Re: [obm-l] Probleminha um tanto estranho

[Artur Costa Steiner]

Sim, se o complexo z é raiz de P, então pelo menos uma das partes de z é
irracional.

Artur

Em Seg, 9 de abr de 2018 07:49, Claudio Buffara 
escreveu:

> O que você quer dizer com "ambas as partes racionais"?
> As partes real e imaginária das raízes?
>
> 2018-04-08 19:56 GMT-03:00 Artur Steiner :
>
>> Mostre que o polinômio
>>
>> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438
>> x^129 + 67917
>>
>> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais
>>
>> Abraços.
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha um tanto estranho

[Claudio Buffara]

O que você quer dizer com "ambas as partes racionais"?
As partes real e imaginária das raízes?

2018-04-08 19:56 GMT-03:00 Artur Steiner :

> Mostre que o polinômio
>
> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438 x^129
> + 67917
>
> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais
>
> Abraços.
>
> Artur Costa Steiner
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha um tanto estranho

[Luciano Leão]

Assumindo que x = p/q com p e q primos entre si.
---> p != 0 (mod 2) ou q != 0 (mod 2)
(!= significa é diferente de)

F(x)=0 <--> F(x) = 0 (mod 0)

Tirando o mmc de F(x) temos:

F(p,q) = 37971 p^998 - 74914 p^721 q^277 - 8677 p^432 q^566 + 12674 p^297 q^701 
- 21438 p^129 q^869 + 67917 q^998

p = 0 (mod 2) e q = 1 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

p = 1 (mod 2) e q = 0 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

p = 1 (mod 2) e q = 1 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

Absurdo, pois se p/q é raíz de F então F = 0 (mod 2 )
 

Em 8 de abril de 2018 19:56, Artur Steiner  
escreveu:
> Mostre que o polinômio 
> 
> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438 x^129 + 
> 67917 
> 
> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais
> 
> Abraços.
> 
> Artur Costa Steiner
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha um tanto estranho

[Luciano Leão]

Assumindo que x = p/q com p e q primos entre si.
---> p != 0 (mod 2) ou q != 0 (mod 2)
(!= significa é diferente de)

F(x)=0 <--> F(x) = 0 (mod 0)

Tirando o mmc de F(x) temos:

F(p,q) = 37971 p^998 - 74914 p^721 q^277 - 8677 p^432 q^566 + 12674 p^297 q^701 
- 21438 p^129 q^869 + 67917 q^998

p = 0 (mod 2) e q = 1 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

p = 1 (mod 2) e q = 0 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

p = 1 (mod 2) e q = 1 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

Absurdo, pois se p/q é raíz de F então F = 0 (mod 2 )
 

Em 8 de abril de 2018 19:56, Artur Steiner  
escreveu:
> Mostre que o polinômio 
> 
> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438 x^129 + 
> 67917 
> 
> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais
> 
> Abraços.
> 
> Artur Costa Steiner
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha um tanto estranho

[Luciano Leão]

Assumindo que x = p/q com p e q primos entre si.
---> p != 0 (mod 2) ou q != 0 (mod 2)
(!= significa é diferente de)

F(x)=0 <--> F(x) = 0 (mod 0)

Tirando o mmc de F(x) temos:

F(p,q) = 37971 p^998 - 74914 p^721 q^277 - 8677 p^432 q^566 + 12674 p^297
q^701 - 21438 p^129 q^869 + 67917 q^998

p = 0 (mod 2) e q = 1 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

p = 1 (mod 2) e q = 0 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

p = 1 (mod 2) e q = 1 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

Absurdo, pois se p/q é raíz de F então F = 0 (mod 2 )


Em 8 de abril de 2018 19:56, Artur Steiner 
escreveu:

> Mostre que o polinômio
>
> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438 x^129
> + 67917
>
> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais
>
> Abraços.
>
> Artur Costa Steiner
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha

[Pedro Luchiari]

De fato, acho que sua resolução está correta

Em quinta-feira, 2 de novembro de 2017, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em 17 de outubro de 2017 09:19, Pierry �ngelo Pereira
> > escreveu:
> > Senhores,
> >
> > Estou revisando matemática básica pelo material do site
> > http://matematica.obmep.org.br, que, por sinal, é muito bom.
> >
> > Neste problema, não entendi a solução da alternativa b),
> >
> > 16. Um escritor estranho numerou as páginas de seu último livro apenas
> com
> > os múltiplos de 6 ou  8. Determine:
> >
> > a) o número que aparece na vigésima página do livro.
> > b) qual o número de páginas do livro se a última página numerada é 876.
> >
> > Seguindo o raciocínio,
> >
> > Verifiquei que as páginas serão numeradas alternando os múltiplos de 6 e
> 8,
> > assim,
> > 6, 8, 12, 16, 18, (24), 30, 32, 36, 40, 42, (48) ...
> >
> > Pode-se concluir que a cada múltiplo comum desses dois números, há um
> > conjunto de 6 páginas, portanto, a 20a página numerada será 80.
>
> Como você demonstraria essas coisas?
>
> >
> > Ok, seguindo este mesmo raciocínio para resolver a alternativa b), o
> último
> > múltiplo de 24 menor ou igual a 876 é 864.
> >
> > Dividindo 864 por 24, temos 36, e 36 * 6 (quantidade de páginas por
> múltiplo
> > comum) é igual a 216. Porém, ainda temos os números 870, 872 e 876, que,
> no
> > total, resultaria em 219 páginas.
> >
> > Porém a solução do exercício é diferente:
> >
> > b) Na divisão de 876 por 24, obtemos quociente 36 e resto 12. Então se
> fosse
> > 876 -12 = 864 dividido por 24, teríamos exatamente 36, ou seja, seriam
> 26 *
> > 3 = 108 páginas; mas ainda temos as páginas 864 + 6 = 870, 864 + 8 = 872,
> > 864 + 12 = 876. Portanto, o livro tem 36 + 3 = 39 páginas.
> >
> > Obrigado.
> >
> > --
> > []'s
> > Pierry Ângelo Pereira
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha

[Anderson Torres]

Em 17 de outubro de 2017 09:19, Pierry �ngelo Pereira
 escreveu:
> Senhores,
>
> Estou revisando matemática básica pelo material do site
> http://matematica.obmep.org.br, que, por sinal, é muito bom.
>
> Neste problema, não entendi a solução da alternativa b),
>
> 16. Um escritor estranho numerou as páginas de seu último livro apenas com
> os múltiplos de 6 ou  8. Determine:
>
> a) o número que aparece na vigésima página do livro.
> b) qual o número de páginas do livro se a última página numerada é 876.
>
> Seguindo o raciocínio,
>
> Verifiquei que as páginas serão numeradas alternando os múltiplos de 6 e 8,
> assim,
> 6, 8, 12, 16, 18, (24), 30, 32, 36, 40, 42, (48) ...
>
> Pode-se concluir que a cada múltiplo comum desses dois números, há um
> conjunto de 6 páginas, portanto, a 20a página numerada será 80.

Como você demonstraria essas coisas?

>
> Ok, seguindo este mesmo raciocínio para resolver a alternativa b), o último
> múltiplo de 24 menor ou igual a 876 é 864.
>
> Dividindo 864 por 24, temos 36, e 36 * 6 (quantidade de páginas por múltiplo
> comum) é igual a 216. Porém, ainda temos os números 870, 872 e 876, que, no
> total, resultaria em 219 páginas.
>
> Porém a solução do exercício é diferente:
>
> b) Na divisão de 876 por 24, obtemos quociente 36 e resto 12. Então se fosse
> 876 -12 = 864 dividido por 24, teríamos exatamente 36, ou seja, seriam 26 *
> 3 = 108 páginas; mas ainda temos as páginas 864 + 6 = 870, 864 + 8 = 872,
> 864 + 12 = 876. Portanto, o livro tem 36 + 3 = 39 páginas.
>
> Obrigado.
>
> --
> []'s
> Pierry Ângelo Pereira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Probleminha bacana

[Pedro José]

Bom dia!

O que significa uma probabilidade ser uniforme?

Grato,
PJMS

Em 13 de março de 2017 10:17, Mauricio de Araujo <
mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:

> https://brilliant.org/practice/probability-rules-problem-solving/?p=2
>
>
> --
> Abraços,
> Mauricio de Araujo
> [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]
>
>
> 2017-03-04 11:49 GMT-03:00 Leonardo Maia :
>
>> É um processo de Poisson disfarçado. Realmente, o tempo é contínuo e
>> perguntas gerais requerem cálculo. Porém, como meias horas formam uma hora
>> por um múltiplo inteiro (dois), os dados do problema permitem a solução com
>> métodos discretos.
>>
>> A correta solução do Carlos Gomes coincide com a resposta usando o
>> processo de Poisson.
>>
>> Leo
>>
>> 2017-03-04 7:26 GMT-03:00 Carlos Gomes :
>>
>>> É verdade Pedro...eu também tive exatamente o mesmo sentimento que você.
>>> É tipicamente um daqueles enunciados, mal enunciados. É comum alguém pensar
>>> algo e escrever outra coisa! Nesses caso tento passar para o outro lado e
>>> tentar imaginar o que se passava na cabeça de que criou o problema. Dessa
>>> forma eu supus  que  que quando ele diz "uniforme" ele queira dizer  que
>>> tem intervalos de tempos iguais a probabilidade de se pescar um peixe seja
>>> a mesma. Mas você tem razão, rigorosamente o enunciado precisaria ser
>>> melhor, aliás, ser posto de uma forma correta. Mas acredito fortemente que
>>> era isso que se passava na cabeça de que elaborou.
>>>
>>> Em 3 de março de 2017 22:10, Pedro José  escreveu:
>>>
 Boa noite!

 Não compreendi o problema. Para mim há uma curva de distribuição de
 probabilidade.
 Portanto não há como aplicar conceito de modelo discreto. Mas sim
 integral.
 Também, não entendi o que significa probabilidade uniforme.


 Saudações,
 PJMS





 Em 3 de março de 2017 11:45, Carlos Gomes 
 escreveu:

> Ola Mauricio,
>
> Eu pensei assim:
>
> seja p a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em meia hora (que
> é o aue você quer  achar!). Assim a probabilidade de nao pegar nenhum 
> peixe
> em meia hora é 1-p.
>
> Como a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em uma hora é 0,64,
> segue que a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em uma hora
> é1-0,64=0,36.
>
> Ora, mas se nao pegou um peixe em uma hora, quer dizer que nao pegou
> nenhum peixe durante a primeira meia hora e tambem nao pegou nehum peixe
> durante a segunda meia hora, o que ocorre com probabilidade (1-p)(1-p)
>
> Assim, (1-p)^2=0,36  ==> 1-p=0,60  ==> p=0,40 (=40%).
>
> Cgomes.
>
> Em 3 de março de 2017 14:28, Mauricio de Araujo <
> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:
>
>>
>> Em um determinado lago, a probabilidade de se pegar um peixe é
>> uniforme e independente ao longo do tempo. Se a probabilidade de você 
>> pegar
>> pelo menos um peixe em uma hora é de 64%, qual é a probabilidade de você
>> pegar pelo menos um peixe em meia hora?
>>
>> 60%
>>
>> 40%
>>
>> 80%
>>
>> 32%
>>
>>
>>
>> --
>> Abraços,
>> Mauricio de Araujo
>> [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha bacana

[Mauricio de Araujo]

https://brilliant.org/practice/probability-rules-problem-solving/?p=2


--
Abraços,
Mauricio de Araujo
[oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]


2017-03-04 11:49 GMT-03:00 Leonardo Maia :

> É um processo de Poisson disfarçado. Realmente, o tempo é contínuo e
> perguntas gerais requerem cálculo. Porém, como meias horas formam uma hora
> por um múltiplo inteiro (dois), os dados do problema permitem a solução com
> métodos discretos.
>
> A correta solução do Carlos Gomes coincide com a resposta usando o
> processo de Poisson.
>
> Leo
>
> 2017-03-04 7:26 GMT-03:00 Carlos Gomes :
>
>> É verdade Pedro...eu também tive exatamente o mesmo sentimento que você.
>> É tipicamente um daqueles enunciados, mal enunciados. É comum alguém pensar
>> algo e escrever outra coisa! Nesses caso tento passar para o outro lado e
>> tentar imaginar o que se passava na cabeça de que criou o problema. Dessa
>> forma eu supus  que  que quando ele diz "uniforme" ele queira dizer  que
>> tem intervalos de tempos iguais a probabilidade de se pescar um peixe seja
>> a mesma. Mas você tem razão, rigorosamente o enunciado precisaria ser
>> melhor, aliás, ser posto de uma forma correta. Mas acredito fortemente que
>> era isso que se passava na cabeça de que elaborou.
>>
>> Em 3 de março de 2017 22:10, Pedro José  escreveu:
>>
>>> Boa noite!
>>>
>>> Não compreendi o problema. Para mim há uma curva de distribuição de
>>> probabilidade.
>>> Portanto não há como aplicar conceito de modelo discreto. Mas sim
>>> integral.
>>> Também, não entendi o que significa probabilidade uniforme.
>>>
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Em 3 de março de 2017 11:45, Carlos Gomes 
>>> escreveu:
>>>
 Ola Mauricio,

 Eu pensei assim:

 seja p a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em meia hora (que é
 o aue você quer  achar!). Assim a probabilidade de nao pegar nenhum peixe
 em meia hora é 1-p.

 Como a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em uma hora é 0,64,
 segue que a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em uma hora
 é1-0,64=0,36.

 Ora, mas se nao pegou um peixe em uma hora, quer dizer que nao pegou
 nenhum peixe durante a primeira meia hora e tambem nao pegou nehum peixe
 durante a segunda meia hora, o que ocorre com probabilidade (1-p)(1-p)

 Assim, (1-p)^2=0,36  ==> 1-p=0,60  ==> p=0,40 (=40%).

 Cgomes.

 Em 3 de março de 2017 14:28, Mauricio de Araujo <
 mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:

>
> Em um determinado lago, a probabilidade de se pegar um peixe é
> uniforme e independente ao longo do tempo. Se a probabilidade de você 
> pegar
> pelo menos um peixe em uma hora é de 64%, qual é a probabilidade de você
> pegar pelo menos um peixe em meia hora?
>
> 60%
>
> 40%
>
> 80%
>
> 32%
>
>
>
> --
> Abraços,
> Mauricio de Araujo
> [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha bacana

[Leonardo Maia]

É um processo de Poisson disfarçado. Realmente, o tempo é contínuo e
perguntas gerais requerem cálculo. Porém, como meias horas formam uma hora
por um múltiplo inteiro (dois), os dados do problema permitem a solução com
métodos discretos.

A correta solução do Carlos Gomes coincide com a resposta usando o processo
de Poisson.

Leo

2017-03-04 7:26 GMT-03:00 Carlos Gomes :

> É verdade Pedro...eu também tive exatamente o mesmo sentimento que você. É
> tipicamente um daqueles enunciados, mal enunciados. É comum alguém pensar
> algo e escrever outra coisa! Nesses caso tento passar para o outro lado e
> tentar imaginar o que se passava na cabeça de que criou o problema. Dessa
> forma eu supus  que  que quando ele diz "uniforme" ele queira dizer  que
> tem intervalos de tempos iguais a probabilidade de se pescar um peixe seja
> a mesma. Mas você tem razão, rigorosamente o enunciado precisaria ser
> melhor, aliás, ser posto de uma forma correta. Mas acredito fortemente que
> era isso que se passava na cabeça de que elaborou.
>
> Em 3 de março de 2017 22:10, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa noite!
>>
>> Não compreendi o problema. Para mim há uma curva de distribuição de
>> probabilidade.
>> Portanto não há como aplicar conceito de modelo discreto. Mas sim
>> integral.
>> Também, não entendi o que significa probabilidade uniforme.
>>
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>>
>>
>>
>> Em 3 de março de 2017 11:45, Carlos Gomes  escreveu:
>>
>>> Ola Mauricio,
>>>
>>> Eu pensei assim:
>>>
>>> seja p a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em meia hora (que é
>>> o aue você quer  achar!). Assim a probabilidade de nao pegar nenhum peixe
>>> em meia hora é 1-p.
>>>
>>> Como a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em uma hora é 0,64,
>>> segue que a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em uma hora
>>> é1-0,64=0,36.
>>>
>>> Ora, mas se nao pegou um peixe em uma hora, quer dizer que nao pegou
>>> nenhum peixe durante a primeira meia hora e tambem nao pegou nehum peixe
>>> durante a segunda meia hora, o que ocorre com probabilidade (1-p)(1-p)
>>>
>>> Assim, (1-p)^2=0,36  ==> 1-p=0,60  ==> p=0,40 (=40%).
>>>
>>> Cgomes.
>>>
>>> Em 3 de março de 2017 14:28, Mauricio de Araujo <
>>> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:
>>>

 Em um determinado lago, a probabilidade de se pegar um peixe é uniforme
 e independente ao longo do tempo. Se a probabilidade de você pegar pelo
 menos um peixe em uma hora é de 64%, qual é a probabilidade de você pegar
 pelo menos um peixe em meia hora?

 60%

 40%

 80%

 32%



 --
 Abraços,
 Mauricio de Araujo
 [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha bacana

[Carlos Gomes]

É verdade Pedro...eu também tive exatamente o mesmo sentimento que você. É
tipicamente um daqueles enunciados, mal enunciados. É comum alguém pensar
algo e escrever outra coisa! Nesses caso tento passar para o outro lado e
tentar imaginar o que se passava na cabeça de que criou o problema. Dessa
forma eu supus  que  que quando ele diz "uniforme" ele queira dizer  que
tem intervalos de tempos iguais a probabilidade de se pescar um peixe seja
a mesma. Mas você tem razão, rigorosamente o enunciado precisaria ser
melhor, aliás, ser posto de uma forma correta. Mas acredito fortemente que
era isso que se passava na cabeça de que elaborou.

Em 3 de março de 2017 22:10, Pedro José  escreveu:

> Boa noite!
>
> Não compreendi o problema. Para mim há uma curva de distribuição de
> probabilidade.
> Portanto não há como aplicar conceito de modelo discreto. Mas sim integral.
> Também, não entendi o que significa probabilidade uniforme.
>
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
>
> Em 3 de março de 2017 11:45, Carlos Gomes  escreveu:
>
>> Ola Mauricio,
>>
>> Eu pensei assim:
>>
>> seja p a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em meia hora (que é o
>> aue você quer  achar!). Assim a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em
>> meia hora é 1-p.
>>
>> Como a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em uma hora é 0,64,
>> segue que a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em uma hora
>> é1-0,64=0,36.
>>
>> Ora, mas se nao pegou um peixe em uma hora, quer dizer que nao pegou
>> nenhum peixe durante a primeira meia hora e tambem nao pegou nehum peixe
>> durante a segunda meia hora, o que ocorre com probabilidade (1-p)(1-p)
>>
>> Assim, (1-p)^2=0,36  ==> 1-p=0,60  ==> p=0,40 (=40%).
>>
>> Cgomes.
>>
>> Em 3 de março de 2017 14:28, Mauricio de Araujo <
>> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:
>>
>>>
>>> Em um determinado lago, a probabilidade de se pegar um peixe é uniforme
>>> e independente ao longo do tempo. Se a probabilidade de você pegar pelo
>>> menos um peixe em uma hora é de 64%, qual é a probabilidade de você pegar
>>> pelo menos um peixe em meia hora?
>>>
>>> 60%
>>>
>>> 40%
>>>
>>> 80%
>>>
>>> 32%
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Abraços,
>>> Mauricio de Araujo
>>> [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha bacana

[Pedro José]

Boa noite!

Não compreendi o problema. Para mim há uma curva de distribuição de
probabilidade.
Portanto não há como aplicar conceito de modelo discreto. Mas sim integral.
Também, não entendi o que significa probabilidade uniforme.


Saudações,
PJMS





Em 3 de março de 2017 11:45, Carlos Gomes  escreveu:

> Ola Mauricio,
>
> Eu pensei assim:
>
> seja p a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em meia hora (que é o
> aue você quer  achar!). Assim a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em
> meia hora é 1-p.
>
> Como a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em uma hora é 0,64,
> segue que a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em uma hora
> é1-0,64=0,36.
>
> Ora, mas se nao pegou um peixe em uma hora, quer dizer que nao pegou
> nenhum peixe durante a primeira meia hora e tambem nao pegou nehum peixe
> durante a segunda meia hora, o que ocorre com probabilidade (1-p)(1-p)
>
> Assim, (1-p)^2=0,36  ==> 1-p=0,60  ==> p=0,40 (=40%).
>
> Cgomes.
>
> Em 3 de março de 2017 14:28, Mauricio de Araujo <
> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:
>
>>
>> Em um determinado lago, a probabilidade de se pegar um peixe é uniforme e
>> independente ao longo do tempo. Se a probabilidade de você pegar pelo menos
>> um peixe em uma hora é de 64%, qual é a probabilidade de você pegar pelo
>> menos um peixe em meia hora?
>>
>> 60%
>>
>> 40%
>>
>> 80%
>>
>> 32%
>>
>>
>>
>> --
>> Abraços,
>> Mauricio de Araujo
>> [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha bacana

[Carlos Gomes]

Ola Mauricio,

Eu pensei assim:

seja p a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em meia hora (que é o
aue você quer  achar!). Assim a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em
meia hora é 1-p.

Como a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em uma hora é 0,64, segue
que a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em uma hora é1-0,64=0,36.

Ora, mas se nao pegou um peixe em uma hora, quer dizer que nao pegou nenhum
peixe durante a primeira meia hora e tambem nao pegou nehum peixe durante a
segunda meia hora, o que ocorre com probabilidade (1-p)(1-p)

Assim, (1-p)^2=0,36  ==> 1-p=0,60  ==> p=0,40 (=40%).

Cgomes.

Em 3 de março de 2017 14:28, Mauricio de Araujo <
mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:

>
> Em um determinado lago, a probabilidade de se pegar um peixe é uniforme e
> independente ao longo do tempo. Se a probabilidade de você pegar pelo menos
> um peixe em uma hora é de 64%, qual é a probabilidade de você pegar pelo
> menos um peixe em meia hora?
>
> 60%
>
> 40%
>
> 80%
>
> 32%
>
>
>
> --
> Abraços,
> Mauricio de Araujo
> [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] probleminha

[Alexandre Antunes]

Não dependeria da quantidade de algarismos de n?




Atenciosamente,

Prof. Msc. Alexandre Antunes
www alexandre antunes com br

Em 31 de julho de 2015 10:08, Mauricio de Araujo 
mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Seja S(x) a soma dos algarismos do número natural x escrito na base 10.
 Ache o menor número natural n na base 10 tal que vale a igualdade:
 9.S(n) = 16.S(2n).

 --
 Abraços

 oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ


 --
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 acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] probleminha

[Ralph Teixeira]

Note:
S(2n) eh divisivel por 9, entao
2n eh divisivel por 9, entao
n eh divisivel por 9, entao
S(n) eh divisivel por 9, entao
S(2n) eh divisivel por 81, entao
S(n) eh divisivel por 144.

Agora eu vou tentar arrumar algum n que satisfaz esta condicao S(n)=144 e
S(2n)=81, para pelo menos ter uma ideia do que estah acontecendo... Mas,
como que S(2n) eh tao menor que S(n), considerando que 2n eh maior que n?
Ah, os digitos de 2n tem que ser bem menores que os de n...

Entao vou fazer uma tabela com uma correspondencia entre os digitos de n e
de 2n:
Em 1n: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Em 2n: 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8 (se nao tiver vai um)
Em 2n: 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9 (se tiver vai um da casa anterior)

Agora:
i) Se eu quero S(n)=144 com o menor n, eh essencial colocar poucos
algarismos -- entao preciso de muitos algarismos grandes. Vou encher n de
9s...
ii) Mas ao mesmo tempo eu preciso que S(n)-S(2n)=63, isto eh, eu preciso
que os digitos de n sejam maiores que os de 2n! Os digitos que melhor
contribuem para este deficit sao 5 e 6, entao tambem vou encher n de
5 e 6.
iii) Minha estrategia de encher n de 5, 6 e 9 significa um monte de
vai um na soma n+n... Entao vai ter que ser 5 mesmo, que dah o melhor
deficit quando tem vai um.

Isto me leva a tentar numeros do tipo n=A999, onde esse
A estah ali soh para eu ajeitar a soma em 144. Claro, eu pus os 5 antes
dos 9 para o numero ficar o menor possivel.

Mais explicitamente, supondo que sao p 5's e q 9's, eu teria:

1n=  A55...5599...99
2n=BC11...1199...98
onde tecnicamente BC eh um numero de dois digitos, alias, BC=2A+1. Pus o A
ali porque preciso de um pouco de liberdade para ajeitar n de forma que
S(n)=144.

Assim, S(n)=A+5p+9q e S(2n)=B+C+p+9q-1. Como eu quero S(n)-S(2n)=63,
preciso ter 4p=63+B+C-A. Como A eh um digito, e BC=2A+1, B+C-A tem apenas
10 hipoteses facilmente calculaveis, na ordem:

B+C-A={1,2,3,4,5,-3,-2,-1,0,1}

Preciso que 63+B+C-A seja multiplo de 4, e quero o menor p possivel. Entao
vou botar B+C-A=-3, isto eh, A=6, e entao p=15. Puxa, isto tudo para chegar
ao meu primeiro palpite para n:

1n=065 555 555 555 555 559 999 999
2n=131 111 111 111 111 119 999 998

Confira que S(n)=7x9+15x5+6=144 e S(2n)=81. Hmmm, dah para botar esse 6 num
lugar melhor. Troquemos para:

1n=055 555 555 555 555 569 999 999
2n=111 111 111 111 111 139 999 998

A boa noticia eh que eu jah garanto que a melhor solucao terah mesmo
S(n)=144 e S(2n)=81. Afinal, se nao fosse isso, seria S(n)=288, que jah
seriam 32 algarismos, e meu n ali tem bem menos do que isso.

Agora precisamos mostrar que esse numero de 23 digitos eh o menor n
possivel! Ou tem algum menor?

---///---

Abraco, Ralph.

2015-07-31 10:38 GMT-03:00 Alexandre Antunes 
prof.alexandreantu...@gmail.com:


 Não dependeria da quantidade de algarismos de n?




 Atenciosamente,

 Prof. Msc. Alexandre Antunes
 www alexandre antunes com br

 Em 31 de julho de 2015 10:08, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Seja S(x) a soma dos algarismos do número natural x escrito na base 10.
 Ache o menor número natural n na base 10 tal que vale a igualdade:
 9.S(n) = 16.S(2n).

 --
 Abraços

 oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ


 --
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 acredita-se estar livre de perigo.



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 acredita-se estar livre de perigo.


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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] probleminha

[Pedro José]

Bom dia!

Não consegui compor o número. Só tinha visto para 16 e 17 algarismos e não
achei resultado.
Porém, o enunciado, embora claro na intenção da pergunta, não o é na
redação:  ... *do número estritamente natural x...* ao invés de: ... *do
número natural x*..  seria o certo.
Uma vez que zero atente a proposição.

x=0 == S(n)=S(2n)=0 == 9S(n) = 16S(2n)=0.

Saudações,
PJMS


Em 31 de julho de 2015 12:05, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 Note:
 S(2n) eh divisivel por 9, entao
 2n eh divisivel por 9, entao
 n eh divisivel por 9, entao
 S(n) eh divisivel por 9, entao
 S(2n) eh divisivel por 81, entao
 S(n) eh divisivel por 144.

 Agora eu vou tentar arrumar algum n que satisfaz esta condicao S(n)=144 e
 S(2n)=81, para pelo menos ter uma ideia do que estah acontecendo... Mas,
 como que S(2n) eh tao menor que S(n), considerando que 2n eh maior que n?
 Ah, os digitos de 2n tem que ser bem menores que os de n...

 Entao vou fazer uma tabela com uma correspondencia entre os digitos de n e
 de 2n:
 Em 1n: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
 Em 2n: 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8 (se nao tiver vai um)
 Em 2n: 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9 (se tiver vai um da casa anterior)

 Agora:
 i) Se eu quero S(n)=144 com o menor n, eh essencial colocar poucos
 algarismos -- entao preciso de muitos algarismos grandes. Vou encher n de
 9s...
 ii) Mas ao mesmo tempo eu preciso que S(n)-S(2n)=63, isto eh, eu preciso
 que os digitos de n sejam maiores que os de 2n! Os digitos que melhor
 contribuem para este deficit sao 5 e 6, entao tambem vou encher n de
 5 e 6.
 iii) Minha estrategia de encher n de 5, 6 e 9 significa um monte de
 vai um na soma n+n... Entao vai ter que ser 5 mesmo, que dah o melhor
 deficit quando tem vai um.

 Isto me leva a tentar numeros do tipo n=A999, onde
 esse A estah ali soh para eu ajeitar a soma em 144. Claro, eu pus os 5
 antes dos 9 para o numero ficar o menor possivel.

 Mais explicitamente, supondo que sao p 5's e q 9's, eu teria:

 1n=  A55...5599...99
 2n=BC11...1199...98
 onde tecnicamente BC eh um numero de dois digitos, alias, BC=2A+1. Pus o A
 ali porque preciso de um pouco de liberdade para ajeitar n de forma que
 S(n)=144.

 Assim, S(n)=A+5p+9q e S(2n)=B+C+p+9q-1. Como eu quero S(n)-S(2n)=63,
 preciso ter 4p=63+B+C-A. Como A eh um digito, e BC=2A+1, B+C-A tem apenas
 10 hipoteses facilmente calculaveis, na ordem:

 B+C-A={1,2,3,4,5,-3,-2,-1,0,1}

 Preciso que 63+B+C-A seja multiplo de 4, e quero o menor p possivel. Entao
 vou botar B+C-A=-3, isto eh, A=6, e entao p=15. Puxa, isto tudo para chegar
 ao meu primeiro palpite para n:

 1n=065 555 555 555 555 559 999 999
 2n=131 111 111 111 111 119 999 998

 Confira que S(n)=7x9+15x5+6=144 e S(2n)=81. Hmmm, dah para botar esse 6
 num lugar melhor. Troquemos para:

 1n=055 555 555 555 555 569 999 999
 2n=111 111 111 111 111 139 999 998

 A boa noticia eh que eu jah garanto que a melhor solucao terah mesmo
 S(n)=144 e S(2n)=81. Afinal, se nao fosse isso, seria S(n)=288, que jah
 seriam 32 algarismos, e meu n ali tem bem menos do que isso.

 Agora precisamos mostrar que esse numero de 23 digitos eh o menor n
 possivel! Ou tem algum menor?

 ---///---

 Abraco, Ralph.

 2015-07-31 10:38 GMT-03:00 Alexandre Antunes 
 prof.alexandreantu...@gmail.com:


 Não dependeria da quantidade de algarismos de n?




 Atenciosamente,

 Prof. Msc. Alexandre Antunes
 www alexandre antunes com br

 Em 31 de julho de 2015 10:08, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Seja S(x) a soma dos algarismos do número natural x escrito na base 10.
 Ache o menor número natural n na base 10 tal que vale a igualdade:
 9.S(n) = 16.S(2n).

 --
 Abraços

 oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha

[Ralph Teixeira]

*aquele primeiro n era S. :)

2015-07-31 16:39 GMT-03:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com:

 Note que x e y=1/x sao as raizes da quadratica t^2-nt+1=0, onde S=x+y eh
 inteiro.

 Agora escreva S_k=x^k+y^k. Note que:
 S_(k+1)=x^2.x^(k-1)+y^2.y^(k-1) = (Sx-1).x^(k-1)+(Sy-1).y^(k-1) = S.S_k -
 S_(k-1)

 Entao a sequencia {S0, S1, ...} satisfaz esta recorrencia de coeficientes
 inteiros! Como S_0=2 e S_1=S sao inteiros, todos os outros S_k tambem serao.

 Abraco, Ralph.

 2015-07-31 16:09 GMT-03:00 Diego diego spy.di...@hotmail.com:

 Galera, como procedo?

 Sabe-se que x+1/x é inteiro, prove que x^n+1/x^n é inteiro para
 qualquer n=1,2,3...

 Abraço



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =




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Re: [obm-l] probleminha

[Mauricio de Araujo]

​Pedro,

Pode ser... o peguei de uma olimpíada argentina...o enunciado original era:

​Para cada número natural x sea S(x)  la suma de sus dígitos. Hallar el
menor número natural n tal que 9S(n) = 16S(2n).

Penso que n = 0 é muito trivial mas, vai lá tudo bem, sendo rigoroso...
n0... ;)




Valeu Ralph.



Em 31 de julho de 2015 14:04, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia!

 Não consegui compor o número. Só tinha visto para 16 e 17 algarismos e não
 achei resultado.
 Porém, o enunciado, embora claro na intenção da pergunta, não o é na
 redação:  ... *do número estritamente natural x...* ao invés de: ... *do
 número natural x*..  seria o certo.
 Uma vez que zero atente a proposição.

 x=0 == S(n)=S(2n)=0 == 9S(n) = 16S(2n)=0.

 Saudações,
 PJMS


 Em 31 de julho de 2015 12:05, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 Note:
 S(2n) eh divisivel por 9, entao
 2n eh divisivel por 9, entao
 n eh divisivel por 9, entao
 S(n) eh divisivel por 9, entao
 S(2n) eh divisivel por 81, entao
 S(n) eh divisivel por 144.

 Agora eu vou tentar arrumar algum n que satisfaz esta condicao S(n)=144 e
 S(2n)=81, para pelo menos ter uma ideia do que estah acontecendo... Mas,
 como que S(2n) eh tao menor que S(n), considerando que 2n eh maior que n?
 Ah, os digitos de 2n tem que ser bem menores que os de n...

 Entao vou fazer uma tabela com uma correspondencia entre os digitos de n
 e de 2n:
 Em 1n: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
 Em 2n: 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8 (se nao tiver vai um)
 Em 2n: 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9 (se tiver vai um da casa anterior)

 Agora:
 i) Se eu quero S(n)=144 com o menor n, eh essencial colocar poucos
 algarismos -- entao preciso de muitos algarismos grandes. Vou encher n de
 9s...
 ii) Mas ao mesmo tempo eu preciso que S(n)-S(2n)=63, isto eh, eu preciso
 que os digitos de n sejam maiores que os de 2n! Os digitos que melhor
 contribuem para este deficit sao 5 e 6, entao tambem vou encher n de
 5 e 6.
 iii) Minha estrategia de encher n de 5, 6 e 9 significa um monte de
 vai um na soma n+n... Entao vai ter que ser 5 mesmo, que dah o melhor
 deficit quando tem vai um.

 Isto me leva a tentar numeros do tipo n=A999, onde
 esse A estah ali soh para eu ajeitar a soma em 144. Claro, eu pus os 5
 antes dos 9 para o numero ficar o menor possivel.

 Mais explicitamente, supondo que sao p 5's e q 9's, eu teria:

 1n=  A55...5599...99
 2n=BC11...1199...98
 onde tecnicamente BC eh um numero de dois digitos, alias, BC=2A+1. Pus o
 A ali porque preciso de um pouco de liberdade para ajeitar n de forma que
 S(n)=144.

 Assim, S(n)=A+5p+9q e S(2n)=B+C+p+9q-1. Como eu quero S(n)-S(2n)=63,
 preciso ter 4p=63+B+C-A. Como A eh um digito, e BC=2A+1, B+C-A tem apenas
 10 hipoteses facilmente calculaveis, na ordem:

 B+C-A={1,2,3,4,5,-3,-2,-1,0,1}

 Preciso que 63+B+C-A seja multiplo de 4, e quero o menor p possivel.
 Entao vou botar B+C-A=-3, isto eh, A=6, e entao p=15. Puxa, isto tudo para
 chegar ao meu primeiro palpite para n:

 1n=065 555 555 555 555 559 999 999
 2n=131 111 111 111 111 119 999 998

 Confira que S(n)=7x9+15x5+6=144 e S(2n)=81. Hmmm, dah para botar esse 6
 num lugar melhor. Troquemos para:

 1n=055 555 555 555 555 569 999 999
 2n=111 111 111 111 111 139 999 998

 A boa noticia eh que eu jah garanto que a melhor solucao terah mesmo
 S(n)=144 e S(2n)=81. Afinal, se nao fosse isso, seria S(n)=288, que jah
 seriam 32 algarismos, e meu n ali tem bem menos do que isso.

 Agora precisamos mostrar que esse numero de 23 digitos eh o menor n
 possivel! Ou tem algum menor?

 ---///---

 Abraco, Ralph.

 2015-07-31 10:38 GMT-03:00 Alexandre Antunes 
 prof.alexandreantu...@gmail.com:


 Não dependeria da quantidade de algarismos de n?




 Atenciosamente,

 Prof. Msc. Alexandre Antunes
 www alexandre antunes com br

 Em 31 de julho de 2015 10:08, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Seja S(x) a soma dos algarismos do número natural x escrito na base 10.
 Ache o menor número natural n na base 10 tal que vale a igualdade:
 9.S(n) = 16.S(2n).

 --
 Abraços

 oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ


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Abraços

oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ

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Re: [obm-l] Probleminha

[Ralph Teixeira]

Note que x e y=1/x sao as raizes da quadratica t^2-nt+1=0, onde S=x+y eh
inteiro.

Agora escreva S_k=x^k+y^k. Note que:
S_(k+1)=x^2.x^(k-1)+y^2.y^(k-1) = (Sx-1).x^(k-1)+(Sy-1).y^(k-1) = S.S_k -
S_(k-1)

Entao a sequencia {S0, S1, ...} satisfaz esta recorrencia de coeficientes
inteiros! Como S_0=2 e S_1=S sao inteiros, todos os outros S_k tambem serao.

Abraco, Ralph.

2015-07-31 16:09 GMT-03:00 Diego diego spy.di...@hotmail.com:

 Galera, como procedo?

 Sabe-se que x+1/x é inteiro, prove que x^n+1/x^n é inteiro para qualquer
 n=1,2,3...

 Abraço



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] probleminha

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2015-07-31 12:05 GMT-03:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com:
 Note:
 S(2n) eh divisivel por 9, entao
 2n eh divisivel por 9, entao
 n eh divisivel por 9, entao
 S(n) eh divisivel por 9, entao
 S(2n) eh divisivel por 81, entao
 S(n) eh divisivel por 144.

 Agora eu vou tentar arrumar algum n que satisfaz esta condicao S(n)=144 e
 S(2n)=81, para pelo menos ter uma ideia do que estah acontecendo... Mas,
 como que S(2n) eh tao menor que S(n), considerando que 2n eh maior que n?
 Ah, os digitos de 2n tem que ser bem menores que os de n...

 Entao vou fazer uma tabela com uma correspondencia entre os digitos de n e
 de 2n:
 Em 1n: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
 Em 2n: 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8 (se nao tiver vai um)
 Em 2n: 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9 (se tiver vai um da casa anterior)

 Agora:
 i) Se eu quero S(n)=144 com o menor n, eh essencial colocar poucos
 algarismos -- entao preciso de muitos algarismos grandes. Vou encher n de
 9s...
 ii) Mas ao mesmo tempo eu preciso que S(n)-S(2n)=63, isto eh, eu preciso que
 os digitos de n sejam maiores que os de 2n! Os digitos que melhor
 contribuem para este deficit sao 5 e 6, entao tambem vou encher n de 5
 e 6.
 iii) Minha estrategia de encher n de 5, 6 e 9 significa um monte de
 vai um na soma n+n... Entao vai ter que ser 5 mesmo, que dah o melhor
 deficit quando tem vai um.

Talvez usando 6 em vez de 5 (mas com menos 9's) você chegasse em um
número menor, sei lá, com uma casa decimal a menos. Mas não dá.
Curiosamente, o número n = 699 também satisfaz
S(2n) = 81, mas ele também tem 23 dígitos. Se substituirmos 3 seis por
2 noves no final a soma de 2n vai aumentar (para 90).

 1n=055 555 555 555 555 569 999 999
 2n=111 111 111 111 111 139 999 998

 A boa noticia eh que eu jah garanto que a melhor solucao terah mesmo
 S(n)=144 e S(2n)=81. Afinal, se nao fosse isso, seria S(n)=288, que jah
 seriam 32 algarismos, e meu n ali tem bem menos do que isso.

 Agora precisamos mostrar que esse numero de 23 digitos eh o menor n
 possivel! Ou tem algum menor?

Motivado pelo meu fracasso, eu sei provar que há pelo menos 23 dígitos.
Escreva n = 5 * X + Y, onde X tem apenas zeros e uns, e Y apenas
números de 0 a 4. Assim, 2n = 10X + 2Y, onde não há vai uns na
multiplicação 2Y. Portanto:

S(n) = 5 * S(X) + S(Y)
S(2n) = S(X) + 2*S(Y)

Usando S(n) = 144 e S(2n) = 81 como você já mostrou que basta, temos
que a solução deste sistema é S(X) = 23, ou seja, há 23 vai-uns. O
que quer dizer que toda solução tem que ter pelo menos 23 dígitos.

Mais ainda, a soma dos dígitos em Y é 29 (terminando de resolver o
sistema e o problema!), que devem ser distribuídos o mais para trás
possível no número

55 555 555 555 555 555 555 555

Assim, botamos 7 vezes +4 no final do número, e um +1, que dá a sua solução.


Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Probleminha

[Diego diego]

Muito obrigado

 Em Jul 31, 2015, às 4:45 PM, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:
 
 Note que x e y=1/x sao as raizes da quadratica t^2-nt+1=0, onde S=x+y eh 
 inteiro.
 
 Agora escreva S_k=x^k+y^k. Note que:
 S_(k+1)=x^2.x^(k-1)+y^2.y^(k-1) = (Sx-1).x^(k-1)+(Sy-1).y^(k-1) = S.S_k - 
 S_(k-1)
 
 Entao a sequencia {S0, S1, ...} satisfaz esta recorrencia de coeficientes 
 inteiros! Como S_0=2 e S_1=S sao inteiros, todos os outros S_k tambem serao.
 
 Abraco, Ralph.
 
 2015-07-31 16:09 GMT-03:00 Diego diego spy.di...@hotmail.com:
 Galera, como procedo?
 
 Sabe-se que x+1/x é inteiro, prove que x^n+1/x^n é inteiro para 
 qualquer n=1,2,3...
 
 Abraço
 
 
 
 --
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 Â acredita-se estar livre de perigo.
 
 
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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[Cláudio Gustavo]

Eh verdade... Eh como se não exercesse a função de tapete!  
Agora entendi o que você quis dizer. Concordo!

Abçs

Enviado via iPhone

Em 07/05/2013, às 23:04, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu:

 Entendi. E foi por isso que achei mal formulado. Mas acho que ainda assim dá 
 problema.
 
 Pensa assim: qual a área útil de cada tapete?
 
 É aquela que toca o chão, correto?
 Então, se uma área do tapete tocar outra coisa que não o tapete, ela não é 
 útil. E se uma área do tapete cobrir outras duas, de novo ela é inútil.
 
 Pensa num caso extremo: três tapetes circulares concêntricos.
 
 
 
 Em 7 de maio de 2013 21:59, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br 
 escreveu:
   Olah!
 Bom talvez eu não tenha sido muito claro na minha explicação, mas não há 
 regiões contadas repetidamente, pois se A sobrepõem B e B a C, a parte de C 
 sob B não conta como área sobreposta de C por A. Somente se houvesse 
 contato entre os tapetes.   
 
 Enviado via iPhone
 
 Em 07/05/2013, às 19:52, terence thirteen peterdirich...@gmail.com 
 escreveu:
 
 
 
 
 Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br 
 escreveu:
 Boa noite.
 Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois 
 vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam amontoados 
 com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de 
 A. Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço 
 diferente de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C.
 
 Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto 
 seria coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no 
 quanto de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo 
 assim:
 
 * Contar os tapetes sem levar em conta intersecções
 * Descontar intersecções dois a dois
 * Contar intersecções três a três
 * Descontar intersecções quatro a quatro
 
 E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo 
 efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais.
 
 Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de verdade 
 e não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema formulado 
 fracamente...
  
 Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é que 
 é contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e 
 nem contado mais de uma vez.
 
 Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :)
  
 Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5 
 seria coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas.
 
 Abraços
 Claudio Gustavo
 
 Enviado via iPhone
 
 Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen peterdirich...@gmail.com 
 escreveu:
 
 
 
 
 Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br 
 escreveu:
 A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa 
 forma, seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas 
 sobrepostas 1/9 ou mais.
 Sendo assim:
 Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
 Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
 Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = 
 k(k-1)/2
 Logo: 
 4/(k(k-1)/2)  1/9
 k^2 -k -72  0
 k -8 ou k9 (absurdo)
 
 E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum? 
 Abraços
 Claudio Gustavo
 
 Enviado via iPhone
 
 Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com 
 escreveu:
 
 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?
 
 A soma da área coberta é no máximo 5. 
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.
 
 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as 
 sobreposições.
 
 São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.
 
 Ixi! Só deu pra provar a igualdade!
 
 
 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:
 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes 
 de área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois 
 tapetes cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.
 
 dica: redução ao absurdo. 
 
 -- 
 Abraços
 
 ​M.
 momentos excepcionais pedem ações excepcionais.
 Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios..
 
 
 
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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[Mauricio de Araujo]

Este problema foi extraído do livro Problem Solving Strategies do Arthur
Engel, página 63 (princípio das casas dos pombos).

A resposta dada no livro é a seguinte:
Suponha que a área de sobreposição de qualquer par de tapetes seja menor do
que 1/9. Coloque os tapetes um a um sobre o chão. Observemos quanto da área
ainda não coberta cada um dos tapetes irá cobrir. O primeiro tapete irá
cobrir uma área igual a 1 ou 9/9. O segundo, terceiro, ..., nono irão
cobrir uma área maior do que 8/9, ..., 1/9. Desde que 9/9 + 8/9 + 7/9 + ...
+ 1/9 = 5, todos os nove tapetes irão cobrir uma área maior do que 5.
Contradição.


2013/5/8 Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br

 Eh verdade... Eh como se não exercesse a função de tapete!
 Agora entendi o que você quis dizer. Concordo!

 Abçs

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 Em 07/05/2013, às 23:04, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:

 Entendi. E foi por isso que achei mal formulado. Mas acho que ainda assim
 dá problema.

 Pensa assim: qual a área útil de cada tapete?

 É aquela que toca o chão, correto?
 Então, se uma área do tapete tocar outra coisa que não o tapete, ela não é
 útil. E se uma área do tapete cobrir outras duas, de novo ela é inútil.

 Pensa num caso extremo: três tapetes circulares concêntricos.



 Em 7 de maio de 2013 21:59, Cláudio Gustavo 
 claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

   Olah!
 Bom talvez eu não tenha sido muito claro na minha explicação, mas não há
 regiões contadas repetidamente, pois se A sobrepõem B e B a C, a parte de C
 sob B não conta como área sobreposta de C por A. Somente se houvesse
 contato entre os tapetes.

 Enviado via iPhone

 Em 07/05/2013, às 19:52, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:




 Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo 
 claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

 Boa noite.
 Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois
 vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam amontoados
 com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A.
 Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço
 diferente de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C.


 Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto
 seria coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no
 quanto de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo
 assim:

 * Contar os tapetes sem levar em conta intersecções
 * Descontar intersecções dois a dois
 * Contar intersecções três a três
 * Descontar intersecções quatro a quatro

 E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo
 efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais.

 Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de
 verdade e não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema
 formulado fracamente...


 Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é
 que é contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e
 nem contado mais de uma vez.


 Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :)


 Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5
 seria coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas.

 Abraços
 Claudio Gustavo

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 Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:




 Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo 
 claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

 A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa
 forma, seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas
 sobrepostas 1/9 ou mais.
 Sendo assim:
 Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
 Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
 Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 =
 k(k-1)/2
 Logo:
 4/(k(k-1)/2)  1/9
 k^2 -k -72  0
 k -8 ou k9 (absurdo)


 E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum?

 Abraços
 Claudio Gustavo

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 Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:

 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?

 A soma da área coberta é no máximo 5.
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.

 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as
 sobreposições.

 São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.

 Ixi! Só deu pra provar a igualdade!


 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes
 de área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois
 tapetes cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.

 dica: redução ao absurdo.

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 Abraços

 ​M.
 *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
 *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus
 ofícios..*




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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[terence thirteen]

Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

 Boa noite.
 Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois
 vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam amontoados
 com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A.
 Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço
 diferente de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C.


Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto
seria coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no
quanto de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo
assim:

* Contar os tapetes sem levar em conta intersecções
* Descontar intersecções dois a dois
* Contar intersecções três a três
* Descontar intersecções quatro a quatro

E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo
efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais.

Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de verdade
e não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema formulado
fracamente...


 Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é que
 é contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e nem
 contado mais de uma vez.


Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :)


 Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5
 seria coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas.

 Abraços
 Claudio Gustavo

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 Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:




 Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo 
 claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

 A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa
 forma, seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas
 sobrepostas 1/9 ou mais.
 Sendo assim:
 Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
 Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
 Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 =
 k(k-1)/2
 Logo:
 4/(k(k-1)/2)  1/9
 k^2 -k -72  0
 k -8 ou k9 (absurdo)


 E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum?

 Abraços
 Claudio Gustavo

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 Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:

 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?

 A soma da área coberta é no máximo 5.
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.

 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as
 sobreposições.

 São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.

 Ixi! Só deu pra provar a igualdade!


 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de
 área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes
 cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.

 dica: redução ao absurdo.

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 Abraços

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 *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[Cláudio Gustavo]

  Olah!
Bom talvez eu não tenha sido muito claro na minha explicação, mas não há 
regiões contadas repetidamente, pois se A sobrepõem B e B a C, a parte de C sob 
B não conta como área sobreposta de C por A. Somente se houvesse contato 
entre os tapetes.   

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Em 07/05/2013, às 19:52, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu:

 
 
 
 Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br 
 escreveu:
 Boa noite.
 Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois 
 vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam amontoados 
 com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A. 
 Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço diferente 
 de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C.
 
 Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto seria 
 coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no quanto 
 de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo assim:
 
 * Contar os tapetes sem levar em conta intersecções
 * Descontar intersecções dois a dois
 * Contar intersecções três a três
 * Descontar intersecções quatro a quatro
 
 E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo 
 efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais.
 
 Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de verdade e 
 não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema formulado 
 fracamente...
  
 Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é que é 
 contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e nem 
 contado mais de uma vez.
 
 Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :)
  
 Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5 seria 
 coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas.
 
 Abraços
 Claudio Gustavo
 
 Enviado via iPhone
 
 Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen peterdirich...@gmail.com 
 escreveu:
 
 
 
 
 Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br 
 escreveu:
 A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa forma, 
 seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas sobrepostas 1/9 
 ou mais.
 Sendo assim:
 Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
 Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
 Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = 
 k(k-1)/2
 Logo: 
 4/(k(k-1)/2)  1/9
 k^2 -k -72  0
 k -8 ou k9 (absurdo)
 
 E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum? 
 Abraços
 Claudio Gustavo
 
 Enviado via iPhone
 
 Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com 
 escreveu:
 
 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?
 
 A soma da área coberta é no máximo 5. 
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.
 
 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as 
 sobreposições.
 
 São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.
 
 Ixi! Só deu pra provar a igualdade!
 
 
 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:
 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de 
 área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois 
 tapetes cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.
 
 dica: redução ao absurdo. 
 
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 Abraços
 
 ​M.
 momentos excepcionais pedem ações excepcionais.
 Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios..
 
 
 
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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[terence thirteen]

Entendi. E foi por isso que achei mal formulado. Mas acho que ainda assim
dá problema.

Pensa assim: qual a área útil de cada tapete?

É aquela que toca o chão, correto?
Então, se uma área do tapete tocar outra coisa que não o tapete, ela não é
útil. E se uma área do tapete cobrir outras duas, de novo ela é inútil.

Pensa num caso extremo: três tapetes circulares concêntricos.



Em 7 de maio de 2013 21:59, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

   Olah!
 Bom talvez eu não tenha sido muito claro na minha explicação, mas não há
 regiões contadas repetidamente, pois se A sobrepõem B e B a C, a parte de C
 sob B não conta como área sobreposta de C por A. Somente se houvesse
 contato entre os tapetes.

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 Em 07/05/2013, às 19:52, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:




 Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo 
 claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

 Boa noite.
 Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois
 vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam amontoados
 com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A.
 Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço
 diferente de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C.


 Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto
 seria coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no
 quanto de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo
 assim:

 * Contar os tapetes sem levar em conta intersecções
 * Descontar intersecções dois a dois
 * Contar intersecções três a três
 * Descontar intersecções quatro a quatro

 E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo
 efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais.

 Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de
 verdade e não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema
 formulado fracamente...


 Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é que
 é contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e nem
 contado mais de uma vez.


 Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :)


 Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5
 seria coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas.

 Abraços
 Claudio Gustavo

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 Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:




 Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo 
 claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

 A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa
 forma, seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas
 sobrepostas 1/9 ou mais.
 Sendo assim:
 Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
 Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
 Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 =
 k(k-1)/2
 Logo:
 4/(k(k-1)/2)  1/9
 k^2 -k -72  0
 k -8 ou k9 (absurdo)


 E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum?

 Abraços
 Claudio Gustavo

 Enviado via iPhone

 Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:

 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?

 A soma da área coberta é no máximo 5.
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.

 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as
 sobreposições.

 São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.

 Ixi! Só deu pra provar a igualdade!


 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes
 de área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois
 tapetes cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.

 dica: redução ao absurdo.

 --
 Abraços

 ​M.
 *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
 *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus
 ofícios..*




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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[Cláudio Gustavo]

Boa noite.
Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois vamos 
imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam amontoados com uma 
parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A. Teríamos A 
sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço diferente de C (sem B 
no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C. Dessa forma só a área em que X 
compartilha imediatamente acima de Y é que é contada na sobreposição de X com 
Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e nem contado mais de uma vez.
Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5 seria 
coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas.

Abraços
Claudio Gustavo

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Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu:

 
 
 
 Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br 
 escreveu:
 A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa forma, 
 seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas sobrepostas 1/9 ou 
 mais.
 Sendo assim:
 Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
 Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
 Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = k(k-1)/2
 Logo: 
 4/(k(k-1)/2)  1/9
 k^2 -k -72  0
 k -8 ou k9 (absurdo)
 
 E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum? 
 Abraços
 Claudio Gustavo
 
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 Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com 
 escreveu:
 
 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?
 
 A soma da área coberta é no máximo 5. 
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.
 
 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as 
 sobreposições.
 
 São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.
 
 Ixi! Só deu pra provar a igualdade!
 
 
 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:
 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de 
 área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes 
 cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.
 
 dica: redução ao absurdo. 
 
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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[terence thirteen]

Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?

A soma da área coberta é no máximo 5.
Cada um tem tamanho 1
Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.

A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as
sobreposições.

São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.

Ixi! Só deu pra provar a igualdade!


Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com
 escreveu:

 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de
 área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes
 cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.

 dica: redução ao absurdo.

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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[Cláudio Gustavo]

A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa forma, 
seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas sobrepostas 1/9 ou 
mais.
Sendo assim:
Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = k(k-1)/2
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Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu:

 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?
 
 A soma da área coberta é no máximo 5. 
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.
 
 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as sobreposições.
 
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 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com 
 escreveu:
 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de 
 área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes 
 cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.
 
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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[terence thirteen]

Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

 A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa forma,
 seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas sobrepostas 1/9
 ou mais.
 Sendo assim:
 Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
 Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
 Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 =
 k(k-1)/2
 Logo:
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E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum?

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 Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:

 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?

 A soma da área coberta é no máximo 5.
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.

 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as
 sobreposições.

 São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.

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 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de
 área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes
 cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.

 dica: redução ao absurdo.

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Re:[obm-l] Probleminha

[Eduardo Wilner]

Seja X o volume do tonel e x o volume da caneca.
Na primeira operação restou X-x de vinho e x de água.

Admitindo que o cliente agitou bem antes de usar a segunda dose, foi retirado 
(x/X)x de água e reposto x, logo  a quantidade final de água será 2x-(x^2)/X = 
X/2.

Resolvendo, a solução (menor que X) é x = X (2-sqrt2)/2.

Se for dirigir, não beba!

[ ]'s 

RE: [obm-l] Probleminha

[marcone augusto araújo borges]

Obrigado por responder.
No geral eu estou sentindo a falta de maior quantidade de mensagens nessa lista.
 



Date: Wed, 18 Jul 2012 15:27:22 -0700
From: eduardowil...@yahoo.com.br
Subject: Re:[obm-l] Probleminha
To: obm-l@mat.puc-rio.br














Seja X o volume do tonel e x o volume da caneca.
Na primeira operação restou X-x de vinho e x de água.

Admitindo que o cliente agitou bem antes de usar a segunda dose, foi retirado 
(x/X)x de água e reposto x, logo  a quantidade final de água será 2x-(x^2)/X = 
X/2.

Resolvendo, a solução (menor que X) é x = X (2-sqrt2)/2.

Se for dirigir, não beba!

[ ]'s 
  

RE: [obm-l] Probleminha

[luiz silva]

Ola João,
Eu escrevi o sistema homogêneo decorrente das relações entre os lados e ângulos 
(z=xcoY+ycosX.). Resolvendo e fazendo D=0, chegamos a seguinte relação :
(cosX)^2 + (cosY)^2 + (cosZ)^2 + 2cosXcosYcosZ = 1 (repare que se um dos 
cossenos for zero, reduzimos a relação do triangulo retângulo).
Agora, como 1 = (cosX)^2+(senX)^2 = (cosY)^2+(senY)^2 = (cosZ)^2+(senZ)^2 temos 
que
(senZ)^2 = (cosX)^2 + (cosY)^2 + 2cosXcosYcosZ
(senY)^2 = (cosX)^2 + (cosZ)^2 + 2cosXcosZcosY
(senX)^2 = (cosZ)^2 + (cosY)^2 + 2cosYcosZcosX
Que se repararmos com maior detalhe, é exatamente a lei dos cossenos.
Ou seja, além disto estes triângulos são os triângulos obtusângulos (180-X), 
(180-Y) e (180-Z). Se o ângulo entre x e y é ^Z, então ângulo entre cosX e cosY 
será 180-^Z.
Como falei, bobinho mais achei uma relação bonita. 
AbsFelipe
--- Em sex, 12/8/11, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:

De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Assunto: RE: [obm-l] Probleminha
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 12 de Agosto de 2011, 22:44






Eu fiz assim:
Pela Lei dos cossenos temos que  se um triângulo é  obtusângulo, sendo  a o 
lado oposto  ao ângulo obtuso, a²b²+c²
Vamos provar que  para o triângulo XYZ acutângulo,  o quadrado do seno  de um 
ângulo é sempre maior do que a soma dos quadrados dos cossenos dos outros 2
Logosen²x  cos²y+cos²zsen²y  cos²x+cos²zsen²z cos² x + cos²y
Veja que todas podem ser resuzidas para 1cos²x + cos²y + cos²z
Como z = 180-x-y,  cos²z = cos²(x+y)Como cos²(x+y)cos(x+y) podemos provar 
que 1cos²x + cos²y + cosz = (cos(x)+cos(y))² -  cos(x-y)1+cos(x-y)   
(cos(x)+cos(y))²
2cos[(x-y)/2]²(cos(x)+cos(y))²
2^(1/2)cos[(x-y)/2]   cos(x) + cos(y)2^(1/2)  2cos[(x+y)/2]2^(1/2)/ 2   
cos[(x+y)/2]
como  90  (x+y)/2 temos que  cos[(x+y)/2] = 2^(1/2)/ 2 se e somente se  
(x+y)=90°-  z=90°, absurdo, logo a igualdade sempre se verifica
Do jeito que você falou acho que deve ter uma  maneira muito mais facil lolMas  
pelo menos foi resolvido :)
[]'sJoão
Date: Fri, 12 Aug 2011 13:03:59 -0700
From: luizfelipec...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Probleminha 
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Não sei se conhecem. Eu descobri sozinho acidentalmente. É bobinho, mas achei 
bonitinho:

Sendo X, Y e Z os ãngulos de um triângulo acutângulo, demonstre que SenZ, CosX 
e CosY; SenY, CosZ, CosX e SenX, CosY,CosZ são lados de triângulos obtusângulos.

Abs
Felipe
   

RE: [obm-l] Probleminha

[João Maldonado]

Eu fiz assim:
Pela Lei dos cossenos temos que  se um triângulo é  obtusângulo, sendo  a o 
lado oposto  ao ângulo obtuso, a²b²+c²
Vamos provar que  para o triângulo XYZ acutângulo,  o quadrado do seno  de um 
ângulo é sempre maior do que a soma dos quadrados dos cossenos dos outros 2
Logosen²x  cos²y+cos²zsen²y  cos²x+cos²zsen²z cos² x + cos²y
Veja que todas podem ser resuzidas para 1cos²x + cos²y + cos²z
Como z = 180-x-y,  cos²z = cos²(x+y)Como cos²(x+y)cos(x+y) podemos provar que 
1cos²x + cos²y + cosz = (cos(x)+cos(y))² -  cos(x-y)1+cos(x-y)   
(cos(x)+cos(y))²
2cos[(x-y)/2]²(cos(x)+cos(y))²
2^(1/2)cos[(x-y)/2]   cos(x) + cos(y)2^(1/2)  2cos[(x+y)/2]2^(1/2)/ 2   
cos[(x+y)/2]
como  90  (x+y)/2 temos que  cos[(x+y)/2] = 2^(1/2)/ 2 se e somente se  
(x+y)=90°-  z=90°, absurdo, logo a igualdade sempre se verifica
Do jeito que você falou acho que deve ter uma  maneira muito mais facil lolMas  
pelo menos foi resolvido :)
[]'sJoão
Date: Fri, 12 Aug 2011 13:03:59 -0700
From: luizfelipec...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Probleminha 
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Não sei se conhecem. Eu descobri sozinho acidentalmente. É bobinho, mas achei 
bonitinho:

Sendo X, Y e Z os ãngulos de um triângulo acutângulo, demonstre que SenZ, CosX 
e CosY; SenY, CosZ, CosX e SenX, CosY,CosZ são lados de triângulos obtusângulos.

Abs
Felipe
  

Re: [obm-l] Probleminha....

[Ralph Teixeira]

Oi, Paulo.

Sim, a Fundação Getulio Vargas encomendou que escrevêssemos um livro-texto
de Matemática para o Ensino Médio. São 3 volumes, em princípio um para cada
ano do Ensino Médio (nosso modelo imediato foi o Colégio Santo Inácio, já
que 3 dos autores, incluindo o Miguel, trabalham lá; eles já estão usando o
livro por lá).

Os Volumes 1 e 2 já foram publicados pela Editora do Brasil; o Volume 3
ainda está em processo de diagramação e revisão (por isso a gente não
divulgou muito ainda, a coleção não está completa, e ainda não foi apreciada
pelo MEC). Além de contar com a experiência incrível de anos de didática do
Miguel Jorge (que é o autor principal, aprendi um monte de coisas bacanas
com ele), a gente tentou dar um pouco mais de ênfase em lógica e
demonstrações do que o livro usual de Ensino Médio -- mas procurando
evitar formalismo excessivo...  Em outras palavras, na hora de botar ou não
uma demonstração de um fato, a gente pensou:
(A) É factível nível Ensino Médio?
(B) É interessante?
(C) Ajuda a entender o fato?
(D) É bonita pra caramba?
Se (A) e ((B) ou (C) ou (D)), a demonstração entra.

(Viu, lógica matemática! Capítulo 1 do livro 1! :) :) :) )

A gente também trabalhou bastante para o livro ficar bonito e organizado
(mas sem ficar botando fotos a cada página ou bonequinhos falando com
balõezinhos, que o Miguel não gosta :) :)). Tem uma diagramação levemente
colorida e bem simpática, vários exemplos bem bacanas, e toneladas de
exercícios resolvidos e propostos. Deu um trabalho de cão (e a gente ainda
vai ter que acertar vários detalhes para a 2a edição), mas acho que ficou
muito legal.

Bom, chega de propaganda. Na livraria FGV, eles me dizem ter apenas 2
exemplares de cada um dos dois volumes (a quase R$100 cada, são livros BEM
grossos), mas eles podem encomendar mais -- ligue para lá e pergunte para
não perder a viagem. Depois, mande para a gente os erros que você encontrar
(são 117, obviamente todos deixados de propósito, a gente nunca erraria nada
:P ).

Abraço,
  Ralph

2011/6/15 Paulo Barclay Ribeiro paulobarc...@yahoo.com.br

 oi Ralph,

 Vi na internet um livro chamado Aprender matematica e o seu nome estava
 nele junto com outros autores , acho que era o prof miguel jorge.Minhas
 perguntas:
 1) Você é ,realmenteum dos autores?
 2) Miguel Jorge é o mesmo que escreveu conjuntamente com o Morgado e
 EWagner o livro geometria 1?
 3) Em caso afirmativo ,onde posso adquirir o livro?Ele tá disponível na
 FGV?

 Um abraço
 Paulo
  --
 *De:* Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
 *Enviadas:* Segunda-feira, 6 de Junho de 2011 22:57:34
 *Assunto:* Re: [obm-l] Probleminha

 Que tal assim:

 Multiplicando tudo por (x-a)(x-b)(x-c), vemos que a equacao dada
 **implica**:

 (x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0

 Chame o lado esquerdo de f(x). Note que f(x) eh quadratica (coeficiente de
 x^2 eh 3, nao eh 0, entao quadratica mesmo). Tambem:
 f(a)=(a-b)(a-c)0
 f(b)=(b-a)(b-c)0
 f(c)=(c-a)(c-b)0
 Assim, f(x) tem duas raizes reais, uma em (a,b), outra em (b,c). Como f eh
 quadratica, estas sao todas as raizes.

 Enfim, note que a, b e c nao sao raizes de f(x). Assim, a equacao f(x)=0 eh
 de fato EQUIVALENTE aa original (basta dividi-la por (x-a)(x-b)(x-c), o que
 eh permitido jah que x=a, x=b e x=c nao prestam).

 Abraco,
  Ralph


 2011/6/6 ruy de oliveira souza ruymat...@ig.com.br

 E ai rapaziada? Acho que não estou entendendo bem esse enunciado:
  Considere a,b e c números reais tais que abc. Prove que a equação
 1/(x-a)  + 1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 , possui exatamente duas raízes, x1 e x2 ,
 que satisfazem a condição ax1bx2c.
 Agradeço antecipadamente quem resolver. Fiz de um modo baseado em
 provas indiretas. Não estou muito satisfeito.

Re: [obm-l] Probleminha....

[Rodrigo Renji]

Uma tentativa por modo indireto ( não sei se foi assim que fez xD)

abc. Prove que a equação 1/(x-a)  + 1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 (I) ,
possui exatamente duas raízes, x1 e x2 , que satisfazem a condição
ax1bx2c.


em (b,c) a função é contínua com lim x-b pela direita dando  +
infinito e limite x-c pela esquerda dando - infinito
logo existe raiz em (b, c) por continuidade

da mesma maneira existe raiz em ( a, b) por continuidde.


multiplicando por (x-a)(x-b) (x-c), temos uma equação  de grau 2, que
só pode ter no máximo duas raizes reais. ( a multiplicação fornece uma
equivalência pois x não pode ser b, a ou c)

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Probleminha....

[João Maldonado]

Tudo bem?
Cara, a minha resolução não será tão direta também, mas quebra o galho.
Primeiro temos que observar que 1/(x-a), 1/(x-b) e 1/(x-c) são sempre 
diferentes de 0, ou seja, ou são positivos ou negativos.Logo temos que ter ou 1 
parceela negativa 2 duas positivas ou 2 positivas e uma negativa.No 1 caso 
temos 1/(x-a) e 1/(x-b)  positivoos e 1/(x-c) negativoNo segundo caso temos 
1/(x-a) positivo e  1/(x-b) e 1/(x-c) negativosOu seja, x-a é sempre 0 e xa, 
x-c é sempre 0 e xcFalta analisar o bProvaremos que sempre existe 2 raízes 
distintas para a equação, 1 é maior que b e a outra menor.
Faremos isso de um modo um pouco indutivoO passo da indução é, no caso da x1b, 
analisaremos x-a primeiro quando x-a e então aumentando. Quando x- a, a soma 
das 3 parcelas tende ao infinito. Quando x se afasta de a, a parte positiva 
1/(x-a) vai diminuindo, e a parte negativa 1/(x-b)+1/(x-c) vai aumentando, e 
como quando x- b, mas xb a soma tende a -infinito, temos que em algum momento 
ela foi 0, logo x1 existe. Para x2b, analisaremos  o x-c quando x- c, vemos 
que a soma tende a -infinito. Quaando x-b,   mas xb, aa sommma tende a 
infinito, logo em algum momento ela passou por 0 e x2 existe.
[]'sJoão
Date: Mon, 6 Jun 2011 20:54:36 -0300
Subject: [obm-l] Probleminha
From: ruymat...@ig.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br

E ai rapaziada? Acho que não estou entendendo bem esse enunciado:
 Considere a,b e c números reais tais que abc. Prove que a equação 1/(x-a)  
+ 1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 , possui exatamente duas raízes, x1 e x2 , que 
satisfazem a condição ax1bx2c.
Agradeço antecipadamente quem resolver. Fiz de um modo baseado em provas 
indiretas. Não estou muito satisfeito. 

Re: [obm-l] Probleminha....

[Ralph Teixeira]

Que tal assim:

Multiplicando tudo por (x-a)(x-b)(x-c), vemos que a equacao dada
**implica**:

(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0

Chame o lado esquerdo de f(x). Note que f(x) eh quadratica (coeficiente de
x^2 eh 3, nao eh 0, entao quadratica mesmo). Tambem:
f(a)=(a-b)(a-c)0
f(b)=(b-a)(b-c)0
f(c)=(c-a)(c-b)0
Assim, f(x) tem duas raizes reais, uma em (a,b), outra em (b,c). Como f eh
quadratica, estas sao todas as raizes.

Enfim, note que a, b e c nao sao raizes de f(x). Assim, a equacao f(x)=0 eh
de fato EQUIVALENTE aa original (basta dividi-la por (x-a)(x-b)(x-c), o que
eh permitido jah que x=a, x=b e x=c nao prestam).

Abraco,
 Ralph


2011/6/6 ruy de oliveira souza ruymat...@ig.com.br

 E ai rapaziada? Acho que não estou entendendo bem esse enunciado:
  Considere a,b e c números reais tais que abc. Prove que a equação
 1/(x-a)  + 1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 , possui exatamente duas raízes, x1 e x2 ,
 que satisfazem a condição ax1bx2c.
 Agradeço antecipadamente quem resolver. Fiz de um modo baseado em
 provas indiretas. Não estou muito satisfeito.

Re: [obm-l] probleminha!!!

[Paulo Santos]

Bom, o enunciado parece mal escrito e ambíguo.Vejamos:

- O resto da subtração - o que é isso exatamente ? O resultado da subtração ?
- o produto dos algarismos das dezenas com o das unidades do número - só existe um algarismo das dezenas !


Vamos lá:

Um número decimal da forma BA é, na verdade, um número do tipo:

B*10 + A

ou seja, B dezenas e A unidades.

Os dados do problema:

[i]   A soma dos dígitos do número é 8:

A+B=8 - B=8-A

[ii]  O número menos o seu invertido dá um número terminado em 6:

Isso quer dizer que os dígitos das unidades podem ser:

B | A
---
9 |  3
---
8 |  2
---
7 |  1 - este é o único caso em que A+B=8 [i]
---
5 |  9
---


O que se pede:

o produto dos algarismos das dezenas com o das unidades

A * B = ???

Solução:

Dá 7, segundo esta intepretação.

Veja um problema do mesmo tipo em: http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20091123081930AADzO4l


---
Paulo C. Santos (PC)
e-mail : pa...@uniredes.org
homepage: http://uniredes.org
Celular: (21) 8753.0729

MSN: uniredes...@hotmail.com





Mon, 23 Nov 2009 09:24:01 -0800 (PST), elton francisco ferreira escreveu:

Será que alguém cnseguiria dizer-me como armar essta questão, já tentei de várias formas mas não consigo a resposta do gabarito ajudem-me!
 
 Um número é composto por dois algarismos. Sabendo-se que a soma do algarismo das dezenas com o
 algarismo das unidades é 8 e que, subtraindo-se o número do número formado, permutando-se o
 algarismo das unidades com o das dezenas, o resto dessa subtração é um número terminado em 6. É
 CORRETO afirmar que o produto dos algarismos das dezenas com o das unidades do número é
 A) 40
 B) 30
 C) 45
 D) 21
 E) 12
 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] probleminha!!!

[marcone augusto araújo borges]

A diferença de 2 números nessas condições é um múltiplo de 9,pois 
(10*a+b)-(10*b+a)=9*(a-b).Se termina em 6,então
9*(a-b)=36.dai,a-b=4.Como a+b=8,então a=6 e b=2.Portanto a*b=6*2=12 
 Date: Mon, 23 Nov 2009 09:24:01 -0800
 From: elton_200...@yahoo.com.br
 Subject: [obm-l] probleminha!!!
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Será que alguém cnseguiria dizer-me como armar essta questão, já tentei de 
 várias formas mas não consigo a resposta do gabarito ajudem-me!
 
 Um número é composto por dois algarismos. Sabendo-se que a soma do algarismo 
 das dezenas com o
 algarismo das unidades é 8 e que, subtraindo-se o número do número formado, 
 permutando-se o
 algarismo das unidades com o das dezenas, o resto dessa subtração é um número 
 terminado em 6. É
 CORRETO afirmar que o produto dos algarismos das dezenas com o das unidades 
 do número é
 A) 40
 B) 30
 C) 45
 D) 21
 E) 12
 
 
 
 Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
 http://br.maisbuscados.yahoo.com
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
  
_
Novo site do Windows Live: Novidades, dicas dos produtos e muito mais. Conheça!
http://www.windowslive.com.br/?ocid=WindowsLive09_MSN_Hotmail_Tagline_out09

Re: [obm-l] probleminha da en

[Rafael Ando]

olha, 30% nao gostam de samba, 25% nao gostam de choro, 20% nao gostam de
bolero e 15% nao gostam de rock. Na pior das hipoteses, esses 4 conjuntos
nao possuem nenhuma interseccao (isso eh possivel pois a soma eh menor que
100%), e entao temos 90% das pessoas que nao gostam de pelo menos um estilo.
O resto (10%), necessariamente gosta de todos os estilos.

De maneira mais generica:
temos n conjuntos. Se a soma dos n complementos for inferior a 100%:
seja C a soma dos complementos. Entao 100%-C eh o minimo da interseccao (eh
o mesmo raciocinio acima, certo?).
sendo S a soma dos conjuntos, naturalmente S+C = n*100%, e entao o resultado
a provar fica claro...

2008/8/28 arkon [EMAIL PROTECTED]

 Alguém poderia demonstrar (provar), por favor, esse truque.

 Em 11/12/2006 20:21, *Carlos Victor  * escreveu:


 Olá Arkon,

 Como dizia o nosso mestre MORGADO , um  truque para este tipo de
 problema é :

 Como são quatro conjuntos , o que ultrapassar a 300% será a
 quantidade da interseção dos conjuntos . Se tivermos n conjuntos , o
 que ultrapasar a (n-1)x100% será o mínimo da interseção , ( tente
 provar) ,ok ?

 []´s Carlos Victor




 At 16:58 11/12/2006, arkon wrote:
 Gostaria que alguém da lista me enviasse a resolução de mais uma questão
 da en, por favor:
 
 grato.
 
 Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de
 rock, quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, choro,
 bolero e rock?
 
 a) 5%.
 b) 10%.
 c) 20%.
 d) 45%.
 e) 70%.
 
 Obs.: A alternativa correta é a letra b.


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html
 =




-- 
Rafael

Re: [obm-l] probleminha da en

[Márcio Pinheiro]

Suponha-se que, em relação a uma quantidade dada de elementos:
a1 (%) pertençam ao conjunto A1;
a2 (%) pertençam ao conjunto A2;
...
an (%) pertençam ao conjunto An;
Logo, trabalhando com os complementares dos conjuntos acima (~X é o 
complementar de X):
(100 - a1)% não pertencem ao conjunto A1 (ou seja, pertencem a ~A1);
(100 - a2)% não pertencem ao conjunto A2 (pertencem a ~A2);
...
(100 - a2)% não pertencem ao conjunto An (pertencem a ~An);
Os elementos que pertencem aos conjuntos Ai, i = 1, 2, ..., n, simultaneamente, 
não pertencem a (~A1 U ~A2 U ... U ~An) = M, estando, assim, em ~M. Mas o 
conjunto M U ~M é fixado (o universo em questão). Como são disjuntos, nota-se 
percentualmente que:
n (M) + n(~M) = 100% (*),
sendo n (X) é o percentual de elementos que pertencem a X.
Logo, conclui-se que n (~M) é mínimo quando n (M) é máximo. Ora, n (M) = n (~A1 
U ~A2 U ... U ~An) é máximo quando os conjuntos são disjuntos dois a dois, como 
se conclui do princípio da inclusão-exclusão. Portanto, n (M) máximo vale:
n (~A1) + n (~A2) + ... + n (~An) = n*100% - (a1 + a2 + ... + an).
Enfim, substituindo este resultado em (*), obtém-se que o valor mínimo de n 
(~M) (e, conseqüentemente, a tese do resultado geral) é tal que:
n*100% - (a1 + a2 + ... + an) + n (~M) = 100%, ou seja:
n (~M) = a1 + a2 + ... + an - (n - 1)*100% (c.q.d.).
No caso particular em que a1 = 70%, a2 = 75%, a3 = 80%, a4 = 85% e n = 4, 
tem-se que:
n (~M) = 70% + 75% + 80% + 85% - (4 - 1)*100% = 10%.
Espero ter ajudado.
 
--- Em qua, 27/8/08, arkon [EMAIL PROTECTED] escreveu:

De: arkon [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] probleminha da en
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 27 de Agosto de 2008, 21:32


Alguém poderia demonstrar (provar), por favor, esse truque. 

Em 11/12/2006 20:21, Carlos Victor   escreveu: 

Olá Arkon,

Como dizia o nosso mestre MORGADO , um  truque para este tipo de 
problema é :

Como são quatro conjuntos , o que ultrapassar a 300% será a 
quantidade da interseção dos conjuntos . Se tivermos n conjuntos , o 
que ultrapasar a (n-1)x100% será o mínimo da interseção , ( tente 
provar) ,ok ?

[]´s Carlos Victor




At 16:58 11/12/2006, arkon wrote:
Gostaria que alguém da lista me enviasse a resolução de mais uma questão 
da en, por favor:

grato.

Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de 
rock, quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, choro, 
bolero e rock?

a) 5%.
b) 10%.
c) 20%.
d) 45%.
e) 70%.

Obs.: A alternativa correta é a letra b.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=




  Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua 
cara @ymail.com ou @rocketmail.com.
http://br.new.mail.yahoo.com/addresses

Re: [obm-l] probleminha da en

[jjunior]

Desenhe um quadrado divido em 100 outros menores idênticos. Da esquerda à
direita, pinte 7 colunas; na direção oposta, pinte 7 colunas e metade da
oitava. A intersecção são as quatro colunas centrais e metade de outra
contígua a essas (suponhamos as 5 mais altas células da terceira coluna).
Agora, com relação aos 80%, pinte-se 55 células fora dessa intersecção,
restarão então 25 células com a nova intersecção. Faça-se o mesmo com os
85%, a intersecção (resposta ao problema) será 10%.

ATT. João.



 olha, 30% nao gostam de samba, 25% nao gostam de choro, 20% nao gostam de
 bolero e 15% nao gostam de rock. Na pior das hipoteses, esses 4 conjuntos
 nao possuem nenhuma interseccao (isso eh possivel pois a soma eh menor que
 100%), e entao temos 90% das pessoas que nao gostam de pelo menos um
 estilo.
 O resto (10%), necessariamente gosta de todos os estilos.

 De maneira mais generica:
 temos n conjuntos. Se a soma dos n complementos for inferior a 100%:
 seja C a soma dos complementos. Entao 100%-C eh o minimo da interseccao
 (eh
 o mesmo raciocinio acima, certo?).
 sendo S a soma dos conjuntos, naturalmente S+C = n*100%, e entao o
 resultado
 a provar fica claro...

 2008/8/28 arkon [EMAIL PROTECTED]

 Alguém poderia demonstrar (provar), por favor, esse truque.

 Em 11/12/2006 20:21, *Carlos Victor  * escreveu:


 Olá Arkon,

 Como dizia o nosso mestre MORGADO , um  truque para este tipo de
 problema é :

 Como são quatro conjuntos , o que ultrapassar a 300% será a
 quantidade da interseção dos conjuntos . Se tivermos n conjuntos , o
 que ultrapasar a (n-1)x100% será o mínimo da interseção , ( tente
 provar) ,ok ?

 []´s Carlos Victor




 At 16:58 11/12/2006, arkon wrote:
 Gostaria que alguém da lista me enviasse a resolução de mais uma
 questão
 da en, por favor:
 
 grato.
 
 Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85%
 de
 rock, quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba,
 choro,
 bolero e rock?
 
 a) 5%.
 b) 10%.
 c) 20%.
 d) 45%.
 e) 70%.
 
 Obs.: A alternativa correta é a letra b.


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html
 =




 --
 Rafael



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] probleminha da en

[arkon]

Alguém poderia demonstrar (provar), por favor, esse truque. Em 11/12/2006 20:21, Carlos Victor   escreveu: Olá Arkon,Como dizia o nosso mestre MORGADO , um  truque para este tipo de problema é :Como são quatro conjuntos , o que ultrapassar a 300% será a quantidade da interseção dos conjuntos . Se tivermos n conjuntos , o que ultrapasar a (n-1)x100% será o mínimo da interseção , ( tente provar) ,ok ?[]´s Carlos VictorAt 16:58 11/12/2006, arkon wrote:Gostaria que alguém da lista me enviasse a resolução de mais uma questão da en, por favor:grato.Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de rock, quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, choro, bolero e rock?a) 5%.b) 10%.c) 20%.d) 45%.e) 70%.Obs.: A alternativa correta é a letra b.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] Probleminha

[Bruno França dos Reis]

Use as chamadas Relações de Girard que sai imediatamente a resposta.

On 17/02/2008, Jan Sousa [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Por favor ajudem nessa

 Sejam x_1+x_2 as raízes da equação 10x^2 + 33x - 7 = 0
 O número inteiro mais próximo do número 5x_1x_2 + 2(x_1+x_2) é:

 a) -33b) -10  c) -7  d) 10  e)33




-- 
Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: [EMAIL PROTECTED]
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16

e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] Probleminha de análise

[Ronaldo Alonso]

On 2/22/07, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] wrote:


Olá, Ronaldo!

Obrigado pela resposta. Não conheço nada sobre sistemas dinâmicos.
Estudarei neste semestre!
Vc tem alguma orientação de livro bom sobre o assunto?



  Eu tenho algumas notas em pdf que posso te passar segunda feira (ou hoje
ainda,
se der tempo).  Um livro legal introdutório que eu li foi o do Robert
Devaney:
Introduction to chaotic dynamical systems.  http://math.bu.edu/people/bob/
Um outro, um pouco menos técnico, foi
Chaos: An introduction to dynamical systems.  Alligood (esse aí tem no
google books).

  Eu ainda continuo acreditando que o sigma da sigma-algebra tem algo a
ver com a dinâmica
topologica ...








Quanto ao nome sigma-álgebra, o que li a respeito foi o seguinte:

Uma álgebra é quase igual à sigma-álgebra, com a diferença de que (iii)
comtempla apenas reuniões finitas. A letra sigma é para indicar que
pode-se fazer reuniões infinitas enumeráveis. Acho que isso vem do alemão:
summe significa reunião; o Hausdorff usava o sigma e o delta pra indicar
reuniões enumeráveis e interseções enumeráveis respectivamente, se não me
engano.

Abraço!
Bruno

 On 2/22/07, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Olá Bruno:

   Eu acredito que não, mas na verdade não tentei provar.

  Ha muito tempo tentei entender o porque do nome sigma-algebra,
 mas até hoje
 não conversei com nenhum especialista a respeito, o qual poderia
 confirmar minhas suspeitas.

Aparentemente este nome está relacionado com a operação de shift
 usada em teoria
 de sistemas dinâmicos, cujo simbolo é sigma.  Considere o seguinte
 sistema dinâmico que
 pega um número entre 0 e 1, multiplica por dez, extrai a parte inteira e
 subtrai o extraído
 do resultado:

 (10 * (0.333))  =  3
 (10 * (0.333))  =  3
 (10 * (0.333))  =  3
  ...

veja que multiplicar por dez e extrair a parte inteira é como
 deslocar para direita.  O número
 0.333 é um ponto fixo deste sistema.Se o número fosse:
 0.34343434 ... teríamos algo
 do tipo:

   10* (0.34343434) = 3
10 * (0.43434343) = 4
10* (0.34343434) = 3
10 * (0.43434343) = 4

   teríamos uma órbita de período 2.  Mas se o número fosse irracional, a
 órbita não seria
 periódica.   Amanhã escrevo mais a respeito desta operação de shift. Mas
 a grosso modo,
 muitas vezes queremos checar a probabilidade do conjunto de pontos
 resultantes dentro
 de um intervalo quando
 aplicamos o shift infinitas vezes em um número neste intervalo.
   Em sistemas estocásticos comuns, para que
 esta probabilidade seja não zero, o conjunto tem que ser não enumerável
 e
 ter medida diferente zero.
   Claro que o conceito de enumerável não tem nada a ver com o
 conceito de conjunto denso nem com conjunto de medida zero.  Assim não
 sei se
 há exemplos concretos do tipo que vc está procurando.
Acho que especialistas em
 teoria da medida podem falar melhor a respeito disso.


 []s










 On 2/22/07, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]  wrote:
 
  Olá, pessoal. Estou com um problema que não consigo resolver, e achei
  interessante. Ei-lo:
 
  Existe alguma sigma-álgebra infinita enumerável?
 
  Para quem não sober o que é e quiser pensar, aqui vai a definição de
  sigma-álgebra:
 
  Uma sigma-álgebra M em um conjunto X é um conjunto M contido em (ou
  igual a) P(X) (onde P(X) é o conjunto das partes de X) que obedece às
  seguintes propriedades:
 
  (i) X pertence a M
  (ii) E pertence a M == X - E pertence a M
  (iii) Dados (A_i)_(i em N) em M, isto é, uma seqüência de elementos de
  M, temos que o conjunto U Ai pertence a M (isto é: a reunião de uma
  quantidade enumerável de elementos de M também pertence a M)
 
  Abraço!
  Bruno
 
  --
  Bruno França dos Reis
  email: bfreis - gmail.com
  gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
 
  icq: 12626000
 
  e^(pi*i)+1=0




 --
 Ronaldo Luiz Alonso
 --
 Computer Engeener
 LSI-TEC/USP - Brazil.




--
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000

e^(pi*i)+1=0





--
Ronaldo Luiz Alonso
--
Computer Engeener
LSI-TEC/USP - Brazil.

Re: [obm-l] Probleminha de análise

[Ronaldo Alonso]

Olá Bruno:

 Eu acredito que não, mas na verdade não tentei provar.

Ha muito tempo tentei entender o porque do nome sigma-algebra, mas
até hoje
não conversei com nenhum especialista a respeito, o qual poderia confirmar
minhas suspeitas.

  Aparentemente este nome está relacionado com a operação de shift usada
em teoria
de sistemas dinâmicos, cujo simbolo é sigma.  Considere o seguinte sistema
dinâmico que
pega um número entre 0 e 1, multiplica por dez, extrai a parte inteira e
subtrai o extraído
do resultado:

   (10 * (0.333))  =  3
   (10 * (0.333))  =  3
   (10 * (0.333))  =  3
...

  veja que multiplicar por dez e extrair a parte inteira é como deslocar
para direita.  O número
0.333 é um ponto fixo deste sistema.Se o número fosse:
0.34343434... teríamos algo
do tipo:

 10* (0.34343434) = 3
  10 * (0.43434343) = 4
  10* (0.34343434) = 3
  10 * (0.43434343) = 4

 teríamos uma órbita de período 2.  Mas se o número fosse irracional, a
órbita não seria
periódica.   Amanhã escrevo mais a respeito desta operação de shift. Mas a
grosso modo,
muitas vezes queremos checar a probabilidade do conjunto de pontos
resultantes dentro
de um intervalo quando
aplicamos o shift infinitas vezes em um número neste intervalo.
 Em sistemas estocásticos comuns, para que
esta probabilidade seja não zero, o conjunto tem que ser não enumerável e
ter medida diferente zero.
 Claro que o conceito de enumerável não tem nada a ver com o
conceito de conjunto denso nem com conjunto de medida zero.  Assim não sei
se
há exemplos concretos do tipo que vc está procurando.
  Acho que especialistas em
teoria da medida podem falar melhor a respeito disso.


[]s










On 2/22/07, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] wrote:


Olá, pessoal. Estou com um problema que não consigo resolver, e achei
interessante. Ei-lo:

Existe alguma sigma-álgebra infinita enumerável?

Para quem não sober o que é e quiser pensar, aqui vai a definição de
sigma-álgebra:

Uma sigma-álgebra M em um conjunto X é um conjunto M contido em (ou igual
a) P(X) (onde P(X) é o conjunto das partes de X) que obedece às seguintes
propriedades:

(i) X pertence a M
(ii) E pertence a M == X - E pertence a M
(iii) Dados (A_i)_(i em N) em M, isto é, uma seqüência de elementos de M,
temos que o conjunto U Ai pertence a M (isto é: a reunião de uma quantidade
enumerável de elementos de M também pertence a M)

Abraço!
Bruno

--
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000

e^(pi*i)+1=0





--
Ronaldo Luiz Alonso
--
Computer Engeener
LSI-TEC/USP - Brazil.

Re: [obm-l] Probleminha de análise

[Bruno França dos Reis]

Olá, Ronaldo!

Obrigado pela resposta. Não conheço nada sobre sistemas dinâmicos. Estudarei
neste semestre!
Vc tem alguma orientação de livro bom sobre o assunto?

Quanto ao nome sigma-álgebra, o que li a respeito foi o seguinte:

Uma álgebra é quase igual à sigma-álgebra, com a diferença de que (iii)
comtempla apenas reuniões finitas. A letra sigma é para indicar que
pode-se fazer reuniões infinitas enumeráveis. Acho que isso vem do alemão:
summe significa reunião; o Hausdorff usava o sigma e o delta pra indicar
reuniões enumeráveis e interseções enumeráveis respectivamente, se não me
engano.

Abraço!
Bruno

On 2/22/07, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote:


Olá Bruno:

  Eu acredito que não, mas na verdade não tentei provar.

 Ha muito tempo tentei entender o porque do nome sigma-algebra, mas
até hoje
não conversei com nenhum especialista a respeito, o qual poderia confirmar
minhas suspeitas.

   Aparentemente este nome está relacionado com a operação de shift
usada em teoria
de sistemas dinâmicos, cujo simbolo é sigma.  Considere o seguinte sistema
dinâmico que
pega um número entre 0 e 1, multiplica por dez, extrai a parte inteira e
subtrai o extraído
do resultado:

(10 * (0.333))  =  3
(10 * (0.333))  =  3
(10 * (0.333))  =  3
 ...

   veja que multiplicar por dez e extrair a parte inteira é como deslocar
para direita.  O número
0.333 é um ponto fixo deste sistema.Se o número fosse:  0.34343434... 
teríamos algo
do tipo:

  10* (0.34343434) = 3
   10 * (0.43434343) = 4
   10* (0.34343434) = 3
   10 * (0.43434343) = 4

  teríamos uma órbita de período 2.  Mas se o número fosse irracional, a
órbita não seria
periódica.   Amanhã escrevo mais a respeito desta operação de shift. Mas a
grosso modo,
muitas vezes queremos checar a probabilidade do conjunto de pontos
resultantes dentro
de um intervalo quando
aplicamos o shift infinitas vezes em um número neste intervalo.
  Em sistemas estocásticos comuns, para que
esta probabilidade seja não zero, o conjunto tem que ser não enumerável e
ter medida diferente zero.
  Claro que o conceito de enumerável não tem nada a ver com o
conceito de conjunto denso nem com conjunto de medida zero.  Assim não sei
se
há exemplos concretos do tipo que vc está procurando.
   Acho que especialistas em
teoria da medida podem falar melhor a respeito disso.


[]s










On 2/22/07, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Olá, pessoal. Estou com um problema que não consigo resolver, e achei
 interessante. Ei-lo:

 Existe alguma sigma-álgebra infinita enumerável?

 Para quem não sober o que é e quiser pensar, aqui vai a definição de
 sigma-álgebra:

 Uma sigma-álgebra M em um conjunto X é um conjunto M contido em (ou
 igual a) P(X) (onde P(X) é o conjunto das partes de X) que obedece às
 seguintes propriedades:

 (i) X pertence a M
 (ii) E pertence a M == X - E pertence a M
 (iii) Dados (A_i)_(i em N) em M, isto é, uma seqüência de elementos de
 M, temos que o conjunto U Ai pertence a M (isto é: a reunião de uma
 quantidade enumerável de elementos de M também pertence a M)

 Abraço!
 Bruno

 --
 Bruno França dos Reis
 email: bfreis - gmail.com
 gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key

 icq: 12626000

 e^(pi*i)+1=0




--
Ronaldo Luiz Alonso
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--
Bruno França dos Reis
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gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000

e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] probleminha da en

[Ricardo Bittencourt]

arkon wrote:
Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% 
de rock, quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, 
choro, bolero e rock?


Analisa o pior caso. Primeiro só samba e choro, se 70% gostam de samba, 
então 30% não gostam; no pior caso, esses 30% que não gostam de samba 
gostam de choro, então 75-30=45% gostam de samba e choro.


Por raciocinio análogo, 20% não gostam de bolero, então o pior caso é 
que 85-20=65% gostem de bolero e rock.


Mais uma vez, se 45% gostam de samba e choro, então 55% não gostam
dos dois ao mesmo tempo. Daí, 65-55=10% é total mínimo de pessoas que 
gostam dos quatro conjuntos.


--
Ricardo Bittencourt
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] probleminha da en

[Carlos Victor]

Olá  Arkon,

Como  dizia  o nosso mestre MORGADO ,  um  truque   para  este tipo  de 
problema é :


Como  são  quatro  conjuntos , o que  ultrapassar  a  300%  será  a 
quantidade   da interseção  dos  conjuntos . Se  tivermos  n  conjuntos , o 
que  ultrapasar  a (n-1)x100%   será  o mínimo  da interseção , ( tente 
provar) ,ok ?


[]´s   Carlos  Victor




At 16:58 11/12/2006, arkon wrote:
Gostaria que alguém da lista me enviasse a resolução de mais uma questão 
da en, por favor:


grato.

Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de 
rock, quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, choro, 
bolero e rock?


a) 5%.
b) 10%.
c) 20%.
d) 45%.
e) 70%.

Obs.: A alternativa correta é a letra b.



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Re: [obm-l] probleminha

[Marcelo Costa]

Acredito que se refira a uma Permutação Caótica, então:
D6 = 6![1 - 1 +1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/120 + 1/720]
D6 = 265. (b)

Em 09/12/06, arkon [EMAIL PROTECTED] escreveu:


GOSTARIA QUE ALGUÉM RESOLVESSE ESTE PROBLEMINHA, POR FAVOR.

GRATO.

Quantos são os anagramas da palavra ESCOLA nos quais nenhuma letra ocupa
o seu lugar primitivo?

a) 719.
b) 265.
c) 197.
d) 100.
e) 29.

Re: [obm-l] probleminha

[Italo]

Olá Elton,Segue aí uma solução:Seja T o número total de funcis então:0,6 T são homens e desses 0,3 usam óculos logo 0,18T são h e usam óculos0,4 T são mulheres e dessas 0,2 usam óculos logo 0,08T são m e usam óculosAssim:0,18T + 0,08T = T - 333 - T = 450 funcionáriosAcho q não esqueci de nada ;) Até +,Ítaloelton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] escreveu: Do total de funcionários de certa empresa, sabe-seque:- 60% são do sexo masculino e que, destes, 30% usamóculos;- das mulheres, 20% usam óculos;- os que não usam óculos totalizam 333.Nessas condições, o total de pessoas que trabalhanesse em presa é?___ Você quer respostas para suas
 perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas !http://br.answers.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= 
		 
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Re: [obm-l] Probleminha legal

[lponce]

cadê o problema???
Um abraço
PONCE




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Tue, 27 Jun 2006 21:54:14 -0300




Assunto:
Re: [obm-l] Probleminha legalÿþ


[]a, L.PONCE.

Re: [obm-l] Probleminha legal

[Edson Ricardo de Andrade Silva]

Construindo o desenho, temos:

1) Como o triangulo BDM é retangulo em D, os triangulos NBD e NDM sao 
semelhantes.


2) De 1) temos que ND/NM = BD/MD, mas BD = DC e MD = AM, entao ND/NM = 
DC/AM


3) Se ang(BDN) = x, entao ang(NMD) = x (pois DN é perpendicular a BM e 
ang(BDM) é reto). Logo, ang(NDC) = ang(NMA) = 180-x.


4) De 2) e 3) concluimos que os triangulos NDC e NMA sao semelhantes.

5) De 4) temos que ang(DNC) = ang(ANM) e, como ang(MND) é reto, ang(ANC) 
também é reto.


[]´s

Edson.

On Mon, 26 Jun 2006, Gumercindo Sereno wrote:


Vejam que probleminha bacana:

Considere um triângulo isósceles ABC, AB=AC. Seja D o ponto médio de BC e seja 
M o ponto médio de AD.
Conduza por D a perpendicular à reta suporte do segmento BM, seja N o seu pé. 
Prove que o ângulo ANC é reto.

Parece-me excelente para treinamento para a 2ª fase da OBM, nível 2. O problema 
está no site da revista Ibero e é proveniente
das listas de treinamentos da Romênia para crianças de 12 e 13 anos!

Para essa faixa etária acredito que não temos Geometria Analítica disponível.

Saludos.
Sereno.

Re: [obm-l] probleminha

[saulo nilson]

0=x=500
quantia paga = valor da mercadoria - desconto=x+100 -(x/1000)*(x+100)
= x+100 -x^2/1000 -x/10=
= -x^2/1000 +0,9x +100
da uma parabola com concavidade para baixo, sendo assim possui ponto de máximo, so que temos que verificar se este ponto de máximo esta situado entre 0 e 500.
xv = -b/2a= 0.9*1000/2= 450 reais, dentro dos limites 0 e 500.

substituindo na equação da quantia paga
quantia paga = -450^2/1000 +0.9*450 +100=302.50 reais.

Abraço, saulo.


On 4/14/06, elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote:
Uma mercearia anuncia a seguinte promoção: Paracompras entre 100,00 e 600,00 reais, compre (x + 100)
reais e ganhe (x/10%) de desconto na sua compra. Quala maior quantia que se pagaraia à mercearia nessapromoção?300302,50303,50304,50305,50___
Abra sua conta no Yahoo! Mail: 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.http://br.info.mail.yahoo.com/=
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Re: [obm-l] probleminha

[Thor]

A quantia que se pagaria à mercearia comprando x+100  reais é

 Q(x) = (x+100)(1-x/(10 x 100)) =-x2/1000+9/10x+100,

que tem máximo em  e se pagaria Q(450) = 550 x (1-0,45) = 550 x 0,55 = 
302,50 reais.






Espero ter ajudado,



 Cláudio Thor









- Original Message - 
From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, April 14, 2006 9:13 AM
Subject: [obm-l] probleminha



Uma mercearia anuncia a seguinte promoção: Para
compras entre 100,00 e 600,00 reais, compre (x + 100)
reais e ganhe (x/10%) de desconto na sua compra. Qual
a maior quantia que se pagaraia à mercearia nessa
promoção?

300
302,50
303,50
304,50
305,50





___
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Re: [obm-l] probleminha

[elton francisco ferreira]

de onde vc tirou este (1000)?
--- saulo nilson [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 0=x=500
 quantia paga = valor da mercadoria - desconto =
 x+100 -(x/1000)*(x+100)
 =  x+100 -x^2/1000 -x/10 =
 = -x^2/1000 +0,9x +100
 da uma parabola com concavidade para baixo, sendo
 assim possui ponto de
 máximo, so que temos que verificar se este ponto de
 máximo esta situado
 entre 0 e 500.
 xv = -b/2a= 0.9*1000/2= 450 reais, dentro dos
 limites 0 e 500.
 
 substituindo na equação da quantia paga
 quantia paga = -450^2/1000 +0.9*450 +100=302.50
 reais.
 
 Abraço, saulo.
 
 
 On 4/14/06, elton francisco ferreira
 [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
  Uma mercearia anuncia a seguinte promoção: Para
  compras entre 100,00 e 600,00 reais, compre (x +
 100)
  reais e ganhe (x/10%) de desconto na sua compra.
 Qual
  a maior quantia que se pagaraia à mercearia nessa
  promoção?
 
  300
  302,50
  303,50
  304,50
  305,50
 
 
 
 
 
 

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RE: [obm-l] Probleminha legal

[João Gilberto Ponciano Pereira]

51 rs

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Behalf Of Alexandre Bastos
Sent: Thursday, April 06, 2006 12:11 PM
To: OBM
Subject: [obm-l] Probleminha legal


O emir Abdel Azir ficou famoso por vários motivos. Ele teve mais de 39 filhos, 
incluindo muitos gêmeos. De fato, o historiador Ahmed Aab afirma num dos seus 
escritos que todos os filhos do emir eram gêmeos duplos, exceto 39; todos eram 
gêmeos triplos, exceto 39; todos eram gêmeos quádruplos, exceto 39. O numero de 
filhos do emir é: 



  _  

Abra  
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Re: [obm-l] probleminha

[saulo nilson]

T =tarefa
v1=velocidade do primeiro homen
v2=velocidade do segundo homen
t=tempo


v1+v2=T/3
v1 = T/t1
v2=T/t2
T/t1+T/t2=T/3

1/t1 +1/t2= 1/3
t2-t1=2,5

3(t1+t2)=t1t2
3( 2t2-2,5)=t2*(t2-2,5)

6t2-7.5=t2^2-2,5t2
t2^2-8,5t2+7,5=0
delta = 72,25-30=42,25
t2= (8,5+-6,5)/2
=7,5
=1 nao vale porque t10

t2 =7,5 dias
t1 = 5 dias






On 1/18/06, elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote:
juntos dois operários demoram 3 dias para completar umcerto trabalho. Sozinho, o primeiro leva 2 dias e meio
menos que o segundo. Determine em quanto tempo cada umfaz o mesmo serviço.___Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
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Re: [obm-l] probleminha

[saulo nilson]

x+y+z+t =45
x-2 = y+2=2z=t/2=45/4
On 1/5/06, elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote:
será que alguem poderia dar uma ideia de como façoeste problema?desde ja, agradeço!Quatro irmãos herdaram um total de 45 mil reais. Para
que os quatro recebessem a mesma quantia: foi reduzidoem 2 mil a parte do primeiro, aumentou em 2 mil aparte do segundo, duplicou a do terceiro e reduziu àmetade a do quarto irmão. Podemos então afirmar que os
quatro irmãos herdaram, respectivamente, em milharesde reais:___Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
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Re: [obm-l] probleminha

[Leonardo de Almeida Matos Moraes]

Ola' Elton...

o seu problema e' facilmente resolvido atraves da lei dos cossenos, por
exemplo. Vou tentar explicar sem um desenho, espero que seja suficiente...
rsrsrs

Como os pontos C e D pertencem aa circunferencia, as distancias OC e OD
valem: OC = OD = raio = 9, certo? Entao, chamemos de c e d os angulos
internos dos vertices C e D do triangulo OCD. Como temos um triangulo
isosceles, estes angulos internos sao iguais, e o valor e' facilmente
encontrado pela lei dos cossenos:

OC^2 = OD^2 + CD^2 - 2.OD.CD.cos(c)

Fazendo as contas, encontrei cos(c) = 0,778.

Agora, usei um outro triangulo, o triangulo OPD. Novamente posso usar a lei
dos cossenos, porem a incognita desta vez e' o lado OP, veja:

OP^2 = OD^2 + PD^2 - 2.OD.PD.cos(c)

Assim, encontrei OP^2 = 36, ou OP = 6.

Espero que esteja tudo certo ai' com as contas e possa ter te ajudado...
(Ha' muito tempo nao resolvia um problema de geometria...)

Abracos,

Leonardo.

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Re: [obm-l] probleminha

[Aldo Munhoz]

Como CD  uma corda da
circunferncia, ento OC = 9cm e OD = 9cm.
Chamemos de x o ngulo DCO.
Pela lei dos cossenos:
OD^2 = CD^2 + OC^2 - 2 CD CO cos(x) = 9^2=14^2 + 9^2 -
2.14.9.cos(x) = cos(x)=7/9
Pela lei dos cossenos, novamente:
OP^2 = CP^2 + CO^2 - 2 CP CO cos(x) = OP^2 = 9^2 + 9^2 - 2.9.9.7/9
= 36 = OP = 6cm

elton francisco ferreira wrote:

  P  um ponto da corda CD da circunferencia de centro
O. Se CP = 9 cm, PD = 5 cm e o raio mede 9 cm,
determine a medida de OP.


	



	
		
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Re:[obm-l] probleminha

[Luiz H\. Barbosa]

P é um ponto da corda CD da circunferencia de centro O. Se CP = 9 cm, PD = 5 cm e o raio mede 9 cm, determine a medida de OP. 

Ao som de : "O silencio que precede o esporro"

Trace OH perpendicular a CD e H pertencendo a CD.
Então:
9^2 = OH^2 + 7^2 e OP^2 = OH^2 + 2^2
OP=6

[]'s 
Luiz H.

Re: [obm-l] probleminha

[João Luís Gomes Guimarães]

Basta notar que, enquanto um inicia uma jornada de trabalho a cada 36h, o 
outro inicia uma jornada a cada 27h. Então, o instante, medido em horas, de 
todo início de jornada deve ser múltiplo de 36 (para o primeiro) e múltiplo 
de 27(para o segundo). Logo, um instante em que há coincidência deve ser 
mútiplo de 36 e 27. Como se busca o PRIMEIRO desses instantes coincidentes, 
basta tomar o MENOR múltiplo de 36 e 27, ou seja, MMC(36,27)=108.



- Original Message - 
From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, November 24, 2005 10:25 AM
Subject: [obm-l] probleminha


A jornada do soldado saldanha é de 12 horas de
trabalho por 24 horas de folga e a de seu sobrinho,
sardinha, que é motorista de transporte coletivo, é de
9 horas de trabalho por 18 horas de folga. Se, em
certo dia, os dois iniciarem suas jornadas de trablho
em um mesmo momento, então essa conincidência voltaria
a ocorrer em:

96 horas
108 horas
132 horas
144 horas
156 horas








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Re: [obm-l] probleminha

[Eduardo Wilner]

3^x/4^x = (3/4)^x  . Se x0, y = -x 0   e

(3/4)^(-y) = (4/3)^y  1 .


--- Marcos Martinelli [EMAIL PROTECTED]
escreveu:

Observe que x=2 é uma raíz de f(x). Provarei que
 f(x) é monótona
 dedecrescente.
 Observe que f´(x)= 3^(x/2)*ln(3)/2-2^x*ln(2)=0 =
 3^(x/2)*ln(3)/2=2^x*ln(2) =
 3^(x/2)/2^x=ln(4)/ln(3) =
 sqrt[3^x/4^x]=ln(4)/ln(3) o que é
 verdade uma vez que
 3^x/4^x=1=ln(4)/ln(3) =
 sqrt[3^x/4^x]=1]=ln(4)/ln(3).
Logo a única solução real é x=2.
 

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Re: [obm-l] probleminha

[Eduardo Wilner]

   

As raizes desta funcao seriam as mesmas da equacao

sen^x(pi/3) + cos^x(pi/3) = 1 .

Parece uma especie de Fermat trigonometrico...
 
Haveria solucao  !=0 ?

 

--- Rodrigo Augusto [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 alguem pode me ajudar com esta equacao:
 
 quais sao as raizes da funcao: f(x) = 3^x/2 + 1 -
 2^x
 
 valeu!
 

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Re: [obm-l] probleminha

[cleber vieira]

Marcos,quando vc fez o teste da 1º derivada e encontrasqrt[3^x/4^x]=1 isso é valido para todo x real ou para x não-negativo?

Marcos Martinelli [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Observe que x=2 é uma raíz de f(x). Provarei que f(x) é monótonadedecrescente.Observe que f´(x)= 3^(x/2)*ln(3)/2-2^x*ln(2)=0 =3^(x/2)*ln(3)/2=2^x*ln(2) =3^(x/2)/2^x=ln(4)/ln(3) = sqrt[3^x/4^x]=ln(4)/ln(3) o que éverdade uma vez que3^x/4^x=1=ln(4)/ln(3) = sqrt[3^x/4^x]=1]=ln(4)/ln(3).Logo a única solução real é x=2.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
		 
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Re: [obm-l] probleminha

[Marcos Martinelli]

   Para todo x real uma vez que 3^x0 e 4^x0 para todo x real.

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Re: [obm-l] probleminha

[cleber vieira]

Marcos repare que para x = -1 sqrt[3^x/4^x] é aproximadamente 1,1547 que é maior que 1, e para x = -2 sqrt[3^x/4^x] éaproximadamente 1,33 que também é maior que 1.

Marcos Martinelli [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Para todo x real uma vez que 3^x0 e 4^x0 para todo x real.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
		 
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Re: [obm-l] probleminha

[cleber vieira]

Marcos repare que para x = -1 sqrt[3^x/4^x] é aproximadamente 1,1547 que é maior que 1, e para x = -2 sqrt[3^x/4^x] éaproximadamente 1,33 que também é maior que 1.

Marcos Martinelli [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Para todo x real uma vez que 3^x0 e 4^x0 para todo x real.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
		 
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Re: [obm-l] probleminha

[Marcos Martinelli]

   Observe que x=2 é uma raíz de f(x). Provarei que f(x) é monótona
dedecrescente.
Observe que f´(x)= 3^(x/2)*ln(3)/2-2^x*ln(2)=0 =
3^(x/2)*ln(3)/2=2^x*ln(2) =
3^(x/2)/2^x=ln(4)/ln(3) = sqrt[3^x/4^x]=ln(4)/ln(3) o que é
verdade uma vez que
3^x/4^x=1=ln(4)/ln(3) = sqrt[3^x/4^x]=1]=ln(4)/ln(3).
   Logo a única solução real é x=2.

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Re: [obm-l] probleminha com medidas

[Eduardo Wilner]

Erro de dgitacao (e altas horas...): 37,2kgf


--- Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED]
escreveu:

 
Parece que o problema nao eh com medidas mas sim
 com unidades.
 
Eh ppedido o PESO em quilogramas !
Acredito que deva ser em quilogramas força
 (desculpe a cedilha, mas forca ...), i.e.  17,2 kgf
 

 --- saulo nilson [EMAIL PROTECTED] escreveu:
 
  ACho que todos que estao aqui gostam de
 matematica,
  sendo assim nao e 
  trabalho nenhum dar pelo menos uma lida em algum
  livro, abraço, saulo.
  0,93*10^-3Kg/10^-6m^3=m/0,04
  m=37,2Kg
  P=m*g=372N
  
   On 9/3/05, elton francisco ferreira
  [EMAIL PROTECTED] wrote: 
   
   Dispõe-se de um bloco maciço de madeira com
 volume
  de
   0,04 m^3. se a densidade da madeira é 0,93
 g/cm^3,
  o
   peso desse bloco, em quilogramas,é?
   
   a) 23,25
   b) 37,2
   c) 232,5
   d) 372
   e) 2325
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
  
 

___
   Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE
 LEVAR
  UMA VIAGEM NA CONVERSA. 
   Participe!
 

www.yahoo.com.br/messenger/promocaohttp://www.yahoo.com.br/messenger/promocao
  
 

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___
 
 Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE LEVAR
 UMA VIAGEM NA CONVERSA. Participe!
 www.yahoo.com.br/messenger/promocao

=
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Re: [obm-l] probleminha com medidas

[Eduardo Wilner]

   Parece que o problema nao eh com medidas mas sim
com unidades.

   Eh ppedido o PESO em quilogramas !
   Acredito que deva ser em quilogramas força
(desculpe a cedilha, mas forca ...), i.e.  17,2 kgf

   
--- saulo nilson [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 ACho que todos que estao aqui gostam de matematica,
 sendo assim nao e 
 trabalho nenhum dar pelo menos uma lida em algum
 livro, abraço, saulo.
 0,93*10^-3Kg/10^-6m^3=m/0,04
 m=37,2Kg
 P=m*g=372N
 
  On 9/3/05, elton francisco ferreira
 [EMAIL PROTECTED] wrote: 
  
  Dispõe-se de um bloco maciço de madeira com volume
 de
  0,04 m^3. se a densidade da madeira é 0,93 g/cm^3,
 o
  peso desse bloco, em quilogramas,é?
  
  a) 23,25
  b) 37,2
  c) 232,5
  d) 372
  e) 2325
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 

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Re: [obm-l] probleminha com medidas

[saulo nilson]

ACho que todos que estao aqui gostam de matematica, sendo assim nao e trabalho nenhum dar pelo menos uma lida em algum livro, abraço, saulo.
0,93*10^-3Kg/10^-6m^3=m/0,04
m=37,2Kg
P=m*g=372N

On 9/3/05, elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote:
Dispõe-se de um bloco maciço de madeira com volume de0,04 m^3. se a densidade da madeira é 0,93 g/cm^3, o
peso desse bloco, em quilogramas,é?a) 23,25b) 37,2c) 232,5d) 372e) 2325___Yahoo! Messenger com voz: PROMOÇÃO VOCÊ PODE LEVAR UMA VIAGEM NA CONVERSA. Participe! 
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Re: [obm-l] probleminha

[lopes]

Seis

- Original Message - 
From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, August 23, 2005 11:13 AM
Subject: [obm-l] probleminha


 um agricultor quis repartir as vacas que possuía entre
 seus filhos e notou que se dsse 3 vacas a cada um,
 restariam 24 vacas, e, se lhes desse 7 vacas, daria
 todas as vacas. quantos filhos tinha o agricultor?





 ___
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Re:[obm-l] probleminha

[Osvaldo Mello Sponquiado]

V=n. de vacas
F=n. de filhos

V=3.F+24=7F=F=6.

 um agricultor quis repartir as vacas que possuía entre 
 seus filhos e notou que se dsse 3 vacas a cada um, 
 restariam 24 vacas, e, se lhes desse 7 vacas, daria 
 todas as vacas. quantos filhos tinha o agricultor? 
 
 
 
 
 
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Atenciosamente, 

Osvaldo Mello Sponquiado 
Engenharia Elétrica, 2ºano 
UNESP - Ilha Solteira 

Re: [obm-l] probleminha

[Fábio Dias Moreira]

elton francisco ferreira said:
 um agricultor quis repartir as vacas que possuía entre
 seus filhos e notou que se dsse 3 vacas a cada um,
 restariam 24 vacas, e, se lhes desse 7 vacas, daria
 todas as vacas. quantos filhos tinha o agricultor?
 [...]

Imagine que o agricultor distribuiu três vacas para cada filho. Depois de
notar que sobraram 24 vacas, ele pensa:

Poxa! Sobraram tantas vacas! Eu bem que podia ser mais generoso e
distribuir mais vacas para os meus filhos! Ao invés de três, vou dar sete
vacas para cada um!

Ora, se você já tem três vacas, você só precisa de mais quatro vacas para
ficar com sete vacas. Logo, sabemos que o agricultor, depois de dar mais
quatro vacas para cada filho, ficou sem nenhuma sobra -- ou seja,
distribuindo quatro vacas a mais para cada filho, ele distribuiu 24 vacas
no total.

Pergunta: quantos filhos o agricultor tem?

[]s,

-- 
Fábio Dias Moreira


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Re: [obm-l] probleminha OFF-TOPIC

[Manuel Garcia]

Bruno França dos Reis wrote:

Um amigo meu da CM (ciencias moleculares) da USP, acabou de entrar lá, 
me passou o problema.


Ele disse que o professor de Cálculo I passou esse problema pros alunos.


Correção, a disciplina chama-se Matemática I.

Se vão me citar (ainda que indiretamente) sem autorização, pelo menos 
façam-no precisamente (eheheheh).


Manuel Garcia



Abraço
Bruno

On 8/18/05, *Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet* 
[EMAIL PROTECTED] 
mailto:[EMAIL PROTECTED] wrote:


De onde voce tirou esse problema? Informe suas
fontes...

Procure por uma solucao dele em www.kalva.demon.co.uk
http://www.kalva.demon.co.uk


--- Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]
mailto:[EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Sejam a,b naturais nao nulos.
 Seja k = (a^2 + b^2) / (1 + ab)
 Prove: k natural == k quadrado perfeito


 Abraço
 Bruno

 --
 Bruno França dos Reis
 email: bfreis - gmail.com http://gmail.com  http://gmail.com
 gpg-key:

http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
 icq: 12626000

 e^(pi*i)+1=0



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Re: [obm-l] probleminha

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Bem, este problema se tornou historico na IMO.
Na IMO de Canberra, o banco estava pensando em qual
problema escolher para ser o 6 (a tradicao manda ser o
mais impossivel e inimaginavel problema, o que nem
sewmpre acontece...). Quando propuseram este problema,
nao tinham achado nenhuma solucao para ele. Se eu nao
me enganpo chamaram alguns especialistas australianos
e eles deram uma solucao depois de algumas (varias?)
horas martelando no problema.
Depois de muito confabular, decidiram colocar tal
problema. E o que aconteceu? 11 estudantes
fecharam-no! 7 pontos com gosto de gas pra cada um!
Quem tiver mais detalhes, favor complete a historia!


Bem, as solucoes que eu conheco deste problema sao
compridas mas faceis. A unica coisa necessaria para
faze-lo e ter paciencia e levar uma determinada ideia
ate as ultimas consequencias.

Posso dar uma dica: fixe o valor de k(porr exemplo,
suponha k=1000, o qual dara errado, ou k=49, que dara
certo). Com isso, tente achar (a,b) tais que a+b tenha
o menor valor possivel. Esta e a ideia!

Outra ideia e analisar a hiperbole no plano que da
origem a essa equacao. Esta e, diga-se de passagem,
uma tecnica muito usada em uma area de pesquisa de
curvas elipticas.

P.S.:Eu ja ouvi falar desta disciplina na USP(CM), mas
nao tenho detalhes...

P.P.S.: Alguem da turma da CM ja fez esse??



--- Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Um amigo meu da CM (ciencias moleculares) da USP,
 acabou de entrar lá, me 
 passou o problema.
 
 Ele disse que o professor de Cálculo I passou esse
 problema pros alunos.
 
 Abraço
 Bruno
 
 On 8/18/05, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 
 [EMAIL PROTECTED] wrote:
  
  De onde voce tirou esse problema? Informe suas
  fontes...
  
  Procure por uma solucao dele em
 www.kalva.demon.co.ukhttp://www.kalva.demon.co.uk
  
  
  --- Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]
 escreveu:
  
   Sejam a,b naturais nao nulos.
   Seja k = (a^2 + b^2) / (1 + ab)
   Prove: k natural == k quadrado perfeito
  







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Re: [obm-l] probleminha

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

De onde voce tirou esse problema? Informe suas
fontes...

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--- Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Sejam a,b naturais nao nulos.
 Seja k = (a^2 + b^2) / (1 + ab)
 Prove: k natural == k quadrado perfeito
 
 
 Abraço
 Bruno
 
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 Bruno França dos Reis
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Re: [obm-l] probleminha

[Bruno França dos Reis]

Um amigo meu da CM (ciencias moleculares) da USP, acabou de entrar lá, me passou o problema.

Ele disse que o professor de Cálculo I passou esse problema pros alunos.

Abraço
BrunoOn 8/18/05, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] wrote:
De onde voce tirou esse problema? Informe suasfontes...Procure por uma solucao dele em 
www.kalva.demon.co.uk--- Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] escreveu: Sejam a,b naturais nao nulos. Seja k = (a^2 + b^2) / (1 + ab)
 Prove: k natural == k quadrado perfeito Abraço Bruno -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com 
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=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: 
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Re: [obm-l] probleminha

[saulo nilson]

a^2=x^2*(1+ab)

b^2=y^2(1+ab)
dividindo os dois:
a/b=x/y
somando os dois:
=x^2+y^2

On 8/17/05, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Sejam a,b naturais nao nulos.
 Seja k = (a^2 + b^2) / (1 + ab)
 Prove: k natural == k quadrado perfeito
 
 
 Abraço
 Bruno
 
 -- 
 Bruno França dos Reis
 email: bfreis - gmail.com
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 icq: 12626000
 
 e^(pi*i)+1=0

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.

[claudio.buffara]

De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Mon, 16 May 2005 18:07:11 -0300 (ART)




Assunto:
Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.
  Em geral essas provas de transcendencia sao
  dificeis e usam bastante
  analise,
 
 Ou entao vc usa um resultado forte (nao precisa
 conhecer a demonstracao) e bem conhecido
 
  Cláudio, uma vez eu tentei resolver a
  equação x^x = 5 
  
 
 Numa mensagem de 30 de junho de 2000, Paulo
 Santa Rita escreveu:
 
 "Teorema de Gelfond : "A^B" e trancedente se
 
 1) A e algebrico, diferente de zero e um
 2) B e irracional"
 
 suponha que x^x = 5. Digamos que ja sabemos que x
 eh irracional. Se x fosse algebrico, por Gelfond
 5 seria trancendente, o que eh absurdo. Logo, se x
 eh irracional, tem que ser transcendente.
 
 ...Falei muita bobagem?
 
Não. E é fácil provar quex é irracional.
Suponha que x seja racional. Então x = m/n com m,n inteiros positivos e primos entre si. Também é claro quem n (senão (m/n)^(m/n) seria menor do que 1).

(m/n)^(m/n) = 5 ==
m^m = 5^n*n^m ==
5 | m == 
m = 5k ==
5^m*k^m = 5^n*n^m ==
5^(m-n)*k^m = n^m ==
5 | n ==
contradição, pois estamos supondo que m e n são primos entre si.

Repare que não há nada de especial com o 5. Se p for qualquer número primo, então x^x = p == x é transcendente.

[]s,
Claudio.

Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.

[Paulo Santa Rita]

Ola Eric e demais colegas
desta Lista ... OBM-L
O Teorema de Gelfond que eu cito ai embaixo foi uma resposta a um dos 
problemas de Hilbert. Existe tambem uma contribuição muito boa do Liouville. 
O Prof Mauricio Matos Peixoto consegue abordar um tema correlato com a 
Teoria Focal.

Nao falou bobagem. Eu afirmo que o seu raciocinio e perfeito. Nao sei em que 
contexto surge a questao x^x = 5, mas e evidente que x nao e racional. 
Agora, dentro desta mesma linha de problemas, considere o seguinte :

Y=raiz_quadrada(2)
Entao, pelo teorema de Gelfond, Y^Y é transcendente. Agora faca :
A(1) = Y^Y
A(N+1) = Y^A(N)  para todo N = 1, 2, 3, ...
Existe N, N suficientemente grande, tal que A(N) e algebrico. Voce 
consegue provar ou refutar esta afirmacao ? Note que, diretamente, voce nao 
pode aplicar o teorema de Gelfond ...

Um abraco a todos
Paulo Santa Rita
3,1010,170505

From: Eric Campos [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.
Date: Mon, 16 May 2005 18:07:11 -0300 (ART)
Numa mensagem de 30 de junho de 2000, Paulo
Santa Rita escreveu:
Teorema de Gelfond : A^B e trancedente se
1) A e algebrico, diferente de zero e um
2) B e irracional
suponha que x^x = 5. Digamos que ja sabemos que x
eh irracional. Se x fosse algebrico, por Gelfond
5 seria trancendente, o que eh absurdo. Logo, se x
eh irracional, tem que ser transcendente.
...Falei muita bobagem?
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Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.

[Paulo Santa Rita]

Ola Eric e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
Esqueci um Y  na minha mensagem anterior. Vou re-escrever o final :
A(1)=Y^Y
A(N+1)=Y^(Y^A(N))
Afirmacao : Existe N, N suficientemente grande, tal que A(N) e algebrico. 
Voce consegue provar ou refutar esta afirmacao ? Note que voce nao pode 
aplicar, DIRETAMENTE, o teorema de Gelfond. Note tambem que Lim A(N)=2.



From: Eric Campos [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.
Date: Tue, 17 May 2005 11:27:35 -0300 (ART)
 considere o seguinte :

 Y=raiz_quadrada(2)

 Entao, pelo teorema de Gelfond, Y^Y é transcendente.
 Agora faca :

 A(1) = Y^Y
 A(N+1) = Y^A(N)  para todo N = 1, 2, 3, ...

 Existe N, N suficientemente grande, tal que A(N) e
 algebrico. Voce
 consegue provar ou refutar esta afirmacao ? Note
 que, diretamente, voce nao
 pode aplicar o teorema de Gelfond ...
vou tentar...
bom, A(1) eh transcendente, logo irracional.
A(2) = Y^A(1), onde
Y eh algebrico (diferente de 0 e 1) e
A(1) eh irracional
por Gelfond, A(2) eh transcendente, logo irracional.
Do mesmo modo, tem-se
A(3) = Y^A(2), onde
Y eh algebrico ( de 0 e 1)
e A(2) eh irracional
por Gelfond, A(3) eh transcendente.
Por inducao mostra-se que para todo
natural N, A(N) eh transcendente.
Abrac,os!
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Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.

[Paulo Santa Rita]

Ola Eric e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
Mesmo assim ñao ficou claro o que eu queria. Seja t um numero 
transcendente. Definimos :

A(1)=t
A(N+1)=t^A(N), N=1,2,3,...
Afirmacao : Existe N, N suficientemente grande, tal que A(N) e algebrico. 
Voce consegue provar ou refutar esta afirmacao ? Note que nao e possivel 
aplicar DIRETAMENTE o Teorema de Gelfond.

Um Abraco a todos
Paulo Santa Rita
3,1217,170505

From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.
Date: Tue, 17 May 2005 14:57:39 +
Ola Eric e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
Esqueci um Y  na minha mensagem anterior. Vou re-escrever o final :
A(1)=Y^Y
A(N+1)=Y^(Y^A(N))
Afirmacao : Existe N, N suficientemente grande, tal que A(N) e algebrico. 
Voce consegue provar ou refutar esta afirmacao ? Note que voce nao pode 
aplicar, DIRETAMENTE, o teorema de Gelfond. Note tambem que Lim A(N)=2.
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Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.

[Ronaldo Luiz Alonso]

Na verdade o polinomio tem que ter coeficientes inteiros, senao dado
qualquer numero complexo qualquer a, ele eh raiz de p(x) = x - a.
Um numero complexo que eh raiz de um polinomio com coeficientes inteiros eh
chamado de numero algebrico. Todos os demais sao transcendentes.

  Oi Cláudio.  Considere a equação x^2 - sqrt(10)x + 2 =0.
  Delta = 10 - 4.1.2 = 2
  x_1 = [sqrt(10) + sqrt(2)]/2
  Posso dizer que x_1 é transcendente?
 Aliás sempre tive essa dúvida.
 Certamente o fato dos coeficientes do polinômio serem racionais é o
mesmo que o
 os coeficientes do polinômio serem inteiros ==  tomamos o m.m.c das
frações
  e multiplicamos.  Mas então o que dizer deste caso que citei?  O x_1
parece
  ser mais ou menos bem comportado.
  Não é um número como e ou número pi que são meio estranhos.
   Aliás, alguém sabe dizer se pi^e ou e^e são transcendentes?


Em geral essas provas de transcendencia sao dificeis e usam bastante
analise, uma vez que os numeros transcendentes sao definidos, em geral, por
meio de limites. No caso do pi, em algum ponto de demonstracao entram
senos,
cossenos, derivadas e integrais.

Cláudio, uma vez eu tentei resolver a equação x^x = 5 (que é uma
equação
 transcendente).Para isso basta notar que ela é equivalente a:
   x ln x = ln 5
   x ( soma_{n=1}^{\infty} (-1)^n*x^n/n) = ln x  (se não me
engano: preciso
  ver a expansão de Taylor para ln x em torno de x = 0)  mas de qualquer
modo
  a equação tem grau infinito e x não pode ser algébrico.  Uma idéia é
inverter a série
 de potências para x*ln x.   Mas quando tentei fazer isso a coisa ficou
complicadíssima!!

 Precisa inverter a série de potências - Vi no livro de Spiegel -
Advanced Calculus -
Schaum Outlineum problema semelhante:  A solução era uma série
de potências.

  Alguém da lista sabe como Isaac Newton fazia para inverter séries
de potência?
   Perguntei isso para um ex-professor meu mas ele não conseguiu
responder.
  Sei que existe uma  fórmula para produtos de séries de
  potência (veja produto de Cauchy em mathword.wolfram.com ).  Mas
existe alguma
fórmula para inversão?
 Obrigado antecipadamente a todos que ilimarem esta escuridão :)


O que Gauss provou foi o que chamamos hoje de teorema fundamental da
algebra, que diz que todo polinomio com coeficientes complexos possui pelo
menos uma raiz complexa. Usano isso e inducao, voce prova que um polinomio
complexo de grau n tem exatamente n raizes (algums das quais podem ser
repetidas).

   Entendi.  Um polinômio complexo é um polinômio em que os coeficientes são
números
 complexos.  É isto não?   Preciso dar uma estudada melhor no assunto.  O
computador
  anda atrofiando meu cérebro...  Felizmente não ando de carro.  Senão meu
coração estaria
 também atrofiado ...

[]s a todos.
Ronaldo L. Alonso

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Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.

[Eric Campos]

--- Ronaldo Luiz Alonso
[EMAIL PROTECTED] escreveu:
 Na verdade o polinomio tem que ter coeficientes
 inteiros, senao dado
 qualquer numero complexo qualquer a, ele eh raiz de
 p(x) = x - a.
 Um numero complexo que eh raiz de um polinomio com
 coeficientes inteiros eh
 chamado de numero algebrico. Todos os demais sao
 transcendentes.
 
   Oi Cláudio.  Considere a equação x^2 -
 sqrt(10)x + 2 =0.
   Delta = 10 - 4.1.2 = 2
   x_1 = [sqrt(10) + sqrt(2)]/2
   Posso dizer que x_1 é transcendente?
  Aliás sempre tive essa dúvida.


Acho que os seguintes calculos, se estiverem certos,
mostram que x_1 eh algebrico por ser raiz
da equacao

x^4 - 6x^2 + 4 = 0

de fato, tem-se:

x_1 = (sqrt(10)+sqrt(2))/2
2x_1 = sqrt(10)+sqrt(2)
2x_1 - sqrt(2) = sqrt(10)
(2x_1 - sqrt(2))^2 = 10
4(x_1)^2 - 4(x_1)sqrt(2) + 2 = 10
4(x_1)^2 - 8 = 4(x_1)sqrt(2)
(x_1)^2 - 2 = (x_1)sqrt(2)
((x_1)^2 - 2)^2 = 2(x_1)^2
(x_1)^4 - 4(x_1)^2 + 4 = 2(x_1)^2

isto eh, x_1 eh raiz de

x^4 - 6x^2 + 4 = 0,
(soh troquei x_1 por x)

logo x_1 eh algebrico.


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Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.

[Eric Campos]

 Em geral essas provas de transcendencia sao
 dificeis e usam bastante
 analise,

Ou entao vc usa um resultado forte (nao precisa
conhecer a demonstracao) e bem conhecido

 Cláudio, uma vez eu tentei resolver a
 equação x^x = 5 
 

Numa mensagem de 30 de junho de 2000, Paulo
Santa Rita escreveu:

Teorema de Gelfond : A^B e trancedente se

1) A e algebrico, diferente de zero e um
2) B e irracional

suponha que x^x = 5. Digamos que ja sabemos que x
eh irracional. Se x fosse algebrico, por Gelfond
5 seria trancendente, o que eh absurdo. Logo, se x
eh irracional, tem que ser transcendente.

...Falei muita bobagem?

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Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.

[claudio.buffara]

De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Mon, 16 May 2005 06:54:03 -0300




Assunto:
Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.
 Na verdade o polinomio tem que ter coeficientes inteiros, senao dado
 qualquer numero complexo qualquer a, ele eh raiz de p(x) = x - a.
 Um numero complexo que eh raiz de um polinomio com coeficientes inteiros eh
 chamado de numero algebrico. Todos os demais sao transcendentes.
 
 Oi Cláudio. Considere a equação x^2 - sqrt(10)x + 2 =0.
 Delta = 10 - 4.1.2 = 2
 x_1 = [sqrt(10) + sqrt(2)]/2
 Posso dizer que x_1 é transcendente?

Não. (raiz(10)+raiz(2))/2 é raiz de x^4 - 6x^2 + 4.

 Aliás sempre tive essa dúvida.
 Certamente o fato dos coeficientes do polinômio serem racionais é o
 mesmo que o
 os coeficientes do polinômio serem inteiros == tomamos o m.m.c das
 frações
 e multiplicamos. Mas então o que dizer deste caso que citei? O x_1
 parece
 ser mais ou menos "bem comportado".
 Não é um número como "e" ou número "pi" que são "meio estranhos".
 Aliás, alguém sabe dizer se pi^e ou e^e são transcendentes?

Não estou certo quanto a e^e mas pi^e eu tenho quase certeza deque ninguém sabe.

 
 Em geral essas provas de transcendencia sao dificeis e usam bastante
 analise, uma vez que os numeros transcendentes sao definidos, em geral, por
 meio de limites. No caso do pi, em algum ponto de demonstracao entram
 senos,
 cossenos, derivadas e integrais.
 
 Cláudio, uma vez eu tentei resolver a equação x^x = 5 (que é uma
 equação
 transcendente). Para isso basta notar que ela é equivalente a:
 x ln x = ln 5
 x ( soma_{n=1}^{\infty} (-1)^n*x^n/n) = ln x (se não me
 engano: preciso
 ver a expansão de Taylor para ln x em torno de x = 0) mas de qualquer
 modo
 a equação tem grau infinito e x não pode ser algébrico. Uma idéia é
 inverter a série
 de potências para x*ln x. Mas quando tentei fazer isso a coisa ficou
 complicadíssima!!
 
Eu acho que só dá pra fazer numericamente. Mas a solução é única, pois a função f: (0,+inf) - R dada por f(x) = x^x é crescente para x = 1/e.

Talvez seja mais eficiente usar o método de Newton:
Ponha x(1) = 2, por exemplo, e defina x(n+1) = x(n) - f(x_n)/f'(x_n).
f(x) = x^x- 5e f'(x) = x^x*(1 + log(x)) ==
x(n+1) = x(n) - (x(n)^x(n) - 5)/(x(n)^x(n)*(1 + log(x(n
Na quinta iteração eu achei 2,1293724828.


 Precisa inverter a série de potências - Vi no livro de Spiegel -
 Advanced Calculus -
 Schaum Outline um problema semelhante: A solução era uma série
 de potências.
 
 Alguém da lista sabe como Isaac Newton fazia para inverter séries
 de potência?

Eu acho que o negócio é fazer no braço mesmo, ou seja, dada a série SOMA a_k*x^k com a_0  0, a inversa é SOMA b_k*x^k e é tal que:
(b_0 + b_1*x + b_2*x^2 + ... )*(a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + ... ) = 1

Isso resulta no sistema linear infinito:
a_0*b_0 = 1
a_0*b_1 +a_1*b_0 = 0
a_0*b_2 + a_1*b_1 + a_2*b_0 = 0 
...
e daí você obtendo os b_k por recorrência.

 Perguntei isso para um ex-professor meu mas ele não conseguiu
 responder.
 Sei que existe uma fórmula para produtos de séries de
 potência (veja "produto de Cauchy" em mathword.wolfram.com ). Mas
 existe alguma
 fórmula para inversão?
 Obrigado antecipadamente a todos que "ilimarem esta escuridão" :)
 
 
 O que Gauss provou foi o que chamamos hoje de teorema fundamental da
 algebra, que diz que todo polinomio com coeficientes complexos possui pelo
 menos uma raiz complexa. Usano isso e inducao, voce prova que um polinomio
 complexo de grau n tem exatamente n raizes (algums das quais podem ser
 repetidas).
 
 Entendi. Um polinômio complexo é um polinômio em que os coeficientes são
 números
 complexos. É isto não? 

Sim.

Preciso dar uma estudada melhor no assunto. O
 computador
 anda atrofiando meu cérebro... Felizmente não ando de carro. Senão meu
 coração estaria
 também atrofiado ...
 

[]s,
Claudio.

Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.

[Ronaldo Luiz Alonso]

 Olá... como vão..

 Primeiramente obrigado pelas respostas relacionadas as questões anterires
 sobre cosseno.

 Estou com duas curiosidades. ( por gentileza, se puderem me respondam!)
 1)Se um número não é raiz de nenhum polinomio esse número é chamado de
 transcedente.( está correto?) Então como eu provo que um número é ou não é

   Até onde eu sei está.

 trancedente a partir deste raciocinio, ou de outro? ( não consegui
enguergar
 nenhuma saida!)

Lioville provou que pi era um número transcendente mostrando que *se*
ele era raiz
de um polinômio, esse polinômio tinha que ter grau *infinito*.  Para ver a
prova de Lioville
consulte um bom livro de álgebra.


 2)Gauss afirmou que um polinomio de grau n possue n raízes!De onde esse
cara
 tirou isso???

Dah uma olhada no livo de Alcides Lins Neto do IMPA - Análise
Complexa.
   Nas primeiras 10 páginas você irá entender o que são as n raízes de um
número complexo:
São vértices de um polígono regular com n lados inscrito na
circunferência cujo raio
é a raiz do módulo do número complexo no plano complexo.
  Simplificadamente isso ocorre porque todo número complexo z pode
ser escrito
 como z = |z| e^{i t) = |z|(cos p + i sen p) ==
 z^{1/n} =  |z|^{1/n} (cos p + i sen p)^{1/n} ==
 z^{1/n} =  |z|^{1/n} (cos ( p+2k*pi)/n + i sen ( p+k*pi)/n )

  veja que cos (p + 2*k*pi) = cos p, para todo k \in Z
 e por isso ao dividir por n temo cos(p) por  n devemos na realidade
dividir
 cos (p+2*k*pi)  por n.
Para ver isso note que cos p + i sen p = e^{ip} tem módulo 1
e que (simplificadamente)
e^{ip/n} = cos (p/n) + i sen (p/n).   Agora voltando à linha
de cima...

 []s  Ronaldo L. Alonso


 Perguntei aos meus professores e eles disseram que éssa foi a tese de
 doutorado dele, logo é muito complexa para entender. Mas mesmo assim
queria
 pelo menos uma luz de onde ele comessou essa tese.!!!

 Mútissimo obrigado.

 Filipe Louly Quinan Junqueira

 _
 Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já!
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Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.

[Claudio Buffara]

on 14.05.05 08:43, Ronaldo Luiz Alonso at [EMAIL PROTECTED]
wrote:

 Olá... como vão..
 
 Primeiramente obrigado pelas respostas relacionadas as questões anterires
 sobre cosseno.
 
 Estou com duas curiosidades. ( por gentileza, se puderem me respondam!)
 1)Se um número não é raiz de nenhum polinomio esse número é chamado de
 transcedente.( está correto?) Então como eu provo que um número é ou não é
 
 Até onde eu sei está.
 
Na verdade o polinomio tem que ter coeficientes inteiros, senao dado
qualquer numero complexo qualquer a, ele eh raiz de p(x) = x - a.
Um numero complexo que eh raiz de um polinomio com coeficientes inteiros eh
chamado de numero algebrico. Todos os demais sao transcendentes.

 trancedente a partir deste raciocinio, ou de outro? ( não consegui
 enguergar
 nenhuma saida!)
 
 Lioville provou que pi era um número transcendente mostrando que *se*
 ele era raiz
 de um polinômio, esse polinômio tinha que ter grau *infinito*.  Para ver a
 prova de Lioville
 consulte um bom livro de álgebra.

Em geral essas provas de transcendencia sao dificeis e usam bastante
analise, uma vez que os numeros transcendentes sao definidos, em geral, por
meio de limites. No caso do pi, em algum ponto de demonstracao entram senos,
cossenos, derivadas e integrais.
 
 
 2)Gauss afirmou que um polinomio de grau n possue n raízes!De onde esse
 cara
 tirou isso???
 
 Dah uma olhada no livo de Alcides Lins Neto do IMPA - Análise
 Complexa.
 Nas primeiras 10 páginas você irá entender o que são as n raízes de um
 número complexo:
 São vértices de um polígono regular com n lados inscrito na
 circunferência cujo raio
 é a raiz do módulo do número complexo no plano complexo.
 Simplificadamente isso ocorre porque todo número complexo z pode
 ser escrito
 como z = |z| e^{i t) = |z|(cos p + i sen p) ==
 z^{1/n} =  |z|^{1/n} (cos p + i sen p)^{1/n} ==
 z^{1/n} =  |z|^{1/n} (cos ( p+2k*pi)/n + i sen ( p+k*pi)/n )
 
 veja que cos (p + 2*k*pi) = cos p, para todo k \in Z
 e por isso ao dividir por n temo cos(p) por  n devemos na realidade
 dividir
 cos (p+2*k*pi)  por n.
 Para ver isso note que cos p + i sen p = e^{ip} tem módulo 1
 e que (simplificadamente)
 e^{ip/n} = cos (p/n) + i sen (p/n).   Agora voltando à linha
 de cima...
 
 []s  Ronaldo L. Alonso
 

O que Gauss provou foi o que chamamos hoje de teorema fundamental da
algebra, que diz que todo polinomio com coeficientes complexos possui pelo
menos uma raiz complexa. Usano isso e inducao, voce prova que um polinomio
complexo de grau n tem exatamente n raizes (algums das quais podem ser
repetidas).

[]s,
Claudio.

 Perguntei aos meus professores e eles disseram que éssa foi a tese de
 doutorado dele, logo é muito complexa para entender. Mas mesmo assim
 queria
 pelo menos uma luz de onde ele comessou essa tese.!!!
 
 Mútissimo obrigado.
 
 Filipe Louly Quinan Junqueira
 


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Re: [obm-l] Probleminha de conjuntos

[Thor]

Pelo menos 485+386-600=271 gostam de Matemática e Física. Pelo menos 271+392-
600=63 gostam de Matemática, Física e Química. 


Cláudio Thor
Recife _PE








- Original Message - 
From: Adailton [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, April 12, 2005 11:48 AM
Subject: [obm-l] Probleminha de conjuntos


 Uma consulta aponta que, dos 600 alunos de uma escola, 485 gostam de
 matematica, 386 gostam de fisica, 392 gostam de quimica. Qual o numero
 minimo de alunos da escola que gostam das tres disciplinas ?
 
 Agradeço se alguem puder me ajudar.
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 Chegou o Provedor Oi Internet - Acesso grátis
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Re: [obm-l] Probleminha de Geometria Plana

[claudio.buffara]

Não consegui ver a solução em 3 linhas nesse link que o Dirichlet mandou, mas certamente deve ser uma solução aproximada, uma vez que o lado do heptágono regular não é construtível mas o lado do triângulo equilátero é.

De qualquer forma, a aproximação é bem boa pois:
sen(Pi/3) = 0,866025, sen(Pi/7) = 0,433884, e arazão entreestes dois números é 1,995985, ou seja, a aproximação tem um erro de apenas 0,2%.

[]s,
Claudio.





De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Tue, 22 Mar 2005 15:39:43 -0300 (ART)




Assunto:
Re: [obm-l] Probleminha de Geometria Plana
 Aqui:
 http://www.teorema.mat.br/phpBB2/viewtopic.php?t=395highlight=
 
 Uma solucao de tres linhas!
 
 --- Felipe Rÿe9gis <[EMAIL PROTECTED]>wrote:
  Aê pessoal, alguém poderia provar porque a metade do
  lado de um triângulo equilátero é igual ao lado de
  um heptágono regular ambos inscritos numa mesma
  circunferência?
  
  Obrigado, 
  Felipe Régis.
  
  
  -
  Yahoo! Mail - Com 250MB de espaço. Abra sua conta!
 
 
 
 
 
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Re: [obm-l] Probleminha de Geometria Plana

[Felipe Rÿffffe9gis]

Dirichlet, eu cheguei à mesma conclusão do que você, inclusive foi eu quem postou no forum do teorema.mat.br.Você achou o lado do heptágono igual a 2Rcos(pi/7), como concluiu isso?Eu achei o mesmo valor de lado do triângulo equilátero, sqrt(3)R, só que achei 2Rsen(2pi/7) como lado do heptágono por Lamy.
Obrigado,Felipe Régis__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ 

Re: [obm-l] Probleminha de Geometria Plana

[Eduardo Wilner]

  Eh 2Rsen(pi/7)


--- Felipe Rÿe9gis [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
 Dirichlet, eu cheguei à mesma conclusão do que você,
 inclusive foi eu quem postou no forum do
 teorema.mat.br. Você achou o lado do heptágono igual
 a 2Rcos(pi/7), como concluiu isso?
 Eu achei o mesmo valor de lado do triângulo
 equilátero, sqrt(3)R, só que achei 2Rsen(2pi/7) como
 lado do heptágono por Lamy.
 
 Obrigado,
 Felipe Régis 
 
 
 __
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Re: [obm-l] Probleminha de Geometria Plana

[Felipe Rÿffffe9gis]

Aqui vai uma boa solução dada por André Barreto.

Considerando R o raio de C, se eu pegar o raio que liga dois vértices consecutivos do triângulo, temos:

L^2 = R^2 + R^2 - 2 R R cos ( 120º)
L^2 = R^2 + R^2 + R^2 = 3 R^2

L = sqrt(3) R 
Dividindo os membros por 2, temos:

L/2 = sqrt(3) R/2 = A, sendo A o lado do Heptágono.

Para o heptágono vale:

A^2 = R^2 + R^2 - 2 R R cos( 360º / 7)
(L/2)^2 = 2 R^2 - 2 R^2 cos (360º / 7)

(3/4) R^2 - 2 R^2 = - 2 R^2 cos ( 360º / 7)

- (5/4) R^2 = - 2 R^2 cos ( 360º / 7)

cos (360º/7) = 5/8 = 0,625.Então pode-se concluir que é falso mas, usando a calculadora científica, o cos(360°/7) vale 0,623489801, ou seja, é uma boa aproximação com uma margem de erromuito pequena como o Cláudio disse.
Valeu André,
Felipe Régis.
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Re: [obm-l] Probleminha bobo

[Domingos Jr.]

Alan Pellejero wrote:
*
é assim...duas máquinas fazem x parafusos em 2h40min, apenas uma, faz 
o mesmo serviço em 4 horas...calcule o tempo que a outra gasta para 
fazer tal serviço

*

%20http://us.rd.yahoo.com/mail/br/taglines/*http://mail.yahoo.com.br/

Por que você não fala como você tentou resolver o problem ou mostra 
alguma dúvida em particular? Os probleminhas bobos não deveriam encher a 
caixa postal dos outros se a lista é olímpica, não é mesmo?

Novamente, vamos direto para a mágica desses problemas! Alan, preste 
atenção... Dê NOMES às coisas... neste caso, temos 2 máquinas, por que 
não chamá-las de M1 e M2?
Vamos dizer que M1 faz o trabalho (x parafusos) em 4hs. Então M1 faz x/4 
parafusos por hora. Se M2 faz y parafusos/hora então
8/3 (x/4 + y) = x = y = x/8.
Se M2 faz x/8 parafusos/hora, ela leva 8 horas para fazer x parafusos. 
Viu como as coisas funcionam se você dá nome a elas?
=
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=

Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Probleminha de Física

[Angelo Barone Netto]

Caros Gg.gomes:
Apenas uma observacao sobre a energia cinetica da bolinha.
Alem do termo ${1/2}mv^2$ que corresponde a translacao ha um termo que 
corresponde a energia cinetica de rotacao.
Pena ser esta uma lista de matematica olimpica e nao de mecanica elemerntar.

Citando gg.gomes [EMAIL PROTECTED]:

  Aqui vai um problema do mesmo calibre : No topo de uma semi-esfera de raio
 R
  esta uma pequena esfera de raio r ( r muito menor que R ). Soltando a
  esferinha ela desce, rolando. Caracterize o ponto da trajetoria da
 esferinha
  onde ela perde contato com a semi-esfera.
 
 
 Tendo como h a altura onde a esferinha perde contato com a semi-esfera temos
 que:
 h/R=cos x
 h=Rcosx
 
 Usando-se a conservaçao da energia mecanica entre o topo e o ponto onde ela
 perde contato com a semi-esfera
 
 mv^2/2=mg(R-h)
 v^2=2g(R-h)
 
 substituindo-se h por Rcosx:
 
 v^2=2gR(1-cosx)
 para v igual à velocidade da particula onde ela abandona a semi-esfera
 
 Na posiçao onde ela abandona a semiesfera força normal=força centripeta
 
 mgcosx=mv^2/R
 v^2=Rgcosx
 
 Comparando-se:
 
 Rgcosx=2gR(1-cosx)
 cosx=2-2cosx
 cosx=2/3
 
 Da expressao
 h=Rcosx
 h=2/3Rlogo a bolinha perde contato com a semi-esfera em 2/3R. Acho q
 eh isso.
 

Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED]
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

[obm-l] RE: [obm-l] Probleminha de Física

[Paulo Santa Rita]

Ola,
A sua solucao esta correta SE supormos que a esferinha não rola. Note que eu 
disse que esferinha desce rolando. Logo, a solucao nao esta correta.

Mas a linha de raciocinio e a que voce descobriu, bastando que no uso da lei 
da conservacao da energia voce tambem considere a parte gasta para fazer a 
bolinha rolar. E em verdade um problema elementar de dinamica da rotacao, 
coisa que voce encontra em qualquer bom livro de Fisica Elementar ( Por 
exemplo, no Halliday )

Aqui vai outro, nao tao elementar : Um prato de plastico e arremessado quase 
horizontalmente para o ar, de tal modo que o prato gira ao mesmo tempo que 
seu plano oscila. Descreva o movimento de rotacao do prato e mostre que as 
oscilacoes sao duas vezes mais rapidas que a rotacao ( rotacao em torno do 
seu proprio eixo de simetria )

Essa e uma lista de Matematica. Fazendo justica a isso, aqui vai um problema 
de Matematica :

Seja An=1/N + 1/(N+1) + ... 1/(3N-3) + 1/(3N-2). Calcule lim An, quando N 
tende ao infinito.

Um Abracao a Todos !
Paulo Santa Rita
3,0905,010305

From: gg.gomes [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Probleminha de Física
Date: Mon, 28 Feb 2005 23:10:07 -0300
 Aqui vai um problema do mesmo calibre : No topo de uma semi-esfera de 
raio R
 esta uma pequena esfera de raio r ( r muito menor que R ). Soltando a
 esferinha ela desce, rolando. Caracterize o ponto da trajetoria da 
esferinha
 onde ela perde contato com a semi-esfera.


Tendo como h a altura onde a esferinha perde contato com a semi-esfera 
temos que:
h/R=cos x
h=Rcosx

Usando-se a conservaçao da energia mecanica entre o topo e o ponto onde ela 
perde contato com a semi-esfera

mv^2/2=mg(R-h)
v^2=2g(R-h)
substituindo-se h por Rcosx:
v^2=2gR(1-cosx)
para v igual à velocidade da particula onde ela abandona a semi-esfera
Na posiçao onde ela abandona a semiesfera força normal=força centripeta
mgcosx=mv^2/R
v^2=Rgcosx
Comparando-se:
Rgcosx=2gR(1-cosx)
cosx=2-2cosx
cosx=2/3
Da expressao
h=Rcosx
h=2/3Rlogo a bolinha perde contato com a semi-esfera em 2/3R. Acho 
q eh isso.
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