Re: [obm-l] Desigualdade
[EMAIL PROTECTED], 15/04/2006]: Sejam p,r,q reais nao-negativos. Tal que p+q+r=1. Prove que 7(pq+qr+pr)=2+9pqr. [...] Isso equivale a provar que 7(p+q+r)(pq+qr+rp) = 2(p+q+r)^3 + 9pqr, ou seja, 7(p^2*q + ...) + 21 pqr = 2*(p^3 + q^3 + r^3) + 6(p^2*q + ...) + 21pqr = 2p^3 + 2q^3 + 2r^3 = p^2*q + p*q^2 + q^2*r + q*r^2 + r^2*p + r*p^2 o que é trivial já que p^2*p + q^2*q = p^2*q + q^2*p pela desigualdade do rearranjo. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Divisores de X
On Mon, 2006-01-30 at 00:41 -0200, Marcelo Salhab Brogliato wrote: Se os divisores de um número foram iguais aos divisores de outro número, então, eles são o mesmo número. [...] Você resolveu o problema fazendo a suposição (perfeitamente natural) que D(n) só está definido para n natural (com o perdão do trocadilho). Se n puder ser negativo, há também a possibilidade x^2 - 1 = 3 - 3x, dando soluções x = 1 (repetida) ou x = -4 (de fato, D(15) = D(-15)). []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigo
On Thu, 2005-11-24 at 11:35 -0200, Rodrigo Augusto wrote: bom dia gente, como eu faço pra calcular o cos de 261º? [...] cos 261 = cos (72 + 72 + 72 + 45). Usando repetidamente a fórmula da soma, é fácil obter uma expressão explícita para o valor de cos 261, que dependa apenas de somas, subtrações, multiplicações, divisões e extrações de raízes quadradas. Mas é mais fácil comprar uma calculadora científica de dez contos no camelô mais próximo da sua casa. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Limite superior para a soma de logaritmos
On Sun, 2005-11-06 at 00:07 -0200, Denisson wrote: Em 06/11/05, Fábio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Sat, 2005-11-05 at 23:37 -0200, Denisson wrote: Boa noite pessoal, Tou tentando encontrar uma função que limite superiormente a soma log1 + log2 + ... + log(n)... e não tou conseguindo... Alguma ajuda? log 1 + log 2 + ... + log n = log n + log n + ... + log n = n * log n. Tem razão, agora essa função também é limite inferior? Mais ou menos... Não é muito difícil ver que log k + log (n-k) (log n) / 2 para todo n = 3 e 0 k n. Logo log 1 + log 2 + ... + log n (n * log n) / 4 para todo n suficientemente grande. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Limite superior para a soma de logaritmos
On Sun, 2005-11-06 at 00:07 -0200, Denisson wrote: Em 06/11/05, Fábio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Sat, 2005-11-05 at 23:37 -0200, Denisson wrote: Boa noite pessoal, Tou tentando encontrar uma função que limite superiormente a soma log1 + log2 + ... + log(n)... e não tou conseguindo... Alguma ajuda? log 1 + log 2 + ... + log n = log n + log n + ... + log n = n * log n. Tem razão, agora essa função também é limite inferior? Mais ou menos... Não é muito difícil ver que log k + log (n-k) (log n) / 2 para todo n = 3 e 0 k n. Logo log 1 + log 2 + ... + log n (n * log n) / 4 para todo n suficientemente grande. []s, []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Denisson Os homens esqueceram desta verdade; mas tu não a deves esquecer: É só com o coração que se pode ver direito. O essencial é invisível aos olhos! (Saint Exupèrry) -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Limite superior para a soma de logaritmos
On Sat, 2005-11-05 at 23:37 -0200, Denisson wrote: Boa noite pessoal, Tou tentando encontrar uma função que limite superiormente a soma log1 + log2 + ... + log(n)... e não tou conseguindo... Alguma ajuda? log 1 + log 2 + ... + log n = log n + log n + ... + log n = n * log n. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subconjuntos de R
[17/10/2005, [EMAIL PROTECTED]: O problema a seguir talvez fosse mais desafiador se nao tivesse ainda havido esta discussao sobre conjuntos com interior vazio e medida positiva. Apos esta discussao, a solucao eh bem obvia: Sejam (r_n) uma enumeracao dos racionais, (x_n) uma sequencia de termos reais positivos, I_n = (r_n - x_n, r_n + x_n) e I = Uniao (I_n). Entao, I eh um aberto denso em R. Mostre que, se Soma (x_n) convegir, entao I eh um subconjunto proprio de R. Minha duvida: e se Soma (x_n) divergir? Ainda assim eh possivel termos I como subconjunto proprio de R? Neste caso, I = R eh sem duvida possivel. Isto certamente ocorrerah se tivermos, por exemplo, x_n = r 0 para todo n, sendo r constante. Estou analisando esta sitauacao, em que Sona (x_n) diverge. Artur Enumere os racionais do intervalo [-3, 3] como p_1, p_2, ... e faça r_(2^n) = p_n; enumere R \ [-3, 3] com os elementos da enumeração r que sobraram; escolha x_n = 1/n. Então o intervalo [-2, 2] só pode ser coberto com intervalos com centro em [-3, 3]. Mas |I inter [-2, 2]| = 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2 |[-2, 2]|, logo I != R. []s, -- Fábio Dias Moreira pgpi8418VFsP2.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] NOVA trigonometria?
[17/09/2005, [EMAIL PROTECTED]: Um pesquisador (que me pareceu serio) esta propondo uma nova trigonometria supostamente melhor, mais elegante e funcional do que a usual. Basicamente ele se propoe e jogar fora os conceitos de seno, cosseno e angulo e distancia (!!) Gostaria da opiniao dos participantes da lista. A pagina do cara com alguns sample chapters estao em http://web.maths.unsw.edu.au/~norman/book.htm [...] A impressão que eu tenho do livro dele é que ele pegou um livro de geometria e trigonometria e elevou ao quadrado (e eu sinto *muita* vontade de dizer literalmente). O livro dele, de um ponto de vista estritamente matemático, parece correto. Mas eu tenho algumas críticas: * Nos problemas de trigonometria clássica, ele faz questão de sempre escrever explicitamente os ângulos envolvidos, mesmo que eles possam (e em geral, podem) ser expressos como arco senos ou arco cossenos, afirmando que cálculo é necessário para compreender essas funções. Isso é patentemente falso -- são raras as ocasiões em que é necessário calcular explicitamente ângulos, exceto possivelmente para dar a resposta final -- veja qualquer problema de geometria resolvido por trigonometria na Eureka! (lembrando que todos esses problemas foram resolvidos sem calculadora) * No exemplo que ele dá, que também é criticável segundo os pontos acima, ele afirma que sqrt(7) é uma grandeza fundamental do problema. Além de essa ser uma afirmação extremamente vaga (eu poderia afirmar também que arccos(3/4) é uma grandeza fundamental), o livro erra ao dizer que ela não aparece na solução tradicional, pois alfa também é igual a arcsen(sqrt(7)/4). * Para um livro que começa mencionando tanto a dependência da geometria tradicional em raízes quadradas, logo o primeiro exemplo dá uma quadratura que tem uma raiz quadrada (e se o problema fosse um pouquinho mais complicado, introduziria radicais duplos na história também). * E além disso, para calcular o afastamento de duas retas r e s, sabendo o afastamento de r a t e de s a t, você vai precisar tirar umas raízes quadradas no meio do caminho, e portanto ter um sinal a determinar... Por isso, eu acho que apesar da idéia desse livro ser bonitinha, ela não tem tantos méritos assim. Mas valeu a tentativa... []s, -- Fábio Dias Moreira pgpH4FtOh48OC.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] problema - multiplos de 5, 7, 9 e 11
[04/09/2005, [EMAIL PROTECTED]: olá, recebi o problema abaixo de um amigo, e estou tendo dificuldades para resolvê-lo. seja 'a' um número inteiro positivo tal que 'a' é múltiplo de 5, 'a+1' é múltiplo de 7, 'a+2' é múltiplo de 9 e 'a+3' é múltiplo de 11. determine o menor valor que 'a' pode assumir. Como 5, 7, 9 e 11 são ímpares, é fpacil ver que o problema é equivalente a achar o menor valor de a tal que 2a é múltiplo de 5, 2a + 2 é múltiplo de 7, 2a + 4 é múltiplo de 9 e 2a + 6 é múltiplo de 11. Nesse problema, obviamente 2a = 5 é a menor solução, logo o menor valor de 2a possível é 5. Mas espere aí, você poderia reclamar, isso não dá um valor de a inteiro! Essa objeção está perfeitamente correta -- e por isso, precisamos, na realidade, procurar a menor solução onde 2a é par. Mas como 5, 7, 9 e 11 são todos primos entre si, a distância entre soluções consecutivas é 5*7*9*11, logo o próximo valor possível de 2a é 5 + 5*7*9*11. Logo o menor valor possível de a é (5 + 5*7*9*11)/2 = 1735. []s, -- Fábio Dias Moreira pgpV5ACz7VdUs.pgp Description: PGP signature
[obm-l] Re: [obm-l] alguém conhece os triangulos e sabe utilizá-los...e não consigui mais material pel o google...
[27/08/2005, [EMAIL PROTECTED]: tipo que matemáticamente vc consegue saber qual sua soma ou então seu termo geral... ... falem alguma aí...só para mim testar pra ver se consigo... 1^1, 2^2, 3^3, 4^4, 5^5, 6^6, 7^7, ..., n^n, ... []s, -- Fábio Dias Moreira pgp8IEtBcmB1Z.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] Lógica
Nicolau C. Saldanha said: On Mon, Aug 22, 2005 at 03:57:26PM -0300, Marcelo Roseira wrote: [...] Sejam as proposições: P: Maria está na Itália. Q: Jorge é espanhol. R: Luíza não está na Itália. A proposição composta representada por [~(~P#8743;Q)#8743;~R] pode ser descrita por: Não entendo estes caracteres estranhos. Suponho que ~ seja NÃO, que seja E mas #8743; eu não sei o que é. Talvez no seu cliente de e-mail isto apareça de outra forma? [...] Certamente o #8743; é um e -- isso é a representação do síbolo em HTML. [...] A) Luíza está na Itália e ou Maria está na Itália ou Jorge é espanhol; B) Luíza está na Itália e ou Maria está na Itália ou Jorge não é espanhol; C) Maria e Luíza estão na Itália ou Jorge não é espanhol; D) Maria e Luíza não estão na Itália e Jorge é espanhol; E) Maria está na Itália e Luíza não está na Itália e Jorge é espanhol. Para mim, e ou é um barbarismo, uma afronta tanto à lingua portuguesa quanto à lógica. [...] Eu acho (apesar de que eu concordo que é estranho) de que a interpretação que o enunciado queria era que a alternativa (a) fosse lida como Luíza está na Itália e (ou Maria está na Itália ou Jorge é espanhol) onde os parênteses têm o significado matemático (e, no caso, o que está dentro dos parênteses seria um ou exclusivo). []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ola podem me ajudar??
RAfitcho said: é muito pratica essa resposta.. mas nao posso escrever isso em uma prova discursiva se é que me entende... [...] Porquê não? A solução do Dirichlet está indiscutivelmente certa, e receberia pontuação máxima em qualquer banca de correção razoável. (Naturalmente, a questão é *quantas* bancas de correção no Brasil podem ser consideradas razoáveis...) []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probleminha
elton francisco ferreira said: um agricultor quis repartir as vacas que possuía entre seus filhos e notou que se dsse 3 vacas a cada um, restariam 24 vacas, e, se lhes desse 7 vacas, daria todas as vacas. quantos filhos tinha o agricultor? [...] Imagine que o agricultor distribuiu três vacas para cada filho. Depois de notar que sobraram 24 vacas, ele pensa: Poxa! Sobraram tantas vacas! Eu bem que podia ser mais generoso e distribuir mais vacas para os meus filhos! Ao invés de três, vou dar sete vacas para cada um! Ora, se você já tem três vacas, você só precisa de mais quatro vacas para ficar com sete vacas. Logo, sabemos que o agricultor, depois de dar mais quatro vacas para cada filho, ficou sem nenhuma sobra -- ou seja, distribuindo quatro vacas a mais para cada filho, ele distribuiu 24 vacas no total. Pergunta: quantos filhos o agricultor tem? []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema do casal de filhos
[21/08/2005, [EMAIL PROTECTED]: [21/08/2005, [EMAIL PROTECTED]: Um homem visita um casal que tem dois filhos. Uma das crianças, um menino, vem à sala. Encontre a probabilidade (p) de o outro ser também um menino, se (i) sabe-se que a outra criança é mais nova (ii) nada se sabe sobre a outra criança A resposta do item (ii) não é 1/2 Alguém consegue enxergar por que Digamos que H representa um filho homem e M uma filha mulher. Como o casal teve dois filhos, as possibilidades são (na ordem mais velha, mais nova): H, H H, M M, H M, M Na primeira situação descrita no problema, sabemos que a criança mais velha é um menino. Só podemos ter duas das quatro situações acima: H, M H, H Ou seja, para a outra criança (a mais nova) ser um menino, só há uma situação entre duas possíveis. Por isso que a probabilidade é 1/2. Na segunda situação, só sabemos que uma das duas crianças é menino. Ou seja, das quatro situações possíveis, estamos lidando com apenas três (as que possuem no mínimo um H): H, H H, M M, H Assim, temos apenas 1 entre 3 possibilidades que satisfazem o enunciado. Portanto, para a situação 2, a probabilidade é 1/3. []'s Kufner www.cursinho.hpg.com.br http://www.cursinho.hpg.com.br Sim, mas nos casos (H, M) e (M, H) a probabilidade do menino, e não a menina, entrar na sala, é 1/2 (afinal de contas, o enunciado não diz nada que poderia sugerir uma assimetria entre um eventual menino e uma eventual menina). Logo os três casos que você mostrou *não têm* a mesma probabilidade -- a probabilidade desses dois casos é, digamos, x, e, como a probabilidade de um menino entrar no caso (H, H) é o dobro da dos outros casos, a probabilidade de (H, H) é 2x. Como a soma das probabilidades é 1, x + x + 2*x = 1 = x = 1/4 = 2*x = 1/2. Essa é, na realidade, uma aplicação do Teorema de Bayes -- o argumento que eu fiz acima foi uma versão intuitiva da demonstração formal: http://mathworld.wolfram.com/BayesTheorem.html (E, de fato, (1/4*1)/(1/4*1/2+1/4*1/2+1/4*1) = 1/2 como se poderia esperar.) []s, -- Fábio Dias Moreira pgpFlZRjz0Tts.pgp Description: PGP signature
[obm-l] Reportagem na TVE
Oi pessoal, Assistam, às dez horas da noite de hoje, na TVE, a reportagem da equipe do Rio que participou da IMC da Bulgária (exceto o Alex, que está de férias na França). Assistam também à reportagem do Bujokas, que vai passar também na TVE, às 10h30min da manhã do próximo domingo. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] [OBM-2005] Questão 21/N2, 24/N3
Oi pessoal, Eu vi o gabarito da OBM, que dá como resposta correta letra D nesta questão. O que há de errado com a seguinte solução? Vamos calcular o número de plins no intervalo (12h, 0h], e descontar os plins que ocorreram no último segundo depois. Seja w a velocidade angular do ponteiro das horas. Então as velocidades angulares dos ponteiros dos minutos e dos segundos são 12w e 720w. Vamos contar o número de plins entre cada par de ponteiros: Minutos/Horas: Do referencial do ponteiro das horas, ele está parado e o ponteiro dos minutos roda com velocidade angular 11w [*]. Como os dois começãm juntos, e um ponteiro rodando a w completa uma volta no período, o ponteiro dos minutos completa 11 voltas nas 12 horas do problema. Logo há 11 plins gerados por encontros deste tipo. Segundos/Horas: A velocidade relativa é 720w - w = 719w, logo há 719 plins. Segundos/Minutos: A velocidade relativa é 720w - 12w = 708w, logo há 708 plins. Logo, no total, há 11 + 719 + 708 = 1438 plins. Descontando os três plins ocorridos às 0h, há, no total, 1435 plins no período de 12h1s a 23h59m59s. [*] Isso não é estritamente verdade do ponto de vista físico, mas não há importância neste problema. []s, -- Fábio Dias Moreira pgp3gv6ikmhVV.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] Desenho do problema (era: Geometria Plana)
[17/5/2005, [EMAIL PROTECTED]: Primeiro nosso heroi faz um desenho bem caprichado do problema, Oi, Nicolau: É permitido o uso de esquadros, compasso e/ou transferidor na OBM ou na IMO (ou em qualquer outra olimpíada)? Sim; a regra na IMO parece ser um pouco inconsistente -- na IMO do Japão, o resumo das condições de prova que eles entregaram para a gente proibia transferidores, mas na IMO da Grécia não parecia haver esta restrição. Além desse pequeno detalhe, todas as olimpíadas razoáveis, até onde eu sei, liberam o uso de instrumentos de desenho. []s, -- Fábio Dias Moreira pgpDDXJtH71Q5.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] Aritmética
matduvidas48 said: [...] 04.Um prêmio da sena saiu para dois cartões, um da cidade A e outro da cidade B. Nesta última, o cartão era de 6 apostadores, tendo cada um contribuído com a mesma importância para a aposta. A fração do prêmio total, que cada apostador da cidade B receberá, é: a) 1/6b) 1/8 c) 1/9 d) 1/10 e) 1/12 [...] Cada cartão recebe metade do prêmio, cada apostador da cidade B recebe um sexto deste dinheiro (pois são seis apostadores). Logo a resposta é 1/2*1/6 = 1/12. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] i^2 = -1 ??
Bruno Bonagura said: Tenho uma breve curiosidade e depois uma pergunta que não achei resposta em site nenhum. Primeiro: Quem inventou os números complexos ? Foi o Gauss ? Segundo: Quando a teoria dos números complexos foi desenvolvida qual foi o axioma base da teoria ? Foi que i² = -1 ? Ou foi imposto que a multiplicação de dois complexos implicaria na soma dos ângulos de suas representações polares ? Essas duas proposições demonstram uma à outra, mas para a teoria imagino que uma delas tenha sido adotada como axioma. Isso me leva a perguntar oque levou ao desenvolvimento dessa teoria, se foi a raiz de números negativos ou se simplesmente foi um conjunto de propriedades para facilitar manipulações geométricas no plano dos complexos ? Um professor meu fazia repetidamente nas aulas o seguinte procedimento: (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) e dizia que o par ordenado (1, 0) era despresado/ocutado e o (0,1) definido como i. Então (x, y) = x + yi. Realmente é uma explicação que me esclareceu a mente quanto aos números complexos. Eles seria apenas vetores que pela imposição da soma dos ângulos na multiplicação se chegaria ao i² = -1, ou melhor (0, 1)² = (0, -1). Queria realmente saber a origem de toda essa teoria. [...] Uma ótima referência sobre o assunto é o livro Meu Professor de Matemática, do Elon. Em resumo, complexos foram inventados para resolver equações do terceiro grau -- em alguns casos, é necessário achar as raízes (e manipulá-las algebricamente) de uma equação do segundo grau com delta 0 para obter as três raízes (reais!) da equação original. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Por 7
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet said: --Que historia e essa de so e bom para numeros pequenos? Para comeco de historia, pode-se pegar qualquer bloco de digitos em vez de apenas um por vez. [...] Então você certamente acha que 147 não é um múltiplo de 7? Afinal de contas, 1 - 2*47 = 1 - 94 = 93 = -3*31. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Média de valores em investimentos
[24/3/2005, [EMAIL PROTECTED]: Senhores, Leia a seguinte suposição: Vou fazer um investimento na poupança com os seguintes dados: Depósito inicial: R$500,00 Taxa de Juros: 0.6% a.m. Depósitos subsequentes por mês: R$200,00 Meses de aplicação: 12 meses. Resultado: nessas condições terei ao final do perído: R$3018,02 (Hp 12C) Observe que esse cálculo é simples de fazer tanto com a calculadore HP12C ou na científica, utilizando fórmulas. Mas se os depósitos fossem diferentes, por exemplo: Mês - Valor [...] Qual o cálculo que tenho que fazer com os valores dos meses para que eu encontre um valor médio de depósitos mensais que corresponda ao valores diferentemente depositados? seria alguma média conhecida: Aritmética, Geométrica, Harmôncia? ou seja no exemplo acima os depósitos dos meses 2 a 12 depois de calculados deverá ter como resultado R$200,00 que é o valor fixo que eu depositei no exemplo de depósito fixo. Alguém se Habilida em responder? Se você quiser fazer esta conta, você vai precisar de um programa obscuro, usado apenas pelo marcado financeiro, e que precisa de anos de treino para ser utilizado corretamente, chamado Microsoft Excel. []s, -- Fábio Dias Moreira pgpvilwvJAy33.pgp Description: PGP signature
Re: (x+1)^p - x^p - 1 Era:[obm-l] Problemas diversos
[13/3/2005, [EMAIL PROTECTED]: [...] Alias, isso me fez pensar nos polinomios F_p(x) = (x+1)^p - x^p - 1, com p primo. [...] eu cheguei ao seguinte resultado empirico: F_p(x) = p*x*(x+1)*(x^2+x+1)^n*G(x), onde G(x) eh um polinomio irredutivel sobre Q e n = 1 ou 2, dependendo de p. Mais precisamente: n = 1 se p = 5, 11, 17, 23, 29 e 41 n = 2 se p = 7, 13, 19, 31, 37 e 43 Perguntas: [...] 2) Os primos para os quais n = 1 sao justamente os primos da forma 6k-1? Sim -- afinal, (F_p)'(x) = p(x+1)^(p-1) - px^(p-1). Se w = cis 120, temos que (F_p)'(x) = 0 = (w+1)^(p-1) = w^(p-1). Como p-1 é par, isso equivale a w^(p-1) = w^(2p-2) = w^(p-1) = 1 = 3 | p-1 = p == 1 (mod 3). Analogamente, pode-se concluir que (F_p)''(x) != 0 para todo p. Como F_p(w) = 0 para todo p, temos que n só pode ser 1, se p == -1 (mod 3) e 2, se p == 1 (mod 3). []s, -- Fábio Dias Moreira pgptEHdR4uOqQ.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] CONJUNTOS (BOAS)
[26/2/2005, [EMAIL PROTECTED]: Me diga uma coisa eu não entendi a do irracional elevado a um irracional... no caso x = raiz q. de 2 , ae vc eleva os dois lados a raiz q. de 2 , ae fica x ^raiz q. de 2 = 2, mas isso diz que x ^raiz q. de 2 = 2 é racional mas não diz nada a respeito de x, estou certo? Cuidado -- eu não disse isso; eu *defini* que x = sqrt(2)^sqrt(2). Por definição, x é um irracional elevado a um irracional. Se x for um número racional, o problema acabou, pois x é exatamente o que estamos procurando (um irracional elevado a um irracional dando um racional). Senão, então x^sqrt(2) é um irracional elevado a um irracional, e sabemos que este último número vale 2. Logo, em qualquer uma das hipóteses, conseguimos encontrar um irracional elevado a um irracional dando um racional. Logo a resposta ao problema é sim. Agora me esclareça uma coisa. Veio um arquivo em anexo no documento um tal de file... que arquivo é esse??? Meu PC não identifica ele acho... Pode ficar tranqüilo; o arquivo é só a minha assinatura digital. []s, -- Fábio Dias Moreira pgpV5AYWJXPsC.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] CONJUNTOS (BOAS)
[25/2/2005, [EMAIL PROTECTED]: 6- 39) (ITA-74) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conujunto R dos numeros reais. Sejam as funções f: A - B, (y = f(x)), g: D - A (x = g(x)) e a função composta (fog): E - K, Então os conjunto E e K são tais que: a) E contido A e K contido D b) E contido B e K contém A c) E contém D, D diferente E e K contido B d) E contido D e K contido B e) nenhuma das respostas anteriores 0bs: assinalei a (d). Certo. (Mas eu tenho objeções ao enunciado: em todos os bons livros de matemática que eu conheço, se f: A - B e g: B - C são funções, então, *por definição*, a composta de g com f é (gof): A - C. Naturalmente, podemos restringir o domínio e o contradomínio de gof, mas isso tem que ser indicado, mesmo que implicitamente.) *** 8- Um irracional elevado a um irracional pode ser racional? (alguem pode mostrar um exemplo e a prova ou só a prova mesmo está bom) Considere x = sqrt(2)^sqrt(2). Se x for racional, acabamos. Senão, x é irracional. Mas então x^sqrt(2) = [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) = sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = sqrt(2)^2 = 2, que é claramente racional. (Para satisfazer a sua curiosidade, x é irracional; na realidade, x é transcendente -- ou seja, x não é raiz de nenhum polinômio de coeficientes inteiros.) []s, -- Fábio Dias Moreira pgpjtpwTpkSen.pgp Description: PGP signature
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] QUESTÃO DO IME
[24/2/2005, [EMAIL PROTECTED]:
sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x.
sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - x = x.
sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x.
sqrt(5 - sqrt(5 - ... )) = x.
sqrt(5 - ...) = x.
sqrt(5 - x) = x.
5 - x = x^2
x^2 + x - 5 = 0
(Resolveu. Equacao do segundo grau.)
A tecnica consiste em substituir o valor de x infinitamente pela expressão
que o equivale. Ate vc perceber q todas as parcelas de {sqrt(y)} podem ser
equivalente a x. Onde y sao as substituicoes infinitas.
Essa solução é realmente muito bonita... É uma pena que esteja errada.
(Se você não acredita, tente resolver a equação
sqrt(0,91 - sqrt(0,91 - x)) = x
com este método.)
[]s,
--
Fábio Dias Moreira
pgpmIIdFkbaoF.pgp
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Re: [obm-l] Mega Sena
[24/2/2005, [EMAIL PROTECTED]: Eu tava pensando: Se o cara aposta na mega sena e acerta os 6 numeros ele ganha a sena, a quina, a quadra e a trinca? ou somente a Sena? Eu acho que é só a Sena. Partindo desse principio: Se a pessoa na Mega Sena quiser apostar 7 numeros ao inves de 6, ela paga C(7,6) reais, ou seja, 7 reais. e assim por diante. Supondo que ela ganhe o premio maximo apostando 7 numeros em uma so cartela, nao seria mais vantajoso ela ter feito as 7 combinacoes em cartelas diferentes?? Pois assim ela ganharia nao so na Sena, mas na Quina e Quadra também. [[ Se o processo nao for desse jeito, me desculpem :) ]] O site da Caixa sugere que não: http://www.caixa.gov.br/Loterias/Como_Jogar/Asp/Megasena.asp O que a Caixa parece fazer quando você aposta n dezenas é, na realidade, ela emite C(n;6) bilhetes com todos os bilhetes de seis dezenas possíveis. A única razão para se apostar mais de seis dezenas, portanto, é simplesmente a conveniência que não ter que marcar mais de um jogo. (Parece que o valor da Mega-Sena aumentou para R$ 1,50.) []s, -- Fábio Dias Moreira pgpXyskgQYnQG.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] 3 problemas em aberto
[22/2/2005, [EMAIL PROTECTED]: Restam, na lista, 3 problemas em aberto dentre aqueles propostos na ultima semana. O primeiro, que eu propuz, eh de longe o mais facil. [...] 1) Sao dados n segmentos de reta (cada um de comprimento fixo mas todos moveis), os quais, justapostos numa dada ordem, formam um n-gono convexo inscritivel. Prove que qualquer permutacao desses segmentos formarah um n-gono convexo inscritivel e que todos os n-gonos assim formados tem a mesma area (e, obviamente, o mesmo perimetro). Seja R o raio da circunferência circunscrita ao n-ágono, e O o centro desta circunferência. Se os comprimentos dos lados são l_1, l_2, ..., l_n e os ângulos associados de vértice O são a_1, a_2, ..., a_n, então a permutação l_p(1), l_p(2), ..., l_p(n) induz os ângulos a_p(1), a_p(2), ..., a_p(n). Além disso, como só estamos rearrumando os triângulos gerados por O e por cada lado, a área é preservada. [...] O terceiro dah pra fazer no braco, mas obviamente o legal eh achar uma forma esperta de enumerar os cortes. Eu pensei no numero de solucoes de x+y+z+w=8 com algumas restricoes mas me enrolei. Se a sua idéia é a que eu estou pensando, o seguinte corte não parece ser representado por nenhuma solução: XXOO XOOX []s, -- Fábio Dias Moreira pgpxTDEAggQXG.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] 3 problemas em aberto
[22/2/2005, [EMAIL PROTECTED]: on 22.02.05 13:31, Fábio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote: [22/2/2005, [EMAIL PROTECTED]: [...] O terceiro dah pra fazer no braco, mas obviamente o legal eh achar uma forma esperta de enumerar os cortes. Eu pensei no numero de solucoes de x+y+z+w=8 com algumas restricoes mas me enrolei. Se a sua idéia é a que eu estou pensando, o seguinte corte não parece ser representado por nenhuma solução: XXOO XOOX []s, Precisamente onde eu empaquei. O problema eh aquele X na posicao (2,2) e nao adianta girar o quadrado... [...] Acho que eu sei fazer o problema: ao invés de contar cortes, eu vou contar pinturas do tabuleiro de preto e branco de tal forma que as duas componentes geradas são conexas e têm a mesma área. Como as pinturas XXOO OOXX XOOX OXXO são evidentemente induzidas pelo mesmo corte, temos que dividir o resultado da contagem por 2 ao final. A observação inicial é que se as duas componentes são conexas, o corte só pode tocar a fronteira do tabuleiro duas vezes -- uma para entrar, outra para sair. Logo, a interseção da componente branca com o anel formado pelos 12 quadrados exteriores é conexa (e analogamente para a parte preta): *..* (anel formado pelos quadrados externos) *..* Essa interseção pode ter quatro, cinco, seis, sete ou oito quadrados brancos, já que as áreas são iguais. Evidentemente, por causa da dualidade das cores, o número de tabuleiros com quatro quadrados brancos e com oito quadrados brancos é o mesmo (idem para cinco e sete). Caso I -- 4 quadrados brancos: == Neste caso, todos os quatro quadrados centrais devem ser brancos, e basta escolher onde começa a fita de quadrados brancos no anel. Logo temos 12 possibilidades. Caso II -- 5 quadrados brancos: === Neste caso, três quadrados centrais são brancos, e o formato da fita externa pode ser de dois tipos, dependendo do ponto de começo desta (eu estou fixando o sentido horário): 1211 1..2 2..1 1121 # Subcaso 1 -- 8 possibilidades X..O X..X Neste caso, o único caso impossível é o representado no diagrama: XOXO XOOX Logo temos 8*3 = 24 possibilidades neste caso. # Subcaso 2 -- 4 possibilidades XOOO X..O X..O Novamente, o único caso impossível é o representado no diagrama: XOOO XOXO XOOO Logo temos 4*3 = 12 possibilidades neste caso. No total, temos 24+12 = 36 possibilidades para o caso II. Caso III -- 6 quadrados brancos: Neste caso, dois quadrados centrais são brancos, e o formato da fita externa pode ser novamente de dois tipos: 1121 2..1 1..2 1211 # Subcaso 1: 8 possibilidades X..O X..O Neste caso, as quatro pinturas centrais que não desconectam os quadrados centrais são possíveis, logo temos 8*4 = 32 possibilidades. # Subcaso 2: 4 possibilidades O..O X..X A única pintura que não desconecta quadrados que é impossível é esta: OXXO XOOX Logo temos 3*4 = 12 possibilidades. Logo no caso III temos 32+12 = 44 possibilidades. == Logo, no total, temos (12+36+44+36+12)/2 = 140/2 = 70 cortes. []s, -- Fábio Dias Moreira pgpAevOg4IV1l.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] novato
[22/2/2005, [EMAIL PROTECTED]: olá pessoal, sou novo na lista , entro aqui com o intuito de adquirir conhecimento , para pode me torna uma pessoal melhor , um abraço para todos [...] O Luís Lopes e o Bruno Dias já deram várias referências para a demonstração da dua desigualdade; se você não recebeu os emails, veja no arquivo da lista (link no rodapé deste email). []s, -- Fábio Dias Moreira pgp95bnzkPA7o.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] Listinha boa!!
[21/2/2005, [EMAIL PROTECTED]: 1)As provas de um detonador de granadas efetuam-se no cemtro do fundo de um poço cilindrico de profundidade H.Os estilhaços da granada, que se produzem depois da explosão e cujas velocidades não ultrapassam Vo, não devem cair na superfície da terra.Qual deverá ser o diametro minimo d do poço? Suponha que um estilhaço sai com velocidade inicial que forma um ângulo w com o plano do fundo do poço. Sejam x_1 e x_2 os deslocamentos horizontais nos pontos onde o estilhaço está acima da superfície da terra. Seja ainda r = d/2. Afirmação: Nenhum estilhaço cai fora do poço se e somente se r x_1 e r x_2 para todos os possíveis x. Demonstração: A volta da propsição é bem óbvia -- neste caso, os estilhaços voam acima da superfície mas não tem potência suficiente para cair fora do poço. Além disso, se x_1 r x_2, o estilhaço efetivamente cai na superfície. Resta estudar o caso onde r x_1 e r x_2, que é o caso onde o estilhaço bate na parede do poço. Mas neste caso, aumentar o valor de w aumenta a altura máxima e reduz o alcance do estilhaço. Como, para w = pi/2, x_1 = x_2 = 0, pelo TVM, existe w tal que x_1 r x_2, logo algum estilhaço cai fora do poço. Fixando o referencial no fundo do poço, temos que a equação do movimento é x(t) = t * v_0 * cos w y(t) = t * v_0 * sen w - g * t^2 / 2. Então x_1 e x_2, se existirem, são as raízes de y(t) = H. Convencionando x_1 x_2, é fácil ver que x(t_2) = [v_0 * cos w / g]*[v_0 * sen w + sqrt(v_0^2 * sen^2 w - 2 * g * H)]. Chamando k^2 de 2*g*H/v_0^2, o nosso problema se reduz a achar o máximo de cos w*[sen w + sqrt(sen^2 w - k^2)]. Esse máximo será o valor de r. Como 0 w pi/2, os extremos não maximizam a função e cos w = sqrt(1 - sen^2 w). Chamando sen w de u (logo 0 u 1), temos que maximizar sqrt(1 - u^2)*(u + sqrt(u^2 - k^2)). Apesar que eu não fiz a conta, não parece ser muito fácil achar esse máximo -- igualar a derivada a zero na mão é impraticável. []s, -- Fábio Dias Moreira pgpzdkVq7aXv4.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] ajudinha básica com complexos
Thiago Addvico escreveu: é algo bem simples, mas eu estou me atrapalhando muito nas soluções, achando coisas q divergem dos resultados do livro: Determine Z pertencente ao conjunto dos complexos tal que z elevado ao cubo é igual ao conjugado de Z [...] Seja z* o conjugado de z. Então temos z^3 = z*. Aplicando o módulo dos dois lados, |z|^3 = |z| = |z| = 0 ou |z| = 1. O caso |z| = 0 implica z = 0. O caso |z| = 1 implica z^3 = z* = z^4 = z*z = |z|^2 = 1 = z^4 = 1. Como todas as passagens são equivalências, as soluções são 0, 1, -1, i, -i. [...] Sendo x^2 + y^2 = 1, Prove que (1 + x + y . i)/(1 + x - y . i) = x + y . i [...] Isso não faz sentido no caso x = -1 e y = 0. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Moedas em sacos
Fábio Dias Moreira escreveu: Rogerio Ponce escreveu: Ola' Qwert, Bruno, Claudio e colegas da lista, o fato e' que N pode ser ainda maior que 927... [...] Considere todos os ternos (p, q, r) de inteiros com |p|, |q|, |r| = 10 e tais que mdc(p, q, r) = n (estou definindo mcd(x, 0) = |x|). Seja S o conjunto desses ternos. Eu afirmo que é possível fazer o pedido com N = #S. [...] Logo N = #S_1 = 9261 - 1331 - 343 - 125 - 27 + 27 + 27 + 1 = 7490. Isso também prova que, se todas as pesagens forem balanceadas, essa *é* a cota superior, logo basta provar que pesagens não-balanceadas não permitem ir além de um limite inferior a 7490. [...] Desculpem -- eu quero dizer 7491. O terno (0, 0, 0) pode ser adicionado a S sem risco de ser confundido com algum dos outros ternos. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema
Bruno Bruno escreveu: Olha, esse enunciado não é verdade. Podemos dipor as moedas da seguinte maneira: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Essa disposição é perfeitamente viável e não contraria o enuunciado (15 moedas de mesmo diametro formando um triangulo equilatero). Ora, usando essa convençao de X e O, podemos botar as moedas assim: O X X O X X O O X X X O X O O Não formando assim, qualquer triangulo equilatero (não estou querendo ser pentelho, mas é que realmente eu pensei nessa configuraçao antes de pensar naquela onde estao todas amontoadas). [...] Bom, eu também pensei nessa distribuição inicialmente, e até achei um contraexemplo -- por isso que eu fiz o problema com a distribuição que eu mostrei. Mesmo assim, o seu exemplo contém vários triângulos equiláteros monocromáticos (onde?). []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teo de fermat provado com matematica elementar?
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Fabio Niski escreveu: | Por gentileza senhores, alguem poderia comentar sobre esta suposta prova | usando apenas conceitos do ensino medio? | | http://xxx.lanl.gov/abs/math.GM/0502245 | [...] Eu acho que a afirmação imediatamente após a equação 35 é um erro fatal, já que n não precisa ser par. (Apesar de que não há nenhum problema imediatamente, ele explora o fato de que a raiz (n/2)-ésima de (1/X + 2X + 2) é inteiro somente se (1/X + 2X + 2) é inteiro, o que se torna falso no caso n ímpar.) []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.4.0 (MingW32) Comment: Using GnuPG with Thunderbird - http://enigmail.mozdev.org iD8DBQFCEmmGp7qMXa2oQtsRAtKyAJ0eDAThajOsD8c4IEixJY6+9dAx4ACfex9s Og/Sxf5reOWucZCHehNpTSM= =O0ri -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema
benedito escreveu: Quinze moedas de mesmo diâmetro são dispostas formando um triângulo eqüilátero. As faces de cada uma das moedas são pintadas ou de branco ou de preto. Prove que, qualquer que seja a pintura, existem três moedas de mesma cor cujos centros são vértices de um triângulo eqüilátero. [...] Suponha que não há triângulo equilátero e considere o tabuleiro: . . . . a . . a a . . . . . . Os três quadrados marcados com a não podem ser da mesma cor. Suponha s.p.d.g. que eles são pintados da seguinte forma: . . . . O . . X X . . . 1 . . (Eu estou seguindo a convenção do Go -- O é branco, X é preto) O ponto 1 deve ser branco: . . . . O . 2 X X 2 . . O . . Os pontos 2 têm que ser pretos: . . . . O . X X X X . 3 O 3 . Os pontos 3 têm que ser brancos: . . . . * . X X X X . * O * . Mas então acabamos de formar um triângulo equilátero nos três pontos marcados. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Moedas em sacos
Rogerio Ponce escreveu: Ola' Qwert, Bruno, Claudio e colegas da lista, o fato e' que N pode ser ainda maior que 927... [...] Considere todos os ternos (p, q, r) de inteiros com |p|, |q|, |r| = 10 e tais que mdc(p, q, r) = n (estou definindo mcd(x, 0) = |x|). Seja S o conjunto desses ternos. Eu afirmo que é possível fazer o pedido com N = #S. Para ver isso, faça uma bijeção entre os sacos e os ternos de S. Na i-ésima pesagem, coloque t_i moedas do saco associado a t no prato da direita (faça a coisa natural no caso t_i 0). Como t pertence a S = -t pertence a S, a balança acusa um valor de t_i*d, onde d é a diferença de peso entre as moedas defeituosas. Logo as três pesagens revelarão o valor de t*d. Como d 0 e as três componentes de t são primas entre si, o mdc real entre as três componentes de t é exatamente d, logo é possível achar t. Agora o problema é achar N. Pelo PIE, não é difícil ver que #S = 21^3 - #T_2 - #T_3 - #T_5 - #T_7 + #T_6 + #T_10 + 1 onde #T_n é o conjunto dos ternos com norma do sup = 10 e o mcd entre as componentes é um múltiplo de n. Então #T_2 = 11^3 #T_3 = 7^3 #T_5 = 5^3 #T_6 = #T_7 = #T_10 = 3^3 Logo N = #S_1 = 9261 - 1331 - 343 - 125 - 27 + 27 + 27 + 1 = 7490. Isso também prova que, se todas as pesagens forem balanceadas, essa *é* a cota superior, logo basta provar que pesagens não-balanceadas não permitem ir além de um limite inferior a 7490. (O meu raciocínio está certo? A contagem está certa; eu conferi com um programinha em Python.) []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Senos e cossenos estranhos...
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
carlos gomes escreveu:
| Algum colega pode me ajudar com essa:
|
| Suponha que x, y, z e w são números reais tais que:
|
| senx+seny+senz+senw=0
| cosx+cosy+cosz+cosw=0
|
| Mostre que :
|
| (senx)^2003+(seny)^2003+(senz)^2003+(senw)^2003=0
| [...]
Definição: S_r = {v | |v| = r} e B_r = {v | |v| = r} (ou seja, S_r e
B_r são a circunferência e a bola fechada de raio r.
Lema: Todos os vetores de B_2\{0} se escrevem unicamente (a menos da
ordem dos elementos) como soma de dois elementos de S_1.
Demonstração: Pela lei dos cossenos, se u e v estão em S_1 e fazem um
ângulo de x, então |u+v| = sqrt(2 + 2cos x), que é uma bijeção do
intervalo [0, pi) no intervalo (0, 2]. Aplicando uma rotação conveniente
a u e v, podemos fazer u e v assumir qualquer vetor de S_{sqrt(2 + 2cos
x)}. Logo o lema está demonstrado.
Considere 4 vetores a, b, c e d em S_1, tais que a+b+c+d = 0. (note que
os argumentos desses vetores satisfazem as hipóteses do enunciado, já
que as coordenadas dos vetores podem ser expressas como (sen x, cos x) e
assim sucessivamente).
Então, a+b = -(c+d). Mas (-c) + (-d) = -(c+d) = a + b, logo, pelo lema,
podemos supor s.p.d.g. que a = -c e, analogamente, b = -d. Logo, se x,
y, z, w são os argumentos de a, b, c e d, temos que sen x = -sen z, cos
x = -cos z, sen y = -sen w e cos y = -cos w, e segue trivialmente que
(sen x)^2003 + (sen y)^2003 + (sen z)^2003 + (sen w)^2003 =
(sen x)^2003 + (sen y)^2003 - (sen x)^2003 - (sen y)^2003 = 0.
(A demonstração acima tem um pequeno erro que não afeta a
afirmação-chave do problema, mas que precisa ser corrigido. Qual?)
[]s,
- --
Fábio Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.4.0 (MingW32)
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=L5CT
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Re: [obm-l] Eureka 02: No mínimo 21 números
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [EMAIL PROTECTED] escreveu: | Olá pessoal ! | | Escolha um número de quatro dígitos (nenhum deles zero) e começando com | ele construa uma lista de 21 números distintos, de quatro dígitos cada | um, que satisfaça a seguinte regra: depois de escrever cada novo número | da lista devem-se calcular todas as médias entre dois dígitos desse | número, descartando-se as médias que não dão um número inteiro, e com os | que restam se forma um número de quatro dígitos que ocupará o lugar | seguinte na lista. Por exemplo, se na lista se escreveu o número 2946, o | seguinte pode ser ou 3434 ou 5345 ou qualquer outro número armado | com os dígitos 3, 4 ou 5. | [...] Você já sabe construir uma lista com 6 números? 12 números? 18 números? Não é muito difícil ver que a lista sempre acaba (se você for esperto) em um número de quatro dígitos iguais. Portanto, você quer começar com um número que tenha a maior energia potencial possível. (Eu me lembro de ter feito essa questão da prova -- sim, eu estou ficando velho -- e eu tenho a impressão de que esse 21 pode ser refinado para 29. Eu estou falando besteira?) []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.4.0 (MingW32) Comment: Using GnuPG with Thunderbird - http://enigmail.mozdev.org iD8DBQFCDYwUp7qMXa2oQtsRAsNcAJ9syKfaDU0fPE+l22hjzmwLnkB6xwCdEd7A jQ/8WqObxbp3THbaYbwJuNM= =suNw -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercícios...
Vinícius Meireles Aleixo wrote: Oi, boa noite Aqui vão alguns exercicios do meu livro de cálculo(derivadas) que não consegui fazer, caso possam da uma ajudinha... [...] [...] 2-Prove que a mais curta distancia de um ponto (X_1, Y_1) ao gráfico de uma função diferenciável f é medida ao longo de uma normal ao gráfico, isto é, uma perpendicular à tangente. [...] Isso é falso: Tome f: (0, 1) - (0, 1), f(x) = x e (x_1, y_1) = (2, 2). []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] SISTEMA
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 samanta [EMAIL PROTECTED] said: Olá Fabio, Infelizmente, eu não consegui entender o início: Fatorando a segunda equação, b(3a^2 - b^2) = -2. Se a e b forem inteiros, há quatro possibilidades para o b, que determinam o valor de a. Delas, apenas b = 2 e b = -1 Como você encontrou esses valores? Obrigada pela atenção, []´s Samanta [...] Só existem quatro divisores inteiros de -2: -2, -1, 1 e 2, logo b deve ser um deles. b = -2: -2(3a^2 - 4) = -2 = 3a^2 = 5, impossível b = -1: -1(3a^2 - 1) = -2 = 3a^2 = 3 = a^2 = 1. b = 1: 1(3a^2 - 1) = -2 = 3a^2 = -3, impossível. b = 2: 2(3a^2 - 4) = -2 = 3a^2 = 3 = a^2 = 1. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFBWolZalOQFrvzGQoRAgHEAJ0X3oHHN76mI1WRyN04usETNBympwCeMv2b P4GZD/sL8+ZMRUicv4G8ZJ8= =b8Mu -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] SISTEMA
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 samanta [EMAIL PROTECTED] said: Olá amigos, Existe solução para esse sistema? a^3 - 3a(b^2) = -11 3(a^2) - b^3 = -2 [...] O Leandro já respondeu à sua pergunta, mas eu acho que você queria dizer a^3 - 3ab^2 = -11 3a^2b - b^3 = -2 i.e. você quer achar a raiz cúbica de -11-2i. Fatorando a segunda equação, b(3a^2 - b^2) = -2. Se a e b forem inteiros, há quatro possibilidades para o b, que determinam o valor de a. Delas, apenas b = 2 e b = -1 geram a inteiro (e nos dois casos, a^2 = 1). Substituindo na equação de cima, a(1 - 3b^2) = -11. A única possibilidade é b = 2 e a = 1, logo (1 + 2i)^3 = -11-2i. As outras duas soluções do sistema são geradas multiplicando por cis 120. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFBWIxBalOQFrvzGQoRAu6kAKC4zFLL/ZkyBKtd3eScxKwuH7e1PgCeKxxc bwclvxj+8oLHqhyJD1V3knI= =ze3k -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PESQUISA ELEITORAL!
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [EMAIL PROTECTED] said: [...] A propósito, o que é absurdo nesta declaração Metade dos entrevistados, tiveram um desempenho abaixo da média [...] Além da vírgula separando sujeito e predicado? Nada; se a distribuição for simétrica, a afirmação é perfeitamente válida. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFBJUYhalOQFrvzGQoRAi8IAKCVSfRgKsqD/Lapq3rx6WCsG8a86ACdHP9B 5O/puWUpP4Hfh9vU+1Uz6xk= =rRe0 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Prova da IMC - 1o. dia (correcao)
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
[EMAIL PROTECTED] said:
[...]
3) Let S_n be the set of all sum x_1+x_2+...x_n, where
n=2, 0=x_1,...,x_n=pi/2 and
sin(x_1) + sin(x_2) + ... + sin(x_n) = 1
a) Show that S_n is an interval.
b)Let l_n be the length of S_n. Find lim(n-infinito)(l_n).
[...]
[espaço para quem quer pensar no problema]
a) Seja y_i = sen(x_i). Então x_1 + ... + x_n = arcsen(y_1) + ... +
arcsen(y_n), já que os x_i estão restritos ao intervalo [0, pi/2].
Tome então a função f: S - R que leva (y_1, ..., y_n) em arcsen(y_1) + ... +
arcsen(y_n), e S é o conjunto dos vetores (y_1, ..., y_n) do R^n tais que:
* y_1 + ... + y_n = 1
* 0 = y_i = 1 para todo i, 1 = i = n.
f é obviamente contínua, e S é obviamente conexo, logo f(S) é conexo, logo é
um intervalo.
b) Lema: f(S) = [n*arcsen(1/n), pi/2]
Prova: O resultado é obviamente verdadeiro para n = 1. Suponha que ele é
válido para n-1.
Pelo teorema do Multiplicador de Lagrange, o único ponto crítico da f é o
ponto (1/n, 1/n, ..., 1/n) (pois df/dy_i = 1/sqrt(1-y_i^2), e os pontos
críticos da f são caracterizados por grad(F) // (1, 1, ..., 1), pois o vetor
(1, 1, ..., 1) é o vetor normal à superfície S). Portanto, um candidato a
ponto de mínimo é (1/n, ..., 1/n) (com valor n*arcsen(1/n)), já que é fácil
ver que a Hessiana de f é uma matriz com zeros fora da diagonal e entradas da
forma y_i/(1-y_i^2)^(3/2) na diagonal, logo é uma matriz positiva definida.
Por outro lado, existem dois tipos de pontos na fronteira de S:
* pontos com algum y_i = 1;
* pontos com algum y_i = 0.
Se y_i = 1, então y_1 = y_2 = ... = y_{i-1} = y_{i+1} = ... = y_n = 0, e a
função vale pi/2. Mas se y_i = 0, a função f se comporta exatamente como no
caso n-1. Logo, pela hipótese de indução, a imagem da fronteira de S por f é
[(n-1)*arcsen(1/(n-1)), pi/2]. Logo o máximo da f, em dimensão n, é pi/2, e o
seu mínimo é n*arcsen(1/n), pois a derivada de x*arcsen(1/x), arcsen(1/x) -
1/sqrt(x^2-1), é sempre negativa se x 1, pois
arcsen(1/x) 1/sqrt(x^2-1) =
1/x sen(1/sqrt(x^2-1)), verdadeiro pois sen(1/sqrt(x^2-1)) 1/sqrt(x^2-1)
1/sqrt(x^2) = 1/x. Em particular, n*arcsen(1/n) (n-1)*arcsen(1/(n-1)).
Logo l_n = pi/2 - n*arcsen(1/n). Mas arcsen(1/n) = 1/n + O(1/n^2), logo
lim[n-inf] l_n = lim[n-inf] pi/2 - 1 + O(1/n) = pi/2 - 1.
[]s,
- --
Fábio Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)
iD8DBQFBA/QoalOQFrvzGQoRAuTVAJ45AUYJiaCRJlrEKT/5eW9bEUdphQCdHAY5
Aaz53/HZ7CtSOOaV5eatX7k=
=sbcC
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Série Infinita
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Flávio Ávila [EMAIL PROTECTED] said: Submeto o seguinte problema: Calcule o limite da seqüência, quando n tende a infinito: Sn = 1/n + 1/(n+1) + ... + 1(2*n). Eu acho que já consegui resolver este problema, mas foi há muito e tempo atrás, e não me lembro como o fiz. Se não me engano o resultado é ln(2). [...] Como, essencialmente, 1/1 + 1/2 + ... + 1/n = ln n + c + O(1/n), onde c é uma constante positiva, temos que S_n = ln 2n + c + O(1/n) - ln n-1 - c - O(1/n) = ln[2n/(n-1)] + O(1/n), que obviamente tende a ln 2. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFBAd93alOQFrvzGQoRAkeYAJ9v2UrI4YLsAiwqU+EJTFwjpEsPAQCgyPnQ PGDJgOwNuvZP2haL4NOOgLM= =Mu7n -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] calculo de área - acho que precisa de integral
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED] said: Se eu entendi direito o problema... Quadrado ABCD de lado a, centro O, círculo de centro A e raio a, círculo de centro O e raio a/2. Sejam E e F os pontos de interseção das duas circunferências. Então o problema é encontrar área da lua entre os dois arcos EF, é isto? [...] Total: a^2/8*(sqrt(7)+2pi-2x-8y) onde x e y são calculáveis como acima (arccos disso e daquilo). Confira aí se eu errei alguma conta -- o método certamente funciona, mas é difícil saber se a resposta poderia ser mais simplificada [...] A gente já resolveu esse problema no treinamento de segunda-feira no IMPA, e a resposta é um número feio que nem esse aí mesmo. [...] (eu tentei calcular cos(8y+2x) para ver se 8y+2x era um ângulo conhecido, mas deu 393/4096, que não me parece ser o cosseno de um ângulo conhecido). :P [...] E não pode ser mesmo -- um dos problemas propostos da Eureka! 17 é provar que cos(m*pi/n) é racional somente se |n| = 3, logo os ângulos de 60 e 90 graus são, essencialmente, os únicos que têm cosseno racional. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFA/wV2alOQFrvzGQoRArxeAKDQz8MJD43ToTACRvIlojhozbHfdwCgpj6F NM4cO+IqsxCYbA1hdyeka/c= =KOVl -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Função Exponencial
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
Lista OBM [EMAIL PROTECTED] said:
Gostaria de saber se existe duas funções reais f e g tais que (fog)(x) =
e^x.
[...]
Como outros já responderam, sim, existe: basta tomar f(x) = x e g(x) = e^x.
O mais interessante nesse problema é que existe uma função f: R - R tal que
(fof)(x) = e^x -- esse é um dos problemas propostos na Matemática
Universitária, no. 35, páginas 41-46.
(espaço para quem quer pensar no problema...)
Cosndiere A_1 = (-1, 0], A_2 = (-inf, -1] e, se A_i = (a_i, b_i], então
A_{i+2} = (e^a_i, e^b_i] (estou definindo e^-inf = 0). É fácil ver que os
A_i's são uma partição de R.
Agora, defina f_i: A_i - A_{i+1} por f_1(x) = -1/(x+1) e f_{i+1}(x) =
e^(f_i^{-1}(x)), onde f_i^{-1} é a inversa da f_i. Para provar que esta
definição faz sentido, temos que provar que f_i é invertível para todo i.
Isso é verdade para i = 1; suponha a afirmação verdadeira para f_{i-1}. Então
f_i é trivialmente injetora, e é sobrejetora, pois a imagem de f_{i-1}^{-1} é
A_{i-1}, logo a imagem de f_i é a exponencial de A_{i-1}, que é A_{i+1}.
Finalmente, defina f(x) = f_i(x), onde i é escolhido de tal forma que x
pertença a A_i. Então
f(f(x)) = f(f_i(x)). Mas f_i(x) pertence a A_{i+1}, logo
f(f(x)) = f_{i+1}(f_i(x)) = e^(f_i^{-1}(f_i(x))) = e^x para todo x real.
[]s,
- --
Fábio Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
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iD8DBQFA/aOmalOQFrvzGQoRApaJAJwOwqqzb2/iF37X4BnJ+fPFyHZylQCePqdA
Z9SahgcKCY+ovHQkGILqRWg=
=EbqB
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Re: [obm-l] problema combinatoria
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 rafaelc\.l [EMAIL PROTECTED] said: De quantos modos 720 pode ser dividido em um produto de três inteiros positivos? [...] Como 720 = 2^4*3^2*5, a*b*c = 720 == a = 2^a1*3^a2*5^a3 b = 2^b1*3^b2*5^b3 c = 2^c1*3^c2*5^c3 com a1+b1+c1 = 4, a2+b2+c2 = 2, a3+b3+c3 = 1. Essas três equações são independentes e têm C(6;2), C(4;2), C(3;2) soluções, respectivamente. Logo o número total de maneiras é 6*5*4*3*3*2/2^3 = 270. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFA2aagalOQFrvzGQoRAoZPAJ4tTORpddz1suZ5PgwjNI3fXwoDZgCfd1ai MDotoc4wqsvrRLgfbcZoiI8= =CCZ9 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] poligono
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] said: (F) Todas sao falsas. 22,5 graus eh o angulo central de um poligono de 16 lados. Se X e Y sao vertices consecutivos, n=16. Se nao forem consecutivos, n serah multiplo de 16. [...] Mas o ângulo inscrito na circunferência vale metade do ângulo central, logo basta que 8|n, não? O ponto O é um dos vértices do polígono, não o seu centro. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFA1hbEalOQFrvzGQoRAv+CAKDKLXKCnP5VutDVaxfh7Ilo9roFkQCfb6s2 uD636mHDGdFisml1THNOMUQ= =TsNf -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] racional entre dois iracionais!!
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Thiago Ferraiol [EMAIL PROTECTED] said: Desculpe minha ignorância mas será que você poderia ser mais claro??? Não consegui ver como demonstrar a partir de tal sequencia!!! [...] Uma propriedade fundamental de todos os números reais é que eles podem ser tão bem aproximados por racionais quanto queiramos. Logo, se o seu intervalo é [a, b], existe um certo r a que aproxima a com erro menor que e, para todo e positivo. Em particular, existe um certo r tal que |r - a| |b - a|. Mas como r a, isso implica r - a b - a == r b == a r b, com r racional. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFA0vh+alOQFrvzGQoRAoc0AJ0cgBty6LrwFrE2YJJ2PdNJi4WNEQCfbQRI u9bmEnhHG7x/g3g/gSco8VM= =S+LM -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] racional entre dois iracionais!!
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Thiago Ferraiol [EMAIL PROTECTED] said: Pessoal... Dado dois números irracionais, como mostrar que sempre existe (ou não existe) um numero racional entre eles??? [...] Considere uma seqüência (r_1, r_2, ...) de aproximações racionais por excesso do extremo inferior. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFA0nM8alOQFrvzGQoRAgG0AJ9U/RgO1VbIGarm7xtMJ+bPli5eUACdHGzj YJdVaXS3S+nCwNbxSpvK/Dk= =Thbs -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] CADEIAS DE MARKOV!
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [EMAIL PROTECTED] said: [...] Os hábitos de fumar de um homem são como segue. Se ele fuma cigarros com filtro numa semana, ele muda para cigarros sem filtro na semana seguinte com probabilidade 0,2. Por outro lado, a probabilidade de que ele fume cigarros sem filtro, em duas semanas seguidas é 0,7. A longo prazo, durante que parte do tempo ele fuma cigarros com filtro? [...] A matriz de transição da cadeia é 1/10*[8 3; 2 7], que tem apenas um autovetor com autovalor associado igual a 1, que é t*(3, 2). Como a soma das probabilidades tem que valer 1, t vale 5, logo ele fuma cigarros com filtro com probabilidade 3/5 a longo prazo. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFA0OPJalOQFrvzGQoRAvgHAJ9lKn7LfmkOrHAG6nBJLJF0CMbpNwCfSqaW HWD7M5VPbrVDHoVObC15Fe4= =gnoC -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] residuos quadráticos (ajuda!!!)
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Thiago Ferraiol [EMAIL PROTECTED] said: Pessoal... Estou com uma dúvida para resolver congruencias do tipo x^2 = a (mod p) onde p é primo impar [...] No meio de um exercicio apareceu a seguinte congruência d^2 = 56 (mod 61)... alguém poderia me ajudar [...] As únicas propriedades que você precisa saber para calcular um símbolo de Legendre são as seguintes: * (ab/p) = (a/p)(b/p) se (a, b) = 1; * (a^2*b/p) = (b/p); * (p/q)(q/p) = (-1)^[(p-1)(q-1)/4] se p e q são primos ímpares; * (-1/p) = (-1)^[(p-1)/2] se p é primo ímpar; * (2/p) = (-1)^[(p^2-1)/8] se p é primo ímpar; Note que 56 = 2^2*14. Então (56/61) = (14/61) = (2/61)*(7/61) = (-1)*(61/7) = (-1)*(5/7) = -(7/5) = -(2/5) = 1. Se você quiser ver demosntrações dos fatos acima, o livro do Plínio de Teoria dos Números, editado pela SBM, é uma boa referência. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAzn1BalOQFrvzGQoRAjDYAJ4uLHCrRJmVO/ycntCVvzvFWClr3QCfagRy o41Vi2y2wNjozmkHf783dZo= =QD0D -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: Ajuda²
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
Wallace Martins [EMAIL PROTECTED] said:
Fábio Dias Moreira escreve:
[...]
[EMAIL PROTECTED] said:
Queria ajuda da turma em algumas questões:
1) O produto das raízes do seguinte sistema
{X elevado a Logy + Y elevado a Logx = 200
{raíz de X elevado a Logy multiplicado por Y elevado a Logx = y
a) 1 b) 1000 c) 100 d ) 10
[...]
[...]
y = 1000
x = 1/10
x*y = 100.
[...]
Fábio,
por que x = 10^{-1} e não x = 10^{2/3}?
[...]
Porque a minha conta está errada -- obrigado pela correção.
[]s,
- --
Fábio Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
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iD8DBQFAyIjYalOQFrvzGQoRAtBPAJ9UJJ360mcL5aDOMLuAqvKbjF2AKgCdGHYk
1UkX+adR5+ByJXW0StR4Xlo=
=7YnO
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Re: [obm-l] Ajuda²
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
[EMAIL PROTECTED] said:
Queria ajuda da turma em algumas questões:
1) O produto das raízes do seguinte sistema
{X elevado a Logy + Y elevado a Logx = 200
{raíz de X elevado a Logy multiplicado por Y elevado a Logx = y
a) 1 b) 1000 c) 100 d ) 10
[...]
x^log(y)+y^log(x) = 200
exp(log(x) * log(y)) + exp(log(y) * log(x)) = 200
log(x)*log(y) = log(100)
sqrt(x)^log(y)*y^log(x)=y
exp(log(x)*log(y)/2+log(y)*log(x)) = y
y = exp(log(10) + log(100))
y = 1000
x = 1/10
x*y = 100.
[]s,
- --
Fábio Dias Moreira
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iD8DBQFAx2DLalOQFrvzGQoRAp9qAJwP+4eGJSzW+sB696BpoFXEznKeTgCcDo/r
lcAQPmtiQOyRc5kU3Hhtd2s=
=cPUE
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] função monótona
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Osvaldo [EMAIL PROTECTED] said: Acredito que seja um dos tipos de funçoes abaixo: Estritamente crescente; Estritamente decrescente; Crescente; Decrescene; Os dois primeiros tipos de funçoes monotonas acima tem a prop. de que a derivada de primeira ordem nunca se anula e os dois restantes que ela nao é nula em todo intervalo, porem podendo anular se em um subconjunto do domínio. [...] Isso se existir uma derivada... []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAwmPZalOQFrvzGQoRAiQpAJ42omajTAASUS5RGweCsCfmbflgdgCeKplY NwLZgculuoTTjeUzrks7FsI= =DjqD -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Aritmética
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 aryqueirozq [EMAIL PROTECTED] said: Poderiam me ajudar nesta questão? Um lojista está disposto a vender um tênis de três formas: I - R$100,00 à vista hoje II - R$125,00 daqui a um mês III - Duas parcelas de R$60,00, uma hoje e outra daqui a um mês. Se você sabe que a inflação é de 30% ao mês e que 90% desta é repassado ao seu salário, qual é a melhor opção de compra? [...] Isso quer dizer que o dinheiro vale 27% ao mês. Transportando todos os valores para a época atual: I - 100 reais II - 125/1,27 = 98,43 reais III - 60 + 60/1,27 = 107,24 reais A melhor opção é a II. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAwR2balOQFrvzGQoRAp1AAJ0SlQ1Qko5qtuyFK1MUELFCnqS2vACffms1 p1z0jZRbYibX462Zq9cSM88= =b+bZ -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Números Interessantes
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] said: Questão: Quantos são os números com 10 algarismo diferentes entre si e divisível por 1. Dizer que eles estão incluídos entre os números interessantes está correto? Se um numero de 10 algarismos tem todos os algarismos distintos entao eh multiplo de 9 (0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,4+5=9) Queremos entao os multiplos de 9 que tem 10 algarismos, todos eles distintos todos os multiplo de 9 no intervalo [1023456789,9876543210] sao da forma 9 * ABCDE com A,B,C,D e E inteiros =9 A pergunta entao passa a ser quantos numeros de 5 algarismos quando multiplicaods por 9 resultam em numeros de 10 algarismos distintos ABCDE*9=ABCDE*(10-1)=ABCDE*10-ABCDE= ABCD(E-1)(9-A)(9-B)(9-C)(9-D)(10-E), fazendo E-1=F para ficar mais legivel (se eh ki isso eh possivel) ABCDE*9=ABCDF(9-A)(9-B)(9-C)(9-D)(9-F) [...] E-1 pode não ser um dígito (neste caso, é fácil ver que o número vai ter dois dígitos 0, mas isso é importante para fechar a demonstração). []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAv8sdalOQFrvzGQoRAtJdAJ0RaC6t0e1+zJj8jgLzoo41IK/M5gCgq6A4 Xx5j/URUkzEH7w/1+n0KLvc= =4fX5 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] VALOR ESPERADO!
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [EMAIL PROTECTED] said: [...] A probabilidade de a equipe A vencer qualquer jogo é 1/2. A e B disputam entre si um torneio. A primeira equipe que conseguir vencer dois jogos em seguida ou um total de três jogos vence o torneio. Determinar o número esperado de jogos do torneio. [...] Dados insuficientes, pois não se sabe a probabilidade de que A e B empatem. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAvpHPalOQFrvzGQoRAl3gAKCCtpBZZ+oHEFsFc6z8KNX3UrWWygCbBMA4 cimF0eR//WIE0eJ/9ETrSas= =7EpO -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] said: Uma versao um pouco mais dificil: Sejam a e b numeros reais com a b. Prove que F:[a,b] - R dada por F(x) = cos(x) nao eh uma funcao polinomial. [...] F = F = F^(4k) = F, mas se F é uma função polinomial de grau n, então F^(n+1) = 0. Mas tomando 4k = n+1, F^(4k) = F = 0, logo F é identicamente nula, absurdo. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAvAc9alOQFrvzGQoRAjm/AJ9Ah/0BIP04mSHIWCJocP6ZHMoFJACgqknp +iEe7Grgty5DwhXM78IbWlk= =Xuot -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria Espacial
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Fabio Contreiras [EMAIL PROTECTED] said: Acabei de sair de uma prova no qual me deparei com a questão : A área da superfície lateral de um cone equilátero inscrito numa esfera de raio R é ? Gostaria de uma solução plausível para que o resultado dê [ ( pi R.R sqrt(3) ) / 2 ] ! ps. achei [ ( pi . 3.R.R ) / 2 ] [...] Não existe uma solução plausível porquê a resposta é essa mesmo (3*pi/2*R^2). []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAuiG2alOQFrvzGQoRAm7CAKCRL5VaxCHUdfUlFEw+3qT5Qy/MkACg33ud exZ0MGN20tppz698Epo1yUE= =hdQJ -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ITA 73
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [EMAIL PROTECTED] said: oi pessoal! Sou o Rafael Lima aluno do Sistema Elite de Ensino- RJ e queria q vcs me ajuda-se a Fazer essa questão: Seja a equação do 4° x^4+qx^3+rx^2+sx+t=0 onde q,r,s,t são números racionais não nulos tais que l,m,n,p são raízes reais dessa equação. o valor de l/mnp + m/lnp + n/lmp + p/lmn = ??? [...] Isso é (l^2 + m^2 + n^2 + p^2)/(lmnp). []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAunBxalOQFrvzGQoRApM2AKDl7iEhhg2/OWyFa+w8Zu2e4splPACgrbn1 8JSLsCMbn+lmT+1XP03N71w= =jeX2 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ITA-95
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Márcio Barbado Jr. [EMAIL PROTECTED] said: Senhores (as) Estava analisando o material do cursinho Etapa, no que se refere a resolucao da prova de matemática do vestibular do ITA (ano 1995). Tenho ca comigo duvidas acerca da veracidade das afirmações contidas naquele material, entretanto posso ter esquecido algum teorema que venha a me calar. Vejam se podem me ajudar, aqui vai o enunciado (logo em seguida comentarei onde estou tropeçando). E a questao numero 9: [...] Daí vem minha duvida, que e a segunda afirmação ali contida. Sem mais nem menos, o texto afirma que, SE 5^(1/2) É RAIZ, ENTAO -5^(1/2) TAMBEM E. Deste ponto adiante, a apostila usa a primeira relação de GIRARD e voila!... Vejam bem: De fato -5^(1/2) será raiz! O problema e a afirmação de que se lancou mão. De forma bastante clara, minha duvida e: A ultima afirmação esta certa? Por que? Ou por que nao? [...] Sim, ela está certa. De uma maneira geral, se um polinômio com coeficientes inteiros admite a raiz a + sqrt(b), então ele também admite a - sqrt(b) como raiz. A demonstração é exatamente a mesma que é utilizada para demonstrar que x + yi é raiz = x - yi é raiz (de fato, este é um caso particular do caso acima, onde b = -y^2). []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAq3sHalOQFrvzGQoRAiQPAKDeDyymuMj2ydnO+TWSKkCrXB2PpACgszH9 ft7A6e4Lxg3S5kBD2Cqk4D4= =Hgv+ -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjectura de Goldbach
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Everton A. Ramos (www.bs2.com.br) [EMAIL PROTECTED] said: Boa noite... Todo número par é a soma de dois números ímpares ??? Sedo X um número par... (X - 1) será ímpar... então (X - 1) + 1 = X 1 é ímpar, então... ??? Porque isso é tão desafiante? [...] Porquê não é essa a conjectura de Goldbach -- segundo ela, todo par pode ser escrito como soma de dois ***PRIMOS***. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAkGaualOQFrvzGQoRAh3NAJ9q0U472IGP2Qqvg2dF5ztqHJ+FMwCgy4cZ 6dN8lcjDx3tMNw7kAD9o0EY= =jjEb -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] duvida basica: mdc e mmc, conjunto
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] said:
alguem sabe me dizer pq mdc(a,b) x mmc(a,b) = a x b?
existe alguma explicacao/demonstracao?
[...]
Prove, inicialmente, que max{a, b} + min{a, b} = a + b. Depois disso, pense em
como achar o mmc e o mdc de a e b conhecendo as suas formas fatoradas.
[...]
e em
n(a) + n(b) = n(a)+ n(b) - n(a inter b)
nos conjuntos, eu consigo o entender pq (os elementos da intersecao sao
somados duas vezes) intuitivamente. Porem eu estou estudando por um livro
aki q pede pra provar. Alguem poderia me ajudar?
[...]
Você quer dizer |A U B| = |A| + |B| + |A inter B|?
Começe calculando o número de elementos de |A - B| em função de |A| e |A inter
B|.
[]s,
- --
Fábio ctg \pi Dias Moreira
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Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)
iD8DBQFAfVloalOQFrvzGQoRAt9eAKCBZCDcujV1ZjFi1TgohsPyi94KZwCfVpgq
Xl4PHdoBRpwr7tQrjLFMyF8=
=k7+z
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] RSA QUEBRA
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [EMAIL PROTECTED] said: Caros amigos, há um bom tempo a criptografia RSA me chama atenção. Desde então, venho estudando sua matemática. Hoje, possuo um vasto trabalho realizado na possível quebra de qq RSA, com a montagem de um algoritmo geral ou com pequenas modificaçãoes. Gostaria de ter a opinião da lista sobre a possibilidade de quebrar RSA, tão facilmente como somar 2 e 2. Espero em breve, mostrar meus resultados e poder discutí-los com todos voces. Sei da importância q RSA tem para a Internet e segurança de dados. Opinem. Abraço. [...] Talvez você goste de saber que US$675.000,00 estão à procura de um novo dono: http://www.rsasecurity.com/rsalabs/challenges/factoring/numbers.html []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAfKwUalOQFrvzGQoRAmZKAJ9j292p0ivzlE8u6qjm64WEyWFMpACgg4gq bI/cRQPE6Yjk8+smpZh7okM= =BLy8 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] logaritmo
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Guilherme Teles [EMAIL PROTECTED] said: Alguem sabe resolver essa: 3^log1/3 2 a base é 1/3 (1 sobre 3) [...] Para poder simplificar o logaritmo com a exponencial, eu preciso que os dois tenham a mesma base. Por isso, eu faço uma conversão de base, para que apareça algum logaritmo com base 3: log[1/3](2) = log[1/3](3^log[3](2)) = log[3](2)*log[1/3](3). Mas eu sei que (1/3)^(-1) = 3, portanto log[1/3](3) = -1 = log[1/3](2) = -log[3](2). Então 3^log[1/3](2) = 3^-log[3](2) = 1/(3^log[3](2)) = 1/2. []s, - -- Fábio Dias Moreira http://dias.moreira.nom.br/ -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAcIagalOQFrvzGQoRAjtEAJ42x3X6Z/gHKNRPhR/ND81Sg1KhRQCdFGPA 2GfUJfitwhdk1zUU46cCgRg= =IxBO -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] O JOGO DE RENCONTRE! - CORREÇÃO
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
[EMAIL PROTECTED] said:
COrreçãozinha, em que eu troquei a ordem para não confundir sobre de que é
o fatorial:
Mais tarde eu espero conseguir explicar, mas creio que a solução é
S = (1/n!)*[ 1 + S_a + S_b ], em que
S_a = Somatório de { A*(n!)/[ (n - 2A)!*2A ] }, com A variando de 1 até
o inteiro menor ou igual a (n - 1)/2
S_b = Somatório de { B*(n!)/[ (n - 2B - 1)!*(2B + 1) ] }, com B
variando
de 1 até o inteiro menor ou igual a (n - 2)/2
Claro que, para incorporar S_a, devemos ter n =3 , e, para incorporar S_b,
devemos ter n = 4.
[...]
Para n=5, S_a = 1*5!/(3!*2) + 2*5!/(1!*4) = 10 + 60 = 70, S_b = 1*5!/(2!*3) =
20, logo existiriam 70+20+1 = 91 permutações com rencontres. Mas, na
realidade, só há 76:
01234 01243 01324 01342 01423 01432 02134 02143 02314 02341
02413 02431 03124 03142 03214 03241 03412 03421 04123 04132
04213 04231 04312 04321 10234 10243 10324 10432 12034 12304
12430 13024 13204 13240 14032 14203 14230 20134 20314 20431
21034 21043 21304 21340 21403 21430 23014 23104 24031 24130
30124 30214 30241 31024 31042 31204 31240 31402 31420 32014
32104 34201 34210 40132 40213 40231 41023 41032 41203 41230
41302 41320 42031 42130 43201 43210
(Eu usei um programinha para gerar a lista acima.)
[]s,
- --
Fábio Dias Moreira
http://dias.moreira.nom.br/
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)
iD8DBQFAcMCqalOQFrvzGQoRArbzAKDiTpKoTAzjhyJkCOabtM8uLIRm4gCfVn+W
Et1H9PUYEp0d6WU5JOD+r5Q=
=HDC4
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Re: [obm-l] dúvida
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 TSD [EMAIL PROTECTED] said: um determinado fio é constituído de um material que, quando preso a dois pontos distantes um do outro de 20m e ambos a 13m do solo, toma a forma de uma parábola, estando o ponto mais baixo do fio a 3m do solo. Assinale a alternativa que corresponde à parábola no sistema de coordenadas cartesianas XOY, onde o eixo OY contém o ponto mais baixo do fio e o eixo OX está sobre o solo. [...] Inicialmente, note que fios suspensos *não* formam parábolas, mas sim catenárias, que são coisas parecidas com o gráfico de (e^x + e^-x)/2. Pedantismos físicos à parte, note que se os pontos de apoio são os pontos (10, 13) e (-10, 13), então o ponto mais baixo é o ponto (0, 3). Associe à parábola uma função f(x) tal que todos os pontos da parábola são da forma (x, f(x)). Portanto, f(10) = f(-10) = 13 e f(0) = 3. Obviamente, f é quadrática. Considere g(x) = f(x) - 13. Então 10 e -10 são dois zeros de g, logo g(x) = a*(x-10)*(x+10), onde a é um real. Como g(0) = - -10, a*(-10)*10 = -10 = a = 1/10. Logo g(x) = (x-10)*(x+10)/10, logo f(x) = (x-10)*(x+10)/10 + 13. Como as alternativas da questão não chegaram aqui, essa é a melhor resposta que eu posso dar. []s, - -- Fábio Dias Moreira http://dias.moreira.nom.br/ -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAb1YbalOQFrvzGQoRAmytAKDAnMNnuzn97j+I85/F8k+fOiM2xACfbeon dRZpXPhtXJ8ltTc/tINuXZQ= =bpms -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: probabilidade-reencontre
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 André Zimmermann [EMAIL PROTECTED] said: Também surgiu-me dúvida. Uma urna contém n bilhetes numerados 1, 2, , n. Extraem-se os bilhetes de um a um sem reposição, se aparecer o bilhete numerado r na r-ésima extração, designa-se isto como um match ou um rencontre. Determinar a probabilidade de ter pelo menos um rencontre! Raciocinio meu: A probabilidade de fazer um reencontro é de 1/n a cada rodada pois: A cada rodada, o número de bilhetes na urna será de (n-r). A probabilidade de se retirar o número da vez será 1/(n-r) e a probabilidade do número procurado ainda estar na urna é igual a (n-r)/n. Então [1/(n-r)]x[(n-r)/n] = 1/n. Já que a urna contém n bilhetes, repetiremos a operação de retirada n vezes. A probabilidade de se fazer pelo menos um reencontre é n x 1/n. ou seja, 100%. ?? [...] Os eventos não são independentes, logo a análise não é tão simples assim. []s, - -- Fábio Dias Moreira http://dias.moreira.nom.br/ -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAb2P1alOQFrvzGQoRAnTxAKDhLFwkphKun6Ps0EYTX23UQnaEMACfT74z zA/X88FNz299A2j+koqYhmY= =oUTL -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Logaritmos
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [EMAIL PROTECTED] said: Prove que, para todo inteiro n maior que 1 e para todo x diferente de zero, com x maior que -1, tem-se: (1+x)^n (1+nx) [...] Para n=2 a desigualdade é obviamente verdadeira. Suponha que ela é verdadeira para n. Então (1+x)^(n+1) = (1+x)^n*(1+x) (1+nx)(1+x) = 1 + nx + x + x^2 1 + (n+1)x. []s, - -- Fábio Dias Moreira http://dias.moreira.nom.br/ -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAbe/6alOQFrvzGQoRAh/EAKCBB1XwUynps4iTe5ykLky4VTIdowCeIZBw Z0KdtSt3PAiMClDeJ+RjIAg= =M/XC -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Números primos
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Fábio Bernardo [EMAIL PROTECTED] said: Pessoal, tô enrolado nesse. Ajudem-me por favor. Sejam x e y dois números primos. Determine quantos pares ordenados (x,y) existem, tal que x+y = 497. [...] Se dois números inteiros têm soma ímpar, o que se pode afirmar quanto à paridade deles? []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAai6QalOQFrvzGQoRAoMHAJ9s1kxyh1/hLRKIzAhBWHfoheD/cACfWK3o OIRey25DP/uK6jYJalINLbA= =ZIg1 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] funcao geradora de momentos
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
niski [EMAIL PROTECTED] said:
Pessoal, infelizmente não consigo uma boa referencia de estatistica que
aborde esse assunto(alguem conhece alguma que nao seja o livro do
Ross?(este esta sempre alugado na minha biblioteca))
Vamos a minha pergunta
Eu sei que a definição (para o caso discreto) é
m(t) = E[exp(tX)] = Somatorio(x, ,) exp(tx)*f(x)
Ai me aparece essa pergunta
Sejam X_{0},X_{1} v.a. independentes, X_{0} ~ Poisson(1), X_{1} ~
Poisson(2),
e seja Y uma v.a. Bernoulli(p), independente de X_{0},X_{1}. Calcule a
funcao
geradora de momentos de X_{Y}
E agora? Como eu aplico a definicao?
[...]
A função de dstribuição de probabilidade de X_Y é (1-p)*f_0+p*f_1, onde f_0 e
f_1 são as funções de distribuição de probabilidade de X_0 e X_1.
[]s,
- --
Fábio ctg \pi Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
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iD8DBQFAY3KEalOQFrvzGQoRAlwnAKCvW63ufW3piPafSbtuHuDXRAwR4QCgqRiO
jfqE+8W+a4Xj1zsWeMdNBUg=
=NZGC
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Re: [obm-l] problema estatistico - trigonometrico
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 niski [EMAIL PROTECTED] said: É dado que X ~ U[-pi, pi] e considere as v.a Y = senX , Z = cosX Pergunta: As v.a Y,Z são independentes? [...] Não. A probabilidade de que Y e Z sejam ambas menores que -0.8, por exemplo, é obviamente zero, mas a probabilidade de que Y seja menor que -0.8 é positiva (idem para Z). []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAXhBmalOQFrvzGQoRAs8AAKDZrlrQDKJX2mDyI+GGttChDydBWwCfdkXC F7tSNvtYjzmuWqEDCSD0PrU= =PZWT -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] P.A
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] said: 1 - Determine a P.A em que se verificam as propriedades seguintes: a5 + a8 = 130 e a4 + a10 = 140 [...] a_4 + a_10 = a_5 + a_9. [...] 2 - Qual é a P.A finita em que o primeiro termo é 8, o último termo é 38, e o números de termos é igual a razão? [...] Se a progressão é (a_0, a_1, ..., a_n), a_n = a_0 + n*r. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAXlIXalOQFrvzGQoRAqD8AKCxLiOEWwHIM+ijBEaWo/FijK1JkwCfShpp /4qWh/bRbu+8fBFCgw1NR/A= =YyP5 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvidas
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 aryqueirozq [EMAIL PROTECTED] said: 1)Determinar as coordenados dos vertices de um triângulo, sabendo que os pontos médios dos lados do triângulo são M(-2,1); N (5,2) e P(2,-3). [...] Seja M = (A+B)/2; N = (B+C)/2; P = (C+A)/2. A que corresponde o ponto M+N-P? [...] 2)Uma prova de múltlipa de escolha com 69 questões, foi corrigida da seguinte forma: o aluno ganhava 5 pontos para cada questao que acertava e perdia 1 ponto para a questão que ele errava ou deixava em branco.Se um aluno totalizou 210 pontos, o nº de questões que ele acertou é? A)25 B)30 C)35 D)40 E)45 [...] Tem certeza de que isto está certo? Como o número de pontos de cada questão é sempre ímpar, independente do fato da questão estar certa ou errada, e o número de questões na prova é ímpar, a pontuação final do aluno só pode ser um número ímpar (o que não é o caso de 210). []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAXKldalOQFrvzGQoRAuQAAJ9DyOHsGsMtuen7l2uxEmxmV20kJACfddlu 0oahPft1JO/cDuUkP7kbuhk= =jv+W -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvida em somatorio
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 niski [EMAIL PROTECTED] said: Pessoal, alguem poderia mostrar como resolver esse somatorio por favor? (ele veio do calculo da esperança de 1/X onde X segue uma distribuicao geometrica) Somatorio[n=1 , +inf] [(1/n)*p*(1-p)^(n-1)] [...] Calcule a série de Taylor de ln(1-x) em relação a x. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAWjN9alOQFrvzGQoRAqIbAJ9pSugZjZ+ZqOXjnKg7pkFXC6og5wCfdfyx SA1SpLIBTQ+/HUiWHC3hvWM= =t4cl -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Divisibilidade
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 André Luiz Martins Guimarães Orsi [EMAIL PROTECTED] said: Olá, Alguém conhece um critério de divisibilidade por 13, sem ser por congruência, tipo os critérios que existem para 2, 3, 5 ... [...] http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200306/msg00796.html Se você não estiver interessado na teoria por trás do critério, pule para o final da mensagem. Um outro critério usa o fato de que 13|1001, logo x é divisível por 13 se e somente se a diferença entre os grupos de três algarismos de ordem par e os de prdem ímpar também for divisível por 13. Por exemplo, no problema resolvido mentalmente pelo nosso colega Cláudio, temos que provar que 2^70 + 3^70 = 2503155504994422192936289397389273 é múltiplo de 13. Quebrando o número em grupos de 3, temos que 2^70 + 3^70 = 2.503.155.504.994.422.192.936.289.397.389.273 Esse número é divisível por treze se e somente se a diferença entre a soma das classes de ordem par (273+397+936+422+504+503) e as de ordem ímpar (389+289+192+994+155+2) for divisível por 13. Essa diferença vale |3035-2021| = 1014. Pelo algoritmo do link acima, esse número é divisível por 13 se e somente se 101 + 4*4 = 117 é divisível por 13, o que é verdade se e somente se 11 + 4*7 = 39 = 3*13 é divisível por 13. Ou então, note qe a diferença entre as ordens pares e as ímpares de 1014 é 13 = 13*1. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAVSNNalOQFrvzGQoRAs0WAJ9KZpBpyPfhzKjaP72dc0YdsxgNRwCfXcH6 +CQXI/3ZYRff8Ct4WQmteCE= =zGQn -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Ricardo Bittencourt [EMAIL PROTECTED] said: Claudio Buffara wrote: Calcule o valor da soma: SOMA(n = 1) arctg(1/F(n)), Não sei se facilita ou complica, mas e se você criasse uma sequencia c(n) onde c(n)=(F(n)+i) ? Nesse caso, o argumento desse número complexo é arctg(1/F(n)), e a somatória de todos eles é igual ao argumento do produtório de todos os c(n). [...] Correto, mas aí o produtório dos c_n não converge. Se d_n = c_n/|c_n|, a idéia funciona, mas eu tenho a nítida impressão de que isso dá uma fórmula feia. Eu sei provar que o arctg(1/F(3)) + arctg(1/F(5)) + arctg(1/F(7)) + ... vale pi/2. A soma dos termos de ordem par parece convergir para um valor próximo de, mas certamente menor que, pi/6. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAUmSoalOQFrvzGQoRAnXxAJ4kIPkdVqzXBPAySgGIXE4CGTmKSgCg3rHv oBR7SRRbnKBTF/m6JoWX6ys= =ogVT -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Identidades de mdc
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Rafael [EMAIL PROTECTED] said: Fábio, Primeiramente, deixe-me ver se entendi as suas notações. mdc(a,b) = (a,b) e mmc(a,b) = [a,b] [...] Isso -- a notação para o mdc é muito comum, especialmente em um contexto de teoria dos números, onde não há pares ordenados envolvidos. A segunda notação é usada de vez em quando, mas é bem mais rara que a primeira, já que o mmc não é tão relevante assim do ponto de teoria dos números. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAS0KRalOQFrvzGQoRAuIRAJ9/iAkdAeRbY+XCHNx0xMrKs9ExjgCgj+xQ nB8rCJMMK6H3Uw9LhCV21KA= =Dc0w -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Identidades de mdc
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Rafael [EMAIL PROTECTED] said: Boa noite, pessoal! Estava tentando me lembrar das demonstrações das seguintes identidades: [...] mdc(a,b) = mdc(a+b,mmc(a,b)) Alguém por acaso se lembra ou sabe como demonstrá-las? [...] Seja d = (a, b). Então a = du, b = dv, (u, v) = 1. Por outro lado, (a+b, [a,b]) = (du+dv, [du,dv]) = (d(u+v), duv) = d(u+v, uv). Seja p tal que p divide uv. Sem perda de generalidade, p divide u, logo p não divide v. Em particular, p não divide u+v, logo p não divide (u+v, uv), logo (u+v, uv) = 1. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFASaC2alOQFrvzGQoRAgWeAJ0fRZggVmxn4yukRYJt7TtBOBQ3fwCgz4kN nlnjExcVIrzAMkOFWfFQdyE= =+XM2 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questao de trigonometria - ITA
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Emanuel Valente [EMAIL PROTECTED] said: vacilo cara... nao tinha visto! 4*sen^2(x) -2*(1+raiz2)*sen(x) + raiz2 0 [...] Complete os quadrados: seja t = sen x. 4t^2 - 2*(1+sqrt(2))*t + sqrt(2) 0 (2t - (1+sqrt(2))/2)^2 + (2*sqrt(2)-3)/4 0 [2t - (1+sqrt(2))/2]^2 [(sqrt(2) - 1)/2]^2 |2t - (1+sqrt(2))/2| (sqrt(2) - 1)/2 |4t - 1 - sqrt(2)| sqrt(2) - 1 1 - sqrt(2) 4t - 1 - sqrt(2) *e* 4t - 1 - sqrt(2) sqrt(2) - 1 t 1/2 *e* t sqrt(2)/2 1/2 t 1/sqrt(2) 1/2 sen x 1/sqrt(2). pi/6 x pi/4 *ou* 3*pi/4 x 5*pi/6. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD4DBQFASixralOQFrvzGQoRAtuaAJ4/LKcB1SfMu7DUutRwoNNodLZ5CwCY5010 4i2/ylF4nbxyiTRSiCW44g== =HTFj -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] TRIGONOMETRIA
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Jorge Paulino [EMAIL PROTECTED] said: Questão: qual o valor máximo da função y=3cosx+2senx? O gabarito é sqrt(13) e eu resolvi usando derivada. É possível resolvê-la sem derivada, usando apenas conhecimentos do ensino médio? Obrigado, Jorge [...] Seja S = 3*cos x + 2*sen x. Divida a equação por sqrt(13): S/sqrt(13) = 3/sqrt(13)*cos x + 2/sqrt(13)*sen x. Seja t tal que sen t = 3/sqrt(13), cos t = 2/sqrt(13) (como sen^2 t + cos^2 t = 1, certamente existe esse t). Logo S/sqrt(13) = sen t cos x + cos t sen x = sen t+x. S = sqrt(13) sen t+x cujo máximo é obviamente sqrt(13). []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFASS7HalOQFrvzGQoRAvtqAJ90A+q1l7DonFDOY6S0Sc2vbMyfFACfSHY+ mPpb1QOFI+aAIji1BgFxuD4= =FB8U -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Serie...
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 David [EMAIL PROTECTED] said: Nao sei ele, mas eu queria assim: T(1) = 1 T(2) = 2 T(3) = 1 T(4) = 3 T(5) = 1 T(6) = 2 T(7) = 1 ... Será q eh possivel? [...] T(n) = k+1, onde k é o expoente do 2 na fatoração de n em números primos. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAR0RnalOQFrvzGQoRAvorAKCY4rwoAtDLPZB3Z/7f+3J9d7y2YQCgk5r7 XPk+nzhhY8Fo8NNsNYx/veU= =bNAh -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] A^2005 = I == A = I
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] said: on 02.03.04 11:36, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: [...] Talvez uma versão corrigida do problema do Claudio seja: Seja A uma matriz 3x3 com coeficientes *racionais* tal que A^2005 = I. Prove que A = I. []s, N. Acho que agora deu certo! [...] Uma duvida: existe uma maneira mais curta de se provar que A = I, dado que A^2005 = I e que os autovalores de A sao 1, 1 e 1? [...] Se os autovalores de A são 1, 1 e 1, então A pode ser escrita como P^-1*B*P, onde B é uma matriz diagonal cujos elementos são os autovalores de A, i.e. 1, 1 e 1. Logo B = I == A = P^-1*P == A = I. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFARM+ValOQFrvzGQoRAs2VAKCuh9PbQDnpJkFAUYfslWgFQSvufgCglr+r 9EV+LYmA9biVad5DWjtBBIg= =PrNl -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ANALITICA
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [EMAIL PROTECTED] said: Caros amigos, eis uma questão interessante que não sei fazer. Creio que seja de analitica, ou talvez, de pra se matar por plana. Tentem fazer aí por obséquio. As distâncias dos três vértices de um triângulo a uma reta mede 7 m, 9m e 14 m. Pode-se afirmar que a distância,em metros, do baricentro do triângulo a mesma reta é: a) 2/3 b)16/3 c 10 d) pode ser 4 [...] Sem perda de generalidade, essa reta é o eixo x. Novamente s.p.d.g., dois dos vértices do triângulo estão no semiplano superior (caso isso não seja verdade, faça uma reflexão em torno do eixo x). Há quatro casos: I) Os três vértices estão no semiplano superior II) O vértice que dista 7m está no semiplano inferior III) O vértice que dista 9m está no semiplano inferior IV) O vértice que dista 14m está no semiplano inferior Não é muito difícil ver que, medindo as distâncias em metros, os módulos das coordenadas y dos vértices do triângulo valem 7, 9 e 14 -- mas em cada um dos casos enumerados, os sinais das coordenadas y -- no primeiro, as coordenadas y são 7, 9, 14; no segundo, -7, 9, 14; em III, 7, -9, 14 e no último, 7, 9, - -14. As coordenadas y do baricentro dos triângulos em cada caso são 10, 16/3, 2/3 e 4. Como não temos nenhuma informação sobre qual dos quatro casos é verdadeiro, só podemos afirmar que a distância do baricentro ao eixo x (ou seja, o módulo da coordenada y) pode valer 10, 16/3, 2/3 ou 4. Logo, como pode valer 4, a resposta é a letra (d). []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFARUjJalOQFrvzGQoRAtmfAJ9pfNgo+UmPrC/YXj81/xDNKMJQzgCg1j81 ntTBpxsmkWIRD2o+PYbDjCo= =x7Rt -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Criterio de divisibilidade
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] said: Caros Fabio e Qwert: Voces poderiam, por favor, me explicar que criterio estah sendo discutido abaixo? [...] Esse aqui: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200306/msg00796.html []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAQ7XialOQFrvzGQoRAlFnAKDgTOR1PGORGjF5L/TpU/bHXhSgngCeNW2b FAEY7lHCi8cCjI3P6vUeQNA= =zY4W -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] A^2005 = I == A = I
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] said: Oi, pessoal: Alguem tem uma solucao elegante pro problema a seguir? Seja A uma matriz real 3x3 tal que A^2005 = I. Prove que A = I. Eu consegui fazer mas achei minha solucao horrorosa. Acho que pode haver algum teorema macetoso de algebra linear que eu desconheco. [...] Eu acho que A = [1 0 0; 0 cos(t) sen(t); 0 -sen(t) cos(t)], onde t = 2*pi/2005, é tal que A^2005 = I -- pelo menos o PARI-GP concorda comigo. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFARAWdalOQFrvzGQoRAlOJAJ0dMwlHT7ThUHFlpw58ExWY7YyywACgh4M1 vGd3ZGsvxOBQ4O6c9nGQ388= =n3AB -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Interessante
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] said: Ontem um amigo mostrou que uma potência de base 24 e expoente ímpar e natural sempre dá como resultado um número que termina em 24! Pq? [...] (mod 100), 24^(2*n+1) = 24 * (24^2)^n = 24 * 76^n. Como 76^2 = 76 (mod 100), não é difícil ver que 76^n = 76. Logo 24^(2*n+1) = 24 * 76 = 24. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAQO6+alOQFrvzGQoRAkGHAKCOQNXNPu7Ns0V91jhJUMRdqnR9BACeL/1U t+9qwJTmHuYiZLn2ucEuJc8= =GnNp -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] duvidazinha
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Tarcio Santiago [EMAIL PROTECTED] said: QUAL A CONDIÇÃO PAR QUE O ANO SEJA BISSEXTO? Se um ano for divisível por 4, mas não por 100, ele é bissexto. Se um ano for divisível por 400, ele é bissexto. Todos os outros anos não são bissextos. Há propostas que fazem anos divisíveis por 4000 não bissextos, mas, a menos que você esteja falando de eventos geológicos ous astronômicos, isso não faz a menor diferença. Referência: http://en.wikipedia.org/wiki/Leap_year []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAQXxbalOQFrvzGQoRAldxAKCPzdCIebo0sI+RbMQmnHFwLSy78wCfUSRs Lvi4ros609iVRAwS7x9GCNg= =g9Da -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Número Primo + duvida
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] said: Fiquei com uma duvida... vou tentar explicar: No caso particular do numero 7919 tem uma maneira bem facil (dependendo da resposta a minha duvida) ja que 7919 termina em 9 e nessa lista mesmo ja foi mostrado como determinar o criterio de divisibilidade de primos terminados em 9. 7919 = 791*10 + 9 entao temos: se 7919 e primo entao para verificar se (10a + b) e multiplo de 7919 basta verificar se (a + 792*b) e multiplo de 7919. Parece complicado, mas o teste e bem simples. [...] aki fica a duvida... Sei que se a regra de divisibilidade NAO pode ser aplicada com sucesso para um numero que termina em 9, esse numero NAO e primo, mas dar certo eh o suficiente pra afirmar que o numero com certeza e primo? [...] Não -- a regra funciona para qualquer número primo com 10, composto ou não. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAP3ZOalOQFrvzGQoRAnmFAKCuyh0jSS9HyYZOwkrGEc6ayMvbugCdG76X hgUvkQEnI0TZqQxI4jZSo0Y= =vM3y -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Existe uma solução mais simples?
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Danilo notes [EMAIL PROTECTED] said: Pessoal segue abaixo um problema que achei muito interessante e a forma como fiz pra resolve-lo, gostaria de saber se alguem conhece uma solução mais simples. Seja A uma matriz quadrada n x n tal que 3A^3=A^2+ A + I prove que ( A^k) converge para B tal que B^2=B . k é numero natural. Solução: Seja p(x) =3x^3-x^2-x-1 . Vamos considerar 2 casos: i)A é uma matriz real . Observe que P(x) =( x-1) ( 3x^2+2x+1), como A é matriz real e P(A)=0 então A =I = matriz identidade e daí é imediato que lim ( A^k) =I =B e B^2=B [...] O conjunto das matrizes nxn não forma um domínio. Ou seja, AB = 0 *não* implica A = 0 ou B = 0. Por isso (A-I)(3A^2 + 2A + 1) = 0 *não* implica A-I = 0 ou 3A^2 + 2A + 1 = 0. Logo não podemos afirmar que A = I. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAP62kalOQFrvzGQoRAuSFAKCjaaVT4vnEvZZl/InyAd94sgEdbQCgs6Pk Vxt9di/qgpruF/yL5VRef90= =uMIj -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probabilidade
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Pacini bores [EMAIL PROTECTED] said: Poderiam me ajudar ? Em um grupo de 60 pessoas qual a probabilidade de haver duas pessoas que nasceram no mesmo dia do ano ? [...] Supondo que não existem anos bissextos e que a distribuição dos nascimentos durante um mesmo ano é uniforme, vamos calcular a probabilidade de que n pessoas *não* compartilhem aniversários. Cada pessoa possui 365 possíveis dias para aniversariar, logo o número de combinações possíveis é 365^n. Por outro lado, o número de combinações que não possuem duas pessoas fazendo aniversário no mesmo dia é C(n;365)*n!, pois temos que escolher os dias em que fazem aniversário, e a ordem em que elas o fazem. Logo, se p_n é a probabilidade de que duas pessoas façam aniversário no mesmo dia, 1 - p_n = [365!*n!]/[(365-n)!*n!*365^n] = 365!/[(365-n)!*365^n] p_n = 1 - 365!/[(365-n)!*365^n] Para n = 60, isso dá aproximadamente 99,4%. Naturalmente, você não vai calcular 365! para achar esse valor. Ao invés disso, a gente pode reescrever p_n como 1 - 365*364*...*(366-n)/365*365*...*365 = 1 - (365/365)*(364/365)*...*[(366-n)/365], que é *muito* mais rápido de se calcular. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAP8kwalOQFrvzGQoRAglgAJ9q5Al4lX2IQt4Avcc3tLORsEOjDQCgi5aM oWC0kyh9aceKmLfcml+b1oM= =fuuA -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Relaçoes
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
Thor [EMAIL PROTECTED] said:
Como mostrar que : dados dois conjuntos A e B não vazios,
n( R) = 2^n(A).2^n(B), ou seja o nº de relaçoes de A e B eh
dois elevado ao nº de elementos de A vezes dois elevado ao nº de elementos
de B.
[...]
Essa fórmula me parece estar errada: As únicas relações de {1} em {1} são {} e
{(1, 1)}, logo 2 = 2^1*2^1 = 4.
A fórmula correta deve ser |R| = 2^(|A|*|B|). Como toda relação é um
subconjunto de A*B, e vice-versa, R = P(A*B). Logo
|R| = |P(A*B)| = 2^(|A*B|) = 2^(|A|*|B|).
[]s,
- --
Fábio ctg \pi Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)
iD8DBQFAP+9palOQFrvzGQoRAlumAKDSdWC6yBL/HEiTeJuI0hD4bljIsgCgz3l2
APU49U3Rde8IWRg7AJm/B8s=
=6Vlg
-END PGP SIGNATURE-
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] COMISSÃO DE FRENTE!
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 ponciomineiro [EMAIL PROTECTED] said: [...] On Mon, Feb 23, 2004 at 10:54:54PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: Três pontos são selecionados aleatóriamente numa circunferência de raio unitário. Encontre a probabilidade de esses pontos pertencerem a uma mesma semicircunferência. [...] Nicolau e amigos da lista, boa noite!!! Gostaria de solicitar comentários acerca do modo que acredito ter resolvido a questão: Considere A e B dois pontos não diametralmente opostos tomados nessa circunferência (caso fossem diametralmente opostos seria evidente que os três pontos pertenceriam a uma mesma semicircunferência). Considere, ainda, A* e B* pontos diametralmente opostos a A e B, respectivamente. Observe que, dessa forma, divido a circunferência nos arcos AB, BA*, A*B* e B*A. Portanto, o terceiro ponto estaria em uma mesma semicircunferência dos outros dois caso não pertencesse a A*B* (excluindo A* e B*, evidentemente). Logo, a probabilidade pedida seria 3/4. [...] Isso estaria certo se os quatro arcos sempre tivessem o mesmo comprimento. Como não têm, as probabilidades associadas a cada um deles não é a mesma, logo a probabilidade pedida não é 3/4. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAPUPRalOQFrvzGQoRApHxAKDcGXFkP+7tN/CxGAxiOPxy9GTsvACfWVuD 5wC9pwabmU0D+2VDIIEYHW0= =3kUi -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dúvidas
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Wednesday 25 February 2004 01:59: [EMAIL PROTECTED]] olá amigos poderiAM DAR UMA AJUDA POR FAVOR [...] 2- Dois mísseis são lançados diretamente um contra o outro, oprimeiro a 18.000 km/hora e o segundo a 12.000 km/hora. Sabendoque no instante do lançamento eles se encontravam a 4768quilômetros de distância um do outro, a distância entre eles, a umminuto da colisão é, em kilômetros: (A) 500(B) 750(C) 1000(D) 1500(E) 2384 [...] Como, de um minuto antes da colisão até a colisão, passou-se um minuto, o primeiro míssil percorreu 18000/60 = 300 Km e o segundo 12000/60 = 200 Km. Logo a distância entre os dois mísseis um minuto antes de colidirem é de 500 Km. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAPDLzalOQFrvzGQoRAsNmAKDGrCY9/NpBJStkrdXudCM0PEKq8QCfcJ/Z an44rIqU/7TFRwaw0HQQkP4= =Ulv7 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Correção -Questões
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Saturday 21 February 2004 21:56: [EMAIL PROTECTED] Descupem , o certo para o problema 2 é : 2)Quais os dois últimos algarismos na parte inteira de 10^2047/(10^89 +7). [...] Note que 10^2047 = (10^89)^23. Por isso, 10^2047 = (10^89)^23 (mod 10^89 + 7). Portanto, 10^2047 = (-7)^23 = -7^23 = 10^89 + 7 - 7^23 (mod 10^89 + 7). Como este último número é obviamente positivo e menor do que 10^89 + 7, ele é o resto da divisão de 10^2047 por 10^89 + 7. Por isso, a parte inteira de 10^2047/(10^89 + 7) é igual a N = (10^2047 + 7^23 - 7 - 10^89)/(10^89 + 7). Como queremos os dois últimos algarismos, basta fazer a conta módulo 100. Mas N (mod 100) vale (7^23 - 7)/7 = 7^22 - 1. Como 7^4 = 1 (mod 100), N = 7^22 - 1 = (7^4)^5*7^2 - 1 = 1^5*7^2 - 1 = 7^2 - 1 = 48. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAONoValOQFrvzGQoRAmoHAJ94piJD7r44xvaFR/B6Pwn0y+t7BgCfUDRp DPd58SXO6Ewf1rusPGpLOJg= =EZGe -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] restos
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Sunday 22 February 2004 23:41: OBM-L [EMAIL PROTECTED]] Rafael, Para o primeiro problema, seja D o dividendo e N o maior inteiro que possa ser somado a D para que o quociente Q não sofra alteração, temos: N / 13 = Q (mod 2) == (N+10) / 13 = Q (mod 12), pois se D = 11, teríamos (Q+1) como quociente. Logo, D = 10. Já quanto ao segundo problema, não entendi uma coisa: como um número dividido por 3 pode deixar resto 3? Se isso estiver certo, significa que a divisão é exata para 3 e deixa resto 3 para 11 e 51 (que é 17*3). Se a divisão é exata para 3, então o menor número é um múltiplo de 3 que deixa resto 3 para 11 e 51. Logo, o mmc(3;11;17) = 561 e 561+3 = 564. [...] Posso estar enganado, mas eu acho que o menor múltiplo de 3 que deixa resto 3 quando dividido por 11 e 51 é 3. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAOXFGalOQFrvzGQoRAsZDAJ9vYmeH47jGUia8AzIQyztP2gCZnwCggPwz yxhrG+YI1QGqZNRBkyeKaz0= =coOF -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questões
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Saturday 21 February 2004 21:00: [EMAIL PROTECTED] Estou emperrado nos seguintes problemas : 1)Qual o resto de 2269^n+1730^n + 1779^n-1776^n na divisão por 2001 ? sendo n ímpar . É claro que para n=1 temos 4002 para a soma , mas para um n ímpar qualquer ? [...] Note que 2001 = 3*23*29, logo, se f(n) = 2269^n + 1730^n + 1779^n - 1776^n, basta achar f(n) mod 3, 23 e 29 -- podemos combinar os resultados depois com o Teorema Chinês dos Restos. Módulo 3, f(n) é 1^n + (-1)^n + 0^n - 0^n = 1 + -1 + 0 + 0 = 0. Módulo 23, f(n) é (-8)^n + 5^n + 8^n - 5^n. Como n é ímpar, (-8)^n = -8^n, logo f(n) = 0 (mod 23). Módulo 29, f(n) é 7^n + (-10)^n + 10^n - 7^n. Novamente, como n é ímpar, f(n) = 0 (mod 29). Logo 2001 sempre divide f(n), i.e. o resto da divisão de f(n) por 2001 é zero. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAN/g6alOQFrvzGQoRAuRvAJ9HHwlpzyeY+FYkExBSI6JCfRGELACg0JKG KZfm0N2qL2/A+s7+bG0UOS0= =CL5f -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Resolução da função...
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Wednesday 18 February 2004 10:52: [EMAIL PROTECTED] f(x) = x^2 + (1 - sqrt 3)x - sqrt 3 Delta = (1 - sqrt 3)^2 - 4(1)(- sqrt 3) = 1 - 2(sqrt 3) + 3 + 4(sqrt 3) = 4 + 2(sqrt 3) x = (- (1 - sqrt 3) + ou - sqrt(4 + 2(sqrt 3))) / 2 = (-1 + sqrt 3 + ou - sqrt(4 + 2(sqrt 3))) / 2 x1 = (-1 + sqrt 3 + sqrt(4 + 2(sqrt 3))) / 2 x2 = (-1 + sqrt 3 - sqrt(4 + 2(sqrt 3))) / 2 onde está o erro?? ou o q está faltando?? no livro do Iezzi a resposta é (sqrt 2) / 2 [...] Note que sqrt(4+2*sqrt(3)) = 1 + sqrt(3), logo x1 = sqrt(3) e x2 = -1. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAM4R1alOQFrvzGQoRAgaAAKDhltkcZZM2o2ZxJF6trzeYmly6jACfZR6z J6jYZ5nah79Nh41uEwbLQjw= =udXC -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Sunday 15 February 2004 15:35: [EMAIL PROTECTED]] Qual das duas coleções de livros para 2º Grau os amigos consideram melhor: A coleção do Iezzi, ou a do Manoel Paiva. Se houver alguma outra que seja melhor que as duas por favor citem. [...] Uma referência útil é o Exame de Textos (leia os capítulos relevantes): http://www.ensinomedio.impa.br/materiais/analise_de_text/ []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAL7iYalOQFrvzGQoRAra8AKC/kqdDmPl0pv85XjiFcox44R8ZZACeOCYE zpWNKEclIiKxxsAxT9gQz4A= =nCmW -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
