Re: [obm-l] Matrizes
* identidade Enviado do Yahoo Mail para iPhone Em sexta-feira, agosto 24, 2018, 10:55 AM, Claudio Gustavo escreveu: Adicione a indenidade aos dois lados da igualdade e obterá: (A+I)(B+I)=I.Logo, como uma é inversa da outra, comutam: (B+I)(A+I)=I.Daí: BA+A+B=0, logo AB=BA. Abraços Enviado do Yahoo Mail para iPhone Em terça-feira, agosto 21, 2018, 11:01 PM, Vanderlei Nemitz escreveu: Boa noite, pessoal!Resolvi a seguinte questão, mas de uma forma um tanto complicada.Gostaria de uma solução mais simples.Muito obrigado!Vanderlei SejamA e B matrizes reais n x n tais que AB + A + B = 0. Prove que AB = BA. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Matrizes
Adicione a indenidade aos dois lados da igualdade e obterá: (A+I)(B+I)=I.Logo, como uma é inversa da outra, comutam: (B+I)(A+I)=I.Daí: BA+A+B=0, logo AB=BA. Abraços Enviado do Yahoo Mail para iPhone Em terça-feira, agosto 21, 2018, 11:01 PM, Vanderlei Nemitz escreveu: Boa noite, pessoal!Resolvi a seguinte questão, mas de uma forma um tanto complicada.Gostaria de uma solução mais simples.Muito obrigado!Vanderlei SejamA e B matrizes reais n x n tais que AB + A + B = 0. Prove que AB = BA. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Matrizes
Lema: Se A e B sao quadradas e AB=I, entao BA=I tambem. Usando o Lema, fica facil: (A+I)(B+I)=I, entao (B+I)(A+I)=I, entao BA=-A-B=AB. Abraco, Ralph. On Tue, Aug 21, 2018 at 11:09 PM Vanderlei Nemitz wrote: > Boa noite, pessoal! > Resolvi a seguinte questão, mas de uma forma um tanto complicada. > Gostaria de uma solução mais simples. > Muito obrigado! > Vanderlei > > *Sejam A e B matrizes reais n x n tais que AB + A + B = 0. Prove que AB = > BA.* > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Matrizes
Bom dia! Primeiramente seja A uma matriz de ordem m x n e B uma matriz de ordem n x p. Nem sempre existirá (A)T . (B)T para isso teríamos obrigatoriamente m = p. Ademais, a ordem de (AB)T é p x n, enquanto a ordem de (A)T . (B)T quando existir (m = p) é n x n. Para provar você pode usar que o elemento ci,j de um produto de duas matrizes é o produto de uma matriz linha i obtida da matriz a esquerda do operador . por uma matriz coluna j obtida da matriz a direita desse operador. Use que a transposta transforma linhas em colunas e vice-versa. Se você tiver dificuldade: http://www.google.com.br/url?sa=trct=jq=esrc=ssource=webcd=3ved=0CCsQFjACurl=http%3A%2F%2Fverde.esalq.usp.br%2F~jorge%2Fcursos%2Fcesar%2FApostila_Matrizes.pdfei=CacqVN2wMYyxggSfgIEgusg=AFQjCNHWfTZzIJsTX6z45m5JK1YsGD1Jsgsig2=nYLvdV4rmkkQ4tK1AayQwgbvm=bv.76477589,d.eXY Saudações, PJMS. Em 29 de setembro de 2014 15:11, Pablo diegho bandeira da silva pabinhosi...@gmail.com escreveu: Alguém sabe me explicar o porquê de: (a.b)^t〓b^t.a^t? Tem diferença se: (a.b)^t〓a^t.b^t. ??? Desde já, fico agradecido! :) -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Matrizes
Tem um Tao (de Terence Tao) que tem umas ideias sobre isso: http://arxiv.org/abs/math/0501313 2013/4/26 Athos Cotta Couto cotta.co...@gmail.com: Seja M uma matriz nxn, onde aos elementos dessa matriz são atribuidos aleatoriamente os valores 0 ou 1. Qual a probabilidade que essa matriz seja inversível? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes
É meio pesado isso aí ein!? A diferença é que o problema que o Tao trata usa -1 e 1 como entradas, eu to analizando 0 e 1. Tomara que essa mudança cause uma diferença grande de dificuldade... Em 26 de abril de 2013 18:50, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Tem um Tao (de Terence Tao) que tem umas ideias sobre isso: http://arxiv.org/abs/math/0501313 2013/4/26 Athos Cotta Couto cotta.co...@gmail.com: Seja M uma matriz nxn, onde aos elementos dessa matriz são atribuidos aleatoriamente os valores 0 ou 1. Qual a probabilidade que essa matriz seja inversível? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes
2013/4/26 Athos Cotta Couto cotta.co...@gmail.com: É meio pesado isso aí ein!? A diferença é que o problema que o Tao trata usa -1 e 1 como entradas, eu to analizando 0 e 1. Tomara que essa mudança cause uma diferença grande de dificuldade... Acho que não muda muito o problema, aposto que se forem dois números quaisquer x e y em vez de 0 e 1 ou -1 e 1 deve ser equivalente, para n grande. Se você tiver tempo, use um programa para calcular todos os casos possíveis. São 2^(n^2), pra ser razoável digamos que isso dê menos de 10^9, ou seja mais ou menos n^2 = 30, o que dá n=5. Veja como fica a probabilidade para n=1, n=2, n=3, n=4, n=5 e mande ver na OEIS ... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes
Se vc já sabe isso, pode fazer assim: O fato de que AB = I implica que detA não seja nulo e que A tenha inversa A^-1. Assim. A^-1 A B = A^-1 I B= A^-1. Logo, BA = A^-1 A = I Abraços. Artur Costa Steiner Em 22/03/2013, às 16:49, Vanderlei * vanderma...@gmail.com escreveu: Pessoal, como provar que dadas duas matrizes quadradas A e B, A.B = I implica em B.A = I, sendo I a matriz identidade de mesma ordem? Creio não ser possível utilizar a matriz inversa, pois uma matriz é invertível se, e somente se, A.B = B.A = I. Muito obrigado! Vanderlei Nemitz
Re: [obm-l] matrizes
Olá Jordan
Gostaria de ver a questão em questão.
Regis
--- Em sáb, 15/8/09, Jordan Piva jfp...@hotmail.com escreveu:
De: Jordan Piva jfp...@hotmail.com
Assunto: [obm-l] matrizes
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sábado, 15 de Agosto de 2009, 16:00
#yiv1178969524 .hmmessage P
{
margin:0px;padding:0px;}
#yiv1178969524 {
font-size:10pt;font-family:Verdana;}
Oi pessoal, tudo bom?
Estava olhando uma questão da OBM-U, tinha uma questão de matrizes que dei uma
solução, mas gostaria de saber sobre um pedaço da solução oficial, basicamente
no meio da solução ele usa que a inversa de uma matriz A é uma função
analítica de A. Como se pode demonstrar isso? Alguém sabe um livro que tenha a
demonstração?
Abraços,
Att. Jordan Piva
Quer uma internet mais segura? Baixe agora o novo Internet Explorer 8. É
grátis!
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com
RE: [obm-l] matrizes
Oi Regis, desculpa não ter colocado a questão... Basicamente é para calcular a inversa de uma matriz A =(a_ij), onde os termos da diagonal principal valem x+y e fora são todos iguais a x. Achei a solução oficial bem legal, tem no site da obm, a forma que eu fiz deu mais trabalho. Com relação a minha dúvida na solução oficial já consegui entender, de qualquer forma vlw... Att. Jordan Piva Date: Tue, 18 Aug 2009 08:47:29 -0700 From: regisgbar...@yahoo.com.br Subject: Re: [obm-l] matrizes To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Jordan Gostaria de ver a questão em questão. Regis --- Em sáb, 15/8/09, Jordan Piva jfp...@hotmail.com escreveu: De: Jordan Piva jfp...@hotmail.com Assunto: [obm-l] matrizes Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 15 de Agosto de 2009, 16:00 Oi pessoal, tudo bom? Estava olhando uma questão da OBM-U, tinha uma questão de matrizes que dei uma solução, mas gostaria de saber sobre um pedaço da solução oficial, basicamente no meio da solução ele usa que a inversa de uma matriz A é uma função analítica de A. Como se pode demonstrar isso? Alguém sabe um livro que tenha a demonstração? Abraços, Att. Jordan Piva Quer uma internet mais segura? Baixe agora o novo Internet Explorer 8. É grátis! Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes _ Emoticons e Winks super diferentes para o Messenger. Baixe agora, é grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
RE: [obm-l] matrizes
Ah pessoal deixa pra lá, é só usar Cayley-Hamilton... foi mal, de qualquer forma continuo aceitando sugestões de livros de álg. lin. para olimpíadas Abraços. From: jfp...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] matrizes Date: Sat, 15 Aug 2009 16:00:45 -0300 Oi pessoal, tudo bom? Estava olhando uma questão da OBM-U, tinha uma questão de matrizes que dei uma solução, mas gostaria de saber sobre um pedaço da solução oficial, basicamente no meio da solução ele usa que a inversa de uma matriz A é uma função analítica de A. Como se pode demonstrar isso? Alguém sabe um livro que tenha a demonstração? Abraços, Att. Jordan Piva Quer uma internet mais segura? Baixe agora o novo Internet Explorer 8. É grátis! _ Descubra todas as novidades do novo Internet Explorer 8 http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
Re: [obm-l] Matrizes
que variam com o tempo: vento, ondas, tráfego de veículos...), tudo se complica bastante e devemos resolver um sistema de equações diferenciais. [4] Pra encurtar a história, vai ser necessário conhecer os auto-valores e auto-vetores da matriz K. Aliás, os auto-valores serão os períodos naturais de vibração da estrutura cuja matriz de rigidez é K. Os auto-vetores serão... deixa pra lá... Sds., Albert Bouskela bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Bruno França dos Reis Sent: Friday, April 10, 2009 11:11 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Matrizes Fernando, vc está de brincadeira, não é mesmo? Antes de ontem (ou mesmo ontem, para quem está no horário brasileiro) EXATAMENTE essa questão foi bm discutida num tema lançado por você mesmo! Novamente: processo de eliminação de Gauss NÃO CONSERVA AUTOVALORES. Ponto. Pegue os mesmo exemplos e contra exemplo da discussão anterior, pois esta É a discussão anterior. Além disso, uma matriz triangular, assim como uma matriz diagonal, exibe seus autovalores na sua diagonal principal. Pra tentar te convencer que essa história de método de Gauss não serve pra nada na hora de diagonalizar matriz, entenda que o objetivo do método de Gauss é transformar uma matriz A em uma matriz diagonal com apenas 1's ou 0's na diagonal principal, tanto para matrizes quadradas como para não quadradas. Se o método de Gauss conservasse os autovalores, como vc tanto insiste, então toda matriz só poderia ter 0 e 1 como autovalores, o que é um grande absurdo. Ainda mais, matrizes não quadradas teriam autovalores (?!?!?) A única coisa para a qual vc pode utilizar o método de Gauss é para estudar a independência linear das linhas/colunas de uma matriz. Lembrando-se do que eu disse no email anterior, operações elementares não alteram propriedades de dependência linear. Se vc então descobrir que a matriz não é de posto completo, isto é, que o conjunto das linhas/colunas não é linearmente independente, então significa que o núcleo não é vazio, o que nos diz que 0 é autovalor, ou seja, o polinômio característico vai ter a cara p(x) = x*q(x), que vc pode fatorar o x para te ajudar no cálculo. Ficou claro? Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com http://blog.brunoreis.com GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2009/4/11 Fernando Lima Gama Junior fgam...@gmail.com Uma matriz C sofreu o processo de eliminação de Gauss, virando a matriz C*. C e C* tem os mesmos autovelores e autovetores? (Note que C* é triangular superior). Fernando Gama = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes
Fernando, vc está de brincadeira, não é mesmo? Antes de ontem (ou mesmo ontem, para quem está no horário brasileiro) EXATAMENTE essa questão foi bm discutida num tema lançado por você mesmo! Novamente: processo de eliminação de Gauss NÃO CONSERVA AUTOVALORES. Ponto. Pegue os mesmo exemplos e contra exemplo da discussão anterior, pois esta É a discussão anterior. Além disso, uma matriz triangular, assim como uma matriz diagonal, exibe seus autovalores na sua diagonal principal. Pra tentar te convencer que essa história de método de Gauss não serve pra nada na hora de diagonalizar matriz, entenda que o objetivo do método de Gauss é transformar uma matriz A em uma matriz diagonal com apenas 1's ou 0's na diagonal principal, tanto para matrizes quadradas como para não quadradas. Se o método de Gauss conservasse os autovalores, como vc tanto insiste, então toda matriz só poderia ter 0 e 1 como autovalores, o que é um grande absurdo. Ainda mais, matrizes não quadradas teriam autovalores (?!?!?) A única coisa para a qual vc pode utilizar o método de Gauss é para estudar a independência linear das linhas/colunas de uma matriz. Lembrando-se do que eu disse no email anterior, operações elementares não alteram propriedades de dependência linear. Se vc então descobrir que a matriz não é de posto completo, isto é, que o conjunto das linhas/colunas não é linearmente independente, então significa que o núcleo não é vazio, o que nos diz que 0 é autovalor, ou seja, o polinômio característico vai ter a cara p(x) = x*q(x), que vc pode fatorar o x para te ajudar no cálculo. Ficou claro? Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com http://blog.brunoreis.com GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2009/4/11 Fernando Lima Gama Junior fgam...@gmail.com Uma matriz C sofreu o processo de eliminação de Gauss, virando a matriz C*. C e C* tem os mesmos autovelores e autovetores? (Note que C* é triangular superior). Fernando Gama
Re: [obm-l] Matrizes
Bruno, antes que você fique nervoso (de novo) assim como ontem (ou anteontem, para quem está no horário brasileiro), segue a resposta do meu professor do Doutorado. Ele é Ph.D pela Unicamp, de modo que acredito, não esteja falando besteira. * * *Oi, Fernando!* *Uma maneira de facilitar a determinação dos autovalores, é transformar a matriz original numa matriz triangular superior (ou inferior), daí os autovalores serão o elementos da diagonal principal.* *Este processo pode ser feito pelo método de eliminação de Gauss, bem mais simples que o processo de diagonalização, que necessita encontrar os autovetores.* *Uma observação, se a matriz possui autovalores complexos, a diagonalização não é possível, no máximo o que você consegue é a diagonalização por blocos, de matrizes 2x2. Prof. Geraldo L. Diniz Phones: +55(65)3615-8713 (office) +55(65)3615-8704 (fax) Skype: dinizgl * Portanto, o que você fala, vai de encontro ao que ele, professor fala, por isso a minha insistência no assunto. Ou você, ou ele, está errado. Ou eu não sei ler. Abraços, Fernando Gama 2009/4/10 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com Fernando, vc está de brincadeira, não é mesmo? Antes de ontem (ou mesmo ontem, para quem está no horário brasileiro) EXATAMENTE essa questão foi bm discutida num tema lançado por você mesmo! Novamente: processo de eliminação de Gauss NÃO CONSERVA AUTOVALORES. Ponto. Pegue os mesmo exemplos e contra exemplo da discussão anterior, pois esta É a discussão anterior. Além disso, uma matriz triangular, assim como uma matriz diagonal, exibe seus autovalores na sua diagonal principal. Pra tentar te convencer que essa história de método de Gauss não serve pra nada na hora de diagonalizar matriz, entenda que o objetivo do método de Gauss é transformar uma matriz A em uma matriz diagonal com apenas 1's ou 0's na diagonal principal, tanto para matrizes quadradas como para não quadradas. Se o método de Gauss conservasse os autovalores, como vc tanto insiste, então toda matriz só poderia ter 0 e 1 como autovalores, o que é um grande absurdo. Ainda mais, matrizes não quadradas teriam autovalores (?!?!?) A única coisa para a qual vc pode utilizar o método de Gauss é para estudar a independência linear das linhas/colunas de uma matriz. Lembrando-se do que eu disse no email anterior, operações elementares não alteram propriedades de dependência linear. Se vc então descobrir que a matriz não é de posto completo, isto é, que o conjunto das linhas/colunas não é linearmente independente, então significa que o núcleo não é vazio, o que nos diz que 0 é autovalor, ou seja, o polinômio característico vai ter a cara p(x) = x*q(x), que vc pode fatorar o x para te ajudar no cálculo. Ficou claro? Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com http://blog.brunoreis.com GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2009/4/11 Fernando Lima Gama Junior fgam...@gmail.com Uma matriz C sofreu o processo de eliminação de Gauss, virando a matriz C*. C e C* tem os mesmos autovelores e autovetores? (Note que C* é triangular superior). Fernando Gama
RE: [obm-l] Matrizes
Chi! O Bruno ficou zangado... Acho até que podia, mas é 6ª feira santa (se bem que eu não conheço nenhuma 6ª feira pagã), então esta deve ser mais santa do que as outras. Quando você, Bruno, inexoravelmente, chegar à minha idade, vai ver que é sempre melhor manter o bom humor e rir um pouco daqueles e para aqueles que involuntariamente nos irritam. Bem, deixa eu tentar esclarecer algumas coisas: O método de eliminação (ou de triangulação) de Gauss serve, basicamente, para resolver sistemas de equações lineares do tipo Kx = F [1], onde K é uma matriz nxn (quadrada), x é o vetor de incógnitas e F é o vetor independente. Repare que através do método de Gauss chega-se a uma matriz triangular, cuja diagonal principal é igual a 1 ( r(i, i) = 1). Daí: 1*x(n) = F’(n) -- x(n) = F’(n) e por retro-substituição se calcula x(n-1), x(n-2) ... x(1). Vantagens do método de Gauss: É o mais eficiente (seu algoritmo tem o menor números de passos ou linhas); Para matrizes positivo-definidas [2] é numericamente estável (isto é importantíssimo para as aplicações práticas); Caso o sistema seja indeterminado (é o caso da matriz K apresentar 2 ou mais linhas LD), vai aparecer um (ou mais) zero(s) na diagonal principal. Isto é muito útil quando estamos lidando com matrizes muito grandes, p.ex., 1000x1000 e não sabemos se o sistema é LI ou LD. Desvantagens: Não permite o cálculo dos auto-valores da matriz K [3]. Caso seja necessário conhecer os auto-valores e auto-vetores [4], então devemos empregar outros métodos, p.ex., o de Cholesky. A desvantagem do método de Cholesky, em relação ao de Gauss, é que o algoritmo correspondente requer o cálculo de n raízes quadradas a mais em relação ao método de Gauss. Observações: [1] De propósito, coloquei o exemplo da Lei de Hooke generalizada, onde K é a matriz de rigidez, x é vetor de deslocamentos (que se quer encontrar) e F é o vetor das forças atuantes. É assim que na Engenharia Civil é feito o cálculo (dimensionamento) das estruturas (p.ex., edifícios). [2] São matrizes nas quais a diagonal principal é numericamente preponderante: r(i, i)^2 r(i, j)*r(j, i) . Na maioria dos casos práticos, a matriz é simétrica – uma matriz de rigidez é SEMPRE simétrica (o que é facilmente demonstrável pela reciprocidade ação vs. deslocamento). [3] O que disse acima só é válido para estruturas que têm comportamento estático (as forças atuantes pouco variam com o tempo, p.ex., o peso próprio). No caso de estruturas dinâmicas (sujeitas a ações que variam com o tempo: vento, ondas, tráfego de veículos...), tudo se complica bastante e devemos resolver um sistema de equações diferenciais. [4] Pra encurtar a história, vai ser necessário conhecer os auto-valores e auto-vetores da matriz K. Aliás, os auto-valores serão os períodos naturais de vibração da estrutura cuja matriz de rigidez é K. Os auto-vetores serão... deixa pra lá... Sds., Albert Bouskela mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com mailto:bousk...@ymail.com bousk...@ymail.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Bruno França dos Reis Sent: Friday, April 10, 2009 11:11 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Matrizes Fernando, vc está de brincadeira, não é mesmo? Antes de ontem (ou mesmo ontem, para quem está no horário brasileiro) EXATAMENTE essa questão foi bm discutida num tema lançado por você mesmo! Novamente: processo de eliminação de Gauss NÃO CONSERVA AUTOVALORES. Ponto. Pegue os mesmo exemplos e contra exemplo da discussão anterior, pois esta É a discussão anterior. Além disso, uma matriz triangular, assim como uma matriz diagonal, exibe seus autovalores na sua diagonal principal. Pra tentar te convencer que essa história de método de Gauss não serve pra nada na hora de diagonalizar matriz, entenda que o objetivo do método de Gauss é transformar uma matriz A em uma matriz diagonal com apenas 1's ou 0's na diagonal principal, tanto para matrizes quadradas como para não quadradas. Se o método de Gauss conservasse os autovalores, como vc tanto insiste, então toda matriz só poderia ter 0 e 1 como autovalores, o que é um grande absurdo. Ainda mais, matrizes não quadradas teriam autovalores (?!?!?) A única coisa para a qual vc pode utilizar o método de Gauss é para estudar a independência linear das linhas/colunas de uma matriz. Lembrando-se do que eu disse no email anterior, operações elementares não alteram propriedades de dependência linear. Se vc então descobrir que a matriz não é de posto completo, isto é, que o conjunto das linhas/colunas não é linearmente independente, então significa que o núcleo não é vazio, o que nos diz que 0 é autovalor, ou seja, o polinômio característico vai ter a cara p(x) = x*q(x), que vc pode fatorar o x para te ajudar no cálculo. Ficou claro? Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43
Re: [obm-l] Matrizes
Resposta rapida, estou meio sem tempo : Hum, tem uma coisa que o processo de Gauss permite calcular facilmente, que é o modulo do determinante da matriz ! Porque se você disser pro computador nao multiplicar nenhuma linha (sem adicionar a uma outra, isso pode, sem problemas), como operaçoes que levam esta linha em outra conservam o determinante por multilinearidade e anti-simetria (uma matriz com duas linhas iguais é de det = 0, e três matrizes com uma linha de uma que é a soma da mesma linha das outras duas, e o resto igual, tem det = soma dos dois dets) no final do processo você tera o sinal do determinante. Se você prestar atençao nas matrizes de permutaçao que você usar (ou seja, calcular o determinante delas) você pode inclusive descobrir o sinal do determinante. Repare que nessa bagunça toda, você pode ter perdido os autovalores, que eles podem mudar bastante no processo. Mas isso nao importa, o determinante é conservado. E é por isso que é importante de estudar Algebra linear, porque muitas das demonstraçoes vêm junto com duas coisas : 1) Idéias interessantes de invariantes 2) Algoritmos E, se você gosta disso, pode se interessar também pela questao da estabilidade numérica do algoritmo, e é por isso que muitas vezes se faz uma normalizaçao para evitar numeros muito grandes ou muito pequenos. E nisso, você inclui mais uma coisa a prestar atençao na hora de calcular o determinante (tem que pensar nao soh nas matrizes de permutaçao, mas também nas matrizes de normalizaçao). Um grande abraço, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2009/4/11 Albert Bouskela bousk...@ymail.com: Chi! O Bruno ficou zangado... Acho até que podia, mas é 6ª feira santa (se bem que eu não conheço nenhuma 6ª feira pagã), então esta deve ser mais santa do que as outras. Quando você, Bruno, inexoravelmente, chegar à minha idade, vai ver que é sempre melhor manter o bom humor e rir um pouco daqueles e para aqueles que involuntariamente nos irritam. Bem, deixa eu tentar esclarecer algumas coisas: O método de eliminação (ou de triangulação) de Gauss serve, basicamente, para resolver sistemas de equações lineares do tipo Kx = F [1], onde K é uma matriz nxn (quadrada), x é o vetor de incógnitas e F é o vetor independente. Repare que através do método de Gauss chega-se a uma matriz triangular, cuja diagonal principal é igual a 1 ( r(i, i) = 1). Daí: 1*x(n) = F’(n) -- x(n) = F’(n) e por retro-substituição se calcula x(n-1), x(n-2) ... x(1). Vantagens do método de Gauss: É o mais eficiente (seu algoritmo tem o menor números de passos ou linhas); Para matrizes positivo-definidas [2] é numericamente estável (isto é importantíssimo para as aplicações práticas); Caso o sistema seja indeterminado (é o caso da matriz K apresentar 2 ou mais linhas LD), vai aparecer um (ou mais) zero(s) na diagonal principal. Isto é muito útil quando estamos lidando com matrizes muito grandes, p.ex., 1000x1000 e não sabemos se o sistema é LI ou LD. Desvantagens: Não permite o cálculo dos auto-valores da matriz K [3]. Caso seja necessário conhecer os auto-valores e auto-vetores [4], então devemos empregar outros métodos, p.ex., o de Cholesky. A desvantagem do método de Cholesky, em relação ao de Gauss, é que o algoritmo correspondente requer o cálculo de n raízes quadradas a mais em relação ao método de Gauss. Observações: [1] De propósito, coloquei o exemplo da Lei de Hooke generalizada, onde K é a matriz de rigidez, x é vetor de deslocamentos (que se quer encontrar) e F é o vetor das forças atuantes. É assim que na Engenharia Civil é feito o cálculo (dimensionamento) das estruturas (p.ex., edifícios). [2] São matrizes nas quais a diagonal principal é numericamente preponderante: r(i, i)^2 r(i, j)*r(j, i) . Na maioria dos casos práticos, a matriz é simétrica – uma matriz de rigidez é SEMPRE simétrica (o que é facilmente demonstrável pela reciprocidade ação vs. deslocamento). [3] O que disse acima só é válido para estruturas que têm comportamento estático (as forças atuantes pouco variam com o tempo, p.ex., o peso próprio). No caso de estruturas dinâmicas (sujeitas a ações que variam com o tempo: vento, ondas, tráfego de veículos...), tudo se complica bastante e devemos resolver um sistema de equações diferenciais. [4] Pra encurtar a história, vai ser necessário conhecer os auto-valores e auto-vetores da matriz K. Aliás, os auto-valores serão os períodos naturais de vibração da estrutura cuja matriz de rigidez é K. Os auto-vetores serão... deixa pra lá... Sds., Albert Bouskela bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Bruno França dos Reis Sent: Friday, April 10, 2009 11:11 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Matrizes Fernando, vc está de brincadeira, não é mesmo? Antes de ontem (ou mesmo ontem, para quem está no horário brasileiro) EXATAMENTE essa questão foi bm
Re: [obm-l] Matrizes
Johann , desculpe faltou completar.. TJ=M tem uma única solução. tomo a liberdade de perguntar : a)Se eu quizesse fazer por absurdo, ou seja suponho que T é invertível e afirmar que a solução não é única, como ficaria ? tem saída? confesso que tenho muita dificuldade para fazer demonsntrações Mais uma vez agradeço a sua atenção. Um abraço. bruno = Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] escreveu: Em 12/03/08, Bruno Carvalho escreveu: Oi Pessoal, Peço ajuda ( orientação) na demonstração da seguinte afirmação sobre matrizes. Sejam T matriz nxn ; J matriz n x1 e M matriz nx1. Prove que se T possui uma inversa então TJ tem uma única solução. TJ é alguma equação? Bem, se for algo como TX=J, podemos pensar assim: TX=J se e só se T^-1*TX=T^-1J se e só se X=T^-1J. E fim! Obrigado Bruno Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! -- Ideas are bulletproof. V = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Matrizes
Em 12/03/08, Bruno Carvalho[EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Pessoal, Peço ajuda ( orientação) na demonstração da seguinte afirmação sobre matrizes. Sejam T matriz nxn ; J matriz n x1 e M matriz nx1. Prove que se T possui uma inversa então TJ tem uma única solução. TJ é alguma equação? Bem, se for algo como TX=J, podemos pensar assim: TX=J se e só se T^-1*TX=T^-1J se e só se X=T^-1J. E fim! Obrigado Bruno Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! -- Ideas are bulletproof. V = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Matrizes
Meu caro amigo César Augusto, Se você estiver realmente interessado em matrizes, há vários livros que esmiuçam o assunto, basta você acessar o site da amazon.com Procure por Matrix Theory. Entre eles, destaco estes a você: The theory of determinants in the historical order of development, by Sir Thomas Muir.Vol. 1 The theory of determinants in the historical order of development, by Sir Thomas Muir.Vol. 2 The theory of determinants in the historical order of development, by Sir Thomas Muir.Vol. 3 The theory of determinants in the historical order of development, by Sir Thomas Muir. Vol. 4 Matrix Theory Vol. 1 by Felix R. Gantmacher Matrix Theory, Vol. 2 by Felix R. Gantmacher Date: Fri, 23 Nov 2007 15:06:42 -0200 Subject: [obm-l] Matrizes From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Existe algum método mais rápido de calcular matrizes que não seja por esses métodos mais usuais que aprendemos no ensino médio? Se tem alguém pode ensinar-me? Atenciosamente, César Augusto. _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos conectada ao Messenger! http://spaces.live.com/signup.aspx
Re: [obm-l] Matrizes
Aproveitando, qual o metodo mais rápido para escalonar uma matriz? Obrigado. On Nov 23, 2007 8:41 PM, LEANDRO L RECOVA [EMAIL PROTECTED] wrote: A pergunta foi muito geral. O que voce quer calcular? Determinantes? Multiplicacao de matrizes? Resolucao de sistemas lineares? Autovalores? leandro From: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Matrizes Date: Fri, 23 Nov 2007 21:33:59 +0100 Ola. Eu lembro de ter estuda um pouco um livro de uma coleção de 2 volumes, acho que o autor chama-se Gantmacher. Eu achei muito muito bom. Bruno 2007/11/23, nexthere [EMAIL PROTECTED]: Existe algum método mais rápido de calcular matrizes que não seja por esses métodos mais usuais que aprendemos no ensino médio? Se tem alguém pode ensinar-me? Atenciosamente, César Augusto. -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes
A pergunta foi muito geral. O que voce quer calcular? Determinantes? Multiplicacao de matrizes? Resolucao de sistemas lineares? Autovalores? leandro From: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Matrizes Date: Fri, 23 Nov 2007 21:33:59 +0100 Ola. Eu lembro de ter estuda um pouco um livro de uma coleção de 2 volumes, acho que o autor chama-se Gantmacher. Eu achei muito muito bom. Bruno 2007/11/23, nexthere [EMAIL PROTECTED]: Existe algum método mais rápido de calcular matrizes que não seja por esses métodos mais usuais que aprendemos no ensino médio? Se tem alguém pode ensinar-me? Atenciosamente, César Augusto. -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes
Ola. Eu lembro de ter estuda um pouco um livro de uma coleção de 2 volumes, acho que o autor chama-se Gantmacher. Eu achei muito muito bom. Bruno 2007/11/23, nexthere [EMAIL PROTECTED]: Existe algum método mais rápido de calcular matrizes que não seja por esses métodos mais usuais que aprendemos no ensino médio? Se tem alguém pode ensinar-me? Atenciosamente, César Augusto. -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Matrizes
Basta observar que detX0 - X é inversível. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes
Olá Ronaldo, Fiquei curioso! Não sabia que as matrizes simpléticas tinham origem nos sistemas hamiltonianos. Você poderia explicar um pouco mais, ou pelo menos, dar um link que explique, rapidamente estas relações? Obrigado Jones On 6/28/07, ralonso [EMAIL PROTECTED] wrote: Legal! Tem gente discutindo matrizes simpléticas na lista. Essas matrizes tem origem nos sistemas Dinâmicos Hamiltonianos. Depois falo mais sobre isso. Ronaldo.
Re: [obm-l] Matrizes
Olá, C^t = A(B^-1)^tA^t para que C^t = C, temos que ter (B^-1)^t = B^-1, isto é: B^-1 tem que ser simétrica.. B = A^tA B^t = A^tA = B ... logo: B é simétrica. como B é invertível, temos que: BB^-1 = I (BB^-1)^t = (B^-1)^t B^t = (B^-1)^t B = I ,,, assim: (B^-1)^t = B^-1... logo, B^-1 é simétrica e, portanto, C é simétrica. abracos, Salhab On 6/28/07, Rejane [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, aguém poderia me ajudar com essas duas questões? Seja A uma matriz m x n tal que B = ( AT A ) seja inversível. Prove que C = A B-¹ AT é uma matriz simétrica. Seja J = . Diremos que uma matriz de ordem 2 é simplética se ST JS = J. Encontre todas as matrizes reais de ordem 2 que são simpléticas. inline: clip_image002.gifinline: clip_image004.gif
Re: [obm-l] Matrizes
Olá, J = (0 -1 ; 1 0) S = (a b ; c d) JS = (-c -d ; a b) S^t J S = (0 -ad+bc ; -bc+ad 0) = (0 -1 ; 1 0) assim: -ad + bc = -1 -bc + ad = 1 [igual a de cima] temos que encontrar a,b,c,d tais que: ad - bc = 1 este é um sistema nao linear de 4 variaveis e 1 equacao.. Uma matriz de ordem 2 é simpléticas se, e somente se, é solucao do sistema. abracos, Salhab On 6/28/07, Rejane [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, aguém poderia me ajudar com essas duas questões? Seja A uma matriz m x n tal que B = ( AT A ) seja inversível. Prove que C = A B-¹ AT é uma matriz simétrica. Seja J = . Diremos que uma matriz de ordem 2 é simplética se ST JS = J. Encontre todas as matrizes reais de ordem 2 que são simpléticas. inline: clip_image002.gifinline: clip_image004.gif
Re: [obm-l] Matrizes
Legal! Tem gente discutindo matrizes simplticas na lista. Essas matrizes tem origem nos sistemas Dinmicos Hamiltonianos. Depois falo mais sobre isso. Ronaldo. Marcelo Salhab Brogliato wrote: Ol,C^t = A(B^-1)^tA^tpara que C^t = C, temos que ter (B^-1)^t = B^-1, isto : B^-1 tem que ser simtrica..B = A^tA B^t = A^tA = B ... logo: B simtrica.como B invertvel, temos que:BB^-1 = I(BB^-1)^t = (B^-1)^t B^t = (B^-1)^t B = I ,,, assim: (B^-1)^t = B^-1... logo, B^-1 simtrica e, portanto, C simtrica.abracos,SalhabOn 6/28/07, Rejane [EMAIL PROTECTED]> wrote: Ol, agum poderia me ajudar com essas duas questes? Seja A uma matriz m x n tal que B = ( AT A ) seja inversvel.Prove que C = A B- AT uma matriz simtrica. Seja J =.Diremos que uma matriz de ordem 2 simpltica se ST JS = J.Encontre todas as matrizes reais de ordem 2 que so simplticas.
Re: [obm-l] Matrizes...
A propriedade vale para todos os k no conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,10,11,...}, enfim, para todo k natural.Em particular, vale para k=2 e para k=3. E como a partir destes casos é possível deduzir que B=0, o problema acaba.
Imagine o problema posto da seguinte forma: Sejam A e B matrizes reais quadradas de mesma dimensão tais que, (A+B)^2 = A^2+B^2 e
(A+B)^3 = A^3+B^3.Prove que se A é invertível então B é a matriz nula. Assim seria fácil demais mas é equivalente. Sacou?
Em 11/10/06, vinicius aleixo [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Sejam A e B matrizes reais quadradas de mesma dimensão tais que, para todo inteiro positivo
k, (A+B)^k = A^k+B^k. Prove que se A é invertível então B é a matriz nula.
esse problema eh da universitaria do ano passado(tah na eureka 24) o cara resolve para k=2 e =3 e tira q B=0, mas isso eh uma generalizacao??
alguem poderia me explicar esse problema
melhor porvlw!
Vinicius
Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular.
Registre seu aparelho agora!
-- Ideas are bulletproof.V
Re:[obm-l] Matrizes
De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 13 Jul 2006 01:47:19 + (GMT) Assunto: [obm-l] Matrizes a)Se A é uma matriz de ordem n tal que A^3=4A. Mostre que A+I é inversivel. Solucao pelo metodo "eu sou burro mas nao sou cego": Como A^3 - 4A = 0, o polinomio minimo de A tem grau = 3. Logo, vale a pena procurar uma inversa para A+I da forma: xA^2 + yA + zI, jah que termos da forma A^k comk = 3 podem ter seu grau reduzido em virtude da relacao A^3 = 4A. (A+I)(xA^2+yA+zI) = I == xA^3 + (x+y)A^2 + (y+z)A + zI = I == (x+y)A^2 + (y+z+4x)A + zI = I == x+y = 0; y+z+4x = 0; z = 1 == x = -1/3; y = 1/3; z = 1 == (A+I)^(-1) = (-1/3)A^2 + (1/3)A + I *** b)Se A é uma matriz de ordem n tal que A^2p - A^(p+1)=3A, onde p é natural. Mostre que A+I é inversivel. A ideia aqui eh mostrar que nenhum autovalor de A+I eh igual a 0. Seja k um autovalor (possivelmente complexo) de A+I == existe v em C^n tal que (A+I)v = kv == Av = (k-1)v == k-1 eh um autovalor de A, associado a v. Assim, 0 eh autovalor de A+I== -1 eh autovalor de A. Mas A eh raiz do polinomio f(x) = x^(2p) - x^(p+1) - 3x== o polinomio minimo de A divide f(x) == cada autovalor de A eh raiz de f(x). Mas f(-1) =4 - (-1)^(p+1) 0 == -1 nao eh raiz de f(x) == -1 nao eh autovalor de A == 0 nao eh autovalor de A+I == A+I eh invertivel. []s, Claudio.
Re:[obm-l] Matrizes
De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 28 Jun 2006 17:38:31 + (GMT) Assunto: [obm-l] Matrizes Sejam M e N matrizes do tipo n x n distintas tais que: (i)M^3=N^3 (ii)MN^2=NM^2 É possível que X = M^2+ N^2 seja inversível? (M-N)*(M^2+N^2) = M^3+ MN^2 - NM^2 - N^3 = 0. Se X = M^2+N^2 fosse invertível, bastaria multiplicar a equação acima por X^(-1) que teríamos M-N = 0, contrariando a hipótese de M e N serem distintas. Logo, X não pode ser invertível. A e B são matrizes de ordem n tais que AB + A + B=0. Prove que AB=BA. I = 0 + I = AB + A + B + I = (A+I)(B+I) = (B+I)(A+I) = BA + B + A + I. (a 4a. igualdade decorre de que A+I e B+I são inversas uma da outra ede que inversas comutam) []s, Claudio.
Re: [obm-l] Matrizes
A e B são matrizes quadradas de ordem n, tais que:AB + A + B = 0Mostre que AB = BA--Demonstração:Somando a matriz identidade de ordem n a ambos os lados da equaçao, vem:AB + A + B + I = IFatorando o lado esquerdo da igualdade, vem:(A+I).(B+I) = ILogo, percebemos que a matriz (A+I) é a inversa da matriz (B+I). Assim sendo, tais matrizes comutam, ou seja:(A+I).(B+I) = (B+I).(A+I)Desnvolvendo ambos os lados, vem:AB + A + B + I = BA + A + B + IQue resulta em: AB = BAO que encerra nossa demonstração.Abraços,CelsoKlaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] escreveu:Sejam M e N matrizes do tipo n x n distintas tais que: (i)M^3=N^3 (ii)MN^2=NM^2 É possível que X = M^2+ N^2 seja inversível?A e B são matrizes de ordem n tais que AB + A + B=0. Prove que AB=BA. Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas!
Re: [obm-l] Matrizes
X = A + B - C|25+5-(-1)||12 -8 -10| = X|13+3-(-1)||31||-6 |= X|17|On 4/21/06, Leandro Nishijima [EMAIL PROTECTED] wrote: Se A=|25|, B=|5|, C=|-1| então a matriz X tal que A + B – C – X = 0 é: |12| |-8| |10| |13| |3| |-1| Resposta do gabarito: |31| |-6| |17| Não entendi muito bem essa questão Como fica quando eu isolar o X da equação "A + B – C – X = 0"??Quem puder ajudar eu agradeço, obrigado! Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re: [obm-l] matrizes (olimpiada)
AxB=A = A^(-1)xAxB=A^(-1)xA = B=I = B^2=I BxA=B = B^(-1)xBxA=B^(-1)xB = A=I = A^2=I Logo A^2+B^2=2I Marcelo de Oliveira Andrade wrote: essa eh de uma olimpiada, esta na lista que o meu professor passou... AxB=A and BxA= B, A^2+B^2=? obrigado pela ajuda _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grtis. Instale J! http://www.msn.com.br/discador = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] matrizes (olimpiada)
Title: Re: [obm-l] matrizes (olimpiada) Voce soh pode fazer isso se souber de antemao que A e B sao invertiveis. Por exemplo, A = B = matriz nula == AB = A e BA = B, mas A^2 + B^2 2I. Sem maiores informacoes, acho que o maximo que dah pra concluir eh que A^2 + B^2 = A + B. []s, Claudio. on 04.11.05 09:15, Aldo Munhoz at [EMAIL PROTECTED] wrote: AxB=A = A^(-1)xAxB=A^(-1)xA = B=I = B^2=I BxA=B = B^(-1)xBxA=B^(-1)xB = A=I = A^2=I Logo A^2+B^2=2I Marcelo de Oliveira Andrade wrote: essa eh de uma olimpiada, esta na lista que o meu professor passou... AxB=A and BxA= B, A^2+B^2=? obrigado pela ajuda
Re:[obm-l] matrizes (olimpiada)
Assunto: [obm-l] matrizes (olimpiada) essa eh de uma olimpiada, esta na lista que o meu professor passou... AxB=A and BxA= B, A^2+B^2=? obrigado pela ajuda = Será que é de olimpíada mesmo?Mas vou ajuda-lo a fazer o dever de casa com uma dica, A^-1 x A = A x A^-1 = I .Tenta pensar na questão agora... . . .
Re: [obm-l] matrizes (olimpiada)
Title: Re: [obm-l] matrizes (olimpiada) AB = A == B(AB) = BA == (BA)B = BA == B^2 = B (pois BA = B) Analogamente voce conclui que A^2 = A. Logo... on 04.11.05 16:24, Aldo Munhoz at [EMAIL PROTECTED] wrote: Claudio, não entendi como vc concluiu que A^2 + B^2 = A + B Pode explicar melhor? Abraços, Aldo Claudio Buffara wrote: Re: [obm-l] matrizes (olimpiada) Voce soh pode fazer isso se souber de antemao que A e B sao invertiveis. Por exemplo, A = B = matriz nula == AB = A e BA = B, mas A^2 + B^2 2I. Sem maiores informacoes, acho que o maximo que dah pra concluir eh que A^2 + B^2 = A + B. []s, Claudio. on 04.11.05 09:15, Aldo Munhoz at [EMAIL PROTECTED] wrote: AxB=A = A^(-1)xAxB=A^(-1)xA = B=I = B^2=I BxA=B = B^(-1)xBxA=B^(-1)xB = A=I = A^2=I Logo A^2+B^2=2I Marcelo de Oliveira Andrade wrote: essa eh de uma olimpiada, esta na lista que o meu professor passou... AxB=A and BxA= B, A^2+B^2=? obrigado pela ajuda = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes (autovalores e autovetores)
Sugestão: M^(-1) * A * M = B A = M * B * M^(-1) (A)^n = [M * B * M^(-1)]^n = M * [(B)^(n)] * M^(-1) Como B é diagonal, fica fácil calcular B^n e então o valor de A. []s, Claudio Freitas Maurizio escreveu: Bom dia, Estou com dificuldades para calcular A^n (n0) de A=[ 2 4 ] [ 3 13] (matriz 2x2) Encontrei a matriz diagonal B de A e estou tentando usar: M^(-1)AM=B Mas não chego na resposta certa, Quem puder ajudar agradeço, Maurizio Casalaspro = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes
Olá, visite www.techsoftpl.com/matrix/ os caras desenvolveram uma classe em C++para operações com matrizes. Acho que ajuda.Luiz Viola [EMAIL PROTECTED] escreveu: Pessoal, preciso trabalhar com matrizes de ordens grandes (4000). Alguém saberia de algum programinha simples para se fazer operações elementares tipo transposição, multiplicação, inversão...? Abraço__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] Matrizes
Pois tai, eu nao conheco nenhuma biblioteca livre que faca isso. Vou dar aquela garimpada basica no Google e ver o que e possivel retornar disto... Uma coisa e fato: este programinha nao deve ser la tao simples... Por enwuanto esse link parece mais util: http://www.google.com.br/url?sa=tct=rescd=1url=http%3A//www.math.fsu.edu/Virtual/index.php%3Ff%3D21ei=StIUQ46IKJ7SadnchdsN --- Luiz Viola [EMAIL PROTECTED] escreveu: Pessoal, preciso trabalhar com matrizes de ordens grandes (4000). Alguém saberia de algum programinha simples para se fazer operações elementares tipo transposição, multiplicação, inversão...? Abraço __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes
não entendi!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Matrizes
Marcio, Para ter posto 1, observe que na 2a linha voce pode fazer 3a-b+2c = 4 (Segunda linha e igual a 2*1a linha) e a linha 3 pode ser feita igual a linha 1, -3a+b+c=2 -2a+b+c=3. Now, you just need to solve this system. From: marcio aparecido [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Matrizes Date: Wed, 13 Jul 2005 22:08:59 -0300 ajuda com a seguinte questão, ai vai o link dela: http://mas-usp.sites.uol.com.br/matriz.JPG = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Express yourself instantly with MSN Messenger! Download today - it's FREE! http://messenger.msn.click-url.com/go/onm00200471ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes
Olá! Se A(B-I)=0 - AB-A=0 - AB=A.(1) B(A-I)=0 - BA-B=0 - BA=B.(2) Multiplicando (1) à esquerda por B temos: BAB=BA - BB=B - B^2=B. Multiplicando (2) à esquerda por A temos: ABA=AB - AA=A - A^2=A. Uma matriz X é dita idempotente se X^2=X. Todas as afirmações são falsas. Basta tomar um contra-exemplo. Escreva as equações do produto X^2 e obrigue a serem iguais a X. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes
A primeira linha é não nula. Basta agora escrever as outras linhas como múltiplas da primeira. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes - Não entendi
Se você concorda que a primeira esteja errada, observe que a última também é falsa pois: (A-B)^2=(A-B).(A-B)=A*(A-B)-B*(A-B)=A^2-AB-BA-B^2. E só será igual a A^2-2AB-B^2 se AB=BA, que nem sempre é verdade. Para responder aos itens 1 e 2 tome matrizes A e B não identicamente nulas tais que AB=0. Por exemplo: A = 1 -1 eB = 2 3 . 5 -5 2 3 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Matrizes - Não entendi
1)AB=AC - A=0 ou B=C 2)A^2 = 0 - A=0 3)(A-B)^2 = A^2 -2AB + B^2 quase todas se baseam no fato de que geralmente AB nao é igual a BA nao se trabalha operações com matrizes como se trabalha com numero reais (cuidado!) vc pode ter multiplicações de matrize ''-- Mensagem Original -- ''Date: Wed, 13 Jul 2005 22:33:43 -0300 (ART) ''From: Ajuda QuimFis [EMAIL PROTECTED] ''Subject: [obm-l] Matrizes - Não entendi ''To: Lista Obm obm-l@mat.puc-rio.br ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' '' Ainda não entendi porque essas três estão erradas... '' ''-Seja A, B, C e O matrizes reais quadradas de ordem n, classifique em V ou ''F. Justifique. '' ''1)AB=AC - A=0 ou B=C ''2)A^2 = 0 - A=0 ''3)(A-B)^2 = A^2 -2AB + B^2 '' '' ''__ ''Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger ''http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes - Preciso de ajuda
Ola, vc pode entrar em uma comunidade do orkut chamada projeto IME, ITA e AFA ela e voltada somente para esse tipo de questoes e o pessoal la e bom, um abraço, saulo. On 6/19/05, Ajuda QuimFis [EMAIL PROTECTED] wrote: -Calcular todas as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que X^2 = 0. -Provar que se A e B são matrizes comutáveis, então vale a seguinte igualdade: (AB)^n = A^nB^n -Calcular a matriz que comuta com A: 1 0 0 1 1 0 0 1 1 Obrigada! __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes invertíveis....
A funçao determinante de martizes é continiua. O conjunto das matrizes inversiveis é a imagem inversa do conjunto aberto (-oo,0)U(0,+oo), portanto é um conjunto aberto. Para mostrar que o conjunto das matrizes ortogonais é compacto, mostre que é fechado e limitado. É limitado , pois por exemplo na norma 2 de matrizes a norma de uma matriz ortogonal é sempre =1. Para mostrar que é fechado pegue uma sequencia convergente de matrizes ortogonais A_k, com limite A_k=A. Mostre que A é ortogonal. Por A_k serem ortogonais (A_k^T)A_k=I. faça k tender a infinito nesta igualdade e vc tera que (A^T)A=I, logo A é ortogonal. Para explicar isso pense em A=[a_1,a_2,...,a_n] onde a_i sao as colunas de A, e A_k=[a_k^1,a_k^2,...,a_k^n] onde a_k^i sao as colunas de A_k. A igualdade (A_k^T)A_k=I é equivalente a a_k^i,a_k^i=1, para todo k, e para i=1,...,n ,é o produto interno ( escalar de vetores. Dizer q A_k converge para A siginifica que para cada i=1,...,n a coluna a_k^i converge para a coluna a_i. Logo tomando os limites em k nas igualdades do produto escalar, teremos que a_i,a_i=1 para i=1,...,n e assim A é matriz ortoganal . On Sun, 3 Apr 2005, carlos gomes wrote: Alô amigos, Como faço para verificar que o conjuntos das matrizes invertíveis nxn é aberto em R^(n^2)? E que o conjunto das matrizes ortogonais nxn é um subconjunto compacto de R^(n^2) ? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. -- Good bye! Mario Salvatierra Junior Mailing Address: IMECC - UNICAMP Caixa Postal 6065 13083-970 Campinas - SP Brazil
[obm-l] Re: [obm-l] Matrizes invertíveis....
Pra mostrar que o conjunto das matrizes ortogonais é fechado, você poderia também mostrar que o seu complementar M é aberto.
A pertence a M == A'A I.
A função F: R^(n^2) x R^(n^2) - R^(n^2) dada por F(X) = X'X é contínua e M é a imagem inversa por F do aberto R^(n^2) - {I}.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Sun, 3 Apr 2005 20:23:36 -0300 (BRT)
Assunto:
Re: [obm-l] Matrizes invertíveis
A funçao determinante de martizes é continiua. O conjunto das matrizes
inversiveis é a imagem inversa do conjunto aberto (-oo,0)U(0,+oo),
portanto é um conjunto aberto.
Para mostrar que o conjunto das matrizes ortogonais é compacto, mostre que
é fechado e limitado. É limitado , pois por exemplo na norma 2 de matrizes
a norma de uma matriz ortogonal é sempre =1.
Para mostrar que é fechado pegue uma sequencia convergente de matrizes
ortogonais A_k, com limite A_k=A. Mostre que A é ortogonal.
Por A_k serem ortogonais (A_k^T)A_k=I. faça k tender a infinito nesta
igualdade e vc tera que (A^T)A=I, logo A é ortogonal. Para explicar isso
pense em A=[a_1,a_2,...,a_n] onde a_i sao as colunas de A, e
A_k=[a_k^1,a_k^2,...,a_k^n] onde a_k^i sao as colunas de A_k.
A igualdade (A_k^T)A_k=I é equivalente a
<A_K^I,A_K^I>=1, para todo k, e para i=1,...,n ,é o produto interno (
escalar de vetores.
Dizer q A_k converge para A siginifica que para cada i=1,...,n a
coluna a_k^i converge para a coluna a_i. Logo tomando os limites em k nas
igualdades do produto escalar, teremos que <A_I,A_I>=1 para i=1,...,n e
assim A é matriz ortoganal .
On Sun, 3 Apr 2005, carlos gomes wrote:
Alô amigos,
Como faço para verificar que o conjuntos das matrizes invertíveis nxn é aberto em R^(n^2)? E que o conjunto das matrizes ortogonais nxn é um subconjunto compacto de R^(n^2) ?
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Good bye!
Mario Salvatierra Junior
Mailing Address:
IMECC - UNICAMP
Caixa Postal 6065
13083-970 Campinas - SP
Brazil
Re: [obm-l] Matrizes
O que é um SUBESPAÇO VETORIAL?? Para entender o que eh um subespaço vc tem que aprender primeiro o que eh um espaço. Recomendo que leia o livro do Anton. Esse foi o livro adotado pelo meu professor de alg. Linear na UFRJ. Gostei do livro porque tem varias demonstraçoes interessantes. []'s Luiz H. Barbosa __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes
on 07.10.04 16:06, Luiz H. Barbosa at [EMAIL PROTECTED] wrote: Prove que se uma matriz Anxn tiver suas colunas formando um subespaço vetorial , então ela é invertível . []'s Luiz H. Barbosa Esse enunciado nao estah legal, pois as colunas de qualquer matriz mxn gera (palavra usado normalmente, e nao forma) um subespaco vetorial de F^m, onde F eh o corpo dos coeficientes. Talvez voce queira dizer que se as colunas de uma matriz A nxn geram F^n entao esta matriz eh invertivel. Uma forma de provar isso eh a seguinte: as colunas de A geram F^n == o sistema Ax = b possui solucao qualquer que seja o vetor nx1 b == em particular, sejam x_1, x_2, ..., x_n solucoes dos sistemas: Ax = e_1, Ax = e_2, ..., Ax = e_n, onde e_i = vetor nx1 com 1 na i-esima linha e 0 nas demais linhas == a matriz C, cujas colunas sao x_1, x_2, ..., x_n, eh tal que AC = I == A eh invertivel e C eh sua inversa. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes
O que é um SUBESPAÇO VETORIAL?? on 07.10.04 16:06, Luiz H. Barbosa at [EMAIL PROTECTED] wrote: Prove que se uma matriz Anxn tiver suas colunas formando um subespaço vetorial , então ela é invertível . []'s Luiz H. Barbosa Esse enunciado nao estah legal, pois as colunas de qualquer matriz mxn gera (palavra usado normalmente, e nao forma) um subespaco vetorial de F^m, onde F eh o corpo dos coeficientes. Talvez voce queira dizer que se as colunas de uma matriz A nxn geram F^n entao esta matriz eh invertivel. Uma forma de provar isso eh a seguinte: as colunas de A geram F^n == o sistema Ax = b possui solucao qualquer que seja o vetor nx1 b == em particular, sejam x_1, x_2, ..., x_n solucoes dos sistemas: Ax = e_1, Ax = e_2, ..., Ax = e_n, onde e_i = vetor nx1 com 1 na i-esima linha e 0 nas demais linhas == a matriz C, cujas colunas sao x_1, x_2, ..., x_n, eh tal que AC = I == A eh invertivel e C eh sua inversa. []s, Claudio. Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes
on 08.10.04 00:28, Igor Oliveira at [EMAIL PROTECTED] wrote: O que é um SUBESPAÇO VETORIAL?? Eh um subconjunto de um espaco vetorial que, por si soh, eh um espaco vetorial. Ou seja, se u e v pertencem ao subespaco e a eh um escalar qualquer, entao a*u + v pertence ao subespaco. Se isso nao ficou claro, o melhor eh pegar qualquer livro de algebra linear e dar uma olhada. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes
[EMAIL PROTECTED] wrote: Mais uma questãozinha dessa vez de matrizes anex abços Junior O truque está na diagonal... uma matriz anti-simétrica deve ter apenas 0 na diagonal, então você pode determinar os valores de a, b, c... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] matrizes
- Original Message -
From: Raphael Marx [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, April 19, 2004 1:58 PM
Subject: [obm-l] matrizes
Seja a matriz A de ordem n que admite a existêcia de sua inversa A^(-1).
Sabendo-se que a matriz admite a seguinte propriedade abaixo:
I e a matriz de identidade de ordem n
item a
encontre uma matriz 2x2 onde vale a seguinte relação:
A + A^(-1) = I
Multiplicando por A e re-arranjando, obtemos A^2 - A + I = 0.
Seja p(x) = x^2 - x + 1, cujas raízes são r = (1+raiz(5))/2 e 1/r =
(1-raiz(5))/2.
Tome A = diag(r,1/r). A é raiz do seu polinômio mínimo, igual a p(x) e,
portanto, satisfaz a relação A + A^(-1) = I.
item b
b pertence ao conjunto de inteiros {-2, -1,+1,+2}
k pertence aos naturais
A^k + A^(-k) = b*I
prove que b esta limitado somente e apenas somente àqueles valores.para
qualquer valor de k natural
Usando a matriz A do item (a), teremos:
A^k + A^(-k) = diag( r^k + (1/r)^k , r^k + (1/r)^k ) = (r^k + (1/r)^k)*I.
Agora, basta mostrar que r^k + (1/r)^k pertence a {-2,-1,1,2}, para todo k
natural.
Uma idéia é usar indução.
Outra é encontrar uma relação de recorrência cuja solução seja:
a(k) = r^k + (1/r)^k para todo k natural.
Por exemplo, podemos tomar:
a(1) = 1, a(2) = -1 e, para k = 3, a(k) = a(k-1) - a(k-2).
Isso implica que:
a(3) = -1 - 1 = -2;
a(4) = -2 - (-1) = -1;
a(5) = -1 - (-2) = 1;
a(6) = 1 - (-1) = 2;
a(7) = 2 - 1 = 1 = a(1);
a(8) = 1 - 2 = -1 = a(2)
A partir daí, fica fácil ver que os valores de a(k) se repetem com período
6, de modo que, para todo k natural, a(k) pertence a {-2,-1,1,2}.
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] matrizes
Eu fiz o seguinte: B = a b c d Fiz AB = BA Resolvendo o sistema encontrei: a = alfa b = beta - alfa c = -3(beta - alfa) d = beta Para quaisquer alfa e beta. Então: B = (alfa) (beta - alfa) (-3(beta - alfa)) (beta) Qualquer erro por mim cometido, me avise. []s Claudio Freitas - Original Message - From: Guilherme Teles To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, April 09, 2004 8:50 PM Subject: [obm-l] matrizes Pessoal, estou com uma duvida cruel sobre matrizes que comutam ou não 1. Obtenha todas as matrizes B que comutam com A = 1 -1 30 Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.Scan engine: VirusScan / Atualizado em 08/04/2004 / Versão: 1.5.2Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/
Re: [obm-l] Matrizes que Comutam
On Wed, Mar 10, 2004 at 07:11:45PM -0300, claudio.buffara wrote: Oi, pessoal: Estou com uma duvida meio ampla sobre matrizes que comutam. Seja A uma matriz nxn inversivel com coeficientes num dado corpo F. O conjunto de tais matrizes forma um grupo não-abeliano GL(n,F) com relação ao produto de matrizes. O que podemos dizer em geral sobre o tamanho e a estrutura de C(A), o centralizador de A = subgrupo das matrizes de GL(n,F) que comutam com A? Por exemplo, num problema da obm-u de 2003, o grupo era GL(4,Z_p) e as matrizes satisfaziam a A^2 = I == um caso extremamente particular, mas que deu origem à minha dúvida. Será que fica mais fácil trabalhar com a totalidade das matrizes nxn e não apenas as inversíveis e, nesse caso, tentar analisar o subespaco das matrizes que comutam com uma dada matriz A? Nesse caso eu tenho uma conjectura (mas com baixíssima convicção): se os autovalores de A são distintos, então as matrizes que comutam com A são justamente os polinômios em A e a dimensão do subespaço dessas matrizes é n. De certa forma sim, é melhor olhar para o anel de todas as matrizes nxn em vez do grupo. A sua conjectura é verdadeira: se uma matriz tem todos os autovalores distintos então ela é diagonalizável (em algum corpo) e as únicas matrizes que comutam com uma matriz diagonal com entradas diagonais distintas são outras matrizes diagonais. Ora, qualquer matriz diagonal é um polinômio de uma matriz diagonal com entradas distintas. Assim, desfazendo a conjugação, se B comuta com A então B = p(A). Na verdade a conclusão vale com uma hipótese um pouco mais fraca: se o polinômio característico de A é igual ao polinômio mínimo então as matrizes que comutam com A são exatamente os polinômios em A: a demonstração é basicamente a mesma, usando Jordan. Nos casos acima, o conjunto das matrizes que comutam com A e o subanel gerado por A coincidem, e ambos têm dimensão n (como espaço vetorial). Se os polinômios mínimo e característico forem diferentes, então a dimensão do subanel gerado por A é m n, o grau do polinômio mínimo. Eu não tenho certeza se existe uma fórmula interessante relacionando m, n e l, a dimensão do subanel das matrizes que comutam com A: acho que não, mas certamente temos l n. Você começou com a pergunta em GL, ou seja, você quer olhar para a interseção entre o subanel acima com GL. Eu faço a seguinte observação, que fica como problema. Suponha que o polinômio característico de A seja irredutível no corpo no qual estamos trabalhando e seja p um polinômio não nulo de grau menor do que n: então p(A) é inversível. Assim, se o corpo tem q elementos então este grupo tem q^n - 1 elementos. Segundo problema: prove que este grupo é cíclico. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes Inversiveis
On Mon, Feb 09, 2004 at 03:10:49PM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote: Apenas invertível está nos dicionários. Eu devo confessar nunca pesquisei de forma sistemática esta questão. Mas os dicionários não são perfeitos, uma edição do Aurélio não tinha a palavra desatualizado, mas estamos chegando muito perto de um tópico off-topic que gerou briga recentemente. De qualquer maneira a língua evolui. Eu acho meio boba a discussão inversível x invertível e uso de forma mais ou menos indiferente, com leve preferência pela forma inversível, mais popular e que também me parece mais coerente com palavras parecidas (conversível, reversível, irreversível). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes Inversiveis
On Sun, Feb 08, 2004 at 08:39:13PM -0200, Claudio Buffara wrote: Sua solucao me gerou outra duvida. Qual a grafia correta: inversivel ou invertivel ou ambas sao aceitaveis? Quase todo mundo fala e escreve inversível. Algumas pessoas, entre elas o Elon, falam e escrevem invertível, argumentando que a palavra vem do verbo inverter e portanto o 't' não tem pq virar um 's'. O argumento é discutível, pois dizemos conversível e reversível apesar dos verbos serem converter e reverter. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes Inversiveis
Apenas invertível está nos dicionários. Morgado == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Mon, 9 Feb 2004 13:31:55 -0200 Subject: Re: [obm-l] Matrizes Inversiveis On Sun, Feb 08, 2004 at 08:39:13PM -0200, Claudio Buffara wrote: Sua solucao me gerou outra duvida. Qual a grafia correta: inversivel ou invertivel ou ambas sao aceitaveis? Quase todo mundo fala e escreve inversível. Algumas pessoas, entre elas o Elon, falam e escrevem invertível, argumentando que a palavra vem do verbo inverter e portanto o 't' não tem pq virar um 's'. O argumento é discutível, pois dizemos conversível e reversível apesar dos verbos serem converter e reverter. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes Inversiveis
-- From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Matrizes Inversiveis Date: Mon, Feb 9, 2004, 1:31 PM On Sun, Feb 08, 2004 at 08:39:13PM -0200, Claudio Buffara wrote: Sua solucao me gerou outra duvida. Qual a grafia correta: inversivel ou invertivel ou ambas sao aceitaveis? Quase todo mundo fala e escreve inversível. Algumas pessoas, entre elas o Elon, falam e escrevem invertível, argumentando que a palavra vem do verbo inverter e portanto o 't' não tem pq virar um 's'. O argumento é discutível, pois dizemos conversível e reversível apesar dos verbos serem converter e reverter. []s, N. A questao nao tem maior importancia, mas o Aurelio registra: intertivel = o que se pode inverter. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes Inversiveis
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Sunday 08 February 2004 12:46: Lista OBM [EMAIL PROTECTED]] E aqui vai um de algebra linear: Sejam A e B matrizes inversiveis n x n tais que: A^5 = I (= matriz identidade n x n) e A*B*A^(-1) = B^2. Prove que existe um inteiro positivo k tal que B^k = I. Qual o menor valor possivel de k? [...] A*B*A^(-1) = B^2. Elevando ao quadrado, A*B^2*A^(-1) = B^4. Substituindo B^2, A^2*B*A^(-2) = B^4. Repetindo a operação, A^3*B*A^(-3) = B^8. A^4*B*A^(-4) = B^16. A^5*B*A^(-5) = B^32 == B = B^32 == B^31 = I, pois B é invertível. Se k é o menor inteiro positivo para o qual B^k = I, então B^(31 mod k) = I, o que implica k|31 pela minimalidade de k. Logo k = 1 ou k = 31, pois 31 é primo. Se k = 1, então B=I e o problema não tem graça. Senão, o menor k tal que B^k = I é 31. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAJo9GalOQFrvzGQoRAs38AJ4kmHtM/WxMz7SZlbekmF2ZP89zxACfSY4e a5MmEhjuM2j3hP06rD5mRSo= =aW7a -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes Inversiveis
on 08.02.04 17:34, Fábio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote: -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Sunday 08 February 2004 12:46: Lista OBM [EMAIL PROTECTED]] E aqui vai um de algebra linear: Sejam A e B matrizes inversiveis n x n tais que: A^5 = I (= matriz identidade n x n) e A*B*A^(-1) = B^2. Prove que existe um inteiro positivo k tal que B^k = I. Qual o menor valor possivel de k? [...] A*B*A^(-1) = B^2. Elevando ao quadrado, A*B^2*A^(-1) = B^4. Substituindo B^2, A^2*B*A^(-2) = B^4. Repetindo a operação, A^3*B*A^(-3) = B^8. A^4*B*A^(-4) = B^16. A^5*B*A^(-5) = B^32 == B = B^32 == B^31 = I, pois B é invertível. Se k é o menor inteiro positivo para o qual B^k = I, então B^(31 mod k) = I, o que implica k|31 pela minimalidade de k. Logo k = 1 ou k = 31, pois 31 é primo. Se k = 1, então B=I e o problema não tem graça. Senão, o menor k tal que B^k = I é 31. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira De fato, faltou dizer que B I pro problema ter alguma graca. Alias, a versao original tratava de elementos de um grupo e nao especificamente de matrizes. Sua solucao me gerou outra duvida. Qual a grafia correta: inversivel ou invertivel ou ambas sao aceitaveis? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes Inversiveis
INVERTIVEL == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sun, 08 Feb 2004 20:39:13 -0200 Subject: Re: [obm-l] Matrizes Inversiveis on 08.02.04 17:34, Fábio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote: -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Sunday 08 February 2004 12:46: Lista OBM [EMAIL PROTECTED]] E aqui vai um de algebra linear: Sejam A e B matrizes inversiveis n x n tais que: A^5 = I (= matriz identidade n x n) e A*B*A^(-1) = B^2. Prove que existe um inteiro positivo k tal que B^k = I. Qual o menor valor possivel de k? [...] A*B*A^(-1) = B^2. Elevando ao quadrado, A*B^2*A^(-1) = B^4. Substituindo B^2, A^2*B*A^(-2) = B^4. Repetindo a operação, A^3*B*A^(-3) = B^8. A^4*B*A^(-4) = B^16. A^5*B*A^(-5) = B^32 == B = B^32 == B^31 = I, pois B é invertível. Se k é o menor inteiro positivo para o qual B^k = I, então B^(31 mod k) = I, o que implica k|31 pela minimalidade de k. Logo k = 1 ou k = 31, pois 31 é primo. Se k = 1, então B=I e o problema não tem graça. Senão, o menor k tal que B^k = I é 31. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira De fato, faltou dizer que B I pro problema ter alguma graca. Alias, a versao original tratava de elementos de um grupo e nao especificamente de matrizes. Sua solucao me gerou outra duvida. Qual a grafia correta: inversivel ou invertivel ou ambas sao aceitaveis? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes e seus polinomios caracteristicos
on 28.10.03 16:38, leonardo mattos at [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal, Uma certa resolucao de uma questao do ime de matrizes me despertou um interesse pelo polinomio caracteristico de uma matriz jah q ateh entao eu nao tinha ouvido falar, ateh pq eu sei apenas o basico de algebra linear =] Eu gostaria de saber o seguinte: - Para cada matriz eu tenho apenas 1 polinomio caracteristico ou uma matriz pode ter mais de 1? O polinomio caracteristico de uma matriz quadrada A eh unico e, por definicao, igual a p(x) = det(xI - A). - Que situacoes podem amarrar o grau de um polinomio caracteristico de uma matriz? Se eu disser por exemplo q uma matriz eh idempotente eu jah amarro o grau do polinomio caracteristico dessa matriz? Na verdade voce deve falar em o (e nao um) p.c. de uma matriz, pois este eh unico, por definicao. O grau do p.c. soh depende da ordem da matriz. Uma matriz n x n tem um p.c. de grau n. Eh soh olhar pra definicao. O termo de maior grau do p.c. corresponde a diagonal principal de det(xI - A), que eh igual a: (x - a(1,1))*(x - a(2,2))*...*(x - a(n,n)). Isso implica, por exemplo, que o p.c. de uma matriz eh monico. Existe um outro polinomio associado a matriz que eh o polinomio minimo - por definicao, igual ao polinomio monico de menor grau que tem aquela matriz como raiz. Nao eh dificil provar que: 1) o p.m. de uma matriz eh unico; 2) o p.m. divide o p.c. e, de fato, qualquer outro polinomio que tenha a matriz correspondente como raiz; 3) Se A I e A^2 = A, entao 0 eh raiz do p.c. de A. Repare que isso afeta o termo independente do p.c. de A mas nao o seu grau, que eh igual a ordem da matriz. Basicamente oq eu gostaria de saber eh isso, mas se alguem quiser comentar mais alguma coisa saiba que seu comentario sera de grande utilidade =] Um abraço, Leonardo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes e seus polinomios caracteristicos
Ola pessoal, Uma certa resolucao de uma questao do ime de matrizes me despertou um interesse pelo polinomio caracteristico de uma matriz jah q ateh entao eu nao tinha ouvido falar, ateh pq eu sei apenas o basico de algebra linear =] Eu gostaria de saber o seguinte: - Para cada matriz eu tenho apenas 1 polinomio caracteristico ou uma matriz pode ter mais de 1? Apenas 1, por isso falamos 'do polinômio característico'. Se A é a sua matriz e ela é nxn, o polinômio característico de A é definido como p(x) = det( A - x*I ) onde I é a matrix identidade nxn. - Que situacoes podem amarrar o grau de um polinomio caracteristico de uma matriz? Se eu disser por exemplo q uma matriz eh idempotente eu jah amarro o grau do polinomio caracteristico dessa matriz? Todas as situações! Se a sua matriz é nxn, o polinômio característico será de grau n. Basicamente oq eu gostaria de saber eh isso, mas se alguem quiser comentar mais alguma coisa saiba que seu comentario sera de grande utilidade =] Um abraço, Leonardo _ -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes, bolos e tortas...
Johann, Não estou querendo reinventar a matemática... Apenas por meio da curiosidade e imaginação, indagando e encontrando sentido nas definições. Se você prefere apenas decorar as formulas e algoritmos, faça bom proveito. []s, Uílton O. Dutra Mail: [EMAIL PROTECTED] Web: http://uilton.person.dk ...Temos guardado um silêncio bastante parecido com a estupidez... %*** REPLY SEPARATOR *** % %On 29/09/03 at 16:40 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: %E claro que nao e so definiçao.Maqs o cara quer que eu responda o porque %algo nao ser do jeito que ele quer.E claro que tudo tem o seu porque, mas %nao o SEU porque. % %niski [EMAIL PROTECTED] wrote: %Acredito que a multiplicacao de matrizes foi definida para com ela ser %possivel construir sistemas lineares. % = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes, bolos e tortas...
Agora sou obrigado a escrever aqui:eu por acaso disse alguma vez que sou um decorador de formulinhas e algoritmos?Quando foi que disse algo parecido? E alias ce acha que eu resolvo os problemas de geometria que aparecem por ai e ninguem faz apenas decorando formulas e algoritmos?Ce acha que eu resolvo problemas de olimpiada com formulinhas e algoritmos? Eu so disse que nem sempre as coisas sao parecidas com o que a gente quer...por exemplo,se voice estudar a teoria dos corpos e coisas do tipo,a multiplicaçao e bem mais esclarecedora e util, e nao apenas um jeito curto de somar.Por exemplo,tente definir uma multiplicaçao a partir da soma de matrizes so pra ver pos pepinos enormes que aparecem...E alias definiçoes sao mesmo indiscutiveis.As utilidades,ai ja e outra historia... Johann,Não estou querendo reinventar a matemática... Apenas por meio da curiosidade e imaginação, indagando e encontrando sentido nas definições.Se você prefere apenas decorar as formulas e algoritmos, faça bom proveito.[]s,Uílton O. DutraMail: [EMAIL PROTECTED]Web: http://uilton.person.dk"...Temos guardado um silêncio bastanteparecido com a estupidez..."%*** REPLY SEPARATOR ***%%On 29/09/03 at 16:40 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote:%E claro que nao e so definiçao.Maqs o cara quer que eu responda o porque%algo nao ser do jeito que ele quer.E claro que tudo tem o seu porque, mas%nao o SEU porque.%%niski <[EMAIL PROTECTED]>wrote: %Acredito que a multiplicacao de matrizes foi definida para com ela ser%possivel construir sistemas lineares.Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
Re: [obm-l] Matrizes, bolos e tortas...
On Fri, Sep 26, 2003 at 08:17:02PM -0700, niski wrote: Acredito que a multiplicacao de matrizes foi definida para com ela ser possivel construir sistemas lineares. Se estamos discutindo história da matemática, estou bem certo de que a multiplicação de matrizes *não* foi inventada/definida para calcular compostas de transformações lineares. Os conceitos de espaço vetorial e transformação linear são do século XX e no século XIX já se estudavam matrizes por causa das várias aplicações menos abstratas de álgebra linear. Um exemplo de aplicação é a composição de funções da forma z |- (az+b)/(cz+d). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes, bolos e tortas...
E claro que nao e so definiçao.Maqs o cara quer que eu responda o porque algo nao ser do jeito que ele quer.E claro que tudo tem o seu porque, mas nao o SEU porque.niski [EMAIL PROTECTED] wrote: Acredito que a multiplicacao de matrizes foi definida para com ela ser possivel construir sistemas lineares.Henrique Patrício Sant'Anna Branco wrote: Dirichlet, Não sei, mas para mim a regra de multiplicação de matrizes não é simplesmente uma "definição". Ela é feita com base em composição (produto) de aplicações lineares. Uílton, se você quiser entender um pouco mais sobre produto de matrizes, dá uma olhada em livros de Algebra Linear, como o do Elon. Mas aí você vai ter que estudar um bocado... Desde espaços vetoriais, sub-espaços até composição de transformações lineares. Abraço, Henrique. Isto tem a ver com a ultima declaração que fiz.Mas lembre-se:definições são indiscutiveis!E o que seria logico pra voce? E ha o problema das unidades... "Uílton_O._Dutra" [EMAIL PROTECTED] wrote: Johann, Minha dúvida é: Porque a regra da multiplicação de matrizes manda somar as colunas? O resultado da multiplicação do meu exemplo é: Quantidade Total Farinha|170| Açucar |80 | Gostaria de saber porque não é: Torta|Bolo| Farinha |50 | 120 | Açucar |40 | 40 | Fazendo uma analogia a multiplicação de escalares, a regra das matrizes não parece lógica. []s, UOD PS: Não entendo nada de culinária... :-) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes, bolos e tortas...
Isto tem a ver com a ultima declaração que fiz.Mas lembre-se:definições são indiscutiveis!E o que seria logico pra voce?E ha o problema das unidades..."Uílton_O._Dutra" [EMAIL PROTECTED] wrote: Johann,Minha dúvida é: Porque a regra da multiplicação de matrizes manda somar as colunas?O resultado da multiplicação do meu exemplo é: Quantidade TotalFarinha|170|Açucar |80 |Gostaria de saber porque não é: Torta|Bolo|Farinha |50 | 120 |Açucar |40 | 40 |Fazendo uma analogia a multiplicação de escalares, a regra das matrizes não parece lógica.[]s,UODPS: Não entendo nada de culinária... :-)%*** REPLY SEPARATOR ***%%On 25/09/03 at 16:39 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote:%Nao entendi sua duvida mas vou tentar explicar:%Para uma torta vao 5 de farinha e 4 de açucar (deve ser so a massa...).%Para 10 tortas vao 5*10 de farinha e 4*10 de açucar.%Para um bolo vao 6 de farinha e 2 de açucar (coloca mais açucar nisso!)%Para 20 bolos vao 6*20 de farinha e 2*20 de açucar.%Para esses dois atrativos gastronomicos voce vai gastar 5*10+6*20 de%farinha e 4*10+2*20 de açucar.%Mas se voce quiser saber quanto vai pros bolos e pras tortas%individualmente (e nao saber o rombo que isso dara em seu orçamento e por%quanto tempo ce ficarta sem mesada), a multiplicaçao e outra.Tente ver%isso:(farinha e açucar X torta e bolo) vezes (torta e bolo X porçoes)%da farinha e açucar X porçoes%"Uílton O. Dutra" <[EMAIL PROTECTED]>wrote:%Olá Pessoal,%%Vou exemplificar minha dúvida.%% |Torta|Bolo|%Farinha| 5Kg |6Kg |%Açucar | 4Kg |2Kg |%% |Porções|%Torta| 10 |%Bolo | 20 |%%Se eu aplicar a multiplicação entre duas matrizes, obterei uma matriz %resultado com o total de farinha e o total e açucar a ser comprado.%%Porque a matriz resultado não é igual ao total de farinha e açucar para a %torta e o total de farinha e açucar para o bolo?%%[]s,%%UOD%%=%Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em%http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html%Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] Matrizes, bolos e tortas...
Dirichlet, Não sei, mas para mim a regra de multiplicação de matrizes não é simplesmente uma definição. Ela é feita com base em composição (produto) de aplicações lineares. Uílton, se você quiser entender um pouco mais sobre produto de matrizes, dá uma olhada em livros de Algebra Linear, como o do Elon. Mas aí você vai ter que estudar um bocado... Desde espaços vetoriais, sub-espaços até composição de transformações lineares. Abraço, Henrique. Isto tem a ver com a ultima declaração que fiz.Mas lembre-se:definições são indiscutiveis!E o que seria logico pra voce? E ha o problema das unidades... Uílton_O._Dutra [EMAIL PROTECTED] wrote: Johann, Minha dúvida é: Porque a regra da multiplicação de matrizes manda somar as colunas? O resultado da multiplicação do meu exemplo é: Quantidade Total Farinha|170| Açucar |80 | Gostaria de saber porque não é: Torta|Bolo| Farinha |50 | 120 | Açucar |40 | 40 | Fazendo uma analogia a multiplicação de escalares, a regra das matrizes não parece lógica. []s, UOD PS: Não entendo nada de culinária... :-) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes, bolos e tortas...
Acredito que a multiplicacao de matrizes foi definida para com ela ser possivel construir sistemas lineares. Henrique Patrcio Sant'Anna Branco wrote: Dirichlet, No sei, mas para mim a regra de multiplicao de matrizes no simplesmente uma "definio". Ela feita com base em composio (produto) de aplicaes lineares. Ulton, se voc quiser entender um pouco mais sobre produto de matrizes, d uma olhada em livros de Algebra Linear, como o do Elon. Mas a voc vai ter que estudar um bocado... Desde espaos vetoriais, sub-espaos at composio de transformaes lineares. Abrao, Henrique. Isto tem a ver com a ultima declarao que fiz.Mas lembre-se:definies so indiscutiveis!E o que seria logico pra voce? E ha o problema das unidades... "Ulton_O._Dutra" [EMAIL PROTECTED] wrote: Johann, Minha dvida : Porque a regra da multiplicao de matrizes manda somar as colunas? O resultado da multiplicao do meu exemplo : Quantidade Total Farinha|170| Aucar |80 | Gostaria de saber porque no : Torta|Bolo| Farinha |50 | 120 | Aucar |40 | 40 | Fazendo uma analogia a multiplicao de escalares, a regra das matrizes no parece lgica. []s, UOD PS: No entendo nada de culinria... :-) = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes, bolos e tortas...
Nao entendi sua duvida mas vou tentar explicar: Para uma torta vao 5 de farinha e 4 de açucar (deve ser so a massa...). Para 10 tortas vao 5*10 de farinha e 4*10 de açucar. Para um bolo vao 6 de farinha e 2 de açucar (coloca mais açucar nisso!) Para 20 bolos vao 6*20 de farinha e 2*20 de açucar.Para esses dois atrativos gastronomicos voce vai gastar 5*10+6*20 de farinha e 4*10+2*20 de açucar. Mas se voce quiser saber quanto vai pros bolos e pras tortas individualmente (e nao saber o rombo que isso dara em seu orçamento e por quanto tempo ce ficarta sem mesada), a multiplicaçao e outra.Tente ver isso:(farinha e açucar Xtorta e bolo) vezes (torta e bolo X porçoes) da farinha e açucar X porçoes"Uílton O. Dutra" [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Pessoal,Vou exemplificar minha dúvida. |Torta|Bolo|Farinha| 5Kg |6Kg |Açucar | 4Kg |2Kg ||Porções|Torta| 10 |Bolo | 20 |Se eu aplicar a multiplicação entre duas matrizes, obterei uma matriz resultado com o total de farinha e o total e açucar a ser comprado.Porque a matriz resultado não é igual ao total de farinha e açucar para a torta e o total de farinha e açucar para o bolo?[]s,UOD=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html===
Re: [obm-l] Matrizes, bolos e tortas...
Johann, Minha dúvida é: Porque a regra da multiplicação de matrizes manda somar as colunas? O resultado da multiplicação do meu exemplo é: Quantidade Total Farinha|170| Açucar |80 | Gostaria de saber porque não é: Torta|Bolo| Farinha |50 | 120 | Açucar |40 | 40 | Fazendo uma analogia a multiplicação de escalares, a regra das matrizes não parece lógica. []s, UOD PS: Não entendo nada de culinária... :-) %*** REPLY SEPARATOR *** % %On 25/09/03 at 16:39 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: %Nao entendi sua duvida mas vou tentar explicar: %Para uma torta vao 5 de farinha e 4 de açucar (deve ser so a massa...). %Para 10 tortas vao 5*10 de farinha e 4*10 de açucar. %Para um bolo vao 6 de farinha e 2 de açucar (coloca mais açucar nisso!) %Para 20 bolos vao 6*20 de farinha e 2*20 de açucar. %Para esses dois atrativos gastronomicos voce vai gastar 5*10+6*20 de %farinha e 4*10+2*20 de açucar. %Mas se voce quiser saber quanto vai pros bolos e pras tortas %individualmente (e nao saber o rombo que isso dara em seu orçamento e por %quanto tempo ce ficarta sem mesada), a multiplicaçao e outra.Tente ver %isso:(farinha e açucar X torta e bolo) vezes (torta e bolo X porçoes) %da farinha e açucar X porçoes %Uílton O. Dutra [EMAIL PROTECTED] wrote: %Olá Pessoal, % %Vou exemplificar minha dúvida. % % |Torta|Bolo| %Farinha| 5Kg |6Kg | %Açucar | 4Kg |2Kg | % % |Porções| %Torta| 10 | %Bolo | 20 | % %Se eu aplicar a multiplicação entre duas matrizes, obterei uma matriz %resultado com o total de farinha e o total e açucar a ser comprado. % %Porque a matriz resultado não é igual ao total de farinha e açucar para a %torta e o total de farinha e açucar para o bolo? % %[]s, % %UOD % %= %Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em %http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html %=== = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] matrizes
Em 27/7/2003, 18:31, Rodrigo ([EMAIL PROTECTED]) disse:
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n , onde A é nao singular.Verifique
que (A + B) . A^-1 . (A - B)= (A - B) . A^-1 . (A + B)
Seja a a inversa de A,
Do primeiro membro:
(Aa + Ba)(A - B)
(I + Ba)(A - B)
IA - IB + BaA - BaB
A - B + BI - BaB
A - B + B - BaB
A - BaB {I}
Do segundo membro:
(A - B) . A^-1 . (A + B)
(Aa - Ba)(A + B)
(I - Ba)(A + B)
IA + IB - BaA - BaB
A + B - BI - BaB
A - BaB {II}
Como {I} = {II}, estah verificada a igualdade.
Flws
Igor GomeZZ
ICQ#: 29249895
Vitória, Espírito Santo, Brasil
Criação: 27/7/2003 (23:05)
#
Pare para pensar:
A verdade é filha do tempo, não da autoridade.
(Francis Bacon)
#
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] matrizes
--- Rodrigo Salcedo [EMAIL PROTECTED] escreveu: Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n , onde A é nao singular.Verifique que (A + B) . A^-1 . (A - B)= (A - B) . A^-1 . (A + B) (A+B)*[A^(-1)*(A-B)]=(A+B)*(I-A^(-1)*B)=(A-B+B-B*A^(-1)*B)= =(A+B)-(B+B*A(-1)*B)=A(I+A(-1)*B)-B*(I+A^(-1)*B)= =(A-B)*(I+A(-1)*B)=(A-B)*A^(-1)*(A+B) _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes (ajuda)
Basta multiplicar os dois membros da eq. AX=Bpor A^{-1}, pela esquerda (
lembre-se de que o produto de matrizes, em geral, é não-comutativo!!! ).
Dessa forma:
X=A^{-1}. B .
Frederico.
From: [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Matrizes (ajuda)
Date: Wed, 23 Jul 2003 08:58:34 -0300
Olá pessoal,
Não estou conseguindo resolver essa questão de matrizes:
Sabendo que AX = B, Anxn, e B diferente de zero, tal que A^(-1) existe.
Calcule X.
Desde já, grato,
Moreira
_
Quer ajudar o Brasil e não sabe como?
AjudaBrasil: http://www.ajudabrasil.org/mail.html.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
_
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Matrizes (ajuda)
Se A^(-1) existe, ento ela do tipo nxn. Basta multiplicarmos ambos os termos por A^(-1), assim temos: A^(-1)AX=A^(-)B X=A^(-1)B se so se B for do tipo nxj - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, July 23, 2003 9:01 AM Subject: [obm-l] Matrizes (ajuda) Ol pessoal, No estou conseguindo resolver essa questo de matrizes: Sabendo que AX = B, Anxn e B diferente de zero, tal que A^(-1) existe. Calcule X. Desde j, grato, Moreira _ Quer ajudar o Brasil e no sabe como? AjudaBrasil: http://www.ajudabrasil.org/mail.html. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes (obrigado)
Obrigado pessoal!
Moreira
Basta multiplicar os dois membros da eq. AX=Bpor A^
{-1}, pela esquerda (
lembre-
se de que o produto de matrizes, em geral, é não-
comutativo!!! ).
Dessa forma:
X=A^{-1}. B .
Frederico.
From: [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Matrizes (ajuda)
Date: Wed, 23 Jul 2003 08:58:34 -0300
Olá pessoal,
Não estou conseguindo resolver essa questão de matrize
s:
Sabendo que AX = B, Anxn, e B diferente de zero, tal q
ue A^(-1) existe.
Calcule X.
Desde já, grato,
Moreira
_
Quer ajudar o Brasil e não sabe como?
AjudaBrasil: http://www.ajudabrasil.org/mail.html.
==
===
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar
a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
==
===
___
__
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hot
mail.com
===
==
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
===
==
__
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
AntiPop-up UOL - É grátis!
http://antipopup.uol.com.br/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Matrizes
Traço AB = traço BA traço (AB-BA)=0 traço I = n [EMAIL PROTECTED] wrote: Prove que não existem matrizes reais A e B tal que AB-BA=I Mathematicus nascitur, non fit Matemáticos não são feitos, eles nascem --- Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] matrizes
2) Os autovalores de A são os zeros de seu polinômio característico
p_A(x) = det ( A - x I ) , em que I representa a matriz identidade de
mesma ordem que A . Pela Regra de Binnet det( C . D ) = det (C) . Det
(D) . Suponha então que B = P^{-1} . A . P , P não-singuilar. Nesse
caso:
p_A(x) = det( P^{-1} . ( A -xI) . P ) = det (P^{-1} . A . P - xI ) = p_B(x)
.
Desde que A e B têm os mesmos polin}ômios caract. terão os mesmos
autovalores.
OBS: na penúltima igualdade, usamos o fato de que I comuta com quaisquer
outras matrizes, dessa forma: P^{-1} . (xI ). P = x .I .
Frederico.
From: Marcos Reynaldo [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] matrizes
Date: Wed, 9 Jul 2003 05:44:57 -0300 (ART)
Olá !
Alguém poderia me ajudar nesses problemas ?
Provar que:
i) se uma matriz A é triangular superior (ou
inferior), então a inversa de A é triangular superior
(ou inferior). (usando determinantes)
ii) se A e B são semelhantes* , então A e B possuem os
mesmos autovalores.
* A e B são semelhantes se existir uma matriz
inversível P tal que (inversa de P).A.P=B
[]'s Marcos
___
Yahoo! Mail
Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus,
proteção contra spam.
http://br.mail.yahoo.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
_
MSN Messenger: converse com os seus amigos online.
http://messenger.msn.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] matrizes
Fazendo as contas, A^3 = (-8)I A^(2001)= [-8I]^667 = - (2^2001)I A^2003 = - (2^2001)(A^2) Em Thu, 27 Mar 2003 02:27:43 -0300, Mário_Pereira [EMAIL PROTECTED] disse: Desculpem: Sendo a matriz A Calcule A elevado no expoente 2003 Mário Mário = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Matrizes Simétricas e Inversíveis
A única maneira de provar que a afirmativa é falsa é exibindo um contra exemplo. Isso ocorre porque há casos onde P^(-1) * A * P também é simétrica. Seria possível uma prova geral se a afirmativa fosse falsa sempre (nesse caso a sua negação seria um teorema). Um exercício pode ser determinar todas as matrizes simétricas A tais que P^(-1)*A*P é simétrica, qualquer que seja a matriz inversível P, ou então, dada uma matriz simétrica A, determinar todas as matrizes inversíveis P tais que P^(-1)*A*P é simétrica. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 03, 2003 4:32 PM Subject: [obm-l] Matrizes Simétricas e Inversíveis Sejam as matrizes A e P inversíveis. Seja B igual a P^-1 A P. Há forma de provar, sem contra-exemplo, a falsidade: se A é simétrica, então B também o é. ATT. João Carlos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Matrizes
A matriz do enunciado nao possui inversa (seu determinante vale zero). O sistema a que voce chegou eh impossivel, confirmando que a matriz nao possui inversa Em Fri, 24 Jan 2003 01:10:24 EST, [EMAIL PROTECTED] disse: Olá pessoal, Vejam a questão: (UFRS) A= (a_ij) é uma matriz de ordem 2x2 com a_ij=2-i se i=j e a_ij=0 se i diferente de j. A inversa de A é : Resp: [a11=2; a12=0; a21=0; a22=4] Obs: Eu fiz do seguinte modo: Como as matrizes 2x2 são da forma [a11,a12,a21,a22] então aplicando a fórmula imposta pelo enunciado cheguei a matriz [a11=1;a12=0;a21=0;a22=0], então multilpliquei esta pela inversa (que desconheço, então seus elementos serão as incógnitas a11=x,a12=y;a21=z e a22= w) igualando este produto produto pela matriz identidade de ordem 2 tbém. Realizando os cálculos cheguei a configuração da matriz inversa=[a11=1;a12=0;a21=0 e a22= 0=1] Como vcs podem ver cheguei a um resultado absurdo pelo menos em a22=0=1, ou seja alguma coisa está errada pois 0 não é igual a 1. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] matrizes
--- [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal, Estava resolvendo uma questão envolvendo matrizes e tive o problema de chegar ao resultado de -3, mas o gabarito diz que é 3. Gostaria que vcs verificassem a minha resolução e dissessem onde errei, pois fiz e refiz e chegava sempre à -3. (UFBA) Considere a matriz A= [(a11=2) (a12=5) (a13=1) (a21= -1) (a22=4) (a23= -3) (a31=3) (a32=0) (a33=2)]. Efetuando-se A^t - (1/3)*A, obtém-se [(a11=2x+y) (a12=5x+y) (a13=8/3) (a21=16/3) (a22=8/3) (a23=1) (a31=0) (a32= -3) (a33=4/3) Calcule o valor de y/x. Obs: Como eu disse o gabarito diz que é 3, mas vejam abaixo onde errei, pois estou chegando a -3. Primeiramente fiz a transposta de A, e cheguei a A^t= [(a11=2) (a12= -1) (a13=3) (a21=5) (a22=4) (a23=0) (a31=1) (a32= -3) (a33=2)]. Como as incógnitas estão em a11 e a21 na outra matriz vamos considerar apenas (a11=2) (a12= -1) para fazer a subtração ou adição de elementos opostos, ou seja, A + (-A) com os elementos a11 e a12 da matriz resultante da operação (-1/3)*A. Depois de calculado encontrei a11= -2/3 e a12= -5/3. Realizando a soma de (a11=2) + (a11= -2/3) e também de (a12= -1) + (a12= -5/3) chego aos resultados de 4/3 e -8/3. A partir daí fiz o sistema: 2x + y= 4/3 5x + y= -8/3 Cheguei a y=4 e x= -4/3 . Como a questão pede y/x fiz 4/(-4/3) = -3 ?!?!?! Pelo exposto acima, vc está correto. No entanto, dê uma verificada no enunciado do problema, pois o gabarito do vestibular da UFBA (com excecao das discursivas) nao contem numeros negativos. Um abraco, Tertuliano Carneiro. ___ Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] matrizes
Oi para todos! Desculpe a distração na última mensagem. Toda matriz [(a11 = x) e (a21 = 2x/3)] satizfaz X. André T. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 11, 2003 4:57 PM Subject: [obm-l] matrizes olá pessoal, Gabriel Haeser, vou reafirmar novamente que enviei a questão como está no meu caderno de exercícios com a resalva de ser A*X=3X ao invés de 3x (esta segunda é como está no enunciado). Quanto a unicidade da solução a questão dá 5 alternativas (todas matrizes coluna) e entre elas a matriz [(a11=3) e (a21=2)] que alguém da lista enviou, mas não me lembro quem. Parece que foi o Bruno. Gostaria que quem enviou, comentasse aos outros colegas aqui da lista para sabermos se sua resposta está realmente correta. Pelo menos, bate perfeitamente com o gabarito.
Re: [obm-l] matrizes
On Thu, Jan 09, 2003 at 05:07:19PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Como eu posso resolver esta questão que caiu na PUC-SP: (PUC-SP) Sejam as matrizes A=[ (a11=1) (a12= 3) (a21=4) e (a22= -3)] e X (matriz coluna)= [(a11=x) e (a21=y) tal que A*X= 3x é : Imagino que o correto seja AX = 3X (e não 3x). Se for isso basta resolver o sistema x + 3y = 3x 4x - 3y = 3y que é equivalente à única equação 2x = 3y que têm infinitas soluções da forma x = 3t, y = 2t,... A resposta é uma matriz coluna igual a [(a11=3 e (a21=2)] ... e esta resposta é uma possível solução. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] matrizes
Olá, Eu não entendi se x éum número ou matriz, e se x é diferente de X Até... - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 09, 2003 8:07 PM Subject: [obm-l] matrizes Olá pessoal, Como eu posso resolver esta questão que caiu na PUC-SP: (PUC-SP) Sejam as matrizes A=[ (a11=1) (a12= 3) (a21=4) e (a22= -3)] e X (matriz coluna)= [(a11=x) e (a21=y) tal que A*X= 3x é : A resposta é uma matriz coluna igual a [(a11=3 e (a21=2)] Obs: O que eu pude observar, e que deve ser a chave para a resolução foi que quando eu estava tentando resolver eu multipliquei A por X obtive AX= [(a11=x) (a12=y) (a21=4x) e (a22= -3x)] e a segunda coluna se anula se fosse somada.
Re: [obm-l] matrizes
Oi para todos! Também não ficou claro o que está sendo perguntado. Não existe matriz X tal que A*X = 3X .Isso implica em: A*X*X^(-1) = 3X*X^(-1) = A*I2 = A = 3I2 Absurdo! André T. - Original Message - From: Bruno To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, January 10, 2003 10:30 AM Subject: Re: [obm-l] matrizes Olá, Eu não entendi se x éum número ou matriz, e se x é diferente de X Até... - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 09, 2003 8:07 PM Subject: [obm-l] matrizes Olá pessoal, Como eu posso resolver esta questão que caiu na PUC-SP: (PUC-SP) Sejam as matrizes A=[ (a11=1) (a12= 3) (a21=4) e (a22= -3)] e X (matriz coluna)= [(a11=x) e (a21=y) tal que A*X= 3x é : A resposta é uma matriz coluna igual a [(a11=3 e (a21=2)] Obs: O que eu pude observar, e que deve ser a chave para a resolução foi que quando eu estava tentando resolver eu multipliquei A por X obtive AX= [(a11=x) (a12=y) (a21=4x) e (a22= -3x)] e a segunda coluna se anula se fosse somada.
Re: [obm-l] matrizes
On Fri, Jan 10, 2003 at 05:16:45PM -0200, Wagner wrote: Oi para todos! Também não ficou claro o que está sendo perguntado. Não existe matriz X tal que A*X = 3X .Isso implica em: A*X*X^(-1) = 3X*X^(-1) = A*I2 = A = 3I2 Absurdo! X é uma matriz coluna logo não inversível. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] matrizes
Oi Rafael, o produto de matrizes obedece às propriedades. (AB)C = A(BC) A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC daí segue que se AB = C e B é inversível então (AB)B^(-1) = CB^(-1), multipliquei à direita por B^(-1) A(BB^(-1)) = AI = A = CB^(-1) Você está usando (erradamente) a comutatividade: AB = BA, que como o Morgado falou não é válida para todos os pares de matrizes A e B. Uma das utilidades das matrizes é para representar transformações lineares entre espações vetoriais de dimensão finita. Por exemplo: se L: R^n - R^n é uma transformação linear, então existe uma matriz A tal que L(v) = Av para todo v de R^n e reciprocamente a função v-Av é uma tranformação linear para qualquer matriz A. Nesse sentido vale a seguinte propriedade Sejam L e U duas tranformações lineares de R^n em R^n e A e B suas respectivas matrizes, ou seja L(v) = Av e U(v) = Bv para todo v de R^n é fácil de demonstrar que a função composta L(U) é ainda uma transformação linear de R^n em R^n e logo existe uma matriz C tal que L(Uv) = Cv para todo v de R^n é interessante observar que C é justamente C = BA. Essa é a grande motivação para se definir o produto de matrizes do modo como é definido. Das regras de composição de funções se sabe que L(U(V)) = (L(U))(V) do que segue a propriedade A(BC) = (AB)C para matrizes. Da definição (L + U)(V) = L(V) + L(U) para funções quaisquer segue (A + B)C = AC + BC. Finalmente a propriedade A(B + C) requer a linearidade de A, a saber, A(u + v) = Au + Av. Todas essas informações básicas e muito mais coisas você vai encontrar num bom livro de álgebra linear como o do Elon Lages Lima ou do Hoffman e Kunze. Um abraço! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED] Se A.B=C, então A=C.B^(-1) e B=A^(-1).C, sendo A e B matrizes inversíveis. Mas poderia ser A=B^(-1).C e B=C.A^ (-1)? __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol Rafael, se A.B = C e B é inversível A = C.B^(-1), e se A é inversível B = A^(-1).C. Uma matriz X é inversível, por definição, se existe uma matriz Y tal que X.Y = I = Y.X. Portanto só se pode falar em matrizes inversíveis quando as matrizes são quadradas. Nem toda matriz quadrada é inversível. Não é costume se dividir matrizes. Tu fez a implicação M^t = M^(-1) implica M^t.M = I se for isso, está certo. Primeiro você precisa supor que M é inversível daí em M^t = M^(-1) multiplique à direita por M M^t.M = M^(-1).M = I. O livro de Álgebra Linear do Elon Lages Lima vai te fornecer muito mais esclarecimentos. Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED] Pode-se falar em divisão de matrizes? tipo: sejam A, B, C matrizes quaiquer. Se AxB=C então A=C/B e B=C/A? Ou se M é uma matriz de ordem 3, sendo [M]t=[M]-1, então [M]t=I/M, logo [M]tx[M]=I. Operar desta maneira é valido para todos os casos? OBS: [M]t é matriz transposta de M [M]-1 é matriz inversa de M __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] matrizes
Se A.B=C, então A=C.B^(-1) e B=A^(-1).C, sendo A e B matrizes inversíveis. Mas poderia ser A=B^(-1).C e B=C.A^ (-1)? __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol Rafael, se A.B = C e B é inversível A = C.B^(-1), e se A é inversível B = A^(-1).C. Uma matriz X é inversível, por definição, se existe uma matriz Y tal que X.Y = I = Y.X. Portanto só se pode falar em matrizes inversíveis quando as matrizes são quadradas. Nem toda matriz quadrada é inversível. Não é costume se dividir matrizes. Tu fez a implicação M^t = M^(-1) implica M^t.M = I se for isso, está certo. Primeiro você precisa supor que M é inversível daí em M^t = M^(-1) multiplique à direita por M M^t.M = M^(-1).M = I. O livro de Álgebra Linear do Elon Lages Lima vai te fornecer muito mais esclarecimentos. Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED] Pode-se falar em divisão de matrizes? tipo: sejam A, B, C matrizes quaiquer. Se AxB=C então A=C/B e B=C/A? Ou se M é uma matriz de ordem 3, sendo [M]t=[M]-1, então [M]t=I/M, logo [M]tx[M]=I. Operar desta maneira é valido para todos os casos? OBS: [M]t é matriz transposta de M [M]-1 é matriz inversa de M __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] matrizes
Nao, o produto de matrizes nao eh comutativo. Eh claro que em alguns casos particulares vale que XY = YX. rafaelc.l wrote: GYOOF7$[EMAIL PROTECTED]"> Se A.B=C, ento A=C.B^(-1) e B=A^(-1).C, sendo A e B matrizes inversveis. Mas poderia ser A=B^(-1).C e B=C.A^(-1)? __AcessoBOL, s R$ 9,90! O menor preo do mercado!Assine j! http://www.bol.com.br/acessobol Rafael,se A.B = C e B inversvel A = C.B^(-1), e se A inversvel B = A^(-1).C.Uma matriz X inversvel, por definio, se existe uma matriz Y tal que X.Y= I = Y.X. Portanto s se pode falar em matrizes inversveis quando asmatrizes so quadradas. Nem toda matriz quadrada inversvel. No costumese dividir matrizes.Tu fez a implicaoM^t = M^(-1) implica M^t.M = Ise for isso, est certo. Primeiro voc precisa supor que M inversvel daemM^t = M^(-1) multiplique direita por MM^t.M = M^(-1).M = I.O livro de lgebra Linear do Elon Lages Lima vai te fornecer muito maisesclarecimentos.Eduardo Casagrande Stabel.Porto Alegre, RS.From: "rafaelc.l" [EMAIL PROTECTED] Pode-se falar em diviso de matrizes? tipo: sejam A, B, C matrizes quaiquer. Se AxB=C entoA=C/B e B=C/A? Ou se M uma matriz de ordem 3, sendo [M]t=[M]-1,ento [M]t=I/M, logo [M]tx[M]=I. Operar desta maneira valido para todos os casos?OBS: [M]t matriz transposta de M [M]-1 matriz inversa de M__AcessoBOL, s R$ 9,90! O menor preo do mercado!Assine j! http://www.bol.com.br/acessobol=Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/ obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]= =Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]=
Re: [obm-l] matrizes
Rafael, se A.B = C e B é inversível A = C.B^(-1), e se A é inversível B = A^(-1).C. Uma matriz X é inversível, por definição, se existe uma matriz Y tal que X.Y = I = Y.X. Portanto só se pode falar em matrizes inversíveis quando as matrizes são quadradas. Nem toda matriz quadrada é inversível. Não é costume se dividir matrizes. Tu fez a implicação M^t = M^(-1) implica M^t.M = I se for isso, está certo. Primeiro você precisa supor que M é inversível daí em M^t = M^(-1) multiplique à direita por M M^t.M = M^(-1).M = I. O livro de Álgebra Linear do Elon Lages Lima vai te fornecer muito mais esclarecimentos. Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED] Pode-se falar em divisão de matrizes? tipo: sejam A, B, C matrizes quaiquer. Se AxB=C então A=C/B e B=C/A? Ou se M é uma matriz de ordem 3, sendo [M]t=[M]-1, então [M]t=I/M, logo [M]tx[M]=I. Operar desta maneira é valido para todos os casos? OBS: [M]t é matriz transposta de M [M]-1 é matriz inversa de M __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] matrizes e sistemas
Não. O problema é exatamente esse.A única difderença é que onde está grafado X@ leia-se X2. Peguei esse problema de um livro da Companhia da Escola, que afirma que ele é da Cesgranrio. --- Augusto César Morgado [EMAIL PROTECTED] escreveu: Desconsidere a mensagem anterior. Nao seria AX = LX, L sendo numero e tudo que voce chamou de B nao seria X? pichurin wrote: Sejam L1 e L2 os valores distintos de L para os quais a equação matricial A*B=B, tal que A é uma matriz quadrada de ordem 2 e B é uma matriz do tipo 2X1, sendo: a11=2 a21=3 a12=3 a22=2 b11=X1 b21=X2 E tem-se que essa equação admite solução, tal que X1 e X@ são diferentes de zero. Então, L1 + L2 vale quanto? ___ Copa 2002 Yahoo! - Patrocinador oficial da Copa do Mundo da FIFA 2002 http://br.sports.yahoo.com/fifaworldcup/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = ___ Copa 2002 Yahoo! - Patrocinador oficial da Copa do Mundo da FIFA 2002 http://br.sports.yahoo.com/fifaworldcup/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] matrizes e sistemas
Nao seria A*B=LB, L numero? pichurin wrote: Sejam L1 e L2 os valores distintos de L para os quais a equação matricial A*B=B, tal que A é uma matriz quadrada de ordem 2 e B é uma matriz do tipo 2X1, sendo: a11=2 a21=3 a12=3 a22=2 b11=X1 b21=X2 E tem-se que essa equação admite solução, tal que X1 e X@ são diferentes de zero. Então, L1 + L2 vale quanto? ___ Copa 2002 Yahoo! - Patrocinador oficial da Copa do Mundo da FIFA 2002 http://br.sports.yahoo.com/fifaworldcup/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] matrizes e sistemas
Desconsidere a mensagem anterior. Nao seria AX = LX, L sendo numero e tudo que voce chamou de B nao seria X? pichurin wrote: Sejam L1 e L2 os valores distintos de L para os quais a equação matricial A*B=B, tal que A é uma matriz quadrada de ordem 2 e B é uma matriz do tipo 2X1, sendo: a11=2 a21=3 a12=3 a22=2 b11=X1 b21=X2 E tem-se que essa equação admite solução, tal que X1 e X@ são diferentes de zero. Então, L1 + L2 vale quanto? ___ Copa 2002 Yahoo! - Patrocinador oficial da Copa do Mundo da FIFA 2002 http://br.sports.yahoo.com/fifaworldcup/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] matrizes
Nada eh mais simples que provar que B eh a inversa de A.
Basta calcular AB e BA e constatar com imensa alegria que ambos os produtos
sao iguais a I (Alias, se forem quadradas, se um dos produtos for igual a
I, o outro tambem serah).
Logo, para provar que sendo A invertvel (com inversa B) A^t tambm eh invertivel
com inversa B^t, basta fazer
(A^t)*(B^t)=(BA)^t=I^t=I e
(B^t)*(A^t)=(AB)^t=I^t=I
Frederico Pessoa wrote:
007001c1c8b2$5ee6c340$1019d8c8@IG">
eu fiz ao contrário, mas deu na mesma... (acho)((A*X)^t)*(B)^(-1)=(C^(-1))*A((A*X)^t)=(C^(-1))*A*B(X^t)*(A^t)=(C^(-1))*A*B(X^t)=(C^(-1))*A*B*((A^t)^(-1))X= {(C^(-1))*A*B*((A^t)^(-1))}^t ***X=(A^(-1))*(B^t)*(A^t)*{(C^(-1))^t}O "acho" vem da linha ***. Quando eu passo dela pra próxima, eu precisariasaber (?) que a [transposta da inversa da transposta] é a [inversa]. Isso éverdade, né? De onde vem?[ ]'s Fred- Original Message -From: "Augusto César Morgado" [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Sent: Sunday, March 10, 2002 10:35 AMSubject: Re: [obm-l] matrizes
Multiplique, do lado direito, por B.Fica (A X)^t = (C^-1)ABComo a transposta do produto eh o produto das transpostas em ordem
inversa,
(AX) = (B^t)* (A^t)* [(C^-1)^t]Multiplique, do lado esquerdo, por A^-1X=(A^-1)*(B^t)* (A^t)* [(C^-1)^t]pichurin wrote:
Sendo A, B e C matrizes de ordem nx n , inversíveis,determine a matriz X :((A*X)^t)*(B)^(-1)=(C^(-1))*A
___
Yahoo! EmpregosO trabalho dos seus sonhos pode estar aqui. Cadastre-se hoje mesmo no
Yahoo! Empregos e tenha acesso a milhares de vagas abertas!
http://br.empregos.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]=
=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]=
=Instruções para entrar na lista, sair daa lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]=
Re: [obm-l] matrizes
Multiplique, do lado direito, por B. Fica (A X)^t = (C^-1)AB Como a transposta do produto eh o produto das transpostas em ordem inversa, (AX) = (B^t)* (A^t)* [(C^-1)^t] Multiplique, do lado esquerdo, por A^-1 X=(A^-1)*(B^t)* (A^t)* [(C^-1)^t] pichurin wrote: Sendo A, B e C matrizes de ordem nx n , inversíveis, determine a matriz X : ((A*X)^t)*(B)^(-1)=(C^(-1))*A ___ Yahoo! Empregos O trabalho dos seus sonhos pode estar aqui. Cadastre-se hoje mesmo no Yahoo! Empregos e tenha acesso a milhares de vagas abertas! http://br.empregos.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] matrizes
eu fiz ao contrário, mas deu na mesma... (acho)
((A*X)^t)*(B)^(-1)=(C^(-1))*A
((A*X)^t)=(C^(-1))*A*B
(X^t)*(A^t)=(C^(-1))*A*B
(X^t)=(C^(-1))*A*B*((A^t)^(-1))
X= {(C^(-1))*A*B*((A^t)^(-1))}^t ***
X=(A^(-1))*(B^t)*(A^t)*{(C^(-1))^t}
O acho vem da linha ***. Quando eu passo dela pra próxima, eu precisaria
saber (?) que a [transposta da inversa da transposta] é a [inversa]. Isso é
verdade, né? De onde vem?
[ ]'s
Fred
- Original Message -
From: Augusto César Morgado [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, March 10, 2002 10:35 AM
Subject: Re: [obm-l] matrizes
Multiplique, do lado direito, por B.
Fica (A X)^t = (C^-1)AB
Como a transposta do produto eh o produto das transpostas em ordem
inversa,
(AX) = (B^t)* (A^t)* [(C^-1)^t]
Multiplique, do lado esquerdo, por A^-1
X=(A^-1)*(B^t)* (A^t)* [(C^-1)^t]
pichurin wrote:
Sendo A, B e C matrizes de ordem nx n , inversíveis,
determine a matriz X :
((A*X)^t)*(B)^(-1)=(C^(-1))*A
___
Yahoo! Empregos
O trabalho dos seus sonhos pode estar aqui. Cadastre-se hoje mesmo no
Yahoo! Empregos e tenha acesso a milhares de vagas abertas!
http://br.empregos.yahoo.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
