[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação

[Daniel Jelin]

Obrigado, Marcelo, abs!

Em qua., 25 de out. de 2023 00:24, Marcelo Gonda Stangler <
marcelo.gonda.stang...@gmail.com> escreveu:

> Este problema, com um pouco de uso de substituição pode ser mostrado como
> análogo a isolar em x: k=x-e^(-1/x+1)
> Tu precisas limitar o "quanto" estás disposto a fatorar, pois poderiamos
> isolar x deixando-o em função de f(x) tal que f(x)-e^(-1/f(x)+1)=k. Mas
> suspeito que não é isto que queres.
> Se estamos falando de isolar algebricamente x, podemos notar alguns pontos:
>   Exp(x) para valores não triviais causa transformações relativas a x na
> base minimal que contém x de extensão sobre A, o corpo dos algébricos.
>   Se k é algébrico não nulo, x deve ser transcedental, visto que e é
> transcedental e (-1/x+1) pertence ao corpo dos A[x], assim x ser algebráico
> seria um absurdo.
>   Se x é algébrico, à exceção de 1, raiz de -1/x+1, k será transcedental
> uma vez que e o é.
> Assim, à exceção do caso (k,x)=(0,1), não haverá soluções em que x e k são
> algebráicos. Então, ao isolar o x, obteriamos algo em relação a "e" ou "ln".
> Como k=x-e^(-1/x+1), a base minimal de extensão que contém k é a união
> desta base de x, e da base transformada de x por Exp().
> Assim, a base minimal de x teria que ser a união da base de k e da base
> transformada de k por Exp() (1) ou Ln() (2).
> (1) implica que ambos são algébricos e (k,x)=(0,1)
> (2) implica que BM(x) = BM(k) U BM(Ln(k)) = BM(x) U BM(Exp(x)) U
> BM(Ln(k)), também implica (k,x)=(0,1)
>
> Dessa forma provamos que é impossível 'isolar' o x em função de k.
>
> Em ter, 24 de out de 2023 21:15, Daniel Jelin 
> escreveu:
>
>> Caros, olá. Tenho a seguinte equação: 1/ln(x) - 1/(x-1) = k, com x e k
>> reais. Quero isolar o x, mas não consigo. Pergunto: alguém tem alguma dica?
>> E pergunto tb: é possível que simplesmente não haja meios de isolar o x?
>> Nesse caso, como se prova isso? abs.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] equação

[Marcelo Gonda Stangler]

Este problema, com um pouco de uso de substituição pode ser mostrado como
análogo a isolar em x: k=x-e^(-1/x+1)
Tu precisas limitar o "quanto" estás disposto a fatorar, pois poderiamos
isolar x deixando-o em função de f(x) tal que f(x)-e^(-1/f(x)+1)=k. Mas
suspeito que não é isto que queres.
Se estamos falando de isolar algebricamente x, podemos notar alguns pontos:
  Exp(x) para valores não triviais causa transformações relativas a x na
base minimal que contém x de extensão sobre A, o corpo dos algébricos.
  Se k é algébrico não nulo, x deve ser transcedental, visto que e é
transcedental e (-1/x+1) pertence ao corpo dos A[x], assim x ser algebráico
seria um absurdo.
  Se x é algébrico, à exceção de 1, raiz de -1/x+1, k será transcedental
uma vez que e o é.
Assim, à exceção do caso (k,x)=(0,1), não haverá soluções em que x e k são
algebráicos. Então, ao isolar o x, obteriamos algo em relação a "e" ou "ln".
Como k=x-e^(-1/x+1), a base minimal de extensão que contém k é a união
desta base de x, e da base transformada de x por Exp().
Assim, a base minimal de x teria que ser a união da base de k e da base
transformada de k por Exp() (1) ou Ln() (2).
(1) implica que ambos são algébricos e (k,x)=(0,1)
(2) implica que BM(x) = BM(k) U BM(Ln(k)) = BM(x) U BM(Exp(x)) U BM(Ln(k)),
também implica (k,x)=(0,1)

Dessa forma provamos que é impossível 'isolar' o x em função de k.

Em ter, 24 de out de 2023 21:15, Daniel Jelin 
escreveu:

> Caros, olá. Tenho a seguinte equação: 1/ln(x) - 1/(x-1) = k, com x e k
> reais. Quero isolar o x, mas não consigo. Pergunto: alguém tem alguma dica?
> E pergunto tb: é possível que simplesmente não haja meios de isolar o x?
> Nesse caso, como se prova isso? abs.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação exponencial

[Prof. Douglas Oliveira]

Pocha, explicadissimo, thank you my friend.

Em qua, 16 de out de 2019 18:12, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Depende!
>
> (Esta discussao eh analoga aaquela outra de "Afinal, 0 eh natural ou
> nao?"... cuja resposta eh "Decida como quiser, diga para todos como voce
> decidiu, e seja coerente. De preferencia, escreva as coisas para evitar a
> pergunta.")
>
> O problema eh a convenção: quanto vale 0^0 ? Ha duas opções: alguns
> matemáticos usam que 0^0=1; outros (acho que a maioria?) preferem dizer que
> 0^0 nao eh uma operação permitida.
>
> Eu pessoalmente prefiro dizer que 0^0=1 (sou minoria?). Veja bem, eh uma
> convenção, apenas uma convenção, então não tem "certo" ou "errado"... Mas
> tenho alguns argumentos a favor disto:
> A1) Se f(x) e g(x) sao funcoes **analiticas** em torno de x=a, com lim
> f(x) = lim g(x) = 0 quando x->a, e f nao eh identicamente nula perto de a,
> entao lim f^g=1 quando x->a. Por este motivo, 99% dos exercicios de Calculo
> que caem numa "indeterminacao" do tipo 0^0 acabam dando 1!
> A2) Com esta convencao, a funcao f(x)=x^0 vale 1 para todo x real, sem
> excecao.
> A3) Tecnicamente, (A2) de novo, mas agora explicando onde isso eh util:
> para descrever um polinomio generico (ou uma serie de potencias, que a
> gente usa bastante para resolver algumas EDOs), a gente escreve SUM (k=0 a
> n) a_k x^k (ou SUM (k=0 a Inf) a_k x^k) -- aqui SUM eh um somatório. Pois
> bem, o primeiro termo ali, quando k=0, eh a_0.x^0, e eu quero que isso
> valha a_0 para todo x, inclusive para x=0. Se voce eh da escola do "0^0 nao
> eh permitido", você vai ter que escrever o a_0 fora do somatório sozinho,
> ou abrir uma exceção, ou fingir que nao viu o problema. :(
>
> Para fazer o contraponto, vejo argumentos a favor de definir 0^0 como
> "operacao invalida":
> B1) A funcao g(x,y)=x^y (x>0, y>0) NAO TEM LIMITE quando (x,y)->(0,0),
> então nao faz sentido botar um valor especifico para g(0,0).
> B2) Ok, 99% dos limites do tipo 0^0 dao 1, mas os outros 1% NAO DAO 1, e
> isto poderia causar confusao!
> B3) A funcao f(x)=0^x eh continua em (0,Inf). Colocando f(0)=1, ela fica
> descontinua em x=0.
>
> Ainda assim, prefiro 0^0=1 -- acho (A3) forte, acho MUITO mais conveniente
> pensar que 0^0=1 para nao ter que me separar aquele a_0 do polinomio.
>
> Abraco, Ralph.
>
> On Wed, Oct 16, 2019 at 4:36 PM Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>
>> Amigos, me ajudem por favor.
>>
>> Afinal de contas, zero, é ou não é raiz da equação
>> (sqrt(x))^x=x^(sqrt(x=)?
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
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>
>
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[obm-l] Re: [obm-l] Equação exponencial

[Ralph Teixeira]

Depende!

(Esta discussao eh analoga aaquela outra de "Afinal, 0 eh natural ou
nao?"... cuja resposta eh "Decida como quiser, diga para todos como voce
decidiu, e seja coerente. De preferencia, escreva as coisas para evitar a
pergunta.")

O problema eh a convenção: quanto vale 0^0 ? Ha duas opções: alguns
matemáticos usam que 0^0=1; outros (acho que a maioria?) preferem dizer que
0^0 nao eh uma operação permitida.

Eu pessoalmente prefiro dizer que 0^0=1 (sou minoria?). Veja bem, eh uma
convenção, apenas uma convenção, então não tem "certo" ou "errado"... Mas
tenho alguns argumentos a favor disto:
A1) Se f(x) e g(x) sao funcoes **analiticas** em torno de x=a, com lim f(x)
= lim g(x) = 0 quando x->a, e f nao eh identicamente nula perto de a, entao
lim f^g=1 quando x->a. Por este motivo, 99% dos exercicios de Calculo que
caem numa "indeterminacao" do tipo 0^0 acabam dando 1!
A2) Com esta convencao, a funcao f(x)=x^0 vale 1 para todo x real, sem
excecao.
A3) Tecnicamente, (A2) de novo, mas agora explicando onde isso eh util:
para descrever um polinomio generico (ou uma serie de potencias, que a
gente usa bastante para resolver algumas EDOs), a gente escreve SUM (k=0 a
n) a_k x^k (ou SUM (k=0 a Inf) a_k x^k) -- aqui SUM eh um somatório. Pois
bem, o primeiro termo ali, quando k=0, eh a_0.x^0, e eu quero que isso
valha a_0 para todo x, inclusive para x=0. Se voce eh da escola do "0^0 nao
eh permitido", você vai ter que escrever o a_0 fora do somatório sozinho,
ou abrir uma exceção, ou fingir que nao viu o problema. :(

Para fazer o contraponto, vejo argumentos a favor de definir 0^0 como
"operacao invalida":
B1) A funcao g(x,y)=x^y (x>0, y>0) NAO TEM LIMITE quando (x,y)->(0,0),
então nao faz sentido botar um valor especifico para g(0,0).
B2) Ok, 99% dos limites do tipo 0^0 dao 1, mas os outros 1% NAO DAO 1, e
isto poderia causar confusao!
B3) A funcao f(x)=0^x eh continua em (0,Inf). Colocando f(0)=1, ela fica
descontinua em x=0.

Ainda assim, prefiro 0^0=1 -- acho (A3) forte, acho MUITO mais conveniente
pensar que 0^0=1 para nao ter que me separar aquele a_0 do polinomio.

Abraco, Ralph.

On Wed, Oct 16, 2019 at 4:36 PM Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:

> Amigos, me ajudem por favor.
>
> Afinal de contas, zero, é ou não é raiz da equação
> (sqrt(x))^x=x^(sqrt(x=)?
>
> Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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[obm-l] Re: [obm-l] Equação funcional

[Anderson Torres]

Em qua, 29 de mai de 2019 às 22:31, Carlos Monteiro
 escreveu:
>
> Encontre todas as funções f: R -> R tais que
>
> f(x + yf(x))+f(y - f(x)) = 2xf(y)  para todos x, y reais.
>

https://artofproblemsolving.com/community/q1h1340427p7275936

> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

[Otávio Araújo]

Primeiro veja que se existir x natural com f(x)=1, então
f(x^n)=f(x)+f(x^(n-1))-1=f(x^(n-1)), donde concluímos f(x^n)=1 para todo
natural n. Assim não podemos ter x>1 com f(x)=1, caso contrário teríamos
infinitos números y com f(y)=1. Daí, se x>1 --> f(x)>1.
De f(30) = 4 temos 4 = f(6.5) = f(6)+f(5)-1 -->f(6)+f(5)=5 -->
f(2.3)+f(5)=5 --> f(2)+f(3)-1+f(5)=5 --> f(2)+f(3)+f(5)=6. Como vimos,
f(2),f(3) e f(5) são naturais maiores que 1 e que somam 6, logo
f(2)=f(3)=f(5)=2.
Por último, observando que 14400 =(5^2).(2^6).(3^2), temos

f(3^2)=f(3)+f(3)-1=3
f(5^2)=f(5)+f(5)-1=3
f(2^2)=f(2)+f(2)-1=3
f(2^4)=f(2^2)+f(2^2)-1=5
f(2^6)=f(2^4)+f(2^2)-1=7
f((5^2).(3^2))=f(5^2)+f(3^2)-1=5
f((5^2).(3^2).(2^6))=
 f((5^2).(3^2))+f(2^6)-1=5+7-1= 11

Em qua, 19 de set de 2018 6:43 PM, Jeferson Almir 
escreveu:

> Peço uma ideia ou ajuda na seguinte questão:
> Sejam x e y naturais e uma função  f : N -> N tais que
> F(xy) = F(x) + F(y) -1
>
> Existe um número finito de numeros tais que F(x) = 1.
>
> F(30) = 4
>
> Determine o F( 14400)
>
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[obm-l] Re: [obm-l] Equação diferencial ordinária

[Claudio Buffara]

Ops! Falei besteira (confundi x com y).
Tentando de novo...

A equação diferencial y'' + g(t)y = 0 descreve o deslocamento horizontal
y(t) (em relação ao ponto de equilíbrio y = 0), sobre uma superfície sem
atrito, de uma massa de 1 kg presa na extremidade de uma mola cuja
"constante" k varia no tempo de acordo com k(t) = g(t).

Provar que y(t) = 0 para uma infinidade de valores de t equivale a provar
que a trajetória do sistema no espaço (de fato, plano) de fase y-y' cruza o
eixo y' uma infinidade de vezes, ou seja, que a massa oscila
indefinidamente em torno do ponto de equilíbrio.

[]s,
Claudio.



2018-08-19 21:27 GMT-03:00 Claudio Buffara :

> Fisicamente faz sentido.
> Pense numa massa de 1 kg presa a uma mola cuja “constante” não seja
> constante mas varie com a distensão x da mola a partir do ponto de
> equilíbrio de acordo com g(x).
> Imagino que, uma vez que a mola seja distendida, o sistema massa+mola irá
> oscilar, passando pelo ponto de equilíbrio infinitas vezes (atrito nulo, é
> claro).
>
> Enviado do meu iPhone
>
> Em 19 de ago de 2018, à(s) 14:21, Artur Steiner <
> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
>
> > Seja g de R em R contínua e com ínfimo em R positivo. Mostre que toda
> solução da EDO
> >
> > y'' + gy = 0
> >
> > tem uma infinidade de zeros em R.
> >
> > Artur Costa Steiner
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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>

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação 4 grau

[Pedro José]

Boa noite!

Desculpem-me enrolei-me na hora da resposta.

Disse que não tinha raízes entre 0 e 1, que tinha enter 1 e 2 e depois que
tinha entre -1 e 0 mas na hora da resposta:

Portanto a solução não seria (-1,1)? Ou se quisesse ser mais exclusivo
(-1,0)U(0,1), quando o certo seria (-1,0) U(1,2).



Em 26 de junho de 2018 20:59, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2018-06-26 15:09 GMT-03:00 Daniel Quevedo :
> > As raizes reais da equação x^4 -4x=1 pertencem ao intervalo:
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4+-4x%3D1
>
> Dá uma solução em -0.24904... e outra em 1.6633...
> Não tem um problema com o enunciado??
>
> > A) (1,11)
> > B) (2, 12)
> > C) (3, 13)
> > D) (4, 14)
> > E) ( 5, 15)
> >
> > R: c
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação 4 grau

[Pedro José]

Boa noite!

Estranho
Seja P(x) = x^4-4x.
P(1)= -3 e P(2)= 8. logo existe pelo menos um "a" pertencente a (1,2) tal
que P(a)=1; pois, P(x) é contínua e P(1)=1. Como P(2) > 1, não temos soluções para
x>2.

Outra forma P(x) = x(x^3-4) ==> x^3-4 = 1/x. Mesmo sem conhecer cálculo
diferencial, não sei é o seu caso, é fácil observar que para x >= 0, x^3-4
é monótona crescente e 1/x é mónotona decrescente para x>0 como x^3-4 =4
para x=2 e 1/x = 1/2 para x> 2 não haverá soluções já que o lado que maior
cresce e o que é menor decresce.
Não há soluções para x>2
Para x pertencente a (0,1] temos: 1/x>= 1 e  -3
1/x=1/2. Como uma crescente e a outra é decrescente e ambas contínuas
existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
x^3-4 é monotona crescente para x<0
1/x é monótona decrescente para x<0
Como para x=0 x^3-4=-4 e 1/x --> -oo e para x=-1 x^3-4 = -7, para x<=-1 não
existem raízes e, para -1
escreveu:

> Oi daniel,
>
> Faça (x^2+1)^2 =2(x+1)^2 e .
>
> Abraçõs
>
> Carlos Victor
>
> Em 26/06/2018 15:09, Daniel Quevedo escreveu:
>
> As raizes reais da equação x^4 -4x=1 pertencem ao intervalo:
> A) (1,11)
> B) (2, 12)
> C) (3, 13)
> D) (4, 14)
> E) ( 5, 15)
>
> R: c
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Equação 4 grau

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2018-06-26 15:09 GMT-03:00 Daniel Quevedo :
> As raizes reais da equação x^4 -4x=1 pertencem ao intervalo:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4+-4x%3D1

Dá uma solução em -0.24904... e outra em 1.6633...
Não tem um problema com o enunciado??

> A) (1,11)
> B) (2, 12)
> C) (3, 13)
> D) (4, 14)
> E) ( 5, 15)
>
> R: c

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
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=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Equação 4 grau

[Ralph Teixeira]

Tem algo estranho ali, confere o enunciado?

Tomando P(x)=x^4-4x-1, note que P(-1)=4 e P(0)=-1, entao tem uma raiz entre
-1 e 0... o que nao encaixa com nenhuma das alternativas??

Mais: P(1)=-4 e P(2)=7, entao tem outra raiz entre 1 e 2... Huh?

Abraco, Ralph.

On Tue, Jun 26, 2018 at 3:22 PM Daniel Quevedo  wrote:

> As raizes reais da equação x^4 -4x=1 pertencem ao intervalo:
> A) (1,11)
> B) (2, 12)
> C) (3, 13)
> D) (4, 14)
> E) ( 5, 15)
>
> R: c
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Equação 4 grau

[Carlos Victor]

 

Oi daniel, 

Faça (x^2+1)^2 =2(x+1)^2 e . 

Abraçõs 

Carlos Victor 

Em 26/06/2018 15:09, Daniel Quevedo escreveu: 

> As raizes reais da equação x^4 -4x=1 pertencem ao intervalo: 
> A) (1,11) 
> B) (2, 12) 
> C) (3, 13) 
> D) (4, 14) 
> E) ( 5, 15) 
> 
> R: c -- 
> 
> Fiscal: Daniel Quevedo 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

 
-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau

[Pedro José]

Mas
Boa noite!
Correto, a resposta está errada. Pois a=b=0, garante um par (0,0), que
atende para x pertencente à |R.
Embora o enunciado esteja mal formulado, concodo; por ser uma questão de
múltiplas escolhas, não atenderia nenhuma. Mas não há como fugir da opção b.
Saudações,
PJMS


Em Sáb, 16 de jun de 2018 20:30,  escreveu:

> Bem, sobrou o caso a=b=0... Mas eu não gosto muito do enunciado -
> eu escreveria "...pelo menos uma raiz REAL comum" - de fato, se a=b
> então as equações têm raízes complexas comuns.
> Abraços,
>   Gugu
>
> Quoting Pedro José :
>
> > Boa noite!
> > Como é uma questão de múltipla escolha, dá para perceber uma restrição
> > quanto ao|R.
> > Se a<>b. Se o delta de uma das equações for >= 0, o outro será menor que
> 0.
> > Portanto não há soluções.
> > Saudações,
> > PJMS
> >
> > Em Sáb, 16 de jun de 2018 16:59, luciano rodrigues <
> lucianorsl...@gmail.com>
> > escreveu:
> >
> >> Se a=b então o delta é negativo.
> >>
> >> > Em 16 de jun de 2018, às 16:09, Daniel Quevedo 
> >> escreveu:
> >> >
> >> > O número de pares ordenados (a, b), de números reais tais que as
> >> equações x^2 + ax + b^2 = 0 e x^2 + bx + a^2 = 0 possuem pelo menos
> uma
> >> raiz comum é:
> >> > a) 0
> >> > b) 1
> >> > c) 2
> >> > d) 3
> >> > e) 4
> >> >
> >> > R: 0
> >> >
> >> > PS: Não entendi a questão pq, se a = b, as equações são iguais e
> >> assim satisfarão a condição (pelo menos uma raiz comum), mesmo que
> essas
> >> não sejam reais. Mas como provar que para a diferente de b não há
> raizes
> >> comuns?
> >> >
> >> >
> >> > --
> >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> > acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>  acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >>
> =
> >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >>
> =
> >>
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
> >  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau

[gugu]

   Bem, sobrou o caso a=b=0... Mas eu não gosto muito do enunciado -  
eu escreveria "...pelo menos uma raiz REAL comum" - de fato, se a=b  
então as equações têm raízes complexas comuns.

   Abraços,
 Gugu

Quoting Pedro José :


Boa noite!
Como é uma questão de múltipla escolha, dá para perceber uma restrição
quanto ao|R.
Se a<>b. Se o delta de uma das equações for >= 0, o outro será menor que 0.
Portanto não há soluções.
Saudações,
PJMS

Em Sáb, 16 de jun de 2018 16:59, luciano rodrigues 
escreveu:


Se a=b então o delta é negativo.

> Em 16 de jun de 2018, às 16:09, Daniel Quevedo 
escreveu:
>
> O número de pares ordenados (a, b), de números reais tais que as
equações x^2 + ax + b^2 = 0 e x^2 + bx + a^2 = 0 possuem pelo menos uma
raiz comum é:
> a) 0
> b) 1
> c) 2
> d) 3
> e) 4
>
> R: 0
>
> PS: Não entendi a questão pq, se a = b, as equações são iguais e
assim satisfarão a condição (pelo menos uma raiz comum), mesmo que essas
não sejam reais. Mas como provar que para a diferente de b não há raizes
comuns?
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
 acredita-se estar livre de perigo.





--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau

[Pedro José]

Boa noite!
Como é uma questão de múltipla escolha, dá para perceber uma restrição
quanto ao|R.
Se a<>b. Se o delta de uma das equações for >= 0, o outro será menor que 0.
Portanto não há soluções.
Saudações,
PJMS

Em Sáb, 16 de jun de 2018 16:59, luciano rodrigues 
escreveu:

> Se a=b então o delta é negativo.
>
> > Em 16 de jun de 2018, às 16:09, Daniel Quevedo 
> escreveu:
> >
> > O número de pares ordenados (a, b), de números reais tais que as
> equações x^2 + ax + b^2 = 0 e x^2 + bx + a^2 = 0 possuem pelo menos uma
> raiz comum é:
> > a) 0
> > b) 1
> > c) 2
> > d) 3
> > e) 4
> >
> > R: 0
> >
> > PS: Não entendi a questão pq, se a = b, as equações são iguais e
> assim satisfarão a condição (pelo menos uma raiz comum), mesmo que essas
> não sejam reais. Mas como provar que para a diferente de b não há raizes
> comuns?
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

[Pedro José]

Boa tarde!
Se esse problema, que você se refere acima, é do mesmo livro está errada
também, a reposta, suponho.
A reposta dá 39. Foi postada na nota inicial.
Os fatores primos 2,3 e 5 são imediatos o 15 pode ser posto em evidência e
o número é par, portanto, o dois.
Com um pouco mais de dificuldade chega-se a 29 e depois, com mais
dificuldade, parei no 113, pois, furou a resposta. Já que 113 |15^(15^15) +
15.
Achei estranho o enunciado falar em quatro fatores apenas e fui atrás de
pelo menos um, como contra prova.

Então já o segundo patinho feio. No mínimo estranho. Pode ser falha na
edição das perguntas.

Saudações,
PJMS

Em 12 de junho de 2018 16:09, Claudio Buffara 
escreveu:

> Pois é... ainda quero ver a resposta do livro pro problema do
> 15^(15^15))+15.
>
> Enviado do meu iPhone
>
> Em 12 de jun de 2018, à(s) 15:11, Carlos Victor 
> escreveu:
>
> Olá pessoal,
>
> Devemos ser cuidadosos com este livro. Há muitas respostas inconsistentes
> no gabarito.
>
> Carlos Victor
>
> Em 12/06/2018 14:00, Pedro José escreveu:
>
> Boa tarde!
>
>
> Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e,
> verifiquei que nunca vai dar a identidade.
> Dá o quociente de duas funções afins e portanto nunca dará x.
> Por curiosidade, os coeficientes dos polinômios de primeiro grau são, em
> módulo, termos da sequência de Fibonacci.
> E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é
> a solução temos:
>
> f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x  -
> 2 + x^2/(2x^2-3x+1)
>
> só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será
> cancelado esse termo em x^3, por exemplo.
> Será que fiz barbeiragem nesse desenvolvimento?
>
> Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.
>
> Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de
> (1-x)/x=x
>
> Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==>
> f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4
>
> mas aplicando a solução proposta:
>
> f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5)
> +5) - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser
> visto, de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.
>
> O problema não está fechando, creio eu.
> Ou defeito na proposição ou no resultado.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir 
> escreveu:
>
>>
>> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática (
>> Gandhi )
>> E resposta que ele diz é
>> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1)
>>
>> Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir <
>> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
>>>
>>> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira 
>>> escreveu:
>>>
 Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
 rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
 f(x)+f(y)=1+x
 f(y)+f(z)=1+y
 f(z)+f(x)=1+z
 pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
 acharíamos f(x).

 Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio
 abaixo, porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver
 isso, mas estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma
 bobagem imensa.

 Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é
 g^(-1)(y)=1/(1+y)). Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro
 onde x_(k+1)=g(x_k) -- observe que crio isto incluindo k negativo, o que é
 possível desde que nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o
 **conjunto** de valores {x_k} de "órbita" do número a.

 Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
 dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
 nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a
 órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
 ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
 recorrência.

 Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
 para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
 para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que
 é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais.
 Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que
 fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis,
 então há várias órbitas infinitas Acho.

 Abraço, Ralph.

 P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
 lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
 interessante, não?
 P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
 algo usando o limite de x_k...


 On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir <
 

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

[Claudio Buffara]

Pois é... ainda quero ver a resposta do livro pro problema do 15^(15^15))+15.

Enviado do meu iPhone

Em 12 de jun de 2018, à(s) 15:11, Carlos Victor  
escreveu:

> Olá pessoal,
> 
> Devemos ser cuidadosos com este livro. Há muitas respostas inconsistentes no 
> gabarito.
> 
> Carlos Victor
> 
> Em 12/06/2018 14:00, Pedro José escreveu:
> 
>> Boa tarde!
>> 
>> 
>> Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e, 
>> verifiquei que nunca vai dar a identidade.
>> Dá o quociente de duas funções afins e portanto nunca dará x.
>> Por curiosidade, os coeficientes dos polinômios de primeiro grau são, em 
>> módulo, termos da sequência de Fibonacci.
>> E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é a 
>> solução temos:
>> 
>> f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x  - 2 
>> + x^2/(2x^2-3x+1)
>> 
>> só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será cancelado 
>> esse termo em x^3, por exemplo.
>> Será que fiz barbeiragem nesse desenvolvimento?
>> 
>> Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.
>> 
>> Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de (1-x)/x=x
>> 
>> Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==> 
>> f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4
>> 
>> mas aplicando a solução proposta:
>> 
>> f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5) +5) 
>> - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser 
>> visto, de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.
>> 
>> O problema não está fechando, creio eu.
>> Ou defeito na proposição ou no resultado.
>>  
>> Saudações,
>> PJMS
>>  
>> 
>> Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir  
>> escreveu:
>>>  
>>> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática ( 
>>> Gandhi ) 
>>> E resposta que ele diz é
>>> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1) 
>>> 
 Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir 
  escreveu:
 Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
 
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira  
> escreveu:
> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer 
> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
> f(x)+f(y)=1+x
> f(y)+f(z)=1+y
> f(z)+f(x)=1+z
> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha, 
> acharíamos f(x).
>  
> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo, 
> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas 
> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa.
>  
> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)). 
> Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) 
> -- observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que 
> nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de 
> valores {x_k} de "órbita" do número a.
>  
> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f 
> dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais 
> nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se 
> a órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode 
> ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como 
> recorrência.
>  
> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão, 
> para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a 
> para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, 
> que é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes 
> reais. Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos 
> a que fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são 
> enumeráveis, então há várias órbitas infinitas Acho.
>  
> Abraço, Ralph.
>  
> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a 
> lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio 
> é interessante, não?
> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer 
> algo usando o limite de x_k...
> 
>  
>> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir 
>>  wrote:
>> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que
>>  
>> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .
>>  
>> Obs:  ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> -- 
>> Esta 

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

[Carlos Victor]

 

Olá pessoal, 

Devemos ser cuidadosos com este livro. Há muitas respostas
inconsistentes no gabarito. 

Carlos Victor 

Em 12/06/2018 14:00, Pedro José escreveu: 

> Boa tarde!
> 
> Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e, 
> verifiquei que nunca vai dar a identidade. Dá o quociente de duas funções 
> afins e portanto nunca dará x. Por curiosidade, os coeficientes dos 
> polinômios de primeiro grau são, em módulo, termos da sequência de Fibonacci. 
> E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é a 
> solução temos:
> 
> f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x - 2 + 
> x^2/(2x^2-3x+1)
> 
> só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será cancelado 
> esse termo em x^3, por exemplo. Será que fiz barbeiragem nesse 
> desenvolvimento?
> 
> Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.
> 
> Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de (1-x)/x=x
> 
> Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==> 
> f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4
> 
> mas aplicando a solução proposta:
> 
> f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5) +5) 
> - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser visto, 
> de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.
> 
> O problema não está fechando, creio eu. 
> Ou defeito na proposição ou no resultado. 
> Saudações, PJMS
> 
> Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir  
> escreveu:
> 
> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática ( Gandhi 
> ) 
> E resposta que ele diz é 
> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1) 
> 
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir  
> escreveu: 
> 
> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x 
> 
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira  
> escreveu: 
> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer 
> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então: 
> f(x)+f(y)=1+x 
> f(y)+f(z)=1+y 
> f(z)+f(x)=1+z 
> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha, 
> acharíamos f(x). 
> 
> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo, 
> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas 
> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa. 
> 
> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)). Dado 
> um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) -- observe 
> que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que nenhum dos 
> números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de valores {x_k} de 
> "órbita" do número a. 
> 
> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f dentro 
> de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais nada, ou 
> seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a órbita é 
> infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode ESCOLHER f(a) como 
> quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como recorrência. 
> 
> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão, para 
> vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a para 
> algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que é uma 
> equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais. Então, 
> mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que fazem a 
> órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis, então há 
> várias órbitas infinitas Acho. 
> 
> Abraço, Ralph. 
> 
> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a lista... 
> Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é 
> interessante, não? 
> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer algo 
> usando o limite de x_k... 
> 
> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir  
> wrote: 
> 
> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que 
> 
> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) . 
> 
> Obs: ( 1-x | x) é 1-x dividido por x . 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo. 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

[Pedro José]

Boa tarde!


Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e,
verifiquei que nunca vai dar a identidade.
Dá o quociente de duas funções afins e portanto nunca dará x.
Por curiosidade, os coeficientes dos polinômios de primeiro grau são, em
módulo, termos da sequência de Fibonacci.
E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é
a solução temos:

f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x  -
2 + x^2/(2x^2-3x+1)

só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será cancelado
esse termo em x^3, por exemplo.

Será que fiz barbeiragem nesse desenvolvimento?

Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.

Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de
(1-x)/x=x

Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==>
f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4

mas aplicando a solução proposta:

f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5)
+5) - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser
visto, de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.

O problema não está fechando, creio eu.
Ou defeito na proposição ou no resultado.

Saudações,
PJMS


Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir 
escreveu:

>
> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática (
> Gandhi )
> E resposta que ele diz é
> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1)
>
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir <
> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>
>> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
>>
>> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira 
>> escreveu:
>>
>>> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
>>> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
>>> f(x)+f(y)=1+x
>>> f(y)+f(z)=1+y
>>> f(z)+f(x)=1+z
>>> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
>>> acharíamos f(x).
>>>
>>> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio
>>> abaixo, porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver
>>> isso, mas estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma
>>> bobagem imensa.
>>>
>>> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)).
>>> Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) --
>>> observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que
>>> nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de
>>> valores {x_k} de "órbita" do número a.
>>>
>>> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
>>> dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
>>> nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a
>>> órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
>>> ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
>>> recorrência.
>>>
>>> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
>>> para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
>>> para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que
>>> é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais.
>>> Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que
>>> fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis,
>>> então há várias órbitas infinitas Acho.
>>>
>>> Abraço, Ralph.
>>>
>>> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
>>> lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
>>> interessante, não?
>>> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
>>> algo usando o limite de x_k...
>>>
>>> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir 
>>> wrote:
>>>
 Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que

 f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .

 Obs:  ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

[Jeferson Almir]

Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática (
Gandhi )
E resposta que ele diz é
R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1)

Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir 
escreveu:

> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
>
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira 
> escreveu:
>
>> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
>> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
>> f(x)+f(y)=1+x
>> f(y)+f(z)=1+y
>> f(z)+f(x)=1+z
>> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
>> acharíamos f(x).
>>
>> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo,
>> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas
>> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa.
>>
>> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)).
>> Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) --
>> observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que
>> nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de
>> valores {x_k} de "órbita" do número a.
>>
>> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
>> dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
>> nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a
>> órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
>> ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
>> recorrência.
>>
>> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
>> para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
>> para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que
>> é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais.
>> Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que
>> fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis,
>> então há várias órbitas infinitas Acho.
>>
>> Abraço, Ralph.
>>
>> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
>> lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
>> interessante, não?
>> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
>> algo usando o limite de x_k...
>>
>> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir 
>> wrote:
>>
>>> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que
>>>
>>> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .
>>>
>>> Obs:  ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

[Jeferson Almir]

Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x

Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
> f(x)+f(y)=1+x
> f(y)+f(z)=1+y
> f(z)+f(x)=1+z
> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
> acharíamos f(x).
>
> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo,
> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas
> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa.
>
> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)).
> Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) --
> observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que
> nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de
> valores {x_k} de "órbita" do número a.
>
> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
> dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
> nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a
> órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
> ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
> recorrência.
>
> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
> para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
> para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que
> é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais.
> Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que
> fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis,
> então há várias órbitas infinitas Acho.
>
> Abraço, Ralph.
>
> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
> lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
> interessante, não?
> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
> algo usando o limite de x_k...
>
> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir 
> wrote:
>
>> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que
>>
>> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .
>>
>> Obs:  ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

[Ralph Teixeira]

Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
f(x)+f(y)=1+x
f(y)+f(z)=1+y
f(z)+f(x)=1+z
pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
acharíamos f(x).

Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo,
porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas
estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa.

Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)).
Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) --
observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que
nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de
valores {x_k} de "órbita" do número a.

Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a
órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
recorrência.

Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que
é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais.
Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que
fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis,
então há várias órbitas infinitas Acho.

Abraço, Ralph.

P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
interessante, não?
P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
algo usando o limite de x_k...

On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir 
wrote:

> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que
>
> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .
>
> Obs:  ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Equação diferencial

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2017-03-06 9:34 GMT-03:00 Rogério Possi Júnior :
> Bom dia.
>
>
> Seja a equação y^(4)+a_3*y^(3)+a_2*y^(2)+a_1*y^(1)+a_0*y=0 (aqui y^(n)
> representa a derivada de ordem "n" de y em relação a t). Se
> y(t)=5*t*e^(5*t)+e^(t)*sen(t) é sua solução, determine a_0.
>
> Uma saída (na força) consiste em aplicar a solução na equação dada ...
> caindo em um sistema 4X4 ...
>
> Mas acho que deve ter outra forma mais elegante ... alguém sabe como
> fazê-lo?

Olhe para as raízes do polinômio característico correspondente à
solução.  Se eu não errei as contas, dá a_0 = 50 (e a_2 = 47).

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Trigonométrica

[Ricardo Leão]

Muito Obrigado por responder e tirar a minha dúvida, professor Carlos !

Em 10 de setembro de 2016 16:09, Carlos Gomes 
escreveu:

> Olá Ricardo você está certo!
>
> Em 10 de setembro de 2016 14:31, Ricardo Leão 
> escreveu:
>
>> Olá amigos,
>> Eu tenho uma dúvida em relação ao seguinte enunciado:
>>
>> Sendo x medida em radianos, com 0 <= x <= 2pi, a soma de todas as raízes
>> da equação cos² 2x = sen² x é igual a:
>>
>> a) 3pi/2   c) 3pi e) 6pi
>> b) 2pi  d) 4pi
>>
>> De acordo com o gabarito oficial a resposta é Item B.
>>
>> Mas de acordo com meus cálculos x = { pi/6, 5pi/6, 7pi/6, 11pi/6, pi/2,
>> 3pi/2} com soma das raízes igual a 6pi.
>>
>> Por favor, algum colega poderia tirar essa dúvida ?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Equação Trigonométrica

[Carlos Gomes]

Olá Ricardo você está certo!

Em 10 de setembro de 2016 14:31, Ricardo Leão 
escreveu:

> Olá amigos,
> Eu tenho uma dúvida em relação ao seguinte enunciado:
>
> Sendo x medida em radianos, com 0 <= x <= 2pi, a soma de todas as raízes
> da equação cos² 2x = sen² x é igual a:
>
> a) 3pi/2   c) 3pi e) 6pi
> b) 2pi  d) 4pi
>
> De acordo com o gabarito oficial a resposta é Item B.
>
> Mas de acordo com meus cálculos x = { pi/6, 5pi/6, 7pi/6, 11pi/6, pi/2,
> 3pi/2} com soma das raízes igual a 6pi.
>
> Por favor, algum colega poderia tirar essa dúvida ?
>
> --
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[obm-l] Re: [obm-l] Equação da Cônica

[Marcus Torres]

Sem usar fórmulas, comece por perceber que a união de duas retas significa que 
a equação é um produto de dois termos lineares do tipo cx+dy+z. Para facilitar, 
como estamos lidando com coeficientes inteiros verifique que o coeficiente de x 
é 1. Pronto,  você tem um sistema simples de equações dado por (x+by 
+c)(x+dy+e)= xˆ2 -3xy+ ayˆ2 + 3x -5y +2 =0
São equações simples que te levarão a a=2.

Marcus.







> On Nov 19, 2015, at 11:42 PM, Jeferson Almir  wrote:
> 
> Qual o valor de a na equação da cônica xˆ2 -3xy+ ayˆ2 + 3x -5y +2 =0 para que 
> a cônica represente  um par de retas???
> 
> Eu montei uma equação do segundo grau em x e forçando o delta igual a zero e 
> cheguei na resposta a = 2 que é o que o gabarito afirma mas não entendi. 
> Alguém poderia resolver de outra maneira ou explicar?? Desde já Obrigado
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e 
> acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina

[Israel Meireles Chrisostomo]

Na verdade Pedro eu parti do princípio que ao ler minha pergunta vcs iriam
ler a solução que está no link que deixei ´na pergunta, e lá no link está
claro que ele toma valores de x>=4, foi  mal!

Em 15 de outubro de 2015 16:05, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Pessoal, gostaria de agradecer ao pessoal do grupo, vcs são demais, vcs
> entendem muito e raciocinam para kralho!Além disso são humildes ao
> responderem minhas dúvidas, vcs são 10!
>
> Em 15 de outubro de 2015 15:43, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa tarde!
>>
>> Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas.
>> Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54).
>> Procure expressar melhor o que você deseja.
>>
>>
>>
>> Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a
>> congruência se repete...
>>
>> Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m)
>> é a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0> tal que mdc(d,m) = 1., ou seja, a cardinalidade do grupo (Z /Zm)*.
>> Para calcular Ф(m), onde a fatoração de m é p1^y1 * p2^y2 *...* pn^yn
>> teremos:
>>  Ф(m)=m *(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn) (i)
>>
>> assim para m=81, como mdc (5,81) =1 temos por Euler-Fermat que 5^Ф(81)  ≡
>> 1 (mod 81),
>>
>> 81= 3^4, logo por (i) Ф(81) = 81 (2/3)= 54 ==> 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==>
>> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81),
>> ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p  (mod 81)
>>
>> Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡
>> 1 (mod m),.
>>
>> Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m,
>> representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d  ≡ 1 (mod
>> m).
>>
>> Portanto temos que: ordma divide Ф(m).
>>
>> E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m.
>>
>> No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81.
>>
>> Recomendo você dar uma lida:
>> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf
>>
>> Saudações,
>> PJMS.
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> Saudações.
>>
>> Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero
>>> entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir
>>> que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é
>>> claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples?
>>> Aqui está a solução da equação diofantina:
>>> http://diego.mat.unb.br/click.html
>>> No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente
>>> a -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu
>>> para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu
>>> concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81
>>> até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se
>>> repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências
>>> módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser
>>> impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as
>>> potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém
>>> pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo
>>> para mim, desde já agradeço!
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina

[Israel Meireles Chrisostomo]

Pessoal, gostaria de agradecer ao pessoal do grupo, vcs são demais, vcs
entendem muito e raciocinam para kralho!Além disso são humildes ao
responderem minhas dúvidas, vcs são 10!

Em 15 de outubro de 2015 15:43, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
>
> Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas.
> Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54).
> Procure expressar melhor o que você deseja.
>
>
>
> Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a
> congruência se repete...
>
> Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m)
> é a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0 tal que mdc(d,m) = 1., ou seja, a cardinalidade do grupo (Z /Zm)*.
> Para calcular Ф(m), onde a fatoração de m é p1^y1 * p2^y2 *...* pn^yn
> teremos:
>  Ф(m)=m *(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn) (i)
>
> assim para m=81, como mdc (5,81) =1 temos por Euler-Fermat que 5^Ф(81)  ≡
> 1 (mod 81),
>
> 81= 3^4, logo por (i) Ф(81) = 81 (2/3)= 54 ==> 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==>
> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81),
> ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p  (mod 81)
>
> Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡ 1
> (mod m),.
>
> Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m,
> representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d  ≡ 1 (mod m).
>
> Portanto temos que: ordma divide Ф(m).
>
> E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m.
>
> No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81.
>
> Recomendo você dar uma lida:
> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf
>
> Saudações,
> PJMS.
>
>
>
>
>
>
>
> Saudações.
>
> Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero
>> entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir
>> que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é
>> claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples?
>> Aqui está a solução da equação diofantina:
>> http://diego.mat.unb.br/click.html
>> No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente a
>> -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu
>> para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu
>> concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81
>> até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se
>> repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências
>> módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser
>> impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as
>> potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém
>> pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo
>> para mim, desde já agradeço!
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina

[Pedro José]

Boa tarde!

Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas.
Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54).
Procure expressar melhor o que você deseja.



Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a
congruência se repete...

Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m) é
a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==>
5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81),
==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p  (mod 81)

Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡ 1
(mod m),.

Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m,
representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d  ≡ 1 (mod m).

Portanto temos que: ordma divide Ф(m).

E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m.

No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81.

Recomendo você dar uma lida:
http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf

Saudações,
PJMS.







Saudações.

Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero
> entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir
> que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é
> claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples?
> Aqui está a solução da equação diofantina:
> http://diego.mat.unb.br/click.html
> No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente a
> -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu
> para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu
> concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81
> até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se
> repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências
> módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser
> impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as
> potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém
> pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo
> para mim, desde já agradeço!
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

[Israel Meireles Chrisostomo]

ah sim é verdade!

Em 14 de outubro de 2015 11:20, Gabriel Tostes 
escreveu:

> (1,0) nao eh solucao tbm?
>
>
>
> Sent from my iPad
> On Oct 14, 2015, at 11:04, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> wrote:
>
> Está aqui no site do professor Diego Marques:
> http://diego.mat.unb.br/click.html
> Só possui uma solução, que é a solução trivial(x=3 e y=2).Mas  o
> difícil é provar que a solução é única, veja que raciocínio
> fantástico!
>
> Em 14 de outubro de 2015 07:41, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> E a solução da equação 3^x - 5^y = 2 ?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

[Gabriel Tostes]

(1,0) nao eh solucao tbm?



Sent from my iPad
> On Oct 14, 2015, at 11:04, Israel Meireles Chrisostomo 
>  wrote:
> 
> Está aqui no site do professor Diego Marques: 
> http://diego.mat.unb.br/click.html
> Só possui uma solução, que é a solução trivial(x=3 e y=2).Mas  o 
> difícil é provar que a solução é única, veja que raciocínio 
> fantástico!
> 
> Em 14 de outubro de 2015 07:41, marcone augusto araújo borges 
>  escreveu:
>> E a solução da equação 3^x - 5^y = 2 ?
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina

[Israel Meireles Chrisostomo]

Obrigado Gabriel Tostes foi de grande ajuda

Em 13 de outubro de 2015 22:39, Gabriel Tostes 
escreveu:

> Usando : pros tres pauzinhos da congruencias.
>
> 3^x=2 + 5^y
> 3^x:2 (mod5)
> X=4K+3
> 3^(4k+3)=2+5^y
> 5^y:7(mod9)
> y=6k+2
> 5^6k+2:25:4(mod7)
> 3^x:2+4(mod7)
>
>
> > On Oct 13, 2015, at 22:00, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> wrote:
> >
> > Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só
> quero entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso
> concluir que 3^x é congruente 6 módulo 7?Alguém poderia me explicar como
> concluir isso?
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

[Israel Meireles Chrisostomo]

Está aqui no site do professor Diego Marques:
http://diego.mat.unb.br/click.html
Só possui uma solução, que é a solução trivial(x=3 e y=2).Mas  o difícil é
provar que a solução é única, veja que raciocínio fantástico!

Em 14 de outubro de 2015 07:41, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> E a solução da equação 3^x - 5^y = 2 ?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Equação

[Esdras Muniz]

Olha o teorema 2.7 na pag 37 do livro de teoria dos números do José Plinio.

Em 11 de agosto de 2015 13:46, Israel Meireles Chrisostomo 
israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 x=5n+4 e y=3n+2 são as únicas soluções da equação 3x-5y=2?Em caso
 afirmativo, como provo que são as únicas soluções?

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação

[Israel Meireles Chrisostomo]

Obrigado

Em 11 de agosto de 2015 14:27, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com
escreveu:

 Olha o teorema 2.7 na pag 37 do livro de teoria dos números do José Plinio.

 Em 11 de agosto de 2015 13:46, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 x=5n+4 e y=3n+2 são as únicas soluções da equação 3x-5y=2?Em caso
 afirmativo, como provo que são as únicas soluções?

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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




 --
 Esdras Muniz Mota
 Mestrando em Matemática
 Universidade Federal do Ceará



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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

[Pedro José]

Bom dia!

Desculpe-me, não vi a restrição do método.

Sds,
PJMS

Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu:

 Obrigado, Pedro José!

 O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.

 Um abraço!
 Pedro Chaves

 
  Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
  From: petroc...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
  Bom dia!
 
  Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
  se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
 
  Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
 
  12 = 7 * 1 + 5
  7 = 5 * 1 + 2
  5 = 2 * 2 + 1
 
  Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
  7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
  modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
 
  5 = 12 - 7 (i)
  2 = 7 - 5 (ii)
  1 = 5 - 2 *2 (iii)
 
  (ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
 
  (iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
 
  então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
 
  então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
 
  Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
  equação 7 x - 12 y = 11.
 
  Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
  == 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
 
  pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
 
  Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b.
 
  m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
  == y = -33 + 7*t (vi)
 
  (vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t
 
  Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
  7*t, t ƐZ }
 
  Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
  entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
  dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
  soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Tem o artigo do eduardo Tengan:
  http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
  demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
  equações.
 
  Saudações,
  PJMS
 
 
 
 
 
  Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
  b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br escreveu:
  Pedro,
 
  7 é o inverso de 7 módulo 12
 
  --
  Open WebMail Project (http://openwebmail.orghttp://openwebmail.org/)
 
 
  -- Original Message ---
  From: Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
  Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
 
  Caros Colegas,
 
  A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
  congruência? Não consegui.
 
  Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
 
  Abraços.
  Pedro Chaves
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
  --- End of Original Message ---
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
  acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

[Pedro Chaves]

Obrigado, Pedro José!

O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.

Um abraço!
Pedro Chaves


 Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300 
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo) 
 From: petroc...@gmail.com 
 To: obm-l@mat.puc-rio.br 
 
 Bom dia! 
 
 Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente 
 se m.d.c.(a,b) divide c. 
 
 Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução. 
 
 Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides. 
 
 12 = 7 * 1 + 5 
 7 = 5 * 1 + 2 
 5 = 2 * 2 + 1 
 
 Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e 
 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de 
 modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.) 
 
 5 = 12 - 7 (i) 
 2 = 7 - 5 (ii) 
 1 = 5 - 2 *2 (iii) 
 
 (ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv) 
 
 (iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5 
 
 então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1. 
 
 então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1 
 
 Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da 
 equação 7 x - 12 y = 11. 
 
 Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33) 
 == 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v) 
 
 pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33) 
 
 Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b. 
 
 m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33) 
 == y = -33 + 7*t (vi) 
 
 (vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t 
 
 Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 + 
 7*t, t ƐZ } 
 
 Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos 
 entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta 
 dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem 
 soluções se m.d.c.(a,b) divide c. 
 
 Tem o artigo do eduardo Tengan: 
 http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há 
 demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas 
 equações. 
 
 Saudações, 
 PJMS 
 
 
 
 
 
 Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire 
 b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br escreveu: 
 Pedro, 
 
 7 é o inverso de 7 módulo 12 
 
 -- 
 Open WebMail Project (http://openwebmail.orghttp://openwebmail.org/) 
 
 
 -- Original Message --- 
 From: Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com 
 To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br 
 obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br 
 Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300 
 Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo) 
 
 Caros Colegas, 
 
 A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por 
 congruência? Não consegui. 
 
 Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente. 
 
 Abraços. 
 Pedro Chaves 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 
 
 = 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
 = 
 --- End of Original Message --- 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 
 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 
  
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

[Pacini Bores]

Oi Pedro,

7x=-1(12),

35x =-5(12),

36x-x=-5(12),

-x=-5(12),

x=5(12).

Abs

Pacini


Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire b...@ccet.ufrn.br
escreveu:

  Pedro,

 7 é o inverso de 7 módulo 12

 --
 Open WebMail Project (http://openwebmail.org)


 *-- Original Message ---*
 From: Pedro Chaves brped...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
 Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
 Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

  Caros Colegas,
 
  A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por congruência?
 Não consegui.
 
  Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
 
  Abraços.
  Pedro Chaves
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
 *--- End of Original Message ---*

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

[Pedro José]

Bom dia!

Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente se
m.d.c.(a,b) divide c.

Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.

Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.

12 = 7 * 1 + 5
 7  = 5 * 1 + 2
 5 = 2  * 2 + 1

Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e 7.
(embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de modo
sistemático, pois as vezez não o é fácil.)

5 = 12 - 7 (i)
2 = 7 - 5   (ii)
1 = 5 - 2 *2  (iii)

(ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)

(iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5

então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.

então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1

Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da equação 7
x - 12 y = 11.

Agora use a solução encontrada  7 x  - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)  ==
7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)

pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)

Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b.

m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z,  7* t = (y+33) == y
= -33 + 7*t (vi)

(vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t

Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 + 7*t, t ƐZ
}

Caso os coeficientes a e b, da equação  a x+ by = c, não sejam primos entre
si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta dividir todos
os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem soluções se
m.d.c.(a,b) divide c.

Tem o artigo do eduardo Tengan:
http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há demonstrações
e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas equações.

 Saudações,
PJMS





Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire b...@ccet.ufrn.br
escreveu:

  Pedro,

 7 é o inverso de 7 módulo 12

 --
 Open WebMail Project (http://openwebmail.org)


 *-- Original Message ---*
 From: Pedro Chaves brped...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
 Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
 Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

  Caros Colegas,
 
  A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por congruência?
 Não consegui.
 
  Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
 
  Abraços.
  Pedro Chaves
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
 *--- End of Original Message ---*

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

[Pedro José]

Boa tarde!

Corrigindo... y = 2 + 7m e não 2+ 2m.

Desculpem-me,
PJMS

Em 22 de abril de 2015 14:26, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!

 Não parei para pensar se dá sempre.

 7 * x  ≡ 11 (mod12) == 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) == x ≡ 5 (mod12) == x = 5
 + 12* m : m Ɛ Z

 -12*y ≡11 (mod7) == 2*y ≡ 4 (mod7) == 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) == y ≡ 2 (mod12)
 == y =2 + 7*n : n ƐZ


  Substituindo na equação original temos:

 7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 == 84*m - 84* n = 0 == m=n == x = 5
 +12 m e y = 2 + 2m : m ƐZ.

 Saudações,
 PJMS






 Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia!

 Desculpe-me, não vi a restrição do método.

 Sds,
 PJMS

 Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves brped...@hotmail.com
 escreveu:

 Obrigado, Pedro José!

 O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.

 Um abraço!
 Pedro Chaves

 
  Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
  From: petroc...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
  Bom dia!
 
  Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
  se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
 
  Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
 
  12 = 7 * 1 + 5
  7 = 5 * 1 + 2
  5 = 2 * 2 + 1
 
  Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
  7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
  modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
 
  5 = 12 - 7 (i)
  2 = 7 - 5 (ii)
  1 = 5 - 2 *2 (iii)
 
  (ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
 
  (iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
 
  então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
 
  então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
 
  Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
  equação 7 x - 12 y = 11.
 
  Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
  == 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
 
  pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
 
  Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b.
 
  m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
  == y = -33 + 7*t (vi)
 
  (vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t
 
  Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
  7*t, t ƐZ }
 
  Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
  entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
  dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
  soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Tem o artigo do eduardo Tengan:
  http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
  demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
  equações.
 
  Saudações,
  PJMS
 
 
 
 
 
  Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
  b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br escreveu:
  Pedro,
 
  7 é o inverso de 7 módulo 12
 
  --
  Open WebMail Project (http://openwebmail.orghttp://openwebmail.org/)
 
 
  -- Original Message ---
  From: Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
  Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
 
  Caros Colegas,
 
  A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
  congruência? Não consegui.
 
  Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
 
  Abraços.
  Pedro Chaves
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
  --- End of Original Message ---
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
  acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =





-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

[Pedro José]

Boa tarde!

Não parei para pensar se dá sempre.

7 * x  ≡ 11 (mod12) == 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) == x ≡ 5 (mod12) == x = 5 +
12* m : m Ɛ Z

-12*y ≡11 (mod7) == 2*y ≡ 4 (mod7) == 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) == y ≡ 2 (mod12)
== y =2 + 7*n : n ƐZ


 Substituindo na equação original temos:

7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 == 84*m - 84* n = 0 == m=n == x = 5 +12
m e y = 2 + 2m : m ƐZ.

Saudações,
PJMS






Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia!

 Desculpe-me, não vi a restrição do método.

 Sds,
 PJMS

 Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves brped...@hotmail.com
 escreveu:

 Obrigado, Pedro José!

 O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.

 Um abraço!
 Pedro Chaves

 
  Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
  From: petroc...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
  Bom dia!
 
  Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
  se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
 
  Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
 
  12 = 7 * 1 + 5
  7 = 5 * 1 + 2
  5 = 2 * 2 + 1
 
  Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
  7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
  modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
 
  5 = 12 - 7 (i)
  2 = 7 - 5 (ii)
  1 = 5 - 2 *2 (iii)
 
  (ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
 
  (iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
 
  então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
 
  então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
 
  Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
  equação 7 x - 12 y = 11.
 
  Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
  == 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
 
  pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
 
  Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b.
 
  m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
  == y = -33 + 7*t (vi)
 
  (vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t
 
  Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
  7*t, t ƐZ }
 
  Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
  entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
  dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
  soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
 
  Tem o artigo do eduardo Tengan:
  http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
  demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
  equações.
 
  Saudações,
  PJMS
 
 
 
 
 
  Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
  b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br escreveu:
  Pedro,
 
  7 é o inverso de 7 módulo 12
 
  --
  Open WebMail Project (http://openwebmail.orghttp://openwebmail.org/)
 
 
  -- Original Message ---
  From: Pedro Chaves brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
  Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
 
  Caros Colegas,
 
  A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
  congruência? Não consegui.
 
  Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
 
  Abraços.
  Pedro Chaves
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
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  --- End of Original Message ---
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
  acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =




-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

[Pedro Chaves]

Obrigado a todos! 
Pedro Chaves
__


 Date: Wed, 22 Apr 2015 14:32:35 -0300 
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina 
 (de novo) 
 From: petroc...@gmail.com 
 To: obm-l@mat.puc-rio.br 
 
 Boa tarde! 
 
 Corrigindo... y = 2 + 7m e não 2+ 2m. 
 
 Desculpem-me, 
 PJMS 
 
 Em 22 de abril de 2015 14:26, Pedro José 
 petroc...@gmail.commailto:petroc...@gmail.com escreveu: 
 Boa tarde! 
 
 Não parei para pensar se dá sempre. 
 
 7 * x ≡ 11 (mod12) == 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) == x ≡ 5 (mod12) == x = 
 5 + 12* m : m Ɛ Z 
 
 -12*y ≡11 (mod7) == 2*y ≡ 4 (mod7) == 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) == y ≡ 2 
 (mod12) == y =2 + 7*n : n ƐZ 
 
 
 Substituindo na equação original temos: 
 
 7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 == 84*m - 84* n = 0 == m=n == x = 5 
 +12 m e y = 2 + 2m : m ƐZ. 
 
 Saudações, 
 PJMS 
 
 
 
 
 
 
 Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José 
 petroc...@gmail.commailto:petroc...@gmail.com escreveu: 
 Bom dia! 
 
 Desculpe-me, não vi a restrição do método. 
 
 Sds, 
 PJMS 
 
 Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves 
 brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu: 
 Obrigado, Pedro José! 
 
 O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência. 
 
 Um abraço! 
 Pedro Chaves 
 
  
 Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300 
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo) 
 From: petroc...@gmail.commailto:petroc...@gmail.com 
 To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br 
 
 Bom dia! 
 
 Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente 
 se m.d.c.(a,b) divide c. 
 
 Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução. 
 
 Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides. 
 
 12 = 7 * 1 + 5 
 7 = 5 * 1 + 2 
 5 = 2 * 2 + 1 
 
 Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e 
 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de 
 modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.) 
 
 5 = 12 - 7 (i) 
 2 = 7 - 5 (ii) 
 1 = 5 - 2 *2 (iii) 
 
 (ii) e (iii) == 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv) 
 
 (iv) e (i) == 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5 
 
 então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1. 
 
 então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1 
 
 Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da 
 equação 7 x - 12 y = 11. 
 
 Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33) 
 == 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v) 
 
 pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33) 
 
 Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 == d divide b. 
 
 m.d.c (7,12) = 1 == 7 divide (y+33) == existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33) 
 == y = -33 + 7*t (vi) 
 
 (vi) e (v) == 7* (x+55) = 12 * 7*T) == x = -55 +12*t 
 
 Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 + 
 7*t, t ƐZ } 
 
 Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos 
 entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta 
 dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem 
 soluções se m.d.c.(a,b) divide c. 
 
 Tem o artigo do eduardo Tengan: 
 http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há 
 demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas 
 equações. 
 
 Saudações, 
 PJMS 
 
 
 
 
 
 Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire 
 
 b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.brmailto:b...@ccet.ufrn.br
  
 escreveu: 
 Pedro, 
 
 7 é o inverso de 7 módulo 12 
 
 -- 
 Open WebMail Project (http://openwebmail.orghttp://openwebmail.org/) 
 
 
 -- Original Message --- 
 From: Pedro Chaves 
 brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
  
 To: 
 obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  
 
 obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
  
 Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300 
 Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo) 
 
 Caros Colegas, 
 
 A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por 
 congruência? Não consegui. 
 
 Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente. 
 
 Abraços. 
 Pedro Chaves 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 
 
 = 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
 = 
 --- End of Original Message --- 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 
 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada

[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina por congruência

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2015-04-21 18:13 GMT-03:00 Pedro Chaves brped...@hotmail.com:
 Caros Colegas,

 Estou tentando resolver por congruência a equação diofantina 13x + 7y = 18, 
 mas não estou conseguindo.
 Só consegui  concluir que 13x é congruente a 4 (mod 7).
 Peço-lhes ajuda.
Coragem:

você tem que inverter 13 mod 7 para continuar a simplificar a
equação. No caso específico é fácil, já que 13 == -1 (mod 7). Assim:

13x == 4 (mod 7), implica que (-1)x == 4 e portanto x == -4 == 3 mod
7. Daí, x = 7k + 3. Substitua na equação original, e corra pro abraço.

 Abraços do Pedro Chaves.


Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação funcional e Continuidade

[Gabriel Lopes]

Aparentemente o caso de f  decrescente não era análogo , Obrigado Ralph.

Em 22 de fevereiro de 2015 22:19, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
escreveu:

 Tem funcoes demais... Basicamente:

 i) Escolha um a qualquer tal que 0a1.
 ii) Desenhe um grafico continuo decrescente QUALQUER de (0,1) ateh (a,a).
 iii) Desenhe o simetrico deste grafico com relacao aa reta y=x
 iv) Pronto, voce tem um grafico de funcao que satisfaz suas condicoes!

 Abraco, Ralph.

 2015-02-20 14:36 GMT-05:00 Gabriel Lopes cronom...@gmail.com:

 *Prezados colegas gostaria de ajuda com o seguinte problema:

 - Encontre todas as funções contínuas  f : [0,1] -- [0,1]  tais que:
 f(f(x)) = x  .

 *Procedi da seguinte maneira:

 1.Deduzi imediatamente (pelos fatos básicos de composição de funções)
 que  f  é bijetiva .

 2.Na continuação utilizei do seguinte TMA :  Se  f : X -- R  é uma
 função contínua  , então f é injetiva  se e somente se é crescente ou
 decrescente.

 3.Não consegui ir alem , olhei então a dica do meu livro que procedeu
 como eu fiz em 1 e 2 , e acresceu o seguinte : I. Suponha que  f  é
 crescente ( o caso em que f  é decrescente é análogo) , II. Suponha que
 para algum  x  em  (0,1)  :  f(x)  x   então  x = f(f(x))  f(x)  ,uma
 contradição e da mesma forma eliminamos o caso  f(x)  x  ;  portanto  f(x)
 = x  , para todo x em [0,1] .

 4.O problema fica quando tento provar o caso em que  f  é decrescente (
 que parece não ser  completamente análogo) ; obviamente a função  f(x) = 1
 - x   também satisfaz  , logo tentei obter uma contradição ao supor  f(x) 
 1 - x  para algum x em (0,1)  ; parei por aqui.

 *Sinto que talvez seja uma coisa boba ( alguma manipulação algébrica
 simples etc...) contudo não consegui continuar ;  se  for algo mais
 complexo poderiam enviar uma dica junto a solução?

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Equação funcional e Continuidade

[Ralph Teixeira]

Tem funcoes demais... Basicamente:

i) Escolha um a qualquer tal que 0a1.
ii) Desenhe um grafico continuo decrescente QUALQUER de (0,1) ateh (a,a).
iii) Desenhe o simetrico deste grafico com relacao aa reta y=x
iv) Pronto, voce tem um grafico de funcao que satisfaz suas condicoes!

Abraco, Ralph.

2015-02-20 14:36 GMT-05:00 Gabriel Lopes cronom...@gmail.com:

 *Prezados colegas gostaria de ajuda com o seguinte problema:

 - Encontre todas as funções contínuas  f : [0,1] -- [0,1]  tais que:
 f(f(x)) = x  .

 *Procedi da seguinte maneira:

 1.Deduzi imediatamente (pelos fatos básicos de composição de funções) que
 f  é bijetiva .

 2.Na continuação utilizei do seguinte TMA :  Se  f : X -- R  é uma
 função contínua  , então f é injetiva  se e somente se é crescente ou
 decrescente.

 3.Não consegui ir alem , olhei então a dica do meu livro que procedeu como
 eu fiz em 1 e 2 , e acresceu o seguinte : I. Suponha que  f  é crescente (
 o caso em que f  é decrescente é análogo) , II. Suponha que para algum  x
 em  (0,1)  :  f(x)  x   então  x = f(f(x))  f(x)  ,uma contradição e da
 mesma forma eliminamos o caso  f(x)  x  ;  portanto  f(x) = x  , para todo
 x em [0,1] .

 4.O problema fica quando tento provar o caso em que  f  é decrescente (
 que parece não ser  completamente análogo) ; obviamente a função  f(x) = 1
 - x   também satisfaz  , logo tentei obter uma contradição ao supor  f(x) 
 1 - x  para algum x em (0,1)  ; parei por aqui.

 *Sinto que talvez seja uma coisa boba ( alguma manipulação algébrica
 simples etc...) contudo não consegui continuar ;  se  for algo mais
 complexo poderiam enviar uma dica junto a solução?

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 acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação modular

[saulo nilson]

 |x+1|+|x|+3|x-1|+2|x-2| = |7x-6|

x=2
x+1+x+3x-3+2x-4=7x-6
sempre verdade
1=x2
x+1+x+3x-3-2x+4=7x-6
4x=8
x=2
6/7x1
x+1+x-3x+3-2x+4=7x-6
10x=14
x=7/5
0x=6/7
x+1+x+3x+3-2x+4=-7x+6
10x=-2
x=--1/5
-1x=0
x+1-x-3x+3-2x+4=-7x+6
2x=-2
x=-1
x=-1
-x-1-x-3x+3-2x+4=-7x+6
sempre verdade







2013/9/10 Lucas Colucci lucas.colucci.so...@gmail.com

 Acho que essa propriedade da soma ser igual ajuda se vc usar a
 desigualdade triangular...
 2013.09.09. 3:11, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com ezt írta:



 Fala ai galera, meu professor me deu uma lista de equações modulares com
 infinitos exercícios. E eu que faltei na aula de módulo perdi os bizus pra
 resolver as questões e tenho que dividir em infinitos casos. Eu lembro que
 tinha uma propriedade de que se você descobrisse que a soma do argumento de
 cada modulo do lado esquerdo é exatamente o lado direito facilitava pra
 caramba, só não sei como, alguém pode me dar uma ajuda? Por exemplo, como
 vocês resolveriam as seguintes equações (todas são da lista):

 a) |x+1|+|x|+3|x-1|+2|x-2| = |7x-6|
 b) |x+1|+|x|+3|x-1|+2|x-2| = 7x-6
 c) |x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2| = |x+2|
 d) |x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2| = x+2

 Eu acho que deve ter alguma coisa a ver com |a+b| = |a|+|b| se e somente
 se a.b0, mas não estou conseguindo aplicar isso

 []'s
 João

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[obm-l] Re: [obm-l] Equação modular

[Lucas Colucci]

Acho que essa propriedade da soma ser igual ajuda se vc usar a desigualdade
triangular...
2013.09.09. 3:11, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com ezt írta:



 Fala ai galera, meu professor me deu uma lista de equações modulares com
 infinitos exercícios. E eu que faltei na aula de módulo perdi os bizus pra
 resolver as questões e tenho que dividir em infinitos casos. Eu lembro que
 tinha uma propriedade de que se você descobrisse que a soma do argumento de
 cada modulo do lado esquerdo é exatamente o lado direito facilitava pra
 caramba, só não sei como, alguém pode me dar uma ajuda? Por exemplo, como
 vocês resolveriam as seguintes equações (todas são da lista):

 a) |x+1|+|x|+3|x-1|+2|x-2| = |7x-6|
 b) |x+1|+|x|+3|x-1|+2|x-2| = 7x-6
 c) |x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2| = |x+2|
 d) |x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2| = x+2

 Eu acho que deve ter alguma coisa a ver com |a+b| = |a|+|b| se e somente
 se a.b0, mas não estou conseguindo aplicar isso

 []'s
 João

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial

[saulo nilson]

x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0

DELTA=9M^2+12M+4-4M^2
=5m^2+12m+4
x^2=(3m+2+-rq(5m^2+12m+4))/2
3m+2+rq(5m^2+12m+4)=3m+2-rq(5m^2+12m+4)
delta=144-80=64
m=(-12+-8)/10=-2 OU -2/5


2013/9/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com

 2013/9/2 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
 
  Determine m sabendo que a equação x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0
  tem 4 raízes reais em progressão aritmética.
 
  Sejam - b, -a,a e b as raízes em PA.
  Devemos ter b = 3a (1) ;a+b = 3m+2 (2) e ab = m^2 (3)
  Resolvendo o sistema formado por (1) , (2) e (3) encontrei
  um valor bem feio pra m.
  Algo errado?

 Você está usando Girard na equação quadrática em x^2. Cujas raízes são
 a^2 e b^2, portanto as relações (2) e (3) estão erradas. E não esqueça
 de verificar que quando você tiver terminado de resolver (1), (2) e
 (3) para achar a^2 e b^2, que ambos sejam positivos !

 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

 --
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 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =


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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial

[marcone augusto araújo borges]

Veja que m = 6 satisfaz.

Date: Tue, 3 Sep 2013 22:12:16 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial
From: saulo.nil...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0

DELTA=9M^2+12M+4-4M^2
=5m^2+12m+4x^2=(3m+2+-rq(5m^2+12m+4))/23m+2+rq(5m^2+12m+4)=3m+2-rq(5m^2+12m+4)
delta=144-80=64m=(-12+-8)/10=-2 OU -2/5

2013/9/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com

2013/9/2 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com




 Determine m sabendo que a equação x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0

 tem 4 raízes reais em progressão aritmética.



 Sejam - b, -a,a e b as raízes em PA.

 Devemos ter b = 3a (1) ;a+b = 3m+2 (2) e ab = m^2 (3)

 Resolvendo o sistema formado por (1) , (2) e (3) encontrei

 um valor bem feio pra m.

 Algo errado?



Você está usando Girard na equação quadrática em x^2. Cujas raízes são

a^2 e b^2, portanto as relações (2) e (3) estão erradas. E não esqueça

de verificar que quando você tiver terminado de resolver (1), (2) e

(3) para achar a^2 e b^2, que ambos sejam positivos !



--

Bernardo Freitas Paulo da Costa



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=

Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

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 acredita-se estar livre de perigo.   
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[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial

[João Maldonado]

Dá pra fazer assim
Sendo -3a, -a, a e 3a os termos da PA
Por Girrard
P2x2 = -10a² = -(3m+2)
P4x4 = 9a^4 = m²

Daí
100a^4 = (3m+2)^2 = 100m²/9
Daonde vem m = 6 ou m = -6/19

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial
Date: Wed, 4 Sep 2013 01:51:13 +




Veja que m = 6 satisfaz.

Date: Tue, 3 Sep 2013 22:12:16 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial
From: saulo.nil...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0

DELTA=9M^2+12M+4-4M^2
=5m^2+12m+4x^2=(3m+2+-rq(5m^2+12m+4))/23m+2+rq(5m^2+12m+4)=3m+2-rq(5m^2+12m+4)
delta=144-80=64m=(-12+-8)/10=-2 OU -2/5

2013/9/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com

2013/9/2 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com




 Determine m sabendo que a equação x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0

 tem 4 raízes reais em progressão aritmética.



 Sejam - b, -a,a e b as raízes em PA.

 Devemos ter b = 3a (1) ;a+b = 3m+2 (2) e ab = m^2 (3)

 Resolvendo o sistema formado por (1) , (2) e (3) encontrei

 um valor bem feio pra m.

 Algo errado?



Você está usando Girard na equação quadrática em x^2. Cujas raízes são

a^2 e b^2, portanto as relações (2) e (3) estão erradas. E não esqueça

de verificar que quando você tiver terminado de resolver (1), (2) e

(3) para achar a^2 e b^2, que ambos sejam positivos !



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Bernardo Freitas Paulo da Costa



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

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[obm-l] RE: [obm-l] Equação polinomial

[marcone augusto araújo borges]

Já vi.O certo é a^2 + b^2 = 3m + 2.Desculpem.

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Equação polinomial
Date: Mon, 2 Sep 2013 14:38:24 +




Determine m sabendo que a equação x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0



 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  

tem 4 raízes reais em progressão aritmética.
Sejam - b, -a,a e b as raízes em PA.Devemos ter b = 3a (1) ;a+b = 3m+2 (2) e ab 
= m^2 (3)Resolvendo o sistema formado por (1) , (2) e (3) encontreium valor bem 
feio pra m.Algo errado?
  


  
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 acredita-se estar livre de perigo.   
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/9/2 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

 Determine m sabendo que a equação x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0
 tem 4 raízes reais em progressão aritmética.

 Sejam - b, -a,a e b as raízes em PA.
 Devemos ter b = 3a (1) ;a+b = 3m+2 (2) e ab = m^2 (3)
 Resolvendo o sistema formado por (1) , (2) e (3) encontrei
 um valor bem feio pra m.
 Algo errado?

Você está usando Girard na equação quadrática em x^2. Cujas raízes são
a^2 e b^2, portanto as relações (2) e (3) estão erradas. E não esqueça
de verificar que quando você tiver terminado de resolver (1), (2) e
(3) para achar a^2 e b^2, que ambos sejam positivos !

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Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol

[terence thirteen]

Eu posso ensinar um método, mas creio que todos eles são essencialmente a
mesma coisa.

A minha ideia é partir da teoria soma-produto:

x+y=S
xy=P

A ideia é tentar calcular a diferença, x-y. Para isso, podemos usar
produtos notáveis: (x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy

Substituindo os valores: S^2-(x-y)^2 = 4P

x-y = sqrt(S^2-4P)

Agora fica fácil! Testa, é claro, os sinais + e - da radiciação.

Outra forma seria completar os quadrados. Mas uma outra possível solução
seria um deslocamento de variável:

Se temos x^2-Sx+P=0, façamos x=Z+d (d de delta), abrimos tudo e obtemos uma
equação de segundo grau em Z. A partir daí, ajuste o d a fim de que o termo
de primeiro grau se anule:

Z^2+2dZ+d^2
-SZ-Sd
+P

Z^2+(2d-S)Z+(D^2-Sd+P) = 0

d = S/2 serve! Obtemos algo como 'Z^2+T=0' e pronto!





Em 5 de agosto de 2013 19:39, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:

 Vc tem toda a razão. É um método diferente, mas eu não me lembro, vou
 pesquisar!
 Abraços
 Hermann
 - Original Message - From: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Sent: Monday, August 05, 2013 6:52 PM
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau
 métodos de sol



 Uma coisa que eu aprendi eh que quase nenhum pais alem do Brasil chama
 esta formula de Baskara -- pelo menos nas minhas turmas
 internacionais, ninguem reconhece o nome, nem os indianos chamam
 assim... Acho que eh formula quadratica em varias linguas, mas
 fiquem aa vontade para me desmentir -- como eh no resto da America
 Latina?

 Mas, se eu entendi direito, nao eh esse o problema, neh? O seu aluno
 fazia realmente por algum outro metodo, eh isso? Nao consigo imaginar
 algo que seja tao geral quanto a formula usual, e que nao seja bem
 parecida com ela... Alguem do Peru vai ter que responder... :)

 Abraco,
 Ralph

 2013/8/5 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:

 Eu acho que vc completou o quadrado e isso é báskara, agradeço, mas o que
 eu
 desejava saber é que método é ensinado no Peru.
 Diferente de báskara.

 - Original Message -
 From: Esdras Muniz
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Sent: Monday, August 05, 2013 1:01 PM
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol

 x² - 3x + 5 = 0
 x² - (3x/2) + (3/2)² = -5 + (3/2)²
 (x - 3/2)² = (3/2)² - 5
 


 Em 5 de agosto de 2013 12:06, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br
 escreveu:


 Dei aula para um peruano que não usava báskara, mas não tive tempo na
 época.

 Alguém aqui saberia me explicar outros métodos de se obter a solução da
 equação (sem báskara, sem S e P)

  ax^2+bx+c=0

 abraços

 Hermann

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.





 --
 Esdras Muniz Mota
 Graduando em Matemática Bacharelado
 Universidade Federal do Ceará

 Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto

 --
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 acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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 ==**==**
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~**obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 ==**==**=


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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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 ==**==**
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~**obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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/**/
神が祝福

Torres

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol

[Esdras Muniz]

x² - 3x + 5 = 0
x² - (3x/2) + (3/2)² = -5 + (3/2)²
(x - 3/2)² = (3/2)² - 5



Em 5 de agosto de 2013 12:06, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:

 **
 Dei aula para um peruano que não usava báskara, mas não tive tempo na
 época.

 Alguém aqui saberia me explicar outros métodos de se obter a solução da
 equação (sem báskara, sem S e P)

  ax^2+bx+c=0

 abraços

 Hermann

 --
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Esdras Muniz Mota
Graduando em Matemática Bacharelado
Universidade Federal do Ceará

Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol

[Hermann]

Eu acho que vc completou o quadrado e isso é báskara, agradeço, mas o que eu 
desejava saber é que método é ensinado no Peru.
Diferente de báskara.
  - Original Message - 
  From: Esdras Muniz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, August 05, 2013 1:01 PM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol


  x² - 3x + 5 = 0
  x² - (3x/2) + (3/2)² = -5 + (3/2)²
  (x - 3/2)² = (3/2)² - 5
  



  Em 5 de agosto de 2013 12:06, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:

Dei aula para um peruano que não usava báskara, mas não tive tempo na época.

Alguém aqui saberia me explicar outros métodos de se obter a solução da 
equação (sem báskara, sem S e P)

 ax^2+bx+c=0

abraços

Hermann

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 





  -- 
  Esdras Muniz Mota
  Graduando em Matemática Bacharelado
  Universidade Federal do Ceará

  Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto 

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  acredita-se estar livre de perigo. 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol

[Ralph Teixeira]

Uma coisa que eu aprendi eh que quase nenhum pais alem do Brasil chama
esta formula de Baskara -- pelo menos nas minhas turmas
internacionais, ninguem reconhece o nome, nem os indianos chamam
assim... Acho que eh formula quadratica em varias linguas, mas
fiquem aa vontade para me desmentir -- como eh no resto da America
Latina?

Mas, se eu entendi direito, nao eh esse o problema, neh? O seu aluno
fazia realmente por algum outro metodo, eh isso? Nao consigo imaginar
algo que seja tao geral quanto a formula usual, e que nao seja bem
parecida com ela... Alguem do Peru vai ter que responder... :)

Abraco,
 Ralph

2013/8/5 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:
 Eu acho que vc completou o quadrado e isso é báskara, agradeço, mas o que eu
 desejava saber é que método é ensinado no Peru.
 Diferente de báskara.

 - Original Message -
 From: Esdras Muniz
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Sent: Monday, August 05, 2013 1:01 PM
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol

 x² - 3x + 5 = 0
 x² - (3x/2) + (3/2)² = -5 + (3/2)²
 (x - 3/2)² = (3/2)² - 5
 


 Em 5 de agosto de 2013 12:06, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:

 Dei aula para um peruano que não usava báskara, mas não tive tempo na
 época.

 Alguém aqui saberia me explicar outros métodos de se obter a solução da
 equação (sem báskara, sem S e P)

  ax^2+bx+c=0

 abraços

 Hermann

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




 --
 Esdras Muniz Mota
 Graduando em Matemática Bacharelado
 Universidade Federal do Ceará

 Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto

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 acredita-se estar livre de perigo.


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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol

[Hermann]

Vc tem toda a razão. É um método diferente, mas eu não me lembro, vou 
pesquisar!

Abraços
Hermann
- Original Message - 
From: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, August 05, 2013 6:52 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau 
métodos de sol



Uma coisa que eu aprendi eh que quase nenhum pais alem do Brasil chama
esta formula de Baskara -- pelo menos nas minhas turmas
internacionais, ninguem reconhece o nome, nem os indianos chamam
assim... Acho que eh formula quadratica em varias linguas, mas
fiquem aa vontade para me desmentir -- como eh no resto da America
Latina?

Mas, se eu entendi direito, nao eh esse o problema, neh? O seu aluno
fazia realmente por algum outro metodo, eh isso? Nao consigo imaginar
algo que seja tao geral quanto a formula usual, e que nao seja bem
parecida com ela... Alguem do Peru vai ter que responder... :)

Abraco,
Ralph

2013/8/5 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:
Eu acho que vc completou o quadrado e isso é báskara, agradeço, mas o que 
eu

desejava saber é que método é ensinado no Peru.
Diferente de báskara.

- Original Message -
From: Esdras Muniz
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, August 05, 2013 1:01 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol

x² - 3x + 5 = 0
x² - (3x/2) + (3/2)² = -5 + (3/2)²
(x - 3/2)² = (3/2)² - 5



Em 5 de agosto de 2013 12:06, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:


Dei aula para um peruano que não usava báskara, mas não tive tempo na
época.

Alguém aqui saberia me explicar outros métodos de se obter a solução da
equação (sem báskara, sem S e P)

 ax^2+bx+c=0

abraços

Hermann

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.





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Esdras Muniz Mota
Graduando em Matemática Bacharelado
Universidade Federal do Ceará

Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto

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[obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau

[Marcos Martinelli]

Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na
equação do terceiro grau, teremos:

(z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 - z^3 - 5z + 5 =
0 (*).

Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de
variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p +
raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos:

[Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z]

2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 /
(36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita.

Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 *
raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1.


Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.comescreveu:

 Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas
 imaginárias, da equação:

 x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0

 Grato,

 Vanderlei

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau

[Marcos Martinelli]

Tendo encontrado uma das raízes de z^3 - 5z + 5 = 0, você pode tentar
forçar a fatoração. Mas creio que não será uma equação do segundo grau das
mais bonitas.


Em 24 de julho de 2013 14:49, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.comescreveu:

 Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não
 podem ser obtidas?


 Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli 
 mffmartine...@gmail.comescreveu:

 Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na
 equação do terceiro grau, teremos:

 (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 - z^3 - 5z + 5
 = 0 (*).

 Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de
 variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p +
 raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos:

 [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z]

 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 /
 (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita.

 Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 *
 raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1.


 Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz 
 vanderma...@gmail.comescreveu:

  Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas
 imaginárias, da equação:

 x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0

 Grato,

 Vanderlei

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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau

[João Maldonado]

Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz)
Podemos rearranjar dessa forma
 z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy)
x³ + y³ = 5
3xy = 5, x³y³ = 125/27
SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0
x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)
y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)

Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra  se acha por bascara
delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)²
z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2

Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
From: vanderma...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não 
podem ser obtidas?

Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com 
escreveu:

Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na 
equação do terceiro grau, teremos:

(z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 - z^3 - 5z + 5 = 0 
(*).

Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de variáveis. 
Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + raiz(q)) + 
raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos:


[Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z]
2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / (36 * 
3)), vamos ter a equação anterior satisfeita.



Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * raiz(7/3)) 
+ raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1.


Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu:


Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas imaginárias, 
da equação:
x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0
Grato,
Vanderlei



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[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau

[João Maldonado]

Corrigindo (erro de digitação)
y =((5/2)(3 - raiz(7/3))^(1/3)
From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau 
Date: Wed, 24 Jul 2013 16:23:30 -0300




Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz)
Podemos rearranjar dessa forma
 z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy)
x³ + y³ = 5
3xy = 5, x³y³ = 125/27
SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0
x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)
y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)

Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra  se acha por bascara
delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)²
z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2

Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
From: vanderma...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não 
podem ser obtidas?

Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com 
escreveu:

Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na 
equação do terceiro grau, teremos:

(z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 - z^3 - 5z + 5 = 0 
(*).

Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de variáveis. 
Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + raiz(q)) + 
raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos:


[Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z]
2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / (36 * 
3)), vamos ter a equação anterior satisfeita.



Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * raiz(7/3)) 
+ raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1.


Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu:


Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas imaginárias, 
da equação:
x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0
Grato,
Vanderlei



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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau

[Vanderlei Nemitz]

Muito obrigado! Bela solução a sua! Posso utilizar em qualquer equação
cúbica?


Em 24 de julho de 2013 16:56, João Maldonado
joao_maldona...@hotmail.comescreveu:

 Corrigindo (erro de digitação)
 y =((5/2)(3 - raiz(7/3))^(1/3)
 --
 From: joao_maldona...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro
 grau
 Date: Wed, 24 Jul 2013 16:23:30 -0300


 Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que
 x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz)
 Podemos rearranjar dessa forma
  z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy)
 x³ + y³ = 5
 3xy = 5, x³y³ = 125/27
 SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0
 x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)
 y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)

 Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra  se acha por bascara
 delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)²
 z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2

 --
 Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
 From: vanderma...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não
 podem ser obtidas?


 Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli 
 mffmartine...@gmail.comescreveu:

 Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na
 equação do terceiro grau, teremos:

 (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 - z^3 - 5z + 5 =
 0 (*).

 Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de
 variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p +
 raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos:

 [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z]

 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 /
 (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita.

 Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 *
 raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1.


 Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz 
 vanderma...@gmail.comescreveu:

  Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas
 imaginárias, da equação:

 x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0

 Grato,

 Vanderlei

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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau

[João Maldonado]

Sim, na verdade a fórmula de cardano vem daí
Mas em vez de ficar decorando uma fórmula gigante, você pode fatorar o polinômio
Dá pra fazer o mesmo com equações de grau quatro, mas aí a fatoração é diferente

[]'s
João

Date: Wed, 24 Jul 2013 23:57:15 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
Equação do terceiro grau
From: vanderma...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Muito obrigado! Bela solução a sua! Posso utilizar em qualquer equação cúbica?

Em 24 de julho de 2013 16:56, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com 
escreveu:




Corrigindo (erro de digitação)
y =((5/2)(3 - raiz(7/3))^(1/3)
From: joao_maldona...@hotmail.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau 
Date: Wed, 24 Jul 2013 16:23:30 -0300





Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz)
Podemos rearranjar dessa forma
 z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy)

x³ + y³ = 5
3xy = 5, x³y³ = 125/27
SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0
x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)
y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3)

Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra  se acha por bascara

delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)²
z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2

Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
From: vanderma...@gmail.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não 
podem ser obtidas?


Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com 
escreveu:

Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na 
equação do terceiro grau, teremos:

(z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 - z^3 - 5z + 5 = 0 
(*).

Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de variáveis. 
Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + raiz(q)) + 
raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos:



[Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z]
2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / (36 * 
3)), vamos ter a equação anterior satisfeita.




Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * raiz(7/3)) 
+ raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1.


Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu:



Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas imaginárias, 
da equação:
x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0
Grato,
Vanderlei




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 acredita-se estar livre de perigo.




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 acredita-se estar livre de perigo.




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 acredita-se estar livre de perigo.   
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 acredita-se estar livre de perigo.   
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 acredita-se estar livre de perigo.





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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida

[Hermann]

Agradeço a resposta, vc conhece algum liro que tenha questões semelhantes a 
esta para que eu possa ver rspostas onde y seja solução, abraços

e obrigado mais uma vez
Hermann
- Original Message - 
From: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, June 19, 2013 11:57 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida


2013/6/19 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:

Considere a eq dif

y' = (2x + x.cos(x))/2y

y = x + x.cos(x)/2 é uma solução para esta eq dif?

Cheguei na seguinte equação cos(x)-x.sen(x)=2 e travei.

Normal, porque a função (x + x*cos(x)/2) não é solução.

Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) será uma solução se, ao
substituir o y pela expressão em x, você obtiver uma identidade (ou
seja, válida para todo x).

Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
= 



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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida

[Artur Costa Steiner]

 É y' = (2x + x.cos(x))/2 * y ou y' = (2x + x.cos(x))/(2y)?

Da maneira como vc escreveu, pela convenção usual é o primeiro caso


Artur Costa Steiner

Em 20/06/2013, às 07:55, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:

 Agradeço a resposta, vc conhece algum liro que tenha questões semelhantes a 
 esta para que eu possa ver rspostas onde y seja solução, abraços
 e obrigado mais uma vez
 Hermann
 - Original Message - From: Bernardo Freitas Paulo da Costa 
 bernardo...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Sent: Wednesday, June 19, 2013 11:57 PM
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida
 
 
 2013/6/19 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:
 Considere a eq dif
 
 y' = (2x + x.cos(x))/2y
 
 y = x + x.cos(x)/2 é uma solução para esta eq dif?
 
 Cheguei na seguinte equação cos(x)-x.sen(x)=2 e travei.
 Normal, porque a função (x + x*cos(x)/2) não é solução.
 
 Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) será uma solução se, ao
 substituir o y pela expressão em x, você obtiver uma identidade (ou
 seja, válida para todo x).
 
 Abraços,
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
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 =
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 = 
 
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 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida

[Jones Colombo]

Em ambos os casos o procedimento é por métodos de variáveis separáveis -
 Se for o 2ª caso que o Artur comentou uma solução seria [image: y=\pm
\sqrt{x^2+\cos(x)+x\sin(x)}].
[]
Jones


2013/6/20 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com

  É y' = (2x + x.cos(x))/2 * y ou y' = (2x + x.cos(x))/(2y)?

 Da maneira como vc escreveu, pela convenção usual é o primeiro caso


 Artur Costa Steiner

 Em 20/06/2013, às 07:55, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:

  Agradeço a resposta, vc conhece algum liro que tenha questões
 semelhantes a esta para que eu possa ver rspostas onde y seja solução,
 abraços
  e obrigado mais uma vez
  Hermann
  - Original Message - From: Bernardo Freitas Paulo da Costa 
 bernardo...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
  Sent: Wednesday, June 19, 2013 11:57 PM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida
 
 
  2013/6/19 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:
  Considere a eq dif
 
  y' = (2x + x.cos(x))/2y
 
  y = x + x.cos(x)/2 é uma solução para esta eq dif?
 
  Cheguei na seguinte equação cos(x)-x.sen(x)=2 e travei.
  Normal, porque a função (x + x*cos(x)/2) não é solução.
 
  Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) será uma solução se, ao
  substituir o y pela expressão em x, você obtiver uma identidade (ou
  seja, válida para todo x).
 
  Abraços,
  --
  Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
  =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =
 
  --
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  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida

[Hermann]

y' = (2x + x.cos(x))/(2y) é esse caso, em latex ficaria y'= \frac{2x + 
x.cos(x)}{2y}


Aproveito para repetir minha última dúvida: um livro que tenha esse tipo de 
questão, peço isso pq não achei esta questão em alguns livros de eq dif em 
casa.

Abrços
Hermann

- Original Message - 
From: Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, June 20, 2013 9:12 AM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida



É y' = (2x + x.cos(x))/2 * y ou y' = (2x + x.cos(x))/(2y)?


Da maneira como vc escreveu, pela convenção usual é o primeiro caso


Artur Costa Steiner

Em 20/06/2013, às 07:55, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:

Agradeço a resposta, vc conhece algum liro que tenha questões semelhantes 
a esta para que eu possa ver rspostas onde y seja solução, abraços

e obrigado mais uma vez
Hermann
- Original Message - From: Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, June 19, 2013 11:57 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida


2013/6/19 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:

Considere a eq dif

y' = (2x + x.cos(x))/2y

y = x + x.cos(x)/2 é uma solução para esta eq dif?

Cheguei na seguinte equação cos(x)-x.sen(x)=2 e travei.

Normal, porque a função (x + x*cos(x)/2) não é solução.

Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) será uma solução se, ao
substituir o y pela expressão em x, você obtiver uma identidade (ou
seja, válida para todo x).

Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

--
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida

[Artur Costa Steiner]

Um livro específico sobre equações diferenciais eu no momento não tenho. Mas 
vou ver se acho uma boa referência. 

No caso, conforme o Jones citou, é uma equação de variáveis separáveis, o que 
torna tudo muito simples (desde que possamos achar em forma fechada a primitiva 
da função dada). Temos que

2y dy = 2x + x cos(x) dx

Integrando os dos membros, o que aqui é fácil (a integral de x cos(x) sai 
facilmente por partes), chegamos a 

y^2 = x^2 + cos(x) + x sin(x) + C

y = raiz(x^2 + cos(x) + x sin(x) + C) ou y = -raiz(x^2 + cos(x) + x sin(x) + C) 

A solução do Jones é o caso C = 0

Artur Costa Steiner

Em 20/06/2013, às 09:38, Jones Colombo jones.colo...@gmail.com escreveu:

 Em ambos os casos o procedimento é por métodos de variáveis separáveis - 
  Se for o 2ª caso que o Artur comentou uma solução seria .
 []
 Jones
 
 
 2013/6/20 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com
  É y' = (2x + x.cos(x))/2 * y ou y' = (2x + x.cos(x))/(2y)?
 
 Da maneira como vc escreveu, pela convenção usual é o primeiro caso
 
 
 Artur Costa Steiner
 
 Em 20/06/2013, Ã s 07:55, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:
 
  Agradeço a resposta, vc conhece algum liro que tenha questões 
  semelhantes a esta para que eu possa ver rspostas onde y seja solução, 
  abraços
  e obrigado mais uma vez
  Hermann
  - Original Message - From: Bernardo Freitas Paulo da Costa 
  bernardo...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
  Sent: Wednesday, June 19, 2013 11:57 PM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida
 
 
  2013/6/19 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:
  Considere a eq dif
 
  y' = (2x + x.cos(x))/2y
 
  y = x + x.cos(x)/2 é uma solução para esta eq dif?
 
  Cheguei na seguinte equação cos(x)-x.sen(x)=2 e travei.
  Normal, porque a função (x + x*cos(x)/2) não é solução.
 
  Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) será uma solução se, ao
  substituir o y pela expressão em x, você obtiver uma identidade (ou
  seja, válida para todo x).
 
  Abraços,
  --
  Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
  --
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  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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 Â acredita-se estar livre de perigo.
 
 
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[obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/6/19 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br:
 Considere a eq dif

 y' = (2x + x.cos(x))/2y

 y = x + x.cos(x)/2 é uma solução para esta eq dif?

 Cheguei na seguinte equação cos(x)-x.sen(x)=2 e travei.
Normal, porque a função (x + x*cos(x)/2) não é solução.

Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) será uma solução se, ao
substituir o y pela expressão em x, você obtiver uma identidade (ou
seja, válida para todo x).

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência

[LEANDRO L RECOVA]

Ok. Eu pensei que na definicao de R^{+}, o zero estava excluido. Nao percebi.
 Date: Sun, 31 Mar 2013 18:51:26 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
From: pedromatematic...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá Leandro, consegui resolver o problema  e muito obrigado pela sugestão.
Seguinte: 


Faça x = 0  == f(f(0)) + af(0) = b(a+b) 0 = 0 == f(f(0)) = - af(0)


Seja f(0) = y_1 == f(f(0)) = f(y_1) = - a f(0)
Agora faça f(y_1) = y_2

perceba a recorrência: y_n = f(y_(n-1)). Substituindo na equação funcional 
temos:

y_(n+2) +a y_(n+1) -b(a+b) y_n = 0


Eq. Característica: r^2 +ar - b(a+b) = 0

Daí continua...
Abç


Em 31 de março de 2013 16:48, LEANDRO L RECOVA leandrorec...@msn.com escreveu:




Eu pensei no seguinte:
y=f(x). Entao,
f(y) + ay = b(a+b)x 
f(y) = b(a+b)x-ay 
Ja que f assume valores reais positivos (R^+), entao, temos que ter f(y)  0, 
ou seja, 

ay  b(a+b)x  = f(x)  b/a (a+b)x.  (*)
As funcoes f devem satisfazer a condicao (*).  Vou continuar pensando na 
questao.

Date: Sat, 30 Mar 2013 16:09:29 -0300
Subject: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
From: pedromatematic...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br


Essa questão estava numa lista de Equações Recorrentes. É possível resolvê-la 
por recorrência?

Ache todas as funções f: R^+ --R^+ tais que f(f(x)) + af(x) = b(a+b)x onde a,b 
\in R^+.

-- 


Pedro Jerônimo S. de O.
Júnior


Professor
de Matemática


Geo João Pessoa
– PB 




--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
--

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-- 


Pedro Jerônimo S. de O.
Júnior

Professor
de Matemática

Geo João Pessoa
– PB 




--

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-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência

[Artur Costa Steiner]

Tem um detalhe aqui para o qual eu gostaria de chamar a atenção. Este seu 
raciocínio determina univocamente uma sequência que satisfaz às condições 
dadas. Mas parece que o enunciado falava de funções de R+ em R+. Eu não sei se 
dá para determinar uma univocamente, acho que há uma infinidade, desde que 
coincida nos inteiros com sua sequência.

Aliás, a notação R+ é ambígua. Alguns consideram que não inclui o 0 ( o que me 
parece mais de acordo com o símbolo +), mas outros consideram que inclui. 

Abraços.

Artur Costa Steiner

Em 01/04/2013, às 23:02, LEANDRO L RECOVA leandrorec...@msn.com escreveu:

 Ok. Eu pensei que na definicao de R^{+}, o zero estava excluido. Nao percebi.
  
 Date: Sun, 31 Mar 2013 18:51:26 -0300
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
 From: pedromatematic...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Olá Leandro, consegui resolver o problema  e muito obrigado pela sugestão.
 Seguinte: 
 
 
 Faça x = 0  == f(f(0)) + af(0) = b(a+b) 0 = 0 == f(f(0)) = - af(0)
 
 Seja f(0) = y_1 == f(f(0)) = f(y_1) = - a f(0)
 Agora faça f(y_1) = y_2
 
 perceba a recorrência: y_n = f(y_(n-1)). Substituindo na equação funcional 
 temos:
 
 y_(n+2) +a y_(n+1) -b(a+b) y_n = 0
 
 Eq. Característica: r^2 +ar - b(a+b) = 0
 
 Daí continua...
 Abç
 
 
 Em 31 de março de 2013 16:48, LEANDRO L RECOVA leandrorec...@msn.com 
 escreveu:
 Eu pensei no seguinte:
 
 y=f(x). Entao,
 
 f(y) + ay = b(a+b)x 
 
 f(y) = b(a+b)x-ay 
 
 Ja que f assume valores reais positivos (R^+), entao, temos que ter f(y)  0, 
 ou seja, 
 
 ay  b(a+b)x  = f(x)  b/a (a+b)x.  (*)
 
 As funcoes f devem satisfazer a condicao (*).  Vou continuar pensando na 
 questao.
 
 Date: Sat, 30 Mar 2013 16:09:29 -0300
 Subject: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
 From: pedromatematic...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 
 Essa questão estava numa lista de Equações Recorrentes. É possível resolvê-la 
 por recorrência?
 
 Ache todas as funções f: R^+ --R^+ tais que f(f(x)) + af(x) = b(a+b)x onde 
 a,b \in R^+.
 
 -- 
 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
 Professor de Matemática
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 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
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[obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência

[LEANDRO L RECOVA]

Eu pensei no seguinte:
y=f(x). Entao,
f(y) + ay = b(a+b)x 
f(y) = b(a+b)x-ay 
Ja que f assume valores reais positivos (R^+), entao, temos que ter f(y)  0, 
ou seja, 
ay  b(a+b)x  = f(x)  b/a (a+b)x.  (*)
As funcoes f devem satisfazer a condicao (*).  Vou continuar pensando na 
questao.
Date: Sat, 30 Mar 2013 16:09:29 -0300
Subject: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
From: pedromatematic...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Essa questão estava numa lista de Equações Recorrentes. É possível resolvê-la 
por recorrência?

Ache todas as funções f: R^+ --R^+ tais que f(f(x)) + af(x) = b(a+b)x onde a,b 
\in R^+.
-- 


Pedro Jerônimo S. de O.
Júnior

Professor
de Matemática

Geo João Pessoa
– PB 



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 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência

[Pedro Júnior]

Olá Leandro, consegui resolver o problema  e muito obrigado pela sugestão.
Seguinte:


Faça x = 0  == f(f(0)) + af(0) = b(a+b) 0 = 0 == f(f(0)) = - af(0)

Seja f(0) = y_1 == f(f(0)) = f(y_1) = - a f(0)
Agora faça f(y_1) = y_2

perceba a recorrência: y_n = f(y_(n-1)). Substituindo na equação funcional
temos:

y_(n+2) +a y_(n+1) -b(a+b) y_n = 0

Eq. Característica: r^2 +ar - b(a+b) = 0

Daí continua...
Abç


Em 31 de março de 2013 16:48, LEANDRO L RECOVA leandrorec...@msn.comescreveu:

 Eu pensei no seguinte:

 y=f(x). Entao,

 f(y) + ay = b(a+b)x

 f(y) = b(a+b)x-ay

 Ja que f assume valores reais positivos (R^+), entao, temos que ter f(y) 
 0, ou seja,

 ay  b(a+b)x  = f(x)  b/a (a+b)x.  (*)

 As funcoes f devem satisfazer a condicao (*).  Vou continuar pensando na
 questao.

 --
 Date: Sat, 30 Mar 2013 16:09:29 -0300
 Subject: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
 From: pedromatematic...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Essa questão estava numa lista de Equações Recorrentes. É possível
 resolvê-la por recorrência?

 Ache todas as funções f: R^+ --R^+ tais que f(f(x)) + af(x) = b(a+b)x
 onde a,b \in R^+.

 --
 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
 Professor de Matemática
 Geo João Pessoa – PB

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação exponencial

[Vanderlei *]

*Obrigado Ralph. Mas existe um método algébrico para concluirmos que x = 2?*

Em 8 de agosto de 2012 00:40, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 Lema: Se 0abc, entao a^x+b^x=c^x tem no maximo uma raiz positiva.
 Dem.: Note que x0 satisfaz a equacao sse f(x)=(c/b)^x-(a/b)^x=1. Mas esta
 funcao f(x) eh crescente (pois c/b1 e a/b1), entao tem no maximo uma raiz
 positiva!

 (De fato, note que f(0)=0 e f(+Inf)=+Inf, entao f(x)=1 tem EXATAMENTE uma
 raiz real positiva.)

 Abraco,
   Ralph

 2012/8/7 Vanderlei * vanderma...@gmail.com

 Alguém pode ajudar a resolver a equação.

 *[sqrt(4 - sqrt15)]^x + [sqrt(4 + sqrt15)]^x = [2sqrt2]^x*

 É trivial que o número 2 é solução, mas será que não existem outras?

 Obrigado!

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação exponencial

[Ralph Teixeira]

Bom, claro que ao verificar que x=2 eh solucao e mostrar que ela eh unica,
voce resolveu a equacao... Mas entendo que voce quer saber como resolver
algebricamente uma equacao do tipo a^x+b^x=c^x (a, b e c dados).

Claro que isto depende do que algebricamente significa. Entao deixa eu
dizer assim: eu nao sei nenhuma maneira de escrever x como funcao de a, b e
c usando apenas as funcoes que eu conheco -- isto eh, potencias, raizes,
logaritmos, funcoes trigonometricas, e ateh algumas coisas mais obscuras
como a funcao W de Lambert. Aposto que nao eh possivel, mas nao tenho
certeza.

Abraco,
   Ralph

2012/8/8 Vanderlei * vanderma...@gmail.com

 *Obrigado Ralph. Mas existe um método algébrico para concluirmos que x =
 2?*

 Em 8 de agosto de 2012 00:40, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 Lema: Se 0abc, entao a^x+b^x=c^x tem no maximo uma raiz positiva.
 Dem.: Note que x0 satisfaz a equacao sse f(x)=(c/b)^x-(a/b)^x=1.
 Mas esta funcao f(x) eh crescente (pois c/b1 e a/b1), entao tem no maximo
 uma raiz positiva!

 (De fato, note que f(0)=0 e f(+Inf)=+Inf, entao f(x)=1 tem EXATAMENTE uma
 raiz real positiva.)

 Abraco,
   Ralph

 2012/8/7 Vanderlei * vanderma...@gmail.com

 Alguém pode ajudar a resolver a equação.

 *[sqrt(4 - sqrt15)]^x + [sqrt(4 + sqrt15)]^x = [2sqrt2]^x*

 É trivial que o número 2 é solução, mas será que não existem outras?

 Obrigado!

[obm-l] Re: [obm-l] equação exponencial

[Ralph Teixeira]

Lema: Se 0abc, entao a^x+b^x=c^x tem no maximo uma raiz positiva.
Dem.: Note que x0 satisfaz a equacao sse f(x)=(c/b)^x-(a/b)^x=1. Mas esta
funcao f(x) eh crescente (pois c/b1 e a/b1), entao tem no maximo uma raiz
positiva!

(De fato, note que f(0)=0 e f(+Inf)=+Inf, entao f(x)=1 tem EXATAMENTE uma
raiz real positiva.)

Abraco,
  Ralph

2012/8/7 Vanderlei * vanderma...@gmail.com

 Alguém pode ajudar a resolver a equação.

 *[sqrt(4 - sqrt15)]^x + [sqrt(4 + sqrt15)]^x = [2sqrt2]^x*

 É trivial que o número 2 é solução, mas será que não existem outras?

 Obrigado!

[obm-l] Re: [obm-l] Equação funcional

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2011/11/16 Luan Gabriel luan_gabrie...@hotmail.com:
 Galera:
 Determine todas as funções F: R - R tais que,para todo x real,
 f(x^2+f(y)) = y + f(x)^2 .

Bom, dá um trabalhinho...

Faça x = 0. f(f(y)) = y + f(0)^2.
Assim, f(y) = f(z) = f(f(y)) = f(f(z)) = y + f(0)^2 = z + f(0)^2 =
y = z. Logo f é injetiva.
Além disso, como y + f(0)^2 percorre R quando y percorre R, f é
sobrejetiva. Logo f é bijetiva. Seja g a inversa de f (vamos precisar
dela).
Note que a fórmula do enunciado pode ser escrita com y = g(z) da seguinte forma:
f(x^2 + z) = g(z) + f(x)^2.
Note também que dada a forma da função, temos f(x^2) = g(0) + f(x)^2 =
g(0) + f(-x)^2, ou seja, f(x)^2 = f(-x)^2. Para x != 0, x != -x, logo
f(x) != f(-x) porque f é injetiva. Assim, f(-x) = -f(x) para x != 0.

Agora, calcule f(f(x^2 + f(y))) de duas formas diferentes.
A primeira é usando f(f(y)) = y + f(0)^2, que dá f(f( x^2 + f(y) )) =
x^2 + f(y) + f(0)^2.
A segunda é usando primeiro a igualdade do enunciado, que dá
f( f(x^2 + f(y)) ) = f( y + f(x)^2 ) = f( f(x)^2 + y ) = g(y) +
f(f(x))^2 = g(y) + (x + f(0)^2)^2.

Igualando as duas expressões, temos
x^2 + f(y) + f(0)^2 = g(y) + x^2 + 2*x*f(0)^2 + f(0)^4, ou seja
f(y) + f(0)^2 = g(y) + f(0)^4 + 2*x*f(0)^2.
Note que a igualdade acima vale para todos os x, o que implica que o
coeficiente de x é zero. Ou seja, f(0) = 0. Isso dá uma limpeza
geral na equação, que fica
f(y) = g(y). f é a sua própria inversa!

Agora falta pouco. f(x^2+f(0)) = 0 + f(x)^2, então f(x^2) = f(x)^2 =
0. Suponha que f(x) != x para algum x  0. Assim, x = z^2 e f(z^2) !=
z^2. Podemos assim calcular
0 != f(z^2 - f(z^2)) = f(z^2 + f(-z^2)) = -z^2 + f(z)^2 = -z^2 + f(z^2).
Chame z^2 - f(z^2) = t, temos portanto que f(t) = -t. Isso é absurdo,
porque f envia positivos em positivos pela primeira desigualdade desse
parágrafo, e por ser ímpar, negativos em negativos.

Ufa: f(x) = x para todo x  0. Como f(-x) = -f(x), e que f(0) = 0
temos f(x) = x. Não deixe de conferir os argumentos, esse tipo de
questão é fácil de errar uma continha besta e tudo vai pro espaço.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Equação exponencial

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2011/8/26  douglas.olive...@grupoolimpo.com.br:
 Ola entrei na lista hoje, gostaria de saber se é para este e-mail que
 escrevo realmente, e se for já gostaria de tirar a minha primeira dúvida, é
 sobre resolver a equaçâo x^x^1/2=1/2 , que seria x elevado a x elevado a 1/2
 , consegui achar uma solução que é 1/4, sei qual é a outra , pois vi no
 maple é 1/16 , gostaria de saber algum método para obte-la. obrigado!!
Oi Douglas!

O e-mail é esse mesmo.

Eu não tenho muita certeza de que haja um método não... enfim, você
pode usar aproximações sucessivas, chutômetro, etc. Uma coisa que
ajuda é tirar logaritmos. Duas vezes, e chamando log_2(x) = a, você
chega numa equação a = - 2 *log_2(-a) (logs na base 2, e note que a 
0 porque x  1). Daí, traçando os gráficos na região a  0, dá pra ter
uma idéia de que há apenas 2 soluções, e daí você chuta uns valores e
dá certo...

Ah, cuidado ao escrever suas mensagens: bote parênteses na
exponencial. (Note que 2^(2^3) = 2^8 enquanto que (2^2)^3 = 4^3 = 2^6)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação de variáveis inteiras

[Pedro Júnior]

Exatamente Ralph, quando utilizei as leis de seno e cosseno achei o cosseno
de um dos ânulos maior que 1 o que torna inválido o problema.
Falou Ralph, comunicarei ao comitê olímpico da UFCG.
Abraços.

Em 30 de maio de 2011 14:06, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 2) Com este enunciado, não há triângulo nestas condições...

 Tracei a bissetriz interna AX do ângulo A, fiz CX=x. Note que AXC é
 isósceles, então AC=2xcosC, então BC=xcosCx=XC. Em outras palavras, a
 bissetriz interna AX corta o lado BC *fora* de BC, absurdo.

 Não seria ângulo C=2A? Aí seria um triângulo 30-60-90 bonitinho...

 3) Bom, se x=0 então y=7, e vice-versa. Se x=1, note que y não dá inteiro,
 e vice-versa. Vamos então supor logo que x,y=2 no resto do problema.

 Eu passei o x^2 pro lado de lá para fatorar:
 (xy-7+x)(xy-7-x)=y^2.

 (Agora, minha intuição me diz que, em geral, ambos xy-7+x e xy-7-x devem
 ser BEM maiores que y, então isto vai restringir o problema... AH-HA!)

 Note que xy-7-xxy-7+x (pois x=2). Assim, devemos ter xy-7-xy (caso
 contrário, ambos os fatores seriam maiores ou iguais a y, e então o produto
 seria maior que y^2).

 xy-7+x-y0
 (x-1)(y+1)=5

 Como x-1=1, devemos ter y+1=5, isto é, basta analisar y=2,3,4.

 Abraço,
 Ralph
 2011/5/30 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com

 Questões 02 e 03 da 2ª Parte da XXIV OCM - 2011 Nível 03, que ocorreu
 neste último sábado dia 28 de Maio:

 *02.* Um triângulo ABC é tal que o ângulo A=2C e AC = 2BC.. Mostre que
 este triângulo é retângulo.
 Usei a lei dos senos e lei dos cossenos mas não consegui concluir, favor
 quem tiver alguma ideia, contribuir...

 *03.* Determine todos os pares de inteiros não negativos que são soluções
 da equação (xy - 7)^2 = x^2 + y^2.

 Sem nenhuma estratégia descobrir que os pares (3,4); (4,3); (0,7); (7,0)
 satisfazem tal equação.
 Tentei enxergar o teo. de Pitágoras, fazendo x e y como catetos e xy - 7
 como hipotenusa.
 Há alguma resolução algébrica, alguma substituição que torne a equação com
 uma só incórnita?

 Desde já aradeço.

 --

 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

 Professor de Matemática

 Geo João Pessoa – PB





-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação de variáveis inteiras

[Willy George Amaral Petrenko]

*03.* Determine todos os pares de inteiros não negativos que são soluções da
equação (xy - 7)^2 = x^2 + y^2.

Vou dar uma solução alternativa para este problema, um pouco mais direta.

x^2*y^2 - 14xy + 49 = x^2 + y^2. == x^2*y^2 - 12xy + 49 = x^2 + +2xy + y^2.
== (xy - 6)^2 + 13 = (x+y)^2.

Agora vc tem um problema do tipo A^2 - B^2 = 13, para A = x+y e B = xy-6. Ou
seja (A-B)(A+B) = 13. Que é fácil resolver. Só tome cuidado que A e B não
são mais positivos, então tem que analisar os 4 casos: (A-B,A+B) =  (1,13) ,
(13,1) , (-1,-13) , (-13,-1).

Abraço

[obm-l] RE: [obm-l] Equação de variáveis inteiras

[Frederico Matos]

Acho que a questão 02 está com erro de digitação porque:
Temos um triângulo de lados AB, BC e 2.BC com ângulos opostos respetivamente C, 
2C e 180º-3C
agora se esse triângulo é retângulo, ou C, ou 2C ou 180-3C é = 90º
MAS!!!
1) Se C =90º, 2C=180º, fazendo com que ABC deixe de ser triângulo.
2) Se 2C = 90º, C = 45º e 180-3C = 45º
A hipotenusa desse triângulo seria BC, e os catetos 2.BC . Mas como Catetos  
Hipotenusa, essa hipótese deve ser descartada, uma vez que a Hipotenusa é o 
maior lado num triângulo retângulo.
3)180-3C=90º, C=30º e 2C=60º, com Hipotenusa = 2.BC e Cateto oposto ao angulo 
de 60º = BC
Mas sen 60º = Cateto oposto/Hipotenusa = BC/2.BC = 1/2
E sen 60º = raíz(3)/2 e não 1/2, portanto essa hipótese também é falsa!
 

 


Date: Mon, 30 May 2011 13:04:51 -0300
Subject: [obm-l] Equação de variáveis inteiras
From: pedromatematic...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Questões 02 e 03 da 2ª Parte da XXIV OCM - 2011 Nível 03, que ocorreu neste 
último sábado dia 28 de Maio:

02. Um triângulo ABC é tal que o ângulo A=2C e AC = 2BC.. Mostre que este 
triângulo é retângulo.
Usei a lei dos senos e lei dos cossenos mas não consegui concluir, favor quem 
tiver alguma ideia, contribuir...

03. Determine todos os pares de inteiros não negativos que são soluções da 
equação (xy - 7)^2 = x^2 + y^2.

Sem nenhuma estratégia descobrir que os pares (3,4); (4,3); (0,7); (7,0) 
satisfazem tal equação.
Tentei enxergar o teo. de Pitágoras, fazendo x e y como catetos e xy - 7 como 
hipotenusa.
Há alguma resolução algébrica, alguma substituição que torne a equação com uma 
só incórnita?

Desde já aradeço.
-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
Professor de Matemática
Geo João Pessoa – PB 

  

[obm-l] Re: [obm-l] Equação de variáveis inteiras

[Ralph Teixeira]

2) Com este enunciado, não há triângulo nestas condições...

Tracei a bissetriz interna AX do ângulo A, fiz CX=x. Note que AXC é
isósceles, então AC=2xcosC, então BC=xcosCx=XC. Em outras palavras, a
bissetriz interna AX corta o lado BC *fora* de BC, absurdo.

Não seria ângulo C=2A? Aí seria um triângulo 30-60-90 bonitinho...

3) Bom, se x=0 então y=7, e vice-versa. Se x=1, note que y não dá inteiro, e
vice-versa. Vamos então supor logo que x,y=2 no resto do problema.

Eu passei o x^2 pro lado de lá para fatorar:
(xy-7+x)(xy-7-x)=y^2.

(Agora, minha intuição me diz que, em geral, ambos xy-7+x e xy-7-x devem ser
BEM maiores que y, então isto vai restringir o problema... AH-HA!)

Note que xy-7-xxy-7+x (pois x=2). Assim, devemos ter xy-7-xy (caso
contrário, ambos os fatores seriam maiores ou iguais a y, e então o produto
seria maior que y^2).

xy-7+x-y0
(x-1)(y+1)=5

Como x-1=1, devemos ter y+1=5, isto é, basta analisar y=2,3,4.

Abraço,
Ralph
2011/5/30 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com

 Questões 02 e 03 da 2ª Parte da XXIV OCM - 2011 Nível 03, que ocorreu neste
 último sábado dia 28 de Maio:

 *02.* Um triângulo ABC é tal que o ângulo A=2C e AC = 2BC.. Mostre que
 este triângulo é retângulo.
 Usei a lei dos senos e lei dos cossenos mas não consegui concluir, favor
 quem tiver alguma ideia, contribuir...

 *03.* Determine todos os pares de inteiros não negativos que são soluções
 da equação (xy - 7)^2 = x^2 + y^2.

 Sem nenhuma estratégia descobrir que os pares (3,4); (4,3); (0,7); (7,0)
 satisfazem tal equação.
 Tentei enxergar o teo. de Pitágoras, fazendo x e y como catetos e xy - 7
 como hipotenusa.
 Há alguma resolução algébrica, alguma substituição que torne a equação com
 uma só incórnita?

 Desde já aradeço.

 --

 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

 Professor de Matemática

 Geo João Pessoa – PB

[obm-l] Re: [obm-l] equação da parabola

[Palmerim Soares]

Oi Thelio,

Aqui vai mais uma idéia de solução bem  mais simples que o sistema de 3
equações:
use a forma canônica da equação: *f(x) = a·(x - h)² + k*, onde *h *é a
abscissa do vértice e *k* é a ordenada do vértice. Para o gráfico em
questão, a forma canônica ficaria assim: *f(x) = a·(x - 3)² - 2*. Para
determinar o *a* agora é só substituir *x *e *y *pelas correspondentes
coordenadas de um ponto qualquer (*menos do vértice* ) da parábola. Usando a
raiz (2,0), ou seja, f(2) = 0, vem: 0 = a·(2-3)² - 2 , daí *a = 2*.
Portanto: *f(x) = 2·(x - 3)² - 2* que, desenvolvendo, nos dá: y = 2x² - 12x
+ 16.

abraços

Em 8 de março de 2011 23:10, Thelio Gama teliog...@gmail.com escreveu:

 Caros professores,

 agradeço a boa vontade de todos em esclarecer sempre as minhas dúvidas. Só
 posto perguntas que considero realmente relevantes. A dúvida que tenho agora
 é a seguinte: a questão pede a equação da parábola da figura anexa. Já
 consegui resolver, mas usei um sistema de 3 equações: a fórmula da soma das
 raízes, a fórmula do produto das raízes e a fórmula da ordenada do vértice.
 Tentei resolver de uma forma mais simples, mas não consegui. Gostaria de
 saber se há realmente uma forma mais simples de resolver a questão.

 obrigado,

 Thelio




-- 
Palmerim

[obm-l] RE: [obm-l] Equação de sétimo grau

[Albert Bouskela]

Olá!
 
Você deve usar a Fórmula de De Moivre:
 
[ r (cos(A) + i sin(A) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cos((A+2kpi)/n) + i sin((A+2kpi)/n) 
] , k=0, 1 ... (n-1)
   [ r (cis(A)) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cis((A+2kpi)/n) ] , k=0, 1 ... (n-1)
 
Então:
 
x = 1^(1/7)
 
Escrevendo 1 na forma polar: 1 = 1 [ cos(0) + i sin(0) ] = cis(0)
 
Logo: 1^(1/7) = 1^(1/7) [ cos((0+2kpi)/7) + i sin((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ... 6
   1^(1/7) = cis(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6
 
Daí: x = { 1, cos(2pi/7) + i sin(2pi/7), cos(4pi/7) + i sin(4pi/7), cos(6pi/7) 
+ i sin(6pi/7), cos(8pi/7) + i sin(8pi/7), cos(10pi/7) + i sin(10pi/7), 
cos(12pi/7) + i sin(12pi/7) } 


Albert Bouskela
bousk...@msn.com
 



 


From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Equação de sétimo grau
Date: Thu, 3 Feb 2011 18:59:52 -0200




Há algum  jeito de resolver a equação de sétimo grau x^7 = 1 dentro dos 
complexos? 
 
[]'s
João
  

[obm-l] Re: [obm-l] Equação de sétimo grau

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá, João,
x = a*cis(t)

x^7 = a^7*cis(7t) = 1

Portanto: a = 1.
Como cis(7t) = cos(7t) + isen(7t), temos que ter:

sen(7t) = 0
cos(7t) = 1

Logo: 7t = kpi = t = kpi/7
Portanto: k=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 :)

Agora, basta escrever as 7 soluções :)

Abraços,
Salhab


2011/2/3 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com

  Há algum  jeito de resolver a equação de sétimo grau x^7 = 1 dentro dos
 complexos?

 []'s
 João

[obm-l] Re: [obm-l] Equação Diofantina

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá, Marcone,

Seja x = (a, b) e * o produto escalar.
(-2, 5) * x = 8

Conforme sugestão do seu professor, x1 = (1, 2) é solução.
Isto é: (-2, 5)*x1 = (-2, 5)*(1, 2) = 8

Acho que seu professor quis dizer um vetor perpendicular ao vetor (-2, 5).
Seja w = (5, 2), que é perpendicular a (-2, 5).

Veja que x2 = (1, 2) + k(5, 2) sempre é solução.
(-2, 5)*x2 = (-2, 5)*(1,2) + k(-2, 5)*(5, 2) = 8 + 0 = 8

Desta maneira, um subconjunto do espaço de soluções é formado por (1, 2) +
k(5, 2).

Pergunto: Esse subconjunto é igual a todo o espaço de soluções? Demonstre!
:)

Abraços,
Salhab



2011/1/27 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

  Como resolver a equação diofantina -2x + 5y = 8,usando vetores?
 O professor sugere usar a solução particular (1,2) e o vetor perpendicular
 (-2,1) ...

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do segundo grau(raiz inteira)

[marcone augusto araújo borges]

Muito obrigado.Será que é muito complicado provar que mdc( a^2+b^2,4ab+1) = 1?
 


Date: Wed, 19 Jan 2011 03:05:19 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do segundo grau(raiz inteira)
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br


Olá, Marcone,expandindo temos:
(a^2 + b^2)x^2 - (4ab + 1)x + a^2 + b^2 = 0


Supondo a^2 + b^2 != 0, temos:
x^2 - (4ab+1)/(a^2+b^2) x + 1 = 0



Seja k a raiz inteira. Temos que k^2 - (4ab+1)/(a^2+b^2) k + 1 = 0
Como k^2 e 1 são inteiros, temos que ter (4ab+1)/(a^2+b^2) k inteiro.
Assim, temos que: a^2+b^2 | (4ab+1)k.


Seja w sua outra raiz. Então:
(i) k + w = (4ab + 1)/(a^2+b^2)
(ii) k*w = 1


Por (ii), se descobrirmos k, sabemos w.


Acho que temos que trabalhar com:
a^2+b^2 | (4ab+1)k


Será que temos mdc(a^2+b^2, 4ab+1) = 1?
Se sim, acho que acabamos, visto que ficamos com: a^2+b^2 | k.
Da equação original, temos: (a^2 + b^2)k^2 - (4ab + 1)k + a^2 + b^2 = 0.
Dividindo por k, temos: (a^2+b^2)k - (4ab+1) + (a^2+b^2)/k = 0.
De onde tiramos que k | a^2+b^2.
Mas, se k | a^2+b^2 e a^2+b^2 | k, temos que k = a^2+b^2.
Assim, w = 1/(a^2+b^2).


Substituindo na equação original, ficamos com:
(a^2 + b^2)(a^2+b^2)^2 - (4ab + 1)(a^2+b^2) + a^2 + b^2 = 0
Dividindo por a^2+b^2, temos:
(a^2 + b^2)^2 - (4ab+1) + 1 = 0
(a^2 + b^2)^2 = 4ab


As únicas soluções inteiras de (a^2+b^2)^2 = 4ab são:
(a, b) \in { (0, 0), (1, 1), (-1, -1) }


(0, 0) não pode ser.


Caso 1: (1, 1)
Logo, k = 2, w = 1/2.
Pode testar que funciona, pois 2(x-1)^2 = x tem raízes 2 e 1/2.


Caso 2: (-1, -1)
Logo, k = 2, w = 1/2.
Mas não funciona, visto que: 2(x+1)^2 = x não tem solução!
2x^2 + 4x + 2 = x
2x^2 + 3x + 2 = 0
Delta = 9 - 4*2*2  0, logo, não tem raízes reais.


Bom, tudo isso supondo que mdc(a^2+b^2, 4ab+1) = 1.
Ainda falta provar isso :)
Se não for verdadeiro, ignore tudo o que escrevi! hehehe


Abraços,
Salhab








2011/1/9 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com


Sejam a,b números inteiros .Sabendo que  a equação (ax - b)^2 + ( bx - a)^2 = x 
tem uma raiz inteira,encontre os valores de suas raizes.
Conto com a habitual atenção de todos,pela qual agradeço antecipadamente.

  

[obm-l] FW: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do segundo grau(raiz inteira)

[marcone augusto araújo borges]

 


From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do segundo grau(raiz inteira)
Date: Wed, 19 Jan 2011 21:27:00 +




Muito obrigado.Será que é muito complicado provar que mdc( a^2+b^2,4ab+1) = 1?
 


Date: Wed, 19 Jan 2011 03:05:19 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do segundo grau(raiz inteira)
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br


Olá, Marcone,expandindo temos:
(a^2 + b^2)x^2 - (4ab + 1)x + a^2 + b^2 = 0 


Supondo a^2 + b^2 != 0, temos:
x^2 - (4ab+1)/(a^2+b^2) x + 1 = 0



Seja k a raiz inteira. Temos que k^2 - (4ab+1)/(a^2+b^2) k + 1 = 0
Como k^2 e 1 são inteiros, temos que ter (4ab+1)/(a^2+b^2) k inteiro.
Assim, temos que: a^2+b^2 | (4ab+1)k.


Seja w sua outra raiz. Então:
(i) k + w = (4ab + 1)/(a^2+b^2)
(ii) k*w = 1


Por (ii), se descobrirmos k, sabemos w.


Acho que temos que trabalhar com:
a^2+b^2 | (4ab+1)k


Será que temos mdc(a^2+b^2, 4ab+1) = 1?
Se sim, acho que acabamos, visto que ficamos com: a^2+b^2 | k.
Da equação original, temos: (a^2 + b^2)k^2 - (4ab + 1)k + a^2 + b^2 = 0.
Dividindo por k, temos: (a^2+b^2)k - (4ab+1) + (a^2+b^2)/k = 0.
De onde tiramos que k | a^2+b^2.
Mas, se k | a^2+b^2 e a^2+b^2 | k, temos que k = a^2+b^2.
Assim, w = 1/(a^2+b^2).


Substituindo na equação original, ficamos com:
(a^2 + b^2)(a^2+b^2)^2 - (4ab + 1)(a^2+b^2) + a^2 + b^2 = 0
Dividindo por a^2+b^2, temos:
(a^2 + b^2)^2 - (4ab+1) + 1 = 0
(a^2 + b^2)^2 = 4ab


As únicas soluções inteiras de (a^2+b^2)^2 = 4ab são:
(a, b) \in { (0, 0), (1, 1), (-1, -1) }


(0, 0) não pode ser.


Caso 1: (1, 1)
Logo, k = 2, w = 1/2.
Pode testar que funciona, pois 2(x-1)^2 = x tem raízes 2 e 1/2.


Caso 2: (-1, -1)
Logo, k = 2, w = 1/2.
Mas não funciona, visto que: 2(x+1)^2 = x não tem solução!
2x^2 + 4x + 2 = x
2x^2 + 3x + 2 = 0
Delta = 9 - 4*2*2  0, logo, não tem raízes reais.


Bom, tudo isso supondo que mdc(a^2+b^2, 4ab+1) = 1.
Ainda falta provar isso :)
Se não for verdadeiro, ignore tudo o que escrevi! hehehe


Abraços,
Salhab








2011/1/9 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com


Sejam a,b números inteiros .Sabendo que  a equação (ax - b)^2 + ( bx - a)^2 = x 
tem uma raiz inteira,encontre os valores de suas raizes.
Conto com a habitual atenção de todos,pela qual agradeço antecipadamente.

  

[obm-l] Re: [obm-l] Equação do segundo grau(raiz inteira)

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá, Marcone,
expandindo temos:
(a^2 + b^2)x^2 - (4ab + 1)x + a^2 + b^2 = 0

Supondo a^2 + b^2 != 0, temos:
x^2 - (4ab+1)/(a^2+b^2) x + 1 = 0

Seja k a raiz inteira. Temos que k^2 - (4ab+1)/(a^2+b^2) k + 1 = 0
Como k^2 e 1 são inteiros, temos que ter (4ab+1)/(a^2+b^2) k inteiro.
Assim, temos que: a^2+b^2 | (4ab+1)k.

Seja w sua outra raiz. Então:
(i) k + w = (4ab + 1)/(a^2+b^2)
(ii) k*w = 1

Por (ii), se descobrirmos k, sabemos w.

Acho que temos que trabalhar com:
a^2+b^2 | (4ab+1)k

Será que temos mdc(a^2+b^2, 4ab+1) = 1?
Se sim, acho que acabamos, visto que ficamos com: a^2+b^2 | k.
Da equação original, temos: (a^2 + b^2)k^2 - (4ab + 1)k + a^2 + b^2 = 0.
Dividindo por k, temos: (a^2+b^2)k - (4ab+1) + (a^2+b^2)/k = 0.
De onde tiramos que k | a^2+b^2.
Mas, se k | a^2+b^2 e a^2+b^2 | k, temos que k = a^2+b^2.
Assim, w = 1/(a^2+b^2).

Substituindo na equação original, ficamos com:
(a^2 + b^2)(a^2+b^2)^2 - (4ab + 1)(a^2+b^2) + a^2 + b^2 = 0
Dividindo por a^2+b^2, temos:
(a^2 + b^2)^2 - (4ab+1) + 1 = 0
(a^2 + b^2)^2 = 4ab

As únicas soluções inteiras de (a^2+b^2)^2 = 4ab são:
(a, b) \in { (0, 0), (1, 1), (-1, -1) }

(0, 0) não pode ser.

Caso 1: (1, 1)
Logo, k = 2, w = 1/2.
Pode testar que funciona, pois 2(x-1)^2 = x tem raízes 2 e 1/2.

Caso 2: (-1, -1)
Logo, k = 2, w = 1/2.
Mas não funciona, visto que: 2(x+1)^2 = x não tem solução!
2x^2 + 4x + 2 = x
2x^2 + 3x + 2 = 0
Delta = 9 - 4*2*2  0, logo, não tem raízes reais.

Bom, tudo isso supondo que mdc(a^2+b^2, 4ab+1) = 1.
Ainda falta provar isso :)
Se não for verdadeiro, ignore tudo o que escrevi! hehehe

Abraços,
Salhab




2011/1/9 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

  Sejam a,b números inteiros .Sabendo que  a equação (ax - b)^2 + ( bx -
 a)^2 = x tem uma raiz inteira,encontre os valores de suas raizes.
 Conto com a habitual atenção de todos,pela qual agradeço antecipadamente.

[obm-l] Re: [obm-l] Equação do segundo grau(raiz inteira)

[Fernando Oliveira]

Expandindo, temos

(ax - b)^2 + ( bx - a)^2 = x
(a² + b²)x² - (4ab + 1)x + a² + b² = 0

(Estou supondo que a² + b² != 0. O caso contrário é simples, já que 0 seria
raiz)

Note que o produto das raízes é c/a = 1. Logo, se x é raiz, a outra raiz é
1/x. Além disso, a soma das raízes é inteira (4ab + 1), de onde tiramos que
as duas raízes devem ser inteiras.
Resta apenas pensar quais números poderíamos ter tais que x e 1/x sejam
inteiros, são 1 e -1.

-1 claramente não é possível:

(-a - b)^2 + (-b - a)^2 = -1

1 também falha:

(a - b)^2 + (b - a)^2 = 1
2(a - b)² = 1
(a - b)² = 1/2
a - b = +- 1/4

Não há solução inteira para a,b.

Logo, se a equação tem uma raiz inteira, devemos ter a = b = x = 0.

Fernando


  #  #
#   #

[obm-l] Re: [obm-l] Equação do segundo grau(raiz inteira)

[Fernando Oliveira]

Eu acho que eu deveria parar de pensar em problemas 2 horas da manhã.
Esqueci de dividir a soma por a²+b²... Ignore a solução, embora eu ache que
a resposta final está correta (não achei nenhum outro caso que funcione...).

Fernando
  #  #
#   #

[obm-l] Re: [obm-l] Equação algébrica

[Johann Dirichlet]

A maneira que me vem à cabeça é usar o teorema do valor intermediario.

Podemos fazer algumas suposições:
|r|  1. De fato, se |r|1, troque r por R=1/r e x por X=1/x. Assim,
teremos X^n=R, com |R|1, e resolver essa equacao é equivalente
resolver a original.

Caso n ímpar:
Se r  0, podemos trocar x por -x e r por -r. Vamops entao supor r1.

Enfim, existe um valor de x tal que x^n-r0. Isso e relativamente
facil de demonstrar usando limites ou algo que valha.
Igualmente, existe outro valor de x tal que x^n-r0.

Pelo teorema do valor intermediario, existe um cara entre estes dois
extremos tal que x^n=r=0.

O caso par fica por sua conta :)


Em 11/09/10, Guilherme Vieirarjguilhermevie...@hotmail.com escreveu:

 Solicito aos amigos uma demonstração do teorema enunciado a seguir.
 Obviamente, a propriedade é muito conhecida. A demonstração, entretanto,
 parece-me muito difícil.

 Teorema: Se x é uma variável real, n é um número natural (não nulo) e r é
 uma constante real, a equação algébrica x^n = r admite uma única solução
 real quando n é ímpar e admite duas soluções reais quando n é par e r0.


 Obrigado!!!
 Guilherme 


-- 
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Quadrinista e Taverneiro!

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação algébrica

[Tiago]

Olá, você já estudou análise real? Sei que no livro no Rudin tem isto
demonstrado da maneira mais elementar possível (elementar no sentido de usar
poucas ferramentas). Só usa que R é completo e algumas desigualdades. Não
lembro exatamente como é a demonstração, mas basicamente é isso:

*Teorema*: Dado r real positivo e n natural, existe um único x positivo tal
que x^n=r. (O que você quer segue trivialmente disto).

*Ideia da demonstração:* Ver que a solução é única é fácil, visto que 0ab
implica em 0a^nb^n. Para mostrar a existência, considere o conjunto A dos
t reais tais que t^nr. Mostre que este conjunto é limitado e portanto
existe sup(A). Você deve mostrar que x=sup(A), isto é, sup(A)^n=r. Para
isso, suponha sup(A)^nr e, depois, sup(A)^nr e chegue em contradições.

Talvez tenha no Elon também, mas eu não o conheço direito.

2010/9/13 Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com

 A maneira que me vem à cabeça é usar o teorema do valor intermediario.

 Podemos fazer algumas suposições:
 |r|  1. De fato, se |r|1, troque r por R=1/r e x por X=1/x. Assim,
 teremos X^n=R, com |R|1, e resolver essa equacao é equivalente
 resolver a original.

 Caso n ímpar:
 Se r  0, podemos trocar x por -x e r por -r. Vamops entao supor r1.

 Enfim, existe um valor de x tal que x^n-r0. Isso e relativamente
 facil de demonstrar usando limites ou algo que valha.
 Igualmente, existe outro valor de x tal que x^n-r0.

 Pelo teorema do valor intermediario, existe um cara entre estes dois
 extremos tal que x^n=r=0.

 O caso par fica por sua conta :)


 Em 11/09/10, Guilherme Vieirarjguilhermevie...@hotmail.com escreveu:
 
  Solicito aos amigos uma demonstração do teorema enunciado a seguir.
  Obviamente, a propriedade é muito conhecida. A demonstração, entretanto,
  parece-me muito difícil.
 
  Teorema: Se x é uma variável real, n é um número natural (não nulo) e r é
  uma constante real, a equação algébrica x^n = r admite uma única solução
  real quando n é ímpar e admite duas soluções reais quando n é par e r0.
 
 
  Obrigado!!!
  Guilherme


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Tiago J. Fonseca
http://legauss.blogspot.com

[obm-l] Re: [obm-l] Equação Exponencial - Teorema

[Eduardo Wilner]

Parece que o caso 5 pode ser reduzido ao 4, se considerarmos  
(-1)^(3x^2+3) * (-x^2-x+57)^(3x^2+3) = (-1)^10x * (-x^2-x+57)^10x
(onde  -x^2-x+57  0 ) e cancelarmos as exponenciais de -1.

Claro que devemos levar em conta que as raizes serão 3 e 1/3 para esta 
simplificação, fatoque parece ter sido considerado no caso 3...

[ ]s

--- Em sáb, 3/7/10, Caio Pak caio@hotmail.com escreveu:

De: Caio Pak caio@hotmail.com
Assunto: [obm-l] Equação Exponencial - Teorema
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sábado, 3 de Julho de 2010, 16:23




Ola pessoal da lista, tudo bem?
Bom, esses dias eu tava tentando resolver esta equação : 
(x^2+x-57)^(3x^2+3)=(x^2+x-57)^10x
Daí eu separei o problema nos casos:
1. x^2+x-57=0
2. x^2+x-57=1
3. x^2+x-57=-1
4. x^2+x-57  0
5. x^2+x-57  0
O problema que eu encontrei foi pra analisar o caso 5 pq eu não achei um 
teorema do tipo (i) pra igualar os expoentes. Só conheço (ii).
Se não existir (i), como é que eu resolvo esse problema sem chegar num absurdo?
¨
PS:
(i) Se a é menor que 0 e diferente de -1, então a equação a^f(x)=a^g(x) é 
equivalente à equação f(x)=g(x) somente se f(x) e g(x) forem números inteiros.
(ii) Se a é maior que zero e diferente de 1, então a equação a^f(x)=a^g(x) é 
equivalente à equação f(x)=g(x).   
O INTERNET EXPLORER 8 DÁ DICAS DE SEGURANÇA PARA VOCÊ SAIBA MAIS! 



  

[obm-l] Re: [obm-l] Equação Irracional

[Eduardo Wilner]

2) Elevando o primeiro membro ao cubo  os termos em sqrt[x] dos cubos da 
primeira e da  segunda parcela cancelam e nos produtos cruzados, pode-se 
substituir o fator que aparece como o primeiro membro original, pelo segundo 
membro (sqrt(3)[18]) .

Deve dar x = 4416.

[ ]'s  

--- Em seg, 31/5/10, Caio Pak caio@hotmail.com escreveu:

De: Caio Pak caio@hotmail.com
Assunto: [obm-l] Equação Irracional
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Segunda-feira, 31 de Maio de 2010, 18:20




Olá amigos,

travei nessas duas equações irracionais

 

1) sqrt(3)[x] + sqrt(3)[x-16] = sqrt(3)[x-8] 

2) sqrt(3){54 + sqrt[x]} + sqrt(3){54 - sqrt[x]} = sqrt(3)[18]

 

Desde já agradeço se alguém puder me ajudar

 

obs: sqrt(3) = raíz cúbica de 

 
  
POR DIA 63.912 COMPUTADORES SÃO INFECTADOS POR VÍRUS. LEIA DICAS DE SEGURANÇA. 



  

[obm-l] Re: [obm-l] equação

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá João,

multiplicando por sqrt(t)+sqrt(a), temos:

t-a = (t-a)/3 + 2(sqrt(at) + a)
2(t-a)/3 = 2(sqrt(at)+a)
t - a = 3sqrt(at) + 3a
t - 4a = 3sqrt(at)

dividindo por sqrt(at), temos:

sqrt(t/a) - 4sqrt(a/t) = 3
fazendo: sqrt(t/a) = u, temos:
u - 4/u = 3
u^2 - 3u - 4 = 0

u = -1 ou u = 4

mas u = sqrt(at), logo, u=-1 é impossivel.. sobra u = 4
u = sqrt(t/a) = 4 . t = 16a

agora fiquei em duvida com relacao a resposta...
se a for determinado, temos um único t...
acredito que seja letra B.

abraços,
Salhab






2009/4/26 jgpreturlan jgpretur...@uol.com.br


 Olá... gostaria de ajuda na seguinte questão:

 A equação (t-a)/(sqrt(t)+sqrt(a)) = (sqrt(t)-sqrt(a))/3  +  2sqrt(a) com t
 diferente de zero e a diferente de zero tem conjunto soluçao:

 a) vazio
 b) unitario
 c) com 2 elementos
 d) com 3 elementos

 Agradeço pela ajuda!
 []'s
 João.
 =
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[obm-l] Re: [obm-l] equação

[Joao Maldonado]

Olá João, não sei se estou equivocado, mas:

Multiplicando ambas as igualdades por 3 temos: (3t-3a)/(sqrt(t)+sqrt(a)) = 
(sqrt(t)-sqrt(a))  +  6sqrt(a)
Multiplicando ambas as igualdades por sqrt(t)+sqrt(a) temos: 3t - 3a = t - a + 
6sqrt(at) + 6a
2t - 8a = 6sqrt(at) - t-4a = 3sqrt(at)
Elevando ambas as igualdades ao quadrado: t² - 8at + 16a² = 9at - t² - 17at + 
16a² = 0
t² - at + 16a² - 16at = 0
t² - at = -16a² + 16at
t.(t - a) = 16a.(t - a)
t = 16a
Teríamos infinitas soluções para a equação.
S=(a;t) = (k;16k), para qualquer k diferente de 0.
Faça um teste, tente (1;16), (4;64), (9, 144), (16;256)

--- Em dom, 26/4/09, jgpreturlan jgpretur...@uol.com.br escreveu:

De: jgpreturlan jgpretur...@uol.com.br
Assunto: [obm-l] equação
Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Domingo, 26 de Abril de 2009, 3:42


Olá... gostaria de ajuda na seguinte questão:

A equação (t-a)/(sqrt(t)+sqrt(a)) = (sqrt(t)-sqrt(a))/3  +  2sqrt(a) com t 
diferente de zero e a diferente de zero tem conjunto soluçao:

a) vazio
b) unitario
c) com 2 elementos
d) com 3 elementos 

Agradeço pela ajuda!
[]'s
João.
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  Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

[obm-l] RE: [obm-l] equação

[Albert Bouskela]

Olá!

 

No domínio dos inteiros, esta equação só tem uma única solução:

 

(x, y) = (2, 3)

 

Sds.,

AB

 mailto:bousk...@msn.com bousk...@msn.com

 

From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Eder Albuquerque
Sent: Saturday, December 20, 2008 11:26 PM
To: Lista OBM
Subject: [obm-l] equação

 


Olá a todos,

Alguém poderia me confirmar se a equação abaixo tem mais de uma solução nos
inteiros:

y^2 - 3 = x(3y - 6)


Cheguei facilmente a uma solução, mas não sei se pára aí.

Obrigado.



 

  _  

Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top
http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/
  10 - Celebridades
http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/
celebridades/  - Música
http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/
m%C3%BAsica/  - Esportes
http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/
esportes/ 

[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] equação

[bobroy]

Ok Pacini ,
Só  faltou  colocar  a expressão  em  módulo .

[]'s 

BOB


 ''-- Mensagem Original --
 ''Date: Sat, 26 Apr 2008 15:03:18 -0300
 ''From: [EMAIL PROTECTED]
 ''Subject: [obm-l] RE: [obm-l] equação
 ''To: obm-l@mat.puc-rio.br, obm-l@mat.puc-rio.br
 ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 ''
 ''
 ''Olá ,
 ''
 ''Verifique  se  esta solução  está  coreta.
 ''
 ''Seja  N =(senx)^14 + (cosx)^14 . Observe  que 
 ''
 ''N  é maior do que  ou igual a 2.(senx.cosx)^7 e  como senx.cosx =1/sen2x
 '', temos  que  N  é maior do que ou igual a 1/64. A  igualdade ocore 
para
 ''(senx)^14 = (cosx)^14  ok /
 ''
 ''abraços  
 ''
 ''Pacini
 ''
 '' ''-- Mensagem Original --
 '' ''From: Pedro  [EMAIL PROTECTED]
 '' ''To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '' ''Subject: [obm-l] equação
 '' ''Date: Thu, 1 Nov 2001 01:12:48 -0200
 '' ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '' ''
 '' ''
 '' ''Amigos da lista , me dê um idéia para essa equação:
 '' ''
 '' ''
 '' 
''
 '' ''
 '' ''Anexo: 2181a1a59ab195dd3341a5c7802bbd4efacbba7e.gif
 '' ''
 ''
 ''
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 ''=
 ''Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 ''http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 ''=



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] equação

[pacini . bores]

Olá  pessoal ,

Será  oque eu fiz está  correto ?

Seja  N  = (senx)^14 +  (cosx)^14 .  Observe  que  

N é  maior  ou  igual  a  duas  vezes  a raiz  de  índice  dois  de 

(senx.cosx)^14 ; ou seja  N é  maior ou igual  a duas  vezes a 


(senx.cosx)^7 em módulo . Como senx.cosx = (1/2).sen2x   Teremos  N  
tendo  o mínimo como  sendo 1/64  e  a igualdade ocorre para  

(senx)^14 =  (cosx)^14 e  a partir daí teremos  (senx)^2 =(cosx)^2 .


Ok? 

Abraços 

Pacini 



 ''-- Mensagem Original --
 ''From: Pedro  [EMAIL PROTECTED]
 ''To: obm-l@mat.puc-rio.br
 ''Subject: [obm-l] equação
 ''Date: Thu, 1 Nov 2001 01:12:48 -0200
 ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 ''
 ''
 ''Amigos da lista , me dê um idéia para essa equação:
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 ''
 
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 ''Anexo: 2181a1a59ab195dd3341a5c7802bbd4efacbba7e.gif
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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