Re: [obm-l] Complexos
Esta tem uma demonstração bonitinha usando um retângulo dividido em 6 quadrados congruentes da forma óbvia (2x3). Enviado do meu iPhone Em 8 de set de 2019, à(s) 19:57, Maikel Andril Marcelino escreveu: > Calcule (2+i)(3+i) e deduza que pi/4 = arctg(1/2) + arctg(1/3) > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Complexos, pequena dúvida histórica.
Em ter, 23 de abr de 2019 às 18:35, matematica10complicada escreveu: > > Caros amigos,, onde surgiu a notação CIS normalmente usada para números > complexos? > Foi em no Sudeste?? > https://en.wikipedia.org/wiki/Cis_(mathematics) Resumão: Hamilton em um livro de 1866. É uma mera abreviatura de "cosseno-i-seno". > Douglas Oliveira. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos
Arkon: Cada z (no plano xy de Argand) é representado pelo ponto P=(x,y) e z^2=x^2-y^2+2ixy. Pelas condições impostas, só interessa considerar os pontos tais que: x^2-y^2=0 , ou seja: y=x, ou y=-x. A primeira equação representa a reta bissetriz do primeiro quadrante do plano; a segunda, a bissetriz do segundo quadrante, retas essas perpendiculares entre si (e que passam pela origem, é lógico). Essas retas constituem apenas *um par* dentre a infinidade de pares de retas perpendiculares que passam pela origem do sistema de coordenadas. Logo, a afirmação é errada . Além disso, a redação da pergunta está incorreta porque o escrevente estava se referindo a *um par de retas perpendiculares que passa pela origem* ... e não, passam. Solicite a anulação da questão por ter ocorrido erro de Português por parte da Universidade. Mas não considere isto uma quebrada de galho. Complexas saudações. JWGibbs 2008/6/25, arkon [EMAIL PROTECTED]: *ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR* ** *(UnB) O conjunto dos números complexos z = x + iy, para os quais se tem que a parte real de z^2 é nula, é formado por um par de retas perpendiculares que passam pela origem do sistema de coordenadas?* * * *Gabarito: C, ou seja, item Certo.*
Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao
Rafael, neste caso basta observar que a^3-b^3 = (a-b).(a^2+ab+b^2) tomando a=x^3 e b=y^3...temos (x^9-y^9) / (x^3 - y^3) = (x^3-y^3).(x^6 + x^3.y^3+y^6) / (x^3 - y^3) = (x^6 + x^3.y^3+y^6). Valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 10:14 PM Subject: Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao Muito obrigado Carlos. Ja vi que nao é sobre fatoracao de polinomios usando complexos, mas eu nunca tinha ouvido falar numa teoria de polinomios simetricos, entao vou dar uma estudada nisso tambem. Talvez me ajude a entender como é que o autor da mensagem do link que eu passei conseguiu enxergar que x^6+x^3y^3+y^6 é o mesmo que (x^9 -y^9) / (x^3 - y^3) . Achei muito impressionante isso. On 2/15/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Rafael talvez não seja exatamente o que vc procura mas vae a pena ver o meu link http://www.cemigual.pro.br/artigos/Polin%F4mios%20Sim%E9tricos.pdf talvez ache legal,,,valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 8:24 PM Subject: [obm-l] Complexos e Fatoracao Alguem sabe de um livro/site/artigo que trate sobre o uso de complexos na fatoracao de polinomios ? Andei lendo essa mensagem : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200204/msg00019.html, nao entendi muita coisa, mas gostei desse assunto e queria saber mais sobre ele. Obrigado. -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.39/687 - Release Date: 14/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.412 / Virus Database: 268.18.0/689 - Release Date: 15/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao
Tem razao, Carlos. Andei estudando um pouco mais sobre fatoracao e polinomios e encontrei nesse site: http://www.oma.org.ar/omanet/misc/00-04.htm a identidade(posso chamar isso de identidade?) de fatoracao do (x^n - y^n) que voce e o autor devem ter tido em mente ao fazer o exercicio. Ja aprendi como mexer com as raizes complexas da unidade (nunca tinha me dado conta que os complexos poderiam ser tao poderosos) e entendi o raciocinio por tras da fatoracao daquele polinomio. Obrigado pela ajuda e aproveitando a mensagem, poderia me dizer o que voce acha do livro de trigonometria e complexos do morgado (se voce conhecer ele , claro) ?? On 2/16/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Rafael, neste caso basta observar que a^3-b^3 = (a-b).(a^2+ab+b^2) tomando a=x^3 e b=y^3...temos (x^9-y^9) / (x^3 - y^3) = (x^3-y^3).(x^6 + x^3.y^3+y^6) / (x^3 - y^3) = (x^6 + x^3.y^3+y^6). Valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 10:14 PM Subject: Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao Muito obrigado Carlos. Ja vi que nao é sobre fatoracao de polinomios usando complexos, mas eu nunca tinha ouvido falar numa teoria de polinomios simetricos, entao vou dar uma estudada nisso tambem. Talvez me ajude a entender como é que o autor da mensagem do link que eu passei conseguiu enxergar que x^6+x^3y^3+y^6 é o mesmo que (x^9 -y^9) / (x^3 - y^3) . Achei muito impressionante isso. On 2/15/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Rafael talvez não seja exatamente o que vc procura mas vae a pena ver o meu link http://www.cemigual.pro.br/artigos/Polin%F4mios%20Sim%E9tricos.pdf talvez ache legal,,,valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 8:24 PM Subject: [obm-l] Complexos e Fatoracao Alguem sabe de um livro/site/artigo que trate sobre o uso de complexos na fatoracao de polinomios ? Andei lendo essa mensagem : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200204/msg00019.html, nao entendi muita coisa, mas gostei desse assunto e queria saber mais sobre ele. Obrigado. -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.39/687 - Release Date: 14/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.412 / Virus Database: 268.18.0/689 - Release Date: 15/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao
Como Todos os livros da coleção do professor de Matemática da SBM ele tb é muito legal...se vc não tem vale a pena adquiri-lo. Ele trata num tamanho adequado uma boa introdução à Trigonometria básica. Um outro que eu gosto muito é o Temas e Problemas ( o capítulo de trigonometria aplicada é ótimo!!! e não podia ser difente...obra do Wagner um dos mais didáticos prof. que já conheci!...vale a pena conferir. Se quiser algo mais forte, ou mais olímpico dá uma olhada no livro 103 trigonometry problems o Titu Andreenscu...é um primor! valew Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, February 16, 2007 1:22 PM Subject: Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao Tem razao, Carlos. Andei estudando um pouco mais sobre fatoracao e polinomios e encontrei nesse site: http://www.oma.org.ar/omanet/misc/00-04.htm a identidade(posso chamar isso de identidade?) de fatoracao do (x^n - y^n) que voce e o autor devem ter tido em mente ao fazer o exercicio. Ja aprendi como mexer com as raizes complexas da unidade (nunca tinha me dado conta que os complexos poderiam ser tao poderosos) e entendi o raciocinio por tras da fatoracao daquele polinomio. Obrigado pela ajuda e aproveitando a mensagem, poderia me dizer o que voce acha do livro de trigonometria e complexos do morgado (se voce conhecer ele , claro) ?? On 2/16/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Rafael, neste caso basta observar que a^3-b^3 = (a-b).(a^2+ab+b^2) tomando a=x^3 e b=y^3...temos (x^9-y^9) / (x^3 - y^3) = (x^3-y^3).(x^6 + x^3.y^3+y^6) / (x^3 - y^3) = (x^6 + x^3.y^3+y^6). Valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 10:14 PM Subject: Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao Muito obrigado Carlos. Ja vi que nao é sobre fatoracao de polinomios usando complexos, mas eu nunca tinha ouvido falar numa teoria de polinomios simetricos, entao vou dar uma estudada nisso tambem. Talvez me ajude a entender como é que o autor da mensagem do link que eu passei conseguiu enxergar que x^6+x^3y^3+y^6 é o mesmo que (x^9 -y^9) / (x^3 - y^3) . Achei muito impressionante isso. On 2/15/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Rafael talvez não seja exatamente o que vc procura mas vae a pena ver o meu link http://www.cemigual.pro.br/artigos/Polin%F4mios%20Sim%E9tricos.pdf talvez ache legal,,,valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 8:24 PM Subject: [obm-l] Complexos e Fatoracao Alguem sabe de um livro/site/artigo que trate sobre o uso de complexos na fatoracao de polinomios ? Andei lendo essa mensagem : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200204/msg00019.html, nao entendi muita coisa, mas gostei desse assunto e queria saber mais sobre ele. Obrigado. -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.39/687 - Release Date: 14/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.412 / Virus Database: 268.18.0/689 - Release Date: 15/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.412 / Virus Database: 268.18.0/689 - Release Date: 15/2
Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao
Rafael talvez não seja exatamente o que vc procura mas vae a pena ver o meu link http://www.cemigual.pro.br/artigos/Polin%F4mios%20Sim%E9tricos.pdf talvez ache legal,,,valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 8:24 PM Subject: [obm-l] Complexos e Fatoracao Alguem sabe de um livro/site/artigo que trate sobre o uso de complexos na fatoracao de polinomios ? Andei lendo essa mensagem : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200204/msg00019.html, nao entendi muita coisa, mas gostei desse assunto e queria saber mais sobre ele. Obrigado. -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.39/687 - Release Date: 14/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao
Muito obrigado Carlos. Ja vi que nao é sobre fatoracao de polinomios usando complexos, mas eu nunca tinha ouvido falar numa teoria de polinomios simetricos, entao vou dar uma estudada nisso tambem. Talvez me ajude a entender como é que o autor da mensagem do link que eu passei conseguiu enxergar que x^6+x^3y^3+y^6 é o mesmo que (x^9 -y^9) / (x^3 - y^3) . Achei muito impressionante isso. On 2/15/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Rafael talvez não seja exatamente o que vc procura mas vae a pena ver o meu link http://www.cemigual.pro.br/artigos/Polin%F4mios%20Sim%E9tricos.pdf talvez ache legal,,,valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 8:24 PM Subject: [obm-l] Complexos e Fatoracao Alguem sabe de um livro/site/artigo que trate sobre o uso de complexos na fatoracao de polinomios ? Andei lendo essa mensagem : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200204/msg00019.html, nao entendi muita coisa, mas gostei desse assunto e queria saber mais sobre ele. Obrigado. -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.39/687 - Release Date: 14/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Fatoracao
Oi, Rafael (e outro Carlos...) Mas se você lembrar que a^3 - b^3 = ( a - b ). (a^2 + ab + b^2) que eu acredito que você saiba, verá que não é tão mágico assim. É apenas necessário você desenvolver um pouco mais de malícia no uso dos produtos notáveis (inclusive para ler com mais facilidade o ótimo texto do outro Carlos - o Gomes...:-)) Abraços, Nehab At 23:14 15/2/2007, you wrote: Muito obrigado Carlos. Ja vi que nao é sobre fatoracao de polinomios usando complexos, mas eu nunca tinha ouvido falar numa teoria de polinomios simetricos, entao vou dar uma estudada nisso tambem. Talvez me ajude a entender como é que o autor da mensagem do link que eu passei conseguiu enxergar que x^6+x^3y^3+y^6 é o mesmo que (x^9 -y^9) / (x^3 - y^3) . Achei muito impressionante isso. On 2/15/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: Rafael talvez não seja exatamente o que vc procura mas vae a pena ver o meu link http://www.cemigual.pro.br/artigos/Polin%F4mios%20Sim%E9tricos.pdf talvez ache legal,,,valew, Cgomes - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, February 15, 2007 8:24 PM Subject: [obm-l] Complexos e Fatoracao Alguem sabe de um livro/site/artigo que trate sobre o uso de complexos na fatoracao de polinomios ? Andei lendo essa mensagem : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200204/msg00019.html, nao entendi muita coisa, mas gostei desse assunto e queria saber mais sobre ele. Obrigado. -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.39/687 - Release Date: 14/2/2007 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos em Geometria e Napoleao
claudio.buffara wrote: Tem um artigo legal na Eureka sobre aplicaoes de complexos em geometria. Estah aqui: http://www.obm.org.br/eureka/artigos/aplicacoes.pdf Aproveitando o tópico: se eu quiser distribuir n pontos ao longo de uma circunferência, de tal modo que a menor distância entre dois pontos seja máxima, eu vou distribuir os pontos de maneira uniforme, particionando a circunferência em n arcos de comprimento igual. Nesse caso, a posição dos pontos pode ser dada por exp(2*pi*i*x/n) pra x=0,n-1. A minha dúvida é: existe resultado análogo pra n pontos em uma superfície esférica? Eu tenho como definir algum tipo de tritenion pra resolver o problema por esse caminho, assim como eu uso complexos na circunferência? -- Ricardo Bittencourt = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos em Geometria e Napoleao
Oi Claudio, Espero que este email nao seja considerado muito off-topic pelos colegas, pois que é mais sobre Educação em Matemática (que é minha praia mais amada) do que sobre problemas em Matemática (que hoje é apenas um passatempo delicioso para mim - mas um passatempo - me encanto aprendendo com vocês). Muito úteis as informações complementares inclusive a piadinha da pressão... (e cá para nós, em matéria de ego o Fermat e o Napoleao... uhmmm não sei quem era mais doente, não)... Mas a principal razão de eu ter comentado que uso a tal propriedade dos complexos para matar problemas em geometria vem de uma preocupação anterior que não explicitei (só pensei) no email anterior :-) Hoje eu percebo nos alunos uma imensa dificuldade em enxergar geometria (uma quantidade enorme de alunos tem uma dificuldade inacreditável até para desenhar um cubo em perspectiva).Talvez a razão se origine lá atrás, quando disciplinas como Desenho Geométrico, Geometria Descritiva e Perspectiva faziam parte do currículo normal e deixaram de sê-lo. A cegueira geométrica aumentou consideravelmente de lá para cá. Assim rotações, translações, homotetias, simetrias, inversões e um pouco de homologia eram técnicas usadas para matar geometricamente inúmeros problemas e desenvolver nossa capacidade de ver geometricamente. Hoje, embora haja inúmeros textos bem escritos sobre todos estes assuntos, a maioria não possui o desejado viés puramente geométrico. Naturalmente, como você comentou, há a informação abundante disponível na Internet (aliás sou frequentador assíduo dos sites que você mencionou: são MUITO bons ( www.cut-the-knot.org e www.nrich.maths.org ) mas o trabalho escolar sobre os temas praticamente desapareceu. Hoje, não há cursos de construções geométricas na escola formal. Depois neguinho estranha a atrofia reinante no lado direito do cérebro da galera - o que não se usa atrofia, né - e os neurônios não usados vão pro beleléu :-). É isto: tão faltando por ai uma boa dúzia de clones do prof Wagner (um craque) ... Abraços, Nehab At 11:16 14/2/2007, you wrote: -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 13 Feb 2007 20:24:07 -0200 Assunto: Re: [obm-l] Problemas em aberto Oi, Claudio, O problema de complexos que você mencionou é uma ferramenta extremamente útil que já usei para demonstrar inúmeros problemas de geometria, como por exemplo o famoso teorema atribuido ao Napoleão (o Bonaparte, mesmo, acredite se quiser... :-)), que eu acho surpreendente: Tem um artigo legal na Eureka sobre aplicaoes de complexos em geometria. Estah aqui: http://www.obm.org.br/eureka/artigos/aplicacoes.pdf E aqui estah outro: http://www.majorando.com/arquivos/geomcomplexasemolimp.pdf Sobre os lados de um triângulo arbitrário construa três triângulos equiláteros exteriores ao mesmo. Mostre que os centros destes 3 triângulos equiláteros determinam um novo triângulo equilátero. Ha controversias sobre a autoria desse teorema. Parece que Napoleao realmente gostava de matematica, e que pode ateh ter descoberto (ou re-descoberto) este teorema empiricamente, mas eh menos provavel que tenha descoberto uma demonstracao original. No entanto, sabe-se que Napoleao era amigo de Fourier, Laplace, Monge e outros craques. Pode ser que, numa dada noite, eles tenham se encontrado pra tomar umas e outras. Dai, podem ter comecado a falar de matematica, o problema apareceu e foi resolvido (pelo Monge, por exemplo, que nao era muito ruim de geometria). No dia seguinte, ninguem se lembrava bem quem fez o que e o Napoleao, que certamente tinha um ego inversamente proporcional a sua estatura, decidiu se apoderar do credito... O teorema do Napoleão também é relacionado a outro problema (atribuído a Pascal) igualmente interessante: Dado um triângulo qualquer, determine o ponto de seu plano cuja soma das distâncias aos vértices é mínima. Eu li que este problema foi proposto por Fermat a Evangelista Torricelli. Alias, eh muito natural confundir o Torricelli com o Pascal, especialmente quando se estah sob pressao (jah pedindo desculpas pela piadinha infame...). O tal ponto eh normalmente chamado ponto de Fermat do triangulo. Se um dos angulos do triangulo for = 120 graus, entao o ponto eh o vertice correspondente. Algumas demonstracoes esao aqui: http://www.cut-the-knot.org/Generalization/fermat_point.shtml Esse problema tem uma interpretacao fisica interessante, em termos de equilibrio estatico. Veja aqui: http://www.nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=495part=solutionrefpage=viewer.php A relacao entre os teoremas de Napoleao e Pascal-Fermat-Torricelli eh descrita aqui: http://www.math.washington.edu/~king/coursedir/m444a03/notes/12-05-Napoleon-Fermat.html Que maravilha essa internet, hem?... Imagina o trabalho que alguem teria pra achar estas referencias ha 20 anos atras... []s, Claudio. Os
Re: [obm-l] Complexos em Geometria e Napoleao
Hoje eu percebo nos alunos uma imensa dificuldade em enxergar geometria (uma quantidade enorme de alunos tem uma dificuldade inacreditável até para desenhar um cubo em perspectiva).Talvez a razão se origine lá atrás, quando disciplinas como Desenho Geométrico, Geometria Descritiva e Perspectiva faziam parte do currículo normal e deixaram de sê-lo. A cegueira geométrica aumentou consideravelmente de lá para cá. ( ... ) Hoje, não há cursos de construções geométricas na escola formal. Depois neguinho estranha a atrofia reinante no lado direito do cérebro da galera - o que não se usa atrofia, né - e os neurônios não usados vão pro beleléu :-). Há algumas décadas, o Licenciado em Matemática estava habilitado a dar aulas de Matemática (dã), Física, Química, Desenho Geométrico e seus derivados. O tempo foi passando e o Licenciado em Matemática passou a estar habilitado apenas a Matemática e Desenho Geométrico. O tempo foi passando e o Desenho Geométrico saiu das mãos do matemático e foi parar nas mãos do professor formado em Belas Artes. Poético, não? Porém insensato. Hoje, o Professor de Belas Artes (q nunca teve a mesma intimidade com esse assunto tal qual um matemático) não pode mais dar aulas de Desenho Geométrico. Por ter pouquíssima intimidade com essa matéria, ele acabava contribuindo para aumentar o temor q muitos alunos tinham pela matemática. Uma sábia decisão, enfim. Mas... quem está HOJE legalmente habilitado a ensinar Desenho Geométrico (assunto pelo qual sou deveras tarado) ? Não tenho muita certeza sobre essa linha do tempo que descrevi. Sou muito novo e não vivi essas épocas passadas. Isso foi uma compilação de informações que resgatei ainda soltas na minha cabeça. Espero q nenhum Professor de Belas Artes mal-intencionado leia esse tópico. Abraços, FC. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos em Geometria e Napoleao
Oi, Felipe, Talvez o Nicolau (pelo menos com respeito à PUC) possa dar esta informação (quem pode lecionar Desenho) de maneira mais precisa, mas acredito que qualquer licenciatura em Matemática permita lecionar Desenho Geométrico. Veja em http://www.ceesp.sp.gov.br/Indicacoes/in_53_05.htm lá no finalzinho, que em SP pode... Mas há inúmeroas idossincrasias, pois o Matemático também pode dar aula de Física, o que cá para nós é mais doido do que o de Artes dar aula de Desenho (pois em geral não se distingue - e ai está o problema - desenho geometrico de desenho). Mas a gente não pode generalizar, pois meu professor de Desenho Técnico no IME (e de várias gerações) foi o Frank Shaeffer (acho que escreve assim) cuja profissão era ... pintor (aliás, um fantástico pintor que amava a temática marítma). No tocante a desenhos eu tive o privilégio de ser aluno de Virgílio de Athaye Pinheiro (cujos livros de Geometria Descritiva os tenho autografados) e de Célio Pinto de Ameida. O primeiro um erudito (assim como seu irmão, Homero: valorizavam dentre outras coisas, a Filosofia e a História da Matemática) e o segundo um dos melhores professores que já tive na vida. Me ensinaram muito além da Matemática... Abraços, Nehab At 13:43 14/2/2007, you wrote: Hoje eu percebo nos alunos uma imensa dificuldade em enxergar geometria (uma quantidade enorme de alunos tem uma dificuldade inacreditável até para desenhar um cubo em perspectiva).Talvez a razão se origine lá atrás, quando disciplinas como Desenho Geométrico, Geometria Descritiva e Perspectiva faziam parte do currículo normal e deixaram de sê-lo. A cegueira geométrica aumentou consideravelmente de lá para cá. ( ... ) Hoje, não há cursos de construções geométricas na escola formal. Depois neguinho estranha a atrofia reinante no lado direito do cérebro da galera - o que não se usa atrofia, né - e os neurônios não usados vão pro beleléu :-). Há algumas décadas, o Licenciado em Matemática estava habilitado a dar aulas de Matemática (dã), Física, Química, Desenho Geométrico e seus derivados. O tempo foi passando e o Licenciado em Matemática passou a estar habilitado apenas a Matemática e Desenho Geométrico. O tempo foi passando e o Desenho Geométrico saiu das mãos do matemático e foi parar nas mãos do professor formado em Belas Artes. Poético, não? Porém insensato. Hoje, o Professor de Belas Artes (q nunca teve a mesma intimidade com esse assunto tal qual um matemático) não pode mais dar aulas de Desenho Geométrico. Por ter pouquíssima intimidade com essa matéria, ele acabava contribuindo para aumentar o temor q muitos alunos tinham pela matemática. Uma sábia decisão, enfim. Mas... quem está HOJE legalmente habilitado a ensinar Desenho Geométrico (assunto pelo qual sou deveras tarado) ? Não tenho muita certeza sobre essa linha do tempo que descrevi. Sou muito novo e não vivi essas épocas passadas. Isso foi uma compilação de informações que resgatei ainda soltas na minha cabeça. Espero q nenhum Professor de Belas Artes mal-intencionado leia esse tópico. Abraços, FC. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos em Geometria e Napoleao
On Wed, Feb 14, 2007 at 11:46:31AM -0300, Ricardo Bittencourt wrote:
Aproveitando o tópico: se eu quiser distribuir n pontos ao longo de uma
circunferência, de tal modo que a menor distância entre dois pontos seja
máxima, eu vou distribuir os pontos de maneira uniforme, particionando a
circunferência em n arcos de comprimento igual. Nesse caso, a posição
dos pontos pode ser dada por exp(2*pi*i*x/n) pra x=0,n-1.
A minha dúvida é: existe resultado análogo pra n pontos em uma
superfície esférica? Eu tenho como definir algum tipo de tritenion pra
resolver o problema por esse caminho, assim como eu uso complexos na
circunferência?
Isto que você pergunta é um problema difícil e muito estudado.
Veja a seção 2.3 do capítulo 1 de Sphere Packings, Lattices and Groups
de J. H. Conway e N. J. A. Sloane. Eles definem A(n,phi) como sendo
o maior número possível de pontos que podem ser acomodados na esfera
S^{n-1} contida no espaço euclidiano de n dimensões R^n tais que o
ângulo entre pontos distintos seja sempre maior ou igual a phi.
Como você observou, o problema de calcular A(n,phi) é fácil para n = 2.
Ele é difícil para qualquer outro valor de n, inclusive n = 3
e n = 4 (apesar de existirem os quatérnios). Até a demonstração de
que N(3,pi/3) = 12 (isto é, que não é possível fazer 13 esferas
tangenciarem uma esfera central de mesmo raio) é difícil:
Newton considerou o problema mas a primeira demonstração é do século XIX.
A melhor maneira de acomodar 6 ou 12 pontos é nos vértices de um octaedro
ou icosaedro regular. Para acomodar 8 pontos você não deve usar os vértices
de um cubo: um antiprisma de base quadrada é melhor. E para acomodar
20 pontos os vértices de um dodecaedro também não são a melhor opção
(a resposta certa é bem menos simétrica).
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Complexos em Geometria e Napoleao
On Wed, Feb 14, 2007 at 03:19:17PM -0200, Carlos Eddy Esaguy Nehab wrote: Oi, Felipe, Talvez o Nicolau (pelo menos com respeito à PUC) possa dar esta informação (quem pode lecionar Desenho) de maneira mais precisa, mas acredito que qualquer licenciatura em Matemática permita lecionar Desenho Geométrico. Eu não sei de nada não. Mas se algum de vocês estiver curioso de saber não qual é a lei e sim qual é a minha opinião pessoal, eu digo. Eu acho que este monte de leis dizendo quem tem o direito de fazer o que ruins em geral, e no caso do ensino (que é o que eu conheço melhor) talvez especialmente ruins, em muitos casos contraproducentes. Eu acho que os responsáveis em cada caso (os diretores de escolas, por exemplo) quase sempre podem avaliar quem é o candidato mais competente e adequado melhor do que o MEC ou sei lá que outro orgão do governo. Já vi muitos casos em que as leis atrapalham, induzem a escolha do pior candidato. Um exemplo anedótico: eu não tenho licenciatura então por lei eu posso dar aula na universidade mas não no ensino médio. Por lei, se eu desejar dar aula no ensino médio devo cursar várias cadeiras da licenciatura. Entre elas, algumas que eu tenho o direito legal de ensinar... Mas tudo isso está ficando off-topic. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] complexos
Estava estudando números complexos e tive a seguinte dúvida: Quais as propriedades de polinômios eu posso utilizar ao operar com números complexos?? por exemplo, na equação w^2 + |w| = 0, poderia afirmar q a soma das raizes é igual a 0? Sejam a e b números reais não nulos e Z1 = a + bi uma das raízes n-ésima da unidade. 1/Z1 é uma das raízes da unidade? == = No caso que mandou você pode afirmar sim que a soma das raízes de w^2 + |w| = 0 é zero , ja que a unica solução é o proprio 0. Você deve observar que o ZEROtambem é um numero complexo.Perceba que uma equação polinomial em C nada mais é que um problema comum de polinomios com um upgrade no seu dominio. Mande uns exercicios a respeito para a lista !!! []'s Luiz H. Barbosa MSN: [EMAIL PROTECTED]
Re: [obm-l] complexos
i^2 + | i | = -1 + 1 = 0Zero nao é a unica solucao, e propriedades de polinomios valem apenas em polinomios. Nesse caso temos uma equacao modular. Podemos verificar que +-i e zero sao raizes, se fosse um polinomio teria apenas duas. Em 24/01/06, Luiz H. Barbosa [EMAIL PROTECTED] escreveu: Estava estudando números complexos e tive a seguinte dúvida: Quais as propriedades de polinômios eu posso utilizar ao operar com números complexos?? por exemplo, na equação w^2 + |w| = 0, poderia afirmar q a soma das raizes é igual a 0? Sejam a e b números reais não nulos e Z1 = a + bi uma das raízes n-ésima da unidade. 1/Z1 é uma das raízes da unidade? == = No caso que mandou você pode afirmar sim que a soma das raízes de w^2 + |w| = 0 é zero , ja que a unica solução é o proprio 0. Você deve observar que o ZEROtambem é um numero complexo.Perceba que uma equação polinomial em C nada mais é que um problema comum de polinomios com um upgrade no seu dominio. Mande uns exercicios a respeito para a lista !!! []'s Luiz H. Barbosa MSN: [EMAIL PROTECTED]
Re: [obm-l] complexos
Aproveitando a questao:1) Um polinomio de grau N possui N raizes complexas (nao eh o caso) (?) [Temos +-i e 0]2) w^2 + |w| = 0 é [tambem] uma equacao modular?3) Para a soma das raizes ser zero, o termo de grau 1 deveria ser zero. Nas respostas dadas estao considerando |w| como termo independente? Isso claramente eh falso. Ou não? O que eu tentei passar anteriormente eh q no caso citado, a soma das raizes é zero, mas nao por ser uma propriedade dos polinomios.Em 24/01/06, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ah corrigindo, i tambem eh soucaoda equacao dada, de modo que a soma eh mesmo nula. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Artur Costa SteinerEnviada em: terça-feira, 24 de janeiro de 2006 16:14Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: RES: [obm-l] complexos Quais as propriedades de polinômios eu posso utilizar ao operar com números complexos?? Todas as propriedades dos polinomios que dependam apenas das leis algebricas vigentes no corpo dos reais sao validas no corpo dos complexos, pois oscomplexos formam um corpo com relacao aas operacoes de adicao e de multiplicacao.Por exemplo, as relações de Girard sao validas para polinomios definidos no corpo dos complexos. por exemplo, na equaçãow^2 + |w| = 0, poderia afirmar q a soma das raizes é iguala 0? Se w = a+ b*i, a e b reais, entao a equacaow^2 + |w| = 0 equivale aa^2 - b^2 +|w| + 2*a*b*i =0. Como |w| = +raiz(a^2 + b^2) eh real, temos que 2*a*b = 0 = a=0 ou b=0. Se b =0, w eh real e a unica solucao eh w = 0. Se a = 0, entao w = b*i e -b^2 +|b| = 0. Se b=0, temos -b^2 +b = 0 = b =0. Se b0, entao -b^2 - b = 0 = b= -1. Assim , assolucoes da equacao sao w = 0 e w=-i.A soma da raizes eh -i. Sejam a e b números reais não nulos e Z1 = a + bi uma das raízes n-ésima da unidade. 1/Z1 é uma das raízes da unidade? Sim, pois pelas leis algebricas do corpo dos complexos, (1/z1)^n = 1/(z1^n) =1/1 =1., Artur
Re: [obm-l] Complexos
Oi Fabio.
Comecemos pelo cj A. Dizer q /z/=3 significa q a
distancia de z a origem do plano eh 3. Ou seja, temos
/z-0/=3, a circunferencia de raio 3 e centro em 0. No
caso presente, temos /z-(2+i)/=3, i.e., a
circunferencia de raio 3 e centro no ponto 2+i.
Quanto a B, se pensarmos em C como isomorfo ao R2 e
escrevermos z=(a,b), entao B eh simplesmente o cj dos
pontos do plano tq a segunda coordenada eh 1/2.
Geometricamente, B eh a reta paralela ao eixo real e
passando pelo ponto (0,1/2).
Espero q tenha ajudado.
--- Fabio Contreiras [EMAIL PROTECTED]
escreveu:
Como enxergar os complexos quando se misturam o z
com o i ... ? deve-se
desmembrar o z em a + bi ? Essa dúvida surgiu nesse
problema :
Se alguem puder dar uma ajuda ae...
Abraços.
1)
A medida da menos área delimitada pelas
representações geométricas no plano
de Argand-Gauss dos subconjuntos
A = { z E C tal que | z - 2 - i | = 3 }
B = { z E C tal que Im(z) = 1/2 }
é :
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
__
Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger
http://br.download.yahoo.com/messenger/
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] complexos : problema do Rudin
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Mon, 23 May 2005 16:10:27 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] complexos : problema do Rudin
Fabio Niski wrote:
Fabio Niski wrote:
Pessoal, este é o exercicio 5 do Capitulo 10 do Real and Complex
Analysis :
Suponha que b é um numero complexo, |b| != 1. Calcule
Integral[0 até 2pi](dt/(1-2b*cos(t) + b^2))
integrando [(z - b)^-1]*{[z-(1/b)]^-1} sobre o circulo unitario.
Alguem saberia como resolver? Poderia postar aqui?
Obrigado.
Ignorem! Eu acabei de conseguir.
Alias, agora estou na duvida.
Pela minha resolucao se o valor absoluto de b for menor do que 1,
eu cheguei em:
Integral[0 até 2pi](dt/(1-2b*cos(t) + b^2)) = -2*pi*(b^2 - 1)
Testando no Mathematica, eu vi que para valores de b com modulo muito
proximo a zero, o meu resultado parece estar correto, mas quando eu tomo
b = 0,9 + 0i por exemplo, o Mathematica me diz que a integral vale
aprox 33.0694 , enquanto pela minha formula chego em aprox 1.19381.
E agora? Quem é que esta certo?
Pra b = 0,9, o integrando fica 1/(1,81 - 1,80*cos(t))
Fazendo uma soma de Riemann com subintervalosmedindo 2pi/1000 numa planilha Excel, eu achei que a integral vale aproximadamente 33,0694.
Ou seja, o Mathematica está certo.
Além disso, repare que se b = 0,9, então 1 - b^2 = 0,19.
Repare também que33,0694*0,19 = 6,2832 = 2*3,1416.
Ou seja, há uma alta probabilidade de que a integral para b qualquer (com módulo 1) valha 2*pi/(1 - b^2). Pelo menos pra b = 0, o resultado bate exatamente.
Quem disse que matemática não é uma ciência experimental?
[]s,
Claudio.
Re: [obm-l] complexos : problema do Rudin
Eu acho que notei um pequeno erro na resposta da
sua integral. De fato a integral Integral[0 até 2pi](dt/(1-2b*cos(t) + b^2)),
para b=0.9, a resposta é 33,06939. Porém a resposta que você colocou está
errada
Integral[0 até 2pi](dt/(1-2b*cos(t) + b^2)) =
2*Pi/(1 - p²) para p 1
Então substituindo p = 0,9, na resposta
temos
2*Pi/(1 - 0,9²) = 33,06939
O termo (1 - p²) divide2*Pi, não
multiplica.
Fiz o teste para b = 0,7, obti na integral
(usando o Maple) o valor de 12,3199. Colocando na resposta da integral obti o
mesmo valor.
Ah sim, eu sou novo na lista =P
Léo
- Original Message -
From:
claudio.buffara
To: obm-l
Sent: Wednesday, May 25, 2005 9:41
AM
Subject: Re: [obm-l] complexos : problema
do Rudin
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Mon, 23 May 2005
16:10:27 -0300
Assunto:
Re: [obm-l]
complexos : problema do Rudin
Fabio Niski wrote:
Fabio Niski wrote:
Pessoal, este é o exercicio 5 do Capitulo 10 do Real and
Complex
Analysis :
Suponha que b é um numero complexo, |b| != 1. Calcule
Integral[0 até 2pi](dt/(1-2b*cos(t) + b^2))
integrando [(z - b)^-1]*{[z-(1/b)]^-1} sobre o circulo
unitario.
Alguem saberia como resolver? Poderia postar aqui?
Obrigado.
Ignorem! Eu acabei de conseguir.
Alias, agora estou na duvida.
Pela minha resolucao se o valor absoluto de b for menor do que
1,
eu cheguei em:
Integral[0 até 2pi](dt/(1-2b*cos(t) + b^2)) = -2*pi*(b^2 - 1)
Testando no Mathematica, eu vi que para valores de b com modulo
muito
proximo a zero, o meu resultado parece estar correto, mas quando eu
tomo
b = 0,9 + 0i por exemplo, o Mathematica me diz que a integral
vale
aprox 33.0694 , enquanto pela minha formula chego em aprox
1.19381.
E agora? Quem é que esta certo?
Pra b = 0,9, o integrando fica 1/(1,81 - 1,80*cos(t))
Fazendo uma soma de Riemann com subintervalosmedindo 2pi/1000 numa
planilha Excel, eu achei que a integral vale aproximadamente 33,0694.
Ou seja, o Mathematica está certo.
Além disso, repare que se b = 0,9, então 1 - b^2 = 0,19.
Repare também que33,0694*0,19 = 6,2832 = 2*3,1416.
Ou seja, há uma alta probabilidade de que a integral para b qualquer (com
módulo 1) valha 2*pi/(1 - b^2). Pelo menos pra b = 0, o resultado
bate exatamente.
Quem disse que matemática não é uma ciência experimental?
[]s,
Claudio.
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Anti-Virus.Version: 7.0.322 / Virus Database: 266.11.16 - Release Date:
24/5/2005
Re: [obm-l] complexos : problema do Rudin
Claudio e Leonardo. Acho que voces estao parcialmente corretos. De fato eu cometi um erro bobo (veja http://www.linux.ime.usp.br/~niski/solu.gif ; passagem da linha -5 pra -3. Eu simplesmente comi o traço de divisao) Nesse sentido a integral vale de fato 2*pi/(1 - b^2) MAS para |b| 1 Para |b| 1 (eu nao fiz as contas no gif, mas é facil de ver) a integral valerá 2*pi/(b^2 - 1) Abraços. Pra b = 0,9, o integrando fica 1/(1,81 - 1,80*cos(t)) Fazendo uma soma de Riemann com subintervalos medindo 2pi/1000 numa planilha Excel, eu achei que a integral vale aproximadamente 33,0694. Ou seja, o Mathematica está certo. Além disso, repare que se b = 0,9, então 1 - b^2 = 0,19. Repare também que 33,0694*0,19 = 6,2832 = 2*3,1416. Ou seja, há uma alta probabilidade de que a integral para b qualquer (com módulo 1) valha 2*pi/(1 - b^2). Pelo menos pra b = 0, o resultado bate exatamente. Quem disse que matemática não é uma ciência experimental? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] complexos : problema do Rudin
Fabio Niski wrote:
Pessoal, este é o exercicio 5 do Capitulo 10 do Real and Complex Analysis :
Suponha que b é um numero complexo, |b| != 1. Calcule
Integral[0 até 2pi](dt/(1-2b*cos(t) + b^2))
integrando [(z - b)^-1]*{[z-(1/b)]^-1} sobre o circulo unitario.
Alguem saberia como resolver? Poderia postar aqui?
Obrigado.
Ignorem! Eu acabei de conseguir.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] complexos : problema do Rudin
Fabio Niski wrote:
Fabio Niski wrote:
Pessoal, este é o exercicio 5 do Capitulo 10 do Real and Complex
Analysis :
Suponha que b é um numero complexo, |b| != 1. Calcule
Integral[0 até 2pi](dt/(1-2b*cos(t) + b^2))
integrando [(z - b)^-1]*{[z-(1/b)]^-1} sobre o circulo unitario.
Alguem saberia como resolver? Poderia postar aqui?
Obrigado.
Ignorem! Eu acabei de conseguir.
Alias, agora estou na duvida.
Pela minha resolucao se o valor absoluto de b for menor do que 1,
eu cheguei em:
Integral[0 até 2pi](dt/(1-2b*cos(t) + b^2)) = -2*pi*(b^2 - 1)
Testando no Mathematica, eu vi que para valores de b com modulo muito
proximo a zero, o meu resultado parece estar correto, mas quando eu tomo
b = 0,9 + 0i por exemplo, o Mathematica me diz que a integral vale
aprox 33.0694 , enquanto pela minha formula chego em aprox 1.19381.
E agora? Quem é que esta certo?
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] complexos e a circunferencia
Que livro é esse, ou melhor qual o assunto do livro
- Original Message -
From: Fabio Niski [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, February 22, 2005 4:34 PM
Subject: [obm-l] complexos e a circunferencia
Pessoal, transcrevo aqui uma passagem de um livro que até agora nao
consegui compreender perfeitamente. Permitam que eu a escreva em ingles
notacao:
z' = conjugado de z.
The strong connections between the operations of complex numbers and
the geometry of the plane enable us to specify certain important
geometrical objects by means of complex equations. The most obvious case
is that of the circle {z : |z - c| = r} with centre c and radius r =0.
This easily translates to the familiar form of the equation of a circle:
if z = x + iy and c = a + ib, then |z-c|=r if and only if |z-c|^2 = r^2,
that is, if and only if (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. *The other form, x^2 +
y^2 + 2gx + 2fy + c = 0, of the equation of the circle can be rewritten
as zz' + hz + (hz)' + c = 0, where h = g -if. More generally, we have
the equation Azz' + Bz + (Bz)' + C = 0, where A(!=0) and C are real, and
B is complex. (...)
Realmente nao consegui entender a equacao geral da circunferencia que
ele apresenta
x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0
Expandi
|z-h|^2 = r^2
e chego em
x^2 + y^2 - 2gx + 2fy + g^2 + f^2 - r^2...
Ele tb nao deveria definir quem é f e g antes de apresentar a equacao?
Obrigado
Niski
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] complexos e a circunferencia
Complex Analysis
John M. Howie
José Carmino Gomes Jr wrote:
Que livro é esse, ou melhor qual o assunto do livro
- Original Message -
From: Fabio Niski [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, February 22, 2005 4:34 PM
Subject: [obm-l] complexos e a circunferencia
Pessoal, transcrevo aqui uma passagem de um livro que até agora nao
consegui compreender perfeitamente. Permitam que eu a escreva em ingles
notacao:
z' = conjugado de z.
The strong connections between the operations of complex numbers and
the geometry of the plane enable us to specify certain important
geometrical objects by means of complex equations. The most obvious case
is that of the circle {z : |z - c| = r} with centre c and radius r =0.
This easily translates to the familiar form of the equation of a circle:
if z = x + iy and c = a + ib, then |z-c|=r if and only if |z-c|^2 = r^2,
that is, if and only if (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. *The other form, x^2 +
y^2 + 2gx + 2fy + c = 0, of the equation of the circle can be rewritten
as zz' + hz + (hz)' + c = 0, where h = g -if. More generally, we have
the equation Azz' + Bz + (Bz)' + C = 0, where A(!=0) and C are real, and
B is complex. (...)
Realmente nao consegui entender a equacao geral da circunferencia que
ele apresenta
x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0
Expandi
|z-h|^2 = r^2
e chego em
x^2 + y^2 - 2gx + 2fy + g^2 + f^2 - r^2...
Ele tb nao deveria definir quem é f e g antes de apresentar a equacao?
Obrigado
Niski
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RE: [obm-l] complexos...
Comecemos de tras para frente, me parece mais facil. Soh vou dar umas dicas, este problema exige um trabalho algebrico um tanto tedioso (a menos que haja uma solucao facil que eu nao esteja vendo eh sempre bom frisar). A condicao u = -1/v (u eh o conjugado de u) impede que u =v (porque?), de modo que as expressoes dadas fazem sentido. Alem disto, a condicao garante que v 0. Temos que (1-uv)/(u-v) = (1/v u)/(u/v -1). Mas de u = -1/v, segue-se que (1/v u)/(u/v -1) = (-u u)/(-uu -1) = - (u + u)/(uu +1). Mas u + u = 2*Re(u), o dobro da parte real de u, e uu = |u|^2. Logo, (1-uv)/(u-v) = - 2*Re(u)/(|u|^2+1) =x_1, a relacao entre dois reais. Temos entao que x_1 eh real. De modo inteiramente analogo, voce chega aas outras expressoes, completando a primeira parte = da implicacao. Depois vc eleva todo mundo ao quadrado, soma e deve dar 1, completando a segunda =. Acho que nao dah muito trabalho. Mas para provar as implicacoes = acho que eh mais complicado. Resolva o sistema x_1 = (1-uv)/(u-v), x_2 = (1+uv)/(u-v) e tire u e v em funcao de x_1 e x_2. Depois, mostre que x_3 = sqrt(1- x_1^2 x_2^2) eh dado por (u+v)/(u-v). E finalmente mostre que u = -1/v. Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Guilherme Pimentel Sent: Monday, February 14, 2000 6:24 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] complexos... me ajudem com essa questão... Obrigado, Guilherme Pimentel IncrediMail - O mundo do correio eletrônico finalmente desenvolveu-se - Clique aqui = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
Ola pessoal,
Pegando um gancho no assunto:
Poderiam me dar uma interpretacao geometrica de determinantes ? Pois o que vejo desde alguns anos atras (quando ainda fazia o Ensino Medio) ateh agora foi o que o Nicolau disse abaixo, ou seja:
[... calcular a definicao de soma e produto de matrizes, aprende a calcular inversas de matrizes 2x2 e 3x3, aprende a calcular determinantes de matrizes 2x2 e 3x3 e aprende a resolver sistemas lineares 2x2 ou 3x3 por Cramer, e fim...]
Nao quero saber, por enquanto, das aplicacoes. Quero saber MATEMATICAMENTE o significado de determinantes diferentemente do que ensinam 99% dos livros. Nao tenho certeza, mas parece que ele esta relacionado aa area de um paralelogramo em um sistema cartesiano.
E para complexos ? Ha alguma demonstracao GEOMETRICA de quei i^2 = -1 ? Neste caso eu vi uma vez na internet um paper muito bom fazendo a demonstracao por geometria analitica, mas nao me lembro do endereco.
Em uma mensagem de 11/2/2004 12:20:34 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
On Tue, Feb 10, 2004 at 10:56:27PM -0200, Claudio Buffara wrote:
on 10.02.04 21:58, Laurito Alves at [EMAIL PROTECTED] wrote:
São vários os tópicos de matemática que ensinamos no Ensino Básico que têm
aplicação limitadíssima e que passam a impressão de que ensinamos tudo.
Números complexos, matrizes e determinantes são apenas alguns exemplos.
Eu sinto muito, mas sou forcado a discordar da sua mencao de numeros
complexos e matrizes como exemplos de matematica com aplicacoes
limitadissimas. O que pode ocorrer eh um professor do ensino medio nao ter
ideia do quao amplamente utilizados eles sao.
Eu não entendi bem o pensamento do Laurito, mas talvez ele estivesse
tentando dizer algo com que eu concordo. O fato de matrizes ou números
complexos serem importantes para um monte de gente está (espero!)
fora de discussão. Mas veja como o assunto matrizes é tipicamente
dado no ensino médio: o aluno aprende a definição de soma e produto
de matrizes, aprende a calcular inversas de matrizes 2x2 e 3x3,
aprende a calcular determinantes de matrizes 2x2 e 3x3 e aprende
a resolver sistemas lineares 2x2 ou 3x3 por Cramer, e fim.
Este aluno fica sem a menor idéia de que matrizes têm aplicações
em computação gráfica ou engenharia elétrica, sem a menor idéia
de que uma matriz pode representar uma rotação em R^3, sem nenhuma
interpretação geométrica para o determinante, e, é claro, sem
a sombra da sombra de uma idéia de que o determinante pode ter
apicações em combinatória. Este aluno não é capaz de dar nenhuma
aplicação para o produto de matrizes, nem como composição de transformações
lineares, nem como composição de funções de Möbius. Mesmo os alunos
de *olimpíadas* quando aprendem a resolver recorrências como
a_n = 3a_{n-1} - a_{n-2} dificilmente relacionam este tema com matrizes
(eu sei, eu fui um deles). E quanto a resolver sistemas, eliminação gaussiana
manual pode ser ensinada sem chagar perto de matrizes, e é muito melhor
do que Cramer.
Então eu tenho com relação ao ensino de matrizes uma posição até parecida
com a que eu tenho com relação ao ensino de juros: ou você ensina a coisa
direito ou é melhor nem tocar no assunto. Ensinar uma fórmula para calcular
juros que só é usada numa pequena minoria dos casos e parar aí,
sem ensinar a calcular juros compostas (e de preferência sem estas malditas
fórmulas que são decoradas sem ninguém entender nada) me parece uma idéia
muito estranha. Ensinar matrizes da forma como eu descrevi acima também
me parece uma idéia muito estranha.
Sobre números complexos eu não falei pq o exemplo é menos gritante:
o aluno de ensino médio sempre vê um pouquinho de contexto quando
aprende complexos. Deveria ser muito mais, claro.
Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
On Thu, Feb 12, 2004 at 03:01:27PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
Poderiam me dar uma interpretacao geometrica de determinantes ?
Uma matriz quadrada real define uma transformação linear T de R^n em R^n.
Tome um conjunto X contido em R^n para o qual faça sentido falar de volume.
Então volume(TX) = |det(T)| volume(X).
Outra menos conhecida, para matrizes inteiras: a matriz define uma
transformação de Z^n em Z^n. A densidade da imagem T(Z^n) em Z^n
é 0 se det(T) = 0 e 1/|det(T)| caso contrário. A definição de densidade
de um subconjunto X de Z^n é a seguinte: seja f(r) o número de elementos
de Z^n em uma bola de raio r centrada no origem e g(r) o número de elementos
de X na mesma bola. A densidade é lim_{r - infinito} g(n)/f(n).
E para complexos ? Ha alguma demonstracao GEOMETRICA de quei i^2 = -1 ?
Aqui eu não tenho a menor idéia do que é que você espera: i^2 = -1
é o fato mais básico sobre i, não sei em que contexto faria sentido
demonstrar (geometricamente ou de qualquer outra forma) que i^2 = -1.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
E para complexos ? Ha alguma demonstracao GEOMETRICA de quei i^2 = -1 ? Aqui eu não tenho a menor idéia do que é que você espera: i^2 = -1 é o fato mais básico sobre i, não sei em que contexto faria sentido demonstrar (geometricamente ou de qualquer outra forma) que i^2 = -1. Professor Nicolau talvez algo possa ser tirado dos quaternions do Hamilton (não me aprofundei muito mas quaternions = vetores?) Veja um pedaço da carta de Sir W. R. Hamilton ao seu filho Archibald. But on the 16th day of the same month - which happened to be a Monday, and a Council day of the Royal Irish Academy - I was walking in to attend and preside, and your mother was walking with me, along the Royal Canal, to which she had perhaps driven; and although she talked with me now and then, yet an under-current of thought was going on in my mind, which gave at last a result, whereof it is not too much to say that I felt at once the importance. An electric circuit seemed to close; and a spark flashed forth, the herald (as I foresaw, immediately) of many long years to come of definitely directed thought and work, by myself if spared, and at all events on the part of others, if I should even be allowed to live long enough distinctly to communicate the discovery. Nor could I resist the impulse - unphilosophical as it may have been - to cut with a knife on a stone of Brougham Bridge, as we passed it, the fundamental formula with the symbols, i, j, k; namely, i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 Hamilton se explica melhor em uma carta ao matematico John T. Graves, a carta pode ser vista em pdf: http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/QLetter/QLetter.pdf ou html http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/QLetter/QLetter.html Acho que disso pode-se tirar algumas informacoes e relacoes entre vetores numeros complexos e geometria, ou estou enganado? Um abraço. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski When we ask advice, we are usually looking for an accomplice. Joseph Louis LaGrange = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
Sobre matrizes, eu chutaria que as CPUs de todos os computadores envolvidos em processamento de dados cientificos e tecnicos (mas nao comerciais) passam a maior parte do tempo resolvendo sistemas lineares ou entao problemas de otimizacao linear, ambos atraves justamente de operacoes com matrizes. Um abraco, Claudio. Um exemplo concreto sobre matrizes eh um modelo de otimizacao, denominado NEWAVE, utilizado no Setor Elétrico Brasileiro, pelo ONS, peloo MME e por quase todas as empresas publicas e privadas. Este modelo, em constante atualizacao, foi desenvolvido pelo Cepel e determina a operacao otima do Sistema Interligado Nacional de energia elétrica. Ele determina, em bases estocaticas, as estrategias que permitem atender aos requisitos de energioa elétrica com o menor valor esperado para o custo de operacao. O modelo utiliza tecnicas conhecidas por Programacao Dinamica Estocastica e Cortes de Benders, as quais utilizam matrizes. Usa tambem programacao linear para otimizar fluxos de energia eletrica entre os subsistemas Sudeste, Sul, Norte e Nordeste, e programacao linear, como o Claudio disse, baseia-se em matrizes. E energia eletrica nao eh lago tao distante assim da realidade, certo? Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
Eu saí do colegial achando matrizes um assunto meio inútil... a ironia é eu ter começado a fazer Ciência da Computação. Quando você joga qualquer joguinho 3D, com milhões de polígonos sendo desenhados na tela, com iluminação, sombras, transparências, rotações, translações, reflexos. Tudo isso são matrizes, --- e não estou falando de uma matriz de pontos pra representar a imagem --- para calcular as rotações, os efeitos de transparência, os efeitos da luz sobre as superfícies... Claro que esse é apenas uma área de exemplo da aplicação de matrizes, otimização linear é muito usada para, por exemplo, reduzir custos e aumentar a produtividade. [ ]'s --- Sobre matrizes, eu chutaria que as CPUs de todos os computadores envolvidos em processamento de dados cientificos e tecnicos (mas nao comerciais) passam a maior parte do tempo resolvendo sistemas lineares ou entao problemas de otimizacao linear, ambos atraves justamente de operacoes com matrizes. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
On Tue, Feb 10, 2004 at 10:56:27PM -0200, Claudio Buffara wrote:
on 10.02.04 21:58, Laurito Alves at [EMAIL PROTECTED] wrote:
São vários os tópicos de matemática que ensinamos no Ensino Básico que têm
aplicação limitadíssima e que passam a impressão de que ensinamos tudo.
Números complexos, matrizes e determinantes são apenas alguns exemplos.
Eu sinto muito, mas sou forcado a discordar da sua mencao de numeros
complexos e matrizes como exemplos de matematica com aplicacoes
limitadissimas. O que pode ocorrer eh um professor do ensino medio nao ter
ideia do quao amplamente utilizados eles sao.
Eu não entendi bem o pensamento do Laurito, mas talvez ele estivesse
tentando dizer algo com que eu concordo. O fato de matrizes ou números
complexos serem importantes para um monte de gente está (espero!)
fora de discussão. Mas veja como o assunto matrizes é tipicamente
dado no ensino médio: o aluno aprende a definição de soma e produto
de matrizes, aprende a calcular inversas de matrizes 2x2 e 3x3,
aprende a calcular determinantes de matrizes 2x2 e 3x3 e aprende
a resolver sistemas lineares 2x2 ou 3x3 por Cramer, e fim.
Este aluno fica sem a menor idéia de que matrizes têm aplicações
em computação gráfica ou engenharia elétrica, sem a menor idéia
de que uma matriz pode representar uma rotação em R^3, sem nenhuma
interpretação geométrica para o determinante, e, é claro, sem
a sombra da sombra de uma idéia de que o determinante pode ter
apicações em combinatória. Este aluno não é capaz de dar nenhuma
aplicação para o produto de matrizes, nem como composição de transformações
lineares, nem como composição de funções de Möbius. Mesmo os alunos
de *olimpíadas* quando aprendem a resolver recorrências como
a_n = 3a_{n-1} - a_{n-2} dificilmente relacionam este tema com matrizes
(eu sei, eu fui um deles). E quanto a resolver sistemas, eliminação gaussiana
manual pode ser ensinada sem chagar perto de matrizes, e é muito melhor
do que Cramer.
Então eu tenho com relação ao ensino de matrizes uma posição até parecida
com a que eu tenho com relação ao ensino de juros: ou você ensina a coisa
direito ou é melhor nem tocar no assunto. Ensinar uma fórmula para calcular
juros que só é usada numa pequena minoria dos casos e parar aí,
sem ensinar a calcular juros compostas (e de preferência sem estas malditas
fórmulas que são decoradas sem ninguém entender nada) me parece uma idéia
muito estranha. Ensinar matrizes da forma como eu descrevi acima também
me parece uma idéia muito estranha.
Sobre números complexos eu não falei pq o exemplo é menos gritante:
o aluno de ensino médio sempre vê um pouquinho de contexto quando
aprende complexos. Deveria ser muito mais, claro.
[]s, N.
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
Eu estou um pouco abismado ao ver, atraves das colocacoes do Nicolau, que o ensino de matrizes, e talvez tambem os dos complexos, infelizmnte poucou nada mudou do inicio dos anos 70 para cah. Eu fui um dos que aprendeu operacoes com matrizes sem ter ideia do que aquilo signficava. Simplesmente me foi dito que deveria tomar os produtos escalares das linhas pelas colunas. Eh um monte de exercicios. Soh mais tarde vim a perceber a utilidade deste assunto. Com relacao aos complexos, eu quando estava no antigo colegial tinha uma tremenda curiosidade em descobrir com se extraia a raiz quadrada de numeros negativos. Erah um misterio. Como sos matematicos resolveram este problema? Daih eu fiquei bastante decepcionado quando, ao me preparar para o vestibular de engenharia, tomei contacto com a misteriosa sqrt(-1). Quem era ela? Ora, simplesmente i! Me definiram i como sqrt(-1) e pronto! E entao extenderam-se as operacoes usuais nos reais e foi-me apreentado o conjiunto dos complexos, que nao foi entao chamado de corpo. Pareceu-me uma embromacao. Pareceu-me que os matematicos haviam dado um jeitinho e fingido ter resolvido o problema de achar a cabalistica sqrt(-1). E o nome imaginario, que resistiu atraves dos seculos, parece-me que confunde ainda mais o aluno. Os reais existem e os imaginarios imaginamos? Foi o que entao me pareceu... Eu acho que jah se deveria ter entao falado, ainda que supeficialmente, sobre o conceito de corpo. Eh acho que se deveria ter feito uma comparacao mais profunda enter os complexos eo R^2. Nao sei se hoje eh assim. Parece-me fundamental que se saiba que a razao historica do aparecimento dos complexos foi mesmo a tentaiva de achar sqrt(-1), mas se nao houver uma explicacao um pouco melhor sobre o que sao os complexos confunde muito o aluno, como aconteceu comigo. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
On Wed, Feb 11, 2004 at 06:07:30PM -0200, Artur Costa Steiner wrote: Parece-me fundamental que se saiba que a razao historica do aparecimento dos complexos foi mesmo a tentaiva de achar sqrt(-1), Uma das principais razões históricas para que se considerassem números complexos foi a resolução de uma equação como x^3 + px + q = 0. Vou contar a história como eu contaria para um aluno de ensino médio. Bem, pensando bem, muitos de vocês *são* alunos de ensino médio, não é mesmo? :-) Considere a equação z^2 + b z + c = 0, com raízes z1 e z2. Sabemos que z1+z2 = -b e que z1z2 = c. Já vimos também como obter fórmulas para z1^2+z2^2 e outras expressões simétricas envolvendo z1 e z2. Quanto vale S = cbrt(z1) + cbrt(z2) (onde cbrt significa raiz cúbica)? Bem, temos S^3 = z1 + 3 cbrt(z1)^2 cbrt(z2) + 3 cbrt(z1) cbrt(z2)^2 + z2 ou S^3 = (z1 + z2) + 3 cbrt(z1z2) (cbrt(z1) + cbrt(z2)) ou S^3 = -b + 3 cbrt(c) S. Assim S é uma das raízes da equação x^3 - 3 cbrt(c) x + b = 0. Portanto, para resolver a equação x^3 + px + q = 0, tome b = q e c = -p^3/27. Resolva a equação z^2 + b z + c = 0, encontrando raízes z1 e z2. A solução para a sua equação original é x = cbrt(z1) + cbrt(z2). Vamos fazer um exemplo. Resolva x^3 + 3x + 1 = 0. Temos b = 1 e c = -1. Assim a equação auxiliar é z^2 + z - 1 = 0 que tem raízes z1 = (-1+sqrt(5))/2 ~= 0.6180339880 e z2 = (-1-sqrt(5))/2 ~= -1.618033988. De acordo com o que nós vimos acima a raiz da equação original deve ser x = cbrt(z1) + cbrt(z2) ~= -0.3221853553. Se você substituir este valor numérico na equação original vai ver que dá certo. Se você substituir a fórmula exata para x (envolvendo raízes quadradas e cúbicas) vai ter um pouco de trabalho para simplificar mas se fizer tudo direito vai ver que também dá certo. Muito bem. Vamos fazer outro exemplo. Resolva x^3 - 3x + 1. Seguindo a mesma receita, temos b = c = 1 e a equação auxiliar é z^2 + z + 1 = 0 que não tem nenhuma raiz real. Você poderia pensar que isto indica que a equação original (em x) também não tem nenhuma raiz real, mas isto é falso: tomando f(x) = x^3 - 3x + 1 temos f(-2) = -1, f(-1) = 3, f(1) = -1, f(2) = 3 donde há claramente pelo menos três raízes reais, uma entre -2 e -1, uma entre -1 e 1, uma entre 1 e 2. Bem, na verdade há exatamente três raízes reais, como um gráfico indica e como um pouco mais de álgebra demonstra. Pq então nosso método deu errado? Bem, que tal nós deixarmos indicadas as raízes quadradas de números negativos quando elas aparecerem? Talvez elas se cancelem no final! Se toparmos, as raízes da equação auxiliar ficam sendo z1 = (-1+sqrt(-3))/2 ~= - 0.5 + 0.8660254040 sqrt(-1) e z2 = (-1-sqrt(-3))/2 ~= - 0.5 - 0.8660254040 sqrt(-1). Precisamos agora calcular as raízes cúbicas destas coisas. O que fazer? Hora para um pouco de mágica. Escreva z = cos t + sen t sqrt(-1) e calcule z^3. Dá z^3 = (cos^3 t - 3 cos t sen^2 t) + (3 cos^2 t sen t - sen^3 t) sqrt(-1); para fazer esta conta só precisamos aceitar a presença de sqrt(-1) e do fato tautológico que (sqrt(-1))^2 = -1. Um pouco de trigonometria nos revela que cos^3 t - 3 cos t sen^2 t = cos 3t e 3 cos^2 t sen t - sen^3 t = sen 3t donde z^3 = cos 3t + sen 3t sqrt(-1). Bem, nosso z1 pode ser escrito como z1 = cos(120 graus) + sen(120 graus) sqrt(-1) donde temos (pelo menos) três raízes cúbicas para z1: w11 = cos(40 graus) + sen(40 graus) sqrt(-1), w12 = cos(160 graus) + sen(160 graus) sqrt(-1), w13 = cos(280 graus) + sen(280 graus) sqrt(-1). Analogamente, temos três raízes cúbicas para z2: w21 = cos(40 graus) - sen(40 graus) sqrt(-1), w22 = cos(160 graus) - sen(160 graus) sqrt(-1), w23 = cos(280 graus) - sen(280 graus) sqrt(-1). Será que isso nos dá nove raízes para a equação original? Voltando podemos conferir que devemos ter cbrt(z1)*cbrt(z2) = 1, o que só dá certo se casarmos as raízes da forma certa: w11 com w21, w12 com w22 e w13 com w23. Somando desta maneira, obtemos três raízes para a equação original: x1 = 2 cos(40 graus), x2 = 2 cos(160 graus) e x3 = 2 cos(280 graus). As raízes quadradas de números negativos sumiram, como esperávamos. Podemos calcular os valores numéricos e substituir: dá certo. Podemos até verificar com um pouco de trigonometria que está exatamente certo. Assim obtivemos três raízes de verdade (reais) usando no meio das contas uns números imaginários. Agora só precisamos perder a vergonha de falar de sqrt(-1) e dar um nome curtinho, como i, pode ajudar. Eu acho que é *isto* que deveria ser feito para apresentar números complexos no ensino médio. Não depende de nada que um aluno de ensino médio não tenha estudado. O fato de juntar álgebra e trigonometria é uma grande vantagem, a meu ver. Não precisamos dizer aquela frase horrível, às vezes necessária mas que raramente motiva o aluno: estude isso pq mais tarde você vai ver que é muito importante. E ainda ensinamos a resolver a equação de grau 3. Depois disso viriam exemplos de como resolver problemas de geometria plana usando números complexos. []s, N.
Re: [obm-l] complexos/equacao trinomia
Eu fiz aqui, mas como eu nao conferi, é bem provavel q esteja errado... vc tem: ix^2 -2x + sqrt(3)=0 Resolvendo a equaçao com baskara, tem-se: x=1+/- sqrt(1- i*sqrt(3)) Escrevendo-se o numero complexo 1- i*sqrt(3) na forma exponencial, temos: 1- i*sqrt(3) = 2*exp(5*i*pi/3) Substituindo esse número dentro da raiz, e extraindo a raíz, temos: x=1+/- sqrt(2)*exp(5*i*pi/6) Temos q: exp(5*i*pi/6) = -sqrt(3)/2 + i/2 Portanto temos as raízes: x1 = 1 - sqrt(6)/2 + i*sqrt(2)/2 x2 = 1 + sqrt(6)/2 - i*sqrt(2)/2 Creio q seja isso de qualquer forma,creio q o raciocino da questao está correto. Qualquer erro me corrijam! Até +. From: ax^2 [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] complexos/equacao trinomia Date: Mon, 17 Nov 2003 13:19:55 -0300 Resolva: ix² - 2x + sqtr(3) = 0 Obrigado. Até. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] complexos/equacao trinomia
i*x^2 - 2*x + sqrt 3 = 0 == x^2 - ( 2/i )*x + ( (sqrt3)/i ) = 0 ==
x^2 +2*i*x -1 = -1 + i*sqrt 3 == ( x + i )^2 = 2*cis 2*pi/3 + 2*k*pi ==
x = -i + sqrt 2 * cis(1/3 + k)*pi ==
S = { 1/2 + (sqrt(3/2) - 1)*i, -1/2 - ( sqrt(3/2) + 1 )*i }
Se não errei em alguma passagem, a resposta é S.
Não sei porque não tive coragem de aplicar Baskara...depois vejo.ax^2 [EMAIL PROTECTED] wrote:
Resolva:ix² - 2x + sqtr(3) = 0Obrigado.Até.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
Re: [obm-l] complexos/equacao trinomia
Epa! não tinha visto sua solução. foi mal..Gabriel Canale Gozzo [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu fiz aqui, mas como eu nao conferi, é bem provavel q esteja errado...vc tem:ix^2 -2x + sqrt(3)=0Resolvendo a equaçao com baskara, tem-se:x=1+/- sqrt(1- i*sqrt(3))Escrevendo-se o numero complexo 1- i*sqrt(3) na forma exponencial, temos:1- i*sqrt(3) = 2*exp(5*i*pi/3)Substituindo esse número dentro da raiz, e extraindo a raíz, temos:x=1+/- sqrt(2)*exp(5*i*pi/6)Temos q:exp(5*i*pi/6) = -sqrt(3)/2 + i/2Portanto temos as raízes:x1 = 1 - sqrt(6)/2 + i*sqrt(2)/2x2 = 1 + sqrt(6)/2 - i*sqrt(2)/2Creio q seja isso de qualquer forma,creio q o raciocino da questao está correto.Qualquer erro me corrijam!Até +.From: "ax^2" <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]To: <[EMAIL PROTECTED]>Subject: [obm-l] complexos/equacao trinomiaDate: Mon, 17 Nov 2003 13:19:55 -0300Resolva:ix² - 2x + sqtr(3) = 0Obrigado.Até.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=_MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
Re: [obm-l] Complexos / Probabilidade
-- Obs: Pulei algumas passagens, ok? 1. (I)z = r[cis(x)] = z^2 = (r^2) .[cis(2x)] (II)1/(1+i) = (1-i)/2 = 1/2[cis(7pi/4)] De (I) em (II): cos(2x) + isen(2x) = cos(7pi/4) + isen(7pi/4) cos2x = sqrt(1/2) e sen(2x) = -sqrt(1/2) 2x = 7pi/4 + 2pi(k) , (k inteiro) x=7pi/8 + pi(k), (k inteiro) Obs: x não eh necessariamente o argumento de Z - Original Message - From: Tiago Carvalho de Matos Marques [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, November 09, 2003 5:51 PM Subject: [obm-l] Complexos / Probabilidade 1. Considere o complexo z = r*cos(x) + r*sen(x)*i , r real positivo e x em radianos. Se z^2 = 1/(1+i) , quais os possíveis valores do ângulo x? 2. (IBMEC 2000) - Em uma prova cada pergunta tem 3 alternativas, apenas 1 correta. Um candidato sabe 30% das respostas. Se ele deu a resposta correta para uma das perguntas, qual a probabilidade de ele ter chutado? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos / Probabilidade
Pessoal, Errei no módulo do complexo 1/(1+i),porém isso não afeta o resto da solução. Até Bruno Souza - Original Message - From: Bruno Souza [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, November 10, 2003 6:11 PM Subject: Re: [obm-l] Complexos / Probabilidade -- Obs: Pulei algumas passagens, ok? 1. (I)z = r[cis(x)] = z^2 = (r^2) .[cis(2x)] (II)1/(1+i) = (1-i)/2 = 1/2[cis(7pi/4)] De (I) em (II): cos(2x) + isen(2x) = cos(7pi/4) + isen(7pi/4) cos2x = sqrt(1/2) e sen(2x) = -sqrt(1/2) 2x = 7pi/4 + 2pi(k) , (k inteiro) x=7pi/8 + pi(k), (k inteiro) Obs: x não eh necessariamente o argumento de Z - Original Message - From: Tiago Carvalho de Matos Marques [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, November 09, 2003 5:51 PM Subject: [obm-l] Complexos / Probabilidade 1. Considere o complexo z = r*cos(x) + r*sen(x)*i , r real positivo e x em radianos. Se z^2 = 1/(1+i) , quais os possíveis valores do ângulo x? 2. (IBMEC 2000) - Em uma prova cada pergunta tem 3 alternativas, apenas 1 correta. Um candidato sabe 30% das respostas. Se ele deu a resposta correta para uma das perguntas, qual a probabilidade de ele ter chutado? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos / Probabilidade
Epa, (1-i)/2 = 1/2[cis(7pi/4)] -- CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Providerhttp://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 -- Original Message --- From: Bruno Souza [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Mon, 10 Nov 2003 18:11:52 -0200 Subject: Re: [obm-l] Complexos / Probabilidade -- Obs: Pulei algumas passagens, ok? 1. (I)z = r[cis(x)] = z^2 = (r^2) .[cis(2x)] (II)1/(1+i) = (1-i)/2 = 1/2[cis(7pi/4)] De (I) em (II): cos(2x) + isen(2x) = cos(7pi/4) + isen(7pi/4) cos2x = sqrt(1/2) e sen(2x) = -sqrt(1/2) 2x = 7pi/4 + 2pi(k) , (k inteiro) x=7pi/8 + pi(k), (k inteiro) Obs: x não eh necessariamente o argumento de Z - Original Message - From: Tiago Carvalho de Matos Marques [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, November 09, 2003 5:51 PM Subject: [obm-l] Complexos / Probabilidade 1. Considere o complexo z = r*cos(x) + r*sen(x)*i , r real positivo e x em radianos. Se z^2 = 1/(1+i) , quais os possíveis valores do ângulo x? 2. (IBMEC 2000) - Em uma prova cada pergunta tem 3 alternativas, apenas 1 correta. Um candidato sabe 30% das respostas. Se ele deu a resposta correta para uma das perguntas, qual a probabilidade de ele ter chutado? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos / Probabilidade
Epa, (1-i)/2 = 1/2[cis(7pi/4)] -- CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Providerhttp://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 -- Original Message --- From: Bruno Souza [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Mon, 10 Nov 2003 18:11:52 -0200 Subject: Re: [obm-l] Complexos / Probabilidade -- Obs: Pulei algumas passagens, ok? 1. (I)z = r[cis(x)] = z^2 = (r^2) .[cis(2x)] (II)1/(1+i) = (1-i)/2 = 1/2[cis(7pi/4)] De (I) em (II): cos(2x) + isen(2x) = cos(7pi/4) + isen(7pi/4) cos2x = sqrt(1/2) e sen(2x) = -sqrt(1/2) 2x = 7pi/4 + 2pi(k) , (k inteiro) x=7pi/8 + pi(k), (k inteiro) Obs: x não eh necessariamente o argumento de Z - Original Message - From: Tiago Carvalho de Matos Marques [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, November 09, 2003 5:51 PM Subject: [obm-l] Complexos / Probabilidade 1. Considere o complexo z = r*cos(x) + r*sen(x)*i , r real positivo e x em radianos. Se z^2 = 1/(1+i) , quais os possíveis valores do ângulo x? 2. (IBMEC 2000) - Em uma prova cada pergunta tem 3 alternativas, apenas 1 correta. Um candidato sabe 30% das respostas. Se ele deu a resposta correta para uma das perguntas, qual a probabilidade de ele ter chutado? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos / Probabilidade
Morgado, Eu falei que tinha errado essa parte. Até Bruno - Original Message - From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, November 10, 2003 8:39 PM Subject: Re: [obm-l] Complexos / Probabilidade Epa, (1-i)/2 = 1/2[cis(7pi/4)] -- CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Providerhttp://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 -- Original Message --- From: Bruno Souza [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Mon, 10 Nov 2003 18:11:52 -0200 Subject: Re: [obm-l] Complexos / Probabilidade -- Obs: Pulei algumas passagens, ok? 1. (I)z = r[cis(x)] = z^2 = (r^2) .[cis(2x)] (II)1/(1+i) = (1-i)/2 = 1/2[cis(7pi/4)] De (I) em (II): cos(2x) + isen(2x) = cos(7pi/4) + isen(7pi/4) cos2x = sqrt(1/2) e sen(2x) = -sqrt(1/2) 2x = 7pi/4 + 2pi(k) , (k inteiro) x=7pi/8 + pi(k), (k inteiro) Obs: x não eh necessariamente o argumento de Z - Original Message - From: Tiago Carvalho de Matos Marques [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, November 09, 2003 5:51 PM Subject: [obm-l] Complexos / Probabilidade 1. Considere o complexo z = r*cos(x) + r*sen(x)*i , r real positivo e x em radianos. Se z^2 = 1/(1+i) , quais os possíveis valores do ângulo x? 2. (IBMEC 2000) - Em uma prova cada pergunta tem 3 alternativas, apenas 1 correta. Um candidato sabe 30% das respostas. Se ele deu a resposta correta para uma das perguntas, qual a probabilidade de ele ter chutado? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos / Probabilidade
Certo, desculpe; so li essa mensagem depois. []s Morgado Morgado, Eu falei que tinha errado essa parte. Até Bruno - Original Message - From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, November 10, 2003 8:39 PM Subject: Re: [obm-l] Complexos / Probabilidade Epa, (1-i)/2 = 1/2[cis(7pi/4)] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Complexos / Probabilidade
1. Considere o complexo z = r*cos(x) + r*sen(x)*i , r real positivo e x em radianos. Se z^2 = 1/(1+i) , quais os possíveis valores do ângulo x? === Solucao: z^2 = ( 1/(1+i) )*((1-i)/(1-i))=1/2-(1/2)*i, logo o angulo de z deve ser: 2*x=arctg(1/2)/(1/2)=arctg 1 =(pi/4)+k*pi logo x=(pi/8)+k*(pi/2) 2. (IBMEC 2000) - Em uma prova cada pergunta tem 3 alternativas, apenas 1 correta. Um candidato sabe 30% das respostas. Se ele deu a resposta correta para uma das perguntas, qual a probabilidade de ele ter chutado? Solucao P(chutar/acertou)=P(chutar e acertar)/P(acertar) P(chutar e acertar)=(1/3)*0.7 P(acertar)=0.3+0.7*1/3 P(chutar/acertou)=0.44 Me corrijam se estiver errado. Anderson __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Complexos / Probabilidade
Desculpem mas há um engano na solucao. Seria arctg (- 1). Segue abaixo a solucao corrigida. 1. Considere o complexo z = r*cos(x) + r*sen(x)*i , r real positivo e x em radianos. Se z^2 = 1/(1+i) , quais os possíveis valores do ângulo x? === Solucao: z^2 = ( 1/(1+i) )*((1-i)/(1-i))=1/2-(1/2)*i, logo o angulo de z deve ser: 2*x=arctg(1/2)/(1/2)=arctg (-1) =(3*pi/4)+k*pi logo x=(3*pi/8)+k*(pi/2) __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Complexos / Probabilidade
Ainda ha um engano. 2x deve ser -pi/4 + 2kpi. -- CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Providerhttp://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 -- Original Message --- From: Anderson [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Sent: Sun, 9 Nov 2003 19:47:50 -0200 Subject: Re:[obm-l] Complexos / Probabilidade Desculpem mas há um engano na solucao. Seria arctg (- 1). Segue abaixo a solucao corrigida. 1. Considere o complexo z = r*cos(x) + r*sen(x)*i , r real positivo e x em radianos. Se z^2 = 1/(1+i) , quais os possíveis valores do ângulo x? === Solucao: z^2 = ( 1/(1+i) )*((1-i)/(1-i))=1/2-(1/2)*i, logo o angulo de z deve ser: 2*x=arctg(1/2)/(1/2)=arctg (-1) =(3*pi/4)+k*pi logo x=(3*pi/8)+k*(pi/2) __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Complexos / Probabilidade
Desculpem-me mais uma vez pelo engano. Segue abaixo a solucao corrigida (espero!). 1. Considere o complexo z = r*cos(x) + r*sen(x)*i , r real positivo e x em radianos. Se z^2 = 1/(1+i) , quais os possíveis valores do ângulo x? === Solucao: z^2 = ( 1/(1+i) )*((1-i)/(1-i))=1/2-(1/2)*i, logo o angulo de z deve ser: 2*x=arctg(-1/2)/(1/2)=arctg (-1) =-pi/4 + 2*k*pi logo x=(-pi/8)+k*(pi) Abraco, Anderson __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] complexos
Na verdade p/q*p e que e real.Para conferir isto use Cardano-Girard-Viete. -- Mensagem original -- Olá! A equação x^2 - (1+i)x + i = 0 tem raizes 1 e i, de mesmo módulo, mas p/q = -(1+i)/i = i-1, que não é real.. []s, thiago sobral Gostaria de uma ajuda para a soluçao deste problema ,pq eu nao consgui estabelece nenhuma condiçao entre os argumentos das raizes , p e q (pert. C) . SEJAM p e q pertenc. C. Prove que se as raizes da equaçao x^2+px+q=0 , tem mesmo modulo entao p/q e' um numero real. valeu... __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] complexos
Olá! A equação x^2 - (1+i)x + i = 0 tem raizes 1 e i, de mesmo módulo, mas p/q = -(1+i)/i = i-1, que não é real.. []s, thiago sobral Gostaria de uma ajuda para a soluçao deste problema ,pq eu nao consgui estabelece nenhuma condiçao entre os argumentos das raizes , p e q (pert. C) . SEJAM p e q pertenc. C. Prove que se as raizes da equaçao x^2+px+q=0 , tem mesmo modulo entao p/q e' um numero real. valeu... __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos II
Olá! Como o angulo vale 135, entaoo afixo de z esta no segundo quadrante e forma um angulo de 45com os dois eixos. Sendo z=x+yi, temos q x e y sao as projecoes de OP nos respectivos eixos. Daí, x = -OP*cos(45) e y = OP*sen(45), de onde vem q z = -2+2i e z^2 = -8i. Tertuliano Carneiro. [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Como se resolve esta questão: (PUC-SP) Na figura abaixo, o ponto P é a imagem de um número complexo z, representado no plano de Gauss. Se OP = 2*raiz(2), então z^2 é igual a : resp: - 8i Obs: A figura é a seguinte: Esbocem o plano de Argand-Gauss com os eixos Re (z) e Im (z). O segmento OP forma um ângulo de 135º com o eixo O Re (z). Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Complexos II
(PUC-SP) Na figura abaixo, o ponto P é a imagem de um número complexo z, representado no plano de Gauss. Se OP = 2*raiz(2), então z^2 é igual a : 135 graus = 3*pi/4 == z = 2*Raiz(2) * exp(i*3*pi/4) == z^2 = 8 * exp(i*3*pi/2) = -8*i resp: - 8i Obs: A figura é a seguinte: Esbocem o plano de Argand-Gauss com os eixos Re (z) e Im (z). O segmento OP forma um ângulo de 135º com o eixo O Re (z). Um abraço, Claudio.
RE: [obm-l] Complexos III
Note que se z = a + bi entao 1/z = (a-bi)/(a^2+b^2). Portanto, verificando as outras opcoes, temos que: (b) z + 1/z i. (Basta somar z + 1/z). Voce vera que z + (1/z) = 2.a = 2Re(z). (Faca a imposicao que z e 1/z tem mesmo modulo) (c) O modulo de z nao e 2. Iguale os modulos de mod(z)= sqrt(a^2+b^2) e mod(1/z) = sqrt(a^2+b^2)^-1. (d) z nao e real pois nao foi feita nenhuma hipotese sobre o valor de b. Somente se b = 0 teriamos essa possibilidade. Nada foi dito no enunciado. (e) z^2 1, basta fazer a conta. Se z e 1/z tem o mesmo modulo, entao sqrt(a^2+b^2) = sqrt(a^2+b^2)/a^2+b^2 = Isso sugere que mod(z)^2 = 1, ou seja, a^2+b^2 = 1. Portanto, z = a+bi e 1/z = a-bi. Logo, z e 1/z sao conjugados. (letra (a) e a correta). -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, February 14, 2003 9:13 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Complexos III Olá pessoal, Vejam a questão: (FUVEST-SP) O número complexo z # 0 e o seu inverso 1/z têm o mesmo módulo. Conclui-se que: a) z e 1/z são conjugados b) z + 1/z = i c) este módulo é 2 d) z e 1/z são reais e) z^2 =1 resp: a Obs: Alguém poderia me dar uma resolução que tornasse possível não só chegar a solução correta, mas tbém eliminar as falsas?
Re: [obm-l] Complexos I
(UF Uberlândia) Sejam "O", "Z_1" e "Z_2" as representações gráficas dos complexos (O + Oi), (2 + 3i) e (-5 -i), respectivamente. A menor determinação positiva do ângulo Z_1 Ô Z_2 é : Essa sai por vetores: OZ1 = (2,3) e OZ2 = (-5,-1) |OZ1| = raiz(2^2+3^2) = raiz(13) |OZ2| = raiz(5^2+1^2) = raiz(26) Produto Escalar de OZ1 e OZ2 = OZ1 o OZ2 = 2*(-5) + 3*(-1) = -13 Também sabemos que OZ1 o OZ2 = |OZ1| * |OZ2| * cos(Z1OZ2) == -13 = raiz(13)*raiz(26)*cos(Z1OZ2) == cos(Z1OZ2) = -1/raiz(2) = -raiz(2)/2 == Z1OZ2 vale 135 graus ou 3*pi/4 radianos. * resp: 2 raiz 5/5 == gabarito errado mais uma vez Um abraço, Claudio.
Re: [obm-l] Complexos III
(FUVEST-SP) O número complexo z # 0 e o seu inverso 1/z têm o mesmo módulo. Conclui-se que: a) z e 1/z são conjugados b) z + 1/z = i c) este módulo é 2 d) z e 1/z são reais e) z^2 =1 Seja w = conjugado de z. |z| = |1/z| == |z| = 1/|z| == |z|^2 = 1. Agora, leve em conta que |z|^2 = z*w (propriedade que vale para qualquer número complexo) == z*w = 1 == w = 1/z == z e 1/z são conjugados == alternativa (a) Vamos eliminar as outras alternativas com contra-exemplos: b) tome z = 1. Nesse caso, 1/z = 1 == z e 1/z têm mesmo módulo e z + 1/z = 2 i c) tome z = 1 == |z| = |1/z| = 1 d) tome z = i == 1/z = -i == z e 1/z têm mesmo módulo e z e 1/z são ambos imaginários e) tome z = i== z^2 = -1 1 resp: "a" Obs: Alguém poderia me dar uma resolução que tornasse possível não só chegar a solução correta, mas tbém eliminar as falsas?
Re: [obm-l] Complexos III
Olá! Temos q [z]=[1/z], onde os colchetes representam modulos de numeros complexos. Assim, [z]^2=1, ou seja, [z]=1(observe q o item c ja está fora). Alem disso, se [z]^2=1, entao [z^2]=1 e,consequentemente, z^2=1 ou z^2=-1(iteme descartado). Seja entao z=a+bi. Assim,a^2+b^2=1 e, portanto, 1/z=a-bi (faça as contas). Daí o item a é o correto. Observe q, sendo z e 1/z complexos conjugados, o item b é absurdo. Finalmente, como nao há restricao para b, z e 1/z nao precisam ser necessariamente reais. Tertuliano Carneiro. [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Vejam a questão: (FUVEST-SP) O número complexo z # 0 e o seu inverso 1/z têm o mesmo módulo. Conclui-se que: a) z e 1/z são conjugados b) z + 1/z = i c) este módulo é 2 d) z e 1/z são reais e) z^2 =1 resp: "a" Obs: Alguém poderia me dar uma resolução que tornasse possível não só chegar a solução correta, mas tbém eliminar as falsas? Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Complexos III
On Fri, Feb 14, 2003 at 12:13:10PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Vejam a questão: (FUVEST-SP) O número complexo z # 0 e o seu inverso 1/z têm o mesmo módulo. Conclui-se que: Temos |1/z| = 1/|z| donde se |z| = |1/z| temos |z| = 1. Vale também a recíproca. Ou seja, sabemos que |z| = 1 ou z = e^it. Vejamos as opções: a) z e 1/z são conjugados Correta, z = e^it, 1/z = conjugado(z) = e^(-it). b) z + 1/z = i Falsa para z = 1. Aliás falsa sempre, z + 1/z é real. c) este módulo é 2 Falsa para z = 1. Aliás também falsa sempre. d) z e 1/z são reais Só se z=+-1. Falsa para z=i, por exemplo. e) z^2 =1 De novo, só se z=+-1. Falsa para z=i, por exemplo. resp: a A resposta é (a) sim. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] complexos
On Sat, Jan 04, 2003 at 12:44:32AM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Observem o número complexo: z= (1 - i*sqrt3)/(2 + 2*i*sqrt3) O gabarito dá como resultado certo 1/2 só que eu cheguei em 1/16 (que também está no gabarito). Será que errei no conjugado? ---end quoted text--- Uh, o que voce quer aqui? Mesmo assim, note que: z = (1-sqrt(3)*i) / [2*(1+sqrt(3)*i)] ou seja, z = y/[2conjugado(y)] Entao se voce quiser o modulo, temos |z| = |y|/|2|*|conjugado(y)| como |y| = |conjugado(y)|, entao |z| = 1/2 -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] complexos
Olá, Rafael, Se z = i + 1/(1+i), então z = i + 1(1-i)/[(1+i)(1-i)] = i + (1-i)/2 = i/2 + 1/2 Logo, |z| = sqrt(1/4+1/4) = sqrt(1/2) = [sqrt(2)]/2 . Pelo menos foi o resultado ao qual cheguei Ah, e com relação a questão sobre o que significa uma função recorrente, é o seguinte: é uma função que é ela própria utilizada em sua definição. Por exemplo, temos a função fatorial. Isto é, f : N - N f(n):=n*f(n-1) ; f(0):=1. Note que precisamos definir um caso base e que utilizamos f na própria def. de f: f(0) = 0! f(1) = 1*f(0) = 1*1 = 1! f(2) = 2*f(1) = 2*1 = 2! f(3) = 3*f(2) = 3*2 = 3! Abraços, Abraços, Eduardo P.S.: Gostaria de dizer ao André que os pontos de tangência da circunferência inscrita num triângulo são realmente as intersecções citadas e que isso não implica, de modo algum, que um dado triângulo é isósceles ou eqüilátero, já que é uma regra geral. Com relação a questão de alinhamento de pontos, o que ocorre é o seguinte: " Num triângulo isósceles, os quatro pontos notáveis (baricentro, circuncentro, ...) estão alinhados e, no eqüilátero, eles coincidem." [EMAIL PROTECTED] wrote: Se z = i + 1/(1 + i) calcule o módulo de Z: Ps: No meu caderno de exercícios a resposta é sqrt10/2 mas eu só estou chegando no resultado sqrt10/4. Eu estou multiplicando a parcela com denominador imaginário pelo seu conjugado, tirando o mmc, separando a de b e aplicando a fórmula sqrta(a^2 +b^2) mas não chego na resposta do gabarito. Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
Re: [obm-l] complexos
i+ 1/(1+i) = [i(1+i) + 1 ]/(1+i) =(i-1+1)/(1+i) = i/(1+i). O módulo é 1/raiz(1^2+1^2) = 1/raiz(2) = raiz(2)/2 - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 7:16 PM Subject: [obm-l] complexos Se z = i + 1/(1 + i) calcule o módulo de Z: Ps: No meu caderno de exercícios a resposta é sqrt10/2 mas eu só estou chegando no resultado sqrt10/4. Eu estou multiplicando a parcela com denominador imaginário pelo seu conjugado, tirando o mmc, separando a de b e aplicando a fórmula sqrta(a^2 +b^2) mas não chego na resposta do gabarito.
RE: [obm-l] complexos
Basta fazer o seguinte: Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado complexo de 2+ai, ou seja, 2-ai. Dai , separe a parte real da parte imaginaria e faca Im(z) = 0. Dai voce tira o valor de a. Vamos ver isso agora: Z = (1+2i)/(2+ai) = (1+2i)(2-ai)/(2+ai)(2-ai) = 2(1+a)/4+a^2 + i(4-a)/(4+a^2) Logo, para que z seja real, Im(z) = 0, assim, 4-a=0 o que nos da a=4. (Considerando que o valor de a no problema seja um numero real). Leandro. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, December 29, 2002 10:03 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] complexos Como calcular a seguinte expressão para que ela se torne um número real: 1+2i/2+ai Obs: A resposta é a=4 mas como chegar até ela?
RE: [obm-l] Complexos
Use a forma polar de um numero complexo e use a formula de Moivre ou a notacao de Euler. Notacao de Euler: z = a+bi = z = sqrt(a^2+b^2).exp i*(theta) onde theta = arc tan(b/a) z = 1 + i = z=sqrt(2).exp i*pi/4 Logo, fazendo z^20 = 2^10*exp(i*5pi) = 2^10(cos5*pi + i sin(5*pi)) = 2^10*(-1+0)=-2^10. A segunda questao voce pode multiplicar denominador e numerador pelo conjugado de 1-i. Ou seja, Z=(1+i)/(1-i) = (1+i)(1+i)/(1-i)(1+i) = -2i/1+1 = -2i. Espero que tenha ajudado. Leandro. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, December 30, 2002 10:23 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Complexos Como resolver a seguinte questão utilizando somente os conceitos de números complexos sem utilizar o binômio de Newton na primeira: (1+i)^20 e também (1+i)/(1-i) ?
RE: [obm-l] Complexos
Z = -2i/2 = -i. Desculpem -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of leandro Sent: Monday, December 30, 2002 11:13 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] Complexos Use a forma polar de um numero complexo e use a formula de Moivre ou a notacao de Euler. Notacao de Euler: z = a+bi = z = sqrt(a^2+b^2).exp i*(theta) onde theta = arc tan(b/a) z = 1 + i = z=sqrt(2).exp i*pi/4 Logo, fazendo z^20 = 2^10*exp(i*5pi) = 2^10(cos5*pi + i sin(5*pi)) = 2^10*(-1+0)=-2^10. A segunda questao voce pode multiplicar denominador e numerador pelo conjugado de 1-i. Ou seja, Z=(1+i)/(1-i) = (1+i)(1+i)/(1-i)(1+i) = -2i/1+1 = -2i. Espero que tenha ajudado. Leandro. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, December 30, 2002 10:23 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Complexos Como resolver a seguinte questão utilizando somente os conceitos de números complexos sem utilizar o binômio de Newton na primeira: (1+i)^20 e também (1+i)/(1-i) ?
