[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos e equações

[Prof. Douglas Oliveira]

Opa mestre Claudio, muito obrigado, gostei da solução.

Douglas Oliveira

Em qua, 17 de jun de 2020 17:00, Claudio Buffara 
escreveu:

> Aquele 1+i sugere que se forme uma equação em z, onde z = (1+i)/raiz(2) *
> x, ou seja, cujas raízes sejam as da equação original giradas de 45 graus
> no sentido anti-horário e sem coeficientes complexos.
> z = (1+i)/raiz(2) * x ==> x = (1-i)/raiz(2) * z
> Assim, x^4 + 4(1+i)x + 1 = 0 ==> -z^4 + 4*raiz(2)*z + 1 = 0
> Consideremos f(z) = z^4 - 4*raiz(2)*z - 1  (multiplicar os coeficientes
> por -1 não altera as raízes).
> f(-1) = 4*raiz(2) > 0
> f(0) = -1 < 0
> f(raiz(2)) = -5 < 0
> f(2) =15 - 8*raiz(2) > 0 ==> f tem (pelo menos) duas raízes reais: uma
> entre -1 e 0 e outra entre raiz(2) e 2.
> Mas f'(z) = 4z^3 - 4*raiz(2) ==> f'(z) < 0 para z < 2^(1/6) (logo, para z
> < 0) e f'(z) > 0 para z > 2^(1/6) (logo, para z > raiz(2)), de modo que
> estas são as únicas raízes reais de f.
> Se duas das raízes da equação original, ao serem giradas de 45 graus no
> sentido anti-horário, se tornam reais, então aquelas raízes estavam na reta
> Im(z) = -Re(z).
> Além disso, como, após giradas, uma se tornou negativa e a outra positiva,
> isso significa que a primeira está no 2o quadrante e a segunda no 4o
> quadrante.
>
> Dadas as magnitudes das raízes giradas (a primeira entre -1 e 0 e a
> segunda maior do que raiz(2)), também concluímos que a soma delas está no
> 4o quadrante, ou seja, é da forma p*(1-i), com p > 0.
> Além disso, o produto delas é da forma (1/q)*i, com q > 0.
>
> Chame as outras duas raízes da equação original de a e b.
> Então, como a soma das raízes é zero, vale a+b = -p(1-i) = p(-1+i): um
> ponto do 2o quadrante sobre a reta Im(z) = -Re(z)   (1)
> Como o produto das raízes é 1, vale a*b = -q*i, um ponto do eixo
> imaginário negativo
> A localização do produto a*b implica que a/|a| e b/|b| são números
> complexos (de módulo unitário) e simétricos em relação à reta Im(z) =
> -Re(z)   (2)
> (1) e (2) implicam que a e b têm o mesmo módulo R
>
> (2) também implica que, sobre a e b:
> OU ambos pertencem ao 2o quadrante
> OU um deles pertence ao 1o e o outro ao 3o quadrante
> OU ambos pertencem ao 4o quadrante.
>
> De cara dá pra eliminar a última alternativa, já que isso implicaria que
> a+b pertence ao 4o quadrante, o que não é o caso.
>
> Resta eliminar a 1a alternativa.
> Assim, suponhamos que a e b pertencem ao 2o quadrante.
>
> Neste caso, a+b = p(-1+i) ==> |a+b| = p*raiz(2) > R*raiz(2) ==> 2*p^2 >
> 2*R^2
> E também, de qualquer jeito, ab = -qi ==> q = R^2
>
> Da equação, também sabemos que ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0 ==>
> ab + cd + (a+b)(c+d) = 0 ==>
> -q*i + (1/q)*i + p(-1+i)*p*(1-i) = 0 ==>
> 1/q - q + 2p^2 = 0
> 1/q - q + 2R^2 < 0 ==>
> 1/R^2 - R^2 + 2*R^2 < 1/R^2 + < 0 ==> contradição ==> a e b não pertencem
> ao 2o quadrante.
>
> Logo, temos que concluir que, sobre as outras duas raízes, que uma
> pertence ao 1o e a outra ao 3o quadrante.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Wed, Jun 17, 2020 at 9:01 AM Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>
>> Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da
>> equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e
>> percebi que existe uma em cada quadrante.
>>
>> Mas não consigo achar uma saída.
>>
>> Obrigado.
>> Douglas Oliveira
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Números complexos e equações

[Claudio Buffara]

Aquele 1+i sugere que se forme uma equação em z, onde z = (1+i)/raiz(2) *
x, ou seja, cujas raízes sejam as da equação original giradas de 45 graus
no sentido anti-horário e sem coeficientes complexos.
z = (1+i)/raiz(2) * x ==> x = (1-i)/raiz(2) * z
Assim, x^4 + 4(1+i)x + 1 = 0 ==> -z^4 + 4*raiz(2)*z + 1 = 0
Consideremos f(z) = z^4 - 4*raiz(2)*z - 1  (multiplicar os coeficientes por
-1 não altera as raízes).
f(-1) = 4*raiz(2) > 0
f(0) = -1 < 0
f(raiz(2)) = -5 < 0
f(2) =15 - 8*raiz(2) > 0 ==> f tem (pelo menos) duas raízes reais: uma
entre -1 e 0 e outra entre raiz(2) e 2.
Mas f'(z) = 4z^3 - 4*raiz(2) ==> f'(z) < 0 para z < 2^(1/6) (logo, para z <
0) e f'(z) > 0 para z > 2^(1/6) (logo, para z > raiz(2)), de modo que estas
são as únicas raízes reais de f.
Se duas das raízes da equação original, ao serem giradas de 45 graus no
sentido anti-horário, se tornam reais, então aquelas raízes estavam na reta
Im(z) = -Re(z).
Além disso, como, após giradas, uma se tornou negativa e a outra positiva,
isso significa que a primeira está no 2o quadrante e a segunda no 4o
quadrante.

Dadas as magnitudes das raízes giradas (a primeira entre -1 e 0 e a segunda
maior do que raiz(2)), também concluímos que a soma delas está no 4o
quadrante, ou seja, é da forma p*(1-i), com p > 0.
Além disso, o produto delas é da forma (1/q)*i, com q > 0.

Chame as outras duas raízes da equação original de a e b.
Então, como a soma das raízes é zero, vale a+b = -p(1-i) = p(-1+i): um
ponto do 2o quadrante sobre a reta Im(z) = -Re(z)   (1)
Como o produto das raízes é 1, vale a*b = -q*i, um ponto do eixo imaginário
negativo
A localização do produto a*b implica que a/|a| e b/|b| são números
complexos (de módulo unitário) e simétricos em relação à reta Im(z) =
-Re(z)   (2)
(1) e (2) implicam que a e b têm o mesmo módulo R

(2) também implica que, sobre a e b:
OU ambos pertencem ao 2o quadrante
OU um deles pertence ao 1o e o outro ao 3o quadrante
OU ambos pertencem ao 4o quadrante.

De cara dá pra eliminar a última alternativa, já que isso implicaria que
a+b pertence ao 4o quadrante, o que não é o caso.

Resta eliminar a 1a alternativa.
Assim, suponhamos que a e b pertencem ao 2o quadrante.

Neste caso, a+b = p(-1+i) ==> |a+b| = p*raiz(2) > R*raiz(2) ==> 2*p^2 >
2*R^2
E também, de qualquer jeito, ab = -qi ==> q = R^2

Da equação, também sabemos que ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0 ==>
ab + cd + (a+b)(c+d) = 0 ==>
-q*i + (1/q)*i + p(-1+i)*p*(1-i) = 0 ==>
1/q - q + 2p^2 = 0
1/q - q + 2R^2 < 0 ==>
1/R^2 - R^2 + 2*R^2 < 1/R^2 + < 0 ==> contradição ==> a e b não pertencem
ao 2o quadrante.

Logo, temos que concluir que, sobre as outras duas raízes, que uma pertence
ao 1o e a outra ao 3o quadrante.

[]s,
Claudio.


On Wed, Jun 17, 2020 at 9:01 AM Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:

> Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da
> equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e
> percebi que existe uma em cada quadrante.
>
> Mas não consigo achar uma saída.
>
> Obrigado.
> Douglas Oliveira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Números complexos e equações

[Prof. Douglas Oliveira]

Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da
equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e
percebi que existe uma em cada quadrante.

Mas não consigo achar uma saída.

Obrigado.
Douglas Oliveira

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Números complexos (valor mínimo)

[Prof. Douglas Oliveira]

Olá amigos, gostaria de uma ajuda.
Sem usar derivadas...
Como calcular o valor mínimo de lz^4+z+1/2l^2 onde o modelo de z vale 1.

Saudacoes
Douglas Oliveira

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Complexos

[Claudio Buffara]

Esta tem uma demonstração bonitinha usando um retângulo dividido em 6 quadrados 
congruentes da forma óbvia (2x3).

Enviado do meu iPhone

Em 8 de set de 2019, à(s) 19:57, Maikel Andril Marcelino 
 escreveu:

> Calcule (2+i)(3+i) e deduza que pi/4 = arctg(1/2) + arctg(1/3)
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Complexos

[Maikel Andril Marcelino]

Calcule (2+i)(3+i) e deduza que pi/4 = arctg(1/2) + arctg(1/3)
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Complexos, pequena dúvida histórica.

[Anderson Torres]

Em ter, 23 de abr de 2019 às 18:35, matematica10complicada
 escreveu:
>
> Caros amigos,, onde surgiu a notação CIS normalmente usada para números 
> complexos?
> Foi em no Sudeste??
>

https://en.wikipedia.org/wiki/Cis_(mathematics)

Resumão: Hamilton em um livro de 1866. É uma mera abreviatura de
"cosseno-i-seno".


> Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Complexos, pequena dúvida histórica.

[matematica10complicada]

Caros amigos,, onde surgiu a notação CIS normalmente usada para números
complexos?
Foi em no Sudeste??

Douglas Oliveira.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Equação P(z) = e^z nos complexos

[Artur Steiner]

Acho este interessante:

Na equação acima, P é um polinômio complexo não identicamente nulo.  Mostre
que:

a) No plano complexo, a equação tem uma infinidade de raízes.

b) Em cada reta do plano, a equação tem um número finito de raízes.

Em b, basta demonstrar para a reta real.

Artur Costa Steiner

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistemas lineares com números complexos

[Israel Meireles Chrisostomo]

Obrigado!!!

Em qua, 10 de out de 2018 às 17:57, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Neste caso, valem, pros complexos, as mesmas regras que se aplicam aos
> reais ou racionais (C, R e Q são corpos - isso significa que você pode
> fazer qualquer uma das 4 operações sem sair do conjunto).
> Ou seja, a resposta é sim.
>
>
>
> On Wed, Oct 10, 2018 at 5:36 PM Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> wrote:
>
>> Olá pessoal
>> , eu gostaria de saber se um sistema homogêneo formado por coeficientes
>> complexos segue o mesmo caminho: calcular o determinante, e se for nulo tem
>> soluções além da trivial e etc...
>> --
>> Israel Meireles Chrisostomo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



-- 
Israel Meireles Chrisostomo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Sistemas lineares com números complexos

[Claudio Buffara]

Neste caso, valem, pros complexos, as mesmas regras que se aplicam aos
reais ou racionais (C, R e Q são corpos - isso significa que você pode
fazer qualquer uma das 4 operações sem sair do conjunto).
Ou seja, a resposta é sim.



On Wed, Oct 10, 2018 at 5:36 PM Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> wrote:

> Olá pessoal
> , eu gostaria de saber se um sistema homogêneo formado por coeficientes
> complexos segue o mesmo caminho: calcular o determinante, e se for nulo tem
> soluções além da trivial e etc...
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Sistemas lineares com números complexos

[Israel Meireles Chrisostomo]

Olá pessoal
, eu gostaria de saber se um sistema homogêneo formado por coeficientes
complexos segue o mesmo caminho: calcular o determinante, e se for nulo tem
soluções além da trivial e etc...
-- 
Israel Meireles Chrisostomo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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[obm-l] Re: [obm-l] Potenciação de complexos

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

On Thu, Aug 30, 2018 at 9:55 PM Israel Meireles Chrisostomo
 wrote:
>
> Olá pessoal, eu gostaria de saber se a seguinte manipulação com complexos é 
> verdadeira:
> (m+ni)^{xy}=((m+ni)^x)^y
> Onde m,n,x,y são reais e i a unidade imaginária.

Nem precisa de complexos para ser falso:

Seja m = -1, x = 2, y = 0.5.  A primeira conta dá (-1)^(2 * 0.5) =
(-1)^1 = -1, enquanto a segunda dá ((-1)^2)^0.5 = 1^(0.5) = 1.

Abraços,
-- 
Bernardo

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Potenciação de complexos

[Artur Costa Steiner]

Não necessariamente.

Se z w são complexos, por definição z^w = exp(z L(w)), sendo L(w) o
logaritmo principal de w (aquele com argumento em (-pi, pi]). Sendo r o
valor absoluto de w e a seu argumento principal, então L(w) = ln(r) + ai.
ln(r) é o log real de r.

Se x é real, temos então que z^x = r^x cis (ax)

Vejamos um exemplo; z = i, m = 3, n = 1,1.Trabalhando em graus, para
facilitar, temos que i^(mn) = cis 3,3 x 90 = cis297.

Por outro lado, i^3 = -i e L(-i) = -90 (não é 270). E (i^3)^1,1= cis(-90 x
1, 1) = cis(-99). Como 297 - (-99) = 396 não é um múltiplo inteiro de 360,
os arcos não têm as mesmas funções trigonométricas, de modo que i^(mn) <>
(i^m)^n. Mas veja que (i^1,1)^3 = i^3,3, porque o argumento principal de
i^1,1 é 90 x 1,1 = 99.

O argumento principal pode "abagunçar" tudo. Ele não é contínuo.

Mas a  igualdade sempre se verfica se m e n forem inteiros. Porque os
argumentos de qualquer complexo estão defasados de múltiplos inteiros de
2pi.

Artur


Em qui, 30 de ago de 2018 21:55, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Olá pessoal, eu gostaria de saber se a seguinte manipulação com complexos
> é verdadeira:
> (m+ni)^{xy}=((m+ni)^x)^y
> Onde m,n,x,y são reais e i a unidade imaginária.
>
> Obrigadol!!
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Potenciação de complexos

[Israel Meireles Chrisostomo]

Olá pessoal, eu gostaria de saber se a seguinte manipulação com complexos é
verdadeira:
(m+ni)^{xy}=((m+ni)^x)^y
Onde m,n,x,y são reais e i a unidade imaginária.

Obrigadol!!

-- 
Israel Meireles Chrisostomo

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: Números complexos

[Ary Medino]

 Olá
Tem erro na fatoraçãoabçs
Em segunda-feira, 16 de julho de 2018 14:54:32 BRT, Alexandre Antunes 
 escreveu:  
 
 
Boa tarde,
Se fizermos x^3+1^3=0
Podemos fatorar: (x-1)(x^2+×+1)=0
Certo?
Estou achando um resultado -1-1/2 +raiz (3)i/2-1/2 -raiz (3)i/2
E o resultado (resposta prevista) está diferente ... Será que "dei bobeira"?
Antecipadamente agradeço. 
Em Seg, 16 de jul de 2018 12:56, Alexandre Antunes 
 escreveu:


Bom dia,
Quais as raízes cúbicas de -1?

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e 
 acredita-se estar livre de perigo.  
-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Números complexos

[Alexandre Antunes]

Verdade!
Vi depois quando revisava o que tinha feito ... Valeu!!!

Em Seg, 16 de jul de 2018 14:15, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Oops, foi a fatoração! Devia ser (x+1)(x^2-x+1)=0, sim?
>
> On Mon, Jul 16, 2018 at 2:00 PM Alexandre Antunes <
> prof.alexandreantu...@gmail.com> wrote:
>
>>
>> Boa tarde,
>>
>> Se fizermos x^3+1^3=0
>>
>> Podemos fatorar: (x-1)(x^2+×+1)=0
>>
>> Certo?
>>
>> Estou achando um resultado
>> -1
>> -1/2 +raiz (3)i/2
>> -1/2 -raiz (3)i/2
>>
>> E o resultado (resposta prevista) está diferente ... Será que "dei
>> bobeira"?
>>
>> Antecipadamente agradeço.
>>
>> Em Seg, 16 de jul de 2018 12:56, Alexandre Antunes <
>> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:
>>
>>>
>>> Bom dia,
>>>
>>> Quais as raízes cúbicas de -1?
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: Números complexos

[Claudio Buffara]

A fatoração está errada.
O fator linear é x+1.
O quadrático é x^2 - x + 1.

Abs

Enviado do meu iPhone

Em 16 de jul de 2018, à(s) 13:47, Alexandre Antunes 
 escreveu:

> 
> Boa tarde,
> 
> Se fizermos x^3+1^3=0
> 
> Podemos fatorar: (x-1)(x^2+×+1)=0
> 
> Certo?
> 
> Estou achando um resultado 
> -1
> -1/2 +raiz (3)i/2
> -1/2 -raiz (3)i/2
> 
> E o resultado (resposta prevista) está diferente ... Será que "dei bobeira"?
> 
> Antecipadamente agradeço. 
> 
> Em Seg, 16 de jul de 2018 12:56, Alexandre Antunes 
>  escreveu:
>> 
>> Bom dia,
>> 
>> Quais as raízes cúbicas de -1?
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: Números complexos

[Ralph Teixeira]

Oops, foi a fatoração! Devia ser (x+1)(x^2-x+1)=0, sim?

On Mon, Jul 16, 2018 at 2:00 PM Alexandre Antunes <
prof.alexandreantu...@gmail.com> wrote:

>
> Boa tarde,
>
> Se fizermos x^3+1^3=0
>
> Podemos fatorar: (x-1)(x^2+×+1)=0
>
> Certo?
>
> Estou achando um resultado
> -1
> -1/2 +raiz (3)i/2
> -1/2 -raiz (3)i/2
>
> E o resultado (resposta prevista) está diferente ... Será que "dei
> bobeira"?
>
> Antecipadamente agradeço.
>
> Em Seg, 16 de jul de 2018 12:56, Alexandre Antunes <
> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:
>
>>
>> Bom dia,
>>
>> Quais as raízes cúbicas de -1?
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: Números complexos

[Alexandre Antunes]

Boa tarde,

Se fizermos x^3+1^3=0

Podemos fatorar: (x-1)(x^2+×+1)=0

Certo?

Estou achando um resultado
-1
-1/2 +raiz (3)i/2
-1/2 -raiz (3)i/2

E o resultado (resposta prevista) está diferente ... Será que "dei bobeira"?

Antecipadamente agradeço.

Em Seg, 16 de jul de 2018 12:56, Alexandre Antunes <
prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:

>
> Bom dia,
>
> Quais as raízes cúbicas de -1?
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Números complexos

[Alexandre Antunes]

Bom dia,

Quais as raízes cúbicas de -1?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Números complexos

[Ralph Teixeira]

Ah, troquei i por -i em algumas linhas, o que por sorte nao altera a
resposta... Mas corrijo abaixo:

2016-08-23 9:39 GMT-03:00 Ralph Teixeira :

> Na minha opiniao, a principal "ambiguidade" da sua pergunta seria: qual
> das duas voce quer?
>
> 1) Encontre todos os valores reais de x tais que (x+i)^(4n) eh real PARA
> TODO n NATURAL;
> 2) Encontre todos os valores reais de x tais que (x+i)^(4n) eh real PARA
> ALGUM n NATURAL;
>
> Mas vamos lah:
>
> ---///---
>
> Escreva x+i=r.e^(it) com r,t reais (permitindo r<0, basta usar 0<=t Entao (x+i)^(4n) eh real se e somente se 4nt for um multiplo inteiro de pi.
>
> 1) Portanto, t=kpi/4 onde k=0,1,2,3. Assim, x=*-*i+r.e^(k.i.pi/4) onde
> k=0,1,2,3. Se voce desenhar isso no plano complexo, eh um "asterisco
> infinito", feito de 4 retas que se cruzam no ponto *-*i.
> Ah, mas voce quer x real, entao vamos achar as intersecoes desse asterisco
> com a reta real... Fazendo as contas, achamos x=0, x=1 ou x=-1.
>
> 2) Se n=0, obviamente qualquer x serve. Suponha entao n arbitrario
> positivo. Entao devemos ter t=k.pi/(4n). Assim, as solucoes complexas sao
> (x,n) onde:
> i) x eh qualquer e n=0;
> OU
> ii)  n eh um inteiro positivo e x=*-*i+r.e^(k.i.pi/(4n)), com a real
> qualquer e k inteiro qualquer.
>
> Ah, mas voce quer x real, entao a parte imaginaria de x tem que ser 0. Em
> (ii), isto significa r.sin(k.pi/(4n))=*1*, isto eh, r=*1*/(sin(k.pi/(4n)).
> Portanto sua resposta eh
>
> i) x real qualquer e n=0;
> OU
> ii) x=r cos(k.pi/(4n)) = *ctg* (k.pi/(4n)) onde n e k sao inteiros
> arbitrarios nao nulos.
>
> (Note que escolhendo k=2n, k=n e k=-n voce ve que as solucoes de (2) estao
> contidas nas de (1).)
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2016-08-22 23:41 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com>:
>
>> Em verdade Bernardo eu gostaria das duas coisas
>>
>> Em 21 de agosto de 2016 21:38, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
>> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> 2016-08-20 20:33 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo
>>> :
>>> > Ah todos os valores reais de x
>>>
>>> Deixa eu escrever o enunciado que eu acho que você quis
>>>
>>> "Encontre todos os pares (x,n) tais que (x+i)^{4n} seja um número real".
>>>
>>> Acertei? Se for isso, para cada "n" haverá algumas soluções. E sem
>>> pensar muito, eu acho que (exceto n=1) há 2n soluções, com "n" fixo.
>>>
>>> A primeira parte de fazer uma pergunta é escrevê-la com clareza: pense
>>> um pouco mais antes de apertar "send", ajuda a lista a te ajudar (ou
>>> então seja claro ao dizer que não sabe muito bem como formular a
>>> pergunta e peça ajuda para isso também!)
>>>
>>> > Em 20 de agosto de 2016 20:02, Israel Meireles Chrisostomo
>>> >  escreveu:
>>> >>
>>> >> Olá pessoal, gostaria de saber se é possível resolver a equação:
>>> >>
>>> >> (x+i)^{4n}=Re(z)
>>> >>
>>> >> onde z é um número complexo qualquer e Re(z) denota a parte real de
>>> z.Isto
>>> >> é, em outras palavras gostaria de saber todos os valores de x para os
>>> quais
>>> >> (x+i)^{4n} é real .De cara, dá para ver que x=0 é um desses valores,
>>> mas
>>> >> como provo que esse é o único(ou não)...
>>>
>>> Abraços,
>>> --
>>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Números complexos

[Ralph Teixeira]

Na minha opiniao, a principal "ambiguidade" da sua pergunta seria: qual das
duas voce quer?

1) Encontre todos os valores reais de x tais que (x+i)^(4n) eh real PARA
TODO n NATURAL;
2) Encontre todos os valores reais de x tais que (x+i)^(4n) eh real PARA
ALGUM n NATURAL;

Mas vamos lah:

---///---

Escreva x+i=r.e^(it) com r,t reais (permitindo r<0, basta usar 0<=t:

> Em verdade Bernardo eu gostaria das duas coisas
>
> Em 21 de agosto de 2016 21:38, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>
>> 2016-08-20 20:33 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo
>> :
>> > Ah todos os valores reais de x
>>
>> Deixa eu escrever o enunciado que eu acho que você quis
>>
>> "Encontre todos os pares (x,n) tais que (x+i)^{4n} seja um número real".
>>
>> Acertei? Se for isso, para cada "n" haverá algumas soluções. E sem
>> pensar muito, eu acho que (exceto n=1) há 2n soluções, com "n" fixo.
>>
>> A primeira parte de fazer uma pergunta é escrevê-la com clareza: pense
>> um pouco mais antes de apertar "send", ajuda a lista a te ajudar (ou
>> então seja claro ao dizer que não sabe muito bem como formular a
>> pergunta e peça ajuda para isso também!)
>>
>> > Em 20 de agosto de 2016 20:02, Israel Meireles Chrisostomo
>> >  escreveu:
>> >>
>> >> Olá pessoal, gostaria de saber se é possível resolver a equação:
>> >>
>> >> (x+i)^{4n}=Re(z)
>> >>
>> >> onde z é um número complexo qualquer e Re(z) denota a parte real de
>> z.Isto
>> >> é, em outras palavras gostaria de saber todos os valores de x para os
>> quais
>> >> (x+i)^{4n} é real .De cara, dá para ver que x=0 é um desses valores,
>> mas
>> >> como provo que esse é o único(ou não)...
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Números complexos

[Israel Meireles Chrisostomo]

Em verdade Bernardo eu gostaria das duas coisas

Em 21 de agosto de 2016 21:38, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2016-08-20 20:33 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo
> :
> > Ah todos os valores reais de x
>
> Deixa eu escrever o enunciado que eu acho que você quis
>
> "Encontre todos os pares (x,n) tais que (x+i)^{4n} seja um número real".
>
> Acertei? Se for isso, para cada "n" haverá algumas soluções. E sem
> pensar muito, eu acho que (exceto n=1) há 2n soluções, com "n" fixo.
>
> A primeira parte de fazer uma pergunta é escrevê-la com clareza: pense
> um pouco mais antes de apertar "send", ajuda a lista a te ajudar (ou
> então seja claro ao dizer que não sabe muito bem como formular a
> pergunta e peça ajuda para isso também!)
>
> > Em 20 de agosto de 2016 20:02, Israel Meireles Chrisostomo
> >  escreveu:
> >>
> >> Olá pessoal, gostaria de saber se é possível resolver a equação:
> >>
> >> (x+i)^{4n}=Re(z)
> >>
> >> onde z é um número complexo qualquer e Re(z) denota a parte real de
> z.Isto
> >> é, em outras palavras gostaria de saber todos os valores de x para os
> quais
> >> (x+i)^{4n} é real .De cara, dá para ver que x=0 é um desses valores, mas
> >> como provo que esse é o único(ou não)...
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: Números complexos

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2016-08-20 20:33 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo
:
> Ah todos os valores reais de x

Deixa eu escrever o enunciado que eu acho que você quis

"Encontre todos os pares (x,n) tais que (x+i)^{4n} seja um número real".

Acertei? Se for isso, para cada "n" haverá algumas soluções. E sem
pensar muito, eu acho que (exceto n=1) há 2n soluções, com "n" fixo.

A primeira parte de fazer uma pergunta é escrevê-la com clareza: pense
um pouco mais antes de apertar "send", ajuda a lista a te ajudar (ou
então seja claro ao dizer que não sabe muito bem como formular a
pergunta e peça ajuda para isso também!)

> Em 20 de agosto de 2016 20:02, Israel Meireles Chrisostomo
>  escreveu:
>>
>> Olá pessoal, gostaria de saber se é possível resolver a equação:
>>
>> (x+i)^{4n}=Re(z)
>>
>> onde z é um número complexo qualquer e Re(z) denota a parte real de z.Isto
>> é, em outras palavras gostaria de saber todos os valores de x para os quais
>> (x+i)^{4n} é real .De cara, dá para ver que x=0 é um desses valores, mas
>> como provo que esse é o único(ou não)...

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: Números complexos

[Israel Meireles Chrisostomo]

Ah todos os valores reais de x

Em 20 de agosto de 2016 20:02, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Olá pessoal, gostaria de saber se é possível resolver a equação:
>
> (x+i)^{4n}=Re(z)
>
> onde z é um número complexo qualquer e Re(z) denota a parte real de z.Isto
> é, em outras palavras gostaria de saber todos os valores de x para os
> quais (x+i)^{4n} é real .De cara, dá para ver que x=0 é um desses valores,
> mas como provo que esse é o único(ou não)...
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Números complexos

[Israel Meireles Chrisostomo]

Olá pessoal, gostaria de saber se é possível resolver a equação:

(x+i)^{4n}=Re(z)

onde z é um número complexo qualquer e Re(z) denota a parte real de z.Isto
é, em outras palavras gostaria de saber todos os valores de x para os
quais (x+i)^{4n} é real .De cara, dá para ver que x=0 é um desses valores,
mas como provo que esse é o único(ou não)...

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] [obm-l] Números Complexos

[mathhawk2003]

u=wi=>u=(zi)i=>u=zi^2.:u=-z.
(alternativa "a")

 Mensagem original De : Daniel Rocha 
<daniel.rocha@gmail.com> Data:10/07/2016  13:04  (GMT-03:00) 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] [obm-l] 
Números Complexos 
Alguém poderia, por favor, solucionar o problema abaixo:

Os números complexos z, w, u são tais que w/z = u/w = i (i é a unidade 
imaginária). É correto afirmar que:

a) z é oposto de u.
b) z é o conjugado de u.
c) z é o quadrado de u.
d) z é igual a u.
e) z é igual a u + w.


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acredita-se estar livre de perigo.
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Números Complexos

[Daniel Rocha]

Muito Obrigado, Carlos !!!

Em 10 de julho de 2016 22:05, Carlos Gomes <cgomes...@gmail.com> escreveu:

> Olá Daniel,
>
> vc faz assim,
>
> Ora, como w/z=u/w=i, segue que w=i.z e u=i.w. Assim,
>
> u=i.w=i.(i.z)=i^2.z=-1.z=-z ==> z=-u , ou seja, z é o posto de u.
> (Alternativa "a")
>
> Abraco, Cgomes.
>
> Em 10 de julho de 2016 13:04, Daniel Rocha <daniel.rocha@gmail.com>
> escreveu:
>
>> Alguém poderia, por favor, solucionar o problema abaixo:
>>
>> Os números complexos z, w, u são tais que w/z = u/w = i (i é a unidade
>> imaginária). É correto afirmar que:
>>
>> a) z é oposto de u.
>> b) z é o conjugado de u.
>> c) z é o quadrado de u.
>> d) z é igual a u.
>> e) z é igual a u + w.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Números Complexos

[Carlos Gomes]

Olá Daniel,

vc faz assim,

Ora, como w/z=u/w=i, segue que w=i.z e u=i.w. Assim,

u=i.w=i.(i.z)=i^2.z=-1.z=-z ==> z=-u , ou seja, z é o posto de u.
(Alternativa "a")

Abraco, Cgomes.

Em 10 de julho de 2016 13:04, Daniel Rocha <daniel.rocha@gmail.com>
escreveu:

> Alguém poderia, por favor, solucionar o problema abaixo:
>
> Os números complexos z, w, u são tais que w/z = u/w = i (i é a unidade
> imaginária). É correto afirmar que:
>
> a) z é oposto de u.
> b) z é o conjugado de u.
> c) z é o quadrado de u.
> d) z é igual a u.
> e) z é igual a u + w.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] [obm-l] Números Complexos

[Daniel Rocha]

Alguém poderia, por favor, solucionar o problema abaixo:

Os números complexos z, w, u são tais que w/z = u/w = i (i é a unidade
imaginária). É correto afirmar que:

a) z é oposto de u.
b) z é o conjugado de u.
c) z é o quadrado de u.
d) z é igual a u.
e) z é igual a u + w.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Números complexos

[Vanderlei Nemitz]

Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do
Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos:

*No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e C,
respectivamente, demonstre que *

*a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)*

*Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices do
triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) + 1
= 0.*

Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde
utilizar a identidade sugerida.

Obrigado,

Vanderlei

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Números complexos

[Willy George Amaral Petrenko]

Vc quer uma dica ou a solução?

Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a ver
com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária na
igualdade acima, o 1 morre.

Se quiser a solução responde.

2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do
 Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos:

 *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e C,
 respectivamente, demonstre que *

 *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)*

 *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices
 do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) +
 1 = 0.*

 Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde
 utilizar a identidade sugerida.

 Obrigado,

 Vanderlei

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos

[Vanderlei Nemitz]

Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado para
prosseguir.

Muito obrigado pela ajuda!

Vanderlei

Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko 
wgapetre...@gmail.com escreveu:

 Vc quer uma dica ou a solução?

 Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a ver
 com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária na
 igualdade acima, o 1 morre.

 Se quiser a solução responde.

 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do
 Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos:

 *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e
 C, respectivamente, demonstre que *

 *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)*

 *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices
 do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) +
 1 = 0.*

 Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde
 utilizar a identidade sugerida.

 Obrigado,

 Vanderlei

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos

[Willy George Amaral Petrenko]

A = z1; B = z2; C = z3

(z1-z2) é o vetor correspondente ao lado c. (z1-z2)/(z1-z3) é um complexo
que tem argumento igual ao ângulo Â. Então pela igualdade:

(z1-z2)/(z1-z3) + (z2-z3)/(z1-z3) + 1 = Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z
1-z3)} = 0 = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen  =  |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C = |(z1
-z2)| * sen  =  |(z2-z3)| * sen C = c senA = a senC = a/senA = c/senC.
cqd

2014-09-08 12:31 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado para
 prosseguir.

 Muito obrigado pela ajuda!

 Vanderlei

 Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko 
 wgapetre...@gmail.com escreveu:

 Vc quer uma dica ou a solução?

 Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a ver
 com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária na
 igualdade acima, o 1 morre.

 Se quiser a solução responde.

 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do
 Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos:

 *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e
 C, respectivamente, demonstre que *

 *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)*

 *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices
 do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) +
 1 = 0.*

 Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde
 utilizar a identidade sugerida.

 Obrigado,

 Vanderlei

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos

[Vanderlei Nemitz]

Valeu, Willy! Só não ficou muito clara a seguinte passagem:

 Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z1-z3)} = 0 = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen Â
 =  |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C

Como que a soma nula transformou-se em uma igualdade?

Obrigado!


Em 8 de setembro de 2014 13:07, Willy George Amaral Petrenko 
wgapetre...@gmail.com escreveu:

 A = z1; B = z2; C = z3

 (z1-z2) é o vetor correspondente ao lado c. (z1-z2)/(z1-z3) é um complexo
 que tem argumento igual ao ângulo Â. Então pela igualdade:

 (z1-z2)/(z1-z3) + (z2-z3)/(z1-z3) + 1 = Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3
 )/(z1-z3)} = 0 = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen  =  |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C
 = |(z1-z2)| * sen  =  |(z2-z3)| * sen C = c senA = a senC = a/senA =
 c/senC. cqd

 2014-09-08 12:31 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado para
 prosseguir.

 Muito obrigado pela ajuda!

 Vanderlei

 Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko 
 wgapetre...@gmail.com escreveu:

 Vc quer uma dica ou a solução?

 Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a
 ver com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária
 na igualdade acima, o 1 morre.

 Se quiser a solução responde.

 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro
 do Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números 
 complexos:

 *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e
 C, respectivamente, demonstre que *

 *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)*

 *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os
 vértices do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 –
 z3)/(z3 – z1) + 1 = 0.*

 Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde
 utilizar a identidade sugerida.

 Obrigado,

 Vanderlei

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos

[Willy George Amaral Petrenko]

Ah sim, eu fui um pouco descuidado com o sinal _ o que quer dizer que eu
errei :( mas a ideia está certa:)

Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z1-z3)} = 0 = Im{(z1-z2)/(z1-z3)} = Im{(z
3-z2)/(z1-z3)}

Aqui só se pode afirmar que Im{(z1-z2)/(z1-z3)} = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen
Â, dependendo da orientação do triângulo (ou seja, dependendo se o complexo
z1-z2 tem argumento maior do que o complexo z1-z3). Caso contrário seria
..sen - Â. Mas aí vc repara que independente da orientação, ambos Im{(z1
-z2)/(z1-z3)} e Im{(z3-z2)/(z1-z3)} tem o mesmo sinal. Daí, tendo em vista
que sen (- Â) = - sen Â, segue o raciocínio normalmente.

2014-09-08 22:15 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Valeu, Willy! Só não ficou muito clara a seguinte passagem:

  Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z1-z3)} = 0 = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen
 Â  =  |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C

 Como que a soma nula transformou-se em uma igualdade?

 Obrigado!


 Em 8 de setembro de 2014 13:07, Willy George Amaral Petrenko 
 wgapetre...@gmail.com escreveu:

 A = z1; B = z2; C = z3

 (z1-z2) é o vetor correspondente ao lado c. (z1-z2)/(z1-z3) é um
 complexo que tem argumento igual ao ângulo Â. Então pela igualdade:

 (z1-z2)/(z1-z3) + (z2-z3)/(z1-z3) + 1 = Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3
 )/(z1-z3)} = 0 = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen  =  |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C
 = |(z1-z2)| * sen  =  |(z2-z3)| * sen C = c senA = a senC = a/senA =
 c/senC. cqd

 2014-09-08 12:31 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado
 para prosseguir.

 Muito obrigado pela ajuda!

 Vanderlei

 Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko 
 wgapetre...@gmail.com escreveu:

 Vc quer uma dica ou a solução?

 Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a
 ver com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária
 na igualdade acima, o 1 morre.

 Se quiser a solução responde.

 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro
 do Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números 
 complexos:

 *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B
 e C, respectivamente, demonstre que *

 *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)*

 *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os
 vértices do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 –
 z3)/(z3 – z1) + 1 = 0.*

 Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e
 onde utilizar a identidade sugerida.

 Obrigado,

 Vanderlei

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[obm-l] Funções periódicas nos complexos

[Artur Costa Steiner]

Olá amigos,

Se f for uma função meromorfa, periódica e não constante, então f tem algo 
análogo a um período fundamental, isto é, existe um período p cujo valor 
absoluto é positivo e mínimo. Não sei se este p é único. Todos os múltiplos 
inteiros de p são períodos e estão na reta definida pelo argumento de p. No 
caso, por exemplo, de f(z) = exp(z), p = 2 pi i. 

Mas pode haver outros períodos que não sejam múltiplos inteiros de p. É fácil 
ver que estes últimos não estão sobre a reta acima citada. Ouvi, e não consegui 
provar, que, dentre os períodos não múltiplos inteiros de p, há um p' cuja 
distância à reta dos múltiplos inteiros de p é positiva e mínima. O que eu 
consegui provar é que a distância euclidiana entre o conjunto dos períodos da 
forma np, n inteiro, e o conjunto dos outros períodos é positiva. 

Parece também que p/p' não é real. E que o conjunto de todos os períodos é o 
conjunto das combinações lineares inteiras de p e de p'. Que tais combinações 
são períodos é imediato, mas além disto não há nenhum período que não se 
enquadre em tais combinações.

Eu estou certo? Alguém conhece este assunto?

Abraços

Artur



Artur Costa Steiner
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Funções periódicas nos complexos

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/9/2 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 Olá amigos,
Oi Artur,

 Se f for uma função meromorfa, periódica e não constante, então f tem algo 
 análogo a um período fundamental, isto é, existe um período p cujo valor 
 absoluto é positivo e mínimo. Não sei se este p é único. Todos os múltiplos 
 inteiros de p são períodos e estão na reta definida pelo argumento de p. No 
 caso, por exemplo, de f(z) = exp(z), p = 2 pi i.

Não, este p não é único. Existem funções meromorfas cujos períodos são
1 e i, que são portanto mínimos e diferentes. Mas, fora este fenômeno
meio especial, o que você falou está perfeitamente certo. Para ser
formal: como f não é constante, existe um ponto z tal que f'(z) é
diferente de zero, e portanto uma vizinhança onde f(z) != f(w) para
todo w na vizinhança. Assim, o conjunto dos períodos {p complexo /
f(w+p) = f(w) para todo w} é um subgrupo aditivo de C, onde zero é
isolado. Assim (mesma demonstração que em R) existe um valor r = min =
inf { |p| / p período, p != 0 }.

 Mas pode haver outros períodos que não sejam múltiplos inteiros de p. É fácil 
 ver que estes últimos não estão sobre a reta acima citada. Ouvi, e não 
 consegui provar, que, dentre os períodos não múltiplos inteiros de p, há um 
 p' cuja distância à reta dos múltiplos inteiros de p é positiva e mínima. O 
 que eu consegui provar é que a distância euclidiana entre o conjunto dos 
 períodos da forma np, n inteiro, e o conjunto dos outros períodos é positiva.

É basicamente um argumento de inf = min em conjuntos discretos.
Considere todos os períodos que não estão na reta pZ, chame este
conjunto de PP. Eles estão todos a distância maior ou igual a r da
origem, e pela minimalidade de p, há apenas um número finito deles em
qualquer disco de raio R. Considere portanto uma aplicação f : PP
inter D_R x [0,p] - R dada pela distância de um ponto periódico em
D_R e um ponto no segmento 0-p. Ela é contínua, logo admite um mínimo
diferente de zero. Agora, se R é suficientemente grande, por conta da
simetria de translação, este mínimo será também o mínimo da função F :
PP x pR - R distância. (Formalize este último argumento. Dica: comece
estimando o mínimo com um ponto qualquer q em PP.)

Hum, relendo tudo aqui, eu vi que eu me confundi com a reta dos
múltiplos inteiros e provei que o mínimo é para todos os pontos da
reta, e não apenas (como fica claro na parte seguinte) que são apenas
os pontos pZ e todos os outros pontos que você está falando. A
demonstração, entretanto, é exatamente a mesma. Não dá pra fugir da
compacidade ;-).

Dê uma olhada em lattices na Wikipedia (em inglês, ou, com mais
figuras ainda, réseaux em francês). (adendo: palavrinha chata, ela
se diz reticulado ou retículo em português... muitas diferenças em
línguas simples!)

 Parece também que p/p' não é real. E que o conjunto de todos os períodos é o 
 conjunto das combinações lineares inteiras de p e de p'. Que tais combinações 
 são períodos é imediato, mas além disto não há nenhum período que não se 
 enquadre em tais combinações.

Isso é um argumento muito legal de álgebra linear com coeficientes
inteiros / racionais. A idéia intuitiva é que um reticulado com mais
do que n geradores L.I. sobre Q, todos os geradores em R^n, não é
discreto. Assim, se p/q fosse real, teríamos dois geradores
independentes sobre Q, logo uma seqüência de pontos z_n - 0 onde
f(z_n) = f(0), logo f seria constante (e aqui você usa que f é
analítica).

 Eu estou certo? Alguém conhece este assunto?

Se você quiser olhar para as funções meromorfas (bi-)periódicas, estas
são as belíssimas funções p de Weierstrass, e têm a ver com Teo dos
Números e geometria complexa. Se for mais a parte de Álgebra Linear,
tem também várias coisas (e também muitas coisas de Teo dos Números,
claro), e daí eu conheço menos...

 Abraços

 Artur

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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[obm-l] Re: [obm-l] Funções periódicas nos complexos

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/9/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com:
 2013/9/2 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 Olá amigos,
 Oi Artur,

 Se f for uma função meromorfa, periódica e não constante, então f tem algo 
 análogo a um período fundamental, isto é, existe um período p cujo valor 
 absoluto é positivo e mínimo. Não sei se este p é único. Todos os múltiplos 
 inteiros de p são períodos e estão na reta definida pelo argumento de p. No 
 caso, por exemplo, de f(z) = exp(z), p = 2 pi i.

 Não, este p não é único. Existem funções meromorfas cujos períodos são
 1 e i, que são portanto mínimos e diferentes. Mas, fora este fenômeno
 meio especial, o que você falou está perfeitamente certo. Para ser
 formal: como f não é constante, existe um ponto z tal que f'(z) é
 diferente de zero, e portanto uma vizinhança onde f(z) != f(w) para
 todo w na vizinhança. Assim, o conjunto dos períodos {p complexo /
 f(w+p) = f(w) para todo w} é um subgrupo aditivo de C, onde zero é
 isolado. Assim (mesma demonstração que em R) existe um valor r = min =
 inf { |p| / p período, p != 0 }.

Ah, sim, faltou o exemplo:
considere a função

f(z) = sum_{m,n inteiros} 1/(z - m - n*i)^3

que é (por definição!) periódica de períodos 1 e i. É um pouco mais
chatinho ver que ela é meromorfa, porque daí você tem que provar que
ela é
- uma série convergente para z fora do reticulado {1,i} (use que 1/z^3
é integrável em R^2)
- que a derivada desta série convergente é também uma série
convergente, uniformemente sobre os compactos que não intersectam o
reticulado
porque daí ela será uma função com derivada contínua e z-linear,
portanto holomorfa em todos o C menos nos pólos do reticulado.
Para ver que ela é meromorfa nos pontos do reticulado, isole o termo
1/z^3 numa vizinhança de zero, repita os argumentos de cv uniforme e
veja que a derivada existe.
Como f é periódica, acabou.

Outra demonstração: tome |z|  1/3, expanda todos os termos exceto
1/z^3 em potências de z, usando 1/(z - a) = soma da série geométrica,
depois derivando a série 2 vezes, troque a ordem das somas (atenção
para aplicar Fubini direitinho) e veja que a série assim obtida é um
desenvolvimento de Laurent.

Essa é uma das funções de Weierstrass. Existe uma outra, mais
importante, que é a primitiva desta, mas é mais difícil mostrar que a
primitiva é periódica ;-) (e também é mais difícil mostrar que a
primitiva é uma função meromorfa bonitinha).

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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[obm-l] Teorema do valor médio nos complexos

[Artur Costa Steiner]

Num site americano eu vi uma pessoa abalizada dizer que existe, na análise 
complexa,  algo análogo, porém com desigualdade, ao teorema do valor médio da 
análise real. Não conhecia e não consegui descobrir. Sei que há um para funções 
de R^n, n  1, em R, também com desigualdade, envolvendo produto escalar.

Alguém conhece este dos complexos?

Abraços

Artur Costa Steiner
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções polinomiais e exponenciais nos complexos

[Artur Costa Steiner]

Sugestão: 

1) basta demonstrar para o caso em que a = 1 e k = 1.  Pense na função g(z) = 
P(z) exp(-z) e no grande teorema de Picard.

2) também basta demonstrar para o caso a = 1, k = 1. E basta demonstrar para o 
eixo real. As raízes reais vão formar um conjunto limitado, talvez vazio. Se 
houver uma infinidade de raízes, o conjunto vai ter ponto de acumulação e aí o 
bicho pega.

Abraços

Artur

Artur Costa Steiner

Em 06/01/2013, às 22:31, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2012/12/12 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 Seja P um polinômio complexo não constante e sejam k e a constantes 
 complexas não nulas. Mostre que
 
 1) a equação P(z) = k exp(az) tem uma infinidade de raízes
 
 2) em toda reta do plano complexo, a equação acima tem um número finito de 
 raízes.
 
 Antes de dar uma resposta completa, vou dar uma idéia só: Newton e
 periodicidade. Ah, sim, SPG, k = 1 e a = 1 também, mudando as
 variáveis, mas não é realmente útil no argumento, é mais pra limpar a
 notação.
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
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[obm-l] Re: [obm-l] Funções polinomiais e exponenciais nos complexos

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/12/12 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 Seja P um polinômio complexo não constante e sejam k e a constantes complexas 
 não nulas. Mostre que

 1) a equação P(z) = k exp(az) tem uma infinidade de raízes

 2) em toda reta do plano complexo, a equação acima tem um número finito de 
 raízes.

Antes de dar uma resposta completa, vou dar uma idéia só: Newton e
periodicidade. Ah, sim, SPG, k = 1 e a = 1 também, mudando as
variáveis, mas não é realmente útil no argumento, é mais pra limpar a
notação.
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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[obm-l] Funções polinomiais e exponenciais nos complexos

[Artur Costa Steiner]

Seja P um polinômio complexo não constante e sejam k e a constantes complexas 
não nulas. Mostre que

1) a equação P(z) = k exp(az) tem uma infinidade de raízes

2) em toda reta do plano complexo, a equação acima tem um número finito de 
raízes.

Artur Costa Steiner
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[obm-l] RES: [obm-l] RE: [obm-l] Identidades trigonométricas nos complexos

[Artur Costa Steiner]

Há uma forma simples e não trabalhosa de demonstrar as duas últimas
identidades com base nas séries de potências que definem (ou que decorrem da
definição adotada) para as funções seno e cosseno.

 

Conforme sabemos,

 

sen’(z) = cos(z)

sen’’(z) = - sen(z)

sen’’’(z) = -cos(z)

sen ‘’’’(z) = sen(z)

 

Como o seno é uma função inteira, para todos z1 e z2 temos, pela expansão de
Taylor que

 

sen(z1 + z2) = sen(z2) + z1 cos(z2) + z1^2/2! (-sen(z2)) + z3/3!  (-cos(z2))
+ z^4/4! sen(z2)…..

 

Considerando que as séries do seno e do cosseno convergem absolutamente em
todo o C, podemos arranjar os termos como quisermos, obtendo

 

sen(z1 + z2) = sen(z2) (1 – z1^2/2! + z^4/4!.) + cos(z2) (z1 – z^3/3! +
z^5/5!..) = sen(z2)cos(z1) + cos(z2) sen(z1), que é a igualdade
desejada.

 

De forma similar, demonstramos a identidade relativa a cós(z1 + z2).

 

A identidade sen^2(z) + cos^2(z) = 1 também pode ser provada de forma
simples por Análise (embora, neste caso, a utilização das formas dadas pelos
colegas seja também muito simples. Defina f de C em C por 

 

f(z) = sen^2(z) + cos^2(z). Então,

f’(z) = 2 sen(z) cos(z) + 2 cos(z) (-sen(z)) = 0. 

Como f’ é identicamente nula em C, f é constante, havendo assim uma
constante k tal que

f(z) = sen^2(z) + cos^2(z) = k.

 

Fazendo z = 0, temos a identidade desejada.

 

O fato de que as funções seno e cosseno são ilimitadas em C é, também,
conseqüência do Teorema de Liouville: Se uma função inteira f  é limitada,
então f é constante. Como seno e cosseno são inteiras e não são constantes,
segue-se que são ilimitadas. Na realidade, a imagem delas é a totalidade de
C.

 

Abraços

Artur   

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de João Maldonado
Enviada em: domingo, 20 de fevereiro de 2011 18:10
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Identidades trigonométricas nos complexos

 

 Use a fórmula de euler:
e^ki = cos(k) + isen(k)
Faça k = -ti e você acha senh e cosh
As expressões abaixo vem daí.

  _  

Date: Sun, 20 Feb 2011 12:52:16 -0800
From: ana...@yahoo.com
Subject: [obm-l] Identidades trigonométricas nos complexos
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá a todos!

 

Gostaria de saber como provar que, nos complexos, também valem as
identidades:

 

(sen(z))^2 + (cos(z))^2 = 1

sen(z1 + z2) = sen(z1) cos(z2) + sen(z2) cos(z1)

cos(z1 + z2) = cos(z1) cos(z2) - sen(z1) sen(z2)

 

Nos reais, a identidade sen(z1) + sen(z2) = 2 sen((z1 + z2)/2) cos((z1 -
z2)/2) é uma simples decorrência das dusa últimas identidades acima.
Acredito que nos complexos também seja isso, certo?

 

Nos complexos, as funções seno e cosseno são ilimitadas, não é verdadade?
Podemos ter |sen(z)| e |cos(z)| tão grandes quanto se queira, certo?

 

Obrigada

Ana 

 

[obm-l] RE: [obm-l] Identidades trigonométricas nos complexos

[João Maldonado]

 Use a fórmula de euler:
e^ki = cos(k) + isen(k)
Faça k = -ti e você acha senh e cosh
As expressões abaixo vem daí.

Date: Sun, 20 Feb 2011 12:52:16 -0800
From: ana...@yahoo.com
Subject: [obm-l] Identidades trigonométricas nos complexos
To: obm-l@mat.puc-rio.br



Olá a todos!
 
Gostaria de saber como provar que, nos complexos, também valem as identidades:
 
(sen(z))^2 + (cos(z))^2 = 1
sen(z1 + z2) = sen(z1) cos(z2) + sen(z2) cos(z1)
cos(z1 + z2) = cos(z1) cos(z2) - sen(z1) sen(z2)
 
Nos reais, a identidade sen(z1) + sen(z2) = 2 sen((z1 + z2)/2) cos((z1 - z2)/2) 
é uma simples decorrência das dusa últimas identidades acima. Acredito que nos 
complexos também seja isso, certo?
 
Nos complexos, as funções seno e cosseno são ilimitadas, não é verdadade? 
Podemos ter |sen(z)| e |cos(z)| tão grandes quanto se queira, certo?
 
Obrigada
Ana 
  

[obm-l] Re: [obm-l] Identidades trigonométricas nos complexos

[Ralph Teixeira]

Oi, Ana.

Bom, acho que a resposta depende da escolha da definicao de sin e cos
nos complexos.

Se voce jah tiver no bolso a exponencial complexa e suas propriedades,
podemos definir sin e cos assim:
cos(z)=(e^(iz)+e^(-iz))/2
sin(z)=(e^(iz)-e^(-iz))/2i
e as propriedades que voce mencionou sao soh um bando de contas.

Senao, podemos definir cos e sin direto a partir de:
cos(a+bi)=cosh(b)*cos(a)-i*sinh(b)*sin(a)
sin(a+bi)=cosh(b)*sin(a)+i*sinh(b)*cos(a)
para quaisquer a e b reais (que eh uma definicao razoavel, e
essencialmente equivalente aa anterior). De novo, um bando de contas
dao as propriedades que voce mencionou.

Em particular, sim, cos(bi)=cosh(b) fica tao grande quanto eu quiser,
idem para sin(bi)=i*sinh(b) em modulo.

Abraco,
  Ralph

2011/2/20 Ana Evans Merryl ana...@yahoo.com:
 Olá a todos!

 Gostaria de saber como provar que, nos complexos, também valem as
 identidades:

 (sen(z))^2 + (cos(z))^2 = 1
 sen(z1 + z2) = sen(z1) cos(z2) + sen(z2) cos(z1)
 cos(z1 + z2) = cos(z1) cos(z2) - sen(z1) sen(z2)

 Nos reais, a identidade sen(z1) + sen(z2) = 2 sen((z1 + z2)/2) cos((z1 -
 z2)/2) é uma simples decorrência das dusa últimas identidades acima.
 Acredito que nos complexos também seja isso, certo?

 Nos complexos, as funções seno e cosseno são ilimitadas, não é verdadade?
 Podemos ter |sen(z)| e |cos(z)| tão grandes quanto se queira, certo?

 Obrigada
 Ana


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[obm-l] Números complexos-Dú vida

[marcone augusto araújo borges]

Considere o número complexo v=1+i.Se z é um número complexo tal que o módulo de 
(z+v) = 3*raiz(2),então qual o menor valor de módulo de z ?
  

[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos-Dúvida

[Breno Vieira]

Da equação |z+v|=|z|+|v| podemos dizer |z|=|z+v|-|v|, logo, |z|=2sqrt(2).
Uma outra maneira de pensar o problema é considerando que |z+v| representa a 
distância de z ao ponto -v, logo a equação |z+v|=3sqrt(2) representa uma 
circunferência de centro em -1-i e raio 3sqrt2, o modulo mínimo de z equivale à 
distância mínima de um ponto da circunferência à origem do sistema de modo que 
tal distância vale R-|v|=3sqrt(2)-sqrt(2)=2sqrt(2).

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Números complexos-Dúvida
Date: Thu, 14 Oct 2010 01:02:44 +








Considere o número complexo v=1+i.Se z é um número complexo tal que o módulo de 
(z+v) = 3*raiz(2),então qual o menor valor de módulo de z ?

 
  

[obm-l] RE: [obm-l] questão de números complexos

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes, 
Oi Alexandre, 

 

Este é o exercício 79 do Manual de Seq. e Séries Vol II 

e também resolvi desta maneira. 

 

Gostaria também de conhecer outra solução. 

Mas nada contra a utilizada. 

 

[]'s 

Luis 


 
 Date: Sat, 21 Nov 2009 16:56:34 -0200
 From: azvd...@terra.com.br
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] questão de números complexos
 
 Boa tarde a todos!
 Alguém conhece alguma solução para a soma Cn,1(sen x) + Cn,2 (sen 2x) 
 + ...Cn,n(sen nx) que não seja utilizando a expressão (1 + cis x) = 
 2cos(x/2)cis(x/2)??
 Não conseguir resolver esta questão sem partir de (1 + cisx)^n e 
 depois utilizar a relação acima...
 abraços a todos e obrigado!
 =
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[obm-l] questão de números complexos

[Alexandre Azevedo]

  Boa tarde a todos!
  Alguém conhece alguma solução para a soma Cn,1(sen x) + Cn,2 (sen 2x) 
+ ...Cn,n(sen nx) que não seja utilizando a expressão (1 + cis x) = 
2cos(x/2)cis(x/2)??
  Não conseguir resolver esta questão sem partir de (1 + cisx)^n e 
depois utilizar a relação acima...

   abraços a todos e obrigado!
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Re;[obm-l] Dois problemas complexos

[Eduardo Wilner]

Parece que há algum problema com o item [2] pois, se z=a+bi, com a e b reais, | 
z^i|= e^{arc tg (b/a)}.  



Albert Bouskela

Thu, 18 Dec 2008 10:19:09 -0800








[1]
Resolva, analiticamente, a seguinte equação:
 
x^x = i
 
[2]
Demonstre que:
 
/ z^i / = e^pi
 
Sendo:
z um número complexo qualquer; e
/ z^i /  representa o módulo de  z^i .abbousk...@msn.com



  Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
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Re: Re;[obm-l] Dois problemas complexos

[Felipe Diniz]

[1]
x^x = i
Mas x^x = e^xlnxe   i = e^(i pi/2)
Logo
xlnx = i pi/2
fazendo x=e^y
y e^y = i pi/2
Assim y=W(i pi/2) , onde W(z) é a funcao W de lambert
(http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html )

x=e^(W(i pi/2))

[2]
z^i = e^(i lnz )= e^(i/z/ - arg[z]) ,para o ramo principal, arg[z]
pertence a 0 2pi
logo /z^i/ = e^( -arg[z] ) =1  e^pi

On 12/19/08, Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br wrote:

 Parece que há algum problema com o item [2] pois, se z=a+bi, com a e b
 reais, | z^i|= e^{arc tg (b/a)}.



 Albert Bouskela

   Thu, 18 Dec 2008 10:19:09 -0800
   







 [1]
 Resolva, analiticamente, a seguinte equação:

 x^x = i

 [2]
 Demonstre que:

 / z^i / = e^pi

 Sendo:
 z um número complexo qualquer; e
 / z^i /  representa o módulo de  z^i .abbousk...@msn.com



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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: Re;[obm-l] Dois problemas complexos

[Albert Bouskela]

Olá!
 
É preciso tomar muito cuidado com o domínio e o contradomínio das funções 
trigonométricas quando se lida com complexos – veja:
 
Vou escrever “z” na forma polar:
 
z = r cis(t) = r e^(it)
“r” e “t” são reais  ;  -pitpi
 
z^i = (r^i) (e^(-t)) 
 
Veja a 1ª parte (r^i) do produto acima:
r^i = e^(i ln(r)) = cos(ln(r)) + i sin(ln(r))
 
Logo, o módulo de  r^i  é igual a 1, pois se trata de um círculo trigonométrico 
traçado no plano de Argand (isto é válido para qualquer número real!).
 
Veja, agora, a 2ª parte (e^(-t)):
Já que, por hipótese(?)  -pitpi , a 2ª parte é menor do que  e^pi .
 
Gostou? Eu, não!
 
Suponha que eu tivesse começado assim:
...  z = r cis(t) = r e^(it)  ;  “r” e “t” são reais  ;  0t2pi
Aí, seria fácil “provar” que  abs(z^i)  1 
 
Quer mais bagunça?
Suponha, agora, que eu tivesse começado de outra forma:
...  z = r cis(t) = r e^(it)  ;  “r” e “t” são reais  ;  100t102pi
Desta feita, seria fácil “provar” que  abs(z^i)  e^(-100) .
 
Conclui-se que... 
 
Sds.,
AB


Date: Fri, 19 Dec 2008 07:13:28 -0800From: eduardowil...@yahoo.com.brsubject: 
Re;[obm-l] Dois problemas complexosTo: obm-l@mat.puc-rio.br



Parece que há algum problema com o item [2] pois, se z=a+bi, com a e b reais, | 
z^i|= e^{arc tg (b/a)}.  
Albert BouskelaThu, 18 Dec 2008 10:19:09 -0800[1]Resolva, analiticamente, a 
seguinte equação: x^x = i [2]Demonstre que: / z^i / = e^pi Sendo:z um número 
complexo qualquer; e/ z^i /  representa o módulo de  z^i .abbousk...@msn.com

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[obm-l] Dois problemas complexos

[Albert Bouskela]

[1]
Resolva, analiticamente, a seguinte equação:
 
x^x = i
 
[2]
Demonstre que:
 
/ z^i / = e^pi
 
Sendo:
z um número complexo qualquer; e
/ z^i /  representa o módulo de  z^i .abbousk...@msn.com
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[obm-l] Dúvida em trigonometria e nos Complexos

[Paulo Mello]

 
 
pessoal, bom dia.
peço orientação para resolver os seguintes problemas.
1) Resolver a inequação tan(x)-sen(2x)0 em [-pi;+pi].
2)Sendo Q o conjunto dos números complexos z tais que |z-2|=1.calcule o 
elemento de Q que possua o menor argumento possível.
 
Obs: Q não representa conjunto dos racionais.
 
3) Resolva a equação: cos(3x)- (raizde 3)sen(3x) = raizde 2.
 
Desde já agradeço a atenção.
 
Paulo Mello
 


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[obm-l] RE: [obm-l] Dúvida em trigonometria e nos Complexos

[victorcarlos]

Olá  Paulo,

1) Para  o primeiro , você pode usar  a relação para o sen2x  e  desenvolver
; no entanto  acredito ficar mais  simples  se utilizar a relaçãosen2x
= 2t/(1+t^2)
onde  t =tanx  e  estudar a  desigualdade , ok ?

2) para o  segundo , pense  assim :no plano  de Argand-Gauss , o lugar  de
z é uma  circunferência  de  centro (2,0)  e  raio  1 .Estude o menor  e
o maior  argumento  de  z , analisando  os pontos  sobre  a  circunferência,
ok ?

3) Para  o terceiro,faça o seguinte :divida tudo  por  2. Do lado esquerdo
ficará  o  cos[(pi/3) +3x] e  do  lado  direito ficará igual  a sqrt(2)/2
 que é igual  ao cos(pi/4) .Daí é só resolver  a  equação  trigonométrica
 simples cosa=cosb ,ok ?. 

Abraços 

Carlos Victor


 ''-- Mensagem Original --
 ''Date: Tue, 22 Jul 2008 07:51:42 -0700 (PDT)
 ''From: Paulo Mello [EMAIL PROTECTED]
 ''Subject: [obm-l] Dúvida em trigonometria e nos Complexos
 ''To: obm-l@mat.puc-rio.br
 ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 ''
 ''
 '' 
 '' 
 ''pessoal, bom dia.
 ''peço orientação para resolver os seguintes problemas.
 ''1) Resolver a inequação tan(x)-sen(2x)0 em [-pi;+pi].
 ''2)Sendo Q o conjunto dos números complexos z tais que |z-2|=1.calcule
o elemento
 ''de Q que possua o menor argumento possível.
 '' 
 ''Obs: Q não representa conjunto dos racionais.
 '' 
 ''3) Resolva a equação: cos(3x)- (raizde 3)sen(3x) = raizde 2.
 '' 
 ''Desde já agradeço a atenção.
 '' 
 ''Paulo Mello
 '' 
 ''
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=

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvida em trigonomet ria e nos Complexos

[Paulo Mello]

Victor, valew!
Vou aplicar as sua dicas e resolver os problemas. 
Muito obrigado pela sua atenção.
 
Um grande abraço.
 
Paulo Mello.
=
--- Em ter, 22/7/08, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] escreveu:

De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvida em trigonometria e nos Complexos
Para: obm-l@mat.puc-rio.br, obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 22 de Julho de 2008, 15:59

Olá  Paulo,

1) Para  o primeiro , você pode usar  a relação para o sen2x  e  desenvolver
; no entanto  acredito ficar mais  simples  se utilizar a relaçãosen2x
= 2t/(1+t^2)
onde  t =tanx  e  estudar a  desigualdade , ok ?

2) para o  segundo , pense  assim :no plano  de Argand-Gauss , o lugar  de
z é uma  circunferência  de  centro (2,0)  e  raio  1 .Estude o menor  e
o maior  argumento  de  z , analisando  os pontos  sobre  a  circunferência,
ok ?

3) Para  o terceiro,faça o seguinte :divida tudo  por  2. Do lado esquerdo
ficará  o  cos[(pi/3) +3x] e  do  lado  direito ficará igual  a sqrt(2)/2
 que é igual  ao cos(pi/4) .Daí é só resolver  a  equação 
trigonométrica
 simples cosa=cosb ,ok ?. 

Abraços 

Carlos Victor


 ''-- Mensagem Original --
 ''Date: Tue, 22 Jul 2008 07:51:42 -0700 (PDT)
 ''From: Paulo Mello [EMAIL PROTECTED]
 ''Subject: [obm-l] Dúvida em trigonometria e nos Complexos
 ''To: obm-l@mat.puc-rio.br
 ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 ''
 ''
 '' 
 '' 
 ''pessoal, bom dia.
 ''peço orientação para resolver os seguintes problemas.
 ''1) Resolver a inequação tan(x)-sen(2x)0 em [-pi;+pi].
 ''2)Sendo Q o conjunto dos números complexos z tais que
|z-2|=1.calcule
o elemento
 ''de Q que possua o menor argumento possível.
 '' 
 ''Obs: Q não representa conjunto dos racionais.
 '' 
 ''3) Resolva a equação: cos(3x)- (raizde 3)sen(3x) = raizde 2.
 '' 
 ''Desde já agradeço a atenção.
 '' 
 ''Paulo Mello
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[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida em trigonometria e nos Complexos

[Bernardo]

Caro colega.
Essas questões são de uma avaliação de um curso de atualização de professores 
do CEDERJ, feito a distância.
Acho que se alguém colocar as soluções pra vc aqui, perderá todo o sentido do 
curso.

  - Original Message - 
  From: Paulo Mello 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, July 22, 2008 11:51 AM
  Subject: [obm-l] Dúvida em trigonometria e nos Complexos






pessoal, bom dia.

peço orientação para resolver os seguintes problemas.

1) Resolver a inequação tan(x)-sen(2x)0 em [-pi;+pi].

2)Sendo Q o conjunto dos números complexos z tais que |z-2|=1.calcule o 
elemento de Q que possua o menor argumento possível.



Obs: Q não representa conjunto dos racionais.



3) Resolva a equação: cos(3x)- (raizde 3)sen(3x) = raizde 2.



Desde já agradeço a atenção.



Paulo Mello


   


--
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14:01

Re: [obm-l] Complexos

[Josiah Willard Gibbs]

Arkon:

Cada z (no plano xy de Argand) é representado pelo ponto P=(x,y) e
z^2=x^2-y^2+2ixy. Pelas condições impostas, só interessa considerar os
pontos tais que: x^2-y^2=0 , ou seja: y=x, ou y=-x. A primeira equação
representa a reta bissetriz do primeiro quadrante do plano; a segunda, a
bissetriz do segundo quadrante, retas essas perpendiculares entre si (e que
passam pela origem, é lógico). Essas retas constituem apenas *um par* dentre
a infinidade de pares de retas perpendiculares que passam pela origem do
sistema de coordenadas. Logo, a afirmação é errada .

Além disso, a redação da pergunta está incorreta porque o escrevente estava
se referindo a *um par de retas perpendiculares que passa pela origem* ... e
não, passam. Solicite a anulação da questão por ter ocorrido erro de
Português por parte da Universidade. Mas não considere isto uma quebrada de
galho.

Complexas saudações.

JWGibbs


2008/6/25, arkon [EMAIL PROTECTED]:

  *ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR*

 **

 *(UnB) O conjunto dos números complexos z = x + iy, para os quais se tem
 que a parte real de z^2 é nula, é formado por um par de retas
 perpendiculares que passam pela origem do sistema de coordenadas?*

 * *

 *Gabarito: C, ou seja, item Certo.*

[obm-l] Complexos

[arkon]

ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR

(UnB) O conjunto dos números complexos z = x + iy, para os quais se tem que a 
parte real de z^2 é nula, é formado por um par de retas perpendiculares que 
passam pela origem do sistema de coordenadas?

Gabarito: C, ou seja, item Certo.

RES: [obm-l] Complexos

[Artur Costa Steiner]

Temos que z^2 = x^2 - y^2 + 2xy i. Logo, x^2 = y^2, o que implica que x = y ou 
x = -y. Temos as 2 bissetrizes dos eixos real e imaginário. São perpendiculares 
e passam pela origem
Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de arkon
Enviada em: quarta-feira, 25 de junho de 2008 12:15
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Complexos



ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR



(UnB) O conjunto dos números complexos z = x + iy, para os quais se tem que a 
parte real de z^2 é nula, é formado por um par de retas perpendiculares que 
passam pela origem do sistema de coordenadas?



Gabarito: C, ou seja, item Certo.

Re: [obm-l] RE: [obm-l] Gauss,Abel,Tartaglia-Eq. 3º Grau-Complexos

[Marcelo Gomes]

Oi Fabinho...boa tarde.

Muito obrigado pela ajuda..chegou em uma ótima hora, valeu mesmo pelo seu
interesse em ajudar.

Ainda estou caçando as demonstrações dos outros. Mais uma vez muito obrigado
pela atenção e um excelente 2008 para você e toda sua família,  um abração,
Marcelo.

Em 30/12/07, Fabio Honorato [EMAIL PROTECTED] escreveu:


 Oi Marcelo , sobre o assunto 3-Demonstração da Fórmula de Tartaglia
 (Cardano) eu encontrei esse link
 http://www2.dm.ufscar.br/~sampaio/eq123graus.PDFhttp://www2.dm.ufscar.br/%7Esampaio/eq123graus.PDFna
  página do Prof João C V Sampaio e vc pode encontrar também algumas
 informações sobre esse mesmo assunto na Revista Eureka n 15.  Um exercício
 muito interessante que relaciona Equações de 3º Grau com Números complexos
 eh que:

 Dada a equação x^3+px+q=0, onde uma das raízes eh dada por \sqrt
 [3]{-q/2+\sqrt {D}}+ \sqrt [3]{-q/2 - \sqrt {D}}, D = 1/4*q^2+1/27*p^3.
 Prove que se a equação possui 3 raízes reais entaum D0.

 Ateh +




 --
 Date: Fri, 28 Dec 2007 10:35:28 -0200
 From: [EMAIL PROTECTED]
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Gauss,Abel,Tartaglia-Eq. 3º Grau-Complexos

 Olá pessoal, bom Natal a todos os membros da lista e para suas distintas
 famílias também.

 Gostaria que alguém me auxiliasse no seguinte:

 Estou desenvolvendo um trabalho de pós graduação sobre soluções das
 equações de terceiro grau com radicais e o aparecimento dos números
 complexos, com o objetivo de fazer um projeto para o ensino médio sobre esta
 área da matemática, e desejaria saber :

 1-Algum site que contivesse a demonstração da Fórmula de Niels Abel sobre
 sobre a impossibilidade de se estabelecer coeficientes para equações de grau
 maior que 5

 2-A demonstração da Fórmula de Albert Girard sobre as raízes das equações
 e seus relacionamentos entre si

 3-Demonstração da Fórmula de Tartaglia (Cardano)

 4-Se algum dos professores da lista, quiser compartilhar comigo alguma
 experiência nesta área de equações de terceiro grau - números complexos-
 sua história e ensino médio, será muito bem vinda.

 Muito obrigado a todos e boas festas,

 Abraços, Marcelo.


 --
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[obm-l] RE: [obm-l] Gauss,Abel,Tartaglia-Eq. 3º Grau-Complexos

[Fabio Honorato]

_
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[obm-l] RE: [obm-l] Gauss,Abel,Tartaglia-Eq. 3º Grau-Complexos

[Fabio Honorato]

Oi Marcelo , sobre o assunto 3-Demonstração da Fórmula de Tartaglia (Cardano) 
eu encontrei esse link  http://www2.dm.ufscar.br/~sampaio/eq123graus.PDF na 
página do Prof João C V Sampaio e vc pode encontrar também algumas informações 
sobre esse mesmo assunto na Revista Eureka n 15.  Um exercício muito 
interessante que relaciona Equações de 3º Grau com Números complexos  eh que:
 
Dada a equação x^3+px+q=0, onde uma das raízes eh dada por \sqrt [3]{-q/2+\sqrt 
{D}}+ \sqrt [3]{-q/2 - \sqrt {D}}, D = 1/4*q^2+1/27*p^3. Prove que se a equação 
possui 3 raízes reais entaum D0.
 
Ateh +
 
 


Date: Fri, 28 Dec 2007 10:35:28 -0200From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL 
PROTECTED]: [obm-l] Gauss,Abel,Tartaglia-Eq. 3º Grau-ComplexosOlá pessoal, bom 
Natal a todos os membros da lista e para suas distintas famílias 
também.Gostaria que alguém me auxiliasse no seguinte:Estou desenvolvendo um 
trabalho de pós graduação sobre soluções das equações de terceiro grau com 
radicais e o aparecimento dos números complexos, com o objetivo de fazer um 
projeto para o ensino médio sobre esta área da matemática, e desejaria saber 
:1-Algum site que contivesse a demonstração da Fórmula de Niels Abel sobre 
sobre a impossibilidade de se estabelecer coeficientes para equações de grau 
maior que 52-A demonstração da Fórmula de Albert Girard sobre as raízes das 
equações e seus relacionamentos entre si3-Demonstração da Fórmula de Tartaglia 
(Cardano)4-Se algum dos professores da lista, quiser compartilhar comigo alguma 
experiência nesta área de equações de terceiro grau - números complexos- sua 
história e ensino médio, será muito bem vinda.Muito obrigado a todos e boas 
festas,Abraços, Marcelo. 
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[obm-l] +complexos

[Ney Falcao]

Olá amigos,

podem me ajudar com esta?



Considere a expressão:

  Z =

1

+

Ö

3

a + bi

b +

 ai

Sabendo que os reais *a** * e *b*  são tais que *a² + b² = 1,* determine *a*e
*b* de modo que *z* seja:

1°) um número real;

2°) imaginário puro.


Obrigado
Ney

Re: [obm-l] outra de complexos

[Iuri]

(1-i)/(x+i) é o conjugado de (1+i)/(x-i) (prova-se usando só
propriedades básicas de complexos), e portanto z=2.Re((1+i)/(x-i)), ou
seja, é sempre real.

Iuri

On Dec 2, 2007 3:58 PM, albert richerd carnier guedes
[EMAIL PROTECTED] wrote:
 Ney Falcao escreveu:

 
  Gostaria de uma ajuda com esta também:
 
 
  Para que valores de *x*, *x ** Î R*, o número *z* é real?
 
 
 
  Z =
 
 
 
  1 + i
 
 
 
  +
 
 
 
  1 – i
 
  x – i
 
 
 
  x + i
 
 
 
  Obrigado
 
  Ney
 
 Olá Ney.

 Para resolver isso, primeiro é nescessario colocar z na forma

 z = a + i b

 Para isso é só fazer

 z = ( 1 + i )/( x - i ) + ( 1 - i )/( x + i ) =
 = [ ( x + i )( 1 + i ) + ( x - i )( 1 - i ) ]/[ ( x + i )( x - i ) ]  =
 =  [ x + ix + i  - 1 + x - ix  -i + 1 ]/[ x^2 + 1 ] =
 =  [ 2x ]/[ x^2 + 1 ] = 2x/(x^2 + 1)

 e como se vê, z já é real para todo x real.
 Ok ?



 =
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 =


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] outra de complexos

[albert richerd carnier guedes]

Ney Falcao escreveu:
 
Gostaria de uma ajuda com esta também:
 


Para que valores de *x*, *x ** Î R*, o número *z* é real?

 


Z =



1 + i



+



1 – i

x – i



x + i

 


Obrigado

Ney


Olá Ney.

Para resolver isso, primeiro é nescessario colocar z na forma

z = a + i b

Para isso é só fazer

z = ( 1 + i )/( x - i ) + ( 1 - i )/( x + i ) =
= [ ( x + i )( 1 + i ) + ( x - i )( 1 - i ) ]/[ ( x + i )( x - i ) ]  =
=  [ x + ix + i  - 1 + x - ix  -i + 1 ]/[ x^2 + 1 ] =
=  [ 2x ]/[ x^2 + 1 ] = 2x/(x^2 + 1)

e como se vê, z já é real para todo x real.
Ok ?



=
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=

[obm-l] Números complexos (FEIUC-67)

[Emanuel Valente]

Olá pessoal, estou enrroscado no seguinte exercício do livro antigo do
Iezzi. Pra ser mais preciso: Vol. 6 pág 25f, exer 35.

Escrever o número complexo 1/(1-i) -1/i na forma a+bi e na trigonométrica.

A forma a+bi é fácil, mas a trigonométrica não está batendo com o gabarito.

Obrigado a todos desde já!

=
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=

Re: [obm-l] Números complexos (FEIUC-67)

[albert richerd carnier guedes]

Emanuel Valente escreveu:

Olá pessoal, estou enrroscado no seguinte exercício do livro antigo do
Iezzi. Pra ser mais preciso: Vol. 6 pág 25f, exer 35.

Escrever o número complexo 1/(1-i) -1/i na forma a+bi e na trigonométrica.

A forma a+bi é fácil, mas a trigonométrica não está batendo com o gabarito.

Obrigado a todos desde já!

=
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=

  
Ficaria mais fácil se você colocasse a resposta do gabarito para 
comparar, mas vou mandar a resposta e você confirma.


Comecemos com a forma a+ib de 1/(1-i)

1/( 1 - i ) = [1/( 1 - i )][( 1 + i )/( 1 + i )] = ( 1 + i )/2 = 1/2 + i/2
= a=1/2  e b=1/2

Para fazer em forma trigonométrica faça

sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/sqrt(2)
cos(x) = [ a/sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/2 ][ 1/sqrt( 1/2 ) ] = sqrt(2)/2 = 
1/sqrt(2)

sen(x) = b/sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/sqrt(2)

onde denoto sqrt(x) como a raiz quadrada de x.
Assim, temos que como

cos(x) = 1/sqrt(2)

então x=pi/4 portanto dá para fazer

1/( 1 - i ) =  [ 1/sqrt(2) ][ cos(pi/4)+ i sen(pi/4) ]

Claro que a resposta serve para todos os x na forma

x= 2n pi + pi/4 = [ 8n + 1 ][ pi/4 ]

onde n é um inteiro qualquer.

Com -1/i fazemos

-1/i = [-1/i][ i/i ] = i= a=0 e b=1

Na forma trigonométrica

sqrt( a^2 + b^2 ) = 1
cos(x) = 0
sen(x) = 1

logo , x= pi/2, o que fica

-1/i = i*sen(pi/2)

que também serve para x na forma

x= 2n pi + pi/2 = [ 4n + 1 ][ pi/2 ]

Confirma se corresponde ao gabarito e qualquer dúvida mande mais emails, 
falou ?

Até mais.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Números complexos (FEIUC-67)

[Emanuel Valente]

albert richerd carnier guedes wrote: 
Ficaria mais fácil se você colocasse a resposta do gabarito para 
comparar, mas vou mandar a resposta e você confirma.


Comecemos com a forma a+ib de 1/(1-i)

1/( 1 - i ) = [1/( 1 - i )][( 1 + i )/( 1 + i )] = ( 1 + i )/2 = 1/2 + 
i/2

= a=1/2  e b=1/2

Para fazer em forma trigonométrica faça

sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/sqrt(2)
cos(x) = [ a/sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/2 ][ 1/sqrt( 1/2 ) ] = sqrt(2)/2 = 
1/sqrt(2)

sen(x) = b/sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/sqrt(2)

onde denoto sqrt(x) como a raiz quadrada de x.
Assim, temos que como

cos(x) = 1/sqrt(2)

então x=pi/4 portanto dá para fazer

1/( 1 - i ) =  [ 1/sqrt(2) ][ cos(pi/4)+ i sen(pi/4) ]

Claro que a resposta serve para todos os x na forma

x= 2n pi + pi/4 = [ 8n + 1 ][ pi/4 ]

onde n é um inteiro qualquer.

Com -1/i fazemos

-1/i = [-1/i][ i/i ] = i= a=0 e b=1

Na forma trigonométrica

sqrt( a^2 + b^2 ) = 1
cos(x) = 0
sen(x) = 1

logo , x= pi/2, o que fica

-1/i = i*sen(pi/2)

que também serve para x na forma

x= 2n pi + pi/2 = [ 4n + 1 ][ pi/2 ]

Confirma se corresponde ao gabarito e qualquer dúvida mande mais 
emails, falou ?

Até mais.


Olá,

Albert, você repartiu o 1/(1-i) -1/i em dois números. No exercício tem 
somente um número complexo, que é o 1/(1-i) -1/i. Aproveitando o post, 
irei mostrar meus cálculos comparando com o gabarito.


Calculando na forma a + bi:

1/(1-i) -1/i  = [i -(1-i)]/i(1-i)  = [(-1 + 2i)/(i+1)]*(i-1)/(i-1) = 
(-1 -3i)/-2 = 1/2 + 3i/2


Forma Trigonométrica de z = 1/2 + 3i/2

módulo = p

p = sqrt(1/4 + 9/4) = sqrt(10)/2

cos(a) = (1/2)/sqrt(10)/2 = sqrt(10)/10
sen(b) = (3/2)/sqrt(10)/2 =3*sqrt(10)/10

logo:

z = [sqrt(10)/2] * [cos(arc sen[3*sqrt(10)/10] + i*sen(arc cos[sqrt(10)/10]]

Gabarito:

forma a + bi: 1/2 + 3i/2

forma trigonometrica: z = [sqrt(10)/2] * [cos(arc tg[3]) + i*sen(arc tg[3])]


Abraço a todos!
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Além dos complexos

[Bruno França dos Reis]

Não sou nem o Nehab nem o Arthur, mas arrisco.

Sugiro vc procurar sobre quatérnions. Se não me engano, Hamilton ficou
muito tempo tentando fazer o que vc esta querendo, e concluiu que para
conseguir aumetar o conjunto dos complexos da forma que vc propoe, não seria
possivel colocando apenas mais um eixo sem perder muitas propriedades
algebricas interessantes. Mesmo colocando mais dois eixos, o j e o k, somos
obrigados a abrir mão de alguma coisa, no caso da comutatividade. Hamilton
definiu que:
i^2 = j^2 = k^2 = -1
ij = k
ji = -k
jk = i
kj = -i
ki = j
ik = -j
Nesse espaço vc consegue construir uma metrica, e assim identifica-lo com um
espaço euclidiano de dimensão 4, da mesma forma como faz com os complexos,
identificando-os com um plano, ie, um espaço euclidiano de dimensão 2.

De forma semelhante, vc define os octonios (ai vc tera um sistema de 8
eixos) abrindo mao tambem da associatividade. Vc pode extender isso pra qq
dimensao da forma 2^n, mas a partir de n=4 (ie, dimensao 16), ja nao presta
pra muita coisa: vc perdeu comutatividade, associatividade e alem disso nao
conseguira fazer uma identificacao com um espaço euclidiano (pois nao
consegue definir uma métrica).

Abraço
Bruno


2007/11/20, Sérgio Martins da Silva [EMAIL PROTECTED]:

 Nehab e Artur,

 O eixo dos imaginários faz 90 graus com o eixo dos reais. No entanto,
 podemos pensar que qualquer reta pertencente a um plano ortogonal ao eixo
 dos reais também faz 90 graus com o eixo real. Ou seja, podemos ter
 diferentes eixos imaginários j, k, etc, de forma que estes eixos sejam
 distintos entre si e que  j^2 = -1, k^2 = -1. Um caso particular seria
 aquele em  que o eixo dos reais, o eixo i e o eixo j sejam mutuamente
 perpendiculares. Isso existe?

 Um abraço,

 Sérgio

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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-- 
Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: [EMAIL PROTECTED]
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e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] Além dos complexos

[Angelo Schranko]

Meu caro, dê uma olhada em:
   
  http://en.wikipedia.org/wiki/Hypercomplex_number
   
  Há várias informações interessantes e servem como ponto de partida.
   
  [ ]´s
  Angelo

Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Não sou nem o Nehab nem o Arthur, mas arrisco.

Sugiro vc procurar sobre quatérnions. Se não me engano, Hamilton ficou muito 
tempo tentando fazer o que vc esta querendo, e concluiu que para conseguir 
aumetar o conjunto dos complexos da forma que vc propoe, não seria possivel 
colocando apenas mais um eixo sem perder muitas propriedades algebricas 
interessantes. Mesmo colocando mais dois eixos, o j e o k, somos obrigados a 
abrir mão de alguma coisa, no caso da comutatividade. Hamilton definiu que: 
i^2 = j^2 = k^2 = -1
ij = k
ji = -k
jk = i
kj = -i
ki = j
ik = -j
Nesse espaço vc consegue construir uma metrica, e assim identifica-lo com um 
espaço euclidiano de dimensão 4, da mesma forma como faz com os complexos, 
identificando-os com um plano, ie, um espaço euclidiano de dimensão 2. 

De forma semelhante, vc define os octonios (ai vc tera um sistema de 8 eixos) 
abrindo mao tambem da associatividade. Vc pode extender isso pra qq dimensao da 
forma 2^n, mas a partir de n=4 (ie, dimensao 16), ja nao presta pra muita 
coisa: vc perdeu comutatividade, associatividade e alem disso nao conseguira 
fazer uma identificacao com um espaço euclidiano (pois nao consegue definir uma 
métrica). 

Abraço
Bruno


  2007/11/20, Sérgio Martins da Silva [EMAIL PROTECTED]:  Nehab e Artur,

O eixo dos imaginários faz 90 graus com o eixo dos reais. No entanto,
podemos pensar que qualquer reta pertencente a um plano ortogonal ao eixo
dos reais também faz 90 graus com o eixo real. Ou seja, podemos ter 
diferentes eixos imaginários j, k, etc, de forma que estes eixos sejam
distintos entre si e que  j^2 = -1, k^2 = -1. Um caso particular seria
aquele em  que o eixo dos reais, o eixo i e o eixo j sejam mutuamente 
perpendiculares. Isso existe?

Um abraço,

Sérgio

=
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Bruno FRANÇA DOS REIS

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[obm-l] RES: [obm-l] Além dos complexos

[Artur Costa Steiner]

Certamente é mais capacitado, pelo menos do que eu!
 
É isto aí, grande resposta!
Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno França dos Reis
Enviada em: terça-feira, 20 de novembro de 2007 08:10
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Além dos complexos


Não sou nem o Nehab nem o Arthur, mas arrisco.

Sugiro vc procurar sobre quatérnions. Se não me engano, Hamilton ficou muito 
tempo tentando fazer o que vc esta querendo, e concluiu que para conseguir 
aumetar o conjunto dos complexos da forma que vc propoe, não seria possivel 
colocando apenas mais um eixo sem perder muitas propriedades algebricas 
interessantes. Mesmo colocando mais dois eixos, o j e o k, somos obrigados a 
abrir mão de alguma coisa, no caso da comutatividade. Hamilton definiu que: 
i^2 = j^2 = k^2 = -1
ij = k
ji = -k
jk = i
kj = -i
ki = j
ik = -j
Nesse espaço vc consegue construir uma metrica, e assim identifica-lo com um 
espaço euclidiano de dimensão 4, da mesma forma como faz com os complexos, 
identificando-os com um plano, ie, um espaço euclidiano de dimensão 2. 

De forma semelhante, vc define os octonios (ai vc tera um sistema de 8 eixos) 
abrindo mao tambem da associatividade. Vc pode extender isso pra qq dimensao da 
forma 2^n, mas a partir de n=4 (ie, dimensao 16), ja nao presta pra muita 
coisa: vc perdeu comutatividade, associatividade e alem disso nao conseguira 
fazer uma identificacao com um espaço euclidiano (pois nao consegue definir uma 
métrica). 

Abraço
Bruno



2007/11/20, Sérgio Martins da Silva  [EMAIL PROTECTED]: 

Nehab e Artur,

O eixo dos imaginários faz 90 graus com o eixo dos reais. No entanto,
podemos pensar que qualquer reta pertencente a um plano ortogonal ao eixo
dos reais também faz 90 graus com o eixo real. Ou seja, podemos ter 
diferentes eixos imaginários j, k, etc, de forma que estes eixos sejam
distintos entre si e que  j^2 = -1, k^2 = -1. Um caso particular seria
aquele em  que o eixo dos reais, o eixo i e o eixo j sejam mutuamente 
perpendiculares. Isso existe?

Um abraço,

Sérgio

=
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Bruno FRANÇA DOS REIS

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e^(pi*i)+1=0 

Re: [obm-l] RES: [obm-l] Além dos complexos

[Carlos Nehab]

Mas  o Brunoe isto  coisa pra caramba !
Bela resposta ...
Nehab

Artur Costa Steiner escreveu:

  
  
  Certamente  mais capacitado, pelo menos do
que eu!
  
   isto a, grande resposta!
  Artur
  
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Bruno Frana dos
Reis
Enviada em: tera-feira, 20 de novembro de 2007 08:10
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Alm dos complexos


No sou nem o Nehab nem o Arthur, mas arrisco.

Sugiro vc procurar sobre "quatrnions". Se no me engano, Hamilton
ficou muito tempo tentando fazer o que vc esta querendo, e concluiu que
para conseguir aumetar o conjunto dos complexos da forma que vc propoe,
no seria possivel "colocando apenas mais um eixo" sem perder muitas
propriedades algebricas interessantes. Mesmo colocando mais dois eixos,
o j e o k, somos obrigados a abrir mo de alguma coisa, no caso da
comutatividade. Hamilton definiu que: 
i^2 = j^2 = k^2 = -1
ij = k
ji = -k
jk = i
kj = -i
ki = j
ik = -j
Nesse espao vc consegue construir uma metrica, e assim identifica-lo
com um espao euclidiano de dimenso 4, da mesma forma como faz com os
complexos, identificando-os com um plano, ie, um espao euclidiano de
dimenso 2. 

De forma semelhante, vc define os octonios (ai vc tera um sistema de 8
eixos) abrindo mao tambem da associatividade. Vc pode extender isso pra
qq dimensao da forma 2^n, mas a partir de n=4 (ie, dimensao 16), ja nao
presta pra muita coisa: vc perdeu comutatividade, associatividade e
alem disso nao conseguira fazer uma identificacao com um espao
euclidiano (pois nao consegue definir uma mtrica). 

Abrao
Bruno


2007/11/20, Srgio Martins da Silva
[EMAIL PROTECTED]:
Nehab
e Artur,
  
O eixo dos imaginrios faz 90 graus com o eixo dos reais. No entanto,
podemos pensar que qualquer reta pertencente a um plano ortogonal ao
eixo
dos reais tambm faz 90 graus com o eixo real. Ou seja, podemos ter 
diferentes eixos imaginrios j, k, etc, de forma que estes eixos sejam
distintos entre si e quej^2 = -1, k^2 = -1. Um caso particular seria
aquele emque o eixo dos reais, o eixo i e o eixo j sejam mutuamente 
perpendiculares. Isso existe?
  
Um abrao,
  
Srgio
  
=
Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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-- 
Bruno FRANA DOS REIS

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e^(pi*i)+1=0 



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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Além dos complexos

[Sérgio Martins da Silva]

Acessei o wikipedia, como o Bruno indicou, e vi que números não são apenas 
números, nada mais que números. A ótima explicação do Angelo serviu para 
iluminar este admirável mundo novo. Descobri até os surreais!
Eu admirava os complexos pelo aspecto operacional deles mas me convenci de 
que, sem álgebra, não passarei de um utilizador de calculadoras. Pelo jeito, os 
números são uma estratégia de marketing das álgebras para a atração de 
estudantes incautos. 

Um abraço, 

Sérgio
  - Original Message - 
  From: Angelo Schranko 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, November 20, 2007 9:59 AM
  Subject: Re: [obm-l] Além dos complexos


  Meu caro, dê uma olhada em:

  http://en.wikipedia.org/wiki/Hypercomplex_number

  Há várias informações interessantes e servem como ponto de partida.

  [ ]´s
  Angelo

  Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Não sou nem o Nehab nem o Arthur, mas arrisco.

Sugiro vc procurar sobre quatérnions. Se não me engano, Hamilton ficou 
muito tempo tentando fazer o que vc esta querendo, e concluiu que para 
conseguir aumetar o conjunto dos complexos da forma que vc propoe, não seria 
possivel colocando apenas mais um eixo sem perder muitas propriedades 
algebricas interessantes. Mesmo colocando mais dois eixos, o j e o k, somos 
obrigados a abrir mão de alguma coisa, no caso da comutatividade. Hamilton 
definiu que: 
i^2 = j^2 = k^2 = -1
ij = k
ji = -k
jk = i
kj = -i
ki = j
ik = -j
Nesse espaço vc consegue construir uma metrica, e assim identifica-lo com 
um espaço euclidiano de dimensão 4, da mesma forma como faz com os complexos, 
identificando-os com um plano, ie, um espaço euclidiano de dimensão 2. 

De forma semelhante, vc define os octonios (ai vc tera um sistema de 8 
eixos) abrindo mao tambem da associatividade. Vc pode extender isso pra qq 
dimensao da forma 2^n, mas a partir de n=4 (ie, dimensao 16), ja nao presta pra 
muita coisa: vc perdeu comutatividade, associatividade e alem disso nao 
conseguira fazer uma identificacao com um espaço euclidiano (pois nao consegue 
definir uma métrica). 

Abraço
Bruno

Re: [obm-l] Vetores e complexos etc

[Carlos Nehab]

Oi, Sergio,

Como o Arthur tambm te respondeu, como sempre de forma maravilhosa,
agora voc tem duas respostas diferentes mas complementares para sua
pergunta.

Mas  engraado. Voc sacou o "meu" ponto.
O
entusiamo  realmente de adolescente quando se trata de fazer os
meninos criarem intuio sobre os conceitos
e o ferramental matemtico. S assim eu acho que criaro "jogo de
cintura" para serem bons "resolvedores de problemas" no futuro E
de fato eu abro mo
mesmo de "formalismos" na primeira (e segunda) apresentao de um
conceito novo. 

Meu entendimento (e no estou s nisto, tenho timas companhias... - o
velho Piaget e principalmente o Vigotsky - de quem sou profundo
admirador...,  que o mtodo dedutivo s pode ser
usado quando j h alguma intuio desenvolvida na cabea dos
meninos. Por isto, no tenho nenhum constrangimento de ser
"radicalmente intuitivo"... 

Mas no tenha dvidas: quando comecei (h uns 40 e tal anos) eu dava
aula para mim, no para os alunos. Tenho esta conscincia crtica. Mas
alguns anos depois (no foi to rpido como eu gostaria...) eu descobri
que tinha que dar aula para os alunos... Acho at que alguns coroas da
lista (rsrsrsrsrs) me pegaram na fase jovem narcsica (aquela em que a
gente d aula para a gente mesmo). Meu trauma foi quando pela
primeira vez tive que ensinar os "epsilons e deltas" de limites...
Caramba, quase fui linchado pelos alunos... E eles tinham razo: eu
bem que merecia um enforcamentozinho...

Mas veja, sou absolutamente favorvel ao formalismo. A questo 
apenas em que momento os meninos esto em condies de assimil-lo. 

Quanto ao produto de complexos, no h muito o que dizer de
criativo... A gente comea pela lgebra, como  de se esperar zw =
(a+bi)(c+di) etc mas o interessante  claro,  mostrar que se |w | =
1 o que voc tem  uma rotao, o que l na frente nos possibilita
matar inmeros problemas clssicos de Geometria usando complexos... 

Se voc  fissurado neste tema (como eu sou) veja possivelmente o
melhor link atual sobre isto: 
http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/ComplexNumbersGeometry.shtml

Abrao
Nehab

PS: Acho que me deu uma certa preguia para detalhar o "acima" mas
mesmo assim acho que sua pergunta original foi respondida... Se voc
discordar, reclame...

Srgio Martins da Silva escreveu:

  
  
  
  
  Nehab,
  
  Gostei do entusiasmo pela didtica.
Aguardo o produto de complexos.
  
  Abraos,
  
  Srgio
  
-
Original Message - 
From:
Carlos Nehab 
To:
obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent:
Wednesday, November 14, 2007 12:05 AM
Subject:
Re: [obm-l] Vetores e complexos etc


Oi, Srgio,

Interessante a pergunta e tive um ataque maluco de prolixidade na
resposta Virou quase uma aula de introduo a como "criar intuio
sobre isto" mas j que escrevi , ai vai :-)

Ficou ENOORME  Espero que te
ajuda... e que o majordomo no me "cape"...





=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Vetores e complexos etc

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes, 
 
E já que estamos nisso. 
Qual a diferença entre imagem e afixo no plano de Argand-Gauss: (a,b)=a+bi é 
imagem e/ou afixo 
ou nada disso? []'s 
Luís 


From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Vetores e complexos 
etcDate: Thu, 15 Nov 2007 14:46:34 -0200



Nehab,
 
Gostei do entusiasmo pela didática. Aguardo o produto de complexos.
 
Abraços,
 
Sérgio 
 
_
Receba as últimas notícias do Brasil e do mundo direto no seu Messenger com 
Alertas MSN! É GRÁTIS!
http://alertas.br.msn.com/

Re: [obm-l] Vetores e complexos

[Sérgio Martins da Silva]

Artur,

Gostei da perspectiva de estruturas algébricas. 

Obrigado,

Sérgio
  - Original Message - 
  From: Artur Costa Steiner 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, November 14, 2007 10:20 AM
  Subject: RES: [obm-l] Vetores e complexos


  A diferença  fundamental entre o plano cartesiano e o plano complexo não 
reside, na realidade, na natureza de seus componentes. Tanto os elementos de 
R^2 como os elementos dos complexos C são pares ordenados de números reais. Ate 
aí, não há absolutamente nenhuma diferença. 

  A diferenca aparece quando deixamos de considera-los apenas como conjuntos e 
passamos a considera-los como estruturas algebricas. O R^2 eh um espaco 
vetorial sobre o corpo dos reais, mas o R^2, com a estrutura algebrica nele 
definida, nao eh um corpo, Nao podemos dois multiplicar elementos de R^2 e 
obter outro elemento de R^2. O chamado produto escalar, ou interno, nao atende 
a esta condicao. Nem o chamado produto vetorial, geralmente definido em R^3, na 
Fisica, e muito usado na mecanica e no eletromagnetismo.

  Mas, quando equipamos R^2 com as operacoes de soma e multiplicacao, definidas 
por (a ,b) + (c , d) = (a +b, c + d)  e (a ,b) * (c , d) = ((ac - bd) ,  (ad + 
bc)), obtemos um corpo. A estrutura algebrica conhecida como corpo e que 
satisfaz a todos os axiomas que a definem. 

  Assim, vistos meramente como conjuntos, R^2 e C sao identicos. Mas vistos 
como estruturas algebricas, sao diferentes. 

  De forma rigorosa, ao nos referrimos ao corpo dos complexos, nao deveriamos  
escrever apenas C, mas sim (C, + , *), para siginificar um corpo com relacao as 
operacoes de adicao e multiplicacao anteriormente citadas. Uma terna composta 
pelo conjunto C, formado pelos pares de reais, pela operacao + e pela operacao 
*, jah citadas. Mas, por uma questao de simplicidade, escreve-se apenas C, 
estando subentendida estrutura de corpo e as operacoes + e *.. 

  Eh usual representar-se o elemento de C de parte real a e parte imaginaria b 
por a + bi, e nao por (a, b). Mas eh a mesma coisa. Isso dah aos complexos um 
sentido mais de numero e podemos entao dizer que os reais sao subconnjunto (ou 
melhor, sub corpo) de C, formado pelos elementos com parte imaginaria nula. 

  Matematicamente, hah um isomorfismo entre o conjunto dos pares (a, b) e os 
numeros a + bi, o qual identifica um conjunto com o outro. Por exemplo, o real 
1 eh identificado com (1,0) e i é identificado com (0 , 1). Em um bom livro de 
algebra voce acha estes conceitos.

  Artur   
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de colombo
Enviada em: terça-feira, 13 de novembro de 2007 21:08
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Vetores e complexos


Não tem nenhuma diferença, a única coisa que muda é que quando estamos no 
plano complexo podemos multiplicar os vetores (a,b)(c,d), o que não existia no 
plano cartesiano. E lógico quando podemos multiplicar os vetores, dizemos que 
estamos multiplicando números complexos. 
t+
Jones


On Nov 13, 2007 1:12 PM, Sérgio Martins [EMAIL PROTECTED] wrote:

  Colegas,

  Qual a diferença do plano cartesiano para o plano complexo, ou seja, 
entre (a,b) representando um vetor e um número complexo? 

  Um abraço,

  Sérgio 

Re: [obm-l] Vetores e complexos etc

[Sérgio Martins da Silva]

Nehab,

Gostei do entusiasmo pela didática. Aguardo o produto de complexos.

Abraços,

Sérgio
  - Original Message - 
  From: Carlos Nehab 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, November 14, 2007 12:05 AM
  Subject: Re: [obm-l] Vetores e complexos etc


  Oi, Sérgio,

  Interessante a pergunta e tive um ataque maluco de prolixidade na 
resposta  Virou quase uma aula de introdução a como criar intuição sobre 
isto mas já que escrevi , ai vai  :-)

  Ficou ENOORME   Espero que te ajuda...  e que o majordomo não me 
cape...

RES: [obm-l] Vetores e complexos

[Artur Costa Steiner]

A diferença  fundamental entre o plano cartesiano e o plano complexo não 
reside, na realidade, na natureza de seus componentes. Tanto os elementos de 
R^2 como os elementos dos complexos C são pares ordenados de números reais. Ate 
aí, não há absolutamente nenhuma diferença. 
 
A diferenca aparece quando deixamos de considera-los apenas como conjuntos e 
passamos a considera-los como estruturas algebricas. O R^2 eh um espaco 
vetorial sobre o corpo dos reais, mas o R^2, com a estrutura algebrica nele 
definida, nao eh um corpo, Nao podemos dois multiplicar elementos de R^2 e 
obter outro elemento de R^2. O chamado produto escalar, ou interno, nao atende 
a esta condicao. Nem o chamado produto vetorial, geralmente definido em R^3, na 
Fisica, e muito usado na mecanica e no eletromagnetismo.
 
Mas, quando equipamos R^2 com as operacoes de soma e multiplicacao, definidas 
por (a ,b) + (c , d) = (a +b, c + d)  e (a ,b) * (c , d) = ((ac - bd) ,  (ad + 
bc)), obtemos um corpo. A estrutura algebrica conhecida como corpo e que 
satisfaz a todos os axiomas que a definem. 
 
Assim, vistos meramente como conjuntos, R^2 e C sao identicos. Mas vistos como 
estruturas algebricas, sao diferentes. 
 
De forma rigorosa, ao nos referrimos ao corpo dos complexos, nao deveriamos  
escrever apenas C, mas sim (C, + , *), para siginificar um corpo com relacao as 
operacoes de adicao e multiplicacao anteriormente citadas. Uma terna composta 
pelo conjunto C, formado pelos pares de reais, pela operacao + e pela operacao 
*, jah citadas. Mas, por uma questao de simplicidade, escreve-se apenas C, 
estando subentendida estrutura de corpo e as operacoes + e *.. 
 
Eh usual representar-se o elemento de C de parte real a e parte imaginaria b 
por a + bi, e nao por (a, b). Mas eh a mesma coisa. Isso dah aos complexos um 
sentido mais de numero e podemos entao dizer que os reais sao subconnjunto (ou 
melhor, sub corpo) de C, formado pelos elementos com parte imaginaria nula. 
 
Matematicamente, hah um isomorfismo entre o conjunto dos pares (a, b) e os 
numeros a + bi, o qual identifica um conjunto com o outro. Por exemplo, o real 
1 eh identificado com (1,0) e i é identificado com (0 , 1). Em um bom livro de 
algebra voce acha estes conceitos.
 
Artur   

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de colombo
Enviada em: terça-feira, 13 de novembro de 2007 21:08
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Vetores e complexos


Não tem nenhuma diferença, a única coisa que muda é que quando estamos no plano 
complexo podemos multiplicar os vetores (a,b)(c,d), o que não existia no plano 
cartesiano. E lógico quando podemos multiplicar os vetores, dizemos que estamos 
multiplicando números complexos. 
t+
Jones


On Nov 13, 2007 1:12 PM, Sérgio Martins  [EMAIL PROTECTED] wrote:


Colegas,
 
Qual a diferença do plano cartesiano para o plano complexo, ou seja, entre 
(a,b) representando um vetor e um número complexo? 
 
Um abraço,

 
Sérgio 

[obm-l] Vetores e complexos

[Sérgio Martins]

Colegas,

Qual a diferença do plano cartesiano para o plano complexo, ou seja, entre
(a,b) representando um vetor e um número complexo?

Um abraço,

Sérgio

Re: [obm-l] Vetores e complexos

[colombo]

Não tem nenhuma diferença, a única coisa que muda é que quando estamos no
plano complexo podemos multiplicar os vetores (a,b)(c,d), o que não existia
no plano cartesiano. E lógico quando podemos multiplicar os vetores, dizemos
que estamos multiplicando números complexos.
t+
Jones

On Nov 13, 2007 1:12 PM, Sérgio Martins [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Colegas,

 Qual a diferença do plano cartesiano para o plano complexo, ou seja, entre
 (a,b) representando um vetor e um número complexo?

 Um abraço,

 Sérgio

Re: [obm-l] Vetores e complexos etc

[Carlos Nehab]

Oi, Srgio,

Interessante a pergunta e tive um ataque maluco de prolixidade na
resposta Virou quase uma aula de introduo a como "criar intuio
sobre isto" mas j que escrevi , ai vai :-)

Ficou ENOORME  Espero que te
ajuda... e que o majordomo no me "cape"...

0) No fundo no fundo, um "par de eixos"  um
belo artifcio para modelar inmeros objetos ou situaes em matemtica
(e fsica, etc), que ajudam um bocado a gente. Vamos a seu primeiro
exemplo, o Plano Cartesiano... (no fundo voc falou pelo menos em 3
abstraes: plano cartesiano, vetores e complexos... vamos devagar...

1) Primeiro pensemos no problema de posicionar um ponto em um plano,
usando os dois eixos como "referenciais" (como poderamos estar
interessados em posicionar um ponto na Terra, atravs da longitude e
latitude; ou a posio de uma casa no jogo de batalha naval, etc). Ai,
 claro, que dois nmeros (a tal da abscissa e da ordenada) resolvem
adequadamente esta situao.

Ento conseguimos associar (biunivocamente) um ponto do plano a um par
de nmeros e reciprocamente (sem entrar no merito - nem agora nem
depois - , que a reta e os reais so amiguinhos).  Veja que,
concretamente, um ponto (uma abstrao geomtrica) no tem NADA,
absolutamente NADA que haver com um par de nmeros (outra abstrao),
mas esta "identificao" nos pemite trabalhar em dois "ambientes"
diferentes e nos permite associar, portanto, conjunto de pares de
nmeros a um conjunto de pontos do plano (que no fundo  uma figura -
ou seja, um objeto da geometria)
Portanto, associamos pares de nmeros a figura da geometria plana.

2) Vejamos, agora outra associao. Dada uma "relao real - uma equao ou inequao"
envolvendo duas variveis, por exemplo, y = 2x + 1, podemos imaginar
que ela  verdadeira para vrios pares de nmeros x e y e como j
pensamos em pares de nmeros reais h pouco, poderamos ento imaginar
que o conjunto soluo desta "relao"  identificvel com um conjunto
de pontos do plano... Ento, olha que genial: conseguimos (viva
Descartes etc) associar um conjunto de pontos do plano (uma figura
geomtrica) a uma equao (uma outra abstrao)... Da, "olhamos"
para a equao x^2 + y^2 = 1 e "vemos" uma
circunferncia. No  brbaro a naturalidade com que fazemos isto sem
muitas vezes perceber a brutal abstrao envolvida ? Ah, adoraria que
todos os profesores do mundo percebessem como isto  um novo paradigma
para o(a)s menino(a)s de 7a e 8a srie (agora 8a e 9a)... No  a toa
que neguinho chega no segundo grau - muitas vezes no vestiba - , e no
consegue entender NADA, mas NADA de NADA de NDA de geometria
analitica... Foram maltratados l no
incio... e tambm no fim :-)
.
3) Vetorzinhos da Fsica...
A gente aprende que um vetor fica definido quando conhecemos sua
direo, sentido e mdulo. Bem, ai adoraramos que as setinhas nos
ajudassem (pois setinhas possuem tamanho, direo e sentido...).  Mas
uma setinha de um ponto A a um ponto B NO  um vetor.  Verdade que
outras setinhas tambm podem ter o mesmo mdulo direo e sentido e
ento um vetor  identificado com o conjunto das setinhas bl, bl, bl
(ta uma boa oportunidade para falar em relaes de equivalncia -
entre setinhas, etc, etc) 
 
Ento, podemos imaginar que  til pr caramba representar um vetor de
tal mdulo, direo e sentido por uma setinha na origem de um sistema
de eixos (ortogonais). A, d para perceber que suas projees sobre
os eixos coincidem com as coordenadas do ponto extremo da setinha
anterior... (um pulo do gato!).

Ento ficou interessante identificarmos um vetor por um par de nmeros
que representam suas projees sobre os dois eixos e ao mesmo tempo tal
par de numeros seria (tambm) o ponto extremidade da setinha de origem
na origem e que o representa Depois, o professor de Fsica nos
ensina como somar vetores, subtrair e a gente fica feliz da vida pois
descobrimos que basta somar ou subtaris as componentes dos dois vetores
que obtemos o vetor soma. Ou seja, descobrirmos que  til imaginar
que estamos somando e subtraindo pares de nmeros reais pois isto 
MUITO til para a Fsica

Ento, os pares de nmeros que antes serviam para "localizar" um ponto no plano, tiveram outra funcionalidade.
Quando imaginamso que os pares de nmeros representam vetores do plano
(suas componentes) j botamos as manguinas de fora e estamos somando e
subtarindo pares de nmeros reais PORQUE  TILpelo menos pros
nossos vetorzinhos...

Mas ai (para no me alongar quase 
infinitamente...) a Fsica vem com o papo que  interessante calcular
a projeo de um vetor u = (u1, u2) sobre outro vetor v = (v1, v2), por
exemplo, onde u1 e v1 so as projees de u e v sobre Ox e u2 e v2
sobre Oy. Ai a gente percebe que a conta a fazer  |u|.
cos alfa, onde alfa  o ngulo entre u e v... e esta conta d u1.v1 +
u2.v2  que a Fsica (e ns tambm) adoramos chamar de produto escalar
de dois vetores(usando a lei dos cosenos a gente mostra isto).

Ento, os tadinhos dos pares d

[obm-l] Equações algébricas e números complexos

[Bruno Carvalho]

Prezados, bom dia.
  Peço uma orientação para a resolução do seguinte problema:
  1) Calcular a raiz quarta de (-1+i).
  Encontrei como solução ( expressão) geral:
  Z= (2)^1/8 [cos( 3/16*pi +k*pi/2) +  isen(3/16*pi +k*pi/2)
  está correto ?
  2) Qual o polinômio de menor grau possível de coeficientes inteiros, de tal 
modo que:
  (1+ raiz de 3)  ,i , raiz de três, e 1/4 sejam raizes de p(x) .
  Mais uma vez obrigado.
  Bruno
   
   
  Bruno.
   

   
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[obm-l] Números complexos e equações

[Bruno Carvalho]

Prezados, bom dia.
  Peço uma orientação para a resolução do seguinte problema:
  1) Calcular a raiz quarta de (-1+i).
  Encontrei como solução ( expressão) geral:
  Z= (2)^1/8 [cos( 3*pi/16 +k*pi/2) +  isen(3*pi/16 +k*pi/2)
  está correto ?
  2) Qual o polinômio de menor grau possível de coeficientes inteiros, de tal 
modo que:
  (1+ raiz de 3)  ,i , raiz de três, e 1/4 sejam raizes de p(x) .
  Mais uma vez obrigado.
  Bruno

   
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Re: [obm-l] Duvida - COMPLEXOS

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

vamos ordenar z1, z2, ..., zn pelos seus módulos.. sendo z1 o menor e
zn o maior..
|z1^n| = |z1z2...zn| = |zn^n|

vamos encontrar z, tal que: z^n = (z1)(z2)...(zn)
para isso, vamos dizer que: |z| = |z1z2..zn|^(1/n) e arg(z) = arg(z1z2...zn)/n
logo: z^n = (z1)(z2)...(zn)
agora, temos que mostrar que z pertence a D.

|z1|^n = |z|^n = |zn|^n, entao, ja sabemos que: |z1| = |z| = |zn|

seja M = max{argz1, argz2, ..., argzn} e m = min{argz1, argz2, ..., argzn}
n*m = arg(z1z2..zn) = n*M
n*m = arg(z^n) = n*M
entao: m = arg(z) = M

vamos dizer que D = { z tq |z-z0| = r }...

sabemos que:
|z1| = |z| = |zn|
m = arg(z) = M

bom.. fiquei tentando mostrar que z esta em D.. mas ainda nao consegui...
mandei o q fiz pq as vezes alguem pode continuar

abracos,
Salhab




On 7/4/07, Joÿe3o Silva [EMAIL PROTECTED] wrote:

(Romenia) Seja D um disco fechado no plano complexo. Prove que para todo
inteiro positivo n e para todos complexos z1, z2, ..., zn que pertencem a D,
existe um z em D tq: z^n = (z1).(z2)...(zn).

- obs: Estou enviando este problema novamente pois nao apareceu nenhuma
solução correta. Note que no enunciado há a possibilidade de 0 não pertencer
ao disco. Sendo assim, não se pode afirmar que o conjunto D é
D = {r*e^(i*theta) ; 0 = r = R, 0 = theta  2pi}, pois pode ser que D não
tenha centro na origem.

 
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Duvida - COMPLEXOS

[Joÿffffe3o Silva]

(Romenia) Seja D um disco fechado no plano complexo. Prove que para todo 
inteiro positivo n e para todos complexos z1, z2, ..., zn que pertencem a D, 
existe um z em D tq: z^n = (z1).(z2)...(zn).
   
  - obs: Estou enviando este problema novamente pois nao apareceu nenhuma 
solução correta. Note que no enunciado há a possibilidade de 0 não pertencer ao 
disco. Sendo assim, não se pode afirmar que o conjunto D é 
  D = {r*e^(i*theta) ; 0 = r = R, 0 = theta  2pi}, pois pode ser que D não 
tenha centro na origem.

   
-
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[obm-l] Duvida - COMPLEXOS

[Joÿffffe3o Silva]

(Romenia) Seja D um disco fechado no plano complexo. Prove que para todo 
inteiro positivo n e para todos complexos z1, z2, ..., zn que pertencem a D, 
existe um z em D tq: z^n = (z1).(z2)...(zn).
   
-
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Re: [obm-l] Duvida - COMPLEXOS

[Bruno França dos Reis]

Esse vc pode fazer por construção.

Seja R o raio do disco. Então o conjunto D é:
D = {r*e^(i*theta) ; 0 = r = R, 0 = theta  2pi}

Escolha n elementos de D, z_1, z_2, ..., z_n, e escreva-os como
z_k = a_k * e^(i*theta_k), de forma que a_k é real (com 0 = a_k = R, o que
é fácil de demonstrar) e theta_k é real em [0; 2pi).
Assim, o produto Z = z_1 * z_2 * ... * z_n é escrito como:
Z = a_1 * a_2 * ... * a_n * e^(i* (theta_1 + theta_2 + ... + theta_n))
Seja Theta o menor real positivo tal que Theta + 2pi * j = theta_1 + theta_2
+ ... + theta_n, com j inteiro positivo. Seja também A = a_1 * a_2 * ... *
a_n. Assim:
Z = A*e^(i*Theta).
(claro que 0 = Theta  2pi)

Precisamos mostrar que existe z = a*e^(theta) em D tal que z^n = Z == a^n
* e^(i*n*theta) = A * e^(i*Theta).

Para qualquer escolha dos z_k, sabemos que o produto dos a_k não poderá
passar jamais de R^k, já que 0 = a_k = R para todo k. Assim, temos que 0
= A = R^n.

Tome então a = A^(1/n), e assim 0 = a = R. Lembrando que 0 = Theta  2pi,
tome theta = Theta/n (o que implica theta em [0, 2pi)), então :
z^n = (a*e^(i*theta))^n = a^n * e^(i*n*theta) = A * e^(i*Theta) = z_1 * z_2
* ... * z_n.

Das observação acima, z pertence ao disco D e z^n = z_1 * ... * z_n,
conforme pedido.

Abraço
Bruno

2007/6/10, Joÿe3o Silva [EMAIL PROTECTED]:


(Romenia) Seja D um disco fechado no plano complexo. Prove que para todo
inteiro positivo n e para todos complexos z1, z2, ..., zn que pertencem a D,
existe um z em D tq: z^n = (z1).(z2)...(zn).

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Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
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e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] Fatorial para numeros reais e/ou complexos

[niski lista]

http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

On 4/17/07, Aleksander [EMAIL PROTECTED] wrote:

Alguem poderia me ajudar com a definicao de fatorial para numeros
reais e/ou complexos?

Muito obrigado,
Aleksander Medella





--
¡AleK!

site: www.alk8.deviantart.com
msn: [EMAIL PROTECTED]
email: [EMAIL PROTECTED]
cel: 21 8808-4943

Obrigado! Muito obrigado!

--

Nao importa quao boa seja uma pessoa,
ela vai feri-lo de vez em quando e
voce precisa perdoa-la por isso

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Fatorial para numeros reais e/ou complexos

[Marcelo Salhab Brogliato]

Ola,

de uma procurada sobre a funcao Gamma.. ela é uma integral imprópria!
Segue um link da Wikipedia: http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_gama
Em ingles: http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function (mais completo)

abracos,
Salhab

On 4/17/07, Aleksander [EMAIL PROTECTED] wrote:

Alguem poderia me ajudar com a definicao de fatorial para numeros
reais e/ou complexos?

Muito obrigado,
Aleksander Medella





--
¡AleK!

site: www.alk8.deviantart.com
msn: [EMAIL PROTECTED]
email: [EMAIL PROTECTED]
cel: 21 8808-4943

Obrigado! Muito obrigado!

--

Nao importa quao boa seja uma pessoa,
ela vai feri-lo de vez em quando e
voce precisa perdoa-la por isso

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Re:[obm-l] algebra complexa dos complexos

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes,

Oi Claudio,

Teorema 5: A cns para que r_k = cis(2k\pi/n) seja raiz
primitiva de índice n da unidade é que k seja primo com n.

Com efeito, para r_k ser raiz primitiva da unidade, r_k
não pode ser raiz da unidade com índice menor que n
e, portanto, a fração k/n deve ser insimplificável (ou
irredutível).

Isto remete ao Teorema 6, onde antes escrevera e o
Claudio respondera:


 Depois mando o Teorema 6, que trata do número de
 raízes primitivas de índice n da unidade. Também sem
 demonstração.


Este número é Phi(n) = número de inteiros positivos menores do que n e 
primos com n.


Teorema 6: Se a decomposição do número n em fatores primos
é n = p^\alpha q^\beta ... s^\lambda , então o número de
raízes primitivas de índice n da unidade é Phi(n). E

Phi(n) = n(1 - 1/p)(1 - 1/q) ... (1 - 1/s).

Como demonstrar isto é outra história. No livro de Álgebra do
Morgado tem uma referência. E o Google ajuda também.

[]'s,
Luís

_
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amigos. http://mobile.msn.com/


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Re:[obm-l] algebra complexa dos complexos

[claudio.buffara]

De:[EMAIL PROTECTED]

Para:obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:Tue, 27 Mar 2007 15:06:17 +

Assunto:[obm-l] algebra complexa dos complexos

 Sauda,c~oes,

 Tenho duas apostilas dos anos 70 que tratam dos
 números complexos: uma do Morgado (minha) e
 outra do Reinaldo (?) do Impacto que ganhei
 (surrupiei, afanei :) ) de um irmão.

 Nelas vemos alguns teoremas, uns demonstrados,
 outros não.

 Um teorema muito útil é o seguinte:

 Teorema 7 no M: A soma das potências de expoente m
 das raízes de índice n da unidade é igual a n se m é
 múltiplo de n e igual a zero, caso contrário.

 Demonstração: m = pn é trivial. m  pn é um bom
 exercício de De Moivre e PG.


Se m  pn, então existem q e r em Z tais que:
m = qn + r, com 0  r  n.

As raízes n-ésimas da unidade são:
1, w, w^2, ..., w^(n-1), onde w = cis(2pi/n).

w^n = 1 == w^m = w^(qn+r) = w^r.
Mas se 0 = r = s  n  e  w^r = w^s, então w^(s-r) = 1 ==
s = r ==
os números w^r (r = 0, 1, ..., n-1) são distintos dois a dois ==
estes números são justamente as raízes n-ésimas da unidade (em alguma ordem), 
cuja soma é igual a 0.


 Teorema 8: As raízes comuns às equações x^m - 1 = 0
 e x^n - 1 = 0 são as raízes da equação x^d - 1 = 0
 onde d = (m,n). A demonstração será omitida.


Basta ver que mdc(x^m-1,x^n-1) = x^d-1.


 Depois mando o Teorema 6, que trata do número de
 raízes primitivas de índice n da unidade. Também sem
 demonstração.


Este número é Phi(n) = número de inteiros positivos menores do que n e primos 
com n.

[]s,
Claudio.

Re: [obm-l] Quest�o de Complexos

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Oi, Júlio.

Pense assim: sua expressão é da forma

X = (1+a)(1+a^2)(1+a^4)

concorda?  Então multiplique por   1 - a   ambos os lados e você chega lá...

Abraços,
Nehab


At 00:16 15/3/2007, you wrote:
Amigos, estou estudando pro ITA e não tô conseguindo resolver essa 
questão. Obrigado!


{1 + [(1 + i)/2]}*{1 + [(1 + i)/2]^2}*{1 + [(1 + i)/2]^4}*{1 + [(1 + 
i)/2]^8}*...*{1 + [(1 + i)/2]^2^n}


Espero que dê pra entender...


Isso é o produtório de 1 + [(1 + i)]^2^k (Com K variando de 0 a n)




--
Atenciosamente
Júlio Sousa


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Questão de Complexos

[Julio Sousa]

Amigos, estou estudando pro ITA e não tô conseguindo resolver essa questão.
Obrigado!

{1 + [(1 + i)/2]}*{1 + [(1 + i)/2]^2}*{1 + [(1 + i)/2]^4}*{1 + [(1 +
i)/2]^8}*...*{1 + [(1 + i)/2]^2^n}

Espero que dê pra entender...


Isso é o produtório de 1 + [(1 + i)]^2^k (Com K variando de 0 a n)




--
Atenciosamente
Júlio Sousa

Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao

[Carlos Gomes]

Rafael, neste caso basta observar que  a^3-b^3 = (a-b).(a^2+ab+b^2)  tomando 
a=x^3 e b=y^3...temos


(x^9-y^9) / (x^3 - y^3) = (x^3-y^3).(x^6 + x^3.y^3+y^6) / (x^3 - y^3)  = 
(x^6 + x^3.y^3+y^6).



Valew, Cgomes


- Original Message - 
From: Rafael [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, February 15, 2007 10:14 PM
Subject: Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao


Muito obrigado Carlos. Ja vi que nao é sobre fatoracao de polinomios
usando complexos, mas eu nunca tinha ouvido falar numa teoria de
polinomios simetricos, entao vou dar uma estudada nisso tambem.
Talvez me ajude a entender como é que o autor da mensagem do link que
eu passei conseguiu enxergar que x^6+x^3y^3+y^6  é o mesmo que (x^9
-y^9) / (x^3 - y^3)   . Achei muito impressionante isso.








On 2/15/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote:
Rafael talvez não seja exatamente o que vc procura mas vae a pena ver o 
meu

link

http://www.cemigual.pro.br/artigos/Polin%F4mios%20Sim%E9tricos.pdf

talvez ache legal,,,valew,

Cgomes
- Original Message -
From: Rafael [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, February 15, 2007 8:24 PM
Subject: [obm-l] Complexos e Fatoracao


  Alguem sabe de um livro/site/artigo que trate sobre o uso de
 complexos na fatoracao de polinomios ?

 Andei lendo essa mensagem :
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200204/msg00019.html,
 nao entendi muita coisa, mas gostei desse assunto e queria saber mais
 sobre ele.


 Obrigado.
 --
 Rafael
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =


 --
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 Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.39/687 - Release Date: 
 14/2/2007




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=




--
--
Rafael

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


--
No virus found in this incoming message.
Checked by AVG Free Edition.
Version: 7.1.412 / Virus Database: 268.18.0/689 - Release Date: 15/2/2007


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao

[Rafael]

Tem razao, Carlos.
Andei estudando um pouco mais sobre fatoracao e polinomios e encontrei
nesse site:  http://www.oma.org.ar/omanet/misc/00-04.htm a
identidade(posso chamar isso de identidade?) de fatoracao do (x^n -
y^n) que voce e o autor devem ter tido em mente ao fazer o exercicio.

Ja aprendi como mexer com as raizes complexas da unidade (nunca tinha
me dado conta que os complexos poderiam ser tao poderosos) e entendi o
raciocinio por tras da fatoracao daquele polinomio.

Obrigado pela ajuda  e aproveitando a mensagem, poderia me dizer o que
voce acha do livro de trigonometria e complexos do morgado (se voce
conhecer ele , claro)  ??


On 2/16/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote:

Rafael, neste caso basta observar que  a^3-b^3 = (a-b).(a^2+ab+b^2)  tomando
a=x^3 e b=y^3...temos

(x^9-y^9) / (x^3 - y^3) = (x^3-y^3).(x^6 + x^3.y^3+y^6) / (x^3 - y^3)  =
(x^6 + x^3.y^3+y^6).


Valew, Cgomes


- Original Message -
From: Rafael [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, February 15, 2007 10:14 PM
Subject: Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao


Muito obrigado Carlos. Ja vi que nao é sobre fatoracao de polinomios
usando complexos, mas eu nunca tinha ouvido falar numa teoria de
polinomios simetricos, entao vou dar uma estudada nisso tambem.
Talvez me ajude a entender como é que o autor da mensagem do link que
eu passei conseguiu enxergar que x^6+x^3y^3+y^6  é o mesmo que (x^9
-y^9) / (x^3 - y^3)   . Achei muito impressionante isso.








On 2/15/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Rafael talvez não seja exatamente o que vc procura mas vae a pena ver o
 meu
 link

 http://www.cemigual.pro.br/artigos/Polin%F4mios%20Sim%E9tricos.pdf

 talvez ache legal,,,valew,

 Cgomes
 - Original Message -
 From: Rafael [EMAIL PROTECTED]
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Sent: Thursday, February 15, 2007 8:24 PM
 Subject: [obm-l] Complexos e Fatoracao


   Alguem sabe de um livro/site/artigo que trate sobre o uso de
  complexos na fatoracao de polinomios ?
 
  Andei lendo essa mensagem :
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200204/msg00019.html,
  nao entendi muita coisa, mas gostei desse assunto e queria saber mais
  sobre ele.
 
 
  Obrigado.
  --
  Rafael
 
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  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 
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 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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 Rafael

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Rafael

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Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao

[Carlos Gomes]

Como Todos os livros da coleção do professor de Matemática da SBM ele tb é 
muito legal...se vc não tem vale a pena adquiri-lo. Ele trata num tamanho 
adequado uma boa introdução à Trigonometria básica. Um outro que eu gosto 
muito é o Temas e Problemas ( o capítulo de trigonometria aplicada é 
ótimo!!! e não podia ser difente...obra do Wagner um dos mais didáticos 
prof. que já conheci!...vale a pena conferir. Se quiser algo mais forte, ou 
mais olímpico dá uma olhada no livro 103 trigonometry problems o Titu 
Andreenscu...é um primor!



valew

Cgomes
- Original Message - 
From: Rafael [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, February 16, 2007 1:22 PM
Subject: Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao


Tem razao, Carlos.
Andei estudando um pouco mais sobre fatoracao e polinomios e encontrei
nesse site:  http://www.oma.org.ar/omanet/misc/00-04.htm a
identidade(posso chamar isso de identidade?) de fatoracao do (x^n -
y^n) que voce e o autor devem ter tido em mente ao fazer o exercicio.

Ja aprendi como mexer com as raizes complexas da unidade (nunca tinha
me dado conta que os complexos poderiam ser tao poderosos) e entendi o
raciocinio por tras da fatoracao daquele polinomio.

Obrigado pela ajuda  e aproveitando a mensagem, poderia me dizer o que
voce acha do livro de trigonometria e complexos do morgado (se voce
conhecer ele , claro)  ??


On 2/16/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote:
Rafael, neste caso basta observar que  a^3-b^3 = (a-b).(a^2+ab+b^2) 
tomando

a=x^3 e b=y^3...temos

(x^9-y^9) / (x^3 - y^3) = (x^3-y^3).(x^6 + x^3.y^3+y^6) / (x^3 - y^3)  =
(x^6 + x^3.y^3+y^6).


Valew, Cgomes


- Original Message -
From: Rafael [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, February 15, 2007 10:14 PM
Subject: Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao


Muito obrigado Carlos. Ja vi que nao é sobre fatoracao de polinomios
usando complexos, mas eu nunca tinha ouvido falar numa teoria de
polinomios simetricos, entao vou dar uma estudada nisso tambem.
Talvez me ajude a entender como é que o autor da mensagem do link que
eu passei conseguiu enxergar que x^6+x^3y^3+y^6  é o mesmo que (x^9
-y^9) / (x^3 - y^3)   . Achei muito impressionante isso.








On 2/15/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Rafael talvez não seja exatamente o que vc procura mas vae a pena ver o
 meu
 link

 http://www.cemigual.pro.br/artigos/Polin%F4mios%20Sim%E9tricos.pdf

 talvez ache legal,,,valew,

 Cgomes
 - Original Message -
 From: Rafael [EMAIL PROTECTED]
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Sent: Thursday, February 15, 2007 8:24 PM
 Subject: [obm-l] Complexos e Fatoracao


   Alguem sabe de um livro/site/artigo que trate sobre o uso de
  complexos na fatoracao de polinomios ?
 
  Andei lendo essa mensagem :
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200204/msg00019.html,
  nao entendi muita coisa, mas gostei desse assunto e queria saber mais
  sobre ele.
 
 
  Obrigado.
  --
  Rafael
 
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  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 
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Re: [obm-l] Desenho Geom�trico [Complexos em Geometria e Napoleao]

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Complexos em Geometria e Napoleao
Date: Wed, 14 Feb 2007 13:04:33 -0200

Oi Claudio,

Espero que este email nao seja considerado muito off-topic pelos 
colegas, pois que é mais sobre Educação em Matemática (que é minha 
praia mais amada)  do que sobre problemas em Matemática (que hoje é 
apenas um passatempo delicioso para mim - mas um passatempo - me 
encanto aprendendo com vocês).


Muito úteis as informações complementares inclusive a piadinha da 
pressão... (e cá para nós, em matéria de ego o Fermat e o 
Napoleao... uhmmm não sei quem era mais doente, não)...


Mas a principal razão de eu ter comentado que uso a tal propriedade 
dos complexos para matar  problemas em geometria vem de uma 
preocupação anterior que não explicitei (só pensei) no email anterior  :-)


Hoje eu percebo nos alunos uma imensa dificuldade em enxergar 
geometria (uma quantidade enorme de alunos tem uma dificuldade 
inacreditável até para desenhar um cubo em perspectiva).Talvez 
a razão se origine lá atrás, quando disciplinas como Desenho 
Geométrico, Geometria Descritiva e Perspectiva faziam parte do 
currículo normal e deixaram de sê-lo.   A cegueira geométrica 
aumentou consideravelmente de lá para cá.


Assim rotações, translações, homotetias, simetrias, inversões e um 
pouco de homologia eram técnicas usadas para matar 
geometricamente inúmeros problemas e desenvolver nossa capacidade 
de ver  geometricamente.   Hoje, embora haja inúmeros textos bem 
escritos sobre todos estes assuntos, a maioria não possui o 
desejado viés puramente geométrico.


Naturalmente, como você comentou, há a informação abundante 
disponível na Internet (aliás sou frequentador assíduo dos sites 
que você mencionou: são MUITO bons  (  www.cut-the-knot.org 
e  www.nrich.maths.org  ) mas o trabalho escolar sobre os temas 
praticamente desapareceu.


Hoje, não há cursos de construções geométricas na escola 
formal.  Depois neguinho estranha a atrofia reinante no lado 
direito do cérebro da galera - o que não se usa atrofia, né - e os 
neurônios não usados vão pro beleléu :-).


É isto: tão faltando por ai uma boa dúzia de clones do prof Wagner 
(um craque) ...


Abraços,
Nehab


_
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http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d


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