[obm-l] Experiências com plano inclinado (off-topic)
Pessoal, Sei que é uma lista de matemática, mas estou com um problema em um experimento bem simples. Estou fazendo uma experiência com plano inclinado da seguinte forma: utilizando-se um trilho de ar, coloco um corpo para percorrer 10 intervalos de 10cm cada um e meço o tempo que levou cada etapa. O corpo tem uma pequena aleta, de largura L, medida com um paquímetro. A cada 10 intervalos de 10cm, meço o tempo que levou para a aleta passar pelo sensor (um tempo ínfimo, é claro). O objetivo é determinar a aceleração da gravidade local. Após medir tudo (e conferir), segui os seguintes procedimentos: 1. Somei o comprimento da aleta aos deslocamentos sucessivos, obtendo 10.514cm, 20.514cm, ..., 100.514cm. 2. Somei o tempo que o corpo leva para percorrer cada um dos intervalos (10cm, 20cm etc) ao tempo que levou para a aleta passar pelo sensor em cada um destes intervalos (note-se que o corpo sempre parte do repouso do topo do plano, ou seja, t = 0 e x = 0). 3. Agora é a parte que pega... Para fazer g = a*sen(theta), calculo a aceleração (da forma como procedi, creio que chego à aceleração instantanea, certo?) pelas três formulas conhecidas da cinematica: i. v = a*t ii. x = (a*t^2)/2 iii. v^2 = 2*a*x Na verdade, estou utilizando Mínimos Quadrados para ajustar estas equações aos dados, obtendo o valor de a, que é o unico desconhecido. O problema é: utilizando a equação i., obtenho a = 10.814, o que me dá g = 981.24 (muito bom, por sinal). Mas por ii. obtenho a = 21.934 e, por iii., a = 5.4, tudo em cm/s^2. Tenho certeza que meu ajuste está correto. Note-se as medidas são múltiplas (aproximadas) do valor correto, a = 10.(algumacoisa). O que pode estar ocorrendo? Alguma idéia? Obrigado, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: Questão simples
Leonardo, Essa era mais ou menos a explicação que tinha em mente. Pensei que, para alguém não habituado ao pensamento matemático, esse raciocínio fosse de alguma forma complicado. Muito obrigado pelo retorno. Henrique. - Original Message - From: Leonardo de Almeida Matos Moraes [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, March 24, 2006 3:16 PM Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Questão simples Henrique, no meu ponto de vista, acho facil que voce explique, primeiramente, o que e' ser inversamente proporcional. Chamando de N_a o numero de pessoas que o atendente de 36 anos atendeu e N_b o numero de pessoas que o atendente de 48 anos atendeu, N_a = k * 1/36 e N_b = k * 1/48 Como voce sabe que quem atende mais pessoas e' o de menor idade, ja' que estes numeros sao inversamente proporcionais, quem atendeu mais pessoas foi o atendente de 36 anos e: N_a = N_b + 4 de onde voce tira k = 12*48 Jogando este valor na formula de N_b, voce encontra N_b = 12 atendimentos. Espero ter ajudado. Abracos, Leonardo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Informação do NOD32 IMON 1.1457 (20060324) __ Esta mensagem foi verificada pelo NOD32 sistema antivírus http://www.eset.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questão simples
Pessoal, Esta é uma questão bem simples, mas gostaria que os colegas me indicassem a maneira mais didática de ensiná-la a um aluno sem muita prática com matemática. Curiosamente, dois atendentes de um banco observaram que, durante o expediente bancário, o número de clientes que cada um havia atendido era inversamente proporcional às suas respectivas idades, 36 e 38 anos. Se um deles atendeu 4 clientes a mais que o outro, então o total de pessoas atendidas pelo mais velho foi...? A resposta é 12. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Questão simples
Retificando... Curiosamente, dois atendentes de um banco observaram que, durante o expediente bancário, o número de clientes que cada um havia atendido era inversamente proporcional às suas respectivas idades, 36 e 48 anos. Se um deles atendeu 4 clientes a mais que o outro, então o total de pessoas atendidas pelo mais velho foi...? - Original Message - From: Henrique Patrício Sant'Anna Branco [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, March 24, 2006 2:15 PM Subject: [obm-l] Questão simples Pessoal, Esta é uma questão bem simples, mas gostaria que os colegas me indicassem a maneira mais didática de ensiná-la a um aluno sem muita prática com matemática. Curiosamente, dois atendentes de um banco observaram que, durante o expediente bancário, o número de clientes que cada um havia atendido era inversamente proporcional às suas respectivas idades, 36 e 38 anos. Se um deles atendeu 4 clientes a mais que o outro, então o total de pessoas atendidas pelo mais velho foi...? A resposta é 12. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] k-ésima derivada.
Alguém pode me indicar como cálcular a k-ésima derivada de a/(a - it) em relação a t, ou seja, a fórmula geral da derivada? Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Variância de s^2
Pessoal, Fiz uma pergunta nessa lista há um tempo sobre como calcular a Var(s^2), onde s^2 = 1/(n-1) Sum_i^n (x_i - xbarra) e os x_i são amostras aleatórias da Normal com média a e variância b. Consegui resolver esse problema hoje (é bem simples até). Segue a resposta, a quem possa interessar: Podemos escrever (usando as propriedades da variância) Var(s^2) = b^2/(n-1)^2 * Var((n-1)s^2/b) (n-1)s^2/b = v tem distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade. Logo, Var(v) = 2(n-1). Fazendo as continhas, chegamos a Var(s^2) = 2b^2/(n-1). Agradeço aos que responderam. Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Variância de sigma^2
Pessoal,
Preciso de ajuda nesse.
Sendo X_1, ..., X_n uma amostra aleatória de uma N(mu, tau^2), calcule
Var(sigma^2), onde sigma^2 = (1/n * Sum_{i = 1}^n (X_i - Xbarra) é o
estimador de máxima verossimilhança da variância.
N(mu, tau^2) é a distribuição normal de média mu e variância tau^2.
Sei que dá pra fazer Var(sigma^2) = Var((n-1)/n S^2) = ((n-1)/n)^2 Var(S^2),
mas não consigo calcular nem Var(S^2).
Alguém pode dar uma luz?
Grato,
Henrique.
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[obm-l] Cálculo de Probabilidades e Teoria da Medida
Pessoal, Estou estudando Cálculo de Probabilidades de uma visão um pouco mais avançada, ao ponto de despertar minha curiosidade sobre a Teoria da Medida. Alguém pode me indicar bons livros/sites para pesquisa, bem como os pré-requisitos pra estudar o assunto? Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probabilidade
1. Suponha que os tempos que dois estudantes levam para resolver um
problema
sao independentes e se distribuem exponencialmente com parâmetro a.
Determine a probabilidade de que o primeiro estudante necessite pelo
menos
do dobro do tempo gasto pelo segundo estudante para resolver o problema.
Acho que esse é só uma questão de expressar a probabilidade em termos de
probab. condicional...
Condicione no tempo que o segundo estudante leva para resolver o problema.
Seja A o evento desejado (estudante 1 leva pelo menos o dobro do tempo
do estudante 2).
Seja X a variável aleatória exponencial de param. a correspondente ao 1º
estudande e Y a do segundo.
Seja f a função densidade de uma var. exp. de parâmetro a
Pr[A] = Integral_{0, +oo} Pr[X = 2y | Y = y]*f(y) dy = Integral_{0,
+oo} Pr[X = 2y]*f(y) dy já que X e Y são independentes.
O meu problema tem sido exatamente calcular P(X = 2y). De qualquer forma,
consigo a resposta a/3 (assumi que os parâmetros sao iguais pras duas
distribuições, já que o problema deixa isso meio implícito). Mas a resposta
certa é 1/3.
O que poso fazer?
Grato,
Henrique.
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Re: [obm-l] Probabilidade
Acabei conseguindo resolver...
Mas não entendi uma parte da sua resolução, segue abaixo:
Pr[A] = Integral_{0, +oo} Pr[X = 2y | Y = y]*f(y) dy = Integral_{0,
+oo} Pr[X = 2y]*f(y) dy
A primeira integral não deveria ser simplesmente Integral_{0, +oo} Pr[X =
2y | Y = y], que se transforma na segunda pela independência?
Muito obrigado mesmo.
Henrique.
- Original Message -
From: Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, January 22, 2005 3:59 PM
Subject: Re: [obm-l] Probabilidade
Henrique Patrício Sant'Anna Branco wrote:
Alguém pode ajudar nesses dois?
O número dois até consigo resolver a primeira parte (achar a distribuição
de
X, geométrica), mas não consigo montar a segunda parte.
1. Suponha que os tempos que dois estudantes levam para resolver um
problema
sao independentes e se distribuem exponencialmente com parâmetro a.
Determine a probabilidade de que o primeiro estudante necessite pelo
menos
do dobro do tempo gasto pelo segundo estudante para resolver o problema.
Acho que esse é só uma questão de expressar a probabilidade em termos de
probab. condicional...
Condicione no tempo que o segundo estudante leva para resolver o problema.
Seja A o evento desejado (estudante 1 leva pelo menos o dobro do tempo
do estudante 2).
Seja X a variável aleatória exponencial de param. a correspondente ao 1º
estudande e Y a do segundo.
Seja f a função densidade de uma var. exp. de parâmetro a
Pr[A] = Integral_{0, +oo} Pr[X = 2y | Y = y]*f(y) dy = Integral_{0,
+oo} Pr[X = 2y]*f(y) dy já que X e Y são independentes.
Abraços.
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[obm-l] Probabilidade
Alguém pode ajudar nesses dois? O número dois até consigo resolver a primeira parte (achar a distribuição de X, geométrica), mas não consigo montar a segunda parte. 1. Suponha que os tempos que dois estudantes levam para resolver um problema sao independentes e se distribuem exponencialmente com parâmetro a. Determine a probabilidade de que o primeiro estudante necessite pelo menos do dobro do tempo gasto pelo segundo estudante para resolver o problema. 2. Suponha que X tem uma densidade exponencial de parâmetro a e que X_epsilon seja defeinido em termos de X e epsilon 0 por X_epsilon = epsilon*k se epsilon*k = X epsilon(k+1) para k inteiro. Qual a distribuição de (E_epsilon)/(epsilon)? Obtenha E(X_epsilon) e determine seu limite quando epsilon - 0. Grato, Henrique. -- Checked by AVG Anti-Virus. Version: 7.0.300 / Virus Database: 265.7.1 - Release Date: 19/1/2005 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Probabilidade
Pessoal, tô empacado com esses aqui. Se alguém puder me indicar um caminho, fico agradecido. 1 - Suponha que uma caixa contém 3 bolas numeradas de 1 a 3. Seleciona-se sem reposição duas bolas da caixa. Seja X o número da primeira bola e Y o número da segunda bola. Determinar a covariância e o coeficiente de associação linear entre X e Y. 2 - Seja X ~ Exp(a) e m um inteiro não-negativo. Define-se Y por Y = m se m = X m + 1. Como se distribui Y? Grato, Henrique. -- Checked by AVG Anti-Virus. Version: 7.0.300 / Virus Database: 265.6.9 - Release Date: 6/1/2005 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Cálculo I / Geometria
Alguém poderia me dar uma mão com esse? Geometria não é meu forte de forma alguma... Uma mulher em um ponto A na praia de lago circular com raio 2 mi quer chegar ao ponto C diametralmente oposto a A do outro lado do lado no menor tempo possível. Ela pode andar a uma taxa de 4mi/h e remar um bote a 2mi/h. Como ela deve proceder? Grato,Henrique.
[obm-l] Questões estranhas
Alguém poderia me dar uma ajuda nisso? 1 - Sabendo-se que a equação x^2*(x + 13) - 6x*(x^2 + 2) + 4 = 0 pode ser escrita como o produto de dois binômios do primeiro grau, a soma de duas das suas raízes distintas é igual a: Resp.: 3 2 - O valor numérico da expressão 120x^4 + 10k^2 + 8, sendo k um natural, é o quadrado de um número natural para: Resp.: Nenhum valor de k Esse eu assumi que a equação pudesse ser fatorada como ((x - a)(x - b))^2 ou (x - c)^4 para ser um quadrado perfeito, resolvi a biquadrada e aí se chega à conclusão que não existe nenhuma raiz natural (nem mesmo real) dessa equação. É o modo certo de fazer? Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Outra
Um número natural N deixa resta 2 quando dividido por 3, resto 3 quando dividido por 7 e resto 19 quando dividido por 41. Qual o resto da divisão do número k = (N + 1)(N + 4)(N + 22) por 861? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Máximos e Mínimos
Italo, O que ficou claro pra mim, durante o curso de Cálculo I, foi o fato do teste da derivada se aplicar apenas a pontos interiores ao intervalo, i.e., que não estejam em seus extremos. O teorema enuncia Seja f uma função derivável em p, onde p é um ponto interior ao domínio de f. Uma condição necessária para que p seja um ponto de máximo ou mínimo local é que f'(p) = 0. Pelo menos, foi essa a definição que o livro deu a ponto interior em um intervalo [a,b]: um ponto dentro do intervalo ]a,b[. Isso parece ser ainda mais verdadeiro quando os livros de Cálculo dão o roteiro para achar máximo e mínimos: a) Aplicar o teste da primeira derivada para achar os possíveis pontos b) Aplicar o teste da segunda derivada para determinar os pontos de inflexão c) Comparar os valores da função nos pontos obtidos com os valores que esta toma nos extremos das funções O terceiro passo parece mostrar, realmente, que f'(p) = 0 certamente não encontra todos os extremantes. No caso da função identidade, realmente tal teste não teria nenhum efeito. A única coisa que poderíamos tirar daí é que a função é estritamente crescente, pois a derivada primeira é sempre positiva. Espero que ajude. Grato, Henrique. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, July 15, 2004 10:02 AM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Máximos e Mínimos Creio que a afirmação seja inversa. Sempre que a derivada for nula então a função terá um máximo ou um mínimo, ou, ainda, um ponto de inflexão. Considere, por exemplo, a função f:[a,b]-R,f(x)=x. Temos que ela possui um máximo e um mínimo em b e a, resp., porém em nenhum dos dois pontos a derivada se anula. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: O que é limite?
Acho que vale a pena dar uma lida nessa página, pra ter uma intuição melhor sobre derivadas e um esboço de limite. http://www.pcarv.pro.br/fisica_moderna.htm Para algo mais preciso (como a definição do epsilon-delta dos limites), procure um livro de Análise ou parta para Um Curso de Cálculo, vol. I do Guidorizzi. Abraço, Henrique. - Original Message - From: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, July 14, 2004 3:49 PM Subject: [obm-l] Re: O que é limite? -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 On Wednesday 14 July 2004 15:07, Rafael Alves da Silva wrote: O QUE É LIMITE DE UMA FUNÇÃO? (subject! coloquem subject nas mensagens!) Limite de uma função é o valor ao qual ela se aproxima. Por exemplo: f(x)=2x+1 lim(f(x), x-0) = 1 Veja que nesse caso, o limite tem o mesmo valor da função naquele ponto. Na verdade, isso acontece com qualquer polinômio: lim(x-a, p(x)) = p(a). Agora veja outro exemplo: g(x)=(sin x)/x Claramente vemos que g(x) não está definida para x=0 (pois teriamos uma divisão por 0). Mas de qualquer forma, podemos calcular o limite pra isso ae tendendo a 0: lim((sin x)/x, x-0) = 1 Pegue uma calculadora e teste para valores aproximando-se de 0. Quão mais próximo de 0 vc colocar o x, mais próximo de 1 ficará (sin x)/x. Há outras coisas também, por exemplo: f(x) = 1, se x!=0 f(x) = 2, se x=0 Temos que: lim(f(x),x-0) = 1, mesmo que 1!=f(0). Além disso, se temos: h(x) = 1, se x0 h(x) = 2, se x0 Não existe lim(h(x),x-0), pois existe lim+ e lim-, sendo que o primeiro seria a aproximação vinda pela direita, e o segundo pela esquerda. Como esses dois valores sao diferentes (lim+ = 1, lim- = 2), não há um único limite, entao nao há lim, q.e.d. Há várias propriedades de limites, mas essas eu vou deixar para vc ver num livro (mesmo pq eu posso falar alguma bobagem aqui!) Verifique no Fundamentos de Matemática Elementar, vol 8, do Iezzi. Muito legal esse livro. Foi o livro com o qual eu comecei a entender realmente o que significava um limite, derivadas e integrais. abraço - -- Bruno França dos Reis brunoreis at terra com br icq: 12626000 gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.4 (GNU/Linux) iD8DBQFA9YBEsHdDIT+qyroRApLiAJ9jA2BAFYEKkTxt08U/RDphJJPnKgCgsU8U vGdthKeXfn5w6eASZX5LeMc= =dbQn -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Integrais de funções ímpares
Pessoal, Ensinando primitivação (integrais simples) para uma colega, notei que a integral de funções polinomiais ímpares e da função seno, por exemplo, gera uma primitiva representada por uma função par. Isso é um resultado geral? Quero dizer: Seja f(x) uma função ímpar com primitiva elementar. Int f(x) dx sempre vai ser uma função par? Como demonstro? Obrigado. Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] O Último Teorema de Fermat
Pessoal, Tenho ouvido muita coisa sobre esse teorema na faculdade e gostaria de saber, de vocês, se o caso geral já foi demonstrado. Sei que o próprio Fermat provou sua validade quando 4|n. Pra quem não sabe do que estou falando, aí vai o enunciado: A equação diofantina x^n + y^n = z^n não é solúvel por nenhum triplo (x, y, z), com x, y, z E N, se n 2. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] O_Último_Teorema_de_Fermat
Valdery, Valeu. Com o nome do autor, consegui achar o paper onde ele publicou a prova. Quem estiver interessado: http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf Tem 10Mb... Abraços, Henrique. - Original Message - From: Valdery Sousa To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, June 09, 2004 4:12 PM Subject: Re: [obm-l] O_Último_Teorema_de_Fermat Caro Henrique, Sobre o teorema referido,saiba que ele já foi comprovado pelo matemático Andrew Wiles. Apenas não sei onde vc poderia encontrar essa demonstração disponível. Cordialmente, Valdery Sousa. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Continuidade - Exercício
Re: [obm-l] Continuidade - ExercícioDepende da questão, mas provar isso é fácil. Faça u = exp(x) - 1 e daí, x = ln(1+u) Ficamos então com lim_x \to 0 u/ln(1+u) = lim_x \to 0 1/ln[(1+u)^(1/u)] = 1/ln(e) = 1, usando só uma propriedade do logaritimo e o limite de (1+x)^(1/x) com x tendendo a zero, que é igual a e = 2.7182... Abraço, Henrique. - Original Message - From: Fellipe Rossi To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, June 08, 2004 10:18 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Continuidade - Exercício Muito obrigado! Eu tenho prova disso amanha! vc ajudou bastante!! :) Eu posso dizer que lim(x-0) (e^x - 1)/x = 1 é um limite fundamental? ou numa prova eu precisaria provar isso? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Somatório
Pessoal, Alguém sabe resolver isso ou dar alguma indicação? É uma esperança de uma v.a. geométrica. Somatório de x*p*(1-p)^x, com x variando entre 0 e infinito. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Distância média quadrática
Alguém pode me ajudar nesse? É um problema do livro Cálculo, Volume 2, do George B. Thomas. Tá na parte de integrais múltiplas e o livro não dá nenhuma dica sobre isso, apenas propõe o problema. Encontre o valor médio do quadrado da disância do ponto P(x,y) no disco x^2 + y^2 =1 ao ponto de fronteira A(1,0) Grato, Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sobre a rpm e Integral
Morgado, acho que ele se refere ao fato da Regra de Cramer algumas vezes mostrar que um sistema é impossível quando não é. Não consigo lembrar um exemplo disso agora, mas existe essa possibilidade. Alias, obrigado pela ajuda com a demonstração de estimação. Henrique. - Original Message - From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, May 03, 2004 10:44 AM Subject: Re: [obm-l] Sobre a rpm e Integral O Prof. Elon jamais disse que a técnica é falha, até porque ela não é. O que ele disse é que ela é uma técnica muito ruim para resolver sistemas "grandes", pois exige um número muito grande de operações. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Mon, 3 May 2004 09:29:49 -0300 (ART) Subject: [obm-l] Sobre a rpm e Integral Pessoal, obrigado pela ajuda!A integral é:/ | x / (senx) dx / E sobre uma prova que estava na rpm, o Prof. Elon comenta que a técnica de Cramer pra determinação de um sistema é falha. Eu fiz a demonstração que estava no livro, olhei atentamente, analisei, mas, mesmo assim, não achei o motivo pelo qual essa técnica é falha. Seria um erro conceitual?Muito obrigado... Ps: sobre as "caudas", eu juro que eu as apago antesnão sei o que acontece...mas de qualquer maneira peço desculpas. abraços, Alan Pellejero Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! --- End of Original Message ---
Re: [obm-l] AJUDA
Morgado, Devo começar a disciplina Inferência Estatística no próximo semestre e já ouvi falar da falta de boas obras traduzidas sobre o assunto. Não me incomodo de ler livros em inglês, o problema é consegui-los aqui. O livro citado é bom? Existem outros bons? Grato, Henrique. - Original Message - From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, May 01, 2004 8:11 PM Subject: [obm-l] AJUDA Peço adiantadamente desculpas aos colegas pelo off topic, mas tenho um problema. Qual o ano em que foi editado o livro Introdução à Inferência Estatística, SBM, Heleno Bolfarine e Monica Sandoval? Obrigado. Morgado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Estimação
Morgado, Não entendi direito. Eu precisaria provar que a condição necessária e suficiente para o estimador ser não-viciado é que a soma dos coeficientes seja 1, certo? Como eu procederia com isso? Grato, Henrique. - Original Message - From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, April 30, 2004 8:01 PM Subject: Re: [obm-l] Estimação Se os coeficientes são a(1),...,a(n), o estimador será não-viciado sse a(1)+...+a(n)=1 e terá variância mínima sse a(1)^2+...+a(n)^2 for mínimo. Multiplicadores de Lagrange ou desigualdades espertas mostrarão que a(1)=...=a(n)=1/n. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Estimação
Pessoal, não estou conseguindo fazer esse. É de uma lista de exercício do
meu professor de Método Estatísticos 1.
3. Mostre que nenhuma combinação linear de amostra aleatória simples pode
fornecer melhor estimador que a média amostral \bar{X}.
Grato,
Henrique.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Máximos e mínimos
Pessoal,
Mais um problema de Cálculo que estou tendo dificuldades.
Achar os máximos, mínimos e pontos de sela da função
f(x,y) = 1/(x^2+y^2-1)
O único problema que estou encontrando aí são os pontos de fronteira. Sei
que esses pontos são {(x,y) : x^2 + y^2 = 1}, o que dá a cirunferencia de
raio unitário. Mas quais candidatos (pontos) devo tomar?
Grato,
Henrique.
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[obm-l] Re: [obm-l] Máximos e mínimos
Na verdade, era pra fazer como você fez mesmo.
A minha dúvida era sobre a necessidade de analisar os pontos de fronteira de
f, para descartar quaisquer outros pontos.
Não é necessário?
Agradeço a ajuda,
Henrique.
- Original Message -
From: niski [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, April 21, 2004 9:46 PM
Subject: Re: [obm-l] Máximos e mínimos
É obrigado utilizar multiplicadores de Lagrange? Vou tomar outro caminho.
Notacao:
f[x] derivada parcial de f em relacao x.
=! diferente de
Do enunciado temos
f[x] = -2x/(x^2 + y^2 -1)^2
f[y] = -2y/(x^2 + y^2 -1)^2
Os pontos criticos sao achados impondo
-2x/(x^2 + y^2 -1)^2 = 0 (I)
e
-2y/(x^2 + y^2 -1)^2 = 0 (II)
Temos então de (I)
impondo x = 0
Assim de II:
-2y/(y^2 -1)^2 = 0
só podemos escolher
y = 0
Então um ponto critico é (0,0)
Para saber se (0,0) corresponde a um minimo local, maximo local ou ponto
de sela, pode-se utilizar o teste da segunda derivada. Para isso vamos
avaliar o valor de:
D = (f[xx](0,0))*(f[yy](0,0)) - [f[xy](0,0)]^2
D = -4 - 0
D = -4
Como D 0 , (0,0) é um ponto de sela.
Se não for isso me avise para pensarmos mais!
Henrique Patrício Sant'Anna Branco wrote:
Pessoal,
Mais um problema de Cálculo que estou tendo dificuldades.
Achar os máximos, mínimos e pontos de sela da função
f(x,y) = 1/(x^2+y^2-1)
O único problema que estou encontrando aí são os pontos de fronteira.
Sei
que esses pontos são {(x,y) : x^2 + y^2 = 1}, o que dá a cirunferencia
de
raio unitário. Mas quais candidatos (pontos) devo tomar?
--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
[upon losing the use of his right eye]
Now I will have less distraction
Leonhard Euler
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Re: [obm-l] funcao e trigonometria
Como ninguém respondeu... A soma da raízes da equação sen^2(x) - sen(x) = 0, para 0 = x = Pi , é igual a: Faça sen^2(x) - sen(x) = sen(x)*(sen(x) - 1) = 0 Agora temos que sen(x) = 0 ou sen(x) - 1 = 0 = sen(x) = 1 Pra x em [0,Pi], temos x = 0, x = Pi e x = Pi/2. A outra é mais chatinha... Tem que usar a fórmula do vértice da parábola. a tem que ser positivo e o vértice, maior ou igual a zero nas duas coordenadas. Tente. Henrique. - Original Message - From: Guilherme Teles [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 18, 2004 11:10 PM Subject: [obm-l] funcao e trigonometria Que valores deve apresentar o coeficiente a da função f(x) = ax2 - 2x + 1, para que ela tenha concavidade voltada para cima e vértice no 1º quadrante? A soma da raízes da equação sen2 x - sen x = 0, para 0 x , é igual a alguem sabe essas = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] funcao e trigonometria
Desculpe, Morgado, não tenho acompanhado fielmente a lista por pura falta de tempo. Passo o olho por cima de umas coisas e só... Henrique. - Original Message - From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, April 19, 2004 9:12 PM Subject: Re: [obm-l] funcao e trigonometria Eh uma conspiraçao de todos contra mim, para que eu me sinta senil? Eu vi na lista, na semana passada as soluçoes dos dois problemas! Morgado == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Henrique Patrício Sant'Anna Branco [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Mon, 19 Apr 2004 17:44:05 -0300 Subject: Re: [obm-l] funcao e trigonometria Como ninguém respondeu... A soma da raízes da equação sen^2(x) - sen(x) = 0, para 0 = x = Pi , é igual a: Faça sen^2(x) - sen(x) = sen(x)*(sen(x) - 1) = 0 Agora temos que sen(x) = 0 ou sen(x) - 1 = 0 = sen(x) = 1 Pra x em [0,Pi], temos x = 0, x = Pi e x = Pi/2. A outra é mais chatinha... Tem que usar a fórmula do vértice da parábola. a tem que ser positivo e o vértice, maior ou igual a zero nas duas coordenadas. Tente. Henrique. - Original Message - From: Guilherme Teles [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 18, 2004 11:10 PM Subject: [obm-l] funcao e trigonometria Que valores deve apresentar o coeficiente a da função f(x) = ax2 - 2x + 1, para que ela tenha concavidade voltada para cima e vértice no 1º quadrante? A soma da raízes da equação sen2 x - sen x = 0, para 0 x , é igual a alguem sabe essas = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Equação_Trigonométrica!
Essa questão é um pouco mais esquisita do que parece. Vamos fazer i^i = exp(i*ln(i)) e calcular ln(i) por exp(i*t) = cos(t) + i*sen(t): exp(i*2k*Pi/2) = i == ln(i) = i*k*Pi (k natural) Então i^i = exp(i*i*k*Pi) = exp(-k*Pi) É real, mas é meio estranho pois tem aquela velha história do ln(z) não estar bem definida para z complexo, com seu valor dependendo do corte que fizermos no plano complexo. Henrique. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, April 17, 2004 2:18 AM Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Equação_Trigonométrica! Ja que voce tocou nesta formula...Prove que i^i eh real ! Nao eh complicado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problema de Cálculo
Pessoal, este tá me dando dor de cabeça. Alguém pode me dar um caminho? Suponha que a temperatura em graus Celsius em um ponto (x, y) no plano xy seja T(x, y) = x*sen(2y) e que a distância no plano xy seja medida em metros. Uma partícula está se movendo no sentido horário ao redor da circunferência de raio 1m, centrada na orgem a uma taxa constante de 2 m/s. a) Qual a velocidade da variação de temperatura 'sentida' pela partícula em graus Celius por metro, no ponto P(1/2, sqrt(3)/2)? b) Qual é a velocidade da variação de temperatura sentida pela partícula em graus Celsius por segundo em P? Pensei em parametrizar a função pro círculo, colocando x = cos(t) e y = sen(t). Mas tenho muita idéia do que fazer com a velocidade da partícula... Agradeço qualquer ajuda. Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] dúvi da
Fabiano, Você sabe que ln(x) = int (1/t) dt, t = 0 .. x, certo? Talvez seja por isso... Mas alguém pode dar uma opinião mais precisa (ou certa). Abraços, Henrique. - Original Message - From: Fabiano Sant'Ana [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, April 16, 2004 4:42 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvi da por que Natural? - Original Message - From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, April 16, 2004 4:17 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvi da ln (com um n soh) significa logaritmo neperiano (em homenagem a Napier) e eh a mesma coisa que logaritmo na base e = 2,718281828459045., a constante de Euler. O logaritmo neperiano eh tambem conhecido por logarimo natural, embora nem todos o considerem natural. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvi da Data: 16/04/04 14:47 Hm... eu SEMPRE pensei que lnn fosse logaritmo neperiano (Algo assim) e que logaritmo neperiano fosse log na Base e... alguem pode me esclarecer quanto a isso? fabiano sant'ana - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, April 16, 2004 1:50 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.655 / Virus Database: 420 - Release Date: 08/04/04 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] dúvi da
Na verdade, os limites de integração são 1 e x... Sorry pelo lapso. Henrique. - Original Message - From: Henrique Patrício Sant'Anna Branco [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, April 16, 2004 5:44 PM Subject: Re: [obm-l] dúvi da Fabiano, Você sabe que ln(x) = int (1/t) dt, t = 0 .. x, certo? Talvez seja por isso... Mas alguém pode dar uma opinião mais precisa (ou certa). Abraços, Henrique. - Original Message - From: Fabiano Sant'Ana [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, April 16, 2004 4:42 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvi da por que Natural? - Original Message - From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, April 16, 2004 4:17 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvi da ln (com um n soh) significa logaritmo neperiano (em homenagem a Napier) e eh a mesma coisa que logaritmo na base e = 2,718281828459045., a constante de Euler. O logaritmo neperiano eh tambem conhecido por logarimo natural, embora nem todos o considerem natural. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvi da Data: 16/04/04 14:47 Hm... eu SEMPRE pensei que lnn fosse logaritmo neperiano (Algo assim) e que logaritmo neperiano fosse log na Base e... alguem pode me esclarecer quanto a isso? fabiano sant'ana - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, April 16, 2004 1:50 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_dúvida --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.655 / Virus Database: 420 - Release Date: 08/04/04 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de Cálculo
Artur, Agradeço a atenção. A letra a) eu consegui resolver logo depois que mandei a mensagem (só depois fui notar que 1/2 e sqrt(3) eram o seno e o cosseno do mesmo angulo). Mas a letra b) pensava em fazer usando gradientes ou algo assim, pois o capítulo ao qual pertence o exercício está nessa parte de derivadas direcionais, gradiente etc. Alguma idéia? Em tempo, sou aluno de Estatística e acho sem sentido ensinar Cálculo usando apenas conceitos físicos (principalmente porque não os conheço direito). Grato, Henrique. Oi Henrique Naum vou poder detalhar uma solucao agora, mas a sua ideia de usar coordenadas polares me parece legal. Em vez de velocidade de variacao da temperatura (que me parece um termo um tanto infeliz), vamos usar o termo taxa de variacao da temparatura. Vc tem que x = r cos(a) e y = r sen(a) (no caso, r=1m), sendo a o angulo que o vetor posicao da particula faz com um eixo horizontal de referencia. Substituindo na expressao de T em funcao de (x,y), vc obtem T em funcao so de a. Diferenciando com relacao a a, vc consegue a taxa de variacao da temperatura com relacao a a. A questao (1) pede esta taxa em a = pi/3, e aih eh so substituir. Para a questao (2), temos agora que considerar que a depende do tempo t. Eh soh usar a famosa formula do movimento circular uniforme (velocidade tangencial = velocidade angular X raio) para obter a em funcao de t e depois usar a regra da cadeia. A maior parte do trabalho sao manipulacoes algebricas e uso de formulas classicas de diferenciacao. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Limite de duas variáveis
Pessoal, Esse é um problema do meu livro que me deixou intrigado. Temos a função f(x,y) = arctan(xy)/(xy). Se 1 - x^2*y/3 f(x,y) 1, o que podemos dizer de limite de f(x,y) quando (x,y) - (0,0)? Minha tentativa foi passar os limites nos três membros da inequação: lim_(x,y)-(0,0) 1 - x^2*y/3 = 1 e lim_(x,y)-(0,0) 1 = 1 Logo 1 lim f(x,y) 1. Na minha interpretação, tal limite não existe, pois não existe um real L que seja estritamente menor e estritamente maior que 1, ao mesmo tempo. O problema é que o livro diz que o tal limite é realmente 1. Como proceder? Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] funcao geradora de momentos
Morgado, Realmente. Respondi correndo e acabei falando besteira. Peço desculpas. Henrique. - Original Message - From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, March 27, 2004 9:38 PM Subject: Re: [obm-l] funcao geradora de momentos Henrique, não é isso não. Dê uma olhada na resposta do Claudio. []s Morgado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] funcao geradora de momentos
É faz sentido mas eu não estou conseguindo entender completamente isto. A funcao de distruição de probabilidade que voce diz é a density function que escrevem os livros ingles? A função densidade de probabilidade é pra variáveis contínuas. A função distribuição de probabilidade é sua análoga para variáveis aleatórias discretas = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de algelin
Desculpem pela ignorância se isto for algum conceito básico, mas o que vem a ser posto(A)? Basicamente, é a número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes de uma matriz. Vale notar que o posto segundo linhas e segundo colunas são iguais. Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] A^2 = I na obm-u de 2003
Aliás este problema usa de novo aquele fato: se a matriz A satisfaz p(A) = 0 onde p só tem raízes simples então A é diagonalizável (em um corpo que contenha as raízes de p). Uma curiosidade... Existe algum outro polinômio p, além do mínimo e do característico, com p(A) = 0? Se existe, como achá-lo? Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] A^2 = I na obm-u de 2003
Uma curiosidade... Existe algum outro polinômio p, além do mínimo e do característico, com p(A) = 0? Se existe, como achá-lo? Henrique. Qualquer multiplo do polinomio minimo de A tem A como raiz. Acho que me expressei mal... Queria saber se um polinômio com p(A) = 0, esse polinômio deveria ser necessariamente o característico ou o mínimo. É possivel? Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao do Quadrado
A sutileza é que A e B seriam conexos mas não são conexos por caminhos. Cada um deles parece uma nuvem de pontos e as componentes conexas por caminhos de A e B são pontos. As nuvens são conexas pq qualquer função contínua não constante g: R - [0,1]^2 encontra tanto com A quanto com B então é impossível fazer uma cisão de A ou B. Nicolau (ou quem souber responder), Sei o que é um conjunto conexo por caminhos, mas não sei o que seria um conjunto (apenas) conexo. A (união) B, no caso, conteria dois pontos que não pudessem ser ligados por poligonais? Isso seria um conjunto conexo? Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] existe uma solução mais simples?
Nicolau , a duvida permanece. No caso da matriz A ser real o polinômio 3x^3 +2x +1 não pode ser fatorado em fatores lineares e da i a matriz A não é diagonalizavel. Você sabe como proceder neste caso ? *Acho* que, para A real, não há nada o que ser feito. Se você considerasse o corpo complexo, essa matriz poderia ser escrita na forma triangular. No caso complexo há ainda a forma canônica de Jordan. O fato de ela ser diagonalizável, como o Nicolau mostrou ser o caso, é um forma particular da forma de Jordan. Abraço, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Existe uma solução mais simples?
Ah, certo, obrigado pela luz aí.
Não ouvia o termo raiz simples há algum tempo...
Henrique.
- Original Message -
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, February 28, 2004 2:24 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Existe uma solução mais
simples?
On Fri, Feb 27, 2004 at 08:27:21PM -0300, Henrique Patrício Sant'Anna
Branco wrote:
Os autovalores x de A devem todos satisfazer 3x^3 = x^2 + x + 1 ou
(x - 1)(3x^2 + 2x + 1) = 0. Assim x = 1 ou x = - 1/3 +- i sqrt(2)/3.
Observe que estes possíveis autovalores complexos têm módulo
menor do que 1. Mais do que isso, como este polinômio só tem raízes
simples a matriz A é necessariamente diagonalizável.
Qual a implicação do módulo ser menor que 1?
Se um número complexo z tem módulo menor do que 1
então lim_{n - +infinito} z^n = 0.
E o que você chama de raízes simples?
Raiz simples do polinômio, que não é dupla. Por exemplo, 1 é raiz simples
de p(x) = 3x^3 - x^2 - x - 1 pois p é múltiplo de (x-1) mas não é múltiplo
de (x-1)^2. Ou, equivalentemente, p(1) = 0 mas p'(1) é diferente de zero.
[]s, N.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Existe uma solução mais simples?
Os autovalores x de A devem todos satisfazer 3x^3 = x^2 + x + 1 ou (x - 1)(3x^2 + 2x + 1) = 0. Assim x = 1 ou x = - 1/3 +- i sqrt(2)/3. Observe que estes possíveis autovalores complexos têm módulo menor do que 1. Mais do que isso, como este polinômio só tem raízes simples a matriz A é necessariamente diagonalizável. Nicolau, Qual a implicação do módulo ser menor que 1? E o que você chama de raízes simples? Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] APOSTOL - problemas em trans. linear e matrizes
T1: V -- V T(0) = 0 T(1) = 0
T2: V -- V T(0) = 0 T(1) = 1
T3: V -- V T(0) = 1 T(1) = 0
T4: V -- V T(0) = 1 T(1) = 1
Neste caso as funções T2 e T3 são transformações
biunívocas (1-para-1), pois levam V em V.
Não entendi direito essa questão. A T3 leva o 1 no vetor 0. Pelo Teorema do
Nucleo e da Imagem, sendo T: V - V, então T é inversível = Ker(T) = {0}.
Mas, nesse caso, Ker(T3) = {0,1}.
Também achei estranho o fato de transformações lineares levarem o vetor nulo
em um outro vetor não-nulo...
Alguém explica?
Grato,
Henrique.
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Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
E o Teorema das raízes racionais diz que, se um polinômio p(x) = a_0 + a_1*x
+ a_2*x^2 + ... + a_n*x^n admitir raízes racionais, p/q, p será divisor de
a_0 e q será divisor de a_n.
Pelo seu problema temos que p = {+-1, +-3} e q = {+-1, +-2, +-4}.
Agora você vai testando as combinações... Por exemplo: x = 1 == 4 + K + 3 =
0 == K = -7.
Pra K = -7, você tem como raízes x_1 = 1 e x_2 = 3/4.
Agora é só continuar...
Abraços,
Henrique.
- Original Message -
From: Victor Machado [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 26, 2004 8:12 PM
Subject: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau
Olá amigos da Lista, queria lhes agradecer pelas resolucoes enviadas.
Mas gostaria de outra :
(CN-2003) Dada a equação do 2º grau na incógnita x : 4x^2 + Kx + 3 = 0.
Quantos são os valores inteiros possíveis do parâmetro K, tais que essa
equação só admita raízes racionais?
Falaram-me que o exercicio sairia facil pelo teoremas das raizes racionais,
mas nao o conheco... entao peco-lhes : poderiam por a resolucao junto com
uma pequena teoria sobre esse teorema ?
Agradeco desde ja
Victor
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Re: [obm-l] Um Problema Interessante
Ah sim... Lembre-se também que a matriz identidade é idempotente. Logo, I^n = I. Henrique. Pessoal , será que podem me ajudar a resolver esse probleminha? Sejam A e B matrizes reais nxn tais que AB + A + B = 0. Prove que AB=BA. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Um Problema Interessante
Sejam A e B matrizes reais nxn tais que AB + A + B = 0. Prove que AB=BA. Soma a identidade dos dois lados... AB + A + B + I = I == (A + I)(B + I) = I Isso implica que A + I é a inversa de B + I e, como são quadradas, elas comutam. Então temos (A + I)(B + I) = (B + I)(A + I) == A + B + AB + I = B + A + BA + I == AB = BA Acho que é isso... Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Forma canonica...
Claudio, se nao for pedir muito, voce pode me esclarecer o que significa essa expressao: ln(y) = x*ln(S) - x*ln(x) esse inquer dizer o que? f(x) = y, y = (S/x)^x Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da expressão, temos: ln(y) = ln(S/x)^x == ln(y) = x*ln(S/x) == ln(y) = x*(ln(S) - ln(x)) E daí segue o resto... Tudo feito usando propriedades dos logaritmos. Quando a esse in, não sei o que você quer dizer. Se você digitou errado e queria dizer ln, é o logaritmo natural, isto é, na base e = 2,718281... Abraço, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: Complexos e Matrizes
Aqui eu não tenho a menor idéia do que é que você espera: i^2 = -1 é o fato mais básico sobre i, não sei em que contexto faria sentido demonstrar (geometricamente ou de qualquer outra forma) que i^2 = -1. Nicolau, Creio que essa confusão vem das definições da unidade imaginária, que mudam de livro pra livro. Basicamente, já vi duas: uma é a definição de i como sendo o número que tem a propriedade i^2 = -1. Outra definição (creio que mais comum) é que i = sqrt(-1). No meu livro do segundo grau mesmo, Matemática - Contexto Aplicações do Dante, ele define i = sqrt(-1) e identificado esse número como o par ordenado (0,1) (essa idéia parece ser atribuída a Gauss) e mostra, a partir dessa última definição, que i^2 = -1. A demonstração que ele dá é a seguinte: Definindo a multiplicação de complexos representados como um par ordenado (a,b), onde a é a parte real e b, a parte imaginária, como (a,b)*(c,d) = (ac - bd, ad + bc) e considerando i = (0,1), temos: (0,1)*(0,1) = (0*0 - 1*1, 0*1 + 1*0) = (-1,0) = -1 Talvez de i = (0,1) saia o que ele quer. Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Numero de Napier
numero de Napier é o mesmo que numero de Euler? Defina numero de Napier Sim, é o mesmo número irracional e ~ 2.71828... Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Vunesp - Questao Duvidosa
1 - Uma turma com 180 formandos esta elegendo o orador oficial atraves de uma votação. Os candidatos são Ana e Paulo. No momento, Ana possui 1/4 dos votos e Paulo 2/5. Se todos os votos restantes forem para Ana, e se nenhum formando deixar de votar, então ela sera eleita com uma quantidade de votos a mais que Paulo igual a? A) 24 B) 28 C) 30 D) 36 E) 45 Eu fiz assim: Ana, no momento, tem 5/20 dos votos e Paulo, 8/20. Assim, faltam 7/20 dos votos. Como esses 7/20 vão para Ana, temos que esta fica com 12/20 e Paulo com 8/20. Ana: 12/20*180 = 108 Paulo: 72 Ana - Paulo = 108 - 72 = 36. Letra D) Veja que o enunciado diz que a turma tem 180 pessoas e todo mundo vai votar e parece não haver a possibilidade de votarem nulo. Abraço, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] CN-97_
Um aluno, efetuando a divisão de 13 por 41, foi determinando o quociente até a soma de todos os algarismos por ele escritos, na parte decimal, foi imediatamente maior ou igual a 530. Quantas casas decimais ele escreveu? (A) 144 (D) 147 (B) 145 (E) 148 (C) 146 13/41 = 0.31707317073... É uma dízima períodica. Temos que 3 + 1 + 7 + 0 + 7 = 18 Então temos 530/18 = 29.44... Então, 5*29.4... = 147.22 Achei letra (D). Abraço, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] como faço?!
Qual é a soma de todos os números inteiros de 1 a 100? Tem a fórmula da soma P.A. que já comentaram aí. Mas vou falar da solução dada por Gauss, quando este tinha 7 anos, se nao me engano. Ele fez o seguinte: Escreve-se os número de 1 a 100 na ordem natural: 1 2 3 4 5 6 ... 100 Depois, escrevemos na ordem inversa: 100 99 98 ... 1 Se pegarmos cada dois elementos das colunas, vemos que sua soma sempre dá 101 (100 + 1 = 99 + 2 = 98 + 3 = ... = 101). Temos então 100 somas que dão 101. Portanto, 100*101 = 10100. Mas note que cada número foi contado duas vezes. Portanto, basta dividir tudo por 2, resultando 5050. A dedução da fórmula da soma da P.A. é basicamente essa, escrevendo a_1, a_2, ..., a_n. Você pode tentar. Abraço, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] como faço?!
Essa fórmula está errada... Se você pegar a soma dos números de 101 até 200, temos também 100 números. a_1 = 101 a_n = 200 n = 100. Então essa soma dá 5050 também? Na verdade, essa fórmula que você mostrou é a fórmula para soma dos n primeiros números naturais. A soma da P.A. seria (a_1 + a_n)*n/2. Abraços, Henrique. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 17, 2004 5:41 PM Subject: Re: [obm-l] como faço?! Soma de P.A a_1= 1 a_n = 100 n = 100 S_n = n*(n + 1)/2 S_n = 100*(100 + 1) / 2 S_n = 5050 Nao eh dificil demonstrar esta formula... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] mais limites...
lim x^[1/(x^2)] x- +infinito tipo, eu consigo perceber intuitivamente que dá 1, mas não consigo demonstrar um cálculo certo... alguém poderia me ajudar? Reescreva x^(1/x^2) como exp(ln(x)/x^2). Temos então exp(lim(ln(x)/x^2)). Agora é só usar L'Hopital aí dentro e ver que isso dá exp(0). Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Pedido de ajuda ao Nicolau ou ao Paulo Santa Rita
Estimado amigo. Eu tenho escrito pouco e sempre rapidamente - o que nao raro me leva a descuidos triviais - por absoluta falta de tempo, mas, com prazer, vou tentar arranjar um tempo pra olhar com mais cuidado a sua questao. Desde ja adianto que, EM TESE, a resposta e positiva, pois a integracao e um processo algoritmo (...) Paulo, Lendo sua mensagem, lembrei de um algoritmo de integração ao qual o Nicolau se referiu na lista. Tal algoritmo não era ensinado a alunos de Cálculo por ser muito trabalhoso para aplicar. Nas palavras do Nicolau, ele indicaria se uma função admite primitiva ou não e, no caso afirmativo, mostra tal primitiva. Gostaria de pedir para algum colega ou o próprio Nicolau algum documento sobre tal algoritmo, seu desenvolvimento e aplicação. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] subespaço vetorial
Considerando o espaço R^n, quais dos seguintes subconjuntos são subspaços?
Como justifico?
W1={f pert. R^n; lim n-inf. f(n)=0}
W2={f pert. R^n; f é limitada}
W3={f pert. R^n; somatorio n=0..inf., f(n)^2 inf.}
W4={f pert. R^n; f(n)0 para um número finito de índice n
Minha dúvida seria como justificar que são subespaços.
Bom, as condições para ser subespaços sao as seguintes:
Dados dois vetores (u e v) pertencentes ao subespaço vetorial F e um escalar
k qualquer, temos
1 - O vetor nulo pertence a F
2 - u e v pertencem a F, então u + v também pertencem a F
3 - k*u pertence a F.
Espero que ajude.
Abraço,
Henrique.
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[obm-l] Re: [obm-l] Recorrência
Encerramos esta seção com algumas observações: a expressão C(n;p) =
n*(n-1)*...*(n-p+1)/p! faz sentido para qualquer n real, desde que p seja
um
inteiro positivo. Definiremos então para qualquer n real e qualquer p
inteiro não negativo o binomial de n sobre p por C(n;p) = n*(n-1)*...*(n-p
+1)/p! (p0) e C(n;0) = 1.
Assim, por exemplo, temos
C(1/2;3) = (1/2)*(1/2-1)*(1/2-2)/3! = 1/16
C(-5;4) = (-5)*(-6)*(-7)*(-8)/4! = 70
C(3;5) = 3*2*1*0*(-1)/(5!) = 0.
É bem capaz da UFPR ter escolhido justamente C(3;5) para poder derrubar os
possíveis recursos com essa bibliografia.
Me metendo um pouco nessa história...
Nós sabemos que n! = Gamma(n+1), onde Gamma é a função definida pela
integral imprópria Gamma(a) = int_0^{\infty} exp(-x) * x^(a - 1) dx.
Então, se tivermos n = 0, digamos, n = -1, temos (-1)! = Gamma(0), e
sabemos que tal integral é divergente para a = 0. Na verdade, tal integral
só converge para a = 1 e para 0 a 1, ou seja, para números estritamente
positivos. Assim, n! não me parece ser definido para números negativos.
Além desse problema, ainda não faz muito sentido pra mim termos -5
elementos tomados 4 a 4 = C(-5,4). Existe algum caso na vida real que isso
funcione?
O caso do C(3;5) parece certo nesse sentido...
Abraço,
Henrique.
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[obm-l] Re: [obm-l] dúvidas
5) 5x= 2*pi - x 6x = 2*pi x=pi/3 = 60º Tentei expandir cos(5x) e resultou em 16cos(x)^5 - 20cos(x)^3 + 5cos(x) = cos(x) == 4cos(x)^5 - 5cos(x)^3 + cos(x) = 0 Fazendo a = cos(x), temos 4a^5 - 5a^3 + a = 0 Claramente, a = 0 é uma solução (e, portanto, x = Pi/2), segue 4a^4 - 5a^2 + 1 = 0 É fácil ver também que a = 1 é uma solução (a soma dos coeficientes é igual a zero) e x = 0. Mas ao invés de dividir por (a - 1), vamos resolver a equação biquadrada, fazendo b = a^2 Temos então 4b^2 - 5b + 1 = 0. Pela nossa conhecida fórmula pra equações do segundo grau, achamos b = 1 e b = 1/4. Voltando as variáveis, achamos a = 1, a = -1, a = 1/2 e a = -1/2. Pra a = -1, x = Pi; a = 1/2, x = Pi/3 e, finalmente, a = -1/2, x = 2Pi/3. Acho que tá certo. Deve ter um jeito mais bonito de fazer isso, mas não encontrei. Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Orientacao sobre livros ou sites
Se não me engano o conteúdo do curso MATEMATICA I e II da FATEC (tenho uns 2 ou 3 amigos por ai) é o mesmo do de CÁLCULO I e II que o pessoal das engenharias estuda (se bem que na descrição que vc deu eles pegaram pesado)..não chega a ser tão rigoroso qdo um curso de análise.. Uma boa sugestão é o livro de Cálculo do Leithold (simple, mas pouco profundo), ou então o do Stewart (bastante usado nas universidades..simple e claro..e com um bom conteúdo), ou ainda o do Munem (bastante conceitual)..mas se quiser aprender mesmo (ler em inglês e estiver disposto a desembolsar um pouco mais) use o do Apostol, é o mais completo..ou então compre todos e monte uma biblioteca em casa.. ;-) Eu sugiro os livros do Guidorizzi, Um Curso de Cálculo, volume 1 a 4. São muito bons. Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Orientacao sobre livros ou sites
Se não me engano o conteúdo do curso MATEMATICA I e II da FATEC (tenho uns 2 ou 3 amigos por ai) é o mesmo do de CÁLCULO I e II que o pessoal das engenharias estuda (se bem que na descrição que vc deu eles pegaram pesado)..não chega a ser tão rigoroso qdo um curso de análise.. Uma boa sugestão é o livro de Cálculo do Leithold (simple, mas pouco profundo), ou então o do Stewart (bastante usado nas universidades..simple e claro..e com um bom conteúdo), ou ainda o do Munem (bastante conceitual)..mas se quiser aprender mesmo (ler em inglês e estiver disposto a desembolsar um pouco mais) use o do Apostol, é o mais completo..ou então compre todos e monte uma biblioteca em casa.. ;-) Só pra completar meu e-mail passado, o livro que eu citei (Um Curso de Cálculo) é organizado conforme as ementas dos Cálculos da USP. O primeiro volume é o básico de Cálculo, funções de uma variável. Limite, derivada, integral, sólidos de revolução. Tem um apendice muito interessante sobre a construção do corpo ordenado dos Reais e sobre integrabilidade de funções limitadas, contínuas, inclusive com o Critério de Lebesgue. O segundo livro começa abordando integrais impróprias e uma prova do Teorema Fundamental do Cálculo (existência de primitivas). Tem uma parte interessante sobre aplicações do Cálculo à Estatística e segue para funções de várias variáveis, chegando até cálculo de máximos e mínimos pelo método de Lagrange. O terceiro introduz integrais duplas e triplas, integral de linha etc. E o quarto fecha com sequências e séries (numéricas e de funções) e equações diferenciais (tema que também aparece no segundo livro). Achei os livros bem completos e, ao que me pareceu, o autor estava preocupado com a formalização, demonstrando quase todos os teoremas propostos e aprofundando mais em alguns assuntos. Recomendo fortemente. Abraço, Henrique Branco. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] alg-lin
Toda transformação linear do espaço em si mesmo L:E--E tem sempre dois subespaços invariantes: o espaço trivial só com o vetor zero e o espaço todo. É verdade, também, que toda transformação deste tipo possui um supespeço invariante de dimensão 1 ou 2, se o corpo em questão é os reais; e 1 se o corpo são os complexos. Não seriam também Ker(L) e Im(L) dois exemplos de subespaços invariantes? Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Integral
Pessoal, Dando uma olhada no livro Um Curso de Cálculo, Vol.3 do Guidorizzi, ele mostrava o cálculo da integral de e^(-x^2), de -infinito a +infinito. Logo no começo do cálculo, ele faz I(r) = int e^(-x^2) dx de r a -r = int e^(-y^2) dy de r a -r Não entendi direito essa passagem, ele simplesmente troca o x por y? Alguém sabe explicar? Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Probabilidade
Pessoal, estou com um problema nesse exercício. Será que alguém pode ajudar? A energia radiante (em But/hora/pé^2) é dada pela seguinte função da temperatura T (em escala Fahrenheit): E(T) = 0,173*(T/100)^4. Suponha que a temperatura T seja considerada uma variável aleatória contínua com fdp: f(t) = 200t^(-2), 40 = t = 50, 0, para quaisquer outros valores. Estabeleça a fdp da energia radiante E. Fiz o seguinte: Seja G a fd de E, então G(e) = P(E = e) = P(0,173*(T/100)^4 = e) = P[T = (10^8*e/0,173)^(1/4)] Resolvi a integral de 40 a (10^8*e/0,173)^(1/4) e derivei a expressão. Mas quando faço a integral de E(40) a E(50), dá um número do tipo 0,4 * 10^8, obviamente errado. Alguem tem alguma dica? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probabilidade
1) Btu e nao but Erro de digitação... 2) Em P(0,173*(T/100)^4 = e) = P[T = (10^8*e/0,173)^(1/4)] , a algebra esta errada. Errada onde? Resolvi no papel e depois pelo Maple... E ele mostra o mesmo resultado, com o isolate. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probabilidade
Favor desconsiderar minha mensagem anterior, em que apontava um suposto erro de algebra. Certo... Antes de ler sua mensangem mandei outra perguntando sobre o suposto erro. Enfim, onde pode estar o erro aí? A técnica parece estar correta. Talvez esteja errando nos limites de integração, mas não me parece... Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Mais sobre a aproximação
Sobre a questão de aproximar ln(2) por um polinômio de McLaren com erro inferior a 10^(-3) Já tinha visto a solução de expandir ln(x+1)/ln(x-1), mas mandei a questão para a lista pra ver se obtinha outra solução, pois percebi que nunca iria imaginar tal solução mágica... Qual o raciocínio empregado para usar essa função? Ele serve para aproximar qualquer ln(a) com a 1? Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Aproximação de log
Pessoal, Como resolvo esse problema? Calcule uma aproximação para ln(2) com precisão de 10^(-3). Tentei usar as fórmulas de McLauren para ln(x + 1) e ln(1 - x) e não deu muito certo... Precisaria de um polinômio de grau gigantesco (999) para aproximar com essa precisão. Alguém sabe indicar uma função que torne isso possível? Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] perguntas simplórias (PG)
2º) Na soma dos termos de uma PG infinita, gostaria de saber mais exatamente qual a diferença entre sequência convergente e divergente. Acho que a sua pergunta se refere a séries e não a sequências. É um pouco diferente... A série geométrica é um somatório de k = 0 até infinito de a*r^k., onde r e a são dois números reais. Esta vai ser convergente se 0 | r | 1 e vai convergir para a/(1 - r). Caso contrário, tal série diverge. Abraço, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais IME...
Tem só mais uma aki: (IME 98) Resolva e interprete, geometricamente, o sistema matricial abaixo em função de a e b. | 1 -23 | | x || -4 | | 5 -67 | | y || -8 | | 6 8a | | z || b | Só não sei fazer a parte da interpretação geométrica (resolver sistema linear pelo amor de Deus...) Nesse caso, vou ter que concordar com seu comentário sobre as questões do IME serem mal-formuladas. Afinal, o que se deve entender por interpretar geometricamente um sistema de equações? http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/sistlin2.pdf Acho que esse documento pode ajudar aqui. Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Probabilidade
Pessoal, Preciso de uma ajuda com esse problema de probabilidades. Foguetes são lançados até que o primeiro lançamento bem sucedido tenha ocorrido. Se isso não ocorrer até 5 tentativas, o experimento é suspenso e o equipamento inspecionado. Admita que existe uma probabilidade constante de 0,8 de haver um lançamento bem sucedido e que os sucessivos lançamentos sejam independentes. Suponha que o custo do primeiro lançamento seja K dólares, enquanto os lançamentos subsequentes custam K/3 dólares. Sempre que ocorre um lançamento bem sucedido, uma certa quantidade de informações é obtida, a qual pode ser expressa como um ganho financeiro de C dólares. Sendo T o custo líquido desse experimento, estabeleça a distribuição de probabilidade de T. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Mais Algebra Linear
Pessoal, gostaria de ajuda com esses: 1 - Se Ker(P) = Im(I - P), prove que o operador linear P: E - E é uma projeção (I é a identidade, Im é a imagem e Ker, o núcleo) 2 - Sejam P,Q: E - E projeções. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes: a) P + Q é uma projeção b) PQ + QP = 0 c) PQ = QP = 0 Aqui ele dá como sugestão para mostrar que b = c multiplicar à esquerda, e depois à direita, por P. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] De onde vieram: Dij, Cof(Aij) e Laplace
Gostaria de saber de onde saíram o menor complementar, o cofator e o teorema de Laplace. Já que você perguntou sobre isso, também tenho uma pergunta desse nível: Acho que todos conhecem o método de inverter uma matriz usando o inverso do seu determinante vezes a matriz dos seus cofatores. Onde posso achar uma dedução disso? Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida em equações polinomiais - As deduções estão erradas??? (Dúvida muito suga!)
Consideremos uma equação polinomial de coeficientes inteiros (A0, A1, A2, A3, ..., An). Sabe-se q toda equação tem um número par de raízes complexas e um número par de raízes irracionais. É errado dizer que toda equação tem um número par de raízes racionais. De fato, ela tem um número par de raízes complexas (uma raiz complexa e seu conjugado). Qualquer equação de grau impar tem, pelo menos, uma raiz real. Portanto, pode ser racional ou irracional. O teorema que você invoca (Teorema das Raízes Racionais) diz que, SE a equação tiver raízes racionais, elas serao da forma p/q com p dividindo o termo independente e q dividindo o coeficiente dominante, mas nada assegura que você tenha sempre raizes racionais dessa forma. Elas são possíveis candidatas a raízes, mas nem sempre são raízes, de fato. Abraço, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes, bolos e tortas...
Dirichlet, Não sei, mas para mim a regra de multiplicação de matrizes não é simplesmente uma definição. Ela é feita com base em composição (produto) de aplicações lineares. Uílton, se você quiser entender um pouco mais sobre produto de matrizes, dá uma olhada em livros de Algebra Linear, como o do Elon. Mas aí você vai ter que estudar um bocado... Desde espaços vetoriais, sub-espaços até composição de transformações lineares. Abraço, Henrique. Isto tem a ver com a ultima declaração que fiz.Mas lembre-se:definições são indiscutiveis!E o que seria logico pra voce? E ha o problema das unidades... Uílton_O._Dutra [EMAIL PROTECTED] wrote: Johann, Minha dúvida é: Porque a regra da multiplicação de matrizes manda somar as colunas? O resultado da multiplicação do meu exemplo é: Quantidade Total Farinha|170| Açucar |80 | Gostaria de saber porque não é: Torta|Bolo| Farinha |50 | 120 | Açucar |40 | 40 | Fazendo uma analogia a multiplicação de escalares, a regra das matrizes não parece lógica. []s, UOD PS: Não entendo nada de culinária... :-) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra Linera
Sendo V um espaço vetorial de dimensão n. Se tomarmos um conjunto X linearmente independente com n vetores desse espaço. é possível afirmar que esse conjunto X é uma base do espaço vetorial V ? ou seja num espaço vetorial de dimensão n qualquer conjunto de vetores LI com n vetores será uma base desse espaço? É sim, quaisquer n vetores LI dentro de um espaço vetorial de dimensão n formam uma base para esse espaço. E, reciprocamente, toda base desse espaço vai ser formada por n vetores LI. Abraço, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somatorio e Triplos Pitagoricos
Bem,o primeiro e razoavelmente facil mas bem chato:se voce conhece alguma formula para a soma dos cubos de 1 ate n fica facil adaptar.Caso contrario voce deve obte-la.A dica e:a soma desses cubos e um polinomio de grau 4. O primeiro é realmente fácil... Depois que mandei a solução pra lista, consegui fazê-lo. Mas agradeço ao Cláudio. O que e triplo pitagorico primitivo? E o que e (20,y,z) Um Triplo Pitagórico é uma solução natural da equação diofantina x^2 + y^2 = z^2. Acho que tem esse nome porque x e y podem ser encarados como catetos de um triangulo retângulo e z, como a hipotenusa. Um Triplo Pitagórico é primitivo quando mdc(x,y,z) = 1 e (20, y, z) é um triplo da forma 20^2 + y^2 = z^2, os três numeros naturais. Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Teoria dos numeros
Prove as seguintes afirmações: a) Se a é um inteiro ímpar, então 24 divide a*(a^2 - 1) b) Se a e b são inteiros impares, entao 8 divide a^2 - b^2 No caso do item b) pensei em considerar a = 4k-1 e b = 4k+1. Eu perco a generalidade se fizer algo assim? Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Mais indução...
Pessoal, Esse eu preciso mesmo resolvido por indução, mas não consigo ver uma saída de forma alguma. Se alguém puder ajudar... Prove que 4^n/(n+1) (2*n)!/n!^2 para todo n = 2. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Outra de indução...
Pessoal, Tô realmente apanhando um bocado da indução finita... Não consigo enxergar as manipulações necessárias para provar essas coisas. Alguém poderia me dar uma ajuda com esse? Provar que n! n^3, pra n = 6. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Indução finita (mais um...)
Como eu faço isso? Verifique que 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n-1)^2 = n(4n^2 + 1)/3 Tentei somar (2n + 1)^2 dos dois lados, mas me embolei com o segundo membro... Não consigo fazer sair um (n+1)(4(n+1)^2 + 1)/3. Alguma sugestão? Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Indução finita (mais um...)
Como eu faço isso? Verifique que 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n-1)^2 = n(4n^2 + 1)/3 Corrigindo... n(4n^2 - 1)/3 e não n(4n^2 + 1)/3. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Teoria dos números
Uma ajuda nesse também, por favor... Mostrar: se n é, ao mesmo tempo, um quadrado e um cubo, então n é da forma 7k ou 7k + 1. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Algebra Linear [u]
Pessoal, gostaria de uma ajuda nesses exercícios. 1. Defina a média u*v entre dois vetores u,v no espaço vetorial E pondo u*v = (1/2)u + (1/2)v. Prove que (u*v)*w = u*(v*w) se, e somente se, u = w. 2. Dados os espaços vetoriais E1, E2, considere o conjunto E = E1 x E2 (produto cartesiano de E1 por E2), cujos elementos são os pares ordenados v = (v1, v2), com v1 pertencente a E1 e v2 pertecente a E2. Defina operações que tornem E um espaço vetorial. Verifique a validez de cada um dos axiomas e mostre que sua definição se estende para o caso de n espaços vetoriais E1, ..., En, ou mesmo de uma sequência infinita E1, E2, ..., En, ... . Qualquer ajuda é bem-vinda. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra Linear [u]
Domingos, 1. Defina a média u*v entre dois vetores u,v no espaço vetorial E pondo u*v = (1/2)u + (1/2)v. Prove que (u*v)*w = u*(v*w) se, e somente se, u = w. (u*v)*w = [(1/2)u + (1/2)v]*w = 1/2.[(1/2)u + (1/2)v] + 1/2.w = 1/4.u + 1/4.v + 1/2.w do outro lado: u*(v*w) = u*[(1/2)v + (1/2)w] = 1/2.u + 1/4v + 1/4w 1/4.u + 1/4.v + 1/2.w = 1/2.u + 1/4v + 1/4w logo (u*v)*w = u*(v*w) = 1/4.u + 1/2.w = 1/2.u + 1/4w = 1/4.u = 1/4w = u = w Resolvi exatamente dessa forma, mas achei que poderia estar errado. Queria uma opinião. 2. Dados os espaços vetoriais E1, E2, considere o conjunto E = E1 x E2 (produto cartesiano de E1 por E2), cujos elementos são os pares ordenados v = (v1, v2), com v1 pertencente a E1 e v2 pertecente a E2. Defina operações que tornem E um espaço vetorial. Verifique a validez de cada um dos axiomas e mostre que sua definição se estende para o caso de n espaços vetoriais E1, ..., En, ou mesmo de uma sequência infinita E1, E2, ..., En, ... . é bastante coisa pra mostrar e todas elas são razoavelmente simples! a definição é bem simples: soma: (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2) mult. por escalar: lambda*(v1, v2) = (lambda*v1, lambda*v2) É, eu queria realmente se essas definições usuais funcionavam. Eram basicamente essas duvidas, daqui pra frente eu sei que seguir... Agradeço muito. Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Duvida - equações
Prove que : 1)Toda equação de termo independente nulo, admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável . Vamos considerar um polinômio p(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_b*x^b, onde b é um natural maior ou igual a 1. Nesse caso, zero é raiz do polinômio e, portanto, ela pode ser dividida por (x - 0) = x == (a_b*x^b)/b = a_b*x^(b-1). Novamente, pode ser dividido por x, resultando em a_b*x^(b-2). Fazendo esse processo b vezes, teremos a_b*x^b/x^b = a_b, que não é mais divisível por x. Abraço, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Teoria dos Números (sobre livros)
Pessoal, Resolvi me arriscar esse semestre e pegar Teoria dos Números 1 (faço Estatística). Bem, o curso é sobre divisibilidade, congruências e problemas envolvendo numeros primos (problemas teóricos e aplicações). Gostaria de sugestão de livros sobre o assunto. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EsaEx - Quero MESMO Passar
João, Seja X uma matriz quadrada de ordem n, k um inteiro e a um real qualquer. det(a*X^k) = a^n * det(X)^k Como a matriz é de ordem 3, det(3X) = 3^3 * det(X) Não é muito dificil de demonstrar... O resto eu fico devendo... Abraço, Henrique. - Original Message - From: João [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, August 16, 2003 9:47 PM Subject: Re: [obm-l] EsaEx - Quero MESMO Passar 9) Sejam X,Y,Z matrizes de 3a. ordem em que XY = Z^(-1) e Y = 3X. Se Det (Z) = 12, qual o valor de Det (X)? X*(3X) = Z^(-1) == 3*X^2 = Z^(-1) == det(3*X^2) = det(Z^(-1)) == 3^3 * det(X)^2 = 1/12 ==(Porque este 3 ao cubo?) det(X)^2 = 1/324 == det(X) = 1/18 ou det(X) = -1/18 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] DÚVIDA
A equação |X|²+|X|-6 =0 a) só tem uma solução. b) tem duas soluções, tais que seu produto é = - 6. c) tem duas soluções, tais que seu produto é = - 4. d) tem duas soluções, tais que seu produto é igual a 0 Não sei se esse é o jeito certo de resolver, mas... |x|^2 = (sqrt(x^2))^2 = x^2 Então x^2 + |x| - 6 = 0 Agora temos x 0 e x 0 (1) x 0 == x^2 + x - 6 = 0 == x = 2 e x = -3 (2) x 0 == x^2 - x - 6 = 0 == x = -2 e x = 3 Como tem o módulo, |-x| = x e, portanto, só precisamos testar 2 e 3 ou -2 e -3. 2^2 + 2 - 6 = 0 == 0 = 0 3^2 + 3 - 6 = 0 == 6 = 0 Portanto, as raízes são -2 e 2. Letra c) Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Teorema das raízes racionais
Pessoal, Há um tempo atrás eu e o Fael lançamos uma pergunta sobre a demonstração desse teorema (respondida pelo Morgado). Procurando nos meus favoritos, achei um link interessante sobre Teoria da Factorização (parece ser lusitano), que tem a demonstração na página 17. Se interessar: http://hermite.cii.fc.ul.pt/~pedro/fact.pdf Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
Você não pode usar isso assim, pois nada assegura que todos os divisores de
1024 são raízes da equação.
De fato, o teorema nos diz que, SE um polinômio f(x) = a_n*x^n +
a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_0 tiver raízes racionais, estas serão da forma p/q
com p divisor de a_0 e q divisor de a_n. No problema, só temos o dado que as
raízes são todas reais e positivas e, logo, pode haver raizes irracionais.
Abraço,
Henrique.
- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, August 09, 2003 10:18 PM
Subject: Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
Pelo teorema das raizes racionais temos as raizes p/q da eq. de modo que
a[n]
eh divisor de q e a[0] eh divisor de p.
No problema abaixo temos a[n] = 1 e a[0] = 1024. Com a[n] =1 e as raizes sao
reais e positivas, temos que as raizes da equacao abaixo eh o conjunto dos
divisores positivos de 1024 (=2^10) que sao obtidas tomando-se o produto
2^10
dois a dois {2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024}
Se cometi algum deslize, por favor Claudio (ou qualquer outro participante)
me corrija.
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] EsSA
Sendo x= 19 e y= 81, então a expressão (x+y)^2 + x^2 - y^2 + 2x é divisível por: Desenvolvendo, temos: x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - y^2 + 2x = 2x^2+2xy+2x Essa expressão é (claramente) divisível por x (logo, por 19). Dividindo chegamos a 2x + 2y + 2, divisível por 2. Assim, (2x + 2y + 2)/2 = x + y + 1. Divisível por ela mesma, ou seja, 101. Logo, letra b) 2, 19, 101. Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
Todas as raízes são iguais a 2. De fato, se as raízes são x_1, x_2,..., x_10, então pelas relações de Girard temos: x_1 + x_2 + ... + x_10= 20 x_1.x_2...x_10= 1024 Como as raízes são reais positivas, podemos usar MA = MG: (x_1 + x_2 + ... + x_10)/10 = (x_1.x_2...x_10)^(1/10) = 20/10 = (1024)^(1/10) = 2 = 2 Como ocorre a igualdade, devemos ter que todos os x_i´s são iguais, logo 10.x_1=20 = x_1= x_2=...= x_10= 2. Yuri, Tá certo, a solução é muito boa... Mas como você pensou em usar MA e MG? Já conhecia o problema (ou algum parecido?) E se, no caso, as médias fossem diferentes? Não daria pra sair daí? Desculpe pela dúvida um tanto quanto idiota, mas não custa perguntar... Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema das 3 portas
Oi, Henrique: Eu insisto que a estrategia otima eh trocar de porta. Cláudio, Realmente, me enganei. Mas esse problema é, de fato, bem sutil... Inicialmente nos leva a crer, sem sombra de dúvidas, que as probabilidades ficam em 1/2, de qualquer forma. Lendo as suas argumentações, bem como as do Nicolau, percebe-se claramente o erro do meu raciocínio. Peço desculpas se, eventualmente, confundi outros com minhas dúvidas. Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEM ÁTICA
Por falar nisso, esta prova aparentemente induz um dos erros mais comuns. As pessoas incorretamente entendem que foi provado que 2*3*...*p + 1 é primo. Isto é falso mas o primeiro contraexemplo demora o suficiente para aparecer para convencer os mais afoitos de que sim, estes números são primos: (...) Nicolau, Foi muito válida sua observação. No caso, a primeira vez que vi essa demonstração foi no seu livro virtual, sobre primos de Mersenne e outros primos muito grandes. Lá você cita isso também, com esses contra-exemplos. Como você cita lá: Não existe nenhuma fórmula simples conhecida que gere sempre números primos. Aproveitando a mensagem, não quero causar nenhum tipo de polêmica, mas acho que os participantes da lista deviam tomar mais cuidado com certas sutilezas em seus e-mails. Por exemplo, tentem diminuir a linha de Assunto. Como ilustração, a mensagem ENQUETE - BELEZA MATEMÁTICA, depois de sucessivos replys, virou Re: [obm-l] Re: [obm-l]_Re:_[obm-l]_ENQUETE_-_BELEZA_MATEMÁTICA, com esses tantos Re: [obm-l] repetidos. Tentem também dar uma chance aos expoentes fracionários ao invés de usar os próprios sinais de fraçao. Raiz cubica de 2 pode ser escrita como 2^(1/3). Para facilitar a visualização. São apenas sugestões para tornar a leitura dos e-mails mais simples. Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] DÚVIDA... ajudarr
Não tenho muita certeza das minha resoluções, mas já que ninguém respondeu,
vai aí alguma tentativa...
O número natural N = 180p, onde p é um número primo, possui 27 divisores
naturais. O valor de p é:
a) 2 b) 3 c)5 d) 7 e) 11
Creio que aqui seja N = 180^p, uma vez que 180p é divisível por {2 2 3 3 5
p}.
De qualquer forma, não sei resolver essa questão, mas creio que seja fácil
usar congruências (as quais não domino). Eu mesmo gostaria de uma ajuda
nesse problema.
2) Num triângulo retângulo, a hipotenusa é o triplo de um dos catetos.
Considerando o ângulo oposto ao menor lado, podemos afirmar que tg +
sec
é igual a ?
Essa é meio difícil de explicar... Tente fazer o desenho de um triângulo
retângulo, use trigonometria e o fato de que sec(x) = 1/cos(x).
Assim, sec(x) + tan(x) = 4B/A.
4) Um Aspirante ganhou, em uma competição na Escola Naval, quatro livros
diferentes de Matemática, três livros diferentes de Física e dois livros
diferentes de Português. Querendo manter juntos aqueles da mesma
disciplina, concluiu que poderia enfileirá-los numa prateleira de sua
estante, de diversos modos. A quantidade de modos com que poderá fazê-lo
é
(A)48
(B 72
(C192
(D864
(E)1728
Ordenando cada grupo, temos para os de Matemática 24 = 4*3*2 maneiras de
dispô-los entre si, para os de Física 6 = 3*2 maneiras e para os de
Português, 2 maneiras.
Agora, consideremos cada conjunto de livros como um único, facilita.
Portanto, se tivermos 3 grupos diferentes, podemos ordená-los de 3*2 = 6
formas.
Portanto, o total de modos que esse estudante pode organizar os livros na
estante é 24*6*2*6 = 1728, letra E.
Abraços,
Henrique.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMÁTICA
Cláudio, A classica prova de Euclides é aquela que diz: Sejam p1, p2, ..., pm todos os primos. Entao consideremos o número N = p1 * p2 * ... * pm + 1. Esse número não seria divisível por nenhum primo e, portanto, contradiz o Teorema Fundamental da Aritmetica? Abraços, Henrique. - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, August 13, 2003 6:08 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMÁTICA Eu vou dar mais um tempinho pra ver se alguem mais quer enviar sua lista e ai publico os enunciados, talvez ateh separados por assunto, como no Proofs from the Book. Jah as demonstracoes sao outra historia - e voluntarios serao muito bem-vindos. Eu me disponho a provar que ha infinitos primos (ou pelo menos mais de 200, o que jah eh um belo resultado parcial). Que tal? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
