[obm-l] MOEDA VICIADA!
Olá Jeferson! Esqueci de citar que a solução encontra-se no índice temático Falsificação da Sorte. Eu, particularmente acho mais didático o seguinte raciocínio...Digamos que a chance de resultar coroa seja 70% contra 30%. Basta que em lugar de apostarmos cara ou coroa em um lançamento, combinemos que se vai lançar a moeda duas vezes e que cada um dos apostadores escolherá ou cara, coroa (C,K), nessa ordem, ou coroa, cara (K,C). Ou seja, ambos apostam em chances iguais. Mas, se aposta fosse duas coroas contra duas caras qual seria o percentual da vitória? Apesar do assunto aparentemente patético e das excessivas discussões, ainda acho um campo bastante fértil, pois uma moeda viciada ajuda, por exemplo, a ilustrar melhor a abordagem clássica entre risco/retorno. Suponha que um investidor dispõe de uma moeda com 80% de chance de dar cara. Animado com a possibilidade de ganhar dinheiro ele resolve apostar 100% da sua rigueza com outra pessoa que não saiba que a moeda é viciada. Apesar do bom retorno esperado de 60%, Pasmem! o investidor tem 99% de chance de perder tudo ao final de 20 lançamentos e apenas um pouco mais de 1% de chance de ganhar 100% por lançamento...Cruel, não! Abraços!
RE: [obm-l] JEITO CEARENSE!
Tem razão, Jeferson! Pois eu até duvido que o raciocinio do Tarsis seja equivalente ao seue jogando mais lenha na fogueira... Uma competição de cara-ou-coroa; é lançada uma moeda normal, que é a moeda-sorteio, ganha o jogador cujo lance de moeda der o mesmo resultado. O jogador A joga outra moeda normal, que é sua aposta; o jogador B, no entanto, tem que fazer sua aposta a partir de uma moeda viciada, que tem maiores chances de cair em cara do que em coroa. Qual dos dois jogadores tem maiores chances de ganhar ao longo de uma série de rodadas? Por alguma razão tenho a sensação de que o apostador com a moeda viciada tem mais chances, mas não sei? Tenho a impressão de que se eu deixar uma moeda parada em cara na mesa, e ficar jogando uma outra N vezes, elas tem mais chances de estarem ambas em cara ao longo de várias jogadas, do que teriam duas moedas jogadas de cairem do mesmo lado. Dá impressão que o primeiro caso tem 50% de chance normal do cara-ou-coroa, enquanto que na segunda situação as improbabilidades se somam ou se multiplicam de alguma forma ou sei lá.? Date: Tue, 11 Sep 2012 22:59:53 -0300 Subject: Re: [obm-l] JEITO CEARENSE! From: jefersonram...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Jorge Luis Vc se refere a este Problema pois não tive ainda um consenso sobre a mesma?? Dada uma Moeda viciada e uma pessoa deseja fazer uma escolha utilizando tal moeda,(por exemplo se caso ela nao fosse viciada ele atribuiria cara para sim e coroa para nao). Como ele deve proceder para realizar tal escolha com a moeda de maneira a realizar sua escolha de maneira que o vicio da moeda nao interfira??? Em 9 de setembro de 2012 15:24, Willy George Amaral Petrenko wgapetre...@gmail.com escreveu: Na verdade p^2+(1-p)^2 =1/2 das possibilidades são descartadas. 2012/9/9 Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis jorgelrs1...@hotmail.com Olá Pessoal! Ainda com relação ao vício da moeda do Jeferson observem que metade das possibilidades são descartadas...Como bolar uma variante ao esquema tal que minimizasse essa perda? Será que o Neumann acharia uma saída? Numa faculdade há dois cursos e um rapaz e uma moça estão trocando idéias. O rapaz diz: Aqui eles discriminam contra os homens, a proporção de homens admitidos (dentre os candidatos) é menor do que a de mulheres. A moça responde: Não, eles discriminam contra as mulheres. Nos dois cursos a proporçào de mulheres admitidas (dentre as candidatas) é menor do que a de homens. É possivel que ambos tenham razào quanto aos fatos? (Proposto pelo Nicolau!) A propósito! De quantas formas podemos colocar N rainhas em um tabuleiro N * N tal que nenhuma rainha possa enxergar outra? Abraços!
[obm-l] JEITO CEARENSE!
Olá Pessoal! Ainda com relação ao vício da moeda do Jeferson observem que metade das possibilidades são descartadas...Como bolar uma variante ao esquema tal que minimizasse essa perda? Será que o Neumann acharia uma saída? Numa faculdade há dois cursos e um rapaz e uma moça estão trocando idéias. O rapaz diz: Aqui eles discriminam contra os homens, a proporção de homens admitidos (dentre os candidatos) é menor do que a de mulheres. A moça responde: Não, eles discriminam contra as mulheres. Nos dois cursos a proporçào de mulheres admitidas (dentre as candidatas) é menor do que a de homens. É possivel que ambos tenham razào quanto aos fatos? (Proposto pelo Nicolau!) A propósito! De quantas formas podemos colocar N rainhas em um tabuleiro N * N tal que nenhuma rainha possa enxergar outra? Abraços!
[obm-l] ASSUNTOS DELICADOS!
Ok! Fernando, suas dúvidas são bastante sutis, pois apesar de serem sinônimos a diferença entre provável e possível está no grau da probabilidade de acontecer ou na medida da possibilidade de obter um certo resultado. Mas como podem serem sinônimos se possível é o que pode acontecer e provável é o que deve acontecer. Apesar do esforço do Prof. Ralph na elucidação do delicado assunto, pouca gente sabe que existe duas medidas de chance: a probabilidade e a favorabilidade. Afinal! Qual a principal razão dos apostadores preferirem a favorabilidade, em vez de a probabilidade? Se a possibilidade de acertar três CD`S é equivalente a acertar todos nas suas respectivas quatro caixas, por que a probabilidade não vale 4/16 ao invés de 0 ou quem sabe 1 já que trata-se de um evento provável de acontecer. Abraços!
[obm-l] TEORIA DAS FLUTUAÇÕES CASUAIS!
Ok! Paulo e demais colegas! Não atentei para a inconveniente e contra intuitiva Lei dos Grandes Números e parabéns a lista pelo nível das discussões do número de partições de um conjunto bem como a pontuação mínima em campeonato. A teoria das flutuações casuais apresenta um grande número de paradoxos. Ingenuamente seria de se esperar que, num jogo de moedas de longa duração, o número de vezes nas quais ocorre troca de liderança deveria aumentar de forma aproximadamente proporcional à duração do jogo. Algumas pessoas acham surpreendente que existam mais de 16 milhões de pessoas no planeta que partilham o seu dia de aniversário. O New York Times fez uma história sobre uma mulher de New Jersey que ganhou duas vezes a loteria americana, dizendo que as probabilidades eram de 1 em 17 trilhões. Contudo, os estatísticos Stephen Samuels e George McCabe da Universidade de Purdue calcularam a probabilidade de alguém ganhar a loteria duas vezes num periodo de 4 meses como de 1 para 30. Porquê? Comprovadamente nenhuma empresa pode prosperar em uma situação de soma zero, mas em geral, o negócio do cassino é bastante lucrativo já que a Lei dos Grandes Números trabalha a seu favor. Alguém saberia como provar isto? A misteriosa lei das médias, fornece a base filosófica de muitos sistemas de tomada de decisões. E por boa razão. Poucas são as ocasiões na vida em que os grandes são passíveis de se tornar infinitamente grandes ou os pequenos infinitamente pequenos. As árvores nunca chegam ao Céu. Abraços!
[obm-l] FW: TEORIA DAS FLUTUAÇÕES CASUAIS!
From: jorgelrs1...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: TEORIA DAS FLUTUAÇÕES CASUAIS! Date: Thu, 26 May 2011 20:19:30 + Ok! Paulo e demais colegas! Não atentei para a inconveniente e contra-intuitiva Lei dos Grandes Números. Parabéns a lista pelo nível das discussões do número de partições de um conjunto bem como a pontuação mínima em campeonato. A teoria das flutuações casuais apresenta um grande número de paradoxos. Ingenuamente seria de se esperar que, num jogo de moedas de longa duração, o número de vezes nas quais ocorre troca de liderança deveria aumentar de forma aproximadamente proporcional à duração do jogo. Algumas pessoas acham surpreendente que existam mais de 16 milhões de pessoas no planeta que partilham o seu dia de aniversário. O New York Times fez uma história sobre uma mulher de New Jersey que ganhou duas vezes a loteria americana, dizendo que as probabilidades eram de 1 em 17 trilhões. Contudo, os estatísticos Stephen Samuels e George McCabe da Universidade de Purdue calcularam a probabilidade de alguém ganhar a loteria duas vezes num periodo de 4 meses como de 1 para 30. Porquê? Comprovadamente nenhuma empresa pode prosperar em uma situação de soma zero, mas em geral, o negócio do cassino é bastante lucrativo já que a Lei dos Grandes Números trabalha a seu favor. Alguém saberia como provar isto? A misteriosa lei das médias, fornece a base filosófica de muitos sistemas de tomada de decisões. E por boa razão. Poucas são as ocasiões na vida em que os grandes são passíveis de se tornar infinitamente grandes ou os pequenos infinitamente pequenos. As árvores nunca chegam ao Céu. Abraços!
[obm-l] DEZENAS MÁGICAS!
Olá, Pessoal! Como campeão de artigos off me sinto à vontade em protestar contra exaustivas discussões de subtrair 2 de 3 até porque o assunto não acrescentou nenhuma dúvida aos nobres colegas. Quanto á Mega-sena, a probabilidade de ser sorteada uma combinação selecionada é a mesma de ser sorteada qualquer combinação especial, já que o jogo não tem memória. Portanto, imaginarmos que, afastando as combinações especiais, as probabilidades aumentam é pura ilusão. Se daqui a 100 anos, ainda existir a Mega-sena, terão sido observados pouco mais de 0,01% dos 50.063.860 de possíveis resultados, se não houver a repetição de qualquer resultado do sorteio. Um péssimo negócio seria fechar as 60 dezenas pagando pouco mais de R$ 100 Milhões e ganhar com certeza um mísero prêmio. Agora se jogar estes mesmos cartões totalmente ao acaso sem se preocupar em fechar todas dezenas sua probabilidade de ganhar cai para aproximadamente 2/3. Ou seja gastou a mesma fortuna, mas num caso tem a certeza de ganhar, e no outro caso, tem apenas 0,63% de chance. Como se explica esta mágica? Agora, se você não quer ganhar na Mega-sena é só jogar toda semana, durante 50 anos, gastando 200 reais por semana e ainda assim, existe uma probabilidade de ganhar de menos de 1%. (Pelo visto o melhor é não jogar) O curioso é que a longo prazo, tanto faz apostar de qualquer forma, mas no curto prazo, mudam as probabilidades e os valores a ser pagos. Se eu jogar 8 dezenas a minha chance é 1 em 539, mas se jogar 28 cartões (pagando igual) a minha chance é de 1 em 84, como pode ser isto? Abraços!
[obm-l] ARITMÉTICA BINÁRIA!
Ok! Pessoal! Simpatizava com o seguinte raciocínio Como a chance de ter escolhido uma das malas ruins no início é bastante alta, é muito melhor trocar de mala, pois é quase certo que a única mala não eliminada é a boa. Agora, e quanto ao problema das quatro portas, qual o bizú? O 68030 tem três linhas para arbitragem de barramento, versus apenas duas no 80386. Suponha que a arbitragem de barramento gaste um ciclo e que uma transferência de dados gaste quatro. Se a taxa do relógio, velocidade interna e todos os outros fatores fossem os mesmos, qual máquina seria mais rápida, e por quanto? (Taí, uma pergunta capciosa!) Agora, voltando a tabuada binária, voces sabiam que...podemos utilizar os dedos para realizar multiplicações entre os números de 6 a 10 ou mesmo a tabuada dos nove...(Isso não é brincadeira!) Divirtam-se!
[obm-l] O MISTÉRIO DAS MÉDIA S!
Olá, Pessoal! Calculá-las todo mundo sabe, mas como usá-las, quando usá-las, e principalmente por que usar uma e não as outras, ninguém nunca soube. Uma das poucas pistas é que a média geométrica procura estigmatizar eventos indesejáveis e que não sejam obrigatórios de ocorrer ao passo que a média aritmética serve para calculos posteriores e não pode ser empregada em dados qualitativos. A soma dos afastamentos em torno da média aritmética é zero, embora o desvio médio em relação à média aritmética possa não ser zero. Nos últimos anos, houve um decréscimo abrupto da taxa de mortalidade infantil nas grandes capitais brasileiras. O que aumentou mais rapidamente, a duração média ou a duração mediana de vida? Suponhamos que você seja o comprador (a pessoa que escolhe os artigos a serem vendidos) para um supermercado. Que tipo de média seria de maior valor para você? Dois estudantes, A e B, obtiveram as seguintes notas. Dizer qual o de atuação mais regular. A) 60, 40, 50, 50 B) 60, 60, 40, 40 ? Suponha que o fabricante de um carro contrate um estatístico pouco escrupuloso para achar um tipo de média que mostre que seu carro teve melhor desempenho no teste. Que tipo de média serve para esta finalidade? A propósito! Se o dono de uma sorveteria usar a mediana ou a moda, ao invés da média, para decidir quanto sorvete estocar, provavelmente ficará sem estoque se o tempo esquentar um pouco? Afinal! Se a nota média foi 50, significa que metade dos alunos tirou acima disso para compensar os que tiraram abaixo? Você sabia...que há três tipos de estatísticos? - aqueles que sabem contar e aqueles que não!... Abraços!
[obm-l] CONCEITOS E CONTROVÉ RSIAS!
Olá, Pessoal! Vale lembrar que o símbolo do nada está entre as mais importantes descobertas feita pelo homem. É difícil acreditar que os homens levaram 5 mil anos entre escrever números e conceber o nosso sistema de numeração posicional, ponto crucial num desenvolvimento sem o qual o progresso da ciência moderna seria inconcebível. Hoje parece simples, mas a mentalidade concreta dos antigos gregos, não podia conceber o vazio, o nada, como um número. Apreciaremos ainda mais a grandeza dessa conquista se lembrarmo-nos de que ela escapou ao gênio de Arquimedes e Apolônio, dois dos maiores homens da antiguidade. Existem situações em Análise Combinatória onde há uma certa conveniência em adotar a regra 0^0=1, a fim de estender um pouco mais o campo de validez de algumas fórmulas. Nem por isso 0^0 deixa de ser uma expressão indeterminada. Um caso parecido acontece na Teoria da Medida e da Integral, onde às vezes é conveniente escrever 0*...=0, a fim de que a fórmula da área de um retângulo continue válida quando a base do retângulo é toda uma reta e a altura se reduz a um ponto. O curioso é que os defensores de 0^0=1 não reivindiquem o mesmo direito para 0/0. Algum colega saberia o motivo? Afinal! Qual das medidas é a mais precisa? E a mais exata? a)5,6m b)560m (com aproximação de 10m) c) 0,056m d)5600m (com aproximação de 100m) Quantos algarismos significativos temos nesta medida? X=(0,009050 + - 0,02) A propósito! Como se escreve zero em algarismos romanos? Abraços!
[obm-l] PROBLEMAS DE DECISÃO !
Olá, Pessoal! Gostei do problema das embaixadas, bem como do problema chinês cuja resolução, sòmente consegui através da força bruta. Enquanto resolvemos o problema dos piratas, cuja saída deve ser do final para o começo, vamos nos divertir com as situações abaixo. M. Allais, um economista francês, formulou o seguinte par de problemas de decisão. Antes de ler o que segue, decida sem fazer cálculos qual das escolhas você faria nos Problemas 1 e 2. M. Allais registrou - e eu, como outros, verifiquei com centenas de pessoas que o que ele afirma é verdade - que a maior parte das pessoas prefere a1 a a2 no Problema 1 e a3 a a4 no Problema 2. A maioria raciocina assim: No Problema 1 tenho uma escolha entre $1.000.000 certos e um jogo em que poderia terminar com $0,00. Por que jogar? No Problema 2 existe uma boa chance de terminar com $0,00 , não importando o que eu faço. A chance de conseguir $5.000.000 é quase tão boa como a de conseguir $1.000.000 , portanto eu poderia muito bem tentar os $5.000.000 e escolher a3 sobre a4. Problema 1 : a1=$1.000.000 e a2=$5.000.000 com chance de 0,10 ou $1.000.000 com chance de 0,89 ou $0,00 com chance de 0,01 Problema 2 : a3=$5.000.000 com chance 0,10 ou $0,00 com chance 0,90 e a4=$1.000.000 com chance 0,11 ou $0,00 com chance 0,89 Imagine que o experimentador tenha uma urna que contém 89 bolas alaranjadas e 11 bolas brancas. Amanhã de manhã, às 9.00h você retirará uma dessas bolas ao azar. Se for alaranjada, você receberá o prêmio Q. Se for branca, ser-lhe-á apresentada a escolha entre $1.000.000 certos (alternativa A) e a loteria $5.000.000 com chance 10/11 ou $0,00 com chance 1/11 que chamaremos alternativa B, e você terá que fazer essa escolha às 9.05h. Pergunta 1. Se você obtiver uma bola branca, sua escolha entre as alternativas A e B dependerá da descrição detalhada do prêmio Q? Pergunta 2. Se às 8.55h o experimentador lhe solicitar que anuncie qual alternativa escolherá se retirar uma bola branca, sua decisão dependerá de Q? Diferirá da escolha que você realmente fará às 9.05h, quando o jogo estiver feito? Pasmem! A maioria das pessoas (incluindo eu mesmo) responde negativamente a essas perguntas... Suponha que você se defronte com duas opções. Na opção 1, deve jogar a moeda 1 (justa e fiel), escolher cara ou coroa, e ganhar $1,00 se errar. Na opção 2, você tem uma chance 50-50 de receber a moeda 2, que tem duas caras, ou de receber a moeda 3, que tem duas coroas. Que opção você prefere? Estas sofisticadas decisões me faz lembrar um pueril probleminha que ainda deixa muito phd confuso. Suponha que lhe ofereceram um emprego com dois planos de aumento de salário: 1) $3.000 por ano, com um aumento de $ 200 cada seis meses. 2) $3.000 por ano, com um aumento de $500 cada ano. Que plano de salário você escolheria? Como fez para tomar sua decisão? Divirtam-se!
[obm-l] MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL!
Ok! Bernardo. Grato pela atenção de resposta, pois confesso que tinha dúvidas quanto a estranha escolha da série treinador-pai-treinador. Quanto ao absurdo na declaração da média, acredito que a contradição está na má interpretação dos significados de média mediana. Trata-se de um delicado assunto que finge espressar a mesma idéia de formas diferentes. E se a afirmação fosse Todos os alunos, com uma única exceção, tiveram desempenho abaixo da média? O leitor deseja avaliar a velocidade média dos veículos na rodovia interestadual em que está dirigindo e, para tanto, ajusta a velocidade de seu veículo de modo que o número de veículos que o ultrapassam é igual ao número de veículos ultrapassados por ele. O leitor terá conseguido determinar a velocidade média ou a velocidade mediana dos veículos na rodovia? O mediano tem uma grande vantagem sobre a média onde os mais altos e os mais baixos valores de uma série não podem ser exatamente definidos; como nos dados seguintes relacionados à dimensão de famílias numa comunidade: Tamanho da família Nº de famílias menos de 3 filhos 6 menos de 3 filhos 4 menos de 4 filhos 3 menos de 5 filhos 2 acima de 5 filhos 2 São 17 famílias e o mediano será portanto o mesmo do oitavo valor relacionado. A oitava família está incluida na segunda categoria e o tamanho mediano da família é portanto de 3 filhos. Esse fato pode ser estabelecido até mesmo se não temos nenhuma informação se as famílias na primeira categoria tinham 1 ou 2 ou mesmo nenhum filho ou, sem dúvida, quantas crianças houve nas duas famílias da última categoria. Já para calcular a média é primeiro necessário somar todos os valores individuais. Como podemos somar x e y se x é menos de 3 e y é mais de 5, quando x pode ser qualquer valor positivo mais baixo do que 3 e y pode ter qualquer valor maior do que 5 (sujeito a limites razoáveis segundo a natureza das medidas)? Uma atenção também precisa ser dada ao efeito de mudança de circunstâncias sobre médias estatísticas. Uma média calculada para uma série de circunstâncias não se aplicará necessariamente em diferentes circunstâncias; nem pode suportar qualquer relação proporcional direta com a nova média, a menos que cada valor individual da nova série suporte a mesma relação proporcional com seu valor respectivo na velha série. Um motor, que era limitado a uma velocidade máxima de 20 m.p.h., conseguiu de fato uma média de velocidade global de 16 m.p.h. Quando o máximo permitido passou para 30 m.p.h., a velocidade média real aumentou na mesma proporção de 16 para 24 m.p.h?. Considerar que resultaria uma mudança proporcional direta é ignorar as razões por que é impossível para o motor conseguir uma velocidade média igual ao máximo permitido. Afinal! Se o dono de uma sorveteria usar a mediana ou a moda, ao invés da média, para decidir quanto sorvete estocar, provavelmente ficará sem estoque se o tempo esquentar um pouco? Abraços!
[obm-l] MATEMÁTICA RECREATIV A!
Turma! Estranhamente não estou conseguindo resolver os probleminhas propostos pelo colega Rogério Possi Júnior a começar pelo mais simples: Uma moeda de 1 real é colocada sobre uma mesa... Grato pela ajuda! Cada um de vocês tem de escolher um número inteiro entre 0 e 100. Suponha que duplas de estudantes serão formadas aleatoriamente e de cada dupla sairá vencedor o estudante que escolher o maior inteiro que não for maior que 2/3 da média dos dois números escolhidos pela dupla. Justifique a sua escolha. Cada um de vocês tem de escolher um número inteiro entre 0 e 100. Cada estudante que escolher o maior inteiro que não for maior que 2/3 da média de todas as respostas ganhará um bilhete premiado da Mega-Sena. Justifique a sua escolha. Você está participando em um jogo com 4 outros jogadores. No jogo cada jogador recebe R$100,00. Você tem que decidir como distribuir este dinheiro entre dois fundos de investimentos diferentes: 1. Seu fundo pessoal: para cada real que você investe em seu fundo pessoal, somente você receberá R$4,00. 2. Fundo participativo: para cada real que qualquer jogador investir neste fundo participativo, todos os jogadores receberão R$2,00 , independentemente de quanto cada jogador tenha ele próprio investido neste fundo. Você pode distribuir o dinheiro da maneira que você desejar. Diga quantos reais você investirá no fundo participativo e justifique sua escolha. Afinal! Qual o mais vantajoso: comprar um disco de 10 dólares pagando com dinheiro falso após ter perdido 10 dólares verdadeiro ou comprar um disco de 10 dólares pagando com dinheiro verdadeiro após ter quebrado o anterior pago com 10 dólares falso? Divirtam-se! _ ACESSE SEUS EMAILS DE QUALQUER LUGAR PELO SEU CELULAR. CLIQUE E VEJA COMO FAZER ISSO. http://celular.windowslive.com.br/hotmail.asp?produto=Hotmailutm_source=Live_Hotmailutm_medium=Taglineutm_content=ACESSESEUS85utm_campaign=MobileServices
[obm-l] TEORIA DOS JOGOS!
Ok! Paulo Santa Rita. Muito grato por ter me escolhido para retransmitir a sofisticada resolução do problema do elevador, que aliás devemos enviá-la na cápsula do tempo como testemunho da Engenhosidade Humana ou no mínimo guardá-la numa redoma de vidro... Comprador e vendedor discutem um contrato em que o preço de cada ítem e a quantidade a ser negociada estão ainda por determinar. De acordo com o procedimento comum, o vendedor fixa inicialmente o preço que, uma vez estabelecido, não pode sofrer alterações posteriores; e o comprador indica a quantidade em que está interessado. O atacadista pode adquirir dois ítens do fabricante um a $4 e o outro a $5. O varejista tem dois fregueses para esses ítens, um dos quais se dispõe a pagar $9 e o outro $10. Afinal! que estratégia devem os jogadores adotar? A propósito! porque no lançamento de 8 moedas tenho uma probabilidade menor de obter caras do que no lançamento de 4 moedas se com 2010 moedas tenho probabilidade de obter mais caras do que com 2009 moedas? Abraços! _ NINGUÉM PRECISA SABER O QUE VOCÊ ESTÁ COMPRANDO. LEIA MAIS SOBRE ESSE ASSUNTO AQUI. http://www.microsoft.com/brasil/windows/internet-explorer/features/browse-privately.aspx?tabid=1catid=1WT.mc_id=1590
[obm-l] O PROBLEMA DO ELEVADOR!
From: paulo.santar...@gmail.com Date: Tue, 25 May 2010 17:47:14 -0300 Subject: Trocando Figurinhas To: jorgelrs1...@hotmail.com Olá Bouskela, Jorge Luis e demais colegas desta lista ... OBM-L, O problema é simples e direto desde que se faça uma observação fundamental, que descreverei abaixo, antes, porém, vou fazer uma ressalva. Aqui nesta mensagem estou admitindo dois pressupostos que não foram explicitamente declarados no enunciado do problema. Em primeiro lugar, o significado de número de pessoas que chegam ao i-ésimo andar pode gerar alguma confusão, pois, tal número será determinado antes ou após as entradas e saídas ? Aqui estou admitindo que tal número é determinado ANTES das eventuais entradas e saídas. Uma consequência deste pressuposto é que estas entradas e saídas do elevador, no último andar, são irrelevantes. Em segundo lugar, também estou admitindo que ao chegar a determinado andar o número máximo de pessoas que podem sair do elevador é igual a lotação com que o elevador chega a este andar. O elevador parte do primeiro andar ( térreo ) com P pessoas. Chega portanto ao segundo andar com P pessoas. O que então pode ocorrer ? Representando por Si o número de pessoas que saem do elevador no i-ésimo andar e por Ei o número de pessoas que entram, os pares (S2,E2) possíveis, atendidas as condições de simetria do problema, são : (1,1) (2,1),(2,2) (3,1),(3,2),(3,3) ... (P,1),(P,2),(P,3),...,(P,P) Note que no triângulo acima, a diagonal mais externa é composta pelos P pares (1,1),(2,2),...,(P,P), que representam as ocorrências nas quais o elevador chegará ao terceiro andar com exatamente P passageiros; a segunda maior diagonal é composta pelos P-1 pares (2,1),(3,2),...,(P,P-1), que representam as ocorrências nas quais o elevador chegará ao terceiro andar com exatamente P-1 passageiros e assim sucessivamente. Assim, o total de ocorrências é : T1=1+2+3+...+P = (P(1+P))/2 Sendo razoável supor que tais ocorrências são equiprovaveis e sendo óbvio que apenas um par representa a possibilidade do elevador chegar ao terceiro andar com 1 passageiro. Assim, para N=3, a probabilidade de que k passageiros cheguem ao último (terceiro) andar é k/T1. Em particular, se k=1, temos 1/T1=2/(P(P+1)). A observação a que me referi acima e que torna a solução do problema simples e direta consiste em notar que as etapas intermediária do percurso do elevador são irrelevantes para o cálculo da probabilidade que buscamos, vale dizer, determinar com que probabilidade o elevador chega ao último andar com 1 passageiro. Basta IMAGINAR o trajeto ... Se este argumento não convence, considere os andares Q-1, Q e Q+1. Suponha, para facilitar a visualização, que o elevador chega ao (Q-1)-ésimo andar com X passageiros. Ocorrerá a movimentação (X,1), que significa chegar ao Q-esimo andar com 1 passageiro. No Q-esimo andar ocorrerá a movimentação (1,X), que significa chegar ao (Q+1)-esimo andar com X passageiros, ou seja, toda ocorrência que leva de um andar ao outro é devolvida no andar seguinte, não havendo acrescimos de novos trajetos. portanto, se IMAGINARMOS uma linha poligonal cujos segmentos componentes sao os trajetos possíveis entre os andares, TODO TRAJETO POSSÍVEL É TAMBEM UM TRAJETO FAVORÁVEL ao evento cuja probabilidade queremos determinar. Bom, agora acabou, certo. Vem apenas a chatice dos cálculos. Seja k o numero de passageiros que chega a um determinado andar. o que pode ocorrer neste andar ? As possíveis ocorrências são : TRIÃNGULO (1,1) (2,1),(2,2) (3,1),(3,2),(3,3) ... (k,1),(k,2),(k,3),...,(k,k) QUADRADO: (1,2),(1,3),(1,4),...,(1,P-k+1) (2,3),(2,4),(2,5),...,(2,P-k+2) (3,4),(3,5),(3,6),...,(3,P-k+3) ... (k,k+1),(k,k+2),(k,k+3),...,(k,P) Notando que tanto no TRIANGULO quanto no QUADRADO há k linhas e que neste ultimo há P-k colunas, o total de ocorrências será : T(k)=TRIANGULO+ QUADRADO=(1+2+...+k)+K(p-K) Como k varia no intervalo 1 = k = P, temos : T = SOMATORIO( k de 1 ate P : Tk ) = ( P(P+1)(2P+1) )/6 portanto, o total de trajetos ( ocorrências ) que partem de um andar e chega ao seguinte é o valor T que encontramos acima. Agora, basta encontrarmos as ocorrências que favorecem a uma determinada lotação. Olhando para a expressão de Tk, é facil ver que existem M trajetos ( ocorrências, pares ) que levam o elevador a chegar com M passageirosao proximo andar se M k. Se porem M = k, existem sempre K trajetos que que levam o elevador a chegar no prximo andar com M passageiros. variando k de 1 ate P achamos o total de casos favoraveis. Segue daqui que as ocorrencias favoráveis são : 1 passageiro : P possibilidades 2 passageiros : P + (P-1) possibilidades 3 passageiros : P+ (P-1)+(P-2) possibilidades ... P passageiros : P+(P-1)+(P-2)+...+1 possibilidades As probabilidades que buscamos são portanto : RESPOSTA : A probababilidade que o elevador chegue ao N-esimo andar ( para todo N 3)
[obm-l] PEDIGREE MATEMÁTICO!
Turma! O Paulo é o cara representante de uma raça da mais pura linhagem
matemática. Sou fã dos seus artigos desde os tempos o armário e o corredor.
Gostei do detalhe problema simples e direto. Quanto ao seu problema proposto
o enunciado parece fácil. Caro Bernardo, peço desculpas pelas palavras
indevidas quanto ao assunto que estava mais para física que matemática. Todos
nós estamos sujeitos a pequenos deslizes bem como um renomado matemático que
indagou se os 3 gatos comem 1 rato de cada vez, ou se cada gato come um rato. A
bem da verdade, o fluxo de veículos é mais rápido a 50km/h com a distância de
25m que resulta num escoamento de 2000 veículos/hora contra apenas 1600
veículos/hora. Vale salientar que eu também não consegui resolver o problema do
relógio quando se liga as extremidades finais dos ponteiros formando triângulos
cujas áreas estariam variando a cada instante. Afinal! entre 12h e 18h esta
área será máxima em, exatamente, quantos momentos?
Numa pequena e remota ilha um homem recebeu uma sentença de morte, mas ele pode
ser beneficiado com o perdão na seguinte situação: O juiz coloca a disposição
dele 18 bolas brancas e 6 bolas pretas, para que o homem divida-as entre três
caixas, sendo no mínimo uma em cada caixa. Depois disso, o homem é vendado para
então escolher, aleatoriamente, uma das caixas e dela retirar (também
aleatoriamente) uma bola. O homem recebe o perdão se a bola retirada for
branca. Supondo que o homem distribuiu as bolas da forma mais favorável, qual é
a probabilidade dele receber o perdão?
10 pessoas chegaram a uma livraria. sabe-se que: Todas as pessoas compraram
livros de 3 disciplinas. Para quaisquer duas pessoas existe ao menos uma
discipina sobre a qual ambas compraram livros. Enumerando-se as disciplinas
sobre as quais há livros na livraria, seja M(i) o número de pessoas que
compraram livros da disciplina i. Qual é o menor valor positivo possível para
o MÁXIMO de {M(1), M(2), ...} ?
Abraços!
_
DIVIRTA SEUS AMIGOS NO MESSENGER. TRANSFORME AQUI SUAS FOTOS EM EMOTICONS, É
GRÁTIS.
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[obm-l] TROCANDO FIGURINHAS!
Olá! Prof. Carlos, vulgo Nehab e demais colegas...Sou simpatizante dos seus comentários marotos bem como do jogo do bafo no álbum de figurinhas...O colega Bernardo tem contribuido bastante para elevar o nível das discussões da lista, destaque para o probleminha Quanto Apostar proposto pelo Paulo Santa Rita, porém para um brilhante ex-aluno da COPPE-UFRJ com nota máxima nas avaliações de nível superior deixou muito a desejar na seguinte abordagem O trânsito escoaria mais rápido: a 80km/h com a distância entre os veículos de 50 metros ou a 50km/h com a distância de 25 metros?. Mas, deixando a profundidade de lado, gostaria de discutir um difícil problema de combinatória proposto pelo Bouskela, pois já esgotei todos os meus recursos mnemônicos. Vale salientar que o Bernardo deu uma significante contribuição empurrãozinho... Um predio comercial tem n andares e um único elevador. O elevador tem capacidade para transportar p passageiros. Numa fatídica 2ª feira, no andar térreo (1º andar do prédio), entram no elevador p passageiros. O elevador sobe até o n-ésimo andar, parando em todos os andares. Em cada andar, pelo menos um passageiro sai do elevador e pelo menos um novo passageiro entra no elevador. I.e., é possível, p.ex., que, num andar genérico, saiam 5 passageiros e entrem apenas 2 (neste caso, é óbvio, o elevador deve chegar a este andar com, no mínimo, 5 passageiros). Desde que a capacidade do elevador não seja ultrapassada, é possível também que, num andar genérico, entre um número maior de passageiros em relação ao número dos que saem. É claro, portanto, que o elevador chegará ao n-ésimo andar com pelo menos 1 passageiro e, no máximo, com p passageiros. Qual é a probabilidade do elevador chegar no n-ésimo andar com apenas 1 passageiro? E com p passageiros? E com k passageiros? (0kp+1) Abraços! _ DEIXE SUAS CONVERSAS MAIS DIVERTIDAS. TRANSFORME AQUI SUAS FOTOS EM EMOTICONS, É GRÁTIS. http://ilm.windowslive.com.br/?ocid=ILM:ILM:Hotmail:Tagline:1x1:Tagline
[obm-l] RESOLUÇÃO DE PROBLEM AS!
Turma! A idéia do Johann é excelente, até porque, os problemas da Eureka! são campeões. O difícil é encontrar quem resolva, pois desde a fundação da revista sòmente consegui resolver cerca de meia dúzia deles. A título de aquecimento olímpico gostaria de discutir um probleminha que vem me tirando o sono há décadas... Há n rapazes sentados em uma mesa circular, cada um com um chapéu em sua cabeça. Um inteiro positivo é escrito em cada chapéu. Nenhum rapaz sabe o número que está no seu chapéu e nem pode vê-lo, mas pode ver os números de todos os demais. O professor escreve em uma lousa k inteiros positivos distintos e anuncia que um dos números é a soma de todos os números escritos nos chapéus. Então pergunta para um dos rapazes: Você sabe a soma dos números?. Se a resposta é não, ele pergunta para o vizinho e asim por diante. Supondo que k é menor ou igual a n, prove que, em algum momento, um dirá sim. A propósito! Doze pessoas estão sentadas em torno de uma mesa circular. De quantos modos seis pares de pessoas podem trocar apertos de mão de modo que não haja cruzamentos de braços? (Não é permitido que uma pessoa troque apertos de mão com mais de uma pessoa de cada vez) Francamente! Desejo todo sucesso na nova empreitada do Johann, pois quanto mais resoluções de problemas olímpicos, melhor para o nível da lista. Mãos à obra e Divirtam-se! _ DIVIRTA SEUS AMIGOS NO MESSENGER. TRANSFORME AQUI SUAS FOTOS EM EMOTICONS, É GRÁTIS. http://ilm.windowslive.com.br/?ocid=ILM:ILM:Hotmail:Tagline:1x1:Tagline
[obm-l] MATEMATICA SOLIDARIA!
Ok! Rogério, grato pela atenção de resposta já que tinha dúvidas quanto a segunda questão. Como campeão de artigos off me sinto um pouco à vontade em opinar no episódio envolvendo os colegas Bruno e João, mas sem intenção de subestimar a razão do Bruno quanto ao objetivo da lista. Quem não lembra do belo probleminha de física proposto pelo João três pontos que formam um triângulo equilátero...qual o instante em que vão se chocar sabendo que um ponto sempre segue o outro, cuja ocasião o Bruno se esbaldou na resolução. Para selarem a amizade dos bons tempos nada melhor do que discutirem solidariamente outro belo probleminha... Num grupo de 200 pessoas qual é a probabilidade de que vocês dois Bruno João façam aniversário no dia em que mais se faz aniversário? (Campeão!) Vamos supor que alguém nos peça para lançar uma moeda e ofereça $2 se obtivermos cara no primeiro lançamento; mas não no segundo; $4 se obtivermos cara no primeiro e no segundo lançamentos, mas não no terceiro; $8 se obtivermos cara no primeiro, no segundo e no terceiro lançamentos, mas não no quarto, e assim por diante. Se o ganho esperado no caso é infinito porque é improvável que alguém se disponha a pagar este montante (ou mesmo um simples milhão de dólares) pelo privilégio de jogar tal jogo? A propósito! Sòmente para relaxar. Dois trens absolutamente idênticos a mesma velocidade passam um pelo outro em direções opostas, um para o Oeste e o outro para Leste; Afinal! qual dos dois trens é o mais pesado? Convido o Bruno e outros interessados a revisarem o Enigma da Barcaça como terapia solidária e relaxamento olímpico. Abraços e Divirtam-se! _ DIVIRTA SEUS AMIGOS NO MESSENGER. TRANSFORME AQUI SUAS FOTOS EM EMOTICONS, É GRÁTIS. http://ilm.windowslive.com.br/?ocid=ILM:ILM:Hotmail:Tagline:1x1:Tagline
[obm-l] MATEMATICA RECREATIVA!
Olá, Pessoal! Esta excelente pergunta da aluna sobre o perímetro da parte interna do quadrado me fez lembrar uma questão de um exame psicotécnico em que mostrava um dado atravessado por um orifício quadrado e perguntava sobre o número total de faces e superfícies...E por falar em dados vamos nos divertir um pouco... Bruno arranjou um dado especial com a forma de um dodecaedro. Tem 12 faces numeradas de 1 a 12. Tânia tem dois dados normais. São cubos, cada um deles com as faces numeradas de 1 a 6. Resolveram fazer um jogo. Cada jogada consiste no lançamento dos três dados. Vão somando os pontos que cada um obtém. Bruno com o seu dado de 12 faces e Tânia com os seus dois dados de 6 faces. Ganha quem primeiro chegar aos 100 pontos. Se por acaso os dois chegarem aos 100 pontos na mesma jogada ganha quem tiver o total maior. Se esse total for igual para os dois, há empate. Afinal! Algum dos dois jogadores está em vantagem? Ou é um jogo equilibrado? O casal Silva não consegue chegar a acordo quanto ao local onde irá passar as próximas férias. O marido quer ir para Atenas mas a mulher prefere Veneza. Para sair do impasse, cada um lança um par de dados. Se algum dos números que sair ao Sr. Silva for igual a algum dos números que sair à mulher vão para Atenas. Caso contrário, o destino é Veneza. Qual é o local mais provável das férias do casal Silva? Divirtam-se! _ Você sabia que seu navegador te ajuda a ficar longe de vírus? Leia mais sobre isso. http://www.microsoft.com/brasil/windows/internet-explorer/?WT.mc_id=1500
[obm-l] PRISIONEIROS ALIENÍG ENAS!
Valeu! Ralph! Somos gratos pela sua requintada explanação com destaque para o alienígena que nos passou despercebido. A aleatorização do raciocínio com o incremento da moeda me fez lembrar nossa irracionalidade subjetiva em deixar que os caprichos da moeda represente a sua escolha ao invés de uma escolha direta pelo seu time preferido. Primeiro que a moeda acerte o seu time preferido e segundo que o seu time favorito ganhe o jogo, ou seja, são duas etapas ao invés de somente uma. A interpretação subjetiva me fascina pelo seu grau de fé ou julgamento quantificado sobre a ocorrencia de um evento incerto. Numa comparação entre duas apostas, qual você prefere de modo que uma aposta seja a probabilidade subjetiva da outra? aposta A: Chove ou não amanhã, aqui, às 11:00 horas? Se chover ganha $100 , senão nada. aposta B: Se o ponteiro de um relógio parar entre 12:00 horas e 18:00 horas ganha $100 , senão nada. A chave deste enigma subjetivo está no intervalo de tempo em que se torna indiferente a escolha entre as apostas. E para relaxar depois de tantos raciocínios prisioneiros rebuscados, qual a melhor alternativa econômica dentre as duas opções de emprego: Emprego 1: Começa ganhando $1000, passa a ganhar $2000 depois de 1 ano, e $3000 depois de 2 anos. Emprego 2: Começa ganhando $3500, passa a ganhar $2500 depois de 1 ano, e $1500 depois de 2 anos. Pasmem! Este ingênuo problema subestima o nosso bom senso ou intuição, pois quem não lembra do problema abaixo que continua em aberto... Você recebe ofertas de trabalho de duas empresas. A primeira oferece $18000 por ano com a promessa de aumento de $1000 por semestre. A segunda oferece também $18000 por ano com promessa de aumento de $4000 por ano. Qual empresa você deve escolher? Abraços e Divirtam-se! _ O Internet Explorer 8 te dá dicas de como navegar mais seguro. Clique para ler todas. http://www.microsoft.com/brasil/windows/internet-explorer/?WT.mc_id=1500
[obm-l] DÚVIDAS BAYESIANAS!
Turma! Vale a pena o prisioneiro A trocar de destino com o prisioneiro C? Como posso saber a probabilidade a priori de chover apenas com o barômetro? Grato pela atenção! Uma rifa é realizada com 100 pessoas comprando 1 papel cada. Na hora do sorteio bate uma forte rajada de vento e alguns papéis são perdidos. Podemos continuar e realizar o sorteio apenas entre os papéis que sobraram? Ou isso altera as probabilidades que cada um tem de ganhar? Numa sala, em fila, há cem caixas sem tampa, todas iguais. Cada uma tem um rótulo exterior com o nome de um preso (não há repetições de nomes). Dentro de cada uma há um papel com um nome de um prisioneiro (não tem de ser o mesmo do rótulo). Cada preso entra sozinho na sala, à vez, e pode espreitar num máximo de 50 caixas. Depois vai direto para a solitária, nunca mais comunica com nenhum outro. Quando visita a sala das caixas não pode tocar em nada, só pode observar. Quando os cem presos terminam este processo, se todos viram o seu próprio nome num papel dentro de uma caixa, todos são soltos. Se pelo menos um prisioneiro não viu o seu nome, morrem todos. Se todos espreitarem em 50 caixas à sorte, a probabilidade de sobreviverem é (1/2)^100...mas há melhor. Como devem proceder? Pode supor-se que os presos se reunem uma vez, antes deste jogo começar. Abraços! _ Você sabia que seu navegador te ajuda a ficar longe de vírus? Leia mais sobre isso. http://www.microsoft.com/brasil/windows/internet-explorer/?WT.mc_id=1500
[obm-l] ENIGMA DOS PRISIONEIROS!
Pasmem! Nunca vi tantas versões num só problema e confesso que estou cada vez mais confuso. Logo eu, que me achava o Tuchaua do problema das três portas. Tenho a ligeira impressão que o colega João respondeu exatamente o inverso que o Douglas perguntou, ou seja no caso da pergunta do prisioneiro A ao carcereiro ter sido concretizada. Sinceramente, ainda estou travado na penúltima versão Se vale a pena o prisioneiro A trocar de destino com o prisioneiro C. Sòmente apelando ao prof. Rogério Ponce com suas didáticas infalíveis. A Pizzaria Tony decide lançar preços especiais para suas pizzas tamanho gigante. Para tornar a publicidade ainda mais atraente, Tony promove um jogo. Ao pedir uma pizza gigante, o cliente recebe uma ficha vermelha de um lado e azul do outro, coloca-a sobre a mesa e cobre-a com a mão. Tony, então, procura adivinhar a cor que está para cima. Se a cor for vermelha e Tony adivinhar, o cliente paga o preço normal de $4 pela pizza gigante. Se a cor para cima for vermelha mas Tony disser azul, o cliente tem a pizza de graça. Se a cor para cima for azul, o cliente pagará $2, se Tony disser vermelho, e $3 se Tony disser azul. Qual a estratégia que lhe assegure algum ganho mínimo? Abraços e grato pela atenção! _ O Internet Explorer 8 quer te ajudar a navegar seguro. Entre aqui para ler as dicas. http://www.microsoft.com/brasil/windows/internet-explorer/?WT.mc_id=1500
[obm-l] FW: DÚVIDAS BAYESIAN AS!
From: jorgelrs1...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: DÚVIDAS BAYESIANAS! Date: Sat, 24 Apr 2010 13:23:17 + Turma! Vale a pena o prisioneiro A trocar de destino com o prisioneiro C? Como posso saber a probabilidade a priori de chover apenas com o barômetro? Grato pela atenção! Uma rifa é realizada com 100 pessoas comprando 1 papel cada. Na hora do sorteio bate uma forte rajada de vento e alguns papéis são perdidos. Podemos continuar e realizar o sorteio apenas entre os papéis que sobraram? Ou isso altera as probabilidades que cada um tem de ganhar? Numa sala, em fila, há cem caixas sem tampa, todas iguais. Cada uma tem um rótulo exterior com o nome de um preso (não há repetições de nomes). Dentro de cada uma há um papel com um nome de um prisioneiro (não tem de ser o mesmo do rótulo). Cada preso entra sozinho na sala, à vez, e pode espreitar num máximo de 50 caixas. Depois vai direto para a solitária, nunca mais comunica com nenhum outro. Quando visita a sala das caixas não pode tocar em nada, só pode observar. Quando os cem presos terminam este processo, se todos viram o seu próprio nome num papel dentro de uma caixa, todos são soltos. Se pelo menos um prisioneiro não viu o seu nome, morrem todos. Se todos espreitarem em 50 caixas à sorte, a probabilidade de sobreviverem é (1/2)^100...mas há melhor. Como devem proceder? Pode supor-se que os presos se reunem uma vez, antes deste jogo começar. Abraços! Veja todos os seus e-mails de diferentes contas com apenas um login. Veja como. _ Você sabia que seu navegador te ajuda a ficar longe de vírus? Leia mais sobre isso. http://www.microsoft.com/brasil/windows/internet-explorer/?WT.mc_id=1500
[obm-l] INFERÊNCIA BAYESIANA !
Turma! O problema dos bodes demonstra muito bem como nosso cérebro não foi feito para lidar intuitivamente com tais tipos específicos de problemas. Felizmente podemos resolvê-lo de forma simples usando o teorema de Bayes. Vejam abaixo outra variação inédita do bode dos prisioneiros , por sinal muito parecida com a proposta anteriormente pelo colega Carlos Maçaranduba. Concordo com o prof. Rogério quando disse que somos tentados a usar a mesma estratégia dos bodes, ou seja é a prova dos noves fora de quem realmente entendeu o problema dos bodes. Dentre os prisioneiros A, B e C o juiz decidiu livrar a pele de um dos condenados. Ele diz aos prisioneiros: joguei aqui meu dado perfeitamente aleatório, e com ele já decidi quem de vocês será liberado. Não posso dizer ainda, mas vou contar um segredo ao prisioneiro A: o prisioneiro B precisa se preparar porque vai curtir cadeia pelo resto de seus dias. Agora, se você A, quiser, pode trocar de destino com o prisioneiro C. Pense nisso. Mas então? Vale a pena trocar? Será esta uma resposta intuitiva? Contra-intuitiva? Quais as chances de que isso realmente aconteça? Supor que, em determinado país, chova 40% dos dias e faça sol em 60% deles. Um fabricante de barômetros constatou que, embora razoavelmente dignos de confiança, eles por vezes erram: prevêem sol em dias de chuva 10% das vezes, e predizem chuva erroneamente 30% das vezes. Após consultar o barômetro e constatar que ele prediz chuva, qual a distribuição a posteriori? Com esta nova informação em mãos, não poderíamos apostar em chuva mais do que a priori? Intuitivamente, a resposta é afirmativa; Prove: Abraços e Boas Intuições! _ O Internet Explorer 8 te dá dicas de como navegar mais seguro. Clique para ler todas. http://www.microsoft.com/brasil/windows/internet-explorer/?WT.mc_id=1500
[obm-l] PROBABILIDADES INSIDIOSAS!
Ok! Adalberto e demais colegas! É o que podemos chamar de problemas contra-intuitivos... Vamos supor que a faculdade tenha uma taxa de matrículas de 50/90, ou aproximadamente 56% para mulheres em comparação com 60/100 ou 60% para homens, e tenha dois departamentos. No departamento 1, 50 mulheres inscrevem-se e 20 são aceitas; 30 homens inscrevem-se e 10 são aceitos. A proporção de matrículas de 20/50, ou 40%, é comparativamente favorável às mulheres em relação à proporção de matrícula de homens, 10/30, aproximadamente 33%. No departamento 2, 40 mulheres inscrevem-se e 30 são aceitas; 70 homens inscrevem-se e 50 são aceitos. A proporção de matrículas de mulheres é 30/40, ou 75%, comparada com a proporção de matrículas de homens de 50/70, ou 71%. Apesar disso, quando os dois conjuntos de estatísticas são combinados, a proporção de matrícula de mulheres, 50/90, é menor que a de homens, 60/100. Afinal! Se cada departamento é contado apenas uma vez e não há sobreposição, como é possível ter uma proporção maior de mulheres em cada departameto e uma proporção menor no conjunto total? Dentre os prisioneiros A, B e C o juiz decidiu livrar a pele de um dos condenados. Ele diz ao prisioneiro A: Joguei aqui meu dado perfeitamente aleatório, e com ele já decidi quem de vocês será liberado. Não posso dizer ainda se vai ser você ou não, mas vou lhe contar um segredo: o prisioneiro B precisa se preparar porque vai curtir cadeia pelo resto de seus dias. Agora, se você A, quiser, pode trocar de destino com o prisioneiro C. Pense nisso. Mas então? Vale a pena trocar? Será esta uma resposta intuitiva? Contra-intuitiva? Quais as chances de que isso realmente aconteça? A probabilidade de que um computador dê defeito após ele ter sido usado K vezes é G(k). Qual a probabilidade da máquina estar quebrada após N usos consecutivos se durante as M operações anteriores ela estava funcionando? (Probleminha esquisito!) Abraços e Divirtam-se! _ Você sabia que seu navegador te ajuda a ficar longe de vírus? Leia mais sobre isso. http://www.microsoft.com/brasil/windows/internet-explorer/?WT.mc_id=1500
[obm-l] PERPLEXIDADES PROBAB ILÍSTICAS!
Olá, Pessoal! Vejam o que pode acontecer quando usamos o 'bom senso, ou a intuição, em relação a probabilidades... De três sacos, um contém duas boas vermelhas, um contém duas bolas pretas e o terceiro contém uma bola de cada cor. Mostre que se a bola tirada for preta, a segunda bola é menos provável ser vermelha do que preta. Imagine um jogo entre dois indivíduos, cada um com uma roleta que, ao ser girada livremente, pode apontar para um de dois números eqüiprováveis; o jogador que conseguir o número maior vence. São três as jogadoras: A, que tem uma roleta com os números 8 e 4; B, com uma roleta com os números 10 e 0, C, com uma roleta com os números 6 e 2. Se A jogar com B, cada uma tem a probabilidade de 1/2 de ganhar, pois B sempre perde com um 0 e sempre ganha com um 10. A roleta de A pode dar 4 ou 8, mas isso não importa. O que importa é o resultado da roleta de B. Se B jogar com C, cuja roleta pode dar 2 ou 6, cada uma tem uma probablidade de 1/2 de ganhar, novamente, B sempre perde com um 0 e sempre ganha com um 10. A e B tem as mesmas condições de ganhar, assim como B e C. Podemos então concluir que A e C também têm as mesmas condições de ganhar? A propósito! É mais vantajoso lançarmos três caras consecutivas ou lançarmos duas caras sucessivas e em seguida completar a série de três caras? Boas Surpresas! _ O Internet Explorer 8 quer te ajudar a navegar seguro. Entre aqui para ler as dicas. http://www.microsoft.com/brasil/windows/internet-explorer/?WT.mc_id=1500
[obm-l] ALEATORIZAÇÃO!
Certamente! Luiz e demais colegas! Devemos escolher a Opção 1 devido ser mais óbvio decidir direto pelo time da Liga Americana do que jogando uma moeda, digamos tal que escolherá Americana se cara, e Nacional se cora. Ou seja, é melhor uma escolha livre do time em lugar de recorrer aos caprichos da moeda ou da urna. Uma coisa nós temos que admitir como certa, a nossa lista nunca mais será a mesma após a discussão deste controvertido problema de probabilidade subjetiva cuja medida da confiança que temos sobre a verdade de certa proposição é tanto operacional como conceitual. É tentador concluir, sem mais discussão, que se P*(X)=0,8 , então P*(Y) deve ser 0,2 , pois é evidente que P*(X) + P*(Y) = 1. Infelizmente esse argumento não é muito convincente, e o ponto em discussão é tão crítico que necessitaremos de uma análise mais substancial. Mas, deixando a profundidade de lado, vamos brincar um pouco... Dado que numa familia há duas crianças e que pelo menos uma é menina, qual é a probabilidade de que haja duas meninas na família? Você faz uma nova amiga e pergunta a ela se tem filhos. Ela responde: sim, dois. Você pergunta: alguma menina? Ela responde que sim. Qual é a probabilidade de ambas serem meninas? Você faz uma nova amiga e pergunta a ela se tem algum filho. Ela responde: sim, dois - com seis e dez anos de idade. Você pergunta: a mais velha é menina? Sim, responde ela. Qual é a probabilidade de ambas as crianças serem meninas? Você faz uma nova amiga e pergunta se ela tem filhos. Ela responde: sim, dois. Alguma menina? Sim. No outro dia você a vê com uma garota. Você pergunta: é esta sua filha? Sim, ela responde. Qual é a probabilidade de seus dois filhos serem meninas? Pasmem! Isso parece tão estranho porque aparentemente não temos nenhuma informação a mais do que no primeiro exemplo; e, ainda assim, as probabilidades são diferentes. Não é de admirar que a probabilidade seja uma ciência que deixa muita gente perplexa. Abraços! _ Navegue sem medo: O Internet Explorer 8 te deixa mais protegido. Baixe gratuitamente. http://go.microsoft.com/?linkid=9707132
[obm-l] PROCEDIMENTO ALEATORIZADO!
Ok! Luiz e demais colegas! Todos nós pecamos pelo empate apesar do enunciado da questão deixar claro que se a equipe que você selecionar ganhar o jogo, você recebe $100,00. Caso contrário, não ganha nada. Ou seja, em caso de empate ou vitória do outro time. A chave do enigma está na aleatorização da Opção 1 ao jogarmos uma moeda, digamos, tal que escolherá Americana se cara, e Nacional se coroa ficando assim equivalente a Opção 2. Se antes da aleatorização o indivíduo preferisse uma escolha livre do time da Liga Americana em lugar de recorrer aos caprichos da moeda, então lógicamente ele deveria preferir a Opção 1 devido a liberdade de escolha de decidir direto pelo time da Liga Americana ao invés de recorrer aos caprichos da urna ou moeda. (Elementar, não!). Nem precisamos ser um Tuchaua da USP para entendermos a consistência da Opção 1. Mas deixando a profundidade de lado, vamos nos divertir um pouco... Lewis Carroll provou que uma caixa não pode conter duas bolas da mesma cor. Veja o seu argumento: Suponha que uma caixa contenha 2 bolas, sendo que cada uma delas pode ter a cor branca ou preta. Então existem 4 possibilidades para o conteúdo da caixa onde cada uma dessas possibilidades tem probabilidade 1/4. Se adicionarmos uma bola preta à caixa, ainda assim, temos que cada uma dessas possibilidades tem probabilidade 1/4. A seguir, selecionamos uma bola aleatoriamente da caixa. A probabilidade de obter uma bola preta vale 2/3. Entretanto, se a probabilidade de selecionar uma bola preta de uma caixa com 3 bolas é 2/3, devem existir 2 bolas pretas e 1 bola branca na caixa. Portanto, originalmente a caixa continha 1 bola branca e 1 bola preta! Afinal! Onde está o erro do argumento? Suponhamos que exista um concerto de rock em um teatro com mil assentos. O promotor vende entradas para 499 assentos, mas, quando o concerto começa, todos os mil assentos estão ocupados. Pela lei inglesa, o promotor do espetáculo tem direito de cobrar de cada uma das mil pessoas no concerto, já que a probabilidade de que qualquer um deles seja um penetra é de 50,1%. Assim, o promotor cobrará 1.499 entradas para uma sala que só tem capacidade para mil. (Esquisito, não!) A propósito! Se a probabilidade de acertar três CD'S é equivalente a acertar todos nas suas respectivas quatro caixas, porque a resposta não é 4/16 ao invés de 0? Ou quem sabe, não seja 1 já que trata-se de um evento certo de ocorrer? (Essa é legal!) Abraços e Divirtam-se! _ Com o Internet Explorer 8 você fica mais protegido contra ameaças da web. Saiba mais. http://go.microsoft.com/?linkid=9707132
[obm-l] RACIONALIDADE LIMITADA!
Olá, Chicão! Que bom revê-lo...Quanto a compra da casa a saída é por aí...O colega Luiz mandou bem...Agora quanto a escolha da oferta de trabalho, o Adalberto acertou a resposta mas não justificou..Temos que reconhecer nossas limitações cognitivas já que a grande maioria respondeu que ficaria numa situação melhor em resultado do aumento de preço da casa. Não é de surpreender que, quando o preço da habitação sobe, a sua melhor resposta consista em comprar menos unidade de habitação e mais unidades de outros bens. Note-se que fica protegido contra qualquer prejuízo resultante do efeito rendimento do aumento do preço, dado que este aumento de preço também torna a casa que possui mais valiosa. Até aqui, tudo bem. Consideremos, agora, o caso mais complicado em que o preço da habitação baixa para a metade e o consumidor responde comprando mais unidades de habitação e menos unidades de outros bens. Moral da história - em qualquer dos casos, a sua restrição orçamental contém o cabaz original, o que implica que, depois da alteração do preço, o consumidor fica pelo menos numa situação tão boa como antes. A maioria de nós considera um fato extraordinário encontrar alguém que compartilhe conosco a mesma data de nascimento. Entretanto, num grupo de 25 pessoas ou mais, chegam a mais de 50% as probabilidades de que duas ou mais pessoas tenham a mesma data de nascimento. Costumamos pensar que a pergunta é: qual a probabilidade de que uma ou mais pessoas desse grupo tenha a mesma data de nascimento que eu? De fato, a probabilidade de que isso ocorra (se o grupo for de 25 pessoas) é de aproximadamente 0,064 ,ou menos de 7% - nem mesmo perto de 50%. (Incrível, não!). Pasmem! De todo esse besteirol que tenho enviado à lista, um teria lugar merecido na Cápsula do Tempo como testemunho da Irracionalidade Humana, pois nem mesmo o Tuchaua do assunto na época escapou ileso. Suponha que lhe ofereça uma escolha entre as duas seguintes opções: Opção 1. Selecione uma equipe, Americana ou Nacional, e coloque a sua escolha em um envelope selado. Se a equipe que você selecionar ganhar o jogo a se realizar, você recebe $100,00. Caso contrário, você não ganha nada. Opção 2. Retire uma bola de uma urna contendo 50 bolas alaranjadas e 50 azuis. Você receberá $100,00 se retirar uma bola alaranjada e $0,00 se retirar uma azul. (Todas as bolas são igualmente prováveis de serem retiradas). A retirada será feita ao fim do jogo. Que opção você prefere? (Loucura, não!) Abraços e Bons Raciocínios! _ Navegue sem medo com o Internet Explorer 8. Clique aqui para instalar gratuitamente. http://go.microsoft.com/?linkid=9707132
[obm-l] PROCESSO DECISÓRIO!
Ok! Luiz, grato pela informação do livro. Apesar do colega Adalberto não ter obtido êxito na escolha das ofertas de trabalho, gostaria do seu chute nos enigmas do dinheiro falso. Qual a escolha mais vantajosa entre um ganho certo de $100 e uma oportunidade de ganhar $150, com 80% de hipóteses e, de ganhar zero com 20% de hipóteses? E quanto a oportunidade de ganhar $100, com 50% de hipóteses e zero com 50% de hipóteses e 40% de hipóteses de ganhar $150 e 60% de hipóteses de ganhar zero? Afinal! Qual o mais vantajoso: comprar uma casa, sabendo que no dia seguinte, o preço de todas as casas, incluindo a que irá comprar, duplica ou comprar a mesma casa sabendo que os preços irão baixar pela metada? (Essa é boa!) Dois acusados de cometer um crime são presos, e a polícia lhes dá quatro opções. Qual delas é a melhor escolha? a) Se o primeiro preso delatar seu colega e não for delatado por ele, o primeiro preso é solto. O segundo pega 10 anos de prisão. b) Se o primeiro preso não delatar o colega, mas for delatado por ele, pega 10 anos de prisão. Seu colega é solto. c) Se os dois se delatarem reciprocamente, ambos pegam 5 anos de prisão. d) Se nenhum dos dois delatar o outro, ambos são soltos. Afinal! Alguém saberia explicar porque não é a opção d)? A propósito, algum colega já sabe porque 25% de obter $250 e 75% de perder $750 é mais viável que 25% de obter $240 e 75% de perder $760? Abraços e Boas Decisões! _ Com o Internet Explorer 8 você fica mais protegido contra ameaças da web. Saiba mais. http://go.microsoft.com/?linkid=9707132
[obm-l] TOMADA DE DECISÃO!
Turma! Embora possa-se pensar que as decisões sejam tomadas de forma racional, na prática não é isso que acontece, pois somos irracionais em nossas decisões racionais... Você recebe ofertas de trabalho de duas empresas. A primeira oferece R$ 18.000,00 por ano com a promessa de aumento de R$ 1.000,00 por semestre. A segunda oferece também R$ 18.000,00 por ano com promessa de aumento de R$ 4.000,00 por ano. Qual empresa você deve escolher? (De pronto, todos escolhem a segunda empresa. Loucura, não!) Um velho plano de seguro médico pagava 100 por cento de todas as despesas médicas cobertas e o prêmio era aproximadamente 500 dólares/ano por família. O novo plano apresenta uma franquia de 200 dólares e os indivíduos têm de pagar os primeiros 200 dólares em despesas médicas, todos os anos, mas uma vez ultrapassado esse limiar, o seguro paga de novo os 100 por cento. O prêmio para o novo seguro é de 250 dólares/ano. Afinal! Que plano você escolheria? O que é mais em conta: comprar um disco de 10 dólares pagando com dinheiro falso após ter perdido 10 dólares verdadeiro ou comprar outro disco de 10 dólares pagando com dinheiro verdadeiro após ter quebrado o anterior pago com dinheiro falso? A propósito! Comprei um objeto por 70 reais, cujo preço de mercado é 60 reais. Se conseguir vendê-lo por 80 reais, quanto deixarei de ganhar se todo o dinheiro transacionado era falso? (Este débil probleminha com suas resoluções mirabolantes tem dado o que falar...!) Abraços e Boas Decisões! _ Com o Internet Explorer 8 você fica mais protegido contra ameaças da web. Saiba mais. http://go.microsoft.com/?linkid=9707132
[obm-l] FW: PORCENTAGENS CURIOSAS!
From: jorgelrs1...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: PORCENTAGENS CURIOSAS! Date: Mon, 15 Feb 2010 22:13:10 + Olá! Adalberto, Bernardo e demais foliões! Aproveitando a euforia momina entre confetes e serpentinas gostaria de discutir alguns probleminhas pueris. A princípio havia achado o problema dos 80% meio infantil a exemplo da maioria que envio a lista, mas após a elucidação dos colegas é que pude entender sua sutileza. As porcentagens tendem muitas vezes a ocultar os aspectos significativos dos dados originais. Comparativamente têm um significado muito mais válido se representam proporções da mesma quantidade total. Um fabricante, cujas despesas são fixadas a prazo curto, experimenta uma queda nas vendas. Suas vendas no primeiro ano foram de $10.000 e teve um lucro de $225, equivalente a quase 3% do total das vendas. No ano seguinte, suas despesas permanecem as mesmas de $9.775 , suas vendas caem 3/4%, para $9.925. Seu lucro portanto cai para $150. A queda do lucro foi expressa como uma porcentagem do ano 1. Por que não do ano 2? Experimentadas duas vacinas, a primeira revelou-se eficaz em 99% dos casos, e falhou em 1%. A segunda vacina foi eficiente em 98% e negativa em 2% dos casos. A comparação entre elas deve ser feita 99:98 sucessos (praticamente a mesma coisa), ou 1:2 fracassos (uma o dôbro da outra)? Acredita-se que uma eleição apresentará uma diferença muito pequena de votos entre dois candidatos. Qual é o número mínimo de eleitores favoráveis a um deles que assegure uma confiança de 80%? A propósito! Em uma cidade do interior havia um único barbeiro, que morreu de febre tifóide. É certa a afirmativa que 100% dos barbeiros morrem de febre tifóide? Divirtam-se! Faça compras on-line com mais segurança. Instale grátis o Internet Explorer 8. _ No Messenger você pode tranformar sua imagem de exibição num vídeo. Veja aqui! http://www.windowslive.com.br/public/tip.aspx/view/97?product=2ocid=Windows Live:Dicas - Imagem Dinamica:Hotmail:Tagline:1x1:Mexa-se
[obm-l] FW: PORCENTAGENS CURIOSAS!
From: jorgelrs1...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: PORCENTAGENS CURIOSAS! Date: Mon, 15 Feb 2010 22:13:10 + Olá! Adalberto, Bernardo e demais foliões! Aproveitando a euforia momina entre confetes e serpentinas gostaria de discutir alguns probleminhas pueris. A princípio havia achado o problema dos 80% meio infantil a exemplo da maioria que envio a lista, mas após a elucidação dos colegas é que pude entender sua sutileza. As porcentagens tendem muitas vezes a ocultar os aspectos significativos dos dados originais. Comparativamente têm um significado muito mais válido se representam proporções da mesma quantidade total. Um fabricante, cujas despesas são fixadas a prazo curto, experimenta uma queda nas vendas. Suas vendas no primeiro ano foram de $10.000 e teve um lucro de $225, equivalente a quase 3% do total das vendas. No ano seguinte, suas despesas permanecem as mesmas de $9.775 , suas vendas caem 3/4%, para $9.925. Seu lucro portanto cai para $150. A queda do lucro foi expressa como uma porcentagem do ano 1. Por que não do ano 2? Experimentadas duas vacinas, a primeira revelou-se eficaz em 99% dos casos, e falhou em 1%. A segunda vacina foi eficiente em 98% e negativa em 2% dos casos. A comparação entre elas deve ser feita 99:98 sucessos (praticamente a mesma coisa), ou 1:2 fracassos (uma o dôbro da outra)? Acredita-se que uma eleição apresentará uma diferença muito pequena de votos entre dois candidatos. Qual é o número mínimo de eleitores favoráveis a um deles que assegure uma confiança de 80%? A propósito! Em uma cidade do interior havia um único barbeiro, que morreu de febre tifóide. É certa a afirmativa que 100% dos barbeiros morrem de febre tifóide? Divirtam-se! Faça compras on-line com mais segurança. Instale grátis o Internet Explorer 8. _ Quer deixar seus vídeos mais divertidos? Com o Movie Maker isso fica fácil. http://www.windowslive.com.br/public/tip.aspx/view/87?product=4ocid=Windows Live:Dicas - Movie Maker:Hotmail:Tagline:1x1:Titulo Legendas Creditos
[obm-l] MÉDIAS TENDENCIOSAS!
Olá, Pessoal! Numa faculdade há dois cursos e um rapaz e uma moça estão trocando idéias. O rapaz diz: Aqui eles discriminam contra os homens, a proporção de homens admitidos (dentre os candidatos) é menor do que a de mulheres. A moça responde: Não, eles discriminam contra as mulheres. Nos dois cursos a proporção de mulheres admitidas (dentre as candidatas) é menor do que a de homens. É possível que ambos tenham razão quanto aos fatos? Taí um belo problema proposto pelo prof. Nicolau, que aliás, ainda se encontra em aberto! O que ocorre com sua média em uma disciplina se sua nota na próxima (marginal) prova estiver acima da sua média corrente? Suponha que você não tenha um bom desempenho no exame final, como teve nessa prova. Como seria possível sua média aumentar mesmo se nessa próxima prova sua nota caísse? O jogador de beisebol Tony Gwynn acerta a tacada 35% das vezes em uma temporada. Após ter errado seis tacadas seguidas, o comentarista da TV diz: Pela lei das médias, Tony deve acertar. Certo ou Errado? Se a média de acertos de um jogador de basquete é 0,300 , seria tendencioso dizer que vai acertar três vezes em cada 10 lances livres? E quanto a previsão de quatro acertos? Afinal! Quando é interessante o uso do processo abreviado para o cálculo da média e da variância? Divirtam-se! _ Quer compartilhar fotos com seus amigos? Conheça agora o Windows Live Fotos. http://www.eutenhomaisnowindowslive.com.br/?utm_source=MSN_Hotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=InfuseSocial
[obm-l] DÚVIDAS ESTATÍSTICAS !
Valeu! Marcelo, sua engenhosa resolução foi bem mais didática que através do Princípio de Indução Finita... Que belos problemas de Probabilidades Geométricas propostos pelo Bouskela...Aproveitando a boa vontade estatística do Mestre Ralph, gostaria de discutir algumas das insidiosas situações abaixo: Se não existe relacionamento, o coeficiente de correlação é zero; mas um coeficiente de correlação zero não implica necessáriamente na ausência de relação. O que acham? Se o dono de uma sorveteria usar a mediana ou a moda, ao invés da média, para decidir quanto sorvete estocar, ficará sem estoque se o tempo esquentar um pouco? Um fabricante de sorvetes obtém os índices sazonais de suas vendas de 40 em janeiro e 160 em junho. Como interpretaria esses resultados? (Difícil!!!) Porque a variância é uma melhor medida para a variabilidade do que a faixa de dispersão? Em que situação particular o erro máximo de estimação é igual ao de amostragem? Um ônibus consome 9 litros de combustível em cada circuito, com desvio-padrão de 1/2 litro. Em 20 circuitos, o consumo foi de 190 litros. Pode-se desconfiar de que tenha havido desvio do combustível? Afinal! Um jogador com batting médio de 0,350 é 40% melhor do que um jogador com batting médio de 0,250? Abraços! _ Deixe seu computador compatível com a sua vida. Clique para conhecer o Windows 7! http://www.microsoft.com/brasil/windows7/default.html?WT.mc_id=1539
[obm-l] RESPOSTAS FALACIOSAS!
Perdão! Prof. Rogério Ponce, pois pior ainda foi ter esquecido de indicar seu nome para administrar a lista, já que o Sr. é o meu preferido e o único a elucidar o Problema dos Aviões bem como os dos Pares de Sapatos. Gostei da piadinha do caramujo cuja resposta mais sensata é no transcorrer do 10º dia e não no final do 10º dia e muito menos após 10dias. Observe que no final do dia n ele subiu n metros após ter escorregado. Significa que antes de escorregar ele estava no marco (n+2) metros. Esta trivial situação me faz lembrar outra xaropada dos meus tempos de colegial. O galho de uma laranjeira tem 10 folhas, sendo que a cada mês caem 4 folhas e crescem, em compensação, 3. Quando será que o galho da laranjeira estará completamente sem folhas? Resp: Depois de 7 meses. Pode até parecer inadequado a exposição destes probleminhas infantis numa lista de Olimpíadas Internacionais mas um colega nosso fez inúmeros calculos para tentar elucidar o inútil problema a seguir: Um nômade morou sucessivamente em três cidades diferentes e em cada uma delas passou três anos mais que em cada uma das restantes. Qual o tempo total de morada? Acreditem! Outros problemas bem simpáticos que ainda se encontram em aberto na lista é o do Tarzan Matemático e o outro abaixo de recorrência retirado da RPM. Um grupo de pessoas está em uma fila para comprar entradas para o cinema. A primeira pessoa na fila é uma mulher e a última é um homem. Mostre que, em algum ponto da fila, uma mulher está diretamente na frente de um homem? Divirtam-se! _ Deixe seu computador compatível com a sua vida. Clique para conhecer o Windows 7! http://www.microsoft.com/brasil/windows7/default.html?WT.mc_id=1539
[obm-l] PROBLEMAS IDIOTAS!
Olá! Artur Steiner...Se o Ralph Teixeira desistir da administração da lista, seu nome será uma ótima indicação bem como o Paulo Santa Rita...Apesar de não chegar a ser um Instituto Pestalozzi, gostaria de discutir alguns problemas idiotas e suas resoluções estúpidas... Um rei queria livrar-se de seu primeiro-ministro escrevendo vá nos dois papéis a serem sorteados. Entretanto,o ministro conseguiu ficar. Como? A resposta de autores consagrados é que o rei foi obrigado a ficar com o ministro, para não denunciar o que tinha feito. Ora, bolas! Se o ministro queimou um dos papéis sorteados sem olhar e o outro papel estava escrito vá, subtende-se que o papel sorteado e queimado pelo ministro era o que estava escrito fique. Logo, não havia necessidade do rei revelar sua farsa. Concordam! Pasmem! Vejam abaixo outros problemas imbecis, que por motivo ignorado ainda se encontram em aberto na lista... Um trem sai diàriamente de A para B. O mesmo ocorre no sentido contrário. A distância é percorrida em 6 dias. Se um trem sair de A, quantos trens vindos de B ele irá ultrapassar antes de lá chegar? Resp: Nenhum trem, já que não passou à frente de nenhum deles... Mas, se vocês viajassem num desses trens, quantos encontrariam correndo em sentido oposto, não incluindo o que tivesse chegado quando eu partisse e o que tivesse partido quando eu chegasse? Resp: Inacreditavelmente, todos erram novamente... Dois volumes de uma obra estão ordenadamente na estante, sendo o 1º com 50 folhas e o 2º com 70. Quantas páginas impressas estão entre a primeira folha do 1º volume e a primeira do 2º volume? (Campeão de Erros!) Um caramujo resolve subir um muro de 12 metros de altura da seguinte maneira: durante o dia ele sobe 3 metros e durante a noite desce 2 metros. Sabendo-se que iniciou a subida da base, ao amanhecer do 1º dia, quantos dias gastará o caramujo para chegar ao topo? Pasmem! Todos são unânimes em afirmar que o caramujo chegará ao topo no décimo dia. Incrível, não! Afinal! Qual a irracionalidade em recorrer aos caprichos da moeda ao invés de preferir uma escolha livre entre duas equipes favoritas? Divirtam-se! _ Com o Windows 7 nenhum arquivo vai se esconder de você. Clique para conhecer ! http://www.microsoft.com/brasil/windows7/default.html?WT.mc_id=1539
[obm-l] FW: REVEILLON MATEMÁ TICO!
From: jorgelrs1...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: REVEILLON MATEMÁTICO! Date: Thu, 31 Dec 2009 15:58:10 + Valeu! Paulo, pois não consegui resolver nem mesmo o trivial...Quanto aos dois primeiros problemas caóticos, que aliás, um é de sua autoria, estamos nas suas mãos e só nos resta aguardarmos ansiosos sua promessa...Gostaria de convidar os colegas para brindarmos a virada com alguns probleminhas que ficaram em aberto, apesar de várias tentativas Três matemáticos em fila indiana dispõem, a princípio, de dois chapéus pretos e três brancos. O último da fila poderá ver a cor dos chapéus dos dois que estão à sua frente. O do meio verá apenas a cor do chapéu do primeiro da fila. Se retiro aleatóriamente dois chapéus, sem eles perceberem, qual dos três irá acertar a cor do seu respectivo chapéu se pelo menos um matemático permanecer calado? Afinal! Quem terá maior influência para uma decisão correta? Uma floresta tem mais de um milhão de árvores. Nenhuma árvore tem mais de 300.000 folhas em sua copa. Pode-se concluir que: a)Certamente existem árvores com mesmo total de folhas nesta floresta b)Somente por acaso haverá árvores com copas de igual total de folhas nesta floresta c)Certamente existem árvores com menos de 300.000 folhas em sua copa d)O número médio de folhas nas copas é de 150.000 e)Nada do que foi dito pode ser concluido com os dados apresentados Yin e Yang é um dos mais antigos símbolos religiosos do mundo. A parte negra representa o Yin e a branca o Yang. Como fazer a bisseção ou dividir ao meio nas quais as áreas ocupadas pelas cores sejam iguais? Abraços e um 2000 e dez repleto de problemas matemáticos! Agora a pressa é amiga da perfeição. Chegou Windows 7. Conheça. _ Faça transações bancárias de maneira segura. Baixe agora o Novo Internet Explorer 8. http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_content=Tag2utm_campaign=IE8
[obm-l] ENIGMAS CAÓTICOS!
Olá, Pessoal! Sejam dadas duas permutações caóticas, digamos ABCDEFG e BCDEFGA. Quantas permutações simultaneamente caóticas em relação as duas podemos construir? (Engenhoso problema proposto pelo Paulo Santa Rita) Quantos são os anagramas da palavra MATEMATICA em que nenhuma das letras ocupa a posição ocupada na palavra MATEMATICA? Ou melhor, onde não há nenhuma coincidência de letra em nenhuma das posições? (Taí, um problema mal entendido e forte candidato ao desafio do ano 2010) Dar uma demonstração combinatória de que C(n)=n*C(n-1)+(-1)^n, onde C(n)=número de permutações caóticas de n objetos. (Proposto por Cláudio Buffara há décadas, mas permanecerá em aberto juntamente com o famoso problema das Caixas de fósforos de Banach por talvez mais uns cem anos adiante...) Um indivíduo fará uma reunião com 12 pessoas. Para enfatizar o caráter democrático da reunião todos sentarão em uma mesa redonda, cada qual em um lugar pré-estabelecido. O anfitrião, porém, é bisonho. E pode suceder que ele conduza cada participante a uma posição errada na mesa. Qual a probabilidade de isso ocorrer? (Esse é bacana! Parece que foi também de autoria do Paulo Santa Rita. Mas, afinal! Existe alguma relação entre um agrupamento linear e o seu correlato circular?) Abraços! _ Fique protegido de ameças utilizando o Novo Internet Explorer 8. Baixe já, é grátis! http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_content=Tag1utm_campaign=IE8
[obm-l] PROBLEMAS NATALINOS!
Irmãos! Já estamos de barba branca de discutirmos a célebre brincadeira do amigo oculto com atenção especial à engenhosa resolução do Prof. Rogério Ponce quanto à probabilidade de haver pelo menos uma troca mútua de presentes. Agora, diretamente da Lapônia com exclusividade e em primeira mão para obm-l, qual a probabilidade de ninguém pegar seu próprio nome? Ou melhor, qual a probabilidade de que o sorteio do amigo oculto dê certo? Na realidade, essa é uma ocorrência de um célebre problema de Combinatória permutações caóticas. Éramos 9 pessoas. Foi escrito o nome de cada pessoa em um papelzinho, e procedeu-se ao sorteio, para determinar quem iria dar presente a quem. Feito o sorteio, logo apareceu alguém que tirou a si mesmo, e para preservar o sigilo, tivemos que proceder a outro sorteio. No segundo sorteio, o mesmo fenômeno ocorreu, dessa vez com outra pessoa. Afinal! qual a probabilidade de isso ocorrer? O problema agora consiste em determinar, dentre o total das 9! permutações dos elementos, quantas são as que têm ponto fixo - correspondentes aos sorteios fracassados - e quantas não têm ponto fixo - correspondentes aos sorteios que deram certo. Pode parecer estranho que justamente os casos que aqui dão certo é que são chamados, na nomenclatura clássica, de permutações caóticas. O motivo é que essa nomenclatura se prende à interpretação de permutações como arrumações dos elementos 1,...,9 nos lugares de 1 a 9; é então uma permutação em que todo mundo está fora de seu lugar natural. A propósito! Qual a probabilidade de entre 720 pessoas, ao menos duas pessoas façam anos no dia de natal? Abraços e Boas Festas! _ Com o Internet Explorer 8 você tem seu contéudo favorito em poucos cliques. Conheça! http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_content=Tag5utm_campaign=IE8
[obm-l] PROBLEMAS INGÊNUOS!
Tem razão, Prof. Rogério quanto à ingenuidade da contabilidade falaciosa, mas acredite! os alunos contemporâneos não fazem a menor idéia sobre coisas do tipo: Um empregado ganha no ano, a$ e um terno de roupa. Depois de n meses é despedido, e recebe b$ e o terno de roupa. Quanto vale o terno? Incrível, não! Outra bobeira, proposta pela Fundação Carlos Chagas que causou verdadeiro pânico entre os concorrentes, me deixa encabulado somente em publicá-la: Duas pessoas viajaram recentemente e voltaram três dias antes do dia depois do dia de antes de amanhã. Hoje é terça-feira. Em que dia elas voltaram? Outro probleminha inútil, que aliás, já se encontra em aberto nesta nobre lista há décadas, aborda uma débil investigação entre Verdades Mentiras: Fiz as seguintes afirmações: 1) Vou lhe dizer cinco verdades. 2) A frase anterior é mentira. 3) A frase anterior é mentira. 4) A frase anterior é mentira. 5) A frase anterior é mentira. Afinal! Quantas verdades eu disse? Agora, para relaxar: O irmão mais velho estava construindo uma sequência ininterrupta de 27 peças de dominó comum, combinando-as duas a duas como se faz ao jogá-lo. Quando terminou, o irmão mais novo mostrou uma peça 4-6, que havia escondido do primeiro. Quais as duas pontas da sequência formada? Abraços e Parabéns! Pela elegante resolução do problema Um criador de ovelhas, pois não havia conseguido ainda sua elucidação. _ Fique protegido de ameças utilizando o Novo Internet Explorer 8. Baixe já, é grátis! http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_content=Tag1utm_campaign=IE8
[obm-l] SOFISMAS FALÁCIAS!
Valeu, Thiago! Pela estréia com engenhosos problemas cujas resoluções do prof. Ralph, mágica ou braçal foram surpreendentemente fantásticas! Amei! Turma! Vocês sabiam que há diferença entre o sofisma e a falácia, embora ambos sejam basicamente raciocínios errados, a falácia é involuntária, ao passo que o sofisma tem como objetivo induzir a audiência ao engano. Outra curiosidade é que o sofisma 64=65 foi proposto inicialmente por Sam Loyd (1841-1911) explorando uma propriedade dos números da sequência de Fibonacci. Todos nós sabemos localizar o erro de 2+2=5; 2=1; 23 ou até mesmo o absurdo de 0=4 através dos senos e cossenos. Agora! afinal, onde está o erro em 1=0=1/2? Pior ainda, qual o motivo do sumiço de 1 real na supostamente correta contabilidade abaixo: Gostaria da opinião dos nobres colegas... 50 50 PrestaçãoSaldoPrestação Saldo 20 3020 30 15 1518 12 10 0505 07 05 0007 00 50 5050 49? 50 - 20 = 30 50 - 20 = 30 30 - 15 = 15 30 - 18 = 12 15 - 10 = 05 12 - 05 = 07 05 - 05 = 00 07 - 07 = 00 (30 + 15 + 05 + 00) = 50 (30 + 12 + 07 + 00) = 49? Um homem está condenado a morte. Ele disse que durante os próximos 7 dias, à meia-noite, uma surpresa: será executado. Ele argumenta: Eu não vou ser executado na noite do último dia, porque logo após a meia-noite do dia anterior, eu sei que ele iria morrer, na noite seguinte, caso em que a execução não seria surpreendente, decidiu no último dia, não será a penúltima noite, porque então, dois dias antes do prazo de 7 dias, eu sei que na noite seguinte eu estava indo para correr, e não seria surpresa...Assim, o homem é descartado todos os dias, até que se chegue a conclusão de que não será executado. Surpreendentemente, no quarto dia o homem é executado. Divirtam-se! _ Navegue com segurança com o Novo Internet Explorer 8. Baixe agora, é gratis! http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_content=Tag4utm_campaign=IE8
[obm-l] ESTRATÉGIAS DE NEGOC IAÇÃO!
Olá, Pessoal! Comprador e vendedor discutem um contrato em que o preço de cada ítem e a quantidade a ser negociada estão ainda por determinar. De acordo com o procedimento comum, o vendedor fixa inicialmente o preço que, uma vez estabelecido, não pode sofrer alterações posteriores; e o comprador indica a quantidade em que está interessado. No presente exemplo, o atacadista pode adquirir dois ítens do fabricante um a $4 e o outro a $5. O varejista tem dois fregueses para esses ítens, um dos quais se dispõe a pagar $9 e o outro $10. Se o mecanismo da negociação for o que apontamos, que estratégias devem os jogadores adotar? A e B podem viver separadamente pagando uma renda de 400 dólares/mês cada, ou juntos com uma renda de 600 dólares. Cada um estaria disposto a prescindir de 30 dólares/mês para evitar ter de renunciar à sua privacidade. Para além da perda de privacidade, o fato de se viver com alguém causa dois outros conflitos, nomeadamente cada um tem um comportamento especial que o outro acha ofensivo: B toca trompete e A fuma cigarros. B preferiria pagar 60 dólares/mês do que tolerar fumo na sua casa e 120 dólares/mês para poder continuar a tocar trompete. A, por seu lado, estaria disposto a pagar até 100 dólares/mês para poder continuar a fumar e até 90 dólares/mês para evitar ter de ouvir trompete. Viverão eles juntos? A sua resposta seria diferente se A não se importasse de prescindir da sua privacidade. Afinal! Qual a melhor estratégia: recorrer aos caprichos da moeda ou preferir uma escolha livre entre duas equipes favoritas? Abraços! _ Fique protegido de ameças utilizando o Novo Internet Explorer 8. Baixe já, é grátis! http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_content=Tag1utm_campaign=IE8
[obm-l] FW: PROCESSOS DE POISSON!
From: jorgelrs1...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: PROCESSOS DE POISSON! Date: Wed, 25 Nov 2009 14:01:38 + Olá, Pessoal! A falta de entendimento do que vem a ser um processo de Poisson, faz com que muitos profissionais ignorem ou confundam o interrelacionamento existente entre as distribuições de Poisson e Exponencial. O Teorema de Palm (teoria das filas), embora de fundamental importância no desenvolvimento de modelos aplicáveis, raramente é mencionado na literatura tradicional. Outra pérola da distribuição de Poisson ou dos eventos raros é o Paradoxo do Tempo Esperado. Gostaria da atenção dos colegas no belo exemplo abaixo: Num jogo, cada um dos dois adversários tinha um peão avançando por uma linha de um tabuleiro de xadrex. A regra para avançar baseava-se no lançamento de uma (comprovadamente honesta) moeda: se saisse cara, o peão avançava uma casa, se fosse coroa, avançava duas casas. Quem chegasse primeiro ao fim (ou passasse) da linha, ganhava. Afinal! porque no último lançamento, o número de coroas era muito maior que o de caras? Uma loja de varejo, com espaço de depósito limitado, vende, em média, 5 caixas de um certo artigo por dia. Pede-se determinar o número mínimo de caixas que deve ter em estoque, de modo que não seja necessário refazê-lo durante o dia de trabalho, mais do que uma vez por mês (25 dias de trabalho). Agora, por falar em teoria das filas, acabei de lembrar um desafio recreativo bem interessante: Um grupo de pessoas está em uma fila para comprar entradas para o cinema. A primeira pessoa na fila é uma mulher e a última é um homem. Mostre que, am algum ponto da fila, uma mulher está diretamente na frente de um homem? Abraços! A vida na frente do computador ficou mais simples: Chegou Windows 7! Clique e Conheça _ Converse e compartilhe fotos ao mesmo tempo. Saiba como no novo Site de Windows Live. http://www.windowslive.com.br/?ocid=WindowsLive09_MSN_Hotmail_Tagline_out09
[obm-l] PROCESSOS DE POISSON!
Olá, Pessoal! A falta de entendimento do que vem a ser um processo de Poisson, faz com que muitos profissionais ignorem ou confundam o interrelacionamento existente entre as distribuições de Poisson e Exponencial. O Teorema de Palm (teoria das filas), embora de fundamental importância no desenvolvimento de modelos aplicáveis, raramente é mencionado na literatura tradicional. Outra pérola da distribuição de Poisson ou dos eventos raros é o Paradoxo do Tempo Esperado. Gostaria da atenção dos colegas no belo exemplo abaixo: Num jogo, cada um dos dois adversários tinha um peão avançando por uma linha de um tabuleiro de xadrex. A regra para avançar baseava-se no lançamento de uma (comprovadamente honesta) moeda: se saisse cara, o peão avançava uma casa, se fosse coroa, avançava duas casas. Quem chegasse primeiro ao fim (ou passasse) da linha, ganhava. Afinal! porque no último lançamento, o número de coroas era muito maior que o de caras? Uma loja de varejo, com espaço de depósito limitado, vende, em média, 5 caixas de um certo artigo por dia. Pede-se determinar o número mínimo de caixas que deve ter em estoque, de modo que não seja necessário refazê-lo durante o dia de trabalho, mais do que uma vez por mês (25 dias de trabalho). Agora, por falar em teoria das filas, acabei de lembrar um desafio recreativo bem interessante: Um grupo de pessoas está em uma fila para comprar entradas para o cinema. A primeira pessoa na fila é uma mulher e a última é um homem. Mostre que, am algum ponto da fila, uma mulher está diretamente na frente de um homem? Abraços! _ Agora a pressa é amiga da perfeição. Chegou o Windows 7. Conheça! http://www.microsoft.com/brasil/windows7/default.html?WT.mc_id=1539
[obm-l] DISCUSSÕES SADIAS!
Olá, meus colegas! Estes problemas recreativos são mesmo geniais. Ainda sobre a posição da bola entre Ana e Liliana, basta formar um triângulo com as três linhas imaginárias onde as duas jogadoras seriam seus dois vértices e a bola o terceiro vértice. A jogadora que estivesse no vértice com maior ângulo estaria mais próxima da bola. Basta agora, descobrirmos o artifício usado pelos feirantes para driblarem o vício da balança. Outro probleminha fantástico que passou despercebido pelos colegas foi o dos apertos de mão entre os casais em que cada um tinha uma resposta diferente, inclusive Maria... Quanto ao problema das fichas nas cores branca e preta a resposta dada pela CESPE é que a segunda pessoa não está dizendo a verdade..(Estranho, não!) Já na divisão do champanhe entre os três amigos é fácil notar que o colega da lista deixou o terceiro amigo C de fora da primeira partilha. Sòmente a título de curiosidade, vejam a singela resolução do prof. Ubiratan D'Ambrósio, um dos mais reconhecidos matemáticos do Planeta e Pai da Etnomatemática. Um amigo deve colocar num dos copos o que ele considera uma quantidade justa de champanhe e toma-a para si, a menos que os outros dois achem-na muito excessiva. Se isso ocorrer, um dos amigos que a considerou excessiva retira o champanhe até obter uma quantidade que considere justa. Finalmente, o terceiro amigo escolhe entre ficar com a quantidade obtida ou cedê-la ao segundo amigo. Deve-se então dividir a quantidade restante entre os outros dois amigos, o que já foi visto como fazer de forma justa. Outra resolução contraditória é a dos três matemáticos que tiveram os rostos pintados. Vejam o sofisticado raciocínio de outro peso-pesado da Unicamp Prof. Waldyr Rodrigues, um dos maiores teóricos dos fenômenos superluminais em todo o Mundo. Aliás, o único brasileiro a solucionar o enigma da Ponte Bay (Campeão!). Um dos matemáticos sou eu. Designemos por X e Y os meus dois colegas. X sorri porque se convence (por alguns instantes) de que não tem o rosto pintado. Sorri de Y, ou de mim, ou de ambos. Suponhamos que eu não tivesse o rosto pintado. X ficaria admirado de ver Y sorrir, pois eu e ele não teriamos qualquer coisa que pudesse fazer Y sorrir. Assim, concluo que o meu rosto está, também, pintado, o que explica que X ache natural que Y sorria. E para relaxar, vamos discutir outra situação interessante...Tarzan matemático naufragou numa Ilha do Pacífico. Nessa ilha havia uma gruta que tomou por sua casa. A sua rotina diária é levantar-se quando o sol já vai alto, vai a praia tomar um banho, dirigindo-se em seguida para a sua rede de descanso, noutra parte da ilha. Não tendo mais nada para fazer, tentou descobrir qual era o caminho mínimo e verificou que qualquer que fosse o caminho que escolhesse para realizar suas atividades usuais a distância era sempre a mesma. Como explicar este fato? Abraços e Boas Discussões! _ Novo site do Windows Live: Novidades, dicas dos produtos e muito mais. Conheça! http://www.windowslive.com.br/?ocid=WindowsLive09_MSN_Hotmail_Tagline_out09
[obm-l] FW: PASSATEMPOS MATE MÁTICOS!
From: jorgelrs1...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: PASSATEMPOS MATEMÁTICOS! Date: Sun, 15 Nov 2009 00:52:43 + Meus Colegas! Apesar de não ser o local apropriado para discutirmos problemas lúdicos, vale salientar que uma minoria entendeu a posição da bola entre a Ana e Liliana e muito menos o porquê da balança viciada favorecer sempre o cliente já que nas feiras livres acontece exatamente o contrário, ou seja, sempre o comerciante sai ganhando. Estranho, não! Temos duas cordas que não têm necessariamente o mesmo comprimento. Se colocarmos fogo na ponta de qualquer uma das cordas, vai levar exatamente 1h para o fogo chegar à outra ponta da corda. Porém, o fogo não vai se mover com velocidade constante - pode ser mais rápido em alguns pontos e mais lento em outros. A velocidade do fogo não depende do sentido que ele anda na corda. Como poderiamos medir 45min com essas cordas? Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado, quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas quando carrega a ficha preta, fala somente verdades. Se a primeira pessoa diz nossas fichas não são da mesma cor e a segunda pessoa diz nossas fichas são da mesma cor, então pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade? Dois franceses estavam prestes a dividir uma garrafa de champanhe, quando chegou um terceiro amigo. Como homens educados, eles sabiam que para dividir irmamente o champanhe entre duas pessoas, de modo que ambas considerem a divisão justa, era uma delas repartir o conteúdo em duas partes que considere iguais e a outra pessoa escolher uma destas partes. Mas com a chegada do terceiro amigo, como proceder? Três matemáticos, especialistas em lógica, dormiam no alpendre de uma casa, enquanto um malandro, ao passar por ali, pintou, cuidadosamente, com pó de carvão, o rosto de cada um sem ser pressentida a sua presença. Na manhã, quando acordaram, começaram a rir-se um dos outros. De repente, um deles deixa de rir. Como conseguiu dar-se conta de que tinha o rosto tão preto quanto os dos outros? Divirtam-se! Chegou o Windows 7: Incrivelmente simples! Clique e conheça. _ Novo windowslive.com.br. Descubra como juntar a galera com os produtos Windows Live. http://www.windowslive.com.br/?ocid=WindowsLive09_MSN_Hotmail_Tagline_out09
[obm-l] PASSATEMPOS MATEMÁTI COS!
Meus Colegas! Apesar de não ser o local apropriado para discutirmos problemas lúdicos, vale salientar que uma minoria entendeu a posição da bola entre a Ana e Liliana e muito menos o porquê da balança viciada favorecer sempre o cliente já que nas feiras livres acontece exatamente o contrário, ou seja, sempre o comerciante sai ganhando. Estranho, não! Temos duas cordas que não têm necessariamente o mesmo comprimento. Se colocarmos fogo na ponta de qualquer uma das cordas, vai levar exatamente 1h para o fogo chegar à outra ponta da corda. Porém, o fogo não vai se mover com velocidade constante - pode ser mais rápido em alguns pontos e mais lento em outros. A velocidade do fogo não depende do sentido que ele anda na corda. Como poderiamos medir 45min com essas cordas? Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado, quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas quando carrega a ficha preta, fala somente verdades. Se a primeira pessoa diz nossas fichas não são da mesma cor e a segunda pessoa diz nossas fichas são da mesma cor, então pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade? Dois franceses estavam prestes a dividir uma garrafa de champanhe, quando chegou um terceiro amigo. Como homens educados, eles sabiam que para dividir irmamente o champanhe entre duas pessoas, de modo que ambas considerem a divisão justa, era uma delas repartir o conteúdo em duas partes que considere iguais e a outra pessoa escolher uma destas partes. Mas com a chegada do terceiro amigo, como proceder? Três matemáticos, especialistas em lógica, dormiam no alpendre de uma casa, enquanto um malandro, ao passar por ali, pintou, cuidadosamente, com pó de carvão, o rosto de cada um sem ser pressentida a sua presença. Na manhã, quando acordaram, começaram a rir-se um dos outros. De repente, um deles deixa de rir. Como conseguiu dar-se conta de que tinha o rosto tão preto quanto os dos outros? Divirtam-se! _ Novo windowslive.com.br. Descubra como juntar a galera com os produtos Windows Live. http://www.windowslive.com.br/?ocid=WindowsLive09_MSN_Hotmail_Tagline_out09
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From: jorgelrs1...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: PASSATEMPOS MATEMÁTICOS! Date: Sun, 15 Nov 2009 00:52:43 + Meus Colegas! Apesar de não ser o local apropriado para discutirmos problemas lúdicos, vale salientar que uma minoria entendeu a posição da bola entre a Ana e Liliana e muito menos o porquê da balança viciada favorecer sempre o cliente já que nas feiras livres acontece exatamente o contrário, ou seja, sempre o comerciante sai ganhando. Estranho, não! Temos duas cordas que não têm necessariamente o mesmo comprimento. Se colocarmos fogo na ponta de qualquer uma das cordas, vai levar exatamente 1h para o fogo chegar à outra ponta da corda. Porém, o fogo não vai se mover com velocidade constante - pode ser mais rápido em alguns pontos e mais lento em outros. A velocidade do fogo não depende do sentido que ele anda na corda. Como poderiamos medir 45min com essas cordas? Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado, quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas quando carrega a ficha preta, fala somente verdades. Se a primeira pessoa diz nossas fichas não são da mesma cor e a segunda pessoa diz nossas fichas são da mesma cor, então pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade? Dois franceses estavam prestes a dividir uma garrafa de champanhe, quando chegou um terceiro amigo. Como homens educados, eles sabiam que para dividir irmamente o champanhe entre duas pessoas, de modo que ambas considerem a divisão justa, era uma delas repartir o conteúdo em duas partes que considere iguais e a outra pessoa escolher uma destas partes. Mas com a chegada do terceiro amigo, como proceder? Três matemáticos, especialistas em lógica, dormiam no alpendre de uma casa, enquanto um malandro, ao passar por ali, pintou, cuidadosamente, com pó de carvão, o rosto de cada um sem ser pressentida a sua presença. Na manhã, quando acordaram, começaram a rir-se um dos outros. De repente, um deles deixa de rir. Como conseguiu dar-se conta de que tinha o rosto tão preto quanto os dos outros? Divirtam-se! Chegou o Windows 7: Incrivelmente simples! Clique e conheça. _ Novo site do Windows Live: Novidades, dicas dos produtos e muito mais. Conheça! http://www.windowslive.com.br/?ocid=WindowsLive09_MSN_Hotmail_Tagline_out09
[obm-l] JOGOS PROBABILÍSTICO S!
Olá, Pessoal! O dado A tem quatro faces vermelhas e duas faces brancas, enquanto que o dado B tem duas vermelhas e quatro brancas. Uma moeda é lançada uma vez. Se o resultado for cara usa-se o dado A para continuar o jogo; se sair coroa o dado B deve ser usado. Mostre que a probabilidade de vermelho em qualquer lançamento é 1/2. Dado que os dois primeiros lançamentos resultaram em vermelho, qual é a probabilidade de vermelho no terceiro lançamento? Se os primeiros n lançamentos resultam todos em vermelho qual é a probabilidade de que esteja sendo utilizado o dado A? A e C colocam $5 na mesa e, em seguida, lançam moeda que tem 1 numa das faces e 2 na outra. Nenhum dos jogadores conhece o resultado do lance do outro. A joga em primeiro lugar. Pode decidir passar ou apostar mais $3. Se ele passar, os números obtidos pelos dois jogadores são comparados. O número maior permite recolher os $10 que estão na mesa; se os números são iguais, cada um volta a retirar os seus $5. Se A apostar os $3, C poderá decidir ver ou desistir. Se desistir, A recolherá os $10 independentemente dos números obtidos. Caso C decida ver, ele acrescentará $3 aos $13 que já estão na mesa. Os números são comparados e quem tiver o maior recolhe os $16; se houver empate, cada qual recolhe o dinheiro que colocou. Quais são as melhores estratégias e que resultado caberá esperar? Keno é um jogo favorito nos cassinos dos Estados Unidos. Introduzem-se em uma máquina bolas numeradas de 1 a 80 na medida em que são feitas as apostas; em seguida, escolhem-se aleatoriamente 20 bolas. Os jogadores escolhem número marcando um cartão. A aposta mais simples é marcar 1 número. Seu ganho é de $3 em uma aposta de $1, se o número escolhido é sorteado. Como são escolhidos 20 dentre 80 números, sua probabilidade de ganhar é 0.25. Qual é a distribuição de probabilidade do ganho em uma única jogada? Qual é o ganho médio? A longo prazo, quanto o cassino retém de cada dólar apostado? A propósito! Como pode o jogo que depende do aparecimento imprevisível de uma face de um dado ou de uma carta, ser um negócio lucrativo para um cassino? Bons Resultados! _ Novo site do Windows Live: Novidades, dicas dos produtos e muito mais. Conheça! http://www.windowslive.com.br/?ocid=WindowsLive09_MSN_Hotmail_Tagline_out09
[obm-l] PROVA DO IME!
Turma! A exemplo do mestre Nehab, meu sogro, Tenente-Coronel Reformado Luiz Flávio Nogueira, também foi um brilhante ex-aluno do IME e como todo bom engenheiro militar, adora discutir matemática olímpica e recreativa, que aliás anda de mãos dadas com a matemática convencional. Ainda guardo com carinho o humilde livro que me presenteou, Walter Schaefer Ermengardo e a Análise Combinatória. Quanto à prova do IME, trata-se de uma seleção inteligente que desafia a argúcia do candidato blindado à Receitas Prontas. Pegando carona na questão dos três dados, gostaria de discutir com os colegas o jogo com lançamento simultâneo de dois dados com faces equiprováveis disputado por dois jogadores, digamos, João e Maria. Os pares abaixo valem os pontos indicados e pares diferentes deles não são pontuados. O prof. Ponce chegou a levantar algumas hipóteses controversas. (4;1) ou (1;4) = 1 ponto (4;2) ou (2;4) = 2 pontos (4;3) ou (3;4) = 3 pontos (4;4) = 4 pontos (4;5) ou (5;4) = 5 pontos (4;6) ou (6;4) = 6 pontos Se um jogador não conseguir nenhuma face 4 no primeiro lançamento, poderá efetuar um segundo lançamento com os dois dados. Se conseguir pelo menos uma face 4 no primeiro lançamento, reserva esse dado e decide se lança ou não o outro dado mais uma vez. Vence o jogo quem obtiver maior pontuação. Caso os dois jogadores obtenham a mesma pontuação, o procedimento todo é repetido. Um jogador deverá sempre aproveitar o segundo lançamento? O segundo jogador possui melhores possibilidades de vencer o jogo? Considerando-se apenas o primeiro lançamento, qual a probabilidade de João marcar 3 pontos, sabendo-se que ele obteve em pelo menos um dos dois dados uma face 4? Idem, sabendo-se que o número da face do primeiro dado é maior do que a do segundo? Se João não marcou pontos, qual a probabilidade de Maria vencer, perder ou empatar o jogo? Um dado de seis faces tem duas faces vermelhas (Red) e quatro faces verdes (Green), e é equilibrado de forma que cada face tem a mesma chance de aparecer. O dado é jogado muitas vezes. O jogador deve escolher uma das três sequencias seguintes de cores e ganhará $25 se as primeiras jogadas derem a sequencia escolhida. RGRRR, RGRRRG, GR. Que sequencia escolherá? Explique sua escolha. (Em um experimento psicológico, 63% dos 260 alunos que não tinham estudado probabilidade escolheram a segunda sequencia. Isto mostra que nossa compreensão intuitiva da probabilidade não é muito precisa). Boa Prova! _ Você já ama o Messenger? Conheça ainda mais sobre ele no Novo site de Windows Live. http://www.windowslive.com.br/?ocid=WindowsLive09_MSN_Hotmail_Tagline_out09
[obm-l] PROBLEMAS RECREATIVOS!
Olá, meus camaradas! Gostaria de dedicar estas singelas questões ao colega Carlos, vulgo Nehab pelo apreço as minhas listas, que não param de crescer...Alguma notícia do Eritotutor! Nenhum militar, sendo bom estrategista, pode perder uma batalha. Um militar audacioso nunca deixa de ter a confiança de sua tropa. Nenhum mau estrategista tem a confiança de sua tropa. As mulheres só desprezam os vencidos. Segundo as afirmações acima, poderá um militar audacioso ser desprezado pelas mulheres? Justifique. Doze candidatos a prefeito participaram de um programa de entrevistas na TV. Em um certo momento um candidato disse: Antes de mim uma mentira foi dita. Outro disse: Agora duas mentiras foram contadas. Agora três mentiras, disse um terceiro. E assim continuou até o décimo segundo dizer: Agora 12 mentiras foram contadas. Neste momento o mediador terminou a discussão. No mínimo um dos candidatos armou corretamente o número de mentiras ditas antes dele falar. Quantas mentiras foram de fato ditas pelos candidatos? O casal João e Maria foi a uma festa na qual havia 3 outros casais. Houve vários apertos de mão. Ninguém apertou a mão de seu cônjuge, ninguém apertou a mão da mesma pessoa mais que uma vez e, naturalmente, ninguém apertou a própria mão. Após os cumprimentos, João perguntou a cada pessoa quantos apertos de mão havia dado e constatou que cada um tinha uma resposta diferente, inclusive Maria. Quantos apertos de mão Maria deu? A propósito! Por que numa balança viciada o comerciante sempre sai perdendo ao pesar a mesma quantidade de um produto para dois fregueses, colocando no prato do braço mais curto uma vez o peso e outra vez a própria mercadoria? Afinal! Qual a justificativa para a física-matemática operar desta forma? Divirtam-se! _ Você sabia que com o Hotmail você tem espaço ilimitado para guardar seus e-mails? Começe a usar já! http://www.microsoft.com/brasil/windows/windowslive/products/hotmail.aspx
[obm-l] ABUSOS PROBABILÍSTIC OS!
Turma! Gostaria de dedicar estas tendenciosas questões ao colega Chicão Valadares. Outro bem atuante que deixou saudades...Cláudio Buffara...Alguma notícia! Um abuso comum da probabilidade é supor que ela tenha memórias. Por exemplo, se uma moeda é lançada oito vezes, a probabilidade de sair cara nas oito vezes é de apenas 0,004. Porém, se a moeda é lançada sete vezes e sai cara em todas, a probabilidade de sair cara na oitava vez será de 0,5. Cada lançamento é independente de todos os outros. A moeda não se lembra de que já saiu cara sete vezes. Outro abuso comum é a soma incorreta de probabilidades. Supondo que a probabilidade tenha uma memória. A loteria Daily Number tem um número de três dígitos que vai de 000 a 999. Você compra um bilhete a cada dia. Seu número é 389. Qual é a probabilidade de você vencer na próxima terça e na próxima quarta-feira? Você ganhou na terça-feira. Qual é a probabilidade de você ganhar na quarta-feira? Você não ganhou na terça-feira. Qual é a probabilidade de você ganhar na quarta-feira? Uma cidade tem uma população de 500 pessoas. Suponha que a probabilidade de escolher aleatóriamente uma pessoa que tenha uma caminhonete seja de 0,25, e a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatóriamente ter um SUV seja de 0,30. O que se pode dizer sobre a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatóriamente ter uma caminhonete ou um SUV? Essa probabilidade poderia ser de 0,55? Poderia ser de 0,60? Explique seu raciocínio. A interpretação dada ao resultado mais provável é um dos usos inadequados da distribuição binomial de probabilidade e reside em pensar que o resultado mais provável será aquele que irá ocorrer na maioria das vezes. Um abuso comum das distribuições normais de probabilidade é a confusão entre os conceitos de probabilidade e de certeza Alguns conceitos do teste de hipótese são intuitivos, enquanto outros não o são. Um abuso é supor que você provou a hipótese nula quando o P é superior ao nível de confiança. Lembre-se que o teste de hipótese não pode provar nunca que a hipótese nula é verdadeira - somente que não há evidência suficiente para rejeitá-la. O abuso mais comum da correlação nos estudos está em confundir os conceitos de correlação e causalidade. Boas pontuações no SAT não resultam necessáriamente em boas pontuações na Universidade. A correlação e a análise de regressão podem ser usadas para determinar quando há uma relação significativa entre duas variáveis. A propósito! Com base no conceito da média de probabilidades, escolha o que é melhor: ganhar com certeza $100.000 no jogo de cara ou coroa ou, se der cara ganhar $250.000; se der coroa não ganhar nada? não ganhar ou perder nada ou ter uma chance em 100 de perder $ 9.000 e 99 chances em 100 de ganhar $ 100 ? Abraços! _ Você sabia que com o Hotmail você tem espaço ilimitado para guardar seus e-mails? Começe a usar já! http://www.microsoft.com/brasil/windows/windowslive/products/hotmail.aspx
[obm-l] AMADURECIMENTO PROBA BILÍSTICO!
Olá, Pessoal! Coincidências à parte, minha resolução segue a mesma linha de raciocínio do colega Willy. Não fiz nenhum comentário prévio devido insegurança na área estocástica. Como ainda estou em fase de amadurecimento, não consegui ainda justificar se uma moeda é viciada ou não pelo simples fato de sairem 12 caras consecutivas em 12 lançamentos... Ora..se com 2010 moedas tenho probabilidade de obter mais caras do que com 2009, por que o mesmo não ocorre entre lançar 11 e 12 vezes já que no lançamento de 4 moedas tenho uma probabilidade maior de obter 50% de caras do que no lançamento de 8 moedas... Num jogo de moedas, cada um de nós vai escolher cara ou coroa, independentemente e secretamente. Eu lhe pagaria $30 se obtiver coroas e você caras. Eu lhe pagarei $10 se obtiver caras e você coroas. Finalmente, para torná-lo justo, você me paga $20 se ambos obtivermos a mesma coisa, isto é, caras ou coroas. Você quer jogar? Por que? Toda vez que Paulo lança uma moeda, Jaime lança duas. Jaime ganha o lance cada vez que tiver mais caras do que Paulo. Caso contrário, Paulo ganha. Se o jogo continuasse indefinidamente, quem ganharia mais vezes? Afinal! Qual a irracionalidade em recorrer aos caprichos da moeda ao invés de preferir uma escolha livre entre duas equipes favoritas? Bom Proveito! _ Você sabia que pode acessar o Messenger direto do seu Hotmail? Descubra como! http://www.microsoft.com/brasil/windows/windowslive/products/tutoriais.aspx
[obm-l] ENIGMAS CURIOSOS!
Ok! Bruno e demais colegas! Aproveitando que a matemática e a física andam de mãos dadas, vamos discutir alguns pontos que ficaram meio confusos... Uma barcaça de rio, carregada com cascalho, aproxima-se de uma ponte baixa, sob a qual não pode passar. Dever-se-ia remover ou adicionar cascalho à barcaça? Pasmem! Sobre o tradicional problema proposto aos físicos, não consigo diferenciar nível da água e altura final da barca talvez devido à falhas genéticas, alheio ao meu intento...Ora! se a pedra cascalho quando lançada à piscina rio provoca diminuição do nível da água a altura final da barca barcaça também diminui e consequentemente facilita a passagem da barca barcaça sob o trampolim, ponte. O que acham? Será que mudaremos o curso da história?... Apesar do empuxo mental defendido por alguns colegas, continuo a ver navios principalmente quanto ao cubo de gelo que derretesse sòmente após ser jogado dentro da piscina não alterando o nível da água. Concordaria plenamente com os nobres colegas se o cubo de gelo flutuasse sobre a água. Aí, sim! quando o gelo derretesse o nível da água não se alterava. A propósito! Um mesmo navio descarregado e carregado. Qual deles flutua mais baixo na água? Taí, outra bomba! Outro enigma cuja resolução está meio confusa é o do macaco que está pendurado na extremidade de uma corda de 6m que passa por uma roldana e é equilibrada por um peso amarrado na outra extremidade. Afinal! Para que o peso suba até atingir a roldana, quantos metros o macaco terá que subir na corda? Vocês sabiam! que a nova temperatura de 0ºc após cair pela metade vale: -8,88º...O mais incrível ainda é que podemos ter água líquida à temperaturas abaixo de 0ºc. Divirtam-se! _ Acesse seu Hotmail de onde quer que esteja através do celular. Clique aqui. http://www.windowslive.com.br/celular/home.asp?utm_source=MSN_Hotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=MobileServices200908
[obm-l] FW: FÍSICA DIVERTIDA E CURIOSA!
From: jorgelrs1...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: FÍSICA DIVERTIDA E CURIOSA! Date: Sat, 10 Oct 2009 19:02:05 + Turma! Em caráter excepcional, devido ao clima de feriado prolongado, vamos nos divertir um pouco, já que nem só de integrais e derivadas se ocupa um bom matemático... Dois atletas correm e andam na chuva a mesma velocidade, quem se molha mais; será o que corre a metade da distância e anda a outra metade ou o que corre a metade do tempo e anda o restante? Quando descemos num elevador, nosso peso diminui? E se tivermos subindo ou descendo em cima de uma balança, ela vai acusar pesos diferentes? Um mesmo navio descarregado e carregado. Qual deles flutua mais baixo na água? Como o peso de sua carga se compara ao peso extra de água deslocada? Se o carro supersônico Thrust SSC corresse a 1220 Km/h por 15 minutos, em quantos quilômetros ficaria a frente do seu ruido? Um macaco está pendurado na extremidade de uma corda de 6m que passa por uma roldana e é equilibrada por um peso amarrado na outra extremidade. Para que o peso suba até atingir a roldana, quantos metros o macaco terá que subir na corda? Uma caixa em que ardeu uma vela pesa o mesmo que a caixa e a vela antes de esta ter ardido? Em um país foi medido a temperatura de zero grau centígrado. No dia seguinte essa temperatura caiu pela metade. Como isso é possível? Qual a nova temperatura? (Campeão!) Vocês sabiam! que a vazão em um cano de 2 polegadas é, aproximadamente, 6,4 vezes maior que em um cano de 1 polegada. Incrível, não! A influência do atrito neste processo é algo fantástico! Agora, mais incrível ainda é sentirmos fria a água a ferver quando metemos as mãos dentro dela. Experimentem! Gostaria de convidar os simpatizantes destes pueris assuntos a revisarem o Enigma da Barcaça. Divirtam-se! Novo Internet Explorer 8: traduza com apenas um clique. Baixe agora, é grátis! _ Você sabia que pode acessar o Messenger direto do seu Hotmail? Descubra como! http://www.microsoft.com/brasil/windows/windowslive/products/tutoriais.aspx
[obm-l] MANTRA PROBABILÍSTIC O!
Valeu! Nehab, gostei da dica operar as dízimas e mais ainda das ilustrações que me fez lembrar os bons livros da enciclopédia Life... Turma! Quanto ao problema de Monty Hall, às vezes é mais fácil entender um problema com explicações verbais do que com fórmulas, que o diga a sofisticada simetria probabilística proposta pelo prof. Saldanha. Segundo o Mantra do prof. Teixeira um dos fatores complicador da maioria dos problemas estocásticos é não estar explicitamente enunciado a hipótese de equiprobabilidade. Antes de apresentar aos colegas a resolução campeã, verdadeiro tributo à simplicidade, temos que ter em mente alguns pontos fundamentais para elucidação... Obviamente para que o jogo continue o apresentador sempre abrirá uma porta que revele um bode, pois do contrário o jogo terminaria. Qualquer que seja a estratégia do apresentador, é sempre melhor trocar de porta, uma vez que com issso a probabilidade de ganhar o carro é sempre maior ou igual a 1/2. Como duas maneiras de algo ocorrer não necessáriamente significa que é 50% de probabilidade cada, a melhor estratégia de sempre trocar de porta nem sempre ganha o carro. Enfim, vamos a generosa resolução, que era a pá-de-cal que faltava para sepultar de uma vez por todas os dois bode fedorentos... Há 3 possibilidades. Ou o sujeito escolheu inicialmente o carro, ou escolheu o bode 1 ou o bode 2. Se ele escolheu um dos bodes, o apresentador mostrará o outro bode, e o carro estará trás da terceira porta. Isso acontecerá em duas situações (ter escolhido o bode 1 e ter escolhido o bode 2). Se ele escolheu o carro, o apresentador abrirá qualquer uma das portas restantes, e na terceira porta haverá um bode. Há uma situação em que se ele trocar de porta ganhará um bode, contra duas situações em que se ele trocar de porta ganhará um carro. Logo, a chance dele ganhar um carro se trocar de porta é o dobro da chance de ganhar um bode. Se ele permanecer com a porta original, as chances são exatamente o contrário, lógico! Fantástico, não! A tem 2009 moedas, enquanto B tem 2010 moedas. Ambos lançam suas moedas simultaneamente e observam o número de caras obtidas. Qual a probabilidade de que B obtenha mais caras do que A? Bom Proveito! _ Você sabia que o Hotmail mudou? Clique e descubra as novidades. http://www.microsoft.com/brasil/windows/windowslive/products/hotmail.aspx
[obm-l] RESTRIÇÕES TECNOLÓGI CAS!
Ok! Nehab, grato pelo divertido macete do algoritmo da divisão...O Marcelo tem razão, pois várias das regras usuais de cálculo aritmético não são válidas para contas feitas com a máquina. Em particular, quando multiplicamos x por 1/x não obtemos um resultado igual a 1, mas uma fração como 0,. Pior do que isto: se n for um inteiro muito grande, o produto de x^n por (1/x)^n pode resultar mais diferente de 1 ainda. Por exemplo 2^32 vezes (1/2)^32 na máquina dá 0,987. As calculadoras não têm lugar para expressões literais, que precisam ser operadas manualmente. Podemos facilmente imaginar a perplexidade de um hipotético aluno que nunca aprendeu tabuada, com uma calculadora na mão, tentando multiplicar 2x+3y por 5x-8, ou efetuar a subtração 1/(a-b)-1/(a+b). Evidentemente, ele poderia fazer esta subtração sem saber tabuada mas nunca iria entender porque lhe ensinaram a fazer contas apenas com letras, sendo proibido operar manualmente com algarismos. Curiosamente, numa prova de concurso destinado a professores de matemática, figurava a seguinte questão: os números racionais a e b são representados, no sistema decimal, pelas dízimas periódicas a=3,0181818... e b=1,148148... Encontre, justificando, uma representação decimal de a-b. Como a e b são racionais, também o é a-b; e portanto, sua representação decimal é periódica. Na prova, era permitido o uso de calculadora mesmo sabendo que jamais se descobrirá o período, pelo menos com a certeza exigida pelo justifique. A propósito, dispondo de uma calculadora de bolso que efetua as quatro operações e extrai raízes quadradas, seria possível extrair a raiz n-ésima de um número qualquer? Afinal! como multiplicar dois números nesta calculadora se as teclas de produto e divisão estivessem danificadas? Abraços! _ Você sabia que com o Hotmail você tem espaço ilimitado para guardar seus e-mails? Começe a usar já! http://www.microsoft.com/brasil/windows/windowslive/products/hotmail.aspx
[obm-l] DILEMAS FRACIONÁRIOS !
Parabéns à lista e em particular ao brilhante Prof. Rogério Ponce pela engenhosa Linha Imaginária já que o desprentencioso probleminha está em aberto em quase todas as grandes listas de matemática. Não sei se pela ingenuidade do problema ou despreparo de muitos phd´s... Turma! Há uma coisa que devemos aceitar como certa. Não nos sentimos à vontade lidando com frações. Experimentem com seus pupilos... Entre as frações 1/5 e 1/3 temos 16 divisões iguais. Em qual das divisões se encontra a fração 1/4? Se nenhuma fração decimal é equivalente a 3/11, como pode 3/11 ser escrita sob forma decimal? Já que a fração geratriz da dízima 0,999...=1, porque não existe alguma fração ordinária tal que, dividindo-se o numerador pelo denominador, obtenha-se 0,999... se podemos transformar qualquer fração ordinária em número decimal periódico ou dízima periódica? Por que o fato de a mesma fração ordinária poder ter duas representações decimais distintas (como 2/5=0,4000...=0,3999...) não apresenta inconveniente e nem origina paradoxos? Se n for um inteiro muito grande, porque o produto de x^n por (1/x)^n pode resultar mais diferente de 1 ainda? Afinal! 1,001=0,900? Seção Recreio. O que é melhor: achar duas lagartas na goiaba ou uma lagarta e meia? três lagartas ou sòmente uma lagarta? Divirtam-se! _ Emoticons e Winks super diferentes para o Messenger. Baixe agora, é grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
[obm-l] ANÁLISE TEMPORAL!
Olá Pessoal! Parabéns a solução dada pelos colegas Lafayette e Ralph quanto ao Paradoxo de Aquiles cuja solução clássica envolve a utilização do conceito de limite e convergência, um dos mais fecundos da matemática e o principal para o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. Através da engenhosa análise temporal conseguiram a façanha de ultrapassar o mérito da questão já que o objetivo de Aquiles era apenas alcançar a tartaruga. Surpreendente, não! esta capacidade de ultrapassarmos a cada passo, a cada movimento, infinitas vezes o infinito... A propósito! Como uma minhoca que caminha 1cm por segundo sobre uma corda elástica de 100.000cm, corda que aumenta 100.000cm a cada segundo, consegue chegar na outra extremidade da corda? Atenção especial ao problema do cubo falso proposto pelo prof. Rogério Ponce...um verdadeiro tesouro...o problema gente...! Agora só para relaxar...Ana e Liliana estão na praia a jogar raquetes. Ana deu uma raquetada com pouca força e Liliana não conseguiu alcançar a bola. Liliana achava que a bola tinha caído mais próximo da Ana, esta achava o contrário. Como podem elas saber quem está mais perto da bola? Divirtam-se! _ Emoticons e Winks super diferentes para o Messenger. Baixe agora, é grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
[obm-l] PROBLEMÚNCULOS!
Olá Pessoal! Construir uma estrutura rígida usando apenas três varetas rígidas de mesmo comprimento e barbante, de modo que duas varetas quaisquer não se toquem. (Apesar da solução dada pelo Prof. Rogério Ponce não cheguei à sua resolução...) Como eu resolvo Soma (1, infinito)(1/i^2) sem recorrer à cálculo? Onde eu peguei dizia que era possível usando apenas propriedades de somatório. (Na verdade, pedia para provar que a soma é (pi^2)/6). E por falar em pi, qual o valor numérico de pi, a menos 0,0001, por meio de uma construção gráfica utilizando apenas régua e compasso? Abraços! _ Descubra todas as novidades do novo Internet Explorer 8 http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
[obm-l] ENUNCIADOS CURIOSOS!
Olá, Pessoal! Um lenhador remava regularmente num tranquilo lago; súbito um peixe irrompeu à superfície bem à sua frente. Ele contou doze remadas até que sua canoa cruzasse pela primeira vez o círculo de ondulações que o peixe formara, e depois mais doze até sair das ondulações do outro lado do círculo. Algum tempo depois, ele se deu o trabalho de calcular a que distância dele (a quantas remadas) o peixe estivera no momento em que pulou, mas isso lhe foi muito difícil. Você conseguiria resolver este belo problema? Em um teste de cinco alternativas, com uma única correta, as alternativas eram: (FUVEST) a) Racionalb)Irracionalc) Inteirod) Reale) Complexo Qual é a quantidade total de letras de todas as respostas incorretas desta questão? (TECBAN) a) Quarenta e oito b) Quarenta e nove c) Cinquenta d) Cinquenta e um e) Cinquenta e quatro Um teste com 5 alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas: (FEI-SP) a) Século XIX b) Século XX c) antes de 1860 d) depois de 1830 e) NRA Uma pessoa que gosta de todas e apenas das pessoas que não gostam de si mesmas. (UNESP)a) gosta de si mesma b) não gosta de si mesma c) não existe d)gosta de alguém e) não gosta de ninguém Abraços! _ Descubra todas as novidades do novo Internet Explorer 8 http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
[obm-l] MATEMÁTICA FILOSÓFIC A!
Turma! A Lógica é uma ciência de índole matemática fortemente ligada à Filosofia que cuida das regras do bem pensar. O principal organizador da lógica clássica foi Aristóteles, com sua obra Órganon. Convido os colegas a utilizarem este instrumento do pensar...Afinal! Quem disse que não existe a metade de um buraco??? Dois homens conhecedores de lógica e extremamente rápidos em fazer cálculos mentais, encontram-se na fazenda de um terceiro matemático, também com as mesmas características dos outros dois. Este diz que sua fazenda tem formato retangular, com lados medindo um número inteiro de quilômetros de 2 a 62. Ele dá um papel para o primeiro visitante onde está escrita a área da fazenda em quilômetros quadrados e outro para o segundo, com o perímetro da fazenda em quilômetros. Segue-se então o diálogo abaixo: Primeiro visitante diz: Eu não sei as medidas dos lados da fazenda. Segundo visitante diz: Eu sabia que você não saberia as medidas dos lados da fazenda. Primeiro visitante diz: Agora eu sei as medidas dos lados da fazenda. Segundo visitante diz: Agora eu também sei as medidas dos lados da fazenda. Como ambos falaram a verdade, quais as medidas dos lados da fazenda? Um general tenta escolher um cozinheiro dentre 625 voluntários. Manda-os formar um quadrado com 25 linhas e 25 colunas. Manda sair o mais alto de cada linha e escolhe o mais baixo dentre eles. Depois, muda de idéia. Após regressarem aos seus respectivos lugares manda sair o mais baixo de cada coluna e escolhe o mais alto dentre eles. Sendo diferentes os dois cozinheiros escolhidos, qual deles é o mais alto? (UFSC) ..será que o mais alto entre os mais baixos não deve ser mais baixo do que o mais baixo entre os mais altos?... A propósito! Três gatos comem três ratos em três minutos. Um gato comerá um rato em quantos minutos? ..relativamente, quem pode garantir que os 3 gatos comem 1 rato de cada vez..? Abraços! _ Conheça os novos produtos Windows Live! Clique aqui. http://www.windowslive.com.br
[obm-l] COMBINATÓRIA DIFÍCIL !
Ok! Bernardo, grato pelas informações sobre as fascinantes séries infinitas... Tome uma coleção finita de dados. Os dados não precisam ter 6 faces, o número de faces é um inteiro positivo qqn, e as faces são numeradas de 1 a n. O valor de n (o número de faces) pode inclusive variar de um dado para outro, isto é, estamos misturando dados de vários tipos. A única restrição é que cada dado deve ser honesto, i.e., que um dado com n faces cada face tem probabilidade 1/n. Os dados também são independentes uns dos outros, claro. Vamos jogar todos os dados da coleção e somar todos os números sorteados: chamemos esta soma de N. É bem fácil calcular os valores mínimo e máximo possível de N: Nmin é o número de dados e Nmax é o número total de faces de todos os dados. Seja Nm=(Nmin+Nmax)/2. Sejam N1N2=Nm. Prove que prob (N=N1)=prob (N=N2). (Taí um problema difícil!) Agora para relaxar...Num tabuleiro quadrado, serão colocados três botões idênticos, cada um no centro de uma casa, determinando um triângulo. De quantas maneiras podemos colocar os botões formando um triângulo retângulo com catetos paralelos às bordas do tabuleiro? A propósito! Uma estrada de ferro, passa por 8 estações. Qual o maior número de tipos de passagens a serem impressas? (Essa é boa!) Abraços! _ Descubra todas as novidades do novo Internet Explorer 8 http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
[obm-l] SÉRIES INFINITAS!
Ok! Paulo, Vitor..grato pelo reforço combinatório, pois a cada dia me surpreendo com coisas do tipo: maior número de interseções entre cinco circunferências; virar o colar ao invés de rodar? Imaginem um matemático alérgico ao número 7 que decidisse eliminar da série todas as frações que contivessem o algarismo 7. A nova série ficaria assim: 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/10 ++ 1/15 + 1/16 + 1/18 + 1/19 + Como todos os demais algarismos poderão ser usados, salvo, tão-somente, o 7, era de se esperar que a nova série também divergisse. Mas, vejam só, a série acima converge e a sua soma não chega a oitenta! Só mesmo provando para acreditar: (Incrível!) Afinal! Qual a lei de formação dos termos da série... S= 1/2 + 2/4 + 3/8 ++ n/2^n + A propósito, como fazer essa série 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - dar outro resultado mudando a ordem dos termos? Ou quem sabe dar mesmo infinito? O Tio Euler iria adorar essa!! Abraços! _ Conheça os novos produtos Windows Live! Clique aqui. http://www.windowslive.com.br
[obm-l] REFORÇO COMBINATÓRIO !
Turma! Tenho a ligeira impressão que estou mesmo precisando de aulas de reforço, pois em um único problema cheguei a incrível marca de 4 respostas diferentes...e o pior pelo menos três dessas respostas estão erradas, se não todas... Três estudantes chegaram juntos a uma cidade para participar de um concurso e, não tendo feito reservas com antecedência, constataram que, em cada um dos quatro hotéis da cidade, existam apenas duas vagas disponíveis. Sabendo-se que os três não podem ficar juntos num mesmo hotel, pode-se afirmar que o número máximo de pessoas de hospedagem de que dispõem é igual a: 1) Você pode formar 3 duplas diferentes C3,2=3 e como são 4 hotéis elas podem ser acomodadas de 3*4=12 maneiras diferentes. Em cada caso restam, nos outros 3 hotéis 6 quartos diferentes para serem ocupados pelo aluno restante: 12*6=72 2) Dois no mesmo hotel (e outro em um dos 3 restantes): C3,2=3 maneiras de formar pares (C3,2)*4=12 maneiras de acomodar uma dupla em 4 hotéis. 3 maneiras de acomodar o terceiro estudante. parcial: 12*3=36 maneiras. Um em cada hotel: 3*4=12. Total = 48. 3) Cada um dos 3 rapazes devem ficar sòzinhos em um dos 4 hotéis: Fixando qualquer um dos rapazes no 1º hotel os demais ficam automaticamente definidos. Essa situação gera 6 combinações possíveis, então: 6*4=24 maneiras de dispormos os 3 rapazes: sendo 1 em cada 1 dos 4 hotéis existentes. Colocando 2 rapazes num mesmo hotel sobram 3 hotéis para o terceiro rapaz se alojar. Para 2 rapazes juntos e 1 terceiro sòzinho, existem: 4*3=12 maneiras de dispô-los nos 4 hotéis. Como os três rapazes combinados 2 a 2 geram mais 3 situações, então: 3*12=36 maneiras de dispormos os 3 rapazes: sendo 2 em cada 1 dos 4 hotéis e 1 em cada um dos 3 hotéis restantes. Portanto: 24+36=60. 4) 8 * 6 * 4 = 192. A propósito, para chegar à estação final de uma estrada de ferro passo por 8 estações. De quantos tipos de passagens disponho? (Essa é boa!!!) Abraços! _ Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
[obm-l] DISCUSSÕES COMBINATÓ RIAS!
Ok! Hugo. Grato pela atenção de resposta. Agora, sem querer abusar da boa vontade dos colegas, gostaria muito de discutir alguns dos probleminhas abaixo... Quanto à probabilidade do encontro ocorrer entre 12 e 13h no intervalo de 10min, qual seria uma saída combinatória sem recorrer à região do quadrado entre as retas e muito menos sem fazer uso de integral? Na pior das hipóteses porque não recorrer aos postulados de Poisson? Se não existe uma resposta, qual o porquê da incidência do mesmo nos capítulos de contagem? Quantos diferentes colares usando 13 pedras distintas podem ser feitos se virar o colar ao invés de rodar? Afinal! qual a diferença entre virar e rodar o colar? Quantas retas podem ser determinadas por 18 pontos de um plano, sabendo-se que 3 deles nunca estão alinhados? A propósito, qual o maior número de interseções entre 5 circunferências? (Essa é boa!) Abraços! _ Descubra todas as novidades do novo Internet Explorer 8 http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
[obm-l] ANÁLISE COMBINATÓRIA !
Olá, Pessoal! Um exame consta de 4 provas. Os graus em cada matéria variam de 0 a 10, aproximados até décimos. Qual o número mínimo de candidatos que nos permitirá afirmar a existência de dois que tenham obtido notas idênticas? Quantos milhares sem algarismos repetidos podem ser formados com 2 algarismos pares e 2 ímpares significativos? Em quantas permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 os equidistantes dos extremos somam 7? Quantos diferentes colares usando 13 pedras distintas podem ser feitos se virar o colar ao invés de rodar? Qual o número de maneiras que podemos colocar quatro bolas indistingüíveis em seis compartimentos separados? A propósito, quantos números tem todos os seus dígitos de igual paridade? Afinal! Qual o maior número de interseções de 5 circunferências? Abraços! _ Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
[obm-l] FW: ANÁLISE COMBINAT ÓRIA!
From: jorgelrs1...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: ANÁLISE COMBINATÓRIA! Date: Mon, 29 Jun 2009 13:45:02 + Olá, Pessoal! Um exame consta de 4 provas. Os graus em cada matéria variam de 0 a 10, aproximados até décimos. Qual o número mínimo de candidatos que nos permitirá afirmar a existência de dois que tenham obtido notas idênticas? Quantos milhares sem algarismos repetidos podem ser formados com 2 algarismos pares e 2 ímpares significativos? Em quantas permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 os equidistantes dos extremos somam 7? Quantos diferentes colares usando 13 pedras distintas podem ser feitos se virar o colar ao invés de rodar? Qual o número de maneiras que podemos colocar quatro bolas indistingüíveis em seis compartimentos separados? A propósito, quantos números tem todos os seus dígitos de igual paridade? Afinal! Qual o maior número de interseções de 5 circunferências? Abraços! Novo Internet Explorer 8: mais rápido e muito mais seguro. Baixe agora, é grátis! _ Novo Internet Explorer 8. Baixe agora, é grátis! http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
[obm-l] ENIGMAS COMBINATÓRIO S!
Olá, Pessoal! A expressão correta do tal problema difícil abordado pelo colega Paulo ainda é um mistério a ser desvendado...Outro enigma é a possibilidade do encontro ocorrer fazendo uso apenas dos conceitos combinatórios ou quem sabe, apelando aos postulados de Poisson já que trata-se de um intervalo de tempo de 10min entre 12 e 13h...O que acham? Alguma dica?!!! Considere n pontos distribuídos sobre uma circunferência de tal modo que o segmento ligando dois quaisquer desses pontos não passe pelo ponto de interseção de outros dois segmentos; calcular, em função de n, o número Rn de regiões obtidas no círculo quando todos os n pontos são ligados. Com a possibilidade de empregar o ponto e o traço do Alfabeto Morse em grupos de, no máximo, 5 sinais, quantos símbolos diferentes podem ser transmitidos? Em um plano traçam-se 5 retas e 8 círculos. Qual o número máximo de pontos de interseção que se pode obter? A propósito, qual o maior número de interseções de 5 circunferências? Quantas poligonais abertas podem ser obtidas, utilizando 10 pontos? Abraços! _ Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
[obm-l] GEOMETRIA COMBINATÓR IA!
Turma! Continuo intrigado com uma possível resolução combinatória proposta pelo colega Fernando já que 9 em cada 10 livros de Análise Combinatória abordam o problema. Quem sabe, não seja um problema típico de Geometria Combinatória? O que acham da probabilidade do encontro ocorrer entre 12 e 13h se nenhum deles espera mais de 10min pelo outro? Alguma dica Dados n pontos no plano, o número máximo de retas distintas que eles determinam é, no máximo, Cn,2. (Demonstre isso!) Dados n pontos no plano (n=3), o número de distâncias distintas entre eles é, pelo menos (n-3/4)^1/2-1/2 . (Problema Difícil!) Nota: Encontrei na RPM-16 pg.66 a engenhosa resolução do problema proposto pelo colega Nehab. Dada uma circunferência qualquer, achar o centro da mesma utilizando apenas o compasso. Vale a pena conferir. Incrivelmente Fantástico! Abraços! _ Novo Internet Explorer 8. Baixe agora, é grátis! http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
[obm-l] CONCEITOS COMBINATÓR IOS!
Ok! Artur e demais...Qual a saída combinatória para a indagação do colega Fernando quanto à possibilidade do encontro ocorrer? Taí um prato cheio para o Palmerim, Maldonato, Silas, etc.. Um colar é um fio circular com pedrinhas que podem deslizar sobre o fio. É permitido rodar o colar, mas não virá-lo. Quantos diferentes colares podem ser feitos usando 13 diferentes pedrinhas. E se fosse permitido virar o colar, qual seria a resposta? Um jogo de armar consta de 25 quadrículas que convenientemente justapostas formam um quadrado. Quantas arrumações apresentam, pelo menos, as quadrículas das cantoneiras no lugar certo? Em duas retas assinalamos o ponto de interseção e mais ainda: 6 e 4 pontos, respectivamente, em cada uma. Quantos triângulos diferentes podem ser construídos com vértices nestes pontos? A propósito, se você apostasse na Mega Sena todas as semanas na combinação 01-12-19-27-33-48 e por infelicidade essa fosse a última combinação a ser sorteada (sem que nenhuma dezena se repetisse), quantos anos você teria de esperar para ganhar a Sena? Caro Paulo, sòmente agora entendi as suas indagações harmônicas, aliás, bem mais sutis do que imaginava. Vou me aprofundar no assunto, pois já esgotei todos os meus r-ésimos recursos mnemônicos... Abraços! _ Conheça os novos produtos Windows Live! Clique aqui. http://www.windowslive.com.br
[obm-l] FW: TERRA DOS MATEMÁ TICOS!
From: jorgelrs1...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: TERRA DOS MATEMÁTICOS! Date: Tue, 19 May 2009 15:36:35 + Ok! Nehab, bom progresso para quem já foi denominada de Terra dos Humoristas. Não é à toa que o autor da mais engenhosa distribuição das 3 barras de chocolate entre quatro crianças é um Cearense, aluno do curso de licenciatura em matemática-UECE. Foi também o pioneiro a discordar da afirmação do colega Takiyama 1/x*x#x*1/x na calculadora do feirante...Experimentem com seus pupilos a pueril situação: Entre as frações 1/5 e 1/3 temos 16 divisões iguais. Em qual das divisões se encontra a fração 1/4? Grande Paulo! Parabéns pela enquete Investigações Aritméticas, pois me passou despercebida, na época. Uma verdadeira pérola.Campeão! Quanto à questão do menor N tal que 1+(1/2)+...+(1/N)P, Euler demonstrou que a soma dos termos da Série Harmônica, para N tendendo ao infinito, é lnN+0,5772..., ou seja para atingir um inteiro P razoavelmente grande basta fazer lnN=P-0,5772... onde N é (2,718281828...) elevado a P-0,5772... Esse caminho permite obter uma ordem de grandeza bastante boa, mas para saber exatamente o menor N, teremos que trabalhar com muitas, mas muitas casas decimais. Agora, quanto à série dos inversos dos primos...A Série Harmônica é um caso patológico de divergência. Se você somar os inversos dos naturais elevados a qualquer potência maior do que 1, a soma será convergente. Se for 1 ou menor do que 1 será divergente. Então, não existe um menor expoente r para o qual a soma dos inversos dos naturais elevados a r seja convergente. Como os primos são um subconjunto dos naturais, também não existe um menor expoente para o qual a soma dos inversos dos primos elevados a r seja convergente. Qualquer r maior do que 1 basta. O mesmo Euler provou, em 1736, que a soma dos inversos dos primos é divergente. Inteligente, este rapaz que tinha tudo para ter sido mais um Cearense...! A propósito, sendo a0 por quê, quando n cresce indefinidamente, a^1/n tende a 1? Um abraço à todos! Quer uma internet mais segura? Baixe agora o novo Internet Explorer 8. É grátis! _ Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
[obm-l] SÉRIES HARMÔNICAS!
Ok! Rogério e demais colegas...Grande Paulo! Era exatamente isso que eu pretendia demonstrar...A elegantíssima prova produzida pelo matemático francês Nicole Oresme, sem dúvida, uma verdadeira pérola...Outros ilustres franceses que estiveram à frente de seu tempo no campo da convergência ou divergência de séries foram Augustin Louis Cauchy, Jean le Rond d'Alembert...Os matemáticos têm consciência das dificuldades com as séries infinitas há mais de dois milênios, Arquimedes que o diga...Por mais que imaginemos saber muito sobre as séries harmônicas sempre encontraremos em seu estudo novas surpresas... A propósito, como valer a desiguldade para qualquer n natural maior que 1? 1/n-1 + 1/n + 1/n+1 3/n Afinal! Qual o número de parcelas necessárias para que a série harmônica atinja o número cem? 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4... A existência de infinitos primos gêmeos ainda é um problema em aberto. O teorema de Brun afirma que mesmo que existam infinitos termos nesta soma, a série resultante é ainda assim convergente, em contraste com a série dos inversos dos primos que é divergente. B2 = (1/3+1/5) + (1/5+1/7) + (1/11+1/13) + (1/17+1/19) + (1/29+1/31) +...~1,9021605823 Incrível, não! As séries harmônicas estão cheias de coisas incríveis, muitas já descobertas, mas certamente muitas outras ainda à espera de um novo Euler que as desvende... Bom Proveito! _ Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
[obm-l] CEGUEIRA FRACIONÁRIA !
Ok! Paulo e demais colegas! Em breve discutiremos matemática avançada com uma pitada de análise ou teoria da medida, mas vamos devagarinho, pois graças às discussões triviais aprendemos a prova da iguldade 0,999...=1, sem dúvida o tema mais discutido na lista. Afinal! Qual é maior: 1,001 ou 0,900? Há uma coisa que devemos aceitar como certa. Não nos sentimos à vontade lidando com frações. Dificilmente, um candidato olímpico saberia provar a desiguldade 1/2*3/4*5/6...99/100 1/1000? Outro pesadelo fracionário é pedir aos olímpicos para repartirem 9 maçãs entre 12 crianças, de modo que nenhuma maçã seja dividida em mais de 4 partes. Mas se acham que estou blefando, tentem apresentar aos alunos o conceito de fração imprópria: que sentido atribuir, por exemplo, à fração 5/2? Entre as frações 1/5 e 1/3 temos 16 divisões iguais. Em qual das divisões se encontra a fração 1/4? (Campeã Olimpica!) A, B e C dividiram todo o conteúdo de uma garrafa de suco em três copos iguais, enchendo metade do copo de A, um terço do copo de B e um quarto do copo de C. Como cada um queria um copo cheio de suco, eles abriram outras garrafas iguais à primeira até encher completamente os copos. Quantas garrafas a mais eles tiveram que abrir? Se o suco de uma garrafa tivesse sido dividido igualmente entre eles, que fração de cada copo conteria suco? A propósito! Para obtermos 0, no visor da calculadora devemos efetuar 1/3*3 ou 3*1/3? (Essa é do colega Felipe Takiyama) Afinal! Como provar a desiguldade 1+1/2+1/3+1/4+...1+1/2+1/2+1/2+...? Abraços! _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br
[obm-l] FÍSICA MATEMÁTICA!
Turma! Este probleminha em que os três pontos em forma de triângulo equilátero brincam de pega-pega é realmente muito interessante. Me fez lembrar um paradoxo lançado pelo colega Eric Campos que pretendia mostrar um número finito de posições entre dois pontos... A e B distam 1 unidade, enquanto A e C distam 10 unidades. Afinal! há um maior número de pontos entre A e C do que A e B? Ou vice-versa? Limites à parte... O ciclista resolveu sair da linha circular de raio r=10m, mas pedala sempre com a mesma velocidade de 18km/h. Ele vai para dentro, e forma a espiral no chão em 1 minuto até chegar ao centro. Quanto mede esse caminho, se a distância entre cada espiral é de 2m? A propósito, como encontrar o centro de gravidade de uma placa metálica homogênea em forma de L, sem usar nada mais que uma régua? Abraços! _ Faça já uma busa e ganhe um wink do Messenger. Está esperando o que? É grátis! http://www.ibud.com.br/
[obm-l] FW: ALTERNATIVAS ECO NÔMICAS!
From: jorgelrs1...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: ALTERNATIVAS ECONÔMICAS! Date: Sat, 4 Apr 2009 19:47:35 + Os operários de uma grande indústria tem solicitado, em média 550 consultas médicas por ano. O médico comparece à indústria apenas 1 vez por dia. Apresentam-se duas alternativas para remunerar o trabalho do médico: a)pagar a taxa de $60.000 por mês, independentemente do número de consultas havidas; b)pagar $1.600 pela primeira consulta do dia e $1.000 por consulta adicional, no mesmo dia. Qual das duas alternativas será mais econômica para a indústria? Considerar que a indústria trabalha todos os dias do ano. Um industrial tem duas alternativas para a venda de seu produto: a)o comprador A que paga um cruzeiro por peça, mas não exige nenhum ensaio; b)o comprador B que classifica de 1ª as partidas em que, retirado um grupo de 5 exemplares não seja encontrado mais que um defeituoso e de 2ª as partidas que não satisfaçam este requisito. Paga $1,20 por peça na primeira hipótese e $0,80 na 2ª. Sabendo o industrial ser de 10% a porcentagem de defeituosos em sua produção, qual das duas propostas deverá preferir? Uma comissão de reboques de estrada encontra-se a planear a localização de garagens para caminhões de reboque ao longo de uma auto estrada circular de 100 milhas. Cada garagem tem um custo fixo de 5.000 dólares. Os trabalhos de reboque são idênticos ao longo de qualquer ponto da auto estrada e o custo do reboque por milha é de 50 dólares. Se existissem 5.000 trabalhos de reboque por dia, que número de garagens minimizaria a soma dos custos fixos e dos custos de reboque? (Taí, um problema sofisticado!) A propósito! Se o preço da entrada no circo aumentou de $2 para $3 e a entrada de cinema aumentou de $5 para $7 qual a forma de diversão mais viável? Relativamente qual tornou-se mais cara? Abraços e Divirtam-se! Turbine seu Messenger com emoticons! Clique já, é GRÁTIS! _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br
[obm-l] ALTERNATIVAS ECONÔMI CAS!
Os operários de uma grande indústria tem solicitado, em média 550 consultas médicas por ano. O médico comparece à indústria apenas 1 vez por dia. Apresentam-se duas alternativas para remunerar o trabalho do médico: a)pagar a taxa de $60.000 por mês, independentemente do número de consultas havidas; b)pagar $1.600 pela primeira consulta do dia e $1.000 por consulta adicional, no mesmo dia. Qual das duas alternativas será mais econômica para a indústria? Considerar que a indústria trabalha todos os dias do ano. Um industrial tem duas alternativas para a venda de seu produto: a)o comprador A que paga um cruzeiro por peça, mas não exige nenhum ensaio; b)o comprador B que classifica de 1ª as partidas em que, retirado um grupo de 5 exemplares não seja encontrado mais que um defeituoso e de 2ª as partidas que não satisfaçam este requisito. Paga $1,20 por peça na primeira hipótese e $0,80 na 2ª. Sabendo o industrial ser de 10% a porcentagem de defeituosos em sua produção, qual das duas propostas deverá preferir? Uma comissão de reboques de estrada encontra-se a planear a localização de garagens para caminhões de reboque ao longo de uma auto estrada circular de 100 milhas. Cada garagem tem um custo fixo de 5.000 dólares. Os trabalhos de reboque são idênticos ao longo de qualquer ponto da auto estrada e o custo do reboque por milha é de 50 dólares. Se existissem 5.000 trabalhos de reboque por dia, que número de garagens minimizaria a soma dos custos fixos e dos custos de reboque? (Taí, um problema sofisticado!) A propósito! Se o preço da entrada no circo aumentou de $2 para $3 e a entrada de cinema aumentou de $5 para $7 qual a forma de diversão mais viável? Relativamente qual tornou-se mais cara? Abraços e Divirtam-se! _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br
[obm-l] FW: ALTERNATIVAS ECO NÔMICAS!
From: jorgelrs1...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: ALTERNATIVAS ECONÔMICAS! Date: Sat, 4 Apr 2009 19:47:35 + Os operários de uma grande indústria tem solicitado, em média 550 consultas médicas por ano. O médico comparece à indústria apenas 1 vez por dia. Apresentam-se duas alternativas para remunerar o trabalho do médico: a)pagar a taxa de $60.000 por mês, independentemente do número de consultas havidas; b)pagar $1.600 pela primeira consulta do dia e $1.000 por consulta adicional, no mesmo dia. Qual das duas alternativas será mais econômica para a indústria? Considerar que a indústria trabalha todos os dias do ano. Um industrial tem duas alternativas para a venda de seu produto: a)o comprador A que paga um cruzeiro por peça, mas não exige nenhum ensaio; b)o comprador B que classifica de 1ª as partidas em que, retirado um grupo de 5 exemplares não seja encontrado mais que um defeituoso e de 2ª as partidas que não satisfaçam este requisito. Paga $1,20 por peça na primeira hipótese e $0,80 na 2ª. Sabendo o industrial ser de 10% a porcentagem de defeituosos em sua produção, qual das duas propostas deverá preferir? Uma comissão de reboques de estrada encontra-se a planear a localização de garagens para caminhões de reboque ao longo de uma auto estrada circular de 100 milhas. Cada garagem tem um custo fixo de 5.000 dólares. Os trabalhos de reboque são idênticos ao longo de qualquer ponto da auto estrada e o custo do reboque por milha é de 50 dólares. Se existissem 5.000 trabalhos de reboque por dia, que número de garagens minimizaria a soma dos custos fixos e dos custos de reboque? (Taí, um problema sofisticado!) A propósito! Se o preço da entrada no circo aumentou de $2 para $3 e a entrada de cinema aumentou de $5 para $7 qual a forma de diversão mais viável? Relativamente qual tornou-se mais cara? Abraços e Divirtam-se! Turbine seu Messenger com emoticons! Clique já, é GRÁTIS! _ Novo Windows Live: Messenger 2009 e muito mais. Descubra! http://www.windowslive.com.br
[obm-l] DIVERSÕES COMBINATÓR IAS!
Turma! Alguém aí já resolveu o probleminha proposto pelo colega Thélio Gama quanto aos números de 6 algarismos distintos que podemos formar de modo que um algarismo par esteja sempre ao lado de pelo menos um algarismo ímpar? Fácil, não! Afinal! Quantos milhares sem algarismos repetidos podem ser formados com 2 algarismos pares e 2 ímpares significativos? Mais fácil ainda, não! Vejam abaixo outros bonitinhos... Dez homens e dez mulheres de alturas diferentes se colocam em fila, de todas as maneiras possíveis. Em quantas delas os homens se encontram dispostos por ordem crescente de alturas? Em quantas delas tanto homens como mulheres se acham dispostos por ordem crescente de alturas? Em 2 planos são marcados 5 e 6 pontos, respectivamente, nunca 3 deles em linha reta. A interseção dos 2 planos contém dois deles. Tomando como vértice um ponto da interseção, formamos pirâmides de base triangular com os vértices restantes fora da interseção. Quantas pirâmides podemos formar? Um jogo de armar consta de 25 quadrículas que convenientemente justapostas formam um quadrado onde se desenhou uma paisagem. Quantas arrumações apresentam, pelo menos, as quadrículas das cantoneiras no lugar certo? (Essa é boa!) Divirtam-se! _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br
[obm-l] APOSTAS PROBABILÍSTI CAS!
Turma! Continuo aguardando ajuda com relação ao problema das meias e luvas...Será a tal cegueira matemática? Um apostador tem três opções para participar de certa modalidade de jogo, que consiste no sorteio aleatório de um número dentre dez: 1ª opção: comprar três números para um único sorteio. 2ª opção: comprar dois números para um sorteio e um número para o segundo sorteio. 3ª opção: comprar um número para cada sorteio, num total de três sorteios. Qual das opções tem maior probabilidade de ganhar algum prêmio? Escolhendo a 2ª opção, qual a probabilidade de o apostador não ganhar em qualquer dos sorteios? João e Pedro apostam nos resultados dos lançamentos de uma moeda não tendenciosa. João vence no terceiro resultado cara e Pedro, no segundo resultado coroa. A probabilidade de João ganhar a aposta é de: Toda vez que Paulo lança uma moeda, Jaime lança duas. Jaime ganha o lance cada vez que tiver mais caras do que Paulo. Caso contrário, Paulo ganha. Se o jogo continuasse indefinidamente, quem ganharia mais vezes? Visando motivar os apostadores, a CEF aprovou a ampliação de 13 para 16 do número de jogos de cada teste da Loteria Esportiva com prêmios para os que acertarem 15 ou 16 dos prognósticos. A reação de um amigo foi: Se já era difícil acertar 13, quanto mais 15 ou 16! Mostre que este amigo está certo quanto aos 16, mas não quanto aos 15. Abraços! _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
[obm-l] FW: APOSTAS PROBABIL ÍSTICAS!
From: jorgelrs1...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: APOSTAS PROBABILÍSTICAS! Date: Mon, 16 Mar 2009 17:47:25 + Turma! Continuo aguardando ajuda com relação ao problema das meias e luvas...Será a tal cegueira matemática? Um apostador tem três opções para participar de certa modalidade de jogo, que consiste no sorteio aleatório de um número dentre dez: 1ª opção: comprar três números para um único sorteio. 2ª opção: comprar dois números para um sorteio e um número para o segundo sorteio. 3ª opção: comprar um número para cada sorteio, num total de três sorteios. Qual das opções tem maior probabilidade de ganhar algum prêmio? Escolhendo a 2ª opção, qual a probabilidade de o apostador não ganhar em qualquer dos sorteios? João e Pedro apostam nos resultados dos lançamentos de uma moeda não tendenciosa. João vence no terceiro resultado cara e Pedro, no segundo resultado coroa. A probabilidade de João ganhar a aposta é de: Toda vez que Paulo lança uma moeda, Jaime lança duas. Jaime ganha o lance cada vez que tiver mais caras do que Paulo. Caso contrário, Paulo ganha. Se o jogo continuasse indefinidamente, quem ganharia mais vezes? Visando motivar os apostadores, a CEF aprovou a ampliação de 13 para 16 do número de jogos de cada teste da Loteria Esportiva com prêmios para os que acertarem 15 ou 16 dos prognósticos. A reação de um amigo foi: Se já era difícil acertar 13, quanto mais 15 ou 16! Mostre que este amigo está certo quanto aos 16, mas não quanto aos 15. Abraços! Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu! _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
[obm-l] FW: DIVERSÕES COMBIN ATÓRIAS!
From: jorgelrs1...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: DIVERSÕES COMBINATÓRIAS! Date: Wed, 1 Apr 2009 13:12:28 + Turma! Alguém aí já resolveu o probleminha proposto pelo colega Thélio Gama quanto aos números de 6 algarismos distintos que podemos formar de modo que um algarismo par esteja sempre ao lado de pelo menos um algarismo ímpar? Fácil, não! Afinal! Quantos milhares sem algarismos repetidos podem ser formados com 2 algarismos pares e 2 ímpares significativos? Mais fácil ainda, não! Vejam abaixo outros bonitinhos... Dez homens e dez mulheres de alturas diferentes se colocam em fila, de todas as maneiras possíveis. Em quantas delas os homens se encontram dispostos por ordem crescente de alturas? Em quantas delas tanto homens como mulheres se acham dispostos por ordem crescente de alturas? Em 2 planos são marcados 5 e 6 pontos, respectivamente, nunca 3 deles em linha reta. A interseção dos 2 planos contém dois deles. Tomando como vértice um ponto da interseção, formamos pirâmides de base triangular com os vértices restantes fora da interseção. Quantas pirâmides podemos formar? Um jogo de armar consta de 25 quadrículas que convenientemente justapostas formam um quadrado onde se desenhou uma paisagem. Quantas arrumações apresentam, pelo menos, as quadrículas das cantoneiras no lugar certo? (Essa é boa!) Divirtam-se! Turbine seu Messenger com emoticons! Clique já, é GRÁTIS! _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br
[obm-l] APOSTAS PROBABILÍSTI CAS!
Olá, Pessoal!
No jogo da Quina em cada sorteio são escolhidas cinco dezenas distintas entre
as dezenas 01, 02,...,80. Em cada aposta o jogador pode escolher entre o mínimo
de cinco e o máximo de oito dezenas. Você ganha um prêmio se acertar três,
quatro, ou todas as cinco dezenas sorteadas. Um jogador com o objetivo de
garantir ao menos um prêmio de quadra, escolheu dez dezenas, dividiu-as em
cinco blocos de duas dezenas cada um e em seguida agrupou esses blocos quatro a
quatro. Com isso ele obteve cinco jogos de oito dezenas cada um. Suponha que as
cinco dezenas sorteadas pela Caixa estavam entre as dez que ele escolheu. Qual
é a probabilidade condicional de que ele ganhe o prêmio da Quina?
O resultado da Mega Sena consiste em 6 números sorteados de um conjunto de 60
números, de forma independente e equiprovável. Uma aposta básica é uma aposta
em 6 números. Uma aposta de 7 números custa 7 vezes o custo da aposta básica.
Um apostador que faz uma aposta de 7 números paga o mesmo valor que um
apostador que faz sete apostas básicas, de 6 números cada uma. Quem tem mais
chance de ganhar o prêmio máximo, isto é, acertar os 6 números sorteados? Quem
tem mais chance de fazer uma Quina?
Com a finalidade de aumentar a arrecadação do seu Sistema de Loterias, a CEF
implantou um novo jogo, denominado Loto II, no qual o apostador escolhe seis
dezenas no conjunto {01, 02,...,50}. Semanalmente a Caixa sorteia seis dezenas
desse mesmo conjunto e são atribuídos prêmios aos acertadores da: 1)Sena-as
seis dezenas sorteadas; 2)Sena anterior e posterior-conjunto dos seis números
imediatamente anteriores ou imediatamente posteriores às seis dezenas
sorteadas; 3)Quina-cinco das seis dezenas sorteadas; 4)Quadra-quatro das seis
dezenas sorteadas. (Para o prêmio descrito em (2), 50 e 01 são considerados
consecutivos). Compare as probabilidades de que um apostador que joga seis
dezenas em cada um dos oito tipos de Loto não saia perdendo, isto é, ganhe
algum dos prêmios oferecidos.
A propósito! No jogo da Loto quem escolhe 7 dezenas tem quantas vezes mais
probabilidade de ganhar do que quem escolhe 5 dezenas?
Afinal! Ao apostar na Mega Sena devo jogar no 13, que é a dezena que mais vezes
foi sorteada, ou no 48, que foi a que saiu menos vezes?
Divirtam-se!
_
Cansado de espaço para só 50 fotos? Conheça o Spaces, o site de relacionamentos
com até 6,000 fotos!
http://www.amigosdomessenger.com.br
[obm-l] FW: APOSTAS PROBABIL ÍSTICAS!
From: jorgelrs1...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: APOSTAS PROBABILÍSTICAS! Date: Mon, 16 Mar 2009 17:47:25 + Turma! Continuo aguardando ajuda com relação ao problema das meias e luvas...Será a tal cegueira matemática? Um apostador tem três opções para participar de certa modalidade de jogo, que consiste no sorteio aleatório de um número dentre dez: 1ª opção: comprar três números para um único sorteio. 2ª opção: comprar dois números para um sorteio e um número para o segundo sorteio. 3ª opção: comprar um número para cada sorteio, num total de três sorteios. Qual das opções tem maior probabilidade de ganhar algum prêmio? Escolhendo a 2ª opção, qual a probabilidade de o apostador não ganhar em qualquer dos sorteios? João e Pedro apostam nos resultados dos lançamentos de uma moeda não tendenciosa. João vence no terceiro resultado cara e Pedro, no segundo resultado coroa. A probabilidade de João ganhar a aposta é de: Toda vez que Paulo lança uma moeda, Jaime lança duas. Jaime ganha o lance cada vez que tiver mais caras do que Paulo. Caso contrário, Paulo ganha. Se o jogo continuasse indefinidamente, quem ganharia mais vezes? Visando motivar os apostadores, a CEF aprovou a ampliação de 13 para 16 do número de jogos de cada teste da Loteria Esportiva com prêmios para os que acertarem 15 ou 16 dos prognósticos. A reação de um amigo foi: Se já era difícil acertar 13, quanto mais 15 ou 16! Mostre que este amigo está certo quanto aos 16, mas não quanto aos 15. Abraços! Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu! _ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br
[obm-l] DIVERSÕES COMBINATÓR IAS!
Turma! Os singelos probleminhas abaixo são da década de 50 mas nem por isso deixaram de ser belos...Quem não lembra da enquete Beleza Matemática em que o colega Cláudio foi bastante infeliz ao revogar problemas do tempo da carochinha...Jamais esqueçam que nos Tigres Asiáticos a modernidade caminha de mão dadas com o tradicional... Um jogo de armar consta de 25 quadrículas que convenientemente justapostas formam um quadrado onde se desenhou uma paisagem. Quantas arrumações erradas e diferentes podem ser obtidas? Quantas arrumações apresentam, pelo menos, as quadrículas das cantoneiras no lugar certo? Para transmitir sinais de uma ilha para a costa, dispõe-se de 6 luzes brancas e 6 vermelhas colocadas nos vértices de um hexágono. Em cada vértice não pode estar acesa mais que uma luz (branca ou vermelha) e o número mínimo de luzes acesas é três. Achar o número de sinais distintos que se pode fazer. Em dois planos R e Q são marcados r e q pontos respectivamente, nunca 3 deles em linha reta. A interseção dos dois planos contém 2 destes pontos. Tomando como vértice um qualquer dos pontos da interseção, formamos pirâmides de base triangular com os vértices restantes fora desta interseção. Quantas delas podemos formar? Qual o resultado para r=5, q=4? Em um jogo de cabo de guerra há 5 participantes de cada lado do nó. De quantas maneiras diferentes podem eles colocar-se, considerando a possibilidade de um participante trocar de lado? E não considerando? Quantos milhares sem algarismos repetidos podem ser formados com 2 algarismos pares e 2 ímpares significativos? A propósito, alguém já tem alguma dica para solucionar o problema das meias e luvas ? Tenho dúvidas!!! Abraços e divirtam-se! _ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br
[obm-l] DESAFIO MOMESCO!
Ok! Samuel, Felipe e demais foliões! Gostaria de aproveitar a euforia momina para discutir algumas dúvidas a exemplo do problema das meias e luvas ou a possibilidade de acertar exatamente três CD's nas caixas corretas obtendo como resposta 4/16 ao invés 0 ou quem sabe 1 já que trata-se de um evento certo de ocorrer? Afinal! Seis números seguidos na mega-sena tem menos chance de vitória do que uma aposta em seis números espalhados ou será que as chances são iguais? Tenho minhas dúvidas já que as inúmeras respostas divergem... Ele e Ela dizem a verdade com probabilidades iguais a 3/4 e 3/5, respectivamente, independente um do outro. Se Ele faz uma afirmação e Ela diz que Ele mente, calcular a probabilidade de que Ele diz a verdade? Ao escolherem as datas de seus vestibulares, três instituições de ensino decidiram que suas provas seriam realizadas na primeira semana de um determinado mês. A probabilidade de que essas provas não aconteçam em dias consecutivos é, aproximadamente: Três atiradores, A, B e C, estão atirando uns contra os outros. As probabilidades de acertarem em quem estão mirando são, respectivamente, 1; 0,75; 0,5. Eles atiram um por vez, em ordem alfabética, e continuam até que sòmente um deles permaneça vivo. Qual a probabilidade de cada um dos atiradores vencer? Quatro pessoas apostam no número de moedas que têm em mãos, para ver quem paga o café. Pagará quem tiver número ímpar. Qual a probabilidade de uma jogada apenas ser suficiente para determinar quem paga? A propósito! Ao apostar na Mega Sena devo jogar no 13, que é a dezena que mais vezes foi sorteada, ou no 48, que foi a que saiu menos vezes? Como justificar se uma moeda é viciada ou não pelo simples fato de sairem 12 caras consecutivas em 12 lançamentos? Divirtam-se! _ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br
[obm-l] POLÊMICAS PROBABILÍSTICAS!
Ok! Salhab e demais colegas... Sobre o lançamento de 3 caras consecutivas, você tem meia razão, pois não há muito o que entender já que essas duas probabilidades medem coisas diferentes. Mas, só para fechar a suposta falácia, como pode a probabilidade de um evento mudar pela metade durante seu curso já que uma vez ocorrido os eventos e os resultados conhecidos, a probabilidade matemática em cada caso é 1. Vejam: Cara no primeiro lançamento p=1; Cara no segundo lançamento p=1; Cara no terceiro lançamento p=1/2, donde conclui-se que a probabilidade de se completar uma série de três caras consecutivas é portanto igual a 1*1*1/2=1/2. Quanto ao problema dos sacos o raciocínio é um pouco mais sofisticado... Saco Conteúdo 1 Vermelha Vermelha 2 Preta Preta 3 Vermelha Preta Se a primeira bola tirada é preta, ela não pode vir do saco 1. Deve, portanto, ter vindo dos sacos 2 ou 3. A probabilidade de que a primeira bola tirada do saco 2 seja preta é igual a 1 - o evento é certo. Por outro lado, a probabilidade de que a primeira bola tirada do saco 3 seja preta é igual a 1/2, pois existem apenas duas possibilidades. Portanto, se uma bola preta foi tirada primeiro é menos provável ter vindo do saco 3 do que ter vindo do saco 2. Consequentemente, a segunda bola é menos provável ser vermelha (isto é, a outra bola do saco 3) do que ser preta (a outra bola do saco 2). Igualmente, se uma bola vermelha fosse tirada primeiro, é menos provável que a segunda bola fosse preta. Os eventos não são, portanto, equiprováveis...Taí a tal pedra no sapato de muito estudante... Numa mesma caixa há dez pares de meias brancas e dez pares de meias pretas, como também dez pares de luvas brancas e dez pares de luvas pretas. Supondo distinção entre as luvas da mão esquerda e direita; qual a quantidade mínima de peças que devem ser retiradas (no escuro) para garantir: 1)Um par de peças do mesmo tipo e cor? 2)Um par de peças do mesmo tipo e cor branca? 3)Um par de meias brancas? Nota: Há divergências com relação a resposta do ítem 2) Resp: 52 peças ou 43 peças? Até aqui, tudo bem! A polêmica se dá quando se pergunta qual a probabilidade de ocorrer cada um dos ítens 1) 2) e 3)? Gostaria de discutir tais probabilidades, pois encontrei coisas do tipo 39/158 , 632/39, 632/19??? Tenho dúvidas! Abraços e grato pela atenção! _ Cansado de espaço para só 50 fotos? Conheça o Spaces, o site de relacionamentos com até 6,000 fotos! http://www.amigosdomessenger.com.br
[obm-l] DISCREPÂNCIAS PROBABILÍSTICAS!
Olá, meus colegas! Gostaria do empenho de todos no primeiro problema por se tratar de uma situação inédita...As probabilidades jamais devem ser definidas intuitivamente...A lei da multiplicação pode levantar resultados que à primeira vista são quase incríveis...Dentre trinta pessoas a probabilidade de duas terem nascido no mesmo dia é algo absurdamente inconcebível bem como haver alguma troca mútua de presentes em um sorteio válido de amigo oculto. Se a probabilidade de obter duas caras (CC) em dois lançamentos de uma moeda é igual a obter uma coroa seguida por cara (CrC), porque as probabilidades de cada sequência ocorrer primeiro são diferentes? (Problema inédito!) Se a verdadeira probabilidade de lançar três caras consecutivas vale 1/8, porque quando lançamos duas caras em sucessão a probabilidade de completar a série de três caras consecutivas vale 1/2? Nota: O Chicão deu uma engenhosa resolução... De três sacos, um contém duas bolas vermelhas, um contém duas bolas pretas e o terceiro contém uma bola de cada cor. Mostre que se a bola tirada for preta, a segunda bola é menos provável ser vermelha do que preta. Incrível, não! Ao jogarmos duas moedas para o alto, se uma delas deu cara, porque a probabilidade de que a outra tenha dado cara também não é 1/2? Nota: Me parece que o Prof. Rogério Ponce desvendou o enigma... A e B jogam uma partida de cara e coroa, lançando cada um 50 moedas. A vencerá o jogo se conseguir 5 ou mais caras do que B e, quando isso não ocorrer, B vencerá. Determinar as vantagens contra a vitória de A em qualquer jogada particular. Dispondo de dois dados se eu apostar no total 10, uma olhada no primeiro dado, para ver se deu 5, modificará as chances, mas se eu apostar no total 7, não adiantará. Nota: O Prof. Ralph foi o primeiro a esclarecer todo o mistério... Afinal! Se a possibilidade de acertar três CD's é equivalente a acertar todos nas suas respectivas caixas, porque a resposta não é 4/16 ao invés de 0? (Campeão!) Abraços e Divirtam-se! _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger! http://www.amigosdomessenger.com.br/
[obm-l] DISTRIBUIÇÕES PROBABILÍSTICAS!
Uma pesquisa de opinião pública revelou que 1/4 da população de determinada cidade assiste regularmente à TV. Colocando 300 pesquisadores, sendo que cada um possa entrevistar 10 pessoas diariamente, fazer uma estimativa de quantos desses pesquisdores informarão que até 50% das pessoas entrevistadas são realmente telespectadoras habituais. Um posto de pedágio pode atender a quatro carros por minuto. Estes chegam ao acaso, mantendo uma média de cinco por minuto. Em um certo instante, não há fila. Qual a probabilidade de continuar não havendo fila dois minutos depois? A variação acidental no processo de enchimento de sacos de ração é de 0,60kg. Para que peso médio deve ser regulada a máquina para que com 99%de certeza, 40 sacos pesem mais que uma tonelada? Para verificar se um dado era viciado, jogou-se o mesmo 100 vezes obtendo-se 22 vezes o número cinco. Esta experiência nos leva a alguma conclusão? Qual o número médio de faixas que deverá tocar até encontrar a música desejada dentre as oito faixas de um disco após ouvir a 1a.faixa, depois a 2a, e assim sucessivamente? Maria pode ir para a esquerda, para a direita ou em frente, ao chegar a cada um dos cinco cruzamentos de um labirinto. Determine a probabilidade de Maria atravessar o labirinto corretamente, havendo somente um caminho correto possível. (Diversão probabilística!) Abraços! _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
[obm-l] FRACIONALIZAÇÃO!
Ok! Tarso, tem toda razão quanto à deficiência no ensino das frações, daí a dificuldade dos estudantes em distribuir 3 barras de chocolate entre quatro crianças ou fracionar 7 pães entre 10 pessoas...Dificilmente um aluno saberia justificar o porquê da impossibilidade de distribuir 100 maçãs entre 25 pessoas de modo que nenhuma delas receba um número par de maçãs...Experimentem com seus alunos e Pasmem!!! Que frações devem ser retiradas da soma 1/2+1/3+1/4+1/6+1/8+1/10+1/12 para que a soma das restantes seja igual a 1? Raramente um estudante contemporâneo saberia provar a desiguldade 1/2*3/4*5/6*...99/1001/1000? Wanda tem 11 barras de chocolate para dividir, igualmente, entre seus 3 sobrinhos. Como podemos representar numericamente a quantidade de chocolate que cada um vai receber? Dispondo de sete copos cheios de suco, sete copos pela metade de suco e sete copos vazios, como distribuir em 3 bandejas quantidades iguais de copos e suco? (Campeão!) Determinar o ponto que divide internamente um segmento de 14 unidades na razão 2/5? A propósito! Quantas vezes 3m cabem em 2m? (Pessoal! Isto não é brincadeira!) Divirtam-se! _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger! http://www.amigosdomessenger.com.br/
[obm-l] FW: FRACIONALIZAÇÃO!
From: jorgelrs1...@hotmail.comto: ob...@mat.puc-rio.brsubject: FRACIONALIZAÇÃO!Date: Thu, 29 Jan 2009 17:52:16 + Ok! Tarso, tem toda razão quanto à deficiência no ensino das frações, daí a dificuldade dos estudantes em distribuir 3 barras de chocolate entre quatro crianças ou fracionar 7 pães entre 10 pessoas...Dificilmente um aluno saberia justificar o porquê da impossibilidade de distribuir 100 maçãs entre 25 pessoas de modo que nenhuma delas receba um número par de maçãs...Experimentem com seus alunos e Pasmem!!! Que frações devem ser retiradas da soma 1/2+1/3+1/4+1/6+1/8+1/10+1/12 para que a soma das restantes seja igual a 1? Raramente um estudante contemporâneo saberia provar a desiguldade 1/2*3/4*5/6*...99/1001/1000? Wanda tem 11 barras de chocolate para dividir, igualmente, entre seus 3 sobrinhos. Como podemos representar numericamente a quantidade de chocolate que cada um vai receber? Dispondo de sete copos cheios de suco, sete copos pela metade de suco e sete copos vazios, como distribuir em 3 bandejas quantidades iguais de copos e suco? (Campeão!) Determinar o ponto que divide internamente um segmento de 14 unidades na razão 2/5? A propósito! Quantas vezes 3m cabem em 2m? (Pessoal! Isto não é brincadeira!) Divirtam-se! Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie já o seu! _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger! http://www.amigosdomessenger.com.br/
[obm-l] EQUIPROBABILIDADE!
Turma! Eu também havia escorregado nesta bela questão da CESPE. Outra pedra no sapato que venho carregando há décadas está postada na lista como Probabilomaníaco Se fizermos uma proposta de lançamentos de uma moeda onze vezes e ocorrer Cara, 4 vezes; e, Coroa 7 vezes, é provável que ao transformarmos esses resultados em porcentagem e compararmos com a definição clássica de probabilidade, o estudante tenha uma percepção equivocada de que a probabilidade observada na experimentação é suficiente para concluir que os eventos não são equiprováveis. É necessário percebermos que o significado estatístico, muitas vezes, difere do significado matemático, ou seja, a mesma razão observada entre número de ocorrência de um evento e o número total de experimentos tem significado estatístico distinto dependendo da magnitude desse número total. Ao observarmos o lançamento de uma moeda 10 vezes, 100 vezes ou 1000 vezes, em cada caso, a ocorrência de metade de caras tem significado distinto. Em 1000 vezes, a indicação de que a moeda não é viciada é maior do que em 10 vezes. Isso desenvolve o espírito crítico da grandeza dos denominadores contribuindo para diferenciar determinismo de aleatoriedade. Se em três faces de um dado perfeito for colocado o número 1 e nas outras três faces o número 6 com probabilidade 1/2. Qual o valor da média dessa distribuição? Um dado normal é lançado repetidamente até que o primeiro total das rodadas exceda 12. Qual é o mais provável total que será obtido? Afinal! Ao apostar na Mega Sena devo jogar no 13, que é a dezena que mais vezes foi sorteada, ou no 48, que foi a que saiu menos vezes? A propósito! Como justificar se uma moeda é viciada ou não pelo simples fato de sairem 12 caras consecutivas em 12 lançamentos de uma moeda? Boa Sorte! _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
[obm-l] GANHOS DE COMERCIO!
Turma! O Princípio da Vantagem Comparativa é uma rasteira no bom senso e na intuição...alguns colegas afirmaram que o problema era indeterminado ou tratava-se de um genérico problema da mochila... O trabalho de 120 homens na Inglaterra poderia produzir uma quantidade de vinho produzida em Portugal pelo trabalho de 80 homens, enquanto que uma quantidade de tecidos poderia ser produzida na Inglaterra com o trabalho de 100 homens, e em Portugal com o de 90 homens. Afinal! Qual a estratégia da Inglaterra para conseguir vinho Português poupando o trabalho de seus homens? E para Portugal conseguir tecido Inglês? Crusoé pode colher 10 cocos ou pescar 1 peixe por hora. Seu amigo pode coletar 30 cocos ou pescar 2 peixes por hora. Qual o custo de oportunidade de um peixe para Crusoé e para o seu amigo? Quem tem vantagem absoluta na pesca? E vantagem comparativa? Suponha que o preço da entrada no circo aumente de $2 para $3 por dia, enquanto as entradas de cinema aumentem de $5 para $7. Qual dessas formas de diversão tornou-se relativamente mais cara? Se o custo do trabalho por mesa é de $20 e o custo com matéria-prima por mesa é $30, podemos afirmar que o custo médio é $50? A propósito, deveríamos investir $100 para ganhar $20 ou investir $50 para ganhar $12? Um comerciante dispõe de um estoque de seis unidades de certo artigo quando abre sua loja na segunda-feira pela manhã. No decorrer de um dia, ele costuma vender no mínimo uma unidade e no máximo três unidades do referido artigo. Supondo que essa previsão é sempre satisfeita e que o comerciante só será reabastecido na quinta-feira. Determinar quantas são as possibilidades que envolvem a queda do estoque ao nível zero até o encerramento da loja na manhã de quarta-feira. Abraços! _ Cansado de espaço para só 50 fotos? Conheça o Spaces, o site de relacionamentos com até 6,000 fotos! http://www.amigosdomessenger.com.br
[obm-l] PESADELO MATEMÁTICO!
Turma! Acreditem, pois a débil distribuição das 3 barras de chocolate entre quatro crianças virou um tormento entre os estudantes...Há uma coisa que devemos aceitar como certa. Não nos sentimos à vontade lidando com frações, se não vejamos: sem o auxílio de uma calculadora, qual das frações tem maior valor? 8/35, 13/63, 17/81, 11/51, 14/67. E mesmo apelando para uma sofisticada HP, temos dificuldade em encontrar o valor de x? supondo x^2=123456787654321. Outro pesadelo matemático é calcular a mais alta potência de 4 que pode dividir 24? (campeão!) Um avião tem 40 poltronas. Estando já tomados mais de 1/4 e menos de 3/10 dos lugares, quantas poltronas vazias ainda restam no avião? Quantos pedaços iguais a 1/9 de um bolo você precisa comprar para dar 2/3 do bolo a Ricardo e um bolo inteiro a Rômulo? José trocou 3/5 da coleção de selos que tinha por um selo raro. Como 3/5 dos selos que ele passou a ter eram repetidos, ele resolveu oferecê-los a seu amigo Miguel. Se, depois disso, José ficou com 30 selos, o número de selos que ele tinha inicialmente era: Duas xícaras iguais estão cheias até a metade: uma com café, a outra com leite. Despeja-se a metade do leite na xícara de café e dessa mistura de café com leite, despeja-se a mesma quantidade na xícara de leite de tal maneira que em ambas permaneça a mema quantidade de líquido. Qual a fração de leite na xícara de café? Abraços! _ Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o Messenger! É GRÁTIS! http://www.msn.com.br/emoticonpack
[obm-l] SOLUÇÕES ARITMÉTICAS!
Ok! Lucas, Bruno e demais colegas! Esta seria uma engenhosa resolução se Joãozinho conhecesse o Princípio de Dirichlet. Simplificando, se Joãozinho desse 1 bala para cada amiguinho, ainda restariam 3 balas. Ao distribuir essas 3 balas entre seus amiguinhos, é certeza que um deles receberá pelo menos 2 balas. Outra saída aritmética era se ele desse 4 balas para um deles e 1 bala para cada um dos 4 restantes, também estaria satisfeita a exigência de que um deles receba pelo menos 2 balas. Apesar de muito estranho abordar tais assuntos...Pasmem! Aproveitei as reuniões de fim de ano para abordar familiares e amigos com a infantil pergunta Como distribuir 3 barras de chocolate entre quatro crianças?. Para minha decepção todos foram unânimes em dar 0,75 de chocolate para cada criança. Inacreditável! Que sirva de alerta para as futuras gerações... Quanto à divisão da garrafa de champanhe, um amigo deve colocar num dos copos o que ele considera uma quantidade justa de champanhe e toma-a para si, a menos que os outros dois achem-na muito excessiva. Se isso ocorrer, um dos amigos que a considerou excessiva retira o champanhe até obter uma quantidade que considere justa. Finalmente, o terceiro amigo escolhe entre ficar com a quantidade obtida ou cedê-la ao segundo amigo. Deve-se então dividir a quantidade restante entre os outros dois amigos... Algumas pessoas vão a uma pizzaria. Cada pessoa que está faminta quer comer 6 ou 7 pedaços de pizza, e as outras querem comer 2 ou 3 pedaços. Cada pizza possui 12 pedaços. Sabe-se que 4 pizzas não são suficientes para satisfazer a todos, mas com 5 pizzas sobrariam alguns pedaços. Quantas pessoas foram à pizzaria e quantas delas estavam famintas? Se para distribuir em 3 bandejas quantidades iguais de copo e suco, basta colocar 10 1/2; 3 1/2 em cada bandeja, como repartir 100 pães, em progressão aritmética entre 5 homens? Vocês sabiam...que existem 22 frações iguais a 460/713 com termos menores do que essa fração e que o relógio Catalão marca 13h20min e 6h36min. A propósito! Como distribuir 127 notas de R$1,00 em 7 bolsos de tal forma que qualquer soma inteira de 1 a 127 possa ser paga sem abrir os bolsos? Abraços! _ Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o Messenger! É GRÁTIS! http://www.msn.com.br/emoticonpack
[obm-l] DESAFIO REVEILLONIANO!
Olá, Pessoal! Joãozinho vai distribuir 8 balas entre seus 5 amiguinhos. Ele disse: Tenho certeza de que um de vocês vai receber pelo menos 2 balas Como ele sabia disso? Você concorda que, se ele tivesse 11 balas para distribuir entre 5 amiguinhos, um deles receberia pelo menos 3 balas? Explique por quê? Dispondo de sete copos cheios de suco, sete copos pela metade de suco e sete copos vazios, como distribuir em 3 bandejas quantidades iguais de copos e suco? (Campeão!) Repartir 100 pães, em progressão aritmética entre 5 homens de tal modo que a soma das duas partes menores seja a sétima parte da soma das três partes maiores. Que horas são em um relógio Catalão que marca Um quarto e cinco minutos da hora dois e depois Dois quartos de hora e mais seis minutos da sétima hora? Enquanto se ouvem as seis badaladas das 6 horas, decorrem 5 segundos entre a primeira e a última. Quanto tempo passará entre a primeira e a quarta badalada, quando o campanário assinalar 9 horas? Se você tem um jarro que comporta 25 litros de água, um outro que comporta 5 litros, e um terceiro que comporta 2 litros, como você pode obter exatamente 16 litros de água? O relógio da Matriz bateu uma vez. Meia hora depois bateu mais uma vez. Após meia hora deu outra batida. Que horas acusou no primeiro toque? Divirtam-se e Feliz 09! _ Organize seus contatos! O jeito mais fácil de manter a sua lista de amigos sempre em ordem! http://www.microsoft.com/windows/windowslive/events.aspx
[obm-l] DESAFIO NATALINO!
Turma! Vamos ajudar Papai Noel nos problemas abaixo, apesar de não merecer por ofuscar o verdadeiro sentido de Natal Jesus... Afinal! Como distribuir 3 barras de chocolate entre quatro crianças ao invés de dar 0,75 de chocolate para cada uma delas? (Campeão!) Qual a proporção ao distribuir doces igualmente para duas crianças dando três duplos para uma ao dar dois triplos para outra? Os 3/4 de um número excedem 21 de tantas unidades quantas os 7/11 dele são inferiores a 40. Qual é esse número? Determinar o ponto que divide internamente um segmento de 14 unidades na razão 2/5? (Essa é novidade!) A propósito, se a metade de cinco fosse nove, quanto seria a terça parte de dez? Quantas frações há entre zero e um? Se cinco partes de dois inteiros de três vale 5/3, quanto corresponderia 2/15? (Desconheço sua resolução, se é que existe!) Como dividir um bôlo entre três crianças de modo que cada uma tenha a impressão de, pelo menos, estar recebendo 1/3 do bôlo? Dois amigos estavam prestes a dividir uma garrafa de champanhe, quando chegou um terceiro amigo. Como devem proceder para obter uma divisão irmamente justa? Boas Festas! _ Mais do que emails! Confira tudo o que Windows Live™ pode oferecer. http://www.microsoft.com/windows/windowslive/
[obm-l] DÚVIDAS FRACIONÁRIAS!
OK! Bernardo, Raphael e colegas! O trânsito escoaria mais rápido a 50 Km/h com distância de 25 metros. Não entendi a influência do tamanho modelo do automóvel. Mas, deixando a Física de lado, vamos a um assunto pouco explorado onde phd's experientes se atrapalharam no Jogo de Damas em que João não ganhou 3/4 das partidas e Maria não ganhou 2/5...Uma das dificuldades do ensino de Matemática é o da divisão de frações, a começar pela definição do produto pelo inverso da outra fração...Pasmem! pois se fosse cobrado em uma olimpíada o seguinte problema, sòmente uma meia-dúzia de mentes brilhantes obteriam êxito. Acreditem!...Cite pelo menos duas maneiras de distribuir 3 barras de chocolate entre quatro crianças...Experimentem com seus alunos!...vale salientar que não estou subestimando nenhum dos colegas, até porque não tenho cacife para tanto... Repartir 100 pães entre 10 homens, de modo que se dê 50 pães a 6 dos homens e outros 50 aos outros 4 homens. Qual é a diferença das partes? Como distribuir doces igualmente para duas crianças na proporção 1:2 versus 1:3? Quantas frações existem iguais a 460/713 e com termos menores do que essa fração? Como é o processo de divisão para escrevermos a fração 3/4 no sistema de base 6? Quantas vezes três partes cabe em duas partes de um segmento de cinco partes iguais? Aos 7/11 de um número falta, para igualar 40, quantia igual ao excesso dos seus 3/4 sobre 21. Qual é o número? Uma meia, meia feita. Oura meia por fazer. Quantas meias vem a ser? A propósito, como fracionar 7 pães entre 10 pessoas? (Essa é boa!) Divirtam-se! _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
