[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade e frações
Desculpas, Cláudio. É isso mesmo, com "a" e "b" inteiros e positivos. Obrigado pela brilhante solução. Em ter, 27 de fev de 2024 01:41, Claudio Buffara escreveu: > Deveria ser a e b inteiros positivos, não? > Pois se forem inteiros sem restrição, então como 2022/2023 < 2022,5/2023,5 > < 2023/2024, bastaria tomar a sequência: > a(n) = -20225*n e b(n) = -20235*n. > Daí teríamos 2022/2023 < a(n)/b(n) < 2023/2024 e a sequência a(n)+b(n) > seria ilimitada inferiormente. > > Assim, suponhamos que a e b sejam inteiros positivos. > 2022/2023 < a/b < 2023/2024 implica que b > a+1, já que a sequência > (n/(n+1)) é crescente. > Além disso, usando razões e proporções, achamos que: > 2022 < a/(b-a) < 2023 < b/(b-a) < 2024 > ==> para que a+b seja o menor possível, b-a deverá ser o menor possível. > E o menor valor possível de b-a é 2. > Usando frações equivalentes, dá pra escrever 4044/4046 < a/b < 4046/4048 e > daí teríamos uma única fração a/b com b - a = 2. > Seria a/b = 4045/4047 ==> a+b mínimo = 8092. > > []s, > Claudio. > > > > > On Mon, Feb 26, 2024 at 10:12 PM Pedro Júnior > wrote: > >> Quem puder me ajudar, fixo grato. >> >> Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b < >> 2023/2024, determine o menos calor da soma a + b. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade e frações
Deveria ser a e b inteiros positivos, não? Pois se forem inteiros sem restrição, então como 2022/2023 < 2022,5/2023,5 < 2023/2024, bastaria tomar a sequência: a(n) = -20225*n e b(n) = -20235*n. Daí teríamos 2022/2023 < a(n)/b(n) < 2023/2024 e a sequência a(n)+b(n) seria ilimitada inferiormente. Assim, suponhamos que a e b sejam inteiros positivos. 2022/2023 < a/b < 2023/2024 implica que b > a+1, já que a sequência (n/(n+1)) é crescente. Além disso, usando razões e proporções, achamos que: 2022 < a/(b-a) < 2023 < b/(b-a) < 2024 ==> para que a+b seja o menor possível, b-a deverá ser o menor possível. E o menor valor possível de b-a é 2. Usando frações equivalentes, dá pra escrever 4044/4046 < a/b < 4046/4048 e daí teríamos uma única fração a/b com b - a = 2. Seria a/b = 4045/4047 ==> a+b mínimo = 8092. []s, Claudio. On Mon, Feb 26, 2024 at 10:12 PM Pedro Júnior wrote: > Quem puder me ajudar, fixo grato. > > Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b < > 2023/2024, determine o menos calor da soma a + b. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade e frações
Vejam se este caminho é uma possibilidade (sujeita a ajustes e correções. Fiquem à vontade!) 2022/2023 < a/b < 2023/2024 (I) 2022/2023 < (a+b-b)/b < 2023/2024 2022/2023 < (a+b)/b-b/b < 2023/2024 2022/2023 < (a+b)/b-1 < 2023/2024 2022/2023 +1< (a+b)/b-1 +1 < 2023/2024+1 (2022+2023)/2023 < (a+b)/b < (2023+2024)/2024 4045/2023 < (a+b)/b < 4047/2024 1,999505... aprox 2 < (a+b)/b < 1.999505... approx 2 *2 < (a+b)/b < 2 => (a+b)/b = 2(II)* De (I), tem-se que 2022/2023 = 0,999505... aprox 1 < a/b < 2023/2024 = 0,999505... aprox 1 *1 < a/b < 1 => a/b = 1 (III)* Sendo a e b inteiros, de (II) e (III), pode-se concluir que a=b=-1 e somando a+b = -2. Atenciosamente, Prof. Dsc. Alexandre Antunes www alexandre antunes com br Em seg., 26 de fev. de 2024 às 22:11, Pedro Júnior < pedromatematic...@gmail.com> escreveu: > Quem puder me ajudar, fixo grato. > > Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b < > 2023/2024, determine o menos calor da soma a + b. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdade e frações
Quem puder me ajudar, fixo grato. Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b < 2023/2024, determine o menos calor da soma a + b. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade isoperimétrica
Em qui, 29 de ago de 2019 às 22:26, Eduardo Henrique escreveu: > > Olá pessoal, tudo bem? > > Alguém tem o artigo sobre desigualdade isoperimétrica que saiu na revista > matemática universitária em pdf para me enviar? > > O link no site deles está fora... O Saldanha tem uma cópia na sua page pessoal. Be happy! http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/publ.html > > Att. > > Eduardo > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade isoperimétrica
Olá pessoal, tudo bem? Alguém tem o artigo sobre desigualdade isoperimétrica que saiu na revista matemática universitária em pdf para me enviar? O link no site deles está fora... Att. Eduardo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
Muito obrigado, Claudio! Vou analisar com calma suas contas, mas a ideia parece muito elegante! Em qua, 12 de set de 2018 11:21, Claudio Buffara escreveu: > Com certeza dá. A questão é saber se há alguma fórmula ou algoritmo > engenhoso pra fazer isso sem "ir somando até passar de 1". > Uma ideia é calcular uma cota inferior e uma cota superior pra soma > 1/(n-k) + 1/(n-k+1) + ... + 1/n. > Por exemplo, sabemos que: > 1/(n-k) + ... + 1/(n-1) + 1/n < log(n) - log(n-k-1) < 1/(n-k-1) + ... + > 1/(n-2) + 1/(n-1) > (pra ver isso, faça o gráfico) > Isso implica que 1/(n-k-1) + ... + 1/(n-1) + 1/n > log(n) - log(n-k-1) + > 1/n. > Assim, é suficiente (mas não necessário) achar k tal que: > log(n) - log(n-k-1) <= 1 <= log(n) - log(n-k-1) + 1/n ==> > log(n/(n-k-1)) <= 1 <= log(n/(n-k-1)) + 1/n ==> > n/(n-k-1) <= e <= n/(n-k-1) * e^(1/n) ==> > n*(1 - e^(1/n-1)) - 1 <= k <= n*(1 - e^(-1)) - 1 > > Por exemplo, se n = 100, a desigualdade acima fica: > 100*(1 - e^(-0,99)) - 1 <= k <= 100*(1 - e^(-1)) - 1 > 61,84 <= k <= 62,21 ==> k = 62. > E, de fato, 1/38 + ... + 1/100 = 0,9858 e 1/37 + ... + 1/100 = 1,0128 > > Já, se n = 200, as cotas acima serão 125,0553 e 125,4241, de modo que não > há nenhum k (inteiro) no intervalo. > No entanto, 1/75 + ... + 1/200 < 1 < 1/74 + ... + 1/200, de modo que o k > desejado é 125. > > De qualquer forma, vale a fórmula k = parte inteira de n*(1 - e^(-1)) - 1, > pelo menos pra n = 2 (k = 0) e pra n >= 4. > Pra n = 3, k = 1 (1/2 + 1/3 < 1 < 1 + 1/2 + 1/3), mas a fórmula dá k = 0. > > Se eu não errei nenhuma conta, acho que é isso. > > []s, > Claudio. > > > On Wed, Sep 12, 2018 at 9:57 AM Vanderlei Nemitz > wrote: > >> Bom dia! >> É possível determinar, em função de n, o maior valor de k tal que 1/n + >> 1/(n - 1) + 1/(n - 2) + ... + 1/(n - k) < 1, em que n é um inteiro maior do >> que 1? >> >> Muito obrigado! >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
Com certeza dá. A questão é saber se há alguma fórmula ou algoritmo engenhoso pra fazer isso sem "ir somando até passar de 1". Uma ideia é calcular uma cota inferior e uma cota superior pra soma 1/(n-k) + 1/(n-k+1) + ... + 1/n. Por exemplo, sabemos que: 1/(n-k) + ... + 1/(n-1) + 1/n < log(n) - log(n-k-1) < 1/(n-k-1) + ... + 1/(n-2) + 1/(n-1) (pra ver isso, faça o gráfico) Isso implica que 1/(n-k-1) + ... + 1/(n-1) + 1/n > log(n) - log(n-k-1) + 1/n. Assim, é suficiente (mas não necessário) achar k tal que: log(n) - log(n-k-1) <= 1 <= log(n) - log(n-k-1) + 1/n ==> log(n/(n-k-1)) <= 1 <= log(n/(n-k-1)) + 1/n ==> n/(n-k-1) <= e <= n/(n-k-1) * e^(1/n) ==> n*(1 - e^(1/n-1)) - 1 <= k <= n*(1 - e^(-1)) - 1 Por exemplo, se n = 100, a desigualdade acima fica: 100*(1 - e^(-0,99)) - 1 <= k <= 100*(1 - e^(-1)) - 1 61,84 <= k <= 62,21 ==> k = 62. E, de fato, 1/38 + ... + 1/100 = 0,9858 e 1/37 + ... + 1/100 = 1,0128 Já, se n = 200, as cotas acima serão 125,0553 e 125,4241, de modo que não há nenhum k (inteiro) no intervalo. No entanto, 1/75 + ... + 1/200 < 1 < 1/74 + ... + 1/200, de modo que o k desejado é 125. De qualquer forma, vale a fórmula k = parte inteira de n*(1 - e^(-1)) - 1, pelo menos pra n = 2 (k = 0) e pra n >= 4. Pra n = 3, k = 1 (1/2 + 1/3 < 1 < 1 + 1/2 + 1/3), mas a fórmula dá k = 0. Se eu não errei nenhuma conta, acho que é isso. []s, Claudio. On Wed, Sep 12, 2018 at 9:57 AM Vanderlei Nemitz wrote: > Bom dia! > É possível determinar, em função de n, o maior valor de k tal que 1/n + > 1/(n - 1) + 1/(n - 2) + ... + 1/(n - k) < 1, em que n é um inteiro maior do > que 1? > > Muito obrigado! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdade
Bom dia! É possível determinar, em função de n, o maior valor de k tal que 1/n + 1/(n - 1) + 1/(n - 2) + ... + 1/(n - k) < 1, em que n é um inteiro maior do que 1? Muito obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade com potências
Valeu Ralph, thanks. Douglas Oliveira. Em dom, 29 de abr de 2018 16:49, Ralph Teixeira escreveu: > Que tal assim: > > POR BAIXO (BEM folgado): Como 3^3=27<32=2^5, temos > 3^100<(3^3)^34<(2^5)^34=2^170. Portanto > 3^100+2^100<2^170+2^100<2^170+2^170=2^171<2^200=4^100. > POR CIMA (mais apertado!): Como 3^7=2187>2^11=2048, temos > 3^100=9.(3^98)>9.(2^154)>(2^3).(2^154)=2^157. Somando 2^100, ficamos abaixo > de 2.(2^157)=2^158=4^79. > > Abraco, Ralph. > > 2018-04-29 13:09 GMT-03:00 Anderson Torres : > >> 2018-04-29 8:45 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima >> : >> > Prove que 4^79<2^100+3^100<4^100, usando matemática elementar. >> > >> >> O desejo de trapacear isso com log é muito forte :) >> >> Isso equivale a mostrar que >> >> 2^158-2^100<3^100<2^200-2^100 >> >> Ou >> >> (2^58-1)*2^100<3^100<(2^100-1)*2^100 >> >> Ou talvez >> >> 2^58 < (3/2)^100+1 < 2^100 >> >> Daqui, tenho poucas ideias para a desigualdade mais à esquerda... >> >> > Douglas Oliveira. >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade com potências
Que tal assim: POR BAIXO (BEM folgado): Como 3^3=27<32=2^5, temos 3^100<(3^3)^34<(2^5)^34=2^170. Portanto 3^100+2^100<2^170+2^100<2^170+2^170=2^171<2^200=4^100. POR CIMA (mais apertado!): Como 3^7=2187>2^11=2048, temos 3^100=9.(3^98)>9.(2^154)>(2^3).(2^154)=2^157. Somando 2^100, ficamos abaixo de 2.(2^157)=2^158=4^79. Abraco, Ralph. 2018-04-29 13:09 GMT-03:00 Anderson Torres : > 2018-04-29 8:45 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima > : > > Prove que 4^79<2^100+3^100<4^100, usando matemática elementar. > > > > O desejo de trapacear isso com log é muito forte :) > > Isso equivale a mostrar que > > 2^158-2^100<3^100<2^200-2^100 > > Ou > > (2^58-1)*2^100<3^100<(2^100-1)*2^100 > > Ou talvez > > 2^58 < (3/2)^100+1 < 2^100 > > Daqui, tenho poucas ideias para a desigualdade mais à esquerda... > > > Douglas Oliveira. > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade com potências
2018-04-29 8:45 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima : > Prove que 4^79<2^100+3^100<4^100, usando matemática elementar. > O desejo de trapacear isso com log é muito forte :) Isso equivale a mostrar que 2^158-2^100<3^100<2^200-2^100 Ou (2^58-1)*2^100<3^100<(2^100-1)*2^100 Ou talvez 2^58 < (3/2)^100+1 < 2^100 Daqui, tenho poucas ideias para a desigualdade mais à esquerda... > Douglas Oliveira. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade com potências
Prove que 4^79<2^100+3^100<4^100, usando matemática elementar. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
Eu, quase que por acaso, achei uma solução de quem nem todos gostamArtur Costa Steiner Em 19 de abr de 2018 11:15, Pedro José escreveu:Bom dia!à muito legal o problema.Se você ordenar em crescente, os termos de ordem Ãmpar serão positivos e os de par serão negativos.Só |p1| > |p2|, se tiverem mais de dois elementos. então 1/p1 + 1p2 <0Mas os demais 1/p3 + 1/p4 > 0 e assim por diante e acabam fazendo o número positivo.Se só tiverem dois elementos. |p1| < |p2| e 1/p1 + 1/p2 > 0.Mas daà a provar.Saudações,PJMSEm 17 de abril de 2018 09:20, Artur Steinerescreveu:à isso mesmo.Artur Costa SteinerEm Ter, 17 de abr de 2018 08:04, Douglas Oliveira de Lima escreveu:Nao entendi esse a_k Produto. por exemplo se fossem a_1, a_2 e a_3, entao seria 1/a_1[(a_3)^2-(a_1)^2][(a_2)^2-(a_1)^2] +1/a_2[(a_3)^2-(a_2)^2][(a_1)^2-(a_2)^2]+1/a_3[(a_2)^2-(a_3)^2][(a_1)^2-(a_3)^2], é maior que zero , é isso?Douglas Oliveira.Em ter, 17 de abr de 2018 00:49, Artur Costa Steiner escreveu:Sejam a_1, a_n números positivos, distintos dois a dois, e, para k = 1, ... n, definamos p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) Mostre que 1/p_1 ... + 1/p_n > 0 Artur -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e  acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
Bom dia! É muito legal o problema. Se você ordenar em crescente, os termos de ordem ímpar serão positivos e os de par serão negativos. Só |p1| > |p2|, se tiverem mais de dois elementos. então 1/p1 + 1p2 <0 Mas os demais 1/p3 + 1/p4 > 0 e assim por diante e acabam fazendo o número positivo. Se só tiverem dois elementos. |p1| < |p2| e 1/p1 + 1/p2 > 0. Mas daí a provar. Saudações, PJMS Em 17 de abril de 2018 09:20, Artur Steiner escreveu: > É isso mesmo. > > Artur Costa Steiner > > Em Ter, 17 de abr de 2018 08:04, Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> Nao entendi esse a_k Produto. >> >> por exemplo se fossem a_1, a_2 e a_3, entao seria 1/a_1[(a_3)^2-(a_1)^2][ >> (a_2)^2-(a_1)^2] +1/a_2[(a_3)^2-(a_2)^2][(a_1)^2-(a_2)^2]+ >> 1/a_3[(a_2)^2-(a_3)^2][(a_1)^2-(a_3)^2], é maior que zero , é isso? >> >> Douglas Oliveira. >> >> Em ter, 17 de abr de 2018 00:49, Artur Costa Steiner < >> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: >> >>> Sejam a_1, a_n números positivos, distintos dois a dois, e, para k >>> = 1, ... n, definamos >>> >>> p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) >>> >>> Mostre que 1/p_1 ... + 1/p_n > 0 >>> >>> Artur >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> = >>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> >>> = >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
É isso mesmo. Artur Costa Steiner Em Ter, 17 de abr de 2018 08:04, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Nao entendi esse a_k Produto. > > por exemplo se fossem a_1, a_2 e a_3, entao seria > 1/a_1[(a_3)^2-(a_1)^2][(a_2)^2-(a_1)^2] > +1/a_2[(a_3)^2-(a_2)^2][(a_1)^2-(a_2)^2]+1/a_3[(a_2)^2-(a_3)^2][(a_1)^2-(a_3)^2], > é maior que zero , é isso? > > Douglas Oliveira. > > Em ter, 17 de abr de 2018 00:49, Artur Costa Steiner < > artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > >> Sejam a_1, a_n números positivos, distintos dois a dois, e, para k >> = 1, ... n, definamos >> >> p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) >> >> Mostre que 1/p_1 ... + 1/p_n > 0 >> >> Artur >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
Nao entendi esse a_k Produto. por exemplo se fossem a_1, a_2 e a_3, entao seria 1/a_1[(a_3)^2-(a_1)^2][(a_2)^2-(a_1)^2] +1/a_2[(a_3)^2-(a_2)^2][(a_1)^2-(a_2)^2]+1/a_3[(a_2)^2-(a_3)^2][(a_1)^2-(a_3)^2], é maior que zero , é isso? Douglas Oliveira. Em ter, 17 de abr de 2018 00:49, Artur Costa Steiner < artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > Sejam a_1, a_n números positivos, distintos dois a dois, e, para k = > 1, ... n, definamos > > p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) > > Mostre que 1/p_1 ... + 1/p_n > 0 > > Artur > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdade
Sejam a_1, a_n números positivos, distintos dois a dois, e, para k = 1, ... n, definamos p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) Mostre que 1/p_1 ... + 1/p_n > 0 Artur -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade
Oi amigos. Sejam a_1, a_n números positivos, distintos dois a dois e seja p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) Mostre que 1/p_1 + 1/p_n > 0 Abraços Artur -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdade
Boa noite amigos. Sejam a_1, a_n números positivos, distintos dois a dois, e seja p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) Mostre que 1/p_1 + 1/p_n > 0 Abraços Artur -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdade
Oi amigos. Sejam a_1, a_n números positivos, distintos dois a dois e seja p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) Mostre que 1/p_1 + 1/p_n > 0 Abraços Artur -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade
Oi amigos. Sejam a_1, a_n números positivos, distintos dois a dois, e seja p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) Mostre que 1/p_1 + 1/p_n > 0 Abraços Artur Enviado do meu iPad -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade
Boa noite amigos. Sejam a_1, a_n números positivos, distintos dois a dois e seja p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) Mostre que 1/p_1 + 1/p_n > 0 Abraços Artur Enviado do meu iPad -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade
A_1=3 Em 28 de mai de 2017 12:44 PM, "Esdras Muniz" escreveu: > Se vc colocar a1 igual a 0, 1 ou 2 vai ver queisso não é verdade. Acho que > é verdade se |a1|>e. > > Em 28 de mai de 2017 11:58, "Douglas Oliveira de Lima" < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > > Então amigos, eu tive uma idéia mas não estou conseguindo concluir, vamos > lá: > > Montei uma sequência e fiz a_1=3, e assim > [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3 > se, e somente se, > [3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<(3^2)/2, portanto a_2=(3^2)/2, e assim > sucessivamente escrevi a sequência > a_n=(a_(n-1)^2)/n, e usei um "leminha" para resolver, que é (a_n)^2>n+1, e > assim sai fácil, só não consegui escrever > a prova desse lema. > > Mas com ele sai bem facil, pois se (a_n)^2>n+1, então (a_n)>(n+1)^(1/2), > logo (a_(n-1)^2)/n>(n+1)^(1/2), ou seja, > a_(n-1)>n^(1/2)(n+1)^(1/4), ., > a_1>[2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]..., > e como a_1=3, está provado. > > Peço a ajuda de vocÊs para provar o lema. > > Lema: > Considere a sequência a_n=(a_(n-1)^2)/n, onde a_1=3 então (a_n)^2>n+1. > > > > Douglas Oliveira > > > > > Em 27 de maio de 2017 18:10, Esdras Muniz > escreveu: > >> Solução muito boa. >> >> Em 27 de mai de 2017 00:37, "Gabriel Tostes" >> escreveu: >> >>> Tira ln, esse produto vai ser: >>> Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M >>> >>> Bora escrever M de outro jeito: >>> >>> M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ... >>> >>> M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1) >>> >>> Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n >>> >>> M=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2) >>> >>> Para achar L considere: >>> 1/(1-x)= 1+x^2+x^3+... >>> >>> Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+... >>> Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1 >>> E entao >>> M< 3ln(2)-1 < ln(3) >>> >>> E o produto pedido inicialmente eh menor que 3 >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> Sent from my iPad >>> > On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima < >>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: >>> > >>> > Como posso fazer essa daqui: >>> > >>> > [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3 >>> > >>> > Grande abraço a todos >>> > >>> > DouglasOliveira >>> > >>> > -- >>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> > acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> = >>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> >>> = >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
Se vc colocar a1 igual a 0, 1 ou 2 vai ver queisso não é verdade. Acho que é verdade se |a1|>e. Em 28 de mai de 2017 11:58, "Douglas Oliveira de Lima" < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: Então amigos, eu tive uma idéia mas não estou conseguindo concluir, vamos lá: Montei uma sequência e fiz a_1=3, e assim [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3 se, e somente se, [3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<(3^2)/2, portanto a_2=(3^2)/2, e assim sucessivamente escrevi a sequência a_n=(a_(n-1)^2)/n, e usei um "leminha" para resolver, que é (a_n)^2>n+1, e assim sai fácil, só não consegui escrever a prova desse lema. Mas com ele sai bem facil, pois se (a_n)^2>n+1, então (a_n)>(n+1)^(1/2), logo (a_(n-1)^2)/n>(n+1)^(1/2), ou seja, a_(n-1)>n^(1/2)(n+1)^(1/4), ., a_1>[2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]..., e como a_1=3, está provado. Peço a ajuda de vocÊs para provar o lema. Lema: Considere a sequência a_n=(a_(n-1)^2)/n, onde a_1=3 então (a_n)^2>n+1. Douglas Oliveira Em 27 de maio de 2017 18:10, Esdras Muniz escreveu: > Solução muito boa. > > Em 27 de mai de 2017 00:37, "Gabriel Tostes" > escreveu: > >> Tira ln, esse produto vai ser: >> Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M >> >> Bora escrever M de outro jeito: >> >> M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ... >> >> M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1) >> >> Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n >> >> M=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2) >> >> Para achar L considere: >> 1/(1-x)= 1+x^2+x^3+... >> >> Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+... >> Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1 >> E entao >> M< 3ln(2)-1 < ln(3) >> >> E o produto pedido inicialmente eh menor que 3 >> >> >> >> >> >> >> >> >> Sent from my iPad >> > On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima < >> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: >> > >> > Como posso fazer essa daqui: >> > >> > [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3 >> > >> > Grande abraço a todos >> > >> > DouglasOliveira >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
Então amigos, eu tive uma idéia mas não estou conseguindo concluir, vamos lá: Montei uma sequência e fiz a_1=3, e assim [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3 se, e somente se, [3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<(3^2)/2, portanto a_2=(3^2)/2, e assim sucessivamente escrevi a sequência a_n=(a_(n-1)^2)/n, e usei um "leminha" para resolver, que é (a_n)^2>n+1, e assim sai fácil, só não consegui escrever a prova desse lema. Mas com ele sai bem facil, pois se (a_n)^2>n+1, então (a_n)>(n+1)^(1/2), logo (a_(n-1)^2)/n>(n+1)^(1/2), ou seja, a_(n-1)>n^(1/2)(n+1)^(1/4), ., a_1>[2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]..., e como a_1=3, está provado. Peço a ajuda de vocÊs para provar o lema. Lema: Considere a sequência a_n=(a_(n-1)^2)/n, onde a_1=3 então (a_n)^2>n+1. Douglas Oliveira Em 27 de maio de 2017 18:10, Esdras Muniz escreveu: > Solução muito boa. > > Em 27 de mai de 2017 00:37, "Gabriel Tostes" > escreveu: > >> Tira ln, esse produto vai ser: >> Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M >> >> Bora escrever M de outro jeito: >> >> M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ... >> >> M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1) >> >> Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n >> >> M=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2) >> >> Para achar L considere: >> 1/(1-x)= 1+x^2+x^3+... >> >> Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+... >> Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1 >> E entao >> M< 3ln(2)-1 < ln(3) >> >> E o produto pedido inicialmente eh menor que 3 >> >> >> >> >> >> >> >> >> Sent from my iPad >> > On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima < >> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: >> > >> > Como posso fazer essa daqui: >> > >> > [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3 >> > >> > Grande abraço a todos >> > >> > DouglasOliveira >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
Solução muito boa. Em 27 de mai de 2017 00:37, "Gabriel Tostes" escreveu: > Tira ln, esse produto vai ser: > Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M > > Bora escrever M de outro jeito: > > M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ... > > M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1) > > Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n > > M=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2) > > Para achar L considere: > 1/(1-x)= 1+x^2+x^3+... > > Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+... > Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1 > E entao > M< 3ln(2)-1 < ln(3) > > E o produto pedido inicialmente eh menor que 3 > > > > > > > > > Sent from my iPad > > On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > > > > Como posso fazer essa daqui: > > > > [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3 > > > > Grande abraço a todos > > > > DouglasOliveira > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
Tira ln, esse produto vai ser: Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M Bora escrever M de outro jeito: M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ... M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1) Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n M=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2) Para achar L considere: 1/(1-x)= 1+x^2+x^3+... Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+... Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1 E entao M< 3ln(2)-1 < ln(3) E o produto pedido inicialmente eh menor que 3 Sent from my iPad > On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima > wrote: > > Como posso fazer essa daqui: > > [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3 > > Grande abraço a todos > > DouglasOliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade
Como posso fazer essa daqui: [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3 Grande abraço a todos DouglasOliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] desigualdade
Não acerto uma, e z/(z+x)<1 (não z/(z+x)<0,5) ==> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) < 2. Em 8 de maio de 2017 10:16, Pedro José escreveu: > Bom dia! > > sendo x< y < z, a afirmação que fizera é errônea: o que dará a maior soma > é x , y = x+1 e z= y+1 = x+2 > > Mas vale ainda: > > x/(x+y) < 0,5, y/(y+z) < 0,5 e z/(z+x)<0,5 ==> x/(x+y) + y/ (y+z) + > z/(z+x) < 2. > > Saudações. > > Em 8 de maio de 2017 02:19, Esdras Muniz > escreveu: > >> Se vc faz S(x,y,z)=x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x). S>x/(x+y+z) + y/ >> (x+y+z) + z/(z+y+x)=1. >> >> Por outro lado, se vc toma x=1; n=n e z= 1/n, fica: >> S(n)=1/(n+1)+n/(n+1)+(1/n)/(1+1/n) e se vc faz n tender para o infinito, >> S(n) tende para 1. >> >> Em 7 de maio de 2017 23:58, Anderson Torres > > escreveu: >> >>> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) >>> >>> 1/(1+y/x) + 1/ (1+z/y) + 1/(1+x/z) >>> >>> 1/(1+A) + 1/ (1+B) + 1/(1+C) com ABC=1 >>> >>> talvez dê para prosseguir >>> >>> >>> >>> Em 2 de maio de 2017 14:21, Pedro José escreveu: >>> > Se pelo menos dois números forem iguais é fácil mostrar que a soma >>> dará 1,5 >>> > <= 2. >>> > >>> > Para x, y e z diferentes, vamos supor x < y >> soma é x >>> > , y = x+1 e z= y+1 = x+2 >>> > >>> > teremos: x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) >>> > >>> > é fácil ver que x/(2x+1) < 0,5 e y/(2y+1) < 0,5 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1 >>> <1 >>> > >>> > (2z-2)/z = 2 -2/z, como x,y,z >0 e x < y < z ==> z>=3 ==> (2z-2)/z > 1 >>> ==> >>> > z/(2z-2) <1 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) < 2 >>> > >>> > x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) <= x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) ==> >>> x/(x+y) + >>> > y/ (y+z) + z/(z+x) < 2. >>> > >>> > O sinal de desigualdade deve estar invertido. >>> > >>> > Saudações, >>> > PJMS >>> > >>> > Em 30 de abril de 2017 21:32, Gabriel Tostes >>> escreveu: >>> >> >>> >> Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale. >>> >> >>> >> Sent from my iPad >>> >> >>> >> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima >>> >> wrote: >>> >> >>> >> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não >>> >> basta substituir x+y=a, >>> >> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" >>> x/(x+y) + >>> >> y/ (y+z) + z/(z+x) <= 2. >>> >> A não ser que seja outra questão como por exemplo: >>> >> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo. >>> >> >>> >> Grande abraço >>> >> >>> >> Douglas Oliveira. >>> >> >>> >> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges >>> >> escreveu: >>> >>> >>> >>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + >>> >>> z/(z+x) > = 2 >>> >>> >>> >>> >>> >>> -- >>> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >>> >> >>> >> >>> >> -- >>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> >> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >>> >> >>> >> -- >>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> >> acredita-se estar livre de perigo. >>> > >>> > >>> > >>> > -- >>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> > acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> = >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> >>> = >>> >> >> >> >> -- >> Esdras Muniz Mota >> Mestrando em Matemática >> Universidade Federal do Ceará >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] desigualdade
Bom dia! sendo x< y < z, a afirmação que fizera é errônea: o que dará a maior soma é x , y = x+1 e z= y+1 = x+2 Mas vale ainda: x/(x+y) < 0,5, y/(y+z) < 0,5 e z/(z+x)<0,5 ==> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) < 2. Saudações. Em 8 de maio de 2017 02:19, Esdras Muniz escreveu: > Se vc faz S(x,y,z)=x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x). S>x/(x+y+z) + y/ (x+y+z) > + z/(z+y+x)=1. > > Por outro lado, se vc toma x=1; n=n e z= 1/n, fica: > S(n)=1/(n+1)+n/(n+1)+(1/n)/(1+1/n) e se vc faz n tender para o infinito, > S(n) tende para 1. > > Em 7 de maio de 2017 23:58, Anderson Torres > escreveu: > >> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) >> >> 1/(1+y/x) + 1/ (1+z/y) + 1/(1+x/z) >> >> 1/(1+A) + 1/ (1+B) + 1/(1+C) com ABC=1 >> >> talvez dê para prosseguir >> >> >> >> Em 2 de maio de 2017 14:21, Pedro José escreveu: >> > Se pelo menos dois números forem iguais é fácil mostrar que a soma dará >> 1,5 >> > <= 2. >> > >> > Para x, y e z diferentes, vamos supor x < y > é x >> > , y = x+1 e z= y+1 = x+2 >> > >> > teremos: x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) >> > >> > é fácil ver que x/(2x+1) < 0,5 e y/(2y+1) < 0,5 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1 >> <1 >> > >> > (2z-2)/z = 2 -2/z, como x,y,z >0 e x < y < z ==> z>=3 ==> (2z-2)/z > 1 >> ==> >> > z/(2z-2) <1 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) < 2 >> > >> > x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) <= x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) ==> >> x/(x+y) + >> > y/ (y+z) + z/(z+x) < 2. >> > >> > O sinal de desigualdade deve estar invertido. >> > >> > Saudações, >> > PJMS >> > >> > Em 30 de abril de 2017 21:32, Gabriel Tostes >> escreveu: >> >> >> >> Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale. >> >> >> >> Sent from my iPad >> >> >> >> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima >> >> wrote: >> >> >> >> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não >> >> basta substituir x+y=a, >> >> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y) >> + >> >> y/ (y+z) + z/(z+x) <= 2. >> >> A não ser que seja outra questão como por exemplo: >> >> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo. >> >> >> >> Grande abraço >> >> >> >> Douglas Oliveira. >> >> >> >> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges >> >> escreveu: >> >>> >> >>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + >> >>> z/(z+x) > = 2 >> >>> >> >>> >> >>> -- >> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> >> >> >> >> -- >> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> >> >> -- >> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> >> acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > > > -- > Esdras Muniz Mota > Mestrando em Matemática > Universidade Federal do Ceará > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] desigualdade
Se vc faz S(x,y,z)=x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x). S>x/(x+y+z) + y/ (x+y+z) + z/(z+y+x)=1. Por outro lado, se vc toma x=1; n=n e z= 1/n, fica: S(n)=1/(n+1)+n/(n+1)+(1/n)/(1+1/n) e se vc faz n tender para o infinito, S(n) tende para 1. Em 7 de maio de 2017 23:58, Anderson Torres escreveu: > x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) > > 1/(1+y/x) + 1/ (1+z/y) + 1/(1+x/z) > > 1/(1+A) + 1/ (1+B) + 1/(1+C) com ABC=1 > > talvez dê para prosseguir > > > > Em 2 de maio de 2017 14:21, Pedro José escreveu: > > Se pelo menos dois números forem iguais é fácil mostrar que a soma dará > 1,5 > > <= 2. > > > > Para x, y e z diferentes, vamos supor x < y é x > > , y = x+1 e z= y+1 = x+2 > > > > teremos: x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) > > > > é fácil ver que x/(2x+1) < 0,5 e y/(2y+1) < 0,5 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1 <1 > > > > (2z-2)/z = 2 -2/z, como x,y,z >0 e x < y < z ==> z>=3 ==> (2z-2)/z > 1 > ==> > > z/(2z-2) <1 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) < 2 > > > > x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) <= x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) ==> > x/(x+y) + > > y/ (y+z) + z/(z+x) < 2. > > > > O sinal de desigualdade deve estar invertido. > > > > Saudações, > > PJMS > > > > Em 30 de abril de 2017 21:32, Gabriel Tostes > escreveu: > >> > >> Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale. > >> > >> Sent from my iPad > >> > >> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima > >> wrote: > >> > >> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não > >> basta substituir x+y=a, > >> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y) + > >> y/ (y+z) + z/(z+x) <= 2. > >> A não ser que seja outra questão como por exemplo: > >> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo. > >> > >> Grande abraço > >> > >> Douglas Oliveira. > >> > >> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges > >> escreveu: > >>> > >>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + > >>> z/(z+x) > = 2 > >>> > >>> > >>> -- > >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > >>> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] desigualdade
x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) 1/(1+y/x) + 1/ (1+z/y) + 1/(1+x/z) 1/(1+A) + 1/ (1+B) + 1/(1+C) com ABC=1 talvez dê para prosseguir Em 2 de maio de 2017 14:21, Pedro José escreveu: > Se pelo menos dois números forem iguais é fácil mostrar que a soma dará 1,5 > <= 2. > > Para x, y e z diferentes, vamos supor x < y , y = x+1 e z= y+1 = x+2 > > teremos: x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) > > é fácil ver que x/(2x+1) < 0,5 e y/(2y+1) < 0,5 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1 <1 > > (2z-2)/z = 2 -2/z, como x,y,z >0 e x < y < z ==> z>=3 ==> (2z-2)/z > 1 ==> > z/(2z-2) <1 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) < 2 > > x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) <= x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) ==> x/(x+y) + > y/ (y+z) + z/(z+x) < 2. > > O sinal de desigualdade deve estar invertido. > > Saudações, > PJMS > > Em 30 de abril de 2017 21:32, Gabriel Tostes escreveu: >> >> Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale. >> >> Sent from my iPad >> >> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima >> wrote: >> >> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não >> basta substituir x+y=a, >> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y) + >> y/ (y+z) + z/(z+x) <= 2. >> A não ser que seja outra questão como por exemplo: >> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo. >> >> Grande abraço >> >> Douglas Oliveira. >> >> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges >> escreveu: >>> >>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + >>> z/(z+x) > = 2 >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] desigualdade
Se pelo menos dois números forem iguais é fácil mostrar que a soma dará 1,5 <= 2. Para x, y e z diferentes, vamos supor x < y x/(2x+1) + y/(2y+1 <1 (2z-2)/z = 2 -2/z, como x,y,z >0 e x < y < z ==> z>=3 ==> (2z-2)/z > 1 ==> z/(2z-2) <1 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) < 2 x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) <= x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) ==> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) < 2. O sinal de desigualdade deve estar invertido. Saudações, PJMS Em 30 de abril de 2017 21:32, Gabriel Tostes escreveu: > Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale. > > Sent from my iPad > > On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > > Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não > basta substituir x+y=a, > x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y) + > y/ (y+z) + z/(z+x) <= 2. > A não ser que seja outra questão como por exemplo: > (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo. > > Grande abraço > > Douglas Oliveira. > > Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > >> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + >> z/(z+x) > = 2 >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] desigualdade
Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale. Sent from my iPad > On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima > wrote: > > Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não basta > substituir x+y=a, > x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y) + y/ > (y+z) + z/(z+x) <= 2. > A não ser que seja outra questão como por exemplo: > (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo. > > Grande abraço > > Douglas Oliveira. > > Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges > escreveu: >> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) > >> = 2 >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] desigualdade
Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não basta substituir x+y=a, x+z=b e y+z=c, na verdade acho que funciona ao "contrário" x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) <= 2. A não ser que seja outra questão como por exemplo: (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo. Grande abraço Douglas Oliveira. Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) > > = 2 > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] desigualdade
X+y=a x+z=b y+z=c so fazer essa substituicao Sent from my iPad > On Apr 30, 2017, at 10:46 AM, marcone augusto araújo borges > wrote: > > Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) > = 2 > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] desigualdade
Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) > = 2 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdade trigonométrica
quais as soluções da desigualdade cotx>1/2x? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdade
Seja cota>=cota', cob>=cotb' e cotc'>=cotc>0 e seja cotacotb+cotacotc+cotbcotc=1 e cota'cotb'+cota'cotc'+cotb'cotc'=1, prove que: cota+cotc<=cota'+cotc' cotb+cotc<=cotb'+cotc' Eu consigo provar que pelo menos uma dessas desigualdades é verdadeira, mas as duas está complicado, veja, suponha que as duas sejam falsas: cota+cotc>cota'+cotc' cotb+cotc>cotb'+cotc' Multiplicando ambas as desigualdades teremos: 1+cot²c>1+cot²c' cot²c>cot²c' Absurdo Alguém por favor poderia me ajudar, dando contra exemplos ou me ajudando com a demonstração? Caso essa desigualdade não seja verdadeira, é possível escolher cotc' tal que cotc'>=máximo(cota+cotc-cota',cotb+cotc-cotb')? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdade
Sejam a,b e c lados de um triângulo e x,y,z reais positivos, então é possível provar que vale a desigualdade: 2a^2x+2b^2y+2c^2z>=(b^2+c^2)x+(a^2+c^2)y+(a^2+b^2)z -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade.
Muitissimo obrigado Carlos , era isso mesmo, pois nos livros eles realmente usam para provar a convexidade. Em 25 de jun de 2016 23:46, "Carlos Gomes" escreveu: > Olá Douglas, > > Na maioria dos livros essa desigualdade é usada para definir uma função > convexa, ou seja, uma função f:[x,y] -->R que satisfaz a condição > f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] é, por definição convexa. > > No entanto se a função f:[x,y] --> possuir derivada segunda no intervalo > (x,y), então pode-se mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E > [0,1] se, e somente se f ''(a)>=0, para todo a E [x,y]. > > Talvez seja isso que vc quer: supondo que f ''(a)>=0, para todo a E > [x,y], mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1]. SE for vc > faz assim: > > Determina a fórmula de Taylor de f em torno de x e de y: sendo > z=ty+(1-t)x, com t E [0,1] um ponto genérico do intervalo [x,y], segue que > > f(x)=f(z)+f'(z)(x-z)+1/2.f ''(c_1)(x-z)^2, com c_1 E [x,z] > f(y)=f(z)+f'(z)(y-z)+1/2.f ''(c_2)(y-z)^2, com c_2 E [x,z] > > multiplicando a primeira por (1-t), a segunda por t a adicionando membro a > membro, segue que > > tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R (Faça as contas para conferir!) > > onde R:=1/2(1-t).f ''(c_1)(x-z)^2+1/2.t.f ''(c_2)(y-z)^2>=0, pois (1-t), t > e f '' são >=0. > > Assim, > > tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R>=f(z)=f(ty+(1-t)x) > > ou seja, f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1]. > > Abraço, Cgomes. > > > > > Em 25 de junho de 2016 20:55, Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> Olá amigos preciso de ajuda na seguinte questão: >> >> Mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] e f sendo convexa. >> >> Obs: Não usar geometria. >> >> Agradeço a ajuda. >> >> Douglas Oliveira >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade.
Olá Douglas, Na maioria dos livros essa desigualdade é usada para definir uma função convexa, ou seja, uma função f:[x,y] -->R que satisfaz a condição f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] é, por definição convexa. No entanto se a função f:[x,y] --> possuir derivada segunda no intervalo (x,y), então pode-se mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] se, e somente se f ''(a)>=0, para todo a E [x,y]. Talvez seja isso que vc quer: supondo que f ''(a)>=0, para todo a E [x,y], mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1]. SE for vc faz assim: Determina a fórmula de Taylor de f em torno de x e de y: sendo z=ty+(1-t)x, com t E [0,1] um ponto genérico do intervalo [x,y], segue que f(x)=f(z)+f'(z)(x-z)+1/2.f ''(c_1)(x-z)^2, com c_1 E [x,z] f(y)=f(z)+f'(z)(y-z)+1/2.f ''(c_2)(y-z)^2, com c_2 E [x,z] multiplicando a primeira por (1-t), a segunda por t a adicionando membro a membro, segue que tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R (Faça as contas para conferir!) onde R:=1/2(1-t).f ''(c_1)(x-z)^2+1/2.t.f ''(c_2)(y-z)^2>=0, pois (1-t), t e f '' são >=0. Assim, tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R>=f(z)=f(ty+(1-t)x) ou seja, f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1]. Abraço, Cgomes. Em 25 de junho de 2016 20:55, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Olá amigos preciso de ajuda na seguinte questão: > > Mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] e f sendo convexa. > > Obs: Não usar geometria. > > Agradeço a ajuda. > > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdade.
Olá amigos preciso de ajuda na seguinte questão: Mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] e f sendo convexa. Obs: Não usar geometria. Agradeço a ajuda. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdade
Alguém tem uma segunda solução para a desigualdade que está no link abaixo? http://math.stackexchange.com/questions/1710644/inequalities-of-the-triangle Ou pelo menos um solução parecida, só que mais simples? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade, limitante inferior
Caramba Ralph, muito inteligente sua colocação. Em 14 de março de 2016 17:42, Ralph Teixeira escreveu: > O mesmo epsilon para todas as escolhas positivas das variaveis? Acho que > nao. > > Seja F(x,y,z,a,b,c)=ax+by+cz restrita ao dominio definido por {xy+xz+yz=1; > ab+ac+bc=1}. Note que F eh continua. > > Agora, dado eps>0, tome k>0 tal que F(k,1/k,0, k, 0, 1/k) = k^2 (note que o ponto que eu peguei estah no dominio). Como F eh continua, > entao existe uma vizinhanca do ponto (k,1/k,0,k,0,1/k) onde F nessa vizinhanca devem existir pontos com todas as coordenadas positivas > que ainda satisfazem as restricoes. > > Abraco, Ralph. > > 2016-03-14 14:52 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com>: > >> Olá pessoal, >> Seja xy+xz+yz=1 e x'y'+x'z'+y'z'=1, com cada variável sendo positiva, é >> possível mostrar que existe épsilon>0 tal que x'x+y'y+z'z>épsilon?Em caso >> positivo, alguém poderia me ajudar?A questão que estou resolvendo não é bem >> essa mas estou dependendo disso para que minha demonstração esteja >> correta... >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade, limitante inferior
O mesmo epsilon para todas as escolhas positivas das variaveis? Acho que nao. Seja F(x,y,z,a,b,c)=ax+by+cz restrita ao dominio definido por {xy+xz+yz=1; ab+ac+bc=1}. Note que F eh continua. Agora, dado eps>0, tome k>0 tal que F(k,1/k,0, k, 0, 1/k) = k^2: > Olá pessoal, > Seja xy+xz+yz=1 e x'y'+x'z'+y'z'=1, com cada variável sendo positiva, é > possível mostrar que existe épsilon>0 tal que x'x+y'y+z'z>épsilon?Em caso > positivo, alguém poderia me ajudar?A questão que estou resolvendo não é bem > essa mas estou dependendo disso para que minha demonstração esteja > correta... > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade, limitante inferior
Eu disse todos positivos Em 14 de março de 2016 15:08, Sávio Ribas escreveu: > x=y=z=1/sqrt(3) e x'=y'=z'=-1/sqrt(3) => xx'+yy'+zz'=-1, falso > Em 14/03/2016 15:01, "Israel Meireles Chrisostomo" < > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > >> Olá pessoal, >> Seja xy+xz+yz=1 e x'y'+x'z'+y'z'=1, com cada variável sendo positiva, é >> possível mostrar que existe épsilon>0 tal que x'x+y'y+z'z>épsilon?Em caso >> positivo, alguém poderia me ajudar?A questão que estou resolvendo não é bem >> essa mas estou dependendo disso para que minha demonstração esteja >> correta... >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade, limitante inferior
x=y=z=1/sqrt(3) e x'=y'=z'=-1/sqrt(3) => xx'+yy'+zz'=-1, falso Em 14/03/2016 15:01, "Israel Meireles Chrisostomo" < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Olá pessoal, > Seja xy+xz+yz=1 e x'y'+x'z'+y'z'=1, com cada variável sendo positiva, é > possível mostrar que existe épsilon>0 tal que x'x+y'y+z'z>épsilon?Em caso > positivo, alguém poderia me ajudar?A questão que estou resolvendo não é bem > essa mas estou dependendo disso para que minha demonstração esteja > correta... > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdade, limitante inferior
Olá pessoal, Seja xy+xz+yz=1 e x'y'+x'z'+y'z'=1, com cada variável sendo positiva, é possível mostrar que existe épsilon>0 tal que x'x+y'y+z'z>épsilon?Em caso positivo, alguém poderia me ajudar?A questão que estou resolvendo não é bem essa mas estou dependendo disso para que minha demonstração esteja correta... -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade de giroux
Em 10 de dezembro de 2015 14:03, Israel Meireles Chrisostomo escreveu: > Estava lendo sobre a desigualdade de giroux e me surgiu uma dúvida:existe o > análogo a desigualdade de giroux para funções côncovas?Ou seja, que se prova > para funções convexas se estende para funções côncovas-trocando o sinal da > desigualdade é claro?Alguém tem uma prova da desigualdade de Giroux? Sim, basta trocar o sinal para uma côncava. Me passa o enunciado! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade de giroux
Estava lendo sobre a desigualdade de giroux e me surgiu uma dúvida:existe o análogo a desigualdade de giroux para funções côncovas?Ou seja, que se prova para funções convexas se estende para funções côncovas-trocando o sinal da desigualdade é claro?Alguém tem uma prova da desigualdade de Giroux? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdade de jensen
Eu posso aplicar a desigualdade de jensen se a função for estritamente concava, isto é, se f((1-t)x+ty)>(1-t)f(x)+tf(y) e t existe no intervalo ABERTO (0,1)? isto é a desigualdade de jensen é válida se t no ABERTO (0,1)(se t não é igual a 1)? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Desigualdade
Suponha spdg a>=d>=c. Daí, pela desigualdade do rearranjo, temos: a(a^2/bc)+b(b^2/ac)+c(c^2/ab)>=(1/3)(a+b+c)(a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab). Daí vc usa MA>=MG pra mostrar que (a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab)>=3. E acaba :) -Mensagem Original- De: "marcone augusto araújo borges" Enviada em: 08/10/2015 18:03 Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" Assunto: [obm-l] Desigualdade Sejam a, b e c números reais positivos.Mostre que a^3/bc + b^3/ac + c^3/ab > = a + b + c -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdade
Sejam a, b e c números reais positivos.Mostre quea^3/bc + b^3/ac + c^3/ab > = a + b + c -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdade
Alguem consegue provar que se a,b e c sao angulos de um triangulo entao e valido que cos²a/2+cos²b/2+cos²c/2>=(sena/2+senb/2+senc/2)² -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
pode deixar já vi que não posso supor isso, ainda mais querer que essas suposições não limitem o problema, mesmo vlw Em 14 de junho de 2015 23:30, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Na verdade vou aproveitar esse tópico para perguntar outra coisa, eu posso > supor sem perda de generalidade que: > > (x/z+1)(y/z+1)>=(z/x+1)(z/y+1);(x/y+1)(z/y+1)>=(y/x+1)(y/z+1);(y/x+1)(z/x+1)>=(x/y+1)(x/z+1); > a desigualdade é a mesma, há alguma contradição nessas desigualdades? > > Em 14 de junho de 2015 21:40, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > >> Eu quero provar que >> sqrt[ z²/(x+z)(y+z) ]+sqrt[ x²/(x+y)(x+z)]+sqrt[ y²/(y+z)(x+y) ] >= >> sqrt[ xy/(x+z)(y+z) ]+sqrt[ yz/(x+y)(x+z)]+sqrt[ xz/(y+z)(x+y) ] >> >> Em 14 de junho de 2015 21:23, Pacini Bores >> escreveu: >> >>> Qual é a desigualdade ? >>> >>> Pacini >>> >>> Em 14 de junho de 2015 20:39, Israel Meireles Chrisostomo < >>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: >>> Olá estou resolvendo uma desigualdade e preciso usar a desigualdade do rearranjo, e para isso preciso supor algumas coisas "sem perda de generalidade", por exemplo: eu posso supor sem perda de generalidade que z>=x>=y, certo? Mas eu posso supor sem perda de generalidade ou pelo menos com alguma perda de generalidade mas sem entrar em contradição que z>=x>=y e que z/(x+z)(y+z)>=x/(y+x)(z+z)>=y/(y+z)(x+y), isto é. há alguma contradição em supor as duas desigualdades triplas ao mesmo tempo? Ah só para constar, se eu trocar as ordens das variáveis não altera a desigualdade que estou querendo provar... -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
Na verdade vou aproveitar esse tópico para perguntar outra coisa, eu posso supor sem perda de generalidade que: (x/z+1)(y/z+1)>=(z/x+1)(z/y+1);(x/y+1)(z/y+1)>=(y/x+1)(y/z+1);(y/x+1)(z/x+1)>=(x/y+1)(x/z+1); a desigualdade é a mesma, há alguma contradição nessas desigualdades? Em 14 de junho de 2015 21:40, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Eu quero provar que > sqrt[ z²/(x+z)(y+z) ]+sqrt[ x²/(x+y)(x+z)]+sqrt[ y²/(y+z)(x+y) ] >= sqrt[ > xy/(x+z)(y+z) ]+sqrt[ yz/(x+y)(x+z)]+sqrt[ xz/(y+z)(x+y) ] > > Em 14 de junho de 2015 21:23, Pacini Bores > escreveu: > >> Qual é a desigualdade ? >> >> Pacini >> >> Em 14 de junho de 2015 20:39, Israel Meireles Chrisostomo < >> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: >> >>> Olá estou resolvendo uma desigualdade e preciso usar a desigualdade do >>> rearranjo, e para isso preciso supor algumas coisas "sem perda de >>> generalidade", por exemplo: >>> eu posso supor sem perda de generalidade que z>=x>=y, certo? >>> Mas eu posso supor sem perda de generalidade ou pelo menos com alguma >>> perda de generalidade mas sem entrar em contradição que >>> z>=x>=y e que z/(x+z)(y+z)>=x/(y+x)(z+z)>=y/(y+z)(x+y), isto é. há >>> alguma contradição em supor as duas desigualdades triplas ao mesmo tempo? >>> Ah só para constar, se eu trocar as ordens das variáveis não altera a >>> desigualdade que estou querendo provar... >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
Eu quero provar que sqrt[ z²/(x+z)(y+z) ]+sqrt[ x²/(x+y)(x+z)]+sqrt[ y²/(y+z)(x+y) ] >= sqrt[ xy/(x+z)(y+z) ]+sqrt[ yz/(x+y)(x+z)]+sqrt[ xz/(y+z)(x+y) ] Em 14 de junho de 2015 21:23, Pacini Bores escreveu: > Qual é a desigualdade ? > > Pacini > > Em 14 de junho de 2015 20:39, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > >> Olá estou resolvendo uma desigualdade e preciso usar a desigualdade do >> rearranjo, e para isso preciso supor algumas coisas "sem perda de >> generalidade", por exemplo: >> eu posso supor sem perda de generalidade que z>=x>=y, certo? >> Mas eu posso supor sem perda de generalidade ou pelo menos com alguma >> perda de generalidade mas sem entrar em contradição que >> z>=x>=y e que z/(x+z)(y+z)>=x/(y+x)(z+z)>=y/(y+z)(x+y), isto é. há alguma >> contradição em supor as duas desigualdades triplas ao mesmo tempo? >> Ah só para constar, se eu trocar as ordens das variáveis não altera a >> desigualdade que estou querendo provar... >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
Qual é a desigualdade ? Pacini Em 14 de junho de 2015 20:39, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Olá estou resolvendo uma desigualdade e preciso usar a desigualdade do > rearranjo, e para isso preciso supor algumas coisas "sem perda de > generalidade", por exemplo: > eu posso supor sem perda de generalidade que z>=x>=y, certo? > Mas eu posso supor sem perda de generalidade ou pelo menos com alguma > perda de generalidade mas sem entrar em contradição que > z>=x>=y e que z/(x+z)(y+z)>=x/(y+x)(z+z)>=y/(y+z)(x+y), isto é. há alguma > contradição em supor as duas desigualdades triplas ao mesmo tempo? > Ah só para constar, se eu trocar as ordens das variáveis não altera a > desigualdade que estou querendo provar... > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdade
Olá estou resolvendo uma desigualdade e preciso usar a desigualdade do rearranjo, e para isso preciso supor algumas coisas "sem perda de generalidade", por exemplo: eu posso supor sem perda de generalidade que z>=x>=y, certo? Mas eu posso supor sem perda de generalidade ou pelo menos com alguma perda de generalidade mas sem entrar em contradição que z>=x>=y e que z/(x+z)(y+z)>=x/(y+x)(z+z)>=y/(y+z)(x+y), isto é. há alguma contradição em supor as duas desigualdades triplas ao mesmo tempo? Ah só para constar, se eu trocar as ordens das variáveis não altera a desigualdade que estou querendo provar... -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
De fato, era isso mesmo que eu tinha feito, obrigado gugu Em 4 de maio de 2015 22:55, escreveu: > C(n,k+1)=n(n-1)...(n-k)/(k+1)!<=n^(k+1)/(k+1)!. > Quoting Israel Meireles Chrisostomo : > > Alguém tem uma demonstração da desigualdade C(n,k+1) <= n^(k+1) / (k+1)! >> de >> preferência que não envolva indução hehehe >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> > > > > This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
C(n,k+1)=n(n-1)...(n-k)/(k+1)!<=n^(k+1)/(k+1)!. Quoting Israel Meireles Chrisostomo : Alguém tem uma demonstração da desigualdade C(n,k+1) <= n^(k+1) / (k+1)! de preferência que não envolva indução hehehe -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade
Alguém tem uma demonstração da desigualdade C(n,k+1) <= n^(k+1) / (k+1)! de preferência que não envolva indução hehehe -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade(indução?)
Bom dia! Deve ser para m,n naturais. m=-1 e n=-1 ==> 2^-4 >= 1, falso. Para m e n não nulos temos: a e b positivos a>=b <==> log 2 a >= log 2 b 2^(m+n-2) > = m.n ==> m+n-2 >= log2 m +log 2 n m -1 >= log2 m; m=1 ==> 0 >= 0, atende. m-1 - log2 m é monótona crescente para m>=2. Pois f(m) = m-1 - log2 m ==> f '(m) = 1 -1/ (m. ln2) e ln(2) > 0,5. Pelo mesmo motivo: n-1 >= log2 n; m.=1 então m+n -2 >= log2 m +log 2 n ==> 2^(m+n-2) >= m.n Para m ou n nulos é fácil 2^(x) >=0, verdade. Saudações. Em 31 de março de 2015 09:09, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Prove que 2^(m+n-2) > = m.n se m e n são inteiros. > Alguém ajuda? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdade(indução?)
Prove que 2^(m+n-2) > = m.n se m e n são inteiros.Alguém ajuda? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
a, b, c são distintos. Em Quarta-feira, 18 de Fevereiro de 2015 23:03, Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu: 2015-02-18 11:21 GMT-02:00 Manoel P G Neto Neto : > Caros > Gostaria de receber uma dica sobre > a demonstração da desigualdade: > > a^-1+b^-1+c^-1<(a^8+b^8+c^8)/a^3b^3c^3 > a, b, c positivos, distintos. Bunching (também conhecida como Muirhead). Ah, sim, é <=, claro (se a=b=c=1, dá 3 dos dois lados) > Usei a desigualdade entre as médias, mas não > consegui. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
2015-02-18 11:21 GMT-02:00 Manoel P G Neto Neto : > Caros > Gostaria de receber uma dica sobre > a demonstração da desigualdade: > > a^-1+b^-1+c^-1<(a^8+b^8+c^8)/a^3b^3c^3 > a, b, c positivos, distintos. Bunching (também conhecida como Muirhead). Ah, sim, é <=, claro (se a=b=c=1, dá 3 dos dois lados) > Usei a desigualdade entre as médias, mas não > consegui. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade
CarosGostaria de receber uma dica sobrea demonstração da desigualdade: a^-1+b^-1+c^-1<(a^8+b^8+c^8)/a^3b^3c^3a, b, c positivos, distintos. Usei a desigualdade entre as médias, mas nãoconsegui. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
Definamos f(x) = e^x - (1 + x + (x^2)/4), x >= 0. Então f'(x) = e^x - 1 - x/2 Como e^x = 1 + x + x^2/(2!) + x^3/(3!), para x >= 0 temos que e^x >= 1 + x. Assim, f'(x) > x - x/2 = x/2 >= 0 para x >= 0, com igualdade sse x = 0. Logo, f é estritamente crescente em [0, oo) e, em razão disto, f(x) >= f(0) = 0 para x >= 0, com igualdade sse x = 0. Disto concluímos que e^x > 1 + x +(x^2)/4 para x > 0. Se x = 0, temos igualdade. Artur Costa Steiner > Em 14/01/2015, às 11:58, Vanderlei Nemitz escreveu: > > Pessoal, alguém sabe como mostrar que e^x > 1 + x + (x^2)/4, para todo x > 0? > > Muito obrigado! > > Vanderlei > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade
2015-01-15 17:32 GMT-02:00 Carlos Yuzo Shine : > Outra maneira, partindo de e^x > 1 + x *para todo x > 0* (é, aqui parece que > precisa de pelo menos um pouco de Cálculo), Não... enfim, precisa de Análise, mas deixando isso de lado: exp(x) = lim_{n -> infinito} (1 + 1/n)^(nx) Ora, pelo fórmula do binômio (1 + a)^b = 1 + ab + a^2 * Comb(b, 2 a 2) + ... > 1 + ab Logo exp(x) >= lim (1 + 1/n * nx) = 1 + x > é > > e^x = (e^(x/2))^2 > (1 + x/2)^2 = 1 + x + x^2/4. > > Aqui, aplicamos a desigualdade acima com x/2 no lugar do x. Fantástico. Isso explica inclusive porque a questão está com um x^2/4 e não x^2/2 (que quem sabe Cálculo poderia usar). > []'s > Shine Aliás, continuando a minha idéia até o segundo termo: exp(x) >= lim (1 + 1/n * nx + (1/n)^2 * (nx * (nx - 1))/2) = lim (1 + x + x*(x - 1/n)/2) = 1 + x + x^2/2 Então, sei lá qual a razão profunda do x^2/4... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade
Outra maneira, partindo de e^x > 1 + x *para todo x > 0* (é, aqui parece que precisa de pelo menos um pouco de Cálculo), ée^x = (e^(x/2))^2 > (1 + x/2)^2 = 1 + x + x^2/4. Aqui, aplicamos a desigualdade acima com x/2 no lugar do x. []'sShine On Thursday, January 15, 2015 3:44 PM, Vanderlei Nemitz wrote: Muito obrigado a todos, ficou muito claro! Vanderlei Em 15 de janeiro de 2015 14:44, Ralph Teixeira escreveu: Se voce nao quiser usar Taylor, pode fazer assim (que no fundo no fundo eh Taylor disfarcado): Seja f(x)=e^x-1-x-x^2/4. Note que f'(x)=e^x-1-x/2 e f''(x)=e^x-1/2 Como f''(x)>0 para todo x>0, temos que f'(x) eh crescente em (0,+Inf). Como f'(0)=0, isto significa que f'(x)>0 em (0,+Inf). Entao f(x) eh crescente em (0,+Inf). Como f(0)=0, entao f(x)>0 para x>0. Abraco, Ralph. 2015-01-14 11:58 GMT-02:00 Vanderlei Nemitz : Pessoal, alguém sabe como mostrar que e^x > 1 + x + (x^2)/4, para todo x > 0? Muito obrigado! Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
Muito obrigado a todos, ficou muito claro! Vanderlei Em 15 de janeiro de 2015 14:44, Ralph Teixeira escreveu: > Se voce nao quiser usar Taylor, pode fazer assim (que no fundo no fundo eh > Taylor disfarcado): > > Seja f(x)=e^x-1-x-x^2/4. Note que f'(x)=e^x-1-x/2 e f''(x)=e^x-1/2 > > Como f''(x)>0 para todo x>0, temos que f'(x) eh crescente em (0,+Inf). > Como f'(0)=0, isto significa que f'(x)>0 em (0,+Inf). > > Entao f(x) eh crescente em (0,+Inf). Como f(0)=0, entao f(x)>0 para x>0. > > Abraco, Ralph. > > 2015-01-14 11:58 GMT-02:00 Vanderlei Nemitz : > >> Pessoal, alguém sabe como mostrar que e^x > 1 + x + (x^2)/4, para todo x >> > 0? >> >> Muito obrigado! >> >> Vanderlei >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
Se voce nao quiser usar Taylor, pode fazer assim (que no fundo no fundo eh Taylor disfarcado): Seja f(x)=e^x-1-x-x^2/4. Note que f'(x)=e^x-1-x/2 e f''(x)=e^x-1/2 Como f''(x)>0 para todo x>0, temos que f'(x) eh crescente em (0,+Inf). Como f'(0)=0, isto significa que f'(x)>0 em (0,+Inf). Entao f(x) eh crescente em (0,+Inf). Como f(0)=0, entao f(x)>0 para x>0. Abraco, Ralph. 2015-01-14 11:58 GMT-02:00 Vanderlei Nemitz : > Pessoal, alguém sabe como mostrar que e^x > 1 + x + (x^2)/4, para todo x > > 0? > > Muito obrigado! > > Vanderlei > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Desigualdade
Compare o termo com a expansão de Taylor de e^x. Enviado do Yahoo Mail para iPhoneEm 14/01/2015 11:58:39, Vanderlei Nemitz<'vanderma...@gmail.com'> escreveu:Pessoal, alguém sabe como mostrar que e^x > 1 + x + (x^2)/4, para todo x > 0?Muito obrigado!Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ===
Re: [obm-l] Desigualdade
Bom dia Você pode tentar olhar pra expansão de e^x em Taylor.. e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + ... e notar que você tem um pedaço da expressão sua da direita mais algo que será positivo Abs -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdade
Pessoal, alguém sabe como mostrar que e^x > 1 + x + (x^2)/4, para todo x > 0? Muito obrigado! Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdade
Se x+y+z > = xyz,mostre que x^2 + y^2 + z^2 > = xyz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Desigualdade
Considerando x,y,z > 0: Faça a = y/x, b = z/x e c = x/z (repare que abc = 1). x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) = 1/(1+a) + 1/(1+b) + 1/(1+c) = (3 + 2(a+b+c) + (ab+ac+bc)) / (1 + (a+b+c) + (ab+ac+bc) + abc). Nessa última expressão: S1 = a+b+c, S2 = ab+ac+bc. Lembrando que abc = 1, vamos ter o seguinte: x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) = (3 + 2S1 + S2) / (2 + S1 + S2) <= 2 <-> 3 + 2S1 + S2 <= 4 + 2S1 + 2S2 <-> 0 <= 1 + S2, que é uma desigualdade verdadeira. Em 30 de abril de 2014 11:02, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Para x,y e z positivos mostre que m = x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) < = 2 > > Se não errei em algo,usando H < = A e G < = A, acabei encontrando m > = 3/2 > H é média harmônica, A é média aritmética e G, média geométrica > Alguém ajuda? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdade
Para x,y e z positivos mostre que m = x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) < = 2 Se não errei em algo,usando H < = A e G < = A, acabei encontrando m > = 3/2H é média harmônica, A é média aritmética e G, média geométricaAlguém ajuda? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Desigualdade das médias
Lema 1) x + y + z >= raiz (3 . (xy + yz + zx)) para quaisquer x, y e z positivos. Prova: Sabemos que: (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 >= 0 [*a igualdade ocorre se somente se x=y=z*]. Desenvolvendo, teremos: 2.(x^2 + y^2 + z^2) - 2xy - 2yz - 2zx >= 0 <-> x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx>= 3xy + 3yz + 3zx <-> (x + y + z)^2 >= 3xy + 3yz + 3zx <-> x + y + z >= raiz (3 . (xy + yz + zx)). Já que xy + yz + zx >= 1, teremos, necessariamente: x + y + z >= raiz(3) [a igualdade ocorrendo quando z=y=z=raiz(3)/3]. Lema 2) raiz ((xy + yz + zx)/3) >= raiz(3) (xyz) para quaisquer x, y e z positivos [raiz(3) quer dizer raiz cúbica]. Prova: Da desigualdade das médias, temos: (xy + yz + zx)/3 >= raiz(3) (x^2y^2z^2) [ *a igualdade ocorre se somente se x=y=z*] <-> raiz((xy + yz + zx)/3) >= raiz(raiz(3) (x^2y^2z^2)) = raiz(3) (xyz). Já que xy + yz + zx <= 1, teremos, necessariamente: raiz(3) (xyz) <= 1 <-> xyz <= 1 [a igualdade ocorrendo quando z=y=z=1]. Então, nossa resposta é: x + y + z >= raiz (3) e xyz <= 1! Em 16 de julho de 2013 00:01, João Maldonado escreveu: > (x-y)² + (y-z)² +(z-x)² = 2(x²+y²+z²-xy-yz-zx) >= 0 > (x²+y²+z²-xy-yz-zx) >=0 > (x+y+z)² >=3(xy+yz+zx)>=3 > (x+y+z)>=3^(1/2) > O valor máximo diverge, já que podemos ter x infinitamente grande > satisfazendo o sistema, ex: > x = 10^k, y=10^-k e z = 10^-k satisfaz para k>0, faça k tender ao infinito > e (x+y+z) tende ao infinito > > Divida por xyz: > 3/xyz >= 1/x + 1/y + 1/z >= 3/(xyz)^(1/3) (desigualdade das médias) > Daonde vem que xyz>=1 > O limite inferior é zero: mais uma vez, com a solução acima mencionada > teríamos xyz = 10^-k, faça k tende ao infinito xyz tende a 0 > > -- > From: marconeborge...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Desigualdade das médias > Date: Tue, 16 Jul 2013 01:18:33 + > > > Sejam x,y,z números positivos tais que 1 < = xy + xz + yz < = 3.Determine > o conjunto dos valores de xyz e de x+y+z.Peço ajuda e ja > agradeço. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Desigualdade das médias
(x-y)² + (y-z)² +(z-x)² = 2(x²+y²+z²-xy-yz-zx) >= 0 (x²+y²+z²-xy-yz-zx) >=0 (x+y+z)² >=3(xy+yz+zx)>=3 (x+y+z)>=3^(1/2) O valor máximo diverge, já que podemos ter x infinitamente grande satisfazendo o sistema, ex: x = 10^k, y=10^-k e z = 10^-k satisfaz para k>0, faça k tender ao infinito e (x+y+z) tende ao infinito Divida por xyz: 3/xyz >= 1/x + 1/y + 1/z >= 3/(xyz)^(1/3) (desigualdade das médias) Daonde vem que xyz>=1 O limite inferior é zero: mais uma vez, com a solução acima mencionada teríamos xyz = 10^-k, faça k tende ao infinito xyz tende a 0 From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Desigualdade das médias Date: Tue, 16 Jul 2013 01:18:33 + Sejam x,y,z números positivos tais que 1 < = xy + xz + yz < = 3.Determine o conjunto dos valores de xyz e de x+y+z.Peço ajuda e ja agradeço. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdade das médias
Sejam x,y,z números positivos tais que 1 < = xy + xz + yz < = 3.Determine o conjunto dos valores de xyz e de x+y+z.Peço ajuda e ja agradeço. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo números primos
Vale usar tudo o que vc conhecer. Abraços. Artur Costa Steiner Em 11/02/2013 12:59, "Bernardo Freitas Paulo da Costa" < bernardo...@gmail.com> escreveu: > 2013/2/11 Artur Costa Steiner : > > Seja (q(n)) = (2, 5, 11, 17...) a sequencia que enumera os primos de > ordem Ãmpar. Isto é, q(n) = primo de ordem 2n - 1. > > > > Mostre que, para todo k > 1, a desigualdade q(n) < n^k ocorre para uma > infinidade de valores de n. > Vale usar o TNP? > > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = >
[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo números primos
2013/2/11 Artur Costa Steiner : > Seja (q(n)) = (2, 5, 11, 17...) a sequencia que enumera os primos de ordem > Ãmpar. Isto é, q(n) = primo de ordem 2n - 1. > > Mostre que, para todo k > 1, a desigualdade q(n) < n^k ocorre para uma > infinidade de valores de n. Vale usar o TNP? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade envolvendo números primos
Seja (q(n)) = (2, 5, 11, 17...) a sequencia que enumera os primos de ordem ímpar. Isto é, q(n) = primo de ordem 2n - 1. Mostre que, para todo k > 1, a desigualdade q(n) < n^k ocorre para uma infinidade de valores de n. Abraços. Artur Costa Steiner = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Desigualdade(ajuda)
Faça c' = -c Temos a³ +b³ + c'³-3abc' >0 Mas pela fatoração de cardano x³+y³+z³-3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz) Mas (x²+y²+z²-xy-xz-yz) = [(x-y)² + (y-z)² + (z-x)²)]/2 que é >=0 para quaisquer reais x, y, z e >0 (a igualdade só vale quando x=y=z, logo teríamos a=b=-c, impossível, logo essa parcela é positiva A segunda parcela (a+b-c) é positiva pela condição de existência de um triângulo Logo a³+b³+3abc > c³ From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Desigualdade(ajuda) Date: Thu, 7 Feb 2013 02:28:49 + Sejam a,b,c lados de um triângulo.Prove que a^3 + b^3 + 3abc > c^3
Re: [obm-l] Desigualdade(ajuda)
Faz tempo que resolvi este! A dica é simples: escreva a=x+y, b=x+z, c=y+z com x,y,z positivos, faça as contas e tenha fé! Em 7 de fevereiro de 2013 00:28, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Sejam a,b,c lados de um triângulo.Prove que a^3 + b^3 + 3abc > c^3 > > > -- /**/ 神が祝福 Torres
[obm-l] Desigualdade(ajuda)
Sejam a,b,c lados de um triângulo.Prove que a^3 + b^3 + 3abc > c^3
RE: [obm-l] Desigualdade
Desigualdade das potências Média cúbica >= Média aritmética [(a³ + b³ + c³)/3]^1/3 >= (a + b + c)/3 eleva ao cubo a acabou From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Desigualdade Date: Tue, 5 Feb 2013 10:10:27 + 9(a^3 +b^3 + c^3) > = (a + b + c)^3 Usando (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 +c^3 + 3(a + b)(a + c)(b+c),basta mostrar que 8(a^3 + b^3 + c^3) > = 3(a+b)(a+c)(b+c) Dai pra frente parece que andei em círculos Conto com ajuda Agradeço desde já.
Re: [obm-l] Desigualdade
2013/2/5 marcone augusto araújo borges : > 9(a^3 +b^3 + c^3) > = (a + b + c)^3 > Usando (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 +c^3 + 3(a + b)(a + c)(b+c),basta > mostrar que 8(a^3 + b^3 + c^3) > = 3(a+b)(a+c)(b+c) Está faltando uma carta na sua manga: http://en.wikipedia.org/wiki/Muirhead%27s_inequality. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade
9(a^3 +b^3 + c^3) > = (a + b + c)^3Usando (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 +c^3 + 3(a + b)(a + c)(b+c),basta mostrar que 8(a^3 + b^3 + c^3) > = 3(a+b)(a+c)(b+c)Dai pra frente parece que andei em círculosConto com ajudaAgradeço desde já.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade associada a trinômios do 2o grau dados por f o f
Grande Bernardo Bom 2013. Para vc e todos os amigos da lista, que em 2013 o conjunto de suas realizações e de suas alegrias seja denso com medida infinita, Uma sugestão para o problema: sendo g = fof, pense nos pontos a e b distintos tais que g(a) = g(b) e g(b) = g(a), atentando para o fato de que g é a composição de uma função com ela mesma. Por exemplo, não existe nenhuma função de R em R tal que f(f(x)) = x^2 - 1996. Isto foi discutido aqui em 2003. Abraços Artur Artur Costa Steiner Em 06/01/2013, às 22:15, Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu: > 2012/12/12 Artur Costa Steiner : >> Suponhamos que exista alguma função de R em R tal que, para todo x, >> tenhamos f(f(x)) = ax^2 + bx + c, a não nulo, b e c reais. Mostre que (b >> +1) (b - 3) ≤ 4ac. > > Eu consegui fazer para x^2 + c^2, e também no caso de mudanças afins > g(x) = f(x + beta) + beta. Eu suspeito que x^2 - c^2 seja impossÃvel, > mas não bate com a sua condição... e eu não tenho uma demonstração. > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade associada a trinômios do 2o grau dados por f o f
Suponhamos que exista alguma função de R em R tal que, para todo x, tenhamos f(f(x)) = ax^2 + bx + c, a não nulo, b e c reais. Mostre que (b +1) (b - 3) ≤ 4ac. Abraços Artur Costa Steiner = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular
é verdade, PN=0,5 obrigado pela correção Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Wed, 25 Apr 2012 14:17:16 + Asunto : RE: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular PN = 0.5,certo? Interessante a solução! From: saldana...@pucp.edu.pe To: obm-l@mat.puc-rio.br CC: Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular Date: Wed, 25 Apr 2012 07:31:13 -0500 Parece que faltou disser que AB=CD=1. Nesse caso, sejam M, N e P os pontos meios de BD, BC e AD respectivamente. Então PM=MN=0.5 e = PN então AC/2+BD/2>=0.5 AC+BD>=1 Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Wed, 25 Apr 2012 04:42:06 +0300 Asunto : [obm-l] Desigualdade Triangular > > >Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1. >Desde já obrigado!! > __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular
PN = 0.5,certo? Interessante a solução! > From: saldana...@pucp.edu.pe > To: obm-l@mat.puc-rio.br > CC: > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular > Date: Wed, 25 Apr 2012 07:31:13 -0500 > > > > Parece que faltou disser que AB=CD=1. > > Nesse caso, sejam M, N e P os pontos meios de BD, BC e AD respectivamente. > Então PM=MN=0.5 e PQ=AC/2 > e QN=BD/2. Aplicando a desigualdade triangular no PQN: > > PQ+QN >= PN > > então > > AC/2+BD/2>=0.5 > > AC+BD>=1 > > Julio Saldaña > > > -- Mensaje original --- > De : obm-l@mat.puc-rio.br > Para : obm-l@mat.puc-rio.br > Fecha : Wed, 25 Apr 2012 04:42:06 +0300 > Asunto : [obm-l] Desigualdade Triangular > > > > > >Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e > m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1. > >Desde já obrigado!! > > > > __ > Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: > http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =
RE: [obm-l] Desigualdade Triangular
Faltou um detalhe ai no enunciado,não? From: vitor__r...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Desigualdade Triangular Date: Wed, 25 Apr 2012 04:42:06 +0300 Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1. Desde já obrigado!!
[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular
Parece que faltou disser que AB=CD=1. Nesse caso, sejam M, N e P os pontos meios de BD, BC e AD respectivamente. Então PM=MN=0.5 e = PN então AC/2+BD/2>=0.5 AC+BD>=1 Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Wed, 25 Apr 2012 04:42:06 +0300 Asunto : [obm-l] Desigualdade Triangular Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1. Desde já obrigado!! __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Desigualdade Triangular
Considerando que o raio e um, temos que ac =1 Alem Disso bd maximo eh o diametro []s Joao From: vitor__r...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Desigualdade Triangular Date: Wed, 25 Apr 2012 04:42:06 +0300 Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1. Desde já obrigado!!
[obm-l] Desigualdade Triangular
Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1. Desde já obrigado!!