos de uma P.A.; por outro lado, tendo f(100), eh facil calcular f(99) pois f(99)+f(100)=99^2. Agora eh soh terminar as contas. Abraco, Ralph P.S.: Basicamente, o que este raciocinio mostra eh que f(x) eh um polinomio de 2o grau nos impares, e OUTRO polinomio de 2o grau nos pares (sem falar dos outros possiveis valores reais de x). 2009/10/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Amigos, Uma questão dizia: f(x) + f(x+1) = x² f(x) = 10001 Calcule f(15) Minha solução: Se f(x) + f(x+1) = x², então podemos considerar f(x) e f(x+1) como funções polinomiais de grau 2. Seja f(x) = ax² + bx +c =0. Então, f(x+1) = a(x+1)² + b(x + 1) + c = 0 Desenvolvendo f(x) + f(x+1) = 2ax² + (2a+2b)x + (a+b+c) = x² Igualando os coeficientes, temos: 2a = 1. Logo a = 1/2 2a + 2b = 0. Logo, a = -b e b = -1/2 a+b+c=0. Então c = 0 A função f(x) = x²/2 - x/2 Testando: f(100) + f(101) = 4950 + 5050 = 1 = 100² Logo, f(15) = 15²/2 - 15/2 = 105 VERIFICAÇÃO: f(15) + f(16) = 105 + 120 = 225 = 15² DUVIDANDO DE MIM MESMO: Mas f(100) não é 10001. Alguma ajuda, por favor... Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira http://www.professorwaltertadeu.mat.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções
 Carpe Dien Em 01/11/2009 00:30, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Oi, Walter. Voce estah usando x=n?Entao, no fundo no fundo, f(n) NAO EH uma funcao polinomial, porquetem alguma especie de (-1)^n... O que eu quis dizer eh que f(n) temuma formula quadratica para n par, e outra formula quadratica para nimpar.O que voce indica parece confirmar isto: afinal, se n for par, esse(-1)^n da formula que voce achou vira 1; juntando com o resto daformula que voce achou (que nem sei qual eh), deve ficar uma funcaoquadratica em n.Se n for impar, entao o (-1)^n vira -1; fica OUTRA formula quadratica em n.Entao f(n)=p(n) se n eh par ou q(n) se n eh impar, onde p(n) e q(n)sao formulas quadraticas distintas. Foi isso que eu quis dizer.Para ser sincero, eu nunca cheguei a ver a formula final... mas,qualquer que fosse o numero n impar, o raciocinio que eu fiz dariasempre algo do tipo:f(n)=f(99)+(soma dos termos de uma P.A. com numero de termos quedepende linearmente de n)Como f(99) eh alguma constante, e a soma dos termos de uma P.A. eh umafuncao quadratica do numero de termos, eu sabia que f(n)=quadratica(n)se eu me restringisse para n impar. Entao, nos impares, f(n) eh algumafuncao quadratica.Nos pares, por analogia, tambem daria uma funcao quadratica -- masesta usaria outra constante e outra P.A! Entao, a principio, nos paresf tem OUTRA formula quadratica.Abraco,RalphP.S.: Agora, note que voce pode definir f(x) DO JEITO QUE QUISER para0coincide com isto que voce inventou no (0,1) e que satisfaz ascondicoes do problema. Entao ha MUITAS funcoes f que satisfazem ascondicoes do problema... Mas todas elas devem ter a formula que voceachou **nos inteiros**.2009/10/31 Walter Tadeu Nogueira da Sil veira : Muito obrigado, Prof Ralph e colegas Terminado a conta encontrei f(15) = -4946 (não esperava esse resultado...meio feio(rs)) Utilizando a fórmula geral aparece no final um (-1)^n .d que não havia considerado. Esse (-1)^n é a representação desta f(x) para os pares e outra para os Ãmpares? Pergunta: Como decido no caso se "n" é par ou Ãmpar? A função é do 2º grau, mas esse "n" não é o grau... Creio estar confuso nessa observação final do Ralph Obrigado mais uma vez 2009/10/31 Ralph Teixeira Prefiro fazer sem supor nada sobre a f(x), exceto os dados do problema. Entao vejamos. Como: f(x)+f(x+1)=x^2 f(x-1)+f(x)=(x-1)^2 Subtraindo, vem f(x+1)-f(x-1)=2x-1, ou seja, f(x+1)=f(x-1)+(2x-1) Isto significa que: f(17)=f(15)+31 f(19)=f(17)+35 f(21)=f(19)+39 ... f(99)=f(97)+195 Somando tudo, fica f(99)=f(15)+(31+35+39++195). Dentro dos parenteses temos a soma dos termos de uma P.A.; por outro lado, tendo f(100), eh facil calcular f(99) pois f(99)+f(100)=99^2. Agora eh soh terminar as contas. Abraco,     Ralph P.S.: Basicamente, o que este raciocinio mostra eh que f(x) eh um polinomio de 2o grau nos impares, e OUTRO polinomio de 2o grau nos pares (sem falar dos outros possiveis valores reais de x). 2009/10/31 Walter Tadeu Nogueira da Silveira : Amigos, Uma questão dizi a: f(x) + f(x+1) = x² f(x) = 10001 Calcule f(15) Minha solução: Se f(x) + f(x+1) = x², então podemos considerar f(x) e f(x+1) como funções polinomiais de grau 2. Seja f(x) = ax² + bx +c =0. Então, f(x+1) = a(x+1)² + b(x + 1) + c = 0 Desenvolvendo f(x) + f(x+1) = 2ax² + (2a+2b)x + (a+b+c) = x² Igualando os coeficientes, temos: 2a = 1. Logo a = 1/2 2a + 2b = 0. Logo, a = -b e b = -1/2 a+b+c=0. Então c = 0 A função f(x) = x²/2 - x/2 Testando: f(100) + f(101) = 4950 + 5050 = 1 = 100² ; Logo, f(15) = 15²/2 - 15/2 = 105 VERIFICAÃÃO: f(15) + f(16) = 105 + 120 = 225 = 15² DUVIDANDO DE MIM MESMO: Mas f(100) não é 10001. Alguma ajuda, por favor... Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira http://www.professorwaltertadeu.mat.br =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções
 Carpe Dien Em 31/10/2009 17:12, Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com escreveu: Muito obrigado, Prof Ralph e colegas  Terminado a conta encontrei f(15) = -4946 (não esperava esse resultado...meio feio(rs))  Utilizando a fórmula geral aparece no final um (-1)^n .d que não havia considerado.  Esse (-1)^n é a representação desta f(x) para os pares e outra para os Ãmpares?  Pergunta: Como decido no caso se "n" é par ou Ãmpar? A função é do 2º grau, mas esse "n" não é o grau... Creio estar confuso nessa observação final do Ralph  Obrigado mais uma vez  2009/10/31 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Prefiro fazer sem supor nada sobre a f(x), exceto os dados do problema.Entao vejamos. Como:f(x)+f(x+1)=x^2f(x-1)+f(x)=(x-1)^2Subtraindo, vem f(x+1)-f(x-1)=2x-1, ou seja, f(x+1)=f(x-1)+(2x-1)Isto significa que:f(17)=f(15)+31f(19)=f(17)+35f(21)=f(19)+39...f(99)=f(97)+195Somando tudo, fica f(99)=f(15)+(31+35+39++195). Dentro dosparenteses temos a soma dos termos de uma P.A.; por outro lado, tendof(100), eh facil calcular f(99) pois f(99)+f(100)=99^2.Agora eh soh terminar as contas.Abraco,    RalphP.S.: Basicamente, o que este raciocinio mostra eh que f(x) eh umpolinomio de 2o grau nos impares, e OUTRO polinomio de 2o grau nospares (sem falar dos outros possiveis valores reais de x).2009/10/3 1 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Amigos, Uma questão dizia: f(x) + f(x+1) = x² f(x) = 10001 Calcule f(15) Minha solução: Se f(x) + f(x+1) = x², então podemos considerar f(x) e f(x+1) como funções polinomiais de grau 2. Seja f(x) = ax² + bx +c =0. Então, f(x+1) = a(x+1)² + b(x + 1) + c = 0 Desenvolvendo f(x) + f(x+1) = 2ax² + (2a+2b)x + (a+b+c) = x² Igualando os coeficientes, temos: 2a = 1. Logo a = 1/2 2a + 2b = 0. Logo, a = -b e b = -1/2 a+b+c=0. Então c = 0 A função f(x) = x²/2 - x/2 Testando: f(100) + f(101) = 4950 + 5050 = 1 = 100² Logo, f(15) = 15²/2 - 15/2 = 105 VERIFICAÃÃO: f(15) + f(16) = 105 + 120 = 225 = 15² DUVIDANDO DE MIM MESMO: Mas f( 100) não é 10001. Alguma ajuda, por favor... Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html= -- Walter Tadeu Nogueira da Silveirahttp://www.professorwaltertadeu.mat.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
 Carpe Dien Em 31/10/2009 16:57, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Prefiro fazer sem supor nada sobre a f(x), exceto os dados do problema.Entao vejamos. Como:f(x)+f(x+1)=x^2f(x-1)+f(x)=(x-1)^2Subtraindo, vem f(x+1)-f(x-1)=2x-1, ou seja, f(x+1)=f(x-1)+(2x-1)Isto significa que:f(17)=f(15)+31f(19)=f(17)+35f(21)=f(19)+39...f(99)=f(97)+195Somando tudo, fica f(99)=f(15)+(31+35+39++195). Dentro dosparenteses temos a soma dos termos de uma P.A.; por outro lado, tendof(100), eh facil calcular f(99) pois f(99)+f(100)=99^2.Agora eh soh terminar as contas.Abraco,RalphP.S.: Basicamente, o que este raciocinio mostra eh que f(x) eh umpolinomio de 2o grau nos impares, e OUTRO polinomio de 2o grau nospares (sem falar dos outros possiveis valores reais de x).2009/10/31 Walter Tadeu Noguei ra da Silveira : Amigos, Uma questão dizia: f(x) + f(x+1) = x² f(x) = 10001 Calcule f(15) Minha solução: Se f(x) + f(x+1) = x², então podemos considerar f(x) e f(x+1) como funções polinomiais de grau 2. Seja f(x) = ax² + bx +c =0. Então, f(x+1) = a(x+1)² + b(x + 1) + c = 0 Desenvolvendo f(x) + f(x+1) = 2ax² + (2a+2b)x + (a+b+c) = x² Igualando os coeficientes, temos: 2a = 1. Logo a = 1/2 2a + 2b = 0. Logo, a = -b e b = -1/2 a+b+c=0. Então c = 0 A função f(x) = x²/2 - x/2 Testando: f(100) + f(101) = 4950 + 5050 = 1 = 100² Logo, f(15) = 15²/2 - 15/2 = 105 VERIFICAÃÃO: f(15) + f(16) = 105 + 120 = 225 = 15² DUVIDANDO DE MIM MESMO: Mas f(100) não é 10001. Alguma ajuda, por favor... Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
 Carpe Dien Em 31/10/2009 15:34, Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com escreveu: Amigos,  Uma questão dizia:  f(x) + f(x+1) = x² f(x) = 10001 Calcule f(15)  Minha solução:  Se f(x) + f(x+1) = x², então podemos considerar f(x) e f(x+1) como funções polinomiais de grau 2.Seja f(x) = ax² + bx +c =0. Então, f(x+1) = a(x+1)² + b(x + 1) + c = 0Desenvolvendo f(x) + f(x+1) = 2ax² + (2a+2b)x + (a+b+c) = x²Igualando os coeficientes, temos:2a = 1. Logo a = 1/22a + 2b = 0. Logo, a = -b e b = -1/2a+b+c=0. Então c = 0A função f(x) = x²/2 - x/2Testando: f(100) + f(101) = 4950 + 5050 = 1 = 100² Logo, f(15) = 15²/2 - 15/2 = 105VERIFICAÃÃO: f(15) + f(16) = 105 + 120 = 225 = 15²DUVIDANDO DE MIM MESMO: Mas f(100) não é 10001.  Alguma ajuda, por favor...  Abraços-- Walter Tadeu Nogueira da Silveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
 Carpe Dien Em 31/10/2009 16:32, albert richerd carnier guedes arcgu...@gmail.com escreveu: Dica: Tente com polÃnômios de TERCEIRO grau. ;)  Walter Tadeu Nogueira da Silveira escreveu: Amigos,  Uma questão dizia:  f(x) + f(x+1) = x² f(x) = 10001 Calcule f(15)  Minha solução:  Se f(x) + f(x+1) = x², então podemos considerar f(x) e f(x+1) como funções polinomiais de grau 2.Seja f(x) = ax² + bx +c =0. Então, f(x+1) = a(x+1)² + b(x + 1) + c = 0Desenvolvendo f(x) + f(x+1) = 2ax² + (2a+2b)x + (a+b+c) = x²Igualando os coeficientes, temos:2a = 1. Logo a = 1/22a + 2b = 0. Logo, a = -b e b = -1/2a+b+c=0. Então c = 0A função f(x) = x²/2 - x/2Testando: f(100) + f(101) = 4950 + 5050 = 1 = 100² Logo, f(15) = 15²/2 - 15/2 = 105VERIFICAÃÃO: f(15) + f(16) = 105 + 120 = 225 = 15²DUVIDANDO DE MIM MESMO: Mas f(100) não é 10001.  Alguma ajuda, por favor...  Abraços-- Walter Tadeu Nogueira da Silveira  = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções - Outro Problema
Determinar todas as funções de R em R, tais que : f(f(x)) = 6x + f(x) Eu tentei derivar, aplicando a regra da cadeia, mas não tive sucesso..Alguém pode ajudar ? Abs Felipe Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
Veja se substituindo x e y por zero ajuda alguma coisa..
--- Em seg, 29/9/08, Pedro Júnior [EMAIL PROTECTED] escreveu:
De: Pedro Júnior [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Funções
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Segunda-feira, 29 de Setembro de 2008, 17:53
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#yiv2008340030
1) Encontre todas as funções tais que f(x2 + f(y)) = y + f(x)2.
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Dica: prove que f(x2) = f(x)2 e que f(x + y) = f(x) + f(y) para x não negativo
e y real.
Olá pessoal...
Não estou conseguindo resolver esse problema, se posível me enviar uma solução.
Desde já agradeço.
Pedro Jr
Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua
cara @ymail.com ou @rocketmail.com.
http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
[obm-l] RE: [obm-l] Funções II
Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x+1)=f(x)+f(1), qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo que f(2)=1, podemo concluir que f(5) é igual a: a)0 b)1 c)5/2 d)5 e)10 == Querida Bruna, A resposta é a letra C. De posse do gabarito, tente quebrar um pouco a cabeça e fazer sozinha. Divirta-se! Abraços, FC. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções II
Bruna,... Fazendo x=1 em f(x+1)=f(x)+f(1) obtemos f(1+1)=f(1)+f(1) == f(2) = 2.f(1) == 1 = 2.f(1) == f(1) = 1/2. Agora para x=2 temos: f(2+1)=f(2)+f(1) == f(3) = 1 + 1/2 == f(3) = 3/2 Agora para x=3 temos: f(3+1)=f(3)+f(1) == f(4) = 3/2 + 1/2 == f(4) = 2 Agora para x=4 temos: f(4+1)=f(4)+f(1) == f(5) = 2 + 1/2 == f(3) = 5/2. valew..., Cgomes - Original Message - From: Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, January 30, 2007 10:58 AM Subject: [obm-l] Funções II Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x+1)=f(x)+f(1), qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo que f(2)=1, podemo concluir que f(5) é igual a: a)0 b)1 c)5/2 d)5 e)10 -- Bjos, Bruna = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.410 / Virus Database: 268.17.15/659 - Release Date: 30/1/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções II
Olá Junior, acredito que nao possa dizer que f(x) = ax + b... para isso, teria que provar que esta é a única funcao que satisfaz f(x-1) + f(x+1) = f(x). abracos, Salhab - Original Message - From: Júnior To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 22, 2007 3:50 PM Subject: Re: [obm-l] Funções II Seja a função f(x)=ax+b, então: F(x+1) + F(x-1) = F(x) A(x+1)+B +A(x-1)=Ax+B Ax + A +B +Ax -A =Ax+B 2Ax +B=Ax+B 2Ax=Ax Ax=0, como x é uma variável e pode assumir qualquer valor, temos que: A=0 Como a=0 e F(2)=1, temos que: Ax+B=1 0*2+B=1 B=1, encontramos que b=1 e que a função requerida é dada pela expressão F(x)=b,logo: f(2006)=f(2)=1. Beijos. Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] escreveu: Considere uma função que tem a seguinte propriedade: f(x+1) + f(x-1) = f(x) com x inteiro. Se f(2) = 1, qual o valor de f(2006)? -- Bjos, Bruna / \ /| |'-. .\__/ || | | _ / `._ \|_|_.-' | / \__.`=._) (_ Júnior |/ ._/ || |'. `\ | | Desenvolvedor de Softwares ;/ / | | Seja Livre - Use Linux ) /_/| |.---.| E-mail:[EMAIL PROTECTED] ' `-` ' Msn:[EMAIL PROTECTED] Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Re: [obm-l] Funções III
Bruna, 1) eh apenas chutar valores.. 2f(x)f(y) = f(x+y) + f(x-y) faca y=1, entao: f(1) = f(y) = 0 f(x+1) + f(x-1) = 0 f(x+1) = -f(x-1) faca x = 1 .. f(2) = -f(0) faca x = 2 .. f(3) = -f(1) = 0 entendeu? tente descobrir o valor de f(0) agora.. 2) aqui, vamos resolver f(x) = 2 x^2 - 3x + 4 = 2 x^2 - 3x + 2 = 0 ... x = 2 e x = 1 vamos resolver f(x) = 1 ... x^2 - 3x + 4 = 2 ... x^2 - 3x + 3 = 0 .. delta 0.. nao existe x real tal que f(x) = 1... entao, agora sabemos que f(x) = 2 implica que x = 2.. f(f(x)) = 2 só é satisfeito se f(x) = 2, o que implica que x = 2... f(f(f(x))) = 2 só é satisfeito se f(f(x)) = 2, que, por sua vez, só é satisfeito se f(x) = 2 ... o que implica que x = 2.. deste modo, verificamos que só tem 1 raiz.. abraços, Salhab - Original Message - From: Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 22, 2007 2:30 PM Subject: [obm-l] Funções III 1) Seja f:R-R uma função não identicamente nula, tal que f(1)=0 e 2f(x)f(y)=[f(x+y)+f(x-y)] ; para x e y pertencentes a R. a) quais os valores de f(0); f(2); f(3) b) mostre que f(x+4)=f(x) ; para qualquer x E R. 2) Seja f:R-R uma função tal que f(x)=x^2-3x+4. Quantas soluções reais tem a equação f(f(f...f(x)...))=2, onde f é aplicada 2002 vezes ? -- Bjos, Bruna = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
Olá, 2) é para todo m e x real? se sim, faca m = 0, entao, f(0+x) = 0.f(x) = 0 ... f(x) é identicamente nula. agora, se for para um dado m: faca x = 0 ... f(m) = m.f(0) agora faca x = -m... f(0) = m.f(-m) agora temos que achar uma relacao entre f(-m) e f(m) ... e então solucionar o sistema linear 2x2... f(m+x-m) = m.f(x-m) f(x) = m.f(x-m) = f(m+x)/m . assim: f(x+m) = m^2 . f(x-m) por inducao, mostramos que f(nm) = m^n . f(0) .. para todo n inteiro... mas nao acho que isso vá ser mto util.. f(x) = m.f(x-m) f(x-m) = m.f(x-2m) f(x-2m) = m.f(x-3m) : : f(x-nm) = m.f(x-nm-m) multiplicando todos, temos: f(x) = m^(n+1) . f(x-nm-m) f(m) = m^(n+1) . f(-nm) poxa.. realmente, nao achei uma saida.. :) quem sabe o q fiz ajuda alguem abraços, Salhab - Original Message - From: Bruna Carvalho To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 22, 2007 1:14 PM Subject: [obm-l] Funções 1- A função f de R em R é tal que, para todo x pertence R, f(3x)=3f(x). Se f(9)=45, calcule f(1). 2- A função f:R -- R tem a propriedade f(m+x)=m.f(x) para m real e x real. calcule f(0). -- Bjos, Bruna
[obm-l] Re: [obm-l] Funções II
Olá, f(x+1) + f(x-1) = f(x) 2 1 3 1 2 4 1 2 3 5 1 2 3 4 6 1 2 3 4 5 7 1 2 3 4 5 6 8 nao sei c deu pra entender o q fiz... usei a seguinte notacao: f(x) = x .. apenas para simplificar... entao: 2 = f(2) .. e assim por diante.. a partir de agora, nao considere mais a notacao.. :) disto, podemos induzir que: f(2) = f(1) + f(2) + ... + f(n) + f(n+2) assim: f(1) + f(3) + f(4) + f(5) + ... + f(n-2) + f(n-1) + f(n) + f(n+2) = 0 para todo n inteiro positivo entao: f(1) + f(3) + f(4) + f(5) + ... + f(n-2) + f(n) = 0 subtraindo ambos, temos: f(n-1) + f(n+2) = 0 ... ou: f(n) = - f(n+3) assim: f(2006) = -f(2003) = f(2000) = -f(1997) = ... = (-1)^k * f(2006 - 3k) fazendo k = 668, temos: f(2006) = (-1)^668 * f(2) ... opa: do enunciado, f(2) = 1, logo: f(2006) = 1 abraços, Salhab - Original Message - From: Bruna Carvalho To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 22, 2007 1:25 PM Subject: [obm-l] Funções II Considere uma função que tem a seguinte propriedade: f(x+1) + f(x-1) = f(x) com x inteiro. Se f(2) = 1, qual o valor de f(2006)? -- Bjos, Bruna
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
Envio a soluçao do primeiro, que é o que tive tempo de fazer:
Inicialmente, temos que:
f(2/3 + 1/3) = f(2/3) x f(1/3) -- (1) e
f(1/3 + 1/3) = f(1/3) x f(1/3) -- (2).
Como 2/3 + 1/3 = 1 e 1/3 + 1/3 = 2/3, e substituindo (2) em (1), teremos:
f(1) = f(1/3) x f(1/3)xf(1/3)
8 = [f(1/3)]^3, e então f(1/3) = 2. Agora, substituindo esse resultado em (2),
resulta:
f(2/3) = [f(1/3)]^2 = 4.
[]s,
João Luís.
- Original Message -
From: Bruna Carvalho
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, January 20, 2007 3:29 AM
Subject: [obm-l] Funções
Alguém me ajuda com esses exercicios sobre função.
1) Suponha que f(x+y) = f(x).(fy) para todos os números reais x e y. Se f(1)
= 8, calcule f(2/3)
2) Seja f uma função definida em No = {0, 1, 2, 3, ...} e com valores em No,
tal que para n,m pertencentes a No e m= 9, f(10n+m) = f(n) = 11m e f(0) = 0.
Quantas soluções existem para a equação f(x) = 1995?
3) Sejam a e b números reais e seja f(x) = 1/(ax+b). Dado que existem três
números reais distintos x1, x2 e x3 tais que f(x1) = x2, f(x2) = x3 e f(x3) =
x1, prove que a = -b².
4) Suponha que f satisfaça a equação:
2f(x) + 3f([2x+29]/[x-2]) = 100x + 80. Calcule f(3).
--
Bjos,
Bruna
[obm-l] Re: [obm-l] Funções complexas
Favor quem puder me responder agradeço 1º) Seja f: C--C uma função tal que: para todo z,w pertencente a C, f(z+w) = f(z).f(w). Prove que, se f é contínua em z=0, então f é contínua. É só provar que ela é diferenciável em z =0. Se ela for diferenciável (holomorfa) em z =0 então ela é contínua. certo? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções complexas
Favor quem puder me responder agradeço 1º) Usando os valores principais de z^i, (z=re^îø), escreva z^i na forma u(r,ø) + iv(r,ø)e mostre que u=u(r,ø) e v=v(r,ø) são funções harmônicas. Para quem não sabe, funções harmônicas são aquelas que satisfazem a equação diferencial de Laplace: http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function Neste caso temos que mostrar que f(r,phi) --( u,v) d^2 u/dr^2 + d^2 u/d phi^2 = 0 d^2 v/dr^2 + d^2 v/d phi^2 = 0 Deixo as contas para a moçada. Ronaldo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
Caríssimos, f(1+1)=1+f(1)=f(2)=8 pensando um pouco vc verá que f(x)=x+6, logo f(2005)=2011 A outra questão da olimpíada também fiz com um algoritmo, nada elegante... E as outras? Quando sai gabarito? Abraços Renato - Original Message - From: Danilo Nascimento To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, September 03, 2005 10:11 PM Subject: [obm-l] Funções Seja f(x+f(y)) = x + f(y) e f(2) = 8. Calcule f(2005) __Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções
--- claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Como se não bastasse errar o enunciado para o caso de f ser não-crescente, como bem observou o Marcio, eu tambem troquei as bolas na dica que dei. A beleza da demonstracao compensa equivocos menores. Artur __ Do you Yahoo!? Yahoo! Tax Center - File online by April 15th http://taxes.yahoo.com/filing.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
Na verdade, se f for decrescente, a condição não precisa valer não.. Basta tomar por exemplo f(x) = b em [a,c), f(x) = a em [c,b], com acb. A outra condição é de fato suficiente. []s Marcio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] 2)SEJA f:[a,b] - [a,b] QUALQUER . MOSTRE QUE EXISTE X Uma outra condicao suficiente eh a de que f seja monotona, ou seja: para todos x e y em [a,b], x = y == f(x) = f(y) (monotona nao-decrescente) ou para todos x e y em [a,b], x = y == f(x) = f(y) (monotona nao-crescente) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções
on 13.04.04 08:01, Marcio Cohen at [EMAIL PROTECTED] wrote: Na verdade, se f for decrescente, a condição não precisa valer não.. Basta tomar por exemplo f(x) = b em [a,c), f(x) = a em [c,b], com acb. A outra condição é de fato suficiente. []s Marcio Eh verdade! Quando f eh decrescente (de fato, nao-crescente), o seu grafico tem que cruzar a outra diagonal, que liga os pontos (a,b) e (b,a). Falha minha! Mas pelo menos alguem leu o que escrevi... []s, Claudio. - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] 2)SEJA f:[a,b] - [a,b] QUALQUER . MOSTRE QUE EXISTE X Uma outra condicao suficiente eh a de que f seja monotona, ou seja: para todos x e y em [a,b], x = y == f(x) = f(y) (monotona nao-decrescente) ou para todos x e y em [a,b], x = y == f(x) = f(y) (monotona nao-crescente) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções
Como se não bastasse errar o enunciado para o caso de f ser não-crescente, como bem observou o Marcio, eu tambem troquei as bolas na dica que dei.
Sem dúvida, você deve considerar o supremo do conjunto:
S= {x em [a,b] | f(x) x}.
Se f(a) = a ou f(b) = b, então acabou.
Caso contrário, teremosf(a) a == a pertence a S == S vazio
Além disso, f(b) b == b é cota superior de S == S tem um supremo s.
Se f(s) s, então s pertence a S e, além disso, f(f(s)) = f(s), pois f é não-decrescente. Logo f(s) pertence a S.
Mas s é o supremo de S, o que implica que f(s) = s ==
contradição ==
f(s) = s (*).
Se f(s) s, então s não pertence a S.
Como f é não decrescente, teremos f(f(s)) = f(s), o que implica que f(s) também não pertence a S.
Como s é supremo de S, deve haver algum x pertencente a S tal que f(s) x s.
Usando mais uma vez o fato de f sernão-decrescente, teremos:
f(f(s)) = f(x) = f(s) x s ==
f(x) = x ==
x não pertence a S ==
contradição ==
f(s) = s (**).
(*) e (**) implicam que f(s) = s ==
f tem um ponto fixo em [a,b].
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
[EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Tue, 13 Apr 2004 13:09:40 -0700 (PDT)
Assunto:
Re: [obm-l] Funções
Uma outra condicao suficiente eh a de que f seja
monotona, ou seja:
para todos x e y em [a,b], x = y == f(x) = f(y)
(monotona nao-decrescente)
ou
para todos x e y em [a,b], x = y == f(x) = f(y)
(monotona nao-crescente)
Alguem consegue demonstrar isso?
Dica (para o caso de f ser nao-decrescente): Se f(a)
= a, entao acabou. Caso
contrario, seja s = supremo de {x em [a,b] | f(x)
x}. Quem eh f(s)?
Partindo-se desta dica, temos que, se f(b) =b, entao
tambem acabou. Caso contrario, temos necessariamente
que f(b)
conjunto S= {x em [a,b] | f(x) x}. Logo, S naum eh
vazio e, como eh limitado superiormente por b, temos
que supremo S = s = b. Assim, f(s)
dica parece acenar que teriamos f(s) =s.
Serah que devemos considerar o conjunto R = {x em
[a,b] | f(x) x}?
Artur
__
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[obm-l] Re: [obm-l] Funções
- Original Message - From: rickufrj [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, April 12, 2004 2:28 PM Subject: [obm-l] Funções SE ALGUEM PUDER AJUDAR A RESOLVER OS SEGUINTES PROBLEMMAS: 1) UMA FUNÇÃO f EM R É DITA PERIÓDICA SE EXISTE T PARA TODO X PERTENCENTE A R f(X+T)=f(X).O MENOR T COM ESSA PROPRIEDADE É O PERÍODO DA FUNÇÃO . SE f(X) É PERIÓDICA DE PERÍODO T , DETERMINE O PERÍODO DE G(X) = f(aX + b). Seja P o período de g. Então g(x+P) = g(x) == f(a(x+P) + b) = f(ax + b) == f(ax + b + aP) = f(ax + b) == aP = T == P = T/a. 2)SEJA f:[a,b] - [a,b] QUALQUER . MOSTRE QUE EXISTE X PERTENCENTE A [a,b] TAL QUE f(X) = X. Isso não é verdade. Tome f(x) dada por: f(a) = b; f(x) = a, se x a. 3)DETERMINE O CONJUNTO IMAGEM DE f:RxR-R DEFINIDA POR f(x,y) = x^2 + (x.y - 1)^2. É óbvio que f(x,y) = 0, quaisquer que sejam x e y reais. Qualquer real positivo pertence à imagem de f, pois se x 0, então f(x,1/x) = x^2. Por outro lado, não é possível termos f(x,y) = 0, pois isso implicaria que: 0 = (xy - 1)^2 = -x^2 = 0 == xy = 1 e x = 0, o que é impossível. Logo, Im(f) = (0,+infinito). []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções
Cláudio (Prática) wrote: 2)SEJA f:[a,b] - [a,b] QUALQUER . MOSTRE QUE EXISTE X PERTENCENTE A [a,b] TAL QUE f(X) = X. Isso não é verdade. Tome f(x) dada por: f(a) = b; f(x) = a, se x a. E se f for bijetora ? Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções
on 12.04.04 16:48, Ricardo Bittencourt at [EMAIL PROTECTED] wrote: Cláudio (Prática) wrote: 2)SEJA f:[a,b] - [a,b] QUALQUER . MOSTRE QUE EXISTE X PERTENCENTE A [a,b] TAL QUE f(X) = X. Isso não é verdade. Tome f(x) dada por: f(a) = b; f(x) = a, se x a. E se f for bijetora ? Bem, o enunciado falava em funcao qualquer, mas mesmo se f for uma bijecao isso nao vale em geral. Por exemplo, tome f dada por: f(a) = b f(b) = a f(x) = a + (x-a)^2/(b-a), se a x b. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções inversas
Nicolau, Embora tenha eu aprendido o método de Tartaglia de outra forma, devo elogiá-lo pela didática ao explicar. Não querendo resgatar a discussão anterior sobre o ensino da Matemática para o Ensino Médio, faço um comentário breve após ler a sua aula: infelizmente, quando um professor atinge certa proficiência na arte de ensinar, tornando-se claro até para um leigo, ele adquire outros objetivos -- avançar nos estudos, dar aulas para o Ensino Superior, examinar temas de Olimpíadas, fazer pesquisas etc. --, o que é muitíssimo louvável evidentemente, mas não deixa de ser também uma perda para aqueles que não terão um professor tão hábil logo de início, e muitos (ou a maioria) adquirem o misterioso desinteresse. Veja, não é minha intenção criticar isto ou aquilo, e sim observar que muitas falhas não pertencem aos alunos somente, mas ao que há de mais natural tanto para o aluno quanto para o professor: o amadurecimento ao aprender e ao ensinar (simultâneo para ambos). A confiança que um professor demonstre por aquilo que ensina certamente é capaz de cativar a curiosidade dos alunos, os quais encontrariam motivação de estudo na Matemática. O trabalho de longos anos do Prof. Luiz Barco (USP) é um exemplo a ser considerado: o interesse por mostrar que qualquer assunto dentro da Matemática, seja ele de nível elevadíssimo ou não, pode ser explicado e entendido por qualquer pessoa desde que a *linguagem* seja trabalhada nesse sentido. E eis o maior crime a que muitos matemáticos não se furtam: abusar da linguagem em detrimento da clareza. Sinceramente, Rafael de A.Sampaio - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 12, 2004 12:25 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Funções inversas On Thu, Feb 12, 2004 at 10:54:31AM -0200, Claudio Buffara wrote: Por outro lado, eh possivel achar uma expressao para a inversa de k:R _ R dada por k(x) = x^3 + 3x. Voce consegue? A dica para resolver este problema é ler a minha mensagem de ontem. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções inversas
Cláudio,
Muito obrigado pela explicação. Gostaria ainda de perguntar se você conhece
algum teorema sobre uma função ter ou não a sua função inversa em termos de
funções elementares. Afinal, isso seria de grande utilidade para funções não
polinomiais: por exemplo, já sabemos que uma equação de quinto grau só pode
ser resolvida em casos particulares, e não de forma geral, como provaram
Abel e Galois.
Já sobre o seu desafio, vamos lá. Tomando y = f(x) = x^3 + 3x, o
conjunto-verdade é {0 ; i*sqrt(3) ; -i*sqrt(3)}. Claramente, após a
construção gráfica, observa-se que a função é bijetora, portanto, a sua
função inversa existe.
Como obtê-la? Simples: y = x^3 + 3x = x^3 + 3x - y = 0, que já é uma
equação reduzida do terceiro grau. Para resolvê-la, cada um usa o método que
preferir, convier ou souber. Creio que o método de Tartaglia é o que melhor
se aplique, sem o uso de qualquer variação.
Assim, dada uma equação do tipo x^3 + px = q, temos p = 3 e q = y. Uma das
soluções é obtida diretamente por x = cbrt(q/2 + sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) +
cbrt(q/2 - sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) = cbrt(y/2 + sqrt((y/2)^2+1)) +
cbrt(y/2 - sqrt((y/2)^2+1)). Permutando as variáveis, a função inversa de
f(x) é dada por y = cbrt(x/2 + sqrt((x/2)^2+1)) + cbrt(x/2 -
sqrt((x/2)^2+1)). Talvez, a expressão ainda possa ser simplificada, mas não
creio que seja essa a intenção.
De todo modo, fiquei com uma dúvida: a função inversa de f(x) = x^3 + 3x é
única se considerarmos f: R - R, certo? E se considerássemos f: C - C? Se
não estou errado, teríamos um gráfico de 4 dimensões e estudar a função
não me parece fácil definitivamente. E o que me pergunto é exatamente: o
conceito de bijeção vale, de forma semelhante, para C? No caso de ser
válido, faz sentido (e é útil) considerar que a função f: C - C tenha mais
do que uma função inversa?
Ficarei grato se você puder esclarecer, Cláudio, embora imaginar tais 4
dimensões já me pareça um tanto difícil...
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
- Original Message -
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 12, 2004 9:54 AM
Subject: Re: [obm-l] Funções inversas
Infelizmente nao ha nada a se fazer. Ha certas funcoes que nao podem ser
expressas como combinacao de funcoes elementares, mas que no entanto
existem
e podem ateh ser bijetoras, tais com as inversas das funcoes acima
(imagino
que voce queira dizer que a segunda eh uma bijecao entre o conjunto dos
reais positivos e o conjunto dos reais). A mesma coisa ocorre ateh com
algumas funcoes polinomiais. Por exemplo, qual a inversa de h:R - R dada
por h(x) = x^5 + 6x + 3? Por outro lado, eh possivel achar uma expressao
para a inversa de k:R _ R dada por k(x) = x^3 + 3x. Voce consegue?
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções inversas
on 14.02.04 01:46, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Cláudio,
Muito obrigado pela explicação. Gostaria ainda de perguntar se você conhece
algum teorema sobre uma função ter ou não a sua função inversa em termos de
funções elementares.
Nao conheco, mas sei que existe um algoritmo que testa se a integral
indefinida de alguma funcao pode ser expressa como combinacao de funcoes
elementares. Jah houve inclusive mensagens a respeito na lista.
Afinal, isso seria de grande utilidade para funções não
polinomiais: por exemplo, já sabemos que uma equação de quinto grau só pode
ser resolvida em casos particulares, e não de forma geral, como provaram
Abel e Galois.
Já sobre o seu desafio, vamos lá. Tomando y = f(x) = x^3 + 3x, o
conjunto-verdade é {0 ; i*sqrt(3) ; -i*sqrt(3)}. Claramente, após a
construção gráfica, observa-se que a função é bijetora, portanto, a sua
função inversa existe.
Um argumento que apela pra construcao grafica nao eh muito rigoroso. Talvez
seja mais facil observar que f eh ilimitada e a derivada f'(x) = 3x^2 + 3 eh
sempre positiva. Ou entao, voce pode provar no braco que para todo y em R,
existe x em R tal que x^3 + 3x = y (que foi o que voce fez mais abixo) e que
x^3 + 3x = y^3 + 3y (x e y reais) implica y = x (uma fatoracao facil).
Como obtê-la? Simples: y = x^3 + 3x = x^3 + 3x - y = 0, que já é uma
equação reduzida do terceiro grau. Para resolvê-la, cada um usa o método que
preferir, convier ou souber. Creio que o método de Tartaglia é o que melhor
se aplique, sem o uso de qualquer variação.
Assim, dada uma equação do tipo x^3 + px = q, temos p = 3 e q = y. Uma das
soluções é obtida diretamente por x = cbrt(q/2 + sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) +
cbrt(q/2 - sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) = cbrt(y/2 + sqrt((y/2)^2+1)) +
cbrt(y/2 - sqrt((y/2)^2+1)). Permutando as variáveis, a função inversa de
f(x) é dada por y = cbrt(x/2 + sqrt((x/2)^2+1)) + cbrt(x/2 -
sqrt((x/2)^2+1)). Talvez, a expressão ainda possa ser simplificada, mas não
creio que seja essa a intenção.
A ideia eh essa mesmo.
De todo modo, fiquei com uma dúvida: a função inversa de f(x) = x^3 + 3x é
única se considerarmos f: R - R, certo? E se considerássemos f: C - C?
Tambem seria. A inversa de uma funcao, se existir, eh unica.
Soh que f: C - C dada por f(x) = x^3 + 3x nao eh injetora. Por exemplo,
f(0) = f(i*raiz(3)) = f(-i*raiz(3)) = 0. Logo, f nao possui inversa.
Se não estou errado, teríamos um gráfico de 4 dimensões e estudar a função
não me parece fácil definitivamente. E o que me pergunto é exatamente: o
conceito de bijeção vale, de forma semelhante, para C?
O conceito de bijecao vale pra qualquer conjunto (mesmo nao numerico), assim
como sempre vale o fato de que f tem uma inversa se e somente se f eh uma
bijecao.
No caso de ser
válido, faz sentido (e é útil) considerar que a função f: C - C tenha mais
do que uma função inversa?
Nao. Veja acima.
Ficarei grato se você puder esclarecer, Cláudio, embora imaginar tais 4
dimensões já me pareça um tanto difícil...
A dificuldade de visualizacao nao tem nada a ver com a existencia de
inversas. Eh mais uma limitacao da mente humana. No mais, voce nao precisa
de graficos. Voce pode sempre trabalhar algebricamente (e, portanto, tratar
o R^4 ou o C^2 como um conjunto de quadruplas ordenadas de numeros reais).
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Funções inversas
On Thu, Feb 12, 2004 at 10:54:31AM -0200, Claudio Buffara wrote: Por outro lado, eh possivel achar uma expressao para a inversa de k:R _ R dada por k(x) = x^3 + 3x. Voce consegue? A dica para resolver este problema é ler a minha mensagem de ontem. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] funções compostas
Caro Augusto. Você está pedindo para demonstrar algo que em geral é a definição de função inversa. Abraço, Duda. From: carlos augusto santana almeida [EMAIL PROTECTED] Sendo f(x) e g(x) funções quaisquer. Provar que f(g(x))= x e g(f(x))= x se, e somente se f e g são funções inversíveis entre si, ou seja g e a inversa de f e f a inversa de g. Demonstração... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções booleanas
Caro Domingos Jr.: Interessante a sua prova por indução. Pra mim, o seguinte argumento já seria convincente: Dado que: 1) p = q = (NÃO-p) OU q 2) p = q = ( p = q ) E ( q = q ) 3) p ou q mas não ambos = ( p OU q ) E NÃO-( p E q ) e dadas as leis de DeMorgan, idempotência, etc., as quais podem ser provadas por meio de tabelas-verdade, concluímos que qualquer sentença envolvendo quaisquer conectivos pode ser re-escrita usando-se apenas E, OU e NÃO. Na verdade, eu tenho a impressão de que basta usar o conectivo NÃO-OU (NOU), cuja definição é: p NOU q == NÃO-( p OU q ), para que se possa expressar qualquer sentença. Por exemplo: NÃO-p = p NOU p p E q = ( p NOU p ) NOU ( q NOU q ) p OU q = ( p NOU q ) NOU ( p NOU q ) Uma aplicação que me interessa é o uso destas expressões booleanas para se resolver problemas de lógica. Por exemplo, o das escravas de olhos azuis do Homem que Calculava. Suponha que existam N escravas, cujos olhos estão escondidos. Sabe-se que existem escravas de olhos azuis e de olhos pretos. As de olhos azuis mentem sempre e as de olhos pretos sempre falam a verdade. Que pergunta você faria a uma delas (escolhida ao acaso já que não se pode ver os olhos de nehuma), a fim de descobrir qual a cor dos olhos de cada uma delas? Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 04, 2003 2:24 PM Subject: [obm-l] Funções booleanas Este foi um fato discutido numa aula de booleana: os únicos conectivos necessários para representar todas as expressões possíveis de n variáveis booleanas são \/ (OU) /\ (E) ¬ (NEGAÇÃO). [nota: pode-se usar parênteses ou qualquer outra coisa para alterar a precedência desses conectivos] Eu consegui fazer uma prova disso e achei bem interessante, vou deixar um espaço em branco pra quem quiser pensar um pouco e discutir idéias e mais embaixo coloco a minha resposta: - V := verdadeiro, F := falso caso 1 variável: as funções booleanas de 1 variável são f1(X) = V, f2(X) = F, f3(X) = X, f4(X) = ¬X f1 e f2 podem ser expressas com os conectivos E e OU e a negação: f1(X) = X \/ ¬X f2(X) = X /\ ¬X suponha que para funções com número de variáveis 1 = k = n seja possível expressá-las somente com os 3 conectivos mencionados. seja f(X1, X2, ..., X[k+1]) uma função booleana com k+1 variáveis. defina g(X1, ..., Xk) = f(X1, X2, ... Xk, V) h(X1, ..., Xk) = f(X1, X2, ... Xk, F) pela hipótese de indução, g e h podem ser expressas através dos 3 conectivos. f(X1, X2, ..., X[k+1]) = X[k+1] /\ g(X1, ..., Xk) /\ ¬ X[k+1] /\ h(X1, ..., Xk) se trocarmos g e h por suas expressões expandidas teremos formado uma expressão booleana representando f usando somente os 3 conectivos e, sendo assim, segue por indução para toda função com n = 1 variáveis booleanas. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções booleanas
Cláudio (Prática) wrote: Caro Domingos Jr.: Interessante a sua prova por indução. Pra mim, o seguinte argumento já seria convincente: Na verdade, o problema é mais sutil, pois vc está supondo que qualquer função booleana é representável por meio de conectivos, o que não é obrigatoriamente verdade. Daí a necessidade de 'complicar' a demonstração. té++ Wendel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções booleanas
Interessante a sua prova por indução. Pra mim, o seguinte argumento já seria convincente: exatamente como o Wendel disse, a prova em si não é o fato de que ao criar um conectivo ele pode ser expresso como uma combinação desses 3, mas sim provar que toda função pode ser expressa com eles (como o NOU descrito por você substitui esses 3 dá pra usar somente um conectivo, mas as fórmulas iriam ficar grandes demais...). Uma aplicação que me interessa é o uso destas expressões booleanas para se resolver problemas de lógica. Por exemplo, o das escravas de olhos azuis do Homem que Calculava. Suponha que existam N escravas, cujos olhos estão escondidos. Sabe-se que existem escravas de olhos azuis e de olhos pretos. As de olhos azuis mentem sempre e as de olhos pretos sempre falam a verdade. Que pergunta você faria a uma delas (escolhida ao acaso já que não se pode ver os olhos de nehuma), a fim de descobrir qual a cor dos olhos de cada uma delas? Pergunta: A menina do seu lado tem a mesma cor dos seus olhos? SIM (se for verdade, foi resposta dada por uma menina de olhos pretos, se for mentira é dada por uma de olhos azuis, logo o olho da menina é preto) NÃO (se for verdade é dado por uma menina de olho preto, logo a menina tem olho azul, se for mentira foi dado por uma menina de olho azul, logo a menina ao lado tem olho azul). concluímos que se a resposta for SIM a menina ao lado tem olho preto e se for NÃO tem olho azul. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] funções contínuas, monótonas, patológicas...
From: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED] Existem ocasiões em que este forum se assemelha às CPI's - dado um assunto, ele é acaloradamente discutido e de repente, não mais do que de repente, tudo acaba sem que se chegue a uma conclusão formal. Quando isso ocorre com uma CPI, diz-se que ela acabou em pizza. Eu não tenho um termo para definir o fim das discussões similares aqui, e se o tivesse ele certamente não teria a conotação pejorativa de uma pizza. Talvez - ou muito provavelmente - o problema não esteja com o forum mas comigo, já que, por falta de formação acadêmica matemática, eu me sinto perdido na minha ignorância quando alguém encerra a discussão com um dogmático ... e isso é facilmente demonstrável. Desta lista participam muitos matemáticos de alto nível, e muitas pessoas que tem grande experiência com problemas de matemática. É natural que existam jargões comuns do meio matemático. E os mais comuns são trivial, fácil de mostrar, é elementar, que algumas vezes (nos piores casos) substituem um trecho em que o escritor não sabe resolver o problema mesmo ;), ou - o mais geral - é um recurso de linguagem para evitar longas explicações. O ruim dessa história, é que quem não tem o costume de ler textos escritos por matemáticos, fica chateado quando não entende um trecho desses. Eu também, no começo, ficava um pouco indignado, você pode ver isso no histórico da lista. Uma coisa é certa: você vai ter que se acostumar com esse tipo de frase, pois todo mundo fala. Se você quer fazer a matemática um pouco mais acessível a todos os iniciantes, nunca pegue a mania de dizer essas frases, o prejuizo será na quantidade de texto que você vai ter de escrever. Abaixo está o final da última discussão enquadrada no critério definido no início desta mensagem. Para os que não se lembram da proposição que originou a discussão, ela era algo do tipo Se uma função f(x) é contínua no intervalo [a,b], e f(b)f(a), então f(x) é estritamente crescente em algum intervalo [c,d] contido em [a,b]. O bom senso - um conceito puramente subjetivo - de um não-matemático diria que a proposição é obviamente verdadeira. E surpreendentemente ela é falsa! Nem tão surpreendente para os matemáticos e aprendizes mais experientes, que já se depararam com coisas mais malucas. Logo no início perguntei qual a diferença entre crescente e estritamente crescente. Responderam, e conclui que estritamente crescente é o que aprendi como sendo monótona crescente. Existem vários sinônimos. Acho que a regra é * monótona crescente, crescente ou estritamente crescente = x y implica f(x) f(y) * não decrescente = x y implica f(x) = f(y) No desenrolar das dicussões sugeriram que para a proposição ser verdadeira não bastava que a função fosse contínua no intervalo, teria que ser também diferenciável no intervalo. Perguntei qual a definição de função contínua. Não responderam. Essa foi uma sugestão para CORRIGIR aquela proposição. Eu, particularmente, não tentei corrigi-la para uma outra proposição, mas tentei mostrar que ela é falsa. Outros disseram explicitamente exemplos, eu só dei uma sugestão de algo que li no livro do Ralph Boas, mas que talvez não fale desse problema. Se você pergunta o que é Função Contínua, não deve estar acostumado com muitos outros conceitos e resultados que se relacionam a esse assunto. Eu recomendo que você estude um livro de Análise Real, como o do Elon Lages Lima. O conceito de função contínua num ponto c de seu domínio é o seguinte: * para todo e0 existe um d0 tal que |c-x|d implica |f(c)-f(x)|e. Acho que isso não te ajuda muito. Leia um livro de análise, é a minha sugestão. Apresentaram um contra-exemplo - uma função patológica - para provar que a proposição era falsa. Quando repliquei simploriamente dizendo que negar que a proposição fosse verdadeira seria um contra-senso total, responderam sugerindo que se aplicasse zooms sucessivos no gráfico da função patológica, sempre veria um serrilhado. Algo como fractais, conclui. Eu não tenho certeza se a figura que é gerada no plano é sempre um fractal (de dimensão não inteira). Outra pessoa teria de explicar, me falta conhecimento... mas eu *acho* que tem a ver sim. É como a costa de um continente, não importa o quanto você aproxima ela é sempre serrilhada, com indas e vindas, apesar de ser contínua... O assunto foi encerrado com as mensagens abaixo. Ficou sem resposta a observação que fiz, dizendo que para os fins a que se propõe não vejo diferença alguma entre f(x) e g(x). Você deve estar se referindo a mensagem http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200302/msg00053.html do Nicolau. Ele dá um esboço de demonstração, eu não sei também como preencher os detalhes. O Nicolau, assim como outros da lista, é um pesquisador ocupado e não necessariamente vai ficar destrinchando todos os detalhes do que diz. Tente ser compreensivo. O apelo final. Ajudem este não-matemático a saber como ir do primeiro para o décimo
[obm-l] Re: [obm-l] funções
Caro Eduardo:
Ponha u(x0) = U e v(x0) = V.
Assim, U*V 0 ; f(1/(U*V)) = 2 ; U^2 + V^2 = 1
Usando a relação: f(x + 1/x) = f(x) + 1/f(x) com x = U/V, teremos:
f(U/V + V/U) = f(U/V) + 1/f(U/V)
Mas: f(U/V + V/U) = f[(U^2 + V^2)/(U*V)] = f(1/(U*V)) = 2
Assim: f(U/V) + 1/f(U/V) = 2 ==
f(U/V)^2 - 2*f(U/V) + 1 = 0 ==
[ f(U/V) - 1 ]^2 = 0 ==
f(U/V) = 1 == alternativa (b).
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Eduardo Henrique Leitner [EMAIL PROTECTED]
To: lista de matemática [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, January 28, 2003 1:57 AM
Subject: [obm-l] funções
Sejam três funções f, u, v: R - R tais que:
f{x + (1/x)} = f(x) + [1/f(x)] para todo x não nulo e (u(x))^2 + (v(x))^2 =
1 para todo x real.
Sabendo-se que x0 é um número real tal que u(x0)*v(x0) != 0 e
f{1/(u(x0)*v(x0))} = 2, o valor de f{u(x0)/v(x0)} é:
a) -1
b) 1
c) 2
d) 1/2
e) -2
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[obm-l] Re: [obm-l] funções compostas
(fog)(x) = f(x^2) (hof)(x) = 81/f(x) (fog)(x) = (hof)(x) == f(x)*f(x^2) = 81 == F(x) = 0, com F(x) = f(x^2)*f(x) - 81. Como f é contínua, F também é. Também: f(0,04)*f(0,2) = (3^0,04 + 1/0,04)*(3^0,2 + 1/0,2) 25 * 5 = 125 81 f(0,25)*f(0,5) = (3^0,25 + 1/0,25)*(3^0,5 + 1/0,5) (3 + 4)*(3 + 2) = 7*5 = 35 81 f(1)*f(1) = (3^1 + 1/1)*(3^1 + 1/1) = 4*4 = 16 81 f(4)*f(2) = (3^4 + 1/4)*(3^2 + 1/2) 3^4*3^2 = 3^6 = 729 81 de forma que F(x) = f(x^2)*f(x) - 81 tem uma raiz entre 0,2 e 0,5 e outra entre 1 e 2. Além disso, F'(x) é claramente positiva para x 1 e negativa para x 0,5, de forma que aquelas são as únicas raízes == as alternativas (a) e (d) estão corretas. Com uma planilha eu achei as duas raízes de F(x), ambas situadas entre 0 e 2 (com 5 casas decimais, são 0,26146 e 1,52875). Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Eduardo Henrique Leitner [EMAIL PROTECTED] To: lista de matemática [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, January 26, 2003 7:36 PM Subject: [obm-l] funções compostas (ITA-92) Considere as funções: f: R* - R, g: R - R e h: R* - R definidas por: f(x) = (tres elevado a x) + (1/x) , g(x) = x² , h(x) = (81/x) O conjunto dos valores de x em R* tais que (fog)(x) = (hof)(x) é subconjunto de: a) [0,3] b) [3,7] c) [-6,1] d) [-2,2] e) n.d.a eu tentei calcular (fog)(x) e (hof)(x) e igualar os dois... mas cheguei à uma equação que, putz, sem comentários... alguém pode me ajudar? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] funções elípticas e modulares
olá, Se você quer algo sobre funções elípticas e modulares entre em www.jmilne.org. Lá tem muito materal. Cícero -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções bijetoras(ERRATA)
On Tue, Oct 15, 2002 at 01:31:28PM -0300, Wagner wrote: Alguém sabe se a afirmação abaixo é verdadeira? Se uma função é bijetora, isso implica que todas as raízes de sua derivada formarem um par E se todas as raízes de uma função formarem um par, sua integral é bijetora. OBS:Excluindo as funções que possuam raízes além do par. Considerando como raiz da função, os valores de x tais que f(x)=0 Não entendi a pergunta. Seja f uma função bijetora e suave de R em R; só podemos ter f'(x) = 0 se f''(x) também for 0. Se f'(x) = f''(x) = f^(3)(x) = 0 então f^(4)(x) = 0 e mais geralmente toda raiz de f' é raiz de ordem par. Era isso que você estava perguntando? Aliás a única coisa que sabemos é que f'(x) = 0 para todo x ou f'(x) = 0 para todo x. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] funções e poliminós
From: Fernanda Medeiros<[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] funes e polimins Date: Tue, 26 Mar 2002 04:18:58 + Ol pessoal, gostaria de ajuda nestas questes: 1.Existir uma funo f de N em N tal que f(f(n))=n+1987 pra todo natural n? Fundamente 2.Determine todas as funes estritamente crescentes f:N-N tais que f(n+f(n))=2f(n) 3. possvel empacotar 250 tijolos 1x1x4 em uma caixa de dimenses 10x10x10? 4. possvel cobrirmos um tabuleiro 8x8 usando 21 trimins retos se tirarmos uma casa qualquer do tabuleiro? Muito Obrigada F ANSWER Fernanda,este primeiro problema ja caiu numa IMO.E a resposta e um belo dum NAO.Vou provar que f:N-N t.q. f(f(a))=a+1 nao existe,e o inicial e analogo. Se f(x)=y,f(y)=x+1 e f(x+1)=y+1,logo f(x+1)-f(x)=1,portanto f(x)=x+f(0)(dica:use PIF(Principio da induao matematica) e f(x+f(0))=x+1. Se f(0)=a-b para certos a e b,entao f(0)+b=a,f(a)=f(b+f(0))=b+1=a+f(0).Resolve e da 2f(0)=1,ABSURDOOO!!! Para o problema 4 posso te dizer como resolver:divida o tabuleiro em 4 partes iguais.No pedao em que estavaa casa retirada,faa a quebra em 4 de novo.Va assim ate acabar chegando na casa tirada.Com isso voce ja tem uma ideia do que fazer. Se voce souber dos outros dois,me avise,ta? _ Associe-se ao maior servio de e-mail do mundo atravs do MSN Hotmail. http://www.hotmail.com/br = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista <[EMAIL PROTECTED]> = Associe-se ao maior serviço de e-mail do mundo através do MSN Hotmail. http://www.hotmail.com/BR = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] funções e poliminós
2.Determine todas as funções estritamente crescentes f:N-N tais que
f(n+f(n))=2f(n)
Interessante A resposta é múltipla:
i) Qualquer função do tipo f(n)=n+a para a=0 fixo;
ii) Ou qualquer função do tipo f(0)=0 e f(n)=n+a para n0, com a=0 fixo.
Em primeiro lugar note que, se f é estritamente crescente, então
f(n+1)=f(n)+1, e a igualdade só ocorre se f(n) e f(n+1) forem consecutivos,
certo? Ora, assim, f(a+b)=f(a+b-1)+1=f(a+b-2)+2=...=f(a)+b para
quaisquer a,b naturais. A igualdade (f(a+b)=f(a)+b) só ocorre se
f(a),f(a+1), f(a+2),...,f(a+b) forem números consecutivos!
Em particular, f(n+f(n))=f(n)+f(n)=2f(n); a igualdade só ocorre se f(n),
f(n+1), f(n+2), ..., f(n+f(n)) forem todos consecutivos!
(Fazendo um pequeno aparte, note que se f é estritamente crescente, então
f(n)=0 só pode ter, no máximo, n=0 como solução.)
Como a igualdade OCORRE, olhe os dois primeiros termos da lista:
f(n+1)=f(n)+1 para qualquer n (exceto possivelmente se f(n)=0, quando a
nossa lista acima só tem f(n) e nem chega até f(n+1), de qualquer forma,
isto só pode ocorrer se n=0, né?).
Agora é fácil: como f(n+1)=f(n)+1 para qualquer n (exceto 0), tem-se
f(n)=n+a para qualquer n (onde a é fixo; a=f(1)-1, digamos).
Verifiquemos se precisa de mais algo: tomando f(n)=n+a, tem-se
f(n+f(n))=f(n+(n+a))=f(2n+a)=(2n+a)+a=2n+2a=2f(n) (OK!)
Enfim, para n=0 temos:
i) Se f(0)=0, então f(0+f(0))=f(0+0)=f(0)=0, e 2f(0)=0; funciona ok.
ii) Se f(0)=x0, então f(0+f(0))=f(0+x)=x+a, e 2f(0)=2x; conclui-se que
x+a=2x, isto é, f(0)=a. Pode ser também!
Resposta final:
f(n)=n+a para a fixo e qualquer n0
f(0)=0 OU f(0)=a (escolha o que você quiser).
3. É possível empacotar 250 tijolos 1x1x4 em uma caixa de dimensões
10x10x10?
H Nao.
Sejam (i,j,k) os índices de cada um dos cubinhos 1x1x1 da caixa
10x10x10 (0=i,j,k=9).
Sejam A0={cubinhos onde i+j+k=0 mod 4}, A1={cubinhos onde i+j+k=1 mod
4}, A2={=2 mod4} e A3={=3 mod 4}. Em outras palavras, An é o
conjunto dos cubinhos cujos índices i+j+k deixam resto n na divisão por 4.
Bom, primeiro convença-se de que cada tijolo 1x1x4 necessariamente
ocupará um cubinho de cada tipo (A0, A1, A2, A3). Assim, se fosse possível
cobrir a caia 10x10x10, teríamos 250 cubinhos de cada tipo.
Mas quantos cubinhos do tipo A0 existem? Bom, a resposta é: há tantos
cubinhos quantas forem as soluções de i+j+k=4m com 0=i,j,k=9. Olhando só
os restos na divisão por 4, temos as seguintes opções para i, j e k:
{0,1,2,3,0,1,2,3,0,1}. Veja os casos (tudo é feito modulo 4):
i) i=0 (3 opções) então j+k=0; temos j=0,k=0 (3x3 opções) ou j=1,k=3 (3x2
opções) ou j=k=2 (2x2 opções) ou j=3,k=1 (2x3 opções).
TOTAL DE SOLUÇÕES AQUI: 3.(9+6+4+6) = 75
ii) i=1 (3 opções) então j+k=3; as opções para (j,k) são (0,3), (1,2), (2,1)
ou (3,0) com 3x2+3x2+2x3+2x3=24 opções para j e k.
TOTAL: 3x24=72 opções aqui.
iii) i=2 (2 opções) então j+k=2; (j,k)=(0,2),(1,1),(2,0) ou (3,3). Total:
2x(3x2+3x3+2x3+2x2)=50 opções
iv) i=3 (2 opções) e j+k=1; (j,k)=(0,1),(1,0),(2,3)ou(3,2) com
2x(3x3+3x3+2x2+2x2)=52 opções.
Ou seja, há um total de 75+72+50+52=249 cubinhos do tipo A0. Mas, para
cobrir o cubo 10x10x10 com aqueles tijolinhos, teríamos de cobrir 250
cubinhos do tipo A0! Absurdo, portanto não é possível cobri-los.
--//--
Você podia contar cubinhos no braço também... Fica mais fácil de ver numa
figura, mas a idéia é que os cubinhos A0 são dos tipos:
i+j+k=0 (o cubinho do canto)
i+j+k=4 (um plano de cubinhos; use combinatória ou conte mesmo os
cubinhos aqui caso a caso: i=0 implica j+k=4, com 5 soluções; i=1 implica
j+k=3, com 4 soluções;... etc etc TOTAL: 5+4+3+2+1=15 cubinhos)
i+j+k=8 (outro plano de cubinhos, com 9+8+7+6+...+1=45 cubinhos)
i+j+k=12 (7+8+9+10+9+8+7+6+5+4=73 cubinhos)
i+j+k=16 (3+4+5+6+7+8+9+10+9+8=69 cubinhos)
i+j+k=20 (1+2+3+4+5+6+7+8=45 cubinhos)
i+j+k=24 (1+2+3+4=10 cubinhos)
i+j+k=28 (não dá mais)
Em suma, há
1+
1+2+3+4+5+
1+2+3+4+5+6+7+8+9+
4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+
8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+
8+7+6+5+4+3+2+1+
4+3+2+1 =
=1+15+45+73+69+36+10=249 cubinhos do tipo A0. O absurdo é o mesmo.
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[obm-l] Re: [obm-l] funções piso(x) e teto(x)
O exercício i possui infinitos contra-exemplos. n = 7 -- lado esquerdo = 2; lado direito = 3 n = 16 -- lado esquerdo = 6; lado direito = 7 etc etc Na verdade, para todo n = 9k + 7 (k inteiro nao-negativo), a afirmacao é falsa. Isto é fácil de demonstrarmos... Para n = 9k + 7, piso(2n/3) = piso((18k+14)/3) = piso (6k + 4 + (2/3)) = 6k + 4 piso(2*piso(2*n/3)/3) = piso(2*(6k+4)/3) =piso((12k+8)/3) =piso(4k + 2 + (2/3))= 4k+2 Mas para n = 9k + 7, piso(4n/9) = piso((36k+28)/9) = piso(4k + 3 + (1/9)) = 4k + 3 Como (4k + 2) e (4k + 3) sao naturais diferentes, entao conclui-se que, para todo n=9k +7, piso(2*piso(2*n/3)/3) É DIFERENTE DE piso(4*n/9). OBS.: Utilizando raciocínio semelhante, demonstramos que a afirmacao acima VALE para todo n DIFERENTE DE 9k + 7... [ ]'s Alexandre Terezan. -Mensagem Original- De: Antonio Jose Gonzales Alves [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Sexta-feira, 1 de Março de 2002 09:52 Terezan Assunto: [obm-l] funções piso(x) e teto(x) Bom dia pessoal, estou com uma lista de exercícios aqui da faculdade e não estou conseguindo ter nenhuma idéia para provar ou dar contra-exemplos dos seguintes exercícios: i) piso(2*piso(2*n/3)/3) = piso(4*n/9) , n é inteiro positivo ii) piso(piso(n/a)/b) = piso(n/(a*b)) , n,a,b são inteiros positivos obs.: o que eu quero dizer com piso(x) é o único inteiro que satisfaz piso(x) = x piso(x) + 1 Se alguém puder me ajudar eu ficaria muito grato, Um grande abraço a todos, |=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-| |--- \\|// | |--- (o o) | |--- oOOo~(_)~oOOo | |--| |- Toninho :\ | |[EMAIL PROTECTED]| |--| = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
