Re: [obm-l] Re: Probleminha um tanto estranho

[Artur Costa Steiner]

Esse fato é consequência do seguinte teorema:Seja P um polinômio de coeficientes inteiros tal que:- o coeficiente do termo líder e o termo independente são ímpares- o número total de coeficientes ímpares é ímparEntão, P não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais.Artur Costa Steiner Em 10 de abr de 2018 18:40, g...@impa.br escreveu:    Oi Claudio,

    Mais ou menos: se a=3, b=4 e c=5, sua afirmação diz que um  

polinômio em Z[x] que tenha (3+4i)/5 como raiz deve ser divisível em  

Z[x] por 25z^2-30z+25, mas poderia ser 5z^2-6z+5. Mas se mdc(a,b,c)=1  

e 2|c^2*z^2 - 2ac*z + (a^2+b^2), devemos ter c par e a e b ímpares,  

donde a^2+b^2=2 (mod 4), e só podemos tirar um fator 2, ficando o  

coeficiente ac de z ainda par - assim, a afirmação do Artur para  

polinômios quadráticos continua provada.

    Abraços,

  Gugu



Quoting Claudio Buffara :



> Se um polinômio com coeficientes inteiros tiver (a+bi)/c como raiz (a,b,c

> inteiros), então também terá (a-bi)/c.

> Assim, será divisível por f(z) = c^2*z^2 - 2ac*z + (a^2+b^2)

> (incidentalmente, isso prova a sua afirmação para polinômios quadráticos:

> 2ac é necessariamente par).

>

> f(z) | 37971 z^998  + ... + 67917  ==> a^2+b^2 divide 67917 = 3*22639. Mas

> 3 e 22639 são primos da forma 4k+3. Logo, 67917 não é divisível pela soma

> de dois quadrados.

>

> []s,

> Claudio.

>

>

>

> 2018-04-09 10:54 GMT-03:00 Artur Steiner :

>

>> Isto é uma generalização do seguinte fato: Se todos os coeficientes de  um

>> pol. do 2o grau forem ímpares, então o pol. não apresenta nenhuma raiz com

>> ambas as partes racionais.

>>

>> Artur Costa Steiner

>>

>> Em Dom, 8 de abr de 2018 19:56, Artur Steiner <

>> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:

>>

>>> Mostre que o polinômio

>>>

>>> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438

>>> x^129 + 67917

>>>

>>> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais

>>>

>>> Abraços.

>>>

>>> Artur Costa Steiner

>>>

>>

>> --

>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e

>> acredita-se estar livre de perigo.

>>

>

> --

> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e

>  acredita-se estar livre de perigo.









-- 

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e

 acredita-se estar livre de perigo.



=

Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

=


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: Probleminha um tanto estranho

[Claudio Buffara]

Entendido! Obrigado pelo "presta atenção".

[]s,
Claudio.

2018-04-10 18:40 GMT-03:00 :

>Oi Claudio,
>Mais ou menos: se a=3, b=4 e c=5, sua afirmação diz que um polinômio em
> Z[x] que tenha (3+4i)/5 como raiz deve ser divisível em Z[x] por
> 25z^2-30z+25, mas poderia ser 5z^2-6z+5. Mas se mdc(a,b,c)=1 e 2|c^2*z^2 -
> 2ac*z + (a^2+b^2), devemos ter c par e a e b ímpares, donde a^2+b^2=2 (mod
> 4), e só podemos tirar um fator 2, ficando o coeficiente ac de z ainda par
> - assim, a afirmação do Artur para polinômios quadráticos continua provada.
>Abraços,
>  Gugu
>
> Quoting Claudio Buffara :
>
> Se um polinômio com coeficientes inteiros tiver (a+bi)/c como raiz (a,b,c
>> inteiros), então também terá (a-bi)/c.
>> Assim, será divisível por f(z) = c^2*z^2 - 2ac*z + (a^2+b^2)
>> (incidentalmente, isso prova a sua afirmação para polinômios quadráticos:
>> 2ac é necessariamente par).
>>
>> f(z) | 37971 z^998  + ... + 67917  ==> a^2+b^2 divide 67917 = 3*22639. Mas
>> 3 e 22639 são primos da forma 4k+3. Logo, 67917 não é divisível pela soma
>> de dois quadrados.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>>
>> 2018-04-09 10:54 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>
>> Isto é uma generalização do seguinte fato: Se todos os coeficientes de  um
>>> pol. do 2o grau forem ímpares, então o pol. não apresenta nenhuma raiz
>>> com
>>> ambas as partes racionais.
>>>
>>> Artur Costa Steiner
>>>
>>> Em Dom, 8 de abr de 2018 19:56, Artur Steiner <
>>> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>> Mostre que o polinômio

 P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438
 x^129 + 67917

 não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais

 Abraços.

 Artur Costa Steiner


>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: Probleminha um tanto estranho

[gugu]

   Oi Claudio,
   Mais ou menos: se a=3, b=4 e c=5, sua afirmação diz que um  
polinômio em Z[x] que tenha (3+4i)/5 como raiz deve ser divisível em  
Z[x] por 25z^2-30z+25, mas poderia ser 5z^2-6z+5. Mas se mdc(a,b,c)=1  
e 2|c^2*z^2 - 2ac*z + (a^2+b^2), devemos ter c par e a e b ímpares,  
donde a^2+b^2=2 (mod 4), e só podemos tirar um fator 2, ficando o  
coeficiente ac de z ainda par - assim, a afirmação do Artur para  
polinômios quadráticos continua provada.

   Abraços,
 Gugu

Quoting Claudio Buffara :


Se um polinômio com coeficientes inteiros tiver (a+bi)/c como raiz (a,b,c
inteiros), então também terá (a-bi)/c.
Assim, será divisível por f(z) = c^2*z^2 - 2ac*z + (a^2+b^2)
(incidentalmente, isso prova a sua afirmação para polinômios quadráticos:
2ac é necessariamente par).

f(z) | 37971 z^998  + ... + 67917  ==> a^2+b^2 divide 67917 = 3*22639. Mas
3 e 22639 são primos da forma 4k+3. Logo, 67917 não é divisível pela soma
de dois quadrados.

[]s,
Claudio.



2018-04-09 10:54 GMT-03:00 Artur Steiner :


Isto é uma generalização do seguinte fato: Se todos os coeficientes de  um
pol. do 2o grau forem ímpares, então o pol. não apresenta nenhuma raiz com
ambas as partes racionais.

Artur Costa Steiner

Em Dom, 8 de abr de 2018 19:56, Artur Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:


Mostre que o polinômio

P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438
x^129 + 67917

não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais

Abraços.

Artur Costa Steiner



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.



--
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 acredita-se estar livre de perigo.





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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: Probleminha um tanto estranho

[Claudio Buffara]

Se um polinômio com coeficientes inteiros tiver (a+bi)/c como raiz (a,b,c
inteiros), então também terá (a-bi)/c.
Assim, será divisível por f(z) = c^2*z^2 - 2ac*z + (a^2+b^2)
(incidentalmente, isso prova a sua afirmação para polinômios quadráticos:
2ac é necessariamente par).

f(z) | 37971 z^998  + ... + 67917  ==> a^2+b^2 divide 67917 = 3*22639. Mas
3 e 22639 são primos da forma 4k+3. Logo, 67917 não é divisível pela soma
de dois quadrados.

[]s,
Claudio.



2018-04-09 10:54 GMT-03:00 Artur Steiner :

> Isto é uma generalização do seguinte fato: Se todos os coeficientes de  um
> pol. do 2o grau forem ímpares, então o pol. não apresenta nenhuma raiz com
> ambas as partes racionais.
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em Dom, 8 de abr de 2018 19:56, Artur Steiner <
> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
>
>> Mostre que o polinômio
>>
>> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438
>> x^129 + 67917
>>
>> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais
>>
>> Abraços.
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: Probleminha um tanto estranho

[Artur Steiner]

Isto é uma generalização do seguinte fato: Se todos os coeficientes de  um
pol. do 2o grau forem ímpares, então o pol. não apresenta nenhuma raiz com
ambas as partes racionais.

Artur Costa Steiner

Em Dom, 8 de abr de 2018 19:56, Artur Steiner 
escreveu:

> Mostre que o polinômio
>
> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438 x^129
> + 67917
>
> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais
>
> Abraços.
>
> Artur Costa Steiner
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: Probleminha um tanto estranho

[Artur Steiner]

A mesma conclusão vale para

Q(x) = x^(1 quinquilhão) - 2 x^(1 quatrilhão) + 3 x^(18 bilhões) + 6 x^(1
milhão e trezentos mil) + 8 x^(3971) - 7

Tem a ver com a paridade dos coeficientes.

Artur Costa Steiner

Em Dom, 8 de abr de 2018 19:56, Artur Steiner 
escreveu:

> Mostre que o polinômio
>
> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438 x^129
> + 67917
>
> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais
>
> Abraços.
>
> Artur Costa Steiner
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: Probleminha um tanto estranho

[Artur Steiner]

Sim. Se o complexo z for raiz de P, então pelo menos uma das partes de z é
irracional.

Se vc conhecer um fato muito pouco conhecido sobre polinômios com
coeficientes inteiros, a prova leva digamos 10 segundos. A prova deste fato
não me parece nada trivial, mas só exige conhecimentos básicos de álgebra
de polinômios e de números complexos.

Artur Costa Steiner

Em Dom, 8 de abr de 2018 19:56, Artur Steiner 
escreveu:

> Mostre que o polinômio
>
> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438 x^129
> + 67917
>
> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais
>
> Abraços.
>
> Artur Costa Steiner
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha um tanto estranho

[Artur Costa Steiner]

Sim, se o complexo z é raiz de P, então pelo menos uma das partes de z é
irracional.

Artur

Em Seg, 9 de abr de 2018 07:49, Claudio Buffara 
escreveu:

> O que você quer dizer com "ambas as partes racionais"?
> As partes real e imaginária das raízes?
>
> 2018-04-08 19:56 GMT-03:00 Artur Steiner :
>
>> Mostre que o polinômio
>>
>> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438
>> x^129 + 67917
>>
>> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais
>>
>> Abraços.
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha um tanto estranho

[Claudio Buffara]

O que você quer dizer com "ambas as partes racionais"?
As partes real e imaginária das raízes?

2018-04-08 19:56 GMT-03:00 Artur Steiner :

> Mostre que o polinômio
>
> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438 x^129
> + 67917
>
> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais
>
> Abraços.
>
> Artur Costa Steiner
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha um tanto estranho

[Luciano Leão]

Assumindo que x = p/q com p e q primos entre si.
---> p != 0 (mod 2) ou q != 0 (mod 2)
(!= significa é diferente de)

F(x)=0 <--> F(x) = 0 (mod 0)

Tirando o mmc de F(x) temos:

F(p,q) = 37971 p^998 - 74914 p^721 q^277 - 8677 p^432 q^566 + 12674 p^297 q^701 
- 21438 p^129 q^869 + 67917 q^998

p = 0 (mod 2) e q = 1 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

p = 1 (mod 2) e q = 0 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

p = 1 (mod 2) e q = 1 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

Absurdo, pois se p/q é raíz de F então F = 0 (mod 2 )
 

Em 8 de abril de 2018 19:56, Artur Steiner  
escreveu:
> Mostre que o polinômio 
> 
> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438 x^129 + 
> 67917 
> 
> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais
> 
> Abraços.
> 
> Artur Costa Steiner
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha um tanto estranho

[Luciano Leão]

Assumindo que x = p/q com p e q primos entre si.
---> p != 0 (mod 2) ou q != 0 (mod 2)
(!= significa é diferente de)

F(x)=0 <--> F(x) = 0 (mod 0)

Tirando o mmc de F(x) temos:

F(p,q) = 37971 p^998 - 74914 p^721 q^277 - 8677 p^432 q^566 + 12674 p^297 q^701 
- 21438 p^129 q^869 + 67917 q^998

p = 0 (mod 2) e q = 1 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

p = 1 (mod 2) e q = 0 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

p = 1 (mod 2) e q = 1 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

Absurdo, pois se p/q é raíz de F então F = 0 (mod 2 )
 

Em 8 de abril de 2018 19:56, Artur Steiner  
escreveu:
> Mostre que o polinômio 
> 
> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438 x^129 + 
> 67917 
> 
> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais
> 
> Abraços.
> 
> Artur Costa Steiner
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha um tanto estranho

[Luciano Leão]

Assumindo que x = p/q com p e q primos entre si.
---> p != 0 (mod 2) ou q != 0 (mod 2)
(!= significa é diferente de)

F(x)=0 <--> F(x) = 0 (mod 0)

Tirando o mmc de F(x) temos:

F(p,q) = 37971 p^998 - 74914 p^721 q^277 - 8677 p^432 q^566 + 12674 p^297
q^701 - 21438 p^129 q^869 + 67917 q^998

p = 0 (mod 2) e q = 1 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

p = 1 (mod 2) e q = 0 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

p = 1 (mod 2) e q = 1 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

Absurdo, pois se p/q é raíz de F então F = 0 (mod 2 )


Em 8 de abril de 2018 19:56, Artur Steiner 
escreveu:

> Mostre que o polinômio
>
> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438 x^129
> + 67917
>
> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais
>
> Abraços.
>
> Artur Costa Steiner
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Probleminha um tanto estranho

[Artur Steiner]

Mostre que o polinômio

P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438 x^129
+ 67917

não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais

Abraços.

Artur Costa Steiner

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha

[Pedro Luchiari]

De fato, acho que sua resolução está correta

Em quinta-feira, 2 de novembro de 2017, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em 17 de outubro de 2017 09:19, Pierry �ngelo Pereira
> > escreveu:
> > Senhores,
> >
> > Estou revisando matemática básica pelo material do site
> > http://matematica.obmep.org.br, que, por sinal, é muito bom.
> >
> > Neste problema, não entendi a solução da alternativa b),
> >
> > 16. Um escritor estranho numerou as páginas de seu último livro apenas
> com
> > os múltiplos de 6 ou  8. Determine:
> >
> > a) o número que aparece na vigésima página do livro.
> > b) qual o número de páginas do livro se a última página numerada é 876.
> >
> > Seguindo o raciocínio,
> >
> > Verifiquei que as páginas serão numeradas alternando os múltiplos de 6 e
> 8,
> > assim,
> > 6, 8, 12, 16, 18, (24), 30, 32, 36, 40, 42, (48) ...
> >
> > Pode-se concluir que a cada múltiplo comum desses dois números, há um
> > conjunto de 6 páginas, portanto, a 20a página numerada será 80.
>
> Como você demonstraria essas coisas?
>
> >
> > Ok, seguindo este mesmo raciocínio para resolver a alternativa b), o
> último
> > múltiplo de 24 menor ou igual a 876 é 864.
> >
> > Dividindo 864 por 24, temos 36, e 36 * 6 (quantidade de páginas por
> múltiplo
> > comum) é igual a 216. Porém, ainda temos os números 870, 872 e 876, que,
> no
> > total, resultaria em 219 páginas.
> >
> > Porém a solução do exercício é diferente:
> >
> > b) Na divisão de 876 por 24, obtemos quociente 36 e resto 12. Então se
> fosse
> > 876 -12 = 864 dividido por 24, teríamos exatamente 36, ou seja, seriam
> 26 *
> > 3 = 108 páginas; mas ainda temos as páginas 864 + 6 = 870, 864 + 8 = 872,
> > 864 + 12 = 876. Portanto, o livro tem 36 + 3 = 39 páginas.
> >
> > Obrigado.
> >
> > --
> > []'s
> > Pierry Ângelo Pereira
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha

[Anderson Torres]

Em 17 de outubro de 2017 09:19, Pierry �ngelo Pereira
 escreveu:
> Senhores,
>
> Estou revisando matemática básica pelo material do site
> http://matematica.obmep.org.br, que, por sinal, é muito bom.
>
> Neste problema, não entendi a solução da alternativa b),
>
> 16. Um escritor estranho numerou as páginas de seu último livro apenas com
> os múltiplos de 6 ou  8. Determine:
>
> a) o número que aparece na vigésima página do livro.
> b) qual o número de páginas do livro se a última página numerada é 876.
>
> Seguindo o raciocínio,
>
> Verifiquei que as páginas serão numeradas alternando os múltiplos de 6 e 8,
> assim,
> 6, 8, 12, 16, 18, (24), 30, 32, 36, 40, 42, (48) ...
>
> Pode-se concluir que a cada múltiplo comum desses dois números, há um
> conjunto de 6 páginas, portanto, a 20a página numerada será 80.

Como você demonstraria essas coisas?

>
> Ok, seguindo este mesmo raciocínio para resolver a alternativa b), o último
> múltiplo de 24 menor ou igual a 876 é 864.
>
> Dividindo 864 por 24, temos 36, e 36 * 6 (quantidade de páginas por múltiplo
> comum) é igual a 216. Porém, ainda temos os números 870, 872 e 876, que, no
> total, resultaria em 219 páginas.
>
> Porém a solução do exercício é diferente:
>
> b) Na divisão de 876 por 24, obtemos quociente 36 e resto 12. Então se fosse
> 876 -12 = 864 dividido por 24, teríamos exatamente 36, ou seja, seriam 26 *
> 3 = 108 páginas; mas ainda temos as páginas 864 + 6 = 870, 864 + 8 = 872,
> 864 + 12 = 876. Portanto, o livro tem 36 + 3 = 39 páginas.
>
> Obrigado.
>
> --
> []'s
> Pierry Ângelo Pereira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Probleminha

[Pierry �ngelo Pereira]

Senhores,

Estou revisando matemática básica pelo material do site
http://matematica.obmep.org.br, que, por sinal, é muito bom.

Neste problema, não entendi a solução da alternativa b),

16. Um escritor estranho numerou as páginas de seu último livro apenas com
os múltiplos de 6 ou  8. Determine:

a) o número que aparece na vigésima página do livro.
b) qual o número de páginas do livro se a última página numerada é 876.

Seguindo o raciocínio,

Verifiquei que as páginas serão numeradas alternando os múltiplos de 6 e 8,
assim,
6, 8, 12, 16, 18, (24), 30, 32, 36, 40, 42, (48) ...

Pode-se concluir que a cada múltiplo comum desses dois números, há um
conjunto de 6 páginas, portanto, a 20a página numerada será 80.

Ok, seguindo este mesmo raciocínio para resolver a alternativa b), o último
múltiplo de 24 menor ou igual a 876 é 864.

Dividindo 864 por 24, temos 36, e 36 * 6 (quantidade de páginas por
múltiplo comum) é igual a 216. Porém, ainda temos os números 870, 872 e
876, que, no total, resultaria em 219 páginas.

Porém a solução do exercício é diferente:

b) Na divisão de 876 por 24, obtemos quociente 36 e resto 12. Então se
fosse 876 -12 = 864 dividido por 24, teríamos exatamente 36, ou seja,
seriam 26 * 3 = 108 páginas; mas ainda temos as páginas 864 + 6 = 870, 864
+ 8 = 872, 864 + 12 = 876. Portanto, o livro tem 36 + 3 = 39 páginas.

Obrigado.

-- 
[]'s
Pierry Ângelo Pereira

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Amigos comuns (um probleminha)

[Anderson Torres]

Em 2 de agosto de 2017 06:07, morian santos
 escreveu:
> Pelo teorema de Ramsey é 6

Na verdade o teorema de Ramsey apenas garante que a festa será finita,
mas não fornece meios de calcular com exatidão esse número.

>
>
> Em terça-feira, 1 de agosto de 2017, Pedro Chaves 
> escreveu:
>>
>> Caros Colegas,
>>
>>  Solicito ajuda para a questão abaixo.
>> Abraços do Pedro Chaves.
>>
>> --- Amigos comuns ---
>> Helena é uma perfeita anfitriã. Quando organiza uma festa, se assegura de
>> que ao menos três pessoas se conheçam entre si.
>> Ou, se isso não for possível, que ao menos haja três pessoas que não se
>> conheçam (para assim poder apresentá-las).
>> Qual é o menor número de pessoas que Helena precisa convidar, para
>> assegurar-se de que se dê alguma dessas duas condições?
>>
>> --xxx
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Amigos comuns (um probleminha)

[morian santos]

Pelo teorema de Ramsey é 6

Em terça-feira, 1 de agosto de 2017, Pedro Chaves > escreveu:

> Caros Colegas,
>
>  Solicito ajuda para a questão abaixo.
> Abraços do Pedro Chaves.
>
> --- Amigos comuns ---
> Helena é uma perfeita anfitriã. Quando organiza uma festa, se assegura de
> que ao menos três pessoas se conheçam entre si.
> Ou, se isso não for possível, que ao menos haja três pessoas que não se
> conheçam (para assim poder apresentá-las).
> Qual é o menor número de pessoas que Helena precisa convidar, para
> assegurar-se de que se dê alguma dessas duas condições?
> --xxx---
> 
> -
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Re: [obm-l] Amigos comuns (um probleminha)

[Pedro Cardoso]

6 pessoas:
Imaginando grafos, vou chamar um trio de pessoas de um triangulo.
1. Note que em um determinado grupo que satisfaz uma das condições, se todas as 
relações entre as pessoas se “inverterem” (ou seja, pessoas que se conhecem 
passam a não se conhecer e vice versa), agora o grupo passa a satisfazer a 
outra condição, afinal um “triângulo” em que 3 pessoas se conhecem vira um em 
que 3 pessoas não se conhecem

2. Se as condições não são satisfeitas e a pessoa A conhece B, C, e D, no 
triangulo ABC, AB se conhecem, e AC se conhecem, então BC não podem se 
conhecer, analogamente, CD, e BD também não podem, mas então existiria o 
triangulo BCD, em que ninguém se conhece, satisfazendo uma condição, logo:
Se uma pessoa conhece 3 outras, a condição obrigatoriamente é satisfeita

3. Consideremos um grupo de 6 pessoas, A,B,C,D,E e F, Agora, vamos analisar a 
relação da pessoa A com todas as outras, uma relação só pode ser Conheçe, ou 
Não conhece, que representarei com C e N,  A relação de A com BCDE, 
respectivamente, pode ter 2 C e 2 N (se não for isso, a condição já estaria 
satisfeita apenas analisando essas 4 relações), mas a relação de A com a pessoa 
F precisa obrigatoriamente ser C ou N, fazendo com que A conheça 3 outras 
pessoas, ou não conheça 3 outras pessoas (no segundo caso, basta “inverter” 
todas as relações e o lema no segundo ponto se aplica), assim, em um grupo com 
6 pessoas, precisa existir alguém que conhece outras 3 pessoas simultaneamente, 
então, aplicando o lema no segundo ponto, precisa existir um triangulo de 
pessoas que não se conhece entre si (ou ao contrario, como foi discutido no 
primeiro ponto).

Finalmente
4. Existem grupos de 5 pessoas em que as condições não se satisfazem:
para isso, basta mostrar um exemplo, considere o grupo de pessoas A,B,C,D e E e 
suponha que todas as arestas no pentágono ABCDE sejam relações “Conhece” e que 
todas as arestas no pentágono ACEBD sejam relações “Não conhece”, aqui as 
condições não são satisfeitas (oara ver isso mais facilmente, basta imaginar 
ABCDE como um pentágono regular e ACEBD como a estrela que se forma dentro dele)

Um Abraço,
Pedro Cardoso 


De: Pedro Chaves
Enviado:terça-feira, 1 de agosto de 2017 17:43
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Amigos comuns (um probleminha)

Caros Colegas,
 
 Solicito ajuda para a questão abaixo. 
Abraços do Pedro Chaves. 

--- Amigos comuns ---
Helena é uma perfeita anfitriã. Quando organiza uma festa, se assegura de que 
ao menos três pessoas se conheçam entre si. 
Ou, se isso não for possível, que ao menos haja três pessoas que não se 
conheçam (para assim poder apresentá-las).
Qual é o menor número de pessoas que Helena precisa convidar, para assegurar-se 
de que se dê alguma dessas duas condições?
--xxx

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Amigos comuns (um probleminha)

[Pedro Chaves]

Caros Colegas,

 Solicito ajuda para a questão abaixo.
Abraços do Pedro Chaves.

--- Amigos comuns ---
Helena é uma perfeita anfitriã. Quando organiza uma festa, se assegura de que 
ao menos três pessoas se conheçam entre si.
Ou, se isso não for possível, que ao menos haja três pessoas que não se 
conheçam (para assim poder apresentá-las).
Qual é o menor número de pessoas que Helena precisa convidar, para assegurar-se 
de que se dê alguma dessas duas condições?
--xxx

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha bacana

[Pedro José]

Bom dia!

O que significa uma probabilidade ser uniforme?

Grato,
PJMS

Em 13 de março de 2017 10:17, Mauricio de Araujo <
mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:

> https://brilliant.org/practice/probability-rules-problem-solving/?p=2
>
>
> --
> Abraços,
> Mauricio de Araujo
> [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]
>
>
> 2017-03-04 11:49 GMT-03:00 Leonardo Maia :
>
>> É um processo de Poisson disfarçado. Realmente, o tempo é contínuo e
>> perguntas gerais requerem cálculo. Porém, como meias horas formam uma hora
>> por um múltiplo inteiro (dois), os dados do problema permitem a solução com
>> métodos discretos.
>>
>> A correta solução do Carlos Gomes coincide com a resposta usando o
>> processo de Poisson.
>>
>> Leo
>>
>> 2017-03-04 7:26 GMT-03:00 Carlos Gomes :
>>
>>> É verdade Pedro...eu também tive exatamente o mesmo sentimento que você.
>>> É tipicamente um daqueles enunciados, mal enunciados. É comum alguém pensar
>>> algo e escrever outra coisa! Nesses caso tento passar para o outro lado e
>>> tentar imaginar o que se passava na cabeça de que criou o problema. Dessa
>>> forma eu supus  que  que quando ele diz "uniforme" ele queira dizer  que
>>> tem intervalos de tempos iguais a probabilidade de se pescar um peixe seja
>>> a mesma. Mas você tem razão, rigorosamente o enunciado precisaria ser
>>> melhor, aliás, ser posto de uma forma correta. Mas acredito fortemente que
>>> era isso que se passava na cabeça de que elaborou.
>>>
>>> Em 3 de março de 2017 22:10, Pedro José  escreveu:
>>>
 Boa noite!

 Não compreendi o problema. Para mim há uma curva de distribuição de
 probabilidade.
 Portanto não há como aplicar conceito de modelo discreto. Mas sim
 integral.
 Também, não entendi o que significa probabilidade uniforme.


 Saudações,
 PJMS





 Em 3 de março de 2017 11:45, Carlos Gomes 
 escreveu:

> Ola Mauricio,
>
> Eu pensei assim:
>
> seja p a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em meia hora (que
> é o aue você quer  achar!). Assim a probabilidade de nao pegar nenhum 
> peixe
> em meia hora é 1-p.
>
> Como a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em uma hora é 0,64,
> segue que a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em uma hora
> é1-0,64=0,36.
>
> Ora, mas se nao pegou um peixe em uma hora, quer dizer que nao pegou
> nenhum peixe durante a primeira meia hora e tambem nao pegou nehum peixe
> durante a segunda meia hora, o que ocorre com probabilidade (1-p)(1-p)
>
> Assim, (1-p)^2=0,36  ==> 1-p=0,60  ==> p=0,40 (=40%).
>
> Cgomes.
>
> Em 3 de março de 2017 14:28, Mauricio de Araujo <
> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:
>
>>
>> Em um determinado lago, a probabilidade de se pegar um peixe é
>> uniforme e independente ao longo do tempo. Se a probabilidade de você 
>> pegar
>> pelo menos um peixe em uma hora é de 64%, qual é a probabilidade de você
>> pegar pelo menos um peixe em meia hora?
>>
>> 60%
>>
>> 40%
>>
>> 80%
>>
>> 32%
>>
>>
>>
>> --
>> Abraços,
>> Mauricio de Araujo
>> [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha bacana

[Mauricio de Araujo]

https://brilliant.org/practice/probability-rules-problem-solving/?p=2


--
Abraços,
Mauricio de Araujo
[oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]


2017-03-04 11:49 GMT-03:00 Leonardo Maia :

> É um processo de Poisson disfarçado. Realmente, o tempo é contínuo e
> perguntas gerais requerem cálculo. Porém, como meias horas formam uma hora
> por um múltiplo inteiro (dois), os dados do problema permitem a solução com
> métodos discretos.
>
> A correta solução do Carlos Gomes coincide com a resposta usando o
> processo de Poisson.
>
> Leo
>
> 2017-03-04 7:26 GMT-03:00 Carlos Gomes :
>
>> É verdade Pedro...eu também tive exatamente o mesmo sentimento que você.
>> É tipicamente um daqueles enunciados, mal enunciados. É comum alguém pensar
>> algo e escrever outra coisa! Nesses caso tento passar para o outro lado e
>> tentar imaginar o que se passava na cabeça de que criou o problema. Dessa
>> forma eu supus  que  que quando ele diz "uniforme" ele queira dizer  que
>> tem intervalos de tempos iguais a probabilidade de se pescar um peixe seja
>> a mesma. Mas você tem razão, rigorosamente o enunciado precisaria ser
>> melhor, aliás, ser posto de uma forma correta. Mas acredito fortemente que
>> era isso que se passava na cabeça de que elaborou.
>>
>> Em 3 de março de 2017 22:10, Pedro José  escreveu:
>>
>>> Boa noite!
>>>
>>> Não compreendi o problema. Para mim há uma curva de distribuição de
>>> probabilidade.
>>> Portanto não há como aplicar conceito de modelo discreto. Mas sim
>>> integral.
>>> Também, não entendi o que significa probabilidade uniforme.
>>>
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Em 3 de março de 2017 11:45, Carlos Gomes 
>>> escreveu:
>>>
 Ola Mauricio,

 Eu pensei assim:

 seja p a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em meia hora (que é
 o aue você quer  achar!). Assim a probabilidade de nao pegar nenhum peixe
 em meia hora é 1-p.

 Como a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em uma hora é 0,64,
 segue que a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em uma hora
 é1-0,64=0,36.

 Ora, mas se nao pegou um peixe em uma hora, quer dizer que nao pegou
 nenhum peixe durante a primeira meia hora e tambem nao pegou nehum peixe
 durante a segunda meia hora, o que ocorre com probabilidade (1-p)(1-p)

 Assim, (1-p)^2=0,36  ==> 1-p=0,60  ==> p=0,40 (=40%).

 Cgomes.

 Em 3 de março de 2017 14:28, Mauricio de Araujo <
 mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:

>
> Em um determinado lago, a probabilidade de se pegar um peixe é
> uniforme e independente ao longo do tempo. Se a probabilidade de você 
> pegar
> pelo menos um peixe em uma hora é de 64%, qual é a probabilidade de você
> pegar pelo menos um peixe em meia hora?
>
> 60%
>
> 40%
>
> 80%
>
> 32%
>
>
>
> --
> Abraços,
> Mauricio de Araujo
> [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha bacana

[Leonardo Maia]

É um processo de Poisson disfarçado. Realmente, o tempo é contínuo e
perguntas gerais requerem cálculo. Porém, como meias horas formam uma hora
por um múltiplo inteiro (dois), os dados do problema permitem a solução com
métodos discretos.

A correta solução do Carlos Gomes coincide com a resposta usando o processo
de Poisson.

Leo

2017-03-04 7:26 GMT-03:00 Carlos Gomes :

> É verdade Pedro...eu também tive exatamente o mesmo sentimento que você. É
> tipicamente um daqueles enunciados, mal enunciados. É comum alguém pensar
> algo e escrever outra coisa! Nesses caso tento passar para o outro lado e
> tentar imaginar o que se passava na cabeça de que criou o problema. Dessa
> forma eu supus  que  que quando ele diz "uniforme" ele queira dizer  que
> tem intervalos de tempos iguais a probabilidade de se pescar um peixe seja
> a mesma. Mas você tem razão, rigorosamente o enunciado precisaria ser
> melhor, aliás, ser posto de uma forma correta. Mas acredito fortemente que
> era isso que se passava na cabeça de que elaborou.
>
> Em 3 de março de 2017 22:10, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa noite!
>>
>> Não compreendi o problema. Para mim há uma curva de distribuição de
>> probabilidade.
>> Portanto não há como aplicar conceito de modelo discreto. Mas sim
>> integral.
>> Também, não entendi o que significa probabilidade uniforme.
>>
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>>
>>
>>
>> Em 3 de março de 2017 11:45, Carlos Gomes  escreveu:
>>
>>> Ola Mauricio,
>>>
>>> Eu pensei assim:
>>>
>>> seja p a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em meia hora (que é
>>> o aue você quer  achar!). Assim a probabilidade de nao pegar nenhum peixe
>>> em meia hora é 1-p.
>>>
>>> Como a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em uma hora é 0,64,
>>> segue que a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em uma hora
>>> é1-0,64=0,36.
>>>
>>> Ora, mas se nao pegou um peixe em uma hora, quer dizer que nao pegou
>>> nenhum peixe durante a primeira meia hora e tambem nao pegou nehum peixe
>>> durante a segunda meia hora, o que ocorre com probabilidade (1-p)(1-p)
>>>
>>> Assim, (1-p)^2=0,36  ==> 1-p=0,60  ==> p=0,40 (=40%).
>>>
>>> Cgomes.
>>>
>>> Em 3 de março de 2017 14:28, Mauricio de Araujo <
>>> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:
>>>

 Em um determinado lago, a probabilidade de se pegar um peixe é uniforme
 e independente ao longo do tempo. Se a probabilidade de você pegar pelo
 menos um peixe em uma hora é de 64%, qual é a probabilidade de você pegar
 pelo menos um peixe em meia hora?

 60%

 40%

 80%

 32%



 --
 Abraços,
 Mauricio de Araujo
 [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha bacana

[Carlos Gomes]

É verdade Pedro...eu também tive exatamente o mesmo sentimento que você. É
tipicamente um daqueles enunciados, mal enunciados. É comum alguém pensar
algo e escrever outra coisa! Nesses caso tento passar para o outro lado e
tentar imaginar o que se passava na cabeça de que criou o problema. Dessa
forma eu supus  que  que quando ele diz "uniforme" ele queira dizer  que
tem intervalos de tempos iguais a probabilidade de se pescar um peixe seja
a mesma. Mas você tem razão, rigorosamente o enunciado precisaria ser
melhor, aliás, ser posto de uma forma correta. Mas acredito fortemente que
era isso que se passava na cabeça de que elaborou.

Em 3 de março de 2017 22:10, Pedro José  escreveu:

> Boa noite!
>
> Não compreendi o problema. Para mim há uma curva de distribuição de
> probabilidade.
> Portanto não há como aplicar conceito de modelo discreto. Mas sim integral.
> Também, não entendi o que significa probabilidade uniforme.
>
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
>
> Em 3 de março de 2017 11:45, Carlos Gomes  escreveu:
>
>> Ola Mauricio,
>>
>> Eu pensei assim:
>>
>> seja p a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em meia hora (que é o
>> aue você quer  achar!). Assim a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em
>> meia hora é 1-p.
>>
>> Como a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em uma hora é 0,64,
>> segue que a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em uma hora
>> é1-0,64=0,36.
>>
>> Ora, mas se nao pegou um peixe em uma hora, quer dizer que nao pegou
>> nenhum peixe durante a primeira meia hora e tambem nao pegou nehum peixe
>> durante a segunda meia hora, o que ocorre com probabilidade (1-p)(1-p)
>>
>> Assim, (1-p)^2=0,36  ==> 1-p=0,60  ==> p=0,40 (=40%).
>>
>> Cgomes.
>>
>> Em 3 de março de 2017 14:28, Mauricio de Araujo <
>> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:
>>
>>>
>>> Em um determinado lago, a probabilidade de se pegar um peixe é uniforme
>>> e independente ao longo do tempo. Se a probabilidade de você pegar pelo
>>> menos um peixe em uma hora é de 64%, qual é a probabilidade de você pegar
>>> pelo menos um peixe em meia hora?
>>>
>>> 60%
>>>
>>> 40%
>>>
>>> 80%
>>>
>>> 32%
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Abraços,
>>> Mauricio de Araujo
>>> [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha bacana

[Pedro José]

Boa noite!

Não compreendi o problema. Para mim há uma curva de distribuição de
probabilidade.
Portanto não há como aplicar conceito de modelo discreto. Mas sim integral.
Também, não entendi o que significa probabilidade uniforme.


Saudações,
PJMS





Em 3 de março de 2017 11:45, Carlos Gomes  escreveu:

> Ola Mauricio,
>
> Eu pensei assim:
>
> seja p a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em meia hora (que é o
> aue você quer  achar!). Assim a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em
> meia hora é 1-p.
>
> Como a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em uma hora é 0,64,
> segue que a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em uma hora
> é1-0,64=0,36.
>
> Ora, mas se nao pegou um peixe em uma hora, quer dizer que nao pegou
> nenhum peixe durante a primeira meia hora e tambem nao pegou nehum peixe
> durante a segunda meia hora, o que ocorre com probabilidade (1-p)(1-p)
>
> Assim, (1-p)^2=0,36  ==> 1-p=0,60  ==> p=0,40 (=40%).
>
> Cgomes.
>
> Em 3 de março de 2017 14:28, Mauricio de Araujo <
> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:
>
>>
>> Em um determinado lago, a probabilidade de se pegar um peixe é uniforme e
>> independente ao longo do tempo. Se a probabilidade de você pegar pelo menos
>> um peixe em uma hora é de 64%, qual é a probabilidade de você pegar pelo
>> menos um peixe em meia hora?
>>
>> 60%
>>
>> 40%
>>
>> 80%
>>
>> 32%
>>
>>
>>
>> --
>> Abraços,
>> Mauricio de Araujo
>> [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha bacana

[Carlos Gomes]

Ola Mauricio,

Eu pensei assim:

seja p a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em meia hora (que é o
aue você quer  achar!). Assim a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em
meia hora é 1-p.

Como a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em uma hora é 0,64, segue
que a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em uma hora é1-0,64=0,36.

Ora, mas se nao pegou um peixe em uma hora, quer dizer que nao pegou nenhum
peixe durante a primeira meia hora e tambem nao pegou nehum peixe durante a
segunda meia hora, o que ocorre com probabilidade (1-p)(1-p)

Assim, (1-p)^2=0,36  ==> 1-p=0,60  ==> p=0,40 (=40%).

Cgomes.

Em 3 de março de 2017 14:28, Mauricio de Araujo <
mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:

>
> Em um determinado lago, a probabilidade de se pegar um peixe é uniforme e
> independente ao longo do tempo. Se a probabilidade de você pegar pelo menos
> um peixe em uma hora é de 64%, qual é a probabilidade de você pegar pelo
> menos um peixe em meia hora?
>
> 60%
>
> 40%
>
> 80%
>
> 32%
>
>
>
> --
> Abraços,
> Mauricio de Araujo
> [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Probleminha bacana

[Mauricio de Araujo]

Em um determinado lago, a probabilidade de se pegar um peixe é uniforme e
independente ao longo do tempo. Se a probabilidade de você pegar pelo menos
um peixe em uma hora é de 64%, qual é a probabilidade de você pegar pelo
menos um peixe em meia hora?

60%

40%

80%

32%



--
Abraços,
Mauricio de Araujo
[oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] probleminha

[Mauricio de Araujo]

Seja S(x) a soma dos algarismos do número natural x escrito na base 10.
Ache o menor número natural n na base 10 tal que vale a igualdade:
9.S(n) = 16.S(2n).

-- 
Abraços

oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] probleminha

[Alexandre Antunes]

Não dependeria da quantidade de algarismos de n?




Atenciosamente,

Prof. Msc. Alexandre Antunes
www alexandre antunes com br

Em 31 de julho de 2015 10:08, Mauricio de Araujo 
mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Seja S(x) a soma dos algarismos do número natural x escrito na base 10.
 Ache o menor número natural n na base 10 tal que vale a igualdade:
 9.S(n) = 16.S(2n).

 --
 Abraços

 oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] probleminha

[Ralph Teixeira]

Note:
S(2n) eh divisivel por 9, entao
2n eh divisivel por 9, entao
n eh divisivel por 9, entao
S(n) eh divisivel por 9, entao
S(2n) eh divisivel por 81, entao
S(n) eh divisivel por 144.

Agora eu vou tentar arrumar algum n que satisfaz esta condicao S(n)=144 e
S(2n)=81, para pelo menos ter uma ideia do que estah acontecendo... Mas,
como que S(2n) eh tao menor que S(n), considerando que 2n eh maior que n?
Ah, os digitos de 2n tem que ser bem menores que os de n...

Entao vou fazer uma tabela com uma correspondencia entre os digitos de n e
de 2n:
Em 1n: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Em 2n: 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8 (se nao tiver vai um)
Em 2n: 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9 (se tiver vai um da casa anterior)

Agora:
i) Se eu quero S(n)=144 com o menor n, eh essencial colocar poucos
algarismos -- entao preciso de muitos algarismos grandes. Vou encher n de
9s...
ii) Mas ao mesmo tempo eu preciso que S(n)-S(2n)=63, isto eh, eu preciso
que os digitos de n sejam maiores que os de 2n! Os digitos que melhor
contribuem para este deficit sao 5 e 6, entao tambem vou encher n de
5 e 6.
iii) Minha estrategia de encher n de 5, 6 e 9 significa um monte de
vai um na soma n+n... Entao vai ter que ser 5 mesmo, que dah o melhor
deficit quando tem vai um.

Isto me leva a tentar numeros do tipo n=A999, onde esse
A estah ali soh para eu ajeitar a soma em 144. Claro, eu pus os 5 antes
dos 9 para o numero ficar o menor possivel.

Mais explicitamente, supondo que sao p 5's e q 9's, eu teria:

1n=  A55...5599...99
2n=BC11...1199...98
onde tecnicamente BC eh um numero de dois digitos, alias, BC=2A+1. Pus o A
ali porque preciso de um pouco de liberdade para ajeitar n de forma que
S(n)=144.

Assim, S(n)=A+5p+9q e S(2n)=B+C+p+9q-1. Como eu quero S(n)-S(2n)=63,
preciso ter 4p=63+B+C-A. Como A eh um digito, e BC=2A+1, B+C-A tem apenas
10 hipoteses facilmente calculaveis, na ordem:

B+C-A={1,2,3,4,5,-3,-2,-1,0,1}

Preciso que 63+B+C-A seja multiplo de 4, e quero o menor p possivel. Entao
vou botar B+C-A=-3, isto eh, A=6, e entao p=15. Puxa, isto tudo para chegar
ao meu primeiro palpite para n:

1n=065 555 555 555 555 559 999 999
2n=131 111 111 111 111 119 999 998

Confira que S(n)=7x9+15x5+6=144 e S(2n)=81. Hmmm, dah para botar esse 6 num
lugar melhor. Troquemos para:

1n=055 555 555 555 555 569 999 999
2n=111 111 111 111 111 139 999 998

A boa noticia eh que eu jah garanto que a melhor solucao terah mesmo
S(n)=144 e S(2n)=81. Afinal, se nao fosse isso, seria S(n)=288, que jah
seriam 32 algarismos, e meu n ali tem bem menos do que isso.

Agora precisamos mostrar que esse numero de 23 digitos eh o menor n
possivel! Ou tem algum menor?

---///---

Abraco, Ralph.

2015-07-31 10:38 GMT-03:00 Alexandre Antunes 
prof.alexandreantu...@gmail.com:


 Não dependeria da quantidade de algarismos de n?




 Atenciosamente,

 Prof. Msc. Alexandre Antunes
 www alexandre antunes com br

 Em 31 de julho de 2015 10:08, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Seja S(x) a soma dos algarismos do número natural x escrito na base 10.
 Ache o menor número natural n na base 10 tal que vale a igualdade:
 9.S(n) = 16.S(2n).

 --
 Abraços

 oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



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 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] probleminha

[Pedro José]

Bom dia!

Não consegui compor o número. Só tinha visto para 16 e 17 algarismos e não
achei resultado.
Porém, o enunciado, embora claro na intenção da pergunta, não o é na
redação:  ... *do número estritamente natural x...* ao invés de: ... *do
número natural x*..  seria o certo.
Uma vez que zero atente a proposição.

x=0 == S(n)=S(2n)=0 == 9S(n) = 16S(2n)=0.

Saudações,
PJMS


Em 31 de julho de 2015 12:05, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 Note:
 S(2n) eh divisivel por 9, entao
 2n eh divisivel por 9, entao
 n eh divisivel por 9, entao
 S(n) eh divisivel por 9, entao
 S(2n) eh divisivel por 81, entao
 S(n) eh divisivel por 144.

 Agora eu vou tentar arrumar algum n que satisfaz esta condicao S(n)=144 e
 S(2n)=81, para pelo menos ter uma ideia do que estah acontecendo... Mas,
 como que S(2n) eh tao menor que S(n), considerando que 2n eh maior que n?
 Ah, os digitos de 2n tem que ser bem menores que os de n...

 Entao vou fazer uma tabela com uma correspondencia entre os digitos de n e
 de 2n:
 Em 1n: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
 Em 2n: 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8 (se nao tiver vai um)
 Em 2n: 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9 (se tiver vai um da casa anterior)

 Agora:
 i) Se eu quero S(n)=144 com o menor n, eh essencial colocar poucos
 algarismos -- entao preciso de muitos algarismos grandes. Vou encher n de
 9s...
 ii) Mas ao mesmo tempo eu preciso que S(n)-S(2n)=63, isto eh, eu preciso
 que os digitos de n sejam maiores que os de 2n! Os digitos que melhor
 contribuem para este deficit sao 5 e 6, entao tambem vou encher n de
 5 e 6.
 iii) Minha estrategia de encher n de 5, 6 e 9 significa um monte de
 vai um na soma n+n... Entao vai ter que ser 5 mesmo, que dah o melhor
 deficit quando tem vai um.

 Isto me leva a tentar numeros do tipo n=A999, onde
 esse A estah ali soh para eu ajeitar a soma em 144. Claro, eu pus os 5
 antes dos 9 para o numero ficar o menor possivel.

 Mais explicitamente, supondo que sao p 5's e q 9's, eu teria:

 1n=  A55...5599...99
 2n=BC11...1199...98
 onde tecnicamente BC eh um numero de dois digitos, alias, BC=2A+1. Pus o A
 ali porque preciso de um pouco de liberdade para ajeitar n de forma que
 S(n)=144.

 Assim, S(n)=A+5p+9q e S(2n)=B+C+p+9q-1. Como eu quero S(n)-S(2n)=63,
 preciso ter 4p=63+B+C-A. Como A eh um digito, e BC=2A+1, B+C-A tem apenas
 10 hipoteses facilmente calculaveis, na ordem:

 B+C-A={1,2,3,4,5,-3,-2,-1,0,1}

 Preciso que 63+B+C-A seja multiplo de 4, e quero o menor p possivel. Entao
 vou botar B+C-A=-3, isto eh, A=6, e entao p=15. Puxa, isto tudo para chegar
 ao meu primeiro palpite para n:

 1n=065 555 555 555 555 559 999 999
 2n=131 111 111 111 111 119 999 998

 Confira que S(n)=7x9+15x5+6=144 e S(2n)=81. Hmmm, dah para botar esse 6
 num lugar melhor. Troquemos para:

 1n=055 555 555 555 555 569 999 999
 2n=111 111 111 111 111 139 999 998

 A boa noticia eh que eu jah garanto que a melhor solucao terah mesmo
 S(n)=144 e S(2n)=81. Afinal, se nao fosse isso, seria S(n)=288, que jah
 seriam 32 algarismos, e meu n ali tem bem menos do que isso.

 Agora precisamos mostrar que esse numero de 23 digitos eh o menor n
 possivel! Ou tem algum menor?

 ---///---

 Abraco, Ralph.

 2015-07-31 10:38 GMT-03:00 Alexandre Antunes 
 prof.alexandreantu...@gmail.com:


 Não dependeria da quantidade de algarismos de n?




 Atenciosamente,

 Prof. Msc. Alexandre Antunes
 www alexandre antunes com br

 Em 31 de julho de 2015 10:08, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Seja S(x) a soma dos algarismos do número natural x escrito na base 10.
 Ache o menor número natural n na base 10 tal que vale a igualdade:
 9.S(n) = 16.S(2n).

 --
 Abraços

 oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha

[Ralph Teixeira]

*aquele primeiro n era S. :)

2015-07-31 16:39 GMT-03:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com:

 Note que x e y=1/x sao as raizes da quadratica t^2-nt+1=0, onde S=x+y eh
 inteiro.

 Agora escreva S_k=x^k+y^k. Note que:
 S_(k+1)=x^2.x^(k-1)+y^2.y^(k-1) = (Sx-1).x^(k-1)+(Sy-1).y^(k-1) = S.S_k -
 S_(k-1)

 Entao a sequencia {S0, S1, ...} satisfaz esta recorrencia de coeficientes
 inteiros! Como S_0=2 e S_1=S sao inteiros, todos os outros S_k tambem serao.

 Abraco, Ralph.

 2015-07-31 16:09 GMT-03:00 Diego diego spy.di...@hotmail.com:

 Galera, como procedo?

 Sabe-se que x+1/x é inteiro, prove que x^n+1/x^n é inteiro para
 qualquer n=1,2,3...

 Abraço



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =




-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Probleminha

[Diego diego]

Galera, como procedo?

Sabe-se que x+1/x é inteiro, prove que x^n+1/x^n é inteiro para qualquer 
n=1,2,3...

Abraço



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] probleminha

[Mauricio de Araujo]

​Pedro,

Pode ser... o peguei de uma olimpíada argentina...o enunciado original era:

​Para cada número natural x sea S(x)  la suma de sus dígitos. Hallar el
menor número natural n tal que 9S(n) = 16S(2n).

Penso que n = 0 é muito trivial mas, vai lá tudo bem, sendo rigoroso...
n0... ;)




Valeu Ralph.



Em 31 de julho de 2015 14:04, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia!

 Não consegui compor o número. Só tinha visto para 16 e 17 algarismos e não
 achei resultado.
 Porém, o enunciado, embora claro na intenção da pergunta, não o é na
 redação:  ... *do número estritamente natural x...* ao invés de: ... *do
 número natural x*..  seria o certo.
 Uma vez que zero atente a proposição.

 x=0 == S(n)=S(2n)=0 == 9S(n) = 16S(2n)=0.

 Saudações,
 PJMS


 Em 31 de julho de 2015 12:05, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 Note:
 S(2n) eh divisivel por 9, entao
 2n eh divisivel por 9, entao
 n eh divisivel por 9, entao
 S(n) eh divisivel por 9, entao
 S(2n) eh divisivel por 81, entao
 S(n) eh divisivel por 144.

 Agora eu vou tentar arrumar algum n que satisfaz esta condicao S(n)=144 e
 S(2n)=81, para pelo menos ter uma ideia do que estah acontecendo... Mas,
 como que S(2n) eh tao menor que S(n), considerando que 2n eh maior que n?
 Ah, os digitos de 2n tem que ser bem menores que os de n...

 Entao vou fazer uma tabela com uma correspondencia entre os digitos de n
 e de 2n:
 Em 1n: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
 Em 2n: 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8 (se nao tiver vai um)
 Em 2n: 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9 (se tiver vai um da casa anterior)

 Agora:
 i) Se eu quero S(n)=144 com o menor n, eh essencial colocar poucos
 algarismos -- entao preciso de muitos algarismos grandes. Vou encher n de
 9s...
 ii) Mas ao mesmo tempo eu preciso que S(n)-S(2n)=63, isto eh, eu preciso
 que os digitos de n sejam maiores que os de 2n! Os digitos que melhor
 contribuem para este deficit sao 5 e 6, entao tambem vou encher n de
 5 e 6.
 iii) Minha estrategia de encher n de 5, 6 e 9 significa um monte de
 vai um na soma n+n... Entao vai ter que ser 5 mesmo, que dah o melhor
 deficit quando tem vai um.

 Isto me leva a tentar numeros do tipo n=A999, onde
 esse A estah ali soh para eu ajeitar a soma em 144. Claro, eu pus os 5
 antes dos 9 para o numero ficar o menor possivel.

 Mais explicitamente, supondo que sao p 5's e q 9's, eu teria:

 1n=  A55...5599...99
 2n=BC11...1199...98
 onde tecnicamente BC eh um numero de dois digitos, alias, BC=2A+1. Pus o
 A ali porque preciso de um pouco de liberdade para ajeitar n de forma que
 S(n)=144.

 Assim, S(n)=A+5p+9q e S(2n)=B+C+p+9q-1. Como eu quero S(n)-S(2n)=63,
 preciso ter 4p=63+B+C-A. Como A eh um digito, e BC=2A+1, B+C-A tem apenas
 10 hipoteses facilmente calculaveis, na ordem:

 B+C-A={1,2,3,4,5,-3,-2,-1,0,1}

 Preciso que 63+B+C-A seja multiplo de 4, e quero o menor p possivel.
 Entao vou botar B+C-A=-3, isto eh, A=6, e entao p=15. Puxa, isto tudo para
 chegar ao meu primeiro palpite para n:

 1n=065 555 555 555 555 559 999 999
 2n=131 111 111 111 111 119 999 998

 Confira que S(n)=7x9+15x5+6=144 e S(2n)=81. Hmmm, dah para botar esse 6
 num lugar melhor. Troquemos para:

 1n=055 555 555 555 555 569 999 999
 2n=111 111 111 111 111 139 999 998

 A boa noticia eh que eu jah garanto que a melhor solucao terah mesmo
 S(n)=144 e S(2n)=81. Afinal, se nao fosse isso, seria S(n)=288, que jah
 seriam 32 algarismos, e meu n ali tem bem menos do que isso.

 Agora precisamos mostrar que esse numero de 23 digitos eh o menor n
 possivel! Ou tem algum menor?

 ---///---

 Abraco, Ralph.

 2015-07-31 10:38 GMT-03:00 Alexandre Antunes 
 prof.alexandreantu...@gmail.com:


 Não dependeria da quantidade de algarismos de n?




 Atenciosamente,

 Prof. Msc. Alexandre Antunes
 www alexandre antunes com br

 Em 31 de julho de 2015 10:08, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Seja S(x) a soma dos algarismos do número natural x escrito na base 10.
 Ache o menor número natural n na base 10 tal que vale a igualdade:
 9.S(n) = 16.S(2n).

 --
 Abraços

 oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Abraços

oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha

[Ralph Teixeira]

Note que x e y=1/x sao as raizes da quadratica t^2-nt+1=0, onde S=x+y eh
inteiro.

Agora escreva S_k=x^k+y^k. Note que:
S_(k+1)=x^2.x^(k-1)+y^2.y^(k-1) = (Sx-1).x^(k-1)+(Sy-1).y^(k-1) = S.S_k -
S_(k-1)

Entao a sequencia {S0, S1, ...} satisfaz esta recorrencia de coeficientes
inteiros! Como S_0=2 e S_1=S sao inteiros, todos os outros S_k tambem serao.

Abraco, Ralph.

2015-07-31 16:09 GMT-03:00 Diego diego spy.di...@hotmail.com:

 Galera, como procedo?

 Sabe-se que x+1/x é inteiro, prove que x^n+1/x^n é inteiro para qualquer
 n=1,2,3...

 Abraço



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] probleminha

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2015-07-31 12:05 GMT-03:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com:
 Note:
 S(2n) eh divisivel por 9, entao
 2n eh divisivel por 9, entao
 n eh divisivel por 9, entao
 S(n) eh divisivel por 9, entao
 S(2n) eh divisivel por 81, entao
 S(n) eh divisivel por 144.

 Agora eu vou tentar arrumar algum n que satisfaz esta condicao S(n)=144 e
 S(2n)=81, para pelo menos ter uma ideia do que estah acontecendo... Mas,
 como que S(2n) eh tao menor que S(n), considerando que 2n eh maior que n?
 Ah, os digitos de 2n tem que ser bem menores que os de n...

 Entao vou fazer uma tabela com uma correspondencia entre os digitos de n e
 de 2n:
 Em 1n: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
 Em 2n: 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8 (se nao tiver vai um)
 Em 2n: 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9 (se tiver vai um da casa anterior)

 Agora:
 i) Se eu quero S(n)=144 com o menor n, eh essencial colocar poucos
 algarismos -- entao preciso de muitos algarismos grandes. Vou encher n de
 9s...
 ii) Mas ao mesmo tempo eu preciso que S(n)-S(2n)=63, isto eh, eu preciso que
 os digitos de n sejam maiores que os de 2n! Os digitos que melhor
 contribuem para este deficit sao 5 e 6, entao tambem vou encher n de 5
 e 6.
 iii) Minha estrategia de encher n de 5, 6 e 9 significa um monte de
 vai um na soma n+n... Entao vai ter que ser 5 mesmo, que dah o melhor
 deficit quando tem vai um.

Talvez usando 6 em vez de 5 (mas com menos 9's) você chegasse em um
número menor, sei lá, com uma casa decimal a menos. Mas não dá.
Curiosamente, o número n = 699 também satisfaz
S(2n) = 81, mas ele também tem 23 dígitos. Se substituirmos 3 seis por
2 noves no final a soma de 2n vai aumentar (para 90).

 1n=055 555 555 555 555 569 999 999
 2n=111 111 111 111 111 139 999 998

 A boa noticia eh que eu jah garanto que a melhor solucao terah mesmo
 S(n)=144 e S(2n)=81. Afinal, se nao fosse isso, seria S(n)=288, que jah
 seriam 32 algarismos, e meu n ali tem bem menos do que isso.

 Agora precisamos mostrar que esse numero de 23 digitos eh o menor n
 possivel! Ou tem algum menor?

Motivado pelo meu fracasso, eu sei provar que há pelo menos 23 dígitos.
Escreva n = 5 * X + Y, onde X tem apenas zeros e uns, e Y apenas
números de 0 a 4. Assim, 2n = 10X + 2Y, onde não há vai uns na
multiplicação 2Y. Portanto:

S(n) = 5 * S(X) + S(Y)
S(2n) = S(X) + 2*S(Y)

Usando S(n) = 144 e S(2n) = 81 como você já mostrou que basta, temos
que a solução deste sistema é S(X) = 23, ou seja, há 23 vai-uns. O
que quer dizer que toda solução tem que ter pelo menos 23 dígitos.

Mais ainda, a soma dos dígitos em Y é 29 (terminando de resolver o
sistema e o problema!), que devem ser distribuídos o mais para trás
possível no número

55 555 555 555 555 555 555 555

Assim, botamos 7 vezes +4 no final do número, e um +1, que dá a sua solução.


Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Probleminha

[Diego diego]

Muito obrigado

 Em Jul 31, 2015, às 4:45 PM, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:
 
 Note que x e y=1/x sao as raizes da quadratica t^2-nt+1=0, onde S=x+y eh 
 inteiro.
 
 Agora escreva S_k=x^k+y^k. Note que:
 S_(k+1)=x^2.x^(k-1)+y^2.y^(k-1) = (Sx-1).x^(k-1)+(Sy-1).y^(k-1) = S.S_k - 
 S_(k-1)
 
 Entao a sequencia {S0, S1, ...} satisfaz esta recorrencia de coeficientes 
 inteiros! Como S_0=2 e S_1=S sao inteiros, todos os outros S_k tambem serao.
 
 Abraco, Ralph.
 
 2015-07-31 16:09 GMT-03:00 Diego diego spy.di...@hotmail.com:
 Galera, como procedo?
 
 Sabe-se que x+1/x é inteiro, prove que x^n+1/x^n é inteiro para 
 qualquer n=1,2,3...
 
 Abraço
 
 
 
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 Â acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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 acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[Cláudio Gustavo]

Eh verdade... Eh como se não exercesse a função de tapete!  
Agora entendi o que você quis dizer. Concordo!

Abçs

Enviado via iPhone

Em 07/05/2013, às 23:04, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu:

 Entendi. E foi por isso que achei mal formulado. Mas acho que ainda assim dá 
 problema.
 
 Pensa assim: qual a área útil de cada tapete?
 
 É aquela que toca o chão, correto?
 Então, se uma área do tapete tocar outra coisa que não o tapete, ela não é 
 útil. E se uma área do tapete cobrir outras duas, de novo ela é inútil.
 
 Pensa num caso extremo: três tapetes circulares concêntricos.
 
 
 
 Em 7 de maio de 2013 21:59, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br 
 escreveu:
   Olah!
 Bom talvez eu não tenha sido muito claro na minha explicação, mas não há 
 regiões contadas repetidamente, pois se A sobrepõem B e B a C, a parte de C 
 sob B não conta como área sobreposta de C por A. Somente se houvesse 
 contato entre os tapetes.   
 
 Enviado via iPhone
 
 Em 07/05/2013, às 19:52, terence thirteen peterdirich...@gmail.com 
 escreveu:
 
 
 
 
 Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br 
 escreveu:
 Boa noite.
 Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois 
 vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam amontoados 
 com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de 
 A. Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço 
 diferente de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C.
 
 Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto 
 seria coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no 
 quanto de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo 
 assim:
 
 * Contar os tapetes sem levar em conta intersecções
 * Descontar intersecções dois a dois
 * Contar intersecções três a três
 * Descontar intersecções quatro a quatro
 
 E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo 
 efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais.
 
 Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de verdade 
 e não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema formulado 
 fracamente...
  
 Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é que 
 é contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e 
 nem contado mais de uma vez.
 
 Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :)
  
 Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5 
 seria coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas.
 
 Abraços
 Claudio Gustavo
 
 Enviado via iPhone
 
 Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen peterdirich...@gmail.com 
 escreveu:
 
 
 
 
 Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br 
 escreveu:
 A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa 
 forma, seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas 
 sobrepostas 1/9 ou mais.
 Sendo assim:
 Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
 Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
 Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = 
 k(k-1)/2
 Logo: 
 4/(k(k-1)/2)  1/9
 k^2 -k -72  0
 k -8 ou k9 (absurdo)
 
 E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum? 
 Abraços
 Claudio Gustavo
 
 Enviado via iPhone
 
 Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com 
 escreveu:
 
 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?
 
 A soma da área coberta é no máximo 5. 
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.
 
 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as 
 sobreposições.
 
 São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.
 
 Ixi! Só deu pra provar a igualdade!
 
 
 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:
 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes 
 de área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois 
 tapetes cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.
 
 dica: redução ao absurdo. 
 
 -- 
 Abraços
 
 ​M.
 momentos excepcionais pedem ações excepcionais.
 Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios..
 
 
 
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 神が祝福
 
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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[Mauricio de Araujo]

Este problema foi extraído do livro Problem Solving Strategies do Arthur
Engel, página 63 (princípio das casas dos pombos).

A resposta dada no livro é a seguinte:
Suponha que a área de sobreposição de qualquer par de tapetes seja menor do
que 1/9. Coloque os tapetes um a um sobre o chão. Observemos quanto da área
ainda não coberta cada um dos tapetes irá cobrir. O primeiro tapete irá
cobrir uma área igual a 1 ou 9/9. O segundo, terceiro, ..., nono irão
cobrir uma área maior do que 8/9, ..., 1/9. Desde que 9/9 + 8/9 + 7/9 + ...
+ 1/9 = 5, todos os nove tapetes irão cobrir uma área maior do que 5.
Contradição.


2013/5/8 Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br

 Eh verdade... Eh como se não exercesse a função de tapete!
 Agora entendi o que você quis dizer. Concordo!

 Abçs

 Enviado via iPhone

 Em 07/05/2013, às 23:04, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:

 Entendi. E foi por isso que achei mal formulado. Mas acho que ainda assim
 dá problema.

 Pensa assim: qual a área útil de cada tapete?

 É aquela que toca o chão, correto?
 Então, se uma área do tapete tocar outra coisa que não o tapete, ela não é
 útil. E se uma área do tapete cobrir outras duas, de novo ela é inútil.

 Pensa num caso extremo: três tapetes circulares concêntricos.



 Em 7 de maio de 2013 21:59, Cláudio Gustavo 
 claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

   Olah!
 Bom talvez eu não tenha sido muito claro na minha explicação, mas não há
 regiões contadas repetidamente, pois se A sobrepõem B e B a C, a parte de C
 sob B não conta como área sobreposta de C por A. Somente se houvesse
 contato entre os tapetes.

 Enviado via iPhone

 Em 07/05/2013, às 19:52, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:




 Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo 
 claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

 Boa noite.
 Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois
 vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam amontoados
 com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A.
 Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço
 diferente de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C.


 Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto
 seria coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no
 quanto de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo
 assim:

 * Contar os tapetes sem levar em conta intersecções
 * Descontar intersecções dois a dois
 * Contar intersecções três a três
 * Descontar intersecções quatro a quatro

 E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo
 efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais.

 Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de
 verdade e não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema
 formulado fracamente...


 Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é
 que é contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e
 nem contado mais de uma vez.


 Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :)


 Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5
 seria coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas.

 Abraços
 Claudio Gustavo

 Enviado via iPhone

 Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:




 Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo 
 claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

 A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa
 forma, seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas
 sobrepostas 1/9 ou mais.
 Sendo assim:
 Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
 Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
 Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 =
 k(k-1)/2
 Logo:
 4/(k(k-1)/2)  1/9
 k^2 -k -72  0
 k -8 ou k9 (absurdo)


 E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum?

 Abraços
 Claudio Gustavo

 Enviado via iPhone

 Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:

 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?

 A soma da área coberta é no máximo 5.
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.

 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as
 sobreposições.

 São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.

 Ixi! Só deu pra provar a igualdade!


 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes
 de área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois
 tapetes cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.

 dica: redução ao absurdo.

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 Abraços

 ​M.
 *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
 *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus
 ofícios..*




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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[terence thirteen]

Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

 Boa noite.
 Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois
 vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam amontoados
 com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A.
 Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço
 diferente de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C.


Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto
seria coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no
quanto de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo
assim:

* Contar os tapetes sem levar em conta intersecções
* Descontar intersecções dois a dois
* Contar intersecções três a três
* Descontar intersecções quatro a quatro

E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo
efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais.

Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de verdade
e não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema formulado
fracamente...


 Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é que
 é contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e nem
 contado mais de uma vez.


Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :)


 Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5
 seria coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas.

 Abraços
 Claudio Gustavo

 Enviado via iPhone

 Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:




 Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo 
 claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

 A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa
 forma, seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas
 sobrepostas 1/9 ou mais.
 Sendo assim:
 Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
 Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
 Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 =
 k(k-1)/2
 Logo:
 4/(k(k-1)/2)  1/9
 k^2 -k -72  0
 k -8 ou k9 (absurdo)


 E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum?

 Abraços
 Claudio Gustavo

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 Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:

 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?

 A soma da área coberta é no máximo 5.
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.

 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as
 sobreposições.

 São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.

 Ixi! Só deu pra provar a igualdade!


 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de
 área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes
 cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.

 dica: redução ao absurdo.

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 Abraços

 ​M.
 *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
 *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios..
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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[Cláudio Gustavo]

  Olah!
Bom talvez eu não tenha sido muito claro na minha explicação, mas não há 
regiões contadas repetidamente, pois se A sobrepõem B e B a C, a parte de C sob 
B não conta como área sobreposta de C por A. Somente se houvesse contato 
entre os tapetes.   

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Em 07/05/2013, às 19:52, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu:

 
 
 
 Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br 
 escreveu:
 Boa noite.
 Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois 
 vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam amontoados 
 com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A. 
 Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço diferente 
 de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C.
 
 Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto seria 
 coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no quanto 
 de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo assim:
 
 * Contar os tapetes sem levar em conta intersecções
 * Descontar intersecções dois a dois
 * Contar intersecções três a três
 * Descontar intersecções quatro a quatro
 
 E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo 
 efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais.
 
 Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de verdade e 
 não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema formulado 
 fracamente...
  
 Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é que é 
 contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e nem 
 contado mais de uma vez.
 
 Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :)
  
 Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5 seria 
 coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas.
 
 Abraços
 Claudio Gustavo
 
 Enviado via iPhone
 
 Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen peterdirich...@gmail.com 
 escreveu:
 
 
 
 
 Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br 
 escreveu:
 A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa forma, 
 seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas sobrepostas 1/9 
 ou mais.
 Sendo assim:
 Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
 Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
 Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = 
 k(k-1)/2
 Logo: 
 4/(k(k-1)/2)  1/9
 k^2 -k -72  0
 k -8 ou k9 (absurdo)
 
 E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum? 
 Abraços
 Claudio Gustavo
 
 Enviado via iPhone
 
 Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com 
 escreveu:
 
 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?
 
 A soma da área coberta é no máximo 5. 
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.
 
 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as 
 sobreposições.
 
 São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.
 
 Ixi! Só deu pra provar a igualdade!
 
 
 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:
 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de 
 área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois 
 tapetes cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.
 
 dica: redução ao absurdo. 
 
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 ​M.
 momentos excepcionais pedem ações excepcionais.
 Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios..
 
 
 
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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[terence thirteen]

Entendi. E foi por isso que achei mal formulado. Mas acho que ainda assim
dá problema.

Pensa assim: qual a área útil de cada tapete?

É aquela que toca o chão, correto?
Então, se uma área do tapete tocar outra coisa que não o tapete, ela não é
útil. E se uma área do tapete cobrir outras duas, de novo ela é inútil.

Pensa num caso extremo: três tapetes circulares concêntricos.



Em 7 de maio de 2013 21:59, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

   Olah!
 Bom talvez eu não tenha sido muito claro na minha explicação, mas não há
 regiões contadas repetidamente, pois se A sobrepõem B e B a C, a parte de C
 sob B não conta como área sobreposta de C por A. Somente se houvesse
 contato entre os tapetes.

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 Em 07/05/2013, às 19:52, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:




 Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo 
 claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

 Boa noite.
 Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois
 vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam amontoados
 com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A.
 Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço
 diferente de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C.


 Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto
 seria coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no
 quanto de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo
 assim:

 * Contar os tapetes sem levar em conta intersecções
 * Descontar intersecções dois a dois
 * Contar intersecções três a três
 * Descontar intersecções quatro a quatro

 E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo
 efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais.

 Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de
 verdade e não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema
 formulado fracamente...


 Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é que
 é contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e nem
 contado mais de uma vez.


 Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :)


 Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5
 seria coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas.

 Abraços
 Claudio Gustavo

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 Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:




 Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo 
 claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

 A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa
 forma, seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas
 sobrepostas 1/9 ou mais.
 Sendo assim:
 Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
 Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
 Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 =
 k(k-1)/2
 Logo:
 4/(k(k-1)/2)  1/9
 k^2 -k -72  0
 k -8 ou k9 (absurdo)


 E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum?

 Abraços
 Claudio Gustavo

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 Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:

 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?

 A soma da área coberta é no máximo 5.
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.

 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as
 sobreposições.

 São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.

 Ixi! Só deu pra provar a igualdade!


 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes
 de área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois
 tapetes cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.

 dica: redução ao absurdo.

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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[Cláudio Gustavo]

Boa noite.
Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois vamos 
imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam amontoados com uma 
parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A. Teríamos A 
sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço diferente de C (sem B 
no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C. Dessa forma só a área em que X 
compartilha imediatamente acima de Y é que é contada na sobreposição de X com 
Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e nem contado mais de uma vez.
Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5 seria 
coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas.

Abraços
Claudio Gustavo

Enviado via iPhone

Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu:

 
 
 
 Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br 
 escreveu:
 A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa forma, 
 seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas sobrepostas 1/9 ou 
 mais.
 Sendo assim:
 Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
 Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
 Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = k(k-1)/2
 Logo: 
 4/(k(k-1)/2)  1/9
 k^2 -k -72  0
 k -8 ou k9 (absurdo)
 
 E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum? 
 Abraços
 Claudio Gustavo
 
 Enviado via iPhone
 
 Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com 
 escreveu:
 
 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?
 
 A soma da área coberta é no máximo 5. 
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.
 
 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as 
 sobreposições.
 
 São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.
 
 Ixi! Só deu pra provar a igualdade!
 
 
 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:
 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de 
 área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes 
 cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.
 
 dica: redução ao absurdo. 
 
 -- 
 Abraços
 
 ​M.
 momentos excepcionais pedem ações excepcionais.
 Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios..
 
 
 
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 神が祝福
 
 Torres
 
 
 
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 Torres

Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[terence thirteen]

Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?

A soma da área coberta é no máximo 5.
Cada um tem tamanho 1
Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.

A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as
sobreposições.

São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.

Ixi! Só deu pra provar a igualdade!


Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com
 escreveu:

 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de
 área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes
 cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.

 dica: redução ao absurdo.

 --
 Abraços

 ​M.
 *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
 *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios..*




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Torres

Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[Cláudio Gustavo]

A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa forma, 
seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas sobrepostas 1/9 ou 
mais.
Sendo assim:
Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = k(k-1)/2
Logo: 
4/(k(k-1)/2)  1/9
k^2 -k -72  0
k -8 ou k9 (absurdo)

Abraços
Claudio Gustavo

Enviado via iPhone

Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu:

 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?
 
 A soma da área coberta é no máximo 5. 
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.
 
 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as sobreposições.
 
 São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.
 
 Ixi! Só deu pra provar a igualdade!
 
 
 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com 
 escreveu:
 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de 
 área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes 
 cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.
 
 dica: redução ao absurdo. 
 
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 Abraços
 
 ​M.
 momentos excepcionais pedem ações excepcionais.
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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[terence thirteen]

Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

 A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa forma,
 seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas sobrepostas 1/9
 ou mais.
 Sendo assim:
 Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
 Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
 Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 =
 k(k-1)/2
 Logo:
 4/(k(k-1)/2)  1/9
 k^2 -k -72  0
 k -8 ou k9 (absurdo)


E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum?

 Abraços
 Claudio Gustavo

 Enviado via iPhone

 Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:

 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?

 A soma da área coberta é no máximo 5.
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.

 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as
 sobreposições.

 São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.

 Ixi! Só deu pra provar a igualdade!


 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de
 área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes
 cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.

 dica: redução ao absurdo.

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 Abraços

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[obm-l] Probleminha interessante.

[Mauricio de Araujo]

Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de
área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes
cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.

dica: redução ao absurdo.

-- 
Abraços

​M.
*momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
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Re:[obm-l] Probleminha

[Eduardo Wilner]

Seja X o volume do tonel e x o volume da caneca.
Na primeira operação restou X-x de vinho e x de água.

Admitindo que o cliente agitou bem antes de usar a segunda dose, foi retirado 
(x/X)x de água e reposto x, logo  a quantidade final de água será 2x-(x^2)/X = 
X/2.

Resolvendo, a solução (menor que X) é x = X (2-sqrt2)/2.

Se for dirigir, não beba!

[ ]'s 

RE: [obm-l] Probleminha

[marcone augusto araújo borges]

Obrigado por responder.
No geral eu estou sentindo a falta de maior quantidade de mensagens nessa lista.
 



Date: Wed, 18 Jul 2012 15:27:22 -0700
From: eduardowil...@yahoo.com.br
Subject: Re:[obm-l] Probleminha
To: obm-l@mat.puc-rio.br














Seja X o volume do tonel e x o volume da caneca.
Na primeira operação restou X-x de vinho e x de água.

Admitindo que o cliente agitou bem antes de usar a segunda dose, foi retirado 
(x/X)x de água e reposto x, logo  a quantidade final de água será 2x-(x^2)/X = 
X/2.

Resolvendo, a solução (menor que X) é x = X (2-sqrt2)/2.

Se for dirigir, não beba!

[ ]'s 
  

[obm-l] Probleminha

[marcone augusto araújo borges]

De um tonel de vinho,alguem retira uma certa quantidade e substitui por um 
volume igual de agua.Apos repetida a mesma operação,o liquido que restou no 
tonel é metade vinho,metade agua.Quanta agua foi colocada no tonel cada uma das 
duas vezes?
  

RE: [obm-l] Enc: Outro Probleminha

[João Maldonado]

 Mas aí é  diferente
No  primeiro enunciado você diz que x,y e z são ângulos  Agora você disse 
que são ladosDaonde é esse problema?
[]'sJoão
Date: Thu, 1 Sep 2011 19:52:48 -0700
From: luizfelipec...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Enc: Outro Probleminha
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Ola João,
 
Só consegui visualizar sua resposta no site da obm (nao sei pq, nao chegou para 
mim).
 
A questão vem da constatação de que se x,y e z são os lados de um triangulo, 
então senx, seny e senz são os lados de um triangulo semelhante (lei dos 
senos). Assim, temos que :
 
senz^2 = senx^2 + seny^2 - 2 senxsenycosz
 
Além disso, se resolvermos o sistema foemdo por z = xcosy+ycosx; x = zcosy + 
ycosz e y = xcosz + zcosx chegaremos a conclusão que senz^2 = cosx^2 + cosy^2 + 
2cosxcosycosz (ou seja, um triangulo com lados senz, cosx e cosy e ângulo 
180-z).
 
O interessante é que podemos construir o quadrilátero de duas formas : uma onde 
a outra diagonal será 1 e outra onde ela sera sen(x-y).
 
Abs
Felipe
Abs
Felipe

--- Em qui, 1/9/11, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:


De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br
Assunto: Outro Probleminha
Para: Matematica Lista obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 1 de Setembro de 2011, 13:00







Pessoal,
 
Consitnuando com minhas investigações em geometria, achei mais um probleminha 
legal :
 
Demonstre que dado um triângulo (vamos assumir acutângulo, mas acho que serve 
para qqer um) com angulos X, Y e Z, que o quadrilátero ABCD, onde AB=SenY; BC = 
CosY; CD = CosX e DA = Sen X é inscritível.
 
Abs
Felipe

Re: [obm-l] Enc: Outro Probleminha

[luiz silva]

Ola Ralph,

O que temos é o seguinte :

o triangulo x,y e z é semelhante ao triangulo senx, seny e senz. Os triangulos 
senx, seny e senz e sen z, cosx e cosy tem ângulos opostos ao lado senz 
suplementares.

É possível termos um quadrilátero com os lados senx, seny, cosx e cosy sem que 
a diagonal seja o lado comum, sen z ?

Abs
Felipe

--- Em sex, 2/9/11, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Assunto: Re: [obm-l] Enc: Outro Probleminha
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 2 de Setembro de 2011, 1:40

Eh, mas falta algo -- nao ha garantia nenhuma que o triangulo formado por dois 
lados do quadrilatero e pela diagonal seja este que eh semelhante ao triangulo 
original. Alias, note que o enunciado original soh menciona os lados do 
quadrilatero, e, em geral, os lados NAO determinam o quadrilatero. Entao, com o 
que foi dado, o problema eh indeterminado.
 Para dar um exemplo mais concreto: tome X=Y=45 graus. Entao os lados sao todos 
iguais, ou seja, ABCD eh um losango. Mas nem todo losango eh inscritivel! Para 
determinar o problema, voce vai ter que dar mais alguma informacao, como uma 
diagonal, ou um angulo do quadrilatero.
 Abraco,    Ralph

2011/9/1 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br

Ola João,
 
Só consegui visualizar sua resposta no site da obm (nao sei pq, nao chegou para 
mim).
 
A questão vem da constatação de que se x,y e z são os lados de um triangulo, 
então senx, seny e senz são os lados de um triangulo semelhante (lei dos 
senos). Assim, temos que :
 
senz^2 = senx^2 + seny^2 - 2 senxsenycosz
 
Além disso, se resolvermos o sistema foemdo por z = xcosy+ycosx; x = zcosy + 
ycosz e y = xcosz + zcosx chegaremos a conclusão que senz^2 = cosx^2 + cosy^2 + 
2cosxcosycosz (ou seja, um triangulo com lados senz, cosx e cosy e ângulo 
180-z).

 
O interessante é que podemos construir o quadrilátero de duas formas : uma onde 
a outra diagonal será 1 e outra onde ela sera sen(x-y).
 
Abs
Felipe
Abs
Felipe

--- Em qui, 1/9/11, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:


De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br

Assunto: Outro Probleminha
Para: Matematica Lista obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 1 de Setembro de 2011, 13:00







Pessoal,
 
Consitnuando com minhas investigações em geometria, achei mais um probleminha 
legal :
 
Demonstre que dado um triângulo (vamos assumir acutângulo, mas acho que serve 
para qqer um) com angulos X, Y e Z, que o quadrilátero ABCD, onde AB=SenY; BC = 
CosY; CD = CosX e DA = Sen X é inscritível.
 
Abs
Felipe

RE: [obm-l] Enc: Outro Probleminha

[luiz silva]

Ola João,
 
x,ye z lados X, Y e Z ãngulos (opostos aos lados).
 
Esse problema eu percebi, qdo estudava um pocuo sobre triangulos.
 
Abs
Felipe

--- Em sex, 2/9/11, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:


De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Assunto: RE: [obm-l] Enc: Outro Probleminha
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 2 de Setembro de 2011, 7:00





 Mas aí é  diferente


No  primeiro enunciado você diz que x,y e z são ângulos      
Agora você disse que são lados
Daonde é esse problema?


[]'s
João




Date: Thu, 1 Sep 2011 19:52:48 -0700
From: luizfelipec...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Enc: Outro Probleminha
To: obm-l@mat.puc-rio.br






Ola João,
 
Só consegui visualizar sua resposta no site da obm (nao sei pq, nao chegou para 
mim).
 
A questão vem da constatação de que se x,y e z são os lados de um triangulo, 
então senx, seny e senz são os lados de um triangulo semelhante (lei dos 
senos). Assim, temos que :
 
senz^2 = senx^2 + seny^2 - 2 senxsenycosz
 
Além disso, se resolvermos o sistema foemdo por z = xcosy+ycosx; x = zcosy + 
ycosz e y = xcosz + zcosx chegaremos a conclusão que senz^2 = cosx^2 + cosy^2 + 
2cosxcosycosz (ou seja, um triangulo com lados senz, cosx e cosy e ângulo 
180-z).
 
O interessante é que podemos construir o quadrilátero de duas formas : uma onde 
a outra diagonal será 1 e outra onde ela sera sen(x-y).
 
Abs
Felipe
Abs
Felipe

--- Em qui, 1/9/11, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:


De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br
Assunto: Outro Probleminha
Para: Matematica Lista obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 1 de Setembro de 2011, 13:00







Pessoal,
 
Consitnuando com minhas investigações em geometria, achei mais um probleminha 
legal :
 
Demonstre que dado um triângulo (vamos assumir acutângulo, mas acho que serve 
para qqer um) com angulos X, Y e Z, que o quadrilátero ABCD, onde AB=SenY; BC = 
CosY; CD = CosX e DA = Sen X é inscritível.
 
Abs
Felipe

Re: [obm-l] Enc: Outro Probleminha

[luiz silva]

Ola Ralph,
 
O que tava faltando era eu manter o lado Senz (que será uma das diagonais do 
quadrilátero).
 
Abs
Felipe

--- Em sex, 2/9/11, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:


De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Assunto: Re: [obm-l] Enc: Outro Probleminha
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 2 de Setembro de 2011, 1:40



Eh, mas falta algo -- nao ha garantia nenhuma que o triangulo formado por dois 
lados do quadrilatero e pela diagonal seja este que eh semelhante ao triangulo 
original.
 
Alias, note que o enunciado original soh menciona os lados do quadrilatero, e, 
em geral, os lados NAO determinam o quadrilatero. Entao, com o que foi dado, o 
problema eh indeterminado.
 
Para dar um exemplo mais concreto: tome X=Y=45 graus. Entao os lados sao todos 
iguais, ou seja, ABCD eh um losango. Mas nem todo losango eh inscritivel!
 
Para determinar o problema, voce vai ter que dar mais alguma informacao, como 
uma diagonal, ou um angulo do quadrilatero.
 
Abraco,
    Ralph


2011/9/1 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br






Ola João,
 
Só consegui visualizar sua resposta no site da obm (nao sei pq, nao chegou para 
mim).
 
A questão vem da constatação de que se x,y e z são os lados de um triangulo, 
então senx, seny e senz são os lados de um triangulo semelhante (lei dos 
senos). Assim, temos que :
 
senz^2 = senx^2 + seny^2 - 2 senxsenycosz
 
Além disso, se resolvermos o sistema foemdo por z = xcosy+ycosx; x = zcosy + 
ycosz e y = xcosz + zcosx chegaremos a conclusão que senz^2 = cosx^2 + cosy^2 + 
2cosxcosycosz (ou seja, um triangulo com lados senz, cosx e cosy e ângulo 
180-z).
 
O interessante é que podemos construir o quadrilátero de duas formas : uma onde 
a outra diagonal será 1 e outra onde ela sera sen(x-y).
 
Abs
Felipe
Abs
Felipe

--- Em qui, 1/9/11, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:


De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br
Assunto: Outro Probleminha
Para: Matematica Lista obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 1 de Setembro de 2011, 13:00







Pessoal,
 
Consitnuando com minhas investigações em geometria, achei mais um probleminha 
legal :
 
Demonstre que dado um triângulo (vamos assumir acutângulo, mas acho que serve 
para qqer um) com angulos X, Y e Z, que o quadrilátero ABCD, onde AB=SenY; BC = 
CosY; CD = CosX e DA = Sen X é inscritível.
 
Abs
Felipe

Re: [obm-l] Enc: Outro Probleminha

[Ralph Teixeira]

Sim, os 4 lados não determinam a diagonal. Mas vejo na sua outra mensagem
que você já matou o que faltava -- explicitar a diagonal certa como sinz
para determinar o quadrilátero.

Abraço,
 Ralph

2011/9/2 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br

 Ola Ralph,

 O que temos é o seguinte :

 o triangulo x,y e z é semelhante ao triangulo senx, seny e senz. Os
 triangulos senx, seny e senz e sen z, cosx e cosy tem ângulos opostos ao
 lado senz suplementares.

 É possível termos um quadrilátero com os lados senx, seny, cosx e cosy sem
 que a diagonal seja o lado comum, sen z ?

 Abs
 Felipe

 --- Em *sex, 2/9/11, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com* escreveu:


 De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
 Assunto: Re: [obm-l] Enc: Outro Probleminha
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Sexta-feira, 2 de Setembro de 2011, 1:40

 Eh, mas falta algo -- nao ha garantia nenhuma que o triangulo formado por
 dois lados do quadrilatero e pela diagonal seja este que eh semelhante ao
 triangulo original.

 Alias, note que o enunciado original soh menciona os lados do quadrilatero,
 e, em geral, os lados NAO determinam o quadrilatero. Entao, com o que foi
 dado, o problema eh indeterminado.

 Para dar um exemplo mais concreto: tome X=Y=45 graus. Entao os lados sao
 todos iguais, ou seja, ABCD eh um losango. Mas nem todo losango eh
 inscritivel!

 Para determinar o problema, voce vai ter que dar mais alguma informacao,
 como uma diagonal, ou um angulo do quadrilatero.

 Abraco,
 Ralph

 2011/9/1 luiz silva 
 luizfelipec...@yahoo.com.brhttp://mc/compose?to=luizfelipec...@yahoo.com.br
 

 Ola João,

 Só consegui visualizar sua resposta no site da obm (nao sei pq, nao chegou
 para mim).

 A questão vem da constatação de que se x,y e z são os lados de um
 triangulo, então senx, seny e senz são os lados de um triangulo semelhante
 (lei dos senos). Assim, temos que :

 senz^2 = senx^2 + seny^2 - 2 senxsenycosz

 Além disso, se resolvermos o sistema foemdo por z = xcosy+ycosx; x = zcosy
 + ycosz e y = xcosz + zcosx chegaremos a conclusão que senz^2 = cosx^2 +
 cosy^2 + 2cosxcosycosz (ou seja, um triangulo com lados senz, cosx e cosy e
 ângulo 180-z).

 O interessante é que podemos construir o quadrilátero de duas formas : uma
 onde a outra diagonal será 1 e outra onde ela sera sen(x-y).

 Abs
 Felipe
 Abs
 Felipe

 --- Em *qui, 1/9/11, luiz silva 
 luizfelipec...@yahoo.com.brhttp://mc/compose?to=luizfelipec...@yahoo.com.br
 * escreveu:


 De: luiz silva 
 luizfelipec...@yahoo.com.brhttp://mc/compose?to=luizfelipec...@yahoo.com.br
 
 Assunto: Outro Probleminha
 Para: Matematica Lista 
 obm-l@mat.puc-rio.brhttp://mc/compose?to=obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Data: Quinta-feira, 1 de Setembro de 2011, 13:00

Pessoal,

 Consitnuando com minhas investigações em geometria, achei mais um
 probleminha legal :

 Demonstre que dado um triângulo (vamos assumir acutângulo, mas acho que
 serve para qqer um) com angulos X, Y e Z, que o quadrilátero ABCD, onde
 AB=SenY; BC = CosY; CD = CosX e DA = Sen X é inscritível.

 Abs
 Felipe

[obm-l] Outro Probleminha

[luiz silva]

Pessoal,
 
Consitnuando com minhas investigações em geometria, achei mais um probleminha 
legal :
 
Demonstre que dado um triângulo (vamos assumir acutângulo, mas acho que serve 
para qqer um) com angulos X, Y e Z, que o quadrilátero ABCD, onde AB=SenY; BC = 
CosY; CD = CosX e DA = Sen X é inscritível.
 
Abs
Felipe

RE: [obm-l] Outro Probleminha

[João Maldonado]

Na diagonal  AC -  sen²y + cos²y - 2senycosycosz = sen²x +  cos²x - 2 
senxcosxcosw

sen(2y)cosz =  sen(2x)cosw
mas  como cosz = -cosw (para ABCD inscritível),  teríamos
sen(2y) =  -sen(2x) - 2y = 180+2x  ou 2y =360-2x   
y =  90+x ou y = 180 - x  (ímpossível)
Logo a igualdade é falsa e  só vale para o  triângulo  x, 90-2x,  90+x  (que  
aliás nem é acutângulo)
Ex: para o triângulo  equilátero teríamos  a igualdade de cossenos  (logo a 
soma não pode dar 180º)

Posso ter errado em alguma coisa mas acho que o problema está errado
[]'sJoão

Date: Thu, 1 Sep 2011 09:00:59 -0700
From: luizfelipec...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Outro Probleminha
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Pessoal,
 
Consitnuando com minhas investigações em geometria, achei mais um probleminha 
legal :
 
Demonstre que dado um triângulo (vamos assumir acutângulo, mas acho que serve 
para qqer um) com angulos X, Y e Z, que o quadrilátero ABCD, onde AB=SenY; BC = 
CosY; CD = CosX e DA = Sen X é inscritível.
 
Abs
Felipe

[obm-l] Enc: Outro Probleminha

[luiz silva]

Ola João,
 
Só consegui visualizar sua resposta no site da obm (nao sei pq, nao chegou para 
mim).
 
A questão vem da constatação de que se x,y e z são os lados de um triangulo, 
então senx, seny e senz são os lados de um triangulo semelhante (lei dos 
senos). Assim, temos que :
 
senz^2 = senx^2 + seny^2 - 2 senxsenycosz
 
Além disso, se resolvermos o sistema foemdo por z = xcosy+ycosx; x = zcosy + 
ycosz e y = xcosz + zcosx chegaremos a conclusão que senz^2 = cosx^2 + cosy^2 + 
2cosxcosycosz (ou seja, um triangulo com lados senz, cosx e cosy e ângulo 
180-z).
 
O interessante é que podemos construir o quadrilátero de duas formas : uma onde 
a outra diagonal será 1 e outra onde ela sera sen(x-y).
 
Abs
Felipe
Abs
Felipe

--- Em qui, 1/9/11, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:


De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br
Assunto: Outro Probleminha
Para: Matematica Lista obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 1 de Setembro de 2011, 13:00







Pessoal,
 
Consitnuando com minhas investigações em geometria, achei mais um probleminha 
legal :
 
Demonstre que dado um triângulo (vamos assumir acutângulo, mas acho que serve 
para qqer um) com angulos X, Y e Z, que o quadrilátero ABCD, onde AB=SenY; BC = 
CosY; CD = CosX e DA = Sen X é inscritível.
 
Abs
Felipe

Re: [obm-l] Enc: Outro Probleminha

[Ralph Teixeira]

Eh, mas falta algo -- nao ha garantia nenhuma que o triangulo formado por
dois lados do quadrilatero e pela diagonal seja este que eh semelhante ao
triangulo original.

Alias, note que o enunciado original soh menciona os lados do quadrilatero,
e, em geral, os lados NAO determinam o quadrilatero. Entao, com o que foi
dado, o problema eh indeterminado.

Para dar um exemplo mais concreto: tome X=Y=45 graus. Entao os lados sao
todos iguais, ou seja, ABCD eh um losango. Mas nem todo losango eh
inscritivel!

Para determinar o problema, voce vai ter que dar mais alguma informacao,
como uma diagonal, ou um angulo do quadrilatero.

Abraco,
Ralph

2011/9/1 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br

 Ola João,

 Só consegui visualizar sua resposta no site da obm (nao sei pq, nao chegou
 para mim).

 A questão vem da constatação de que se x,y e z são os lados de um
 triangulo, então senx, seny e senz são os lados de um triangulo semelhante
 (lei dos senos). Assim, temos que :

 senz^2 = senx^2 + seny^2 - 2 senxsenycosz

 Além disso, se resolvermos o sistema foemdo por z = xcosy+ycosx; x = zcosy
 + ycosz e y = xcosz + zcosx chegaremos a conclusão que senz^2 = cosx^2 +
 cosy^2 + 2cosxcosycosz (ou seja, um triangulo com lados senz, cosx e cosy e
 ângulo 180-z).

 O interessante é que podemos construir o quadrilátero de duas formas : uma
 onde a outra diagonal será 1 e outra onde ela sera sen(x-y).

 Abs
 Felipe
 Abs
 Felipe

 --- Em *qui, 1/9/11, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br* escreveu:


 De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br
 Assunto: Outro Probleminha
 Para: Matematica Lista obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Quinta-feira, 1 de Setembro de 2011, 13:00

Pessoal,

 Consitnuando com minhas investigações em geometria, achei mais um
 probleminha legal :

 Demonstre que dado um triângulo (vamos assumir acutângulo, mas acho que
 serve para qqer um) com angulos X, Y e Z, que o quadrilátero ABCD, onde
 AB=SenY; BC = CosY; CD = CosX e DA = Sen X é inscritível.

 Abs
 Felipe

RE: [obm-l] Probleminha

[luiz silva]

Ola João,
Eu escrevi o sistema homogêneo decorrente das relações entre os lados e ângulos 
(z=xcoY+ycosX.). Resolvendo e fazendo D=0, chegamos a seguinte relação :
(cosX)^2 + (cosY)^2 + (cosZ)^2 + 2cosXcosYcosZ = 1 (repare que se um dos 
cossenos for zero, reduzimos a relação do triangulo retângulo).
Agora, como 1 = (cosX)^2+(senX)^2 = (cosY)^2+(senY)^2 = (cosZ)^2+(senZ)^2 temos 
que
(senZ)^2 = (cosX)^2 + (cosY)^2 + 2cosXcosYcosZ
(senY)^2 = (cosX)^2 + (cosZ)^2 + 2cosXcosZcosY
(senX)^2 = (cosZ)^2 + (cosY)^2 + 2cosYcosZcosX
Que se repararmos com maior detalhe, é exatamente a lei dos cossenos.
Ou seja, além disto estes triângulos são os triângulos obtusângulos (180-X), 
(180-Y) e (180-Z). Se o ângulo entre x e y é ^Z, então ângulo entre cosX e cosY 
será 180-^Z.
Como falei, bobinho mais achei uma relação bonita. 
AbsFelipe
--- Em sex, 12/8/11, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:

De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Assunto: RE: [obm-l] Probleminha
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 12 de Agosto de 2011, 22:44






Eu fiz assim:
Pela Lei dos cossenos temos que  se um triângulo é  obtusângulo, sendo  a o 
lado oposto  ao ângulo obtuso, a²b²+c²
Vamos provar que  para o triângulo XYZ acutângulo,  o quadrado do seno  de um 
ângulo é sempre maior do que a soma dos quadrados dos cossenos dos outros 2
Logosen²x  cos²y+cos²zsen²y  cos²x+cos²zsen²z cos² x + cos²y
Veja que todas podem ser resuzidas para 1cos²x + cos²y + cos²z
Como z = 180-x-y,  cos²z = cos²(x+y)Como cos²(x+y)cos(x+y) podemos provar 
que 1cos²x + cos²y + cosz = (cos(x)+cos(y))² -  cos(x-y)1+cos(x-y)   
(cos(x)+cos(y))²
2cos[(x-y)/2]²(cos(x)+cos(y))²
2^(1/2)cos[(x-y)/2]   cos(x) + cos(y)2^(1/2)  2cos[(x+y)/2]2^(1/2)/ 2   
cos[(x+y)/2]
como  90  (x+y)/2 temos que  cos[(x+y)/2] = 2^(1/2)/ 2 se e somente se  
(x+y)=90°-  z=90°, absurdo, logo a igualdade sempre se verifica
Do jeito que você falou acho que deve ter uma  maneira muito mais facil lolMas  
pelo menos foi resolvido :)
[]'sJoão
Date: Fri, 12 Aug 2011 13:03:59 -0700
From: luizfelipec...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Probleminha 
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Não sei se conhecem. Eu descobri sozinho acidentalmente. É bobinho, mas achei 
bonitinho:

Sendo X, Y e Z os ãngulos de um triângulo acutângulo, demonstre que SenZ, CosX 
e CosY; SenY, CosZ, CosX e SenX, CosY,CosZ são lados de triângulos obtusângulos.

Abs
Felipe
   

[obm-l] Probleminha

[luiz silva]

Não sei se conhecem. Eu descobri sozinho acidentalmente. É bobinho, mas achei 
bonitinho:

Sendo X, Y e Z os ãngulos de um triângulo acutângulo, demonstre que SenZ, CosX 
e CosY; SenY, CosZ, CosX e SenX, CosY,CosZ são lados de triângulos obtusângulos.

Abs
Felipe

RE: [obm-l] Probleminha

[João Maldonado]

Eu fiz assim:
Pela Lei dos cossenos temos que  se um triângulo é  obtusângulo, sendo  a o 
lado oposto  ao ângulo obtuso, a²b²+c²
Vamos provar que  para o triângulo XYZ acutângulo,  o quadrado do seno  de um 
ângulo é sempre maior do que a soma dos quadrados dos cossenos dos outros 2
Logosen²x  cos²y+cos²zsen²y  cos²x+cos²zsen²z cos² x + cos²y
Veja que todas podem ser resuzidas para 1cos²x + cos²y + cos²z
Como z = 180-x-y,  cos²z = cos²(x+y)Como cos²(x+y)cos(x+y) podemos provar que 
1cos²x + cos²y + cosz = (cos(x)+cos(y))² -  cos(x-y)1+cos(x-y)   
(cos(x)+cos(y))²
2cos[(x-y)/2]²(cos(x)+cos(y))²
2^(1/2)cos[(x-y)/2]   cos(x) + cos(y)2^(1/2)  2cos[(x+y)/2]2^(1/2)/ 2   
cos[(x+y)/2]
como  90  (x+y)/2 temos que  cos[(x+y)/2] = 2^(1/2)/ 2 se e somente se  
(x+y)=90°-  z=90°, absurdo, logo a igualdade sempre se verifica
Do jeito que você falou acho que deve ter uma  maneira muito mais facil lolMas  
pelo menos foi resolvido :)
[]'sJoão
Date: Fri, 12 Aug 2011 13:03:59 -0700
From: luizfelipec...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Probleminha 
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Não sei se conhecem. Eu descobri sozinho acidentalmente. É bobinho, mas achei 
bonitinho:

Sendo X, Y e Z os ãngulos de um triângulo acutângulo, demonstre que SenZ, CosX 
e CosY; SenY, CosZ, CosX e SenX, CosY,CosZ são lados de triângulos obtusângulos.

Abs
Felipe
  

Res: Res: [obm-l] Probleminha....

[Paulo Barclay Ribeiro]

Valeu Abelardo.Vou dar uma olhada.

Um abraço

paulo 





De: abelardo matias abelardo_92...@hotmail.com
Para: OBM puc-RIO obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quarta-feira, 15 de Junho de 2011 12:07:05
Assunto: RE: Res: [obm-l] Probleminha


O livro Geometria I e II - A.C. Morgado / E. Wagner / M. Jorge   estão 
disponíveis no site da Vestseller. 
Não trabalho para empresa, mas a página é referência em material de exatas. 



Date: Wed, 15 Jun 2011 07:50:04 -0700
From: paulobarc...@yahoo.com.br
Subject: Res: [obm-l] Probleminha
To: obm-l@mat.puc-rio.br


oi Ralph,

Vi na internet um livro chamado Aprender matematica e o seu nome estava nele 
junto com outros autores , acho que era o prof miguel jorge.Minhas perguntas:
1) Você é ,realmenteum dos autores?
2) Miguel Jorge é o mesmo que escreveu conjuntamente com o Morgado e EWagner o 
livro geometria 1?
3) Em caso afirmativo ,onde posso adquirir o livro?Ele tá disponível na FGV?

Um abraço
Paulo


De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 6 de Junho de 2011 22:57:34
Assunto: Re: [obm-l] Probleminha


Que tal assim:

Multiplicando tudo por (x-a)(x-b)(x-c), vemos que a equacao dada **implica**:

(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0

Chame o lado esquerdo de f(x). Note que f(x) eh quadratica (coeficiente de x^2 
eh 3, nao eh 0, entao quadratica mesmo). Tambem:
f(a)=(a-b)(a-c)0
f(b)=(b-a)(b-c)0
f(c)=(c-a)(c-b)0
Assim, f(x) tem duas raizes reais, uma em (a,b), outra em (b,c). Como f eh 
quadratica, estas sao todas as raizes.

Enfim, note que a, b e c nao sao raizes de f(x). Assim, a equacao f(x)=0 eh de 
fato EQUIVALENTE aa original (basta dividi-la por (x-a)(x-b)(x-c), o que eh 
permitido jah que x=a, x=b e x=c nao prestam).

Abraco,
 Ralph


2011/6/6 ruy de oliveira souza ruymat...@ig.com.br

E ai rapaziada? Acho que não estou entendendo bem esse enunciado:
 Considere a,b e c números reais tais que abc. Prove que a equação 1/(x-a)  
+ 
1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 , possui exatamente duas raízes, x1 e x2 , que satisfazem 
a 
condição ax1bx2c.
    Agradeço antecipadamente quem resolver. Fiz de um modo baseado em provas 
indiretas. Não estou muito satisfeito. 

Res: [obm-l] Probleminha....

[Paulo Barclay Ribeiro]

Valeu Ralph.

Muito bom pro nosso Ensino Médio.Parabéns a todos vocês pela iniciativa.

Um abraço

Paulo





De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quarta-feira, 15 de Junho de 2011 15:43:50
Assunto: Re: [obm-l] Probleminha


Oi, Paulo.

Sim, a Fundação Getulio Vargas encomendou que escrevêssemos um livro-texto de 
Matemática para o Ensino Médio. São 3 volumes, em princípio um para cada ano do 
Ensino Médio (nosso modelo imediato foi o Colégio Santo Inácio, já que 3 dos 
autores, incluindo o Miguel, trabalham lá; eles já estão usando o livro por lá).

Os Volumes 1 e 2 já foram publicados pela Editora do Brasil; o Volume 3 ainda 
está em processo de diagramação e revisão (por isso a gente não divulgou muito 
ainda, a coleção não está completa, e ainda não foi apreciada pelo MEC). Além 
de 
contar com a experiência incrível de anos de didática do Miguel Jorge (que é o 
autor principal, aprendi um monte de coisas bacanas com ele), a gente tentou 
dar 
um pouco mais de ênfase em lógica e demonstrações do que o livro usual de 
Ensino Médio -- mas procurando evitar formalismo excessivo...  Em outras 
palavras, na hora de botar ou não uma demonstração de um fato, a gente pensou:
(A) É factível nível Ensino Médio?
(B) É interessante?
(C) Ajuda a entender o fato?
(D) É bonita pra caramba?
Se (A) e ((B) ou (C) ou (D)), a demonstração entra.

(Viu, lógica matemática! Capítulo 1 do livro 1! :) :) :) )

A gente também trabalhou bastante para o livro ficar bonito e organizado (mas 
sem ficar botando fotos a cada página ou bonequinhos falando com balõezinhos, 
que o Miguel não gosta :) :)). Tem uma diagramação levemente colorida e bem 
simpática, vários exemplos bem bacanas, e toneladas de exercícios resolvidos e 
propostos. Deu um trabalho de cão (e a gente ainda vai ter que acertar vários 
detalhes para a 2a edição), mas acho que ficou muito legal.

Bom, chega de propaganda. Na livraria FGV, eles me dizem ter apenas 2 
exemplares 
de cada um dos dois volumes (a quase R$100 cada, são livros BEM grossos), mas 
eles podem encomendar mais -- ligue para lá e pergunte para não perder a 
viagem. 
Depois, mande para a gente os erros que você encontrar (são 117, obviamente 
todos deixados de propósito, a gente nunca erraria nada :P ).

Abraço,
  Ralph

2011/6/15 Paulo Barclay Ribeiro paulobarc...@yahoo.com.br

oi Ralph,

Vi na internet um livro chamado Aprender matematica e o seu nome estava nele 
junto com outros autores , acho que era o prof miguel jorge.Minhas perguntas:
1) Você é ,realmenteum dos autores?
2) Miguel Jorge é o mesmo que escreveu conjuntamente com o Morgado e EWagner o 
livro geometria 1?
3) Em caso afirmativo ,onde posso adquirir o livro?Ele tá disponível na FGV?

Um abraço
Paulo


De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 6 de Junho de 2011 22:57:34
Assunto: Re: [obm-l] Probleminha


Que tal assim:

Multiplicando tudo por (x-a)(x-b)(x-c), vemos que a equacao dada **implica**:

(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0

Chame o lado esquerdo de f(x). Note que f(x) eh quadratica (coeficiente de x^2 
eh 3, nao eh 0, entao quadratica mesmo). Tambem:
f(a)=(a-b)(a-c)0
f(b)=(b-a)(b-c)0
f(c)=(c-a)(c-b)0
Assim, f(x) tem duas raizes reais, uma em (a,b), outra em (b,c). Como f eh 
quadratica, estas sao todas as raizes.

Enfim, note que a, b e c nao sao raizes de f(x). Assim, a equacao f(x)=0 eh de 
fato EQUIVALENTE aa original (basta dividi-la por (x-a)(x-b)(x-c), o que eh 
permitido jah que x=a, x=b e x=c nao prestam).

Abraco,
 Ralph


2011/6/6 ruy de oliveira souza ruymat...@ig.com.br

E ai rapaziada? Acho que não estou entendendo bem esse enunciado:
 Considere a,b e c números reais tais que abc. Prove que a equação 
1/(x-a)  + 
1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 , possui exatamente duas raízes, x1 e x2 , que 
satisfazem a 
condição ax1bx2c.
    Agradeço antecipadamente quem resolver. Fiz de um modo baseado em provas 
indiretas. Não estou muito satisfeito. 

Res: [obm-l] Probleminha....

[Paulo Barclay Ribeiro]

oi Ralph,

Vi na internet um livro chamado Aprender matematica e o seu nome estava nele 
junto com outros autores , acho que era o prof miguel jorge.Minhas perguntas:
1) Você é ,realmenteum dos autores?
2) Miguel Jorge é o mesmo que escreveu conjuntamente com o Morgado e EWagner o 
livro geometria 1?
3) Em caso afirmativo ,onde posso adquirir o livro?Ele tá disponível na FGV?

Um abraço
Paulo


De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 6 de Junho de 2011 22:57:34
Assunto: Re: [obm-l] Probleminha


Que tal assim:

Multiplicando tudo por (x-a)(x-b)(x-c), vemos que a equacao dada **implica**:

(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0

Chame o lado esquerdo de f(x). Note que f(x) eh quadratica (coeficiente de x^2 
eh 3, nao eh 0, entao quadratica mesmo). Tambem:
f(a)=(a-b)(a-c)0
f(b)=(b-a)(b-c)0
f(c)=(c-a)(c-b)0
Assim, f(x) tem duas raizes reais, uma em (a,b), outra em (b,c). Como f eh 
quadratica, estas sao todas as raizes.

Enfim, note que a, b e c nao sao raizes de f(x). Assim, a equacao f(x)=0 eh de 
fato EQUIVALENTE aa original (basta dividi-la por (x-a)(x-b)(x-c), o que eh 
permitido jah que x=a, x=b e x=c nao prestam).

Abraco,
 Ralph


2011/6/6 ruy de oliveira souza ruymat...@ig.com.br

E ai rapaziada? Acho que não estou entendendo bem esse enunciado:
 Considere a,b e c números reais tais que abc. Prove que a equação 1/(x-a)  
+ 
1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 , possui exatamente duas raízes, x1 e x2 , que satisfazem 
a 
condição ax1bx2c.
    Agradeço antecipadamente quem resolver. Fiz de um modo baseado em provas 
indiretas. Não estou muito satisfeito. 

RE: Res: [obm-l] Probleminha....

[abelardo matias]

O livro Geometria I e II - A.C. Morgado / E. Wagner / M. Jorge   estão 
disponíveis no site da Vestseller. 
Não trabalho para empresa, mas a página é referência em material de exatas. 


Date: Wed, 15 Jun 2011 07:50:04 -0700
From: paulobarc...@yahoo.com.br
Subject: Res: [obm-l] Probleminha
To: obm-l@mat.puc-rio.br



oi Ralph,
 
Vi na internet um livro chamado Aprender matematica e o seu nome estava nele 
junto com outros autores , acho que era o prof miguel jorge.Minhas perguntas:
1) Você é ,realmenteum dos autores?
2) Miguel Jorge é o mesmo que escreveu conjuntamente com o Morgado e EWagner o 
livro geometria 1?
3) Em caso afirmativo ,onde posso adquirir o livro?Ele tá disponível na FGV?
 
Um abraço
Paulo



De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 6 de Junho de 2011 22:57:34
Assunto: Re: [obm-l] Probleminha



Que tal assim:
 
Multiplicando tudo por (x-a)(x-b)(x-c), vemos que a equacao dada **implica**:
 
(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0
 
Chame o lado esquerdo de f(x). Note que f(x) eh quadratica (coeficiente de x^2 
eh 3, nao eh 0, entao quadratica mesmo). Tambem:
f(a)=(a-b)(a-c)0
f(b)=(b-a)(b-c)0
f(c)=(c-a)(c-b)0
Assim, f(x) tem duas raizes reais, uma em (a,b), outra em (b,c). Como f eh 
quadratica, estas sao todas as raizes.
 
Enfim, note que a, b e c nao sao raizes de f(x). Assim, a equacao f(x)=0 eh de 
fato EQUIVALENTE aa original (basta dividi-la por (x-a)(x-b)(x-c), o que eh 
permitido jah que x=a, x=b e x=c nao prestam).
 
Abraco,
 Ralph
 

2011/6/6 ruy de oliveira souza ruymat...@ig.com.br


E ai rapaziada? Acho que não estou entendendo bem esse enunciado:
 Considere a,b e c números reais tais que abc. Prove que a equação 1/(x-a)  
+ 1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 , possui exatamente duas raízes, x1 e x2 , que 
satisfazem a condição ax1bx2c.
Agradeço antecipadamente quem resolver. Fiz de um modo baseado em provas 
indiretas. Não estou muito satisfeito. 

  

Re: [obm-l] Probleminha....

[Ralph Teixeira]

Oi, Paulo.

Sim, a Fundação Getulio Vargas encomendou que escrevêssemos um livro-texto
de Matemática para o Ensino Médio. São 3 volumes, em princípio um para cada
ano do Ensino Médio (nosso modelo imediato foi o Colégio Santo Inácio, já
que 3 dos autores, incluindo o Miguel, trabalham lá; eles já estão usando o
livro por lá).

Os Volumes 1 e 2 já foram publicados pela Editora do Brasil; o Volume 3
ainda está em processo de diagramação e revisão (por isso a gente não
divulgou muito ainda, a coleção não está completa, e ainda não foi apreciada
pelo MEC). Além de contar com a experiência incrível de anos de didática do
Miguel Jorge (que é o autor principal, aprendi um monte de coisas bacanas
com ele), a gente tentou dar um pouco mais de ênfase em lógica e
demonstrações do que o livro usual de Ensino Médio -- mas procurando
evitar formalismo excessivo...  Em outras palavras, na hora de botar ou não
uma demonstração de um fato, a gente pensou:
(A) É factível nível Ensino Médio?
(B) É interessante?
(C) Ajuda a entender o fato?
(D) É bonita pra caramba?
Se (A) e ((B) ou (C) ou (D)), a demonstração entra.

(Viu, lógica matemática! Capítulo 1 do livro 1! :) :) :) )

A gente também trabalhou bastante para o livro ficar bonito e organizado
(mas sem ficar botando fotos a cada página ou bonequinhos falando com
balõezinhos, que o Miguel não gosta :) :)). Tem uma diagramação levemente
colorida e bem simpática, vários exemplos bem bacanas, e toneladas de
exercícios resolvidos e propostos. Deu um trabalho de cão (e a gente ainda
vai ter que acertar vários detalhes para a 2a edição), mas acho que ficou
muito legal.

Bom, chega de propaganda. Na livraria FGV, eles me dizem ter apenas 2
exemplares de cada um dos dois volumes (a quase R$100 cada, são livros BEM
grossos), mas eles podem encomendar mais -- ligue para lá e pergunte para
não perder a viagem. Depois, mande para a gente os erros que você encontrar
(são 117, obviamente todos deixados de propósito, a gente nunca erraria nada
:P ).

Abraço,
  Ralph

2011/6/15 Paulo Barclay Ribeiro paulobarc...@yahoo.com.br

 oi Ralph,

 Vi na internet um livro chamado Aprender matematica e o seu nome estava
 nele junto com outros autores , acho que era o prof miguel jorge.Minhas
 perguntas:
 1) Você é ,realmenteum dos autores?
 2) Miguel Jorge é o mesmo que escreveu conjuntamente com o Morgado e
 EWagner o livro geometria 1?
 3) Em caso afirmativo ,onde posso adquirir o livro?Ele tá disponível na
 FGV?

 Um abraço
 Paulo
  --
 *De:* Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
 *Enviadas:* Segunda-feira, 6 de Junho de 2011 22:57:34
 *Assunto:* Re: [obm-l] Probleminha

 Que tal assim:

 Multiplicando tudo por (x-a)(x-b)(x-c), vemos que a equacao dada
 **implica**:

 (x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0

 Chame o lado esquerdo de f(x). Note que f(x) eh quadratica (coeficiente de
 x^2 eh 3, nao eh 0, entao quadratica mesmo). Tambem:
 f(a)=(a-b)(a-c)0
 f(b)=(b-a)(b-c)0
 f(c)=(c-a)(c-b)0
 Assim, f(x) tem duas raizes reais, uma em (a,b), outra em (b,c). Como f eh
 quadratica, estas sao todas as raizes.

 Enfim, note que a, b e c nao sao raizes de f(x). Assim, a equacao f(x)=0 eh
 de fato EQUIVALENTE aa original (basta dividi-la por (x-a)(x-b)(x-c), o que
 eh permitido jah que x=a, x=b e x=c nao prestam).

 Abraco,
  Ralph


 2011/6/6 ruy de oliveira souza ruymat...@ig.com.br

 E ai rapaziada? Acho que não estou entendendo bem esse enunciado:
  Considere a,b e c números reais tais que abc. Prove que a equação
 1/(x-a)  + 1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 , possui exatamente duas raízes, x1 e x2 ,
 que satisfazem a condição ax1bx2c.
 Agradeço antecipadamente quem resolver. Fiz de um modo baseado em
 provas indiretas. Não estou muito satisfeito.

[obm-l] Probleminha....

[ruy de oliveira souza]

E ai rapaziada? Acho que não estou entendendo bem esse enunciado:
 Considere a,b e c números reais tais que abc. Prove que a equação
1/(x-a)  + 1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 , possui exatamente duas raízes, x1 e x2 ,
que satisfazem a condição ax1bx2c.
Agradeço antecipadamente quem resolver. Fiz de um modo baseado em
provas indiretas. Não estou muito satisfeito.

Re: [obm-l] Probleminha....

[Rodrigo Renji]

Uma tentativa por modo indireto ( não sei se foi assim que fez xD)

abc. Prove que a equação 1/(x-a)  + 1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 (I) ,
possui exatamente duas raízes, x1 e x2 , que satisfazem a condição
ax1bx2c.


em (b,c) a função é contínua com lim x-b pela direita dando  +
infinito e limite x-c pela esquerda dando - infinito
logo existe raiz em (b, c) por continuidade

da mesma maneira existe raiz em ( a, b) por continuidde.


multiplicando por (x-a)(x-b) (x-c), temos uma equação  de grau 2, que
só pode ter no máximo duas raizes reais. ( a multiplicação fornece uma
equivalência pois x não pode ser b, a ou c)

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Probleminha....

[João Maldonado]

Tudo bem?
Cara, a minha resolução não será tão direta também, mas quebra o galho.
Primeiro temos que observar que 1/(x-a), 1/(x-b) e 1/(x-c) são sempre 
diferentes de 0, ou seja, ou são positivos ou negativos.Logo temos que ter ou 1 
parceela negativa 2 duas positivas ou 2 positivas e uma negativa.No 1 caso 
temos 1/(x-a) e 1/(x-b)  positivoos e 1/(x-c) negativoNo segundo caso temos 
1/(x-a) positivo e  1/(x-b) e 1/(x-c) negativosOu seja, x-a é sempre 0 e xa, 
x-c é sempre 0 e xcFalta analisar o bProvaremos que sempre existe 2 raízes 
distintas para a equação, 1 é maior que b e a outra menor.
Faremos isso de um modo um pouco indutivoO passo da indução é, no caso da x1b, 
analisaremos x-a primeiro quando x-a e então aumentando. Quando x- a, a soma 
das 3 parcelas tende ao infinito. Quando x se afasta de a, a parte positiva 
1/(x-a) vai diminuindo, e a parte negativa 1/(x-b)+1/(x-c) vai aumentando, e 
como quando x- b, mas xb a soma tende a -infinito, temos que em algum momento 
ela foi 0, logo x1 existe. Para x2b, analisaremos  o x-c quando x- c, vemos 
que a soma tende a -infinito. Quaando x-b,   mas xb, aa sommma tende a 
infinito, logo em algum momento ela passou por 0 e x2 existe.
[]'sJoão
Date: Mon, 6 Jun 2011 20:54:36 -0300
Subject: [obm-l] Probleminha
From: ruymat...@ig.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br

E ai rapaziada? Acho que não estou entendendo bem esse enunciado:
 Considere a,b e c números reais tais que abc. Prove que a equação 1/(x-a)  
+ 1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 , possui exatamente duas raízes, x1 e x2 , que 
satisfazem a condição ax1bx2c.
Agradeço antecipadamente quem resolver. Fiz de um modo baseado em provas 
indiretas. Não estou muito satisfeito. 

Re: [obm-l] Probleminha....

[Ralph Teixeira]

Que tal assim:

Multiplicando tudo por (x-a)(x-b)(x-c), vemos que a equacao dada
**implica**:

(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0

Chame o lado esquerdo de f(x). Note que f(x) eh quadratica (coeficiente de
x^2 eh 3, nao eh 0, entao quadratica mesmo). Tambem:
f(a)=(a-b)(a-c)0
f(b)=(b-a)(b-c)0
f(c)=(c-a)(c-b)0
Assim, f(x) tem duas raizes reais, uma em (a,b), outra em (b,c). Como f eh
quadratica, estas sao todas as raizes.

Enfim, note que a, b e c nao sao raizes de f(x). Assim, a equacao f(x)=0 eh
de fato EQUIVALENTE aa original (basta dividi-la por (x-a)(x-b)(x-c), o que
eh permitido jah que x=a, x=b e x=c nao prestam).

Abraco,
 Ralph


2011/6/6 ruy de oliveira souza ruymat...@ig.com.br

 E ai rapaziada? Acho que não estou entendendo bem esse enunciado:
  Considere a,b e c números reais tais que abc. Prove que a equação
 1/(x-a)  + 1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 , possui exatamente duas raízes, x1 e x2 ,
 que satisfazem a condição ax1bx2c.
 Agradeço antecipadamente quem resolver. Fiz de um modo baseado em
 provas indiretas. Não estou muito satisfeito.

[obm-l] probleminha!!!

[elton francisco ferreira]

Será que alguém cnseguiria dizer-me como armar essta questão, já tentei de 
várias formas mas não consigo a resposta do gabarito ajudem-me!

Um número é composto por dois algarismos. Sabendo-se que a soma do algarismo 
das dezenas com o
algarismo das unidades é 8 e que, subtraindo-se o número do número formado, 
permutando-se o
algarismo das unidades com o das dezenas, o resto dessa subtração é um número 
terminado em 6. É
CORRETO afirmar que o produto dos algarismos das dezenas com o das unidades do 
número é
A) 40
B) 30
C) 45
D) 21
E) 12


  

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=
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=

Re: [obm-l] probleminha!!!

[Paulo Santos]

Bom, o enunciado parece mal escrito e ambíguo.Vejamos:

- O resto da subtração - o que é isso exatamente ? O resultado da subtração ?
- o produto dos algarismos das dezenas com o das unidades do número - só existe um algarismo das dezenas !


Vamos lá:

Um número decimal da forma BA é, na verdade, um número do tipo:

B*10 + A

ou seja, B dezenas e A unidades.

Os dados do problema:

[i]   A soma dos dígitos do número é 8:

A+B=8 - B=8-A

[ii]  O número menos o seu invertido dá um número terminado em 6:

Isso quer dizer que os dígitos das unidades podem ser:

B | A
---
9 |  3
---
8 |  2
---
7 |  1 - este é o único caso em que A+B=8 [i]
---
5 |  9
---


O que se pede:

o produto dos algarismos das dezenas com o das unidades

A * B = ???

Solução:

Dá 7, segundo esta intepretação.

Veja um problema do mesmo tipo em: http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20091123081930AADzO4l


---
Paulo C. Santos (PC)
e-mail : pa...@uniredes.org
homepage: http://uniredes.org
Celular: (21) 8753.0729

MSN: uniredes...@hotmail.com





Mon, 23 Nov 2009 09:24:01 -0800 (PST), elton francisco ferreira escreveu:

Será que alguém cnseguiria dizer-me como armar essta questão, já tentei de várias formas mas não consigo a resposta do gabarito ajudem-me!
 
 Um número é composto por dois algarismos. Sabendo-se que a soma do algarismo das dezenas com o
 algarismo das unidades é 8 e que, subtraindo-se o número do número formado, permutando-se o
 algarismo das unidades com o das dezenas, o resto dessa subtração é um número terminado em 6. É
 CORRETO afirmar que o produto dos algarismos das dezenas com o das unidades do número é
 A) 40
 B) 30
 C) 45
 D) 21
 E) 12
 


=
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RE: [obm-l] probleminha!!!

[marcone augusto araújo borges]

A diferença de 2 números nessas condições é um múltiplo de 9,pois 
(10*a+b)-(10*b+a)=9*(a-b).Se termina em 6,então
9*(a-b)=36.dai,a-b=4.Como a+b=8,então a=6 e b=2.Portanto a*b=6*2=12 
 Date: Mon, 23 Nov 2009 09:24:01 -0800
 From: elton_200...@yahoo.com.br
 Subject: [obm-l] probleminha!!!
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Será que alguém cnseguiria dizer-me como armar essta questão, já tentei de 
 várias formas mas não consigo a resposta do gabarito ajudem-me!
 
 Um número é composto por dois algarismos. Sabendo-se que a soma do algarismo 
 das dezenas com o
 algarismo das unidades é 8 e que, subtraindo-se o número do número formado, 
 permutando-se o
 algarismo das unidades com o das dezenas, o resto dessa subtração é um número 
 terminado em 6. É
 CORRETO afirmar que o produto dos algarismos das dezenas com o das unidades 
 do número é
 A) 40
 B) 30
 C) 45
 D) 21
 E) 12
 
 
 
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[obm-l] Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante ‏

[Joao Maldonado]

Esta certo, a velocidade de p1 sempre apontara para a p2, e assim por diante. A 
velocidade sempre estara mudando de direcao, o que quis dizer eh que em 
qualquer momento, esse vetor velocidade de p1 estara apontando para p2, o de p2 
para p3 e o de p3 para p1. Como foi dito acho que o resultado nao eh t = d/v 
nao, como a trajetoria eh interna ao triango e vai chegar ao ponto medio, temos 
que os pontos descreveriam a menor trajetoria possivel com a atracao. Temos que 
a trajetoria descrita vai ser maior que a distancia inicial de um dos pontos ao 
centro do triangulo  menor que a distancia inicial entre eles. Portanto t  d/v.


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Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante

[Eduardo Wilner]

É interessante observar que sem conhecer a trajetória, pode-se calcular o 
espaço percorrido por cada ponto: 2.d/3 .

--- Em sex, 10/4/09, Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu:
De: Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 15:00

Tem um pouco de física nesse problema também.

-Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem velocidade 
constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um ponto sempre segue 
o outro, determite o instante de tempo t em que esses pontos vão se chocar.

Algém conseguiu resolver?



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Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante

[Eduardo Wilner]

  Os pontos se encontram no centro do triângulo.

   Assim, com a componente radial da velocidade, v.cos 30°, percorrem o 
circunraio, 
d.sec 30°/2,  no tempo  d.sec 30° / (2.v.cos 30°) = 2d/(3v)

[]'s   
--- Em sex, 10/4/09, Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu:
De: Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 15:00

Tem um pouco de física nesse problema também.

-Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem velocidade 
constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um ponto sempre segue 
o outro, determite o instante de tempo t em que esses pontos vão se chocar.

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Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante

[Joao Maldonado]

Muito Obrigado Eduardo, Rogerio, Cesar, Bruno e todos que me ajudaram neste 
problema. Ótimas explicacoes!!!
Grato.

--- Em dom, 12/4/09, Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br escreveu:

De: Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br
Assunto: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Domingo, 12 de Abril de 2009, 18:42

  Os pontos se encontram no centro do triângulo.

   Assim, com a componente radial da velocidade, v.cos 30°, percorrem o 
circunraio, 
d.sec 30°/2,  no tempo  d.sec 30° / (2.v.cos 30°) = 2d/(3v)

[]'s   
--- Em sex, 10/4/09, Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu:
De: Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 15:00

Tem um pouco de física nesse problema também.

-Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem velocidade 
constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um ponto sempre segue 
o outro, determite o instante de tempo t em que esses pontos vão se chocar.

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Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante

[Bruno França dos Reis]

Foi exatamente isso que eu obtive por simulação numérica... mas como foi o
primeiro programinha que escrevi na linguagem que usei (F#) achei que
poderia ter errado algo.Será que é isso então?
Vou tentar fazer ele plotar num gráfico as trajetórias e as velocidades, aí
eu mando uma imagem se conseguir.

Abraço
Bruno
--
Bruno FRANÇA DOS REIS

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e^(pi*i)+1=0


2009/4/12 Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br

   Os pontos se encontram no centro do triângulo.

Assim, com a componente radial da velocidade, v.cos 30°, percorrem o
 circunraio,
 d.sec 30°/2,  no tempo  d.sec 30° / (2.v.cos 30°) = 2d/(3v)

 []'s
 --- Em *sex, 10/4/09, Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br*escreveu:

 De: Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br
 Assunto: [obm-l] Um probleminha bem interessante
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 15:00


 Tem um pouco de física nesse problema também.

 -Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem
 velocidade constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um
 ponto sempre segue o outro, determite o instante de tempo t em que esses
 pontos vão se chocar.

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[obm-l] Um probleminha bem interessante

[Joao Maldonado]

Tem um pouco de física nesse problema também.

-Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem velocidade 
constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um ponto sempre segue 
o outro, determite o instante de tempo t em que esses pontos vão se chocar.

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Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante

[Joao Maldonado]

O problema ficou meio confuso. Há três pontos, p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o 
p2, o p2 segue o p3 e o p3 segue o p1. Desculpe se alguém ficou com dúvidas.

Obrigado.

--- Em sex, 10/4/09, Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu:

De: Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 18:00

Tem um pouco de física nesse problema também.

-Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem velocidade 
constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um ponto sempre segue 
o outro, determite o instante de tempo t em que esses pontos vão se chocar.

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Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante

[Bruno França dos Reis]

Não consigo entender a formulação do problema.
Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da
velocidade deles é o mesmo?
Essa velocidade é constante?
O que significa um ponto sempre segue o outro?

--
Bruno FRANÇA DOS REIS

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2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br

  Tem um pouco de física nesse problema também.

 -Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem
 velocidade constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um
 ponto sempre segue o outro, determite o instante de tempo t em que esses
 pontos vão se chocar.

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Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante

[Joao Maldonado]

Desculpe se ficou meio confuso Bruno.
Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o ponto p2 
que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam com a mesma 
velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um dos 3 pontos eh 
a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos de d. Encontre o 
tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3 pontos se chocarem.
 

--- Em sex, 10/4/09, Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com escreveu:


De: Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com
Assunto: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 18:33


Não consigo entender a formulação do problema.
Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da velocidade 
deles é o mesmo?
Essa velocidade é constante?
O que significa um ponto sempre segue o outro?

--
Bruno FRANÇA DOS REIS

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2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br





Tem um pouco de física nesse problema também.

-Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem velocidade 
constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um ponto sempre segue 
o outro, determite o instante de tempo t em que esses pontos vão se chocar.

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RE: [obm-l] Um probleminha bem interessante

[João Maldonado]

Desculpe se ficou meio confuso Bruno.

Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o ponto p2 
que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam com a mesma 
velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um dos 3 pontos eh 
a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos de d. Encontre o 
tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3 pontos se chocarem.
 


From: bfr...@gmail.com
Date: Fri, 10 Apr 2009 20:33:56 +0200
Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Não consigo entender a formulação do problema.
Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da velocidade 
deles é o mesmo?
Essa velocidade é constante?
O que significa um ponto sempre segue o outro?
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2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br





Tem um pouco de física nesse problema também.

-Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem velocidade 
constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um ponto sempre segue 
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Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante

[Bruno França dos Reis]

Hmmm, ainda não sei se entendi muito bem. Veja se a minha interpretação,
traduzida na formulação a seguir, corresponde com o que vc está imaginando.

Seja S_i(t) o vetor posição do ponto p_i, i = 1, 2, 3, no instante t.
Seja v_i(t) o vetor velocidade do ponto p_i no instante t.

Seja n(u) um vetor unitário que de mesmos direção e sentido que o vetor u.

O que eu entendo da sua formulação é:
v_i(t) = V * n(S_{i+1}(t) - S_{i}(t)), para todo t, e considere i=4 o
mesmo que i=1, para simplificar a notação,
onde V é uma constante escalar.
Isso para mim é o que vc quis dizer com o ponto 1 segue o ponto 2, o 2
segue o 3 e o 3 segue o 1. Está conforme o que vc pensou?

Além disso, em t=0, temos:
|S_i(0) - S_j(0)| = d, para i != j.
Isso é a condição inicial de posição.


Então, a sua pergunta é: determinar o menor instante t0 em função das
constantes do problema (V, d) tal que S_1(t0) = S_2(t0) = S_3(t0). É isso?


Bruno


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e^(pi*i)+1=0


2009/4/10 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com

  Desculpe se ficou meio confuso Bruno.
 Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o
 ponto p2 que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam
 com a mesma velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um
 dos 3 pontos eh a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos
 de d. Encontre o tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3
 pontos se chocarem.

 --
 From: bfr...@gmail.com
 Date: Fri, 10 Apr 2009 20:33:56 +0200
 Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Não consigo entender a formulação do problema.
 Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da
 velocidade deles é o mesmo?
 Essa velocidade é constante?
 O que significa um ponto sempre segue o outro?

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 2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br

   Tem um pouco de física nesse problema também.

 -Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem
 velocidade constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um
 ponto sempre segue o outro, determite o instante de tempo t em que esses
 pontos vão se chocar.

 Algém conseguiu resolver?
  --
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Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante

[luiz silva]

Eu tb fiquei com essa dúvidaacho que, na realidade, cada ponto se desloca 
em cima de um lado do triângulo, em um mesmo sentido (horário ou anti-horário). 
Porém, se não houver uma atração (para reduzir as dimensões do 
triângulo) entre eles, a trajetória será sempre a mesma, e eles vão ficar 
seguindo um ao outro indefinidamente.

--- Em sex, 10/4/09, Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com escreveu:

De: Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com
Assunto: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 15:33


Não consigo entender a formulação do problema.
Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da velocidade 
deles é o mesmo?
Essa velocidade é constante?
O que significa um ponto sempre segue o outro?

--
Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16

http://brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com

GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key

e^(pi*i)+1=0



2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br





Tem um pouco de física nesse problema também.

-Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem velocidade 
constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um ponto sempre segue 
o outro, determite o instante de tempo t em que esses pontos vão se chocar.

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Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante

[Cesar Kawakami]

Pelo que entendi:

Há três pontos dispostos, inicialmente, em formação de triângulo
equilátero de lado D. Suponha agora que tais pontos P1, P2 e P3 têm
velocidade de magnitude constante V e direção e sentido tais que P1
siga P2, P2 siga P3 e P3 siga P1 -- ou seja, P1 tem direção e
sentido iguais à do vetor P2 - P1, P2 tem direção e sentido iguais à
do vetor P3 - P2, etc.

Calcule o tempo T até a colisão.





[]'s
Cesar

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante

[Bruno França dos Reis]

Ótimo, é a mesma interpretação que a minha.

--
Bruno FRANÇA DOS REIS

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2009/4/10 Cesar Kawakami cesarkawak...@gmail.com

 Pelo que entendi:

 Há três pontos dispostos, inicialmente, em formação de triângulo
 equilátero de lado D. Suponha agora que tais pontos P1, P2 e P3 têm
 velocidade de magnitude constante V e direção e sentido tais que P1
 siga P2, P2 siga P3 e P3 siga P1 -- ou seja, P1 tem direção e
 sentido iguais à do vetor P2 - P1, P2 tem direção e sentido iguais à
 do vetor P3 - P2, etc.

 Calcule o tempo T até a colisão.





 []'s
 Cesar

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 =

RE: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor Bruno

[Joao Maldonado]

Acho que entendi o que voce quis dizer. Vamos falar de ouro jeito. Digamos que 
existam 3 moveis, A, B e C. Os tres moveis estao em MU, ou seja, suas 
velocidades sao SEMPRE constantes, nao importando a distancia entre eles. Seus 
deslocamantos NAO SAO RETILINEOS, como pode-se constatar no problema. Quando 
digo que um SEGUE o outro quero dizer que o vetor velocidade em qualquer 
instante de tempo t tem as seguintes propriedades:
o vetor velocidade de A sempre vai apontar para B, o de B sempre vai apontar 
para C e o de C sempre vai apontar para A. Ou seja, quando um movel esta 
seguindo o outro, esta indo em direcao ao outro movel. A segue B que segue C 
que segue A.
Considere que os tres pontos estao num plano 2D para maior intendimento.
Consideremos o menor instante de tempo t=0,1s por exemplo. Digamos que 
os tres pontos ate esse instante de tempo descrevam um movimento retilineo (o 
que eh um absurdo porem faca de conta para maior entendimento, pois um instante 
de tempo tao pequeno nao vai afetar em nada, ou quase nada, o resultado do 
problema), Depois disso os moveis ainda formarao um triangulo equilatero, porem 
com uma inclinacao de, digamos, 0,1 graus, e a distancia entre eles 
tambem vai diminuir. A partir dai, como o corpo A vai em direcao ao B, a 
direcao da trajetoria vai mudar, pois B nao vai estar no mesmo lugar,concluimos 
que o movimento nao eh retilineo, forma uma curva, e como podemos observar, 
terminara no centro do triangulo, quando os moveis colidirem, ou seja, suas 
posicoes no plano 2D sejam iguais.
O que nos resta eh determinar as propriedades desta curva, para determinar a 
distancia percorrida ate que os moveis se encontrem, para determinar a 
velocidade. A distancia inicial entre eles eh d. Agora, esses moveis sao os 
pontos do problema.
 
Espero ter ajudado.
Obrigado.

--- Em sex, 10/4/09, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:


De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Assunto: RE: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 19:03




#yiv1754041633 .hmmessage P
{
margin:0px;padding:0px;}
#yiv1754041633 {
font-size:10pt;font-family:Verdana;}

Desculpe se ficou meio confuso Bruno.
Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o ponto p2 
que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam com a mesma 
velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um dos 3 pontos eh 
a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos de d. Encontre o 
tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3 pontos se chocarem.
 


From: bfr...@gmail.com
Date: Fri, 10 Apr 2009 20:33:56 +0200
Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Não consigo entender a formulação do problema.
Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da velocidade 
deles é o mesmo?
Essa velocidade é constante?
O que significa um ponto sempre segue o outro?

--
Bruno FRANÇA DOS REIS

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2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br





Tem um pouco de física nesse problema também.

-Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem velocidade 
constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um ponto sempre segue 
o outro, determite o instante de tempo t em que esses pontos vão se chocar.

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Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante

[Joao Maldonado]

Acho que o cesar entendeu muito bem. Existe sim essa atracao entre eles, 
porem o modulo de velocidade vai ser sempre o mesmo, nao importando a distancia 
entre os pontos.

--- Em sex, 10/4/09, Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com escreveu:


De: Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com
Assunto: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 19:33


Hmmm, ainda não sei se entendi muito bem. Veja se a minha interpretação, 
traduzida na formulação a seguir, corresponde com o que vc está imaginando.

Seja S_i(t) o vetor posição do ponto p_i, i = 1, 2, 3, no instante t.
Seja v_i(t) o vetor velocidade do ponto p_i no instante t.

Seja n(u) um vetor unitário que de mesmos direção e sentido que o vetor u.

O que eu entendo da sua formulação é:
v_i(t) = V * n(S_{i+1}(t) - S_{i}(t)), para todo t, e considere i=4 o mesmo 
que i=1, para simplificar a notação,
onde V é uma constante escalar.
Isso para mim é o que vc quis dizer com o ponto 1 segue o ponto 2, o 2 segue o 
3 e o 3 segue o 1. Está conforme o que vc pensou?

Além disso, em t=0, temos:
|S_i(0) - S_j(0)| = d, para i != j.
Isso é a condição inicial de posição.


Então, a sua pergunta é: determinar o menor instante t0 em função das 
constantes do problema (V, d) tal que S_1(t0) = S_2(t0) = S_3(t0). É isso?


Bruno


--
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2009/4/10 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com


Desculpe se ficou meio confuso Bruno.
Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o ponto p2 
que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam com a mesma 
velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um dos 3 pontos eh 
a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos de d. Encontre o 
tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3 pontos se chocarem.
 


From: bfr...@gmail.com
Date: Fri, 10 Apr 2009 20:33:56 +0200
Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
To: obm-l@mat.puc-rio.br




Não consigo entender a formulação do problema.
Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da velocidade 
deles é o mesmo?
Essa velocidade é constante?
O que significa um ponto sempre segue o outro?

--
Bruno FRANÇA DOS REIS

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2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br





Tem um pouco de física nesse problema também.

-Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem velocidade 
constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um ponto sempre segue 
o outro, determite o instante de tempo t em que esses pontos vão se chocar.

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Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor Bruno

[Rogerio Ponce]

Olá pessoal,
por simetria, os moveis estarao sempre nos vertices de um triangulo
equilatero que vai girando ao mesmo tempo em que encolhe.

Esqueca a curva descrita, ou a rotacao do triangulo, e se coloque na
posicao de um dos moveis olhando para o proximo vertice.

O tempo para a colisao e' simplesmente
  t=d/v

[]'s
Rogerio Ponce



Em 10/04/09, Joao Maldonadojoao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu:
 Acho que entendi o que voce quis dizer. Vamos falar de ouro jeito. Digamos
 que existam 3 moveis, A, B e C. Os tres moveis estao em MU, ou seja, suas
 velocidades sao SEMPRE constantes, nao importando a distancia entre eles.
 Seus deslocamantos NAO SAO RETILINEOS, como pode-se constatar no problema.
 Quando digo que um SEGUE o outro quero dizer que o vetor velocidade em
 qualquer instante de tempo t tem as seguintes propriedades:
 o vetor velocidade de A sempre vai apontar para B, o de B sempre vai apontar
 para C e o de C sempre vai apontar para A. Ou seja, quando um movel esta
 seguindo o outro, esta indo em direcao ao outro movel. A segue B que segue C
 que segue A.
 Considere que os tres pontos estao num plano 2D para maior intendimento.
 Consideremos o menor instante de tempo t=0,1s por exemplo. Digamos
 que os tres pontos ate esse instante de tempo descrevam um movimento
 retilineo (o que eh um absurdo porem faca de conta para maior entendimento,
 pois um instante de tempo tao pequeno nao vai afetar em nada, ou quase nada,
 o resultado do problema), Depois disso os moveis ainda formarao um triangulo
 equilatero, porem com uma inclinacao de, digamos, 0,1 graus, e a
 distancia entre eles tambem vai diminuir. A partir dai, como o corpo A vai
 em direcao ao B, a direcao da trajetoria vai mudar, pois B nao vai estar no
 mesmo lugar,concluimos que o movimento nao eh retilineo, forma uma curva, e
 como podemos observar, terminara no centro do triangulo, quando os moveis
 colidirem, ou seja, suas posicoes no plano 2D sejam iguais.
 O que nos resta eh determinar as propriedades desta curva, para determinar a
 distancia percorrida ate que os moveis se encontrem, para determinar a
 velocidade. A distancia inicial entre eles eh d. Agora, esses moveis sao os
 pontos do problema.

 Espero ter ajudado.
 Obrigado.

 --- Em sex, 10/4/09, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:


 De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
 Assunto: RE: [obm-l] Um probleminha bem interessante
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 19:03




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 margin:0px;padding:0px;}
 #yiv1754041633 {
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 Desculpe se ficou meio confuso Bruno.
 Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o ponto
 p2 que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam com a
 mesma velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um dos 3
 pontos eh a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos
 de d. Encontre o tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3
 pontos se chocarem.



 From: bfr...@gmail.com
 Date: Fri, 10 Apr 2009 20:33:56 +0200
 Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 Não consigo entender a formulação do problema.
 Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da
 velocidade deles é o mesmo?
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 O que significa um ponto sempre segue o outro?

 --
 Bruno FRANÇA DOS REIS

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 2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br





 Tem um pouco de física nesse problema também.

 -Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem
 velocidade constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um
 ponto sempre segue o outro, determite o instante de tempo t em que esses
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Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante

[João Luís]

Eu acho que não é isso não

Se p1 segue p2, eu interpreto que a velovidade de p1 está sempre apontando pra 
posição de p2, ou seja, muda constantemente de direção...
  - Original Message - 
  From: Bruno França dos Reis 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, April 10, 2009 5:10 PM
  Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante


  Ótimo, é a mesma interpretação que a minha.

  --
  Bruno FRANÇA DOS REIS

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  2009/4/10 Cesar Kawakami cesarkawak...@gmail.com

Pelo que entendi:

Há três pontos dispostos, inicialmente, em formação de triângulo
equilátero de lado D. Suponha agora que tais pontos P1, P2 e P3 têm
velocidade de magnitude constante V e direção e sentido tais que P1
siga P2, P2 siga P3 e P3 siga P1 -- ou seja, P1 tem direção e
sentido iguais à do vetor P2 - P1, P2 tem direção e sentido iguais à
do vetor P3 - P2, etc.

Calcule o tempo T até a colisão.





[]'s
Cesar

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Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante

[Bruno França dos Reis]

João Luís, é exatamente isso que escrevi matematicamente no meu último email
:-)

--
Bruno FRANÇA DOS REIS

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2009/4/10 João Luís joaolui...@uol.com.br

  Eu acho que não é isso não

 Se p1 segue p2, eu interpreto que a velovidade de p1 está sempre apontando
 pra posição de p2, ou seja, muda constantemente de direção...

 - Original Message -
  *From:* Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com
 *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
 *Sent:* Friday, April 10, 2009 5:10 PM
 *Subject:* Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante

 Ótimo, é a mesma interpretação que a minha.

 --
 Bruno FRANÇA DOS REIS

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 e^(pi*i)+1=0


 2009/4/10 Cesar Kawakami cesarkawak...@gmail.com

 Pelo que entendi:

 Há três pontos dispostos, inicialmente, em formação de triângulo
 equilátero de lado D. Suponha agora que tais pontos P1, P2 e P3 têm
 velocidade de magnitude constante V e direção e sentido tais que P1
 siga P2, P2 siga P3 e P3 siga P1 -- ou seja, P1 tem direção e
 sentido iguais à do vetor P2 - P1, P2 tem direção e sentido iguais à
 do vetor P3 - P2, etc.

 Calcule o tempo T até a colisão.





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 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
 =

Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor Bruno

[Joao Maldonado]

Esta certo, a velocidade de p1 sempre apontara para a p2, e assim por diante. A 
velocidade sempre estara mudando de direcao, o que quis dizer eh que em 
qualquer momento, esse vetor velocidade de p1 estara apontando para p2, o de p2 
para p3 e o de p3 para p1. Como foi dito acho que o resultado nao eh t = d/v 
nao, como a trajetoria eh interna ao triango e vai chegar ao ponto medio, temos 
que os pontos descreveriam a menor trajetoria possivel com a atracao. Temos que 
a trajetoria descrita vai ser maior que a distancia inicial de um dos pontos ao 
centro do triangulo  menor que a distancia inicial entre eles. Portanto t  d/v.

--- Em sex, 10/4/09, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu:


De: Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com
Assunto: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor 
Bruno
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 20:40


Olá pessoal,
por simetria, os moveis estarao sempre nos vertices de um triangulo
equilatero que vai girando ao mesmo tempo em que encolhe.

Esqueca a curva descrita, ou a rotacao do triangulo, e se coloque na
posicao de um dos moveis olhando para o proximo vertice.

O tempo para a colisao e' simplesmente
  t=d/v

[]'s
Rogerio Ponce



Em 10/04/09, Joao Maldonadojoao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu:
 Acho que entendi o que voce quis dizer. Vamos falar de ouro jeito. Digamos
 que existam 3 moveis, A, B e C. Os tres moveis estao em MU, ou seja, suas
 velocidades sao SEMPRE constantes, nao importando a distancia entre eles.
 Seus deslocamantos NAO SAO RETILINEOS, como pode-se constatar no problema..
 Quando digo que um SEGUE o outro quero dizer que o vetor velocidade em
 qualquer instante de tempo t tem as seguintes propriedades:
 o vetor velocidade de A sempre vai apontar para B, o de B sempre vai apontar
 para C e o de C sempre vai apontar para A. Ou seja, quando um movel esta
 seguindo o outro, esta indo em direcao ao outro movel. A segue B que segue C
 que segue A.
 Considere que os tres pontos estao num plano 2D para maior intendimento.
 Consideremos o menor instante de tempo t=0,1s por exemplo. Digamos
 que os tres pontos ate esse instante de tempo descrevam um movimento
 retilineo (o que eh um absurdo porem faca de conta para maior entendimento,
 pois um instante de tempo tao pequeno nao vai afetar em nada, ou quase nada,
 o resultado do problema), Depois disso os moveis ainda formarao um triangulo
 equilatero, porem com uma inclinacao de, digamos, 0,1 graus, e a
 distancia entre eles tambem vai diminuir. A partir dai, como o corpo A vai
 em direcao ao B, a direcao da trajetoria vai mudar, pois B nao vai estar no
 mesmo lugar,concluimos que o movimento nao eh retilineo, forma uma curva, e
 como podemos observar, terminara no centro do triangulo, quando os moveis
 colidirem, ou seja, suas posicoes no plano 2D sejam iguais.
 O que nos resta eh determinar as propriedades desta curva, para determinar a
 distancia percorrida ate que os moveis se encontrem, para determinar a
 velocidade. A distancia inicial entre eles eh d. Agora, esses moveis sao os
 pontos do problema.

 Espero ter ajudado.
 Obrigado.

 --- Em sex, 10/4/09, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:


 De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
 Assunto: RE: [obm-l] Um probleminha bem interessante
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 19:03




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 #yiv1754041633 {
 font-size:10pt;font-family:Verdana;}

 Desculpe se ficou meio confuso Bruno.
 Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o ponto
 p2 que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam com a
 mesma velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um dos 3
 pontos eh a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos
 de d. Encontre o tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3
 pontos se chocarem.



 From: bfr...@gmail.com
 Date: Fri, 10 Apr 2009 20:33:56 +0200
 Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 Não consigo entender a formulação do problema.
 Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da
 velocidade deles é o mesmo?
 Essa velocidade é constante?
 O que significa um ponto sempre segue o outro?

 --
 Bruno FRANÇA DOS REIS

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 http://brunoreis.com
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 e^(pi*i)+1=0



 2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br





 Tem um pouco de física nesse problema também.

 -Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem
 velocidade constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um
 ponto sempre segue o outro, determite o instante de tempo t em que esses
 pontos vão se chocar.

 Algém conseguiu resolver?



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Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor Bruno

[Rogerio Ponce]

Oops, foi mal !
Esqueci que o proximo movel tambem vem para voce , com a velocidade
de v*cos(60).
Portanto, o tempo para a colisao e'
t = d / [ v + v * cos(60) ]
ou seja,
t = 2/3 * d/v

[]'s
Rogerio Ponce


2009/4/10 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com:
 Olá pessoal,
 por simetria, os moveis estarao sempre nos vertices de um triangulo
 equilatero que vai girando ao mesmo tempo em que encolhe.

 Esqueca a curva descrita, ou a rotacao do triangulo, e se coloque na
 posicao de um dos moveis olhando para o proximo vertice.

 O tempo para a colisao e' simplesmente
  t=d/v

 []'s
 Rogerio Ponce



 Em 10/04/09, Joao Maldonadojoao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu:
 Acho que entendi o que voce quis dizer. Vamos falar de ouro jeito. Digamos
 que existam 3 moveis, A, B e C. Os tres moveis estao em MU, ou seja, suas
 velocidades sao SEMPRE constantes, nao importando a distancia entre eles.
 Seus deslocamantos NAO SAO RETILINEOS, como pode-se constatar no problema.
 Quando digo que um SEGUE o outro quero dizer que o vetor velocidade em
 qualquer instante de tempo t tem as seguintes propriedades:
 o vetor velocidade de A sempre vai apontar para B, o de B sempre vai apontar
 para C e o de C sempre vai apontar para A. Ou seja, quando um movel esta
 seguindo o outro, esta indo em direcao ao outro movel. A segue B que segue C
 que segue A.
 Considere que os tres pontos estao num plano 2D para maior intendimento.
 Consideremos o menor instante de tempo t=0,1s por exemplo. Digamos
 que os tres pontos ate esse instante de tempo descrevam um movimento
 retilineo (o que eh um absurdo porem faca de conta para maior entendimento,
 pois um instante de tempo tao pequeno nao vai afetar em nada, ou quase nada,
 o resultado do problema), Depois disso os moveis ainda formarao um triangulo
 equilatero, porem com uma inclinacao de, digamos, 0,1 graus, e a
 distancia entre eles tambem vai diminuir. A partir dai, como o corpo A vai
 em direcao ao B, a direcao da trajetoria vai mudar, pois B nao vai estar no
 mesmo lugar,concluimos que o movimento nao eh retilineo, forma uma curva, e
 como podemos observar, terminara no centro do triangulo, quando os moveis
 colidirem, ou seja, suas posicoes no plano 2D sejam iguais.
 O que nos resta eh determinar as propriedades desta curva, para determinar a
 distancia percorrida ate que os moveis se encontrem, para determinar a
 velocidade. A distancia inicial entre eles eh d. Agora, esses moveis sao os
 pontos do problema.

 Espero ter ajudado.
 Obrigado.

 --- Em sex, 10/4/09, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:


 De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
 Assunto: RE: [obm-l] Um probleminha bem interessante
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 19:03




 #yiv1754041633 .hmmessage P
 {
 margin:0px;padding:0px;}
 #yiv1754041633 {
 font-size:10pt;font-family:Verdana;}

 Desculpe se ficou meio confuso Bruno.
 Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o ponto
 p2 que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam com a
 mesma velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um dos 3
 pontos eh a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos
 de d. Encontre o tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3
 pontos se chocarem.



 From: bfr...@gmail.com
 Date: Fri, 10 Apr 2009 20:33:56 +0200
 Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 Não consigo entender a formulação do problema.
 Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da
 velocidade deles é o mesmo?
 Essa velocidade é constante?
 O que significa um ponto sempre segue o outro?

 --
 Bruno FRANÇA DOS REIS

 msn: brunoreis...@hotmail.com
 skype: brunoreis666
 tel: +33 (0)6 28 43 42 16

 http://brunoreis.com
 http://blog.brunoreis.com

 GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key

 e^(pi*i)+1=0



 2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br





 Tem um pouco de física nesse problema também.

 -Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem
 velocidade constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um
 ponto sempre segue o outro, determite o instante de tempo t em que esses
 pontos vão se chocar.

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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor Bruno

[João Maldonado]

Obrigado Rogerio, o resultado parece star certo, mas nao entendi o raciocinio, 
como voce chegou a este resultado?


 Date: Fri, 10 Apr 2009 22:19:09 -0300
 Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor  
 Bruno
 From: abrlw...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Oops, foi mal !
 Esqueci que o proximo movel tambem vem para voce , com a velocidade
 de v*cos(60).
 Portanto, o tempo para a colisao e'
 t = d / [ v + v * cos(60) ]
 ou seja,
 t = 2/3 * d/v
 
 []'s
 Rogerio Ponce
 
 
 2009/4/10 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com:
  Olá pessoal,
  por simetria, os moveis estarao sempre nos vertices de um triangulo
  equilatero que vai girando ao mesmo tempo em que encolhe.
 
  Esqueca a curva descrita, ou a rotacao do triangulo, e se coloque na
  posicao de um dos moveis olhando para o proximo vertice.
 
  O tempo para a colisao e' simplesmente
   t=d/v
 
  []'s
  Rogerio Ponce
 
 
 
  Em 10/04/09, Joao Maldonadojoao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu:
  Acho que entendi o que voce quis dizer. Vamos falar de ouro jeito. Digamos
  que existam 3 moveis, A, B e C. Os tres moveis estao em MU, ou seja, suas
  velocidades sao SEMPRE constantes, nao importando a distancia entre eles.
  Seus deslocamantos NAO SAO RETILINEOS, como pode-se constatar no problema.
  Quando digo que um SEGUE o outro quero dizer que o vetor velocidade em
  qualquer instante de tempo t tem as seguintes propriedades:
  o vetor velocidade de A sempre vai apontar para B, o de B sempre vai 
  apontar
  para C e o de C sempre vai apontar para A. Ou seja, quando um movel esta
  seguindo o outro, esta indo em direcao ao outro movel. A segue B que segue 
  C
  que segue A.
  Considere que os tres pontos estao num plano 2D para maior intendimento.
  Consideremos o menor instante de tempo t=0,1s por exemplo. Digamos
  que os tres pontos ate esse instante de tempo descrevam um movimento
  retilineo (o que eh um absurdo porem faca de conta para maior entendimento,
  pois um instante de tempo tao pequeno nao vai afetar em nada, ou quase 
  nada,
  o resultado do problema), Depois disso os moveis ainda formarao um 
  triangulo
  equilatero, porem com uma inclinacao de, digamos, 0,1 graus, e a
  distancia entre eles tambem vai diminuir. A partir dai, como o corpo A vai
  em direcao ao B, a direcao da trajetoria vai mudar, pois B nao vai estar no
  mesmo lugar,concluimos que o movimento nao eh retilineo, forma uma curva, e
  como podemos observar, terminara no centro do triangulo, quando os moveis
  colidirem, ou seja, suas posicoes no plano 2D sejam iguais.
  O que nos resta eh determinar as propriedades desta curva, para determinar 
  a
  distancia percorrida ate que os moveis se encontrem, para determinar a
  velocidade. A distancia inicial entre eles eh d. Agora, esses moveis sao os
  pontos do problema.
 
  Espero ter ajudado.
  Obrigado.
 
  --- Em sex, 10/4/09, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:
 
 
  De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
  Assunto: RE: [obm-l] Um probleminha bem interessante
  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
  Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 19:03
 
 
 
 
  #yiv1754041633 .hmmessage P
  {
  margin:0px;padding:0px;}
  #yiv1754041633 {
  font-size:10pt;font-family:Verdana;}
 
  Desculpe se ficou meio confuso Bruno.
  Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o 
  ponto
  p2 que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam com a
  mesma velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um dos 3
  pontos eh a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos
  de d. Encontre o tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3
  pontos se chocarem.
 
 
 
  From: bfr...@gmail.com
  Date: Fri, 10 Apr 2009 20:33:56 +0200
  Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
  Não consigo entender a formulação do problema.
  Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da
  velocidade deles é o mesmo?
  Essa velocidade é constante?
  O que significa um ponto sempre segue o outro?
 
  --
  Bruno FRANÇA DOS REIS
 
  msn: brunoreis...@hotmail.com
  skype: brunoreis666
  tel: +33 (0)6 28 43 42 16
 
  http://brunoreis.com
  http://blog.brunoreis.com
 
  GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
 
  e^(pi*i)+1=0
 
 
 
  2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br
 
 
 
 
 
  Tem um pouco de física nesse problema também.
 
  -Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem
  velocidade constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um
  ponto sempre segue o outro, determite o instante de tempo t em que esses
  pontos vão se chocar.
 
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Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor Bruno

[Joao Maldonado]

Obrigado Rogerio, o resultado parece star certo, mas nao entendi o raciocinio, 
como voce chegou a este resultado?

--- Em sáb, 11/4/09, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu:

De: Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com
Assunto: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor  
Bruno
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sábado, 11 de Abril de 2009, 1:19

Oops, foi mal !
Esqueci que o proximo movel tambem vem para voce , com a velocidade
de v*cos(60).
Portanto, o tempo para a colisao e'
t = d / [ v + v * cos(60) ]
ou seja,
t = 2/3 * d/v

[]'s
Rogerio Ponce


2009/4/10 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com:
 Olá pessoal,
 por simetria, os moveis estarao sempre nos vertices de um triangulo
 equilatero que vai girando ao mesmo tempo em que encolhe.

 Esqueca a curva descrita, ou a rotacao do triangulo, e se coloque na
 posicao de um dos moveis olhando para o proximo vertice.

 O tempo para a colisao e' simplesmente
  t=d/v

 []'s
 Rogerio Ponce



 Em 10/04/09, Joao Maldonadojoao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu:
 Acho que entendi o que voce quis dizer. Vamos falar de ouro jeito. Digamos
 que existam 3 moveis, A, B e C. Os tres moveis estao em MU, ou seja, suas
 velocidades sao SEMPRE constantes, nao importando a distancia entre eles..
 Seus deslocamantos NAO SAO RETILINEOS, como pode-se constatar no problema.
 Quando digo que um SEGUE o outro quero dizer que o vetor velocidade em
 qualquer instante de tempo t tem as seguintes propriedades:
 o vetor velocidade de A sempre vai apontar para B, o de B sempre vai apontar
 para C e o de C sempre vai apontar para A. Ou seja, quando um movel esta
 seguindo o outro, esta indo em direcao ao outro movel. A segue B que segue C
 que segue A.
 Considere que os tres pontos estao num plano 2D para maior intendimento.
 Consideremos o menor instante de tempo t=0,1s por exemplo. Digamos
 que os tres pontos ate esse instante de tempo descrevam um movimento
 retilineo (o que eh um absurdo porem faca de conta para maior entendimento,
 pois um instante de tempo tao pequeno nao vai afetar em nada, ou quase nada,
 o resultado do problema), Depois disso os moveis ainda formarao um triangulo
 equilatero, porem com uma inclinacao de, digamos, 0,1 graus, e a
 distancia entre eles tambem vai diminuir. A partir dai, como o corpo A vai
 em direcao ao B, a direcao da trajetoria vai mudar, pois B nao vai estar no
 mesmo lugar,concluimos que o movimento nao eh retilineo, forma uma curva, e
 como podemos observar, terminara no centro do triangulo, quando os moveis
 colidirem, ou seja, suas posicoes no plano 2D sejam iguais.
 O que nos resta eh determinar as propriedades desta curva, para determinar a
 distancia percorrida ate que os moveis se encontrem, para determinar a
 velocidade. A distancia inicial entre eles eh d. Agora, esses moveis sao os
 pontos do problema.

 Espero ter ajudado.
 Obrigado.

 --- Em sex, 10/4/09, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:


 De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
 Assunto: RE: [obm-l] Um probleminha bem interessante
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 19:03




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 {
 margin:0px;padding:0px;}
 #yiv1754041633 {
 font-size:10pt;font-family:Verdana;}

 Desculpe se ficou meio confuso Bruno.
 Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o ponto
 p2 que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam com a
 mesma velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um dos 3
 pontos eh a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos
 de d. Encontre o tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3
 pontos se chocarem.



 From: bfr...@gmail.com
 Date: Fri, 10 Apr 2009 20:33:56 +0200
 Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 Não consigo entender a formulação do problema.
 Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da
 velocidade deles é o mesmo?
 Essa velocidade é constante?
 O que significa um ponto sempre segue o outro?

 --
 Bruno FRANÇA DOS REIS

 msn: brunoreis...@hotmail.com
 skype: brunoreis666
 tel: +33 (0)6 28 43 42 16

 http://brunoreis.com
 http://blog.brunoreis.com

 GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key

 e^(pi*i)+1=0



 2009/4/10 Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br





 Tem um pouco de física nesse problema também.

 -Três pontos estão tais que formam um triângulo equilatero. Possuem
 velocidade constante v e a distancia entre eles é d. Sabendo que um
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Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor Bruno

[Cesar Kawakami]

Uma solução um pouco mais formal é considerar apenas a componente
radial da velocidade (em relação ao centro do triângulo), que será v_r
= v * cos(30). O raio será r = d / 2 / cos(30).

Então o tempo até a colisão será

r / v_r = 2 * d / 3 / v.





[]'s
Cesar

=
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=

Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor Bruno

[Rogerio Ponce]

Oi Joao,
imagine que voce esteja sobre um dos vertices, seguindo o proximo vertice.

Decomponha a velocidade do proximo vertice em duas componentes
ortogonais - uma sobre o lado do triangulo ( v*cos60 , apontada para
voce ) , e a outra perpendicular ao lado ( v*sen60 ).

Assim, a cada instante, essa componente perpedicular nao altera a
distancia daquele vertice em relacao a voce, de modo que a velocidade
total com que voce se aproxima daquele vertice e' a soma da sua
velocidade absoluta v com a velocidade absoluta v*cos60 dele (isto
e', a componente dele na sua direcao).

[]'s
Rogerio Ponce


2009/4/10 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com:

 Obrigado Rogerio, o resultado parece star certo, mas nao entendi o
 raciocinio, como voce chegou a este resultado?


 Date: Fri, 10 Apr 2009 22:19:09 -0300
 Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao
 melhor Bruno
 From: abrlw...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 Oops, foi mal !
 Esqueci que o proximo movel tambem vem para voce , com a velocidade
 de v*cos(60).
 Portanto, o tempo para a colisao e'
 t = d / [ v + v * cos(60) ]
 ou seja,
 t = 2/3 * d/v

 []'s
 Rogerio Ponce


 2009/4/10 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com:
  Olá pessoal,
  por simetria, os moveis estarao sempre nos vertices de um triangulo
  equilatero que vai girando ao mesmo tempo em que encolhe.
 
  Esqueca a curva descrita, ou a rotacao do triangulo, e se coloque na
  posicao de um dos moveis olhando para o proximo vertice.
 
  O tempo para a colisao e' simplesmente
   t=d/v
 
  []'s
  Rogerio Ponce
 
 
 
  Em 10/04/09, Joao Maldonadojoao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu:
  Acho que entendi o que voce quis dizer. Vamos falar de ouro jeito.
  Digamos
  que existam 3 moveis, A, B e C. Os tres moveis estao em MU, ou seja,
  suas
  velocidades sao SEMPRE constantes, nao importando a distancia entre
  eles.
  Seus deslocamantos NAO SAO RETILINEOS, como pode-se constatar no
  problema.
  Quando digo que um SEGUE o outro quero dizer que o vetor velocidade em
  qualquer instante de tempo t tem as seguintes propriedades:
  o vetor velocidade de A sempre vai apontar para B, o de B sempre vai
  apontar
  para C e o de C sempre vai apontar para A. Ou seja, quando um movel
  esta
  seguindo o outro, esta indo em direcao ao outro movel. A segue B que
  segue C
  que segue A.
  Considere que os tres pontos estao num plano 2D para maior
  intendimento.
  Consideremos o menor instante de tempo t=0,1s por exemplo.
  Digamos
  que os tres pontos ate esse instante de tempo descrevam um movimento
  retilineo (o que eh um absurdo porem faca de conta para maior
  entendimento,
  pois um instante de tempo tao pequeno nao vai afetar em nada, ou quase
  nada,
  o resultado do problema), Depois disso os moveis ainda formarao um
  triangulo
  equilatero, porem com uma inclinacao de, digamos, 0,1 graus, e
  a
  distancia entre eles tambem vai diminuir. A partir dai, como o corpo A
  vai
  em direcao ao B, a direcao da trajetoria vai mudar, pois B nao vai
  estar no
  mesmo lugar,concluimos que o movimento nao eh retilineo, forma uma
  curva, e
  como podemos observar, terminara no centro do triangulo, quando os
  moveis
  colidirem, ou seja, suas posicoes no plano 2D sejam iguais.
  O que nos resta eh determinar as propriedades desta curva, para
  determinar a
  distancia percorrida ate que os moveis se encontrem, para determinar a
  velocidade. A distancia inicial entre eles eh d. Agora, esses moveis
  sao os
  pontos do problema.
 
  Espero ter ajudado.
  Obrigado.
 
  --- Em sex, 10/4/09, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
  escreveu:
 
 
  De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
  Assunto: RE: [obm-l] Um probleminha bem interessante
  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
  Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 19:03
 
 
 
 
  #yiv1754041633 .hmmessage P
  {
  margin:0px;padding:0px;}
  #yiv1754041633 {
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  Desculpe se ficou meio confuso Bruno.
  Temos 3 pontos aos quais chamaremos de p1, p2 e p3. O ponto p1 segue o
  ponto
  p2 que segue o ponto p3 que segue o ponto p1. Os 3 pontos se deslocam
  com a
  mesma velocidade, a qual chamaremos de v. A distancia entre cada um
  dos 3
  pontos eh a mesma (formam um triangulo equilatero), a qual chamaremos
  de d. Encontre o tempo t (em funcao de v e d) que leva ate os 3
  pontos se chocarem.
 
 
 
  From: bfr...@gmail.com
  Date: Fri, 10 Apr 2009 20:33:56 +0200
  Subject: Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
  Não consigo entender a formulação do problema.
  Eles possuem a mesma velocidade v vetorial? Ou o valor absoluto da
  velocidade deles é o mesmo?
  Essa velocidade é constante?
  O que significa um ponto sempre segue o outro?
 
  --
  Bruno FRANÇA DOS REIS
 
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Re: [obm-l] probleminha da en

[Rafael Ando]

olha, 30% nao gostam de samba, 25% nao gostam de choro, 20% nao gostam de
bolero e 15% nao gostam de rock. Na pior das hipoteses, esses 4 conjuntos
nao possuem nenhuma interseccao (isso eh possivel pois a soma eh menor que
100%), e entao temos 90% das pessoas que nao gostam de pelo menos um estilo.
O resto (10%), necessariamente gosta de todos os estilos.

De maneira mais generica:
temos n conjuntos. Se a soma dos n complementos for inferior a 100%:
seja C a soma dos complementos. Entao 100%-C eh o minimo da interseccao (eh
o mesmo raciocinio acima, certo?).
sendo S a soma dos conjuntos, naturalmente S+C = n*100%, e entao o resultado
a provar fica claro...

2008/8/28 arkon [EMAIL PROTECTED]

 Alguém poderia demonstrar (provar), por favor, esse truque.

 Em 11/12/2006 20:21, *Carlos Victor  * escreveu:


 Olá Arkon,

 Como dizia o nosso mestre MORGADO , um  truque para este tipo de
 problema é :

 Como são quatro conjuntos , o que ultrapassar a 300% será a
 quantidade da interseção dos conjuntos . Se tivermos n conjuntos , o
 que ultrapasar a (n-1)x100% será o mínimo da interseção , ( tente
 provar) ,ok ?

 []´s Carlos Victor




 At 16:58 11/12/2006, arkon wrote:
 Gostaria que alguém da lista me enviasse a resolução de mais uma questão
 da en, por favor:
 
 grato.
 
 Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de
 rock, quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, choro,
 bolero e rock?
 
 a) 5%.
 b) 10%.
 c) 20%.
 d) 45%.
 e) 70%.
 
 Obs.: A alternativa correta é a letra b.


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html
 =




-- 
Rafael