[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos e equações
Opa mestre Claudio, muito obrigado, gostei da solução. Douglas Oliveira Em qua, 17 de jun de 2020 17:00, Claudio Buffara escreveu: > Aquele 1+i sugere que se forme uma equação em z, onde z = (1+i)/raiz(2) * > x, ou seja, cujas raízes sejam as da equação original giradas de 45 graus > no sentido anti-horário e sem coeficientes complexos. > z = (1+i)/raiz(2) * x ==> x = (1-i)/raiz(2) * z > Assim, x^4 + 4(1+i)x + 1 = 0 ==> -z^4 + 4*raiz(2)*z + 1 = 0 > Consideremos f(z) = z^4 - 4*raiz(2)*z - 1 (multiplicar os coeficientes > por -1 não altera as raízes). > f(-1) = 4*raiz(2) > 0 > f(0) = -1 < 0 > f(raiz(2)) = -5 < 0 > f(2) =15 - 8*raiz(2) > 0 ==> f tem (pelo menos) duas raízes reais: uma > entre -1 e 0 e outra entre raiz(2) e 2. > Mas f'(z) = 4z^3 - 4*raiz(2) ==> f'(z) < 0 para z < 2^(1/6) (logo, para z > < 0) e f'(z) > 0 para z > 2^(1/6) (logo, para z > raiz(2)), de modo que > estas são as únicas raízes reais de f. > Se duas das raízes da equação original, ao serem giradas de 45 graus no > sentido anti-horário, se tornam reais, então aquelas raízes estavam na reta > Im(z) = -Re(z). > Além disso, como, após giradas, uma se tornou negativa e a outra positiva, > isso significa que a primeira está no 2o quadrante e a segunda no 4o > quadrante. > > Dadas as magnitudes das raízes giradas (a primeira entre -1 e 0 e a > segunda maior do que raiz(2)), também concluímos que a soma delas está no > 4o quadrante, ou seja, é da forma p*(1-i), com p > 0. > Além disso, o produto delas é da forma (1/q)*i, com q > 0. > > Chame as outras duas raízes da equação original de a e b. > Então, como a soma das raízes é zero, vale a+b = -p(1-i) = p(-1+i): um > ponto do 2o quadrante sobre a reta Im(z) = -Re(z) (1) > Como o produto das raízes é 1, vale a*b = -q*i, um ponto do eixo > imaginário negativo > A localização do produto a*b implica que a/|a| e b/|b| são números > complexos (de módulo unitário) e simétricos em relação à reta Im(z) = > -Re(z) (2) > (1) e (2) implicam que a e b têm o mesmo módulo R > > (2) também implica que, sobre a e b: > OU ambos pertencem ao 2o quadrante > OU um deles pertence ao 1o e o outro ao 3o quadrante > OU ambos pertencem ao 4o quadrante. > > De cara dá pra eliminar a última alternativa, já que isso implicaria que > a+b pertence ao 4o quadrante, o que não é o caso. > > Resta eliminar a 1a alternativa. > Assim, suponhamos que a e b pertencem ao 2o quadrante. > > Neste caso, a+b = p(-1+i) ==> |a+b| = p*raiz(2) > R*raiz(2) ==> 2*p^2 > > 2*R^2 > E também, de qualquer jeito, ab = -qi ==> q = R^2 > > Da equação, também sabemos que ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0 ==> > ab + cd + (a+b)(c+d) = 0 ==> > -q*i + (1/q)*i + p(-1+i)*p*(1-i) = 0 ==> > 1/q - q + 2p^2 = 0 > 1/q - q + 2R^2 < 0 ==> > 1/R^2 - R^2 + 2*R^2 < 1/R^2 + < 0 ==> contradição ==> a e b não pertencem > ao 2o quadrante. > > Logo, temos que concluir que, sobre as outras duas raízes, que uma > pertence ao 1o e a outra ao 3o quadrante. > > []s, > Claudio. > > > On Wed, Jun 17, 2020 at 9:01 AM Prof. Douglas Oliveira < > profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > >> Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da >> equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e >> percebi que existe uma em cada quadrante. >> >> Mas não consigo achar uma saída. >> >> Obrigado. >> Douglas Oliveira >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Números complexos e equações
Aquele 1+i sugere que se forme uma equação em z, onde z = (1+i)/raiz(2) * x, ou seja, cujas raízes sejam as da equação original giradas de 45 graus no sentido anti-horário e sem coeficientes complexos. z = (1+i)/raiz(2) * x ==> x = (1-i)/raiz(2) * z Assim, x^4 + 4(1+i)x + 1 = 0 ==> -z^4 + 4*raiz(2)*z + 1 = 0 Consideremos f(z) = z^4 - 4*raiz(2)*z - 1 (multiplicar os coeficientes por -1 não altera as raízes). f(-1) = 4*raiz(2) > 0 f(0) = -1 < 0 f(raiz(2)) = -5 < 0 f(2) =15 - 8*raiz(2) > 0 ==> f tem (pelo menos) duas raízes reais: uma entre -1 e 0 e outra entre raiz(2) e 2. Mas f'(z) = 4z^3 - 4*raiz(2) ==> f'(z) < 0 para z < 2^(1/6) (logo, para z < 0) e f'(z) > 0 para z > 2^(1/6) (logo, para z > raiz(2)), de modo que estas são as únicas raízes reais de f. Se duas das raízes da equação original, ao serem giradas de 45 graus no sentido anti-horário, se tornam reais, então aquelas raízes estavam na reta Im(z) = -Re(z). Além disso, como, após giradas, uma se tornou negativa e a outra positiva, isso significa que a primeira está no 2o quadrante e a segunda no 4o quadrante. Dadas as magnitudes das raízes giradas (a primeira entre -1 e 0 e a segunda maior do que raiz(2)), também concluímos que a soma delas está no 4o quadrante, ou seja, é da forma p*(1-i), com p > 0. Além disso, o produto delas é da forma (1/q)*i, com q > 0. Chame as outras duas raízes da equação original de a e b. Então, como a soma das raízes é zero, vale a+b = -p(1-i) = p(-1+i): um ponto do 2o quadrante sobre a reta Im(z) = -Re(z) (1) Como o produto das raízes é 1, vale a*b = -q*i, um ponto do eixo imaginário negativo A localização do produto a*b implica que a/|a| e b/|b| são números complexos (de módulo unitário) e simétricos em relação à reta Im(z) = -Re(z) (2) (1) e (2) implicam que a e b têm o mesmo módulo R (2) também implica que, sobre a e b: OU ambos pertencem ao 2o quadrante OU um deles pertence ao 1o e o outro ao 3o quadrante OU ambos pertencem ao 4o quadrante. De cara dá pra eliminar a última alternativa, já que isso implicaria que a+b pertence ao 4o quadrante, o que não é o caso. Resta eliminar a 1a alternativa. Assim, suponhamos que a e b pertencem ao 2o quadrante. Neste caso, a+b = p(-1+i) ==> |a+b| = p*raiz(2) > R*raiz(2) ==> 2*p^2 > 2*R^2 E também, de qualquer jeito, ab = -qi ==> q = R^2 Da equação, também sabemos que ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0 ==> ab + cd + (a+b)(c+d) = 0 ==> -q*i + (1/q)*i + p(-1+i)*p*(1-i) = 0 ==> 1/q - q + 2p^2 = 0 1/q - q + 2R^2 < 0 ==> 1/R^2 - R^2 + 2*R^2 < 1/R^2 + < 0 ==> contradição ==> a e b não pertencem ao 2o quadrante. Logo, temos que concluir que, sobre as outras duas raízes, que uma pertence ao 1o e a outra ao 3o quadrante. []s, Claudio. On Wed, Jun 17, 2020 at 9:01 AM Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da > equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e > percebi que existe uma em cada quadrante. > > Mas não consigo achar uma saída. > > Obrigado. > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Números complexos e equações
Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e percebi que existe uma em cada quadrante. Mas não consigo achar uma saída. Obrigado. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Números complexos (valor mínimo)
Olá amigos, gostaria de uma ajuda. Sem usar derivadas... Como calcular o valor mínimo de lz^4+z+1/2l^2 onde o modelo de z vale 1. Saudacoes Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Números complexos
Bom dia, Quais as raízes cúbicas de -1? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Números complexos
Olá pessoal, gostaria de saber se é possível resolver a equação: (x+i)^{4n}=Re(z) onde z é um número complexo qualquer e Re(z) denota a parte real de z.Isto é, em outras palavras gostaria de saber todos os valores de x para os quais (x+i)^{4n} é real .De cara, dá para ver que x=0 é um desses valores, mas como provo que esse é o único(ou não)... -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] [obm-l] Números Complexos
u=wi=>u=(zi)i=>u=zi^2.:u=-z. (alternativa "a") Mensagem original De : Daniel Rocha Data:10/07/2016 13:04 (GMT-03:00) Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] [obm-l] Números Complexos Alguém poderia, por favor, solucionar o problema abaixo: Os números complexos z, w, u são tais que w/z = u/w = i (i é a unidade imaginária). É correto afirmar que: a) z é oposto de u. b) z é o conjugado de u. c) z é o quadrado de u. d) z é igual a u. e) z é igual a u + w. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Números Complexos
Muito Obrigado, Carlos !!! Em 10 de julho de 2016 22:05, Carlos Gomes escreveu: > Olá Daniel, > > vc faz assim, > > Ora, como w/z=u/w=i, segue que w=i.z e u=i.w. Assim, > > u=i.w=i.(i.z)=i^2.z=-1.z=-z ==> z=-u , ou seja, z é o posto de u. > (Alternativa "a") > > Abraco, Cgomes. > > Em 10 de julho de 2016 13:04, Daniel Rocha > escreveu: > >> Alguém poderia, por favor, solucionar o problema abaixo: >> >> Os números complexos z, w, u são tais que w/z = u/w = i (i é a unidade >> imaginária). É correto afirmar que: >> >> a) z é oposto de u. >> b) z é o conjugado de u. >> c) z é o quadrado de u. >> d) z é igual a u. >> e) z é igual a u + w. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Números Complexos
Olá Daniel, vc faz assim, Ora, como w/z=u/w=i, segue que w=i.z e u=i.w. Assim, u=i.w=i.(i.z)=i^2.z=-1.z=-z ==> z=-u , ou seja, z é o posto de u. (Alternativa "a") Abraco, Cgomes. Em 10 de julho de 2016 13:04, Daniel Rocha escreveu: > Alguém poderia, por favor, solucionar o problema abaixo: > > Os números complexos z, w, u são tais que w/z = u/w = i (i é a unidade > imaginária). É correto afirmar que: > > a) z é oposto de u. > b) z é o conjugado de u. > c) z é o quadrado de u. > d) z é igual a u. > e) z é igual a u + w. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] [obm-l] Números Complexos
Alguém poderia, por favor, solucionar o problema abaixo: Os números complexos z, w, u são tais que w/z = u/w = i (i é a unidade imaginária). É correto afirmar que: a) z é oposto de u. b) z é o conjugado de u. c) z é o quadrado de u. d) z é igual a u. e) z é igual a u + w. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos
Ah sim, eu fui um pouco descuidado com o sinal _ o que quer dizer que eu errei :( mas a ideia está certa:) Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z1-z3)} = 0 => Im{(z1-z2)/(z1-z3)} = Im{(z 3-z2)/(z1-z3)} Aqui só se pode afirmar que Im{(z1-z2)/(z1-z3)} = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen Â, dependendo da orientação do triângulo (ou seja, dependendo se o complexo z1-z2 tem argumento maior do que o complexo z1-z3). Caso contrário seria ..sen - Â. Mas aí vc repara que independente da orientação, ambos Im{(z1 -z2)/(z1-z3)} e Im{(z3-z2)/(z1-z3)} tem o mesmo sinal. Daí, tendo em vista que sen (- Â) = - sen Â, segue o raciocínio normalmente. 2014-09-08 22:15 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : > Valeu, Willy! Só não ficou muito clara a seguinte passagem: > > Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z1-z3)} = 0 => |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen >  = |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C > > Como que a soma nula transformou-se em uma igualdade? > > Obrigado! > > > Em 8 de setembro de 2014 13:07, Willy George Amaral Petrenko < > wgapetre...@gmail.com> escreveu: > >> A = z1; B = z2; C = z3 >> >> (z1-z2) é o vetor correspondente ao lado c. (z1-z2)/(z1-z3) é um >> complexo que tem argumento igual ao ângulo Â. Então pela igualdade: >> >> (z1-z2)/(z1-z3) + (z2-z3)/(z1-z3) + 1 => Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3 >> )/(z1-z3)} = 0 => |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen  = |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C >> => |(z1-z2)| * sen  = |(z2-z3)| * sen C => c senA = a senC => a/senA = >> c/senC. cqd >> >> 2014-09-08 12:31 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : >> >> Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado >>> para prosseguir. >>> >>> Muito obrigado pela ajuda! >>> >>> Vanderlei >>> >>> Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko < >>> wgapetre...@gmail.com> escreveu: >>> Vc quer uma dica ou a solução? Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a ver com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária na igualdade acima, o 1 morre. Se quiser a solução responde. 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : > Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro > do Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números > complexos: > > *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B > e C, respectivamente, demonstre que * > > *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)* > > *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os > vértices do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – > z3)/(z3 – z1) + 1 = 0.* > > Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e > onde utilizar a identidade sugerida. > > Obrigado, > > Vanderlei > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos
Valeu, Willy! Só não ficou muito clara a seguinte passagem: Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z1-z3)} = 0 => |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen  = |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C Como que a soma nula transformou-se em uma igualdade? Obrigado! Em 8 de setembro de 2014 13:07, Willy George Amaral Petrenko < wgapetre...@gmail.com> escreveu: > A = z1; B = z2; C = z3 > > (z1-z2) é o vetor correspondente ao lado c. (z1-z2)/(z1-z3) é um complexo > que tem argumento igual ao ângulo Â. Então pela igualdade: > > (z1-z2)/(z1-z3) + (z2-z3)/(z1-z3) + 1 => Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3 > )/(z1-z3)} = 0 => |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen  = |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C > => |(z1-z2)| * sen  = |(z2-z3)| * sen C => c senA = a senC => a/senA = > c/senC. cqd > > 2014-09-08 12:31 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : > > Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado para >> prosseguir. >> >> Muito obrigado pela ajuda! >> >> Vanderlei >> >> Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko < >> wgapetre...@gmail.com> escreveu: >> >>> Vc quer uma dica ou a solução? >>> >>> Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a >>> ver com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária >>> na igualdade acima, o 1 morre. >>> >>> Se quiser a solução responde. >>> >>> 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : >>> Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos: *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente, demonstre que * *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)* *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) + 1 = 0.* Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde utilizar a identidade sugerida. Obrigado, Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos
A = z1; B = z2; C = z3 (z1-z2) é o vetor correspondente ao lado c. (z1-z2)/(z1-z3) é um complexo que tem argumento igual ao ângulo Â. Então pela igualdade: (z1-z2)/(z1-z3) + (z2-z3)/(z1-z3) + 1 => Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z 1-z3)} = 0 => |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen  = |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C => |(z1 -z2)| * sen  = |(z2-z3)| * sen C => c senA = a senC => a/senA = c/senC. cqd 2014-09-08 12:31 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : > Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado para > prosseguir. > > Muito obrigado pela ajuda! > > Vanderlei > > Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko < > wgapetre...@gmail.com> escreveu: > >> Vc quer uma dica ou a solução? >> >> Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a ver >> com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária na >> igualdade acima, o 1 morre. >> >> Se quiser a solução responde. >> >> 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : >> >>> Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do >>> Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos: >>> >>> *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e >>> C, respectivamente, demonstre que * >>> >>> *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)* >>> >>> *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices >>> do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) + >>> 1 = 0.* >>> >>> Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde >>> utilizar a identidade sugerida. >>> >>> Obrigado, >>> >>> Vanderlei >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos
Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado para prosseguir. Muito obrigado pela ajuda! Vanderlei Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko < wgapetre...@gmail.com> escreveu: > Vc quer uma dica ou a solução? > > Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a ver > com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária na > igualdade acima, o 1 morre. > > Se quiser a solução responde. > > 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : > >> Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do >> Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos: >> >> *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e >> C, respectivamente, demonstre que * >> >> *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)* >> >> *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices >> do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) + >> 1 = 0.* >> >> Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde >> utilizar a identidade sugerida. >> >> Obrigado, >> >> Vanderlei >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Números complexos
Vc quer uma dica ou a solução? Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a ver com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária na igualdade acima, o 1 morre. Se quiser a solução responde. 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : > Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do > Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos: > > *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e C, > respectivamente, demonstre que * > > *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)* > > *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices > do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) + > 1 = 0.* > > Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde > utilizar a identidade sugerida. > > Obrigado, > > Vanderlei > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Números complexos
Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos: *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente, demonstre que * *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)* *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) + 1 = 0.* Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde utilizar a identidade sugerida. Obrigado, Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos-Dúvida
Da equação |z+v|<=|z|+|v| podemos dizer |z|>=|z+v|-|v|, logo, |z|>=2sqrt(2). Uma outra maneira de pensar o problema é considerando que |z+v| representa a distância de z ao ponto -v, logo a equação |z+v|=3sqrt(2) representa uma circunferência de centro em -1-i e raio 3sqrt2, o modulo mínimo de z equivale à distância mínima de um ponto da circunferência à origem do sistema de modo que tal distância vale R-|v|=3sqrt(2)-sqrt(2)=2sqrt(2). From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Números complexos-Dúvida Date: Thu, 14 Oct 2010 01:02:44 + Considere o número complexo v=1+i.Se z é um número complexo tal que o módulo de (z+v) = 3*raiz(2),então qual o menor valor de módulo de z ?
[obm-l] Números complexos-Dú vida
Considere o número complexo v=1+i.Se z é um número complexo tal que o módulo de (z+v) = 3*raiz(2),então qual o menor valor de módulo de z ?
Re: [obm-l] Números complexos (FEIUC-67)
albert richerd carnier guedes wrote: Ficaria mais fácil se você colocasse a resposta do gabarito para comparar, mas vou mandar a resposta e você confirma. Comecemos com a forma a+ib de 1/(1-i) 1/( 1 - i ) = [1/( 1 - i )][( 1 + i )/( 1 + i )] = ( 1 + i )/2 = 1/2 + i/2 => a=1/2 e b=1/2 Para fazer em forma trigonométrica faça sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/sqrt(2) cos(x) = [ a/sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/2 ][ 1/sqrt( 1/2 ) ] = sqrt(2)/2 = 1/sqrt(2) sen(x) = b/sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/sqrt(2) onde denoto sqrt(x) como a raiz quadrada de x. Assim, temos que como cos(x) = 1/sqrt(2) então x=pi/4 portanto dá para fazer 1/( 1 - i ) = [ 1/sqrt(2) ][ cos(pi/4)+ i sen(pi/4) ] Claro que a resposta serve para todos os x na forma x= 2n pi + pi/4 = [ 8n + 1 ][ pi/4 ] onde n é um inteiro qualquer. Com -1/i fazemos -1/i = [-1/i][ i/i ] = i=> a=0 e b=1 Na forma trigonométrica sqrt( a^2 + b^2 ) = 1 cos(x) = 0 sen(x) = 1 logo , x= pi/2, o que fica -1/i = i*sen(pi/2) que também serve para x na forma x= 2n pi + pi/2 = [ 4n + 1 ][ pi/2 ] Confirma se corresponde ao gabarito e qualquer dúvida mande mais emails, falou ? Até mais. Olá, Albert, você repartiu o 1/(1-i) -1/i em dois números. No exercício tem somente um número complexo, que é o 1/(1-i) -1/i. Aproveitando o post, irei mostrar meus cálculos comparando com o gabarito. Calculando na forma a + bi: 1/(1-i) -1/i => [i -(1-i)]/i(1-i) => [(-1 + 2i)/(i+1)]*(i-1)/(i-1) => (-1 -3i)/-2 => 1/2 + 3i/2 Forma Trigonométrica de z = 1/2 + 3i/2 módulo = p p = sqrt(1/4 + 9/4) => sqrt(10)/2 cos(a) = (1/2)/sqrt(10)/2 => sqrt(10)/10 sen(b) = (3/2)/sqrt(10)/2 =>3*sqrt(10)/10 logo: z = [sqrt(10)/2] * [cos(arc sen[3*sqrt(10)/10] + i*sen(arc cos[sqrt(10)/10]] Gabarito: forma a + bi: 1/2 + 3i/2 forma trigonometrica: z = [sqrt(10)/2] * [cos(arc tg[3]) + i*sen(arc tg[3])] Abraço a todos! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Números complexos (FEIUC-67)
Emanuel Valente escreveu: Olá pessoal, estou enrroscado no seguinte exercício do livro antigo do Iezzi. Pra ser mais preciso: Vol. 6 pág 25f, exer 35. Escrever o número complexo 1/(1-i) -1/i na forma a+bi e na trigonométrica. A forma a+bi é fácil, mas a trigonométrica não está batendo com o gabarito. Obrigado a todos desde já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Ficaria mais fácil se você colocasse a resposta do gabarito para comparar, mas vou mandar a resposta e você confirma. Comecemos com a forma a+ib de 1/(1-i) 1/( 1 - i ) = [1/( 1 - i )][( 1 + i )/( 1 + i )] = ( 1 + i )/2 = 1/2 + i/2 => a=1/2 e b=1/2 Para fazer em forma trigonométrica faça sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/sqrt(2) cos(x) = [ a/sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/2 ][ 1/sqrt( 1/2 ) ] = sqrt(2)/2 = 1/sqrt(2) sen(x) = b/sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/sqrt(2) onde denoto sqrt(x) como a raiz quadrada de x. Assim, temos que como cos(x) = 1/sqrt(2) então x=pi/4 portanto dá para fazer 1/( 1 - i ) = [ 1/sqrt(2) ][ cos(pi/4)+ i sen(pi/4) ] Claro que a resposta serve para todos os x na forma x= 2n pi + pi/4 = [ 8n + 1 ][ pi/4 ] onde n é um inteiro qualquer. Com -1/i fazemos -1/i = [-1/i][ i/i ] = i=> a=0 e b=1 Na forma trigonométrica sqrt( a^2 + b^2 ) = 1 cos(x) = 0 sen(x) = 1 logo , x= pi/2, o que fica -1/i = i*sen(pi/2) que também serve para x na forma x= 2n pi + pi/2 = [ 4n + 1 ][ pi/2 ] Confirma se corresponde ao gabarito e qualquer dúvida mande mais emails, falou ? Até mais. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Números complexos (FEIUC-67)
Olá pessoal, estou enrroscado no seguinte exercício do livro antigo do Iezzi. Pra ser mais preciso: Vol. 6 pág 25f, exer 35. Escrever o número complexo 1/(1-i) -1/i na forma a+bi e na trigonométrica. A forma a+bi é fácil, mas a trigonométrica não está batendo com o gabarito. Obrigado a todos desde já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Números complexos e equações
Prezados, bom dia. Peço uma orientação para a resolução do seguinte problema: 1) Calcular a raiz quarta de (-1+i). Encontrei como solução ( expressão) geral: Z= (2)^1/8 [cos( 3*pi/16 +k*pi/2) + isen(3*pi/16 +k*pi/2) está correto ? 2) Qual o polinômio de menor grau possível de coeficientes inteiros, de tal modo que: (1+ raiz de 3) ,i , raiz de três, e 1/4 sejam raizes de p(x) . Mais uma vez obrigado. Bruno - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
[obm-l] Números Complexos
Seja z=(a+1)^3, escreva o número complexo Z na forma z=x+iy, sendo X e Y números reais. Como fazer? / \ /| |'-. .\__/ || | | _ / `._ \|_|_.-' | / \__.`=._) (_ Júnior |/ ._/ |"| |'. `\ | | Desenvolvedor de Softwares ;"""/ / | | Seja Livre - Use Linux ) /_/| |.---.| E-mail:[EMAIL PROTECTED] ' `-` ' " " Msn:[EMAIL PROTECTED] ___ Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Complexos
Olá Ronaldo!!! Agradeço deveras sua atenção e de todo pessoal que porventura possa me ajudar. Abraços!!! On 3/13/06, Ronaldo Luiz Alonso <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Estou repetindo uma mensagem que havia postado na semana passada, pois > > não houve respostas: > > Esse problema é complicado para provar, assim de sopetão ... > Estou c/ pouco tempo agora. > Mas vou analisar em casa com calma e se conseguir alguma coisa > significativa > eu coloco aqui (se alguém não o fizer antes). > > []s > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > -- Henrique "Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão pequeno que não possa ensinar." = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Números Complexos
Estou repetindo uma mensagem que havia postado na semana passada, pois não houve respostas: Esse problema é complicado para provar, assim de sopetão ... Estou c/ pouco tempo agora. Mas vou analisar em casa com calma e se conseguir alguma coisa significativa eu coloco aqui (se alguém não o fizer antes). []s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Números Complexos
Olá pessoal da lista!!! Estou repetindo uma mensagem que havia postado na semana passada, pois não houve respostas: Estou lendo um artigo em inglês sobre números complexos e gostaria de saber como mostrar o seguinte (tentarei colocar traduzido): O algoritmo de Euclides para números complexos é uma conseqüência do algoritmo de Euclides para inteiros. Se alfa é um número complexo e se beta é um número complexo não nulo, então existe um número complexo gama tal que o número complexo delta = alfa - beta * gama satisfaz a inequação delta' * delta < beta' * beta. O número gama é escolhido de forma que o número complexo beta' * alfa - beta' * beta * gama é igual a u + v * i para inteiros u e v os quais satisfazem as inequações -beta' * beta <= 2 * u <= beta' * beta e -beta' * beta <= 2 * v <= beta' * beta. A inequação 4 * u^2 + 4 * v^2 <= 2 * (beta' * beta)^2 é então satisfeita. Desde que beta' * delta = u + v * i a inequação (beta' * beta) * (delta' * delta) <= u^2 + v^2 é satisfeita. Desde que beta' * beta seja positivo, a inequação 2 * delta' * delta <= beta' * beta é satisfeita. O apóstrofo representa o conjugado e i representa a parte imaginária do número complexo. Qualquer problema com relação ao exposto, posso enviar o arquivo pdf do artigo em anexo. Este artigo pode ser achado em pdf: http://www.math.purdue.edu/~branges/site/Papers Acho que esta página foi colocada no ar após matemáticos da Universidade de Purdue disserem ter provado a Hipótese de Riemann, mas dias depois foi disponibilizado outro arquivo com uma desculpa porque a prova estava errada. O que escrevi acima para sanar minhas dúvidas está no arquivo "Complex Analysis - Chapter 1". Espero que alguém responda para tirar minha dúvida, pois sozinho estou com muitas dificuldades em entender esta parte do artigo e não sei se é fundamental para um bom entendimento dos artigos com as supostas provas da Hipótese de Riemann. Estou há um tempo estudando a Hipótese de Riemann desde que eu adquiri o livro "Os Problemas do Milênio" do autor Keith Devlin. Após terminar de ler o primeiro capítulo, que é sobre a hipótese, fui atrás de mais literatura sobre o assunto e achei o livro "Prime Obsession" do autor John Derbyshire. Acabando de ler este último fui atrás de outras fontes e achei uma mensagem aqui na lista da OBM postado pelo Demétrio. Enfim, agradeço pela atenção ao ler minha mensagem. Fico no aguardo de uma ajuda. Abraços!!! -- Henrique "Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão pequeno que não possa ensinar." = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Números complexos
Olá pessoal da lista!!! Estou lendo um artigo em inglês sobre números complexos e gostaria de saber como mostrar o seguinte (tentarei colocar traduzido): O algoritmo de Euclides para números complexos é uma conseqüência do algoritmo de Euclides para inteiros. Se alfa é um número complexo e se beta é um número complexo não nulo, então existe um número complexo gama tal que o número complexo delta = alfa - beta * gama satisfaz a inequação delta' * delta < beta' * beta. O número gama é escolhido de forma que o número complexo beta' * alfa - beta' * beta * gama é igual a u + v * i para inteiros u e v os quais satisfazem as inequações -beta' * beta <= 2 * u <= beta' * beta e -beta' * beta <= 2 * v <= beta' * beta. A inequação 4 * u^2 + 4 * v^2 <= 2 * (beta' * beta)^2 é então satisfeita. Desde que beta' * delta = u + v * i a inequação (beta' * beta) * (delta' * delta) <= u^2 + v^2 é satisfeita. Desde que beta' * beta seja positivo, a inequação 2 * gama' * gama <= beta' * beta é satisfeita. O apóstrofo representa o conjugado e i representa a parte imaginária do número complexo. Qualquer problema com relação ao exposto, posso enviar o arquivo pdf do artigo em anexo. Abraços!!! -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] números complexos
Olá, Estava estudando números complexos e tive a seguinte dúvida: Quais as propriedades de polinômios eu posso utilizar ao operar com números complexos?? por exemplo, na equação w^2 + |w| = 0, poderia afirmar q a soma das raizes é igual a 0? Sejam a e b números reais não nulos e Z1 = a + bi uma das raízes n-ésima da unidade. 1/Z1 é uma das raízes da unidade? 512 =(2 - 2i)^n , n é inteiro? Abraços Vinícius Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
Re: [obm-l] Números complexos
Z^2=2(1+2i-1)=4i w^3=1+3iraiz3-9-i3raiz3=-8 w^6=w^3*w^3=64 z^4=z^2*z^2=-16 logo m=modulo^2((64-48+4i)/(4i-8+6-2i))=modulo^2((16+4i)/(-2+2i))= =modulo^2[(8+2i)/(i-1)]=modulo^2[(8i+8-2+2i)/-2]= =modulo^2[-5i-3]=34 alternativa a vc pode tentar obter o resultado transformando z e w para a forma polar e depois achar z^4,w^3, etc, mas neste caso vc tem que prestar atenção na hora de encontrar o angulo polar, se vc colocar o angulo errado, o resultado sairá errado e vc vai perder muito tempo na questão, caso tenha alguma duvida sobre isso e so me responder. Um abraço, saulo. Em 25 Jul 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: >--> Alguém pode me ajudar nessa questão do ITA? > > Considere os números complexos: > > z = 2 + i2 e w = 1 + i3 > > Se m = |w^6 + 3z^4 + 4i / z^2 + w^3 + 6 -2i| ^ 2, então m vale: > > a) 34 > b) 26 > c) 16 > d) 4 > e) 1 > > --> Outra coisa, alguém sabe onde posso encontrar conceitos sobre Princípio da Indução Finita ? > > Desde já agradeço, > > Daniele. > >-- _ Quer mais velocidade? Só com o acesso Aditivado iG, a velocidade que você quer na hora que você precisa. Clique aqui: http://www.acessoaditivado.ig.com.br
[obm-l] Números complexos..Obrigado Rafael
Olá! Rafael, tudo bem? Muito obrigado pelo site e pela resolução..você tem alguma prova do ita de 1980 ou 90 pra frente? No que eu puder ajudar, conte comigo! Desde já agradeço, Daniele. Yahoo! Mail agora ainda melhor: 100MB, anti-spam e antivírus grátis!
[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos
Rogério, muito obrigado por resolvido a questão ! Saudações, Daniele. Yahoo! Mail agora ainda melhor: 100MB, anti-spam e antivírus grátis!
Re: [obm-l] Números complexos
Olá! Daniel! Muito obrigado pelo site. Saudações, Daniele. Yahoo! Mail agora ainda melhor: 100MB, anti-spam e antivírus grátis!
Re: [obm-l] Números complexos
> > --> Outra coisa, alguém sabe onde posso encontrar > conceitos sobre Princípio da Indução Finita ? > Daniele. > http://www.obm.org.br/eureka/artigos/inducao.pdf []s daniel ___ Yahoo! Mail agora com 100MB, anti-spam e antivírus grátis! http://br.info.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos
Olá Daniele, pense na representação vetorial de z e w: ambos têm módulo 2, com ângulos de 45 e 60 graus respectivamente. Portanto, m vale | [(64) + (-48) + (4i)] / [(4i) + (-8) + (6) - (2i)] | ^ 2 ou seja, | (16+4i) / (-2+2i) | ^ 2 = (256+16)/(4+4) = 34 Assim, letra "a" é a resposta. []'s Rogério. --- --> Alguém pode me ajudar nessa questão do ITA? Considere os números complexos: z = √2 + i√2 e w = 1 + i√3 Se m = |w^6 + 3z^4 + 4i / z^2 + w^3 + 6 -2i| ^ 2, então m vale: a) 34 b) 26 c) 16 d) 4 e) 1 --> Outra coisa, alguém sabe onde posso encontrar conceitos sobre Princípio da Indução FFinita ? Desde já agradeço, Daniele. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Números complexos
--> Alguém pode me ajudar nessa questão do ITA? Considere os números complexos: z = √2 + i√2 e w = 1 + i√3 Se m = |w^6 + 3z^4 + 4i / z^2 + w^3 + 6 -2i| ^ 2, então m vale: a) 34 b) 26 c) 16 d) 4 e) 1 --> Outra coisa, alguém sabe onde posso encontrar conceitos sobre Princípio da Indução FFinita ? Desde já agradeço, Daniele. Yahoo! Mail agora ainda melhor: 100MB, anti-spam e antivírus grátis!
[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos e outro
Olá Pedro, Os problemas 2 e 3 já foram resolvidos. O problema 1 pode ser resolvido facilmente pela aplicação de dois teoremas, um dos quais foi colocado no enunciado. TEOREMA 1: Se r é o resto da divisão de a por b então o resto da divisão de a^n por b é igual ao resto da divisão de r ^n por b. TEOREMA 2: Se r é o resto da divisão de a por 9, então r é o resto da divisão da soma dos algarismos de a por 9. RESOLUÇÃO POSSÍVEL PARA O PROBLEMA 1: Adote a seguinte notação: r(a, b) - resto da divisão de a por b. Aplicando o teorema 2 sucessivas vezes, teremos: r(5342177,9)= r(5+3+4+2+1+7+7,9)= r(29,9)=r(2+9,9)=r(11,9)=r(1+1,9)=2 Aplicando o teorema 1 e depois o teorema 2 sucessivas vezes: r(5342177^8,9)=r(2^8,9)=r(256,9)=r(2+5+6,9)=r(13,9)=r(1+3,9)=4 Resposta: 4 Abraços, Rogério Moraes de Carvalho -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of pedro rajão Sent: sábado, 29 de maio de 2004 18:09 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Números complexos e outro Olá Eis alguns exercícios : 1 ] Sejam a e b dois números naturais com b # 0 . Se r é oresto da divisão de a por b então o resto da divisão de a^n por b é igual ao resto da divisão de r ^n por b . Utilizando este teorema , calcular o resto da divisão de [5342177]^8 por 9. 2 ] ITA - As raízes de ordem 4 do número z=e^Pi*i/2 , onde i é a unidade imaginária , são [na forma trigonométrica] ? 3 ] ITA - Seja S o conjunto dos números complexos que satisfazem, simultaneamente às equções | z - 3 i | = 3 e | z + i | = | z - 2 - i | O produto de todos os elememtos de S é iguaL a ? _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Números complexos e outro
putz, ki vacilo! na prova eu ja tinha rodado!... vamo ve se esse ano a prova vai ta mais facinha :-) > Um errinho bobo na primeira raiz: onde está pi/2 é pi/8. > > === === > Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 > CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br > Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 > Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online > > > -- Original Message --- > From: "Osvaldo" <[EMAIL PROTECTED]> > To: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Sat, 29 May 2004 19:35:33 -0300 > Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Números complexos e outro > > > 2° ex. > > > > Usando a def. de exponencial complexa, mesmo assim > > temos: > > > > z=e^Pi*i/2 =e^(0+i.pi/2)=e^0.(cos(pi/2)+i.sen (pi/2)) > > > > Assim as raízes quartas de z são da forma: > > > > z_k=1^4.{cos[(pi/2+2kpi)/4]+i.sen[(pi/2+2kpi)/4] para > > k=0,1,2,3. > > > > Assim as raizes são: > > > > z_1=1.(cos(pi/2)+i.sen(pi/2)) > > z_2=1.(cos(5pi/8)+i.sen(5pi/8)) > > z_3=1.(cos(9pi/8)+i.sen(9pi/8)) > > z_4=1.(cos(13pi/8)+i.sen(13pi/8)) > > > > Axo que deva ser isto. A definição de exp.complexa é > > fundamental para o estudo de números complexos (no > > ensino médio não creio que seja dada, eu vi semestre > > passado.) A definição é a seguinte: e^(x+i.y)= > > e^x.(cosy+i.seny). Para encontrar e^i faça a expansão > > da exponencial supondo que esta satisfaça as prop. do > > corpo dos reais, desta maneira separe os termos de > > ordem par dos de ordem impar. > > > > falow ai > > > > > Olá > > > > > > Eis alguns exercícios : > > > > > > 1 ] Sejam a e b dois números naturais com b # 0 . Se > > r é oresto da divisão > > > de a por b então o resto da divisão de a^n por b é > > igual ao resto da divisão > > > de r ^n por b . Utilizando este teorema , calcular o > > resto da divisão de > > > [5342177]^8 por 9. > > > > > > 2 ] ITA - As raízes de ordem 4 do número > > z=e^Pi*i/2 , onde i é a unidade > > > imaginária , são [na forma trigonométrica] ? > > > > > > 3 ] ITA - Seja S o conjunto dos números complexos > > que satisfazem, > > > simultaneamente às equções > > > | z - 3 i | = 3 e | z + i | = | z - 2 - i | > > > O produto de todos os elememtos de S é iguaL a ? > > > > > > > > ___ > > __ > > > MSN Messenger: converse com os seus amigos online. > > > http://messenger.msn.com.br > > > > > > > > === > > == > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm- l.html > > > > > === > > == > > > > > > > Atenciosamente, > > > > Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira > > Osvaldo Mello Sponquiado > > Usuário de GNU/Linux > > > > ___ ___ > > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. > > AntiPop-up UOL - É grátis! > > http://antipopup.uol.com.br/ > > > > === == > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > === == > --- End of Original Message --- > > === == > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > === == > Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Re:[obm-l] Números complexos e outro
Seja z=x+iy pert. a C. (x e y reais) I) | z - 3 i |=| x+iy - 3 i |=sqrt(x^2+(y-3)^2)=3=> x^2+(y-3)^2=3 II)| z + i |=| x+iy + i |=sqrt(x^2+(y+1) ^2)=| z - 2 - i |=| x+iy - 2 - i |=sqrt((x-2)^2+(y-1) ^2)=>(x-2)^2+(y-1)^2=x^2+(y+1)^2<=>-4x+4- 4y=0<=>x+y=1=>y=1-x Substituindo o resultado de II em I, vem que: x^2+(1-x-3)^2=3<=>x^2+(-x-2)^2=3<=>2x^2+4x+1=0=> x_1 = -1+sqrt(2)/2=>y_1=2-sqrt(2)/2 x_2 = -1-sqrt(2)/2=>y_2=2+sqrt(2)/2 Assim temos dois complexos no conjunto S: z_1=-1+sqrt(2)/2+i.(2-sqrt(2)/2) z_2=-1-sqrt(2)/2+i.(2+sqrt(2)/2) Fazendo o produto destes dois complexos, temos: z_1.z_2=(1/2 - 7/2)+i.[(-1+sqrt(2)/2).(2+sqrt(2)/2)+ (2-sqrt(2)/2).(-1-sqrt(2)/2)]=-3+i.(-2+1/2+sqrt(2)-sqrt (2)/2-2+1/2-sqrt(2)+sqrt(2)/2)=-3-3i Bom, acho que é isso.. falow cara! > > 3 ] ITA - Seja S o conjunto dos números complexos > que satisfazem, > > simultaneamente às equções > > | z - 3 i | = 3 e | z + i | = | z - 2 - i | > > O produto de todos os elememtos de S é iguaL a ? > > > > > > __ > > MSN Messenger: converse com os seus amigos online. > > http://messenger.msn.com.br > > > > > === > == > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > === > == > > > > Atenciosamente, > > Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira > Osvaldo Mello Sponquiado > Usuário de GNU/Linux > > > > ___ ___ > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. > AntiPop-up UOL - É grátis! > http://antipopup.uol.com.br/ > > > > === == > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > === == > Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Números complexos e outro
Um errinho bobo na primeira raiz: onde está pi/2 é pi/8. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: "Osvaldo" <[EMAIL PROTECTED]> To: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sat, 29 May 2004 19:35:33 -0300 Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Números complexos e outro > 2° ex. > > Usando a def. de exponencial complexa, mesmo assim > temos: > > z=e^Pi*i/2 =e^(0+i.pi/2)=e^0.(cos(pi/2)+i.sen(pi/2)) > > Assim as raízes quartas de z são da forma: > > z_k=1^4.{cos[(pi/2+2kpi)/4]+i.sen[(pi/2+2kpi)/4] para > k=0,1,2,3. > > Assim as raizes são: > > z_1=1.(cos(pi/2)+i.sen(pi/2)) > z_2=1.(cos(5pi/8)+i.sen(5pi/8)) > z_3=1.(cos(9pi/8)+i.sen(9pi/8)) > z_4=1.(cos(13pi/8)+i.sen(13pi/8)) > > Axo que deva ser isto. A definição de exp.complexa é > fundamental para o estudo de números complexos (no > ensino médio não creio que seja dada, eu vi semestre > passado.) A definição é a seguinte: e^(x+i.y)= > e^x.(cosy+i.seny). Para encontrar e^i faça a expansão > da exponencial supondo que esta satisfaça as prop. do > corpo dos reais, desta maneira separe os termos de > ordem par dos de ordem impar. > > falow ai > > > Olá > > > > Eis alguns exercícios : > > > > 1 ] Sejam a e b dois números naturais com b # 0 . Se > r é oresto da divisão > > de a por b então o resto da divisão de a^n por b é > igual ao resto da divisão > > de r ^n por b . Utilizando este teorema , calcular o > resto da divisão de > > [5342177]^8 por 9. > > > > 2 ] ITA - As raízes de ordem 4 do número > z=e^Pi*i/2 , onde i é a unidade > > imaginária , são [na forma trigonométrica] ? > > > > 3 ] ITA - Seja S o conjunto dos números complexos > que satisfazem, > > simultaneamente às equções > > | z - 3 i | = 3 e | z + i | = | z - 2 - i | > > O produto de todos os elememtos de S é iguaL a ? > > > > > ___ > __ > > MSN Messenger: converse com os seus amigos online. > > http://messenger.msn.com.br > > > > > === > == > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > === > == > > > > Atenciosamente, > > Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira > Osvaldo Mello Sponquiado > Usuário de GNU/Linux > > __ > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. > AntiPop-up UOL - É grátis! > http://antipopup.uol.com.br/ > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Números complexos e outro
2° ex. Usando a def. de exponencial complexa, mesmo assim temos: z=e^Pi*i/2 =e^(0+i.pi/2)=e^0.(cos(pi/2)+i.sen(pi/2)) Assim as raízes quartas de z são da forma: z_k=1^4.{cos[(pi/2+2kpi)/4]+i.sen[(pi/2+2kpi)/4] para k=0,1,2,3. Assim as raizes são: z_1=1.(cos(pi/2)+i.sen(pi/2)) z_2=1.(cos(5pi/8)+i.sen(5pi/8)) z_3=1.(cos(9pi/8)+i.sen(9pi/8)) z_4=1.(cos(13pi/8)+i.sen(13pi/8)) Axo que deva ser isto. A definição de exp.complexa é fundamental para o estudo de números complexos (no ensino médio não creio que seja dada, eu vi semestre passado.) A definição é a seguinte: e^(x+i.y)= e^x.(cosy+i.seny). Para encontrar e^i faça a expansão da exponencial supondo que esta satisfaça as prop. do corpo dos reais, desta maneira separe os termos de ordem par dos de ordem impar. falow ai > Olá > > Eis alguns exercícios : > > 1 ] Sejam a e b dois números naturais com b # 0 . Se r é oresto da divisão > de a por b então o resto da divisão de a^n por b é igual ao resto da divisão > de r ^n por b . Utilizando este teorema , calcular o resto da divisão de > [5342177]^8 por 9. > > 2 ] ITA - As raízes de ordem 4 do número z=e^Pi*i/2 , onde i é a unidade > imaginária , são [na forma trigonométrica] ? > > 3 ] ITA - Seja S o conjunto dos números complexos que satisfazem, > simultaneamente às equções > | z - 3 i | = 3 e | z + i | = | z - 2 - i | > O produto de todos os elememtos de S é iguaL a ? > > ___ __ > MSN Messenger: converse com os seus amigos online. > http://messenger.msn.com.br > > === == > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > === == > Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Números complexos e outro
Olá Eis alguns exercícios : 1 ] Sejam a e b dois números naturais com b # 0 . Se r é oresto da divisão de a por b então o resto da divisão de a^n por b é igual ao resto da divisão de r ^n por b . Utilizando este teorema , calcular o resto da divisão de [5342177]^8 por 9. 2 ] ITA - As raízes de ordem 4 do número z=e^Pi*i/2 , onde i é a unidade imaginária , são [na forma trigonométrica] ? 3 ] ITA - Seja S o conjunto dos números complexos que satisfazem, simultaneamente às equções | z - 3 i | = 3 e | z + i | = | z - 2 - i | O produto de todos os elememtos de S é iguaL a ? _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos como matriz
Realmente facilita, Cláudio. Se compararmos a dificuldade, para um computador, de se calcular uma matriz A^1999 com a de se extraírem 1999 raízes, não há o que comparar: o tempo disperdiçado com a primeira forma é gigantesco. Obrigado de novo! Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, March 18, 2004 11:13 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexoscomo matriz Se voce quiser... Mas admita que o isomorfismo facilita bastante... Isso eh verdade para as raizes n-esimas de qualquer complexo. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos como matriz
on 18.03.04 20:05, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > O raciocínio é esse mesmo? Ou só foi impressão minha que você está > pretendendo que eu fique calculando raízes complexas dessa coisa até a > morte > Se voce quiser... Mas admita que o isomorfismo facilita bastante... > Ahhh, me ocorreu outra coisa! Também não se poderia, geometricamente, pensar > que as 1999 raízes de z, ou ainda, as tais matrizes que você quer, formam um > 1999-ágono? Seria uma figura bem interessante... ;-) > Isso eh verdade para as raizes n-esimas de qualquer complexo. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Números complexos como matriz
Claudio, Primeiramente, obrigado pela informações sobre o assunto. Tanto as suas mensagens como a que o Artur escreveu foram muito elucidativas! Perdoe-me não ter respondido antes ao seu problema, estava pensando sobre ele. Aliás, mesmo que eu não tivesse respondido, não faria sentido pensar que não teria sido de meu interesse. O mais provável seria eu não ter encontrado alguma solução razoável... Para ser sincero, o que me ocorre é que o conjunto M terá 1999 elementos, pois: z = A = a -b b a 1 = I = 1 0 0 1 Assim, o problema se reduz a z^1999 = 1999, i.e., determinar as mil novecentas e noventa e nove (!!!) raízes de z, tais que reescritas na forma matricial seriam os elementos do conjunto M, e uma única dessas matrizes possuindo a_12 = a21 = 0, isto é, parte imaginária nula de z. O raciocínio é esse mesmo? Ou só foi impressão minha que você está pretendendo que eu fique calculando raízes complexas dessa coisa até a morte Ahhh, me ocorreu outra coisa! Também não se poderia, geometricamente, pensar que as 1999 raízes de z, ou ainda, as tais matrizes que você quer, formam um 1999-ágono? Seria uma figura bem interessante... ;-) Abraços e obrigado! Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, March 17, 2004 10:32 PM Subject: Re: [obm-l] Números complexos como matriz Alias, dentro do espirito dessa lista, e pra mostrar a utilidade e o poder desse conceito de isomorfismo, tente resolver este problema que caiu na OMMS em 1999: Seja M o conjunto de todas as matrizes da forma: a -b b a onde a e b sao numeros reais. Determine todas as matrizes A pertencentes a M tais que A^1999 = 1999*I. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Números complexos como matriz
--- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > on 18.03.04 14:25, Johann Peter Gustav Lejeune > Dirichlet at > [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Neste caso I e a identidade, certo? > Sim. > > Assim sendo, fazendo essa coisa classica, fica > algo como > (a+bi)^1999=1999.Podemos tentar escrever na > forma trigonometrica, levando > alguns fatos em conta... > Que fatos? Por exemplo, o modulo do complexo e (1999)^(1/1999).Agora se a+bi=r*e^(it), r=(a^2+b^2)^(1/2), podemos continuar a conta e tornar a questao trivial... > > Alias, > 1)O que e OMMS? > Olimpiada de Matematica de Muricapeba da Serra. > > 2)Como e que se escreve a forma trigonometrica > de uma matriz? > Se: > a + bi = R*(cos(t) + i*sen(t)) > entao: > a -b = R*cos(t) -R*sen(t) > baR*sen(t) R*cos(t) > > Engracado que voce tenha se interessado pelo > problema e o nao o Rafael, jah > que foi ele que originou toda a discussao... Na verdade eu ja tinha visto algo parecido antes quando era necessario saber quais naturais eram expressiveis como soma de n quadrados.Para n=2 podemos usar esse fato e um pouco de TN para achar os cabras...E uma forma modificada de inteiros de Gauss, por assim dizer. E tambem da para modificar um pouco e usar quaternions para verificar o caso n=4. > > > []s, > Claudio. > > > > Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> > wrote: > Alias, dentro do espirito dessa lista, e pra > mostrar a utilidade e o poder > desse conceito de isomorfismo, tente resolver > este problema que caiu na OMMS > em 1999: > > Seja M o conjunto de todas as matrizes da > forma: > a -b > b a > onde a e b sao numeros reais. > > Determine todas as matrizes A pertencentes a M > tais que A^1999 = 1999*I. > > []s, > Claudio. > > on 17.03.04 21:51, Claudio Buffara at > [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > on 17.03.04 22:11, Rafael at > [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > >> Pessoal, > >> > >> Eu estava lendo que existe um estudo sobre > números complexos, no qual um > >> número complexo z = a + bi pode ser tratado > como uma matriz quadrada 2x2 da > >> forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 = > a. Todas as propriedades dos > >> números complexos poderiam ser obtidas > através de matrizes, resultando em > >> processos que transformam as características > geométricas dos números > >> complexos em algo simples. > >> > >> Até agora, notei que a raiz quadrada do > determinante da matriz é o módulo de > >> z. Alguém conhece mais sobre o assunto? Como > se chama esse estudo? > >> > > Esse eh um exemplo de isomorfismo, no caso > entre dois corpos (conjuntos > > munidos de duas operacoes sujeitas as mesmas > regras que, digamos, o conjunto > > dos racionais com adicao e multiplicacao). > > > > Um isomorfismo entre os corpos A e B eh uma > bijecao f: A -> B tal que f(x+y) = > > f(x)+f(y) e f(xy) = f(x)f(y) para quaisquer > x, y em A. > > > > No seu caso, A = corpo dos complexos, munido > das duas operacoes usuais - > > adicao e multiplicacao) e B = corpo das > matrizes reais 2x2 da forma descrita > > acima, munido das operacoes de adicao e > multiplicacao de matrizes. > > > > Por e! xemplo, o polinomio caracteristico da > matriz: > > a -b > > b a > > eh p(x) = x^2 - 2ax + a^2 + b^2. > > Uma das raizes eh justamente a + bi. > > > > A existencia desse isomorfismo diz que, para > todos os efeitos, pelo menos > > quanto ao comportamento algebrico dos seus > elementos, A e B sao "o mesmo" > > corpo. > > > > []s, > > Claudio. > > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > > > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI > > CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA > INSIGNIA TRIBVERE > > Fields Medal(John Charles Fields) > > > > > Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra > sua conta agora! > > > = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Números complexos como matriz
Title: Re: [obm-l] Números complexos como matriz on 18.03.04 14:25, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: Neste caso I e a identidade, certo? Sim. Assim sendo, fazendo essa coisa classica, fica algo como (a+bi)^1999=1999.Podemos tentar escrever na forma trigonometrica, levando alguns fatos em conta... Que fatos? Alias, 1)O que e OMMS? Olimpiada de Matematica de Muricapeba da Serra. 2)Como e que se escreve a forma trigonometrica de uma matriz? Se: a + bi = R*(cos(t) + i*sen(t)) entao: a -b = R*cos(t) -R*sen(t) b a R*sen(t) R*cos(t) Engracado que voce tenha se interessado pelo problema e o nao o Rafael, jah que foi ele que originou toda a discussao... []s, Claudio. Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Alias, dentro do espirito dessa lista, e pra mostrar a utilidade e o poder desse conceito de isomorfismo, tente resolver este problema que caiu na OMMS em 1999: Seja M o conjunto de todas as matrizes da forma: a -b b a onde a e b sao numeros reais. Determine todas as matrizes A pertencentes a M tais que A^1999 = 1999*I. []s, Claudio. on 17.03.04 21:51, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: > on 17.03.04 22:11, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: > >> Pessoal, >> >> Eu estava lendo que existe um estudo sobre números complexos, no qual um >> número complexo z = a + bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da >> forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 = a. Todas as propriedades dos >> números complexos poderiam ser obtidas através de matrizes, resultando em >> processos que transformam as características geométricas dos números >> complexos em algo simples. >> >> Até agora, notei que a raiz quadrada do determinante da matriz é o módulo de >> z. Alguém conhece mais sobre o assunto? Como se chama esse estudo? >> > Esse eh um exemplo de isomorfismo, no caso entre dois corpos (conjuntos > munidos de duas operacoes sujeitas as mesmas regras que, digamos, o conjunto > dos racionais com adicao e multiplicacao). > > Um isomorfismo entre os corpos A e B eh uma bijecao f: A -> B tal que f(x+y) = > f(x)+f(y) e f(xy) = f(x)f(y) para quaisquer x, y em A. > > No seu caso, A = corpo dos complexos, munido das duas operacoes usuais - > adicao e multiplicacao) e B = corpo das matrizes reais 2x2 da forma descrita > acima, munido das operacoes de adicao e multiplicacao de matrizes. > > Por e! xemplo, o polinomio caracteristico da matriz: > a -b > b a > eh p(x) = x^2 - 2ax + a^2 + b^2. > Uma das raizes eh justamente a + bi. > > A existencia desse isomorfismo diz que, para todos os efeitos, pelo menos > quanto ao comportamento algebrico dos seus elementos, A e B sao "o mesmo" > corpo. > > []s, > Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] Números complexos como matriz
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: 2)Como e que se escreve a forma trigonometrica de uma matriz? Eu diria que é (sqrt(a^2+b^2))*| sin(t) -cos(t) | | cos(t) sin(t) | onde t=arctg(b/a) Se você fizer as contas, essa matriz aí é igual à original: | a -b | | b a | Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou" -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Números complexos como matriz
Neste caso I e a identidade, certo? Assim sendo, fazendo essa coisa classica, fica algo como (a+bi)^1999=1999.Podemos tentar escrever na forma trigonometrica, levando alguns fatos em conta... Alias, 1)O que e OMMS? 2)Como e que se escreve a forma trigonometrica de uma matriz? Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Alias, dentro do espirito dessa lista, e pra mostrar a utilidade e o poderdesse conceito de isomorfismo, tente resolver este problema que caiu na OMMSem 1999:Seja M o conjunto de todas as matrizes da forma:a -bb aonde a e b sao numeros reais.Determine todas as matrizes A pertencentes a M tais que A^1999 = 1999*I.[]s,Claudio.on 17.03.04 21:51, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote:> on 17.03.04 22:11, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote:> >> Pessoal,>> >> Eu estava lendo que existe um estudo sobre números complexos, no qual um>> número complexo z = a + bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da>> forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 = a. Todas as propriedades dos>> números complexos poderiam ser obtidas através de matrizes, resultando em>> processos que transformam as características geométricas dos números>> complexos em algo simples.>> >> Até agora, notei que a raiz quadrada do determinante da matriz é o módulo de>> z. Alguém conhece mais sobre o assunto? Como se chama esse estudo?>> > Esse eh um exemplo de isomorfismo, no caso entre dois corpos (conjuntos> munidos de duas operacoes sujeitas as mesmas regras que, digamos, o conjunto> dos racionais com adicao e multiplicacao).> > Um isomorfismo entre os corpos A e B eh uma bijecao f: A -> B tal que f(x+y) => f(x)+f(y) e f(xy) = f(x)f(y) para quaisquer x, y em A.> > No seu caso, A = corpo dos complexos, munido das duas operacoes usuais -> adicao e multiplicacao) e B = corpo das matrizes reais 2x2 da forma descrita> acima, munido das operacoes de adicao e multiplicacao de matrizes.> > Por exemplo, o polinomio caracteristico da matriz:> a -b> b a> eh p(x) = x^2 - 2ax + a^2 + b^2.> Uma das raizes eh justamente a + bi.> > A existencia desse isomorfismo diz que, para todos os efeitos, pelo menos> quanto ao comportamento algebrico dos seus elementos, A e B sao "o mesmo"> corpo.> > []s,> Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] Números complexos como matriz
Isto acontece quando ce tenta descrever os reais atraves de conjuntos de racionais.Eu ja deixei, ha dez mil anos atras(), algo assim na lista.Queria ate saber como Dedekind era bom em facas para cortes de reais...Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: on 17.03.04 22:11, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote:> Pessoal,> > Eu estava lendo que existe um estudo sobre números complexos, no qual um> número complexo z = a + bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da> forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 = a. Todas as propriedades dos> números complexos poderiam ser obtidas através de matrizes, resultando em> processos que transformam as características geométricas dos números> complexos em algo simples.> > Até agora, notei que a raiz quadrada do determinante da matriz é o módulo de> z. Alguém conhece mais sobre o assunto? Como se chama esse estudo?> Esse eh um exemplo de isomorfismo, no caso entre dois corpos (conjuntosmunidos de duas operacoes sujeitas as mesmas regras que, digamos, o conjuntodos racionais com adicao e multiplicacao).Um isomorfismo entre os corpos A e B eh uma bijecao f: A -> B tal que f(x+y)= f(x)+f(y) e f(xy) = f(x)f(y) para quaisquer x, y em A.No seu caso, A = corpo dos complexos, munido das duas operacoes usuais -adicao e multiplicacao) e B = corpo das matrizes reais 2x2 da forma descritaacima, munido das operacoes de adicao e multiplicacao de matrizes.Por exemplo, o polinomio caracteristico da matriz:a -bb aeh p(x) = x^2 - 2ax + a^2 + b^2.Uma das raizes eh justamente a + bi.A existencia desse isomorfismo diz que, para todos os efeitos, pelo menosquanto ao comportamento algebrico dos seus elementos, A e B sao "o mesmo"corpo.[]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] Números complexos como matriz
Alias, dentro do espirito dessa lista, e pra mostrar a utilidade e o poder desse conceito de isomorfismo, tente resolver este problema que caiu na OMMS em 1999: Seja M o conjunto de todas as matrizes da forma: a -b b a onde a e b sao numeros reais. Determine todas as matrizes A pertencentes a M tais que A^1999 = 1999*I. []s, Claudio. on 17.03.04 21:51, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: > on 17.03.04 22:11, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: > >> Pessoal, >> >> Eu estava lendo que existe um estudo sobre números complexos, no qual um >> número complexo z = a + bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da >> forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 = a. Todas as propriedades dos >> números complexos poderiam ser obtidas através de matrizes, resultando em >> processos que transformam as características geométricas dos números >> complexos em algo simples. >> >> Até agora, notei que a raiz quadrada do determinante da matriz é o módulo de >> z. Alguém conhece mais sobre o assunto? Como se chama esse estudo? >> > Esse eh um exemplo de isomorfismo, no caso entre dois corpos (conjuntos > munidos de duas operacoes sujeitas as mesmas regras que, digamos, o conjunto > dos racionais com adicao e multiplicacao). > > Um isomorfismo entre os corpos A e B eh uma bijecao f: A -> B tal que f(x+y) = > f(x)+f(y) e f(xy) = f(x)f(y) para quaisquer x, y em A. > > No seu caso, A = corpo dos complexos, munido das duas operacoes usuais - > adicao e multiplicacao) e B = corpo das matrizes reais 2x2 da forma descrita > acima, munido das operacoes de adicao e multiplicacao de matrizes. > > Por exemplo, o polinomio caracteristico da matriz: > a -b > b a > eh p(x) = x^2 - 2ax + a^2 + b^2. > Uma das raizes eh justamente a + bi. > > A existencia desse isomorfismo diz que, para todos os efeitos, pelo menos > quanto ao comportamento algebrico dos seus elementos, A e B sao "o mesmo" > corpo. > > []s, > Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos como matriz
Isto me parece mais um caso tipico de isomorfismo, que identifica o conjunto dos complexos - no caso, o corpop dos complexos - com o conjunto das matrizes -tambem um corpo - da forma que vc citou. Um isomorfismo eh uma bijecao entre dois corpos que preserva as operacoes de adicao e de multiplicacao neles definidas. Se A e B sao corpos e f:A-> B eh um isomorfismo, entao para todos x e y em A temos f(x+y) = f(x) + f(y) e f(x*y) = f(x)* f(y), onde + e * devem ser entendidas conforme definidas nos corpos A e B. Eh atraves de um isomorfismoque chegamos aa representacao dos complexos na forma a+ b*i, a qual nos permite considerar que numeros reais sao complexos com parte imaginaria nula. Tambem atraves de isomorfismo podemos idenficar o corpo das matrizes quadradas de ordem 1 e termo real com o corpo dos reais. Artur >-Original Message- >From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On >Behalf Of Rafael >Sent: Wednesday, March 17, 2004 10:12 PM >To: OBM-L >Subject: [obm-l] Números complexos como matriz > >Pessoal, > >Eu estava lendo que existe um estudo sobre números complexos, no qual um >número complexo z = a + bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da >forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 = a. Todas as propriedades dos >números complexos poderiam ser obtidas através de matrizes, resultando em >processos que transformam as características geométricas dos números >complexos em algo simples. > >Até agora, notei que a raiz quadrada do determinante da matriz é o módulo >de >z. Alguém conhece mais sobre o assunto? Como se chama esse estudo? > > >Obrigado, > >Rafael de A. Sampaio > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Números complexos como matriz
on 17.03.04 22:11, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Pessoal, > > Eu estava lendo que existe um estudo sobre números complexos, no qual um > número complexo z = a + bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da > forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 = a. Todas as propriedades dos > números complexos poderiam ser obtidas através de matrizes, resultando em > processos que transformam as características geométricas dos números > complexos em algo simples. > > Até agora, notei que a raiz quadrada do determinante da matriz é o módulo de > z. Alguém conhece mais sobre o assunto? Como se chama esse estudo? > Esse eh um exemplo de isomorfismo, no caso entre dois corpos (conjuntos munidos de duas operacoes sujeitas as mesmas regras que, digamos, o conjunto dos racionais com adicao e multiplicacao). Um isomorfismo entre os corpos A e B eh uma bijecao f: A -> B tal que f(x+y) = f(x)+f(y) e f(xy) = f(x)f(y) para quaisquer x, y em A. No seu caso, A = corpo dos complexos, munido das duas operacoes usuais - adicao e multiplicacao) e B = corpo das matrizes reais 2x2 da forma descrita acima, munido das operacoes de adicao e multiplicacao de matrizes. Por exemplo, o polinomio caracteristico da matriz: a -b b a eh p(x) = x^2 - 2ax + a^2 + b^2. Uma das raizes eh justamente a + bi. A existencia desse isomorfismo diz que, para todos os efeitos, pelo menos quanto ao comportamento algebrico dos seus elementos, A e B sao "o mesmo" corpo. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Números complexos como matriz
Pessoal, Eu estava lendo que existe um estudo sobre números complexos, no qual um número complexo z = a + bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 = a. Todas as propriedades dos números complexos poderiam ser obtidas através de matrizes, resultando em processos que transformam as características geométricas dos números complexos em algo simples. Até agora, notei que a raiz quadrada do determinante da matriz é o módulo de z. Alguém conhece mais sobre o assunto? Como se chama esse estudo? Obrigado, Rafael de A. Sampaio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Números complexos ?
Pedro, A que erro do autor você se refere sobre a questão dos prismas? - Original Message - From: "pedro rajão" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, March 04, 2004 2:32 AM Subject: [obm-l] Números complexos ? Prismas Quanto a essa questão é erro do autor. ALguém sabe me informar sobre algumas aplicações que utilizam números complexos e/ou suas utilidades ? [exemplos, sites ... ] 0.o = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Números complexos ?
Prismas Quanto a essa questão é erro do autor. ALguém sabe me informar sobre algumas aplicações que utilizam números complexos e/ou suas utilidades ? [exemplos, sites ... ] 0.o _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] números complexos
On Thu, Jan 22, 2004 at 12:48:31PM -0300, levi queiroz wrote: > > > Pessoal da lista por favor me tirem uma dúvida: > > e^(a.b.i)= e^( ( a.i )^b), somente quando a e b forem inteiros? Acho que você cometeu algum erro de digitação, o que você escreveu é falso mesmo para a e b inteiros. Será que você queria escrever isto: e^(a.b.i) = (e^(a.i))^b Suponho que i = (-1). Isto é verdade para b inteiro, a podendo ser qq número complexo. Para z complexo e w não inteiro a expressão z^w não é bem definida. Gostaríamos de escrever z^w = exp(w log(z)) mas log(z) não está bem definido, depende do corte. A equação e^(a.b.i) = (e^(a.i))^b para b não inteiro é correta para *alguma* interpretação do lado direito, i.e., para *algum* corte. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] números complexos
Pessoal da lista por favor me tirem uma dúvida: e^(a.b.i)= e^( ( a.i )^b), somente quando a e b forem inteiros?Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!
Re: [obm-l] Números complexos
Title: Re: [obm-l] Números complexos on 02.04.03 23:07, Ricardo Prins at [EMAIL PROTECTED] wrote: Primeira dúvida: existe representação gráfica da norma de um complexo? Sim, em 3 dimensoes. A norma de x + iy eh igual a (x^2+y^2) (outras pessoas dizem que a norma eh raiz(x^2+y^2), mas eu chamo isso de modulo. Assim, pra mim: modulo = raiz(norma). Cuidado que a nomenclatura nao eh padrao). De qualquer jeito, voce define a funcao N: R^2 --> R tal que: N(x,y) = x^2 + y^2 Fazendo o complexo x + iy corresponder ao par ordenado (x,y) voce tem a sua representacao grafica: e o paraboloide de revolucao: z = x^2 + y^2. Se N(x,y) = raiz(x^2+y^2), entao a representacao grafica sera a folha superior (localizada no semi-espaco z >= 0) do cone z^2 - x^2 - y^2 = 0 * outra dúvida: Seja z pertencente aos complexos. Determine z e o módulo do complexo 1 - z, sabendo-se que z é o complexo de módulo máximo tal que | z + sqrt(2)cis (pi)/3 | = 1. Tem certeza que eh cis(pi)/3? Isso eh igual a -1/3. Assim, voce vai ter | z - raiz(2)/3 | = 1 ==> z pertence a circunferencia de centro em (raiz(2)/3,0) e raio 1 ==> |z| eh maximo se z = 1 + raiz(2)/3 ==> | 1 - z | = raiz(2)/3. Por outro lado, se for cis(pi/3), voce terah: | z + raiz(2)*cis(pi/3) | = 1 ==> z pertence a circunferencia de centro em (-raiz(2)/2,-raiz(6)/2) e raio 1 ==> | z | eh maximo se z tambem pertencer a circunferencia de centro na origem e que tangencia externamente a circunferencia acima. z = x + iy ==> x/(-raiz(2)/2) = (1+raiz(2))/raiz(2) e y/(-raiz(6)/2) = (1+raiz(2))/raiz(2) ==> x = (1+raiz(2))(-1/2) e y = (1+raiz(2))*(-raiz(3)/2) ==> z = (1+raiz(2))*cis(4*pi/3) ==> | 1 - z | = | (3+raiz(2))/2 + i*(1+raiz(2))*(raiz(3)/2) | = raiz(20 + 12*raiz(2))/2 = raiz(5 + 3*raiz(2)) * e finalmente, prove que se x + x^ (- 1) = 2 cos n, então x^13 + x^(-13) = 2 cos 13n. x + 1/x = 2*cos(n) ==> x^2 - 2*cos(n)*x + 1 = 0 ==> x = cis(n) e x^(-1) = cis(-n) ou x = cis(-n) e x^(-1) = cis(n) ==> x^13 = cis(13n) e x^(-13) = cis(-13n) ou x^13 = cis(-13n) e x^(-13) = cis(13n) ==> de qualquer forma, x^13 + x^(-13) = 2*cos(13n)
Re: [obm-l] Números complexos
3) x^2 - x.2cosn +1 = 0 x = cosn (+-) i sen n x^13 = cos 13n (+-) i sen13n x^(-13) = cos 13n (-+) i sen 13n x^13 + x^(-13) = 2cos13n Ricardo Prins wrote: Primeira dúvida: existe representação gráfica da norma de um complexo? outra dúvida: Seja z pertencente aos complexos. Determine z e o módulo do complexo 1 - z, sabendo-se que z é o complexo de módulo máximo tal que | z + sqrt(2)cis (pi)/3 | = 1. e finalmente, prove que se x + x^ (- 1) = 2 cos n, então x^13 + x^(-13) = 2 cos 13n. MSN 8 helps ELIMINATE E-MAIL VIRUSES. Get 2 months FREE*.= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é =
[obm-l] Números complexos
Primeira dúvida: existe representação gráfica da norma de um complexo? outra dúvida: Seja z pertencente aos complexos. Determine z e o módulo do complexo 1 - z, sabendo-se que z é o complexo de módulo máximo tal que | z + sqrt(2)cis (pi)/3 | = 1. e finalmente, prove que se x + x^ (- 1) = 2 cos n, então x^13 + x^(-13) = 2 cos 13n. MSN 8 helps ELIMINATE E-MAIL VIRUSES. Get 2 months FREE*. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos
Pelo que sei, a razão histórica para o a aprecimento dos complexos foi, de fato, a tentativa de resover a equação x^2 = -1, isto é, achar raiz(-1). A existência de tal número, se não estou enganado, tornou-se patente por volta do Século XvII (não estou certo), quando um matemático italiano, Cardano, desenvolveu uma fórmula algebricamente perfeita para calcular as raizes de um caso especial (que não me lembro) de equação polinomial do 3º grau. A fórmula chocou os matemáticos da época, poiis envolvia radicais do segundo grau e, mesmo nos casos em que as raizes eram todas reais, os radicandos frequentemente tornavam-se negativos. A fórmula de Cardano apresenta pouco interesse prático, pois aplica-se a um caso muito particular que quase nunca ocorre na prática. Mas serviu para alertar os matemáticos de que havia algo além do conjunto dos reais , que , na época,provavelmente não tinha tal denominação. Criou-se então a famosa “unidade imaginária” i, denominação bastante infeliz mas que resistiu através dos séculos, em todas a línguas, creio eu. Na realidade , os “números reais” são tão imaginários quanto os imaginários. Ou, caso se prefira, podemos dizer que os imaginários são tão reais quanto os reais. Talvez por causa do nome “ïmaginário” para os complexos tenha-se chegado ao nome , também um tanto infeliz, de conjunto dos reais. Anos depois, Gauss, que estudou muito os complexos, deu aos mesmos a denominação de “complexos”, que muitos julgam ser infeliz mas que também resistiu ao tempo e é hoje o termo consagrado. Pela época de Gauss, creio eu, passou-se a ver os complexos de forma mais profunda, isto é , como uma estrutura algébrica , como um corpo bi-dimensional que apresenta as mesmas leias algébricas que os reais (não pode, porém , ser ordenado como os reais). Hoje, quase todos os livros apresentam os complexos como um corpo do tipo (a, b) a e b em R. Entretanto, a forma a+ bi ainda é usada, talvez para enfatizar o caráter de “número” que os complexos apresentam. Através de um isomofismo, podemos identificar o conjunto de pares (a, b) com o conjunto dos “números” a+bi. Isomorfismo é uma bijeção entre dois conjuntos que preserva características fundamentais, por exemplo f(a+b) = f(a) + f(b) e f(ab) = f(a) f(b), Um detalhe interesante. Existem espaços vetoriias n-dimensionais e até de dimensões infinitas. Seria de se esperar que houvesse corpos algébricos de dimensão superior a 2, mas não é o caso. Entretanto, uma vez li no newsgroup internacional sci.math que há corpos de dimensões infinitas. Espero ter ajudado Um abraço Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Eduardo Sent: Monday, February 10, 2003 1:02 PM To: Obm-L Subject: [obm-l] Números complexos Galera, estou com uma dúvida relacionada a números complexos, digamos que histórica. A primeira definição é i^2 =-1 ou a definição foi feita primeiramente para (a; b)x(c; d)? Abraços Edu
Re: [obm-l] Números complexos
A primeira. Em A matematica do Ensino Medio, volume 3, voce encontra uma mini-historia dos complexos. Morgado Eduardo wrote: Galera, estou com uma dúvida relacionada a números complexos, digamos que histórica. A primeira definição é i^2 =-1 ou a definição foi feita primeiramente para (a; b)x(c; d)? Abraços Edu
[obm-l] Números complexos
Galera, estou com uma dúvida relacionada a números complexos, digamos que histórica. A primeira definição é i^2 =-1 ou a definição foi feita primeiramente para (a; b)x(c; d)? Abraços Edu
Re: [obm-l] Números complexos...
> This is a multi-part message in MIME format. > > > Olá > > Gostaria de saber se eu posso usar a igualdade : > r(cos@ + isen@ )^n = r^n [ cos(n@) + isen(n@) ] para uma expressão dos reais do tipo : > ( cos@ + xsen@) ^ n aplicando o mesmo processo.. > > Obrigado... Não, isto não é válido. Artur > > -- OPEN Internet - o 1º Provedor do DF com anit-virus no servidor de e- mail! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Números complexos...
Olá Gostaria de saber se eu posso usar a igualdade : r(cos@ + isen@ )^n = r^n [ cos(n@) + isen(n@) ] para uma expressão dos reais do tipo : ( cos@ + xsen@) ^ n aplicando o mesmo processo.. Obrigado...
Re: [obm-l] Números Complexos
>- Original Message - >From: "Tonik" <[EMAIL PROTECTED]> >> >1) Obtenha o argumento de sen 40º + i cos 40º >> obviamente, 40º > >Não seria 50 graus? >Ângulos em graus: >sen 40 + i cos 40 = cos(90-40) + i sen(90-40) = cos 50 + i sen 50 >Logo, 50 graus. >Até mais >Vinicius Fortuna Muito bem notado, sabe aqueles exercicios que de tao simples lhe enganam por ilusao? entao, esse eh um deles para mim >5) Representando, no plano, as raizes complexas da equacao z^3 + 8 = 0, >obtem-se um triangulo. Calcule a area desse triangulo. >z^3 = -8 >modulo de z = 2 >As imagens das raizes da equaçao sao vertices de um triangulo equilatero >inscrito num circulo de centro na origem e raio 2. O lado vale 2raiz >de3 e a area vale 3raiz de 3. eh, uma forma facil de resolver :) sabendo-se do raio da circunferencia acha-se o volume do poligono inscrito, sendo este sempre regular pois originou das raizes de um numero complexo >6) (x+yi)^2 = x-yi >x^2-y^2 +2xyi = x-yi >x^2-y^2 = x e 2xy = -y >A segunda equaçao dah y=0 ou x = -(1/2) >Substituindo na primeira, x=0 ou x=1 no primeiro caso, y = (+-) [raiz de3]/2 no >segundo. >Ha quatro soluçoes: 0 ; 1 ; - 1/2 + (sqrt3)/2 ; - 1/2 - (sqrt3)/2 Eu tinha comecado a resolver pela forma polar da equacao e comecei a notar que a forma algebrica teria chegado ao mesmo sistema muito mais rapidamente e sem funcoes trigonometricas.. mas como ja tava la, iria seguir até o final >Desde quando 0 nao eh complexo? >Morgado Bom, 0 e 1 pertencem aos complexos, mas quando se pergunta "quantas solucoes complexas tem certa equacao", acho que vc nao deve contar as solucoes que pertencem aos reais, ou eu estou errado? Alguem me corrija? Obrigado pelas observacoes. Tonik. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
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5) Representando, no plano, as raizes complexas da equacao z^3 + 8 = 0, >obtem-se um triangulo. Calcule a area desse triangulo. z^3 = -8 modulo de z = 2 As imagens das raizes da equaçao sao vertices de um triangulo equilatero inscrito num circulo de centro na origem e raio 2. O lado vale 2raiz de3 e a area vale 3raiz de 3. 6) (x+yi)^2 = x-yi x^2-y^2 +2xyi = x-yi x^2-y^2 = x e 2xy = -y A segunda equaçao dah y=0 ou x = -(1/2) Substituindo na primeira, x=0 ou x=1 no primeiro caso, y = (+-) [raiz de3]/2 no segundo. Ha quatro soluçoes: 0 ; 1 ; - 1/2 + (sqrt3)/2 ; - 1/2 - (sqrt3)/2 Desde quando 0 nao eh complexo? Morgado Original Message From: - Mon Sep 02 20:06:02 2002 X-UIDL: F5;!!GlU!!\?e"!I:m!! X-Mozilla-Status: 0001 X-Mozilla-Status2: Return-Path: <[EMAIL PROTECTED]> Received: from sucuri.mat.puc-rio.br (sucuri.mat.puc-rio.br [139.82.27.7]) by trex.centroin.com.br (8.12.5/8.12.1) with ESMTP id g82LZC4B009660 for <[EMAIL PROTECTED]>; Mon, 2 Sep 2002 18:35:12 -0300 (BRT) Received: (from majordom@localhost) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id SAA20705 for obm-l-MTTP; Mon, 2 Sep 2002 18:31:44 -0300 Received: from smtp.ieg.com.br (stone.protocoloweb.com.br [200.226.139.11]) by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with ESMTP id SAA20701 for <[EMAIL PROTECTED]>; Mon, 2 Sep 2002 18:31:42 -0300 Received: from localhost ([EMAIL PROTECTED] [200.158.118.125]) by smtp.ieg.com.br (IeG relay/8.9.3) with SMTP id g82LSDfE067536 for <[EMAIL PROTECTED]>; Mon, 2 Sep 2002 18:28:13 -0300 (BRT) From: Tonik <[EMAIL PROTECTED]> To: [EMAIL PROTECTED] Date: Mon, 02 Sep 2002 18:31:23 -0300 X-Priority: 3 (Normal) Organization: Tonik In-Reply-To: <003201c2529c$f2084800$0200a8c0@dois> Message-Id: <BA4WNB9ED86BAVRE0VQLYSC7HC7RM.3d73d8ab@localhost> Subject: Re: [obm-l] Números Complexos MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset="iso-8859-1" X-Mailer: Opera 6.04 build 1135 Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Reply-To: [EMAIL PROTECTED] X-UIDL: F5;!!GlU!!\?e"!I:m!! Status: U 02/09/02 13:22:18, Gabriel Pérgola wrote: >E aí pessoal, > >Gostaria de ver a resolução destes problemas de números complexos que não >consegui fazer: Sao exercicios simples, q vou fazer mais para me exercitar, pois sao mais trabalhosos do q desafiantes... cheque as contas! >1) Obtenha o argumento de sen 40º + i cos 40º obviamente, 40º >2) Determine o menor valor inteiro e positivo de n para o qual (1 + i >sqrt[3])^n é um numero real para (1 + i*sqrt(3))^n ser real, seu argumento devera ser 0º ou 180º ou k180º, k E Z, passando (1+isqrt(3)) para a forma trigonometrica, temos: modulo = sqrt(1^2 + sqrt(3)^2) = sqrt(1+3) = 2 argumento = arccos(1/2) = 60º entao temos (2*(cos60º+isen60º))^n = = 2^n*(cos(60º*n)+isen(60º*n) para que o argumento (60º*n) de 0º ou 180º com n>0, n E Z: 60*n=360º, n=6 6 0*n=180º, n=3 Logo a resposta eh 3. >3) Determine o menor valor inteiro e positivo de n para o qual (1 + i >sqrt[3])^n é um numero real positivo. a mesma coisa, só que agora 180º nao serve (pois eh real negativo) 60*n=360, n=6 >4) Obtenha as raizes complexas das equacoes: >a) x^5 = 1 >b) x^6 = 1 x^5 = 1 x= raizquintupla(1*(cos0+isen0)) x= cos(0/5 + 360k/5) + isen(0/5 + 360k/5), 0<=k<5, k E Z as raizes: x= cos0º+isen0º = 1 (nao eh complexa) x= cos72º+isen72º x= cos144º+isen144º x= cos216º+isen216º x= cos288º+isen288º >5) Representando, no plano, as raizes complexas da equacao z^3 + 8 = 0, >obtem-se um triangulo. Calcule a area desse triangulo. z^3=-8 tem 3 raizes, por 3 ser impar, uma das raizes eh real z= raizcubica(-8) z= raizcubica( 8*(cos180º+isen180º) ) z= 2*(cos(180/3+360k/3)+isen(180/3+360k/3)), 0<=k<3 z= 2*(cos(60+120k)+isen(60+120k)) as raizes: k=0, z=2*(cos60º+isen60º) = 2*(1/2 + i*sqrt(3)/2) = 1+i*sqrt(3) k=1, z=2*(cos180º+isen180º) = 2*(-1 + i*0) = -2 k=2, z=2*(cos300º+isen300º) = (sabe-se que 1+isqrt(3) eh raiz, entao seu conjugado, 1-isqrt(3) eh a terceira raiz) entao temos os pontos do triangulo ABC no plano complexo: A(1, sqrt(3)) B(-2, 0) C(1, -sqrt(3)) Seja D a matriz: |Ax Ay 1| |Bx By 1| |Cx Cy 1| Area = modulo do determinante de D sobre 2 Area = |sqrt(3)+2sqrt(3)-(-sqrt(3)-2sqrt(3))|/2 Area = 3sqrt(3) >6) A quantidade de numeros complexos que tem o seu quadra
[obm-l] Re: [obm-l] Números Complexos
- Original Message - From: "Tonik" <[EMAIL PROTECTED]> Subject: Re: [obm-l] Números Complexos > >1) Obtenha o argumento de sen 40º + i cos 40º > > obviamente, 40º Não seria 50 graus? Ângulos em graus: sen 40 + i cos 40 = cos(90-40) + i sen(90-40) = cos 50 + i sen 50 Logo, 50 graus. Até mais Vinicius Fortuna = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Números Complexos
02/09/02 13:22:18, Gabriel Pérgola <[EMAIL PROTECTED]> wrote: >E aí pessoal, > >Gostaria de ver a resolução destes problemas de números complexos que não >consegui fazer: Sao exercicios simples, q vou fazer mais para me exercitar, pois sao mais trabalhosos do q desafiantes... cheque as contas! >1) Obtenha o argumento de sen 40º + i cos 40º obviamente, 40º >2) Determine o menor valor inteiro e positivo de n para o qual (1 + i >sqrt[3])^n é um numero real para (1 + i*sqrt(3))^n ser real, seu argumento devera ser 0º ou 180º ou k180º, k E Z, passando (1+isqrt(3)) para a forma trigonometrica, temos: modulo = sqrt(1^2 + sqrt(3)^2) = sqrt(1+3) = 2 argumento = arccos(1/2) = 60º entao temos (2*(cos60º+isen60º))^n = = 2^n*(cos(60º*n)+isen(60º*n) para que o argumento (60º*n) de 0º ou 180º com n>0, n E Z: 60*n=360º, n=6 60*n=180º, n=3 Logo a resposta eh 3. >3) Determine o menor valor inteiro e positivo de n para o qual (1 + i >sqrt[3])^n é um numero real positivo. a mesma coisa, só que agora 180º nao serve (pois eh real negativo) 60*n=360, n=6 >4) Obtenha as raizes complexas das equacoes: >a) x^5 = 1 >b) x^6 = 1 x^5 = 1 x= raizquintupla(1*(cos0+isen0)) x= cos(0/5 + 360k/5) + isen(0/5 + 360k/5), 0<=k<5, k E Z as raizes: x= cos0º+isen0º = 1 (nao eh complexa) x= cos72º+isen72º x= cos144º+isen144º x= cos216º+isen216º x= cos288º+isen288º >5) Representando, no plano, as raizes complexas da equacao z^3 + 8 = 0, >obtem-se um triangulo. Calcule a area desse triangulo. z^3=-8 tem 3 raizes, por 3 ser impar, uma das raizes eh real z= raizcubica(-8) z= raizcubica( 8*(cos180º+isen180º) ) z= 2*(cos(180/3+360k/3)+isen(180/3+360k/3)), 0<=k<3 z= 2*(cos(60+120k)+isen(60+120k)) as raizes: k=0, z=2*(cos60º+isen60º) = 2*(1/2 + i*sqrt(3)/2) = 1+i*sqrt(3) k=1, z=2*(cos180º+isen180º) = 2*(-1 + i*0) = -2 k=2, z=2*(cos300º+isen300º) = (sabe-se que 1+isqrt(3) eh raiz, entao seu conjugado, 1-isqrt(3) eh a terceira raiz) entao temos os pontos do triangulo ABC no plano complexo: A(1, sqrt(3)) B(-2, 0) C(1, -sqrt(3)) Seja D a matriz: |Ax Ay 1| |Bx By 1| |Cx Cy 1| Area = modulo do determinante de D sobre 2 Area = |sqrt(3)+2sqrt(3)-(-sqrt(3)-2sqrt(3))|/2 Area = 3sqrt(3) >6) A quantidade de numeros complexos que tem o seu quadrado igual ao seu >conjugado é? Seja z um numero complexo, vc quer a qtde de nº complexos que z^2 = conjugado de z pela forma trigonometrica, seja m o modulo e a o argumento: m^2*(cos(2a)+isen(2a)) = m*(cos(a)-isen(a)) sabemos que -sen(x) = sen(-x) m^2*(cos(2a)+isen(2a)) = m*(cos(a)+isen(-a)) sabemos que m eh diferente de zero, pois senao o numero nao sera complexo. dividimos ambos os lados por m. m*(cos(2a)+isen(2a)) = (cos(a)+isen(-a)) pela identidade: (1) mcos2a = cosa (2) msen2a = sen-a (1) 2m*cos^2(a) - m = cosa (2) 2m*cosa*sena = -sena sabemos que sena nao eh zero, pois senao o numero nao sera complexo. (1) m = cosa / (2cos^2(a) - 1) (2) 2mcosa = -1 (2) cosa = -1/2m (1) m = (-1 / 2m) / ( 2*(1/4m^2) - 1) (1) m = (-1 / 2m) / ( 1/(2m^2) - 1) (1) m = (-1 / 2m) / ((1-2m^2)/(2m^2)) os extremos pelos meios (1) m = (-1 * 2m^2) / (2m * (1-2m^2)) (1) m = -2m^2 / (2m - 4m^3)) (1) 2m^2 -4m^4 = -2m^2 (1) -4m^4 + 4m^2 = 0 (1) m^4 -m^2 = 0 y = m^2 (1) y^2-y=0 (1) y(y-1) = 0 (1) ou y=0 --> m^2=0 --> m=0 o que nao devemos levar em conta no exercicio (1) ou y=1 --> m^2=1 --> m=1 ou m=-1 para m=1: (2) cosa = -1/2 (2) a = 120º formando o numero complexo: z = 1*(cos120º+isen120º) z = -1/2 + i*sqrt(3)/ 2 para m=-1: (2) cosa = 1/2 (2) a = 60º formando: z = -1*(cos60º+isen60º) z = 1*(cos240º+isen240º) z = -1/2 - i*sqrt(3)/2 Entao temos dois numeros complexos z tal que z^2 = conjugado de z e eles sao cos60º+isen60º e cos240º+isen240º ufa, quanta conta, acho melhor tirar a prova... z^2 = conjugado de z (isqrt(3)/2 - 1/2)^2 = -1/2 -isqrt(3)/2 -3/4 - isqrt(3)/2 +1/4 = -1/2 -isqrt(3)/2 -1/2 - isqrt(3)/2 = -1/2 -isqrt(3)/2 (verdade) z^2 = conjugado de z (-1/2 -isqrt(3)/2)^2 = -1/2 +isqrt(3)/2 1/4 + isqrt(3)/2 - 3/4 = -1/2 +isqrt(3)/2 -1/2 + isqrt(3)/2 = -1/2 +isqrt(3)/2 (verdade) >É isso! Agradeço qualquer ajuda. > >Gabriel Pérgola = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Números Complexos
Ops! Mandei a mensagem pelo meu outro e-mail que nao eh cadastrado. Mas agora tah aí com o certo! E aí pessoal, Gostaria de ver a resolução destes problemas de números complexos que não consegui fazer: 1) Obtenha o argumento de sen 40º + i cos 40º 2) Determine o menor valor inteiro e positivo de n para o qual (1 + i sqrt[3])^n é um numero real 3) Determine o menor valor inteiro e positivo de n para o qual (1 + i sqrt[3])^n é um numero real positivo. 4) Obtenha as raizes complexas das equacoes: a) x^5 = 1 b) x^6 = 1 5) Representando, no plano, as raizes complexas da equacao z^3 + 8 = 0, obtem-se um triangulo. Calcule a area desse triangulo. 6) A quantidade de numeros complexos que tem o seu quadrado igual ao seu conjugado é? É isso! Agradeço qualquer ajuda. Gabriel Pérgola = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =