Re: [obm-l] Desafio de probabilidade
É isso mesmo. Tem que sair 3 vezes o MESMO NÚMERO e não 3 vezes a MESMA PARIDADE. []s, Claudio. On Sat, Jul 25, 2020 at 3:53 PM Ralph Costa Teixeira wrote: > Oi, Claudio > > Eu também pensei em trocar o dado por uma moeda, mas se entendi bem o > enunciado, não podemos! O problema eh que, se o dado der 2,4,6,2,4,6,1,1,1, > quem ganha eh Umberto; trocando pela moeda, vemos par,par,par e vamos dar o > trofeu para o Ze Roberto... Muda o jogo! > > On Sat, Jul 25, 2020 at 3:24 PM Claudio Buffara > wrote: > >> Pra facilitar, podemos substituir o dado por uma moeda, com cara = par = >> 0 e coroa = ímpar = 1, já que o que importa é apenas a paridade do número >> na face superior do dado lançado e, neste caso, P(par) = P(ímpar) = 1/2. >> >> Como 3 caras seguidas ou 3 coroas seguidas encerra o jogo, basta >> considerar os dois últimos lançamentos. >> >> Suponha que dois lançamentos seguidos tenham sido 1 e 0 (cara e coroa). >> Após sair o 0, digamos que a probabilidade de ZR vencer seja p. >> >> Se o terceiro lançamento for 0, a probabilidade de ZR vencer aumentará >> para q (p e q são incógnitas a serem determinadas), e q é justamente a >> probabilidade desejada, já que é a probabilidade de ZR vencer dado que os >> dois últimos lançamentos foram 0 e 0. >> Se o quarto lançamento for 0, ZR vence. Mas se for 1, sua probabilidade >> de vencer cai para 1-p pois, neste caso, por simetria, Umberto passa a ter >> probabilidade p de vencer, em virtude dos dois últimos lançamentos terem >> sido 0 e 1. >> Ou seja, q = (1/2)*(1 + (1-p)) <==> p + 2q = 2. >> >> Se o terceiro lançamento for 1, a probabilidade de ZR vencer cai para 1-p. >> Neste caso, podemos escrever p = (1/2)*(q + (1-p)) <==> 3p - q = 1. >> >> Resolvendo este sistema, achamos p = 4/7 e q = 5/7. >> >> Na verdade, isso tudo fica mais fácil de ver se você fizer uma árvore. >> >> []s, >> Claudio. >> >> On Sat, Jul 25, 2020 at 2:03 PM Professor Vanderlei Nemitz < >> vanderma...@gmail.com> wrote: >> >>> Então meu raciocínio foi muito errado, pois pensei assim: >>> Seja p a probabilidade de Zé Roberto vender. Podemos considerar que o >>> jogo "começa" com Zé Roberto precisando obter um 6 para vencer. >>> Assim, a probabilidade de Humberto vencer é: >>> q = (3/6).(1/6).p, ou seja, p = 12q >>> Assim, p = 12/13 e q = 1/13 >>> >>> Prezado Cláudio, você pode explicar sua resolução? >>> >>> Muito obrigado! >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> Em sáb., 25 de jul. de 2020 às 13:43, Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>> Eu achei 5/7. On Sat, Jul 25, 2020 at 7:28 AM Professor Vanderlei Nemitz < vanderma...@gmail.com> wrote: > Bom dia! > O problema a seguir encontra-se em uma prova de desafios da PUC-RJ, > muito boas!!! > Acho que são organizadas pelo professor Nicolau Saldanha. > Encontrei uma resposta bem alta, mais de 90%. Será que está correto? > Muito obrigado! > > Zé Roberto e Umberto gostam de jogar par ou ímpar; Zé Roberto sempre > pede par e Umberto sempre pede íımpar. Eles gostam de inventar novas > maneiras de jogar. A última maneira que eles inventaram usa um dado comum, > com seis faces numeradas de 1 a 6. Eles jogam o dado várias vezes até que > um número saia três vezes seguidas; Zé Roberto ganha se este número for > par, Umberto ganha se for ímpar. Sábado de manhã o dado teve os > resultados: > 5, 3, 4, 2, 6, 1, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 5, 6, 3, 4, 5, 4, 4, 4 e neste ponto > Zé > Roberto se declarou vitorioso. Sábado de tarde o dado teve os resultados: > 6, 1, 4, 2, 3, 5, 6, 6; neste momento o jogo foi interrompido pela queda > de > um meteorito. Quando a situação se acalmou, eles concordaram em continuar > do ponto em que estavam. Qual é a probabilidade de que Zé Roberto seja o > vencedor? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desafio de probabilidade
Por favor desconsiderem. Reli o enunciado e vi que errei. Pro ZR ganhar, tem que sair o mesmo número par 3 vezes seguidas. E minha solução é para o caso (bem mais fácil!) em que ele ganha se saírem 3 números pares seguidos. []s, Claudio. On Sat, Jul 25, 2020 at 3:08 PM Claudio Buffara wrote: > Pra facilitar, podemos substituir o dado por uma moeda, com cara = par = 0 > e coroa = ímpar = 1, já que o que importa é apenas a paridade do número na > face superior do dado lançado e, neste caso, P(par) = P(ímpar) = 1/2. > > Como 3 caras seguidas ou 3 coroas seguidas encerra o jogo, basta > considerar os dois últimos lançamentos. > > Suponha que dois lançamentos seguidos tenham sido 1 e 0 (cara e coroa). > Após sair o 0, digamos que a probabilidade de ZR vencer seja p. > > Se o terceiro lançamento for 0, a probabilidade de ZR vencer aumentará > para q (p e q são incógnitas a serem determinadas), e q é justamente a > probabilidade desejada, já que é a probabilidade de ZR vencer dado que os > dois últimos lançamentos foram 0 e 0. > Se o quarto lançamento for 0, ZR vence. Mas se for 1, sua probabilidade de > vencer cai para 1-p pois, neste caso, por simetria, Umberto passa a ter > probabilidade p de vencer, em virtude dos dois últimos lançamentos terem > sido 0 e 1. > Ou seja, q = (1/2)*(1 + (1-p)) <==> p + 2q = 2. > > Se o terceiro lançamento for 1, a probabilidade de ZR vencer cai para 1-p. > Neste caso, podemos escrever p = (1/2)*(q + (1-p)) <==> 3p - q = 1. > > Resolvendo este sistema, achamos p = 4/7 e q = 5/7. > > Na verdade, isso tudo fica mais fácil de ver se você fizer uma árvore. > > []s, > Claudio. > > On Sat, Jul 25, 2020 at 2:03 PM Professor Vanderlei Nemitz < > vanderma...@gmail.com> wrote: > >> Então meu raciocínio foi muito errado, pois pensei assim: >> Seja p a probabilidade de Zé Roberto vender. Podemos considerar que o >> jogo "começa" com Zé Roberto precisando obter um 6 para vencer. >> Assim, a probabilidade de Humberto vencer é: >> q = (3/6).(1/6).p, ou seja, p = 12q >> Assim, p = 12/13 e q = 1/13 >> >> Prezado Cláudio, você pode explicar sua resolução? >> >> Muito obrigado! >> >> >> >> >> >> >> Em sáb., 25 de jul. de 2020 às 13:43, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> Eu achei 5/7. >>> >>> On Sat, Jul 25, 2020 at 7:28 AM Professor Vanderlei Nemitz < >>> vanderma...@gmail.com> wrote: >>> Bom dia! O problema a seguir encontra-se em uma prova de desafios da PUC-RJ, muito boas!!! Acho que são organizadas pelo professor Nicolau Saldanha. Encontrei uma resposta bem alta, mais de 90%. Será que está correto? Muito obrigado! Zé Roberto e Umberto gostam de jogar par ou ímpar; Zé Roberto sempre pede par e Umberto sempre pede íımpar. Eles gostam de inventar novas maneiras de jogar. A última maneira que eles inventaram usa um dado comum, com seis faces numeradas de 1 a 6. Eles jogam o dado várias vezes até que um número saia três vezes seguidas; Zé Roberto ganha se este número for par, Umberto ganha se for ímpar. Sábado de manhã o dado teve os resultados: 5, 3, 4, 2, 6, 1, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 5, 6, 3, 4, 5, 4, 4, 4 e neste ponto Zé Roberto se declarou vitorioso. Sábado de tarde o dado teve os resultados: 6, 1, 4, 2, 3, 5, 6, 6; neste momento o jogo foi interrompido pela queda de um meteorito. Quando a situação se acalmou, eles concordaram em continuar do ponto em que estavam. Qual é a probabilidade de que Zé Roberto seja o vencedor? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desafio de probabilidade
Argh: tem um errinho de digitação... Era p=7b *MENOS* 3... Mas o resto continua valendo, achei p=25/43 e b=22/43... que condiz com minha intuição de que, partindo de um número par (que não se repetiu), tenho uma pequena vantagem (b=22/43 é ligeiramente maior que 1/2). On Sat, Jul 25, 2020 at 3:37 PM Ralph Costa Teixeira wrote: > Oi, Vanderlei. > > Para facilitar a notação, eu serei Zé Roberto. :D > > Intuitivamente: como você desconfiou, p não pode ser isso tudo. Para eu > ganhar, tenho que rolar um 6, **ou** rolar outra coisa e "praticamente" > começar o jogo de novo. Isto daria a estimativa: > p = 1/6 + 5/6 . 1/2 = 7/12 > Mas esta estimativa está errada pois, o jogo "recomeçaria" a partir de 1, > 2, 3, 4 ou 5, dando uma pequena vantagem para Umberto! Ou seja, sem fazer > muita conta afirmo que: > p = 1/6 + 5/6 . Prob(Eu ganhar a partir de um 1,2,3,4,5 simples) < 1/6 + > 5/12 = 7/12. > > ---///--- > Se entendi o que você pensou: para Umberto ganhar, temos que NÃO ROLAR 6 > agora (prob=5/6), **e** depois "começar o jogo do zero" (prob=3/6). Então > Umberto ganharia com probabilidade q=5/6.3/6=5/12 (acho que você devia usar > 5/6; e não entendi o p extra). Era isso? Mas mesmo assim não funciona, pelo > mesmo motivo da minha estimativa do p estar furada: não rolando 6, o jogo > não "começaria do zero"; Umberto teria uma pequena vantagem (pois rolamos > 1, 3 ou 5 com mais chance do que 2 ou 4). Em suma, o que conseguimos > concluir daqui eh que q > 5/12, ou seja p<7/12, que nem acima! > > ---///--- > Vamos calcular p, definido como" > p = probabilidade de eu vencer sendo que os dois últimos números foram > iguais e pares > E vamos inventar: > b = probabilidade de eu vencer sendo que o último número foi par, mas o > penúltimo foi diferente do último. > Agora, na situação do problema (terminando em x-6-6, com x<>6), a partir > daqui temos duas possibilidades: > -- Se o próximo número for 6 (prob = 1/6), ganhei. > -- Se o próximo número for 2 ou 4 (prob = 2/6), passamos para uma nova > situação onde eu tenho probabilidade b de vencer. > -- Se o próximo número for 1, 3 ou 5 (prob=3/6), passamos para uma nova > situação onde eu tenho probabilidade 1-b de vencer. > > Assim, p = 1/6 + (2/6)b + (3/6)(1-b) = 2/3 - b/6. > > Por outro lado, a partir de uma situação do tipo "b" -- (digamos, para > fixar ideias, sequência terminando em -2-4), temos as seguintes > possibilidades: > -- Se o próximo número for 4 (prob = 1/6), passo a ter probabilidade p de > ganhar; > -- Se for 2 ou 6 (prob = 2/6), passo a ter probabilidade b de ganhar. > -- Se for 1, 3 ou 5 (prob = 3/6), passo a ter probabilidade 1-b de ganhar. > > Assim, b = (1/6)p + 2/6b + 3/6(1-b), ou seja, p=7b+3. > > Juntando as duas coisas, achei p=25/43 Hein, sério?? > > ---///--- > Vamos resolver de outro jeito mais "adulto", para ver o PODER DAS > MATRIZES... :D :D: > > Depois de alguns lançamentos, o jogo tem 6 estados possíveis dependendo > apenas dos 3 últimos lançamentos: > > E1: ...y-y-y com y par (eu ganhei! pare o jogo!) > E2: ...x-y-y com x<>y e y par (estou quase ganhando!) > E3: ...x-y com x<>y e y par (tenho pequena vantagem) > E4: ...x-y com x<>y e y ímpar (tenho pequena desvantagem) > E5: ...x-y-y com x<>y e y í mpar (estou quase perdendo!) > E6: ...y-y-y com y ímpar (perdi! vire a mesa!) > > A matriz M de transição entre esses estados: > > 1 1/6000 0 > 00 1/600 0 > 0 2/6 2/6 3/6 3/6 0 > 0 3/6 3/6 2/6 2/6 0 > 000 1/60 0 > 0000 1/6 1 > > Pois bem, M^k.v (onde v=e_2=[0; 1; 0; 0; 0; 0]) seria a distribuição de > probabilidade dos estados, começando de e_2 (situação do problema), daqui a > k jogadas. Ou seja, a gente quer determinar p onde lim(k->Inf) M^k.v = [p; > 0; 0; 0; 0; 1-p]. > > Diagonalizei M usando o computador (que não liga para a elegância das > simetrias :( ), deu M = PDP^(-1) onde > > P=[1 1 1 1 1 0 > 0 (1/(√5-3))(√5+3) (3/2)√5-(7/2) -(1/2)i√3-((13)/2) (1/2)i√3-((13)/2) 0 > 0 -2((√5)/(√5-3)) (5/2)-(3/2)√5 (7/2)i√3+(5/2) (5/2)-(7/2)i√3 0 > 0 -2((√5)/(√5-3)) (5/2)-(3/2)√5 -(7/2)i√3-(5/2) (7/2)i√3-(5/2) 0 > 0 (1/(√5-3))(√5+3) (3/2)√5-(7/2) (1/2)i√3+((13)/2) ((13)/2)-(1/2)i√3 0 > -1 1 1 -1 -1 1] > > D = diag(1; 5/12- √5 /4; 5/12 +√5 /4; (-i√3-1)/12; (i√3-1)/12; 1] > > Q=P^(-1)= [1 ((25)/(43)) ((22)/(43)) ((21)/(43)) ((18)/(43)) 0 > 0 (1/(12))√5-(1/4) (7/(60))√5-(1/4) (7/(60))√5-(1/4) (1/(12))√5-(1/4) 0 > 0 -(1/(12))√5-(1/4) -(7/(60))√5-(1/4) -(7/(60))√5-(1/4) -(1/(12))√5-(1/4) 0 > 0 -(5/(516))i√3-(7/(172)) -((13)/(516))i√3-(1/(172)) > ((13)/(516))i√3+(1/(172)) (5/(516))i√3+(7/(172)) 0 > 0 (5/(516))i√3-(7/(172)) ((13)/(516))i√3-(1/(172)) > (1/(172))-((13)/(516))i√3 (7/(172))-(5/(516))i√3 0 > 1 1 1 1 1 1] > > Mas não olhe para tudo isso! Veja bem, M^k.v = P D^k P^(-1) e_2 = P D^k > Q_2, onde Q_2 eh a segunda coluna de Q. Mas D^k vai para diag(1, 0, 0, 0, > 0, 1) quando k->Inf, portanto ligamos apenas para Q(1,2)=25/43 e Q(1,6)=1. > Queremos apenas a primeira coordenada de P .
Re: [obm-l] Desafio de probabilidade
Oi, Claudio Eu também pensei em trocar o dado por uma moeda, mas se entendi bem o enunciado, não podemos! O problema eh que, se o dado der 2,4,6,2,4,6,1,1,1, quem ganha eh Umberto; trocando pela moeda, vemos par,par,par e vamos dar o trofeu para o Ze Roberto... Muda o jogo! On Sat, Jul 25, 2020 at 3:24 PM Claudio Buffara wrote: > Pra facilitar, podemos substituir o dado por uma moeda, com cara = par = 0 > e coroa = ímpar = 1, já que o que importa é apenas a paridade do número na > face superior do dado lançado e, neste caso, P(par) = P(ímpar) = 1/2. > > Como 3 caras seguidas ou 3 coroas seguidas encerra o jogo, basta > considerar os dois últimos lançamentos. > > Suponha que dois lançamentos seguidos tenham sido 1 e 0 (cara e coroa). > Após sair o 0, digamos que a probabilidade de ZR vencer seja p. > > Se o terceiro lançamento for 0, a probabilidade de ZR vencer aumentará > para q (p e q são incógnitas a serem determinadas), e q é justamente a > probabilidade desejada, já que é a probabilidade de ZR vencer dado que os > dois últimos lançamentos foram 0 e 0. > Se o quarto lançamento for 0, ZR vence. Mas se for 1, sua probabilidade de > vencer cai para 1-p pois, neste caso, por simetria, Umberto passa a ter > probabilidade p de vencer, em virtude dos dois últimos lançamentos terem > sido 0 e 1. > Ou seja, q = (1/2)*(1 + (1-p)) <==> p + 2q = 2. > > Se o terceiro lançamento for 1, a probabilidade de ZR vencer cai para 1-p. > Neste caso, podemos escrever p = (1/2)*(q + (1-p)) <==> 3p - q = 1. > > Resolvendo este sistema, achamos p = 4/7 e q = 5/7. > > Na verdade, isso tudo fica mais fácil de ver se você fizer uma árvore. > > []s, > Claudio. > > On Sat, Jul 25, 2020 at 2:03 PM Professor Vanderlei Nemitz < > vanderma...@gmail.com> wrote: > >> Então meu raciocínio foi muito errado, pois pensei assim: >> Seja p a probabilidade de Zé Roberto vender. Podemos considerar que o >> jogo "começa" com Zé Roberto precisando obter um 6 para vencer. >> Assim, a probabilidade de Humberto vencer é: >> q = (3/6).(1/6).p, ou seja, p = 12q >> Assim, p = 12/13 e q = 1/13 >> >> Prezado Cláudio, você pode explicar sua resolução? >> >> Muito obrigado! >> >> >> >> >> >> >> Em sáb., 25 de jul. de 2020 às 13:43, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> Eu achei 5/7. >>> >>> On Sat, Jul 25, 2020 at 7:28 AM Professor Vanderlei Nemitz < >>> vanderma...@gmail.com> wrote: >>> Bom dia! O problema a seguir encontra-se em uma prova de desafios da PUC-RJ, muito boas!!! Acho que são organizadas pelo professor Nicolau Saldanha. Encontrei uma resposta bem alta, mais de 90%. Será que está correto? Muito obrigado! Zé Roberto e Umberto gostam de jogar par ou ímpar; Zé Roberto sempre pede par e Umberto sempre pede íımpar. Eles gostam de inventar novas maneiras de jogar. A última maneira que eles inventaram usa um dado comum, com seis faces numeradas de 1 a 6. Eles jogam o dado várias vezes até que um número saia três vezes seguidas; Zé Roberto ganha se este número for par, Umberto ganha se for ímpar. Sábado de manhã o dado teve os resultados: 5, 3, 4, 2, 6, 1, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 5, 6, 3, 4, 5, 4, 4, 4 e neste ponto Zé Roberto se declarou vitorioso. Sábado de tarde o dado teve os resultados: 6, 1, 4, 2, 3, 5, 6, 6; neste momento o jogo foi interrompido pela queda de um meteorito. Quando a situação se acalmou, eles concordaram em continuar do ponto em que estavam. Qual é a probabilidade de que Zé Roberto seja o vencedor? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desafio de probabilidade
Oi, Vanderlei. Para facilitar a notação, eu serei Zé Roberto. :D Intuitivamente: como você desconfiou, p não pode ser isso tudo. Para eu ganhar, tenho que rolar um 6, **ou** rolar outra coisa e "praticamente" começar o jogo de novo. Isto daria a estimativa: p = 1/6 + 5/6 . 1/2 = 7/12 Mas esta estimativa está errada pois, o jogo "recomeçaria" a partir de 1, 2, 3, 4 ou 5, dando uma pequena vantagem para Umberto! Ou seja, sem fazer muita conta afirmo que: p = 1/6 + 5/6 . Prob(Eu ganhar a partir de um 1,2,3,4,5 simples) < 1/6 + 5/12 = 7/12. ---///--- Se entendi o que você pensou: para Umberto ganhar, temos que NÃO ROLAR 6 agora (prob=5/6), **e** depois "começar o jogo do zero" (prob=3/6). Então Umberto ganharia com probabilidade q=5/6.3/6=5/12 (acho que você devia usar 5/6; e não entendi o p extra). Era isso? Mas mesmo assim não funciona, pelo mesmo motivo da minha estimativa do p estar furada: não rolando 6, o jogo não "começaria do zero"; Umberto teria uma pequena vantagem (pois rolamos 1, 3 ou 5 com mais chance do que 2 ou 4). Em suma, o que conseguimos concluir daqui eh que q > 5/12, ou seja p<7/12, que nem acima! ---///--- Vamos calcular p, definido como" p = probabilidade de eu vencer sendo que os dois últimos números foram iguais e pares E vamos inventar: b = probabilidade de eu vencer sendo que o último número foi par, mas o penúltimo foi diferente do último. Agora, na situação do problema (terminando em x-6-6, com x<>6), a partir daqui temos duas possibilidades: -- Se o próximo número for 6 (prob = 1/6), ganhei. -- Se o próximo número for 2 ou 4 (prob = 2/6), passamos para uma nova situação onde eu tenho probabilidade b de vencer. -- Se o próximo número for 1, 3 ou 5 (prob=3/6), passamos para uma nova situação onde eu tenho probabilidade 1-b de vencer. Assim, p = 1/6 + (2/6)b + (3/6)(1-b) = 2/3 - b/6. Por outro lado, a partir de uma situação do tipo "b" -- (digamos, para fixar ideias, sequência terminando em -2-4), temos as seguintes possibilidades: -- Se o próximo número for 4 (prob = 1/6), passo a ter probabilidade p de ganhar; -- Se for 2 ou 6 (prob = 2/6), passo a ter probabilidade b de ganhar. -- Se for 1, 3 ou 5 (prob = 3/6), passo a ter probabilidade 1-b de ganhar. Assim, b = (1/6)p + 2/6b + 3/6(1-b), ou seja, p=7b+3. Juntando as duas coisas, achei p=25/43 Hein, sério?? ---///--- Vamos resolver de outro jeito mais "adulto", para ver o PODER DAS MATRIZES... :D :D: Depois de alguns lançamentos, o jogo tem 6 estados possíveis dependendo apenas dos 3 últimos lançamentos: E1: ...y-y-y com y par (eu ganhei! pare o jogo!) E2: ...x-y-y com x<>y e y par (estou quase ganhando!) E3: ...x-y com x<>y e y par (tenho pequena vantagem) E4: ...x-y com x<>y e y ímpar (tenho pequena desvantagem) E5: ...x-y-y com x<>y e y í mpar (estou quase perdendo!) E6: ...y-y-y com y ímpar (perdi! vire a mesa!) A matriz M de transição entre esses estados: 1 1/6000 0 00 1/600 0 0 2/6 2/6 3/6 3/6 0 0 3/6 3/6 2/6 2/6 0 000 1/60 0 0000 1/6 1 Pois bem, M^k.v (onde v=e_2=[0; 1; 0; 0; 0; 0]) seria a distribuição de probabilidade dos estados, começando de e_2 (situação do problema), daqui a k jogadas. Ou seja, a gente quer determinar p onde lim(k->Inf) M^k.v = [p; 0; 0; 0; 0; 1-p]. Diagonalizei M usando o computador (que não liga para a elegância das simetrias :( ), deu M = PDP^(-1) onde P=[1 1 1 1 1 0 0 (1/(√5-3))(√5+3) (3/2)√5-(7/2) -(1/2)i√3-((13)/2) (1/2)i√3-((13)/2) 0 0 -2((√5)/(√5-3)) (5/2)-(3/2)√5 (7/2)i√3+(5/2) (5/2)-(7/2)i√3 0 0 -2((√5)/(√5-3)) (5/2)-(3/2)√5 -(7/2)i√3-(5/2) (7/2)i√3-(5/2) 0 0 (1/(√5-3))(√5+3) (3/2)√5-(7/2) (1/2)i√3+((13)/2) ((13)/2)-(1/2)i√3 0 -1 1 1 -1 -1 1] D = diag(1; 5/12- √5 /4; 5/12 +√5 /4; (-i√3-1)/12; (i√3-1)/12; 1] Q=P^(-1)= [1 ((25)/(43)) ((22)/(43)) ((21)/(43)) ((18)/(43)) 0 0 (1/(12))√5-(1/4) (7/(60))√5-(1/4) (7/(60))√5-(1/4) (1/(12))√5-(1/4) 0 0 -(1/(12))√5-(1/4) -(7/(60))√5-(1/4) -(7/(60))√5-(1/4) -(1/(12))√5-(1/4) 0 0 -(5/(516))i√3-(7/(172)) -((13)/(516))i√3-(1/(172)) ((13)/(516))i√3+(1/(172)) (5/(516))i√3+(7/(172)) 0 0 (5/(516))i√3-(7/(172)) ((13)/(516))i√3-(1/(172)) (1/(172))-((13)/(516))i√3 (7/(172))-(5/(516))i√3 0 1 1 1 1 1 1] Mas não olhe para tudo isso! Veja bem, M^k.v = P D^k P^(-1) e_2 = P D^k Q_2, onde Q_2 eh a segunda coluna de Q. Mas D^k vai para diag(1, 0, 0, 0, 0, 1) quando k->Inf, portanto ligamos apenas para Q(1,2)=25/43 e Q(1,6)=1. Queremos apenas a primeira coordenada de P . [25/43; 0; 0; 0; 0; 1], ou seja, p = 25/43 P(1,1) + 1 P(6,1) = 25/43. Ou seja: sério!! :D Abraco, Ralph. On Sat, Jul 25, 2020 at 2:03 PM Professor Vanderlei Nemitz < vanderma...@gmail.com> wrote: > Então meu raciocínio foi muito errado, pois pensei assim: > Seja p a probabilidade de Zé Roberto vender. Podemos considerar que o jogo > "começa" com Zé Roberto precisando obter um 6 para vencer. > Assim, a probabilidade de Humberto vencer é: > q = (3/6).(1/6).p, ou seja, p = 12q > Assim, p = 12/13 e q = 1/13 > > Prezado
Re: [obm-l] Desafio de probabilidade
Pra facilitar, podemos substituir o dado por uma moeda, com cara = par = 0 e coroa = ímpar = 1, já que o que importa é apenas a paridade do número na face superior do dado lançado e, neste caso, P(par) = P(ímpar) = 1/2. Como 3 caras seguidas ou 3 coroas seguidas encerra o jogo, basta considerar os dois últimos lançamentos. Suponha que dois lançamentos seguidos tenham sido 1 e 0 (cara e coroa). Após sair o 0, digamos que a probabilidade de ZR vencer seja p. Se o terceiro lançamento for 0, a probabilidade de ZR vencer aumentará para q (p e q são incógnitas a serem determinadas), e q é justamente a probabilidade desejada, já que é a probabilidade de ZR vencer dado que os dois últimos lançamentos foram 0 e 0. Se o quarto lançamento for 0, ZR vence. Mas se for 1, sua probabilidade de vencer cai para 1-p pois, neste caso, por simetria, Umberto passa a ter probabilidade p de vencer, em virtude dos dois últimos lançamentos terem sido 0 e 1. Ou seja, q = (1/2)*(1 + (1-p)) <==> p + 2q = 2. Se o terceiro lançamento for 1, a probabilidade de ZR vencer cai para 1-p. Neste caso, podemos escrever p = (1/2)*(q + (1-p)) <==> 3p - q = 1. Resolvendo este sistema, achamos p = 4/7 e q = 5/7. Na verdade, isso tudo fica mais fácil de ver se você fizer uma árvore. []s, Claudio. On Sat, Jul 25, 2020 at 2:03 PM Professor Vanderlei Nemitz < vanderma...@gmail.com> wrote: > Então meu raciocínio foi muito errado, pois pensei assim: > Seja p a probabilidade de Zé Roberto vender. Podemos considerar que o jogo > "começa" com Zé Roberto precisando obter um 6 para vencer. > Assim, a probabilidade de Humberto vencer é: > q = (3/6).(1/6).p, ou seja, p = 12q > Assim, p = 12/13 e q = 1/13 > > Prezado Cláudio, você pode explicar sua resolução? > > Muito obrigado! > > > > > > > Em sáb., 25 de jul. de 2020 às 13:43, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Eu achei 5/7. >> >> On Sat, Jul 25, 2020 at 7:28 AM Professor Vanderlei Nemitz < >> vanderma...@gmail.com> wrote: >> >>> Bom dia! >>> O problema a seguir encontra-se em uma prova de desafios da PUC-RJ, >>> muito boas!!! >>> Acho que são organizadas pelo professor Nicolau Saldanha. >>> Encontrei uma resposta bem alta, mais de 90%. Será que está correto? >>> Muito obrigado! >>> >>> Zé Roberto e Umberto gostam de jogar par ou ímpar; Zé Roberto sempre >>> pede par e Umberto sempre pede íımpar. Eles gostam de inventar novas >>> maneiras de jogar. A última maneira que eles inventaram usa um dado comum, >>> com seis faces numeradas de 1 a 6. Eles jogam o dado várias vezes até que >>> um número saia três vezes seguidas; Zé Roberto ganha se este número for >>> par, Umberto ganha se for ímpar. Sábado de manhã o dado teve os resultados: >>> 5, 3, 4, 2, 6, 1, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 5, 6, 3, 4, 5, 4, 4, 4 e neste ponto Zé >>> Roberto se declarou vitorioso. Sábado de tarde o dado teve os resultados: >>> 6, 1, 4, 2, 3, 5, 6, 6; neste momento o jogo foi interrompido pela queda de >>> um meteorito. Quando a situação se acalmou, eles concordaram em continuar >>> do ponto em que estavam. Qual é a probabilidade de que Zé Roberto seja o >>> vencedor? >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desafio de probabilidade
Então meu raciocínio foi muito errado, pois pensei assim: Seja p a probabilidade de Zé Roberto vender. Podemos considerar que o jogo "começa" com Zé Roberto precisando obter um 6 para vencer. Assim, a probabilidade de Humberto vencer é: q = (3/6).(1/6).p, ou seja, p = 12q Assim, p = 12/13 e q = 1/13 Prezado Cláudio, você pode explicar sua resolução? Muito obrigado! Em sáb., 25 de jul. de 2020 às 13:43, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Eu achei 5/7. > > On Sat, Jul 25, 2020 at 7:28 AM Professor Vanderlei Nemitz < > vanderma...@gmail.com> wrote: > >> Bom dia! >> O problema a seguir encontra-se em uma prova de desafios da PUC-RJ, muito >> boas!!! >> Acho que são organizadas pelo professor Nicolau Saldanha. >> Encontrei uma resposta bem alta, mais de 90%. Será que está correto? >> Muito obrigado! >> >> Zé Roberto e Umberto gostam de jogar par ou ímpar; Zé Roberto sempre pede >> par e Umberto sempre pede íımpar. Eles gostam de inventar novas maneiras de >> jogar. A última maneira que eles inventaram usa um dado comum, com seis >> faces numeradas de 1 a 6. Eles jogam o dado várias vezes até que um número >> saia três vezes seguidas; Zé Roberto ganha se este número for par, Umberto >> ganha se for ímpar. Sábado de manhã o dado teve os resultados: 5, 3, 4, 2, >> 6, 1, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 5, 6, 3, 4, 5, 4, 4, 4 e neste ponto Zé Roberto se >> declarou vitorioso. Sábado de tarde o dado teve os resultados: 6, 1, 4, 2, >> 3, 5, 6, 6; neste momento o jogo foi interrompido pela queda de um >> meteorito. Quando a situação se acalmou, eles concordaram em continuar do >> ponto em que estavam. Qual é a probabilidade de que Zé Roberto seja o >> vencedor? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desafio de probabilidade
Eu achei 5/7. On Sat, Jul 25, 2020 at 7:28 AM Professor Vanderlei Nemitz < vanderma...@gmail.com> wrote: > Bom dia! > O problema a seguir encontra-se em uma prova de desafios da PUC-RJ, muito > boas!!! > Acho que são organizadas pelo professor Nicolau Saldanha. > Encontrei uma resposta bem alta, mais de 90%. Será que está correto? > Muito obrigado! > > Zé Roberto e Umberto gostam de jogar par ou ímpar; Zé Roberto sempre pede > par e Umberto sempre pede íımpar. Eles gostam de inventar novas maneiras de > jogar. A última maneira que eles inventaram usa um dado comum, com seis > faces numeradas de 1 a 6. Eles jogam o dado várias vezes até que um número > saia três vezes seguidas; Zé Roberto ganha se este número for par, Umberto > ganha se for ímpar. Sábado de manhã o dado teve os resultados: 5, 3, 4, 2, > 6, 1, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 5, 6, 3, 4, 5, 4, 4, 4 e neste ponto Zé Roberto se > declarou vitorioso. Sábado de tarde o dado teve os resultados: 6, 1, 4, 2, > 3, 5, 6, 6; neste momento o jogo foi interrompido pela queda de um > meteorito. Quando a situação se acalmou, eles concordaram em continuar do > ponto em que estavam. Qual é a probabilidade de que Zé Roberto seja o > vencedor? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Desafio versão 2
Boa tarde! Geométrica nem tentei, pois me falta habilidade. Sejam a1, a2 e a3, respectivamente os arcos PP', QQ' e RR'. Para atender o problema a soma desses arcos é pi. A soma dos cos desses arcos é 1. Então vamos usar apenas a1 e a2, pois a3 = pi-(a1+a2) Como estão no primeiro quadrante a1 + a2 90 Então a1 e a2 ficam situados num triângulo aberto (as bordas não pertencem a figura) de vértices (pi/2,0) ; (pi/2,pi/2) e (0,pi/2). cosa1 + cosa2 - cos(a1+a2) =1 y = cosa1 + cosa2 - cos(a1+a2) δy/δa1 = -sena1 + sen (a1 +a2) δy/δa2 = -sena2 + sen (a1 +a2) δy/δa1 =0 == a2 = 0 ou a1 + 2a2 = pi δy/δa2 =0 == a2 = 0 ou a1 + 2a2 = pi Com isso dividimos o triângulo em quatro regiões: (i) Um triângulo aberto com vértices (pi/2,0) ; (pi/3,pi/3) e (0,pi/2) onde ambas derivads parciais são positivas. Se estendemos para o quarilátero com o s tres vértices do triângulo e o ponto (0,0), continuaremos com as derivadas prciais positivas se desconsidermos as bordas. Portanto o mínimo ocorrerá em (0,0) == y =1. Porém, no interior todos os valores serão maiores que 1. (ii) Um triângulo com vértices (0,pi/2) ; (pi/4;pi/2) e (pi/3,pi/3), que só se despreza o segmento (0,pi/2) (pi/4,pi/2) onde δy/δa1 = 0 e δy/δa2 = 0 . Estendendo para o triângulo fechado o mínimo ocorre quando a1 é mínimo e a2 é máximo, ou seja em (0,pi/2) == y =1. Novamente todos os valores no interuior do triângulo serão maiores que 1. (iii) Um triãngulo aberto de (pi/2,0); (pi/3,pi/3) 3 (pi/2, pi/4) onde se despreza o segmento (pi/2,0) e (pi/2,pi/4) onde δy/δa1 = 0 e δy/δa2 = 0, estendendo ao triângulo fechado o mínimo ocorre em (pi/2,0) == y =1 e para os pontos do interior y será maior que 1. (iv) Um quadrilátero (pi/2,pi/4) ; (pi/2,pi/2); (pi/4,pi/2 e (pi/3,pi/3) desprezando os segmentos (pi/4;pi/2) , (pi/2,pi/2) e (pi/2,pi/2) ,(pi/2,pi/4), onde δy/δa1 = 0 e δy/δa2 = 0 . Estendendo para o quadriláatero fechado o mínimo ocorre em (pi/2,pi/2) == y =1 == y1 para todos os pontos do interior do quarilátero. Então não tem como atender a meia volta e que as somas das distãncias das projeções ortogonais de P', Q' e R' em l(P,Q) aos centros das respectivas circuferências seja igual a r. Sds, PJMS Em 6 de julho de 2015 16:44, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: Eis ai um desafio https://www.youtube.com/watch?v=7mS4jOLcXT8 será que existe uma solução geométrica? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desafio
É exatamente isso que eu pensei Herman, mas falta o caso geral ehehe Em 5 de julho de 2015 20:05, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu: Se a soma dos arcos dessa exatamente meia volta a soma dos 3 angulos teria que ser pi. ou seja chamando os angulos dos arcos de A ,B e C cos A + cos B + cos C = x/r + y/r + z/r =1 mas se A+B+C=pi temos que o cos A + cos B + cos C = 1 + 4 senA/2. sen B/2 . sen C/2 e sabemos que esses senos são diferentes de zero, logo nunca poderá ser meia volta certa. Abraços Hermann - Original Message - *From:* Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Sunday, July 05, 2015 4:30 PM *Subject:* [obm-l] Desafio Alguém tem uma solução para o problema desse vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=3xVKPDZsjZs Se tiverem uma solução elegante me avisem -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desafio
Pow vcs aqui são muito foda mesmo, o hermann resolveu tão rápido que fiquei até assustado, da outra vez falei de um problema aqui que o ralph descobriu o que eu tinha pensado kkk vcs são foda, é por isso que eu gosto dessa lista Em 5 de julho de 2015 20:45, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: É exatamente isso que eu pensei Herman, mas falta o caso geral ehehe Em 5 de julho de 2015 20:05, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu: Se a soma dos arcos dessa exatamente meia volta a soma dos 3 angulos teria que ser pi. ou seja chamando os angulos dos arcos de A ,B e C cos A + cos B + cos C = x/r + y/r + z/r =1 mas se A+B+C=pi temos que o cos A + cos B + cos C = 1 + 4 senA/2. sen B/2 . sen C/2 e sabemos que esses senos são diferentes de zero, logo nunca poderá ser meia volta certa. Abraços Hermann - Original Message - *From:* Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Sunday, July 05, 2015 4:30 PM *Subject:* [obm-l] Desafio Alguém tem uma solução para o problema desse vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=3xVKPDZsjZs Se tiverem uma solução elegante me avisem -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desafio
Se a soma dos arcos dessa exatamente meia volta a soma dos 3 angulos teria que ser pi. ou seja chamando os angulos dos arcos de A ,B e C cos A + cos B + cos C = x/r + y/r + z/r =1 mas se A+B+C=pi temos que o cos A + cos B + cos C = 1 + 4 senA/2. sen B/2 . sen C/2 e sabemos que esses senos são diferentes de zero, logo nunca poderá ser meia volta certa. Abraços Hermann - Original Message - From: Israel Meireles Chrisostomo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, July 05, 2015 4:30 PM Subject: [obm-l] Desafio Alguém tem uma solução para o problema desse vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=3xVKPDZsjZs Se tiverem uma solução elegante me avisem -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desafio
Já que vc me respondeu tão bem, gostaria de saber se este problema está relacionado a irracionalidade, isto é, gostaria de saber de vc ou de qualquer outro que esteja aqui, se este problema está relacionado a segmentos incomensuráveis, pois como se sabe um segmento B é incomensurável em relação a um outro segmento A, se A não cabe um número exato de vezes em B, neste caso, por exemplo, um procedimento para se obter um segmento incomensurável é desenhando um triângulo equilátero...Talvez esse problema nos dê uma forma de encontrar curvas incomensuráveis em relação a outras curvas,não?Isto tem alguma coisa a ver com este problema? Em 5 de julho de 2015 20:50, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: Pow vcs aqui são muito foda mesmo, o hermann resolveu tão rápido que fiquei até assustado, da outra vez falei de um problema aqui que o ralph descobriu o que eu tinha pensado kkk vcs são foda, é por isso que eu gosto dessa lista Em 5 de julho de 2015 20:45, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: É exatamente isso que eu pensei Herman, mas falta o caso geral ehehe Em 5 de julho de 2015 20:05, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu: Se a soma dos arcos dessa exatamente meia volta a soma dos 3 angulos teria que ser pi. ou seja chamando os angulos dos arcos de A ,B e C cos A + cos B + cos C = x/r + y/r + z/r =1 mas se A+B+C=pi temos que o cos A + cos B + cos C = 1 + 4 senA/2. sen B/2 . sen C/2 e sabemos que esses senos são diferentes de zero, logo nunca poderá ser meia volta certa. Abraços Hermann - Original Message - *From:* Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Sunday, July 05, 2015 4:30 PM *Subject:* [obm-l] Desafio Alguém tem uma solução para o problema desse vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=3xVKPDZsjZs Se tiverem uma solução elegante me avisem -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desafio 7 e 10
log10 + log10 + log10 + log10 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 Em 28 de setembro de 2011 14:34, Rhilbert Rivera rhilbert1...@hotmail.comescreveu: Como tornar as igualdades verdadeiras usando símbolos e operações aritméticas elementares 7 7 7 7 = 4 10 10 10 10 = 4 Obrigado
RE: [obm-l] Desafio 7 e 10
Pensei em logaritimos de bases iguais aos números de modo a dar uma soma de quatro 1's, mas teria que acrescerntar mais um 7 na base do logaritmo. O problema dessa solução com o log 10 é semelhante a usar raízes quadradas. Não importa se o número não aparece, ele está lá. Não sei se isso é um modo de trapacear, válido Date: Wed, 28 Sep 2011 14:53:19 -0400 Subject: Re: [obm-l] Desafio 7 e 10 From: geonirpa...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br log10 + log10 + log10 + log10 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4mos Em 28 de setembro de 2011 14:34, Rhilbert Rivera rhilbert1...@hotmail.com escreveu: Como tornar as igualdades verdadeiras usando símbolos e operações aritméticas elementares 7 7 7 7 = 4 10 10 10 10 = 4 Obrigado
Re: [obm-l] Desafio 7 e 10
Elevar todos os dois casos a 0 e somar vale ? Abs Felipe --- Em qua, 28/9/11, geonir paulo schnorr geonirpa...@gmail.com escreveu: De: geonir paulo schnorr geonirpa...@gmail.com Assunto: Re: [obm-l] Desafio 7 e 10 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 28 de Setembro de 2011, 15:53 log10 + log10 + log10 + log10 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 Em 28 de setembro de 2011 14:34, Rhilbert Rivera rhilbert1...@hotmail.com escreveu: Como tornar as igualdades verdadeiras usando símbolos e operações aritméticas elementares 7 7 7 7 = 4 10 10 10 10 = 4 Obrigado
Re: [obm-l] Desafio 7 e 10
Não pq usaria o 0, e só pode usar o 7, ou o 10, em cada caso.. Em 28 de setembro de 2011 16:24, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.brescreveu: Elevar todos os dois casos a 0 e somar vale ? Abs Felipe --- Em *qua, 28/9/11, geonir paulo schnorr geonirpa...@gmail.com*escreveu: De: geonir paulo schnorr geonirpa...@gmail.com Assunto: Re: [obm-l] Desafio 7 e 10 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 28 de Setembro de 2011, 15:53 log10 + log10 + log10 + log10 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 Em 28 de setembro de 2011 14:34, Rhilbert Rivera rhilbert1...@hotmail.comhttp://br.mc657.mail.yahoo.com/mc/compose?to=rhilbert1...@hotmail.com escreveu: Como tornar as igualdades verdadeiras usando símbolos e operações aritméticas elementares 7 7 7 7 = 4 10 10 10 10 = 4 Obrigado
Re: [obm-l] Desafio 7 e 10
O problema está em definir o que sejam exatamente símbolos e operações aritméticas elementares... Hugo Em 28 de setembro de 2011 17:24, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.brescreveu: Elevar todos os dois casos a 0 e somar vale ? Abs Felipe --- Em *qua, 28/9/11, geonir paulo schnorr geonirpa...@gmail.com*escreveu: De: geonir paulo schnorr geonirpa...@gmail.com Assunto: Re: [obm-l] Desafio 7 e 10 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 28 de Setembro de 2011, 15:53 log10 + log10 + log10 + log10 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 Em 28 de setembro de 2011 14:34, Rhilbert Rivera rhilbert1...@hotmail.comhttp://br.mc657.mail.yahoo.com/mc/compose?to=rhilbert1...@hotmail.com escreveu: Como tornar as igualdades verdadeiras usando símbolos e operações aritméticas elementares 7 7 7 7 = 4 10 10 10 10 = 4 Obrigado
Re: [obm-l] Desafio 7 e 10
Formalmente, o problema estah mal definido. Informalmente, este negocio sempre foi divertido, acho legal brincar com coisas assim, como o problema dos quatro quatros. Podemos votar na resposta mais bacana, usando simbolos mais banais, etc. :) Que tal: 77/7-7=4 Abraco, Ralph 2011/9/28 Rhilbert Rivera rhilbert1...@hotmail.com Como tornar as igualdades verdadeiras usando símbolos e operações aritméticas elementares 7 7 7 7 = 4 10 10 10 10 = 4 Obrigado
RE: [obm-l] Desafio 7 e 10
Uma outra solução que consegui foi 7! : #7 + (7-7) = 4! 7! = 7x6x5x4x3x2 = 5040 (fatorial de 7) #7 = 7x5x3x2 = 210 (primorial de 7)
Re: [obm-l] Desafio 7 e 10
77/7-7 1+0+1+0+1+0 =4 --- Em qua, 28/9/11, geonir paulo schnorr geonirpa...@gmail.com escreveu: De: geonir paulo schnorr geonirpa...@gmail.com Assunto: Re: [obm-l] Desafio 7 e 10 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 28 de Setembro de 2011, 17:36 Não pq usaria o 0, e só pode usar o 7, ou o 10, em cada caso.. Em 28 de setembro de 2011 16:24, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu: Elevar todos os dois casos a 0 e somar vale ? Abs Felipe --- Em qua, 28/9/11, geonir paulo schnorr geonirpa...@gmail.com escreveu: De: geonir paulo schnorr geonirpa...@gmail.com Assunto: Re: [obm-l] Desafio 7 e 10 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 28 de Setembro de 2011, 15:53 log10 + log10 + log10 + log10 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 Em 28 de setembro de 2011 14:34, Rhilbert Rivera rhilbert1...@hotmail.com escreveu: Como tornar as igualdades verdadeiras usando símbolos e operações aritméticas elementares 7 7 7 7 = 4 10 10 10 10 = 4 Obrigado
Re: [obm-l] Desafio 7 e 10
1+0+1+0+1+0+1+0=4 Em 28 de setembro de 2011 18:29, Rhilbert Rivera rhilbert1...@hotmail.comescreveu: Uma outra solução que consegui foi 7! : #7 + (7-7) = 4! 7! = 7x6x5x4x3x2 = 5040 (fatorial de 7) #7 = 7x5x3x2 = 210 (primorial de 7)
Re: [obm-l] Desafio 7 e 10
Depois de responder a de 10 (ou de 0 e 1), achei engraçado como a apresentação visual fica fixada no nosso raciocínio.. --- Em qua, 28/9/11, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Assunto: Re: [obm-l] Desafio 7 e 10 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 28 de Setembro de 2011, 18:08 Formalmente, o problema estah mal definido. Informalmente, este negocio sempre foi divertido, acho legal brincar com coisas assim, como o problema dos quatro quatros. Podemos votar na resposta mais bacana, usando simbolos mais banais, etc. :) Que tal: 77/7-7=4 Abraco, Ralph 2011/9/28 Rhilbert Rivera rhilbert1...@hotmail.com Como tornar as igualdades verdadeiras usando símbolos e operações aritméticas elementares 7 7 7 7 = 4 10 10 10 10 = 4 Obrigado
RE: [obm-l] Desafio 7 e 10
Ola Rhibert, Acho que so querem soluções com +, - ,x e : --- Em qua, 28/9/11, Rhilbert Rivera rhilbert1...@hotmail.com escreveu: De: Rhilbert Rivera rhilbert1...@hotmail.com Assunto: RE: [obm-l] Desafio 7 e 10 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 28 de Setembro de 2011, 18:29 Uma outra solução que consegui foi 7! : #7 + (7-7) = 4! 7! = 7x6x5x4x3x2 = 5040 (fatorial de 7) #7 = 7x5x3x2 = 210 (primorial de 7)
RE: [obm-l] Desafio 7 e 10
Que tal [(7,7-7) .7] = 4, sendo[w] o MAIOR inteiro menor ou igual a w log(10x10x10x10) = 4 []'sJoão From: rhilbert1...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Desafio 7 e 10 Date: Wed, 28 Sep 2011 18:34:00 + Como tornar as igualdades verdadeiras usando símbolos e operações aritméticas elementares 7 7 7 7 = 4 10 10 10 10 = 4 Obrigado
Re: [obm-l] Desafio limite.
limite de x^x, x tende a 0+ lim log x^x=lim (x*log x) lim log (x*log x) = lim log x + lim log log x lim log x x tende a 0 O que eu fiz ajuda? Em 29/08/11, Felippe Coulbert Balbifelippeba...@hotmail.com escreveu: Que legal... não sabia que já tinha uma definição de algo assim... Mas enfim... eu escreve errado é 1 se n é par e 0 se n é impar. Date: Mon, 29 Aug 2011 20:50:12 -0300 Subject: Re: [obm-l] Desafio limite. From: wgapetre...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br http://en.wikipedia.org/wiki/Knuth's_up-arrow_notation 2011/8/29 Felippe Coulbert Balbi felippeba...@hotmail.com Meu amigo Lucas Colucci e eu resolvemos esse problema que surgiu de uma aula de calculo. Espero que gostem bastante dele. Definição: Dado um x pertencendo ao conjunto dos numeros reais e um número n pertencendo ao conjunto dos numeros naturais. definimos: x|||n= e^(ln(x).x|||n-1) definimos: x|||0= 1 (ao invés de x|||n, meu amigo Lucas sugeriu x flecha pra cima n, mas enfim, não faz muita diferença) Por exemplo: x|||3= x^(x^x) x|||5= x^(x^(x^(x^x))) Prove que Lim x|||n = x-0+ = 1, se n é impar 0 se n é par Grato.Coulbert -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desafio limite.
http://en.wikipedia.org/wiki/Knuth's_up-arrow_notation 2011/8/29 Felippe Coulbert Balbi felippeba...@hotmail.com Meu amigo Lucas Colucci e eu resolvemos esse problema que surgiu de uma aula de calculo. Espero que gostem bastante dele. Definição: Dado um x pertencendo ao conjunto dos numeros reais e um número n pertencendo ao conjunto dos numeros naturais. definimos: x|||n= e^(ln(x).x|||n-1) definimos: x|||0= 1 (ao invés de x|||n, meu amigo Lucas sugeriu x flecha pra cima n, mas enfim, não faz muita diferença) Por exemplo: x|||3= x^(x^x) x|||5= x^(x^(x^(x^x))) Prove que Lim x|||n = x-0+ = 1, se n é impar 0 se n é par Grato. Coulbert
RE: [obm-l] Desafio limite.
Que legal... não sabia que já tinha uma definição de algo assim... Mas enfim... eu escreve errado é 1 se n é par e 0 se n é impar. Date: Mon, 29 Aug 2011 20:50:12 -0300 Subject: Re: [obm-l] Desafio limite. From: wgapetre...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br http://en.wikipedia.org/wiki/Knuth's_up-arrow_notation 2011/8/29 Felippe Coulbert Balbi felippeba...@hotmail.com Meu amigo Lucas Colucci e eu resolvemos esse problema que surgiu de uma aula de calculo. Espero que gostem bastante dele. Definição: Dado um x pertencendo ao conjunto dos numeros reais e um número n pertencendo ao conjunto dos numeros naturais. definimos: x|||n= e^(ln(x).x|||n-1) definimos: x|||0= 1 (ao invés de x|||n, meu amigo Lucas sugeriu x flecha pra cima n, mas enfim, não faz muita diferença) Por exemplo: x|||3= x^(x^x) x|||5= x^(x^(x^(x^x))) Prove que Lim x|||n = x-0+ = 1, se n é impar 0 se n é par Grato.Coulbert
Re: [obm-l] desafio dos barris
Eu acho que essa pergunta é relativa à química, não à matemática. Eu sei que água e álcool são totalmente miscíveis um no outro. --- Marco Bivar Em 24 de maio de 2010 12:31, Fabio Silva cacar...@yahoo.com escreveu: Num barril ha 100L de agua e num outro ha 100L de alcool. Coloca-se 1L de agua no barril de alcool e depois coloca-se 1L dessa mistura de volta no barril de agua. Tem mais agua no alcool ou tem mais alcool na agua? Justifique.
Re: [obm-l] desafio dos barris
Num barril ha 100L de agua e num outro ha 100L de alcool. Coloca-se 1L de agua no barril de alcool e depois coloca-se 1L dessa mistura de volta no barril de agua. Tem mais agua no alcool ou tem mais alcool na agua? Justifique.
Re: [obm-l] desafio dos barris
a situação final é: barril 1: 100-x litros de água e x litros de álcool barril 2: 100-y litros de álcool e y litros de água observe que como não há interferência externa, os x litros de álcool que estão no primeiro barril só podem ter vindo do segundo barril, e como o que falta do segundo barril é y, segue que x=y. Em 24 de maio de 2010 13:31, Fabio Silva cacar...@yahoo.com escreveu: Num barril ha 100L de agua e num outro ha 100L de alcool. Coloca-se 1L de agua no barril de alcool e depois coloca-se 1L dessa mistura de volta no barril de agua. Tem mais agua no alcool ou tem mais alcool na agua? Justifique.
Re: [obm-l] Desafio?
Evite enviar mensagens em HTML (ou seja, com bold / cores / ...) Elas são muito problemáticas em listas (passam virus, worms etc mais fácil, e são mais dificilmente arquivadas e visualizadas). E quanto menos pessoas lerem a sua mensagem, menos pessoas se interessarão na discussão. Em seguida, se você quiser botar imagens (acho que você tentou botar uma, mas não tenho certeza... tem um link muito bizarro para *.live.mail.com getAttachment, ou é virus, ou é uma imagem que você botou) mande num arquivo anexo. Isso facilita encontrar a mensagem inteira depois (em comparação a botar num lugar temporário na net, que vai expirar e portanto a mensagem não será mais auto-contida) e permite que todos passem um anti-virus antes, o que não é o caso quando se clica num link na internet. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desafio de Matematica da PUC-Rio
 Carpe Dien Em 29/08/2009 07:01, Nicolau C. Saldanha nico...@mat.puc-rio.br escreveu: Caros,Peço a permissão de vocês para divulgar uma atividade relacionada a olimpÃadas de matemática.A PUC-Rio está realizando pelo segunda vez o seu "Desafio de Matemática".O Desafio é uma prova no estilo olimpÃadas, que busca alunos de alto calibre e com forte motivação para a matemática, aplicada aos alunos inscritos no vestibular para o Centro Técnico Cientifico da PUC-Rio (o CTC engloba engenharias e ciências exatas, inclusive matemática). Os melhores colocados no Desafio receberão bolsas integrais para cursar o Bacharelado em matemática da PUC-Rio. Há também, independentemente do Desafio de Matemática, Desafios de FÃsica e QuÃmica com perfis similares.A prova e o gabarito do Desafio de Matemática 2008 estão disponÃveis em http://www.mat.puc-ri o.br/%7Enicolau/desafio08/. Ao longo da graduação os alunos do nosso Bacharelado têm amplas oportunidades de participar de projetos remunerados de Iniciação CientÃfica e de monitorias, e também de fazer intercâmbios com universidades no exterior.O Bacharelado do DMat (Departamento de Matemática da PUC-Rio) consistentemente recebe conceitos máximos nas diversas avaliações à s quais é submetido (e.g., conceito A na CAPES e Cinco Estrelas no Guia do Estudante). Trata-se de um curso relativamente rápido (com tempo esperado de conclusão de sete perÃodos, sendo que muitos alunos conseguem concluÃ-lo em apenas seis perÃodos), com estrutura flexivel, e de alto nÃvel acadêmico. Historicamente o Bacharelado do DMat atrai turmas pequenas de excelentes alunos. O campus da PUC-Rio é facilmente acessÃvel e bem-localizado; ele fica a 20 minutos de onibus do IMPA .Mais informações sobre o Bacharelado do DMat podem ser encontradas na página http://www.mat.puc-rio.br/pagina.php?id=graduacaoPara poder participar do(s) Desafio(s) o aluno deve se inscrever ateh o dia 11 de setembro no vestibular do CTC da PUC-Rio, vide http://www.puc-rio.br/vestibular/Em breve será lancado o site dos Desafios 2009 da PUC-Rio.atenciosamente,Nicolau Saldanha http://www.mat.puc-rio.br/pagina.php?id=docentes_nsaldanhaFlavio Abdenur http://www.mat.puc-rio.br/pagina.php?id=docentes_fabdenurCoordenadores do Bacharelado em MatematicaPUC-Rio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Res: [obm-l] RE: [obm-l] Desafio de proporção
Um velho transtornado e batendo o pezinho é algo para se pensar... Troque de psiquiatra! Atenciosamente (e rindo muito), Jefferson Gomes 2009/8/18 Albert Bouskela bousk...@msn.com Vocês, Jefferson e Lafayette, estão cometendo um erro depois de crasso com esta história (ridícula) de calcular a tal da TIR. Explico-me: Quando se afirma que uma empresa apurou um determinado lucro, neste valor do lucro – necessariamente – devem estar incluídos todos os rendimentos auferidos pelo capital investido. Trata-se de uma lei contábil e, aliás, não poderia mesmo ser de outra forma: é inadmissível haver um ingresso de capital (e.g., obtido pela tal da TIR que vocês insistem em considerar), que não seja devidamente contabilizado. Caso contrário, como calcular a tributação? Reparem que cada parte do lucro é tributada de forma diferenciada, nomeadamente as alíquotas, isenções e abatimentos. Assim, no exercício proposto, o valor do lucro, igual a 92.400, inclui os juros, as atualizações monetárias etc., que foram auferidos pelas parcelas que compõem o capital dos sócios A, B e C, nas devidas datas (talvez – sei lá! – mensalmente, anualmente...). O que se quer é simplesmente repartir este lucro. Portanto, não se pode atualizar, novamente, o capital investido, uma vez que isto já foi considerado! Muito menos, se pode considerar que os rendimentos do capital sejam ingressos mensais (como – sei lá o porquê – vocês acham que seja lógico). Reparem que o capital investido é composto por ativo imobilizado, capital de giro, reserva de contingência etc. Algumas destas parcelas são passíveis de auferir rendimentos, outras não! Imaginem se um investidor pegar todo o capital da sua empresa e investir em um fundo que, posteriormente, venha a quebrar... Nenhuma lei contábil (a não ser uma lei feita por rapazes tão inteligentes e doutores em Contabilidade e Administração como vocês dois) poderia admitir isto. Entenderam? Sugiro que vocês, antes de fazerem malabarismos com PGs e complicarem tolamente questões facílimas, leiam, pelo menos, a introdução de um livro de Contabilidade! AB bousk...@msn.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Jefferson Gomes Sent: Monday, August 17, 2009 12:29 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Res: [obm-l] RE: [obm-l] Desafio de proporção Lafayette, também pensei nisso. Considerando que as quantias injetadas na empresa tiveram o mesmo fator M de crescimento mensal ao longo do ano (isso parece óbvio a meu ver), dá para escrever o seguinte: 70*M^12 + 50*M^10 + 10*M^6 = 70+50+10+92.4 Resolvendo numericamente, vê-se que M=1.0508 , e que cada um dos 3 fatores do lado esquerdo vale 126.87, 82.07 e 13.46. Logo, os lucros de A,B e C são 56.87, 32.07 e 3.46, respectivamente. Também acho que a solução do examinador seria mais simples. E errada! Jefferson Gomes On 8/15/09, Lafayette Jota l...@ymail.com wrote: Acho que era isso que o examinador queria, mas será que o problema não merece outra solução? Considerando juros compostos. Calcular qual é a TIR do problema... Eu fiz a TIR aqui e deu resultados bem parecidos, aliás. []s Lafayette De: Albert Bouskela bousk...@msn.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 14 de Agosto de 2009 23:38:34 Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Desafio de proporção Olá! Faça assim: A: 92.400 x [ 70x12/(70x12 + 50x10 + 10x6) ] = ... B: ... AB bousk...@msn.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of DanielFL Sent: Friday, August 14, 2009 11:17 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Desafio de proporção Olá pessoal, podem me ajudar? A, B e C participam de uma sociedade, A organizou a empresa com o capital de R$ 70.000,00, dois meses após admitiu B com o capital de 50.000,00 e seis meses mais tarde, a partir da fundaçao da empresa, C entrou com um capital de 10.000,00. Depois de um ano de atividade a firma acusou um lucro de 92.400,00. A parte desse lucro correspondente a cada sócio é..? Alguem tém alguma dica? -- Daniel Ferreira de Lima Jonathan Swift - May you live every day of your life. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Res: [ob m-l] RE: [obm-l] Desafio de prop orção
Vocês, Jefferson e Lafayette, estão cometendo um erro depois de crasso com esta história (ridícula) de calcular a tal da TIR. Explico-me: Quando se afirma que uma empresa apurou um determinado lucro, neste valor do lucro – necessariamente – devem estar incluídos todos os rendimentos auferidos pelo capital investido. Trata-se de uma lei contábil e, aliás, não poderia mesmo ser de outra forma: é inadmissível haver um ingresso de capital (e.g., obtido pela tal da TIR que vocês insistem em considerar), que não seja devidamente contabilizado. Caso contrário, como calcular a tributação? Reparem que cada parte do lucro é tributada de forma diferenciada, nomeadamente as alíquotas, isenções e abatimentos. Assim, no exercício proposto, o valor do lucro, igual a 92.400, inclui os juros, as atualizações monetárias etc., que foram auferidos pelas parcelas que compõem o capital dos sócios A, B e C, nas devidas datas (talvez – sei lá! – mensalmente, anualmente...). O que se quer é simplesmente repartir este lucro. Portanto, não se pode atualizar, novamente, o capital investido, uma vez que isto já foi considerado! Muito menos, se pode considerar que os rendimentos do capital sejam ingressos mensais (como – sei lá o porquê – vocês acham que seja lógico). Reparem que o capital investido é composto por ativo imobilizado, capital de giro, reserva de contingência etc. Algumas destas parcelas são passíveis de auferir rendimentos, outras não! Imaginem se um investidor pegar todo o capital da sua empresa e investir em um fundo que, posteriormente, venha a quebrar... Nenhuma lei contábil (a não ser uma lei feita por rapazes tão inteligentes e doutores em Contabilidade e Administração como vocês dois) poderia admitir isto. Entenderam? Sugiro que vocês, antes de fazerem malabarismos com PGs e complicarem tolamente questões facílimas, leiam, pelo menos, a introdução de um livro de Contabilidade! AB mailto:bousk...@msn.com bousk...@msn.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Jefferson Gomes Sent: Monday, August 17, 2009 12:29 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Res: [obm-l] RE: [obm-l] Desafio de proporção Lafayette, também pensei nisso. Considerando que as quantias injetadas na empresa tiveram o mesmo fator M de crescimento mensal ao longo do ano (isso parece óbvio a meu ver), dá para escrever o seguinte: 70*M^12 + 50*M^10 + 10*M^6 = 70+50+10+92.4 Resolvendo numericamente, vê-se que M=1.0508 , e que cada um dos 3 fatores do lado esquerdo vale 126.87, 82.07 e 13.46. Logo, os lucros de A,B e C são 56.87, 32.07 e 3.46, respectivamente. Também acho que a solução do examinador seria mais simples. E errada! Jefferson Gomes On 8/15/09, Lafayette Jota l...@ymail.com wrote: Acho que era isso que o examinador queria, mas será que o problema não merece outra solução? Considerando juros compostos. Calcular qual é a TIR do problema... Eu fiz a TIR aqui e deu resultados bem parecidos, aliás. []s Lafayette _ De: Albert Bouskela bousk...@msn.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 14 de Agosto de 2009 23:38:34 Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Desafio de proporção Olá! Faça assim: A: 92.400 x [ 70x12/(70x12 + 50x10 + 10x6) ] = ... B: ... AB mailto:bousk...@msn.com bousk...@msn.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of DanielFL Sent: Friday, August 14, 2009 11:17 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Desafio de proporção Olá pessoal, podem me ajudar? A, B e C participam de uma sociedade, A organizou a empresa com o capital de R$ 70.000,00, dois meses após admitiu B com o capital de 50.000,00 e seis meses mais tarde, a partir da fundaçao da empresa, C entrou com um capital de 10.000,00. Depois de um ano de atividade a firma acusou um lucro de 92.400,00. A parte desse lucro correspondente a cada sócio é..? Alguem tém alguma dica? -- Daniel Ferreira de Lima Jonathan Swift http://www.brainyquote.com/quotes/authors/j/jonathan_swift.html - May you live every day of your life. _ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ - Celebridades http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/ - Música http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/ - Esportes http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/
[obm-l] RE: [obm-l] Res: [obm-l] RE: [obm-l] Desafio d e proporção
Lafayette: Serei franco: suas dúvidas carecem de qualquer senso: Juros compostos??? Qual é a taxa? Qual é o período? TIR??? Em qual período? Qual é o valor investido e as respectivas parcelas de retorno, i.e., não há um fluxo-de-caixa minimamente definido que TIR é esta? Qual é a amortização? Qual é o período de retorno? Bem, você pode inventar tudo isto e achar um número que seja igual, próximo, um disparate e até tenha, ou não, semelhança dimensional com a resposta divirta-se! É irritante: você coloca um problema sobre proporções, cuja solução é imediata (imediata e trivial mesmo!), numa Lista tal como esta, i.e., que tem, claramente, o objetivo único de apoiar a preparação de estudantes para olimpíadas de Matemática. Mesmo assim, eu caio na besteira de tentar ajudá-lo, ensino-lhe a resolver o problemúnculo e você tira, sei lá da onde, umas dúvidas sem qualquer sentido. Repito: é irritante! AB mailto:bousk...@msn.com bousk...@msn.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Lafayette Jota Sent: Saturday, August 15, 2009 4:58 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Res: [obm-l] RE: [obm-l] Desafio de proporção Acho que era isso que o examinador queria, mas será que o problema não merece outra solução? Considerando juros compostos. Calcular qual é a TIR do problema... Eu fiz a TIR aqui e deu resultados bem parecidos, aliás. []s Lafayette _ De: Albert Bouskela bousk...@msn.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 14 de Agosto de 2009 23:38:34 Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Desafio de proporção Olá! Faça assim: A: 92.400 x [ 70x12/(70x12 + 50x10 + 10x6) ] = ... B: ... AB mailto:bousk...@msn.com bousk...@msn.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of DanielFL Sent: Friday, August 14, 2009 11:17 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Desafio de proporção Olá pessoal, podem me ajudar? A, B e C participam de uma sociedade, A organizou a empresa com o capital de R$ 70.000,00, dois meses após admitiu B com o capital de 50.000,00 e seis meses mais tarde, a partir da fundaçao da empresa, C entrou com um capital de 10.000,00. Depois de um ano de atividade a firma acusou um lucro de 92.400,00. A parte desse lucro correspondente a cada sócio é..? Alguem tém alguma dica? -- Daniel Ferreira de Lima http://www.brainyquote.com/quotes/authors/j/jonathan_swift.html Jonathan Swift - May you live every day of your life. _ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ 10 - Celebridades http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ celebridades/ - Música http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ m%C3%BAsica/ - Esportes http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ esportes/
[obm-l] Re: [obm-l] Res: [obm-l] RE: [obm-l] Desafio de prop orção
Lafayette, também pensei nisso. Considerando que as quantias injetadas na empresa tiveram o mesmo fator M de crescimento mensal ao longo do ano (isso parece óbvio a meu ver), dá para escrever o seguinte: 70*M^12 + 50*M^10 + 10*M^6 = 70+50+10+92.4 Resolvendo numericamente, vê-se que M=1.0508 , e que cada um dos 3 fatores do lado esquerdo vale 126.87, 82.07 e 13.46. Logo, os lucros de A,B e C são 56.87, 32.07 e 3.46, respectivamente. Também acho que a solução do examinador seria mais simples. E errada! Jefferson Gomes On 8/15/09, Lafayette Jota l...@ymail.com wrote: Acho que era isso que o examinador queria, mas será que o problema não merece outra solução? Considerando juros compostos. Calcular qual é a TIR do problema... Eu fiz a TIR aqui e deu resultados bem parecidos, aliás. []s Lafayette -- *De:* Albert Bouskela bousk...@msn.com *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Enviadas:* Sexta-feira, 14 de Agosto de 2009 23:38:34 *Assunto:* [obm-l] RE: [obm-l] Desafio de proporção Olá! Faça assim: A: 92.400 x [ 70x12/(70x12 + 50x10 + 10x6) ] = ... B: ... AB bousk...@msn.com *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On Behalf Of *DanielFL *Sent:* Friday, August 14, 2009 11:17 PM *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Subject:* [obm-l] Desafio de proporção Olá pessoal, podem me ajudar? A, B e C participam de uma sociedade, A organizou a empresa com o capital de R$ 70.000,00, dois meses após admitiu B com o capital de 50.000,00 e seis meses mais tarde, a partir da fundaçao da empresa, C entrou com um capital de 10.000,00. Depois de um ano de atividade a firma acusou um lucro de 92.400,00. A parte desse lucro correspondente a cada sócio é..? Alguem tém alguma dica? -- Daniel Ferreira de Lima Jonathan Swifthttp://www.brainyquote.com/quotes/authors/j/jonathan_swift.html - May you live every day of your life. -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/
[obm-l] Res: [obm-l] RE: [obm-l] Desafio de proporç ão
Acho que era isso que o examinador queria, mas será que o problema não merece outra solução? Considerando juros compostos. Calcular qual é a TIR do problema... Eu fiz a TIR aqui e deu resultados bem parecidos, aliás. []s Lafayette De: Albert Bouskela bousk...@msn.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 14 de Agosto de 2009 23:38:34 Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Desafio de proporção Olá! Faça assim: A: 92.400 x [ 70x12/(70x12 + 50x10 + 10x6) ] = ... B: AB bousk...@msn.com From:owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of DanielFL Sent: Friday, August 14, 2009 11:17 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Desafio de proporção Olá pessoal, podem me ajudar? A, B e C participam de uma sociedade, A organizou a empresa com o capital de R$ 70.000,00, dois meses após admitiu B com o capital de 50.000,00 e seis meses mais tarde, a partir da fundaçao da empresa, C entrou com um capital de 10.000,00. Depois de um ano de atividade a firma acusou um lucro de 92.400,00. A parte desse lucro correspondente a cada sócio é..? Alguem tém alguma dica? -- Daniel Ferreira de Lima Jonathan Swift - May you live every day of your life. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] RE: [obm-l] Desafio de proporção
Olá! Faça assim: A: 92.400 x [ 70x12/(70x12 + 50x10 + 10x6) ] = ... B: ... AB mailto:bousk...@msn.com bousk...@msn.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of DanielFL Sent: Friday, August 14, 2009 11:17 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Desafio de proporção Olá pessoal, podem me ajudar? A, B e C participam de uma sociedade, A organizou a empresa com o capital de R$ 70.000,00, dois meses após admitiu B com o capital de 50.000,00 e seis meses mais tarde, a partir da fundaçao da empresa, C entrou com um capital de 10.000,00. Depois de um ano de atividade a firma acusou um lucro de 92.400,00. A parte desse lucro correspondente a cada sócio é..? Alguem tém alguma dica? -- Daniel Ferreira de Lima Jonathan Swift http://www.brainyquote.com/quotes/authors/j/jonathan_swift.html - May you live every day of your life.
RE: [obm-l] DESAFIO REVEILLONIANO!
Olá. Achei interessante demonstrar a primeira. Seja a1, a2, a3, a4 e a5 a quantidade de balas que cada um vai receber. Vamos supor que nenhum amiguinho vai receber mais de 1 bala. Assim, a1 = 1, a2 = 1, a3 = 1, a4 = 1 e a5 = 1 Somando membro a membro, a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 5 Logo, essa soma não poderia ser igual a 8, um absurdo, pois serão distribuídas 8 balas. Agora, supomos que joaozinho tem 11 balas. raciocinando semelhantemente, isto é, supondo que todos receberão no máximo duas balas, chegamos a a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 10 11, Portanto, absurdo. Feliz 2009! From: lucascolu...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] DESAFIO REVEILLONIANO! Date: Tue, 30 Dec 2008 00:24:43 -0200 1- Conseqüência do Princípio das Gavetas de Dirichlet, que diz que se n objetos ocupam k caixas, então pelo menos uma caixa contém piso(n-1/k)+1 objetos. Logo, se há 5 crianças e 8 balas, ao menos uma receberá 2 balas, e se há 11 crianças, 3 balas. 2-Vamos considerar, para facilitar que cada copo tem 1 litro de suco. Em cada bandeja queremos 3,5L de suco, e 7 copos. Uma distribuição possível é: Bandeja 1: 3 cheios, 1 meio cheio e 3 vazios Bandeja 2: 3 cheios, 1 meio cheio e 3 vazios Bandeja 3: 1 cheio, 5 meio cheios e 1 vazio O resto as outras pessoas fazem! Bom 2009! From: jorgelrs1...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] DESAFIO REVEILLONIANO! Date: Mon, 29 Dec 2008 18:43:35 + Olá, Pessoal! Joãozinho vai distribuir 8 balas entre seus 5 amiguinhos. Ele disse: Tenho certeza de que um de vocês vai receber pelo menos 2 balas Como ele sabia disso? Você concorda que, se ele tivesse 11 balas para distribuir entre 5 amiguinhos, um deles receberia pelo menos 3 balas? Explique por quê? Dispondo de sete copos cheios de suco, sete copos pela metade de suco e sete copos vazios, como distribuir em 3 bandejas quantidades iguais de copos e suco? (Campeão!) Repartir 100 pães, em progressão aritmética entre 5 homens de tal modo que a soma das duas partes menores seja a sétima parte da soma das três partes maiores. Que horas são em um relógio Catalão que marca Um quarto e cinco minutos da hora dois e depois Dois quartos de hora e mais seis minutos da sétima hora? Enquanto se ouvem as seis badaladas das 6 horas, decorrem 5 segundos entre a primeira e a última. Quanto tempo passará entre a primeira e a quarta badalada, quando o campanário assinalar 9 horas? Se você tem um jarro que comporta 25 litros de água, um outro que comporta 5 litros, e um terceiro que comporta 2 litros, como você pode obter exatamente 16 litros de água? O relógio da Matriz bateu uma vez. Meia hora depois bateu mais uma vez. Após meia hora deu outra batida. Que horas acusou no primeiro toque? Divirtam-se e Feliz 09! É fácil compartilhar suas fotos com o Windows LiveT Arraste e solte É fácil compartilhar suas fotos com o Windows LiveT Arraste e solte _ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br
RE: [obm-l] DESAFIO REVEILLONIANO!
1- Conseqüência do Princípio das Gavetas de Dirichlet, que diz que se n objetos ocupam k caixas, entãopelo menos uma caixa contém piso(n-1/k)+1 objetos. Logo, se há 5 crianças e 8 balas, ao menos uma receberá 2 balas, e se há 11 crianças, 3 balas. 2-Vamos considerar, para facilitar que cada copo tem 1 litro de suco. Em cada bandeja queremos 3,5L de suco, e 7 copos. Uma distribuição possível é: Bandeja 1: 3 cheios, 1 meio cheio e 3 vazios Bandeja 2: 3 cheios, 1 meio cheio e 3 vazios Bandeja 3: 1 cheio, 5 meio cheios e 1 vazio O resto as outras pessoas fazem! Bom 2009! From: jorgelrs1...@hotmail.comto: ob...@mat.puc-rio.brsubject: [obm-l] DESAFIO REVEILLONIANO!Date: Mon, 29 Dec 2008 18:43:35 + Olá, Pessoal! Joãozinho vai distribuir 8 balas entre seus 5 amiguinhos. Ele disse: Tenho certeza de que um de vocês vai receber pelo menos 2 balas Como ele sabia disso? Você concorda que, se ele tivesse 11 balas para distribuir entre 5 amiguinhos, um deles receberia pelo menos 3 balas? Explique por quê? Dispondo de sete copos cheios de suco, sete copos pela metade de suco e sete copos vazios, como distribuir em 3 bandejas quantidades iguais de copos e suco? (Campeão!) Repartir 100 pães, em progressão aritmética entre 5 homens de tal modo que a soma das duas partes menores seja a sétima parte da soma das três partes maiores. Que horas são em um relógio Catalão que marca Um quarto e cinco minutos da hora dois e depois Dois quartos de hora e mais seis minutos da sétima hora? Enquanto se ouvem as seis badaladas das 6 horas, decorrem 5 segundos entre a primeira e a última. Quanto tempo passará entre a primeira e a quarta badalada, quando o campanário assinalar 9 horas? Se você tem um jarro que comporta 25 litros de água, um outro que comporta 5 litros, e um terceiro que comporta 2 litros, como você pode obter exatamente 16 litros de água? O relógio da Matriz bateu uma vez. Meia hora depois bateu mais uma vez. Após meia hora deu outra batida. Que horas acusou no primeiro toque? Divirtam-se e Feliz 09! É fácil compartilhar suas fotos com o Windows LiveT Arraste e solte _ Organize seus contatos! O jeito mais fácil de manter a sua lista de amigos sempre em ordem! http://www.microsoft.com/windows/windowslive/events.aspx
Re: [obm-l] DESAFIO 2
Eduardo, dizer que a probabilidade é constante foi uma aproximação. Na verdade, tentei a solução na marra via excel e encontrei o valor de 64% para o primeiro ano. Se quiser te mando o arquivo para analisar e criticar. Aparentemente gostei da sua solução, não obstante a diferença poder se dever a erros de aproximação. Vou estudar melhor e ver se acho algum erro. Fernando 2008/5/23 Eduardo Estrada [EMAIL PROTECTED]: Olá, Fernando, Espero dar conta desse desafio, já que só aprendi com o outro. Suponha que a chance de ganhar no i-ésimo mês seja P(Mi) = p. Pelo enunciado, temos: 20% = Probabilidade de ser contemplado no primeiro ano = P(M1uM2uM3u...uM12) = C(12,1)P(Mi) - C(12,2)P(Mi^Mj) + C(12,3)P(Mi^Mj^Mk) - ... - C(12,12)P(M1^M2^...^M12), donde vem 12p - 66p^2 + 220p^3 - ... - p^12 = 0,2 Daqui vem p = 0.018423470126248 = 1,8423%, aproximadamente. Como a probabilidade é aumentada em cinco vezes caso se dê um lance, temos que a nova probabilidade mensal é próxima de p' = p*5 = 0.09211735063124 = 9,2117%. Portanto, temos que a probabilidade desejada é: 12p' - 66p'^2 + 220p'^3 - ... - p'^12 = 0.68641405012294 = 68,6414%, aproximadamente. Bom, cheguei a esta resposta! De qualquer modo, é uma tentativa. Sobre a esperança, fico devendo... Só um comentário, acredito que não seja tão condizente assumir que a probabilidade é sempre igual, a cada ano, já que o número de pessoas que participa dos sorteios é cada vez menor. Um abraço, Eduardo - Mensagem original De: Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 21 de Maio de 2008 17:27:00 Assunto: [obm-l] DESAFIO 2 Consórcio. Suponha que existe um grupo de consórcio formado para a aquisição de um veículo zero quilômetro. Neste grupo, de duração de 60 meses, existem 300 participantes. A cada mês são contempladas 5 quotas de modo que ao final dos 60 meses, todos os 300 participantes são contemplados. Considerando que cada quota tem a mesma chance de ser sorteada, a chance de você ser sorteado no primeiro ano é igual a do segundo ano e, portanto, também igual aos dos demais anos, ou seja, 20%. Entretanto, sabe-se que ao dar um lance, a chance de ser sorteado contemplado é 5 vezes maior do que a contemplação por sorteio (por que apenas uma parcela das pessoas dão lances). Calcule a chance de você ser sorteado no primeiro ano, caso dê lances em todos as assembléias. Calcule também a esperança do valor do mês em que se espera ser sorteado dando lances todos os meses (sabe-se que sem lances a expectativa ou esperança é de 30 meses). Fernando -- Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] DESAFIO
Desculpa, Eduardo, mas eu vou ser muito muito chato e inserir minha fala
probabilística favorita (quem me conhece não me aguenta mais com isso):
Mas os eventos contados são igualmente prováveis?
(Neste caso, não são!!, então sua solução, apesar de muito bela,
infelizmente não funciona.)
---///---
Vamos tentar outra solução... Comprei n caixas. Vou supor que
i) As probabilidades dos brinquedos estão igualmente distribuídos (isto é,
não há, a priori, figurinha difícil); isto significa que a probabilidade
de uma determinada caixa conter o brinquedo 1 é 1/5=0.2, assim como o
brinquedo 2, 3, 4 ou 5.
ii) Caixas distintas são independentes entre si; esta é uma suposição
razoável se, por exemplo, as caixas são bem distribuídas geograficamente, ou
se você compra de vários lugares aleatoriamente, e se o número de caixas que
você compra é bem menor que o produzido... Tem outros jeitos de esta
suposição ser razoável também, então fico com ela.
Então vamos lá: sejam N1, N2, N3, N4 e N5 as probabilidades de você NÃO ter
os brinquedos 1, 2, 3, 4, 5 respectivamente, depois de comprar as n caixas.
Temos (para i, j, k, l em {1,2,3,4,5} distintos dois a dois):
Pr(Ni)=(0.8)^n ((i) garante o 0.8; (ii) garante o ^n; há 5 termos
deste tipo)
Pr(Ni e Nj)=(0.6)^n (há C(5,2)=10 termos destes)
Pr(Ni e Nj e Nk)=(0.4)^n (C(5,3)=10 termos assim)
Pr(Ni e Nj e Nk e Nl)=(0.2)^n (C(5,4)=5 termos assim)
Pr(N1 e N2 e N3 e N4 e N5)=0^n=0 (se n=1)
O evento que me interessa é N1 ou N2 ou N3 ou N4 ou N5 (este é o evento não
completei a coleção, algum dos brinquedos me faltou). Usando aquelas leis
de De Morgan (argh!):
Pr(Não completar coleção) = Pr(N1 ou N2 ou N3 ou N4 ou N5) =
= Soma(Pr(Ni))-Soma(Pr(Ni e Nj))+Soma(Pr(Ni e Nj e Nk))-Soma(Pr(Ni e Nj e Nk
e Nl)) + Pr(N1 e N2 e ... e N5) =
= 5(0.8)^n - 10(0.6)^n + 10(0.4)^n - 5(0.2)^n
(Deixa eu fazer um reality check: fazendo as contas com esta expressão aí
dá P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=1 e P(5)=601/625... Isto reflete que é impossível
completar a coleção com 1,2,3 ou 4 caixas, e a chance de fechar a coleção
com 5 caixas é 5!/5^6=24/625. Ok!)
Eu quero que isso seja menor que 10%, então a equação a resolver é:
P(n)=5(0.8)^n-10(0.6)^n+10(0.4)^n-5(0.2)^n 0.1
Argh, não tenho idéia de que método algébrico usar nesta caca Vou dar um
bicão só com o primeiro termo para obter uma primeira aproximação (na
esperança de que os outros sejam bem menores, afinal, olhe as bases deles!):
5(0.8)^n 0.1
(0.8)^n 0.02
n ln(0.02)/ln(0.8) = 17.53 (usei uma calculadora; talvez desse para
estimar isso de outro jeito, mas eu vou na calculadora daqui para a frente)
Da natureza do problema, é claro que P(n) é não-crescente nos inteiros
positivos. Vamos experimentar alguns valores por perto do 17.53:
P(17)=5(0.8)^17-10(0.6)^17+19(0.4)^17-5(0.2)^17 ~= 11.090%
P(18)=5(0.8)^18-10(0.6)^18+19(0.4)^18-5(0.2)^18 ~= 8.9057%
Então é isso aí, a resposta é n=18 caixas!
Abraço,
Ralph
2008/5/19 Eduardo Estrada [EMAIL PROTECTED]:
Olá, Fernando,
Podemos considerar que a pessoa tenha comprado n caixas do produto, sendo
que, destas, b1 caixas contendo o brinde 1, b2 caixas contendo o brinde 2, e
assim por diante, de tal modo que:
b1 + b2 + b3 + b4 + b5 = n
O total de compras em que todos os brindes são contemplados corresponde ao
número de soluções inteiras positivas da equação acima, e o total irrestrito
de compras corresponde ao número de soluções inteiras não negativas. Esses
valores são, respectivamente, os binomiais C(n-1,5-1) = C(n-1,4) e
C(n+5-1,5-1) = C(n+4,4). Para que se cumpra o enunciado, façamos:
C(n-1,4)/C(n+4,4) = 0,9,
ou, expandindo,
(1/240)n^4 - (19/24)n^3 + (7/48)n^2 - (95/24)n + 1/10 = 0
A equação acima admite uma raiz real próxima de zero, que não convém, pois
devemos certamente comprar ao menos 5 caixas, e outra em torno de 189,84.
Logo, basta comprar 190 caixas para se garantir a probabilidade de 90 % de
se adquirir os cinco brindes.
Um abraço,
Eduardo Luis Estrada
- Mensagem original
De: Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 18 de Maio de 2008 23:41:10
Assunto: [obm-l] DESAFIO
Suponha que uma indústria alimentícia coloque em seus produtos um brinde
para incentivar as vendas para crianças. São 5 tipos de brindes possível e a
idéia é fazer com que a pessoa colecione os brindes, mas será impossível
descobrir qual brinde tem em uma determinada caixa antes de abrir o produto.
Nesse caso, um colecionador dos brindes sortudo será aquele que ao comprar 5
caixas do produto, cada uma com um brinde diferente. Acontece que como ele
não sabe qual brinde tem dentro de cada caixa ele pode ter que comprar mais
de 5 caixas para completar a coleção, já que podem vir brindes repetidos.
Qual seria o número mínimo de caixas que a pessoa teria que comprar para
assegurar, com 90% de chances, de que ela terá os 5 brindes?
Fernando
--
Abra sua conta no Yahoo!
Re: [obm-l] DESAFIO
Parabéns Ralph. A resposta é mesmo 18. Eu fiz empiricamente, mas cheguei lá
também.
Fernando
2008/5/19 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]:
Desculpa, Eduardo, mas eu vou ser muito muito chato e inserir minha fala
probabilística favorita (quem me conhece não me aguenta mais com isso):
Mas os eventos contados são igualmente prováveis?
(Neste caso, não são!!, então sua solução, apesar de muito bela,
infelizmente não funciona.)
---///---
Vamos tentar outra solução... Comprei n caixas. Vou supor que
i) As probabilidades dos brinquedos estão igualmente distribuídos (isto é,
não há, a priori, figurinha difícil); isto significa que a probabilidade
de uma determinada caixa conter o brinquedo 1 é 1/5=0.2, assim como o
brinquedo 2, 3, 4 ou 5.
ii) Caixas distintas são independentes entre si; esta é uma suposição
razoável se, por exemplo, as caixas são bem distribuídas geograficamente, ou
se você compra de vários lugares aleatoriamente, e se o número de caixas que
você compra é bem menor que o produzido... Tem outros jeitos de esta
suposição ser razoável também, então fico com ela.
Então vamos lá: sejam N1, N2, N3, N4 e N5 as probabilidades de você NÃO ter
os brinquedos 1, 2, 3, 4, 5 respectivamente, depois de comprar as n caixas.
Temos (para i, j, k, l em {1,2,3,4,5} distintos dois a dois):
Pr(Ni)=(0.8)^n ((i) garante o 0.8; (ii) garante o ^n; há 5 termos
deste tipo)
Pr(Ni e Nj)=(0.6)^n (há C(5,2)=10 termos destes)
Pr(Ni e Nj e Nk)=(0.4)^n (C(5,3)=10 termos assim)
Pr(Ni e Nj e Nk e Nl)=(0.2)^n (C(5,4)=5 termos assim)
Pr(N1 e N2 e N3 e N4 e N5)=0^n=0 (se n=1)
O evento que me interessa é N1 ou N2 ou N3 ou N4 ou N5 (este é o evento
não completei a coleção, algum dos brinquedos me faltou). Usando aquelas
leis de De Morgan (argh!):
Pr(Não completar coleção) = Pr(N1 ou N2 ou N3 ou N4 ou N5) =
= Soma(Pr(Ni))-Soma(Pr(Ni e Nj))+Soma(Pr(Ni e Nj e Nk))-Soma(Pr(Ni e Nj e
Nk e Nl)) + Pr(N1 e N2 e ... e N5) =
= 5(0.8)^n - 10(0.6)^n + 10(0.4)^n - 5(0.2)^n
(Deixa eu fazer um reality check: fazendo as contas com esta expressão aí
dá P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=1 e P(5)=601/625... Isto reflete que é impossível
completar a coleção com 1,2,3 ou 4 caixas, e a chance de fechar a coleção
com 5 caixas é 5!/5^6=24/625. Ok!)
Eu quero que isso seja menor que 10%, então a equação a resolver é:
P(n)=5(0.8)^n-10(0.6)^n+10(0.4)^n-5(0.2)^n 0.1
Argh, não tenho idéia de que método algébrico usar nesta caca Vou dar
um bicão só com o primeiro termo para obter uma primeira aproximação (na
esperança de que os outros sejam bem menores, afinal, olhe as bases deles!):
5(0.8)^n 0.1
(0.8)^n 0.02
n ln(0.02)/ln(0.8) = 17.53 (usei uma calculadora; talvez desse para
estimar isso de outro jeito, mas eu vou na calculadora daqui para a frente)
Da natureza do problema, é claro que P(n) é não-crescente nos inteiros
positivos. Vamos experimentar alguns valores por perto do 17.53:
P(17)=5(0.8)^17-10(0.6)^17+19(0.4)^17-5(0.2)^17 ~= 11.090%
P(18)=5(0.8)^18-10(0.6)^18+19(0.4)^18-5(0.2)^18 ~= 8.9057%
Então é isso aí, a resposta é n=18 caixas!
Abraço,
Ralph
2008/5/19 Eduardo Estrada [EMAIL PROTECTED]:
Olá, Fernando,
Podemos considerar que a pessoa tenha comprado n caixas do produto, sendo
que, destas, b1 caixas contendo o brinde 1, b2 caixas contendo o brinde 2, e
assim por diante, de tal modo que:
b1 + b2 + b3 + b4 + b5 = n
O total de compras em que todos os brindes são contemplados corresponde ao
número de soluções inteiras positivas da equação acima, e o total irrestrito
de compras corresponde ao número de soluções inteiras não negativas. Esses
valores são, respectivamente, os binomiais C(n-1,5-1) = C(n-1,4) e
C(n+5-1,5-1) = C(n+4,4). Para que se cumpra o enunciado, façamos:
C(n-1,4)/C(n+4,4) = 0,9,
ou, expandindo,
(1/240)n^4 - (19/24)n^3 + (7/48)n^2 - (95/24)n + 1/10 = 0
A equação acima admite uma raiz real próxima de zero, que não convém, pois
devemos certamente comprar ao menos 5 caixas, e outra em torno de 189,84.
Logo, basta comprar 190 caixas para se garantir a probabilidade de 90 %
de se adquirir os cinco brindes.
Um abraço,
Eduardo Luis Estrada
- Mensagem original
De: Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 18 de Maio de 2008 23:41:10
Assunto: [obm-l] DESAFIO
Suponha que uma indústria alimentícia coloque em seus produtos um brinde
para incentivar as vendas para crianças. São 5 tipos de brindes possível e a
idéia é fazer com que a pessoa colecione os brindes, mas será impossível
descobrir qual brinde tem em uma determinada caixa antes de abrir o produto.
Nesse caso, um colecionador dos brindes sortudo será aquele que ao comprar 5
caixas do produto, cada uma com um brinde diferente. Acontece que como ele
não sabe qual brinde tem dentro de cada caixa ele pode ter que comprar mais
de 5 caixas para completar a coleção, já que podem vir brindes repetidos.
Qual seria o número mínimo de caixas
Re: [obm-l] DESAFIO
On 5/19/08, Eduardo Estrada [EMAIL PROTECTED] wrote: Se eu fosse engenheiro, eu diria: O Ralph é formado em Engenharia da Computação, não? Isso não significa que ele trabalha como engenheiro hoje em dia, claro, mas... -- Abraços, Maurício PS: Este email não deve ser levado a sério, foi só uma observação. Eu gosto bastante de piadinhas matemáticas sobre engenheiros, pra falar a verdade :P = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] DESAFIO
3 eh primo, 5 eh primo, 7 eh primo, 9 eh primo, 11 eh primo, 13 eh primo, ... ;) ;) ;) 2008/5/19 Maurício Collares [EMAIL PROTECTED]: On 5/19/08, Eduardo Estrada [EMAIL PROTECTED] wrote: Se eu fosse engenheiro, eu diria: O Ralph é formado em Engenharia da Computação, não? Isso não significa que ele trabalha como engenheiro hoje em dia, claro, mas... -- Abraços, Maurício PS: Este email não deve ser levado a sério, foi só uma observação. Eu gosto bastante de piadinhas matemáticas sobre engenheiros, pra falar a verdade :P = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] DESAFIO DE MATEMÁTICA
Por favor, alguém tem algum material interessante sobre lógica, preciso de provas de teorema e lógica de primeira ordem , se tiver outros assuntos tb serve. obrigado Vanessa Nunes Date: Wed, 7 May 2008 23:34:51 -0400From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] DESAFIO DE MATEMÁTICAA fórmula da variância eu sei de cor. A proposta é levantar o cálculo em termos de a e de r.Fernando 2008/5/7 saulo nilson [EMAIL PROTECTED]: S^2=[soma Xí^2 -(somaXi)^2 /n]/(n-1) 2008/5/7 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED]: Suponha uma série em progressão geométrica tal que:a0 = aa1 = a . ra2 = a . r . r = ar^2a3 = a . r . r. r = ar^3a(n-1) = a . r^(n-1)Qual a variância estatística amostral da série acima, que tenha n elementos?Fernando _ Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o Messenger! É GRÁTIS! http://www.msn.com.br/emoticonpack
Re: [obm-l] DESAFIO DE MATEMÁTICA
S^2=[soma Xí^2 -(somaXi)^2 /n]/(n-1) 2008/5/7 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED]: Suponha uma série em progressão geométrica tal que: a0 = a a1 = a . r a2 = a . r . r = ar^2 a3 = a . r . r. r = ar^3 a(n-1) = a . r^(n-1) Qual a variância estatística amostral da série acima, que tenha n elementos? Fernando
Re: [obm-l] DESAFIO DE MATEMÁTICA
A fórmula da variância eu sei de cor. A proposta é levantar o cálculo em termos de a e de r. Fernando 2008/5/7 saulo nilson [EMAIL PROTECTED]: S^2=[soma Xí^2 -(somaXi)^2 /n]/(n-1) 2008/5/7 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED]: Suponha uma série em progressão geométrica tal que: a0 = a a1 = a . r a2 = a . r . r = ar^2 a3 = a . r . r. r = ar^3 a(n-1) = a . r^(n-1) Qual a variância estatística amostral da série acima, que tenha n elementos? Fernando
Re: [obm-l] DESAFIO IEZZI
Isole o sen x , sen x = 11 - 3RQ5 cos / 9 (I) Faça a relação fundamental sen ao quadrado + cos ao quadrado = 1. Daí você descubrurá o valor do cosseno. cos x = 33rq5 + ou - 9rq5/126 Descoberto os valores de cos. você substitui em (I), e obterá o sen. 2007/11/20, arkon [EMAIL PROTECTED]: *OLÁ PESSOAL, ESTA É UMA QUESTÃO DO LIVRO VOLUME ÚNICO DO GELSON IEZZI, ALGUÉM PODE ME ENVIAR A RESOLUÇÃO POR FAVOR* * * *(DESAFIO IEZZI) * *Sabendo que 9sen x + 3rq5cos x = 11, com 0 x (pi/2), calcule tg x.* * * *DESDE JÁ AGRADEÇO*
Re: [obm-l] DESAFIO - função com infinitos pontos críticos (mínimo ou máximo)
A função f dada por f(x) = x*sen(1/x) quando x!=0 e por f(0)=0 anula-se em (infinitos) outros pontos além de zero no intervalo (-eps,eps). Além disso, ela é contínua e, portanto, integrável. Assim, F pode ser qualquer primitiva de f. []'s, Leo. On Nov 9, 2007 5:10 PM, André Rodrigues da Cruz [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém ai saberia me dizer se existe e exemplificar uma função F que: Para u_0 (ponto crítico de F ) contido em U aberto e para todo eps 0 tal que em toda bola aberta B_eps(u_0) tenha outros pontos críticos de F. Desafio lançado. Um abraço, -- André Rodrigues da Cruz
Re: [obm-l] Desafio
Oi, Vivian. O fato é que você tem um grafo (ou seja, um conjunto de nós e um conjunto de arestas ligando dois nós) bipartido (ou seja, há dois tipos de nós, e os nós de um tipo só podem ser ligados por arestas a nós do outro tipo), com 3 nós de um tipo (os nós A, L e E) e 3 nós do outro tipo (as 3 casas, cada uma indexada por um número, por exemplo: 1, 2 e 3). O desafio equivale à pergunta: existe um grafo bipartido 3 por 3 em que cada nó de um tipo (as estações) esteja ligado aos 3 nós do outro tipo (as casas) - tal grafo, com todas as arestas possíveis, é um grafo bipartido completo - e que seja planar? Um grafo planar é um grafo que admite uma representação gráfica no mesmo plano em que quaisquer duas arestas não se cruzam. É um resultado clássico da teoria de grafos, cuja demonstração pode ser encontrada em vários textos, que tal grafo (denotado por K_3,3) não é planar. Saudações, Leo. On 10/31/07, Vivi H. [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Pessoal... Estava conversando com minha professora de cálculo sobre um desafio que é bem divulgado por aí. A maioria das pessoas afirma que tal desafio é impossível de se resolver, porém, minha professora falou que algumas pessoas falaram que o desafio é possível, mas não mostraram de que jeito é possível... Gostaria de saber o que vocês acham... Desafio: Você tem que levar água, luz e esgoto para 3 casas de uma cidade. As fornecedoras de água (A), luz (L) e esgoto (E) permitem que os canos distribuidores não sejam retos... São canos flexíveis e podem ser arrumados da forma que você desejar. Os canos JAMAIS podem se cruzar e/ou invadir a região interna de qualquer casa e de qualquer fornecedora. A profundidade de encanamentos sob os terrenos da cidade que a prefeitura tolera é única. Ou seja, assuma no esquema que todos os canos são como linhas no mesmo plano. Muito obrigada... Vivian
Re: [obm-l] Desafio
Olá Vivi, Vou tentar uma demonstração da impossibilidade aqui, utilizando a fórmula de Euler. O raciocínio se faz por absurdo... Primeiro, vamos representar o problema no plano. O argumento segue por grafos, portanto vou chamar de vértice um dos 6 pontos: F1, F2, F3, C1, C2, C3 (C de casa, F de fornecedora). As ligações entre algum Ci e algum Fi serão as arestas, e as faces do grafo serão as áreas determinadas por loops fechados de vértices, sem nenhuma aresta ou vértice dentro. Intuitivamente falando, uma face é aquela região limpinha que as arestas estão cercando. Que tipos de faces podemos ter? Certamente não teremos nenhuma casa ligada diretamente com outra casa, nem uma fornecedora ligada diretamente com outra fornecedora. Então todas as conexões são do tipo Ci - Fi - Cj - ... etc. Um exemplo de face é: F1 - C1 - F2 - C2 (E daí volta para F1.) Neste caso, essa face tem 4 vértices, a saber: F1, C1, F2, C2. Claramente, não podemos ter uma face com menos de 4 vértices, justamente porque não vamos ligar fornecedora com fornecedora nem casa com casa. Uma outra face seria mais longa: F1 - C1 - F2 - C2 - F3 - C3 (Volta para F1). Neste caso, temos 6 vértices. Estas são as únicas faces possíveis. O Teorema de Euler no plano diz que Faces + Vértices = Arestas + 2. Temos 6 vértices, e 9 arestas, pois estamos ligando cada uma das 3 casas em 3 fornecedoras. Assim, o Teorema de Euler nos dá: Faces + 6 = 9 + 2 = Faces = 5. Agora, supomos o problema resolvido, e vamos contar de outro modo os vértices. Vimos acima que toda face tem pelo menos 4 vértices. Se temos 5 faces, 5 * 4 = 20 vértices. Mas nesse raciocínio contamos duas vezes cada vértice, pois uma aresta pode ser comum à duas faces distintas, e aí os dois vértices extremos desta aresta foram contados duas vezes. Ainda assim, temos 20 / 2 = 10 vértices, contrariando o fato de só termos 9. Abraço, - Leandro.
Re: [obm-l] Desafio
Leo, Como ficaria um esquema com a solução deste problema? Saudações, Joao Victor On 11/1/07, Leonardo Maia [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Vivian. O fato é que você tem um grafo (ou seja, um conjunto de nós e um conjunto de arestas ligando dois nós) bipartido (ou seja, há dois tipos de nós, e os nós de um tipo só podem ser ligados por arestas a nós do outro tipo), com 3 nós de um tipo (os nós A, L e E) e 3 nós do outro tipo (as 3 casas, cada uma indexada por um número, por exemplo: 1, 2 e 3). O desafio equivale à pergunta: existe um grafo bipartido 3 por 3 em que cada nó de um tipo (as estações) esteja ligado aos 3 nós do outro tipo (as casas) - tal grafo, com todas as arestas possíveis, é um grafo bipartido completo - e que seja planar? Um grafo planar é um grafo que admite uma representação gráfica no mesmo plano em que quaisquer duas arestas não se cruzam. É um resultado clássico da teoria de grafos, cuja demonstração pode ser encontrada em vários textos, que tal grafo (denotado por K_3,3) não é planar. Saudações, Leo. On 10/31/07, Vivi H. [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Pessoal... Estava conversando com minha professora de cálculo sobre um desafio que é bem divulgado por aí. A maioria das pessoas afirma que tal desafio é impossível de se resolver, porém, minha professora falou que algumas pessoas falaram que o desafio é possível, mas não mostraram de que jeito é possível... Gostaria de saber o que vocês acham... Desafio: Você tem que levar água, luz e esgoto para 3 casas de uma cidade. As fornecedoras de água (A), luz (L) e esgoto (E) permitem que os canos distribuidores não sejam retos... São canos flexíveis e podem ser arrumados da forma que você desejar. Os canos JAMAIS podem se cruzar e/ou invadir a região interna de qualquer casa e de qualquer fornecedora. A profundidade de encanamentos sob os terrenos da cidade que a prefeitura tolera é única. Ou seja, assuma no esquema que todos os canos são como linhas no mesmo plano. Muito obrigada... Vivian = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desafio - Análise Real
Caros colegas, Será que a resolução abaixo estaria correta? Talvez, usando a informação das somas dos módulos de b_n do enunciado, fique mais simples assim: ___ Como (a_n) converge para 0, dado e 0, |a_n| e/k para todo n natural positivo. Da Desigualdade Triangular, temos: |c_n| = |a_1|.|b_n| + |a_2|.|b_(n-1)| + ... + |a_n|.|b_1| Como , |an| e/k, para todo n natural positivo, temos: |c_n|(e/k).|b_n| + (e/k).|b_(n-1)| + ... + (e/k).|b_1|. = (e/k).(|b_n| + |b_(n-1)| + ... + |b_1|) para todo n natural positivo. Mas, do enunciado, temos |b_n| + |b_(n-1)| + ... + |b_1| k para todo n natural positivo. Portanto, |cn| (e/k).k = e, para todo natural positivo e, portanto, (c_n) converge para 0. __ E então? Está correto? Grande abraço, Fellipe Rossi Em 29/06/07, Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Thu, Jun 28, 2007 at 01:49:20PM -0300, Fellipe Rossi wrote: Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero e suponha que existe k 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| k para todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência (c_n) definida por c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero. Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a. As seqüências a_k e b_k são limitadas: suponha que |a_k|, |b_k| B para todo k. Dado e 0 seja N1 tal que n N1 - |b_(N1+1)|+...+|b_n| e/(2B). Seja C = |b_1|+|b_2|+...+|b_N1|. Seja N2 tal que n N2 - |a_n| e/(2C). Tome N = N1+N2 e n N. |c_n| = |a_1||b_n| + ... + |a_(n-N1)| |b_(N1+1)| + |a_(n+1-N1)||b_N1| + ... + |a_n| |b_1| Na primeira linha temos |a_k| B. Temos n+1-N1 N2 donde na segunda linha temos |a_k| e/(2C). Assim |c_n| = B(|b_n| + ... + |b_(N1+1)|) + (e/(2C))(|b_N1| + ... + |b_1|) Be/(2B) + Ce/(2C) = e concluindo a demonstração. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desafio - Análise Real
Olá Marcelo e demais:
Uma dica que não sei se ajuda muito: Não sei se alguém observou
que a sequencia definida por c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1
é o termo geral da série Sum c_n que é o termo geral do produto de Cauchy
das séries definida por Sum a_n e Sum_b_n.
Em outras palavras (Sum c_n) = (Sum a_n) x (Sum b_n)
A prova então poderia seguir a seguinte linha:
Se Sum a_n converge absolutamente e Sum b_n converge absolutamente
podemos multiplicar as séries e rearanjar os termos e a série obtida continuará
convergindo absolutamente. Na verdade pelo que o exercício está dizendo,
parece qua a condição de Sum b_n convergir absolutamente pode ser
relaxada: Basta que Sum b_n convirja para garantir a convergência de Sum c_n.
Assim se Sum c_n converge então c_n - 0.
Existe alguma falha de raciocínio? Senão, alguém saberia
formalizar o exposto acima?
Abraços
Ronaldo.
Marcelo Salhab Brogliato wrote:
Olá,
o exercicio da algumas informacoes repetidas... se Sum |b_k| converge,
entao Sum b_k também converge, portanto lim b_k = 0... assim, a
informacao que lim b_k = 0 é redundante.
c_n = Sum {k=1 ... n} a_(n-k+1) . b_k
c_n = [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k]
lim a_n = 0
entao, existe n0, tal que nn0 implica |a_n| 1
portanto: Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k Sum {k=n0 ... n} b_k
Sum {k=n0 ... n} |b_k| inf
logo: c_n [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} |b_k|]
inf
portanto: c_n converge.
falta provarmos que converge pra 0..
assim que sair eu envio..
abracos,
Salhab
On 6/28/07, Fellipe Rossi [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caros colegas,
Estou tendo dificuldades para resolver uma questão de Análise - mais
precisamente, seqüências.
Pesquisei em alguns livros e até sites mas não encontrei nenhuma dica que
pudesse me ajudar. O problema é o seguinte:
Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero
e suponha que existe k 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| k
para todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência (c_n) definida por
c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero.
Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Desafio - Aná lise Real
On Thu, Jun 28, 2007 at 01:49:20PM -0300, Fellipe Rossi wrote: Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero e suponha que existe k 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| k para todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência (c_n) definida por c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero. Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a. As seqüências a_k e b_k são limitadas: suponha que |a_k|, |b_k| B para todo k. Dado e 0 seja N1 tal que n N1 - |b_(N1+1)|+...+|b_n| e/(2B). Seja C = |b_1|+|b_2|+...+|b_N1|. Seja N2 tal que n N2 - |a_n| e/(2C). Tome N = N1+N2 e n N. |c_n| = |a_1||b_n| + ... + |a_(n-N1)| |b_(N1+1)| + |a_(n+1-N1)||b_N1| + ... + |a_n| |b_1| Na primeira linha temos |a_k| B. Temos n+1-N1 N2 donde na segunda linha temos |a_k| e/(2C). Assim |c_n| = B(|b_n| + ... + |b_(N1+1)|) + (e/(2C))(|b_N1| + ... + |b_1|) Be/(2B) + Ce/(2C) = e concluindo a demonstração. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desafio - Análise Real
Olá,
o exercicio da algumas informacoes repetidas... se Sum |b_k| converge,
entao Sum b_k também converge, portanto lim b_k = 0... assim, a
informacao que lim b_k = 0 é redundante.
c_n = Sum {k=1 ... n} a_(n-k+1) . b_k
c_n = [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k]
lim a_n = 0
entao, existe n0, tal que nn0 implica |a_n| 1
portanto: Sum {k=n0 ... n} a_(n-k+1) . b_k Sum {k=n0 ... n} b_k
Sum {k=n0 ... n} |b_k| inf
logo: c_n [Sum {k=1 ... n0} a_(n-k+1) . b_k] + [Sum {k=n0 ... n} |b_k|] inf
portanto: c_n converge.
falta provarmos que converge pra 0..
assim que sair eu envio..
abracos,
Salhab
On 6/28/07, Fellipe Rossi [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caros colegas,
Estou tendo dificuldades para resolver uma questão de Análise - mais
precisamente, seqüências.
Pesquisei em alguns livros e até sites mas não encontrei nenhuma dica que
pudesse me ajudar. O problema é o seguinte:
Sejam (a_n) e (b_n) duas seqüências de números reais convergentes para zero
e suponha que existe k 0 tal que |b_1| + |b_2| + |b_3| + ... + |b_n| k
para todo n pertencente a IN*. Mostre que a seqüência (c_n) definida por
c_n = a_1.b_n + a_2.b_n-1 + ... + a_n.b_1 converge para zero.
Notação: a_k = termo de índice k da seqüência a.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Desafio
Mas como isso prova a pergunta original? De onde vem a afirmação de que a soma de3 números pares resulta em um número par? -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Fri, 26 May 2006 09:57:42 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Desafio Olá! Complementando a resposta do Sarmento. Pelo algoritmo da divisão de Euclides, todo número inteiro x pode se escrever como x = 2q + r, com 0 = r 2 (q e r inteiros). Portanto um número inteiro x que não é par (que não é divisível por 2) tem de se escrever como x = 2q + 1. Falou! Duda Em 26/05/06, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: Mensagem Original: Data: 07:02:47 26/05/2006 De: Alamir Rodrigues <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: [obm-l] Desafio Provar que a soma de dois números ímpares sempre dará um númer par. Seja M impar e N impar M = MP + 1 sendo que MP é par ( todo numero par + 1 é impar) N = NP + 1 sendo que NP é par então MP + NP + 1 + 1 - MP é par, NP é par, 1 + 1 = 2 par MP + NP + 2 (soma de três números par é par). at Sarmento Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- "Exercite-se, alimente-se bem, seja introspectivo, amoroso e humilde, sirva e perdoe, realize-se e viva feliz!" [EMAIL PROTECTED] http://paginas.terra.com.br/arte/dudastabel/
Re: [obm-l] Desafio
Um numero par pode sempre ser escrito na forma 2k. Se vc tem 3 numeros pares, todos tem um fator 2, colocando o 2 em evidencia, vc encontra um numero no formato 2(x+y+z) que tambem é par. On 5/28/06, Alamir Rodrigues [EMAIL PROTECTED] wrote: Mas como isso prova a pergunta original? De onde vem a afirmação de que a soma de3 números pares resulta em um número par? -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Fri, 26 May 2006 09:57:42 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Desafio Olá! Complementando a resposta do Sarmento. Pelo algoritmo da divisão de Euclides, todo número inteiro x pode se escrever como x = 2q + r, com 0 = r 2 (q e r inteiros). Portanto um número inteiro x que não é par (que não é divisível por 2) tem de se escrever como x = 2q + 1. Falou! Duda Em 26/05/06, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Mensagem Original: Data: 07:02:47 26/05/2006 De: Alamir Rodrigues Assunto: [obm-l] Desafio Provar que a soma de dois números ímpares sempre dará um númer par. Seja M impar e N impar M = MP + 1 sendo que MP é par ( todo numero par + 1 é impar) N = NP + 1 sendo que NP é par então MP + NP + 1 + 1 - MP é par, NP é par, 1 + 1 = 2 par MP + NP + 2 (soma de três números par é par). at Sarmento Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- Exercite-se, alimente-se bem, seja introspectivo, amoroso e humilde, sirva e perdoe, realize-se e viva feliz! [EMAIL PROTECTED] http://paginas.terra.com.br/arte/dudastabel/
Re: [obm-l] Desafio
Mensagem Original: Data: 07:02:47 26/05/2006 De: Alamir Rodrigues [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Desafio Provar que a soma de dois números ímpares sempre dará um númer par. Seja M impar e N impar M = MP + 1 sendo que MP é par ( todo numero par + 1 é impar) N = NP + 1 sendo que NP é par então MP + NP + 1 + 1 - MP é par, NP é par, 1 + 1 = 2 par MP + NP + 2 (soma de três números par é par). at Sarmento Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desafio
Olá!Complementando a resposta do Sarmento.Pelo algoritmo da divisão de Euclides, todo número inteiro x pode se escrever como x = 2q + r, com 0 = r 2 (q e r inteiros). Portanto um número inteiro x que não é par (que não é divisível por 2) tem de se escrever como x = 2q + 1. Falou!DudaEm 26/05/06, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] escreveu: Mensagem Original: Data: 07:02:47 26/05/2006 De: Alamir Rodrigues [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Desafio Provar que a soma de dois números ímpares sempre dará um númer par.Seja M impar e N impar M = MP + 1 sendo que MP é par ( todo numero par + 1 é impar)N = NP+ 1 sendo que NP é parentão MP + NP + 1 + 1 - MP é par, NP é par, 1 + 1 = 2 parMP + NP + 2 (soma de três números par é par). atSarmentoAqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis comqualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suportegrátis e muito mais. Baixe grátis o Discador emhttp://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna,assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique emhttp://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=-- --Exercite-se, alimente-se bem, seja introspectivo, amoroso e humilde, sirva e perdoe, realize-se e viva feliz! [EMAIL PROTECTED]http://paginas.terra.com.br/arte/dudastabel/
Re: [obm-l] Desafio
Olá, todo numero impar pode ser escrito como 2k+1.. assim: x = 2r + 1 y = 2s + 1 x+y = 2r+2s+2 = 2(r+s+1) que é par.. abraços, Salhab - Original Message - From: Alamir Rodrigues To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, May 26, 2006 7:02 AM Subject: [obm-l] Desafio Provar que a soma de dois números ímpares sempre dará um númer par.
Re: [obm-l] desafio
Fatorando,36=1*2*2*3*3 e combinando em tres fatores encontra-se dois com a mesma soma não derimidos pela segunda dica: (1,6,6) e (2,2,9). Mas a terceira dica indica(sem trocadilhos) que os gêmeos são os mais novos. Wilner --- mentebrilhante brilhante [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguem pode resolve esse desafio para mim. Dois matemáticos se encontram na rua. Um pergunta para o outro: - Quantos filhos você tem? - Tenho 3. - E qual a idade deles? - Vou te dar uma dica: o produto da idade deles é igual a 36. - Assim não dá. Eu quero mais dicas. - Muito bem! A soma da idade deles é igual ao número daquela casa ali. - Nossa! Dê-me só mais uma dica que eu descubro. - Tome! O mais velho toca piano. - Pronto, agora sim eu sei a idade de seus filhos. Com base no texto acima, você seria capaz de descobrir as idades dos filhos do matemático? - Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] desafio
Dois matemáticos se encontram na rua. Um pergunta para o outro: - Quantos filhos você tem? - Tenho 3. - E qual a idade deles? Sejam a,b,c as idades, com a=b=c - Vou te dar uma dica: o produto da idade deles é igual a 36. As possibilidades sao: a-b-c-a+b+c=S 36010138 18020121 12030116 09040114 09020213* 06060113* 06030211 04030310 [tabela] - Assim não dá. Eu quero mais dicas. Ele quer mais dicas porque conforme a tabela acima existem 8 possibilidades diferentes para a,b,c. - Muito bem! A soma da idade deles é igual ao número daquela casa ali. - Nossa! Dê-me só mais uma dica que eu descubro. Agora ele sabe a soma das idades, mas ainda assim nao conhece os valores de a,b,c. Se a soma S das idades fosse 16, elas seriam 12, 3 e 1, conforme a tabela acima, pois essa eh a unica possibilidade para S=16. O mesmo vale para S=11 (neste caso, segundo a tabela, as idades seriam a=6,b=3 e c=2)... Mas ele ainda nao sabe quais sao as idades, mesmo conhecendo S. Entao S=13, pois este eh o unico caso em que conhecemos S e nao conhecemos com certeza os valores de a,b,c. - Tome! O mais velho toca piano. - Pronto, agora sim eu sei a idade de seus filhos. Como S=13 as possibilidades sao: a-b-c-a+b+c=S 09020213* 06060113* Ha um mais velho, isto eh ab, logo as idades sao 9, 2 e 2. O problema nao esta bem formulado, porque os dois filhos mais velhos poderiam ter menos de 12 meses de diferenca de idade. Acho que a ultima dica poderia ser diferente. === geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 Enciclopedia de Matematica - Aulas Formulas para primos - Grupos de Estudo Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] === Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Re: [obm-l] Desafio Trigonometria
Rafael, o Gabarito é A - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 16, 2004 3:41 AM Subject: Re: Re: [obm-l] Desafio Trigonometria Esperaremos curiosos, Fábio! Boa sorte! Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Fabio Contreiras [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, March 15, 2004 6:38 AM Subject: Re: [Spam] Re: [obm-l] Desafio Trigonometria Irei verificar o gabarito hoje, ainda não saiu, mas entendi o que vc quis dizer... valeu abração! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 15/03/2004 / Versão: 1.4.1 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visite http://www.terra.com.br/centralunificada/emailprotegido/imail/imail.cgi?+_u=fabiocontreiras_l=1079420485.313363.8219.gravatal.terra.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desafio Trigonometria
Fábio, Um jeito de você chegar a alguma das alternativas é transformar a resposta obtida. Veja só: Sabemos que R = H*sen(a)/(1-sen(a)), sendo a = alfa e 0 alfa Pi/2. Dessa forma, igualam-se os raios, cancelando o fator H, e tenta-se encontrar algo. Lembrando da identidade: cos(2x) = 1 - 2*(sen(x))^2 == sen(x/2)^2 = (1-cos(x))/2 a) cos(a)/(2*(sen(a/2))^2)) = cos(a)/(1-cos(a)) cos(a)/(1-cos(a)) = sen(a)/(1-sen(a)) == == sen(a) = cos(a) == a = 0,785398 b) cos(a)/(1+cos(a)) cos(a)/(1+cos(a)) = sen(a)/(1-sen(a)) == == sen(a) + sen(a)cos(a) = cos(a) - sen(a)cos(a) == == sen(a) + 2sen(a)cos(a) = cos(a) == == sen(2a) = cos(a) - sen(a) == a = 0,33312 c) sen(a)/(1-cos(a)) sen(a)/(1-cos(a)) = sen(a)/(1-sen(a)) == == sen(a) = cos(a) == a = 0,785398 d) sen(a)/(1+cos(a)) sen(a)/(1+cos(a)) = sen(a)/(1-sen(a)) == == sen(a) + cos(a) = 0 == FALSO e) (1+cos(a))/sen(a) (1+cos(a))/sen(a) = sen(a)/(1-sen(a)) == == 1 - (cos(a))^2 = 1 - sen(a) + cos(a) - sen(a)cos(a) == == (cos(a))^2 + cos(a) = sen(a) + sen(a)cos(a) == == cos(a)[1+cos(a)] = sen(a)[1+cos(a)] == == sen(a) = cos(a) == a = 0,785398 Como (a) = (c) = (e), nenhuma delas poderia ser verdadeira, sendo (d) também excluída. Logo, eu marcaria a (b) se, e somente se, conhecesse o ângulo alfa e tal fosse igual a 0,33312. Do contrário, ou não há alternativa correta, ou errei em algo. O estranho é que a resposta do problema original é a fórmula que escrevi no início deste e-mail, e não há alternativa para ela. As alternativas são *confiáveis*? Qual é o gabarito? Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Fabio Contreiras [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 7:12 PM Subject: [obm-l] Desafio Trigonometria Aih, se liga so nas opcoes.. qual gabarito vc marcaria ? a ) h cos a / (2sen^2 a/2) b) h cos a / 1 + cos a c) h sen a / 1- cos a d ) h sen a / 1 + cos a e) h ( 1+ cos a ) / sen a valeuz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [Spam] Re: [obm-l] Desafio Trigonometria
Irei verificar o gabarito hoje, ainda não saiu, mas entendi o que vc quis dizer... valeu abração! - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, March 15, 2004 4:43 AM Subject: [Spam] Re: [obm-l] Desafio Trigonometria Fábio, Um jeito de você chegar a alguma das alternativas é transformar a resposta obtida. Veja só: Sabemos que R = H*sen(a)/(1-sen(a)), sendo a = alfa e 0 alfa Pi/2. Dessa forma, igualam-se os raios, cancelando o fator H, e tenta-se encontrar algo. Lembrando da identidade: cos(2x) = 1 - 2*(sen(x))^2 == sen(x/2)^2 = (1-cos(x))/2 a) cos(a)/(2*(sen(a/2))^2)) = cos(a)/(1-cos(a)) cos(a)/(1-cos(a)) = sen(a)/(1-sen(a)) == == sen(a) = cos(a) == a = 0,785398 b) cos(a)/(1+cos(a)) cos(a)/(1+cos(a)) = sen(a)/(1-sen(a)) == == sen(a) + sen(a)cos(a) = cos(a) - sen(a)cos(a) == == sen(a) + 2sen(a)cos(a) = cos(a) == == sen(2a) = cos(a) - sen(a) == a = 0,33312 c) sen(a)/(1-cos(a)) sen(a)/(1-cos(a)) = sen(a)/(1-sen(a)) == == sen(a) = cos(a) == a = 0,785398 d) sen(a)/(1+cos(a)) sen(a)/(1+cos(a)) = sen(a)/(1-sen(a)) == == sen(a) + cos(a) = 0 == FALSO e) (1+cos(a))/sen(a) (1+cos(a))/sen(a) = sen(a)/(1-sen(a)) == == 1 - (cos(a))^2 = 1 - sen(a) + cos(a) - sen(a)cos(a) == == (cos(a))^2 + cos(a) = sen(a) + sen(a)cos(a) == == cos(a)[1+cos(a)] = sen(a)[1+cos(a)] == == sen(a) = cos(a) == a = 0,785398 Como (a) = (c) = (e), nenhuma delas poderia ser verdadeira, sendo (d) também excluída. Logo, eu marcaria a (b) se, e somente se, conhecesse o ângulo alfa e tal fosse igual a 0,33312. Do contrário, ou não há alternativa correta, ou errei em algo. O estranho é que a resposta do problema original é a fórmula que escrevi no início deste e-mail, e não há alternativa para ela. As alternativas são *confiáveis*? Qual é o gabarito? Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Fabio Contreiras [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 7:12 PM Subject: [obm-l] Desafio Trigonometria Aih, se liga so nas opcoes.. qual gabarito vc marcaria ? a ) h cos a / (2sen^2 a/2) b) h cos a / 1 + cos a c) h sen a / 1- cos a d ) h sen a / 1 + cos a e) h ( 1+ cos a ) / sen a valeuz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 13/03/2004 / Versão: 1.4.1 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visite http://www.terra.com.br/centralunificada/emailprotegido/imail/imail.cgi?+_u=fabiocontreiras_l=1079338264.525375.4791.turvo.terra.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Re: [obm-l] Desafio Trigonometria
Esperaremos curiosos, Fábio! Boa sorte! Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Fabio Contreiras [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, March 15, 2004 6:38 AM Subject: Re: [Spam] Re: [obm-l] Desafio Trigonometria Irei verificar o gabarito hoje, ainda não saiu, mas entendi o que vc quis dizer... valeu abração! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desafio Trigonometria
Bem, se é um desafio, não é um desafio recente. Se eu entendi bem o problema, trata-se do mesmo que os gregos resolveram para medir o raio da Terra. Eles construíram uma torre, de altura H, nas proximidades do mar. Do alto dessa torre observaram a linha do horizonte e mediram o ângulo alfa que o segmento formado AT formava com a vertical AB. Mais ou menos assim: A |\ | \ |\ | \ | \ B |__\ T Imaginando um plano cortando o globo da Terra ao meio e passando pelos pontos A e T e pelo centro O da Terra, aplicando a definição de seno no triângulo retângulo OAT, obtiveram: sen(alfa) = R/(R+H) (R+H) * sen(alfa) = R R*sen(alfa) + H*sen(alfa) = R H*sen(alfa) = R - R*sen(alfa) H*sen(alfa) = R(1-sen(alfa)) R = H*sen(alfa)/(1-sen(alfa)) Embora o processo tenha sido genial para a época, ele não trouxe bons resultados práticos, pois um pequeno erro cometido na medição de alfa acabou trazendo um grande erro no valor obtido de R. É estranho, no entanto, você dizer que o raio deve estar em função de seno *e* cosseno, a menos que se trabalhe com esse resultado, o que não considero tão necessário. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Fabio Contreiras To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 2:53 PM Subject: [obm-l] Desafio Trigonometria aih tem uma aki de trigonometria ke parece ser um desafio. UM OBSERVADOR, SITUADO A H METROS ACIMA DO SOLO, VÊ A LINHA DO HORIZONTE SEGUNDO UM ÂNGULO alfa com a horizontal. Supondo a terra esférica, seu raio mede em metros : ps. o gabarito está em função de sen e cos abraços! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desafio: ladrilhar um triângulo
On Fri, Jun 27, 2003 at 04:49:17PM -0300, Anderson Sales Pereira wrote: Ola Nicolau, Obrigado pela correção. On Thu, Jun 26, 2003 at 05:29:33PM -0300, Anderson Sales Pereira wrote: 2. Um museu tem um terreno de exposição na forma de um triângulo retângulo de catetos 50m e 60m. A direção do museu decidiu ladrilhar a área. Cada ladrilho é um quadrado de 10 cm de lado. Os ladrilhos são feitos de um material que pode ser cortado apenas 1 vez, devido ao risco de rachaduras. Além disso, apenas uma das partes do ladrilho cortado pode ser aproveitada. Responda: a) Qual o número exato de ladrilhos que será empregado na obra? Depois de mandar a outra mensagem achei que valia a pena resolver algo mais geral. Considere o triângulo (fechado) de vértices (0,0), (a,0) e (0,b) onde a e b são inteiros positivos: (i) Quantos quadrados da forma [i,i+1]x[j,j+1] estão totalmente contidos no triângulo (onde i e j são inteiros)? [ Estes correspondem aos ladrilhos inteiros. ] (ii) Para quantos quadrados da forma acima o interior do quadrado e o interior do triângulo têm pontos em comum? [ Estes correspondem aos ladrilhos usados. ] Acho que o número mais interessante de se estudar é (ii) - (i), i.e., o número de quadradinhos cortados pelo segmento (a,0) - (0,b). Ora, este segmento começa dentro de um quadradinho e, antes de chegar ao último quadradinho corta (a-1) linhas verticais e (b-1) linhas horizontais. Cada vez que cortamos uma linha mudamos de quadradinho. Assim cortamos 1 + (a-1) + (b-1) quadradinhos, certo? Errado. O problema é que podemos passar exatamente por um ponto de coordenadas inteiras e portanto gastar duas linhas mas só trocar de quadrado uma vez. O número de vezes onde isso acontece é mdc(a,b) - 1 logo temos a + b - mdc(a,b) quadradinhos cortados. O retângulo com vértices (0,0), (a,0), (0,b), (a,b) fica dividido pelo segmento de (a,0) a (0,b) em dois triângulos iguais. Temos um total de ab quadradinhos dos quais a + b - mdc(a,b) sobre a diagonal e metade do que resta para cada lado. Assim a resposta do item (i) é (ab + a + b - mdc(a,b))/2. No seu caso a = 600 e b = 500 donde isso dá um total de (600*500 + 600 + 500 - 100)/2 = 301000/2 = 150500 ladrilhos usados. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desafio: ladrilhar um triân gulo
Nicolau, Obrigado novamente. Estou digerindo as duas soluções que você enviou. Ao final terei aprendido muito. Valeu, Anderson - SP At 10:12 30/6/2003 -0300, Nicolau C. Saldanha wrote: On Fri, Jun 27, 2003 at 04:49:17PM -0300, Anderson Sales Pereira wrote: Ola Nicolau, Obrigado pela correção. On Thu, Jun 26, 2003 at 05:29:33PM -0300, Anderson Sales Pereira wrote: 2. Um museu tem um terreno de exposição na forma de um triângulo retângulo de catetos 50m e 60m. A direção do museu decidiu ladrilhar a área. Cada ladrilho é um quadrado de 10 cm de lado. Os ladrilhos são feitos de um material que pode ser cortado apenas 1 vez, devido ao risco de rachaduras. Além disso, apenas uma das partes do ladrilho cortado pode ser aproveitada. Responda: a) Qual o número exato de ladrilhos que será empregado na obra? Depois de mandar a outra mensagem achei que valia a pena resolver algo mais geral. Considere o triângulo (fechado) de vértices (0,0), (a,0) e (0,b) onde a e b são inteiros positivos: (i) Quantos quadrados da forma [i,i+1]x[j,j+1] estão totalmente contidos no triângulo (onde i e j são inteiros)? [ Estes correspondem aos ladrilhos inteiros. ] (ii) Para quantos quadrados da forma acima o interior do quadrado e o interior do triângulo têm pontos em comum? [ Estes correspondem aos ladrilhos usados. ] Acho que o número mais interessante de se estudar é (ii) - (i), i.e., o número de quadradinhos cortados pelo segmento (a,0) - (0,b). Ora, este segmento começa dentro de um quadradinho e, antes de chegar ao último quadradinho corta (a-1) linhas verticais e (b-1) linhas horizontais. Cada vez que cortamos uma linha mudamos de quadradinho. Assim cortamos 1 + (a-1) + (b-1) quadradinhos, certo? Errado. O problema é que podemos passar exatamente por um ponto de coordenadas inteiras e portanto gastar duas linhas mas só trocar de quadrado uma vez. O número de vezes onde isso acontece é mdc(a,b) - 1 logo temos a + b - mdc(a,b) quadradinhos cortados. O retângulo com vértices (0,0), (a,0), (0,b), (a,b) fica dividido pelo segmento de (a,0) a (0,b) em dois triângulos iguais. Temos um total de ab quadradinhos dos quais a + b - mdc(a,b) sobre a diagonal e metade do que resta para cada lado. Assim a resposta do item (i) é (ab + a + b - mdc(a,b))/2. No seu caso a = 600 e b = 500 donde isso dá um total de (600*500 + 600 + 500 - 100)/2 = 301000/2 = 150500 ladrilhos usados. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Desafio: ladrilhar um triângulo
On Thu, Jun 26, 2003 at 05:29:33PM -0300, Anderson Sales Pereira wrote:
Boa tarde pessoal tudo bem?
Agradeceria se alguém pudesse corrigir este problema para mim, pois não
tenho certeza quanto 'a minha resolução:
2. Um museu tem um terreno de exposição na forma de um triângulo
retângulo de catetos 50m e 60m. A direção do museu decidiu ladrilhar
a área. Cada ladrilho é um quadrado de 10 cm de lado. Os ladrilhos
são feitos de um material que pode ser cortado apenas 1 vez, devido
ao risco de rachaduras. Além disso, apenas uma das partes do
ladrilho cortado pode ser aproveitada. Responda:
a) Qual o número exato de ladrilhos que será empregado na obra?
O número exato de ladrilhos utilizado é igual 'a area do triangulo dividida
pela 'area de cada ladrilho. Transformando os valores para centimetros temos:
Área Terreno = (6000 x 5000) / 2 = 15 000 000 cm^2
Área Ladrilho = 10 x 10 = 100 cm^2
n Ladrilhos = 15 000 000 / 100 = 150 000 ladrilhos
Não, isto não está certo. Você está implicitamente supondo que os ladrilhos
podem ser recotados e remontados livremente quando o enunciado diz exatamente
o contrário.
Acho que devemos supor que os ladrilhos têm todos os lados paralelos
aos catetos do terreno (isso não foi dito no enunciado; uma solução
a meu ver mais correta incluiria estudar todas as inclinações possíveis
e ver qual a melhor). Assim, medindo tudo em decímetros, devemos
considerar o triângulo de vértices (0,0), (500,0) e (0,600) e ver
quantos quadrados da forma [a,a+1]x[b,b+1], onde a e b são inteiros,
tem alguma parte (que pode ser pequena ou o quadrado todo) no interior
do triângulo. Como para a, b = 0, o canto inferior esquerdo é o que tem
mais chance de estar abaixo da hipotenusa devemos contar os pares de
inteiros (a,b) com
a = 0, b = 0, a/500 + b/600 1
que eu prefiro escrever como
a = 0, b = 0, b 600 - 6a/5.
Para cada a, 0 = a 500, seja f(a) o número de inteiros b que satisfazem
b = 0, b 600 - 6a/5
A resposta é N = f(0) + f(1) + ... + f(499) = soma_{0 = a 500} f(a)
Temos f(a) = teto(600 - 6a/5), onde teto(x) = n sse n é inteiro e
n-1 x = n. Assim
N = teto(600) + teto(600 - 6/5) + teto(600 - 2*6/5) +
+ teto(600 - 3*6/5) + teto(600 - 4*6/5) +
+ teto(600 - 6) + teto(600 - 6 - 6/5) + teto(600 - 6 - 2*6/5) +
+ teto(600 - 6 - 3*6/5) + teto(600 - 6 - 4*6/5) + ...
... + teto(600 - 6*99) + teto(600 - 6*99 - 6/5) + teto(600 - 6*99 - 2*6/5) +
+ teto(600 - 6*99 - 3*6/5) + teto(600 - 6*99 - 4*6/5)
= 600*500 - 5*6*(0+1+2+...+99) +
+ 100*(teto(-6/5) + teto(-2*6/5) + teto(-3*6/5) + teto(-4*6/5))
Mas 0+1+2+...+99 = 99*50 = 4950 e
teto(-6/5) + teto(-2*6/5) + teto(-3*6/5) + teto(-4*6/5) = -1-2-3-4 = -10
donde
N = 30 - 30*4950 - 100*10 = 150500
Ou seja, no quebra quebra há um desperdício de 500 ladrilhos.
O número de ladrilhos cortados é 1000: há exatamente dois ladrilhos
cortados por linha e há 500 linhas. Isto pode ser visto olhando a figura
ou com um argumento parecido com o que eu acabei de dar.
Note que se pudéssemos usar os dois pedaços do ladrilho a sua resposta
estaria correta: precisamos de 149500 ladrilhos inteiros e 1000 pedaços
que podem ser encaixados para formar 500 ladrilhos.
[]s, N.
attachment: ladrilho.png
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desafio: ladrilhar um triângulo
Ola Nicolau,
Obrigado pela correção.
Um abraço,
Anderson
At 15:14 27/6/2003 -0300, Nicolau C. Saldanha wrote:
On Thu, Jun 26, 2003 at 05:29:33PM -0300, Anderson Sales Pereira wrote:
Boa tarde pessoal tudo bem?
Agradeceria se alguém pudesse corrigir este problema para mim, pois não
tenho certeza quanto 'a minha resolução:
2. Um museu tem um terreno de exposição na forma de um triângulo
retângulo de catetos 50m e 60m. A direção do museu decidiu ladrilhar
a área. Cada ladrilho é um quadrado de 10 cm de lado. Os ladrilhos
são feitos de um material que pode ser cortado apenas 1 vez, devido
ao risco de rachaduras. Além disso, apenas uma das partes do
ladrilho cortado pode ser aproveitada. Responda:
a) Qual o número exato de ladrilhos que será empregado na obra?
O número exato de ladrilhos utilizado é igual 'a area do triangulo
dividida
pela 'area de cada ladrilho. Transformando os valores para centimetros
temos:
Área Terreno = (6000 x 5000) / 2 = 15 000 000 cm^2
Área Ladrilho = 10 x 10 = 100 cm^2
n Ladrilhos = 15 000 000 / 100 = 150 000 ladrilhos
Não, isto não está certo. Você está implicitamente supondo que os ladrilhos
podem ser recotados e remontados livremente quando o enunciado diz exatamente
o contrário.
Acho que devemos supor que os ladrilhos têm todos os lados paralelos
aos catetos do terreno (isso não foi dito no enunciado; uma solução
a meu ver mais correta incluiria estudar todas as inclinações possíveis
e ver qual a melhor). Assim, medindo tudo em decímetros, devemos
considerar o triângulo de vértices (0,0), (500,0) e (0,600) e ver
quantos quadrados da forma [a,a+1]x[b,b+1], onde a e b são inteiros,
tem alguma parte (que pode ser pequena ou o quadrado todo) no interior
do triângulo. Como para a, b = 0, o canto inferior esquerdo é o que tem
mais chance de estar abaixo da hipotenusa devemos contar os pares de
inteiros (a,b) com
a = 0, b = 0, a/500 + b/600 1
que eu prefiro escrever como
a = 0, b = 0, b 600 - 6a/5.
Para cada a, 0 = a 500, seja f(a) o número de inteiros b que satisfazem
b = 0, b 600 - 6a/5
A resposta é N = f(0) + f(1) + ... + f(499) = soma_{0 = a 500} f(a)
Temos f(a) = teto(600 - 6a/5), onde teto(x) = n sse n é inteiro e
n-1 x = n. Assim
N = teto(600) + teto(600 - 6/5) + teto(600 - 2*6/5) +
+ teto(600 - 3*6/5) + teto(600 - 4*6/5) +
+ teto(600 - 6) + teto(600 - 6 - 6/5) + teto(600 - 6 - 2*6/5) +
+ teto(600 - 6 - 3*6/5) + teto(600 - 6 - 4*6/5) + ...
... + teto(600 - 6*99) + teto(600 - 6*99 - 6/5) + teto(600 - 6*99 - 2*6/5) +
+ teto(600 - 6*99 - 3*6/5) + teto(600 - 6*99 - 4*6/5)
= 600*500 - 5*6*(0+1+2+...+99) +
+ 100*(teto(-6/5) + teto(-2*6/5) + teto(-3*6/5) + teto(-4*6/5))
Mas 0+1+2+...+99 = 99*50 = 4950 e
teto(-6/5) + teto(-2*6/5) + teto(-3*6/5) + teto(-4*6/5) = -1-2-3-4 = -10
donde
N = 30 - 30*4950 - 100*10 = 150500
Ou seja, no quebra quebra há um desperdício de 500 ladrilhos.
O número de ladrilhos cortados é 1000: há exatamente dois ladrilhos
cortados por linha e há 500 linhas. Isto pode ser visto olhando a figura
ou com um argumento parecido com o que eu acabei de dar.
Note que se pudéssemos usar os dois pedaços do ladrilho a sua resposta
estaria correta: precisamos de 149500 ladrilhos inteiros e 1000 pedaços
que podem ser encaixados para formar 500 ladrilhos.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Desafio
X² = Y² X = +-Y Se XY, então: X = -Y Abraços, Rafael. --- efritscher [EMAIL PROTECTED] escreveu: Eu mesmo criei este desafio no ano passado, enqunto fazia o primeiro ano do Ensino Médio. Pouquíssimos conseguiram resolver, mas é simples. Um número X dividido por um Y, é igual a Y dividido por X. Só que X é diferente de Y. E não são raizes... X/Y = Y/X X =/ Y X?e Y? Espero Resposta... ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Desafio
Oi; bom, acho que qq Y = -X , com X diferente de 0, resolve o nosso problema, neh? um abraço, Camilo PS1: eu não entendi aquela observação de que não eram raízes (irracionais(?), não há nenhuma restrição). PS2: vc pode ver essa questão como uma eq. modular, que vc deve ter aprendido aí no primeiro ano. -- Mensagem original -- Eu mesmo criei este desafio no ano passado, enqunto fazia o primeiro ano do Ensino Médio. Pouquíssimos conseguiram resolver, mas é simples. Um número X dividido por um Y, é igual a Y dividido por X. Só que X é diferente de Y. E não são raizes... X/Y = Y/X X =/ Y X?e Y? Espero Resposta... __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] desafio !
Eder sua analogia é muito boa!Eusó conseguiresolvi esse problema com essa mesma analogia, só que ao final eu utilizei um raciocínio um pouco diferente, veja: se cada vértice é uma patrulha, basta contar quantos homens ( diagonais + lados) partem desse vértice. Logo o nº de homens é exatamente 2(lados) + 8(=11-3 diagonais) = 10 homens em cada patrulha! Valeu! - Original Message - From: Eder To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, November 03, 2002 2:02 PM Subject: Re: [obm-l] desafio ! Uma vez alguém me falou de uma analogia interessante que poderia ser utilizada neste problema... É o seguinte: Consideremos um polígono convexo de 11 lados e,é claro,de 11 vértices.Você posicionaria 1homem em cada vértice,assim estes estariam em exatamente duas patrulhas e cada duas patrulhas teriam um homem em comum.Agora, considere as diagonais.Imaginando uma diagonal como um homem,vemos que aqui também é respeitado o fato de que cada homem estaria em exatamente duas patrulhas e cada duas patrulhas,ligadas pela diagonal,teriam um homem em comum.Assim o total de homens é: nº vértices+nº diagonais= 11 +11(11-3)/2 = 55. Seja n o número de homens por patrulha.Temos que 11*n=2*55 (pois cada homem foi contado duas vezes),daí n=10. Espero que esteja certo. Eder - Original Message - From: Wander Junior To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, November 03, 2002 2:09 PM Subject: [obm-l] desafio ! Dúvida: Um comandante de companhia convocou voluntários para a constituição de 11 patrulhas. Todas elas são formadas pelo mesmo número de homens. Cada homem participa de exatamente duas patrulhas. Cada duas patrulhas tem somente um homem em comum. Determine o múmero de voluntários e integrantes de uma patrulha. Agradeço desde já. Wander
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] desafio(correção)
Tente imaginar um polígono com um nº infinitamente grande de lados (este polígono certamente irá se confundir com uma circunferência), com cada vértice ligado ao centro do polígono (o que equivale a infinitos triângulos isósceles com um vértice em comun), esta é uma configuração equivalente a dos triângulos retângulos a que me referi, uma vez que para ângulos infinitamente pequenos, o triângulo retângulo tende a um triângulo isósceles Esse seu argumento eh perigoso. Considere um segmento A B de comprimento x. Para ir de A a B, anda- se x. Pense agora num triangulo equilatero ABC. Para ir de A a B via C, anda-se 2x. Agora quebre AB ao meio, no ponto M. Para ir de A a B e m linha reta via M, anda- se x. Faça a mesma coisa do triangulo equilatero sobre AM e sobre MB, anda- se 2x. Quebre AM e MB ao meio, etc. No limite, na reta voce anda x e no zigue- zague, 2x. So que no limite, a reta e o zigue-zague se confundem. Logo, x = 2x e 1=2. glauber.morais wrote: Olá, Alguém seria capaz de provar o seguinte lim sem utilizar o lim fundamental do sen: lim x.tg(n/x)=n x-inf ou lim x.sen(n/x)=n x-inf oi.. Considera-se uma circunferência de centro A e raio R. E um triângulo retângulo ABC, sendo os cateto AB=R e BC, a é o ângulo CâB. Para a infinitamene pequeno, o cateto BC se confunde com a circunferência. Iguala-se ,então, o semi- perímetro da circunferência, calculado através do raio da circunferência e através d o somatório de vários CBs dispostos lado a lado com A no centro da circunferência. A partir daí, deduz- se o lim. proposto. Desculpem qualquer confusão causada pela falta de recurso do teclado... _(ver correção na questão) __ ___ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador B OL ! http://sac.bol.com.br/discador.html Ainda não tem AcessoBOL? Assine já! http://sac.bol.c o m. br = == == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usa r a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] rio.br = == == _ __ ___ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador B OL ! http://sac.bol.com.br/discador.html Ainda não tem AcessoBOL? Assine já! http://sac.bol.co m. br = == == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] rio.br = == == __ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BO L! http://sac.bol.com.br/discador.html Ainda não tem AcessoBOL? Assine já! http://sac.bol.com .br == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] == === __ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BOL! http://sac.bol.com.br/discador.html Ainda não tem AcessoBOL? Assine já! http://sac.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RE: [obm-l] desafio !
Um comandante de companhia convocou voluntários para a constituição de 11 patrulhas. Todas elas são formadas pelo mesmo número de homens. Cada homem participa de exatamente duas patrulhas. Cada duas patrulhas tem somente um homem em comum. Determine o múmero de voluntários e integrantes de uma patrulha. Pessoal E se tivermos apenas 11 homens, com 2 homens por patrulha, de forma que P(1) = H(1) e H(2) ... P(N) = H(N) e H(N+1) P(11) = H(11) e H(1) SDS JG -Original Message- From: Eder [mailto:edalbuquerque;uol.com.br] Sent: Sunday, November 03, 2002 1:03 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] desafio ! Uma vez alguém me falou de uma analogia interessante que poderia ser utilizada neste problema... É o seguinte: Consideremos um polígono convexo de 11 lados e,é claro,de 11 vértices.Você posicionaria 1 homem em cada vértice,assim estes estariam em exatamente duas patrulhas e cada duas patrulhas teriam um homem em comum.Agora, considere as diagonais.Imaginando uma diagonal como um homem,vemos que aqui também é respeitado o fato de que cada homem estaria em exatamente duas patrulhas e cada duas patrulhas,ligadas pela diagonal,teriam um homem em comum.Assim o total de homens é: nº vértices+nº diagonais= 11 +11(11-3)/2 = 55. Seja n o número de homens por patrulha.Temos que 11*n=2*55 (pois cada homem foi contado duas vezes),daí n=10. Espero que esteja certo. Eder - Original Message - From: Wander mailto:wander29br;hotmail.com Junior To: [EMAIL PROTECTED] mailto:obm-l;mat.puc-rio.br Sent: Sunday, November 03, 2002 2:09 PM Subject: [obm-l] desafio ! Dúvida: Um comandante de companhia convocou voluntários para a constituição de 11 patrulhas. Todas elas são formadas pelo mesmo número de homens. Cada homem participa de exatamente duas patrulhas. Cada duas patrulhas tem somente um homem em comum. Determine o múmero de voluntários e integrantes de uma patrulha. Agradeço desde já. Wander = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] desafio !
João Gilberto Ponciano Pereira wrote: No seu contra-exenplo P(1) e P(5) nao tem homem comum. Um comandante de companhia convocou voluntários para a constituição de 11 patrulhas. Todas elas são formadas pelo mesmo número de homens. Cada homem participa de exatamente duas patrulhas. Cada duas patrulhas tem somente um homem em comum. Determine o múmero de voluntários e integrantes de uma patrulha. Pessoal E se tivermos apenas 11 homens, com 2 homens por patrulha, de forma que P(1) = H(1) e H(2) ... P(N) = H(N) e H(N+1) P(11) = H(11) e H(1) SDS JG -Original Message- From: Eder [mailto:edalbuquerque;uol.com.br] Sent: Sunday, November 03, 2002 1:03 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] desafio ! Uma vez alguém me falou de uma analogia interessante que poderia ser utilizada neste problema... É o seguinte: Consideremos um polígono convexo de 11 lados e,é claro,de 11 vértices.Você posicionaria 1 homem em cada vértice,assim estes estariam em exatamente duas patrulhas e cada duas patrulhas teriam um homem em comum.Agora, considere as diagonais.Imaginando uma diagonal como um homem,vemos que aqui também é respeitado o fato de que cada homem estaria em exatamente duas patrulhas e cada duas patrulhas,ligadas pela diagonal,teriam um homem em comum.Assim o total de homens é: nº vértices+nº diagonais= 11 +11(11-3)/2 = 55. Seja n o número de homens por patrulha.Temos que 11*n=2*55 (pois cada homem foi contado duas vezes),daí n=10. Espero que esteja certo. Eder - Original Message - From: Wander mailto:wander29br;hotmail.com Junior To: [EMAIL PROTECTED] mailto:obm-l;mat.puc-rio.br Sent: Sunday, November 03, 2002 2:09 PM Subject: [obm-l] desafio ! Dúvida: Um comandante de companhia convocou voluntários para a constituição de 11 patrulhas. Todas elas são formadas pelo mesmo número de homens. Cada homem participa de exatamente duas patrulhas. Cada duas patrulhas tem somente um homem em comum. Determine o múmero de voluntários e integrantes de uma patrulha. Agradeço desde já. Wander = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re:[obm-l] desafio
Olá, Alguém seria capaz de provar o seguinte lim sem utilizar o lim fundamental do sen: lim n.tg(n/x)=n x-inf ou lim n.sen(n/x)=n x-inf oi.. Considera-se uma circunferência de centro A e raio R. E um triângulo retângulo ABC, sendo os cateto AB=R e BC, a é o ângulo CâB. Para a infinitamene pequeno, o cateto BC se confunde com a circunferência. Iguala-se ,então, o semi-perímetro da circunferência, calculado através do raio da circunferência e através do somatório de vários CBs dispostos lado a lado com A no centro da circunferência. A partir daí, deduz-se o lim. proposto. Desculpem qualquer confusão causada pela falta de recurso do teclado... ___ ___ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BOL ! http://sac.bol.com.br/discador.html Ainda não tem AcessoBOL? Assine já! http://sac.bol.com. br === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] === == __ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BOL! http://sac.bol.com.br/discador.html Ainda não tem AcessoBOL? Assine já! http://sac.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re:[obm-l] desafio(correção)
Olá, Alguém seria capaz de provar o seguinte lim sem utilizar o lim fundamental do sen: lim x.tg(n/x)=n x-inf ou lim x.sen(n/x)=n x-inf oi.. Considera-se uma circunferência de centro A e raio R. E um triângulo retângulo ABC, sendo os cateto AB=R e BC, a é o ângulo CâB. Para a infinitamene pequeno, o cateto BC se confunde com a circunferência. Iguala-se ,então, o semi-perímetro da circunferência, calculado através do raio da circunferência e através d o somatório de vários CBs dispostos lado a lado com A no centro da circunferência. A partir daí, deduz-se o lim. proposto. Desculpem qualquer confusão causada pela falta de recurso do teclado... _(ver correção na questão) __ ___ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador B OL ! http://sac.bol.com.br/discador.html Ainda não tem AcessoBOL? Assine já! http://sac.bol.co m. br = == == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] rio.br = == == ___ ___ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BOL ! http://sac.bol.com.br/discador.html Ainda não tem AcessoBOL? Assine já! http://sac.bol.com. br === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] === == __ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BOL! http://sac.bol.com.br/discador.html Ainda não tem AcessoBOL? Assine já! http://sac.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] desafio !
Ola Wander e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
Como CADA HOMEM PARTICIPA DE DUAS PATRULHAS e CADA DUAS PATRULHAS TEM
EXATAMENTE UM HOMEM EM COMUM podemos caracterizar univocamente um homem
atraves de uma combinacao de duas patrulhas, isto e, existe uma aplicacao
biunivoca entre as combinacoes de duas patrulhas e o conjunto dos homens :
TOTAL DE HOMENS = BINOM(11,2) = 55
Esses homens serao distribuidos por 11 patrulhas. Seja N o numero de homens
por patrulha. Entao 11N e o total de homens, contados duas vezes, isto e :
11*N = 2*55 = N=10
Assim, cada patrulha tera 10 homens.
Talvez seja interessante perguntar se ha uma forma rapida de se visualizar
como sera feita a distribuicao dos homens nas patrulhas. Sim, ha e e
simples. Basta observar a primeira parte do raciocinio :
Seja H={H1, H2, ..., H55} o conjunto de homens e P={Conjunto de todas as
combinacoes de 11 patrulhas, tomadas 2 a 2 }. Qualquer bijecao
D : H - P sera uma distribuicao valida, que atendera as exigencias de
simetria do problema.
Para uma visualizacao melhor, basta observar que todo Conjunto de
combinacoes de um conjunto ordenado pode ser distribuido em forma de
triangulo. No nosso caso, se P1, P2,...,P11 forem as patrulhas :
{P10,P11}
{P9,P10},{P9,P11}
{P8,P9},{P8,P10},{P8,P11}
...
{P1,P2},{P1,P3},{P1,P4},...,{P1,P11}
Basta agora associar a cada conjunto de duas patrulhas um homem. Isso e uma
forma de visualizar as coisas.
Esse problema enseja outros, de alguma forma relacionados ...
Suponha que o comandante, dispondo de um numero fixo (efetivo) de soldados,
precisasse montar a cada semana um conjuntos de patrulhas, de forma que :
1) Todas as patrulhas tenham o mesmo numero de soldados
2) Nenhum soldaodo do efetivo fique, em nenhuma semana, sem estar alocado a
uma patrulha
3) Em qualquer instante, duas patrulhas quaisquer nao tenham nenhum soldado
em comum ( patrulhas disjuntas )
4) Em qualquer semana seguinte, quaisquer dois soldados que ja tenham
servidos juntos em uma mesma patrulha nao poderam ficar juntos novamente.
5) Ao fim das semanas de patrulhamento quaisquer dois soldados( do efetivo )
tenham servido juntos em alguma patrulha.
Como ajudar o comandante ? Existe um algoritmo para tanto ? Qualquer numero
inicial de soldados serve ? Senao, Qual o numero de efetivos que sempre
serve ?
Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1927,041102
- Original Message - From: Wander mailto:wander29br;hotmail.com
Junior To: [EMAIL PROTECTED] mailto:obm-l;mat.puc-rio.br Sent:
Sunday, November 03, 2002 2:09 PM
Subject: [obm-l] desafio !
Dúvida:
Um comandante de companhia convocou voluntários para a constituição de 11
patrulhas. Todas elas são formadas pelo mesmo número de homens. Cada homem
participa de exatamente duas patrulhas. Cada duas patrulhas tem somente um
homem em comum. Determine o múmero de voluntários e integrantes de uma
patrulha.
Agradeço desde já.
Wander
_
MSN Messenger: converse com os seus amigos online.
http://messenger.msn.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=
Re: [obm-l] Re:[obm-l] desafio(correção)
Esse seu argumento eh perigoso. Considere um segmento AB de comprimento x. Para ir de A a B, anda-se x. Pense agora num triangulo equilatero ABC. Para ir de A a B via C, anda-se 2x. Agora quebre AB ao meio, no ponto M. Para ir de A a B em linha reta via M, anda-se x. Faa a mesma coisa do triangulo equilatero sobre AM e sobre MB, anda-se 2x. Quebre AM e MB ao meio, etc. No limite, na reta voce anda x e no zigue-zague, 2x. So que no limite, a reta e o zigue-zague se confundem. Logo, x = 2x e 1=2. glauber.morais wrote: H52HKA$[EMAIL PROTECTED]"> Ol, Algum seria capaz de provar o seguinte lim sem utilizar o lim fundamental do sen: lim x.tg(n/x)=n x-inf ou lim x.sen(n/x)=n x-inf oi.. Considera-se uma circunferncia de centro "A" e raio "R". E um tringulo retngulo "ABC", sendo os cateto AB=R e BC, "a" o ngulo CB. Para "a" infinitamene pequeno, o cateto BC se confunde com a circunferncia.Iguala-se ,ento, o semi-permetro da circunferncia, calculado atravs do raio da circunferncia e atravs d o somatrio de vrios "CB"s dispostos lado a lado com "A" no centro da circunferncia. A partir da, deduz-se o lim. proposto. Desculpem qualquer confuso causada pela falta de recurso do teclado... _(ver correo na questo) __ ___ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador B OL ! http://sac.bol.com.br/discador.htmlAinda no tem AcessoBOL? Assine j! http://sac.bol.co m. br = == == Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]- rio.br = == == ___ ___ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BOL ! http://sac.bol.com.br/discador.htmlAinda no tem AcessoBOL? Assine j! http://sac.bol.com. br === == Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]=== == __Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BOL!http://sac.bol.com.br/discador.htmlAinda no tem AcessoBOL? Assine j! http://sac.bol.com.br=Instrues para entrar na
Re: [obm-l] desafio
On Sat, Nov 02, 2002 at 01:25:13AM -0200, Augusto César Morgado wrote: Não. Ninguém é capaz de provar isso, nem usando nem não usando.. Morgado glauber.morais wrote: Olá, Alguém seria capaz de provar o seguinte lim sem utilizar o lim fundamental do sen: lim n.tg(n/x)=n x-inf ou lim n.sen(n/x)=n x-inf Para quem não entendeu o sarcasmo do Morgado, estes limites estão errados (talvez haja um erro tipográfico). Os dois limites são iguais a 0 por motivos triviais (continuidade) sem ter nada a ver com o limite fundamental. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] desafio
Oi Glauber, Provavelmente você trocou o enunciado ; deveria ser L =lim x.tg(n/x)=n ( x-inf) . Denote u = n/x teremos u- 0 e L = n.lim tgu/u (u-0+ em radianos) . Faça uma pequena analise no primeiro quadrante e conclua : senu u tgu e consequentemente 1 tgu/u 1/cosu , concluindo pelo Teorema do Confronto que lim tgu/u =1(u-0) donde L =n . Idéia idêntica para o seno ; confira as contas , ok ? Acredito que era esta a sua dúvida , []´s Carlos Victor At 23:27 1/11/2002 -0300, glauber.morais wrote: Olá, Alguém seria capaz de provar o seguinte lim sem utilizar o lim fundamental do sen: lim n.tg(n/x)=n x-inf ou lim n.sen(n/x)=n x-inf __ Encontre sempre uma linha desocupada com o Discador BOL! http://sac.bol.com.br/discador.html Ainda não tem AcessoBOL? Assine já! http://sac.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] desafio !
Eu acho que é isso: Considere A,B, C..., J, K as patrulhas.Como cada homem pertence a duas patrulhas, não há elementosda patrulha A que não estejam em um e somente um das outras patrulhas. Por outro lado, como só há um homem em comum, obrigatoriamente, entre duas, não é possível que o número de homens duma patrulha sejadiferente de dez (não é mais porque duas teriam mais de um em comum e não é menos pois duas patrulhas não teriam nada em comum ). - Original Message - From: Wander Junior To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, November 03, 2002 2:09 PM Subject: [obm-l] desafio ! Dúvida: Um comandante de companhia convocou voluntários para a constituição de 11 patrulhas. Todas elas são formadas pelo mesmo número de homens. Cada homem participa de exatamente duas patrulhas. Cada duas patrulhas tem somente um homem em comum. Determine o múmero de voluntários e integrantes de uma patrulha. Agradeço desde já. Wander
Re: [obm-l] desafio !
Uma vez alguém me falou de uma analogia interessante que poderia ser utilizada neste problema... É o seguinte: Consideremos um polígono convexo de 11 lados e,é claro,de 11 vértices.Você posicionaria 1homem em cada vértice,assim estes estariam em exatamente duas patrulhas e cada duas patrulhas teriam um homem em comum.Agora, considere as diagonais.Imaginando uma diagonal como um homem,vemos que aqui também é respeitado o fato de que cada homem estaria em exatamente duas patrulhas e cada duas patrulhas,ligadas pela diagonal,teriam um homem em comum.Assim o total de homens é: nº vértices+nº diagonais= 11 +11(11-3)/2 = 55. Seja n o número de homens por patrulha.Temos que 11*n=2*55 (pois cada homem foi contado duas vezes),daí n=10. Espero que esteja certo. Eder - Original Message - From: Wander Junior To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, November 03, 2002 2:09 PM Subject: [obm-l] desafio ! Dúvida: Um comandante de companhia convocou voluntários para a constituição de 11 patrulhas. Todas elas são formadas pelo mesmo número de homens. Cada homem participa de exatamente duas patrulhas. Cada duas patrulhas tem somente um homem em comum. Determine o múmero de voluntários e integrantes de uma patrulha. Agradeço desde já. Wander
[obm-l] Re: [obm-l] Desafio o retorno!!
Vou usar complexos(a paixao de JP): Seja a expressao f(x)=x^2+x+1.Vamos fatora-la em R+Ri,i^2+1=0. Defina cis x=sen x+i*cos x=e^(ix). Entao w=(cis(2*pi/3)) e wbarra=(cis(4*pi)/3) sao zeros de f. Para as raizes de x^6+x^3+1,ache as raizes cubicas de w e wbarra. Te mais -- Mensagem original -- Olá amigos, Estou de volta com outro exercício(+difícil na minha opinião) Meu professor disse que nem ele consegue fatorar a seguinte expressão em IR: x^6 + (xy)^3 + y^6 Abraços, Bruno TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Desafio
Use que 1+a(i) =2sqrt[a(i)]. Fazendo o produto dessas n equações, temos que
P =2^n * sqrt[ produto a(i) ] = 2^n * 2 = 2^(n+1). RESPOSTA : C.
Villard
-Mensagem original-
De: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Quinta-feira, 6 de Junho de 2002 23:09
Assunto: Re: [obm-l] Desafio
Caro Bruno,
a notação que você usou não está muito legível. Seria melhor adotar índices
para os a's, por exemplo: a_1, a_2, a_3, ..., a_n. Para fazer exponenciação
geralmente se usa ^, aí as alternativas seriam P2^(n+3), P5^n, e assim
por diante.
Quanto ao problema. Existe uma desigualdade, que aprendi a demonstrar por
indução (e talvez você já conheça ou queira provar como exercício) que diz
que se a_1, a_2, ..., a_n são números não-negativos então
(1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 1 + (a_1*a_2*...*a_n)
com a igualdade se e so se todos os a_i's forem iguais a zero.
No caso do seu problema. Temos
P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) 1 + (a_1*a_2*...*a_n) = 5.
Isso claramente não resolve o problema. Uma estratégia mais interessante me
parece procurar pelo valor mínimo de P, após fixado o n.
Fazendo a multiplicação, temos
P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 1 + [a_1+a_2+...+a_n] +
[a_1a_2+a_1a_3+...+a_(n-1)a_n] + ... + [a_1a_2...a_n]
No primeiro colchetes temos os n termos a's solitários.
No segundo colchetes temos os produtos de pares de a's.
No terceiro, o produto de trincas. E assim por diante.
Vamos aplicar a desigualdade: média aritmética = média geométrica em cada
um dos colchetes.
P = 1 + n*[RAIZ_n {a_1a_2...a_n}] + n(n-1)/2*[RAIZ_n(n-1)/2
{(a_1a_2...a_n)^(n-1)}] + ... + [a_1a_2...a_n]
De forma mais compacta
P = 1 + SOMATÓRIO{ k=1...n :C(n,k) * RAIZ_C(n,k) {
(a_1a_2...a_n)^(C(n-1,k-1)) } } =
1 + SOMATÓRIO{ k=1...n :C(n,k) * (RAIZ_n (4^k) }
= (1 + RAIZ_n(4))^n
((Revisem as contas, fiz de modo simplificado))
Basta mostrar que a igualdade ocorre se e somente se a_1=a_2=...a_n, mas
isso é claro por termos usado a desigualdade média aritmética e geométrica.
Portanto P = (1 + RAIZ_n(4))^n e a igualdade pode ocorrer para cada n.
Com isso fica fácil de ver que qualquer exponencial do tipo a^n (onde a1)
vai acabar superando P para algum n suficientemente grande, repare que 1 +
RAIZ_n(4), a base da nossa exponencial se aproxima de 1 a medida que n
cresce. De modo que nem a) nem b) nem c) nem d) são verdadeiras. Logo a
alternativa correta é e).
Um abraço!
Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
From: Bruno
Eu não consegui fazer este exercício do ITA e desafio todos dessa lista:
Suponha a', a'', ., an são números reais positivos, com n2 e que
a'.a''.a'''an=4
Nesta situação, a repeito do produto:
P=(1+a')(1+a'')...(1+an) temos:
n+3
a.)P2
n
b.)P5
n+1
c.)P2
n+1
d.)P5
e.)n.d.a.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
Re: [obm-l] Desafio
Caro Rodrigo Villard,
em verdade faltou um detalhe bobo:
P=2^(n+1) não implica que P2^(n+1)
mesmo assim podemos consertar facilmente pois nem todas as desigualdades 1 +
a_i = 2 RAIZ( a_i ) podem ser igualdades simultaneamente, ja que para isso
ocorrer teriamos de ter todos os a_i's iguais a 1. Portanto a conclusao pode
ser
P2^(n+1)
e o problema esta todo resolvido pelo colega.
Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
PS. só um outro detalhe, a desigualdade P = (1 + RAIZ_n( 4 ))^n é
verdadeira! O que não é verdadeira é minha conclusão final. Mas é claro que
para os propósitos da questão a solução do Villard satisfaz muito mais pois
é direta ao resultado, mais curta e utiliza menos recursos. É muito mais
objetiva.
From: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED]
Use que 1+a(i) =2sqrt[a(i)]. Fazendo o produto dessas n equações, temos
que
P =2^n * sqrt[ produto a(i) ] = 2^n * 2 = 2^(n+1). RESPOSTA : C.
Villard
-Mensagem original-
De: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Quinta-feira, 6 de Junho de 2002 23:09
Assunto: Re: [obm-l] Desafio
Caro Bruno,
a notação que você usou não está muito legível. Seria melhor adotar
índices
para os a's, por exemplo: a_1, a_2, a_3, ..., a_n. Para fazer
exponenciação
geralmente se usa ^, aí as alternativas seriam P2^(n+3), P5^n, e
assim
por diante.
Quanto ao problema. Existe uma desigualdade, que aprendi a demonstrar por
indução (e talvez você já conheça ou queira provar como exercício) que
diz
que se a_1, a_2, ..., a_n são números não-negativos então
(1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 1 + (a_1*a_2*...*a_n)
com a igualdade se e so se todos os a_i's forem iguais a zero.
No caso do seu problema. Temos
P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) 1 + (a_1*a_2*...*a_n) = 5.
Isso claramente não resolve o problema. Uma estratégia mais interessante
me
parece procurar pelo valor mínimo de P, após fixado o n.
Fazendo a multiplicação, temos
P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 1 + [a_1+a_2+...+a_n] +
[a_1a_2+a_1a_3+...+a_(n-1)a_n] + ... + [a_1a_2...a_n]
No primeiro colchetes temos os n termos a's solitários.
No segundo colchetes temos os produtos de pares de a's.
No terceiro, o produto de trincas. E assim por diante.
Vamos aplicar a desigualdade: média aritmética = média geométrica em
cada
um dos colchetes.
P = 1 + n*[RAIZ_n {a_1a_2...a_n}] + n(n-1)/2*[RAIZ_n(n-1)/2
{(a_1a_2...a_n)^(n-1)}] + ... + [a_1a_2...a_n]
De forma mais compacta
P = 1 + SOMATÓRIO{ k=1...n :C(n,k) * RAIZ_C(n,k) {
(a_1a_2...a_n)^(C(n-1,k-1)) } } =
1 + SOMATÓRIO{ k=1...n :C(n,k) * (RAIZ_n (4^k) }
= (1 + RAIZ_n(4))^n
((Revisem as contas, fiz de modo simplificado))
Basta mostrar que a igualdade ocorre se e somente se a_1=a_2=...a_n, mas
isso é claro por termos usado a desigualdade média aritmética e
geométrica.
Portanto P = (1 + RAIZ_n(4))^n e a igualdade pode ocorrer para cada n.
Com isso fica fácil de ver que qualquer exponencial do tipo a^n (onde
a1)
vai acabar superando P para algum n suficientemente grande, repare que 1
+
RAIZ_n(4), a base da nossa exponencial se aproxima de 1 a medida que n
cresce. De modo que nem a) nem b) nem c) nem d) são verdadeiras. Logo a
alternativa correta é e).
Um abraço!
Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
From: Bruno
Eu não consegui fazer este exercício do ITA e desafio todos dessa lista:
Suponha a', a'', ., an são números reais positivos, com n2 e que
a'.a''.a'''an=4
Nesta situação, a repeito do produto:
P=(1+a')(1+a'')...(1+an) temos:
n+3
a.)P2
n
b.)P5
n+1
c.)P2
n+1
d.)P5
e.)n.d.a.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
Re: [obm-l] Desafio
obrigado pela solução mas o que é:
sqrt?
abraços,
Bruno
- Original Message -
From: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, June 07, 2002 11:01 AM
Subject: Re: [obm-l] Desafio
Use que 1+a(i) =2sqrt[a(i)]. Fazendo o produto dessas n equações, temos
que
P =2^n * sqrt[ produto a(i) ] = 2^n * 2 = 2^(n+1). RESPOSTA : C.
Villard
-Mensagem original-
De: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Quinta-feira, 6 de Junho de 2002 23:09
Assunto: Re: [obm-l] Desafio
Caro Bruno,
a notação que você usou não está muito legível. Seria melhor adotar
índices
para os a's, por exemplo: a_1, a_2, a_3, ..., a_n. Para fazer
exponenciação
geralmente se usa ^, aí as alternativas seriam P2^(n+3), P5^n, e
assim
por diante.
Quanto ao problema. Existe uma desigualdade, que aprendi a demonstrar por
indução (e talvez você já conheça ou queira provar como exercício) que
diz
que se a_1, a_2, ..., a_n são números não-negativos então
(1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 1 + (a_1*a_2*...*a_n)
com a igualdade se e so se todos os a_i's forem iguais a zero.
No caso do seu problema. Temos
P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) 1 + (a_1*a_2*...*a_n) = 5.
Isso claramente não resolve o problema. Uma estratégia mais interessante
me
parece procurar pelo valor mínimo de P, após fixado o n.
Fazendo a multiplicação, temos
P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 1 + [a_1+a_2+...+a_n] +
[a_1a_2+a_1a_3+...+a_(n-1)a_n] + ... + [a_1a_2...a_n]
No primeiro colchetes temos os n termos a's solitários.
No segundo colchetes temos os produtos de pares de a's.
No terceiro, o produto de trincas. E assim por diante.
Vamos aplicar a desigualdade: média aritmética = média geométrica em
cada
um dos colchetes.
P = 1 + n*[RAIZ_n {a_1a_2...a_n}] + n(n-1)/2*[RAIZ_n(n-1)/2
{(a_1a_2...a_n)^(n-1)}] + ... + [a_1a_2...a_n]
De forma mais compacta
P = 1 + SOMATÓRIO{ k=1...n :C(n,k) * RAIZ_C(n,k) {
(a_1a_2...a_n)^(C(n-1,k-1)) } } =
1 + SOMATÓRIO{ k=1...n :C(n,k) * (RAIZ_n (4^k) }
= (1 + RAIZ_n(4))^n
((Revisem as contas, fiz de modo simplificado))
Basta mostrar que a igualdade ocorre se e somente se a_1=a_2=...a_n, mas
isso é claro por termos usado a desigualdade média aritmética e
geométrica.
Portanto P = (1 + RAIZ_n(4))^n e a igualdade pode ocorrer para cada n.
Com isso fica fácil de ver que qualquer exponencial do tipo a^n (onde
a1)
vai acabar superando P para algum n suficientemente grande, repare que 1
+
RAIZ_n(4), a base da nossa exponencial se aproxima de 1 a medida que n
cresce. De modo que nem a) nem b) nem c) nem d) são verdadeiras. Logo a
alternativa correta é e).
Um abraço!
Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
From: Bruno
Eu não consegui fazer este exercício do ITA e desafio todos dessa lista:
Suponha a', a'', ., an são números reais positivos, com n2 e que
a'.a''.a'''an=4
Nesta situação, a repeito do produto:
P=(1+a')(1+a'')...(1+an) temos:
n+3
a.)P2
n
b.)P5
n+1
c.)P2
n+1
d.)P5
e.)n.d.a.
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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=
=
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=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
Re: [obm-l] Desafio
Sauda,c~oes,
Para ser coerente com o que acabo de
escrever: a lista deve prestar um serviço nesse
tipo de dúvida também.
sqrt é a forma abreviada de square root ou
raiz quadrada. No TeX, \sqrt{x} é a raiz quadrada
de x.
Assim c = \sqrt{a^2+b^2} é a hipotenusa de um
triângulo retângulo de catetos a e b, por exemplo.
[]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: Bruno [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: sexta-feira, 7 de junho de 2002 18:36
Assunto: Re: [obm-l] Desafio
obrigado pela solução mas o que é:
sqrt?
abraços,
Bruno
- Original Message -
From: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, June 07, 2002 11:01 AM
Subject: Re: [obm-l] Desafio
Use que 1+a(i) =2sqrt[a(i)]. Fazendo o produto dessas n equações, temos
que
P =2^n * sqrt[ produto a(i) ] = 2^n * 2 = 2^(n+1). RESPOSTA : C.
Villard
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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=
[obm-l] Re: [obm-l] Desafio [correção]
Caro Bruno e colegas,
minha conclusão foi errônea, como muitas de outras mensagens minhas.
O fato de P = (1 + RAIZ_n(4))^n implica, por exemplo que:
P = 2^n, já que 1 + RAIZ_n(4) 2
O meu erro foi achar que RAIZ_n(4) tende a zero quando n cresce, isso não é
verdade. Essa seqüência tende a 1, de modo descrescente.
Mesmo assim *acho* que a alternativa correta é e).
Pois para n=1, podemos fazer P=5. De modo que a) não pode valer. As
alternativas b) e d) certamente não valem. Não sei quanto a c). Vou pensar
mais a respeito.
Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]
Caro Bruno,
a notação que você usou não está muito legível. Seria melhor adotar
índices
para os a's, por exemplo: a_1, a_2, a_3, ..., a_n. Para fazer
exponenciação
geralmente se usa ^, aí as alternativas seriam P2^(n+3), P5^n, e assim
por diante.
Quanto ao problema. Existe uma desigualdade, que aprendi a demonstrar por
indução (e talvez você já conheça ou queira provar como exercício) que diz
que se a_1, a_2, ..., a_n são números não-negativos então
(1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 1 + (a_1*a_2*...*a_n)
com a igualdade se e so se todos os a_i's forem iguais a zero.
No caso do seu problema. Temos
P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) 1 + (a_1*a_2*...*a_n) = 5.
Isso claramente não resolve o problema. Uma estratégia mais interessante
me
parece procurar pelo valor mínimo de P, após fixado o n.
Fazendo a multiplicação, temos
P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 1 + [a_1+a_2+...+a_n] +
[a_1a_2+a_1a_3+...+a_(n-1)a_n] + ... + [a_1a_2...a_n]
No primeiro colchetes temos os n termos a's solitários.
No segundo colchetes temos os produtos de pares de a's.
No terceiro, o produto de trincas. E assim por diante.
Vamos aplicar a desigualdade: média aritmética = média geométrica em cada
um dos colchetes.
P = 1 + n*[RAIZ_n {a_1a_2...a_n}] + n(n-1)/2*[RAIZ_n(n-1)/2
{(a_1a_2...a_n)^(n-1)}] + ... + [a_1a_2...a_n]
De forma mais compacta
P = 1 + SOMATÓRIO{ k=1...n :C(n,k) * RAIZ_C(n,k) {
(a_1a_2...a_n)^(C(n-1,k-1)) } } =
1 + SOMATÓRIO{ k=1...n :C(n,k) * (RAIZ_n (4^k) }
= (1 + RAIZ_n(4))^n
((Revisem as contas, fiz de modo simplificado))
Basta mostrar que a igualdade ocorre se e somente se a_1=a_2=...a_n, mas
isso é claro por termos usado a desigualdade média aritmética e
geométrica.
Portanto P = (1 + RAIZ_n(4))^n e a igualdade pode ocorrer para cada n.
Com isso fica fácil de ver que qualquer exponencial do tipo a^n (onde a1)
vai acabar superando P para algum n suficientemente grande, repare que 1 +
RAIZ_n(4), a base da nossa exponencial se aproxima de 1 a medida que n
cresce. De modo que nem a) nem b) nem c) nem d) são verdadeiras. Logo a
alternativa correta é e).
Um abraço!
Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
From: Bruno
Eu não consegui fazer este exercício do ITA e desafio todos dessa lista:
Suponha a', a'', ., an são números reais positivos, com n2 e que
a'.a''.a'''an=4
Nesta situação, a repeito do produto:
P=(1+a')(1+a'')...(1+an) temos:
n+3
a.)P2
n
b.)P5
n+1
c.)P2
n+1
d.)P5
e.)n.d.a.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
