Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
>Ou seja, você está dizendo que se (R - X) é uma união enumerável de intervalos abertos e é denso em R, então X é no máximo enumerável? > >Eu tenho certeza de que você conhece um contra-exemplo famoso pra essa >afirmação. Olá, Cláudio Como sempre, tens razão... Um :) dos meus erros foi ter suposto uma ordenação dos intervalos que decompõem o aberto de forma a se ter um intervalo com extremidade menor que todos os outros. O contra-exemplo (que eu não conhecia, apesar de ser bem simples) fica por conta da mensagem do Artur "embolotando" os racionais. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto dos reais
Olá! Olha, uma pergunta como essa só faz sentido se você tiver uma definição de números reais, e existem várias maneiras de fazê-la. Em muitos livros evita-se fazer a construção dos números reais, admitindo-se como axioma que existe um corpo com tais e tais propriedades a que se chama de corpo dos números reais. Se é corpo, por definição, ele é fechado para a soma. Num processo de construção dos números reais a partir dos racionais, por exemplo via cortes de dedekind, você tem em mãos uma definição de número real e também de adição de números reais, e a partir delas é possível demonstrar que a soma de dois reais é também um real. Ok? []s, Daniel cfgauss77 ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > > Gostaria de uma demonstração para a seguinte proposição: > >"O conjunto dos reais é fechado para a adição, ou seja, sejam x e y reais, então, x+y também é real". = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas de Algebra
Claudio Buffara ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Oi, pessoal: > >Preciso de ajuda nos seguintes problemas sobre grupos do Herstein - Topics >in Algebra: > >Secao 2.4: > >13) De um exemplo de um conjunto S, fechado em relacao a uma operacao >associativa "*" e tal que: >i) Existe e em S, tal que a*e = a, para todo a em S; >ii) Para todo a em S, existe y(a) em S tal que y(a)*a = e; >iii) S nao eh um grupo. Oi, Cláudio Dei uma olhada no meu Hernstein: Veja o problema 12: 12) Seja G um conjnto não vazio fechado com relação a um produto associativo, que além disso satisfaz a) Existe e em G tal que a*e = a para todo a em G b) Dado a em G, existe um elemento y(a) tal que a*y(a) = e. Demonstrar que G é um grupo com relação a este produto. Aí o problema 13 é assim: 13) Demonstrar, através de um exemplo, que a conclusão do Problema 12 é falsa se admitirmos, ao invés: a) Existe um e em G tal que a*e = a para todo a em G b) Dado a em G, existe um elemento y(a) em G tal que a*y(a) = e. Se vc disser que G é fechado para um produto associativo, então o enunciado do 13 é idêntico ao do 12, a menos que vc pense o (a) e (b) do 13 como itens separados, isto é, dar exemplo de quando somente (a) vale e depois quando somente (b) vale. Ou então trata-se de um erro do livro, possivelmente na tradução (já encontrei vários no meu exemplar) []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] �rea entre curvas
Seja C uma curva plana convexa e fechada (de classe C^1). Considere um segmento que desliza sobre C (com extremidades em C e comprimento fixo) até dar uma volta completa. Considere a curva K descrita por um ponto P do segmento, situado a distândias a e b das extremidades. Mostre que a área da região compreendida entre C e K é pi*a*b. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] quest�o de geo
Oi, O gabarito está respondendo à questão "quantas interseções acontecem entre diagonais acontecem dentro do polígono, excetuando-se, inclusive, as interseções nos vértices" e eu respondi à questão "quantas interseções acontecem no total, incluindo-se as dos prolongamentos das diagonais e incluindo-se as que ocorrem nos vértices". OK? []s, Daniel Brunno Fernandes ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Ola Daniel tudo bem?? >Obrigado pela força > >Nesta questão o gabarito indica >[n x (n-1) x (n-2) x (n-3)]/ (1x2x3x4) > >Estou tentando achar erros mas não estou conseguindo >Vou analisar com mais calma, mas queria já te mandar o gabarito e assim você >pode já ver se tem algum erro >Um abraço Daniel >Do amigo >Brunno > > >- Original Message - >From: >To: >Sent: Friday, April 29, 2005 1:42 AM >Subject: Re: [obm-l] questão de geo > > >Oi, >Eu acho que cheguei na resposta. A idéia é a seguinte: > >De cada ponto partem (n - 3) diagonais, logo são d = n*(n-3)/2 diagonais no >total. Para determinar o número máximo de interseções, consideramos a melhor >das hipóteses: três diagonais distintas não se interceptam num mesmo ponto a >menos que se trate de um vértice do polígono. Ou seja, fixada uma diagonal, >quaisquer outras duas diagonais cortam a primeira em pontos distintos se >estas duas novas diagonais se não cruzam num vértice da primeira. > >Dito isto, para o cálculo do número de pontos de interseção, imaginamos >inicialmente que quaisquer duas diagonais interceptam-se sempre em pontos >distintos. Então seriam d*(d-1)/2 interseções. > >Só que, na verdade, para cada vértice, existem (n-3) diagonais que se >interceptam nele. Ou seja, até aqui estamos contando (n-3)*(n-4)/2 >interseções ao invés de uma para cada vértice. Para corrigir o problema, >devemos tirar de d*(d-1)/2 as n*((n-3)*(n-4)/2 - 1) interseções contadas a >mais. Assim, o número máximo de interseções é > >d*(d-1)/2 - n*((n-3)*(n-4)/2 - 1) = >= n*(n-3)*[n*(n-3)/2 - 1]/4 - n*[(n-3)*(n-4)/2 - 1]. > >OBS 1: só vale para n >= 5... Quando n = 4, não existem duas diagonais >saindo do mesmo vértice, por isso fica somente d*(d-1)/2 = 1. >OBS 2: as diagonais podem interceptar-se fora do polígono! > >[]s, >Daniel > >Brunno Fernandes ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: >> >>Ola pessoal tudo bem? >>Poderiam me ajudar nesta questão, >> >>Determinar o numero máximo de pontos de intersecção das diagonais de um >>poiligono convexo de n lados >> >>Uma questão muito parecida em que pede o número máximo de pontos de >>intersecção dos prolongamentos das diagonais >> >>Essas são questões do livro de Geometria Plana do livro do Edgard de >>Alencar Filho >>um ótimo livro >>Um abraço >>Do amigo >>Brunno > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] quest�o de geo
Oi, Eu acho que cheguei na resposta. A idéia é a seguinte: De cada ponto partem (n - 3) diagonais, logo são d = n*(n-3)/2 diagonais no total. Para determinar o número máximo de interseções, consideramos a melhor das hipóteses: três diagonais distintas não se interceptam num mesmo ponto a menos que se trate de um vértice do polígono. Ou seja, fixada uma diagonal, quaisquer outras duas diagonais cortam a primeira em pontos distintos se estas duas novas diagonais se não cruzam num vértice da primeira. Dito isto, para o cálculo do número de pontos de interseção, imaginamos inicialmente que quaisquer duas diagonais interceptam-se sempre em pontos distintos. Então seriam d*(d-1)/2 interseções. Só que, na verdade, para cada vértice, existem (n-3) diagonais que se interceptam nele. Ou seja, até aqui estamos contando (n-3)*(n-4)/2 interseções ao invés de uma para cada vértice. Para corrigir o problema, devemos tirar de d*(d-1)/2 as n*((n-3)*(n-4)/2 - 1) interseções contadas a mais. Assim, o número máximo de interseções é d*(d-1)/2 - n*((n-3)*(n-4)/2 - 1) = = n*(n-3)*[n*(n-3)/2 - 1]/4 - n*[(n-3)*(n-4)/2 - 1]. OBS 1: só vale para n >= 5... Quando n = 4, não existem duas diagonais saindo do mesmo vértice, por isso fica somente d*(d-1)/2 = 1. OBS 2: as diagonais podem interceptar-se fora do polígono! []s, Daniel Brunno Fernandes ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Ola pessoal tudo bem? >Poderiam me ajudar nesta questão, > >Determinar o numero máximo de pontos de intersecção das diagonais de um >poiligono convexo de n lados > >Uma questão muito parecida em que pede o número máximo de pontos de >intersecção dos prolongamentos das diagonais > >Essas são questões do livro de Geometria Plana do livro do Edgard de >Alencar Filho >um ótimo livro >Um abraço >Do amigo >Brunno = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Quest�o boa de Elipse
Por que vc não parametriza essa elipse? x^2 + 16y^2 = 16 é equivalente a (x/4)^2 + y^2 = 1. Uma boa parametrização é x = 4*cos(k), y = sen(k). A partir daí, a área é x*y/2 = 2*cos(k)*sen(k) = sen(2k). []s, Daniel [EMAIL PROTECTED] escreveu: > >Poxa.. não estou saindo de jeito nenhum, alguém pode ajudar? >Questão em axeno. > >Abços >Junior > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: subespa�os fechados
Se F tem dimensão finita sobre os reais, então F é fechado, e isso independe do espaço onde F está imerso. Para o contra-exemplo no caso de F ter dimensão infinita, seja F o subespaço das seqüencias (x_1, x_2, ...) tais que x_i = 0 para todo i salvo uma quantidade finita. F está imerso no espaço V = { x = (x_1, x_2, ...) tal que x é seqüencia real onde a série |x_1| + |x_2| + ... converge }, e passamos a adotar a norma dada exatamente pela série dos módulos dos termos das seqüencias. Os vetores E_n = (0, ..., 0, 1/2^n, 0, ...) (isto é, com todas as coordenadas nulas exceto a n-ésima, que é 1/2^n) estão em F. A sequëncia dada por S_n = E_1 + ... + E_n tem termos em F, no entanto, ela converge para S = (1/2, 1/4, 1/8, ...) em V (a série |1/2| + |1/4| + ... converge!), mas S não está em F. Logo, F não é fechado. Outra coisa que importa é que o corpo base K do espaço tem que ser completo para que F seja fechado se a dimensão de F sobre K é finita: por exemplo, tome K = Q (racionais) e considere V = R (reais), F = Q. Q é um subespaço de R de dimensão 1 sobre o corpo Q, mas não é fechado... []s, Daniel Bruno Lima ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >No livro do Elon Analise 2 . cap1. Tem um problema: (*)Seja F subspaco vetorial de R^n , mostre que F é fechado. As provas que vi todas usam o fato do ambiente ter dim finita, ie, tome uma base... >Eu nao sei nada de Analise Funcional , mas "parece"(intuiçao) que isso tambem vale com dimensao infinita. >Alguem ai saberia um contra-exemplo em dimensao infnita ou uma prova do fato (*) que nao use base ou coisas equivalentes, quero dizer uma prova mais "topológica" > >Valeu. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] livros de c�lculo
Eu sou fã do livro do Courant, "Introduction to calculus and analysis", no seu caso, o volume I, que lida com cálculo de 1 variável (dentre várias outras coisas!). É um livro grandinho (a sua completa leitura em 1 semestre é um tanto quanto inviável) e os exercícios são geralmente difíceis (e tem um monte deles), mas ele apresenta a Análise paralelamente ao cálculo, além de haver muita motivação / desenvolvimento geométrico e físico. No entanto, se vc realmente nunca viu o assunto e / ou não tem experiência com demonstrações, acho que já o primeiro capítulo vai desanimá-lo. Nele vc vê a construção dos números reais via intervalos encaixantes, um tópico um pouco pesado para quem está tendo contato pela primeira vez a matemática universitária (dar de cara com os épsilons e deltas pode não ser muito motivador), de maneira que o uso de algum livro auxiliar, ou então pular determinadas seções, seja talvez conveniente; isso vai depender do tempo dedicado ao livro. Mas o esforço vale a pena, nem que vc venha a usar este livro apenas no futuro: os exercícios são desafiadores e o texto é excelente, muito diferente da maioria dos livros de Cálculo usados por aí... É uma boa referência para quem estiver cursando principalmente Matemática ou Física. E, só para dar uma alfinetada, este livro é, felizmente, o avesso do Leithold! :) []s, Daniel Thiago Addvico ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >olá > >estou cursando calculo 1 na universidade e gostaria de pedir uma >recomendação de livro, pois lá estudamos com o anton e ele usa muito a >calculadora, ou softwares gráficos. > >Um abraço! > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Primos de Dirichlet da forma an + b...
Jose Augusto ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > > Antes de tudo: Ola e muito obrigado a quem porventura der atencao ao email. > Estou necessitando da demonstracao do teorema de Dirichlet sobre >primos da forma an + b e ficaria agradecido caso alguem indicasse um >link ou livro. > Caso alguem se arrisque a tentar ai vai o enunciado: >Teorema: Sejam a e b inteiros com a>0 e mdc(a,b)=1. Entao existem >infinitos primos da forma an + b para n natural. * T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag * K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer-Verlag []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Quadrados m�gicos
Olá! Uma matriz n x n chama-se um quadrado mágico quando a soma dos elementos de cada uma de suas linhas, de cada coluna da diagonal principal e da outra diagonal (ao todo 2n + 2 somas) são iguais. Prove que, se n >= 3, o conjunto Q_n dos quadrados mágicos n x n é um subespaço vetorial de dimensão n^2 - 2n do espaço das matrizes n x n sobre o corpo dos reais, ou, se preferir, dos racionais (não sei se funciona para corpo finito). Na verdade, esse é um exercício essencialmente copiado do livro do Elon de Álgebra Linear, e eu resolvi postar aqui para curar as saudades que o pessoal sente da época em que foi apresentado ao quadrado "efetivamente" mágico 4 x 4 onde todas as casas são inteiros distintos variando de 1 a 16! []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ideais maximais 2
Olá, Eric Eric Campos ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: >> >QUESTAO: >> >Seja A=C[0,1] o anel das funcoes reais continuas >> >definidas em [0,1] com as operacoes >> >soma +:(f+g)(x)=f(x)+g(x) >> >produto :(fg)(x)=f(x)g(x) >> >Prove que se M eh ideal maximal de A entao >> >para algum a em [0,1] >> >M=I, onde I={f em A:f(a)=0} >> > >> >SOLUCAO: >> >1. A=C[0,1] >> >2. M eh ideal maximal de A >> >3. I eh ideal maximal de A >> > (provado recentemente na lista) > >A/I eh corpo >(pois A eh comutativo com unidade e I eh maximal, veja >teorema abaixo) > >TEOREMA: Se A eh anel comutativo com unidade e I eh >ideal maximal, entao A/I eh corpo. >dem. livro Introducao a Algebra, A.Goncalves. > >ou (a) M C/ I (C/ significa nao esta contido) >ou (b) M C I Na minha opinião, existe um problema de redação aqui, que mais tarde acaba deixando pouco claro qual o seu raciocínio. Acho que o correto seria escrever (a) Para todo a em [0,1], M não está contido em I_a (b) Existe a em [0,1] tal que M está contido em I_a e tentar mostrar que a opção (a) é absurda. Só que neste caso, o "tome f em M-I" fica um pouco obscuro, pq temos infinitos I possíveis. E argumentar com algo do tipo "fixado I" não me parece muito promissor, mas pode ser que eu esteja totalmente enganado. >Suponha por absurdo M C/ I e tome f em M-I. > >Como A/I eh corpo e f nao esta em I, entao f+I (que >eh elemanto de A/I) nao eh o neutro aditivo de A/I, >logo existe g+I tal que (fg+I)=(f+I)(g+I)=(1+I), isto >eh, fg=1_A Na outra mensagem eu já havia comentado: vc só pode tomar uma f em M que não tenha raízes (do contrário ela não pode ter inversa!). Mas então 1 = f*f^(- 1) está em M, logo M = A, absurdo. >0a. fg = 1_A = 1 (funcao constante 1) >1a. fA C M (pois f estah em M e M eh ideal) >2a. fg estah em M (de 1a e porque g estah em A) >3a. 1_A estah em M (de 0a. e 2a.) >4a. (1_A)I C M (de 3a. e porque M eh ideal) >5a. I C M (de 4a.) >6a. M+I=M (de 5a.) >7a. I C M+I C A >8a. M+I=I ou M+I=A > >Agora, de (a) M C/ I tem-se M+I # I (# significa >diferente), logo > >9a. M+I=A >10a. M = A (de 6a. e 9a.) >11a. M # A (pois M e maximal) >12a. ABSURDO (de 10a. e 11a.) >13a. M C I (de (a) e 12a.) > >Ficou provado que M C I = {f em A:f(a)=0}, para algum >a em [0,1]. Mesmo que estivesse tudo certo, vc não teria provado que M está contido em I_a para algum a, mas sim para todo a... Veja a observação que eu fiz logo no início da resposta. >> >1. M C I >> >2. M C I C A (de 1.) >> >3. I = M ou I = A (pois M eh maximal) >> >4. I # A (pois I eh maximal) >> > (# significa diferente) >> >5. I = M (de 3. e 4.) > >Logo, para todo ideal maximal M, existe algum a em >[0,1] tal que M = {f em A: f(a)=0} Eu acho que vc deveria se concentrar mais no que o fato de não haver um zero de M (isto é, um a tal que M C I_a para algum a em [0,1], e por conseguinte M = I_a visto que M é maximal) implica... Vc poderia por exemplo tentar mostrar que qualquer ideal próprio M está contido em algum I_a para algum a. Com efeito, é fácil ver que nenhum ideal próprio pode ter funções sem zeros (do contrário, pela multiplicação pelo seu inverso, 1 estaria no ideal e logo o ideal seria igual a A). Aí temos duas possibilidades: 1) existem a_1, a_2, ..., a_n (n finito) tais que toda f em M se anula em algum dos a_i 2) existem infinitos a_i com essa propriedade, isto é, se vc tomar um conjunto finito de a_i então existe f em M tal que f não se anula em nenhum dos a_i Se (1) ocorre então M C I_(a_1, a_2, ..., a_n) = { f em A tal que f(a_i) = 0 para algum i }. Então mostre que isso implica que n = 1 e portanto M = I_ (a_1). Depois mostre porque (2) não ocorre... []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ideais maximais 2
Eric Campos ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Resolvi esta questao e gostaria de saber se minha >solucao esta certa e se ha uma solucao mais rapida... >Eh uma especie de reciproca da questao que surgiu >recentemente na lista sobre ideais maximais. Veja a prova do Claudio >QUESTAO: >Seja A=C[0,1] o anel das funcoes reais continuas >definidas em [0,1] com as operacoes >soma +:(f+g)(x)=f(x)+g(x) >produto :(fg)(x)=f(x)g(x) >Prove que se M eh ideal maximal de A entao >existe a em [0,1] tal que >M=I, onde I={f em A:f(a)=0} > >SOLUCAO: >1. A=C[0,1] >2. M eh ideal maximal de A >3. I eh ideal maximal de A > (provado recentemente na lista) Nessa parte vc está escolhendo algum a em [0,1] e tomando I como o ideal das funções que se anulam em a, correto? Isso já é uma particularização e tanto... >4. M+I eh ideal de A >5. I C M+I C A > (C significa esta contido) >6. M C M+I C A >7. ou (a) M+I=I > ou (b) M+I=M > ou (c) M+I=A > >(a) M+I=I >1a. M C I C A (de 6. e (a)) >2a. I = M ou I = A (pois M eh maximal) >3a. I A (pois I eh maximal) > ( significa diferente) >4a. I = M (de 2a. e 3a.) >OK O que acontece nesta parte é que, da escolha arbitrária de a em [0,1] para "gerar" I, vale M + I = I se e só vc deu a tremenda sorte de escolher justamente o a em [0,1] tal que M é o ideal das funções que se anulam em a. >(b) M+I=M >1b. I C M C A (de 5. e (b)) >2b. M = I ou M = A (pois I eh maximal) >3b. M A (pois M eh maximal) >4b. M = I (de 2b. e 3b.) >OK > >(c) M+I=A >1c. A/I eh corpo > (pois A eh comutativo com unidade e I eh maximal) >2c. ou (ca) M C I >ou (cb) M C/ I (C/ significa nao esta contido) > >(ca) M C I >1ca. M C I C A (de ca.) >2ca. I = M ou I = A > (pois M eh maximal) >3ca. I <> A (pois I eh maximal) >(<> significa diferente) >4ca. I = M (de 2ca. e 3ca.) >OK > >(cb) M C/ I >1cb. Tome f em M-I >2cb. Existe g em A-I, fg=gf=1_A (funcao cte. 1) > (pois A/I eh corpo e de 1cb.) Essa parte foi muito rápida... O fato é que existe g em A-I tal que (f + I)* (g + I) = (1 + I), ou seja, fg - 1 está em I. Porque necessariamente é fg - 1 = 0? Aliás, como é verdade que M é o ideal das funções que se anulam para algum b em [0,1], então nenhuma função em M pode ter inversa pela própria definição de (fg)(x) = f(x)*g(x). >3cb. fA C M (de 1cb e porque M eh ideal) >4cb. fg estah em M (de 3cb.) >5cb. 1_A estah em M (de 4cb. e 2cb.) >6cb. (1_A)I C M (de 5cb. e porque M eh ideal) >7cb. I C M (de 6cb.) >8cb. M+I=M (de 7cb.) >9cb. M+I=A (de (c)) >10cb. M = A (de 8cb. e 9 cb.) >11cb. M A (pois M e maximal) >12cb. ABSURDO (de 10cb. e 11cb.) >13cb. M C I (de (cb) e 12cb.) >14cb. M = I (de 13cb., ca. e 4ca.) > >Uff... > >[]'s > >Eric. > > > > >__ >Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger >http://br.download.yahoo.com/messenger/ >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ideais maximais
Lista OBM ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Meu caro Daniel, > >acho que na sua solução f(x) = h(x) - h(1/2) está em J >e naum em I, pois f(1/2) = 0 e J é conjunto das >funções que se anulam em 1/2. Além disso, naum >consegui entender o porquê de f(x) - h(x) estah em J >sabendo que f estah em J e h naum estah em J. Sem >falar que acho que vc deveria concluir que I = >C([0,1]) e naum que J = C([0,1]). > >Acho que seria melhor refazermos essa solução!!! Então somos dois que achamos isso!!! A partir da metade eu troquei I por J... Por isso abaixo vou abolir o I, para evitar confusão! E ainda fiz uma conta que deveria dar -h(1/2) e não h(1/2). Ok: Seja M um ideal contendo J (que J é ideal é fácil de verificar), e seja h(x) em M tal que h(1/2) não é zero. Repare que eu tomei um ideal M contendo J, logo se f(x) = h(x) - h(1/2) está em J (e está porque f(1/2) = 0), automaticamente f está em M. Agora como h e f estão em M, então h(1/2) = h (x) - f(x) está em M. Como M é ideal e h(1/2) <> 0, segue que 1 está em M, e logo qualquer coisa que vc quiser de C([0,1]) está em M, e os dois coincidem. []s, Daniel >> Lista OBM ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: >> > >> >Seja C([0,1]) o anel da funções contínuas em [0,1], >> >com as operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) e >> [f.g](x) = >> >f(x).g(x), para todas f,g em C([0,1]). Seja J o >> >conjunto de todas as funções f em C([0,1]) tais que >> >f(1/2) = 0. Prove que J é um ideal maximal. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ideais maximais
Lista OBM ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Seja C([0,1]) o anel da funções contínuas em [0,1], >com as operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) e [f.g](x) = >f(x).g(x), para todas f,g em C([0,1]). Seja J o >conjunto de todas as funções f em C([0,1]) tais que >f(1/2) = 0. Prove que J é um ideal maximal. Tome um ideal I contendo J, I diferente de J, isto é, existe h em I tal que h (1/2) <> 0. Então f(x) = h(x) - h(1/2) está em I, logo f(x) - h(x) = h(1/2) <> 0 está em J. Como h(1/2) é escalar não nulo, segue que 1 está em J, logo J = C([0,1]). Vale também a recíproca: No anel C([0,1]), um ideal M é maximal se e somente se M é o conjunto das funções que se anulam num certo z, 0 <= z <= 1. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Proposição
Nicolau C. Saldanha ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Aliás, o seu segundo exemplo eu interpreto como (Z/(2))^(infinito); é isso? Sim []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Proposição
Nicolau C. Saldanha ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Aliás, o seu segundo exemplo eu interpreto como (Z/(2))^(infinito); é isso? Sim []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Proposição
Einstein falou uma frase que toca no que você escreveu: "A inovação não é o produto de um pensamento lógico, mesmo estando o produto final atado a uma estrutura lógica." E sobre o teorema do fechamento algébrico dos complexos, o livro do Rudin "Principles of mathematical analysis" tem uma prova curtinha e não muito difícil, e os pré-requisitos para compreendê-la estão todos dentro do livro. Para aproveitar o espaço: Alguém sabe exibir uma base para o espaço vetorial das seqüências reais (R^oo)? Ou ainda, alguém conhece uma base para o espaço das seqüências formadas por 0 e 1? []s, Daniel Paulo Santa Rita ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Ola carissimo Prof Nicolau e demais >colegas desta lista ... OBM-L, > >Complementando a mensagem, talvez nem todos saibam que a prova do Teorema >abaixo foi a tese de doutorado do Gauss e contribui poderosamente para que >os numeros complexos fossem aceitos com maior tranquilidade pelos >matematicos de entao. > >Gauss apresentou outras provas deste teorema, sempre pretendendo chegar a >uma prova puramente algebrica mas nao teve sucesso. Hoje muitos supoe que >esta notavel propriedade depende fundamentalmente de consideracoes >topologicas e portanto a pretensao de Gauss era realmente inatingivel. > >Sobre a introducao das variaveis complexas em sua tese, veja o sabor >altamente filosofico com que Gauss conduzia suas investigacoes : > >"Durante este outono ocupei-me largamente com as consideracoes gerais sobre >as superficies curvas, o que conduz a um campo ilimitado ... Estas pesquisas >ligam-se, como sou tentado a dizer, com a metafisica da geometria e nao e >sem ingentes esforcos que consigo me arrancar das consequencias que dai >advem ... Qual seria a verdadeira natureza das grandezas negativas e >imaginarias ? Nestas ocasioes, sinto vibrar dentro de mim com grande >vivacidade o verdadeiro sentido da raiz quadrada de -1, mas creio que sera >extraordinariamente dificil expressa-lo com palavras" ( Gauss ) > >Falar hoje - e, em particular para um formalista - em VERDADEIRA NATUREZA e >em SENTIDO de um objeto matematico talvez soe como uma heresia ... Pois, um >dos pressuposto basicos do formalismo e justamente o de que para >raciocinarmos com rigor autentico devemos abdicar dos eventuais sentidos que >a intuicao porventura atribua aos objetos : eles obedecem "aquele" conjunto >de axiomas e ponto final. > >Mas, salvo melhor juizo, se eu interpreto bem a historia o que sempre >caracterizou e havera de caracterizar um Verdadeiro Grande Matematico e >justamente esta dimensao subjetiva, propria, na qual ele reinterpreta a >historia que lhe antecede e descobre de forma exclusivamente intuitiva o >sentido e significado que alguns objetos e ocorrencias matematicas tem, >dando assim um novo direcionamente a historia e a pesquisa matematica que o >seguira. > >Esta mensagem, eu sei, tem cores eminentemente epistemologicas, mas >parece-me que esta dimensao historica e filosofica, e altamente saudavel e >nao pode faltar na formacao de nenhum estudante. > >Um Abraco a Todos ! >Paulo Santa Rita >5,1021,170305 > > >>From: "Nicolau C. Saldanha" >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br >>To: obm-l@mat.puc-rio.br >>Subject: Re: [obm-l] Proposição >>Date: Thu, 17 Mar 2005 09:32:04 -0300 >> >>Uma afirmação relacionada muito interessante é o teorema fundamental >>da álgebra: toda equação polinomial não trivial tem raiz complexa. >>Mais precisamente, >> >> x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0 >> >>pode não ter raiz real, mas sempre tem raízes complexas >>se os coeficientes a_j forem reais ou complexos. >> >>Aliás, "campo" provavelmente é uma tradução não usual de "field". >>O termo usual e correto no nosso idioma é *corpo*. >> >>[]s, N. > >_ >MSN Messenger: converse online com seus amigos . >http://messenger.msn.com.br > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 3 Problemas de Teoria dos Números [EM INGLÊS]
Domingos Jr. ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Daniel S. Braz wrote: > >>1)Sets of 4 positive numbers are made out of each other according >>to the following rule: (a, b, c, d) (ab, bc, cd, da). >>Prove that in this (infinite) sequence (a, b, c, d) will >>never appear again, except when a = b = c = d = 1. >> >> >suponha, sem perda de generalidade, que b > 1. >temos que ab > a e bc > b, agora observe que uma coordenada nunca pode >diminuir, pois ela é sempre multiplicada por um termo >= 1, então (a, b, >c, d) nunca mais pode aparecer na seqüência. Oi, Domingos O enunciado fala em números positivos, não em inteiros positivos... []s, Daniel Nunes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] União de subespaços vetorias próprios
Olá para todos! Será possível uma mãozinha neste aqui? Se V é um espaço vetorial sobre um corpo infinito F, demonstrar que V não pode ser representado como união (da teoria dos conjuntos) de um número finito de subespaços próprios. É bem simples o caso da união de dois subespaços... O que tentei até agora foi mostrar que se W_1, ..., W_n, W_(n+1) são subespaços próprios então W_1' inter ... inter W_n' não está contido em W_(n+1) (W_i' denota o complementar de W_i). Porque fazendo isso indutivamente mostraríamos que a interseção dos complentares é não vazia, e portanto existe x no complementar da união de W_1, W_2, ..., W_k, logo a união não pode ser V. Mas não consegui provar... Repare que podemos supor que W_i não está contido na união dos demais W_j. A hipótese de F ser infinito não é supérflua, porque por exemplo (Z/2Z) X (Z/2Z) é união dos três subespaços gerados cada qual por (1,0), (0,1) e (1,1). No entanto não consigo ver como utilizá-la... []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 3 problemas
Última ressalva, agora em (***) x_2(n) == teto(n/2) = quantidade de números ímpares menores ou iguais a n (mod 2), e não conforme eu escrevi... Abaixo, corrigido. As duas últimas tabelas estavam com alguns erros de conta... Abaixo, espero ter consertado todos (setas < indicam onde estava errado) Bruno Bruno ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Estou com dificuldades com esses daqui: > >1) Qual o algarismo das unidades do número x = 1^1 + 2^2 + 3^3 + + >n^n ? Seja x(n) = 1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n. De maneira geral, se p e q são primos distintos, x == a (mod p) e x == b (mod q), temos x = k*p + a x = m*q + b logo q*x = k*p*q + a*q p*x = m*p*q + b*p o que somando dá (p + q)*x == a*q + b*p (mod p*q) Mas p + q é invertível mod p*q, portanto x == (a*q + b*p)/(p + q) (mod p*q). Seja x_2(n) a classe de congruência de x(n) mod 2. Analogamente para x_5(n). (***) Módulo 2, as parcelas não nulas em x_2(n) vêm dos ímpares menores ou iguais a n, portanto x_2(n) == teto(n/2) (mod 2). Para x_5(n), usando o teorema de Euler-Fermat (se u == v (mod 5) e u == w (mod fi(5) = 4) então u^u == v^u == v^w (mod 5)) vem x_5(n) == (1^1 + 2^2 + 3^3 + 4^4) + (1^2 + 2^3 + 3^4 + 4^1) + (1^3 + 2^4 + 3^1 + 4^2) + ... (mod 5) A soma das parcelas em parênteses são claramente cíclicas em mmc(4,5) = 20, portanto se n = 20*m + b, então x_5(n) = m*x_5(20) + x_5(b). Felizmente não é difícil construir uma tabela de valores x_5(b), b = 1, 2, ..., 19; os valores a serem somados são assim: 1^1 2^2 3^3 4^4 0 1^2 2^3 3^4 4^1 0 1^3 2^4 3^1 4^2 0 1^4 2^1 3^2 4^3 0 Ordenadamente em b, da esquerda pra direita e de cima para baixo, estes são os valores de b^b mod (5). Isto pode ser melhorado: 1 -1 2 1 0 1 -2 1 -1 0 < 1 1 -2 1 0 1 2 -1 -1 0 Portanto, para obter x_5(b) "basta" ir somando, mod 5, ordenadamente até a b- ésima casa. Em particular, x_5(20) = 4, portanto se n = 20*m + b, b = 1, 2, ..., 19, tem-se x_5(n) = 4*m + x_5(b). Os valores de x_5(b) são (b = 1, 2, ..., 20) 1 0 2 3 3 < 4 2 3 2 2 < 3 4 2 3 3 4 1 0 4 4 Temos 2 + 5 = 7, e o inverso de 7 mod 10 é 3. Pelas observações iniciais, x == 3*(2*x_5(n) + 5*x_2(n)) == 6*x_5(n) + 15*x_2(n) == 6*x_5(n) + 5*x_2(n) (mod 10). O x_2(n) é facilmente calculável, o x_5(n) dá um pouco mais de trabalho, e admito que a solução é feia. Seria ótimo se alguém obtivesse uma fórmula fechada para x_5(n).. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 3 problemas
As duas últimas tabelas estavam com alguns erros de conta... Abaixo, espero ter consertado todos (setas < indicam onde estava errado) Bruno Bruno ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Estou com dificuldades com esses daqui: > >1) Qual o algarismo das unidades do número x = 1^1 + 2^2 + 3^3 + + >n^n ? Seja x(n) = 1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n. De maneira geral, se p e q são primos distintos, x == a (mod p) e x == b (mod q), temos x = k*p + a x = m*q + b logo q*x = k*p*q + a*q p*x = m*p*q + b*p o que somando dá (p + q)*x == a*q + b*p (mod p*q) Mas p + q é invertível mod p*q, portanto x == (a*q + b*p)/(p + q) (mod p*q). Seja x_2(n) a classe de congruência de x(n) mod 2. Analogamente para x_5(n). Se n = 2*k + a, a = 0 ou 1, uma simples indução mostra que x_2(n) == (k + a - 1) (mod 2). Para x_5(n), usando o teorema de Euler-Fermat (se u == v (mod 5) e u == w (mod fi(5) = 4) então u^u == v^u == v^w (mod 5)) vem x_5(n) == (1^1 + 2^2 + 3^3 + 4^4) + (1^2 + 2^3 + 3^4 + 4^1) + (1^3 + 2^4 + 3^1 + 4^2) + ... (mod 5) A soma das parcelas em parênteses são claramente cíclicas em mmc(4,5) = 20, portanto se n = 20*m + b, então x_5(n) = m*x_5(20) + x_5(b). Felizmente não é difícil construir uma tabela de valores x_5(b), b = 1, 2, ..., 19; os valores a serem somados são assim: 1^1 2^2 3^3 4^4 0 1^2 2^3 3^4 4^1 0 1^3 2^4 3^1 4^2 0 1^4 2^1 3^2 4^3 0 Ordenadamente em b, da esquerda pra direita e de cima para baixo, estes são os valores de b^b mod (5). Isto pode ser melhorado: 1-1210 1-21 -10 < 1 1 -210 1 2 -1 -10 Portanto, para obter x_5(b) "basta" ir somando, mod 5, ordenadamente até a b- ésima casa. Em particular, x_5(20) = 4, portanto se n = 20*m + b, b = 1, 2, ..., 19, tem-se x_5(n) = 4*m + x_5(b). Os valores de x_5(b) são (b = 1, 2, ..., 20) 1 0 2 3 3 < 4 2 3 2 2 < 3 4 2 3 3 4 1 0 4 4 Temos 2 + 5 = 7, e o inverso de 7 mod 10 é 3. Pelas observações iniciais, x == 3*(2*x_5(n) + 5*x_2(n)) == 6*x_5(n) + 15*x_2(n) == 6*x_5(n) + 5*x_2(n) (mod 10). O x_2(n) é facilmente calculável, o x_5(n) dá um pouco mais de trabalho, e admito que a solução é feia. Seria ótimo se alguém obtivesse uma fórmula fechada para x_5(n).. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 3 problemas
Nicolau C. Saldanha ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >On Fri, Feb 18, 2005 at 04:53:43AM -0300, Bruno Bruno wrote: >> 3) Demontre que não existe função f: N -> N tal que f( f(n)) = n+1 > >Vou supor N = . > >Suponha por absurdo que exista tal f. Claramente f é injetiva >pois f(a) = f(b) implica a+1 = f(f(a)) = f(f(b)) = b+1 donde a = b. >Seja a = f(0) > 0 (pois f(0) = 0 implicaria f(f(0)) = 0+1 = 0). >Se b = a-1 temos f(f(b)) = a = f(0) donde f(b) = 0. >Não podemos ter b = 0 assim f(b-1) + 1 = 0, absurdo. Apenas complementando a solução para o caso N = { 1, 2, 3, ... }, que acaba incluindo o caso N = { 0, 1, ... }: Se houvesse f com a propriedade, então f(f(1)) = 2 ==> f(2) = f(f(f(1))) = f(1) + 1 f(1) + 2 = f(1) + 1 + 1 = f(f(f(1) + 1)) = f(f(2)) = 3 ==> f(1) = 1. Mas então f(f(1)) = f(1) = 1, absurdo. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 3 problemas
Bruno Bruno ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Estou com dificuldades com esses daqui: > >1) Qual o algarismo das unidades do número x = 1^1 + 2^2 + 3^3 + + >n^n ? Seja x(n) = 1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n. De maneira geral, se p e q são primos distintos, x == a (mod p) e x == b (mod q), temos x = k*p + a x = m*q + b logo q*x = k*p*q + a*q p*x = m*p*q + b*p o que somando dá (p + q)*x == a*q + b*p (mod p*q) Mas p + q é invertível mod p*q, portanto x == (a*q + b*p)/(p + q) (mod p*q). Seja x_2(n) a classe de congruência de x(n) mod 2. Analogamente para x_5(n). Se n = 2*k + a, a = 0 ou 1, uma simples indução mostra que x_2(n) == (k + a - 1) (mod 2). Para x_5(n), usando o teorema de Euler-Fermat (se u == v (mod 5) e u == w (mod fi(5) = 4) então u^u == v^u == v^w (mod 5)) vem x_5(n) == (1^1 + 2^2 + 3^3 + 4^4) + (1^2 + 2^3 + 3^4 + 4^1) + (1^3 + 2^4 + 3^1 + 4^2) + ... (mod 5) A soma das parcelas em parênteses são claramente cíclicas em mmc(4,5) = 20, portanto se n = 20*m + b, então x_5(n) = m*x_5(20) + x_5(b). Felizmente não é difícil construir uma tabela de valores x_5(b), b = 1, 2, ..., 19; os valores a serem somados são assim: 1^1 2^2 3^3 4^4 0 1^2 2^3 3^4 4^1 0 1^3 2^4 3^1 4^2 0 1^4 2^1 3^2 4^3 0 Ordenadamente em b, da esquerda pra direita e de cima para baixo, estes são os valores de b^b mod (5). Isto pode ser melhorado: 1-1210 1 21 -10 1 1 -210 1 2 -1 -10 Portanto, para obter x_5(b) "basta" ir somando, mod 5, ordenadamente até a b- ésima casa. Em particular, x_5(20) = 4, portanto se n = 20*m + b, b = 1, 2, ..., 19, tem-se x_5(n) = 4*m + x_5(b). Os valores de x_5(b) são (b = 1, 2, ..., 20) 1 0 3 4 4 0 2 3 2 2 3 4 2 3 3 4 1 0 4 4 Temos 2 + 5 = 7, e o inverso de 7 mod 10 é 3. Pelas observações iniciais, x == 3*(2*x_5(n) + 5*x_2(n)) == 6*x_5(n) + 15*x_2(n) == 6*x_5(n) + 5*x_2(n) (mod 10). O x_2(n) é facilmente calculável, o x_5(n) dá um pouco mais de trabalho, e admito que a solução é feia. Seria ótimo se alguém obtivesse uma fórmula fechada para x_5(n).. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ajudinha básica com complexos
Fábio Dias Moreira ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Thiago Addvico escreveu: >> [...] >> Sendo x^2 + y^2 = 1, Prove que (1 + x + y . i)/(1 + x - y . i) = x + y . i >> [...] > >Isso não faz sentido no caso x = -1 e y = 0. Com a hipótese adicional (x,y) <> (-1,0), o problema equivale a: Prove que para todo z complexo não nulo, com |z - 1| = 1, vale z/z* = z - 1, onde z* é o conjugado de z. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercício sobre Números Primos
Ai, ai... no e-mail anterior eu fiz (p^n)^n = p^n^n em vez de p^n^2, ou, mais claramente, p^(n^2)... Felizmente isso não muda quase nada, a resolução é quase idêntica, trocando-se um 13 por um 4 e nada mais! Abaixo segue já com a alteração (e mais uma vez, desculpem!): >Seja "a" um número pertencente ao conjuntos dos >números reais tal que a > 1 e a "raiz n-ésima de a" >seja um número primo. >Pede-se determinar o menor valor de "n" para que a >expressão: >(a^n + b) / (a^n - b) > >seja também um número primo, sabendo-se que "b" é um >quadrado perfeito. Assumindo n inteiro, n > 1 (para que fique razoável a expressão raiz n-ésima e o próprio problema, do contrário a seria primo, e uma solução para n = 1 seria a = 3, b = 1), o que temos é a^(1/n) = p, primo ==> a = p^n, portanto a é inteiro. Faça b = d^2 e seja k primo. (p^(n^2) + d^2)/(p^(n^2) - d^2) = k Fazendo k = 2, temos p^(n^2) + d^2 = 2*p^(n^2) - 2*d^2 ==> p^(n^2) = 3*d^2 ==> p = 3 ==> d = 3^x As igualdades agora são 3^(n^2) = 3^(2*x + 1) ==> n^2 = 2*x + 1 ==> n é ímpar Tomamos n = 3 ==> x = 4. Assim, o n pretendido é menor ou igual a 3, e, com efeito, ele não pode ser 2. Se n = 2, teríamos (p^4 + d^2)/(p^4 - d^2) = k ==> p^4*(k - 1) = (k + 1)*d^2 Se k = 2, então teríamos p^4 = 3*d^2 ==> p = 3 ==> 3^3 = d^2, absurdo. Assim, k > 2, primo ==> k ímpar ==> mdc (k + 1, k - 1) = 2. Segue que (k + 1)/2 divide p^4 ==> (k + 1)/2 = p^x, onde x = 1, 2, 3 ou 4 (não é x = 0 pois teríamos k = 1, absurdo pois k é primo) Ainda, não pode ser x = 1 nem x = 3 pois isso implica que p^3 ou p seria quadrado perfeito ( p^3*(k - 1)/2 = d^2, com p não dividindo (k - 1)/2; analogamente para p em vez de p^3). Então é k + 1 = 2*p^4 ou 2*p^2. Se ocorre o primeiro, então cancelando vem que d^2 = (k - 1)/2, ou seja, k = 2*d^2 + 1 ==> 2*p^4 + 1 = k = 2*d^2 - 1 ==> p^4 = d^2 - 1, isto é, d^2 e d^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo pois são inteiros consecutivos. Se por outro lado fosse k = 2*p^2 - 1, então substituindo dá p^4*(2*p^2 - 2) = 2*p^2*d^2 ==> p^2(p^2 - 1) = d^2 ==> d = p*z ==> p^2 - 1 = z^2, isto é, p^2 e p^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo pois são consecutivos. Logo, n = 2 não pode e o menor n possível é 3. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercício sobre Números Primos
>Seja "a" um número pertencente ao conjuntos dos >números reais tal que a > 1 e a "raiz n-ésima de a" >seja um número primo. >Pede-se determinar o menor valor de "n" para que a >expressão: >(a^n + b) / (a^n - b) > >seja também um número primo, sabendo-se que "b" é um >quadrado perfeito. Assumindo n inteiro, n > 1 (para que fique razoável a expressão raiz n-ésima e o próprio problema, do contrário a seria primo, e uma solução para n = 1 seria a = 3, b = 1), o que temos é a^(1/n) = p, primo ==> a = p^n, portanto a é inteiro. Faça b = d^2 e seja k primo. (p^n^n + d^2)/(p^n^n - d^2) = k Fazendo k = 2, temos p^n^n + d^2 = 2*p^n^n - 2*d^2 ==> p^n^n = 3*d^2 ==> p = 3 ==> d = 3^x As igualdades agora são 3^n^n = 3^(2*x + 1) ==> n^n = 2*x + 1 ==> n é ímpar Tomamos n = 3 ==> x = 13. Assim, o n pretendido é menor ou igual a 3, e, com efeito, ele não pode ser 2. Se n = 2, teríamos (p^4 + d^2)/(p^4 - d^2) = k ==> p^4*(k - 1) = (k + 1)*d^2 Se k = 2, então teríamos p^4 = 3*d^2 ==> p = 3 ==> 3^3 = d^2, absurdo. Assim, k > 2, primo ==> k ímpar ==> mdc (k + 1, k - 1) = 2. Segue que (k + 1)/2 divide p^4 ==> (k + 1)/2 = p^x, onde x = 1, 2, 3 ou 4 (não é x = 0 pois teríamos k = 1, absurdo pois k é primo) Ainda, não pode ser x = 1 nem x = 3 pois isso implica que p^3 ou p seria quadrado perfeito ( p^3*(k - 1)/2 = d^2, com p não dividindo (k - 1)/2; analogamente para p em vez de p^3). Então é k + 1 = 2*p^4 ou 2*p^2. Se ocorre o primeiro, então cancelando vem que d^2 = (k - 1)/2, ou seja, k = 2*d^2 + 1 ==> 2*p^4 + 1 = k = 2*d^2 - 1 ==> p^4 = d^2 - 1, isto é, d^2 e d^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo pois são inteiros consecutivos. Se por outro lado fosse k = 2*p^2 - 1, então substituindo dá p^4*(2*p^2 - 2) = 2*p^2*d^2 ==> p^2(p^2 - 1) = d^2 ==> d = p*z ==> p^2 - 1 = z^2, isto é, p^2 e p^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo pois são consecutivos. Logo, n = 2 não pode e o menor n possível é 3. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Numeros no chapeu
O "tempo máximo" é totalmente relativo. Acho que vc deve insistir num problema enquanto acreditar que vai chegar a algum lugar. Se estiver empacando de um jeito, tente recomeçar fazendo as coisas mais ou menos diferentes... E mesmo quando vc empaca de fato, às vezes é bom continuar insistindo sozinho. Acho que o tempo máximo seria o quanto vc consegue continuar buscando a solução sem perder a paciência ou sentir-se exageradamente frustrado, pelo contrário, sentindo-se estimulado por essa busca! Chega um ponto em que continuar insistindo sem nenhum progresso se torna uma tarefa extremamente desagradável, começa a agir negativamente em vc. Essa seria a hora de parar e buscar ajuda. []s, Daniel [EMAIL PROTECTED] escreveu: > >Falando de tempo suficiente para se resolver um problema ... > >Qual o tempo máximo e aconselhável para alguém ficar "quebrando a cabeça" em >um problema antes de enviar para um forum ou lista de e-mail como essa ? >Alguns, se não me engano a escola russa, defendem a idéia da aprendizagem >passiva dizendo que o sujeito não deve "quebrar a cabeça" e sim buscar sanar >quaisquer de suas dúvidas com alguém o mais rápido possível. > >Já comentamos aqui na lista sobre isso há certo tempo e, se não me engano, >vocês defendem a primeira idéia, não é ? Mas, na época, nada se falou sobre o >tempo máximo de tentativa na resolução de um mesmo problema. > > >[]s, >Rafael > >"Se enxerguei mais longe foi por estar sentado aos ombros de gigantes." >(Isaac Newton) > > > >Em uma mensagem de 07/02/05 09:31:36 Hor. de verão leste da Am. Sul, >[EMAIL PROTECTED] escreveu: > > >> >> Acho que dei tempo suficiente para quem quisesse pensar sozinho. >> Segue abaixo a solucão completa para o problema original dos chapéus. >> Primeiro o enunciado: >> >(...) > > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Teoria dos numeros
Aqui vai um probleminha (que eu achei!) legal: Seja p um número primo. Seja A_d = { a em (Z/pZ)* tal que ord(a) = d } para cada d divisor de fi(p), onde (Z/pZ)* = (Z/pZ) - { 0 } e fi é a função de Euler. Definimos f(d) = soma de todos os elementos de A_d. Prove que f(d) == mi(d) (mod p) para todo d divisor de fi(p), onde mi é a função de Möbius. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] polinômio divisor de zero
Oi, Domingos Domingos Jr. ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Sejam p(x) e q(x) em R[x] tais que pq = 0. Chame d(f) = grau(f). Suponha que >d(p), d(q) > 0 e que para todos p', q' não-nulos em R[x] com d(p') < >d(p) e d(q') < d(q) tenhamos >p' q !=0 e p q' != 0. > >Seja p(x) = a_0 + ... + a_n x^n e q(x) = b_0 + ... + b_m x^m >Pelo raciocínio que eu empreguei na outra mensagem, verificamos que a_i >b_0^ = 0 para todo i. >Se b_0^k != 0 para todo k então b_0^ p = 0, o que contraria a hipótese. >Seja k o maior inteiro tal que b_0^k != 0. Se b_0^k q = 0 então também >caímos em contradição, mas >b_0^k q = b_0^ + b_0^k b_1 x + ... + b_0^k b_m x^m = x[b_0^k b_1 + >... + b_0^k b_m x^]. > >Chame r(x) = b_0^k b_1 + ... + b_0^k b_m x^, então >p q = 0 => p (b_0^k q) = 0 => p (x r) = 0 => x (p r) = 0 => p r = 0 => >absurdo pois d(r) < d(q)! > >Isso mostra que a suposição original nunca pode ser verdadeira. Boa sorte! Ok, provando o seguinte lema nós matamos o problema: Se p*q = 0, e existem p' com d(p') < d(p) e q' com d(q') < d(q) tais que p'*q = 0 e p'*q' = 0, onde nenhum polinômio em questão é nulo, então existe q'' não nulo com d(q'') < d(q) tal que p*q'' = 0. Observe que isto seria a extensão imediata da sua proposição (as hipóteses seguem diretamente dela) para mostrar que é possível baixar o grau tanto para q quando para p. Daí era só aplicar o resultado sucessivamente até baixar o grau a zero e obter b em R\{ 0 } tal que p*b = 0. Mas ainda não consegui provar isso. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] polinômio divisor de zero
O problema é que podemos ter b_i^k = 0, não? Domingos Jr. ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >[EMAIL PROTECTED] wrote: > >>Alguém pode ajudar? >> >>Seja R um anel comutativo. Se f(X) = a_0 + a_1*X + ... + a_m*X^m em R[X] é >>um divisor de zero, demonstrar que existe um elemento b 0 em R tal que >>b*a_i = 0 para i = 0, 1, ..., m. >> >> >seja b_0 + ... + b_n X^n tal que > >(1)... (a_0 + a_1*X + ... + a_m*X^m)(b_0 + ... + b_n X^n) = 0 > >então a_0*b_0 = 0 >a_0 b_1 + a_1 b_0 = 0, mas >a_0 b_0 b_1 + a_1 b_0^2 = a_1 b_0^2 = 0 > >a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0 = 0, mas >a_0 b_0^2 b_2 + a_1 b_0^2 b_1 + a_2 b_0^3 = 0 => a_2 b_0^3 = 0 > >temos que b_0^3 multiplicado por a_0, a_1 e a_2 resulta em 0. > >... > >E por aí vai, entendeu? A idéia é trabalhar com os polinômios nos a_i's e b_i's respectivos a cada coeficiente do produto (1), multiplicando esses polinômios por uma potência adequada de b_0 cancelamos todos exceto o termo que inclue um "novo" a_i. Claro que uma prova formal exige o uso de indução finita, mas isso eu deixo com você. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômio divisor de zero
Oi, Se f(x) é divisor de zero então para algum p(x) não nulo tem-se f(x)*p(x) = 0, e não para TODO p(x) tem-se f(x)*p(x) = 0. Exemplo: a em R tal que a seja divisor de zero, f(x) = a + a*x. Se R não contém elementos nilpotentes, então a^2 <> 0, o que implica f(x)*f(x) <> 0 mesmo sendo f(x) divisor de zero. Por isso não me parece tão trivial assim como vc falou, mas pode ser que eu esteja enganado... Em todo caso, continuo sem saber resolver! f(X) = a_0 + ... + a_m*X^m, g(X) = c_0 + ... + c_k*X^k, onde g, f não nulos. (f*g)(X) = r_0 + ... + r_(m+k)*X^(m+k) = 0, ou seja, 0 = r_i = a_0*c_i + a_1*c_(i - 1) + ... + a_i*c_0 para todo i. Tá, mas como a partir disso como exibir um ÚNICO b não nulo tal que b*a_i = 0 para todo i? []s, Daniel Chicao Valadares ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >ele vezes outro polinomio diferente de zero é igual a >zero.Aplique identidade de polinomio que resolve. > >> > Seja R um anel comutativo. Se f(X) = a_0 + a_1*X + >> ... + a_m*X^m em R[X] é >> > um divisor de zero, demonstrar que existe um >> elemento b 0 em R tal que >> > b*a_i = 0 para i = 0, 1, ..., m. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] polinômio divisor de zero
Alguém pode ajudar? Seja R um anel comutativo. Se f(X) = a_0 + a_1*X + ... + a_m*X^m em R[X] é um divisor de zero, demonstrar que existe um elemento b <> 0 em R tal que b*a_i = 0 para i = 0, 1, ..., m. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] A LEI DOS PEQUENOS NÚMEROS!
[EMAIL PROTECTED] escreveu: >A propósito, quais são os três últimos dígitos de 7^? (ITA-1972) 7^ == 7^(1)*7 ^(-1) (mod 1000). Mas fi(1000) = 1000*(1 - 1/2)*(1 - 1/5) = 400 e 400 divide 1, donde 7^1 == 1 (mod 1000). Portanto, 7^ == 7^(-1) (mod 1000). Achar o inverso k de 7 módulo 1000 não é difícil, pois existe uma injeção de 7*x, onde 0<= x <= 9, nos inteiros módulo 10. k = k_0 + k_1*10 + k_2*10^2 7*k deverá terminar em 1 ==> k_0 = 3 (7*k - 21)/10 deverá terminar em 0 ==> k_1 = 4 (7*k - 301)/100 deverá terminar em 0 ==> k_2 = 1 Temos então k = 143. Com efeito, 7*143 = 1001 == 1 (mod 1000) Ou seja, 7^(-1) == 143 (mod 1000). ==> 7^ termina com 143. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas em aberto (x^y > y^x)
>2) Determine o conjunto dos pares (x,y) de reais positivos tais que x^y > >y^x. Estou usando um pc horrível, fiz com um pouco de descuido, mas lá vai... A idéia é determinar as raízes de f(x,y) = x^y - y^x, notando que isso gera uma separação do primeiro quadrante, e determinando o sinal de f em cada uma dessas regiões. Como x, y > 0, f é contínua e além disso podemos fazer y = ax, com a = y/x. Então x^y = y^x <==> x^ax = (ax)^x <==> ax*log(x) = x*[log(a) + log(x)] <==> a*log(x) = log(a) + log(x) <==> (a-1)*log(x) = log(a) Se a = 1, temos a reta x = y como solução. Para a <> 1, temos (*) x = a^[1/(a-1)] ==> y = ax = a^[a/(a-1)] Fazendo a = 1 + k e deixando k --> 0, segue que lim (k+1)^(1/k) = lim [(k + 1)^(1/k)]^(k+1) = e. Assim, definindo o valor limite para a --> 1 o ponto x = y = e, temos uma curva definida parametricamente pelas relações em (*). As retas x=1 e y=1 são assíntotas à curva; isso pode ser visto calculando os limites quando a -- > 0 e a --> +oo: Para a -->0, lim a^[1/(a-1)] = lim (1/a)^[1/(1-a)] = +oo ==> x --> + oo lim a^[a/(a-1)] = ??? ==> y --> 1 Para a --> +oo, lim a^[1/(a-1)] = lim (1/b)^[b/(1-b)] com b --> +oo = lim b^[b/(b-1)] = 1 ==> x --> 1 lim a^[a/(a-1)] = lim a*a^[1/(a-1)] = + oo ==> y --> + oo A curva tem um único sentido; quando a cresce o traçado da curva caminha da direita pra esquerda; esta parte pode ser provada analisando-se as derivadas de x(a) e y(a). x'(a) = a^[1/(a-1)]*[a - 1 - a*log(a)]/[a*(a-1)^2] , y'(a) = a^[a/(a-1)]*[a - 1 - log(a)]/[(a-1)^2]. Para mostrar que x'(a) é sempre negativa, basta analisar [a - 1 - a*log(a)], cuja derivada é -log(a), que é positiva em 0 < a < 1 e negativa em a > 1. Como -1/a (segunda derivada) é sempre negativa, a=1 é ponto de máximo. Como lim a --> 1 de [a - 1 - a*log(a)] = 0, isso mostra que x'(a) não é nunca positiva. Para y'(a), basta olhar para [a - 1 - log(a)], cuja derivada é 1 - 1/a que se anula em a = 1. Em 0 < a < 1 ela é negativa e em 1 < a é positiva. Como a segunda derivada é 1/a^2 > 0, 1 é ponto de mínimo. Como lim a --> 1 de [a - 1 - log(a)] = 0, isso mostra que y'(a) nunca é negativa. A curva intercepta a reta x = y no ponto (e, e), e a interseção tem de ser única pelo que observou-se acima. As duas curvas (sim, a outra curva é a reta x = y) dividem o primeiro quadrante em 4 pedaços (traçar as curvas ajuda!). Como f é contínua, a cada um dos 4 pedaços corresponde um sinal para f. Basta pegar um ponto qualquer em cada um deles e verificar seu sinal para determinar o sinal de todo o pedaço. Existe no entanto uma simetria com relação à reta x = y; abaixo da reta é como se examinássemos - f(x,y) em cima. As duas regiões acima da reta x=y são: A = { y > x >= e } U { 1 < x = a^[1/(a-1)] < e , y > ax } B = { 0 < x < y <= e } U { 1 < x = a^[1/(a-1)] < e , 0< y < ax } abaixo, temos C = { 0 < y < x <= e } U { e < x = a^[1/(a-1)] , 0 < y < ax } D = { e < x = a^[1/(a-1)] , ax < y < x } A simetria é entre A e D, e entre B e C. Por essa razão, em cada região f assume sinal oposto à região simétrica. Tem-se que (3,4) está em A. Como f(3, 4) = 81 - 64 > 0, A é positiva. Isso implica que D é negativa. Ainda, (1,2) está em B. Como f(1,2) = 1 - 2 < 0, B é negativa ==> C é positiva. Portanto, x^y > y^x se (x,y) está em A U C = { y > x >= e } U { 1 ax } U { 0 < y < x <= e } U { e < x = a^[1/(a-1)] , 0 < y < ax } Como a curva definida por (*) tem sentido único (quero dizer, há uma bijeção entre os pontos da curva e os valores dos parâmetros através das equações) e em vista dos limites quando a --> 0 e a --> +oo, segue que para todo x e todo y maiores do que 1 existe um único a tal que x = a^[1/(a-1)] ou y = a^ [a/(a-1)], portanto as definições das regiões fazem sentido (calcular esse a é outra história...) []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas em aberto (remate do 16)
>>16) Ache o menor inteiro positivo tal que se deslocarmos o seu algarismo >>mais a esquerda para a posicao mais a direita (ou seja, das unidades) >>obteremos um inteiro uma vez e meia maior do que o original. >Seja k = a_n*10^n + a_(n-1)*10^(n-1) + ... + 1_a*10 + a_0, onde 0<=a_i<=9 >com a_n <> 0. > (...) > >Logo, n = 15 é o menor possível. > >Resta mostrar que para algum a_n tem-se k = 2*a_n*(10^(n+1) - 1)/17 um >número com no máximo n casas decimais, ou seja, k <= 10^(n+1) - 1. > >Mas é imediato que k < 10^(n+1) - 1 para a_n = 1, o que mostra que o menor >inteiro positivo satisfazendo a relação é 2*(10^(n+1) - 1)/17. Na verdade existe um outro erro aí além do número n de casas em vez de n+1 É preciso mostrar que para algum a_n tem-se k = 2*a_n*(10^(n+1) - 1)/17, onde n = 15, um número com EXATAMENTE n + 1 casas decimais E CUJO PRIMEIRO DÍGITO É DE FATO a_n. Ou seja, exibir um a_n tal que valham as desigualdades a_n*10^n<= k = 2*a_n*(10^(n+1) - 1)/17 <= (a_n + 1)*10^n - 1 Começando pela esquerda: 17*a_n*10^n <= 2_a_n*(10^(n+1) - 1) <==> 17*10^n <= 20*10^n - 2 <==> 2 <= 3*10^n, que vale sempre. Para a desigualdade da direita, temos: 2*a_n*(10^(n+1) - 1) <= 17*(a_n + 1)*10^n - 17 <==> 20*a_n*10^n - 2*a_n <= 17*(a)n + 1)*10^n - 17 <==> 3*a_n*10^n + 17 <= 17*10^n + 2*a_n Em particular, a_n = 1 satisfaz essa relação, e portanto é legítimo dar o problema por concluído tomando-se k = 2*(10^16 - 1)/17, um número, de fato, com exatamente 16 casas decimais e cujo dígito mais à esquerda é 1. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas em aberto
>16) Ache o menor inteiro positivo tal que se deslocarmos o seu algarismo >mais a esquerda para a posicao mais a direita (ou seja, das unidades) >obteremos um inteiro uma vez e meia maior do que o original. Seja k = a_n*10^n + a_(n-1)*10^(n-1) + ... + 1_a*10 + a_0, onde 0<=a_i<=9 com a_n <> 0. Após a mudança, obtemos t = a_(n-1)*10^n + a_(n-2)*10^(n-1) + ... + a_1*10^2 + a_0*10 + a_n = 10*k - a_n*10^(n+1) + a_n = 10*k - a_n*(10^(n+1) - 1). A condição é 2*t = 3*k, o que implica 20*k - 2*a_n*(10^(n+1) - 1) = 3*k <==> 17*k = 2*a_n*(10^(n+1) - 1). Primeiramente, 17 tem que dividir 10^(n+1) - 1, ou seja, 10^(n+1) == 1 (mod 17). Sabemos por Euler-Fermat que para n = 15 isso ocorre. Agora, pensando no grupo Z/(17_Z), e usando Lagrange, qualquer outro (n+1) menor e que satisfaça a igualdade deverá ser divisor de 16. Ou seja, n = 0, 1, 3 ou 7. A minha calculadora diz que isso não vale para nenhum destes valores de n. Logo, n = 15 é o menor possível. Resta mostrar que para algum a_n tem-se k = 2*a_n*(10^(n+1) - 1)/17 um número com no máximo n casas decimais, ou seja, k <= 10^(n+1) - 1. Mas é imediato que k < 10^(n+1) - 1 para a_n = 1, o que mostra que o menor inteiro positivo satisfazendo a relação é 2*(10^(n+1) - 1)/17. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas em aberto
>10) Seja P = A^c - B^c, >onde: >A, B e c são inteiros e primos entre si, >A - B > 1, >c = n1*n2*...*ni*...nk , >(os ni são fatores primos distintos, ou seja, c tem k fatores >primos distintos). > >Mostre que P é um número composto com, no mínimo, k+1 >fatores primos distintos. Isso eh falso. Tome A = 5, B = 3 e c = 2. Claro que A, B e c satisfazem o enunciado e temos k = 1. Porem P = 16 = 2^4 soh tem 1 fator primo distinto ao inves de 2. Porem eh verdadeiro que P possui ao menos k + 1 fatores primos nao necessariamente distintos se c for o produto de k primos nao necessariamente distintos, o que se prova facilmente por inducao sobre k e pela famosa fatoracao A^(xy) - B^(xy) = (A^x - B^x)(A^[x(y-1)] + ... + A^[x(y - i)]*B^ (xi) + ... + B^[x(y - 1)]). []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 10 inteiros consecutivos
>Prove que, dados quaisquer 10 inteiros consecutivos, sempre haverah um que >eh primo com os demais. Finalmente, fazendo a coisa direito: Dada a sequencia a_1,..., a_10 onde a_n = 1 + a_(n-1), seja A o conjunto dos termos da sequencia congruentes a 1 ou a 5 módulo 6. Se a_i é o elemento de A com menor índice, então i<=4 pois se a_1 == -3, - 2, -1,0, 1, 2 mod 6 então respectivamente os a_i seriam a_3, a_2, a_1, a_2, a_1, a_4. Evidentemente os únicos candidatos a elementos de A seriam a_i, a_(i+2), a_ (i+4), a_(i+6), a_(i+8), ou seja, elementos da forma a_(i+2k), com 0 <= k <= 4, logo a diferença entre 2 elementos quaisquer é da forma 2*x onde 1<=x<=3 ==> a diferença entre dois números de A é múltipla de 2 e pode ser múltipla de 3 ==> se p divide dois elementos de A então p = 2 ou p = 3, absurdo. Ainda, 3<= #A <= 4; isso pode ser visto considerando-se os dois casos possíveis: 1) a_i == 1 mod 6. Nas desigualdades abaixo, os termos centrais estão com certeza em A: a_1<= a_i <= a_4 a_5 <=a_(i+4)<= a_8 a_7<=a_(i+6)<= a_10, logo #A = 3. 2) a_i == -1 mod 6. Estão com certeza em A os centrais: a_1 <= a_i <= a_4 a_3<= a_(i+2)<= a_6 a_7<= a_(i+6) <=a_10 e possivelmente a_9 <=a_(i+8)<=a_10, logo 3<= #A <= 4. Observe que o maior primo comum a dois elementos a_k da sequencia é 7, visto que se p divide dois a_k então ele divide a diferença que é menor ou igual a 9. Ainda, entre 10 números consecutivos, existe 1 ou 2 múltiplos de 7 e exatamente 2 múltiplos de 5. Como os possíveis elementos de A são da forma a_ (i + 2k) e 4>= k >= 0, segue que não pode haver mais do que 1 múltiplo de 5 e 1 múltiplo de 7 em A, e como 3<= #A <= 4, é possível encontrar um elemento em A que não seja divisível nem por 5 nem por 7. Sendo elemento de A, ele já não é divisível por 2 nem por 3, ou seja, não possui nenhum fator primo menor ou igual a 7, e portanto ele deverá ser primo com os demais. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 10 inteiros consecutivos
[EMAIL PROTECTED] escreveu: > >Claudio Buffara ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: >> >>Aqui vai um interessante: >> >>Prove que, dados quaisquer 10 inteiros consecutivos, sempre haverah um que >>eh primo com os demais. > >Sejam a_1,..., a_10 os inteiros consecutivos (a_(n+1) = 1 + a_n) e suponha >que para quaisquer dois deles houvesse p primo tal que p divida ambos. > >Seja a_i o inteiro de menor índice tal que nem 2 nem 3 dividam a_i. É claro >que ambos são congruentes módulo 2 e 3, o que implica que nem 2 nem 3 dividem >a_6. Por hipótese, existe p primo tal que p divide a_i e a_(i+6) ==> p >divide a_(i+6) - a_i = 6 ==> p = 2 ou p = 3, absurdo. Esta prova não está correta... Ela só mostra que existem 2 números primos relativos, mas não mostra que existe um primo com os demais. >>Pergunta: 10 eh o melhor possivel? > >2 é o melhor possível... Essa resposta conseguiu ser a pior possível, está totalmente errada, a intenção era saber o maior número de inteiros tal que o enunciado anterior valha []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 10 inteiros consecutivos
Claudio Buffara ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Aqui vai um interessante: > >Prove que, dados quaisquer 10 inteiros consecutivos, sempre haverah um que >eh primo com os demais. Sejam a_1,..., a_10 os inteiros consecutivos (a_(n+1) = 1 + a_n) e suponha que para quaisquer dois deles houvesse p primo tal que p divida ambos. Seja a_i o inteiro de menor índice tal que nem 2 nem 3 dividam a_i. É claro que i<= 4, logo a_(i+6) está na sequência. Note que a_(i+6) = 6 + a_i , logo ambos são congruentes módulo 2 e 3, o que implica que nem 2 nem 3 dividem a_6. Por hipótese, existe p primo tal que p divide a_i e a_(i+6) ==> p divide a_(i+6) - a_i = 6 ==> p = 2 ou p = 3, absurdo. >Pergunta: 10 eh o melhor possivel? 2 é o melhor possível... []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] série de inversos curiosa
Um probleminha para começar o ano: Considere todos os números naturais cuja representação decimal não possua nenhum dígito 9. Prove que a soma dos inversos desses números converge. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda...
É falso que cada parcela é sempre maior ou igual do que 1... Tome a=x=1, b=c=2. Além disso, reveja a derivação da sua função f(x)!! []s, Daniel saulo bastos ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Eu fiz desse jeito, cada parcela da desigualdade são semelhantes, e elas >podem ser escritas como funções de x da forma: >f(x)= (a^x*C1+1)/(a^x*C2+1) >No caso da 1a parcela da desigualdade >C1=a^2 >C2=bc >Achando os pontos críticos da função acima, a derivada é dada por: >f´(x)=a^x(C1-C2)/(a^xC2+1)^2 >que igualando a zero e lembrando que a,b,c,x sao positivos e portanto >diferentes de 0, fornece: >C1=C2 >ou seja >a^2=bc >Fazendo isso para cada parcela da desigualdade, encontramos: >b^2=ac >e >c^2=ab >ou seja: >f1(x)>=1 >f2(x)>=1 >f3(x)>=1 >ou >[a^(x+2)+1]/[(a^(x)*b*c)+1] + [b^(x+2)+1]/[(b^(x)*b*c)+1] + [c^(x+2)+1]/[(c^ >(x)*b*c)+1]>=1+1+1=3 > >Um abraço,saulo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Pra que serve a matemática?
Fora que ela é um prazeroso entretenimento... além de produzir belas obras de arte! :) []s, Daniel Leandro Lacorte Recova ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Carissimo Bruno, > >Essa pergunta seria o mesmo que "Pra que serve tomar agua ?" . Agua e algo >essencial para a sobrevivencia de todos seres humanos, assim como a >matematica e essencial para o desenvolvimento da humanidade. Energia que >chega na sua casa, Telefones Celulares, Robos em fabricas, maquinas de >tomografia computadorizada, e outras coisas. > >Seria impossivel listar toda a utilidade dessa ciencia num simples e-mail. > >Faca voce mesmo uma pesquisa no Google. > >Regards, > >Leandro >Los Angeles, CA. > >-Original Message- >From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On >Behalf Of Bruno Soares >Sent: Tuesday, December 28, 2004 10:44 AM >To: obm-l@mat.puc-rio.br >Subject: [obm-l] Pra que serve a matemática? > >Boa tarde > >Pra que serve a matemática? > >Pergunta um tanto óbvia, mas quando pensamos que algo é muito óbvio, é >quando não estamos pensando. > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda...
Não mata não fica faltando mostrar que [1 - a^2/(bc)]/[a^(x)*bc + 1] + [1 - b^2/(ac)]/[b^(x)*ac + 1] + [1 - c^2/ (ab)]/[c^(x)*ab + 1] >= 0 Mas nada vem à cabeça (se é que a desigualdade é verdadeira!) []s, Daniel >[EMAIL PROTECTED] escreveu: >> >>Perfeito, isso mata o problema. >> >>[]s, >>Daniel >> >>Luiz Felippe medeiros de almeida ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: >>> >>>Oi Daniel , eu acho que consegui mostrar o que vc queria . >>> Note que a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ac = 0.5( (a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2) >>> como quadrados são sempre >= 0 está provado o que se pede . >>> Espero ter ajudado . >>> Um abraço Luiz Felippe Medeiros >>> >>> >>>On Tue, 28 Dec 2004 16:34:29 +, [EMAIL PROTECTED] >>> wrote: Para a, b, c, x reais positivos, era para mostrar que [a^(x+2)+1]/[(a^(x)*b*c)+1] + [b^(x+2)+1]/[(b^(x)*b*c)+1] + [c^(x+2)+1]/ >>[(c^ (x)*b*c)+1]>=3 Mas observe que cada parcela pode ser escrita na forma (fazendo para a primeira parcela) a^2/(bc) + [1 - a^2/(bc)]/[a^(x)*bc + 1]. Para concluir a desigualdade, basta mostrar que a^2/(bc) + b^2/(ac) + c^2/(ab) >= 3, o que é equivalente a mostrar que a^3 + b^3 + c^3 - 3*abc >= 0. Mas observe que a^3 + b^3 + c^3 - 3*abc = (a + b + c)*(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) É claro que (a + b + c) > 0. Resta mostrar que a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac >=0, mas não consigo >>fazer isso. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = >>> >>>= >>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >>>= >>> >> >> >> > > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda...
Perfeito, isso mata o problema. []s, Daniel Luiz Felippe medeiros de almeida ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Oi Daniel , eu acho que consegui mostrar o que vc queria . > Note que a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ac = 0.5( (a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2) > como quadrados são sempre >= 0 está provado o que se pede . > Espero ter ajudado . > Um abraço Luiz Felippe Medeiros > > >On Tue, 28 Dec 2004 16:34:29 +, [EMAIL PROTECTED] > wrote: >> Para a, b, c, x reais positivos, era para mostrar que >> >> [a^(x+2)+1]/[(a^(x)*b*c)+1] + [b^(x+2)+1]/[(b^(x)*b*c)+1] + [c^(x+2)+1]/ [(c^ >> (x)*b*c)+1]>=3 >> >> Mas observe que cada parcela pode ser escrita na forma (fazendo para a >> primeira parcela) >> >> a^2/(bc) + [1 - a^2/(bc)]/[a^(x)*bc + 1]. >> >> Para concluir a desigualdade, basta mostrar que >> >> a^2/(bc) + b^2/(ac) + c^2/(ab) >= 3, >> >> o que é equivalente a mostrar que >> >> a^3 + b^3 + c^3 - 3*abc >= 0. >> >> Mas observe que >> >> a^3 + b^3 + c^3 - 3*abc = (a + b + c)*(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) >> >> É claro que (a + b + c) > 0. >> >> Resta mostrar que a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac >=0, mas não consigo fazer >> isso. >> >> []s, >> Daniel >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> = >> > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda...
Para a, b, c, x reais positivos, era para mostrar que [a^(x+2)+1]/[(a^(x)*b*c)+1] + [b^(x+2)+1]/[(b^(x)*b*c)+1] + [c^(x+2)+1]/[(c^ (x)*b*c)+1]>=3 Mas observe que cada parcela pode ser escrita na forma (fazendo para a primeira parcela) a^2/(bc) + [1 - a^2/(bc)]/[a^(x)*bc + 1]. Para concluir a desigualdade, basta mostrar que a^2/(bc) + b^2/(ac) + c^2/(ab) >= 3, o que é equivalente a mostrar que a^3 + b^3 + c^3 - 3*abc >= 0. Mas observe que a^3 + b^3 + c^3 - 3*abc = (a + b + c)*(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) É claro que (a + b + c) > 0. Resta mostrar que a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac >=0, mas não consigo fazer isso. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 1 -1/2 +1/3.......= Ln(2)
Um fato que ajuda (muito!) é saber que integral(0; x)[1/(1-t)]dt = - log (1 - x). Mas 1/(1 - t) = 1 + t + t^2 + ... + t^(n-1) + r_n(t), com r_n(t) = t^n/ (1-t). Substituindo e integrando termo a termo, vem (para x < 1) - log(1 - x) = x + x^2/2 + x^3/3 + ... + x^n/n + R_n(x), onde R_n(x) = integral(0; x)[r_n] dt = integral(0; x)[t^n/(1 - t)]dt. Suponha que -1 <= x <= 0; é preciso mostrar que R_n --> 0. Neste intervalo, |t^n/(1 - t)| <= |t^n| = (-1)^n*t^n. Então |R_n|<= |integral(0;x)[t^n]dt| = |x|^(n+1)/(n+1) que tende a zero quando n -- > +oo, portanto - log (1 - x) = x + x^2/2 + x^3/3 + ... ==> log (1 - x) = - (x + x^2/2 + x^3/3 + ...) Substituindo x = -1, vem o resultado desejado. []s, Daniel Ana Evans ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Oi pessoal >Eu estou tentando provar que a serie alternada >Soma((-1)^(n+1))/n = 1 -1/2 +1/3converge para >Ln(2). sabemos que esta serie efetivamente converge >porque eh alternada e 1/n -> 0. Eu tentei me basear no >fato de que, para |x| series de Taylor em torno de 0, de modo que Ln(1+x) = >x - x^2/2 + x^3/3Mas, sabemos que o raio de >convergencia desta serie de potencias eh 1, de modo >que converge garantidamente apenas em (-1, 1), e nao >podemos extender a conclusao para x=1, o que nos >levaria ao desejado. Eu ai tentei extender o dominio >da funcao limite da serie de potencias, incluindo >tambem x=1, mas como a convergencia nao eh >necessariamente uniforme em [0,1], eu nao cheguei la. >Talvez seja melhor tentar outra saida sem ser pela >expansao de Taylor. >Obrigada >Ana > >__ >Do You Yahoo!? >Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around >http://mail.yahoo.com >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra Linear
[EMAIL PROTECTED] escreveu: > >c_i1 + ... + c_in = 0 >... >c_ii + ... + c_in = R_i >... >c_in + ... + c_in = 0> Também escrito errado; o certo é c_i1 + ... + c_in = 0 ... c_i1 + ... + c_in = R_i ... c_i1 + ... + c_in = 0> []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra Linear
[EMAIL PROTECTED] escreveu: > >Como = c_i1 + ... + c_in = d_ij*R_i Erro de digitação: é em vez de ; o resto está escrito certo. >Queremos determinar os c_ij, sendo que a matriz M dos coeficientes é sempre >a mesma para todo i. Seja X_i o vetor de R^n tal que a j-ésima coordenada >seja , ou seja, os vetores coluna de M. Mostremos que os X_i são >linearmente independentes; isso implica que o det(M) não é nulo, logo cada >sistema nxn tem solução, que será única. Em vez de apelar para o determinante de M, outro argumento (que eu prefiro!) é o seguinte: se os X_i são LI então a transformação linear M:R^n --> R^n é um isomorfismo, logo para qualquer y em R^n existe um único z em R^n tal que y = Mz. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra Linear
Paulo Santa Rita ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Seja V um espaco vetorial de dimensao finita com produto interno e { a1, >..., an } uma base deste espaco. Dados N numeros reais ( image que o corpo >associado a V e o conjunto dos numeros reais ) quaisquer {R1, ..., Rn }. >Mostre que existe UMA UNICA base { b1, ..., bn } de V tais que : > >= 0 se i # j ( "#" significa "e diferente de" ) >=Ri se i=j Primeiramente, nenhum R_i pode ser nulo; se R_i é nulo então { a_1, ..., a_i, b_i, ..., a_n } é um conjunto com n+1 vetores linearmente independentes, absurdo, a menos que fosse b_i = 0, outro absurdo pois queremos determinar uma base. Todo b_i pode ser expresso como combinação linear de vetores da base A = { a_1, ..., a_n }. b_i = c_i1*a_1 + ... + c_in*a_n Como = c_i1 + ... + c_in = d_ij*R_i (onde d_ij = 1 se i=j e 0 se i # j ), temos n sistemas de n equações, para i variando de 1 até n: c_i1 + ... + c_in = 0 ... c_ii + ... + c_in = R_i ... c_in + ... + c_in = 0 Queremos determinar os c_ij, sendo que a matriz M dos coeficientes é sempre a mesma para todo i. Seja X_i o vetor de R^n tal que a j-ésima coordenada seja , ou seja, os vetores coluna de M. Mostremos que os X_i são linearmente independentes; isso implica que o det(M) não é nulo, logo cada sistema nxn tem solução, que será única. Se t_1*X_1 + ... + t_n*X_n = 0, então t_1* + ... + t_n* = 0 para todo j ==> < t_1*a_1 + .. + t_n*a_n, a_j > = 0 para todo j ==> t_1 = t_2 = ... = t_n = 0 pois do contrário t_1*a_1 + ... + t_n*a_n seria um vetor perpendicular à todo vetor da base A, absurdo. Assim, é possível determinar os coeficientes c_ij para todo i,j, logo encontramos n vetores b_i = c_i1*a_1 + ... + c_in*a_n. Seja B o conjunto desses b_i. Precisamos mostrar que B é base; sendo um conjunto de n vetores, basta mostrar que é linearmente independente: s_1*b_1 + ... + s_n*b_n = 0 ==> = 0 para todo i ==> s_i* = 0 para todo i ==> s_i*R_i = 0 para todo i ==> s_1 = s_2 = ... = s_n = 0 Logo, B é a base. A unicidade já havia sido demonstrada. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Álgebra Linear - MIT
Vinícius Santana ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >3. Considere o subespaço F de todos as matrizes simétricas 3x3 com zeros >na diagonal. >(a) Dê a base de F. Justifique. >(b) Mais geralmente, qual é a dimensão do subespaço das matrizes >simétricas nxn com zeros na diagonal? Caso nxn, e levando-se em conta que a diagonal principal é nula: Uma matriz A = [a_ij] de F é tal que a_ii = 0, a_ij = a_ji. Supondo as matrizes reais (qualquer outro corpo serve e a demonstração é idêntica), seja M o conjunto das matrizes E_ij, onde E_ij é uma matriz com todos os coeficientes nulos exceto o ij-ésimo, que será igual a 1, bem como o ji- ésimo. Assim, E_ji = E_ij. É imediato que M gera F. Além disso, M é um conjunto linearmente independente, como também é fácil ver, logo é base de F e portanto dim F = # M = número de coeficientes abaixo da diagonal = (n^2 - n)/2 = n*(n-1)/2. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] fgfg
fgf
[obm-l] sexy.com
df
[obm-l] 76
767
[obm-l] 656
566
[obm-l] fg
fgf
[obm-l] 767
6767
[obm-l] BOOT
76. BOOTSECT.DOS Description: Binary data
[obm-l] 65
5656656.
[obm-l] 454%%%
8989.
[obm-l] gh
gh
[obm-l] 56
565
[obm-l] =
SURPRESAMinha vida andava uma droga!Havia perdido a promoção no emprego que tanto desejava, minha vida conjugal andava morninha, bateram no meu carro. Tudo parecia estar contra a minha pessoa.Um amigo, notando meu baixo astral, me ofereceu um sítio que ele tem no interior de Minas Gerais para eu poder descansar.Diante disso, fiz as malas e fui sozinho para o sítio, deixando para trás a rotina do emprego, a cidade grande, o marasmo do meu casamento.Quando cheguei ao sítio, fui muito bem recebido pela família do caseiro que tomava conta do sítio (Sr. Antonio, Dª Joana e sua filha Tereza).Eles mostraram o meu quarto e disseram que o que eu precisasse eles tariam ali para servir.Então tomei um banho, troquei de roupa e logo depois eles me chamaram para almoçar.Almoçamos todos juntos e notei o quão bonita era Tereza (filha do casal). Ela devia ter uns 20 anos, cara de menina, corpo de mulher.Almocei e disse-lhes que iria para meu quarto tirar uma soneca. Foi o que fiz até a tardizinha. Tomei novamente outro banho e fiquei esperando o jantar que logo foi servido. Notei que Tereza também me olhava, como se estivesse me medindo.Logo após o jantar, como não tinha nada para fazer, conversmaos um pouco e logo fui deitar-me.Estava já naquele sono inicial, quando para minha SURPRESA, aparece Tereza nua na minha frente. Aquele corpo escultural. Seios médios, bunda perfeita e uma xaninha cabeluda. Fiquei atônito por um instante, quando ela se deitou do meu lado e me deu m longo beijo sem dizer nada. Que delícia! Então comecei a chupar os seus seios, ela gemia baixinho e gostoso. Passei minha língua por todo seu corpo que fervia. Mordi suas coxas grossas e roliças até chegar na sua xaninha cabeluda. Então chupei, mordi seu grelinho Ela suspirava, apertava minha cabeça contra sua xaninha e me pedia mais. Gozou e inundou minha boca com aquele gozo maravilhoso.Então ela me deitou de costas na cama e começou a morder, chupar meu pescoço, meu peito, meu pau... Que maravilhoso!Fui a loucura com aquilo tudo. De repente, ela senta no meu pau, de uma só vez e sua xaninha engoliu ele inteiro. Ela gemia gostoso e eu mais ainda comendo aquela xaninha apertada. Ela ficou sentada no meu pau rebolando, até gozar gostoso...Então ela me pediu que a penetrasse de frente (papai e mamãe). Deitei-me sobre ela e deixei meu pau deslizar sobre aquela bucetinha molhada. Ela então, entrelaçou suas pernas nas minhas costas e ficamos num gostoso vai e vem Gozamos juntos...Ela começou a chupar meu pau todo lambuzado de porra e eu comecei a chupar sua bucetinha molhada de porra também. Fizemos um delicioso 69 e gozamos mais uma vez. Ela então me deu um beijo e foi embora sem dizer nada. Adormeci gostoso.quando acordei no outro dia, tomei um banho e saí para cavalgar um pouco. Voltei só na hora do almoço.Tomei outro banho e fui almoçar com a família. Notei que Dª Joana, uma mulher de mais ou menos 40 anos, estava me olhando de modo diferente. Logo pensei: "Será que Tereza falou alguma coisa da noite anterior". Como havia saído para cavalgar pela manhã, disse que iria ficar descansando a tarde. Sr. Antonio, disse-me que iria até a cidade mais próxima, juntamente com Tereza comprar algumas coisa e que passariam a tarde toda fora. Fui para meu quarto e fiquei lendo um livro. De repente, SURPRESA. Lá estava dona Joana, no meu quarto se oferendo para mim. Ela foi logo tirando meu short e caindo de boca no peu pau já duro. Ela chupou, lambeu, mordeu, com uma volupia que me deixou louco. Gozei na sua boca e ela engoliu toda a minha porra. Tirei então aqule vestido que ela usava e vi que ela já estava sem calcinha, pronta para dar. Chupei sua buceta, e que buceta que já estava molhada. Que delícia, o cheiro, o gosto daquele caldinho doce e ela gemia e se contorcia toda quando eu enfiava minha linga dentro da sua xaninha.Deitei-a de costas na cama e me preparei para enfiar meu pau, foi quando SURPRESA Ela me falou que sua buceta só o marido podia comer, mas se eu quisesse seu cú ela me daria, mesmo sem nunca ter dado ele antes prá ninguém.Diante disso, coloquei ela de 4, passei minha língua naquele cuzinho, fechadinho e rosadinho até deixá-lo bem molhado. Meu pau estava duro como uma estaca. Fui colocando devargarzinho a cabeça ela gemia alto... Fui empurrando até a cabeça passar. Ela deu um sussuro mais alto e começou a rebolar. Meu pau ia entrando devagar, até que de uma só vez, dei uma estocada que fez meu pau entrar todinho e meu saco encostar na sua buceta. Ela gritou, gemeu, chorou, pediu mais e mais e eu fui bombando. Cada vez aumentava mais o ritmo e ela me pedia mais. Gozei feito um louco, molhanso o seu cu com minha porra. Quando tirei meu pau, ela o lambei como uma gata no cio. Que maravilha, nunca havia comido um cuzinho tão gostoso.Ela então me deu um beijo gostoso e saiu do meu quarto com um sorriso de quem havia gostado.Naquela noite ainda haveria uma
[obm-l] URGENTE!!!!!!!!REPASSEM
MENINA COM CÂNCER,REPASSE URGENTEMENTE KKK
[obm-l] 45
54
[obm-l] A surpresa
SURPRESAMinha vida andava uma droga!Havia perdido a promoção no emprego que tanto desejava, minha vida conjugal andava morninha, bateram no meu carro. Tudo parecia estar contra a minha pessoa.Um amigo, notando meu baixo astral, me ofereceu um sítio que ele tem no interior de Minas Gerais para eu poder descansar.Diante disso, fiz as malas e fui sozinho para o sítio, deixando para trás a rotina do emprego, a cidade grande, o marasmo do meu casamento.Quando cheguei ao sítio, fui muito bem recebido pela família do caseiro que tomava conta do sítio (Sr. Antonio, Dª Joana e sua filha Tereza).Eles mostraram o meu quarto e disseram que o que eu precisasse eles tariam ali para servir.Então tomei um banho, troquei de roupa e logo depois eles me chamaram para almoçar.Almoçamos todos juntos e notei o quão bonita era Tereza (filha do casal). Ela devia ter uns 20 anos, cara de menina, corpo de mulher.Almocei e disse-lhes que iria para meu quarto tirar uma soneca. Foi o que fiz até a tardizinha. Tomei novamente outro banho e fiquei esperando o jantar que logo foi servido. Notei que Tereza também me olhava, como se estivesse me medindo.Logo após o jantar, como não tinha nada para fazer, conversmaos um pouco e logo fui deitar-me.Estava já naquele sono inicial, quando para minha SURPRESA, aparece Tereza nua na minha frente. Aquele corpo escultural. Seios médios, bunda perfeita e uma xaninha cabeluda. Fiquei atônito por um instante, quando ela se deitou do meu lado e me deu m longo beijo sem dizer nada. Que delícia! Então comecei a chupar os seus seios, ela gemia baixinho e gostoso. Passei minha língua por todo seu corpo que fervia. Mordi suas coxas grossas e roliças até chegar na sua xaninha cabeluda. Então chupei, mordi seu grelinho Ela suspirava, apertava minha cabeça contra sua xaninha e me pedia mais. Gozou e inundou minha boca com aquele gozo maravilhoso.Então ela me deitou de costas na cama e começou a morder, chupar meu pescoço, meu peito, meu pau... Que maravilhoso!Fui a loucura com aquilo tudo. De repente, ela senta no meu pau, de uma só vez e sua xaninha engoliu ele inteiro. Ela gemia gostoso e eu mais ainda comendo aquela xaninha apertada. Ela ficou sentada no meu pau rebolando, até gozar gostoso...Então ela me pediu que a penetrasse de frente (papai e mamãe). Deitei-me sobre ela e deixei meu pau deslizar sobre aquela bucetinha molhada. Ela então, entrelaçou suas pernas nas minhas costas e ficamos num gostoso vai e vem Gozamos juntos...Ela começou a chupar meu pau todo lambuzado de porra e eu comecei a chupar sua bucetinha molhada de porra também. Fizemos um delicioso 69 e gozamos mais uma vez. Ela então me deu um beijo e foi embora sem dizer nada. Adormeci gostoso.quando acordei no outro dia, tomei um banho e saí para cavalgar um pouco. Voltei só na hora do almoço.Tomei outro banho e fui almoçar com a família. Notei que Dª Joana, uma mulher de mais ou menos 40 anos, estava me olhando de modo diferente. Logo pensei: "Será que Tereza falou alguma coisa da noite anterior". Como havia saído para cavalgar pela manhã, disse que iria ficar descansando a tarde. Sr. Antonio, disse-me que iria até a cidade mais próxima, juntamente com Tereza comprar algumas coisa e que passariam a tarde toda fora. Fui para meu quarto e fiquei lendo um livro. De repente, SURPRESA. Lá estava dona Joana, no meu quarto se oferendo para mim. Ela foi logo tirando meu short e caindo de boca no peu pau já duro. Ela chupou, lambeu, mordeu, com uma volupia que me deixou louco. Gozei na sua boca e ela engoliu toda a minha porra. Tirei então aqule vestido que ela usava e vi que ela já estava sem calcinha, pronta para dar. Chupei sua buceta, e que buceta que já estava molhada. Que delícia, o cheiro, o gosto daquele caldinho doce e ela gemia e se contorcia toda quando eu enfiava minha linga dentro da sua xaninha.Deitei-a de costas na cama e me preparei para enfiar meu pau, foi quando SURPRESA Ela me falou que sua buceta só o marido podia comer, mas se eu quisesse seu cú ela me daria, mesmo sem nunca ter dado ele antes prá ninguém.Diante disso, coloquei ela de 4, passei minha língua naquele cuzinho, fechadinho e rosadinho até deixá-lo bem molhado. Meu pau estava duro como uma estaca. Fui colocando devargarzinho a cabeça ela gemia alto... Fui empurrando até a cabeça passar. Ela deu um sussuro mais alto e começou a rebolar. Meu pau ia entrando devagar, até que de uma só vez, dei uma estocada que fez meu pau entrar todinho e meu saco encostar na sua buceta. Ela gritou, gemeu, chorou, pediu mais e mais e eu fui bombando. Cada vez aumentava mais o ritmo e ela me pedia mais. Gozei feito um louco, molhanso o seu cu com minha porra. Quando tirei meu pau, ela o lambei como uma gata no cio. Que maravilha, nunca havia comido um cuzinho tão gostoso.Ela então me deu um beijo gostoso e saiu do meu quarto com um sorriso de quem havia gostado.Naquela noite ainda haveria uma
[obm-l] A surpresa
A SURPRESAMinha vida andava uma droga!Havia perdido a promoção no emprego que tanto desejava, minha vida conjugal andava morninha, bateram no meu carro. Tudo parecia estar contra a minha pessoa.Um amigo, notando meu baixo astral, me ofereceu um sítio que ele tem no interior de Minas Gerais para eu poder descansar.Diante disso, fiz as malas e fui sozinho para o sítio, deixando para trás a rotina do emprego, a cidade grande, o marasmo do meu casamento.Quando cheguei ao sítio, fui muito bem recebido pela família do caseiro que tomava conta do sítio (Sr. Antonio, Dª Joana e sua filha Tereza).Eles mostraram o meu quarto e disseram que o que eu precisasse eles tariam ali para servir.Então tomei um banho, troquei de roupa e logo depois eles me chamaram para almoçar.Almoçamos todos juntos e notei o quão bonita era Tereza (filha do casal). Ela devia ter uns 20 anos, cara de menina, corpo de mulher.Almocei e disse-lhes que iria para meu quarto tirar uma soneca. Foi o que fiz até a tardizinha. Tomei novamente outro banho e fiquei esperando o jantar que logo foi servido. Notei que Tereza também me olhava, como se estivesse me medindo.Logo após o jantar, como não tinha nada para fazer, conversmaos um pouco e logo fui deitar-me.Estava já naquele sono inicial, quando para minha SURPRESA, aparece Tereza nua na minha frente. Aquele corpo escultural. Seios médios, bunda perfeita e uma xaninha cabeluda. Fiquei atônito por um instante, quando ela se deitou do meu lado e me deu m longo beijo sem dizer nada. Que delícia! Então comecei a chupar os seus seios, ela gemia baixinho e gostoso. Passei minha língua por todo seu corpo que fervia. Mordi suas coxas grossas e roliças até chegar na sua xaninha cabeluda. Então chupei, mordi seu grelinho Ela suspirava, apertava minha cabeça contra sua xaninha e me pedia mais. Gozou e inundou minha boca com aquele gozo maravilhoso.Então ela me deitou de costas na cama e começou a morder, chupar meu pescoço, meu peito, meu pau... Que maravilhoso!Fui a loucura com aquilo tudo. De repente, ela senta no meu pau, de uma só vez e sua xaninha engoliu ele inteiro. Ela gemia gostoso e eu mais ainda comendo aquela xaninha apertada. Ela ficou sentada no meu pau rebolando, até gozar gostoso...Então ela me pediu que a penetrasse de frente (papai e mamãe). Deitei-me sobre ela e deixei meu pau deslizar sobre aquela bucetinha molhada. Ela então, entrelaçou suas pernas nas minhas costas e ficamos num gostoso vai e vem Gozamos juntos...Ela começou a chupar meu pau todo lambuzado de porra e eu comecei a chupar sua bucetinha molhada de porra também. Fizemos um delicioso 69 e gozamos mais uma vez. Ela então me deu um beijo e foi embora sem dizer nada. Adormeci gostoso.quando acordei no outro dia, tomei um banho e saí para cavalgar um pouco. Voltei só na hora do almoço.Tomei outro banho e fui almoçar com a família. Notei que Dª Joana, uma mulher de mais ou menos 40 anos, estava me olhando de modo diferente. Logo pensei: "Será que Tereza falou alguma coisa da noite anterior". Como havia saído para cavalgar pela manhã, disse que iria ficar descansando a tarde. Sr. Antonio, disse-me que iria até a cidade mais próxima, juntamente com Tereza comprar algumas coisa e que passariam a tarde toda fora. Fui para meu quarto e fiquei lendo um livro. De repente, SURPRESA. Lá estava dona Joana, no meu quarto se oferendo para mim. Ela foi logo tirando meu short e caindo de boca no peu pau já duro. Ela chupou, lambeu, mordeu, com uma volupia que me deixou louco. Gozei na sua boca e ela engoliu toda a minha porra. Tirei então aqule vestido que ela usava e vi que ela já estava sem calcinha, pronta para dar. Chupei sua buceta, e que buceta que já estava molhada. Que delícia, o cheiro, o gosto daquele caldinho doce e ela gemia e se contorcia toda quando eu enfiava minha linga dentro da sua xaninha.Deitei-a de costas na cama e me preparei para enfiar meu pau, foi quando SURPRESA Ela me falou que sua buceta só o marido podia comer, mas se eu quisesse seu cú ela me daria, mesmo sem nunca ter dado ele antes prá ninguém.Diante disso, coloquei ela de 4, passei minha língua naquele cuzinho, fechadinho e rosadinho até deixá-lo bem molhado. Meu pau estava duro como uma estaca. Fui colocando devargarzinho a cabeça ela gemia alto... Fui empurrando até a cabeça passar. Ela deu um sussuro mais alto e começou a rebolar. Meu pau ia entrando devagar, até que de uma só vez, dei uma estocada que fez meu pau entrar todinho e meu saco encostar na sua buceta. Ela gritou, gemeu, chorou, pediu mais e mais e eu fui bombando. Cada vez aumentava mais o ritmo e ela me pedia mais. Gozei feito um louco, molhanso o seu cu com minha porra. Quando tirei meu pau, ela o lambei como uma gata no cio. Que maravilha, nunca havia comido um cuzinho tão gostoso.Ela então me deu um beijo gostoso e saiu do meu quarto com um sorriso de quem havia gostado.Naquela noite ainda haveria um
[obm-l] A surpresa
A SURPRESAMinha vida andava uma droga!Havia perdido a promoção no emprego que tanto desejava, minha vida conjugal andava morninha, bateram no meu carro. Tudo parecia estar contra a minha pessoa.Um amigo, notando meu baixo astral, me ofereceu um sítio que ele tem no interior de Minas Gerais para eu poder descansar.Diante disso, fiz as malas e fui sozinho para o sítio, deixando para trás a rotina do emprego, a cidade grande, o marasmo do meu casamento.Quando cheguei ao sítio, fui muito bem recebido pela família do caseiro que tomava conta do sítio (Sr. Antonio, Dª Joana e sua filha Tereza).Eles mostraram o meu quarto e disseram que o que eu precisasse eles tariam ali para servir.Então tomei um banho, troquei de roupa e logo depois eles me chamaram para almoçar.Almoçamos todos juntos e notei o quão bonita era Tereza (filha do casal). Ela devia ter uns 20 anos, cara de menina, corpo de mulher.Almocei e disse-lhes que iria para meu quarto tirar uma soneca. Foi o que fiz até a tardizinha. Tomei novamente outro banho e fiquei esperando o jantar que logo foi servido. Notei que Tereza também me olhava, como se estivesse me medindo.Logo após o jantar, como não tinha nada para fazer, conversmaos um pouco e logo fui deitar-me.Estava já naquele sono inicial, quando para minha SURPRESA, aparece Tereza nua na minha frente. Aquele corpo escultural. Seios médios, bunda perfeita e uma xaninha cabeluda. Fiquei atônito por um instante, quando ela se deitou do meu lado e me deu m longo beijo sem dizer nada. Que delícia! Então comecei a chupar os seus seios, ela gemia baixinho e gostoso. Passei minha língua por todo seu corpo que fervia. Mordi suas coxas grossas e roliças até chegar na sua xaninha cabeluda. Então chupei, mordi seu grelinho Ela suspirava, apertava minha cabeça contra sua xaninha e me pedia mais. Gozou e inundou minha boca com aquele gozo maravilhoso.Então ela me deitou de costas na cama e começou a morder, chupar meu pescoço, meu peito, meu pau... Que maravilhoso!Fui a loucura com aquilo tudo. De repente, ela senta no meu pau, de uma só vez e sua xaninha engoliu ele inteiro. Ela gemia gostoso e eu mais ainda comendo aquela xaninha apertada. Ela ficou sentada no meu pau rebolando, até gozar gostoso...Então ela me pediu que a penetrasse de frente (papai e mamãe). Deitei-me sobre ela e deixei meu pau deslizar sobre aquela bucetinha molhada. Ela então, entrelaçou suas pernas nas minhas costas e ficamos num gostoso vai e vem Gozamos juntos...Ela começou a chupar meu pau todo lambuzado de porra e eu comecei a chupar sua bucetinha molhada de porra também. Fizemos um delicioso 69 e gozamos mais uma vez. Ela então me deu um beijo e foi embora sem dizer nada. Adormeci gostoso.quando acordei no outro dia, tomei um banho e saí para cavalgar um pouco. Voltei só na hora do almoço.Tomei outro banho e fui almoçar com a família. Notei que Dª Joana, uma mulher de mais ou menos 40 anos, estava me olhando de modo diferente. Logo pensei: "Será que Tereza falou alguma coisa da noite anterior". Como havia saído para cavalgar pela manhã, disse que iria ficar descansando a tarde. Sr. Antonio, disse-me que iria até a cidade mais próxima, juntamente com Tereza comprar algumas coisa e que passariam a tarde toda fora. Fui para meu quarto e fiquei lendo um livro. De repente, SURPRESA. Lá estava dona Joana, no meu quarto se oferendo para mim. Ela foi logo tirando meu short e caindo de boca no peu pau já duro. Ela chupou, lambeu, mordeu, com uma volupia que me deixou louco. Gozei na sua boca e ela engoliu toda a minha porra. Tirei então aqule vestido que ela usava e vi que ela já estava sem calcinha, pronta para dar. Chupei sua buceta, e que buceta que já estava molhada. Que delícia, o cheiro, o gosto daquele caldinho doce e ela gemia e se contorcia toda quando eu enfiava minha linga dentro da sua xaninha.Deitei-a de costas na cama e me preparei para enfiar meu pau, foi quando SURPRESA Ela me falou que sua buceta só o marido podia comer, mas se eu quisesse seu cú ela me daria, mesmo sem nunca ter dado ele antes prá ninguém.Diante disso, coloquei ela de 4, passei minha língua naquele cuzinho, fechadinho e rosadinho até deixá-lo bem molhado. Meu pau estava duro como uma estaca. Fui colocando devargarzinho a cabeça ela gemia alto... Fui empurrando até a cabeça passar. Ela deu um sussuro mais alto e começou a rebolar. Meu pau ia entrando devagar, até que de uma só vez, dei uma estocada que fez meu pau entrar todinho e meu saco encostar na sua buceta. Ela gritou, gemeu, chorou, pediu mais e mais e eu fui bombando. Cada vez aumentava mais o ritmo e ela me pedia mais. Gozei feito um louco, molhanso o seu cu com minha porra. Quando tirei meu pau, ela o lambei como uma gata no cio. Que maravilha, nunca havia comido um cuzinho tão gostoso.Ela então me deu um beijo gostoso e saiu do meu quarto com um sorriso de quem havia gostado.Naquela noite ainda haveria um
[obm-l] A surpresa
SURPRESAMinha vida andava uma droga!Havia perdido a promoção no emprego que tanto desejava, minha vida conjugal andava morninha, bateram no meu carro. Tudo parecia estar contra a minha pessoa.Um amigo, notando meu baixo astral, me ofereceu um sítio que ele tem no interior de Minas Gerais para eu poder descansar.Diante disso, fiz as malas e fui sozinho para o sítio, deixando para trás a rotina do emprego, a cidade grande, o marasmo do meu casamento.Quando cheguei ao sítio, fui muito bem recebido pela família do caseiro que tomava conta do sítio (Sr. Antonio, Dª Joana e sua filha Tereza).Eles mostraram o meu quarto e disseram que o que eu precisasse eles tariam ali para servir.Então tomei um banho, troquei de roupa e logo depois eles me chamaram para almoçar.Almoçamos todos juntos e notei o quão bonita era Tereza (filha do casal). Ela devia ter uns 20 anos, cara de menina, corpo de mulher.Almocei e disse-lhes que iria para meu quarto tirar uma soneca. Foi o que fiz até a tardizinha. Tomei novamente outro banho e fiquei esperando o jantar que logo foi servido. Notei que Tereza também me olhava, como se estivesse me medindo.Logo após o jantar, como não tinha nada para fazer, conversmaos um pouco e logo fui deitar-me.Estava já naquele sono inicial, quando para minha SURPRESA, aparece Tereza nua na minha frente. Aquele corpo escultural. Seios médios, bunda perfeita e uma xaninha cabeluda. Fiquei atônito por um instante, quando ela se deitou do meu lado e me deu m longo beijo sem dizer nada. Que delícia! Então comecei a chupar os seus seios, ela gemia baixinho e gostoso. Passei minha língua por todo seu corpo que fervia. Mordi suas coxas grossas e roliças até chegar na sua xaninha cabeluda. Então chupei, mordi seu grelinho Ela suspirava, apertava minha cabeça contra sua xaninha e me pedia mais. Gozou e inundou minha boca com aquele gozo maravilhoso.Então ela me deitou de costas na cama e começou a morder, chupar meu pescoço, meu peito, meu pau... Que maravilhoso!Fui a loucura com aquilo tudo. De repente, ela senta no meu pau, de uma só vez e sua xaninha engoliu ele inteiro. Ela gemia gostoso e eu mais ainda comendo aquela xaninha apertada. Ela ficou sentada no meu pau rebolando, até gozar gostoso...Então ela me pediu que a penetrasse de frente (papai e mamãe). Deitei-me sobre ela e deixei meu pau deslizar sobre aquela bucetinha molhada. Ela então, entrelaçou suas pernas nas minhas costas e ficamos num gostoso vai e vem Gozamos juntos...Ela começou a chupar meu pau todo lambuzado de porra e eu comecei a chupar sua bucetinha molhada de porra também. Fizemos um delicioso 69 e gozamos mais uma vez. Ela então me deu um beijo e foi embora sem dizer nada. Adormeci gostoso.quando acordei no outro dia, tomei um banho e saí para cavalgar um pouco. Voltei só na hora do almoço.Tomei outro banho e fui almoçar com a família. Notei que Dª Joana, uma mulher de mais ou menos 40 anos, estava me olhando de modo diferente. Logo pensei: "Será que Tereza falou alguma coisa da noite anterior". Como havia saído para cavalgar pela manhã, disse que iria ficar descansando a tarde. Sr. Antonio, disse-me que iria até a cidade mais próxima, juntamente com Tereza comprar algumas coisa e que passariam a tarde toda fora. Fui para meu quarto e fiquei lendo um livro. De repente, SURPRESA. Lá estava dona Joana, no meu quarto se oferendo para mim. Ela foi logo tirando meu short e caindo de boca no peu pau já duro. Ela chupou, lambeu, mordeu, com uma volupia que me deixou louco. Gozei na sua boca e ela engoliu toda a minha porra. Tirei então aqule vestido que ela usava e vi que ela já estava sem calcinha, pronta para dar. Chupei sua buceta, e que buceta que já estava molhada. Que delícia, o cheiro, o gosto daquele caldinho doce e ela gemia e se contorcia toda quando eu enfiava minha linga dentro da sua xaninha.Deitei-a de costas na cama e me preparei para enfiar meu pau, foi quando SURPRESA Ela me falou que sua buceta só o marido podia comer, mas se eu quisesse seu cú ela me daria, mesmo sem nunca ter dado ele antes prá ninguém.Diante disso, coloquei ela de 4, passei minha língua naquele cuzinho, fechadinho e rosadinho até deixá-lo bem molhado. Meu pau estava duro como uma estaca. Fui colocando devargarzinho a cabeça ela gemia alto... Fui empurrando até a cabeça passar. Ela deu um sussuro mais alto e começou a rebolar. Meu pau ia entrando devagar, até que de uma só vez, dei uma estocada que fez meu pau entrar todinho e meu saco encostar na sua buceta. Ela gritou, gemeu, chorou, pediu mais e mais e eu fui bombando. Cada vez aumentava mais o ritmo e ela me pedia mais. Gozei feito um louco, molhanso o seu cu com minha porra. Quando tirei meu pau, ela o lambei como uma gata no cio. Que maravilha, nunca havia comido um cuzinho tão gostoso.Ela então me deu um beijo gostoso e saiu do meu quarto com um sorriso de quem havia gostado.Naquela noite ainda haveria uma
[obm-l] A surpresa
SURPRESAMinha vida andava uma droga!Havia perdido a promoção no emprego que tanto desejava, minha vida conjugal andava morninha, bateram no meu carro. Tudo parecia estar contra a minha pessoa.Um amigo, notando meu baixo astral, me ofereceu um sítio que ele tem no interior de Minas Gerais para eu poder descansar.Diante disso, fiz as malas e fui sozinho para o sítio, deixando para trás a rotina do emprego, a cidade grande, o marasmo do meu casamento.Quando cheguei ao sítio, fui muito bem recebido pela família do caseiro que tomava conta do sítio (Sr. Antonio, Dª Joana e sua filha Tereza).Eles mostraram o meu quarto e disseram que o que eu precisasse eles tariam ali para servir.Então tomei um banho, troquei de roupa e logo depois eles me chamaram para almoçar.Almoçamos todos juntos e notei o quão bonita era Tereza (filha do casal). Ela devia ter uns 20 anos, cara de menina, corpo de mulher.Almocei e disse-lhes que iria para meu quarto tirar uma soneca. Foi o que fiz até a tardizinha. Tomei novamente outro banho e fiquei esperando o jantar que logo foi servido. Notei que Tereza também me olhava, como se estivesse me medindo.Logo após o jantar, como não tinha nada para fazer, conversmaos um pouco e logo fui deitar-me.Estava já naquele sono inicial, quando para minha SURPRESA, aparece Tereza nua na minha frente. Aquele corpo escultural. Seios médios, bunda perfeita e uma xaninha cabeluda. Fiquei atônito por um instante, quando ela se deitou do meu lado e me deu m longo beijo sem dizer nada. Que delícia! Então comecei a chupar os seus seios, ela gemia baixinho e gostoso. Passei minha língua por todo seu corpo que fervia. Mordi suas coxas grossas e roliças até chegar na sua xaninha cabeluda. Então chupei, mordi seu grelinho Ela suspirava, apertava minha cabeça contra sua xaninha e me pedia mais. Gozou e inundou minha boca com aquele gozo maravilhoso.Então ela me deitou de costas na cama e começou a morder, chupar meu pescoço, meu peito, meu pau... Que maravilhoso!Fui a loucura com aquilo tudo. De repente, ela senta no meu pau, de uma só vez e sua xaninha engoliu ele inteiro. Ela gemia gostoso e eu mais ainda comendo aquela xaninha apertada. Ela ficou sentada no meu pau rebolando, até gozar gostoso...Então ela me pediu que a penetrasse de frente (papai e mamãe). Deitei-me sobre ela e deixei meu pau deslizar sobre aquela bucetinha molhada. Ela então, entrelaçou suas pernas nas minhas costas e ficamos num gostoso vai e vem Gozamos juntos...Ela começou a chupar meu pau todo lambuzado de porra e eu comecei a chupar sua bucetinha molhada de porra também. Fizemos um delicioso 69 e gozamos mais uma vez. Ela então me deu um beijo e foi embora sem dizer nada. Adormeci gostoso.quando acordei no outro dia, tomei um banho e saí para cavalgar um pouco. Voltei só na hora do almoço.Tomei outro banho e fui almoçar com a família. Notei que Dª Joana, uma mulher de mais ou menos 40 anos, estava me olhando de modo diferente. Logo pensei: "Será que Tereza falou alguma coisa da noite anterior". Como havia saído para cavalgar pela manhã, disse que iria ficar descansando a tarde. Sr. Antonio, disse-me que iria até a cidade mais próxima, juntamente com Tereza comprar algumas coisa e que passariam a tarde toda fora. Fui para meu quarto e fiquei lendo um livro. De repente, SURPRESA. Lá estava dona Joana, no meu quarto se oferendo para mim. Ela foi logo tirando meu short e caindo de boca no peu pau já duro. Ela chupou, lambeu, mordeu, com uma volupia que me deixou louco. Gozei na sua boca e ela engoliu toda a minha porra. Tirei então aqule vestido que ela usava e vi que ela já estava sem calcinha, pronta para dar. Chupei sua buceta, e que buceta que já estava molhada. Que delícia, o cheiro, o gosto daquele caldinho doce e ela gemia e se contorcia toda quando eu enfiava minha linga dentro da sua xaninha.Deitei-a de costas na cama e me preparei para enfiar meu pau, foi quando SURPRESA Ela me falou que sua buceta só o marido podia comer, mas se eu quisesse seu cú ela me daria, mesmo sem nunca ter dado ele antes prá ninguém.Diante disso, coloquei ela de 4, passei minha língua naquele cuzinho, fechadinho e rosadinho até deixá-lo bem molhado. Meu pau estava duro como uma estaca. Fui colocando devargarzinho a cabeça ela gemia alto... Fui empurrando até a cabeça passar. Ela deu um sussuro mais alto e começou a rebolar. Meu pau ia entrando devagar, até que de uma só vez, dei uma estocada que fez meu pau entrar todinho e meu saco encostar na sua buceta. Ela gritou, gemeu, chorou, pediu mais e mais e eu fui bombando. Cada vez aumentava mais o ritmo e ela me pedia mais. Gozei feito um louco, molhanso o seu cu com minha porra. Quando tirei meu pau, ela o lambei como uma gata no cio. Que maravilha, nunca havia comido um cuzinho tão gostoso.Ela então me deu um beijo gostoso e saiu do meu quarto com um sorriso de quem havia gostado.Naquela noite ainda haveria uma
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