Re: [obm-l] Ajuda em Repunits

[Rubens Vilhena Fonseca]

Muito interessante, não faço a mínima ideia de como fazer, mas como você
disse vou me divertir pesquisando. Não sei se tem alguma coisa a ver mas,
se dividir o período desses exemplos ao "meio"  e somar (1/11 deu essa
ideia) o resultado parecem ser 9's. Outra coisa que percebi é que a ordem
desses denominadores módulo 10 é igual ao tamanho do período ( de novo 1/11
deu essa ideia). E como alguns são raízes primitivas de 10 o período é o
maior possível...
Com certeza se for verdade, são fatos já provados, vou tentar encontrar as
fontes.
Obrigado pela atenção
[[ ]]'s


Em dom., 10 de jul. de 2022 às 16:38, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Se quiser se divertir mais com isso, veja o seguinte:
> 1/7 = 0,142857142857142...
> O período é 142 857 e 1+8 = 4+5 = 2+7 = 9.
>
> 1/11: o período é 09 e 0+9 = 9.
>
> 1/13: o período é 076 923 e 0+9 = 7+2 = 6+3 = 9.
>
> Determine, com demonstração, para quais números N, o período de 1/N tem
> esta propriedade.
>
>
>
>
> On Sun, Jul 10, 2022 at 8:41 AM Rubens Vilhena Fonseca <
> rubens.vilhen...@gmail.com> wrote:
>
>> Muito obrigado ao Ralph Costa Teixeira e ao Claudio Buffara por todos os
>> ótimos esclarecimentos.
>> [[ ]]'s
>>
>> Em dom., 10 de jul. de 2022 às 01:39, Ralph Costa Teixeira <
>> ralp...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Argh, corrigindo um detalhe ali perto do fim:
>>> -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)**x**10^w = r*n.
>>> Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5 *e x*, conclui-se que n divide
>>> 111 (com q 1's), e portanto q>=p=k.
>>>
>>> On Sun, Jul 10, 2022 at 1:24 AM Ralph Costa Teixeira 
>>> wrote:
>>>
 A chave: *os "restos parciais" que aparecem são exatamente os restos
 que x, 10x, 100x,  deixam na divisão por n.*
 ---///---

 MAIS SPOILERS ABAIXO


 ...


 


 ...


 

 Acho que facilita bastante pensar no "período" de 1/n de outro jeito:
 ---///---
 LEMA:
 (i) Dado n não divisível por 2 ou 5, existe algum número da forma
 111...111 que é múltiplo de n.
 (ii) Se n não for divisível por 2, 3 ou 5, o *menor* número do tipo
 111...111 que é múltiplo de n tem k dígitos, onde k é exatamente o tamanho
 do período (fundamental) da dízima em 1/n.
 PROVA:

 (i) Olhe os restos de 1, 11, 111, , ... na divisão por n. São n
 possibilidades, de 0 a n-1, então alguma hora algum resto tem que repetir.
 Isto significa que .. (com A dígitos) e 11...111 (com B dígitos,
 B>>> ...1110 (A 1's e B 0's) = 111 * (10^B) é múltiplo de n. Mas
 n não tem fator comum com aquele 10^B (pois não é divisível por 2 nem por
 5), portanto ...111 (com k=A-B dígitos) é divisível por n.

 (ii) Denote por P=111111 (com p dígitos) o menor daqueles caras com
 apenas "1s" que é múltiplo de n, e denote por k o "período fundamental" na
 dízima de 1/n.
 Por um lado, como 9P=999=10^p-1 é múltiplo de n, temos 10^p *
 (1/n) - 1/n inteiro. Mas isso significa que a parte decimal de 1/n "se
 repete" de p em p dígitos, ou seja, que a dízima de 1/n tem período p. Em
 particular, p>=k.
 Por outro lado, sendo k o período fundamental, temos 10^k * (1/n) -
 (1/n) com número finito de casas decimais, ou seja, (10^k-1)/n = m/10^z com
 m inteiro, e z=número de casas decimais que "sobraram". Mas daqui vem
 9*(111...111)*10^z = m*n (com k dígitos 1s). Como n é primo com 2, 3 e 5,
 conclui-se que 111... (k 1's) tem que ser múltiplo de n, e portanto
 k>=p.

 Note um efeito colateral disso tudo: provamos que 10^k*(1/n)- 1/n =
 10^p*(1/n)-1/n = inteiro. Assim aquele z vale 0, ou seja, não tem "casas
 decimais que sobram" -- a dízima periódica do 1/n se inicia logo no
 primeiro dígito!

 ---///---
 Agora fica tudo bem simples:
 a) Na notação acima, provamos que k=p, e n divide 111 com p
 dígitos.
 b) Seja q o período (fundamental) da dízima de B=x/n irredutível.

 Em primeiro lugar, provemos que q=k. Basicamente repetimos o que
 fizemos no lema:
 -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)*10^w = r*n.
 Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5, conclui-se que n divide 111
 (com q 1's), e portanto q>=p=k.
 -- Por outro lado, como (10^k-1)/n é inteiro, (10^k-1)*x/n=10^k*B-B
 também é inteiro, ou seja, a dízima de B tem período k (e se inicia no
 primeiro dígito!). Portanto k>=q.

 *Enfim, note que os tais "restos parciais" que aparecem são exatamente
 os restos que x, 10x, 100x, , 10^q.x deixam na divisão por n. *A
 soma desses caras vale (...)*x, que é divisível por n pois temos
 ali q=k=p dígitos 1. Por isso, ao dividir esses restos parciais por n, a
 soma dos novos restos tem que ser múltiplo de n tambem.

 Foi?


 On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena 

Re: [obm-l] Ajuda em Repunits

[Claudio Buffara]

Se quiser se divertir mais com isso, veja o seguinte:
1/7 = 0,142857142857142...
O período é 142 857 e 1+8 = 4+5 = 2+7 = 9.

1/11: o período é 09 e 0+9 = 9.

1/13: o período é 076 923 e 0+9 = 7+2 = 6+3 = 9.

Determine, com demonstração, para quais números N, o período de 1/N tem
esta propriedade.




On Sun, Jul 10, 2022 at 8:41 AM Rubens Vilhena Fonseca <
rubens.vilhen...@gmail.com> wrote:

> Muito obrigado ao Ralph Costa Teixeira e ao Claudio Buffara por todos os
> ótimos esclarecimentos.
> [[ ]]'s
>
> Em dom., 10 de jul. de 2022 às 01:39, Ralph Costa Teixeira <
> ralp...@gmail.com> escreveu:
>
>> Argh, corrigindo um detalhe ali perto do fim:
>> -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)**x**10^w = r*n.
>> Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5 *e x*, conclui-se que n divide
>> 111 (com q 1's), e portanto q>=p=k.
>>
>> On Sun, Jul 10, 2022 at 1:24 AM Ralph Costa Teixeira 
>> wrote:
>>
>>> A chave: *os "restos parciais" que aparecem são exatamente os restos
>>> que x, 10x, 100x,  deixam na divisão por n.*
>>> ---///---
>>>
>>> MAIS SPOILERS ABAIXO
>>>
>>>
>>> ...
>>>
>>>
>>> 
>>>
>>>
>>> ...
>>>
>>>
>>> 
>>>
>>> Acho que facilita bastante pensar no "período" de 1/n de outro jeito:
>>> ---///---
>>> LEMA:
>>> (i) Dado n não divisível por 2 ou 5, existe algum número da forma
>>> 111...111 que é múltiplo de n.
>>> (ii) Se n não for divisível por 2, 3 ou 5, o *menor* número do tipo
>>> 111...111 que é múltiplo de n tem k dígitos, onde k é exatamente o tamanho
>>> do período (fundamental) da dízima em 1/n.
>>> PROVA:
>>>
>>> (i) Olhe os restos de 1, 11, 111, , ... na divisão por n. São n
>>> possibilidades, de 0 a n-1, então alguma hora algum resto tem que repetir.
>>> Isto significa que .. (com A dígitos) e 11...111 (com B dígitos,
>>> B>> ...1110 (A 1's e B 0's) = 111 * (10^B) é múltiplo de n. Mas
>>> n não tem fator comum com aquele 10^B (pois não é divisível por 2 nem por
>>> 5), portanto ...111 (com k=A-B dígitos) é divisível por n.
>>>
>>> (ii) Denote por P=111111 (com p dígitos) o menor daqueles caras com
>>> apenas "1s" que é múltiplo de n, e denote por k o "período fundamental" na
>>> dízima de 1/n.
>>> Por um lado, como 9P=999=10^p-1 é múltiplo de n, temos 10^p *
>>> (1/n) - 1/n inteiro. Mas isso significa que a parte decimal de 1/n "se
>>> repete" de p em p dígitos, ou seja, que a dízima de 1/n tem período p. Em
>>> particular, p>=k.
>>> Por outro lado, sendo k o período fundamental, temos 10^k * (1/n) -
>>> (1/n) com número finito de casas decimais, ou seja, (10^k-1)/n = m/10^z com
>>> m inteiro, e z=número de casas decimais que "sobraram". Mas daqui vem
>>> 9*(111...111)*10^z = m*n (com k dígitos 1s). Como n é primo com 2, 3 e 5,
>>> conclui-se que 111... (k 1's) tem que ser múltiplo de n, e portanto
>>> k>=p.
>>>
>>> Note um efeito colateral disso tudo: provamos que 10^k*(1/n)- 1/n =
>>> 10^p*(1/n)-1/n = inteiro. Assim aquele z vale 0, ou seja, não tem "casas
>>> decimais que sobram" -- a dízima periódica do 1/n se inicia logo no
>>> primeiro dígito!
>>>
>>> ---///---
>>> Agora fica tudo bem simples:
>>> a) Na notação acima, provamos que k=p, e n divide 111 com p
>>> dígitos.
>>> b) Seja q o período (fundamental) da dízima de B=x/n irredutível.
>>>
>>> Em primeiro lugar, provemos que q=k. Basicamente repetimos o que fizemos
>>> no lema:
>>> -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)*10^w = r*n.
>>> Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5, conclui-se que n divide 111
>>> (com q 1's), e portanto q>=p=k.
>>> -- Por outro lado, como (10^k-1)/n é inteiro, (10^k-1)*x/n=10^k*B-B
>>> também é inteiro, ou seja, a dízima de B tem período k (e se inicia no
>>> primeiro dígito!). Portanto k>=q.
>>>
>>> *Enfim, note que os tais "restos parciais" que aparecem são exatamente
>>> os restos que x, 10x, 100x, , 10^q.x deixam na divisão por n. *A
>>> soma desses caras vale (...)*x, que é divisível por n pois temos
>>> ali q=k=p dígitos 1. Por isso, ao dividir esses restos parciais por n, a
>>> soma dos novos restos tem que ser múltiplo de n tambem.
>>>
>>> Foi?
>>>
>>>
>>> On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca <
>>> rubens.vilhen...@gmail.com> wrote:
>>>
 Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema.
 *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e
 suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator
 do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na
 divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n.
 Comentário:
 Pelo que entendi, se 1/13  tem período k =6. Então 13  divide 11 (
 k=6 1's).
 Essa parte consegui provar.
 Quanto à segunda parte  para 1/13 os resto da divisão sem repetição são
 {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar)
 Não consigo organizar uma sequência  de passos para a demonstração
 dos dois 

Re: [obm-l] Ajuda em Repunits

[Rubens Vilhena Fonseca]

Muito obrigado ao Ralph Costa Teixeira e ao Claudio Buffara por todos os
ótimos esclarecimentos.
[[ ]]'s

Em dom., 10 de jul. de 2022 às 01:39, Ralph Costa Teixeira <
ralp...@gmail.com> escreveu:

> Argh, corrigindo um detalhe ali perto do fim:
> -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)**x**10^w = r*n.
> Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5 *e x*, conclui-se que n divide
> 111 (com q 1's), e portanto q>=p=k.
>
> On Sun, Jul 10, 2022 at 1:24 AM Ralph Costa Teixeira 
> wrote:
>
>> A chave: *os "restos parciais" que aparecem são exatamente os restos que
>> x, 10x, 100x,  deixam na divisão por n.*
>> ---///---
>>
>> MAIS SPOILERS ABAIXO
>>
>>
>> ...
>>
>>
>> 
>>
>>
>> ...
>>
>>
>> 
>>
>> Acho que facilita bastante pensar no "período" de 1/n de outro jeito:
>> ---///---
>> LEMA:
>> (i) Dado n não divisível por 2 ou 5, existe algum número da forma
>> 111...111 que é múltiplo de n.
>> (ii) Se n não for divisível por 2, 3 ou 5, o *menor* número do tipo
>> 111...111 que é múltiplo de n tem k dígitos, onde k é exatamente o tamanho
>> do período (fundamental) da dízima em 1/n.
>> PROVA:
>>
>> (i) Olhe os restos de 1, 11, 111, , ... na divisão por n. São n
>> possibilidades, de 0 a n-1, então alguma hora algum resto tem que repetir.
>> Isto significa que .. (com A dígitos) e 11...111 (com B dígitos,
>> B> ...1110 (A 1's e B 0's) = 111 * (10^B) é múltiplo de n. Mas
>> n não tem fator comum com aquele 10^B (pois não é divisível por 2 nem por
>> 5), portanto ...111 (com k=A-B dígitos) é divisível por n.
>>
>> (ii) Denote por P=111111 (com p dígitos) o menor daqueles caras com
>> apenas "1s" que é múltiplo de n, e denote por k o "período fundamental" na
>> dízima de 1/n.
>> Por um lado, como 9P=999=10^p-1 é múltiplo de n, temos 10^p *
>> (1/n) - 1/n inteiro. Mas isso significa que a parte decimal de 1/n "se
>> repete" de p em p dígitos, ou seja, que a dízima de 1/n tem período p. Em
>> particular, p>=k.
>> Por outro lado, sendo k o período fundamental, temos 10^k * (1/n) - (1/n)
>> com número finito de casas decimais, ou seja, (10^k-1)/n = m/10^z com m
>> inteiro, e z=número de casas decimais que "sobraram". Mas daqui vem
>> 9*(111...111)*10^z = m*n (com k dígitos 1s). Como n é primo com 2, 3 e 5,
>> conclui-se que 111... (k 1's) tem que ser múltiplo de n, e portanto
>> k>=p.
>>
>> Note um efeito colateral disso tudo: provamos que 10^k*(1/n)- 1/n =
>> 10^p*(1/n)-1/n = inteiro. Assim aquele z vale 0, ou seja, não tem "casas
>> decimais que sobram" -- a dízima periódica do 1/n se inicia logo no
>> primeiro dígito!
>>
>> ---///---
>> Agora fica tudo bem simples:
>> a) Na notação acima, provamos que k=p, e n divide 111 com p
>> dígitos.
>> b) Seja q o período (fundamental) da dízima de B=x/n irredutível.
>>
>> Em primeiro lugar, provemos que q=k. Basicamente repetimos o que fizemos
>> no lema:
>> -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)*10^w = r*n.
>> Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5, conclui-se que n divide 111
>> (com q 1's), e portanto q>=p=k.
>> -- Por outro lado, como (10^k-1)/n é inteiro, (10^k-1)*x/n=10^k*B-B
>> também é inteiro, ou seja, a dízima de B tem período k (e se inicia no
>> primeiro dígito!). Portanto k>=q.
>>
>> *Enfim, note que os tais "restos parciais" que aparecem são exatamente os
>> restos que x, 10x, 100x, , 10^q.x deixam na divisão por n. *A soma
>> desses caras vale (...)*x, que é divisível por n pois temos ali
>> q=k=p dígitos 1. Por isso, ao dividir esses restos parciais por n, a soma
>> dos novos restos tem que ser múltiplo de n tambem.
>>
>> Foi?
>>
>>
>> On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca <
>> rubens.vilhen...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema.
>>> *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e
>>> suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator
>>> do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na
>>> divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n.
>>> Comentário:
>>> Pelo que entendi, se 1/13  tem período k =6. Então 13  divide 11 (
>>> k=6 1's).
>>> Essa parte consegui provar.
>>> Quanto à segunda parte  para 1/13 os resto da divisão sem repetição são
>>> {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar)
>>> Não consigo organizar uma sequência  de passos para a demonstração
>>> dos dois fatos.
>>> Agradeço qualquer ajuda.
>>> [[ ]]'s
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em Repunits

[Claudio Buffara]

Se n não é divisível por 2 e nem por 5, então 1/n = 0,a1a2...ak a1a2...ak
a1...  (dízima periódica simples de período k)
Daí (10^k)*n - n = a1a2...ak ==> (99...9)*n é inteiro (onde há k algarismos
9) ==> n é fator de 99...9 = 9*(11...1).
Mas n é primo com 3 ==> n | 11...1

Pra segunda parte, a ideia é tentar ver porque é verdade com exemplos
concretos.
Por exemplo, 1/7:
10*1 = 1*7 + 3
10*3 = 4*7 + 2
10*2 = 2*7 + 6
10*6 = 8*7 + 4
10*4 = 5*7 + 5
10*5 = 7*7 + 1
10*1 = 1*7 + 3  (e as equações se repetem a partir daqui)

1/13:
10*1 = 0*13 + 10
10*10 = 7*13 + 9
10*9 = 6*13 + 12
10*12 = 9*13 + 3
10*3 = 2*13 + 4
10*4 = 3*13 + 1
10*1 = 0*13 + 10 (idem)

Assim, no caso geral, pra calcular a representação de 1/n, as k primeiras
divisões sucessivas resultam em:
10*1 = a1*n + r1
10*r1 = a2*n + r2
10*r2 = a3*n + r3
...
10*r(k-1) = ak*n + rk

Como n é primo com 2 e 5, 1/n será uma dízima periódica simples, digamos de
período k.
Isso significa que rk, o resto da k-ésima divisão, será necessariamente
igual a 1, já que os dividendos (os algarismos aj que formam o período)
irão se repetir a partir da (k+1)-ésima equação.
Ou seja, a(k+1) = a1 e, portanto, r(k+1) = r1.

Somando as k equações, obtemos:
10*(1+r1+r2+ ...r(k-1)) = (a1+a2+a3...+ak)*n + (r1+r2+r3+...+rk).
Como rk = 1, isso fica:
10*(rk+r1+r2+ ...r(k-1)) = (a1+a2+a3...+ak)*n + (r1+r2+r3+...+rk) ==>
9*(rk+r2+...+r(k-1)) = (a1+a2+a3+...+ak)*n
Como n é primo com 3 (e, portanto, com 9), concluímos que n divide
r1+r2+...+rk.




On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca <
rubens.vilhen...@gmail.com> wrote:

> Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema.
> *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e
> suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator
> do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na
> divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n.
> Comentário:
> Pelo que entendi, se 1/13  tem período k =6. Então 13  divide 11 ( k=6
> 1's).
> Essa parte consegui provar.
> Quanto à segunda parte  para 1/13 os resto da divisão sem repetição são
> {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar)
> Não consigo organizar uma sequência  de passos para a demonstração
> dos dois fatos.
> Agradeço qualquer ajuda.
> [[ ]]'s
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em Repunits

[Ralph Costa Teixeira]

Argh, corrigindo um detalhe ali perto do fim:
-- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)**x**10^w = r*n.
Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5 *e x*, conclui-se que n divide
111 (com q 1's), e portanto q>=p=k.

On Sun, Jul 10, 2022 at 1:24 AM Ralph Costa Teixeira 
wrote:

> A chave: *os "restos parciais" que aparecem são exatamente os restos que
> x, 10x, 100x,  deixam na divisão por n.*
> ---///---
>
> MAIS SPOILERS ABAIXO
>
>
> ...
>
>
> 
>
>
> ...
>
>
> 
>
> Acho que facilita bastante pensar no "período" de 1/n de outro jeito:
> ---///---
> LEMA:
> (i) Dado n não divisível por 2 ou 5, existe algum número da forma
> 111...111 que é múltiplo de n.
> (ii) Se n não for divisível por 2, 3 ou 5, o *menor* número do tipo
> 111...111 que é múltiplo de n tem k dígitos, onde k é exatamente o tamanho
> do período (fundamental) da dízima em 1/n.
> PROVA:
>
> (i) Olhe os restos de 1, 11, 111, , ... na divisão por n. São n
> possibilidades, de 0 a n-1, então alguma hora algum resto tem que repetir.
> Isto significa que .. (com A dígitos) e 11...111 (com B dígitos,
> B ...1110 (A 1's e B 0's) = 111 * (10^B) é múltiplo de n. Mas
> n não tem fator comum com aquele 10^B (pois não é divisível por 2 nem por
> 5), portanto ...111 (com k=A-B dígitos) é divisível por n.
>
> (ii) Denote por P=111111 (com p dígitos) o menor daqueles caras com
> apenas "1s" que é múltiplo de n, e denote por k o "período fundamental" na
> dízima de 1/n.
> Por um lado, como 9P=999=10^p-1 é múltiplo de n, temos 10^p *
> (1/n) - 1/n inteiro. Mas isso significa que a parte decimal de 1/n "se
> repete" de p em p dígitos, ou seja, que a dízima de 1/n tem período p. Em
> particular, p>=k.
> Por outro lado, sendo k o período fundamental, temos 10^k * (1/n) - (1/n)
> com número finito de casas decimais, ou seja, (10^k-1)/n = m/10^z com m
> inteiro, e z=número de casas decimais que "sobraram". Mas daqui vem
> 9*(111...111)*10^z = m*n (com k dígitos 1s). Como n é primo com 2, 3 e 5,
> conclui-se que 111... (k 1's) tem que ser múltiplo de n, e portanto
> k>=p.
>
> Note um efeito colateral disso tudo: provamos que 10^k*(1/n)- 1/n =
> 10^p*(1/n)-1/n = inteiro. Assim aquele z vale 0, ou seja, não tem "casas
> decimais que sobram" -- a dízima periódica do 1/n se inicia logo no
> primeiro dígito!
>
> ---///---
> Agora fica tudo bem simples:
> a) Na notação acima, provamos que k=p, e n divide 111 com p
> dígitos.
> b) Seja q o período (fundamental) da dízima de B=x/n irredutível.
>
> Em primeiro lugar, provemos que q=k. Basicamente repetimos o que fizemos
> no lema:
> -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)*10^w = r*n.
> Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5, conclui-se que n divide 111
> (com q 1's), e portanto q>=p=k.
> -- Por outro lado, como (10^k-1)/n é inteiro, (10^k-1)*x/n=10^k*B-B também
> é inteiro, ou seja, a dízima de B tem período k (e se inicia no primeiro
> dígito!). Portanto k>=q.
>
> *Enfim, note que os tais "restos parciais" que aparecem são exatamente os
> restos que x, 10x, 100x, , 10^q.x deixam na divisão por n. *A soma
> desses caras vale (...)*x, que é divisível por n pois temos ali
> q=k=p dígitos 1. Por isso, ao dividir esses restos parciais por n, a soma
> dos novos restos tem que ser múltiplo de n tambem.
>
> Foi?
>
>
> On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca <
> rubens.vilhen...@gmail.com> wrote:
>
>> Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema.
>> *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e
>> suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator
>> do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na
>> divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n.
>> Comentário:
>> Pelo que entendi, se 1/13  tem período k =6. Então 13  divide 11 (
>> k=6 1's).
>> Essa parte consegui provar.
>> Quanto à segunda parte  para 1/13 os resto da divisão sem repetição são
>> {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar)
>> Não consigo organizar uma sequência  de passos para a demonstração
>> dos dois fatos.
>> Agradeço qualquer ajuda.
>> [[ ]]'s
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em Repunits

[Ralph Costa Teixeira]

A chave: *os "restos parciais" que aparecem são exatamente os restos que x,
10x, 100x,  deixam na divisão por n.*
---///---

MAIS SPOILERS ABAIXO


...





...




Acho que facilita bastante pensar no "período" de 1/n de outro jeito:
---///---
LEMA:
(i) Dado n não divisível por 2 ou 5, existe algum número da forma 111...111
que é múltiplo de n.
(ii) Se n não for divisível por 2, 3 ou 5, o *menor* número do tipo
111...111 que é múltiplo de n tem k dígitos, onde k é exatamente o tamanho
do período (fundamental) da dízima em 1/n.
PROVA:

(i) Olhe os restos de 1, 11, 111, , ... na divisão por n. São n
possibilidades, de 0 a n-1, então alguma hora algum resto tem que repetir.
Isto significa que .. (com A dígitos) e 11...111 (com B dígitos,
B=k.
Por outro lado, sendo k o período fundamental, temos 10^k * (1/n) - (1/n)
com número finito de casas decimais, ou seja, (10^k-1)/n = m/10^z com m
inteiro, e z=número de casas decimais que "sobraram". Mas daqui vem
9*(111...111)*10^z = m*n (com k dígitos 1s). Como n é primo com 2, 3 e 5,
conclui-se que 111... (k 1's) tem que ser múltiplo de n, e portanto
k>=p.

Note um efeito colateral disso tudo: provamos que 10^k*(1/n)- 1/n =
10^p*(1/n)-1/n = inteiro. Assim aquele z vale 0, ou seja, não tem "casas
decimais que sobram" -- a dízima periódica do 1/n se inicia logo no
primeiro dígito!

---///---
Agora fica tudo bem simples:
a) Na notação acima, provamos que k=p, e n divide 111 com p dígitos.
b) Seja q o período (fundamental) da dízima de B=x/n irredutível.

Em primeiro lugar, provemos que q=k. Basicamente repetimos o que fizemos no
lema:
-- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)*10^w = r*n.
Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5, conclui-se que n divide 111
(com q 1's), e portanto q>=p=k.
-- Por outro lado, como (10^k-1)/n é inteiro, (10^k-1)*x/n=10^k*B-B também
é inteiro, ou seja, a dízima de B tem período k (e se inicia no primeiro
dígito!). Portanto k>=q.

*Enfim, note que os tais "restos parciais" que aparecem são exatamente os
restos que x, 10x, 100x, , 10^q.x deixam na divisão por n. *A soma
desses caras vale (...)*x, que é divisível por n pois temos ali
q=k=p dígitos 1. Por isso, ao dividir esses restos parciais por n, a soma
dos novos restos tem que ser múltiplo de n tambem.

Foi?


On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca <
rubens.vilhen...@gmail.com> wrote:

> Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema.
> *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e
> suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator
> do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na
> divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n.
> Comentário:
> Pelo que entendi, se 1/13  tem período k =6. Então 13  divide 11 ( k=6
> 1's).
> Essa parte consegui provar.
> Quanto à segunda parte  para 1/13 os resto da divisão sem repetição são
> {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar)
> Não consigo organizar uma sequência  de passos para a demonstração
> dos dois fatos.
> Agradeço qualquer ajuda.
> [[ ]]'s
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Ajuda em Repunits

[Rubens Vilhena Fonseca]

Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema.
*Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e
suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator
do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na
divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n.
Comentário:
Pelo que entendi, se 1/13  tem período k =6. Então 13  divide 11 ( k=6
1's).
Essa parte consegui provar.
Quanto à segunda parte  para 1/13 os resto da divisão sem repetição são
{10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar)
Não consigo organizar uma sequência  de passos para a demonstração dos dois
fatos.
Agradeço qualquer ajuda.
[[ ]]'s

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa questão da OBM 1987

[Anderson Torres]

Em ter., 20 de jul. de 2021 às 18:25, Prof. Douglas Oliveira
 escreveu:
>
> Tem-se um bolo em forma de prisma triangular, cuja base está em um plano 
> horizontal. Dois indivíduos vão dividir o bolo de acordo com a seguinte 
> regra: o primeiro escolhe um ponto na base superior do bolo e o segundo corta 
> o bolo por um plano vertical à sua escolha, passando porém pelo ponto 
> escolhido, e seleciona para si um dos pedaços em que dividiu o bolo. Qual 
> deve ser a estratégia para o primeiro e qual deve ser a fração do volume do 
> bolo que ele espera obter?

Primeira dica: tente resolver o mesmo problema, mas para um triângulo
equilátero de lado 100.
Afinal de contas, uma transformação afim leva isso para qualquer triângulo.

>
> Abraço do Douglas.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa questão da OBM 1987

[joao pedro b menezes]

Eu pensaria em trabalhar com os pontos notáveis, talvez o baricentro, e
argumentar que em qualquer outro ponto é possível realizar um corte que o
prejudique mais. Isso é só uma teoria e, portanto, é possível que esteja
totalmente errada.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Ajuda numa questão da OBM 1987

[Prof. Douglas Oliveira]

*Tem-se um bolo em forma de prisma triangular, cuja base está em um plano
horizontal. Dois indivíduos vão dividir o bolo de acordo com a seguinte
regra: o primeiro escolhe um ponto na base superior do bolo e o segundo
corta o bolo por um plano vertical à sua escolha, passando porém pelo ponto
escolhido, e seleciona para si um dos pedaços em que dividiu o bolo.
Qual deve ser a estratégia para o primeiro e qual deve ser a fração do
volume do bolo que ele espera obter?*

*Abraço do Douglas.*

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números

[Pedro José]

Boa tarde!
Na verdade: 2^a=64; a= 6 e y=12.

Em qui., 22 de out. de 2020 às 11:17, Pedro José 
escreveu:

> Bom dia!
> Recebi esse problema hoje: 615 + x^2 = 2^y., para x,y inteiros Não saberia
> fazer, como não soube resolver esse, acima. Mas devido a solução do colega
> Esdras, pensei:"já vi algo parecido".
> Basta restringir y aos pares.
> Se y é ímpar x^2=2 mod3, absurdo então y é par. Logo y=2a, com a inteiro.
> (2^a + x) (2^a-x)= 615= 1*615=3*205=5*123=15*41 e como a soma dos fatores
> necessita ser uma potência de 2, só serve para 123 e 5.
> Logo 2^y=64 e y=6 e x= 59 ou x=-59.
> Uma resolução levou a outra, não pelo talento nato, mas por aprendizado, o
> que é válido.
> Teve uma feita que estava tentando provar que o triângulo órtico, era o
> triângulo de menor perímetro que poderia ser inscrito em um triângulo
> acutângulo. Tentei por geometria analítica e só levando tinta. Tinha
> desistido. Quando me deparei com um problema que não consegui resolver, mas
> que tinha um caminho para a solução. Quando vi o rebatimento feito, pensei
> está resolvido. O curioso, é que, quando desisti, pesquisei na internet e
> não achei nada. Depois que consegui resolver, achei duas soluções, e
> infelizmente e como esperado, a minha não era novidade, era clássica.
> Obrigado, Esdras! Sem a sua solução, certamente, não teria resolvido essa
> última questão.
>
> Cordialmente,
> PJMS
>
> Em sex., 24 de jul. de 2020 às 12:19, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Obrigado Claudio e Esdras, fatoração show
>>
>>
>> Em sex., 24 de jul. de 2020 às 11:12, Esdras Muniz <
>> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Se for solução inteira positiva, acho que só tem 3 e 4. Vc supõe spdg x
>>> maior ou igual a y, vê que y=1 não tem solução e x=y tb não. Daí, x>y>1.
>>> Fatorando a expressão, fica: (xy-8-(x-y))(xy-8+(x-y))=15. Como
>>> (xy-8-(x-y))>(xy-8+(x-y))>-2. Temos que ou (xy-8-(x-y))=1 e (xy-8+(x-y))=15,
>>> o que não tem soluções inteiras positivas, ou (xy-8-(x-y))=3 e 
>>> (xy-8+(x-y))=5,
>>> cujas únicas soluções inteiras são x=4 e y=3.
>>>
>>> Em sex, 24 de jul de 2020 10:36, Claudio Buffara <
>>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no
 1o quadrante.
 Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2
 - y^2 = 0.

 []s,
 Claudio.

 On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira <
 profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:

> Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da
> equação
> (xy-7)^2=x^2+y^2.
>
> Desde já agradeço a ajuda
> Douglas Oliveira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números

[Pedro José]

Bom dia!
Recebi esse problema hoje: 615 + x^2 = 2^y., para x,y inteiros Não saberia
fazer, como não soube resolver esse, acima. Mas devido a solução do colega
Esdras, pensei:"já vi algo parecido".
Basta restringir y aos pares.
Se y é ímpar x^2=2 mod3, absurdo então y é par. Logo y=2a, com a inteiro.
(2^a + x) (2^a-x)= 615= 1*615=3*205=5*123=15*41 e como a soma dos fatores
necessita ser uma potência de 2, só serve para 123 e 5.
Logo 2^y=64 e y=6 e x= 59 ou x=-59.
Uma resolução levou a outra, não pelo talento nato, mas por aprendizado, o
que é válido.
Teve uma feita que estava tentando provar que o triângulo órtico, era o
triângulo de menor perímetro que poderia ser inscrito em um triângulo
acutângulo. Tentei por geometria analítica e só levando tinta. Tinha
desistido. Quando me deparei com um problema que não consegui resolver, mas
que tinha um caminho para a solução. Quando vi o rebatimento feito, pensei
está resolvido. O curioso, é que, quando desisti, pesquisei na internet e
não achei nada. Depois que consegui resolver, achei duas soluções, e
infelizmente e como esperado, a minha não era novidade, era clássica.
Obrigado, Esdras! Sem a sua solução, certamente, não teria resolvido essa
última questão.

Cordialmente,
PJMS

Em sex., 24 de jul. de 2020 às 12:19, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Obrigado Claudio e Esdras, fatoração show
>
>
> Em sex., 24 de jul. de 2020 às 11:12, Esdras Muniz <
> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
>
>> Se for solução inteira positiva, acho que só tem 3 e 4. Vc supõe spdg x
>> maior ou igual a y, vê que y=1 não tem solução e x=y tb não. Daí, x>y>1.
>> Fatorando a expressão, fica: (xy-8-(x-y))(xy-8+(x-y))=15. Como
>> (xy-8-(x-y))>(xy-8+(x-y))>-2. Temos que ou (xy-8-(x-y))=1 e (xy-8+(x-y))=15,
>> o que não tem soluções inteiras positivas, ou (xy-8-(x-y))=3 e 
>> (xy-8+(x-y))=5,
>> cujas únicas soluções inteiras são x=4 e y=3.
>>
>> Em sex, 24 de jul de 2020 10:36, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no
>>> 1o quadrante.
>>> Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2 -
>>> y^2 = 0.
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>> On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira <
>>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>>>
 Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da
 equação
 (xy-7)^2=x^2+y^2.

 Desde já agradeço a ajuda
 Douglas Oliveira

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números

[Prof. Douglas Oliveira]

Obrigado Claudio e Esdras, fatoração show


Em sex., 24 de jul. de 2020 às 11:12, Esdras Muniz <
esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:

> Se for solução inteira positiva, acho que só tem 3 e 4. Vc supõe spdg x
> maior ou igual a y, vê que y=1 não tem solução e x=y tb não. Daí, x>y>1.
> Fatorando a expressão, fica: (xy-8-(x-y))(xy-8+(x-y))=15. Como
> (xy-8-(x-y))>(xy-8+(x-y))>-2. Temos que ou (xy-8-(x-y))=1 e (xy-8+(x-y))=15,
> o que não tem soluções inteiras positivas, ou (xy-8-(x-y))=3 e (xy-8+(x-y))=5,
> cujas únicas soluções inteiras são x=4 e y=3.
>
> Em sex, 24 de jul de 2020 10:36, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no
>> 1o quadrante.
>> Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2 -
>> y^2 = 0.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>> On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da
>>> equação
>>> (xy-7)^2=x^2+y^2.
>>>
>>> Desde já agradeço a ajuda
>>> Douglas Oliveira
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números

[Esdras Muniz]

Se for solução inteira positiva, acho que só tem 3 e 4. Vc supõe spdg x
maior ou igual a y, vê que y=1 não tem solução e x=y tb não. Daí, x>y>1.
Fatorando a expressão, fica: (xy-8-(x-y))(xy-8+(x-y))=15. Como
(xy-8-(x-y))>(xy-8+(x-y))>-2.
Temos que ou (xy-8-(x-y))=1 e (xy-8+(x-y))=15, o que não tem soluções
inteiras positivas, ou (xy-8-(x-y))=3 e (xy-8+(x-y))=5, cujas únicas
soluções inteiras são x=4 e y=3.

Em sex, 24 de jul de 2020 10:36, Claudio Buffara 
escreveu:

> Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no 1o
> quadrante.
> Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2 -
> y^2 = 0.
>
> []s,
> Claudio.
>
> On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>
>> Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da equação
>> (xy-7)^2=x^2+y^2.
>>
>> Desde já agradeço a ajuda
>> Douglas Oliveira
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números

[Claudio Buffara]

Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no 1o
quadrante.
Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2 -
y^2 = 0.

[]s,
Claudio.

On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:

> Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da equação
> (xy-7)^2=x^2+y^2.
>
> Desde já agradeço a ajuda
> Douglas Oliveira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Ajuda em teoria dos números

[Prof. Douglas Oliveira]

Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da equação
(xy-7)^2=x^2+y^2.

Desde já agradeço a ajuda
Douglas Oliveira

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Ajuda em trigonometria

[Prof. Douglas Oliveira]

Olá amigos, preciso de uma ajuda no seguinte problema abaixo:

Quero descobrir a solução geral para a equação trigonométrica

cos(ax+b)+cos(cx+d)=cos(ex+f)+cos(gx+h)


Sempre que nos deparamos com aqueles problemas de perseguição angular ou
outro tipo de problema de ângulos adventícios, geralmente caímos em um tipo
de equação desta.

Gostaria de uma ajuda, indicação de algum artigo, ou trabalho que fale sobe
isso. Pois acredito que já deve existir algo nesse sentido.

Desde já, muitíssimo obrigado.

Um grande abraço do
Douglas Oliveira

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Pedro José]

Boa noite!
Errata da nota anterior independente de m e não de m, supondo (m,n)=1 e m/n
não inteiro.
Outro ponto não há necessidade a verificação de se o proposto vale para
quando n for múltiplo de 2 ou de 10, pois a ordem m mod n só existe se
(10,n)=1. Foi bobagem só ter aventado a possibilidade.
não coloquei como cheguei a conclusão de que era ordem 10 mod n, pois achei
bem intuitivo. Mas na hora que fui mostrar, achei complicado o que julgara
fácil. Mas quanto a isso estou seguro.
Para (n,m)=1 e (n,10)=1 e n/m não inteiro.
Se m>n pode-se representar por uma fração q j/n com q, j e n inteiros e
(j,n)=1 pois m=qn+j e se d<>1 divide n e j então d|m pois m é uma Z
combinação linear de j e n. Absurdo pois(m,n)=1 por hipótese.
Então sem perda de generalidade podemos só trabalhar para o caso m=2, está correta.

Saudações,
PJMS


Em dom, 8 de mar de 2020 16:09, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Douglas,
> Não creio, no meu entendimento 3^2003 é o número de algarismos da dízima
> pois, é a ordem 10 módulo 3^2005.
> 1/3^2005 tem uma montoeira de algarismos zeros no início do período o que
> não acontece em 3^2005.
> O número de algarismos do período de uma dízima m/n, pelo menos quando n
> não  é múltiplo dos primos 2 e 5 é ord10mod n e independe de n. Nao
> verifiquei se vale sem a restriçao.
> Por exemplo o período de 1/7 é 142857 e ord 10 mod 7 = 6.
> Se aquele fosse o período da dízima bastaria fazer n =[log10 (3^2003)+1]
> onde colchetes representam parte inteira..
> Minha dúvida está na prova por absurdo, que ord 10 mod 3^n= 3^(n-2).
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
> Em dom, 8 de mar de 2020 11:31, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> 3^2003 é o período certo??, o número de dígitos disso que seria a
>> pergunta.
>> 
>>
>> Douglas oliveira
>>
>> Em dom, 8 de mar de 2020 11:13, Prof. Douglas Oliveira <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma
>>> olhada rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma,
>>> assim que tiver um tempinho.
>>>
>>> Douglas Oliveira.
>>>
>>> Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Bom dia!
 Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou
 matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de
 espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender
 fica para o futuro. Quando me aposentar  cursar uma faculdade de
 matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém
 poderia me informar se está correto?
 Saudações,
 PJMS.

 Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José 
 escreveu:

> Boa tarde!
> Não me senti muito seguro na resposta. Está correto?
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa noite!
>> Creio ter conseguido.
>> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1
>> então k é a ordem 10 mod 3^2005.
>> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então
>> pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i)
>> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se
>> x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2> ord 10 mod 3^2005 =3^2003
>> 3^2003 algarismos
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> 3^2005 e não 10^2005.
>>>
>>> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa tarde!
 Questão complicada.
 Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10
 mod 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
 Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas
 parece que não...
 Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
 O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n =
 3^(n-2) para n>=2.
 Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a
 conjectura esteja correta.

 Saudações,
 PJMS

 Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
 profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>
>
> Saudações
> Douglas Oliveira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Pedro José]

Boa tarde!
Douglas,
Não creio, no meu entendimento 3^2003 é o número de algarismos da dízima
pois, é a ordem 10 módulo 3^2005.
1/3^2005 tem uma montoeira de algarismos zeros no início do período o que
não acontece em 3^2005.
O número de algarismos do período de uma dízima m/n, pelo menos quando n
não  é múltiplo dos primos 2 e 5 é ord10mod n e independe de n. Nao
verifiquei se vale sem a restriçao.
Por exemplo o período de 1/7 é 142857 e ord 10 mod 7 = 6.
Se aquele fosse o período da dízima bastaria fazer n =[log10 (3^2003)+1]
onde colchetes representam parte inteira..
Minha dúvida está na prova por absurdo, que ord 10 mod 3^n= 3^(n-2).

Saudações,
PJMS



Em dom, 8 de mar de 2020 11:31, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> 3^2003 é o período certo??, o número de dígitos disso que seria a pergunta.
> 
>
> Douglas oliveira
>
> Em dom, 8 de mar de 2020 11:13, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma
>> olhada rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma,
>> assim que tiver um tempinho.
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>> Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Bom dia!
>>> Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou
>>> matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de
>>> espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender
>>> fica para o futuro. Quando me aposentar  cursar uma faculdade de
>>> matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém
>>> poderia me informar se está correto?
>>> Saudações,
>>> PJMS.
>>>
>>> Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa tarde!
 Não me senti muito seguro na resposta. Está correto?

 Saudações,
 PJMS

 Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José 
 escreveu:

> Boa noite!
> Creio ter conseguido.
> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1
> então k é a ordem 10 mod 3^2005.
> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então
> pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i)
> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se
> x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2 ord 10 mod 3^2005 =3^2003
> 3^2003 algarismos
> Saudações,
> PJMS
>
> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> 3^2005 e não 10^2005.
>>
>> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Questão complicada.
>>> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10
>>> mod 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
>>> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas
>>> parece que não...
>>> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
>>> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2)
>>> para n>=2.
>>> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a
>>> conjectura esteja correta.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?


 Saudações
 Douglas Oliveira

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Prof. Douglas Oliveira]

3^2003 é o período certo??, o número de dígitos disso que seria a pergunta.


Douglas oliveira

Em dom, 8 de mar de 2020 11:13, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma
> olhada rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma,
> assim que tiver um tempinho.
>
> Douglas Oliveira.
>
> Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José  escreveu:
>
>> Bom dia!
>> Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou
>> matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de
>> espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender
>> fica para o futuro. Quando me aposentar  cursar uma faculdade de
>> matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém
>> poderia me informar se está correto?
>> Saudações,
>> PJMS.
>>
>> Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Não me senti muito seguro na resposta. Está correto?
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>> Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa noite!
 Creio ter conseguido.
 Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1
 então k é a ordem 10 mod 3^2005.
 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então
 pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i)
 Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se
 x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k>>> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2>>> ord 10 mod 3^2005 =3^2003
 3^2003 algarismos
 Saudações,
 PJMS

 Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José 
 escreveu:

> Boa tarde!
> 3^2005 e não 10^2005.
>
> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Questão complicada.
>> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10
>> mod 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
>> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas
>> parece que não...
>> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
>> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2)
>> para n>=2.
>> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a
>> conjectura esteja correta.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>>>
>>>
>>> Saudações
>>> Douglas Oliveira
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Prof. Douglas Oliveira]

Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma olhada
rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma, assim que
tiver um tempinho.

Douglas Oliveira.

Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
> Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou
> matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de
> espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender
> fica para o futuro. Quando me aposentar  cursar uma faculdade de
> matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém
> poderia me informar se está correto?
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Não me senti muito seguro na resposta. Está correto?
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa noite!
>>> Creio ter conseguido.
>>> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1
>>> então k é a ordem 10 mod 3^2005.
>>> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então
>>> pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i)
>>> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se
>>> x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k>> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2>> ord 10 mod 3^2005 =3^2003
>>> 3^2003 algarismos
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa tarde!
 3^2005 e não 10^2005.

 Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José 
 escreveu:

> Boa tarde!
> Questão complicada.
> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod
> 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas
> parece que não...
> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2)
> para n>=2.
> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a
> conjectura esteja correta.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>>
>>
>> Saudações
>> Douglas Oliveira
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Pedro José]

Bom dia!
Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou
matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de
espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender
fica para o futuro. Quando me aposentar  cursar uma faculdade de
matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém
poderia me informar se está correto?
Saudações,
PJMS.

Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Não me senti muito seguro na resposta. Está correto?
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa noite!
>> Creio ter conseguido.
>> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 então
>> k é a ordem 10 mod 3^2005.
>> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então
>> pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i)
>> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se x<>3^(n-2)
>> absurdo; pois, teria que ser 3^k com k> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2> ord 10 mod 3^2005 =3^2003
>> 3^2003 algarismos
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> 3^2005 e não 10^2005.
>>>
>>> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa tarde!
 Questão complicada.
 Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod
 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
 Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas
 parece que não...
 Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
 O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2)
 para n>=2.
 Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a
 conjectura esteja correta.

 Saudações,
 PJMS

 Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
 profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>
>
> Saudações
> Douglas Oliveira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Pedro José]

Boa tarde!
Não me senti muito seguro na resposta. Está correto?

Saudações,
PJMS

Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José 
escreveu:

> Boa noite!
> Creio ter conseguido.
> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 então
> k é a ordem 10 mod 3^2005.
> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então pelo
> lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i)
> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se x<>3^(n-2)
> absurdo; pois, teria que ser 3^k com k e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2 ord 10 mod 3^2005 =3^2003
> 3^2003 algarismos
> Saudações,
> PJMS
>
> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> 3^2005 e não 10^2005.
>>
>> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Questão complicada.
>>> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod
>>> 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
>>> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece
>>> que não...
>>> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
>>> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2)
>>> para n>=2.
>>> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura
>>> esteja correta.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?


 Saudações
 Douglas Oliveira

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Pedro José]

Boa noite!
Creio ter conseguido.
Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 então k
é a ordem 10 mod 3^2005.
3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então pelo
lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i)
Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se x<>3^(n-2)
absurdo; pois, teria que ser 3^k com k escreveu:

> Boa tarde!
> 3^2005 e não 10^2005.
>
> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Questão complicada.
>> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod
>> 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
>> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece
>> que não...
>> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
>> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) para
>> n>=2.
>> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura
>> esteja correta.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>>>
>>>
>>> Saudações
>>> Douglas Oliveira
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Pedro José]

Boa tarde!
3^2005 e não 10^2005.

Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Questão complicada.
> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod
> 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece
> que não...
> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) para
> n>=2.
> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura
> esteja correta.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>>
>>
>> Saudações
>> Douglas Oliveira
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Pedro José]

Boa tarde!
Questão complicada.
Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod
10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece
que não...
Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) para
n>=2.
Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura
esteja correta.

Saudações,
PJMS

Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>
>
> Saudações
> Douglas Oliveira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Carlos Victor]

 

Estou conjecturando que 1/3^n tem período igual a 3^(n-2) , para n>=3. 

Carlos Victor 

Em 20/02/2020 18:01, Prof. Douglas Oliveira escreveu: 

> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? 
> 
> Saudações 
> Douglas Oliveira 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Ajuda com dízima

[Prof. Douglas Oliveira]

Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?


Saudações
Douglas Oliveira

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em duas questões (Geometria plana e equação funcional)

[Anderson Torres]

Sempre que possível, crie um e-mail para cada questão. Assim, fica
mais fácil para cada participante acompanhar a discussão. Eu por
exemplo gosto bem mais de geometria que de álgebra. Ao ler esse e-mail
e suas respostas, eu não sei de cara se estou comentando a questão de
geometria ou a de álgebra.

Em sex., 13 de dez. de 2019 às 21:05, Prof. Douglas Oliveira
 escreveu:
>
> 1) Dado um triângulo equilátero ABC, e os segmentos internos de reta BS, CT e 
> AR tais que BS=CT=AR e além disso B, R, S estão alinhados, C, S, T estão 
> alinhados e A, T, R estão alinhados, mostre que o triângulo RST também é 
> equilátero.

>
> 2) Essa é a questão da (IMO shortlisted 2008)
>   . Find all functions f : (0, ∞) → (0, ∞) such that [(f(p))^2 + (f(q))^2]/ 
> f(r^2 ) + f(s^2 ) = (p^2 + q^2)/(r^2 + s^2) for all p, q, r, s > 0 with pq = 
> rs.
>
> Pois bem, a minha dúvida é , eu cheguei em duas soluções f(x)=x e f(x)=1/x, e 
> a minha pergunta seria , precisa mostrar que são as únicas soluções?

A princípio, durante a resolução você automaticamente exclui a
possibilidade de existirem outras soluções. Essa unicidade já fica
"embutida".

Até porque, é muito raro resolver uma equação funcional por
"eliminação" ou por "contradição"; elas costumam ser resolvidas de
maneira mais dedutiva.

Se sua solução for parecida com a oficial - que começa demonstrando
que f(x^2)=(f(x))^2 e daí


>
> Saudações
> Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em duas questões (Geometria plana e equação funcional)

[Matheus Bezerra]

Olá Douglas, boa noite! Professor, já fiz essa questão 2 e do jeito que
resolvi, já fica meio que implícito que essas são as únicas soluções. Envia
tua solução para que eu possa analisar, se possivel!

Em sex, 13 de dez de 2019 21:05, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> 1) Dado um triângulo equilátero ABC, e os segmentos internos de reta BS,
> CT e AR tais que BS=CT=AR e além disso B, R, S estão alinhados, C, S, T
> estão alinhados e A, T, R estão alinhados, mostre que o triângulo RST
> também é equilátero.
>
> 2) Essa é a questão da (IMO shortlisted 2008)
>   . Find all functions f : (0, ∞) → (0, ∞) such that [(f(p))^2 +
> (f(q))^2]/ f(r^2 ) + f(s^2 ) = (p^2 + q^2)/(r^2 + s^2) for all p, q, r, s >
> 0 with pq = rs.
>
> Pois bem, a minha dúvida é , eu cheguei em duas soluções f(x)=x e
> f(x)=1/x, e a minha pergunta seria , precisa mostrar que são as únicas
> soluções?
>
> Saudações
> Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Ajuda em duas questões (Geometria plana e equação funcional)

[Prof. Douglas Oliveira]

1) Dado um triângulo equilátero ABC, e os segmentos internos de reta BS, CT
e AR tais que BS=CT=AR e além disso B, R, S estão alinhados, C, S, T estão
alinhados e A, T, R estão alinhados, mostre que o triângulo RST também é
equilátero.

2) Essa é a questão da (IMO shortlisted 2008)
  . Find all functions f : (0, ∞) → (0, ∞) such that [(f(p))^2 + (f(q))^2]/
f(r^2 ) + f(s^2 ) = (p^2 + q^2)/(r^2 + s^2) for all p, q, r, s > 0 with pq
= rs.

Pois bem, a minha dúvida é , eu cheguei em duas soluções f(x)=x e f(x)=1/x,
e a minha pergunta seria , precisa mostrar que são as únicas soluções?

Saudações
Douglas Oliveira.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em divisores

[Bob Roy]

 

Oi Pacini, 

Basta fazer 98x19=1862. 

Bobroy 

Em 17/02/2019 0:09, Pacini Bores escreveu: 

> Uma ajuda : 
> 
> Seja N=(2^98).(3^19). Quantos inteiros positivos, divisores de N^2 são 
> menores que N e não dividem N? 
> 
> Obrigado 
> 
> Pacini 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em divisores

[Anderson Torres]

Em dom, 17 de fev de 2019 às 00:22, Pacini Bores
 escreveu:
>
> Uma ajuda :
>
> Seja N=(2^98).(3^19). Quantos inteiros positivos, divisores de N^2 são 
> menores que N e não dividem N?
>

Não trate ponto como cdot.

Complicado. Um número d desse tipo teria que ser da forma 2^a * 3^b,
com a<=196 e b<=38.

O problema de d não dividir N pode ser visto como ou a>98, ou b>19, ou
os dois. O úmtimo caso não pode ser,

Agora, para ser menor, a coisa complica um bocado. Vamos tentar
dividir em casos:

- SE a>98 e b>19, não dá, pois seria maior que N.

- SE a>98, temos 2^(a-98) < 3^(19-b), ou (a-98) log 2 < (19-b) log 3.
Dá para ir testando b de 0 a 19 e verificando as possibilidades

- SE b>19, temos 2^(98-a) < 3^(b-19), ou (98-a) log 2 < (b-19) log 3.
Dá para ir testando b de 20 até 38 e verificando as possibilidades.

> Obrigado
>
> Pacini
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Ajuda em divisores

[Pacini Bores]

 

Uma ajuda : 

Seja N=(2^98).(3^19). Quantos inteiros positivos, divisores de N^2 são
menores que N e não dividem N? 

Obrigado 

Pacini 
 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Ajuda em números reais

[marcone augusto araújo borges]

Sejam a, b , c e d são números reais tais que a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1, ac + 
bd = 0. Calcule ab + cd


Pensando em produto escalar, podemos dizer que a = senx, b = - cosx, c = cosx e 
d =  senx ? Nesse caso, ab + cd = 0. Um colega achou +1 ou -1

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em números reais

[Claudio Buffara]

Pensando nos vetores unitários (a,b) e (c,d), ac + bd = 0 implica (via
produto escalar, como você sugeriu) que estes vetores são ortogonais e que,
portanto:
c = b, d = -a ==> ab + cd = ab + b(-a) = 0
ou
c = -b, d = a ==> ab + cd = ab + (-b)a = 0.

[]s,
Claudio.


On Sat, Aug 25, 2018 at 1:19 PM marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> wrote:

> Sejam a, b , c e d são números reais tais que a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1,
> ac + bd = 0. Calcule ab + cd
>
>
> Pensando em produto escalar, podemos dizer que a = senx, b = - cosx, c =
> cosx e d =  senx ? Nesse caso, ab + cd = 0. Um colega achou +1 ou -1
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[João Lucas Lopes Gambarra]

Certamente uma das melhores soluções que eu já vi para esse tipo de problema

Uma resolução "verdadeiramente olímpica"

Muito bom mesmo, parabéns!

Em 16 de julho de 2018 09:13, matematica10complicada <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como]
>  algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente.
> Veja só:
>
> 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve
> existir um "a" para que isso seja verdade usando médias.
>
> 2) Depois estive a desenvolver,   x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36
> >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG.
>
> 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que  4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>=
> (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a.
>
> 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n ,
> teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma
> an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3.
>
> 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica   x^3+y^3/xy+9 >=
> x+y-3 o que de forma análoga teremos:
>
> P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9.
>
> Acho que é isso.
>
> Douglas Oliveira.
>
>
>
> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>
>> Agradeço desde já.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Claudio Buffara]

Muito bom!  E o mínimo (= 9) de fato é atingido quando x = y = z = 3.

(x^3+y^3)/(xy+9) tem grau 3 - 2 = 1, de modo que faz sentido buscar uma
desigualdade da forma  (x^3+y^3)/(xy+9) >= x+y+a  (*)

E a ideia é especialmente boa pois o lado direito da forma x+y+a resulta
(somando as três desigualdades oriundas das 3 parcelas de P) em:
P >= 2(x+y+z) + 3a = 18 + 3a.

Com base na conjectura de que P mínimo = 9 (quando x = y = z = 3), daria
até pra conjecturar que a desigualdade (*) vale com a = -3, mas no fim das
contas, sua análise acabou achando o valor de "a" sem precisar da
conjectura.

Também foi uma boa ideia procurar uma desigualdade envolvendo apenas (x+y),
usando, em especial (no passo 3), a desigualdade das médias potenciais:
((x^3+y^3)/2)^(1/3) >= (x+y)/2.

Gostei! Parabéns!


[]s,
Claudio.


2018-07-16 9:13 GMT-03:00 matematica10complicada <
profdouglaso.del...@gmail.com>:

> Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como]
>  algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente.
> Veja só:
>
> 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve
> existir um "a" para que isso seja verdade usando médias.
>
> 2) Depois estive a desenvolver,   x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36
> >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG.
>
> 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que  4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>=
> (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a.
>
> 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n ,
> teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma
> an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3.
>
> 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica   x^3+y^3/xy+9 >=
> x+y-3 o que de forma análoga teremos:
>
> P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9.
>
> Acho que é isso.
>
> Douglas Oliveira.
>
>
>
> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>
>> Agradeço desde já.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Ajuda em desigualdade

[marcone augusto araújo borges]

Obrigado a todos que resolveram ou ajudaram.

Costumo ver intervenções bem interessantes aqui.

Vou fazer um pedido(se não for inconveniente):

indicações de fontes de problemas(teoria dos números de preferência)

para alguém que gostaria de melhorar suas habilidades, por prazer

pessoal mesmo. Seria muito mais para iniciante do que para um nível

mais avançado. Obrigado.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Claudio Buffara]

Eu também

2018-07-16 10:21 GMT-03:00 Daniel Quevedo :

> Recebi
>
> Em seg, 16 de jul de 2018 às 10:19, Kevin Felipe Kuhl Oliveira <
> kevin_k...@usp.br> escreveu:
>
>> Gostaria de saber se minhas mensagens são recebidas.
>>
>> Por favor, se você visualizou esta mensagem, me avise.
>>
>> Obrigado
>> On 16 Jul 2018 09:52 -0300, matematica10complicada <
>> profdouglaso.del...@gmail.com>, wrote:
>>
>> Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como]
>>  algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente.
>> Veja só:
>>
>> 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que
>> deve existir um "a" para que isso seja verdade usando médias.
>>
>> 2) Depois estive a desenvolver,   x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36
>> >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG.
>>
>> 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que  
>> 4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>=
>> (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a.
>>
>> 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n ,
>> teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma
>> an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3.
>>
>> 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica   x^3+y^3/xy+9 >=
>> x+y-3 o que de forma análoga teremos:
>>
>> P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9.
>>
>> Acho que é isso.
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>>
>>
>> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>>
>>> Agradeço desde já.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>>
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>>
>>
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Daniel Quevedo]

Recebi

Em seg, 16 de jul de 2018 às 10:19, Kevin Felipe Kuhl Oliveira <
kevin_k...@usp.br> escreveu:

> Gostaria de saber se minhas mensagens são recebidas.
>
> Por favor, se você visualizou esta mensagem, me avise.
>
> Obrigado
> On 16 Jul 2018 09:52 -0300, matematica10complicada <
> profdouglaso.del...@gmail.com>, wrote:
>
> Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como]
>  algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente.
> Veja só:
>
> 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve
> existir um "a" para que isso seja verdade usando médias.
>
> 2) Depois estive a desenvolver,   x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36
> >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG.
>
> 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que  4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>=
> (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a.
>
> 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n ,
> teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma
> an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3.
>
> 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica   x^3+y^3/xy+9 >=
> x+y-3 o que de forma análoga teremos:
>
> P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9.
>
> Acho que é isso.
>
> Douglas Oliveira.
>
>
>
> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>
>> Agradeço desde já.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
>
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>
>
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Kevin Felipe Kuhl Oliveira]

Gostaria de saber se minhas mensagens são recebidas.

Por favor, se você visualizou esta mensagem, me avise.

Obrigado
On 16 Jul 2018 09:52 -0300, matematica10complicada 
, wrote:
> Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como]
>  algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente.
> Veja só:
>
> 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve 
> existir um "a" para que isso seja verdade usando médias.
>
> 2) Depois estive a desenvolver,   x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36 
> >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG.
>
> 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que  
> 4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>= (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a.
>
> 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n , 
> teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma
> an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3.
>
> 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica   x^3+y^3/xy+9 >= x+y-3 o 
> que de forma análoga teremos:
>
> P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9.
>
> Acho que é isso.
>
> Douglas Oliveira.
>
>
>
> > Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges 
> >  escreveu:
> > > Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor 
> > > mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
> > > Agradeço desde já.
> > >
> > > --
> > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > > acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[matematica10complicada]

Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como]
 algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente.
Veja só:

1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve
existir um "a" para que isso seja verdade usando médias.

2) Depois estive a desenvolver,   x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36
>=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG.

3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que  4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>=
(x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a.

4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n ,
teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma
an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3.

5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica   x^3+y^3/xy+9 >= x+y-3
o que de forma análoga teremos:

P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9.

Acho que é isso.

Douglas Oliveira.



Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>
> Agradeço desde já.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Pedro José]

Boa tarde!
Depois me apercebi que quando encontrei x=y=z, não é garantido que x=y
implica em x=z.
Portanto, falta mostrar para x=y escreveu:

> Boa noite!
>
> Ontem, num momento solitário e introspectivo, estudando um pouco de
> mitologia grega no livro de Junito Brandão, bebendo um belo e apetitoso
> vinho e a escutar John Coltrane, soprando formosuras em seu sax, veio-me
> uma inspiração. Larguei a leitura, sem deixar os demais prazeres e creio
> ter conseguido solucionar o problema. Com uma parcela bem exagerada de
> paciência e braço.
>
> *Passo 1: Cálculo das derivadas parciais.*
>
> em relação a x (não sei como fazer para símbolos no computador) Gx(x,y,z)
> = [3x^2(xy+9) - (x^3+y^3)y]/(xy+9)^2 + [3x^2(xz+9) - (x^3+z^3)z]/(xz+9)^2
>
> em relação a
> y
> Gy(x,yz) = [3y^2(xy+9) - (x^3+y^3)x]/(xy+9)^2 + [3y^2(yz+9) -
> (y^3+z^3)z]/(yz+9)^2
>
> e em relação a
> z
> Gz(x,yz) = [3z^2(xz+9) - (x^3+z^3)x]/(xz+9)^2 + [3z^2(yz+9) -
> (y^3+z^3)y]/(yz+9)^2
>
>
> *Passo 2. Achando a condição para ser um ponto crítico e um certo ponto
> crítico.*
>
> Por Lagrange Gradiente se (xo,yo,zo) é um ponto crítico: F(xo,yo,zo) = k.
> Gradiente de R(xo,yo,zo) e R(xo,yo,zo)=cte da restrição, onde R(x,y,z)= x+y
> +z e a constante é 9e F(x,y,z) é o que pretendemos minimizar.
>
> R(x,y,z) =(1,1,1) então Gx(xo,yo,zo)=Gy(xo,yo,zo)=Gz(xo,yo,zo)
>
> Gx(xo,yo,zo) - Gy(xo,yo,zo)=0.
>
> Desenvolvendo a expressão chegamos a:
>
> C1(x,y,z,) (x^3-y^3) +[ C2(x,y,z) + C3(x,y,z) + C4(x,y,z) + C5(x,y,z) ]
> (x^2-y^2) + [ C6(x,y,z) +C7(x,y,z) +C8(x,y,z) +C9(x,y,z) +C10(x,y,z) ]
> (x-y)/[(xy+9)(xz+9)(yz+9)]^2=0
>
> onde:
>
> C1(x,y,z) =  -81z(xy+9)^2
>
> C2(x,y,z) = 3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2
> C3(x,y,z) = 27(xy+9)^2(xz+9).(yz+9)
> C4(x,y,z) = -18(xyz^2)(xy+9)^2
> C5(x,y,z) = z^6(xy+9)^2
>
> C6(x,y,z) = 3(xz+9)^2(yz+9)^2(x^3+y^3)
> C7(x,y,z) = 3(xyz)(xz+9)(yz+9)(xy+9)^2
> C8(x,y,z) = -x^2y^2z^3(xy+9)^2
> C9(x,y,z) = 18z^5(xy+9)^2
>
> Logo xo=yo atende a equação acima e xo=zo atenderá a Gx(x,y,z)=Gz(xo,yo,zo)
> Portanto pela restrição x+y+z=9 temos xo=yo=zo=3, formando um ponto
> crítico, ou seja, (3,3,3)
>
> *Passo 3. Provando que o ponto crítico é único*
>
> Agora devemos provar que é único, pois, caso contrário achar as demais
> raízes dessa equação é casca. Foi aqui que sucumbi na primeira tentativa.
> Mas conjecturando sobre o que significaria o fogo no mito de Prometeu, que
> fora trazido para os homens escondido numa férula e com esse ato enfurecido
> Zeus. Se seria simplesmente, o fogo propriamente dito ou algum conhecimento
> específico como o ensinamento das estações, de como fazer o plantio, o
> simbolismo da inteligência...Quando pensei e se para x<>y Provar que todos
> os componentes somados tem o mesmo sinal, só haverá uma raiz, pois a
> expressão total não é uma constante.
> Então como a função a ser minimizada é simétrica, basta mostrar que não
> atende para:
>
> x
> C3(x,y,z) + C4(x,y,z) > 0, pois 27(xy+9)^2.(xz+9).(yz+9) >
> 18xyz^2(xy+9)^2. Pois, 27(xz+9)(yz+9) > 18xyz^2, pela restrição do problema
> x,y,z positivos.
> C2 e C5 são positivos, então legal para o termo que multiplica (x^2-y^2).
>
> C7(x,y,z) +C8(x,y,z) >0, também é fácil, simplifica (xy+9)^2 e tem um
> termo de C7(x,y,z) que é 27xyz^2, ue já é suficiente e os outros são
> positivos.
>
> O patinho feio C1(x,y,z) é negativo.
>
> então tentei com uns termos que sobraram em (x^2-y^2), mostrar que.
>
> -(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 (x^2-y^2) + z^6(xy+9)^2 (x^2-y^2) > 81z(xy+9)^2
> (y^3-x^3), para garantir que C1 ((x^3-y3) + (C2+C5) (x^2-y2) < 0, com sinal
> igual as demais parcelas. (x+y
>
> (x+y)(y^2-x^2) + yx^2 - xy^2 = y^3-x^3. Como 0 yx^2 portanto y3-x^3 < (x+y) (y^2-x2)
>
> Mas pela ordem assumida como premissa x+y<6, pois se x+y>=6 ==> z<=3 e
> fere a ordem da premissa.
>
> então: 81z(xy+9)^2 (y^3-x^3) < 486z(xy+9)^2 (y^2-x^2)
>
> Se provar que -[3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 + z^6(xy+9)^2 ](x^2-y^2) >
> 486z(xy+9)^2 (y^2-x^2) só há um ponto crítico.
>
> Dividindo por(y^2-x^2)>0, por hipótese, temos: (xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 +
> z^6(xy+9)^2 > 486z(xy+9)^2
>
> 3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2> (-z^6+ 486z) (xy+9)^2 mas -z6+486z é monótona
> crescente para z>raizquinta(81)~2,41.
>
> Como z>3 (-z^6+ 486z) (xy+9)^2 < 729 (xy+9)^2
> Como (zx+9)>(xy+9)
> Basta provar que: 3(xz+9)(yz+9)^2 > 729, só o termo independente atende
> 2187 e os demais da esquerda são positivos.
> O ponto crítico é único.
>
> *Passo 4, FINAL. Provando que é um ponto de mínimo.*
>
> Para compor a hessiana,tentei achar a folha que tinha feito as segundas
> derivadas parciais, mas não tive sucesso. Ainda teria que calcular as
> parciais em x,y em x,z e em y,z.
>
> Então pensei:
>
> O ponto crítico é único e a função é contínua.
>
> O ponto pode ser de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
>
> Se for mínimo local, o valor da função aplicado em (3,3,3) que é 9 é o
> valor mínimo da função.
>
> Caso contrário haverá um limitante, menor que 9, mas não haverá solução,
> visto que o domínio dá um triângulo aberto e 

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Pedro José]

Boa noite!

Ontem, num momento solitário e introspectivo, estudando um pouco de
mitologia grega no livro de Junito Brandão, bebendo um belo e apetitoso
vinho e a escutar John Coltrane, soprando formosuras em seu sax, veio-me
uma inspiração. Larguei a leitura, sem deixar os demais prazeres e creio
ter conseguido solucionar o problema. Com uma parcela bem exagerada de
paciência e braço.

*Passo 1: Cálculo das derivadas parciais.*

em relação a x (não sei como fazer para símbolos no computador) Gx(x,y,z) =
[3x^2(xy+9) - (x^3+y^3)y]/(xy+9)^2 + [3x^2(xz+9) - (x^3+z^3)z]/(xz+9)^2

em relação a y
Gy(x,yz) = [3y^2(xy+9) - (x^3+y^3)x]/(xy+9)^2 + [3y^2(yz+9) -
(y^3+z^3)z]/(yz+9)^2

e em relação a z
Gz(x,yz) = [3z^2(xz+9) - (x^3+z^3)x]/(xz+9)^2 + [3z^2(yz+9) -
(y^3+z^3)y]/(yz+9)^2


*Passo 2. Achando a condição para ser um ponto crítico e um certo ponto
crítico.*

Por Lagrange Gradiente se (xo,yo,zo) é um ponto crítico: F(xo,yo,zo) = k.
Gradiente de R(xo,yo,zo) e R(xo,yo,zo)=cte da restrição, onde R(x,y,z)= x+y
+z e a constante é 9e F(x,y,z) é o que pretendemos minimizar.

R(x,y,z) =(1,1,1) então Gx(xo,yo,zo)=Gy(xo,yo,zo)=Gz(xo,yo,zo)

Gx(xo,yo,zo) - Gy(xo,yo,zo)=0.

Desenvolvendo a expressão chegamos a:

C1(x,y,z,) (x^3-y^3) +[ C2(x,y,z) + C3(x,y,z) + C4(x,y,z) + C5(x,y,z) ]
(x^2-y^2) + [ C6(x,y,z) +C7(x,y,z) +C8(x,y,z) +C9(x,y,z) +C10(x,y,z) ]
(x-y)/[(xy+9)(xz+9)(yz+9)]^2=0

onde:

C1(x,y,z) =  -81z(xy+9)^2

C2(x,y,z) = 3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2
C3(x,y,z) = 27(xy+9)^2(xz+9).(yz+9)
C4(x,y,z) = -18(xyz^2)(xy+9)^2
C5(x,y,z) = z^6(xy+9)^2

C6(x,y,z) = 3(xz+9)^2(yz+9)^2(x^3+y^3)
C7(x,y,z) = 3(xyz)(xz+9)(yz+9)(xy+9)^2
C8(x,y,z) = -x^2y^2z^3(xy+9)^2
C9(x,y,z) = 18z^5(xy+9)^2

Logo xo=yo atende a equação acima e xo=zo atenderá a Gx(x,y,z)=Gz(xo,yo,zo)
Portanto pela restrição x+y+z=9 temos xo=yo=zo=3, formando um ponto
crítico, ou seja, (3,3,3)

*Passo 3. Provando que o ponto crítico é único*

Agora devemos provar que é único, pois, caso contrário achar as demais
raízes dessa equação é casca. Foi aqui que sucumbi na primeira tentativa.
Mas conjecturando sobre o que significaria o fogo no mito de Prometeu, que
fora trazido para os homens escondido numa férula e com esse ato enfurecido
Zeus. Se seria simplesmente, o fogo propriamente dito ou algum conhecimento
específico como o ensinamento das estações, de como fazer o plantio, o
simbolismo da inteligência...Quando pensei e se para x<>y Provar que todos
os componentes somados tem o mesmo sinal, só haverá uma raiz, pois a
expressão total não é uma constante.
Então como a função a ser minimizada é simétrica, basta mostrar que não
atende para:

x 0, pois 27(xy+9)^2.(xz+9).(yz+9) > 18xyz^2(xy+9)^2.
Pois, 27(xz+9)(yz+9) > 18xyz^2, pela restrição do problema x,y,z positivos.
C2 e C5 são positivos, então legal para o termo que multiplica (x^2-y^2).

C7(x,y,z) +C8(x,y,z) >0, também é fácil, simplifica (xy+9)^2 e tem um termo
de C7(x,y,z) que é 27xyz^2, ue já é suficiente e os outros são positivos.

O patinho feio C1(x,y,z) é negativo.

então tentei com uns termos que sobraram em (x^2-y^2), mostrar que.

-(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 (x^2-y^2) + z^6(xy+9)^2 (x^2-y^2) > 81z(xy+9)^2
(y^3-x^3), para garantir que C1 ((x^3-y3) + (C2+C5) (x^2-y2) < 0, com sinal
igual as demais parcelas. (x+y

(x+y)(y^2-x^2) + yx^2 - xy^2 = y^3-x^3. Como 0 yx^2=6 ==> z<=3 e fere
a ordem da premissa.

então: 81z(xy+9)^2 (y^3-x^3) < 486z(xy+9)^2 (y^2-x^2)

Se provar que -[3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 + z^6(xy+9)^2 ](x^2-y^2) >
486z(xy+9)^2 (y^2-x^2) só há um ponto crítico.

Dividindo por(y^2-x^2)>0, por hipótese, temos: (xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 +
z^6(xy+9)^2 > 486z(xy+9)^2

3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2> (-z^6+ 486z) (xy+9)^2 mas -z6+486z é monótona
crescente para z>raizquinta(81)~2,41.

Como z>3 (-z^6+ 486z) (xy+9)^2 < 729 (xy+9)^2
Como (zx+9)>(xy+9)
Basta provar que: 3(xz+9)(yz+9)^2 > 729, só o termo independente atende
2187 e os demais da esquerda são positivos.
O ponto crítico é único.

*Passo 4, FINAL. Provando que é um ponto de mínimo.*

Para compor a hessiana,tentei achar a folha que tinha feito as segundas
derivadas parciais, mas não tive sucesso. Ainda teria que calcular as
parciais em x,y em x,z e em y,z.

Então pensei:

O ponto crítico é único e a função é contínua.

O ponto pode ser de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Se for mínimo local, o valor da função aplicado em (3,3,3) que é 9 é o
valor mínimo da função.

Caso contrário haverá um limitante, menor que 9, mas não haverá solução,
visto que o domínio dá um triângulo aberto e o mínimo estaria na borda que
não faz parte do conjunto.

Para ser mínimo local e global, não pode haver um ponto na borda que
apresente um valor menor que 9. Optei por esse caminho. Se o raciocínio
estiver errado, por favor, indiquem, que voltarei para o calvário da
hessiana.

Como a função é simétrica, basta verificar para um segmento da borda.

Escolhi z=0 e x+y = 9 com x,y>=0 e


Nas extremidades (0,9) ou (9,0) dá o mesmo valor 162 > 9.

Agora vamos achar o mínimo da 

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Claudio Buffara]

Oi, Marcone:

De onde você tirou este problema?

[]s,
Claudio.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Claudio Buffara]

Agora só falta o Marcone dizer de onde saiu este problema...

2018-07-06 21:29 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com>:

> 2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges
> :
> > Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
> > mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>
> Bom, acredito que resolvi.  Com uma ajuda do computador para
> - fazer uns gráficos (1D)
> - calcular derivadas simbólicas
> - calcular uns valores numéricos
>
> Vou assumir que é a soma simétrica de (x^3 + y^3) / (xy + 9) (note a
> posição da barra, eu pensei durante algum tempo que era o inverso
> disso... A\b é uma notação comum para inversa à esquerda... enfim :D).
> Chame essa soma de S.
>
> Primeiro, pense em min (x^3 + y^3) / (xy + 9) com a condição que x+y =
> a.  Esse é um problema mais fácil, a simetria dá que a solução ou é
> simétrica x=y, ou é "extrema" x=0, y = a (ou simetricamente x=a, y=0).
> Calculando, x=y=a/2 dá  g(a) = 2*(a/2)^3 / ((a/2)^2 + 9) = a^3/4 /
> (a^2/4 + 3^2) = a^3 / (a^2 + 6^2)  enquanto que as outras (extremas)
> dão a^3/9.  Como 36 > 9, a primeira é sempre menor, independente de a.
>
> Agora, repita para os outros 2 pares, impondo as condições x+y=a,
> y+z=b, z+x=c e você terá a soma simétrica S2 = g(a) + g(b) + g(c), com
> a condição que a+b+c = 18.  Como isso é um monte de mínimos separados,
> esta nova soma S2 é uma estimativa por baixo de S.  Só que g é convexa
> até x = 6*sqrt(3) (eu pedi ajuda pro maxima pra calcular a segunda
> derivada, mas dá para usar o wolfram alpha), e portanto:
> 1) ou a soma simétrica é minimizada em a=b=c=6 (convexidade => mínimo
> no ponto de simetria), ou
> 2) algum deles é maior do que 6*sqrt(3).
>
> Mas o caso 2 é impossível, porque teríamos x+y = a = 6*sqrt(3) > 10 >
> 9 = x+y+z, absurdo porque z > 0.
>
> O caso 1 implica x=y=z=3, e isso demonstra que (3,3,3) é de fato mínimo
> global.
>
>
> 
>
> Para os que querem todos os detalhes, segue a demonstração de que S2 <= S
>
> S2 = min_{a,b,c} g(a) + g(b) + g(c) s.a. a+b+c = 18
> S = min_{x,y,z} P(x,y) + P(y,z) + P(z,x) s.a. x+y+z = 9
>
> Em S, introduza as variáveis a,b,c como indicado
>
> S = min_{a,b,c,x,y,z} P(x,y) + P(y,z) + P(z,x) s.a. x+y+z = 9, x+y=a,
> y+z=b, z+x=c, a+b+c = 18
>
> E adicione novas variáveis "cópia" X,Y,Z.
>
> S = min_{a,b,c,x,y,z,X,Y,Z} P(x,Y) + P(y,Z) + P(z,X)
> s.a. x+y+z = 9, x+Y = a, y+Z = b, z+X = c, a+b+c = 18, x=X, y=Y, z=Z
>
> Agora, "esqueça" as restrições "que me complicam": x+y+z = 9, x=X,
> y=Y, z=Z.  Isso reduz o valor do mínimo (pois temos mais
> flexibilidade), e "desacopla" o problema em um "mestre" e um
> "subordenado":
>
> S_modif = min_{a,b,c} [min_{x,y,z,X,Y,Z} P(x,Y) + P(y,Z) + P(x,Z) s.a.
> x+Y=a, y+Z=b, z+X=c] s.a. a+b+c = 18
>
> Mas o subordenado está desacoplado também: é igual a [min_{x,Y} P(x,Y)
> s.a. x+Y = a] + [idem y,Z] + [idem z,X] = g(a) + g(b) + g(c) pela
> nossa definição de g.
>
> Isso prova que S_modif = S2, e porque "retiramos restrições", S2 <= S.
>
> O curioso é que, mesmo introduzindo 6 novas variáveis, com 4+4 novas
> restrições (de compatibilidade), e jogando 5 restrições no lixo, ainda
> temos S2 = S.
> 
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges
:
> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)

Bom, acredito que resolvi.  Com uma ajuda do computador para
- fazer uns gráficos (1D)
- calcular derivadas simbólicas
- calcular uns valores numéricos

Vou assumir que é a soma simétrica de (x^3 + y^3) / (xy + 9) (note a
posição da barra, eu pensei durante algum tempo que era o inverso
disso... A\b é uma notação comum para inversa à esquerda... enfim :D).
Chame essa soma de S.

Primeiro, pense em min (x^3 + y^3) / (xy + 9) com a condição que x+y =
a.  Esse é um problema mais fácil, a simetria dá que a solução ou é
simétrica x=y, ou é "extrema" x=0, y = a (ou simetricamente x=a, y=0).
Calculando, x=y=a/2 dá  g(a) = 2*(a/2)^3 / ((a/2)^2 + 9) = a^3/4 /
(a^2/4 + 3^2) = a^3 / (a^2 + 6^2)  enquanto que as outras (extremas)
dão a^3/9.  Como 36 > 9, a primeira é sempre menor, independente de a.

Agora, repita para os outros 2 pares, impondo as condições x+y=a,
y+z=b, z+x=c e você terá a soma simétrica S2 = g(a) + g(b) + g(c), com
a condição que a+b+c = 18.  Como isso é um monte de mínimos separados,
esta nova soma S2 é uma estimativa por baixo de S.  Só que g é convexa
até x = 6*sqrt(3) (eu pedi ajuda pro maxima pra calcular a segunda
derivada, mas dá para usar o wolfram alpha), e portanto:
1) ou a soma simétrica é minimizada em a=b=c=6 (convexidade => mínimo
no ponto de simetria), ou
2) algum deles é maior do que 6*sqrt(3).

Mas o caso 2 é impossível, porque teríamos x+y = a = 6*sqrt(3) > 10 >
9 = x+y+z, absurdo porque z > 0.

O caso 1 implica x=y=z=3, e isso demonstra que (3,3,3) é de fato mínimo global.




Para os que querem todos os detalhes, segue a demonstração de que S2 <= S

S2 = min_{a,b,c} g(a) + g(b) + g(c) s.a. a+b+c = 18
S = min_{x,y,z} P(x,y) + P(y,z) + P(z,x) s.a. x+y+z = 9

Em S, introduza as variáveis a,b,c como indicado

S = min_{a,b,c,x,y,z} P(x,y) + P(y,z) + P(z,x) s.a. x+y+z = 9, x+y=a,
y+z=b, z+x=c, a+b+c = 18

E adicione novas variáveis "cópia" X,Y,Z.

S = min_{a,b,c,x,y,z,X,Y,Z} P(x,Y) + P(y,Z) + P(z,X)
s.a. x+y+z = 9, x+Y = a, y+Z = b, z+X = c, a+b+c = 18, x=X, y=Y, z=Z

Agora, "esqueça" as restrições "que me complicam": x+y+z = 9, x=X,
y=Y, z=Z.  Isso reduz o valor do mínimo (pois temos mais
flexibilidade), e "desacopla" o problema em um "mestre" e um
"subordenado":

S_modif = min_{a,b,c} [min_{x,y,z,X,Y,Z} P(x,Y) + P(y,Z) + P(x,Z) s.a.
x+Y=a, y+Z=b, z+X=c] s.a. a+b+c = 18

Mas o subordenado está desacoplado também: é igual a [min_{x,Y} P(x,Y)
s.a. x+Y = a] + [idem y,Z] + [idem z,X] = g(a) + g(b) + g(c) pela
nossa definição de g.

Isso prova que S_modif = S2, e porque "retiramos restrições", S2 <= S.

O curioso é que, mesmo introduzindo 6 novas variáveis, com 4+4 novas
restrições (de compatibilidade), e jogando 5 restrições no lixo, ainda
temos S2 = S.


Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Claudio Buffara]

Ainda acho que há alguma transformação algébrica que transforma P em algo
mais fácil de manipular.
Por exemplo, P é uma função simétrica, ou seja, qualquer permutação de x, y
e z deixa P invariável.
Isso significa que a superfície P(x,y,z) = k (k = constante) é simétrica em
relação à reta x = y = z.
Assim, talvez uma mudança de base da base canônica do R^3 para a base
(1,0,0), (0,1,0), (1,1,1) resulte numa expressão mais útil para P.




2018-07-06 16:10 GMT-03:00 Pedro José :

> Boa tarde!
>
> Joguei a toalha. Dá para verificar que (3,3,3) é um ponto crítico. Mas
> garantir que a única curva de nível que tangencia o plano x+y+z=9 é (x^3 +
> y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)=9 ou que se existir
> outro ponto de tangência, será para uma curva de nível com a constante >=9,
> não tenho ideia de como fazê-lo.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em 5 de julho de 2018 16:01, Pedro José  escreveu:
>
>> Bom dia!
>> Para mim esse problema foi bom.
>> Pois me fez recordar levemente a otimização, Matriz Hessiana. Tinha uma
>> forma de ver através dos sinais dos determinantes das matrizes menores de
>> menores, mas não lembro mais. Assim que tiver um tempo vou dar uma
>> estudada. Mas já estou adiantando a parte braçal, as derivadas parciais.
>> Como  a função é contínua e podemos ampliar o conjunto para x,y,z>=0 e
>> garantir que existe um mínimo e um máximo global. Aí seria mostrar que
>> (3,3,3) é o único ponto crítico, que é ponto de mínimo local e que nenhum
>> ponto na borda (são três segmentos de reta), x=0 e y+z =9; y=0 e x+z=9; z=o
>> e x+y=9, tem valor inferior a 9.
>> Nesse intervalo surgirá uma solução, mostrando que essa soma está entre
>> duas funções, que a inferior é menor ou igual a 9 e que a superior é maior
>> ou igual a 9 e que as três funções convergem para 9 em (3,3,3).
>>
>> Mas deu até para recordar as aulas de cálculo III, a sala, as pessoas...
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em 5 de julho de 2018 01:41, Claudio Buffara 
>> escreveu:
>>
>>> De onde vem este problema?
>>> É de alguma olimpíada ou de algum livro de cálculo de várias variáveis?
>>> Pois, no segundo caso, a solução mais óbvia será mesmo por
>>> multiplicadores de Lagrange.
>>>
>>> 2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges <
>>> marconeborge...@hotmail.com>:
>>>
 Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
 mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)

 Agradeço desde já.

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>>>
>>>
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>>
>>
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> acredita-se estar livre de perigo.
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Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Pedro José]

Boa tarde!

Joguei a toalha. Dá para verificar que (3,3,3) é um ponto crítico. Mas
garantir que a única curva de nível que tangencia o plano x+y+z=9 é (x^3 +
y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)=9 ou que se existir
outro ponto de tangência, será para uma curva de nível com a constante >=9,
não tenho ideia de como fazê-lo.

Saudações,
PJMS.

Em 5 de julho de 2018 16:01, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
> Para mim esse problema foi bom.
> Pois me fez recordar levemente a otimização, Matriz Hessiana. Tinha uma
> forma de ver através dos sinais dos determinantes das matrizes menores de
> menores, mas não lembro mais. Assim que tiver um tempo vou dar uma
> estudada. Mas já estou adiantando a parte braçal, as derivadas parciais.
> Como  a função é contínua e podemos ampliar o conjunto para x,y,z>=0 e
> garantir que existe um mínimo e um máximo global. Aí seria mostrar que
> (3,3,3) é o único ponto crítico, que é ponto de mínimo local e que nenhum
> ponto na borda (são três segmentos de reta), x=0 e y+z =9; y=0 e x+z=9; z=o
> e x+y=9, tem valor inferior a 9.
> Nesse intervalo surgirá uma solução, mostrando que essa soma está entre
> duas funções, que a inferior é menor ou igual a 9 e que a superior é maior
> ou igual a 9 e que as três funções convergem para 9 em (3,3,3).
>
> Mas deu até para recordar as aulas de cálculo III, a sala, as pessoas...
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em 5 de julho de 2018 01:41, Claudio Buffara 
> escreveu:
>
>> De onde vem este problema?
>> É de alguma olimpíada ou de algum livro de cálculo de várias variáveis?
>> Pois, no segundo caso, a solução mais óbvia será mesmo por
>> multiplicadores de Lagrange.
>>
>> 2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com>:
>>
>>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>>
>>> Agradeço desde já.
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Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Pedro José]

Bom dia!
Para mim esse problema foi bom.
Pois me fez recordar levemente a otimização, Matriz Hessiana. Tinha uma
forma de ver através dos sinais dos determinantes das matrizes menores de
menores, mas não lembro mais. Assim que tiver um tempo vou dar uma
estudada. Mas já estou adiantando a parte braçal, as derivadas parciais.
Como  a função é contínua e podemos ampliar o conjunto para x,y,z>=0 e
garantir que existe um mínimo e um máximo global. Aí seria mostrar que
(3,3,3) é o único ponto crítico, que é ponto de mínimo local e que nenhum
ponto na borda (são três segmentos de reta), x=0 e y+z =9; y=0 e x+z=9; z=o
e x+y=9, tem valor inferior a 9.
Nesse intervalo surgirá uma solução, mostrando que essa soma está entre
duas funções, que a inferior é menor ou igual a 9 e que a superior é maior
ou igual a 9 e que as três funções convergem para 9 em (3,3,3).

Mas deu até para recordar as aulas de cálculo III, a sala, as pessoas...

Saudações,
PJMS

Em 5 de julho de 2018 01:41, Claudio Buffara 
escreveu:

> De onde vem este problema?
> É de alguma olimpíada ou de algum livro de cálculo de várias variáveis?
> Pois, no segundo caso, a solução mais óbvia será mesmo por multiplicadores
> de Lagrange.
>
> 2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com>:
>
>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>
>> Agradeço desde já.
>>
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.
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Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Claudio Buffara]

De onde vem este problema?
É de alguma olimpíada ou de algum livro de cálculo de várias variáveis?
Pois, no segundo caso, a solução mais óbvia será mesmo por multiplicadores
de Lagrange.

2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com>:

> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>
> Agradeço desde já.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Artur Steiner]

É isso mesmo. Matriz Hessiana positiva definida e gradiente nulo implicam
mínimo local. Mas não necessariamente global.

Artur Costa Steiner

Em Ter, 3 de jul de 2018 14:24, Claudio Buffara 
escreveu:

> Até porque se as 3 derivadas parciais forem positivas em (3,3,3) - e eu
> não fiz as contas - este não pode ser ponto de mínimo local, certo?
> Acho que você quis dizer derivadas parciais segundas, mas mesmo assim não
> é garantido.
> Se me lembro bem (e provavelmente estou errado) a matriz Hessiana tem que
> ser positiva definida.
> Seja como for, deve haver uma solução elementar.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-07-03 13:24 GMT-03:00 Pedro José :
>
>> Boa tarde!
>> Creio que tenha falado bobagem, as derivadas parciais positivas não
>> garantem o ponto de mínimo local.
>>
>> Em 3 de julho de 2018 09:49, Pedro José  escreveu:
>>
>>> Bom dia!
>>>
>>> Já que ninguém lhe respondeu...
>>> Por Lagrange chega-se que x=y=z=3 é um ponto singular, mas daí a mostrar
>>> que é um mínimo em todo domínio, não consegui nada.
>>> Que é um mínimo local, dá para ver pois todas derivadas parciais são
>>> positivas para x=y=z=3.
>>> Mas fica um direcionamento.
>>> Talvez anime alguém a avançar.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
>>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>>
 Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
 mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)

 Agradeço desde já.

 --
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>>>
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Pedro José]

Boa noite!
Mesmo falando bobagem, foi bom. Pois, provocou a manifestação.
Acho triste quando uma questão postada fica no vácuo, como dizem os jovens.

Saudações,
PJMS

Em 3 de julho de 2018 14:08, Claudio Buffara 
escreveu:

> Até porque se as 3 derivadas parciais forem positivas em (3,3,3) - e eu
> não fiz as contas - este não pode ser ponto de mínimo local, certo?
> Acho que você quis dizer derivadas parciais segundas, mas mesmo assim não
> é garantido.
> Se me lembro bem (e provavelmente estou errado) a matriz Hessiana tem que
> ser positiva definida.
> Seja como for, deve haver uma solução elementar.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-07-03 13:24 GMT-03:00 Pedro José :
>
>> Boa tarde!
>> Creio que tenha falado bobagem, as derivadas parciais positivas não
>> garantem o ponto de mínimo local.
>>
>> Em 3 de julho de 2018 09:49, Pedro José  escreveu:
>>
>>> Bom dia!
>>>
>>> Já que ninguém lhe respondeu...
>>> Por Lagrange chega-se que x=y=z=3 é um ponto singular, mas daí a mostrar
>>> que é um mínimo em todo domínio, não consegui nada.
>>> Que é um mínimo local, dá para ver pois todas derivadas parciais são
>>> positivas para x=y=z=3.
>>> Mas fica um direcionamento.
>>> Talvez anime alguém a avançar.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
>>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>>
 Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
 mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)

 Agradeço desde já.

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>>>
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Claudio Buffara]

Até porque se as 3 derivadas parciais forem positivas em (3,3,3) - e eu não
fiz as contas - este não pode ser ponto de mínimo local, certo?
Acho que você quis dizer derivadas parciais segundas, mas mesmo assim não é
garantido.
Se me lembro bem (e provavelmente estou errado) a matriz Hessiana tem que
ser positiva definida.
Seja como for, deve haver uma solução elementar.

[]s,
Claudio.


2018-07-03 13:24 GMT-03:00 Pedro José :

> Boa tarde!
> Creio que tenha falado bobagem, as derivadas parciais positivas não
> garantem o ponto de mínimo local.
>
> Em 3 de julho de 2018 09:49, Pedro José  escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> Já que ninguém lhe respondeu...
>> Por Lagrange chega-se que x=y=z=3 é um ponto singular, mas daí a mostrar
>> que é um mínimo em todo domínio, não consegui nada.
>> Que é um mínimo local, dá para ver pois todas derivadas parciais são
>> positivas para x=y=z=3.
>> Mas fica um direcionamento.
>> Talvez anime alguém a avançar.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>>
>>> Agradeço desde já.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Pedro José]

Boa tarde!
Creio que tenha falado bobagem, as derivadas parciais positivas não
garantem o ponto de mínimo local.

Em 3 de julho de 2018 09:49, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> Já que ninguém lhe respondeu...
> Por Lagrange chega-se que x=y=z=3 é um ponto singular, mas daí a mostrar
> que é um mínimo em todo domínio, não consegui nada.
> Que é um mínimo local, dá para ver pois todas derivadas parciais são
> positivas para x=y=z=3.
> Mas fica um direcionamento.
> Talvez anime alguém a avançar.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>
>> Agradeço desde já.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Pedro José]

Bom dia!

Já que ninguém lhe respondeu...
Por Lagrange chega-se que x=y=z=3 é um ponto singular, mas daí a mostrar
que é um mínimo em todo domínio, não consegui nada.
Que é um mínimo local, dá para ver pois todas derivadas parciais são
positivas para x=y=z=3.
Mas fica um direcionamento.
Talvez anime alguém a avançar.

Saudações,
PJMS


Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>
> Agradeço desde já.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Ajuda em desigualdade

[marcone augusto araújo borges]

Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor mínimo 
de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)

Agradeço desde já.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em geometria e álgebra.

[Julio César Saldaña Pumarica]

Seja P o ponto de DC tal que AP=AC (portanto igual ao BD). Calculando
alguns ângulos: APc=48 e PAD=18.

Seja O o circuncentro do triângulo APD, então OD=OP=OA, e como ADB=30 então
POA=2x30=60. Concluimos que o triângulo POA é equilátero. Calculando alguns
ângulos: ODA=42

Notando que OD=OB podemos concluir que OBD=DBO=36. Estique BO e desenh o
segmento AT perpendicular a BO (T está na prolongação de BO). Observe que
os triângulos ATO e APM (onde M é o meio de PC) são iguais e portanto AM=AT.

Finalmente os triângulo BAT e BAM são iguais e daí ABT=ABD=36/2=18

2018-03-13 20:14 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com>:

> Olá amigos, não consigo fazer esse problema por construção, já fiz por lei
> dos senos e
> pelo geogebra e deu 18 graus.
>
> Eis o problema:
>
> 6 Seja D um ponto sobre o lado BC de um triângulo ABC. Supondo que, AC=BD
> e o ângulo  ADC=30 graus e ACB= 48 graus , determine  a medida do ângulo
> ABC.
>
>
>
> Qualquer ajuda será bem vinda.
>
> Abraço do
>
> Douglas Oliveira.
>
> --
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> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Ajuda em geometria e álgebra.

[Douglas Oliveira de Lima]

Olá amigos, não consigo fazer esse problema por construção, já fiz por lei
dos senos e
pelo geogebra e deu 18 graus.

Eis o problema:

6 Seja D um ponto sobre o lado BC de um triângulo ABC. Supondo que, AC=BD
e o ângulo  ADC=30 graus e ACB= 48 graus , determine  a medida do ângulo
ABC.



Qualquer ajuda será bem vinda.

Abraço do

Douglas Oliveira.

-- 
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RE: [obm-l] Ajuda em Aritmética

[Esdras Muniz]

Se p é um primo diferente de 5, os restos dos outros 2 por 5 são os mesmos que 
os de p^2-1 e p^2+1 respectivamente. Se os 3 números são primos, nenhum deles é 
múltiplo de 5. Daí o produto (p^2-1)(p^2+1) não pode ser múltiplo de 5. Mas 
esse produto é p^4-1. Mas o pequeno teorema de Fermat garante que 5 divide 
p^4-1 se p for diferente de 4. Aí o problema acaba.

Se vc não quiser usar o pequeno teorema de Fermat, é só verificar que para r=1, 
2, 3 e 4, onde r é o resto de p por 5, ou 4p^2-1 ou 6p^2-1 é múltiplo de 5. 

Acho a primeira solução melhor pq mostra de onde o autor tirou a idéia de fazer 
a questão.

-Mensagem Original-
De: "Marcelo de Moura Costa" <mat.mo...@gmail.com>
Enviada em: ‎26/‎09/‎2016 06:19
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] Ajuda em Aritmética

Bom dia a todos, um anulo me apresentou esse problema e confesso que pela dica 
não consegui interpretá-lo corretamente e fiquei muito curioso como o mesmo, 
será que alguém poderia me ajudar?

O problema é:

Mostre que somente para p=5, os números p, 4p^2+1 e 6p^2+1 serão primos. (Dica: 
analise os restos da divisão de p por 5) 


Agradeço a atenção.



-- 
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Re: [obm-l] Ajuda em Aritmética

[Gabriel Tostes]

Um deles ser multiplo de 5 é equivalents a p^2 ser congruente a 1 ou p^2 ser 
congruente a 4, que são os unicos resíduos mod 5 além do 0. Logo P deve ser 
múltiplo de 5 e só testar P=5.

> On Sep 26, 2016, at 06:09, Marcelo de Moura Costa  wrote:
> 
> Bom dia a todos, um anulo me apresentou esse problema e confesso que pela 
> dica não consegui interpretá-lo corretamente e fiquei muito curioso como o 
> mesmo, será que alguém poderia me ajudar?
> O problema é:
> Mostre que somente para p=5, os números p, 4p^2+1 e 6p^2+1 serão primos. 
> (Dica: analise os restos da divisão de p por 5) 
> 
> Agradeço a atenção.
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Ajuda em Aritmética

[Marcelo de Moura Costa]

Bom dia a todos, um anulo me apresentou esse problema e confesso que pela
dica não consegui interpretá-lo corretamente e fiquei muito curioso como o
mesmo, será que alguém poderia me ajudar?
O problema é:
Mostre que somente para p=5, os números p, 4p^2+1 e 6p^2+1 serão primos.
(Dica: analise os restos da divisão de p por 5)

Agradeço a atenção.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Esdras Muniz]

L = ((1+1/(n+1))^(n+1))/(1+1/n)^n = ((1 - 1/(n+1)²)^n)((n+2)/(n+1))

Use que (1 - x)^n > 1 - nx, Para x \in (0, 1)

L > (1 - n/(n+1)²)((n+2)/(n+1)) = ((n²+n+1)/(n²+2n+1))((n+2)/(n+1))
= (n³+3n²+3n+2)/(n³+3n²+3n+1) > 1.



Esse último termo é maior que 1.

Em 28 de janeiro de 2016 09:41, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução
> daquelas tipo
> desigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado,
> tipo uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o
> problema das apostas).
> Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por favor.
> Abraço
> Douglas Oliveira
>
> Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato <
> msbro...@gmail.com> escreveu:
>
>> Oi, Douglas, tudo bem?
>>
>> Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está
>> provada sua desigualdade.
>>
>> Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 +
>> 1/x). Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x)
>> também será (exercício: prove essa afirmação).
>>
>> g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x)  = ln(1 + 1/x) - (1/x) /
>> (1 + 1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x)
>>
>> Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x.
>>
>> Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em
>> 1/x, temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1.
>>
>> Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 +
>> 1/x) = (1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0
>> para todo x (já que 1+1/x > 1).
>>
>> Abraços,
>> Salhab
>>
>> 2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima <
>> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>>
>>> Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade
>>> (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.
>>>
>>> Agradeço desde já.
>>>
>>>
>>
>


-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

RE: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Luís]

Sauda,c~oes, oi Douglas, 
Vou dar uma dica: faça a_(n+1) = ? e a_1=……=a_n = ?? Dai use G  <= A ( no caso 
G  < A ) .
Abs, L. 

Date: Thu, 28 Jan 2016 16:15:11 -0200
Subject: RE: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
From: profdouglaso.del...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Erro? Bom no meu celular acho que saiu as fórmulas todas fora de ordem rs
Em 28/01/2016 16:02, "Bruno Lira" <brunotorne...@hotmail.com> escreveu:









Primeiramente, tome
a função logaritmântica f(x) = ln(x) cujo domínio é o conjuntos dos
números reais maiores que ou igual a zero. Note que a função f é
injetora. Portanto, para provarmos que:




n n+1
( 1 + 1
)<  ( 1 +   1  
 )
(   n ) (
   n+1 )




basta provar que:




   (n)   (  n+1)
ln(  ( 1 + 1
)   )   <  ln( ( 1 +   1 )  )
   ( (   n ) )   ( ( n+1)  ) .




De fato, temos que:




   (n)( n+1)
ln(  ( 1 + 1
)  )   –   ln(  ( 1 +   1   )   )=
   ( (  n )  )((  n + 1)   ) 





   (n)(n+1)
ln(  ( n
+ 1 )  )   –   ln( (
n +  2 
) )=
   ( (n)  
)( (  n + 1  )) 





   (   2n  )   

ln(  (   n
+ 1  )  .  n+1
) 
; Das
propriedades de logaritmo.
   ( (n (n+2))   n+2 ) 





Daí:




   ( n   ) 
ln(  (  n^2
+ 2n + 1  )  . 
n+1 )
 

   ( (n^2 + 2n   )n+2) 






Comon^2 + 2n < n^2 + 2n + 1en+1 < n + 2temos
que:





n
 

(  n^2 +
2n + 1 )  . 
n+1<1

(n^2 + 2n)   n+2
E da injetividade da função f temos:





   ( n   ) ln( ( n^2 + 2n + 1 ) . n+1 )   <
ln(1)=0   ( (n^2 + 2n   )n+2)
Isto é:

   (n)(n+1)ln( ( 1 + 1 )  ) – ln( ( 1 + 1 ) 
 )<0   ( (  n )  )( ( n+1  )  )






Logo,





n n+1( 1 + 1 ) < ( 1 + 1 )(   n ) ( n+1 )   
   C.Q.D
P.S.: Se tiver algum erro me avisem por favor.
From: esdrasmunizm...@gmail.com
Date: Thu, 28 Jan 2016 12:18:03 -0300
Subject: Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
To: obm-l@mat.puc-rio.br

L = ((1+1/(n+1))^(n+1))/(1+1/n)^n = ((1 - 1/(n+1)²)^n)((n+2)/(n+1)) 
Use que (1 - x)^n > 1 - nx, Para x \in (0, 1)
L > (1 - n/(n+1)²)((n+2)/(n+1)) = ((n²+n+1)/(n²+2n+1))((n+2)/(n+1)) = 
(n³+3n²+3n+2)/(n³+3n²+3n+1) > 1.


Esse último termo é maior que 1.
Em 28 de janeiro de 2016 09:41, Douglas Oliveira de Lima 
<profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução daquelas 
tipodesigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado, tipo 
uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o problema das 
apostas).Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por 
favor.AbraçoDouglas Oliveira
Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com> 
escreveu:
Oi, Douglas, tudo bem?
Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está 
provada sua desigualdade.
Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 + 1/x). 
Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x) também será 
(exercício: prove essa afirmação).
g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x)  = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1 + 
1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x)
Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x.
Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em 1/x, 
temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1.
Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 + 1/x) = 
(1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0 para todo x 
(já que 1+1/x > 1).
Abraços,Salhab
2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima 
<profdouglaso.del...@gmail.com>:
Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade 
(1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.
Agradeço desde já.







-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará



  
  

Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[victorcarlos]

No livro do Yaglon de olimpíadas russas tem a solução. 
Abs
Carlos Victor

Enviado por Samsung Mobile

 Mensagem original De : Douglas Oliveira de 
Lima <profdouglaso.del...@gmail.com> Data:28/01/2016  00:34  
(GMT-03:00) Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] 
Ajuda numa desigualdade. 
Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade 
(1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.

Agradeço desde já.

Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Douglas Oliveira de Lima]

Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução daquelas
tipo
desigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado, tipo
uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o problema
das apostas).
Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por favor.
Abraço
Douglas Oliveira

Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato  escreveu:

> Oi, Douglas, tudo bem?
>
> Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está
> provada sua desigualdade.
>
> Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 +
> 1/x). Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x)
> também será (exercício: prove essa afirmação).
>
> g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x)  = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1
> + 1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x)
>
> Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x.
>
> Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em
> 1/x, temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1.
>
> Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 +
> 1/x) = (1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0
> para todo x (já que 1+1/x > 1).
>
> Abraços,
> Salhab
>
> 2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>
>> Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade
>> (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.
>>
>> Agradeço desde já.
>>
>>
>

RE: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Bruno Lira]

Primeiramente, tome
a função logaritmântica f(x) = ln(x) cujo domínio é o conjuntos dos
números reais maiores que ou igual a zero. Note que a função f é
injetora. Portanto, para provarmos que:




n n+1
( 1 + 1
)<  ( 1 +   1  
 )
(   n ) (
   n+1 )




basta provar que:




   (n)   (  n+1)
ln(  ( 1 + 1
)   )   <  ln( ( 1 +   1 )  )
   ( (   n ) )   ( ( n+1)  ) .




De fato, temos que:




   (n)( n+1)
ln(  ( 1 + 1
)  )   –   ln(  ( 1 +   1   )   )=
   ( (  n )  )((  n + 1)   ) 





   (n)(n+1)
ln(  ( n
+ 1 )  )   –   ln( (
n +  2 
) )=
   ( (n)  
)( (  n + 1  )) 





   (   2n  )   

ln(  (   n
+ 1  )  .  n+1
) 
; Das
propriedades de logaritmo.
   ( (n (n+2))   n+2 ) 





Daí:




   ( n   ) 
ln(  (  n^2
+ 2n + 1  )  . 
n+1 )
 

   ( (n^2 + 2n   )n+2) 






Comon^2 + 2n < n^2 + 2n + 1en+1 < n + 2temos
que:





n
 

(  n^2 +
2n + 1 )  . 
n+1<1

(n^2 + 2n)   n+2
E da injetividade da função f temos:





   ( n   ) ln( ( n^2 + 2n + 1 ) . n+1 )   <
ln(1)=0   ( (n^2 + 2n   )n+2)
Isto é:

   (n)(n+1)ln( ( 1 + 1 )  ) – ln( ( 1 + 1 ) 
 )<0   ( (  n )  )( ( n+1  )  )






Logo,





n n+1( 1 + 1 ) < ( 1 + 1 )(   n ) ( n+1 )   
   C.Q.D
P.S.: Se tiver algum erro me avisem por favor.
From: esdrasmunizm...@gmail.com
Date: Thu, 28 Jan 2016 12:18:03 -0300
Subject: Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
To: obm-l@mat.puc-rio.br

L = ((1+1/(n+1))^(n+1))/(1+1/n)^n = ((1 - 1/(n+1)²)^n)((n+2)/(n+1)) 
Use que (1 - x)^n > 1 - nx, Para x \in (0, 1)
L > (1 - n/(n+1)²)((n+2)/(n+1)) = ((n²+n+1)/(n²+2n+1))((n+2)/(n+1)) = 
(n³+3n²+3n+2)/(n³+3n²+3n+1) > 1.


Esse último termo é maior que 1.
Em 28 de janeiro de 2016 09:41, Douglas Oliveira de Lima 
<profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução daquelas 
tipodesigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado, tipo 
uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o problema das 
apostas).Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por 
favor.AbraçoDouglas Oliveira
Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com> 
escreveu:
Oi, Douglas, tudo bem?
Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está 
provada sua desigualdade.
Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 + 1/x). 
Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x) também será 
(exercício: prove essa afirmação).
g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x)  = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1 + 
1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x)
Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x.
Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em 1/x, 
temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1.
Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 + 1/x) = 
(1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0 para todo x 
(já que 1+1/x > 1).
Abraços,Salhab
2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima 
<profdouglaso.del...@gmail.com>:
Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade 
(1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.
Agradeço desde já.







-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará



  

RE: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Douglas Oliveira de Lima]

Erro? Bom no meu celular acho que saiu as fórmulas todas fora de ordem rs
Em 28/01/2016 16:02, "Bruno Lira" <brunotorne...@hotmail.com> escreveu:

> Primeiramente, tome a função logaritmântica f(x) = ln(x) cujo
>
> domínio é o conjuntos dos números reais maiores que ou
>
> igual a zero. Note que a função f é injetora. Portanto,
>
> para provarmos que:
>
>
> n n+1
>
> ( 1 + *1* ) < ( 1 + * 1 * )
>
> (   n ) ( n+1 )
>
>
> basta provar que:
>
>
>(n)   (  n+1)
>
> ln( ( 1 + *1* ) ) < ln( ( 1 + *  1 *)  )
>
>( (   n ) )   ( ( n+1)  ) .
>
>
> De fato, temos que:
>
>
>(n)( n+1)
>
> ln( ( 1 + *1* )  ) – ln( ( 1 +*   1   *)   ) =
>
>( (  n )  )((  n + 1)   )
>
>
>(n)(n+1)
>
> ln( ( *n** + 1 *)  ) – ln( ( *n** + **2* ) ) =
>
>( (n) )( ( n + 1 ))
>
>
>(   2n  )
>
> ln( (*  n + 1  *) . *n+1* ) ; Das propriedades de logaritmo.
>
>( (n (n+2))   n+2 )
>
>
> Daí:
>
>
>( n   )
>
> ln( ( *n^2 + 2**n** + 1 *) . *n+1* )
>
>( (n^2 + 2n   )n+2)
>
>
> Como n^2 + 2n < n^2 + 2n + 1 e n+1 < n + 2 temos que:
>
>
> n
>
> ( *n^2 + 2**n** + 1 *) . *n+1*<1
>
> (n^2 + 2n)   n+2
>
>
> E da injetividade da função f temos:
>
>
>( n   )
>
> ln( ( *n^2 + 2**n** + 1 *) . *n+1* )   <ln(1)=0
>
>( (n^2 + 2n   )n+2)
>
>
> Isto é:
>
>
>(n)(n+1)
>
> ln( ( 1 + *1* )  ) – ln( ( 1 + *1 *)  )<0
>
>( (  n )  )( ( n+1  )      )
>
>
> Logo,
>
>
> n n+1
>
> ( 1 + *1* ) < ( 1 + *1 *)
>
> (   n ) ( n+1 )
>
>
> C.Q.D
>
> P.S.: Se tiver algum erro me avisem por favor.
> --
> From: esdrasmunizm...@gmail.com
> Date: Thu, 28 Jan 2016 12:18:03 -0300
> Subject: Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> L = ((1+1/(n+1))^(n+1))/(1+1/n)^n = ((1 - 1/(n+1)²)^n)((n+2)/(n+1))
>
> Use que (1 - x)^n > 1 - nx, Para x \in (0, 1)
>
> L > (1 - n/(n+1)²)((n+2)/(n+1)) = ((n²+n+1)/(n²+2n+1))((n+2)/(n+1))
> = (n³+3n²+3n+2)/(n³+3n²+3n+1) > 1.
>
>
>
> Esse último termo é maior que 1.
>
> Em 28 de janeiro de 2016 09:41, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
> Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução
> daquelas tipo
> desigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado,
> tipo uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o
> problema das apostas).
> Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por favor.
> Abraço
> Douglas Oliveira
>
> Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato <
> msbro...@gmail.com> escreveu:
>
> Oi, Douglas, tudo bem?
>
> Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está
> provada sua desigualdade.
>
> Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 +
> 1/x). Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x)
> também será (exercício: prove essa afirmação).
>
> g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x)  = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1
> + 1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x)
>
> Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x.
>
> Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em
> 1/x, temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1.
>
> Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 +
> 1/x) = (1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0
> para todo x (já que 1+1/x > 1).
>
> Abraços,
> Salhab
>
> 2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>
> Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade
> (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.
>
> Agradeço desde já.
>
>
>
>
>
>
> --
> Esdras Muniz Mota
> Mestrando em Matemática
> Universidade Federal do Ceará
>
>
>

[obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Douglas Oliveira de Lima]

Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade
(1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.

Agradeço desde já.

Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Marcelo Salhab Brogliato]

Oi, Douglas, tudo bem?

Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está
provada sua desigualdade.

Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 +
1/x). Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x)
também será (exercício: prove essa afirmação).

g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x)  = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1
+ 1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x)

Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x.

Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em 1/x,
temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1.

Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 + 1/x)
= (1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0 para
todo x (já que 1+1/x > 1).

Abraços,
Salhab

2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com>:

> Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade
> (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.
>
> Agradeço desde já.
>
>

Re: [obm-l] ajuda(logaritmo)

[saulo nilson]

n<0 ,logo n<1\(2-a)

2015-11-10 13:09 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com>:

> Seja n um número natural > 1 e seja a um número
> real positivo < 2. Se n = log(1/(2-a)) na base a. Podemos
> afirmar que n < 1/(2-a)?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

[obm-l] ajuda(logaritmo)

[marcone augusto araújo borges]

Seja n um número natural > 1 e seja a um númeroreal positivo < 2. Se n = 
log(1/(2-a)) na base a. Podemosafirmar que n < 1/(2-a)? 
 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda

[Gabriel Tostes]

Pra N tem raizes reais a^2 - 4a^2 + 24 < 0 a>2sqrt2
Podemos admitir a real, caso contrario, a equacao obviamente nao possui raízes 
reais.
Devemos provar que nao existe raiz de a menor que 2sqrt2
Se f(X)=x^3-6x-6
Como f(2sqrt2).f(-oo)>0 f(X) tem um numero par de raizes entre ]-oo,2sqrt2]
Ou seja, 0 ou 2 solucoes.
Agora, como 
f(2sqrt2)f(2.03sqrt2)<0 temos uma ou 3 solucoes nesse intervalo. Obviamente 
temos uma solucao visto que a soma das solucoes e igual a 0.
Chamando essa solucao de x3
X1+x2=-x3
X1.x2=6/x3
Entao para x1 e x2 nao serem reais temos que (x3)^2 -24/x3 < 0 => x3<24^(1/3) 
de fato, pois x3 esta entre 2Sqrt2 e 2.03sqrt2. Temos que x3 é a unica soluçao 
real da equacao e eh maior que 2sqrt2.




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> On Oct 14, 2015, at 07:57, marcone augusto araújo borges 
>  wrote:
> 
> Seja a um número real tal que a^3 = 6(a+1).Mostre que a equação
> x^2 + ax+ a^2 - 6 = 0 não tem raízes reais.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda

[saulo nilson]

so resolver a cubica para a e substituir na equação de 2o grau.

2015-10-14 7:57 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com>:

> Seja a um número real tal que a^3 = 6(a+1).Mostre que a equação
> x^2 + ax+ a^2 - 6 = 0 não tem raízes reais.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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[obm-l] Ajuda

[marcone augusto araújo borges]

Seja a um número real tal que a^3 = 6(a+1).Mostre que a equaçãox^2 + ax+ a^2 - 
6 = 0 não tem raízes reais.
-- 
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[obm-l] Ajuda nisso, por favor - convergência de (f_n') para f'

[Amanda Merryl]

Oi amigos! Peço ajuda nisto aqui,  não estou conseguindo que propriedades ou 
teoremas aplicar. o

Seja (f_n) uma sequência  de funções de R em R, diferenciáveis até pelo menos a 
2a ordem, tal que (f_n') convirja para uma função contínua g. Suponhamos que 
haja reais a e u tais que, para todo n, tenhamos f_n''(a) = u e f_n''(a) != u 
para x != a. Suponhamos ainda que exista b tal que (f_n(b)) convirja. 

Mostre que (f_n) converge em R para uma diferenciável f tal que f'= g em R. 

Muito obrigada.

Amanda

Amanda
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Ajuda em álgebra linear

[Fabio Silva]

Suponha os vetores v1, v2, v3 e v4 L.I. formando uma base para o R4.
(1) Quantas retas ortogonais a uma reta que tenha direção de v1 existem?
A resposta seria 3 ou infinitos? v2, v3 e v4? As combinações lineares de 
vetores ortogonais também geram uma direção ortogonal?
(2) Quantos planos ortogonais a reta com direção v1 existem?
A resposta seria 3 ou infinitos? Os planos formados por (v2,v3); (v2,v4); 
(v3,v4). As combinações lineares desses planos também geram planos ortogonais?
(3) Quantos espaços (hiperplanos) ortogonais a reta com direção v1 existem?
A resposta seria 1? O espaço gerado por (v2,v3,v4). As combinações lineares 
ou múltiplos desse espaço geram o mesmo espaço.
Agora suponha r uma reta no R4 que não passe na origem e tenha direção v1.
(4) Quantas são as retas paralelas a r?
1. Somente a reta que passa pela origem e tem direção de v1? 
(5) Quantos são os planos paralelos a r?
A resposta seria 3 ou infinitos? Os planos formados por (v1,v2); (v1,v3); 
(v1,v4). As combinações lineares desses planos também geram planos paralelos?
(6) Quantos são os espaços paralelos a r?
A resposta seria 3 ou infinitos? O espaço gerado por (v1,v2,v3); (v1,v2,v4); 
(v1,v3,v4). As combinações lineares desses espaços geram espaços paralelos?


Obrigado
Fabio MS
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda - OBM 2014 nível universitário

[Esdras Muniz]

Cara, faz tempo isso, mas fiz por volume, vc usa que o tetraedro de maior
volume inscrito na esfera é o regular.

Em 22 de fevereiro de 2015 22:26, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
escreveu:

 Acho que a culpa dessa expressao eh minha -- eu tenho essa mania de chamar
 funcoes afins de lineares, vem do ingles (linear functions).

 Linear em cada entrada quer dizer o seguinte: se voce fixar todas as
 entradas exceto uma, digamos, a_11=x, a funcao determinante seria f(x)=ax+b
 onde a e b dependem apenas das outras 8 entradas... Entao, fixadas as
 outras 8 entradas, a funcao f(x) serah maximizada em x=0 ou x=9 (bom, pode
 ser que a=0, entao qualquer valor de x daria no mesmo, mas voce nao perde
 nada em supor x=0 ou x=9). Entao nao eh que x TEM que ser 0 ou 9, eh que
 voce PODE supor x=0 ou x=9 para maximizar a funcao. Como isso vale para
 cada uma das 9 entradas...

 Melhorou?

 Abraco, Ralph.

 P.S.: Ou talvez, pense por contradicao: se det(A) fosse maximizado com
 alguma entrada NAO sendo 0 ou 9, voce poderia trocar esta entrada para 0 ou
 9 e isto aumentaria (ou manteria) o valor do determinante, Entao HA uma
 escolha maximizante apenas com 0 ou 9.

 2015-02-22 14:14 GMT-05:00 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com:

 Fala ai gente,

 Fiquei com uma dúvida no problema 2 da OBM-2014 nível universitário,
 primeira fase. Tentei resolver o problema, não consegui, quado fui olhar a
 resolução me perdi logo nas primeiras linhas, teria como alguém me dar uma
 ajuda?

 O problema é o seguinte: Considere as matrizes 3x3 cujas entradas são
 inteiros entre 0 e 9 (inclusive). Determine o maior determinante possível
 de uma tal matriz.

 A resolução começa assim:

 Seja A = (aij) a matriz. Como det(A) é linear em cada entrada, basta
 considerar aij = 0 ou aij = 9, de modo que A = 9B com B = (bij ) e bij = 0
 ou 1.

 Não entendi o que ele quis dizer como linear em cada entrada. Teria
 como alguém me explicar melhor porque os valores só podem ser 9 ou 0?

 []'s
 João

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Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

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[obm-l] Ajuda - OBM 2014 nível universitário

[João Maldonado]

Fala ai gente,  
Fiquei com uma dúvida no problema 2 da OBM-2014 nível universitário, primeira 
fase. Tentei resolver o problema, não consegui, quado fui olhar a resolução me 
perdi logo nas primeiras linhas, teria como alguém me dar uma ajuda?
O problema é o seguinte: Considere as matrizes 3x3 cujas entradas são inteiros 
entre 0 e 9 (inclusive).
Determine o maior determinante possível de uma tal matriz.

A resolução começa assim: 
Seja A = (aij) a matriz.
Como det(A) é linear em cada entrada, basta considerar aij = 0 ou aij = 9, de 
modo que
A = 9B com B = (bij ) e bij = 0 ou 1. 
Não entendi o que ele quis dizer como linear em cada entrada. Teria como 
alguém me explicar melhor porque os valores só podem ser 9 ou 0? 
[]'sJoão  
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[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda - OBM 2014 nível universitário

[Ralph Teixeira]

Acho que a culpa dessa expressao eh minha -- eu tenho essa mania de chamar
funcoes afins de lineares, vem do ingles (linear functions).

Linear em cada entrada quer dizer o seguinte: se voce fixar todas as
entradas exceto uma, digamos, a_11=x, a funcao determinante seria f(x)=ax+b
onde a e b dependem apenas das outras 8 entradas... Entao, fixadas as
outras 8 entradas, a funcao f(x) serah maximizada em x=0 ou x=9 (bom, pode
ser que a=0, entao qualquer valor de x daria no mesmo, mas voce nao perde
nada em supor x=0 ou x=9). Entao nao eh que x TEM que ser 0 ou 9, eh que
voce PODE supor x=0 ou x=9 para maximizar a funcao. Como isso vale para
cada uma das 9 entradas...

Melhorou?

Abraco, Ralph.

P.S.: Ou talvez, pense por contradicao: se det(A) fosse maximizado com
alguma entrada NAO sendo 0 ou 9, voce poderia trocar esta entrada para 0 ou
9 e isto aumentaria (ou manteria) o valor do determinante, Entao HA uma
escolha maximizante apenas com 0 ou 9.

2015-02-22 14:14 GMT-05:00 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com:

 Fala ai gente,

 Fiquei com uma dúvida no problema 2 da OBM-2014 nível universitário,
 primeira fase. Tentei resolver o problema, não consegui, quado fui olhar a
 resolução me perdi logo nas primeiras linhas, teria como alguém me dar uma
 ajuda?

 O problema é o seguinte: Considere as matrizes 3x3 cujas entradas são
 inteiros entre 0 e 9 (inclusive). Determine o maior determinante possível
 de uma tal matriz.

 A resolução começa assim:

 Seja A = (aij) a matriz. Como det(A) é linear em cada entrada, basta
 considerar aij = 0 ou aij = 9, de modo que A = 9B com B = (bij ) e bij = 0
 ou 1.

 Não entendi o que ele quis dizer como linear em cada entrada. Teria como
 alguém me explicar melhor porque os valores só podem ser 9 ou 0?

 []'s
 João

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[obm-l] Ajuda

[Wagner]

Olá à todos
Por favor :

Se um cubo tem 3 dimensões , e um hipercubo pode ter  4, 5 , 6 ..
Pergunto :
Em uma esfera , quantas dimensões tenho ?
E se for inscrita , ou circunscrita duas esferas , quantas dimensões terei ?
Grato
Wagner
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[obm-l] Ajuda com um problema de ordenação

[Marcelo Salhab Brogliato]

Pessoal,

Sejam as matrizes A_{n, d}, W_{d, 1} e R_{d, 1}, onde AW=R.

Se os elementos da matriz W forem variáveis aleatórias que seguem uma
distribuição uniforme no conjunto {1, 2, 3, ... N}, qual a probabilidade de
r_i ser o p-ésimo maior elemento do vetor R.

Uma maneira seria usar o método de Monte Carlo para estimar essa
probabilidade. Eu iria amostrar vários W's, calcular R, ordená-lo e
verificar quantas vezes r_i fica na p-ésima posição do vetor R ordenado.

Existe uma solução algébrica para esse problema?

Abraços,
Salhab

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[obm-l] ajuda para atacar este problema

[Bruno Rodrigues]

Oi pessoal,estou sem ideias para este problema:

Considere um número real α e constantes b  0 e γ ≥ 1 tais que para
quaisquer p e q inteiros com q ≥ 1 vale
|qα − p| ≥ b/qγ.
Prove que existe uma constante C tal que, para todo inteiro N ≥ 1, o
conjunto

XN = {mα − ɭmα⌡, m ∈ Z, 0 ≤ m ≤ CNγ}
é tal que, para todo x ∈ [0, 1] existe y ∈ XN com |x − y|  1/N.

nota: ɭmα⌡ é a parte inteira de mα.

Alguem tem alguma sugestao de como desenvolver uma bom raciocinio para ela?
Como voces a atacariam?

Abraços

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Re: [obm-l] ajuda para atacar este problema

[Esdras Muniz]

6° problema da OBMU, só percebi q α é irracional. Tava pensando que poderia
ser feito dividindo o [0,1] como [0,1/N]; [1/N,2/N];...; [(N-1)/N,1]
e mostrando que tem um elemento do X em cada parte.

Em 28 de outubro de 2014 17:05, Bruno Rodrigues 
brunorodrigues@gmail.com escreveu:

 Oi pessoal,estou sem ideias para este problema:

 Considere um número real α e constantes b  0 e γ ≥ 1 tais que para
 quaisquer p e q inteiros com q ≥ 1 vale
 |qα − p| ≥ b/qγ.
 Prove que existe uma constante C tal que, para todo inteiro N ≥ 1, o
 conjunto

 XN = {mα − ɭmα⌡, m ∈ Z, 0 ≤ m ≤ CNγ}
 é tal que, para todo x ∈ [0, 1] existe y ∈ XN com |x − y|  1/N.

 nota: ɭmα⌡ é a parte inteira de mα.

 Alguem tem alguma sugestao de como desenvolver uma bom raciocinio para ela?
 Como voces a atacariam?

 Abraços


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Esdras Muniz Mota
Graduando em Matemática Bacharelado
Universidade Federal do Ceará

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Re: [obm-l] ajuda para atacar este problema

[saulo nilson]

|qα − p| ≥ b/qγ
|qa| +|p|=b/q^y
|qa|=(|p|q^y-b)/q^y
|ma|=(mN^y-b)/N^y
xN==1-b/N^y  pertence [0,1]
y=1-b/N^y-1/N
teremos
|x-y|1/N

2014-10-28 17:05 GMT-02:00 Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com:

 Oi pessoal,estou sem ideias para este problema:

 Considere um número real α e constantes b  0 e γ ≥ 1 tais que para
 quaisquer p e q inteiros com q ≥ 1 vale
 |qα − p| ≥ b/qγ.
 Prove que existe uma constante C tal que, para todo inteiro N ≥ 1, o
 conjunto

 XN = {mα − ɭmα⌡, m ∈ Z, 0 ≤ m ≤ CNγ}
 é tal que, para todo x ∈ [0, 1] existe y ∈ XN com |x − y|  1/N.

 nota: ɭmα⌡ é a parte inteira de mα.

 Alguem tem alguma sugestao de como desenvolver uma bom raciocinio para ela?
 Como voces a atacariam?

 Abraços


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[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa equação exponencial

[Luiz Antonio Rodrigues]

Muito obrigado pela ajuda!
Abraço!
Luiz

2014-09-19 20:27 GMT-03:00 faraujoco...@yahoo.com.br:

 Retificando.  Solução única igual a zero.

 Enviado via iPhone

 Em 19/09/2014, às 19:17, Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com
 escreveu:

  Olá, pessoal!
  Peço desculpas por pedir ajuda num problema tão fácil, mas eu tentei
 de todos os modos e não consegui resolver esta equação:
 
  8^x +18^x = 2.27^x
 
  O segundo membro é dois vezes vinte e sete elevado a x.
  Alguém pode me ajudar?
  Desde já agradeço!
  Abraço!
  Luiz
 
  --
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  acredita-se estar livre de perigo.
 Instrugues
 para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa equação exponencial

[faraujocosta]

Por nada.   

Enviado via iPhone

Em 20/09/2014, às 14:35, Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com 
escreveu:

 Muito obrigado pela ajuda!
 Abraço!
 Luiz
 
 2014-09-19 20:27 GMT-03:00 faraujoco...@yahoo.com.br:
 Retificando.  Solução única igual a zero.
 
 Enviado via iPhone
 
 Em 19/09/2014, Ã s 19:17, Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com 
 escreveu:
 
  Olá, pessoal!
  Peço desculpas por pedir ajuda num problema tão fácil, mas eu 
  tentei de todos os modos e não consegui resolver esta equação:
 
  8^x +18^x = 2.27^x
 
  O segundo membro é dois vezes vinte e sete elevado a x.
  Alguém pode me ajudar?
  Desde já agradeço!
  Abraço!
  Luiz
 
  --
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  Instrugues
   para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
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 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Ajuda numa equação exponencial

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, pessoal!
Peço desculpas por pedir ajuda num problema tão fácil, mas eu tentei de
todos os modos e não consegui resolver esta equação:

8^x +18^x = 2.27^x

O segundo membro é dois vezes vinte e sete elevado a x.
Alguém pode me ajudar?
Desde já agradeço!
Abraço!
Luiz

-- 
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Re: [obm-l] Ajuda numa equação exponencial

[faraujocosta]

Pense em dividir a eq por 8^x. 

Enviado via iPhone

Em 19/09/2014, às 19:17, Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com 
escreveu:

 Olá, pessoal!
 Peço desculpas por pedir ajuda num problema tão fácil, mas eu tentei de 
 todos os modos e não consegui resolver esta equação:
 
 8^x +18^x = 2.27^x
 
 O segundo membro é dois vezes vinte e sete elevado a x.
 Alguém pode me ajudar?
 Desde já agradeço!
 Abraço!
 Luiz
 
 -- 
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 Instrugues
  para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa equação exponencial

[Walter Tadeu Nogueira da Silveira]

Decompondo, vem:
8^x +18^x = 2.27^x
2^(3x) + [3^(2x)].(2^x) = 2.[3^(3x)]. Dividindo cada membro por 2^(3x), vem:
1 + (3/2)^2x = 2.[(3/2)]^(2x). Se (3/2)^2x = y
1+y=2y
2y-y=1
y=1
Logo, (3/2)^2x = 1 = 2x = 0 = x = 0.


Em 19 de setembro de 2014 19:17, Luiz Antonio Rodrigues 
rodrigue...@gmail.com escreveu:

 Olá, pessoal!
 Peço desculpas por pedir ajuda num problema tão fácil, mas eu tentei de
 todos os modos e não consegui resolver esta equação:

 8^x +18^x = 2.27^x

 O segundo membro é dois vezes vinte e sete elevado a x.
 Alguém pode me ajudar?
 Desde já agradeço!
 Abraço!
 Luiz

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Walter Tadeu Nogueira da Silveira
http://www.professorwaltertadeu.mat.br

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Re: [obm-l] Ajuda numa equação exponencial

[faraujocosta]

Pensando assim solução única igual a um. 

Enviado via iPhone

Em 19/09/2014, às 19:17, Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com 
escreveu:

 Olá, pessoal!
 Peço desculpas por pedir ajuda num problema tão fácil, mas eu tentei de 
 todos os modos e não consegui resolver esta equação:
 
 8^x +18^x = 2.27^x
 
 O segundo membro é dois vezes vinte e sete elevado a x.
 Alguém pode me ajudar?
 Desde já agradeço!
 Abraço!
 Luiz
 
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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 
 Instrugues
  para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
 =

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Ajuda numa equação exponencial

[faraujocosta]

Retificando.  Solução única igual a zero.  

Enviado via iPhone

Em 19/09/2014, às 19:17, Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com 
escreveu:

 Olá, pessoal!
 Peço desculpas por pedir ajuda num problema tão fácil, mas eu tentei de 
 todos os modos e não consegui resolver esta equação:
 
 8^x +18^x = 2.27^x
 
 O segundo membro é dois vezes vinte e sete elevado a x.
 Alguém pode me ajudar?
 Desde já agradeço!
 Abraço!
 Luiz
 
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 acredita-se estar livre de perigo. 
 Instrugues
  para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
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[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em geometria(Ja foram resolvidas por inspeção usando trigonometria)

[terence thirteen]

Apenas para esclarecer: uma solução usando trigonometria não é uma 'solução
por inspeção' (o que é isto, afinal?) nem é uma solução 'além da geometria
euclidiana' (ainda se está usando ferramentas geométricas, afinal!). O
termo seria 'uma solução sintética', em contraste com uma solução analítica.

Eu nem sempre gosto delas, pois não aparecem tão naturalmente quando são
apontadas para um novato. Uma pessoa vê a solução e diz sorte que esses
doidos não as colocam nos vestibulares!, haha! Porém, uma solução com
contas às vezes é mais técnica - ficar olhando quais ângulos têm uma média
legal é complicadinho, e nem sempre abrir tudo dá certo.

Qualquer forma, um dos métodos que eu mais procuro usar é traçar a
circunferência passando por A,B,C e fatiar ela em setores de 10 graus, e ir
encaixando os elementos do problema ali. Logo eu vou tentar responder.



Em 15 de maio de 2014 16:58, Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Ola meus caros amigos, desenhando aqui pelo geogebra acabei criando uma
 bela questão de geometria, do qual consegui por inspecao resolve-la através
 de trigonometria pela lei dos senos, porem fiquei muito curioso para saber
 se existe alguma solução por geometria euclidiana plana, estarei tentando,
 mas vim aqui compartilhar com voces, se puderem agradeço desde ja.Um abraço
 do Douglas Oliveira.

 Problema: Seja um triângulo ABC com ângulos BAC=70 graus, ACB=30; dado um
 ponto interno P such that BAP=30 e BCP=10, encontrar o angulo ABP.

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-- 
/**/
神が祝福

Torres

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em geometria(Ja foram resolvidas por inspeção usando trigonometria)

[Douglas Oliveira de Lima]

E verdade!!


Em 19 de maio de 2014 14:17, terence thirteen
peterdirich...@gmail.comescreveu:

 Apenas para esclarecer: uma solução usando trigonometria não é uma
 'solução por inspeção' (o que é isto, afinal?) nem é uma solução 'além da
 geometria euclidiana' (ainda se está usando ferramentas geométricas,
 afinal!). O termo seria 'uma solução sintética', em contraste com uma
 solução analítica.

 Eu nem sempre gosto delas, pois não aparecem tão naturalmente quando são
 apontadas para um novato. Uma pessoa vê a solução e diz sorte que esses
 doidos não as colocam nos vestibulares!, haha! Porém, uma solução com
 contas às vezes é mais técnica - ficar olhando quais ângulos têm uma média
 legal é complicadinho, e nem sempre abrir tudo dá certo.

 Qualquer forma, um dos métodos que eu mais procuro usar é traçar a
 circunferência passando por A,B,C e fatiar ela em setores de 10 graus, e ir
 encaixando os elementos do problema ali. Logo eu vou tentar responder.



 Em 15 de maio de 2014 16:58, Douglas Oliveira de Lima 
 profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Ola meus caros amigos, desenhando aqui pelo geogebra acabei criando uma
 bela questão de geometria, do qual consegui por inspecao resolve-la através
 de trigonometria pela lei dos senos, porem fiquei muito curioso para saber
 se existe alguma solução por geometria euclidiana plana, estarei tentando,
 mas vim aqui compartilhar com voces, se puderem agradeço desde ja.Um abraço
 do Douglas Oliveira.

 Problema: Seja um triângulo ABC com ângulos BAC=70 graus, ACB=30; dado um
 ponto interno P such that BAP=30 e BCP=10, encontrar o angulo ABP.

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 神が祝福

 Torres

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[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em geometria(Ja foram resolvidas por inspeção usando trigonometria)

[Julio César Saldaña]

Seja Q o ponto de AC tal que PQ=QA.

Seja T o ponto de AB tal que APT=20.

Analizando o triângulo ATP e o ponto Q: ângulo externo em T = 50, angulo AQP =
100 (= 2 x 50), e QA=QP, conclusão Q é circuncentro de ATP. Então QT=QA=QP
(circunradio). Então Triângulo TQP é equilátero, então  TP=TQ.

COm isso tudo, Os triângulos TPC e TQC são idênticos, portanto PCT=10. E como o
ângulo PCT tambem é 10 e además TC=BC (pois BTC=80, esquecia isso). Ouseja os
triângulos BCP e TCP são idênticos, por tanto PB=PT e então x=50

Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Thu, 15 May 2014 16:58:44 -0300
Asunto : [obm-l] Ajuda em geometria(Ja foram resolvidas por inspeção usando
trigonometria)

Ola meus caros amigos, desenhando aqui pelo geogebra acabei criando uma
bela questão de geometria, do qual consegui por inspecao resolve-la através
de trigonometria pela lei dos senos, porem fiquei muito curioso para saber
se existe alguma solução por geometria euclidiana plana, estarei tentando,
mas vim aqui compartilhar com voces, se puderem agradeço desde ja.Um abraço
do Douglas Oliveira.

Problema: Seja um triângulo ABC com ângulos BAC=70 graus, ACB=30; dado um
ponto interno P such that BAP=30 e BCP=10, encontrar o angulo ABP.

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em recorrência!!

[douglas . oliveira]

 

Obrigado meu camarada vou ler com atenção!! 

Em 14.12.2013 12:23,
Rodrigo Renji escreveu: 

 Faz
 f(n)+2= g(n+1)/g(n) = 1/ (f(n)+2) =
g(n) / g(n+1) , (que vamos usar )
 
 daí f(n)-1 =g(n+1)/g(n) -3 =
[g(n+1) -3g(n) ] / g(n)
 
 e f(n+1) =g(n+2)/g(n+1) -2 = [g(n+2)-
2g(n+1) ] / g(n+1) 
 
 por isso substituindo tudo em
f(n+1)=(f(n)-1)/(f(n)+2) , segue que
 
 [g(n+2)- 2g(n+1) ] / g(n+1) =
[g(n+1) -3g(n) ] / g(n) . g(n) / g(n+1)
 
 cancelando todas coisas
canceláveis, segue que
 
 g(n+2)- 2g(n+1) = g(n+1) -3g(n)
 
 o que
implica
 
 g(n+2)= 3 g(n+1)-3g(n)
 
 que é uma recorrência de
segunda ordem com solução conhecida , depois só ajustar as condições
iniciais 
 
 eu tenho um texto (ruim) falando sobre caso geral disso,
se quiser dar uma olhada
 

https://www.dropbox.com/s/0h6sfpe6p33vu76/equacoesdiferencas.pdf [1]


 lá pela página 35 .
 
 Como transforma recorrência do tipo f(n+p)=
(af(n)+ b)/ (c f(n) +d) , caindo em uma outra recorrência que
teoricamente sabemos resolver 
 
 Em 14 de dezembro de 2013 08:56,
douglas.olive...@grupoolimpo.com.br escreveu:
 
 Olá amigos preciso
de uma ajudinha para resolver um problema estava muito interessado em
resolver a seguinte recorrência 
 
 f(n+1)=(f(n)-1)/(f(n)+2) com
f(1)=3 para n natural 
 
 Qualquer ajuda será bem vinda. 
 

Att. Douglas Oliveira 
 
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Links:
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[1]
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em recorrência!!

[Rodrigo Renji]

Valeu! qualquer coisa só falar :) !


Em 15 de dezembro de 2013 07:42, douglas.olive...@grupoolimpo.com.brescreveu:

  Obrigado meu camarada  vou ler com atenção!!





 Em 14.12.2013 12:23, Rodrigo Renji escreveu:

 Faz
 f(n)+2= g(n+1)/g(n) =  1/ (f(n)+2) =  g(n) /  g(n+1) , (que vamos usar )

 daí f(n)-1 =g(n+1)/g(n) -3 =  [g(n+1) -3g(n) ]  / g(n)


 e  f(n+1) =g(n+2)/g(n+1)  -2 = [g(n+2)- 2g(n+1) ] /  g(n+1)

 por isso substituindo tudo em f(n+1)=(f(n)-1)/(f(n)+2) , segue que

 [g(n+2)- 2g(n+1) ] /  g(n+1)  =[g(n+1) -3g(n) ]  / g(n) .   g(n) /
  g(n+1)

 cancelando todas coisas canceláveis, segue que

 g(n+2)- 2g(n+1)  = g(n+1) -3g(n)

 o que implica

 g(n+2)= 3 g(n+1)-3g(n)

 que é uma recorrência de segunda ordem com solução conhecida , depois só
 ajustar as condições iniciais


 eu tenho um texto (ruim) falando sobre caso geral disso, se quiser dar uma
 olhada

 https://www.dropbox.com/s/0h6sfpe6p33vu76/equacoesdiferencas.pdf

 lá pela página 35 .

 Como transforma recorrência do tipo f(n+p)= (af(n)+ b)/ (c f(n) +d) ,
 caindo em uma outra recorrência que teoricamente sabemos resolver


 Em 14 de dezembro de 2013 08:56, 
 douglas.olive...@grupoolimpo.com.brescreveu:

  Olá amigos preciso de uma ajudinha para resolver um problema estava
 muito interessado em resolver a seguinte recorrência

 f(n+1)=(f(n)-1)/(f(n)+2) com f(1)=3 para n natural

 Qualquer ajuda será bem vinda.

 Att. Douglas Oliveira


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[obm-l] Ajuda em recorrência!!

[douglas . oliveira]

 

Olá amigos preciso de uma ajudinha para resolver um problema estava
muito interessado em resolver a seguinte recorrência


f(n+1)=(f(n)-1)/(f(n)+2) com f(1)=3 para n natural 

Qualquer ajuda
será bem vinda. 

Att. Douglas Oliveira 
 
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[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em recorrência!!

[Rodrigo Renji]

Faz
f(n)+2= g(n+1)/g(n) =  1/ (f(n)+2) =  g(n) /  g(n+1) , (que vamos usar )

daí f(n)-1 =g(n+1)/g(n) -3 =  [g(n+1) -3g(n) ]  / g(n)


e  f(n+1) =g(n+2)/g(n+1)  -2 = [g(n+2)- 2g(n+1) ] /  g(n+1)

por isso substituindo tudo em f(n+1)=(f(n)-1)/(f(n)+2) , segue que

[g(n+2)- 2g(n+1) ] /  g(n+1)  =[g(n+1) -3g(n) ]  / g(n) .   g(n) /
 g(n+1)

cancelando todas coisas canceláveis, segue que

g(n+2)- 2g(n+1)  = g(n+1) -3g(n)

o que implica

g(n+2)= 3 g(n+1)-3g(n)

que é uma recorrência de segunda ordem com solução conhecida , depois só
ajustar as condições iniciais


eu tenho um texto (ruim) falando sobre caso geral disso, se quiser dar uma
olhada

https://www.dropbox.com/s/0h6sfpe6p33vu76/equacoesdiferencas.pdf

lá pela página 35 .

Como transforma recorrência do tipo f(n+p)= (af(n)+ b)/ (c f(n) +d) ,
caindo em uma outra recorrência que teoricamente sabemos resolver


Em 14 de dezembro de 2013 08:56, douglas.olive...@grupoolimpo.com.brescreveu:

  Olá amigos preciso de uma ajudinha para resolver um problema estava
 muito interessado em resolver a seguinte recorrência

 f(n+1)=(f(n)-1)/(f(n)+2) com f(1)=3 para n natural

 Qualquer ajuda será bem vinda.

 Att. Douglas Oliveira


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