[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos e equações
Opa mestre Claudio, muito obrigado, gostei da solução. Douglas Oliveira Em qua, 17 de jun de 2020 17:00, Claudio Buffara escreveu: > Aquele 1+i sugere que se forme uma equação em z, onde z = (1+i)/raiz(2) * > x, ou seja, cujas raízes sejam as da equação original giradas de 45 graus > no sentido anti-horário e sem coeficientes complexos. > z = (1+i)/raiz(2) * x ==> x = (1-i)/raiz(2) * z > Assim, x^4 + 4(1+i)x + 1 = 0 ==> -z^4 + 4*raiz(2)*z + 1 = 0 > Consideremos f(z) = z^4 - 4*raiz(2)*z - 1 (multiplicar os coeficientes > por -1 não altera as raízes). > f(-1) = 4*raiz(2) > 0 > f(0) = -1 < 0 > f(raiz(2)) = -5 < 0 > f(2) =15 - 8*raiz(2) > 0 ==> f tem (pelo menos) duas raízes reais: uma > entre -1 e 0 e outra entre raiz(2) e 2. > Mas f'(z) = 4z^3 - 4*raiz(2) ==> f'(z) < 0 para z < 2^(1/6) (logo, para z > < 0) e f'(z) > 0 para z > 2^(1/6) (logo, para z > raiz(2)), de modo que > estas são as únicas raízes reais de f. > Se duas das raízes da equação original, ao serem giradas de 45 graus no > sentido anti-horário, se tornam reais, então aquelas raízes estavam na reta > Im(z) = -Re(z). > Além disso, como, após giradas, uma se tornou negativa e a outra positiva, > isso significa que a primeira está no 2o quadrante e a segunda no 4o > quadrante. > > Dadas as magnitudes das raízes giradas (a primeira entre -1 e 0 e a > segunda maior do que raiz(2)), também concluímos que a soma delas está no > 4o quadrante, ou seja, é da forma p*(1-i), com p > 0. > Além disso, o produto delas é da forma (1/q)*i, com q > 0. > > Chame as outras duas raízes da equação original de a e b. > Então, como a soma das raízes é zero, vale a+b = -p(1-i) = p(-1+i): um > ponto do 2o quadrante sobre a reta Im(z) = -Re(z) (1) > Como o produto das raízes é 1, vale a*b = -q*i, um ponto do eixo > imaginário negativo > A localização do produto a*b implica que a/|a| e b/|b| são números > complexos (de módulo unitário) e simétricos em relação à reta Im(z) = > -Re(z) (2) > (1) e (2) implicam que a e b têm o mesmo módulo R > > (2) também implica que, sobre a e b: > OU ambos pertencem ao 2o quadrante > OU um deles pertence ao 1o e o outro ao 3o quadrante > OU ambos pertencem ao 4o quadrante. > > De cara dá pra eliminar a última alternativa, já que isso implicaria que > a+b pertence ao 4o quadrante, o que não é o caso. > > Resta eliminar a 1a alternativa. > Assim, suponhamos que a e b pertencem ao 2o quadrante. > > Neste caso, a+b = p(-1+i) ==> |a+b| = p*raiz(2) > R*raiz(2) ==> 2*p^2 > > 2*R^2 > E também, de qualquer jeito, ab = -qi ==> q = R^2 > > Da equação, também sabemos que ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0 ==> > ab + cd + (a+b)(c+d) = 0 ==> > -q*i + (1/q)*i + p(-1+i)*p*(1-i) = 0 ==> > 1/q - q + 2p^2 = 0 > 1/q - q + 2R^2 < 0 ==> > 1/R^2 - R^2 + 2*R^2 < 1/R^2 + < 0 ==> contradição ==> a e b não pertencem > ao 2o quadrante. > > Logo, temos que concluir que, sobre as outras duas raízes, que uma > pertence ao 1o e a outra ao 3o quadrante. > > []s, > Claudio. > > > On Wed, Jun 17, 2020 at 9:01 AM Prof. Douglas Oliveira < > profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > >> Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da >> equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e >> percebi que existe uma em cada quadrante. >> >> Mas não consigo achar uma saída. >> >> Obrigado. >> Douglas Oliveira >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Números complexos e equações
Aquele 1+i sugere que se forme uma equação em z, onde z = (1+i)/raiz(2) * x, ou seja, cujas raízes sejam as da equação original giradas de 45 graus no sentido anti-horário e sem coeficientes complexos. z = (1+i)/raiz(2) * x ==> x = (1-i)/raiz(2) * z Assim, x^4 + 4(1+i)x + 1 = 0 ==> -z^4 + 4*raiz(2)*z + 1 = 0 Consideremos f(z) = z^4 - 4*raiz(2)*z - 1 (multiplicar os coeficientes por -1 não altera as raízes). f(-1) = 4*raiz(2) > 0 f(0) = -1 < 0 f(raiz(2)) = -5 < 0 f(2) =15 - 8*raiz(2) > 0 ==> f tem (pelo menos) duas raízes reais: uma entre -1 e 0 e outra entre raiz(2) e 2. Mas f'(z) = 4z^3 - 4*raiz(2) ==> f'(z) < 0 para z < 2^(1/6) (logo, para z < 0) e f'(z) > 0 para z > 2^(1/6) (logo, para z > raiz(2)), de modo que estas são as únicas raízes reais de f. Se duas das raízes da equação original, ao serem giradas de 45 graus no sentido anti-horário, se tornam reais, então aquelas raízes estavam na reta Im(z) = -Re(z). Além disso, como, após giradas, uma se tornou negativa e a outra positiva, isso significa que a primeira está no 2o quadrante e a segunda no 4o quadrante. Dadas as magnitudes das raízes giradas (a primeira entre -1 e 0 e a segunda maior do que raiz(2)), também concluímos que a soma delas está no 4o quadrante, ou seja, é da forma p*(1-i), com p > 0. Além disso, o produto delas é da forma (1/q)*i, com q > 0. Chame as outras duas raízes da equação original de a e b. Então, como a soma das raízes é zero, vale a+b = -p(1-i) = p(-1+i): um ponto do 2o quadrante sobre a reta Im(z) = -Re(z) (1) Como o produto das raízes é 1, vale a*b = -q*i, um ponto do eixo imaginário negativo A localização do produto a*b implica que a/|a| e b/|b| são números complexos (de módulo unitário) e simétricos em relação à reta Im(z) = -Re(z) (2) (1) e (2) implicam que a e b têm o mesmo módulo R (2) também implica que, sobre a e b: OU ambos pertencem ao 2o quadrante OU um deles pertence ao 1o e o outro ao 3o quadrante OU ambos pertencem ao 4o quadrante. De cara dá pra eliminar a última alternativa, já que isso implicaria que a+b pertence ao 4o quadrante, o que não é o caso. Resta eliminar a 1a alternativa. Assim, suponhamos que a e b pertencem ao 2o quadrante. Neste caso, a+b = p(-1+i) ==> |a+b| = p*raiz(2) > R*raiz(2) ==> 2*p^2 > 2*R^2 E também, de qualquer jeito, ab = -qi ==> q = R^2 Da equação, também sabemos que ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0 ==> ab + cd + (a+b)(c+d) = 0 ==> -q*i + (1/q)*i + p(-1+i)*p*(1-i) = 0 ==> 1/q - q + 2p^2 = 0 1/q - q + 2R^2 < 0 ==> 1/R^2 - R^2 + 2*R^2 < 1/R^2 + < 0 ==> contradição ==> a e b não pertencem ao 2o quadrante. Logo, temos que concluir que, sobre as outras duas raízes, que uma pertence ao 1o e a outra ao 3o quadrante. []s, Claudio. On Wed, Jun 17, 2020 at 9:01 AM Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da > equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e > percebi que existe uma em cada quadrante. > > Mas não consigo achar uma saída. > > Obrigado. > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Números complexos e equações
Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e percebi que existe uma em cada quadrante. Mas não consigo achar uma saída. Obrigado. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Números complexos (valor mínimo)
Olá amigos, gostaria de uma ajuda. Sem usar derivadas... Como calcular o valor mínimo de lz^4+z+1/2l^2 onde o modelo de z vale 1. Saudacoes Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Complexos
Esta tem uma demonstração bonitinha usando um retângulo dividido em 6 quadrados congruentes da forma óbvia (2x3). Enviado do meu iPhone Em 8 de set de 2019, à(s) 19:57, Maikel Andril Marcelino escreveu: > Calcule (2+i)(3+i) e deduza que pi/4 = arctg(1/2) + arctg(1/3) > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Complexos
Calcule (2+i)(3+i) e deduza que pi/4 = arctg(1/2) + arctg(1/3) -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Complexos, pequena dúvida histórica.
Em ter, 23 de abr de 2019 às 18:35, matematica10complicada escreveu: > > Caros amigos,, onde surgiu a notação CIS normalmente usada para números > complexos? > Foi em no Sudeste?? > https://en.wikipedia.org/wiki/Cis_(mathematics) Resumão: Hamilton em um livro de 1866. É uma mera abreviatura de "cosseno-i-seno". > Douglas Oliveira. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Complexos, pequena dúvida histórica.
Caros amigos,, onde surgiu a notação CIS normalmente usada para números complexos? Foi em no Sudeste?? Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Equação P(z) = e^z nos complexos
Acho este interessante: Na equação acima, P é um polinômio complexo não identicamente nulo. Mostre que: a) No plano complexo, a equação tem uma infinidade de raízes. b) Em cada reta do plano, a equação tem um número finito de raízes. Em b, basta demonstrar para a reta real. Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistemas lineares com números complexos
Obrigado!!! Em qua, 10 de out de 2018 às 17:57, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Neste caso, valem, pros complexos, as mesmas regras que se aplicam aos > reais ou racionais (C, R e Q são corpos - isso significa que você pode > fazer qualquer uma das 4 operações sem sair do conjunto). > Ou seja, a resposta é sim. > > > > On Wed, Oct 10, 2018 at 5:36 PM Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> wrote: > >> Olá pessoal >> , eu gostaria de saber se um sistema homogêneo formado por coeficientes >> complexos segue o mesmo caminho: calcular o determinante, e se for nulo tem >> soluções além da trivial e etc... >> -- >> Israel Meireles Chrisostomo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Sistemas lineares com números complexos
Neste caso, valem, pros complexos, as mesmas regras que se aplicam aos reais ou racionais (C, R e Q são corpos - isso significa que você pode fazer qualquer uma das 4 operações sem sair do conjunto). Ou seja, a resposta é sim. On Wed, Oct 10, 2018 at 5:36 PM Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> wrote: > Olá pessoal > , eu gostaria de saber se um sistema homogêneo formado por coeficientes > complexos segue o mesmo caminho: calcular o determinante, e se for nulo tem > soluções além da trivial e etc... > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Sistemas lineares com números complexos
Olá pessoal , eu gostaria de saber se um sistema homogêneo formado por coeficientes complexos segue o mesmo caminho: calcular o determinante, e se for nulo tem soluções além da trivial e etc... -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Potenciação de complexos
On Thu, Aug 30, 2018 at 9:55 PM Israel Meireles Chrisostomo wrote: > > Olá pessoal, eu gostaria de saber se a seguinte manipulação com complexos é > verdadeira: > (m+ni)^{xy}=((m+ni)^x)^y > Onde m,n,x,y são reais e i a unidade imaginária. Nem precisa de complexos para ser falso: Seja m = -1, x = 2, y = 0.5. A primeira conta dá (-1)^(2 * 0.5) = (-1)^1 = -1, enquanto a segunda dá ((-1)^2)^0.5 = 1^(0.5) = 1. Abraços, -- Bernardo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Potenciação de complexos
Não necessariamente. Se z w são complexos, por definição z^w = exp(z L(w)), sendo L(w) o logaritmo principal de w (aquele com argumento em (-pi, pi]). Sendo r o valor absoluto de w e a seu argumento principal, então L(w) = ln(r) + ai. ln(r) é o log real de r. Se x é real, temos então que z^x = r^x cis (ax) Vejamos um exemplo; z = i, m = 3, n = 1,1.Trabalhando em graus, para facilitar, temos que i^(mn) = cis 3,3 x 90 = cis297. Por outro lado, i^3 = -i e L(-i) = -90 (não é 270). E (i^3)^1,1= cis(-90 x 1, 1) = cis(-99). Como 297 - (-99) = 396 não é um múltiplo inteiro de 360, os arcos não têm as mesmas funções trigonométricas, de modo que i^(mn) <> (i^m)^n. Mas veja que (i^1,1)^3 = i^3,3, porque o argumento principal de i^1,1 é 90 x 1,1 = 99. O argumento principal pode "abagunçar" tudo. Ele não é contínuo. Mas a igualdade sempre se verfica se m e n forem inteiros. Porque os argumentos de qualquer complexo estão defasados de múltiplos inteiros de 2pi. Artur Em qui, 30 de ago de 2018 21:55, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Olá pessoal, eu gostaria de saber se a seguinte manipulação com complexos > é verdadeira: > (m+ni)^{xy}=((m+ni)^x)^y > Onde m,n,x,y são reais e i a unidade imaginária. > > Obrigadol!! > > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Potenciação de complexos
Olá pessoal, eu gostaria de saber se a seguinte manipulação com complexos é verdadeira: (m+ni)^{xy}=((m+ni)^x)^y Onde m,n,x,y são reais e i a unidade imaginária. Obrigadol!! -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: Números complexos
Olá Tem erro na fatoraçãoabçs Em segunda-feira, 16 de julho de 2018 14:54:32 BRT, Alexandre Antunes escreveu: Boa tarde, Se fizermos x^3+1^3=0 Podemos fatorar: (x-1)(x^2+×+1)=0 Certo? Estou achando um resultado -1-1/2 +raiz (3)i/2-1/2 -raiz (3)i/2 E o resultado (resposta prevista) está diferente ... Será que "dei bobeira"? Antecipadamente agradeço. Em Seg, 16 de jul de 2018 12:56, Alexandre Antunes escreveu: Bom dia, Quais as raízes cúbicas de -1? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Números complexos
Verdade! Vi depois quando revisava o que tinha feito ... Valeu!!! Em Seg, 16 de jul de 2018 14:15, Ralph Teixeira escreveu: > Oops, foi a fatoração! Devia ser (x+1)(x^2-x+1)=0, sim? > > On Mon, Jul 16, 2018 at 2:00 PM Alexandre Antunes < > prof.alexandreantu...@gmail.com> wrote: > >> >> Boa tarde, >> >> Se fizermos x^3+1^3=0 >> >> Podemos fatorar: (x-1)(x^2+×+1)=0 >> >> Certo? >> >> Estou achando um resultado >> -1 >> -1/2 +raiz (3)i/2 >> -1/2 -raiz (3)i/2 >> >> E o resultado (resposta prevista) está diferente ... Será que "dei >> bobeira"? >> >> Antecipadamente agradeço. >> >> Em Seg, 16 de jul de 2018 12:56, Alexandre Antunes < >> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu: >> >>> >>> Bom dia, >>> >>> Quais as raízes cúbicas de -1? >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: Números complexos
A fatoração está errada. O fator linear é x+1. O quadrático é x^2 - x + 1. Abs Enviado do meu iPhone Em 16 de jul de 2018, à(s) 13:47, Alexandre Antunes escreveu: > > Boa tarde, > > Se fizermos x^3+1^3=0 > > Podemos fatorar: (x-1)(x^2+×+1)=0 > > Certo? > > Estou achando um resultado > -1 > -1/2 +raiz (3)i/2 > -1/2 -raiz (3)i/2 > > E o resultado (resposta prevista) está diferente ... Será que "dei bobeira"? > > Antecipadamente agradeço. > > Em Seg, 16 de jul de 2018 12:56, Alexandre Antunes > escreveu: >> >> Bom dia, >> >> Quais as raÃzes cúbicas de -1? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: Números complexos
Oops, foi a fatoração! Devia ser (x+1)(x^2-x+1)=0, sim? On Mon, Jul 16, 2018 at 2:00 PM Alexandre Antunes < prof.alexandreantu...@gmail.com> wrote: > > Boa tarde, > > Se fizermos x^3+1^3=0 > > Podemos fatorar: (x-1)(x^2+×+1)=0 > > Certo? > > Estou achando um resultado > -1 > -1/2 +raiz (3)i/2 > -1/2 -raiz (3)i/2 > > E o resultado (resposta prevista) está diferente ... Será que "dei > bobeira"? > > Antecipadamente agradeço. > > Em Seg, 16 de jul de 2018 12:56, Alexandre Antunes < > prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu: > >> >> Bom dia, >> >> Quais as raízes cúbicas de -1? >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: Números complexos
Boa tarde, Se fizermos x^3+1^3=0 Podemos fatorar: (x-1)(x^2+×+1)=0 Certo? Estou achando um resultado -1 -1/2 +raiz (3)i/2 -1/2 -raiz (3)i/2 E o resultado (resposta prevista) está diferente ... Será que "dei bobeira"? Antecipadamente agradeço. Em Seg, 16 de jul de 2018 12:56, Alexandre Antunes < prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu: > > Bom dia, > > Quais as raízes cúbicas de -1? > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Números complexos
Bom dia, Quais as raízes cúbicas de -1? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Números complexos
Ah, troquei i por -i em algumas linhas, o que por sorte nao altera a resposta... Mas corrijo abaixo: 2016-08-23 9:39 GMT-03:00 Ralph Teixeira : > Na minha opiniao, a principal "ambiguidade" da sua pergunta seria: qual > das duas voce quer? > > 1) Encontre todos os valores reais de x tais que (x+i)^(4n) eh real PARA > TODO n NATURAL; > 2) Encontre todos os valores reais de x tais que (x+i)^(4n) eh real PARA > ALGUM n NATURAL; > > Mas vamos lah: > > ---///--- > > Escreva x+i=r.e^(it) com r,t reais (permitindo r<0, basta usar 0<=t Entao (x+i)^(4n) eh real se e somente se 4nt for um multiplo inteiro de pi. > > 1) Portanto, t=kpi/4 onde k=0,1,2,3. Assim, x=*-*i+r.e^(k.i.pi/4) onde > k=0,1,2,3. Se voce desenhar isso no plano complexo, eh um "asterisco > infinito", feito de 4 retas que se cruzam no ponto *-*i. > Ah, mas voce quer x real, entao vamos achar as intersecoes desse asterisco > com a reta real... Fazendo as contas, achamos x=0, x=1 ou x=-1. > > 2) Se n=0, obviamente qualquer x serve. Suponha entao n arbitrario > positivo. Entao devemos ter t=k.pi/(4n). Assim, as solucoes complexas sao > (x,n) onde: > i) x eh qualquer e n=0; > OU > ii) n eh um inteiro positivo e x=*-*i+r.e^(k.i.pi/(4n)), com a real > qualquer e k inteiro qualquer. > > Ah, mas voce quer x real, entao a parte imaginaria de x tem que ser 0. Em > (ii), isto significa r.sin(k.pi/(4n))=*1*, isto eh, r=*1*/(sin(k.pi/(4n)). > Portanto sua resposta eh > > i) x real qualquer e n=0; > OU > ii) x=r cos(k.pi/(4n)) = *ctg* (k.pi/(4n)) onde n e k sao inteiros > arbitrarios nao nulos. > > (Note que escolhendo k=2n, k=n e k=-n voce ve que as solucoes de (2) estao > contidas nas de (1).) > > Abraco, Ralph. > > 2016-08-22 23:41 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com>: > >> Em verdade Bernardo eu gostaria das duas coisas >> >> Em 21 de agosto de 2016 21:38, Bernardo Freitas Paulo da Costa < >> bernardo...@gmail.com> escreveu: >> >>> 2016-08-20 20:33 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo >>> : >>> > Ah todos os valores reais de x >>> >>> Deixa eu escrever o enunciado que eu acho que você quis >>> >>> "Encontre todos os pares (x,n) tais que (x+i)^{4n} seja um número real". >>> >>> Acertei? Se for isso, para cada "n" haverá algumas soluções. E sem >>> pensar muito, eu acho que (exceto n=1) há 2n soluções, com "n" fixo. >>> >>> A primeira parte de fazer uma pergunta é escrevê-la com clareza: pense >>> um pouco mais antes de apertar "send", ajuda a lista a te ajudar (ou >>> então seja claro ao dizer que não sabe muito bem como formular a >>> pergunta e peça ajuda para isso também!) >>> >>> > Em 20 de agosto de 2016 20:02, Israel Meireles Chrisostomo >>> > escreveu: >>> >> >>> >> Olá pessoal, gostaria de saber se é possível resolver a equação: >>> >> >>> >> (x+i)^{4n}=Re(z) >>> >> >>> >> onde z é um número complexo qualquer e Re(z) denota a parte real de >>> z.Isto >>> >> é, em outras palavras gostaria de saber todos os valores de x para os >>> quais >>> >> (x+i)^{4n} é real .De cara, dá para ver que x=0 é um desses valores, >>> mas >>> >> como provo que esse é o único(ou não)... >>> >>> Abraços, >>> -- >>> Bernardo Freitas Paulo da Costa >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> = >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> >>> = >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Números complexos
Na minha opiniao, a principal "ambiguidade" da sua pergunta seria: qual das duas voce quer? 1) Encontre todos os valores reais de x tais que (x+i)^(4n) eh real PARA TODO n NATURAL; 2) Encontre todos os valores reais de x tais que (x+i)^(4n) eh real PARA ALGUM n NATURAL; Mas vamos lah: ---///--- Escreva x+i=r.e^(it) com r,t reais (permitindo r<0, basta usar 0<=t: > Em verdade Bernardo eu gostaria das duas coisas > > Em 21 de agosto de 2016 21:38, Bernardo Freitas Paulo da Costa < > bernardo...@gmail.com> escreveu: > >> 2016-08-20 20:33 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo >> : >> > Ah todos os valores reais de x >> >> Deixa eu escrever o enunciado que eu acho que você quis >> >> "Encontre todos os pares (x,n) tais que (x+i)^{4n} seja um número real". >> >> Acertei? Se for isso, para cada "n" haverá algumas soluções. E sem >> pensar muito, eu acho que (exceto n=1) há 2n soluções, com "n" fixo. >> >> A primeira parte de fazer uma pergunta é escrevê-la com clareza: pense >> um pouco mais antes de apertar "send", ajuda a lista a te ajudar (ou >> então seja claro ao dizer que não sabe muito bem como formular a >> pergunta e peça ajuda para isso também!) >> >> > Em 20 de agosto de 2016 20:02, Israel Meireles Chrisostomo >> > escreveu: >> >> >> >> Olá pessoal, gostaria de saber se é possível resolver a equação: >> >> >> >> (x+i)^{4n}=Re(z) >> >> >> >> onde z é um número complexo qualquer e Re(z) denota a parte real de >> z.Isto >> >> é, em outras palavras gostaria de saber todos os valores de x para os >> quais >> >> (x+i)^{4n} é real .De cara, dá para ver que x=0 é um desses valores, >> mas >> >> como provo que esse é o único(ou não)... >> >> Abraços, >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Números complexos
Em verdade Bernardo eu gostaria das duas coisas Em 21 de agosto de 2016 21:38, Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com> escreveu: > 2016-08-20 20:33 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo > : > > Ah todos os valores reais de x > > Deixa eu escrever o enunciado que eu acho que você quis > > "Encontre todos os pares (x,n) tais que (x+i)^{4n} seja um número real". > > Acertei? Se for isso, para cada "n" haverá algumas soluções. E sem > pensar muito, eu acho que (exceto n=1) há 2n soluções, com "n" fixo. > > A primeira parte de fazer uma pergunta é escrevê-la com clareza: pense > um pouco mais antes de apertar "send", ajuda a lista a te ajudar (ou > então seja claro ao dizer que não sabe muito bem como formular a > pergunta e peça ajuda para isso também!) > > > Em 20 de agosto de 2016 20:02, Israel Meireles Chrisostomo > > escreveu: > >> > >> Olá pessoal, gostaria de saber se é possível resolver a equação: > >> > >> (x+i)^{4n}=Re(z) > >> > >> onde z é um número complexo qualquer e Re(z) denota a parte real de > z.Isto > >> é, em outras palavras gostaria de saber todos os valores de x para os > quais > >> (x+i)^{4n} é real .De cara, dá para ver que x=0 é um desses valores, mas > >> como provo que esse é o único(ou não)... > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: Números complexos
2016-08-20 20:33 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo : > Ah todos os valores reais de x Deixa eu escrever o enunciado que eu acho que você quis "Encontre todos os pares (x,n) tais que (x+i)^{4n} seja um número real". Acertei? Se for isso, para cada "n" haverá algumas soluções. E sem pensar muito, eu acho que (exceto n=1) há 2n soluções, com "n" fixo. A primeira parte de fazer uma pergunta é escrevê-la com clareza: pense um pouco mais antes de apertar "send", ajuda a lista a te ajudar (ou então seja claro ao dizer que não sabe muito bem como formular a pergunta e peça ajuda para isso também!) > Em 20 de agosto de 2016 20:02, Israel Meireles Chrisostomo > escreveu: >> >> Olá pessoal, gostaria de saber se é possível resolver a equação: >> >> (x+i)^{4n}=Re(z) >> >> onde z é um número complexo qualquer e Re(z) denota a parte real de z.Isto >> é, em outras palavras gostaria de saber todos os valores de x para os quais >> (x+i)^{4n} é real .De cara, dá para ver que x=0 é um desses valores, mas >> como provo que esse é o único(ou não)... Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: Números complexos
Ah todos os valores reais de x Em 20 de agosto de 2016 20:02, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Olá pessoal, gostaria de saber se é possível resolver a equação: > > (x+i)^{4n}=Re(z) > > onde z é um número complexo qualquer e Re(z) denota a parte real de z.Isto > é, em outras palavras gostaria de saber todos os valores de x para os > quais (x+i)^{4n} é real .De cara, dá para ver que x=0 é um desses valores, > mas como provo que esse é o único(ou não)... > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Números complexos
Olá pessoal, gostaria de saber se é possível resolver a equação: (x+i)^{4n}=Re(z) onde z é um número complexo qualquer e Re(z) denota a parte real de z.Isto é, em outras palavras gostaria de saber todos os valores de x para os quais (x+i)^{4n} é real .De cara, dá para ver que x=0 é um desses valores, mas como provo que esse é o único(ou não)... -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] [obm-l] Números Complexos
u=wi=>u=(zi)i=>u=zi^2.:u=-z. (alternativa "a") Mensagem original De : Daniel Rocha Data:10/07/2016 13:04 (GMT-03:00) Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] [obm-l] Números Complexos Alguém poderia, por favor, solucionar o problema abaixo: Os números complexos z, w, u são tais que w/z = u/w = i (i é a unidade imaginária). É correto afirmar que: a) z é oposto de u. b) z é o conjugado de u. c) z é o quadrado de u. d) z é igual a u. e) z é igual a u + w. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Números Complexos
Muito Obrigado, Carlos !!! Em 10 de julho de 2016 22:05, Carlos Gomes escreveu: > Olá Daniel, > > vc faz assim, > > Ora, como w/z=u/w=i, segue que w=i.z e u=i.w. Assim, > > u=i.w=i.(i.z)=i^2.z=-1.z=-z ==> z=-u , ou seja, z é o posto de u. > (Alternativa "a") > > Abraco, Cgomes. > > Em 10 de julho de 2016 13:04, Daniel Rocha > escreveu: > >> Alguém poderia, por favor, solucionar o problema abaixo: >> >> Os números complexos z, w, u são tais que w/z = u/w = i (i é a unidade >> imaginária). É correto afirmar que: >> >> a) z é oposto de u. >> b) z é o conjugado de u. >> c) z é o quadrado de u. >> d) z é igual a u. >> e) z é igual a u + w. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Números Complexos
Olá Daniel, vc faz assim, Ora, como w/z=u/w=i, segue que w=i.z e u=i.w. Assim, u=i.w=i.(i.z)=i^2.z=-1.z=-z ==> z=-u , ou seja, z é o posto de u. (Alternativa "a") Abraco, Cgomes. Em 10 de julho de 2016 13:04, Daniel Rocha escreveu: > Alguém poderia, por favor, solucionar o problema abaixo: > > Os números complexos z, w, u são tais que w/z = u/w = i (i é a unidade > imaginária). É correto afirmar que: > > a) z é oposto de u. > b) z é o conjugado de u. > c) z é o quadrado de u. > d) z é igual a u. > e) z é igual a u + w. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] [obm-l] Números Complexos
Alguém poderia, por favor, solucionar o problema abaixo: Os números complexos z, w, u são tais que w/z = u/w = i (i é a unidade imaginária). É correto afirmar que: a) z é oposto de u. b) z é o conjugado de u. c) z é o quadrado de u. d) z é igual a u. e) z é igual a u + w. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos
Ah sim, eu fui um pouco descuidado com o sinal _ o que quer dizer que eu errei :( mas a ideia está certa:) Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z1-z3)} = 0 => Im{(z1-z2)/(z1-z3)} = Im{(z 3-z2)/(z1-z3)} Aqui só se pode afirmar que Im{(z1-z2)/(z1-z3)} = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen Â, dependendo da orientação do triângulo (ou seja, dependendo se o complexo z1-z2 tem argumento maior do que o complexo z1-z3). Caso contrário seria ..sen - Â. Mas aí vc repara que independente da orientação, ambos Im{(z1 -z2)/(z1-z3)} e Im{(z3-z2)/(z1-z3)} tem o mesmo sinal. Daí, tendo em vista que sen (- Â) = - sen Â, segue o raciocínio normalmente. 2014-09-08 22:15 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : > Valeu, Willy! Só não ficou muito clara a seguinte passagem: > > Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z1-z3)} = 0 => |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen >  = |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C > > Como que a soma nula transformou-se em uma igualdade? > > Obrigado! > > > Em 8 de setembro de 2014 13:07, Willy George Amaral Petrenko < > wgapetre...@gmail.com> escreveu: > >> A = z1; B = z2; C = z3 >> >> (z1-z2) é o vetor correspondente ao lado c. (z1-z2)/(z1-z3) é um >> complexo que tem argumento igual ao ângulo Â. Então pela igualdade: >> >> (z1-z2)/(z1-z3) + (z2-z3)/(z1-z3) + 1 => Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3 >> )/(z1-z3)} = 0 => |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen  = |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C >> => |(z1-z2)| * sen  = |(z2-z3)| * sen C => c senA = a senC => a/senA = >> c/senC. cqd >> >> 2014-09-08 12:31 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : >> >> Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado >>> para prosseguir. >>> >>> Muito obrigado pela ajuda! >>> >>> Vanderlei >>> >>> Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko < >>> wgapetre...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> Vc quer uma dica ou a solução? >>>> >>>> Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a >>>> ver com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária >>>> na igualdade acima, o 1 morre. >>>> >>>> Se quiser a solução responde. >>>> >>>> 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : >>>> >>>>> Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro >>>>> do Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números >>>>> complexos: >>>>> >>>>> *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B >>>>> e C, respectivamente, demonstre que * >>>>> >>>>> *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)* >>>>> >>>>> *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os >>>>> vértices do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – >>>>> z3)/(z3 – z1) + 1 = 0.* >>>>> >>>>> Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e >>>>> onde utilizar a identidade sugerida. >>>>> >>>>> Obrigado, >>>>> >>>>> Vanderlei >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos
Valeu, Willy! Só não ficou muito clara a seguinte passagem: Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z1-z3)} = 0 => |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen  = |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C Como que a soma nula transformou-se em uma igualdade? Obrigado! Em 8 de setembro de 2014 13:07, Willy George Amaral Petrenko < wgapetre...@gmail.com> escreveu: > A = z1; B = z2; C = z3 > > (z1-z2) é o vetor correspondente ao lado c. (z1-z2)/(z1-z3) é um complexo > que tem argumento igual ao ângulo Â. Então pela igualdade: > > (z1-z2)/(z1-z3) + (z2-z3)/(z1-z3) + 1 => Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3 > )/(z1-z3)} = 0 => |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen  = |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C > => |(z1-z2)| * sen  = |(z2-z3)| * sen C => c senA = a senC => a/senA = > c/senC. cqd > > 2014-09-08 12:31 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : > > Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado para >> prosseguir. >> >> Muito obrigado pela ajuda! >> >> Vanderlei >> >> Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko < >> wgapetre...@gmail.com> escreveu: >> >>> Vc quer uma dica ou a solução? >>> >>> Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a >>> ver com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária >>> na igualdade acima, o 1 morre. >>> >>> Se quiser a solução responde. >>> >>> 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : >>> >>>> Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro >>>> do Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números >>>> complexos: >>>> >>>> *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e >>>> C, respectivamente, demonstre que * >>>> >>>> *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)* >>>> >>>> *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os >>>> vértices do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – >>>> z3)/(z3 – z1) + 1 = 0.* >>>> >>>> Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde >>>> utilizar a identidade sugerida. >>>> >>>> Obrigado, >>>> >>>> Vanderlei >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos
A = z1; B = z2; C = z3 (z1-z2) é o vetor correspondente ao lado c. (z1-z2)/(z1-z3) é um complexo que tem argumento igual ao ângulo Â. Então pela igualdade: (z1-z2)/(z1-z3) + (z2-z3)/(z1-z3) + 1 => Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z 1-z3)} = 0 => |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen  = |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C => |(z1 -z2)| * sen  = |(z2-z3)| * sen C => c senA = a senC => a/senA = c/senC. cqd 2014-09-08 12:31 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : > Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado para > prosseguir. > > Muito obrigado pela ajuda! > > Vanderlei > > Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko < > wgapetre...@gmail.com> escreveu: > >> Vc quer uma dica ou a solução? >> >> Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a ver >> com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária na >> igualdade acima, o 1 morre. >> >> Se quiser a solução responde. >> >> 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : >> >>> Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do >>> Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos: >>> >>> *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e >>> C, respectivamente, demonstre que * >>> >>> *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)* >>> >>> *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices >>> do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) + >>> 1 = 0.* >>> >>> Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde >>> utilizar a identidade sugerida. >>> >>> Obrigado, >>> >>> Vanderlei >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos
Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado para prosseguir. Muito obrigado pela ajuda! Vanderlei Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko < wgapetre...@gmail.com> escreveu: > Vc quer uma dica ou a solução? > > Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a ver > com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária na > igualdade acima, o 1 morre. > > Se quiser a solução responde. > > 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : > >> Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do >> Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos: >> >> *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e >> C, respectivamente, demonstre que * >> >> *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)* >> >> *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices >> do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) + >> 1 = 0.* >> >> Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde >> utilizar a identidade sugerida. >> >> Obrigado, >> >> Vanderlei >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Números complexos
Vc quer uma dica ou a solução? Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a ver com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária na igualdade acima, o 1 morre. Se quiser a solução responde. 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : > Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do > Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos: > > *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e C, > respectivamente, demonstre que * > > *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)* > > *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices > do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) + > 1 = 0.* > > Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde > utilizar a identidade sugerida. > > Obrigado, > > Vanderlei > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Números complexos
Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos: *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente, demonstre que * *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)* *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) + 1 = 0.* Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde utilizar a identidade sugerida. Obrigado, Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Funções periódicas nos complexos
2013/9/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa : > 2013/9/2 Artur Costa Steiner : >> Olá amigos, > Oi Artur, > >> Se f for uma função meromorfa, periódica e não constante, então f tem algo >> análogo a um período fundamental, isto é, existe um período p cujo valor >> absoluto é positivo e mínimo. Não sei se este p é único. Todos os múltiplos >> inteiros de p são períodos e estão na reta definida pelo argumento de p. No >> caso, por exemplo, de f(z) = exp(z), p = 2 pi i. > > Não, este p não é único. Existem funções meromorfas cujos períodos são > 1 e i, que são portanto mínimos e diferentes. Mas, fora este fenômeno > meio "especial", o que você falou está perfeitamente certo. Para ser > formal: como f não é constante, existe um ponto z tal que f'(z) é > diferente de zero, e portanto uma vizinhança onde f(z) != f(w) para > todo w na vizinhança. Assim, o conjunto dos períodos {p complexo / > f(w+p) = f(w) para todo w} é um subgrupo aditivo de C, onde zero é > isolado. Assim (mesma demonstração que em R) existe um valor r = min = > inf { |p| / p período, p != 0 }. Ah, sim, faltou o exemplo: considere a função f(z) = sum_{m,n inteiros} 1/(z - m - n*i)^3 que é (por definição!) periódica de períodos 1 e i. É um pouco mais chatinho ver que ela é meromorfa, porque daí você tem que provar que ela é - uma série convergente para z fora do reticulado {1,i} (use que 1/z^3 é integrável em R^2) - que a derivada desta série convergente é também uma série convergente, uniformemente sobre os compactos que não intersectam o reticulado porque daí ela será uma função com derivada contínua e z-linear, portanto holomorfa em todos o C menos nos pólos do reticulado. Para ver que ela é meromorfa nos pontos do reticulado, isole o termo 1/z^3 numa vizinhança de zero, repita os argumentos de cv uniforme e veja que a derivada "existe". Como f é periódica, acabou. Outra demonstração: tome |z| < 1/3, expanda todos os termos exceto 1/z^3 em potências de z, usando 1/(z - a) = soma da série geométrica, depois derivando a série 2 vezes, troque a ordem das somas (atenção para aplicar Fubini direitinho) e veja que a série assim obtida é um desenvolvimento de Laurent. Essa é uma das funções de Weierstrass. Existe uma outra, mais importante, que é a primitiva desta, mas é mais difícil mostrar que a primitiva é periódica ;-) (e também é mais difícil mostrar que a primitiva é uma função meromorfa bonitinha). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções periódicas nos complexos
2013/9/2 Artur Costa Steiner : > Olá amigos, Oi Artur, > Se f for uma função meromorfa, periódica e não constante, então f tem algo > análogo a um período fundamental, isto é, existe um período p cujo valor > absoluto é positivo e mínimo. Não sei se este p é único. Todos os múltiplos > inteiros de p são períodos e estão na reta definida pelo argumento de p. No > caso, por exemplo, de f(z) = exp(z), p = 2 pi i. Não, este p não é único. Existem funções meromorfas cujos períodos são 1 e i, que são portanto mínimos e diferentes. Mas, fora este fenômeno meio "especial", o que você falou está perfeitamente certo. Para ser formal: como f não é constante, existe um ponto z tal que f'(z) é diferente de zero, e portanto uma vizinhança onde f(z) != f(w) para todo w na vizinhança. Assim, o conjunto dos períodos {p complexo / f(w+p) = f(w) para todo w} é um subgrupo aditivo de C, onde zero é isolado. Assim (mesma demonstração que em R) existe um valor r = min = inf { |p| / p período, p != 0 }. > Mas pode haver outros períodos que não sejam múltiplos inteiros de p. É fácil > ver que estes últimos não estão sobre a reta acima citada. Ouvi, e não > consegui provar, que, dentre os períodos não múltiplos inteiros de p, há um > p' cuja distância à reta dos múltiplos inteiros de p é positiva e mínima. O > que eu consegui provar é que a distância euclidiana entre o conjunto dos > períodos da forma np, n inteiro, e o conjunto dos outros períodos é positiva. É basicamente um argumento de "inf = min em conjuntos discretos". Considere todos os períodos que não estão na reta pZ, chame este conjunto de PP. Eles estão todos a distância maior ou igual a r da origem, e pela minimalidade de p, há apenas um número finito deles em qualquer disco de raio R. Considere portanto uma aplicação f : PP inter D_R x [0,p] -> R dada pela distância de um ponto periódico em D_R e um ponto no segmento 0-p. Ela é contínua, logo admite um mínimo diferente de zero. Agora, se R é suficientemente grande, por conta da simetria de translação, este mínimo será também o mínimo da função F : PP x pR -> R distância. (Formalize este último argumento. Dica: comece estimando o mínimo com um ponto qualquer q em PP.) Hum, relendo tudo aqui, eu vi que eu me confundi com "a reta dos múltiplos inteiros" e provei que o mínimo é para todos os pontos da reta, e não apenas (como fica claro na parte seguinte) que são apenas os pontos pZ e "todos os outros pontos" que você está falando. A demonstração, entretanto, é exatamente a mesma. Não dá pra fugir da compacidade ;-). Dê uma olhada em "lattices" na Wikipedia (em inglês, ou, com mais figuras ainda, "réseaux" em francês). (adendo: palavrinha chata, ela se diz "reticulado" ou "retículo" em português... muitas diferenças em línguas simples!) > Parece também que p/p' não é real. E que o conjunto de todos os períodos é o > conjunto das combinações lineares inteiras de p e de p'. Que tais combinações > são períodos é imediato, mas além disto não há nenhum período que não se > enquadre em tais combinações. Isso é um argumento muito legal de álgebra "linear" com coeficientes inteiros / racionais. A idéia intuitiva é que um reticulado com mais do que n geradores L.I. sobre Q, todos os geradores em R^n, não é discreto. Assim, se p/q fosse real, teríamos dois geradores independentes sobre Q, logo uma seqüência de pontos z_n -> 0 onde f(z_n) = f(0), logo f seria constante (e aqui você usa que f é analítica). > Eu estou certo? Alguém conhece este assunto? Se você quiser olhar para as funções meromorfas (bi-)periódicas, estas são as belíssimas funções p de Weierstrass, e têm a ver com Teo dos Números e geometria complexa. Se for mais a parte de Álgebra Linear, tem também várias coisas (e também muitas coisas de Teo dos Números, claro), e daí eu conheço menos... > Abraços > > Artur Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Funções periódicas nos complexos
Olá amigos, Se f for uma função meromorfa, periódica e não constante, então f tem algo análogo a um período fundamental, isto é, existe um período p cujo valor absoluto é positivo e mínimo. Não sei se este p é único. Todos os múltiplos inteiros de p são períodos e estão na reta definida pelo argumento de p. No caso, por exemplo, de f(z) = exp(z), p = 2 pi i. Mas pode haver outros períodos que não sejam múltiplos inteiros de p. É fácil ver que estes últimos não estão sobre a reta acima citada. Ouvi, e não consegui provar, que, dentre os períodos não múltiplos inteiros de p, há um p' cuja distância à reta dos múltiplos inteiros de p é positiva e mínima. O que eu consegui provar é que a distância euclidiana entre o conjunto dos períodos da forma np, n inteiro, e o conjunto dos outros períodos é positiva. Parece também que p/p' não é real. E que o conjunto de todos os períodos é o conjunto das combinações lineares inteiras de p e de p'. Que tais combinações são períodos é imediato, mas além disto não há nenhum período que não se enquadre em tais combinações. Eu estou certo? Alguém conhece este assunto? Abraços Artur Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Teorema do valor médio nos complexos
Num site americano eu vi uma pessoa abalizada dizer que existe, na análise complexa, algo análogo, porém com desigualdade, ao teorema do valor médio da análise real. Não conhecia e não consegui descobrir. Sei que há um para funções de R^n, n > 1, em R, também com desigualdade, envolvendo produto escalar. Alguém conhece este dos complexos? Abraços Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções polinomiais e exponenciais nos complexos
Sugestão: 1) basta demonstrar para o caso em que a = 1 e k = 1. Pense na função g(z) = P(z) exp(-z) e no grande teorema de Picard. 2) também basta demonstrar para o caso a = 1, k = 1. E basta demonstrar para o eixo real. As raízes reais vão formar um conjunto limitado, talvez vazio. Se houver uma infinidade de raízes, o conjunto vai ter ponto de acumulação e aí o bicho pega. Abraços Artur Artur Costa Steiner Em 06/01/2013, às 22:31, Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu: > 2012/12/12 Artur Costa Steiner : >> Seja P um polinômio complexo não constante e sejam k e a constantes >> complexas não nulas. Mostre que >> >> 1) a equação P(z) = k exp(az) tem uma infinidade de raízes >> >> 2) em toda reta do plano complexo, a equação acima tem um número finito de >> raízes. > > Antes de dar uma resposta completa, vou dar uma idéia só: Newton e > periodicidade. Ah, sim, SPG, k = 1 e a = 1 também, mudando as > variáveis, mas não é realmente útil no argumento, é mais pra limpar a > notação. > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções polinomiais e exponenciais nos complexos
2012/12/12 Artur Costa Steiner : > Seja P um polinômio complexo não constante e sejam k e a constantes complexas > não nulas. Mostre que > > 1) a equação P(z) = k exp(az) tem uma infinidade de raízes > > 2) em toda reta do plano complexo, a equação acima tem um número finito de > raízes. Antes de dar uma resposta completa, vou dar uma idéia só: Newton e periodicidade. Ah, sim, SPG, k = 1 e a = 1 também, mudando as variáveis, mas não é realmente útil no argumento, é mais pra limpar a notação. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Funções polinomiais e exponenciais nos complexos
Seja P um polinômio complexo não constante e sejam k e a constantes complexas não nulas. Mostre que 1) a equação P(z) = k exp(az) tem uma infinidade de raízes 2) em toda reta do plano complexo, a equação acima tem um número finito de raízes. Artur Costa Steiner = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] RE: [obm-l] Identidades trigonométricas nos complexos
Há uma forma simples e não trabalhosa de demonstrar as duas últimas identidades com base nas séries de potências que definem (ou que decorrem da definição adotada) para as funções seno e cosseno. Conforme sabemos, sen(z) = cos(z) sen(z) = - sen(z) sen(z) = -cos(z) sen (z) = sen(z) Como o seno é uma função inteira, para todos z1 e z2 temos, pela expansão de Taylor que sen(z1 + z2) = sen(z2) + z1 cos(z2) + z1^2/2! (-sen(z2)) + z3/3! (-cos(z2)) + z^4/4! sen(z2) .. Considerando que as séries do seno e do cosseno convergem absolutamente em todo o C, podemos arranjar os termos como quisermos, obtendo sen(z1 + z2) = sen(z2) (1 z1^2/2! + z^4/4!.) + cos(z2) (z1 z^3/3! + z^5/5!..) = sen(z2)cos(z1) + cos(z2) sen(z1), que é a igualdade desejada. De forma similar, demonstramos a identidade relativa a cós(z1 + z2). A identidade sen^2(z) + cos^2(z) = 1 também pode ser provada de forma simples por Análise (embora, neste caso, a utilização das formas dadas pelos colegas seja também muito simples. Defina f de C em C por f(z) = sen^2(z) + cos^2(z). Então, f(z) = 2 sen(z) cos(z) + 2 cos(z) (-sen(z)) = 0. Como f é identicamente nula em C, f é constante, havendo assim uma constante k tal que f(z) = sen^2(z) + cos^2(z) = k. Fazendo z = 0, temos a identidade desejada. O fato de que as funções seno e cosseno são ilimitadas em C é, também, conseqüência do Teorema de Liouville: Se uma função inteira f é limitada, então f é constante. Como seno e cosseno são inteiras e não são constantes, segue-se que são ilimitadas. Na realidade, a imagem delas é a totalidade de C. Abraços Artur De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de João Maldonado Enviada em: domingo, 20 de fevereiro de 2011 18:10 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Identidades trigonométricas nos complexos Use a fórmula de euler: e^ki = cos(k) + isen(k) Faça k = -ti e você acha senh e cosh As expressões abaixo vem daí. _ Date: Sun, 20 Feb 2011 12:52:16 -0800 From: ana...@yahoo.com Subject: [obm-l] Identidades trigonométricas nos complexos To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá a todos! Gostaria de saber como provar que, nos complexos, também valem as identidades: (sen(z))^2 + (cos(z))^2 = 1 sen(z1 + z2) = sen(z1) cos(z2) + sen(z2) cos(z1) cos(z1 + z2) = cos(z1) cos(z2) - sen(z1) sen(z2) Nos reais, a identidade sen(z1) + sen(z2) = 2 sen((z1 + z2)/2) cos((z1 - z2)/2) é uma simples decorrência das dusa últimas identidades acima. Acredito que nos complexos também seja isso, certo? Nos complexos, as funções seno e cosseno são ilimitadas, não é verdadade? Podemos ter |sen(z)| e |cos(z)| tão grandes quanto se queira, certo? Obrigada Ana
[obm-l] RE: [obm-l] Identidades trigonométricas nos complexos
Use a fórmula de euler: e^ki = cos(k) + isen(k) Faça k = -ti e você acha senh e cosh As expressões abaixo vem daí. Date: Sun, 20 Feb 2011 12:52:16 -0800 From: ana...@yahoo.com Subject: [obm-l] Identidades trigonométricas nos complexos To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá a todos! Gostaria de saber como provar que, nos complexos, também valem as identidades: (sen(z))^2 + (cos(z))^2 = 1 sen(z1 + z2) = sen(z1) cos(z2) + sen(z2) cos(z1) cos(z1 + z2) = cos(z1) cos(z2) - sen(z1) sen(z2) Nos reais, a identidade sen(z1) + sen(z2) = 2 sen((z1 + z2)/2) cos((z1 - z2)/2) é uma simples decorrência das dusa últimas identidades acima. Acredito que nos complexos também seja isso, certo? Nos complexos, as funções seno e cosseno são ilimitadas, não é verdadade? Podemos ter |sen(z)| e |cos(z)| tão grandes quanto se queira, certo? Obrigada Ana
[obm-l] Re: [obm-l] Identidades trigonométricas nos complexos
Oi, Ana. Bom, acho que a resposta depende da escolha da definicao de sin e cos nos complexos. Se voce jah tiver no bolso a exponencial complexa e suas propriedades, podemos definir sin e cos assim: cos(z)=(e^(iz)+e^(-iz))/2 sin(z)=(e^(iz)-e^(-iz))/2i e as propriedades que voce mencionou sao soh um bando de contas. Senao, podemos definir cos e sin direto a partir de: cos(a+bi)=cosh(b)*cos(a)-i*sinh(b)*sin(a) sin(a+bi)=cosh(b)*sin(a)+i*sinh(b)*cos(a) para quaisquer a e b reais (que eh uma definicao razoavel, e essencialmente equivalente aa anterior). De novo, um bando de contas dao as propriedades que voce mencionou. Em particular, sim, cos(bi)=cosh(b) fica tao grande quanto eu quiser, idem para sin(bi)=i*sinh(b) em modulo. Abraco, Ralph 2011/2/20 Ana Evans Merryl : > Olá a todos! > > Gostaria de saber como provar que, nos complexos, também valem as > identidades: > > (sen(z))^2 + (cos(z))^2 = 1 > sen(z1 + z2) = sen(z1) cos(z2) + sen(z2) cos(z1) > cos(z1 + z2) = cos(z1) cos(z2) - sen(z1) sen(z2) > > Nos reais, a identidade sen(z1) + sen(z2) = 2 sen((z1 + z2)/2) cos((z1 - > z2)/2) é uma simples decorrência das dusa últimas identidades acima. > Acredito que nos complexos também seja isso, certo? > > Nos complexos, as funções seno e cosseno são ilimitadas, não é verdadade? > Podemos ter |sen(z)| e |cos(z)| tão grandes quanto se queira, certo? > > Obrigada > Ana > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos-Dúvida
Da equação |z+v|<=|z|+|v| podemos dizer |z|>=|z+v|-|v|, logo, |z|>=2sqrt(2). Uma outra maneira de pensar o problema é considerando que |z+v| representa a distância de z ao ponto -v, logo a equação |z+v|=3sqrt(2) representa uma circunferência de centro em -1-i e raio 3sqrt2, o modulo mínimo de z equivale à distância mínima de um ponto da circunferência à origem do sistema de modo que tal distância vale R-|v|=3sqrt(2)-sqrt(2)=2sqrt(2). From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Números complexos-Dúvida Date: Thu, 14 Oct 2010 01:02:44 + Considere o número complexo v=1+i.Se z é um número complexo tal que o módulo de (z+v) = 3*raiz(2),então qual o menor valor de módulo de z ?
[obm-l] Números complexos-Dú vida
Considere o número complexo v=1+i.Se z é um número complexo tal que o módulo de (z+v) = 3*raiz(2),então qual o menor valor de módulo de z ?
[obm-l] RE: [obm-l] questão de números complexos
Sauda,c~oes, Oi Alexandre, Este é o exercício 79 do Manual de Seq. e Séries Vol II e também resolvi desta maneira. Gostaria também de conhecer outra solução. Mas nada contra a utilizada. []'s Luis > Date: Sat, 21 Nov 2009 16:56:34 -0200 > From: azvd...@terra.com.br > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] questão de números complexos > > Boa tarde a todos! > Alguém conhece alguma solução para a soma Cn,1(sen x) + Cn,2 (sen 2x) > + ...Cn,n(sen nx) que não seja utilizando a expressão (1 + cis x) = > 2cos(x/2)cis(x/2)?? > Não conseguir resolver esta questão sem partir de (1 + cisx)^n e > depois utilizar a relação acima... > abraços a todos e obrigado! > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = _ Novo site do Windows Live: Novidades, dicas dos produtos e muito mais. Conheça! http://www.windowslive.com.br/?ocid=WindowsLive09_MSN_Hotmail_Tagline_out09
[obm-l] questão de números complexos
Boa tarde a todos! Alguém conhece alguma solução para a soma Cn,1(sen x) + Cn,2 (sen 2x) + ...Cn,n(sen nx) que não seja utilizando a expressão (1 + cis x) = 2cos(x/2)cis(x/2)?? Não conseguir resolver esta questão sem partir de (1 + cisx)^n e depois utilizar a relação acima... abraços a todos e obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: Re;[obm-l] Dois problemas "complexos"
Olá! É preciso tomar muito cuidado com o domínio e o contradomínio das funções trigonométricas quando se lida com complexos – veja: Vou escrever “z” na forma polar: z = r cis(t) = r e^(it) “r” e “t” são reais ; -pihttp://video.msn.com/?mkt=pt-br
Re: Re;[obm-l] Dois problemas "complexos"
[1] x^x = i Mas x^x = e^xlnxe i = e^(i pi/2) Logo xlnx = i pi/2 fazendo x=e^y y e^y = i pi/2 Assim y=W(i pi/2) , onde W(z) é a funcao W de lambert (http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html ) x=e^(W(i pi/2)) [2] z^i = e^(i lnz )= e^(i/z/ - arg[z]) ,para o ramo principal, arg[z] pertence a 0 2pi logo /z^i/ = e^( -arg[z] ) <=1 < e^pi On 12/19/08, Eduardo Wilner wrote: > > Parece que há algum problema com o item [2] pois, se z=a+bi, com a e b > reais, | z^i|= e^{arc tg (b/a)}. > > > > Albert Bouskela > > Thu, 18 Dec 2008 10:19:09 -0800 > > > > > > > > > [1] > Resolva, analiticamente, a seguinte equação: > > x^x = i > > [2] > Demonstre que: > > / z^i / <= e^pi > > Sendo: > "z" um número complexo qualquer; e > / z^i / representa o módulo de z^i .abbousk...@msn.com > > > > Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados > http://br.maisbuscados.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re;[obm-l] Dois problemas "complexos"
Parece que há algum problema com o item [2] pois, se z=a+bi, com a e b reais, | z^i|= e^{arc tg (b/a)}. Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:19:09 -0800 [1] Resolva, analiticamente, a seguinte equação: x^x = i [2] Demonstre que: / z^i / <= e^pi Sendo: "z" um número complexo qualquer; e / z^i / representa o módulo de z^i .abbousk...@msn.com Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Dois problemas "complexos"
[1] Resolva, analiticamente, a seguinte equação: x^x = i [2] Demonstre que: / z^i / <= e^pi Sendo: "z" um número complexo qualquer; e / z^i / representa o módulo de z^i .abbousk...@msn.com _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida em trigonometria e nos Complexos
Caro colega. Essas questões são de uma avaliação de um curso de atualização de professores do CEDERJ, feito a distância. Acho que se alguém colocar as soluções pra vc aqui, perderá todo o sentido do curso. - Original Message - From: Paulo Mello To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, July 22, 2008 11:51 AM Subject: [obm-l] Dúvida em trigonometria e nos Complexos pessoal, bom dia. peço orientação para resolver os seguintes problemas. 1) Resolver a inequação tan(x)-sen(2x)>0 em [-pi;+pi]. 2)Sendo Q o conjunto dos números complexos z tais que |z-2|=1.calcule o elemento de Q que possua o menor argumento possível. Obs: Q não representa conjunto dos racionais. 3) Resolva a equação: cos(3x)- (raizde 3)sen(3x) = raizde 2. Desde já agradeço a atenção. Paulo Mello -- Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG. Version: 7.5.524 / Virus Database: 270.5.2/1562 - Release Date: 7/19/ 14:01
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvida em trigonomet ria e nos Complexos
Victor, valew! Vou aplicar as sua dicas e resolver os problemas. Muito obrigado pela sua atenção. Um grande abraço. Paulo Mello. = --- Em ter, 22/7/08, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: De: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvida em trigonometria e nos Complexos Para: obm-l@mat.puc-rio.br, obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 22 de Julho de 2008, 15:59 Olá Paulo, 1) Para o primeiro , você pode usar a relação para o sen2x e desenvolver ; no entanto acredito ficar mais simples se utilizar a relaçãosen2x = 2t/(1+t^2) onde t =tanx e estudar a desigualdade , ok ? 2) para o segundo , pense assim :no plano de Argand-Gauss , o lugar de z é uma circunferência de centro (2,0) e raio 1 .Estude o menor e o maior argumento de z , analisando os pontos sobre a circunferência, ok ? 3) Para o terceiro,faça o seguinte :divida tudo por 2. Do lado esquerdo ficará o cos[(pi/3) +3x] e do lado direito ficará igual a sqrt(2)/2 que é igual ao cos(pi/4) .Daí é só resolver a equação trigonométrica simples cosa=cosb ,ok ?. Abraços Carlos Victor '>'-- Mensagem Original -- '>'Date: Tue, 22 Jul 2008 07:51:42 -0700 (PDT) '>'From: Paulo Mello <[EMAIL PROTECTED]> '>'Subject: [obm-l] Dúvida em trigonometria e nos Complexos '>'To: obm-l@mat.puc-rio.br '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '>' '>' '>' '>' '>'pessoal, bom dia. '>'peço orientação para resolver os seguintes problemas. '>'1) Resolver a inequação tan(x)-sen(2x)>0 em [-pi;+pi]. '>'2)Sendo Q o conjunto dos números complexos z tais que |z-2|=1.calcule o elemento '>'de Q que possua o menor argumento possível. '>' '>'Obs: Q não representa conjunto dos racionais. '>' '>'3) Resolva a equação: cos(3x)- (raizde 3)sen(3x) = raizde 2. '>' '>'Desde já agradeço a atenção. '>' '>'Paulo Mello '>' '>' '>' '>' Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com '>'a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. '>'http://br.new.mail.yahoo.com/addresses = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
[obm-l] RE: [obm-l] Dúvida em trigonometria e nos Complexos
Olá Paulo, 1) Para o primeiro , você pode usar a relação para o sen2x e desenvolver ; no entanto acredito ficar mais simples se utilizar a relaçãosen2x = 2t/(1+t^2) onde t =tanx e estudar a desigualdade , ok ? 2) para o segundo , pense assim :no plano de Argand-Gauss , o lugar de z é uma circunferência de centro (2,0) e raio 1 .Estude o menor e o maior argumento de z , analisando os pontos sobre a circunferência, ok ? 3) Para o terceiro,faça o seguinte :divida tudo por 2. Do lado esquerdo ficará o cos[(pi/3) +3x] e do lado direito ficará igual a sqrt(2)/2 que é igual ao cos(pi/4) .Daí é só resolver a equação trigonométrica simples cosa=cosb ,ok ?. Abraços Carlos Victor '>'-- Mensagem Original -- '>'Date: Tue, 22 Jul 2008 07:51:42 -0700 (PDT) '>'From: Paulo Mello <[EMAIL PROTECTED]> '>'Subject: [obm-l] Dúvida em trigonometria e nos Complexos '>'To: obm-l@mat.puc-rio.br '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '>' '>' '>' '>' '>'pessoal, bom dia. '>'peço orientação para resolver os seguintes problemas. '>'1) Resolver a inequação tan(x)-sen(2x)>0 em [-pi;+pi]. '>'2)Sendo Q o conjunto dos números complexos z tais que |z-2|=1.calcule o elemento '>'de Q que possua o menor argumento possível. '>' '>'Obs: Q não representa conjunto dos racionais. '>' '>'3) Resolva a equação: cos(3x)- (raizde 3)sen(3x) = raizde 2. '>' '>'Desde já agradeço a atenção. '>' '>'Paulo Mello '>' '>' '>' '>' Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com '>'a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. '>'http://br.new.mail.yahoo.com/addresses = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Dúvida em trigonometria e nos Complexos
pessoal, bom dia. peço orientação para resolver os seguintes problemas. 1) Resolver a inequação tan(x)-sen(2x)>0 em [-pi;+pi]. 2)Sendo Q o conjunto dos números complexos z tais que |z-2|=1.calcule o elemento de Q que possua o menor argumento possível. Obs: Q não representa conjunto dos racionais. 3) Resolva a equação: cos(3x)- (raizde 3)sen(3x) = raizde 2. Desde já agradeço a atenção. Paulo Mello Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
Re: [obm-l] Complexos
Arkon: Cada z (no plano xy de Argand) é representado pelo ponto P=(x,y) e z^2=x^2-y^2+2ixy. Pelas condições impostas, só interessa considerar os pontos tais que: x^2-y^2=0 , ou seja: y=x, ou y=-x. A primeira equação representa a reta bissetriz do "primeiro quadrante" do plano; a segunda, a bissetriz do segundo quadrante, retas essas perpendiculares entre si (e que passam pela origem, é lógico). Essas retas constituem apenas *um par* dentre a infinidade de pares de retas perpendiculares que passam pela origem do sistema de coordenadas. Logo, a afirmação é errada . Além disso, a redação da pergunta está incorreta porque o escrevente estava se referindo a *um par de retas perpendiculares que passa pela origem* ... e não, passam. Solicite a anulação da questão por ter ocorrido erro de Português por parte da Universidade. Mas não considere isto uma "quebrada de galho". Complexas saudações. JWGibbs 2008/6/25, arkon <[EMAIL PROTECTED]>: > > *ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR* > > ** > > *(UnB) O conjunto dos números complexos z = x + iy, para os quais se tem > que a parte real de z^2 é nula, é formado por um par de retas > perpendiculares que passam pela origem do sistema de coordenadas?* > > * * > > *Gabarito: C, ou seja, item Certo.* >
RES: [obm-l] Complexos
Temos que z^2 = x^2 - y^2 + 2xy i. Logo, x^2 = y^2, o que implica que x = y ou x = -y. Temos as 2 bissetrizes dos eixos real e imaginário. São perpendiculares e passam pela origem Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de arkon Enviada em: quarta-feira, 25 de junho de 2008 12:15 Para: obm-l Assunto: [obm-l] Complexos ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR (UnB) O conjunto dos números complexos z = x + iy, para os quais se tem que a parte real de z^2 é nula, é formado por um par de retas perpendiculares que passam pela origem do sistema de coordenadas? Gabarito: C, ou seja, item Certo.
[obm-l] Complexos
ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR (UnB) O conjunto dos números complexos z = x + iy, para os quais se tem que a parte real de z^2 é nula, é formado por um par de retas perpendiculares que passam pela origem do sistema de coordenadas? Gabarito: C, ou seja, item Certo.
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Gauss,Abel,Tartaglia-Eq. 3º Grau-Complexos
Oi Fabinho...boa tarde. Muito obrigado pela ajuda..chegou em uma ótima hora, valeu mesmo pelo seu interesse em ajudar. Ainda estou caçando as demonstrações dos outros. Mais uma vez muito obrigado pela atenção e um excelente 2008 para você e toda sua família, um abração, Marcelo. Em 30/12/07, Fabio Honorato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > Oi Marcelo , sobre o assunto "3-Demonstração da Fórmula de Tartaglia > (Cardano)" eu encontrei esse link > http://www2.dm.ufscar.br/~sampaio/eq123graus.PDF<http://www2.dm.ufscar.br/%7Esampaio/eq123graus.PDF>na > página do Prof João C V Sampaio e vc pode encontrar também algumas > informações sobre esse mesmo assunto na Revista Eureka n 15. Um exercício > muito interessante que relaciona Equações de 3º Grau com Números complexos > eh que: > > Dada a equação x^3+px+q=0, onde uma das raízes eh dada por \sqrt > [3]{-q/2+\sqrt {D}}+ \sqrt [3]{-q/2 - \sqrt {D}}, D = 1/4*q^2+1/27*p^3. > Prove que se a equação possui 3 raízes reais entaum D<0. > > Ateh + > > > > > -- > Date: Fri, 28 Dec 2007 10:35:28 -0200 > From: [EMAIL PROTECTED] > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Gauss,Abel,Tartaglia-Eq. 3º Grau-Complexos > > Olá pessoal, bom Natal a todos os membros da lista e para suas distintas > famílias também. > > Gostaria que alguém me auxiliasse no seguinte: > > Estou desenvolvendo um trabalho de pós graduação sobre soluções das > equações de terceiro grau com radicais e o aparecimento dos números > complexos, com o objetivo de fazer um projeto para o ensino médio sobre esta > área da matemática, e desejaria saber : > > 1-Algum site que contivesse a demonstração da Fórmula de Niels Abel sobre > sobre a impossibilidade de se estabelecer coeficientes para equações de grau > maior que 5 > > 2-A demonstração da Fórmula de Albert Girard sobre as raízes das equações > e seus relacionamentos entre si > > 3-Demonstração da Fórmula de Tartaglia (Cardano) > > 4-Se algum dos professores da lista, quiser compartilhar comigo alguma > experiência nesta área de equações de terceiro grau -> números complexos-> > sua história e ensino médio, será muito bem vinda. > > Muito obrigado a todos e boas festas, > > Abraços, Marcelo. > > > -- > Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver > offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o > seu!<http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br> >
[obm-l] RE: [obm-l] Gauss,Abel,Tartaglia-Eq. 3º Grau-Complexos
Oi Marcelo , sobre o assunto "3-Demonstração da Fórmula de Tartaglia (Cardano)" eu encontrei esse link http://www2.dm.ufscar.br/~sampaio/eq123graus.PDF na página do Prof João C V Sampaio e vc pode encontrar também algumas informações sobre esse mesmo assunto na Revista Eureka n 15. Um exercício muito interessante que relaciona Equações de 3º Grau com Números complexos eh que: Dada a equação x^3+px+q=0, onde uma das raízes eh dada por \sqrt [3]{-q/2+\sqrt {D}}+ \sqrt [3]{-q/2 - \sqrt {D}}, D = 1/4*q^2+1/27*p^3. Prove que se a equação possui 3 raízes reais entaum D<0. Ateh + Date: Fri, 28 Dec 2007 10:35:28 -0200From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Gauss,Abel,Tartaglia-Eq. 3º Grau-ComplexosOlá pessoal, bom Natal a todos os membros da lista e para suas distintas famílias também.Gostaria que alguém me auxiliasse no seguinte:Estou desenvolvendo um trabalho de pós graduação sobre soluções das equações de terceiro grau com radicais e o aparecimento dos números complexos, com o objetivo de fazer um projeto para o ensino médio sobre esta área da matemática, e desejaria saber :1-Algum site que contivesse a demonstração da Fórmula de Niels Abel sobre sobre a impossibilidade de se estabelecer coeficientes para equações de grau maior que 52-A demonstração da Fórmula de Albert Girard sobre as raízes das equações e seus relacionamentos entre si3-Demonstração da Fórmula de Tartaglia (Cardano)4-Se algum dos professores da lista, quiser compartilhar comigo alguma experiência nesta área de equações de terceiro grau -> números complexos-> sua história e ensino médio, será muito bem vinda.Muito obrigado a todos e boas festas,Abraços, Marcelo. _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
[obm-l] RE: [obm-l] Gauss,Abel,Tartaglia-Eq. 3º Grau-Complexos
_ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
[obm-l] Gauss,Abel,Tartaglia-Eq. 3º Grau-Complexos
Olá pessoal, bom Natal a todos os membros da lista e para suas distintas famílias também. Gostaria que alguém me auxiliasse no seguinte: Estou desenvolvendo um trabalho de pós graduação sobre soluções das equações de terceiro grau com radicais e o aparecimento dos números complexos, com o objetivo de fazer um projeto para o ensino médio sobre esta área da matemática, e desejaria saber : 1-Algum site que contivesse a demonstração da Fórmula de Niels Abel sobre sobre a impossibilidade de se estabelecer coeficientes para equações de grau maior que 5 2-A demonstração da Fórmula de Albert Girard sobre as raízes das equações e seus relacionamentos entre si 3-Demonstração da Fórmula de Tartaglia (Cardano) 4-Se algum dos professores da lista, quiser compartilhar comigo alguma experiência nesta área de equações de terceiro grau -> números complexos-> sua história e ensino médio, será muito bem vinda. Muito obrigado a todos e boas festas, Abraços, Marcelo.
Re: [obm-l] outra de complexos
(1-i)/(x+i) é o conjugado de (1+i)/(x-i) (prova-se usando só propriedades básicas de complexos), e portanto z=2.Re((1+i)/(x-i)), ou seja, é sempre real. Iuri On Dec 2, 2007 3:58 PM, albert richerd carnier guedes <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Ney Falcao escreveu: > > > > > Gostaria de uma ajuda com esta também: > > > > > > Para que valores de *x*, *x ** Î R*, o número *z* é real? > > > > > > > > Z = > > > > > > > > 1 + i > > > > > > > > + > > > > > > > > 1 – i > > > > x – i > > > > > > > > x + i > > > > > > > > Obrigado > > > > Ney > > > Olá Ney. > > Para resolver isso, primeiro é nescessario colocar z na forma > > z = a + i b > > Para isso é só fazer > > z = ( 1 + i )/( x - i ) + ( 1 - i )/( x + i ) = > = [ ( x + i )( 1 + i ) + ( x - i )( 1 - i ) ]/[ ( x + i )( x - i ) ] = > = [ x + ix + i - 1 + x - ix -i + 1 ]/[ x^2 + 1 ] = > = [ 2x ]/[ x^2 + 1 ] = 2x/(x^2 + 1) > > e como se vê, z já é real para todo x real. > Ok ? > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] outra de complexos
Ney Falcao escreveu: Gostaria de uma ajuda com esta também: Para que valores de *x*, *x ** Î R*, o número *z* é real? Z = 1 + i + 1 – i x – i x + i Obrigado Ney Olá Ney. Para resolver isso, primeiro é nescessario colocar z na forma z = a + i b Para isso é só fazer z = ( 1 + i )/( x - i ) + ( 1 - i )/( x + i ) = = [ ( x + i )( 1 + i ) + ( x - i )( 1 - i ) ]/[ ( x + i )( x - i ) ] = = [ x + ix + i - 1 + x - ix -i + 1 ]/[ x^2 + 1 ] = = [ 2x ]/[ x^2 + 1 ] = 2x/(x^2 + 1) e como se vê, z já é real para todo x real. Ok ? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] +complexos
Olá amigos, podem me ajudar com esta? Considere a expressão: Z = 1 + Ö 3 a + bi b + ai Sabendo que os reais *a** * e *b* são tais que *a² + b² = 1,* determine *a*e *b* de modo que *z* seja: 1°) um número real; 2°) imaginário puro. Obrigado Ney
Re: [obm-l] Números complexos (FEIUC-67)
albert richerd carnier guedes wrote: Ficaria mais fácil se você colocasse a resposta do gabarito para comparar, mas vou mandar a resposta e você confirma. Comecemos com a forma a+ib de 1/(1-i) 1/( 1 - i ) = [1/( 1 - i )][( 1 + i )/( 1 + i )] = ( 1 + i )/2 = 1/2 + i/2 => a=1/2 e b=1/2 Para fazer em forma trigonométrica faça sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/sqrt(2) cos(x) = [ a/sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/2 ][ 1/sqrt( 1/2 ) ] = sqrt(2)/2 = 1/sqrt(2) sen(x) = b/sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/sqrt(2) onde denoto sqrt(x) como a raiz quadrada de x. Assim, temos que como cos(x) = 1/sqrt(2) então x=pi/4 portanto dá para fazer 1/( 1 - i ) = [ 1/sqrt(2) ][ cos(pi/4)+ i sen(pi/4) ] Claro que a resposta serve para todos os x na forma x= 2n pi + pi/4 = [ 8n + 1 ][ pi/4 ] onde n é um inteiro qualquer. Com -1/i fazemos -1/i = [-1/i][ i/i ] = i=> a=0 e b=1 Na forma trigonométrica sqrt( a^2 + b^2 ) = 1 cos(x) = 0 sen(x) = 1 logo , x= pi/2, o que fica -1/i = i*sen(pi/2) que também serve para x na forma x= 2n pi + pi/2 = [ 4n + 1 ][ pi/2 ] Confirma se corresponde ao gabarito e qualquer dúvida mande mais emails, falou ? Até mais. Olá, Albert, você repartiu o 1/(1-i) -1/i em dois números. No exercício tem somente um número complexo, que é o 1/(1-i) -1/i. Aproveitando o post, irei mostrar meus cálculos comparando com o gabarito. Calculando na forma a + bi: 1/(1-i) -1/i => [i -(1-i)]/i(1-i) => [(-1 + 2i)/(i+1)]*(i-1)/(i-1) => (-1 -3i)/-2 => 1/2 + 3i/2 Forma Trigonométrica de z = 1/2 + 3i/2 módulo = p p = sqrt(1/4 + 9/4) => sqrt(10)/2 cos(a) = (1/2)/sqrt(10)/2 => sqrt(10)/10 sen(b) = (3/2)/sqrt(10)/2 =>3*sqrt(10)/10 logo: z = [sqrt(10)/2] * [cos(arc sen[3*sqrt(10)/10] + i*sen(arc cos[sqrt(10)/10]] Gabarito: forma a + bi: 1/2 + 3i/2 forma trigonometrica: z = [sqrt(10)/2] * [cos(arc tg[3]) + i*sen(arc tg[3])] Abraço a todos! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Números complexos (FEIUC-67)
Emanuel Valente escreveu: Olá pessoal, estou enrroscado no seguinte exercício do livro antigo do Iezzi. Pra ser mais preciso: Vol. 6 pág 25f, exer 35. Escrever o número complexo 1/(1-i) -1/i na forma a+bi e na trigonométrica. A forma a+bi é fácil, mas a trigonométrica não está batendo com o gabarito. Obrigado a todos desde já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Ficaria mais fácil se você colocasse a resposta do gabarito para comparar, mas vou mandar a resposta e você confirma. Comecemos com a forma a+ib de 1/(1-i) 1/( 1 - i ) = [1/( 1 - i )][( 1 + i )/( 1 + i )] = ( 1 + i )/2 = 1/2 + i/2 => a=1/2 e b=1/2 Para fazer em forma trigonométrica faça sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/sqrt(2) cos(x) = [ a/sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/2 ][ 1/sqrt( 1/2 ) ] = sqrt(2)/2 = 1/sqrt(2) sen(x) = b/sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/sqrt(2) onde denoto sqrt(x) como a raiz quadrada de x. Assim, temos que como cos(x) = 1/sqrt(2) então x=pi/4 portanto dá para fazer 1/( 1 - i ) = [ 1/sqrt(2) ][ cos(pi/4)+ i sen(pi/4) ] Claro que a resposta serve para todos os x na forma x= 2n pi + pi/4 = [ 8n + 1 ][ pi/4 ] onde n é um inteiro qualquer. Com -1/i fazemos -1/i = [-1/i][ i/i ] = i=> a=0 e b=1 Na forma trigonométrica sqrt( a^2 + b^2 ) = 1 cos(x) = 0 sen(x) = 1 logo , x= pi/2, o que fica -1/i = i*sen(pi/2) que também serve para x na forma x= 2n pi + pi/2 = [ 4n + 1 ][ pi/2 ] Confirma se corresponde ao gabarito e qualquer dúvida mande mais emails, falou ? Até mais. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Números complexos (FEIUC-67)
Olá pessoal, estou enrroscado no seguinte exercício do livro antigo do Iezzi. Pra ser mais preciso: Vol. 6 pág 25f, exer 35. Escrever o número complexo 1/(1-i) -1/i na forma a+bi e na trigonométrica. A forma a+bi é fácil, mas a trigonométrica não está batendo com o gabarito. Obrigado a todos desde já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Além dos complexos
Acessei o wikipedia, como o Bruno indicou, e vi que números não são apenas números, nada mais que números. A ótima explicação do Angelo serviu para iluminar este admirável mundo "novo". Descobri até os surreais! Eu admirava os complexos pelo aspecto operacional deles mas me convenci de que, sem álgebra, não passarei de um utilizador de calculadoras. Pelo jeito, os números são uma estratégia de marketing das álgebras para a atração de estudantes incautos. Um abraço, Sérgio - Original Message - From: Angelo Schranko To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, November 20, 2007 9:59 AM Subject: Re: [obm-l] Além dos complexos Meu caro, dê uma olhada em: http://en.wikipedia.org/wiki/Hypercomplex_number Há várias informações interessantes e servem como ponto de partida. [ ]´s Angelo Bruno França dos Reis <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Não sou nem o Nehab nem o Arthur, mas arrisco. Sugiro vc procurar sobre "quatérnions". Se não me engano, Hamilton ficou muito tempo tentando fazer o que vc esta querendo, e concluiu que para conseguir aumetar o conjunto dos complexos da forma que vc propoe, não seria possivel "colocando apenas mais um eixo" sem perder muitas propriedades algebricas interessantes. Mesmo colocando mais dois eixos, o j e o k, somos obrigados a abrir mão de alguma coisa, no caso da comutatividade. Hamilton definiu que: i^2 = j^2 = k^2 = -1 ij = k ji = -k jk = i kj = -i ki = j ik = -j Nesse espaço vc consegue construir uma metrica, e assim identifica-lo com um espaço euclidiano de dimensão 4, da mesma forma como faz com os complexos, identificando-os com um plano, ie, um espaço euclidiano de dimensão 2. De forma semelhante, vc define os octonios (ai vc tera um sistema de 8 eixos) abrindo mao tambem da associatividade. Vc pode extender isso pra qq dimensao da forma 2^n, mas a partir de n=4 (ie, dimensao 16), ja nao presta pra muita coisa: vc perdeu comutatividade, associatividade e alem disso nao conseguira fazer uma identificacao com um espaço euclidiano (pois nao consegue definir uma métrica). Abraço Bruno
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Além dos complexos
Mas é o Brunoe isto é coisa pra caramba ! Bela resposta ... Nehab Artur Costa Steiner escreveu: Certamente é mais capacitado, pelo menos do que eu! É isto aí, grande resposta! Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Bruno França dos Reis Enviada em: terça-feira, 20 de novembro de 2007 08:10 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Além dos complexos Não sou nem o Nehab nem o Arthur, mas arrisco. Sugiro vc procurar sobre "quatérnions". Se não me engano, Hamilton ficou muito tempo tentando fazer o que vc esta querendo, e concluiu que para conseguir aumetar o conjunto dos complexos da forma que vc propoe, não seria possivel "colocando apenas mais um eixo" sem perder muitas propriedades algebricas interessantes. Mesmo colocando mais dois eixos, o j e o k, somos obrigados a abrir mão de alguma coisa, no caso da comutatividade. Hamilton definiu que: i^2 = j^2 = k^2 = -1 ij = k ji = -k jk = i kj = -i ki = j ik = -j Nesse espaço vc consegue construir uma metrica, e assim identifica-lo com um espaço euclidiano de dimensão 4, da mesma forma como faz com os complexos, identificando-os com um plano, ie, um espaço euclidiano de dimensão 2. De forma semelhante, vc define os octonios (ai vc tera um sistema de 8 eixos) abrindo mao tambem da associatividade. Vc pode extender isso pra qq dimensao da forma 2^n, mas a partir de n=4 (ie, dimensao 16), ja nao presta pra muita coisa: vc perdeu comutatividade, associatividade e alem disso nao conseguira fazer uma identificacao com um espaço euclidiano (pois nao consegue definir uma métrica). Abraço Bruno 2007/11/20, Sérgio Martins da Silva <[EMAIL PROTECTED]>: Nehab e Artur, O eixo dos imaginários faz 90 graus com o eixo dos reais. No entanto, podemos pensar que qualquer reta pertencente a um plano ortogonal ao eixo dos reais também faz 90 graus com o eixo real. Ou seja, podemos ter diferentes eixos imaginários j, k, etc, de forma que estes eixos sejam distintos entre si e que j^2 = -1, k^2 = -1. Um caso particular seria aquele em que o eixo dos reais, o eixo i e o eixo j sejam mutuamente perpendiculares. Isso existe? Um abraço, Sérgio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Além dos complexos
Certamente é mais capacitado, pelo menos do que eu! É isto aí, grande resposta! Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno França dos Reis Enviada em: terça-feira, 20 de novembro de 2007 08:10 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Além dos complexos Não sou nem o Nehab nem o Arthur, mas arrisco. Sugiro vc procurar sobre "quatérnions". Se não me engano, Hamilton ficou muito tempo tentando fazer o que vc esta querendo, e concluiu que para conseguir aumetar o conjunto dos complexos da forma que vc propoe, não seria possivel "colocando apenas mais um eixo" sem perder muitas propriedades algebricas interessantes. Mesmo colocando mais dois eixos, o j e o k, somos obrigados a abrir mão de alguma coisa, no caso da comutatividade. Hamilton definiu que: i^2 = j^2 = k^2 = -1 ij = k ji = -k jk = i kj = -i ki = j ik = -j Nesse espaço vc consegue construir uma metrica, e assim identifica-lo com um espaço euclidiano de dimensão 4, da mesma forma como faz com os complexos, identificando-os com um plano, ie, um espaço euclidiano de dimensão 2. De forma semelhante, vc define os octonios (ai vc tera um sistema de 8 eixos) abrindo mao tambem da associatividade. Vc pode extender isso pra qq dimensao da forma 2^n, mas a partir de n=4 (ie, dimensao 16), ja nao presta pra muita coisa: vc perdeu comutatividade, associatividade e alem disso nao conseguira fazer uma identificacao com um espaço euclidiano (pois nao consegue definir uma métrica). Abraço Bruno 2007/11/20, Sérgio Martins da Silva < [EMAIL PROTECTED]>: Nehab e Artur, O eixo dos imaginários faz 90 graus com o eixo dos reais. No entanto, podemos pensar que qualquer reta pertencente a um plano ortogonal ao eixo dos reais também faz 90 graus com o eixo real. Ou seja, podemos ter diferentes eixos imaginários j, k, etc, de forma que estes eixos sejam distintos entre si e que j^2 = -1, k^2 = -1. Um caso particular seria aquele em que o eixo dos reais, o eixo i e o eixo j sejam mutuamente perpendiculares. Isso existe? Um abraço, Sérgio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Além dos complexos
Meu caro, dê uma olhada em: http://en.wikipedia.org/wiki/Hypercomplex_number Há várias informações interessantes e servem como ponto de partida. [ ]´s Angelo Bruno França dos Reis <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Não sou nem o Nehab nem o Arthur, mas arrisco. Sugiro vc procurar sobre "quatérnions". Se não me engano, Hamilton ficou muito tempo tentando fazer o que vc esta querendo, e concluiu que para conseguir aumetar o conjunto dos complexos da forma que vc propoe, não seria possivel "colocando apenas mais um eixo" sem perder muitas propriedades algebricas interessantes. Mesmo colocando mais dois eixos, o j e o k, somos obrigados a abrir mão de alguma coisa, no caso da comutatividade. Hamilton definiu que: i^2 = j^2 = k^2 = -1 ij = k ji = -k jk = i kj = -i ki = j ik = -j Nesse espaço vc consegue construir uma metrica, e assim identifica-lo com um espaço euclidiano de dimensão 4, da mesma forma como faz com os complexos, identificando-os com um plano, ie, um espaço euclidiano de dimensão 2. De forma semelhante, vc define os octonios (ai vc tera um sistema de 8 eixos) abrindo mao tambem da associatividade. Vc pode extender isso pra qq dimensao da forma 2^n, mas a partir de n=4 (ie, dimensao 16), ja nao presta pra muita coisa: vc perdeu comutatividade, associatividade e alem disso nao conseguira fazer uma identificacao com um espaço euclidiano (pois nao consegue definir uma métrica). Abraço Bruno 2007/11/20, Sérgio Martins da Silva <[EMAIL PROTECTED]>: Nehab e Artur, O eixo dos imaginários faz 90 graus com o eixo dos reais. No entanto, podemos pensar que qualquer reta pertencente a um plano ortogonal ao eixo dos reais também faz 90 graus com o eixo real. Ou seja, podemos ter diferentes eixos imaginários j, k, etc, de forma que estes eixos sejam distintos entre si e que j^2 = -1, k^2 = -1. Um caso particular seria aquele em que o eixo dos reais, o eixo i e o eixo j sejam mutuamente perpendiculares. Isso existe? Um abraço, Sérgio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0 - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Além dos complexos
Não sou nem o Nehab nem o Arthur, mas arrisco. Sugiro vc procurar sobre "quatérnions". Se não me engano, Hamilton ficou muito tempo tentando fazer o que vc esta querendo, e concluiu que para conseguir aumetar o conjunto dos complexos da forma que vc propoe, não seria possivel "colocando apenas mais um eixo" sem perder muitas propriedades algebricas interessantes. Mesmo colocando mais dois eixos, o j e o k, somos obrigados a abrir mão de alguma coisa, no caso da comutatividade. Hamilton definiu que: i^2 = j^2 = k^2 = -1 ij = k ji = -k jk = i kj = -i ki = j ik = -j Nesse espaço vc consegue construir uma metrica, e assim identifica-lo com um espaço euclidiano de dimensão 4, da mesma forma como faz com os complexos, identificando-os com um plano, ie, um espaço euclidiano de dimensão 2. De forma semelhante, vc define os octonios (ai vc tera um sistema de 8 eixos) abrindo mao tambem da associatividade. Vc pode extender isso pra qq dimensao da forma 2^n, mas a partir de n=4 (ie, dimensao 16), ja nao presta pra muita coisa: vc perdeu comutatividade, associatividade e alem disso nao conseguira fazer uma identificacao com um espaço euclidiano (pois nao consegue definir uma métrica). Abraço Bruno 2007/11/20, Sérgio Martins da Silva <[EMAIL PROTECTED]>: > > Nehab e Artur, > > O eixo dos imaginários faz 90 graus com o eixo dos reais. No entanto, > podemos pensar que qualquer reta pertencente a um plano ortogonal ao eixo > dos reais também faz 90 graus com o eixo real. Ou seja, podemos ter > diferentes eixos imaginários j, k, etc, de forma que estes eixos sejam > distintos entre si e que j^2 = -1, k^2 = -1. Um caso particular seria > aquele em que o eixo dos reais, o eixo i e o eixo j sejam mutuamente > perpendiculares. Isso existe? > > Um abraço, > > Sérgio > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0
[obm-l] Além dos complexos
Nehab e Artur, O eixo dos imaginários faz 90 graus com o eixo dos reais. No entanto, podemos pensar que qualquer reta pertencente a um plano ortogonal ao eixo dos reais também faz 90 graus com o eixo real. Ou seja, podemos ter diferentes eixos imaginários j, k, etc, de forma que estes eixos sejam distintos entre si e que j^2 = -1, k^2 = -1. Um caso particular seria aquele em que o eixo dos reais, o eixo i e o eixo j sejam mutuamente perpendiculares. Isso existe? Um abraço, Sérgio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Vetores e complexos etc
Oi, Sergio, Como o Arthur também te respondeu, como sempre de forma maravilhosa, agora você tem duas respostas diferentes mas complementares para sua pergunta. Mas é engraçado. Você sacou o "meu" ponto. O entusiamo é realmente de adolescente quando se trata de fazer os meninos criarem intuição sobre os conceitos e o ferramental matemático. Só assim eu acho que criarão "jogo de cintura" para serem bons "resolvedores de problemas" no futuro E de fato eu abro mão mesmo de "formalismos" na primeira (e segunda) apresentação de um conceito novo. Meu entendimento (e não estou só nisto, tenho ótimas companhias... - o velho Piaget e principalmente o Vigotsky - de quem sou profundo admirador..., é que o método dedutivo só pode ser usado quando já há alguma intuição desenvolvida na cabeça dos meninos. Por isto, não tenho nenhum constrangimento de ser "radicalmente intuitivo"... Mas não tenha dúvidas: quando comecei (há uns 40 e tal anos) eu dava aula para mim, não para os alunos. Tenho esta consciência crítica. Mas alguns anos depois (não foi tão rápido como eu gostaria...) eu descobri que tinha que dar aula para os alunos... Acho até que alguns coroas da lista (rsrsrsrsrs) me pegaram na fase jovem narcísica (aquela em que a gente dá aula para a gente mesmo). Meu trauma foi quando pela primeira vez tive que ensinar os "epsilons e deltas" de limites... Caramba, quase fui linchado pelos alunos... E eles tinham razão: eu bem que merecia um enforcamentozinho... Mas veja, sou absolutamente favorável ao formalismo. A questão é apenas em que momento os meninos estão em condições de assimilá-lo. Quanto ao produto de complexos, não há muito o que dizer de criativo... A gente começa pela álgebra, como é de se esperar zw = (a+bi)(c+di) etc mas o interessante é claro, é mostrar que se |w | = 1 o que você tem é uma rotação, o que lá na frente nos possibilita matar inúmeros problemas clássicos de Geometria usando complexos... Se você é fissurado neste tema (como eu sou) veja possivelmente o melhor link atual sobre isto: http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/ComplexNumbersGeometry.shtml Abração Nehab PS: Acho que me deu uma certa preguiça para detalhar o "acima" mas mesmo assim acho que sua pergunta original foi respondida... Se você discordar, reclame... Sérgio Martins da Silva escreveu: Nehab, Gostei do entusiasmo pela didática. Aguardo o produto de complexos. Abraços, Sérgio - Original Message - From: Carlos Nehab To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, November 14, 2007 12:05 AM Subject: Re: [obm-l] Vetores e complexos etc Oi, Sérgio, Interessante a pergunta e tive um ataque maluco de prolixidade na resposta Virou quase uma aula de introdução a como "criar intuição sobre isto" mas já que escrevi , ai vai :-) Ficou ENOORME Espero que te ajuda... e que o majordomo não me "cape"... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Vetores e complexos etc
Sauda,c~oes, E já que estamos nisso. Qual a diferença entre imagem e afixo no plano de Argand-Gauss: (a,b)=a+bi é imagem e/ou afixo ou nada disso? []'s Luís From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Vetores e complexos etcDate: Thu, 15 Nov 2007 14:46:34 -0200 Nehab, Gostei do entusiasmo pela didática. Aguardo o produto de complexos. Abraços, Sérgio _ Receba as últimas notícias do Brasil e do mundo direto no seu Messenger com Alertas MSN! É GRÁTIS! http://alertas.br.msn.com/
Re: [obm-l] Vetores e complexos
Artur, Gostei da perspectiva de estruturas algébricas. Obrigado, Sérgio - Original Message - From: Artur Costa Steiner To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, November 14, 2007 10:20 AM Subject: RES: [obm-l] Vetores e complexos A diferença fundamental entre o plano cartesiano e o plano complexo não reside, na realidade, na natureza de seus componentes. Tanto os elementos de R^2 como os elementos dos complexos C são pares ordenados de números reais. Ate aí, não há absolutamente nenhuma diferença. A diferenca aparece quando deixamos de considera-los apenas como conjuntos e passamos a considera-los como estruturas algebricas. O R^2 eh um espaco vetorial sobre o corpo dos reais, mas o R^2, com a estrutura algebrica nele definida, nao eh um corpo, Nao podemos dois multiplicar elementos de R^2 e obter outro elemento de R^2. O chamado produto escalar, ou interno, nao atende a esta condicao. Nem o chamado produto vetorial, geralmente definido em R^3, na Fisica, e muito usado na mecanica e no eletromagnetismo. Mas, quando equipamos R^2 com as operacoes de soma e multiplicacao, definidas por (a ,b) + (c , d) = (a +b, c + d) e (a ,b) * (c , d) = ((ac - bd) , (ad + bc)), obtemos um corpo. A estrutura algebrica conhecida como corpo e que satisfaz a todos os axiomas que a definem. Assim, vistos meramente como conjuntos, R^2 e C sao identicos. Mas vistos como estruturas algebricas, sao diferentes. De forma rigorosa, ao nos referrimos ao corpo dos complexos, nao deveriamos escrever apenas C, mas sim (C, + , *), para siginificar um corpo com relacao as operacoes de adicao e multiplicacao anteriormente citadas. Uma terna composta pelo conjunto C, formado pelos pares de reais, pela operacao + e pela operacao *, jah citadas. Mas, por uma questao de simplicidade, escreve-se apenas C, estando subentendida estrutura de corpo e as operacoes + e *.. Eh usual representar-se o elemento de C de parte real a e parte imaginaria b por a + bi, e nao por (a, b). Mas eh a mesma coisa. Isso dah aos complexos um sentido mais de numero e podemos entao dizer que os reais sao subconnjunto (ou melhor, sub corpo) de C, formado pelos elementos com parte imaginaria nula. Matematicamente, hah um isomorfismo entre o conjunto dos pares (a, b) e os numeros a + bi, o qual identifica um conjunto com o outro. Por exemplo, o real 1 eh identificado com (1,0) e i é identificado com (0 , 1). Em um bom livro de algebra voce acha estes conceitos. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de colombo Enviada em: terça-feira, 13 de novembro de 2007 21:08 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Vetores e complexos Não tem nenhuma diferença, a única coisa que muda é que quando estamos no plano complexo podemos multiplicar os vetores (a,b)(c,d), o que não existia no plano cartesiano. E lógico quando podemos multiplicar os vetores, dizemos que estamos multiplicando números complexos. t+ Jones On Nov 13, 2007 1:12 PM, Sérgio Martins <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Colegas, Qual a diferença do plano cartesiano para o plano complexo, ou seja, entre (a,b) representando um vetor e um número complexo? Um abraço, Sérgio
Re: [obm-l] Vetores e complexos etc
Nehab, Gostei do entusiasmo pela didática. Aguardo o produto de complexos. Abraços, Sérgio - Original Message - From: Carlos Nehab To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, November 14, 2007 12:05 AM Subject: Re: [obm-l] Vetores e complexos etc Oi, Sérgio, Interessante a pergunta e tive um ataque maluco de prolixidade na resposta Virou quase uma aula de introdução a como "criar intuição sobre isto" mas já que escrevi , ai vai :-) Ficou ENOORME Espero que te ajuda... e que o majordomo não me "cape"...
RES: [obm-l] Vetores e complexos
A diferença fundamental entre o plano cartesiano e o plano complexo não reside, na realidade, na natureza de seus componentes. Tanto os elementos de R^2 como os elementos dos complexos C são pares ordenados de números reais. Ate aí, não há absolutamente nenhuma diferença. A diferenca aparece quando deixamos de considera-los apenas como conjuntos e passamos a considera-los como estruturas algebricas. O R^2 eh um espaco vetorial sobre o corpo dos reais, mas o R^2, com a estrutura algebrica nele definida, nao eh um corpo, Nao podemos dois multiplicar elementos de R^2 e obter outro elemento de R^2. O chamado produto escalar, ou interno, nao atende a esta condicao. Nem o chamado produto vetorial, geralmente definido em R^3, na Fisica, e muito usado na mecanica e no eletromagnetismo. Mas, quando equipamos R^2 com as operacoes de soma e multiplicacao, definidas por (a ,b) + (c , d) = (a +b, c + d) e (a ,b) * (c , d) = ((ac - bd) , (ad + bc)), obtemos um corpo. A estrutura algebrica conhecida como corpo e que satisfaz a todos os axiomas que a definem. Assim, vistos meramente como conjuntos, R^2 e C sao identicos. Mas vistos como estruturas algebricas, sao diferentes. De forma rigorosa, ao nos referrimos ao corpo dos complexos, nao deveriamos escrever apenas C, mas sim (C, + , *), para siginificar um corpo com relacao as operacoes de adicao e multiplicacao anteriormente citadas. Uma terna composta pelo conjunto C, formado pelos pares de reais, pela operacao + e pela operacao *, jah citadas. Mas, por uma questao de simplicidade, escreve-se apenas C, estando subentendida estrutura de corpo e as operacoes + e *.. Eh usual representar-se o elemento de C de parte real a e parte imaginaria b por a + bi, e nao por (a, b). Mas eh a mesma coisa. Isso dah aos complexos um sentido mais de numero e podemos entao dizer que os reais sao subconnjunto (ou melhor, sub corpo) de C, formado pelos elementos com parte imaginaria nula. Matematicamente, hah um isomorfismo entre o conjunto dos pares (a, b) e os numeros a + bi, o qual identifica um conjunto com o outro. Por exemplo, o real 1 eh identificado com (1,0) e i é identificado com (0 , 1). Em um bom livro de algebra voce acha estes conceitos. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de colombo Enviada em: terça-feira, 13 de novembro de 2007 21:08 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Vetores e complexos Não tem nenhuma diferença, a única coisa que muda é que quando estamos no plano complexo podemos multiplicar os vetores (a,b)(c,d), o que não existia no plano cartesiano. E lógico quando podemos multiplicar os vetores, dizemos que estamos multiplicando números complexos. t+ Jones On Nov 13, 2007 1:12 PM, Sérgio Martins < [EMAIL PROTECTED]> wrote: Colegas, Qual a diferença do plano cartesiano para o plano complexo, ou seja, entre (a,b) representando um vetor e um número complexo? Um abraço, Sérgio
Re: [obm-l] Vetores e complexos etc
Oi, Sérgio, Interessante a pergunta e tive um ataque maluco de prolixidade na resposta Virou quase uma aula de introdução a como "criar intuição sobre isto" mas já que escrevi , ai vai :-) Ficou ENOORME Espero que te ajuda... e que o majordomo não me "cape"... 0) No fundo no fundo, um "par de eixos" é um belo artifício para modelar inúmeros objetos ou situações em matemática (e física, etc), que ajudam um bocado a gente. Vamos a seu primeiro exemplo, o Plano Cartesiano... (no fundo você falou pelo menos em 3 abstrações: plano cartesiano, vetores e complexos... vamos devagar... 1) Primeiro pensemos no problema de posicionar um ponto em um plano, usando os dois eixos como "referenciais" (como poderíamos estar interessados em posicionar um ponto na Terra, através da longitude e latitude; ou a posição de uma casa no jogo de batalha naval, etc). Ai, é claro, que dois números (a tal da abscissa e da ordenada) resolvem adequadamente esta situação. Então conseguimos associar (biunivocamente) um ponto do plano a um par de números e reciprocamente (sem entrar no merito - nem agora nem depois - , que a reta e os reais são amiguinhos). Veja que, concretamente, um ponto (uma abstração geométrica) não tem NADA, absolutamente NADA que haver com um par de números (outra abstração), mas esta "identificação" nos pemite trabalhar em dois "ambientes" diferentes e nos permite associar, portanto, conjunto de pares de números a um conjunto de pontos do plano (que no fundo é uma figura - ou seja, um objeto da geometria) Portanto, associamos pares de números a figura da geometria plana. 2) Vejamos, agora outra associação. Dada uma "relação real - uma equação ou inequação" envolvendo duas variáveis, por exemplo, y = 2x + 1, podemos imaginar que ela é verdadeira para vários pares de números x e y e como já pensamos em pares de números reais há pouco, poderíamos então imaginar que o conjunto solução desta "relação" é identificável com um conjunto de pontos do plano... Então, olha que genial: conseguimos (viva Descartes etc) associar um conjunto de pontos do plano (uma figura geométrica) a uma equação (uma outra abstração)... Daí, "olhamos" para a equação x^2 + y^2 = 1 e "vemos" uma circunferência. Não é bárbaro a naturalidade com que fazemos isto sem muitas vezes perceber a brutal abstração envolvida ? Ah, adoraria que todos os profesores do mundo percebessem como isto é um novo paradigma para o(a)s menino(a)s de 7a e 8a série (agora 8a e 9a)... Não é a toa que neguinho chega no segundo grau - muitas vezes no vestiba - , e não consegue entender NADA, mas NADA de NADA de NDA de geometria analitica... Foram maltratados lá no início... e também no fim :-) . 3) Vetorzinhos da Física... A gente aprende que um vetor fica definido quando conhecemos sua direção, sentido e módulo. Bem, ai adoraríamos que as setinhas nos ajudassem (pois setinhas possuem tamanho, direção e sentido...). Mas uma setinha de um ponto A a um ponto B NÃO é um vetor. Verdade que outras setinhas também podem ter o mesmo módulo direção e sentido e então um vetor é identificado com o conjunto das setinhas blá, blá, blá (taí uma boa oportunidade para falar em relações de equivalência - entre setinhas, etc, etc) Então, podemos imaginar que é útil prá caramba representar um vetor de tal módulo, direção e sentido por uma setinha na origem de um sistema de eixos (ortogonais). Aí, dá para perceber que suas projeções sobre os eixos coincidem com as coordenadas do ponto extremo da setinha anterior... (um pulo do gato!). Então ficou interessante identificarmos um vetor por um par de números que representam suas projeções sobre os dois eixos e ao mesmo tempo tal par de numeros seria (também) o ponto extremidade da setinha de origem na origem e que o representa Depois, o professor de Física nos ensina como somar vetores, subtrair e a gente fica feliz da vida pois descobrimos que basta somar ou subtaris as componentes dos dois vetores que obtemos o vetor soma. Ou seja, descobrirmos que é útil imaginar que estamos somando e subtraindo pares de números reais pois isto é MUITO útil para a Física Então, os pares de números que antes serviam para "localizar" um ponto no plano, tiveram outra funcionalidade. Quando imaginamso que os pares de números representam vetores do plano (suas componentes) já botamos as manguinas de fora e estamos somando e subtarindo pares de números reais PORQUE é ÚTILpelo menos pros nossos vetorzinhos... Mas ai (para não me alongar quase infinitamente...) a Física vem com o papo que é interessante calcular a projeção de um vetor u = (u1, u2) sobre outro vetor v = (v1, v2), por exemplo, onde u1 e v1 são as projeções de u e v sobre Ox e u2 e v2 sobre Oy. Ai a gente percebe que a conta a fazer é |u|. cos alfa, onde alfa é o ângulo entre u
Re: [obm-l] Vetores e complexos
Não tem nenhuma diferença, a única coisa que muda é que quando estamos no plano complexo podemos multiplicar os vetores (a,b)(c,d), o que não existia no plano cartesiano. E lógico quando podemos multiplicar os vetores, dizemos que estamos multiplicando números complexos. t+ Jones On Nov 13, 2007 1:12 PM, Sérgio Martins <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Colegas, > > Qual a diferença do plano cartesiano para o plano complexo, ou seja, entre > (a,b) representando um vetor e um número complexo? > > Um abraço, > > Sérgio >
[obm-l] Vetores e complexos
Colegas, Qual a diferença do plano cartesiano para o plano complexo, ou seja, entre (a,b) representando um vetor e um número complexo? Um abraço, Sérgio
[obm-l] Equações algébricas e números complexos
Prezados, bom dia. Peço uma orientação para a resolução do seguinte problema: 1) Calcular a raiz quarta de (-1+i). Encontrei como solução ( expressão) geral: Z= (2)^1/8 [cos( 3/16*pi +k*pi/2) + isen(3/16*pi +k*pi/2) está correto ? 2) Qual o polinômio de menor grau possível de coeficientes inteiros, de tal modo que: (1+ raiz de 3) ,i , raiz de três, e 1/4 sejam raizes de p(x) . Mais uma vez obrigado. Bruno Bruno. - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
[obm-l] Números complexos e equações
Prezados, bom dia. Peço uma orientação para a resolução do seguinte problema: 1) Calcular a raiz quarta de (-1+i). Encontrei como solução ( expressão) geral: Z= (2)^1/8 [cos( 3*pi/16 +k*pi/2) + isen(3*pi/16 +k*pi/2) está correto ? 2) Qual o polinômio de menor grau possível de coeficientes inteiros, de tal modo que: (1+ raiz de 3) ,i , raiz de três, e 1/4 sejam raizes de p(x) . Mais uma vez obrigado. Bruno - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Duvida - COMPLEXOS
Olá, vamos ordenar z1, z2, ..., zn pelos seus módulos.. sendo z1 o menor e zn o maior.. |z1^n| <= |z1z2...zn| <= |zn^n| vamos encontrar z, tal que: z^n = (z1)(z2)...(zn) para isso, vamos dizer que: |z| = |z1z2..zn|^(1/n) e arg(z) = arg(z1z2...zn)/n logo: z^n = (z1)(z2)...(zn) agora, temos que mostrar que z pertence a D. |z1|^n <= |z|^n <= |zn|^n, entao, ja sabemos que: |z1| <= |z| <= |zn| seja M = max{argz1, argz2, ..., argzn} e m = min{argz1, argz2, ..., argzn} n*m <= arg(z1z2..zn) <= n*M n*m <= arg(z^n) <= n*M entao: m <= arg(z) <= M vamos dizer que D = { z tq |z-z0| <= r }... sabemos que: |z1| <= |z| <= |zn| m <= arg(z) <= M bom.. fiquei tentando mostrar que z esta em D.. mas ainda nao consegui... mandei o q fiz pq as vezes alguem pode continuar abracos, Salhab On 7/4/07, Joÿe3o Silva <[EMAIL PROTECTED]> wrote: (Romenia) Seja D um disco fechado no plano complexo. Prove que para todo inteiro positivo n e para todos complexos z1, z2, ..., zn que pertencem a D, existe um z em D tq: z^n = (z1).(z2)...(zn). - obs: Estou enviando este problema novamente pois nao apareceu nenhuma solução correta. Note que no enunciado há a possibilidade de 0 não pertencer ao disco. Sendo assim, não se pode afirmar que o conjunto D é D = {r*e^(i*theta) ; 0 <= r <= R, 0 <= theta < 2pi}, pois pode ser que D não tenha centro na origem. Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Duvida - COMPLEXOS
(Romenia) Seja D um disco fechado no plano complexo. Prove que para todo inteiro positivo n e para todos complexos z1, z2, ..., zn que pertencem a D, existe um z em D tq: z^n = (z1).(z2)...(zn). - obs: Estou enviando este problema novamente pois nao apareceu nenhuma solução correta. Note que no enunciado há a possibilidade de 0 não pertencer ao disco. Sendo assim, não se pode afirmar que o conjunto D é D = {r*e^(i*theta) ; 0 <= r <= R, 0 <= theta < 2pi}, pois pode ser que D não tenha centro na origem. - Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Re: [obm-l] Duvida - COMPLEXOS
Esse vc pode fazer por construção. Seja R o raio do disco. Então o conjunto D é: D = {r*e^(i*theta) ; 0 <= r <= R, 0 <= theta < 2pi} Escolha n elementos de D, z_1, z_2, ..., z_n, e escreva-os como z_k = a_k * e^(i*theta_k), de forma que a_k é real (com 0 <= a_k <= R, o que é fácil de demonstrar) e theta_k é real em [0; 2pi). Assim, o produto Z = z_1 * z_2 * ... * z_n é escrito como: Z = a_1 * a_2 * ... * a_n * e^(i* (theta_1 + theta_2 + ... + theta_n)) Seja Theta o menor real positivo tal que Theta + 2pi * j = theta_1 + theta_2 + ... + theta_n, com j inteiro positivo. Seja também A = a_1 * a_2 * ... * a_n. Assim: Z = A*e^(i*Theta). (claro que 0 <= Theta < 2pi) Precisamos mostrar que existe z = a*e^(theta) em D tal que z^n = Z <==> a^n * e^(i*n*theta) = A * e^(i*Theta). Para qualquer escolha dos z_k, sabemos que o produto dos a_k não poderá passar jamais de R^k, já que 0 <= a_k <= R para todo k. Assim, temos que 0 <= A <= R^n. Tome então a = A^(1/n), e assim 0 <= a <= R. Lembrando que 0 <= Theta < 2pi, tome theta = Theta/n (o que implica theta em [0, 2pi)), então : z^n = (a*e^(i*theta))^n = a^n * e^(i*n*theta) = A * e^(i*Theta) = z_1 * z_2 * ... * z_n. Das observação acima, z pertence ao disco D e z^n = z_1 * ... * z_n, conforme pedido. Abraço Bruno 2007/6/10, Joÿe3o Silva <[EMAIL PROTECTED]>: (Romenia) Seja D um disco fechado no plano complexo. Prove que para todo inteiro positivo n e para todos complexos z1, z2, ..., zn que pertencem a D, existe um z em D tq: z^n = (z1).(z2)...(zn). -- Novo Yahoo! Cadê? <http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso+> - Experimente uma nova busca. -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0
[obm-l] Duvida - COMPLEXOS
(Romenia) Seja D um disco fechado no plano complexo. Prove que para todo inteiro positivo n e para todos complexos z1, z2, ..., zn que pertencem a D, existe um z em D tq: z^n = (z1).(z2)...(zn). - Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Re: [obm-l] Fatorial para numeros reais e/ou complexos
Ola, de uma procurada sobre a funcao Gamma.. ela é uma integral imprópria! Segue um link da Wikipedia: http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_gama Em ingles: http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function (mais completo) abracos, Salhab On 4/17/07, Aleksander <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Alguem poderia me ajudar com a definicao de fatorial para numeros reais e/ou complexos? Muito obrigado, Aleksander Medella -- ¡AleK! site: www.alk8.deviantart.com msn: [EMAIL PROTECTED] email: [EMAIL PROTECTED] cel: 21 8808-4943 Obrigado! Muito obrigado! -- "Nao importa quao boa seja uma pessoa, ela vai feri-lo de vez em quando e voce precisa perdoa-la por isso" = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fatorial para numeros reais e/ou complexos
http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function On 4/17/07, Aleksander <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Alguem poderia me ajudar com a definicao de fatorial para numeros reais e/ou complexos? Muito obrigado, Aleksander Medella -- ¡AleK! site: www.alk8.deviantart.com msn: [EMAIL PROTECTED] email: [EMAIL PROTECTED] cel: 21 8808-4943 Obrigado! Muito obrigado! -- "Nao importa quao boa seja uma pessoa, ela vai feri-lo de vez em quando e voce precisa perdoa-la por isso" = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Fatorial para numeros reais e/ou complexos
Alguem poderia me ajudar com a definicao de fatorial para numeros reais e/ou complexos? Muito obrigado, Aleksander Medella -- ¡AleK! site: www.alk8.deviantart.com msn: [EMAIL PROTECTED] email: [EMAIL PROTECTED] cel: 21 8808-4943 Obrigado! Muito obrigado! -- "Nao importa quao boa seja uma pessoa, ela vai feri-lo de vez em quando e voce precisa perdoa-la por isso" = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] algebra complexa dos complexos
Sauda,c~oes, Oi Claudio, Teorema 5: A cns para que r_k = cis(2k\pi/n) seja raiz primitiva de índice n da unidade é que k seja primo com n. Com efeito, para r_k ser raiz primitiva da unidade, r_k não pode ser raiz da unidade com índice menor que n e, portanto, a fração k/n deve ser insimplificável (ou irredutível). Isto remete ao Teorema 6, onde antes escrevera e o Claudio respondera: > Depois mando o Teorema 6, que trata do número de > raízes primitivas de índice n da unidade. Também sem > demonstração. > Este número é Phi(n) = número de inteiros positivos menores do que n e primos com n. Teorema 6: Se a decomposição do número n em fatores primos é n = p^\alpha q^\beta ... s^\lambda , então o número de raízes primitivas de índice n da unidade é Phi(n). E Phi(n) = n(1 - 1/p)(1 - 1/q) ... (1 - 1/s). Como demonstrar isto é outra história. No livro de Álgebra do Morgado tem uma referência. E o Google ajuda também. []'s, Luís _ Descubra como mandar Torpedos SMS do seu Messenger para o celular dos seus amigos. http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] algebra complexa dos complexos
De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Tue, 27 Mar 2007 15:06:17 + Assunto:[obm-l] algebra complexa dos complexos > Sauda,c~oes, > > Tenho duas apostilas dos anos 70 que tratam dos > números complexos: uma do Morgado (minha) e > outra do Reinaldo (?) do Impacto que ganhei > (surrupiei, afanei :<) ) de um irmão. > > Nelas vemos alguns teoremas, uns demonstrados, > outros não. > > Um teorema muito útil é o seguinte: > > Teorema 7 no M: A soma das potências de expoente m > das raízes de índice n da unidade é igual a n se m é > múltiplo de n e igual a zero, caso contrário. > > Demonstração: m = pn é trivial. m <> pn é um bom > exercício de De Moivre e PG. > Se m <> pn, então existem q e r em Z tais que: m = qn + r, com 0 < r < n. As raízes n-ésimas da unidade são: 1, w, w^2, ..., w^(n-1), onde w = cis(2pi/n). w^n = 1 ==> w^m = w^(qn+r) = w^r. Mas se 0 <= r <= s < n e w^r = w^s, então w^(s-r) = 1 ==> s = r ==> os números w^r (r = 0, 1, ..., n-1) são distintos dois a dois ==> estes números são justamente as raízes n-ésimas da unidade (em alguma ordem), cuja soma é igual a 0. > Teorema 8: As raízes comuns às equações x^m - 1 = 0 > e x^n - 1 = 0 são as raízes da equação x^d - 1 = 0 > onde d = (m,n). A demonstração será omitida. > Basta ver que mdc(x^m-1,x^n-1) = x^d-1. > > Depois mando o Teorema 6, que trata do número de > raízes primitivas de índice n da unidade. Também sem > demonstração. > Este número é Phi(n) = número de inteiros positivos menores do que n e primos com n. []s, Claudio.
[obm-l] algebra complexa dos complexos
Sauda,c~oes, Tenho duas apostilas dos anos 70 que tratam dos números complexos: uma do Morgado (minha) e outra do Reinaldo (?) do Impacto que ganhei (surrupiei, afanei :<) ) de um irmão. Nelas vemos alguns teoremas, uns demonstrados, outros não. Um teorema muito útil é o seguinte: Teorema 7 no M: A soma das potências de expoente m das raízes de índice n da unidade é igual a n se m é múltiplo de n e igual a zero, caso contrário. Demonstração: m = pn é trivial. m <> pn é um bom exercício de De Moivre e PG. Teorema 8: As raízes comuns às equações x^m - 1 = 0 e x^n - 1 = 0 são as raízes da equação x^d - 1 = 0 onde d = (m,n). A demonstração será omitida. Este teorema aparece como exercício 148 em R. Seja m=dp e r uma raiz de x^d - 1 = 0. r^m - 1 = [r^d]^p - 1 = 0. De modo análogo, r é uma raiz de x^n - 1 = 0. Mas isto não mostra que estas são todas as raízes comuns. Depois mando o Teorema 6, que trata do número de raízes primitivas de índice n da unidade. Também sem demonstração. []'s Luís _ Descubra como mandar Torpedos do Messenger para o celular! http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Quest�o de Complexos
Oi, Júlio. Pense assim: sua expressão é da forma X = (1+a)(1+a^2)(1+a^4) concorda? Então multiplique por 1 - a ambos os lados e você chega lá... Abraços, Nehab At 00:16 15/3/2007, you wrote: Amigos, estou estudando pro ITA e não tô conseguindo resolver essa questão. Obrigado! {1 + [(1 + i)/2]}*{1 + [(1 + i)/2]^2}*{1 + [(1 + i)/2]^4}*{1 + [(1 + i)/2]^8}*...*{1 + [(1 + i)/2]^2^n} Espero que dê pra entender... Isso é o produtório de 1 + [(1 + i)]^2^k (Com K variando de 0 a n) -- Atenciosamente Júlio Sousa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questão de Complexos
Amigos, estou estudando pro ITA e não tô conseguindo resolver essa questão. Obrigado! {1 + [(1 + i)/2]}*{1 + [(1 + i)/2]^2}*{1 + [(1 + i)/2]^4}*{1 + [(1 + i)/2]^8}*...*{1 + [(1 + i)/2]^2^n} Espero que dê pra entender... Isso é o produtório de 1 + [(1 + i)]^2^k (Com K variando de 0 a n) -- Atenciosamente Júlio Sousa