Re: [obm-l] Conjunto dos reais

[kleinad]

Olá!

Olha, uma pergunta como essa só faz sentido se você tiver uma definição de
números reais, e existem várias maneiras de fazê-la.

Em muitos livros evita-se fazer a construção dos números reais, admitindo-se
como axioma que existe um corpo com tais e tais propriedades a que se chama
de corpo dos números reais. Se é corpo, por definição, ele é fechado para a
soma.

Num processo de construção dos números reais a partir dos racionais, por
exemplo via cortes de dedekind, você tem em mãos uma definição de número
real e também de adição de números reais, e a partir delas é possível
demonstrar que a soma de dois reais é também um real.

Ok?

[]s,
Daniel

cfgauss77 ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

  Gostaria de uma demonstração para a seguinte proposição:

O conjunto dos reais é fechado para a adição, ou seja, sejam x e y reais,
então, x+y também é real.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Problemas de Algebra

[kleinad]

Claudio Buffara ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Oi, pessoal:

Preciso de ajuda nos seguintes problemas sobre grupos do Herstein - Topics
in Algebra:

Secao 2.4:

13) De um exemplo de um conjunto S, fechado em relacao a uma operacao
associativa * e tal que:
i) Existe e em S, tal que a*e = a, para todo a em S;
ii) Para todo a em S, existe y(a) em S tal que y(a)*a = e;
iii) S nao eh um grupo.

Oi, Cláudio
Dei uma olhada no meu Hernstein:

Veja o problema 12:
12) Seja G um conjnto não vazio fechado com relação a um produto
associativo, que além disso satisfaz
a) Existe e em G tal que a*e = a para todo a em G
b) Dado a em G, existe um elemento y(a) tal que a*y(a) = e.
Demonstrar que G é um grupo com relação a este produto.

Aí o problema 13 é assim:
13) Demonstrar, através de um exemplo, que a conclusão do Problema 12 é
falsa se admitirmos, ao invés:
a) Existe um e em G tal que a*e = a para todo a em G
b) Dado a em G, existe um elemento y(a) em G tal que a*y(a) = e.

Se vc disser que G é fechado para um produto associativo, então o enunciado
do 13 é idêntico ao do 12, a menos que vc pense o (a) e (b) do 13 como itens
separados, isto é, dar exemplo de quando somente (a) vale e depois quando
somente (b) vale.

Ou então trata-se de um erro do livro, possivelmente na tradução (já
encontrei vários no meu exemplar)

[]s,
Daniel

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] quest�o de geo

[kleinad]

Oi,
O gabarito está respondendo à questão quantas interseções acontecem entre
diagonais acontecem dentro do polígono, excetuando-se, inclusive, as
interseções nos vértices e eu respondi à questão quantas interseções
acontecem no total, incluindo-se as dos prolongamentos das diagonais e
incluindo-se as que ocorrem nos vértices.

OK?

[]s,
Daniel

Brunno Fernandes ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Ola Daniel tudo bem??
Obrigado pela força

Nesta questão  o gabarito indica
[n x (n-1) x (n-2) x (n-3)]/ (1x2x3x4)

Estou tentando achar erros mas não estou conseguindo
Vou analisar com mais calma, mas queria já te mandar o gabarito e assim você
pode já ver se tem algum erro
Um abraço Daniel
Do amigo
Brunno


- Original Message -
From:
To:
Sent: Friday, April 29, 2005 1:42 AM
Subject: Re: [obm-l] questão de geo


Oi,
Eu acho que cheguei na resposta. A idéia é a seguinte:

De cada ponto partem (n - 3) diagonais, logo são d = n*(n-3)/2 diagonais no
total. Para determinar o número máximo de interseções, consideramos a melhor
das hipóteses: três diagonais distintas não se interceptam num mesmo ponto a
menos que se trate de um vértice do polígono. Ou seja, fixada uma diagonal,
quaisquer outras duas diagonais cortam a primeira em pontos distintos se
estas duas novas diagonais se não cruzam num vértice da primeira.

Dito isto, para o cálculo do número de pontos de interseção, imaginamos
inicialmente que quaisquer duas diagonais interceptam-se sempre em pontos
distintos. Então seriam d*(d-1)/2 interseções.

Só que, na verdade, para cada vértice, existem (n-3) diagonais que se
interceptam nele. Ou seja, até aqui estamos contando (n-3)*(n-4)/2
interseções ao invés de uma para cada vértice. Para corrigir o problema,
devemos tirar de d*(d-1)/2 as n*((n-3)*(n-4)/2 - 1) interseções contadas a
mais. Assim, o número máximo de interseções é

d*(d-1)/2 - n*((n-3)*(n-4)/2 - 1) =
= n*(n-3)*[n*(n-3)/2 - 1]/4 - n*[(n-3)*(n-4)/2 - 1].

OBS 1: só vale para n = 5... Quando n = 4, não existem duas diagonais
saindo do mesmo vértice, por isso fica somente d*(d-1)/2 = 1.
OBS 2: as diagonais podem interceptar-se fora do polígono!

[]s,
Daniel

Brunno Fernandes ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Ola pessoal tudo bem?
Poderiam me ajudar nesta questão,

Determinar o numero máximo de pontos de intersecção das diagonais de um
poiligono convexo de n lados

Uma questão muito parecida em que pede o número máximo de pontos de
intersecção dos prolongamentos das diagonais

Essas são questões do livro de Geometria Plana do livro do Edgard  de
Alencar Filho
um ótimo livro
Um abraço
Do amigo
Brunno

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] �rea entre curvas

[kleinad]

Seja C uma curva plana convexa e fechada (de classe C^1). Considere um
segmento que desliza sobre C (com extremidades em C e comprimento fixo) até
dar uma volta completa. Considere a curva K descrita por um ponto P do
segmento, situado a distândias a e b das extremidades. Mostre que a área da
região compreendida entre C e K é pi*a*b.

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] quest�o de geo

[kleinad]

Oi,
Eu acho que cheguei na resposta. A idéia é a seguinte:

De cada ponto partem (n - 3) diagonais, logo são d = n*(n-3)/2 diagonais no
total. Para determinar o número máximo de interseções, consideramos a melhor
das hipóteses: três diagonais distintas não se interceptam num mesmo ponto a
menos que se trate de um vértice do polígono. Ou seja, fixada uma diagonal,
quaisquer outras duas diagonais cortam a primeira em pontos distintos se
estas duas novas diagonais se não cruzam num vértice da primeira.

Dito isto, para o cálculo do número de pontos de interseção, imaginamos
inicialmente que quaisquer duas diagonais interceptam-se sempre em pontos
distintos. Então seriam d*(d-1)/2 interseções.

Só que, na verdade, para cada vértice, existem (n-3) diagonais que se
interceptam nele. Ou seja, até aqui estamos contando (n-3)*(n-4)/2
interseções ao invés de uma para cada vértice. Para corrigir o problema,
devemos tirar de d*(d-1)/2 as n*((n-3)*(n-4)/2 - 1) interseções contadas a
mais. Assim, o número máximo de interseções é

d*(d-1)/2 - n*((n-3)*(n-4)/2 - 1) =
= n*(n-3)*[n*(n-3)/2 - 1]/4 - n*[(n-3)*(n-4)/2 - 1].

OBS 1: só vale para n = 5... Quando n = 4, não existem duas diagonais
saindo do mesmo vértice, por isso fica somente d*(d-1)/2 = 1.
OBS 2: as diagonais podem interceptar-se fora do polígono!

[]s,
Daniel

Brunno Fernandes ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Ola pessoal tudo bem?
Poderiam me ajudar nesta questão,

Determinar o numero máximo de pontos de intersecção das diagonais de um
poiligono convexo de n lados

Uma questão muito parecida em que pede o número máximo de pontos de
intersecção dos prolongamentos das diagonais

Essas são questões do livro de Geometria Plana do livro do Edgard  de
Alencar Filho
um ótimo livro
Um abraço
Do amigo
Brunno

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Re: [obm-l] Quest�o boa de Elipse

[kleinad]

Por que vc não parametriza essa elipse?

x^2 + 16y^2 = 16 é equivalente a (x/4)^2 + y^2 = 1.

Uma boa parametrização é x = 4*cos(k), y = sen(k).

A partir daí, a área é x*y/2 = 2*cos(k)*sen(k) = sen(2k).

[]s,
Daniel

[EMAIL PROTECTED] escreveu:

Poxa.. não estou saindo de jeito nenhum, alguém pode ajudar?
Questão em axeno.

Abços
Junior


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[obm-l] Re: subespa�os fechados

[kleinad]

Se F tem dimensão finita sobre os reais, então F é fechado, e isso independe
do espaço onde F está imerso.

Para o contra-exemplo no caso de F ter dimensão infinita, seja F o subespaço
das seqüencias (x_1, x_2, ...) tais que x_i = 0 para todo i salvo uma
quantidade finita. F está imerso no espaço V = { x = (x_1, x_2, ...) tal que
x é seqüencia real onde a série |x_1| + |x_2| + ... converge }, e passamos a
adotar a norma dada exatamente pela série dos módulos dos termos das
seqüencias.

Os vetores E_n = (0, ..., 0, 1/2^n, 0, ...) (isto é, com todas as
coordenadas nulas exceto a n-ésima, que é 1/2^n) estão em F. A sequëncia
dada por S_n = E_1 + ... + E_n tem termos em F, no entanto, ela converge
para S = (1/2, 1/4, 1/8, ...) em V (a série |1/2| + |1/4| + ... converge!),
mas S não está em F. Logo, F não é fechado.

Outra coisa que importa é que o corpo base K do espaço tem que ser completo
para que F seja fechado se a dimensão de F sobre K é finita: por exemplo,
tome K = Q (racionais) e considere V = R (reais), F = Q. Q é um subespaço de
R de dimensão 1 sobre o corpo Q, mas não é fechado...

[]s,
Daniel

Bruno Lima ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

No livro do Elon Analise 2 . cap1. Tem um problema: (*)Seja F subspaco
vetorial de R^n , mostre que F é fechado. As provas que vi todas usam o fato
do ambiente ter dim finita, ie, tome uma base...
Eu nao sei nada de Analise Funcional , mas parece(intuiçao) que isso
tambem vale com dimensao infinita.
Alguem ai saberia um contra-exemplo em dimensao infnita ou uma prova do
fato (*) que nao use base ou coisas equivalentes, quero dizer uma prova
mais topológica

Valeu.

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Re: [obm-l] livros de c�lculo

[kleinad]

Eu sou fã do livro do Courant, Introduction to calculus and analysis, no
seu caso, o volume I, que lida com cálculo de 1 variável (dentre várias
outras coisas!). É um livro grandinho (a sua completa leitura em 1 semestre
é um tanto quanto inviável) e os exercícios são geralmente difíceis (e tem
um monte deles), mas ele apresenta a Análise paralelamente ao cálculo, além
de haver muita motivação / desenvolvimento geométrico e físico.

No entanto, se vc realmente nunca viu o assunto e / ou não tem experiência
com demonstrações, acho que já o primeiro capítulo vai desanimá-lo. Nele vc
vê a construção dos números reais via intervalos encaixantes, um tópico um
pouco pesado para quem está tendo contato pela primeira vez a matemática
universitária (dar de cara com os épsilons e deltas pode não ser muito
motivador), de maneira que o uso de algum livro auxiliar, ou então pular
determinadas seções, seja talvez conveniente; isso vai depender do tempo
dedicado ao livro.

Mas o esforço vale a pena, nem que vc venha a usar este livro apenas no
futuro: os exercícios são desafiadores e o texto é excelente, muito
diferente da maioria dos livros de Cálculo usados por aí... É uma boa
referência para quem estiver cursando principalmente Matemática ou Física.

E, só para dar uma alfinetada, este livro é, felizmente, o avesso do
Leithold! :)

[]s,
Daniel

Thiago Addvico ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

olá

estou cursando calculo 1 na universidade e gostaria de pedir uma
recomendação de livro, pois lá estudamos com o anton e ele usa muito a
calculadora, ou softwares gráficos.

Um abraço!

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Re: [obm-l] Primos de Dirichlet da forma an + b...

[kleinad]

Jose Augusto ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

  Antes de tudo: Ola e muito obrigado a quem porventura der atencao ao
email.
  Estou necessitando da demonstracao do teorema de Dirichlet sobre
primos da forma an + b e ficaria agradecido caso alguem indicasse um
link ou livro.
  Caso alguem se arrisque a tentar ai vai o enunciado:
Teorema:  Sejam a e b inteiros com a0 e mdc(a,b)=1. Entao existem
infinitos primos da forma an + b para n natural.

* T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag

* K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory,
Springer-Verlag

[]s,
Daniel

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=

[obm-l] Quadrados m�gicos

[kleinad]

Olá!

Uma matriz n x n chama-se um quadrado mágico quando a soma dos elementos de
cada uma de suas linhas, de cada coluna da diagonal principal e da outra
diagonal (ao todo 2n + 2 somas) são iguais. Prove que, se n = 3, o conjunto
Q_n dos quadrados mágicos n x n é um subespaço vetorial de dimensão n^2 - 2n
do espaço das matrizes n x n sobre o corpo dos reais, ou, se preferir, dos
racionais (não sei se funciona para corpo finito).

Na verdade, esse é um exercício essencialmente copiado do livro do Elon de
Álgebra Linear, e eu resolvi postar aqui para curar as saudades que o
pessoal sente da época em que foi apresentado ao quadrado efetivamente
mágico 4 x 4 onde todas as casas são inteiros distintos variando de 1 a 16!

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] Ideais maximais 2

[kleinad]

Olá, Eric

Eric Campos ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:
 QUESTAO:
 Seja A=C[0,1] o anel das funcoes reais continuas
 definidas em [0,1] com as operacoes
 soma +:(f+g)(x)=f(x)+g(x)
 produto :(fg)(x)=f(x)g(x)
 Prove que se M eh ideal maximal de A entao
 para algum a em [0,1]
 M=I, onde I={f em A:f(a)=0}
 
 SOLUCAO:
 1. A=C[0,1]
 2. M eh ideal maximal de A
 3. I eh ideal maximal de A
(provado recentemente na lista)

A/I eh corpo
(pois A eh comutativo com unidade e I eh maximal, veja
teorema abaixo)

TEOREMA: Se A eh anel comutativo com unidade e I eh
ideal maximal, entao A/I eh corpo.
dem. livro Introducao a Algebra, A.Goncalves.

ou (a) M C/ I (C/ significa nao esta contido)
ou (b) M C I

Na minha opinião, existe um problema de redação aqui, que mais tarde acaba
deixando pouco claro qual o seu raciocínio. Acho que o correto seria
escrever
(a) Para todo a em [0,1], M não está contido em I_a
(b) Existe a em [0,1] tal que M está contido em I_a

e tentar mostrar que a opção (a) é absurda. Só que neste caso, o tome f em
M-I fica um pouco obscuro, pq temos infinitos I possíveis. E argumentar com
algo do tipo fixado I não me parece muito promissor, mas pode ser que eu
esteja totalmente enganado.

Suponha por absurdo M C/ I e tome f em M-I.

Como A/I eh corpo e f nao esta em I, entao f+I (que
eh elemanto de A/I) nao eh o neutro aditivo de A/I,
logo existe g+I tal que (fg+I)=(f+I)(g+I)=(1+I), isto
eh, fg=1_A

Na outra mensagem eu já havia comentado: vc só pode tomar uma f em M que não
tenha raízes (do contrário ela não pode ter inversa!). Mas então 1 = f*f^(-
1) está em M, logo M = A, absurdo.

0a. fg = 1_A = 1 (funcao constante 1)
1a. fA C M (pois f estah em M e M eh ideal)
2a. fg estah em M (de 1a e porque g estah em A)
3a. 1_A estah em M (de 0a. e 2a.)
4a. (1_A)I C M (de 3a. e porque M eh ideal)
5a. I C M (de 4a.)
6a. M+I=M (de 5a.)
7a. I C M+I C A
8a. M+I=I ou M+I=A

Agora, de (a) M C/ I tem-se M+I # I (# significa
diferente), logo

9a. M+I=A
10a. M = A (de 6a. e 9a.)
11a. M # A (pois M e maximal)
12a. ABSURDO (de 10a. e 11a.)
13a. M C I (de (a) e 12a.)

Ficou provado que M C I = {f em A:f(a)=0}, para algum
a em [0,1].

Mesmo que estivesse tudo certo, vc não teria provado que M está contido em
I_a para algum a, mas sim para todo a... Veja a observação que eu fiz logo
no início da resposta.

 1. M C I
 2. M C I C A (de 1.)
 3. I = M ou I = A (pois M eh maximal)
 4. I # A (pois I eh maximal)
(# significa diferente)
 5. I = M (de 3. e 4.)

Logo, para todo ideal maximal M, existe algum a em
[0,1] tal que M = {f em A: f(a)=0}

Eu acho que vc deveria se concentrar mais no que o fato de não haver um zero
de M (isto é, um a tal que M C I_a para algum a em [0,1], e por conseguinte
M = I_a visto que M é maximal) implica...

Vc poderia por exemplo tentar mostrar que qualquer ideal próprio M está
contido em algum I_a para algum a. Com efeito, é fácil ver que nenhum ideal
próprio pode ter funções sem zeros (do contrário, pela multiplicação pelo
seu inverso, 1 estaria no ideal e logo o ideal seria igual a A).

Aí temos duas possibilidades:
1) existem a_1, a_2, ..., a_n (n finito) tais que toda f em M se anula em
algum dos a_i
2) existem infinitos a_i com essa propriedade, isto é, se vc tomar um
conjunto finito de a_i então existe f em M tal que f não se anula em nenhum
dos a_i

Se (1) ocorre então M C I_(a_1, a_2, ..., a_n) = { f em A tal que f(a_i) = 0
para algum i }. Então mostre que isso implica que n = 1 e portanto M = I_
(a_1).

Depois mostre porque (2) não ocorre...

[]s,
Daniel

=
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Re: [obm-l] Ideais maximais 2

[kleinad]

Eric Campos ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Resolvi esta questao e gostaria de saber se minha
solucao esta certa e se ha uma solucao mais rapida...
Eh uma especie de reciproca da questao que surgiu
recentemente na lista sobre ideais maximais.

Veja a prova do Claudio

QUESTAO:
Seja A=C[0,1] o anel das funcoes reais continuas
definidas em [0,1] com as operacoes
soma +:(f+g)(x)=f(x)+g(x)
produto :(fg)(x)=f(x)g(x)
Prove que se M eh ideal maximal de A entao
existe a em [0,1] tal que
M=I, onde I={f em A:f(a)=0}

SOLUCAO:
1. A=C[0,1]
2. M eh ideal maximal de A
3. I eh ideal maximal de A
   (provado recentemente na lista)

Nessa parte vc está escolhendo algum a em [0,1] e tomando I como o ideal das
funções que se anulam em a, correto? Isso já é uma particularização e
tanto...

4. M+I eh ideal de A
5. I C M+I C A
   (C significa esta contido)
6. M C M+I C A
7. ou (a) M+I=I
   ou (b) M+I=M
   ou (c) M+I=A

(a) M+I=I
1a. M C I C A (de 6. e (a))
2a. I = M ou I = A (pois M eh maximal)
3a. I  A (pois I eh maximal)
 ( significa diferente)
4a. I = M (de 2a. e 3a.)
OK

O que acontece nesta parte é que, da escolha arbitrária de a em [0,1]
para gerar I, vale M + I = I se e só vc deu a tremenda sorte de escolher
justamente o a em [0,1] tal que M é o ideal das funções que se anulam em a.

(b) M+I=M
1b. I C M C A (de 5. e (b))
2b. M = I ou M = A (pois I eh maximal)
3b. M  A (pois M eh maximal)
4b. M = I (de 2b. e 3b.)
OK

(c) M+I=A
1c. A/I eh corpo
  (pois A eh comutativo com unidade e I eh maximal)
2c. ou (ca) M C I
ou (cb) M C/ I (C/ significa nao esta contido)

(ca) M C I
1ca. M C I C A (de ca.)
2ca. I = M ou I = A
 (pois M eh maximal)
3ca. I  A (pois I eh maximal)
( significa diferente)
4ca. I = M (de 2ca. e 3ca.)
OK

(cb) M C/ I
1cb. Tome f em M-I
2cb. Existe g em A-I, fg=gf=1_A (funcao cte. 1)
 (pois A/I eh corpo e de 1cb.)

Essa parte foi muito rápida... O fato é que existe g em A-I tal que (f + I)*
(g + I) = (1 + I), ou seja, fg - 1 está em I. Porque necessariamente é fg -
1 = 0? Aliás, como é verdade que M é o ideal das funções que se anulam para
algum b em [0,1], então nenhuma função em M pode ter inversa pela própria
definição de (fg)(x) = f(x)*g(x).

3cb. fA C M (de 1cb e porque M eh ideal)
4cb. fg estah em M (de 3cb.)
5cb. 1_A estah em M (de 4cb. e 2cb.)
6cb. (1_A)I C M (de 5cb. e porque M eh ideal)
7cb. I C M (de 6cb.)
8cb. M+I=M (de 7cb.)
9cb. M+I=A (de (c))
10cb. M = A (de 8cb. e 9 cb.)
11cb. M  A (pois M e maximal)
12cb. ABSURDO (de 10cb. e 11cb.)
13cb. M C I (de (cb) e 12cb.)
14cb. M = I (de 13cb., ca. e 4ca.)

Uff...

[]'s

Eric.




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Re: [obm-l] ideais maximais

[kleinad]

Lista OBM ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Meu caro Daniel,

acho que na sua solução f(x) = h(x) - h(1/2) está em J
e naum em I, pois f(1/2) = 0 e J é conjunto das
funções que se anulam em 1/2. Além disso, naum
consegui entender o porquê de f(x) - h(x) estah em J
sabendo que f estah em J e h naum estah em J. Sem
falar que acho que vc deveria concluir que I =
C([0,1]) e naum que J = C([0,1]).

Acho que seria melhor refazermos essa solução!!!

Então somos dois que achamos isso!!! A partir da metade eu troquei I por
J... Por isso abaixo vou abolir o I, para evitar confusão! E ainda fiz uma
conta que deveria dar -h(1/2) e não h(1/2).

Ok:

Seja M um ideal contendo J (que J é ideal é fácil de verificar), e seja h(x)
em M tal que h(1/2) não é zero. Repare que eu tomei um ideal M contendo J,
logo se f(x) = h(x) - h(1/2) está em J (e está porque f(1/2) = 0),
automaticamente f está em M. Agora como h e f estão em M, então h(1/2) = h
(x) - f(x) está em M. Como M é ideal e h(1/2)  0, segue que 1 está em M, e
logo qualquer coisa que vc quiser de C([0,1]) está em M, e os dois coincidem.

[]s,
Daniel

 Lista OBM ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:
 
 Seja C([0,1]) o anel da funções contínuas em [0,1],
 com as operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) e
 [f.g](x) =
 f(x).g(x), para todas f,g em C([0,1]). Seja J o
 conjunto de todas as funções f em C([0,1]) tais que
 f(1/2) = 0. Prove que J é um ideal maximal.

=
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=

Re: [obm-l] Proposição

[kleinad]

Nicolau C. Saldanha ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Aliás, o seu segundo exemplo eu interpreto como (Z/(2))^(infinito); é isso?

Sim

[]s,
Daniel

=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Proposição

[kleinad]

Nicolau C. Saldanha ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Aliás, o seu segundo exemplo eu interpreto como (Z/(2))^(infinito); é isso?

Sim

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] ideais maximais

[kleinad]

Lista OBM ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Seja C([0,1]) o anel da funções contínuas em [0,1],
com as operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) e [f.g](x) =
f(x).g(x), para todas f,g em C([0,1]). Seja J o
conjunto de todas as funções f em C([0,1]) tais que
f(1/2) = 0. Prove que J é um ideal maximal.

Tome um ideal I contendo J, I diferente de J, isto é, existe h em I tal que h
(1/2)  0. Então f(x) = h(x) - h(1/2) está em I, logo f(x) - h(x) = h(1/2)
 0 está em J. Como h(1/2) é escalar não nulo, segue que 1 está em J, logo
J = C([0,1]).

Vale também a recíproca: No anel C([0,1]), um ideal M é maximal se e somente
se M é o conjunto das funções que se anulam num certo z, 0 = z = 1.

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] Proposição

[kleinad]

Einstein falou uma frase que toca no que você escreveu:
A inovação não é o produto de um pensamento lógico, mesmo estando o produto
final atado a uma estrutura lógica.

E sobre o teorema do fechamento algébrico dos complexos, o livro do
Rudin Principles of mathematical analysis tem uma prova curtinha e não
muito difícil, e os pré-requisitos para compreendê-la estão todos dentro do
livro.

Para aproveitar o espaço: Alguém sabe exibir uma base para o espaço vetorial
das seqüências reais (R^oo)? Ou ainda, alguém conhece uma base para o espaço
das seqüências formadas por 0 e 1?

[]s,
Daniel

Paulo Santa Rita ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Ola carissimo Prof Nicolau e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Complementando a mensagem, talvez nem todos saibam que a prova do Teorema
abaixo foi a tese de doutorado do Gauss e contribui poderosamente para que
os numeros complexos fossem aceitos com maior tranquilidade pelos
matematicos de entao.

Gauss apresentou outras provas deste teorema, sempre pretendendo chegar a
uma prova puramente algebrica mas nao teve sucesso. Hoje muitos supoe que
esta notavel propriedade depende fundamentalmente de consideracoes
topologicas e portanto a pretensao de Gauss era realmente inatingivel.

Sobre a introducao das variaveis complexas em sua tese, veja o sabor
altamente filosofico com que Gauss conduzia suas investigacoes :

Durante este outono ocupei-me largamente com as consideracoes gerais sobre
as superficies curvas, o que conduz a um campo ilimitado ... Estas pesquisas
ligam-se, como sou tentado a dizer, com a metafisica da geometria e nao e
sem ingentes esforcos que consigo me arrancar das consequencias que dai
advem ... Qual seria a verdadeira natureza das grandezas negativas e
imaginarias ? Nestas ocasioes, sinto vibrar dentro de mim com grande
vivacidade o verdadeiro sentido da raiz quadrada de -1, mas creio que sera
extraordinariamente dificil expressa-lo com palavras ( Gauss )

Falar hoje - e, em particular para um formalista - em VERDADEIRA NATUREZA e
em SENTIDO  de um objeto matematico talvez soe como uma heresia ... Pois, um
dos pressuposto basicos do formalismo e justamente o de que para
raciocinarmos com rigor autentico devemos abdicar dos eventuais sentidos que
a intuicao porventura atribua aos objetos : eles obedecem aquele conjunto
de axiomas e ponto final.

Mas, salvo melhor juizo, se eu interpreto bem a historia o que sempre
caracterizou e havera de caracterizar um Verdadeiro Grande Matematico e
justamente esta dimensao subjetiva, propria, na qual ele reinterpreta a
historia que lhe antecede e descobre de forma exclusivamente intuitiva o
sentido e significado que alguns objetos e ocorrencias matematicas tem,
dando assim um novo direcionamente a historia e a pesquisa matematica que o
seguira.

Esta mensagem, eu sei, tem cores eminentemente epistemologicas, mas
parece-me que esta dimensao historica e filosofica, e altamente saudavel e
nao pode faltar na formacao de nenhum estudante.

Um Abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
5,1021,170305


From: Nicolau C. Saldanha
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Proposição
Date: Thu, 17 Mar 2005 09:32:04 -0300

Uma afirmação relacionada muito interessante é o teorema fundamental
da álgebra: toda equação polinomial não trivial tem raiz complexa.
Mais precisamente,

  x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0

pode não ter raiz real, mas sempre tem raízes complexas
se os coeficientes a_j forem reais ou complexos.

Aliás, campo provavelmente é uma tradução não usual de field.
O termo usual e correto no nosso idioma é *corpo*.

[]s, N.

_
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http://messenger.msn.com.br

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Re: [obm-l] 3 Problemas de Teoria dos Números [EM INGLÊS]

[kleinad]

Domingos Jr. ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Daniel S. Braz wrote:

1)Sets of 4 positive numbers are made out of each other according
to the following rule: (a, b, c, d)  (ab, bc, cd, da).
Prove that in this (infinite) sequence (a, b, c, d) will
never appear again, except when a = b = c = d = 1.


suponha, sem perda de generalidade, que b  1.
temos que ab  a e bc  b, agora observe que uma coordenada nunca pode
diminuir, pois ela é sempre multiplicada por um termo = 1, então (a, b,
c, d) nunca mais pode aparecer na seqüência.

Oi, Domingos
O enunciado fala em números positivos, não em inteiros positivos...

[]s,
Daniel Nunes

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[obm-l] União de subespaços vetorias próprios

[kleinad]

Olá para todos! Será possível uma mãozinha neste aqui?

Se V é um espaço vetorial sobre um corpo infinito F, demonstrar que V não
pode ser representado como união (da teoria dos conjuntos) de um número
finito de subespaços próprios.

É bem simples o caso da união de dois subespaços... O que tentei até agora
foi mostrar que se W_1, ..., W_n, W_(n+1) são subespaços próprios então W_1'
inter ... inter W_n' não está contido em W_(n+1) (W_i' denota o complementar
de W_i). Porque fazendo isso indutivamente mostraríamos que a interseção dos
complentares é não vazia, e portanto existe x no complementar da união de
W_1, W_2, ..., W_k, logo a união não pode ser V. Mas não consegui provar...
Repare que podemos supor que W_i não está contido na união dos demais W_j.

A hipótese de F ser infinito não é supérflua, porque por exemplo (Z/2Z) X
(Z/2Z) é união dos três subespaços gerados cada qual por (1,0), (0,1) e
(1,1). No entanto não consigo ver como utilizá-la...

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] ajudinha básica com complexos

[kleinad]

Fábio Dias Moreira ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Thiago Addvico escreveu:
 [...]
 Sendo x^2 + y^2 = 1, Prove que (1 + x + y . i)/(1 + x - y . i) = x + y . i
 [...]

Isso não faz sentido no caso x = -1 e y = 0.

Com a hipótese adicional (x,y)  (-1,0), o problema equivale a:
Prove que para todo z complexo não nulo, com |z - 1| = 1, vale z/z* = z - 1,
onde z* é o conjugado de z.

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] 3 problemas

[kleinad]

Bruno Bruno ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Estou com dificuldades com esses daqui:

1) Qual o algarismo das unidades do número x = 1^1 + 2^2 + 3^3 + +
n^n  ?

Seja x(n) = 1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n.

De maneira geral, se p e q são primos distintos, x == a (mod p) e x == b
(mod q), temos
   x = k*p + a
   x = m*q + b
logo
   q*x = k*p*q + a*q
   p*x = m*p*q + b*p
o que somando dá
(p + q)*x == a*q + b*p (mod p*q)

Mas p + q é invertível mod p*q, portanto x == (a*q + b*p)/(p + q) (mod p*q).

Seja x_2(n) a classe de congruência de x(n) mod 2. Analogamente para x_5(n).

Se n = 2*k + a, a = 0 ou 1, uma simples indução mostra que x_2(n) == (k + a -
 1) (mod 2).

Para x_5(n), usando o teorema de Euler-Fermat (se u == v (mod 5) e u == w
(mod fi(5) = 4) então u^u == v^u == v^w (mod 5)) vem

x_5(n) == (1^1 + 2^2 + 3^3 + 4^4)  + (1^2 + 2^3 + 3^4 + 4^1) + (1^3 + 2^4 +
3^1 +  4^2) + ... (mod 5)

A soma das parcelas em parênteses são claramente cíclicas em mmc(4,5) = 20,
portanto se n = 20*m + b, então x_5(n) = m*x_5(20) +  x_5(b).

Felizmente não é difícil construir uma tabela de valores x_5(b), b = 1,
2, ..., 19; os valores a serem somados são assim:

1^1   2^2   3^3   4^4   0
1^2   2^3   3^4   4^1   0
1^3   2^4   3^1   4^2   0
1^4   2^1   3^2   4^3   0

Ordenadamente em b, da esquerda pra direita e de cima para baixo, estes são
os valores de b^b mod (5). Isto pode ser melhorado:

1-1210
1 21   -10
1 1   -210
1 2   -1   -10

Portanto, para obter x_5(b) basta ir somando, mod 5, ordenadamente até a b-
ésima casa. Em particular, x_5(20) = 4, portanto se n = 20*m + b, b = 1,
2, ..., 19, tem-se x_5(n) = 4*m + x_5(b). Os valores de x_5(b) são (b = 1,
2, ..., 20)

1   0   3   4   4
0   2   3   2   2
3   4   2   3   3
4   1   0   4   4

Temos 2 + 5 = 7, e o inverso de 7 mod 10 é 3. Pelas observações iniciais,

x == 3*(2*x_5(n) + 5*x_2(n)) == 6*x_5(n) + 15*x_2(n) == 6*x_5(n) + 5*x_2(n)
(mod 10).

O x_2(n) é facilmente calculável, o x_5(n) dá um pouco mais de trabalho, e
admito que a solução é feia. Seria ótimo se alguém obtivesse uma fórmula
fechada para x_5(n)..

[]s,
Daniel

=
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Re: [obm-l] 3 problemas

[kleinad]

Nicolau C. Saldanha ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

On Fri, Feb 18, 2005 at 04:53:43AM -0300, Bruno Bruno wrote:
 3) Demontre que não existe função f: N - N  tal que f( f(n)) = n+1

Vou supor N = .

Suponha por absurdo que exista tal f. Claramente f é injetiva
pois f(a) = f(b) implica a+1 = f(f(a)) = f(f(b)) = b+1 donde a = b.
Seja a = f(0)  0 (pois f(0) = 0 implicaria f(f(0)) = 0+1 = 0).
Se b = a-1 temos f(f(b)) = a = f(0) donde f(b) = 0.
Não podemos ter b = 0 assim f(b-1) + 1 = 0, absurdo.

Apenas complementando a solução para o caso N = { 1, 2, 3, ... }, que acaba
incluindo o caso N = { 0, 1, ... }:
Se houvesse f com a propriedade, então

f(f(1)) = 2 == f(2) = f(f(f(1))) = f(1) + 1
f(1) + 2 = f(1) + 1 + 1 = f(f(f(1) + 1)) = f(f(2)) = 3 == f(1) = 1.

Mas então f(f(1)) = f(1) = 1, absurdo.

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] 3 problemas

[kleinad]

As duas últimas tabelas estavam com alguns erros de conta... Abaixo, espero
ter consertado todos (setas  indicam onde estava errado)

Bruno Bruno ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Estou com dificuldades com esses daqui:

1) Qual o algarismo das unidades do número x = 1^1 + 2^2 + 3^3 + +
n^n  ?

Seja x(n) = 1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n.

De maneira geral, se p e q são primos distintos, x == a (mod p) e x == b
(mod q), temos
   x = k*p + a
   x = m*q + b
logo
   q*x = k*p*q + a*q
   p*x = m*p*q + b*p
o que somando dá
(p + q)*x == a*q + b*p (mod p*q)

Mas p + q é invertível mod p*q, portanto x == (a*q + b*p)/(p + q) (mod p*q).

Seja x_2(n) a classe de congruência de x(n) mod 2. Analogamente para x_5(n).

Se n = 2*k + a, a = 0 ou 1, uma simples indução mostra que x_2(n) == (k + a -
 1) (mod 2).

Para x_5(n), usando o teorema de Euler-Fermat (se u == v (mod 5) e u == w
(mod fi(5) = 4) então u^u == v^u == v^w (mod 5)) vem

x_5(n) == (1^1 + 2^2 + 3^3 + 4^4)  + (1^2 + 2^3 + 3^4 + 4^1) + (1^3 + 2^4 +
3^1 +  4^2) + ... (mod 5)

A soma das parcelas em parênteses são claramente cíclicas em mmc(4,5) = 20,
portanto se n = 20*m + b, então x_5(n) = m*x_5(20) +  x_5(b).

Felizmente não é difícil construir uma tabela de valores x_5(b), b = 1,
2, ..., 19; os valores a serem somados são assim:

1^1   2^2   3^3   4^4   0
1^2   2^3   3^4   4^1   0
1^3   2^4   3^1   4^2   0
1^4   2^1   3^2   4^3   0

Ordenadamente em b, da esquerda pra direita e de cima para baixo, estes são
os valores de b^b mod (5). Isto pode ser melhorado:

1-1210
1-21   -10   
1 1   -210
1 2   -1   -10

Portanto, para obter x_5(b) basta ir somando, mod 5, ordenadamente até a b-
ésima casa. Em particular, x_5(20) = 4, portanto se n = 20*m + b, b = 1,
2, ..., 19, tem-se x_5(n) = 4*m + x_5(b). Os valores de x_5(b) são (b = 1,
2, ..., 20)

1   0   2   3   3   
4   2   3   2   2   
3   4   2   3   3
4   1   0   4   4

Temos 2 + 5 = 7, e o inverso de 7 mod 10 é 3. Pelas observações iniciais,

x == 3*(2*x_5(n) + 5*x_2(n)) == 6*x_5(n) + 15*x_2(n) == 6*x_5(n) + 5*x_2(n)
(mod 10).

O x_2(n) é facilmente calculável, o x_5(n) dá um pouco mais de trabalho, e
admito que a solução é feia. Seria ótimo se alguém obtivesse uma fórmula
fechada para x_5(n)..

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] 3 problemas

[kleinad]

Última ressalva, agora em (***)  x_2(n) == teto(n/2) = quantidade de
números ímpares menores ou iguais a n (mod 2), e não conforme eu escrevi...
Abaixo, corrigido.

As duas últimas tabelas estavam com alguns erros de conta... Abaixo, espero
ter consertado todos (setas  indicam onde estava errado)

Bruno Bruno ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Estou com dificuldades com esses daqui:

1) Qual o algarismo das unidades do número x = 1^1 + 2^2 + 3^3 + +
n^n ?

Seja x(n) = 1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n.

De maneira geral, se p e q são primos distintos, x == a (mod p) e x == b
(mod q), temos
x = k*p + a
x = m*q + b
logo
q*x = k*p*q + a*q
p*x = m*p*q + b*p
o que somando dá
(p + q)*x == a*q + b*p (mod p*q)

Mas p + q é invertível mod p*q, portanto x == (a*q + b*p)/(p + q) (mod p*q).

Seja x_2(n) a classe de congruência de x(n) mod 2. Analogamente para x_5(n).

(***) Módulo 2, as parcelas não nulas em x_2(n) vêm dos ímpares menores ou
iguais a n, portanto x_2(n) == teto(n/2) (mod 2).

Para x_5(n), usando o teorema de Euler-Fermat (se u == v (mod 5) e u == w
(mod fi(5) = 4) então u^u == v^u == v^w (mod 5)) vem

x_5(n) == (1^1 + 2^2 + 3^3 + 4^4) + (1^2 + 2^3 + 3^4 + 4^1) + (1^3 + 2^4 +
3^1 + 4^2) + ... (mod 5)

A soma das parcelas em parênteses são claramente cíclicas em mmc(4,5) = 20,
portanto se n = 20*m + b, então x_5(n) = m*x_5(20) + x_5(b).

Felizmente não é difícil construir uma tabela de valores x_5(b), b = 1,
2, ..., 19; os valores a serem somados são assim:

1^1 2^2 3^3 4^4 0
1^2 2^3 3^4 4^1 0
1^3 2^4 3^1 4^2 0
1^4 2^1 3^2 4^3 0

Ordenadamente em b, da esquerda pra direita e de cima para baixo, estes são
os valores de b^b mod (5). Isto pode ser melhorado:

1 -1 2 1 0
1 -2 1 -1 0 
1 1 -2 1 0
1 2 -1 -1 0

Portanto, para obter x_5(b) basta ir somando, mod 5, ordenadamente até a b-
ésima casa. Em particular, x_5(20) = 4, portanto se n = 20*m + b, b = 1,
2, ..., 19, tem-se x_5(n) = 4*m + x_5(b). Os valores de x_5(b) são (b = 1,
2, ..., 20)

1 0 2 3 3 
4 2 3 2 2 
3 4 2 3 3
4 1 0 4 4

Temos 2 + 5 = 7, e o inverso de 7 mod 10 é 3. Pelas observações iniciais,

x == 3*(2*x_5(n) + 5*x_2(n)) == 6*x_5(n) + 15*x_2(n) == 6*x_5(n) + 5*x_2(n)
(mod 10).

O x_2(n) é facilmente calculável, o x_5(n) dá um pouco mais de trabalho, e
admito que a solução é feia. Seria ótimo se alguém obtivesse uma fórmula
fechada para x_5(n)..

[]s,
Daniel

=
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Re: [obm-l] Exercício sobre Números Primos

[kleinad]

Seja a um número pertencente ao conjuntos dos
números reais tal que a  1 e a raiz n-ésima de a
seja um número primo.
Pede-se determinar o menor valor de n para que a
expressão:
(a^n + b) / (a^n - b)

seja também um número primo, sabendo-se que b é um
quadrado perfeito.

Assumindo n inteiro, n  1 (para que fique razoável a expressão raiz n-ésima
e o próprio problema, do contrário a seria primo, e uma solução para n = 1
seria a = 3, b = 1), o que temos é a^(1/n) = p, primo == a = p^n, portanto
a é inteiro.

Faça b = d^2 e seja k primo.

(p^n^n + d^2)/(p^n^n - d^2) = k

Fazendo k = 2, temos
p^n^n + d^2 = 2*p^n^n - 2*d^2
== p^n^n = 3*d^2
== p = 3 == d = 3^x

As igualdades agora são 3^n^n = 3^(2*x + 1) == n^n = 2*x + 1 == n é ímpar

Tomamos n = 3 == x = 13.

Assim, o n pretendido é menor ou igual a 3, e, com efeito, ele não pode ser
2.

Se n = 2, teríamos

(p^4 + d^2)/(p^4 - d^2) = k
== p^4*(k - 1) = (k + 1)*d^2

Se k = 2, então teríamos p^4 = 3*d^2 == p = 3 == 3^3 = d^2, absurdo.
Assim, k  2, primo == k ímpar == mdc (k + 1, k - 1) = 2.

Segue que (k + 1)/2 divide p^4 == (k + 1)/2 = p^x, onde x = 1, 2, 3 ou 4
(não é x = 0 pois teríamos k = 1, absurdo pois k é primo)

Ainda, não pode ser x = 1 nem x = 3 pois isso implica que p^3 ou p seria
quadrado perfeito ( p^3*(k - 1)/2 = d^2, com p não dividindo (k - 1)/2;
analogamente para p em vez de p^3).

Então é k + 1 = 2*p^4 ou 2*p^2. Se ocorre o primeiro, então cancelando vem
que d^2 = (k - 1)/2, ou seja, k = 2*d^2 + 1 == 2*p^4 + 1 = k = 2*d^2 - 1
== p^4 = d^2 - 1, isto é, d^2 e d^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo
pois são inteiros consecutivos.

Se por outro lado fosse k = 2*p^2 - 1, então substituindo dá p^4*(2*p^2 - 2)
= 2*p^2*d^2 == p^2(p^2 - 1) = d^2 == d = p*z == p^2 - 1 = z^2, isto é,
p^2 e p^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo pois são consecutivos.

Logo, n = 2 não pode e o menor n possível é 3.

[]s,
Daniel

=
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=

Re: [obm-l] Exercício sobre Números Primos

[kleinad]

Ai, ai... no e-mail anterior eu fiz (p^n)^n = p^n^n em vez de p^n^2, ou,
mais claramente, p^(n^2)... Felizmente isso não muda quase nada, a resolução
é quase idêntica, trocando-se um 13 por um 4 e nada mais! Abaixo segue já
com a alteração (e mais uma vez, desculpem!):

Seja a um número pertencente ao conjuntos dos
números reais tal que a  1 e a raiz n-ésima de a
seja um número primo.
Pede-se determinar o menor valor de n para que a
expressão:
(a^n + b) / (a^n - b)

seja também um número primo, sabendo-se que b é um
quadrado perfeito.

Assumindo n inteiro, n  1 (para que fique razoável a expressão raiz n-ésima
e o próprio problema, do contrário a seria primo, e uma solução para n = 1
seria a = 3, b = 1), o que temos é a^(1/n) = p, primo == a = p^n, portanto
a é inteiro.

Faça b = d^2 e seja k primo.

(p^(n^2) + d^2)/(p^(n^2) - d^2) = k

Fazendo k = 2, temos
p^(n^2) + d^2 = 2*p^(n^2) - 2*d^2
== p^(n^2) = 3*d^2
== p = 3 == d = 3^x

As igualdades agora são 3^(n^2) = 3^(2*x + 1) == n^2 = 2*x + 1 == n é ímpar

Tomamos n = 3 == x = 4.

Assim, o n pretendido é menor ou igual a 3, e, com efeito, ele não pode ser
2.

Se n = 2, teríamos

(p^4 + d^2)/(p^4 - d^2) = k
== p^4*(k - 1) = (k + 1)*d^2

Se k = 2, então teríamos p^4 = 3*d^2 == p = 3 == 3^3 = d^2, absurdo.
Assim, k  2, primo == k ímpar == mdc (k + 1, k - 1) = 2.

Segue que (k + 1)/2 divide p^4 == (k + 1)/2 = p^x, onde x = 1, 2, 3 ou 4
(não é x = 0 pois teríamos k = 1, absurdo pois k é primo)

Ainda, não pode ser x = 1 nem x = 3 pois isso implica que p^3 ou p seria
quadrado perfeito ( p^3*(k - 1)/2 = d^2, com p não dividindo (k - 1)/2;
analogamente para p em vez de p^3).

Então é k + 1 = 2*p^4 ou 2*p^2. Se ocorre o primeiro, então cancelando vem
que d^2 = (k - 1)/2, ou seja, k = 2*d^2 + 1 == 2*p^4 + 1 = k = 2*d^2 - 1
== p^4 = d^2 - 1, isto é, d^2 e d^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo
pois são inteiros consecutivos.

Se por outro lado fosse k = 2*p^2 - 1, então substituindo dá p^4*(2*p^2 - 2)
= 2*p^2*d^2 == p^2(p^2 - 1) = d^2 == d = p*z == p^2 - 1 = z^2, isto é,
p^2 e p^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo pois são consecutivos.

Logo, n = 2 não pode e o menor n possível é 3.

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] Numeros no chapeu

[kleinad]

O tempo máximo é totalmente relativo. Acho que vc deve insistir num
problema enquanto acreditar que vai chegar a algum lugar. Se estiver
empacando de um jeito, tente recomeçar fazendo as coisas mais ou menos
diferentes...

E mesmo quando vc empaca de fato, às vezes é bom continuar insistindo
sozinho. Acho que o tempo máximo seria o quanto vc consegue continuar
buscando a solução sem perder a paciência ou sentir-se exageradamente
frustrado, pelo contrário, sentindo-se estimulado por essa busca!

Chega um ponto em que continuar insistindo sem nenhum progresso se torna uma
tarefa extremamente desagradável, começa a agir negativamente em vc. Essa
seria a hora de parar e buscar ajuda.

[]s,
Daniel

[EMAIL PROTECTED] escreveu:

Falando de tempo suficiente para se resolver um problema ...

Qual o tempo máximo e aconselhável para alguém ficar quebrando a cabeça em
um problema antes de enviar para um forum ou lista de e-mail como essa ?
Alguns, se não me engano a escola russa, defendem a idéia da aprendizagem
passiva dizendo que o sujeito não deve quebrar a cabeça e sim buscar sanar
quaisquer de suas dúvidas com alguém o mais rápido possível.

Já comentamos aqui na lista sobre isso há certo tempo e, se não me engano,
vocês defendem a primeira idéia, não é ? Mas, na época, nada se falou sobre
o
tempo máximo de tentativa na resolução de um mesmo problema.


[]s,
Rafael

Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes.
(Isaac Newton)



Em uma mensagem de 07/02/05 09:31:36 Hor. de verão leste da Am. Sul,
[EMAIL PROTECTED] escreveu:



 Acho que dei tempo suficiente para quem quisesse pensar sozinho.
 Segue abaixo a solucão completa para o problema original dos chapéus.
 Primeiro o enunciado:

(...)




=
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[obm-l] Teoria dos numeros

[kleinad]

Aqui vai um probleminha (que eu achei!) legal:

Seja p um número primo. Seja A_d = { a em (Z/pZ)* tal que ord(a) = d } para
cada d divisor de fi(p), onde (Z/pZ)* = (Z/pZ) - { 0 } e fi é a função de
Euler. Definimos f(d) = soma de todos os elementos de A_d. Prove que f(d) ==
mi(d) (mod p) para todo d divisor de fi(p), onde mi é a função de Möbius.

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] polinômio divisor de zero

[kleinad]

Oi, Domingos

Domingos Jr. ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Sejam p(x) e q(x) em R[x] tais que pq = 0. Chame d(f) = grau(f). Suponha que
d(p), d(q)  0 e que para todos p', q' não-nulos em R[x] com d(p') 
d(p) e d(q')  d(q) tenhamos
p' q !=0 e p q' != 0.

Seja p(x) = a_0 + ... + a_n x^n e q(x) = b_0 + ... + b_m x^m
Pelo raciocínio que eu empreguei na outra mensagem, verificamos que a_i
b_0^ = 0 para todo i.
Se b_0^k != 0 para todo k então b_0^ p = 0, o que contraria a hipótese.
Seja k o maior inteiro tal que b_0^k != 0. Se b_0^k q = 0 então também
caímos em contradição, mas
b_0^k q = b_0^ + b_0^k b_1 x + ... + b_0^k b_m x^m = x[b_0^k b_1 +
... + b_0^k b_m x^].

Chame r(x) = b_0^k b_1 + ... + b_0^k b_m x^, então
p q = 0 = p (b_0^k q) = 0 = p (x r) = 0 = x (p r) = 0 = p r = 0 =
absurdo pois d(r)  d(q)!

Isso mostra que a suposição original nunca pode ser verdadeira. Boa sorte!

Ok, provando o seguinte lema nós matamos o problema:

Se p*q = 0, e existem p' com d(p')  d(p) e q' com d(q')  d(q) tais que
p'*q = 0 e p'*q' = 0, onde nenhum polinômio em questão é nulo, então existe
q'' não nulo com d(q'')  d(q) tal que p*q'' = 0.

Observe que isto seria a extensão imediata da sua proposição (as hipóteses
seguem diretamente dela) para mostrar que é possível baixar o grau tanto
para q quando para p. Daí era só aplicar o resultado sucessivamente até
baixar o grau a zero e obter b em R\{ 0 } tal que p*b = 0.

Mas ainda não consegui provar isso.

[]s,
Daniel

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[obm-l] polinômio divisor de zero

[kleinad]

Alguém pode ajudar?

Seja R um anel comutativo. Se f(X) = a_0 + a_1*X + ... + a_m*X^m em R[X] é
um divisor de zero, demonstrar que existe um elemento b  0 em R tal que
b*a_i = 0 para i = 0, 1, ..., m.

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômio divisor de zero

[kleinad]

Oi,
Se f(x) é divisor de zero então para algum p(x) não nulo tem-se f(x)*p(x) =
0, e não para TODO p(x) tem-se f(x)*p(x) = 0. Exemplo: a em R tal que a seja
divisor de zero, f(x) = a + a*x. Se R não contém elementos nilpotentes,
então a^2  0, o que implica f(x)*f(x)  0 mesmo sendo f(x) divisor de
zero.

Por isso não me parece tão trivial assim como vc falou, mas pode ser que eu
esteja enganado... Em todo caso, continuo sem saber resolver!

f(X) = a_0 + ... + a_m*X^m, g(X) = c_0 + ... + c_k*X^k, onde g, f não nulos.

(f*g)(X) = r_0 + ... + r_(m+k)*X^(m+k) = 0,

ou seja,

0 = r_i = a_0*c_i + a_1*c_(i - 1) + ... + a_i*c_0 para todo i.

Tá, mas como a partir disso como exibir um ÚNICO b não nulo tal que b*a_i =
0 para todo i?

[]s,
Daniel

Chicao Valadares ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

ele vezes outro polinomio diferente de zero é igual a
zero.Aplique identidade de polinomio que resolve.

  Seja R um anel comutativo. Se f(X) = a_0 + a_1*X +
 ... + a_m*X^m em R[X] é
  um divisor de zero, demonstrar que existe um
 elemento b  0 em R tal que
  b*a_i = 0 para i = 0, 1, ..., m.

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Re: [obm-l] polinômio divisor de zero

[kleinad]

O problema é que podemos ter b_i^k = 0, não?

Domingos Jr. ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

[EMAIL PROTECTED] wrote:

Alguém pode ajudar?

Seja R um anel comutativo. Se f(X) = a_0 + a_1*X + ... + a_m*X^m em R[X] é
um divisor de zero, demonstrar que existe um elemento b  0 em R tal que
b*a_i = 0 para i = 0, 1, ..., m.


seja b_0 + ... + b_n X^n tal que

(1)... (a_0 + a_1*X + ... + a_m*X^m)(b_0 + ... + b_n X^n) = 0

então a_0*b_0 = 0
a_0 b_1 + a_1 b_0 = 0, mas
a_0 b_0 b_1 + a_1 b_0^2 = a_1 b_0^2 = 0

a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0 = 0, mas
a_0 b_0^2 b_2 + a_1 b_0^2 b_1 + a_2 b_0^3 = 0 = a_2 b_0^3 = 0

temos que b_0^3 multiplicado por a_0, a_1 e a_2 resulta em 0.

...

E por aí vai, entendeu? A idéia é trabalhar com os polinômios nos a_i's e
b_i's respectivos a cada coeficiente do produto (1), multiplicando esses
polinômios por uma potência adequada de b_0 cancelamos todos exceto o termo
que inclue um novo a_i. Claro que uma prova formal exige o uso de indução
finita, mas isso eu deixo com você.

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Re: [obm-l] A LEI DOS PEQUENOS NÚMEROS!

[kleinad]

[EMAIL PROTECTED] escreveu:
A propósito, quais são os três últimos dígitos de 7^?  (ITA-1972)

7^ == 7^(1)*7 ^(-1) (mod 1000).

Mas fi(1000) = 1000*(1 - 1/2)*(1 - 1/5) = 400 e 400 divide 1, donde
7^1 == 1 (mod 1000). Portanto, 7^ == 7^(-1) (mod 1000).

Achar o inverso k de 7 módulo 1000 não é difícil, pois existe uma injeção de
7*x, onde 0= x = 9, nos inteiros módulo 10.

k = k_0 + k_1*10 + k_2*10^2

7*k deverá terminar em 1 == k_0 = 3
(7*k - 21)/10 deverá terminar em 0 ==  k_1 = 4
(7*k - 301)/100 deverá terminar em 0 == k_2 = 1

Temos então k = 143. Com efeito, 7*143 = 1001 == 1 (mod 1000)

Ou seja, 7^(-1) == 143 (mod 1000). == 7^ termina com 143.

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] Problemas em aberto

[kleinad]

10) Seja P = A^c - B^c,
onde:
A, B e c são inteiros e primos entre si,
A - B  1,
c = n1*n2*...*ni*...nk ,
(os ni são fatores primos distintos, ou seja, c tem k fatores
primos distintos).

Mostre que P é um número composto com, no mínimo, k+1
fatores primos distintos.

Isso eh falso. Tome A = 5, B = 3 e c = 2. Claro que A, B e c satisfazem o
enunciado e temos k = 1. Porem P = 16 = 2^4 soh tem 1 fator primo distinto
ao inves de 2.

Porem eh verdadeiro que P possui ao menos k + 1 fatores primos nao
necessariamente distintos se c for o produto de k primos nao necessariamente
distintos, o que se prova facilmente por inducao sobre k e pela famosa
fatoracao A^(xy) - B^(xy) = (A^x - B^x)(A^[x(y-1)] + ... + A^[x(y - i)]*B^
(xi) + ... + B^[x(y - 1)]).

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] Problemas em aberto

[kleinad]

16) Ache o menor inteiro positivo tal que se deslocarmos o seu algarismo
mais a esquerda para a posicao mais a direita (ou seja, das unidades)
obteremos um inteiro uma vez e meia maior do que o original.

Seja k = a_n*10^n + a_(n-1)*10^(n-1) + ... + 1_a*10 + a_0, onde 0=a_i=9
com a_n  0.

Após a mudança, obtemos
t = a_(n-1)*10^n + a_(n-2)*10^(n-1) + ... + a_1*10^2 + a_0*10 + a_n
  = 10*k - a_n*10^(n+1) + a_n
  = 10*k - a_n*(10^(n+1) - 1).

A condição é 2*t = 3*k, o que implica

20*k - 2*a_n*(10^(n+1) - 1) = 3*k
==
17*k = 2*a_n*(10^(n+1) - 1).

Primeiramente, 17 tem que dividir 10^(n+1) - 1, ou seja, 10^(n+1) == 1 (mod
17).

Sabemos por Euler-Fermat que para n = 15 isso ocorre. Agora, pensando no
grupo Z/(17_Z), e usando Lagrange, qualquer outro (n+1) menor e que
satisfaça a igualdade deverá ser divisor de 16. Ou seja, n = 0, 1, 3 ou 7. A
minha calculadora diz que isso não vale para nenhum destes valores de n.
Logo, n = 15 é o menor possível.

Resta mostrar que para algum a_n tem-se k = 2*a_n*(10^(n+1) - 1)/17 um
número com no máximo n casas decimais, ou seja, k = 10^(n+1) - 1.

Mas é imediato que k  10^(n+1) - 1 para a_n = 1, o que mostra que o menor
inteiro positivo satisfazendo a relação é 2*(10^(n+1) - 1)/17.

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] Problemas em aberto (remate do 16)

[kleinad]

16) Ache o menor inteiro positivo tal que se deslocarmos o seu algarismo
mais a esquerda para a posicao mais a direita (ou seja, das unidades)
obteremos um inteiro uma vez e meia maior do que o original.

Seja k = a_n*10^n + a_(n-1)*10^(n-1) + ... + 1_a*10 + a_0, onde 0=a_i=9
com a_n  0.


(...)


Logo, n = 15 é o menor possível.

Resta mostrar que para algum a_n tem-se k = 2*a_n*(10^(n+1) - 1)/17 um
número com no máximo n casas decimais, ou seja, k = 10^(n+1) - 1.

Mas é imediato que k  10^(n+1) - 1 para a_n = 1, o que mostra que o menor
inteiro positivo satisfazendo a relação é 2*(10^(n+1) - 1)/17.

Na verdade existe um outro erro aí além do número n de casas em vez de
n+1 É preciso mostrar que para algum a_n tem-se k = 2*a_n*(10^(n+1) -
1)/17, onde n = 15, um número com EXATAMENTE n + 1 casas decimais E CUJO
PRIMEIRO DÍGITO É DE FATO a_n.

Ou seja, exibir um a_n tal que valham as desigualdades

a_n*10^n= k = 2*a_n*(10^(n+1) - 1)/17 = (a_n + 1)*10^n - 1

Começando pela esquerda:

17*a_n*10^n = 2_a_n*(10^(n+1) - 1)
== 17*10^n = 20*10^n - 2
== 2 = 3*10^n,

que vale sempre.

Para a desigualdade da direita, temos:

2*a_n*(10^(n+1) - 1) = 17*(a_n + 1)*10^n - 17
== 20*a_n*10^n - 2*a_n = 17*(a)n + 1)*10^n - 17
== 3*a_n*10^n + 17 = 17*10^n + 2*a_n

Em particular, a_n = 1 satisfaz essa relação, e portanto é legítimo dar o
problema por concluído tomando-se k = 2*(10^16 - 1)/17, um número, de fato,
com exatamente 16 casas decimais e cujo dígito mais à esquerda é 1.

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] 10 inteiros consecutivos

[kleinad]

Claudio Buffara ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Aqui vai um interessante:

Prove que, dados quaisquer 10 inteiros consecutivos, sempre haverah um que
eh primo com os demais.

Sejam a_1,..., a_10 os inteiros consecutivos (a_(n+1) = 1 + a_n) e suponha
que para quaisquer dois deles houvesse p primo tal que p divida ambos.

Seja a_i o inteiro de menor índice tal que nem 2 nem 3 dividam a_i. É claro
que i= 4, logo a_(i+6) está na sequência. Note que a_(i+6) = 6 + a_i , logo
ambos são congruentes módulo 2 e 3, o que implica que nem 2 nem 3 dividem
a_6. Por hipótese, existe p primo tal que p divide a_i e a_(i+6) == p
divide a_(i+6) - a_i = 6 == p = 2 ou p = 3, absurdo.

Pergunta: 10 eh o melhor possivel?

2 é o melhor possível...

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] 10 inteiros consecutivos

[kleinad]

[EMAIL PROTECTED] escreveu:

Claudio Buffara ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Aqui vai um interessante:

Prove que, dados quaisquer 10 inteiros consecutivos, sempre haverah um que
eh primo com os demais.

Sejam a_1,..., a_10 os inteiros consecutivos (a_(n+1) = 1 + a_n) e suponha
que para quaisquer dois deles houvesse p primo tal que p divida ambos.

Seja a_i o inteiro de menor índice tal que nem 2 nem 3 dividam a_i. É claro
que ambos são congruentes módulo 2 e 3, o que implica que nem 2 nem 3
dividem
a_6. Por hipótese, existe p primo tal que p divide a_i e a_(i+6) == p
divide a_(i+6) - a_i = 6 == p = 2 ou p = 3, absurdo.

Esta prova não está correta... Ela só mostra que existem 2 números primos
relativos, mas não mostra que existe um primo com os demais.

Pergunta: 10 eh o melhor possivel?

2 é o melhor possível...

Essa resposta conseguiu ser a pior possível, está totalmente errada, a
intenção era saber o maior número de inteiros tal que o enunciado anterior
valha

[]s,
Daniel

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[obm-l] série de inversos curiosa

[kleinad]

Um probleminha para começar o ano:

Considere todos os números naturais cuja representação decimal não possua
nenhum dígito 9. Prove que a soma dos inversos desses números converge.

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] Ajuda...

[kleinad]

É falso que cada parcela é sempre maior ou igual do que 1... Tome a=x=1,
b=c=2.

Além disso, reveja a derivação da sua função f(x)!!

[]s,
Daniel

saulo bastos ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Eu fiz desse jeito, cada parcela da desigualdade são semelhantes, e elas
podem ser escritas como funções de x da forma:
f(x)= (a^x*C1+1)/(a^x*C2+1)
No caso da 1a parcela da desigualdade
C1=a^2
C2=bc
Achando os pontos críticos da função acima, a derivada é dada por:
f´(x)=a^x(C1-C2)/(a^xC2+1)^2
que igualando a zero e lembrando que a,b,c,x sao positivos e portanto
diferentes de 0, fornece:
C1=C2
ou seja
a^2=bc
Fazendo isso para cada parcela da desigualdade, encontramos:
b^2=ac
e
c^2=ab
ou seja:
f1(x)=1
f2(x)=1
f3(x)=1
ou
[a^(x+2)+1]/[(a^(x)*b*c)+1] + [b^(x+2)+1]/[(b^(x)*b*c)+1] + [c^(x+2)+1]/[(c^
(x)*b*c)+1]=1+1+1=3

Um abraço,saulo.

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Re: [obm-l] Ajuda...

[kleinad]

Para a, b, c, x reais positivos, era para mostrar que

[a^(x+2)+1]/[(a^(x)*b*c)+1] + [b^(x+2)+1]/[(b^(x)*b*c)+1] + [c^(x+2)+1]/[(c^
(x)*b*c)+1]=3

Mas observe que cada parcela pode ser escrita na forma (fazendo para a
primeira parcela)

a^2/(bc) + [1 - a^2/(bc)]/[a^(x)*bc + 1].

Para concluir a desigualdade, basta mostrar que

a^2/(bc) + b^2/(ac) + c^2/(ab) = 3,

o que é equivalente a mostrar que

a^3 + b^3 + c^3 - 3*abc = 0.

Mas observe que

a^3 + b^3 + c^3 - 3*abc = (a + b + c)*(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)

É claro que (a + b + c)  0.

Resta mostrar que a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac =0, mas não consigo fazer
isso.

[]s,
Daniel

=
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Re: [obm-l] Ajuda...

[kleinad]

Perfeito, isso mata o problema.

[]s,
Daniel

Luiz Felippe medeiros de almeida ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Oi Daniel , eu acho que consegui mostrar o que vc queria .
 Note que a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ac = 0.5( (a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2)
 como quadrados são sempre = 0 está provado o que se pede .
 Espero ter ajudado .
 Um abraço Luiz Felippe Medeiros


On Tue, 28 Dec 2004 16:34:29 +, [EMAIL PROTECTED]
 wrote:
 Para a, b, c, x reais positivos, era para mostrar que

 [a^(x+2)+1]/[(a^(x)*b*c)+1] + [b^(x+2)+1]/[(b^(x)*b*c)+1] + [c^(x+2)+1]/
[(c^
 (x)*b*c)+1]=3

 Mas observe que cada parcela pode ser escrita na forma (fazendo para a
 primeira parcela)

 a^2/(bc) + [1 - a^2/(bc)]/[a^(x)*bc + 1].

 Para concluir a desigualdade, basta mostrar que

 a^2/(bc) + b^2/(ac) + c^2/(ab) = 3,

 o que é equivalente a mostrar que

 a^3 + b^3 + c^3 - 3*abc = 0.

 Mas observe que

 a^3 + b^3 + c^3 - 3*abc = (a + b + c)*(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)

 É claro que (a + b + c)  0.

 Resta mostrar que a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac =0, mas não consigo
fazer
 isso.

 []s,
 Daniel

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Ajuda...

[kleinad]

Não mata não fica faltando mostrar que

[1 - a^2/(bc)]/[a^(x)*bc + 1] + [1 - b^2/(ac)]/[b^(x)*ac + 1] + [1 - c^2/
(ab)]/[c^(x)*ab + 1] = 0

Mas nada vem à cabeça (se é que a desigualdade é verdadeira!)

[]s,
Daniel

[EMAIL PROTECTED] escreveu:

Perfeito, isso mata o problema.

[]s,
Daniel

Luiz Felippe medeiros de almeida ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Oi Daniel , eu acho que consegui mostrar o que vc queria .
 Note que a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ac = 0.5( (a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2)
 como quadrados são sempre = 0 está provado o que se pede .
 Espero ter ajudado .
 Um abraço Luiz Felippe Medeiros


On Tue, 28 Dec 2004 16:34:29 +, [EMAIL PROTECTED]
 wrote:
 Para a, b, c, x reais positivos, era para mostrar que

 [a^(x+2)+1]/[(a^(x)*b*c)+1] + [b^(x+2)+1]/[(b^(x)*b*c)+1] + [c^(x+2)+1]/
[(c^
 (x)*b*c)+1]=3

 Mas observe que cada parcela pode ser escrita na forma (fazendo para a
 primeira parcela)

 a^2/(bc) + [1 - a^2/(bc)]/[a^(x)*bc + 1].

 Para concluir a desigualdade, basta mostrar que

 a^2/(bc) + b^2/(ac) + c^2/(ab) = 3,

 o que é equivalente a mostrar que

 a^3 + b^3 + c^3 - 3*abc = 0.

 Mas observe que

 a^3 + b^3 + c^3 - 3*abc = (a + b + c)*(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)

 É claro que (a + b + c)  0.

 Resta mostrar que a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac =0, mas não consigo
fazer
 isso.

 []s,
 Daniel


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Re: [obm-l] 1 -1/2 +1/3.......= Ln(2)

[kleinad]

Um fato que ajuda (muito!) é saber que integral(0; x)[1/(1-t)]dt = - log (1 -
 x). Mas 1/(1 - t) = 1 + t + t^2 + ... + t^(n-1) + r_n(t), com r_n(t) = t^n/
(1-t).

Substituindo e integrando termo a termo, vem (para x  1)

- log(1 - x) = x + x^2/2 + x^3/3 + ... + x^n/n + R_n(x), onde

R_n(x) = integral(0; x)[r_n] dt = integral(0; x)[t^n/(1 - t)]dt.

Suponha que -1 = x = 0; é preciso mostrar que R_n -- 0. Neste intervalo,
|t^n/(1 - t)| = |t^n| = (-1)^n*t^n. Então

|R_n|= |integral(0;x)[t^n]dt| = |x|^(n+1)/(n+1) que tende a zero quando n --
 +oo, portanto

- log (1 - x) = x + x^2/2 + x^3/3 + ...

== log (1 - x) = - (x + x^2/2 + x^3/3 + ...)

Substituindo x = -1, vem o resultado desejado.

[]s,
Daniel

Ana Evans ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Oi pessoal
Eu estou tentando provar que a serie alternada
Soma((-1)^(n+1))/n = 1 -1/2 +1/3converge para
Ln(2). sabemos que esta serie efetivamente converge
porque eh alternada e 1/n - 0. Eu tentei me basear no
fato de que, para |x| series de Taylor em torno de 0, de modo que Ln(1+x) =
x - x^2/2 + x^3/3Mas, sabemos que o raio de
convergencia desta serie de potencias eh 1, de modo
que converge garantidamente apenas  em (-1, 1), e nao
podemos extender a conclusao para x=1, o que nos
levaria ao desejado. Eu ai tentei extender  o dominio
da funcao limite da serie de potencias, incluindo
tambem x=1, mas como a convergencia nao eh
necessariamente uniforme em [0,1], eu nao cheguei la.
Talvez seja melhor tentar outra saida sem ser pela
expansao de Taylor.
Obrigada
Ana

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Re: [obm-l] Algebra Linear

[kleinad]

Paulo Santa Rita ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Seja V um espaco vetorial de dimensao finita com produto interno e { a1,
..., an } uma base deste espaco. Dados N numeros reais ( image que o corpo
associado a V e o conjunto dos numeros reais ) quaisquer {R1, ..., Rn }.
Mostre que existe UMA UNICA base { b1, ..., bn } de V tais que :

ai,bj= 0 se i # j ( # significa e diferente de )
ai,bj=Ri se i=j

Primeiramente, nenhum R_i pode ser nulo; se R_i é nulo então { a_1, ...,
a_i, b_i, ..., a_n } é um conjunto com n+1 vetores linearmente
independentes, absurdo, a menos que fosse b_i = 0, outro absurdo pois
queremos determinar uma base.

Todo b_i pode ser expresso como combinação linear de vetores da base A = {
a_1, ..., a_n }.

b_i = c_i1*a_1 + ... + c_in*a_n

Como b_i, b_j = c_i1a_1, a_j + ... + c_ina_n, a_j = d_ij*R_i (onde
d_ij = 1 se i=j e 0 se i # j ), temos n sistemas de n equações, para i
variando de 1 até n:

c_i1a_1, a_1 + ... + c_ina_n, a_1 = 0
...
c_iia_1, a_i + ... + c_ina_n, a_i = R_i
...
c_ina_1, a_n + ... + c_ina_n, a_n = 0

Queremos determinar os c_ij, sendo que a matriz M dos coeficientes é sempre
a mesma para todo i. Seja X_i o vetor de R^n tal que a j-ésima coordenada
seja a_i, a_j, ou seja, os vetores coluna de M. Mostremos que os X_i são
linearmente independentes; isso implica que o det(M) não é nulo, logo cada
sistema nxn tem solução, que será única.

Se t_1*X_1 + ... + t_n*X_n = 0, então

t_1*a_1, a_j + ... + t_n*a_n, a_j = 0 para todo j

==  t_1*a_1 + .. + t_n*a_n, a_j  = 0 para todo j

== t_1 = t_2 = ... = t_n = 0 pois do contrário t_1*a_1 + ... + t_n*a_n
seria um vetor perpendicular à todo vetor da base A, absurdo.

Assim, é possível determinar os coeficientes c_ij para todo i,j, logo
encontramos n vetores b_i = c_i1*a_1 + ... + c_in*a_n. Seja B o conjunto
desses b_i. Precisamos mostrar que B é base; sendo um conjunto de n vetores,
basta mostrar que é linearmente independente:

s_1*b_1 + ... + s_n*b_n = 0

== s_1*b_1 + ... + s_n*b_n, a_i = 0 para todo i
== s_i*b_i, a_i = 0 para todo i
== s_i*R_i = 0 para todo i
== s_1 = s_2 = ... = s_n = 0

Logo, B é a base. A unicidade já havia sido demonstrada.

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] Algebra Linear

[kleinad]

[EMAIL PROTECTED] escreveu:

Como b_i, b_j = c_i1a_1, a_j + ... + c_ina_n, a_j = d_ij*R_i

Erro de digitação: é b_i, a_j em vez de b_i, b_j; o resto está escrito
certo.

Queremos determinar os c_ij, sendo que a matriz M dos coeficientes é sempre
a mesma para todo i. Seja X_i o vetor de R^n tal que a j-ésima coordenada
seja , ou seja, os vetores coluna de M. Mostremos que os X_i são
linearmente independentes; isso implica que o det(M) não é nulo, logo cada
sistema nxn tem solução, que será única.

Em vez de apelar para o determinante de M, outro argumento (que eu prefiro!)
é o seguinte: se os X_i são LI então a transformação linear M:R^n -- R^n é
um isomorfismo, logo para qualquer y em R^n existe um único z em R^n tal que
y = Mz.

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] Algebra Linear

[kleinad]

[EMAIL PROTECTED] escreveu:

c_i1a_1, a_1 + ... + c_ina_n, a_1 = 0
...
c_iia_1, a_i + ... + c_ina_n, a_i = R_i
...
c_ina_1, a_n + ... + c_ina_n, a_n = 0

Também escrito errado; o certo é

c_i1a_1, a_1 + ... + c_ina_n, a_1 = 0
...
c_i1a_1, a_i + ... + c_ina_n, a_i = R_i
...
c_i1a_1, a_n + ... + c_ina_n, a_n = 0

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] Álgebra Linear - MIT

[kleinad]

Vinícius Santana ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

3. Considere o subespaço F de todos as matrizes simétricas 3x3 com zeros
na diagonal.
(a) Dê a base de F. Justifique.
(b) Mais geralmente, qual é a dimensão do subespaço das matrizes
simétricas nxn com zeros na diagonal?

Caso nxn, e levando-se em conta que a diagonal principal é nula:

Uma matriz A = [a_ij] de F é tal que a_ii = 0, a_ij = a_ji. Supondo as
matrizes reais (qualquer outro corpo serve e a demonstração é idêntica),
seja M o conjunto das matrizes E_ij, onde E_ij é uma matriz com todos os
coeficientes nulos exceto o ij-ésimo, que será igual a 1, bem como o ji-
ésimo. Assim, E_ji = E_ij.

É imediato que M gera F. Além disso, M é um conjunto linearmente
independente, como também é fácil ver, logo é base de F e portanto dim F = #
M = número de coeficientes abaixo da diagonal = (n^2 - n)/2 = n*(n-1)/2.

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] Teoria dos anéis

[kleinad]

Claudio Buffara ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

on 19.11.04 21:14, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 1) Seja R um anel tal que os únicos ideais à direita de R sejam 0 e R.
 Demonstrar que R é um anel com divisão ou R é um anel com um número primo
de
 elementos no qual ab = 0 para todos a,b em R.

Seja S = conjunto de todas as somas finitas da forma:
a_1*b_1 + a_2*b_2 + ... + a_n*b_n, onde os a_i e b_i pertencem a R.
Eh facil ver que S eh um ideal de R.

Logo, S = (0) ou S = R.

Se S = (0), entao a*b = 0 para quaisquer a, b em R.
Seja (H,+) um subgrupo do grupo aditivo (R,+).
Com esta definicao de *, (H,+,*) serah um ideal de R.
Logo, H = R ou H =  ==
(H,+) eh um subgrupo trivial de (R,+) ==
(R,+) eh um grupo ciclico de ordem prima ==
(R,+,*) eh um anel com um numero primo de elementos e tal que a*b = 0 para
quaisquer a, b em R.

Se S = R, basta provar que R contem 1 e usar a sua demonstracao de que,
nesse caso, R eh um anel com divisao. Mas ainda nao consegui provar isso.

Suponha que S = R. Para todo a em R, seja D_a = (x em R : ax = 0). D_a é
ideal à direita, logo D_a = (0) ou D_a = R.

Como S = R, existe x em R tal que para algum y em R, xy  0 == D_x = (0).

Mas se houver a em R-(0) tal que ab = 0 para b  0, então D_a = R. Logo H =
(0, a) é ideal à direita não trivial, absurdo visto que existe ao menos
outro elemento x em R. Assim, D_a = (0) para todo a em R, donde R é anel de
integridade e valem ambas as leis do cancelamento do produto.

Seja A = (ax: x está em R). A é ideal à direita e como R é anel de
integridade, temos A = R. Logo, existe u em R tal que au = a e existe b em R
tal que ab = u.

1) au = a == au^2 = au == u^2 = u.

2) ab = u == (au)b = u == a(ab)b = ab = (ab)^2 == ab = ba = u.

3) au = a == uau = ua = u^2a == au = ua.

4) todo c em R pode ser escrito como c = ax == uc = (ua)x = ax = c.

5) para todo c em R, uc = c == ucu = cu = cu^2 == uc = cu = c.

Logo, u é elemento unidade de R. Para todo a em R-(0) podemos repetir a
construção do conjunto A, a implicação A = R, e usar o item 2 para mostrar
que todo elemento não nulo em R tem inverso, logo R é anel com divisão.

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] Área

[kleinad]

Maurizio ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

1. Encontre um valor de a, de forma que a área S(A) limitada pelas
curvas y=x^2(x-2) e y=ax(x-2), seja mínima. Assuma 0a2.

Sejam y_1 = x^2(x-2), y_2 = ax(x-2) e f(x) = y_1 - y_2 = x(x-2)(x-a). Se x
está em (0,a), f(x)  0 == y_1  y_2. Se x está em (a,2), f(x)  0 == y_2
 y_1.

Logo S(a) = integral(0,a)(f(x))dx - integral(a,2)(f(x))dx.

Calculando, vem

S(a) = (-1/6)a^4 + (2/3)a^3 - (4/3)a + (4/3)
== S'(a) = (-2/3)*a^3 + 2a^2 - (4/3),

que por sorte se anula em a = 1. A partir daí, vemos que as outras raízes
são 1 + raiz(3) e 1 - raiz(3). Só nos interessa portanto a = 1. Como S''(a)
= -2a^2 + 4a, tem-se S''(1) = 2  0, logo S(1) é ponto de mínimo.

[]s,
Daniel

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[obm-l] yt

[kleinad]

ty

[obm-l] hello

[kleinad]

yu

[obm-l] gg

[kleinad]

ggfg

[obm-l] h

[kleinad]

76

[obm-l] gf

[kleinad]

[obm-l] h

[kleinad]

74

[obm-l] 78

[kleinad]

878

[obm-l] -

[kleinad]

5-4=4=4---1-85

[obm-l] gh

[kleinad]

[obm-l] fdf

[kleinad]

[obm-l] g

[kleinad]

[obm-l] SD

[kleinad]

/

[obm-l] 8

[kleinad]

[obm-l] jh

[kleinad]

89

[obm-l] j

[kleinad]

jj

[obm-l] 909

[kleinad]

909

[obm-l] obm-l@mat.puc-rio.br

[kleinad]

3434.

[obm-l] 0-0

[kleinad]

5665

[obm-l] gf

[kleinad]

fgf

[obm-l] ddfd

[kleinad]

dfdffd

[obm-l] RE:

[kleinad]

ERE

[obm-l] 54

[kleinad]

45###3

[obm-l] l0alau,o jumento retardado

[kleinad]

3"---.

[obm-l] D

[kleinad]

23@

[obm-l] fgf

[kleinad]

[obm-l] 45

[kleinad]

898

[obm-l] A CANA-LHICE D-O L6ALAU

[kleinad]

O VELHO J EST 
CADUCO

[obm-l] attachment

[kleinad]

2i

[obm-l] ERER

[kleinad]

ERERRE

[obm-l] dfd

[kleinad]

0-0

[obm-l] -3-4

[kleinad]

5454

[obm-l] hg

[kleinad]

g

[obm-l] t

[kleinad]

ty

[obm-l] obm-l@mat.puc-rio.br

[kleinad]

54

[obm-l] io

[kleinad]

iu

[obm-l] j

[kleinad]

j

[obm-l] A surpresa

[kleinad]

SURPRESAMinha 
vida andava uma droga!Havia perdido a promoo no emprego que tanto 
desejava, minha vida conjugal andava morninha, bateram no meu carro. Tudo 
parecia estar contra a minha pessoa.Um amigo, notando meu baixo astral, me 
ofereceu um stio que ele tem no interior de Minas Gerais para eu poder 
descansar.Diante disso, fiz as malas e fui sozinho para o stio, deixando 
para trs a rotina do emprego, a cidade grande, o marasmo do meu 
casamento.Quando cheguei ao stio, fui muito bem recebido pela famlia do 
caseiro que tomava conta do stio (Sr. Antonio, D Joana e sua filha 
Tereza).Eles mostraram o meu quarto e disseram que o que eu precisasse eles 
tariam ali para servir.Ento tomei um banho, troquei de roupa e logo depois 
eles me chamaram para almoar.Almoamos todos juntos e notei o quo bonita 
era Tereza (filha do casal). Ela devia ter uns 20 anos, cara de menina, corpo de 
mulher.Almocei e disse-lhes que iria para meu quarto tirar uma soneca. Foi o 
que fiz at a tardizinha. Tomei novamente outro banho e fiquei esperando o 
jantar que logo foi servido. Notei que Tereza tambm me olhava, como se 
estivesse me medindo.Logo aps o jantar, como no tinha nada para fazer, 
conversmaos um pouco e logo fui deitar-me.Estava j naquele sono inicial, 
quando para minha SURPRESA, aparece Tereza nua na minha frente. Aquele corpo 
escultural. Seios mdios, bunda perfeita e uma xaninha cabeluda. Fiquei atnito 
por um instante, quando ela se deitou do meu lado e me deu m longo beijo sem 
dizer nada. Que delcia! Ento comecei a chupar os seus seios, ela gemia 
baixinho e gostoso. Passei minha lngua por todo seu corpo que fervia. Mordi 
suas coxas grossas e rolias at chegar na sua xaninha cabeluda. Ento chupei, 
mordi seu grelinho Ela suspirava, apertava minha cabea contra sua xaninha e 
me pedia mais. Gozou e inundou minha boca com aquele gozo maravilhoso.Ento 
ela me deitou de costas na cama e comeou a morder, chupar meu pescoo, meu 
peito, meu pau... Que maravilhoso!Fui a loucura com aquilo tudo. De 
repente, ela senta no meu pau, de uma s vez e sua xaninha engoliu ele inteiro. 
Ela gemia gostoso e eu mais ainda comendo aquela xaninha apertada. Ela ficou 
sentada no meu pau rebolando, at gozar gostoso...Ento ela me pediu que a 
penetrasse de frente (papai e mame). Deitei-me sobre ela e deixei meu pau 
deslizar sobre aquela bucetinha molhada. Ela ento, entrelaou suas pernas nas 
minhas costas e ficamos num gostoso vai e vem Gozamos juntos...Ela 
comeou a chupar meu pau todo lambuzado de porra e eu comecei a chupar sua 
bucetinha molhada de porra tambm. Fizemos um delicioso 69 e gozamos mais uma 
vez. Ela ento me deu um beijo e foi embora sem dizer nada. Adormeci 
gostoso.quando acordei no outro dia, tomei um banho e sa para cavalgar um 
pouco. Voltei s na hora do almoo.Tomei outro banho e fui almoar com a 
famlia. Notei que D Joana, uma mulher de mais ou menos 40 anos, estava me 
olhando de modo diferente. Logo pensei: "Ser que Tereza falou alguma coisa da 
noite anterior". Como havia sado para cavalgar pela manh, disse que iria ficar 
descansando a tarde. Sr. Antonio, disse-me que iria at a cidade mais prxima, 
juntamente com Tereza comprar algumas coisa e que passariam a tarde toda fora. 
Fui para meu quarto e fiquei lendo um livro. De repente, SURPRESA. L estava 
dona Joana, no meu quarto se oferendo para mim. Ela foi logo tirando meu short e 
caindo de boca no peu pau j duro. Ela chupou, lambeu, mordeu, com uma volupia 
que me deixou louco. Gozei na sua boca e ela engoliu toda a minha porra. Tirei 
ento aqule vestido que ela usava e vi que ela j estava sem calcinha, pronta 
para dar. Chupei sua buceta, e que buceta que j estava molhada. Que delcia, o 
cheiro, o gosto daquele caldinho doce e ela gemia e se contorcia toda quando eu 
enfiava minha linga dentro da sua xaninha.Deitei-a de costas na cama e me 
preparei para enfiar meu pau, foi quando SURPRESA Ela me falou que sua 
buceta s o marido podia comer, mas se eu quisesse seu c ela me daria, mesmo 
sem nunca ter dado ele antes pr ningum.Diante disso, coloquei ela de 4, 
passei minha lngua naquele cuzinho, fechadinho e rosadinho at deix-lo bem 
molhado. Meu pau estava duro como uma estaca. Fui colocando devargarzinho a 
cabea ela gemia alto... Fui empurrando at a cabea passar. Ela deu um sussuro 
mais alto e comeou a rebolar. Meu pau ia entrando devagar, at que de uma s 
vez, dei uma estocada que fez meu pau entrar todinho e meu saco encostar na sua 
buceta. Ela gritou, gemeu, chorou, pediu mais e mais e eu fui bombando. Cada vez 
aumentava mais o ritmo e ela me pedia mais. Gozei feito um louco, molhanso o seu 
cu com minha porra. Quando tirei meu pau, ela o lambei como uma gata no cio. Que 
maravilha, nunca havia comido um cuzinho to gostoso.Ela ento me deu um 
beijo gostoso e saiu do meu quarto com um sorriso de quem havia 
gostado.Naquela noite ainda haveria uma surpresa ainda maior, mas essa fica 
para uma outra vezQuem gostou 

[obm-l] A surpresa

[kleinad]

SURPRESAMinha 
vida andava uma droga!Havia perdido a promoo no emprego que tanto 
desejava, minha vida conjugal andava morninha, bateram no meu carro. Tudo 
parecia estar contra a minha pessoa.Um amigo, notando meu baixo astral, me 
ofereceu um stio que ele tem no interior de Minas Gerais para eu poder 
descansar.Diante disso, fiz as malas e fui sozinho para o stio, deixando 
para trs a rotina do emprego, a cidade grande, o marasmo do meu 
casamento.Quando cheguei ao stio, fui muito bem recebido pela famlia do 
caseiro que tomava conta do stio (Sr. Antonio, D Joana e sua filha 
Tereza).Eles mostraram o meu quarto e disseram que o que eu precisasse eles 
tariam ali para servir.Ento tomei um banho, troquei de roupa e logo depois 
eles me chamaram para almoar.Almoamos todos juntos e notei o quo bonita 
era Tereza (filha do casal). Ela devia ter uns 20 anos, cara de menina, corpo de 
mulher.Almocei e disse-lhes que iria para meu quarto tirar uma soneca. Foi o 
que fiz at a tardizinha. Tomei novamente outro banho e fiquei esperando o 
jantar que logo foi servido. Notei que Tereza tambm me olhava, como se 
estivesse me medindo.Logo aps o jantar, como no tinha nada para fazer, 
conversmaos um pouco e logo fui deitar-me.Estava j naquele sono inicial, 
quando para minha SURPRESA, aparece Tereza nua na minha frente. Aquele corpo 
escultural. Seios mdios, bunda perfeita e uma xaninha cabeluda. Fiquei atnito 
por um instante, quando ela se deitou do meu lado e me deu m longo beijo sem 
dizer nada. Que delcia! Ento comecei a chupar os seus seios, ela gemia 
baixinho e gostoso. Passei minha lngua por todo seu corpo que fervia. Mordi 
suas coxas grossas e rolias at chegar na sua xaninha cabeluda. Ento chupei, 
mordi seu grelinho Ela suspirava, apertava minha cabea contra sua xaninha e 
me pedia mais. Gozou e inundou minha boca com aquele gozo maravilhoso.Ento 
ela me deitou de costas na cama e comeou a morder, chupar meu pescoo, meu 
peito, meu pau... Que maravilhoso!Fui a loucura com aquilo tudo. De 
repente, ela senta no meu pau, de uma s vez e sua xaninha engoliu ele inteiro. 
Ela gemia gostoso e eu mais ainda comendo aquela xaninha apertada. Ela ficou 
sentada no meu pau rebolando, at gozar gostoso...Ento ela me pediu que a 
penetrasse de frente (papai e mame). Deitei-me sobre ela e deixei meu pau 
deslizar sobre aquela bucetinha molhada. Ela ento, entrelaou suas pernas nas 
minhas costas e ficamos num gostoso vai e vem Gozamos juntos...Ela 
comeou a chupar meu pau todo lambuzado de porra e eu comecei a chupar sua 
bucetinha molhada de porra tambm. Fizemos um delicioso 69 e gozamos mais uma 
vez. Ela ento me deu um beijo e foi embora sem dizer nada. Adormeci 
gostoso.quando acordei no outro dia, tomei um banho e sa para cavalgar um 
pouco. Voltei s na hora do almoo.Tomei outro banho e fui almoar com a 
famlia. Notei que D Joana, uma mulher de mais ou menos 40 anos, estava me 
olhando de modo diferente. Logo pensei: "Ser que Tereza falou alguma coisa da 
noite anterior". Como havia sado para cavalgar pela manh, disse que iria ficar 
descansando a tarde. Sr. Antonio, disse-me que iria at a cidade mais prxima, 
juntamente com Tereza comprar algumas coisa e que passariam a tarde toda fora. 
Fui para meu quarto e fiquei lendo um livro. De repente, SURPRESA. L estava 
dona Joana, no meu quarto se oferendo para mim. Ela foi logo tirando meu short e 
caindo de boca no peu pau j duro. Ela chupou, lambeu, mordeu, com uma volupia 
que me deixou louco. Gozei na sua boca e ela engoliu toda a minha porra. Tirei 
ento aqule vestido que ela usava e vi que ela j estava sem calcinha, pronta 
para dar. Chupei sua buceta, e que buceta que j estava molhada. Que delcia, o 
cheiro, o gosto daquele caldinho doce e ela gemia e se contorcia toda quando eu 
enfiava minha linga dentro da sua xaninha.Deitei-a de costas na cama e me 
preparei para enfiar meu pau, foi quando SURPRESA Ela me falou que sua 
buceta s o marido podia comer, mas se eu quisesse seu c ela me daria, mesmo 
sem nunca ter dado ele antes pr ningum.Diante disso, coloquei ela de 4, 
passei minha lngua naquele cuzinho, fechadinho e rosadinho at deix-lo bem 
molhado. Meu pau estava duro como uma estaca. Fui colocando devargarzinho a 
cabea ela gemia alto... Fui empurrando at a cabea passar. Ela deu um sussuro 
mais alto e comeou a rebolar. Meu pau ia entrando devagar, at que de uma s 
vez, dei uma estocada que fez meu pau entrar todinho e meu saco encostar na sua 
buceta. Ela gritou, gemeu, chorou, pediu mais e mais e eu fui bombando. Cada vez 
aumentava mais o ritmo e ela me pedia mais. Gozei feito um louco, molhanso o seu 
cu com minha porra. Quando tirei meu pau, ela o lambei como uma gata no cio. Que 
maravilha, nunca havia comido um cuzinho to gostoso.Ela ento me deu um 
beijo gostoso e saiu do meu quarto com um sorriso de quem havia 
gostado.Naquela noite ainda haveria uma surpresa ainda maior, mas essa fica 
para uma outra vezQuem gostou 

[obm-l] A surpresa

[kleinad]

A SURPRESAMinha vida andava uma 
droga!Havia perdido a promoo no emprego que tanto desejava, minha vida 
conjugal andava morninha, bateram no meu carro. Tudo parecia estar contra a 
minha pessoa.Um amigo, notando meu baixo astral, me ofereceu um stio que 
ele tem no interior de Minas Gerais para eu poder descansar.Diante disso, 
fiz as malas e fui sozinho para o stio, deixando para trs a rotina do emprego, 
a cidade grande, o marasmo do meu casamento.Quando cheguei ao stio, fui 
muito bem recebido pela famlia do caseiro que tomava conta do stio (Sr. 
Antonio, D Joana e sua filha Tereza).Eles mostraram o meu quarto e disseram 
que o que eu precisasse eles tariam ali para servir.Ento tomei um banho, 
troquei de roupa e logo depois eles me chamaram para almoar.Almoamos todos 
juntos e notei o quo bonita era Tereza (filha do casal). Ela devia ter uns 20 
anos, cara de menina, corpo de mulher.Almocei e disse-lhes que iria para meu 
quarto tirar uma soneca. Foi o que fiz at a tardizinha. Tomei novamente outro 
banho e fiquei esperando o jantar que logo foi servido. Notei que Tereza tambm 
me olhava, como se estivesse me medindo.Logo aps o jantar, como no tinha 
nada para fazer, conversmaos um pouco e logo fui deitar-me.Estava j naquele 
sono inicial, quando para minha SURPRESA, aparece Tereza nua na minha frente. 
Aquele corpo escultural. Seios mdios, bunda perfeita e uma xaninha cabeluda. 
Fiquei atnito por um instante, quando ela se deitou do meu lado e me deu m 
longo beijo sem dizer nada. Que delcia! Ento comecei a chupar os seus 
seios, ela gemia baixinho e gostoso. Passei minha lngua por todo seu corpo que 
fervia. Mordi suas coxas grossas e rolias at chegar na sua xaninha cabeluda. 
Ento chupei, mordi seu grelinho Ela suspirava, apertava minha cabea contra 
sua xaninha e me pedia mais. Gozou e inundou minha boca com aquele gozo 
maravilhoso.Ento ela me deitou de costas na cama e comeou a morder, chupar 
meu pescoo, meu peito, meu pau... Que maravilhoso!Fui a loucura com 
aquilo tudo. De repente, ela senta no meu pau, de uma s vez e sua xaninha 
engoliu ele inteiro. Ela gemia gostoso e eu mais ainda comendo aquela xaninha 
apertada. Ela ficou sentada no meu pau rebolando, at gozar gostoso...Ento 
ela me pediu que a penetrasse de frente (papai e mame). Deitei-me sobre ela e 
deixei meu pau deslizar sobre aquela bucetinha molhada. Ela ento, entrelaou 
suas pernas nas minhas costas e ficamos num gostoso vai e vem Gozamos 
juntos...Ela comeou a chupar meu pau todo lambuzado de porra e eu comecei a 
chupar sua bucetinha molhada de porra tambm. Fizemos um delicioso 69 e gozamos 
mais uma vez. Ela ento me deu um beijo e foi embora sem dizer nada. Adormeci 
gostoso.quando acordei no outro dia, tomei um banho e sa para cavalgar um 
pouco. Voltei s na hora do almoo.Tomei outro banho e fui almoar com a 
famlia. Notei que D Joana, uma mulher de mais ou menos 40 anos, estava me 
olhando de modo diferente. Logo pensei: "Ser que Tereza falou alguma coisa da 
noite anterior". Como havia sado para cavalgar pela manh, disse que iria ficar 
descansando a tarde. Sr. Antonio, disse-me que iria at a cidade mais prxima, 
juntamente com Tereza comprar algumas coisa e que passariam a tarde toda fora. 
Fui para meu quarto e fiquei lendo um livro. De repente, SURPRESA. L estava 
dona Joana, no meu quarto se oferendo para mim. Ela foi logo tirando meu short e 
caindo de boca no peu pau j duro. Ela chupou, lambeu, mordeu, com uma volupia 
que me deixou louco. Gozei na sua boca e ela engoliu toda a minha porra. Tirei 
ento aqule vestido que ela usava e vi que ela j estava sem calcinha, pronta 
para dar. Chupei sua buceta, e que buceta que j estava molhada. Que delcia, o 
cheiro, o gosto daquele caldinho doce e ela gemia e se contorcia toda quando eu 
enfiava minha linga dentro da sua xaninha.Deitei-a de costas na cama e me 
preparei para enfiar meu pau, foi quando SURPRESA Ela me falou que sua 
buceta s o marido podia comer, mas se eu quisesse seu c ela me daria, mesmo 
sem nunca ter dado ele antes pr ningum.Diante disso, coloquei ela de 4, 
passei minha lngua naquele cuzinho, fechadinho e rosadinho at deix-lo bem 
molhado. Meu pau estava duro como uma estaca. Fui colocando devargarzinho a 
cabea ela gemia alto... Fui empurrando at a cabea passar. Ela deu um sussuro 
mais alto e comeou a rebolar. Meu pau ia entrando devagar, at que de uma s 
vez, dei uma estocada que fez meu pau entrar todinho e meu saco encostar na sua 
buceta. Ela gritou, gemeu, chorou, pediu mais e mais e eu fui bombando. Cada vez 
aumentava mais o ritmo e ela me pedia mais. Gozei feito um louco, molhanso o seu 
cu com minha porra. Quando tirei meu pau, ela o lambei como uma gata no cio. Que 
maravilha, nunca havia comido um cuzinho to gostoso.Ela ento me deu um 
beijo gostoso e saiu do meu quarto com um sorriso de quem havia 
gostado.Naquela noite ainda haveria uma surpresa ainda maior, mas essa fica 
para uma outra vezQuem 

[obm-l] A surpresa

[kleinad]

A SURPRESAMinha vida andava uma 
droga!Havia perdido a promoo no emprego que tanto desejava, minha vida 
conjugal andava morninha, bateram no meu carro. Tudo parecia estar contra a 
minha pessoa.Um amigo, notando meu baixo astral, me ofereceu um stio que 
ele tem no interior de Minas Gerais para eu poder descansar.Diante disso, 
fiz as malas e fui sozinho para o stio, deixando para trs a rotina do emprego, 
a cidade grande, o marasmo do meu casamento.Quando cheguei ao stio, fui 
muito bem recebido pela famlia do caseiro que tomava conta do stio (Sr. 
Antonio, D Joana e sua filha Tereza).Eles mostraram o meu quarto e disseram 
que o que eu precisasse eles tariam ali para servir.Ento tomei um banho, 
troquei de roupa e logo depois eles me chamaram para almoar.Almoamos todos 
juntos e notei o quo bonita era Tereza (filha do casal). Ela devia ter uns 20 
anos, cara de menina, corpo de mulher.Almocei e disse-lhes que iria para meu 
quarto tirar uma soneca. Foi o que fiz at a tardizinha. Tomei novamente outro 
banho e fiquei esperando o jantar que logo foi servido. Notei que Tereza tambm 
me olhava, como se estivesse me medindo.Logo aps o jantar, como no tinha 
nada para fazer, conversmaos um pouco e logo fui deitar-me.Estava j naquele 
sono inicial, quando para minha SURPRESA, aparece Tereza nua na minha frente. 
Aquele corpo escultural. Seios mdios, bunda perfeita e uma xaninha cabeluda. 
Fiquei atnito por um instante, quando ela se deitou do meu lado e me deu m 
longo beijo sem dizer nada. Que delcia! Ento comecei a chupar os seus 
seios, ela gemia baixinho e gostoso. Passei minha lngua por todo seu corpo que 
fervia. Mordi suas coxas grossas e rolias at chegar na sua xaninha cabeluda. 
Ento chupei, mordi seu grelinho Ela suspirava, apertava minha cabea contra 
sua xaninha e me pedia mais. Gozou e inundou minha boca com aquele gozo 
maravilhoso.Ento ela me deitou de costas na cama e comeou a morder, chupar 
meu pescoo, meu peito, meu pau... Que maravilhoso!Fui a loucura com 
aquilo tudo. De repente, ela senta no meu pau, de uma s vez e sua xaninha 
engoliu ele inteiro. Ela gemia gostoso e eu mais ainda comendo aquela xaninha 
apertada. Ela ficou sentada no meu pau rebolando, at gozar gostoso...Ento 
ela me pediu que a penetrasse de frente (papai e mame). Deitei-me sobre ela e 
deixei meu pau deslizar sobre aquela bucetinha molhada. Ela ento, entrelaou 
suas pernas nas minhas costas e ficamos num gostoso vai e vem Gozamos 
juntos...Ela comeou a chupar meu pau todo lambuzado de porra e eu comecei a 
chupar sua bucetinha molhada de porra tambm. Fizemos um delicioso 69 e gozamos 
mais uma vez. Ela ento me deu um beijo e foi embora sem dizer nada. Adormeci 
gostoso.quando acordei no outro dia, tomei um banho e sa para cavalgar um 
pouco. Voltei s na hora do almoo.Tomei outro banho e fui almoar com a 
famlia. Notei que D Joana, uma mulher de mais ou menos 40 anos, estava me 
olhando de modo diferente. Logo pensei: "Ser que Tereza falou alguma coisa da 
noite anterior". Como havia sado para cavalgar pela manh, disse que iria ficar 
descansando a tarde. Sr. Antonio, disse-me que iria at a cidade mais prxima, 
juntamente com Tereza comprar algumas coisa e que passariam a tarde toda fora. 
Fui para meu quarto e fiquei lendo um livro. De repente, SURPRESA. L estava 
dona Joana, no meu quarto se oferendo para mim. Ela foi logo tirando meu short e 
caindo de boca no peu pau j duro. Ela chupou, lambeu, mordeu, com uma volupia 
que me deixou louco. Gozei na sua boca e ela engoliu toda a minha porra. Tirei 
ento aqule vestido que ela usava e vi que ela j estava sem calcinha, pronta 
para dar. Chupei sua buceta, e que buceta que j estava molhada. Que delcia, o 
cheiro, o gosto daquele caldinho doce e ela gemia e se contorcia toda quando eu 
enfiava minha linga dentro da sua xaninha.Deitei-a de costas na cama e me 
preparei para enfiar meu pau, foi quando SURPRESA Ela me falou que sua 
buceta s o marido podia comer, mas se eu quisesse seu c ela me daria, mesmo 
sem nunca ter dado ele antes pr ningum.Diante disso, coloquei ela de 4, 
passei minha lngua naquele cuzinho, fechadinho e rosadinho at deix-lo bem 
molhado. Meu pau estava duro como uma estaca. Fui colocando devargarzinho a 
cabea ela gemia alto... Fui empurrando at a cabea passar. Ela deu um sussuro 
mais alto e comeou a rebolar. Meu pau ia entrando devagar, at que de uma s 
vez, dei uma estocada que fez meu pau entrar todinho e meu saco encostar na sua 
buceta. Ela gritou, gemeu, chorou, pediu mais e mais e eu fui bombando. Cada vez 
aumentava mais o ritmo e ela me pedia mais. Gozei feito um louco, molhanso o seu 
cu com minha porra. Quando tirei meu pau, ela o lambei como uma gata no cio. Que 
maravilha, nunca havia comido um cuzinho to gostoso.Ela ento me deu um 
beijo gostoso e saiu do meu quarto com um sorriso de quem havia 
gostado.Naquela noite ainda haveria uma surpresa ainda maior, mas essa fica 
para uma outra vezQuem 

[obm-l] A surpresa

[kleinad]

SURPRESAMinha 
vida andava uma droga!Havia perdido a promoo no emprego que tanto 
desejava, minha vida conjugal andava morninha, bateram no meu carro. Tudo 
parecia estar contra a minha pessoa.Um amigo, notando meu baixo astral, me 
ofereceu um stio que ele tem no interior de Minas Gerais para eu poder 
descansar.Diante disso, fiz as malas e fui sozinho para o stio, deixando 
para trs a rotina do emprego, a cidade grande, o marasmo do meu 
casamento.Quando cheguei ao stio, fui muito bem recebido pela famlia do 
caseiro que tomava conta do stio (Sr. Antonio, D Joana e sua filha 
Tereza).Eles mostraram o meu quarto e disseram que o que eu precisasse eles 
tariam ali para servir.Ento tomei um banho, troquei de roupa e logo depois 
eles me chamaram para almoar.Almoamos todos juntos e notei o quo bonita 
era Tereza (filha do casal). Ela devia ter uns 20 anos, cara de menina, corpo de 
mulher.Almocei e disse-lhes que iria para meu quarto tirar uma soneca. Foi o 
que fiz at a tardizinha. Tomei novamente outro banho e fiquei esperando o 
jantar que logo foi servido. Notei que Tereza tambm me olhava, como se 
estivesse me medindo.Logo aps o jantar, como no tinha nada para fazer, 
conversmaos um pouco e logo fui deitar-me.Estava j naquele sono inicial, 
quando para minha SURPRESA, aparece Tereza nua na minha frente. Aquele corpo 
escultural. Seios mdios, bunda perfeita e uma xaninha cabeluda. Fiquei atnito 
por um instante, quando ela se deitou do meu lado e me deu m longo beijo sem 
dizer nada. Que delcia! Ento comecei a chupar os seus seios, ela gemia 
baixinho e gostoso. Passei minha lngua por todo seu corpo que fervia. Mordi 
suas coxas grossas e rolias at chegar na sua xaninha cabeluda. Ento chupei, 
mordi seu grelinho Ela suspirava, apertava minha cabea contra sua xaninha e 
me pedia mais. Gozou e inundou minha boca com aquele gozo maravilhoso.Ento 
ela me deitou de costas na cama e comeou a morder, chupar meu pescoo, meu 
peito, meu pau... Que maravilhoso!Fui a loucura com aquilo tudo. De 
repente, ela senta no meu pau, de uma s vez e sua xaninha engoliu ele inteiro. 
Ela gemia gostoso e eu mais ainda comendo aquela xaninha apertada. Ela ficou 
sentada no meu pau rebolando, at gozar gostoso...Ento ela me pediu que a 
penetrasse de frente (papai e mame). Deitei-me sobre ela e deixei meu pau 
deslizar sobre aquela bucetinha molhada. Ela ento, entrelaou suas pernas nas 
minhas costas e ficamos num gostoso vai e vem Gozamos juntos...Ela 
comeou a chupar meu pau todo lambuzado de porra e eu comecei a chupar sua 
bucetinha molhada de porra tambm. Fizemos um delicioso 69 e gozamos mais uma 
vez. Ela ento me deu um beijo e foi embora sem dizer nada. Adormeci 
gostoso.quando acordei no outro dia, tomei um banho e sa para cavalgar um 
pouco. Voltei s na hora do almoo.Tomei outro banho e fui almoar com a 
famlia. Notei que D Joana, uma mulher de mais ou menos 40 anos, estava me 
olhando de modo diferente. Logo pensei: "Ser que Tereza falou alguma coisa da 
noite anterior". Como havia sado para cavalgar pela manh, disse que iria ficar 
descansando a tarde. Sr. Antonio, disse-me que iria at a cidade mais prxima, 
juntamente com Tereza comprar algumas coisa e que passariam a tarde toda fora. 
Fui para meu quarto e fiquei lendo um livro. De repente, SURPRESA. L estava 
dona Joana, no meu quarto se oferendo para mim. Ela foi logo tirando meu short e 
caindo de boca no peu pau j duro. Ela chupou, lambeu, mordeu, com uma volupia 
que me deixou louco. Gozei na sua boca e ela engoliu toda a minha porra. Tirei 
ento aqule vestido que ela usava e vi que ela j estava sem calcinha, pronta 
para dar. Chupei sua buceta, e que buceta que j estava molhada. Que delcia, o 
cheiro, o gosto daquele caldinho doce e ela gemia e se contorcia toda quando eu 
enfiava minha linga dentro da sua xaninha.Deitei-a de costas na cama e me 
preparei para enfiar meu pau, foi quando SURPRESA Ela me falou que sua 
buceta s o marido podia comer, mas se eu quisesse seu c ela me daria, mesmo 
sem nunca ter dado ele antes pr ningum.Diante disso, coloquei ela de 4, 
passei minha lngua naquele cuzinho, fechadinho e rosadinho at deix-lo bem 
molhado. Meu pau estava duro como uma estaca. Fui colocando devargarzinho a 
cabea ela gemia alto... Fui empurrando at a cabea passar. Ela deu um sussuro 
mais alto e comeou a rebolar. Meu pau ia entrando devagar, at que de uma s 
vez, dei uma estocada que fez meu pau entrar todinho e meu saco encostar na sua 
buceta. Ela gritou, gemeu, chorou, pediu mais e mais e eu fui bombando. Cada vez 
aumentava mais o ritmo e ela me pedia mais. Gozei feito um louco, molhanso o seu 
cu com minha porra. Quando tirei meu pau, ela o lambei como uma gata no cio. Que 
maravilha, nunca havia comido um cuzinho to gostoso.Ela ento me deu um 
beijo gostoso e saiu do meu quarto com um sorriso de quem havia 
gostado.Naquela noite ainda haveria uma surpresa ainda maior, mas essa fica 
para uma outra vezQuem gostou 

[obm-l] 45

[kleinad]

54

[obm-l] URGENTE!!!!!!!!REPASSEM

[kleinad]

MENINA COM CNCER,REPASSE 
URGENTEMENTE

KKK

[obm-l] =

[kleinad]

SURPRESAMinha 
vida andava uma droga!Havia perdido a promoo no emprego que tanto 
desejava, minha vida conjugal andava morninha, bateram no meu carro. Tudo 
parecia estar contra a minha pessoa.Um amigo, notando meu baixo astral, me 
ofereceu um stio que ele tem no interior de Minas Gerais para eu poder 
descansar.Diante disso, fiz as malas e fui sozinho para o stio, deixando 
para trs a rotina do emprego, a cidade grande, o marasmo do meu 
casamento.Quando cheguei ao stio, fui muito bem recebido pela famlia do 
caseiro que tomava conta do stio (Sr. Antonio, D Joana e sua filha 
Tereza).Eles mostraram o meu quarto e disseram que o que eu precisasse eles 
tariam ali para servir.Ento tomei um banho, troquei de roupa e logo depois 
eles me chamaram para almoar.Almoamos todos juntos e notei o quo bonita 
era Tereza (filha do casal). Ela devia ter uns 20 anos, cara de menina, corpo de 
mulher.Almocei e disse-lhes que iria para meu quarto tirar uma soneca. Foi o 
que fiz at a tardizinha. Tomei novamente outro banho e fiquei esperando o 
jantar que logo foi servido. Notei que Tereza tambm me olhava, como se 
estivesse me medindo.Logo aps o jantar, como no tinha nada para fazer, 
conversmaos um pouco e logo fui deitar-me.Estava j naquele sono inicial, 
quando para minha SURPRESA, aparece Tereza nua na minha frente. Aquele corpo 
escultural. Seios mdios, bunda perfeita e uma xaninha cabeluda. Fiquei atnito 
por um instante, quando ela se deitou do meu lado e me deu m longo beijo sem 
dizer nada. Que delcia! Ento comecei a chupar os seus seios, ela gemia 
baixinho e gostoso. Passei minha lngua por todo seu corpo que fervia. Mordi 
suas coxas grossas e rolias at chegar na sua xaninha cabeluda. Ento chupei, 
mordi seu grelinho Ela suspirava, apertava minha cabea contra sua xaninha e 
me pedia mais. Gozou e inundou minha boca com aquele gozo maravilhoso.Ento 
ela me deitou de costas na cama e comeou a morder, chupar meu pescoo, meu 
peito, meu pau... Que maravilhoso!Fui a loucura com aquilo tudo. De 
repente, ela senta no meu pau, de uma s vez e sua xaninha engoliu ele inteiro. 
Ela gemia gostoso e eu mais ainda comendo aquela xaninha apertada. Ela ficou 
sentada no meu pau rebolando, at gozar gostoso...Ento ela me pediu que a 
penetrasse de frente (papai e mame). Deitei-me sobre ela e deixei meu pau 
deslizar sobre aquela bucetinha molhada. Ela ento, entrelaou suas pernas nas 
minhas costas e ficamos num gostoso vai e vem Gozamos juntos...Ela 
comeou a chupar meu pau todo lambuzado de porra e eu comecei a chupar sua 
bucetinha molhada de porra tambm. Fizemos um delicioso 69 e gozamos mais uma 
vez. Ela ento me deu um beijo e foi embora sem dizer nada. Adormeci 
gostoso.quando acordei no outro dia, tomei um banho e sa para cavalgar um 
pouco. Voltei s na hora do almoo.Tomei outro banho e fui almoar com a 
famlia. Notei que D Joana, uma mulher de mais ou menos 40 anos, estava me 
olhando de modo diferente. Logo pensei: "Ser que Tereza falou alguma coisa da 
noite anterior". Como havia sado para cavalgar pela manh, disse que iria ficar 
descansando a tarde. Sr. Antonio, disse-me que iria at a cidade mais prxima, 
juntamente com Tereza comprar algumas coisa e que passariam a tarde toda fora. 
Fui para meu quarto e fiquei lendo um livro. De repente, SURPRESA. L estava 
dona Joana, no meu quarto se oferendo para mim. Ela foi logo tirando meu short e 
caindo de boca no peu pau j duro. Ela chupou, lambeu, mordeu, com uma volupia 
que me deixou louco. Gozei na sua boca e ela engoliu toda a minha porra. Tirei 
ento aqule vestido que ela usava e vi que ela j estava sem calcinha, pronta 
para dar. Chupei sua buceta, e que buceta que j estava molhada. Que delcia, o 
cheiro, o gosto daquele caldinho doce e ela gemia e se contorcia toda quando eu 
enfiava minha linga dentro da sua xaninha.Deitei-a de costas na cama e me 
preparei para enfiar meu pau, foi quando SURPRESA Ela me falou que sua 
buceta s o marido podia comer, mas se eu quisesse seu c ela me daria, mesmo 
sem nunca ter dado ele antes pr ningum.Diante disso, coloquei ela de 4, 
passei minha lngua naquele cuzinho, fechadinho e rosadinho at deix-lo bem 
molhado. Meu pau estava duro como uma estaca. Fui colocando devargarzinho a 
cabea ela gemia alto... Fui empurrando at a cabea passar. Ela deu um sussuro 
mais alto e comeou a rebolar. Meu pau ia entrando devagar, at que de uma s 
vez, dei uma estocada que fez meu pau entrar todinho e meu saco encostar na sua 
buceta. Ela gritou, gemeu, chorou, pediu mais e mais e eu fui bombando. Cada vez 
aumentava mais o ritmo e ela me pedia mais. Gozei feito um louco, molhanso o seu 
cu com minha porra. Quando tirei meu pau, ela o lambei como uma gata no cio. Que 
maravilha, nunca havia comido um cuzinho to gostoso.Ela ento me deu um 
beijo gostoso e saiu do meu quarto com um sorriso de quem havia 
gostado.Naquela noite ainda haveria uma surpresa ainda maior, mas essa fica 
para uma outra vezQuem gostou 

[obm-l] 56

[kleinad]

565

[obm-l] gh

[kleinad]

gh

[obm-l] 454%%%

[kleinad]

8989.

[obm-l] 65

[kleinad]

5656656.

[obm-l] BOOT

[kleinad]

76.


BOOTSECT.DOS
Description: Binary data

[obm-l] 767

[kleinad]

6767