[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa questão da OBM 1987
Em ter., 20 de jul. de 2021 às 18:25, Prof. Douglas Oliveira escreveu: > > Tem-se um bolo em forma de prisma triangular, cuja base está em um plano > horizontal. Dois indivíduos vão dividir o bolo de acordo com a seguinte > regra: o primeiro escolhe um ponto na base superior do bolo e o segundo corta > o bolo por um plano vertical à sua escolha, passando porém pelo ponto > escolhido, e seleciona para si um dos pedaços em que dividiu o bolo. Qual > deve ser a estratégia para o primeiro e qual deve ser a fração do volume do > bolo que ele espera obter? Primeira dica: tente resolver o mesmo problema, mas para um triângulo equilátero de lado 100. Afinal de contas, uma transformação afim leva isso para qualquer triângulo. > > Abraço do Douglas. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa questão da OBM 1987
Eu pensaria em trabalhar com os pontos notáveis, talvez o baricentro, e argumentar que em qualquer outro ponto é possível realizar um corte que o prejudique mais. Isso é só uma teoria e, portanto, é possível que esteja totalmente errada. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números
Boa tarde! Na verdade: 2^a=64; a= 6 e y=12. Em qui., 22 de out. de 2020 às 11:17, Pedro José escreveu: > Bom dia! > Recebi esse problema hoje: 615 + x^2 = 2^y., para x,y inteiros Não saberia > fazer, como não soube resolver esse, acima. Mas devido a solução do colega > Esdras, pensei:"já vi algo parecido". > Basta restringir y aos pares. > Se y é ímpar x^2=2 mod3, absurdo então y é par. Logo y=2a, com a inteiro. > (2^a + x) (2^a-x)= 615= 1*615=3*205=5*123=15*41 e como a soma dos fatores > necessita ser uma potência de 2, só serve para 123 e 5. > Logo 2^y=64 e y=6 e x= 59 ou x=-59. > Uma resolução levou a outra, não pelo talento nato, mas por aprendizado, o > que é válido. > Teve uma feita que estava tentando provar que o triângulo órtico, era o > triângulo de menor perímetro que poderia ser inscrito em um triângulo > acutângulo. Tentei por geometria analítica e só levando tinta. Tinha > desistido. Quando me deparei com um problema que não consegui resolver, mas > que tinha um caminho para a solução. Quando vi o rebatimento feito, pensei > está resolvido. O curioso, é que, quando desisti, pesquisei na internet e > não achei nada. Depois que consegui resolver, achei duas soluções, e > infelizmente e como esperado, a minha não era novidade, era clássica. > Obrigado, Esdras! Sem a sua solução, certamente, não teria resolvido essa > última questão. > > Cordialmente, > PJMS > > Em sex., 24 de jul. de 2020 às 12:19, Prof. Douglas Oliveira < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> Obrigado Claudio e Esdras, fatoração show >> >> >> Em sex., 24 de jul. de 2020 às 11:12, Esdras Muniz < >> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu: >> >>> Se for solução inteira positiva, acho que só tem 3 e 4. Vc supõe spdg x >>> maior ou igual a y, vê que y=1 não tem solução e x=y tb não. Daí, x>y>1. >>> Fatorando a expressão, fica: (xy-8-(x-y))(xy-8+(x-y))=15. Como >>> (xy-8-(x-y))>(xy-8+(x-y))>-2. Temos que ou (xy-8-(x-y))=1 e (xy-8+(x-y))=15, >>> o que não tem soluções inteiras positivas, ou (xy-8-(x-y))=3 e >>> (xy-8+(x-y))=5, >>> cujas únicas soluções inteiras são x=4 e y=3. >>> >>> Em sex, 24 de jul de 2020 10:36, Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>> Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no 1o quadrante. Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2 - y^2 = 0. []s, Claudio. On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da > equação > (xy-7)^2=x^2+y^2. > > Desde já agradeço a ajuda > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > >
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Bom dia! Recebi esse problema hoje: 615 + x^2 = 2^y., para x,y inteiros Não saberia fazer, como não soube resolver esse, acima. Mas devido a solução do colega Esdras, pensei:"já vi algo parecido". Basta restringir y aos pares. Se y é ímpar x^2=2 mod3, absurdo então y é par. Logo y=2a, com a inteiro. (2^a + x) (2^a-x)= 615= 1*615=3*205=5*123=15*41 e como a soma dos fatores necessita ser uma potência de 2, só serve para 123 e 5. Logo 2^y=64 e y=6 e x= 59 ou x=-59. Uma resolução levou a outra, não pelo talento nato, mas por aprendizado, o que é válido. Teve uma feita que estava tentando provar que o triângulo órtico, era o triângulo de menor perímetro que poderia ser inscrito em um triângulo acutângulo. Tentei por geometria analítica e só levando tinta. Tinha desistido. Quando me deparei com um problema que não consegui resolver, mas que tinha um caminho para a solução. Quando vi o rebatimento feito, pensei está resolvido. O curioso, é que, quando desisti, pesquisei na internet e não achei nada. Depois que consegui resolver, achei duas soluções, e infelizmente e como esperado, a minha não era novidade, era clássica. Obrigado, Esdras! Sem a sua solução, certamente, não teria resolvido essa última questão. Cordialmente, PJMS Em sex., 24 de jul. de 2020 às 12:19, Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Obrigado Claudio e Esdras, fatoração show > > > Em sex., 24 de jul. de 2020 às 11:12, Esdras Muniz < > esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu: > >> Se for solução inteira positiva, acho que só tem 3 e 4. Vc supõe spdg x >> maior ou igual a y, vê que y=1 não tem solução e x=y tb não. Daí, x>y>1. >> Fatorando a expressão, fica: (xy-8-(x-y))(xy-8+(x-y))=15. Como >> (xy-8-(x-y))>(xy-8+(x-y))>-2. Temos que ou (xy-8-(x-y))=1 e (xy-8+(x-y))=15, >> o que não tem soluções inteiras positivas, ou (xy-8-(x-y))=3 e >> (xy-8+(x-y))=5, >> cujas únicas soluções inteiras são x=4 e y=3. >> >> Em sex, 24 de jul de 2020 10:36, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no >>> 1o quadrante. >>> Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2 - >>> y^2 = 0. >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira < >>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: >>> Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da equação (xy-7)^2=x^2+y^2. Desde já agradeço a ajuda Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números
Obrigado Claudio e Esdras, fatoração show Em sex., 24 de jul. de 2020 às 11:12, Esdras Muniz < esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu: > Se for solução inteira positiva, acho que só tem 3 e 4. Vc supõe spdg x > maior ou igual a y, vê que y=1 não tem solução e x=y tb não. Daí, x>y>1. > Fatorando a expressão, fica: (xy-8-(x-y))(xy-8+(x-y))=15. Como > (xy-8-(x-y))>(xy-8+(x-y))>-2. Temos que ou (xy-8-(x-y))=1 e (xy-8+(x-y))=15, > o que não tem soluções inteiras positivas, ou (xy-8-(x-y))=3 e (xy-8+(x-y))=5, > cujas únicas soluções inteiras são x=4 e y=3. > > Em sex, 24 de jul de 2020 10:36, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no >> 1o quadrante. >> Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2 - >> y^2 = 0. >> >> []s, >> Claudio. >> >> On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira < >> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: >> >>> Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da >>> equação >>> (xy-7)^2=x^2+y^2. >>> >>> Desde já agradeço a ajuda >>> Douglas Oliveira >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números
Se for solução inteira positiva, acho que só tem 3 e 4. Vc supõe spdg x maior ou igual a y, vê que y=1 não tem solução e x=y tb não. Daí, x>y>1. Fatorando a expressão, fica: (xy-8-(x-y))(xy-8+(x-y))=15. Como (xy-8-(x-y))>(xy-8+(x-y))>-2. Temos que ou (xy-8-(x-y))=1 e (xy-8+(x-y))=15, o que não tem soluções inteiras positivas, ou (xy-8-(x-y))=3 e (xy-8+(x-y))=5, cujas únicas soluções inteiras são x=4 e y=3. Em sex, 24 de jul de 2020 10:36, Claudio Buffara escreveu: > Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no 1o > quadrante. > Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2 - > y^2 = 0. > > []s, > Claudio. > > On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira < > profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > >> Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da equação >> (xy-7)^2=x^2+y^2. >> >> Desde já agradeço a ajuda >> Douglas Oliveira >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números
Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no 1o quadrante. Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2 - y^2 = 0. []s, Claudio. On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da equação > (xy-7)^2=x^2+y^2. > > Desde já agradeço a ajuda > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima
Boa noite! Errata da nota anterior independente de m e não de m, supondo (m,n)=1 e m/n não inteiro. Outro ponto não há necessidade a verificação de se o proposto vale para quando n for múltiplo de 2 ou de 10, pois a ordem m mod n só existe se (10,n)=1. Foi bobagem só ter aventado a possibilidade. não coloquei como cheguei a conclusão de que era ordem 10 mod n, pois achei bem intuitivo. Mas na hora que fui mostrar, achei complicado o que julgara fácil. Mas quanto a isso estou seguro. Para (n,m)=1 e (n,10)=1 e n/m não inteiro. Se m>n pode-se representar por uma fração q j/n com q, j e n inteiros e (j,n)=1 pois m=qn+j e se d<>1 divide n e j então d|m pois m é uma Z combinação linear de j e n. Absurdo pois(m,n)=1 por hipótese. Então sem perda de generalidade podemos só trabalhar para o caso m=2, está correta. Saudações, PJMS Em dom, 8 de mar de 2020 16:09, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Douglas, > Não creio, no meu entendimento 3^2003 é o número de algarismos da dízima > pois, é a ordem 10 módulo 3^2005. > 1/3^2005 tem uma montoeira de algarismos zeros no início do período o que > não acontece em 3^2005. > O número de algarismos do período de uma dízima m/n, pelo menos quando n > não é múltiplo dos primos 2 e 5 é ord10mod n e independe de n. Nao > verifiquei se vale sem a restriçao. > Por exemplo o período de 1/7 é 142857 e ord 10 mod 7 = 6. > Se aquele fosse o período da dízima bastaria fazer n =[log10 (3^2003)+1] > onde colchetes representam parte inteira.. > Minha dúvida está na prova por absurdo, que ord 10 mod 3^n= 3^(n-2). > > Saudações, > PJMS > > > > Em dom, 8 de mar de 2020 11:31, Prof. Douglas Oliveira < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> 3^2003 é o período certo??, o número de dígitos disso que seria a >> pergunta. >> >> >> Douglas oliveira >> >> Em dom, 8 de mar de 2020 11:13, Prof. Douglas Oliveira < >> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >> >>> Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma >>> olhada rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma, >>> assim que tiver um tempinho. >>> >>> Douglas Oliveira. >>> >>> Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José >>> escreveu: >>> Bom dia! Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender fica para o futuro. Quando me aposentar cursar uma faculdade de matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém poderia me informar se está correto? Saudações, PJMS. Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Não me senti muito seguro na resposta. Está correto? > > Saudações, > PJMS > > Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José > escreveu: > >> Boa noite! >> Creio ter conseguido. >> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 >> então k é a ordem 10 mod 3^2005. >> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então >> pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i) >> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se >> x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2> ord 10 mod 3^2005 =3^2003 >> 3^2003 algarismos >> Saudações, >> PJMS >> >> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> 3^2005 e não 10^2005. >>> >>> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José >>> escreveu: >>> Boa tarde! Questão complicada. Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod 10^2005. Portanto x | 2*3^2004. Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece que não... Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim. O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) para n>=2. Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura esteja correta. Saudações, PJMS Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? > > > Saudações > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima
Boa tarde! Douglas, Não creio, no meu entendimento 3^2003 é o número de algarismos da dízima pois, é a ordem 10 módulo 3^2005. 1/3^2005 tem uma montoeira de algarismos zeros no início do período o que não acontece em 3^2005. O número de algarismos do período de uma dízima m/n, pelo menos quando n não é múltiplo dos primos 2 e 5 é ord10mod n e independe de n. Nao verifiquei se vale sem a restriçao. Por exemplo o período de 1/7 é 142857 e ord 10 mod 7 = 6. Se aquele fosse o período da dízima bastaria fazer n =[log10 (3^2003)+1] onde colchetes representam parte inteira.. Minha dúvida está na prova por absurdo, que ord 10 mod 3^n= 3^(n-2). Saudações, PJMS Em dom, 8 de mar de 2020 11:31, Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > 3^2003 é o período certo??, o número de dígitos disso que seria a pergunta. > > > Douglas oliveira > > Em dom, 8 de mar de 2020 11:13, Prof. Douglas Oliveira < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma >> olhada rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma, >> assim que tiver um tempinho. >> >> Douglas Oliveira. >> >> Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José >> escreveu: >> >>> Bom dia! >>> Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou >>> matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de >>> espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender >>> fica para o futuro. Quando me aposentar cursar uma faculdade de >>> matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém >>> poderia me informar se está correto? >>> Saudações, >>> PJMS. >>> >>> Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José >>> escreveu: >>> Boa tarde! Não me senti muito seguro na resposta. Está correto? Saudações, PJMS Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José escreveu: > Boa noite! > Creio ter conseguido. > Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 > então k é a ordem 10 mod 3^2005. > 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então > pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i) > Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se > x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2 ord 10 mod 3^2005 =3^2003 > 3^2003 algarismos > Saudações, > PJMS > > Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José > escreveu: > >> Boa tarde! >> 3^2005 e não 10^2005. >> >> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> Questão complicada. >>> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 >>> mod 10^2005. Portanto x | 2*3^2004. >>> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas >>> parece que não... >>> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim. >>> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) >>> para n>=2. >>> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a >>> conjectura esteja correta. >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira < >>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? Saudações Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima
3^2003 é o período certo??, o número de dígitos disso que seria a pergunta. Douglas oliveira Em dom, 8 de mar de 2020 11:13, Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma > olhada rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma, > assim que tiver um tempinho. > > Douglas Oliveira. > > Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José escreveu: > >> Bom dia! >> Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou >> matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de >> espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender >> fica para o futuro. Quando me aposentar cursar uma faculdade de >> matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém >> poderia me informar se está correto? >> Saudações, >> PJMS. >> >> Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> Não me senti muito seguro na resposta. Está correto? >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José >>> escreveu: >>> Boa noite! Creio ter conseguido. Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 então k é a ordem 10 mod 3^2005. 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i) Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k>>> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2>>> ord 10 mod 3^2005 =3^2003 3^2003 algarismos Saudações, PJMS Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > 3^2005 e não 10^2005. > > Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José > escreveu: > >> Boa tarde! >> Questão complicada. >> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 >> mod 10^2005. Portanto x | 2*3^2004. >> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas >> parece que não... >> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim. >> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) >> para n>=2. >> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a >> conjectura esteja correta. >> >> Saudações, >> PJMS >> >> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira < >> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >> >>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? >>> >>> >>> Saudações >>> Douglas Oliveira >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima
Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma olhada rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma, assim que tiver um tempinho. Douglas Oliveira. Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José escreveu: > Bom dia! > Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou > matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de > espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender > fica para o futuro. Quando me aposentar cursar uma faculdade de > matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém > poderia me informar se está correto? > Saudações, > PJMS. > > Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José escreveu: > >> Boa tarde! >> Não me senti muito seguro na resposta. Está correto? >> >> Saudações, >> PJMS >> >> Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa noite! >>> Creio ter conseguido. >>> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 >>> então k é a ordem 10 mod 3^2005. >>> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então >>> pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i) >>> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se >>> x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k>> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2>> ord 10 mod 3^2005 =3^2003 >>> 3^2003 algarismos >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José >>> escreveu: >>> Boa tarde! 3^2005 e não 10^2005. Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Questão complicada. > Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod > 10^2005. Portanto x | 2*3^2004. > Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas > parece que não... > Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim. > O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) > para n>=2. > Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a > conjectura esteja correta. > > Saudações, > PJMS > > Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? >> >> >> Saudações >> Douglas Oliveira >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima
Bom dia! Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender fica para o futuro. Quando me aposentar cursar uma faculdade de matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém poderia me informar se está correto? Saudações, PJMS. Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Não me senti muito seguro na resposta. Está correto? > > Saudações, > PJMS > > Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José > escreveu: > >> Boa noite! >> Creio ter conseguido. >> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 então >> k é a ordem 10 mod 3^2005. >> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então >> pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i) >> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se x<>3^(n-2) >> absurdo; pois, teria que ser 3^k com k> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2> ord 10 mod 3^2005 =3^2003 >> 3^2003 algarismos >> Saudações, >> PJMS >> >> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> 3^2005 e não 10^2005. >>> >>> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José >>> escreveu: >>> Boa tarde! Questão complicada. Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod 10^2005. Portanto x | 2*3^2004. Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece que não... Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim. O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) para n>=2. Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura esteja correta. Saudações, PJMS Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? > > > Saudações > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima
Boa tarde! Não me senti muito seguro na resposta. Está correto? Saudações, PJMS Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José escreveu: > Boa noite! > Creio ter conseguido. > Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 então > k é a ordem 10 mod 3^2005. > 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então pelo > lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i) > Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se x<>3^(n-2) > absurdo; pois, teria que ser 3^k com k e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2 ord 10 mod 3^2005 =3^2003 > 3^2003 algarismos > Saudações, > PJMS > > Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José > escreveu: > >> Boa tarde! >> 3^2005 e não 10^2005. >> >> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> Questão complicada. >>> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod >>> 10^2005. Portanto x | 2*3^2004. >>> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece >>> que não... >>> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim. >>> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) >>> para n>=2. >>> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura >>> esteja correta. >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira < >>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? Saudações Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima
Boa noite! Creio ter conseguido. Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 então k é a ordem 10 mod 3^2005. 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i) Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k escreveu: > Boa tarde! > 3^2005 e não 10^2005. > > Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José > escreveu: > >> Boa tarde! >> Questão complicada. >> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod >> 10^2005. Portanto x | 2*3^2004. >> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece >> que não... >> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim. >> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) para >> n>=2. >> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura >> esteja correta. >> >> Saudações, >> PJMS >> >> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira < >> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >> >>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? >>> >>> >>> Saudações >>> Douglas Oliveira >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima
Boa tarde! 3^2005 e não 10^2005. Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Questão complicada. > Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod > 10^2005. Portanto x | 2*3^2004. > Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece > que não... > Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim. > O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) para > n>=2. > Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura > esteja correta. > > Saudações, > PJMS > > Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? >> >> >> Saudações >> Douglas Oliveira >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima
Boa tarde! Questão complicada. Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod 10^2005. Portanto x | 2*3^2004. Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece que não... Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim. O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) para n>=2. Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura esteja correta. Saudações, PJMS Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? > > > Saudações > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima
Estou conjecturando que 1/3^n tem período igual a 3^(n-2) , para n>=3. Carlos Victor Em 20/02/2020 18:01, Prof. Douglas Oliveira escreveu: > Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? > > Saudações > Douglas Oliveira > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em duas questões (Geometria plana e equação funcional)
Sempre que possível, crie um e-mail para cada questão. Assim, fica mais fácil para cada participante acompanhar a discussão. Eu por exemplo gosto bem mais de geometria que de álgebra. Ao ler esse e-mail e suas respostas, eu não sei de cara se estou comentando a questão de geometria ou a de álgebra. Em sex., 13 de dez. de 2019 às 21:05, Prof. Douglas Oliveira escreveu: > > 1) Dado um triângulo equilátero ABC, e os segmentos internos de reta BS, CT e > AR tais que BS=CT=AR e além disso B, R, S estão alinhados, C, S, T estão > alinhados e A, T, R estão alinhados, mostre que o triângulo RST também é > equilátero. > > 2) Essa é a questão da (IMO shortlisted 2008) > . Find all functions f : (0, ∞) → (0, ∞) such that [(f(p))^2 + (f(q))^2]/ > f(r^2 ) + f(s^2 ) = (p^2 + q^2)/(r^2 + s^2) for all p, q, r, s > 0 with pq = > rs. > > Pois bem, a minha dúvida é , eu cheguei em duas soluções f(x)=x e f(x)=1/x, e > a minha pergunta seria , precisa mostrar que são as únicas soluções? A princípio, durante a resolução você automaticamente exclui a possibilidade de existirem outras soluções. Essa unicidade já fica "embutida". Até porque, é muito raro resolver uma equação funcional por "eliminação" ou por "contradição"; elas costumam ser resolvidas de maneira mais dedutiva. Se sua solução for parecida com a oficial - que começa demonstrando que f(x^2)=(f(x))^2 e daí > > Saudações > Douglas Oliveira. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em duas questões (Geometria plana e equação funcional)
Olá Douglas, boa noite! Professor, já fiz essa questão 2 e do jeito que resolvi, já fica meio que implícito que essas são as únicas soluções. Envia tua solução para que eu possa analisar, se possivel! Em sex, 13 de dez de 2019 21:05, Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > 1) Dado um triângulo equilátero ABC, e os segmentos internos de reta BS, > CT e AR tais que BS=CT=AR e além disso B, R, S estão alinhados, C, S, T > estão alinhados e A, T, R estão alinhados, mostre que o triângulo RST > também é equilátero. > > 2) Essa é a questão da (IMO shortlisted 2008) > . Find all functions f : (0, ∞) → (0, ∞) such that [(f(p))^2 + > (f(q))^2]/ f(r^2 ) + f(s^2 ) = (p^2 + q^2)/(r^2 + s^2) for all p, q, r, s > > 0 with pq = rs. > > Pois bem, a minha dúvida é , eu cheguei em duas soluções f(x)=x e > f(x)=1/x, e a minha pergunta seria , precisa mostrar que são as únicas > soluções? > > Saudações > Douglas Oliveira. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em números reais
Pensando nos vetores unitários (a,b) e (c,d), ac + bd = 0 implica (via produto escalar, como você sugeriu) que estes vetores são ortogonais e que, portanto: c = b, d = -a ==> ab + cd = ab + b(-a) = 0 ou c = -b, d = a ==> ab + cd = ab + (-b)a = 0. []s, Claudio. On Sat, Aug 25, 2018 at 1:19 PM marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> wrote: > Sejam a, b , c e d são números reais tais que a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1, > ac + bd = 0. Calcule ab + cd > > > Pensando em produto escalar, podemos dizer que a = senx, b = - cosx, c = > cosx e d = senx ? Nesse caso, ab + cd = 0. Um colega achou +1 ou -1 > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em geometria e álgebra.
Seja P o ponto de DC tal que AP=AC (portanto igual ao BD). Calculando alguns ângulos: APc=48 e PAD=18. Seja O o circuncentro do triângulo APD, então OD=OP=OA, e como ADB=30 então POA=2x30=60. Concluimos que o triângulo POA é equilátero. Calculando alguns ângulos: ODA=42 Notando que OD=OB podemos concluir que OBD=DBO=36. Estique BO e desenh o segmento AT perpendicular a BO (T está na prolongação de BO). Observe que os triângulos ATO e APM (onde M é o meio de PC) são iguais e portanto AM=AT. Finalmente os triângulo BAT e BAM são iguais e daí ABT=ABD=36/2=18 2018-03-13 20:14 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com>: > Olá amigos, não consigo fazer esse problema por construção, já fiz por lei > dos senos e > pelo geogebra e deu 18 graus. > > Eis o problema: > > 6 Seja D um ponto sobre o lado BC de um triângulo ABC. Supondo que, AC=BD > e o ângulo ADC=30 graus e ACB= 48 graus , determine a medida do ângulo > ABC. > > > > Qualquer ajuda será bem vinda. > > Abraço do > > Douglas Oliveira. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda - OBM 2014 nível universitário
Cara, faz tempo isso, mas fiz por volume, vc usa que o tetraedro de maior volume inscrito na esfera é o regular. Em 22 de fevereiro de 2015 22:26, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Acho que a culpa dessa expressao eh minha -- eu tenho essa mania de chamar funcoes afins de lineares, vem do ingles (linear functions). Linear em cada entrada quer dizer o seguinte: se voce fixar todas as entradas exceto uma, digamos, a_11=x, a funcao determinante seria f(x)=ax+b onde a e b dependem apenas das outras 8 entradas... Entao, fixadas as outras 8 entradas, a funcao f(x) serah maximizada em x=0 ou x=9 (bom, pode ser que a=0, entao qualquer valor de x daria no mesmo, mas voce nao perde nada em supor x=0 ou x=9). Entao nao eh que x TEM que ser 0 ou 9, eh que voce PODE supor x=0 ou x=9 para maximizar a funcao. Como isso vale para cada uma das 9 entradas... Melhorou? Abraco, Ralph. P.S.: Ou talvez, pense por contradicao: se det(A) fosse maximizado com alguma entrada NAO sendo 0 ou 9, voce poderia trocar esta entrada para 0 ou 9 e isto aumentaria (ou manteria) o valor do determinante, Entao HA uma escolha maximizante apenas com 0 ou 9. 2015-02-22 14:14 GMT-05:00 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Fala ai gente, Fiquei com uma dúvida no problema 2 da OBM-2014 nível universitário, primeira fase. Tentei resolver o problema, não consegui, quado fui olhar a resolução me perdi logo nas primeiras linhas, teria como alguém me dar uma ajuda? O problema é o seguinte: Considere as matrizes 3x3 cujas entradas são inteiros entre 0 e 9 (inclusive). Determine o maior determinante possível de uma tal matriz. A resolução começa assim: Seja A = (aij) a matriz. Como det(A) é linear em cada entrada, basta considerar aij = 0 ou aij = 9, de modo que A = 9B com B = (bij ) e bij = 0 ou 1. Não entendi o que ele quis dizer como linear em cada entrada. Teria como alguém me explicar melhor porque os valores só podem ser 9 ou 0? []'s João -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda - OBM 2014 nível universitário
Acho que a culpa dessa expressao eh minha -- eu tenho essa mania de chamar funcoes afins de lineares, vem do ingles (linear functions). Linear em cada entrada quer dizer o seguinte: se voce fixar todas as entradas exceto uma, digamos, a_11=x, a funcao determinante seria f(x)=ax+b onde a e b dependem apenas das outras 8 entradas... Entao, fixadas as outras 8 entradas, a funcao f(x) serah maximizada em x=0 ou x=9 (bom, pode ser que a=0, entao qualquer valor de x daria no mesmo, mas voce nao perde nada em supor x=0 ou x=9). Entao nao eh que x TEM que ser 0 ou 9, eh que voce PODE supor x=0 ou x=9 para maximizar a funcao. Como isso vale para cada uma das 9 entradas... Melhorou? Abraco, Ralph. P.S.: Ou talvez, pense por contradicao: se det(A) fosse maximizado com alguma entrada NAO sendo 0 ou 9, voce poderia trocar esta entrada para 0 ou 9 e isto aumentaria (ou manteria) o valor do determinante, Entao HA uma escolha maximizante apenas com 0 ou 9. 2015-02-22 14:14 GMT-05:00 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Fala ai gente, Fiquei com uma dúvida no problema 2 da OBM-2014 nível universitário, primeira fase. Tentei resolver o problema, não consegui, quado fui olhar a resolução me perdi logo nas primeiras linhas, teria como alguém me dar uma ajuda? O problema é o seguinte: Considere as matrizes 3x3 cujas entradas são inteiros entre 0 e 9 (inclusive). Determine o maior determinante possível de uma tal matriz. A resolução começa assim: Seja A = (aij) a matriz. Como det(A) é linear em cada entrada, basta considerar aij = 0 ou aij = 9, de modo que A = 9B com B = (bij ) e bij = 0 ou 1. Não entendi o que ele quis dizer como linear em cada entrada. Teria como alguém me explicar melhor porque os valores só podem ser 9 ou 0? []'s João -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa equação exponencial
Muito obrigado pela ajuda! Abraço! Luiz 2014-09-19 20:27 GMT-03:00 faraujoco...@yahoo.com.br: Retificando. Solução única igual a zero. Enviado via iPhone Em 19/09/2014, às 19:17, Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com escreveu: Olá, pessoal! Peço desculpas por pedir ajuda num problema tão fácil, mas eu tentei de todos os modos e não consegui resolver esta equação: 8^x +18^x = 2.27^x O segundo membro é dois vezes vinte e sete elevado a x. Alguém pode me ajudar? Desde já agradeço! Abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa equação exponencial
Por nada. Enviado via iPhone Em 20/09/2014, às 14:35, Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com escreveu: Muito obrigado pela ajuda! Abraço! Luiz 2014-09-19 20:27 GMT-03:00 faraujoco...@yahoo.com.br: Retificando. Solução única igual a zero. Enviado via iPhone Em 19/09/2014, à s 19:17, Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com escreveu: Olá, pessoal! Peço desculpas por pedir ajuda num problema tão fácil, mas eu tentei de todos os modos e não consegui resolver esta equação: 8^x +18^x = 2.27^x O segundo membro é dois vezes vinte e sete elevado a x. Alguém pode me ajudar? Desde já agradeço! Abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e  acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa equação exponencial
Decompondo, vem: 8^x +18^x = 2.27^x 2^(3x) + [3^(2x)].(2^x) = 2.[3^(3x)]. Dividindo cada membro por 2^(3x), vem: 1 + (3/2)^2x = 2.[(3/2)]^(2x). Se (3/2)^2x = y 1+y=2y 2y-y=1 y=1 Logo, (3/2)^2x = 1 = 2x = 0 = x = 0. Em 19 de setembro de 2014 19:17, Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com escreveu: Olá, pessoal! Peço desculpas por pedir ajuda num problema tão fácil, mas eu tentei de todos os modos e não consegui resolver esta equação: 8^x +18^x = 2.27^x O segundo membro é dois vezes vinte e sete elevado a x. Alguém pode me ajudar? Desde já agradeço! Abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira http://www.professorwaltertadeu.mat.br -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em geometria(Ja foram resolvidas por inspeção usando trigonometria)
Apenas para esclarecer: uma solução usando trigonometria não é uma 'solução por inspeção' (o que é isto, afinal?) nem é uma solução 'além da geometria euclidiana' (ainda se está usando ferramentas geométricas, afinal!). O termo seria 'uma solução sintética', em contraste com uma solução analítica. Eu nem sempre gosto delas, pois não aparecem tão naturalmente quando são apontadas para um novato. Uma pessoa vê a solução e diz sorte que esses doidos não as colocam nos vestibulares!, haha! Porém, uma solução com contas às vezes é mais técnica - ficar olhando quais ângulos têm uma média legal é complicadinho, e nem sempre abrir tudo dá certo. Qualquer forma, um dos métodos que eu mais procuro usar é traçar a circunferência passando por A,B,C e fatiar ela em setores de 10 graus, e ir encaixando os elementos do problema ali. Logo eu vou tentar responder. Em 15 de maio de 2014 16:58, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Ola meus caros amigos, desenhando aqui pelo geogebra acabei criando uma bela questão de geometria, do qual consegui por inspecao resolve-la através de trigonometria pela lei dos senos, porem fiquei muito curioso para saber se existe alguma solução por geometria euclidiana plana, estarei tentando, mas vim aqui compartilhar com voces, se puderem agradeço desde ja.Um abraço do Douglas Oliveira. Problema: Seja um triângulo ABC com ângulos BAC=70 graus, ACB=30; dado um ponto interno P such that BAP=30 e BCP=10, encontrar o angulo ABP. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em geometria(Ja foram resolvidas por inspeção usando trigonometria)
E verdade!! Em 19 de maio de 2014 14:17, terence thirteen peterdirich...@gmail.comescreveu: Apenas para esclarecer: uma solução usando trigonometria não é uma 'solução por inspeção' (o que é isto, afinal?) nem é uma solução 'além da geometria euclidiana' (ainda se está usando ferramentas geométricas, afinal!). O termo seria 'uma solução sintética', em contraste com uma solução analítica. Eu nem sempre gosto delas, pois não aparecem tão naturalmente quando são apontadas para um novato. Uma pessoa vê a solução e diz sorte que esses doidos não as colocam nos vestibulares!, haha! Porém, uma solução com contas às vezes é mais técnica - ficar olhando quais ângulos têm uma média legal é complicadinho, e nem sempre abrir tudo dá certo. Qualquer forma, um dos métodos que eu mais procuro usar é traçar a circunferência passando por A,B,C e fatiar ela em setores de 10 graus, e ir encaixando os elementos do problema ali. Logo eu vou tentar responder. Em 15 de maio de 2014 16:58, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Ola meus caros amigos, desenhando aqui pelo geogebra acabei criando uma bela questão de geometria, do qual consegui por inspecao resolve-la através de trigonometria pela lei dos senos, porem fiquei muito curioso para saber se existe alguma solução por geometria euclidiana plana, estarei tentando, mas vim aqui compartilhar com voces, se puderem agradeço desde ja.Um abraço do Douglas Oliveira. Problema: Seja um triângulo ABC com ângulos BAC=70 graus, ACB=30; dado um ponto interno P such that BAP=30 e BCP=10, encontrar o angulo ABP. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em geometria(Ja foram resolvidas por inspeção usando trigonometria)
Seja Q o ponto de AC tal que PQ=QA. Seja T o ponto de AB tal que APT=20. Analizando o triângulo ATP e o ponto Q: ângulo externo em T = 50, angulo AQP = 100 (= 2 x 50), e QA=QP, conclusão Q é circuncentro de ATP. Então QT=QA=QP (circunradio). Então Triângulo TQP é equilátero, então TP=TQ. COm isso tudo, Os triângulos TPC e TQC são idênticos, portanto PCT=10. E como o ângulo PCT tambem é 10 e además TC=BC (pois BTC=80, esquecia isso). Ouseja os triângulos BCP e TCP são idênticos, por tanto PB=PT e então x=50 Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Thu, 15 May 2014 16:58:44 -0300 Asunto : [obm-l] Ajuda em geometria(Ja foram resolvidas por inspeção usando trigonometria) Ola meus caros amigos, desenhando aqui pelo geogebra acabei criando uma bela questão de geometria, do qual consegui por inspecao resolve-la através de trigonometria pela lei dos senos, porem fiquei muito curioso para saber se existe alguma solução por geometria euclidiana plana, estarei tentando, mas vim aqui compartilhar com voces, se puderem agradeço desde ja.Um abraço do Douglas Oliveira. Problema: Seja um triângulo ABC com ângulos BAC=70 graus, ACB=30; dado um ponto interno P such that BAP=30 e BCP=10, encontrar o angulo ABP. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em recorrência!!
Obrigado meu camarada vou ler com atenção!! Em 14.12.2013 12:23, Rodrigo Renji escreveu: Faz f(n)+2= g(n+1)/g(n) = 1/ (f(n)+2) = g(n) / g(n+1) , (que vamos usar ) daí f(n)-1 =g(n+1)/g(n) -3 = [g(n+1) -3g(n) ] / g(n) e f(n+1) =g(n+2)/g(n+1) -2 = [g(n+2)- 2g(n+1) ] / g(n+1) por isso substituindo tudo em f(n+1)=(f(n)-1)/(f(n)+2) , segue que [g(n+2)- 2g(n+1) ] / g(n+1) = [g(n+1) -3g(n) ] / g(n) . g(n) / g(n+1) cancelando todas coisas canceláveis, segue que g(n+2)- 2g(n+1) = g(n+1) -3g(n) o que implica g(n+2)= 3 g(n+1)-3g(n) que é uma recorrência de segunda ordem com solução conhecida , depois só ajustar as condições iniciais eu tenho um texto (ruim) falando sobre caso geral disso, se quiser dar uma olhada https://www.dropbox.com/s/0h6sfpe6p33vu76/equacoesdiferencas.pdf [1] lá pela página 35 . Como transforma recorrência do tipo f(n+p)= (af(n)+ b)/ (c f(n) +d) , caindo em uma outra recorrência que teoricamente sabemos resolver Em 14 de dezembro de 2013 08:56, douglas.olive...@grupoolimpo.com.br escreveu: Olá amigos preciso de uma ajudinha para resolver um problema estava muito interessado em resolver a seguinte recorrência f(n+1)=(f(n)-1)/(f(n)+2) com f(1)=3 para n natural Qualquer ajuda será bem vinda. Att. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. Links: -- [1] https://www.dropbox.com/s/0h6sfpe6p33vu76/equacoesdiferencas.pdf -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em recorrência!!
Valeu! qualquer coisa só falar :) ! Em 15 de dezembro de 2013 07:42, douglas.olive...@grupoolimpo.com.brescreveu: Obrigado meu camarada vou ler com atenção!! Em 14.12.2013 12:23, Rodrigo Renji escreveu: Faz f(n)+2= g(n+1)/g(n) = 1/ (f(n)+2) = g(n) / g(n+1) , (que vamos usar ) daí f(n)-1 =g(n+1)/g(n) -3 = [g(n+1) -3g(n) ] / g(n) e f(n+1) =g(n+2)/g(n+1) -2 = [g(n+2)- 2g(n+1) ] / g(n+1) por isso substituindo tudo em f(n+1)=(f(n)-1)/(f(n)+2) , segue que [g(n+2)- 2g(n+1) ] / g(n+1) =[g(n+1) -3g(n) ] / g(n) . g(n) / g(n+1) cancelando todas coisas canceláveis, segue que g(n+2)- 2g(n+1) = g(n+1) -3g(n) o que implica g(n+2)= 3 g(n+1)-3g(n) que é uma recorrência de segunda ordem com solução conhecida , depois só ajustar as condições iniciais eu tenho um texto (ruim) falando sobre caso geral disso, se quiser dar uma olhada https://www.dropbox.com/s/0h6sfpe6p33vu76/equacoesdiferencas.pdf lá pela página 35 . Como transforma recorrência do tipo f(n+p)= (af(n)+ b)/ (c f(n) +d) , caindo em uma outra recorrência que teoricamente sabemos resolver Em 14 de dezembro de 2013 08:56, douglas.olive...@grupoolimpo.com.brescreveu: Olá amigos preciso de uma ajudinha para resolver um problema estava muito interessado em resolver a seguinte recorrência f(n+1)=(f(n)-1)/(f(n)+2) com f(1)=3 para n natural Qualquer ajuda será bem vinda. Att. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em recorrência!!
Faz f(n)+2= g(n+1)/g(n) = 1/ (f(n)+2) = g(n) / g(n+1) , (que vamos usar ) daí f(n)-1 =g(n+1)/g(n) -3 = [g(n+1) -3g(n) ] / g(n) e f(n+1) =g(n+2)/g(n+1) -2 = [g(n+2)- 2g(n+1) ] / g(n+1) por isso substituindo tudo em f(n+1)=(f(n)-1)/(f(n)+2) , segue que [g(n+2)- 2g(n+1) ] / g(n+1) =[g(n+1) -3g(n) ] / g(n) . g(n) / g(n+1) cancelando todas coisas canceláveis, segue que g(n+2)- 2g(n+1) = g(n+1) -3g(n) o que implica g(n+2)= 3 g(n+1)-3g(n) que é uma recorrência de segunda ordem com solução conhecida , depois só ajustar as condições iniciais eu tenho um texto (ruim) falando sobre caso geral disso, se quiser dar uma olhada https://www.dropbox.com/s/0h6sfpe6p33vu76/equacoesdiferencas.pdf lá pela página 35 . Como transforma recorrência do tipo f(n+p)= (af(n)+ b)/ (c f(n) +d) , caindo em uma outra recorrência que teoricamente sabemos resolver Em 14 de dezembro de 2013 08:56, douglas.olive...@grupoolimpo.com.brescreveu: Olá amigos preciso de uma ajudinha para resolver um problema estava muito interessado em resolver a seguinte recorrência f(n+1)=(f(n)-1)/(f(n)+2) com f(1)=3 para n natural Qualquer ajuda será bem vinda. Att. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Desculpe,mas por que x/y é constante? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:22:32 -0300 Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Ajudou bastante. From: profmar...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 03:04:48 + Se não houver imperiosidade de usar Geometria Analítica, pode-se empregar, tão somente, a propriedade reflexiva da elipse, segundo a qual: uma reta tangente a uma elipse por um de seus pontos forma ângulos congruentes com os raios vetores referentes a tal ponto.Desse modo, sejam F e F' os focos da elipse, O seu centro e AB um diâmetro qualquer (A e B pertencentes à cônica). Como O é um centro de simetria, AF = BF' e AF' = BF. Portanto, AFBF' é um paralelogramo, com diagonais encontrando-se em O. Das congruências entre os triângulos AFO e BF'O, bem como entre AF'O e BOF, fica fácil ver, usando a propriedade reflexiva, que as retas tangentes formam, por exemplo, alternos internos de mesma medida, relativamente à reta transversal AOB. Logo, devem ser paralelas.Obviamente, convém acompanhar a resolução usando uma figura.Espero ter ajudado. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
O y/x é constante para os dois pontos de intersecção. Repare que temos infinitos m que satisfazem y=mx, mas cada diametro da elipse é formado por uma unica reta (um unico m) que gera dois pontos de intereeccao distintos, porem nesses dois pontos o y/x é o mesmo From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 12:07:03 + Desculpe,mas por que x/y é constante? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:22:32 -0300 Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Levando em conta que os pontos de intersecção são da forma (x,y) e (-x,-y),poderíamosmostrar,usando a fórmula de distância de um ponto a uma reta,que as distâncias de cada um deles às retas tangentes(opostas)são iguais e dai concluir que essas retas tangentes são paralelas? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 13:18:17 -0300 O y/x é constante para os dois pontos de intersecção. Repare que temos infinitos m que satisfazem y=mx, mas cada diametro da elipse é formado por uma unica reta (um unico m) que gera dois pontos de intereeccao distintos, porem nesses dois pontos o y/x é o mesmo From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 12:07:03 + Desculpe,mas por que x/y é constante? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:22:32 -0300 Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Pode mas não é necessário, Como Maldonado mostrou, ao longo do diâmetro ( de equação y/x=m) y/x é constante, portanto este quociente é o mesmonas extremidades do diâmetro. De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 12 de Setembro de 2013 15:07 Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Levando em conta que os pontos de intersecção são da forma (x,y) e (-x,-y),poderíamos mostrar,usando a fórmula de distância de um ponto a uma reta,que as distâncias de cada um deles às retas tangentes(opostas)são iguais e dai concluir que essas retas tangentes são paralelas? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 13:18:17 -0300 O y/x é constante para os dois pontos de intersecção. Repare que temos infinitos m que satisfazem y=mx, mas cada diametro da elipse é formado por uma unica reta (um unico m) que gera dois pontos de intereeccao distintos, porem nesses dois pontos o y/x é o mesmo From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 12:07:03 + Desculpe,mas por que x/y é constante? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:22:32 -0300 Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Eu nao vejo porque isso estaria certo, se tivermos duas retas, com um ponto em cada uma, tal que a distancia de cada um deles à reta oposta é a mesma, não quer dizer que as retas sejam paralelas From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 18:07:49 + Levando em conta que os pontos de intersecção são da forma (x,y) e (-x,-y),poderíamosmostrar,usando a fórmula de distância de um ponto a uma reta,que as distâncias de cada um deles às retas tangentes(opostas)são iguais e dai concluir que essas retas tangentes são paralelas? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 13:18:17 -0300 O y/x é constante para os dois pontos de intersecção. Repare que temos infinitos m que satisfazem y=mx, mas cada diametro da elipse é formado por uma unica reta (um unico m) que gera dois pontos de intereeccao distintos, porem nesses dois pontos o y/x é o mesmo From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 12:07:03 + Desculpe,mas por que x/y é constante? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:22:32 -0300 Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
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Claro que está correto; Seja P1 em uma reta e o pé da perpenciular à outra N1, P2 na outra reta com N2 pé da perpencidular à ptimeira reta. P1 N1 P2 N2 representa um retângulo! []'s De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 12 de Setembro de 2013 19:33 Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Eu nao vejo porque isso estaria certo, se tivermos duas retas, com um ponto em cada uma, tal que a distancia de cada um deles à reta oposta é a mesma, não quer dizer que as retas sejam paralelas From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 18:07:49 + Levando em conta que os pontos de intersecção são da forma (x,y) e (-x,-y),poderíamos mostrar,usando a fórmula de distância de um ponto a uma reta,que as distâncias de cada um deles às retas tangentes(opostas)são iguais e dai concluir que essas retas tangentes são paralelas? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 13:18:17 -0300 O y/x é constante para os dois pontos de intersecção. Repare que temos infinitos m que satisfazem y=mx, mas cada diametro da elipse é formado por uma unica reta (um unico m) que gera dois pontos de intereeccao distintos, porem nesses dois pontos o y/x é o mesmo From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 12:07:03 + Desculpe,mas por que x/y é constante? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:22:32 -0300 Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Sem dúvida uma solução extremamente elegante. Parabéns! De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 12 de Setembro de 2013 11:58 Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Ajudou bastante. From: profmar...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 03:04:48 + Se não houver imperiosidade de usar Geometria Analítica, pode-se empregar, tão somente, a propriedade reflexiva da elipse, segundo a qual: uma reta tangente a uma elipse por um de seus pontos forma ângulos congruentes com os raios vetores referentes a tal ponto. Desse modo, sejam F e F' os focos da elipse, O seu centro e AB um diâmetro qualquer (A e B pertencentes à cônica). Como O é um centro de simetria, AF = BF' e AF' = BF. Portanto, AFBF' é um paralelogramo, com diagonais encontrando-se em O. Das congruências entre os triângulos AFO e BF'O, bem como entre AF'O e BOF, fica fácil ver, usando a propriedade reflexiva, que as retas tangentes formam, por exemplo, alternos internos de mesma medida, relativamente à reta transversal AOB. Logo, devem ser paralelas. Obviamente, convém acompanhar a resolução usando uma figura. Espero ter ajudado. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Se não houver imperiosidade de usar Geometria Analítica, pode-se empregar, tão somente, a propriedade reflexiva da elipse, segundo a qual: uma reta tangente a uma elipse por um de seus pontos forma ângulos congruentes com os raios vetores referentes a tal ponto.Desse modo, sejam F e F' os focos da elipse, O seu centro e AB um diâmetro qualquer (A e B pertencentes à cônica). Como O é um centro de simetria, AF = BF' e AF' = BF. Portanto, AFBF' é um paralelogramo, com diagonais encontrando-se em O. Das congruências entre os triângulos AFO e BF'O, bem como entre AF'O e BOF, fica fácil ver, usando a propriedade reflexiva, que as retas tangentes formam, por exemplo, alternos internos de mesma medida, relativamente à reta transversal AOB. Logo, devem ser paralelas.Obviamente, convém acompanhar a resolução usando uma figura.Espero ter ajudado. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
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Perfeito Marcos.Também suspeitava de algum erro no enunciado,e descobri qual é agorinha tendo acesso a questao original. A diferença é que a igualdade é definida como 2BD=2DE*=EC* Consegue fazer a construção agora? =D Em 27 de julho de 2013 11:54, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.comescreveu: Acho que dá pra provar que não existem pontos D e E pertencentes à BC e que satisfaçam as outras condições do enunciado. i) supondo que D e E pertencem ao interior do segmento de reta BC. Já que BD = DE = EC e a altura desde o vértice A até estas bases é a mesma, as áreas dos triângulos ABD, ADE e AEC são iguais. Sabemos que a área de um triângulo qualquer é igual a seu semi-perímetro multiplicado pelo raio do círculo inscrito. Pelo enunciado, os raios de todos os círculos inscritos são iguais. Logo o semi-perímetro destes três triângulos são também iguais. Assim, devemos ter: AB = AE e AD = AC. Seja alpha o ângulo ABD e beta o ângulo ACE. Como os triângulos ABE e ACD são isósceles, temos: AED = alpha e ADE = beta. Portanto: DAE = 180 - (alpha + beta). Mas, agora, vamos olhar pra soma dos ângulos internos de ABC: ABC + ACB + BAD + DAE + EAC = alpha + beta + (180 - alpha - beta) + BAD + EAC = 180 + BAD + EAC 180, já que, por construção, BAD e EAC são positivos. Isso nos mostra que, pelo menos um dos pontos (D ou E) deve estar fora do interior do segmento BC. ii) supondo que D esteja à esquerda de B. Como BD = DE e já que E não pode coincidir com B, devemos ter E à esquerda de D. Mas, claramente, teríamos EC 2 . BD. Absurdo pois EC = BD. iii) supondo que D esteja à direita de C. Como BD = DE e já que E não pode coincidir com B, devemos ter E à direita de D. Mas, claramente, teríamos EC DE. Absurdo pois EC = DE. Por isso que eu acredito ter algo errado no enunciado. Em 26 de julho de 2013 20:19, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com escreveu: Pelo que eu entendi da questão,sim. Saudações Em 26 de julho de 2013 17:00, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.comescreveu: Então o problema está dizendo que os segmentos de reta BD, DE e EC são iguais mesmo? Brigado. Em 26 de julho de 2013 15:47, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com escreveu: pois é,está exatamente assim.Também achei meio estranho,mas a condição segundo a questão é válida. Em 26 de julho de 2013 14:12, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com escreveu: Tem certeza dessa condição: 2BD=2DE=2EC? Achei meio estranho colocar o fator dois em todos os membros. Em 24 de julho de 2013 21:25, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com escreveu: Oi pessoal,será que alguém consegue me dar uma luz nessa questão de geometria? Seja ABC um triângulo.Sejam D e E pontos no lado BC tal que 2BD=2DE=2EC (onde BD,DE e EC são retas).Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,ADE e AEC tem o mesmo raio,calcule o seno do ângulo ACB. Saudações Bruno -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
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Beleza. Vou supor que D e E pertencem ao interior do segmento BC. Como 2 BD = 2 DE = EC (e lembrando que as áreas dos triângulos formados quando traçamos AD e AE são proporcionais às razões de suas bases (já que têm a mesma altura)), podemos escrever: i) S_ABD = S_ADE (S_XYZ é a área do triângulo de vértices X, Y e Z). Assim, teremos, necessariamente: AB = AE = l (isso vale porque o enunciado afirma que os raios dos círculos inscritos a todos os triângulos é o mesmo e S = p . r, onde p é o semi-perímetro de um triângulo). ii) S_AEC = 2 . S_AED. Vamos chamar AC de b e AD de m (também estou considerando BD = DE = 2x e EC = x). Usando pensamento semelhante a i), podemos escrever o seguinte sobre os semi-perímetros: b + l + 2x = 2 (x + l + m) - m = (b - l)/2. Vamos usar Stewart agora: I) No triângulo ABE, sendo AD a ceviana: l^2 / (2x . x) - (b - l)^2 / (4.x.x) + l^2 / (2x . x) - 4l^2 - (b - l)^2 = 4x^2 (I) II) No triângulo ADC, sendo AE a ceviana: (b - l)^2 / (4 . 3x . x) - l^2 / (x . 2x) + b^2 / (3x . 2x) - (b - l)^2 - 6l^2 + 2b^2 = 12x^2 (II) Podemos fazer, agora, (II) - 3. (I): - 12l^2 + 3(b - l)^2 + (b - l)^2 - 6l^2 + 2b^2 = 0 - 4(b - l)^2 - 8bl - 14l^2 = 0 - 3b^2 - 4bl - 7l^2 = 0. As duas soluções para esta equação são b = 7l / 3 ou b = - l. Geometricamente falando, apenas a primeira tem sentido. Podemos obter x como função de l também. Basta substituir em (I): 4x^2 = 4l^2 - (7l / 3 - l)^2 = 20l^2 / 9 - x = l sqrt(5) / 3. Aplicando lei dos co-senos no triângulo AEC, teremos (alpha é o ângulo cujo seno queremos calcular): l^2 = b^2 + 4x^2 - 4bx . cos(alpha) - l^2 = 49l^2 / 9 + 20l^2 / 9 - 4 . 7 . sqrt(5) l^2 . cos(alpha) / 9 - 9 = 69 - 28 . sqrt(5) . cos(alpha) - cos(alpha) = 3 . sqrt(5) / 7. Assim, alpha pertence ao primeiro quadrante (é menor que 90 graus) e seu seno vale sqrt(1 - 45 / 49) = 2/7. Em 30 de julho de 2013 21:51, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.comescreveu: Perfeito Marcos.Também suspeitava de algum erro no enunciado,e descobri qual é agorinha tendo acesso a questao original. A diferença é que a igualdade é definida como 2BD=2DE*=EC* Consegue fazer a construção agora? =D Em 27 de julho de 2013 11:54, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.comescreveu: Acho que dá pra provar que não existem pontos D e E pertencentes à BC e que satisfaçam as outras condições do enunciado. i) supondo que D e E pertencem ao interior do segmento de reta BC. Já que BD = DE = EC e a altura desde o vértice A até estas bases é a mesma, as áreas dos triângulos ABD, ADE e AEC são iguais. Sabemos que a área de um triângulo qualquer é igual a seu semi-perímetro multiplicado pelo raio do círculo inscrito. Pelo enunciado, os raios de todos os círculos inscritos são iguais. Logo o semi-perímetro destes três triângulos são também iguais. Assim, devemos ter: AB = AE e AD = AC. Seja alpha o ângulo ABD e beta o ângulo ACE. Como os triângulos ABE e ACD são isósceles, temos: AED = alpha e ADE = beta. Portanto: DAE = 180 - (alpha + beta). Mas, agora, vamos olhar pra soma dos ângulos internos de ABC: ABC + ACB + BAD + DAE + EAC = alpha + beta + (180 - alpha - beta) + BAD + EAC = 180 + BAD + EAC 180, já que, por construção, BAD e EAC são positivos. Isso nos mostra que, pelo menos um dos pontos (D ou E) deve estar fora do interior do segmento BC. ii) supondo que D esteja à esquerda de B. Como BD = DE e já que E não pode coincidir com B, devemos ter E à esquerda de D. Mas, claramente, teríamos EC 2 . BD. Absurdo pois EC = BD. iii) supondo que D esteja à direita de C. Como BD = DE e já que E não pode coincidir com B, devemos ter E à direita de D. Mas, claramente, teríamos EC DE. Absurdo pois EC = DE. Por isso que eu acredito ter algo errado no enunciado. Em 26 de julho de 2013 20:19, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com escreveu: Pelo que eu entendi da questão,sim. Saudações Em 26 de julho de 2013 17:00, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com escreveu: Então o problema está dizendo que os segmentos de reta BD, DE e EC são iguais mesmo? Brigado. Em 26 de julho de 2013 15:47, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com escreveu: pois é,está exatamente assim.Também achei meio estranho,mas a condição segundo a questão é válida. Em 26 de julho de 2013 14:12, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com escreveu: Tem certeza dessa condição: 2BD=2DE=2EC? Achei meio estranho colocar o fator dois em todos os membros. Em 24 de julho de 2013 21:25, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com escreveu: Oi pessoal,será que alguém consegue me dar uma luz nessa questão de geometria? Seja ABC um triângulo.Sejam D e E pontos no lado BC tal que 2BD=2DE=2EC (onde BD,DE e EC são retas).Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,ADE e AEC tem o mesmo raio,calcule o seno do ângulo ACB. Saudações Bruno -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta
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Acho que dá pra provar que não existem pontos D e E pertencentes à BC e que satisfaçam as outras condições do enunciado. i) supondo que D e E pertencem ao interior do segmento de reta BC. Já que BD = DE = EC e a altura desde o vértice A até estas bases é a mesma, as áreas dos triângulos ABD, ADE e AEC são iguais. Sabemos que a área de um triângulo qualquer é igual a seu semi-perímetro multiplicado pelo raio do círculo inscrito. Pelo enunciado, os raios de todos os círculos inscritos são iguais. Logo o semi-perímetro destes três triângulos são também iguais. Assim, devemos ter: AB = AE e AD = AC. Seja alpha o ângulo ABD e beta o ângulo ACE. Como os triângulos ABE e ACD são isósceles, temos: AED = alpha e ADE = beta. Portanto: DAE = 180 - (alpha + beta). Mas, agora, vamos olhar pra soma dos ângulos internos de ABC: ABC + ACB + BAD + DAE + EAC = alpha + beta + (180 - alpha - beta) + BAD + EAC = 180 + BAD + EAC 180, já que, por construção, BAD e EAC são positivos. Isso nos mostra que, pelo menos um dos pontos (D ou E) deve estar fora do interior do segmento BC. ii) supondo que D esteja à esquerda de B. Como BD = DE e já que E não pode coincidir com B, devemos ter E à esquerda de D. Mas, claramente, teríamos EC 2 . BD. Absurdo pois EC = BD. iii) supondo que D esteja à direita de C. Como BD = DE e já que E não pode coincidir com B, devemos ter E à direita de D. Mas, claramente, teríamos EC DE. Absurdo pois EC = DE. Por isso que eu acredito ter algo errado no enunciado. Em 26 de julho de 2013 20:19, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.comescreveu: Pelo que eu entendi da questão,sim. Saudações Em 26 de julho de 2013 17:00, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.comescreveu: Então o problema está dizendo que os segmentos de reta BD, DE e EC são iguais mesmo? Brigado. Em 26 de julho de 2013 15:47, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com escreveu: pois é,está exatamente assim.Também achei meio estranho,mas a condição segundo a questão é válida. Em 26 de julho de 2013 14:12, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com escreveu: Tem certeza dessa condição: 2BD=2DE=2EC? Achei meio estranho colocar o fator dois em todos os membros. Em 24 de julho de 2013 21:25, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com escreveu: Oi pessoal,será que alguém consegue me dar uma luz nessa questão de geometria? Seja ABC um triângulo.Sejam D e E pontos no lado BC tal que 2BD=2DE=2EC (onde BD,DE e EC são retas).Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,ADE e AEC tem o mesmo raio,calcule o seno do ângulo ACB. Saudações Bruno -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] ajuda em exercício de geometria
Tem certeza dessa condição: 2BD=2DE=2EC? Achei meio estranho colocar o fator dois em todos os membros. Em 24 de julho de 2013 21:25, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.comescreveu: Oi pessoal,será que alguém consegue me dar uma luz nessa questão de geometria? Seja ABC um triângulo.Sejam D e E pontos no lado BC tal que 2BD=2DE=2EC (onde BD,DE e EC são retas).Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,ADE e AEC tem o mesmo raio,calcule o seno do ângulo ACB. Saudações Bruno -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] ajuda em exercício de geometria
pois é,está exatamente assim.Também achei meio estranho,mas a condição segundo a questão é válida. Em 26 de julho de 2013 14:12, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.comescreveu: Tem certeza dessa condição: 2BD=2DE=2EC? Achei meio estranho colocar o fator dois em todos os membros. Em 24 de julho de 2013 21:25, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com escreveu: Oi pessoal,será que alguém consegue me dar uma luz nessa questão de geometria? Seja ABC um triângulo.Sejam D e E pontos no lado BC tal que 2BD=2DE=2EC (onde BD,DE e EC são retas).Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,ADE e AEC tem o mesmo raio,calcule o seno do ângulo ACB. Saudações Bruno -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] ajuda em exercício de geometria
Então o problema está dizendo que os segmentos de reta BD, DE e EC são iguais mesmo? Brigado. Em 26 de julho de 2013 15:47, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.comescreveu: pois é,está exatamente assim.Também achei meio estranho,mas a condição segundo a questão é válida. Em 26 de julho de 2013 14:12, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.comescreveu: Tem certeza dessa condição: 2BD=2DE=2EC? Achei meio estranho colocar o fator dois em todos os membros. Em 24 de julho de 2013 21:25, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com escreveu: Oi pessoal,será que alguém consegue me dar uma luz nessa questão de geometria? Seja ABC um triângulo.Sejam D e E pontos no lado BC tal que 2BD=2DE=2EC (onde BD,DE e EC são retas).Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,ADE e AEC tem o mesmo raio,calcule o seno do ângulo ACB. Saudações Bruno -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] ajuda em exercício de geometria
Pelo que eu entendi da questão,sim. Saudações Em 26 de julho de 2013 17:00, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.comescreveu: Então o problema está dizendo que os segmentos de reta BD, DE e EC são iguais mesmo? Brigado. Em 26 de julho de 2013 15:47, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com escreveu: pois é,está exatamente assim.Também achei meio estranho,mas a condição segundo a questão é válida. Em 26 de julho de 2013 14:12, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.comescreveu: Tem certeza dessa condição: 2BD=2DE=2EC? Achei meio estranho colocar o fator dois em todos os membros. Em 24 de julho de 2013 21:25, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com escreveu: Oi pessoal,será que alguém consegue me dar uma luz nessa questão de geometria? Seja ABC um triângulo.Sejam D e E pontos no lado BC tal que 2BD=2DE=2EC (onde BD,DE e EC são retas).Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,ADE e AEC tem o mesmo raio,calcule o seno do ângulo ACB. Saudações Bruno -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] ajuda em exercício de desigualdade
2012/12/1 Bruno Rodrigues bruninhu_1...@hotmail.com: Olá galera,estou travado nesse problema que segue: Ache o maior valor inteiro positivo de n tal que: n^²°°5^³°° Eu imagino que seja n^200 5^300. (Dica: EVITE qualquer coisa que não seja letras e números normais.) Bom, eu faria no braço: logaritmo dos dois lados, fica 2*log(n) 3*log(5) = n^2 125, portanto n = 11. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] ajuda em exercício de desigualdade
(n^2/5^3)^100 1 = n^2/5^3 1 = n sqrt(125) , logo o maior n eh 11( 11^2=121 125). Em 2 de dezembro de 2012 00:01, Bruno Rodrigues bruninhu_1...@hotmail.comescreveu: Olá galera,estou travado nesse problema que segue: Ache o maior valor inteiro positivo de n tal que: n^²°°5^³°° alguém poderia dar uma luz? abraços Bruno
[obm-l] Re: [obm-l] ajuda em exercício de desigualdade
Tira raiz de 100 dos dois lados: n^2 5^3 = 125 , o maior quadrado perfeito que não passa de 125 é 121, maior valor para n é 11 Gabriel Dalalio Em 2 de dezembro de 2012 00:01, Bruno Rodrigues bruninhu_1...@hotmail.comescreveu: Olá galera,estou travado nesse problema que segue: Ache o maior valor inteiro positivo de n tal que: n^²°°5^³°° alguém poderia dar uma luz? abraços Bruno
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa demonstração
Se dois numeros primos são diferentes de dois, então são ambos ímpares. Nesse caso, a soma deles é par. 2012/11/17 Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com: Olá, pessoal! Tudo bem? Alguém pode me ajudar nessa demonstração? Prove por contradição que dados dois números primos p e q tais que a soma p+q=r também é um número primo, então p ou q é 2. Já tentei fazer a prova, mas não consegui. Um abraço para todos. Luiz = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa demonstração
O unico primo par eh o 2, logo se p e q forem primos impares p+q eh par e nao pode ser 2, ja que p2 e q2 = p+q2. Se p=2 e q=2, p+q=4, que nao eh primo. Logo so sobra os casos que p=2 ou(ou exclusivo) q=2. Em 17 de novembro de 2012 14:21, Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com escreveu: Olá, pessoal! Tudo bem? Alguém pode me ajudar nessa demonstração? Prove por contradição que dados dois números primos p e q tais que a soma p+q=r também é um número primo, então p ou q é 2. Já tentei fazer a prova, mas não consegui. Um abraço para todos. Luiz
[obm-l] RE: [obm-l] Ajuda numa demonstração
Suponha que p e q sejam primos maiores que 2. Ou seja, p é ímpar e q é ímpar, logo p+q é par. Portanto p+q é divisível por 2, o que o torna composto, uma contradição. Logo, ou p ou q é igual a 2. Date: Sat, 17 Nov 2012 14:21:28 -0200 Subject: [obm-l] Ajuda numa demonstração From: rodrigue...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, pessoal!Tudo bem?Alguém pode me ajudar nessa demonstração? Prove por contradição que dados dois números primos p e q tais que a soma p+q=r também é um número primo, então p ou q é 2. Já tentei fazer a prova, mas não consegui.Um abraço para todos.Luiz
[obm-l] Re: [obm-l] ajuda em exercício olímpico
Determine uma expressão para S_i, a sequência das somas dos x_n de n=0 a n=i (ie, S_i = x_0 + x_1 + x_2 +... + x_i), em seguida escreva S_2009, aí sai direto. On Oct 19, 2012 9:53 AM, bruno rodrigues bruninhu_1...@hotmail.com wrote: Dados a e b inteiros, defina a sequência x n para n = 0; 1; ... tal que x0 = a, x1 = b e xn+2 = xn+1 - xn. Que relação a e b devem satisfazer para que a2009 = 2009². Alguém pode me ajudar na linha de raciocínio desse exercício? , não sei como resolvê-lo. Muito grato, Bruno
[obm-l] Re: [obm-l] ajuda em exercício olímpico
Oi, Bruno. Tem uma teoria toda pronta para estas equações a diferenças finitas... Mas neste caso particular, não precisa ir tão longe. Eu sugiro a seguinte linha: **Tente escrever os primeiros poucos termos da sequencia para tentar enxergar algum padrão** (Mais exatamente, escreva pelo menos até x7 em função de a e b e veja o que acontece!) Abraço, Ralph 2012/10/19 bruno rodrigues bruninhu_1...@hotmail.com Dados a e b inteiros, defina a sequência x n para n = 0; 1; ... tal que x0 = a, x1 = b e xn+2 = xn+1 - xn. Que relação a e b devem satisfazer para que a2009 = 2009². Alguém pode me ajudar na linha de raciocínio desse exercício? , não sei como resolvê-lo. Muito grato, Bruno
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] ajuda em exercício de trigonometria
Botei no computador. As soluções de f(x,y)=sen²(x)+sen²(y)-sen(x+y)=0 para -0.3x,y3.2 formam as curvas pretas do gráfico anexo. Ou seja, a resposta é a reta x+y=pi/2 (bom, descartando coisas como x=y=0 que não é bem ângulo agudo). Mas ela só vai sair supondo que os ângulos são agudos -- se não supuser isto, há uma outra componente esquisita, como a figura mostra. Não resolve, eu sei, mas talvez ajude! Abraço, Ralph 2012/10/9 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com 2012/10/9 bruno rodrigues bruninhu_1...@hotmail.com: Determine todos os ângulos x e y agudos tais que: sen²(x)+sen²(y)=sen(x+y) Alguém poderia me ajudar a descobrir a resposta? Cara, isso é difícil... Se você tiver coragem: 1/ expanda sen(x+y) = sen(x)cos(y) + sen(y)cos(x) 2/ eleve ao quadrado 3/ substitua todos os cos^2 por 1 - sen^2 4/ vai sobrar um termo sem quadrados 5/ isole o cara, eleve de novo, substitua de novo 6/ Isso vai dar uma equação do 4º grau em sen^2(y) em função de sen^2(x) Não sei se tem jeito muito mais fácil não... o pior é que há pelo menos duas soluções diferentes para y com x=0 (y=0 e y=pi/2), e eu não vejo muito bem como elas se comportam. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = attachment: Curva.png
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda e orientações
Por isso o enunciado coloca se duas parábolas,,, Uma maneira de provar, usando GA seria escolher, spg, uma parábola com a diretriz coincidente com Ox, de foco (a,b) e a outra com a diretriz coinicidindo com Oy e foco (c,d), sendo (x,y) qualquer dos quatro pontos de intersecção (claro que os focos são tais que a mencionada condição ocorra). Usando a condição de definição (mesma distância ao foco e à diretriz) para a a primeira parábola, temos y^2 = (x-a)^2+(y-b)^2 = x^2 - 2.a.x - 2.b.y = - b^2 - a^2 (I) e para a segunda x^2= (x-c)^2+(y-d)^2 = y^2 -2.d.y - 2.c.x = - c^2 - d^2 (II) Somando membro a membro, (I) + (II) [x - (a+c)]^2 - (a+c)^2 + [y - (b+d)]^2 - (b+d)^2 = - b^2 - a^2 - c^2 - d^2 ou [x - (a+c)]^2 + [y - (b+d)]^2 = 2(a.c+b.d) que relaciona claramente a posição dos focos com o raio e o centro da circunferencia. --- Em dom, 2/9/12, Marcelo de Moura Costa mat.mo...@gmail.com escreveu: De: Marcelo de Moura Costa mat.mo...@gmail.com Assunto: [obm-l] Ajuda e orientações Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 2 de Setembro de 2012, 17:27 Foi-me apresentado o seguinte problema: Mostre que se duas parábolas, com retas focais perpendiculares entre si, se intersectam em quatro pontos, então estes pontos pertencem a um círculo. O problema começa em que o fato das retas focais serem perpendiculares não garante que haverá 4 pontos de intersecção entre as parábolas, é necessário pelo menos que os focos de ambas encontrem-se no mesmo quadrante formado pelas perpendiculares e a uma determinada distância. Ou eu estou enganado? Gostaria muito de uma orientação quanto a esse problema.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda e orientações
Em tempo...(?não dá para editar...) Estou procurando uma demonstração mais elegante i.e., sem GA. [ ]'s
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em combinatória
O numero de subconjutos com n elementos q satistaz o enunciado, eh igual ao
numero de subconjuntos conjuntos com os n-1 primeiros elementos mais o
numero de subconjuntos com com n elementos, que contem necessariamente n. A
unica restricao sobre os conjuntos que contem o elemento n ,eh nao conter o
elemento n-1, logo eh igual ao numero de subconjuntos com n-2 elementos.
Assim F( n ) = F( n-1 ) + F(n-2), que eh a sequencia de fibonacci, eh facil
ver tbm que F ( 0 ) = 1 e F( 1) =2.
Em 11 de junho de 2012 15:40, marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com escreveu:
Quantos subconjuntos do conjunto {1,2,...,n} não contêm dois inteiros
consecutivos?
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em combinatória
Seja D(n) esse número que você quer. Então:
D(0)=1 (vazio)
D(1)=1+1=2 (1 com 0 elementos, 1 com 1 elemento)
D(2)=1+2+0=3 (vazio e os subconjuntos unitários)
D(3)=1+3+1+0=5 (vazio, os unitários e {1,3}, mas com 3 elementos não dá)
Será que eu arrumo uma recorrência? Oras, os subconjuntos que eu arrumo em
{1,2,...,n} são de 2 tipos:
-- os que contém o último número n; então eles não podem ter o n-1! Assim,
eu tenho que escolher (e basta escolher!) um subconjunto de {1,2,...,n-2}
que não tenha dois inteiros consecutivos, o que pode ser feito de D(n-2)
jeitos;
-- os que não tem o ultimo número n; então eu tenho que escolher (e basta!)
um subconjunto de {1,2,...,n-1} corretamente, o que pode ser feito de
D(n-1) jeitos.
Assim, D(n)=D(n-1)+D(n-2) -- e a sequência dos D(n) é a sequencia de
Fibonacci, começando com 1,2,3,5,8,13,... Você agora pode arrumar uma
fórmula fechada para ela.
Abraço,
Ralph
2012/6/11 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
Quantos subconjuntos do conjunto {1,2,...,n} não contêm dois inteiros
consecutivos?
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] ajuda com inequações
Desculpe, os parêntesis também podem ser ambos negativos, claro, com x-1; mas x=3 não satisfaz a inequação. [ ]'s --- Em seg, 12/3/12, tarsis Esau tarsise...@gmail.com escreveu: De: tarsis Esau tarsise...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] ajuda com inequações Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 12 de Março de 2012, 18:10 Temos: 1/(x+1) - 2/(3x-1) 0 = (x-3)/[(x+1)(3x-1)] 0 e fazendo-se o estudo na reta, temos as soluções x -1 ou 1/3x=3 On Mon, Mar 12, 2012 at 5:17 PM, Adilson Francisco da Silva adilson...@gmail.com wrote: Saudações, Preciso de ajuda com a seguinte desigualdade: 1/(x+1) 2/(3x-1) Obrigado Adilson
[obm-l] Re: [obm-l] ajuda com inequações
Temos: 1/(x+1) - 2/(3x-1) 0 = (x-3)/[(x+1)(3x-1)] 0 e fazendo-se o estudo na reta, temos as soluções x -1 ou 1/3x=3 On Mon, Mar 12, 2012 at 5:17 PM, Adilson Francisco da Silva adilson...@gmail.com wrote: Saudações, Preciso de ajuda com a seguinte desigualdade: 1/(x+1) 2/(3x-1) Obrigado Adilson
[obm-l] Re: [obm-l] ajuda com inequações
É fácil verificar que as expressões entre parêntesis são ambas positivas, portanto (1/3) x 3. [ ]'s --- Em seg, 12/3/12, Adilson Francisco da Silva adilson...@gmail.com escreveu: De: Adilson Francisco da Silva adilson...@gmail.com Assunto: [obm-l] ajuda com inequações Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 12 de Março de 2012, 17:17 Saudações, Preciso de ajuda com a seguinte desigualdade: 1/(x+1) 2/(3x-1) Obrigado Adilson
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] ajuda com inequações
Obrigado pela ajuda. Em 12/03/12, Eduardo Wilnereduardowil...@yahoo.com.br escreveu: É fácil verificar que as expressões entre parêntesis são ambas positivas, portanto (1/3) x 3. [ ]'s --- Em seg, 12/3/12, Adilson Francisco da Silva adilson...@gmail.com escreveu: De: Adilson Francisco da Silva adilson...@gmail.com Assunto: [obm-l] ajuda com inequações Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 12 de Março de 2012, 17:17 Saudações, Preciso de ajuda com a seguinte desigualdade: 1/(x+1) 2/(3x-1) Obrigado Adilson = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Ajuda na questão de Computação Gráfica
Cara, não entendo TAAANTO assim de computação gráfica, então vou começar usando dois princípios, se eles estiverem errados descarte tudo que fiz. 1) A, B e C têm coordenadas de cromaticidade que variam de 0 a 1, ou seja se A = 1,0 0,0 0,0 equivale a 255, 0, 0 (sist. operacional de 32 bits) 2) Ao mesclar duas cores somam-se os valores de R, G e B e divide-se por dois, ao mesclar n cores somam-se os valores e divide-se por n. Para um sitema de cores que variam de 0 a x: Neste caso, mesclando 'a' superfícies A, 'b' superfícies B e 'c' superfícies C, temos ( a.(xR) + b.(0,2xR + 0,8xG) + c(0,1xR + 0,2xG + 0,7xB))/(a + b + c) = 14R + 4G + 42B ((xa + 0,2xb + 0,1xc)R + (0,8xb + 0,2xc)G + 0,7xc B)/(a + b + c) = 14R + 4G + 42B 1) 0,7xc/(a + b + c) = 42 - (0,7x/42)c = (a + b + c) 2) (0,8xb + 0,2xc)/(a + b + c) = 4 - (0,8xb + 0,2xc)/4 = (a + b + c) 3) (xa + 0,2xb + 0,1xc)/(a +b + c) = 14 - (xa + 0,2xb + 0,1xc)/14 = (a + b + c) Igualando a segunda com a primeira: (0,7xc)/42 = (0,8xb + 0,2xc)/4 - dividindo tudo por x e multiplicando por 10- 7c/42 = (8b + 2c)/4 c/6 = (4b + c)/2 c/3 = 4b + c c = 14b + 3c 2c = -14b, mas b ou c não podem ser negativos, logo b = c = 0, mas na primeira 0 = 42, impossível Logo não existe solução Abraço Date: Sat, 22 Jan 2011 00:27:10 -0200 From: sj...@oi.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda na questão de Computação Gráfica Prezados, Alguém pode me ajudar com a questão abaixo? Obrigado. Considere um sistema de reprodução de cor baseado em três cores primárias A, B e C que possuem coordenadas de cromaticidade (r, g, b) dadas na tabela abaixo. Primária r g b A 1,00,0 0,0 B 0,20,8 0,0 C 0,10,2 0,7 Mostre que a cor dada por R = 14, G = 4, B = 42 não pode ser reconstruída utilizando A, B e C. -- Quer navegar seguro na web? Proteja seu computador de ameaças virtuais com o Oi Antivírus, salve e compartilhe arquivos na internet com segurança. Acesse http://antivirus.oi.com.br e assine já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda!!! [Análise]
Olá, qual é a definição de lim sup e lim inf que seu livro está usando? Obs.: É bom saber todas as definições equivalentes. 2011/1/22 Diogo FN diog...@yahoo.com.br Amigos, estava estudando e senti dificuldades na seguinte questão, podem me ajudar?! Obrigado. Sejam (xn) e (yn) sequências limitadas. Ponhamos a = lim inf(xn); A = lim sup(xn); b = lim inf(yn) e B = lim sup(yn): a) Prove que lim sup(xn + yn) = A + B e lim inf(xn + yn) = a + b; b) Demonstre que (xn) é convergente, se, e só se, a = A; c) Dê exemplo de uma sequência (xn) tal que lim inf(xn) lim sup(xn). -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda expressão urgente.!
2010/11/3 Ariel pelito_g...@hotmail.com: Pessoal meu filho esta com uma duvida no exercício abaixo de como podemos achar o m da equação.! Caso alguém possa me ajudar por favor se for possível detalhe o processo de como obter m... Segue o exercicio.! Em um processo industrial, a funçãoC(x) = x2 – mx + n, x 0, representa o custo de produção de x peças. Se R$ 7.500,00 é o menor custo que pode ocorrer, correspondente à produção de 150 peças, então o valor de m + n é igual a quanto.? O Rafael já respondeu, então eu posso tranqüilamente falar mal desse exercício: mas onde é que já se viu não custar 0 para produzir 0 ... E, pior ainda, ter um custo *decrescente* até um certo ponto. Se ainda fosse o custo por objeto, ok, se fosse o lucro, ok, mas que o custo de produção de x peças seja não crescente, francamente... Vai contextualizar mal assim... Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda expressão urgente.!
A questão faz sentido! Quando você começa a produzir demais, o custo aumenta, a venda começa a ter prejuízo... Em 4 de novembro de 2010 05:02, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2010/11/3 Ariel pelito_g...@hotmail.com: Pessoal meu filho esta com uma duvida no exercício abaixo de como podemos achar o m da equação.! Caso alguém possa me ajudar por favor se for possível detalhe o processo de como obter m... Segue o exercicio.! Em um processo industrial, a funçãoC(x) = x2 – mx + n, x 0, representa o custo de produção de x peças. Se R$ 7.500,00 é o menor custo que pode ocorrer, correspondente à produção de 150 peças, então o valor de m + n é igual a quanto.? O Rafael já respondeu, então eu posso tranqüilamente falar mal desse exercício: mas onde é que já se viu não custar 0 para produzir 0 ... E, pior ainda, ter um custo *decrescente* até um certo ponto. Se ainda fosse o custo por objeto, ok, se fosse o lucro, ok, mas que o custo de produção de x peças seja não crescente, francamente... Vai contextualizar mal assim... Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda expressão urgente.!
Olá, Sou professor, e tenho horror de problema contextualizado. Com relação a custos de produção acho que o modelo simples mais adequado é o linear: C(x) = m * x + b onde C é o custo total m é o custo por unidade produzida (materia prima, energia, etc. ) b é o custo fixo (aluguel do pavilhão, folha de pagamento, etc). Daí temos o custo unitário: U(x) = C(x)/x = m + b/x que diminui com o aumento da produção, isto é, dilui com a produção explicando o que se chama economia de escala... Abraço, Adaberto Em 4 de novembro de 2010 12:12, Victor Hugo Rodrigues victorhcr.victorh...@gmail.com escreveu: A questão faz sentido! Quando você começa a produzir demais, o custo aumenta, a venda começa a ter prejuízo... Em 4 de novembro de 2010 05:02, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2010/11/3 Ariel pelito_g...@hotmail.com: Pessoal meu filho esta com uma duvida no exercício abaixo de como podemos achar o m da equação.! Caso alguém possa me ajudar por favor se for possível detalhe o processo de como obter m... Segue o exercicio.! Em um processo industrial, a funçãoC(x) = x2 – mx + n, x 0, representa o custo de produção de x peças. Se R$ 7.500,00 é o menor custo que pode ocorrer, correspondente à produção de 150 peças, então o valor de m + n é igual a quanto.? O Rafael já respondeu, então eu posso tranqüilamente falar mal desse exercício: mas onde é que já se viu não custar 0 para produzir 0 ... E, pior ainda, ter um custo *decrescente* até um certo ponto. Se ainda fosse o custo por objeto, ok, se fosse o lucro, ok, mas que o custo de produção de x peças seja não crescente, francamente... Vai contextualizar mal assim... Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda expressão urge nte.!
Esta é uma questão que cobra dele o conhecimento sobre o máximo/mínimo de uma eq. do 2º grau, ou seja, o vértice da parábola. As coordenadas são x = - b/2a; y = - delta/4a. No problema fica: x = - (-m)/4*1 150 = - (-m)/4*1 (I) y = - ([-m]^2 - 4(1)*n)/4*1 7500 = - ([-m]^2 - 4(1)*n)/4*1 (II) Resolva o sistema acima (equações I e II), daí é só somar m + n. Regards, Rafael - Original Message - From: Ariel To: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, November 03, 2010 7:35 PM Subject: [obm-l] Ajuda expressão urgente.! Pessoal meu filho esta com uma duvida no exercício abaixo de como podemos achar o m da equação.! Caso alguém possa me ajudar por favor se for possível detalhe o processo de como obter m... Segue o exercicio.! Em um processo industrial, a funçãoC(x) = x2 – mx + n, x 0, representa o custo de produção de x peças. Se R$ 7.500,00 é o menor custo que pode ocorrer, correspondente à produção de 150 peças, então o valor de m + n é igual a quanto.?
[obm-l] Re: [obm-l] [AJUDA] Álgebra Linear - URGENTE
Qualquer vetor do R4 que escolhessemos para T(0,0,1) definiria uma transformação linear diferente e que satisfaz o enunciado. Por isso o enunciado seria melhor se pedisse uma transformação... e não a transformação.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda - Oscilador Harmônico
PD, esta lista, conforme o próprio nome evoca, discute problemas de *MATEMATICA OLIMPICA*. Ultimamente, é verdade, muitos tem esquecido que tem a parte *OLIMPICA *no nome. Vc parece que esquece até da parte *MATEMATICA *no nome... O maior problema é que vai certamente ter alguem que vai responder, como sempre tem para os problemas matemática nao olímpica que colocam aqui. Esse alguém deveria saber que está ERRADO em responder, pois está contribuindo para que pessoas como vc continuem colocando problemas que não tem nada a ver com a lista. Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com http://blog.brunoreis.com GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2009/8/12 Pd pdosolha...@gmail.com Olá a todos! Poderiam me ajudar nesse exercício, por favor? *3- Um oscilador harmônico simples é constituído por um bloco de massa igual a 2kg, ligado a uma certa mola cuja constante é de 100 N/m. Para t = 1s , a posição e a velocidade do bloco são x = 0,129m e v = 3,415 m/s. a) Qual é a amplitude da oscilação? b) Calcule a posição e a velocidade para t = 0 s .* ** Abraço.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda - Oscilador Harmônic o
Bruno França dos Reis wrote: Esse alguém deveria saber que está ERRADO em responder, pois está contribuindo para que pessoas como vc continuem colocando problemas que não tem nada a ver com a lista. Não seja tão rude. Acredito que tenha sido um erro honesto. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda exercício
Oi Rauryson se a cada bombeada são retirados 20% então restam 80%, assim apos 10 bombeadas 0 volume remanescente no tanque será 2 x 0,8^10=0,21m^3 valew, cgomes - Original Message - From: Rauryson Alves To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, March 04, 2009 7:49 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda exercício tente usar uma pg de razão 0,8 --- Em qua, 4/3/09, Rodrigo Assis rossoas...@gmail.com escreveu: De: Rodrigo Assis rossoas...@gmail.com Assunto: [obm-l] Ajuda exercício Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 4 de Março de 2009, 15:40 Colegas, eu consegui resolver o problema abaixo, mas gostaria de conhecer outros métodos: Em um tanque de aco, existem cerca de 2m3 de ar. Uma bomba de vacuo é instalada retirando, a cada bombeada, 20% do ar. Após 10 bombeadas, qual será o volume de ar contido no tanque? Eu fiz da pior maneira possível, jogando os 20% 10 vezes. Tentei usar progressao, mas nao consegui. grato, -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG. Version: 7.5.557 / Virus Database: 270.11.7/1983 - Release Date: 4/3/2009 07:41
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda exercício
Retirar 20% é deixar 80% que equivale a multiplicar a quantidade atual por 0,80. Desse modo a cada bombeada ele multiplica o volume por 0,8, em 20 bombeadas o volume final será 2*(0,8)^10=0,214748365 (segundo o google). Paulo André On Wed, Mar 4, 2009 at 3:40 PM, Rodrigo Assis rossoas...@gmail.com wrote: Colegas, eu consegui resolver o problema abaixo, mas gostaria de conhecer outros métodos: Em um tanque de aco, existem cerca de 2m3 de ar. Uma bomba de vacuo é instalada retirando, a cada bombeada, 20% do ar. Após 10 bombeadas, qual será o volume de ar contido no tanque? Eu fiz da pior maneira possível, jogando os 20% 10 vezes. Tentei usar progressao, mas nao consegui. grato,
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda exercício
tente usar uma pg de razão 0,8 --- Em qua, 4/3/09, Rodrigo Assis rossoas...@gmail.com escreveu: De: Rodrigo Assis rossoas...@gmail.com Assunto: [obm-l] Ajuda exercício Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 4 de Março de 2009, 15:40 Colegas, eu consegui resolver o problema abaixo, mas gostaria de conhecer outros métodos: Em um tanque de aco, existem cerca de 2m3 de ar. Uma bomba de vacuo é instalada retirando, a cada bombeada, 20% do ar. Após 10 bombeadas, qual será o volume de ar contido no tanque? Eu fiz da pior maneira possível, jogando os 20% 10 vezes. Tentei usar progressao, mas nao consegui. grato, Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] ajuda Séries
Primeiro mostre que toda série geométrica em que a razão tem módulo menor q 1 é convergente, depois separe a série dada em duas sériees geom. conclua usando o fato de q a soma de duas séries conver. é tam bém convergente! --- Em dom, 11/1/09, Carlos Silva da Costa carlossilvadacost...@gmail.com escreveu: De: Carlos Silva da Costa carlossilvadacost...@gmail.com Assunto: [obm-l] ajuda Séries Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 11 de Janeiro de 2009, 17:54 Amigos da lista, alguém poderia dar uma força? Sejam a, b pertencentes a R com 0 a b 1. Use o teste da raiz para concluir que a série a+b+a^2 +b^2 +a^3 +b^3 +· · · converge. Mostre que o teste da razão não permite concluir isso. abraços, Jhonata Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] RE: [obm-l] Ajuda nesta Questão bo ba....grato.
ok...percebi a burrada que fiz...obrigado O erro de afirmar isso é que na verdade 0,2P1 + 0,1P2 = 2 = A, pois A seria o total do componente A, 0.3A seria = 0,6. Date: Fri, 3 Oct 2008 22:26:38 -0300Subject: [obm-l] Ajuda nesta Questão bobagrato.From: [EMAIL PROTECTED]: obm-l@mat.puc-rio.br Nobre colegas... Essa questão tem como resposta 10l e 5l Sei que é boba, mas qual é o erro em dizer que 0,3A=2 e 1,7B=13 ? Dois produtos P1 e P2 são fabricados com os componentes A e B. P1 é composto de 20% de A e 80% de B, enquanto P2 é composto por 10% de A e 90% de B. A fábrica tem estocados 2 litros de A e 13 litros de B. Quantos litros de P1 e P2 ela pode fabricar usando todo seu estoque. Grato pela ajuda. _ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br Vitório Gauss
RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda Congruências
Seja x = a (mod b) x = c (mod d) Como mdc(b,d)=1, pelo Teorema Chinês do Resto, o sistema tem uma única solução módulo m=bd. Temos M=bd/b - M=d e M’=bd/d- M’=b. Precisamos das soluções das congruências lineares My=1(mod b) e M’z=1(mod d) ( aqui você pode usar o algoritmo de Euclides para determinar os valores de y e z ou o teorema de Euler). Obtendo os valores de y e z a solução é dada por X=a. M.y +b.M’.z( mod bd) Um exemplo: x=2(mod 3) x=3(mod 5) mdc(3,5)=1. A solução vai ser dada módulo m=3.5=15 M=15/3=5 e M’=15/5=3. 5y=1(mod 3) e 3z=1(mod 5). Temos y =2 e z = 2 ( verifique!) Assim, x=2.5.2 + 3.3.2 ( mod 15) - x=38(mod 15) - x=8 ( mod 15). Logo x=8 é uma solução do sistema ( a menor solução inteira positiva, ok?) Abraços (^_ ^) Date: Mon, 15 Sep 2008 15:02:30 -0700From: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda CongruênciasTo: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Rhilbert, Isso eu esqueci de colocar, mas tanto b qto d são primos. Abs Felipe--- Em seg, 15/9/08, Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED]Assunto: RE: [obm-l] Ajuda CongruênciasPara: [EMAIL PROTECTED]: Segunda-feira, 15 de Setembro de 2008, 15:58 Olá, b e d são primos; primos entre si; inteiros quaisquer? Té mais Date: Mon, 15 Sep 2008 13:56:38 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Ajuda CongruênciasOi, Luiz,Parece que você está pensando em resolver equações simultâneas, ou seja, um sistema de congruências 'lineares'. Então, dê uma olhadinha no teorema chinês dos restos... Por exemplo, emhttp://erdos.ime.usp.br/index.php/Teorema_Chin%C3%AAs_dos_RestosAlém de claro, este link contém 20 exercícios para você se divertir..Abraços,Nehab luiz silva escreveu: Pessoal, Alguem poderia me ajudar : Como resolvo ( = congruente ) ? x = a (mod b) x = c (mod d) Abs Felipe Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu! Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger! http://www.amigosdomessenger.com.br/
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda Teoria dos Números
Eq. Diofantina
z2 = 12xy3 – 3x4
Soluções triviais:
1) [x, y, z] = [0, m, 0] ... “m” é um inteiro qualquer;
2) [x, y, z] = [m, m, (+/-)3m2] .
Excetuando as soluções triviais acima, não há outra solução:
z2 = 3(4xy3 – x4)
Logo “z2” é múltiplo de “3”.
Em relação à divisibilidade por “3”, as hipóteses possíveis para “z” são:
z = {3m, 3m+1, 3m+2}
Entretanto, apenas para z=3m, “z2” é múltiplo de “3” (Verifique!).
Logo “z” é múltiplo de “3” à z=3z1 .
9z12 = 3(4xy3 – x4) à 3z12 = 4xy3 – x4
Logo “4xy3 – x4” é múltiplo de “3”.
A condição necessária e suficiente para que “4xy3 – x4” seja múltiplo de “3” é:
{[x, y]} = {[3p, y] , [3p+r, 3q+r]}
p, q e r são inteiros quaisquer.
I.e., “x” é múltiplo de “3”, OU a divisão de “x” e de “y” por “3” tem o mesmo
resto (r).
Bem, eu estava certo de que, a partir deste ponto do desenvolvimento, o
problema poderia ser resolvido através da descida para o infinito de Fermat.
Mas tal não ocorreu...
Só consegui evoluir até aqui. Não vejo como concluir...
Sds.,[EMAIL PROTECTED]
Date: Wed, 3 Sep 2008 14:02:15 -0700From: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] RE:
[obm-l] Ajuda Teoria dos NúmerosTo: obm-l@mat.puc-rio.br
Olá,
Esta restrição é para evitar as soluções inteiras em que x=y e z=3x^2
Ficarei aguardando a solução.
Abs
Felipe--- Em qua, 3/9/08, Albert Bouskela [EMAIL PROTECTED] escreveu:
De: Albert Bouskela [EMAIL PROTECTED]Assunto: RE: [obm-l] Ajuda Teoria dos
NúmerosPara: [EMAIL PROTECTED]: Quarta-feira, 3 de Setembro de 2008, 14:50
Olá! Esta Eq. Diofantina não tem solução - apresentarei a prova asap. A
propósito: a restrição yx não é (exatamente) [EMAIL PROTECTED]
Date: Tue, 2 Sep 2008 05:48:55 -0700From: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Ajuda
Teoria dos NúmerosTo: obm-l@mat.puc-rio.br
Pessoal,
Alguém poderia me ajudar na resolução da equação diofantina abaixo :
z2 = 12xy3 – 3x4
A restrição é que yx. Verificar se existem soluções inteiras não triviais.
Caso sim, determiná-las.
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[obm-l] RE: [obm-l] Ajuda Teoria dos Números
Olá,
Esta restrição é para evitar as soluções inteiras em que x=y e z=3x^2
Ficarei aguardando a solução.
Abs
Felipe
--- Em qua, 3/9/08, Albert Bouskela [EMAIL PROTECTED] escreveu:
De: Albert Bouskela [EMAIL PROTECTED]
Assunto: RE: [obm-l] Ajuda Teoria dos Números
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 3 de Setembro de 2008, 14:50
#yiv1267187645 .hmmessage P
{
margin:0px;padding:0px;}
#yiv1267187645 {
FONT-SIZE:10pt;FONT-FAMILY:Tahoma;}
Olá!
Esta Eq. Diofantina não tem solução - apresentarei a prova asap.
A propósito: a restrição yx não é (exatamente) necessária!
AB
[EMAIL PROTECTED]
Date: Tue, 2 Sep 2008 05:48:55 -0700
From: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Ajuda Teoria dos Números
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Pessoal,
Alguém poderia me ajudar na resolução da equação diofantina abaixo :
z2 = 12xy3 3x4
A restrição é que yx. Verificar se existem soluções inteiras não triviais.
Caso sim, determiná-las.
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[obm-l] RE: [obm-l] Ajuda Problema de Teoria dos Números - COM PLEMENTAÇÃO!!!
Complementando minha resposta anterior:
x^3 + 3y = z^3
Logo: z^3 – x^3 = 3y
Logo (z^3 – x^3) é múltiplo de 3
“m” e “n” são inteiros.
Logo (x, z) = { (3n, 3m) ; (3n+1, 3m+1) ; (3n+2, 3m+2) } . Verifique!
I.e., verifique que se (x, z) = { (3n, 3m+1) ; (3n, 3m+2) ; (3n+1, 3m) ;
(3n+1, 3m+2) ; (3n+2, 3m) ; (3n+2, 3m+1) } , então (z^3 – x^3) não é
múltiplo de “3” .
Veja que analisei TODAS as condições de contorno possíveis!
y = (z^3 – x^3)/3
Logo y = { (9m^3 – 9n^3) ; (9m^3 + 9m^2 + 3m – 9n^3 – 9n^2 – 3n) ; (9m^3 +
18m^2 + 12m – 9n^3 – 18n^2 – 12*n) }
Finalmente:
(x, z, y) = { (3n, 3m, 9m^3 – 9n^3) ; (3n+1, 3m+1 , 9m^3 + 9m^2 + 3m – 9n^3 –
9n^2 – 3n) ; (3n+2, 3m+2, 9m^3 + 18m^2 + 12m – 9n^3 – 18n^2 – 12*n) }
Verifique as contas!
[EMAIL PROTECTED]
Date: Thu, 21 Aug 2008 05:27:59 -0700From: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Ajuda
Problema de Teoria dos NúmerosTo: obm-l@mat.puc-rio.br
Alguém sabe como resolver (dar a forma geral da solução..não uma solução
específica) a equação diofantina abaixo :
x3 + 3y = z3
Um Abraço
Felipe
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[obm-l] RE: [obm-l] Ajuda Problema de Teoria dos Números
Albert,
Valeu.
Alguém saberia como chegar nessa resposta, provando que esta é a solução geral
da equação ?
Abs
Felipe
--- Em qui, 21/8/08, Albert Bouskela [EMAIL PROTECTED] escreveu:
De: Albert Bouskela [EMAIL PROTECTED]
Assunto: RE: [obm-l] Ajuda Problema de Teoria dos Números
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 21 de Agosto de 2008, 11:29
#yiv722995640 .hmmessage P
{
margin:0px;padding:0px;}
#yiv722995640 {
FONT-SIZE:10pt;FONT-FAMILY:Tahoma;}
Posso inferir que:
x = 3n
y = -9(n^3) + 9(m^3)
z = 3m
m e n são inteiros.
Acredito que esta seja a solução mais geral possível.
AB
[EMAIL PROTECTED]
Date: Thu, 21 Aug 2008 05:27:59 -0700
From: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Ajuda Problema de Teoria dos Números
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Alguém sabe como resolver (dar a forma geral da solução..não uma solução
específica) a equação diofantina abaixo :
x3 + 3y = z3
Um Abraço
Felipe
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[obm-l] RES: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda Problema de Teoria dos Números
Veja a COMPLEMENTAÇÃO da minha reposta - está, também, abaixo
(MELHORADA!):
Complementando E MELHORANDO minha resposta anterior:
x^3 + 3y = z^3
Logo: z^3 x^3 = 3y
Logo (z^3 x^3) é múltiplo de 3
m e n são inteiros quaisquer.
Logo (x, z) = { (3n, 3m) ; (3n+1, 3m+1) ; (3n+2, 3m+2) } . Verifique!
I.e., verifique que se (x, z) = { (3n, 3m+1) ; (3n, 3m+2) ; (3n+1, 3m) ;
(3n+1, 3m+2) ; (3n+2, 3m) ; (3n+2, 3m+1) } , então (z^3 x^3) não é
múltiplo de 3 .
Veja que analisei TODAS as condições de contorno possíveis!
y = (z^3 x^3)/3
Finalmente:
[x, z, y] = { [3n, 3m, 9(m^3 n^3)] ; [3n+1, 3m+1 , 9(m^3 + m^2 n^3
n^2) +3(m n)] ; [3n+2, 3m+2, 9(m^3 + 2m^2 n^3 2n^2) + 12(m n)] }
Verifique TODAS as contas!
[EMAIL PROTECTED]
_
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de luiz silva
Enviada em: quinta-feira, 21 de agosto de 2008 12:49
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda Problema de Teoria dos Números
Albert,
Valeu.
Alguém saberia como chegar nessa resposta, provando que esta é a solução
geral da equação ?
Abs
Felipe
--- Em qui, 21/8/08, Albert Bouskela [EMAIL PROTECTED] escreveu:
De: Albert Bouskela [EMAIL PROTECTED]
Assunto: RE: [obm-l] Ajuda Problema de Teoria dos Números
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 21 de Agosto de 2008, 11:29
Posso inferir que:
x = 3n
y = -9(n^3) + 9(m^3)
z = 3m
m e n são inteiros.
Acredito que esta seja a solução mais geral possível.
AB
[EMAIL PROTECTED]
_
Date: Thu, 21 Aug 2008 05:27:59 -0700
From: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Ajuda Problema de Teoria dos Números
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Alguém sabe como resolver (dar a forma geral da solução..não uma solução
específica) a equação diofantina abaixo :
x3 + 3y = z3
Um Abraço
Felipe
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[obm-l] FW: RES: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda Problema de Teoria do s Números
Veja a COMPLEMENTAÇÃO da minha reposta - está, também, abaixo (MELHORADA!):
Complementando e MELHORANDO minha resposta anterior:
x^3 + 3y = z^3
Logo: z^3 – x^3 = 3y
Logo (z^3 – x^3) é múltiplo de 3
“m” e “n” são inteiros quaisquer.
Logo (x, z) = { (3n, 3m) ; (3n+1, 3m+1) ; (3n+2, 3m+2) } . Verifique!
I.e., verifique que se (x, z) = { (3n, 3m+1) ; (3n, 3m+2) ; (3n+1, 3m) ;
(3n+1, 3m+2) ; (3n+2, 3m) ; (3n+2, 3m+1) } , então (z^3 – x^3) não é
múltiplo de “3” .
Apenas um exemplo:
x = 3n ; z = 3m+1
z^3 – x^3 = 3[9(m^3 + m^2 – n^3) + 3m] + 1 i.e., resto = 1 na divisão por
“3”
Veja que analisei TODAS as condições de contorno possíveis!
y = (z^3 – x^3)/3
Finalmente:
[x, z, y] = { [3n, 3m, 9(m^3 – n^3)] ; [3n+1, 3m+1 , 9(m^3 + m^2 – n^3 – n^2)
+3(m – n)] ; [3n+2, 3m+2, 9(m^3 + 2m^2 – n^3 – 2n^2) + 12(m – n)] }
Verifique TODAS as contas!
[EMAIL PROTECTED]
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de luiz silvaEnviada
em: quinta-feira, 21 de agosto de 2008 12:49Para: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l]
RE: [obm-l] Ajuda Problema de Teoria dos Números
Albert,
Valeu.
Alguém saberia como chegar nessa resposta, provando que esta é a solução geral
da equação ?
Abs
Felipe--- Em qui, 21/8/08, Albert Bouskela [EMAIL PROTECTED] escreveu:
De: Albert Bouskela [EMAIL PROTECTED]Assunto: RE: [obm-l] Ajuda Problema de
Teoria dos NúmerosPara: [EMAIL PROTECTED]: Quinta-feira, 21 de Agosto de 2008,
11:29
Posso inferir que: x = 3ny = -9(n^3) + 9(m^3)z = 3mm e n são inteiros.
Acredito que esta seja a solução mais geral [EMAIL PROTECTED]
Date: Thu, 21 Aug 2008 05:27:59 -0700From: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Ajuda
Problema de Teoria dos NúmerosTo: obm-l@mat.puc-rio.br
Alguém sabe como resolver (dar a forma geral da solução..não uma solução
específica) a equação diofantina abaixo :
x3 + 3y = z3
Um Abraço
Felipe
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[obm-l] Re: [obm-l] FW: RES: [obm-l] RE: [obm-l ] Ajuda Problema de Teoria dos Números
Albert,
Obrigado pela ajuda.
Um Abraço,
Felipe
--- Em qui, 21/8/08, Albert Bouskela [EMAIL PROTECTED] escreveu:
De: Albert Bouskela [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] FW: RES: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda Problema de Teoria dos
Números
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 21 de Agosto de 2008, 14:10
#yiv1543679991 .hmmessage P
{
margin:0px;padding:0px;}
#yiv1543679991 {
FONT-SIZE:10pt;FONT-FAMILY:Tahoma;}
Veja a COMPLEMENTAÇÃO da minha reposta - está, também, abaixo (MELHORADA!):
Complementando e MELHORANDO minha resposta anterior:
x^3 + 3y = z^3
Logo: z^3 x^3 = 3y
Logo (z^3 x^3) é múltiplo de 3
m e n são inteiros quaisquer.
Logo (x, z) = { (3n, 3m) ; (3n+1, 3m+1) ; (3n+2, 3m+2) } . Verifique!
I.e., verifique que se (x, z) = { (3n, 3m+1) ; (3n, 3m+2) ; (3n+1, 3m) ;
(3n+1, 3m+2) ; (3n+2, 3m) ; (3n+2, 3m+1) } , então (z^3 x^3) não é
múltiplo de 3 .
Apenas um exemplo:
x = 3n ; z = 3m+1
z^3 x^3 = 3[9(m^3 + m^2 n^3) + 3m] + 1 i.e., resto = 1 na divisão por
3
Veja que analisei TODAS as condições de contorno possíveis!
y = (z^3 x^3)/3
Finalmente:
[x, z, y] = { [3n, 3m, 9(m^3 n^3)] ; [3n+1, 3m+1 , 9(m^3 + m^2 n^3 n^2)
+3(m n)] ; [3n+2, 3m+2, 9(m^3 + 2m^2 n^3 2n^2) + 12(m n)] }
Verifique TODAS as contas!
AB
[EMAIL PROTECTED]
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de luiz silva
Enviada em: quinta-feira, 21 de agosto de 2008 12:49
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda Problema de Teoria dos Números
Albert,
Valeu.
Alguém saberia como chegar nessa resposta, provando que esta é a solução geral
da equação ?
Abs
Felipe
--- Em qui, 21/8/08, Albert Bouskela [EMAIL PROTECTED] escreveu:
De: Albert Bouskela [EMAIL PROTECTED]
Assunto: RE: [obm-l] Ajuda Problema de Teoria dos Números
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 21 de Agosto de 2008, 11:29
#yiv1543679991 .ExternalClass #EC_yiv722995640 .EC_hmmessage P
{padding-right:0px;padding-left:0px;padding-bottom:0px;padding-top:0px;}
#yiv1543679991 .ExternalClass #EC_yiv722995640
{font-size:10pt;font-family:Tahoma;}
Posso inferir que:
x = 3n
y = -9(n^3) + 9(m^3)
z = 3m
m e n são inteiros.
Acredito que esta seja a solução mais geral possível.
AB
[EMAIL PROTECTED]
Date: Thu, 21 Aug 2008 05:27:59 -0700
From: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Ajuda Problema de Teoria dos Números
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Alguém sabe como resolver (dar a forma geral da solução..não uma solução
específica) a equação diofantina abaixo :
x3 + 3y = z3
Um Abraço
Felipe
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[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em Quatro Questões de Geometria
Olá Martins, Estas são as soluções que vi para as 2 primeiras questões. As outras duas, tentarei resolver até amanhã. 1a) Questão Pode-se utlilzar geometria analítica . Vc deverá determinar as coordenadas dos pontos (coloque um dos vértices do triangulo equilátero no ponto (0,0) ). A seguir, determine as equações das retas que contém as cevianas e o ponto de intercessão das duas cevianas. Após, vc poderá determinar o ângulo pedido, através dos coeficientes angulares das retas que contem BP e DP(não fiz as contas, mas parce ser 90). 2a) Questão Marque M em AB, tal que MCB = 20 ; N em AC tal que CMN = 60 e Q em AB, tal que MNQ = 100 . Vc irá verificar que Q=P, e BPC=40 Abs Felipe --- Em dom, 10/8/08, Martins Rama [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Martins Rama [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Ajuda em Quatro Questões de Geometria Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 10 de Agosto de 2008, 15:50 Olá pessoal. Alguém poderia me ajudar a resolver as questões de geometria plana abaixo? Obrigado. Martins Rama. QUESTAO 1 Em um triângulo eqüilátero ABC, sejam D e E pontos sobre os lados AB e BC, respectivamente, de modo que AB=3AD e BC=3BE. Se P é o ponto de interseção de AE com CD, então a medida do ângulo BPC é: a) 60° b) 90° c) 120° d) 135° e) 150° QUESTAO 2 Em um triângulo isósceles ABC, com AB=AC, os ângulos da base medem 80º. Se P é um ponto sobre o lado AB, tal que AP=BC, então a medida do ângulo BPC é: a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60° QUESTAO 3 Seja ABC um triângulo isósceles, com AB=AC E e altura AM=11. Supondo que haja um ponto D sobre AM, tal que AD=10 e o ângulo BDC seja igual ao triplo do ângulo BAC, então o perímetro do triângulo ABC vale: a) 11(sqr(3)+1) b) 11(sqr(5)+1) c) 11(sqr(7)+1) d) 11(sqr(11)+1) e) nenhuma das respostas anteriores QUESTAO 4 Num triângulo ABC, tem-se que os ângulos B=100° e C=65°. Sobre o lado AB toma-se um ponto M de modo que o ângulo MCB=55° e, sobre o lado AC toma-se o ponto N de modo que o ângulo NBC=80°. A medida do ângulo NMC é igual a: a) 10° b) 15° c) 20° d) 25° e) 30° = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em lógica II
Pelo princípio da casa dos pombos, resposta letra D. São 5 os dias da semana em q os funcionários podem ter começado a trabalhar (segunda, terça, quarta, quinta e sexta). Para entender melhor, tente distribuir os 11 funcionários em 5 dias sendo q cada um dos dias tenha 2 ou menos funcionários. É impossível não? Serão necessários 3 ou mais funcionários em pelo menos um dia da semana. O princípio da casa dos pombos é a afirmação de que se n pombos devem ser postos em m casas, e se n m, então pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo A outra questão creio q tbm seja D, mas para resolver tive q usar exemplos. Espero q os colegas consigam uma soluão mais generalizada, ou seja, em matematiquês : ) Abs, Bárbara Nedel. - Original Message - From: Cristóvão [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, January 05, 2008 12:00 PM Subject: [obm-l] Ajuda em lógica II Amigos, embora já tenha visto alguma resposta para a questão abaixo, ainda não consegui compreendê-la na essência. Alguém me ajudaria? Em uma repartição que funciona de segunda a sexta-feira , 11 novos funcionários foram contratados. Em relação aos contratados, é necessariamente verdade que: (A) todos fazem aniversário em meses diferentes; (B) ao menos dois fazem aniversário no mesmo mês; (C) ao menos dois começam a trabalhar no mesmo dia do mês; (D) ao menos três começam a trabalhar no mesmo dia da semana; (E) algum começou a trabalhar em uma segunda-feira. []'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em lógica
Muito boa prova! - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, January 05, 2008 2:16 PM Subject: Re: [obm-l] Ajuda em lógica Olá Cristóvão, primeiro, vamos fazer de um jeito mais simples... vc não sabe quantos livros tinham inicialmente nas prateleiras... vamos dizer que... 25... então, após a etapa 2, todos os livros estão na prateleira E. após a etapa 3, tudo pode acontecer (rsrs).. pode inclusive acontecer de trocar: os livros de literatura brasileira ficarem em E, e os livros de literatura estrangeira ficarem em B... assim, as letras A, B, C, E são absurdas... pois estão comparando esses valores (que podem ser quaisquer). assim, a resposta seria letra D.[não se fui claro na explicação acima... espero que sim] agora, vamos provar isso: vamos chamar os livros de literatura brasileira de bolinhas vermelhas, e os de literatura estrangeira de bolinhas azuis... #vB = numero de bolinhas vermelhas em B #aB = numero de bolinhas azuis em B #vE = ... #aE = ... inicialmente, temos: #vB = X, #aB = 0, #vE = 0, #aE = X após o passo 2, temos: #vB = X - 25, #aB = 0, #vE = 25, #aE = X para o passo 3, vamos dizer que pegamos k bolinhas vermelhas, entao: #vB = X - 25 + k, #aB = 25 - k, #vE = 25 - k, #aE = X - 25 + k veja que #vB = #aE, e que, #aB = #vE portanto, a letra D realmente é a correta. abraços, Salhab On Jan 5, 2008 11:46 AM, Cristóvão [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá! Gostaria de ajuda no entendimento desta questão: Em uma estante, a prateleira B é reservada para os livros de literatura brasileira, e a prateleira E para os livros de literatura estrangeira. Sabe-se que: 1 - ambas as prateleiras têm, de início, o mesmo número de livros; 2 - retiram-se 25 livros da prateleira B colocando-os na prateleira E; 3 - após a etapa anterior, retiram-se 25 livros, ao acaso, da prateleira E, colocando-os na prateleira B. Após a etapa 3, é correto afirmar que o número de livros de literatura brasileira em (A) B é o dobro que em E (B) B é menor que em E (C) B é igual ao de E (D) E é igual ao de literatura estrangeira em B (E) E é a terça parte que em B []'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Álgebra Linear - Quase Urgente
Bom,
1)para tanto devemos verificar se o subconjunto é fechado em relação à soma e
ao produto por escalar.
seja u=(x,y) e v=(x',y') vetores de R^2 tal que x é diferente de y, o mesmo com
x' e y'.
u+v = (x + x', y + y') e verifica-se facilmente que x + x' é diferente de y+y'
, logo e u+v pertence a C.
Seja k um número real. Logo k.u = k(x,y) = (kx, ky); por hipótese x é diferente
de y logo kx é diferente de ky. Logo ku pertence a C e fica provado que C é
subespaço do R^2.
2)
Considere o R^3.
Tome os vetores do subespaço da forma W1=[(1,1,0)] que é o plano xy e
W2=[(0,0,1)] que é o eixo z.
W1+W2 = R^3
W1 interseção W2 = (0,0,0) (que é a origem)
3) seja z = a +bi um complexo qualquer.
veja z é combinação linear de {1,i}.
Anselmo :-)
Date: Wed, 21 Nov 2007 11:16:59 -0200From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL
PROTECTED]: [obm-l] Ajuda em Álgebra Linear - Quase UrgentePor favor se alguém
puder ajudar com as soluções dos problemas abaixo fico imensamente
gratoDetermine se o subconjunto abaixo é um subespaço vetorialC={(x,y) pertence
R² ; y=x e [ y (diferente) x]Seja V um espaço vetorial e W1 e W2 Subespaços
vetoriais de V. Dê exemplos de: a) W1+W2b)Wi (Interseccção) W2Seja C o conjunto
dos números complexos. Mostre que {1,i} é uma base de C.Grato,Diego
_
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[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Álgebra Linear - Quase Urgente
RETIFICANDO...Determine se o subconjunto abaixo é um subespaço vetorialC={(x,y)
pertence R² ; y=x e [ y (diferente) x]
Bom, revisando aqui parece que C é o conjunto vazio. E não temos subespaço
vetorial.
As outras questões estão valendo.
From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em
Álgebra Linear - Quase UrgenteDate: Wed, 21 Nov 2007 19:58:51 +0300
Bom, 1)para tanto devemos verificar se o subconjunto é fechado em relação à
soma e ao produto por escalar. seja u=(x,y) e v=(x',y') vetores de R^2 tal que
x é diferente de y, o mesmo com x' e y'. u+v = (x + x', y + y') e verifica-se
facilmente que x + x' é diferente de y+y' , logo e u+v pertence a C. Seja k um
número real. Logo k.u = k(x,y) = (kx, ky); por hipótese x é diferente de y logo
kx é diferente de ky. Logo ku pertence a C e fica provado que C é subespaço do
R^2. 2)Considere o R^3. Tome os vetores do subespaço da forma W1=[(1,1,0)] que
é o plano xy e W2=[(0,0,1)] que é o eixo z.W1+W2 = R^3W1 interseção W2 =
(0,0,0) (que é a origem) 3) seja z = a +bi um complexo qualquer. veja z é
combinação linear de {1,i}. Anselmo :-)
Date: Wed, 21 Nov 2007 11:16:59 -0200From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL
PROTECTED]: [obm-l] Ajuda em Álgebra Linear - Quase UrgentePor favor se alguém
puder ajudar com as soluções dos problemas abaixo fico imensamente
gratoDetermine se o subconjunto abaixo é um subespaço vetorialC={(x,y) pertence
R² ; y=x e [ y (diferente) x]Seja V um espaço vetorial e W1 e W2 Subespaços
vetoriais de V. Dê exemplos de: a) W1+W2b)Wi (Interseccção) W2Seja C o conjunto
dos números complexos. Mostre que {1,i} é uma base de C.Grato,Diego
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[obm-l] RE: [obm-l] ajuda (polinômio)
Kleber, nesse problema você pode usar uma ferramente poderosa para fatorar: num polinômio qualquer, se a = b zera esse polinômio, (a - b) é fator. Em vez de testar valores aleatórios para x,y ou z, é melhor tentar usar alguma coisa mais genérica. Seja y = -x P(x,y,z) = (x^5 + (-x)^5 + z^5) - (x + (-x) + z)^5 = z^5 - z^5 = 0. Se y = -x zera o polinômio, (y+x) é fator. Analogamente, (y+z) e (z+x) são fatores também. P(x,y,z) = (x+y)(x+z)(z+y)(...) Resposta: letra b) Pedro Lazéra Cardoso _ O Windows Live Spaces é seu espaço na internet com fotos (500 por mês), blog e agora com rede social http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] ajuda (polinômio)
Valeu Pedro obrigado ! Cleber - Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda (Combinatória)
Eu acho que assim fica bem simples... Total de maneiras, ignorando a imposição do problema: 3^8 Dessa forma eu contei três casos: todos os três números aparecem, dois dos três números aparecem, um dos três números aparece. Agora vamos eliminar as que não valem: 1- só dois dos três números aparecem: (2^8)*3 (isso inclui só o 1 e o 2 aparecem, só o 2 o e 3 aparecem, só o 1 e o 3 aparecem) 2- só um dos três números aparece: 3*1 S = 3^8 - 3*2^8 - 3 = 5790 _ O Windows Live Spaces é seu espaço na internet com fotos (500 por mês), blog e agora com rede social http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda (Combinatóri a)
Opa, tem um erro: (1-) já inclui (2-) na solução do problema, e, além disso... Só o 2 e o 3... contei e Só o 2 e o 1... contei e Só o 1 e o 3... contei e Estou eliminando a mais. Então, S = 3^8 - 3*(2^8) + 3 = 5796 _ Verificador de Segurança do Windows Live OneCare: combata já vírus e outras ameaças! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda (Combinatória)
Obrigado Pedro Forte abraço Cleber __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em problemas de congruên cia.
Bruno, vamos tentar o 5) Creio que enunciado é Provar que n e n^5 tem o mesmo algarismo das unidades, para n inteiro. Isso equivale a mostrart que n^5==n (mod 10). Pelo PTF n^5 ==n (mod 5), ou seja n^5 - n==0(mod 5). Como n^5 - n =n(n^4 -1) = n(n^2 +1)(n+1)(n-1), como n(n+1) é par, o produto é par , logo n^5 - n ==0(mod 2). Então temos que n^5 - n ==0 (mod 2. 5), isto é, n^5 ==n(mod 10) cqd. From: Bruno Carvalho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em problemas de congruência. Date: Mon, 9 Oct 2006 15:12:27 + (GMT) Amigos, peço ajuda para os seguintes problemas: 1) Prove que o polinômio p(x)= x^999 + x^+x^ +.+x^ +1 é divisível por g(x)=x^9+x^8+x7++x+1. 2)Mostrar que para todo inteiro positivo n: a) 2^n é congruente a 1 (mód. 3). b) 2^4n é congruente a 1(mód.15) c) 2^3n é congruente a 1 ( mód.7) 3)Mostrar que se o inteiro positivo n não é múltiplo de 3, então: a)2^2n+2^n+1 é divisível por 7. b)3^2n+3^n+1 é divisível por 13 4) Mostrar que ^+ ^ é divisível por 7. 5)Provar que n e n5 tem o mesmo algarismo das unidades. Desde já muito obrigado. Bruno - Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt _ Inscreva-se no novo Windows Live Mail beta e seja um dos primeiros a testar as novidades-grátis. Saiba mais: http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em problemas de congruência.
1) Prove que o polinômiop(x)= x^ + x^+x^ +.+x^+1 é divisível por g(x)=x^9+x^8+x7++x+1. Bem, veja que g(x) = (x^10-1)/(x-1), e que f(x)=g(x^)Logo basta provar que g(x^)/g(x) e um polinomio.Ou que os zeros de g(x) sao zeros de g(x^)Mas isto é imediato, veja: Os zeros de g(x) sao as raizes 10-esimas da unidade, exceto o 1. g(x^)=(x^0-1)/(x^-1)No numerador deste último cara, aparecem as raizes 10-esimas da unidade ( e varias outras entre elas :P), mas no numerador nao aparece (porque os expoentes sao primos entre si). Puxa! Expicacao complicada hein?Em 11/10/06, Ricardo Khawge [EMAIL PROTECTED] escreveu: Bruno, vamos tentar o5) Creio que enunciado é Provar que n e n^5 tem o mesmo algarismo das unidades, para n inteiro.Isso equivale a mostrart que n^5==n (mod 10).Pelo PTF n^5 ==n (mod 5), ou seja n^5 - n==0(mod 5). Como n^5 - n =n(n^4 -1)= n(n^2 +1)(n+1)(n-1), como n(n+1) é par, o produto é par , logo n^5 - n ==0(mod 2). Então temos que n^5 - n ==0 (mod 2. 5), isto é, n^5 ==n(mod 10)cqd.From: Bruno Carvalho [EMAIL PROTECTED]Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: [obm-l] Ajuda em problemas de congruência.Date: Mon, 9 Oct 2006 15:12:27 + (GMT)Amigos, peço ajuda para os seguintes problemas: 1) Prove que o polinômiop(x)= x^999 + x^+x^ +.+x^ +1é divisível por g(x)=x^9+x^8+x7++x+1. 2)Mostrar que para todo inteiro positivo n: a) 2^n é congruente a 1 (mód. 3). b) 2^4n é congruente a 1(mód.15) c) 2^3n é congruente a 1 ( mód.7) 3)Mostrar que se o inteiro positivo n não é múltiplo de 3, então: a)2^2n+2^n+1 é divisível por 7. b)3^2n+3^n+1 é divisível por 13 4) Mostrar que ^+ ^ é divisível por 7. 5)Provar que n e n5 tem o mesmo algarismo das unidades. Desde já muito obrigado. Bruno-Yahoo! SearchMúsica para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt_ Inscreva-se no novo Windows Live Mail beta e seja um dos primeiros a testaras novidades-grátis. Saiba mais:http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =-- Ideas are bulletproof.V
