[obm-l] Exclusão da Lista
Solicito minha exclusão da lista OBM. Obrigado. Att, Frederico Reis M. Brito. _ O Windows Live Spaces é seu espaço na internet com fotos (500 por mês), blog e agora com rede social http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas Primos
Os exercícios 1 e 2 devem estar enunciados erroneamente. O 1o por ser falso
e o 2o pore ser absolutamente óbvio. Para o 3o, sugiro olhar a prova de que
um número natural que não tem divisor primo = a sua raiz quadrada é primo(
que se encontra em qq livro de teoria dos num. ) . A prova do exercício é
análoga.
Quanto ao 4). Pelo pequeno teorema de FermaT, p^{q-1}==1 ( mod q) e
q^{p-1} ==1 ( mod p ). Segue que:
p^{q-1} + q^{p-1} ==p^{q-1}(mod q) ==1 ( mod p ) e, analogamente,
p^{q-1} + q^{p-1}== 1 ( mod q).
, ou seja, p| (p^{q-1} + q^{p-1} ) e q | (p^{q-1} + q^{p-1})
Como p, q são primos distintos ( portanto coprimos ), decorre que se p| x e
q| x então p.q | x. Assim:
p^{q-1} + q^{p-1}==1 ( mod p.q ).
From: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]
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Subject: Re: [obm-l] Problemas Primos
Date: Sun, 23 Apr 2006 20:16:30 -0300
1) Tem certeza desse enunciado?
O número 97^2 = 9409 1000 é inteiro e composto, e NÃO tem um fator primo
menor que 37; seu menor fator primo é 97.
On 4/22/06, Ricardo Khawge [EMAIL PROTECTED] wrote:
Se alguém puder me ajudar nestas questões eu agradeço:
1) Mostrar que todo inteiro composto maior que 1000 tem um fator primo
menor
que 37.
2) Mostrar que um inteiro da forma 4^(2n+1) nunca é primo.
3) Mostrar que, se p não divide n, para todos os primos p menores ou
iguais a raiz cúbica de n, então n é primo ou é o produto de dois
primos.
4) Sejam p e q primos distintos. Demonstrar: p^(q-1) + q^(p-1) ==1(mod
pq)
Obrigado
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Bruno França dos Reis
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e^(pi*i)+1=0
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[obm-l] RE: [obm-l] dúvida conceitual
Normalmente convenciona-se uma inclusão natural de R^2 em R^3 considerando
R^2={(x,y,0); x,y e R }.
Dessa forma, seria necess[ário que os dois vetores LI estivessem nesse R^2.
Entretanto, dois vetores LI em R^3 geram um plano, plano esse isomorfo ao
R^2.
Frederico.
From: nilton rr [EMAIL PROTECTED]
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Subject: [obm-l] dúvida conceitual
Date: Sun, 17 Jul 2005 10:41:41 -0300 (ART)
Bom dia aos amigos da lista!
Posso dizer que dois vetores do R³ que sejam L.I. constituem uma base do
R²? Grato.
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[obm-l] RE: [obm-l] Dúvida
Um quadrado perfeito é um número a da forma a=n^2, com n inteiro. Assim, 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, são os primeiros quadrados perfeitos. Quanto a maneiras de se efetuar ciontas mais rapidamente existem várias que se aplicam a casos especiais e, eu particularmente abomino este tipo de truque. Você pode encontrar algumas coisas nas RPM. Saudações, Frederico. From: admath [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Dúvida Date: Sun, 17 Jul 2005 22:11:16 -0300 O que é um quadrado perfeito? Alguém conhece algumas maneiras de efetuar contas seja de soma, subtração, divisão ou multiplicação de uma maneira mais rápida? Obrigado. _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Professor de matemática...
Vc encontra a solução na própria RPM a de num. 47. Esse exemplar vc encontra disponível online na pagina da SBM, www.sbm.org.br, em material online. Um abraço, Frederico. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Professor de matemática... Date: Fri, 1 Jul 2005 13:11:14 EDT Esse problema, parece-me, foi proposto na revista professor de matemática. Qualquer um que desembarque nessa ilha verá imediatamente dois grandes carvalhos, que chamarei de A e B , e também uma palmeira que chamarei de C. Enterrei o tesouro em um ponto X que pode ser encontrado da seguinte forma. Caminhe de C para A, contando seus passos. Chegando em A, vire para a esquerda e dê exatamente o mesmo número de passos para chegar ao ponto M. Volte no ponto C. Caminhe de C para B, contando seus passos. Chegando em B, vire para a direita e dê exatamente o mesmo número de passos, para chegar ao ponto N. O ponto Xestá na reta que liga M a N, à mesma distância desses dois pontos. Voltando a Ilha os carvalhos A e B ainda estavam lá, mas a palmeira C tinha desaparecido. O tesouro está perdido?? Não sei se este problema foi discutido aqui. se foi peço desculpas e uma indicação de onde encontro a resposta... Agradeço desde já a quem puder me ajudar... Korshinoi _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Oswald de Souza (off)
Ao que consta esse sr, sequer é Matemático e apenas faz parte da realidade distorcida produzida pela TV Globo. ainda que o fosse, apareceria fazendo as vezes de um estatístico. Assim, a tv propaga e difunde a falsa idéia de que Matemática é apenas matemática financeira e probabilidade básica. Frederico. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Oswald de Souza (off) Date: Tue, 21 Jun 2005 19:09:40 EDT Eu ia perguntar isso, mas acabei esquecendo, pois tenho a mesma curiosidade. Outra pergunta: Se houvesse uma seleção dos 10 brasileiros mais hábeis em resolver problemas de matemática, quantos, vocês acham, que sairiam dessa lista ? Vou começar opinando: 10 ;-) LOLOL Em uma mensagem de 21/06/05 19:27:14 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Assunto:[obm-l] Oswald de Souza (off) Data:21/06/05 19:27:14 Hora padrão leste da Am. Sul De:[EMAIL PROTECTED] Responder-para:obm-l@mat.puc-rio.br Para:obm-l@mat.puc-rio.br Enviado pela Internet Sei que isso é totalmente off-topic, mas qdo se fala em matematica todo leigo pensa em Oswald de Souza (aquele que fica falando de loteria, futebol), alguem ai sabe onde esse cara se formou, se pesquisa matematica... ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = []`s Rafael _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] ax + by = c
ESsa é uma Equação Diofantina. Como vc mesmo notou o mdc (23, 10 ) =1. Assim, existe uma combinação linear inteira de 10 e 23 dando 1, isto é, existem x* e y* em Z tq 23x* + 10y* = 1. Multiplique x* e y* por 5 e vc obterá uma solução particular da eq. diofantina. É fácil ver q todas as soluçlões da eq. serão da forma: x = x* - 10k e y = y* + 23k, com k inteiro. Qq dúvida, escreva novamente ou consulte um çlivro de Teor dos Num q tenha um capítulo sobre eq. diofantinas. Fred. From: Maurício [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] ax + by = c Date: Tue, 14 Jun 2005 21:35:25 -0700 (PDT) Oi, pessoal, Estou lendo um livro de teoria dos números que me pede como exercício que resolva a equação: ax + by = c para x e y, com a,x,b,y,c inteiros. O livro não diz como fazer. Como c tem que ser múltiplo do máximo divisor comum o que eu fiz foi adaptar o algoritmo do Euclides para calcular o mdc, ou seja, eu calculo o resto de a/b, depois o resto de b dividido por esse resto etc., só que a cada passo eu anoto o x e o y que fornecem cada resto. Por exemplo: 23x + 10y = 5 Monto essa tabela de (x,y,c): 1 , 0 , 23 0 , 1 , 10 1 , -2 , 3 -3 , 7 , 1 Aí é só multiplicar por 5: (x,y) = (-3*5,7*5). Esse tipo de equação aparece bastante nos exercícios que estou fazendo. Existe alguma outra maneira de resolver, mais simples? Também: é possivel resolver algo do tipo ax=b(mod m) sem resolver completamente ax + km = b? Obrigado, Maurício __ Discover Yahoo! Have fun online with music videos, cool games, IM and more. Check it out! http://discover.yahoo.com/online.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] DEmonstração Mais elementar.
Olá Cláudio. está aí o nó da questão. Não conheço demonstração de que 1/p seja dízima periódica simples que não use o Peq. teorema... Um abraço, Frederico. From: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re:[obm-l] DEmonstração Mais elementar. Date: Sat, 2 Apr 2005 16:36:05 -0300 Se p = 3, então p divide 111, 11, 1, e qualquer número formado por 3k algarismos 1 (k inteiro positivo). Suponhamos, portanto, que p 2, 3 e 5. Nesse caso, 1/p é uma dízima periódica simples (não sei se isso é mais fácil de demonstrar do que o pequeno teorema de Fermat ou o teorema de Euler) Escrevendo 1/p = 0,a_1a_2...a_na_1a_2...a_na_1a_2..., teremos 10^n/p = a_1a_2...a_n,a_1a_2a_na_1a_2... de forma que (10^n - 1)/p = a_1a_2...a_n, ou seja, p divide 10^n - 1 = 9*11...1 Como p não divide 9, p divide N = 11...1 (n algarismos 1). Além disso, os números (10^n+1)*N, (10^(2n)+10^n+1)*N, ... são todos formados apenas por algarismos 1 e são obviamente divisíveis por p. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Sat, 02 Apr 2005 13:06:30 -0300 Assunto:[obm-l] DEmonstração Mais elementar. Olá a todos. è bem conhecido o fato de que se p é primo diferente de 2 e 5 então p divide infinitos dos números R_n:=(10^n-)/9. Entretanto, a demonstração mais direta usa o Peq. Teorema de Fermat, que não é um resultado elementar. O fato está relacionado com a periodicidade da expansão decimal de 1/p. Gostaria de obter uma demonstração alternativa, que usasse fatos mais elementares. Alguém conhece alguma? Agradeço desde já a todas as sugestões. Um abraço a todos, Frederico. _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] DEmonstração Mais elementar.
Olá a todos. è bem conhecido o fato de que se p é primo diferente de 2 e 5 então p divide infinitos dos números R_n:=(10^n-)/9. Entretanto, a demonstração mais direta usa o Peq. Teorema de Fermat, que não é um resultado elementar. O fato está relacionado com a periodicidade da expansão decimal de 1/p. Gostaria de obter uma demonstração alternativa, que usasse fatos mais elementares. Alguém conhece alguma? Agradeço desde já a todas as sugestões. Um abraço a todos, Frederico. _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Definicao de Equacoes.
Uma equação algébrica nada mais é q algo da forma P(x_1,...,x_n)=0 em que P é um poliNômio em n variáveis. Por outro lado, uma eq. diferencial, é algo como F(x_1,x_2,...,x_n, y, y_1,..y_m ) = 0, em que F é uma função ( em geral consideramos F contínua ou contínua qtp ), y=y(x_1,...,x_n), e os y_i irepresentam derivadas parciais de y com relação às variáveis independentes x_1,..,x_n. Acho que essas definições estão razoavelmente formais. Abraços, Frederico. From: Fabio Niski [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Definicao de Equacoes. Date: Thu, 03 Mar 2005 16:50:56 -0300 Pessoal, acredito nunca ter lido a definicao formal de equação algebrica e equação diferencial. Alguem poderia postar aqui? Por se tratar de algo facil intuitivamente de entender, acredito que as definicoes sejam engenhosas. um abraco Niski = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Matemática Hoje como anda???
Caro Cláudio e demais colegas da lista. Sobre os problemas do Instituto Clay, conhecidos como Problemas do Milênio, o principal , creio eu, é a Hipótese de Riemann, que aliás já constava da lista dos problemas de Hilbert, no início do século passado. A editora Record lançou em 2004 o livro Os Problemas do Milênio - Sete Grandes Enigmas Matemáticos do Nosso Tempo, de Keith Devlin. O livro não é escrito para matemáticos, mas para curiosos no assunto. Tem linguagem fácil e tenta tornar os conceitos envolvidos nos problemas o mais acessível. O único porém é que alguns verbetes foram mal traduzidos, mas nada que comprometa a leitura. Recomendo. Abraços a todos, Frederico. From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Matemática Hoje como anda??? Date: Sun, 30 Jan 2005 23:47:21 -0200 Segundo os matematicos (pelo menos aqueles consultados pelo instituto Clay), os problemas mais relevantes estao descritos aqui: http://www.claymath.org/millennium/ []s, Claudio. on 30.01.05 23:03, André Barreto at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi amigos. Caramba creio que SBM está bem melhor que a sociedade brasileira de física e a de química... Tenho a sensação de que a de matemática trabalha mais... essas coisas como a lista a eureka os livros e tudo mas que acho tenham ligação também com o IMPA são bem legais... Elas deviam fazer isso também... Bem vamos ao que interessa eu gostaria de levantar um questionamento. Quais são hoje as fronteiras da matemática... O que hoje mais intrigam os matemáticos. Ou seja, a matemática moderna está a tratar de que atualmente??? Já percebi que muitos tópicos atuais da matemática estão a trabalhar conjuntamente com a física, problemas na engenharia, computação e etc... mas há algo hoje sendo pesquisado da matemática para a matemática com extrema importancia. Atenciosamente André Sento Sé Barreto _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Livros ( OFF - TOPIC)
Para Geometria Riemanniana, sugiro começar pelo clássico do Manfredo, editado pelo IMPA. O livro é, de fato, uma obra-prima. Abraço, Frederico. From: Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Livros ( OFF - TOPIC) Date: Wed, 19 Jan 2005 09:40:37 -0300 (ART) Olá amigos da lista... Por falar em livros, gostaria de receber algumas sugestões de livros para estudar geometria riemmaniana e cálculo tensorial. Grato! --- Felipe Nardes [EMAIL PROTECTED] escreveu: vou fazer a turma ITA do poliedro esse ano e gostaria que vocês me indicassem bom livros de matemática, física e química para complementar as apostilas que o curso utiliza. Já tenho os livros do 2º grau, por isso queria pegar alguns livros melhores, com exercícios mais difíceis e uma teoria mais completa. valeu _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Numeros naturais
Seja k o mínimo de X ( existe pelo princípio da boa Ordenação ). Então X = k. Z. De fato, obviamente kZ está contido em X. Qto a recíproca, suponha que exista x em X que não seja múltiplo de k . Pela minimalidade de k, x k e podemos escrever x=k.q + r com 0 r k , usando o Lema da Divisão. Agora, x e k.q pertencem a X = r pertence a X, o que contraria a minimalidade de k ... Sdações, Fred. From: Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Numeros naturais Date: Thu, 13 Jan 2005 21:02:07 -0200 Oi Tertuliano é m e n pertencem sse m e m+n pertencem ou m e n pertencem sse M.N e m+n (...)? Valeu kellem - Original Message - From: Tertuliano Carneiro [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 6:32 PM Subject: [obm-l] Numeros naturais Olá para todos! Gostaria q alguem me ajudasse nesta questao: Seja X um subconjunto nao vazio dos naturais e tq m e n pertencem a x sse m e m+n pertencem a X. Prove q existe k natural tq x é o conjunto dos multiplos de k. Um abraco! ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Pra que serve a matemática?
Recomendo fortemente a leitura de EM DEFESA DE UM MATEMÁTICO, do G. H. Hardy. ( È um livro barato da Martins Fontes... ). Durante a leitura vc será forçado a refletir em 1o lugar sobre o que é a matemática e somente após essa etapa fará sentido arguir sobre utilidade... Até porque diga-se de passagem que bombas nucleares tem utilidade... Abraços a todos, e desejo de um feliz 2005. Frederico. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] Pra que serve a matemática? Date: Tue, 28 Dec 2004 21:58:32 + Fora que ela é um prazeroso entretenimento... além de produzir belas obras de arte! :) []s, Daniel Leandro Lacorte Recova ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Carissimo Bruno, Essa pergunta seria o mesmo que Pra que serve tomar agua ? . Agua e algo essencial para a sobrevivencia de todos seres humanos, assim como a matematica e essencial para o desenvolvimento da humanidade. Energia que chega na sua casa, Telefones Celulares, Robos em fabricas, maquinas de tomografia computadorizada, e outras coisas. Seria impossivel listar toda a utilidade dessa ciencia num simples e-mail. Faca voce mesmo uma pesquisa no Google. Regards, Leandro Los Angeles, CA. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Bruno Soares Sent: Tuesday, December 28, 2004 10:44 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Pra que serve a matemática? Boa tarde Pra que serve a matemática? Pergunta um tanto óbvia, mas quando pensamos que algo é muito óbvio, é quando não estamos pensando. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Curiosidades Geométricas
Só tem um PEQUENO problema, a garrafa não está mergulhada em R^3, diferentemente como ocorre com a faixa de Möbius... From: Douglas Drumond [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Curiosidades Geométricas Date: Thu, 14 Oct 2004 17:54:59 -0300 Garrafa de Klein. On Thu, 14 Oct 2004 09:43:17 -0300 (ART), Valdery Sousa [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal! Já pensaram em uma figura espacial com uma única superfície? É simples de obte-la: pegue uma fita circular fechada ,em forma de anel, e façam um corte de modo a transformar-se em um retângulo. Inverta os lados, e cole de modo a q a parte q estava para dentro fique para fora. Vcs obterão a chamada fita de Mobius, com uma única superfície! (Normalmente, pensando em termos espaciais, há sempre uma superfície interna e uma externa .) Agora digam-me: pode haver uma garrafa sem fundo? Divirtam-se! Cordialmente, Valdery. Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Um clássico da matemática
BOm, não creioo que alguém tenha autoridade para criticar o artigo do prof. Manfredo do Carmo. Cabe esclarecer , Manfredo Perdigão do Carmo é o maior geômetra brasileiro, um dos maiores do mundo... From: Raphael Marx [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Um clássico da matemática Date: Mon, 12 Jul 2004 05:09:14 -0700 (PDT) http://www2.uol.com.br/cienciahoje/ch/ch205/memoria.htm Vai aí um artigo interessante, podendo ser sujeito a crítcas pela lista em sua historicidade ou mesmo na sua matemática. Gostaria de saber o que houve com aquele site disponibilizado para provas do IME. Se alguém puder envie-me as provas para [EMAIL PROTECTED] Agradecidamente, Raphael Marques Franco - Do you Yahoo!? New and Improved Yahoo! Mail - 100MB free storage! _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Hipótese de Riemann
Digamos que, se um número fosse primo qdo fosse divisível por 1 e por ele mesmo, então todos os nos, execto o zero, seriam primos... Ainda que ácrescentássemos; no primo é um inteiro que é divisível APENAS por 1 e por ele mesmo, estaríamos errados. A definição correta é então: UM número inteiro POSITIVO é primo qdo tem EXATAMENTE dois divisores positivos distintos. Assim, -3 não é primo e 1 tb não o é. ( Aqui cabe dizer que, em algumas situações é conveniente aceitar -3 e -5 como primos, mas nunca o 1 ). Essa definição é feita a bem do Teorema Fundamental da aritmética, qwue garante a unicidade da fatoração em primos ( a menos da ordem dos fatores). Se não, vejamos: 6 = (-2)(-3)=2 . 3 = 1 . 2 . 3 seriam três decomposições em primos, distintas. From: Fabiano Sant'Ana [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Hipótese de Riemann Date: Mon, 14 Jun 2004 11:27:08 -0300 o que são primos então? Abraços Fabiano Sant'Ana (desculpa ficar insistindo no mesmo assunto, é que fiquei curioso) :) - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, June 06, 2004 12:43 PM Subject: [obm-l] Hipótese de Riemann Saudadade do tempo em aprendi que núemro primo é aquele que se divide por 1 e por ele mesmo. Abraço para a lista. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Modulos
Imagino que 1/2 ( mod 23 ) represente o inverso de 2 módulo 23, a saber 12. Portanto: -1/2 mod 23 = -12 ( mod 23 ) = 11 ( mod 23 ). E o inverso de 4 ( mod 23 ) é 6 = x = 6 ( mod 23 ) , no exercício (2). Frederico. . From: paulobarclay [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Modulos Date: Mon, 31 May 2004 17:17:53 -0300 Gostaria de uma ajuda para resolver as seguintes equações: 1)-1/2mod23=x 2)1/4mod23=x desde já agradeço. paulo __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Novamente as gavetas
Na minha solução também bastam 53 números, já que foram formados 52
conjuntos...
Um abraço,
Fred.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Novamente as gavetas
Date: Tue, 11 May 2004 15:24:30 -0300
Gostei! Por alguma razao, eu nunca me lembro de particionar o conjunto-base
em pares. A minha solucao foi mais complicada, mas acho que consegui
melhorar o resultado para 53 elementos (ao inves de 55).
[]s,
Claudio.
on 11.05.04 14:49, Frederico Reis Marques de Brito at
[EMAIL PROTECTED]
wrote:
Pois bem, então onde está o erro do seguinte raciocínio: separe os
números
de 1 a 100 em conjuntos como os seguintes:
{1,13} , {2,14} ,{3,15}, ..., {12, 24}
{25,37} , {26, 38 }, ..., {36, 48}
{49, 61} , {50, 62} ,..., {60, 72}
{73, 84}, {74, 85} , ..., {84, 96}
e {97}, {98}, {99} , {100}. TEmos ao todo 4* 12 + 4 = 52 conjuntos
disjuntos cuja união dá o conjunto dos naturais de 1 a 100, inclusive.
Dados
55 desses números, 2 terão que estar num mesmo subconjunto. Isso não
pode
ocorrer nos últimos 4 subconjuntos , que são unitários. Logo,
há dois números entre 1 e 100 que estão num dos primeiros 48
subconjuntos,
que são todos da forma {a , a+12} = a diferença entre esses dois
números é
precisamente 12!??!?
Um abraço,
FRed.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Novamente as gavetas
Date: Tue, 11 May 2004 13:59:05 -0300
on 11.05.04 12:48, Frederico Reis Marques de Brito at
[EMAIL PROTECTED]
wrote:
Bom, dessa vez o resultado é verdadeiro.
Provar que dados 55 números inteiros entre 1 e 100, incluindo estes,
existem dois cuja diferença é exatamente 12.
Um abraço a todos,
Fred.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
_
MSN Messenger: converse com os seus amigos online.
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Novamente as gavetas
Bom, dessa vez o resultado é verdadeiro. Provar que dados 55 números inteiros entre 1 e 100, incluindo estes, existem dois cuja diferença é exatamente 12. Um abraço a todos, Fred. From: Ricardo Bittencourt [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Princípio de Dirichlet - variacao Date: Tue, 11 May 2004 01:14:24 -0300 Frederico Reis Marques de Brito wrote: Ricardo, não sei o que quiz dizer com a 1a parte, mas a segunda está correta e, portanto, a afirmação é FALSA! É que eu por um instante achei que a afirmação fosse verdadeira; mas como triângulos equiláteros eu já sabia que iam dar problema, resolvi ver se tinha outro jeito de dispor três pontos equidistantes no plano sem ser em triângulo equilátero. Mas no final não tinha, o triângulo equilátero é o único jeito mesmo. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Novamente as gavetas
Pois bem, então onde está o erro do seguinte raciocínio: separe os números
de 1 a 100 em conjuntos como os seguintes:
{1,13} , {2,14} ,{3,15}, ..., {12, 24}
{25,37} , {26, 38 }, ..., {36, 48}
{49, 61} , {50, 62} ,..., {60, 72}
{73, 84}, {74, 85} , ..., {84, 96}
e {97}, {98}, {99} , {100}. TEmos ao todo 4* 12 + 4 = 52 conjuntos
disjuntos cuja união dá o conjunto dos naturais de 1 a 100, inclusive. Dados
55 desses números, 2 terão que estar num mesmo subconjunto. Isso não pode
ocorrer nos últimos 4 subconjuntos , que são unitários. Logo,
há dois números entre 1 e 100 que estão num dos primeiros 48 subconjuntos,
que são todos da forma {a , a+12} = a diferença entre esses dois números é
precisamente 12!??!?
Um abraço,
FRed.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Novamente as gavetas
Date: Tue, 11 May 2004 13:59:05 -0300
on 11.05.04 12:48, Frederico Reis Marques de Brito at
[EMAIL PROTECTED]
wrote:
Bom, dessa vez o resultado é verdadeiro.
Provar que dados 55 números inteiros entre 1 e 100, incluindo estes,
existem dois cuja diferença é exatamente 12.
Um abraço a todos,
Fred.
Oi, Fred:
E quanto aos 60 numeros abaixo?
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,
25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,
49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,
63,64,64,66,67,68,69,70,71,72,73,74,
87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98.
[]s,
Claudio.
=
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=
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Princípio de Dirichlet - variacao
Ricardo, não sei o que quiz dizer com a 1a parte, mas a segunda está correta
e, portanto, a afirmação é FALSA!
Um abraço,
fred.
From: Ricardo Bittencourt [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] Princípio de Dirichlet - variacao
Date: Sun, 09 May 2004 22:59:54 -0300
Frederico Reis Marques de Brito wrote:
Considere o conjunto S dos pontos do R^2 que distam, na métrica
euclidiana, 1 unidade da origem do R^2. Se a cada ponto de S associarmos
um elemento do conjunto T={A,B} então existirão sempre três pontos de S
equidistantes ( na métrica euclidiana ) associados a um mesmo elemento de
T.
Mas é verdade isso mesmo? Sejam dois pontos A,B;
então o lugar geométrico dos pontos distantes do ponto A
um comprimento d(AB) é um círculo de raio d(AB) centrado
em A, o mesmo vale pra B. Os dois círculos se encontram
em dois pontos, que determinam as duas únicas possíveis
posições para um ponto C tal que os três sejam equidistantes,
e nessas condições ABC formam um triângulo equilátero.
Agora, se pra resolver o problema você precisa
inscrever um triângulo equilátero no seu conjunto S,
então vai dar zica. Quebre o conjunto S em três intervalos
semi-abertos R=[0,120[ , S=[120,240[ , T=[240,360[
(ângulos em graus). Para um triângulo equilátero estar
inscrito no conjunto S, precisa ter um ponto em cada
um desses intervalos. Mas agora eu pinto de azul os
conjuntos R e S, e de vermelho o conjunto T, e garanto
que não há triângulos equiláteros com vértices de mesma cor.
Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk
[EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou
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[obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Princípio_de_Dirichlet
Lamentável perceber, novamente, que alguns particípantes da lista usam-na com fins diversos dos quais ela foi criada. Concordo que o enunciado, tal como proposto, não é nenhum modelo de precisão, mas também acho que seu real significado é por demais evidente e que o objetivo era , tão somente, exemplificar o uso do Princípio das Gavetas num caso não muito trivial... Servaõ-lhe de lição os possíveis erros do passado... Frederico. From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Princípio_de_Dirichlet Date: Sun, 9 May 2004 16:21:11 -0300 (ART) Basta parti-lo ao meio! --- Fabiano Sant'Ana [EMAIL PROTECTED] escreveu: como um simples ponto poderá possuir Duas cores? - Original Message - From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, May 08, 2004 10:54 PM Subject: [obm-l] Princípio de Dirichlet Mais um probleminha de contagem: Se pintarmos cada ponto de um círculo com duas cores, de forma aleatória, então existirão três pontos equidistantes pintados com a mesma cor. Fred. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.676 / Virus Database: 438 - Release Date: 04/05/04 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) N.F.C. (Ne Fronti Crede) __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Princípio de Dirichlet - variacao
Convém então esclarecer novamente uma confusão. Embora não haja muito
consenso a respeito das nomenclaturas entre círculo e circunferência, é mais
comum referir-se a região delimitada por uma circunferência como disco, até
porque essa nomenclatura não dá margem a ambiguidade. O problema que propus
não foi o que o Ricardo resolveu, mas basicamente o que o Cláudio ora
propõe. Assim sendo, reformulo o enunciado , deixando-o mais exato e
formal:
Considere o conjunto S dos pontos do R^2 que distam, na métrica euclidiana,
1 unidade da origem do R^2. Se a cada ponto de S associarmos um elemento do
conjunto T={A,B} então existirão sempre três pontos de S equidistantes ( na
métrica euclidiana ) associados a um mesmo elemento de T.
Abraços a todos,
FRED.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Princípio de Dirichlet - variacao
Date: Sun, 09 May 2004 15:53:12 -0300
Frederico Reis Marques de Brito wrote:
Se pintarmos cada ponto de um círculo com [uma dentre] duas cores,
de forma aleatória, então existirão
três pontos equidistantes pintados com a mesma cor.
E se ao inves de circulo (ou seja, disco) o enunciado falasse em
circunferencia (de modo que nao pudessemos usar o centro)?
Ainda teriamos um triangulo equilatero com os 3 vertices da mesma cor?
[]s,
Claudio.
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Princípio de Dirichlet
Mais um probleminha de contagem: Se pintarmos cada ponto de um círculo com duas cores, de forma aleatória, então existirão três pontos equidistantes pintados com a mesma cor. Fred. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] congruencia e aritmetica modular
Formalmente, a segunda resposta está, tal como proposta, errada. O resto é um ( dos infinitos ) representantes da classe modular. assim, saliento, 11 ( mod 4 ) não é um número, taõ pouco o resto de 11 por 4, mas é a classe do 3 ( mod 4 )... Frederico. From: Rafael [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] congruencia e aritmetica modular Date: Sat, 3 Apr 2004 16:38:55 -0300 Creio que, para ambas as perguntas, a resposta seja sim. De acordo com a definição: A = B (mod n) == (A-B)/n é inteiro - Exemplo: 6 = 2 (mod 4), pois (6-2)/4 = 1 que é inteiro Para a segunda pergunta: Seja B = q*n + r e 0 = r n, B mod n = r - Exemplo: 9 mod 4 = 1, pois 9 / 4 = 2 e resto 1. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: André Zimmermann [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, April 03, 2004 2:52 PM Subject: [obm-l] congruencia e aritmetica modular Pessoal, É satisfatório e suficiente dizer que: A é congruente a B (módulo n) se n for divisor da diferença entre A e B ? E que B módulo n é igual ao resto da divisão inteira de B por n ? Estas são as dúvidas de um cérebro enferrujado Obrigado pelo desengripante. André. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] LIVRO
Recomendo: [1] Teoria ingênua dos conjuntos - Paul R. Halmos, editado em português pela Ciência Moderna, 2001. [2] A Matemática do Ensino Médio - vol. 1 - Elon, Morgado, eduardo Wagner e Paulo Cezar P. Carvalho, da SBM. O 1o capítulo é dedicado aos conjuntos. Boa sorte! Frederico. From: Nelson [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] LIVRO Date: Mon, 1 Mar 2004 09:14:21 -0300 (ART) Olá a todos, gostaria de saber se existe algum livro (ou site) que contenha um número razoável de demonstrações de propriedades elementares envolvendo noções de conjuntos. Desde já, agradeço. Nelson - Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora! _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Olá Rafael. O fato de nada se dizer sobre a multiplicidade da raiz significa que ela NÂO é prezumível, ou seja, você não pode assumir que a multiplicidade seja 10. Também não é nada claro( até porque é falso ) que apenas o coeficiente -10 determine os demais. Quanto às médias, ó que posso dizer é que chamou-me a atenção o fato de ter sido nos dado o produto e a soma das raízes, no mais usei o que se chama de experiência matemática... Um abraço, frederico. From: Rafael [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Date: Sat, 7 Feb 2004 15:47:39 -0200 Frederico, A conclusão sobre a multiplicidade não ser simples foi tida a partir do momento que nada se disse sobre as raízes serem distintas. Ora, a regra de sinais de Descartes, conforme já comentei, assegura que os coeficientes alternam-se se há dez raízes reais positivas, e sabemos que se trata de uma equação de coeficientes 1, -10, ..., 1 cujas raízes são reais e positivas. Nada mais se diz sobre os coeficientes, logo nada os restringe. E, ao meu ver, o segundo coeficiente, -10, já nos garante que a solução para essa equação é única, pois, se considerarmos o desenvolvimento binomial, somente temos -10 para (x-1)^10. Se ainda não for convincente, gostaria de maiores detalhes sobre o meu erro, assim como de onde você partiu para calcular MA e MG das raízes, conhecendo-se, até então, somente a soma e o produto delas. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 10:24 AM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Bom Rafael, embora a resposta que vc obteve esteja correta, seu argumento não me parece convincente. Afinal, você não teve subsídios para concluir que a raiz tinha multiplicidade 10... Observe que, pelas relações entre coef. e raízes, a soma das raízes vale 10 e o produto vale 1. Por hipótese e pelo Teor . Fund. da àlgebra, temos 10 raízes reais e positivas. Decoorre que a média aritmética das raízes ( MA ) é 1 e a média geométrica ( MG ) tb vale 1. Ora, como sabemos MG = MA e vale a igualdade se, e só se, todas as raízes são iguais. Portanto ~x=1 é uma raiz de multiplicidade 10. Um abraço, Frederico. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Bom Rafael, embora a resposta que vc obteve esteja correta, seu argumento não me parece convincente. Afinal, você não teve subsídios para concluir que a raiz tinha multiplicidade 10... Observe que, pelas relações entre coef. e raízes, a soma das raízes vale 10 e o produto vale 1. Por hipótese e pelo Teor . Fund. da àlgebra, temos 10 raízes reais e positivas. Decoorre que a média aritmética das raízes ( MA ) é 1 e a média geométrica ( MG ) tb vale 1. Ora, como sabemos MG = MA e vale a igualdade se, e só se, todas as raízes são iguais. Portanto ~x=1 é uma raiz de multiplicidade 10. Um abraço, Frederico. From: Rafael [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Date: Sat, 7 Feb 2004 05:08:22 -0200 Cláudio, A equação proposta por você é interessantíssima. Pela regra de sinais de Descartes e do enunciado, sabemos que, se há dez raízes reais e positivas, todos os coeficientes de índice par são positivos e todos os de índice ímpar, negativos, admitindo-se que haja termos em x cujo exponte varia de 2 a 6. Assim: a_10 = 1 0, a_8 0, a_6 0, a_4 0, a_2 0, a_0 = 1 0 a_9 = -10 0, a_7 0, a_5 0, a_3 0, a_1 0 Como nada se diz quanto a serem raízes distintas, temos que (x-1)^10 = x^10 - 10x^9 + 45x^8 - 120x^7 + 210x^6 - 252x^5 + 210x^4 - 120x^3 + 45x^2 - 10x + 1. Logo, x = 1 é solução única, cuja multiplicidade é 10. Espero que esteja correto. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 1:43 AM Subject: [obm-l] Equacao polinomial Jah que problemas envolvendo raizes de polinomios estao entre os mais populares da lista, aqui vai um: Determine as raizes de: x^10 - 10*x^9 + a_8*x^8 + a_7*x^7 + ... + a_1*x + 1 = 0, sabendo que todas elas sao reais e positivas. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Phi de Euler
Muito interessante essa demonstração combinatória!
Quanto a sua reformulação, ainda restringindo o contradomínio aos números
pares a função phi é altamente não sobrejetiva...
Frederico.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Phi de Euler
Date: Fri, 30 Jan 2004 09:44:19 -0200
Oi, Platao e Duda:
Dentro do espirito de se buscar sempre a solucao mais bonita pra cada
problema, aqui vai a minha candidata pra este ai:
Se mdc(n,k) = 1 entao mdc(n,n-k) = 1. Logo, se n 2, podemos arranjar os
inteiros positivos menores que n e primos com n em pares disjuntos da forma
{k,n-k}. Isso quer dizer que Phi(n) eh par para n 2.
Eh claro que se k = n - k entao n = 2k e mdc(n,k) = k 1 (a menos que k =
1
== n = 2, mas esse caso jah foi descartado).
E se mudarmos a pergunta original para: A imagem da funcao Phi contem todos
os inteiros positivos pares? (por exemplo, 14?)
Um abraco,
Claudio.
on 30.01.04 01:04, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi Platão e demais.
Não querendo corrigir, mas já enriquecendo a mensagem do Platão. Se n é
primo (com exceção a n=2) então Phi(n) = n-1 é par. Se n é potência de
primo
n = p^i (com i=2) então Phi(n) = p^i - p^(i-1) também é par. Já que a
função Phi é multiplicatica, isto é, se mdc(m,n)=1 então Phi(mn) =
Phi(m)
Phi(n), então segue a conclusão de que, a menos para n = 2, Phi(n) é um
número par.
Para quem não conhece (a maioria), o Platão é amigo meu, de Novo
Hamburgo, e
portanto também gaúcho. Saudações ao mais novo membro da lista, todos
esperamos boas contribuições como essa! Seja bem-vindo!
Abração,
Duda.
From: Platão Gonçalves Terra Neto [EMAIL PROTECTED]
Basta ver que se p é primo, ímpar, então phi(p)=p-1, par.
Para n=b^c, b primo, phi(b^c)=b^c-b^(c-1), que é par, ou seja, se
n=a1^p2*a2^p2*...an^pn, sendo ai, todos primos , distintos , n2 e pi
expoentes, então phi(n) é par.
Se n=2^k, phi(n)=2^k-2^(k-1), que é par, exceção, para phi(2)=1.
phi(1)=1.
Logo, phi(n) é par , para todo n2, donde ,N* não é imagem de phi(n)
- Original Message -
From: André Martin Timpanaro [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, January 29, 2004 8:38 PM
Subject: [obm-l] Dúvida
A afirmação abaixo é verdadeira?
Dado um número natural n não nulo existe algum natural m tal que
phi(m)=n.
Onde phi(x) é a função phi de Euler.
Em outras palavras, a imagem de phi(x) é N* ?
André T.
_
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Phi de Euler
Dividindo em alguns casos é de fato possível demonstrar sua última
afirmação. è fácil ver que x teria que ser da forma 2^a . q^b , com
a=0 ou 1 e q primo. Daí é só testar as possibilidades...
Imagino que exista alguma demonstração mais direta, mas essa é bem
construtiva.
Frederico.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Phi de Euler
Date: Fri, 30 Jan 2004 12:13:32 -0200
Com relacao a beleza matematica, uma regra que eu acho que falha pouco eh a
seguinte: se um resultado tem uma demonstracao combinatoria, entao essa
demonstracao eh a mais bonita. O unico contra-exemplo que me ocorre eh o
caso do uso de algebra linear pra se demonstrar alguns resultados de
combinatoria, mas isso eh a minha opiniao pessoal...
Outro resultado parecido que tem uma demonstracao combinatoria identica eh:
se n eh um inteiro positivo, entao d(n) eh impar se e somente se n eh
quadrado perfeito, onde d(n) = no. de divisores positivos de n.
Acho que dah pra provar que se p eh um primo tal que 2p+1 eh composto,
entao
a equacao Phi(x) = 2p nao tem solucao.
Um abraco,
Claudio.
on 30.01.04 11:00, Frederico Reis Marques de Brito at
[EMAIL PROTECTED]
wrote:
Muito interessante essa demonstração combinatória!
Quanto a sua reformulação, ainda restringindo o contradomínio aos
números
pares a função phi é altamente não sobrejetiva...
Frederico.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Phi de Euler
Date: Fri, 30 Jan 2004 09:44:19 -0200
Oi, Platao e Duda:
Dentro do espirito de se buscar sempre a solucao mais bonita pra cada
problema, aqui vai a minha candidata pra este ai:
Se mdc(n,k) = 1 entao mdc(n,n-k) = 1. Logo, se n 2, podemos arranjar
os
inteiros positivos menores que n e primos com n em pares disjuntos da
forma
{k,n-k}. Isso quer dizer que Phi(n) eh par para n 2.
Eh claro que se k = n - k entao n = 2k e mdc(n,k) = k 1 (a menos que
k =
1
== n = 2, mas esse caso jah foi descartado).
E se mudarmos a pergunta original para: A imagem da funcao Phi contem
todos
os inteiros positivos pares? (por exemplo, 14?)
Um abraco,
Claudio.
on 30.01.04 01:04, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi Platão e demais.
Não querendo corrigir, mas já enriquecendo a mensagem do Platão. Se n
é
primo (com exceção a n=2) então Phi(n) = n-1 é par. Se n é potência de
primo
n = p^i (com i=2) então Phi(n) = p^i - p^(i-1) também é par. Já que a
função Phi é multiplicatica, isto é, se mdc(m,n)=1 então Phi(mn) =
Phi(m)
Phi(n), então segue a conclusão de que, a menos para n = 2, Phi(n) é
um
número par.
Para quem não conhece (a maioria), o Platão é amigo meu, de Novo
Hamburgo, e
portanto também gaúcho. Saudações ao mais novo membro da lista, todos
esperamos boas contribuições como essa! Seja bem-vindo!
Abração,
Duda.
From: Platão Gonçalves Terra Neto [EMAIL PROTECTED]
Basta ver que se p é primo, ímpar, então phi(p)=p-1, par.
Para n=b^c, b primo, phi(b^c)=b^c-b^(c-1), que é par, ou seja, se
n=a1^p2*a2^p2*...an^pn, sendo ai, todos primos , distintos , n2 e pi
expoentes, então phi(n) é par.
Se n=2^k, phi(n)=2^k-2^(k-1), que é par, exceção, para phi(2)=1.
phi(1)=1.
Logo, phi(n) é par , para todo n2, donde ,N* não é imagem de phi(n)
- Original Message -
From: André Martin Timpanaro [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, January 29, 2004 8:38 PM
Subject: [obm-l] Dúvida
A afirmação abaixo é verdadeira?
Dado um número natural n não nulo existe algum natural m tal que
phi(m)=n.
Onde phi(x) é a função phi de Euler.
Em outras palavras, a imagem de phi(x) é N* ?
André T.
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Re: [obm-l] Impossibilidade do movimento
Isto é absolutamente falso. Observe que 1/(10^n) tende a 0quando n tender a infinito, de forma estritamente decrescente, isto é , se n m = 1/(10^n) 1/(10^m), mas 0 não é um termo dessa sequência. Posto isto , é fácil ver que não existe um menor número e que as demais parcelas são múltiplas desta... Frederico. From: Marcelo Augusto Pereira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Impossibilidade do movimento Date: Fri, 23 Jan 2004 22:10:01 -0200 O fato de essa soma ser calculável(1/9) não indica que existe um número de valor muito pequeno e que esse número seria o valor mínimo que possa existir? Assim todos os outros números seriam múltiplos desse menor valor possível, ou seja, esse número seria algo como um valor quântico. Dessa forma, também existiria uma unidade quântica de deslocamento linear, o que faria com que a quantidade de pontos em um segmento de reta não fosse infinita e o movimento fosse possível. Se para cada número existisse um menor, a soma teria que ser infinita, e o resultado infinito. - Original Message - From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, January 23, 2004 9:27 PM Subject: RE: [obm-l] Impossibilidade do movimento Essencialmente esse problema é ujm dos paradoxos de Zenão, um grego antigo que usava a idéia de infinito para chegar a conclusões aparentemente absurdas, tais como a impossibilidade do movimento, por exemplo. Agora vou dar uma de Dirichlet, o da lista é claro: Pense no seguinte, uma soma de infinitas parcelas positivas é sempre infinito, ou não necessariamente? Para ajudar nessa resposta, pense em calcular, por exemplo: 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... . Bom e agora, o que tudo isto tem a ver com sua pergunta? Espero ter ajudado, apesar dessa resposta meio enigmática, mas acho que assim auxilio mais! Frederico. From: Marcelo Augusto Pereira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Impossibilidade do movimento Date: Fri, 23 Jan 2004 19:05:25 -0200 Entre dois números reais há infinitos outros. Considere um segmento de reta com o número 0 assinalado em uma ponta e o número 1 marcado na outra. Considere também que esse segmento de reta foi representado no chão com um risco de um metro de comprimento. Para cada número entre 0 e 1 há um ponto correspondente no segmento de reta e, conseqüentemente, no risco marcado no chão. Como eu consigo caminhar do ponto 0 até o ponto 1, se para chegar de 0 até 1 eu tenho que passar por infinitos pontos? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Impossibilidade do movimento
Vou entremear minha resposta na sua. FRederico. From: Marcelo Augusto Pereira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Impossibilidade do movimento Date: Sat, 24 Jan 2004 13:02:41 -0200 1)Partindo desse princípio, pode-se dizer que a cada termo adicionado naquela soma, o valor total aumenta. Por exemplo, se eu utilizar 10 termos eu tenho um valor; se eu utilizar 100 termos eu tenho outro maior, e assim sucessivamente. (até aqui está certo.) 2)Desse modo, como a soma é infinita e possui estritamente termos positivos, seu resultado deveria ser infinito. (Isto é falso. Embora concorde em ter-se uma certa estranheza inicial, mas o fato é que qdo somamos termos que tendem a zero, talvez a soma ainda possa ser finita. Tal como ocorre com 1/10^n. Entretanto, é necessário dizer que apenas em algumas sequências a soma converge, precisamente, qdo as séries são convergentes. Imagine o seguinte: 2=1,99..., o que essa igualdade significa? Significa que se de 1 somamos 0,9, 0,09, 0,009, etc..., somando assim cada vez uma quantidade menor, completamos 2 inteiros se efetuarmos a soma das infinitas parcelas. Se pararmos em qq etapa teremos um pouco menos que 2...) 3) No entanto, pelos conhecimentos atuais de matemática, isso não ocorre. Muito estranho! (bom, esses conceitos aparentemente simples envolvem em realidade coisas profundas tais como a idéia de ínfimo e a própria construção dos números reais, portanto entendo perfeitamente suas dúvidas. Não sei qual a sua formação, mas de qq forma, tente ver o livro Análise1 - Do Elon Lages Lima, Projeto Euclides-SBM, os capítulos III e IV, talvez ajude um pouco... )]] - Original Message - From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 24, 2004 9:47 AM Subject: Re: [obm-l] Impossibilidade do movimento Isto é absolutamente falso. Observe que 1/(10^n) tende a 0quando n tender a infinito, de forma estritamente decrescente, isto é , se n m = 1/(10^n) 1/(10^m), mas 0 não é um termo dessa sequência. Posto isto , é fácil ver que não existe um menor número e que as demais parcelas são múltiplas desta... Frederico. From: Marcelo Augusto Pereira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Impossibilidade do movimento Date: Fri, 23 Jan 2004 22:10:01 -0200 O fato de essa soma ser calculável(1/9) não indica que existe um número de valor muito pequeno e que esse número seria o valor mínimo que possa existir? Assim todos os outros números seriam múltiplos desse menor valor possível, ou seja, esse número seria algo como um valor quântico. Dessa forma, também existiria uma unidade quântica de deslocamento linear, o que faria com que a quantidade de pontos em um segmento de reta não fosse infinita e o movimento fosse possível. Se para cada número existisse um menor, a soma teria que ser infinita, e o resultado infinito. - Original Message - From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, January 23, 2004 9:27 PM Subject: RE: [obm-l] Impossibilidade do movimento Essencialmente esse problema é ujm dos paradoxos de Zenão, um grego antigo que usava a idéia de infinito para chegar a conclusões aparentemente absurdas, tais como a impossibilidade do movimento, por exemplo. Agora vou dar uma de Dirichlet, o da lista é claro: Pense no seguinte, uma soma de infinitas parcelas positivas é sempre infinito, ou não necessariamente? Para ajudar nessa resposta, pense em calcular, por exemplo: 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... . Bom e agora, o que tudo isto tem a ver com sua pergunta? Espero ter ajudado, apesar dessa resposta meio enigmática, mas acho que assim auxilio mais! Frederico. From: Marcelo Augusto Pereira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Impossibilidade do movimento Date: Fri, 23 Jan 2004 19:05:25 -0200 Entre dois números reais há infinitos outros. Considere um segmento de reta com o número 0 assinalado em uma ponta e o número 1 marcado na outra. Considere também que esse segmento de reta foi representado no chão com um risco de um metro de comprimento. Para cada número entre 0 e 1 há um ponto correspondente no segmento de reta e, conseqüentemente, no risco marcado no chão. Como eu consigo caminhar do ponto 0 até o ponto 1, se para chegar de 0 até 1 eu tenho que passar por infinitos pontos? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil
RE: [obm-l] Paradoxos (era: Impossibilidade do movimento)
Existem algumas variantes desse paradoxo, tal como : Todo número natural é interessante. Todos baseados no Princípio da Boa Ordenação, que é bastante intuitivo, e em definições imperfeitas, tais como: dia surpresa e número interessante. Outro paradoxo semelhante é: Todos os homens são miseráveis, obtido usando-se indução : um homem com R$1,00 apenas é miserável. Se, por outro lado, um homem com k reais é miserável, um com (k+1) também o é, posto que tem apenas um real a mais que um miserável... De qq forma, o que é concenso é que os paradoxos são fontes infindáveis de discussões, muitas produtivas e interessantes. Frederico. From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Paradoxos (era: Impossibilidade do movimento) Date: Sat, 24 Jan 2004 16:10:08 -0200 Outro paradoxo conhecido é o da prova surpresa. O professor chega na primeira aula de um curso de 20 aulas e diz que durante o curso haverá uma prova surpresa. Um aluno raciocina que a prova não pode ser no último dia senão não seria surpresa. Mas já que não pode ser no último dia, se fosse no penúltimo dia também não seria surpresa. Assim a prova não pode ser em nenhum dos dois últimos dias. Repetindo o raciocínio, a prova não pode ser um nunhum dos últimos três dias. E repetindo mais vezes, não pode ser em *nenhum* dia. Ora, no oitavo dia de aula o professor dá uma prova, e todos são tomados de surpresa. Há várias explicações diferentes para este paradoxo. Muitas vezes não se pode dizer que uma explicação está certa e outra errada, deve-se apenas dizer que uma explicação é mais interessante, ou mais esclarecedora. []s, N. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Impossibilidade do movimento
Essencialmente esse problema é ujm dos paradoxos de Zenão, um grego antigo que usava a idéia de infinito para chegar a conclusões aparentemente absurdas, tais como a impossibilidade do movimento, por exemplo. Agora vou dar uma de Dirichlet, o da lista é claro: Pense no seguinte, uma soma de infinitas parcelas positivas é sempre infinito, ou não necessariamente? Para ajudar nessa resposta, pense em calcular, por exemplo: 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... . Bom e agora, o que tudo isto tem a ver com sua pergunta? Espero ter ajudado, apesar dessa resposta meio enigmática, mas acho que assim auxilio mais! Frederico. From: Marcelo Augusto Pereira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Impossibilidade do movimento Date: Fri, 23 Jan 2004 19:05:25 -0200 Entre dois números reais há infinitos outros. Considere um segmento de reta com o número 0 assinalado em uma ponta e o número 1 marcado na outra. Considere também que esse segmento de reta foi representado no chão com um risco de um metro de comprimento. Para cada número entre 0 e 1 há um ponto correspondente no segmento de reta e, conseqüentemente, no risco marcado no chão. Como eu consigo caminhar do ponto 0 até o ponto 1, se para chegar de 0 até 1 eu tenho que passar por infinitos pontos? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Relação de ordem em C
Bom Rafael. A afirmação , tal como feita, não é verdadeira. È possível ordenar os complexos, por exemplo pela ordem do dicionário. correto é afirmar que não existe ordem possível em C que preste, ou formalmente dizendo, que seja compatível com as operações de soma e produto de complexos. ESta demonstração é bem simples e baseia-se, fundamentalmente, no fato de que num corpo ordenado os quadrados devem ser positivos e como bem sabemos i^2=-1 em C. A demonstração completa vc pode encontrar em Meu Professor de Matemática e Outras Histórias, do Elon. Ed. SBM. Se vc não encontrar , escreva novamente que lhe mando os detalhes. Frederico. From: Rafael [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Relação de ordem em C Date: Thu, 22 Jan 2004 04:26:10 -0200 Caros colegas da lista, Há muito tempo procuro, sem êxito, uma justificativa para algo que se aprende logo nas primeiras aulas sobre números complexos: a demonstração formal da não existência de ordem no conjunto C. Por exemplo, sejam z = 2+3i e w = 5+7i, não se pode afirmar que z w ou z w. No máximo, que z é diferente de w ou alguma comparação específica quanto à parte real de um e de outro, tal como em relação à parte imaginária. Parece-me que, do ponto de vista geométrico, é bastante óbvio, visto que cada número complexo representa um ponto no plano de Argand-Gauss, não se podendo configurar como maior ou menor em relação a outro, mas tão somente a sua posição. Ainda assim, alguém conheceria a demonstração ou algo a respeito? Fico muito grato desde já por qualquer comentário. Abraços, Rafael de A. Sampaio _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] AJUDA?????
Duas retas no espaço são reversas quando não existe um plano que as contenha (simultaneamente, é claro). Agora quanto a quantas retas reversas há no cubo, sugiro que você de posse da definição, repense sua pergunta... Frederico. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] AJUDA? Date: Sun, 30 Nov 2003 01:06:26 -0200 PODERIA DEFINIR OQUE É RETAS REVERSAS. QUANTAS RETAS REVERSAS TEM UM CUBO ? _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] dúvida 2
Resposta: sen(18o) =( raiz(5) -1)/4 . Para efetuar este cálculo faça o seguinte: Construa um triângulo isósceles com laterais medindo 1 e ângulo do vértice ( aquele oposto a base ) de 36o. Chamemos o vértice oposto a base de A e os vértices da base de B e C. Assim, AB= AC=1 e BC é a base. A seguir trace a bissetriz interna BD. Então o triângulo ABD também é isósceles ( já que tem dois ângulos internos congruentes, de 36o cada ) . Portanto, AD =BD =BC. Use agora que os triângulos BAC e CBD são semelhantes e que: BC/CD = AB/BC=(resolvendo a equalção para achar BC ) BC = (raiz(5)-1)/2 . Baixe a mediatriz AE da base do triângulo isósceles ABC . Como sabemos ela é também bissetriz do ângulo do vértice A. Assim o ângulo BÂE = 18o. Tomando o triângulo retângulo ABE temos que: sen(18o) = (BC/2) / AB = BC/2 = ( raiz(5) - 1)/4 . CQD. Frederico. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] dúvida 2 Date: Sun, 30 Nov 2003 01:00:32 -0200 quanto vale o sen18º como calculo _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
b) Se mdc(a,m)=1 = a é uma unidade em Z_m, isto é, existe b tal
que ab =1( de fato, pelo Teorema de Bezout: existe b e y inteiros tq ab
+mx=1. ).Decorre que 1 pertence a a =1. Z_m está contido em a
. Decorre que a = Z_m.
Depois tento os demais...
Abraços,
Fred.
From: Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
Date: Sun, 19 Oct 2003 20:32:10 -0300 (ART)
Eu consegui provar a letra a o resto nao) ai vão:
Seja Z conjunto dos inteiros e x o subgrupo gerado
por x e Zm um grupo qualquer mod m. Mostre que a,b e m
inteiros( m= 2):
a)sendo B = b (mod m) e A = a (mod m) se a divide b
entao, como subgrupos de Zm,
B esta contido em A.(Esse eu consegui provar o
resto nao)
b)sendo A = a (mod m) se mdc(a,m) = 1 , entao A =
Zm.
c)sendo A = a (mod m) e D = d (mod m) se mdc(a,m) = d
, entao A = D.
d) De posse das informacoes acima, determine todos os
subgrupos de (Z36 , +).
e)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de
ordem 2 entao G é ciclico.
f)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de
ordem 3 entao G é ciclico.(Sugestao: Sendo G =
{x,a,b}, x o elemento neutrode G, pense sobre o que
poderia ser o elemento ab)
g)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de
elemento neutro x , mostre que se y^2 =x, para cada y
em G, entao G é abeliano.(Sugestao:Note que y^2 = x
implica que y^-1 = x .Tome 2 elementos quaisquer a e b
em G e comece escrevendo ab = (ab)^-1 = ...)
Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil
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Re: [obm-l] aritmetica
Chame de X o número de passos dados pela 1a pessoa e de Y o de passos da 2a. Então: X = Y + 12 e 0,77X = 0,80Y , já que ambas percorreram toda a extensão da chácara. Esta última eq. é equivalente a 77X= 80Y . Agora resolva o sistema:X=Y+12e 77X= 80Y . Lembre-se de passara resposta para para Km ... Abraço, Frederico. From: Marcelo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] aritmetica Date: Thu, 11 Sep 2003 10:13:12 -0300 A lista OBM, Tentei de varias formas e nao consegui resolver (montar a solucao), agradeco antecipadamente a atencao. Problema: Para medir o comprimento de uma chacara, duas pessoas percorreram a pe, contando o número de passos que dao. A primeira pessoa da 12 passos mais do que a segunda. Calcular em quilometros o comprimento da chacara, sabendo-se que o passo da primeira pessoa mede 0,77 metros e o da segunda mede 0,80 metros. A resposta do livro: 0,2464 km = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Logaritmo Irracional
Aproveito a oportunidade para acrescentar: (a) Mostre que cos (5 graus ) , cos(10 graus ) e cos (20 graus ) são irracionais. (b) Podemos generalizar este fato de alguma forma? Abraços a todos. ( Ah Cláudio, meu computador teve uma pane geral nesses últimos dias e creio não ter recebido a tal correção da enquete, proposta pelo mOrgado, você chegou a enviá-la? ) Frederico. From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Logaritmo Irracional Date: Sat, 06 Sep 2003 08:54:23 -0300 Oi, pessoal: Eu me lembro de jah ter visto mais de 10 mensagens aqui na lista sobre a irracionalide de raiz(2), raiz(p), p^(1/n), etc. mas nunca sobre a irracionalidade de um logaritmo. Assim, aqui vai um problema: Prove que se N eh um inteiro positivo que nao eh uma potencia de 10, entao log(N) (logaritmo na base 10) eh irracional. Dica: a demonstracao eh ateh mais curta do que o caso de raiz(2) e usa apenas o teorema da unicidade da fatoracao dos numeros inteiros. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Geometria Espacial
OLá pessoal. Confesso que nunca tive interesse por geometria espacial. Mas outro dia parei a perguntar-me se, similarmente ao que ocorre na geom. plana, há alguma fórmula para o angulo interno formado pelas faces de um poliedro regular e, neste caso, uma fonte para a demonstracao. Desde ja agradeco. Um abraco a todos. Frederico. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas
Olá Cláudio ( obrigado por ter dado atenção às minhas questoes) e demais
COLEGAS da lista ( por colegas entendo aqueles que, de alguma forma, estão
realmenteinteressados na discussão sobre a Matemática e suas belezas
contribuindo efetivamente para a manutenção e o desenvolvimento da cultura
matemática neste país.).
Correto. Concordo com as três soluções. Entretanto para o segundo exercício
podemos dar uma solução mais rápida:
como a^2b^2c^2 + ab +ac + bc = wabcpara todo a, b, c positivos ,
fazendo a=b=c=1, temos:
w=4 .
Resta provar que w=4 satisfaz a condição imposta no enunciado. Para tanto,
usamos novamente, a desigualdade entere as médias, MA = MG:
(a^2b^2c^2+ab+ac+bc)/4 = (a^2b^2c^2abacbc)^{1/4} = (a^4b^4c^4)^{1/4}=abc
=
(abc)^2+ab+ac+bc = 4abc.
Um grande abraço,
Frederico.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Questões Divertidas
Date: Tue, 19 Aug 2003 15:08:27 -0300
Oi, Frederico:
Jah que ninguem mais respondeu, aqui vai...
(1)Mostre que tg(x) + cotg (x) = 2
Supondo que x (mod 2Pi) esteja em (0,Pi/2) U (Pi,3Pi/2), o resultado eh
consequencia de que (tg(x) - 1)^2 = 0.
(2) Encontre o maior número real w tal que wabc = (abc)^2
+ ab
+ ac + bc , para todo a,b,c 0 .
O problema equivale a achar o valor minimo de:
F(a,b,c) = abc + 1/a + 1/b + 1/c, com a,b,c 0.
Esse deu um certo trabalho, mas consegui descobrir uma solucao sem usar
calculo.
Media Geometrica = Media Harmonica ==
(abc)^(1/3) = 3/(1/a + 1/b + 1/c) ==
abc = 27/(1/a + 1/b + 1/c)^3 ==
F(a,b,c) = 27/(1/a +1/b + 1/c)^3 + (1/a + 1/b + 1/c),
com igualdade == a = b = c, ou seja:
F(a,b,c) eh minimo quando a = b = c
Mas, fazendo x = 1/a + 1/b + 1/c, teremos:
F(a,b,c) = 27/x^3 + x = 4*[27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3]/4
Media Aritmetica = Media Geometrica ==
[27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3]/4 = [(27/x^3)*(x/3)*(x/3)*(x/3)]^(1/4) = 1 ==
27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3 = 27/x^3 + x = 4,
com igualdade == 27/x^3 = x/3 == x = 3 == 1/a + 1/b + 1/c = 3, ou
seja:
F(a,b,c) eh minimo quando 1/a + 1/b + 1/c = 3.
Assim, o valor minimo de F(a,b,c) eh atingido quando:
a = b = c e 1/a + 1/b + 1/c = 3 == a = b = c = 1
e nesse caso F(a,b,c) = 4
Conclusao: o maior w eh igual a 4.
(3) V ou F:O produto da soma de nos reais positivos pela soma de
seus
inversos é = ao quadrado da quantidade de números.
V - consequencia da desigualdade entre a media harmonica e a media
geometrica de numeros positivos.
Um abraco,
Claudio.
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Re: [obm-l] Primos da forma 2*3*5*...*p + 1
Segundo Paulo Ribemboim, são problemas em aberto: Existência de infinitos primos p tais que p# +1 seja primo e seja composto. Até a publicação do livro Mistérios e Recordes ( SBM ) (2001), altamente recomendado, o maior primo na 1a condição conhecido era p= 42209, descoberto em 99, e que tem apenas 18.241 algarismos... Este é mais um indício seja, provavelmente, a área mais surprrendente da Matemática. Vou procurar resultados mais recentes... Talvez de lá pra cá tenha se encontrado uma resposta parcial ou mesmo completa para as questões. Achando algo interessante envio a lista. Abraços, Frederico. - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, August 18, 2003 12:13 PM Subject: [obm-l] Primos da forma 2*3*5*...*p + 1 E serah que existem infinitos primos da forma n! + 1? Por exemplo, n! + 1 eh primo para n = 1, 2, 3, 11, 27, ... O teorema de Wilson implica que se n = p - 1, com p primo, n! + 1 eh divisivel por p. Logo existem infinitos compostos da forma n! + 1... []'s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Desafio AntiZona - Um emocionante desafio de perguntas e respostas que te dá um Renault Clio, kits de eletrônicos, computadores, notebooks e mochilas. Cadastre-se, participe e concorra! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas
Olá a todos. Realmente, este fato só é válido nos quadrantes ímpares. Achei que já tinha mandado esta errata para a lista mas pelo visto devo ter respondido a algum email pessoal. De qq forma, obrigado Morgado. Abraços, Frederico. From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas Date: Mon, 18 Aug 2003 18:54:42 -0300 (EST) Epa, isso so eh verdade no primeiro e no terceiro quadrantes. Morgado Em Mon, 18 Aug 2003 15:33:52 -0400, Aleandre Augusto da Rocha [EMAIL PROTECTED] disse: - Original Message - From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, August 16, 2003 9:47 AM Subject: [obm-l] Questões Divertidas Caros colegas. As questões que se seguem são todas simples, desde que pensemos na coisa certa. Como gostei delas resolvi partilhá-las com vcs: (1)Mostre que tg(x) + cotg (x) = 2 . tg(x) + cotg(x) = 2 sen(x)/cos(x) + cos(x)/sen(x) = 2 (sen^2(x) + cos^2(x))/sen(x)cos(x) = 2 1 = 2sen(x)cos(x) 1=sen(2x) Abraços, Frederico. -Auggy = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas
Olá Alexandre. É bastante perigoso tentarmos demonstrar uma desigualdadeou mesmo uma igualdade mechendo nos dois membros da mesma. Ao chegarmos numa conclusão verdadeira, como a que vc chegou, é necessário checar se os passos são treversíveis, pois afinal de contas vc partiu da hipótese. Além disso, senx . cos x pode ser negativo , o que ocorre precisamente nos quadrantes pares, onde a tese é falsa, mas vc não se deu conta disso. Uma sugestão, olhe os outros problemas e tente achar a idéia comum aos três; Um abraço, Frederico. From: Aleandre Augusto da Rocha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas Date: Mon, 18 Aug 2003 15:33:52 -0400 - Original Message - From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, August 16, 2003 9:47 AM Subject: [obm-l] Questões Divertidas Caros colegas. As questões que se seguem são todas simples, desde que pensemos na coisa certa. Como gostei delas resolvi partilhá-las com vcs: (1)Mostre que tg(x) + cotg (x) = 2 . tg(x) + cotg(x) = 2 sen(x)/cos(x) + cos(x)/sen(x) = 2 (sen^2(x) + cos^2(x))/sen(x)cos(x) = 2 1 = 2sen(x)cos(x) 1=sen(2x) Abraços, Frederico. -Auggy = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Infinitos Primos.
Eu ainda não havia visto a prova basdeada nos ciclotômicos. O Dirichlet ( o da lista) enviou um endereço contendo artigo sobre isto. Lerei-o. A prova que conheço é a resposta oficial de uma Olimpíada Russa, mas é muito longa ( 3 páginas ) e braçal. Talvez tenha a idéia geral da dos ciclotômicos... Obrigado. Abraços a todos. Frederico. From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Infinitos Primos. Date: Sat, 16 Aug 2003 13:30:39 -0300 A demonstração clássica do caso 4k + 1 leva em conta que, para todo primo p e todo inteiro N, se p divide N^2 + 1, então p = 2 ou p é da forma 4k + 1. Sejam p1, p2, ..., pn todos os primos da forma 4k + 1. Então, os fatores primos de (2*p1*p2*...*pn)^2 + 1 são todos da forma 4k + 3 == contradição. * Existe uma demonstração da infinitude dos primos da forma Nk + 1 para qualquer N que usa polinômios ciclotômicos. É essa que você conhece? Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, August 16, 2003 10:56 AM Subject: [obm-l] Infinitos Primos. Pessoal, como todos devem saber dada em toda progressão aritmética em que a razão e o termo inicial são coprimos existe uma quantidade infinita de primos. Este é o conhecido Teorema de Dirichlet, cuja demonstração é bastante complexa. Alguns casos especiais são facilmente demonstrados como 4k+3 ou 6k+5 e já foram tratados nesta lista. Proponho então a demonstração dos seguintes casos: 10K +1e4k +1 , especialmente o primeiro deles, poias embora conheça as demonstrações gostaria de obter provas mais simples das de que tenho conhecimento. Se alguém tiver uma idéia, por favor escreva-me. Abraços, Frederico. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questões Divertidas
Caros colegas. As questões que se seguem são todas simples, desde que pensemos na coisa certa. Como gostei delas resolvi partilhá-las com vcs: (1)Mostre que tg(x) + cotg (x) = 2 . (2) Encontre o maior número real w tal que wabc = (abc)^2 + ab + ac + bc , para todo a,b,c 0 . (3) V ou F:O produto da soma de nos reais positivos pela soma de seus inversos é = ao quadrado da quantidade de números. Abraços, Frederico. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Infinitos Primos.
Pessoal, como todos devem saber dada em toda progressão aritméticaem que a razão e o termo inicial são coprimos existe uma quantidade infinita de primos. Este é o conhecido Teorema de Dirichlet, cuja demonstração é bastante complexa. Alguns casos especiais são facilmente demonstrados como 4k+3 ou 6k+5 e já foram tratados nesta lista. Proponho então a demonstração dos seguintes casos: 10K +1e4k +1 , especialmente o primeiro deles, poias embora conheça as demonstrações gostaria de obter provas mais simples das de que tenho conhecimento. Se alguém tiver uma idéia, por favor escreva-me. Abraços, Frederico. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Exatamente Cláudio, o Princípio de Dirichlet tb é conhecido como Princípio da Casa dos Pombos ou das gavetas. O exemplo do monge é muito bom. Coloquei-o certa vez numa prova de cálculo I. Os alunos acharam bacana. E quanto ao TNP a prova não é simples realmente, mas a tentação de mostrar aos alunos a relação entre ln e os nos primos, destas relações absolutaamente inesperadas, é forte. Aproveito para colocar mais alguns resultados e dizer que, a medida que leio as respostas dos nossos colegas a sua enquete, fico cada vez mais perplexo, pois raramente discordo de algum, o que me alegra por demonstrar que, convenhamos, a Matemática é linda demais. (6) Esse é simples e bonitinho demais: Existem desertos de primos tão grandes qto se queira, isto é, formalmente: dado N natural, existe uma sequência de N inteiros consecutivos compostos. (7) A demonstração de que os números transcendentes são não-enumeráveis. (8) A solução da eq: 2^x = x^2 . ( acho que se encontra isto em : Meu Professor de Matemática... , do Elon. SBM ) (9) A demonstração de que C não é um corpo ordenado, pela simplicidade. ( Aqui vale dizer que não é necessário o emprego dos termos técnicos, como corpo, por exemplo... ) (10) A relação de Euler para poliedros, que, pecaminosamente havia me esquecido. Abraços, Frederico. From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, 09 Aug 2003 20:34:04 -0300 on 09.08.03 18:39, Frederico Reis Marques de Brito at [EMAIL PROTECTED] wrote: 1) Acho que esse será praticamente unânime: Teorema de Euclides sobre a exist~encia de infinitos primos. 2) Teorema de Bezout sobre MDC: O máximo dvisor comum de dois inteiros é uma comb. linear inteira ( em realidade a menor positiva ) desses números , pelas várias aplicações deste na Teoria dos Números. 3) O Princípio de Dirichlet, pela potência . 4) O posto-linha = posto-coluna. Não sei mais sempre achei este resultado muito inusitado, já que uma matriz nada mais é que um amontoado de números... 5) Teorema do Valor Intermediário ( Acho que podemos abordar este tema no ensino médio... ) Como o Morgado, pensarei um pouco mais antes de enviar outros 5. ( A propósito é tentador citar o Teorema dos Números Primos, mas acho que esse tema não seria acessível. Fica um voto de louvor então!) Frederico. Oi, Frederico. O principio de Dirichlet a que voce se refere eh o das casas de pombos? O TNP eh um pouco avancado demais (mesmo com uma demonstracao elementar), mas aquelas desigualdades de Chebichev sao aceitaveis, assim como o postulado de Bertrand, que penso seriamente em botar na minha lista. Pra mim, o TVI (e qualquer resultado que dependa do axioma do supremo) foi um caso mais dificil de decidir, mas como tem aquele probleminha do monge subindo e descendo a montanha, acho que ele tambem eh aceitavel. E, afinal de contas, tem um volume da colecao do Iezzi que trata de limites, derivadas e integrais... Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Cláudio: A Matemática é a única ciência em que uma geração não poe abaixo o que a anterior construiu. As idéias matemáticas belas são permanentes e a sua enquete em nada remetia a que enviássemos apenas teoremas modernosos, ademais a genialidade dos Matemáticos da Carochinha parece não ter mais espaço nos últimos anos ... Perplexo, com seu comentário, Frederico. From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Tue, 12 Aug 2003 15:15:20 -0300 (ART) Ah e,e??Veja o primeiro capitulo do Proofs from THE BOOK.Ai ce vai ver como topologia e ultrapassado Claudio Buffara wrote: Estou extremamente decepcionado com as listas de problemas supostamente bonitos que foram enviadas pra lista ateh o presente momento. Imaginem soh - teorema do valor intermediario, secoes conicas, poliedros regulares, conjuntos enumeraveis. Onde voces estao com a cabeca? Isso tudo eh matematica do tempo da carochinha. Infinitude dos primos? Isso eh tao velho que ja devia ter sido revogado! O Noga Alon conta que fizeram esta pergunta para ele uma vez que ele começou explicando a prova de Euclides de que há infinitos primos em um programa de televisão, eu acho: And today, are there still infinitely many primes? E sem sair do clima, deem uma olhada em http://qsilver.queensu.ca/~phil158d/intro/montyh3.htm Eu deveria ter visto isso antes de escrever o meu artigo da Eureka! []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
1) Acho que esse será praticamente unânime: Teorema de Euclides sobre a exist~encia de infinitos primos. 2) Teorema de Bezout sobre MDC: O máximo dvisor comum de dois inteiros é uma comb. linear inteira ( em realidade a menor positiva ) desses números , pelas várias aplicações deste na Teoria dos Números. 3) O Princípio de Dirichlet, pela potência . 4) O posto-linha = posto-coluna. Não sei mais sempre achei este resultado muito inusitado, já que uma matriz nada mais é que um amontoado de números... 5) Teorema do Valor Intermediário ( Acho que podemos abordar este tema no ensino médio... ) Como o Morgado, pensarei um pouco mais antes de enviar outros 5. ( A propósito é tentador citar o Teorema dos Números Primos, mas acho que esse tema não seria acessível. Fica um voto de louvor então!) Frederico. From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] CC: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, 09 Aug 2003 10:24:26 -0300 Caros colegas da lista: Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza matematica. O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e cujas solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o enunciado. No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica (entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo utilizado. A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel a um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o Porisma de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos do Porisma poderiam ser incluidos). Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o. grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau. Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. Acho que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes pode ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau. Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar uma compilacao dos problemas e teoremas mais votados. Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Prezado Cláudio e demais colegas da lista, Quero desculpar-me por ter interpretado mal sua mensagem. Em realidade cometo um erro frequente de ler as mensagens na ordem em que elas estão na minha caixa, desta forma leio as mais recentes primeiro. Desta forma li a resposta de um membro da lista sobre sua mensagem original, mas que continha apenas o primeiro trecho de sua mensagem, o que me levou a uma interpretação incorreta e me deixou meio perplexo, minha impressão sobre o Cláudio foi sempre bastante positiva. Com este embróglio, prometo ler os e-mails na ordem correta. Aproveito para solidariezar-me com o Cláudio e outros que tb já não aguentam mais ficar lendo pseudo-paradoxos horripilantes e quebra-cabeças supostamente lógicos... Um abraço a todos. Frederico. From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Wed, 13 Aug 2003 09:44:57 -0300 Caros colegas: Foi com uma mistura de surpresa e horror que eu constatei que alguns participantes da lista interpretaram literalmente o que eu escrevi em minha ultima mensagem sobre o assunto em epigrafe, do qual alias sou patrocinador. O que me entristece eh que um deles ja havia me causado uma impressao muito positiva por sua disposicao de tirar duvidas e de mostrar um pouco da beleza que existe na matematica. Sendo assim, o que me resta fazer eh esclarecer que aquela mensagem tinha dois objetivos: 1. Fazer rir; 2. Protestar contra o excesso de mensagens sem nexo, pegadinhas, problemas irrelevantes e mal-formulados e, mais geralmente, spam, que certos participantes insistem em enviar para a lista. Espero ter obtido um modico de sucesso em cada um deles. E para que nao haja duvidas: NAO! EU NAO ACHO QUE O TEOREMA SOBRE A INFINITUDE DOS PRIMOS DEVA SER REVOGADO! E TAMBEM NAO ACHO QUE TEOREMAS PROVADOS NO TEMPO DA CAROCHINHA OU ANTES DISSO DEVAM SER NEGLIGENCIADOS - MUITO PELO CONTRARIO, ESTES SAO EM GERAL OS MAIS BONITOS! No mais, ainda estou pensando no conteudo da minha lista de verdade. Este triste episodio me fez lembrar de um ex-presidente do nosso pais de quem se dizia que ria 3 vezes de cada piada: a primeira, quando ouvia; a segunda, quando explicavam; e a terceira, quando entendia. Alias, dizem que esse mesmo governante em certa ocasiao envolveu-se em acalorada discussao com seus ministros sobre o ponto de ebulicao da agua. Ele insistia que a agua fervia a 90 graus. Por mais de 1 hora, os ministros tentaram de todas as formas convence-lo que nao, que a agua fervia a 100 graus. Fracassaram. Entretanto, alguns dias depois, em nova reuniao, o presidente dirigiu-se aos ministros e disse: Senhores: eu lhes devo desculpas. Os senhores estao corretissimos. A agua de fato ferve a 100 graus. Eu me confundi. O que ferve a 90 graus eh o angulo reto. Por fim, quero falar um pouco da mensagem do Nicolau. O episodio ocorrido com o Noga Alon mostra que a vida real pode ser pelo menos tao absurda quanto a ficcao. Alem disso, noto, com satisfacao, que a discussao gerada em torno do problema das tres portas resultou em pelo menos dois participantes da lista se convencendo de que a atitude correta eh trocar de porta. Eu chamo isso de progresso. Um passo a mais para longe do obscurantismo! Um grande abraco a todos, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Não é piada!!!
Outra dia, quer dizer noite, assistindo o prigramo do tal senhor gordo, em
que ele lia alguns hilariantes erros dos alunos nas provas de redação,
comecei a lembrar de algumas pérolas matemáticas dadas pelos alunos das mais
diversas engenharias e afins nas provas de cálculo. Então só para distrair
um pouco, listei algumas *( fatos verídicos ocorridos em minhas classes ou
de amigos professores .) :
(1) Derivar sen xusando a regra do produto , algo do tipo:
cos . x + sen . 1
(2) Usar que todas as funções matemáticas são lineares. Desta forma:
sen(x+y) = sen x + sen y , e^{x-y} = e^x - e^y , 1/ (a+b) = 1/a + 1/b
etc...
(3) Achar que uma reta não é uma curva...
(4) lim_{ x - + infinito } (x^2 + 3x + 1 ) = infinito^2 + 3infinito + 1
...
(5) i = \sqrt{ - 0 } ... ( Observe a necessidade do - . )
(6) Essa é de uma aluna de Matemática para a professora de Geometria Plana:
Ah professora, eu não sei pra quê tudo isto... Eu vou ser professora de
Matemática não de Geometria.!
Aproveito para tb puxar a orelha dos autores de livros de Cálculo I, alguns
perlo menos, não sei bem com qwual objetivo, talvez a simplificação
extrema, eles consideram que, por exemplo, não existe
lim_{ x - 0} \sqrt(x) . ...
Abraços,
Frederico.
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Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Chamem um exorcista, o Nicolau está possuído pelo espírito de Fermat... Só espero que ele não demore 350 anos até enviar a sua solução... Brincadeira... Agora escrevendo seriamente. Tb não sei que problema dos pontos é esse e muito menos a solução de Fermat para o mesmo. Morgado, salve-nos... Abraços, Frederico. From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, 9 Aug 2003 18:54:19 -0300 On Sat, Aug 09, 2003 at 11:08:53AM -0300, A. C. Morgado wrote: 4) O problema dos pontos. Pela beleza da solução de Fermat. Perdão pela minha ignorância, mas o que é o problema dos pontos? 5) São apenas 5 os poliedros regulares. (Outro que, em geral, não nos damos conta de quão surpreendente ele é.) Aqui é preciso demonstrar não só que não existem outros poliedros regulares mas também que os cinco poliedros que nós conhecemos de fato existem. Uma demonstração é pura e simplesmente dar coordenadas em R^3 para os vértices mas esta demonstração de certa forma é insatisfatória pois é caso a caso. O que seria interessante é demonstrar de forma geral que se o ângulo interno de um polígono regular de n lados é menor do que 2 pi/m então podemos juntar m polígonos regulares de n lados ao redor de cada vértice e completar um poliedro regular. Eu tenho uma demonstração notável deste fato mas este e-mail é pequeno demais para ela. ;-) []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] V ou F Analítico.
Bom pessoal, é o seguinte. Seja a_n , n e IN , uma sequência de reais e suponha que a_n - a . Verdadeiro ou Falso: (a_1 + a_2 + ... + a_n ) / n - a. Infelizmente não sei como indicar um somatório ... Abraços, Frederico. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] primos...
Exceto 2 todo primo é congruente a 1 ou 3 mod 4. Observe que produto de inteiros congruentes a 1 mod 4 tb é congruente a 1 mod 4. Em seguida, suponha, por absurdo , que p1 , p2 , ..., pk , sejam todos os primos congruentes a 3 mod 4 maiores que 3 , e tomeA = 4p1 p2 ... pk + 3 . A não pode serr primo, pois é congruente a 3 mod 4 e maior que todos os primos desta forma, por hipótese de absurdo. Mas pelo Teor. Fund. Aritmética ele tem algum fator primo, e pelo que dissemos antes, deve ter um fator primo congruente a 3 mod 4. Logo este fator deve ser algum dos pi´s, digamosd p1. Mas se p1 divide a , decorre que p1 divide 3. Absurdo. Um abraço. Frederico. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] primos... Date: Wed, 30 Jul 2003 02:53:21 EDT Prove que existem infinitos primos congruos a 3 módulo 4.. Um abraço, Crom _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda
1) (113k + 7 )/(k+1)= (113k +113 -106)/(k+1) = 113 - 106/(k+1) será inteiro se, e só se, (k+1) for um divisor de 106= 2 x 53 . Como 106 tem 4 divisores positivos, existem 8 de k satisfazendo o enunciado. 2) tenho que pensar um pouco + . Frederico. From: Fabio Bernardo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Ajuda Date: Thu, 31 Jul 2003 21:50:11 -0300 Caros colegas, uns alunos me pediram essas duas questões e eu ainda não consegui resolvê-las. Se alguém puder, me ajude por favor. 1) Quantos valores de K, inteiro, existem, tais que, (113k+7)/(k+1) é um número inteiro? 2) Para quantos valores reais do número a a equação x^2+ax+6a=0 possui somente raízes inteiras? Desde já agradeço. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes (ajuda)
Basta multiplicar os dois membros da eq. AX=Bpor A^{-1}, pela esquerda (
lembre-se de que o produto de matrizes, em geral, é não-comutativo!!! ).
Dessa forma:
X=A^{-1}. B .
Frederico.
From: [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Matrizes (ajuda)
Date: Wed, 23 Jul 2003 08:58:34 -0300
Olá pessoal,
Não estou conseguindo resolver essa questão de matrizes:
Sabendo que AX = B, Anxn, e B diferente de zero, tal que A^(-1) existe.
Calcule X.
Desde já, grato,
Moreira
_
Quer ajudar o Brasil e não sabe como?
AjudaBrasil: http://www.ajudabrasil.org/mail.html.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Prova por indução finita
Henrique, você fez exatamente o que eu temia que houvesse feito. No processo
de indução , nós assumimos que o resultado é válido para um vcerto número
natural, k, e devemos PROVAR que esse resultado também é válido para o
próximo número natural (k+1). Assim, quando assumimos que
k! 2^k , estamos supondo que isto ocorra para um valor de k , o famoso
fixo porém arbitrário e não podemos trocar k por k+1. Este foi seu 1o
erro. O segundo é que não podemos demonstrar uma igualdade ou uma
desigualdade , mechendo nos dois membros e chegando ao final numa
igualdade obviamente verdadeira, tipo 0=0 ou 1 0, por exemplo. Para se
convencer disso, veja este exemplo simplório:
Vamos provar que -1 =1 . Elevando ao quadrado dos dois lados: 1 = 1 ,
que é uma afirmação obviamente verdadeira, embora nossa tese não seja.
Grande abraço.( E não se envergonhe, qq dúvida, escreva novamente!!! )
Frederico.
From: Henrique Patrício Sant'Anna Branco [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Prova por
indução finita
Date: Tue, 22 Jul 2003 02:40:52 -0300
Desta vez fui eu que não entendi sua dúvida. De qq forma pela
experiência
que tenho em sala de aula imaginoque o seguinte te ajude:
supomos que k! 2^k . Portanto, desde que k+1 é positivo, podemos
multiplicar essa desigualdade dos dois lados por (k+1) = (k+1).
k!
(k+1). 2^k = (k+1)! (k+1) . 2^k 2 . 2^k , pois k+1 2 .
Segue
que (k+1)! 2^{k+1} .
Ajudou? Se não, pode escrever novamente, mas explique-me melhor sua
dúvida.
Ah, certo, você multiplicou os dois lados por (k+1).
O que eu tinha pensado é o seguinte:
Sabemos que k! 2^k nas condições do enunciado. Então, temos que (k+1)!
2^(k+1), (k+1)! = k!*(k+1) e 2^(k+1) = 2*2^k (de acordo?).
Portanto, a igualdade fica k!(k+1) 2(2^k). Como temos que k! 2^k e
(k+1)
2 (pelo enunciado), então, está demonstrado.
Isso estaria certo?
Abraços,
Henrique.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Prova por indução finita
Claro!. A idéia central para se demonstrar a desigualdade k! 2^k é
óbvia: Nos dois produtos há k fatores, só que no 1o produto eles são, exceto
2, maiores que 2, enquantop no 2o... , mas a questão foi enviada com o
pedido de que fosse demonstrada pelo princípioda Indução.
Frederico.
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
[EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Prova por indução finita
Date: Mon, 21 Jul 2003 14:52:31 -0300 (ART)
pode-se demonstrar que k!/2^k pode ser tapo
grande como se queira
--- Frederico Reis Marques de Brito
[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá
Denisson. Essa é dauele tipo em que se usa
um truque sujo utilíssimo.
Deixo os detalhes por sua conta e vamos direto
ao ponto:
Suponha que k! 2^k.Então(k+1)! = (k+1)
. k! (k+1). 2^k , pela
hipótese de indução. Como k=4 , claramente
k+1 2 = (k+1)!
2^{k+1} .
O outro se resolve com um truque dessemesmo
naipe.
Abraços,
Frederico.
From: denisson [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Prova por indução finita
Date: Sun, 20 Jul 2003 15:56:13 -0300
Alguem pode resolver essas pra mim?
Prove por indução finita:
n!2^n, para todo n=4
Prove por indução finita:
n²2n+1, para todo n=3
obrigado
Denisson
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Re: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Olá Paulo, bom ter reenviado a prova de Cauchy. Acaso o Teorema de Bolzano a
que se refere é o tb conhecido como Teorema do Valor Intermediário ( ou em
realidade algo equivalente a ele ) ? Se não, qual o enunciado?
Obrigado,
FRederico.
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Date: Mon, 21 Jul 2003 18:15:03 +
Ola Pessoal,
Revendo a mensagem na qual aprresento a PROVA DE CAUCHY para o Teorema
Fundamental da Algebra achei-a um tanto confusa, pois eu estava escrevendo
com
pressa. Como este Teorema e importante, dificilmente encontrado em livros
do
ensino medio e sendo a prova de Cauchy simples, facilmente acompanhavel por
um estudante dedicado, resolvi re-escrever a prova, colocando detalhes de
forma que
qualquer pessoa possa entender.
Esse Teorema tem provas mais longas e mais curvas. Usando Analise complexa
a
prova e trivial e curtissima, mas nao acho que seja adeguado apresentar
aqui, por
obvias razoes.
A IDEIA FUNDAMENTAL : A ideia subjacente a esta prova e a seguinte. Se
everdade
que todo polinomio no plano de Argand tem raiz, entao esta raiz minimiza o
seu modulo
e a suposicao de um minimo positivo deve conduzir a um absurdo. Como fazer
este
absurdo surgir ? Considerando um circulo em torno do ponto que minimiza o
modulo do
polinomio e tratando retas passando por este ponto. Em uma destas retas
evidenciara
o absurdo. O resto e detalhe.
Segue a Prova de Cauchy :
Seja P(X) = A0*(X^n) + A1*(X^n-1) + ... + An-1*X + An um polinomio no
qual os
coeficientes A0, A1, ..., An-1, An sao numeros complexos quaisquer e X e
uma
variavel complexa. Queremos mostrar que existe Z complexo tal que :
P(Z) = A0*(Z^n) + A1*(Z^n-1) + ... + An-1*Z + An = 0.
Para tanto, seja M = MIN { MODULO( P(X) ), X variando em C }.
Como, por definicao, modulo( P(X) ) = 0. Segue que M = 0. Portanto, M
pode
ser
PRIMEIRO CASO : M = 0.
Neste caso, existe um complexo Z0 tal que MODULO( P(Z0) ) = 0. Segue que
P(Z0) = 0 e portanto Z0 e uma raiz de P(X) e a demonstracao esta concluida.
SEGUNDO CASO : M 0.
Neste caso, seja Z0 o complexo tal que MODULO( P(Z0) ) = M. IMAGINANDO no
plano complexo um circulo de centro Z0 e raio R, segue que qualquer ponto Z
na
circunferencia deste circulo pode ser imaginado como a extremidade de um
vetor,
soma dos vetores :
Z0 : origem em (0,0) e extremidade no ponto Z0
Z1 : origem no ponto Z0, extremidade no ponto Z e modulo R
Assim, para qualquer Z na circunferencia do circulo, teremos :
Z = Z0 + Z1
Calculando agora P(Z), teremos :
P(Z)=P(Z0 + Z1)=A0*((Z0 + Z1)^n ) + A1*((Z0+Z1)^n-1 ) + ... + An-1*(Z0+Z1)
+ An
Na expressao acima, ao expandirmos (Z0+Z)^p - p = 0,1,2, ..., n - usando o
Binomio
de Newton, iremos obter as parcelas A0*(Z0^n), A1*(Z0^n-1), ..., An-1*Z0,
An nas
quais nao aparece Z1 e diversas outras parcelas, nas quais sempre constara
Z1 :
1) Sozinho, sem que apareca Z0. Exemplos :
A0*(Z1^n), A1*(Z1^n-1), ..., An-1*Z1
2) Acompanhado de Z1. Exemplos :
BINOM(N,1)*A0*(Z0^n-1)*(Z1), BINOM(N,N-1)*A0*(Z0)*(Z1^n-1), ...
onde BINOM(N,P) = N! / ( P!*(N-P)! )
Esta observacao deixa claro que P(Z0+Z1) tera o seguinte aspecto :
P(Z0+Z1) = P(Z0) + B0*(Z1^n) + B1*(Z1^n-1) + ... + Bn*Z1
onde cada Bi e uma constante ou um polinomio em Z0.
Claramente que dependendo dos Ai originais, de n e do valor de Z0, alguns
destes
Bi poderao ser nulos. Se, alem de eliminar os Bi nulos, ordenarmos o
polinomio em Z1
resultante segundo as potencias crescentes de Z1, renomeando a seguir os Bi
por C's,
teremos algo semelhante a :
P(Z0+Z1) = P(Z0) + C1*(Z1^a) + C2*(Z1^b) + ... + Cp*(Z1^w).
Nesta ultima expressao acima :
1) Nenhum dos Ci e nulo, por construcao.
2) a b c ... w, em virtude da ordenacao
3) p = n, obvio.
Colocando C1*(Z1^a) em evidencia :
P(Z0+Z1) = P(Z0) + C1*(Z1^a)*[ 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... +
(Cp/C1)*(Z1^w-a) ]
Como estamos supondo P(Z0) 0, podemos dividir tudo po P(Z0). Dividindo :
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + ( C1/P(Z0) )*(Z1^a)*[ 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... +
(Cp/C1)*(Z1^w-a) ]
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + ( C1/P(Z0) )*[(Z1^a)*( 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... +
(Cp/C1)*(Z1^w-a) )]
Fazendo C1/P(Z0) = k :
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + k*[(Z1^a)*( 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... +
(Cp/C1)*(Z1^w-a) )]
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + k*[(Z1^a)*( 1 + Z1*F(Z1) )
onde F(Z1) e uma funcao ( um polinomio ) em Z1.
Claramente que sao numeros complexos tanto k quanto Z1, podendo portanto
serem
colocados na forma trigonometrica, isto e :
k = P*( cosQ + i*senQ ) e Z1 = R( cosS + i*senS )
Portanto : k*(Z1^a) = P(R^a)*( cos(Q + aS) + i*sen(Q + aS) ). Dai :
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1+ P(R^a)*( cos(Q + aS) + i*sen(Q + aS) )*( 1 + Z1*F(Z1)
)
PRESTE BASTANTE ATENCAO AQUI : Z0 e fixo. Ele e o complexo que torna
modulo( P(Z) )
minimo. Segue que P(Z0) e um complexo fixo e que C1/P(Z0) tambem o e, pois
C1 e uma constante ou um polinomio em Z0. Mas Z1 nao e fixo. Z1 e UM PONTO
na circunferencia do circulo de centro
Re: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Ah, ok! Acabo de encontrar o enunciado do Teorema de Bolzano, que prezumo,
era o que vc havia se referido:
Sejam P(x) um polinômio a coeficientes reais e a b números
reais. Se P(a) . P(b) 0 então P(x) tem um no par ( podendo ser = 0 )
de zeros reais no intervalo aberto ( a , b ) e se P(a) . P(b) 0, P(x)
tem um número ímpar de zeros em ( a , b ).
Segue a demonstração:
Podemos supor P(x) não constante( pois no caso cte nada temos a provar ) e
mônico ( por simplicidade ). Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, podemos
fatorar P(x) completamente em fatores lineares:
P(x) = ( x-a1) . ( x-a2 ) ... ( x - ak ) . (x - z1 ) ... (x - zm) .
Em que os ai´s são reais e os bj´s complexos não-reais e são as
raízes de P(x)=0.
OBS: Se P(x) não tiver raiz real então P(x)0 para todo x real e tudo
bem. Dessa forma podemos assumir que P(x) tenha alguma raiz real.
Mas tb sabemos que as raízes complexas não-reais só aparecem aos pares, z e
conjugado de z , pois P(x) tem coef. reais. Daí, podemos reescrever :
P(x) = (x - a1)...(x - ak). Q(x) , com Q(x) 0 para todo x real =
P(a) . P(b) = ( a - a1) ... ( a - ak ) .( b - a1) ... ( b - ak). Q(a).
Q(b) .
Se a a_i b = a - a_i 0 e b - a_i
0 .
Se a_i a = a - a_i 0 e b - a_i
0 .
Se a_i b = a - a_i 0 e b -
a_i 0 .
Desta forma, sea_i é uma raiz de P(x) no intervalo (a, b ) = (
a-a_i). (b-b_i)0 . Caso contrário, (a-a_i). (b -a_i) 0 . Decorre que se
P(a).P(b) 0 = o número de raizes reais de P9x) em (a,b) é
necessariamente par e se P(a). P(b) 0 = o no de raízes reais de P(x) em
(a,b) é necessariamente ímpar.
Abraços a todos.
Frederico.
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Date: Mon, 21 Jul 2003 18:15:03 +
Ola Pessoal,
Revendo a mensagem na qual aprresento a PROVA DE CAUCHY para o Teorema
Fundamental da Algebra achei-a um tanto confusa, pois eu estava escrevendo
com
pressa. Como este Teorema e importante, dificilmente encontrado em livros
do
ensino medio e sendo a prova de Cauchy simples, facilmente acompanhavel por
um estudante dedicado, resolvi re-escrever a prova, colocando detalhes de
forma que
qualquer pessoa possa entender.
Esse Teorema tem provas mais longas e mais curvas. Usando Analise complexa
a
prova e trivial e curtissima, mas nao acho que seja adeguado apresentar
aqui, por
obvias razoes.
A IDEIA FUNDAMENTAL : A ideia subjacente a esta prova e a seguinte. Se
everdade
que todo polinomio no plano de Argand tem raiz, entao esta raiz minimiza o
seu modulo
e a suposicao de um minimo positivo deve conduzir a um absurdo. Como fazer
este
absurdo surgir ? Considerando um circulo em torno do ponto que minimiza o
modulo do
polinomio e tratando retas passando por este ponto. Em uma destas retas
evidenciara
o absurdo. O resto e detalhe.
Segue a Prova de Cauchy :
Seja P(X) = A0*(X^n) + A1*(X^n-1) + ... + An-1*X + An um polinomio no
qual os
coeficientes A0, A1, ..., An-1, An sao numeros complexos quaisquer e X e
uma
variavel complexa. Queremos mostrar que existe Z complexo tal que :
P(Z) = A0*(Z^n) + A1*(Z^n-1) + ... + An-1*Z + An = 0.
Para tanto, seja M = MIN { MODULO( P(X) ), X variando em C }.
Como, por definicao, modulo( P(X) ) = 0. Segue que M = 0. Portanto, M
pode
ser
PRIMEIRO CASO : M = 0.
Neste caso, existe um complexo Z0 tal que MODULO( P(Z0) ) = 0. Segue que
P(Z0) = 0 e portanto Z0 e uma raiz de P(X) e a demonstracao esta concluida.
SEGUNDO CASO : M 0.
Neste caso, seja Z0 o complexo tal que MODULO( P(Z0) ) = M. IMAGINANDO no
plano complexo um circulo de centro Z0 e raio R, segue que qualquer ponto Z
na
circunferencia deste circulo pode ser imaginado como a extremidade de um
vetor,
soma dos vetores :
Z0 : origem em (0,0) e extremidade no ponto Z0
Z1 : origem no ponto Z0, extremidade no ponto Z e modulo R
Assim, para qualquer Z na circunferencia do circulo, teremos :
Z = Z0 + Z1
Calculando agora P(Z), teremos :
P(Z)=P(Z0 + Z1)=A0*((Z0 + Z1)^n ) + A1*((Z0+Z1)^n-1 ) + ... + An-1*(Z0+Z1)
+ An
Na expressao acima, ao expandirmos (Z0+Z)^p - p = 0,1,2, ..., n - usando o
Binomio
de Newton, iremos obter as parcelas A0*(Z0^n), A1*(Z0^n-1), ..., An-1*Z0,
An nas
quais nao aparece Z1 e diversas outras parcelas, nas quais sempre constara
Z1 :
1) Sozinho, sem que apareca Z0. Exemplos :
A0*(Z1^n), A1*(Z1^n-1), ..., An-1*Z1
2) Acompanhado de Z1. Exemplos :
BINOM(N,1)*A0*(Z0^n-1)*(Z1), BINOM(N,N-1)*A0*(Z0)*(Z1^n-1), ...
onde BINOM(N,P) = N! / ( P!*(N-P)! )
Esta observacao deixa claro que P(Z0+Z1) tera o seguinte aspecto :
P(Z0+Z1) = P(Z0) + B0*(Z1^n) + B1*(Z1^n-1) + ... + Bn*Z1
onde cada Bi e uma constante ou um polinomio em Z0.
Claramente que dependendo dos Ai originais, de n e do valor de Z0, alguns
destes
Bi poderao ser
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Prova por indução finita
Desta vez fui eu que não entendi sua dúvida. De qq forma pela experiência
que tenho em sala de aula imaginoque o seguinte te ajude:
supomos que k! 2^k . Portanto, desde que k+1 é positivo, podemos
multiplicar essa desigualdade dos dois lados por (k+1) = (k+1). k!
(k+1). 2^k = (k+1)! (k+1) . 2^k 2 . 2^k , pois k+1 2 . Segue
que (k+1)! 2^{k+1} .
Ajudou? Se não, pode escrever novamente, mas explique-me melhor sua dúvida.
Boa Sorte.
Um abraço,
Frederico.
From: Henrique Patrício Sant'Anna Branco [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Prova por indução finita
Date: Sun, 20 Jul 2003 21:16:59 -0300
Suponha que k! 2^k.Então(k+1)! = (k+1) . k! (k+1). 2^k ,
pela
hipótese de indução. Como k=4 , claramente k+1 2 = (k+1)!
2^{k+1} .
Não entendi a parte (k+1) . k! (k+1). 2^k... Isso não deveria ser (k+1) .
k! 2 * 2^k.
Daí, sabemos que k! 2^k e, claramente, k + 1 2. Ou não?
Grato,
Henrique.
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[obm-l] Re: [obm-l] Prova por indução finita
Olá Denisson. Essa é dauele tipo em que se usa um truque sujo utilíssimo.
Deixo os detalhes por sua conta e vamos direto ao ponto:
Suponha que k! 2^k.Então(k+1)! = (k+1) . k! (k+1). 2^k , pela
hipótese de indução. Como k=4 , claramente k+1 2 = (k+1)!
2^{k+1} .
O outro se resolve com um truque dessemesmo naipe.
Abraços,
Frederico.
From: denisson [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Prova por indução finita
Date: Sun, 20 Jul 2003 15:56:13 -0300
Alguem pode resolver essas pra mim?
Prove por indução finita:
n!2^n, para todo n=4
Prove por indução finita:
n²2n+1, para todo n=3
obrigado
Denisson
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[obm-l] Probleminha Legal
Olá pessoal. Outro dia encontrei um probleminha interessante num livro que estava folheando. É o seguinte: Mostre que o menor ângulo de medida inteira ( em graus ) que se pode construir ( usando apenas com regua e compasso ) é o de 3graus. Um abraço a todos. Frederico. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] problema curioso
Estranho. Creio que o enunciado está errado, pois dele conclui-se que a=b ou a=c ou b=c ( ou não exclusivo ). Assim temos apenas 2 ptos pelos quais passa a circunferência. Isto não a determina. Além disso, uma tal circunferência poderia ou não interceptar o eixo x. Frederico. From: Marcos Reynaldo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] problema curioso Date: Fri, 18 Jul 2003 05:52:52 -0300 (ART) jah ia me esquecendo no mesmo livro do Elon aparece uma questao estranha, alguem entende ? 4) Em que ponto a circunferencia que passa pelos pontos A=(a,0), B=(b,0) e C=(c,0) corta o eixo y ? (Geometria Analitica e Algebra Linear - pagina 74) Marcos ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Probleminha Legal!
Olá´pessoal. Enviei uma mensagem com o problema abaixo há algum tempo, mas como ainda não a recebi, creio que houve algum problema. Portanto envio-o novamente. Desculpem-me se o receberem repetidas vezes. Bom, folheando um livrinho de geometria, encontrei essa questão que julguei bonitinha: Mostre que o menor ângulo com medida inteira ( em graus ) que podemos construir usando-se apenas régua e compasso é o de 3 graus. Bom divertimento. Um abraço a todos. Frederico. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l]
Aexpressão é igual a 5exp(2003) / 5exp(2001) = exp(2003)/exp(2001)= exp(2) . Desde que e é aproximadamente igual a 2,7, decorre que a parte inteira de e^2 = 7. Logo, 7 é o maior inteiro que não supera o número dado pela expressão. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Date: Tue, 15 Jul 2003 23:55:56 -0300 Alguém me ajude com essa questão: Qual é o maior valor inteiro que não supera o número: ( 2exp(2003)+3exp(2003)/(2exp(2001)+3exp(2001)) _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_O_Erro_Comum_da_Generalização_(_Ou_induções_equivocadas_)_
Para bom entender pingo é i e não há dúvida de que os matemáticos estão nesta classe. Posto isto, quero dizer que não admito que NINGUÉM, especialmente um ignorante em Matemática e em outros assuntos tb, venha até uma lista de discussão sobre Matemática , como alguém bem disse , nossa casa, e nos desrespeite a todos. Por isso, sem palavras sábias, exijo que o sr paulo recolha-se a sua insignificância e retire-se dessa lista, deixe-nos em nosso mundo bitolado em sua opinião, mas harmônico, produtivo e belo para nós. PARA O QUE NÃO TEM MAIS RAZÃO , A CALMA DO LOUCO ENSINOU A DIZER NADA, PARA O QUE NÃO TEM MAIS NADA, A CALMA DO LOUCO ENSINOU A DIZER RAZÃO. (A Sede do Peixe - Milton Nasc./Fernando Brant. ) [EMAIL PROTECTED] escreveu: Não é questão de sofisma nem são casos isolados. Se reclamo,é com sustentação argumentativa.Basta verificar a qualidade do ensino matemático e a aprendizagem dos alunos. Vc fica na defensiva e acredita que por meio de palavras sábias consegue esconder a verdade.É muito simples,os médicos hipócritas defendem os médicos hipócritas,os dentistas hipócritas defendem os dentistas hipócritas,e por aí vai. João Paulo - Original Message - From: Frederico Reis Marques de Brito To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, July 13, 2003 1:16 AM Subject: [obm-l] O Erro Comum da Generalização ( Ou induções equivocadas ) Há muito tenho me impressionado com a capacidade, creio exacerbada sobretudo nos brasileiros, de falarem com certeza sobre temas que absolutamente desconhecem. É bastante comum um aluno do ciclo básico de qq curso de engenharia afirmar que os cursos de cálculo diferencial e integral são desnecessários, posto que existem calculadoras científicas altamente avançadas. Ainda pior, muitos alunos dos ensinos fundamental e médio , e tb pré-vestibulandos que , ainda que com enorme desconhecimento de mérito, apostam que a Matemática é algo abominável e absolutamente desnecessário a um cidadão comum, mesmo sem saber exatamente o que vem a ser Matemática. Afirmações do tipo: todos os professores (... ) são, à luz da lógica matemática, absolutamente levianas, pois se tratam da mal-fadada indução e´pírica, isto é, a generalização de um fato à partir de uma certa quantidade de casos particulares. Causa-me certa estranheza o comportamento desrespeitoso com que uma ciência, e evidentemente encontram-se aí desrespeitados seus pesquisadores, é tratada por aqueles que, por qq motivo, não a conhecem. è mais ou menos como a atitude da criança que nunca comeu uma certa verdura, mas não gosta da mesma. Seria sadio que nós professores de Matemática, principalmente, especialmente aqueles que formam os futuros professores , como meu caso, tentássemos cada dia mais , reduzir o distanciamento entre o mito matemático e a realidade matemática. Só assim deixaríamos de ser vítimas( ou algozes... ) do sistema educacional vigente. Saudações, Frederico. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Email.it, the professional e-mail, gratis per te: http://www.email.it/f Sponsor: L'interpretazione dei doni di orti, frutteti, prati e giardini nel nostro Ristoro Sunflower. Clicca qui: http://adv.email.it/cgi-bin/foclick.cgi?mid=1478d=13-7 ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] O Erro Comum da Generalização ( Ou induções equivocadas )
Há muito tenho me impressionado com a capacidade, creio exacerbada sobretudo nos brasileiros, de falarem com certeza sobre temas que absolutamente desconhecem. É bastante comum um aluno do ciclo básico de qq curso de engenharia afirmar que os cursos de cálculo diferencial e integral são desnecessários, posto que existem calculadoras científicas altamente avançadas. Ainda pior, muitos alunos dos ensinos fundamental e médio , e tb pré-vestibulandos que , ainda que com enorme desconhecimento de mérito, apostam que a Matemática é algo abominável e absolutamente desnecessário a um cidadão comum, mesmo sem saber exatamente o que vem a ser Matemática. Afirmações do tipo: todos os professores (... ) são, à luz da lógica matemática, absolutamente levianas, pois se tratam da mal-fadada indução e´pírica, isto é, a generalização de um fato à partir de uma certa quantidade de casos particulares. Causa-me certa estranheza o comportamento desrespeitoso com que uma ciência, e evidentemente encontram-se aí desrespeitados seus pesquisadores, é tratada por aqueles que, por qq motivo, não a conhecem. è mais ou menos como a atitude da criança que nunca comeu uma certa verdura, mas não gosta da mesma. Seria sadio que nós professores de Matemática, principalmente, especialmente aqueles que formam os futuros professores , como meu caso, tentássemos cada dia mais , reduzir o distanciamento entre o mito matemático e a realidade matemática. Só assim deixaríamos de ser vítimas( ou algozes... ) do sistema educacional vigente. Saudações, Frederico. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Seu crêisson! Como os Matemáticos Complicam II
Esqueceu-se de mencionar que : antes da igualdade (:=) significa que o lado direito da igualdade é definido como o que se encontra à esquerda da igualdade. Abraços a todos ( exceto o chado do Paulo, é claro! ) Frederico. From: MuriloRFL [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] [obm-l] Seu crêisson! Como os Matemáticos Complicam II Date: Fri, 11 Jul 2003 00:33:42 -0300 Atenção Seu creisson esta de volta!!! Vc não consegue se comunicar via e-mail ?!?! Tem problemas com problemas ?!?! Seus problemas se acabaram-se Curso rapido via e-mail! Como se comunicar + := Soma - := Subitração * := Multiplicação / := Divisão sqrt( ) := raiz quadrada x^n := x elevado a n = := igual exemplo 001: sqrt(a^2+b^2+c^4+d^567) := represeta a raiz da soma de a elevado ao quadrado, b elevado ao quadrado, c elevado a 4ª potencia e d elevado a 567ª potência!!! P.s. Quem lê intende! Agora com équio! - Original Message - From: J.Paulo roxer ´til the end To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, July 09, 2003 6:13 PM Subject: [obm-l] Re2: [obm-l] Re: Como os Matemáticos Complicam II O a está debaixo do V + O 2-a está debaixo do próximo V = a-b está debaixo do próximo V e 3 V 2-a debaixo desse último V =2 V e a-b debaixo desse último V para 0\ a \2 e b \a,então o valor da expressão 6-a-4 vezes 2-a que está debaixo de V Entendendo que desse último 6-a até esse último 2-a,tem um V(são dois V,um dentro do outro) +2 e o a debaixo de V é igual a: Agora,se não der pra entender,vou ficar muito surpreso! Se ainda não der,dê o endereço que mando uma cópia impressa via correio,porq nunca vi gente que gosta de matemática ter tanta dificuldade. - Original Message - From: Eduardo Botelho To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, July 09, 2003 1:47 PM Subject: [obm-l] Re: Como os Matemáticos Complicam II J.Paulo roxer ´til the end wrote: Sabendo que raiz de a+raiz de 2-a= raiz de a -b e 3 raiz de 2 - a=2raiz de a -b para 0\ a \ 2 e b \a,então o valor da expressão raiz de 6-a-4 vezes raiz de 2-a + 2 raiz de a é igual : Do jeito que você propôs a questão, é obvio que ninguém vai entender mesmo. Seria ótimo de você usasse parênteses ou coisas do tipo. a + raiz de 2-a significa a + sqrt(2-a) ou a + sqrt(2) -a ??? E por aí vai do começo até o fim do enunciado. Ok.Provavelmente tenho um grande problema no córtex cerebral. Pode fazer a grande gentileza de perguntar a qualquer grande mestre da Língua Portuguesa acerca da coerência da seguinte questão?Estou ficando convencido de que tenho algum problema mesmo. Professores de Português são bons em Português. Matemáticos são bons em Matemática. Por favor, este tipo de afronta já está se tornando cansativa. Agradeceria se você se limitasse apenas aos comentários matemáticos. Eduardo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Email.it, the professional e-mail, gratis per te: clicca qui Sponsor: Trova il tuo artigiano di fiducia su QxService e parteciperai all'estrazione di un Nec e606 UMTS e di ricariche telefoniche! Clicca qui! Clicca qui _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Como os Matemáticos Complicam!
Provavelmente o seu principal problema com a Matemática é odiá-la
profundamente, bloqueando seu raciocínio para novos métodos, novas idéias.
Verdadadeiramente não se aprende nada se não há uma predisposição para
tanto.
OBS: Desculpe-me mas já me cansei de suas mensagens e portanto não mais as
lerei.
Frederico.
From: J.Paulo roxer ´til the end [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Como os Matemáticos Complicam!
Date: Tue, 8 Jul 2003 17:35:13 -0300
Como sabem,sou semi analfabeto em matem.,em razão do ensino ultrapassado
dado pelos professores da referida matéria. De qualquer maneira,posso
perceber as pegadinhas de mau gosto depois de ver o gabarito.
Estas são algumas das questões do vestibular que fiz.
Num certo grupo de pessoas, metade lê o jornal A NOTÍCIA e um terço lê
O INFORMATIVO, mas somente um sexto lê ambos os jornais. Do grupo, a
quantidade de pessoas que não lêem, nem A NOTÍCIA e nem O INFORMATIVO,
é:
A) metade B) um terço C) um quarto D)um sexto.
Solução:
A Notícia
a+x/6=x/2 a=x/3
O Informativo
x/6+b=x/3 b=x/6
a+x/6+b+c=x
x/3+x/6+x/6+c=x
6=x/3-Resposta item b.
A parte em negrito é a solução pra complicar ,confundir o aluno.
Bem,como já vi o gabarito,noto que a maneira que vai direto ao ponto é
apenas sabendo que a metade de 6 é 3.(Resposta:1/3)
O número de pares ordenados distintos (p, q) de números inteiros
positivos, cuja soma é 20 e cujo produto é menor do que 54, é:
A)4
B)5
C)6
D)7
O enunciado já é complicado.Novamente o método mais confuso em negrito:
{p,q} Z+ e:
1)p+q=20
2)p.q54
De 1) em 2),temos:
p.q54
p(20-p)54
p²-20p+540
Valores possíveis para p serão 1,2,3,17,18,19 e q serão 19,18,17,3,2,1
Teremos 6 pares(1,15),(2,18),(3,17),(17,3),(18,2),(19,1)
Resposta:item c
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Re: [obm-l] Duvida sobre polinomios
Sim, desde que o polinômio divisor não seja nulo. Existe um resultado, análogo ao Lema da Divisão de Euclides para nos inteiros, que garante que dados polinõmios f(x), g(x) , g(x) 0, com coeficientes num corpo K ( em particular se K= R = conjunto dos numeros reais ) então existem e são únicos q(x) e r(x) com coeficientes em K de tal forma que f(x) = g(x) X q(x) + r(x) e r(x) =0 ougrau(r) gr(g) . A demonstração desse fato é, normalmente, obtida através de indução matemática. Você pode obtê-la, por exemplo, em [1]GONÇALVES, Adilson - Introdução Á Álgebra - Projeto Euclides - SBM/IMPA. [2] DOMINGUES, Hygino H. , IEZZI, Gelson - Álgebra Moderna- Atual Editora. Observe ainda que a hipótese de que os polinômios tenham coeficientes num corpo ( anel comutativo com elemento neutro do produto e no qual todo elemento não -nulo tenha inverso, ufa!!! ) é absolutamente essencial. SE dividirmos F(x)= x+1 por G(x) = 2 , olhando-os como polinômios a coef. inteiros, não obteremos um quociente com esta propriedade. Frederico. From: leonardo mattos [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Duvida sobre polinomios Date: Wed, 09 Jul 2003 12:05:03 + Gostaria de saber se ao dividirmos um polinomio P(x) com todos os seus coeficientes pertencentes aos reais por um polinomio Q(x) tambem com todos os seus coeficientes pertencentes aos reais o o resto da divisao tem que ser necessariamente um polinomio de coeficientes reais. Se nao gostaria de ver um exemplo pelo menos. Leonardo _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] matrizes
2) Os autovalores de A são os zeros de seu polinômio característico
p_A(x) = det ( A - x I ) , em que I representa a matriz identidade de
mesma ordem que A . Pela Regra de Binnet det( C . D ) = det (C) . Det
(D) . Suponha então que B = P^{-1} . A . P , P não-singuilar. Nesse
caso:
p_A(x) = det( P^{-1} . ( A -xI) . P ) = det (P^{-1} . A . P - xI ) = p_B(x)
.
Desde que A e B têm os mesmos polin}ômios caract. terão os mesmos
autovalores.
OBS: na penúltima igualdade, usamos o fato de que I comuta com quaisquer
outras matrizes, dessa forma: P^{-1} . (xI ). P = x .I .
Frederico.
From: Marcos Reynaldo [EMAIL PROTECTED]
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To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] matrizes
Date: Wed, 9 Jul 2003 05:44:57 -0300 (ART)
Olá !
Alguém poderia me ajudar nesses problemas ?
Provar que:
i) se uma matriz A é triangular superior (ou
inferior), então a inversa de A é triangular superior
(ou inferior). (usando determinantes)
ii) se A e B são semelhantes* , então A e B possuem os
mesmos autovalores.
* A e B são semelhantes se existir uma matriz
inversível P tal que (inversa de P).A.P=B
[]'s Marcos
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[obm-l] QUESTÕES INTERESSANTES
Olá caros colegas da lista, seguem algumas questões que considero muito interessantes, para quem quiser se distrair um pouco nessas férias: (1) Seja A uma matriz 2x2 com entradas inteiras. Mostre que A tem inversa com entradas ingteiras se, e somente se, det(A) = + - 1 . ( Uma das implicações é trivial. ) (2) Um triângulo equilátero, inscrito numa circunferência de centro na origem do sistema cartesiano, tem o número complexoz= sqrt(3) + i como um de seus vértices. Determine os outros. (3) Uma equação quadrática com coeficientes primos pode ter raiz real dupla? (4) Sejam a , bnúmeros naturais. Mostre que (3^a + 3^b + 1 ) nunca é um quadrado perfeito. (5) Seja p 5 um número primo. Neste caso 1/p , o recíproco de p , tem por representação decimal uma dízima periódica. Indiquemos por T(p) o número de algarismos que constituem o período. (a) Mostre que existe um único primo p tal que T(p) = 2 . (b) Mostre que T(p) é o menor número natural n tal que: n | (p-1) e p | R_n , em que R_n = ...1 ( n dígitos 1 ) . Obs: a | b quandob é múltiplo de a , isto é, existe q inteiro tal que b = a . q . (6) Mostre que se a , b, c são inteiros ímpares então a eq. ax^2+bx+c=0 não tem raiz racional. ( Proposto por Eduardo Wagner no 1o encontro da RPM. ) Até a próxima. Frederico. From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Duvida sobre polinomios Date: Wed, 09 Jul 2003 11:08:23 -0300 Sim, desde que o polinômio divisor não seja nulo. Existe um resultado, análogo ao Lema da Divisão de Euclides para nos inteiros, que garante que dados polinõmios f(x), g(x) , g(x) 0, com coeficientes num corpo K ( em particular se K= R = conjunto dos numeros reais ) então existem e são únicos q(x) e r(x) com coeficientes em K de tal forma que f(x) = g(x) X q(x) + r(x) e r(x) =0 ougrau(r) gr(g) . A demonstração desse fato é, normalmente, obtida através de indução matemática. Você pode obtê-la, por exemplo, em [1]GONÇALVES, Adilson - Introdução Á Álgebra - Projeto Euclides - SBM/IMPA. [2] DOMINGUES, Hygino H. , IEZZI, Gelson - Álgebra Moderna- Atual Editora. Observe ainda que a hipótese de que os polinômios tenham coeficientes num corpo ( anel comutativo com elemento neutro do produto e no qual todo elemento não -nulo tenha inverso, ufa!!! ) é absolutamente essencial. SE dividirmos F(x)= x+1 por G(x) = 2 , olhando-os como polinômios a coef. inteiros, não obteremos um quociente com esta propriedade. Frederico. From: leonardo mattos [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Duvida sobre polinomios Date: Wed, 09 Jul 2003 12:05:03 + Gostaria de saber se ao dividirmos um polinomio P(x) com todos os seus coeficientes pertencentes aos reais por um polinomio Q(x) tambem com todos os seus coeficientes pertencentes aos reais o o resto da divisao tem que ser necessariamente um polinomio de coeficientes reais. Se nao gostaria de ver um exemplo pelo menos. Leonardo _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] primos
Creio que este enunciado está mal formulado. Não há em geral n primos = n+1 . Frederico. From: Rafael [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: OBM [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] primos Date: Thu, 3 Jul 2003 20:06:12 -0300 (ART) Sendo n um número natural maior ou igual a 2, designemos por p1 , p2 , p3, ...,pn os números primos não superiores a n+1 e ponhamos P = p1 . p2 ... pn. Sabendo que na sequência de n números consecutivos P+2 , P+3 ,..., P+(n+1) não existe nenhum número primo, considere uma dessas sequências com 10 termos. Seu primeiro termo é: resposta: 9242 ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto convexo?
Sim, admitindo-se como intervalos os intervalos degeneradosvazio e formados por um único no real c : [c, c] . Frederico. From: carlos.henr1 [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Conjunto convexo? Date: Wed, 2 Jul 2003 11:59:32 -0300 Todo CONJJUNTO CONVEXO na reta dos reais é um INTEVALO??? []'s __ Seleção de Softwares UOL. 10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família. http://www.uol.com.br/selecao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Divisibilidade
Qto a 2a pergunta, usando qq múltiplo do mmc, em particular, o produto dos números... ~qto a primeira não me lembro exatamente qual o critério de divisibilidade por 17, mas todos os critérios podem ser demonstrados, normalmente sem gdes problemas, olhando-se para as classes residuais nesse caso, devemos olhar módulo 17... Frederico. From: Denisson [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Divisibilidade Date: Fri, 27 Jun 2003 01:32:38 -0300 (ART) Alguém poderia demonstrar como se chegou aos critérios de divisibilidade? Em especial aos mais dificeis como o critério do 17. Não peço uma demonstração matemática formal, peço algum argumento lógico. Foi dito tb na lista há um bom tempo que não é preciso tirar o MMC para se realizar uma soma de frações. Eu nunca havia pensado nisso, como posso somar duas frações como 2/5+1/8 sem tirar o mmc? Obrigado Denisson - Yahoo! Mail O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Derivada
Podemos interpretar a derivada primeira de várias formas: como o coeficiente angular( inclinação ) da reta tangente ao gráfico da função, como velocidade de um ponto que se move em linha reta tendo a posição dada em função do tempo, ou, mais geralmente como taxa de variação da função. A derivada segunda informa, portanto, a taxa de variação da derivada primeira. Fisicamente, isto é a aceleração: taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Geometricamente, a derivada segunda nos informa sobre como as retas tangentes ao gráfico de f variam. Frederico. From: Patrick Passos [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Derivada Date: Wed, 25 Jun 2003 04:59:33 -0300 (ART) Bom será que alguem poderia me dar uma ajuda com relação a derivada? Eu precisava saber em uma explicação rapida qual o significado da primeira e da segunda derivada, e também o significado do valor de x quando a segunda derivada é igual a zero. Se possivel tambem exemplos de graficos das três perguntas.. Bom, obrigado.. Até mais.. - Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Livro - Teoria dos Números
Recomendo-lhe dois livros: SANTOS, José Plínio de Oliveira - Introdução à Teoria dos Números - Coleção Matemática Universitária - SBM MILIES, César Polcino , COELHO, Sônia Pitta - Números: Uma Introdução à Matemática - edUSP O segundo trata de temas mais básicos, o priimeiro faz interessantes ligações entre combinatória e teoria dos números e avança até o estudo de raízes primitivas, resíduos quadráticos e fraçoes parciais. OBS: ambos tem preço acessível, algo em torno de R$25,00, cada. Frederico. From: Victor Luiz [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Livro - Teoria dos Números Date: Mon, 23 Jun 2003 21:05:43 -0300 -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Indo de carona nessas recomendações de livros que têm sido enviados para a lista eu gostaria de que me recomendassem algum livro básico que trate da teoria dos números. Obrigado, Victor Luiz Salgado de Lima. - Spam sux. www.wecanstopspam.org -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.1 (MingW32) - GPGOE 0.4.1 iD8DBQE+95XWpBwZ7xrHmVsRApEpAJ9FFOr2m5dx/QvAYcVTMYFNUmR4+ACeN5a9 yK0v7zUzhowGTGO2kYButko= =Xqs/ -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 2 questoes
1) O primeiro problema me parece mal formulado. Entendendo que o enunciado´seria: Dado um no racional a/b não-nulo e diferente de 1, existe n=2 inteiro tal que raiz n-esima de a/b é irracional., uma demonstração pode ser a seguinte: Indiquemos a raiz n-ésima de x por R_n(x) . Podemos tomar x = a/b , com a e b coprimos ( isto é, sem fator comum ) . Podemos supor a 0, pois caso a0, tome n=2. Suponha também a 1. Neste caso, a admite uma fatoração única . Seja pum fator primo qualquer de a ( note que p não pode ser fator de b ! ) e sejam o expoente depna fatoração de a . Tome n = m+1. Então R_n (x ) é irracional. De fato, supondo R_n(x) = c/d , com c e d coprimos, decorre quea/b = c^n/d^n = ad^n=bc^n . Como a e b são coprimos, cada fator primo de a, em particular p, deve dividir c ( logo não pode dividir d !!! ) e, portanto, p^n dividebc^n = p^n divide ad^n = p^n divide a. Absurdo! A maior potência de p que divide a é p^m e m = n-1 Se a = 1, repita o procedimento acima para b . 2) f(x) = | -8 - 3 sen(x) | .-1 =sen(x) =1= -11 = -8 -3sen(x) = -5 , o primeiro valor atingido quando sen(x)=1 e o segundo quando sen(x)=-1, portanto quandox=pi/2 e x= -pi/2, respectivamente. Como g(x)=-8-3sen(x) é uma função continua, decorre do TVI , que a imagem de g(x) é o intervalo fechado [-11 , -5 ] . Logo, a imagem de f(x)=|g(x)| = [0, 11] . Tente um procedimento análoga para a outra função. Um abraço, Frederico. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] 2 questoes Date: Sun, 22 Jun 2003 11:59:04 EDT Ola pessoal, Como resolver estes: 1) Prove que, dado um número racional a/b e umnúmero natural n maior ou igual a 2, nem sempre raiz enésima de a/b eh racional. 2) Qual o conjunto imagem das seguintes funcoes: a) Æ(x)=|-8-3senx| b) Æ(x)=|-2+3cosx| _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Livros
Esse livro tb encontra-se traduzido: AS PROVAS ESTÃO NO LIVRo, da editora Edgard Blucher. Realmente muito bom... Frederico. From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Livros Date: Mon, 23 Jun 2003 13:44:07 -0300 (ART) Proofs from THE BOOK,Martin Aigner e Gunter Ziegler Diego Navarro [EMAIL PROTECTED] wrote: Aproveito para incentivar os membros da lista a também fornecerem dicas de bons livros, sempre que possível. Discrete thoughts, Kac/Rota/Schwartz. Tem uma cópia na biblioteca da PUC. Não tão interessante, mas mais acessível, Descartes' Dream - não lembro mais o autor. Davis/Hersh, acho. E claro, o clássico, A mathematician's apology do Hardy. Volta e meia estou relendo um dos três. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] limites_funções_várias_variáveis
Bom eu não usei essa expressão, quem usou foi o autor do primeiro email ao
qual respondi. É claro que limites laterais só existem em dimensão 1. Quanto
ao erro, realmente há um grave erro no meu exemplo, que o professor Morgado
felizmente percebeu. Não é possível fazer x0 e y0 tendendo a 0 e 0 , sob
a curva que defini, posto que qdo x-0, x-10 = y0. Coisas que ocorrem qdo
respondemos a uma pergunta sem refletir o necessário sobre a resposta.
Frederico.
From: Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] limites_funções_várias_variáveis
Date: Sat, 21 Jun 2003 18:56:45 -0300 (EST)
Caro Frederico.
Nao e usual falar de limites laterais no R^2 pois ai
nao ha dois lados; contudo se V. encontrar duas semiretas
opostas segundo as quais os limites sejam distintos
e correto concluir que o limite nao existe.
Tome mais cuidado com os perentesis. Seu exemplo
parece conter um engano de digitaca, razao por que
vou dar outro exemplo:
f(x,y)=(x/|x|)+y, definida em R^2\{(0,0)}.
lim f quando (x,y) tende a (0,0) nao existe pois
se (x,0) tende a (0,0) com x0, f tende a -1,
se (x,0) tende a (0,0) com x0, f tende a 1 e -1/=1
(/+ significa e diferente de).
Angelo Barone{\ --\ }Netto Universidade de Sao Paulo
Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e Estatistica
Rua do Matao, 1010 Butanta - Cidade Universitaria
Caixa Postal 66 281 phone +55-11-3091-6162/6224/6136
05311-970 - Sao Paulo - SP fax +55-11-3091-6131
Agencia Cidade de Sao Paulo
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[obm-l] Re: [obm-l] limites_funções_várias_variáveis
Note que se o limite existisse independeria da forma de aproximação da origem. Considere então x, y0, tendendo a 0 e 0. E Analogamente, tomar y = 0 , com relação à sua última pergunta, e em seguida fazer os limites laterais encerra a mesma idéia dada acima.está correta então. Frederico. From: Marcos Reynaldo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] limites_funções_várias_variáveis Date: Sat, 21 Jun 2003 02:20:21 -0300 (ART) Frederico, obrigado por responder. Não entendi a passagem abaixo onde você diz para fazer y=x/(x-1). Para o caso de x e y estarem sem o módulo entendi, mas x e y estão em módulo, como me livrar deles ? Outra coisa, posso usar normalmente os limites laterais para funções de duas variáveis, como no caso abaixo (no final do e-mail) ? obrigado []'s Marcos --- Frederico Reis Marques de Brito (b) Considerando o caminho x=0 (eixo oy ) , o limite dá zero e tomando o caminho y = x/(x-1), que evidentemente passa pela origem, o limite vai dar 1. Frederico. From: Marcos Reynaldo [EMAIL PROTECTED] Caros colegas, comecei a estudar um pouco de limites de funções de várias variáveis, mas tem alguns que não consegui entender. Se alguém puder me ajudar agradeço. ... 2) calcule, se existir: b) lim(xy/(|x|+|y|) para (x,y)--(0,0) Outra questão, em lim(x-y/(x^2+y^2) para (x,y)--(0,0) posso aplicar limites laterais (aqueles que se estuda em cálculo 1 ? Tipo, considere (x,y) caminhando ao longo do eixo x até (0,0). Então tenho pontos do tipo (x,0). Simplificando vou ter lim 1/x se x tende a zero pela esquerda dá menos infinito , se for pela direita mais infinito, então o limite não existe. A minha dúvida aqui é se posso usar os conceitos de limites laterais do cálculo 1 para expressões de várias variáveis. []'s Marcos ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] limites_funções_várias_variáveis
1) Esse tirar coelho da cartola só é possível para quem tem alguma maturidade matemática. Vc já tinha um caminho ao longo do qual o limite dava zero, precisava de outro onde o limite desse diferente de zero. Como há x^2 no numerador e x - 0, a idéia mais simples é fazer com que o denominador tb se torne um múltiplo de x^2, para simplificarmos e obttermos um limite não-nulo. Daí, para que x +y=x^2, tomamos y = x^2-x, uma par[ábola que passa pela origem. Quanto ao problema 2 ), (a) note que a função seno é limitada, isto é, -1=sen(w)=1. Como x -0 , decorre que x * sen(1/x^2+1/y^2) -0 também. (b) Considerando o caminho x=0 (eixo oy ) , o limite dá zero e tomando o caminho y = x/(x-1), que evidentemente passa pela origem, o limite vai dar 1. Frederico. From: Marcos Reynaldo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] limites_funções_várias_variáveis Date: Wed, 18 Jun 2003 05:52:15 -0300 (ART) Caros colegas, comecei a estudar um pouco de limites de funções de várias variáveis, mas tem alguns que não consegui entender. Se alguém puder me ajudar agradeço. 1) mostre que lim(x^2/(x+y)) quando(x,y)--(0,0) não existe. Nesse aqui, vi uma solução em que um cidadão pegava pontos percorrendo o eixo y, onde o limite dá zero. Depois ele pega pontos da curva y=x^2-x, ai o limite dá 1. Pela regra dos dois caminhos conclui-se que o limite não existe. Não entendi de onde veio o tal do y=x^2-x (parece uma coisa do tipo tirar coelho da cartola). 2) calcule, se existir: a) lim(x*sen(1/x^2+1/y^2) para(x,y)--(0,0) b) lim(xy/(|x|+|y|) para (x,y)--(0,0) Outra questão, em lim(x-y/(x^2+y^2) para (x,y)--(0,0) posso aplicar limites laterais (aqueles que se estuda em cálculo 1 ? Tipo, considere (x,y) caminhando ao longo do eixo x até (0,0). Então tenho pontos do tipo (x,0). Simplificando vou ter lim 1/x se x tende a zero pela esquerda dá menos infinito , se for pela direita mais infinito, então o limite não existe. A minha dúvida aqui é se posso usar os conceitos de limites laterais do cálculo 1 para expressões de várias variáveis. []'s Marcos ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] [PROF] criterios de correcao
Se entendi bem o que vc fez, não. Para provar uma igualdade A = B, não podemos assumir que essa igualdade seja válida, manipular os dois membros da igualdade até constatar uma igualdade verdadeira. Por exemplo 2 = 3 , multiplicando por 0 : obtemos 0 = 0 , que é verdadeira. Ou ainda:-2 = 2 é falsa, mas elevando ao quadrado: 4 = 4. Assim, a forma correta é , à partir de um dos lados da igualdade, devemos, por meio de implicações verdadeiras, concluir o outro lado. É claro que, tb podemos, em alguns casos, desenvolver os doias membros SEPARADAMENTE, isto é, sem que haja interação entre A e B, reduzindo os dois membros a uma mesma expressão C, teremos provado que: A= C e B = C = A = C. Entretanto, nas minha opinião, esse é um processo altamente deselegante e deve, o quanto possível, ser evitado. Não devemos nos esquecer que a Matemátixca além de uma ciência tem um que de arte, e por isso, beleza é essencial. Frederico. From: Ariel de Silvio [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] [PROF] criterios de correcao Date: Sun, 08 Jun 2003 23:04:43 -0300 Essa é uma pergunta pros professores, que corrigem provas... sobre criterio de correçao... especificamente em questoes PROVE QUE, DEMOSTRE QUE... como responder um exemplo: Prove que (1 + senx + i*cosx) / (1 - senx - i*cosx) = (tgx + secx)*i para todo x real, xpi/2 + k*pi bom, desenvolvi, e cheguei a tal equação 1 + senx + i*cosx = 1 + senx + i*cosx é assim q se responde?? logicamente com todo o desenvolvimento ate ai... []s Ariel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] livro
Como todo livro de cálculo tem uma série de defeitos e algumas vantagens também. De forma geral indico que nunca se estude por um único livro, qualquer que seja a disciplina. Nesse caso, indico que vc dê uma olhada no Leithold, por exemplo. Frederico. From: adr.scr.m [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] livro Date: Sun, 8 Jun 2003 09:43:08 -0300 ai toh no 1ºperíodo de engenharia e toh usando o livro de cálculo: Um Curso de Cálculo Hamilton Luiz Guidorizzi e gostaria de saber o q acham dele,pq soh toh estudando por ele. obrigado. __ Seleção de Softwares UOL. 10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família. http://www.uol.com.br/selecao = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Off-Topic: Recomendação de Filme
boa tarde caros colegas. Interesso-me por vídeos sobre Matemática, mas sua mensagem não deixa claro que onde se encontram esses vídeos, me interesso sobretudo pelo primeiro. Eles foram feitos por alguma universidade brasileira? Estão disponíveis na rede? Desde já agradeço. Frederico. From: Victor Luiz [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Off-Topic: Recomendação de Filme Date: Wed, 4 Jun 2003 23:09:56 -0300 Uma vez um colega e eu fizemos perguntas aqui sobre o hipercubo. Pra quem gostou ou ficou curioso sobre o assunto tem o filme Cubo 2: Hipercubo (Tem o primeiro também que fala sobre números primos e tal) que fala um pouco sobre isso... Apesar de o filme dividir bruscamente opiniões sobre a qualidade dele eu não deixo de recomendar só pela parte matemática da coisa, por menor que ela seja... Victor Luiz Salgado de Lima. Spam sux. www.wecanstopspam.org = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Livros
Cara Dri, Os problemas de Matemática não são de outro planeta senão o nosso mesmo, aopenas, muitas vezes é preciso construir uma sólida estrutura para atacar ou mesmo entender os problemas mais difíceis, afinal se fossem triviais não despertariam interesse. No seu caso, acho que uma boa pedida seriam os livros da coleção A MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO, uma publicação da SBM em três volumes., quee trata de temas classicos, mas como uma abordagem mais formal e com uma profundidade adequada. Você pode comprá-los na filial da SBM de sua cidade, veja a lista no site www.sbm.org.br , todos têm preços acessíveis. Depois disso, há vários livros destinados as Olimpíadas, tais como: É DIVERTIDO RESOLVER PROBLEMAS, de nosso colega de lista Luís Lopes ou a coletânea de problemas das Olimpíadas do Cone SUl, vendida pela Papel Virtual, só para citar algumas. Também indico, para que você conheça um pouco das diversas áreas da Matemática o best-seller O QUE É A MATEMÁTICA, de Richard Courant e Hebert Robbins, da Cultura Moderna. Boa sorte e espero quecomo você os desafios da Matemática sejam um convite ao estudo dessa ciência e não um princípio de exclusão. Frederico. From: Dri - uol [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Livros Date: Wed, 4 Jun 2003 12:16:27 +0900 Caros colegas, Acho fascinante cada resolucao nova que aparece por aqui(mesmo nao entendendo boa parte...), e cada vez mais me desperta a vontade de aprender, aprender e aprender... Sinto muito orgulho de poder fazer parte de uma lista como esta, tendo grande personalidades ao meu redor... Sou apenas uma estudante de cursinho... ainda estou tendo nocoes basicas... porem, adoro desafios... Assim sendo, peco a ajuda de vcs, quem puder me indicar alguns livros de exercicios ou com metodos de raciocinios diferentes... qualquer coisa que possa ajudar a desenvolver o basico que tenho e me ajudar a encarar problemas de outros planetas... Desde jah agradeco, []s Dri = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: Off topic-indignação( Que maluquice!!! )
Não sei o que se passa com os membros dessa lista, melhor dizendo, com alguns deles. Tão absurda a mensagem indignada de um sujeito que se inscreve numa lista de Problemas das Olimpíadas de Matemática e quer que as mensagens tratem de temas cotidianos e simplórios, ainda, de forma didática, quanto a resposta de um outro que não soube medir as palavras. Causa-me profunda indignação as duas atitudes e, talvez ainda mais a primeira. Mais uma vez sou forçado a dizer que as pessoas andam perdendo a noção. Fico entristecido com a retirada de nosso caro colega, pois sei que será uma inestimável perda. Não farei o mesmo pois, apesar desses últimos incidentes, acho a lista muito proveitosa e espero que O Nicolau tome as providências necessárias para colocar ordem nessa lista. Sem mais, encerro dizendo que o respeito à ciência, em especial nesse caso à Matemática, é essencial. Vamos pensar um pouco mais antes de escrever mensagens para essa lista. Frederico. From: Carlos César de Araújo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Off topic-indignação Date: Tue, 3 Jun 2003 01:49:50 -0300 Prezados colegas, Após a leitura de respostas como essas, RETIRO-ME desta lista. Chamem-me quando houver um pouco mais de moderação. - Original Message - From: + BRiSSiU + [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, June 03, 2003 12:58 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Off topic-indignação MessagePorque você não vai se foder? Vai filosofar em outro lugar, rapaz. Se você não é capaz de entender a notação matemática aqui utilizada, aprenda e volte depois. Se não gosta dos enunciados diretos, monte um enredo para si próprio, mas não nos encha o saco com suas abobrinhas. + BRiSSiU + - Original Message - From: J.Paulo roxer ´til the end To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, June 02, 2003 8:30 PM Subject: [obm-l] Off topic-indignação Eu queria q nesta lista,os assuntos fossem tratados de forma mais objetiva.Não entendo absolutamente nada do que vcs dizem.Estudo,continuo estudando,mas não entra essas coisas. Se fosse só eu,eu poderia fazer uma auto-denominação ao me chamar de estúpido mesmo,mas não é.Tenho mandado algumas questões que vcs põem, para amigos e eles não entendem.Aliás,é raro alguém na net gostar de tratar de assuntos como matemática e filosofia. Em todos meus anos de vida escolar,meus colegas inegavelmente não sabiam do que o professor falava. É sempre uma explicação mal feita,superficial,que não visa o engrandecimento intelectual do aluno. Já sei que matemática é até importante,mas deve ser ensinada de forma mais concisa,tendo um objetivo. Não adianta explicar ou fazer uma questão que não se sabe pra que serve.De nada adianta dar explicações x e y sem saber a razão que leva a isso. É como dizer:Siga por esta rua,vá andando. Vou tomar como exemplo,a questão colocada por um integrante da lista.Mostre que n! = (n/2+1)^(n-1), ocorrendo desigualdade estrita para n=3. Qual o objetivo?Um software pode ser construído usando isso?Um carro,uma casa,um tubo de ensaio pode ser feito usando essa questão? É preciso dizer:Nessa questão,usa-se tal fórmula.Nessa outra,usa-se essa fórmula.Nenhum livro de matemática é coeso,nenhum relata as origens,o porquê e o objetivo (exemplos usados no dia-a-dia) Nas minhas aulas de física,chega a me dar sono de tanto tédio. Sinto muito por estarem lendo este e-mail,mas não sei onde colocar minhas dúvidas.Estou em fase de vestibular,vou passar mesmo que seja sem saber mat. e fís. e penso em fazer uma monografia ou algo do tipo que denuncie a extrema incapacidade dos professores de matemática e física de ensinar.Nenhum é conciso,prático e possuidor de senso crítico.Apenas aceitam,aprendem e não sabem transmitir o que aprenderam. Uma coisa é aprender,a outra,é a arte de ser humilde e transmitir da forma mais simples possível. Se alguém gosta de chat e quiser conversar sobre a má temática,pode me adicionar no msn messenger. [EMAIL PROTECTED] Acho que vou sair desta lista,não dá pra entender nada mesmo. João Paulo Email.it, the professional e-mail, gratis per te: clicca qui Sponsor: Solo su Occhialeria.it una vastissima scelta a prezzi insuperabili! Per te le migliori marche e un incredibile assortimento. Clicca qui = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re: [obm-l] Problema de aneis de polinomios
Não quero fazer patrulha ideológica, mas a sucessão de emails sobre esse tema me causou profunda estranheza. Sou obrigado a dizer que além de não saber o que vem a ser um polinômio, o Maçaranduba tb não deve ter noção de quem é o professor Morgado. É evidente que todos somos passíveis de erros, mas para se afirmar que o MOrgado deu um contra-exemplo furado é necessário pensar um bocado e ter muita coragem( acho que eu não teria ) sobre isto antes, sobretudo em se tratando de um assunto tão simples, como o que motivou todas essas mensagens. Enfim, acho que alguns partici´pantes da lista deveriam sintonizar-se. Frederico. From: A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Problema de aneis de polinomios Date: Sat, 31 May 2003 20:27:03 -0300 Voce sabe o que eh um polinomio? Isso que voce esta indicando aih eu nao sei o que eh, mas polinomio nao eh. Imagine se o seu corpo for R: produtorio de (x-w), w percorrendo os reais. Voce sabe o que eh um polinomio nulo? Voce ja se deu ao trabalho de olhar a resposta do Carlos Cesar a sua pergunta? Esta eh minha ultima manifestaçao a respeito. Carlos Maçaranduba wrote: usando o seu argumento eu poderia dizer que no caso de um corpo infinito , eu poderia construir um produtorio de (x - w) infinitos para todo w que pertence ao corpo.Isto é possivel pelo teorema das raizes de um polinomio num corpo.Entao eu obteria um polinomio não nulo de infinitos fatoresNão é um polinomio nulo como (x - 1)(x - 0)mod2 do seu exemplo.. --- A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED] escreveu: Um polinomio eh nulo quando os seus coeficientes sao nulos, o que nao eh o caso do polinomio f(x) = x^2 + x no corpo dos inteiros modulo 2; dois dos coeficientes desse polinomio sao iguais a 1. Entao, eh falso que f = 0. Mas f(0) = f(1) = 0, ou seja, f(w) = 0 para todo w em Z2. Leia a resposta que lhe foi mandada por Carlos César de Araújo e convença-se de que isso eh um contra-exemplo sim.. Carlos Maçaranduba wrote: Pode ser que seja problema de interpretação, mas eu acho que isto não é contra-exemplo PORQUE: -Pela hipotese, eu nao deveria considerar, mesmo para um corpo finito que f(w) = 0 ,para todo elemento w pertencente ao corpo finito e CONCLUIR QUE f =0 É FALSO NESTE CASO -UM CONTRA-EXEMPLO BOM NAO SERIA RESPEITANDO O QUE EU DISSE ACIMA --- A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED] escreveu: f(x) = x^2 + x em Z(2) eh um contraexemplo. Carlos Maçaranduba wrote: Seja k um corpo infinito.Se f pertence a k[x] é tal que f(w) = 0 para todo elemento w pertencente a k, então f = 0.Mostrar por exemplo que esta propriedade é falha se k é finito. ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Fractais no ensino médio
Concordo com você, meu caro conterrâneo, exceto no que tange a inclusão de temas pedagógicos na lista ( e também aproveito para lembrar-lhe que alguns grandes matemáticos detestavam ensinar...). esse exemplo que citou e um dos típicos modismos que assolam os incautos. Especialmente em nossa área em que muitos professores dos ensinos fundamental e médio sentem-se semi-deuses, embora, na maioria dos casos, pouco saibam sobre Matemática de verdade, como diria Hardy. Acho que a postura correta seria recorrer a hist´poria da Matemática que possui capítulos interessantíssimos e de mais fácil compreensão. Os problemas antigos, a novela da eq de terceiro grau, são exemplos motivadores. Frederico Reis. From: Carlos César de Araújo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Fractais no ensino médio Date: Sat, 31 May 2003 15:41:29 -0300 Prezados colegas, Desculpem-me por levar à vossa consideração uma questão inapropriada para a lista, mas minha opinião é que os MATEMÁTICOS e USUÁRIOS da nossa ciência também devem se pronunciar sobre temas pedagógicos. Como se sabe, grandes matemáticos do passado foram hábeis educadores; além disso, progressos puramente técnicos em matemática decorreram de tentativas de esclarecer tópicos durante o ENSINO dos mesmos. Minha questão (algo polêmica) é a seguinte. Tenho observado, particularmente aqui em Belo Horizonte, uma certa onda em falar sobre fractais e teoria do caos para estudantes comuns (sem nenhuma conotação pejorativa) do ensino médio. Recentemente, tomei conhecimento de professores que solicitoram aos seus alunos que fizessem uma pesquisa pela Internet -- como se se ensinasse metodologia científica nos colégios ... -- e escrevessem um texto sobre fractais e caos. Dos alunos que me consultaram, nenhum conseguiu nota máxima no trabalho, pelo fato de o respectivo professor ter alegado que o texto não estava suficientemente claro. Fiquei imediatamente indignado, dado que, tanto quanto sei, quase nenhum professor dessas instituições sabe sequer DEFINIR tecnicamente o que é um fractal. Posso felicitar os professores em sua tentativa de tornar a matemática mais atraente pela sugestão de tais pesquisas de temas modernosos e de grande apelo visual, mas considero irresponsável e ingênua tal proposta no contexto dessas instituições, nas quais o aluno não conta com incentivos à sua auto-estima e nem com o guia seguro de professores qualificados. O que vocês acham? Os nossos alunos estariam realmente preparados para fazer pesquisas e produzir textos razoáveis sobre temas tão avançados? O ensino médio já não comportaria temas clássicos igualmente excitante e instrutivos para estudo na Internet? Afinal, por que não pedem aos garotos para pesquisarem sobre física qântica e a teoria gravitacional de Einstein? Atenciosamente, Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de aneis de polinomios
Uma observação: normalmente emails são mensagens informais, escritos com linguagem coloquial. Não devemos nos ater a este tipo de detalhes: um email não é uma demonstração matemática. Aproveito a oportunidade para , apesar do que acabei de escrever, externar minha preocupação com o uso indiscriminado de estrangeirismos. Esse sim me parece um ponto relevante. Frederico. From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Problema de aneis de polinomios Date: Sun, 1 Jun 2003 12:34:17 -0300 Eu gostaria que chegássemos a uma solução definitiva com relação ao problema da linguagem que se usa na lista, mas parece que não é possível, pois sempre novos membros entram e falam como lhe bem entende. Aqueles que já fazem parte da lista e já conhecem essa discussão, principalmente relacionada à linguagem do Dirichlet, devem tomar uma posição mais neutra em relação à linguagem, ignorando-a. Assim como diz o Cláudio, acho que devemos nos focar mais na parte matemática das mensagens e deixar a linguagem para trás. Desde que a mensagem não ofenda à pessoas, deixe que usem termos como furado para falar sobre argumentos matemáticos, eles não tem sentimentos e não se sentirão feridos. Cada um que entra traz uma bagagem de linguagem, mas nós não estamos interessados nela, estamos interessados na bagagem matemática. Eu próprio estou ignorando bem mais a linguagem. Abraço, Eduardo. From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] Não quero fazer patrulha ideológica, mas a sucessão de emails sobre esse tema me causou profunda estranheza. Sou obrigado a dizer que além de não saber o que vem a ser um polinômio, o Maçaranduba tb não deve ter noção de quem é o professor Morgado. É evidente que todos somos passíveis de erros, mas para se afirmar que o MOrgado deu um contra-exemplo furado é necessário pensar um bocado e ter muita coragem( acho que eu não teria ) sobre isto antes, sobretudo em se tratando de um assunto tão simples, como o que motivou todas essas mensagens. Enfim, acho que alguns partici´pantes da lista deveriam sintonizar-se. Frederico. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Novamente o LIvro.
Pessoal, por algum acaso do destino, alguém conseguiu adquirir os livros de Geometria I e II e o Álgebra I do Morgado? A livraria que o Morgado deu o nome está com o telefone desligado há tempos, mandei uma carta, não me responderam. Alguém sabe outro lugar onde posso conseguí-los? Desculpe a insistência, mas gostaria muito de adquirí-los. Obrigado, Frederico ( BH - MG. ) _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Livro Geometria
Sobre os livros Geometria I e II e Álgebra I , tentei em vão falar no fone indicado pelo Morgado ( até rimou... ). Mas o telefone está programado para não receber ligações. Gostaria de saber os tópicos abordados nesses livros, os preços e se há alggum site ou algum representante da editora em Belo Horizonte. Aproveito para esclarecer uma dúvida conceitual. O que vem a ser um quadrilátero cíclico? Desde já deixo aqui meus agradecimentos. Frederico. From: A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Livro Geometria Date: Fri, 17 Jan 2003 15:05:29 -0200 Agradecemos as referencias elogiosas do Paulo. Corrijo as declaraçoes do Wagner: 1) o Geometria 1 eh um bom livro. Claro que, por tratar de conceitos mais basicos e se dirigir basicamente a um leitor que seja um bom aluno de SETIMA SERIE, sempre os autores (e leitores mais adiantados) acharao que se poderia dar um tratamento axiomaticamente mais rigoroso; mas o objetivo era fazer um livro de Geometria para vestibulares dificeis e concursos de admissao a escolas militares, extremamente procuradas na epoca; ainda hoje eh um bom livro para IME, ITA, Colegio Naval, etc. 2) Geometria 1, Geometria 2 e Algebra 1 podem ser pedidos a FCZ Livros Rua Carneiro Ribeiro 22 loja A 21050-570 Maria da GraçaRio de JaneiroRJ Telefax (21) 2581-2873 Morgado Paulo Santa Rita wrote: Ola Leonardo e demais colegas desta lista ... OBM-L, Foi esse livro que despertou meu interesse pela Matematica. Voce teve a mesma impressao que eu tive, quando o li pela primeira vez, apos adquiri-lo em um sebo ( sebo = livraria de livros usados ). Muitas vezes me perguntei o que o tornava tao interessante e diferente dos outros ... Me parece que e porque os autores ( Eduardo Wagner e Augusto Morgado ) nao perdem tempo provando coisas simples e evidentes, partindo imediatamente a exposicao de fatoss espetaculares e inusitadas, que dificilmente imaginariamos que ocorrem. Quando um matematico explica um fenomeno inusitado ( por exemplo : o circulo de nove pontos ) ele aguca nossa inteligencia e nos vemos claramente que a Matemaica nao se resume a provas de fatos evidentes e, portanto, desmotivadoras ( por exemplo : prove que 1+1=2 ). Um Matematico adulto pode apreciar o formalismo, mas uma mente nova geralmente nao aprecia estas coisas ... Prove a uma crianca algo que ela duvida e nao suspeia e voce vai conquistar o interesse dela ... me parece que e esse simples detalhe que diferencia as grandes obras da mesmice e mediocridade que campeia na imensa maioria das obras didaticas da matematica ... As Olimpiadas de Matematica, que todos nos gostamos e admiramos e pelas quais fazemos verdadeiros sacrificios e uma continuacao de tudo isso ... Por que elas fazem sucesso ? Simplesmente porque as pessoas inteligentes odeiam coisas rotineiras e burocraticas, que sao os aspectos tipicos do ensino comum ... Neste sentido, o Livro a que voce se refere, o Geometria II dos Prof Wagner e Morgado, se nao foi o marco inicial e corajoso de uma revolucao pedagogica, foi, ao menos, o alvorecer de tudo isso. E nos somos felizardos por termos em nossa lista estes dois Prof's que iniciaram esta revolucao : Wagner e Morgado. Seria excelente que estes Profs dessem continuidade ao que comecaram com tanto brilho e eficiencia ! Para que esta mensagem nao fique totalmente fora de nossa tradicao, aqui vai uma joia do Geometria II : 1)Sejam a, b, c e d os lados de um quadrilatero ciclico. Mostre qua a area S desse quadrilatero pode ser expressa como : S=Raiz_Quadrada((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)) onde p e o semi-perimetro. 2)Se o quadrilatero e incritivel e circunscritivel, entao : S=Raiz_Quadrada(abcd) PROBLEMA : Se ABC e um triangulo e C o circulo inscrito nele, sejam C1, C2 e C3 as tres partes da area do triangulo que nao pertencem ao circulo. Calcule cada uma, separadamente, em funcao dos lados do triangulo. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 6,,170103 From: Leonardo Borges Avelino [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Livro Geometria Date: Thu, Jan 16, 2003, 10:07 PM Caros amigos: Estava na casa de meu amigo e ele me mostrou um livro impressionante, que se chama: Geometria II dos prof.s Eduardo Wagner, Augusto Morgado e Miguel. Pergunta: Onde consigo este livro? e (desculpem-me se a pergunta for idiota) se existe o Geometria I? Valeu!! Leonardo Borges _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Retorno: polinômios
Bem, não tive paciência de conferir as contas. Como boa parte dos matemáticos, tenho certa aversão a cálculos tediosos... Uma solução simples é a seguinte. Como sabemos que P1 e P2 tem grau 2, os quocientes das divisões por (x-1)(x+2) e (x+1)(x+2) são polinômios constantes: q1 e q2 , nessa ordem. Dai: P1(x)= (x-1)(x+2)q1 + 3x+1 e P2(x)=(x+1)(x+2)q2 +(2x-1) . Usando que P1(0)=P2(0)=0 , encontramos: q1=q2=1/2 == P_1(x)=(1/2)x^2 + (7/2) x e P_2(x)=(1/2)x^2 + (9/2)x . Evidentemente, dividindo-se P_1 por P_2, o quociente é o polinômio constante Q(x)=1 . Frederico Reis. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Retorno: polinômios Date: Thu, 30 Jan 2003 19:52:05 EST Olá pessoal, Ontem eu enviei esta questão: UnB) P1(x) e P2(x) são polinômios do 2ºgrau que se anulam quando x=0. O resto da divisão de P1(x) por (x-1)(x+2) é 3x +1 . O resto da divisão de P2(x) por (x+1)(x+2) é 2x - 1. Então o quociente da divisão de P1(x) por P2(x) é : resp: 1 Obs: Houve a seguinte resposta na lista: Como zero é raiz de P1(x) e P2(x): P1(x)= ax^2 + bx P2(x)= cx^2 + dx Usando a divisão de polinômios: Sendo = o símbolo de idêntidade ax^2 + bx = (x-1)(x+2)Q(x) + (3x+1) Da definição de identidade: para x=1, temos: a+ b = 4 para x= -2, temos: 4a -2b= -5 Resolvendo o sistema: a=2 e b=2 Portanto, P1(x)=2x^2 + 2x Analogamente faça com o polinômio P2(x) Depois divida um polinômio pelo outro. P.S:O resto é trabalho algébrico Minhas dúvidas: O sistema acima não dá como resultado a=2 e b=2. Outra dúvida foi também que resolvendo todo questão eu cheguei a Q(x)=6 e R(x)= -2x [ambos valores da divisão de p1(x) por p2(x)], mas como a questão pede somente Q(x)=6, mas as alternativas são a)1 b)0 c)x+1 d)n.d.a E o gabarito diz que é 1. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] EXATIDÃO MATEMÁTICA
Caro Thyago, em primeiro lugar esee problema com a definição de círculo não pões em xeque a exatidão da Matemática. Dwefinição é apenas um nome, não importa qual seja o nome dado, importa o objeto matemático. Nessa linha, há autores que fazem distinção entre círculo e circunferência, enquanto outros não. Quanto ao disco, não há dúvida, representa a região interna delimitada pela cirdcunferência, incluindo o bordo ( a própria circunferência ) ou não, conforme seja fechado ou aberto. Não creio que circunferência refira-se apenas ao comprimento. E finalmente, creio que questões como essa devem , a fim de elucidar o enunciado e evitar dubiedades, apresentar a definição, isto é, no caso presente deveriam explicitar a que conjunto se referem. Aí, não faz muita diferença se chamaram de círculo ou circunferência. OBS: é mais comum que se pensa, autores diferentes usarem definições diferentes, isto não causa confusão, desde que no contexto, seja explicitada a definição seguida . From: Thyago Alexandre Kufner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] EXATIDÃO MATEMÁTICA Date: Mon, 20 Jan 2003 19:39:43 -0200 Olá usuários da lista. No último vestibular da UFRGS, ocorreu-me uma centelha de desconfiança quanto à exatidão matemática. A questão era o seguinte: Na figura abaixo, A e B são vértices do quadrado inscrito no círculo FIGURA: Um círculo e um quadrado inscrito com os dois vértices de baixo marcados com A e B Se um ponto E do círculo, diferente de todos os vértices do quadrado, é tomado ao acaso, a probabilidade de que A, B e E sejam vértices de um tri6angulo obtusângulo é (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 2/3 (E) 3/4 Quando fiz a cadeira de GEOMETRIA e também quando estudei no ensino médio, aprendi que circunferência seria apenas a linha e círculo seria a porção limitada pela circunferência. E também diríamos circunferência quando quiséssemos nos referir ao comprimento desta linha. Bom, a discussão é a seguinte: utilizando estas definições que aprendi, a resposta para a questão seria 1-3/(2pi), pois o ponto E poderia estar dentro, no círculo. Mas a solução dada pelo gabarito é letra E, que se faz valer, de acordo com o aprendizado anterior, somente se tivesse escrito Se um ponto E da CIRCUNFERÊNCIA. Discutindo com alguns colegas, obtive como resposta mais satisfatória o seguinte: Hoje em dia tenho visto designar a região do plano por DISCO e a linha que limita esta região por círculo. A palavra circunferência é usada para designar o complrimento do círculo (linha). Não sou contra as modificações nas nomenclaturas. O que chamo a atenção é, como pode a mais exata das ciências trocar uma nomenclatura (círculo) que antes definia uma coisa (porção do plano) para outra (que se fosse trocado por um aluno anteriormente, seria motivo de erro)? Se esta modificação fosse para uma palavra nova, seria melhor. Pois ao se deparar com um novo termo, iríamos pesquisar para ver o que significa tal termo. Mas, se o termo já existe, e designava algo diferente, acaba não nos trazendo a dúvida, mas sim gerando erros de comunicação naquela que deveria ser a comunicação mais exata existente (a matemática). Se eu estivesse fazendo vestibular, e esta questão fosse dissertativa, com certeza iria responder 1-3/(2pi), e, provavelmente, iria errar. Gostaria de obter respostas das mais variadas pessoas desta lista, desde os alunos atuais contando como foi seu aprendizado, até os mais graduados contando como lidam com esta situação. Por favor, quando responderem, indiquem qual o nível de relacionamente com a matemática que vocês têm :-) Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Livros
Essa é uma tarefa difícil: Encontrar livros de Matemática bons e coerentes para o ensino médio. Boa parte deles, senão todos, é um amontoado de receitas de bolo, sem nenhuma preocupação científica. Nesse contexto encontra-se a coleção do professor Iezzi, a meu ver, inútil. OS livros da SBM pertencentes a coleção do professor suprem, em algumas áreas essa deficiência. Destaco em particular os três volumes da série Matemática do Ensino Médio, do prof Elon e colaboradores. Há alguns outros livros que não são da SBM. Citarei alguns: [1] Introdução à Análise Combinatória - José Plínio O. Santos , Margarida P. Mello , Idani T. C. Murari - 3a ed - Editora UNICAMP. ( pode ser adquirido em qualquer Livraria UNiversitária, por exemplo na da UFPe, ou direto no site: www.editora.unicamp.br ( em torno de R$30,00). [2] Introdução à Matemática - Licio Hernanes Bezerra , Paulo Henrique V. DE Barros, Carlos Tomei , Celso Wilmer - ed. da UFSC - Trata de métodos dedutivos e da construção dos conjuntos N , Z , R , de forma formal. Pode ser adquirido na livraria da UFPe. ( em torno de R$20,00 ) [3] Números: Uma INtrodução à Matemática - César Polcino Milies , Sõnia Pitta Coelho - edUSP. UMa ótima introdução à teoria dos nos inteiros. Pode ser adquirido no site www.usp.br/edusp ( cerca de R$20,00 ) . Qual From: bruno lima [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Livros Date: Fri, 8 Nov 2002 11:44:32 -0300 (ART) Se esta for uma coleção de 10 volumes do Gelson Iezzi, acho que está muito bom. Mas se por um acaso tiver tempo e disposição pode estudar umas coisas mais aprofundadas, por exemplo, se gostar de : 1-Geometria, procure um do Coxeter (é em ingles); 2-Álgebra, procure Int. à Teoria dos Números de José Plínio Santos, é da coleção matemática universi'tária custa uns 30 pilas , olhe www.impa.br em biografia; 3-Combinatória,procure Análise Combinatória , nao lembro o autor, da coleçao Professor de Matemática, é um vermelho tambem pode ser achado em www.impa.br deve custar uns 25. 4-Se gostar de outras coisas me manda um e-mail Renato Lira [EMAIL PROTECTED] wrote:Olá, eu sou estudante de Recife-PE e estou na 1ª série do Ensino Médio, eu estudo através da colecao Fundamentos de Matemática Elementar, creio que muitos desta lista a conheca bem como seus defeitos. Alguém poderia me apontar quais os assuntos em que tal coleção nao apresenta um bom grau de aprofundamento nos assuntos(tomando como referencia exames do IME e ITA) e, ao apontar, se possível indicar livros ou locais onde posso adquirir um material de qualidade com exercícios com um bom grau de aprofundamento. Grato pela atencao, Renato Lira - Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] infinito
Imagino que ele tenha se referido a compactificação de IR. O conjunto dos números reais pode ser compactificado com a adjunção de infinito. É como se o infinito fosse considerado como um número. Imagine o conjunto dos números reais como uma reta. Agora imagine um círculo. Tire um ponto do círculo, o que sobra pode ser desenrolado numa reta. Este ponto que extraimos é o infinito . A construção, do ponto de vista intuitivo, é o inverso desta. Isto é, tomamos a reta e acrescentamos oum ponto fora dela, o infinito, o resultado é uma circunferência. Daí, + e - infinito, as pontas da reta são unidas e, portanto, coincidem na compactificação. Espero ter ajudado. Fred. From: adr.scr.m [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] infinito Date: Sat, 29 Jun 2002 15:23:30 -0200 Outro dia meu professor (de FISICA),fez uma representacao dos numeros de 0 ate + ou - infinito e eu nao entendi muito bem.Ele os colocou num circulo,e disse que nao existem os numeros + ou - infinito,e` somente um numero,e que o sinal dependeria por que lado voce chegaria ao infinito,igual a ideia do +ou- 0.Queria saber se esta certa e porque?E porque nao seria uma reta? Obrigado. Adriano. __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
