[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução

[Anderson Torres]

Disfarce o Lema da Boa Ordenacao, dado que e equivalente ao principio da
inducao.

Em sex., 5 de fev. de 2021 às 07:31, joao pedro b menezes <
joaopedrobmene...@gmail.com> escreveu:

> obs: só agora fui ver o título :) , se era necessário fazer especialmente
> por indução, por favor desconsidere a minha resposta.
>
> On Fri, Feb 5, 2021 at 7:14 AM joao pedro b menezes <
> joaopedrobmene...@gmail.com> wrote:
>
>> Suponha que d | (a^(2)^n ) + 1. Então a^2^n = -1 (mod d). Pegue um primo
>> tal que p| d, então a^2^n = -1 (mod p). Mas temos: a^2^(n+1) = 1 (mod p).
>> Logo
>>  ord(p)a | 2^(n+1), mas ord(p)a não divide 2^n, logo ord(p)a = 2^(n + 1).
>> Isso é um absurdo, pois ord(p)a < p <= d <= 2^(n + 1).
>> obs: tenho quase certeza que já perguntaram a mesma coisa nessa lista.
>> Portanto acho que vale a pena ir procurar a resposta anterior também :)
>>
>> On Thu, Feb 4, 2021 at 11:20 PM Heitor Gama Ribeiro <
>> heitor...@hotmail.com> wrote:
>>
>>> Prove por indução que se 3<= d <= 2^(n+1), então d não divide
>>> [a^(2)^(n) + 1] para todo inteiro positivo a.
>>>
>>>
>>> Sent from my iPhone
>>>
>>> =
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>>>
>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Indução

[joao pedro b menezes]

obs: só agora fui ver o título :) , se era necessário fazer especialmente
por indução, por favor desconsidere a minha resposta.

On Fri, Feb 5, 2021 at 7:14 AM joao pedro b menezes <
joaopedrobmene...@gmail.com> wrote:

> Suponha que d | (a^(2)^n ) + 1. Então a^2^n = -1 (mod d). Pegue um primo
> tal que p| d, então a^2^n = -1 (mod p). Mas temos: a^2^(n+1) = 1 (mod p).
> Logo
>  ord(p)a | 2^(n+1), mas ord(p)a não divide 2^n, logo ord(p)a = 2^(n + 1).
> Isso é um absurdo, pois ord(p)a < p <= d <= 2^(n + 1).
> obs: tenho quase certeza que já perguntaram a mesma coisa nessa lista.
> Portanto acho que vale a pena ir procurar a resposta anterior também :)
>
> On Thu, Feb 4, 2021 at 11:20 PM Heitor Gama Ribeiro 
> wrote:
>
>> Prove por indução que se 3<= d <= 2^(n+1), então d não divide
>> [a^(2)^(n) + 1] para todo inteiro positivo a.
>>
>>
>> Sent from my iPhone
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Indução

[joao pedro b menezes]

Suponha que d | (a^(2)^n ) + 1. Então a^2^n = -1 (mod d). Pegue um primo
tal que p| d, então a^2^n = -1 (mod p). Mas temos: a^2^(n+1) = 1 (mod p).
Logo
 ord(p)a | 2^(n+1), mas ord(p)a não divide 2^n, logo ord(p)a = 2^(n + 1).
Isso é um absurdo, pois ord(p)a < p <= d <= 2^(n + 1).
obs: tenho quase certeza que já perguntaram a mesma coisa nessa lista.
Portanto acho que vale a pena ir procurar a resposta anterior também :)

On Thu, Feb 4, 2021 at 11:20 PM Heitor Gama Ribeiro 
wrote:

> Prove por indução que se 3<= d <= 2^(n+1), então d não divide
> [a^(2)^(n) + 1] para todo inteiro positivo a.
>
>
> Sent from my iPhone
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

[obm-l] Indução

[Heitor Gama Ribeiro]

Prove por indução que se 3<= d <= 2^(n+1), então d não divide [a^(2)^(n) + 1] 
para todo inteiro positivo a.


Sent from my iPhone

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução forte vs fraca

[Israel Meireles Chrisostomo]

Entendi Ralph, sua explicação respondeu minhas dúvidas!
Abraço.

Em 17 de junho de 2017 11:34, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Muito obrigado gente!Vcs me ajudaram muito!
> Abraços
>
> Em 17 de junho de 2017 11:07, Ralph Teixeira  escreveu:
>
>> Sim, isso eh uma demonstracao valida por inducao finita! Na minha
>> opiniao, nem precisa formalizar muito mais -- a IDEIA da inducao como voce
>> propos eh bastante comum, entao dah para escrever direto algo como voce
>> disse, assim:
>>
>> a) Provo P(1) e P(2);
>> b) Provo que P(k-1) e P(k) implicam P(k+1) para k=2,3,4,...
>> c) Por inducao, P(n) estah demonstrado para n=1,2,3,...
>>
>> Agora, se voce realmente quiser encaixar num dos moldes formais (repito,
>> acho que nao precisa, eu nao escreveria como abaixo), voce pode pensar de
>> dois jeitos:
>>
>> i) Eh uma inducao fraca, cuja proposicao eh Q(n) = "P(n) e P(n+1)".
>>
>> De fato, para provar que vale Q(n) para todo n natural positivo, voce tem
>> que:
>> -- Mostrar Q(1) -- isto eh, mostrar P(1) e P(2);
>> -- Mostrar que, para todo k>=2, Q(k-1) implica Q(k) -- isto eh, mostrar
>> que (P(k-1) e P(k)) implica (P(k) e P(k+1))... Mas eh obvio que P(k)
>> implica P(k), entao fica faltando apenas mostrar P(k+1), que eh o que voce
>> fez.
>>
>> ii) Eh uma inducao forte, cuja proposicao eh P(n) mesmo.
>>
>> -- Mostre P(1);
>> -- No passo de inducao, voce quer mostrar que "P(1) e P(2) e ... e P(k)"
>> implica P(k+1) onde k=1,2,3, Vamos dividir em dois casos:
>>  k=1: para mostrar que P(1) implica P(2), podemos mostrar direto que
>> P(2) vale. Ok, isso mostra a implicacao!
>>  k>=2: Claramente, "P(1) e P(2) e... e P(k)" implica "P(k-1) e
>> P(k)"... Como voce mostrou que "P(k-1) e P(k)" implica P(k+1), voce
>> completou o passo de inducao! Em suma, o fato de terem "sobrado hipoteses"
>> no passo de inducao nao eh obstaculo!
>>
>> Abraco, Ralph.
>>
>> 2017-06-16 20:49 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com>:
>>
>>> Eu estava tentando provar uma coisa aqui por indução.E gostaria de saber
>>> uma coisa, fazendo o caso base de indução para k=1 e k=2, e, se como
>>> hipótese de indução eu admitir que P(k) e P(k-1) é verdadeiro e conseguir,
>>> a partir dessas duas hipóteses,  provar que P(k+1) é verdadeiro, então isso
>>> é uma prova válida?Se sim, esse seria um caso de indução forte?Ou indução
>>> forte tem que ser necessariamente  P(k) , P(k-1),...,P(1)?
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução forte vs fraca

[Israel Meireles Chrisostomo]

Muito obrigado gente!Vcs me ajudaram muito!
Abraços

Em 17 de junho de 2017 11:07, Ralph Teixeira  escreveu:

> Sim, isso eh uma demonstracao valida por inducao finita! Na minha opiniao,
> nem precisa formalizar muito mais -- a IDEIA da inducao como voce propos eh
> bastante comum, entao dah para escrever direto algo como voce disse, assim:
>
> a) Provo P(1) e P(2);
> b) Provo que P(k-1) e P(k) implicam P(k+1) para k=2,3,4,...
> c) Por inducao, P(n) estah demonstrado para n=1,2,3,...
>
> Agora, se voce realmente quiser encaixar num dos moldes formais (repito,
> acho que nao precisa, eu nao escreveria como abaixo), voce pode pensar de
> dois jeitos:
>
> i) Eh uma inducao fraca, cuja proposicao eh Q(n) = "P(n) e P(n+1)".
>
> De fato, para provar que vale Q(n) para todo n natural positivo, voce tem
> que:
> -- Mostrar Q(1) -- isto eh, mostrar P(1) e P(2);
> -- Mostrar que, para todo k>=2, Q(k-1) implica Q(k) -- isto eh, mostrar
> que (P(k-1) e P(k)) implica (P(k) e P(k+1))... Mas eh obvio que P(k)
> implica P(k), entao fica faltando apenas mostrar P(k+1), que eh o que voce
> fez.
>
> ii) Eh uma inducao forte, cuja proposicao eh P(n) mesmo.
>
> -- Mostre P(1);
> -- No passo de inducao, voce quer mostrar que "P(1) e P(2) e ... e P(k)"
> implica P(k+1) onde k=1,2,3, Vamos dividir em dois casos:
>  k=1: para mostrar que P(1) implica P(2), podemos mostrar direto que
> P(2) vale. Ok, isso mostra a implicacao!
>  k>=2: Claramente, "P(1) e P(2) e... e P(k)" implica "P(k-1) e
> P(k)"... Como voce mostrou que "P(k-1) e P(k)" implica P(k+1), voce
> completou o passo de inducao! Em suma, o fato de terem "sobrado hipoteses"
> no passo de inducao nao eh obstaculo!
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2017-06-16 20:49 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com>:
>
>> Eu estava tentando provar uma coisa aqui por indução.E gostaria de saber
>> uma coisa, fazendo o caso base de indução para k=1 e k=2, e, se como
>> hipótese de indução eu admitir que P(k) e P(k-1) é verdadeiro e conseguir,
>> a partir dessas duas hipóteses,  provar que P(k+1) é verdadeiro, então isso
>> é uma prova válida?Se sim, esse seria um caso de indução forte?Ou indução
>> forte tem que ser necessariamente  P(k) , P(k-1),...,P(1)?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Indução forte vs fraca

[Ralph Teixeira]

Sim, isso eh uma demonstracao valida por inducao finita! Na minha opiniao,
nem precisa formalizar muito mais -- a IDEIA da inducao como voce propos eh
bastante comum, entao dah para escrever direto algo como voce disse, assim:

a) Provo P(1) e P(2);
b) Provo que P(k-1) e P(k) implicam P(k+1) para k=2,3,4,...
c) Por inducao, P(n) estah demonstrado para n=1,2,3,...

Agora, se voce realmente quiser encaixar num dos moldes formais (repito,
acho que nao precisa, eu nao escreveria como abaixo), voce pode pensar de
dois jeitos:

i) Eh uma inducao fraca, cuja proposicao eh Q(n) = "P(n) e P(n+1)".

De fato, para provar que vale Q(n) para todo n natural positivo, voce tem
que:
-- Mostrar Q(1) -- isto eh, mostrar P(1) e P(2);
-- Mostrar que, para todo k>=2, Q(k-1) implica Q(k) -- isto eh, mostrar que
(P(k-1) e P(k)) implica (P(k) e P(k+1))... Mas eh obvio que P(k) implica
P(k), entao fica faltando apenas mostrar P(k+1), que eh o que voce fez.

ii) Eh uma inducao forte, cuja proposicao eh P(n) mesmo.

-- Mostre P(1);
-- No passo de inducao, voce quer mostrar que "P(1) e P(2) e ... e P(k)"
implica P(k+1) onde k=1,2,3, Vamos dividir em dois casos:
 k=1: para mostrar que P(1) implica P(2), podemos mostrar direto que
P(2) vale. Ok, isso mostra a implicacao!
 k>=2: Claramente, "P(1) e P(2) e... e P(k)" implica "P(k-1) e P(k)"...
Como voce mostrou que "P(k-1) e P(k)" implica P(k+1), voce completou o
passo de inducao! Em suma, o fato de terem "sobrado hipoteses" no passo de
inducao nao eh obstaculo!

Abraco, Ralph.

2017-06-16 20:49 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com>:

> Eu estava tentando provar uma coisa aqui por indução.E gostaria de saber
> uma coisa, fazendo o caso base de indução para k=1 e k=2, e, se como
> hipótese de indução eu admitir que P(k) e P(k-1) é verdadeiro e conseguir,
> a partir dessas duas hipóteses,  provar que P(k+1) é verdadeiro, então isso
> é uma prova válida?Se sim, esse seria um caso de indução forte?Ou indução
> forte tem que ser necessariamente  P(k) , P(k-1),...,P(1)?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Indução forte vs fraca

[Guilherme Bernardo]

Cara, é que ficou meio estranho pelo o que eu entendi. Se você prova de
P(k+1) em diante, tendo como hipótese P(k-1) e P(k), ok, você fez uma
indução forte e provou que vale de P(k-1) em diante, só que P(k-2), P(k-3),
etc, não está provado. É como se você tivesse começado pelo meio e não pelo
começo. Mas respondendo sua pergunta, sim, seria indução forte porque sua
hipótese foi que vários P's são verdadeiros, e não apenas 1.

Em 16 de junho de 2017 20:49, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Eu estava tentando provar uma coisa aqui por indução.E gostaria de saber
> uma coisa, fazendo o caso base de indução para k=1 e k=2, e, se como
> hipótese de indução eu admitir que P(k) e P(k-1) é verdadeiro e conseguir,
> a partir dessas duas hipóteses,  provar que P(k+1) é verdadeiro, então isso
> é uma prova válida?Se sim, esse seria um caso de indução forte?Ou indução
> forte tem que ser necessariamente  P(k) , P(k-1),...,P(1)?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Indução forte vs fraca

[Israel Meireles Chrisostomo]

Eu estava tentando provar uma coisa aqui por indução.E gostaria de saber
uma coisa, fazendo o caso base de indução para k=1 e k=2, e, se como
hipótese de indução eu admitir que P(k) e P(k-1) é verdadeiro e conseguir,
a partir dessas duas hipóteses,  provar que P(k+1) é verdadeiro, então isso
é uma prova válida?Se sim, esse seria um caso de indução forte?Ou indução
forte tem que ser necessariamente  P(k) , P(k-1),...,P(1)?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução dúvida

[Israel Meireles Chrisostomo]

Eu estava pesquisando e encontrei algo sobre o condicional, o que eu estou
tentando provar é o condicional P(n)->P(n+1) mas a negação do condicional
P->Q é P^~Q, em outras palavras ~(P->Q)= P^~Q,  no nosso caso teríamos
~(P(n)->P(n+1))=P(n)^~P(n+1), o que eu provei é que P(n) e ~P(n+1) implicam
que P(n+1), ou seja P(n)^~P(n+1)->P(n+1) , uma contradição, logo a negação
do condicional é falsa, pois não pode ocorrer P(n+1) e ~P(n+1) ao mesmo
tempo, sendo assim, se a negação de uma sentença é falsa, então essa
sentença é verdadeira.

Em 19 de janeiro de 2016 17:08, Rogerio Ponce  escreveu:

> Ola' pessoal,
> me parece que a forma de pensar do Israel esta' perfeita.
>
> A duvida dele se refere ao salto "se P(n) e' verdadeira" entao "P(n+1) e'
> verdadeira".
> Pois ele supos que se P(n) vale, entao, se P(n+1) fosse falsa, e ele
> obtivesse a contradicao de que P(n+1) e' verdadeira, entao o salto estaria
> provado.
> E isto esta' correto.
>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
> 2016-01-18 23:30 GMT-02:00 Ralph Teixeira :
>
>> Oi, Israel.
>>
>> Realmente muita gente faz essa confusao. Voce quer provar que
>>
>> "Para todo n natural, P(n) eh VERDADEIRA."
>>
>> O metodo de inducao, em sua versao mais simples, diz que basta mostrar
>> duas coisas:
>>
>> i) P(1) eh VERDADEIRA
>> ii) Para todo k natural,  (P(k)->P(k+1)).
>>
>> Note com cuidado onde estao os parenteses no item (ii): ele nao pede para
>> provar que "[Para todo n natural, P(n) eh VERDADEIRA] -> [Para todo n
>> natural, P(n+1) eh VERDADEIRA]", o que realmente seria obvio! Voce supoe
>> que P(k) eh verdadeira para um k ESPECIFICO (mas arbitrario, deixe faca o
>> raciocinio usando a variavel "k", nao troque por um numero) e quer mostrar
>> que, se P(k) for verdadeira para ESTE k especifico, entao ela eh verdadeira
>> para o proximo numero especifico, que seria k+1.
>>
>> Eh ateh por isto que eu prefiro escrever o (ii) com uma letra k ao inves
>> de n, para nao dar confusao.
>>
>> Abraco, Ralph.
>>
>> P.S.: Se voce preferir, pode pensar assim: voce tem que provar que
>> i) P(1) vale
>> ii) P(1) -> P(2)
>> iii) P(2) -> P(3)
>> iv) P(3) -> P(4)
>> e "assim por diante". Agora, gracas ao poder das variaveis, voce pode
>> provar todas as linhas a partir de (ii) numa tacada soh, provando que
>> ii,iii,iv,...) P(k) -> P(k+1)
>> onde k eh um numero arbitrario (bom, do conjunto {1,2,3,4,...}).
>>
>> 2016-01-18 15:30 GMT-02:00 Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com>:
>>
>>> Em uma prova por indução, eu devo provar que P(n) implica P(n+1).Eu
>>> posso fazer isso da seguinte forma: suponha que P(n) é verdadeira, e
>>> suponha que P(n+1) é falsa, mas ao supor que P(n) é verdadeira e P(n+1) é
>>> falsa isto implica que P(n+1) é verdadeira(contradição, pois supomos que
>>> P(n+1) é falsa e no entanto é verdadeira, uma proposição não pode ser falsa
>>> e verdadeira ao mesmo tempo)-tendo em vista que já provei o caso base, isto
>>> pode ser considerado uma prova?Isto me pareceu correto, mas não sei se está
>>> correto.Eu bem sei que posso provar a contra positiva, que é o caso
>>> "inverso" ao que eu estou falando.Mas esse caso também é uma prova?
>>>
>>
>>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução dúvida

[Rogerio Ponce]

Ola' pessoal,
me parece que a forma de pensar do Israel esta' perfeita.

A duvida dele se refere ao salto "se P(n) e' verdadeira" entao "P(n+1) e'
verdadeira".
Pois ele supos que se P(n) vale, entao, se P(n+1) fosse falsa, e ele
obtivesse a contradicao de que P(n+1) e' verdadeira, entao o salto estaria
provado.
E isto esta' correto.

[]'s
Rogerio Ponce


2016-01-18 23:30 GMT-02:00 Ralph Teixeira :

> Oi, Israel.
>
> Realmente muita gente faz essa confusao. Voce quer provar que
>
> "Para todo n natural, P(n) eh VERDADEIRA."
>
> O metodo de inducao, em sua versao mais simples, diz que basta mostrar
> duas coisas:
>
> i) P(1) eh VERDADEIRA
> ii) Para todo k natural,  (P(k)->P(k+1)).
>
> Note com cuidado onde estao os parenteses no item (ii): ele nao pede para
> provar que "[Para todo n natural, P(n) eh VERDADEIRA] -> [Para todo n
> natural, P(n+1) eh VERDADEIRA]", o que realmente seria obvio! Voce supoe
> que P(k) eh verdadeira para um k ESPECIFICO (mas arbitrario, deixe faca o
> raciocinio usando a variavel "k", nao troque por um numero) e quer mostrar
> que, se P(k) for verdadeira para ESTE k especifico, entao ela eh verdadeira
> para o proximo numero especifico, que seria k+1.
>
> Eh ateh por isto que eu prefiro escrever o (ii) com uma letra k ao inves
> de n, para nao dar confusao.
>
> Abraco, Ralph.
>
> P.S.: Se voce preferir, pode pensar assim: voce tem que provar que
> i) P(1) vale
> ii) P(1) -> P(2)
> iii) P(2) -> P(3)
> iv) P(3) -> P(4)
> e "assim por diante". Agora, gracas ao poder das variaveis, voce pode
> provar todas as linhas a partir de (ii) numa tacada soh, provando que
> ii,iii,iv,...) P(k) -> P(k+1)
> onde k eh um numero arbitrario (bom, do conjunto {1,2,3,4,...}).
>
> 2016-01-18 15:30 GMT-02:00 Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com>:
>
>> Em uma prova por indução, eu devo provar que P(n) implica P(n+1).Eu posso
>> fazer isso da seguinte forma: suponha que P(n) é verdadeira, e suponha que
>> P(n+1) é falsa, mas ao supor que P(n) é verdadeira e P(n+1) é falsa isto
>> implica que P(n+1) é verdadeira(contradição, pois supomos que P(n+1) é
>> falsa e no entanto é verdadeira, uma proposição não pode ser falsa e
>> verdadeira ao mesmo tempo)-tendo em vista que já provei o caso base, isto
>> pode ser considerado uma prova?Isto me pareceu correto, mas não sei se está
>> correto.Eu bem sei que posso provar a contra positiva, que é o caso
>> "inverso" ao que eu estou falando.Mas esse caso também é uma prova?
>>
>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução dúvida

[Israel Meireles Chrisostomo]

Eu estava pesquisando e encontrei algo sobre o condicional, o que eu estou
tentando provar é o condicional P(n)->P(n+1) mas a negação do condicional
P->Q é P^~Q, em outras palavras ~(P->Q)= P^~Q,  no nosso caso teríamos
~(P(n)->P(n+1))=P(n)^~P(n+1), o que eu provei é que P(n) e ~P(n+1) implicam
que P(n+1), ou seja P(n)^~P(n+1)->P(n+1) , uma contradição, pois não pode
ocorrer P(n+1) e ~P(n+1) ao mesmo tempo, logo a negação do condicional é
falsa, sendo assim, se a negação de uma sentença é falsa, então essa
sentença é verdadeira.

Em 19 de janeiro de 2016 17:44, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Eu estava pesquisando e encontrei algo sobre o condicional, o que eu estou
> tentando provar é o condicional P(n)->P(n+1) mas a negação do condicional
> P->Q é P^~Q, em outras palavras ~(P->Q)= P^~Q,  no nosso caso teríamos
> ~(P(n)->P(n+1))=P(n)^~P(n+1), o que eu provei é que P(n) e ~P(n+1)
> implicam que P(n+1), ou seja P(n)^~P(n+1)->P(n+1) , uma contradição, logo a
> negação do condicional é falsa, pois não pode ocorrer P(n+1) e ~P(n+1) ao
> mesmo tempo, sendo assim, se a negação de uma sentença é falsa, então essa
> sentença é verdadeira.
>
> Em 19 de janeiro de 2016 17:08, Rogerio Ponce 
> escreveu:
>
>> Ola' pessoal,
>> me parece que a forma de pensar do Israel esta' perfeita.
>>
>> A duvida dele se refere ao salto "se P(n) e' verdadeira" entao "P(n+1) e'
>> verdadeira".
>> Pois ele supos que se P(n) vale, entao, se P(n+1) fosse falsa, e ele
>> obtivesse a contradicao de que P(n+1) e' verdadeira, entao o salto estaria
>> provado.
>> E isto esta' correto.
>>
>> []'s
>> Rogerio Ponce
>>
>>
>> 2016-01-18 23:30 GMT-02:00 Ralph Teixeira :
>>
>>> Oi, Israel.
>>>
>>> Realmente muita gente faz essa confusao. Voce quer provar que
>>>
>>> "Para todo n natural, P(n) eh VERDADEIRA."
>>>
>>> O metodo de inducao, em sua versao mais simples, diz que basta mostrar
>>> duas coisas:
>>>
>>> i) P(1) eh VERDADEIRA
>>> ii) Para todo k natural,  (P(k)->P(k+1)).
>>>
>>> Note com cuidado onde estao os parenteses no item (ii): ele nao pede
>>> para provar que "[Para todo n natural, P(n) eh VERDADEIRA] -> [Para todo n
>>> natural, P(n+1) eh VERDADEIRA]", o que realmente seria obvio! Voce supoe
>>> que P(k) eh verdadeira para um k ESPECIFICO (mas arbitrario, deixe faca o
>>> raciocinio usando a variavel "k", nao troque por um numero) e quer mostrar
>>> que, se P(k) for verdadeira para ESTE k especifico, entao ela eh verdadeira
>>> para o proximo numero especifico, que seria k+1.
>>>
>>> Eh ateh por isto que eu prefiro escrever o (ii) com uma letra k ao inves
>>> de n, para nao dar confusao.
>>>
>>> Abraco, Ralph.
>>>
>>> P.S.: Se voce preferir, pode pensar assim: voce tem que provar que
>>> i) P(1) vale
>>> ii) P(1) -> P(2)
>>> iii) P(2) -> P(3)
>>> iv) P(3) -> P(4)
>>> e "assim por diante". Agora, gracas ao poder das variaveis, voce pode
>>> provar todas as linhas a partir de (ii) numa tacada soh, provando que
>>> ii,iii,iv,...) P(k) -> P(k+1)
>>> onde k eh um numero arbitrario (bom, do conjunto {1,2,3,4,...}).
>>>
>>> 2016-01-18 15:30 GMT-02:00 Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com>:
>>>
 Em uma prova por indução, eu devo provar que P(n) implica P(n+1).Eu
 posso fazer isso da seguinte forma: suponha que P(n) é verdadeira, e
 suponha que P(n+1) é falsa, mas ao supor que P(n) é verdadeira e P(n+1) é
 falsa isto implica que P(n+1) é verdadeira(contradição, pois supomos que
 P(n+1) é falsa e no entanto é verdadeira, uma proposição não pode ser falsa
 e verdadeira ao mesmo tempo)-tendo em vista que já provei o caso base, isto
 pode ser considerado uma prova?Isto me pareceu correto, mas não sei se está
 correto.Eu bem sei que posso provar a contra positiva, que é o caso
 "inverso" ao que eu estou falando.Mas esse caso também é uma prova?

>>>
>>>
>>
>

[obm-l] Indução dúvida

[Israel Meireles Chrisostomo]

Em uma prova por indução, eu devo provar que P(n) implica P(n+1).Eu posso
fazer isso da seguinte forma: suponha que P(n) é verdadeira, e suponha que
P(n+1) é falsa, mas ao supor que P(n) é verdadeira e P(n+1) é falsa isto
implica que P(n+1) é verdadeira(contradição, pois supomos que P(n+1) é
falsa e no entanto é verdadeira, uma proposição não pode ser falsa e
verdadeira ao mesmo tempo)-tendo em vista que já provei o caso base, isto
pode ser considerado uma prova?Isto me pareceu correto, mas não sei se está
correto.Eu bem sei que posso provar a contra positiva, que é o caso
"inverso" ao que eu estou falando.Mas esse caso também é uma prova?

[obm-l] Re: [obm-l] Indução dúvida

[Ralph Teixeira]

Oi, Israel.

Realmente muita gente faz essa confusao. Voce quer provar que

"Para todo n natural, P(n) eh VERDADEIRA."

O metodo de inducao, em sua versao mais simples, diz que basta mostrar duas
coisas:

i) P(1) eh VERDADEIRA
ii) Para todo k natural,  (P(k)->P(k+1)).

Note com cuidado onde estao os parenteses no item (ii): ele nao pede para
provar que "[Para todo n natural, P(n) eh VERDADEIRA] -> [Para todo n
natural, P(n+1) eh VERDADEIRA]", o que realmente seria obvio! Voce supoe
que P(k) eh verdadeira para um k ESPECIFICO (mas arbitrario, deixe faca o
raciocinio usando a variavel "k", nao troque por um numero) e quer mostrar
que, se P(k) for verdadeira para ESTE k especifico, entao ela eh verdadeira
para o proximo numero especifico, que seria k+1.

Eh ateh por isto que eu prefiro escrever o (ii) com uma letra k ao inves de
n, para nao dar confusao.

Abraco, Ralph.

P.S.: Se voce preferir, pode pensar assim: voce tem que provar que
i) P(1) vale
ii) P(1) -> P(2)
iii) P(2) -> P(3)
iv) P(3) -> P(4)
e "assim por diante". Agora, gracas ao poder das variaveis, voce pode
provar todas as linhas a partir de (ii) numa tacada soh, provando que
ii,iii,iv,...) P(k) -> P(k+1)
onde k eh um numero arbitrario (bom, do conjunto {1,2,3,4,...}).

2016-01-18 15:30 GMT-02:00 Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com>:

> Em uma prova por indução, eu devo provar que P(n) implica P(n+1).Eu posso
> fazer isso da seguinte forma: suponha que P(n) é verdadeira, e suponha que
> P(n+1) é falsa, mas ao supor que P(n) é verdadeira e P(n+1) é falsa isto
> implica que P(n+1) é verdadeira(contradição, pois supomos que P(n+1) é
> falsa e no entanto é verdadeira, uma proposição não pode ser falsa e
> verdadeira ao mesmo tempo)-tendo em vista que já provei o caso base, isto
> pode ser considerado uma prova?Isto me pareceu correto, mas não sei se está
> correto.Eu bem sei que posso provar a contra positiva, que é o caso
> "inverso" ao que eu estou falando.Mas esse caso também é uma prova?
>

Re: [obm-l] indução

[rigillesbmenezes]

Qual a necessidade de escrever n^1 ao invés de n? É algo da questão mesmo?

Enviado do meu iPhone

 Em 28/06/2015, às 11:17, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:
 
 Prove por indução que n^1/n  = 3^1/3, para n  = 2. Mostre que um dos números
 n^1/m ou m^1/n é maior que ou igual a 3, m e  naturais
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] indução

[Carlos Victor]

Oi Marcone, irei resumir .

Inicialmente a prova de que  n^33^n ou igual. Por indução:

3^(n+1) = 3.3^n  ou igual  que 3.n^3 = n^3+3n^2+3n + (n-3).n^2 + (n^2-3).n
 n^3+3n^2+3n+1 = (n+1)^3.

Suponha agora  que mn , então  m^(1/n) n^(1/n)  ou igual a 3^(1/3), ok ?

PS:
Esta questão foi da AMM, 1970,p 768, problem E2190, proposed by Harry
Pollard, Purdue University , solved by Charles Wexler, Arizona State
University, and 118 others.

Abraços

Carlos  Victor

Em 28 de junho de 2015 11:31, rigillesbmene...@gmail.com escreveu:

 Qual a necessidade de escrever n^1 ao invés de n? É algo da questão
 mesmo?

 Enviado do meu iPhone

 Em 28/06/2015, às 11:17, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Prove por indução que n^1/n  = 3^1/3, para n  = 2. Mostre que um dos
 números
 n^1/m ou m^1/n é maior que ou igual a 3, m e  naturais

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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[obm-l] Re: [obm-l] indução

[Carlos Victor]

Observar que o enunciado é 3^(1/3), ok ?

Em 28 de junho de 2015 12:03, Carlos Victor victorcar...@globo.com
escreveu:

 Oi Marcone, irei resumir .

 Inicialmente a prova de que  n^33^n ou igual. Por indução:

 3^(n+1) = 3.3^n  ou igual  que 3.n^3 = n^3+3n^2+3n + (n-3).n^2 +
 (n^2-3).n  n^3+3n^2+3n+1 = (n+1)^3.

 Suponha agora  que mn , então  m^(1/n) n^(1/n)  ou igual a 3^(1/3), ok ?

 PS:
 Esta questão foi da AMM, 1970,p 768, problem E2190, proposed by Harry
 Pollard, Purdue University , solved by Charles Wexler, Arizona State
 University, and 118 others.

 Abraços

 Carlos  Victor

 Em 28 de junho de 2015 11:31, rigillesbmene...@gmail.com escreveu:

 Qual a necessidade de escrever n^1 ao invés de n? É algo da questão
 mesmo?

 Enviado do meu iPhone

 Em 28/06/2015, às 11:17, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Prove por indução que n^1/n  = 3^1/3, para n  = 2. Mostre que um dos
 números
 n^1/m ou m^1/n é maior que ou igual a 3, m e  naturais

 --
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[obm-l] indução

[marcone augusto araújo borges]

Prove por indução que n^1/n  = 3^1/3, para n  = 2. Mostre que um dos números
n^1/m ou m^1/n é maior que ou igual a 3, m e  naturais
  
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Indução

[marcone augusto araújo borges]

Em um país longinquo, a moeda local é o cruzeiro.Neste país um banco tem uma 
quantidade ilimitadade cédulas de 3 e 5 crzeiros.Prove, por indução, que o 
banco pode pagar uma quantidade qualquer(inteira)de cruzeiros, maior que 7

  
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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[obm-l] Re: [obm-l] Indução

[Ralph Teixeira]

Seja P(n): o banco pode pagar a quantia de n reais.

Então:
P(8) é verdadeira: 8=3+5
P(9) é verdadeira: 9=3+3+3
P(10) é verdadeira: 10=5+5

Agora, se P(k) é verdadeira, então P(k+3) também é.
De fato, basta pagar k reais da maneira que é possível, e adicionar uma
nota de $3.

Por indução, P(n) vale para todo n=8.

---///---

Essa foi uma indução de passo 3. Se você quiser converter isso numa
indução de passo 1, use:
Q(n): o banco pode pagar n, n+1 e n+2 reais.

Então:
i) Q(8) é verdadeira (vide P(8), P(9) e P(10) acima).
ii) Se Q(k) é verdadeira, Q(k+1) também é.
(Pois se pode pagar k, k+1 e k+2, então obviamente pode pagar k+1 e k+2.
Para pagar k+3, pague k e ponha uma nota de 3.)

Por indução, Q(n) é verdadeira para todo n=8.

Abraço,
Ralph

2014-11-15 9:19 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com:

 Em um país longinquo, a moeda local é o cruzeiro.Neste país um banco tem
 uma quantidade ilimitada
 de cédulas de 3 e 5 crzeiros.Prove, por indução, que o banco pode pagar
 uma quantidade qualquer(inteira)
 de cruzeiros, maior que 7


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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução

[Esdras Muniz]

Um problema legal relacionado com este é o seguinte:
Calcule a cardinalidade do conjunto C={ax-by | x,y ∈N}∩N onde N={1, 2, 3,
...} Onde a e b são naturais dados.

Resposta: (a-1)(b-1)/2.

Em 17 de novembro de 2014 08:35, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
escreveu:

 Seja P(n): o banco pode pagar a quantia de n reais.

 Então:
 P(8) é verdadeira: 8=3+5
 P(9) é verdadeira: 9=3+3+3
 P(10) é verdadeira: 10=5+5

 Agora, se P(k) é verdadeira, então P(k+3) também é.
 De fato, basta pagar k reais da maneira que é possível, e adicionar uma
 nota de $3.

 Por indução, P(n) vale para todo n=8.

 ---///---

 Essa foi uma indução de passo 3. Se você quiser converter isso numa
 indução de passo 1, use:
 Q(n): o banco pode pagar n, n+1 e n+2 reais.

 Então:
 i) Q(8) é verdadeira (vide P(8), P(9) e P(10) acima).
 ii) Se Q(k) é verdadeira, Q(k+1) também é.
 (Pois se pode pagar k, k+1 e k+2, então obviamente pode pagar k+1 e k+2.
 Para pagar k+3, pague k e ponha uma nota de 3.)

 Por indução, Q(n) é verdadeira para todo n=8.

 Abraço,
 Ralph

 2014-11-15 9:19 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com:

 Em um país longinquo, a moeda local é o cruzeiro.Neste país um banco tem
 uma quantidade ilimitada
 de cédulas de 3 e 5 crzeiros.Prove, por indução, que o banco pode pagar
 uma quantidade qualquer(inteira)
 de cruzeiros, maior que 7


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Esdras Muniz Mota
Graduando em Matemática Bacharelado
Universidade Federal do Ceará

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[obm-l] Re: [obm-l] Indução logarítmica

[Douglas Oliveira de Lima]

Entao Joao, fiz f(x)=x^(1/2)-ln(x), e mostrei por calculo que ela e sempre
positiva para todo x0.
Agora nao sei se voce quer fazer por calculo, não pensei em outro modo
ainda.
Abracos.


Em 16 de maio de 2014 01:05, João Maldonado
joao_maldona...@hotmail.comescreveu:

 Fala galera, tudo bom?

 Tava precisando provar que x^(1/2)  ln(x) para qualquer real = 1
 Tem algum jeito fácil de fazer isso? Tava tentando fazer por indução mas
 não saiu.

 []'s
 João
  https://snt145.mail.live.com/ol/#

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução logarítmica

[Pedro José]

Boa tarde.

y(x) = x^(1/2) - ln(x)
y ' (x) = 1/2 * x^-1/2 - 1/x
y ' (x)  0 , x Ɛ [1,4)
y' (x) = 0, x=4
y' (x)  0 , x 4

Entâo temos um mínimo absoluto em x = 4 no intervalo [1, *∞) *Como y(4)  0
(2  ln(4)) == y(x)  0 Para todo x  Ɛ [1,*∞)* == x^(1/2)  ln(x) Para
todo x  Ɛ [1,

*∞).*
Saudações
PJMS



Em 16 de maio de 2014 09:23, Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Entao Joao, fiz f(x)=x^(1/2)-ln(x), e mostrei por calculo que ela e sempre
 positiva para todo x0.
 Agora nao sei se voce quer fazer por calculo, não pensei em outro modo
 ainda.
 Abracos.


 Em 16 de maio de 2014 01:05, João Maldonado 
 joao_maldona...@hotmail.comescreveu:

  Fala galera, tudo bom?

 Tava precisando provar que x^(1/2)  ln(x) para qualquer real = 1
 Tem algum jeito fácil de fazer isso? Tava tentando fazer por indução mas
 não saiu.

 []'s
 João
  https://snt145.mail.live.com/ol/#

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Indução logarítmica

[João Maldonado]

Fala galera, tudo bom?

Tava precisando provar que x^(1/2)  ln(x) para qualquer real = 1
Tem algum jeito fácil de fazer isso? Tava tentando fazer por indução mas não 
saiu.  

[]'s
João

  
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Indução

[marcone augusto araújo borges]

Mostre por indução que 1  = raiz n-ésima de n  = raiz cúbica de n para todo n 
natural
Agradeço desde já.

[obm-l] indução(corrigindo)

[marcone augusto araújo borges]

Não é raiz cúbica de n,é raiz cúbica de 3   
  

[obm-l] Re: [obm-l] indução

[Alex pereira Bezerra]

[image:
\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+1}}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ccdots%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B2n%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B1%7D%7D.

Prova-se usando indução. É claro que a desigualdade é válida para n=1.
Supondo válida para n maior ou igual a 1, devemos mostrar que também vale
para (n+1), ou seja, mostrar que:

[image:
\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+4}}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ccdots%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B2n%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B4%7D%7D.

Mas, por hipótese

[image:
\displaystyle\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n}\right)
\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ccdots%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B2n%7D%5Cright%29%20%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B1%7D%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D.

Mostremos então que

[image:
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+4}}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B1%7D%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B4%7D%7D.

Como se tratam de números positivos, provar esta desigualdade é equivalente
a provar a desigualdade para seus quadrados pois

[image: 0 x,\,y\,\,\, ent\~ao\,\,\, x\leq y \,\,\Leftrightarrow\,\,
x^2\leq 
y^2.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=0%3C%20x%2C%5C%2Cy%5C%2C%5C%2C%5C%2C%20ent%5C%7Eao%5C%2C%5C%2C%5C%2C%20x%5Cleq%20y%20%5C%2C%5C%2C%5CLeftrightarrow%5C%2C%5C%2C%20x%5E2%5Cleq%20y%5E2.

Temos

[image: 
(3n+1)(2n+2)^2=12n^3+28n^2+20n+4=(3n+4)(2n+1)^2+n]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%283n%2B1%29%282n%2B2%29%5E2%3D12n%5E3%2B28n%5E2%2B20n%2B4%3D%283n%2B4%29%282n%2B1%29%5E2%2Bn

[image: 
\geq(3n+4)(2n+1)^2.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cgeq%283n%2B4%29%282n%2B1%29%5E2.

Logo,

[image:
\displaystyle\frac{1}{(3n+1)}\cdot\frac{(2n+1)^2}{(2n+2)^2}\leq\frac{1}{(3n+4)}]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B%283n%2B1%29%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B%282n%2B1%29%5E2%7D%7B%282n%2B2%29%5E2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%283n%2B4%29%7D

o que mostra que a desigualdade também vale para (n+1). Pelo Princípio de
Indução segue que vale para todo número natural.


Em 6 de abril de 2012 09:33, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

  Alguem poderia me ajudar nessa questão?

 Provar por indução que 1/2*3/4*5/6...*(2n-1)/2n  = 1/raiz(3n+1),para todo
 n natural.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] indução

[Pedro Júnior]

Isso mostra a questão colocada pelo Maldonado...

Em 7 de abril de 2012 11:32, Alex pereira Bezerra 
alexmatematica1...@gmail.com escreveu:

 [image:
 \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+1}}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ccdots%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B2n%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B1%7D%7D.

 Prova-se usando indução. É claro que a desigualdade é válida para n=1.
 Supondo válida para n maior ou igual a 1, devemos mostrar que também vale
 para (n+1), ou seja, mostrar que:

 [image:
 \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+4}}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ccdots%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B2n%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B4%7D%7D.

 Mas, por hipótese

 [image:
 \displaystyle\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n}\right)
 \cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ccdots%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B2n%7D%5Cright%29%20%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B1%7D%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D.

 Mostremos então que

 [image:
 \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+4}}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B1%7D%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B4%7D%7D.

 Como se tratam de números positivos, provar esta desigualdade é
 equivalente a provar a desigualdade para seus quadrados pois

 [image: 0 x,\,y\,\,\, ent\~ao\,\,\, x\leq y \,\,\Leftrightarrow\,\,
 x^2\leq 
 y^2.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=0%3C%20x%2C%5C%2Cy%5C%2C%5C%2C%5C%2C%20ent%5C%7Eao%5C%2C%5C%2C%5C%2C%20x%5Cleq%20y%20%5C%2C%5C%2C%5CLeftrightarrow%5C%2C%5C%2C%20x%5E2%5Cleq%20y%5E2.

 Temos

 [image: 
 (3n+1)(2n+2)^2=12n^3+28n^2+20n+4=(3n+4)(2n+1)^2+n]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%283n%2B1%29%282n%2B2%29%5E2%3D12n%5E3%2B28n%5E2%2B20n%2B4%3D%283n%2B4%29%282n%2B1%29%5E2%2Bn

 [image: 
 \geq(3n+4)(2n+1)^2.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cgeq%283n%2B4%29%282n%2B1%29%5E2.

 Logo,

 [image:
 \displaystyle\frac{1}{(3n+1)}\cdot\frac{(2n+1)^2}{(2n+2)^2}\leq\frac{1}{(3n+4)}]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B%283n%2B1%29%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B%282n%2B1%29%5E2%7D%7B%282n%2B2%29%5E2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%283n%2B4%29%7D

 o que mostra que a desigualdade também vale para (n+1). Pelo Princípio de
 Indução segue que vale para todo número natural.


 Em 6 de abril de 2012 09:33, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

  Alguem poderia me ajudar nessa questão?

 Provar por indução que 1/2*3/4*5/6...*(2n-1)/2n  = 1/raiz(3n+1),para
 todo n natural.





-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] indução

[marcone augusto araújo borges]

Muito obrigado,Alex.
 



Date: Sat, 7 Apr 2012 11:32:45 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] indução
From: alexmatematica1...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br



Prova-se usando indução. É claro que a desigualdade é válida para n=1. Supondo 
válida para n maior ou igual a 1, devemos mostrar que também vale para (n+1), 
ou seja, mostrar que:

Mas, por hipótese

Mostremos então que

Como se tratam de números positivos, provar esta desigualdade é equivalente a 
provar a desigualdade para seus quadrados pois

Temos


Logo,

o que mostra que a desigualdade também vale para (n+1). Pelo Princípio de 
Indução segue que vale para todo número natural.


Em 6 de abril de 2012 09:33, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:



Alguem poderia me ajudar nessa questão?
 
Provar por indução que 1/2*3/4*5/6...*(2n-1)/2n  = 1/raiz(3n+1),para todo n 
natural.

  

[obm-l] indução

[marcone augusto araújo borges]

Alguem poderia me ajudar nessa questão?
 
Provar por indução que 1/2*3/4*5/6...*(2n-1)/2n  = 1/raiz(3n+1),para todo n 
natural. 

[obm-l] indução finita

[Eder Albuquerque]

Pessoal,
Depois de passar muito tempo meditando sobre o exercício abaixo (consta num 
artigo do Elon Lages Lima publicado na Eureka), resolvi enviar para a lista. Se 
alguém puder resolver, fico muito agradecido... Eis a questão:
Para todo n em N, ponha x_n = { (n+1)^2 / [n(n+2)] }^n e prove por indução que 
se tem x_n  (n+2)/(n+1). Conclua que a seqüência de termo geral x_n 
=[(n+1)/n]^n é crescente.
Sugestão: x_(n+1)=[(n+2)/(n+1)]^3.[n/(n+3)].x_n.   (será que está certo 
isso???).
Obrigado,
Eder


  

[obm-l] RE: [obm-l] indução finita

[Luís Lopes]

Sauda¸c~oes, oi Eder, 

Embora não usando a sugestão do Elon, nos  exercícios 11 e 56 do 
Manual de Indução (ver www.escolademestres.com) demonstro 
tal resultado. 

E acredito que no  exercício 12 você encontre elementos para fazer a 
demonstração como sugerido. 

Abraços, 
Luis 



Date: Sun, 9 Jan 2011 05:56:07 -0800
From: eder_it...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] indução finita
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Pessoal,
Depois de passar muito tempo meditando sobre o exercício abaixo (consta num 
artigo do Elon Lages Lima publicado na Eureka), resolvi enviar para a lista. Se 
alguém puder resolver, fico muito agradecido... Eis a questão:
Para todo n em N, ponha x_n = { (n+1)^2 / [n(n+2)] }^n e prove por indução que 
se tem x_n  (n+2)/(n+1). Conclua que a seqüência de termo geral x_n 
=[(n+1)/n]^n é crescente.
Sugestão: x_(n+1)=[(n+2)/(n+1)]^3.[n/(n+3)].x_n.   (será que está certo 
isso???).
Obrigado,
Eder
  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Indução?

[charles]

Quem falou que o x é real?

Em 15 de dezembro de 2010 15:32, Vitor Alves vitor__r...@hotmail.comescreveu:

  Obviamente x não é zero,logo x^2 - 2xcos(a)+1=0,temos então uma equação do
 segundo grau,vamos estudar os valores de cos(a) para que a equação tenha
 solução real,temos que d(discriminante)=4(cosa)^2-4=4(cosa()^2-1),por outro
 lado cosa^2-=-sen(a)^2,logo d =-4sen(a)^2,logo para termos d  0(para termos
 soluções real ) sen(a)=0,o que implica cos (a)= -/+ ,para cos (a)=1 vamos
  ter x=1 paracos(a)=-1 vamos ter x=-1.Para cos(a)=1,a=2k(pi),k
 inteiro,an=2kn(pi),logo cos(na)=1, o que implica 2cos(na)=2,com nesse caso
 x=1 x^n=1 e (1/x)^n=1,o que implica x^n+1(1/x)^n=2,logo provamos o primeiro
 caso.Para cos(a)=-1,se n for par,cos(na)=1 que implica2cos(na)=2,logo neste
 caso (-1)^n+-(1)^n=2,para n ímpar cos(an)=-1,logo 2cos(an)=-2,neste caso
 (-1)^n+(-1)^n=-2.Assim termina a demonstração.

 --
 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Indução?
 Date: Wed, 15 Dec 2010 01:26:24 +

  Prove que,se x + 1/x = 2cosa,então x^n +( 1/x^n) =2cos(na).

 Dá para provar mostrando que o segundo membro vale para x = 2 e (já que
 vale para n = 1),se vale para um certo k = 2 e para k - 1,então vale para k
 + 1 ?.E,no caso,usando:cos((n+1)x) = 2cos(x)cos(nx) - cos((n-1)x)?

 Desde já,agradeço.

[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm -l] Indução?

[Thiago Tarraf Varella]

Quanto a sua primeira pergunta, pelo que eu entendi, a resposta é não. Por 
exemplo: x² + 3x + 3 é sempre primo? Pra x = 1, 1 + 3 + 3 = 7 Certo.Pra x = 2, 
4 + 6 + 3 = 13 Certo.Caso sua pergunta fosse verdadeira, pra x = 3 também daria 
um número primo. Mas observe:x = 3, 3.3 + 3.3 + 3 = 3(3+3+1) = 3.7 = 21 que não 
é primo.Agora se voce deixar na forma de k (e não substituir, por exemplo, por 
1) e provar pra k-1 (e não substituir por um número qualquer), aí não há 
problema.Vou mostrar a minha tentativa resolução do problema (eu uso LaTeX, é 
de graça e facilita mto pra estudar mat no computador).Se [;x + \frac{1}{x} = 
2cos(a) = \frac{x^2+1}{x};] então.Aí podemos substituir ali 2cos(a) por 
(x²+1)/x , mas eu fiz isso e de nada adiantou... O jeito vai ser por indução 
mesmo.AbsThiago

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Indução? 
Date: Wed, 15 Dec 2010 02:14:29 +








Corrigindo: a igualdade vale para n = 2,e não x = 2.
 



From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Indução?
Date: Wed, 15 Dec 2010 01:26:24 +




Prove que,se x + 1/x = 2cosa,então x^n +( 1/x^n) =2cos(na).
 
Dá para provar mostrando que o segundo membro vale para n = 2 e (já que vale 
para n = 1),se vale para um certo k = 2 e para k - 1,então vale para k + 1 
?.E,no caso,usando:cos((n+1)x) = 2cos(x)cos(nx) - cos((n-1)x)?
 
Desde já,agradeço.
  

[obm-l] RE: [obm-l] Indução?

[Vitor Alves]

Obviamente x não é zero,logo x^2 - 2xcos(a)+1=0,temos então uma equação do 
segundo grau,vamos estudar os valores de cos(a) para que a equação tenha 
solução real,temos que d(discriminante)=4(cosa)^2-4=4(cosa()^2-1),por outro 
lado cosa^2-=-sen(a)^2,logo d =-4sen(a)^2,logo para termos d  0(para termos 
soluções real ) sen(a)=0,o que implica cos (a)= -/+ ,para cos (a)=1 vamos  ter 
x=1 paracos(a)=-1 vamos ter x=-1.Para cos(a)=1,a=2k(pi),k 
inteiro,an=2kn(pi),logo cos(na)=1, o que implica 2cos(na)=2,com nesse caso x=1 
x^n=1 e (1/x)^n=1,o que implica x^n+1(1/x)^n=2,logo provamos o primeiro 
caso.Para cos(a)=-1,se n for par,cos(na)=1 que implica2cos(na)=2,logo neste 
caso (-1)^n+-(1)^n=2,para n ímpar cos(an)=-1,logo 2cos(an)=-2,neste caso 
(-1)^n+(-1)^n=-2.Assim termina a demonstração.   
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Indução?
Date: Wed, 15 Dec 2010 01:26:24 +








Prove que,se x + 1/x = 2cosa,então x^n +( 1/x^n) =2cos(na).

 

Dá para provar mostrando que o segundo membro vale para x = 2 e (já que vale 
para n = 1),se vale para um certo k = 2 e para k - 1,então vale para k + 1 
?.E,no caso,usando:cos((n+1)x) = 2cos(x)cos(nx) - cos((n-1)x)?

 

Desde já,agradeço.
  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Indução?

[Rodrigo Renji]

Olá,  outra maneira

Primeiro demonstre a recorrência que cosseno satisfaz

cos [(n+1)a] =2cos (n a) .cos (a) -cos [(n-1)a]


usando indução de segunda forma . Para n=1 ok a propriedade vale,
supondo que vale para todo 0k n+1 vamos mostrar que vale para n+1

por hipótese de indução
2 cos [(n)a ] 2 cos(a) =  (x^n+1/x^n) (x+1/x)
que multiplicando dá
x^(n+1) +1/ x^(n+1) + x^(n-1)+ 1/x^(n-1)  onde por hipótese de indução
esse último termo é
2cos ((n-1)a)

disso segue que x^(n+1) +1/ x^(n+1)  =2 ( cos [(n)a ] 2 cos(a) -cos ((n-1)a))

logo pela primeira recorrência segue que
x^(n+1) +1/ x^(n+1)  =cos [(n+1)a] .

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Indução?

[Ralph Teixeira]

Oi, Marcone.

Se o seu um certo k for **generico**, sim, esta eh uma maneira valida de
provar isto.

Em outras palavras, seja P(n) uma propriedade qualquer, que pode ser
verdadeira ou falsa para cada n natural. Se soubermos que:
i) P(1) e P(2) sao verdadeiras;
ii) (P(k-1) e P(k)) implica P(k+1) (esta implicacao tem que ser provada para
**todo** k natural =2)
entao SIM, podemos concluir que P(n) vale para n=1,2,3,... Eh uma inducao
finita ligeiramente modificada, mas perfeita.

Ou seja, sua ideia eh valida.

Abraco, Ralph.

2010/12/15 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

 Corrigindo: a igualdade vale para n = 2,e não x = 2.

 --
 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Indução?
 Date: Wed, 15 Dec 2010 01:26:24 +

 Prove que,se x + 1/x = 2cosa,então x^n +( 1/x^n) =2cos(na).

 Dá para provar mostrando que o segundo membro vale para x = 2 e (já que
 vale para n = 1),se vale para um certo k = 2 e para k - 1,então vale para k
 + 1 ?.E,no caso,usando:cos((n+1)x) = 2cos(x)cos(nx) - cos((n-1)x)?

 Desde já,agradeço.

[obm-l] Indução?

[marcone augusto araújo borges]

Prove que,se x + 1/x = 2cosa,então x^n +( 1/x^n) =2cos(na).
 
Dá para provar mostrando que o segundo membro vale para x = 2 e (já que vale 
para n = 1),se vale para um certo k = 2 e para k - 1,então vale para k + 1 
?.E,no caso,usando:cos((n+1)x) = 2cos(x)cos(nx) - cos((n-1)x)?
 
Desde já,agradeço.

[obm-l] RE: [obm-l] Indução?

[marcone augusto araújo borges]

Corrigindo: a igualdade vale para n = 2,e não x = 2.
 


From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Indução?
Date: Wed, 15 Dec 2010 01:26:24 +




Prove que,se x + 1/x = 2cosa,então x^n +( 1/x^n) =2cos(na).
 
Dá para provar mostrando que o segundo membro vale para x = 2 e (já que vale 
para n = 1),se vale para um certo k = 2 e para k - 1,então vale para k + 1 
?.E,no caso,usando:cos((n+1)x) = 2cos(x)cos(nx) - cos((n-1)x)?
 
Desde já,agradeço.
  

[obm-l] Indução para n+1 e (n-1, n)

[HugLeo]

Eu posso substituir n na minha fórmula de reccorrência para provar para n+1,
mas se eu substituir para n-1 para provar n também funciona.
Alguém saberia explicar?

O exemplo está abaixo:

n = 2^n -1

T(n) = 2T(n) + 1

Para n
T(n) = 2T(n-1) + 1 = 2(2^[n-1] - 1) + 1 = 2^n -1


Para n+1

T(n+1) = 2T(n) + 1 = 2(2^n -1) + 1 = 2^[n+1] + 1

Qual das duas alternativas é certa ou melhor e por que funciona?



-- 
-hUgLeO-♑

[obm-l] Re: [obm-l] Indução para n+1 e (n-1, n)

[Rafael Ando]

As duas alternativas são iguais, não tem uma melhor que a outra.

Para entender porque funciona, vc entende pq a indução funciona? Se uma
afirmação vale para o valor inicial, e vc consegue provar que, quando ela
vale para um certo valor, também vale para o próximo, então a afirmação vale
para todos os valores. Dá pra ver que tanto mostrando que f(n) - f(n+1), ou
que f(n-1) - f(n), conseguimos mostrar que quando ela vale para um certo
valor, também vale para o próximo.

O seu exemplo é meio estranho! n = 2^n -1 não é uma equação verdadeira, pra
começar... Acho que vc quis dizer:

Seja T(n) = 2^n - 1. Prove que T(n) = 2T(n-1) + 1. Não é necessário
indução para provar essa. O que vc fez está correto, mas não é indução...
vc só substituiu a equação de T(n) e mostrou que vale.

Por outro lado, se tivéssemos:

Seja T(0) = 0 e T(n) = 2T(n-1) + 1, n0. Prove T(n) = 2^n -1 (n≥0). (note
que os dois problemas são diferentes).

Nesse caso poderíamos usar indução para demostrar... Verificamos que o caso
inicial vale substituindo n=0. Em seguida, demostra-se (como acima) que se
hipótese vale para n-1, então vale para n. Poderíamos, é claro, também ter
provado a hipótese para n+1 a partir de n, também daria certo.

2009/5/30 HugLeo hugocana...@gmail.com

 Eu posso substituir n na minha fórmula de reccorrência para provar para
 n+1, mas se eu substituir para n-1 para provar n também funciona.
 Alguém saberia explicar?

 O exemplo está abaixo:

 n = 2^n -1

 T(n) = 2T(n) + 1

 Para n
 T(n) = 2T(n-1) + 1 = 2(2^[n-1] - 1) + 1 = 2^n -1


 Para n+1

 T(n+1) = 2T(n) + 1 = 2(2^n -1) + 1 = 2^[n+1] + 1

 Qual das duas alternativas é certa ou melhor e por que funciona?



 --
 -hUgLeO-♑




-- 
Rafael

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução para n+1 e (n-1, n )

[HugLeo]

Sim, eu escrevi errado, o certo é como você disse: T(n) = 2^n - 1

Muito obrigado pela explicação, agora deu para entender ;-)

Só mais um detalhe:
Você disse ..Em seguida, demostra-se (como acima) que se hipótese vale para
n-1, então vale para n...
Seria assim né?:
T(n)=2(2^[n-1] - 1) + 1
T(n)=2^n -1


2009/5/30 Rafael Ando rafael.a...@gmail.com

 As duas alternativas são iguais, não tem uma melhor que a outra.

 Para entender porque funciona, vc entende pq a indução funciona? Se uma
 afirmação vale para o valor inicial, e vc consegue provar que, quando ela
 vale para um certo valor, também vale para o próximo, então a afirmação vale
 para todos os valores. Dá pra ver que tanto mostrando que f(n) - f(n+1), ou
 que f(n-1) - f(n), conseguimos mostrar que quando ela vale para um certo
 valor, também vale para o próximo.

 O seu exemplo é meio estranho! n = 2^n -1 não é uma equação verdadeira, pra
 começar... Acho que vc quis dizer:

 Seja T(n) = 2^n - 1. Prove que T(n) = 2T(n-1) + 1. Não é necessário
 indução para provar essa. O que vc fez está correto, mas não é indução...
 vc só substituiu a equação de T(n) e mostrou que vale.

 Por outro lado, se tivéssemos:

 Seja T(0) = 0 e T(n) = 2T(n-1) + 1, n0. Prove T(n) = 2^n -1 (n≥0). (note
 que os dois problemas são diferentes).

 Nesse caso poderíamos usar indução para demostrar... Verificamos que o caso
 inicial vale substituindo n=0. Em seguida, demostra-se (como acima) que se
 hipótese vale para n-1, então vale para n. Poderíamos, é claro, também ter
 provado a hipótese para n+1 a partir de n, também daria certo.

 2009/5/30 HugLeo hugocana...@gmail.com

 Eu posso substituir n na minha fórmula de reccorrência para provar para
 n+1, mas se eu substituir para n-1 para provar n também funciona.
 Alguém saberia explicar?

 O exemplo está abaixo:

 n = 2^n -1

 T(n) = 2T(n) + 1

 Para n
 T(n) = 2T(n-1) + 1 = 2(2^[n-1] - 1) + 1 = 2^n -1


 Para n+1

 T(n+1) = 2T(n) + 1 = 2(2^n -1) + 1 = 2^[n+1] + 1

 Qual das duas alternativas é certa ou melhor e por que funciona?



 --
 -hUgLeO-♑




 --
 Rafael




-- 
-hUgLeO-♑

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução para n +1 e (n-1, n)

[Rafael Ando]

Isso, seria assim mesmo :)

2009/5/30 HugLeo hugocana...@gmail.com

 Sim, eu escrevi errado, o certo é como você disse: T(n) = 2^n - 1

 Muito obrigado pela explicação, agora deu para entender ;-)

 Só mais um detalhe:
 Você disse ..Em seguida, demostra-se (como acima) que se hipótese vale
 para n-1, então vale para n...
 Seria assim né?:
 T(n)=2(2^[n-1] - 1) + 1
 T(n)=2^n -1


 2009/5/30 Rafael Ando rafael.a...@gmail.com

 As duas alternativas são iguais, não tem uma melhor que a outra.

 Para entender porque funciona, vc entende pq a indução funciona? Se uma
 afirmação vale para o valor inicial, e vc consegue provar que, quando ela
 vale para um certo valor, também vale para o próximo, então a afirmação vale
 para todos os valores. Dá pra ver que tanto mostrando que f(n) - f(n+1), ou
 que f(n-1) - f(n), conseguimos mostrar que quando ela vale para um certo
 valor, também vale para o próximo.

 O seu exemplo é meio estranho! n = 2^n -1 não é uma equação verdadeira,
 pra começar... Acho que vc quis dizer:

 Seja T(n) = 2^n - 1. Prove que T(n) = 2T(n-1) + 1. Não é necessário
 indução para provar essa. O que vc fez está correto, mas não é indução...
 vc só substituiu a equação de T(n) e mostrou que vale.

 Por outro lado, se tivéssemos:

 Seja T(0) = 0 e T(n) = 2T(n-1) + 1, n0. Prove T(n) = 2^n -1 (n≥0). (note
 que os dois problemas são diferentes).

 Nesse caso poderíamos usar indução para demostrar... Verificamos que o
 caso inicial vale substituindo n=0. Em seguida, demostra-se (como acima) que
 se hipótese vale para n-1, então vale para n. Poderíamos, é claro, também
 ter provado a hipótese para n+1 a partir de n, também daria certo.

 2009/5/30 HugLeo hugocana...@gmail.com

 Eu posso substituir n na minha fórmula de reccorrência para provar para
 n+1, mas se eu substituir para n-1 para provar n também funciona.
 Alguém saberia explicar?

 O exemplo está abaixo:

 n = 2^n -1

 T(n) = 2T(n) + 1

 Para n
 T(n) = 2T(n-1) + 1 = 2(2^[n-1] - 1) + 1 = 2^n -1


 Para n+1

 T(n+1) = 2T(n) + 1 = 2(2^n -1) + 1 = 2^[n+1] + 1

 Qual das duas alternativas é certa ou melhor e por que funciona?



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 -hUgLeO-♑




 --
 Rafael




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 -hUgLeO-♑




-- 
Rafael

[obm-l] Re: [obm-l] Indução para n+1 e (n-1, n)

[lucianarodriggues]

Em 30/05/2009 11:09, Rafael Ando  rafael.a...@gmail.com  escreveu:
As duas alternativas são iguais, não tem uma "melhor" que a outra.Para entender porque funciona, vc entende pq a indução funciona? Se uma afirmação vale para o valor inicial, e vc consegue provar que, quando ela vale para um certo valor, também vale para o próximo, então a afirmação vale para todos os valores. Dá pra ver que tanto mostrando que f(n) - f(n+1), ou que f(n-1) - f(n), conseguimos mostrar que "quando ela vale para um certo valor, também vale para o próximo".O seu exemplo é meio estranho! n = 2^n -1 não é uma equação verdadeira, pra começar... Acho que vc quis dizer:Seja T(n) = 2^n - 1. Prove que T(n) = 2T(n-1) + 1. Não é necessário "indução" para provar essa. O que vc fez está correto, mas não é indução... vc só substituiu a equação de T(n) e mostrou que vale.Por outro lado,
  se tivéssemos:Seja T(0) = 0 e T(n) = 2T(n-1) + 1, n0. Prove T(n) = 2^n -1 (n≥0). (note que os dois problemas são diferentes).Nesse caso poderíamos usar indução para demostrar... Verificamos que o caso inicial vale substituindo n=0. Em seguida, demostra-se (como acima) que se hipótese vale para n-1, então vale para n. Poderíamos, é claro, também ter provado a hipótese para n+1 a partir de n, também daria certo.
2009/5/30 HugLeo hugocana...@gmail.com
Eu posso substituir n na minha fórmula de reccorrência para provar para n+1, mas se eu substituir para n-1 para provar n também funciona.Alguém saberia explicar?O exemplo está abaixo:n = 2^n -1T(n) = 2T(n) + 1Para nT(n) = 2T(n-1) + 1 = 2(2^[n-1] - 1) + 1 = 2^n -1Para n+1T(n+1) = 2T(n) + 1 = 2(2^n -1) + 1 = 2^[n+1] + 1Qual das duas alternativas é certa ou melhor e por que funciona?-- -hUgLeO-♑

-- Rafael
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução para n+1 e (n-1, n)

[lucianarodriggues]

Em 30/05/2009 11:58, Rafael Ando  rafael.a...@gmail.com  escreveu:
Isso, seria assim mesmo :)
2009/5/30 HugLeo hugocana...@gmail.com
Sim, eu escrevi errado, o certo é como você disse: T(n) = 2^n - 1Muito obrigado pela explicação, agora deu para entender ;-)Só mais um detalhe:Você disse "..Em seguida, demostra-se (como acima) que se hipótese vale para n-1, então vale para n..."Seria assim né?: T(n)=2(2^[n-1] - 1) + 1 
T(n)=2^n -1
2009/5/30 Rafael Ando rafael.a...@gmail.com


As duas alternativas são iguais, não tem uma "melhor" que a outra.Para entender porque funciona, vc entende pq a indução funciona? Se uma afirmação vale para o valor inicial, e vc consegue provar que, quando ela vale para um certo valor, também vale para o próximo, então a afirmação vale para todos os valores. Dá pra ver que tanto mostrando que f(n) - f(n+1), ou que f(n-1) - f(n), conseguimos mostrar que "quando ela vale para um certo valor, também vale para o próximo".O seu exemplo é meio estranho! n = 2^n -1 não é uma equação verdadeira, pra começar... Acho que vc quis dizer:Seja T(n) = 2^n - 1. Prove que T(n) = 2T(n-1) + 1. Não é necessário "indução" para provar essa. O que vc fez está correto, mas não é indução... vc só substituiu a equação de T(n) e mostrou que vale.P
 or outro lado, se tivéssemos:Seja T(0) = 0 e T(n) = 2T(n-1) + 1, n0. Prove T(n) = 2^n -1 (n≥0). (note que os dois problemas são diferentes).Nesse caso poderíamos usar indução para demostrar... Verificamos que o caso inicial vale substituindo n=0. Em seguida, demostra-se (como acima) que se hipótese vale para n-1, então vale para n. Poderíamos, é claro, também ter provado a hipótese para n+1 a partir de n, também daria certo.
2009/5/30 HugLeo hugocana...@gmail.com


Eu posso substituir n na minha fórmula de reccorrência para provar para n+1, mas se eu substituir para n-1 para provar n também funciona.Alguém saberia explicar?O exemplo está abaixo:n = 2^n -1T(n) = 2T(n) + 1Para nT(n) = 2T(n-1) + 1 = 2(2^[n-1] - 1) + 1 = 2^n -1Para n+1T(n+1) = 2T(n) + 1 = 2(2^n -1) + 1 = 2^[n+1] + 1Qual das duas alternativas é certa ou melhor e por que funciona?-- -hUgLeO-♑



-- Rafael



-- -hUgLeO-♑

-- Rafael
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática - (2^2 n) - 1

[Marcelo Gomes]

Valeu Denisson...muito obrigado pela ajuda

Caiu na prova um pareceido e acertei.

Abração, Marcelo.

2009/4/4 Denisson denisso...@gmail.com

 Uma forma da indução é a seguinte:

 Suponha que uma afirmação sobre os números naturais é verdadeira para n = 1
 Além disso se a afirmação for verdadeira para n = k implicar que ela é
 verdadeira para n = k +1 então vc pode ter certeza que a afirmação vale para
 todo m = 1.

 Por exemplo.

 2^(2n) - 1 assume o valor 3 quando n = 1. Logo 3 divide este número (ok).

 Suponha que a afirmação seja válida para um certo número k. Isto é 2^(2k) -
 1 é divisível por 3.

 Provemos que é verdadeira para k + 1 também.

 2^[2(k+1)] - 1 = 2^(2k + 2) - 1 = 2^(2k)*(2^2) - 1 = 4*2^(2k) - 1 =
 {3*2^(2k)} + [2^(2k) - 1]

 note que o termo em chaves é divisivel por 3 e o termo em colchetes também
 (por hipótese de indução), logo a afirmação está provada.

 O importante em perceber:

 Verificamos que a afirmação é válida pra n = 1.

 Daí como provamos que a validade pra n implica a validade de n+1 então se n
 = 1 é verdade logo n = 2 será verdade. E por isso n = 3 será verdade, e uma
 espécie de efeito dominó te garante que todos os naturais satisfazem essa
 propriedade (4,5,6,7...).

 Espero que tenha entendido:

 Uma explicação bem mais profissional (mas clara) vocÊ encontra em

 http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/inducao.pdf



 2009/3/12 Marcelo Rodrigues ge...@ibest.com.br

 Olá pessoal

 Estou estudando indução matemática já provei algumas que eram questões que
 envolviam somas de números naturais. Estou tendo algumas dúvidas, quando não
 há somatório.

 Estou tentando provar que : (2^2n) -1 é múltiplo de 3 para qualquer n,
 natural.

 Fiz o seguinte:

 P(1) =  3n = (2^2n) - 1 (Dúvida 1 - tenho que colocar 3n do lado esquerdo
 da igualdade, como fazia com os somatórios ?, ou basta trabalhar o lado
 direito dela ?)

 P(1) =  3(1) = (2^2) -1 =  3 = 3 (3 é múltiplo de 3, verdade para P(1))

 P(k) =  3k = (2^2k) - 1

 Provando por Indução:

 P(k+1) = 3k + k + 1 (Dúvida 2 - tenho que fazer deste lado também ? pois
 para K=3 dá 13...onde estou errando ?) = (2^2k) - 1 + k + 1 (este lado já
 funciona)= (2^2k) + k

 Somei k + 1 de ambos os lados mas errei algo.

 Se alguém tiver um tempinho, dê uma mãozinha, ok ?

 Abraços, Marcelo.




 --
 Denisson

[obm-l] Indução Matemática - (2^2n) - 1

[Marcelo Rodrigues]

Olá pessoal

Estou estudando indução matemática já provei algumas que eram questões que
envolviam somas de números naturais. Estou tendo algumas dúvidas, quando não
há somatório.

Estou tentando provar que : (2^2n) -1 é múltiplo de 3 para qualquer n,
natural.

Fiz o seguinte:

P(1) =  3n = (2^2n) - 1 (Dúvida 1 - tenho que colocar 3n do lado esquerdo
da igualdade, como fazia com os somatórios ?, ou basta trabalhar o lado
direito dela ?)

P(1) =  3(1) = (2^2) -1 =  3 = 3 (3 é múltiplo de 3, verdade para P(1))

P(k) =  3k = (2^2k) - 1

Provando por Indução:

P(k+1) = 3k + k + 1 (Dúvida 2 - tenho que fazer deste lado também ? pois
para K=3 dá 13...onde estou errando ?) = (2^2k) - 1 + k + 1 (este lado já
funciona)= (2^2k) + k

Somei k + 1 de ambos os lados mas errei algo.

Se alguém tiver um tempinho, dê uma mãozinha, ok ?

Abraços, Marcelo.

[obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática - (2^2n) - 1

[Denisson]

Uma forma da indução é a seguinte:

Suponha que uma afirmação sobre os números naturais é verdadeira para n = 1
Além disso se a afirmação for verdadeira para n = k implicar que ela é
verdadeira para n = k +1 então vc pode ter certeza que a afirmação vale para
todo m = 1.

Por exemplo.

2^(2n) - 1 assume o valor 3 quando n = 1. Logo 3 divide este número (ok).

Suponha que a afirmação seja válida para um certo número k. Isto é 2^(2k) -
1 é divisível por 3.

Provemos que é verdadeira para k + 1 também.

2^[2(k+1)] - 1 = 2^(2k + 2) - 1 = 2^(2k)*(2^2) - 1 = 4*2^(2k) - 1 =
{3*2^(2k)} + [2^(2k) - 1]

note que o termo em chaves é divisivel por 3 e o termo em colchetes também
(por hipótese de indução), logo a afirmação está provada.

O importante em perceber:

Verificamos que a afirmação é válida pra n = 1.

Daí como provamos que a validade pra n implica a validade de n+1 então se n
= 1 é verdade logo n = 2 será verdade. E por isso n = 3 será verdade, e uma
espécie de efeito dominó te garante que todos os naturais satisfazem essa
propriedade (4,5,6,7...).

Espero que tenha entendido:

Uma explicação bem mais profissional (mas clara) vocÊ encontra em
http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/inducao.pdf



2009/3/12 Marcelo Rodrigues ge...@ibest.com.br

 Olá pessoal

 Estou estudando indução matemática já provei algumas que eram questões que
 envolviam somas de números naturais. Estou tendo algumas dúvidas, quando não
 há somatório.

 Estou tentando provar que : (2^2n) -1 é múltiplo de 3 para qualquer n,
 natural.

 Fiz o seguinte:

 P(1) =  3n = (2^2n) - 1 (Dúvida 1 - tenho que colocar 3n do lado esquerdo
 da igualdade, como fazia com os somatórios ?, ou basta trabalhar o lado
 direito dela ?)

 P(1) =  3(1) = (2^2) -1 =  3 = 3 (3 é múltiplo de 3, verdade para P(1))

 P(k) =  3k = (2^2k) - 1

 Provando por Indução:

 P(k+1) = 3k + k + 1 (Dúvida 2 - tenho que fazer deste lado também ? pois
 para K=3 dá 13...onde estou errando ?) = (2^2k) - 1 + k + 1 (este lado já
 funciona)= (2^2k) + k

 Somei k + 1 de ambos os lados mas errei algo.

 Se alguém tiver um tempinho, dê uma mãozinha, ok ?

 Abraços, Marcelo.




-- 
Denisson

[obm-l] Indução

[Tarso de Moura Leitão]

Como sempre a explicação do Prof. Rauph são excelentes e esclarecedoras. 
Examinando-a ocorreu-me uma dúvida.
Na demonstração por indução devemos estabelecer a veracidade de dois enunciados;
(1) s(1) é verdadeira ( ou s(2), etc. e
(2) s(k) acarreta em s(k+1).
No exemplo analisado a implicação s(1) não implica em s(2)[mais; mas o 
argumento não funciona para mostrar que s(1) implica s(2).] ( copiado do 
e-mail resposta do Rauph ).
Aqui é que a porca torce o rabo 
Pergunto, não poderia existir uma situação na qual o problema estaria em, 
digamos, s(432) acarreta s(433) ?
Em todas as falácias de indução que já vi o problema é sempre esse: s(1) não 
acarreta s(2), aí acaba-se descobrindo  o que está errado na seguinte prova 
por indução  .
Quando vou explicar esse tipo de situação acabo ficando com uma sensação de 
que, afinal, a indução não se faz em dois passos.
Caro Prof. Rauph, se puder comentar antecipadamente nós ( e muitos alunos 
afinal ) agradecemos.
Um abraço 
Tarso de Moura Leitão

Re: [obm-l] Indução

[Ralph Teixeira]

Oi, Tarso.

Para ser mais exato, o que tem que ser provado eh:
i) s(1) eh V
ii) Para todo k natural, s(k) implica s(k+1). (este eh o PASSO DE INDUCAO)
Pois eh, como voce disse, este TODO k natural eh importante. Seja
lah qual for o raciocinio que voce fizer para provar que s(k) implica
s(k+1), ele tem que valer para TODO k natural (bom, aas vezes a partir
de 1, aas vezes do ponto inicial que voce precisa, mas isso eh outro
detalhe), inclusive 432. Entao, em principio, concordo contigo que
este passo de inducao tem que dar um friozinho na barriga -- serah que
o raciocinio que a gente fez estah suficientemente geral?

Por outro lado, nao eh tao cabeludo fazer um raciocinio que vale para
todos os naturais ao mesmo tempo -- toda vez que a gente usa uma
variavel, a gente estah fazendo um raciocinio para varios numeros ao
mesmo tempo, e a gente acaba, com experiencia, sabendo quais sao os
casos problematicos para os quais tem que ficar de olho. Alias, como
voce disse, a maioria das inducoes que furam dao problemas nos
primeiros passos... bom, pelo menos na minha experiencia. Entao uma
boa ideia eh sempre seguir o argumento do passo de inducao que voce
fez com seu k generico e segui-lo tintim por tintim com os valores
pequenos de k, para verificar se ele funciona mesmo...

Abraco,
   Ralph

2009/1/13 Tarso de Moura Leitão barz...@dglnet.com.br:
 Como sempre a explicação do Prof. Rauph são excelentes e esclarecedoras.
 Examinando-a ocorreu-me uma dúvida.
 Na demonstração por indução devemos estabelecer a veracidade de dois
 enunciados;
 (1) s(1) é verdadeira ( ou s(2), etc. e
 (2) s(k) acarreta em s(k+1).
 No exemplo analisado a implicação s(1) não implica em s(2)[mais; mas o
 argumento não funciona para mostrar que s(1) implica s(2).] ( copiado do
 e-mail resposta do Rauph ).
 Aqui é que a porca torce o rabo 
 Pergunto, não poderia existir uma situação na qual o problema estaria em,
 digamos, s(432) acarreta s(433) ?
 Em todas as falácias de indução que já vi o problema é sempre esse: s(1) não
 acarreta s(2), aí acaba-se descobrindo  o que está errado na seguinte prova
 por indução  .
 Quando vou explicar esse tipo de situação acabo ficando com uma sensação de
 que, afinal, a indução não se faz em dois passos.
 Caro Prof. Rauph, se puder comentar antecipadamente nós ( e muitos alunos
 afinal ) agradecemos.
 Um abraço
 Tarso de Moura Leitão

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] indução

[Murilo Krell]

Pessoal, alguém poderia dar uma ajudinha?

já quebrei a cabeça, mas não consigo achar

Explique, com palavras, o erro da seguinte indução:

Afirmação: Dado um conjunto de n bolas, se uma delas é azul, então todas são
azuis.
Demonstração: para n=1, como pelo menos uma bola é azul e há apenas um
elemento, então todas as bolas são azuis. Suponha a afirmação válida para um
dado n. Tome um conjunto de n + 1 bolas, onde pelo menos uma é azul. Tire um
elemento do conjunto que não seja esta bola azul fixada. Pela hipótese de
indução, todas as bolas desse conjunto com n elementos são azuis. Retire uma
bola desse conjunto e reponha a bola tirada inicialmente. Novamente pela
hipótese de indução temos que todas as n + 1 bolas são azuis.

[]'s

Murilo

Re: [obm-l] indução

[Rafael Assis]

Note que no passo de indução (n para n+1) ele supõe implicitamente que n2.

Para n=2 não funciona, pois não há a bola de conexão das cores. Faça você
mesmo o
raciocínio com n=2.

Saudações a todos.

Re: [obm-l] indução

[Ralph Teixeira]

Resposta curta: o problema eh que o passo de inducao nao funciona de
k=1 para k=2.

Resposta comprida: para provar que uma sentenca s(n) vale para todo n
natural, por inducao, precisamos provar que:
i) s(1) eh V
ii) Para todo k natural, s(k) implica s(k+1)

No nosso caso, s(n) eh: Todo conjunto com n bolas que tenha pelo
menos uma bola azul soh tem bolas azuis.

Como voce disse, s(1) eh V; corretissimo.

Agora, o resto do argumento mostra que s(k) implica s(k+1) para k=2 ou
mais; mas o argumento nao funciona para mostrar que s(1) implica s(2).
De fato, siga a sua demonstracao devagarzinho fingindo que n=1. Quando
voce chegar na frase retire uma bola deste conjunto e reponha a bola
tirada inicialmente, voce nao pode aplicar s(1) a este conjunto para
concluir que esta bola tirada inicialmente eh azul -- afinal, a
hipotese tem pelo menos uma bola azul nao vale para este conjunto de
uma bola (que pode ser de qualquer cor).

Agora, para realmente entender inducao, note que, se s(2) valesse (por
algum motivo estranho), entao seu raciocinio estaria 100% correto e
teriamos que s(n) vale para todo n sim senhor! Traducao: suponha que
voce estah num mundo com n bolas, onde qualquer conjunto de duas
bolas, sendo uma azul, tem que ter duas bolas azuis. Neste mundo, se
ha uma bola azul, todas sao azuis.

E se voce quiser ver se estah MUITO craque: suponha que num mundo com
infinitas bolas, qualquer conjunto de duas bolas com uma azul tem que
ter duas bolas azuis. A inducao sozinha NAO PROVA que todas as bolas
deste mundo sao azuis. Em outras palavras, inducao prova s(n) para
todo n natural -- mas nao prova s(n) quando n=infinito.

Abraco,
Ralph

2009/1/9 Murilo Krell murilo.kr...@gmail.com:
 Pessoal, alguém poderia dar uma ajudinha?

 já quebrei a cabeça, mas não consigo achar

 Explique, com palavras, o erro da seguinte indução:

 Afirmação: Dado um conjunto de n bolas, se uma delas é azul, então todas são
 azuis.
 Demonstração: para n=1, como pelo menos uma bola é azul e há apenas um
 elemento, então todas as bolas são azuis. Suponha a afirmação válida para um
 dado n. Tome um conjunto de n + 1 bolas, onde pelo menos uma é azul. Tire um
 elemento do conjunto que não seja esta bola azul fixada. Pela hipótese de
 indução, todas as bolas desse conjunto com n elementos são azuis. Retire uma
 bola desse conjunto e reponha a bola tirada inicialmente. Novamente pela
 hipótese de indução temos que todas as n + 1 bolas são azuis.

 []'s

 Murilo


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Indução Matemática

[Venildo Amaral]

Boa tarde

Alguém poderia ajudar a resolver essa indução matemática, mas detalhadamente, 
estou um pouco perdido.

a) 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n = 2^(n+1) -  1, para n = 0;

b) 2^(-1) + 2^(-2) + 2^(-3) + ... + 2^(-n)  1,

Atenciosamente, 
Venildo Junio do Amaral
[EMAIL PROTECTED]
http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual

Re: [obm-l] Indução Matemática

[Bruno França dos Reis]

Oi, Venildo. Vou fazer de duas formas. A primeira é uma gambiarra
usando-se notação binária. A segunda acho que é o que vc está procurando.
(a) Sabemos que a representação binária de 2^n é (1000...0)_b, com n zeros.
Assim, a soma 2^0 + 2^1 + ... + 2^n = (111...1)_b, um número cuja
representação binária é dada por (n+1) algarismos 1 em sequência.
Por outro lado, 2^(n+1) = (1000...0)_b, com (n+1) zeros. Subtraindo-se uma
unidade desse número, temos 2^(n+1) = (1000...0)_b - 1_b = (111...1)_b,
(n+1) algarismos 1, donde o resultado.

(b) Da mesma forma, a soma nos dá 0.111...1, isto é, um zero seguido de um
separador decimal e n algarismos 1.
Evidentemente, 0.111...1  1.
O próximo número terá um 1 concatenado no final, sendo: 0.111...11  1.
Temos então que a soma é  1 para todo n.


Agora, uma maneira mais ortodoxa de resolver esses mesmos problemas.

(a) Seja S(n) = sum(i=0..n) 2^i.
A proposição P(n) é: S(n) = 2^(n+1) - 1.

Verifiquemos que vale para n=0:
S(0) = 1 = 2 - 1 = 2^(0+1) - 1, ok.

Agora suponhamos que valha P(n), e provemos a validade de P(n+1):
S(n+1) = S(n) + 2^(n+1) = ( 2^(n+1) - 1) + 2^(n+1) = 2*2^(n+1) - 1 = 2^(n+2)
- 1, isto é: S((n+1)) = 2^((n+1) + 1) - 1, ou seja, P(n) == P(n+1)

Temos então:
P(0) e (P(n) == P(n+1)).
Logo (pelo princípio da indução, que é um dos Axiomas de Peano), a
proposição P(n) vale para todo natural n.


Faça o item (b) da mesma forma, isto é:
1) Defina a proposição Q(n). (Q(n): sum(i = 1 .. n) 2^(-i)  1)
2) Prove a validade para n = 1.
3) Prove Q(n) == Q(n+1)
4) Conclua.

Espero ter ajudado.
Bruno


--
Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: [EMAIL PROTECTED]
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16

http://www.brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com

e^(pi*i)+1=0


On Thu, Nov 13, 2008 at 6:30 PM, Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED]wrote:

  Boa tarde

 Alguém poderia ajudar a resolver essa indução matemática, mas
 detalhadamente, estou um pouco perdido.

 a) 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n = 2^(n+1) -  1, para n = 0;

 b) 2^(-1) + 2^(-2) + 2^(-3) + ... + 2^(-n)  1,

 Atenciosamente,
 Venildo Junio do Amaral
 [EMAIL PROTECTED]
 http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual

[obm-l] RE: [obm-l] Indução Matemática

[Albert Bouskela]

Olá!

 

a) 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n = 2^(n+1) - 1, para n = 0

 

Verifique a validade para   n = {0, 1}

 

Hipótese de indução:

2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n = 2^(n+1) – 1   ...   validade para “n”

Verificação para “n+1”:

2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n + 2^(n+1) = 2^(n+1) - 1 + 2^(n+1)   ...   só
usei a hipótese de indução!

= 2^(n+2) - 1   ...   CQD!

 

b) 2^(-1) + 2^(-2) + 2^(-3) + ... + 2^(-n)  1

 

Verifique a validade para   n = 1

 

Trata-se de uma PG com   a[1] = r = 1/2 , obviamente,   1/2  1

 

Para   n - +infinito , a soma dos termos desta PG converge para
a[1]/(1-r) = 1

 

Logo, para um “n” finito, a soma é menor do que 1 . CQD!

 
Sds.,
AB
 


  _  

From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Venildo Amaral
Sent: Thursday, November 13, 2008 3:31 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Indução Matemática


Boa tarde
 
Alguém poderia ajudar a resolver essa indução matemática, mas
detalhadamente, estou um pouco perdido.
 
a) 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n = 2^(n+1) -  1, para n = 0;
 
b) 2^(-1) + 2^(-2) + 2^(-3) + ... + 2^(-n)  1,
 
Atenciosamente, 
Venildo Junio do Amaral
[EMAIL PROTECTED]
http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual

[obm-l] Indução Matemática

[Venildo Amaral]

Como provar que X^n-1 é divisivel por x-1, através da indução matemática.

Obrigado


Atenciosamente, 
Venildo Junio do Amaral
[EMAIL PROTECTED]
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(11) 4748-0159 / (11) 9167-1450

Re: [obm-l] Indução Matemática

[Rafael Ando]

Pra n=1 é obvio que vale.
Suponha x^n - 1 divisivel por x-1. Seja (x^n -1) = p(x) (x-1), com p(x) um
polinomio.

x^(n+1) -1 = x(x^n -1) +(x-1) = (x-1). (xp(x) - 1) = (x-1) q(x), com q(x) um
polinomio.

Logo, por indução, x^(n+1) - 1 é divisivel por x-1

On Fri, Sep 12, 2008 at 12:59 PM, Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED]wrote:

  Como provar que X^n-1 é divisivel por x-1, através da indução matemática.

 Obrigado


 Atenciosamente,
 Venildo Junio do Amaral
 [EMAIL PROTECTED]
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Rafael

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática

[Rafael Ando]

bom, imagino que vc tenha calculado x^(n+1)-x (e não n^(...)), e dai ta
certo sim!
Então a gente tem x^(n+1) - x, mas o resultado desejado é x^(n+1) -1, certo?
pra isso falta somar esse (x-1)

x(x^n - 1) + (x-1)  =  x^(n+1) - x + x -1 = x^(n+1) - 1

2008/9/12 Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED]

  Rafael, desculpa a minha falta de conhecimento, poderia me explicar mais
 detalhadamente esse passo.

 *x(x^n -1)*

 Pelo que entendi isso vai dar n^(n+1) - x, correto???

 De onde apareceu o (x-1).

 Realmente estou perdido



 Atenciosamente,
 Venildo Junio do Amaral
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 *From:* Rafael Ando [EMAIL PROTECTED]
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 *Sent:* Friday, September 12, 2008 8:50 AM
 *Subject:* Re: [obm-l] Indução Matemática

 Pra n=1 é obvio que vale.
 Suponha x^n - 1 divisivel por x-1. Seja (x^n -1) = p(x) (x-1), com p(x) um
 polinomio.

 x^(n+1) -1 = x(x^n -1) +(x-1) = (x-1). (xp(x) - 1) = (x-1) q(x), com q(x)
 um polinomio.

 Logo, por indução, x^(n+1) - 1 é divisivel por x-1

 On Fri, Sep 12, 2008 at 12:59 PM, Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED]wrote:

  Como provar que X^n-1 é divisivel por x-1, através da indução
 matemática.

 Obrigado


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 Venildo Junio do Amaral
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática

[Venildo Amaral]

Ok Rafael,

Tinha deduzido isso, mas fiquei na dúvida.

OBrigado

ps: Qual é a ocasião que utilizo esse truque??



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Venildo Junio do Amaral
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  From: Rafael Ando 
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  Sent: Friday, September 12, 2008 9:34 AM
  Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática


  bom, imagino que vc tenha calculado x^(n+1)-x (e não n^(...)), e dai ta certo 
sim!


  Então a gente tem x^(n+1) - x, mas o resultado desejado é x^(n+1) -1, certo? 
pra isso falta somar esse (x-1)


  x(x^n - 1) + (x-1)  =  x^(n+1) - x + x -1 = x^(n+1) - 1


  2008/9/12 Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED]

Rafael, desculpa a minha falta de conhecimento, poderia me explicar mais 
detalhadamente esse passo.

x(x^n -1)

Pelo que entendi isso vai dar n^(n+1) - x, correto???

De onde apareceu o (x-1).

Realmente estou perdido



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  From: Rafael Ando 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, September 12, 2008 8:50 AM
  Subject: Re: [obm-l] Indução Matemática


  Pra n=1 é obvio que vale. 


  Suponha x^n - 1 divisivel por x-1. Seja (x^n -1) = p(x) (x-1), com p(x) 
um polinomio.


  x^(n+1) -1 = x(x^n -1) +(x-1) = (x-1). (xp(x) - 1) = (x-1) q(x), com q(x) 
um polinomio. 


  Logo, por indução, x^(n+1) - 1 é divisivel por x-1


  On Fri, Sep 12, 2008 at 12:59 PM, Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED] 
wrote:

Como provar que X^n-1 é divisivel por x-1, através da indução 
matemática.

Obrigado


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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática

[Rafael Ando]

De nada alias, que truque? o princípio da indução?
bom, vc pode usar indução pra demonstrar várias coisas normalmente
quando é uma afirmação do tipo: prove que todo n inteiro maior que x possui
uma certa propiedade P. O problema que vc propos, por exemplo, é desse
tipo: a propriedade P seria que x^n-1 seja divisível por x-1.

2008/9/12 Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED]

  Ok Rafael,

 Tinha deduzido isso, mas fiquei na dúvida.

 OBrigado

 ps: Qual é a ocasião que utilizo esse truque??



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 Venildo Junio do Amaral
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 *From:* Rafael Ando [EMAIL PROTECTED]
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 *Sent:* Friday, September 12, 2008 9:34 AM
 *Subject:* Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática

 bom, imagino que vc tenha calculado x^(n+1)-x (e não n^(...)), e dai ta
 certo sim!
 Então a gente tem x^(n+1) - x, mas o resultado desejado é x^(n+1) -1,
 certo? pra isso falta somar esse (x-1)

 x(x^n - 1) + (x-1)  =  x^(n+1) - x + x -1 = x^(n+1) - 1

 2008/9/12 Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED]

  Rafael, desculpa a minha falta de conhecimento, poderia me explicar mais
 detalhadamente esse passo.

 *x(x^n -1)*

 Pelo que entendi isso vai dar n^(n+1) - x, correto???

 De onde apareceu o (x-1).

 Realmente estou perdido



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 Venildo Junio do Amaral
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 *From:* Rafael Ando [EMAIL PROTECTED]
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 *Sent:* Friday, September 12, 2008 8:50 AM
 *Subject:* Re: [obm-l] Indução Matemática

 Pra n=1 é obvio que vale.
 Suponha x^n - 1 divisivel por x-1. Seja (x^n -1) = p(x) (x-1), com p(x) um
 polinomio.

 x^(n+1) -1 = x(x^n -1) +(x-1) = (x-1). (xp(x) - 1) = (x-1) q(x), com q(x)
 um polinomio.

 Logo, por indução, x^(n+1) - 1 é divisivel por x-1

 On Fri, Sep 12, 2008 at 12:59 PM, Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED]wrote:

  Como provar que X^n-1 é divisivel por x-1, através da indução
 matemática.

 Obrigado


 Atenciosamente,
 Venildo Junio do Amaral
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Rafael

[obm-l] Indução Matemática

[Venildo Amaral]

Poderia me ajudar nessa indução, provar que 

5^(n+1) + 2.3^n + 1 é divisivel por 8


Atenciosamente, 
Venildo Junio do Amaral
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Re: [obm-l] Indução Matemática

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Venildo,

para n=0, temos: 5 + 2 + 1 = 8 que é divisivel por 8.
suponha que seja verdadeiro para k, vamos mostrar que vale para k+1.. assim:
5^(k+2) + 2.3^(k+1) + 1 = 5.5^(k+1) + 6.3^k + 1 = 4.5^(k+1) + 4.3^k +
5^(k+1) + 2.3^k + 1 = 4.[5^(k+1) + 3^k] + 5^(k+1) + 2.3^k + 1...

veja que basta provarmos que 5^(k+1) + 3^k é multiplo de 2... de fato: para
k=0, temos: 5+1 = 6
vamos supor que vale para u, e vamos mostrar que vale para u+1... assim:
5^(u+2) + 3^(u+1) = 5.5^(u+1) + 3.3^u = 4.5^(u+1) + 2.3^u + 5^(u+1) +
3^u. como, por hipotese, 5^(u+1) + 3^u é divisível por 2, então 5^(u+2)
+ 3^(u+1) também é.

voltando, como 5^(k+1) + 2.3^k + 1, por hipótese, é divisível por 8, e temos
que 5^(k+1) + 3^k é múltiplo de 2, então está provado para k+1.

desculpa a confusão, fiz correndo aqui..
qquer dúvida é só dizer..

abraços,
Salhab


On Tue, Sep 9, 2008 at 4:15 PM, Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED]wrote:

  Poderia me ajudar nessa indução, provar que

 5^(n+1) + 2.3^n + 1 é divisivel por 8


 Atenciosamente,
 Venildo Junio do Amaral
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RES: [obm-l] Indução Matemática

[Artur Costa Steiner]

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Marcelo Salhab Brogliato
Enviada em: terça-feira, 9 de setembro de 2008 17:33
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Indução Matemática


Olá Venildo,

para n=0, temos: 5 + 2 + 1 = 8 que é divisivel por 8.
suponha que seja verdadeiro para k, vamos mostrar que vale para k+1.. assim:
5^(k+2) + 2.3^(k+1) + 1 = 5.5^(k+1) + 6.3^k + 1 = 4.5^(k+1) + 4.3^k + 5^(k+1) + 
2.3^k + 1 = 4.[5^(k+1) + 3^k] + 5^(k+1) + 2.3^k + 1...

veja que basta provarmos que 5^(k+1) + 3^k é multiplo de 2... de fato: para 
k=0, temos: 5+1 = 6
vamos supor que vale para u, e vamos mostrar que vale para u+1... assim:
5^(u+2) + 3^(u+1) = 5.5^(u+1) + 3.3^u = 4.5^(u+1) + 2.3^u + 5^(u+1) + 3^u. 
como, por hipotese, 5^(u+1) + 3^u é divisível por 2, então 5^(u+2) + 3^(u+1) 
também é.

[Artur Costa Steiner]
Aqui, bastava observar que 5^(k +1) e 3^k sao sempre impares, de modo que a 
soma deles eh sempre par.
Artur


voltando, como 5^(k+1) + 2.3^k + 1, por hipótese, é divisível por 8, e temos 
que 5^(k+1) + 3^k é múltiplo de 2, então está provado para k+1.

desculpa a confusão, fiz correndo aqui..
qquer dúvida é só dizer..

abraços,
Salhab



On Tue, Sep 9, 2008 at 4:15 PM, Venildo Amaral  [EMAIL 
PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED] wrote:


Poderia me ajudar nessa indução, provar que

5^(n+1) + 2.3^n + 1 é divisivel por 8


Atenciosamente,
Venildo Junio do Amaral
[EMAIL PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED]
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[obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática

[Venildo Amaral]

Marcelo 

Tinha provado de uma forma bem mais simples e fiquei na dúvida, fiz assim:

base: n=0 = 5¹ + 2.3^0  + 1 = 8 , logo é divisivel por 8

H.I .

P.I = n+1
5^(n+2) + 2.3^(n+1) + 1 
= 5.5^(n+1) + 2.3.3^n + 1
= 5 . 5^(n+1) + 1 + 3^n .2.3
Por hipotese a parte grifada é divisivel por oito, logo as restante é 
divisivel por 8.

DESSE JEITO SERÁ QUE ESTA ERRADO?


Atenciosamente, 
Venildo Junio do Amaral
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  - Original Message - 
  From: Marcelo Salhab Brogliato 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, September 09, 2008 5:32 PM
  Subject: Re: [obm-l] Indução Matemática


  Olá Venildo,

  para n=0, temos: 5 + 2 + 1 = 8 que é divisivel por 8.
  suponha que seja verdadeiro para k, vamos mostrar que vale para k+1.. assim:
  5^(k+2) + 2.3^(k+1) + 1 = 5.5^(k+1) + 6.3^k + 1 = 4.5^(k+1) + 4.3^k + 5^(k+1) 
+ 2.3^k + 1 = 4.[5^(k+1) + 3^k] + 5^(k+1) + 2.3^k + 1...

  veja que basta provarmos que 5^(k+1) + 3^k é multiplo de 2... de fato: para 
k=0, temos: 5+1 = 6
  vamos supor que vale para u, e vamos mostrar que vale para u+1... assim:
  5^(u+2) + 3^(u+1) = 5.5^(u+1) + 3.3^u = 4.5^(u+1) + 2.3^u + 5^(u+1) + 
3^u. como, por hipotese, 5^(u+1) + 3^u é divisível por 2, então 5^(u+2) + 
3^(u+1) também é.

  voltando, como 5^(k+1) + 2.3^k + 1, por hipótese, é divisível por 8, e temos 
que 5^(k+1) + 3^k é múltiplo de 2, então está provado para k+1.

  desculpa a confusão, fiz correndo aqui..
  qquer dúvida é só dizer..

  abraços,
  Salhab



  On Tue, Sep 9, 2008 at 4:15 PM, Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED] wrote:

Poderia me ajudar nessa indução, provar que 

5^(n+1) + 2.3^n + 1 é divisivel por 8


Atenciosamente, 
Venildo Junio do Amaral
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Re: [obm-l] Indução Matemática

[Marcelo Salhab Brogliato]

Opa, ficou bem melhor ;)
Obrigado Artur.

abraços,
Salhab


2008/9/9 Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]



 -Mensagem original-
 *De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
 nome de *Marcelo Salhab Brogliato
 *Enviada em:* terça-feira, 9 de setembro de 2008 17:33
 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
 *Assunto:* Re: [obm-l] Indução Matemática

  Olá Venildo,

 para n=0, temos: 5 + 2 + 1 = 8 que é divisivel por 8.
 suponha que seja verdadeiro para k, vamos mostrar que vale para k+1..
 assim:
 5^(k+2) + 2.3^(k+1) + 1 = 5.5^(k+1) + 6.3^k + 1 = 4.5^(k+1) + 4.3^k +
 5^(k+1) + 2.3^k + 1 = 4.[5^(k+1) + 3^k] + 5^(k+1) + 2.3^k + 1...

 veja que basta provarmos que 5^(k+1) + 3^k é multiplo de 2... de fato: para
 k=0, temos: 5+1 = 6
 vamos supor que vale para u, e vamos mostrar que vale para u+1... assim:
 5^(u+2) + 3^(u+1) = 5.5^(u+1) + 3.3^u = 4.5^(u+1) + 2.3^u + 5^(u+1) +
 3^u. como, por hipotese, 5^(u+1) + 3^u é divisível por 2, então 5^(u+2)
 + 3^(u+1) também é.

 [Artur Costa Steiner]
 Aqui, bastava observar que 5^(k +1) e 3^k sao sempre impares, de modo que a
 soma deles eh sempre par.
 Artur


 voltando, como 5^(k+1) + 2.3^k + 1, por hipótese, é divisível por 8, e
 temos que 5^(k+1) + 3^k é múltiplo de 2, então está provado para k+1.

 desculpa a confusão, fiz correndo aqui..
 qquer dúvida é só dizer..

 abraços,
 Salhab


  On Tue, Sep 9, 2008 at 4:15 PM, Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED]wrote:

  Poderia me ajudar nessa indução, provar que

 5^(n+1) + 2.3^n + 1 é divisivel por 8


 Atenciosamente,
 Venildo Junio do Amaral
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RES: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática

[Artur Costa Steiner]

Não entendi não, não estou vendo como vc chegou aa conclusao desejada. A 
expressao nao eh 5 vezes um multiplo de 8

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Venildo Amaral
Enviada em: terça-feira, 9 de setembro de 2008 18:15
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática


Marcelo

Tinha provado de uma forma bem mais simples e fiquei na dúvida, fiz assim:

base: n=0 = 5¹ + 2.3^0  + 1 = 8 , logo é divisivel por 8

H.I .

P.I = n+1
5^(n+2) + 2.3^(n+1) + 1
= 5.5^(n+1) + 2.3.3^n + 1
= 5 . 5^(n+1) + 1 + 3^n .2.3
Por hipotese a parte grifada é divisivel por oito, logo as restante é 
divisivel por 8.

DESSE JEITO SERÁ QUE ESTA ERRADO?


Atenciosamente,
Venildo Junio do Amaral
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- Original Message -
From: Marcelo Salhab Brogliatomailto:[EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, September 09, 2008 5:32 PM
Subject: Re: [obm-l] Indução Matemática

Olá Venildo,

para n=0, temos: 5 + 2 + 1 = 8 que é divisivel por 8.
suponha que seja verdadeiro para k, vamos mostrar que vale para k+1.. assim:
5^(k+2) + 2.3^(k+1) + 1 = 5.5^(k+1) + 6.3^k + 1 = 4.5^(k+1) + 4.3^k + 5^(k+1) + 
2.3^k + 1 = 4.[5^(k+1) + 3^k] + 5^(k+1) + 2.3^k + 1...

veja que basta provarmos que 5^(k+1) + 3^k é multiplo de 2... de fato: para 
k=0, temos: 5+1 = 6
vamos supor que vale para u, e vamos mostrar que vale para u+1... assim:
5^(u+2) + 3^(u+1) = 5.5^(u+1) + 3.3^u = 4.5^(u+1) + 2.3^u + 5^(u+1) + 3^u. 
como, por hipotese, 5^(u+1) + 3^u é divisível por 2, então 5^(u+2) + 3^(u+1) 
também é.

voltando, como 5^(k+1) + 2.3^k + 1, por hipótese, é divisível por 8, e temos 
que 5^(k+1) + 3^k é múltiplo de 2, então está provado para k+1.

desculpa a confusão, fiz correndo aqui..
qquer dúvida é só dizer..

abraços,
Salhab



On Tue, Sep 9, 2008 at 4:15 PM, Venildo Amaral  [EMAIL 
PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED] wrote:


Poderia me ajudar nessa indução, provar que

5^(n+1) + 2.3^n + 1 é divisivel por 8


Atenciosamente,
Venildo Junio do Amaral
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática

[Venildo Amaral]

Analisando bem, ficou meio estranho mesmo.

Vou tentar entender melhor.

Obrigado



Atenciosamente, 
Venildo Junio do Amaral
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  - Original Message - 
  From: Artur Costa Steiner 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, September 09, 2008 7:30 PM
  Subject: RES: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática


  Não entendi não, não estou vendo como vc chegou aa conclusao desejada. A 
expressao nao eh 5 vezes um multiplo de 8
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Venildo Amaral
Enviada em: terça-feira, 9 de setembro de 2008 18:15
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática


Marcelo 

Tinha provado de uma forma bem mais simples e fiquei na dúvida, fiz assim:

base: n=0 = 5¹ + 2.3^0  + 1 = 8 , logo é divisivel por 8

H.I .

P.I = n+1
5^(n+2) + 2.3^(n+1) + 1 
= 5.5^(n+1) + 2.3.3^n + 1
= 5 . 5^(n+1) + 1 + 3^n .2.3
Por hipotese a parte grifada é divisivel por oito, logo as restante 
é divisivel por 8.

DESSE JEITO SERÁ QUE ESTA ERRADO?


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  From: Marcelo Salhab Brogliato 
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  Sent: Tuesday, September 09, 2008 5:32 PM
  Subject: Re: [obm-l] Indução Matemática


  Olá Venildo,

  para n=0, temos: 5 + 2 + 1 = 8 que é divisivel por 8.
  suponha que seja verdadeiro para k, vamos mostrar que vale para k+1.. 
assim:
  5^(k+2) + 2.3^(k+1) + 1 = 5.5^(k+1) + 6.3^k + 1 = 4.5^(k+1) + 4.3^k + 
5^(k+1) + 2.3^k + 1 = 4.[5^(k+1) + 3^k] + 5^(k+1) + 2.3^k + 1...

  veja que basta provarmos que 5^(k+1) + 3^k é multiplo de 2... de fato: 
para k=0, temos: 5+1 = 6
  vamos supor que vale para u, e vamos mostrar que vale para u+1... assim:
  5^(u+2) + 3^(u+1) = 5.5^(u+1) + 3.3^u = 4.5^(u+1) + 2.3^u + 5^(u+1) + 
3^u. como, por hipotese, 5^(u+1) + 3^u é divisível por 2, então 5^(u+2) + 
3^(u+1) também é.

  voltando, como 5^(k+1) + 2.3^k + 1, por hipótese, é divisível por 8, e 
temos que 5^(k+1) + 3^k é múltiplo de 2, então está provado para k+1.

  desculpa a confusão, fiz correndo aqui..
  qquer dúvida é só dizer..

  abraços,
  Salhab



  On Tue, Sep 9, 2008 at 4:15 PM, Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED] wrote:

Poderia me ajudar nessa indução, provar que 

5^(n+1) + 2.3^n + 1 é divisivel por 8


Atenciosamente, 
Venildo Junio do Amaral
[EMAIL PROTECTED]
http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual
Home Work
(11) 4748-0159 / (11) 9167-1450

[obm-l] indução

[ilhadepaqueta]

Por favor.Provar por indução que 5^(2n) - 1 é divisível por 24.Obrigado mais uma vez.

Re: [obm-l] indução

[André Araújo]

Vamos provar por indução sobre n. Para n=1 é imediato. Suponha que seja
válido para n=k, assim 24 | [5^(2k) - 1] (Hipótese de Indução). Para
n=k+1 temos:

5^[2(k+1)] - 1 = (5^2)*5^(2k) - 1 = 24*5^(2k) + [5^(2k) - 1], assim 

 24 | {5^[2(k+1)] - 1}.
 Em 01/08/06, ilhadepaqueta [EMAIL PROTECTED] escreveu:

Por favor.Provar por indução que 5^(2n) - 1 é divisível por 24.Obrigado mais uma vez.

[obm-l] Re:[obm-l] Indução finita

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,

para n=1, temos: 2 = 0
para n=2, temos: 4 = 3
para n=3, temos: 8 = 8
para n=4, temos: 16 = 15

ok.. vimos para alguns casos.. 
na verdade, para inducao, basta ser verdadeiro para 1 caso..

Suponha verdadeiro para k, vamos mostrar que vale para k+1.

2^k = k^2 - 1
multiplicamos por 2.. entao:
2^(k+1) = 2k^2 - 2

sabemos que (k+1)^2 - 1 = k^2 + 2k

(2k^2 - 2) - (k^2 + 2k) = k^2 - 2k - 2 = k^2 - 2k - 1 - 1 = (k-1)^2 - 1 = 0, para k0
assim: 2k^2 - 2 = k^2 + 2k = (k+1)^2 - 1

assim: 2^(k+1) = 2k^2 - 2 = (k+1)^2 - 1
logo: 2^(k+1) = (k+1)^2 - 1

cqd.


abraços,
Salhab


 
 Provar que 2^n =n^2 -1 
 
 == 
 === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
 == 
 === 
 

[obm-l] Indução finita

[Guilherme Neves]

Provar que 2^n =n^2 -1

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Indução finita

[sjdmc]

Mensagem Original:
Data: 22:00:07 19/07/2006
De: Guilherme Neves [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Indução finita



Provar que 2^n =n^2
-1=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=



Solução
1°) P(1) é verdadeira pois 2^1=1^2
2°) Admitamos que P(K), K pertencente Naturais não nulo, seja
verdadeira:

2^k=k^2  (hipótese da indução)
e provemos que 2^(k+1)= (k+1)^2
Temos:
2^(k+1)= 2^k*2=k^2+2k+1k^2

C.Q.D.
[]'s
Saulo.

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=
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=

[obm-l] Indução

[Cristiano Ronaldo]

alguém poderia me ajduar nesse exercicio:

eh sempre necessario usar duas facas para cortar extremidades de uma barra qualquer... prove por indução finita que que num padrão de corte com n facas obtem se n - 1 itens.ilustração:| item 1 | item 2 | item 3 | item 4 | item 5 |neste caso foram necessarias6 facas

Renato__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ 

Re: [obm-l] Indução

[Claudio Buffara]

Oi, Marcio:

Da pra provar ainda mais: que (1 + 1/n)^n  3 para todo n.

Uma ideia legal eh expandir (1 + 1/n)^n usando o binomio de Newton, dar uma
arrumada na expressao resultante e deduzir que ela eh limitada superiormente
por: 
1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n!,
a qual por sua vez eh limitada superiormente por:
1 + 1 + 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/((n-1)*n) =
1 + 1 + (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/(n-1) - 1/n) =
1 + 1 + (1 - 1/n)  3.

Dai usando a desigualdade MG  MA com os n+1 numeros:
1 + 1/n, 1 + 1/n, ..., 1 + 1/n, 1
(ou seja n numeros iguais a 1 + 1/n e 1 numero igual a 1)
voce obtem:
(1 + 1/n)^(n/(n+1))  1 + 1/(n+1) ==
(1 + 1/n)^n  (1 + 1/(n+1))^(n+1) ==
((1 + 1/n)^n) eh crescente.

Logo, ((1 + 1/n)^n) eh monotona crescente e limitada superiormente por 3.
Assim, existe lim(n - infinito) (1 + 1/n)^n.


[]s,
Claudio.

on 17.03.05 22:22, Marcio M Rocha at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Boa noite, pessoal.
 A questão abaixo também consta do Vol. 1 de A Matemática do Ensino Médio.
 Ela tem duas partes, das quais fiz a primeira. Gostaria de pedir que alguém
 verificasse se está tudo OK.
 
 Parte 1) Prove que ((n + 1)/n) elevado a n =n para todo n=3.
 
 Para n = 3 temos (4/3)³ =3
 
 Solução
 Supondo verdadeira para algum k3:
 
 ((k + 1)/k) elevado a k =k
 
 Multiplico a desigualdade acima por ((k + 1)/k) e obtenho
 
 ((k + 1)/k)elevado a (k + 1) = k + 1
 
 Só que quando k  3, (k + 2)/(k + 1) = (k + 1)/k, e daí:
 
 ((k + 2)/(k + 1)) elevado a (k + 1)  = ((k + 1)/k) elevado a (k + 1)
 
 Logo (((k + 1) + 1)/(k + 1)) elevado a (k + 1) = k + 1
 
 Parte 2) Use esse fato para mostrar que a seqüência
 
 1, 2¹/2, 3¹/3, 4¹/4, ...
 
 é decrescente a partir do 3o termo.
 
 Esta parte ainda está saindo.
 
 Desculpem se são questões triviais para vocês.
 
 Abraços.
 
 Márcio.
 
 =
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[obm-l] Indução

[Marcio M Rocha]

Boa noite, pessoal.
A questão abaixo também consta do Vol. 1 de A Matemática do Ensino Médio. 
Ela tem duas partes, das quais fiz a primeira. Gostaria de pedir que alguém 
verificasse se está tudo OK.

Parte 1) Prove que ((n + 1)/n) elevado a n =n para todo n=3.

Para n = 3 temos (4/3)³ =3

Solução
Supondo verdadeira para algum k3:

((k + 1)/k) elevado a k =k

Multiplico a desigualdade acima por ((k + 1)/k) e obtenho

((k + 1)/k)elevado a (k + 1) = k + 1

Só que quando k  3, (k + 2)/(k + 1) = (k + 1)/k, e daí:

((k + 2)/(k + 1)) elevado a (k + 1)  = ((k + 1)/k) elevado a (k + 1)

Logo (((k + 1) + 1)/(k + 1)) elevado a (k + 1) = k + 1

Parte 2) Use esse fato para mostrar que a seqüência

1, 2¹/2, 3¹/3, 4¹/4, ...

é decrescente a partir do 3o termo.

Esta parte ainda está saindo.

Desculpem se são questões triviais para vocês.

Abraços.

Márcio.

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[obm-l] Indução

[Eduardo F. Botelho]

Olá pessoal da lista!

Envio abaixo um problema que caiu na olimpíada cearense. Não estou 
encontrando uma explicação satisfatória para ele...

TEOREMA: Para todo n, num conjunto de n bolas, todas elas
têm a mesma cor.
COROLÁRIO: Todas as bolas do mundo têm a mesma cor.

Demostração:
A demonstração do teorema será feita usando o PIF. O resultado é válido 
para n=1 pois, num conjunto com uma bola, todas elas têm a mesma cor. 
Suponha que o teorema seja válido para todo conjunto com i bolas. 
Considere um conjunto com i+1 bolas. Retirando uma delas, o conjunto 
restante possui i bolas e, pela hipótese indutiva, todas possuem a mesma 
cor, digamos amarela. Retire uma das bolas amarelas desse conjunto e 
retorne  a bola de cor desconhecida anteriormente retirada. Obtemos 
novamente um conjunto com i bolas e que, pelo que foi discutido 
anteriormente, possui i-1 bolas amarelas. Pela hipótese indutiva, possui 
todas as bolas da mesma cor.  Segue que a bola de cor desconhecida 
também é amarela. Assim, todas as i+1 bolas são amarelas.

Descubra o erro nesta demonstração.

---

Acho que o erro está em considerar a passagem P(i-1) = P(i) como 
hipótese indutiva, e não como a própria tese. Mas não estou tão seguro 
disso...

Abraço
Eduardo
=
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[obm-l] RE: [obm-l] Indução

[Artur Costa Steiner]

Oi Eduardo,

Observe a seguinte passagem da demonstracao:  
 Obtemos novamente um conjunto com i bolas e que, pelo que foi
discutido
 anteriormente, possui i-1 bolas amarelas. Pela hipótese indutiva,
possui
 todas as bolas da mesma cor.
Isso so eh valido se i-10, ou seja i=2. Assim, o fato de que a
hipotese seja valida para i=1 nao implica que seja valida para i=2.
Suponha i=1 e considere um conjunto com i+1=2 bolas. Tire uma, obtendo
um conjunto com uma bola - amarela, por hipotese. Retire esta bola
amarela, vc fica com um conjunto vazio. Retorne a bola inicialmente
retirada. Vc agora tem um conjunto com uma unica bola, mas nao eh
possivel afirmar que ela eh amarela, porque o conjunto com i-1=0 bolas
era vazio. Assim, o processo indutivo eh cortado na raiz e nao
deslancha. 
O processo daria ceto se partisse de i=2 com a hipotese inicial de que
em todo conjunto composto por 2 bolas, as bolas tem a mesma cor. Mas
isto eh claramente falso. Tambem daria certo se partisse de i=1 com a
hipotese dados 2 conjuntos quaisquer compostos por uma unica bola, as
bolas dos 2 conjuntos tem a mesma cor - outro absurdo.
Abracos
Artur

=
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=

[obm-l] Indução finita (mais um...)

[Henrique Patrício Sant'Anna Branco]

Como eu faço isso?
Verifique que
1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n-1)^2 = n(4n^2 + 1)/3
Tentei somar (2n + 1)^2 dos dois lados, mas me embolei com o segundo
membro... Não consigo fazer sair um (n+1)(4(n+1)^2 + 1)/3.
Alguma sugestão?
Grato,
Henrique.

=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Indução finita (mais um...)

[Fábio Dias Moreira]

-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1

Em Monday 25 August 2003 22:51, Henrique Patrício Sant'Anna Branco escreveu:
 Como eu faço isso?
 Verifique que
 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n-1)^2 = n(4n^2 + 1)/3
 [...]

A sua fórmula está errada: Para n = 1, a soma vale (2*1 - 1)^2 = 1, que 
deveria ser igual a 1(4*1^2 + 1)/3 = 5/3. Acho que a fórmula correta é n(4n^2 
- - 1)/3.

[]s,

- -- 
Fábio ctg \pi Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.2 (GNU/Linux)

iD8DBQE/SsSDalOQFrvzGQoRAj3XAKCuzY6vnqHy0qhgVTRn5hsrCArlKACfRxA/
aAKzr8OFIWOSZsvHUIzUKxg=
=DAqq
-END PGP SIGNATURE-

=
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[obm-l] Re: [obm-l] Indução finita (mais um...)

[Henrique Patrício Sant'Anna Branco]

 Como eu faço isso?
 Verifique que
 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n-1)^2 = n(4n^2 + 1)/3

Corrigindo... n(4n^2 - 1)/3 e não n(4n^2 + 1)/3.

Grato,
Henrique.

=
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=

[obm-l] RE: [obm-l] Indução finita (mais um...)

[Artur Costa Steiner]

Hah um engano, a expressao dada nao pode ser a soma dos quadrados dos n
primeiros numeros impares, pois, para n=1, ela teria que dar 1, e nao
5/3. 
Acho que o certo eh n(4n^2 - 1)/3.
Jah que temos uma sugestao para a formula, vamos verificar por inducao
finita. Para n=1, obtemos 1 - OK. Admitindo-se que a formula valha para
algum natural n e sendo S_n a soma dos quadrados dos n primeiros numeros
impares, temos que S_n+1 = S_n + (2n+1)^2 = n(4n^2 - 1)/3 + (2n+1)^2 =
n(2n-1)(2n+1)/3 + (2n+1)^2 = (2n+1) [n(2n-1)+3(2n+1)]/3 =
(2n+1)[2n^2+5n+3]/3= (2n+1)(n+1)(2n+3)/3 = (n+1)(2n+1)(2n+3)/3. Dado que
S_n = n(4n^2 - 1)/3 = n(2n-1)(2n+1)/3, vemos que a expressao de S_n+1 eh
obtida de S_n substituindo-se n por n+1. Isto completa a inducao e
mostra que a formula eh valida (a corrigida, nao a original).
O que temos aqui eh a soma dos quadrados dos n primeiros termos de uma
PA, no caso a PA dos numeros impares. Existe uma formula geral (dificil
de se guardar) para a soma dos n primeiros termos de uma PA elevados a
k, poderiamos simplesmente aplicar tal formula sem recorrer a inducao
finita. Sabemos que esta formula corresponde a um polinomio do grau k+1
em n no qual o termo independente eh nulo. Logo, no caso temos um pol.
Do grau 3 em n com termo independente nulo. Basedos nisto, uma forma
mais simples de checarmos se a expressao eh correta, e que evita o
algebrismo que realizamos, eh verificar se a mesma eh um pol. em n  (e
de fato eh), se o termo independente eh nulo (claramente eh) e se a
expressao bate para n=1 , 2 e 3 (existe um e apenas um pol. do terceiro
grau que atende a estas condicoes). Verificamos sem muito esforco que
este eh o caso, conclusao que valida a formula.
Provas por inducao finita sao interessantes, mas exigem que se conheca
previamente a conclusao que se deseja provar. Assim, para aplica-las, vc
tem,  seja porque analisou o problema, seja porque (como no caso) alguem
lhe disse ou seja porque vc teve uma especie de inspiracao divina, que
desconfiar previamente que sua formula ou conclusao eh valida
Finalizo sugerindo a vc um problema simples e interessante a ser
resolvido por inducao: baseado em que a soma dos n primeiros naturais eh
dada por n(n+1)/2, mostre que a soma dos cubos dos n primeiros naturais
eh o quadrado da soma dos mesmos,
Espero ter ajudado um pouco.
Artur

=
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=

[obm-l] INDUÇÃO FINITA

[Nelson alotiab]

Olá a todos, Tentei provar por indução finita, mas chego num ponto que não consigo mais "sair". Alguém poderia me dar um "forçinha" para continuar? 
Provar f(x + np) = f(x)1º) n = 1 (VERDADEIRO)Portanto, f(x + p) = f(x)2º) n = k, (VERDADEIRO)Portanto, f(x + kp) = f(x)3º) n = k + 1f(x + (k + 1)p) = f(x + kp + p) = f(f(x) + p) (??)
Como continuo?
Obrigado pela atençãoNelsonYahoo! Mail 
Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.

Re: [obm-l] INDUÇÃO FINITA

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

Ta faltando o enunciado, neh? Presumo que seja Se f eh uma funçao periodica de periodo 
p entao...


Em Wed, 16 Jul 2003 15:53:22 -0300 (ART), Nelson alotiab [EMAIL PROTECTED] disse:

 Olá a todos, 
 Tentei provar por indução finita, mas chego num ponto que não consigo mais sair. 
 Alguém poderia me dar um forçinha para continuar? 
 Provar f(x + np) = f(x)
 1º) n = 1 (VERDADEIRO)
 Portanto, f(x + p) = f(x)
 2º) n = k, (VERDADEIRO)
 Portanto, f(x + kp) = f(x)
 3º) n = k + 1
 f(x + (k + 1)p) = f(x + kp + p) = f(x+kp)(pois f eh periodica de periodo p) = f(x) 
 (pela hipotese de induçao)

=
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Re: [obm-l] INDUÇÃO FINITA

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

Ta faltando o enunciado, neh? Presumo que seja Se f eh uma funçao periodica de periodo 
p entao...


Em Wed, 16 Jul 2003 15:53:22 -0300 (ART), Nelson alotiab [EMAIL PROTECTED] disse:

 Olá a todos, 
 Tentei provar por indução finita, mas chego num ponto que não consigo mais sair. 
 Alguém poderia me dar um forçinha para continuar? 
 Provar f(x + np) = f(x)
 1º) n = 1 (VERDADEIRO)
 Portanto, f(x + p) = f(x)
 2º) n = k, (VERDADEIRO)
 Portanto, f(x + kp) = f(x)
 3º) n = k + 1
 f(x + (k + 1)p) = f(x + kp + p) = f(x+kp)(pois f eh periodica de periodo p) = f(x) 
 (pela hipotese de induçao)

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[obm-l] Indução Finita

[Jose Francisco Guimaraes Costa]

O Luis Lopes, que participa deste forum, é autor de 
um livro sobre o Método da Indução Finita.

Estou mandando esta nota porque o Luis - que 
conheço pessoalmente - pode achar que, se responder "espontaneamente", estaria 
fazendo promoção comercial.

JF

- Original Message - 

  From: 
  BOL 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Thursday, January 01, 1998 5:10 
  AM
  Subject: [obm-l] Indução Finita
  
  Alguém poderia me sugerir livros, sites na net ou 
  similares sobre o princípio da indução finita? Pode ser referências em Inglês, 
  espanhol ou português. (Além daquele artigo da revista eureka nº 3) 
  
  
  Obrigado 
  
  Denisson
  
  
  

[obm-l] Indução Finita

[BOL]

Alguém poderia me sugerir livros, sites na net ou 
similares sobre o princípio da indução finita? Pode ser referências em Inglês, 
espanhol ou português. (Além daquele artigo da revista eureka nº 3) 


Obrigado 

Denisson

[obm-l] Re: [obm-l] Indução finita

[RICARDO CHAVES]

From: Helder Suzuki<[EMAIL PROTECTED]> 
Reply-To: [EMAIL PROTECTED] 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Subject: [obm-l] Induo finita 
Date: Sat, 23 Mar 2002 19:15:33 -0300 (ART) 
 
Ol pessoal, 
como posso provar, usando induo finita, que (x-1)^x  x^(x-1) para todo 
x3 natural ? 
 
,Hlder 
 
_ANSWER 


Vamos provar que n((n+1)/n)^n((estrela)).Vamos de PIF.Prove que para n3 da certo.E com isso na mao,vamos provar.Como (n+1)/n(n+2)/(n+1),eleva tudo a n+1 e pronto!E so arranjar um jeito de usar((estrela)).Gostou? 




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[obm-l] Indução finita

[Helder Suzuki]

Olá pessoal,
como posso provar, usando indução finita, que (x-1)^x  x^(x-1) para todo
x3 natural ?

,Hélder

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[obm-l] Re: [obm-l] Indução finita

[Juliana Freire]

Caso base: mostrar que pra x=4 funciona (8164)


Indução:

(x-1)^x  x^(x-1)

Multiplicando os dois lados por [x^(x+1)]/[(x-1)^x] temos

x^(x+1)  x^(x-1) * x^(x+1) / (x-1)^x
x^(x+1)  x^(2x) / (x-1)^x
x^(x+1)  [ x^2 / (x-1) ]^x

Mas podemos ver que x^2 / (x-1)  x+1,
porque x^2  (x-1)*(x+1)
x^2  x^2 - 1.

Então
x^(x+1)  [ x^2 / (x-1) ]^x  (x+1)^x ,
x^(x+1)  (x+1)^x


- Juliana


- Original Message -
From: Helder Suzuki [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, March 23, 2002 7:15 PM
Subject: [obm-l] Indução finita


Olá pessoal,
como posso provar, usando indução finita, que (x-1)^x  x^(x-1) para todo
x3 natural ?

,Hélder

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