Re: [obm-l] Matriz e determinante

[Claudio Buffara]

Se não me engano, a referência básica de álgebra linear é o livro do Elon.
Mas é um livro escrito por um matemático, e que adota o ponto de vista de
transformações lineares e não de matrizes (que são mencionadas em uns 2 ou
3 capítulos só).

Sobre o seu problema, acho que X teria que ser uma matriz triangular
superior com zeros na diagonal (mas isso tem que ser provado).
Só que, nesse caso, X^2 terá, no máximo, uma entrada não nula (a do canto
superior direito  X(1,3)) e, portanto, não poderá ser igual a A.
Assim, se a primeira afirmação acima for verdadeira, só n = 1 serve.

[]s,
Claudio.

On Tue, Feb 19, 2019 at 5:44 PM Vanderlei Nemitz 
wrote:

> OuMuito obrigado, Cláudio e demais colegas!
> Eu pensava que usava "apenas" fatos mais simples. Vi a indicação do artigo
> e vou ler, mas queria saber se vocês indicam algum livro ou material para
> estudar essas coisas mais "sofisticadas".
>
> Imagino que na seguinte questão também seja necessário usar autovalores.
> Muito obrigado!
>
> Considere a matriz
> A = 0 1 2
>0 0 1
>0 0 0
> Para quantos números naturais n existe uma matriz X tal que X^n = A?
> a) 1
> b) 2
> c) 3
> d) infinitos
>
>
>
>
> Em ter, 19 de fev de 2019 15:23, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com escreveu:
>
>> On Tue, Feb 19, 2019 at 7:45 AM Claudio Buffara
>>  wrote:
>> >
>> > Toda matriz tem um autovalor. De fato, uma matriz nxn tem n
>> autovalores, que podem não ser reais e nem todos distintos.
>>
>> Tem um detalhe que não afeta a validade da sua demonstração, mas acho
>> importante ressaltar.  A definição de autovalores que dá n autovalores
>> para uma matriz nxn é "algébrica", e não vem necessariamente com n
>> autovetores associados (que são ditos "geométricos").  Isso acontece
>> com matrizes nilpotentes, por exemplo, e de forma mais geral em blocos
>> de Jordan (como o artigo mostra).  O importante (que vem justamente de
>> Jordan) é que para cada autovalor k (SEM multiplicidade, portanto
>> podendo ser menos do que n) sempre tem pelo menos um autovetor X
>> correspondente, e daí você pode usar o seu raciocínio para mostrar que
>> Re(k) = 1/2.  Daí você volta para a álgebra, e vê que as
>> multiplicidades (algébricas) dos autovalores conjugados são iguais.
>> (Talvez até seja possível mostrar que se M é real, as multiplicidades
>> geométricas de autovalores conjugados também são iguais, mas neste
>> caso não precisa)
>>
>> > Dá uma olhada nesse artigo aqui:
>> https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/awards/Axler-Ford-1996.pdf
>>
>> Muito bom!!  Vou usar nas minhas aulas de Álgebra Linear.  Uma coisa,
>> entretanto: não vi a demonstração (nem o enunciado) do fato geométrico
>> "há pelo menos um autovetor de verdade para cada autovalor" (e não
>> apenas autovetores generalizados).  Não é difícil com tudo o que já
>> tem no artigo: por exemplo, (T - lambda * I)^k v = 0 mas não com k-1
>> implica que w = (T - lambda I)^{k-1} v é um autovetor "normal" de T.
>>
>> > []s,
>> > Claudio.
>> >
>> >
>> > On Tue, Feb 19, 2019 at 9:23 AM Rodrigo Ângelo 
>> wrote:
>> >>
>> >> Oi, Claudio
>> >>
>> >> Nesse caso, como a gente sabe que A tem um auto valor k?
>> >>
>> >> Atenciosamente,
>> >> Rodrigo de Castro Ângelo
>> >>
>> >>
>> >> Em seg, 18 de fev de 2019 às 22:25, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>> >>>
>> >>> Dada uma matriz qualquer M, vou chamar de M* a conjugada transposta
>> de M (se M for real, M* = transposta de M).
>> >>> Dado um número complexo z, chamarei de z* o conjugado de z.
>> >>> E identificarei números complexos com matrizes 1x1.
>> >>>
>> >>> Seja k um autovalor de A.
>> >>> Então existe uma matriz coluna nx1 não nula X tal que AX = kX ==>
>> X*A* = k*X*
>> >>> X*AX = X*(kX) = kX*X
>> >>> X*A*X = (k*X*)X = k*X*X
>> >>>
>> >>> Somando estas duas equações, obtemos:
>> >>> X*AX + X*A*X = (k+k*)X*X ==>
>> >>> X*(A + A*)X = 2Re(k)X*X ==>
>> >>> X*IX = 2Re(k)X*X ==>
>> >>> X*X = 2Re(k)X*X ==>
>> >>> (1 - 2Re(k))X*X = 0.
>> >>>
>> >>> Como X <> 0, X*X > 0 ==> Re(k) = 1/2.
>> >>>
>> >>> Ou seja, todos os autovalores de A têm parte real = 1/2.
>> >>> Como A é real, o polinômio característico de A tem coeficientes reais
>> ==>
>> >>> os autovalores de A ou são reais (e iguais a 1/2) ou então podem ser
>> particionados em pares da forma 1/2 + ib, 1/2 - ib (b real), cujo produto é
>> 1/4 + b^2 > 0 ==>
>> >>> det(A) = produto dos autovalores de A > 0.
>> >>>
>> >>> []s,
>> >>> Claudio.
>> >>>
>> >>>
>> >>>
>> >>>
>> >>> On Mon, Feb 18, 2019 at 9:50 PM Vanderlei Nemitz <
>> vanderma...@gmail.com> wrote:
>> 
>>  Pessoal, estou pensando na seguinte questão, consegui alguns
>> resultados, mas nada concreto. Alguém com uma ideia que possa resolver?
>> 
>>  Seja A uma matriz real n x n tal que A + A^t = I.
>>  Prove que detA > 0.
>> 
>>  A^t é a transposta de A.
>> 
>>  Muito obrigado!
>> 
>>  Vanderlei
>>
>>
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi 

Re: [obm-l] Matriz e determinante

[Vanderlei Nemitz]

OuMuito obrigado, Cláudio e demais colegas!
Eu pensava que usava "apenas" fatos mais simples. Vi a indicação do artigo
e vou ler, mas queria saber se vocês indicam algum livro ou material para
estudar essas coisas mais "sofisticadas".

Imagino que na seguinte questão também seja necessário usar autovalores.
Muito obrigado!

Considere a matriz
A = 0 1 2
   0 0 1
   0 0 0
Para quantos números naturais n existe uma matriz X tal que X^n = A?
a) 1
b) 2
c) 3
d) infinitos




Em ter, 19 de fev de 2019 15:23, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com escreveu:

> On Tue, Feb 19, 2019 at 7:45 AM Claudio Buffara
>  wrote:
> >
> > Toda matriz tem um autovalor. De fato, uma matriz nxn tem n autovalores,
> que podem não ser reais e nem todos distintos.
>
> Tem um detalhe que não afeta a validade da sua demonstração, mas acho
> importante ressaltar.  A definição de autovalores que dá n autovalores
> para uma matriz nxn é "algébrica", e não vem necessariamente com n
> autovetores associados (que são ditos "geométricos").  Isso acontece
> com matrizes nilpotentes, por exemplo, e de forma mais geral em blocos
> de Jordan (como o artigo mostra).  O importante (que vem justamente de
> Jordan) é que para cada autovalor k (SEM multiplicidade, portanto
> podendo ser menos do que n) sempre tem pelo menos um autovetor X
> correspondente, e daí você pode usar o seu raciocínio para mostrar que
> Re(k) = 1/2.  Daí você volta para a álgebra, e vê que as
> multiplicidades (algébricas) dos autovalores conjugados são iguais.
> (Talvez até seja possível mostrar que se M é real, as multiplicidades
> geométricas de autovalores conjugados também são iguais, mas neste
> caso não precisa)
>
> > Dá uma olhada nesse artigo aqui:
> https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/awards/Axler-Ford-1996.pdf
>
> Muito bom!!  Vou usar nas minhas aulas de Álgebra Linear.  Uma coisa,
> entretanto: não vi a demonstração (nem o enunciado) do fato geométrico
> "há pelo menos um autovetor de verdade para cada autovalor" (e não
> apenas autovetores generalizados).  Não é difícil com tudo o que já
> tem no artigo: por exemplo, (T - lambda * I)^k v = 0 mas não com k-1
> implica que w = (T - lambda I)^{k-1} v é um autovetor "normal" de T.
>
> > []s,
> > Claudio.
> >
> >
> > On Tue, Feb 19, 2019 at 9:23 AM Rodrigo Ângelo 
> wrote:
> >>
> >> Oi, Claudio
> >>
> >> Nesse caso, como a gente sabe que A tem um auto valor k?
> >>
> >> Atenciosamente,
> >> Rodrigo de Castro Ângelo
> >>
> >>
> >> Em seg, 18 de fev de 2019 às 22:25, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
> >>>
> >>> Dada uma matriz qualquer M, vou chamar de M* a conjugada transposta de
> M (se M for real, M* = transposta de M).
> >>> Dado um número complexo z, chamarei de z* o conjugado de z.
> >>> E identificarei números complexos com matrizes 1x1.
> >>>
> >>> Seja k um autovalor de A.
> >>> Então existe uma matriz coluna nx1 não nula X tal que AX = kX ==> X*A*
> = k*X*
> >>> X*AX = X*(kX) = kX*X
> >>> X*A*X = (k*X*)X = k*X*X
> >>>
> >>> Somando estas duas equações, obtemos:
> >>> X*AX + X*A*X = (k+k*)X*X ==>
> >>> X*(A + A*)X = 2Re(k)X*X ==>
> >>> X*IX = 2Re(k)X*X ==>
> >>> X*X = 2Re(k)X*X ==>
> >>> (1 - 2Re(k))X*X = 0.
> >>>
> >>> Como X <> 0, X*X > 0 ==> Re(k) = 1/2.
> >>>
> >>> Ou seja, todos os autovalores de A têm parte real = 1/2.
> >>> Como A é real, o polinômio característico de A tem coeficientes reais
> ==>
> >>> os autovalores de A ou são reais (e iguais a 1/2) ou então podem ser
> particionados em pares da forma 1/2 + ib, 1/2 - ib (b real), cujo produto é
> 1/4 + b^2 > 0 ==>
> >>> det(A) = produto dos autovalores de A > 0.
> >>>
> >>> []s,
> >>> Claudio.
> >>>
> >>>
> >>>
> >>>
> >>> On Mon, Feb 18, 2019 at 9:50 PM Vanderlei Nemitz <
> vanderma...@gmail.com> wrote:
> 
>  Pessoal, estou pensando na seguinte questão, consegui alguns
> resultados, mas nada concreto. Alguém com uma ideia que possa resolver?
> 
>  Seja A uma matriz real n x n tal que A + A^t = I.
>  Prove que detA > 0.
> 
>  A^t é a transposta de A.
> 
>  Muito obrigado!
> 
>  Vanderlei
>
>
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Matriz e determinante

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

On Tue, Feb 19, 2019 at 7:45 AM Claudio Buffara
 wrote:
>
> Toda matriz tem um autovalor. De fato, uma matriz nxn tem n autovalores, que 
> podem não ser reais e nem todos distintos.

Tem um detalhe que não afeta a validade da sua demonstração, mas acho
importante ressaltar.  A definição de autovalores que dá n autovalores
para uma matriz nxn é "algébrica", e não vem necessariamente com n
autovetores associados (que são ditos "geométricos").  Isso acontece
com matrizes nilpotentes, por exemplo, e de forma mais geral em blocos
de Jordan (como o artigo mostra).  O importante (que vem justamente de
Jordan) é que para cada autovalor k (SEM multiplicidade, portanto
podendo ser menos do que n) sempre tem pelo menos um autovetor X
correspondente, e daí você pode usar o seu raciocínio para mostrar que
Re(k) = 1/2.  Daí você volta para a álgebra, e vê que as
multiplicidades (algébricas) dos autovalores conjugados são iguais.
(Talvez até seja possível mostrar que se M é real, as multiplicidades
geométricas de autovalores conjugados também são iguais, mas neste
caso não precisa)

> Dá uma olhada nesse artigo aqui: 
> https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/awards/Axler-Ford-1996.pdf

Muito bom!!  Vou usar nas minhas aulas de Álgebra Linear.  Uma coisa,
entretanto: não vi a demonstração (nem o enunciado) do fato geométrico
"há pelo menos um autovetor de verdade para cada autovalor" (e não
apenas autovetores generalizados).  Não é difícil com tudo o que já
tem no artigo: por exemplo, (T - lambda * I)^k v = 0 mas não com k-1
implica que w = (T - lambda I)^{k-1} v é um autovetor "normal" de T.

> []s,
> Claudio.
>
>
> On Tue, Feb 19, 2019 at 9:23 AM Rodrigo Ângelo  wrote:
>>
>> Oi, Claudio
>>
>> Nesse caso, como a gente sabe que A tem um auto valor k?
>>
>> Atenciosamente,
>> Rodrigo de Castro Ângelo
>>
>>
>> Em seg, 18 de fev de 2019 às 22:25, Claudio Buffara 
>>  escreveu:
>>>
>>> Dada uma matriz qualquer M, vou chamar de M* a conjugada transposta de M 
>>> (se M for real, M* = transposta de M).
>>> Dado um número complexo z, chamarei de z* o conjugado de z.
>>> E identificarei números complexos com matrizes 1x1.
>>>
>>> Seja k um autovalor de A.
>>> Então existe uma matriz coluna nx1 não nula X tal que AX = kX ==> X*A* = 
>>> k*X*
>>> X*AX = X*(kX) = kX*X
>>> X*A*X = (k*X*)X = k*X*X
>>>
>>> Somando estas duas equações, obtemos:
>>> X*AX + X*A*X = (k+k*)X*X ==>
>>> X*(A + A*)X = 2Re(k)X*X ==>
>>> X*IX = 2Re(k)X*X ==>
>>> X*X = 2Re(k)X*X ==>
>>> (1 - 2Re(k))X*X = 0.
>>>
>>> Como X <> 0, X*X > 0 ==> Re(k) = 1/2.
>>>
>>> Ou seja, todos os autovalores de A têm parte real = 1/2.
>>> Como A é real, o polinômio característico de A tem coeficientes reais ==>
>>> os autovalores de A ou são reais (e iguais a 1/2) ou então podem ser 
>>> particionados em pares da forma 1/2 + ib, 1/2 - ib (b real), cujo produto é 
>>> 1/4 + b^2 > 0 ==>
>>> det(A) = produto dos autovalores de A > 0.
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> On Mon, Feb 18, 2019 at 9:50 PM Vanderlei Nemitz  
>>> wrote:

 Pessoal, estou pensando na seguinte questão, consegui alguns resultados, 
 mas nada concreto. Alguém com uma ideia que possa resolver?

 Seja A uma matriz real n x n tal que A + A^t = I.
 Prove que detA > 0.

 A^t é a transposta de A.

 Muito obrigado!

 Vanderlei


-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Matriz e determinante

[Rodrigo Ângelo]

Muito obrigado!

Tendo estudado álgebra apenas nos reais eu achava que algumas matrizes não
tinham auto valores. Obrigado por esclerecer.

Atenciosamente,
Rodrigo de Castro Ângelo


Em ter, 19 de fev de 2019 às 09:45, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Toda matriz tem um autovalor. De fato, uma matriz nxn tem n autovalores,
> que podem não ser reais e nem todos distintos.
> Dá uma olhada nesse artigo aqui:
> https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/awards/Axler-Ford-1996.pdf
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Tue, Feb 19, 2019 at 9:23 AM Rodrigo Ângelo 
> wrote:
>
>> Oi, Claudio
>>
>> Nesse caso, como a gente sabe que A tem um auto valor k?
>>
>> Atenciosamente,
>> Rodrigo de Castro Ângelo
>>
>>
>> Em seg, 18 de fev de 2019 às 22:25, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Dada uma matriz qualquer M, vou chamar de M* a conjugada transposta de M
>>> (se M for real, M* = transposta de M).
>>> Dado um número complexo z, chamarei de z* o conjugado de z.
>>> E identificarei números complexos com matrizes 1x1.
>>>
>>> Seja k um autovalor de A.
>>> Então existe uma matriz coluna nx1 não nula X tal que AX = kX ==> X*A* =
>>> k*X*
>>> X*AX = X*(kX) = kX*X
>>> X*A*X = (k*X*)X = k*X*X
>>>
>>> Somando estas duas equações, obtemos:
>>> X*AX + X*A*X = (k+k*)X*X ==>
>>> X*(A + A*)X = 2Re(k)X*X ==>
>>> X*IX = 2Re(k)X*X ==>
>>> X*X = 2Re(k)X*X ==>
>>> (1 - 2Re(k))X*X = 0.
>>>
>>> Como X <> 0, X*X > 0 ==> Re(k) = 1/2.
>>>
>>> Ou seja, todos os autovalores de A têm parte real = 1/2.
>>> Como A é real, o polinômio característico de A tem coeficientes reais
>>> ==>
>>> os autovalores de A ou são reais (e iguais a 1/2) ou então podem ser
>>> particionados em pares da forma 1/2 + ib, 1/2 - ib (b real), cujo produto é
>>> 1/4 + b^2 > 0 ==>
>>> det(A) = produto dos autovalores de A > 0.
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> On Mon, Feb 18, 2019 at 9:50 PM Vanderlei Nemitz 
>>> wrote:
>>>
 Pessoal, estou pensando na seguinte questão, consegui alguns
 resultados, mas nada concreto. Alguém com uma ideia que possa resolver?

 *Seja A uma matriz real n x n tal que A + A^t = I.*
 *Prove que detA > 0.*

 A^t é a transposta de A.

 Muito obrigado!

 Vanderlei

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Matriz e determinante

[Claudio Buffara]

Toda matriz tem um autovalor. De fato, uma matriz nxn tem n autovalores,
que podem não ser reais e nem todos distintos.
Dá uma olhada nesse artigo aqui:
https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/awards/Axler-Ford-1996.pdf

[]s,
Claudio.


On Tue, Feb 19, 2019 at 9:23 AM Rodrigo Ângelo 
wrote:

> Oi, Claudio
>
> Nesse caso, como a gente sabe que A tem um auto valor k?
>
> Atenciosamente,
> Rodrigo de Castro Ângelo
>
>
> Em seg, 18 de fev de 2019 às 22:25, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Dada uma matriz qualquer M, vou chamar de M* a conjugada transposta de M
>> (se M for real, M* = transposta de M).
>> Dado um número complexo z, chamarei de z* o conjugado de z.
>> E identificarei números complexos com matrizes 1x1.
>>
>> Seja k um autovalor de A.
>> Então existe uma matriz coluna nx1 não nula X tal que AX = kX ==> X*A* =
>> k*X*
>> X*AX = X*(kX) = kX*X
>> X*A*X = (k*X*)X = k*X*X
>>
>> Somando estas duas equações, obtemos:
>> X*AX + X*A*X = (k+k*)X*X ==>
>> X*(A + A*)X = 2Re(k)X*X ==>
>> X*IX = 2Re(k)X*X ==>
>> X*X = 2Re(k)X*X ==>
>> (1 - 2Re(k))X*X = 0.
>>
>> Como X <> 0, X*X > 0 ==> Re(k) = 1/2.
>>
>> Ou seja, todos os autovalores de A têm parte real = 1/2.
>> Como A é real, o polinômio característico de A tem coeficientes reais ==>
>> os autovalores de A ou são reais (e iguais a 1/2) ou então podem ser
>> particionados em pares da forma 1/2 + ib, 1/2 - ib (b real), cujo produto é
>> 1/4 + b^2 > 0 ==>
>> det(A) = produto dos autovalores de A > 0.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>>
>>
>> On Mon, Feb 18, 2019 at 9:50 PM Vanderlei Nemitz 
>> wrote:
>>
>>> Pessoal, estou pensando na seguinte questão, consegui alguns resultados,
>>> mas nada concreto. Alguém com uma ideia que possa resolver?
>>>
>>> *Seja A uma matriz real n x n tal que A + A^t = I.*
>>> *Prove que detA > 0.*
>>>
>>> A^t é a transposta de A.
>>>
>>> Muito obrigado!
>>>
>>> Vanderlei
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Matriz e determinante

[Rodrigo Ângelo]

Oi, Claudio

Nesse caso, como a gente sabe que A tem um auto valor k?

Atenciosamente,
Rodrigo de Castro Ângelo


Em seg, 18 de fev de 2019 às 22:25, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Dada uma matriz qualquer M, vou chamar de M* a conjugada transposta de M
> (se M for real, M* = transposta de M).
> Dado um número complexo z, chamarei de z* o conjugado de z.
> E identificarei números complexos com matrizes 1x1.
>
> Seja k um autovalor de A.
> Então existe uma matriz coluna nx1 não nula X tal que AX = kX ==> X*A* =
> k*X*
> X*AX = X*(kX) = kX*X
> X*A*X = (k*X*)X = k*X*X
>
> Somando estas duas equações, obtemos:
> X*AX + X*A*X = (k+k*)X*X ==>
> X*(A + A*)X = 2Re(k)X*X ==>
> X*IX = 2Re(k)X*X ==>
> X*X = 2Re(k)X*X ==>
> (1 - 2Re(k))X*X = 0.
>
> Como X <> 0, X*X > 0 ==> Re(k) = 1/2.
>
> Ou seja, todos os autovalores de A têm parte real = 1/2.
> Como A é real, o polinômio característico de A tem coeficientes reais ==>
> os autovalores de A ou são reais (e iguais a 1/2) ou então podem ser
> particionados em pares da forma 1/2 + ib, 1/2 - ib (b real), cujo produto é
> 1/4 + b^2 > 0 ==>
> det(A) = produto dos autovalores de A > 0.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
>
> On Mon, Feb 18, 2019 at 9:50 PM Vanderlei Nemitz 
> wrote:
>
>> Pessoal, estou pensando na seguinte questão, consegui alguns resultados,
>> mas nada concreto. Alguém com uma ideia que possa resolver?
>>
>> *Seja A uma matriz real n x n tal que A + A^t = I.*
>> *Prove que detA > 0.*
>>
>> A^t é a transposta de A.
>>
>> Muito obrigado!
>>
>> Vanderlei
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Matriz e determinante

[Claudio Buffara]

Dada uma matriz qualquer M, vou chamar de M* a conjugada transposta de M
(se M for real, M* = transposta de M).
Dado um número complexo z, chamarei de z* o conjugado de z.
E identificarei números complexos com matrizes 1x1.

Seja k um autovalor de A.
Então existe uma matriz coluna nx1 não nula X tal que AX = kX ==> X*A* =
k*X*
X*AX = X*(kX) = kX*X
X*A*X = (k*X*)X = k*X*X

Somando estas duas equações, obtemos:
X*AX + X*A*X = (k+k*)X*X ==>
X*(A + A*)X = 2Re(k)X*X ==>
X*IX = 2Re(k)X*X ==>
X*X = 2Re(k)X*X ==>
(1 - 2Re(k))X*X = 0.

Como X <> 0, X*X > 0 ==> Re(k) = 1/2.

Ou seja, todos os autovalores de A têm parte real = 1/2.
Como A é real, o polinômio característico de A tem coeficientes reais ==>
os autovalores de A ou são reais (e iguais a 1/2) ou então podem ser
particionados em pares da forma 1/2 + ib, 1/2 - ib (b real), cujo produto é
1/4 + b^2 > 0 ==>
det(A) = produto dos autovalores de A > 0.

[]s,
Claudio.




On Mon, Feb 18, 2019 at 9:50 PM Vanderlei Nemitz 
wrote:

> Pessoal, estou pensando na seguinte questão, consegui alguns resultados,
> mas nada concreto. Alguém com uma ideia que possa resolver?
>
> *Seja A uma matriz real n x n tal que A + A^t = I.*
> *Prove que detA > 0.*
>
> A^t é a transposta de A.
>
> Muito obrigado!
>
> Vanderlei
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Matriz e determinante

[Vanderlei Nemitz]

Pessoal, estou pensando na seguinte questão, consegui alguns resultados,
mas nada concreto. Alguém com uma ideia que possa resolver?

*Seja A uma matriz real n x n tal que A + A^t = I.*
*Prove que detA > 0.*

A^t é a transposta de A.

Muito obrigado!

Vanderlei

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Matriz nxn

[Matheus Secco]

Você também pode usar o teorema de Jacobi e trocar a primeira coluna por
ela mais todas as outras.
A primeira coluna passa a ser composta por (x+(n-1)a). Coloca esse cara em
evidência, usa Chió e aí você fica com uma matriz de ordem n-1 diag(x-a,
..., x-a), cujo det é (x-a)^(n-1).

2015-11-04 3:40 GMT-02:00 Marcelo Salhab Brogliato :

> Oi, Eduardo, boa noite.
>
> Essa é uma matrix circular (https://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix).
> Assim:
> det(M) = \prod_{j=0}^{n-1} [x + a(w_j + w_j^2 + w_j^3 + ... + w_j^{n-1})]
>
> Onde w_j é a j-ésima raiz unitária, isto é, w_j^n = 1.
>
> Mas, para w_j != 1, temos: w_j + w_j^2 + ... + w_j^{n-1} = w_j (1 -
> w_j^(n-1)) / (1 - w_j) = (w_j - w_j^n) / (1 - w_j) = (w_j - 1) / (1 - w_j)
> = -1. Assim:
> det(M) = [x+(n-1)a] \prod_{j=1}^{n-1} (x - a) = [x+(n-1)a](x-a)^{n-1}
>
> Abraços,
> Salhab
>
>
> 2015-11-03 23:43 GMT-02:00 Anderson Torres :
>
>> Você quer dizer algo assim, por exemplo?
>>
>> X A A A A
>> A X A A A
>> A A X A A
>> A A A X A
>> A A A A X
>>
>>
>> Em 3 de novembro de 2015 23:42, Anderson Torres
>>  escreveu:
>> > Dê um exemplo. Não entendi nada.
>> >
>> > Em 3 de novembro de 2015 22:26, Eduardo Henrique
>> >  escreveu:
>> >> Pessoas, me deparei com a seguinte questão:
>> >>
>> >> Seja M uma matriz nxn com x na diagonal principal, e a>0 nas demais
>> >> posições. Calcule det(M).
>> >>
>> >> Alguém poderia me indicar um caminho para seguir? Eu não consegui
>> avançar
>> >> nada nessa questão :(
>> >>
>> >> Att.
>> >>
>> >> Eduardo
>> >>
>> >> --
>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Matriz nxn

[Eduardo Henrique]

Pessoas, me deparei com a seguinte questão:

Seja M uma matriz nxn com x na diagonal principal, e a>0 nas demais posições. 
Calcule det(M).

Alguém poderia me indicar um caminho para seguir? Eu não consegui avançar nada 
nessa questão :(
Att.
Eduardo   
-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Matriz nxn

[Anderson Torres]

Dê um exemplo. Não entendi nada.

Em 3 de novembro de 2015 22:26, Eduardo Henrique
 escreveu:
> Pessoas, me deparei com a seguinte questão:
>
> Seja M uma matriz nxn com x na diagonal principal, e a>0 nas demais
> posições. Calcule det(M).
>
> Alguém poderia me indicar um caminho para seguir? Eu não consegui avançar
> nada nessa questão :(
>
> Att.
>
> Eduardo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Matriz nxn

[Anderson Torres]

Você quer dizer algo assim, por exemplo?

X A A A A
A X A A A
A A X A A
A A A X A
A A A A X


Em 3 de novembro de 2015 23:42, Anderson Torres
 escreveu:
> Dê um exemplo. Não entendi nada.
>
> Em 3 de novembro de 2015 22:26, Eduardo Henrique
>  escreveu:
>> Pessoas, me deparei com a seguinte questão:
>>
>> Seja M uma matriz nxn com x na diagonal principal, e a>0 nas demais
>> posições. Calcule det(M).
>>
>> Alguém poderia me indicar um caminho para seguir? Eu não consegui avançar
>> nada nessa questão :(
>>
>> Att.
>>
>> Eduardo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Matriz nxn

[Marcelo Salhab Brogliato]

Oi, Eduardo, boa noite.

Essa é uma matrix circular (https://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix).
Assim:
det(M) = \prod_{j=0}^{n-1} [x + a(w_j + w_j^2 + w_j^3 + ... + w_j^{n-1})]

Onde w_j é a j-ésima raiz unitária, isto é, w_j^n = 1.

Mas, para w_j != 1, temos: w_j + w_j^2 + ... + w_j^{n-1} = w_j (1 -
w_j^(n-1)) / (1 - w_j) = (w_j - w_j^n) / (1 - w_j) = (w_j - 1) / (1 - w_j)
= -1. Assim:
det(M) = [x+(n-1)a] \prod_{j=1}^{n-1} (x - a) = [x+(n-1)a](x-a)^{n-1}

Abraços,
Salhab


2015-11-03 23:43 GMT-02:00 Anderson Torres :

> Você quer dizer algo assim, por exemplo?
>
> X A A A A
> A X A A A
> A A X A A
> A A A X A
> A A A A X
>
>
> Em 3 de novembro de 2015 23:42, Anderson Torres
>  escreveu:
> > Dê um exemplo. Não entendi nada.
> >
> > Em 3 de novembro de 2015 22:26, Eduardo Henrique
> >  escreveu:
> >> Pessoas, me deparei com a seguinte questão:
> >>
> >> Seja M uma matriz nxn com x na diagonal principal, e a>0 nas demais
> >> posições. Calcule det(M).
> >>
> >> Alguém poderia me indicar um caminho para seguir? Eu não consegui
> avançar
> >> nada nessa questão :(
> >>
> >> Att.
> >>
> >> Eduardo
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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 acredita-se estar livre de perigo.

RE: [obm-l] Matriz nxn

[Esdras Muniz]

Dá (x-a)^{n-1}(x+(n-1)a). Eu fiz usando que esse determinante é um polinômio de 
grau n em x e coeficientes dependendo de a: "P^n(x,a)" (notação para o 
polinômio, de grau n,  do determinante desejado, em x e a). Daí temos que p(cx, 
ca)= c^nP(x, a). E, usando Chió, conseguimos: 
P^n(x,a)={(x-a)/x}^{n-1}P^{n-1}(x+a, a). O que implica que 
(x-a)^{n-1}|P^n(x,a). Agora, usando raízes (n-1)-esimas da unidade descobrimos 
que a outra raiz do polinômio é -(n-1)x.

Mas acho que conhecendo o resultado, deve ser mais fácil provar por indução...

-Mensagem Original-
De: "Anderson Torres" <torres.anderson...@gmail.com>
Enviada em: ‎03/‎11/‎2015 22:49
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: Re: [obm-l] Matriz nxn

Você quer dizer algo assim, por exemplo?

X A A A A
A X A A A
A A X A A
A A A X A
A A A A X


Em 3 de novembro de 2015 23:42, Anderson Torres
<torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
> Dê um exemplo. Não entendi nada.
>
> Em 3 de novembro de 2015 22:26, Eduardo Henrique
> <dr.dhe...@outlook.com> escreveu:
>> Pessoas, me deparei com a seguinte questão:
>>
>> Seja M uma matriz nxn com x na diagonal principal, e a>0 nas demais
>> posições. Calcule det(M).
>>
>> Alguém poderia me indicar um caminho para seguir? Eu não consegui avançar
>> nada nessa questão :(
>>
>> Att.
>>
>> Eduardo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

-- 
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Re: [obm-l] Matriz positiva definida

[Vanderlei Nemitz]

Marcos, desculpe a demora em agradecer. Valeu mesmo!
Vanderlei


Em 8 de agosto de 2013 10:47, Marcos Martinelli
mffmartine...@gmail.comescreveu:

 Seja A pertencente a M_n (R) (A é uma matriz do espaço das matrizes
 quadradas de ordem n *com coeficientes reais*).

 *Lema 01)* Se A é simétrica - todos seus autovalores são números reais.

 *obs* (corolário do Lema 01): dado que temos todos os autovalores
 reais, sempre podemos escolher os autovetores de A com todos os elementos
 reais.

 *Lema 02)* Se A é simétrica - existe uma matriz S (cujas colunas são
 todos os autovetores de A) tal que A = S . D . S^(t), onde D é uma matriz
 diagonal formada por todos os autovalores de A e S^(t) é, como usual, a
 transposta de S.

 *Queremos mostrar*: se A pertence a M_n (R) e é *simétrica definida
 positiva*, então todos os elementos de sua diagonal principal são
 positivos.

 Do Lema 02, existe uma matriz S = (s_ij) e D = (d_ij) [d_ii = lâmbda_i
 (autovalores de A) para qualquer i e d_ij=0 para qualquer i  j].

 Seja X = S.D. Da definição do produto de matrizes:

 x_ij = soma(1 = k = n) s_ik . d_kj = s_ij. d_jj = s_ij . lâmbda_j.

 Agora, façamos o produto de X por S^(t) para obter A:

 a_ij = soma(1 = k = n) x_ik . s_jk = soma(1 = k = n) (s_ik .
 lâmbda_k) . s_jk. Podemos forçar i=j:

 a_ii = soma(1 = k = n) lâmbda_k . (s_ik)^2  0, uma vez que todos os
 lâmbda_k são positivos e nem todos os s_ik podem ser nulos.




 Em 8 de agosto de 2013 08:21, Vanderlei Nemitz 
 vanderma...@gmail.comescreveu:

 Pessoal, preciso de uma ajuda em Álgebra Linear:

 Uma matriz simétrica A é definida positiva se todos os seus autovalores
 são positivos.

 *Como provar que em uma matriz definida positiva todos os elementos da
 diagonal principal são positivos?*


 Obrigado!

 --
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[obm-l] Matriz positiva definida

[Vanderlei Nemitz]

Pessoal, preciso de uma ajuda em Álgebra Linear:

Uma matriz simétrica A é definida positiva se todos os seus autovalores são
positivos.

*Como provar que em uma matriz definida positiva todos os elementos da
diagonal principal são positivos?*


Obrigado!

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Matriz positiva definida

[Marcos Martinelli]

Seja A pertencente a M_n (R) (A é uma matriz do espaço das matrizes
quadradas de ordem n *com coeficientes reais*).

*Lema 01)* Se A é simétrica - todos seus autovalores são números reais.

*obs* (corolário do Lema 01): dado que temos todos os autovalores reais,
sempre podemos escolher os autovetores de A com todos os elementos reais.

*Lema 02)* Se A é simétrica - existe uma matriz S (cujas colunas são todos
os autovetores de A) tal que A = S . D . S^(t), onde D é uma matriz
diagonal formada por todos os autovalores de A e S^(t) é, como usual, a
transposta de S.

*Queremos mostrar*: se A pertence a M_n (R) e é *simétrica definida positiva
*, então todos os elementos de sua diagonal principal são positivos.

Do Lema 02, existe uma matriz S = (s_ij) e D = (d_ij) [d_ii = lâmbda_i
(autovalores de A) para qualquer i e d_ij=0 para qualquer i  j].

Seja X = S.D. Da definição do produto de matrizes:

x_ij = soma(1 = k = n) s_ik . d_kj = s_ij. d_jj = s_ij . lâmbda_j.

Agora, façamos o produto de X por S^(t) para obter A:

a_ij = soma(1 = k = n) x_ik . s_jk = soma(1 = k = n) (s_ik .
lâmbda_k) . s_jk. Podemos forçar i=j:

a_ii = soma(1 = k = n) lâmbda_k . (s_ik)^2  0, uma vez que todos os
lâmbda_k são positivos e nem todos os s_ik podem ser nulos.




Em 8 de agosto de 2013 08:21, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.comescreveu:

 Pessoal, preciso de uma ajuda em Álgebra Linear:

 Uma matriz simétrica A é definida positiva se todos os seus autovalores
 são positivos.

 *Como provar que em uma matriz definida positiva todos os elementos da
 diagonal principal são positivos?*


 Obrigado!

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] matriz

[Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues]

Alguém pode dar uma ajudinha ai.

Encontre uma matriz A de dimensão 4 × 4 tal que A, A^2 e A^3 sejam matrizes
nao nulas, mas A^4 seja a matriz nula.

-- 
Prof Marcus

Re: [obm-l] matriz

[Willy George Amaral Petrenko]

0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0

Para entender a resposta vc deve estar familiarizado com a forma de Jordan:

http://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_canonical_form



2011/8/24 Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues marcusaureli...@globo.com

 Alguém pode dar uma ajudinha ai.

 Encontre uma matriz A de dimensão 4 × 4 tal que A, A^2 e A^3 sejam matrizes
 nao nulas, mas A^4 seja a matriz nula.

 --
 Prof Marcus

RE: [obm-l] matriz

[Samuel Wainer]

Olá,
Brigadão pela ajuda, mas ainda continuo perdido. 
 
Chegamos na parte em que 
 
(KC)C + C(KC) = -2aaC

 Supondo que 
A = KC
B = -C/(2aa)
 

chego que  
 
(A)(-2aaB) + (-2aaB)(A) = -2aaC = AB + BA = C e não AB-BA = C.
Fiz certo? ou estou comendo alguma parte?
Obrigado, 
Samuel.
 
 


Date: Fri, 18 Feb 2011 02:43:22 -0300
Subject: Re: [obm-l] matriz
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
CC: sswai...@hotmail.com


Olá, Samuel,


Notação: tr(A) = traço de A

Propriedades do traço:
- traço é um operador linear; 
- traço de um produto independe da ordem [ tr(AB) = tr(BA) ].


ida) (Existem A e B, tal que C = AB - BA) = tr(C) = 0
Utilizando as propriedades, é trivial: tr(C) = tr(AB-BA) = tr(AB) - tr(BA) = 0


volta) tr(C) = 0 = (Existem A e B, tal que C = AB - BA)
C = [ a  b ]
[ c -a ]


Seja K, tal que:

K = [ -a 0 ]
[  0 a ]


KC = [ -aa  -ab ]
 [  ac  -aa ]


CK = [ -aa   ab ]
 [ -ac  -aa ]


KC + CK = [ -2aa 0 ]
  [0  -2aa ]


KC + CK = -2aaI



Multiplicando por C pela direita, temos:
KCC + CKC = -2aaC
(KC)C + C(KC) = -2aaC


Portanto:
Construimos A e B, tal que AB - BA = C.
A = KC
B = -C/(2aa)


Podemos construir de outras maneiras tbém:
A = -KC/(2aa)
B = C


Ou então:
A = -KC/(2a)
B = C/a


E assim por diante :)


Abraços,
Salhab




2011/2/17 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com


Olá,
 
Estou apanhando de uma parte desse exercício:
 
Seja C={[c11,c12],[c21,c22]} uma matriz 2X2.
 
Pergunta-se quando é possível encontrar matrizes 2x2 A e B tais que C=AB - BA. 
Prove que tais matrizes podem ser encontradas se e somente se c11+c22=0.
 
A ida dessas implicações consegui fazer: escreve-se explicitamente as matrizes 
A e B, e vejo que se igualo AB-BA à C, devo ter c11+c22=0. Agora saindo de  
c11+c22=0 e chegar tais matrizes A e B podem ser encontradas achei difícil.
 
Gostaria de pedir ajuda aos colegas de lista. 
Obrigado.
Samuel.

  

Re: [obm-l] matriz

[Marcelo Salhab Brogliato]

Xi, tem razão!
To no trabalho agora, dps tento de novo :)

Abraços,
Salhab


2011/2/18 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com

  Olá,
 Brigadão pela ajuda, mas ainda continuo perdido.

 Chegamos na parte em que

 (KC)C + C(KC) = -2aaC

  Supondo que
 A = KC
 B = -C/(2aa)

 chego que

 (A)(-2aaB) + (-2aaB)(A) = -2aaC = AB + BA = C e não AB-BA = C.
 Fiz certo? ou estou comendo alguma parte?
 Obrigado,
 Samuel.


 --
 Date: Fri, 18 Feb 2011 02:43:22 -0300
 Subject: Re: [obm-l] matriz
 From: msbro...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 CC: sswai...@hotmail.com



 Olá, Samuel,

 Notação: tr(A) = traço de A
  Propriedades do traço:
 - traço é um operador linear;
 - traço de um produto independe da ordem [ tr(AB) = tr(BA) ].

 ida) (Existem A e B, tal que C = AB - BA) = tr(C) = 0
 Utilizando as propriedades, é trivial: tr(C) = tr(AB-BA) = tr(AB) - tr(BA)
 = 0

 volta) tr(C) = 0 = (Existem A e B, tal que C = AB - BA)
 C = [ a  b ]
 [ c -a ]

 Seja K, tal que:
  K = [ -a 0 ]
 [  0 a ]

 KC = [ -aa  -ab ]
  [  ac  -aa ]

 CK = [ -aa   ab ]
  [ -ac  -aa ]

 KC + CK = [ -2aa 0 ]
   [0  -2aa ]

 KC + CK = -2aaI

  Multiplicando por C pela direita, temos:
 KCC + CKC = -2aaC
 (KC)C + C(KC) = -2aaC

 Portanto:
 Construimos A e B, tal que AB - BA = C.
 A = KC
 B = -C/(2aa)

 Podemos construir de outras maneiras tbém:
 A = -KC/(2aa)
 B = C

 Ou então:
 A = -KC/(2a)
 B = C/a

 E assim por diante :)

 Abraços,
 Salhab


 2011/2/17 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com

 Olá,

 Estou apanhando de uma parte desse exercício:

 Seja C={[c11,c12],[c21,c22]} uma matriz 2X2.

 Pergunta-se quando é possível encontrar matrizes 2x2 A e B tais que C=AB -
 BA. Prove que tais matrizes podem ser encontradas se e somente se c11+c22=0.

 A ida dessas implicações consegui fazer: escreve-se explicitamente as
 matrizes A e B, e vejo que se igualo AB-BA à C, devo ter c11+c22=0. Agora
 saindo de  c11+c22=0 e chegar tais matrizes A e B podem ser encontradas
 achei difícil.

 Gostaria de pedir ajuda aos colegas de lista.
 Obrigado.
 Samuel.

Re: [obm-l] matriz

[Ralph Teixeira]

O problema eh que ha muitas opcoes Mas a gente nao quer resolver
para A e B, queremos apenas *um* exemplo de A e B para cada C. Entao,
para achar *um* exemplo explicitamente, no braco, vamos ter que
adicionar restricoes arbitrarias mas razoaveis em A e B.

Vejamos: nas contas da ida para achar AB-BA, voce deve ter notado que,
sempre que a_11 e a_22 aparecem, eles estao na forma (a_11-a_22).
Assim, AB-BA nao depende de cada um destes 2 caras separadamente, mas
apenas da diferenca a_11-a_22. Isto significa que voce nao perde nada
ao supor a_22=0.

Analogamente, nada se perde ao tentarmos b_22=0.

Sobram 3 equacoes com 6 incognitas... Ainda ha bastante liberdade,
entao tentamos um chute: serah que arrumo solucoes com, digamos,
b_21=0 (aqui pode se perder alguma coisa)? Analise o que sobrou,
sempre lembrando que voce quer UMA solucao, vai dar certo.

Abraco,
 Ralph

P.S.: Em suma: seja C=[a b; c -a].
Se a=b=0, tem A=[1 0; 0 0] e B=[0 0; -c 0].
Senao, tem A=[x 1; y 0] e B=[0 0; a b] onde (x,y) eh qualquer ponto na
reta ax+by=-c (reta, pois (a,b)(0,0)).

2011/2/17 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com:
 Olá,

 Estou apanhando de uma parte desse exercício:

 Seja C={[c11,c12],[c21,c22]} uma matriz 2X2.

 Pergunta-se quando é possível encontrar matrizes 2x2 A e B tais que C=AB -
 BA. Prove que tais matrizes podem ser encontradas se e somente se c11+c22=0.

 A ida dessas implicações consegui fazer: escreve-se explicitamente as
 matrizes A e B, e vejo que se igualo AB-BA à C, devo ter c11+c22=0. Agora
 saindo de  c11+c22=0 e chegar tais matrizes A e B podem ser encontradas
 achei difícil.

 Gostaria de pedir ajuda aos colegas de lista.
 Obrigado.
 Samuel.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] matriz

[Danilo Barros]

O operador 'traço' satisfaz tr(AB) = tr(BA). Daí segue que tr(C) = 
tr(AB-BA)=tr(AB)-tr(BA)=0.

From: sswai...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] matriz
Date: Thu, 17 Feb 2011 19:26:06 +








Olá,

 

Estou apanhando de uma parte desse exercício:

 

Seja C={[c11,c12],[c21,c22]} uma matriz 2X2.

 

Pergunta-se quando é possível encontrar matrizes 2x2 A e B tais que C=AB - BA. 
Prove que tais matrizes podem ser encontradas se e somente se c11+c22=0.

 

A ida dessas implicações consegui fazer: escreve-se explicitamente as matrizes 
A e B, e vejo que se igualo AB-BA à C, devo ter c11+c22=0. Agora saindo de  
c11+c22=0 e chegar tais matrizes A e B podem ser encontradas achei difícil.

 

Gostaria de pedir ajuda aos colegas de lista. 

Obrigado.

Samuel.
  

Re: [obm-l] matriz

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá, Samuel,

Notação: tr(A) = traço de A
Propriedades do traço:
- traço é um operador linear;
- traço de um produto independe da ordem [ tr(AB) = tr(BA) ].

ida) (Existem A e B, tal que C = AB - BA) = tr(C) = 0
Utilizando as propriedades, é trivial: tr(C) = tr(AB-BA) = tr(AB) - tr(BA) =
0

volta) tr(C) = 0 = (Existem A e B, tal que C = AB - BA)
C = [ a  b ]
[ c -a ]

Seja K, tal que:
K = [ -a 0 ]
[  0 a ]

KC = [ -aa  -ab ]
 [  ac  -aa ]

CK = [ -aa   ab ]
 [ -ac  -aa ]

KC + CK = [ -2aa 0 ]
  [0  -2aa ]

KC + CK = -2aaI

Multiplicando por C pela direita, temos:
KCC + CKC = -2aaC
(KC)C + C(KC) = -2aaC

Portanto:
Construimos A e B, tal que AB - BA = C.
A = KC
B = -C/(2aa)

Podemos construir de outras maneiras tbém:
A = -KC/(2aa)
B = C

Ou então:
A = -KC/(2a)
B = C/a

E assim por diante :)

Abraços,
Salhab


2011/2/17 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com

  Olá,

 Estou apanhando de uma parte desse exercício:

 Seja C={[c11,c12],[c21,c22]} uma matriz 2X2.

 Pergunta-se quando é possível encontrar matrizes 2x2 A e B tais que C=AB -
 BA. Prove que tais matrizes podem ser encontradas se e somente se c11+c22=0.

 A ida dessas implicações consegui fazer: escreve-se explicitamente as
 matrizes A e B, e vejo que se igualo AB-BA à C, devo ter c11+c22=0. Agora
 saindo de  c11+c22=0 e chegar tais matrizes A e B podem ser encontradas
 achei difícil.

 Gostaria de pedir ajuda aos colegas de lista.
 Obrigado.
 Samuel.

[obm-l] matriz

[Samuel Wainer]

Olá,
 
Estou apanhando de uma parte desse exercício:
 
Seja C={[c11,c12],[c21,c22]} uma matriz 2X2.
 
Pergunta-se quando é possível encontrar matrizes 2x2 A e B tais que C=AB - BA. 
Prove que tais matrizes podem ser encontradas se e somente se c11+c22=0.
 
A ida dessas implicações consegui fazer: escreve-se explicitamente as matrizes 
A e B, e vejo que se igualo AB-BA à C, devo ter c11+c22=0. Agora saindo de  
c11+c22=0 e chegar tais matrizes A e B podem ser encontradas achei difícil.
 
Gostaria de pedir ajuda aos colegas de lista. 
Obrigado.
Samuel.   

[obm-l] matriz

[João Maldonado]

Alguém consegue  demonstrar o seguinte teorema:
O inverso da matriz transposta é a trasposta da matriz inversa

[]'s
João
  

Re: [obm-l] matriz

[Gabriel Dalalio]

Se você provar a propriedade (AB)^t=B^t.A^t, você terá:
A.A^-1=I = (A.A^-1)^t=I^t = (A^-1)^t . A^t = I

Para provar essa propriedade você escreve a formula do termo da matriz
produto e inverte a ordem dos somatórios.
Espero ter ajudado, se ficou confuso fala ai.

Abraços,
Gabriel Dalalio

2011/2/15 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com:
 Alguém consegue  demonstrar o seguinte teorema:
 O inverso da matriz transposta é a trasposta da matriz inversa

 []'s
 João


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Matriz Simétrica

[warley ferreira]

Alguém pode ajudar nesta questão!
 Prove que uma matriz simétrica 3x3 só possui autovalores reais.Warley  F Souza 


  

[obm-l] Re: [obm-l] Matriz Simétrica

[Daniel da Silva Nunes]

Oi Warley.

De um modo mais geral, uma matriz real simétrica nxn só terá autovalores
reais.

Seja u um autovalor da matriz simétrica A, e v o autovetor correspondente.
Temos Av = uv. Vou denotar por [x] o complexo conjugado de x e por Y* a
transposta de Y.

Segue também que [Av] = A[v] (pois A é real) = [uv] = [u][v]. Portanto, [u]
também é autovalor de A.

Por outro lado,

[v]*A = [v]*A* = (A[v])* = ([u][v])* = [u][v]*,

e, fazendo o produto interno, temos

u([v]*[v]) = [v]*(uv) = [v]*(Av) = ([v]*A)v = ([u][v]*)v = [u]([v]*[v])

= (u - [u])([v]*[v]) = 0.

O termo [v]*[v] é simplesmente o quadrado da norma de v, que, como
autovetor, não pode ser 0. Portanto, u - [u] = 0, o que implica que u é
real.

[]s,
Daniel.


Em 9 de setembro de 2010 22:01, warley ferreira lulu...@yahoo.com.brescreveu:

   Algúem poderia me ajudar!
 Mostre que uma matriz simétrica 3x3 só possui autovalores reais.

 Warley  F Souza

[obm-l] Matriz Simétrica

[warley ferreira]

Algúem poderia me ajudar!
Mostre que uma matriz simétrica 3x3 só possui autovalores reais.
 Warley  F Souza 


  

[obm-l] Matriz Diagonal - De finições

[Rhilbert Rivera]

Matriz Diagonal –  É uma matriz quadrada em que todos os elementos fora da  
DIAGONAL PRINCIPAL são iguais a zero.
Matriz Triangular Superior -  É uma matriz quadrada em que todos os elementos 
abaixo da DIAGONAL PRINCIPAL  são iguais a zero.
Matriz Triangular Inferior -  É uma matriz quadrada em que todos os elementos 
acima da  DIAGONAL PRINCIPAL  são iguais a zero.
 
Caros colegas, só para acalmar minha curiosidade:  Existe alguma definição para 
o caso de considerarmos a DIAGONAL SECUNDÁRIA,  em todas as definições acima? 
Ou este caso não é considerado?
 
Obrigado!
 
(^_^)
 
  
_
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http://www.microsoft.com/brasil/windows7/default.html?WT.mc_id=1539

[obm-l] Re: [obm-l] Matriz Diagonal - Definições

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2009/11/7 Rhilbert Rivera rhilbert1...@hotmail.com:
 Matriz Diagonal –  É uma matriz quadrada em que todos os elementos fora da
  DIAGONAL PRINCIPAL são iguais a zero.

 Matriz Triangular Superior -  É uma matriz quadrada em que todos os
 elementos abaixo da DIAGONAL PRINCIPAL  são iguais a zero.

 Matriz Triangular Inferior -  É uma matriz quadrada em que todos os
 elementos acima da  DIAGONAL PRINCIPAL  são iguais a zero.

 Caros colegas, só para acalmar minha curiosidade:  Existe alguma definição
 para o caso de considerarmos a DIAGONAL SECUNDÁRIA,  em todas as definições
 acima? Ou este caso não é considerado?

Este caso é muito pouco considerado, talvez com excessão de problemas
de combinatória. As diagonal secundária possui muito poucas
propriedades úteis em álgebra linear !


 Obrigado!


Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Matriz Diagonal - Definições

[Rhilbert Rivera]

Vou  colocar  minhas considerações ( melhor seria, especulações).  Sabemos que 
a Matriz Identidade é uma caso particular de Matriz Diagonal. Sabemos o que 
acontece quando multiplicamos uma matriz B pela Matriz Identidade.   

Se consideramos uma matriz A' onde todos os elementos da DIAGONAL SECUNDÁRIA 
sejam iguais a 1 e outros elementos sejam todos zeros, ao multiplicamos A' por 
uma matriz B, as linhas da matriz A'B, são as mesmas da matriz B, só que 
permutadas. Por exemplo: A' é uma matriz 4x4, B uma matriz 4x4 com as linhas 
(L1, L2, L3, L4) nessa ordem; a matriz A'B terá as linhas (L4, L3, L2, L1) 
nessa ordem.

Quanto a definição de Matriz Triangular, até onde meus poucos conhecimentos 
podem enxergar, não vejo problema da definição incluir o caso da  DIAGONAL 
SECUNDÁRIA.

 

Abraços!

 

(^_^)

 


 
 Date: Sat, 7 Nov 2009 19:29:20 +0100
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Matriz Diagonal - Definições
 From: bernardo...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 2009/11/7 Rhilbert Rivera rhilbert1...@hotmail.com:
  Matriz Diagonal –  É uma matriz quadrada em que todos os elementos fora da
   DIAGONAL PRINCIPAL são iguais a zero.
 
  Matriz Triangular Superior -  É uma matriz quadrada em que todos os
  elementos abaixo da DIAGONAL PRINCIPAL  são iguais a zero.
 
  Matriz Triangular Inferior -  É uma matriz quadrada em que todos os
  elementos acima da  DIAGONAL PRINCIPAL  são iguais a zero.
 
  Caros colegas, só para acalmar minha curiosidade:  Existe alguma definição
  para o caso de considerarmos a DIAGONAL SECUNDÁRIA,  em todas as definições
  acima? Ou este caso não é considerado?
 
 Este caso é muito pouco considerado, talvez com excessão de problemas
 de combinatória. As diagonal secundária possui muito poucas
 propriedades úteis em álgebra linear !
 
 
  Obrigado!
 
 
 Abraços,
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
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[obm-l] MATRIZ QUADRADA

[arkon]

ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR, ESTA:

(UFPB-86) Seja A uma matriz quadrada de ordem 4. Se det A = m, então 
det (2A) vale:

a) 32m. b) 16m.c) 8m. d) 4m. e) 2m.

DESDE JÁ AGRADEÇO

Re: [obm-l] MATRIZ QUADRADA

[jones colombo]

Como na matriz 2A cada coluna (ou linha) é multiplicada por 2 usando a
propriedade de determinante que diz:  se  duas matrizes  diferem por  uma
ter uma coluna  multiplicada por uma constante,  então  o  determinante
entre elas diferem por esta mesma constante.

Visto que a matriz é de ordem 4 temos que det(2m)= 2.2.2.2 det(m)=16det(m)

On 10/1/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote:

 ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR, ESTA:


 *(UFPB-86) Seja A uma matriz quadrada de ordem 4. Se det A = m, então *

 *det (2A) vale:*

 * *

 *a) 32m. b) 16m.c) 8m. d) 4m. e) 2m.*

 **

 *DESDE JÁ AGRADEÇO*

 * *

[obm-l] MATRIZ.1

[arkon]

Pessoal alguém pode, por favor, resolver esta

(UFPB-77) Dada a matriz   A = |   cos x  sen x | , o det (AAt) é igual 
a:
| - sen x  cos x |

a) cos2 x – sen2 x.   b) - 1.c) sen2 x – cos2 x.d) 1.   e) Nenhuma 
das respostas.

DESDE JÁ MUITO OBRIGADO

Re: [obm-l] MATRIZ.1

[Arlane Manoel S Silva]

   Como o det(AAt)=detA.det(At) e detA=det(At) então
det(AAt)=(detA)^2=1.

Citando arkon [EMAIL PROTECTED]:


Pessoal alguém pode, por favor, resolver esta

(UFPB-77) Dada a matriz   A = |   cos x  sen x | , o det   
(AAt) é igual a:
| - sen x 
   cos x |


a) cos2 x – sen2 x.   b) - 1.c) sen2 x – cos2 x.d) 1. 
e) Nenhuma das respostas.


DESDE JÁ MUITO OBRIGADO





--
Arlane Manoel S Silva
  MAT-IME-USP


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Re: [obm-l] MATRIZ.1

[Carlos Gomes]

Basta lembrar que det(A.At)=det(A).det(At) =det(A).det(A) = (detA)^2 , pois 
det(At)=det(A)

Mas de acordo com a matriz dada temos que det(A)=(cosx)^2+(senx)^2 = 1

segue então que det(A.At)=(detA)^2=1^2=1

cgomes
  - Original Message - 
  From: arkon 
  To: obm-l 
  Sent: Tuesday, September 25, 2007 8:58 AM
  Subject: [obm-l] MATRIZ.1


  Pessoal alguém pode, por favor, resolver esta

   

  (UFPB-77) Dada a matriz   A = |   cos x  sen x | , o det (AAt) é 
igual a: 

  | - sen x  cos x |

   

  a) cos2 x - sen2 x.   b) - 1.c) sen2 x - cos2 x.d) 1.   e) 
Nenhuma das respostas.

   

  DESDE JÁ MUITO OBRIGADO

[obm-l] MATRIZ

[arkon]

Pessoal alguém pode, por favor, resolver esta
Escreva a matriz quadrada de ordem 4 em que: cada aij = (i + j)2, para i = j , 
aij = (i – j)2, para i diferente de j.
DESDE JÁ MUITO OBRIGADO

Re: [obm-l] MATRIZ

[Igor Battazza]

Em 13/09/07, arkon[EMAIL PROTECTED] escreveu:



 Pessoal alguém pode, por favor, resolver esta

 Escreva a matriz quadrada de ordem 4 em que: cada aij = (i + j)2, para i = j
 , aij = (i – j)2, para i diferente de j.

 DESDE JÁ MUITO OBRIGADO

É elevado a 2? Se for então:

a_ij = (i+ j)^2 para i = j
a_ij = (i - j)^2 para i  j

Seja A a matriz:

  [ a11 a12 a13 a14 ] [   4   1   4   9  ]
  [ a21 a22 a23 a24 ] [   1  16  1   4  ]
A = [ a31 a32 a33 a34 ]  = [   4   1  36  1  ]
  [ a41 a42 a43 a44 ] [   9   4   1  64 ]

Acho que é isso (se n me enganei nas contas :) )

=
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=

RE: [obm-l] Matriz Simétrica

[Francisco]

Olá Salhab!Não sei se vc observou, mas no enunciado do problema, o corpo é o 
dos números complexos. Assim, A é simétrica e não autoadunta (A  A*). Para 
fazer do resultado que vc falou, é preciso mostrar que A é uma matriz normal 
(AA* = A*A). E no caso complexo, uma matriz P é ortogonal (unitária) quando PP* 
= I = P*P, ou seja, sua inversa  é igual a transposta conjugada. Além, um bom 
execício é verificar que o problema proposto não é verdadeiro no caso de A ser 
uma matriz real.De qualquer forma, vou tentar entender melhor seus argumentos, 
pois pode ser que eu não tenha entendido o que exatamente vc escreveu.Grato,
FranciscoOBS.: A* = transposta conjugada de A|- - - - - - - - - - - - - - - 
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  Date: Wed, 25 Jul 2007 02:29:36 -0300 From: [EMAIL PROTECTED] To: 
  obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Matriz Simétrica  Olá,  toda 
  matriz simetrica é diagonalizavel, assim: D = C^-1AC e a matriz 
  diagonalizante é ortogonal, entao: A = CDC^t podemos dizer que D = EE ... 
  onde e_ij = sqrt(d_ij), pois D é diagonal.. assim: A = CEEC^t ... fazendo: 
  B^t = CE, temos que: B = E^tC^t = EC^t, pois E tambem é diagonal... logo: 
  A = B^tB.. assim, para toda matriz simetrica, existe B, tal que A = B^tB.. 
   abracos, SalhabOn 7/23/07, Francisco [EMAIL PROTECTED] wrote: 
 Olá.   Alguém poderia me ajudar no problema de álgbera linear logo 
  abaixo?   Seja A uma matriz complexa nxn. Mostre que se A é simétrica (A 
  = A^t), então  existe uma matriz B (complexa) tal que A = (B^t) B.   
  Notação: A^t = matiz transposta de A.   Obs.: No caso em que A é uma 
  matriz real, o resultado acima não é  verdadeiro!   Grato desde já,  
Francisco.   |- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
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Re: [obm-l] Matriz Simétrica

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

toda matriz simetrica é diagonalizavel, assim:
D = C^-1AC e a matriz diagonalizante é ortogonal, entao: A = CDC^t
podemos dizer que D = EE ... onde e_ij = sqrt(d_ij), pois D é diagonal..
assim: A = CEEC^t ... fazendo: B^t = CE, temos que: B = E^tC^t = EC^t,
pois E tambem é diagonal...
logo: A = B^tB..
assim, para toda matriz simetrica, existe B, tal que A = B^tB..

abracos,
Salhab



On 7/23/07, Francisco [EMAIL PROTECTED] wrote:


 Olá.

Alguém poderia me ajudar no problema de álgbera linear logo abaixo?

Seja A uma matriz complexa nxn. Mostre que se A é simétrica (A = A^t), então
existe uma matriz B (complexa) tal que A = (B^t) B.

Notação: A^t = matiz transposta de A.

Obs.: No caso em que A é uma matriz real, o resultado acima não é
verdadeiro!

Grato desde já,
  Francisco.

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[obm-l] Matriz Simétrica

[Francisco]

Olá.Alguém poderia me ajudar no problema de álgbera linear logo abaixo?Seja A 
uma matriz complexa nxn. Mostre que se A é simétrica (A = A^t), então existe 
uma matriz B (complexa) tal que A = (B^t) B.Notação: A^t = matiz transposta de 
A.Obs.: No caso em que A é uma matriz real, o resultado acima não é 
verdadeiro!Grato desde já,  Francisco.|- - - - - - - - - - - - 
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[obm-l] matriz de rotação

[Emanuel Valente]

Olá a todos, estou com a seguinte duvida:
Quero usar matriz de rotação para equações em duas dimensões.
Por exemplo:
y=x^2 -x +6
qual a equação corrigida quando os eixos inclinam 30 graus anti horário?

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[obm-l] Re: [obm-l] matriz de rotação

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

utilize a transformacao linear abaixo:
T = [ cos30 -sen30 ]
  [ sen30  cos30 ]

assim, faz-se:
[ x' ] = [cos30 -sen30] [x]
[ y' ][sen30   cos30] [y]

x' = xcos30 - ysen30
y' = xsen30 + ycos30

mas, y = x^2 - x + 6.. assim:

x' = xcos30 - (x^2 - x + 6)sen30
y' = xsen30 + (x^2 - x  + 6)cos30

pronto, agora, se vc quiser a funcao dessa parabola rotacionada, vc tem q 
colocar y' em funcao de x'..


abraços,
Salhab

- Original Message - 
From: Emanuel Valente [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, August 04, 2006 12:23 PM
Subject: [obm-l] matriz de rotação


Olá a todos, estou com a seguinte duvida:
Quero usar matriz de rotação para equações em duas dimensões.
Por exemplo:
y=x^2 -x +6
qual a equação corrigida quando os eixos inclinam 30 graus anti horário?

=
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Re: [obm-l] Matriz de Binomiais

[Ronaldo Luiz Alonso]

Cláudio eu suspeitaria, em princípio que 

deva existir uma relação de recorrência entre os 

cofatores dessa matriz para você achar uma relação 
de inversão
que se manifeste de forma 
simples.

Vc conhece alguma relação
de recorrência simples?



  - Original Message - 
  From: 
  claudio.buffara 
  To: obm-l 
  Sent: Monday, May 22, 2006 1:54 PM
  Subject: [obm-l] Matriz de 
Binomiais
  
  Alguém conhece alguma forma inteligente de se inverter a matriz nxn A = 
  (a_i,j) tal que a_i,j = Binom(i-1,j-1) ?
  
  Obs: Naturalmente, vale a convenção: r  s == Binom(s,r) = 
0.
  
  ***
  
  Também estou procurando uma demonstração combinatória de:
  SOMA(k=0...r) (-1)^k*Binom(n,k) = (-1)^r*Binom(n-1,r)
  com 1 = r = n.
  
  []s,
  Claudio.
  

Re: [obm-l] Matriz de Binomiais

[claudio\.buffara]

Eu costumo olhar pra determinantes e cofatores apenas em último caso...

MasA é claramente diagonal inferior e a diagonal consiste só de 1's. 
Logo, det(A) = 1 e, portanto, a inversa de A é diagonal inferior com coeficientes inteiros.

Olhando casos pequenos, eu conjecturo que B = A^(-1) é tal que:
b_i,j = (-1)^(i+j)*Binom(i-1,j-1).

Suponhamos que AB = C = (c_i,j). Então:
c_i,j = SOMA(k=1...n) a_i,k*b_k,j =
(-1)^i * SOMA(k=1...n) (-1)^k*Binom(i-1,k-1)*Binom(k-1,j-1) 

Se k  i ou j  k, então o k-ésimo termo da soma é zero.
Logo, podemos supor quej = k = i e ficamos com:

c_i,j = (-1)^i * SOMA(k=j...i) (-1)^k*Binom(i-1,k-1)*Binom(k-1,j-1)
= (-1)^i * SOMA(k=j...i) (-1)^k*((i-1)!*(k-1)!)/((i-k)!*(k-1)!*(k-j)!*(j-1)!)
= (-1)^i * (i-1)!/(j-1)! * SOMA(k=j...i) (-1)^k/((i-k)!*(k-j)!) 
= (-1)^i * (i-1)!/((j-1)!*(i-j)!) * SOMA(k=j...i) (-1)^k * (i-j)!/((i-k)!*(k-j)!)
= (-1)^i *Binom(i-1,j-1) * SOMA(k=0...i-j) (-1)^(k+j) * Binom(i-j,k)
= (-1)^(i+j) * BINOM(i-1,j-1) * SOMA(k=0...i-j) (-1)^k * Binom(i-j,k)
= 0 
(basta ver que a última soma é igual a expansão binomial de (1-1)^(i-j))

Logo, C = I e B é de fato a inversa de A.

Mas, como eu disse, eu estou procurando uma demonstração inteligente deste fato. Afinal, tem que haver uma forma macetosa de se inverter uma matriz cujos coeficientes formam um triângulo de Pascal...

[]s,
Claudio.






De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Tue, 23 May 2006 11:22:17 -0300




Assunto:
Re: [obm-l] Matriz de Binomiais
 Cláudio eu suspeitaria, em princípio que 
 deva existir uma relação de recorrência entre os 
 cofatores dessa matriz para você achar uma relação de inversão
 que se manifeste de forma simples.
 
 Vc conhece alguma relação
 de recorrência simples?
 
 

- Original Message - 
From: claudio.buffara 
To: obm-l 
Sent: Monday, May 22, 2006 1:54 PM
Subject: [obm-l] Matriz de Binomiais
 
 Alguém conhece alguma forma inteligente de se inverter a matriz nxn A = (a_i,j) tal que a_i,j = Binom(i-1,j-1) ?
 
 Obs: Naturalmente, vale a convenção: r  s == Binom(s,r) = 0.
 
 ***
 
 Também estou procurando uma demonstração combinatória de:
 SOMA(k=0...r) (-1)^k*Binom(n,k) = (-1)^r*Binom(n-1,r)
 com 1 = r = n.
 
 []s,
 Claudio.
 

[obm-l] Matriz de Binomiais

[claudio\.buffara]

Alguém conhece alguma forma inteligente de se inverter a matriz nxn A = (a_i,j) tal que a_i,j = Binom(i-1,j-1) ?

Obs: Naturalmente, vale a convenção: r  s == Binom(s,r) = 0.

***

Também estou procurando uma demonstração combinatória de:
SOMA(k=0...r) (-1)^k*Binom(n,k) = (-1)^r*Binom(n-1,r)
com 1 = r = n.

[]s,
Claudio.

Re: [obm-l] Matriz

[Alexandre Bastos]

Valeu, JuniorRonaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] escreveu:  O traço de uma matriz (quando ela é a representação de um tensor) dá o máximo stress permitido: In the case of a fluid, Pascal's law shows that the hydrostatic stress is the same in all directions, at least to a first approximation, so can be captured by the scalar quantity pressure. Thus, in the case of a solid, the hydrostatic (or isostatic) pressure p is defined as one third of
 the trace of the tensor, i.e., the mean of the diagonal terms.http://en.wikipedia.org/wiki/Stress_%28physics%29- Original Message -   From: Júnior   To: obm-l@mat.puc-rio.br   Sent: Wednesday, April 12, 2006 11:02 AM  Subject: Re: [obm-l] Matriz  Alexandre, traço é a soma dos elementos da diagonal principal. Já tipo de uma matriz nunca ouvi falar.Júnior.
		 
Yahoo! Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça. 

[obm-l] Matriz

[Alexandre Bastos]

Bom dia, amigos.Alguém pode me explicar o que são tipo e traço de matriz?Desde já, obrigado.Alexandre Bastos
		 
Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz. 

Re: [obm-l] Matriz

[Júnior]

Alexandre, traço é a soma dos elementos da diagonal principal. Já tipo de uma matriz nunca ouvi falar.

Júnior.

Re: [obm-l] Matriz

[Ronaldo Luiz Alonso]

Traço de uma matriz é a soma dos elementos da 
diagonal principal.

Exemplo 
 [ 1 2 3 ]
A= [4 5 6 ]
 [7 8 9]

tr A = 15.


  - Original Message - 
  From: 
  Alexandre Bastos 
  To: OBM 
  Sent: Wednesday, April 12, 2006 10:36 
  AM
  Subject: [obm-l] Matriz
  
  Bom dia, amigos.
  
  Alguém pode me explicar o que são tipo e traço de 
  matriz?
  
  Desde já, obrigado.
  
  Alexandre Bastos
  
  
  Abra 
  sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e 
  anti-spam realmente eficaz. 

RES: [obm-l] Matriz

[Artur Costa Steiner]

Eu 
acho que tipo eh uma expressao bem geral, que depende do contexto. Jah vi alguns 
artigos citarem tipo de uma matriz para dizer se a matriz eh positiva definida, 
positiva semi-definida, etc, mas nao creio que seja um uso 
consagrado.
Atur

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de JúniorEnviada 
  em: quarta-feira, 12 de abril de 2006 11:02Para: 
  obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] 
  MatrizAlexandre, traço é a soma dos elementos da diagonal 
  principal. Já tipo de uma matriz nunca ouvi 
  falar.Júnior.

Re: [obm-l] Matriz

[Ronaldo Luiz Alonso]

O traço de uma matriz (quando ela é a representação 
de um tensor) dá o máximo stress permitido: 

In the case of a fluid, Pascal's law shows that 
the hydrostatic stress is the same in all directions, at least to a first 
approximation, so can be captured by the scalar quantity pressure. Thus, in the case of 
a solid, the hydrostatic (or isostatic) pressure p is defined as one 
third of the trace of the 
tensor, i.e., the mean of the diagonal terms.

http://en.wikipedia.org/wiki/Stress_%28physics%29

  - Original Message - 
  From: 
  Júnior 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, April 12, 2006 11:02 
  AM
  Subject: Re: [obm-l] Matriz
  Alexandre, traço é a soma dos elementos da diagonal principal. 
  Já tipo de uma matriz nunca ouvi 
falar.Júnior.

Re: [obm-l] Matriz - IMC

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Bem, se isto e da IMC, ce pode conferir a solucao no
site oficial.


--- Daniel Regufe [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Como fao essa ... ?
 
 A e B so matrizes reais NxN tal que A^2 + B^2 = AB
 e BA - AB  invertvel . 
 Prove q N  mltiplo de 3.
 
 []`s
 Daniel Regufe
 

_
 Chegou o que faltava: MSN Acesso Grtis. Instale J!
 
 http://www.msn.com.br/discador
 

=
 Instrues para entrar na lista, sair da lista e
 usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

=
 






___ 
Yahoo! Acesso Grtis - Internet rpida e grtis. 
Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/
=
Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Matriz - IMC

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira]

   Mais precisamente, a solução deste problema esta' em
http://www.ucl.ac.uk/~ucahjej/imc/imc1997/prob_sol1.pdf
Ele é o problema 3 da IMC de 1997. A solução é curta, mas depende de uma
idéia que eu não tive quando pensei nele, recentemente, e acabei não
conseguindo uma solução completa...
   Abraços,
Gugu



De:[EMAIL PROTECTED]

Para:obm-l@mat.puc-rio.br

C=F3pia:

Data:Tue, 14 Jun 2005 12:44:01 +

Assunto:[obm-l] Matriz - IMC

 Como fa=E7o essa ... ?
 
 A e B s=E3o matrizes reais NxN tal que A^2 + B^2 =3D AB e BA - AB =E9 i=
nvert=EDvel . 
 Prove q N =E9 m=FAltiplo de 3.
 
 []`s
 Daniel Regufe
 

O site da IMC tem todas as solu=E7=F5es.
http://www.imc-math.org/

[]s,
Claudio.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Matriz - IMC

[Daniel Regufe]

Como faço essa ... ?

A e B são matrizes reais NxN tal que A^2 + B^2 = AB e BA - AB é invertível . 
Prove q N é múltiplo de 3.


[]`s
Daniel Regufe

_
Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! 
http://www.msn.com.br/discador


=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Matriz

[Vinícius Meireles Aleixo]

Dadas as matrizes A, 4X2 e B, 2x4 duas matrizes 
quaisquer, provar que AB não é invertível.


Abraços

Vinícius Meireles Aleixo

Re: [obm-l] Matriz

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Veja que o posto de B é dois (dimensão da imagem que ele gera, só tem
dois vetores!) Assim, não importa o que você faça, não vais aumentar
essa dimensão.

Abraços,


On Sat, 19 Feb 2005 20:49:37 -0300, Vinícius Meireles Aleixo
[EMAIL PROTECTED] wrote:
  
  
 Dadas as matrizes A, 4X2 e B, 2x4 duas matrizes quaisquer, provar que AB não
 é invertível.
  
  
 Abraços
  
 Vinícius Meireles Aleixo


-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Matriz por triangularização

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

Some à primeira coluna a soma das outras duas, obtendo 
t+3//-1//1
t+3//t-3//1
t+4//-6//t+4
Faça agora cada linha menos a primeira, obtendo
t+3//-1//1
0//t-2//0
1//-5//t+3
O determinante é igual a (t-2)[(t+3)^2-1]= (t-2)(t-2)(t+4)

==
Mensagem  enviada  pelo  CIP  WebMAIL  - Nova Geração - v. 2.1
CentroIn Internet Provider  http://www.centroin.com.br
Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978
Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online


-- Original Message ---
From: Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sun, 05 Sep 2004 13:23:30 -0300
Subject: Re: [obm-l] Matriz por triangularização

 Trocar uma linha/coluna da matriz por uma combinação linear das 
 linhas/colunas da matriz não afeta o determinante, então por exemplo,
  você pode trocar a primeira coluna pela soma desta com a segunda 
 coluna e assim introduzir um zero em (3, 1). Repita o processo de 
 forma a introduzir quantos zeros forem possíveis, isso vai te 
 facilitar a vida.
 
 Olá pessoal boa noite.
 
 Recebi uma questão  e depois de muito tentar, sem conseguir resolvê-la, 
decidi pedir ajuda na lista. Tenho que resolver a matriz 3x3, que se seugue 
por triangularização, calculando o seu determinante. Eis a matriz:
 
 t+3   -1 1
 
 5  t-31
 
 6  -6t+4 
 
 Pede-se ainda determinar t para que a matriz dada seja inversível.
 
 Bem se alguém puder me dar uma mãozinha, agradeço bastante,
 
 Um abraço, Marcelo.
 
 ---
 iBestMail, agora com POP3/SMTP e 120MB de espaço!
 Experimente: http://www.ibestmail.com.br
 =
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 =
 
   
 
 
 =
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--- End of Original Message ---

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=

[obm-l] Matriz por triangularização

[geo3d]

Olá pessoal boa noite.

Recebi uma questão  e depois de muito tentar, sem conseguir resolvê-la, decidi pedir 
ajuda na lista. Tenho que resolver a matriz 3x3, que se seugue por triangularização, 
calculando o seu determinante. Eis a matriz:

t+3   -1 1

5  t-31

6  -6t+4 

Pede-se ainda determinar t para que a matriz dada seja inversível.

Bem se alguém puder me dar uma mãozinha, agradeço bastante,

Um abraço, Marcelo.

---
iBestMail, agora com POP3/SMTP e 120MB de espaço!
Experimente: http://www.ibestmail.com.br
=
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=

[obm-l] Matriz Inversivel

[Claudio Buffara]

Oi, pessoal:

Alguem consegue dar uma demonstracao curta e elegante de que a matriz A
(2005 x 2005) definida abaixo eh inversivel?

A eh tal que:
A(i,i) = 1
A(i,i+1) = -1
A(i,i+2) = 1
para 1 = i = 2005  (mod 2005)
e
A(i,j) = 0 em todos os outros casos.

OBS: A nao eh diagonal. O canto superior direito eh:
1  -1
0   1

[]s,
Claudio.


=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Matriz Inversivel

[Nicolau C. Saldanha]

On Wed, Mar 24, 2004 at 12:30:01PM -0300, Claudio Buffara wrote:
 Oi, pessoal:
 
 Alguem consegue dar uma demonstracao curta e elegante de que a matriz A
 (2005 x 2005) definida abaixo eh inversivel?
 
 A eh tal que:
 A(i,i) = 1
 A(i,i+1) = -1
 A(i,i+2) = 1
 para 1 = i = 2005  (mod 2005)
 e
 A(i,j) = 0 em todos os outros casos.
 
 OBS: A nao eh diagonal. O canto superior direito eh:
 1  -1
 0   1

Acho que ou eu não entendi o enunciado ou a obs está errada.
Pelo que entendi, a matriz seria, trocando N = 2005 por N = 12,
igual a (1 = +, -1 = -, 0 = .):

+-+.
.+-+
..+-+...
...+-+..
+-+.
.+-+
..+-+...
...+-+..
+-+.
.+-+
+.+-
-+.+

Então aquele bloquinho seria o canto superior direito de A^t.

Vamos representar um vetor (a_0,a_1,...,a_{N-1}) por
a_0 + a_1 X + ... + a_{N-1} X^{N-1}.
Vamos convencionar que X^N = 1, ou seja, vamos trabalhar em
Q^2005 = Q[X]/(X^N - 1) = Q + Q[z5] + Q[z401] + Q[z2005]
onde zk = exp(2 pi i/k).

A matriz A equivale a multiplicar por 1 - X^{-1} + X^{-2} =
X^{-2} (X - w) (X - w') onde w = z6 e w' = z6^(-1)
são raízes primitivas de ordem 6 da unidade.
Ora, como 6 e N = 2005 são primos entre si
segue que X - w e X - w' são inversíveis em (Q[X]/(X^N - 1))[w]
(pois são inversíveis em Q[w], Q[z5][w], Q[z401][w], Q[z2005][w]).

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Matriz Inversivel

[Claudio Buffara]

on 24.03.04 13:52, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 On Wed, Mar 24, 2004 at 12:30:01PM -0300, Claudio Buffara wrote:
 Oi, pessoal:
 
 Alguem consegue dar uma demonstracao curta e elegante de que a matriz A
 (2005 x 2005) definida abaixo eh inversivel?
 
 A eh tal que:
 A(i,i) = 1
 A(i,i+1) = -1
 A(i,i+2) = 1
 para 1 = i = 2005  (mod 2005)
 e
 A(i,j) = 0 em todos os outros casos.
 
 OBS: A nao eh diagonal. O canto superior direito eh:
 1  -1
 0   1
 
 Acho que ou eu não entendi o enunciado ou a obs está errada.
 Pelo que entendi, a matriz seria, trocando N = 2005 por N = 12,
 igual a (1 = +, -1 = -, 0 = .):
 
 +-+.
 .+-+
 ..+-+...
 ...+-+..
 +-+.
 .+-+
 ..+-+...
 ...+-+..
 +-+.
 .+-+
 +.+-
 -+.+
 
 Então aquele bloquinho seria o canto superior direito de A^t.
 
Voce entendeu, sim! Eu eh que troquei os indices e acabei descrevendo acima
a transposta da matriz do enunciado original. Mas nao faz a menor
diferenca...

 Vamos representar um vetor (a_0,a_1,...,a_{N-1}) por
 a_0 + a_1 X + ... + a_{N-1} X^{N-1}.
 Vamos convencionar que X^N = 1, ou seja, vamos trabalhar em
 Q^2005 = Q[X]/(X^N - 1) = Q + Q[z5] + Q[z401] + Q[z2005]
 onde zk = exp(2 pi i/k).

Soh pra ver se eu entendi: voce estah dizendo que como Q[x] eh a soma dos
ideais gerados pelos polinomios ciclotomicos correspondentes aos divisores
de 2005, entao, o quociente de Q[x] pela interseccao desses ideais eh
isomorfo a soma direta dos quocientes de Q[x] por cada um desses polinomios.
E como os polinomios sao irredutiveis, cada uma das parcelas eh um corpo.
 
 A matriz A equivale a multiplicar por 1 - X^{-1} + X^{-2} =
 X^{-2} (X - w) (X - w') onde w = z6 e w' = z6^(-1)
 são raízes primitivas de ordem 6 da unidade.

OK. As partes reais de w e w' somam 1.

 Ora, como 6 e N = 2005 são primos entre si
 segue que X - w e X - w' são inversíveis em (Q[X]/(X^N - 1))[w]
 (pois são inversíveis em Q[w], Q[z5][w], Q[z401][w], Q[z2005][w]).

Belo truque! Eu jamais teria pensado nisso.

Obrigado pela solucao.

[]s,
Claudio.



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Matriz inversa

[Carlos Gomes]

Olá amigos, tudo bem? Será que alguém pode me 
ajudar com essa:

 Verifique que se I-AB é invertível ( I 
é a matriz identidade de ordem n e A e B são matrizes quadradas de ordem n) I-BA 
também é invertível e além disso (I-BA)^(-1) = I+B.(I-AB)^(-1) . A.

Um forte abraço, Cgomes

Re: [obm-l] Matriz inversa

[Nicolau C. Saldanha]

On Wed, Feb 25, 2004 at 09:57:27AM -0300, Carlos Gomes wrote:
 Verifique que se I-AB é invertível ( I é a matriz identidade de ordem n e
 A e B são matrizes quadradas de ordem n) I-BA também é invertível e além
 disso (I-BA)^(-1) = I+B.(I-AB)^(-1) . A.

Seja C = (I - AB)^(-1). Temos C(I-AB) = (I-AB)C = I ou C - CAB = C - ABC = I
donde CAB = ABC = C - I.

Escreva agora

(I+BCA)(I-BA) = I+BCA-BA-B(CAB)A = I+BCA-BA-B(C-I)A = I+BCA-BA-BCA+BA = I
(I-BA)(I+BCA) = I+BCA-BA-B(ABC)A = I+BCA-BA-B(C-I)A = I+BCA-BA-BCA+BA = I

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Matriz de Hilbert

[Wagner]

Quais são as aplicações da matriz de 
Hilbert?

Só para lembrar, a matriz de Hilbert Hn é a matriz de termos
da forma aij = 
1/(i+j-1) e ordem n.

André T.

[obm-l] Matriz de Hilbert

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Agora estou as voltas de inverter essa joça bendita.Como inverter e uma tarefa nao-trivial,to a beira da loucura extrema(quanta emoçao...)So pra nao esquecer:
O determinante é:1^(2(n-1)) * 2^(2(n-2)) * ... * (n-1)^2/(2^1 * 3^2 * ... * n^(n-1) * (n+1)^n * (n+2)^(n-1) * ... * (2n-1)^2 * 2nUma demonstração boa está aquihttp://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/hilbmat
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] wrote:

Acredito sim pois essa ideia nao e estranha.Quero ver o dia que provarem diretamente que um numero e primo sem provar que ele nao e composto.Ah,o k e 1 o Saldanha acabou de mostrar isso. 
Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: 




Caro JP:

Não tenho a solução ainda, mas acho que uma idéia que pode funcionar é olhar para det(A) como sendo uma função racional dos i's e dos j's (tomados como variáveis - como os x's num polinômio). 
Para evitar confusão, podemos considerar a matriz nxn B, tal que B(i,j) = 1/(X(i) + Y(j)). 
Assim, det(B) será uma função racional nas 2n variáveis X(i), Y(j) (1 = i,j = n)

Após calcular det(B) e reduzi-lo um denominador comum, podemos tentar provar que:
1) O denominador de det(B) será igual ao produto dos n^2 termos da forma [X(i) + Y(j)] = 1/B(i,j) == 
grau(denominador) = n^2;

2) O numerador de det(B) será divisível por[X(j) - X(i)] e[Y(j) - Y(i)], para todo i e j com 1 = i  j = n.

A afirmativa (2)terá levado em conta um fator do numerador de grau n^2 - n.

Entretanto,det(B) é igual à soma algébrica de n! termos cujos denominadores têm grau n. Logo grau(det(B)) = -n.
Assim:
grau(det(B)) = grau(numerador) - grau(denominador) ==
-n = grau(numerador) - n^2 ==
grau(numerador) = n^2 - n ==

numerador = K * PRODUTÓRIO [X(j) - X(i)]*[Y(j) - Y(i)]
 1 = i  j = n
onde K é uma constante.

Agora, resta provar que K = 1. Acho que pode sair da mesma forma que no determinante de Vandermonde.

Vou pensar um pouco mais.

Bom fim de semana e um abraço,
Claudio.

PS: Aquela solução do x^2+x+p é primo foi um golpe durovocê acreditaria se eu dissesse que eu tinha justamente acabado de pensar nela? Eu não.


- Original Message - 
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Friday, February 14, 2003 3:01 PM
Subject: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?)
Turma,ces sabem calcular o determinante de uma matriz n*n onde a(i;j)*(i+j)=1 sempre?Pelo que eu saiba deve ter isso na lista mas de qualquer caso... 


Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.


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Re: [obm-l] Matriz de Hilbert

[Cláudio \(Prática\)]

Tente usar: A^(-1) = (1/detA) * adj(A), onde adj(A) 
é a matriz adjunta clássica de A (a transposta da matriz dos 
cofatores).

O elemento (j,i) (note a inversão dos 
índices)de adj(A) é igual a (-1)^(i+j)*detM(i,j), onde M(i,j) = matriz 
(n-1)x(n-1)obtida de A pela eliminação da i-ésima linha e da j-ésima 
coluna.

Pra calcular detM(i,j), use o mesmo truque: 
considere o caso mais geral de m(i,j) = 1/(X(i) + Y(j)).

Parece ser mais braçal do que realmente 
é:

Lembre-se que det(A) = Num/Den, onde:

Num = PRODUTÓRIO [X(j) - X(i)]*[Y(j) - 
Y(i)] (grau = n^2 - n)
1 = i 
 j = n
e

Den = PRODUTÓRIO [X(i)+ Y(j)] (grau = n^2)
1 = 
i= n
1 = j = 
n

Pra calcular detM(r,s) você só precisa eliminar das fórmulas acima os 
termos envolvendo i = r e j = s, o que irá resultar num Numerador de grau 
(n-1)^2 - (n-1) = n^2 - 3n + 2e num Denominador de grau (n-1)^2

Um abraço,
Claudio.

  - Original Message - 
  From: 
  Johann Peter Gustav Lejeune 
  Dirichlet 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Tuesday, February 18, 2003 1:36 
  PM
  Subject: [obm-l] Matriz de Hilbert
  
  Agora estou as voltas de inverter essa joça bendita.Como inverter e uma 
  tarefa nao-trivial,to a beira da loucura extrema(quanta emoçao...)So pra nao 
  esquecer: 
  O determinante é:1^(2(n-1)) * 2^(2(n-2)) * ... * 
  (n-1)^2/(2^1 * 3^2 * ... * n^(n-1) * (n+1)^n * (n+2)^(n-1) * ... * 
  (2n-1)^2 * 2nUma demonstração boa está aquihttp://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/hilbmat
  Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 
  [EMAIL PROTECTED] wrote: 
  
Acredito sim pois essa ideia nao e estranha.Quero ver o dia que provarem 
diretamente que um numero e primo sem provar que ele nao e composto.Ah,o k e 
1 o Saldanha acabou de mostrar isso. 
Cláudio_(Prática) 
[EMAIL PROTECTED] wrote: 

  
  

  Caro JP:
  
  Não tenho a solução ainda, mas acho que 
  uma idéia que pode funcionar é olhar para 
  det(A) como sendo uma função racional dos i's e dos j's (tomados como 
  variáveis - como os x's num polinômio). 
  Para evitar confusão, podemos considerar a 
  matriz nxn B, tal que B(i,j) = 1/(X(i) + Y(j)). 
  Assim, det(B) será uma função racional nas 2n 
  variáveis X(i), Y(j) (1 = i,j = n)
  
  Após calcular det(B) e reduzi-lo um 
  denominador comum, podemos tentar provar que:
  1) O denominador de det(B) será igual ao 
  produto dos n^2 termos da forma [X(i) + Y(j)] = 1/B(i,j) == 
  
  grau(denominador) = n^2;
  
  2) O numerador de det(B) será divisível 
  por[X(j) - X(i)] e[Y(j) - Y(i)], para todo i e j com 1 = i 
   j = n.
  
  A afirmativa (2)terá levado em conta um 
  fator do numerador de grau n^2 - n.
  
  Entretanto,det(B) é igual à soma 
  algébrica de n! termos cujos denominadores têm grau n. Logo grau(det(B)) = 
  -n.
  Assim:
  grau(det(B)) = grau(numerador) - 
  grau(denominador) ==
  -n = grau(numerador) - n^2 
  ==
  grau(numerador) = n^2 - n 
  ==
  
  numerador = K * PRODUTÓRIO [X(j) - 
  X(i)]*[Y(j) - Y(i)]
   
  1 = i  j = n
  onde K é uma constante.
  
  Agora, resta provar que K = 1. Acho que pode 
  sair da mesma forma que no determinante de Vandermonde.
  
  Vou pensar um pouco mais.
  
  Bom fim de semana e um abraço,
  Claudio.
  
  PS: Aquela solução do x^2+x+p é primo foi um 
  golpe durovocê acreditaria se eu dissesse que eu tinha justamente 
  acabado de pensar nela? Eu não.
  
  
- Original Message - 
From: 
Johann Peter Gustav 
Lejeune Dirichlet 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Friday, February 14, 2003 
3:01 PM
Subject: [obm-l] Matriz Harmonica(e 
esse onome?)
Turma,ces sabem calcular o 
determinante de uma matriz n*n onde a(i;j)*(i+j)=1 sempre?Pelo que eu 
saiba deve ter isso na lista mas de qualquer caso... 


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  Busca Yahoo! O serviço de 
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Re: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?)

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Acredito sim pois essa ideia nao e estranha.Quero ver o dia que provarem diretamente que um numero e primo sem provar que ele nao e composto.Ah,o k e 1 o Saldanha acabou de mostrar isso.
Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote:




Caro JP:

Não tenho a solução ainda, mas acho que uma idéia que pode funcionar é olhar para det(A) como sendo uma função racional dos i's e dos j's (tomados como variáveis - como os x's num polinômio). 
Para evitar confusão, podemos considerar a matriz nxn B, tal que B(i,j) = 1/(X(i) + Y(j)). 
Assim, det(B) será uma função racional nas 2n variáveis X(i), Y(j) (1 = i,j = n)

Após calcular det(B) e reduzi-lo um denominador comum, podemos tentar provar que:
1) O denominador de det(B) será igual ao produto dos n^2 termos da forma [X(i) + Y(j)] = 1/B(i,j) == 
grau(denominador) = n^2;

2) O numerador de det(B) será divisível por[X(j) - X(i)] e[Y(j) - Y(i)], para todo i e j com 1 = i  j = n.

A afirmativa (2)terá levado em conta um fator do numerador de grau n^2 - n.

Entretanto,det(B) é igual à soma algébrica de n! termos cujos denominadores têm grau n. Logo grau(det(B)) = -n.
Assim:
grau(det(B)) = grau(numerador) - grau(denominador) ==
-n = grau(numerador) - n^2 ==
grau(numerador) = n^2 - n ==

numerador = K * PRODUTÓRIO [X(j) - X(i)]*[Y(j) - Y(i)]
 1 = i  j = n
onde K é uma constante.

Agora, resta provar que K = 1. Acho que pode sair da mesma forma que no determinante de Vandermonde.

Vou pensar um pouco mais.

Bom fim de semana e um abraço,
Claudio.

PS: Aquela solução do x^2+x+p é primo foi um golpe durovocê acreditaria se eu dissesse que eu tinha justamente acabado de pensar nela? Eu não.


- Original Message - 
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Friday, February 14, 2003 3:01 PM
Subject: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?)
Turma,ces sabem calcular o determinante de uma matriz n*n onde a(i;j)*(i+j)=1 sempre?Pelo que eu saiba deve ter isso na lista mas de qualquer caso... 


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[obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?)

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Turma,ces sabem calcular o determinante de uma matriz n*n onde a(i;j)*(i+j)=1 sempre?Pelo que eu saiba deve ter isso na lista mas de qualquer caso...Busca Yahoo! 
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Re: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?)

[Cláudio \(Prática\)]

Caro JP:

Não tenho a solução ainda, mas acho que 
uma idéia que pode funcionar é olhar para det(A) 
como sendo uma função racional dos i's e dos j's (tomados como variáveis - como 
os x's num polinômio). 
Para evitar confusão, podemos considerar a matriz 
nxn B, tal que B(i,j) = 1/(X(i) + Y(j)). 
Assim, det(B) será uma função racional nas 2n 
variáveis X(i), Y(j) (1 = i,j = n)

Após calcular det(B) e reduzi-lo um denominador 
comum, podemos tentar provar que:
1) O denominador de det(B) será igual ao produto 
dos n^2 termos da forma [X(i) + Y(j)] = 1/B(i,j) == 
grau(denominador) = n^2;

2) O numerador de det(B) será divisível 
por[X(j) - X(i)] e[Y(j) - Y(i)], para todo i e j com 1 = i  
j = n.

A afirmativa (2)terá levado em conta um fator 
do numerador de grau n^2 - n.

Entretanto,det(B) é igual à soma algébrica de 
n! termos cujos denominadores têm grau n. Logo grau(det(B)) = -n.
Assim:
grau(det(B)) = grau(numerador) - 
grau(denominador) ==
-n = grau(numerador) - n^2 
==
grau(numerador) = n^2 - n ==

numerador = K * PRODUTÓRIO [X(j) - X(i)]*[Y(j) - 
Y(i)]
 
1 = i  j = n
onde K é uma constante.

Agora, resta provar que K = 1. Acho que pode sair 
da mesma forma que no determinante de Vandermonde.

Vou pensar um pouco mais.

Bom fim de semana e um abraço,
Claudio.

PS: Aquela solução do x^2+x+p é primo foi um golpe 
durovocê acreditaria se eu dissesse que eu tinha justamente acabado de 
pensar nela? Eu não.


  - Original Message - 
  From: 
  Johann Peter Gustav Lejeune 
  Dirichlet 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Friday, February 14, 2003 3:01 
  PM
  Subject: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse 
  onome?)
  Turma,ces sabem calcular o 
  determinante de uma matriz n*n onde a(i;j)*(i+j)=1 sempre?Pelo que eu saiba 
  deve ter isso na lista mas de qualquer caso...
  
  
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Re: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?)

[Cláudio \(Prática\)]

Caro Nicolau e demais colegas:

Tem um problema no livro Álgebra Linear (Hoffman/Kunze) que pede para provar
que a inversa da matriz de termo geral 1/(i+j) tem todos os elementos
inteiros.

Há uns dois anos, eu escrevi pra coluna Ask Dr.Math
http://mathforum.org/dr.math/ask4.html sobre o problema e eles me deram a
mesma dica exposta abaixo - considerar uma matriz de funções racionais nxn
de elementos B(i,j) = 1/(X(i)+Y(j)) e provar que o numerador é um produto de
termos X(i)-X(j) e Y(i)-Y(j) de grau n^2 - n e o denominador um produto de
termos X(i)+X(j) grau n^2.

Eu acabei de mandar uma mensagem pra lista com o meu esboço de solução (não
cheguei ao resultado final) e  também cometi a deselegância de não mencionar
o autor da dica - no caso um certo Dr. Rob (eles não dão o nome inteiro) que
contribui ou contribuía na época para aquela coluna.

De qualquer maneira, o site mencionado acima tem alguns artigos e problemas
interessantes.

Um abraço,
Claudio.


- Original Message -
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, February 14, 2003 4:00 PM
Subject: Re: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?)


 On Fri, Feb 14, 2003 at 04:56:02PM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote:
  Uma demonstração boa está aqui
 
  http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/hilbmat

 Cometi uma deselegância: omiti o nome do autor da demonstração
 que eu colei da internet. O nome é Herman Rubin, e pelo menos em 1997
 estava no departamento de estatística de Purdue.

 []s, N.
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
 =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

Re: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?)

[Nicolau C. Saldanha]

On Fri, Feb 14, 2003 at 03:01:03PM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote:
 Turma,ces sabem calcular o determinante de uma matriz n*n onde a(i;j)*(i+j)=1 
sempre?Pelo que eu saiba deve ter isso na lista mas de qualquer caso...

Esta se chama uma matriz de Hilbert. Bem, a matriz de Hilbert mais clássica
tem entrada 1/(i+j-1) de tal forma que o canto é 1.

O determinante é:

1^(2(n-1)) * 2^(2(n-2)) * ... * (n-1)^2/
(2^1 * 3^2 * ... * n^(n-1) * (n+1)^n * (n+2)^(n-1) * ... * (2n-1)^2 * 2n

Uma demonstração boa está aqui

http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/hilbmat

onde se lê:

 How does one normally compute the determinant of the Hilbert matrix
 A_{ij} = 1/(i + j) (i, j = 1, ..., n)?
 (This matrix, I believe, is a standard example in numerical analysis of a
 matrix whose determinant is much closer to 0 than any of its entries.)
 I recently overheard a problem closely related to this, but my memory
 is a bit rusty concerning the Hilbert matrix. Thanks.

 Stated this way, it is not obvious.  But generalized slightly, it is.
 Consider instead the determinant of the matrix whose elements are
 b_{ij} = 1/(x_i + y_j).  This is a rational function of the x's
 and y's, and in lowest terms the denominator can be taken to be
 the product of the n^2 b's.  Now the numerator is divisible by
 (x_i - x_j) and (y_i - y_j) for i different from j, and thus the
 product of all of these divides the numerator.  But this accounts
 for degree n^2 - n, and all terms of the product expansion are
 of degree -n, so this is it, except possibly for a constant.  The
 case where the x's and y's grow rapidly shows the constant is 1.


Procurando isso, acabei de achar uma referência via google:

Man-Duen Choi: Tricks or treats with the Hilbert matrix. Amer. Math.
Monthly, 90:301-312, 1983.

Nunca li, mas pode ser legal. []s, N.
=
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Re: [obm-l] Matriz Harmonica(e esse onome?)

[Nicolau C. Saldanha]

On Fri, Feb 14, 2003 at 04:56:02PM -0200, Nicolau C. Saldanha wrote:
 Uma demonstração boa está aqui
 
 http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/hilbmat

Cometi uma deselegância: omiti o nome do autor da demonstração
que eu colei da internet. O nome é Herman Rubin, e pelo menos em 1997
estava no departamento de estatística de Purdue.

[]s, N.
=
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=

[obm-l] + Matriz!!

[Daniel]

Olá a todos da lista,


Ainda sobre aqule problema das matrizies AX=I, encontrei
uma família de matrizes 2x2 que servem de contra-exemplo ao teorema que o
Prof. Morgado provou:

A é uma matriz 2x2 tal que: a11 = k
  a12 = 0
  a21=  0
  a22=  w

X é uma matriz 2x2 tal que: x11=  1/k
  x12=0
  x21=0
  x22=1/w
k e w são números reias diferentes de zero.

Fazendo AX, observa-se que AX=I, no entanto X não é a inversa de A.

  Como não há erros na demonstração do Prof. Morgado, onde eu estou
errando?

Daniel O.Costa

=
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=

Re: [obm-l] + Matriz!!

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

Em Tue, 26 Nov 2002 22:11:52 -0200, Daniel [EMAIL PROTECTED] disse:

 Olá a todos da lista,
 
 
 Ainda sobre aqule problema das matrizies AX=I, encontrei
 uma família de matrizes 2x2 que servem de contra-exemplo ao teorema que o
 Prof. Morgado provou:
 
 A é uma matriz 2x2 tal que: a11 = k
   a12 = 0
   a21=  0
   a22=  w
 
 X é uma matriz 2x2 tal que: x11=  1/k
   x12=0
   x21=0
   x22=1/w
 k e w são números reias diferentes de zero.
 
 Fazendo AX, observa-se que AX=I, no entanto X não é a inversa de A.
 
   Como não há erros na demonstração do Prof. Morgado, onde eu estou
 errando?
 
 Daniel O.Costa
 
 Como X nao eh a inversa de A? Eh sim! Ax = XA = I
Morgado
=
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=

RE: [obm-l] Matriz Inversa

[leandro]

Domingos,

Acho que a colocacao do prof. Morgado foi muito bem feita. Seguindo a
sua observacao, IMPLICITAMENTE estariamos afirmando que A possui inversa
somente a direita e o problema nao afirmou que a matriz e quadrada. 

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Domingos Jr.
Sent: Sunday, November 24, 2002 8:02 AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Matriz Inversa

 Carissimos, voces estao supondo muito mais coisas do que o Daniel: o
 Daniel supunha apenas A quadrada e com inversa a direita. Laurito
estah
 supondo que A tem inversa a direita e tem inversa a esquerda.
Domingos,
 que A eh invertivel.
 Morgado

Prof., se o enunciado nos diz que existe X tal que A.X = I ele está
afirmando implicitamente que A possui inversa, não?


=
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=

Re: [obm-l] Matriz Inversa

[Domingos Jr.]

 Domingos,

 Acho que a colocacao do prof. Morgado foi muito bem feita. Seguindo a
 sua observacao, IMPLICITAMENTE estariamos afirmando que A possui inversa
 somente a direita e o problema nao afirmou que a matriz e quadrada.

estavamos sim, assumindo que a matriz era quadrada:

quote:
 Hipótese: A e X são matrizes quadradas de orden  n  I
 denota a matriz identidade de mesma ordem.

talvez no primeiro enunciado do problema isso não aparecesse, mas o último
post que eu respondi foi esse.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

Re: [obm-l] Matriz Inversa

[Daniel]

- Original Message -
From: Augusto César Morgado [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, November 23, 2002 10:13 PM
Subject: Re: [obm-l] Matriz Inversa


 Daniel,
 em principio voce deve verificar as duas coisas pois, por definiçao, X
 eh a inversa de A significa
 AX = XA = I .
 Mas , vale o teorema: Se A eh quadrada e AX = I, entao XA=I
 Logo, por causa desse teorema, basta verificar uma so das duas coisas.
 A prova do teorema eh simples.
 Se AX=I, det(AX) = detI,   detA . detX = 1,  detA diferente de
 zero,A eh invertivel.
*
Prof Morgado,
Na linha acima não é preciso saber que det X é diferente de zero?
Pois como havia dito não se sabe nada sobre a matriz X, apenas que ela é
quadrada de mesma ordem que A. Minha pergunta é: dado o produto de matrizes
quadradas de mesma ordem AX = I, sabendo que det A é diferente de zero, e
não sabendo nada sobre o det X, X é necessáriamente a inversa de A?
Obrigado pela Antenção, desculpe pela instistência
Daniel O. Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

Re: [obm-l] Matriz Inversa

[Augusto César Morgado]

Daniel, ha um teorema (chamado de teorema de Binet-Cauchy) que diz que det(AB)
= detA*detB (A e B quadradas de mesmo tamanho, eh claro).
A sua hipotese AX = I implica det(AX) = detI , 
detA* detX =1
e, portanto, detA e detX sao ambos diferentes de zero.
Em suma, a sua hipotese AX=I com A e X quadradas fe mesma ordem assegura
que as duas tem determinantes diferentes de zero e, portanto, que A e X sao
invertiveis.
Dai, AX =I , 
(A^-1)AX = (A^-1)I
IX=(A^-1)
X = A^-1
A resposta a sua pergunta eh SIM. ( e nao precisa nem saber que detA eh diferente
de zero, isso eh consequencia de AX=I e A quadrada.
Morgado
Daniel wrote:

  - Original Message -From: Augusto Csar Morgado [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Sent: Saturday, November 23, 2002 10:13 PMSubject: Re: [obm-l] Matriz Inversa
  
Daniel,em principio voce deve verificar as duas coisas pois, por definiao, Xeh a inversa de A significaAX = XA = I .Mas , vale o teorema: Se A eh quadrada e AX = I, entao XA=ILogo, por causa desse teorema, basta verificar uma so das duas coisas.A prova do teorema eh simples.Se AX=I, det(AX) = detI,   detA . detX = 1,  detA diferente dezero,A eh invertivel.

*Prof Morgado,Na linha acima no  preciso saber que det X  diferente de zero?Pois como havia dito no se sabe nada sobre a matriz X, apenas que ela quadrada de mesma ordem que A. Minha pergunta : dado o produto de matrizesquadradas de mesma ordem AX = I, sabendo que det A  diferente de zero, eno sabendo nada sobre o det X, X  necessriamente a inversa de A?Obrigado pela Anteno, desculpe pela instistnciaDaniel O. Costa=Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista  [EMAIL PROTECTED]=

Re: [obm-l] Matriz Inversa

[Domingos Jr.]

 Carissimos, voces estao supondo muito mais coisas do que o Daniel: o
 Daniel supunha apenas A quadrada e com inversa a direita. Laurito estah
 supondo que A tem inversa a direita e tem inversa a esquerda. Domingos,
 que A eh invertivel.
 Morgado

Prof., se o enunciado nos diz que existe X tal que A.X = I ele está
afirmando implicitamente que A possui inversa, não?

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

Re: [obm-l] Matriz Inversa

[Daniel]

  
   Muito Obrigado Prof 
Morgado, a dúvida ficou esclarecida
  
  

Daniel O. Costa

  - Original Message - 
  From: 
  Augusto 
  César Morgado 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Sunday, November 24, 2002 11:50 
  AM
  Subject: Re: [obm-l] Matriz Inversa
  Daniel, ha um teorema (chamado de teorema de Binet-Cauchy) que 
  diz que det(AB) = detA*detB (A e B quadradas de mesmo tamanho, eh claro).A 
  sua hipotese AX = I implica det(AX) = detI , detA* detX =1e, portanto, 
  detA e detX sao ambos diferentes de zero.Em suma, a sua hipotese AX=I com 
  A e X quadradas fe mesma ordem assegura que as duas tem determinantes 
  diferentes de zero e, portanto, que A e X sao invertiveis.Dai, AX =I , 
  (A^-1)AX = (A^-1)IIX=(A^-1)X = A^-1A resposta a sua pergunta 
  eh SIM. ( e nao precisa nem saber que detA eh diferente de zero, isso eh 
  consequencia de AX=I e A quadrada.MorgadoDaniel wrote:
  - Original Message -From: Augusto César Morgado [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Sent: Saturday, November 23, 2002 10:13 PMSubject: Re: [obm-l] Matriz Inversa
Daniel,em principio voce deve verificar as duas coisas pois, por definiçao, Xeh a inversa de A significaAX = XA = I .Mas , vale o teorema: Se A eh quadrada e AX = I, entao XA=ILogo, por causa desse teorema, basta verificar uma so das duas coisas.A prova do teorema eh simples.Se AX=I, det(AX) = detI,   detA . detX = 1,  detA diferente dezero,A eh invertivel.*Prof Morgado,Na linha acima não é preciso saber que det X é diferente de zero?Pois como havia dito não se sabe nada sobre a matriz X, apenas que ela équadrada de mesma ordem que A. Minha pergunta é: dado o produto de matrizesquadradas de mesma ordem AX = I, sabendo que det A é diferente de zero, enão sabendo nada sobre o det X, X é necessáriamente a inversa de A?Obrigado pela Antenção, desculpe pela instistênciaDaniel O. Costa=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]=

Re: [obm-l] Matriz Inversa

[Augusto César Morgado]

AX=I significa explicitamente que A tem inversa a direita.
AX=I nao significa, nem implicitamente que A eh invertivel. Por exemplo,
considere A 1x2 com elementos 1 e 2 e considere X 2x1 com elementos 3 e
-1. AX=I e A nao eh invertivel, isto eh, nao existe Y tal que YA=I.
Agora, conforme provei em outra mensagem, A quadrada e AX=I implica XA=I
e, portanto, X eh a inversa de A. 
Ha que provar as coisas, nao?
Domingos Jr. wrote:

   Carissimos, voces estao supondo muito mais coisas do que o Daniel: o
  
Daniel supunha apenas A quadrada e com inversa a direita. Laurito estahsupondo que A tem inversa a direita e tem inversa a esquerda. Domingos,que A eh invertivel.Morgado

Prof., se o enunciado nos diz que existe X tal que A.X = I ele estafirmando implicitamente que A possui inversa, no?=Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista  [EMAIL PROTECTED]=

Re: [obm-l] Matriz Inversa

[Domingos Jr.]

 Sejam A e X matrizes quadradas de ordem n e I
a
 matriz identidade de mesma ordem. Para a equação:
 AX = I, posso afirmar que X é a inversa de A,
ou
 é preciso definir que
 AX = XA = I

 Grato

 Daniel O . Costa

um exemplo usando teoria dos grupos:
suponha que estejamos no grupo das matrizes não singulares (que possuem
inversas)
a.b = e (e é a identidade)
a^-1 é a inversa de a
(a^-1).ab = (a^-1).e  [eu posso multiplicar pelos dois lados]
[(a^-1).a].b = (a^-1).e [propriedade associativa]
[(a^-1).a].b = (a^-1) [propriedade da identidade]
e.b = a^-1[propriedade da inversa]
b = a^-1[propriedade da identidade]
pronto, chegamos onde queríamos b é a inversa de a.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

Re: [obm-l] Matriz Inversa

[Laurito Alves]

Domingos, Colegas,

Acho que provamos o teorema:

Hipóteses:
1) dada a matriz a, existe a^-1 tal que a^-1.a = e (e = identidade)
2) existe uma matriz b tal que a.b = e

Tese: b = a^-1

A pergunta do Daniel não trás a segunda hipótese.

Laurito







From: Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Matriz Inversa
Date: Sat, 23 Nov 2002 11:00:06 -0300

 Sejam A e X matrizes quadradas de ordem n e 
I
a
 matriz identidade de mesma ordem. Para a equação:
 AX = I, posso afirmar que X é a inversa de 
A,
ou
 é preciso definir que
 AX = XA = I

 Grato

 Daniel O . Costa

um exemplo usando teoria dos grupos:
suponha que estejamos no grupo das matrizes não singulares (que possuem
inversas)
a.b = e (e é a identidade)
a^-1 é a inversa de a
(a^-1).ab = (a^-1).e  [eu posso multiplicar pelos dois lados]
[(a^-1).a].b = (a^-1).e [propriedade associativa]
[(a^-1).a].b = (a^-1) [propriedade da identidade]
e.b = a^-1[propriedade da inversa]
b = a^-1[propriedade da identidade]
pronto, chegamos onde queríamos b é a inversa de a.


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Re: [obm-l] Matriz Inversa

[Domingos Jr.]

 Laurito e demais colegas da lista, estruturando melhor minha
 pergunta fica assim:

 Hipótese: A e X são matrizes quadradas de orden  n  I
 denota a matriz identidade de mesma ordem.
 AX = I

 Tese:X é necessáriamente a matriz inversa de A

 Demonstração:??

 Pensando hoje a tarde cheguei a uma conclusão e outra dúvida:
 1º Não posso afirmar nada sobre a inversibilidade de A pois
 desconheço seu determinante. Acho que isto é correto, não?
 2º Sabendo que o determinante de A é não nulo e desconhecendo a
 matriz X é possível afirmar que a tese é verdadeira?
 Peço aos que responderem usar se possível conceitos do ensino
 médio, pois ainda não estou na faculdade.

 Grato a todos
 Daniel O. Costa

Se sabemos que existe X tal que A.X = I sabemos, por definição, que A é
possui inversa e esta é X.
Também não é difícil demonstrar que X = A^(-1) e que X é única.

A.X = I
sabendo que A tem inversa (pois X é uma inversa), multiplique pela esquerda
por A^(-1)
A^(-1).A.X = A^(-1).I
agora use associatividade e a propriedade da identitade, sendo que Y.I = Y
para toda matriz Y
[A^(-1).A].X = A^(-1).I
I.X = A^-1
X = A^-1
pronto, está demonstrado que X é a única inversa de A

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Re: [obm-l] Matriz Inversa

[Augusto César Morgado]

Daniel,
em principio voce deve verificar as duas coisas pois, por definiçao, X 
eh a inversa de A significa
AX = XA = I .
Mas , vale o teorema: Se A eh quadrada e AX = I, entao XA=I 
Logo, por causa desse teorema, basta verificar uma so das duas coisas.
A prova do teorema eh simples.
Se AX=I, det(AX) = detI,   detA . detX = 1,  detA diferente de 
zero,A eh invertivel.
Chame de B a inversa de A
AX = I ,   BAX = BI, IX = B,   X=B
Logo, X eh a inversa de A.
Eh essencial que A seja quadrada. Se A nao for quadrada, pode ser 
possivel encontrar B tal que AB=I e BA diferente de I.

Daniel wrote:

   Olá à todos os membros da lista!

   Uma pergunta teórica sobre matrizes:

   Sejam A e X matrizes quadradas de ordem n e I a
matriz identidade de mesma ordem. Para a equação:
   AX = I, posso afirmar que X é a inversa de A, ou
é preciso definir que
   AX = XA = I

   Grato

   Daniel O . Costa

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[obm-l] Matriz Inversa

[Daniel]

Olá à todos os membros da lista!

Uma pergunta teórica sobre matrizes:

Sejam A e X matrizes quadradas de ordem n e I a
matriz identidade de mesma ordem. Para a equação:
AX = I, posso afirmar que X é a inversa de A, ou
é preciso definir que
AX = XA = I

Grato

Daniel O . Costa

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Re: [obm-l] Matriz Inversa

[Rodrigo Villard Milet]

Se vc sabe um poko de álgebra linear, é fácil...
Olhe A e X como transformações lineares de R^N em R^N. Então X é injetora,
pois dados u,v em R^N, Xu=Xv implica AXu=AXv, logo u=v. Pelo teorema do
núcleo e da imagem, X é sobrejetora, logo é bijetora e portanto possui
inversa. Então existe a transformação X^(-1), que possui matriz X^(-1). Daí
segue trivialmente que A é a inversa de X.
Se vc ñ entendeu essas coisas (é pq ainda ñ viu, é claro), procure o livro
de álgebra linear do Elon, q é de fácil acesso.
Abraços.
 Villard
De: Daniel [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Sexta-feira, 22 de Novembro de 2002 22:21
Assunto: [obm-l] Matriz Inversa


Olá à todos os membros da lista!

Uma pergunta teórica sobre matrizes:

Sejam A e X matrizes quadradas de ordem n e I a
matriz identidade de mesma ordem. Para a equação:
AX = I, posso afirmar que X é a inversa de A, ou
é preciso definir que
AX = XA = I

Grato

Daniel O . Costa

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Re: [obm-l] Matriz Inversa

[David Ricardo]

Não há nenhuma referência online que vocês conheçam onde eu possa ver essa
demonstração?

[]s
David

 Caro David,
 Voce vai precisar pegar um livro de Algebra Linear para ver essa
demonstracao.
 Use o livro do Prof. Elon Lima, ALGEBRA LINEAR, IMPA.
 Leandro.

=
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Re: [obm-l] Matriz Inversa

[Leandro Recova]

Caro David, 




Voce vai precisar pegar um livro de Algebra Linear para ver essa demonstracao.

Use o livro do Prof. Elon Lima, ALGEBRA LINEAR, IMPA. 

Leandro. 







Leandro Lacorte Recôva 









From: "David Ricardo" <[EMAIL PROTECTED]>

Reply-To: [EMAIL PROTECTED] 

To: <[EMAIL PROTECTED]>

Subject: [obm-l] Matriz Inversa 

Date: Fri, 11 Oct 2002 10:43:17 -0300 

 

Alguém poderia provar isso aqui pra mim? 

 

Para calcular a matriz inversa de uma matriz A, devemos juntá-la com a 

identidade e esacaloná-la. A matriz que ficou no lugar da matriz identidade, 

multiplicada por 

det(A) é a matriz inversa de A. 

 

Ex.: 

| 1 2 | (determinante = -2) 

| 3 4 | 

 

1ª * -3 + 2ª 2ª / -2 2ª * -2 + 1ª 

| 1 2 1 0 | = | 1 2 1 0 | = | 1 2 1 0 | = | 1 

 -2 1 | 

| 3 4 0 1 | | 0 -2 -3 1 | | 0 1 3/2 -1/2 | | 0 

1 3/2 -1/2 | 

 

| -2 1 | * det(A) = 

| 3/2 -1/2 | 

 

| 4 -2 | 

| -3 1 |, que é a matriz inversa de A. 

 

[]s 

David 

 

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[obm-l] Matriz Inversa

[David Ricardo]

Alguém poderia provar isso aqui pra mim?

Para calcular a matriz inversa de uma matriz A, devemos juntá-la com a
identidade e esacaloná-la. A matriz que ficou no lugar da matriz identidade,
multiplicada por
det(A) é a matriz inversa de A.

Ex.:
| 1  2 | (determinante = -2)
| 3  4 |

1ª * -3 + 2ª 2ª / -2  2ª * -2 + 1ª
| 1  2  1  0 |   = | 1   2   1   0 | = | 1  2   10 |  = | 1
   -2   1  |
| 3  4  0  1 | | 0  -2  -3  1 |  | 0  1  3/2  -1/2 |   | 0
1   3/2  -1/2 |

|  -2  1   |  * det(A)  =
| 3/2  -1/2  |

|  4  -2 |
| -3   1 |, que é a matriz inversa de A.

[]s
David

=
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=

Re: [obm-l] Matriz Inversa

[David Ricardo]

Bem, como o exemplo ficou meio distorcido, estou mandando-o de novo:

Ex.:
| 1  2 | (determinante = -2)
| 3  4 |


2ª = 1ª *(-3) + 2ª2ª = 2ª /(-2)
   | 1  2  1  0 |  =| 1   2   1   0 |  =
   | 3  4  0  1 |   | 0  -2  -3  1 |

1ª  = 2ª *(-2) + 1ª
| 1  2   10 |=| 1  0-2   1  |
| 0  1  3/2  -1/2 || 0  1   3/2  -1/2 |

|  -2  1   |  * det(A)  =
| 3/2  -1/2  |

|  4  -2 |
| -3   1 |, que é a matriz inversa de A.

Espero que agora tenha ficado claro.

[]s
David

=
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Re: [obm-l] Matriz Inversa

[David Ricardo]

 ISSO EH FALSO.
 A inversa de   1  2  /  3  4 (a barra significa quebra de linha) eh
 (-2)1  /   (1,5) (- 0,5)

Certo... Você tem razão... Eu me enrrolei todo!
Mas se não multiplicar pelo determinante, dá certo?

[]s
David

=
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=

Re: [obm-l] Matriz Inversa

[Marcos]

Isso que vc falou é falso ... se vc não tivesse multiplicado por det (A)
seria verdadeiro ...
[]'s MP
- Original Message -
From: David Ricardo [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, October 12, 2002 12:54 PM
Subject: Re: [obm-l] Matriz Inversa


 Bem, como o exemplo ficou meio distorcido, estou mandando-o de novo:

 Ex.:
 | 1  2 | (determinante = -2)
 | 3  4 |


 2ª = 1ª *(-3) + 2ª2ª = 2ª /(-2)
| 1  2  1  0 |  =| 1   2   1   0 |  =
| 3  4  0  1 |   | 0  -2  -3  1 |

 1ª  = 2ª *(-2) + 1ª
 | 1  2   10 |=| 1  0-2   1  |
 | 0  1  3/2  -1/2 || 0  1   3/2  -1/2 |

 |  -2  1   |  * det(A)  =
 | 3/2  -1/2  |

 |  4  -2 |
 | -3   1 |, que é a matriz inversa de A.

 Espero que agora tenha ficado claro.

 []s
 David

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Re: [obm-l] Matriz de Vandermonde

[Nicolau C. Saldanha]

On Wed, Jun 26, 2002 at 11:39:37AM -0300, Humberto Naves wrote:
 Oi,
 
   É possível demonstrar que o determinante de Vandermonde é
  
Produtório (0 = i  j = n) de ((t_i) - (t_j)).
 
   Para ver isso, basta encarar o determinante como um polinômio em t_i, e ver
 que quando t_i = t_j, o polinômio se anula. Logo se os t_i's forem distintos, o
 determinante é diferente de 0.

Só completando, é preciso ver que o grau deste polinômio é (n-1)
logo já encontramos todas as raízes pelo argumento do Humberto.
[]s, N.
 
   Falow, Humberto
 
  --- Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Ola pessoal
 da lista!
  
  Uma matriz de Vandermonde é uma matriz P da forma
  P_(i,j) = [t_(i-1)]^j onde i e j estão entre 0 e n
  um jeito mais explicito é o seguinte
  P =
  [ 1  t_0  (t_0)^2  (t_0)^3 ...  (t_0)^n ]
  [ 1  t_1  (t_1)^2  (t_1)^3 ...  (t_1)^n ]
  [ ...   ]
  [ 1  t_n  (t_n)^2  (t_n)^3  ...  (t_n)^n ]
  
  Eu não estou conseguindo demonstrar que se os t_i's são todos distintos
  então a matriz P é inversível.
  
  Alguém demonstra?
  
  Obrigado pela futura ajuda
  
  Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
  
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Re: [obm-l] Matriz de Vandermonde

[Johann Dirichlet]

Duda,eu me lembro de que uma matriz e nao inversivel
se e so se for singular,ou seja, seu determinante for
0.Entao o que voce quer provar e que se os t's forem
diferentes o determinante nao e zero.Se eu nao me
engano ha uma formula para a matriz de Vandermonde que
so usa as diferenças entre os t's.Se voce conseguir
acha-la(deve ter em qualquer livro sobre
isso),COMEMORE
Peterdirichlet


 --- Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]
escreveu:  Ola pessoal da lista!
 
 Uma matriz de Vandermonde é uma matriz P da forma
 P_(i,j) = [t_(i-1)]^j onde i e j estão entre 0 e n
 um jeito mais explicito é o seguinte
 P =
 [ 1  t_0  (t_0)^2  (t_0)^3 ...  (t_0)^n  ]
 [ 1  t_1  (t_1)^2  (t_1)^3 ...  (t_1)^n  ]
 [ ...]
 [ 1  t_n  (t_n)^2  (t_n)^3  ...  (t_n)^n ]
 
 Eu não estou conseguindo demonstrar que se os t_i's
 são todos distintos
 então a matriz P é inversível.
 
 Alguém demonstra?
 
 Obrigado pela futura ajuda
 
 Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
 

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Re: [obm-l] Matriz de Vandermonde

[Humberto Naves]

Oi,

  É possível demonstrar que o determinante de Vandermonde é
 
   Produtório (0 = i  j = n) de ((t_i) - (t_j)).

  Para ver isso, basta encarar o determinante como um polinômio em t_i, e ver
que quando t_i = t_j, o polinômio se anula. Logo se os t_i's forem distintos, o
determinante é diferente de 0.

  Falow, Humberto

 --- Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Ola pessoal
da lista!
 
 Uma matriz de Vandermonde é uma matriz P da forma
 P_(i,j) = [t_(i-1)]^j onde i e j estão entre 0 e n
 um jeito mais explicito é o seguinte
 P =
 [ 1  t_0  (t_0)^2  (t_0)^3 ...  (t_0)^n ]
 [ 1  t_1  (t_1)^2  (t_1)^3 ...  (t_1)^n ]
 [ ...   ]
 [ 1  t_n  (t_n)^2  (t_n)^3  ...  (t_n)^n ]
 
 Eu não estou conseguindo demonstrar que se os t_i's são todos distintos
 então a matriz P é inversível.
 
 Alguém demonstra?
 
 Obrigado pela futura ajuda
 
 Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
 
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[obm-l] Matriz de Vandermonde

[Eduardo Casagrande Stabel]

Ola pessoal da lista!

Uma matriz de Vandermonde é uma matriz P da forma
P_(i,j) = [t_(i-1)]^j onde i e j estão entre 0 e n
um jeito mais explicito é o seguinte
P =
[ 1  t_0  (t_0)^2  (t_0)^3 ...  (t_0)^n ]
[ 1  t_1  (t_1)^2  (t_1)^3 ...  (t_1)^n ]
[ ...   ]
[ 1  t_n  (t_n)^2  (t_n)^3  ...  (t_n)^n ]

Eu não estou conseguindo demonstrar que se os t_i's são todos distintos
então a matriz P é inversível.

Alguém demonstra?

Obrigado pela futura ajuda

Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.

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