[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação
Obrigado, Marcelo, abs! Em qua., 25 de out. de 2023 00:24, Marcelo Gonda Stangler < marcelo.gonda.stang...@gmail.com> escreveu: > Este problema, com um pouco de uso de substituição pode ser mostrado como > análogo a isolar em x: k=x-e^(-1/x+1) > Tu precisas limitar o "quanto" estás disposto a fatorar, pois poderiamos > isolar x deixando-o em função de f(x) tal que f(x)-e^(-1/f(x)+1)=k. Mas > suspeito que não é isto que queres. > Se estamos falando de isolar algebricamente x, podemos notar alguns pontos: > Exp(x) para valores não triviais causa transformações relativas a x na > base minimal que contém x de extensão sobre A, o corpo dos algébricos. > Se k é algébrico não nulo, x deve ser transcedental, visto que e é > transcedental e (-1/x+1) pertence ao corpo dos A[x], assim x ser algebráico > seria um absurdo. > Se x é algébrico, à exceção de 1, raiz de -1/x+1, k será transcedental > uma vez que e o é. > Assim, à exceção do caso (k,x)=(0,1), não haverá soluções em que x e k são > algebráicos. Então, ao isolar o x, obteriamos algo em relação a "e" ou "ln". > Como k=x-e^(-1/x+1), a base minimal de extensão que contém k é a união > desta base de x, e da base transformada de x por Exp(). > Assim, a base minimal de x teria que ser a união da base de k e da base > transformada de k por Exp() (1) ou Ln() (2). > (1) implica que ambos são algébricos e (k,x)=(0,1) > (2) implica que BM(x) = BM(k) U BM(Ln(k)) = BM(x) U BM(Exp(x)) U > BM(Ln(k)), também implica (k,x)=(0,1) > > Dessa forma provamos que é impossível 'isolar' o x em função de k. > > Em ter, 24 de out de 2023 21:15, Daniel Jelin > escreveu: > >> Caros, olá. Tenho a seguinte equação: 1/ln(x) - 1/(x-1) = k, com x e k >> reais. Quero isolar o x, mas não consigo. Pergunto: alguém tem alguma dica? >> E pergunto tb: é possível que simplesmente não haja meios de isolar o x? >> Nesse caso, como se prova isso? abs. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] equação
Este problema, com um pouco de uso de substituição pode ser mostrado como análogo a isolar em x: k=x-e^(-1/x+1) Tu precisas limitar o "quanto" estás disposto a fatorar, pois poderiamos isolar x deixando-o em função de f(x) tal que f(x)-e^(-1/f(x)+1)=k. Mas suspeito que não é isto que queres. Se estamos falando de isolar algebricamente x, podemos notar alguns pontos: Exp(x) para valores não triviais causa transformações relativas a x na base minimal que contém x de extensão sobre A, o corpo dos algébricos. Se k é algébrico não nulo, x deve ser transcedental, visto que e é transcedental e (-1/x+1) pertence ao corpo dos A[x], assim x ser algebráico seria um absurdo. Se x é algébrico, à exceção de 1, raiz de -1/x+1, k será transcedental uma vez que e o é. Assim, à exceção do caso (k,x)=(0,1), não haverá soluções em que x e k são algebráicos. Então, ao isolar o x, obteriamos algo em relação a "e" ou "ln". Como k=x-e^(-1/x+1), a base minimal de extensão que contém k é a união desta base de x, e da base transformada de x por Exp(). Assim, a base minimal de x teria que ser a união da base de k e da base transformada de k por Exp() (1) ou Ln() (2). (1) implica que ambos são algébricos e (k,x)=(0,1) (2) implica que BM(x) = BM(k) U BM(Ln(k)) = BM(x) U BM(Exp(x)) U BM(Ln(k)), também implica (k,x)=(0,1) Dessa forma provamos que é impossível 'isolar' o x em função de k. Em ter, 24 de out de 2023 21:15, Daniel Jelin escreveu: > Caros, olá. Tenho a seguinte equação: 1/ln(x) - 1/(x-1) = k, com x e k > reais. Quero isolar o x, mas não consigo. Pergunto: alguém tem alguma dica? > E pergunto tb: é possível que simplesmente não haja meios de isolar o x? > Nesse caso, como se prova isso? abs. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação exponencial
Pocha, explicadissimo, thank you my friend. Em qua, 16 de out de 2019 18:12, Ralph Teixeira escreveu: > Depende! > > (Esta discussao eh analoga aaquela outra de "Afinal, 0 eh natural ou > nao?"... cuja resposta eh "Decida como quiser, diga para todos como voce > decidiu, e seja coerente. De preferencia, escreva as coisas para evitar a > pergunta.") > > O problema eh a convenção: quanto vale 0^0 ? Ha duas opções: alguns > matemáticos usam que 0^0=1; outros (acho que a maioria?) preferem dizer que > 0^0 nao eh uma operação permitida. > > Eu pessoalmente prefiro dizer que 0^0=1 (sou minoria?). Veja bem, eh uma > convenção, apenas uma convenção, então não tem "certo" ou "errado"... Mas > tenho alguns argumentos a favor disto: > A1) Se f(x) e g(x) sao funcoes **analiticas** em torno de x=a, com lim > f(x) = lim g(x) = 0 quando x->a, e f nao eh identicamente nula perto de a, > entao lim f^g=1 quando x->a. Por este motivo, 99% dos exercicios de Calculo > que caem numa "indeterminacao" do tipo 0^0 acabam dando 1! > A2) Com esta convencao, a funcao f(x)=x^0 vale 1 para todo x real, sem > excecao. > A3) Tecnicamente, (A2) de novo, mas agora explicando onde isso eh util: > para descrever um polinomio generico (ou uma serie de potencias, que a > gente usa bastante para resolver algumas EDOs), a gente escreve SUM (k=0 a > n) a_k x^k (ou SUM (k=0 a Inf) a_k x^k) -- aqui SUM eh um somatório. Pois > bem, o primeiro termo ali, quando k=0, eh a_0.x^0, e eu quero que isso > valha a_0 para todo x, inclusive para x=0. Se voce eh da escola do "0^0 nao > eh permitido", você vai ter que escrever o a_0 fora do somatório sozinho, > ou abrir uma exceção, ou fingir que nao viu o problema. :( > > Para fazer o contraponto, vejo argumentos a favor de definir 0^0 como > "operacao invalida": > B1) A funcao g(x,y)=x^y (x>0, y>0) NAO TEM LIMITE quando (x,y)->(0,0), > então nao faz sentido botar um valor especifico para g(0,0). > B2) Ok, 99% dos limites do tipo 0^0 dao 1, mas os outros 1% NAO DAO 1, e > isto poderia causar confusao! > B3) A funcao f(x)=0^x eh continua em (0,Inf). Colocando f(0)=1, ela fica > descontinua em x=0. > > Ainda assim, prefiro 0^0=1 -- acho (A3) forte, acho MUITO mais conveniente > pensar que 0^0=1 para nao ter que me separar aquele a_0 do polinomio. > > Abraco, Ralph. > > On Wed, Oct 16, 2019 at 4:36 PM Prof. Douglas Oliveira < > profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > >> Amigos, me ajudem por favor. >> >> Afinal de contas, zero, é ou não é raiz da equação >> (sqrt(x))^x=x^(sqrt(x=)? >> >> Douglas Oliveira. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação exponencial
Depende! (Esta discussao eh analoga aaquela outra de "Afinal, 0 eh natural ou nao?"... cuja resposta eh "Decida como quiser, diga para todos como voce decidiu, e seja coerente. De preferencia, escreva as coisas para evitar a pergunta.") O problema eh a convenção: quanto vale 0^0 ? Ha duas opções: alguns matemáticos usam que 0^0=1; outros (acho que a maioria?) preferem dizer que 0^0 nao eh uma operação permitida. Eu pessoalmente prefiro dizer que 0^0=1 (sou minoria?). Veja bem, eh uma convenção, apenas uma convenção, então não tem "certo" ou "errado"... Mas tenho alguns argumentos a favor disto: A1) Se f(x) e g(x) sao funcoes **analiticas** em torno de x=a, com lim f(x) = lim g(x) = 0 quando x->a, e f nao eh identicamente nula perto de a, entao lim f^g=1 quando x->a. Por este motivo, 99% dos exercicios de Calculo que caem numa "indeterminacao" do tipo 0^0 acabam dando 1! A2) Com esta convencao, a funcao f(x)=x^0 vale 1 para todo x real, sem excecao. A3) Tecnicamente, (A2) de novo, mas agora explicando onde isso eh util: para descrever um polinomio generico (ou uma serie de potencias, que a gente usa bastante para resolver algumas EDOs), a gente escreve SUM (k=0 a n) a_k x^k (ou SUM (k=0 a Inf) a_k x^k) -- aqui SUM eh um somatório. Pois bem, o primeiro termo ali, quando k=0, eh a_0.x^0, e eu quero que isso valha a_0 para todo x, inclusive para x=0. Se voce eh da escola do "0^0 nao eh permitido", você vai ter que escrever o a_0 fora do somatório sozinho, ou abrir uma exceção, ou fingir que nao viu o problema. :( Para fazer o contraponto, vejo argumentos a favor de definir 0^0 como "operacao invalida": B1) A funcao g(x,y)=x^y (x>0, y>0) NAO TEM LIMITE quando (x,y)->(0,0), então nao faz sentido botar um valor especifico para g(0,0). B2) Ok, 99% dos limites do tipo 0^0 dao 1, mas os outros 1% NAO DAO 1, e isto poderia causar confusao! B3) A funcao f(x)=0^x eh continua em (0,Inf). Colocando f(0)=1, ela fica descontinua em x=0. Ainda assim, prefiro 0^0=1 -- acho (A3) forte, acho MUITO mais conveniente pensar que 0^0=1 para nao ter que me separar aquele a_0 do polinomio. Abraco, Ralph. On Wed, Oct 16, 2019 at 4:36 PM Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > Amigos, me ajudem por favor. > > Afinal de contas, zero, é ou não é raiz da equação > (sqrt(x))^x=x^(sqrt(x=)? > > Douglas Oliveira. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação funcional
Em qua, 29 de mai de 2019 às 22:31, Carlos Monteiro escreveu: > > Encontre todas as funções f: R -> R tais que > > f(x + yf(x))+f(y - f(x)) = 2xf(y) para todos x, y reais. > https://artofproblemsolving.com/community/q1h1340427p7275936 > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equação Funcional
Olhei essa questão e achei interessante, pq a princípio parece simples mas depois vc empaca para achar o F(2)..Bom, o problema termina ao achar o F(2) e a ideia é usar o F(30) dado:F(30)=F(2.15)=F(2)+F(15)-1=F(2)+F(3)+F(5)-1-1 -> F(2)+F(3)+F(5)=6.Na lei inicial, encontramos facilmente F(0)=F(1)=1. Seja y=x: F(x^2)=2F(x)-1. Ou seja, como os únicos inteiros que ao quadrado resultam neles mesmo são 0 e 1, se houver pelo menos algum outro x tal que F(x)=1, então F(x^2) tb seria igual a 1 na relação acima e existiriam infinitos valores com imagem 2, portanto 0 e 1 são os únicos com essa imagem. Dessa forma F(x)=>2 para valores naturais maiores que 1.Logo: F(2), F(3) e F(5) são maiores ou iguais a 2 e a soma seria maior ou igual a 6. Mas como descobrimos que a soma vale 6 e cada um é no mínimo 2, é fácil verificar que como o contradomínio são os naturais só resta a opção de todos os três valores serem iguais a 2! Sendo assim:F(14400)=2F(120)-1=2(F(30)+F(4)-1)-1=2(F(30)+2F(2)-1-1)-1=2F(30)+4F(2)-5 -> F(14400)=11. Abraços,Cláudio Gustavo. Enviado do Yahoo Mail para iPhone Em quarta-feira, setembro 19, 2018, 6:33 PM, Jeferson Almir escreveu: Peço uma ideia ou ajuda na seguinte questão:Sejam x e y naturais e uma função f : N -> N tais que F(xy) = F(x) + F(y) -1 Existe um número finito de numeros tais que F(x) = 1. F(30) = 4 Determine o F( 14400) -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Equação Funcional
* com imagem 1 Enviado do Yahoo Mail para iPhone Em quinta-feira, setembro 27, 2018, 7:48 AM, Claudio Gustavo escreveu: Olhei essa questão e achei interessante, pq a princípio parece simples mas depois vc empaca para achar o F(2)..Bom, o problema termina ao achar o F(2) e a ideia é usar o F(30) dado:F(30)=F(2.15)=F(2)+F(15)-1=F(2)+F(3)+F(5)-1-1 -> F(2)+F(3)+F(5)=6.Na lei inicial, encontramos facilmente F(0)=F(1)=1. Seja y=x: F(x^2)=2F(x)-1. Ou seja, como os únicos inteiros que ao quadrado resultam neles mesmo são 0 e 1, se houver pelo menos algum outro x tal que F(x)=1, então F(x^2) tb seria igual a 1 na relação acima e existiriam infinitos valores com imagem 2, portanto 0 e 1 são os únicos com essa imagem. Dessa forma F(x)=>2 para valores naturais maiores que 1.Logo: F(2), F(3) e F(5) são maiores ou iguais a 2 e a soma seria maior ou igual a 6. Mas como descobrimos que a soma vale 6 e cada um é no mínimo 2, é fácil verificar que como o contradomínio são os naturais só resta a opção de todos os três valores serem iguais a 2! Sendo assim:F(14400)=2F(120)-1=2(F(30)+F(4)-1)-1=2(F(30)+2F(2)-1-1)-1=2F(30)+4F(2)-5 -> F(14400)=11. Abraços,Cláudio Gustavo. Enviado do Yahoo Mail para iPhone Em quarta-feira, setembro 19, 2018, 6:33 PM, Jeferson Almir escreveu: Peço uma ideia ou ajuda na seguinte questão:Sejam x e y naturais e uma função f : N -> N tais que F(xy) = F(x) + F(y) -1 Existe um número finito de numeros tais que F(x) = 1. F(30) = 4 Determine o F( 14400) -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional
Primeiro veja que se existir x natural com f(x)=1, então f(x^n)=f(x)+f(x^(n-1))-1=f(x^(n-1)), donde concluímos f(x^n)=1 para todo natural n. Assim não podemos ter x>1 com f(x)=1, caso contrário teríamos infinitos números y com f(y)=1. Daí, se x>1 --> f(x)>1. De f(30) = 4 temos 4 = f(6.5) = f(6)+f(5)-1 -->f(6)+f(5)=5 --> f(2.3)+f(5)=5 --> f(2)+f(3)-1+f(5)=5 --> f(2)+f(3)+f(5)=6. Como vimos, f(2),f(3) e f(5) são naturais maiores que 1 e que somam 6, logo f(2)=f(3)=f(5)=2. Por último, observando que 14400 =(5^2).(2^6).(3^2), temos f(3^2)=f(3)+f(3)-1=3 f(5^2)=f(5)+f(5)-1=3 f(2^2)=f(2)+f(2)-1=3 f(2^4)=f(2^2)+f(2^2)-1=5 f(2^6)=f(2^4)+f(2^2)-1=7 f((5^2).(3^2))=f(5^2)+f(3^2)-1=5 f((5^2).(3^2).(2^6))= f((5^2).(3^2))+f(2^6)-1=5+7-1= 11 Em qua, 19 de set de 2018 6:43 PM, Jeferson Almir escreveu: > Peço uma ideia ou ajuda na seguinte questão: > Sejam x e y naturais e uma função f : N -> N tais que > F(xy) = F(x) + F(y) -1 > > Existe um número finito de numeros tais que F(x) = 1. > > F(30) = 4 > > Determine o F( 14400) > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação diferencial ordinária
Ops! Falei besteira (confundi x com y). Tentando de novo... A equação diferencial y'' + g(t)y = 0 descreve o deslocamento horizontal y(t) (em relação ao ponto de equilíbrio y = 0), sobre uma superfície sem atrito, de uma massa de 1 kg presa na extremidade de uma mola cuja "constante" k varia no tempo de acordo com k(t) = g(t). Provar que y(t) = 0 para uma infinidade de valores de t equivale a provar que a trajetória do sistema no espaço (de fato, plano) de fase y-y' cruza o eixo y' uma infinidade de vezes, ou seja, que a massa oscila indefinidamente em torno do ponto de equilíbrio. []s, Claudio. 2018-08-19 21:27 GMT-03:00 Claudio Buffara : > Fisicamente faz sentido. > Pense numa massa de 1 kg presa a uma mola cuja “constante” não seja > constante mas varie com a distensão x da mola a partir do ponto de > equilíbrio de acordo com g(x). > Imagino que, uma vez que a mola seja distendida, o sistema massa+mola irá > oscilar, passando pelo ponto de equilíbrio infinitas vezes (atrito nulo, é > claro). > > Enviado do meu iPhone > > Em 19 de ago de 2018, à(s) 14:21, Artur Steiner < > artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > > > Seja g de R em R contÃnua e com Ãnfimo em R positivo. Mostre que toda > solução da EDO > > > > y'' + gy = 0 > > > > tem uma infinidade de zeros em R. > > > > Artur Costa Steiner > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Equação diferencial ordinária
Fisicamente faz sentido. Pense numa massa de 1 kg presa a uma mola cuja “constante” não seja constante mas varie com a distensão x da mola a partir do ponto de equilíbrio de acordo com g(x). Imagino que, uma vez que a mola seja distendida, o sistema massa+mola irá oscilar, passando pelo ponto de equilíbrio infinitas vezes (atrito nulo, é claro). Enviado do meu iPhone Em 19 de ago de 2018, à(s) 14:21, Artur Steiner escreveu: > Seja g de R em R contÃnua e com Ãnfimo em R positivo. Mostre que toda > solução da EDO > > y'' + gy = 0 > > tem uma infinidade de zeros em R. > > Artur Costa Steiner > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação 4 grau
Boa noite! Desculpem-me enrolei-me na hora da resposta. Disse que não tinha raízes entre 0 e 1, que tinha enter 1 e 2 e depois que tinha entre -1 e 0 mas na hora da resposta: Portanto a solução não seria (-1,1)? Ou se quisesse ser mais exclusivo (-1,0)U(0,1), quando o certo seria (-1,0) U(1,2). Em 26 de junho de 2018 20:59, Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com> escreveu: > 2018-06-26 15:09 GMT-03:00 Daniel Quevedo : > > As raizes reais da equação x^4 -4x=1 pertencem ao intervalo: > > http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4+-4x%3D1 > > Dá uma solução em -0.24904... e outra em 1.6633... > Não tem um problema com o enunciado?? > > > A) (1,11) > > B) (2, 12) > > C) (3, 13) > > D) (4, 14) > > E) ( 5, 15) > > > > R: c > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação 4 grau
Boa noite! Estranho Seja P(x) = x^4-4x. P(1)= -3 e P(2)= 8. logo existe pelo menos um "a" pertencente a (1,2) tal que P(a)=1; pois, P(x) é contínua e P(1)=1. Como P(2) > 1, não temos soluções para x>2. Outra forma P(x) = x(x^3-4) ==> x^3-4 = 1/x. Mesmo sem conhecer cálculo diferencial, não sei é o seu caso, é fácil observar que para x >= 0, x^3-4 é monótona crescente e 1/x é mónotona decrescente para x>0 como x^3-4 =4 para x=2 e 1/x = 1/2 para x> 2 não haverá soluções já que o lado que maior cresce e o que é menor decresce. Não há soluções para x>2 Para x pertencente a (0,1] temos: 1/x>= 1 e -3 1/x=1/2. Como uma crescente e a outra é decrescente e ambas contínuas existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. x^3-4 é monotona crescente para x<0 1/x é monótona decrescente para x<0 Como para x=0 x^3-4=-4 e 1/x --> -oo e para x=-1 x^3-4 = -7, para x<=-1 não existem raízes e, para -1 escreveu: > Oi daniel, > > Faça (x^2+1)^2 =2(x+1)^2 e . > > Abraçõs > > Carlos Victor > > Em 26/06/2018 15:09, Daniel Quevedo escreveu: > > As raizes reais da equação x^4 -4x=1 pertencem ao intervalo: > A) (1,11) > B) (2, 12) > C) (3, 13) > D) (4, 14) > E) ( 5, 15) > > R: c > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação 4 grau
2018-06-26 15:09 GMT-03:00 Daniel Quevedo : > As raizes reais da equação x^4 -4x=1 pertencem ao intervalo: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4+-4x%3D1 Dá uma solução em -0.24904... e outra em 1.6633... Não tem um problema com o enunciado?? > A) (1,11) > B) (2, 12) > C) (3, 13) > D) (4, 14) > E) ( 5, 15) > > R: c Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Equação 4 grau
Tem algo estranho ali, confere o enunciado? Tomando P(x)=x^4-4x-1, note que P(-1)=4 e P(0)=-1, entao tem uma raiz entre -1 e 0... o que nao encaixa com nenhuma das alternativas?? Mais: P(1)=-4 e P(2)=7, entao tem outra raiz entre 1 e 2... Huh? Abraco, Ralph. On Tue, Jun 26, 2018 at 3:22 PM Daniel Quevedo wrote: > As raizes reais da equação x^4 -4x=1 pertencem ao intervalo: > A) (1,11) > B) (2, 12) > C) (3, 13) > D) (4, 14) > E) ( 5, 15) > > R: c > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação 4 grau
Oi daniel, Faça (x^2+1)^2 =2(x+1)^2 e . Abraçõs Carlos Victor Em 26/06/2018 15:09, Daniel Quevedo escreveu: > As raizes reais da equação x^4 -4x=1 pertencem ao intervalo: > A) (1,11) > B) (2, 12) > C) (3, 13) > D) (4, 14) > E) ( 5, 15) > > R: c -- > > Fiscal: Daniel Quevedo > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau
Mas Boa noite! Correto, a resposta está errada. Pois a=b=0, garante um par (0,0), que atende para x pertencente à |R. Embora o enunciado esteja mal formulado, concodo; por ser uma questão de múltiplas escolhas, não atenderia nenhuma. Mas não há como fugir da opção b. Saudações, PJMS Em Sáb, 16 de jun de 2018 20:30, escreveu: > Bem, sobrou o caso a=b=0... Mas eu não gosto muito do enunciado - > eu escreveria "...pelo menos uma raiz REAL comum" - de fato, se a=b > então as equações têm raízes complexas comuns. > Abraços, > Gugu > > Quoting Pedro José : > > > Boa noite! > > Como é uma questão de múltipla escolha, dá para perceber uma restrição > > quanto ao|R. > > Se a<>b. Se o delta de uma das equações for >= 0, o outro será menor que > 0. > > Portanto não há soluções. > > Saudações, > > PJMS > > > > Em Sáb, 16 de jun de 2018 16:59, luciano rodrigues < > lucianorsl...@gmail.com> > > escreveu: > > > >> Se a=b então o delta é negativo. > >> > >> > Em 16 de jun de 2018, às 16:09, Daniel Quevedo > >> escreveu: > >> > > >> > O número de pares ordenados (a, b), de números reais tais que as > >> equações x^2 + ax + b^2 = 0 e x^2 + bx + a^2 = 0 possuem pelo menos > uma > >> raiz comum é: > >> > a) 0 > >> > b) 1 > >> > c) 2 > >> > d) 3 > >> > e) 4 > >> > > >> > R: 0 > >> > > >> > PS: Não entendi a questão pq, se a = b, as equações são iguais e > >> assim satisfarão a condição (pelo menos uma raiz comum), mesmo que > essas > >> não sejam reais. Mas como provar que para a diferente de b não há > raizes > >> comuns? > >> > > >> > > >> > -- > >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> > acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> > = > >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > >> > = > >> > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau
Bem, sobrou o caso a=b=0... Mas eu não gosto muito do enunciado - eu escreveria "...pelo menos uma raiz REAL comum" - de fato, se a=b então as equações têm raízes complexas comuns. Abraços, Gugu Quoting Pedro José : Boa noite! Como é uma questão de múltipla escolha, dá para perceber uma restrição quanto ao|R. Se a<>b. Se o delta de uma das equações for >= 0, o outro será menor que 0. Portanto não há soluções. Saudações, PJMS Em Sáb, 16 de jun de 2018 16:59, luciano rodrigues escreveu: Se a=b então o delta é negativo. > Em 16 de jun de 2018, às 16:09, Daniel Quevedo escreveu: > > O número de pares ordenados (a, b), de números reais tais que as equações x^2 + ax + b^2 = 0 e x^2 + bx + a^2 = 0 possuem pelo menos uma raiz comum é: > a) 0 > b) 1 > c) 2 > d) 3 > e) 4 > > R: 0 > > PS: Não entendi a questão pq, se a = b, as equações são iguais e assim satisfarão a condição (pelo menos uma raiz comum), mesmo que essas não sejam reais. Mas como provar que para a diferente de b não há raizes comuns? > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau
Boa noite! Como é uma questão de múltipla escolha, dá para perceber uma restrição quanto ao|R. Se a<>b. Se o delta de uma das equações for >= 0, o outro será menor que 0. Portanto não há soluções. Saudações, PJMS Em Sáb, 16 de jun de 2018 16:59, luciano rodrigues escreveu: > Se a=b então o delta é negativo. > > > Em 16 de jun de 2018, às 16:09, Daniel Quevedo > escreveu: > > > > O número de pares ordenados (a, b), de números reais tais que as > equações x^2 + ax + b^2 = 0 e x^2 + bx + a^2 = 0 possuem pelo menos uma > raiz comum é: > > a) 0 > > b) 1 > > c) 2 > > d) 3 > > e) 4 > > > > R: 0 > > > > PS: Não entendi a questão pq, se a = b, as equações são iguais e > assim satisfarão a condição (pelo menos uma raiz comum), mesmo que essas > não sejam reais. Mas como provar que para a diferente de b não há raizes > comuns? > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] equação do 2 grau
Se a=b então o delta é negativo. > Em 16 de jun de 2018, às 16:09, Daniel Quevedo escreveu: > > O número de pares ordenados (a, b), de números reais tais que as equações > x^2 + ax + b^2 = 0 e x^2 + bx + a^2 = 0 possuem pelo menos uma raiz comum é: > a) 0 > b) 1 > c) 2 > d) 3 > e) 4 > > R: 0 > > PS: Não entendi a questão pq, se a = b, as equações são iguais e assim > satisfarão a condição (pelo menos uma raiz comum), mesmo que essas não > sejam reais. Mas como provar que para a diferente de b não há raizes comuns? > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional
Boa tarde!
Se esse problema, que você se refere acima, é do mesmo livro está errada
também, a reposta, suponho.
A reposta dá 39. Foi postada na nota inicial.
Os fatores primos 2,3 e 5 são imediatos o 15 pode ser posto em evidência e
o número é par, portanto, o dois.
Com um pouco mais de dificuldade chega-se a 29 e depois, com mais
dificuldade, parei no 113, pois, furou a resposta. Já que 113 |15^(15^15) +
15.
Achei estranho o enunciado falar em quatro fatores apenas e fui atrás de
pelo menos um, como contra prova.
Então já o segundo patinho feio. No mínimo estranho. Pode ser falha na
edição das perguntas.
Saudações,
PJMS
Em 12 de junho de 2018 16:09, Claudio Buffara
escreveu:
> Pois é... ainda quero ver a resposta do livro pro problema do
> 15^(15^15))+15.
>
> Enviado do meu iPhone
>
> Em 12 de jun de 2018, à(s) 15:11, Carlos Victor
> escreveu:
>
> Olá pessoal,
>
> Devemos ser cuidadosos com este livro. Há muitas respostas inconsistentes
> no gabarito.
>
> Carlos Victor
>
> Em 12/06/2018 14:00, Pedro José escreveu:
>
> Boa tarde!
>
>
> Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e,
> verifiquei que nunca vai dar a identidade.
> Dá o quociente de duas funções afins e portanto nunca dará x.
> Por curiosidade, os coeficientes dos polinômios de primeiro grau são, em
> módulo, termos da sequência de Fibonacci.
> E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é
> a solução temos:
>
> f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x -
> 2 + x^2/(2x^2-3x+1)
>
> só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será
> cancelado esse termo em x^3, por exemplo.
> Será que fiz barbeiragem nesse desenvolvimento?
>
> Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.
>
> Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de
> (1-x)/x=x
>
> Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==>
> f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4
>
> mas aplicando a solução proposta:
>
> f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5)
> +5) - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser
> visto, de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.
>
> O problema não está fechando, creio eu.
> Ou defeito na proposição ou no resultado.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir
> escreveu:
>
>>
>> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática (
>> Gandhi )
>> E resposta que ele diz é
>> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1)
>>
>> Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir <
>> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
>>>
>>> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira
>>> escreveu:
>>>
Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
f(x)+f(y)=1+x
f(y)+f(z)=1+y
f(z)+f(x)=1+z
pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
acharíamos f(x).
Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio
abaixo, porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver
isso, mas estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma
bobagem imensa.
Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é
g^(-1)(y)=1/(1+y)). Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro
onde x_(k+1)=g(x_k) -- observe que crio isto incluindo k negativo, o que é
possível desde que nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o
**conjunto** de valores {x_k} de "órbita" do número a.
Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a
órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
recorrência.
Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que
é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais.
Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que
fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis,
então há várias órbitas infinitas Acho.
Abraço, Ralph.
P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
interessante, não?
P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
algo usando o limite de x_k...
On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir <
jeferson
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional
Pois é... ainda quero ver a resposta do livro pro problema do 15^(15^15))+15.
Enviado do meu iPhone
Em 12 de jun de 2018, à(s) 15:11, Carlos Victor
escreveu:
> Olá pessoal,
>
> Devemos ser cuidadosos com este livro. Há muitas respostas inconsistentes no
> gabarito.
>
> Carlos Victor
>
> Em 12/06/2018 14:00, Pedro José escreveu:
>
>> Boa tarde!
>>
>>
>> Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e,
>> verifiquei que nunca vai dar a identidade.
>> Dá o quociente de duas funções afins e portanto nunca dará x.
>> Por curiosidade, os coeficientes dos polinômios de primeiro grau são, em
>> módulo, termos da sequência de Fibonacci.
>> E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é a
>> solução temos:
>>
>> f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x - 2
>> + x^2/(2x^2-3x+1)
>>
>> só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será cancelado
>> esse termo em x^3, por exemplo.
>> Será que fiz barbeiragem nesse desenvolvimento?
>>
>> Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.
>>
>> Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de (1-x)/x=x
>>
>> Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==>
>> f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4
>>
>> mas aplicando a solução proposta:
>>
>> f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5) +5)
>> - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser
>> visto, de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.
>>
>> O problema não está fechando, creio eu.
>> Ou defeito na proposição ou no resultado.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir
>> escreveu:
>>>
>>> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática (
>>> Gandhi )
>>> E resposta que ele diz é
>>> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1)
>>>
Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir
escreveu:
Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira
> escreveu:
> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
> f(x)+f(y)=1+x
> f(y)+f(z)=1+y
> f(z)+f(x)=1+z
> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
> acharíamos f(x).
>
> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo,
> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas
> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa.
>
> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)).
> Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k)
> -- observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que
> nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de
> valores {x_k} de "órbita" do número a.
>
> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
> dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
> nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se
> a órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
> ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
> recorrência.
>
> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
> para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
> para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a,
> que é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes
> reais. Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos
> a que fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são
> enumeráveis, então há várias órbitas infinitas Acho.
>
> Abraço, Ralph.
>
> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
> lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio
> é interessante, não?
> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
> algo usando o limite de x_k...
>
>
>> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir
>> wrote:
>> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que
>>
>> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .
>>
>> Obs: ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mens
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional
Olá pessoal,
Devemos ser cuidadosos com este livro. Há muitas respostas
inconsistentes no gabarito.
Carlos Victor
Em 12/06/2018 14:00, Pedro José escreveu:
> Boa tarde!
>
> Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e,
> verifiquei que nunca vai dar a identidade. Dá o quociente de duas funções
> afins e portanto nunca dará x. Por curiosidade, os coeficientes dos
> polinômios de primeiro grau são, em módulo, termos da sequência de Fibonacci.
> E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é a
> solução temos:
>
> f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x - 2 +
> x^2/(2x^2-3x+1)
>
> só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será cancelado
> esse termo em x^3, por exemplo. Será que fiz barbeiragem nesse
> desenvolvimento?
>
> Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.
>
> Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de (1-x)/x=x
>
> Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==>
> f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4
>
> mas aplicando a solução proposta:
>
> f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5) +5)
> - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser visto,
> de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.
>
> O problema não está fechando, creio eu.
> Ou defeito na proposição ou no resultado.
> Saudações, PJMS
>
> Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir
> escreveu:
>
> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática ( Gandhi
> )
> E resposta que ele diz é
> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1)
>
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir
> escreveu:
>
> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
>
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira
> escreveu:
> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
> f(x)+f(y)=1+x
> f(y)+f(z)=1+y
> f(z)+f(x)=1+z
> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
> acharíamos f(x).
>
> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo,
> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas
> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa.
>
> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)). Dado
> um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) -- observe
> que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que nenhum dos
> números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de valores {x_k} de
> "órbita" do número a.
>
> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f dentro
> de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais nada, ou
> seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a órbita é
> infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode ESCOLHER f(a) como
> quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como recorrência.
>
> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão, para
> vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a para
> algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que é uma
> equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais. Então,
> mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que fazem a
> órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis, então há
> várias órbitas infinitas Acho.
>
> Abraço, Ralph.
>
> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a lista...
> Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
> interessante, não?
> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer algo
> usando o limite de x_k...
>
> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir
> wrote:
>
> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que
>
> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .
>
> Obs: ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional
Boa tarde!
Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e,
verifiquei que nunca vai dar a identidade.
Dá o quociente de duas funções afins e portanto nunca dará x.
Por curiosidade, os coeficientes dos polinômios de primeiro grau são, em
módulo, termos da sequência de Fibonacci.
E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é
a solução temos:
f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x -
2 + x^2/(2x^2-3x+1)
só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será cancelado
esse termo em x^3, por exemplo.
Será que fiz barbeiragem nesse desenvolvimento?
Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.
Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de
(1-x)/x=x
Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==>
f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4
mas aplicando a solução proposta:
f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5)
+5) - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser
visto, de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.
O problema não está fechando, creio eu.
Ou defeito na proposição ou no resultado.
Saudações,
PJMS
Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir
escreveu:
>
> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática (
> Gandhi )
> E resposta que ele diz é
> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1)
>
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir <
> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>
>> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
>>
>> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira
>> escreveu:
>>
>>> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
>>> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
>>> f(x)+f(y)=1+x
>>> f(y)+f(z)=1+y
>>> f(z)+f(x)=1+z
>>> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
>>> acharíamos f(x).
>>>
>>> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio
>>> abaixo, porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver
>>> isso, mas estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma
>>> bobagem imensa.
>>>
>>> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)).
>>> Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) --
>>> observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que
>>> nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de
>>> valores {x_k} de "órbita" do número a.
>>>
>>> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
>>> dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
>>> nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a
>>> órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
>>> ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
>>> recorrência.
>>>
>>> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
>>> para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
>>> para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que
>>> é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais.
>>> Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que
>>> fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis,
>>> então há várias órbitas infinitas Acho.
>>>
>>> Abraço, Ralph.
>>>
>>> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
>>> lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
>>> interessante, não?
>>> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
>>> algo usando o limite de x_k...
>>>
>>> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir
>>> wrote:
>>>
Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que
f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .
Obs: ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional
Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática (
Gandhi )
E resposta que ele diz é
R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1)
Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir
escreveu:
> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
>
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira
> escreveu:
>
>> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
>> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
>> f(x)+f(y)=1+x
>> f(y)+f(z)=1+y
>> f(z)+f(x)=1+z
>> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
>> acharíamos f(x).
>>
>> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo,
>> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas
>> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa.
>>
>> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)).
>> Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) --
>> observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que
>> nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de
>> valores {x_k} de "órbita" do número a.
>>
>> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
>> dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
>> nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a
>> órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
>> ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
>> recorrência.
>>
>> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
>> para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
>> para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que
>> é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais.
>> Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que
>> fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis,
>> então há várias órbitas infinitas Acho.
>>
>> Abraço, Ralph.
>>
>> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
>> lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
>> interessante, não?
>> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
>> algo usando o limite de x_k...
>>
>> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir
>> wrote:
>>
>>> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que
>>>
>>> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .
>>>
>>> Obs: ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional
Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira
escreveu:
> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
> f(x)+f(y)=1+x
> f(y)+f(z)=1+y
> f(z)+f(x)=1+z
> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
> acharíamos f(x).
>
> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo,
> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas
> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa.
>
> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)).
> Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) --
> observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que
> nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de
> valores {x_k} de "órbita" do número a.
>
> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
> dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
> nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a
> órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
> ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
> recorrência.
>
> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
> para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
> para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que
> é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais.
> Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que
> fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis,
> então há várias órbitas infinitas Acho.
>
> Abraço, Ralph.
>
> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
> lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
> interessante, não?
> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
> algo usando o limite de x_k...
>
> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir
> wrote:
>
>> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que
>>
>> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .
>>
>> Obs: ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional
Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
f(x)+f(y)=1+x
f(y)+f(z)=1+y
f(z)+f(x)=1+z
pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
acharíamos f(x).
Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo,
porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas
estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa.
Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)).
Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) --
observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que
nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de
valores {x_k} de "órbita" do número a.
Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a
órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
recorrência.
Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que
é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais.
Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que
fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis,
então há várias órbitas infinitas Acho.
Abraço, Ralph.
P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
interessante, não?
P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
algo usando o limite de x_k...
On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir
wrote:
> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que
>
> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .
>
> Obs: ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação diferencial
2017-03-06 9:34 GMT-03:00 Rogério Possi Júnior : > Bom dia. > > > Seja a equação y^(4)+a_3*y^(3)+a_2*y^(2)+a_1*y^(1)+a_0*y=0 (aqui y^(n) > representa a derivada de ordem "n" de y em relação a t). Se > y(t)=5*t*e^(5*t)+e^(t)*sen(t) é sua solução, determine a_0. > > Uma saída (na força) consiste em aplicar a solução na equação dada ... > caindo em um sistema 4X4 ... > > Mas acho que deve ter outra forma mais elegante ... alguém sabe como > fazê-lo? Olhe para as raízes do polinômio característico correspondente à solução. Se eu não errei as contas, dá a_0 = 50 (e a_2 = 47). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Trigonométrica
Muito Obrigado por responder e tirar a minha dúvida, professor Carlos !
Em 10 de setembro de 2016 16:09, Carlos Gomes
escreveu:
> Olá Ricardo você está certo!
>
> Em 10 de setembro de 2016 14:31, Ricardo Leão
> escreveu:
>
>> Olá amigos,
>> Eu tenho uma dúvida em relação ao seguinte enunciado:
>>
>> Sendo x medida em radianos, com 0 <= x <= 2pi, a soma de todas as raízes
>> da equação cos² 2x = sen² x é igual a:
>>
>> a) 3pi/2 c) 3pi e) 6pi
>> b) 2pi d) 4pi
>>
>> De acordo com o gabarito oficial a resposta é Item B.
>>
>> Mas de acordo com meus cálculos x = { pi/6, 5pi/6, 7pi/6, 11pi/6, pi/2,
>> 3pi/2} com soma das raízes igual a 6pi.
>>
>> Por favor, algum colega poderia tirar essa dúvida ?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação Trigonométrica
Olá Ricardo você está certo!
Em 10 de setembro de 2016 14:31, Ricardo Leão
escreveu:
> Olá amigos,
> Eu tenho uma dúvida em relação ao seguinte enunciado:
>
> Sendo x medida em radianos, com 0 <= x <= 2pi, a soma de todas as raízes
> da equação cos² 2x = sen² x é igual a:
>
> a) 3pi/2 c) 3pi e) 6pi
> b) 2pi d) 4pi
>
> De acordo com o gabarito oficial a resposta é Item B.
>
> Mas de acordo com meus cálculos x = { pi/6, 5pi/6, 7pi/6, 11pi/6, pi/2,
> 3pi/2} com soma das raízes igual a 6pi.
>
> Por favor, algum colega poderia tirar essa dúvida ?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Equação cotangentes
Primeiramente, note-se que (cotgx+1)/(cotgx-1) = cotg((pi/4)-x), para todo x no domínio de validade, dentre os quais se inclui x = 1 radiano, conforme é possível demonstrar. Daí, a equação dada equivaleria a ((cotg1+1)/(cotg1-1))^n= 1, visto que cotg1 é diferente de 1. Utilizando a identidade dada, a equação corresponderia a cotg((pi/4)-1)^n = 1, o que claramente é um absurdo, para n inteiro. Em Terça-feira, 26 de Julho de 2016 0:38, Israel Meireles Chrisostomo escreveu: como eu posso provar que não existe inteiro n que satisfaça a equação (ctg1+1)^n=(ctg1-1)^n se 1 é dado em radianos, sem usar a transcendência de cotangente de 1?Alguma ideia? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação da Cônica
Sem usar fórmulas, comece por perceber que a união de duas retas significa que a equação é um produto de dois termos lineares do tipo cx+dy+z. Para facilitar, como estamos lidando com coeficientes inteiros verifique que o coeficiente de x é 1. Pronto, você tem um sistema simples de equações dado por (x+by +c)(x+dy+e)= xˆ2 -3xy+ ayˆ2 + 3x -5y +2 =0 São equações simples que te levarão a a=2. Marcus. > On Nov 19, 2015, at 11:42 PM, Jeferson Almir wrote: > > Qual o valor de a na equação da cônica xˆ2 -3xy+ ayˆ2 + 3x -5y +2 =0 para que > a cônica represente um par de retas??? > > Eu montei uma equação do segundo grau em x e forçando o delta igual a zero e > cheguei na resposta a = 2 que é o que o gabarito afirma mas não entendi. > Alguém poderia resolver de outra maneira ou explicar?? Desde já Obrigado > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina
Na verdade Pedro eu parti do princípio que ao ler minha pergunta vcs iriam ler a solução que está no link que deixei ´na pergunta, e lá no link está claro que ele toma valores de x>=4, foi mal! Em 15 de outubro de 2015 16:05, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Pessoal, gostaria de agradecer ao pessoal do grupo, vcs são demais, vcs > entendem muito e raciocinam para kralho!Além disso são humildes ao > responderem minhas dúvidas, vcs são 10! > > Em 15 de outubro de 2015 15:43, Pedro José escreveu: > >> Boa tarde! >> >> Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas. >> Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54). >> Procure expressar melhor o que você deseja. >> >> >> >> Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a >> congruência se repete... >> >> Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m) >> é a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0> tal que mdc(d,m) = 1., ou seja, a cardinalidade do grupo (Z /Zm)*. >> Para calcular Ф(m), onde a fatoração de m é p1^y1 * p2^y2 *...* pn^yn >> teremos: >> Ф(m)=m *(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn) (i) >> >> assim para m=81, como mdc (5,81) =1 temos por Euler-Fermat que 5^Ф(81) ≡ >> 1 (mod 81), >> >> 81= 3^4, logo por (i) Ф(81) = 81 (2/3)= 54 ==> 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==> >> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81), >> ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p (mod 81) >> >> Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡ >> 1 (mod m),. >> >> Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m, >> representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d ≡ 1 (mod >> m). >> >> Portanto temos que: ordma divide Ф(m). >> >> E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m. >> >> No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81. >> >> Recomendo você dar uma lida: >> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf >> >> Saudações, >> PJMS. >> >> >> >> >> >> >> >> Saudações. >> >> Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo < >> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: >> >>> Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero >>> entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir >>> que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é >>> claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples? >>> Aqui está a solução da equação diofantina: >>> http://diego.mat.unb.br/click.html >>> No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente >>> a -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu >>> para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu >>> concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81 >>> até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se >>> repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências >>> módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser >>> impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as >>> potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém >>> pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo >>> para mim, desde já agradeço! >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina
Pessoal, gostaria de agradecer ao pessoal do grupo, vcs são demais, vcs entendem muito e raciocinam para kralho!Além disso são humildes ao responderem minhas dúvidas, vcs são 10! Em 15 de outubro de 2015 15:43, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > > Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas. > Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54). > Procure expressar melhor o que você deseja. > > > > Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a > congruência se repete... > > Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m) > é a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0 tal que mdc(d,m) = 1., ou seja, a cardinalidade do grupo (Z /Zm)*. > Para calcular Ф(m), onde a fatoração de m é p1^y1 * p2^y2 *...* pn^yn > teremos: > Ф(m)=m *(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn) (i) > > assim para m=81, como mdc (5,81) =1 temos por Euler-Fermat que 5^Ф(81) ≡ > 1 (mod 81), > > 81= 3^4, logo por (i) Ф(81) = 81 (2/3)= 54 ==> 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==> > 5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81), > ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p (mod 81) > > Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡ 1 > (mod m),. > > Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m, > representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d ≡ 1 (mod m). > > Portanto temos que: ordma divide Ф(m). > > E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m. > > No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81. > > Recomendo você dar uma lida: > http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf > > Saudações, > PJMS. > > > > > > > > Saudações. > > Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > >> Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero >> entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir >> que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é >> claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples? >> Aqui está a solução da equação diofantina: >> http://diego.mat.unb.br/click.html >> No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente a >> -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu >> para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu >> concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81 >> até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se >> repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências >> módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser >> impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as >> potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém >> pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo >> para mim, desde já agradeço! >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina
Boa tarde! Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas. Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54). Procure expressar melhor o que você deseja. Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a congruência se repete... Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m) é a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81), ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p (mod 81) Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡ 1 (mod m),. Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m, representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d ≡ 1 (mod m). Portanto temos que: ordma divide Ф(m). E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m. No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81. Recomendo você dar uma lida: http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf Saudações, PJMS. Saudações. Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero > entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir > que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é > claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples? > Aqui está a solução da equação diofantina: > http://diego.mat.unb.br/click.html > No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente a > -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu > para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu > concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81 > até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se > repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências > módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser > impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as > potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém > pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo > para mim, desde já agradeço! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina
ah sim é verdade! Em 14 de outubro de 2015 11:20, Gabriel Tostes escreveu: > (1,0) nao eh solucao tbm? > > > > Sent from my iPad > On Oct 14, 2015, at 11:04, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> wrote: > > Está aqui no site do professor Diego Marques: > http://diego.mat.unb.br/click.html > Só possui uma solução, que é a solução trivial(x=3 e y=2).Mas  o > difÃcil é provar que a solução é única, veja que raciocÃnio > fantástico! > > Em 14 de outubro de 2015 07:41, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > >> E a solução da equação 3^x - 5^y = 2 ? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina
(1,0) nao eh solucao tbm? Sent from my iPad > On Oct 14, 2015, at 11:04, Israel Meireles Chrisostomo > wrote: > > Está aqui no site do professor Diego Marques: > http://diego.mat.unb.br/click.html > Só possui uma solução, que é a solução trivial(x=3 e y=2).Mas  o > difÃcil é provar que a solução é única, veja que raciocÃnio > fantástico! > > Em 14 de outubro de 2015 07:41, marcone augusto araújo borges > escreveu: >> E a solução da equação 3^x - 5^y = 2 ? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina
Está aqui no site do professor Diego Marques: http://diego.mat.unb.br/click.html Só possui uma solução, que é a solução trivial(x=3 e y=2).Mas o difícil é provar que a solução é única, veja que raciocínio fantástico! Em 14 de outubro de 2015 07:41, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > E a solução da equação 3^x - 5^y = 2 ? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina
Obrigado Gabriel Tostes foi de grande ajuda Em 13 de outubro de 2015 22:39, Gabriel Tostes escreveu: > Usando : pros tres pauzinhos da congruencias. > > 3^x=2 + 5^y > 3^x:2 (mod5) > X=4K+3 > 3^(4k+3)=2+5^y > 5^y:7(mod9) > y=6k+2 > 5^6k+2:25:4(mod7) > 3^x:2+4(mod7) > > > > On Oct 13, 2015, at 22:00, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> wrote: > > > > Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só > quero entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso > concluir que 3^x é congruente 6 módulo 7?Alguém poderia me explicar como > concluir isso? > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Equação diofantina
Usando : pros tres pauzinhos da congruencias. 3^x=2 + 5^y 3^x:2 (mod5) X=4K+3 3^(4k+3)=2+5^y 5^y:7(mod9) y=6k+2 5^6k+2:25:4(mod7) 3^x:2+4(mod7) > On Oct 13, 2015, at 22:00, Israel Meireles Chrisostomo > wrote: > > Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero > entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir > que 3^x é congruente 6 módulo 7?Alguém poderia me explicar como concluir > isso? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação
Obrigado Em 11 de agosto de 2015 14:27, Esdras Muniz escreveu: > Olha o teorema 2.7 na pag 37 do livro de teoria dos números do José Plinio. > > Em 11 de agosto de 2015 13:46, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > >> x=5n+4 e y=3n+2 são as únicas soluções da equação 3x-5y=2?Em caso >> afirmativo, como provo que são as únicas soluções? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > -- > Esdras Muniz Mota > Mestrando em Matemática > Universidade Federal do Ceará > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação
Olha o teorema 2.7 na pag 37 do livro de teoria dos números do José Plinio. Em 11 de agosto de 2015 13:46, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > x=5n+4 e y=3n+2 são as únicas soluções da equação 3x-5y=2?Em caso > afirmativo, como provo que são as únicas soluções? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Obrigado a todos!
Pedro Chaves
__
> Date: Wed, 22 Apr 2015 14:32:35 -0300
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina
> (de novo)
> From: petroc...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Boa tarde!
>
> Corrigindo... y = 2 + 7m e não 2+ 2m.
>
> Desculpem-me,
> PJMS
>
> Em 22 de abril de 2015 14:26, Pedro José
> mailto:petroc...@gmail.com>> escreveu:
> Boa tarde!
>
> Não parei para pensar se dá sempre.
>
> 7 * x ≡ 11 (mod12) ==> 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) ==> x ≡ 5 (mod12) ==> x =
> 5 + 12* m : m Ɛ Z
>
> -12*y ≡11 (mod7) ==> 2*y ≡ 4 (mod7) ==> 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) ==> y ≡ 2
> (mod12) ==> y =2 + 7*n : n ƐZ
>
>
> Substituindo na equação original temos:
>
> 7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 ==> 84*m - 84* n = 0 ==> m=n ==> x = 5
> +12 m e y = 2 + 2m : m ƐZ.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
>
>
> Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José
> mailto:petroc...@gmail.com>> escreveu:
> Bom dia!
>
> Desculpe-me, não vi a restrição do método.
>
> Sds,
> PJMS
>
> Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves
> mailto:brped...@hotmail.com>> escreveu:
> Obrigado, Pedro José!
>
> O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
>
> Um abraço!
> Pedro Chaves
>
>
>> Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
>> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>> From: petroc...@gmail.com<mailto:petroc...@gmail.com>
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
>>
>> Bom dia!
>>
>> Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
>> se m.d.c.(a,b) divide c.
>>
>> Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
>>
>> Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
>>
>> 12 = 7 * 1 + 5
>> 7 = 5 * 1 + 2
>> 5 = 2 * 2 + 1
>>
>> Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
>> 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
>> modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
>>
>> 5 = 12 - 7 (i)
>> 2 = 7 - 5 (ii)
>> 1 = 5 - 2 *2 (iii)
>>
>> (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
>>
>> (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
>>
>> então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
>>
>> então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
>>
>> Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
>> equação 7 x - 12 y = 11.
>>
>> Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
>> <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
>>
>> pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
>>
>> Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
>>
>> m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
>> ==> y = -33 + 7*t (vi)
>>
>> (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
>>
>> Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
>> 7*t, t ƐZ }
>>
>> Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
>> entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
>> dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
>> soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
>>
>> Tem o artigo do eduardo Tengan:
>> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
>> demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
>> equações.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>>
>>
>>
>> Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
>>
> mailto:b...@ccet.ufrn.br><mailto:b...@ccet.ufrn.br<mailto:b...@ccet.ufrn.br>>>
>
> escreveu:
>> Pedro,
>>
>> 7 é o inverso de 7 módulo 12
>>
>> --
>> Open WebMail Project (http://openwebmail.org<http://openwebmail.org/>)
>>
>>
>> -- Original Message ---
>> From: Pedro Chaves
> mailto:brped...@hotmail.com><mailto:brped...@hotmail.com<mailto:brped...@hotmail.com>>>
>
>> To:
> "obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br><mailto:obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>"
>
>>
>
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Boa tarde!
Corrigindo... y = 2 + 7m e não 2+ 2m.
Desculpem-me,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 14:26, Pedro José escreveu:
> Boa tarde!
>
> Não parei para pensar se dá sempre.
>
> 7 * x ≡ 11 (mod12) ==> 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) ==> x ≡ 5 (mod12) ==> x = 5
> + 12* m : m Ɛ Z
>
> -12*y ≡11 (mod7) ==> 2*y ≡ 4 (mod7) ==> 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) ==> y ≡ 2 (mod12)
> ==> y =2 + 7*n : n ƐZ
>
>
> Substituindo na equação original temos:
>
> 7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 ==> 84*m - 84* n = 0 ==> m=n ==> x = 5
> +12 m e y = 2 + 2m : m ƐZ.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
>
>
> Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> Desculpe-me, não vi a restrição do método.
>>
>> Sds,
>> PJMS
>>
>> Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves
>> escreveu:
>>
>>> Obrigado, Pedro José!
>>>
>>> O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
>>>
>>> Um abraço!
>>> Pedro Chaves
>>>
>>>
>>> > Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
>>> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>>> > From: petroc...@gmail.com
>>> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>> >
>>> > Bom dia!
>>> >
>>> > Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
>>> > se m.d.c.(a,b) divide c.
>>> >
>>> > Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
>>> >
>>> > Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
>>> >
>>> > 12 = 7 * 1 + 5
>>> > 7 = 5 * 1 + 2
>>> > 5 = 2 * 2 + 1
>>> >
>>> > Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
>>> > 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
>>> > modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
>>> >
>>> > 5 = 12 - 7 (i)
>>> > 2 = 7 - 5 (ii)
>>> > 1 = 5 - 2 *2 (iii)
>>> >
>>> > (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
>>> >
>>> > (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
>>> >
>>> > então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
>>> >
>>> > então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
>>> >
>>> > Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
>>> > equação 7 x - 12 y = 11.
>>> >
>>> > Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
>>> > <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
>>> >
>>> > pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
>>> >
>>> > Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
>>> >
>>> > m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
>>> > ==> y = -33 + 7*t (vi)
>>> >
>>> > (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
>>> >
>>> > Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
>>> > 7*t, t ƐZ }
>>> >
>>> > Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
>>> > entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
>>> > dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
>>> > soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
>>> >
>>> > Tem o artigo do eduardo Tengan:
>>> > http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
>>> > demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
>>> > equações.
>>> >
>>> > Saudações,
>>> > PJMS
>>> >
>>> >
>>> >
>>> >
>>> >
>>> > Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
>>> > mailto:b...@ccet.ufrn.br>> escreveu:
>>> > Pedro,
>>> >
>>> > 7 é o inverso de 7 módulo 12
>>> >
>>> > --
>>> > Open WebMail Project (http://openwebmail.org<http://openwebmail.org/>)
>>> >
>>> >
>>> > -- Original Message ---
>>> > From: Pedro Chaves mailto:brped...@hotmail.com>>
>>> > To: "obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>"
>>> > mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>
>>> > Sent:
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Boa tarde!
Não parei para pensar se dá sempre.
7 * x ≡ 11 (mod12) ==> 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) ==> x ≡ 5 (mod12) ==> x = 5 +
12* m : m Ɛ Z
-12*y ≡11 (mod7) ==> 2*y ≡ 4 (mod7) ==> 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) ==> y ≡ 2 (mod12)
==> y =2 + 7*n : n ƐZ
Substituindo na equação original temos:
7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 ==> 84*m - 84* n = 0 ==> m=n ==> x = 5 +12
m e y = 2 + 2m : m ƐZ.
Saudações,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José escreveu:
> Bom dia!
>
> Desculpe-me, não vi a restrição do método.
>
> Sds,
> PJMS
>
> Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves
> escreveu:
>
>> Obrigado, Pedro José!
>>
>> O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
>>
>> Um abraço!
>> Pedro Chaves
>>
>> ________
>> > Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
>> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>> > From: petroc...@gmail.com
>> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >
>> > Bom dia!
>> >
>> > Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
>> > se m.d.c.(a,b) divide c.
>> >
>> > Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
>> >
>> > Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
>> >
>> > 12 = 7 * 1 + 5
>> > 7 = 5 * 1 + 2
>> > 5 = 2 * 2 + 1
>> >
>> > Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
>> > 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
>> > modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
>> >
>> > 5 = 12 - 7 (i)
>> > 2 = 7 - 5 (ii)
>> > 1 = 5 - 2 *2 (iii)
>> >
>> > (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
>> >
>> > (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
>> >
>> > então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
>> >
>> > então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
>> >
>> > Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
>> > equação 7 x - 12 y = 11.
>> >
>> > Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
>> > <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
>> >
>> > pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
>> >
>> > Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
>> >
>> > m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
>> > ==> y = -33 + 7*t (vi)
>> >
>> > (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
>> >
>> > Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
>> > 7*t, t ƐZ }
>> >
>> > Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
>> > entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
>> > dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
>> > soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
>> >
>> > Tem o artigo do eduardo Tengan:
>> > http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
>> > demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
>> > equações.
>> >
>> > Saudações,
>> > PJMS
>> >
>> >
>> >
>> >
>> >
>> > Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
>> > mailto:b...@ccet.ufrn.br>> escreveu:
>> > Pedro,
>> >
>> > 7 é o inverso de 7 módulo 12
>> >
>> > --
>> > Open WebMail Project (http://openwebmail.org<http://openwebmail.org/>)
>> >
>> >
>> > -- Original Message ---
>> > From: Pedro Chaves mailto:brped...@hotmail.com>>
>> > To: "obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>"
>> > mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>
>> > Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
>> > Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>> >
>> >> Caros Colegas,
>> >>
>> >> A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
>> > congruência? Não consegui.
>> >>
>> >> Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
>> >>
>> >> Abraços.
>> >> Pedro Chaves
>> >> --
>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >>
>> =
>> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> >>
>> =
>> > --- End of Original Message ---
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Bom dia!
Desculpe-me, não vi a restrição do método.
Sds,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves escreveu:
> Obrigado, Pedro José!
>
> O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
>
> Um abraço!
> Pedro Chaves
>
>
> > Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
> > From: petroc...@gmail.com
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >
> > Bom dia!
> >
> > Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
> > se m.d.c.(a,b) divide c.
> >
> > Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
> >
> > Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
> >
> > 12 = 7 * 1 + 5
> > 7 = 5 * 1 + 2
> > 5 = 2 * 2 + 1
> >
> > Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
> > 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
> > modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
> >
> > 5 = 12 - 7 (i)
> > 2 = 7 - 5 (ii)
> > 1 = 5 - 2 *2 (iii)
> >
> > (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
> >
> > (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
> >
> > então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
> >
> > então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
> >
> > Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
> > equação 7 x - 12 y = 11.
> >
> > Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
> > <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
> >
> > pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
> >
> > Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
> >
> > m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
> > ==> y = -33 + 7*t (vi)
> >
> > (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
> >
> > Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
> > 7*t, t ƐZ }
> >
> > Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
> > entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
> > dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
> > soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
> >
> > Tem o artigo do eduardo Tengan:
> > http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
> > demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
> > equações.
> >
> > Saudações,
> > PJMS
> >
> >
> >
> >
> >
> > Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
> > mailto:b...@ccet.ufrn.br>> escreveu:
> > Pedro,
> >
> > 7 é o inverso de 7 módulo 12
> >
> > --
> > Open WebMail Project (http://openwebmail.org<http://openwebmail.org/>)
> >
> >
> > -- Original Message ---
> > From: Pedro Chaves mailto:brped...@hotmail.com>>
> > To: "obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>"
> > mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>
> > Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
> > Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
> >
> >> Caros Colegas,
> >>
> >> A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
> > congruência? Não consegui.
> >>
> >> Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
> >>
> >> Abraços.
> >> Pedro Chaves
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> =
> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >>
> =
> > --- End of Original Message ---
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Obrigado, Pedro José!
O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
Um abraço!
Pedro Chaves
> Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
> From: petroc...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Bom dia!
>
> Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
> se m.d.c.(a,b) divide c.
>
> Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
>
> Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
>
> 12 = 7 * 1 + 5
> 7 = 5 * 1 + 2
> 5 = 2 * 2 + 1
>
> Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
> 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
> modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
>
> 5 = 12 - 7 (i)
> 2 = 7 - 5 (ii)
> 1 = 5 - 2 *2 (iii)
>
> (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
>
> (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
>
> então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
>
> então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
>
> Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
> equação 7 x - 12 y = 11.
>
> Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
> <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
>
> pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
>
> Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
>
> m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
> ==> y = -33 + 7*t (vi)
>
> (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
>
> Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
> 7*t, t ƐZ }
>
> Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
> entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
> dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
> soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
>
> Tem o artigo do eduardo Tengan:
> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
> demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
> equações.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
>
> Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
> mailto:b...@ccet.ufrn.br>> escreveu:
> Pedro,
>
> 7 é o inverso de 7 módulo 12
>
> --
> Open WebMail Project (http://openwebmail.org<http://openwebmail.org/>)
>
>
> -- Original Message ---
> From: Pedro Chaves mailto:brped...@hotmail.com>>
> To: "obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>"
> mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>
> Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
> Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>
>> Caros Colegas,
>>
>> A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
> congruência? Não consegui.
>>
>> Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
>>
>> Abraços.
>> Pedro Chaves
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
> --- End of Original Message ---
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Bom dia!
Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente se
m.d.c.(a,b) divide c.
Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
12 = 7 * 1 + 5
7 = 5 * 1 + 2
5 = 2 * 2 + 1
Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e 7.
(embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de modo
sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
5 = 12 - 7 (i)
2 = 7 - 5 (ii)
1 = 5 - 2 *2 (iii)
(ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
(iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da equação 7
x - 12 y = 11.
Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33) <==>
7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33) ==> y
= -33 + 7*t (vi)
(vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 + 7*t, t ƐZ
}
Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos entre
si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta dividir todos
os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem soluções se
m.d.c.(a,b) divide c.
Tem o artigo do eduardo Tengan:
http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há demonstrações
e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas equações.
Saudações,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
escreveu:
> Pedro,
>
> 7 é o inverso de 7 módulo 12
>
> --
> Open WebMail Project (http://openwebmail.org)
>
>
> *-- Original Message ---*
> From: Pedro Chaves
> To: "obm-l@mat.puc-rio.br"
> Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
> Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>
> > Caros Colegas,
> >
> > A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por congruência?
> Não consegui.
> >
> > Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
> >
> > Abraços.
> > Pedro Chaves
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >
> =
> *--- End of Original Message ---*
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Oi Pedro, 7x=-1(12), 35x =-5(12), 36x-x=-5(12), -x=-5(12), x=5(12). Abs Pacini Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire escreveu: > Pedro, > > 7 é o inverso de 7 módulo 12 > > -- > Open WebMail Project (http://openwebmail.org) > > > *-- Original Message ---* > From: Pedro Chaves > To: "obm-l@mat.puc-rio.br" > Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300 > Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo) > > > Caros Colegas, > > > > A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por congruência? > Não consegui. > > > > Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente. > > > > Abraços. > > Pedro Chaves > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > > = > *--- End of Original Message ---* > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Pedro, 7 é o inverso de 7 módulo 12 -- Open WebMail Project (http://openwebmail.org) -- Original Message --- From: Pedro Chaves To: "obm-l@mat.puc-rio.br" Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300 Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo) > Caros Colegas, > > A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por congruência? Não > consegui. > > Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente. > > Abraços. > Pedro Chaves > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = --- End of Original Message --- -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina por congruência
2015-04-21 18:13 GMT-03:00 Pedro Chaves : > Caros Colegas, > > Estou tentando resolver por congruência a equação diofantina 13x + 7y = 18, > mas não estou conseguindo. > Só consegui concluir que 13x é congruente a 4 (mod 7). > Peço-lhes ajuda. Coragem: você tem que inverter 13 mod 7 para continuar a "simplificar" a equação. No caso específico é fácil, já que 13 == -1 (mod 7). Assim: 13x == 4 (mod 7), implica que (-1)x == 4 e portanto x == -4 == 3 mod 7. Daí, x = 7k + 3. Substitua na equação original, e corra pro abraço. > Abraços do Pedro Chaves. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação funcional e Continuidade
Aparentemente o caso de f decrescente não era análogo , Obrigado Ralph. Em 22 de fevereiro de 2015 22:19, Ralph Teixeira escreveu: > Tem funcoes demais... Basicamente: > > i) Escolha um a qualquer tal que 0 ii) Desenhe um grafico continuo decrescente QUALQUER de (0,1) ateh (a,a). > iii) Desenhe o simetrico deste grafico com relacao aa reta y=x > iv) Pronto, voce tem um grafico de funcao que satisfaz suas condicoes! > > Abraco, Ralph. > > 2015-02-20 14:36 GMT-05:00 Gabriel Lopes : > >> *Prezados colegas gostaria de ajuda com o seguinte problema: >> >> - Encontre todas as funções contínuas f : [0,1] --> [0,1] tais que: >> f(f(x)) = x . >> >> *Procedi da seguinte maneira: >> >> 1.Deduzi imediatamente (pelos fatos básicos de composição de funções) >> que f é bijetiva . >> >> 2.Na continuação utilizei do seguinte TMA : Se f : X --> R é uma >> função contínua , então f é injetiva se e somente se é crescente ou >> decrescente. >> >> 3.Não consegui ir alem , olhei então a dica do meu livro que procedeu >> como eu fiz em 1 e 2 , e acresceu o seguinte : I. Suponha que f é >> crescente ( o caso em que f é decrescente é análogo) , II. Suponha que >> para algum x em (0,1) : f(x) > x então x = f(f(x)) > f(x) ,uma >> contradição e da mesma forma eliminamos o caso f(x) < x ; portanto f(x) >> = x , para todo x em [0,1] . >> >> 4.O problema fica quando tento provar o caso em que f é decrescente ( >> que parece não ser completamente análogo) ; obviamente a função f(x) = 1 >> - x também satisfaz , logo tentei obter uma contradição ao supor f(x) < >> 1 - x para algum x em (0,1) ; parei por aqui. >> >> *Sinto que talvez seja uma coisa boba ( alguma manipulação algébrica >> simples etc...) contudo não consegui continuar ; se for algo mais >> complexo poderiam enviar uma dica junto a solução? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação funcional e Continuidade
Tem funcoes demais... Basicamente: i) Escolha um a qualquer tal que 0: > *Prezados colegas gostaria de ajuda com o seguinte problema: > > - Encontre todas as funções contínuas f : [0,1] --> [0,1] tais que: > f(f(x)) = x . > > *Procedi da seguinte maneira: > > 1.Deduzi imediatamente (pelos fatos básicos de composição de funções) que > f é bijetiva . > > 2.Na continuação utilizei do seguinte TMA : Se f : X --> R é uma > função contínua , então f é injetiva se e somente se é crescente ou > decrescente. > > 3.Não consegui ir alem , olhei então a dica do meu livro que procedeu como > eu fiz em 1 e 2 , e acresceu o seguinte : I. Suponha que f é crescente ( > o caso em que f é decrescente é análogo) , II. Suponha que para algum x > em (0,1) : f(x) > x então x = f(f(x)) > f(x) ,uma contradição e da > mesma forma eliminamos o caso f(x) < x ; portanto f(x) = x , para todo > x em [0,1] . > > 4.O problema fica quando tento provar o caso em que f é decrescente ( > que parece não ser completamente análogo) ; obviamente a função f(x) = 1 > - x também satisfaz , logo tentei obter uma contradição ao supor f(x) < > 1 - x para algum x em (0,1) ; parei por aqui. > > *Sinto que talvez seja uma coisa boba ( alguma manipulação algébrica > simples etc...) contudo não consegui continuar ; se for algo mais > complexo poderiam enviar uma dica junto a solução? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação modular
|x+1|+|x|+3|x-1|+2|x-2| = |7x-6| x>=2 x+1+x+3x-3+2x-4=7x-6 sempre verdade 1<=x<2 x+1+x+3x-3-2x+4=7x-6 4x=8 x=2 6/7 > Acho que essa propriedade da soma ser igual ajuda se vc usar a > desigualdade triangular... > 2013.09.09. 3:11, "João Maldonado" ezt írta: > > >> >> Fala ai galera, meu professor me deu uma lista de equações modulares com >> infinitos exercícios. E eu que faltei na aula de módulo perdi os bizus pra >> resolver as questões e tenho que dividir em infinitos casos. Eu lembro que >> tinha uma propriedade de que se você descobrisse que a soma do argumento de >> cada modulo do lado esquerdo é exatamente o lado direito facilitava pra >> caramba, só não sei como, alguém pode me dar uma ajuda? Por exemplo, como >> vocês resolveriam as seguintes equações (todas são da lista): >> >> a) |x+1|+|x|+3|x-1|+2|x-2| = |7x-6| >> b) |x+1|+|x|+3|x-1|+2|x-2| = 7x-6 >> c) |x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2| = |x+2| >> d) |x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2| = x+2 >> >> Eu acho que deve ter alguma coisa a ver com |a+b| = |a|+|b| se e somente >> se a.b>0, mas não estou conseguindo aplicar isso >> >> []'s >> João >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação modular
Acho que essa propriedade da soma ser igual ajuda se vc usar a desigualdade triangular... 2013.09.09. 3:11, "João Maldonado" ezt írta: > > > Fala ai galera, meu professor me deu uma lista de equações modulares com > infinitos exercícios. E eu que faltei na aula de módulo perdi os bizus pra > resolver as questões e tenho que dividir em infinitos casos. Eu lembro que > tinha uma propriedade de que se você descobrisse que a soma do argumento de > cada modulo do lado esquerdo é exatamente o lado direito facilitava pra > caramba, só não sei como, alguém pode me dar uma ajuda? Por exemplo, como > vocês resolveriam as seguintes equações (todas são da lista): > > a) |x+1|+|x|+3|x-1|+2|x-2| = |7x-6| > b) |x+1|+|x|+3|x-1|+2|x-2| = 7x-6 > c) |x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2| = |x+2| > d) |x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2| = x+2 > > Eu acho que deve ter alguma coisa a ver com |a+b| = |a|+|b| se e somente > se a.b>0, mas não estou conseguindo aplicar isso > > []'s > João > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial
Dá pra fazer assim Sendo -3a, -a, a e 3a os termos da PA Por Girrard P2x2 = -10a² = -(3m+2) P4x4 = 9a^4 = m² Daí 100a^4 = (3m+2)^2 = 100m²/9 Daonde vem m = 6 ou m = -6/19 From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial Date: Wed, 4 Sep 2013 01:51:13 + Veja que m = 6 satisfaz. Date: Tue, 3 Sep 2013 22:12:16 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial From: saulo.nil...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0 DELTA=9M^2+12M+4-4M^2 =5m^2+12m+4x^2=(3m+2+-rq(5m^2+12m+4))/23m+2+rq(5m^2+12m+4)=3m+2-rq(5m^2+12m+4) delta=144-80=64m=(-12+-8)/10=-2 OU -2/5 2013/9/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa 2013/9/2 marcone augusto araújo borges > > Determine m sabendo que a equação x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0 > tem 4 raízes reais em progressão aritmética. > > Sejam - b, -a,a e b as raízes em PA. > Devemos ter b = 3a (1) ;a+b = 3m+2 (2) e ab = m^2 (3) > Resolvendo o sistema formado por (1) , (2) e (3) encontrei > um valor bem feio pra m. > Algo errado? Você está usando Girard na equação quadrática em x^2. Cujas raízes são a^2 e b^2, portanto as relações (2) e (3) estão erradas. E não esqueça de verificar que quando você tiver terminado de resolver (1), (2) e (3) para achar a^2 e b^2, que ambos sejam positivos ! -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial
Veja que m = 6 satisfaz. Date: Tue, 3 Sep 2013 22:12:16 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial From: saulo.nil...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0 DELTA=9M^2+12M+4-4M^2 =5m^2+12m+4x^2=(3m+2+-rq(5m^2+12m+4))/23m+2+rq(5m^2+12m+4)=3m+2-rq(5m^2+12m+4) delta=144-80=64m=(-12+-8)/10=-2 OU -2/5 2013/9/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa 2013/9/2 marcone augusto araújo borges > > Determine m sabendo que a equação x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0 > tem 4 raízes reais em progressão aritmética. > > Sejam - b, -a,a e b as raízes em PA. > Devemos ter b = 3a (1) ;a+b = 3m+2 (2) e ab = m^2 (3) > Resolvendo o sistema formado por (1) , (2) e (3) encontrei > um valor bem feio pra m. > Algo errado? Você está usando Girard na equação quadrática em x^2. Cujas raízes são a^2 e b^2, portanto as relações (2) e (3) estão erradas. E não esqueça de verificar que quando você tiver terminado de resolver (1), (2) e (3) para achar a^2 e b^2, que ambos sejam positivos ! -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial
x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0 DELTA=9M^2+12M+4-4M^2 =5m^2+12m+4 x^2=(3m+2+-rq(5m^2+12m+4))/2 3m+2+rq(5m^2+12m+4)=3m+2-rq(5m^2+12m+4) delta=144-80=64 m=(-12+-8)/10=-2 OU -2/5 2013/9/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa > 2013/9/2 marcone augusto araújo borges > > > > Determine m sabendo que a equação x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0 > > tem 4 raízes reais em progressão aritmética. > > > > Sejam - b, -a,a e b as raízes em PA. > > Devemos ter b = 3a (1) ;a+b = 3m+2 (2) e ab = m^2 (3) > > Resolvendo o sistema formado por (1) , (2) e (3) encontrei > > um valor bem feio pra m. > > Algo errado? > > Você está usando Girard na equação quadrática em x^2. Cujas raízes são > a^2 e b^2, portanto as relações (2) e (3) estão erradas. E não esqueça > de verificar que quando você tiver terminado de resolver (1), (2) e > (3) para achar a^2 e b^2, que ambos sejam positivos ! > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação polinomial
2013/9/2 marcone augusto araújo borges > > Determine m sabendo que a equação x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0 > tem 4 raízes reais em progressão aritmética. > > Sejam - b, -a,a e b as raízes em PA. > Devemos ter b = 3a (1) ;a+b = 3m+2 (2) e ab = m^2 (3) > Resolvendo o sistema formado por (1) , (2) e (3) encontrei > um valor bem feio pra m. > Algo errado? Você está usando Girard na equação quadrática em x^2. Cujas raízes são a^2 e b^2, portanto as relações (2) e (3) estão erradas. E não esqueça de verificar que quando você tiver terminado de resolver (1), (2) e (3) para achar a^2 e b^2, que ambos sejam positivos ! -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Equação polinomial
Já vi.O certo é a^2 + b^2 = 3m + 2.Desculpem. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Equação polinomial Date: Mon, 2 Sep 2013 14:38:24 + Determine m sabendo que a equação x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0 tem 4 raízes reais em progressão aritmética. Sejam - b, -a,a e b as raízes em PA.Devemos ter b = 3a (1) ;a+b = 3m+2 (2) e ab = m^2 (3)Resolvendo o sistema formado por (1) , (2) e (3) encontreium valor bem feio pra m.Algo errado? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol
Eu posso ensinar um método, mas creio que todos eles são essencialmente a mesma coisa. A minha ideia é partir da teoria soma-produto: x+y=S xy=P A ideia é tentar calcular a diferença, x-y. Para isso, podemos usar produtos notáveis: (x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy Substituindo os valores: S^2-(x-y)^2 = 4P x-y = sqrt(S^2-4P) Agora fica fácil! Testa, é claro, os sinais + e - da radiciação. Outra forma seria completar os quadrados. Mas uma outra possível solução seria um deslocamento de variável: Se temos x^2-Sx+P=0, façamos x=Z+d (d de delta), abrimos tudo e obtemos uma equação de segundo grau em Z. A partir daí, ajuste o d a fim de que o termo de primeiro grau se anule: Z^2+2dZ+d^2 -SZ-Sd +P Z^2+(2d-S)Z+(D^2-Sd+P) = 0 d = S/2 serve! Obtemos algo como 'Z^2+T=0' e pronto! Em 5 de agosto de 2013 19:39, Hermann escreveu: > Vc tem toda a razão. É um método diferente, mas eu não me lembro, vou > pesquisar! > Abraços > Hermann > - Original Message - From: "Ralph Teixeira" > To: > Sent: Monday, August 05, 2013 6:52 PM > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau > métodos de sol > > > > Uma coisa que eu aprendi eh que quase nenhum pais alem do Brasil chama > esta formula de "Baskara" -- pelo menos nas minhas turmas > internacionais, ninguem reconhece o nome, nem os indianos chamam > assim... Acho que eh "formula quadratica" em varias linguas, mas > fiquem aa vontade para me desmentir -- como eh no resto da America > Latina? > > Mas, se eu entendi direito, nao eh esse o problema, neh? O seu aluno > fazia realmente por algum outro metodo, eh isso? Nao consigo imaginar > algo que seja tao geral quanto a formula usual, e que nao seja bem > parecida com ela... Alguem do Peru vai ter que responder... :) > > Abraco, > Ralph > > 2013/8/5 Hermann : > >> Eu acho que vc completou o quadrado e isso é báskara, agradeço, mas o que >> eu >> desejava saber é que método é ensinado no Peru. >> Diferente de báskara. >> >> - Original Message - >> From: Esdras Muniz >> To: obm-l@mat.puc-rio.br >> Sent: Monday, August 05, 2013 1:01 PM >> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol >> >> x² - 3x + 5 = 0 >> x² - (3x/2) + (3/2)² = -5 + (3/2)² >> (x - 3/2)² = (3/2)² - 5 >> >> >> >> Em 5 de agosto de 2013 12:06, Hermann >> escreveu: >> >>> >>> Dei aula para um peruano que não usava báskara, mas não tive tempo na >>> época. >>> >>> Alguém aqui saberia me explicar outros métodos de se obter a solução da >>> equação (sem báskara, sem S e P) >>> >>> ax^2+bx+c=0 >>> >>> abraços >>> >>> Hermann >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> >> >> -- >> Esdras Muniz Mota >> Graduando em Matemática Bacharelado >> Universidade Federal do Ceará >> >> "Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto" >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ==**==** > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~**obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html> > ==**==**= > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > ==**==** > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~**obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html> > ==**==** > = > -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol
Vc tem toda a razão. É um método diferente, mas eu não me lembro, vou pesquisar! Abraços Hermann - Original Message - From: "Ralph Teixeira" To: Sent: Monday, August 05, 2013 6:52 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol Uma coisa que eu aprendi eh que quase nenhum pais alem do Brasil chama esta formula de "Baskara" -- pelo menos nas minhas turmas internacionais, ninguem reconhece o nome, nem os indianos chamam assim... Acho que eh "formula quadratica" em varias linguas, mas fiquem aa vontade para me desmentir -- como eh no resto da America Latina? Mas, se eu entendi direito, nao eh esse o problema, neh? O seu aluno fazia realmente por algum outro metodo, eh isso? Nao consigo imaginar algo que seja tao geral quanto a formula usual, e que nao seja bem parecida com ela... Alguem do Peru vai ter que responder... :) Abraco, Ralph 2013/8/5 Hermann : Eu acho que vc completou o quadrado e isso é báskara, agradeço, mas o que eu desejava saber é que método é ensinado no Peru. Diferente de báskara. - Original Message - From: Esdras Muniz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, August 05, 2013 1:01 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol x² - 3x + 5 = 0 x² - (3x/2) + (3/2)² = -5 + (3/2)² (x - 3/2)² = (3/2)² - 5 Em 5 de agosto de 2013 12:06, Hermann escreveu: Dei aula para um peruano que não usava báskara, mas não tive tempo na época. Alguém aqui saberia me explicar outros métodos de se obter a solução da equação (sem báskara, sem S e P) ax^2+bx+c=0 abraços Hermann -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará "Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto" -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol
Uma coisa que eu aprendi eh que quase nenhum pais alem do Brasil chama esta formula de "Baskara" -- pelo menos nas minhas turmas internacionais, ninguem reconhece o nome, nem os indianos chamam assim... Acho que eh "formula quadratica" em varias linguas, mas fiquem aa vontade para me desmentir -- como eh no resto da America Latina? Mas, se eu entendi direito, nao eh esse o problema, neh? O seu aluno fazia realmente por algum outro metodo, eh isso? Nao consigo imaginar algo que seja tao geral quanto a formula usual, e que nao seja bem parecida com ela... Alguem do Peru vai ter que responder... :) Abraco, Ralph 2013/8/5 Hermann : > Eu acho que vc completou o quadrado e isso é báskara, agradeço, mas o que eu > desejava saber é que método é ensinado no Peru. > Diferente de báskara. > > - Original Message - > From: Esdras Muniz > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Sent: Monday, August 05, 2013 1:01 PM > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol > > x² - 3x + 5 = 0 > x² - (3x/2) + (3/2)² = -5 + (3/2)² > (x - 3/2)² = (3/2)² - 5 > > > > Em 5 de agosto de 2013 12:06, Hermann escreveu: >> >> Dei aula para um peruano que não usava báskara, mas não tive tempo na >> época. >> >> Alguém aqui saberia me explicar outros métodos de se obter a solução da >> equação (sem báskara, sem S e P) >> >> ax^2+bx+c=0 >> >> abraços >> >> Hermann >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > -- > Esdras Muniz Mota > Graduando em Matemática Bacharelado > Universidade Federal do Ceará > > "Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto" > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol
Eu acho que vc completou o quadrado e isso é báskara, agradeço, mas o que eu desejava saber é que método é ensinado no Peru. Diferente de báskara. - Original Message - From: Esdras Muniz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, August 05, 2013 1:01 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol x² - 3x + 5 = 0 x² - (3x/2) + (3/2)² = -5 + (3/2)² (x - 3/2)² = (3/2)² - 5 Em 5 de agosto de 2013 12:06, Hermann escreveu: Dei aula para um peruano que não usava báskara, mas não tive tempo na época. Alguém aqui saberia me explicar outros métodos de se obter a solução da equação (sem báskara, sem S e P) ax^2+bx+c=0 abraços Hermann -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará "Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto" -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] equação do 2 grau métodos de sol
x² - 3x + 5 = 0 x² - (3x/2) + (3/2)² = -5 + (3/2)² (x - 3/2)² = (3/2)² - 5 Em 5 de agosto de 2013 12:06, Hermann escreveu: > ** > Dei aula para um peruano que não usava báskara, mas não tive tempo na > época. > > Alguém aqui saberia me explicar outros métodos de se obter a solução da > equação (sem báskara, sem S e P) > > ax^2+bx+c=0 > > abraços > > Hermann > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará "Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto" -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
Sim, na verdade a fórmula de cardano vem daí Mas em vez de ficar decorando uma fórmula gigante, você pode fatorar o polinômio Dá pra fazer o mesmo com equações de grau quatro, mas aí a fatoração é diferente []'s João Date: Wed, 24 Jul 2013 23:57:15 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau From: vanderma...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Muito obrigado! Bela solução a sua! Posso utilizar em qualquer equação cúbica? Em 24 de julho de 2013 16:56, João Maldonado escreveu: Corrigindo (erro de digitação) y =((5/2)(3 - raiz(7/3))^(1/3) From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau Date: Wed, 24 Jul 2013 16:23:30 -0300 Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz) Podemos rearranjar dessa forma z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy) x³ + y³ = 5 3xy = 5, x³y³ = 125/27 SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0 x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra se acha por bascara delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)² z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2 Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau From: vanderma...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não podem ser obtidas? Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli escreveu: Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na equação do terceiro grau, teremos: (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 = 0 (*). Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos: [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z] 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita. Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1. Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz escreveu: Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas imaginárias, da equação: x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0 Grato, Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
Muito obrigado! Bela solução a sua! Posso utilizar em qualquer equação cúbica? Em 24 de julho de 2013 16:56, João Maldonado escreveu: > Corrigindo (erro de digitação) > y =((5/2)(3 - raiz(7/3))^(1/3) > -- > From: joao_maldona...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro > grau > Date: Wed, 24 Jul 2013 16:23:30 -0300 > > > Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que > x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz) > Podemos rearranjar dessa forma > z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy) > x³ + y³ = 5 > 3xy = 5, x³y³ = 125/27 > SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0 > x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) > y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) > > Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra se acha por bascara > delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)² > z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2 > > ------ > Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau > From: vanderma...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não > podem ser obtidas? > > > Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli > escreveu: > > Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na > equação do terceiro grau, teremos: > > (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 = > 0 (*). > > Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de > variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + > raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos: > > [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z] > > 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / > (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita. > > Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * > raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1. > > > Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz > escreveu: > > Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas > imaginárias, da equação: > > x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0 > > Grato, > > Vanderlei > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
Corrigindo (erro de digitação) y =((5/2)(3 - raiz(7/3))^(1/3) From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau Date: Wed, 24 Jul 2013 16:23:30 -0300 Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz) Podemos rearranjar dessa forma z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy) x³ + y³ = 5 3xy = 5, x³y³ = 125/27 SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0 x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra se acha por bascara delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)² z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2 Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau From: vanderma...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não podem ser obtidas? Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli escreveu: Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na equação do terceiro grau, teremos: (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 = 0 (*). Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos: [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z] 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita. Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1. Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz escreveu: Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas imaginárias, da equação: x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0 Grato, Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz) Podemos rearranjar dessa forma z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy) x³ + y³ = 5 3xy = 5, x³y³ = 125/27 SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0 x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra se acha por bascara delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)² z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2 Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau From: vanderma...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não podem ser obtidas? Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli escreveu: Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na equação do terceiro grau, teremos: (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 = 0 (*). Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos: [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z] 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita. Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1. Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz escreveu: Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas imaginárias, da equação: x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0 Grato, Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
Tendo encontrado uma das raízes de z^3 - 5z + 5 = 0, você pode tentar forçar a fatoração. Mas creio que não será uma equação do segundo grau das mais bonitas. Em 24 de julho de 2013 14:49, Vanderlei Nemitz escreveu: > Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não > podem ser obtidas? > > > Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli > escreveu: > > Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na >> equação do terceiro grau, teremos: >> >> (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 >> = 0 (*). >> >> Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de >> variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + >> raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos: >> >> [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z] >> >> 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / >> (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita. >> >> Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * >> raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1. >> >> >> Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz >> escreveu: >> >>> Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas >>> imaginárias, da equação: >>> >>> x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0 >>> >>> Grato, >>> >>> Vanderlei >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não podem ser obtidas? Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli escreveu: > Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na > equação do terceiro grau, teremos: > > (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 = > 0 (*). > > Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de > variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + > raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos: > > [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z] > > 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / > (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita. > > Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * > raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1. > > > Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz > escreveu: > >> Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas >> imaginárias, da equação: >> >> x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0 >> >> Grato, >> >> Vanderlei >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na equação do terceiro grau, teremos: (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 = 0 (*). Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos: [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z] 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita. Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1. Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz escreveu: > Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas > imaginárias, da equação: > > x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0 > > Grato, > > Vanderlei > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida
Um livro específico sobre equações diferenciais eu no momento não tenho. Mas vou ver se acho uma boa referência. No caso, conforme o Jones citou, é uma equação de variáveis separáveis, o que torna tudo muito simples (desde que possamos achar em forma fechada a primitiva da função dada). Temos que 2y dy = 2x + x cos(x) dx Integrando os dos membros, o que aqui é fácil (a integral de x cos(x) sai facilmente por partes), chegamos a y^2 = x^2 + cos(x) + x sin(x) + C y = raiz(x^2 + cos(x) + x sin(x) + C) ou y = -raiz(x^2 + cos(x) + x sin(x) + C) A solução do Jones é o caso C = 0 Artur Costa Steiner Em 20/06/2013, às 09:38, Jones Colombo escreveu: > Em ambos os casos o procedimento é por métodos de variáveis separáveis - >  Se for o 2ª caso que o Artur comentou uma solução seria . > [] > Jones > > > 2013/6/20 Artur Costa Steiner >> >> É y' = (2x + x.cos(x))/2 * y ou y' = (2x + x.cos(x))/(2y)? >> >> Da maneira como vc escreveu, pela convenção usual é o primeiro caso >> >> >> Artur Costa Steiner >> >> Em 20/06/2013, à s 07:55, "Hermann" escreveu: >> >> > Agradeço a resposta, vc conhece algum liro que tenha questões >> > semelhantes a esta para que eu possa ver rspostas onde y seja solução, >> > abraços >> > e obrigado mais uma vez >> > Hermann >> > - Original Message - From: "Bernardo Freitas Paulo da Costa" >> > >> > To: >> > Sent: Wednesday, June 19, 2013 11:57 PM >> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida >> > >> > >> > 2013/6/19 Hermann : >> >> Considere a eq dif >> >> >> >> y' = (2x + x.cos(x))/2y >> >> >> >> y = x + x.cos(x)/2 é uma solução para esta eq dif? >> >> >> >> Cheguei na seguinte equação cos(x)-x.sen(x)=2 e travei. >> > Normal, porque a função (x + x*cos(x)/2) não é solução. >> > >> > Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) será uma solução se, ao >> > substituir o y pela expressão em x, você obtiver uma identidade (ou >> > seja, válida para todo x). >> > >> > Abraços, >> > -- >> > Bernardo Freitas Paulo da Costa >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > >> > = >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> > = >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > = >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> > = >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>  acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida
y' = (2x + x.cos(x))/(2y) é esse caso, em latex ficaria y'= \frac{2x +
x.cos(x)}{2y}
Aproveito para repetir minha última dúvida: um livro que tenha esse tipo de
questão, peço isso pq não achei esta questão em alguns livros de eq dif em
casa.
Abrços
Hermann
- Original Message -
From: "Artur Costa Steiner"
To:
Sent: Thursday, June 20, 2013 9:12 AM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida
É y' = (2x + x.cos(x))/2 * y ou y' = (2x + x.cos(x))/(2y)?
Da maneira como vc escreveu, pela convenção usual é o primeiro caso
Artur Costa Steiner
Em 20/06/2013, às 07:55, "Hermann" escreveu:
Agradeço a resposta, vc conhece algum liro que tenha questões semelhantes
a esta para que eu possa ver rspostas onde y seja solução, abraços
e obrigado mais uma vez
Hermann
- Original Message - From: "Bernardo Freitas Paulo da Costa"
To:
Sent: Wednesday, June 19, 2013 11:57 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida
2013/6/19 Hermann :
Considere a eq dif
y' = (2x + x.cos(x))/2y
y = x + x.cos(x)/2 é uma solução para esta eq dif?
Cheguei na seguinte equação cos(x)-x.sen(x)=2 e travei.
Normal, porque a função (x + x*cos(x)/2) não é solução.
Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) será uma solução se, ao
substituir o y pela expressão em x, você obtiver uma identidade (ou
seja, válida para todo x).
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida
Em ambos os casos o procedimento é por métodos de variáveis separáveis -
Se for o 2ª caso que o Artur comentou uma solução seria [image: y=\pm
\sqrt{x^2+\cos(x)+x\sin(x)}].
[]
Jones
2013/6/20 Artur Costa Steiner
> >> É y' = (2x + x.cos(x))/2 * y ou y' = (2x + x.cos(x))/(2y)?
>
> Da maneira como vc escreveu, pela convenção usual é o primeiro caso
>
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em 20/06/2013, às 07:55, "Hermann" escreveu:
>
> > Agradeço a resposta, vc conhece algum liro que tenha questões
> semelhantes a esta para que eu possa ver rspostas onde y seja solução,
> abraços
> > e obrigado mais uma vez
> > Hermann
> > - Original Message - From: "Bernardo Freitas Paulo da Costa" <
> bernardo...@gmail.com>
> > To:
> > Sent: Wednesday, June 19, 2013 11:57 PM
> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida
> >
> >
> > 2013/6/19 Hermann :
> >> Considere a eq dif
> >>
> >> y' = (2x + x.cos(x))/2y
> >>
> >> y = x + x.cos(x)/2 é uma solução para esta eq dif?
> >>
> >> Cheguei na seguinte equação cos(x)-x.sen(x)=2 e travei.
> > Normal, porque a função (x + x*cos(x)/2) não é solução.
> >
> > Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) será uma solução se, ao
> > substituir o y pela expressão em x, você obtiver uma identidade (ou
> > seja, válida para todo x).
> >
> > Abraços,
> > --
> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > =
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
> > =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > =
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida
>> É y' = (2x + x.cos(x))/2 * y ou y' = (2x + x.cos(x))/(2y)? Da maneira como vc escreveu, pela convenção usual é o primeiro caso Artur Costa Steiner Em 20/06/2013, às 07:55, "Hermann" escreveu: > Agradeço a resposta, vc conhece algum liro que tenha questões semelhantes a > esta para que eu possa ver rspostas onde y seja solução, abraços > e obrigado mais uma vez > Hermann > - Original Message - From: "Bernardo Freitas Paulo da Costa" > > To: > Sent: Wednesday, June 19, 2013 11:57 PM > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida > > > 2013/6/19 Hermann : >> Considere a eq dif >> >> y' = (2x + x.cos(x))/2y >> >> y = x + x.cos(x)/2 é uma solução para esta eq dif? >> >> Cheguei na seguinte equação cos(x)-x.sen(x)=2 e travei. > Normal, porque a função (x + x*cos(x)/2) não é solução. > > Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) será uma solução se, ao > substituir o y pela expressão em x, você obtiver uma identidade (ou > seja, válida para todo x). > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida
Agradeço a resposta, vc conhece algum liro que tenha questões semelhantes a esta para que eu possa ver rspostas onde y seja solução, abraços e obrigado mais uma vez Hermann - Original Message - From: "Bernardo Freitas Paulo da Costa" To: Sent: Wednesday, June 19, 2013 11:57 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida 2013/6/19 Hermann : Considere a eq dif y' = (2x + x.cos(x))/2y y = x + x.cos(x)/2 é uma solução para esta eq dif? Cheguei na seguinte equação cos(x)-x.sen(x)=2 e travei. Normal, porque a função (x + x*cos(x)/2) não é solução. Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) será uma solução se, ao substituir o y pela expressão em x, você obtiver uma identidade (ou seja, válida para todo x). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] equação diferencial dúvida
2013/6/19 Hermann : > Considere a eq dif > > y' = (2x + x.cos(x))/2y > > y = x + x.cos(x)/2 é uma solução para esta eq dif? > > Cheguei na seguinte equação cos(x)-x.sen(x)=2 e travei. Normal, porque a função (x + x*cos(x)/2) não é solução. Para uma eq dif dada por F(x,y,y') = 0, y(x) será uma solução se, ao substituir o y pela expressão em x, você obtiver uma identidade (ou seja, válida para todo x). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
Tem um detalhe aqui para o qual eu gostaria de chamar a atenção. Este seu
raciocínio determina univocamente uma sequência que satisfaz às condições
dadas. Mas parece que o enunciado falava de funções de R+ em R+. Eu não sei se
dá para determinar uma univocamente, acho que há uma infinidade, desde que
coincida nos inteiros com sua sequência.
Aliás, a notação R+ é ambígua. Alguns consideram que não inclui o 0 ( o que me
parece mais de acordo com o símbolo +), mas outros consideram que inclui.
Abraços.
Artur Costa Steiner
Em 01/04/2013, às 23:02, LEANDRO L RECOVA escreveu:
> Ok. Eu pensei que na definicao de R^{+}, o zero estava excluido. Nao percebi.
>
> Date: Sun, 31 Mar 2013 18:51:26 -0300
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
> From: pedromatematic...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Olá Leandro, consegui resolver o problema e muito obrigado pela sugestão.
> Seguinte:
>
>
> Faça x = 0 ==> f(f(0)) + af(0) = b(a+b) 0 = 0 ==> f(f(0)) = - af(0)
>
> Seja f(0) = y_1 ==> f(f(0)) = f(y_1) = - a f(0)
> Agora faça f(y_1) = y_2
>
> perceba a recorrência: y_n = f(y_(n-1)). Substituindo na equação funcional
> temos:
>
> y_(n+2) +a y_(n+1) -b(a+b) y_n = 0
>
> Eq. Característica: r^2 +ar - b(a+b) = 0
>
> Daí continua...
> Abç
>
>
> Em 31 de março de 2013 16:48, LEANDRO L RECOVA
> escreveu:
> Eu pensei no seguinte:
>
> y=f(x). Entao,
>
> f(y) + ay = b(a+b)x
>
> f(y) = b(a+b)x-ay
>
> Ja que f assume valores reais positivos (R^+), entao, temos que ter f(y) > 0,
> ou seja,
>
> ay < b(a+b)x => f(x) < b/a (a+b)x. (*)
>
> As funcoes f devem satisfazer a condicao (*). Vou continuar pensando na
> questao.
>
> Date: Sat, 30 Mar 2013 16:09:29 -0300
> Subject: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
> From: pedromatematic...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
>
> Essa questão estava numa lista de Equações Recorrentes. É possível resolvê-la
> por recorrência?
>
> Ache todas as funções f: R^+ -->R^+ tais que f(f(x)) + af(x) = b(a+b)x onde
> a,b \in R^+.
>
> --
> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
> Professor de Matemática
> Geo João Pessoa – PB
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
> Professor de Matemática
> Geo João Pessoa – PB
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
Ok. Eu pensei que na definicao de R^{+}, o zero estava excluido. Nao percebi.
Date: Sun, 31 Mar 2013 18:51:26 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
From: pedromatematic...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Olá Leandro, consegui resolver o problema e muito obrigado pela sugestão.
Seguinte:
Faça x = 0 ==> f(f(0)) + af(0) = b(a+b) 0 = 0 ==> f(f(0)) = - af(0)
Seja f(0) = y_1 ==> f(f(0)) = f(y_1) = - a f(0)
Agora faça f(y_1) = y_2
perceba a recorrência: y_n = f(y_(n-1)). Substituindo na equação funcional
temos:
y_(n+2) +a y_(n+1) -b(a+b) y_n = 0
Eq. Característica: r^2 +ar - b(a+b) = 0
Daí continua...
Abç
Em 31 de março de 2013 16:48, LEANDRO L RECOVA escreveu:
Eu pensei no seguinte:
y=f(x). Entao,
f(y) + ay = b(a+b)x
f(y) = b(a+b)x-ay
Ja que f assume valores reais positivos (R^+), entao, temos que ter f(y) > 0,
ou seja,
ay < b(a+b)x => f(x) < b/a (a+b)x. (*)
As funcoes f devem satisfazer a condicao (*). Vou continuar pensando na
questao.
Date: Sat, 30 Mar 2013 16:09:29 -0300
Subject: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
From: pedromatematic...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Essa questão estava numa lista de Equações Recorrentes. É possível resolvê-la
por recorrência?
Ache todas as funções f: R^+ -->R^+ tais que f(f(x)) + af(x) = b(a+b)x onde a,b
\in R^+.
--
Pedro Jerônimo S. de O.
Júnior
Professor
de Matemática
Geo João Pessoa
– PB
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Pedro Jerônimo S. de O.
Júnior
Professor
de Matemática
Geo João Pessoa
– PB
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
Olá Leandro, consegui resolver o problema e muito obrigado pela sugestão. Seguinte: Faça x = 0 ==> f(f(0)) + af(0) = b(a+b) 0 = 0 ==> f(f(0)) = - af(0) Seja f(0) = y_1 ==> f(f(0)) = f(y_1) = - a f(0) Agora faça f(y_1) = y_2 perceba a recorrência: y_n = f(y_(n-1)). Substituindo na equação funcional temos: y_(n+2) +a y_(n+1) -b(a+b) y_n = 0 Eq. Característica: r^2 +ar - b(a+b) = 0 Daí continua... Abç Em 31 de março de 2013 16:48, LEANDRO L RECOVA escreveu: > Eu pensei no seguinte: > > y=f(x). Entao, > > f(y) + ay = b(a+b)x > > f(y) = b(a+b)x-ay > > Ja que f assume valores reais positivos (R^+), entao, temos que ter f(y) > > 0, ou seja, > > ay < b(a+b)x => f(x) < b/a (a+b)x. (*) > > As funcoes f devem satisfazer a condicao (*). Vou continuar pensando na > questao. > > -- > Date: Sat, 30 Mar 2013 16:09:29 -0300 > Subject: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência > From: pedromatematic...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > Essa questão estava numa lista de Equações Recorrentes. É possível > resolvê-la por recorrência? > > Ache todas as funções f: R^+ -->R^+ tais que f(f(x)) + af(x) = b(a+b)x > onde a,b \in R^+. > > -- > Pedro Jerônimo S. de O. Júnior > Professor de Matemática > Geo João Pessoa – PB > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência
Eu pensei no seguinte: y=f(x). Entao, f(y) + ay = b(a+b)x f(y) = b(a+b)x-ay Ja que f assume valores reais positivos (R^+), entao, temos que ter f(y) > 0, ou seja, ay < b(a+b)x => f(x) < b/a (a+b)x. (*) As funcoes f devem satisfazer a condicao (*). Vou continuar pensando na questao. Date: Sat, 30 Mar 2013 16:09:29 -0300 Subject: [obm-l] Equação Funcional ou Recorrência From: pedromatematic...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Essa questão estava numa lista de Equações Recorrentes. É possível resolvê-la por recorrência? Ache todas as funções f: R^+ -->R^+ tais que f(f(x)) + af(x) = b(a+b)x onde a,b \in R^+. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Enc: RE: [obm-l] Equação diferencial não-linear de primeira ordem
Boa tarde! Procure equaçoes diferenciais de Riccati. Salvo engano, essa equação é um caso particular onde os coeficientes são constantes. Bons estudos. Em 10/12/12, Eduardo Wilner escreveu: > > Não desisto... > > > --- Em sáb, 8/12/12, Eduardo Wilner escreveu: > > De: Eduardo Wilner > Assunto: Enc: RE: [obm-l] Equação diferencial não-linear de primeira ordem > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Data: Sábado, 8 de Dezembro de 2012, 22:37 > > > Nova tentativa > > > > --- Em qui, 6/12/12, Eduardo Wilner escreveu: > > De: Eduardo Wilner > Assunto: Enc: RE: [obm-l] Equação diferencial não-linear de primeira ordem > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Data: Quinta-feira, 6 de Dezembro de 2012, 13:51 > > Estou "reenviando"... > > --- Em qua, 5/12/12, Eduardo Wilner escreveu: > > De: Eduardo Wilner > Assunto: > RE: [obm-l] Equação diferencial não-linear de primeira ordem > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Data: Quarta-feira, 5 de Dezembro de 2012, 22:43 > > É uma equação simples à vairáveis separáveis (eu diria separadas): > > [dv/(k+k'v^2)] = dt. > > Deve dar algo do tipo v = sqrt(k/k') tg[sqrt(kk')t+n*pi]. > > [ ]'s > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação exponencial
Bom, claro que ao verificar que x=2 eh solucao e mostrar que ela eh unica, voce resolveu a equacao... Mas entendo que voce quer saber como resolver algebricamente uma equacao do tipo a^x+b^x=c^x (a, b e c dados). Claro que isto depende do que "algebricamente" significa. Entao deixa eu dizer assim: eu nao sei nenhuma maneira de escrever x como funcao de a, b e c usando apenas as funcoes que eu conheco -- isto eh, potencias, raizes, logaritmos, funcoes trigonometricas, e ateh algumas coisas mais obscuras como a funcao W de Lambert. Aposto que nao eh possivel, mas nao tenho certeza. Abraco, Ralph 2012/8/8 Vanderlei * > *Obrigado Ralph. Mas existe um método algébrico para concluirmos que x = > 2?* > > Em 8 de agosto de 2012 00:40, Ralph Teixeira escreveu: > >> Lema: Se 0> Dem.: Note que x>0 satisfaz a equacao sse f(x)=(c/b)^x-(a/b)^x=1. >> Mas esta funcao f(x) eh crescente (pois c/b>1 e a/b<1), entao tem no maximo >> uma raiz positiva! >> >> (De fato, note que f(0)=0 e f(+Inf)=+Inf, entao f(x)=1 tem EXATAMENTE uma >> raiz real positiva.) >> >> Abraco, >> Ralph >> >> 2012/8/7 Vanderlei * >> >>> Alguém pode ajudar a resolver a equação. >>> >>> *[sqrt(4 - sqrt15)]^x + [sqrt(4 + sqrt15)]^x = [2sqrt2]^x* >>> >>> É trivial que o número 2 é solução, mas será que não existem outras? >>> >>> Obrigado! >>> >> >> >
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação exponencial
*Obrigado Ralph. Mas existe um método algébrico para concluirmos que x = 2?* Em 8 de agosto de 2012 00:40, Ralph Teixeira escreveu: > Lema: Se 0 Dem.: Note que x>0 satisfaz a equacao sse f(x)=(c/b)^x-(a/b)^x=1. Mas esta > funcao f(x) eh crescente (pois c/b>1 e a/b<1), entao tem no maximo uma raiz > positiva! > > (De fato, note que f(0)=0 e f(+Inf)=+Inf, entao f(x)=1 tem EXATAMENTE uma > raiz real positiva.) > > Abraco, > Ralph > > 2012/8/7 Vanderlei * > >> Alguém pode ajudar a resolver a equação. >> >> *[sqrt(4 - sqrt15)]^x + [sqrt(4 + sqrt15)]^x = [2sqrt2]^x* >> >> É trivial que o número 2 é solução, mas será que não existem outras? >> >> Obrigado! >> > >
[obm-l] Re: [obm-l] equação exponencial
Lema: Se 00 satisfaz a equacao sse f(x)=(c/b)^x-(a/b)^x=1. Mas esta funcao f(x) eh crescente (pois c/b>1 e a/b<1), entao tem no maximo uma raiz positiva! (De fato, note que f(0)=0 e f(+Inf)=+Inf, entao f(x)=1 tem EXATAMENTE uma raiz real positiva.) Abraco, Ralph 2012/8/7 Vanderlei * > Alguém pode ajudar a resolver a equação. > > *[sqrt(4 - sqrt15)]^x + [sqrt(4 + sqrt15)]^x = [2sqrt2]^x* > > É trivial que o número 2 é solução, mas será que não existem outras? > > Obrigado! >
[obm-l] Re: [obm-l] Equação funcional
2011/11/16 Luan Gabriel : > Galera: > Determine todas as funções F: R -> R tais que,para todo x real, > f(x^2+f(y)) = y + f(x)^2 . Bom, dá um trabalhinho... Faça x = 0. f(f(y)) = y + f(0)^2. Assim, f(y) = f(z) => f(f(y)) = f(f(z)) => y + f(0)^2 = z + f(0)^2 => y = z. Logo f é injetiva. Além disso, como y + f(0)^2 percorre R quando y percorre R, f é sobrejetiva. Logo f é bijetiva. Seja g a inversa de f (vamos precisar dela). Note que a fórmula do enunciado pode ser escrita com y = g(z) da seguinte forma: f(x^2 + z) = g(z) + f(x)^2. Note também que dada a forma da função, temos f(x^2) = g(0) + f(x)^2 = g(0) + f(-x)^2, ou seja, f(x)^2 = f(-x)^2. Para x != 0, x != -x, logo f(x) != f(-x) porque f é injetiva. Assim, f(-x) = -f(x) para x != 0. Agora, calcule f(f(x^2 + f(y))) de duas formas diferentes. A primeira é usando f(f(y)) = y + f(0)^2, que dá f(f( x^2 + f(y) )) = x^2 + f(y) + f(0)^2. A segunda é usando primeiro a igualdade do enunciado, que dá f( f(x^2 + f(y)) ) = f( y + f(x)^2 ) = f( f(x)^2 + y ) = g(y) + f(f(x))^2 = g(y) + (x + f(0)^2)^2. Igualando as duas expressões, temos x^2 + f(y) + f(0)^2 = g(y) + x^2 + 2*x*f(0)^2 + f(0)^4, ou seja f(y) + f(0)^2 = g(y) + f(0)^4 + 2*x*f(0)^2. Note que a igualdade acima vale para todos os x, o que implica que o coeficiente de x é zero. Ou seja, f(0) = 0. Isso dá uma "limpeza geral" na equação, que fica f(y) = g(y). f é a sua própria inversa! Agora falta pouco. f(x^2+f(0)) = 0 + f(x)^2, então f(x^2) = f(x)^2 >= 0. Suponha que f(x) != x para algum x > 0. Assim, x = z^2 e f(z^2) != z^2. Podemos assim calcular 0 != f(z^2 - f(z^2)) = f(z^2 + f(-z^2)) = -z^2 + f(z)^2 = -z^2 + f(z^2). Chame z^2 - f(z^2) = t, temos portanto que f(t) = -t. Isso é absurdo, porque f envia positivos em positivos pela primeira desigualdade desse parágrafo, e por ser ímpar, negativos em negativos. Ufa: f(x) = x para todo x > 0. Como f(-x) = -f(x), e que f(0) = 0 temos f(x) = x. Não deixe de conferir os argumentos, esse tipo de questão é fácil de errar uma continha besta e tudo vai pro espaço. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equação exponencial
Se houver uma raiz x=p/q, com p e q inteiros coprimos, q diferente de zero, temos que b^(p/q)=a, e portanto, b^p=a^q. Pelo Teorema Fundamental da Aritmética isto quer dizer que a e b podem ser escritos como potências de mesma base e expoentes inteiros, o que contradiz a hipótese. A. Citando ennius : Amigos da Lista, Gostaria de obter uma resolução, se possível for, da questão abaixo. Abraços do Ennius! QUESTÃO: Sendo a e b números inteiros maiores do que 1, e que não podem ser escritos como potências de mesma base e expoente inteiro, mostrar que a equação exponencial b^x = a não possui raiz racional. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática e Estatística-USP = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equação b^x = a
vamos fazer por absurdo!! digamos que x=p/q, e que b^(p/q)=a, e elevando ambos os lados a q, teremos b^p=a^q, como pelo teorema fundamental da aritmetica um numero pode ser decomposto em fatores primos de maneira unica, e como b e a possuem decomposicoes diferentes a igualdade nao possui solucoes inteiras!! logo x nao pode ser racional!! On Sun, 23 Oct 2011 18:22:38 -0200, ennius wrote: > Amigos da Lista, > > Gostaria de obter uma resolução, se possível for, da questão abaixo. > Abraços do Ennius! > > QUESTÃO: > > Sendo a e b números inteiros maiores do que 1, e que não podem ser escritos como potências de mesma base e expoente inteiro, mostrar que a equação exponencial b^x = a não possui raiz racional. > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html [1] > = Links: -- [1] http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
[obm-l] Re: [obm-l] Equação exponencial
2011/8/26 : > Ola entrei na lista hoje, gostaria de saber se é para este e-mail que > escrevo realmente, e se for já gostaria de tirar a minha primeira dúvida, é > sobre resolver a equaçâo x^x^1/2=1/2 , que seria x elevado a x elevado a 1/2 > , consegui achar uma solução que é 1/4, sei qual é a outra , pois vi no > maple é 1/16 , gostaria de saber algum método para obte-la. obrigado!! Oi Douglas! O e-mail é esse mesmo. Eu não tenho muita certeza de que haja um método não... enfim, você pode usar aproximações sucessivas, chutômetro, etc. Uma coisa que ajuda é tirar logaritmos. Duas vezes, e chamando log_2(x) = a, você chega numa equação a = - 2 *log_2(-a) (logs na base 2, e note que a < 0 porque x < 1). Daí, traçando os gráficos na região a < 0, dá pra ter uma idéia de que há apenas 2 soluções, e daí você chuta uns valores e dá certo... Ah, cuidado ao escrever suas mensagens: bote parênteses na exponencial. (Note que 2^(2^3) = 2^8 enquanto que (2^2)^3 = 4^3 = 2^6) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Equação de variáveis inteiras
Acho que a questão 02 está com erro de digitação porque: Temos um triângulo de lados AB, BC e 2.BC com ângulos opostos respetivamente C, 2C e 180º-3C agora se esse triângulo é retângulo, ou C, ou 2C ou 180-3C é = 90º MAS!!! 1) Se C =90º, 2C=180º, fazendo com que ABC deixe de ser triângulo. 2) Se 2C = 90º, C = 45º e 180-3C = 45º A hipotenusa desse triângulo seria BC, e os catetos 2.BC . Mas como Catetos > Hipotenusa, essa hipótese deve ser descartada, uma vez que a Hipotenusa é o maior lado num triângulo retângulo. 3)180-3C=90º, C=30º e 2C=60º, com Hipotenusa = 2.BC e Cateto oposto ao angulo de 60º = BC Mas sen 60º = Cateto oposto/Hipotenusa = BC/2.BC = 1/2 E sen 60º = raíz(3)/2 e não 1/2, portanto essa hipótese também é falsa! Date: Mon, 30 May 2011 13:04:51 -0300 Subject: [obm-l] Equação de variáveis inteiras From: pedromatematic...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Questões 02 e 03 da 2ª Parte da XXIV OCM - 2011 Nível 03, que ocorreu neste último sábado dia 28 de Maio: 02. Um triângulo ABC é tal que o ângulo A=2C e AC = 2BC.. Mostre que este triângulo é retângulo. Usei a lei dos senos e lei dos cossenos mas não consegui concluir, favor quem tiver alguma ideia, contribuir... 03. Determine todos os pares de inteiros não negativos que são soluções da equação (xy - 7)^2 = x^2 + y^2. Sem nenhuma estratégia descobrir que os pares (3,4); (4,3); (0,7); (7,0) satisfazem tal equação. Tentei enxergar o teo. de Pitágoras, fazendo x e y como catetos e xy - 7 como hipotenusa. Há alguma resolução algébrica, alguma substituição que torne a equação com uma só incórnita? Desde já aradeço. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação de variáveis inteiras
*03.* Determine todos os pares de inteiros não negativos que são soluções da equação (xy - 7)^2 = x^2 + y^2. Vou dar uma solução alternativa para este problema, um pouco mais direta. x^2*y^2 - 14xy + 49 = x^2 + y^2. ==> x^2*y^2 - 12xy + 49 = x^2 + +2xy + y^2. ==> (xy - 6)^2 + 13 = (x+y)^2. Agora vc tem um problema do tipo A^2 - B^2 = 13, para A = x+y e B = xy-6. Ou seja (A-B)(A+B) = 13. Que é fácil resolver. Só tome cuidado que A e B não são mais positivos, então tem que analisar os 4 casos: (A-B,A+B) = (1,13) , (13,1) , (-1,-13) , (-13,-1). Abraço
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação de variáveis inteiras
Exatamente Ralph, quando utilizei as leis de seno e cosseno achei o cosseno de um dos ânulos maior que 1 o que torna inválido o problema. Falou Ralph, comunicarei ao comitê olímpico da UFCG. Abraços. Em 30 de maio de 2011 14:06, Ralph Teixeira escreveu: > 2) Com este enunciado, não há triângulo nestas condições... > > Tracei a bissetriz interna AX do ângulo A, fiz CX=x. Note que AXC é > isósceles, então AC=2xcosC, então BC=xcosC bissetriz interna AX corta o lado BC *fora* de BC, absurdo. > > Não seria ângulo C=2A? Aí seria um triângulo 30-60-90 bonitinho... > > 3) Bom, se x=0 então y=7, e vice-versa. Se x=1, note que y não dá inteiro, > e vice-versa. Vamos então supor logo que x,y>=2 no resto do problema. > > Eu passei o x^2 pro lado de lá para fatorar: > (xy-7+x)(xy-7-x)=y^2. > > (Agora, minha intuição me diz que, em geral, ambos xy-7+x e xy-7-x devem > ser BEM maiores que y, então isto vai restringir o problema... AH-HA!) > > Note que xy-7-x=2). Assim, devemos ter xy-7-x contrário, ambos os fatores seriam maiores ou iguais a y, e então o produto > seria maior que y^2). > > xy-7+x-y<0 > (x-1)(y+1)<=5 > > Como x-1>=1, devemos ter y+1<=5, isto é, basta analisar y=2,3,4. > > Abraço, > Ralph > 2011/5/30 Pedro Júnior > >> Questões 02 e 03 da 2ª Parte da XXIV OCM - 2011 Nível 03, que ocorreu >> neste último sábado dia 28 de Maio: >> >> *02.* Um triângulo ABC é tal que o ângulo A=2C e AC = 2BC.. Mostre que >> este triângulo é retângulo. >> Usei a lei dos senos e lei dos cossenos mas não consegui concluir, favor >> quem tiver alguma ideia, contribuir... >> >> *03.* Determine todos os pares de inteiros não negativos que são soluções >> da equação (xy - 7)^2 = x^2 + y^2. >> >> Sem nenhuma estratégia descobrir que os pares (3,4); (4,3); (0,7); (7,0) >> satisfazem tal equação. >> Tentei enxergar o teo. de Pitágoras, fazendo x e y como catetos e xy - 7 >> como hipotenusa. >> Há alguma resolução algébrica, alguma substituição que torne a equação com >> uma só incórnita? >> >> Desde já aradeço. >> >> -- >> >> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior >> >> Professor de Matemática >> >> Geo João Pessoa – PB >> >> > -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB
[obm-l] Re: [obm-l] Equação de variáveis inteiras
2) Com este enunciado, não há triângulo nestas condições... Tracei a bissetriz interna AX do ângulo A, fiz CX=x. Note que AXC é isósceles, então AC=2xcosC, então BC=xcosC=2 no resto do problema. Eu passei o x^2 pro lado de lá para fatorar: (xy-7+x)(xy-7-x)=y^2. (Agora, minha intuição me diz que, em geral, ambos xy-7+x e xy-7-x devem ser BEM maiores que y, então isto vai restringir o problema... AH-HA!) Note que xy-7-x=2). Assim, devemos ter xy-7-x=1, devemos ter y+1<=5, isto é, basta analisar y=2,3,4. Abraço, Ralph 2011/5/30 Pedro Júnior > Questões 02 e 03 da 2ª Parte da XXIV OCM - 2011 Nível 03, que ocorreu neste > último sábado dia 28 de Maio: > > *02.* Um triângulo ABC é tal que o ângulo A=2C e AC = 2BC.. Mostre que > este triângulo é retângulo. > Usei a lei dos senos e lei dos cossenos mas não consegui concluir, favor > quem tiver alguma ideia, contribuir... > > *03.* Determine todos os pares de inteiros não negativos que são soluções > da equação (xy - 7)^2 = x^2 + y^2. > > Sem nenhuma estratégia descobrir que os pares (3,4); (4,3); (0,7); (7,0) > satisfazem tal equação. > Tentei enxergar o teo. de Pitágoras, fazendo x e y como catetos e xy - 7 > como hipotenusa. > Há alguma resolução algébrica, alguma substituição que torne a equação com > uma só incórnita? > > Desde já aradeço. > > -- > > Pedro Jerônimo S. de O. Júnior > > Professor de Matemática > > Geo João Pessoa – PB > >
[obm-l] Re: [obm-l] equação da parabola
Oi Thelio, Aqui vai mais uma idéia de solução bem mais simples que o sistema de 3 equações: use a forma canônica da equação: *f(x) = a·(x - h)² + k*, onde *h *é a abscissa do vértice e *k* é a ordenada do vértice. Para o gráfico em questão, a forma canônica ficaria assim: *f(x) = a·(x - 3)² - 2*. Para determinar o *a* agora é só substituir *x *e *y *pelas correspondentes coordenadas de um ponto qualquer (*menos do vértice* ) da parábola. Usando a raiz (2,0), ou seja, f(2) = 0, vem: 0 = a·(2-3)² - 2 , daí *a = 2*. Portanto: *f(x) = 2·(x - 3)² - 2* que, desenvolvendo, nos dá: y = 2x² - 12x + 16. abraços Em 8 de março de 2011 23:10, Thelio Gama escreveu: > Caros professores, > > agradeço a boa vontade de todos em esclarecer sempre as minhas dúvidas. Só > posto perguntas que considero realmente relevantes. A dúvida que tenho agora > é a seguinte: a questão pede a equação da parábola da figura anexa. Já > consegui resolver, mas usei um sistema de 3 equações: a fórmula da soma das > raízes, a fórmula do produto das raízes e a fórmula da ordenada do vértice. > Tentei resolver de uma forma mais simples, mas não consegui. Gostaria de > saber se há realmente uma forma mais simples de resolver a questão. > > obrigado, > > Thelio > > -- Palmerim
[obm-l] Re: [obm-l] equação da parabola
Eu pensei em resolver assim: A parabola tem raízes 2 e 4, então f(x)=A*(x-2)*(x-4) para algum A real Como f(3)=-2, -2=A*(1)* (-1) , A=2 Então f(x)=2*(x-2)*(x-4)=2x²-12x+16 Gabriel Dalalio Em 8 de março de 2011 23:10, Thelio Gama escreveu: > Caros professores, > > agradeço a boa vontade de todos em esclarecer sempre as minhas dúvidas. Só > posto perguntas que considero realmente relevantes. A dúvida que tenho agora > é a seguinte: a questão pede a equação da parábola da figura anexa. Já > consegui resolver, mas usei um sistema de 3 equações: a fórmula da soma das > raízes, a fórmula do produto das raízes e a fórmula da ordenada do vértice. > Tentei resolver de uma forma mais simples, mas não consegui. Gostaria de > saber se há realmente uma forma mais simples de resolver a questão. > > obrigado, > > Thelio > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Equação de sétimo grau
Olá!
Você deve usar a Fórmula de De Moivre:
[ r (cos(A) + i sin(A) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cos((A+2kpi)/n) + i sin((A+2kpi)/n)
] , k=0, 1 ... (n-1)
[ r (cis(A)) ]^(1/n) = r^(1/n) [ cis((A+2kpi)/n) ] , k=0, 1 ... (n-1)
Então:
x = 1^(1/7)
Escrevendo 1 na forma polar: 1 = 1 [ cos(0) + i sin(0) ] = cis(0)
Logo: 1^(1/7) = 1^(1/7) [ cos((0+2kpi)/7) + i sin((0+2kpi)/7) ] , k=0, 1 ... 6
1^(1/7) = cis(2kpi/7) , k=0, 1 ... 6
Daí: x = { 1, cos(2pi/7) + i sin(2pi/7), cos(4pi/7) + i sin(4pi/7), cos(6pi/7)
+ i sin(6pi/7), cos(8pi/7) + i sin(8pi/7), cos(10pi/7) + i sin(10pi/7),
cos(12pi/7) + i sin(12pi/7) }
Albert Bouskela
bousk...@msn.com
From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Equação de sétimo grau
Date: Thu, 3 Feb 2011 18:59:52 -0200
Há algum jeito de resolver a equação de sétimo grau x^7 = 1 dentro dos
complexos?
[]'s
João
Re: [obm-l] Equação de sétimo grau
Use a segunda forma de moivre, as raízes serão os vértices do heptagono regular inscrito Jo� Maldonado escreveu: > >Há algum jeito de resolver a equação de sétimo grau x^7 = 1 dentro dos >complexos? > >[]'s >João >E-mail verificado pelo Terra Anti-Spam. >Para classificar esta mensagem como spam ou não spam, visite >http://ecp.terra.com.br/cgi-bin/reportspam.cgi?+_d=SCYxODMxNjQ5MCNwZXJtIXRlcnJhJjEsMTI5Njc2NzY3NC45MDk3MDEuMTM3ODguMWYyLnRwbi50ZXJyYS5jb20sMzg1OQ==TerraMail >Verifique periodicamente a pasta Spam para garantir que apenas mensagens >indesejadas sejam classificadas como Spam. >
[obm-l] Re: [obm-l] Equação de sétimo grau
Olá, João, x = a*cis(t) x^7 = a^7*cis(7t) = 1 Portanto: a = 1. Como cis(7t) = cos(7t) + isen(7t), temos que ter: sen(7t) = 0 cos(7t) = 1 Logo: 7t = kpi => t = kpi/7 Portanto: k=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 :) Agora, basta escrever as 7 soluções :) Abraços, Salhab 2011/2/3 João Maldonado > Há algum jeito de resolver a equação de sétimo grau x^7 = 1 dentro dos > complexos? > > []'s > João >
[obm-l] Re: [obm-l] Equação Diofantina
Olá, Marcone, Seja x = (a, b) e * o produto escalar. (-2, 5) * x = 8 Conforme sugestão do seu professor, x1 = (1, 2) é solução. Isto é: (-2, 5)*x1 = (-2, 5)*(1, 2) = 8 Acho que seu professor quis dizer um vetor perpendicular ao vetor (-2, 5). Seja w = (5, 2), que é perpendicular a (-2, 5). Veja que x2 = (1, 2) + k(5, 2) sempre é solução. (-2, 5)*x2 = (-2, 5)*(1,2) + k(-2, 5)*(5, 2) = 8 + 0 = 8 Desta maneira, um subconjunto do espaço de soluções é formado por (1, 2) + k(5, 2). Pergunto: Esse subconjunto é igual a todo o espaço de soluções? Demonstre! :) Abraços, Salhab 2011/1/27 marcone augusto araújo borges > Como resolver a equação diofantina -2x + 5y = 8,usando vetores? > O professor sugere usar a solução particular (1,2) e o vetor perpendicular > (-2,1) ... >
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do segundo grau(raiz inteira)
Muito obrigado.Será que é muito complicado provar que mdc( a^2+b^2,4ab+1) = 1?
Date: Wed, 19 Jan 2011 03:05:19 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do segundo grau(raiz inteira)
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Olá, Marcone,expandindo temos:
(a^2 + b^2)x^2 - (4ab + 1)x + a^2 + b^2 = 0
Supondo a^2 + b^2 != 0, temos:
x^2 - (4ab+1)/(a^2+b^2) x + 1 = 0
Seja k a raiz inteira. Temos que k^2 - (4ab+1)/(a^2+b^2) k + 1 = 0
Como k^2 e 1 são inteiros, temos que ter (4ab+1)/(a^2+b^2) k inteiro.
Assim, temos que: a^2+b^2 | (4ab+1)k.
Seja w sua outra raiz. Então:
(i) k + w = (4ab + 1)/(a^2+b^2)
(ii) k*w = 1
Por (ii), se descobrirmos k, sabemos w.
Acho que temos que trabalhar com:
a^2+b^2 | (4ab+1)k
Será que temos mdc(a^2+b^2, 4ab+1) = 1?
Se sim, acho que acabamos, visto que ficamos com: a^2+b^2 | k.
Da equação original, temos: (a^2 + b^2)k^2 - (4ab + 1)k + a^2 + b^2 = 0.
Dividindo por k, temos: (a^2+b^2)k - (4ab+1) + (a^2+b^2)/k = 0.
De onde tiramos que k | a^2+b^2.
Mas, se k | a^2+b^2 e a^2+b^2 | k, temos que k = a^2+b^2.
Assim, w = 1/(a^2+b^2).
Substituindo na equação original, ficamos com:
(a^2 + b^2)(a^2+b^2)^2 - (4ab + 1)(a^2+b^2) + a^2 + b^2 = 0
Dividindo por a^2+b^2, temos:
(a^2 + b^2)^2 - (4ab+1) + 1 = 0
(a^2 + b^2)^2 = 4ab
As únicas soluções inteiras de (a^2+b^2)^2 = 4ab são:
(a, b) \in { (0, 0), (1, 1), (-1, -1) }
(0, 0) não pode ser.
Caso 1: (1, 1)
Logo, k = 2, w = 1/2.
Pode testar que funciona, pois 2(x-1)^2 = x tem raízes 2 e 1/2.
Caso 2: (-1, -1)
Logo, k = 2, w = 1/2.
Mas não funciona, visto que: 2(x+1)^2 = x não tem solução!
2x^2 + 4x + 2 = x
2x^2 + 3x + 2 = 0
Delta = 9 - 4*2*2 < 0, logo, não tem raízes reais.
Bom, tudo isso supondo que mdc(a^2+b^2, 4ab+1) = 1.
Ainda falta provar isso :)
Se não for verdadeiro, ignore tudo o que escrevi! hehehe
Abraços,
Salhab
2011/1/9 marcone augusto araújo borges
Sejam a,b números inteiros .Sabendo que a equação (ax - b)^2 + ( bx - a)^2 = x
tem uma raiz inteira,encontre os valores de suas raizes.
Conto com a habitual atenção de todos,pela qual agradeço antecipadamente.
