[obm-l] Re: [obm-l] cálculo

[Pedro Angelo]

A definição de integrabilidade Riemann passa por verificar que, para
partições P suficientemente finas, a soma superior S(f;P) é parecida
com a soma inferior s(f;P).

Faça o que sempre deve ser feito nesse tipo de problema: calcule
exemplos concretos. Escolha partições quaisquer (pequenas, pois vc
quer conseguir fazer as contas na mão), e calcule as somas inferior e
superior para cada partição escolhida. O que acontece à medida que as
partições vão ficando cada vez mais finas?

On Wed, Sep 15, 2021 at 12:11 AM Israel Meireles Chrisostomo
 wrote:
>
> Olá pessoal. eu estou me esforçando para entender esse exemplo do guidorizzi, 
> alguém poderia me explicar?Aqui vai:
> Seja f uma função, tal que se x é racional então f igual a 1, se x é 
> irracional então f igual a zero. Mostre que a função não é riemann integrável.
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
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Re: [obm-l] Limites

[Pedro Angelo]

Em geral, sempre que você não sabe o que fazer com uma potência (por
exemplo nesse caso em que tanto a base quanto o expoente dependem de
x), a dica é trocar a base B por e^(log(B)).

Trocando (1+x) por e^(log(1+x)), vai ficar:

e^( ln(1+x) / x )

Como a função f(u)=e^u é contínua, basta saber calcular o limite de:

ln(1+x) / x

quando x tende a infinito. Esse é mais fácil?

On Fri, Jan 29, 2021 at 10:26 PM joao pedro b menezes
 wrote:
>
> Olá a todos, boa noite, estou com um pouco de dificuldade em encontrar uma 
> prova para esse limite
> lim x-> infinito (1 + x)^(1/x)
> Creio que ele seja 1, mas não conheço nenhuma maneira de provar isso
> Se alguém tiver uma dica ou souber como provar, ajudaria bastante
> Já agradeço pela ajuda :)

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[obm-l] Re: [obm-l] Decrescimento de Funções Exponenciais

[Pedro Angelo]

Sobre o item 5, o que acontece se h(x)=x^(-1) e g(x)=x^(-1.1) ?

Le mar. 12 mai 2020 à 09:52, Luiz Antonio Rodrigues
 a écrit :
>
> Olá, pessoal!
>
> Bom dia!
>
> Tudo bem?
>
> Estou tentando resolver um problema há uns 10 dias.
>
> Já tentei de tudo e estou com dúvidas.
>
> O problema é o seguinte:
>
>
> São dadas duas funções: h(x) e g(x).
>
> A função g(x) tende a zero mais rápido do que h(x), quando x tende a infinito.
>
> O problema pede que as seguintes funções sejam comparadas com h(x):
>
>
> (h(x))^2
>
> (g(x))^2
>
> f(x)*g(x)
>
> sqrt(h(x))
>
> sqrt(g(x))
>
>
> A pergunta é: quais dessas funções decrescem mais rápido do que h(x), quando 
> x tende a infinito?
>
> Eu usei, entre outras, as seguintes funções:
>
>
> 1/ln(x)
>
> 1/x
>
> 1/x^5
>
> 1/e^x
>
>
> Utilizei a regra de L’Hospital e descobri que a única função que não decresce 
> mais rápido do que h(x) é a (4).
>
> Também utilizei softwares gráficos e confirmei o meu resultado.
>
> Só sei que a resposta não está correta, mas ainda não sei qual seria a 
> solução.
>
> Não consigo entender o motivo...
>
> Será que preciso achar um contra-exemplo?
>
> Alguém pode me ajudar?
>
> Muito obrigado!
>
> Abraços!
>
> Luiz
>
>
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise complexa - mostrar que f é sobrejetora

[Pedro Angelo]

Aparentemente, errei hehe. Achei engraçada essa explicação: funções
holomorfas não-inteiras também têm "série de potências inteiras" em
torno de cada ponto. Por que só as inteiras levam o nome?

Le lun. 10 févr. 2020 à 20:52, Bernardo Freitas Paulo da Costa
 a écrit :
>
> On Mon, Feb 10, 2020 at 8:16 PM Artur Costa Steiner
>  wrote:
> > O adjetivo inteira, em análise complexa,  não tem nada a ver com o que ele 
> > sugere. Acho uma terminologia infeliz, mas é consagrada.
>
> Um chute: em francês, o termo "série inteira" (por oposição a série
> fracionária) se refere às séries de potências (inteiras) da variável z
> (por oposição às "séries de Puiseux" onde há expoentes fracionários).
> E as funções inteiras têm expansão, convergente, como série de
> potências (inteiras) da variável z, f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise complexa - mostrar que f é sobrejetora

[Pedro Angelo]

Eu gosto de pensar o "inteira" como significando que a série de
potências f(z) = a_0 + a_1 z + ... converge no plano *inteiro*.

Le lun. 10 févr. 2020 à 20:16, Artur Costa Steiner
 a écrit :
>
>
>
> Em seg, 10 de fev de 2020 17:28, Anderson Torres 
>  escreveu:
>>
>> Em dom., 9 de fev. de 2020 às 21:50, Artur Costa Steiner
>>  escreveu:
>> >
>> > Nunca vi este curioso fato ser citado em lugar nenhum.É fácil de provar 
>> > recorrendo-se ao teorema de Picard. Será que há uma prova simples (ou uma 
>> > qualquer) que não recorra a este teorema?
>> >
>> > Se a não identicamente nula f for inteira e ímpar, então f é sobrejetora.
>> >
>>
>> O que é função inteira?
>>
>> Se f é uma função definida em um aberto V do plano complexo C, dizemos que f 
>> é holomorfa em V se f for diferenciável em cada elemento de V.
>
>
> Se V = C, dizemos que f é inteira. Assim, uma função de C em C é inteira 
> se for diferenciável em todo o C. É holomorfa em C.
>
> O adjetivo inteira, em análise complexa,  não tem nada a ver com o que ele 
> sugere. Acho uma terminologia infeliz, mas é consagrada.
>
> Artur
>
>
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Re: [obm-l]

[Pedro Angelo]

Vc encontrou μ = -3/n, é isso mesmo. Substituindo:

3x_i^2 + 2λx_i - 3/n = 0

Divide por 3 e completa o quadrado:

(x_i + λ/3)^2 = 1/n + (λ/3)^2

Então, para cada i, o há duas opções para x_i:

x_i = λ/3 - raíz[ (λ/3)^2 + 1/n ] ; ou
x_i = λ/3 + raíz[ (λ/3)^2 + 1/n ] ; ou

Analisando com calma, vc repara que a segunda opção é com certeza
positiva e a primeira é com certeza negativa. É claro que permutar os
x_i não muda nada no problema, então o que interessa é a *quantidade*
de x_i positivos e negativos. Chama por exemplo de 'p' a quantidade de
x_i positivos. Os x_i não podem ser todos positivos nem todos
negativos, pois têm de somar zero, logo 0 a écrit :
>
>
> Eu até tentei por esse caminho, mas só fui até aqui.
> f(x_1,...,x_n) = x_1³ + ... + x_n³
> g(x_1,...,x_n) = x_1² + ... + x_n²
> h(x_1,...,x_n) = x_1 + ... + x_n
>
> ∇f(x_1,...,x_n) + λ∇g(x_1,...,x_n) + μ∇h(x_1,...,x_n) = 0
>
> 3x_1² + 2λx_1 + μ = 0
> .
> .
> .
> 3x_n² + 2λx_n + μ = 0
>
> Somando-as, temos que :
> 3(x_1² + ... x_n²) + 2λ(x_1 + ... +x_n) + nμ = 0
> 3 * 1 + 2λ* 0 + nμ = 0
> 3 + nμ = 0
>
> Depois disso não sei como continuar.
>
> Em sex, 13 de dez de 2019 02:05, Pedro Angelo  
> escreveu:
>>
>> Fiz as contas (multiplicador de lagrange, parece muita conta mas é bem
>> fazível) e é isso mesmo. Se eu não errei nada, fica
>>
>> k = 1 / raíz[ n (n-1) ]
>>
>> e a resposta é que o máximo possível para a soma dos cubos é:
>>
>> (1 - 2/n) / (1 - 1/n)^(1/2)
>>
>> que curiosamente é uma função crescente de n. Não está definida para
>> n=1 (de fato, o problema {x=0, x^2=1} é impossível), vale zero para
>> n=2 (trivial de verificar diretamente), e tende a 1 à medida que n
>> cresce. Suponho que haja alguma lição interessante a ser aprendida
>> disso? Ou é só um monte de conta e ponto final? rsrsrs
>>
>> Le jeu. 12 déc. 2019 à 22:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>  a écrit :
>> >
>> > On Thu, Dec 12, 2019 at 6:49 PM Esdras Muniz  
>> > wrote:
>> > >
>> > > Isso aí pode ir para o infinito: tome k real positivo arbitrário. Daí 
>> > > tome:
>> > > (-k)+(-k)+...+(-k)+(n-1)k=0
>> > > (-k)^3+(-k)^3+...+(-k)^3+((n-1)k)^3=k^3((n-1)^3-(n-1)).
>> > > Esse último fator vai pra o infinito com k.
>> >
>> > A soma dos quadrados é um.  O máximo (e o mínimo) existem e são
>> > finitos.  Acredito que a resposta certa segue sua ideia (aliás, não é
>> > a primeira vez que este problema aparece aqui), apenas fixando k tal
>> > que a soma dos quadrados seja um.  Mas poderia ser diferente, e não
>> > parei para pensar.
>> >
>> > >> Em seg., 9 de dez. de 2019 às 20:29, gilberto azevedo
>> > >>  escreveu:
>> > >> >
>> > >> > Sabendo que :
>> > >> > x_1 + ... + x_n = 0
>> > >> > x_1 ² + ... + x_n ² = 1
>> > >> > Qual o valor máximo de x_1 ³ + ... + x_n ³ ?
>> >
>> > Abraços,
>> > --
>> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >  acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> > =
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>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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>>  acredita-se estar livre de perigo.
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>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l]

[Pedro Angelo]

Fiz as contas (multiplicador de lagrange, parece muita conta mas é bem
fazível) e é isso mesmo. Se eu não errei nada, fica

k = 1 / raíz[ n (n-1) ]

e a resposta é que o máximo possível para a soma dos cubos é:

(1 - 2/n) / (1 - 1/n)^(1/2)

que curiosamente é uma função crescente de n. Não está definida para
n=1 (de fato, o problema {x=0, x^2=1} é impossível), vale zero para
n=2 (trivial de verificar diretamente), e tende a 1 à medida que n
cresce. Suponho que haja alguma lição interessante a ser aprendida
disso? Ou é só um monte de conta e ponto final? rsrsrs

Le jeu. 12 déc. 2019 à 22:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa
 a écrit :
>
> On Thu, Dec 12, 2019 at 6:49 PM Esdras Muniz  
> wrote:
> >
> > Isso aí pode ir para o infinito: tome k real positivo arbitrário. Daí tome:
> > (-k)+(-k)+...+(-k)+(n-1)k=0
> > (-k)^3+(-k)^3+...+(-k)^3+((n-1)k)^3=k^3((n-1)^3-(n-1)).
> > Esse último fator vai pra o infinito com k.
>
> A soma dos quadrados é um.  O máximo (e o mínimo) existem e são
> finitos.  Acredito que a resposta certa segue sua ideia (aliás, não é
> a primeira vez que este problema aparece aqui), apenas fixando k tal
> que a soma dos quadrados seja um.  Mas poderia ser diferente, e não
> parei para pensar.
>
> >> Em seg., 9 de dez. de 2019 às 20:29, gilberto azevedo
> >>  escreveu:
> >> >
> >> > Sabendo que :
> >> > x_1 + ... + x_n = 0
> >> > x_1 ² + ... + x_n ² = 1
> >> > Qual o valor máximo de x_1 ³ + ... + x_n ³ ?
>
> Abraços,
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> Bernardo Freitas Paulo da Costa
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[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida

[Pedro Angelo]

Em matemática, geralmente é mais útil que as definições dos objetos
importantes não excluam os casos particulares. Um quadrado é um
retângulo? Se vc quiser que a definição de "retângulo" inclua somente
quadriláteros com ângulos retos que não sejam quadrados, vc tem que
explicitar a parte do "não sejam quadrados" na definição. A definição
mais simples, "retângulo é um quadrilátero cujos ângulos são todos
retos" (como o nome já diz!) inclui o quadrado como caso especial. Uma
coisa parecida ocorre com a elipse. Se vc quiser excluir o círculo, vc
teria que especificar na definição que vc quer focos distintos. A
definição mais simples, que cita os focos como sendo "dois pontos", ao
invés de "dois pontos distintos", inclui o círculo como caso especial.
E é útill que inclua mesmo. Por exemplo, se vc pensar o círculo como
sendo um tipo especial de elipse, vc pode enunciar o seguinte teorema:
"A imagem de uma elipse por uma transformação afim é outra elipse."
Mas se vc achar que um círculo não é uma elipse, então o teorema (da
forma que foi enunciado) não vale mais. A questão é que praticamente
qualquer propriedade interessante apresentada por "elipses
não-circulares" também será compartilhada pelos círculos. É raro em
matemática vc precisar de uma elipse que seja proibida de ser um
círculo. Nunca vi ninguém definir elipse de uma forma que exclua os
círculos.

Sobre a suavidade: da forma que vc escreveu, eu diria que está um
pouco ruim. Por exemplo, a função
F(x,y)=x^2-y^2
é uma função suave (vc consegue calcular dF/dx e dF/dy, por exemplo).
Mas vc diria que a equação F(x,y)=0 é uma "cônica suave"? Repare que
essa equação descreve duas retas que se cruzam na origem. Outras
funções problemáticas são F(x,y)=x^2+y^2 e F(x,y)=0.

Se F(x,y) é um polinômio de segundo grau em x e y, então F(x,y)=0 é
uma cônica, e eu diria que essa cônica é "suave" se nenhum dos pontos
dela (pontos (x,y) tais que F(x,y)=0) satisfaz ao mesmo tempo dF/dx=0
e dF/dy=0. O fato de pelo menos uma das derivadas parciais de F ser
não-nula garante que não encontraremos problemas como os do parágrafo
acima.

abraços!


Le mer. 4 déc. 2019 à 19:10, Pedro José  a écrit :
>
> Boa noite!
> Estou dando uma repassada nas cônicas para auxiliar um filho de um amigo.
> Dúvidas quanto à cônicas.
> Alguns trabalhos até de mestrandos apontam a circunferência como sendo uma 
> elipse, um caso particular.
> Aprendera que o limite de uma elipse quando a distância entre os focos 
> tendesse para zero era uma circunferência, não obstante a circunferência não 
> é uma elipse.
> A elipse tem dois focos. O que não ocorre na circunferência.
> A elipse pode ser definida como o lugar geométrico do plano em que a razão 
> entre a distância de um ponto ao foco direito e a distância entre esse ponto 
> e uma reta (diretriz direita) é constante e menor que 1 e igual a 
> excentricidade da cônica.
> A circunferência não suporta tal definição.
> Vejo muitos autores chamarem cônicas suaves.Significa que se escrevermos uma 
> equação quadrática com F(x,y)=0 a função F(x,y) é suave?
>
> Grato!
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> --
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Re: [obm-l] Polinomios

[Pedro Angelo]

Provar que não tem *mais* do que n raízes é elementar.

Lema: Se P(x) é um polinômio de grau N, e 'a' é uma raíz de P(x), então
P(x) = (x-a)*Q(x), onde Q(x) é um polinômio de grau N-1.
Demonstração: Monte um sistema linear (N+1)xN para descobrir quais devem
ser os coeficientes do polinômio Q em função de 'a' e dos coeficientes de
P. Você vai descobrir que:
q_{N-1} = p_N
q_{N-2} = p_{N-1} + a*p_N
...
q_0 = p_1 + a*p_2 + ... + a^{N-1}*p_N
-a*q_0 = p_0
Usando o fato de que P(a)=0, ou seja, p_0 + a*p_1 + ... + a^N*p_N = 0, você
vai descobrir que esse sistema tem exatamente 1 solução. Mais do que isso:
observando bem, você repara que o coeficiente do termo de maior grau de Q é
igual ao coeficiente do termo de maior grau de P.

Imagine agora que o polinômio P(x) de grau N tem N raízes distintas a_1,
..., a_N. Bom, então, para começar:
P(x) = (x - a_1)*Q(x).
Como a_2 também é raíz de P:
0 = P(a_2) = (a_2 - a_1)*Q(a_2)
Como (a_2 - a_1) é diferente de zero (as raízes são distintas), segue que
Q(a_2), ou seja, a_2 é raíz de Q(x), e portanto Q(x) pode ser fatorado em
(x-a_2) vezes um polinômio R(x) de grau N-2, e portanto:
P(x) = (x - a_1) * (x - a_2) * R(x)
Seguindo com esse raciocínio até o final, escrevemos:
P(x) = (x - a_1) * ... * (x - a_N) * A
onde A, uma constante, é o polinômio de grau zero que sobrou. Como o
coeficiente do termo de maior grau de Q é igual ao de P, e o de R é igual
ao de Q, então o de R é igual ao de P. Continuando, descobrimos que a
constante A é simplesmente o coeficiente do termo de maior grau do
polinômio original P.

Conclusão: se o polinômio P(x) = p_N*x^N + ... + p_1*x + p_0, tem N raízes
distintas: a_1, ..., a_N, então ele pode ser fatorado da seguinte forma:
P(x) = (x - a_1) * ... * (x - a_N) * p_N.
Bom, dado qualquer 'x' que não seja nenhuma das raízes a_1, ..., a_N, os
fatores (x - a_j) serão todos não-nulos, e portanto P(x) será não-nulo, ou
seja, 'x' não será uma raíz de P. Ou seja, se você encontrar N raízes
distintas para um polinômio de grau N, essas raízes são as únicas.


Le ven. 25 oct. 2019 à 20:55, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> a écrit :

>
> Alguém conhece um material ou mesmo a prova do teorema que diz todo
> polinômio de grau n não tem mais que n raízes reais?
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avg.com
> .
> <#m_8824745352040677824_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
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[obm-l] Re: [obm-l] Problema da Olimpíada Brasileira de Matemática para Universitários

[Pedro Angelo]

Pensando rápido aqui. Dados discos D1 e D2, queremos pontos P1 e P2
tais que toda parábola que passa por P1 e P2 toca pelo menos um dos
discos. (Estou assumindo que P1 e P2 estão proibidos de pertencerem
aos discos, pois caso contrário bastaria escolher Pj em Dj.)
Obviamente, P1 e P2 devem estar próximos dos discos (cada um próximo
de um disco). Pensando rápido acho que as seguintes duas condições são
necessárias:

(I) A reta 'r' que liga P1 a P2 deve cruzar os discos
(II) A reta perpendicular a 'r' por Pj deve cruzar Dj

Acho que para tornar essas condições suficientes além de necessárias,
basta adicionar as seguintes condições extras:

(III) Num sistema de coordenadas em que o centro de D1 está na origem
e o centro de D2 está no eixo x positivo, P1 está no terceiro
quadrante (por exemplo, com um argumento de 5pi/4)
(IV) Idem, trocando D1 por D2 e P1 por P2

Posso estar enganado, mas o meu chute é esse. Dada a condição (II), a
condição (III) garante que todas as parábolas com concavidade para um
dos lados de 'r' cruza D1, enquanto a condição (IV) garante que as
parábolas para o outro lado de 'r' cruzam D2.

Le ven. 12 juil. 2019 à 00:15, João Maldonado
 a écrit :
>
> Galera, esse é uma problema da OBM mas não me lembro de qual ano. Eu tentei 
> uma solução e acabei de descobrir que tinha uma falha, não é possível 
> escolher d tal que y' imagem)
>
> O problema é o seguinte:
> Dados dois discos em um plano, prove que sempre é possível escolher dois 
> pontos tais que qualquer parábola que passe por ambos esses pontos sempre 
> passará por pelo menos um dos discos.
>
> Eu tentei uma solução, mas como eu disse está errada. Alguém consegue propor 
> alguma solução? É possível ainda aproveitar o minha linha de raciocínio ou 
> está completamente errado? A solução está em inglês pq postei em um fórum 
> americano rs.
>
>
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Re: [obm-l] Probabilidade

[Pedro Angelo]

Eu acho que o enunciado foi bem claro. Num primeiro momento, o
enunciado fala "sabe-se que *um* dos filhos é um menino". Em seguida,
ele pergunta "qual a probabilidade de *o outro* ser menino". Os termos
"um" no primeiro momento e "o outro" no final estão especificando os
filhos, então a resposta é 1/2. A pergunta que está sendo feita é
"qual a probabilidade do segundo filho ser H sabendo que o primeiro é
H", ao invés de "qual a probabilidade de ambos serem H sabendo que um
deles é H".

Le mar. 28 mai 2019 à 17:03, matematica10complicada
 a écrit :
>
> Valeu Ralph, obrigado, eu tive a mesma interpretação, e acredito que o 
> problema podia ter sido melhor elaborado.
> Mas de qualquer forma, obrigado.
>
>
> Um abraço do
> Douglas Oliveira.
>
> Em ter, 28 de mai de 2019 16:36, Ralph Teixeira  escreveu:
>>
>> Problema de difícil resposta, depende de como interpretar a frase "um dos 
>> filhos é menino"... Do ponto de vista probabilísitco, depende de como a 
>> informação de que um deles é menino foi obtida.
>>
>> Vou supor que os filhos estão numa certa ordem, e colocar H para menino e M 
>> para menina. Então, vou dizer que os filhos são "HM" se o primeiro for homem 
>> e o segundo for mulher.
>>
>> Portanto, **a priori**, o universo de possibilidades seria {HH,HM,MH,MM}. 
>> Supondo que a probabilidade de cada um ser H é 50% (está no enunciado), e 
>> supondo que os sexos dos dois filhos são independentes um do outro (não está 
>> no enunciado, mas não é uma hipótese tão horrível... além disso, sem ela a 
>> gente não sai do lugar), então cada um desses 4 eventos tem probabilidade 
>> 1/4=25%.
>>
>> Até aqui, o problema não costuma ser muito polêmico... Agora, 
>> surpreendentemente, as coisas complicam:
>>
>> ---///---
>> INTERPRETAÇÃO #1:
>> Se você ler a frase estritamente, sabemos que PELO MENOS UM DELES é menino, 
>> sem saber qual. Ou seja, o "novo universo" é {HH,HM,MH}, já que não pode ser 
>> MM. Então a probabilidade do outro ser menino também é a probabilidade de 
>> ambos serem meninos, ou seja, queremos a probabilidade de HH neste novo 
>> universo. A reposta é 1/3.
>>
>> Se você quiser ser mais formal: seja "A" o evento "pelo menos um é menino", 
>> e "B" o evento "o outro também é menino". Então A={HH,HM,MH} e B={HH}. O que 
>> se pediu foi a probabilidade condicional:
>> Pr(B|A)=Pr(A e B) / Pr(A) = (1/4)/(3/4)=1/3.
>>
>> Esta interpretação é razoável por exemplo se a informação foi obtida da 
>> seguinte forma: você perguntou ao João se ele tem *algum* filho menino, e 
>> ele disse "sim, tenho!", sem dar a menor indicação de qual é o menino.
>> ---///---
>> INTERPRETAÇÂO #2:
>> Mas pode ser que "um" em "um deles é menino" seja um ESPECÍFICO, o que é 
>> diferente! Tipo, se você pergunta ao João se o filho **mais velho** é 
>> menino, e ele diz "Sim, o mais velho é menino", agora eu sei QUEM é esse 
>> menino, e isto afeta sim a probabilidade!
>>
>> Agora o novo universo seria {HH,MH}, então a probabilidade do mais novo ser 
>> menino é 1/2 -- que é a resposta que quase todo mundo dá a este problema, 
>> porque na hora de calcular a probabilidade todo mundo imagina que um filho 
>> ESPECÍFICO é menino, e se pergunta sobre o outro.
>> ---///---
>>
>> Qual a resposta correta? De novo, depende do que você entende por "um 
>> dos filhos é menino", que em Português é ligeiramente vago. Eu fico com a 
>> interpretação #1, que acho que é mais estritamente o que foi dito no 
>> enunciado.
>>
>> Abraço, Ralph.
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> On Tue, May 28, 2019 at 11:35 AM matematica10complicada 
>>  wrote:
>>>
>>> Olá amigos, o que acham desse problema?
>>>
>>> Qual seria a resposta?
>>>
>>> João e Maria tem dois filhos, e sabe-se que um dos filhos é um menino. Se a 
>>> probabilidade de um filho ser do sexo masculino é igual a 50%, é correto 
>>> afirmar que a probabilidade de o outro filho do casal ser um menino é igual 
>>> a:
>>>
>>>
>>> Att
>>> Douglas Oliveira.
>>>
>>>
>>>
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
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[obm-l] Re: [obm-l] Estratégia mais justa

[Pedro Angelo]

Pensando rapidamente acho que o seguinte sistema é razoável:

Cada um escolhe, em segredo, um quarto, e todos revelam o quarto
escolhido simultaneamente. Se algum quarto foi escolhido por mais de
uma pessoa, essas pessoas disputam, com um leilão, quem vai ficar com
o quarto, sendo que o preço inicial desse leilão deve ser 1/4 do
total. Quando alguém vencer o leilão*, essa pessoa fica com o quarto,
pelo preço do leilão, e voltamos para o problema inicial, mas com uma
pessoa a menos, um quarto a menos, e ainda faltando alocar 3/4 (ou
menos) do valor total do apartamento. Se, na primeira rodada, duas
pessoas escolherem o quarto A, e as outras duas escolherem o quarto B,
os leilões pelos quartos A e B acontecem simultaneamente, mas só fica
com o quarto quem pagou mais (ou seja, somente um dos quartos A ou B
será alocado a alguém, o outro quarto volta para o conjunto de quartos
disponíveis, e a rodada seguinte será feita com 3 pessoas e 3
quartos.) Se, logo de início, cada um dos quatro escolheu um quarto
diferente (não houve disputa), então cada um paga 1/4 do total.

* Para que alguém vença esse leilão, é preciso que alguém dê a oferta
inicial (pode ser decidido na moeda/adedanha/etc quem vai ser, se não
houver consenso), e é preciso que no máximo uma das pessoas esteja
disposta a pagar o valor total do apartamento pelo quarto. No caso
extremamente atípico em que não só pelo menos uma, mas pelo menos duas
pessoas (!!!) querem tanto um quarto que estariam dispostas a pagar os
3300 reais sozinhas só por 1 quarto, essas pessoas podem decidir na
adedanha quem fica com o quarto.

Obs: estou assumindo que os quartos ainda não foram alocados. Se os
quartos já foram alocados, mesmo que temporariamente, eu imagino que a
maioria das pessoas vai se sentir desconfortável de pedir para mudar
de quarto. Nesse caso, não tem muito remédio, mas eu acho que uma
redução de danos seria todo mundo desocupar todos os quartos antes de
participar da brincadeira.

Obs 2: estou assumindo que a ideia é (re)distribuir os quartos. Se os
quartos já estão alocados, e não há possibilidade de troca, eu não
vejo por que um preço diferente de 1/4 do total para cada um seria
"justo" (essa afirmação não tem justificativa formal, é mais uma
intuição; eu nem defini "justo" formalmente)

Obs 3: esse esquema que eu descrevi não leva em consideração
diferenças nos salários de cada um, por exemplo, ou outras
desigualdades que o esquema poderia ter sido construído para
consertar.

Obs 4: acabei de me tocar que esse esquema requer que todos confiem
que os outros sempre escolherão somente quartos que eles realmente
queiram. Se não houver essa confiança mútua, é possível explorar esse
sistema: se eu quero o quarto A mas eu sei de antemão que o Fulano
quer muito o quarto B, eu posso começar dizendo que quero o B para
inflar o preço do B, mas no fim eu deixo o Fulano ganhar o leilão do
B, e volto a disputar o A, dessa vez por um preço menor. Dependendo da
sua definição formal de "justo", isso pode ser um problema.

Le lun. 25 févr. 2019 à 22:44, João Maldonado
 a écrit :
>
> Galera, estou tentando dividir um apartamento para 4 pessoas. O preço total 
> com IPTU é 3300 reais. Todos os quartos são diferentes e uns são melhores que 
> outros subjetivamente. Queria saber qual a melhor estratégia de “leilão” para 
> dividir os custos de cada quarto de modo que cada um pague o preço justo em 
> cada quarto. O problema é que nem preço justo eu consigo definir. Tenho 
> certeza que deve existir uma teoria por trás desse assunto. Queria que 
> algumas pessoas me dessem algumas abordagens possíveis do melhor modo de 
> definirmos esses preços. Somos todos engenheiros e já estamos há 25 dias sem 
> definir um preço rsrsrsrs.
>
> Grande abraço!
>
> João M.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

[Pedro Angelo]

Eu imagino que a continuidade de f seja necessária para esse problema.
Estou tentando aqui, mas não consigo encontrar um exemplo de função f
periódica descontínua (em todos os pontos) tal que g seja periódica.
Alguém tem alguma ideia?

2018-04-14 13:50 GMT-03:00 Pedro Angelo <pedro.fon...@gmail.com>:
> Aparentemente, a minha foi desnecessariamente complicada mesmo. De
> qualquer forma, acho que a ideia é a mesma né: usar o fato de que g
> oscila cada vez mais rápido à medida que x-->oo.
>
> 2018-04-14 13:36 GMT-03:00 Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com>:
>> A prova que encontrei baseia-se no fato de que, se g é contínua e periódica,
>> então g é unformemente contínua.
>>
>> Sendo a composição de duas funcões contínuas, f e x --> x^2, g é contínua.
>> Vamos mostrar que não é uniformemente contínua, o que implica que não seja
>> periódica.
>>
>> Como f não é constante, existem a e b com f(a) <> f(b). Sendo contínua,
>> periódica e não constante, f tem um período fundamental p > 0. Definamos
>> duas sequências por u_n = raiz(a + np) e v_n = raiz(b + np). Então, u_n -
>> v_n --> 0. Mas como para todo n g(u_n) - g(v_n) = f(a + np) - f(b + np) =
>> f(a) - f(b) <> 0, g(u_n) - g(v_n) não converge para 0. Logo, g não é
>> uniformemente contínua e, portanto, não é periódica.
>>
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> Em 14 de abr de 2018 11:02, "Claudio Buffara" <claudio.buff...@gmail.com>
>> escreveu:
>>
>> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>>
>> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>>
>> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que contraria
>> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>>
>>
>>
>>
>> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com>:
>>>
>>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
>>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>>>
>>> Artur
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
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>>
>>
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

[Pedro Angelo]

Aparentemente, a minha foi desnecessariamente complicada mesmo. De
qualquer forma, acho que a ideia é a mesma né: usar o fato de que g
oscila cada vez mais rápido à medida que x-->oo.

2018-04-14 13:36 GMT-03:00 Artur Steiner :
> A prova que encontrei baseia-se no fato de que, se g é contínua e periódica,
> então g é unformemente contínua.
>
> Sendo a composição de duas funcões contínuas, f e x --> x^2, g é contínua.
> Vamos mostrar que não é uniformemente contínua, o que implica que não seja
> periódica.
>
> Como f não é constante, existem a e b com f(a) <> f(b). Sendo contínua,
> periódica e não constante, f tem um período fundamental p > 0. Definamos
> duas sequências por u_n = raiz(a + np) e v_n = raiz(b + np). Então, u_n -
> v_n --> 0. Mas como para todo n g(u_n) - g(v_n) = f(a + np) - f(b + np) =
> f(a) - f(b) <> 0, g(u_n) - g(v_n) não converge para 0. Logo, g não é
> uniformemente contínua e, portanto, não é periódica.
>
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em 14 de abr de 2018 11:02, "Claudio Buffara" 
> escreveu:
>
> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>
> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>
> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que contraria
> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>
>
>
>
> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>
>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>>
>> Artur
>>
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>
>
>
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

[Pedro Angelo]

Vou seguir um caminho diferente do que vcs estavam seguindo, porque
sou ruim com demonstrações mais algébricas :)

Sabemos que f é periódica. Para facilitar as contas, digamos que 1
seja período de f (se não for, adaptar a demonstração é fácil).
Digamos que g seja periódica, de período T.

Vamos olhar para a parte positiva dos domínios de f e de g. Na
semireta positiva, x-->x^2 é uma bijeção. Como o Claudio já mencionou
lá em cima, quando transpomos o domínio de g de volta para o de f
através dessa bijeção, as transposições dos períodos de f ficam cada
vez menores à medida que os valores aumentam. O "primeiro período" de
f é [0,1], que é levado em [0,1]. O segundo é [1,2], levado em
[1,sqrt(2)]. O n-ésimo é [n,n+1], e é levado em [sqrt(n),sqrt(n+1)],
que tem tamanho igual a sqrt(n+1)-sqrt(n) = 1/(sqrt(n)+sqrt(n+1)), que
tende a zero.

Isso tudo significa que, quando olhamos para x-->oo no domínio de g,
cada período [kT, (k+1)T] de g engloba uma quantidade cada vez maior
de períodos de f. Em particular, à medida que esse k aumenta,
conseguimos fazer com que o intervalo [kT,kT+epsilon] englobe um
período inteiro de f, e o menor epsilon necessário para isso tende a
zero quando k-->

Como [kT,kT+epsilon] engloba um período inteiro de f, a imagem desse
intervalo sob g é igual à imagem (global) de f. Como g é periódica,
essa imagem é a mesma que a imagem do intervalo [0,epsilon] sob g.
Resumindo: para qualquer epsilon, a imagem do intervalo [0,epsilon]
sob g é igual à imagem de f. Como f é contínua não-constante, a sua
imagem é um intervalo fechado [a,b] com b>a. Isso significa que g não
pode ser contínua em 0.

Não sei se isso foi tiro de canhão para matar mosca, talvez a
demonstração algébrica seja mais simples, mas eu gosto dessa :)

2018-04-14 13:27 GMT-03:00 Pedro Angelo <pedro.fon...@gmail.com>:
> Acho que a definição mais abrangente de "função periódica" é "qualquer
> função que apresente um período".  Um "período" é qualquer número
> positivo T tal que para todo x, f(x+T)=f(x). Eu dei o exemplo da
> função indicadora dos racionais ali em cima: f(x)=1 quando x é
> racional, e f(x)=0 quando x é irracional. Essa função é "periódica"
> nessa definição, pois qualquer número racional é um período dessa
> função (ou seja, se r é racional, então para todo x, f(x)=f(x+r)). Mas
> essa função não apresenta um "menor período", justamente porque não
> existe um menor racional negativo.
>
> Acho que matei a questão do g não ser periódica, mas na verdade não
> precisei usar o fato de que f tem período fundamental, mas usei uma
> ideia parecida. Vou enviar daqui a pouco.
>
> 2018-04-14 13:15 GMT-03:00 Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>:
>> Mas a existência de um período fundamental (o menor real positivo T tal que
>> f(x) = f(x+T) para todos x, x + T no domínio de f) não é o que define uma
>> função periódica não-constante (contínua ou não)?
>>
>>
>> 2018-04-14 13:03 GMT-03:00 Pedro Angelo <pedro.fon...@gmail.com>:
>>>
>>> Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei
>>> provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de
>>> que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período
>>> fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não
>>> apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos
>>> racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há
>>> período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da
>>> função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual
>>> para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à
>>> oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa
>>> oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero,
>>> então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é
>>> contínua em nenhum ponto.
>>>
>>> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>> <bernardo...@gmail.com>:
>>> > Oi Claudio,
>>> >
>>> > 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>:
>>> >> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>>> >>
>>> >> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>>> >>
>>> >> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>>> >> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>>> >
>>> > não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
>>> &

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

[Pedro Angelo]

Acho que a definição mais abrangente de "função periódica" é "qualquer
função que apresente um período".  Um "período" é qualquer número
positivo T tal que para todo x, f(x+T)=f(x). Eu dei o exemplo da
função indicadora dos racionais ali em cima: f(x)=1 quando x é
racional, e f(x)=0 quando x é irracional. Essa função é "periódica"
nessa definição, pois qualquer número racional é um período dessa
função (ou seja, se r é racional, então para todo x, f(x)=f(x+r)). Mas
essa função não apresenta um "menor período", justamente porque não
existe um menor racional negativo.

Acho que matei a questão do g não ser periódica, mas na verdade não
precisei usar o fato de que f tem período fundamental, mas usei uma
ideia parecida. Vou enviar daqui a pouco.

2018-04-14 13:15 GMT-03:00 Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>:
> Mas a existência de um período fundamental (o menor real positivo T tal que
> f(x) = f(x+T) para todos x, x + T no domínio de f) não é o que define uma
> função periódica não-constante (contínua ou não)?
>
>
> 2018-04-14 13:03 GMT-03:00 Pedro Angelo <pedro.fon...@gmail.com>:
>>
>> Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei
>> provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de
>> que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período
>> fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não
>> apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos
>> racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há
>> período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da
>> função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual
>> para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à
>> oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa
>> oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero,
>> então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é
>> contínua em nenhum ponto.
>>
>> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> <bernardo...@gmail.com>:
>> > Oi Claudio,
>> >
>> > 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>:
>> >> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>> >>
>> >> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>> >>
>> >> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>> >> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>> >
>> > não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
>> > múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
>> > todo a.
>> >
>> >> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>> >> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
>> >> contraria
>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>> >
>> > Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
>> > limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
>> > complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
>> > contínua"...
>> >
>> >> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner
>> >> <artur.costa.stei...@gmail.com>:
>> >>>
>> >>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante.
>> >>> Mostre
>> >>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>> >>>
>> >>> Artur
>> >
>> > Abraços,
>> > --
>> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >  acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> >
>> > =
>> > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> >
>> > =
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

[Pedro Angelo]

Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei
provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de
que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período
fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não
apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos
racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há
período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da
função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual
para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à
oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa
oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero,
então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é
contínua em nenhum ponto.

2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
:
> Oi Claudio,
>
> 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>>
>> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>>
>> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>
> não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
> múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
> todo a.
>
>> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que contraria
>> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>
> Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
> limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
> complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
> contínua"...
>
>> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>>
>>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
>>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>>>
>>> Artur
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
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Re: [obm-l] Teoria dos Conjuntos

[Pedro Angelo]

Oi Lucas!

Vamos lá:

A palavra "vazio" não é um problema, porque é bem fácil definir
formalmente o que é um conjunto vazio. O conjunto vazio tem a
propriedade "não existe x tal que x pertence ao vazio". Usando os
axiomas do infinito e da substituição a gente demonstra que existe
pelo menos um conjunto com essa propriedade, e usando o axioma da
extensão, demonstra que existe no máximo um conjunto com essa
propriedade, e então voilà, o conjunto vazio existe, e podemos
inclusive dar um nome bonito para ele (escolhemos o nome "vazio"), uma
vez que ele é único.

As outras palavras são sim ruins do ponto de vista formal, mas não
piores nem melhores do que "conjunto". A palavra objeto é mais usada
em contextos computacionais; eu acho que o equivalente na teoria dos
conjuntos é "átomo", mas aí eu estou me aventurando em áreas que não
entendo hehe.

Repare que em momento nenhum eu defendendi o uso da frase "coleção de
objetos distintos" como "definição formal de conjunto". Eu estava só
dizendo que a frase é bem construída e não é para se jogar fora. Se vc
brincar de advogado do diabo com essa "definição", vc chega facilmente
ao paradoxo de Russel, que já foi mencionado aí em cima. Mas a forma
de se evitar o paradoxo de Russel não é formalizar a definição de
conjunto, e sim formalizar os axiomas que regem as operações que podem
ser usadas para construir os conjuntos a partir uns dos outros. Depois
de pesquisar sobre o paradoxo de Russel, pesquise sobre o ZFC.

Igor, eu não entendi: "para ser conjunto basta o vazio estar contido
nele, ele contido em si próprio e ele não pertencer a ele próprio". Eu
entendo que todo conjunto tem o vazio contido nele, está contido em si
próprio, e não pertence a si próprio. Mas isso é uma definição? A
impressão que essa frase me passa é que vc está assumindo que existem
coisas que podem ou não ser conjuntos, e vc está tentando separar
(através de uma definição formal) quais são conjuntos e quais não são.
O problema dessa ideia é: que coisas são essas?

abraços!

2018-01-08 9:24 GMT-02:00 Luiz Antonio Rodrigues <rodrigue...@gmail.com>:
> Oi, Igor!
> Bom dia!
> Ajudou sim!
> Muito obrigado!
> Vou pesquisar sobre o Paradoxo de Russell... Já ouvi falar dele, mas quero
> mais detalhes...
> Um abração para você também!
> Luiz
>
> On Jan 8, 2018 6:39 AM, "Igor Caetano Diniz" <icaetanodi...@gmail.com>
> wrote:
>
> Fala galera, tudo certo?
> Eu não sei se vou conseguir ser claro e completamente correto, mas vamos lá:
> Na minha concepção, Dado que a teoria parte do primitivo, então o conjunto
> vazio teria que ser o primeiro a existir e todo e qualquer conjunto só
> existe se o vazio estiver contido nele. A definição formal de que conjunto é
> a correta MAS eu posso dizer que conjunto é uma "coleção de objetos" caso eu
> queira restringir o uso da teoria de conjuntos, ou usá-la em um nível com
> menor rigor, não há problema em fazer isso. Mas Certo CERRRT, não é.
> Porque não é? em teoria de conjuntos, a teoria tem que ser a mais abrangente
> possível e isso só é possível sendo algo como vc aprendeu na faculdade"Não
> se define conjunto" e justamente por ser como o Artur disse. Na verdade,
> para ser conjunto basta o vazio estar contido nele, ele contido em si
> próprio e ele não pertencer a ele próprio(paradoxo de Russell).
>
> Espero ter ajudado e se eu estiver errado me corrijam :)
> Abraçãããooo
>
> 2018-01-07 16:52 GMT-02:00 Luiz Antonio Rodrigues <rodrigue...@gmail.com>:
>>
>> Olá, Pedro!
>> Boa tarde!
>> Peço desculpas, mas não concordo com você... Você não escreveu um monte de
>> besteiras, mas eu fui "doutrinado" na faculdade e por alguns livros a ter
>> sempre um "pé atrás" com as definições. As palavras "coleção", "objeto" e
>> "vazio" são terríveis do ponto de vista filosófico... Tenho que concordar
>> com o Artur.
>> Espero que entenda minha posição...
>> Um abraço!
>> Luiz
>>
>> On Jan 7, 2018 3:54 PM, "Pedro Angelo" <pedro.fon...@gmail.com> wrote:
>>>
>>> Bom dia gente!
>>>
>>> Eu gosto da "definição" "coleção de objetos distintos". Todas as três
>>> palavras são importantes aí:
>>>
>>> * Coleção: Essa palavra é um dos principais motivos pelos quais eu
>>> escrevi "definição" entre aspas ali em cima. Como o Artur falou, isso
>>> obviamente não é uma definição, pois "coleção" é sinônimo de
>>> "conjunto", então isso é só um jogo de palavras. Mas acho que é um
>>> jogo importante pra a gente desenvolver intuição (informal,
>>> obviamente) sobre a "n

Re: [obm-l] Teoria dos Conjuntos

[Pedro Angelo]

Bom dia gente!

Eu gosto da "definição" "coleção de objetos distintos". Todas as três
palavras são importantes aí:

* Coleção: Essa palavra é um dos principais motivos pelos quais eu
escrevi "definição" entre aspas ali em cima. Como o Artur falou, isso
obviamente não é uma definição, pois "coleção" é sinônimo de
"conjunto", então isso é só um jogo de palavras. Mas acho que é um
jogo importante pra a gente desenvolver intuição (informal,
obviamente) sobre a "natureza" de um conjunto (ou talvez isso só ajude
quando já se tem uma intuição bem desenvolvida? Não sei)

* Objetos: outro jogo de palavras, mas também é importante pra a gente
se lembrar de o quão "genéricos" podem ser os elementos de um
conjunto. Em geral, a gente não quer restringir que tipos de coisas
podem ser elementos dos conjuntos. Mas ficam várias dúvidas
interessantes: Um conjunto conta como um "objeto"? Todo "objeto" é um
conjunto? Se conjuntos forem objetos, e portanto puderem pertencer uns
aos outros, a coleção de todos os conjuntos que não pertencem a si
mesmos é um objeto? (não resisti, desculpa :))

*Distintos: Essa aqui tem uma pegada mais computacional. Ela tá aí pra
diferenciar "conjunto" de "lista" (por exemplo). Se A, B e C são
objetos (seja lá o que for um objeto), então as "listas" [A,B,C] e
[A,A,B,C] são diferentes: a primeira tem 3 elementos, e a segunda tem
4. Já os conjuntos {A,B,C} e {A,A,B,C} são o mesmo, pois quando se
trata de conjuntos, a gente só tá interessado nos elementos
*distintos*. Isso me lembra que quem escreveu essa definição esqueceu
de escrever, além de "distintos", que conjuntos são "não-ordenados":
as listas [A,B,C] e [B,A,C] são diferentes, enquanto que os conjuntos
{A,B,C} e {B,C,A} são os mesmos. Em uma lista, a gente pode perguntar
quem é o primeiro objeto da lista, e quem é o último. A gente também
pode perguntar quantas vezes o objeto A aparece, ou em qual posição
ele aparece pela primeira vez. Conjuntos são muito mais primitivos:
dado um objeto e um conjunto, a única coisa que a gente pode perguntar
sobre eles é se o objeto pertence ou não ao conjunto.

Já que eu já escrevi um monte de besteira, vou escrever só mais uma:
não vejo nada na frase "coleção de objetos distintos" que passe a
impressão de que a coleção não pode ser vazia. Acho que o conjunto
vazio também é uma coleção (bem pobre) de objetos distintos. Se o
"distinto" te incomodar, pensa assim: a coleção vazia apresenta
objetos repetidos? :)

abraços!

2018-01-07 14:47 GMT-02:00 Luiz Antonio Rodrigues :
> Olá, Artur!
> Boa tarde!
> Muito obrigado pela ajuda!
> Um abraço!
> Luiz
>
> On Jan 7, 2018 2:12 PM, "Artur Costa Steiner" 
> wrote:
>>
>>
>> Em dom, 7 de jan de 2018 às 1:38 PM, Luiz Antonio Rodrigues
>>  escreveu:
>>>
>>> Olá, pessoal!
>>> Tudo bem?
>>> Quero perguntar uma coisa: na faculdade eu aprendi que não se define
>>> "conjunto". Agora estou lendo um livro de Matemática Discreta onde o autor
>>> (Balakrishnan) diz que conjunto "é uma coleção de objetos distintos". Não
>>> concordo com essa definição... E o conjunto vazio?
>>> O que vocês acham?
>>> Muito obrigado e um abraço!
>>> Luiz
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> Conjunto é considerado um conceito primitivo, inerente ao ser himano. Por
>> isso, não há uma definição formal dr conjunto.
>>
>> A definição de seu livro só faz sentido se antes se definir precisamente o
>> que é uma coleção. Sem isso, é um simples jogo de palavras. E o conjunto
>> vazio não se enquadraria nesta definição.
>>
>> Artur
>>
>> --
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>
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Re: [obm-l] Probabilidade

[Pedro Angelo]

Eu e o Bruno claramente entendemos o problema de forma diferente hehehe. Eu
tava achando que os K números não deviam ser escolhidos eram K números
pré-determinados (fixos). Eu entendi que "esses K números aqui não devem
ser escolhidos", enquanto o Bruno entendeu que "Retirando dos N números os
números que foram escolhidos, devem sobrar K números."
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Re: [obm-l] Probabilidade

[Pedro Angelo]

Oi Salhab!

Pensei numas coisas elementares aqui, não sei o quão fechada é a fórmula
que vc quer.

A probabilidade de um dos K números não ser o primeiro dos A números
escolhidos pela primeira das P pessoas é (N-1)/N. Dado que esse número de
fato não foi o primeiro escolhido, a probabilidade de ele não ter sido o
segundo escolhido é (N-2)/N. Continuando, a probabilidade de ele não ter
sido nenhum dos A números escolhidos é (N-1)!/[N^A * (A-1)!]. A
probabilidade de esse número não ter sido escolhido por nenhuma das P
pessoas, já que cada escolhe os A números de forma independente, é
simplesmente isso aí elevado a P:

{ (N-1)! / [N^A * (A-1)!] } ^ P


Agora, dado que o primeiro dos K números não foi escolhido por nenhuma
pessoa, a probabilidade de o segundo dos K números também não ter sido
escolhido é dada pela mesma fórmula aí de cima, mas trocando N por N-1, já
que sabemos que esse negundo número é diferente do primeiro (ou seja, o
problema é o mesmo, mas eliminando um dos N números). Continuando, a
resposta fica:

{ (N-1)! (N-2)! ... (N-K)! / [ (N!/(N-K)!)^A (A-1)!^K ] } ^ P

Posso ter cometido algum engano (ou vários hehe), mas não sei se dá pra
chegar a um resultado mais simples que esse.

abraços


2017-07-24 17:52 GMT-03:00 Marcelo Salhab Brogliato :

> Pessoal,
>
> Estou tentando resolver o seguinte problema:
>
> Dado que P pessoas selecionam aleatoriamente A>=2 inteiros diferentes no
> intervalo [1, N], qual a probabilidade de K números do intervalo [1, N] não
> serem selecionados por ninguém?
>
> Alguém pode me ajudar? :)
>
> Abraços,
> Salhab
>
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[obm-l] Re: [obm-l] Série de Taylor

[Pedro Angelo]

Acho que dá pra provar, usando geometria do círculo, que o sen(x)/x
tende a 1 quando x tende a 0, o que é o mesmo que dizer que
sen(x)=0+x+o(x), onde o(x)/x tende a 0 quando x tende a 0, o que é o
mesmo que dizer que sen(0)=0 e sen'(0)=1, o que é um bom primeiro
passo.

Obs: Ok não querer usar derivadas, mas, falando de uma série infinita,
acho que você tem que estar disposto no mínimo a usar limites

abraços

2015-08-04 20:36 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo
israelmchrisost...@gmail.com:
 Alguém conhece alguma demonstração da série de Taylor do seno sem usar
 derivadas?Ou conhece algum livro ou competição matemática que pede para se
 provar a série de Taylor do seno sem usar derivadas?A propósito, quem foi o
 primeiro matemático a encontrar a série de Taylor do seno, ele usou
 derivadas?

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Re: [obm-l] Integrabilidade de Riemann

[Pedro Angelo]

Opa, acabei de ver a resposta do Artur, que já fala disso. Desculpem o repeteco.

2014-06-05 0:33 GMT-03:00 Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com:
 Acho importante (embora seja meio obvio, mas a gente se esquece) que
 mesmo que f não tenha uma primitiva no sentido estrito (não existe F
 tal que para todo x, F'(x)=f(x)), a função definida por:

 F(x) = integral com t variando de 0 até x de f(t)dt

 é, para todos os efeitos, uma primitiva de f, pois F'=f em todos os
 pontos exceto um (no qual F não é derivável), e além disso F é
 contínua.

 Isso alivia o paradoxo aparente, na minha opinião.


 2014-06-04 23:04 GMT-03:00 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 Na realidade, o teorema que vc citou é um caso particular de outro mais
 geral:

 f: [a, b] -- R é Riemann integrável no compacto [a, b] se, e somente se, f
 for limitada em [a, b] e contínua em quase to o [a, b]. Isto é, o conjunto
 dos pontos de [a, b] em que f é descontínua tem medida de Lebesgue nula.
 Conjuntos enumeráveis e conjuntos finitos têm medida de Lebesgue nula.

 A sua função é integrável em [0, 2]. Para to x em [0,2], um cálculo simples
 mostra que F(x) = Int [0, x] f(t) dt existe em R e é dada por

 F(x) = x se x  1
 F(x) = 1 + 2(x - 1) =  2x - 1 se 1 = x = 2

 F é contínua em [0, 2] e, para todo x diferente de 1, F'(x) = f(x). Mas F
 não é diferenciável em 1. Existem F'(1-) = 1 e F'(1+) = 2, que são
 diferentes. Portanto, F'(1) não existe. Logo, f não tem primitiva. Não
 existe nenhuma função cuja derivada seja f em todo o [0, 2].

 Não há erro no seu raciocínio. O que acontece é que ser Riemann integrável e
 ter uma primitiva não são condições equivalentes. São conceitos distintos.

 Se uma função f apresentar descontinuidade do tipo salto em um intervalo,
 então f não tem primitiva neste intervalo. Mesmo que não seja, como no seu
 caso, uma função do tipo escada, Isto porque derivadas nunca apresentam
 descontinuidades do tipo salto.

 Artur Costa Steiner

 Em 04/06/2014, às 21:54, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
 escreveu:

 Fala galera, vou ter prova de cálculo sexta e fiquei com uma dúvida de
 integrabilidade. Tem como vocês me darem uma ajuda?

 Dada a função f:[0, 2]-R tal que f(x) = {1 se x1, 2 se x=1}
 Determine se a função é integrável, e em caso positivo, ache sua  primitiva.

 Tem um teorema que diz que, se f:[a,b] - R é contínua exceto num número
 finito de pontos, então f é integrável em [a, b]
 Logo a função f é integrável, pois só é descontínua em x=1.

 Tem outro teorema que diz que, se f[a, b] - R tem descontinuidade tipo
 salto, isto é, existe c pertencente a (a, b) tal que o limite de f(x) quando
 x tende a c+ é diferente do limite de f(x) quando x tente a c-, então f não
 admite primitiva no intervalo [a, b].
 E como no ponto x=1 tem descontinuidade tipo salto, então f(x) não admite
 primitiva em [0, 2]

 f(x) seria integrável e não admitiria primitiva, absurdo!

 Onde está o erro nessa demonstração?

 []'s
 João

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Re: [obm-l] Integrabilidade de Riemann

[Pedro Angelo]

Acho importante (embora seja meio obvio, mas a gente se esquece) que
mesmo que f não tenha uma primitiva no sentido estrito (não existe F
tal que para todo x, F'(x)=f(x)), a função definida por:

F(x) = integral com t variando de 0 até x de f(t)dt

é, para todos os efeitos, uma primitiva de f, pois F'=f em todos os
pontos exceto um (no qual F não é derivável), e além disso F é
contínua.

Isso alivia o paradoxo aparente, na minha opinião.


2014-06-04 23:04 GMT-03:00 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 Na realidade, o teorema que vc citou é um caso particular de outro mais
 geral:

 f: [a, b] -- R é Riemann integrável no compacto [a, b] se, e somente se, f
 for limitada em [a, b] e contínua em quase to o [a, b]. Isto é, o conjunto
 dos pontos de [a, b] em que f é descontínua tem medida de Lebesgue nula.
 Conjuntos enumeráveis e conjuntos finitos têm medida de Lebesgue nula.

 A sua função é integrável em [0, 2]. Para to x em [0,2], um cálculo simples
 mostra que F(x) = Int [0, x] f(t) dt existe em R e é dada por

 F(x) = x se x  1
 F(x) = 1 + 2(x - 1) =  2x - 1 se 1 = x = 2

 F é contínua em [0, 2] e, para todo x diferente de 1, F'(x) = f(x). Mas F
 não é diferenciável em 1. Existem F'(1-) = 1 e F'(1+) = 2, que são
 diferentes. Portanto, F'(1) não existe. Logo, f não tem primitiva. Não
 existe nenhuma função cuja derivada seja f em todo o [0, 2].

 Não há erro no seu raciocínio. O que acontece é que ser Riemann integrável e
 ter uma primitiva não são condições equivalentes. São conceitos distintos.

 Se uma função f apresentar descontinuidade do tipo salto em um intervalo,
 então f não tem primitiva neste intervalo. Mesmo que não seja, como no seu
 caso, uma função do tipo escada, Isto porque derivadas nunca apresentam
 descontinuidades do tipo salto.

 Artur Costa Steiner

 Em 04/06/2014, às 21:54, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
 escreveu:

 Fala galera, vou ter prova de cálculo sexta e fiquei com uma dúvida de
 integrabilidade. Tem como vocês me darem uma ajuda?

 Dada a função f:[0, 2]-R tal que f(x) = {1 se x1, 2 se x=1}
 Determine se a função é integrável, e em caso positivo, ache sua  primitiva.

 Tem um teorema que diz que, se f:[a,b] - R é contínua exceto num número
 finito de pontos, então f é integrável em [a, b]
 Logo a função f é integrável, pois só é descontínua em x=1.

 Tem outro teorema que diz que, se f[a, b] - R tem descontinuidade tipo
 salto, isto é, existe c pertencente a (a, b) tal que o limite de f(x) quando
 x tende a c+ é diferente do limite de f(x) quando x tente a c-, então f não
 admite primitiva no intervalo [a, b].
 E como no ponto x=1 tem descontinuidade tipo salto, então f(x) não admite
 primitiva em [0, 2]

 f(x) seria integrável e não admitiria primitiva, absurdo!

 Onde está o erro nessa demonstração?

 []'s
 João

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Curiosidade sobre funções periódicas

[Pedro Angelo]

Sobre funções periódicas, uma curiosidade que eu gosto muito é a seguinte:

Um período de uma função f:R-R é qualquer número real positivo T
tal que a função f(x) é idêntica à função f(x-T). O período
fundamental de uma função f:R-R é definido com o menor período da
função. Funções não periódicas obviamente não possuem período
fundamental. Mas mesmo funções não periódicas podem não ter um período
fundamental. Por exemplo, a função indicadora dos números racionais
(que vale 1 nos racionais e 0 nos irracionais) admite qualquer número
racional como período, mas não existe um menor racional positivo.

A curiosidade é que basta que a função seja contínua em pelo menos um
único ponto para garantir que existe um período fundamental! (ou então
que a função é constante, que é o caso chato)


2014-04-28 9:53 GMT-03:00 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 É bem simples.

 Como f é simétrica com relação aos eixo x = a e x = b, temos, para todo x,
 que

 f(a + x) = f(a - x)
 f(b + x) = f(b -x)

 Segue-se então que, para todo x,

 f(x) = f(a + x - a)  = f(a - (x - a)) = f(2a - x) e, analogamente,
 f(x) = f(2b - x)

 Então, para todo x,

 f(x) = f(2(a + b - a ) - x) = f(2a - (2a - 2b + x)) = f(2(a - b) + x)

 Como a - b não é nulo, f é periódica e 2|a - b| é um de seus períodos.

 E outra, nesta linha ( não muito conhecida),

 Sabia você, amigo da lista, que, para todo inteiro positivo não pertencente
 a {1, 2, 4} as soluções reais da equação x^n = n^x são transcendentes? Se n
 = 2 ou 4, as soluções negativas são transcendentes.

 Abraços

 Artur Costa Steiner

 Em 27/04/2014, às 23:23, Jeferson Almir jefersonram...@gmail.com escreveu:

 Caro Artur eu soube agora :) como podemos provar isto???


 Em 3 de março de 2013 01:51, Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com
 escreveu:

 Esta é uma curiosidade mesmo. Faz lembrar um programa de rádio dos anos
 60 que começava assim Sabia você amigo ouvinte... E aí vinha algo muito
 interessante como o rei Louis XV gostava de laranja.

 Bom, sabia vc, amigo da lista, que, se o gráfico de f de R em R for
 simétrico com relação a 2 eixos verticais distintos, então f é
 periódica? Eu não sabia, descobri há alguns dias. Se os eixos forem x = a
 e x = b, então 2 |b - a| é um período.

 Abraços.

 Artur Costa Steiner
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[obm-l] Re: [obm-l] Função periódica

[Pedro Angelo]

Se ela é contínua na reta, ela é contínua em qualquer intervalo
compacto, por exemplo o intervalo [0,p], cuja imagem f([0,p]) já tem
todos os valores que a função assume.

Uma coisa legal é mostrar que se a função periódica for contínua em
pelo menos um ponto, então existe um período fundamental, ou seja, um
período que é menor do que todos os outros, e portanto qualquer outro
número positivo que seja um período da função é múltiplo desse
período fundamental. (contra-exemplo: a função que vale 1 nos
racionais e 0 nos irracionais não é contínua em nenhum ponto, e ela
admite qualquer número racional como período, e portanto não admite um
período que seja o período fundamental)

2013/5/1 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com:
 Uma função f:R-R é dita periódica quando existe um número real p  0,tal
 que f(x) = f(x + p),para
 todo x real.Prove que toda função periódica continua admite máximo e admite
 mínimo

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[obm-l] Re: [obm-l] Processo estocástico

[Pedro Angelo]

Ninuguem? Eu to curioso com esse. Eu sei que eh um processo de markov,
com essa matriz aqui (m+1)x(m+1) aqui:

1/(m+1) 0   00 ... 0
m/(m+1)2/(m+1)  0   0 ... 0
 0   (m-1)/(m+1)  3/(m+1)   0 ... 0
etc..etc
 0    0 1

Tem algum jeito esperto de fazer, ou tem que fazer um bilhao de contas
mesmo? Eh pra tentar descobrir um padrao nas potencias dessa matriz e
demonstrar por inducao? Se chamar essa matriz de A, entao a
probabilidade de haver exatamente k bolas pretas depois de n
realizacoes eh o valor da primeira coluna e linha k da matriz A^n (a
primeira linha eh a linha k=0).

2013/4/20 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 Numa caixa vc tem originalmente m bolas brancas iguais. Vc então adiciona 
 uma bola preta e, das m + 1 bolas da caixa, retira uma aleatoriamente. E 
 repete este processo sucessivamente.

 Qual o menor valor de n para que, após n realizações do processo, a 
 probabilidade de haver k bolas pretas na caixa seja de, pelo menos, p?

 Abraços.

 Artur Costa Steiner
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Processo estocástico

[Pedro Angelo]

Eu fiz aquilo de calcular na mao as potencias da matriz, e achei o
seguinte: pra uma matriz da forma:

a0  0   0   0  0 ...
b1 a1  0   0  0 ...
 0  b2 a2  0  0 ...
 0   0  b3 a3 0 ...

A n-esima potencia dela tem como primeira coluna o vetor cuja k-esima
(eu to contando a primeira entrada do vetor como sendo k=0) coordenada
eh: [soma de todos os monomios de grau n-k em a0, a1, ..., a_k]*(b1 *
b2 * ... * b_k). Exemplo: pra n=4 e k=2, fica: (a0^2 + a1^2 + a2^2 +
a0*a1 + a0*a2 + a1*a2)*b1*b2.

So que quando substitui os dados do problema ( a_k = (k+1)/(m+1),
b_k=(m+1-k)/(m+1) ) aparecem umas somas complicadas. Exemplo, pra n=4
e k=2, a resposta eh (1*1 + 1*2 + 1*3 + 2*2 + 2*3 +
3*3)*m*(m-1)/(m+1)^4. Essa soma eh uma soma bi-dimensional (soma de
i=1 ate i=3 de (soma de j=i ate j=3 de (i*j))), mas quando k e n-k
ficam muito grandes, acaba virando uma soma k-dimensional (ou
(n-k)-dimensional, depende de como voce organiza). Tambem nao consegui
expressao fechada.

Mas pelo menos deu pra isolar a dependencia de m. O resultado eh:

[ soma complicada que depende de 'n' e 'k' ] * m*(m-1)*(m-2)*...*(m+1-k)/(m+1)^n

abracos


2013/4/22 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 Estou pensando. Não consegui uma solução fechada. Abraços.

 Artur Costa Steiner

 Em 22/04/2013, às 11:53, Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com escreveu:

 Ninuguem? Eu to curioso com esse. Eu sei que eh um processo de markov,
 com essa matriz aqui (m+1)x(m+1) aqui:

 1/(m+1) 0   00 ... 0
 m/(m+1)2/(m+1)  0   0 ... 0
 0   (m-1)/(m+1)  3/(m+1)   0 ... 0
 etc..etc
 0    0 1

 Tem algum jeito esperto de fazer, ou tem que fazer um bilhao de contas
 mesmo? Eh pra tentar descobrir um padrao nas potencias dessa matriz e
 demonstrar por inducao? Se chamar essa matriz de A, entao a
 probabilidade de haver exatamente k bolas pretas depois de n
 realizacoes eh o valor da primeira coluna e linha k da matriz A^n (a
 primeira linha eh a linha k=0).

 2013/4/20 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 Numa caixa vc tem originalmente m bolas brancas iguais. Vc então 
 adiciona uma bola preta e, das m + 1 bolas da caixa, retira uma 
 aleatoriamente. E repete este processo sucessivamente.

 Qual o menor valor de n para que, após n realizações do processo, 
 a probabilidade de haver k bolas pretas na caixa seja de, pelo menos, p?

 Abraços.

 Artur Costa Steiner
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[obm-l] Re: [obm-l] Pontos de acumulação e de condensação

[Pedro Angelo]

Realmente na contra-mão, mas eu gostei!

O meu argumento tinha sido o seguinte: vou demonnstrar que o conjunto
dos pontos de acumulação unilaterais à esquerda é enumerável. Seja U o
conjunto dos pontos de acumulação unilaterais à esquerda do conjunto
S. Para cada x em U, seja J_x um intervalo da forma ]x,x+epsilon[ que
não contém nenhum ponto do conjunto S. (se para um certo x não fosse
possível fazer isso, para todo epsilon0 existiria algum y em U
interseção ]x,x+epsilon[, e portanto x seria ponto de acumulação à
direita. Em particular, podemos escolher x+epsilon = ínfimo de
S\]-oo,x], que é maior que x). Os J_x são todos disjuntos, poque se
tivesse interseção, o x de um estaria dentro do intervalo do outro, o
que não pode. Se os J_x são disjuntos, basta escolher um racional
dentro de cada um deles. A família dos J_x é enumerável, e portanto os
x são enumeráveis!

Acho que não dá pra usar esse resultado pra demonstrar imediatamente
que os pontos de condensação unilaterais são enumeráveis, porque
podemos ter um ponto de condensação unilateral que é um ponto de
acumulação bilateral: basta que haja uma quantidade não enumerável à
esquerda e uma enumerável à direita.

abraços!


2013/4/5 Artur Costa Steiner artur_stei...@yahoo.com:
 O amigo Pedro Angelo citou o fato de que o conjunto dos pontos de acumulação 
 unilaterais de um subconjunto S de R é enumerável. Eu uma vez provei o caso 
 menos geral de que, se A não for enumerável, então o conjunto dos pontos de 
 condensação unilaterais de S é enumerável. Indo um tanto na contra-mão, do 
 particular para o geral, é fácil provar este último, uma vez que se conheçam 
 aspectos básicos de espaços métricos.

 Seja U o conjunto dos pontos de acumulação unilaterais de S. Se U não for 
 enumerável, então o conjunto dos pontos de condensação bilaterais de U que 
 estão em U não é enumerável. Seja x um deste pontos. Então, os elementos de U 
 se condensam à esquerda e à direita de x. Logo, em ambos os lados de U há 
 elementos de S, o que significa que x, contrariamente à hipótese é ponto de 
 acumulação bilateral de S. Logo, U é enumerável.

 Saudações bilaterais


 Artur Costa Steiner
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[obm-l] Re: [obm-l] Espaço métrico - topologia

[Pedro Angelo]

A segunda parte é fácil! Se for infinito, a gente pega um subconjunto
enumeravel e faz f(x_n) = 1/n.

Se for contínua e X não for compacto, a gente pega uma sequência x_n
em X que não tenha subsequência convergente. (tem que mostrar que uma
sequência desse tipo sempre existe num espaço não compacto). Aí a
gente mostra que, pra uma sequência desse tipo sempre vale inf |x_n -
x_m|  0. Aí a gente usa isso pra definir f(x_n)=1/n, e estender f de
maneira contínua pros outros pontos. Vou deixar os buracos na
demonstração pro próximo : )

Como é um tema que eu gosto muito, embora não seja popular qui na
lista, vou deixar outros dois que eu acho  bem fáceis, só que a
primeira vez que eu tentei eu levei muito, muito tempo em cada um
deles:

- Mostrar que o conjunto dos pontos de acumulação unilaterais de
qualquer subconjunto da reta é enumerável.
- Mostrar que todo espaço métrico é reunião enumerável de conjuntos
limitados disjuntos.

abraços!


2013/4/3 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 Topologia não é um assunto muito popular aqui, mas talvez alguém se interesse.

 Seja X um espaço métrico tal que, para toda função contínua f de X em (0, 
 oo), tenhamos inf f = inf {f(x) | x está  em X}  0. Mostre que X é compacto.

 Mostre que, se a condição acima valer para toda função de X em (0, oo), então 
 X é finito.

 Abraços

 Artur


 Artur Costa Steiner
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Espaço métrico - topologia

[Pedro Angelo]

Oi Bernardo

Acho que esse buraco é parecido com um problema que teve aqui na lista
que você resolveu, que em torno de cada um dos x_i a gente coloca uma
bola de raio menor que epsilon = inf |x_n - x_m|, e aí dentro de cada
uma dessas bolas a gente define f(x)=epsilon-d(x,x_i), e fora delas
define f(x)=0.

Hmmm, só que não pode definir f(x)=0. Tem que pensar com mais calma mesmo.


2013/4/4 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com:
 2013/4/4 Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com:
 pra uma sequência desse tipo sempre vale inf |x_n - x_m|  0.
 Aí a gente usa isso pra definir f(x_n)=1/n, e estender f de
 maneira contínua pros outros pontos. Vou deixar os buracos na
 demonstração pro próximo : )

 Esse buraco é mais delicado do que parece. Eu não sei fazer isso de
 uma vez só / para todos os x_i ao mesmo tempo.
 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

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[obm-l] Re: [obm-l] Pontos de condensação de conjuntos em R

[Pedro Angelo]

Esse eu lembro que ele tá no livro do Elon!

Se U_1 é o conjunto dos pontos de condensação unilaterais à esquerda,
digamos que para cada x em U_1 temos que o intervalo J_x = ]x, x +
eps_x[ tem interseção enumerável com A. Para cada x em U_1, a
interseção U inter J_x é vazia, pois se houvesse pontos de U em J_x
(que é aberto), haveria uma quantidade não-enumerável de pontos de A
dentro de J_x. Portanto, os J_x sãp todos disjuntos, e escolhendo um
racional dentro de cada um deles mostramos que eles são enumeráveis!
Pelo mesmo argumento, o conjunto U_2 dos pontos de condensação à
direita também é enumerável.

Me lembrei agora que na verdade o exercício do Elon era pra mostrar
que o conjunto dos pontos de acumulação unilateral de qualquer
conjunto era enumerável. Era mais ou menos o mesmo argumento que esse,
só que cada J_x tinha interseção vazia com A, ao invés de ter
interseção enumerável.

Isso aí de mostrar que B inter A não é enumerável eu deixo pra depois.

abraços!

2013/2/11 Artur Costa Steiner artur_stei...@yahoo.com:
 Em um espaço topológico qualquer, dizemos que x é ponto de condensação de um 
 conjunto A se, para  toda vizinhança V de x, V inter A não for enumerável. 
 Por exemplo, todos os pontos de um disco fechado em R^2 são pontos de 
 condensação do correspondente disco aberto.

 É imediato que todo ponto de condensação é ponto de acumulação.

 Em R, com a métrica euclidiana, temos ainda os seguintes conceitos correlatos:

 Dizemos que x é ponto de condensação bilateral de A se, para todo eps  0, 
 ambos os intervalos (x - eps, x) e (x + eps) tiverem com A interseções não 
 enumeráveis. E dizemos que x é ponto de condensação unilateral de A se, para 
 todo eps  0, um destes intervalos, mas não ambos, tiver com A interseção não 
 enumerável. Isto é, no caso bilateral, os pontos de A condensam-se à direita 
 e à esquerda de x; e, no caso unilateral, apenas em um dos lados (podemos, se 
 quisermos, definir pontos de condensação à direita e à esquerda). Observamos 
 que, com base nestas definições, pontos de condensação bilaterais não são 
 unilaterais. Estes últimos não são casos particulares dos primeiros.

 Por exemplo, todo elemento de (0, 1) é ponto de condensação bilateral do 
 mesmo. 0 e 1 são os únicos pontos de condensação unilaterais  deste conjunto. 
 No caso, não pertencentes ao conjunto. Temos também que 1 é ponto de 
 condensação bilateral de (0, 1) U (1, 2). Não pertencente à união.

 A questão é: seja A um subconjunto não enumerável de R. Sejam B o conjunto de 
 seus pontos de condensação bilaterais e U o dos pontos de condensação 
 unilaterais. Mostre que

 U é enumerável
 B inter A não é enumerável

 Os seguintes fatos, válidos em qualquer espaço métrico separável (que 
 contenha um conjunto denso enumerável, como os racionais em R), talvez possam 
 ajudar:

 Sendo C o conjunto de todos os pontos de condensação do não enumerável A, 
 temos que

 C inter A não é enumerável
 C é fechado
 Todo elemento de C é ponto de condensação de A inter C
 O conjunto dos elementos de A que não são pontos de condensação do mesmo é, 
 no máximo, enumerável


 Abraços a todos.


 Artur Costa Steiner
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[obm-l] Re: [obm-l] Soma de funções periódicas

[Pedro Angelo]

Vamos lá..

Imagine que f é periódica de período fundamental p, e g é periódica de
período fundamental q, com p/q irracional, e suponha por absurdo que
h=f+g é periódica de período r. Então r não pode ser ao mesmo tempo
múltiplo racional de p e de q. Suponhamos que r não é multiplo inteiro
de q, ou seja, r/q é irracional.

Digamos que r é múltiplo racional de p, ou seja, existem números
inteiros n e m não nulos com nr=mp=T. Então f(x+T)=f(x) e h(x+T)=h(x)
para todo x. Portanto a diferença h-f=g entre eles também satisfaz a
mesma equação: g(x+T)=g(x) para todo x. Além disso, podemos aumentar
quantos períodos T quisermos: g(x+kT)=g(x) para todo k inteiro e todo
x real. É fácil ver onde isso vai chegar: g(x) é constante num
conjunto denso, e por ser contínua, é constante, o que é absurdo pela
suposição que você fez.

Digamos então que ambos r/p e r/q são irracionais. Nesse caso, temos
h(x+kr)=h(x) para todo x. Portanto, f(x)+g(x) = f(x+r) + g(x+r) =
f(x+2r) + g(x+2r) = etc = h(x). Podemos fixar um x r substituir a
sequência x+kr por uma sequência a_k contida num período de f, de
maneira que f(x+kr)=f(a_k), e fazer o mesmo para g, obtendo
g(x+kr)=g(b_k). Dados quaisquer dois elementos a e b, a dentro do
período de f onde a_k é denso, e b dentro do período de g onde b_k é
denso, podemos construir duas subequencias. Uma delas, a'_k, é
subsequência de a_k convergindo para a, e a outra é uma subsequência
b'_k de b_k usando somente os índices usados em a'_k. (temos que
corrigir a'_k para usar somente os índices usados na construção de
b'_k). Agora, olhamos para o limite quando k vai para infinito de
f(a'_k)+g(b'_k). Por um lado, essa expressão é igual a h(x) para todo
k. Por outro, f(a'_k) tende para f(a) e g(b'_k) tende para g(b) (já
que f e g são contínuas). Portanto, para quaisquer a e b,
f(a)+g(b)=h(x), ou seja, ambas f e g são constantes! Absurdo!

Foi difícil mas saiu : ) tá um bocado confuso, mas espero que dê pra
entender. Se alguém tiver uma solução mais simples, eu adoraria ver.

2013/1/18 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 Eu estou querendo provar isto, mas ainda não cheguei lá não.

 Sejam f e g funções de R em R contínuas, periódicas e não constantes. Então, 
 f + g é periódica se, e somente se, a relação entre os períodos mínimos de f 
 e de g for racional.

 A parte se é fácil de mostrar. Para a recíproca, observei que, sendo p e q os 
 períodos mínimos de f e de g, então conjunto A = {mp - qn, me e n inteiros 
 positivos} , é denso em R. Para todo x, há uma sequênvia em A que converge 
 para x, e isso acaba nos mostrando que

 lim k -- oo, k inteiro, f(-n_k q) + g(m_k p) = f(x) + g(x)

 Mas disto não se conclui que f + g não é periódica.

 Abraços

 Artur Costa Steiner
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[obm-l] Sequência de Thue-Morse

[Pedro Angelo]

Oi!

Soa fácil, mas procurei na internet, tentei fazer, e não consegui de
jeito nenhum. Alguém sabe demonstrar que a sequência de Thue-Morse não
possui progressões aritméticas de comprimento infinito?

Funciona assim: a sequência é gerada a partir do número 0, e aí
fazemos negação binária (para obter 1) e concatenamos com a sequência
acumulada (para obter 0 1). Então fazemos tudo de novo: negação (10) e
concatena (01 10). Negação da acumulada (1001) e concatenação (0110
1001). Negação da acumulada (10010110) e concatenação (01101001
10010110), etc. A figurinha da wikipedia mostra direitinho como que
faz https://en.wikipedia.org/wiki/File:Morse-Thue_sequence.gif

Aí a gente pega a sequência:

0 1 1 0 1 0 0 1 1 0  0  1   0   1   1   0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (espero que fique alinhado)

E pega a sequência dos números com 1 em cima: [1, 2, 4, 7, 8, 11, 13,
14, ...]. Tem que provar que essa sequência não tem nenhuma progressão
aritmética de comprimento infinito, isto é, nenhuma subsequência
infinita da forma [a, a+n, a+2n, ...]

alguma idéia? : )

abraços

=
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequência de Thue-Morse

[Pedro Angelo]

Demorou uma página inteira de rabiscos aqui pra eu entender, mas foi, hehehe

valeu!

2012/12/15 Lucas Prado Melo luca...@dcc.ufba.br:
 2012/12/15 Lucas Prado Melo luca...@dcc.ufba.br

 2012/12/15 Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com

 Oi!

 Soa fácil, mas procurei na internet, tentei fazer, e não consegui de
 jeito nenhum. Alguém sabe demonstrar que a sequência de Thue-Morse não
 possui progressões aritméticas de comprimento infinito?

 Funciona assim: a sequência é gerada a partir do número 0, e aí
 fazemos negação binária (para obter 1) e concatenamos com a sequência
 acumulada (para obter 0 1). Então fazemos tudo de novo: negação (10) e
 concatena (01 10). Negação da acumulada (1001) e concatenação (0110
 1001). Negação da acumulada (10010110) e concatenação (01101001
 10010110), etc. A figurinha da wikipedia mostra direitinho como que
 faz https://en.wikipedia.org/wiki/File:Morse-Thue_sequence.gif

 Aí a gente pega a sequência:

 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0  0  1   0   1   1   0
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (espero que fique alinhado)

 E pega a sequência dos números com 1 em cima: [1, 2, 4, 7, 8, 11, 13,
 14, ...]. Tem que provar que essa sequência não tem nenhuma progressão
 aritmética de comprimento infinito, isto é, nenhuma subsequência
 infinita da forma [a, a+n, a+2n, ...]

 alguma idéia? : )


 O que se pode perceber dessa sequência é que a quantidade dos bits 1 da
 representação binária dos números é sempre ímpar.

 Assim se tivermos uma PA infinita, {a+ir} contida na sequência, essa
 invariante se mantem. E aí está o problema!

 Seja 2^m  a, e 2^m  r.

 Temos que a+2^m r, pertence à sequência. Como 'a' pertence à sequência
 também, o número de bits 1 de 'a' é ímpar e de 'r' é par para que a+2^m r
 tenha uma quantidade ímpar de 1s. Mas aí a+2^m r + 2^(2m) r (também da
 sequência) teria uma quantidade par de 1s, uma contradição.


 Pronto!

 Ou 2^(2m) r - 2^m r tem quantidade ímpar de 1s, ou 2^(2m+1) r - 2^m r tem
 quantidade ímpar (este último número teria 1 bit 1 a mais).
 Veja:
 r = 101

 101
 -  101
 
 1001011

 e
 1010
 -101
 --
  10011011


 --
 []'s
 Lucas

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=

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa demonstração

[Pedro Angelo]

Se dois numeros primos são diferentes de dois, então são ambos
ímpares. Nesse caso, a soma deles é par.

2012/11/17 Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com:
 Olá, pessoal!
 Tudo bem?
 Alguém pode me ajudar nessa demonstração?

 Prove por contradição que dados dois números primos p e q tais que a soma
 p+q=r também é um número primo, então p ou q é 2.

 Já tentei fazer a prova, mas não consegui.
 Um abraço para todos.
 Luiz

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[obm-l] Re: [obm-l] Homeomorfismo dessa função

[Pedro Angelo]

Imagino que seja o círculo menos o ponto (1,0)

Chamando de C esse círculo sem um ponto, considera uma sequencia de
pontos x_n em C que converge pra um ponto em C. Tenta mostrar que a
sequência das imagens inversas (f^-1)(x_n) é convergente. Isso é
equivalente a dizer que f^-1 é contínua. Talvez seja útil o fato de
que a sequência x_n, a partir de um certo n_0, pára de atravessar
aquele ponto (1,0) que não existe. (quer dizer, para n,mn_0 a gente
tem || x_n - x_m ||  || x - (1,0) ||. isso é o critério de cauchy)

2012/10/15 Rafael Chavez matematico1...@hotmail.com:
 Olá pessoal,

 Eu estou quebrando a cabeça para provar o homeomorfismo dessa função:
 f:(0,1)--Círculo menos o ponto (0,1) definida por
 t---(cos(2pi)t,sen(2pi)t)
 A continuidade é fácil, pois cada função componente é contínua, mas não
 consigo provar que a inversa é contínua
 alguma luz?

 Obrigado



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Re: [obm-l] Determinante nulo

[Pedro Angelo]

Não é verdade. Na seguinte matriz, o determinante é nulo, mas a
primeira linha não é combinação linear das outras duas:

1 2 3
0 0 0
1 1 1

O teorema correto é: Se o determinante é nulo, então pelo menos uma
das três linhas é combinação linear das outras duas.

Um bom primeiro passo é mostrar as seguintes propriedades do
determinante: Se L1, L2, e L3 são as linhas, então...

det(x * L1, L2, L3) = det(L1, x*L2, L3) = det(L1, L2, x*L3) = x *
det(L1, L2, L3);
se você trocar duas linhas de lugar, o sinal troca, por exemplo:
det(L2, L1, L3) = - det(L1, L2, L3)

2012/9/20 ennius enn...@bol.com.br:
 Caros colegas,

 Sabendo-se que é nulo o determinante da matriz M (dada abaixo), cujos 
 elementos são números reais, mostrar que sua primeira linha é combinação 
 linear das outras linhas.



  abc

   M =def

  ghi


 Abraços do Ennius.

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Re: [obm-l] conjunto de cantor

[Pedro Angelo]

Opa

você constrói o conjunto de cantor retirando de cada intervalo o 1/3 central.

pra dar um de medida positiva, ao invés de retirar 1/3, sempre, faz o
seguinte: retira o 1/2 central do intervalo [0,1]. Vão sobrar dois
intervalos: [0, 1/4] e [3/4, 0]. De cada um desses dois intervalos,
retira o 1/4 central. Vão sobrar quatro intervalos. De cada um deles,
retira o 1/8 central, e assim por diante.

Se a gente retirasse 1/2, depois 1/2 do que sobrou, depois 1/2 do que
sobrou, etc, a gente acabaria tirando tudo (esse tudo em termos de
medida, claro). Mas como a gente tá tirando 1/2, depois 1/4 do que
sobrou, depois 1/8 do que sobrou, no final ainda vai sobrar
(1/2)*(3/4)*(7/8)*(15/16)*(etc). Tem que mostrar que esse produtório
aí é maior que zero, se você conseguir me avisa, hehe

abraço

2012/8/13 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com:
 Olá colegas de lista,

 Me deparei com um problema de medida de Lebesgue. Primeiro foi pedido para
 mostrar que o conjunto de Cantor tem medida de Lebesgue nula. Isso eu
 consegui, mas depois veio um problema que parece simples, mas quebrei a
 cabeça e não consegui de jeito nenhum. Posso pedir um socorro?

 Não vou traduzir, pra eu não cometer erros.

 By varying the construction of the Cantor set, obtain a set of positive
 Lebesgue measure which contains no novoid open interval.

 Esse problema é do livro do Bartle de medida.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] DEFINIÇÃO DE POLIEDRO

[Pedro Angelo]

Bom, eu não tinha reparado que a condição A joga fora o meu cubo com
chapéu. Mas não vejo por que ela descarta os dois cubos unidos pelo
vértice. Qual é a aresta que pertence a mais de uma face?

2012/5/23 Fernando Villar villarferna...@gmail.com:
 Olá pessoal.

 Creio que devemos considerar simultaneamente as condições A e B. O exemplo
 de cubos com um vértice em comum, ou mesmo o outro, em que os cubos são
 disjuntos, não atendem à condição A.

 Abraços,

 Fernando Villar


 Em 22 de maio de 2012 22:34, Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com escreveu:

 Também me parece esquisito. Essa definição também parece que inclui
 dois poliedros disjuntos. Por exemplo, considere um cubo e um segundo
 cubo longe do primeiro, sem nenhuma interseção. Me parece que esses
 dois cubos juntos também são um poliedro. Outro caso patológico:
 imagine um cubo com um chapéu, isto é, um cubo (com todas as suas 6
 faces), e uma pirâmide cuja base é uma das faces do cubo.
 Intuitivamente, eu não chamaria isso de um poliedro, porque isso aí
 tem uma face interna, mas me parece que ele satisfaz a definição.
 Não tá faltando nenhum requisito aí não, além do (a) e do (b) ? Se for
 só isso, eu acho que dois cubos unidos por um vértice são um poliedro
 sim.

 2012/5/22 Vanderlei * vanderma...@gmail.com:
  Pessoal, no livro A MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO, do Elon e outros autores
  aparece uma definição de poliedro:
 
  Poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos chamados
  faces onde:
 
  a) Cada lado de um desses polígonos é também lado de um, e apenas um,
  outro
  polígono.
 
  b) A intersecção de duas faces quaisquer ou é um lado comum, ou é um
  vértice
  ou é vazia.
 
  Segundo o livro, essa última parte da condição b) garante que um sólido
  formado, por exemplo, por dois cubos ligados por um vértice não é um
  poliedro. Mas nesse caso, esses dois vértices dos cubos que estão
  ligados
  não são considerados vértices do sólido composto? Pois caso sejam, não
  vejo
  um motivo para contrariar a frase b).

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] DEFINIÇÃO DE POLIEDRO

[Pedro Angelo]

Oi pessoal

Bom, os livros do Elon não são desprovidos de erros. Fiz o curso de
análise com o Elon, já estudei outros livros dele, o cara é muito
sinistro, muito mesmo, mas é humano né : ) Todo livro tem erros... os
livros do IMPA todos têm o número da edição nas primeiras páginas. Em
cada edição, eles corrigem pequenos errinhos. Eu acho que é normal.

Provavelmente ele quis dizer que dois cubos unidos pela aresta não
formam um poliedro, como sugeriu o Fernando.

abraços

2012/5/23 Vanderlei * vanderma...@gmail.com:
 PESSOAL, EU TROUXE EM PAUTA ESSA DÚVIDA DEVIDO AO FATO DE ESTAR NO LIVRO DO
 ELON E DO PESSOAL DO IMPA. NÃO É UM LIVRO QUALQUER. EU ACHO QUE A ÚNICA
 EXPLICAÇÃO É ESSE VÉRTICE GERADO PELOS DOIS VÉRTICES DE CADA CUBO NÃO SER
 CHAMADO DE VÉRTICE DO SÓLIDO. MAS NÃO TENHO CERTEZA DISSO!

 Em 23 de maio de 2012 10:18, Fernando Villar villarferna...@gmail.com
 escreveu:

 Bom dia, Pedro.

 De fato, não joga fora o caso dos dois cubos unidos por um vértice. Quando
 argumentei eu estava pensando no caso de dois cubos unidos por uma aresta.
 Como podemos melhorar essa definição para deixar de fora esse caso? Vamos
 pensar mais um pouco.

 Abraço,

 Fernando Villar



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[obm-l] Re: [obm-l] DEFINIÇÃO DE POLIEDRO

[Pedro Angelo]

Também me parece esquisito. Essa definição também parece que inclui
dois poliedros disjuntos. Por exemplo, considere um cubo e um segundo
cubo longe do primeiro, sem nenhuma interseção. Me parece que esses
dois cubos juntos também são um poliedro. Outro caso patológico:
imagine um cubo com um chapéu, isto é, um cubo (com todas as suas 6
faces), e uma pirâmide cuja base é uma das faces do cubo.
Intuitivamente, eu não chamaria isso de um poliedro, porque isso aí
tem uma face interna, mas me parece que ele satisfaz a definição.
Não tá faltando nenhum requisito aí não, além do (a) e do (b) ? Se for
só isso, eu acho que dois cubos unidos por um vértice são um poliedro
sim.

2012/5/22 Vanderlei * vanderma...@gmail.com:
 Pessoal, no livro A MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO, do Elon e outros autores
 aparece uma definição de poliedro:

 Poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos chamados
 faces onde:

 a) Cada lado de um desses polígonos é também lado de um, e apenas um, outro
 polígono.

 b) A intersecção de duas faces quaisquer ou é um lado comum, ou é um vértice
 ou é vazia.

 Segundo o livro, essa última parte da condição b) garante que um sólido
 formado, por exemplo, por dois cubos ligados por um vértice não é um
 poliedro. Mas nesse caso, esses dois vértices dos cubos que estão ligados
 não são considerados vértices do sólido composto? Pois caso sejam, não vejo
 um motivo para contrariar a frase b).

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[obm-l] Re: [obm-l] sugestão de material

[Pedro Angelo]

Eu gosto muito desse site http://www.dimensions-math.org/Dim_fr.htm e
dos vídeos dele. Não é nada muito avançado, mas é muito bem feito, e
os autores são franceses (embora os vídeos tenham sido traduzido para
várias outras línguas)

abraço

2012/4/8 Marcelo Costa mat.mo...@gmail.com:
 Devo fazer minha prova de língua estrangeira, optei por francês, será que
 algum dos srs. poderia me enviar alguns resumé de trabalhos  na área de
 matemática para que eu possa treinar, ou mesmo me apontar algum link?

 Agradeço desde já.

 Abraços a todos e Boa Páscoa.

 Marcelo

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Volume da pirâmide

[Pedro Angelo]

Opa,
Eu achei a demonstração com o cubo mais fácil de visualizar, mas areferência do 
Nehab é excelente!
muito obrigado
2012/4/9 Carlos Nehab carlos.ne...@gmail.com: Oi, Pedro Angelo, Revendo as 
mensagens deste mês com mais tempo nestes feriados revi a sua. Ai vai a dica 
clássica em belo e riquíssimo site: 
http://myweb.lsbu.ac.uk/~whittyr/MathSci/TheoremOfTheDay/GeometryAndTrigonometry/EuclidsPrism/TotDEuclidsPrism.pdf
 Você verá que o site http://www.theoremoftheday.org/; é uma bela 
referência. Abraços Nehab Em 02/04/2012 22:16, Pedro Angelo escreveu: 
Oi, eu tentei bastante, mas não consegui mostrar que o volume do tetraedroé 
um terço do volume do prisma. Eu consigo dividir o prisma em 
trêstetraedros, sendo que dois deles são idênticos (cada um com uma dasbases 
do prisma), mas o terceiro tetraedro fica sempre diferente dosoutros, e aí eu 
não consigo mostrar que o volume dos três é igual. 2012/3/28 Paulo 
Césarpcesa...@gmail.com:  Olá Pedro.  Uma forma mais elementar consiste 
em se calcular o volume de um tetraedro a partir de um!
 prisma triangular. Em seguida, aplica-se o Princípio de Cavalieri para uma 
pirâmide de base qualquer porém de mesma altura que o tetraedro. Dessa forma, 
conclui-se que o volume é de fato um terço do produto da área da base pela 
altura.  Att.  Paulo Cesar Sampaio Jr.  Enviado via iPad  Em 
27/03/2012, às 21:04, Pedro Angelopedro.fon...@gmail.com  escreveu:  
Olá,  Sei que é possível achar o volume de uma pirâmide usando cálculo  
integral, mas eu queria saber se há alguma demonstração mais  elementar, 
como dizer que o triângulo tem a área igual a metade da  área do 
paralelogramo, que é base vezes altura. Eu podia jurar que eu  vi, um dia, 
o nosso amigo Nehab desenhar uma figurinha um tanto  elucidativa mas 
não consigo lembrar de jeito nenhum como era!  um abraço,  Pedro Ang! 
elo  ! 
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Instruções pa!
ra entrar na lista, sair da lista e usar a lista em  htt!
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[obm-l] Re: [obm-l] f(x) = x - r(x) é crescente

[Pedro Angelo]

Você pode mostrar que a derivada é positiva, mas dá pra fazer sem derivar 
nada:põe raíz de x em evidência. Aí fica um produto de duas funções em queos 
dois fatores do produto são crescentes.
2012/4/2 Paulo  Argolo pauloarg...@bol.com.br: Caros Colegas, Como provar 
que é crescente a função f(x) = x - r(x)  [ r(x) é a raiz quadrada de x] , cujo 
domínio é o conjunto dos números reais positivos? Abraços do Paulo. 
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[obm-l] Re: [obm-l] f(x) = x - r(x) é crescente

[Pedro Angelo]

Opa.

falei besteira em algum lugar ali... porque essa função não é
crescente! No zero ela vale zero e no um ela vale zero, e entre zero e
um ela é negativa. O problema é que os dois fatores são crescentes,
mas um deles pode ser negativo. Então crescente significa que ele
vai chegando mais perto do zero (por baixo)

Enfim, o argumento de fatorar serve pra x maior que 1, e derivando dá
pra mostrar que ele é crescente a partir de 1/4

2012/4/2 Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com:
 Você pode mostrar que a derivada é positiva, mas dá pra fazer sem derivar 
 nada:
 põe raíz de x em evidência. Aí fica um produto de duas funções em que
 os dois fatores do produto são crescentes.

 2012/4/2 Paulo  Argolo pauloarg...@bol.com.br:
 Caros Colegas,

 Como provar que é crescente a função f(x) = x - r(x)  [ r(x) é a raiz 
 quadrada de x] , cujo domínio é o conjunto dos números reais positivos?

 Abraços do Paulo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Volume da pirâmide

[Pedro Angelo]

Oi,
eu tentei bastante, mas não consegui mostrar que o volume do tetraedroé um 
terço do volume do prisma. Eu consigo dividir o prisma em trêstetraedros, sendo 
que dois deles são idênticos (cada um com uma dasbases do prisma), mas o 
terceiro tetraedro fica sempre diferente dosoutros, e aí eu não consigo mostrar 
que o volume dos três é igual.
2012/3/28 Paulo César pcesa...@gmail.com: Olá Pedro. Uma forma mais 
elementar consiste em se calcular o volume de um tetraedro a partir de um 
prisma triangular. Em seguida, aplica-se o Princípio de Cavalieri para uma 
pirâmide de base qualquer porém de mesma altura que o tetraedro. Dessa forma, 
conclui-se que o volume é de fato um terço do produto da área da base pela 
altura. Att. Paulo Cesar Sampaio Jr. Enviado via iPad Em 27/03/2012, às 
21:04, Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com escreveu: Olá, Sei que é 
possível achar o volume de uma pirâmide usando cálculo integral, mas eu 
queria saber se há alguma demonstração mais elementar, como dizer que o 
triângulo tem a área igual a metade da área do paralelogramo, que é base 
vezes altura. Eu podia jurar que eu vi, um dia, o nosso amigo Nehab desenhar 
uma figurinha um tanto elucidativa mas não consigo lembrar de jeito 
nenhum como era! um abraço, Pedro Angelo !
= Instruções 
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
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[obm-l] Volume da pirâmide

[Pedro Angelo]

Olá,

Sei que é possível achar o volume de uma pirâmide usando cálculo
integral, mas eu queria saber se há alguma demonstração mais
elementar, como dizer que o triângulo tem a área igual a metade da
área do paralelogramo, que é base vezes altura. Eu podia jurar que eu
vi, um dia, o nosso amigo Nehab desenhar uma figurinha um tanto
elucidativa mas não consigo lembrar de jeito nenhum como era!

um abraço,
Pedro Angelo

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[obm-l] Re: [obm-l] fatoração de polinômio

[Pedro Angelo]

Opa,

para cálculos mecânicos porém chatos, um site excelente é o Wolfram Alpha.
você coloca o polinômio (ou qualquer coisa computável), e ele te dá
informações sobre a coisa.

por exemplo, se você  coloca um polinômio, ele te diz as raízes, as
fatorações possíveis, o gráfico, etc.
Se você coloca uma matriz, ele te diz informações sobre os
autovalores, o determinante, o traço, etc.
Se você coloca o nome de um país, ele te dá a data de independência, a
quantidade de habitantes, a renda per capita, etc.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=X%5E5%2BX%2B1+

Me desculpem se a minha mensagem parece muito propaganda,
principalmente por que eu quase nunca escrevo para a lista, mas eu
acho que é uma ferramenta realmente útil. E ele tem uma opção de show
steps, então você pode ver como ele chegou a cada resultado, o que
torna ele um pouco mais didático.

abraços

2011/10/10 Luan Gabriel luan_gabrie...@hotmail.com:
 Boa noite, entrei hoje na lista,espero ter mandado pro e-mail certo. A
 questão é encontrar uma fatoração para o polinômio:
  X^5+X+1
 Agradeço a ajuda.

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Re: [obm-l] grafico

[Pedro Angelo]

o gráfico é um conjunto de pares ordenados... o que você quer dizer
com o gráfico é contínuo?

2011/3/13 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com:
 é simples mostrar que o grafico de uma função cont é cont?

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Re: [obm-l] conjunto fechado

[Pedro Angelo]

hmmm eu nunca estudei topologia direito... : ) Como ele tinha dito que
a função era de R em R, a primeira definição que me vem à cabeça de
função contínua é a com epsilons e deltas. De fato, pensando em termos
de abertos, fica mais fácil.

abraço

2011/3/13 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com:
 2011/3/13 Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com:
 na verdade, se você demonstrar o primeiro, o segundo está demonstrado,
 pois basta tomar g(x)=f(x)-x.
 Pois é, isso mostra que os dois enunciados são equivalentes !

 E nessa demonstração que você fez do
 segundo, falta demonstrar que a imagem inversa de um conjunto fechado
 por uma função contínua é fechado. Geralmente essas coisas saem mais
 fácil por absurdo
 Eu discordo ! Seja f é contínua, F um fechado = complementar de um aberto A,

 f^{-1}(F) = f^{-1}(R - A) = R - f^{-1}(A) (note que f(x) ou está em A ou não!)

 Assim, como a imagem inversa de um aberto por uma função contínua é um
 aberto (definição !!!), a imagem inversa de um fechado é o
 complementar de um aberto, ou seja, é um fechado. E, como você pode
 adivinhar dessa demonstração, você também pode usar como definição de
 função contínua a de que imagem inversa de fechado é fechada.

  tenta supor que existe uma seq. convergente de
 pontos x_n tais que g(x_n) é zero, mas o limite de x_n não satisfaz
 g(lim x_n)=0. (lembre-se de que a seq. constante g(x_n)=0 tende p/
 zero)

 A idéia é legal, mas tendo em vista que a demonstração acima funciona
 em qualquer caso (o que não é verdade para  seqüências, já que existem
 casos em que não basta olhar limites de seqüências para definir a
 topologia), e como inclusive o Samuel já tinha dito algo nessa linha,
 eu prefiro apoiar essa visão de funções contínuas mais topológica
 do que epsilons e deltas.

 Abraços,
 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa


 2011/3/13 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com:
 Seja f: R -- R uma função contínua. Mostrar que o conjunto formado pelos
 pontos que são deixados fixos por f é um conjunto fechado de R.

 Se g: X -- R é uma função contínua, mostre que o conjunto {x|g(x) = 0} é
 fechado.

 Gostaria de pedir ajuda nesses dois, por exemplo no segundo vejo que o conj.
 {0} é fech em R, portanto utilizando o fato de g ser cont. g^-1({0}) =
 {x|g(x) = 0} é fech. Fiz certo?

 Agora o primeiro parece ser mais difícil.



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Re: [obm-l] problema legal

[Pedro Angelo]

Não entendo muito do assunto, mas imagino que o fato de Rn ser
convexo não pode fazer diferença, pois a métrica d não está
definida. Podemos modificar a estrutura do Rn definindo a métrica, se
quisermos, e inclusive podemos dar ao espaço um aspecto que não é o
de um espaço convexo.. podemos fazer com que ele deixe de ser
completo, ou convexo, por exemplo.

Em suma, eu não sei a definição de convexo que você está usando, mas
sei que podemos dar ao Rn o aspecto de uma circunferência, por
exemplo. (Basta definir uma métrica dc na circunferência, definir uma
bijeção b do Rn na circunferência, e então definir a métrica no Rn
como sendo dr(x,y)=dc[b(x),b(y)].) Imagino que qualquer que seja
definição de convexo, uma circunferência não é convexa (desde que
ela tenha uma métrica que dê a ela o aspecto de uma circunferência de
fato, é claro) por exemplo, uma boa métrica para a cirunferência é
d(x,y)=menor angulo entre x e y. não vale nenhuma métrica do tipo:
d(x,y)=comprimento do arco entre x e y que não passa por um dado
ponto p; d(p,x)=comprimento do arco começando em p e terminando em x
no sentido horário. Essa métrica dá à circunferência o aspecto de um
segmento semi-aberto (que é convexo, pelo menos na minha definição
intuitiva de convexo)

se eu falei muita besteria, alguém me avise... : )

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Re: [obm-l] Prova de Limite Fundamental

[Pedro Angelo]

pois é.. definindo e como sendo 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ..., você
prova que o limite dessa soma infinita é igual ao limite de (1+1/n)^n.
Pra isso, você expande o binômio de newton (1+1/n)^n = 1 + n/n +
n(n-1)/2!n^2 + n(n-1)(n-2)/3!n^3 + ... + 1/n^n = 1 + 1 + (1-1/n)/2! +
(1-1/n)(1-2/n)/3! + ... + (1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)...(1/n)/n! Pra mostrar
que de fato é igual tem que analisar com cuidado esses dois limites,
mas pra acreditar basta ver que cada termo, por exemplo o
(1-1/n)(1-2/n)/3!, converge pra 1/3!

Agora, se a sua definição de e é a base do log neperiano, log(e)=1,
ou seja, 1=exp(1), você mostra que e=lim(1+1/n)^n observando que lim
quando x tende a zero de [log(1+x)]/x é 1; (pois esse limite é, por
definição, a derivada de log(t) em t=1). Mas pela regra do peteleco,
[log(1+x)]/x é igual a log[(1+x)^(1/x)]. Então (todos os lim que eu
vou escrever são com x-0), como lim log[(1+x)^(1/x)] = 1, aplicando
exp dos dois lados, temos lim exp{log[(1+x)^(1/x)]} = exp(1). Mas exp
do log de (1+x)^(1/x) é igual ao próprio (1+x)^(1/x), ou seja: lim
(1+x)^(1/x) = exp(1), que é igual a e.

Ambas as demonstrações foram adaptadas do livro Análise Real, volume
1 do Elon Lages Lima, do IMPA. É um excelente livro para se estudar
esses conceitos fundamentais da análise.

abraço

2011/2/12 Tiago hit0...@gmail.com:
 Qual é a sua definição de e? Alguns livros mostram que este limite existe e
 depois definem como sendo e. Já o Rudin (Mathematical Analysis), por
 exemplo, define e como uma série e depois provam este limite. Mas pelo que
 eu me lembro não é nada fácil.

 2011/2/12 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com

 Alguém tem uma prova fácil do seguinte limit fundamental?

 lim (1 + 1/z)^z = e
 para z- infnito


 []s

 João



 --
 Tiago J. Fonseca
 http://legauss.blogspot.com


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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Equação de sétimo grau

[Pedro Angelo]

nunca tentei provar de nenhum jeito elementar... sempre usei que e^ix = cis(x)

mas talvez indução resolva : )

cis(x)^1 = cis(1x)

assumindo cis(x)^n = cis(nx), podemos começar multiplicando dos dois
lados por cis(x), e aí vai dar:

cis(x)^n * cis(x) = cis(x) * cis(nx)
cis(x)^(n+1) = [ cos(x) + i sen(x) ]*[ cos(nx) + i*sen(nx) ]
cis(x)^(n+1) = [ cos(x)*cos(nx) - sen(x)*sen(nx) ] + i*[
cos(x)*sen(nx) + cos(nx)*sen(x) ]

as expressões dentro de cada colchetes são as expansões do cossendo da
soma cos(x+nx) e do seno da soma sen(x+nx).

cis(x)^(n+1) = cos(x+nx) + i*sen(x+nx) = cis(x+nx) = cis((n+1)x)

pronto!

pra quem não sabe, demonstração por indução é um método que se usa
quando se quer demonstrar que uma certa propriedade vale pra todos os
números naturais. Nesse caso, por exemplo, queremos mostrar que,
qualquer que seja o número natural n, vale a fórmula
cis(x)^n=cis(nx). O método consiste em mostrar que se a propriedade
valer para algum número natural n, então ela também vale para o seu
sucessor, n+1. Aí, basta só mostrar que vale para n=1, e então segue
que vale para n=2, e portanto vale também para n=3, etc, etc.

abraço

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] soma de vetores/pitágoras

[Pedro Angelo]

o erro está em u + v = 1 + 1
você está fazendo as substituições u=1 e v=1, que não são verdadeiras,
pois 1 é um número, e u é um vetor. Pense bem, se fosse u=1 e 1=v,
então seria u=v, o que não faz sentido. O comprimento da soma de dois
vetores é dado pela Lei dos Cossenos, que no caso do ângulo de 90 é
simplesmente pitágoras, como você bem disse.

 2011/1/29 claudinei claudin...@gmail.com

 Pessoal bom dia!!!

 Tenho uma dúvida básica a resposta pode ser óbvia mas não estou achando.

 Se um vetor (u) de comprimento 1 está ligado a outro vetor (v) de
 comprimento também igual a 1 por um ângulo de 90º o resulatado da soma
 desses vetores daria um terceiro vetor (w) cujo compriemnto u+v=1+1=2.
 No entando se fossemos achar o comprimento desse vetor usando teorema
 de pitágoras acharíamos a resposta como raiz de 2 que é
 aproximadamente 1,4142. Não entendi porque deu diferente estes
 resultados. Alguém poderia me explicar onde está meu erro de
 interpretação? em que fundamento estou errando?


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[obm-l] Re: [obm-l] construir bijeção

[Pedro Angelo]

eu tive a mesma dúvida um tempo atrás, e achei esse artigo aqui
http://planetmath.org/encyclopedia/ClosedOpen.html , que eu achei muito bom.
Ele dá duas demonstrações de que os dois conjuntos (o aberto e o fechado)
têm a mesma cardinalidade. A primeira delas é o seguinte existe uma
injetiva de um no outro, e uma injeiva do outro no um, portanto pelo teorema
de Zwardjenjizfgyulpoz existe uma bijeção entre os dois. Na segunda
demonstração, ele de fato constrói uma bijeção que é, em suma, o seguinte:
ele enumera o conjunto dos racionais entre 0 e 1, de modo que os dois
primeiros racionais sejam o próprio zero e o um. Aí ele faz uma bijeção
entre os dois conjuntos arrastando o conjunto dos racionais duas unidades
pra direita (ou seja, o primeiro racional vira o terceiro, o segundo
vira o quarto, o terceiro vira o quinto, etc.), e deixando invarianes os
irracionais.

eu levei um tempo até acreditar e entender. Quando eu tava pesquisando sobre
isso, eu tinha na cabeça a idéia de que essa bijeção tinha que ser contínua.
Agora eu já acho que é meio óbvio que não dá pra uma bijeção entre esses
dois conjuntos ser contínua. (essa em particular não é conínua em nenhum
ponto!)

boa sorte : )

[obm-l] Re: [obm-l] Inequação com resto

[Pedro Angelo]

Caso 2a b, a divisão b/a dá 1, com resto igual a b-a, que é menor que b/2.
Caso 2a=b, o resto é zero.
Caso 2ab, já que o resto deve ser menor que a, temos (b%a)  a  b/2

acho que é isso.

abraço

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Re: [obm-l] Axioma ou teorema?

[Pedro Angelo]

Fala Guilherme

Eu acho que tem dois jeitos de você definir as coisas. (1) com
geometria axiomática... aqueles negócios de plano de incidência, plano
afim, eu não entendo muito disso não, mas eu acho que nesse caso é um
axioma.
(2) você dizer que o comprimento de uma função contínua de um
intervalo [a,b] em R^2 é o ínfimo da soma dos comprimentos das
poligonais, etc. Aí eu acho que fica fácil de provar que a função
contínua de [a,b] em R^2 (i.e., parametrização de uma curva) contínua
entre quaisquer dois pontos do R^2 que tem menor comprimento deve ter
o formato de um segmento de reta. É claro que existem várias
parametrizações para uma mesma curva, então não existe uma função
única que minimiza o comprimento, mas todas as funções que têm o
comprimento mínimo (que é o dado por pitágoras) têm o formato de um
segmento de reta.

abraço

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Re: [obm-l] Axioma ou teorema?

[Pedro Angelo]

Só para deixar claro, eu respondi achando que era outro Guilherme Vieira... :P
Aí eu deixei algumas coisas subentendidas que eu sabia que o Guilherme
que eu conheço iria entender, mas se alguma coisa não estiver clara,
por favor, avisa! :)

2010/9/26 Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com:
 Fala Guilherme

 Eu acho que tem dois jeitos de você definir as coisas. (1) com
 geometria axiomática... aqueles negócios de plano de incidência, plano
 afim, eu não entendo muito disso não, mas eu acho que nesse caso é um
 axioma.
 (2) você dizer que o comprimento de uma função contínua de um
 intervalo [a,b] em R^2 é o ínfimo da soma dos comprimentos das
 poligonais, etc. Aí eu acho que fica fácil de provar que a função
 contínua de [a,b] em R^2 (i.e., parametrização de uma curva) contínua
 entre quaisquer dois pontos do R^2 que tem menor comprimento deve ter
 o formato de um segmento de reta. É claro que existem várias
 parametrizações para uma mesma curva, então não existe uma função
 única que minimiza o comprimento, mas todas as funções que têm o
 comprimento mínimo (que é o dado por pitágoras) têm o formato de um
 segmento de reta.

 abraço


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[obm-l] Re: [obm-l] Trapézio isósceles circunscrito

[Pedro Angelo]

Uma forma prática de fazer médias geométricas é com
semi-circunferências. Se você bota AB e CD colineares, B coincidindo
com C, e traça o círculo de diâmetro AD, fica trivial calcular a média
geométrica: basta chamar o ponto B=C de M e traçar uma perpendicular a
AD por M. Onde essa perpendicular cortar a circunferência, é o ponto
N. (Esse é inclusive um modo bonito de se mostrar que a média
geométrica é menor do que a aritimética, pois a média aritimética é o
raio do círculo, que é o maior valor que o segmento MN poderia
assumir)

Como você quer o contrário, você pode colocar os segmentos AB e MN
perpendiculares, B coincidindo com M, e traçar a mediatriz de AN. Como
AN é uma corda do círculo, a sua mediatriz passa pelo centro, que
sabemos estar na reta AB. Portanto, chama de O a interceção entre AB e
a mediatriz de AN, e aí o simétrico de A em relação a O vai ser o
ponto D que está faltando. (o ponto C coincide com o ponto B=M).

Boa sorte com o seu programa...
abraço,
Pedro

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Re: [obm-l] Rigor

[Pedro Angelo]

Acho que é prático estabelecer que o grau, o ^o, é simplesmente um
número real, igual a pi/180, de modo que todas as fórmulas que você
citou estão corretas. Desse modo, temos que 360 graus não é o mesmo
que zero, mas isso também acontece com radianos, pois pi não é o mesmo
que 3pi, e etc. Em contextos mais sofisticados, talvez seja necessário
criar um espaço angular especial para tratar de ângulos, de modo a
distinguir ângulos de números reais, mas para resolver uma simples
equação trigonométrica, não vejo problema em dizer que os ângulos são
números reais.

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Re: [obm-l] Politopos

[Pedro Angelo]

Há uma excelente coleção de animações francesas que não explicam
nenhuma teoria formalmente, mas ajudam a desenvolver uma intuição
sobre poliedros com mais de 3 dimensões. Há vídeos com áudio e
legendas em vários idiomas, incluindo português e inglês, e todos os
vídeos são lançados sob a Creative Commons, então é tudo de graça.

http://www.dimensions-math.org/

2010/4/18 Felippe Coulbert Balbi felippeba...@hotmail.com:
 Olá a todos, vocês são minha ultima esperanca em relacao a esse assunto.
 Alguem teria algum artigo ou algo do gênero que explique melhor sobre
 Politopos.
 Obrigado
 Coulbert

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re : [obm-l] RES: [obm-l] Números Reais - MetaMAt

[Pedro Angelo Medeiros Fonini]

Opa,

 Concordo com sua obs, até pq segundo o teorema da incompletude de Godel, 
 dentro de um sistema axiomático, existirão verdades que não poderão ser 
 provadaseste teorema já está sendo estendido para a física (tem um artigo 
 na Scientific American sobre isto - acho natural isto, até pq, a física tem 
 seus postulados).

Se eu não me engano, a incompletude do Gödel só diz que existem
verdades não-deduzíveis em sistemas axiomáticos que involvam
aritimética... E por mais que nós usemos os números reais para
quantificar (não confundir com quantizar) as grandezas físicas, isso
não significa que os axiomas da física involvem aritimética. Dizer que
a distancia entre duas partículas é de 7m não tem nada de especial só
por que 7 é um número inteiro, ou primo, já que também podemos dizer
(dizendo a mesma coisa) que tal distância é de 7000mm, sabendo que
7000 não é um número primo, ou até 22.9658793 pés, usando um número
que não é nem inteiro.
Eu posso estar enganado, mas eu tenho quase certeza de que isso
invalida o teorema da incompletude para a física.

 Porém, podemos ter algumas evidências com relação a continuidade ou não de 
 certas grandezas.tempo, espaço e energia, por exemplo.Creio que, se 
 todos forem discretos, quantizados, isto nos dará uma visão a cerca da 
 computabilidade a que me referi.

Eu acho que mesmo sendo tudo contínuo, não tem nada que impeça o
universo de computar as leis da física. Claro que seria mais fácil
para nós, humanos, fazer as contas com tudo quantizado.

 Qto a sua outra obs : Existir = ser percebido...Por quem ? Seres humanos, 
 animais, ou meramente através de relações dadas pelas leis físicas e 
 descritas pela matemática ?

Acho que ser percebido significaria fazer uma diferença. Mas eu
falei só pela curiosidade da etimologia.. eu não acho que faça sentido
aplicar essa definição ao existir da frase existem números reais?

De qualquer modo, como eu faço então para mandar emails para a lista
do modo certo? Eu percebi que todos os emails que eu recebo têm uma
tag mailed-by saci.mat.puc-rio.br, enquanto o meu é mailed-by
gmail.com. Eu tenho que usar um cliente especial, ou o quê?

abraços, Pedro Angelo

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] N úmeros Reais - MetaMAt

[Pedro Angelo Medeiros Fonini]

Olá.. nunca postei aqui na lista, mas tenho acompanhado várias discussões e
problemas postados aqui.
Esta discussão me pareceu particularmente interessante, e tendo tanta gente
assim dizendo as suas opiniões, eu achei que valeria a pena eu dizer a
minha.

Eu acho o seguinte.. antes de tudo, o universo está longe de ser
perfeitamente entendido por nós, humanos. (não quero entrar na discussão de
se é ou não é possível alcançar tal entendimento, mas definitivamente não
o temops hoje) Entretanto, até um certo ponto, temos um conhecimento
razoável sobre o universo e o seu funcionamento, no sentido de que
conseguimos nos aproveitar das leis da física para construir computadores,
relógios, prédios, etc. O que eu acho que não é possível discutir é *como* o
universo computa as leis da física, ou seja, se existe uma máquina gigante
chamada Matrix que controla tudo, ou se é alguém mexendo pedrinhas na areia
(como sugeriu o randall munroe), ou se as coisas simplesmente acontecem
sozinhas e pronto. O problema é que cada uma dessas representações sugere
uma resposta diferente à pergunta de se os números reais são usados na
natureza, ou se são só os racionais, ou os inteiros, ou os números amigos,
ou o que quer que seja.

Por fim, eu acho importante ressaltar que, mesmo que só existam (seja qual
for o sentido** de existir que você quiser adotar) números racionais, ou
inteiros, etc., ainda assim não deixam de ser importantes as pesquisas nas
áreas que involvem conjuntos incontáveis de números, como o cálculo
infinitesimal, e os fractais, e a mecânica quântica, pois tais teorias têm
uma aplicabilidade enorme hoje em dia, tempos em que não sabemos se existem
ou não os números reais, e vão continuar tendo tal aplicabilidade mesmo
quando nós descobrirmos com que classes de números o universo faz as suas
contas (e mesmo que a resposta seja uma surpresa)

ps: um professor meu antigo de filosofia me disse um dia que existir vem
de ex sistere, ser para fora. nunca tive a oportunidade de perguntar
para ele se esse ser para fora poderia ser interpretado como ser
percebido, mas eu acho que sim. se for, então essa é o conceito de
existir do Platão que um companheiro citou ali em cima. não sei que
conclusão tirar disso (até por que eu já disse q

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] N úmeros Reais - MetaMAt

[Pedro Angelo Medeiros Fonini]

oops, apertei enter sem querer.. me desculpem

terminando:

**ps: um professor meu antigo de filosofia me disse um dia que
existir vem de ex sistere, ser para fora. nunca tive a
oportunidade de perguntar para ele se esse ser para fora poderia ser
interpretado como ser percebido, mas eu acho que sim. se for, então
esse é o conceito de existir do Platão que um companheiro citou ali
em cima. não sei que conclusão tirar disso (até por que eu já disse
que eu acho que esse existir é subjetivo), mas achei que seria
interessante compartilhar essa infirmação com vocês.

enfim, espero ter contribuído com alguma coisa.
Pedro Angelo

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