Re: [obm-l] Ajuda
Bom, se você souber derivadas, basta derivar f(x) com relação a x, e igualar a zero, obtendo 0 = f'(x) = 2( (x-1) + (x-2) + (x-3) + ... + (x-50) ) o que reduz-se a soma de P.A: 0 = 50x - (1+2+3+...+50)= 50x - 50*51/2) ou seja, x = 25.5. Como é esperado que x seja inteiro, pelas suas respostas, e como a função f(x) é uma função do segundo grau mascarada, teremos que ela é simétrica em relação ao seu mínimo, ou seja f(26) = f(25), que são os pontos mais próximos do mínimo que há nos inteiros. Outro modo de pensar esta questão é tentar provar uma desigualdade do tipo (x - a)^2 + (y + a)^2 x^2 + y^2, que vale sempre, e aplicar aos casos em que temos troca de sinais, lembrando que quadrados sao sempre positivos. Por exemplo, suponha que você acha que o mínimo está em zero. Mas aí, vc pode usar x = 1 e notar que os termos quadrados foram deslocados e que você trocou um termo grande (-50)^2 por um pequeno (0)^2 Pensando assim, quanto mais simétrica for a expressão, melhor, e daí você escolhe 25 ou 26, que geram respostas simétricas perto do centro, que é o minimizante. Essa idéia veio de tentar resolver um problema mais simples; tente ver o mínimo quando vc tem só cinco termos: Com x = 0, temos 1+4+9+16+25 Com x = 1, 0+1+4+9+16 (que é menor que f(0)) Com x = 2, 1+0+1+4+9 Com x = 3 4+1+0+1+4 Com x = 4, temos 9+4+1+0+1, que é o mesmo que f(2) com a ordem trocada! Aí, você usa a desigualdade para provar que f(3) f(2) e pronto. Para fazer o caso com 50, é mais difícil, mesmo pq f(25)=f(26). Mas aí vc vai provando em cascata que f(1)f(2)f(3)...f(25) e pronto. Até mais, Bernardo Costa On Tue, 6 Jul 2004 [EMAIL PROTECTED] wrote: Determinar o valor de f(x) de forma que a função: f(x)= (x-1)²+(x-2)²+(x-3)²...+(x-50)² tenha valor mínimo. a) 0 b)15 c)25 d) 50 e) 65 essa aí deve ter algum macete, mas não estou achando... Grato Junior
Re: RES: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos
Oi, David, Enumere os primos menores do que 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19: são 8. Um número que satisfaça as condições do enunciado pode ter, no máximo, um de cada um destes fatores, pela segunda parte, e nenhum outro fator, pela primeira parte. Assim, temos um problema de combinatória, agora: quantos números podemos formar utilizando apenas o produto de 8 primos, onde não podemos incluir um primo duas vezes. Ou, mais combinatória ainda, quantos subconjuntos de um conjunto de 8 elementos existem? Para ver que as soluções são iguais, associe a cada subconjunto o número correspondente ao produto de seus elementos, e ao subconjunto vazio o número 1 (eis aqui mais uma boa justificativa para termos um produtório vazio valendo 1!!) Bom, para este problema a resposta é conhecida: vale 2^8 = 256. Pronto, são 256 números. Abraços, Bernardo Costa On Tue, 20 Jul 2004, David M. Cardoso wrote: Droga droga droga !!! Na pressa, errei o enunciado da questão! Mil desculpas! Segue o enunciado correto: Quantos inteiros existem que não são divisíveis por qualquer que seja o primo maior que 20 e não são divisíveis pelo quadrado de qualquer que seja o primo? Puxa vida... tenho prova amanha cedo, vou tentar tirar minhas duvidas de ultima hora, tenho a sorte de voces existirem e ainda erro o enunciado da questao... :~( []'s David -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Bruno França dos Reis Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 18:53 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 On Tuesday 20 July 2004 18:26, David M. Cardoso wrote: Mais duas questoes que não consigo me mecher: Quantos inteiros existem que não são divisíveis por qualquer que seja o primo maior que 20 e não são divisiveis por qualquer que seja o primo? a) infinitos: 2^n não é divisível por qualquer que seja o primo maior que 20, pois é divisível apenas pelo primo 2, qualquer que seja n natural. b) apenas o 1, pois qualquer outro número é divisível por ao menos um primo: se ele for composto, sabemos que ele é múltiplo de primos, e se ele é primo, ele é divisível por si próprio, um número primo. Já o 1 é divisível apenas por 1, que não é primo (e não me venham com essa de que 1 é primo também!) acho que é isso! abraço - -- Bruno França dos Reis brunoreis at terra com br icq: 12626000 gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.4 (GNU/Linux) iD8DBQFA/ZREsHdDIT+qyroRAhQFAKDOZm/uCMp38TYe+uXT2rL+lkNPWQCfWTdb iMrCfq37UfF/7EZvrP6Qm3g= =qpSy -END PGP SIGNATURE- == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] análise
Oi, Artur. Eu acho que quando estava escrito |f(x)| era para ser interpretado como, usando a sua notac~ao f=(f1, f2, ,..., fn) (f1^2 + f2^2 + ... + fn^2)^(1/2). A'i eu acho que a an'alise da quest~ao 'e mais complicada, mas (se eu n~ao me engano, estudei isso h'a muito tempo atr'as) deve decorrer do teorema do posto para fun'c~oes diferenci'aveis, pois a imagem tem dimens~ao menor do que o dom'inio, logo o posto da matriz jacobiana 'e (n-1), logo seu determinante 'e zero. Bernardo On Fri, 6 Aug 2004, Artur Costa Steiner wrote: Temos que f = (f1,fm), onde as f_is sao as funcoes coordenadas de U em R que compoem f. A diferenciabilidade de f implica que todos esta funcoes cooordenadas tambem sejam diferenciaveis, logo continuas. Consideremos a funcao f1. Por ser diferenciavel em U, f1 eh continua neste conjunto. Se f1 for estritamente positiva em U, entao |f1| = f1 eh f1 eh constante m U. Logo todas suas derivadas parciais se anulam em U. Se f1 for estritamente negativa em U, entao f1 = -|f1| e mais uma vez concluimos que f1 eh constante e tem derivadas parciais nulas. Se f1 se anular em algum u de U, entao a contuinuidade de |f1| - que decorre automaticamente da continuidade de f1 - implica que f(u) = 0, o que, em virtude das condicoes dadas, implica que f seja identicamente nula em U. Logo, tambem neste caso f1 tem derivadas parciais identicamente nulas Como igual raciocinio vale para todas as f_is, segue-se que o Jacobiano eh identicamente nulo. Eu acho que para estas conclusoes basata ssumir continuidade de f em U, estah me parecendo que nao eh preciso assumir difereciabilidade. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] análise Data: 04/08/04 09:09 Gostaria de uma ajuda no prob. abaixo: Seja f:U -- R^n dif. no aberto U de R^m. Se |f(x)| é constante quando x varia em U, então o determinante jacobiano de f identicamente nulo. Grato, Éder. Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade! OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] pergunta do aluno
Perceba que C(n, n-k) = C(n,k), logo podemos utilizar a relação de Stiefel C(n-1, k-1) + C(n-1, k) = C(n,k) para obter C(n-1,k) = 60 - 18 = 42. Abraços, Bernardo On Tue, 10 Aug 2004, nilton rr wrote: Companheiros essa pergunta foi feita por um dos meus alunos ,peço ajuda pois não consegui resolver: Sabendo que C(n-1, k-1) = 18 e C(n, n-k) = 60, calcule C(n-1, k). Grato __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questao simples do bartle
Oi, niski.
Se eu não me engano, quando temos dois conjuntos A e B, (não-vazios, por
simplicidade - e para evitar discussões de quanto vale 0^0),
DEFINE-SE A^B como o conjunto de todas as funções f: B - A (repare que a
ordem está trocada, é isto mesmo)
Note que, então, você apenas tem que provar que o espaço de funções
F({1, 2, ..., p}; R) é isomorfo (no sentido de espaços vetoriais) a R^p.
Tomamos, naturalmente, F(S, R) (na sua notação, S={1,2,...,p}) como um
espaço vetorial de dimensão p sobre o conjunto dos números Reais (PROVE!).
Então, basta você mostrar que existe uma função que leva uma base de
F(S, R) numa base de R^p e que esta respeita as operações dos dois espaços
vetoriais. Nada mais natural do que escolher como base para F(S, R)
as funções f_i (1 = i = p) que são definidas por f_i(i) = 1 e f_i(k) = 0
para k diferente de i, e então levar f_i - e_i, i-ésima componente de
R^p, (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0), que vale 1 apenas na i-ésima coordenada.
Defina agora g (o nosso isomorfismo de espaços vetoriais) como
- g(f_i) = e_i
- g(a_1*f_1 + ... + a_n*f_n) = (a_1, ..., a_n), onde os a_i são reais.
Decorre da definição da g que ela é um isomorfismo entre os espaços
vetoriais.
Agora, eu acho que todos os espaços vetoriais de dimensão p sobre um mesmo
corpo são isomorfos (eu acho que realmente esta é a parte difícil, ou
seja, provar que R^S tem dimensão p, mas a idéia da demonstração da
propriedade acima é a mesma, mandando a base de um para a base do outro,
por uma função análoga, estendida igualmente)
Observação: note que, para conjuntos finitos, temos um resultado
interessante: (# = número de elementos de) #(A^B) = (#A)^(#B).
A demonstração pode ser feita por diversos argumentos combinatórios ou
(para quem preferir) por indução no número de elementos de B
(Tome como base que A^{x} tem, obviamente, #A elementos).
Abraços,
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On Tue, 10 Aug 2004, niski wrote:
Pessoal, este problema tirado do capitulo 8 (The Topology of Cartesian
Spaces) me parece ser simples por ser um dos primeiros do capitulo. Eu
realmente não entendi o enunciado. Me desculpem pelo ingles, se alguem
quiser eu traduzo o enunciado.
Let S = {1,2,...,p}, for some p E N. Show that the vector space R^S
is essentially the same as the space R^p
Gostaria que alguem por favor me explicasse o que exatamente ele quer no
problema ou seja, acredito que basta explicar como se mostra que um
espaço vetorial é essencialmente o mesmo que um outro e tambem o que é
R^S. S é um conjunto...soa estranho, estou acosumado com R^2, R^3 e de
associar a ideia de produto cartesiano mas como imaginar para R^S onde S
é um conjunto de numeros naturais?
obrigado
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Re: [obm-l] Re:[obm-l] Problema envolvendo potências
Bom, a idéia que você teve está quase certa, mas você deslizou na hora
de fazer a divisão (pois aí o sinal da desigualdade muda).
Temos, como você falou,
x = (3^31 + 2^31)/(3^29 + 2^29) =
(9 + 4y)/(1 + y), onde y = (2/3)^29
Podemos escrever 9 + 4y = 9 + 9y - 5y = 9(1 + y) - 5y, e substituir em x:
x = (9(1 + y) - 5y)/(1 + y) = 9 - 5y/(1 + y)
Agora, vem a parte que você usa que y é muito pequeno: 1 + y é quase
1, mas o que importa mesmo é que 5y 1, pois então, como 1 + y 1,
1/(1 + y) 1
e daí (e foi aí que você não trocou o sinal) 5y * 1/(1 + y) 1 * 1
Ora, (2/3)^2 = 4/9 1/2, logo (2/3)^6 (1/2)^3 = 1/8 e portanto 5y 5/8 1.
Pronto.
Abraços,
Bernardo Costa
Curiosidade: x é muito perto de 9 (e y é quase zero mesmo); eu fiz as
contas no computador e deu
x = 8.60887093084949
y = 0.078226425762698330801
On Fri, 10 Sep 2004 18:05:01 -0300, eritotutor [EMAIL PROTECTED] wrote:
Amigo Rafael,
Eh a primeira vez que respondo se estiver errado, me
corrijam...
Divida o numerador e o denominador da fraçao por 3^29 e
vc obterah o seguinte:
{(9 + 4(2/3)^29}:{1 + (2/3)^29
Analisando esse resultado segue q (2/3)^29 e um numero
menor do que 1.
Daí {(9 + 4(2/3)^29}:{1 + (2/3)^29 eh menor que
(9 + 1 ): (1 + 1)
E portanto o numero inteiro procurado eh 5.
__
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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Re: [obm-l] Conjuntos enumeraveis e finitos
E quanto ao intervalo aberto A = (a, b) com a b? O supremo de A é b, mas b não pertence a A. Bernardo On Mon, 13 Sep 2004 12:26:19 -0300, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Eu gostaria de ajuda para dar uma prova matematicamente valida para as seguintes afirmacoes sobre conjuntos de R^n: 1) Se o conjunto dos pontos de acumulacao de A for enumeravel ou finito, entao A eh enumeravel, podendo ser finito. Uma forma de provar isso eh tomar por base o conceito de ponto de condensacao. Dizemos que x eh ponto de condensacao de A se toda vizinhanca de x contiver uma quantidade naum-enumeravel de elementos de A. Em R^n (assim como em todo espaco metrico separavel), conjuntos naum enumeraveis possuem pontos de condensacao e o conjunto dos pontos de condensacao de um conjunto naum eh enumeravel. Eh imediato que todo ponto de condensacao eh ponto de acumulacao. Como o conjunto dos pontos de acumulacao de A eh enumeravel, segue-se automaticamente que A naum possui pontos de condensacao (se A possuisse um de tais pontos, entao o conjunto de seus pontos de acumulacao conteria pontos de condensacao e naum poderia ser enumeravel). Logo, A eh enumeravel. 2) Se A eh um subconjunto de R limitado superiormente, entao o supremo de A pertence a A. Se s = supremo A naum pertencesse a A, entao s seria ponto de acumulacao de A. Mas como A eh finito, A naum possui nenhum ponto de acumulacao. Logo, temos necessariamente que s pertence a A. No caso (1) eu estou com dificuldades na primeira parte, embora a conclusao pareca intuitiva. Tambem acho, embora a prova formal naum seja assim tao imediata Com relacao a segunda parte, um bom exemplo eh B = conjunto dos racionais, certo? Eh enumeravel, mas o conjunto de seus pontos de acumulacao eh o proprio R, que naum eh enumeravel. Exatamente. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão_4
Entretanto, só para contra-argumentar, define-se, em teoria dos conjuntos,
0 = {}, pois existe um axioma que diz Existe o conjunto vazio, logo
é a única coisa que podemos garantir; usando um axioma que é parecido
com indução, podemos construir agora o conjunto {0}, e chamamos este
conjunto de 1
A construção continua com 2 = {0, 1}, 3 = {0, 1, 2}, 4 = {0, 1, 2, 3} etc...
Repare que #4 = 4, mas isso ainda não está bem definido.
O mais curioso é que n = m se e somente se n está contido em m,
onde a primeira frase é sobre números naturais (que acabaram de ser
definidos) e a segunda é sobre os conjuntos que definimos. Repare que
é fácil deduzir os axiomas de Peano a partir de teoria dos conjuntos,
continuando esta construção.
Abraços,
Bernardo Costa
On Mon, 13 Sep 2004 21:32:43 -0300, Douglas Drumond
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Não quero botar lenha na fogueira, mas dois raciocínios que nos
levam a excluir o 0 dos naturais:
- vc aprende a contar a partir do 1, a história da pedrinha com
carneirinhos começa do um (não havia a pedra zero), logo o
modo natural de contar começa do um. Esse não é um raciocínio
matemático, mas ajuda a memorizar que devemos iniciar a partir do 1.
- agora um mais matemático: nos axiomas de Peano, define-se o 1 (o um
existe). Para obter um sucessor de um númerio natural, adiciona-se 1 a
ele. Então, se o 1 está definido, podemos adicionar 1 ao 1 p/ obter 2
e assim por diante. Agora se os naturais começam do 0, para obter o
sucessor de 0, adiciona-se 1. Mas o 1 não foi definido (nesse caso,
assumimos o 0 como início e não definimos o 1), então não podemos
adicionar 1 a ninguém.
[]'s
Douglas
- Original Message -
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
O Edmilson, na hora da prova, falou que ninguem perdia pontos se
desconsiderasse o zero. E na minha mais sincera opiniao, isso nao
significa nada em questao de raciocinio.
Domingos Jr. wrote:
m=1 n=0 nao seria tb uma solucao?
hmmm, depende se sua definição é N = {1, 2, ...} ou N = {0, 1, ...},
isso não é algo muito universal, infelizmente,
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--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Re: [obm-l] limites iterados
Bom, eu acho que você entendeu o suficiente de limite para ter a idéia
certa, mas apenas faltou traduzir o desenho em epsilons e deltas.
Uma idéia é a seguinte: você quer provar que lim y-b g(y) = L, então
basta calcular a diferença g(y) - L e ver se ela vai dar pequena o
suficiente para y suficientemente próximo de b. Com isto, prova-se a
existência e o valor do limite.
Vamos achar delta para que | g(y) - L | eps quando | y - b | delta
A idéia para provar isso será de fazer primeiro g(y) bem proximo de
f(x,y), e depois aproximar g(y) de L pela desigualdade triangular,
pois f(x,y) estará (se tudo der certo) perto de L. Esta tática é muito
usada para resolver este tipo de problemas de limites e coisas
parecidas.
Tome, então, delta 1 (vou usar d1) para que | f(x,y) - L | eps/2
para | (x,y) - (a,b) | d1
Tome, em seguida, d2 tal que | f(x,y) - g(y) | eps/2 para | x - a |
d2 (esta é a existência do segundo limite)
Fazendo g(y) - L = g(y) - f(x,y) + f(x,y) - L e separando os termos,
temos, pela desigualdade triangular, | g(y) - L | = | g(y) - f(x,y) |
+ | f(x,y) - L | eps/2 + eps/2 = eps, sempre que
1- |x-a| d2
2- |(x,y) - (a,b)| d1
Ora, as duas ocorrem quando |y-b| (d1)/2 e |x-a| min{d2, (d1)/2},
e portanto podemos escolher delta igual a (d1)/2 que teremos garantido
que podemos escrever as duas desigualdades eps/2 (o passo
fundamental)
E isso.
Qualquer coisa, pergunte
Bernardo Costa
On Sun, 19 Sep 2004 14:10:58 -0300, Eric [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ola
Gostaria de saber como provar com epsilons e deltas o
seguinte resultado sobre limites iterados:
Se lim f(x,y) = L quando (x,y) - (a,b) e se
existem os limites g(y) = lim f(x,y) quando x - a
e h(x) = lim f(x,y) quando y - b entao
lim ( lim f(x,y)) = L
y-b x-a
Este eh o exercicio 2 da secao 8.5 do livro
de Calculo de Tom Apostol, volume 2.
Deve ser facil, mas tentei fazer de varios
modos e cada prova que conseguia
tinha algum erro que a invalidava.
Ninguem da turma fez e a professora falou
que realmente nao tinhamos entendido limites.
-
Uma ideia que tive foi:
Como existe o limite bidimensional entao,
por definicao, para todo eps0, existe d0
tal que
[1] - 0||(x,y)-(a,b)||d implica em
[2] - |f(x,y)-L|eps.
Suponha que vale [1] entao 'Claramente'
lim f(x,y) = g(y) esta no intervalo
x-a
[L - eps, L + eps]
sempre que 0|y-b|d
Nao sei provar isto, principalmente a parte do
'sempre que', alguma dica? Fazendo
uma figura fica mais ou menos evidente, ateh
porque [2] significa que f(x,y) esta no intervalo
]L-eps,L+eps[ sempre que vale [1], daih, g(y)
deve estar no intervalo [L-eps,L+eps]
Mas dizer que g(y) esta em [L-eps, L+eps]
sempre que 0|y-b|d eh afirmar que
0|y-b|d acarreta |g(y)-L|eps,
que significa que
lim g(y) = L
y-b
isto eh
lim ( lim f(x,y)) = L
y-b x-a
que eh o que quero mostrar.
---
Agradeco qualquer dica, inclusive de onde posso
encontrar essa demonstracao na WWW.
[ ]'s
Eric
=
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Re: [obm-l] Conjunto dos algébricos
Bom, como todos os racionais são algébricos (são solução da equação px - q = 0), e como os racionais são densos na reta, podemos usar o seguinte resultado: (sejam Q = racionais, A = algébricos, R = reais) Se X está contido em Y então fecho(X) está contido em fecho(Y) (essa propriedade de fecho é bem simples de demonstrar) Daí, como queremos provar que fecho(A) contém R (isso quer dizer que A é denso em R), e como fecho(Q) = R, Q contido em A implica que fecho(Q) está contido em fecho(A), e assim fecho(A) contém R (e, em particular, tem que ser R, pois é claro que x pertence a fecho(A) se e somente se x é real.) Abraços, Bernardo Costa On Thu, 23 Sep 2004 12:55:09 -0700 (PDT), Ana Evans [EMAIL PROTECTED] wrote: Isto é até intuitivo, mas eu estou com dificuldade para dar uma prova matematicamente válida de que o conjunto dos algébricos é denso em R. Alguém pode ajudar? Obrigada Ana ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Parcelas de 1998
Bom, a talvez isso fique simples se voc considerar um problema com um
nmero menor: escreva 10 como soma de nmeros naturais a_i tais que
seu produto seja o maior possvel. A primeira coisa que voc pode ver
ir aumentanto o nmero de a_i e vendo no que d. imediato que a
melhor soluo com dois caras 5 + 5, j que (n-x)(n+x) = n^2 - x^2
n^2 (seja n = 10/2).
Esta a linha-mestra de raciocnio ( a proposio (i)! ), mas ainda
no est perfeito, pois 11 mpar. Para a nossa sorte, temos que a
melhor decomposio (isto (ii)! ) (n/2+1/2)(n/2-1/2) se temos n
mpar.
Bom, agora temos um passo de induo que funciona muito bem: Suponha
que voc tenha numa soma um a_k que seja maior do que 4. Ele pode ser
decomposto em b_1 + b_2, com produto maior do que a_k, e assim esta
no a soma cujo produto dos termos mximo. Ento, a soma tem
apenas termos entre {1, 2, 3, 4} (voc no ia ser louco de botar zero,
claro, ento no vem ao caso se zero natural...). A observao (iii)
retira o 4 da lista, e em seguida ele retira o 1.
Falta apenas decidir dentre todos os jeitos de escrever 1998 como soma
de 2 e 3, qual d o maior produto. Assim, temos que ele elimina a
possibilidade de 2+2+2, pois o produto destes 8, enquanto 3+3
faz um produto 9. E a ele divide 1998 por 3 para saber o mximo de
3 que pode usar, e descobre que pode ser tudo 3.
Uma outra maneira de fazer a tacada final (que o mais fcil...)
seria resolver o problema de maximizar 2^x * 3^y restrito a 2x + 3y =
1998. Bom, isto equivalente (tire o log) a maximizar x*log(2) +
y*log(3), com restrio linear em x e y tambm. Ora, voc sabe que
este problema tem soluo no bordo (mas voc pode fazer as contas,
nada te impede... substitua x na segunda equao, e mos obra), e
basta tentar o bordo, que so as solues com x mnimo e as com y
mnimo.
Abraos,
Bernardo Costa
On Fri, 15 Oct 2004 16:50:43 EDT, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ol pessoal !
Abaixo esta um problema e sua soluo. Tive dvidas em algumas passagens.
Passagem 01)
(i) se n (n 4) par, temos (n/2)*(n/2) n
(ii) se n (n 3) mpar, temos ((n-1)/2)*((n+1)/2) n
Eu entendi as desigualdades acima, mas no entendo qual a relao dela com o
problema. Por que o autor da soluo as criou ?
Passagem 02)
Com as observaes (i) e (ii) devemos ter n_i pertencente a {1, 2, 3, 4} ...
Eu at entendo que (i) U (ii) = (n = 5), mas no entendi a afirmao acima
?!
***
Escreva 1998 como soma de (um nmero arbitrrio de) parcelas
de modo que o produto das parcelas seja o maior possvel.
SOLUAO:
Observe inicialmente que, dado n pertencente a N,
(i) se n (n 4) par, temos (n/2)*(n/2) n
(ii) se n (n 3) mpar, temos ((n-1)/2)*((n+1)/2) n
Sejam 1998 = n_1 + n_2 + n_3 + n_k e
P = n_1*n_2*n_3*n_k
Com as observaes (i) e (ii) devemos ter n_i pertencente a {1, 2, 3, 4} e
como 4 = 2*2
podemos substituir 4 por 2 + 2 e teremos n_i pertencente a {1, 2, 3} logo
P = [1^(alfa)]*[2^(beta)]*[3^(gama)]. evidente que alfa = 0, pois se alfa
= 1, 1+2 pode ser substitudo por um 3 e 1 + 3 pode ser substitudo por
2 + 2. Tambm beta = 2, pois 2 + 2 + 2 pode ser substitudo por 3 +3
( 3*3 2*2*2) e conseqentemente
P = [2^(beta)]*[3^(gama)] com (beta = 1 ou 2). Como 1998 = 3*666 + 0,
P = 3^666 e S = 3 + 3 + 3 + 3 +...+ 3 (666 vezes)
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Re: [obm-l] Desigualdade das Médias
Bom, eu acho em particular que você nunca vai precisar demostrar a desigualdade das médias numa prova de olimpíada. Quanto ao caso de vestibulares, talvez seja bom você citar o teorema com algo do tipo Sabemos que MH = MG = MA. Elas são as médias Harmônica, Geométrica e Aritmética, respectivamente, definidas por MA(X_i) = (X_1 + X_2 + ... + X_n) / n MG(X_i) = (X_1 * X_2 * ... * X_n)^(1/n) MH(X_i) = 1 / MA(1/X_i) (inverso da média aritmética dos inversos) Eu gosto em particular da demonstração por convexidade da função exponencial (ou o análogo para função log, é idêntico). Ela prova o caso geral instantâneamente, mas pode ser muito força bruta. Em qualquer caso, os mais simples são até rápidos para provar, como os casos n=2, 3 ou 4, onde (por segurança) é melhor demonstrar apenas o caso particular. Abraços, Bernardo Costa On Sun, 3 Oct 2004 16:47:47 -0300, Bernardo [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, Gostaria de saber qual demonstração da desigualdade das médias é a mais cabível dentro de uma prova, seja de Olimpíada seja de vestibulares mais pesados como o IME ou o ITA. Obrigado Bernardo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equações trigonométricas [3 problemas]
Bom, eu vou tentar dar umas idéias para você fazer estas questões, qualquer coisa pergunte: Na primeira, note que sen 1 = cos 89, e portanto você pode agrupar os termos dos extremos dois a dois e obter algo como (sen 89)(cos 89) * (sen 87)(cos 87) * ... e prossiga usando fórmulas de somas e produtos, bem como arco duplo, etc. Na segunda, o truque é usar números complexos e somar as duas P.Gs que vão aparecer quando você escrever os cossenos. A terceira já responderam. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Wed, 6 Oct 2004 12:07:53 -0700 (PDT), Felipe Torres [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal. Ando uqebrando a cabeça com três problemas, se puderem me ajudar em algum deles eu agradeço: 1] sabendo que sen1º*sen3º*sen5º.sen87º*sen89º = 2^(-n) determine o valor de 2n 2] Mostre que: 1/2 + cos(x)+cos(2x)+cos(3x)++cos(nx)= = sen[x(2n+1)/2] / 2*sen(x/2) 3] Os ângulos A, B, C de um triângulo satisfazem à equação (senA + senB + senC)*(senA + senB - senC)= 3*senA*senB Determine o ângulo C. Nos dois primeiros eu tentei aplicar a transformação da soma em produto mas não deu mto resultado. acho q me compliquei no desenvolvimento. No terceiro problema eu cheguei à um sistema q acho q n foi o melhor caminho: [senA- sen(A+C)]^2 + senA*sen(A+C) = sen^2C senA*cos(A+C) + sen(A+C)*cosA = senC ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 1000 primeiros dígitos de n^1998
Bom, só chutando... se você quisesse qualquer sequência de dígitos, não interessando onde começasse, isso deve dar análise + combinatória... Mas para acertar coisas do tipo Qual o menor k natural tal que n^k tem a sequência no seu interior eu tenho quase certeza de que você ia pedir uma mão para teoria dos números também, talvez teoria analítia dos números. Abraços, Bernardo On Sun, 17 Oct 2004 01:05:40 -0200, Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma curiosidade: como estamos interessados nos 1000 primeiros digitos, este eh um problema de combinatoria (principio das casas de pombos, pra ser mais exato). Se estivessemos interessados nos 1000 ultimos digitos, seria um problema de teoria dos numeros. Se estivessemos interessados em 1000 digitos no meio, de que area da matematica estariamos falando? []s, Claudio. on 17.10.04 00:45, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal ! Prove que existe n pertencente a N tal que os 1000 primeiros dígitos de n^1998 são iguais a 1. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] resto
Não sei se você TEM, mas neste caso é fácil: - O resto na divisão por x^3 é um polinômio de grau dois - Todos os termos com grau maior do que três são divididos exatamente Basta calcular os termos de grau 0, 1 e 2 deste binômio, que são: C(12,0)*x^0*3^12 + C(12,1)*x^1*3^11 + C(12,2)*x^2*3^10 Depois você multiplica tudo por 3^(-10) para ficar mais simples! Abraços, Bernardo Costa On Wed, 20 Oct 2004 00:53:25 EDT, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Qual o resto da divisão do polinômio (3^(-10))*(x+3)^12 por x^3? Esse exercicio caiu no vestibular da UnB , e é teste. Será que tenho que abrir o binômio??. Valeu, Korshinói -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
Oi, Arthur.
Achei bastante interessante a sua idéia.
Mas o seu argumento parece estar com uma pequena falha: o conjunto {y
em R | (x,y) pertence a A} sendo enumerável (por construção), para
algum x_0 existe algum y_0 em R tal que {x em R | (x,y_0) pertence a
A} não contém x_0, logo este conjunto não é R, como você afirmou.
Ainda assim, pode ser que a sua idéia funcione, com um argumento mais
forte sobre os conjuntos B_y = {x em R | (x,y) não pertence a A} para
provar que eles são enumeráveis.
Além disso, a condição dois claramente implica que {x em R | (x,y)
pertence a A} não é enumerável, mas esta não implica que {x em R |
(x,y) não pertence a A} seja enumerável. Como contra-exemplo, utilize
dois subconjuntos não enumeráveis que sejam subconjuntos de R, por
exemplo (-inf, 0) e [0, +inf).
On Tue, 19 Oct 2004 17:18:21 -0200, Artur Costa Steiner
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja A = {(x,|x*sen(n) - x|) | x estah em R, n eh inteiro positivo e
|x*sen(n) - x|) 1}. Para cada real x, os correspondentes valores de y sao
termos de uma subsequencia de {|x*sen(n) - x|}, formando, portanto, um
conjunto enumeravel.
Por outro lado, a condicao (ii) equivale a dizer que o conjunto {x em R |
(x,y) pertence a A} nao é enumerável. Como a sequencia {sen(n)} eh densa em
[-1,1], para todo y de R e todo x de R podemos encontrar algum inteiro n=1
tal que |x*sen(n) - x|) 1. Logo, para cada real y, o conjunto dos x tais
que (x,y) estah em A eh o proprio R, que nao eh enumeravel.
Artur
- Mensagem Original
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problem a 2 - Uma variação
Data: 19/10/04 16:29
Gostaria de convidar a lista a considerar a seguinte variação
do problema 2 do nível U da prova de sábado.
Determine se existe um subconjunto A de R^2 tal que:
(i) para todo x em R, {y em R | (x,y) pertence a A} é enumerável;
(ii) para todo y em R, {x em R | (x,y) não pertence a A} é enumerável.
[]s, N.
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Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Re: [obm-l] Livro de Topologia geral
Se você já tiver uma base boa de análise real, o livro do Elon, Introdução à Topologia Geral é muito bom. Ele tem diversos exemplos, com espaços métricos e com funções reais, e os exercícios valem realmente a pena fazer. A única coisa que eu não sei é se ele está à venda. É da editora Ao Livro Técnico S/A. Abraços, Bernardo Costa On Thu, 28 Oct 2004 15:43:53 +, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Estou à busca de um bom livro de Topologia, e gostaria de saber das preferências dos colegas da lista. Meu conhecimento nesta disciplina é praticamente nulo, por isso o que eu procuro é um livro introdutório. Estava pensando em usar o do Simmons, Introduction to Topology and Modern Analysis. Sugestões? []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Medias e Divisores
Bom, este problema é bem bonito. Ele tem as idéias mais interessantes de divisibilidade que eu conheço para somatórias, lembrando (de longe) as fórmulas de inversão. Para quem quiser continuar pensando no problema, tem espaço para não ler. . . . . . . . . . . . . . . . . A idéia para este problema é notar que d|n (leia-se d divide n) se e somente se k = n/d | n (ou seja, existe o simétrico em relação a n) Daí, é basicamente escrever as contas. Seja, então, D(n) o número de divisores de n. A média aritmética é (Soma d tal que d|n)/D(n) A média harmônica é 1/( (Soma 1/d tal que d|n)/D(n) ) (inverso da média aritmética dos inversos. Fazendo 1/d = n/d * 1/n temos H = 1/( (Soma n/d * 1/n tal que d|n)/D(n) ) = 1/( (Soma k* 1/n tal que k|n)/D(n) ) = 1/( (Soma k tal que k|n)/n*D(n) ) = n*D(n)/ (Soma k tal que k|n) = n/A. Isto demonstra a primeira parte. Para a média geométrica, escreva um dos produtos como (Prod d tal que d|n) e o outro como (Prod n/d tal que n/d=k|n). Fazendo o produto destes caras, isso dá Prod(n tal que d|n), ou seja, n^D(n). Como deveríamos ter tirado a raiz D(n) ésima para chegar a G, acabou. Abraços, Bernardo Costa On Fri, 01 Jan 1904 12:41:37 -0200, Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: E aqui vai um nao muito dificil envolvendo dois dos conceitos mais populares da lista: Sejam A, G e H as medias aritmetica, geometrica e harmonica dos divisores positivos do inteiro positivo n. Prove que A*H = G^2 = n. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] [OFF-TOPIC] Universidades - Curso de Matemática
Bom, só para botar lenha na fogueira: Eu acho que, sinceramente, o curso de graduação deve-se muito ao aluno, de interessar-se nas matérias, de fazer exercícios, etc. É claro que um professor muito bom faz diferença, mas pontos fora da curva são possíveis em qualquer lugar. Eu não faço matemática (estou radicado temporariamente na engenharia) mas pelo que eu vejo pelos meus colegas, o que vale a pena é você estudar. O ambiente mais propício ajuda, mas esse depende MUITO de você. Como matemática não depende tanto assim de laboratórios (talvez de uns computadores apenas) a infra-estrutura não é tão difícil de ser encontrada. Aqui na UFRJ, por exemplo, a matemática deve ter uns 2 laboratórios para a graduação, mais outros para pós (eu conheço 2 só na Matemática Aplicada, deve ter mais na licenciatura ou bacharelado). Eu conheço a PUC só de Olimpíadas, então não é muita coisa. Só ouvi falar dos professores. Abraços, Bernardo Costa On Fri, 29 Oct 2004 18:10:51 +, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Fiz essa pergunta a um professor meu e ele sugeriu UFRJ ou PUC. Para o bem geral, acho melhor não dizer as universidades que ele não recomendou... Agora repare que na UFRJ você pode escolher entre Matemática Bacharelado, Licenciatura ou Aplicada. Na PUC eu não cheguei a olhar, mas isso pode ser (parcialmente) resolvido pela internet. Mas se eu fosse você procuraria saber qual delas tem a melhor infra-estrutura (biblioteca, professores, distribuição alunos/turma e equipamento de informática, caso este último lhe interesse...). Uma visita também não seria mal. E se for para perguntar às pessoas que fazem o curso, bem, seja criterioso quanto a quais opiniões levar a sério. Muita gente entra para fazer matemática apenas porque é fácil de passar... []s, Daniel Daniel S. Braz ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Pessoal, Desculpem o off-topic..mas..eu estou para entrar na universidade agora..e pretendo cursar matemática..porém estou meio perdido..não sei como escolher um bom curso..alguém teria alguma dica?? ou então..se já conhecerem uma boa universidade no rio de janeiro e quiserem indicar eu agradeço... obrigado! daniel. -- Uma das coisas notáveis acerca do comportamento do Universo é que ele parece fundamentar-se na Matemática num grau totalmente extraordinário. Quanto mais profundamente entramos nas leis da Natureza, mais parece que o mundo físico quase se evapora e ficamos com a Matemática. Quanto mais profundamente entendemos a Natureza, mais somos conduzidos para dentro desse mundo da Matemática e de conceitos matemáticos. (Roger Penrose) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Limite e continuidade
Neste caso, você só provou que para uma dada subseqüência que tende para infinito, o limite é a. Isto não funciona sempre. Por exemplo, se f(x)=sen(x), tomando f(n^2 * 2pi) = 0, temos que o limite é zero. Entretanto, é claro que não existe lim [x-+inf] f(x). Esta questão pede para demonstrar uma coisa mais difícil... Eu acho que uma idéia pode ser a seguinte: tome uma seqüência s_n qualquer tendendo a +inf e, com a ajuda da propriedade dada, demonstre-se que a seqüência f(x_n) tende a a. Eu estou sem tempo, mas acho que talvez seja possível fazer assim. Bernardo Costa On Sat, 6 Nov 2004 22:55:38 -0200, Eduardo Henrique Leitner [EMAIL PROTECTED] wrote: bom, eu nao entendo muito de limites, mas esse parece simples como x 0, se n - inf, entao x*n^2 - inf fazendo y = x*n^2, temos que lim[y-inf] f(y) = a On Sat, Nov 06, 2004 at 09:53:12PM -0200, Fabio Niski wrote: Pessoal, por favor, quem souber poderia por favor resolver esse: Suponha f : (0,+inf) - R é uma funcao continua tal que lim[n-+inf] f(x*n^2) = a para todo x. (n é inteiro). Prove que lim[x-+inf] f(x) = a obrigado. Niski = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ALGEBRA DE BOOLE!
Isso faz diferença porque um posto de gasolina enche vários tanques por mês... On Wed, 17 Nov 2004 12:53:01 -0300, Junior [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Chico, Quando compramos um litro de gasolina, por exemplo, essas casas decimais são deixadas de lado. Realmente não faria sentido pagar frações de centavo, já que não existe tal divisão. Entretanto, quando enchemos o tanque do carro (na verdade, ninguém compra apenas um litro de gasolina) as casas decimais a partir da terceira passam a fazer diferença. Se enchemos o tanque de um carro de 60 litros a R$ 2,2792/litro pagamos R$ 136,75. Se os postos usassem apenas 2 casas decimais, R$ 2,27/litro arrecadariam apenas R$ 136,20. Não é uma diferença significativa, mas.. []´s Jr. - Original Message - From: Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, November 17, 2004 11:08 AM Subject: Re: [obm-l] ALGEBRA DE BOOLE! E por falar em coisas inúteis, algum colega já sabe o motivo dos postos de combustíveis estamparem os preços com três ou mais casas decimais ao invés de duas? eu nao sei, se vc souber diga. = O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Método Numérico
Oi,
O Livro do Elon Análise Real apresenta um tópico sobre Método de
Newton (eu acho que é na seção de aplicações da derivada) que explica
muito bem porquê é quadrático, quais as hipóteses necessárias, etc.
Vale a pena ver para ter uma orientação.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On Wed, 24 Nov 2004 00:00:15 -0200, Osvaldo Mello Sponquiado
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá pessoal!
Criei um método numérico (Método Mello) para o cálculo de raízes de funções reais,
com uma variável real e gostaria de saber se existe algum professor de Cálculo
Numérico na lista, pois aqui na UNESP de Ilha Solteira existe um único professor
deste ramo (que não se interessou pelo meu trabalho) e preciso de um orientador para
poder apresentar o trabalho em congressos e me ajudar a fazer algumas analises (de
convergencia por exemplo).
Criei um método numérico para o cálculo de raízes de funções reais, com uma variável
real.
O resumo do método é o seguinte:
Método numérico iterativo para determinação de raízes reais de funções reais. O
método se baseia em traçar circunferências com centro em (x0,f(x0)) e raio f(x0),
sendo x0 um valor inicial dado, e tomar uma das intersecções da circunferência com a
função como sendo o valor x1, e assim iterativamente até que xn, resultado da
n-ésima iteração, possa ser admitido como aproximação para o valor da raiz. O
método apresenta as características de exigir a escolha de um único valor inicial,
de possuir convergência garantida e de ter fácil interpretação geométrica, servindo
também como ferramenta didática em cursos de Cálculo Numérico
Olhando geometricamente considera-se uma função real f(x) contínua ao menos no
intervalo [x,x_0], no qual x é a raiz de f e x_0 é um valor tal que x_0 x.
Define-se a circunferência C como a circunferência de centro (x_0,f(x_0)) e raio
f(x_0) conforme ilustrado pela fig em anexo.
Percebe-se que, sendo a função contínua ao menos no intervalo entre a raiz e o ponto
x_0, garante-se que a circunferência intercepta a função em pelo menos um ponto, de
abscissa x_1 e ordenada f(x_1).
O método apresentado consiste em traçar uma nova circunferência de centro
(x_1,f(x_1)) e raio f(x_1), que interceptará um novo ponto da função, de abscissa
x_2 e ordenada f(x_2), e assim iterativamente até que se possa tomar xn, resultado
da n-ésima iteração, como sendo aproximadamente uma raiz da função. Tendo definido a
circunferência C, sua equação é:
(x_0-x_1)^2+(f(x-0)-f(x_1))^2=[f(x_0)]^2 (i)
Usando Aproximação de Taylor f(x)= S[n=0;+inf]f{n}(x_0).(x-x_0)^n/n! ({n} indica
ordem n para a derivada de f)utilizo so as duas primeiras parcelas desta formula:
f(x_1)=f(x_0)+f'(x_0).(x_1-x_0) (ii)
Substituindo ii em i chego à equação geral dos x_k's do metodo: x_(k+1)=x_k + 'ou'
- sqrt[(f(x_k))^2/(1+(f'(x_k))^2)] (iii)
A partir dele consegui mostrar que a diferença entre os erros entre as iterações k+1
e k vale
-[(eps-x_k).f'(x_k)+0,5.(eps-x_k)^2.f'(c_k)]/sqrt(1+(f'(x_k))^2); c_k pertence a
(eps;x_k)
Como pode ser percebido geometricamente, o método nunca encontrará a raiz da função,
já que o valor xk só seria igual a x se o raio da circunferência C fosse zero.
Assim, por maior que seja o número de iterações, o valor obtido será sempre uma
aproximação. Além disso, a equação geral do método considera o valor negativo do
(iii). Além de este fato garantir a convergência da série numérica (x_0; x_1; x_2;
...), pode-se prever que | x_(k+1) | será sempre menor que | x_k |, o que exige a
escolha de um valor inicial maior que a raiz. No entanto, se por algum motivo for
necessário escolher x_0 menor que o possível valor da raiz (por exemplo, se a
continuidade da função só puder ser garantida para valores menores que a raiz),
basta considerar o valor positivo do , na Equação 3.
Fiz algumas analises comparativas com Newton-Raphson para testar o metodo, alem
disso implementei - o em Python e depois plotei alguns graficos de (x_(k+1)-x_k) x
nº d iterações
para uma função fixa e sendo aplicado Newton-Raphson e meu método.
Mas a questão que quero levantar é como fazer uma análise de convergencia do método ?
como garantir que ele é ao menos linear ?
Há alguma maneira de se calcular sua ordem de convergência?
Procurei varias bibliografias, mas nelas se mostra como foi feita para outros
métodos, e não para um metodo generico.
Bom se alguem puder me ajudar, escrevendo, indicando um livro, ou algum professor, é
bem vindo.
Atenciosamente,
Osvaldo Mello Sponquiado
Engenharia Elétrica, 2ºano
UNESP - Ilha Solteira
__
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Re: [obm-l] Duvidas
Tem mínimo sim: Usando que mdc(a, b) = mdc(a, b-a) = mdc(a-b, b), temos, sucessivamente: mdc(2n + 4, 4n + 2) = mdc(2n + 4, 2n - 2) = mdc(6, 2n - 2) = 6 Abraços, Bernardo Costa On Thu, 25 Nov 2004 05:39:53 -0300, Fernando Aires [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, Ary, Nota-se, em primeiro lugar, que tanto 2n + 4 quanto 4n + 2 podem ser descritos na forma 2k (2(n+2) e 2(2n+1), respectivamente). Assim, não podemos considerar que esses números possam ter primos entre si (ou seja, o mdc deles nunca poderá ser um), dado que ambos sempre são pares. Além disso, notamos que, para n=0, f(n)=mdc(4,2)=2. Que é o menor valor possível para o mdc (excetuando-se o 1, já excluido acima. Logo, a resposta é D. Não sei se você perguntou corretamente, mas eu pergunto, pois: existiria alguma forma de calcular o valor máximo de f? Se sim, como? Beijos, -- -- Fernando Aires [EMAIL PROTECTED] Em tudo Amar e Servir -- On Thu, 25 Nov 2004 02:42:05 -0200, aryqueirozq [EMAIL PROTECTED] wrote: Considere a função f : N: ® N , dada por f( n) = mdc ( 2n + 4 , 4n + 2 ) . Então, o valor mínimo de f é igual a : A) 4 B) 1 C) 6 D) 2 E) 8 Agradeço desde de já. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvidas
Desculpem... era para ter escrito máximo. Para não perder a mensagem, note que o interessante desta solução é que ela também permite visualizar rapidamente TODOS os valores que f(n) pode ter, já que têm que ser divisores de 6 e pares, serão apenas 2 e 6. Bernardo Costa On Thu, 25 Nov 2004 07:58:17 -0200, Bernardo Freitas Paulo da Costa [EMAIL PROTECTED] wrote: Tem mínimo sim: Usando que mdc(a, b) = mdc(a, b-a) = mdc(a-b, b), temos, sucessivamente: mdc(2n + 4, 4n + 2) = mdc(2n + 4, 2n - 2) = mdc(6, 2n - 2) = 6 Abraços, Bernardo Costa On Thu, 25 Nov 2004 05:39:53 -0300, Fernando Aires [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, Ary, Nota-se, em primeiro lugar, que tanto 2n + 4 quanto 4n + 2 podem ser descritos na forma 2k (2(n+2) e 2(2n+1), respectivamente). Assim, não podemos considerar que esses números possam ter primos entre si (ou seja, o mdc deles nunca poderá ser um), dado que ambos sempre são pares. Além disso, notamos que, para n=0, f(n)=mdc(4,2)=2. Que é o menor valor possível para o mdc (excetuando-se o 1, já excluido acima. Logo, a resposta é D. Não sei se você perguntou corretamente, mas eu pergunto, pois: existiria alguma forma de calcular o valor máximo de f? Se sim, como? Beijos, -- -- Fernando Aires [EMAIL PROTECTED] Em tudo Amar e Servir -- On Thu, 25 Nov 2004 02:42:05 -0200, aryqueirozq [EMAIL PROTECTED] wrote: Considere a função f : N: ® N , dada por f( n) = mdc ( 2n + 4 , 4n + 2 ) . Então, o valor mínimo de f é igual a : A) 4 B) 1 C) 6 D) 2 E) 8 Agradeço desde de já. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] sistema linear
Oi, Ana.
Apesar de sua soluo estar impecvel, acho que vale a pena notar
(depois de ver que temos \infty^1 solues (apenas uma varivel
independente, como voc mostrou, ou calculando determinantes e
subdeterminantes) para o sistema, e portanto os vetores (a,b,c) que
satisfazem o enunciado formam um plano (isso puramente uma questo
de ortogonalidade). Mas j temos dois desses vetores, linearmente
independentes, no enunciado, ou seja, de
x + 2y + 3z = 5
4x + 5y+ 6z = 14
7x + 8y + 9z = 23
temos que (1, 2, 3) e (4, 5, 6) so vetores (a, b, c) que TM que
satisfazer as condies, por definio da soluo do problema. Ento,
basta tomar as combinaes lineares dos mesmos (que formam um plano,
como voc disse).
Esse um dos problemas da RPM que mais me convence que lgebra Linear
importantssimo. Mesmo que PAREA uma questo que d para resolver
no brao.
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On Tue, 30 Nov 2004 10:22:48 -0800 (PST), Ana Evans [EMAIL PROTECTED] wrote:
Se subtrairmos a primeira equacao da segunda da ou a segunda da terceira,
e dividirmos os 2 membros por 3, chegamos a que x + y + z = 3. Logo, a
matriz do sistema eh singular. Com alguma algebra, chegamos a a que x = z
+1 e y = -2z + 1 para todo real z, ou seja, as solucoes do sistema estao
sobre a reta {(z+1, -2z+1, z) ,| z em R}, de R^3.
Se a, b, c sao numeros reais e (x,y,z) eh uma solucao do sistema, entao com
alguma algebra chegamos a que f(z) = ax + by + cz = (a - 2b + c)*z + a+ b.
Para a,b e c fixos, isto eh a equacao de uma reta em R^2. Logo, f eh
constante se, e somente, se a - 2b + c =0. Qualquer ponto (a,b,c) sobre este
plano de R^3 atende ao desejado.
Ana
Lista OBM [EMAIL PROTECTED] wrote:
como se resolve o problema abaixo?
Dado o sistema
x + 2y + 3z = 5
4x + 5y+ 6z = 14
7x + 8y + 9z = 23
encontrar (a, b, c) reais tal que ax + by + cz seja cte para uma soluo (x,
y, z) qualquer do sistema acima.
Obs.: acho que esse problema da RPM 55!!!
Do you Yahoo!?
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Re: [obm-l] Perguntas simples para respostas convincentes
Oi, Acho que o lastro-ouro já acabou há tempos. Talvez com a excessão da Alemanha e outros poucos países, o que existe é que cada país possui uma cesta de moedas, como por exemplo dólar, yen, libra, etc... que definem quanto vale a moeda local. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Thu, 9 Dec 2004 01:07:02 -0200, Osvaldo Mello Sponquiado [EMAIL PROTECTED] wrote: 1- Pq o Banco Central nao distribui dinheiro pro povo e acaba com a miseria, ja que ele fabrica moeda Até parece ki é tão facil assim... Já ouviu falar o lastro-ouro ? Cada centavo emitido na nação tem que ser guardado na forma de ouro, sem nenhuma utilização. Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questão de função
Bom, 156 não tem nada de especial, vou escrever f(x) = 1/2 (a^x + a^(-x) ). Talvez você já tenha visto a função cosseno hiperbólico, tem a ver com esta (quando a = e = base dos logaritmos naturais). Vamos lá: f(x + y) = 1/2(a^(x + y) + a^(-x - y) ) = 1/2( a^x a^y + a^(-x) a^(-y)) f(x - y) = 1/2(a^(x - y) + a^(-x + y) ) = 1/2( a^x a^(-y) + a^(-x) a^y) Multiplicando f(x)f(y) temos: 1/4 (a^x + a^(-x))(a^y + a^(-y)) = 1/4 (a^x a^y + a^x a^(-y) + a^(-x) a^y + a^(-x) a^(-y) ). Multiplique por dois e confira que o resultado é a soma f(x + y) + f(x - y). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Thu, 9 Dec 2004 11:12:45 -0200, IgOr C. O. [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, estou tentando resolver a seguinte questão e não consigo, caso seja possível alguém resolver, serei grato: Dada a função f(x) = (156^x + 156^(-x))/2, demonstre que: f(x + y) + f(x - y) = 2f(x).f(y) . Obrigado. ___ Nas ligações internacionais, do fixo ou do celular, a Embratel é sempre a sua melhor opção www.embratel.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PARTE INTEIRA
A parte inteira é definida como o MAIOR inteiro que é MENOR do que o número dado. Portanto, a parte inteira de -2,1 é -3 pois -2 -2,1. É isso que vai acontecer quando você usar funções-padrão (biblioteca C-ANSI, maple, etc... ao chamar parte inteira, ou floor, em inglês) De curiosidade, existem também alguns duais, por exemplo o famoso teto, ou ceil, que existe também em C-ANSI... e devolve o MENOR inteiro MAIOR do que o número dado. Assim, Teto(2,1) = 3 e Teto(-2,1) = -2. Tem várias relações entre estas duas funções. Por exemplo, Teto(x) = Piso(x) = x é inteiro. E, como deve ter ficado claro, Teto(-x) = -Piso(x). Como se x é inteiro isso é verdade, basta escrever x = n + y, com 0 y 1. Daí, é claro que Teto(x) = n+1, e Piso(-x) = Piso(-n -y) = Piso( -(n+1) + (1-y) ) = -(n+1), já que 0 (1-y) 1. Finalmente, existe um conceito que se chama arredondar para zero, e aí realmente ArrZero(-2,1) = -2. Esta relação, entretanto, não é tão útil como as outras duas... Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Thu, 16 Dec 2004 22:20:46 -0300 (ART), Jorge Paulino [EMAIL PROTECTED] wrote: A parte inteira de um número positivo não gera equívoco. Por exemplo, a parte inteira de 2,37 é 2. Mas quando o número for negativô? Por exemplo, -2,1. A parte inteira é -2 ou é -3, porque podemos escrever -2,1 = -3 + (0,9) ?? ___ Yahoo! Mail - Agora com 250MB de espaço gratuito. Abra uma conta agora! http://br.info.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PARTE INTEIRA
Isso depende muito de definição. Se estivermos falando de frações, acho que talvez até faça sentido você dizer que a parte inteira de -21/4 é -5, e a fracionária , -1/4. Mas perceba que este é um caso bastante peculiar. O caso geral, em que temos números reais quaisquer, a definição que temos de parte inteira é [x] = (n pertence a Z, n = x n+1). A definição de teto é bastante similar, Teto(x) = (n pertence a Z, n-1 x = n). Em qualquer caso, é sempre bom (como no famoso 0 pertence a N?) explicitar as definições, caso haja possibilidade de dúvida. Eu lembro, numa olimpíada, de ter lido uma questão que falava sobre parte inteira, onde vinha exatamente a definição acima, junto com os exemplos: [2] = 2, [pi] = 3, [-pi] = -4 (ou alguma coisa assim). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Sat, 18 Dec 2004 22:14:27 -0300 (ART), [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Bernardo, acho que você se enganou. Parece que a parte inteira de um número é simplesmente o que está à esquerda da vírgula, e parte fracionária é o que está à direita. Assim, a parte inteira de -5 1/4 é -5 , e a parte fracionária é -1/4 (em vez de -6 e +3/4 !!!). Abraços, Rogério. Bernardo Freitas Paulo da Costa [EMAIL PROTECTED] wrote: A parte inteira é definida como o MAIOR inteiro que é MENOR do que o número dado. Portanto, a parte inteira de -2,1 é -3 pois -2 -2,1. É isso que vai acontecer quando você usar funções-padrão (biblioteca C-ANSI, maple, etc... ao chamar parte inteira, ou floor, em inglês) De curiosidade, existem também alguns duais, por exemplo o famoso teto, ou ceil, que existe também em C-ANSI... e devolve o MENOR inteiro MAIOR do que o número dado. Assim, Teto(2,1) = 3 e Teto(-2,1) = -2. Tem várias relações entre estas duas funções. Por exemplo, Teto(x) = Piso(x) = x é inteiro. E, como deve ter ficado claro, Teto(-x) = -Piso(x). Como se x é inteiro isso é verdade, basta escrever x = n + y, com 0 y 1. Daí, é claro que Teto(x) = n+1, e Piso(-x) = Piso(-n -y) = Piso( -(n+1) + (1-y) ) = -(n+1), já que 0 (1-y) 1. Finalmente, existe um conceito que se chama arredondar para zero, e aí realmente ArrZero(-2,1) = -2. Esta relação, entretanto, não é tão útil como as outras duas... Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Thu, 16 Dec 2004 22:20:46 -0300 (ART), Jorge Paulino wrote: A parte inteira de um número positivo não gera equívoco. Por exemplo, a parte inteira de 2,37 é 2. Mas quando o número for negativô? Por exemplo, -2,1. A parte inteira é -2 ou é -3, porque podemos escrever -2,1 = -3 + (0,9) ?? __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 1 -1/2 +1/3.......= Ln(2)
Oi, Ana. A saída é pela expansão de Taylor sim, mas é para a derivada. Ou seja, faça 1/(1+x) = 1 - x + x^2 - x^3 + ... Esta série converge (absolutamente) em (-1, 1), pois é limitada pela soma da P.G. em 1/(1 - |x|). Além disso, podemos integrar termo a termo a série em QUALQUER intervalo do tipo [-r, r] com r1, pois neste intervalo a convergência é uniforme (limitada por 1/(1-r) ). A série converge, portanto, para Ln(1+r), para todo -1 r 1. Como a série integrada converge no ponto x=1 (você mesmo provou: alternada e decrescente em módulo), e ela é uma série de potências, podemos garantir que a série converge no limite r- 1 também (este passo é um pouco mais difícil do que parece: tente provar, vale a pena!. Integre até 1-eps e faça eps-0, veja que você pode fazer isso e obtenha o resultado), e portanto está provado. Qualquer dúvidas, fale. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Tue, 21 Dec 2004 05:14:11 -0800 (PST), Ana Evans [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi pessoal Eu estou tentando provar que a serie alternada Soma((-1)^(n+1))/n = 1 -1/2 +1/3converge para Ln(2). sabemos que esta serie efetivamente converge porque eh alternada e 1/n - 0. Eu tentei me basear no fato de que, para |x| 1, podemos expandir Ln(1+x) em series de Taylor em torno de 0, de modo que Ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3Mas, sabemos que o raio de convergencia desta serie de potencias eh 1, de modo que converge garantidamente apenas em (-1, 1), e nao podemos extender a conclusao para x=1, o que nos levaria ao desejado. Eu ai tentei extender o dominio da funcao limite da serie de potencias, incluindo tambem x=1, mas como a convergencia nao eh necessariamente uniforme em [0,1], eu nao cheguei la. Talvez seja melhor tentar outra saida sem ser pela expansao de Taylor. Obrigada Ana __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probleminha....
Cara, uma primitiva deve ter sim. Afinal, esta função é contínua em (0, +inf)
e lim x-0 x^x = 1, logo ela tem uma primitiva. Mas uma coisa
bonitinha, analítica, aí tem que pensar mais. O Nicolau deve saber
demonstrar se tem ou não. Aliás, como se chama mesmo o algoritmo para
integração ??
Abraços e bom Ano-novo,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On Tue, 28 Dec 2004 17:11:19 -0200, Osvaldo Mello Sponquiado
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Eu usei calculo, tambem acaba sendo simples. Eh facil mostrar que so
precisamos nos deter no conjunto (0,1/e) x (0,1/e). Para isto, observamos
que se 0 y 1 e x=1/e, entao f(x,y) = x^y + y^x (1/e)^y + y = e^(-x)
+ y = g(y).
Apenas corrigindo um errinho de conta g(y)=exp(-y)+y=g(y)
Eh facil ver, igualando a zero sua derivada, que esta funcao tem
um minimo global em x = 0 e que, portanto, g(y) = g(0) = 1 para todo real
y. Por simetria, isto leva nosso interese ao conjunto 0,1/e) x (0,1/e).
Determinando a derivada parcial de f com relacao a x e igualando a zero,
obtermos y*(x^(y-1)) = - (y^x)*ln(y) = 0. Fazeno o mesmo com a derivada
parcial com relacao a y, obtemos uma equacao similar permutando-se x e y.
Este sistema aparentemente tenebroso nao eh assim tao assuatador, pois se
multiplicarmos as equacoes chegamos aa interessante conclusao de que, no
ponto que anula o gradiente, ln(x)*ln(y) =1. Como estamos interesados em
0,1/e) x (0,1/e), isto nos mostra que,neste conjunto, a unica solucao
possivel eh x = y=1/e, tendo-se que f(1/e, 1/e) 1. Se (1/e, 1/e) for
ponto
de minimo, entao, como f(x,y) - 1 na fronteira do conjunto temos a
desigualdade. Mas , na realidade este nao eh um ponto de minimo, conforme
podemos ver se determinarmos a matriz Hessiana de f. De qualquer forma a
desigualdae vale, pois f 1 na fronteira.
Outra forma de resolver sem derivadas parcias eh analisa o comportamento
de
f para 0
Podem dizer que eu compliquei, mas, na realidade, estes conceitos de
calculo
sao bastante simples.
Artur
Me surgiu uma pergunta: f(x)=x^x=exp(x.lnx) tem primitiva ?
- Mensagem Original
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l
Assunto: Re: [obm-l] Probleminha
Data: 28/12/04 06:18
Olá Vinicius.
Será que vc procurou direito?
Eureka! 8, página 60 - Problemas propostos
Se a e b são números reais positivos, então a^b+b^a1
A solução é muito simples e está na Eureka! 10, página 42 - Soluções de
probemas propostos.
A prova é muito simples. Se a1 ou b1 a desigualdade é imediata. Assim
os
alunos do CEMPI fazem a=1/(1+u) e b=1/(v+1), u e v reais positivos.
a^b=1/(1+u)^b e b^a=1/(1+v)^a
notando que 1/(1+u)^b1/(1+ub)=1/(1+u/(v+1)) e que
1/(1+v)^a1/(1+av)=1/(1+v/(u+1))
somando as desigualdades chegamos ao resultado.
A desigualdade é demonstrável atraves de Cálculo.
[]'s.
Oi Vinicius,
Eu acho que consegui achar uma solucao para isto - nao foi facil - mas
usando calculo e a matrix hessiana da funcao f(x,y) = x^y + y^x. Um
tanto
intrincado. Se vc quiser eu amanha mando a solucao que consegui.. Falta
dar
uma revisada, posso ter cometido algum engano.
Um ponto que vemos claramente eh que basta considerar (x,y) em (0,1) x
(0,1)
e outro a que cheguei fucando eh que basta na realidade considerar (x,y)
em
(0,1/e) x (0,1/e). Conclui isto porque funcoes deste tipo quase sempre
apresentam algo interessante em e ou em 1/e.
Artur
--- Mensagem Original
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Probleminha
Data: 24/12/04 02:26
Não achei a resoluçao desse exercicio na Eureka, caso alguem possa me
esclarecer ficarei muito grato:
X^y+y^X1
Um ótimo Natal a todos e a suas famílias
Vinícius Meireles Aleixo
OPEN Internet e Informática
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Atenciosamente,
Osvaldo Mello Sponquiado
Engenharia Elétrica, 2ºano
UNESP - Ilha Solteira
OPEN Internet e Informática
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
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=
Atenciosamente
Re: [obm-l] Probleminha....
Eu não disse que 0^0 = 1. Isso não está definido. Mas lim x-0 x^x = 1: x^x = exp(x * ln x). Como exp é contínua, teremos lim x-0 x^x = exp (lim x-0 x ln x). Para calcular lim x-0 x ln x, x ln x = ln x/ (1/x) e, como (ln x)' = 1/x e (1/x)' = (-1/x^2), e lim x-0 (1/x)/(-1/x^2) = lim x-0 (-x) = 0, por l'Hôpital, lim x-0 ln x/(1/x) = 0. Assim, voltando para exp, temos lim x-0 x^x = exp (lim x-0 x ln x) = exp(0) = 1. Agora, se você falar que 0^0 = 1, você vai arrumar confusão. Mesmo porque dá para arrumar f(x) e g(x) de forma que f(x) -0 e g(x) -0 com x-0, mas podem acontecer os casos a seguir: 1) f(x)^g(x) não existe (use algo patológico como sen(1/x), sempre funciona...) 2) f(x)^g(x) = r para um real r arbitrário (bom, pode ser complexo também, se você quiser...) 3) f(x)^g(x) diverge para +- infinito Bom, sem mais, Bom ano novo a todos da lista, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Fri, 31 Dec 2004 02:07:48 -0200, Osvaldo Mello Sponquiado [EMAIL PROTECTED] wrote: Cara, uma primitiva deve ter sim. Afinal, esta função é contínua em (0, +inf) e lim x-0 x^x= 0^0 =1 ? ( a função é continua) 1, logo ela tem uma primitiva. Mas uma coisa bonitinha, analítica, aí tem que pensar mais. O Nicolau deve saber demonstrar se tem ou não. Aliás, como se chama mesmo o algoritmo para integração ?? Abraços e bom Ano-novo, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Tue, 28 Dec 2004 17:11:19 -0200, Osvaldo Mello Sponquiado [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu usei calculo, tambem acaba sendo simples. Eh facil mostrar que so precisamos nos deter no conjunto (0,1/e) x (0,1/e). Para isto, observamos que se 0 y 1 e x=1/e, entao f(x,y) = x^y + y^x (1/e)^y + y = e^(-x) + y = g(y). Apenas corrigindo um errinho de conta g(y)=exp(-y)+y=g(y) Eh facil ver, igualando a zero sua derivada, que esta funcao tem um minimo global em x = 0 e que, portanto, g(y) = g(0) = 1 para todo real y. Por simetria, isto leva nosso interese ao conjunto 0,1/e) x (0,1/e). Determinando a derivada parcial de f com relacao a x e igualando a zero, obtermos y*(x^(y-1)) = - (y^x)*ln(y) = 0. Fazeno o mesmo com a derivada parcial com relacao a y, obtemos uma equacao similar permutando-se x e y. Este sistema aparentemente tenebroso nao eh assim tao assuatador, pois se multiplicarmos as equacoes chegamos aa interessante conclusao de que, no ponto que anula o gradiente, ln(x)*ln(y) =1. Como estamos interesados em 0,1/e) x (0,1/e), isto nos mostra que,neste conjunto, a unica solucao possivel eh x = y=1/e, tendo-se que f(1/e, 1/e) 1. Se (1/e, 1/e) for ponto de minimo, entao, como f(x,y) - 1 na fronteira do conjunto temos a desigualdade. Mas , na realidade este nao eh um ponto de minimo, conforme podemos ver se determinarmos a matriz Hessiana de f. De qualquer forma a desigualdae vale, pois f 1 na fronteira. Outra forma de resolver sem derivadas parcias eh analisa o comportamento de f para 0 Podem dizer que eu compliquei, mas, na realidade, estes conceitos de calculo sao bastante simples. Artur Me surgiu uma pergunta: f(x)=x^x=exp(x.lnx) tem primitiva ? - Mensagem Original De: obm-l@mat.puc-rio.br Para: obm-l Assunto: Re: [obm-l] Probleminha Data: 28/12/04 06:18 Olá Vinicius. Será que vc procurou direito? Eureka! 8, página 60 - Problemas propostos Se a e b são números reais positivos, então a^b+b^a1 A solução é muito simples e está na Eureka! 10, página 42 - Soluções de probemas propostos. A prova é muito simples. Se a1 ou b1 a desigualdade é imediata. Assim os alunos do CEMPI fazem a=1/(1+u) e b=1/(v+1), u e v reais positivos. a^b=1/(1+u)^b e b^a=1/(1+v)^a notando que 1/(1+u)^b1/(1+ub)=1/(1+u/(v+1)) e que 1/(1+v)^a1/(1+av)=1/(1+v/(u+1)) somando as desigualdades chegamos ao resultado. A desigualdade é demonstrável atraves de Cálculo. []'s. Oi Vinicius, Eu acho que consegui achar uma solucao para isto - nao foi facil - mas usando calculo e a matrix hessiana da funcao f(x,y) = x^y + y^x. Um tanto intrincado. Se vc quiser eu amanha mando a solucao que consegui.. Falta dar uma revisada, posso ter cometido algum engano. Um ponto que vemos claramente eh que basta considerar (x,y) em (0,1) x (0,1) e outro a que cheguei fucando eh que basta na realidade considerar (x,y) em (0,1/e) x (0,1/e). Conclui isto porque funcoes deste tipo quase sempre apresentam algo interessante em e ou em 1/e. Artur --- Mensagem Original De: obm-l@mat.puc-rio.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l
Re: [obm-l] Cardinalidade
Oi, A solução do Domingos usa o axioma da escolha? Onde? Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Thu, 6 Jan 2005 15:32:32 -0200, Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] wrote: On Thu, Jan 06, 2005 at 02:08:21PM -0200, Artur Costa Steiner wrote: Boa tarde, Eu ainda nao consegui demonstrar o seguinte, talvez alguem tenha uma sacada. Seja A um conjunto infinito e f uma injecao de A sobre B. Se o conjunto B - f(A) for, no maximo, enumeravel, entao A e B sao equivalentes. Eu não sei direito o quanto você já sabe. Vou enunciar alguns teoremas básicos que implicam no seu problema e você diz qual ou quais deles você quer ver demonstrado. Se X é infinito então |N| = |X| (onde N é o conjunto dos naturais). Se X e Y são infinitos, então |X U Y| = max(|X|,|Y|). Ambos estão demonstrados em qq bom livro de teoria dos conjuntos (um bem básico é o Halmos, Naïve Set Theory; um mais avançado é o Jech, Set Theory). O segundo fato usa o axioma da escolha mas estou supondo que você aceita o axioma da escolha e que não está especialmente interessado em saber se o exercício pode ou não ser feito sem o axioma da escolha. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] IME X ITA
O link da CAPES foi errado, é http://www.capes.gov.br/Documentos/Avaliacao2004/AvTrienal2004_FinalPorArea.pdf -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] IME X ITA
Bom, eu estou na UFRJ. Não faço Matemática Aplicada, faço Engenharia Eletrônica e de Computação. Como foi pedido, vou puxar a brasa para a minha sardinha: este curso foi o ÚNICO do Brasil a receber nota máxima nas avaliações de nível superior, ou seja: - A no Provão do MEC, com 4 notas máximas (outras notas máximas aparecem no máximo uma por curso) (nível de graduação) - 7 na Avaliação da CAPES (nível de pós-graduação e pesquisa) Se não me engano, o único programa de pós-graduação em Engenharia Elétrica e Eletrônica (é uma categoria só para a CAPES) do Brasil a receber 7 foi o da COPPE-UFRJ. confiram este e outros resultados em http://www.capes.gov.br\Documentos/Avaliacao2004/AvTrienal2004_FinalPorArea.pdf Bom, o que isto quer dizer? Na minha opinião, que se você gosta de pesquisa e procura uma formação de ponta, o melhor lugar para aprender Engenharia Elétrica/Eletrônica/Computação é na UFRJ. Além disso, como já foi dito, fica no Rio de Janeiro, logo: - Você pode fazer cursos em outros lugares (eu por exemplo estou no verão do IMPA agora, tendo aulas) - O transporte é meio ruim para cá (esse é o maior defeito do campus fundão da UFRJ, mas estamos vigorosamente alterar esta situação) - Infelizmente, você só recebe se tiver necessidade financeira comprovada, ou fizer uma iniciação científica (o que é altamente recomendável se quiser fazer pesquisa) Mas não é tudo: temos também ótimos resultados em concursos públicos em geral com vagas para engenheiros eletrônicos: o último, da Petrobrás, foi praticamente dominado pelos alunos daqui (absurda maioria). Bom, só para não dizer nada, o curso da Matemática Aplicada é muito bom para quem gosta de matemática (acho que é o caso de muitos da lista) e não pensa em ser professor: ele tem uma possibilidade muito grande de ser moldado de acordo com o que o aluno pensa, pois tem mais de 50% dos créditos de escolha livre, mas a formação matemática é bastante sólida, sendo o melhor curso de cálculo que há na UFRJ (bastante puxado, com muitas aplicações, e também rigor analítico superior ao de qualquer curso de cálculo que eu conheça). Assim, o aluno pode fazer matemática aplicada em diversos campos do conhecimento, e há também um grande estímulo para que este já comece a pensar nisto durante a graduação, por meio de projetos do laboratório. Para maiores informações, vejam, por exemplo: http://www.coppead.ufrj.br/graduacao/ Finalmente, como aluno da UFRJ, você pode participar do convênio com a École Polytechnique de France, em Paris, e ir fazer a graduação lá após o Ciclo Básico (ou equivalente na Matemática, mas tem que saber o mínimo em Física: I, II, III). O projeto inclui 2 anos e meio em Paris, e você volta com dois diplomas franceses. Como ainda não temos alunos que voltaram, não se tem experiência com revalidação de créditos, etc., mas pelo que a USP faz (ela tem o convênio há mais tempo) isso não é tão difícil. Para ter uma idéia, vale a pena navegar pelo site (se você não sabe francês, tem uma versão anglófona...) www.polytechnique.fr, em especial confiram http://www.polytechnique.fr/enseignement/cycle.php e também http://www.imprimerie.polytechnique.fr/EnLignes/Files/Plaquette_2005.pdf, onde tem o programa do curso. Eu estarei indo para lá em março/abril deste ano, portanto, quem quiser mais informações eu estarei à disposição. Espero que tenha ajudado (e botar lenha na fogueira é sempre bom!) -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Tue, 11 Jan 2005 23:26:46 -0200, Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] wrote: vocês falam muito do ime e do ita, mas e qto a ufrj? ouvi dizer que eles tem um curso de matematica aplicada muito bom, que oferece um dos maiores leques de possibilidades no mercado de trabalho. Eu nao conheço o curso muito bem, mas se alguem conhece por favor se pronuncie, pode ser que eu esteja enganado e gostaria de ter mais opniões sobre ele On Tue, 11 Jan 2005 20:02:32 -0200, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá thyago, estou começando o IME agora.. estamos no processo de exames médicos, físicos, e etc... e estou gostando muito do clima de la. o pessoal é mto legal, e fora o local do IME que é um dos melhores possíveis. Hj em dia ali na praia vermelha é o melhor local de universidade no Rio de Janeiro (comparando com os locais de campus da UERJ e alguns do Fundão). estou gostando muito, e cada vez mais estou decidindo ficar mais no IME do que ir pro ITA. essas suas informações tb estão me ajudando nessa decisão. abraço Caio ''-- Mensagem Original -- ''Date: Tue, 11 Jan 2005 19:49:41 -0200 ''From: Thyago A. Kufner [EMAIL PROTECTED] ''To: OBM List obm-l@mat.puc-rio.br ''Subject: [obm-l] IME X ITA ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''Olah Kellem '' ''Assim como você, deve ter outros que estão com esta mesma dúvida. '' ''Prestei vestibular em dez-2003 e atualmente estou estudando no IME. ''No ano que estudei para o concurso, tambem tive duvidas sobre qual ''instituto
Re: [obm-l] Re: Sequencias
Bom, sem usar um exemplo sofisticado como o do Arthur, um truque bem
legal para este tipo de problema é pensar racionalmente. Ou seja, tome
uma enumeração qualquer dos racionais do intervalo [0,1] = {x_1, x_2,
x_3, ...}. É claro que isto é uma seqüência, e o mais legal é que a
aderência é todo [0,1]. Pense porquê: um número real qualquer possui
vizinhanças arbitrariamente pequenas que contém infinitos números
racionais. Assim, em qualquer ponto da sequüência, como você só
retirou uma quantidade FINITA de termos, ainda restam infinitos,
portanto NENHUMA vizinhança destes números perdeu todos os INFINITOS
racionais que ela continha. Uma das aplicações é generalizar esta
demonstração (faça exatamente o mesmo) para espaços onde os racionais
sejam densos e enumeráveis (isso é para evitar maiores patologias,
tipo dimensão não-enumerável, coisas asssim), e é exatamente igual:
faça uma enumeração dos mesmos.
On Wed, 19 Jan 2005 10:25:55 -0200, Artur Costa Steiner
[EMAIL PROTECTED] wrote:
(1) - a sequencia |sen(n)| eh um exemplo. Eh a imagem atraves da funcao seno
dos inteiros positivos. Como |sen| eh continua e periodica em R e seu
periodo fundamental pi eh irracional, temos que o conjunto dos pontos de
aderencia de |sen(n)| eh o conjunto das imagens de |sen|, ou seja, [0,1].
Outro exemplo eh a sequencia frac(raiz(n)), onde frac eh a parte fracionaria
de n. O Claudio demosnstrou isto hah cerca de um mes.
(2) - para n suficientemente grande, temos que b^(1/n) = x_n^(1/n) =
[n^(1/n)]^k. Se n -oo , b^(1/n) - 1 e n^(1/n) -1. Logo, [n^(1/n)]^k -1.
Por confronto, concluimos que lim x_n =1.
Artur
Ola para todos!
Alguem poderia me ajudar nesses?
1) Achar uma sequencia que tenha o intervalo [0,1] como conjunto dos seus
valores de aderencia.
2) Se existem b nao nulo e k natural tq b = x_n = n^k para todo n
suficientemente grande entao lim x_n^(1/n) =1.
Notacao: x_n é a sequencia x(n)
= é menor ou igual
Um abraco!
OPEN Internet e Informática
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Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Re: [obm-l] eq diofantinas
Bom, o difícil é que x, y sejam inteiros positivos (ou talvez não-negativos). Mas a idéia é exatamente essa. Ou seja, dado este ax+by (com x, y inteiros sobre os quais nada sabemos) obter am + bn, com m, n = 0. E isso só dá para fazer se c for suficientemente grande, pois vamos ter que diminuir um e aumentar o outro. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Wed, 2 Feb 2005 12:19:34 -0300 (ART), Marcelo Ribeiro [EMAIL PROTECTED] wrote: 1) Eu não entendi o porquê da restrição c=ab... Bom, seja d = mdc(a,b). É possível escrever d como combinação linear dos números a e b, isto é, existem x,y pertencentes a Z de forma que d = ax+by [isto é um teorema que não lembro como prova]. No nosso caso, temos mdc(a,b) = 1. Portanto: ax+by = 1 Agora basta multiplicar por c e ficamos com a(cx)+b(cy) = c pronto! É possível escrever c como combinação linear de a,b, onde mdc(a,b) = 1. Corrijam-me se errei em alguma coisa, por favor. =] abraços Marcelo Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] alg. linear - oper. normal (problema)
Se você souber alguma coisa sobre fechamento, acabou, pois X^t^t = fecho(span(X)), e como Im T e Im T* são espaços vetoriais (ou seja, span(Im T) = Im T ...). Sem pensar muito, acho que é isso. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Mon, 14 Feb 2005 07:19:14 -0300 (ART), Lista OBM [EMAIL PROTECTED] wrote: gostaria de uma ajuda no problema abaixo: Sejam V um C-espaço vetorial com prod. interno e T em L(V). Se T é um operador normal, mostre que Im(T) = Im(T*). Obs.: Consegui mostrar que o complemento (ou suplemento) ortogonal da Im T = comp. ortogonal da Im T*. Isso garante que Im T = Im T* ? Para verificar que C.O [ImT] = C.O [ImT*] verifiquei que Ker(T*) = C.O [Im T] e Ker(T*) = Im(T*). Notação: C.O [...] = Complemento Ortogonal de ... grato desde já, éder. __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teorema de Gauss
Eu não sei de muitas demonstrações que não usem um pouco de matemática um pouquinho só mais avançadas. Mas se você não estiver MUITO preocupado, você poderia tentar fazer a da Senhora com cachorro, que tem a ver com Número de Rotação, mas se você não se importar de só FALAR que isso é invariante, dá para demonstrar. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Wed, 16 Feb 2005 20:17:35 -0300 (ART), Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, alguém poderia me dar uma dica de como eu posso fazer a demonstração para alunos do ensino médio do teorema de gauss que trata sobre a existência das raízes complexas para equações algébricas? Grato! ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] LIMITAÇÕES TECNOLÓGICAS!
Bom, se você quiser multiplicar pi por e eu não vejo como fazer isso só com o botão de adição... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Thu, 17 Feb 2005 16:59:38 -0500, Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] wrote: Depende da calculadora que vc tem... vc sempre pode gastar seu dedo no botao da adicao se vc tem uma calculador cientifica vc pode fazer assim: A*B = 10^[(logA)+(logB)] From: Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED] [snip] A propósito. como multiplicar dois números numa calculadora cujas teclas de produto e divisão estejam danificadas? Abraços! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matriz
Veja que o posto de B é dois (dimensão da imagem que ele gera, só tem dois vetores!) Assim, não importa o que você faça, não vais aumentar essa dimensão. Abraços, On Sat, 19 Feb 2005 20:49:37 -0300, Vinícius Meireles Aleixo [EMAIL PROTECTED] wrote: Dadas as matrizes A, 4X2 e B, 2x4 duas matrizes quaisquer, provar que AB não é invertível. Abraços Vinícius Meireles Aleixo -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sugestão sobre cursos em julho ( OFF-LINE)
Tem o colóquio Brasileiro de Matemática (bianual) que deve ser nessa época, no IMPA. Eu fui no anterior, e foi muito bom. Mais informações (mais do que eu posso dizer): http://w3.impa.br/~webnew/pesquisa/pesquisa_coloquio_brasileiro_de_matematica/25_coloquio.html Aproveite, é bom. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Tue, 22 Feb 2005 11:44:17 -0300 (ART), Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal! Gostaria de participar de algum curso em julho e gostaria de receber sugestões sobre cursos. Interesso-me pela ufpr, uel, usp e impa. Um grande abraço e desculpe pelo off-topic. Alan Ps: sou de ourinhos-sp. ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] sexta feira 13...
Oi. Eu acho que é puramente (bom, nem tanto) braçal: considere todos os dias da semana em que pode começar Janeiro (ou qualquer outro mês, mas começar por Janeiro é mais fácil). Um mês tem sexta-feira 13 = Ele começa no domingo (prove isso.. ou seja, veja um calendário com um mês com sexta-feira treze!). Daí, você tem que ver em que dia da semana começam os meses em função de Janeiro. Se você sabe aritmética módulo 7, isso quer dizer mais ou menos o seguinte: (Se você tiver alguma dúvida quanto a sistemas de restos, e operações módulo 7, fale que eu tento explicar com mais detalhes.) Suponha que Janeiro começa no Domingo (Chame isso de 1, pois daí segunda é 2, terça é 3, e por aí vai, até sábado, que eu vou chamar de 0, para os números ficarem pequenos). Ora, Janeiro tem 31 dias, logo dia 1 de Fevereiro é 32 de Janeiro o que dá resto 4, ou seja, é uma quarta-feira (o que mais nos interessam são os restos, e não o dia da semana...). Vou esquecer que eu conheço anos bissextos. Daí, como tem 28 dias (oba, é múltiplo de 7!!), Março também começa dia 4. Como tem 31 dias (=3 módulo 7), temos que Abril começa dia 0. Abril tem 30 dias, logo Maio começa dia 30 = 2; Junho começa dia 2+3 = 5, Julho começa dia 5+2 = 0, Agosto dia 0+3 = 3, Setembro 3+3 = 6, Outubro 6+2 = 1, Novembro = 1+3 = 4 e finalmente Dezembro 4+2 = 6. Temos então a seguinte distribuição dos inícios: 1; 4; 4; 0; 2; 5; 0; 3; 6; 1; 4; 6. Se você olhar os inícios a partir de Maio até Novembro, temos um Sistema completo de restos módulo 7. Ou seja, se você mudar o dia em que começa Maio (por exemplo, para 5, é só somar 5 módulo 7 a cada um dos dias. Mas como o sistema é completo, há um mês em que vai dar 1, e portanto este mês será de sexta-feira 13. Ou seja, todo ano vai ter um mês com sexta-feira 13. Agora, eu devolvo outra pergunta: E se você souber que tem anos bissextos, quais anos terão mais de um mês bissexto? (Note que isso muda um pouco o problema, mas bissextos não mudam a minha solução pois eles alteram apenas Jan-Fev, dados Mar-Dez, e como em Maio-Novembro sempre há um bissexto - prove que é só um, ou seja, não é tanto tempo para azar... - temos a solução.) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Wed, 23 Feb 2005 08:27:49 -0300, carlos gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, E verdade que todo ano tem pelo menos uma sexta-feira 13? Se for verdade como verifico isto?. Um abraço a todos Cgomes. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE:[off topic]Química Correção
Bom, eu não resisto. As definições estão quase certas, exceto pelo efeito da bomba atômica. Isso não é uma piada: quando você tem um núcleo com p prótons + n nêutrons, isso não dá um treco que pesa p*P + n*N (onde P e N são as massas dos prótons e dos nêutrons). Por causa da energia de ligação (que é dissipada), isso dá um pouco menos de massa. Assim, quando você quebra um núcleo em dois MAIS estáveis, você libera mais energia de ligação ainda. Com isso, você faz uma bomba atômica, é só sair explodindo núcleos mais ou menos instáveis (não vou exemplificar aqui!). Ou seja, mesmo quando você compara com a massa do carbono (onde você já tem uma certa compensação por esse efeito), se os núcleos são diferentes, a estabilidade é diferente. Bom, estou muito off-topic. Para voltar à matemática, um exercício mais ou menos legal é tentar descobrir a energia de estabilização que um átomo de C-12 contém, sabendo as massas de cada um dos isótopos do Hidrogênio (H-1, H-2, H-3) Você vai saber as massas dos prótons, calcula a dos nêutrons e daí seja feli. (bom, eu NÃO sei qual é o valor de cada uma delas, mas faça h_1, h_2, h_3). Se você quiser ser MUITO rigoroso, você pode tentar utilizar o He-4 para retirar a influência dos elétrons (o que é mais fácil). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Thu, 3 Mar 2005 15:37:04 -0300 (ART), Charles Quevedo [EMAIL PROTECTED] wrote: Li ontem meus e-mails da lista e percebi entre as centenas de mensagens acumuladas uma cujo assunto éra quimica.Como estudante de quimica fiquei curioso e decidi lê-la e percebi que havia um erro na resposta de um colega de lista referente à uma pergunta de outro colega. Com objetivo de esclarecer melhor o amigo que efetuou a pergunta, mas com o maior respeito à quem o respondeu, pretendo corrigir sua resposta. Na realidade a diferença entre numero de massa e massa atomica é bem mais sutil. Numero de massa é a soma do numero de prótons e neutrons de um atomo qualquer, sendo assim uma simples contgem. Já a massa atomica de um atomo é na verdade a soma das massas de todos os protons, neutrons e eletrons de um atomo qualquer, isso acarreta em um numero basicamente igual, porem com muitos mais algarismos significativos. Espero ter sido bem entendido. Qualquer duvida sobre o assunto, me coloco a disposição no e-mail:[EMAIL PROTECTED] Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Exercicios difíceis
Oi, Brunno. Note que a trajetória NÃO é retilínea, mas sim, uma parábola (é como se fosse um arremesso, certo?, só que a gravidade puxa para outro lado!) Assim, não é possível aplicar pitágoras, mas temos que calcular o comprimento desta curva (tem que fazer uma integral, acho) Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Sun, 6 Mar 2005 21:46:19 -0300, Brunno [EMAIL PROTECTED] wrote: 1- Durante 40s seguindo para o norte é percorrido 40x300cm com direcao ao norte Durante os 40s percorridos para o leste em movimento uniformemente variado s=(at^2)/2=10x1600/2=10x800cm aplicando teorema de pitagoras, ja que são percorridos 142 cm Resposta diferente ao que vc forneceu, posso ter errado - Original Message - From: Vinícius Meireles Aleixo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, March 06, 2005 1:55 PM Subject: [obm-l] Exercicios difíceis Oi,se alguem tiver alguma idéia de como resolver esses exercicios por favor me diga, to agarrado neles... 1_Uma bola, movendo-se inicialmente para o Norte a 300cm/s, fica, durante 40s, sob a ação de uma força que causa um aceleração de 10cm/s^2 para leste.Determine o deslocamento(distancia que relamente percorreu) da bola.R:149,4m 2_Um jogador de futebol inexperiente chuta um pênalti a 9m do gol, levantando a bola com velocidade inicial de 15m/s.A altura da trave é de 2,4m. a)Calcule a que distancia maxima atras do gol, um apanhador de bola pode ficar agachado.R:9,56m b)a que distancia minima devem ficar os espectadores, para que não corram risco nenhum de levar bolada.R:18,7m 3_Um canhão de uma fortaleza dispara ao mar projeteis com velocidade de 4m/s, de uma altura de 1m acima do nível do mar.Um navio pirata aproxima-se da costa a fim de invadir a fortaleza.Despreze a altura dos canhões. a)Qual a menor velocidade inicial com que o navio pirata aproxima-se da costa afim de destruir o canhão da fortaleza sem ser alvejado?R:6m/s b)Para essa vel. o navio pirata está prestes a ser destruído.Nessa situação, determine o angulo em relação à horizontal com que o canhão faz seus disparos.R:0,5arctg(12/5) Abraços Vinícius Meireles Aleixo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] C-homogeneidade implica C-Linearidade?
Eu acho que esta função que você fez está certa (homogênea, porém não linear). E ela se baseia no argumento do Cláudio (ou seja, se o corpo sobre o qual temos o espaço vetorial for R, em vez de C). Só cuidado que o vetor (1,1) não é unitário, mas isso não estraga as idéias (tinha que multiplicar por sqrt(1/2) par normalizar). Eu acho que toda função de um corpo infinito nele mesmo que seja homogênea de grau 1 será linear (é só repetir o argumento do Cláudio). Mas não sei se a hipótese de infinito é fundamental. On Wed, 16 Mar 2005 09:55:27 -0300 (ART), [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Será que a função T tal que T(a)=â.|a|/2 se â=!(1,1) E 0 caso contrario não é uma em que há homofgeneidade, mas não linearidade ? (tente somar (0,1) com (1,0) ) (â é o vetor de modulo unitario no sentido de a, T é uma transformação linear de R2 em R2, que a meu ver é completamente analoga a uma de C a C) claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Bom, Niski, este é o caso de um corpo visto como um espaço vetorial sobre si mesmo, o que provavelmente não é uma situação muito comum. Mas o problema dá margem a mais elocubrações. Por exemplo, se tomarmos C como um espaço vetorial (de dimensão 2) sobre R, será que o resultado análogo vale? Ou seja, se F:C - C for tal que F(az) = aF(z) para todo a real e z complexo, será que é verdade que F(z+w) = F(z) + F(w) para todos z e w em C? E a recíproca do seu resultado? Se G: C - C é tal que F(z + w) = F(z) + F(w) para quaisquer z e w em C, então é verdade que F(zw) = zF(w) para quaisquer z e w em C? []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 15 Mar 2005 13:58:25 -0300 Assunto: Re: [obm-l] C-homogeneidade implica C-Linearidade? Humm. Me parece correto o seu argumento. Nao consigo precisar bem, mas esse resultado nao me parece intuitivo. E pra voce? Niski claudio.buffara wrote: Supondo que F seja C-homogenea se F(az) = a^nF(z) para quaiquer a e z em C e n em Z, é evidente que F não é linear, a menos que n = 1. Nesse caso (ou seja, se F(az) = aF(z)), basta mostrar que esta condição implica que F(z + w) = F(z) + F(w) para quaisquer z e w em C. Suponhamos que F(1) = c. Seja z 0. c = F(1) = F((1/z)*z) = (1/z)*F(z) == F(z) = c*z Logo, F(z + w) = c*(z + w) = c*z + c*w = F(z) + F(w). Espero que seja isso. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 15 Mar 2005 11:33:51 -0300 Assunto: [obm-l] C-homogeneidade implica C-Linearidade? Pessoal, me deparei com seguinte problema Provar que se L : C - C é uma funcao entao as condicoes seguintes sao equivalentes i) L é C-Homogenea ii) L é C-Linear Acredito que ii = i seja trivial mas como provar i = ii ? Acho que para ser verdadeira deveria ter mais informacoes sobre L não? Obrigado Niski = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Mail - Com 250MB de espaço. Abra sua conta! -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] C-homogeneidade implica C-Linearidade?
Oi, Cláudio. Esta função é exatamente
T(z) = z/2 = Re(z) != Im(z)
T(a + a*i) = 0, para a = 0
Ou seja, ela é quase T(z) = z/2.
Certo?
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On Wed, 16 Mar 2005 14:22:44 -0300, claudio.buffara
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Dizer que T(a) = (|a|/2)*u(a), onde u(a) = vetor unitário de mesma direção e
sentido que a é mesma coisa que dizer que T(a) = a/2 e nesse caso, T também
satisfaz a T(x+y) = T(x) + T(y).
Ou então eu não entendi o que vocês querem dizer...
[]s,
Claudio.
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Wed, 16 Mar 2005 10:12:29 -0300
Assunto: Re: [obm-l] C-homogeneidade implica C-Linearidade?
Eu acho que esta função que você fez está certa (homogênea, porém não
linear). E ela se baseia no argumento do Cláudio (ou seja, se o corpo
sobre o qual temos o espaço vetorial for R, em vez de C). Só cuidado
que o vetor (1,1) não é unitário, mas isso não estraga as idéias
(tinha que multiplicar por sqrt(1/2) par normalizar).
Eu acho que toda função de um corpo infinito nele mesmo que seja
homogênea de grau 1 será linear (é só repetir o argumento do Cláudio).
Mas não sei se a hipótese de infinito é fundamental.
On Wed, 16 Mar 2005 09:55:27 -0300 (ART),
[EMAIL PROTECTED]
wrote:
Será que a função T tal que
T(a)=â.|a|/2 se â=!(1,1)
E 0 caso contrario
não é uma em que há homofgeneidade, mas não linearidade ? (tente somar
(0,1)
com (1,0) )
(â é o vetor de modulo unitario no sentido de a, T é uma transformação
linear de R2 em R2, que a meu ver é completamente analoga a uma de C a
C)
claudio.buffara wrote:
Bom, Niski, este é o caso de um corpo visto como um espaço vetorial
sobre si
mesmo, o que provavelmente não é uma situação muito comum.
Mas o problema dá margem a mais elocubrações.
Por exemplo, se tomarmos C como um espaço vetorial (de dimensão 2) sobre
R,
será que o resultado análogo vale?
Ou seja, se F:C - C for tal que F(az) = aF(z) para todo a real e z
complexo, será que é verdade que F(z+w) = F(z) + F(w) para todos z e w
em C?
E a recíproca do seu resultado?
Se G: C - C é tal que F(z + w) = F(z) + F(w) para quaisquer z e w em C,
então é verdade que F(zw) = zF(w) para quaisquer z e w em C?
[]s,
Claudio.
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Tue, 15 Mar 2005 13:58:25 -0300
Assunto: Re: [obm-l] C-homogeneidade implica C-Linearidade?
Humm. Me parece correto o seu argumento.
Nao consigo precisar bem, mas esse resultado nao me parece intuitivo.
E pra voce?
Niski
claudio.buffara wrote:
Supondo que F seja C-homogenea se F(az) = a^nF(z) para quaiquer a e
z em
C e n em Z, é evidente que F não é linear, a menos que n = 1.
Nesse caso (ou seja, se F(az) = aF(z)), basta mostrar que esta
condição
implica que F(z + w) = F(z) + F(w) para quaisquer z e w em C.
Suponhamos que F(1) = c.
Seja z 0.
c = F(1) = F((1/z)*z) = (1/z)*F(z) == F(z) = c*z
Logo, F(z + w) = c*(z + w) = c*z + c*w = F(z) + F(w).
Espero que seja isso.
[]s,
Claudio.
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Tue, 15 Mar 2005 11:33:51 -0300
Assunto: [obm-l] C-homogeneidade implica C-Linearidade?
Pessoal, me deparei com seguinte problema
Provar que se L : C - C é uma funcao entao as condicoes seguintes
sao
equivalentes
i) L é C-Homogenea
ii) L é C-Linear
Acredito que ii = i seja trivial
mas como provar i = ii ? Acho que para ser verdadeira deveria ter
mais
informacoes sobre L não?
Obrigado
Niski
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Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Re: [obm-l] Proposição
Depende do que você está pensando. Se for apenas uma base no sentido de Hamel, ou seja, todo elemento é escrito como uma ÚNICA combinação linear FINITA dos elementos da base, dá para provar que estas bases são não-enumeráveis. Assim, pode ser difícil exibir uma base. Por exemplo, no segundo, você pode pensar que uma seqüência é a representação binária de um número em [0, 1], mas ainda não sei se é bonitinho... Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Fri, 18 Mar 2005 00:25:06 +, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Einstein falou uma frase que toca no que você escreveu: A inovação não é o produto de um pensamento lógico, mesmo estando o produto final atado a uma estrutura lógica. E sobre o teorema do fechamento algébrico dos complexos, o livro do Rudin Principles of mathematical analysis tem uma prova curtinha e não muito difícil, e os pré-requisitos para compreendê-la estão todos dentro do livro. Para aproveitar o espaço: Alguém sabe exibir uma base para o espaço vetorial das seqüências reais (R^oo)? Ou ainda, alguém conhece uma base para o espaço das seqüências formadas por 0 e 1? []s, Daniel Paulo Santa Rita ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Ola carissimo Prof Nicolau e demais colegas desta lista ... OBM-L, Complementando a mensagem, talvez nem todos saibam que a prova do Teorema abaixo foi a tese de doutorado do Gauss e contribui poderosamente para que os numeros complexos fossem aceitos com maior tranquilidade pelos matematicos de entao. Gauss apresentou outras provas deste teorema, sempre pretendendo chegar a uma prova puramente algebrica mas nao teve sucesso. Hoje muitos supoe que esta notavel propriedade depende fundamentalmente de consideracoes topologicas e portanto a pretensao de Gauss era realmente inatingivel. Sobre a introducao das variaveis complexas em sua tese, veja o sabor altamente filosofico com que Gauss conduzia suas investigacoes : Durante este outono ocupei-me largamente com as consideracoes gerais sobre as superficies curvas, o que conduz a um campo ilimitado ... Estas pesquisas ligam-se, como sou tentado a dizer, com a metafisica da geometria e nao e sem ingentes esforcos que consigo me arrancar das consequencias que dai advem ... Qual seria a verdadeira natureza das grandezas negativas e imaginarias ? Nestas ocasioes, sinto vibrar dentro de mim com grande vivacidade o verdadeiro sentido da raiz quadrada de -1, mas creio que sera extraordinariamente dificil expressa-lo com palavras ( Gauss ) Falar hoje - e, em particular para um formalista - em VERDADEIRA NATUREZA e em SENTIDO de um objeto matematico talvez soe como uma heresia ... Pois, um dos pressuposto basicos do formalismo e justamente o de que para raciocinarmos com rigor autentico devemos abdicar dos eventuais sentidos que a intuicao porventura atribua aos objetos : eles obedecem aquele conjunto de axiomas e ponto final. Mas, salvo melhor juizo, se eu interpreto bem a historia o que sempre caracterizou e havera de caracterizar um Verdadeiro Grande Matematico e justamente esta dimensao subjetiva, propria, na qual ele reinterpreta a historia que lhe antecede e descobre de forma exclusivamente intuitiva o sentido e significado que alguns objetos e ocorrencias matematicas tem, dando assim um novo direcionamente a historia e a pesquisa matematica que o seguira. Esta mensagem, eu sei, tem cores eminentemente epistemologicas, mas parece-me que esta dimensao historica e filosofica, e altamente saudavel e nao pode faltar na formacao de nenhum estudante. Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 5,1021,170305 From: Nicolau C. Saldanha Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Proposição Date: Thu, 17 Mar 2005 09:32:04 -0300 Uma afirmação relacionada muito interessante é o teorema fundamental da álgebra: toda equação polinomial não trivial tem raiz complexa. Mais precisamente, x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0 pode não ter raiz real, mas sempre tem raízes complexas se os coeficientes a_j forem reais ou complexos. Aliás, campo provavelmente é uma tradução não usual de field. O termo usual e correto no nosso idioma é *corpo*. []s, N. _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re: [obm-l] ideais maximais
Bom, você tem que provar que não existe I contido em C([0,1]) tal que
J esteja contido em I, e todas as inclusões sejam próprias (ou seja,
um conjunto estritamente maior do que aquele que ele contém).
Tome então um ideal I, estritamente maior do que J. Assim, existe um
elemento deste anel que não está em J, ou seja, uma função g: [0,1] -
R tal que g(1/2) != 0.
Seja então g(1/2) = a; a função h(x) = g(x) - a está em J.
Para provar que J é maximal, agora basta provar que I = C([0,1]).
Ora, é claro que, como é um ideal e contém g, J, temos que I contém o
ideal gerado por (g, J) = { f = ag + bj / a, b pertencem a C([0,1]) e
j pertence a J}.
Agora vamos provar que este ideal é tudo! Seja f em C([0,1]) - J.
(Não precisamos fazer para J, já que claramente I contém J)
Queremos escrever f na forma ag + bj. Para termos alguma chance de
conseguir isso, temos que fazer com que ag(1/2) + bj(1/2) = f(1/2).
Ora, j(1/2) = 0, logo ag(1/2) = f(1/2), e portanto a(1/2) = f(1/2) /
g(1/2). Bom, sejamos bastante otimistas: faça a(x) = a(1/2) = f(1/2) /
g(1/2) (função constante!!) e veja que o que sobra é (f - ag)(1/2) =
f(1/2) - a(1/2)g(1/2) = 0, logo é uma função que pertence a J. Assim,
podemos fazer b(x) = 1 para todo x e obtemos finalmente j = f - ag em
J, logo I = C([0,1]) e portanto J é maximal.
Acho que é isso.
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On Fri, 18 Mar 2005 17:25:18 -0300 (ART), Lista OBM
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Gostaria de uma ajuda no problema abaixo:
Seja C([0,1]) o anel da funções contínuas em [0,1],
com as operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) e [f.g](x) =
f(x).g(x), para todas f,g em C([0,1]). Seja J o
conjunto de todas as funções f em C([0,1]) tais que
f(1/2) = 0. Prove que J é um ideal maximal.
grato desde já, éder.
Yahoo! Mail - Com 250MB de espaço. Abra sua conta! http://mail.yahoo.com.br/
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Re: [obm-l] matemática discreta
Um que eu conheço e é bastante bom é o Concrete Mathematics, de Ronald L. Graham, Donald E. Knuth e Oren Patashnik. Não sei se é exatamente o que você está estudando, mas pelo menos o título confere, e o livro vale a pena de qualquer forma. Tem bastantes problemas, e técnicas muito legais para soma. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Mon, 21 Mar 2005 15:05:09 -0300, Thiago Addvico [EMAIL PROTECTED] wrote: olá alguem pode me recomendar um livro bastante completo sobre matemática discreta? não consigo confiar na minha professora então decidi estudar por conta... obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Análise
O que é exatamente a recíproca do TVI? Se for algo do tipo Para todo a c b no domínio de f, existe x na imagem de f tal que f(a) x f(b) e x = f(c), é apenas a definição de função crescente (aqui estou usando implicitamente que é estritamente crescente, ou seja x y = f(x) f(y) e que a é diferente de b). Se for outra coisa, avise! -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Tue, 22 Mar 2005 23:09:44 -0300, Diogo [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, se puderem me ajudar nesse eu agradeço: Sendo f:[a,b]--R uma função crescente, mostre que, nesse caso, a recíproca do teorema do valor intermediario é válida. Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise
Neste caso, como f é crescente, só pode ter descontinuidades de primeira espécie (saltos). Mas neste caso, a hipótese dada (ou seja, para todo d em [f(a), f(b)] existe c em [a, b] tal que f(c) = d implica que não pode haver saltos (pois neste caso, ao cara do meio do salto não corresponderia c algum, já que f é crescente). Daí f é contínua pois não possui saltos nem outras descontinuidades mais complicadas. Uma observação legal é que pode-se ter funções que sejam descontínuas mas que tenham a Propriedade do Valor Intermediário(PVI). Os melhores exemplos que eu conheço são dados pelo teorema que diz que a derivada de qualquer função tem a PVI; tome agora a função f(x) = x^2 * sen(1/x), cuja derivada é 2x*sen(1/x) - cos(1/x) para x != 0 e f'(0) = 0. Ela tem a PVI, mas não é contínua no zero. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Wed, 23 Mar 2005 09:00:44 -0300, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Acho que o que ele quer que se prove é: Se f:[a,b] - R é crescente e se, além disso, para cada d em [f(a),f(b)] existir c em [a,b] tal que f(c) = d, então f é contínua em [a,b]. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 23 Mar 2005 08:01:53 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Análise O que é exatamente a recíproca do TVI? Se for algo do tipo Para todo a c b no domínio de f, existe x na imagem de f tal que f(a) x f(b) e x = f(c), é apenas a definição de função crescente (aqui estou usando implicitamente que é estritamente crescente, ou seja x y = f(x) f(y) e que a é diferente de b). Se for outra coisa, avise! -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Tue, 22 Mar 2005 23:09:44 -0300, Diogo wrote: Pessoal, se puderem me ajudar nesse eu agradeço: Sendo f:[a,b]--R uma função crescente, mostre que, nesse caso, a recíproca do teorema do valor intermediario é válida. Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvidas
Acho que é só ver que 99 = 100 - 1 = (100a - 1). Eleve ao quadrado, os termos serão 1a^2 - 2*100a + 1. Ora, 1 e 100 são divisíveis por 50, logo o resto é 1. Isso é sem congruências, mas tem que saber que os restos somam, que nem congruências... Mais uma vez a velha questão de utilizar ou não uma ferramenta: acho que sim (eu só vi esta solução porque sei congruências!) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Wed, 30 Mar 2005 07:39:00 -0300, matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] wrote: Qual é resto da divisão de (99)^2 por 50 ? como resolveria esta questão sem usar congruencias? Agradeço desde de já. Ary Queiroz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teo. Riez
Bom, eu não sei se é algo que você vá gostar, mas tem o livro (na verdade são vários, mas para você é o primeiro) Methods of Modern Mathematical Physics, Reed Simon, que explica bastante bem Análise Funcional, e acho que ele prova o Teorema de Riesz, que na sua forma geral é: Se f(x) é um funcional linear, então f(x) = x, a para algum a e , é um produto interno, que por definição é uma forma bilinear simétrica positiva definida (aqui não dá para falar de matriz, já que pode ter base infinita!). E daí, para ter o que você quer, acho que basta fazer uma demonstração de mudança de base. Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Wed, 30 Mar 2005 14:34:22 -0300 (ART), Bruno Lima [EMAIL PROTECTED] wrote: Sendo A uma matriz nxn simetrica, positiva definida entao x´Ay (x´ é x transposto ) define um produto interno de x por y . Queria saber se vale a volta: dado um produto , interno em R^n existe uma matriz A como acima tal que x,y=xAy Ou seja caracteriza produto interno em R^n Vou dar uma olhada no livro do Elon de Algebra Linear. Um amigo falou pra eu olhar sobre o Teorema de Riez que sob certa condicoes, caracteriza operadores lineares , achei num livro de Analise Funcional mas viajei um pouco, alguem sabe um bom livro onde encontro esse Teorema Valeu, abraco Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PROBLEMA!
Note que os maiores somam 15 e os menores, zero. Assim, você já tem alguma coisa. Agora, veja quem pode somar 2 e quem pode somar 13... E depois acho que vale o bom chute. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Apr 1, 2005 12:39 PM, Rafael Alfinito Ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote: EU TENTEI, TENTEI E ATÉ AGORA NÃO ENTENDI AÍ VAI: DADOS 5 NÚMEROS, AS SOMA 2 A 2 SÃO: 0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13 E 15 RESPECTIVAMENTE. DETERMINE OS NÚMEROS. DESDE JÁ AGRADEÇO. _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] soma de termos
Isto tem uma resposta muito legal com números binomiais: Repare que m^2 = m(m-1) +m = 2*C(m, 2) + C(m, 1) (este C(a, b) é o número de combinações de a, escolhendo b, que é equivalente a a! b! (a-b)! Ora, o que você quer é somar tudo, de m=1 até n. Mas então temos SOMA 2*C(m, 2) + C(m,1) = 2*C(n+1, 3) + C(n, 2) (pelo teorema de soma de colunas! - Demonstre que SOMA C(m,k) = C(n+1, k+1) usando a propriedade de que C(a, b) + C(a, b+1) = C(a+1, b+1) ). Agora é só expandir. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Apr 4, 2005 1:07 PM, Brunno [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa tarde pessoal da lista dentro de uma exercício, cheguei a soma de soma de = 1^2 + 2^2 + 3^2 ...n^2 e vi que tinha uma formula especifica n^3/3 + n^2/2 +n/6 mas como se chega a esta formula??? Um abraco = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] soma de termos
Oi, Brunno. Eu estava respondendo ontem quando acabou a luz, e aí
acabei perdendo a linha. Acho que agora estará tudo certo:
Primeiro, como você falou, está errado no local da soma, mas é C(n+1,
1+1), pois esta é a soma do último.
Agora, vamos para a demonstração da lei das colunas (por indução,
apesar de o Cláudio ter falado mal dela!)
Teorema: SOMA {desde m=1até m=n} C(m, k) = C(n+1, k+1)
Caso Base: n=1 (podia ser n=0)
Temos duas possibilidades: k = 1 e k 1
Se k = 1, esta igualdade é 1 = C(1, 1) = C(1+1, 1+1) = C(2, 2) = 1, OK!
Se k 1, é 0 = C(1, k) = C(2, k+1) = 0 pois (k+1) 2
Agora, só falta o passo de indução:
SOMA {desde m=1até m=(n+1)} C(m, k) = SOMA {desde m=1até m=n} C(m, k)
+ C(n+1, k), separando o último termo da soma,
= C(n+1, k+1) + C(n+1, k) pela hipótese de indução
= C( (n+1) + 1, k + 1), pela fórmula C(a, b+1) + C(a, b) = C(a+1, b+1)
(Demonstre ela: é só expandir!)
Eu acho que vale também para k negativo ou zero, mas isso eu deixo
para você pensar (ah, e também tem o velho problema de definir quanto
vale C(n, -32), mas isso é zero, eu acho) Para k=0, o teorema na
verdade é uma coisa bem trivial!
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On Apr 4, 2005 5:01 PM, Brunno [EMAIL PROTECTED] wrote:
Unico engano é nessa passagem
Mas então temos SOMA 2*C(m, 2) + C(m,1) = 2*C(n+1, 3) + C(n, 2) (pelo
C(n, 2)
deveria ser C(n+1,2+1)
muito obrigado pela forca
se puder me ajuda com a demonstracao da soma de colunas
Um abraco
Do amigo brunno
- Original Message -
From: Bernardo Freitas Paulo da Costa [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, April 04, 2005 1:38 PM
Subject: Re: [obm-l] soma de termos
Isto tem uma resposta muito legal com números binomiais:
Repare que m^2 = m(m-1) +m = 2*C(m, 2) + C(m, 1) (este C(a, b) é o
número de combinações de a, escolhendo b, que é equivalente a
a!
b! (a-b)!
Ora, o que você quer é somar tudo, de m=1 até n.
Mas então temos SOMA 2*C(m, 2) + C(m,1) = 2*C(n+1, 3) + C(n, 2) (pelo
teorema de soma de colunas! - Demonstre que SOMA C(m,k) = C(n+1, k+1)
usando a propriedade de que C(a, b) + C(a, b+1) = C(a+1, b+1) ). Agora
é só expandir.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On Apr 4, 2005 1:07 PM, Brunno [EMAIL PROTECTED] wrote:
Boa tarde pessoal da lista
dentro de uma exercício, cheguei a soma de
soma de = 1^2 + 2^2 + 3^2 ...n^2
e vi que tinha uma formula especifica
n^3/3 + n^2/2 +n/6
mas como se chega a esta formula???
Um abraco
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] cálculo no R^n
Eu acho que esta f é uma contração fraca, ou seja, ||f(x) - f(y)||
||x-y||. Acho que não existe uma k em [0, 1) tal que valha a
desigualdade das contrações, justamente porque a f vai ficando cada
vez mais linear quando x,x fica perto de 1...
(Bom, acabei de ver: use y=0 e x = u(1-eps) onde u é um unitário e
eps-0. Isso nos dá uma desigualdade acima com 1-eps k 1, para
todo eps... então não dá para ser uma contração forte - aquela que tem
um k 1 - mas acho que ainda assim o argumento só usa contração
fraca)
Té mais,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On Apr 8, 2005 1:43 AM, Ronaldo Luiz Alonso
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Meu caro Ronaldo,
acho que seu argumento que f é uma contração na bola
B(0,1) não está correta, pois não por enquanto não
temos uma constante 0 = k 1 tal que ||f(x) - f(y)||
= k.||x - y||. Apesar de mesmo aceitando esse
hipótese, também não fiquei convensido que ela
injetiva e não adimite inversa diferenciável!!
Sem mais.
Acho que você como matemático está certo em
julgamento. De fato, matemáticos querem
sempre coisas precisas. A intuição ajuda muito
mas não convence :)
Deixa-me tentar novamente:
Acredito que a constante k pode ser obtida pela
desigualdade triangular.
||f(x) + (- f(y))|| = ||f(x)|| + ||-f(y)|| = ||x,xx|| +
||y,yy|| = ||x||^2.||x|| + ||y||^2.||y|| = ||x||^3 + ||y||^3
como ||x||1 e ||y|| 1, então ||x||^3+||y||^3 ||x||+||y||
||x|| - ||y|| (pois a norma é sempre positiva).
então qualquer 0 = k 1 satisfaz a desigualdade.
Está certo?
Falta tempo para eu examinar melhor as
idéias (e talvez também competência minha,
para firmá-las).
[]s e saudações.
--- Ronaldo Luiz Alonso
[EMAIL PROTECTED] wrote:
-
2) Seja f: R^n -- R^n dada por f(x) = x,x.x.
Mostre que f é de classe C infinito e que leva a
bola unitária B(0;1) sobre si mesma injetivamente.
Mostre que, entretanto, a aplicação inversa não é
diferenciável na origem.
Neste caso se x \in B(0;1) então x,x = ||x|| e
0||x|| 1. Logo a aplicação é uma contração de
x.
A contração é diferenciável e de classe
C^{\infty}.
É mais ou menos intuitivo que neste caso a apliação
seja
injetiva. Por exemplo: Vetores próximos da
fronteira
tem norma 1 e portanto serão pouco contraídos.
Assim a demonstração de injetividade usa esse
fato,
isto é, se tomarmos um ponto x próximo próximo da
fronteira, podemos sempre escolher um f^{-1}(x) tal
que f composto com f^{-1}(x) = x e vice versa.
Como ||x|| é sempre menor que 1
esses pontos tem que ser diferentes.
Para entender por que a aplicação não é
diferenciável
na origem basta notar que quanto mais perto o vetor
estiver da origem mais contraído será na aplicação
direta.
(reciprocamente na aplicação inversa mais
expandido
será). A origem é uma espécie de buraco
negro ao contrário logo não pode ter derivada
lá. Argumentos do teorema de função implícita podem
ajudar.
Novamente sem rigor... apenas com idéias.
[]s Ronaldo L. Alonso
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Re: [obm-l] 1^2 + 2^2 + ... + n^2()Caso Geral
Bom, acho que tem algo a ver com os números de Bernoulli (que não têm
fórmula fechada, mas quem disse que cos(x) é uma fórmula fechada??
(Isso foi para provocar...)
O truque é que estes números relacionam-se com a expansão de n^k em
somas de binomiais da forma n^k = SOMA {em j} C(n, j) * B(k, j) (ou
algo parecido, pode ter um k-j em vez de j). Daí, como eu falei numa
mensagem anterior, é só usar a soma das colunas.
Maiores detalhes, você pode encontrar no Concrete Mathematics,
R.L.Graham, D.E.Knuth, O.Patashnik.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On Apr 9, 2005 11:21 AM, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Existe alguma especie de formula fechada para o caso
geral? Ou seja, calcular as k-esimas potencias dos n
primeiros naturais, em funcao de n e k.
--- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
wrote:
On Tue, Apr 05, 2005 at 02:02:34PM -0300,
claudio.buffara wrote:
Ontem alguém perguntou aqui na lista como se
demonstrava a fórmula da soma
dos quadrados dos primeiros n inteiros positivos.
Oi Claudio, achei bem legal a sua demonstração.
Na verdade este assunto já foi discutido várias
vezes nesta lista
e pode valer a pena dar uma olhada nos arquivos.
Seja f(n) = 1^2 + 2^2 + ... + n^2. Podemos definir f
também como
a única função de Z em Z que satisfaz f(0) = 0, f(n)
= f(n-1) + n^2.
É fácil ver que f é um polinômio de grau 3. De fato,
considere a
seguinte transformação linear: T(a,b,c) = (d,e,f)
se, sendo
g(n) = an^3 + bn^2 + cn, tivermos g(n) - g(n-1) =
dn^2 + en + f.
A transformação linear T é bem definida pois os
termos de grau 3
se cancelam; T também é injetora, pois g(n) - g(n-1)
= 0 para todo n
implica que g é constante logo, como não há termos
constante em g,
temos g = 0. Assim T é inversível. Note que o mesmo
raciocínio
demonstra que se h é um polinômio de grau k e se g
satisfaz
g(n) = g(n-1) + h(n) então g é polinômio de grau
k+1.
Agora escrevendo f(n) = an^3 + bn^2 + cn + d, f(0) =
0, f(1) = 1,
f(2) = 5, f(3) = 14 temos um sisteminha 3x3:
a + b + c = 1
8a + 4b + 2c = 5
27a + 9b + 3c = 14
e podemos facilmente achar a, b e c.
Mas acho mais elegante neste caso ver quais são as
raízes de f.
Claramente temos f(0) = f(-1) = 0. Note que f(-2) =
- (-1)^2 = -f(1),
f(-3) = - (-1)^2 - (-2)^2 = -f(2), ...,
f(-1-n) = - (-1)^2 - (-2)^2 - ... - (-n)^2 = -f(n).
Temos assim f(-1-n) = -f(n) donde f(-1/2) = 0, a
terceira raiz.
Assim f(n) = cn(n+1)(2n+1). Uma substituição obteria
o valor de c,
mas prefiro fazer f(n) ~= int_0^n t^2 dt = 1/3 n^3
donde c = 1/6.
[]s, N.
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Re: [obm-l] Corpos Redondos(EN)(André!)
Bom, acho que para entender que a f'ormula 'e v'alida, voc^e tem que
saber c'alculo (pelo menos eu n~ao conhe'co outra demonstra'c~ao). Se
for este o caso, 'e razoavelmente simples ('e uma quest~ao de escrever
o volume como uma integral dos diversos cilindros furados e tentar
fatorar da'i uma coisa que seja a 'area hachurada. Bom, depois disso,
voc^e olha o que sobrou: vai ser justamente o C.G. da figura. Um jeito
mais ou menos simples que eu sei envolve apenas escrever uma integral
dupla e trocar a ordem de integra'c~ao.
Bom, uma vez aceitada a f'ormula, o que voc^e tem que fazer 'e
calcular a 'area (que 'e f'acil, pois 'e um tri^angulo). Repare que
utilizamos apenas UM tri^angulo, pois o outro ser'a preenchido quando
tivermos rodado 180 graus. Para calcular o |x|, como 'e um tri^angulo
is'osceles, isto 'e 2/3 do comprimento da altura, (pois esta 'e
tamb'em mediana!) mais a dist^ancia r/2 (pois voc^e calcula o raio de
giro para o C.G. em rela'c~ao ao eixo, que est'a no centro da figura
On 4/29/05, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote:
Em um e-mail de 28/4/2005 13:45:36 Hora oficial do Brasil,
[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Oi amigos!!! Bem se não me engano essa figura espacial forma uma
anticlepsidra se não me engano o nome é esse... e pelo principio de
cavalliere da para provar que tem o mesmo volume que a esfera certo??? não
lembro muito bem... depois eu dou uma olhada e passo com mais calma ou até
mesmo vcs dêm uma olhadinha nela...
Fuiii!
Atenciosamente,
André Sento Sé Barreto
===
Cara, uma amiga fez essa questão lá na sala de uma forma mto loca, só que
eu cheguei em casa e não consegui fazer.
Ela rotacionou(eu não entendi porque) e usou aquela fóruma do
V= 2pi |x| A
sendo
|x|= diastancia do eixo ao centro de gravidade
A= Área
Só que não estou achando o |X| e nem entendendo se a fórmula é válida
eu tendei desenhar para você e os outros da lista verem, se alguem quiser
discutir ou me ajudar.
Abços
Junior
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Re: [obm-l] Axioma da união
On 6/16/05, Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] wrote:
On Wed, Jun 15, 2005 at 08:32:42PM -0300, luis bustamante wrote:
Na teoria dos conjunto, o axioma da unio pode ser deduzido a partir dos
outros? Vocs j viram isso em algum lugar?
Um colega me falou assim por cima...eu no entendi nada.
O axioma da unio um dos axiomas usuais de ZFC e necessrio sim,
ou seja, no consequencia dos outros.
O axioma da unio diz que dado X existe W tal que para todo z,
z pertence a W
se e somente se
existe y tal que z pertence a y e y pertence a z.
Aqui nao seria
dado X existe W tal que para todo z,
z pertence a W se e somente se
existe y tal que z pertence a y que pertence a _X_?
Esse conjunto W chamado de Uniao de X, n~ao?
vale a pena notar que X tem que ser um conjunto de conjuntos, e W
a uniao de todos os conjuntos contidos em X.
Ou seja, para fazer A U B, voc primeiro faz C = {A, B} (acho que pelo
axioma do par este C existe ...) e ent~ao voc _define_ A U B como o
conjunto dado pelo axioma da uniao aplicado em C.
Ate mais,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
Os axiomas esto expostos um por um e explicados nas primeiras
pginas de Set Theory, de Thomas Jech.
[]s, N.
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Re: [obm-l] numeros binomiais, conjectura
Eu acho que um jeito legal de demonstrar que vale a igualdade dos complexos depois de demonstrar a dos naturais usar que os numeros binomiais podem ser encarados como polinmios de grau bem definido: C(x,p) = x*(x-1)* ... * (x-p+1) / p! um polinmio de grau p. Bom, dai voc olha a sua express~ao, de cada um dos lados, como polinmios em z1, z2, ... zn (os seus A1, A2, ..., An) e do outro como um polinmio em soma(z_i), o que n ~ao deixa de ser um polinmio em z_i. Voc conclui que eles s~ao iguais numa infinidade de pontos (todos os naturais!!!) e dai, como bons polinmios de graus bem definidos (para lembrar: n), eles tem que ser iguais! Abraos, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivada
Bom, uma vez que você não sabe derivar x^x (o que é normal...) você tenta botar isso de uma forma mais apresentavel. Bom, a primeira idéia que me vem à cabeça é o log ( que simplifica isso num produto, deve ser legal para fazer) : ln(f(x)) = ln(x^x) = xln(x). Bom, chame g(x) = ln( f(x) ). Veja que chegamos a uma função que sabemos derivar: sua derivada (pela regra do produto) vale ln(x) + 1. Agora, faça a regra da cadeia para g(x): g'(x) = ln ' ( f(x) )* f ' (x). Bom, queremos calcular f ' (x), certo? Basta inverter ln ' ( f(x) ), que é 1 / ( f(x) ), e multiplicar por g'(x). Isso vai dar (ln(x) + 1) f(x) = x^x + x^x * ln(x). Pronto! Ah, e tem outro jeito de fazer ( mais macetoso a meu ver, mas eu acho melhor, uma vez que você sabe ) : x^x = exp( x* ln(x) ) (lembre que essa é a _definição_ de x^y := exp( y * ln(x) ), para coincidirem os logs...) Dai, você usa a regra da cadeia em exp( x* ln(x) ): isso da : ( Derivada de x * ln(x) ) * exp (x * ln(x) ) =repare que chegamos ao mesmo ponto de antes, temos a derivada de g(x) * f(x) = f '(x) E ai é so partir pro abraço. Até mais, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 6/24/05, Biagio Taffarel [EMAIL PROTECTED] wrote: alguem pode me ajudar a calcular essa derivada? Qual a derivada da função f(x) = x ^ x ? []´s Biagio Where you've been is not half as important as where you're going Onde você esteve tem menos da metade da importância de onde você vai www.fotolog.net/thoth = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] PA e primos
Eu acho que ele queria o Teorema dos Numeros Primos (é esse o nome?) que deve dizer Se a e r são primos entre si, então a PA de termo inicial a e razão r contém infinitos numeros primos, e do que eu lembro, este teorema não é nem um pouco trivial. Mesmo para o caso a = 1 ele é dificil (se eu não me engano) Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 6/24/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Isto eh falso (supondo-se uma PA em que os termos sao numeros inteiros). Considere, por exemplo, a PA dos numeros pares, a_n = 2*n, n=1,2,3..Nao eh constante e o unico termo primo eh 2. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Felipe Takiyama Enviada em: sexta-feira, 24 de junho de 2005 14:40 Para: OBM-lista Assunto: [obm-l] PA e primos Como provar que em uma PA não constante existem infinitos números primos?(parece ser uma demonstração muito simples, embora eu não saiba nem como começar...). Obrigado, Felipe ___ Que tal uma lupa para entender as ofertas que a concorrência faz para ligações DDD/DDI e acesso à Internet? Use a lupa da Embratel e descubra! www.falaserio21.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Medida
Bom, o que o Artur esta falando é que você NAO PODE definir uma funçao
medida para todos os subconjuntos de R (portanto pode esquecer R^n),
pois existe um jeito (utilizando o Axioma da Escolha) de construir um
conjunto que nao pode ter medida zero nem positiva. A idéia principal
é fazer uma decomposiç~ao enumerável de [0, 1] em conjuntos que tem
que ter a mesma medida. Para criar esta decomposiç~ao, você utiliza o
Axioma da Escolha e em seguida você tira um absurdo disto.
Mas acho que, realmente, o seu resultado prova uma coisa bem legal, e
lembra-me de sigma-álgebras completas (ou seja, aquelas para as quais
X tem medida nula = todo Y contido em X está na sigma-álgebra e
também - por estar contido em X, nao poderia ser diferente - tem
medida nula). Assim, como o Artur ou você provaram, A x R^m tem medida
nula. Ora, para todo B contido em R^m, temos A x B contido em A x R^m,
e (do fato que existe uma sigma-álgebra completa que contém os abertos
de R^k para todo k) A x B é mensurável e tem medida zero. Esta
demonstraçao está contida na que você deu (bastando notar que B está
contido em alguma uniao enumerável dos Q_i).
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On 7/6/05, Tertuliano [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Artur,
Consegui fazer algo parecido, embora mais elementar,
pois nao conheco muita coisa deste assunto: para cada
ponto do Rn com coordenadas racionais tomei um cubo
unitario com centro neste ponto. Fixemo s um destes
cubos, digamos Q_i. Como A tem medida nula, nao eh
dificil concluir q AxQ_i tb possui medida nula. De
resto, basta ver q AxRn eh a uniao enumeravel dos
AxQ_i. Segue q AxRn possui medida nula.
PS.: nao entendi porque o resultado nao eh valido para
qq subconjunto de Rn.
Tertuliano
--- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
escreveu:
Na realidade, esta demonstracao poderia ser um
pouquinho mais simples do que
a que eu dei. Nao era preciso aquela passagem de
paralelepipedos abertos e
limitados para conjuntos genericos limitados,
poderiamos ter invocado
diretamente a sigma-subaditividade da medida. Antes
de apresentar a prova,
uma observacao de um fato sutil que me passou
desapercebido. O enunciado
deveria dizer que B eh um conjunto qualquer
MENSURAVEL de R^n, pois nem todo
subconjunto R^n eh mensuravel (mesmo com a medida de
Lebesgue). No caso, B
teria que pertencer aa sigma-algebra de Borel,
gerada pelos conjuntos
abertos de R^n
A prova poderia ser assim:
Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um
paralelepipedo limitado e aberto
de R^n de hipervolume
V (V eh a medida de P). Como A tem medida nula, para
todo eps0 podemos
cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de
paralelepipedos abertos e limitados de R^m, cada um
com hipervolume V_k, tal
que Soma(k1)V_k eps/V. Temos
entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel de A
X P por paralelepipedos
abertos de R^(m+n). O
hipervolume total desta colecao eh Soma(k=1)V_k * V
= V * Soma(k=1)V_k
V * eps/V = eps. Como eps eh
arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula em
R^(m+n).
O conjunto R^n pode ser dado pela uniao de uma
colecao enumeravel (nao
precisa ser disjunta 2 a 2) {Q_k} de paralelepipedos
abertos de hipervolume
1. Entao, {A X Q^_k} eh uma cobertura enumeravel
(nao necessariamente
disjunta 2 a 2) de A X R^n. Como A tem medida nula e
cada Q_k eh um
paralelepipedo aberto e limitado, a conclusao
anterior nos mostra que cada A
X Q_k tem medida nula. Invocando-se agora a
sigma-sub-aditividade da medida,
concluimos que A X R^n tem medida nula. E valendo
esta conclusao para o caso
B = R^n, segue-se que vale automaticamente para
qualquer subconjunto
MENSURAVEL B de R^n, pois A X B estah contido em A X
R^n e subconjuntos
mensuraveis de conjuntos nulos sao nulos.
A sigma-sub-aditividade da medida eh a propriedade
segundo a qual se {A_n}
eh qualquer colecao enumeravel de conjuntos
mensuraveis e A eh a uniao desta
colecao, entao u(A) = Soma(n=1) u(A_n),
entendendo-se esta desigualdade no
sistema dos reais expandidos. Se a colecao for
disjunta 2 a 2, ocorre
igualdade.
Artur
--- Tertuliano [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi para todos!
Alguem pode me ajudar neste?
Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em Rm
um
conjunto qualquer. Entao AxB tem medida nula.
Grato,
Tertuliano
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Re: [obm-l] Uma desigualdade legal!
Uma sugestão: ordene a, b e c (por simetria você pode fazer isso). Dai veja que os numeradores e denominadores vão estar ordenados tambem. Dai, use uma desigualdade que tem a ver com ordem... Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 7/10/05, Marcos Martinelli [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa tarde pessoal. Precisco de ajuda nessa desigualdade. Lá vai: Dados a,b,c,x reais positivos provar que: [a^(x+2)+1]/[a^(x)*b*c+1]+[b^(x+2)+1]/[b^(x)*a*c+1]+[c^(x+2)+1]/[c^(x)*b*a+1]=3. Tentei resolver através da desigualdade de Jensen, considerando a seguinte função f(u)=[u^(x+2)+1]/[k*u^(x-1)+1], onde k=a*b*c. Assumindo que a segunda derivada dessa função é positiva a desigualdade acima é imediata. Meu problema foi demonstrar que essa segunda derivada é sempre positiva para qualquer u positivo e x positivo. Tentei derivar implicitamente mas as contas crescem muito. Gostaria da ajuda de vocês e, quem sabe, até uma outra solução pro problema. Obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvida conceitual
Como você define isomorfo para Espaços Vetoriais? Se eu n~ao me engano, dois espaços vetoriais de dimens~ao finita s~ao isomorfos sse 1) Sua dimens~ao é igual 2) O Corpo sobre o qual s~ao construídos é igual (se n~ao nem faz sentido tentar) Mais especificamente, existe uma bijeç~ao linear que leva o seu espaço em R^2: f(a +b, 0, b) = (a, b), que é linear (se você quiser, escreva isso como f(c, 0, b) = (c-b, b) que é claramente linear) T+ -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 7/19/05, Marcos Paulo [EMAIL PROTECTED] wrote: Domingos Jr. wrote: Carlos Gomes wrote: Claro que não, pois os vetores de uma base do R^2 tem duas coordenadas enquanto que os vetores do r^3 tem 3 coordenadas! Podemos pensar um pouquinho fora da caixa... Dois vetores LI no R^3 determinam um (hiper-)plano que é isomorfo ao R^2. Acho que esse tipo de resposta é mais informativa do que um 'claro que não'. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Os vetores (1,0,0) e (1, 0, 1) são LI e não geram um hiperplano isomorfo ao R² []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] equaçao BIquadrada
Cara, pra saber se a forma acima esta certa, a gente precisa de unsparentesis
pra saber quem divide quem nas barras, senao fica dificil!Por exemplo, o lado
esquerdo tem um monte de opcoes, mas que viram soduas, tendo em conta o
enunciado (o denominador nao pode ser x^2, enem x, ja que a indicacao de U leva
a x^2 + 1), mas ainda assim naoda:a^2 + 4/ x^2 + 1 = a^2 + 4/(x^2 + 1) ou (a^2
+ 4)/(x^2 + 1) ?Pro lado direito e mais dificil ainda, e pra piorar tem um
sinalestranho de 'mais' logo em seguida de um 'dividido': / +
Bom, pra resolver (supondo que esta certa a equacao, mas realmente eso fazer o
mmc dos denominadores), substitua x^2 por uma novavariavel, por exemplo, Y.
Dai, voce cai numa equacao do segundo grauem Y, resolve e acha duas raizes (em
funcao de a, claro). Emseguida, voce analisa o sinal delas, aceita apenas a
positiva (tendoem vista que U esta contido em R) e acha as raizes quadradas pra
teras duas solucoes.
Espero que tenha ajudado,Abracos,-- Bernardo Freitas Paulo da Costa
On 8/2/05, elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote: NA RESOLUÇAO DA
EQUAÇAO NA VARIÁVEL X, PARA U = IR - {-1, 1}: a^2 + 4/ x^2 + 1 = 4 - a^2/ +
a^2 + 1 + 4x^4/ x^4 – 1 Eu comecei tirando o mmc, que é todo o denominador
da equação! Em seguida multipliquei por todos os numeradores de forma
correta e cheguei a seguinte equação: -2a^2x^4 + 2a^2 – 8x^6 – 4x^4 + 4 = 0
queria saber se estar correto da forma acima, e se estiver, como faço pra
desenvolver o restante da equação?
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[obm-l] Re: Espaço Vetorial
Bom, voce tem que usar o Axioma da Escolha, na forma do Lema de Zorn, pra mostrar que um subconjunto independente maximal existe e 'e a base do seu espaco (pois se nao fosse base, nao seria maximal, bastando juntar um vetor LI...). A parte dificil 'e voce usar Zorn: Considere os subconjuntos LI do seu espaco vetorial, ordenados por inclusao. A reuniao de quaisquer subconjuntos LI que estejam contidos uns nos outros (A1 c A2 c A3 c ... - pode ser nao enumeravel, mas so pra dar uma ideia) tambem 'e LI (prove isso) e portanto, pelo lema de Zorn, existe um maximal, que e a sua base. Falows, On 8/4/05, Denisson [EMAIL PROTECTED] wrote: Como se prova que todo espaço vetorial possui uma base? Obrigado -- Denisson -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subconjunto fechado e denso em R
Bom, vamos tentar ver se (seguindo a sua idéia) só existe um único conjunto fechado e denso em R, que é o próprio R: Seja A contido em R, fechado e denso. O que quer dizer que A é fechado? Bom, que fecho(A) = A, certo? Mas e o que quer dizer que A é denso em R? Ora, que fecho(A) = R. Daí, como você pode ver, temos A = fecho(A) = R, logo realmente R só tem um subconjunto fechado e denso, que é ele mesmo. Repare que nessa demonstração não foi usado nada em particular da topologia de R, ou seja nós provamos que: Um conjunto não possui subconjuntos próprios fechados e densos Espero que esteja certo, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 8/12/05, Ana Evans Merryl [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Algúem poderia dar um exemplo de um subconjunto proprio de R que seja fechado e denso em R? O único exemplo que achei de conjunto fechado e denso em R é o próprio R. Obrigada Ana __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma
Bom, esta é uma propriedade legal das séries X^(-k!). Uma idéia é
que estes números são muito bem aproximados por racionais, e que
portanto não podem ser algébricos (eu acho que eu sei provar que eles
não são racionais, mas a parte dos algébricos eu não lembro direito).
Veja que o truncamento desta série é um racional, calcule a diferença
(use que a(k) é limitada para isso) e veja que ela é muito menor do
que o maior denominador (estime a potência p tal que | irr -
truncamento_em_n | = (X^(-n!))^p)
Eu acho que é por aí.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On 8/12/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:
Nesta solucao, a base apontada pelo Daniel eh o que se chama de base de
Hamel?
Nenhuma base de R sobre Q popde ser enumeravel, certo?
Sobre este assunto, especificamente sobre a questao levantada pelo Nicolau,
no sentido de efetivamente construirmos o conjunto, eu encontrei na internet
uma solucao proposta por um matematico americano, que nao sei dizer dizer se
eh correta:
Sendo S a colecao de todas as sequencias limitadas de R, entao, segundo o
matematico, o conjunto A = {Soma(k=1 a oo) a(k)/(2^(k!) | sequencia {a(k)}
pertence a S} satisfaz ao desejado. Eh facil ver que A nao eh enumeravel e
que eh fechado com relacao aa soma. O matematico afirma que o Liouville's
Approximation Theorem , Teorema da Aproximação de Liouvile, implica que os
elementos de A sejam transcendentes, logo irracionais (nao foi apresentada
prova desta afirmacao). Se o matematico estiver certo, entao temos de fato
um conjunto construido explicitamente sem recorrer ao axioma da escolha.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: sexta-feira, 12 de agosto de 2005 09:22
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma
On Thu, Aug 11, 2005 at 09:28:31PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote:
''Encontre um conjunto de irracionais que nao seja enumeravel e seja
fechado
''com relacao aa soma
Observe que se V é um espaço vetorial de dimensão enumerável sobre Q
(racionais), então V é isomorfo ao espaço dos polinômios em uma variável
sobre Q, e,
portanto, V é enumerável. Em particular, a dimensão de R (reais) sobre Q
é não-enumerável.
Seja B* uma base de R sobre Q contendo o 1, e seja B = B*\{1}.
Esta solução (correta) usa o axioma da escolha para obter a base e portanto
o conjunto obtido no final não é dado explicitamente.
Uma pergunta que eu nao sei reponder:
É possível responder a pergunta original com a interpretação de que
encontre significa construa ou descreva explicitamente
(sem usar o axioma da escolha)?
[]s, N.
=
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Re: RES: [obm-l] Subconjunto fechado e denso em R
O fecho de Q é R, pelo menos na topologia usual. E o de (R - Q) também. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 8/13/05, fabiodjalma [EMAIL PROTECTED] wrote: Qual o fecho de Q? Em (17:33:44), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Na realidade, voce provou que, em todo espaco topologico X, o unico subconjunto fechado e denso eh o proprio X. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] solução natural
Bom, você pode fatorar isto, em dois passos, agrupando o primeiro e terceiro, depois o segundo e o quarto: 1/x ( 1/x^2 + 1/y^2 ) + 1/y ( 1/x^2 + 1/y^2 ) = (1/x + 1/y)(1/x^2 + 1/y^2) Agora, se x = 2 e y = 2, temos 1/x + 1/y = 2/2 = 1 e 1/x^2 + 1/y^2 = 2/4 logo o produto é inferior a 1/2. Se, por outro lado, x = 1 ou y = 1, temos que 1/x ou 1/y = 1 e 1/x^2 ou 1/y^2 = 1. Como temos 1/x 0, 1/y 0, 1/x^2 0 e 1/y^2 0, teremos, neste caso: 1/x + 1/y 1 + 0 = 1 1/x^2 + 1/y^2 1 + 0 = 1, logo o produto é estritamente superior a 1. Logo não há soluções naturais. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 8/13/05, Júnior [EMAIL PROTECTED] wrote: Prove que a equação 1/x^3 + 1/(x^2)y + 1/xy^2 + 1/y^3 =1 não possui solução natural. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma
Cuidado, o expoente do 2 é fatorial de k, não apenas k. Uma busca no Mathworld mostra um monte de coisas legais sobre Liouville Numbers e Liouville Approximation Theorem. Se você usar o Google, até acha demonstrações destes enunciados, mas é bem legal provar que Se \alpha é um irracional algébrico de grau n (ou seja, existe um polinômio de grau n, com coeficientes inteiros, tal que \alpha é raiz deste polinômio), dá pra mostrar que, para todo p, q inteiros, q != 0, temos: |\alpha - p/q| 1/(q^n). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 8/14/05, Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]: A sequencia a_k=1 e constante e portanto limitada, contudo a soma da serie de termo geral a_k/2^k e racional. Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas
Você não tem nem um zero onde você possa calcular fácil o f(u) limite não? E quanto ao teorema de Lebesgue, ele é realmente muito mais forte, mas repare que ele dá conclusões \mu-qtp, em vez de R; além disso, esse é um resultado clássico em Teoria da Integração à Riemman (que você pode achar - e eu concordo - ultrapassada em muito em utilidade pela de Lebesgue) que ainda assim tem um pouco de aplicação. Fiquei curioso: você pode dar detalhes desta suas g_n? Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 8/18/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: No meu caso, eu tenho um a sequencia de derivadas que converge uniformente para uma funcao g. Mas nao consegui provar que existe um ponto u no qual a sequencia das primitivas converge. Eh por isso que eu estava querendo descobrir, se possivel, alguma outra condicao que me garantissse a convergencia da sequencia das primitivas. Mas nao achei. No caso de sequencias de funcoes dadas por integrais, eh algumas vezes mais facil provar convergencia usando o Teorema da Convergencia Dominada, de Lerbesgue. Artur --- Bernardo Freitas Paulo da Costa [EMAIL PROTECTED] wrote: Bom, apesar de o Cláudio ter muito bem explicado porque precisa da hipótese de convergência de f_n(u) para algum u, existe ainda um pouco de utilidade para este teorema, uma vez que ele normalmente é usado para provar convergência de funções definidas por integrais, que então tem todas um ponto comum (por exemplo, valem zero no ponto inicial no caso de funções \int_a^x g_n(t) dt) Tentando fazer uma demostração, o importante da convergência em um ponto da série f_n(u) é poder usar justamente uma idéia de trocar derivada com integral, usando que você tem um ponto (este u especial) onde as séries coincidem no infinito (ou seja, para n suficientemente grande, | f_n(u) - f(u) | eps/2), e do argumento de convergência das derivadas, você pode definir uma f(u+h) = f(u) + \int_0^h g(u+t) dt Daí, você deve achar algo como | f_n(u+h) - f(u+h) | = | \int_0^h g_n(u+t)dt - \int_0^h g(u+t)dt | + | f_n(u) - f(u) |. Da convergência uniforme das g_n, você tem a convergência da integral da diferença para zero, e portanto você (se quiser que f_n(u+h) - f(u+h) ) tem que ter também convergência de f_n(u) para f(u). Repare que em geral pode ser fácil achar um ponto onde estas funções coincidem, utilizando alguma particularidade das funcões g_n. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 8/16/05, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: *De:* [EMAIL PROTECTED] *Para:* OBM-l (E-mail) obm-l@mat.puc-rio.br *Cópia:* *Data:* Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300 *Assunto:* [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas Bom dia a todos Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e diferenciaveis em um intervalo I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas f'_n convirja uniformemente em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz que, se a sequencia de numero reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao f_n converge uniformemente em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta ultima condicao eh realmente essencial? Sim. Suponha que f_n: I - R é dada por: f_n(x) = x + (-1)^n. Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge uniformemente para a função constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não converge. Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não converge. Se soubermos que f'_n converge uniformemente em I, já podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa convergencia das primitivas? Não, conforme o exemplo acima. Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao continuas, temos entao alguma conclusao interessante, alem de que g eh continua? Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua == f_n' integrável. Mas continuamos a precisar da convergência de (f_n(u)) para algum u. Eu acho que hah um teorema que se refere ao caso em que as f'_n sao Lipschitz, mas nao sei qual eh. Me parece que a condição de (f_n(u)) ser convergente para algum u permanece necessária. []s, Claudio. __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] naturais
Cuidado: nada obriga a == b == c (usando a sua notaç~ao para congruência) módulo 3. Eu acho que (para n~ao ter que fazer as 2^3 contas) dá pra fazer assim: Se x == 1 (mod 3), x^2 == 1 (mod 3). Se x == 2 == -1 (mod 3), x^2 == 1 (mod 3). Daí, se x !== 0 (mod 3) , ou seja, x n~ao é múltiplo de 3, temos x == 1 ou x == -1, ent~ao x^2 == 1 das duas formas. Daí, a^2 == 1, e o mesmo vale para b^2 e c^2. Daí, temos 1 + 1 + 1 == 0 e a^2 + b^2 + c^2 == 0. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 8/25/05, Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola Renato e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( NAO USAREI ACENTOS ) Voce percebeu bem. Como ser suficientemente geral ? Da forma como voce fez ... OBS : == significa e congruente a a = 3N+1, N natural = a == 1 (mod 3 ) = a^2 == 1^2 (mod 3) b = 3N+1, N natural = b == 1 (mod 3) = b^2 == 1^2 (mod 3) c = 3N+1, N natural = c == 1(mod 3) = c^2 == 1^2 (mod 3) a^2 + b^2 + c^2 == 3(mod3) = a^2+b^2+c^2 e divisivel por 3 Mesmo raciocinio para o caso 3N+2. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,0930,250805 From: Renato G Bettiol [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] naturais Date: Thu, 25 Aug 2005 09:13:32 -0300 Bom dia! Recentemente me deparei com o seguinte problema, bastante curioso: Mostre que se a, b e c são números naturais não divisíveis por 3, então a^2 + b^2 + c^2 é divisível por 3. Pensei em equacionar um natural não divisivel por tres como 3n+1 ou 3n+2, sendo n natural também. Ora, mas como ser abrangente a todos os casos de não divisibilidade por três? Grande abraço a todos, Renato _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Derivada convexa
Veja que a derivada, mesmo que fosse descontínua, ainda assim satisfaria a propriedade do valor intermediário. Eu acho que n~ao deve ser muito difícil concluir a partir disso. On 8/25/05, Fabio Niski [EMAIL PROTECTED] wrote: Artur Costa Steiner wrote: Eu achei este problema, um tanto sutil, interessante: Mostre que, se f:R--R for diferenciavel e sua derivada f' satisfizer a f'((x+y)/2) = (f'(x) + f'(y))/2 para todos reais x e y, entao f' eh convexa em R. Artur Antes te pergunto: Será que dá pra afirmar que f' é continua em todos os pontos? Se sim eu conheco a solucao. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which by analogy should signify sin(sin(x)) Carl Friedrich Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probabilidade
Só pra perturbar: como você faz um poliedro de 3 faces?? Eu conheço 4 lados (um tetraedro!) mas dos meus tempos de DD, eu n~ao lembro deste! Bom, ela poderia fazer um lançamento de um dado de 6 faces e dizer 1 ou 2 = 1 3 ou 4 = 2 5 ou 6 = 3 ou qualquer coisa assim, (outra soluç~ao: mod 3) Bom, pro seu problema, o D. sabe que um dos dois vai ficar (o que é normal, já que só um sai, se eu entendi). O dado pode ter dado que D., C., ou J. sai, com probabilidade 1/3 para cada um. A professora, ao responder que C. fica (por exemplo) contempla dois casos: D. foi sorteado e J. foi sorteado. O simétrico acontece se ela responde que J. fica. Repare que no caso de D. ter sido sorteado, a professora pode falar qualquer coisa, o que n~ao muda a probabilidade de ele já ter sido sorteado antes (repare, o lançamento de dados já aconteceu, a probabilidade de D. ter saido é a mesma, 1/3, sempre): P(D. sai | C. vai ficar) = P(C. vai ficar | D. sai ) *P(D. sai)/P(C. vai ficar) = 1/2*1/3 / P(C. vai ficar) Aqui eu suponho que, se D. sai, a professora responde C. vai ficar ou J. vai ficar com igual probabilidade... Agora, veja que temos que calcular a probabilidade de a professora dizer C. vai ficar. Ora, se D. sai, isso é 1/2; se J. sai, isso é 1. Logo, temos 1/2* 1/3 + 1/3 = 1/6 + 1/3 = 1/2. Assim, temos que P(D. sai | C. vai ficar) = 1/2 * 1/3 / (1/2) = 1/3, como antes. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 8/28/05, Luiz Viola [EMAIL PROTECTED] wrote: Parece simples...mas não consegui enquadrar o problema...se alguém tiver uma luz...agradeço... Abraço a todos. Uma professora diz a 3 meninos (D. C. e J.) que dois deles ficarão depois da aula para ajuda-la a limpar apagadores. Ela disse que vai decidir quem pode sair e quem fica na sorte, lançando um dado de 3 lados (tipo DD). D. é esperto e tem uma idéia: Ele percebe que C. e J. certamente vão ter que ficar e pergunta à professora dente eles, quem fica. Assim, ele pensa, se C. é nomeado, ele disputa com J. quem vai sair e cada um tem probabilidade 1/2 de conseguir. Por outro lado, se J. é nomeado, ele disputa com a saída com C. também com prob. 1/2. Assim, apenas perguntando para a professora, D. aumenta suas chances de sair de 1/3 para 1/2. Ele está pensando corretamente? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Provar que existem racionais que satisfazem.....
Bom, a idéia é por aí mesmo: a + b x = a + b c x (entre a+b e x existe c racional) = a + b c d x (entre c e x tem mais um racional ainda, d) Aí você faz d-c = h1 (outro racional, como diferença de racionais) e c-(a+b) = h2 (de novo, outro racional). Claro, h1 e h2 sao positivos, pois dc e c(a+b) por construç~ao. Daí, (a+h1) + (b+h2) = a+b+ h2+ h1 = c + h1 = d x. Repare que a+h1 a e b+h2b. E acaba aí. Podia também usar sua idéia direto: a+b q x, certo? (com q racional). Chame q - (a+b) de h, e considere a+h/2 e b+h/2, que satisfazem as propriedades pedidas. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 9/1/05, alencar1980 [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, Será que alguém poderia me ajudar com este probleminha: Sejam a,b e x reais tais que: a+b x. Prove que existem r1 e r2 racionais tais que r1+r2x, ar1 e br2. O problema me pareceu bem intuitivo usando que entre dois reais diferentes sempre existe um racional. Assim, eu sei que existe um racional q tal que a+b q e sei que todo racional pode ser escrito com soma de dois outros racionais. Mas não consegui concluir o exercício... Se alguém puder ajudar, muito obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dertivada como limite de uma seq. de funcoes continuas
Bom, vou tentar dar uma soluç~ao para este problema. Se você tem (a, +oo) ou (-oo, a), está bom, certo? Agora, você quer algo que seja suficiente em (a, b). Se você realmente se permite (a, b) aberto, com a e b finitos, eu acho que você faz assim: Estou supondo b-a 2, mas tudo pode ser escalado suficientemente (p.ex., começando mais longe no n) Primeiro, pra cada n, trunque f nos pontos a+1/n e b-1/n, e prolongue linearmente até a e b, seguindo a inclinaç~ao que você quiser, gerando f_n. Daí, defina g_n(x) = 3n( f_n(x+1/3n) - f(x) ) (o limite fundamental com 1/3n). Repare que g_n( (a+1/3n)+ ) está definido, como limite de constantes, assim como para g_n( (b-2/3n)- ). Finalmente, prolongue constantemente a funç~ao no resto do intervalo (a, a+1/3n) e (b-2/3n, b). Repare que g_n é contínua, e que, para todo x pertencente a (a, b) temos que, em algum momento (= para n suficientemente grande), n~ao teremos truncado em volta da bola de raio 1/3n em volta de x, o que diz que, a partir daí, SE A DERIVADA EM x EXISTIR, g_n(x) - f'(x). (na verdade, basta lateral à direita, que é o que estamos calculando) Acho que é isso. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 9/2/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu estou tentando demonstrar a seguinte afirmacao, mas encontrei dificuldade em alguns casos particulares. Se f eh dervavel em um intervalo aberto I, entao f' eh dada pelo limite de uma sequencia de funcoes continuas em I. Inicialmente, suponhamos que I seja da forma (a, oo), com a real or -inf. Uma abordagem eh definir uma sequencia t_n que convirja para 0 e satisfaca a t_n 0 para todo n. Definindo-se agora g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n), verificamos que cada g_n eh continua e que g_n = f'. Para intervalos do tipo (-oo, a) a abordagem eh similar. Um caso um pouco mais sutil sao os intervalos da forma (a,b), com a e b reais. Admitindo-se que f tenha limite L em b-, podemos supor que t_n esta em (0, b-a) para todo e definir g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n) se a x b - t_n e g_n(x) = (L - f(b -t_n))/(t_n) se b-t_n = x b. Cada g_n eh entao continua em (a,b) e, como para n suficientemente grande temos x b - t_n para todo x de (a,b), segue-se que g_n = f'. De modo similar, podemos abordar o caso em que f apresenta limite em a+. Pode entretanto ocorrer o caso em que a e b sejam reais e f nao tenha limite nem em a+ e nem em b-. Neste caso, nenhuma das duas abordagens apresentadas da certo. Me ocorreu uma outra, qual seja, definir agora t_n 1 para todo n com t_n = 1 e definir g_n por g_n(x) = (f((t_n)* x) - f(x))/((t_n - 1)*x) para todo x0 de (a,b). Se 0 nao estiver em (a,b) esta abordagem da certo, pois as g_n sao continuas e a sequencia (g_n) converge para f'. Mas se 0 estiver em (a,b) nao funciona para x =0, nem mesmo se admitirmos que f' eh continua em x =0. Nao dah para definir f(0) de modo a garantir que as g_n sejam sempre continuas em (a,b). Alem disto, de modo geral (g_n(0)) nao converge para f'(0). Assim, faltou um arremate final, talvez alguem possa dar uma sugestao. Uma conclusao interessante deste teorema eh que o conjunto das descontinuidades de f' em I eh magro, segundo a classificacao de Baire (eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos fechados com interior vazio). Logo, o conjunto das continuidades eh denso em (a, b), o que significa que derivadas nunca sao muito descontinuas. Mas isto nao siginfica que o conjunto das descontinuidades tenha medida nula Obrigado Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dertivada como limite de uma seq. de funcoes continuas
Com risco de chegar dobrado, vou tentar mandar de novo (deu um erro aqui, mas sei la) Bom, vou tentar dar uma soluç~ao para este problema. Se você tem (a, +oo) ou (-oo, a), está bom, certo? Agora, você quer algo que seja suficiente em (a, b). Se você realmente se permite (a, b) aberto, com a e b finitos, eu acho que você faz assim: Estou supondo b-a 2, mas tudo pode ser escalado suficientemente (p.ex., começando mais longe no n) Primeiro, pra cada n, trunque f nos pontos a+1/n e b-1/n, e prolongue linearmente até a e b, seguindo a inclinaç~ao que você quiser, gerando f_n. Daí, defina g_n(x) = 3n( f_n(x+1/3n) - f(x) ) (o limite fundamental com 1/3n). Repare que g_n( (a+1/3n)+ ) está definido, como limite de constantes, assim como para g_n( (b-2/3n)- ). Finalmente, prolongue constantemente a funç~ao no resto do intervalo (a, a+1/3n) e (b-2/3n, b). Repare que g_n é contínua, e que, para todo x pertencente a (a, b) temos que, em algum momento (= para n suficientemente grande), n~ao teremos truncado em volta da bola de raio 1/3n em volta de x, o que diz que, a partir daí, SE A DERIVADA EM x EXISTIR, g_n(x) - f'(x). (na verdade, basta lateral à direita, que é o que estamos calculando) Acho que é isso. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 9/2/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu estou tentando demonstrar a seguinte afirmacao, mas encontrei dificuldade em alguns casos particulares. Se f eh dervavel em um intervalo aberto I, entao f' eh dada pelo limite de uma sequencia de funcoes continuas em I. Inicialmente, suponhamos que I seja da forma (a, oo), com a real or -inf. Uma abordagem eh definir uma sequencia t_n que convirja para 0 e satisfaca a t_n 0 para todo n. Definindo-se agora g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n), verificamos que cada g_n eh continua e que g_n = f'. Para intervalos do tipo (-oo, a) a abordagem eh similar. Um caso um pouco mais sutil sao os intervalos da forma (a,b), com a e b reais. Admitindo-se que f tenha limite L em b-, podemos supor que t_n esta em (0, b-a) para todo e definir g_n(x) = (f(x + t_n) - f(x))/(t_n) se a x b - t_n e g_n(x) = (L - f(b -t_n))/(t_n) se b-t_n = x b. Cada g_n eh entao continua em (a,b) e, como para n suficientemente grande temos x b - t_n para todo x de (a,b), segue-se que g_n = f'. De modo similar, podemos abordar o caso em que f apresenta limite em a+. Pode entretanto ocorrer o caso em que a e b sejam reais e f nao tenha limite nem em a+ e nem em b-. Neste caso, nenhuma das duas abordagens apresentadas da certo. Me ocorreu uma outra, qual seja, definir agora t_n 1 para todo n com t_n = 1 e definir g_n por g_n(x) = (f((t_n)* x) - f(x))/((t_n - 1)*x) para todo x0 de (a,b). Se 0 nao estiver em (a,b) esta abordagem da certo, pois as g_n sao continuas e a sequencia (g_n) converge para f'. Mas se 0 estiver em (a,b) nao funciona para x =0, nem mesmo se admitirmos que f' eh continua em x =0. Nao dah para definir f(0) de modo a garantir que as g_n sejam sempre continuas em (a,b). Alem disto, de modo geral (g_n(0)) nao converge para f'(0). Assim, faltou um arremate final, talvez alguem possa dar uma sugestao. Uma conclusao interessante deste teorema eh que o conjunto das descontinuidades de f' em I eh magro, segundo a classificacao de Baire (eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos fechados com interior vazio). Logo, o conjunto das continuidades eh denso em (a, b), o que significa que derivadas nunca sao muito descontinuas. Mas isto nao siginfica que o conjunto das descontinuidades tenha medida nula Obrigado Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] O Problema do jipe
Eu acho que está meio difícil... Se você tiver espaço no jipe ra levar 9 vezes o tanque de gasolina na traseira, está resolvido (bom, leve um pouco mais, que n~ao faz mal) Se você tiver mais de um jipe, daí você tem que ver quanta gasolina você precisa ter em cada ponto do trajeto pra ter um jipe que chegue ao fim do mesmo. Isso quer dizer que você vai usar jipes que n~ao consomem todo o tanque, mas que param antes disso e transferem o que sobrou para um outro, que continua. Eu acho que é isso. Uma idéia: Para ter um que chege ao final, você precisa de um jipe completo a 9x320 km, certo? Ent~ao, você tem que ter (pelo menos) mais um jipe nesse local, com zero gasolina. Suponha (n~ao sei se é o melhor), que foi passado meio tanque de combustível de uma pra outra. Assim, temos dois jipes a 9x320, com meio tanque. Ou seja, você teria que ter dois jipes completos a 8.5x320 km. E por aí vai (bom, depois você generalisa, pra fazer as contas) Fui, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 9/3/05, Alamir Rodrigues [EMAIL PROTECTED] wrote: Se trata de um famoso enigma logístico da Segunda Guerra Mundial. Em essência, esse problema pede que você cruze o deserto do Saara, com 3200 quilômetros de extensão, mas o tanque de gasolina do veículo só tem capacidade para viajar 320 quilometros. Como atravessar o deserto então? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Revis~ao final dos mails
Oi, Nelly. Bom, aqui vai uma lista de todos os e-mails que você deve ter recebido... Todas as soluç~oes tiveram respostas enviadas. To: Secretaria da OBM Attachment Prova, Questao 5, fim8:17 pm To: Secretaria da OBM Attachment Fwd: Prova, Questao 5, inicio8:14 pm To: Secretaria da OBM Attachment Fwd: Prova, Questao 48:13 pm To: Secretaria da OBM Attachment Fwd: Prova, Questao 3, meio 8:12 pm To: Secretaria da OBM Attachment Prova, Questao 3, fim8:10 pm To: Secretaria da OBM Attachment Prova, Questao 3, inicio 8:09 pm To: Secretaria da OBM Attachment Fwd: Prova, Questao 28:09 pm To: Secretaria da OBM Attachment Fwd: Prova, Questao 18:06 pm To: Secretaria da OBM Attachment Prova, Questao 6, fim8:00 pm To: Secretaria da OBM Attachment Prova, Questao 6, inicio 7:59 pm Os arquivos (juntando tudo) s~ao 16, com os seguintes nomes: Prob1, Folha1.jpg Prob1, Folha2.jpg Prob2, Folha1.jpg Prob3, Folha1.jpg Prob3, Folha2.jpg Prob3, Folha3.jpg Prob3, Folha4.jpg Prob3, Folha5.jpg Prob4, Folha1.jpg Prob5, Folha1.jpg Prob5, Folha2.jpg Prob5, Folha3.jpg Prob6, Folha1.jpg Prob6, Folha2.jpg Prob6, Folha3.jpg Prob6, Folha4.jpg Folhas por quest~ao: 1: 2 folhas 2: 1 folha 3: 5 folhas 4: 1 folha 5: 3 folhas 6: 4 folhas Desculpe pela saraivada... E obrigado pela prova, foi muito legal!!! Matou boas saudades (e deu um pouquito mais) Beijos, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Livros da MIR
Cara, o site mudou de nome (tinha uma pagina velha que ainda tinha isso, a unica no Google, e que disse que isso era a Livraria de Fisica da Usp), agora tem um i a mais: http://www.livifusp.com.br/. Espero que seja este mesmo. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 9/4/05, Fernando Aires [EMAIL PROTECTED] wrote: Marcio, On 04/09/05, Marcio [EMAIL PROTECTED] wrote: No site www.livfusp.com.br você encontra alguns livros da MIR. Já comprei com eles e é tranqüilo. Você tem certeza que é esse mesmo o endereço? Tentei sem sucesso ontem e hoje... Beijos, -- -- Fernando Aires [EMAIL PROTECTED] Em tudo Amar e Servir -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] problema - fatoracao
Bom, eu n~ao fiz as contas, mas acho que pode haver soluçoes com +-1 e
+-2005 também, que s~ao fatoraç~oes aceitáveis de 2005!
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On 9/5/05, Renato Lira [EMAIL PROTECTED] wrote:
perfeitamente. voce so esqueceu das sequintes possibilidades:
{(y-x)= -5 e (x-8y)= -401} ou {(y-x)= -401 e (x-8y)= -5}
essa questao caiu no nivel 3 da 2 fase da OBM.
On 9/5/05, Adroaldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá,
Eu recebi o seguinte problema ontem:
a) fatore a expressão x^2-9xy+8y^2
b) determine todos os pares de inteiros (x,y) tais que 9xy-x^2-8y^2=2005
a resposta do item a) é (x-y)(x-8y)
no item b) (y-x)(x-8y)=2005=5*401
é possível dizer que {(y-x)=5 e (x-8y)=401} ou {(y-x)=401 e (x-8y)=5} ?
obrigado,
Aldo
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Re: [obm-l] Um bom limite
Do que eu entendi, você tem uma funç~ao que, pra (x,y) != (0, 0), é constante e vale e. Logo, o limite é e, pois para todo epsilon, qualquer que seja o delta, f(x,y) - e = 0. Eu acho que deveria ter uma quarta potência em algum lugar, ou alguma coisa assim (daí fica parecido com um exercício que eu fiz uma vez) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 9/13/05, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Também chegou às minhas mãos um limite. Quer se saber se ele o limite existe ou não. Caso exista determiná-lo. Aí vai: lim (x^2+y^2)*e^1/(x^2+y^2) (x,y)-(0,0) Um abraço, Geo3d No iBest, suas horas navegadas valem pontos que podem ser trocados por prêmios. Sem sorteio! Inscreva-se já! www.navegueeganhe.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] desigualdade
Isso n~ao prova nada... Você tem que fazer ao contrário! Para provar que a b, n~ao adianta mostrar que c a e c b, isso n~ao garante nada: 2 0, 2 1= 0 1 (que é o que a demonstraç~ao fez) On 9/13/05, Júnior [EMAIL PROTECTED] wrote: Um amigo resolveu de uma forma tao simples... Vejam se procede a demonstração: Mostre que ln 2 (2/5)^(2/5). log 2 (na base 2) = 1 ln 2 evidente 1 ln 2 (2/5)^(2/5) 1 (2/5)^(2/5) 5^(2/5) 2^(2/5) . FIM. Júnior. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] desigualdade
A única parte errada é o absurdo: para x e y números entre 0 e 1 temos que x^y x^1, pois basta escrever 0 x 1 = 0 x^z 1 para todo z POSITIVO e portanto 0 x^(1-y) 1 o que dá exatamente (após multiplicar por x^y, que é positivo) x x^y. Esta é a maior dificuldade deste problema: o (2/5)^(2/5) é mais ou menos (1/2)^(1/2) ~= 0.707, daí tem que ver com mais cuidado. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 9/14/05, Fernando Aires [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros, On 08/09/05, Júnior [EMAIL PROTECTED] wrote: Preciso de ajuda nesse probleminha: Sem usar tábua de log ou uma calculadora, mostrar que: ln 2 (2/5)^2/5 Você pode provar por absurdo. Assuma que ln 2 = (2/5)^(2/5). Ora, ln 2 = (lg 2) / (lg e) = 1 / (lg e). (lg = log na base 2). Mas, como e 4, (lg e) (lg 4) = 1 / (lg 4) 1 / (lg e) = 1/2 (2/5)^(2/5). Mas 2/5 1/2, portanto (2/5) (2/5)^(2/5), o que é absurdo. QED. Tem alguma coisa errada no meu raciocínio? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] NOVA trigonometria?
De um ponto de vista talvez mais pratico (que eu não sei se era o foco do autor), eu acho que realmente ficaria dificil trabalhar com as medidas que ele introduziu. Pense na dificuldade de derivar distâncias e ângulos que foi introduzida com os quadrados, e todos os problemas que falam de alguma coisa que seja puramente uniforme em medida, que deixam de o ser nos quadrados. Pense que toda a Algebra Linear vai ter que mudar algumas coisas, pois não temos mais uma relação Linear entre as medidas originais e suas imagens (eu acho que em alguns casos é so entrar com um quadrado, mas não vejo muito como utilizar uma decomposição SVD, por exemplo). Talvez a importância que foi dada às manipulações algébricas seja totalmente falsa: eu não me lembro de meus colegas de turma serem melhores em polinômios do que em trigonometria; muito menos creio que um aluno consiga resolver uma equação do quarto grau no ginasio. Ou seja, acho que apenas introduzimos algumas soluções simples de calcular por um lado, mas às custas de perder outras. Não sei exatamente o que predomina. Além disso, o conceito de ângulo introduzido perde MUITO ao deixar de ser algo intuitivo (o que aparece na distância também, mas o quadrado da distância é mais facil de ser engolido) para ser uma razão (que lembra muito o seno) que se transforma de uma maneira meio estranha. Depois, o argumento de que uma reta é algo mais simples do que um circulo é bastante complicado. Eu acho mais facil traçar um circulo exato do que um segmento de reta exato: basta fixar um ponto e ter QUALQUER objeto rigido. Para traçar uma reta, precisamos de um objeto rigido particular: uma régua. Talvez os gregos não fossem tão burros assim... Em segundo lugar, ao nos limitarmos a uma reta, a possibilidade de construções são praticamente nulas: não sabemos fazer pontos médios, alturas, bissetrizes, ... Enquanto isso, o compasso é capaz de tudo sozinho! (bom, é claro que com uma régua é bem melhor) So pra terminar, o autor apoia bastante na calculabilidade de certos problemas. Eu não sei como ele faria pra achar sqrt(7) com precisão! Não sei nem se a série da raiz quadrada converge mais rapido do que a do seno ou do cosseno (que eu sei que convergem pra todo x real, enquanto a da raiz não..., o que me leva a crer que não convergem tão rapidamente). Quando ele tiver que tirar radicais, isso pode ser tão ou mais problematico do que calcular senos e cossenos, que são funções trancendentes mas cujas propriedades são bastante conhecidas. Assim, acho que a idéia tem seus pontos interessantes (em particular algumas propriedades de fechamento algébrico, por exemplo) mas acho que o tom do livro é por demais arrogante, ao propor a DEFINICÃO CERTA das coisas, como se em matematica jamais houvesse uma verdade. Laurent Schwartz, ao introduzir as distribuições, que contém, de varias formas, as definições certas (na minha opinião, e na de varias outras pessoas) para diversas operações matematicas, apenas diz que essas definições se prestam para tais e tais calculos que os fisicos faziam, mas ainda estavam sem uma formalização. Isso é uma caracteristica importante. Bom, valeu pela divulgação, isso também faz parte da vida matematica! -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 9/17/05, Fabio Niski [EMAIL PROTECTED] wrote: Um pesquisador (que me pareceu serio) esta propondo uma nova trigonometria supostamente melhor, mais elegante e funcional do que a usual. Basicamente ele se propoe e jogar fora os conceitos de seno, cosseno e angulo e distancia (!!) Gostaria da opiniao dos participantes da lista. A pagina do cara com alguns sample chapters estao em http://web.maths.unsw.edu.au/~norman/book.htm um abraço Niski = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] obt enção de números irracionais
Bom, o problema s~ao sempre os casos triviais que fazem que dois irracionais n~ao somem um irracional, de uma certa forma. Se você pegar raiz(2) e raiz(3), você só consegue somar um racional na soluç~ao trivial 0*raiz(2) + 0*raiz(3) (que nem tem tanto interesse assim). Será que existe alguma caracterizaç~ao geral que exclua estes casos triviais? (exceto dizer L.I. sobre os racionais, que é exatamente o que eu falei) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 9/19/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Na realidade, se n 1 e m1 sao numeros inteiros e n^(1/m) nao for inteiro, ist eh, se n nao for uma potencia m de algum inteiro, entao n^(1/m) eh irracional. Da forma como estah a sua ultima pergunta, vc ja deu um exemplo. Por exemplo, raiz(2) e 3 - raiz(2) sao irracionais e sua soma eh 3, que eh racional. Temos o seguinte: A soma e o produto de 2 racionais eh racional A soma de um racional com um irracional eh irracional O produto de um racional nao nulo por um irracional eh irracional Somas e produtos de irracionais podem dar qualquer coisa. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rodrigo Augusto Enviada em: segunda-feira, 19 de setembro de 2005 11:39 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] obtenção de números irracionais bom dia a todos, eu gostaria de saber quais são as formas de se obter um número irracional. eu sei que dado um número p, onde p é primo positivo, a raiz de p resulta em um número irracional. além disso, me parece que qualquer operação que se faça (adição, subtração, multiplicação e divisão) entre um racional e um irracional resulta em um número irracional, certo? a minha dúvida é quanto a operação entre dois racionais e entre dois irracionais. pode uma operação entre dois racionais resultar um número irracional? e pode uma operação entre dois irracionais resultar um número racional? obs: na verdade, esta última pergunta eu sei que a resposta é positiva. pois, sei que: sqrt(2)/sqrt(2) = 1 E Q entretanto, o que eu gostaria de ver é uma demonstração de que a divisão, a multiplicação, a adição ou a subtração entre dois números irracionais podem resultar um racional. grato, desde já Rodrigo _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] A LINGUAGEM DA CIÊNCIA!
A questão do ioiô é uma aplicação do Principio da Conservação do Momento Angular (algo como a medida de quanto um corpo esta rodando); o ioiô esta rodando no plano OXZ (por exemplo). Pense no instante em que ele atinge o ponto mais baixo da trajetoria: ele estara ainda rodando num sentido o que é traduzido por um momento angular positivo (SPG) na direção do eixo Y (bote a origem no centro do ioiô). Agora, note que o fio cai verticalmente sobre o ioiô, logo o momento que esta força cria neste ponto é nulo, e portanto o ioiô continua a rodar no mesmo sentido. Dai, ele passa a ENROLAR-SE no sentido oposto, o que pode dar a impressão de que ele mudou o sentido da rotação. Esse é um pouco off-topic, mas eu acho que os conceitos de Momento Angular são muito mal ensinados no Brasil, inclusive em faculdades; parece-me que falta uma boa quantidade de exemplos vivos (como este do ioiô, ou aquele da corrida dos objetos rolantes: cone, cilindro equilateros e esfera de mesmo raio) e também um pouco de matematica (tudo de vetores, visto como tem que ser, e também a idéia de projeção do Momento Angular, que se comporta como uma projeção 2d em um sentido, mas se você sabe o que esta calculando, da pra ser vista como uma projeção 1d (que é bem mais facil) o que leva a soluções mais elegantes. E ainda falta a idéia de que o momento angular REALMENTE mede esta inércia... que muito poucas vezes é mencionado. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 10/7/05, Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 07.10.05 10:34, Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis at [EMAIL PROTECTED] wrote: Turma! Como campeão de artigos off's, me sinto na obrigação de defender esse casamento da Matemática com a Física. Elas são guias para o pensamento, mostrando as conexões entre os conceitos sobre a natureza. O método matemático e a experimentação levaram a ciência a um enorme sucesso. Eis abaixo uma oportunidade ímpar dos matemáticos participarem deste sucesso conjugal. Assim como uma xícara de chá quente perde calor mais rapidamente do que uma xícara de chá morno, seria, então, correto dizer que a xícara de chá quente esfriará até a temperatura ambiente antes da outra. O mais razoavel eh supor que a taxa de resfriamento (d(Temperatura)/dt) eh proporcional a diferenca de temperatura entre o cha e o meio ambiente. Assim: dTcha/dt = d(Tcha - Tamb)/dt = -k*(Tcha - Tamb) == Tcha = Tamb + (Tcha(inicial) - Tamb)*exp(-k*t) Dai eh facil concluir que o cha morno chegarah antes a temperatura ambiente. Uma barcaça de rio, carregada com cascalho, aproxima-se de uma ponte baixa, sob a qual não pode passar. Dever-se-ia remover ou adicionar cascalho à barcaça? Supono que o cascalho eh mais denso do que a agua, devemos adicionar cascalho, pois se a densidade relativa eh d 1 entao, ao aumentarmos a altura da pilha de cascalho em 1 metro, a barcaca afundarah d metros. No vácuo, uma moeda e uma pena caem igualmente, lado a lado. Seria correto dizer que iguais forças da gravidade atuam sobre a moeda e a pena quando estão no vácuo? Nao. O que sao iguais sao as aceleracoes. A forca da gravidade serah tanto maior quanto maior for a massa do objeto. Que equipe ganhará um cabo-de-guerra: aquela que puxa mais fortemente a corda ou aquela que empurra mais fortemente contra o solo? Aquela que empurra o solo com mais forca. Supondo que a massa da corda eh desprezivel face a massa total de cada time, a forca resultante na corda serah sempre zero, ou seja, os times sempre puxarao a corda com a mesma forca. Mas se o Time 1 empurrar o solo com mais forca do que o Time 2, o solo exercerah uma forca (reacao) resultante sobre o sistema (Time 1 + Time 2 + corda) na direcao do Time 1, fazendo com o sistema se desloque nesta direcao, o que ocasionarah a vitoria deste time. Quando um iôiô desce rolando até o fim do barbante, ele inverte sua rotação quando sobe de volta? Explique. Boa essa. Infelizmente estou sem um ioio aqui pra fazer a experiencia. A propósito, por que o gelo muito frio fica grudento? Eu diria que eh porque, ao entrar em contato com algum objeto com uma temperatura maior do que 0 graus C (por exemplo, nossos dedos), uma fina camada de gelo na superficie do bloco derrete mas, em seguida, re-congela e adere a superficie mais quente. Mas eh soh chute... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Caracteres matemáticos
Eu deveria esperar o Nicolau falar sobre isso, mas eu acho que o mais dificil eh garantir que todo mundo consegue ler as mensagens da lista, e nem sempre voce garante uma fidelidade ao Unicode... Em geral a gente usa texto puro, com apenas os caracteres ASCII iniciais e um pouco de liberdade com os acentos... Mas pra matematica a gente usa mesmo TeX, que eh como uma liguagem universal para matematica escrita. Voce ja deve ter visto respostas que chegavam truncadas porque quem respondeu nao conseguia interpretar direito os caracteres (ou seja, nem eh muito sua culpa) e o programa de mail do cara fez o que achava melhor, mas nao ficou tao bom assim... Mas vamos esperar o veredito final. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 10/10/05, Maurício [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, pessoal, Eu estava dando uma olhada nas tabelas do Unicode (www.unicode.org) e vi que elas possuem um conjunto bem completo de caracteres matemáticos. Acho que às vezes poderia ser útil usá-las nas mensagens que trocamos. Alguém conhece algum programa interessante para editar texto (não formatado, claro) que facilite incluir esses caracteres? Será que o vim tem algum plug-in ou script legal pra trabalhar com eles? Talvez isso trouxesse alguns problemas (por exemplo: talvez nem todos possuam fontes unicode legais; pode ser que algumas pessoas leiam as mensagens em terminais não gráficos etc.), mas acho que vale a pena experimentar. Abraços, Maurício __ Yahoo! Music Unlimited Access over 1 million songs. Try it free. http://music.yahoo.com/unlimited/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] sequencia sem subseq. convergentes
Bom, talvez eu esteja enviando a soluç~ao n~ao-evidente, mas como eu acho que ela vale a pena, (e talvez porquê eu também ache que ela n~ao é t~ao estranha assim, pensando em Séries de Fourrier), lá vai: Como eu sei que você gosta de medida etc, vamos para L^2[0,2pi]. É um fato bem-conhecido que estas funç~oes formam uma base para este espaço, com a convergência L^2 e o produto interno \int_0^2pi f^*(x)g(x)dx (integral de 0 a 2pi do conjugado de f vezes g). Ora, é claro que n~ao podemos ter uma seqüência ortonormal que convirja, ent~ao (como toda subseqüência de sen(n*x) também forma uma seqüência ortonormal) sabemos que sen(n*x) n~ao converge na norma L^2. Agora, um pouco de teoria da medida nos diz que, sendo todas elas limitadas e integráveis neste intervalo (ou seja, em L^1), limitadas uniformemente pela funç~ao 1, se uma subseqüência convergisse pontualmente para algum lugar (digamos g(x), que é limitada e mensurável pois todas s~ao uniformemente limitadas por 1 e mensuráveis), logo está em L^2), pelo teorema de Convergência Dominada, \int_0^2pi | (sin(k_n*x) -g) - (sin(k_m*x)-g) |^2 dx convergiria para zero (use ConvDom para cada metade mais desigualdade triangular na integral com eps/2). Mas isso é exatamente || sin(k_n*x) - sin(k_m*x) ||_2 (norma L^2), que nós sabemos que vale \sqrt(2), pois eles s~ao ortogonais, e assim n~ao pode convergir pra zero. (isso é basicamente f_n - f pontualmente, f está em L^1 = f_n - f em L^1 adaptado pra L^2 e com a contrapositiva...) Resta mostrar que estas funç~oes s~ao realmente ortogonais em L^2, o que é uma tarefa de integraç~ao: calculemos \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx para m != n I = \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m/n \int_0^2pi cos(n*x)cos(m*x) dx = m^2/n^2 \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m^2/n^2 I (2 vezes por partes) Logo I(1 - m^2/n^2) = 0, o que diz que I = 0 Bom, parece longo, mas a idéia básica é a seguinte (tipo resumindo): sin(n*x) é ortonormal em L^2, logo n~ao converge pra lugar nenhum. Como convergência pontual + limitaç~ao implica convergência L^2, n~ao pode convergir pontualmente. O resto é detalhe. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 10/10/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Este problema eh interessante, e a unica prova que conheco nao eh muito evidente. Talvez haja uma solucao mais simples: Mostre que a sequencia de funcoes (sen(n*x)), n=1,2,3., x em [0, 2*pi], nao contem nenhuma sub sequencia convergente em todo este intervalo. Artur O interessante eh que temos uma sequencia uniformemente limitada de funcoes continuas, definidas em um conjunto compacto, e que mesmo assim nao tem nenhum asubsequencia convergente. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] sequencia sem subseq. convergentes
Bom, ontem eu estava sem muito tempo, mas aqui vai um pequeno resumo de convergências diferentes sentidos, com as implicaç~oes que funcionam, e as condiç~oes a adicionar para fazer funcionar as outras: Conv Uniforme (ou L^\infty) = Conv Quase-Uniforme = Conv qtp Conv Quase-Uniforme = Conv em Medida Conv Quase-Uniforme + seq Dominada = Conv em L^p para p finito Conv qtp + seq Dominada = Conv em L^p para p finito Conv qtp + medida finita = Conv Quase-Uniforme Conv qtp + ( medida finita OU seq Dominada ) = Conv em Medida (Para p finito) Conv L^p = Conv em Medida Conv L^p = existe uma subseqüência que Converge qtp Conv L^p = existe uma subseqüência que Converge Quase-Uniformemente Conv L^p exponencialmente rápida = Conv Quase-Uniforme Conv em Medida = existe uma subseqüência que Converge Quase-Uniformemente = esta subseqüência converge qtp Conv em Medida + seq Dominada = Conv em L^p para p finito Conv em Medida exponencialmente rápida = Conv qtp Bom, agora a referência (para demonstraç~oes e uma figurinha bem bonita) Curso de Teoria da Medida, A. Armando de Castro Jr, Projeto Euclides / IMPA, pag 103 e 104 Até mais, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 10/10/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Bernardo, esta sua solucao eh ainda mais legal do que a que eu consegui dar uma vez (depois que me deram uma porcao de sugestoes...). Eh na linha da sua, mas eu me restringi aaa integral de Riemann. Se alguma subsequencia (sen(n_k*x) de (sen(n*x)) convergisse em [0, 2*pi], entao o criterio de Cauchy implicaria que lim (sen(n_(k+1)* x - sen(n_k* x) = 0 para todo x de [0, 2*pi]. Logo, pensando tambem em quadrados, teriamos que lim ((sen(n_(k+1)* x) - sen(n_k* x)^2)) = 0. Pelo teorema da Convergencia Dominada, aplicado ao caso de Riemann, teriamos entao que lim Int (0 a 2*pi) (sen(n_(k+1)* x) - sen(n_k* x)^2)dx = Int (0 a 2pi) 0 dx = 0. Mas, com algum trabalho, podemos verificar que, para todo k, Int (0 a 2*pi) (sen(n_(k+1)* x) - sen(n_k* x))^2 = 2*pi. Para concluir isto, basta fazer algumas substituicoes trigonometricas, eh um pouco trabalhoso mas facil. Assim, a subsequencia das integrais eh constante e converge trivialmente para 2*pi, contrariando a conclusao anterior de que tem que convergir para 0. Logo (sen(n*x) nao pode ter nenhuma subsequencia que convirja em [0, 2*pi]. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa Enviada em: segunda-feira, 10 de outubro de 2005 16:31 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] sequencia sem subseq. convergentes Bom, talvez eu esteja enviando a soluç~ao n~ao-evidente, mas como eu acho que ela vale a pena, (e talvez porquê eu também ache que ela n~ao é t~ao estranha assim, pensando em Séries de Fourrier), lá vai: Como eu sei que você gosta de medida etc, vamos para L^2[0,2pi]. É um fato bem-conhecido que estas funç~oes formam uma base para este espaço, com a convergência L^2 e o produto interno \int_0^2pi f^*(x)g(x)dx (integral de 0 a 2pi do conjugado de f vezes g). Ora, é claro que n~ao podemos ter uma seqüência ortonormal que convirja, ent~ao (como toda subseqüência de sen(n*x) também forma uma seqüência ortonormal) sabemos que sen(n*x) n~ao converge na norma L^2. Agora, um pouco de teoria da medida nos diz que, sendo todas elas limitadas e integráveis neste intervalo (ou seja, em L^1), limitadas uniformemente pela funç~ao 1, se uma subseqüência convergisse pontualmente para algum lugar (digamos g(x), que é limitada e mensurável pois todas s~ao uniformemente limitadas por 1 e mensuráveis), logo está em L^2), pelo teorema de Convergência Dominada, \int_0^2pi | (sin(k_n*x) -g) - (sin(k_m*x)-g) |^2 dx convergiria para zero (use ConvDom para cada metade mais desigualdade triangular na integral com eps/2). Mas isso é exatamente || sin(k_n*x) - sin(k_m*x) ||_2 (norma L^2), que nós sabemos que vale \sqrt(2), pois eles s~ao ortogonais, e assim n~ao pode convergir pra zero. (isso é basicamente f_n - f pontualmente, f está em L^1 = f_n - f em L^1 adaptado pra L^2 e com a contrapositiva...) Resta mostrar que estas funç~oes s~ao realmente ortogonais em L^2, o que é uma tarefa de integraç~ao: calculemos \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx para m != n I = \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m/n \int_0^2pi cos(n*x)cos(m*x) dx = m^2/n^2 \int_0^2pi sin(n*x)sin(m*x) dx = m^2/n^2 I (2 vezes por partes) Logo I(1 - m^2/n^2) = 0, o que diz que I = 0 Bom, parece longo, mas a idéia básica é a seguinte (tipo resumindo): sin(n*x) é ortonormal em L^2, logo n~ao converge pra lugar nenhum. Como convergência pontual + limitaç~ao implica convergência L^2, n~ao pode convergir pontualmente. O resto é detalhe. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 10/10/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Este problema eh interessante, e a unica prova que conheco nao eh muito evidente. Talvez haja uma solucao mais simples
Re: [obm-l] Conjunto aberto e denso com medida eps
Só pra evitar ter que demonstrar um resultado bastante intuitivo pra
quem quiser tentar o problema, é bom lembrar que a medida de Lebesgue
satisfaz (como toda medida positiva que se preze) a desigualdade da
reuni~ao enumerável, ou seja:
m( Uniao de A_i ) = Soma m(A_i), para uma seqüência A_i de conjuntos.
Dá pra provar isso usando a definiç~ao do Arthur, mas isso eu chamaria
de um outro exercício porque é bem usado em outras coisas.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On 10/11/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:
Boa tarde,
Eu acho este problema interessante:
Sendo m a medida de Lebesgue, mostre que, para todo eps0, existe um
subconjunto A de R, aberto e denso em R, com m(A) eps.
O que eu acho interessante nesta conclusao eh que ela mostra que,
contrariamente ao que talvez seja intuitivo, nao hah uma correspondencia
entra a significancia de um conjunto sob os pontos de vista topologico e
de medidas. Podemos encontrar conjuntos que sejam abertos e densos em R,
logo topologicamente significantes, mas cujas medidas possam ser
arbitrariamente proximas de zero (embora nunca iguais a a zero).
Por outro lado, o complementar de A, A', tem medida infinita e, no entanto,
eh um fechado com interior vazio, logo seu fecho tem interior vazio. Assim,
topologicamente A' nao eh significante, visto ser um conjunto que nao eh
denso em lugar nehum. Entretanto, A' tem medida infinita.
Um outro exemplo mais simples e interessante e o conjunto dos racionais, que
eh denso em R mas tem medida nula. Logo, sob o ponto de vists de medidas, eh
um conjunto insignificante.
Lembrando, se A eh um subconjunto de R, entao, em [0, infinito], m(A) =
infimo {Soma L(I_n) | In esta em C}, onde L(I_n) eh o comprimento do
intervalo I_n e o infimo eh calculado considerando todas as coberturas
enumeraveis de A compostas por intervalos abertos. A medida de um intervalo
eh o seu comprimento.
Artur
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Re: [obm-l] funções
Escreva f(x) = ( f(x) + f(-x) )/2 + ( f(x) - f(-x) )/2, repare que os termos s~ao, respectivamente, par e ímpar. Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 10/20/05, Eder Albuquerque [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, Pessoal, essa é velha, mas não tô lembrando como fazer... A questão é: mostre que toda função de variável real pode ser escrita como a soma de uma função real ímpar com uma função real par. Obrigado pela ajuda, Eder Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] m^x + x (off-topic)
Só uma idéia (nem testei ainda) m^x tem período que divide phi(n) (é
isso mesmo?), enquanto x tem período n. Agora, eu acho que phi(n) e n
s~ao primos entre si. Se for, acho que acabou
Abraços
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On 10/31/05, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Desculpem o off-topic mas alguém sabe provar que a função f: N - Z_n dada
por f(x) = m^x + x é sobrejetiva, quaisquer que sejam m, n naturais?
(N = {1,2,3,...})
[]s,
Claudio.
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Re: [obm-l] Limite superior para a soma de logaritmos
Bom, pra quem usa Stirling (essa é a deduç~ao de uma parte da fórmula!)
A soma é log(n!) = Soma{i=2 até n} log(i) ~ Integral{x=1 até n} log(x)
dx (estritamente menor) ~ Integral{x=2 até n+1} log(x)dx
A primeira integral é n log(n) - n + 1, a segunda é (n+1)(log(n+1) -
1) - 2log(2) + 2 = (n+1)log(n+1) - n + 1 - log(4); a diferença é
log(n+1) - log(4) + n log(1+1/n) que é da ordem de log(n+1) (lembre
que n log(1+1/n) tende ao log do limite de (1 + 1/n)^n = log(e) = 1).
Assim, teremos log(n!) ~ n log(n) - n com um erro da ordem de
log(n+1), que é absorvido pela constante da ordem subentendida pelo
sinal ~.
Melhores aproximaç~oes para a soma (por integrais melhores) dao a
fórmula com mais precisao.
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On 11/6/05, Denisson [EMAIL PROTECTED] wrote:
Boa noite pessoal,
Tou tentando encontrar uma função que limite superiormente a soma log1 +
log2 + ... + log(n)... e não tou conseguindo...
Alguma ajuda?
Obrigado...
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Re: [obm-l] Matemática Discreta
Sim, a diagonal (xRy se e só se x = y) e qualquer sub-relaç~ao dela (Exercício: prove que estas s~ao as únicas) -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 11/10/05, Tiago [EMAIL PROTECTED] wrote: Pode haver uma relação que seja simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probabilidade (ufrj)
Bom, eu vou aproveitar que você fez uma mensagem bem detalhada pra mostrar o que muda: se você supuser que você para nos eventos desfavoráveis você tem que considerar a probabilidade de eles ocorrerem, que varia para cada um. O ponto do problema é esse (que o Nicolau já assinalou): dependendo do número de vezes que você lança a moeda, o resultado é diferente. Para se convencer, faça um exemplo com apenas 3 moedas; você para assim que sair uma cara. Parar na primeira = 1/2 Parar na segunda = (N~ao parar na primeira) * (Cara na segunda) = 1/4 Parar na terceira = (N~ao parar na primeira nem na segunda) * (Cara na segunda) = 1/8 Repare que isto dá o mesmo que calcular Prob(Sair uma ou mais cara em 3 lançamentos) porque, ao parar, você PODERIA continuar, o que n~ao altera a probabilidade do evento (já que independentemente do que você fizer, você vai estar no caso saiu uma cara ou mais). Esse é um bom exemplo em que mudar completamente o espaço de resultados possíveis simplifica bastante a resoluç~ao Se você quiser agora fazer com 10 moedas e 5 caras, vai ser um pouco mais complicado, mas no fim das constas dá no mesmo :) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 11/28/05, bernardoakino [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro Daniel, Concordo plenamente com vc! Fiz a prova domingo e também discordo do gabarito. O número de casos totais é menor que 2^10, pq se sairem 5 caras antes dos 10 lançamentos o jogo acaba, excluindo alguns eventos. Eu fiz o problema da seguinte forma: Eventos favoraveis(K=coroa, C=cara): 6K 4C - C10,6 7K 3C - C10,7 8K 2C - C10,8Total: 386 9K 1C - C10,9 10K 0C - C10,10 Eventos desfavoraveis: Aqui devemos fixar uma cara na ultima posição, pois o jogo termina em cara, caso contrario estaremos contando um mesmo evento mais de uma vez 5C- C4,4 5C 1K - C5,4 5C 2K - C6,4Total: 252 5C 3K - C7,4 5C 4K - C8,4 5C 5K - C9,4 Casos totais: 638Probabilidade de ganhar: 386/638 Me corrija se estiver errado em algum ponto. Tambem gostaria de saber a opiniao de outros colegas da lista a respeito do assunto. Aquele até provocou uma ambiguidade no problema... []s Bernardo Em (22:55:06), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Olá... olhando o gabarito da prova da UFRJ deste domingo, tive que discordar da resposta dada à última questão da prova de matemática. A questão é: Em um jogo, cada partida consiste no lançamento de uma moeda honesta ATÉ dez vezes. Se o número de caras obtidas atingir o valor cinco, você perde; caso contrário, você ganha. Calcule a probabilidade de você ganhar uma partida desse jogo. Ok. A divergência está no número total de partidas possíveis; o gabarito diz que é SOMA Binomial(10, n) = 2^10, mas eu discordo, já que a lógica do jogo e aquele ATÉ no enunciado estão aí para frisar que uma partida pode não exigir 10 lançamentos; por exemplo, quando saem 5 caras nos 5 primeiros lançamentos. Raciocinando assim, a probabilidade muda porque o total de eventos é menor e a quantidade de desfechos vitoriosos é a mesma. O q acham? []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
