Re: [obm-l] Nota de falecimento: Augusto Cesar Morgado
Eu o conheci pessoalmente. Uma vez nos encontramos, eu, Morgado, Cláudio Buffara e Luís Lopes, num bar do rio que não recordo o nome, mas estou quase certo que era no Leblon. Depois eu e o Morgado dividimos um taxi até Copacabana, onde eu estava hospedado, e ele me contou que há tempo atrás ele tinha orgulho de ser o maior matemático da rua dele, até que o Manfredo (?) de mudou para a mesma rua dele. Eu lembro que na época eu perguntei a ele se ele achava que eu poderia ser pesquisador, e ele me encorajou dizendo que sim. Fico triste em saber que nunca mais poderei conversar com ele. Um abraço, DudaEm 14/10/06, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Nicolau e todos,Perdemos todos uma figura muito especial, que aprendi a admirar hámuitos e muitos anos.Uma figura humana especial e rara que fará muita falta, mas queplantou aqui muitos e muitos frutos. NehabAt 10:49 13/10/2006, you wrote:Tenho o grande pesar de comunicar que faleceu hoje (16/10) de manhão professor Augusto César Morgado.O professor Morgado participa da organização da OBM e de outras olimpíadas de Matemática há muitos anos e foi homenageado naSemana Olímpica de 2006.O enterro será hoje às 14 horas no Cemitério do Caju (Rio de Janeiro),capela A.N. =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html== Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= -- [EMAIL PROTECTED]http://paginas.terra.com.br/arte/dudastabel/
[obm-l] Raíz n módulo m
Olá,PROBLEMA. Seja n 2 um inteiro e a um inteiro qualquer. Mostrar que se a congruência x^n == a (mod m) possui solução para qualquer m 1 inteiro, então a possui raiz n-ésima nos inteiros.O caso n = 2 é também um exercício interessante. Conheço uma solução que usa o símbolo de Legendre e a reciprocidade quadrática de Gauss. Abraço,Duda -- [EMAIL PROTECTED] http://paginas.terra.com.br/arte/dudastabel/
[obm-l] Raíz n módulo m
Olá,PROBLEMA. Seja n 2 um inteiro e a um inteiro qualquer. Mostrar que se a congruência x^n == a (mod m) possui solução para qualquer m 1 inteiro, então a possui raiz n-ésima nos inteiros.O caso n = 2 é também um exercício interessante. Conheço uma solução que usa o símbolo de Legendre e a reciprocidade quadrática de Gauss. Abraço,Duda-- [EMAIL PROTECTED]http://paginas.terra.com.br/arte/dudastabel/
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: Polinômio nos inteiros
Ok, Cláudio, o PROBLEMA 1 está ok, é bem curta a solução, legal.
Acho que no PROBLEMA 2, cometeste um engano, na parte:
...
Suponhamos que k = 2.
Nesse caso, o corolário 2 diz que Q(raiz(p_1), ..., raiz(p_k)) é uma extensão algébrica finita de Q de grau = 4.
Como Q tem característica 0, essa extensão é, de fato, simples. Ou seja, existe um real w tal que:
Q(raiz(p_1), ..., raiz(p_k)) = Q(w).
(veja qualquer bom livro de álgebra para uma demonstração disso)
Se raiz(p) pertence a Q(w), então vão existir racionais a e b tais
que raiz(p) = a + b*w, com b (caso contrário, raiz(p) seria
racional). Elevando ao quadrado:
p = a^2 + 2abw + b^2w^2 ==
w é raiz de uma equação do 2o. grau com coeficientes em Q ==
[Q(w):Q] = 2 ==
contradição ==
raiz(p) não pertence a Q(w) = Q(raiz(p_1), ..., raiz(p_k))
...
De fato, como K = Q(raiz(p_1), ..., raiz(p_k)) é uma extensão finita do
corpo Q, cuja característica é 0, a extensão é separável e finita, logo
pelo teorema do elemento primitivo, existe um w tal que K = Q(w). Em
seguida, tu supôs por absurdo, que raiz(p) pertence a K e conclui que
ele é da forma a+bw. Depois concluiu que w satisfaz um polinômio em
Q(x) de grau 2, o que seria um absurdo. Só que se raiz(p) pertence a K
então ele é da forma a+bw+...+zw^{q-1} onde q é a dimensão da extensão
K/Q, que tu já demonstrou ser pelo menos 4.
Segue um outro problema.
PROBLEMA 3. Dado a0, mostrar que existem infinitos n compostos tais que a^(n-1) == 1 (mod n).
Duda
Em 08/08/06, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu:
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Mon, 7 Aug 2006 18:42:32 -0300
Assunto:
[obm-l] Re: Polinômio nos inteiros
2006/8/7, Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]
:
Olá, pessoal da lista.Já pensei sobre este problema mas não tive uma boa idéia que me levasse à solução.PROBLEMA
1. Seja f(x) um polinômio de grau n e coeficientes inteiros. Suponha
que existe um inteiro m e um primo p de forma que p divide f(m),
f(m+1), ..., f(m+n-1) e f(m+n). Prove que qualquer que seja x inteiro p
divide p(x).
Olhe para f(x) em Z_p.
Em Z_p, f(x) é um polinômio de grau = n que tem min(p,n+1) raízes distintas.
Logo, f(x) é identicamente nulo em Z_p, ou seja, f(x) é divisível por p para todod inteiro x.
Um outro problema que o Gugu passou num curso de verão e que tenho curiosidade por saber como resolver é o seguinte.PROBLEMA
2. Sejam p_1, p_2, ..., p_{k-1} e p_k primos distintos. Prove que as
raízes quadradas destes primos formam um conjunto linearmente
independente sobre o corpo dos racionais. De outra forma mais
elementar: se a_1RAIZ(p_1) + ... + a_kRAIZ(p_k) = 0, onde cada a_i é
racional, então a_i = 0 para todo i.
De fato, dá até pra fazer uma afirmação um pouco mais forte:
se a_0, a_1, ..., a_k são racionais tais que:
a_0 + a_1*raiz(p_1) + ... + a_k*raiz(p_k) = 0
então a_0 = a_1 = ... = a_k = 0.
***
Lema:
Se p e q são primos distintos, então:
Q(raiz(p)) é uma extensão de grau 2 de Q
e
Q(raiz(p),raiz(q)) é uma extensão de grau 2 de Q(raiz(p))
Dem:
Como raiz(p) é irracional, Q é um subcorpo próprio de Q(raiz(p)).
Mas Q(raiz(p)) ~ Q[x]/x^2 - p e x^2 - p é irredutível sobre Q.
Logo, [Q(raiz(p)):Q] = 2.
Se raiz(q) pertencesse a Q(raiz(p)), então teríamos:
raiz(q) =a + b*raiz(p) (*), com a e b racionais.
b = 0 == raiz(q) = a = racional == contradição == b 0
a = 0 == raiz(pq) = bp = racional == contradição == a 0
Logo, ab 0. Elevando (*) ao quadrado, obtemos:
q = a^2 + b^2*p + 2ab*raiz(p) ==
raiz(p) = (q - a^2 - b^2*p)/(2ab) = racional ==
contradição ==
raiz(q) não pertence a Q(raiz(p)) ==
x^2 - q é irredutível sobre Q(raiz(p)) ==
[Q(raiz(p),raiz(q)):Q(raiz(p))] = 2, pois
Q(raiz(p),raiz(q)) ~ Q(raiz(p))[x]/x^2 - q
Corolário 1:
Se p e q são primos distintos, então [Q(raiz(p),raiz(q)):Q] = 4
Corolário 2:
Dados primos distintos p_1, p_2, ..., p_n (n = 2), temos:
[Q(raiz(p_1),raiz(p_2),...,raiz(p_n)):Q] = 4.
(de fato, o grau dessa extensão é 2^n, mas esse resultado mais forte não será necessário)
***
O problema estará resolvido se provarmos o seguinte:
Dados os primos distintos p_1, ..., p_k, se p for um primo distinto de todos eles, então:
raiz(p) não pertence a Q nem a Q(raiz(p_1), ..., raiz(p_k)).
Naturalmente, raiz(p) é irracional.
Além disso, a demonstração do lema cuidou do caso k = 1.
Suponhamos que k = 2.
Nesse caso, o corolário 2 diz que Q(raiz(p_1), ..., raiz(p_k)) é uma extensão algébrica finita de Q de grau = 4.
Como Q tem característica 0, essa extensão é, de fato, simples. Ou seja, existe um real w tal que:
Q(raiz(p_1), ..., raiz(p_k)) = Q(w).
(veja qualquer bom livro de álgebra para uma demonstração disso)
Se raiz(p) pertence a Q(w), então vão existir racionais a e b tais
que raiz(p) = a + b*w, com b (caso contrário, raiz(p) seria
racional). Elevando ao quadrado:
p = a^2 + 2abw + b^2w^2 ==
w é raiz de uma equação do 2o. grau com coeficientes em Q ==
[Q(w):Q] = 2 ==
contradição ==
raiz(p) não pertence a Q(w) = Q(raiz(p_1), ..., raiz(p_k
[obm-l] Polinômio nos inteiros
Olá, pessoal da lista.
Já pensei sobre este problema mas não tive uma boa idéia que me levasse à solução.
PROBLEMA 1. Seja f(x) um polinômio de grau n e coeficientes inteiros.
Suponha que existe um inteiro m e um primo p de forma que p divide
f(m), f(m+1), ..., f(m+n-1) e f(m+n). Prove que qualquer que seja x
inteiro p divide p(x).
Um outro problema que o Gugu passou num curso de verão e que tenho curiosidade por saber como resolver é o seguinte.
PROBLEMA 2. Sejam p_1, p_2, ..., p_{k-1} e p_k primos distintos. Prove
que as raízes quadradas destes primos formam um conjunto linearmente
independente sobre o corpo dos racionais. De outra forma mais
elementar: se a_1RAIZ(p_1) + ... + a_kRAIZ(p_k) = 0, onde cada a_i é
racional, então a_i = 0 para todo i.
Divirtam-se!
Duda-- [EMAIL PROTECTED]http://paginas.terra.com.br/arte/dudastabel/
[obm-l] Re: Polinômio nos inteiros
2006/8/7, Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]:
Olá, pessoal da lista.
Já pensei sobre este problema mas não tive uma boa idéia que me levasse à solução.
PROBLEMA 1. Seja f(x) um polinômio de grau n e coeficientes inteiros.
Suponha que existe um inteiro m e um primo p de forma que p divide
f(m), f(m+1), ..., f(m+n-1) e f(m+n). Prove que qualquer que seja x
inteiro p divide p(x).
Um outro problema que o Gugu passou num curso de verão e que tenho curiosidade por saber como resolver é o seguinte.
PROBLEMA 2. Sejam p_1, p_2, ..., p_{k-1} e p_k primos distintos. Prove
que as raízes quadradas destes primos formam um conjunto linearmente
independente sobre o corpo dos racionais. De outra forma mais
elementar: se a_1RAIZ(p_1) + ... + a_kRAIZ(p_k) = 0, onde cada a_i é
racional, então a_i = 0 para todo i.
Divirtam-se!
Duda-- [EMAIL PROTECTED]
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[obm-l] Equações lineares mod m
Olá, pessoal. Alguém sabe resolver este. Pensei um pouco e não consegui. Vou tentar mais. Acho que é interessante para o pessoal da lista. Suponha que a equação a_1x_1 + ... + a_mx_m = b, com coeficientes a_1, ..., a_m, b inteiros admite soluções x_1, ..., x_m inteiras módulo m para qualquer m inteiro. Mostre que ela assume solução inteira. Duda-- [EMAIL PROTECTED]http://paginas.terra.com.br/arte/dudastabel/
[obm-l] Equações lineares mod m
Olá, pessoal. Alguém sabe resolver este. Pensei um pouco e não consegui. Vou tentar mais. Acho que é interessante para o pessoal da lista. Suponha que a equação a_1x_1 + ... + a_mx_m = b, com coeficientes a_1, ..., a_m, b inteiros admite soluções x_1, ..., x_m inteiras módulo m para qualquer m inteiro. Mostre que ela assume solução inteira. Duda-- [EMAIL PROTECTED]http://paginas.terra.com.br/arte/dudastabel/
Re: [obm-l] Cj. Cantor
Ah, certo, percebi qual é o meu erro. Valeu!Em 03/07/06, Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu:
On Mon, Jul 03, 2006 at 02:47:32PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote: Tem um probl. do Elon que é mostrar que { |x-y| , x e y em K }, onde K é o
cj. de Cantor, é [0,1]. Pensei sobre o probl. e cheguei a conclusão que ele é falso. Pois K é contido em K_2 = [0,1/9] U [2/9,1/3] U [2/3,7/9] U [8/9,1]. E é fácil (realmente é) constatar que
{ |x-y| , x e y em K_2 } = [0,1] \ [4/9,5/9].oe x em [2/3,7/9] e y em [2/9,1/3]: x-y pode assumir qualquer valorentre 2/3-1/3=1/3 e 7/9-2/9=5/9. Assim os números entre 4/6 e 5/9pertencem a { |x-y| , x e y em K_2 }. Por exemplo, 3/4 em [2/3,7/9],
1/4 em [2/9,1/3] donde 1/2 = 3/4 - 1/4 em { |x-y| , x e y em K_2 }.Na verdade é fácil verificar que { |x-y| , x e y em K_2 } = [0,1]. Como K é contido em K_2, { |x-y| , x e y em K } é contido em { |x-y| , x e y em K_2 } = [0,1] \
[4/9,5/9]. Logo o problema é falso.O problema está correto. Não vou mandar a solução mas mando uma dica:escreva os números na base 3.Aliás, o Gugu, colaborador desta lista, é especialista mundial
em diferenças aritméticas de conjuntos de Cantor (este problemaé um caso super especial).[]s, N.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
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[obm-l] Cj. Cantor
Tem um probl. do Elon que é mostrar que { |x-y| , x e y em K }, onde K é o cj. de Cantor, é [0,1]. Pensei sobre o probl. e cheguei a conclusão que ele é falso. Pois K é contido em K_2 = [0,1/9] U [2/9,1/3] U [2/3,7/9] U [8/9,1]. E é fácil (realmente é) constatar que
{ |x-y| , x e y em K_2 } = [0,1] \ [4/9,5/9]. Como K é contido em K_2, { |x-y| , x e y em K } é contido em { |x-y| , x e y em K_2 } = [0,1] \ [4/9,5/9]. Logo o problema é falso.Concordam?Duda
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Re: [obm-l] Re: Convergência de Série
Olá!Acho que dá para usar a desiguldade de Cauchy-Schwartz (não lembro a grafia):( \sum_{n=1}^{k}{a_n/n} )^2 = \sum_{n=1}^{k}{ a_n^2 } \sum_{n=1}^{k}{ 1/n^2 }2006/6/28, Aline Oliveira
[EMAIL PROTECTED]:Também não sei se tá certo... Mas... =/
Ratio Test (Apostol 1 pag 400): (a_n+1 / a_n) - L qdo n- infinito.Se L 1, a série converge.Como Soma (n=1) (a_n)^2 converge, limite de (a_n+1/a_n)^2 quando ntende a infinito é menor que 1 - (a_n+1/a_n) quando n tende a
infinito é menor que 1Ratio Test no segundo somatório:((a_n+1/n+1) / (a_n/n)) = (a_n+1/a_n) x (n/n+1) que é menor que 1,logo a série converge.Em 28/06/06, claudio.buffara
[EMAIL PROTECTED] escreveu: Segue abaixo o problema 43 do cap. 4 do Curso de Análise - vol. 1 do Elon, juntamente com a minha solução errada. O problema que proponho é: achar o erro na solução e dar uma solução
correta. Seja (a_n) uma sequência de números reais. Prove que se SOMA(n=1) (a_n)^2 converge, então SOMA(n=1) (a_n)/n também converge. Solução errada: Como SOMA(n=1) (a_n)^2 converge, deve existir n_0 tal que se n n_0 então
(a_n)^2 1/n, já que a série harmônica diverge. Logo, para n = n_0, |a_n| = 1/raiz(n) == a_n/n = |a_n|/n = 1/n^(3/2) == SOMA(n=1) a_n/n converge, pela comparação com a série:
SOMA(n=1) 1/n^(3/2), que é convergente. []s, Claudio.--Aline Oliveira=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
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Re: [obm-l] Desafio
Olá!Complementando a resposta do Sarmento.Pelo algoritmo da divisão de Euclides, todo número inteiro x pode se escrever como x = 2q + r, com 0 = r 2 (q e r inteiros). Portanto um número inteiro x que não é par (que não é divisível por 2) tem de se escrever como x = 2q + 1. Falou!DudaEm 26/05/06, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] escreveu: Mensagem Original: Data: 07:02:47 26/05/2006 De: Alamir Rodrigues [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Desafio Provar que a soma de dois números ímpares sempre dará um númer par.Seja M impar e N impar M = MP + 1 sendo que MP é par ( todo numero par + 1 é impar)N = NP+ 1 sendo que NP é parentão MP + NP + 1 + 1 - MP é par, NP é par, 1 + 1 = 2 parMP + NP + 2 (soma de três números par é par). atSarmentoAqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis comqualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suportegrátis e muito mais. Baixe grátis o Discador emhttp://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna,assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique emhttp://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=-- --Exercite-se, alimente-se bem, seja introspectivo, amoroso e humilde, sirva e perdoe, realize-se e viva feliz! [EMAIL PROTECTED]http://paginas.terra.com.br/arte/dudastabel/
Re: [obm-l] sobrejetividade e abertos
A norma que geralmente se usa é||L|| = sup { |L(x)| : |x| = 1 }Em 26/05/06, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
escreveu:Qual topologia estah definida em L? para falarmos em conjuntos abertos de L,
temos necessariamente que estabelecer uma topologia, que possivelmente seorigina de uma norma definida em L.Se F eh o conjunto das funcoes definidas em um conjunto X e com valores emR, uma forma usual de se normar F e definir a norma ||.|| de cada um de seus
elemntos f por ||f|| = supremo{|f(x|| x estah em X}. Se f tiver valores emR^m, a mesma definicao se aplica, bastando considerar |f(x)| como a normaeuclidiana do vetor f(x). Mas para que estah definicao atenda aas
propriedades de uma norma (um mumero real =0), eh necessario que F sejacomposto por funcoes limitadas, a menos que se admita que a norma possa serinfinita.No caso bem simples em que m= n =1 e as funcoes sao continuas, L eh a
familia da funcoes f:R-R dadas por f(x) = k*x, k em R. Todas sao bijetoras.Mas se normarmos L conforme acima definido, todas a funcoes terao normainfinita e a distancia ||f1 - f2|| entre 2 funcoes distintas de L eh sempre
infinita. Se, entretanto, restringirmos as f de L a um compacto de R, umintervalo fechado e limitado, por exemplo, entao a definicao fica bem clarae L torna-se um espaco metrico.Artur-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Emnome de Felipe NobiliEnviada em: terça-feira, 23 de maio de 2006 17:19
Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] sobrejetividade e abertosSeja L(R^n,R^m) o conjunto das transformações linearesde R^n - R^m. como provar que as transformações
lineares sobrejetivas formam um conjunto aberto emL(R^n,R^m)?Como provar que as transformações lineares injetivastambém forma conjunto aberto?obrigado.__
Do You Yahoo!?Tired of spam?Yahoo! Mail has the best spam protection aroundhttp://mail.yahoo.com=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=-- --Exercite-se, alimente-se bem, seja introspectivo, amoroso e humilde, sirva e perdoe, realize-se e viva feliz!
[EMAIL PROTECTED]http://paginas.terra.com.br/arte/dudastabel/
[obm-l] Latex no linux
Oi, pessoal da lista.Esse não é um e-mail precisamente de matemática, mas acho que deve interessar a pessoas nessa lista, acho que tem sentido postá-la aqui. Se não tem, me perdoem. Eu sou um entusiasta do software livre. Considero muito saudável e nobre a colaboração desinteressada de uns com os outros. Mas sou um zero à esquerda em computação. Eu sabia mexer bem no MS-DOS há uns cinco anos, mas hoje em dia, sou um ignorante. Mesmo assim, arrisquei usar o Kurumin. Eu tenho enfrentado problemas bem básicos que não sei contornar. Mas isso não cabe aqui na lista. Queria saber se alguém conhece um sistema de Latex para baixar na internet (eu não tenho acesso à internet, vou colocar num cd e depois instalar no meu pc) que seja amigável. Eu baixei o teTeX, mas não consegui digitar todos os comandos certos, não entendo nada daquilo. Aí não deu certo. E para falar de matemática: alguém sabe se é verdade que dados dois espaços de Banach X e Y, com uma isometria de cada um no outro, eles são isomorfos?Valeu!Duda-- -- Exercite-se, alimente-se bem, seja introspectivo, amoroso e humilde, sirva e perdoe, realize-se e viva feliz![EMAIL PROTECTED] http://paginas.terra.com.br/arte/dudastabel/
[obm-l] Saudações!
Olá, amigos da lista!Depois de algum tempo (mais de ano...) longe da lista, estou de volta. Espero contribuir com boas mensagens, motivadoras e enriquecedoras e espero aprender com vocês e me inspirar, assim como poder manter um contato com os amigos que aqui se encontram. Um grande abraço a todos os meus conhecidos!Duda
Re: [obm-l] Esta funcao eh continua
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] Boa noite Naquele problema sobre a funcao logaritmica, acabei chagando aa conclusao que, se f eh uniformemente continua nos racionais (ou, de modo mais geral, em um conjunto denso em R) e monotonica em todo o R, entao f eh continua em R. E se relaxarmos continuidade uniforme e assumirmos apenas continuidade? A conclusao permanece valida? Naum cheguei a uma conclusao ainda. Artur Oi Artur. Depois de semanas sem tempo para relaxar, estou tendo um dia de folga e é com prazer que leio e repondo algumas mensagens desta nossa querida lista de discussão. Que saudades! Se X é denso em Y, tratando-se de espaços métricos, e uma função f de X em R é uniformemente contínua (não precisa da hipótese de monotonicidade), ela pode ser estendida a uma função F de Y em R ainda uniformemente contínua, com F|X = f. Se f é uniformemente contínua, leva seqüências de Cauchy em seqüências de Cauchy (isto não vale se f é só contínua), e daí você estende f num ponto a FORA de X, em Y, como o limite de f numa seqüência de Cauchy em X qualquer cujo limite é a. Em seguida, mostra que F assim obtida está bem definida: se (x_n) e (y_n) são de Cauchy em X com limite em a, então a seqüência (z_n) = (x_1,y_1,x_2,y_2,...) é de Cauchy e logo (f(z_n)) é de Cauchy, o que mostra que os limites de (f(x_n)) e de (f(y_n)), ambas subseqüências de (f(z_n)), é o mesmo. Por fim, demonstra ser F uniformemente contínua: dado e 0 existe d 0 para a uniformidade contínua de f; se a e b estão em Y e (x_n) e (y_n) em X tem limites a e b, respectivamente, e d(a,b) d então existe N tal que d(x_n,y_n) d se n N donde se conclui que d(f(x_n),f(y_n)) e e o limite d(f(a),f(b) = e. A conclusão não valeria se f fosse só contínua. Vide o exemplo de f : (0 , 1] -- R, f(x) = 1/x. Ela não pode ser estendida continuamente a todo [0 , 1]. Abraço, Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] envoltória convexa e conjuntos compactos
From: Cláudio (Prática) [EMAIL PROTECTED] Se X eh um conjunto qualquer de objetos e definimos uma metrica em X que nao o faca completo, eh entao verdade que existe um espaco metrico completo contendo X como subespaco? Artur Bom, isso eu já não sei dizer porque topologia não é nem de longe a minha praia, mas me parece que se tornarmos Q (corpo dos racionais) um espaço métrico com a distância usual d(x,y) = |x - y|, a existência de um espaço métrico completo que o contenha só é estabelecida por meio do axioma do supremo. No caso geral pode ser que você também tenha que postular a existência de um espaço métrico completo contendo um dado espaço. De qualquer jeito, acho melhor esperar pela resposta de alguém mais gabaritado... []s, Claudio. Oi Cláudio e Artur. Na verdade, esta é uma questão simples, que está respondida no livro de Espaços Métricos do Elon, se eu a entendi bem. Dado um espaço métrico geral X existe um compleTAmento Y de X, que o contém como subespaço métrico (na verdade é uma copía isométrica de X), que é completo e tal que X é denso em Y. A maneira que sei de provar isto é exibir Y, dado um X. Considere o conjunto das seqüências de Cauchy em X, denotado por S. (Lembra o que é seqüência de Cauchy? Uma seqüência (x_n) em X é de Cauchy se para todo e 0 existe N tal que d(x_n,x_m) e se n, m N). Defina então uma relação de equivalência em S: (x_n) ~ (y_n) :== lim d(x_n,y_n) = 0 Ou seja, duas seqüências de Cauchy são equivalentes se elas se confundem no infinito ou os seus termos gerais se tornam arbitrariamente próximos. Para finalizar tome o conjunto quociente Y = S/~, definindo distância de duas classes de seqüências de Cauchy [(x_n)] e [(y_n)] como: D( [(x_n)], [(y_n)] ) = lim d(x_n, y_n) (é preciso mostrar que D está bem definida, i.e., independe da escolha (x_n) e (y_n) nas suas classes de eqüivalência) Fica como exercício mostrar que X pode ser imerso naturalmente em Y, (cada x em X é levado na classe da seqüência constante (x) em Y) e que Y é completo e X é denso em Y. Não é difícil, asseguro. Abração, Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:
Oi Diego.
É claro que f(0) = 0 em a). Apenas use a definição de derivada:
| lim(h--0){ [ f(h) - f(0) ]/h }|
= lim(h--0){ | f(h)/h | }
= lim(h--0){ |h^2/h| }
= lim(h--0){ |h| } = 0
Portanto f é derivável em x=0 e f'(0) = 0. Em b), use que | sen(x) | = 1 e
aplique a).
Abraço,
Duda.
From: Diego Stéfano [EMAIL PROTECTED]
Me ajudem no seguinte problema:
-
a) Seja f(x) uma função que satisfaz |f(x)| = x^2
para [-1, 1]. Mostre que f é derivável em x = 0 e
determine f'(0).
b) Mostre que a função
f(x) = x^2 * sen( 1/x ), para x != 0
f(x) = 0, para x = 0
é derivável em x = 0 e determine f'(0).
-
Alguém poderia me mostrar, passo a passo, como se
resolve esse tipo de problema?
Valeu!
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Re: [obm-l] Extensoes de Corpos
Oi Cláudio. Eu não tenho lido as mensagens da lista, e li esta sem querer. Se a extensão E:F é normal e separável, além de finita, existe um teorema (teorema da correspondência de Galois) que afirma que existe uma bijeção entre os corpos intermediários da extensão e o grupo de F-automorfismos de E, que é um grupo finito. Existe uma relação bem simples entre a dimensão da extensão e o tamanho do subgrupo. Aí você procura, ao invés de corpos intermediários, os subgrupos de determinada ordem. Eu acho que, em geral, a resposta à sua pergunta é difícil. Abraço, Duda. - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 28, 2004 7:20 PM Subject: [obm-l] Extensoes de Corpos Oi, pessoal: Com relacao a minha mensagem anterior, minha duvida eh mais geral: Sejam um corpo F, de caracteristica 0, e uma extensao E tal que [E:F] = n. Se m divide n, quais as condicoes para que exista um corpo K tal que: F = K = E, e [K:F] = m? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Tradução de conceitos de álgebra
Oi pessoal. Alguém sabe como se traduzem as expressões spliting field e a polynomial splits over a field para a nossa Língua Portuguesa? Obrigado a quem responder! E um abraço também. Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teorema de Baire
Oi, Artur. Lendo sua pergunta, me veio uma idéia à cabeça. Espero que ajude a esclarecer a questão. Uma forma de medir o tamanho de um espaço topológico (espaço + topologia) é verificando se nele, a interseção contável de subconjuntos abertos densos é não-vazia. Neste caso, dizemos que o espaço é de Baire. Existem várias formulações de teoremas de Baire. A mais tradicional que eu costumo ver é que um espaço métrico completo é um espaço de Baire. No meu livro de Topologia Geral, diz que um subconjunto G-delta de um espaço de Hausdorff compacto é um espaço de Baire. Tanto faz, para o meus propósito. O importante é que com este CONCEITO, ou com esta FORMA DE MEDIR O TAMANHO DO ESPAÇO ou com esta PROPRIEDADE DO ESPAÇO TOPOLÓGICO, podemos resolver os seguintes problemas: (a) não existe função dos reais nos reais contínua exatamente nos irracionais; (b) existem funções contínuas não deriváveis em nenhum ponto; (c) o plano de Moore não é normal; (d) sendo f função dos reais nos reais tal que para todo x real existe n natural com f^n(x)=0 então f é polinômio. O que nos convence de que este conceito é natural, pois ele nos possibilita resolver (pelo menos de modo fácil) muitos problemas. Muitas vezes, o modo de resolver um problema é saber olhar para ele de forma correta. O exempo mais marcante que eu lembro são os problemas da quadratura do círculo, da trisecção do ângulo e da duplicação da esfera. O fato de olher para as extensões de corpo, como espaços vetoriais, traz a tona o conceito de dimensão, que resolve facilmente o problema. Abraço, Duda. From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] Boa tarde. Eu sei que este assunto eh um tanto fora do contexto usual desta lista, mas serah que alguem poderia falar um pouco sobre o Teorema de Baire? Eu conheco teorema (ele pode ser encontrado em uma serie de bons livros) mas eu ainda nao consegui ter uma boa percepcao sobre ele, ainda nao entrou na massa do meu sangue. Foi um processo semelhante com o conceito de conjunto compacto. A principio, eu tive alguma dificuldade de assimilar a definicao baseada em cobreturas abertas. Mas com o tempo isto me pareceu natural Obrigado a quem puder colaborar. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Outra sobre álgebra
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
on 13.02.04 03:23, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
on 12.02.04 23:43, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi colegas da lista.
Seja K um corpo, K[t] o anel de polinômios sobre K e dois polinômios P
e
Q
de K[t] ambos irredutíveis de mesmo grau. É verdade que os aneis
quocientes
(são corpos, na verdade) F = K[t] / (P) e G = K[t] / (Q) são
isomorfos?
Eu imagino que sim pelo isomorfismo h : F -- G que leva (P) + f em
(Q)
+ f.
Não tenho boa visão sobre como se corportam esses aneis quocientes do
tipo
de F e G. Alguém sabe um bom livro para ler sobre isto, ou artigo na
internet?
Um abraço e obrigado por qualquer ajuda.
Duda.
Oi, Duda:
Se P pertence a K[t] e grau(P) = n, entao K[t] / (P) eh um espaco
vetorial
de dimensao n sobre K. Alem disso, dois espacos vetoriais de mesma
dimensao
sobre um mesmo corpo sao isomorfos. Isso prova o resultado. Acho
inclusive
que P nao precisa ser irredutivel (mas nesse caso, o anel quociente nao
serah um corpo)
Uma boa fonte on-line sobre algebra em geral estah aqui:
http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/
Um abraco,
Claudio.
Eu ACHO que você está se confundindo. Pelo que entendo, há dois
conceitos de
isomorfismo envolvidos neste caso. O primeiro é o conceito de
isomorfismo
entre espaços vetoriais e o segundo, isomorfismo entre corpos (ou entre
anéis). Como os dois espaços vetoriais sobre K tem a mesma dimensão,
fica
fácil de estabelecer um isomorfismo, mas isto não implica que este
isomorfismo preserve a multiplicação.
Voce tem toda a razao. Eu misturei os dois conceitos e o problema estah
justamente na multiplicacao.
Por enquanto o que eu fiz foi o seguinte:
Como K eh um corpo, podemos supor s.p.d.g. que P(x) e Q(x) sao monicos de
grau n+1 (n+1 e nao n pra facilitar a notacao mais adiante).
Seja a uma raiz de P(x). Como P(x) eh irredutivel, P(x) serah o polinomio
minimo de a. Entao K[a] eh uma extensao algebrica (e portanto finita) de K
e
(isso eu tenho certeza) K[x]/(P(x)) eh isomorfo a K[a].
Da mesma forma, se b eh uma raiz de Q(x), entao K[x]/(Q(x)) eh isomorfo a
K[b].
Mas:
K[a] = {u_0 + u_1*a + u_2*a^2 + ... + u_n*a^n | u_i pertence a K}
e
K[b] = {v_0 + v_1*b + v_2*b^2 + ... + v_n*b^n | v_i pertence a K}.
Serah que K[a] e K[b] sao isomorfos?
Eu acho que sim. O que voce acha?
Oi, Cláudio.
Eu acho o mesmo que você. Eu acho também que o desejado isomorfismo entre
corpos é aquele mais natural possível que leva os coeficientes u_i nos
mesmos coeficientes v_i. Mas aí surge o problema de que não sei onde vou
entrar com a informação de que P e Q são irredutíveis. O que me indica que
eu não estou sabendo ENTENDER direito estes conceitos e corpos.
Bom, como estou de férias e fui convidado para ir à praia (aqui em Porto
Alegre, não há praia ;) ), vou passar este final de semana nela, e não vou
ler mais as mensagens. Só segunda-feira, quando voltar. Até lá, não
responderei portanto, mas vou pensar mais na questão e assim que chegar vou
ver as mensagens da lista.
Não sei se você concorda comigo. Mas acho que os livros (pelo menos os que
eu já li) passam rápido demais por anéis do tipo R[x] / (P) e não esclarecem
grande coisa, ou será que somos nós com uma dificuldade boba...?
Abração e valeu!
Duda.
Posso estar dizendo uma grande bobagem, mas o exemplo abaixo me sugere
que
não:
Se P e Q são polinômios em t sobre K, P é irredutível e Q não é então F
=
K[t] / (P) é um corpo mas G = K[t] / (Q) não é. É impossível que haja um
isomorfismo (de anél) entre F e G, pois neste caso ambos seriam corpos.
O
que me sugere que neste caso eles não são isomorfos.
Concordo com o argumento.
Obrigado pela resposta e pela indicação do site.
Você já leu o livro Galois Theory, do Ian Stewart? Estou estudando por
ele, e me surgiu esta dúvida em um dos exercícios do livro. Na verdade,
esta
é a segunda, a outra foi sobre Zn*.
Ainda nao. Esse semestre eu pretendo fazer um curso sobre esse assunto na
USP. Espero estar mais afiado em julho...
Um abraco,
Claudio.
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Outra sobre álgebra
Oi colegas da lista. Seja K um corpo, K[t] o anel de polinômios sobre K e dois polinômios P e Q de K[t] ambos irredutíveis de mesmo grau. É verdade que os aneis quocientes (são corpos, na verdade) F = K[t] / (P) e G = K[t] / (Q) são isomorfos? Eu imagino que sim pelo isomorfismo h : F -- G que leva (P) + f em (Q) + f. Não tenho boa visão sobre como se corportam esses aneis quocientes do tipo de F e G. Alguém sabe um bom livro para ler sobre isto, ou artigo na internet? Um abraço e obrigado por qualquer ajuda. Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Outra sobre álgebra
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] on 12.02.04 23:43, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi colegas da lista. Seja K um corpo, K[t] o anel de polinômios sobre K e dois polinômios P e Q de K[t] ambos irredutíveis de mesmo grau. É verdade que os aneis quocientes (são corpos, na verdade) F = K[t] / (P) e G = K[t] / (Q) são isomorfos? Eu imagino que sim pelo isomorfismo h : F -- G que leva (P) + f em (Q) + f. Não tenho boa visão sobre como se corportam esses aneis quocientes do tipo de F e G. Alguém sabe um bom livro para ler sobre isto, ou artigo na internet? Um abraço e obrigado por qualquer ajuda. Duda. Oi, Duda: Se P pertence a K[t] e grau(P) = n, entao K[t] / (P) eh um espaco vetorial de dimensao n sobre K. Alem disso, dois espacos vetoriais de mesma dimensao sobre um mesmo corpo sao isomorfos. Isso prova o resultado. Acho inclusive que P nao precisa ser irredutivel (mas nesse caso, o anel quociente nao serah um corpo) Uma boa fonte on-line sobre algebra em geral estah aqui: http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/ Um abraco, Claudio. Eu ACHO que você está se confundindo. Pelo que entendo, há dois conceitos de isomorfismo envolvidos neste caso. O primeiro é o conceito de isomorfismo entre espaços vetoriais e o segundo, isomorfismo entre corpos (ou entre anéis). Como os dois espaços vetoriais sobre K tem a mesma dimensão, fica fácil de estabelecer um isomorfismo, mas isto não implica que este isomorfismo preserve a multiplicação. Posso estar dizendo uma grande bobagem, mas o exemplo abaixo me sugere que não: Se P e Q são polinômios em t sobre K, P é irredutível e Q não é então F = K[t] / (P) é um corpo mas G = K[t] / (Q) não é. É impossível que haja um isomorfismo (de anél) entre F e G, pois neste caso ambos seriam corpos. O que me sugere que neste caso eles não são isomorfos. Obrigado pela resposta e pela indicação do site. Você já leu o livro Galois Theory, do Ian Stewart? Estou estudando por ele, e me surgiu esta dúvida em um dos exercícios do livro. Na verdade, esta é a segunda, a outra foi sobre Zn*. Um abraço, Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Inversíveis de Z/nZ
Olá pessoal da lista. Muitas vezes já li sobre o grupo multiplicativa dos elementos inversíveis de Z/nZ para n inteiro positivo, contudo nunca me perguntei sobre a estrutura desse grupo. Ainda nem pensei na questão e estou propondo ela na lista para que outras pessoas também pensem sobre isto. Se alguém tiver algum comentário, ficarei grato. Abração, Duda. PS. Raramente, eu dou sinal de vida quando respondem a uma mensagem minha. Mas isto não quer dizer que eu não leia as respostas. Eu sempre leio. Acho que não cabe ficar enchendo a lista com mensagens de agradecimento. Eu assumo, também, que quando respondo a alguém este alguém lê. A maioria deve agir assim. Não entendo por que algumas pessoas ficam sentidas por não terem resposta... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] f(x) e f'(x)
Oi Anderson Torres. Eu respondi esta questão considerando todas as raízes reais distintas, o Rafael considerou o caso em que há raízes repetidas. De qualquer forma, as idéias do Márcio e do Rafael juntas completam a questão. O essencial é que se a é uma raiz de multiplicidade m de P(x) então a é raiz de multiplicidade m-1 de P'(x), e entre raízes consecutivas de P(x) existe ao menos uma raiz de P'(x) (pelo teorema de Rolle). Não consegui ter idéia do que você falou. Explique-se melhor. Como assim ver o valor das raízes? Afinal, já é isto que estamos fazendo, considerando os intervalos onde estão as raízes de P'(x). Abraço, Duda. From: [EMAIL PROTECTED] Tive uma ideia MAIS demorada...talvez vendo o valor das raizes no polinomio derivado ajude... -- Mensagem original -- Vc pode usar o teorema de Rolle, que diz que dada f derivável em (a,b), f(a)=f(b) implica que f'(x) = 0 tem ao menos uma solucao real em (a,b). - Original Message - From: Marcelo Souza To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 05, 2004 1:20 AM Subject: [obm-l] f(x) e f'(x) Suponha p um polinomio de quinto grau em x. Como demonstro que se toda raiz de p(x) é real, entaum p'(x) tem 4 raizes reias (e p''(x) tem 3 raizes reais...) []'s, M. --- --- MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI INSIGNIA TRIBVUERE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] f(x) e f'(x)
Oi Marcelo. Sejam r s duas raízes reais consecutivas do polinômio P(x). No intervalo (r, s) o polinômio assume valoressó positivos ou só negativos. No primeiro caso existe um ponto de máximo localr T s pois P é contínuo no compacto [r, s] e nulo nos extremos, sendo positivo no interior. No outro caso, um ponto de mínimo local. Nestes pontos de extremo local aderivada se anula. Fica para você concluir... Duda. - Original Message - From: Marcelo Souza To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 05, 2004 12:20 AM Subject: [obm-l] f(x) e f'(x) Suponha pum polinomio de quinto grau em x. Como demonstro que se toda raiz de p(x) é real, entaump'(x) tem 4 raizes reias (e p''(x)tem 3 raizes reais...) []'s, M. MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjectura Borsuk
Olá! Se bem lembro, no Colóquio Brasileiro de Matemática de 2001, o Gugu apresentou este resultado num curso de Combinatória Contemporânea, junto com o orientador do Bruno Leite, agora não lembro o nome. Se você não encontrar este livro numa biblioteca, avise-me que eu dou uma olhada. Abração, Duda. - Original Message - From: Domingos Jr. To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 29, 2004 9:37 PM Subject: Re: [obm-l] Conjectura Borsuk No livro Proofs from The Book aparece a demonstração de que a conjectura de Borsuk é falsa e a dimensãoé 560... (o record colocado no livro é d=298, obtido em 2002) O interessante é que esse problema foi resolvido como um problema de combinatória. Os caras querefutaram a conjectura são Jeff Kahn e Gil Kalai, e isso foi em 1993. Sugiro que vc dê uma olhada no proofs from the book, é um excelente livro! ah, o título do paper é: "A counterexample to Borsuk's conjecture", Bulletin Amer. Math Soc. [ ]'s Alguem ai sabe qual o titulo/autor do paper de 2000 no qual foi provado que é falsa a conjectura de Borsuk para altas dimensoes. a conjectura é tipo o seguinte: no plano (d=2) tome um circulo (tanto faz a figura) de diametro 1, entao é possivel dividi-lo em3 (d+1) figuras com diametro menores que 1. o pior é que parece que o contra exemplo é pra algo do tipo d=9000 valeu, abraço. Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida
Oi Platão e demais. Não querendo corrigir, mas já enriquecendo a mensagem do Platão. Se n é primo (com exceção a n=2) então Phi(n) = n-1 é par. Se n é potência de primo n = p^i (com i=2) então Phi(n) = p^i - p^(i-1) também é par. Já que a função Phi é multiplicatica, isto é, se mdc(m,n)=1 então Phi(mn) = Phi(m) Phi(n), então segue a conclusão de que, a menos para n = 2, Phi(n) é um número par. Para quem não conhece (a maioria), o Platão é amigo meu, de Novo Hamburgo, e portanto também gaúcho. Saudações ao mais novo membro da lista, todos esperamos boas contribuições como essa! Seja bem-vindo! Abração, Duda. From: Platão Gonçalves Terra Neto [EMAIL PROTECTED] Basta ver que se p é primo, ímpar, então phi(p)=p-1, par. Para n=b^c, b primo, phi(b^c)=b^c-b^(c-1), que é par, ou seja, se n=a1^p2*a2^p2*...an^pn, sendo ai, todos primos , distintos , n2 e pi expoentes, então phi(n) é par. Se n=2^k, phi(n)=2^k-2^(k-1), que é par, exceção, para phi(2)=1. phi(1)=1. Logo, phi(n) é par , para todo n2, donde ,N* não é imagem de phi(n) - Original Message - From: André Martin Timpanaro [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 29, 2004 8:38 PM Subject: [obm-l] Dúvida A afirmação abaixo é verdadeira? Dado um número natural n não nulo existe algum natural m tal que phi(m)=n. Onde phi(x) é a função phi de Euler. Em outras palavras, a imagem de phi(x) é N* ? André T. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Eureka ??
A ltima a 18, que est no site da obm http://www.obm.org.br. Eduardo Casagrande Stabel. - Original Message - From: Gustavo To: Olmpiada Sent: Wednesday, January 28, 2004 6:45 PM Subject: [obm-l] Eureka ?? A ultima q recebi foi a de nmero 17( out' 2003).Alguem confirma se esta realmente foi a ultima ou ja foi destribuida a de numero 18 ? quando saira ? e renovao ja foi enviada? Antecipadamente agradeo
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Todas as funcoes lineares são continuas? Resposta: NÃO
Olá!
Seja P o espaço vetorial dos polinômios com a norma |p(x)| = SOMA{ |a_i| }
onde a_i são os coeficientes do polinômio p(x). Defina um funcional linear
f:P-R por f(p(x)) = SOMA{ i*a_i }. Demonstre que este é um funcional
linear. Ele é ilimitado pois f(x^n) = n apesar de |x^n| = 1, portanto é
descontínuo.
Não estou plenamente certo de que está certo, não sei por que...
Que todos confraternizem com amor nas festas de final de ano!,
Duda.
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
Eu de fato jah ouvi isto, mas nao conheco a prova.
Uma funcao eh linear se para todos x e y em seu dominio tivermos (f(x+y) =
f(x) + f(y). Se o dominio for um espaco vetorial R^n, entao a continuidade
em um unico ponto acarreta a continuidade em todo R^n. Logo, se o exemplo
do
livro foi, como acho que eh, uma funcao definida em R, entao o autor tem
que
ter apresentado uma funcao linear descontinua em todo o R.
Artur
Alguem conhece a prova?
No livro Counterexamples in Analysis
by Bernard R. Gelbaum (Author), John M. H. Olmsted (Author) , eles
apresentam um contra exemplo, ou seja, constroem uma funcao linear que
não é continua. Alguem conhece?! Eu obviamente nao tenho o livro.
Obrigado.
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Re: Re:[obm-l] Resultado.
Oi Nelly e Carlos! Não dêem ouvido ao Stein, mandem só os prata e ouros -- de outro jeito eu não vou conseguir ir, por que disputar com essa gurizada cheia de medalhas, pra mim que sou fraquinho, vai ser difícil... ;) Deixando de lado a brincadeira, qual o critério de seleção para a IMC? Há provas de seleção? Em que país será a próxima? Alguém financia os alunos para irem ou eles tem que buscar patrocínio/pagar por conta? Quanto à Semana Olímpica, alguém dá ajuda de custo para passagem e hospedagem? Quando e onde vai ser? O quanto antes eu souber estas respostas, melhor, pois posso passar, desde já, a buscar financiamento da minha universidade, caso ninguém dê ajuda de custo. Abração, Duda. From: Carlos [EMAIL PROTECTED] E ai Nelly! Fiquei tão triste com meu resultado! :( Tem como saber minha pontuação de cada questão, é porque achei que tinha feito tres questões (1, 4 e 5), inclusive mandei soluções pra lista obm-x e pelo visto tava correto... De qualquer forma, vocês continuarão mandando apenas prata e ouro, ou poderão abrir exceções, já que a IMC é por universidade? Abraços, Stein = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] resultado
Ah... tá quase saindo o resultado do nível U? From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] On Fri, Dec 05, 2003 at 09:10:31AM -0200, Eduardo Soares wrote: E o resultado da OBM sai quando? Provavelmente ainda hoje para os níveis 1-2-3. O nível U deve sair semana que vem. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Pêndulo sem atrito
Olá! Alguém conhece a fórmula e a demonstração do período do pêndulo sem atrito? Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Permutacoes Caoticas
Desarranjo, na minha terra, tem a ver com problemas intestinais... por
favor, não me batam!
From: Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED]
Ha quem as chame de desarranjos.
Angelo Barone{\ --\ }Netto Universidade de Sao Paulo
Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e Estatistica
Rua do Matao, 1010 Butanta - Cidade Universitaria
Caixa Postal 66 281 phone +55-11-3091-6162/6224/6136
05311-970 - Sao Paulo - SP fax +55-11-3091-6131
Agencia Cidade de Sao Paulo
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Re: [obm-l] Sequencia crescente
Oi Cláudio. *2, 3, *6, 7, 8, 9, *14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, *30, ... A idéia é a(2^n - 1 + q) = 2*(2^n - 1) + q para n = 1 e 0 = q = (2^n - 1) Desta forma, a seqüência é crescente e a(2^n - 1) / (2^n - 1) = 2 para n = 1 e a(2^n - 1 + (2^n - 1)) / (2^(n+1) - 2) = [ 2*2^n - 2 + (2^n - 1) ] / 2*(2^n - 1) = [ 3*(2^n - 1) ] / 2*(2^n - 1) = 3/2 para n = 1 valendo lim inf a(n)/n = 1.5 2 = lim sup a(n)/n. Abraço, Duda. From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Alguem saberia dar um exemplo de uma sequencia (a(n)) de inteiros positivos, estritamente crescente e tal que liminf a(n)/n limsup a(n)/n ? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] alg-lin
From: Guilherme Carlos Moreira e Silva [EMAIL PROTECTED] É verdade que toda transformacao linear tem um subespaco invariante? Toda transformação linear do espaço em si mesmo L:E--E tem sempre dois subespaços invariantes: o espaço trivial só com o vetor zero e o espaço todo. É verdade, também, que toda transformação deste tipo possui um supespeço invariante de dimensão 1 ou 2, se o corpo em questão é os reais; e 1 se o corpo são os complexos. Existe diferenca entre subespaco invariante e autoespaco? Existe. Um autoespaço é o espaço associado a um autovalor. Todo autoespaço é invariante, mas não vale a recíproca. Por exemplo a transformação L(x,y) = (-y,x) (rotação de 90 graus) não possui autoespaços, alem do trivial, contudo o R^2 é invariante por L. Abração, Duda. Desde já, grato pela atencao. __ Yahoo! Mail: 6MB, anti-spam e antivírus gratuito! Crie sua conta agora: http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Curiosidade
Olá! Há data prevista para divulgação dos resultados finais da OBM? Abraço, Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Integral de uma funcao nula em quase todo um intervalo
Oi Artur.
Se f é Riemann integrável, é integravel à Lebesgue, e as integrais
coincidem. Um resultado clássico de teoria da integração é que a integral
(respeito à Lebesgue) de uma função não-negativa é zero se e somente se ela
é zero em quase todo o ponto. Se não tens acesso a um livro de medida (como
Bartle ou Fernandez), tente você mesmo demonstrar este resultado.
Seja f : [a,b]-R integrável a Lebesgue nula em quase todo ponto. Podemos
decompor f = (f+) + (f-) nas suas partes positiva e negativa, sendo ambas
integráveis por definição, pois f é integrável. Temos (f+) e (f-)
não-negativas e nulas em quase todo ponto. Segue do parágrafo anterior que
INT{ (f+) } = 0 = INT{ (f-) } e INT{ f } = 0.
Ok?
Abração,
Duda.
From: Artur Coste Steiner [EMAIL PROTECTED]
Boa tarde
Suponhamos que f:I - R, I = [a,b], seja Riemann integravel em I e nula
em quase todo o I. Podemos entao afirmar que Integral (sobre I) f(x) dx
= 0? Eu tenho quse certeza que sim, mas me enrolei na prova. Segundo o
criterio da integrabilidade de Lebesgue, o conjunto das discontinuidades
de f em I tem medida nula, porem nao estamos assumindo que f eh continua
nos pontos em que eh nula.
Eu tentei comparar com o caso da funcao de Thomae, mas esta funcao eh
continua e nula nos irracionais e descontinua nos racionais que, por
serem numeraveis, tem medida nula. Nao eh exatamente o caso da f acima.
Al;guem poderia dar alguma sugestao?
Obrigado
Artur
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Re: [obm-l] O problema do camelo
Oi Rogério. O enunciado deste problema está ERRADO, pois do modo como ele está, não tem solução. Seja eps 0. Não é difícil mostrar que o camelo pode cumprir sua tarefa começando com eps litros de água. Basta colocar o primeiro posto a eps/2 de distância e, no resto do caminho, dispor postos para que ele possa cumprir seu objetivo. Como eps positivo foi escolhido arbitrariamente, não há mínimo. Se a pergunta é: quanta água ele precisa *no total* para cumprir sua missão? Ainda assim, o problema não tem solução. Seja eps 0. Dispomos os postos com uma quantidade de gasolina de forma que o camelo chegue até eps quilômetros do objetivo final, com exatamente 100 litros de água. Ele vai até o seu objetivo e despeja (100 - 2*eps) litros de água e ainda tem eps consigo, então ele volta eps/2 quilômetros, se reabastece, e retorna ao final. Dessa forma (se bem organizado) ele pode ter precisado andar exatamente 1000 + eps quilômetros, consumido 1000 + eps litros de água e levado 100 litros até o final, tendo utilizado 1100 + eps litros de água. É impossível que ele cumpra sua missão com exatamente 1100 litros de água, pois neste caso ele não poderia andar para trás. Também não há mínimo, portanto. Abraço, Duda. From: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] Repassando o problema do camelo... Um camelo deve fazer uma entrega de 1000 litros de água ao Sindicato dos Beduínos, que fica a 1000 km de distância de seu oásis de partida. O camelo pode carregar até 100 litros de água e deve beber (continuamente) 1 litro de água por quilômetro. Ele pode deixar depósitos de água em qualquer ponto do caminho. De quanta água (no mínimo) ele precisa para cumprir sua missão? --- Li, e passei adiante esse problema há 3 dias. Algumas pessoas não entenderam adequadamente o enunciado, de forma que faço algumas observações: 1- O que se pretende é : qual o total mínimo da água necessária , no oásis de partida , para as sucessivas idas e vindas , alcançando pontos cada vez mais distantes, de forma a finalmente totalizar o transporte dos 1000 litros a 1000 km de distância. 2- O camelo só precisa LEVAR a água , isto é , não precisa fazer a última viagem de volta. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] O problema do camelo
Oi Fábio! Sim, a idéia é espalhar reservatórios, não há nenhuma restrição quanto a colocar mais reservatórios. Vou ser mais preciso quanto aos detalhes. Seja n um número natural qualquer, n 1000. Vamos dividir o caminho em exatamente n pedaços de comprimento 1000 / n = eps cada um. Note que eps 1. Suponha que ele parte da posição x = zero e quer chegar em x = 1000. Ele começa com eps de água. No reservatório em x = eps, há eps de água. No reservatório em x = 2eps, há eps de água. ... No reservatório em x = (n-2)eps = 1000 - 2eps, há eps de água. Dessa forma ele se desloca até o ponto x = 1000 - eps tendo consumido exatamente 1000 - eps de água. Colocamos, então, muitos litros (já calcularei quantos) de água no reservatório em x = (n-1)eps. O camelo vai até o final, em x = 1000, e lá chega com 100 - eps, de água. Ele despeja, 100 - 2eps de água e permanece com eps. Então ele volta até a posição x = 1000 - eps e se reabastece de 100 litros, indo até o final, e voltando a este ponto e assim sucessivamente. Depois de dez indas e vindas, ele está na posição x = 1000 - eps, tendo levado exatamente 1000 - 20eps para o final. Ele se abastece então de mais 21eps 21 , e chega ao final, completando sua tarefa. Nos postos x = 0 , eps, 2pes, ..., (n-2)eps tínhamos eps de água em cada. No posto x = (n-1)eps tínhamos 100 * 10 + 21.eps de água. O total é (n-1)*eps + 1000 + 21*eps = 2000 + 20*eps = 2000 + 2/n. A tarefa não pode ser completada com 2000 de água, pois isto implicaria que o camelo andou só para frente e chegou ao final carregando 1000 litros de água, o que fere as condições do enunciado. Mas 2000 + 2/n pode ser feito arbitrariamente próximo de 2000. Logo não há mínimo. Eu me enganei achando que ele teria que levar 100 litros ao final, e não 1000. Agora já corrigi. O que achas? Abraço do Duda. On 11/16/03 21:03:05, Eduardo Casagrande Stabel wrote: [...] Se a pergunta é: quanta água ele precisa *no total* para cumprir sua missão? Ainda assim, o problema não tem solução. Seja eps 0. Dispomos os postos com uma quantidade de gasolina de forma que o camelo chegue até eps quilômetros do objetivo final, com exatamente 100 litros de água. [...] Isso exige que se monte um reservatório na posição 1000-eps, já que a capacidade máxima do camelo é exatamente 100 (i.e. a água que ele leva é recém-obtida). [...] Ele vai até o seu objetivo e despeja (100 - 2*eps) litros de água e ainda tem eps consigo, então ele volta eps/2 quilômetros, se reabastece, [...] Mas se reabastece aonde? Você não falou nada de reservatórios na posição 1000 - eps/2. e retorna ao final. Dessa forma (se bem organizado) ele pode ter precisado andar exatamente 1000 + eps quilômetros, consumido 1000 + eps litros de água e levado 100 litros até o final, tendo utilizado 1100 + eps litros de água. [...] Mas ainda faltam 900 litros. O camelo deve transportar 1000 litros, e não apenas 100. Eu sei demonstrar que a tarefa é possível por indução: seja d a distância que o camelo deve percorrer. É obvio que para d = 1 a tarefa é possível. Suponha que é possível fazê-la com V litros. Então de uma distância d+1, basta empurrar 98 litros de cada vez até a distância d, de tal forma que haja pelo menos V litros de água em d, logo agora é possível concluir a tarefa. Eu acho que a solução passa por alguma idéia deste gênero, com um incremento apropriado. Eu conjecturo que o incremento que dá o meior rendimento é 25. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida em Função Polinomial
Oi Oblomov. TEOREMA. Uma função P polinomial, não constante, é bijetora se e somente se é monótona. Suponhamos P função polinomial, não constante e monótona. É um exercício que está em todos os livros de análise mostrar que P(x) se torna ilimitado quando x cresce a mais ou menos infinito. Como a função é monótona, ela vai crescer a mais infinito para um lado e a menos infinito para o outro. A imagem por P dos reais é conexo, pois R é conexo e P contínua, ilimitado pelos dois lados, portanto deve ser todo o R, e a função é sobrejetora. Ela é injetora pois se houvesse x y com P(x) = P(y) então, pela monotonicidade, P(z) = P(x) = P(y) para todo x z y, o que implicaria P == cte, contrariando a hipótese. Portanto P é bijetora. Suponhamos P função polinomial bijetora. Se a função não fosse monótona, existiriam x y z tais que P(x) P(y) P(z) ou P(x) P(y) P(z). Seja K um número entre P(x) e P(y) e entre P(x) e P(z). Como P é contínua, pelo teorema do valor intermediário, existem w e u com x w y e y u z tais que P(w) = K = P(u), contrariando a hipótese de que P é injetora. Ou seja, a função P é monótona. E fim... Uma outra maneira de dizer que P é monótona é dizer que P', a função derivada, é não-negativa ou não-positiva. Daí podemos tirar um critério talvez mais pé-no-chão. Encontramos todas as raízes da derivada P' : r_1, r_2, ..., r_n. Queremos garantir que todos esses pontos são de mínimo local ou todos são de máximo local. Para isso, eu não conheço um critério geral, nem sei se existe. CASO as derivadas segundas P''(r_1), ..., P''(r_n) tiverem todas o mesmo sinal, está garantido que todos os r_i são de extremo local do mesmo tipo, mas esse não é um critério necessário em geral. Era algo deste tipo que você queria? Abraço, Duda. From: Oblomov Insistenko [EMAIL PROTECTED] Alô pessoal, alguém aí poderia me dizer qual é a condição para que uma função polinomial seja bijetora e... provar? Ou seja quero saber quando uma função polinomial tem inversa. Obrigado. []' = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] [u] - Espaços Top.
Olá pessoal! Seja X um conjunto e T uma coleção de subconjuntos de X que é uma topologia, isto é: 1) vazio e X estão em T 2) a unição de uma coleção de elementos de T ainda está em T 3) a interseção de uma coleção finita de elementos de T está em T. Dizemos que a topologia T tem uma base B se a coleção de todas as unições possíveis em B recupera (é igual a) T. Dizemos que T é uma topologia separável se existe D enumerável, subconjunto de X, tal que todo elemento de T tem interseção não-vazia com D. Minha pergunta. Ser espaço topológico (X,T) separável é equivalente a ter uma base B enumerável? Abração a todos! Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
Daniel Não entendi como você fez para concluir que P(a, b, c) = (K1) . a E o que, precisamente, quer dizer esta expressão aí de cima? Também não soube interpretar. Abraço, Duda. From: Daniel Faria [EMAIL PROTECTED] Pensei numa outra forma: 1) a + b + c = 0 2) P( a , b , c ) = a^3 + b^3 + c^3 Considerando em (1) a=0, temos c=-b. Em (2): P( 0 , b , -b ) = 0^3 + b^3 + (-b)^3 = 0 Assim P é da forma: 3) P( a , b , c ) = ( K1) . a Considerando em (1) b=0, temos c=-a. Em (2): P( a , 0 , -a ) = a^3 + 0^3 + (-a)^3 = 0 Assim P é da forma: 4) P( a , b , c ) = ( K2) . b Considerando em (1) c=0, temos b=-a. Em (2): P( a , -a , 0 ) = a^3 + (-a)^3 + 0^3 = 0 Assim P é da forma: P( a , b , c ) = ( K3) . c Concluo por (3),(4) e (5) que: 6) P( a , b , c ) = k.a.b.c Substituo quaisquer valores nao nulos em a, b e c: pode ser (a = b = c = n ) 2) P( n , n , n ) = n^3 + n^3 + n^3 = 3n^3 6) P( n , n , n ) = k.n.n.n = kn^3 Logo K=3 P ( a , b , c ) = 3abc e finalmente: a^3 + b^3 + c^3 = 3abc _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: N/A
Oi João! Na mensagem do Morgado, ele escreveu: Seja f(n) a resposta para uma sequencia de n bits. Ou a seq. começa em 1 ou começa em 01. Logo, f(n)=f(n-1)+f(n-2). Como f(1) = 2 e f(2) = 3, f(3) = 2+3=5, f(4) = 5+3 = 8, f(5) = 8+5 = 13, f(6)=13=8 = 21, f(7) = 21+13 = 44 e f(8) = 44+21 = 65. Há um pequeno erro de contas. Onde diz 21 + 13 o resultado é 34 e não 44, aí a resposta final são os mesmos 55 que você encontrou. Aproveitando a deixa, do modo como eu havia feito (contando as seqüências com uma quantidade x de zeros), eu esqueci de contar três seqüências com quatro zeros: (01101010) (01011010) (01010110) Eu havia contado apenas 52, com mais essas 3, fecho os 55. Seu método, o do Morgado e o piorzinho dos três, o meu, estão corretos e levam ao mesmo resultado. Abração! Duda. From: João Gilberto Ponciano Pereira [EMAIL PROTECTED] Pessoal Sem querer ser chato, mas cheguei ao resultado de 55. O processo é um pouco feio, mas chega lá. De quantas maneiras podemos formar uma sequencia de oito bits(0 ou 1) de forma que nunca apareça nesta sequencia zeros adjacentes Seja A(n) o número de combinações dentro das regras que terminam com o bit 1, e B(n) os que terminem com o bit 0. É fácil ver que: 1) A(n+1) = A(n) + B(n) 2) B(n+1) = A(n) Logo: A(n+1) + B(n+1) = 2*A(n) + B(n) e substituindo, temos: A(n+2) = 2*A(n) + A(n-1) Sabendo que: A(1) = 1 == (1) A(2) = 2 == (01, 11) A(3) = 3 == (011, 101, 111) obs: 001 não vale! podemos seguir com a recorrência até A(9) = A(8) + B(8) = 55 Um abraço! JG -Original Message- From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, November 03, 2003 9:29 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Re: N/A Recebi a mensagem que enviei com um rosto amarelo com cara de idiota sorrindo no lugar em que digitei o numero 8. Desculpas a todos. Morgado -- CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Providerhttp://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 -- Original Message --- From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Mon, 3 Nov 2003 20:59:29 -0200 Subject: [obm-l] Re: N/A Seja f(n) a resposta para uma sequencia de n bits. Ou a seq. começa em 1 ou começa em 01. Logo, f(n)=f(n-1)+f(n-2). Como f(1) = 2 e f(2) = 3, f(3) = 2+3=5, f(4) = 5+3 = 8, f(5) = 8+5 = 13, f(6)=13=8 = 21, f(7) = 21+13 = 44 e f(8) = 44+21 = 65. -- CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Providerhttp://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 -- Original Message --- From: Daniel Faria [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Mon, 03 Nov 2003 19:16:55 -0200 Subject: N/A Ainda nao consegui finalizar este exercício: De quantas maneiras podemos formar uma sequencia de oito bits(0 ou 1) de forma que nunca apareça nesta sequencia zeros adjacentes ( _ _ 0 0 _ _ _ _ ). Obrigado. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:
Oi Daniel. Há um tempo, um aluno preparando-se para o entrar no curso de Mestrado em Ciências da Computação da UFRGS me fez esta pergunta A idéia que eu tive foi ir contando, de um modo organizado. Primeiro a seqüência só de 1's. Depois as seqüências onde aparece somente um zero, são ao todo 8. Depois as seqüências onde aparecem dois zeros. São elas (01xx) -- 6 para o zero em qualquer um dos x (101x) -- 5 para o zero em qualquer um dos x (1101) -- 4 ... ... (101x) -- 1 Ao todo são 6+5+4+3+2+1 = 21. Depois as seqüências onde aparecem três zeros. São elas (01yy) -- onde no y devem aparecer dois zeros, contam-se 4+3+2+1 = 10. (101y) -- contam-se 3+2+1 = 6 ... (11101yyy) -- contam-se 1 = 1 Ao todo são 10+6+3+1 = 20. Depois as seqüências onde aparecem quatro zeros. São elas (01010101) e (10101010). Somando tudo 2+20+21+8+1 = 52. Duda. From: Daniel Faria [EMAIL PROTECTED] Ainda nao consegui finalizar este exercício: De quantas maneiras podemos formar uma sequencia de oito bits(0 ou 1) de forma que nunca apareça nesta sequencia zeros adjacentes ( _ _ 0 0 _ _ _ _ ). Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Soma A e B
From: Daniel Faria [EMAIL PROTECTED] Efetuando a divisao na calculadora de A/B = 1,1818182. A calculadora pode ter nos dado o resultado exato ou uma aproximaçao. Se fosse exato A/B = 11818182/1000 = 5909091/500 a ultima irredutivel e os valores(numerador,denominador) nao estao entre 12 e 32, logo nao é a divisao exata. Sendo aproximada o numero pode ser 1.18181815 A/B 1,18181825. O mais correto seria provar que para quaisquer valores escolhidos de A/B no intervalo exceto o valor escolhido abaixo, as respectivas fraçoes irredutiveis tem valores(numerador,denominador) acima de 32. O que impossibilita que seja resposta do exercício. PEÇO AOS COLEGAS DE LISTA QUE CASO CONHEÇAM UMA PROVA DISTO QUE ME ENVIEM. Sendo x = A/B = 1,18181818... uma dízima periódica infinita, temos: 100x = 118,181818... 1x =1,181818... Fazendo a subtraçao membro a membro, temos: 99x = 117 x = 13/11 A = 13.k e B = 11.k, com k inteiro. Para A e B estarem entre 12 e 32, somente k = 2. A = 26 e B = 22 logo A+B = 48 Espero ter conseguido ajudar em alguma coisa. Está quase lá. Você encontrou uma fração A/B dentro das condições do enunciado que, com o arredondamento, fica igual ao que é mostrado na calculadora. Para concluir que não existe outra fração basta ver que qualquer outra fração A'/B' que satisfaz as condições e é diferente de A/B não está no intervale (A/B - 1/32 , A/B + 1/32) e leve isto até as últimas conseqüências... From: Marcos Braga [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Soma A e B Date: Sat, 25 Oct 2003 21:14:45 -0200 Amigos , Resolvi o Problema abaixo e achei a resposta 48 , porém perdi muito tempo com divisões decimais e acho que resolvi pelo caminho mais longo . Sei que é um problema aparentemente fácil , porém pediria ajuda de vcs para uma resolução rápida e entender a logica do problema . A e B são dois numeros inteiros compreendidos entre 12 e 32 . Ao efetuarmos a divisão de A por B em uma calculadora obtivemos o numero 1,1818182. O valor da soma de A e B e' ? Abc. Marcos _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Parabola
Oi Chará. Se você conhece o eixo de simetria da parábola e mais dois pontos que não são simétricos com relação a este eixo de simetria, podem acontecer dois casos, os quais eu destaco: a) um dos pontos está sobre o eixo de simetria (=o vértice) e o outro fora, se for este o caso, rebata o ponto fora do eixo de simetria e você terá um terceiro ponto por onde passa a parábola, o que, como você bem disse, determina-a unicamente; b) os dois pontos estão fora do eixo de simetria, neste caso você rebate um dos dois e tem um terceiro ponto, o que, mais uma vez, determina unicamente a parábola. Entendi bem a sua dúvida? Você poderia tratar o mesmo problema com equações. Imaginar que você conhece o eixo de simetria da parábola é conhecer o coeficiente b de y(x) = ax^2 + bx + c, ou seja, neste caso b = 0 para que y(x) = y(-x) para todo x. E você conhece mais pontos pontos do plano P e Q, por onde passa a parábola, assim você pode determinar a e c e a parábola é única. Abraço do amigo de Porto Alegre, Duda. From: Eduardo [EMAIL PROTECTED] Olah pra todos, ontem estava pensando e esse problema me veio a cabeça: Com qtos pontos posso determinar uma parabola? Sei q com 3 isso eh perfeitamente possivel, mas especulo q se escolhermos 2 pontos q n sejam simetricos com relacao a reta q divide o plano em 2 semi-planos (me perdoem, esqueci o nome de tal reta), eh possivel determinar tal parabola. bem, antes de tudo, um abraço, Eduardo __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Grupo Abeliano
Vôcê tem razão, erro meu...
From: [EMAIL PROTECTED]
Oi Eduardo,
Eu acho que vc se confundiu na definição de H. Do jeito que vc colocou,
H teria n^n elementos. Eu acho que vc estava querendo dizer GxG, estou
certo?
Nesse caso, H teria n^2 elementos...
Ateh mais,
Yuri
-- Mensagem original --
Oi, Duda:
Infelizmente, tenho que discordar. H_(n+1) soh teria n elementos se a
ordem
de g fosse n. Mas nesse caso, G seria ciclico e, portanto, abeliano.
Um abraco,
Claudio.
on 31.10.03 00:12, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi Cláudio!
Seja G um grupo de n elementos não-abeliano.
Defina o grupo H = G x G x ... x G,
onde é o produto é tomado n vezes e estamos falando em produto
cartesiano. Definimos a operação de grupo em H a multiplicação das
coordenadas correspondentes de dois elementos quaisquer. Esta operação
herda
a associatividade de G, tem elemento neutro (e, e, ..., e) e todo
elemento
tem único inverso
(g_1,g_2,...,g_n)^(-1)=(g_1^(-1),g_2^(-1),...,g_n^(-1)).
Como G é não-abeliano existem g, h em G tais que gh é diferente de hg,
portanto (g,e,e,...,e)(h,e,e,...,e) é diferente de
(h,e,e,...,e)(g,e,e,...,e) e H é não-abeliano. H possui exatamente n^2
elementos. Agora considere os subgrupos
H_i = { (e,e,...,e,g,e,...,e) onde o g está na i-ésima posição : para
g
em
G} para 1 = i = n
e H_(n+1) = { (g,g,g,...,g) : para g em G }
Não é difícil de demonstrar que cada H_i é um grupo, subgrupo de H.
Também
não é difícil de mostrar que cada um desses H_i possui exatamente n
elementos. Ou seja, o que está sendo pedido para demonstrar não é
verdade.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, pessoal:
Me mandaram esse problema ontem e ainda nao consegui fazer:
Um grupo G de ordem n^2 tem n+1 subgrupos de ordem n tais que a
interseccao
de quaisquer dois deles eh a trivial (ou seja, igual a {e}). Prove que
G
eh
abeliano.
Um abraco,
Claudio.
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[]'s, Yuri
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Re: [obm-l] Grupo Abeliano
Oi Cláudio!
Na verdade o H_(n+1) tem n elementos. O conjunto H_(n+1) é formado por TODAS
as n-uplas com coordenadas iguais, por definição, acho que você entendeu que
fosse o grupo gerado por um elemento do tipo (g,g,g,...,g).
Mesmo assim, o problema é que H tem n^n elementos e não n^2, como salientou
o Yuri.
Abraço,
Duda.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, Duda:
Infelizmente, tenho que discordar. H_(n+1) soh teria n elementos se a
ordem
de g fosse n. Mas nesse caso, G seria ciclico e, portanto, abeliano.
Um abraco,
Claudio.
on 31.10.03 00:12, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi Cláudio!
Seja G um grupo de n elementos não-abeliano.
Defina o grupo H = G x G x ... x G,
onde é o produto é tomado n vezes e estamos falando em produto
cartesiano. Definimos a operação de grupo em H a multiplicação das
coordenadas correspondentes de dois elementos quaisquer. Esta operação
herda
a associatividade de G, tem elemento neutro (e, e, ..., e) e todo
elemento
tem único inverso
(g_1,g_2,...,g_n)^(-1)=(g_1^(-1),g_2^(-1),...,g_n^(-1)).
Como G é não-abeliano existem g, h em G tais que gh é diferente de hg,
portanto (g,e,e,...,e)(h,e,e,...,e) é diferente de
(h,e,e,...,e)(g,e,e,...,e) e H é não-abeliano. H possui exatamente n^2
elementos. Agora considere os subgrupos
H_i = { (e,e,...,e,g,e,...,e) onde o g está na i-ésima posição : para g
em
G} para 1 = i = n
e H_(n+1) = { (g,g,g,...,g) : para g em G }
Não é difícil de demonstrar que cada H_i é um grupo, subgrupo de H.
Também
não é difícil de mostrar que cada um desses H_i possui exatamente n
elementos. Ou seja, o que está sendo pedido para demonstrar não é
verdade.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, pessoal:
Me mandaram esse problema ontem e ainda nao consegui fazer:
Um grupo G de ordem n^2 tem n+1 subgrupos de ordem n tais que a
interseccao
de quaisquer dois deles eh a trivial (ou seja, igual a {e}). Prove que
G
eh
abeliano.
Um abraco,
Claudio.
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Re: [obm-l] Grupo Abeliano
Oi Cláudio!
Seja G um grupo de n elementos não-abeliano. Defina o grupo H = G x G x ...
x G, onde é o produto é tomado n vezes e estamos falando em produto
cartesiano. Definimos a operação de grupo em H a multiplicação das
coordenadas correspondentes de dois elementos quaisquer. Esta operação herda
a associatividade de G, tem elemento neutro (e, e, ..., e) e todo elemento
tem único inverso (g_1,g_2,...,g_n)^(-1)=(g_1^(-1),g_2^(-1),...,g_n^(-1)).
Como G é não-abeliano existem g, h em G tais que gh é diferente de hg,
portanto (g,e,e,...,e)(h,e,e,...,e) é diferente de
(h,e,e,...,e)(g,e,e,...,e) e H é não-abeliano. H possui exatamente n^2
elementos. Agora considere os subgrupos
H_i = { (e,e,...,e,g,e,...,e) onde o g está na i-ésima posição : para g em
G} para 1 = i = n
e H_(n+1) = { (g,g,g,...,g) : para g em G }
Não é difícil de demonstrar que cada H_i é um grupo, subgrupo de H. Também
não é difícil de mostrar que cada um desses H_i possui exatamente n
elementos. Ou seja, o que está sendo pedido para demonstrar não é verdade.
Abraço,
Duda.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, pessoal:
Me mandaram esse problema ontem e ainda nao consegui fazer:
Um grupo G de ordem n^2 tem n+1 subgrupos de ordem n tais que a
interseccao
de quaisquer dois deles eh a trivial (ou seja, igual a {e}). Prove que G
eh
abeliano.
Um abraco,
Claudio.
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Re: [obm-l] Grupo Abeliano
Só faltou dizer que a interseção os H_i tem em comum só {(e,e,e,...,e)}...
From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]
Oi Cláudio!
Seja G um grupo de n elementos não-abeliano. Defina o grupo H = G x G x
...
x G, onde é o produto é tomado n vezes e estamos falando em produto
cartesiano. Definimos a operação de grupo em H a multiplicação das
coordenadas correspondentes de dois elementos quaisquer. Esta operação
herda
a associatividade de G, tem elemento neutro (e, e, ..., e) e todo elemento
tem único inverso (g_1,g_2,...,g_n)^(-1)=(g_1^(-1),g_2^(-1),...,g_n^(-1)).
Como G é não-abeliano existem g, h em G tais que gh é diferente de hg,
portanto (g,e,e,...,e)(h,e,e,...,e) é diferente de
(h,e,e,...,e)(g,e,e,...,e) e H é não-abeliano. H possui exatamente n^2
elementos. Agora considere os subgrupos
H_i = { (e,e,...,e,g,e,...,e) onde o g está na i-ésima posição : para g em
G} para 1 = i = n
e H_(n+1) = { (g,g,g,...,g) : para g em G }
Não é difícil de demonstrar que cada H_i é um grupo, subgrupo de H. Também
não é difícil de mostrar que cada um desses H_i possui exatamente n
elementos. Ou seja, o que está sendo pedido para demonstrar não é verdade.
Abraço,
Duda.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, pessoal:
Me mandaram esse problema ontem e ainda nao consegui fazer:
Um grupo G de ordem n^2 tem n+1 subgrupos de ordem n tais que a
interseccao
de quaisquer dois deles eh a trivial (ou seja, igual a {e}). Prove que G
eh
abeliano.
Um abraco,
Claudio.
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma A e B
Oi.
Não dá para reduzir muito a expressão, Dirichlet. Uma estratégia é pensar
numa dízima periódica de período 18. Apareceu o último dígito 2, ao invés de
1, pois a calculadora arredondou. A fração seria
1 + 18/99 = (99 + 18)/99 = 117/99 = 39/33 = 13/11 = 26/22
O último passo foi só para ajustar dentro do intervalo {12, 13, ..., 32},
daí A + B = 48, como você encontrou. Resta ainda a questão de saber se não
existe outra fração A'/B' com A' e B' nesse intervalo tal que A'/B' seja a
expressão mostrada na calculadora. Se houver outra, certamente ela será
diferente, então A/B - A'/B' após somado e simplificado terá denominador
inferior a 32*22 = 704 10^3 e numerador, em módulo, pelo menos 1. Ou seja,
o valor do módulo da diferença não é inferior a 1/10^3. Contudo as duas
frações coincidem até a 6a. casa, ou seja, uma precisão de 1/10^6. Portanto
a fração é única e a resposta é 48.
Abraço,
Duda.
From: [EMAIL PROTECTED]
Realmente isto e braçal...
Pense assim:primeiro reduza 11818182/10^7
-- Mensagem original --
Amigos ,
Resolvi o Problema abaixo e achei a resposta 48 , porém perdi muito tempo
com divisões decimais e acho que resolvi pelo caminho mais longo . Sei
que
é um problema aparentemente fácil , porém pediria ajuda de vcs para uma
resolução rápida e entender a logica do problema .
A e B são dois numeros inteiros compreendidos entre 12 e 32 . Ao
efetuarmos
a divisão de A por B em uma calculadora obtivemos o numero 1,1818182. O
valor da soma de A e B e' ?
Abc.
Marcos
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Re: [obm-l] Sobre a Revista Eureka
Oi Maçaranduba, você precisa a aprender a ser cordial e educado como o Dirichlet tem sido na lista. Ele sempre responde com esta mesma delicadeza típica, a exemplo de como lhe respondeu: NOSSA! Nao precisa ser tao estupido e rispido. Sendo que sua colocação foi uma sugestão, nada estúpida, a resposta do Dirichlet foi dez vezes mais estúpida. Em psicologia, costuma-se chamar de PROJEÇÃO a característica de enxergar e denunciar nos outros problemas e deficiências próprias. A história da lista tem demonstrado que o JP é o mais estúpido, principalmente com aqueles que fazem perguntas simples e claramente não tem o mesmo conhecimento matemático dele. Eu também gostaria que houvesse os artigos separados, faço a mesma sugestão que você. Abraço, Duda. From: Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED] E eu que sempre achava que alguns desta lista lhe interpretavam voce mal(Dirichlet)..Pra algumas pessoas que estao interessadas apenas nos artigos talvez seja mais interessante os artigos em separadocomo vi alguem aqui mandar um e-mail representando a revista Eureka, achei que o responsavel leria este e-mail que na minha opiniao, nao tem nada demais.Quanto as palavras, se for pela matematica, eu abstraio :). --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] escreveu: NOSSA!Nao precisa ser tao estupido e rispido.Ja faz um tempo que esta parte tem sido deixada parada.E por um motivo simples:e mais facil pegar a revista inteira para ler na rede. Qualquer coisa fale com o pessoal por carta,oras!Ou diretamente por e-mail. Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED] wrote: Quem for responsavel pela divulgaçao onde esta presente os artigos em separado da Revista Eureka, poderia pelo menos dar uma atualizadinha e por os artigos mais recentes...:) Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais! Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] soma de série
Oi Cláudio!
Não sei a resposta. Eu deveria ter dito mais sobre o problema quando fiz a
pergunta. Pelo que ouvi dizer, este é um problema que um professor copiou
mal de um livro e propôs a seus alunos. (o problema original era trivial)
Ele tentou e não conseguiu resolver o problema. O problema já passou por
muita gente, segundo me contaram até numa das edições da revista AMM, e
ainda não encontraram a solução.
A mim, parece que a série converge. Eu propus na lista por que sei que você,
e outros, iriam se interessar, já que ela parece ter tudo a ver com a
questão de seqüências equidistribuídas.
Ele não me parece tão difícil, o que você acha?
Abraço, Duda.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
on 20.10.03 01:36, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi Pessoal!
E quanto à SOMA{ (1/n)*[(2 + sen(n))/3]^n , n=1, 2, ... } ?
Abraço, Duda.
Oi, Duda:
Interessante esse problema. Voce sabe a resposta?
Um abraco,
Claudio.
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Re: [obm-l] obm - U
Oi Nicolau!
E quanto ao problema quatro? Eu chamei de 0 p_i 1 a probabilidade de
sair a face i num lançamento, tendo-se SOMA{p_i} = 1. Eu desenvolvi um pouco
o problema e mostrei que ele era equivalente a demonstrar a desigualdades
SOMA{p_i^3} = SOMA{p_i^2}^2 com igualdade sse todos p_i = 1/6. Não consegui
demonstrar esta desigualdade. Quando vale este primeiro passo? ;) Como se
demonstra esta desigualdade?
Para quem não fez a prova, o enunciado era
QUESTÃO 4. Um dado é lançado três vezes e o resultado das faces é a, b e c.
Provar que P(a=c | a=b) = P(a=c | a b) e que vale a igualdade se e
somente se o dado é honesto, ou seja, a probabilidade de cada face é 1/6.
Abraço, Duda.
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
On Tue, Oct 21, 2003 at 08:58:16AM -0200, marcio.lis wrote:
Alguem poderia me informar alguma coisa sobre o q o
pessoal andou fazendo na obm U informações sobre as
soluções tbm seriam interessantes.Gostaria de saber se
no 3 oa cardinalidade de xp=(p^2+2p+2)^2 e se no caso
2x2 ficap^2+2p+2.
O problema 3, nível U, é de minha autoria.
Repetindo o enunciado, devemos contar as matrizes quadradas A
de tamanho 4x4 com coeficientes em Z/(p) que satisfazem A^2 = I (p 2).
Uma matriz A em K^(nxn), onde K é um corpo qq,
satisfaz A^2 = I se e somente se K^n pode ser decomposto
em dois subespaços U e V com interseção zero e soma K^n
tais que A restrito a U (resp V) é a identidade (menos a id).
Estes dois subespaços são os autoespaços associados aos autovalores 1
e -1.
Como o polinômio mínimo não tem raiz dupla, A é semisimples
(diagonalizável).
O importante é notar que há uma bijeção natural entre matrizes
satisfazendo A^2 = I e pares de subespaços U e V como acima.
Neste ponto dá para contar na marra ou dá para saber ou criar
um pouco mais de teoria.
Na marra, você contaria para cada valor da dimensão de U.
Temos 2 soluções triviais com dim U = 0 e dim U = 4 (-I e I).
No caso dim U = 1, primeiro escolhemos U: há (p^4 - 1) geradores
possíveis para U mas precisamos identificar vetores que são múltiplos
constantes um do outro, ou seja, precisamos dividir por (p - 1)
para concluir que há (p^3 + p^2 + p + 1) subespaços de dimensão 1.
Escolha um subespaço complementar V_0 fixo qq:
um espaço complementar V pode ser identificado com o gráfico
de uma transformação linear de V_0 em U,
ou seja, para cada U há (p^3) espaços complementares V.
O caso dim U = 3 é análogo.
Até aqui somamos 2 p^6 + 2 p^5 + 2 p^4 + 2 p^3 + 2 e falta o caso dim U =
2.
Para escolher um subespaço U de dim 2, vamos primeiro escolher uma base.
Temos (p^4 - 1) escolhas para o primeiro vetor e (p^4 - p) escolhas
para o segundo. Por outro lado, dado um subespaço de dim 2,
quantas bases ele tem? Agora temos (p^2 - 1) escolhas para o primeiro
vetor e (p^2 - p) escolhas para o segundo. Assim, o número de subespaços U
é
((p^4 - 1)(p^4 - p))/((p^2 - 1)(p^2 - p)) = p^4 + p^3 + 2p^2 + p + 1.
Novamente, para cada U escolha um complementar V_0 fixo qq:
um espaço complementar V pode ser identificado com o gráfico
de uma transformação linear de V_0 em U,
ou seja, para cada U há (p^4) espaços complementares V.
Ou seja, o caso dim U = 2 contribui com p^8 + p^7 + 2 p^6 + p^5 + p^4
e a resposta final do problema é
p^8 + p^7 + 4 p^6 + 3 p^5 + 3 p^4 + 2 p^3 + 2
Para resolver o caso geral (em vez do caso 4x4),
ajuda muito saber contar subespaços de dimensão b de F_q^a,
onde q é uma potência de primo, F_q é o corpo finito de q elementos,
e a e b são inteiros não negativos. Este problema é tão importante
que a resposta tem nome, e escreve-se assim:
( a )
( )
( b )q
ou seja, o símbolo de binomial com um q embaixo; eu vou escrever
binom(a,b;q).
Lendo o que eu escrevi acima não é muito difícil concluir que
(q^a - 1)(q^(a-1) - 1)(q^(a-2) - 1)...(q - 1)
binom(a,b;q) = --
(q^b - 1)(q^(b-1) - 1)...(q - 1) (q^(a-b) - 1)...(q - 1)
Não é muito difícil provar que isto é um polinômio em q com coeficientes
inteiros não negativos. A notação talvez fique menos misteriosa observando
que binom(a,b;1) = binom(a,b). Há outras interpretações para binom(a,b;q),
o meu livrinho do colóquio (matemática quântica) pode servir como
referência.
Voltando ao problema da OBM, a resposta do problema para matrizes nxn
com coeficientes em F_q é
somatório_k q^(k(n-k)) binom(n,k;q).
Em particular, se n = 2 temos
1 + q (q+1) + 1 = q^2 + q + 2.
No caso q = 2^k o início do problema quebra pois (x^2 - 1) = (x - 1)^2
em característica 2, ou seja, a matriz deixa de ser diagonalizável.
O problema fica totalmente diferente.
[]s, N.
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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] soma de série
Oi Pessoal!
E quanto à SOMA{ (1/n)*[(2 + sen(n))/3]^n , n=1, 2, ... } ?
Abraço, Duda.
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
Esta serie certamente converge. Para todo natural n temos que 0 1/ (
n^3 + 3n^2 + 3n) 1/n^3 e, conforme eh muito conhecido, Soma (1/n^p)
converge para todo p1. Logo, Soma (1/n^3) converge, condicao que, pelo
teorema do confronto, nos mostra que a serie em questao tambem converge.
Naum cheguei ainda ao limite da serie, naum sei se eh facil. .
Artur
Pessoal da lista quero saber se a série abaixo converge. Se convergir,
para que valor a série converge.
1/7 + 1/26 + 1/63 + ... + 1/ ( n^3 + 3n^2 + 3n) + ...
Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
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[obm-l] 1o. dia- nivel U
Olá Pessoal! É difícil de compreender como pode haver pessoas tão estúpidas... não dá para moderar a lista? Eu encontrei problemas da primeira questão. Enxerguei mal? 1. Considere uma parábola e um ponto A fora dela, no plano. Para cada ponto P da parábola sejam t a reta tangente em P, r a reta paralela ao eixo da parábola por P e Q o ponto de interseção de r com a perpendicular à t por A. Provar que o ponto Q descreve uma hipérbole eqüilátera, com P percorrendo a parábola. Há dois problemas. Se o ponto P é o vértice da parábola, não faz sentido falar em Q, pois ou as retas não se intersectam ou coincidem totalmente. Segundo, se o ponto A está sobre o eixo da parábola, então a figura descrita não é uma hipérbola e sim uma reta! Acontece que a equação fica algo do tipo y = y_A - 1/2a + x_a / x, colocando eixos coordenados (o Y no eixo da parábola e o X paralelo e passando pelo vértice da parábola). Sempre dá uma hipérbole, a não ser no caso x_a = 0, quando dá uma espécie de hiperbole degenerada. Abraço, Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 0.9999... = 1 ?
Uma boa idéia é consultar os links: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200108/msg00046.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.24/msg00076.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.24/msg00074.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-rj.1999/msg00152.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-rj.1999/msg00153.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-rj.1999/msg00169.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-rj.1999/msg00163.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-rj.1999/msg00165.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.23/msg00079.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.23/msg00111.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.23/msg00140.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-rj.1999/msg00275.html Eu reuni, já faz um tempo, este conjunto de respostas ao problema. Foram as melhores, na minha opinião. Dá para perder uma tarde, lendo tudo o que foi dito só nessas mensagens. Ô questãozinho insistente esta! Abraço, Duda. From: Guilherme Pimentel To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, October 14, 2003 11:19 PM Subject: Re: [obm-l] 0.... = 1 ? Uma das melhores referencias é o livro do Prof. Elon Lages Lima, Meu professor de matematica, publicado pela SBM. Noas arquivos da lista tbm tem mutio material, pois esta questão é recorrente, acho que pelo menos duas vezes por ano o assunto reaparece :-) []'s Guilherme Pimentel ---Original Message--- From: [EMAIL PROTECTED] Date: terça-feira, 14 de outubro de 2003 22:16:36 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] 0.... = 1 ? Olá pessoal, Bom, não sou novo na lista, mas não estou muito participativo. Eu estava discutindo em outra lista (não-matemática) que 0.... = 1. Mas os argumentos ainda não foram suficientes para convencer os contrários a esta idéia. Alguém pode me dar algumas referências (livros, links, etc?) Algumas provas que saíram por lá: 0.... = Sum 9/10^n (n=1 - oo) = lim Sum 9/10^n (m - oo) (n=1 - m) = lim .9(1-10^-(m+1))/(1-1/10) (m - oo) = lim .9(1-10^-(m+1))/(9/10) (m - oo) = .9/(9/10) = 1 0.3... * 3 = 0.9... 0.3... = 1/3 1/3 * 3 = 1 x = 0.9 10x = 9.999. 10x - x = 9.9... - x 9x = 9 x = 1 Obrigado, -- Narumi Abe = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = . IncrediMail - Email has finally evolved - Click Here = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] #Ordinais = #Cardinais ?
Oi Pessoal!
Para cada número cardinal c podemos considerar um conjunto A_c com a mesma
cardinalidade: #A_c = c. Podemos colocar uma boa ordem em A_c, e
considerar o número ordinal a associado a este A_c com esta ordem . Esta
função que está levando cardinais em ordinais é injetora.
No outro sentido, considera para o primeiro ordinal infinito w o cardinal
infinito f(w) = aleph_0. Defina, por recursão transfinita, o valor de f num
ordinal a w como sendo f(a) = menor cardinal maior que todo cardinal do
conjunto { f(b) : b a }. Esta função é injetora.
Eu usei o termo função, com aspas, pois não existe conjunto dos ordinais
nem conjunto dos cardinais para serem domínio ou contra-domínio.
Faz sentido esta discussão? A segunda função é sobrejetora também?
Abraço!
Duda.
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[obm-l] Mat. = ciência exata?
Olá! Estou cursando a cadeira de História da Matemática, junto com o pessoal da Licenciatura em Matemática. Um colega disse, em sala de aula, que a Matemática é uma ciência humana. Eu achei a idéia muito boba, mas, conversando com uma colega, constatei - para meu espanto - que há grupos de pesquisa que estudam (?!) a possibilidade de a matemática não ser uma ciência exata, querendo significar (pelo que eu entendi) que a matemática é cultural, dependendo do contexto histórico ou algo assim. Para ser franco, como muitas das coisas discutidas, eu não consegui compreender sobre o que se falava. Parece que o pessoal da Licenciatura tem uma visão de matemática muito identificada com educação matemática. Alguém tem alguma idéia de o que eu estou falando?! Abraço, Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
Oi Cláudio.
Acho que faltouo contra-exemplo para o caso
grau(a*b) = MMC(grau(a), grau(b)).
Duda.
- Original Message -
From:
claudio.buffara
To: obm-l
Sent: Friday, September 26, 2003 8:42
AM
Subject: Re: [obm-l] Grau de um numero
algebrico
Oi, Domingos e Dirichlet:
De fato, a minha conjectura inicial de que grau(a+b), grau(a*b) =
MDC(grau(a),grau(b)) estava errada.
Contra-exemplos:
1 + raiz(2) e -raiz(2) tem ambos grau 2, mas sua
soma tem grau 1.
raiz(2) e -raiz(2) tem ambos grau 2 mas seu produto tem grau
1
raiz(2) e raiz(3) tem ambos grau 2, mas sua soma tem
grau 4.
A resposta correta eh a seguinte:
Seja p(x) = x^n + c(n-1)*x^(n-1) + ... + c(1)*x + c(0) o polinomio
minimal do numero algebrico "a" (que terah portanto grau n).
Isso quer dizer que a^n = -c(0)*1 - c(1)*a - ... - c(n-1)*a^(n-1), ou
seja:
a^n pode ser expresso como uma combinacao linear racional de 1, a, ...,
a^(n-1).
Eh facil ver que, para m n, a^m tambem pode ser expresso como uma
combinacao linear racional desses mesmos n numeros.
Alem disso, como a nao eh raiz de nenhum polinomio de coeficientes
racionais de grau menor do que n, o conjunto {1, a, ..., a^(n-1)} serah L.I.
sobre os racionais.
Assim, este conjunto eh uma base do espaco vetorial de todos os
polinomios em a de coeficientes racionais, o qual tem dimensao n = grau(a)
sobre Q.
O maximo que dah pra afirmar em geral eh realmente:
grau(a + b), grau(ab)=
grau(a)*grau(b)
bastando para isso verificar que se grau(a) = m e grau(b) =
n, entao os m*n numeros da forma a^i*b^j (0 = i = m-1, 0 = j =
n-1) geram o espaco vetorial de todos os polinomios em a+b e a*b de
coeficientes racionais.
Agradeco ao Eduardo Tengan pelos contra-exemplos e pelas
explicacoes.
Um abraco,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
<[EMAIL PROTECTED]>
Cópia:
Data:
Thu, 25 Sep 2003
18:22:48 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] Grau de
um numero algebrico
http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/notes/algn.pdf
Usando esse fato fica simples verificar que
grau(a + b), grau(ab)= grau(a)*grau(b), mas o que o Cláudio quer me
parece bem mais forte...
Basta ver que é possível obter matrizes que
possuem autovalores a+b de dimensão mn x mn. A mesma coisa pro caso
ab.
- Original Message -
From:
Johann Peter Gustav Lejeune
Dirichlet
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, September 25, 2003 5:15
PM
Subject: Re: [obm-l] Grau de um numero
algebrico
Talvez se alguem demonstrar isto aqui o problema saia..."Um
numero e algebrico se e somente se e autovalor de alguma matriz
racional".
Re: [obm-l] Convergencia de uma sequencia real
Oi Felipe Pina! From: Felipe Pina [EMAIL PROTECTED] Olá para todos. Ontem fui apresentado ao problema abaixo e não consegui resolvê-lo. Espero que alguém possa me ajudar. Seja (a[n]) a seqüência real definida por : a[0] = 1 a[1] = 1 n=2 - a[n] = sqrt( a[n-1] + sqrt(2*a[n-2]) ) Suspeito fortemente que esta seqüência é convergente. É facil ver que, para todo n, 1 = a[n] = 2. Pode-se mostrar por indução. Suponhamos que n =2 e 1 = a_(n-2), a_(n-1) = 2 então a_n = sqrt( a_n ) = 1 e a_n = sqrt( 2 + sqrt(2*2) ) = sqrt( 4 ) = 2. Como vale 1 = a_n = 2 para n=0 e n=1, vale para todo n natural. Também é claro que se (a[n]) converge, então seu limite é 2. O que conseguimos mostrar foi que : (1) a[k+1] = a[k] = a[k-1] - 1 = a[k] = r (2) a[k+1] = a[k] = a[k-1] - r = a[k] = 2 (3) a[k] = a[k-1] = 2 - a[k+1] = 2 (Durh!) Eu não sei como vocês conseguiram demostrar isto. Mas a conclusão de vocês abaixo não está certa, o que me sugere que a demonstração de vocês não está boa. Onde r = (1/2) * (1 + sqrt( 1 + 4*sqrt(2) )) ~ 1.7900440156727579846758505438531824526068425193036 [ Maple ;) ] Obs : r é a única raíz real de p(x) = x^4 - 2*x^3 + x^2 - 2 que pertence ao intervalo [1,2] Tomando as contra-positivas das implicações (2) e (3) aprendemos que : (N1) r a[k] = 2 - (a[k+1] a[k]) ou (a[k] a[k-1]) (N2) 1 = a[k] r- (a[k+1] a[k]) ou (a[k] a[k-1]) Ou seja, se estamos em (r,2] no tempo k, acabamos de descer ou vamos descer agora! :) Logo, não podemos subir 2 vezes seguidas. E, se estamos em [1,r], acabamos de subir ou vamos subir agora. Isto mostra que, se a seqüência converge (para 2), ela não é monónota ( por (N1) ), e, portanto, deve convergir dando umasosciladas espertas.. sobe, desce, sobe, desce... esse tipo de coisa De fato, não é isto que acontece. Você pode iterar, com o auxílio do Maple ou de uma calculadora, os primeiros valores da seqüência a_n e constatar que ela é estritamente crescente (para os primeiros valores). Depois, você pode demonstrar que ela é uma seqüência crescente, por indução finita. Não é difícil. Se a_0 = a_1 a_2 a_3 ... a_(n-2) a_(n-1) então a_(n-2) a_(n-1) e sqrt(2*a_(n-3)) sqrt(2*a_(n-2)). Combinando estas duas desiguldades e usando (novamente) que a função sqrt é crescente tem-se sqrt(a_(n-2) + sqrt(2*a_(n-3))) sqrt(a_(n-1) + sqrt(2*a_(n-2)), ou seja, a_(n-1) a_n. Portanto a seqüência a_n é crescente e limitada (por 2), logo convergente. Seja a = lim(a_n). Temos a = lim(a_n) = lim sqrt(a_(n-1) + sqrt(2*a_(n-2))) = sqrt( lim(a_(n-1)) + sqrt(2*lim(a_(n-2 = sqrt(a+sqrt(2a)). Daí a^2 = a + sqrt(2a). Podemos escrever como a(a-1) = sqrt(2a) e a^2(a-1)^2 = 2a, simplificando (pois a=0 não nos interessa), a(a-1)^2 = 2. Expandindo a^3 - 2a^2 + a - 2 = a^2(a - 2) + (a - 2) = (a^2 + 1)(a - 2). A única raiz no intervalo [1, 2] é a=2. Segue que o limite da seqüência a_n é igual a 2. Abraço Duda. Bom, isto foi tudo o que eu e o Will conseguimos descobrir sobre este problema. Aguardo comentários. []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Questão de Análise
Obrigadão pela sua ajuda, Artur!
A questão não era complicada, falou - como diria o Dirichlet - eu levar tudo
até as últimas conseqüências. Tive uma idéia. Considere A = conjunto dos
números reais e a função F tal que F(X) = { - x, para todo x fora de X } = -
Complementar X. Se X está contido em Y então Complementar Y está contido
Complementar X e também - Complementar X está contido no - Complementar Y. É
claro que F(F(X)) = X.
Esta é uma função diferente do complementar e que se enquadra nas
propriedades da questão.
Um abraço,
Duda.
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
Oi Duda!
Se X_1,... e X_n estao em P(A), entao cada X_i esta contido s em Uniao X_i.
Pelas condicoes dadas, segue-se que F(Uniao X_i) estah contido em cada um
dos F(X_i). Logo, F(Uniao X_i) estah contido em Interseccao F(X_i). Alem
disto, temos que Interseccao F(X_i) esta contido em cada um dos F(x_i), o
que acarreta que cada F(F(X_i)) = X_i esteja contido em F(Interseccao
F(X_i)). Prosseguindo, temos que Uniao X_i esta contido em F(Interseccao
F(X_i), o que implica que F(F(Interseccao F(X_i)) = Interseccao F(X_i)
esteja contido em F(Uniao X_i), Assim concluimos que F(União
X_i) = Interseção F(X_i) --Ufa! .Interessante observar que isto eh valido
mesmo para subcolecoes nao numeraveis de P(A).
Agora, temos que Interseccao X_i estah contido em cada X_i, de modo que cada
F(X_i) estah contido em F(Interseccao X_i). Logo, Uniao F(X_i) esta contido
em F(Interseccao X_i). Alem disto, cada F(X_i) estah contido em Uniao
F(x_i), de modo que F(Uniao F(X_i)) esta contido em cada um dos F(F(X_i)) =
X_i. Segue-se que F(Uniao F(X_i)) esta contido em Interseccao (X_i), do que
concluimos que F(Interseccao X_i) esta contido em F(F(Uniao F(X_i))) = Uniao
F(X_i). E assim, segue-se que F(Interseção X_i) = União F(X_i), completando
a prova. Verificamos de novo que isto eh valido mesmo para subcolecoes nao
numeraveis de P(A).
Das condicoes dadas segue-se que F eh bijetora. Sendo 0 o conjunto vazio,
temos para todo X de P(A) que 0 estah contido em X e que, portanto, F(X)
esta contido em F(0). Mas como F eh bijetora, para algum X temos F(X) = A,
de modo que F(0) = A. Logo, F(A) = F(F(0)) = 0. Isto nao prova, mas
desconfio que F eh a funcao complemento.
Um abraco!
Artur
Olá Pessoal!
Estou resolvendo o livro do Elon de Análise e há um exercício que não
estou
conseguindo resolver.
Seja A um conjunto e P(A) o conjunto das partes de A. Considere uma função
f:P(A)-P(A) que satisfaz as propriedades: se X está contido em Y (ambos
de
P(A)) então F(Y) está contido em F(X); e F(F(X)) = X. Mostrar que F(União
X_i) = Interseção F(X_i) e também F(Interseção X_i) = União F(X_i).
Uma função que satisfaz essas condições é F(X) = Complementar X.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Fatorial Quadrado
Oi Felipe, a pergunta é mais geral do que esta: será que para n 1 existe m tal que f(m) = g(n)? Duda. From: Felipe Pina [EMAIL PROTECTED] Oi, pessoal: Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand? Sim, uma demonstração bem simples. Sejam f(n) := n^2 g(n) := n! = (DELTA(f))(n) = f(n+1) - f(n) = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1 (DELTA(g))(n) = g(n+1) - g(n) = (n + 1)! - n! = (n + 1)*(n!) - n! = n*(n!) Então (DELTA(g))(n) - (DELTA(f))(n) = n*(n! - 2) - 1 n =4 = n! = 24 = n*(n! - 2) = 4*(24 - 2) = 4*22 = 88 Ou seja, para n =4, a função g(n) cresce mais rapidamente que f(n) Ora, g(4) = 4! = 24 e f(4) = 4^2 = 16 g(4) f(4). Logo, de n=4 em diante as funções nao se igualam mais. Resta apenas checar os pontos antes de 4... g(3) = 3! = 6 != 9 = 3^2 = f(3) g(2) = 2! = 2 != 4 = 2^2 = f(2) Então f(n) e g(n) são diferentes para todo n 1. -- Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Funcao F:P(A) - P(A)
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] on 15.09.03 22:20, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Pessoal! Estou resolvendo o livro do Elon de Análise e há um exercício que não estou conseguindo resolver. Seja A um conjunto e P(A) o conjunto das partes de A. Considere uma função f:P(A)-P(A) que satisfaz as propriedades: se X está contido em Y (ambos de P(A)) então F(Y) está contido em F(X); e F(F(X)) = X. Mostrar que F(União X_i) = Interseção F(X_i) e também F(Interseção X_i) = União F(X_i). Uma função que satisfaz essas condições é F(X) = Complementar X. Oi, Duda: Sabemos que, para todo i: X_i estah contido em Uniao X_j e Interseccao X_j estah contido em X_i. Isso quer dizer que, para todo i: F(Uniao X_j) estah contido em F(X_i) e F(X_i) estah contido em F(Interseccao X_j). E portanto: F(Uniao X_j) estah contido em Interseccao F(X_j)(1) e Uniao F(X_j) estah contido em F(Interseccao X_j)(2) * Por outro lado, para todo i: F(X_i) estah contido em Uniao F(X_j) e Interseccao F(X_j) estah contido em F(X_i) Valeu Cláudio! Não sei como não cheguei neste segundo argumento. Duda. Assim, para todo i: F(Uniao F(X_j)) estah contido em F(F(X_i)) = X_i e F(F(X_i)) = X_i estah contido em F(Interseccao F(X_j)) Logo: F(Uniao F(X_j)) estah contido em Interseccao X_j e Uniao X_j estah contido em F(Interseccao F(X_j)) E portanto: F(Interseccao X_j) estah contido em F(F(Uniao F(X_j))) e F(F(Interseccao F(X_j))) estah contido em F(Uniao X_j) E usando mais uma vez a propriedade F(F(X)) = X, teremos: F(Interseccao X_j) estah contido em Uniao F(X_j) (3) e Interseccao F(X_j) estah contido em F(Uniao X_j) (4) * Finalmente: (1) e (4) == F(Uniao X_j) = Interseccao F(X_j) (2) e (3) == F(Interseccao X_j) = Uniao F(X_j) Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cardinalidade
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
Alguém podia me mostrar uma prova de que R não é enumerável ?
Uma muito bonita, devida a Cantor, eh baseada no fato de que R eh
completo e que, em razao disto, toda sequencia de itervalos fechados
aninhados contem um elemento comum.
Basta demonstrar que I=[0,1] nao eh numeravel (se um conjunto contem um
subconjunto nao numeravel, entao ele nao eh numeravel). Seja S
={x1,x2,xn} uma enumeracao de elementos de I. Uma sequencia em I
na qual os termos sao distintos 2 a 2. Escolhamos um subintervalo
fechado, I1, de I que nao contenha x1. Isto eh possivel, pois todo
elemento de I eh ponto de acumulacao do mesmo. Feito isto, escolhamos um
subintervalo fechado I2 de I1 que nao contenha x2, e assim por diante.
Eh um processo indutivo simples, omito aqui os detalhes, pois vc
certamente estah familiarizado com inducao finita. Vemos entao que este
processo gera uma sequencia {In} de subintervalos fechados de I tal que,
por construcao, para todo n xn nao pertece a In. Logo, nemhum elemento
da enumeracao S eh comum a todos os intervalos In. Mas, como R eh
completo, existe de fato um elemento x comum a todos os intervalos de
{In}, o qual, claramente, pertence a I. Isto nos mostra que S, seja ela
qual for, nao cobre a totalidade de I. Em outras palavras, nenhuma
enumeracao de elementos de I contem todo o I, sempre fica um elemento
de fora. Concluimos assim que I e, portanto, o proprio R, nao sao
numeraveis.
O que eu acho bonito nesta prova eh que ela depende apenas do fato de
que R eh um conjunto ordenado (bom, tambem de que todos seus elemntos
sao pontos de acumulacao). Eh um caso particular de um teorema mais
geral: Em R^n, nenhum conjunto perfeito eh numeravel. Um conjunto eh
dito perfeito se for fechado e todos seus elementos forem pontos de
acumulacao do mesmo. Um bonito exercicio eh demonstrar este teorema.
Hah outra linda prova (ateh mais simpes do que a prova que dei), tambem
devida a e Cantor, baseada na expansao decimal dos numeros reais. Com
99,9% de probabibilidade algum colega a apresentara para vc, estou
saindo agora.
Um abraco
Artur
Ps. Um pequeno detalhe. Acho que o titulo de sua mensagem estah um pouco
inapropriado, pois cardinalidade eh um outro conceito, relacionado ao
numero de elementos de conjuntos e bijecoes enter eles. Mas, OK
Oi Artur!
Acho que o André T. não se confundiu. Usamos o termo cardinalidade para
expressar a quantidade de elementos do conjunto. Dois conjuntos possuem a
mesma cardinalidade se existe uma bijeção entre eles. Um conjunto tem a
cardinalidade dos naturais se é enumerável. Portanto, é apropriado o título,
sim. Talvez você tenha se confundido com o termo ordinalidade. Aí, neste
caso, não basta ter um conjunto para saber qual seu número ordinal, temos
que ter uma boa ordem definida nele.
Bom, mas não foi só por isso que eu resolvi escrever este e-mail.
Uma outra forma de provar que os reais são não enumeráveis é usar o fato de
que ele é um espaço métrico completo sem pontos isolados. Caso contrário, se
os reais pudessem ser enumerados numa seqüência (x_n), então cada conjunto
F_n = {x_n} seria fechado e com interior vazio. Seguiria que \união{F_n} é
magro, pelo famoso teorema de Baire, e logo seu complementar é denso nos
reais, mas o complementar é vazio! Ou seja, temos uma contradição, e os
números reais formam um conjunto não enumerável.
Como conseqüência do mesmo teorema de Baire segue facilmente que todo
subconjunto perfeito do R^n é não enumerável. Na prova do teorema de Baire
(um espaço métrico completo é um espaço de Baire), utiliza-se o mesmo
argumento de intervalos encaixantes que você está usando, Artur. Só que, é
claro, este teorema é tem muitas outras aplicações, pois é mais geral.
Abração!
Duda.
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Re: [obm-l] OBM 2003
Até segunda, nada de discutir as questões! A Nelly recomendou isso a todos, apesar da nossa tentação... From: Thiago Cerqueira [EMAIL PROTECTED] Aí galera: Fiz hj a 2ª fase da olimpíada Brasileira de Matemáti. Tinha uma questção que viajei: Q1) Seja ABC um triângulo retângulo em A, defina P, um ponto pertencente ao perimetro de ABC, tal que a somo AP+BP+CP seja mínima. E aí? Como faço? Espero a resposta. Shine, Gugu, Onofre, Quero ver! Uma abraço THIAGO CERQUEIRA DE JESUS = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] QUESTÃO OBM-U
Olá! Não vou falar sobre questão alguma. O título é só para atrair aqueles que pretendem falar sobre as questões antes de segunda-feira na lista. Por favor, NÃO COMENTEM AS QUESTÕES NA LISTA ATÉ SEGUNDA-FEIRA. Minha dúvida é quanto à nota de corte da OBM-u do ano passado, quanto foi? Abraçao! Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto denso em R
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] Conjunto denso e quando entre dois elementos quaisquer sempre ha mais um... Há vários usos para a palavra denso. (a) Seja X um espaço topológico e Y um subconjunto de X: Y é denso em X se para todo aberto Z contido em X a interseção de Y com Z é não trivial. O que significa intersecao nao trivial? A definicao que eu ja vi em varios livros, relativa a espacos topologicos, e que Y eh denso em X se o fecho de Y for o proprio X. Obrigado. Artur Oi Artur! Na definição do Nicolau, faltou dizer aberto Z não-vazio. Por não trivial, entenda não vazio. A sua definição é equivalente à que o N. deu, tente demonstrar isto, Artur. Abração! Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] equaçao diofantina
Dirichlet, do modo como está escrito, está trivial. O sucessor de um x (quadrado) é o sucessor de um cubo se o próprio x é um cubo. Os quadrados, simultaneamente cubos, são as potências 6. Portanto a resposta é : n^6 , n é inteiro. Abraço, Duda. From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Oi turma, quem consegue fazer isto aqui? Ache todos os quadrados cujos sucessores sao sucessores de cubos. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subconjuntos, Somas e Produtos
Oi Cláudio!
Usando a notação [n] = {1,2,3,...,n}.
Queremos calcular
S(n) = SOMA{ 1 / F(X), X contido em [n]} =
SOMA{ 1 / F(X U {n}), X contido em [n-1]} + SOMA{ 1 / F(X), X contido em
[n-1]} + 1/n =
SOMA{ 1/n * 1 / F(X), X contido em [n-1]} + SOMA{ 1 / F(X), X contido em
[n-1]} + 1/n =
(1/n + 1) SOMA{ 1 / F(X), X contido em [n-1] } + 1/n =
S(n-1) * (n + 1)/n + 1/n = [ (n + 1) * S(n-1) ] / n + 1/n
Posso colocar S(n-1) em termos de S(n-2) e depois em termos de S(n-3), e ir
até S(1). Vou encontrar uma soma telescópica, e depois de soma-la, chegarei
a n. Uma outra maneira de demonstrar esse resultado é usando indução nesta
fórmula de recorrência.
S(n) = (n + 1)(n - 1)/n + 1/n = (n^2 - 1 + 1)/n = n
supondo S(n-1) = (n-1).
A soma vale n, portanto.
Duda.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Aqui vai um bonitinho:
Seja A = conjunto dos subconjuntos de {1, 2, 3, ..., n}.
Seja F: A -- N definida por:
F(vazio) = 1
F(X) = produto dos elementos de X
Calcule o valor de SOMA(X em A) 1/F(X).
Um abraco,
Claudio,
=
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Re: [obm-l] Trignometria
Seja bem-vindo!
Se você é inglês: sqrt(n) = square root. Se você é patriota: raiz(n). Se
você é universal: n^(1/2).
Abraço,
Duda.
From: Leo
Caro colega!!
Sou novo na lista e gostaria de saber como se expressa raíz de um número
(utilizei: raíz de 10)
13) Usando as fórmulas de transformação em produto tem-se que
sen(x) - sen(y) = 2xsen[(x-y)/2]xcos[(x+y)/2]
cos(x) - cos(y)= -2xsen[(x+y)/2]xsen[(x-y)/2]
Fazendo a transformação e colocando um sobre o outro como está na questão,
vc irá eliminar o termo sen[(x-y)/2].
Irá sobrar -cos[(x+y)/2] / sen[(x+y)/2] = 2, fazendo a multiplicação cruzada
teremos que sen[(x+y)/2] /cos[(x+y)/2]= -1/2, logo
tg[(x+y)/2]= -1/2
Podemos dizer que tg[(x+y)/2]=tg(x/2+y/2)
tg(x/2+y/2)= [tg(x/2) + tg(y/2)] / [1-tg(x/2)xtg(y/2) i
OBS: Não temos a tg(x/2), por isso devemos calcular pela tangente do arco
duplo, pois temos a tg(x)=1/3
tg(2A)= [2tg(A)] / [1-tg^2(A)] = tg(x)= [2tg(x/2)] / [1-tg^2(x/2)] ii
A igualdade ii nos permite calcular a tg(x/2) quando conhecemos a tg(x)
substituindo em ii
1/3 = [2tg(x/2)] / [1-tg^2(x/2)], resolvendo esta equação vc irá achar duas
raízes: (-3 + raíz de 10) e (-3 - raíz de 10) esta não serve.
substituindo a primeira raíz em i
-1/2 = [(-3 + raíz de 10) + tg(y/2)] / [1-(-3 + raíz de 10)tg(y/2)],
resolvendo esta equação vc terá que tg(y/2)= (1-raíz de 10)/3, logo vc irá
novamente aplicar a tangente do arco duplo, pois não lhe interessa a tg(y/2)
e sim a tg(y)
tg(y)= [2tg(y/2)] / [1-tg^2(y/2)]=[2(1-raíz de 10)/3] / {1-[(1-raíz de
10)/3]^2}, resolvendo vc irá achar que tg(y)= -3.
Assim como o colega Marcio também achei letra E, porém ele resolveu de um
modo muito mais simples, mas gostei da minha solução.
- Original Message -
From: Fabio Bernardo
To: obm
Sent: Wednesday, August 20, 2003 6:27 AM
Subject: [obm-l] Trignometria
Se alguém puder me ajude por favor.
Não estou conseguindo resolver essas duas.
1) (EN-90) No intervalo [0,2p] a equação tg2(x)+2tg(2x).tg(3x) = 1 possui:
a) 2 soluções
b) 6 soluções
c) 8 soluções
d) 12 soluções
e) 14 soluções
13) (EN-94) Se e tg(x) = 1/3, então tg(y) é igual a:
a) 3
b) 1/6
c) 0
d) -1/6
e) -3
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Re: [obm-l] [u] Conjuntos
Cláudio! Este entre para os resultados contra-intuitivos da sua lista... Valeu Nicolau! Duda. From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] On Mon, Aug 18, 2003 at 09:46:11PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote: Olá Nicolau! O problema ficou trivial. Farei outro PROBLEMA. Seja X um conjunto totalmente ordenado. Decida se existe ou não uma seqüência (x_n) de elementos de X tal que todo elemento x de X é superado por algum elemento da seqüência. Isto é falso, ou seja, pode não existir a tal seqüência. Um contra-exemplo é o primeiro ordinal não enumerável w1 (isto deveria ser um omega minúsculo com um subscrito 1): todo subconjunto enumerável de w1 é limitado superiormente. Na verdade isto é o conceito de cofinitude. A cofinitude de um conjunto totalmente ordenado A sem máximo e não vazio é o menor cardinal z tal que existe um subconjunto B de A ilimitado superiormente e com cardinalidade z. Um cardinal infinito pode ser interpretado como um ordinal, o menor ordinal com aquela cardinalidade. Um cardinal infinito z é regular se todo subconjunto de z ilimitado superiormente tem cardinalidade z. Todo cardinal da forma aleph_alpha é regular se alpha = beta + 1. Um cardinal é regular se e somente se ele é a cofinitude dele mesmo, se e somente se ele é a cofinitude de alguém. O seu problema fica verdadeiro se ao invés de uma seqüência (indexada por naturais) tivermos uma família indexada pelos ordinais menores do que a cofinitude de X. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Primos da forma 2*3*5*...*p + 1
Olá! O Dirichlet levantou uma questão em mim, que parece interessante. Alguém sabe dizer a real importância que tem a hipótese de Riemman? O que significaria alguém demonstrá-la? Quais as consequência práticas desta prova, na matemática aplicada? Existem muitos problemas importantes que dependem da HR para serem verdadeiros? Existe muita matemática construída sobre a veracidade da HR? Abraço, Duda. From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Nao necessariamente...Por exemplo x^2+y^2 e totalmente elementar.Mas nem sempre e facil fazer coisas desse tipo...Talvez se a hipotese de Riemann for resolvida,os misterios entre o ceu e a terra possam se ampliar a respeito dos primos.Por exemplo o TNP seria um corolario fraquissimo...Acho. --- Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED] escreveu: Esse tipo de problema: Será que existem infinitos primos da dorma XXX? costuma ter soluções fora da teoria dos números (pelo menos no sentido de manipulação algébrica de congruências, indução finita...) e entra pra análise (ou outras áreas), não é? Eu vi alguma coisa sobre isso, mas muito superficialmente... - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, August 18, 2003 12:13 PM Subject: [obm-l] Primos da forma 2*3*5*...*p + 1 E serah que existem infinitos primos da forma n! + 1? Por exemplo, n! + 1 eh primo para n = 1, 2, 3, 11, 27, ... O teorema de Wilson implica que se n = p - 1, com p primo, n! + 1 eh divisivel por p. Logo existem infinitos compostos da forma n! + 1... []'s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Desafio AntiZona - Um emocionante desafio de perguntas e respostas que te dá um Renault Clio, kits de eletrônicos, computadores, notebooks e mochilas. Cadastre-se, participe e concorra! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] algelin na Internet(aonde?)
Oi Dirichlet! Dei uma procurada no AltaVista e encontrei um livro que parece ser bom. O endereço é o seguinte http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/ ele tem os tópicos tradicionais: eliminação, espaços vetoriais, transformações lineares entre esses espaços, determinantes, e a forma canônica de Jordan. Além disso, ele tem alguns tópicos sobre resultados relacionados, como fórmulas de recorrência, cadeias de Markov. O livro tem mais de 400 páginas, muitos exercícios e parece estar bem organizado. É gratuito e está em Inglês. Abração! Duda. From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Oi yturma,alguem poderia me recomendar algo sobre algebra linear na Internet?Eu quero algo introdutorio e depois um bem power. Inte!!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] [u] Conjuntos
Olá! PROBLEMA. Decida se existe ou não uma seqüência de conjuntos (X_n), n natural, com a seguinte propriedade: dado um conjunto X qualquer, existe um n para o qual #X = #X_n, ou seja, existe uma função sobrejetora f:X_n-X. Caso não exista uma seqüência, será que não existe uma família de conjuntos F tal que para todo conjunto X existe um X* em F tal que #X = #X*. É uma questão mais de curiosidade. Não estou estudando nada relacionado a este assunto. Abração, Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] [u] Conjuntos
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] On Mon, Aug 18, 2003 at 03:49:48PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote: Olá! PROBLEMA. Decida se existe ou não uma seqüência de conjuntos (X_n), n natural, com a seguinte propriedade: dado um conjunto X qualquer, existe um n para o qual #X = #X_n, ou seja, existe uma função sobrejetora f:X_n-X. Caso não exista uma seqüência, será que não existe uma família de conjuntos F tal que para todo conjunto X existe um X* em F tal que #X = #X*. É uma questão mais de curiosidade. Não estou estudando nada relacionado a este assunto. Não existe tal seqüência. Dada uma candidata a seqüência, tome X o conjunto das partes da união de todos os X_n. Claramente o cardinal de X é estritamente maior do que o cardinal de qualquer X_n. []s, N. Olá Nicolau! O problema ficou trivial. Farei outro PROBLEMA. Seja X um conjunto totalmente ordenado. Decida se existe ou não uma seqüência (x_n) de elementos de X tal que todo elemento x de X é superado por algum elemento da seqüência. Na verdade, era esse que eu tinha em mente quando escrevi o outro. Acontece que tentei generalizar ele numa linguagem mais simples, só que acabei mudando o problema. Para ver que o seu contra-exemplo não resolve este, é que neste caso não podemos ter X = conjunto de todos os conjuntos. Abração, Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números
Olá Cláudio!
Eu acho que você sabe as soluções dos exercícios. Mas envio as minhas,
gostei do problema um. O problema dois é clássico.
1) Seja n = b * p^i onde p é o menor primo que divide n e b não é divisível
por p. Se n dividir 2^n - 1, nós deveremos ter 2^(b*p^i) == 1 (mod p), o que
implica que b*p^i é um múltiplo da ordem de 2 no módulo p. A ordem de 2 no
módulo p, por sua vez, divide Phi(p) = p - 1, portanto b*p^i e Phi(p) = p -
1 são múltiplos da ordem de 2 no módulo p. Mas p - 1 não possui fatores
primos maiores do que p, e b*p^i não posssui fatores primos menores do que
p, isto só se verifica se Phi(p) = p - 1 = 1. Ou seja, n precisa ser
múltiplo de 2. Mas é claro que 2^n - 1 é um número ímpar e não pode ser
divisível por n, que é par.
2) O caso p = 2 pode ser tratado em separado, é claro que x = 1 é uma
solução da congruência x^2 + 1 == 0 (mod 2).
Consideremos p um primo ímpar. Se p == 1 (mod 4), considere a equação P(x) =
x^(p - 1) + 1 == 0 (mod p). Ela possui p - 1 raízes módulo p (só o zero não
é raiz dela). Como p é impar, p - 1 é par e podemos fatorar o polinômio como
P(x) = { x^[ (p-1)/2 ] - 1 }.{ x^[ (p-1)/2 ] + 1 }
O primeiro termo em chaves contribui com (p-1)/2 raízes e o segundo com
(p-1)/2 raízes, portanto cada um deles tem pelo menos uma raiz. Seja x uma
raíz do segundo, e chame p = 4k + 1, temos
x^[ (p-1)/2 ] + 1 = x^[ 4k / 2 ] + 1 = x^(2k) + 1 = (x^k)^2 + 1 == 0 (mod p)
Temos X = x^k satisfazendo a congruência X^2 + 1 == 0 (mod p).
Reciprocamente, se existe um x satisfazendo x^2 + 1 == 0 (mod p). Temos p
dividindo x^2 + 1 = (x + i)(x - i). Mas o domínio Z[i] é fatorial (de
fatoração única), portanto se p for irredutível (em Z[i]) ele deve dividir x
+ i ou x - i. Se p(e + fi) = x +- i então pf = +-1, contradição, logo p é um
elemento redutível de Z[i]. Ou seja, p = (a + bi)(c + di). Tomando normas:
p^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2), que implica (sem perda de generalidade) que p
= (a^2 + b^2). Mas os quadrados módulo 4 são 0 e 1, logo p é == 0, 1 ou 2
(mod 4), como ele é ímpar só resta a possibilidade p == 1 (mod 4).
Este problema que eu propus, e que você resolveu muito bem, estava no
parágrafo oito do capíulo de teoria dos grupos do livro dos Hernstein. Este
parágrafo falava sobre automorfismos. Eu suspeito que a idéia era usar algum
dos resultados sobre automorfismos do livro. Será que lhe surge alguma idéia
de o que o Hernstein tinha em mente?
Abração,
Duda.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Oi, Duda:
Que tal estes aqui?
1) Prove que se n eh inteiro e n 1, entao n nao divide 2^n - 1.
2) Se p eh primo, entao a congruencia x^2 + 1 == 0 (mod p) tem solucao se
e
somente se p = 2 ou p == 1 (mod 4).
Um abraco,
Claudio.
on 16.08.03 05:54, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Olá pessoal!
Prove que se n 1 e a 0 são inteiros então n | PHY(a^n - 1).
PHY é a função de Euler.
Abraço,
Duda.
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=
Re: [obm-l] imo
Oi Gabriel. No site do John Scholes (a enciclopédia olímpica da internet) tem a shortlist da IMO de 2002. Não sei se você quis digitar 2003. Bom, dê uma olhada http://www.kalva.demon.co.uk Abração! Duda. - Original Message - From: gabriel To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, August 17, 2003 5:46 PM Subject: [obm-l] imo Ola pessoal, queria saber se a imo shortlist 2002 ja foi liberada??se ja aonde posso encontrar??? Gabriel Guedes
[obm-l] Teoria dos Números
Olá pessoal! Prove que se n 1 e a 0 são inteiros então n | PHY(a^n - 1). PHY é a função de Euler. Abraço, Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números
Oi Yuri. Eu acho que você tem razão. Fixando n, nós temos duas expressões p(a) = a^n - 1 q(a) = a^Phi(a^n - 1) - 1 A primeira é um polinômio de grau n, a segunda não tem cara de ser um polinômio (de fato, fazendo a crescer, ela cresce na forma a^a, que é muito mais veloz do que um polinômio, portanto não pode ser um polinômio). O Dirichlet intuiu que nós podemos chegar a uma expressão relação do tipo t^n-1 | t^(fi(a^n-1))-1, mas não sei como se chegaria a isso. O caminho que o Cláudio usou - utilizando o teorema de Euler - colocará o t dentro do expoente que tem o Phi. Acho que ainda está por resolver. Duda. From: [EMAIL PROTECTED] Oi Claudio, Eu não entendi pq vc considerou polinômios para provar a última passagem, jah que a está fixo. Ou seja, vc tem que a^n - 1 divide a^Phi(a^n - 1) - 1 e não que x^n-1 divide x^Phi(a^n - 1) - 1 para todo x. Se eu tiver falado alguma besteira, me avisem! Ateh mais, Yuri -- Mensagem original -- on 16.08.03 05:54, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal! Prove que se n 1 e a 0 são inteiros então n | PHY(a^n - 1). PHY é a função de Euler. Abraço, Duda. Oi, Duda: Eh claro que mdc(a,a^n - 1) = 1 Entao, pelo teorema de Euler, teremos: a^Phi(a^n - 1) == 1 (mod a^n - 1) == a^n - 1 divide a^Phi(a^n - 1) - 1 == n divide Phi(a^n - 1) *** Essa ultima passagem pode ser vista da seguinte forma: Sejam x^n - 1 e x^n - 1 polinomios (portanto m, n inteiros) x^n - 1 divide x^m - 1 mas n nao divide m == m = qn + r com 0 r = n-1 == x^m - 1 = x^(qn + r) - 1 = x^(qn)*x^r - x^r + x^r - 1 = = x^r(x^(qn) - 1) + x^r - 1 == x^n - 1 divide x^r - 1 com 0 r n == contradicao. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números
Deixem eu me corrigir! Se eu descobrir um outro erro, deixarei que outros me corrijam, para eu não entrar num loop de auto-correções. A resposta que o Cláudio deu está certa, vou explicar o porquê. Na verdade, não se precisa usar polinômios na solução. Segundo o que o Cláudio - pelo teorema de Euler - escreveu p(a) = a^n - 1 divide q(a) = a^Phi(a^n - 1) - 1. Suponhamos que n não divide Phi(a^n - 1), então Phi(a^n - 1) = qn + r sendo 0 r n Daí q(a) = a^(qn + r) - 1 = a^r * a^(qn) - a^r + a^r - 1 = a^r * (a^(qn) - 1) + (a^r - 1) É claro que p(a) = a^n - 1 divide a^(qn) - 1, portanto a^n - 1 deve dividir a^r - 1, só que este último número é menor do que a^n - 1, uma contradição. Obrigado! Duda. From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] Oi Yuri. Eu acho que você tem razão. Fixando n, nós temos duas expressões p(a) = a^n - 1 q(a) = a^Phi(a^n - 1) - 1 A primeira é um polinômio de grau n, a segunda não tem cara de ser um polinômio (de fato, fazendo a crescer, ela cresce na forma a^a, que é muito mais veloz do que um polinômio, portanto não pode ser um polinômio). O Dirichlet intuiu que nós podemos chegar a uma expressão relação do tipo t^n-1 | t^(fi(a^n-1))-1, mas não sei como se chegaria a isso. O caminho que o Cláudio usou - utilizando o teorema de Euler - colocará o t dentro do expoente que tem o Phi. Acho que ainda está por resolver. Duda. From: [EMAIL PROTECTED] Oi Claudio, Eu não entendi pq vc considerou polinômios para provar a última passagem, jah que a está fixo. Ou seja, vc tem que a^n - 1 divide a^Phi(a^n - 1) - 1 e não que x^n-1 divide x^Phi(a^n - 1) - 1 para todo x. Se eu tiver falado alguma besteira, me avisem! Ateh mais, Yuri -- Mensagem original -- on 16.08.03 05:54, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal! Prove que se n 1 e a 0 são inteiros então n | PHY(a^n - 1). PHY é a função de Euler. Abraço, Duda. Oi, Duda: Eh claro que mdc(a,a^n - 1) = 1 Entao, pelo teorema de Euler, teremos: a^Phi(a^n - 1) == 1 (mod a^n - 1) == a^n - 1 divide a^Phi(a^n - 1) - 1 == n divide Phi(a^n - 1) *** Essa ultima passagem pode ser vista da seguinte forma: Sejam x^n - 1 e x^n - 1 polinomios (portanto m, n inteiros) x^n - 1 divide x^m - 1 mas n nao divide m == m = qn + r com 0 r = n-1 == x^m - 1 = x^(qn + r) - 1 = x^(qn)*x^r - x^r + x^r - 1 = = x^r(x^(qn) - 1) + x^r - 1 == x^n - 1 divide x^r - 1 com 0 r n == contradicao. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Limite fund.
Oi Luiz Ricardo.
Vamos supor que você já sabe que lim{ (1 + 1/n)^n }
= e quando n tende ao infinito. Aqui estou considerando este limite sendo tomado
no sentido da função real n - (1 + 1/n)^n e não no sentido daseqüência
de números reais (a_n) onde a_n = (1 + 1/n)^n para n= 1, 2, 3, ... Agora
considere a função n - (1 + k/n)^n = ((1 + k/n)^(n/k))^k. Voce sabe que
quando n tende ao infinito, também tende n/k, de forma que lim { (1 + k/n)^(n/k)
} = e quando n tende ao infinito. Logo o limite que você está tentando calcular
é e^k.
Espero que esta resposta lhe
satisfaça.
Abraço,
Duda.
- Original Message -
From:
Luiz
Ricardo Delgado
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, August 16, 2003 12:37
AM
Subject: [obm-l] Limite fund.
O limite com n a infinito de
(1+1/n)^n=e.
Resolvendo um exercicio, vi a seguinte
afirmacao:
lim(1+k/n)^n=e^k. comn no inf. Isso e
verdade
Alguem tem uma dem. disso
?
[obm-l] [univ] Teoria dos Grupos
Olá pessoal!
[Agradeço ao Nicolau pela solução enviada... teorema de Baire era o mais
natural...]
Uma questão de álgebra que não estou conseguindo resolver, do livro de
introdução a álgebra do Hernstein.
QUESTÃO. Um grupo abeliano finito possui dois subgrupos, um de ordem N e
outro de ordem M. Mostre que ele trambém possui um subgrupo de ordem MMC{ M,
N }.
Eu consigui resolver a questão no caso particular em que o grupo é cíclico.
No caso geral, eu pensei em usar o produto de subgrupos MN, mas a ordem pode
ser maior que MMC{ M, N }. O interessante é que unindo esta questão ao
teorema de Silow para grupos abelianos, acho que se demonstra a existência
de subgrupos de qualquer ordem divisora da ordem do grupo original. Este
resultado não é forte demais?
Agradeço pela ajuda!
Abração,
Duda.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Questão de Geometria
Olá a todos! Considere um quadrado ABCD de lado unitário. Trace quatro circunferências de raios unitários centradas em A, B, C e D. No centro do quadrado, forma-se uma região limitada pelos quatro círculos. A pergunta que faço é: como calcular a área dessa figura? Um modo de fazer é encontrar funções cujos gráficos sejam a borda das circunferências e uttilizando-se uma integral calcular a área compreendida entre as curvas. Deste modo, eu chegei à área Pi/3 + 1 - sqrt(3). Eu gostaria de saber se existe uma solução usando somente dos recursos da geometria euclidiana, sem usar integrais. Abraço aos que leram! Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema das 3 portas
Oi Bernardo. Por favor, leia a última mensagem enviado por Camilo Marcantonio Junior, onde ele explica corretamente o problema. Há muitas pessoas que, mesmo depois de ler os argumentos que justificam que é melhor TROCAR DE PORTA, não se convencem e continuam a insistir que tanto faz trocar ou não trocar de porta. Posso lhe assegurar que a resposta correta (todos as pessoas sérias dessa lista, grandes matemáticos: Nicolau, Gugu, Morgado, Luis Lopes, Shine, Camilo, Paulo Santa Rita, etc. concordarão que o melhor é trocar de porta) é esta. Se você, ainda sim, não conseguir compreender o argumento, lhe sugiro para fazer o seguinte experimento. Se você souber programar em computador, faça um programa que escolha aleatoriamente uma dentre três opções (a premiada) e lhe pede para decidir uma delas (1, 2 ou 3). Depois ele mostra que um dos números que você escolheu não contém o prêmio. Por fim, ele diz se você ganha permanecendo na mesma porta ou se trocando de porta. E ele faz uma contagem. Repita este jogo, umas 100 vezes e você perceberá que em aproximadamente 67 casos você teria ganho TROCANDO de porta e em aproximadamente 33 casos você ganharia PERMANECENDO com a mesma porta. Isto tem de lhe convencer. Se você não souber programar, sugiro que pegue três copos (não transparentes) e uma bolinha de papel que é o prêmio. Peça para alguém ter a função do apresentador do programa, e vá você mesmo fazendo a contagem que lhe sugeri. Repita umas 100 vezes o jogo, e constate a proporção (aproximada) de 2/3 para 1/3. Mas faça mesmo essa experiência, antes de enviar uma outra mensagem à lista, ok? Abraço, Duda. From: Bernardo Vieira Emerick [EMAIL PROTECTED] Claudio, Eu insisto que tanto faz trocar de porta. Pensemos no problema em duas etapas. Na primeira você escolhe entre três portas. Atrás de uma está o prêmio. A probabilidade de você ganhar será de 1/3, certo? Na segunda, você tem que escolher entre duas portas. O prêmio está em uma delas. A sua probabilidade de ganhar será, portanto, 1/2 para as duas portas. Pouco importa o que você escolheu na primeira etapa. É como se fosse outro jogo, só que se tenha eliminada uma das opções erradas. From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Problema das 3 portas Date: Tue, 12 Aug 2003 00:43:58 -0300 Oi, Henrique: Eu insisto que a estrategia otima eh trocar de porta. Veja o meu raciocinio: Chame as 3 portas de A, B e C. Suponha s.p.d.g. que inicialmente voce escolhe a porta A. Temos 3 casos a considerar: 1) O premio estah atras de A: Nesse caso, o apresentador abre B ou abre C (qualquer uma das duas estarah vazia) Se voce trocar, voce estarah saindo da porta vencedora e indo para uma das perdedoras (a que ele nao abriu) - voce perde se trocar. 2) O premio estah atras de B: Nesse caso, o apresentador abre a porta C. Se voce trocar, voce estarah saindo de A e indo para B - a porta vencedora. Ou seja, voce ganha se trocar. 3) O premio estah atras de C: Nesse caso, o apresentador abre a porta B. Se voce trocar, voce estarah saindo de A e indo para C - a porta vencedora. Ou seja, voce ganha se trocar. Assim, ao decidir trocar voce perde em um caso e ganha em 2. Supondo que a probabilidade do premio estar atras de uma dada porta eh 1/3, a sua probabilidade de ganhar ao trocar eh igual a 2/3 1/2. Logo, voce deve trocar de porta. Com 1 milhao de portas, a decisao eh ainda mais obvia, pois se voce nao trocar, o que voce estarah dizendo eh que voce escolheu a porta certa de primeira, um evento que pra voce tem uma probabilidade de 1 em 10^6. Suponha que voce tenha escolhido inicialmente a porta no. 1, a qual tem, pra voce, probabilidade de 1/10^6 de conter o premio. Isso quer dizer que, pra voce, a probabilidade do premio estar atras de uma das outras 999.999 portas eh de 999.999/10^6. Quando o apresentador abre 999.998 portas dentre as 999.999 que voce nao escolheu, ele estah colapsando a probabilidade de cada porta aberta para 0, e concentrando a probabilidade total de 999.999/10^6 numa unica porta, que permanece fechada (estas probabilidades sao sempre do seu ponto de vista. Do ponto de vista do apresentador, que sabe qual a porta premiada, as probabilidades sao: 1 do premio estar atras da porta premiada e 0 de estar atras de qualquer outra). Nesse caso, voce seria louco de nao trocar de porta. Um abraco, Claudio. on 11.08.03 23:27, Henrique Patrício Sant'Anna Branco at [EMAIL PROTECTED] wrote: Por mais que eu ache pedante e ridiculo alguem se vangloriar de ter o QI mais alto do mundo, nesse caso acho que a Marilyn estah certa. Voce deve trocar de porta. Desculpem a minha ignorancia, mas o que ha de errado com o argumento de 1 milhao de portas? Me parece que, nesse caso, a probabilidade de voce ter escolhido a porta certa de primeira eh apenas de 1/1.000.000. Logo, a probabilidade da outra porta
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l]_Re:_[obm-l]_ENQUETE_-_BELEZA_MATEMÁTICA
Oi Dirichlet, o Nicolau não comentou sobre nenhum problema. De qual problema em aberto você está falando? Abraço, Duda. From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] A demonstraçao que 3eu escrevi evitara este mal-entendido. Alias o Tengan me disse que este e um problema em aberto muito chato e de que ninguem conseguiu uma ideia muito esperançosa... --- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Wed, Aug 13, 2003 at 09:39:49PM -0200, Claudio Buffara wrote: on 13.08.03 20:28, Henrique Patrício Sant'Anna Branco at [EMAIL PROTECTED] wrote: Cláudio, A classica prova de Euclides é aquela que diz: Sejam p1, p2, ..., pm todos os primos. Entao consideremos o número N = p1 * p2 * ... * pm + 1. Esse número não seria divisível por nenhum primo e, portanto, contradiz o Teorema Fundamental da Aritmetica? Abraços, Henrique. Eh isso ai mesmo. Por falar nisso, esta prova aparentemente induz um dos erros mais comuns. As pessoas incorretamente entendem que foi provado que 2*3*...*p + 1 é primo. Isto é falso mas o primeiro contraexemplo demora o suficiente para aparecer para convencer os mais afoitos de que sim, estes números são primos: 2*3*5*7*11*13+1 = 30031 = 59*509 2*3*5*7*11*13*17+1 = 510511 = 19*97*277 2*3*5*7*11*13*17*19+1 = 9699691 = 347*27953 2*3*5*7*11*13*17*19*23+1 = 223092871 = 317*703763 Também dá errado se trocarmos +1 por -1 no final: 2*3*5*7-1 = 209 = 11*19 2*3*5*7*11*13*17-1 = 510509 = 61*8369 2*3*5*7*11*13*17*19-1 = 9699689 = 53*197*929 2*3*5*7*11*13*17*19*23-1 = 223092869 = 37*131*46027 Desculpem, eu sei que ninguém perguntou, mas eu já ouvi este erro vezes demais. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: not subject
Olá Dirichlet, eu também pensei sobre o problema: demonstrar que não existe uma função nos reais contínua nos racionais e somente neles. Sequer tenho alguma estratégia ou alguma idéia de como atacar o problema. Será que alguém pode dar uma sugestão? O único progresso que fiz - que nem sei se está certo - é intuir que os racionais não são um conjunto tão especial neste enunciado, eu suspeito que podemos substituir por enumeraveis densos nos reais. Quem quiser fazer comentários, sinta-se à vontade. Abraço, Duda. From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Como nao consegui demonstrar isto em tempo finito,alguem poderia demonstrar pra mim? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Olá!
É minha vez de enviar meus problemas/teoremas bonitos...
1) O teorema, devido a Euler, que diz que quando s 1 temos ZETA(s) =
SOMA{ 1/n^s, n=1...infinito } = PRODUTORIO { (1 - p^(-s) ), p primo }.
2) A surpreendente constatação de que um problema aparentemente não tão
complicado como o último teorema de Fermat tenha uma solução tão extensa e
complicada.
3) A demonstração (enviada para a lista) de que um número irracional elevado
a um número irracional pode resultar um número racional. A saber, se p =
raiz(2) ^ raiz(2) é racional, está acabado; se p não for racional, é
irracional, e q = p ^ raiz(2) = 2 satisfaz o problema.
4) O método (não lembro de quem é, talvez Cauchy) para aproximar a soma de
séries SOMA{ s_n } onde s_1 s_2 s_3 ... 0, utilizando-se uma
integral.
5) A constatação maravilhosa de que certas constantes (como Pi e e) são
constantes em toda a matemática, isto é, aparecem em diversas áreas
(aparentemente desconexas) como geometria, análise, teoria dos números,
probabilidade, etc. dando a entender que toda a matemática tem um centro
firme (de onde saem os resultados) e uma arquitetura já planejada por alguém
bem mais inteligente que nós...
6) O método do escalonamento de matrizes descoberto por Gauss. Brilhante por
ser tão simples e ter levado tanto tempo para ser descoberto. Segundo o
Gilbert Strang: Ele é tão simples que mesmo qualquer um de nós poderíamos
tê-lo descoberto
7) O fato de que podemos definir num espaço vetorial uma função com
propriedades simples (=o produto interno) e dele derivarmos muitos e muitos
resultados interessantes. (isto realmente me surpreendeu, quando comecei a
estudar álgebra linear, pareceu mágica a existência e as conseqüências do
produto interno)
8) A menos de isomorfismo, o conjunto dos Reais é o único corpo ordenado
completo.
9) O primeiro teorema da inconsistência de Gödel.
E para finalizar:
10) O princípio da indução finita.
Abração,
Duda.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Caros colegas da lista:
Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza
matematica.
O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo
como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e
cujas
solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou
engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o
enunciado.
No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica
(entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo
utilizado.
A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel
a
um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o
Porisma
de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos
do Porisma poderiam ser incluidos).
Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o.
grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau.
Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem.
Acho
que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes
pode
ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao
encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs
from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau.
Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar
uma
compilacao dos problemas e teoremas mais votados.
Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar.
Um abraco,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: Re:[obm-l] Algumas duvidas
Olá Cláudio! Fui infeliz no meu comentário... O que me veio à cabeça, na hora em que disse que o problema dos quatro quatros era inútil, foi que dificilmente ele apareceria em algum resultado matemático. Por exemplo, durante a demontração do TFA nunca precisaremos de tal decomposição. Neste sentido, ele me pareceu inútil. Pensando melhor, acho que ele pode gerar algum fruto. Por exemplo, que tipo de técnicas poderíamos usar para demonstrar que um número não pode ser representado com quatro quatros e certas operações definidas? Mas a verdade é que ele é um problema legal, uma boa diversão. Deveria ter me limitado a somente ter dado a solução ao problema. Concluo dizendo que foi um prazer conhecê-lo, também. E um prazer conhecer o Luís Lopes e o Morgado! Espero que o pessoal da lista se reúna em maior número em oportunidades futuras. Abração, Duda. From: claudio.buffara Oi, Duda: Discordo da sua avaliacao de que o problema dos quatro quatros eh o mais inutil ja inventado. Alem de ser um passatempo matematico equivalente ao Logodesafio (publicado em varios jornais e cujo objetivo eh formar o maior numero possivel de palavras com um dado conjunto de letras), acho que tambem eh um bom exercicio de criatividade - vide este caso extremamente nao trivial do 33. Mais ou menos relacionado a esse problema tem aquele da calculadora com a tecla de multiplicacao quebrada: Como multiplicar dois numeros numa calculadora usando apenas as teclas +, - e 1/x (alem das teclas numericas, claro)? Depois, o conceito de utilidade em matematica pura eh um tanto quanto polemico - lembre-se das discussoes geradas aqui na lista por um certo ex-participante que felizmente parece que foi embora de vez... No mais, foi um prazer conhece-lo pessoalmente no Rio. Um grande abraco, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l Cópia: Data:Sat, 2 Aug 2003 23:38:03 -0300 Assunto:Re:[obm-l] Algumas duvidas Olá! Acho que você é colega novo na lista, não lembro de já ter lido alguma mensagem sua. Se for, seja muito bem vindo! Quando eu estava no segundo grau, tinha um amigo que junto comigo pensou neste problema (importantíssimo!). Na época, lembro que nós permitimos que se usasse o ponto, daí podíamos representar o número .4 = 2/5. Este caso do 33, lembro que foi um dos que deu mais trabalho. O que eu encontrei foi o seguinte: [ sqrt(sqrt(sqrt(4^(4! + sqrt(4) ] / sqrt(4) = [ (4^24)^(1/8) + 2 ] / 2 = [ 4^3 + 2 ] / 2 = [ 64 + 2 ] / 2 = 33 Este é, quase sem dúvida, o problema de matemática mais inútil que alguém já inventou. Estou bastante convencido disso... ainda não pude demonstrar, mas é questão de tempo. ;) Abração, Duda. PS. Agora que li que não pode usar radiciação com índice oculta, ou seja, não se pode usar a operação raiz quadrada, que invalida essa minha solução. Deixa para lá, envio ela mesmo assim para te dar as boas vindas... De:[EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Cópia: Data:Sat, 02 Aug 2003 15:16:48 -0300 Assunto:[obm-l] Algumas duvidas Ola pessoal... tenho algumas duvidas e queria saber se vcs poderiam me ajudar... 1. Seja n alguma permutação de 123456789. Diz-se que um algarismo está no lugar certo se o 1 for o 1° digito, o 2 no 2°, 3 no 3°, etc. Espera-se que quantos algarismos estejam no lugar certo? 2. se vcs jah leram o homem que calculava, devem conhecer um problema em que, usando quatro digitos 4 se escreve todos os numeros de 0 a 100. Por exemplo, 0 = 44 - 44; 1 = 44/44, 2 = 4/4 + 4/4, etc Dizem q eh possível escrever todos ate o 100, mas para tanto tem q se fazer uso do fatorial (4!=24). Naum consigo fazer o 33; alguem pode me ajudar? (vale usar soma, subtração, frações, multiplicação, potência, parenteses, fatorial e radiciação desde q o índice naum esteja oculto). _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de matrizes
Oi Daibert, Minha solução é muitíssimo avançada, precisarás de anos de estudos para compreendê-la... mas se você tentar, quem sabe consiga ainda hoje. Eu estou usando algumas propriedades bem simples sobre matrizes. Por exemplo, se A é uma matriz quadrada e suas colunas (vetores com n coordenadas) são A = [c_1 c_2 ... c_n] então a matriz é inversível (isto é, existe uma outra matriz B tal que AB = matriz identidade) se e somente se podemos encontrar constantes reais (nem todas nulas) v_1, v_2, ..., v_n tais que v_1*c_1 + ... + v_n*c_n é o vetor nulo. Esta expressão pode ser reescrita como Av = vetor nulo, onde v é a matriz coluna 1 por n com coordenadas v_1, v_2, ..., v_n. Fora esta propriedade, só uso fatos muito simples que certamente se ensinam no segundo grau. Primeiro, suponho por absurdo que existe um vetor não-nulo (pense como uma matriz 1 por n) v tal que (A + I)*v = 0 (este zero sendo a matriz 1 por n com zeros em suas coordenadas) Ou seja, estou supondo (pelo que discuti no primeiro parágrafo) que a matriz não é inversível. Pretendo chegar a uma contradição para concluir que esta hipótese é furada e portanto A + I deve ser inversível. (esta técnica de demonstração é conhecida como redução ao absurdo e é muito freqüente em matemática). Multiplicamos as matrizes (esta é a propriedade distribuitiva, que você deve conhecer) A*v + I*v = 0 A matriz I mantém qualquer matriz, ou seja A*v + v = 0, daí A*v = - v Nós sabemos, da hipótese, que A^3 = k*A onde k é um número real diferente de 1. Isto é uma igualdade de matrizes. Se esta igualdade vale, podemos multiplicar os dois lados por uma matriz e a igualdade continará valendo (concordas?). Multiplique então pela nossa matriz (ou vetor) v. Deve valer: A^3*v = k*A*v(1) Vamos trabalhar com essas duas expressões. A primeira é o produto de quatro matrizes, a saber, A*A*A*v. Como o produto de matrizes é associativo (=tanto faz a ordem da multiplicação) podemos associá-las assim A*( A* (A*v) ) A expressão bem de dentro nós já calculamos. Daí a expressão fica A*(A * (-v) ) = - A*( A*v ) Novamente a expressão do meio já foi calculada, daí ela fica - A * ( A*v ) = - A * ( -v ) = A * v = - v Ou seja A^3*v = - v Por outro lado k*A*v = k * (A*v) = k*( - v) = - k*v Daí igualando as expressões em (1) - v = - k * v v = k * v Pense nesta expressão. Temos a matriz v à esquerda e a mesma matriz v à direita, só que com todos suas coordenadas multiplicadas por k. Para valer essa expressão ou a matriz (vetor) v é cheio de zeros (o que contraria o que dissemos de v lá no começo) ou então o numero real k é igual a 1 (o que contraria o enunciado). Conclusão: não pode valer a hipótese de que A + I é não inversível, pois ela nos conduz a uma contradição. Espero que agora você já tenha penetrado no cálculo vetorial superior. ;) Abração! Duda. From: Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] Ih, desculpa aí mas eu sou soh vestibulando do ITA, ainda naum cheguei nessa parte de cálculo vetorial de curso superior :-P mas valeu mesmo assim Alexandre Daibert Eduardo Casagrande Stabel escreveu: Oi Alexandre. Vou resolver com a mesma idéia que resolvi o outro. Assuma que A é uma matriz quadrada que satisfaz A^3 = kA onde k 1. Agora suponha, por hipótese de absurdo, que A + I não é uma matriz inversível. Portanto deve existir um vetor não-nulo real v tal que (A + I)v = 0, daí Av = -v. Vamos então calcular A^3v e kAv e compará-los. Temos A^3v = A^2(-v)=Av=-v. E temos kAv = -kv. Sabemos que A^3 = kA, o que implica A^3u = kAu para todo vetor u, em particular para o nosso amigo v. Portanto A^3v = -v = -kv = kAv. Ora se vale v = kv, uma das duas coisas tem de ser verdade: (1) k tem de valer 1, o que contraria a hipótese do enunciado; (2) v tem de ser nulo, o que contraria nossa hipótese de que v é não-nulo. Conclusão: A + I tem de ser inversível. Abraço, Duda. From: Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] Fábio, Olha, eu não sou o Morgado não, mas vou te dar a opinião minha sobre a pergunta 3. Eu estou tentando vestibular para o ITA pela segunda vez e acho q esta resolução tah meio difícil comparando com a imensa maioria das questões do ITA pelo menos (pra falar verdade eu naum entendi direito, hehehe). :) Lembram daquela quetão do IME do ano passado, a número 10? deixa eu soh por o enunciado dela aki: Considere uma matriz A, n x n, de coeficientes reais, e k um número real diferente de 1. Sabendo-se que A^3=kA, prove que a matriz A+I é invertível, onde I é a matriz identidade n x n Eu lembro de ter visto uma solução deste problema por sistemas lineares homogêneos. Alguém tem alguma solução deste problema do IME por este caminho?? talvez ajudasse em algo... Fábio Dias Moreira escreveu: -- Cabeçalho inicial --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Mon, 21 Jul 2003 19:16:47 -0300 (EST) Assunto: Re: [obm-l] Problema de matrizes Nao eh
Re: [obm-l] Problema de matrizes
Oi Alexandre. Vou resolver com a mesma idéia que resolvi o outro. Assuma que A é uma matriz quadrada que satisfaz A^3 = kA onde k 1. Agora suponha, por hipótese de absurdo, que A + I não é uma matriz inversível. Portanto deve existir um vetor não-nulo real v tal que (A + I)v = 0, daí Av = -v. Vamos então calcular A^3v e kAv e compará-los. Temos A^3v = A^2(-v)=Av=-v. E temos kAv = -kv. Sabemos que A^3 = kA, o que implica A^3u = kAu para todo vetor u, em particular para o nosso amigo v. Portanto A^3v = -v = -kv = kAv. Ora se vale v = kv, uma das duas coisas tem de ser verdade: (1) k tem de valer 1, o que contraria a hipótese do enunciado; (2) v tem de ser nulo, o que contraria nossa hipótese de que v é não-nulo. Conclusão: A + I tem de ser inversível. Abraço, Duda. From: Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] Fábio, Olha, eu não sou o Morgado não, mas vou te dar a opinião minha sobre a pergunta 3. Eu estou tentando vestibular para o ITA pela segunda vez e acho q esta resolução tah meio difícil comparando com a imensa maioria das questões do ITA pelo menos (pra falar verdade eu naum entendi direito, hehehe). :) Lembram daquela quetão do IME do ano passado, a número 10? deixa eu soh por o enunciado dela aki: Considere uma matriz A, n x n, de coeficientes reais, e k um número real diferente de 1. Sabendo-se que A^3=kA, prove que a matriz A+I é invertível, onde I é a matriz identidade n x n Eu lembro de ter visto uma solução deste problema por sistemas lineares homogêneos. Alguém tem alguma solução deste problema do IME por este caminho?? talvez ajudasse em algo... Fábio Dias Moreira escreveu: -- Cabeçalho inicial --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Mon, 21 Jul 2003 19:16:47 -0300 (EST) Assunto: Re: [obm-l] Problema de matrizes Nao eh dificil dar uma soluçao usando autovalores. Veja a soluçao enviada pelo Stabel, que eh otima, e que consegue usar autovalores de forma compreensivel a (bons) alunos do ensino medio. Mas, sei la, continuo desconfiado que deve haver uma soluçao que nao va alem de determinantes e sistemas de equaçoes lineares. Algo que provasse diretamente que A anti-simetrica real implicaria det(A+I) diferente de 0. [...] Eu acho que tenho uma solução elementar parcial para o problema: Seja nxn o tamanho da matriz A. Seja P o conjunto das permutações de comprimento n). Seja p uma permutação de P. Se p não for uma involução, tome sua inversa q. Olhe para os termos associados a p e q no determinante da matriz A+I. Como pq = i, onde i é a identidade de P, p e q têm a mesma paridade, logo os termos associados têm, a priori, o mesmo sinal. Mas se x aparece num dos termos, então -x aparece no termo oposto; logo um dos termos é (-1)^k o outro, onde k é o número de pontos não-fixos, i.e. x tais que p(x) != x. Caso pp = i, eu afirmo que o termo associado é certamente não-negativo. Note que então que os ciclos de p têm comprimento no máximo 2. Logo o termo pode ser construído do termo associado à identidade (que vale 1) se fizermos inversões disjuntas. Cada inversão troca um 1*1 por um -x*x = -x^2, mas também multiplica por -1 por causa da inversão da paridade. Logo o termo é multiplicado por x^2, certamente não-negativos. Se uma permutação p não-involutiva tem um número ímpar de pontos não-fixos, então sua inversa q gera um termo que é igual em módulo ao termo gerado por p, mas tem sinal oposto, logo os dois termos se cancelam. Agora considere todas as permutações com k pontos não fixos, k par. Então os termos gerados por essas permutações são da forma 2*(-1)^m*P, onde m é 0 ou 1 e P é um produtório de um núme s associados à permutação que não são 1 e que estão na metade superior da matriz -- escolher os termos daqui é sempre possível se mexermos no m apropriadamente). Eu acho que não sei passsar muito daqui. A minha idéia era agrupar esses últimos termos com os termos quadrados perfeitos de mesmo grau para formar novos quadrados perfeitos maiores, assim retirando os termos que podem ser negativos de circulação. Pergunta 1: É sempre possível agrupar os termos dessa forma? Pergunta 2: m depende só de k (ou melhor ainda, não depende de nada)? Se sim, a resposta à pergunta 1 parece ser bem mais fácil. Pergunta 3 (ao Morgado): Na sua opinião, isso está no nível do ITA? Se eu tiver alguma idéia interessante sobre as perguntas 1 e 2, eu mando para a lista. []s, = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de matrizes
Oi Morgado. Vê se esta serve. Assuma que a matriz A é anti-simétrica, isto é, A^T = -A. Agora suponha, por hipótese, que A + I é uma matriz não-invertível. Então existe uma combinação linear não-nula das colunas de I + A que se igualam ao vetor nulo. Logo existe um vetor real v tal que (I + A)v = 0, donde Av = -Iv = -v. Isto implica que o produto interno dos vetores Av, -v = ||v||^2 é diferente de zero. Mas -Av, v = -A^Tv, v = --Av, v = Av, v, que implica Av, v = 0, uma contradição. Segue que nossa hipótese não pode valer e A + I é inversível. Uso dois fatos que, acredito, são de conhecimento dos alunos do segundo grau que prestam o ITA. Se a matriz A é não-inversível, existe um vetor v não-nulo tal que Av = 0. O segundo é que se A é uma matriz e A^T é sua transposta, então segundo o produto interno usual Av, u = v, A^Tu, no caso de vetores reais podemos permutar u, v = v, u. Abraço, Duda. From: A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED] Propuseram-me um problema que estah me perturbando um pouco. Para resolve-lo tive que usar fatos que nao sao do conhecimento usual de um (bom) aluno de ensino medio. Alguem conseguiria uma soluçao em nivel de vestibular do ITA? Problema: Prove que se a matriz real A eh anti-simetrica entao a matriz I + A eh invertível. Morgado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] polinomios
Oi chará!
O polinômio Q(x) = P(x) - 1 é de grau 5 e tem como raízes {1, 2, 3, 4, 5},
portanto Q(x) = A(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5), para algum A. Sabemos
que Q(6) = P(6) - 1 = - 1 = A*5!, logo A = -1/5!. O valor de P(0) = Q(0) + 1
= (-1)(-2)(-3)(-4)(-5)/(-5!) + 1 = 2. Portanto P(0) = 2. Acho que é isto.
Abraço!
Duda.
From: Eduardo Henrique Leitner [EMAIL PROTECTED]
Fundamentos de Matemática Elementar, volume 6
Gelson Iezzi
145. Seja P(x) um polinômio de 5^o grau que satisfaz as condições:
1 = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5)
e
0 = P(6).
Qual o valor de P(0)?
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Conjuntos - Justificativa
Oi Leandro.
O Paulo Santa Rita deu uma resposta excelente sobre
essa questão, como ele sempre dá. O que acontece é que a afirmativa do José
Franscisco Guimarães Costa é falsa pois o sentido
da palavra máximo do conjunto é um elemento DO CONJUNTO que é maior ou igual a
todos os outros.
É fácil de ver que o conjunto, por exemplo, N = {x
real : x 0} possui uma cota superior: pode ser o zero. Segue do axioma do
sup, que este conjunto possui um supremo, isto é, existe um número real R tal
que todo elemento de N é menor ou igual a R e R émenor ou igual a todo
real R' com esta propriedade. Só que este supremo não precisa pertencer ao
conjunto N, e neste caso, de fato, não pertence. Portanto o conjunto N não tem
um máximo, isto é, seu limite superior não está no conjunto.
Agora falei mais explicitamente o que eu queria ter
dito.
Abração!
Duda.
- Original Message -
From:
Leandro
Fernandes
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, July 14, 2003 3:23 AM
Subject: Re: [obm-l] Conjuntos -
Justificativa
Então você está dizendo que essa afirmativa é
falsa?
Se um conjunto X possuir ao menos dois elementos
máximos e iguais, este conjunto não tem máximo. É isso? Como poderia
justificar isso?
- Original Message -
From:
Eduardo
Casagrande Stabel
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, July 13, 2003 10:12
PM
Subject: Re: [obm-l] Conjuntos -
Justificativa
José.
Um conjunto X tem um máximo se ele possui um
elemento x que é maior ou igual a todos os outros elementos de X.
Duda.
- Original Message -
From:
Jose
Francisco Guimaraes Costa
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, July 13, 2003 10:03
PM
Subject: [obm-l] Conjuntos -
Justificativa
Comentário de um não-matemático que às vezes
confunde definições com postulados com teoremas, sobre a pergunta original
do Leandro.
Ora,se o conjunto é "limitado
superiormente",nenhum de seus elementos pode ser maior que o
limite superior. Logo,ele certamente tem um máximo (que é menor ou
igual ao limite), e isto seria um corolário.
Falei bobagem?
JF
- Original Message -
From: "Eduardo Casagrande Stabel"
[EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, July 13, 2003 9:20
PM
Subject: Re: [obm-l] Conjuntos -
Justificativa
Caro Leandro. Este é o chamado
axioma do sup. É equivalente a muitos outros, e não costuma-se
demonstrá-lo e sim usá-lo como axioma. Se você ainda quiser
demonstrá-lo, terá de estabalecer todos os axiomas dos reais, isto é, os
que você está usando (ou o livro). Do contrário, fica impossível
ajudá-lo. Abração! Duda. From:
"Leandro Fernandes" [EMAIL PROTECTED] Pessoal, não consigo dar uma justificativa
plausível para esta afirmação: "Todo conjunto
não vazio de números racionais limitado superiormente tem
máximo" Alguém tem alguma sugestão?
Leandro
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Como_os_Matemáticos_Complicam_II
Oi amigo José Paulo. Tudo legal? Não, sua resposta está errada. Um capital inicial X a cada mes aumenta a uma taxa J. Isto é, depois de um mês o capitál ter-se-á tornado X + XJ = X(1 + J) Depois de mais um mês, este capital - X(1 + J) - tornar-se-á X(1 + J) (1 + J) = X(1 + J)^2. E assim por diante. Após 12 meses o capital será de X(1 + J)^12. A princípio era X, depois de 12 meses com taxa mensal J, tornou-se X(1 + J)^2, logo o percentual em relação ao capital inicial é (1 + J)^12 = 112% = 1.12. Para determinar J você precisa calcular a raiz doze-ésima de 1.12, a saber, J = (1.12)^(1/12) - 1. Está aí um exemplo prático de aplicação de raízes n-ésimas onde n 2. Aviso a todos: discutam com nosso coléga José Paulo atraves de e-mails individuais! Abração! Duda. From: J.Paulo roxer ´til the end Mais um sábio.Sábio mesmo,sem ironia,claro. Depois darei exemplos de questões q tenho dificuldades.Em razão de tanta gente responder com falta de bons modos,acho q não fui muito conciso. Re:12/12=1% [ ]´s João Paulo - Original Message - From: Josimar Silva To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, July 13, 2003 11:24 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Como_os_Matemáticos_Complicam_II Olá João! Li seu desbafo e fiquei triste porque sei que essa é a angústia de vários alunos que foram massacrados com algumas besteiras na escola e, ainda para completar, o que era belo e importante, deixou-se passar despercebido, principalmente porque, em muitos casos, o próprio professor não o via assim. Você e milhões de jovens são o produto da má formação desses professores e também do sistema de ensino das escolas, que enfiam uma enorme lista de conteúdos goela a dentro do professor que, por sua vez, faz o mesmo com os alunos. Aos 15 anos me apaixonei por matemática. Vi nela a beleza que foi vista por Arquimedes, Pascal, Descartes, Newton, Russell, Einstein, Aristóteles e quase todos os outros nossos grandes filósofos e pensadores. Mas via também que meus colegas de turma não pensavam assim e eu tentava mostrar a eles a ligação de tudo aquilo com o nosso mundo real, como por exemplo, a beleza dos padrões matemáticos contidos numa colméia de abelhas. Mas não tinha sucesso, visto que, dos poucos colegas que entendiam, alguns não achavam interessante e diziam um pungente e daí?. Como professor de matemática, sempre me esforcei em não reproduzir alunos como você, mas também fui vítima da correria de dar a matéria e não pude evitar completamente este mal. Porém, influenciei mais de uma dezena de alunos a fazerem matemática, mostrando que ela (pelo menos para mim) estava mais para a arte do que para edificações, circuitos, CDs etc. Tente se destituir de toda essa angústia e comece a olhar a matemática com outros olhos. Um ótimo livro (bem light) é O último teorema de FERMAT de Simon Sigh, da editora Record. Não tem conta chata para fazer, é só texto (embora acho que contas chatas devam existir pois não dá pra ficar só no papo). Se quiser, posso indicar muitos outros. A respeito da sua pergunta sobre a utilidade de raízes com índices superiores a 2 (foi isso mesmo?), tente resolver o seguinte problema. Se um capital está aplicado (juros compostos) a uma taxa de 12% ao ano, determine a taxa mensal de juros. []s, Josimar - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, July 12, 2003 5:24 PM Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Como_os_Matemáticos_Complicam_II Brilhante Shine!!! Brilhante mesmo!!! Vou imprimir seu texto...digno de um grande professor!!! Parabéns! Crom Email.it, the professional e-mail, gratis per te: clicca qui Sponsor: Quattro itinerari per quattro stagioni, alla scoperta di monumenti storici, luoghi di culto e splendidi scenari naturali... INFO 0125 665500 Clicca qui = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos - Justificativa
Caro Leandro. Este é o chamado axioma do sup. É equivalente a muitos outros, e não costuma-se demonstrá-lo e sim usá-lo como axioma. Se você ainda quiser demonstrá-lo, terá de estabalecer todos os axiomas dos reais, isto é, os que você está usando (ou o livro). Do contrário, fica impossível ajudá-lo. Abração! Duda. From: Leandro Fernandes [EMAIL PROTECTED] Pessoal, não consigo dar uma justificativa plausível para esta afirmação: Todo conjunto não vazio de números racionais limitado superiormente tem máximo Alguém tem alguma sugestão? Leandro = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos - Justificativa
José. Um conjunto X tem um máximo se ele possui um elemento x que é maior ou igual a todos os outros elementos de X. Duda. - Original Message - From: Jose Francisco Guimaraes Costa To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, July 13, 2003 10:03 PM Subject: [obm-l] Conjuntos - Justificativa Comentário de um não-matemático que às vezes confunde definições com postulados com teoremas, sobre a pergunta original do Leandro. Ora,se o conjunto é "limitado superiormente",nenhum de seus elementos pode ser maior que o limite superior. Logo,ele certamente tem um máximo (que é menor ou igual ao limite), e isto seria um corolário. Falei bobagem? JF - Original Message - From: "Eduardo Casagrande Stabel" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, July 13, 2003 9:20 PM Subject: Re: [obm-l] Conjuntos - Justificativa Caro Leandro. Este é o chamado axioma do sup. É equivalente a muitos outros, e não costuma-se demonstrá-lo e sim usá-lo como axioma. Se você ainda quiser demonstrá-lo, terá de estabalecer todos os axiomas dos reais, isto é, os que você está usando (ou o livro). Do contrário, fica impossível ajudá-lo. Abração! Duda. From: "Leandro Fernandes" [EMAIL PROTECTED] Pessoal, não consigo dar uma justificativa plausível para esta afirmação: "Todo conjunto não vazio de números racionais limitado superiormente tem máximo" Alguém tem alguma sugestão? Leandro
Re: [obm-l] para os olimpicos
From: niski [EMAIL PROTECTED] Nicolau C. Saldanha wrote: On Sun, Jun 22, 2003 at 02:10:51PM -0700, niski wrote: Sempre tive curiosidade no processo do aprendizado de voces (super dotados). Agora por exemplo que estou aprendendo a resolver algumas integrais indefinidas meu professor falou para a sala que o melhor jeito de se aprender isto é resolvendo milhoes de exercicios. É claro, pq resolvendo milhoes de exercicios nos pegamos velocidade e na prova poderemos resolver em tempo as integrais que serão propostas como exercicios. Pergunto : Vocês quando aprenderam integrais e coisas assim, simplesmente viram um exemplo ou outro e basta para gabaritar as provas da universidade ou como todos os outros mortais suaram a camisa praticando exercicios? Eu não gosto muito da expressão super dotados como você provavelmente está falando comigo (entre outros) a resposta é que quando eu estudei cálculo achava este tipo de coisa uma chatice só. Eu gostava de análise, de álgebra (como em teoria dos grupos), de problemas de olimpíada, mas calcular integral... Depois de dar cálculo 1 um monte de vezes começo a achar um pouco mais de graça no assunto. Acho que seu professor tem razão, faça muitos exercícios. Ok Nicolau se aquele termo de alguma forma o incomoda (eu apenas o utilizei pq ja o vi sendo usado por ai) vou parar de utilizar. De qualquer forma, voce ainda nao matou minha curiosidade :) Eu queria saber se de fato, voce (por exemplo) gastava horas e horas treinando integrais, visto que se vc é capaz de ganhar uma olimpiada (onde todos os problemas sao de alguma forma inovadores e voce tem que se virar na hora) certamente resolver integrais nunca antes vistas (no contexto de provas de calculo I) seria até um problema elementar quando comparado a resolver problemas olimpicos. Oi Niski. Esta questão que você propõe é boa para mim, pois me dá a oportunidade de desabafar. Eu não sou um superdotado, já fiz teste de QI e eles nunca deram muito acima da média. Contudo, eu sempre tive um desempenho acima do normal, sempre me saí bem e até melhor do que os outros, fazendo menos esforço. Atualmente, eu faço faculdade de matemática. Eu adoro e vou bem em disciplinas que envolvem demonstrações e um pouco de criatividade: como análise, topologia, álgebra. Mas em disciplinas que envolvem aplicação de algorítmos, fórmulas e contas eu tenho um desempenho abaixo do médio, pois não gosto das disciplinas e não me dedico seriamente a elas. Tenho colegas que vão sempre super bem em disciplinas com cálculo e algebra linear (aquelas onde só se pedem contas), mas que mesmo que se esforcem muito não conseguem ir bem numa prova de análise, o que para mim é mais fácil. Acho que se eu me debruçasse nos algoritmos, os dominaria mais rapidamente do que o aluno médio, pois eu tentaria compreender e lembrar do fundamento do algoritmo e ficaria mais fácil do que o aluno médio - que só decora o processo - para eu lembrar na hora da prova. Portanto a resposta é a natural: para aquelas pessoas que se interessam pela matemática em si, mesmo os algoritmos ficam mais fáceis de ser aprendidos. Infelizmente essa regra ainda não gostou de mim, e continua resistindo ao meu charme... Abração! Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
