[obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações lineares

[Anderson Torres]

Para de spammar

Em dom., 17 de abr. de 2022 às 01:16, Felippe Coulbert Balbi
 escreveu:
>
> Eu tenho um sistema de equações lineares com 12 variaveis: x1, x2,...,x12. 
> Essas variaveis assumem valor somente no conjunto {0, 1, 1/2, 1/3}.
>
> Eu tenho 8 equações
>
> 4 equações é um sistema linear que pode ser escrito como:
>
> Ax= b
>
> A é uma matriz de 4 linhas e 12 colunas, b é uma matriz de 4 linhas e 1 coluna
>
> As outras 4 equações são:
>
> x1+x2+x3 = 1
>
> x4+x5+x6 = 1
>
> x7+x8+x9 = 1
>
> x10+x11+x12 = 1
>
> Para quais valores de A e b, esse sistema tem solucao? Quando a solucao desse 
> sistema é unica?
>
> Grato,
> Felippe
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Sistema.

[Pedro José]

Boa tarde!

É um problema chatinho, embora a resposta seja interessante.

O sistema apresentado é indeterminado, não obstante x ser constante.

(i) a/b + c/d = -1
(ii)a^2 + c^2 = 1
(iii)   b^2 + d^2 = 1

x = b^3/a + d^3/c

de (i) a/b = -1 - c/ d ==> (iv) b/a = - d/(c+d)
de (i) c/d = -1 - a/b ==> (v) d/c = -b /(b+a)
de (i) temos (vi) ad+bc = -db

x= b/a * b^2 +  d/c* d^2
(iv) e (v) ==> x = - ( d/(c+d) * b^2 + b/(b+a) * d^2) = - (db^3 + adb^2 +
cbd^2 + bd^3)/ [(a+b)*(c+d)]
x = -db (b^2+d^2 + ab + cd) / [(a+b)*(c+d)]
x= -db (1 + ab + dc )/ [(a+b)*(c+d)]
(vi) ==> x = (ad + bc) (1+ ab + dc) / [(a+b)*(c+d)] = (ad + bc + a^2bd +
acd^2 + ab^2c + bc^2d) / [(a+b)*(c+d)]
x= (ad + bc + bd(a^2+c^2) + ac(b^2+d^2)) / [(a+b)*(c+d)] = (ad +bc + bd +
ac) / [(a+b)*(c+d)]
x = (a+b)*(c+d) / [(a+b)*(c+d)] = 1.

Saudações,
PJMS.

Em 4 de junho de 2017 13:33, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá amigos, podem me dar uma ajuda no seguinte problema:
> {a/b + c/d = -1, a^2 + c^2 = 1, b^2 + d^2 = 1, b^3/a + d^3/c = x},
> encontrar x.
>
> Abraços
> Douglas Oliveira.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Sistema.

[mathhawk2003]

Boa tarde,

isole a/b na primeira equacao. Depois isole a^2 e b^2 na segunda e terceira 
equacao, respectivamente. Volte à primeira e eleve ao quadrado, de modo a se 
obter a^2/b^2 à esquerda. À direita desenvolva o quadrado. Por fim, trabalhe a 
expressao obtida de modo a se encontrar o valor de d^3/c. Análogo para 
encontrar o valor de  b^3/a.




Enviado por Samsung Mobile.

 Mensagem original De : Douglas Oliveira de 
Lima  Data:04/06/2017  13:33  
(GMT-03:00) Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] 
Sistema. 
Olá amigos, podem me dar uma ajuda no seguinte problema:
{a/b + c/d = -1, a^2 + c^2 = 1, b^2 + d^2 = 1, b^3/a + d^3/c = x}, encontrar x.

Abraços 
Douglas Oliveira.


-- 
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acredita-se estar livre de perigo.
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Pedro José]

Boa tarde!

Perdão.
Faltou uma restrição.
C1+C2= 2AB/3 - 4A^3/27.

Saudações.

Em 7 de fevereiro de 2017 11:20, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> A curiosidade estendida:
>
> Sejam os polinômios P1(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C1 e P2(x) = x^3 + Ax^2 + Bx
> + C2 com A, B, C1 e C2 reais e 4A^2<12B.
>
> A soma das raízes reais dos polinômios dará - 2A/3.
>
> Saudações
>
>
>
> Em 6 de fevereiro de 2017 20:36, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa noite!
>>
>> Curiosidade: se os polinômios forem x^3 - 3x^2 +5x + c1 e y^3 - 3y^2 + 5y
>> +c2 e c1 +c2 = -6, a soma das raízes reais do polinômio dará 2.
>>
>> Saudações.
>>
>> Em 6 de fevereiro de 2017 16:37, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>>
>>> Bela solução.
>>>
>>> Já eu, fui para a grosseria.
>>>
>>> Achei as raízes reais das duas equações.
>>>
>>> x= (-1+ (35/27)^1/2)^1/3 + (-1 - (35/27)^1/2)^1/3 + 1
>>> y = (1 + (35/27)^1/2)^1/3 + (1 -(35/27)^1/2)^1/3 + 1
>>>
>>> x+ y =2.
>>>
>>> Não há outras raízes reais, pois ambos polinômios, x^3 -3x^2 + 5x e
>>> y^2-3y^2+5y, são monótonas crescentes em |R.
>>>
>>>
>>> A do Pacini é mais legal, fica (k-2) [3x^2-3kx + k^2-k+3]=0 e o
>>> determinante do termo entre colchetes é sempre negativo. Portanto k =2.
>>>
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>> Em 5 de fevereiro de 2017 09:44, Carlos Gomes 
>>> escreveu:
>>>
 Agora o enunciado faz sentido! Esse problema está resolvido nosso livro
 Olimpíadas de Matemática do Estado do Rio Grande do Norte - 1985 -
 2007.

 Abraço, Cgomes,


 Em 4 de fevereiro de 2017 14:35, Pacini Bores 
 escreveu:

>
>
>
>
>
> Oi Marcone, errei na digitação : digo 1
> Em 04/02/2017 10:34, Pacini Bores escreveu:
>
>
>
>
> Oi Marcone,
>
> Tome x+y=k e faça y = k-x na segunda equação. Observe que 0 0
> No final coloque (k-2) em evidencia e ficará (k-2).p(x)=0; onde p(x) é
> um polinômio do segundo grau em x que não se anulará  nas observações
> colocadas anteriormente.
>
> Logo k=2 , ok ? Confira as contas.
>
> Abraços
>
> Pacini
>
> Em 03/02/2017 17:47, marcone augusto araújo borges escreveu:
>
> Como nada foi afirmado, x e y devem ser números reais
>
>
>
> Se x^3 - 3x^2 + 5x = 1 e y^2 - 3y^2 + 5y = 5, calcule x+y
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>


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 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Pedro José]

Bom dia!

A curiosidade estendida:

Sejam os polinômios P1(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C1 e P2(x) = x^3 + Ax^2 + Bx
+ C2 com A, B, C1 e C2 reais e 4A^2<12B.

A soma das raízes reais dos polinômios dará - 2A/3.

Saudações



Em 6 de fevereiro de 2017 20:36, Pedro José  escreveu:

> Boa noite!
>
> Curiosidade: se os polinômios forem x^3 - 3x^2 +5x + c1 e y^3 - 3y^2 + 5y
> +c2 e c1 +c2 = -6, a soma das raízes reais do polinômio dará 2.
>
> Saudações.
>
> Em 6 de fevereiro de 2017 16:37, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>>
>> Bela solução.
>>
>> Já eu, fui para a grosseria.
>>
>> Achei as raízes reais das duas equações.
>>
>> x= (-1+ (35/27)^1/2)^1/3 + (-1 - (35/27)^1/2)^1/3 + 1
>> y = (1 + (35/27)^1/2)^1/3 + (1 -(35/27)^1/2)^1/3 + 1
>>
>> x+ y =2.
>>
>> Não há outras raízes reais, pois ambos polinômios, x^3 -3x^2 + 5x e
>> y^2-3y^2+5y, são monótonas crescentes em |R.
>>
>>
>> A do Pacini é mais legal, fica (k-2) [3x^2-3kx + k^2-k+3]=0 e o
>> determinante do termo entre colchetes é sempre negativo. Portanto k =2.
>>
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em 5 de fevereiro de 2017 09:44, Carlos Gomes 
>> escreveu:
>>
>>> Agora o enunciado faz sentido! Esse problema está resolvido nosso livro
>>> Olimpíadas de Matemática do Estado do Rio Grande do Norte - 1985 - 2007.
>>>
>>> Abraço, Cgomes,
>>>
>>>
>>> Em 4 de fevereiro de 2017 14:35, Pacini Bores 
>>> escreveu:
>>>





 Oi Marcone, errei na digitação : digo 1>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Pedro José]

Boa noite!

Curiosidade: se os polinômios forem x^3 - 3x^2 +5x + c1 e y^3 - 3y^2 + 5y
+c2 e c1 +c2 = -6, a soma das raízes reais do polinômio dará 2.

Saudações.

Em 6 de fevereiro de 2017 16:37, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
>
> Bela solução.
>
> Já eu, fui para a grosseria.
>
> Achei as raízes reais das duas equações.
>
> x= (-1+ (35/27)^1/2)^1/3 + (-1 - (35/27)^1/2)^1/3 + 1
> y = (1 + (35/27)^1/2)^1/3 + (1 -(35/27)^1/2)^1/3 + 1
>
> x+ y =2.
>
> Não há outras raízes reais, pois ambos polinômios, x^3 -3x^2 + 5x e
> y^2-3y^2+5y, são monótonas crescentes em |R.
>
>
> A do Pacini é mais legal, fica (k-2) [3x^2-3kx + k^2-k+3]=0 e o
> determinante do termo entre colchetes é sempre negativo. Portanto k =2.
>
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em 5 de fevereiro de 2017 09:44, Carlos Gomes 
> escreveu:
>
>> Agora o enunciado faz sentido! Esse problema está resolvido nosso livro
>> Olimpíadas de Matemática do Estado do Rio Grande do Norte - 1985 - 2007.
>>
>> Abraço, Cgomes,
>>
>>
>> Em 4 de fevereiro de 2017 14:35, Pacini Bores 
>> escreveu:
>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Oi Marcone, errei na digitação : digo 1>>
>>> Em 04/02/2017 10:34, Pacini Bores escreveu:
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Oi Marcone,
>>>
>>> Tome x+y=k e faça y = k-x na segunda equação. Observe que 0>> 0>>
>>> No final coloque (k-2) em evidencia e ficará (k-2).p(x)=0; onde p(x) é
>>> um polinômio do segundo grau em x que não se anulará  nas observações
>>> colocadas anteriormente.
>>>
>>> Logo k=2 , ok ? Confira as contas.
>>>
>>> Abraços
>>>
>>> Pacini
>>>
>>> Em 03/02/2017 17:47, marcone augusto araújo borges escreveu:
>>>
>>> Como nada foi afirmado, x e y devem ser números reais
>>>
>>>
>>>
>>> Se x^3 - 3x^2 + 5x = 1 e y^2 - 3y^2 + 5y = 5, calcule x+y
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Pedro José]

Boa tarde!

Bela solução.

Já eu, fui para a grosseria.

Achei as raízes reais das duas equações.

x= (-1+ (35/27)^1/2)^1/3 + (-1 - (35/27)^1/2)^1/3 + 1
y = (1 + (35/27)^1/2)^1/3 + (1 -(35/27)^1/2)^1/3 + 1

x+ y =2.

Não há outras raízes reais, pois ambos polinômios, x^3 -3x^2 + 5x e
y^2-3y^2+5y, são monótonas crescentes em |R.


A do Pacini é mais legal, fica (k-2) [3x^2-3kx + k^2-k+3]=0 e o
determinante do termo entre colchetes é sempre negativo. Portanto k =2.


Saudações,
PJMS


Em 5 de fevereiro de 2017 09:44, Carlos Gomes 
escreveu:

> Agora o enunciado faz sentido! Esse problema está resolvido nosso livro
> Olimpíadas de Matemática do Estado do Rio Grande do Norte - 1985 - 2007.
>
> Abraço, Cgomes,
>
>
> Em 4 de fevereiro de 2017 14:35, Pacini Bores 
> escreveu:
>
>>
>>
>>
>>
>>
>> Oi Marcone, errei na digitação : digo 1>
>> Em 04/02/2017 10:34, Pacini Bores escreveu:
>>
>>
>>
>>
>> Oi Marcone,
>>
>> Tome x+y=k e faça y = k-x na segunda equação. Observe que 0> 0>
>> No final coloque (k-2) em evidencia e ficará (k-2).p(x)=0; onde p(x) é um
>> polinômio do segundo grau em x que não se anulará  nas observações
>> colocadas anteriormente.
>>
>> Logo k=2 , ok ? Confira as contas.
>>
>> Abraços
>>
>> Pacini
>>
>> Em 03/02/2017 17:47, marcone augusto araújo borges escreveu:
>>
>> Como nada foi afirmado, x e y devem ser números reais
>>
>>
>>
>> Se x^3 - 3x^2 + 5x = 1 e y^2 - 3y^2 + 5y = 5, calcule x+y
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Carlos Gomes]

Agora o enunciado faz sentido! Esse problema está resolvido nosso livro
Olimpíadas de Matemática do Estado do Rio Grande do Norte - 1985 - 2007.

Abraço, Cgomes,


Em 4 de fevereiro de 2017 14:35, Pacini Bores 
escreveu:

>
>
>
>
>
> Oi Marcone, errei na digitação : digo 1
> Em 04/02/2017 10:34, Pacini Bores escreveu:
>
>
>
>
> Oi Marcone,
>
> Tome x+y=k e faça y = k-x na segunda equação. Observe que 0 0
> No final coloque (k-2) em evidencia e ficará (k-2).p(x)=0; onde p(x) é um
> polinômio do segundo grau em x que não se anulará  nas observações
> colocadas anteriormente.
>
> Logo k=2 , ok ? Confira as contas.
>
> Abraços
>
> Pacini
>
> Em 03/02/2017 17:47, marcone augusto araújo borges escreveu:
>
> Como nada foi afirmado, x e y devem ser números reais
>
>
>
> Se x^3 - 3x^2 + 5x = 1 e y^2 - 3y^2 + 5y = 5, calcule x+y
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Pacini Bores]

 

Oi Marcone, errei na digitação : digo 1 Oi Marcone, 
> 
> Tome x+y=k e faça y = k-x na segunda equação. Observe que 0 ou seja, 1 
> No final coloque (k-2) em evidencia e ficará (k-2).p(x)=0; onde p(x) é um 
> polinômio do segundo grau em x que não se anulará nas observações colocadas 
> anteriormente. 
> 
> Logo k=2 , ok ? Confira as contas. 
> 
> Abraços 
> 
> Pacini 
> 
> Em 03/02/2017 17:47, marcone augusto araújo borges escreveu: 
> 
>> Como nada foi afirmado, x e y devem ser números reais 
>> 
>> Se x^3 - 3x^2 + 5x = 1 e y^2 - 3y^2 + 5y = 5, calcule x+y 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Pacini Bores]

 

Oi Marcone, 

Tome x+y=k e faça y = k-x na segunda equação. Observe que 0 Como nada foi afirmado, x e y devem ser números reais 
> 
> Se x^3 - 3x^2 + 5x = 1 e y^2 - 3y^2 + 5y = 5, calcule x+y 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Sistema simples

[Israel Meireles Chrisostomo]

Muito obrigado ralph, daí em diante dá para ver que isso implica que
1/(1+1/x)+1/(1+1/y)+1/(1+1/z)=1, então x,y,z devem ser no mínimo menores do
que 1

Em 24 de outubro de 2015 00:08, Ralph Teixeira  escreveu:

> Nao. Note que x/(x+1)=u/(u+v+w), y/(y+1)=v/(u+v+w) e z/(z+1)=w/(u+v+w).
> Entao ha uma restricao:
>
> x/(x+1)+y/(y+1)+z/(z+1)=1.
>
> Por outro lado, se isso valer, entao sim -- basta tomar u=kx/(x+1),
> v=ky/(y+1), w=kz/(z+1), onde k eh um real positivo qualquer.
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2015-10-23 21:22 GMT-02:00 Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com>:
>
>> Oi gostaria de saber dados x,y e z reais positivos sempre existem u,v e w
>> (reais positivos) tais que x=u/(v+w),y=v/(u+w),z=w/(u+v)?Como posso provar
>> isso?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Sistema simples

[Ralph Teixeira]

Nao. Note que x/(x+1)=u/(u+v+w), y/(y+1)=v/(u+v+w) e z/(z+1)=w/(u+v+w).
Entao ha uma restricao:

x/(x+1)+y/(y+1)+z/(z+1)=1.

Por outro lado, se isso valer, entao sim -- basta tomar u=kx/(x+1),
v=ky/(y+1), w=kz/(z+1), onde k eh um real positivo qualquer.

Abraco, Ralph.

2015-10-23 21:22 GMT-02:00 Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com>:

> Oi gostaria de saber dados x,y e z reais positivos sempre existem u,v e w
> (reais positivos) tais que x=u/(v+w),y=v/(u+w),z=w/(u+v)?Como posso provar
> isso?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Sistema

[Israel Meireles Chrisostomo]

A ralph só para valores positivos quer dizer

Em 23 de outubro de 2015 19:15, Ralph Teixeira  escreveu:

> Bom, nao funciona -- se x/(y+z) for negativo, voce nao vai achar u, v e w
> nunca... :(
>
> 2015-10-23 16:25 GMT-02:00 Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com>:
>
>> Olá pessoal estive resolvendo uma desigualdade, e consegui achar uma
>> segunda solução para essa desigualdade, para provar essa desigualdade eu
>> efetuei uma substituição algébrica.Mas para que a solução seja válida
>> receio que o sistema abaixo deve ser satisfeito para todo x,y e z reais,
>> isto é, preciso provar que para todo x,y e z reais o sistema abaixo é
>> satisfeito,ou seja, para qualquer x,y e z reais existem u,v e w que
>> satisfazem as igualdades.Será que alguém pode me ajudar?Não tenho a menor
>> ideia de como fazer isso, vejam o sistema:
>> x/(y+z)=sqrt{vw(v+w)/(u(u+v)(u+w))};
>>  y/(x+z)=sqrt{uw(u+w)/(v(u+v)(v+w))};
>>  z/(x+y)=sqrt{uv(u+v)/(w(u+w)(v+w))};
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Sistema

[Ralph Teixeira]

Bom, nao funciona -- se x/(y+z) for negativo, voce nao vai achar u, v e w
nunca... :(

2015-10-23 16:25 GMT-02:00 Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com>:

> Olá pessoal estive resolvendo uma desigualdade, e consegui achar uma
> segunda solução para essa desigualdade, para provar essa desigualdade eu
> efetuei uma substituição algébrica.Mas para que a solução seja válida
> receio que o sistema abaixo deve ser satisfeito para todo x,y e z reais,
> isto é, preciso provar que para todo x,y e z reais o sistema abaixo é
> satisfeito,ou seja, para qualquer x,y e z reais existem u,v e w que
> satisfazem as igualdades.Será que alguém pode me ajudar?Não tenho a menor
> ideia de como fazer isso, vejam o sistema:
> x/(y+z)=sqrt{vw(v+w)/(u(u+v)(u+w))};
>  y/(x+z)=sqrt{uw(u+w)/(v(u+v)(v+w))};
>  z/(x+y)=sqrt{uv(u+v)/(w(u+w)(v+w))};
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Sistema

[Israel Meireles Chrisostomo]

Na verdade eu digitei errado também é só x,y e z positivos e tais que
x/(y+z)=vw(v+w)/(u(u+v)(u+w));
 y/(x+z)=uw(u+w)/(v(u+v)(v+w));
 z/(x+y)=uv(u+v)/(w(u+w)(v+w));
Não tinha raiz

Em 23 de outubro de 2015 19:40, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> A ralph só para valores positivos quer dizer
>
> Em 23 de outubro de 2015 19:15, Ralph Teixeira 
> escreveu:
>
>> Bom, nao funciona -- se x/(y+z) for negativo, voce nao vai achar u, v e w
>> nunca... :(
>>
>> 2015-10-23 16:25 GMT-02:00 Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com>:
>>
>>> Olá pessoal estive resolvendo uma desigualdade, e consegui achar uma
>>> segunda solução para essa desigualdade, para provar essa desigualdade eu
>>> efetuei uma substituição algébrica.Mas para que a solução seja válida
>>> receio que o sistema abaixo deve ser satisfeito para todo x,y e z reais,
>>> isto é, preciso provar que para todo x,y e z reais o sistema abaixo é
>>> satisfeito,ou seja, para qualquer x,y e z reais existem u,v e w que
>>> satisfazem as igualdades.Será que alguém pode me ajudar?Não tenho a menor
>>> ideia de como fazer isso, vejam o sistema:
>>> x/(y+z)=sqrt{vw(v+w)/(u(u+v)(u+w))};
>>>  y/(x+z)=sqrt{uw(u+w)/(v(u+v)(v+w))};
>>>  z/(x+y)=sqrt{uv(u+v)/(w(u+w)(v+w))};
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Sistema

[Israel Meireles Chrisostomo]

Obrigado Pedro José, :)

Em 28 de julho de 2015 17:35, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!

 Eleve o lado direito e o esquerdo da primeira igualdade ao quadrado e para
 que valha a segunda necessita que:
 ab+ac+bc = xy+xz+yz

 Saudações,
 PJMS

 Em 28 de julho de 2015 16:22, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Obrigado Esdras Muniz, valeu mesmo

 Em 28 de julho de 2015 11:17, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com
 escreveu:

 Não, tome por exemplo a=b=c=2 e x=y=1 e z=4.

 Em 28 de julho de 2015 00:27, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Se a+b+c=x+y+z então a²+b²+c²=x²+y²+z²?Isto é, uma coisa implica a
 outra?

 --
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 --
 Esdras Muniz Mota
 Mestrando em Matemática
 Universidade Federal do Ceará



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Re: [obm-l] Sistema

[Esdras Muniz]

Não, tome por exemplo a=b=c=2 e x=y=1 e z=4.

Em 28 de julho de 2015 00:27, Israel Meireles Chrisostomo 
israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Se a+b+c=x+y+z então a²+b²+c²=x²+y²+z²?Isto é, uma coisa implica a outra?

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Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

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Re: [obm-l] Sistema

[Israel Meireles Chrisostomo]

Obrigado Esdras Muniz, valeu mesmo

Em 28 de julho de 2015 11:17, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com
escreveu:

 Não, tome por exemplo a=b=c=2 e x=y=1 e z=4.

 Em 28 de julho de 2015 00:27, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Se a+b+c=x+y+z então a²+b²+c²=x²+y²+z²?Isto é, uma coisa implica a outra?

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 Esdras Muniz Mota
 Mestrando em Matemática
 Universidade Federal do Ceará



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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Sistema

[Pedro José]

Boa tarde!

Eleve o lado direito e o esquerdo da primeira igualdade ao quadrado e para
que valha a segunda necessita que:
ab+ac+bc = xy+xz+yz

Saudações,
PJMS

Em 28 de julho de 2015 16:22, Israel Meireles Chrisostomo 
israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Obrigado Esdras Muniz, valeu mesmo

 Em 28 de julho de 2015 11:17, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com
 escreveu:

 Não, tome por exemplo a=b=c=2 e x=y=1 e z=4.

 Em 28 de julho de 2015 00:27, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Se a+b+c=x+y+z então a²+b²+c²=x²+y²+z²?Isto é, uma coisa implica a outra?

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 Esdras Muniz Mota
 Mestrando em Matemática
 Universidade Federal do Ceará



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 acredita-se estar livre de perigo.



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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Pedro José]

Boa tarde!

Na verdade 0a1, 0b1 e 0c1.

(ii) ab+bc+ac =1
(v) a+b+c = abc

É fácil ver que pelo menos duas varíaveis devam ser menores que 1 para
atender (ii)

(v) e (ii) impedem que haja apenas uma das varíaveis maior ou igual a 1.

Já que o sistema é simétrico.

Vamos supor que a = 1== ab 1 pois caso contrário não teríamos como
atender ab + bc + ac =1; pois, ac0 e bc0.

Então abc 1  pois c1 e por (v) abc = a + b +c (absurdo pois a+ b + c  1).

Saudações,
PJMS

Em 3 de julho de 2015 18:43, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 Bom, podemos mostrar que
 sen²x+sen²y+sen²z=1;
 x+y+z=pi/2
 implicam que algum dos ângulos x, y, z é múltiplo de pi/2 (em particular,
 não serão todos positivos). Serve para o que você quer?

 Em primeiro lugar, tome A=2x, B=2y e C=2z. Traduzimos tudo então para:
 (1-cosA)/2+(1-cosB)/2+(1-cosC)/2=1, isto é,
 cosA+cosB+cosC=1.
 A+B+C=pi
 E quero mostrar que A ou B ou C são múltiplos de pi, ou seja, que
 sinAsinBsinC=0.

 Oras, como A+B+C=pi, cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB. Jogando na primeira:

 sinA.sinB=1-cosA-cosB+cosAcosB=(1-cosA)(1-cosB)

 Se sinAsinB0, posso multiplicar isto por (1+cosA)(1+cosB)/(sinAsinB) dos
 dois lados:
 (1+cosA)(1+cosB)=sinA.sinB

 Igualando essas duas equações, tiro que cosA+cosB=0. Então cosC=1,
 portanto sinC=0.

 (Hmmm, que estranho... errei alguma conta?)

 ---///---

 Suponho que sua primeira condição seja análoga, fazendo a=tanx,
 b=tany,c=tanz, acertei?

 Abraço, Ralph.



 2015-07-03 16:01 GMT-03:00 Pedro José petroc...@gmail.com:

 Boa tarde!

 (i) a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1
 (ii) ab+bc+ac=1

 de (i) temos a^2(1+b^2)*(1+c^2) + b^2(1+a^2)*(1+c^2) +c^2*(1+a^2)*(1+b^2)
 = (1+a^2)*(1+b^2)*(1+c^2)

 2*a^2*b^2*c^2 +a^2*b^2 + b^2*c^2 + a^2*c^2 = 1 (iii)

 de (ii) 1 = a^2*b^2 + a^2*c^2+b^2*c^2 + 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) (iv)

 (iii) e (iv) == 2*a^2*b^2*c^2 = 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) == abc=
 a+ b +c (v)

 É fácil observar que a=b=c=0 atende (v)

 Seja y=abc e z = a+ b+ c

 a  0, b0 e c0 e (ii) == 0a1, 0b1 e c0c1. == ab1, bc  1 e
 ac1.


  δy/δa = bc, δy/δb = ac, δy/δc = ab e

 δz/δa = 1, δz/δb = 1, δz/δc = 1

 Logo y cresce a uma taxa menor z para 0a1, 0b1 e c0c1  e como para
 a=b=c =0   :  y=z  == y  z para 0a1, 0b1 e c0c1.

 É bem provável que exista uma solução mais elegante usando alguma
 desigualdade

 Sds,

 PJMS








 Em 2 de julho de 2015 14:54, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Olá pessoal, boa tarde.Será que alguém aí sabe se o problema abaixo
 existe em algum livro, olimpíada ou em qualquer outro lugar?Por favor, se
 souberem, me digam qual
 Prove que o sistema não possui soluções reais positivas:
 a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1
 ab+bc+ac=1
 Ou alguém conhece um problema com o seguinte enunciado:
 Prove que se sen²a+sen²b+sen²c=1 então a+b+c≠pi/2
 Se tiverem o livro/prova que tenham estes problemas, por favor, me digam
 qual.

 --
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[obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Pedro José]

Boa tarde!

(i) a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1
(ii) ab+bc+ac=1

de (i) temos a^2(1+b^2)*(1+c^2) + b^2(1+a^2)*(1+c^2) +c^2*(1+a^2)*(1+b^2) =
(1+a^2)*(1+b^2)*(1+c^2)

2*a^2*b^2*c^2 +a^2*b^2 + b^2*c^2 + a^2*c^2 = 1 (iii)

de (ii) 1 = a^2*b^2 + a^2*c^2+b^2*c^2 + 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) (iv)

(iii) e (iv) == 2*a^2*b^2*c^2 = 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) == abc= a+
b +c (v)

É fácil observar que a=b=c=0 atende (v)

Seja y=abc e z = a+ b+ c

a  0, b0 e c0 e (ii) == 0a1, 0b1 e c0c1. == ab1, bc  1 e ac1.


 δy/δa = bc, δy/δb = ac, δy/δc = ab e

δz/δa = 1, δz/δb = 1, δz/δc = 1

Logo y cresce a uma taxa menor z para 0a1, 0b1 e c0c1  e como para
a=b=c =0   :  y=z  == y  z para 0a1, 0b1 e c0c1.

É bem provável que exista uma solução mais elegante usando alguma
desigualdade

Sds,

PJMS








Em 2 de julho de 2015 14:54, Israel Meireles Chrisostomo 
israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Olá pessoal, boa tarde.Será que alguém aí sabe se o problema abaixo existe
 em algum livro, olimpíada ou em qualquer outro lugar?Por favor, se
 souberem, me digam qual
 Prove que o sistema não possui soluções reais positivas:
 a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1
 ab+bc+ac=1
 Ou alguém conhece um problema com o seguinte enunciado:
 Prove que se sen²a+sen²b+sen²c=1 então a+b+c≠pi/2
 Se tiverem o livro/prova que tenham estes problemas, por favor, me digam
 qual.

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 acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Pedro José]

Boa tarde!

Não havia visto o segundo.

a =b=pi/4 e c=0 atenfde e a+b+c = pi/2. Precisa ter outra restrição ou está
errada a proposição.

Sds,
PJMS

Em 3 de julho de 2015 16:01, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!

 (i) a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1
 (ii) ab+bc+ac=1

 de (i) temos a^2(1+b^2)*(1+c^2) + b^2(1+a^2)*(1+c^2) +c^2*(1+a^2)*(1+b^2)
 = (1+a^2)*(1+b^2)*(1+c^2)

 2*a^2*b^2*c^2 +a^2*b^2 + b^2*c^2 + a^2*c^2 = 1 (iii)

 de (ii) 1 = a^2*b^2 + a^2*c^2+b^2*c^2 + 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) (iv)

 (iii) e (iv) == 2*a^2*b^2*c^2 = 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) == abc= a+
 b +c (v)

 É fácil observar que a=b=c=0 atende (v)

 Seja y=abc e z = a+ b+ c

 a  0, b0 e c0 e (ii) == 0a1, 0b1 e c0c1. == ab1, bc  1 e ac1.


  δy/δa = bc, δy/δb = ac, δy/δc = ab e

 δz/δa = 1, δz/δb = 1, δz/δc = 1

 Logo y cresce a uma taxa menor z para 0a1, 0b1 e c0c1  e como para
 a=b=c =0   :  y=z  == y  z para 0a1, 0b1 e c0c1.

 É bem provável que exista uma solução mais elegante usando alguma
 desigualdade

 Sds,

 PJMS








 Em 2 de julho de 2015 14:54, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Olá pessoal, boa tarde.Será que alguém aí sabe se o problema abaixo
 existe em algum livro, olimpíada ou em qualquer outro lugar?Por favor, se
 souberem, me digam qual
 Prove que o sistema não possui soluções reais positivas:
 a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1
 ab+bc+ac=1
 Ou alguém conhece um problema com o seguinte enunciado:
 Prove que se sen²a+sen²b+sen²c=1 então a+b+c≠pi/2
 Se tiverem o livro/prova que tenham estes problemas, por favor, me digam
 qual.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




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[obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Pedro José]

Boa noite!

A primeira está completamente errada. Pode-se ter uma das variáveis maior
que um. O que não pode são duas delas.

Desculpe-me,
PJMS

Em 3 de julho de 2015 16:19, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!

 Não havia visto o segundo.

 a =b=pi/4 e c=0 atenfde e a+b+c = pi/2. Precisa ter outra restrição ou
 está errada a proposição.

 Sds,
 PJMS

 Em 3 de julho de 2015 16:01, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!

 (i) a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1
 (ii) ab+bc+ac=1

 de (i) temos a^2(1+b^2)*(1+c^2) + b^2(1+a^2)*(1+c^2) +c^2*(1+a^2)*(1+b^2)
 = (1+a^2)*(1+b^2)*(1+c^2)

 2*a^2*b^2*c^2 +a^2*b^2 + b^2*c^2 + a^2*c^2 = 1 (iii)

 de (ii) 1 = a^2*b^2 + a^2*c^2+b^2*c^2 + 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) (iv)

 (iii) e (iv) == 2*a^2*b^2*c^2 = 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) == abc=
 a+ b +c (v)

 É fácil observar que a=b=c=0 atende (v)

 Seja y=abc e z = a+ b+ c

 a  0, b0 e c0 e (ii) == 0a1, 0b1 e c0c1. == ab1, bc  1 e
 ac1.


  δy/δa = bc, δy/δb = ac, δy/δc = ab e

 δz/δa = 1, δz/δb = 1, δz/δc = 1

 Logo y cresce a uma taxa menor z para 0a1, 0b1 e c0c1  e como para
 a=b=c =0   :  y=z  == y  z para 0a1, 0b1 e c0c1.

 É bem provável que exista uma solução mais elegante usando alguma
 desigualdade

 Sds,

 PJMS








 Em 2 de julho de 2015 14:54, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Olá pessoal, boa tarde.Será que alguém aí sabe se o problema abaixo
 existe em algum livro, olimpíada ou em qualquer outro lugar?Por favor, se
 souberem, me digam qual
 Prove que o sistema não possui soluções reais positivas:
 a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1
 ab+bc+ac=1
 Ou alguém conhece um problema com o seguinte enunciado:
 Prove que se sen²a+sen²b+sen²c=1 então a+b+c≠pi/2
 Se tiverem o livro/prova que tenham estes problemas, por favor, me digam
 qual.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.





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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações

[Ralph Teixeira]

Bom, podemos mostrar que
sen²x+sen²y+sen²z=1;
x+y+z=pi/2
implicam que algum dos ângulos x, y, z é múltiplo de pi/2 (em particular,
não serão todos positivos). Serve para o que você quer?

Em primeiro lugar, tome A=2x, B=2y e C=2z. Traduzimos tudo então para:
(1-cosA)/2+(1-cosB)/2+(1-cosC)/2=1, isto é,
cosA+cosB+cosC=1.
A+B+C=pi
E quero mostrar que A ou B ou C são múltiplos de pi, ou seja, que
sinAsinBsinC=0.

Oras, como A+B+C=pi, cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB. Jogando na primeira:

sinA.sinB=1-cosA-cosB+cosAcosB=(1-cosA)(1-cosB)

Se sinAsinB0, posso multiplicar isto por (1+cosA)(1+cosB)/(sinAsinB) dos
dois lados:
(1+cosA)(1+cosB)=sinA.sinB

Igualando essas duas equações, tiro que cosA+cosB=0. Então cosC=1, portanto
sinC=0.

(Hmmm, que estranho... errei alguma conta?)

---///---

Suponho que sua primeira condição seja análoga, fazendo a=tanx,
b=tany,c=tanz, acertei?

Abraço, Ralph.



2015-07-03 16:01 GMT-03:00 Pedro José petroc...@gmail.com:

 Boa tarde!

 (i) a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1
 (ii) ab+bc+ac=1

 de (i) temos a^2(1+b^2)*(1+c^2) + b^2(1+a^2)*(1+c^2) +c^2*(1+a^2)*(1+b^2)
 = (1+a^2)*(1+b^2)*(1+c^2)

 2*a^2*b^2*c^2 +a^2*b^2 + b^2*c^2 + a^2*c^2 = 1 (iii)

 de (ii) 1 = a^2*b^2 + a^2*c^2+b^2*c^2 + 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) (iv)

 (iii) e (iv) == 2*a^2*b^2*c^2 = 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) == abc= a+
 b +c (v)

 É fácil observar que a=b=c=0 atende (v)

 Seja y=abc e z = a+ b+ c

 a  0, b0 e c0 e (ii) == 0a1, 0b1 e c0c1. == ab1, bc  1 e ac1.


  δy/δa = bc, δy/δb = ac, δy/δc = ab e

 δz/δa = 1, δz/δb = 1, δz/δc = 1

 Logo y cresce a uma taxa menor z para 0a1, 0b1 e c0c1  e como para
 a=b=c =0   :  y=z  == y  z para 0a1, 0b1 e c0c1.

 É bem provável que exista uma solução mais elegante usando alguma
 desigualdade

 Sds,

 PJMS








 Em 2 de julho de 2015 14:54, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Olá pessoal, boa tarde.Será que alguém aí sabe se o problema abaixo
 existe em algum livro, olimpíada ou em qualquer outro lugar?Por favor, se
 souberem, me digam qual
 Prove que o sistema não possui soluções reais positivas:
 a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1
 ab+bc+ac=1
 Ou alguém conhece um problema com o seguinte enunciado:
 Prove que se sen²a+sen²b+sen²c=1 então a+b+c≠pi/2
 Se tiverem o livro/prova que tenham estes problemas, por favor, me digam
 qual.

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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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[obm-l] Re: [obm-l] Sistema não linear

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2014-05-05 22:04 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:
 Como determinar as soluções reais do seguinte sistema?

 x^3 - 3x = y
 y^3 - 3y = z
 z^3 - 3z = x

Por substituição. A primeira dá y em função de x, a segunda dá z em
função de y (logo de x), o que dá uma equação de grau 27 (se não errei
as contas) para x. Ache as 27 soluções e, se x for real, as equações
acima dão que y e z também serão reais.

Moleza! (Se você tem um computador ou o Wolfram Alpha). Senão, você
pode tentar o critério de raízes racionais para ver se tem alguma
raíz fácil.

Nesse caso particular, você pode usar a simetria do problema para
ajudar. Veja que, se x = y, y = x^3 - 3x = y^3 - 3y = z, ou seja os
três são iguais. Daí, você tem que resolver uma equação simples

x^3 = 4x = x = 0 ou x^2 = 4 = x = 0, -2, 2. Isso dá três soluções.

Agora, considere a função f(t) = t^3 - 4t, que é crescente para t  2.
Se x  2, y = x + f(x)  x + f(2)  x. Daí, z = y + f(y)  y + f(2) 
y. Enfim, x = z + f(z)  z + f(2)  z  y  x. Absurdo. A mesma coisa
vale para x  -2. Daí, basta ver se há raízes para -2  x  2, além de
x = 0. Eu fiz uns esboços do gráfico de g(t) = t^3 - 3t, parece que há
outras soluções, mas não sei como calcular sem usar o polinômio de 27o
grau.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações trigonométricas e exponenciais

[saulo nilson]

sen(x + y) = sen(x) + sen(y)
e^x + e^y = 1
senxcosy+cosxseny=senx+seny
senx(1-cosy)=seny(cosx-1)
tgx/2=tgy/2
tgx/2=-tgy/2
x/2=y/2+npi
x=y+2npi
e^y=1/(e^2npi+1)
y=-ln(e^2npi+1)


2013/7/26 Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com

 Verdade! Comi uma mosca nessa parte:

 sen (y/2)  0 - cos(x + y/2) = cos(y/2) - x = - 2k . pi

 Na verdade, temos:

 sen (y/2)  0 - cos(x + y/2) = cos(y/2) - x = - 2k . pi ou x + y = -
 2k . pi

 Obrigado, Nehab! Bom problema!


 Em 26 de julho de 2013 15:29, Artur Costa Steiner 
 steinerar...@gmail.comescreveu:

 Eu gostaria de elaborar um pouco mais, a partir do ponto em que o Marcos
 parou. Acho que há ainda outras soluções.

 O Marcos concluiu, da 1a equação, que

 sen(y/2) (cos(x + y/2) - cos(y/2)) = 0

 Aplicando uma conhecida identidade trigonométrica na linha da que ele
 usou, obtemos

 sen(y/2) (-2sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0

 sen(y/2) sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0

 Assim, sendo k um inteiro, a 1a equação será satisfeita se, e somente se,
 pelo menos uma das seguintes condições for satisfeita:

 sen(y/2) = 0, equivalente a y/2 = kπ, y= 2kπ
 sen(x/2) = 0, x = 2kπ
 sen(x + y) = 0, x + y = 2kπ

 As duas primeira condições já foram abordadas pelo Marcos

 Se vigorar a 3a condição, então y = 2kπ - x e a 2a equação implica que

 e^x + e^(2kπ - x) = 1

 (e^x)^2 - e^x + e^(2kπ) = 0

 Como estamos nos reais, uma condição necessária para haver solução é que
 esta equação quadrática em e ^x tenha pelo menos uma raiz real. Logo, uma
 condição necessária é que

 1 - 4 e^(2kπ) ≥ 0, ou seja, e^(2kπ) ≤ 1/4, k ≤ -ln(4)/(2kπ). Como k é
 inteiro, isto implica simplesmente que k ≤ -1. Neste caso, temos que e^x =
 (1 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2 e e^x = (1 + sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2. Em ambos
 os casos, o segundo membro é positivo, de modo que temos x = ln((4 - sqrt(1
 - 4 e^(2kπ)))/2) ou x = e^x = (4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) e y = 2kπ - x.

 Em suma, o conjunto solução desta equação é a união dos seguintes
 conjuntos

 A = {(x, y) em R^2 | x = ln(1 - e^(2kπ)), k  0, k inteiro, x ∈ R}

 B = {(x, y) em R^2 | x ∈ R, y = ln(1 - e^(2kπ)), k  0, k inteiro}

 C = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k
  0, k inteiro}

 D = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k
  0, k inteiro}

 Dê uma conferida.


 Artur Costa Steiner

 Em 26/07/2013, às 13:21, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com
 escreveu:

 Da segunda equação, devemos ter: x  0 e y  0 (*). Suponhamos, sem perda
 de generalidade, que x = 0 - e^x = 1 - e^y = (1 - e^x) = 0. Absurdo,
 pois e^y  0 para qualquer y real.

 I) sen (x + y) = sen(x) + sen(y) - sen (x + y) - sen(x) = sen(y) - 2 .
 sen(y/2) . cos(x + y/2) = 2 . sen(y/2) . cos(y/2). Vamos considerar duas
 hipóteses:

 I.i) sen (y/2) = 0 - y = - 2k . pi (com k natural. Estou excluindo os
 valores positivos de y que resolveriam essa equação, devido à observação
 (*)). Substituindo na segunda equação: e^x + e^(- 2k . pi) = 1 - x = ln(1
 - e^(- 2k . pi)).

 I.ii) sen (y/2)  0 - cos(x + y/2) = cos(y/2) - x = - 2k . pi (com k
 natural. Aqui vale a mesma observação feita em I.i). Analogamente: y =
  ln(1 - e^(- 2k . pi)).

 Portanto, as soluções são: (- 2k . pi ; ln(1 - e^(- 2k . pi))) e (ln(1 -
 e^(- 2k . pi)) ; - 2k . pi ) [onde k é natural e diferente de zero.]


 Em 26 de julho de 2013 11:11, Merryl M sc...@hotmail.com escreveu:

 Bom dia a todos

 Podem ajudar a resolver este sistema? Estou um tanto perdida.

 Determinar em R2, em radianos, as soluções do seguinte sistema:

 sen(x + y) = sen(x) + sen(y)
 e^x + e^y = 1

 Com substituições trigonométricas cheguei numa expressão extremamente
 complicada.

 Obrigada.

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[obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações trigonométricas e exponenciais

[Marcos Martinelli]

Da segunda equação, devemos ter: x  0 e y  0 (*). Suponhamos, sem perda
de generalidade, que x = 0 - e^x = 1 - e^y = (1 - e^x) = 0. Absurdo,
pois e^y  0 para qualquer y real.

I) sen (x + y) = sen(x) + sen(y) - sen (x + y) - sen(x) = sen(y) - 2 .
sen(y/2) . cos(x + y/2) = 2 . sen(y/2) . cos(y/2). Vamos considerar duas
hipóteses:

I.i) sen (y/2) = 0 - y = - 2k . pi (com k natural. Estou excluindo os
valores positivos de y que resolveriam essa equação, devido à observação
(*)). Substituindo na segunda equação: e^x + e^(- 2k . pi) = 1 - x = ln(1
- e^(- 2k . pi)).

I.ii) sen (y/2)  0 - cos(x + y/2) = cos(y/2) - x = - 2k . pi (com k
natural. Aqui vale a mesma observação feita em I.i). Analogamente: y =
 ln(1 - e^(- 2k . pi)).

Portanto, as soluções são: (- 2k . pi ; ln(1 - e^(- 2k . pi))) e (ln(1 -
e^(- 2k . pi)) ; - 2k . pi ) [onde k é natural e diferente de zero.]


Em 26 de julho de 2013 11:11, Merryl M sc...@hotmail.com escreveu:

 Bom dia a todos

 Podem ajudar a resolver este sistema? Estou um tanto perdida.

 Determinar em R2, em radianos, as soluções do seguinte sistema:

 sen(x + y) = sen(x) + sen(y)
 e^x + e^y = 1

 Com substituições trigonométricas cheguei numa expressão extremamente
 complicada.

 Obrigada.

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações trigonométricas e exponenciais

[Artur Costa Steiner]

Eu gostaria de elaborar um pouco mais, a partir do ponto em que o Marcos parou. 
Acho que há ainda outras soluções.

O Marcos concluiu, da 1a equação, que

sen(y/2) (cos(x + y/2) - cos(y/2)) = 0

Aplicando uma conhecida identidade trigonométrica na linha da que ele usou, 
obtemos

sen(y/2) (-2sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0

sen(y/2) sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0

Assim, sendo k um inteiro, a 1a equação será satisfeita se, e somente se, pelo 
menos uma das seguintes condições for satisfeita:

sen(y/2) = 0, equivalente a y/2 = kπ, y= 2kπ
sen(x/2) = 0, x = 2kπ
sen(x + y) = 0, x + y = 2kπ

As duas primeira condições já foram abordadas pelo Marcos

Se vigorar a 3a condição, então y = 2kπ - x e a 2a equação implica que

e^x + e^(2kπ - x) = 1

(e^x)^2 - e^x + e^(2kπ) = 0

Como estamos nos reais, uma condição necessária para haver solução é que esta 
equação quadrática em e ^x tenha pelo menos uma raiz real. Logo, uma condição 
necessária é que 

1 - 4 e^(2kπ) ≥ 0, ou seja, e^(2kπ) ≤ 1/4, k ≤ -ln(4)/(2kπ). Como k é inteiro, 
isto implica simplesmente que k ≤ -1. Neste caso, temos que e^x = (1 - sqrt(1 - 
4 e^(2kπ)))/2 e e^x = (1 + sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2. Em ambos os casos, o segundo 
membro é positivo, de modo que temos x = ln((4 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2) ou x = 
e^x = (4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) e y = 2kπ - x. 

Em suma, o conjunto solução desta equação é a união dos seguintes conjuntos 

A = {(x, y) em R^2 | x = ln(1 - e^(2kπ)), k  0, k inteiro, x ∈ R}

B = {(x, y) em R^2 | x ∈ R, y = ln(1 - e^(2kπ)), k  0, k inteiro}

C = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k  0, k 
inteiro}

D = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k  0, k 
inteiro}

Dê uma conferida.


Artur Costa Steiner

Em 26/07/2013, às 13:21, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com escreveu:

 Da segunda equação, devemos ter: x  0 e y  0 (*). Suponhamos, sem perda de 
 generalidade, que x = 0 - e^x = 1 - e^y = (1 - e^x) = 0. Absurdo, pois 
 e^y  0 para qualquer y real. 
 
 I) sen (x + y) = sen(x) + sen(y) - sen (x + y) - sen(x) = sen(y) - 2 . 
 sen(y/2) . cos(x + y/2) = 2 . sen(y/2) . cos(y/2). Vamos considerar duas 
 hipóteses:
 
 I.i) sen (y/2) = 0 - y = - 2k . pi (com k natural. Estou excluindo os 
 valores positivos de y que resolveriam essa equação, devido à observação 
 (*)). Substituindo na segunda equação: e^x + e^(- 2k . pi) = 1 - x = ln(1 - 
 e^(- 2k . pi)).
 
 I.ii) sen (y/2)  0 - cos(x + y/2) = cos(y/2) - x = - 2k . pi (com k 
 natural. Aqui vale a mesma observação feita em I.i). Analogamente: y =  ln(1 
 - e^(- 2k . pi)).
 
 Portanto, as soluções são: (- 2k . pi ; ln(1 - e^(- 2k . pi))) e (ln(1 - e^(- 
 2k . pi)) ; - 2k . pi ) [onde k é natural e diferente de zero.]
 
 
 Em 26 de julho de 2013 11:11, Merryl M sc...@hotmail.com escreveu:
 Bom dia a todos
 
 Podem ajudar a resolver este sistema? Estou um tanto perdida.
 
 Determinar em R2, em radianos, as soluções do seguinte sistema:
 
 sen(x + y) = sen(x) + sen(y)
 e^x + e^y = 1
 
 Com substituições trigonométricas cheguei numa expressão extremamente 
 complicada.
 
 Obrigada.
 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações trigonométricas e exponenciais

[Marcos Martinelli]

Verdade! Comi uma mosca nessa parte:

sen (y/2)  0 - cos(x + y/2) = cos(y/2) - x = - 2k . pi

Na verdade, temos:

sen (y/2)  0 - cos(x + y/2) = cos(y/2) - x = - 2k . pi ou x + y = - 2k
. pi

Obrigado, Nehab! Bom problema!


Em 26 de julho de 2013 15:29, Artur Costa Steiner
steinerar...@gmail.comescreveu:

 Eu gostaria de elaborar um pouco mais, a partir do ponto em que o Marcos
 parou. Acho que há ainda outras soluções.

 O Marcos concluiu, da 1a equação, que

 sen(y/2) (cos(x + y/2) - cos(y/2)) = 0

 Aplicando uma conhecida identidade trigonométrica na linha da que ele
 usou, obtemos

 sen(y/2) (-2sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0

 sen(y/2) sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0

 Assim, sendo k um inteiro, a 1a equação será satisfeita se, e somente se,
 pelo menos uma das seguintes condições for satisfeita:

 sen(y/2) = 0, equivalente a y/2 = kπ, y= 2kπ
 sen(x/2) = 0, x = 2kπ
 sen(x + y) = 0, x + y = 2kπ

 As duas primeira condições já foram abordadas pelo Marcos

 Se vigorar a 3a condição, então y = 2kπ - x e a 2a equação implica que

 e^x + e^(2kπ - x) = 1

 (e^x)^2 - e^x + e^(2kπ) = 0

 Como estamos nos reais, uma condição necessária para haver solução é que
 esta equação quadrática em e ^x tenha pelo menos uma raiz real. Logo, uma
 condição necessária é que

 1 - 4 e^(2kπ) ≥ 0, ou seja, e^(2kπ) ≤ 1/4, k ≤ -ln(4)/(2kπ). Como k é
 inteiro, isto implica simplesmente que k ≤ -1. Neste caso, temos que e^x =
 (1 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2 e e^x = (1 + sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2. Em ambos
 os casos, o segundo membro é positivo, de modo que temos x = ln((4 - sqrt(1
 - 4 e^(2kπ)))/2) ou x = e^x = (4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) e y = 2kπ - x.

 Em suma, o conjunto solução desta equação é a união dos seguintes
 conjuntos

 A = {(x, y) em R^2 | x = ln(1 - e^(2kπ)), k  0, k inteiro, x ∈ R}

 B = {(x, y) em R^2 | x ∈ R, y = ln(1 - e^(2kπ)), k  0, k inteiro}

 C = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k 
 0, k inteiro}

 D = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k 
 0, k inteiro}

 Dê uma conferida.


 Artur Costa Steiner

 Em 26/07/2013, às 13:21, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com
 escreveu:

 Da segunda equação, devemos ter: x  0 e y  0 (*). Suponhamos, sem perda
 de generalidade, que x = 0 - e^x = 1 - e^y = (1 - e^x) = 0. Absurdo,
 pois e^y  0 para qualquer y real.

 I) sen (x + y) = sen(x) + sen(y) - sen (x + y) - sen(x) = sen(y) - 2 .
 sen(y/2) . cos(x + y/2) = 2 . sen(y/2) . cos(y/2). Vamos considerar duas
 hipóteses:

 I.i) sen (y/2) = 0 - y = - 2k . pi (com k natural. Estou excluindo os
 valores positivos de y que resolveriam essa equação, devido à observação
 (*)). Substituindo na segunda equação: e^x + e^(- 2k . pi) = 1 - x = ln(1
 - e^(- 2k . pi)).

 I.ii) sen (y/2)  0 - cos(x + y/2) = cos(y/2) - x = - 2k . pi (com k
 natural. Aqui vale a mesma observação feita em I.i). Analogamente: y =
  ln(1 - e^(- 2k . pi)).

 Portanto, as soluções são: (- 2k . pi ; ln(1 - e^(- 2k . pi))) e (ln(1 -
 e^(- 2k . pi)) ; - 2k . pi ) [onde k é natural e diferente de zero.]


 Em 26 de julho de 2013 11:11, Merryl M sc...@hotmail.com escreveu:

 Bom dia a todos

 Podem ajudar a resolver este sistema? Estou um tanto perdida.

 Determinar em R2, em radianos, as soluções do seguinte sistema:

 sen(x + y) = sen(x) + sen(y)
 e^x + e^y = 1

 Com substituições trigonométricas cheguei numa expressão extremamente
 complicada.

 Obrigada.

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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações trigonométricas e exponenciais

[Merryl M]

Ótimo, muito obrigada a todos.

Amanda

Date: Fri, 26 Jul 2013 13:21:46 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de equações trigonométricas e exponenciais
From: mffmartine...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Da segunda equação, devemos ter: x  0 e y  0 (*). Suponhamos, sem perda de 
generalidade, que x = 0 - e^x = 1 - e^y = (1 - e^x) = 0. Absurdo, pois e^y 
 0 para qualquer y real. 

I) sen (x + y) = sen(x) + sen(y) - sen (x + y) - sen(x) = sen(y) - 2 . 
sen(y/2) . cos(x + y/2) = 2 . sen(y/2) . cos(y/2). Vamos considerar duas 
hipóteses:
I.i) sen (y/2) = 0 - y = - 2k . pi (com k natural. Estou excluindo os valores 
positivos de y que resolveriam essa equação, devido à observação (*)). 
Substituindo na segunda equação: e^x + e^(- 2k . pi) = 1 - x = ln(1 - e^(- 2k 
. pi)).

I.ii) sen (y/2)  0 - cos(x + y/2) = cos(y/2) - x = - 2k . pi (com k 
natural. Aqui vale a mesma observação feita em I.i). Analogamente: y =  ln(1 - 
e^(- 2k . pi)).

Portanto, as soluções são: (- 2k . pi ; ln(1 - e^(- 2k . pi))) e (ln(1 - e^(- 
2k . pi)) ; - 2k . pi ) [onde k é natural e diferente de zero.]


Em 26 de julho de 2013 11:11, Merryl M sc...@hotmail.com escreveu:




Bom dia a todos

Podem ajudar a resolver este sistema? Estou um tanto perdida.

Determinar em R2, em radianos, as soluções do seguinte sistema:

sen(x + y) = sen(x) + sen(y)
e^x + e^y = 1


Com substituições trigonométricas cheguei numa expressão extremamente 
complicada.

Obrigada.
  

--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.





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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.

  
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados

[Eduardo Wilner]

Deve haver algum engano: sistema de três equações (parecem L.I.) à duas 
incógnitas?




 De: terence thirteen peterdirich...@gmail.com
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br 
Enviadas: Quarta-feira, 1 de Maio de 2013 21:02
Assunto: [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados
 



Resolva o sistema abaixo:

3(S-l)^2+D^2=3^2
3S^2+(l-D)^2=4^2
3S^2+(l+D)^2=5^2



(Espero que minha formulação esteja correta...)


-- 
/**/
神が祝福

Torres 

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados

[douglas . oliveira]

  

A solução ficou muito feia deu preguiça de tentar fazer rs. 

olha
ai


http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+3%28S-l%29%5E2%2BD%5E2%3D3%5E2%2C+3S%5E2%2B%28l-D%29%5E2%3D4%5E2%2C+3S%5E2%2B%28l%2BD%29%5E2%3D5%5E2+


On Sun, 5 May 2013 13:17:47 -0700 (PDT), Eduardo Wilner wrote: 


Deve haver algum engano: sistema de três equações (parecem L.I.) à duas
incógnitas?
 
 -
 DE: terence thirteen 

PARA: obm-l 
 ENVIADAS: Quarta-feira, 1 de Maio de 2013 21:02

ASSUNTO: [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados
 
 Resolva o
sistema abaixo:
 
 3(S-l)^2+D^2=3^2 3S^2+(l-D)^2=4^2

3S^2+(l+D)^2=5^2
 
 (Espero que minha formulação esteja correta...) 


 -- 
 /**/
 神が祝福
 
 Torres

  

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados

[terence thirteen]

São três variáveis - S,D e l (L minúsculo).




Em 5 de maio de 2013 17:59, douglas.olive...@grupoolimpo.com.br escreveu:

 **

 A solução ficou muito feia deu preguiça de tentar fazer rs.

 olha ai


 http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+3%28S-l%29%5E2%2BD%5E2%3D3%5E2%2C+3S%5E2%2B%28l-D%29%5E2%3D4%5E2%2C+3S%5E2%2B%28l%2BD%29%5E2%3D5%5E2+

 On Sun, 5 May 2013 13:17:47 -0700 (PDT), Eduardo Wilner wrote:

  Deve haver algum engano: sistema de três equações (parecem L.I.) à duas
 incógnitas?
  --
 *De:* terence thirteen
 *Para:* obm-l
 *Enviadas:* Quarta-feira, 1 de Maio de 2013 21:02
 *Assunto:* [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados

   Resolva o sistema abaixo:

 3(S-l)^2+D^2=3^2
 3S^2+(l-D)^2=4^2
 3S^2+(l+D)^2=5^2
  (Espero que minha formulação esteja correta...)

 --
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 神が祝福

 Torres








-- 
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神が祝福

Torres

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados

[terence thirteen]

Em 5 de maio de 2013 22:12, terence thirteen peterdirich...@gmail.comescreveu:

 São três variáveis - S,D e l (L minúsculo).




 Em 5 de maio de 2013 17:59, douglas.olive...@grupoolimpo.com.brescreveu:

 **

 A solução ficou muito feia deu preguiça de tentar fazer rs.

 olha ai


 http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+3%28S-l%29%5E2%2BD%5E2%3D3%5E2%2C+3S%5E2%2B%28l-D%29%5E2%3D4%5E2%2C+3S%5E2%2B%28l%2BD%29%5E2%3D5%5E2+

 Mas cê tentou mesmo?? Me deu medo de calcular tanto quadrado sem saber se
cancelava...

 On Sun, 5 May 2013 13:17:47 -0700 (PDT), Eduardo Wilner wrote:

  Deve haver algum engano: sistema de três equações (parecem L.I.) à duas
 incógnitas?
  --
 *De:* terence thirteen
 *Para:* obm-l
 *Enviadas:* Quarta-feira, 1 de Maio de 2013 21:02
 *Assunto:* [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados

   Resolva o sistema abaixo:

 3(S-l)^2+D^2=3^2
 3S^2+(l-D)^2=4^2
 3S^2+(l+D)^2=5^2
  (Espero que minha formulação esteja correta...)

 --
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 Torres








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 神が祝福

 Torres




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神が祝福

Torres

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados

[terence thirteen]

Em 5 de maio de 2013 17:17, Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.brescreveu:

 Deve haver algum engano: sistema de três equações (parecem L.I.) à duas
 incógnitas?


Deixa eu escrever mais claramente então:

x^2+3(y-z)^2=A^2,
(x-y)^2+3z^2=B^2,
(x+y)^2+3z^2=C^2

com A=3,B=4,C=5

E elas não são LI, LI é indefinível para equações de grau maior que 2 :P

  --
  *De:* terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 *Para:* obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
 *Enviadas:* Quarta-feira, 1 de Maio de 2013 21:02
 *Assunto:* [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados


 Resolva o sistema abaixo:

 3(S-l)^2+D^2=3^2
 3S^2+(l-D)^2=4^2
 3S^2+(l+D)^2=5^2

 (Espero que minha formulação esteja correta...)

 --
 /**/
 神が祝福

 Torres





-- 
/**/
神が祝福

Torres

[obm-l] Re: [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/5/1 terence thirteen peterdirich...@gmail.com:

 Resolva o sistema abaixo:

 3(S-l)^2+D^2=3^2
 3S^2+(l-D)^2=4^2
 3S^2+(l+D)^2=5^2
Dá uns números muito feios?

III - II elimina tudo menos 4 l D = 25 - 16 = 9.

Daí, II - I elimina quase tudo menos 6 S l - 2 D l = 7, mas a gente
tem 4 D l do anterior. Substitui D = 9/4l e S = 23/12l, e obtenha uma
biquadrada... e coragem com as raízes.

-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] sistema de equações modula res

[Vandelei Nemitz]

Prezado Paulo...

A intersecção das quatro desiguadades gera a área onde as soluções e
encontram, mas não podemos nos esquecer das igualdades em si. Não são todos
os pares desta região que são soluções do sistema.

Um abraço,

Vanderlei

2009/5/14 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com

 Ola Vanderlei e demais
 colegas desta lista ... OBM-L,

 Nao sei se vou conseguir atender as suas expectativas ...  Pelo que
 entendi, voce quer reduzir o espaco das solucoes. Supondo que voce
 esta pensando em x e y como numeros reais, as conhecidas
 propriedades entre modulos

 | A - B | = | B - A )
 | A | + | B | = |A + B|

 nos permitem, a principio, escrever :

 |x+y|+|1-x| = 6 = |x+y+1-x|  implica  |y+1| = 6  implica -7 = y = 5
 |x+y+1|+|1-y| = 4 = |x+y+1+1-y|  implica  |x+2| = 4 implica -6 = x = 2

 ou seja, o espaco das solucoes restringe-se ao quadradinho definido
 pelas duas inequacoes simultaneas acima. Isso, em si,  ja e uma
 restricao importante. Resta portanto apenas descobrir quais pares
 (x,y) interiores a este quadradinho nos interessam. Para ver como e
 possivel  discrimina-los, considere que :

 |x+y| + |1-x| = |x+y| + |x-1| = 6  = |2x+y-1|  = -6 = 2x+y-1 = 6
 = -2x-5 = y = -2x + 7
 |x+y+1| + |1-y| = |x+y+1| + |y-1| = 4 = |x+2y|  = -4 = x+2y = 4 =
 -x/2 - 2 = y = -x/2 + 2

 A interseccao entre essas 4 inequacoes simultaneas e a solucao.

 Um Abraco a todos !
 PSR, 51405091430

 2009/5/14 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br:
   Bom dia pessoal..será que alguém consegue resolver sem analisar todos
 os
  casos?
 
  |x + y| + |1 - x| = 6 e |x + y + 1| + |1 - y| = 4
 
  Eu fiz analisando todas as possibilidades de sinais, mas é muito
 trabalhoso.
 
  obrigado!
 
  Vanderlei

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Re: [obm-l] sistema de equações modulares

[Carlos Nehab]

Vandelei,

Você já estudou gráficos de planos  no R3, por exemplo ? 


Nehab

Vandelei Nemitz escreveu:
Bom dia pessoal..será que alguém consegue resolver sem analisar todos 
os casos?
 
*|x + y| + |1 - x| = 6 e |x + y + 1| + |1 - y| = 4*
** 
Eu fiz analisando todas as possibilidades de sinais, mas é muito 
trabalhoso.
 
obrigado!
 
Vanderlei

[obm-l] Re: [obm-l] sistema de equações modulares

[Vandelei Nemitz]

não, mas se vc conhecer uma solução via gráficos, manda bala!

2009/5/14 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br

 Vandelei,

 Você já estudou gráficos de planos  no R3, por exemplo ?

 Nehab

 Vandelei Nemitz escreveu:

 Bom dia pessoal..será que alguém consegue resolver sem analisar todos os
 casos?

 *|x + y| + |1 - x| = 6 e |x + y + 1| + |1 - y| = 4*
 **
 Eu fiz analisando todas as possibilidades de sinais, mas é muito
 trabalhoso.

 obrigado!

 Vanderlei

Re: [obm-l] sistema de equaçoes polinomiais

[Alexandre Gonçalves]

Bom, eu buscava uma referencia, pois nao sei muito bem a generalidade que
preciso. Mas vou tentar formular o problema de forma mais especifica.

Considere um sistema de polinomios de duas icognitas e duas equacoes da
forma

a0 + a1x + a2y + a3xy + a4x^2 + a5y^2 + a6x^2y + a7xy^2 + a8x^3 + a9y^3 = 0
b0 + b1x + b2y + b3xy + b4x^2 + b5y^2 + b6x^2y + b7xy^2 + b8x^3 + b9y^3 = 0

Sao todas as combinacoes de x y com soma dos expoentes = 3

Que restriçoes ou condiçoes poderiam ser colocados nos coeficientes ai e bi
(i = 0,1...9) para que eu tenha certeza que existe pelo menos uma soluçao
real para o sistema.

referencias sobre o tema ajudariam tambem.

Obrigado

Tico



Em 31/01/08, flnlucatelli . [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 MOSTRA O SISTEMA, pois näo há uma fórmula mágica para resolver todos
 com as características que você forneceu!
 QUAL é o sistema?

 2008/1/29, Alexandre Gonçalves [EMAIL PROTECTED]:
  Ola!
 
  Encontrei um sistema de equaçoes polinomiais em varias variaveis cujo
 grau
  mais alto e 5, e estou interessado na existencia de solucoes reais deste
  sistema. Alguem conhece alguma referencia ou teorema que possa me
 ajudar...
 
  Obrigado
 
  Tico
 

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Re: [obm-l] sistema de equaçoes polinomiais

[Angelo Schranko]

Se a0 = b0 = 0 então independentamente dos valores dos coeficientes, o sistema 
sempre tem solução trivial: {(0,0)}
   
  [ ]´s
  Angelo

Alexandre Gonçalves [EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Bom, eu buscava uma referencia, pois nao sei muito bem a generalidade que 
preciso. Mas vou tentar formular o problema de forma mais especifica.

Considere um sistema de polinomios de duas icognitas e duas equacoes da forma

a0 + a1x + a2y + a3xy + a4x^2 + a5y^2 + a6x^2y + a7xy^2 + a8x^3 + a9y^3 = 0
b0 + b1x + b2y + b3xy + b4x^2 + b5y^2 + b6x^2y + b7xy^2 + b8x^3 + b9y^3 = 0

Sao todas as combinacoes de x y com soma dos expoentes = 3

Que restriçoes ou condiçoes poderiam ser colocados nos coeficientes ai e bi (i 
= 0,1...9) para que eu tenha certeza que existe pelo menos uma soluçao real 
para o sistema.

referencias sobre o tema ajudariam tambem.

Obrigado

Tico



  Em 31/01/08, flnlucatelli . [EMAIL PROTECTED] escreveu:  MOSTRA O SISTEMA, 
pois näo há uma fórmula mágica para resolver todos
com as características que você forneceu!
QUAL é o sistema?

2008/1/29, Alexandre Gonçalves [EMAIL PROTECTED]:
 Ola!

 Encontrei um sistema de equaçoes polinomiais em varias variaveis cujo grau
 mais alto e 5, e estou interessado na existencia de solucoes reais deste
 sistema. Alguem conhece alguma referencia ou teorema que possa me ajudar...

 Obrigado

 Tico


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Re: [obm-l] sistema de equaçoes polinomiais

[flnlucatelli .]

MOSTRA O SISTEMA, pois näo há uma fórmula mágica para resolver todos
com as características que você forneceu!
QUAL é o sistema?

2008/1/29, Alexandre Gonçalves [EMAIL PROTECTED]:
 Ola!

 Encontrei um sistema de equaçoes polinomiais em varias variaveis cujo grau
 mais alto e 5, e estou interessado na existencia de solucoes reais deste
 sistema. Alguem conhece alguma referencia ou teorema que possa me ajudar...

 Obrigado

 Tico


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Re: [obm-l] sistema...

[vinicius aleixo]

  (..)  o coeficiente de z seria:  (a33 - a13 * a31 / a11) - (a23 - a13 * a21 / a11) * (a32 - a12 * a31 / a11)/ (a22 - a12 * a21 / a11) --  Fala Salhabpow cara, legal essa soluçao..  e acho q a partir daih eh facil acabar..  fiz aqui e deu certinho..eh soh escalonar e ver q os coef. de x,y,z da diagonal principal sao  q 0.  ah, tem algum bizu pra prova do IME?? tah chegando
 neh...  se tiver alguma dica e talz passa aeeabração 
		 
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Re: [obm-l] sistema...

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Vinicius,

para isso, vamos provar que a matriz principal tem 
determinante diferente de 0.

(a11)x + (a12)y + (a13)z = 
0[i]

(a22 - a12 * a21 / a11)y + (a23 - a13 * a21 / a11)z 
= 0 [ii]

(a32 - a12 * a31 / a11)y + (a33 - a13 * a31 / a11)z 
= 0[iii]

a22  0
a12  a11  a12/a11  1
mas a21  a22 ... assim: a21 * a12 / a11  
a22, logo: a22 - a12 * a21 / a11  0
logo, o coeficiente de y de [ii] é maior que 
0!

agora, teriamos que usar [ii] e [iii], para 
sumirmos com y e mostrarmos que o coeficiente de z é maior que 
zero..
assim, o determinante da matriz principal é maior 
que zero e o sistema só admite a solucao trivial.

o coeficiente de z seria:
(a33 - a13 * a31 / a11) - (a23 - a13 * a21 / a11) * 
(a32 - a12 * a31 / a11)/ (a22 - a12 * a21 / a11)

mas dai, teria q fazer em uma folha e nao digitando 
diretamente aqui no email...



um outro modo, pode ser:

em [iii],o coeficiente de z é maior que 0 
(por analogia ao demonstrado para o coeficiente de y em [ii])...

a12 / a11  1 .. tb sabemos que a12 * a31 / 
a11  0 ... logo: a32 - a12 * a31 / a11 a32  0
analogamente, temos que: a23 - a13 * a21 / a11  
a23  0

assim, o sistema formado por [ii] e [iii], tem como 
determinante principal A * B - C * D
onde A e B sao positivos, e C e D sao negativos... 
CD  0 ... AB - CD  AB

é... nao conclui nada...
eu tb tava pensando por absurdo...
mas vou deixar isso pra dps.. tenho prova de 
mecanica amanha, vou dar mais um estudada pra durmir
um abraco vinicius :)

Salhab





  - Original Message - 
  From: 
  vinicius aleixo 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, September 25, 2006 10:33 
  PM
  Subject: [obm-l] sistema...
  
  dado,(a11)x+ (a12)y + (a13)z = 0(a21)x+ (a22)y + (a23)z = 
  0(a31)x+ (a32)y + (a33)z = 0onde a11, a22,a33 0, e os 
  restantes coficientes sao 0em cada eq. a soma dos coeficientes eh 
  positiva.prove q o sistema admite somente a solucao trivial
  
  
  flw!
  
  
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  Edition.Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.12.8/455 - Release Date: 
  22/9/2006

Re: [obm-l] sistema dinamico

[Adalberto A. Dornelles F.]

Oi Silvio,

estou iniciando meus estudos em sistemas dinamicos e modelagem matematica, 
gostaria que me ajudassem com essa questao; 



possuo uma poupanca que rende 0.5% ao mes, tenho 2500 reais nesta poupanca e 
a cada mes eu deposito mais 100 reais. formular um sistema dinamico que 
modele a variacao da poupanca. 


Parece que a modelagem é bastante simples:

p(k+1) = M * p(k),

onde
p(k) = [x(k) ; 1](vetor coluna)
M = [1.05 100; 0  1] (matriz 2x2)
x(k) = montante no mês k

podendo iniciar com
p(0) = [0; 0]

Abraço,
Adalberto
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Re: [obm-l] sistema dinamico

[Walter do Amaral Netto]

Caro Silvio, boa noite!!! Ajuste a resolucao do seu monitor para
1024 x 768, maximize seu browser e aperte os cintos...

Faz uns vinte anos que vi este assunto, e nao mexo com isso (dizem que
analista de sistema so precisa saber as 4 operacoes...), mas vamos la...

Comece a observar qual eh o teu sistema. Quem eh estado, quem eh
controle, o que imprime dinamica a este sistema. A partir dai, voce
podera fazer previsoes de como o teu sistema se comportara, partindo de
um estado inicial, ok?

As equacoes classicas de um sistema dinamico continuo podem ser
escritas na forma abaixo:
xponto  =  a . x  + b . u (dinamica)
y = c . x + d . u (observacao)

onde xponto eh a variacao do estado x com o tempo, u eh o
controle exercido no sistema, y eh o que se pode observar do
sistema e a, b, c, d sao os parametros do sistema (normalmente
escalares ou matrizes). Podemos chamar o estado inicial de x(0) 
(abreviatura de x(t=0), onde t eh o tempo). Isto num modelo
continuo. Neste exemplo considerarei delta_t = 1 e trabalharei de
forma discreta, ou seja ao final de n meses, t = n.

Em nosso caso, x(0) = 2500, u = 100 (constante), j = 0,005
(5%). Aciono o cronometro!

Assim, t = 0 e x(0) = 2500.
Para t = 1 x(1) = (1+j) . x(0) + u
 t = 2 x(2) = (1+j) . [(1+j) . x(0) + u] + u =
(1+j).(1+j) . x(0) + (1+j) . u + u
 t = 3 x(3) = (1+j) . [(1+j).(1+j) . x(0) + (1+j)
. u + u] + u = (1+j).(1+j).(1+j) . x(0) + (1+j).(1+j) . u + (1+j) . u +
u
 ...
..
.. ...
 t = n x(n) = (1+j)^n . x(0) +
[(1+j)^(n-1) + (1+j)^(n-2) + ... + 1] . u
 t = n-1 x(n-1) = (1+j)^(n-1) . x(0)
+ [(1+j)^(n-2) + ... + 1] . u

 x(n) - x(n-1) = j . (1+j)^(n-1) . x(0) + (1+j)^(n-1)
. u = (1+j)^(n-1) . (j . x(0) + u) = modelo da variacao
mensal da poupanca

Repare que esta forma discreta eh bem parecida com a equacao que lhe
apresentei la em cima, pensando-se em delta_x / delta_t,
tomando-se delta_t = 1. Desculpem-me os matematicos e os fisicos,
mas considero esta pequena "grosseria" uma maneira mais facil de se
observar e "sentir" a dinamica dos sistemas...

Portanto, a variacao da poupanca x(n) - x(n-1) eh obtida
aplicando-se recursivamente  (n-1) vezes o montante mais os juros
(1+j) aos juros do capital inicial (j . x(0)) mais a aplicacao
mensal constante u.

Espero ter clareado o assunto pra voce...
Walter




Silvio escreveu:

  
estou iniciando meus estudos em sistemas dinamicos e modelagem matematica, 
gostaria que me ajudassem com essa questao; 


possuo uma poupanca que rende 0.5% ao mes, tenho 2500 reais nesta poupanca e 
a cada mes eu deposito mais 100 reais. formular um sistema dinamico que 
modele a variacao da poupanca. 



desde ja agradeco a atencao 


Silvio 


  
  

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Re: [obm-l] Sistema Linear

[Fernando Lukas Miglorancia]

Achei x=19 e y=1, meio que ´por inspeção mesmo´ ( para não dizer ´na marra´ ); como y será menor ou igual a (61/4)=15.25, testei no Excel para qual(is) valores de y, de 1a 15, o valor de (61-y)/3 seria inteiro. A resposta única foi x=19 e y=1. 

Cordialmente,

 Fernando

Em 25/04/06, Anna Luisa [EMAIL PROTECTED] escreveu:


Olá.
Por favor alguém pode me ajudar c/ esse problema.

1) Dois irmãos joão e José, pescaram em uma manhã x e y peixes, respectivamente. Sabendo que 3x + 4y = 61, determine as possíveis quantidades de peixes que eles conseguiram juntos.


Desde já agradeço a todos.
Anninha.

Re: [obm-l] Sistema Linear

[Iuri]

Olha, nao é unica a resposta nao.61-3x=4yA primeira conclusao q tiramos eh q x deve ser impar.Podemos partir de 61-57 q eh 61-3*19=4. O par (19,1) é valido.Para ser divisivel por 4, devemos somar ao 61-3*19 um numero da forma 4k. Como o numero deve ser na forma 3k', o menor numero possivel a ser somado é 12. 61-3*19+3*4=61-3*15=4*4.
Os outros possiveis sao:61-3*11=4*761-3*7=4*1061-3*3=4*13Os pares sao (19,1);(15,4);(11,7);(7,10);(3,13).On 4/26/06, Fernando Lukas Miglorancia
 [EMAIL PROTECTED] wrote:
Achei x=19 e y=1, meio que ´por inspeção mesmo´ ( para não dizer ´na marra´ ); como y será menor ou igual a (61/4)=15.25, testei no Excel para qual(is) valores de y, de 1a 15, o valor de (61-y)/3 seria inteiro. A resposta única foi x=19 e y=1. 

Cordialmente,

 Fernando

Em 25/04/06, Anna Luisa 
[EMAIL PROTECTED] escreveu:


Olá.
Por favor alguém pode me ajudar c/ esse problema.

1) Dois irmãos joão e José, pescaram em uma manhã x e y peixes, respectivamente. Sabendo que 3x + 4y = 61, determine as possíveis quantidades de peixes que eles conseguiram juntos.



Desde já agradeço a todos.
Anninha.

Re: [obm-l] Sistema Linear

[Fernando Lukas Miglorancia]

É verdade- eu é que ´viajei´- tem muitas outras respostas...; me perdoem o descuido
2006/4/26, Iuri [EMAIL PROTECTED]:

Olha, nao é unica a resposta nao.61-3x=4yA primeira conclusao q tiramos eh q x deve ser impar.Podemos partir de 61-57 q eh 61-3*19=4. O par (19,1) é valido.Para ser divisivel por 4, devemos somar ao 61-3*19 um numero da forma 4k. Como o numero deve ser na forma 3k', o menor numero possivel a ser somado é 12. 61-3*19+3*4=61-3*15=4*4. 
Os outros possiveis sao:61-3*11=4*761-3*7=4*1061-3*3=4*13Os pares sao (19,1);(15,4);(11,7);(7,10);(3,13).

On 4/26/06, Fernando Lukas Miglorancia 
[EMAIL PROTECTED] wrote: 


Achei x=19 e y=1, meio que ´por inspeção mesmo´ ( para não dizer ´na marra´ ); como y será menor ou igual a (61/4)=15.25, testei no Excel para qual(is) valores de y, de 1a 15, o valor de (61-y)/3 seria inteiro. A resposta única foi x=19 e y=1. 

Cordialmente,


 Fernando



Em 25/04/06, Anna Luisa 
 [EMAIL PROTECTED] escreveu: 




Olá.
Por favor alguém pode me ajudar c/ esse problema.

1) Dois irmãos joão e José, pescaram em uma manhã x e y peixes, respectivamente. Sabendo que 3x + 4y = 61, determine as possíveis quantidades de peixes que eles conseguiram juntos.
 

Desde já agradeço a todos.
Anninha.

Re: [obm-l] Sistema Linear

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

3x+4y=613(x+y)+y=61y=61-3(x+y)Se x+y=Z, temosy=61-3Zx=Z-y=4Z-61(61-3z, 4z-61) sao as solucoes. E so ver quais sao aquelas com as coordenadas no quadrante 1.
Em 25/04/06, Anna Luisa [EMAIL PROTECTED] escreveu:







Olá.
Por favor alguém pode me ajudar c/ esse 
problema.

1) Dois irmãos joão e José, pescaram em uma manhã x 
e y peixes, respectivamente. Sabendo que 3x + 4y = 61, determine as possíveis 
quantidades de peixes que eles conseguiram juntos.

Desde já agradeço a todos.
Anninha.

-- Ideas are bulletproof.

Re: [obm-l] Sistema de eq. diferenciais (plz tenho prova amanhã)

[Eduardo Wilner]

Procure deixar tudo em funcao de x ou de y, com
suas respectivas derivadas, p.e:

y'' + y' -2y = 0 que fornece solucao geral do tipo

y = A*exp(t) + B*exp(-2t).

   Com isso encontra-se facilmente a solucao geral
para
 x, e as condicoes iniciais devem levar a
  
   A= 14 e B=-3

   Boa prova.

  
--- Maurizio [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Olá a todos
 
 Curso Licenciatura na USP e estou me confundindo no
 objetivo de um tipo 
 de sistema, sei calcular tudo mas não sei qual é a
 resposta.
 Gostaria que alguém me desse a luz.
 
 
 
   Ache a solução particular do seguinte sistema:
 x' = -3x +4y
 y' = -x + 2y
 
 x(0)=2
 y(0)=11
 
 
 O que fiz foi o seguinte:
 X'(t)=AX(t)
 Achei autovalor e autovetor de A
 Usei na solução geral
 encontrei as constantes C1 e C2
 Achei os valores de x' e y' (38 e 20
 respectivamente)
 
 Agora se eu troco e resolvo o sistema encontro de
 novo x(0) e y(0)
 
 Gostaria de informações de aonde estou me
 confundindo, não tenho o livro 
 de consulta então vim aqui na lista
 
 Obrigado
 Maurizio
 

=
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=
 









___ 
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Re:[obm-l] Sistema Dificil

[claudio\.buffara]

Todas as triplas (x,y,z) que satisfazem me parece difícil, mas uma solução particular é fácil: se w^3 + bw^2 + cw + d = 0, então (w,w,w) é solução.





De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Tue, 18 Oct 2005 16:27:14 -0300 (ART)




Assunto:
[obm-l] Sistema Dificil
 Pessoal , alguem sabe fazer essa?
 
 
 Sejam b, c e d numeros complexos , encontre x , y e z tais que
 
  (3x^2 +2bx+c)y+ bx^2+2cx+3d=0
  (3y^2 +2by+c)z+ by^2+2cy+3d=0
  (3z^2 +2bz+c)x+ bz^2+2cz+3d=0
 
  Abs.


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Re: [obm-l] sistema de congruencias

[Eduardo Wilner]

   Ola Aldo

   Vai ai um caminho.

   x==0 (mod 5) = x multiplo de 5, combinando com

   x==6 (mod 7) = x = 20 + 35n .

   x==7 (mod 9) = 20 + 35n = 7 + 9m   

   Aplicando, por exemplo, Algoritmo Euclidiano ,
obtem-se m=52 e n=13.

   Assim podemos escrever x = 475 + 315p

   x==8 (mod 11) = 475 + 315p = 8 + 11q

   Algoritmo nela: p = 1401  e  q = 40162 ,

   o que nos leva a uma solucao  x = 441790.

   Agora vc. pode procurar outras raizes.


[]s

  Wilner

   
 
--- Adroaldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Olá pessoal,
 
 Como eu resolvo o sistema de congruências abaixo:
 
 x==0 (mod 5)
 x==6 (mod 7)
 x==7 (mod 9)
 x==8 (mod 11)
 
 Abraços,
 
 Aldo
 

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Re: [obm-l] sistema de congruencias

[Adroaldo Munhoz]

Muito Obrigado pela sua resposta.
[]'s
Aldo

Eduardo Wilner wrote:

 Ola Aldo

   Vai ai um caminho.

   x==0 (mod 5) = x multiplo de 5, combinando com

   x==6 (mod 7) = x = 20 + 35n .

   x==7 (mod 9) = 20 + 35n = 7 + 9m   

   Aplicando, por exemplo, Algoritmo Euclidiano ,
obtem-se m=52 e n=13.

   Assim podemos escrever x = 475 + 315p

   x==8 (mod 11) = 475 + 315p = 8 + 11q

   Algoritmo nela: p = 1401  e  q = 40162 ,

   o que nos leva a uma solucao  x = 441790.

   Agora vc. pode procurar outras "raizes".


[]s

  Wilner

   
 
--- Adroaldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] escreveu:

  
  
Ol pessoal,

Como eu resolvo o sistema de congruncias abaixo:

x==0 (mod 5)
x==6 (mod 7)
x==7 (mod 9)
x==8 (mod 11)

Abraos,

Aldo



  
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Re: [obm-l] sistema de congruencias

[Claudio Buffara]

on 28.09.05 21:48, Adroaldo Munhoz at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Olá pessoal,
 
 Como eu resolvo o sistema de congruências abaixo:
 
 x==0 (mod 5)
 x==6 (mod 7)
 x==7 (mod 9)
 x==8 (mod 11)
 
 Abraços,
 
 Aldo

x == 8 (mod 11) ==
x = 8 + 11a ==

x == 7 (mod 9) ==
8 + 11a == 7 (mod 9) ==
2a == 8 (mod 9) ==
a == 4 (mod 9) ==
x = 8 + 11(4 + 9b) = 52 + 99b

x == 6 (mod 7)
52 + 99b == 6 (mod 7) ==
b == 3 (mod 7) ==
x = 52 + 99(3 + 7c) = 349 + 693c

x == 0 (mod 5) ==
349 + 693c == 0 (mod 5) ==
3c == 1 (mod 5) ==
c == 2 (mod 5) ==
x = 349 + 693(2 + 5d) = 1735 + 3465d ==

x == 1735 (mod 3465)

Ou entao use o teorema chines dos restos - veja qualquer livro de teoria dos
numeros.

[]s,
Claudio.


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Re: [obm-l] sistema

[Ricardo Prins]

é a soma dos cossenos mesmo...acabou que eu resolvi logo depois...vou
tentar o cosseno da soma dos ângulos.

obrigado!

Em 14/07/05, Marcos Martinelli[EMAIL PROTECTED] escreveu:
 Você quer cos(x+y+z) ou cos(x)+cos(y)+cos(z). Para o último basta
 resolver o sistema dado, e achar os valores de cos(x), cos(y) e
 cos(z). A solução para cos(x+y+z) ficou trabalhosa mas mais legal que
 a primeira porque aí sim você usa trigonometria. Já na primeira creio
 que seja só um sistema mesmo.
 
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Re: [obm-l] sistema

[Bruno França dos Reis]

isso aí não é uma questão que caiu no ITA há alguns anos?
Pense num triângulo retângulo em A, que sai fácil.

Abraço
BrunoOn 7/14/05, Ricardo Prins [EMAIL PROTECTED] wrote:
é a soma dos cossenos mesmo...acabou que eu resolvi logo depois...voutentar o cosseno da soma dos ângulos.obrigado!Em 14/07/05, Marcos Martinelli[EMAIL PROTECTED]
 escreveu: Você quer cos(x+y+z) ou cos(x)+cos(y)+cos(z). Para o último basta resolver o sistema dado, e achar os valores de cos(x), cos(y) e cos(z). A solução para cos(x+y+z) ficou trabalhosa mas mais legal que
 a primeira porque aí sim você usa trigonometria. Já na primeira creio que seja só um sistema mesmo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: 
http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] sistema

[Bruno França dos Reis]

Marcos, para qualquer uma das perguntas (cosseno da soma ou soma dos
cossenos) vc pode resolver facilmente usando um triângulo. Olha só que
legal:

a^2 = b^2 + c^2 sugere um triângulo ABC (a, b, e c são, como sempre, as
medidas dos lados opostos aos vertices A,B,C) retângulo em A. Pensando
dessa forma, nota-se facilmente, observando o sistema, que y e z são os
ângulos agudos do triângulo, e x é o ângulo reto, e mais, C = z, B = y,
A = x. Essa observação vc faz verificando que o lado esquerdo das
igualdades representa a soma de projeções de dois lados do triângulo
sobre o terceiro lado. Logo x+y+z = 180, e cosx = 0, cosy = c/a, cosz =
b/a. Então cos(x+y+z) = -1 e cosx + cosy + cosz = (b+c)/a.

Abraço
Bruno



On 7/14/05, Marcos Martinelli [EMAIL PROTECTED] wrote:
Você quer cos(x+y+z) ou cos(x)+cos(y)+cos(z). Para o último bastaresolver o sistema dado, e achar os valores de cos(x), cos(y) ecos(z). A solução para cos(x+y+z) ficou trabalhosa mas mais legal quea primeira porque aí sim você usa trigonometria. Já na primeira creio
que seja só um sistema mesmo.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - 
gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] sistema

[Marcos Martinelli]

Você quer cos(x+y+z) ou cos(x)+cos(y)+cos(z). Para o último basta
resolver o sistema dado, e achar os valores de cos(x), cos(y) e
cos(z). A solução para cos(x+y+z) ficou trabalhosa mas mais legal que
a primeira porque aí sim você usa trigonometria. Já na primeira creio
que seja só um sistema mesmo.

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Re: [obm-l] Sistema decimal

[Eduardo Wilner]

   Entendendo que tua frase inacabada,
 de 2 algarismos distintos, o mesmo acontecendo com ,
   enquanto que T
  
   termine com ZY, algo está errado, pois:

   fatorando TTT isto é 100T+10T+T, com T natural em
[1,9], obtemos 37*3*T. 
   Como os dois fatores, no problema, precisam ter
valores de unidades iguais, Y, este terá que ser 7 e
T=9 .Assim, X+Y+Z=12.
   por favor, verifique e confirme.

  []s
 Wilner

--- matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] wrote:
Na
 equação (XY).(ZY)=T T T ,   XY  representa um número
 de 2 algarismos distintos, o mesmo acontecendo com ,
   enquanto que T
 T T representa um número com 3 algarismos iguais. A
 soma   X+Y+Z é igual a:
 
 a) 21b) 20  
  c) 22d) 19 
e) 23
 
 
Agradeço desde de já
   
  

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Re: [obm-l] sistema linear

[Osvaldo Mello Sponquiado]

Uma pergunta: a solução do sistema não é unica ? (3 equações e 3 incognitas).
Por eliminação de gauss encontra-se rapidamente.


 Oi Niski,
 Vc nao deu uma solucao geral. E acho que hah alguma coisa errda, pois a solucao crta 
 eh a - 2b + c =0, e nem todas suas solucoes satsfazem a isto.
 Ana
 
 Fabio Niski [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Lista OBM wrote:
  como se resolve o problema abaixo?
  
  Dado o sistema
  
  x + 2y + 3z = 5
  4x + 5y+ 6z = 14
  7x + 8y + 9z = 23
  
  encontrar (a, b, c) reais tal que ax + by + cz seja cte para uma solu??o 
  (x, y, z) qualquer do sistema acima.
 
 Essa solucao boboca ? valida? Se n?o, por que?
 
 A solucao generica para este sistema ?
 x = 1 + z
 y = 2 - 2z
 
 Se z = 0, temos como solucao
 (1, 2, 0)
 Se z = -1 temos como solucao
 (0, 4, -1)
 Se z = 1, temos como solucao
 (2, 0, 1)
 
 Assim, se a solucao (x,y,z) nao tiver nenhuma componente igual a 0, tome
 (a,b,c) = (1/x, 1/y, 1/z)
 
 Caso (x,y,z ) = (1,2,0) tome
 (a,b,c) = (1, 1/2, 0)
 
 Caso (x,y,z) = (0,4,-1)
 (a,b,c) = (0, 1/4, -1)
 
 Caso (x,y,z) = (2,0,1)
 (a,b,c) = (1/2, 0, 1)
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Atenciosamente,

Osvaldo Mello Sponquiado 
Engenharia Elétrica, 2ºano 
UNESP - Ilha Solteira

 
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Re: [obm-l] sistema linear

[Ana Evans]

Nao, nao eh unica porque a matriz do sistema eh singular. Neste caso, hah infinitas solucoes, todas sobre uma mesma reta de R^3.
AnaOsvaldo Mello Sponquiado [EMAIL PROTECTED] wrote:
Uma pergunta: a solução do sistema não é unica ? (3 equações e 3 incognitas).Por eliminação de gauss encontra-se rapidamente.
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Re: [obm-l] sistema linear

[Osvaldo Mello Sponquiado]

Okay !
é mesmo


 Nao, nao eh unica porque a matriz do sistema eh singular. Neste caso, hah infinitas 
 solucoes, todas sobre uma mesma reta de R^3.
 Ana
 
 Osvaldo Mello Sponquiado [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Uma pergunta: a solu??o do sistema n?o ? unica ? (3 equa??es e 3 incognitas).
 Por elimina??o de gauss encontra-se rapidamente.
 
 
 
   
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Osvaldo Mello Sponquiado 
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Re: [obm-l] sistema linear

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Oi, Ana.

Apesar de sua soluo estar impecvel, acho que vale a pena notar
(depois de ver que temos \infty^1 solues (apenas uma varivel
independente, como voc mostrou, ou calculando determinantes e
subdeterminantes) para o sistema, e portanto os vetores (a,b,c) que
satisfazem o enunciado formam um plano (isso  puramente uma questo
de ortogonalidade). Mas j temos dois desses vetores, linearmente
independentes, no enunciado, ou seja, de

x + 2y + 3z =  5
4x + 5y+ 6z = 14
7x + 8y + 9z = 23
 
temos que (1, 2, 3) e (4, 5, 6) so vetores (a, b, c) que TM que
satisfazer as condies, por definio da soluo do problema. Ento,
basta tomar as combinaes lineares dos mesmos (que formam um plano,
como voc disse).

Esse  um dos problemas da RPM que mais me convence que lgebra Linear
 importantssimo. Mesmo que PAREA uma questo que d para resolver
no brao.

-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

On Tue, 30 Nov 2004 10:22:48 -0800 (PST), Ana Evans [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
 Se subtrairmos a primeira equacao da segunda  da  ou a segunda da terceira,
 e dividirmos os 2 membros por 3, chegamos a que x + y + z = 3. Logo, a
 matriz do sistema eh singular. Com alguma algebra, chegamos a a que x =  z
 +1 e y = -2z + 1 para todo real z, ou seja, as solucoes do sistema estao
 sobre a reta {(z+1, -2z+1, z) ,| z em R}, de  R^3. 
 Se a, b, c sao numeros reais e (x,y,z) eh uma solucao do sistema, entao com
 alguma algebra chegamos a que f(z) = ax + by + cz = (a - 2b + c)*z + a+ b.
 Para a,b e c fixos, isto eh a equacao de uma reta em R^2. Logo, f eh
 constante se, e somente, se a - 2b + c =0. Qualquer ponto (a,b,c) sobre este
 plano de R^3 atende ao desejado.  
 Ana
 
  
 
 
 Lista OBM [EMAIL PROTECTED] wrote: 
  
 como se resolve o problema abaixo? 
   
 Dado o sistema 
   
 x + 2y + 3z =  5
 4x + 5y+ 6z = 14
 7x + 8y + 9z = 23 
   
 encontrar (a, b, c) reais tal que ax + by + cz seja cte para uma soluo (x,
 y, z) qualquer do sistema acima. 
   
 Obs.: acho que esse problema  da RPM 55!!! 
 
  
 
  
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Re: [obm-l] sistema linear

[Ana Evans]

Eh verdade Bernardo. E os meus conhecimentos saomuito modestos.
Abraços
AnaBernardo Freitas Paulo da Costa [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi, Ana.Apesar de sua solução estar impecável, acho que vale a pena notar(depois de ver que temos \infty^1 soluções (apenas uma variávelindependente, como você mostrou, ou calculando determinantes esubdeterminantes) para o sistema, e portanto os vetores (a,b,c) quesatisfazem o enunciado formam um plano (isso é puramente uma questãode ortogonalidade). Mas já temos dois desses vetores, linearmenteindependentes, no enunciado, ou seja, de
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Re: [obm-l] sistema linear

[Bruno Lima]

vai na tora, isola x n primeira, substitui na segunda e terceira e agora fica com um sistema 2x2Lista OBM [EMAIL PROTECTED] wrote:

como se resolve o problema abaixo?

Dado o sistema

x + 2y + 3z = 54x + 5y+ 6z = 147x + 8y + 9z = 23

encontrar(a, b,c) reais tal queax + by + cz seja cte para uma solução (x, y, z) qualquer do sistema acima.

Obs.: acho que esse problema é da RPM 55!!!
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Re: [obm-l] sistema linear

[Lista OBM]

achei a pouco uma "solução" para o problema:

a + c = 2b.

mas não sei se isso resolve o problema!!!Lista OBM [EMAIL PROTECTED] wrote:

como se resolve o problema abaixo?

Dado o sistema

x + 2y + 3z = 54x + 5y+ 6z = 147x + 8y + 9z = 23

encontrar(a, b,c) reais tal queax + by + cz seja cte para uma solução (x, y, z) qualquer do sistema acima.

Obs.: acho que esse problema é da RPM 55!!!
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Re: [obm-l] sistema linear

[Ana Evans]

Sesubtrairmos a primeira equacao da segunda da ou a segunda da terceira,e dividirmos os 2 membros por3, chegamos a que x + y + z = 3. Logo, a matriz do sistema eh singular. Com alguma algebra, chegamos a a que x = z +1 e y = -2z + 1 para todo realz, ou seja, as solucoes do sistema estao sobre areta{(z+1, -2z+1, z) ,| z em R}, deR^3. 
Se a, b, c sao numeros reais e (x,y,z) eh uma solucao do sistema, entao com alguma algebra chegamos a que f(z) = ax + by + cz = (a - 2b + c)*z + a+ b. Para a,b ec fixos, isto eh a equacao de uma reta em R^2. Logo, feh constante se, e somente, sea - 2b + c =0. Qualquer ponto(a,b,c) sobre este plano de R^3atende ao desejado.
Ana
Lista OBM [EMAIL PROTECTED] wrote:

como se resolve o problema abaixo?

Dado o sistema

x + 2y + 3z = 54x + 5y+ 6z = 147x + 8y + 9z = 23

encontrar(a, b,c) reais tal queax + by + cz seja cte para uma solução (x, y, z) qualquer do sistema acima.

Obs.: acho que esse problema é da RPM 55!!!

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Re: [obm-l] sistema linear

[Fabio Niski]

Lista OBM wrote:
como se resolve o problema abaixo?
 
Dado o sistema
 
x + 2y + 3z =  5
4x + 5y+ 6z = 14
7x + 8y + 9z = 23
 
encontrar (a, b, c) reais tal que ax + by + cz seja cte para uma solução 
(x, y, z) qualquer do sistema acima.
Essa solucao boboca é valida? Se não, por que?
A solucao generica para este sistema é
x = 1 + z
y = 2 - 2z
Se z = 0, temos como solucao
(1, 2, 0)
Se z = -1 temos como solucao
(0, 4, -1)
Se z = 1, temos como solucao
(2, 0, 1)
Assim, se a solucao (x,y,z) nao tiver nenhuma componente igual a 0, tome
(a,b,c) = (1/x, 1/y, 1/z)
Caso (x,y,z ) = (1,2,0) tome
(a,b,c) = (1, 1/2, 0)
Caso (x,y,z) = (0,4,-1)
(a,b,c) = (0, 1/4, -1)
Caso (x,y,z) = (2,0,1)
(a,b,c) = (1/2, 0, 1)
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Re: [obm-l] sistema linear

[Ana Evans]

Oi Niski,
Vc nao deu uma solucao geral. E acho que hah alguma coisa errda, pois a solucao crta eh a - 2b + c =0, e nem todas suas solucoes satsfazem a isto.
AnaFabio Niski [EMAIL PROTECTED] wrote:
Lista OBM wrote: como se resolve o problema abaixo?  Dado o sistema  x + 2y + 3z = 5 4x + 5y+ 6z = 14 7x + 8y + 9z = 23  encontrar (a, b, c) reais tal que ax + by + cz seja cte para uma solução  (x, y, z) qualquer do sistema acima.Essa solucao boboca é valida? Se não, por que?A solucao generica para este sistema éx = 1 + zy = 2 - 2zSe z = 0, temos como solucao(1, 2, 0)Se z = -1 temos como solucao(0, 4, -1)Se z = 1, temos como solucao(2, 0, 1)Assim, se a solucao (x,y,z) nao tiver nenhuma componente igual a 0, tome(a,b,c) = (1/x, 1/y, 1/z)Caso (x,y,z ) = (1,2,0) tome(a,b,c) = (1, 1/2, 0)Caso (x,y,z) = (0,4,-1)(a,b,c) = (0, 1/4, -1)Caso (x,y,z) = (2,0,1)(a,b,c) = (1/2, 0,
 1)=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=__Do You Yahoo!?Tired of spam?  Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com 

Re: [obm-l] SISTEMA DE AXIOMAS!

[Artur Costa Steiner]

E hah o paradoxo do barbeiro de Sevilha: O barbeiro de Sevilha barbeia todos
os homens de Sevilha que nao barbeiam a si mesmos. Quem barbeia o barbeiro?
Artur

- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] SISTEMA DE AXIOMAS!
Data: 18/10/04 23:50

Turma! com relação à indagação sobre o surgimento dos paradoxos, vale
salientar
que eles surgem porque o universo do discurso é muito amplo; e acaba
abarcando
essas contradições. O próprio conceito de conjunto segundo Cantor, foi
originariamente concebido de maneira muito livre, e acabou levando Cantor,
inclusive, a um paradoxo insuperável. Este exemplo, mostra a que nos leva o
uso
muito livre da linguagem: um rei mandou dizer a um condenado que ele
morreria na
fogueira se suas (do condenado) últimas palavras encerrassem uma verdade; e
morreria na forca se falasse uma falsidade. O condenado disse: vou morrer na
forca. Em consequência, o rei não pode executá-lo nem na fogueira (se não o
condenado teria dito uma falsidade), nem na forca (se não o condenado teria
falado a verdade). E por que esse impasse? Simplesmente porque a decisão
final
depende de algo fluido, aquilo que o condenado ainda vai falar. Isso não
pode
ser permitido; o universo do discurso tem de ser devidamente restrito para
não
abrigar possíveis contradições ou impasses. Por causa dos paradoxos, alguma
coisa tinha de ser feita. Foi então que vários matemáticos cuidaram de
formular
um sistema de axiomas, a partir dos quais fosse possível estabelecer os
resultados da teoria, libertando-a, ao mesmo tempo, dos paradoxos que vinham
surgindo e de outros mais que pudessem aparecer.

No Brasil, quem mente uma vez, minta sempre e quem fala a verdade uma vez,
fale
a verdade sempre. Um político disse somos todos mentirosos. Ele falou a
verdade?



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Re: [obm-l] SISTEMA

[Fábio Dias Moreira]

-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1

samanta [EMAIL PROTECTED] said:
 Olá Fabio,

 Infelizmente, eu não consegui entender o início:

 Fatorando a segunda equação, b(3a^2 - b^2) = -2. Se a e b forem inteiros,
 há quatro possibilidades para o b, que determinam o valor de a. Delas,
 apenas b = 2 e b = -1

 Como você encontrou esses valores?

 Obrigada pela atenção,
 []´s Samanta
 [...]

Só existem quatro divisores inteiros de -2: -2, -1, 1 e 2, logo b deve ser um 
deles.

b = -2: -2(3a^2 - 4) = -2 = 3a^2 = 5, impossível
b = -1: -1(3a^2 - 1) = -2 = 3a^2 = 3 = a^2 = 1.
b =  1:  1(3a^2 - 1) = -2 = 3a^2 = -3, impossível.
b =  2:  2(3a^2 - 4) = -2 = 3a^2 = 3 = a^2 = 1.

[]s,

- -- 
Fábio Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)

iD8DBQFBWolZalOQFrvzGQoRAgHEAJ0X3oHHN76mI1WRyN04usETNBympwCeMv2b
P4GZD/sL8+ZMRUicv4G8ZJ8=
=b8Mu
-END PGP SIGNATURE-


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RE: [obm-l] SISTEMA

[Leandro Lacorte Recova]

Tive uma ideia:



Da segunda equacao, isole b^3. Entao temos:



  b^3 = 3a^2 + 2   (1) 



Na segunda equacao, isole b^2 



    a^3 + 11 = 3ab^2 



Multiplique por b ambos os lados,



    b(a^3+11)=3ab^3 

    

Eleve ao cubo ambos os lados pra tirar o
radical



    ((a^3+11)^3)b^3 = 27a^3.b^9 

    

    (a^9+33a^2+363a+121)(3a^2+2) =
27(a^3)(3a^2+2)^3 

    

    (a^9+33a^2+363a+121) = 27(a^3)(3a^2+2)^2



    (a^9+33a^2+363a+121) = 27(a^3)(9a^4
+ 12a + 4) 



    a^9 + 33a^2 + 363a + 121 =
243a^7 + 324a^4 + 108a^3 



    a^9-243a^7-324a^4-108a^3 + 33a^2 + 363a + 121 = 0 



Usando o MATLAB, as raizes sao as seguintes:




A1 = 15.5913   , A2 =  -15.5858  , A3 =  0.7021
+ 1.1182i , A4 =  0.7021 - 1.1182i, A5=  0.9360 , A6=  -1.1558  , A7=  -0.4229
+ 0.7671i, A8=  -0.4229 - 0.7671i,

A9 =  -0.3441



A partir dai, e so substituir esses valores
em (1) e encontrar o correspondente valor de b. 





    

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf
Of samanta
Sent: Monday,
 September 27, 2004 12:31 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] SISTEMA







Olá amigos,





Existe solução para esse sistema?











a^3 - 3a(b^2) = -11





3(a^2) - b^3 = -2











Grata,





Samanta





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Re: [obm-l] SISTEMA

[Fábio Dias Moreira]

-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1

samanta [EMAIL PROTECTED] said:
 Olá amigos,
 Existe solução para esse sistema?

 a^3 - 3a(b^2) = -11
 3(a^2) - b^3 = -2
 [...]

O Leandro já respondeu à sua pergunta, mas eu acho que você queria dizer

a^3 - 3ab^2 = -11
3a^2b - b^3 = -2

i.e. você quer achar a raiz cúbica de -11-2i.

Fatorando a segunda equação, b(3a^2 - b^2) = -2. Se a e b forem inteiros, há 
quatro possibilidades para o b, que determinam o valor de a. Delas, apenas b 
= 2 e b = -1 geram a inteiro (e nos dois casos, a^2 = 1).

Substituindo na equação de cima, a(1 - 3b^2) = -11. A única possibilidade é b 
= 2 e a = 1, logo (1 + 2i)^3 = -11-2i. As outras duas soluções do sistema são 
geradas multiplicando por cis 120.

[]s,

- -- 
Fábio Dias Moreira
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=ze3k
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Re: [obm-l] Sistema linear homogênio

[Guilherme Carlos Moreira e Silva]

encontrando 0*x1 + 0*x2 + ... + 0*xn = k
 se k =0, sist indet
 se k!=0, sist impos
caso contrario, sist poss


 Resolvendo um sistema linear homogênio por
 escalonamento, como eu sei se ele 
 é determinado ou indeterminado?

 Uílton

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Re: [obm-l] Sistema linear homogêneo

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

x+y=0
2x+y=0
2x+2y=0
Escalonando,
x+y=0
0x-y=0
0x+0y=0
Apesar do 0x+0y=0 , o sistema é possível e DETERMINADO.

==
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-- Original Message ---
From: Guilherme Carlos Moreira e Silva [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sat, 25 Sep 2004 12:15:38 -0300 (ART)
Subject: Re: [obm-l] Sistema linear homogênio

 encontrando 0*x1 + 0*x2 + ... + 0*xn = k
  se k =0, sist indet
  se k!=0, sist impos
 caso contrario, sist poss
 
  Resolvendo um sistema linear homogênio por
  escalonamento, como eu sei se ele 
  é determinado ou indeterminado?
 
  Uílton
 
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[obm-l] Re: [obm-l] Sistema linear homogênio

[Artur Costa Steiner]

Se ele for indeterminado, em algum ponto do escalonamento vc vai fatalmente
chegar a algo do tipo 0*x_1.+ 0*x_n =0.  
Artur

- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Sistema linear homogênio
Data: 17/09/04 11:16

Oi Pesoall!

Resolvendo um sistema linear homogênio por escalonamento, como eu sei se ele

é determinado ou indeterminado?

e-hugs!

Uílton
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema linear homogênio

[Rafael]

Vale lembrar também que um SLH é sempre possível. Dessa forma, se o
determinante do sistema for nulo, então este será indeterminado.



- Original Message -
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, September 17, 2004 12:25 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema linear homogênio


Se ele for indeterminado, em algum ponto do escalonamento vc vai fatalmente
chegar a algo do tipo 0*x_1.+ 0*x_n =0.
Artur


- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Sistema linear homogênio
Data: 17/09/04 11:16

Oi Pesoall!

Resolvendo um sistema linear homogênio por escalonamento, como eu sei se ele

é determinado ou indeterminado?

e-hugs!

Uílton

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Re: [obm-l] Sistema de resíduos com primos

[Domingos Jr.]

O teorema das PAs de Dirichlet afirma que se P = {a*n + b|n inteiro} é 
uma PA com mdc(a, b) = 1 então P possui infinitos primos.

Fixando um primo p é evidente que um resíduo r é tal que mdc(r, p) = 1 
e, portanto, {p*n + r} é uma PA que contém infinitos primos.

Não consegui pensar em nada a respeito da segunda parte... note apenas 
que o resultado de Dirichlet é bem mais forte do que a sua proposição.

Bem, é possível formar um sistema completo de resíduos módulo 2,3,5,7, 11 e
13 apenas com números primos:
R_2 = { 3, 2 }
R_3 = { 7, 2, 3 }
R_5 = { 11, 2, 3, 29, 5 }
R_7 = { 29, 2, 3, 53, 5, 41, 7 }
R_11 = { 23, 2, 3, 37, 5, 61, 7, 41, 31, 43, 11 }
R_13 = { 53, 2, 3, 43, 5, 71, 7, 47, 61, 101, 11, 103, 13}
A primeira pergunta é: isso é sempre possível? Digo, dado p primo, é sempre
possível construir um sistema completo de resíduos módulo p apenas com
números primos?
E, sendo verdadeira a questão acima, isto é, que sempre exista q primo tal
que q = p*x + r, (0rp), então o menor x que satisfaça a equação encontra-
se entre 0 e p, isto é, x pertence ao sistema elementar de resíduos {1,
2, ..., (p-1), p } ?
=
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RE: [obm-l] sistema decimal e inducao

[Artur Costa Steiner]

Os digitos a, b e c deverao satisfazer a 2(64a + 8b +c) = 64c + 8b + a.
Logo, 127a + 8b -62c =0. a , b e c sao inteiros tais que 0= b,c =7 e
1=a=7, para que seja um numero de 3 algarismos.. Agora, eh pesquisar para
achar quais inteiros satisfazem a  esta equacao.
Eu encontrei o numero 275, base 8.

No segundo, temos Binomial(n,2) = (n^(2)-n)/2 apertos de mao. A ordem nao
importa e nao se aperta a mao de si mesmo.
Artur



-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, March 18, 2004 2:19 AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] sistema decimal e inducao

Ola pessoal, 


Fiquei em duvida nestes 2 problemas: 


1) It is impossible to *reverse* a number by multiplying it by 2. In other
words,there is no number of the form abcd, for example, such that abcd x 2 =
dcba.That holds true for all numbers, not just four-digit ones. 
However,there is a three-digit number abc in base 8 such that abc x 2 = cba.
Can you find that number? 

2) If,in a room with n people (n=2), every person shakes hands once with
everyother person, prove that there are (n^(2)-n)/2 handshakes. 





=
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Re: [obm-l] sistema decimal e inducao

[Rafael]

Para o problema 1, teremos:

a,b,c pertencem a {0,1,2,3,4,5,6,7}

(64a + 8b + c)*2 = 64c + 8b + a
128a + 16b + 2c = 64c + 8b + a
62c - 8b = 127a

100  (abc)  400, logo a = 1 ou 2 ou 3

a = 1 == 62c - 8b = 127 == não possui soluções inteiras

a = 2 == 62c - 8b = 254 == b = 7  e  c = 5

a = 3 == 62c - 8b = 381 == não possui soluções inteiras


Assim, (275) * 2 = (572).


Sobre o problema 2, vamos pensar:

Se n = 2, então uma pessoa cumprimentará outra pessoa e só.

Pela fórmula, 2(2-1)/2 = 1 aperto de mão

Supondo que isso seja verdade para n = p, ou seja, que os apertos de mão
sejam sempre números naturais, provar-se-á que também o será para n = p + 1.

Hipótese: p(p-1)/2 é um número natural
Tese: p(p+1)/2 é um número natural

Seja k um número natural,
p(p-1)/2 = k == p(p-1) + 2p - 2p = 2k == p(p+1)/2 = k+p

Assim, provou-se pelo PIF que os apertos de mão serão números naturais, pois
k e p, por hipótese, são naturais.

No entanto, vale a pena entender o porquê dessa fórmula. Ela decorre do
Princípio Fundamental da Contagem: na sala há n pessoas que cumprimentarão
(n-1) pessoas, pois ninguém cumprimenta a si mesmo (!!). Como cada aperto de
mão envolve duas pessoas, contamos o dobro dos apertos de mão, então
dividimos por dois: n(n-1)/2.


Abraços,

Rafael de A. Sampaio





- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, March 18, 2004 2:18 AM
Subject: [obm-l] sistema decimal e inducao


Ola pessoal,


Fiquei em duvida nestes 2 problemas:


1) It is impossible to *reverse* a number by multiplying it by 2. In other
words,there is no number of the form abcd, for example, such that abcd x 2 =
dcba.That holds true for all numbers, not just four-digit ones.
However,there is a three-digit number abc in base 8 such that abc x 2 = cba.
Can you find that number?

2) If,in a room with n people (n=2), every person shakes hands once with
everyother person, prove that there are (n^(2)-n)/2 handshakes.



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Re: [obm-l] Sistema exponencial

[Artur Costa Steiner]

Houve um engano no meu outro email. Acho que usei
errado o T. da Funcao Implicita. Ele nao garante a
existência de solucoes para o sistema dado, pelo menos
noa da forma com eu havia feito.
Vou pensar noutra solucao.
Abracos
Artur

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RE: [obm-l] Sistema exponencial

[Qwert Smith]

Uma solucao direta e x=a=0 e y0, nao?


From: Márcio Pinheiro [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Sistema exponencial
Date: Tue, 02 Mar 2004 19:33:54 +
Olá, pessoal.
Gostaria de ajuda na seguinte questão:
Encontrar os valores de x e de y, para os quais x^y=a e y^x = a+1. Discutir 
as soluções para os possíveis valores de a.
Desde já, agradeço.
Márcio.

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Re: [obm-l] Sistema exponencial

[Artur Costa Steiner]

Eu estou pensando na seguinte abordagem. A funcao
f(x)= x^x eh continua para x0 e tende a 1 quando
x-0+. Sua derivada eh f'(x) = (x^x)(1 + ln(x)). Logo,
f eh estritamente decrescente em (0,1/e), alcanca um
minimo em x =1/e e eh estritamente crescente em (1/e,
inf). Temos tambem que f(1) = 1. Logo, para a=1 a
equacao x^x = a tem uma unica solucao. Isto equivale a
dizer que, para a=1, o sistema x^y = a e y^x = a tem
pelo menos uma solucao, obtida fazendo-se x=y.  Como
as derivadas parciais de F(x,y) = (x^y, y^x) sao
continuas para x0 e y0, eh de se espear que, para
valores razoavelmente gandes de a, de modo que 1
represente pouco com relacao a a, o sistema x^y  =a e
y^x =a+1 tenha solucao. Isto estah me levando a
acreditar que o conjunto dos valores de a que tornam o
sistema possivel eh ilimitado. Estah ateh me parecendo
que existe um a_0 tal que este conjunto esteja contido
em [a_0 , inf). Eh claro que estah enrolacao nao prova
absolutamente nada, eh apenas uma linha de ideias.
O T. da Funcao Implicita, que eu usei equivocadamente
da outra vez, nao estah parecendo ajudar muito.
Artur


 Sua der
--- Márcio Pinheiro [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Olá, pessoal.
 Gostaria de ajuda na seguinte questão:
 Encontrar os valores de x e de y, para os quais
 x^y=a e y^x = a+1. Discutir 
 as soluções para os possíveis valores de a.
 Desde já, agradeço.
 Márcio.
 

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Re: [obm-l] Sistema exponencial

[Nicolau C. Saldanha]

On Tue, Mar 02, 2004 at 07:33:54PM +, Márcio Pinheiro wrote:
 Encontrar os valores de x e de y, para os quais x^y=a e y^x = a+1. Discutir 
 as soluções para os possíveis valores de a.

Eu não sei dar uma solução completa para este problema, mas tenho algumas
observações a fazer. Não vou demonstrar quase nada, é tudo matemática
experimental.

Escreva x = e^u, y = e^v. Defina w = f(u,v) = exp(v exp(u)) - exp(u exp(v)).
As curvas de nível w = 0 (azul) e w = 1 (vermelho) estão mostradas
na figura atachada: a curva vermelha dá as soluções da equação (a menos
da mudença de variável entre (x,y) e (u,v)) para a arbitrário.
Podemos observar que a curva vermelha tem duas componentes,
ambas parecem ser assintóticas ao eixo horizontal.
O valor de a = exp(u exp(v)) parece crescer monotonamente quando
percorremos a componente da esquerda, indo de 0 a +infinito.
Já na curva da direita, o valor de a tende a +infinito nas duas pontas
e parece ter um único mínimo local. O ponto de mínimo local pelas minhas
contas é aproximadamente x = 4.313517, y = 1.982000, a = 18.123252.
Se isto tudo estiver certo a equação tem uma única solução para
a  amin (na curva da esquerda), duas soluções para a = amin
(uma em cada curva) e três soluções para a  amin (uma na curva da esquerda
e duas na curva da direita).

Falta provar (ou desmentir!) tudo isso e ver se amin ~= 18.123252 admite
uma expressão bonitinha.

[]s, N.



attachment: plot.gif

Re: [obm-l] Sistema exponencial

[Artur Costa Steiner]

Acho que podemos usar o Teorema da Funcao Implicita. 
Definamos f(x,y)= x^y e g(x,y) = y^x. f e g tem
derivadas parciais continuas em {(x,y) | x0, y0}. Se
J eh o Jacobiano do sistema avaliado em x=u e y=v,
entao J = [determinante [y*(x^(y-1)) ,x^y * ln(x) ;
y^x * ln(y) , x*(y^(x-1))]|(u,v) = [x^y * y^x *(1 -
ln(x) * ln(y))]|(u,v) = u^v * v*u * (1 - ln(u) *
ln(v)). Se J nao se anular em (u,v), podemos entao
afirmar com base no T. da Funcao Implicita que x e y
podem ser explicitados em funcao de u e de v. 
Eh facil que ver que, se ln(u) * ln(v) 1, entao J 
0 e o sistema f(x,y) = u e g(x,y) = v tem solucao. 
No seu caso, temos u =a e v =a+1, par a0. Logo
podemos afirmar que teremos solucao sempre que ln(a) *
ln(a+1) 1. Se definirmos h(a) = ln(a) *
ln(a+1,)vemos que h eh continua para a0 e eh negativa
em (0,1)Deste forma, neste intervalo h(a) =1 nao se
verifica. Em a=1 h se anula e para a1 eh facil ver
que h eh estritamente crescente e positiva. Logo,
existe um e apenas um valor de a, digamos a0,
necessariamente positivo, para o qual  h(a0) =1. Eh
tambem facil de ver que a0 e . Neste valor, nao
podemos garantir, com base no T. da F. Implicita, que
seu sistema tem solucao. Mas para todos os outros
valores de a0 ele tem.  Entretanto, trabalhando com
um computador, verfiquei que a0 =~  2,3072. E
resolvendo seu sistema numericamente vi que ele tem
solucao pra este valor a0 (O T. da F. Implicita eh
se, mas nao somente se). Disto concluimos que seu
sistema tem solucao para todo a0. Se a a0, podemos
afirmar que tem solucao unica.  Agora, achar uma
expressao bonitinha e fechada de x e de y em funcao de
a nao parece muito facil

Artur
P.S. Eu no momentomnao estou lembrado de todos os
detalhes do T. da F. Implicita, mas acho que eh isto. 
 
--- Márcio Pinheiro [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Olá, pessoal.
 Gostaria de ajuda na seguinte questão:
 Encontrar os valores de x e de y, para os quais
 x^y=a e y^x = a+1. Discutir 
 as soluções para os possíveis valores de a.
 Desde já, agradeço.
 Márcio.
 

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Re: [obm-l] Sistema ( duvida no problema )

[Silvio Borges]

x^2 + y^2 = 4

1 / x^2 + 1 / y^2 = 1

x^2+y^2 = (xy)^2 donde achamos xy = 2

dai x = 2/y que substituindo na primeira equacao, temos

[2/y]^2 + y^2 = 4

4/(y^2) + y^2 = 4

4 + y^4 = 4y^2


y^4 - 4y^2 + 4 = 0 

w^2 - 4w + 4 = 0

resolvendo esta eq. encontramos w=2 e 
y = sqrt(2)

logo x = sqrt(2)

e x+y = 2sqrt(2)

  - Original Message - 
  From: 
  Fabio Contreiras 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Friday, February 27, 2004 11:32 
  AM
  Subject: [obm-l] Sistema ( duvida no 
  problema )
  
  ola pessoal, sou novo na comunidade, já venho com 
  uma duvida!
  
  
  1 ) A soma dos quadrados de x e y é 4 
  e a soma dos inversos dos quadrados de x e y = 1
  
  quanto vale 
  a) x.y
  b) x + y
  
  Eu achei a letra A que 
  é2
  
  mas a letra b eu nao consigo 
achar...
  
  
  Montei o problema nesse sistema : 
  
  x^2 + y^2 = 4
  
  1 / x^2 + 1 / y^2 = 1
  
  
  Alguem podendo ajudar...
  
  Abraçao!
  Fabio Contreiras (Aluno UFRJ + Sistema 
  Elite )

Re: [obm-l] Sistema ( duvida no problema )

[Fabio Contreiras]

Isso! Eu esqueci da eq a quarta que podemos 
simplificar ali...

obrigado!

  - Original Message - 
  From: 
  Silvio Borges 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Friday, February 27, 2004 11:54 
  AM
  Subject: Re: [obm-l] Sistema ( duvida no 
  problema )
  
  
  x^2 + y^2 = 4
  
  1 / x^2 + 1 / y^2 = 1
  
  x^2+y^2 = (xy)^2 donde achamos xy = 2
  
  dai x = 2/y que substituindo na primeira equacao, temos
  
  [2/y]^2 + y^2 = 4
  
  4/(y^2) + y^2 = 4
  
  4 + y^4 = 4y^2
  
  
  y^4 - 4y^2 + 4 = 0 
  
  w^2 - 4w + 4 = 0
  
  resolvendo esta eq. encontramos w=2 e 
  y = sqrt(2)
  
  logo x = sqrt(2)
  
  e x+y = 2sqrt(2)
  
- Original Message - 
From: 
Fabio Contreiras 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Friday, February 27, 2004 11:32 
AM
Subject: [obm-l] Sistema ( duvida no 
problema )

ola pessoal, sou novo na comunidade, já venho 
com uma duvida!


1 ) A soma dos quadrados de x e y é 4 
e a soma dos inversos dos quadrados de x e y = 1

quanto vale 
a) x.y
b) x + y

Eu achei a letra A que 
é2

mas a letra b eu nao consigo 
achar...


Montei o problema nesse sistema : 

x^2 + y^2 = 4

1 / x^2 + 1 / y^2 = 1


Alguem podendo ajudar...

Abraçao!
Fabio Contreiras (Aluno UFRJ + Sistema 
Elite )
  
  
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Re: [obm-l] Sistema ( duvida no problema )

[kleinad]

Aproveitando a solução do Silvio, se w = 2, temos que y= +sqrt(2) ou y= -sqrt
(2), e daí vai também que (x + y) = 0 e xy = -2.

Outra solução (mais rápida) seria observar que xx + yy = (x + y)^2 - 2xy , e
que 1/xx + 1/yy = (xx + yy)/(xy)^2 , poupando o trabalho de achar x e y.

Fabio Contreiras ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Isso! Eu esqueci da eq a quarta que podemos simplificar ali...

obrigado!
  - Original Message -
  From: Silvio Borges
  To: [EMAIL PROTECTED]
  Sent: Friday, February 27, 2004 11:54 AM
  Subject: Re: [obm-l] Sistema ( duvida no problema )


  x^2 + y^2 = 4

  1 / x^2 + 1 / y^2 = 1

  x^2+y^2 = (xy)^2  donde achamos xy = 2

  dai x = 2/y que substituindo na primeira equacao, temos

  [2/y]^2 + y^2 = 4

  4/(y^2) + y^2 = 4

  4 + y^4 = 4y^2

  y^4 - 4y^2 + 4 = 0

  w^2 - 4w + 4 = 0

  resolvendo esta eq. encontramos w=2 e
  y = sqrt(2)

  logo x = sqrt(2)

  e x+y = 2sqrt(2)
- Original Message -
From: Fabio Contreiras
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, February 27, 2004 11:32 AM
Subject: [obm-l] Sistema ( duvida no problema )


ola pessoal, sou novo na comunidade, já venho com uma duvida!


1 ) A soma dos quadrados de x e y é 4  e  a soma dos inversos dos
quadrados de x e y = 1

quanto vale
a) x.y
b) x + y

Eu achei a letra A que é2

mas a letra b eu nao consigo achar...


Montei o problema nesse sistema :

x^2 + y^2 = 4

1 / x^2 + 1 / y^2 = 1


Alguem podendo ajudar...

Abraçao!
Fabio Contreiras ( Aluno UFRJ + Sistema Elite )



--
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Sistema ( duvida no problema )

[Rafael]

Eis uma excelente e atenta observação!


De acordo com o problema:

x^2 + y^2 = 4   (I)
1/x^2 + 1/y^2 = 1 == x^2+y^2 = (xy)^2   (II)

Substituindo II em I:

(xy)^2 = 4 == xy = 2 ou xy = -2

Da identidade: (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy

(x+y)^2 = 4+2*2 = 8  ou  (x+y)^2 = 4+2*(-2) = 0

x + y = 2*sqrt(2) ou -2*sqrt(2) ou 0


Abraços,

Rafael de A. Sampaio




- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, February 27, 2004 3:20 PM
Subject: Re: [obm-l] Sistema ( duvida no problema )


Aproveitando a solução do Silvio, se w = 2, temos que y= +sqrt(2) ou
y= -sqrt
(2), e daí vai também que (x + y) = 0 e xy = -2.

Outra solução (mais rápida) seria observar que xx + yy = (x + y)^2 - 2xy , e
que 1/xx + 1/yy = (xx + yy)/(xy)^2 , poupando o trabalho de achar x e y.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] sistema incompleto?

[Eduardo Henrique Leitner]

tipo, fatorando 1500:

2^2 * 3 * 5^3

entao cada numero nao pode ter fatores primos além desses

decrescendo:

45 nao da porque possui um fator 3^2
44 possui um fator 11
43 possui um fator 43
42 possui um fator 7
41 possui um fator 41
40 possui um fator 2^3
39 possui um fator 13
38 possui um fator 19
37 possui um fator 37
36 possui um fator 3^2
35 possui um fator 7
34 possui um fator 17
33 possui um fator 11
32 possui um fator 2^5
31 possui um fator 31

30 = 2*3*5

ótimo, podemos utilizar o 30

se utilizarmos o 30, os outros 2 numeros poderao ter apenas os fatores: 2*5^2

para a soma dar 45, eh óbvio que utilizaremos o 2*5 = 10 e o 5

entao os numeros sao: 30, 10, 5

o maior é o 30

podemos continuar a fatoração para checar se não há mais alguma resposta, 
os números que possuem apenas esses fatores são:

30, 25, 20, 15, 12, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 1

se utilizarmos o 30, só teremos aquele trio alí em cima
se utilizarmos o 25, só poderemos utilizar mais 1 fator 5 e portanto, quando fizermos 
a soma nao obteremos 45 de jeito nenhum
se utilizarmos o 20, para fechar os fatores teremos que fazer 20, 15, 5 ou 20, 25, 3. 
Em nenhum dos casos a soma da 45
se utilizarmos o 15, e nao utilizarmos nenhum numero maior que ele a soma nao chegará 
a 45


tah, esse final foi só uma tentativa para justificar o porque que não dá outras 
respostas... eu preciso praticar essas demonstrações...

o que importa eh que a resposta é 30

abraços

On Mon, Dec 22, 2003 at 02:25:01PM -0500, Qwert Smith wrote:
 abc = 1500
 a + b + c = 45
 
 sendo a, b  e c  inteiros, qual o maior valor dentre os 3 numeros?
 
 _
 Check your PC for viruses with the FREE McAfee online computer scan.  
 http://clinic.mcafee.com/clinic/ibuy/campaign.asp?cid=3963
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] sistema incompleto?

[Eduardo Henrique Leitner]

dump, esquecí de considerar os números negativos... 

On Wed, Dec 24, 2003 at 03:32:17PM -0200, Eduardo Henrique Leitner wrote:
 tipo, fatorando 1500:
 
 2^2 * 3 * 5^3
 
 entao cada numero nao pode ter fatores primos além desses
 
 decrescendo:
 
 45 nao da porque possui um fator 3^2
 44 possui um fator 11
 43 possui um fator 43
 42 possui um fator 7
 41 possui um fator 41
 40 possui um fator 2^3
 39 possui um fator 13
 38 possui um fator 19
 37 possui um fator 37
 36 possui um fator 3^2
 35 possui um fator 7
 34 possui um fator 17
 33 possui um fator 11
 32 possui um fator 2^5
 31 possui um fator 31
 
 30 = 2*3*5
 
 ótimo, podemos utilizar o 30
 
 se utilizarmos o 30, os outros 2 numeros poderao ter apenas os fatores: 2*5^2
 
 para a soma dar 45, eh óbvio que utilizaremos o 2*5 = 10 e o 5
 
 entao os numeros sao: 30, 10, 5
 
 o maior é o 30
 
 podemos continuar a fatoração para checar se não há mais alguma resposta, 
 os números que possuem apenas esses fatores são:
 
 30, 25, 20, 15, 12, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 1
 
 se utilizarmos o 30, só teremos aquele trio alí em cima
 se utilizarmos o 25, só poderemos utilizar mais 1 fator 5 e portanto, quando 
 fizermos a soma nao obteremos 45 de jeito nenhum
 se utilizarmos o 20, para fechar os fatores teremos que fazer 20, 15, 5 ou 20, 25, 
 3. Em nenhum dos casos a soma da 45
 se utilizarmos o 15, e nao utilizarmos nenhum numero maior que ele a soma nao 
 chegará a 45
 
 
 tah, esse final foi só uma tentativa para justificar o porque que não dá outras 
 respostas... eu preciso praticar essas demonstrações...
 
 o que importa eh que a resposta é 30
 
 abraços
 
 On Mon, Dec 22, 2003 at 02:25:01PM -0500, Qwert Smith wrote:
  abc = 1500
  a + b + c = 45
  
  sendo a, b  e c  inteiros, qual o maior valor dentre os 3 numeros?
  
  _
  Check your PC for viruses with the FREE McAfee online computer scan.  
  http://clinic.mcafee.com/clinic/ibuy/campaign.asp?cid=3963
  
  =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
  =
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] sistema

[Eduardo Henrique Leitner]

eh, realmente, mas é o que está no Iezzi, o Iezzi sacaneou! hehehe

obrigado cara!

On Thu, Dec 11, 2003 at 03:42:56PM -0800, Leandro Recova wrote:
 Ha um erro ai Eduardo !!! 1a fase da FUVEST raramente tem questoes
 complicadas.
 
 Olhe o link
 
 http://www.fuvest.br/vest1991/provas/p1f91_07.stm
 
 E la diz que o sistema e o seguinte:
 
 X + Y = M
 X^2 + Y^2 = 4
 
 Agora fica facil, pois voce isolando o X=Y-M e substituindo na 2a equacao,
 teremos
 
 2y^2 - 2ym + (m^2 -4) = 0
 
 Impondo discriminante DELTA=4(8-m^2) = 0, encontramos m=2sqrt(2) ou
 m=-2sqrt(2). Logo, a soma dos valores de m sera ZERO.
 
 O GABARITO VOCE PODE VER EM
 
 http://www.fuvest.br/vest1991/provas/gab1f91.stm#
 
 See you..
 
 Leandro
 Los Angeles, CA.
 
 -Original Message-
 From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
 Behalf Of Eduardo Henrique Leitner
 Sent: Thursday, December 11, 2003 7:51 AM
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Subject: Re: [obm-l] sistema
 
 tenho, tenho certeza sim, pelo menos é assim que está no livro do Iezzi...
 
 eh o volume 7, 4a edição, 4a reimpressão, exercihcios 181 de
 vestibulares...
 
 valeu!
 
 On Thu, Dec 11, 2003 at 10:26:16AM -0200, Claudio Buffara wrote:
  on 10.12.03 22:00, Eduardo Henrique Leitner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
   não faço idéia de como fazer esss... se alguém puder ajudar... =)
  
   181. (FUVEST-91) Existem dois valores de m para os quaistem solução
 única o
   sistema:
  
   x + y = m
   x^2 + y^3 = -4
  
   A soma desses dois valores de m é:
  
   a) -2
   b) -2sqrt{2}
   c) 0
   d) 2
   e) 2sqrt{2}
  
  
  Tem certeza de que a 2a. equacao eh x^2 + y^3 = -4?
  Porque se for, entao existe uma infinidade de valores de m para os quais
 a
  interseccao eh unica.
 
  Faca x = m - y. Entao, interseccao ==
  (m-y)^2 + y^3 = -4 ==
  y^3 + y^2 - 2my + m^2 + 4 = 0 (*)
 
  Interseccaco unica == (*) tem uma unica raiz real.
 
  A fim de que (*) tenha uma unica raiz real, eh suficiente que a derivada
  3y^2 + 2y - 2m seja estritamente  0 ==
  delta = 4 + 24m  0 ==
  m  -1/6.
 
  Ou seja, se m  -1/6, entao a equacao (*) tem uma unica raiz real e,
  portanto, a reta e a cubica se intersectam num unico ponto.
 
  Um abraco,
  Claudio.
 
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 
 =
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] sistema

[Faelccmm]

Soh uma correcao!
m= +/- 2. Mas nao ira alterar o resultado, pois a soma tbem serah 0. 


Em uma mensagem de 11/12/2003 21:45:44 Hor. de verão leste da Am. Su, [EMAIL PROTECTED] escreveu:


Ha um erro ai Eduardo !!! 1a fase da FUVEST raramente tem questoes
complicadas.

Olhe o link

http://www.fuvest.br/vest1991/provas/p1f91_07.stm

E la diz que o sistema e o seguinte:

X + Y = M
X^2 + Y^2 = 4

Agora fica facil, pois voce isolando o X=Y-M e substituindo na 2a equacao,
teremos

2y^2 - 2ym + (m^2 -4) = 0

Impondo discriminante DELTA=4(8-m^2) = 0, encontramos m=2sqrt(2) ou
m=-2sqrt(2). Logo, a soma dos valores de m sera ZERO.

O GABARITO VOCE PODE VER EM

http://www.fuvest.br/vest1991/provas/gab1f91.stm#

See you..

Leandro
Los Angeles, CA.

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Eduardo Henrique Leitner
Sent: Thursday, December 11, 2003 7:51 AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] sistema

tenho, tenho certeza sim, pelo menos é assim que está no livro do Iezzi...

eh o volume 7, 4a edição, 4a reimpressão, exercihcios 181 de
vestibulares...

valeu!

On Thu, Dec 11, 2003 at 10:26:16AM -0200, Claudio Buffara wrote:
 on 10.12.03 22:00, Eduardo Henrique Leitner at [EMAIL PROTECTED] wrote:

  não faço idéia de como fazer esss... se alguém puder ajudar... =)
 
  181. (FUVEST-91) Existem dois valores de m para os quaistem solução
única o
  sistema:
 
  x + y = m
  x^2 + y^3 = -4
 
  A soma desses dois valores de m é:
 
  a) -2
  b) -2sqrt{2}
  c) 0
  d) 2
  e) 2sqrt{2}
 
 
 Tem certeza de que a 2a. equacao eh x^2 + y^3 = -4?
 Porque se for, entao existe uma infinidade de valores de m para os quais
a
 interseccao eh unica.

 Faca x = m - y. Entao, interseccao ==
 (m-y)^2 + y^3 = -4 ==
 y^3 + y^2 - 2my + m^2 + 4 = 0 (*)

 Interseccaco unica == (*) tem uma unica raiz real.

 A fim de que (*) tenha uma unica raiz real, eh suficiente que a derivada
 3y^2 + 2y - 2m seja estritamente  0 ==
 delta = 4 + 24m  0 ==
 m  -1/6.

 Ou seja, se m  -1/6, entao a equacao (*) tem uma unica raiz real e,
 portanto, a reta e a cubica se intersectam num unico ponto.

 Um abraco,
 Claudio.

RE: [obm-l] sistema

[Leandro Recova]

DELTA = 4m^2  4(m^2-4)(2)

DELTA = 4m^2  8m^2
+ 32

DELTA = 32-4m^2 

Delta = 4(8-m^2)  



DELTA = 0 = m^2-8=0
= m=+/-2sqrt(2).



Errei em algum lugar  ?







-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf
Of [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, December 12, 2003
10:47 AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] sistema



Soh uma correcao! 
m= +/- 2. Mas nao ira alterar o resultado, pois a soma tbem serah 0.  


Em uma mensagem de 11/12/2003 21:45:44 Hor. de verão leste da Am. Su,
[EMAIL PROTECTED] escreveu: 





Ha um erro ai Eduardo !!! 1a fase da FUVEST raramente tem
questoes 
complicadas. 

Olhe o link 

http://www.fuvest.br/vest1991/provas/p1f91_07.stm 

E la diz que o sistema e o seguinte: 

X + Y = M 
X^2 + Y^2 = 4 

Agora fica facil, pois voce isolando o X=Y-M e substituindo na 2a equacao, 
teremos 

2y^2 - 2ym + (m^2 -4) = 0 

Impondo discriminante DELTA=4(8-m^2) = 0, encontramos m=2sqrt(2) ou 
m=-2sqrt(2). Logo, a soma dos valores de m sera ZERO. 

O GABARITO VOCE PODE VER EM 

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Leandro 
Los Angeles, CA. 

-Original Message- 
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On 
Behalf Of Eduardo Henrique Leitner 
Sent: Thursday, December 11, 2003 7:51 AM 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Subject: Re: [obm-l] sistema 

tenho, tenho certeza sim, pelo menos é assim que está no livro do Iezzi... 

eh o volume 7, 4a edição, 4a reimpressão, exercihcios 181 de 
vestibulares... 

valeu! 

On Thu, Dec 11, 2003 at 10:26:16AM -0200, Claudio Buffara wrote: 
 on 10.12.03 22:00, Eduardo Henrique Leitner at [EMAIL PROTECTED] wrote: 
 
  não faço idéia de como fazer esss... se alguém puder ajudar... =) 
  
  181. (FUVEST-91) Existem dois valores de m para os quaistem solução 
única o 
  sistema: 
  
  x + y = m 
  x^2 + y^3 = -4 
  
  A soma desses dois valores de m é: 
  
  a) -2 
  b) -2sqrt{2} 
  c) 0 
  d) 2 
  e) 2sqrt{2} 
  
  
 Tem certeza de que a 2a. equacao eh x^2 + y^3 = -4? 
 Porque se for, entao existe uma infinidade de valores de m para os quais 
a 
 interseccao eh unica. 
 
 Faca x = m - y. Entao, interseccao == 
 (m-y)^2 + y^3 = -4 == 
 y^3 + y^2 - 2my + m^2 + 4 = 0 (*) 
 
 Interseccaco unica == (*) tem uma unica raiz real. 
 
 A fim de que (*) tenha uma unica raiz real, eh suficiente que a derivada 
 3y^2 + 2y - 2m seja estritamente  0 == 
 delta = 4 + 24m  0 == 
 m  -1/6. 
 
 Ou seja, se m  -1/6, entao a equacao (*) tem uma unica raiz real e, 
 portanto, a reta e a cubica se intersectam num unico ponto. 
 
 Um abraco, 
 Claudio. 

Re: [obm-l] sistema

[Faelccmm]

No Stress :-) 


Em uma mensagem de 12/12/2003 18:33:12 Hor. de vero leste da Am. Su, [EMAIL PROTECTED] escreveu:


Errei no ultimo email que mandei.Estava fazendo direto no computador sem papel e caneta.
 
Sorry.
 
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, December 12, 2003 10:47 AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] sistema
 
Soh uma correcao! 
m= +/- 2. Mas nao ira alterar o resultado, pois a soma tbem serah 0. 


Em uma mensagem de 11/12/2003 21:45:44 Hor. de vero leste da Am. Su, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 




Ha um erro ai Eduardo !!! 1a fase da FUVEST raramente tem questoes 
complicadas. 

Olhe o link 

http://www.fuvest.br/vest1991/provas/p1f91_07.stm 

E la diz que o sistema e o seguinte: 

X + Y = M 
X^2 + Y^2 = 4 

Agora fica facil, pois voce isolando o X=Y-M e substituindo na 2a equacao, 
teremos 

2y^2 - 2ym + (m^2 -4) = 0 

Impondo discriminante DELTA=4(8-m^2) = 0, encontramos m=2sqrt(2) ou 
m=-2sqrt(2). Logo, a soma dos valores de m sera ZERO. 

O GABARITO VOCE PODE VER EM 

http://www.fuvest.br/vest1991/provas/gab1f91.stm# 

See you.. 

Leandro 
Los Angeles, CA. 

-Original Message- 
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On 
Behalf Of Eduardo Henrique Leitner 
Sent: Thursday, December 11, 2003 7:51 AM 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Subject: Re: [obm-l] sistema 

tenho, tenho certeza sim, pelo menos  assim que est no livro do Iezzi... 

eh o volume 7, 4a edio, 4a reimpresso, exercihcios 181 de 
vestibulares... 

valeu! 

On Thu, Dec 11, 2003 at 10:26:16AM -0200, Claudio Buffara wrote: 
 on 10.12.03 22:00, Eduardo Henrique Leitner at [EMAIL PROTECTED] wrote: 
 
  no fao idia de como fazer esss... se algum puder ajudar... =) 
  
  181. (FUVEST-91) Existem dois valores de m para os quaistem soluo 
nica o 
  sistema: 
  
  x + y = m 
  x^2 + y^3 = -4 
  
  A soma desses dois valores de m : 
  
  a) -2 
  b) -2sqrt{2} 
  c) 0 
  d) 2 
  e) 2sqrt{2} 
  
  
 Tem certeza de que a 2a. equacao eh x^2 + y^3 = -4? 
 Porque se for, entao existe uma infinidade de valores de m para os quais 
a 
 interseccao eh unica. 
 
 Faca x = m - y. Entao, interseccao == 
 (m-y)^2 + y^3 = -4 == 
 y^3 + y^2 - 2my + m^2 + 4 = 0 (*) 
 
 Interseccaco unica == (*) tem uma unica raiz real. 
 
 A fim de que (*) tenha uma unica raiz real, eh suficiente que a derivada 
 3y^2 + 2y - 2m seja estritamente  0 == 
 delta = 4 + 24m  0 == 
 m  -1/6. 
 
 Ou seja, se m  -1/6, entao a equacao (*) tem uma unica raiz real e, 
 portanto, a reta e a cubica se intersectam num unico ponto. 
 
 Um abraco, 
 Claudio. 

Re: [obm-l] sistema

[Claudio Buffara]

on 10.12.03 22:00, Eduardo Henrique Leitner at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 não faço idéia de como fazer esss... se alguém puder ajudar... =)
 
 181. (FUVEST-91) Existem dois valores de m para os quaistem solução única o
 sistema:
 
 x + y = m
 x^2 + y^3 = -4
 
 A soma desses dois valores de m é:
 
 a) -2
 b) -2sqrt{2}
 c) 0
 d) 2
 e) 2sqrt{2}
 
 
Tem certeza de que a 2a. equacao eh x^2 + y^3 = -4?
Porque se for, entao existe uma infinidade de valores de m para os quais a
interseccao eh unica.

Faca x = m - y. Entao, interseccao ==
(m-y)^2 + y^3 = -4 ==
y^3 + y^2 - 2my + m^2 + 4 = 0 (*)

Interseccaco unica == (*) tem uma unica raiz real.

A fim de que (*) tenha uma unica raiz real, eh suficiente que a derivada
3y^2 + 2y - 2m seja estritamente  0 ==
delta = 4 + 24m  0 ==
m  -1/6.

Ou seja, se m  -1/6, entao a equacao (*) tem uma unica raiz real e,
portanto, a reta e a cubica se intersectam num unico ponto.

Um abraco,
Claudio.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] sistema

[Eduardo Henrique Leitner]

tenho, tenho certeza sim, pelo menos é assim que está no livro do Iezzi...

eh o volume 7, 4a edição, 4a reimpressão, exercihcios 181 de vestibulares...

valeu!

On Thu, Dec 11, 2003 at 10:26:16AM -0200, Claudio Buffara wrote:
 on 10.12.03 22:00, Eduardo Henrique Leitner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
  não faço idéia de como fazer esss... se alguém puder ajudar... =)
  
  181. (FUVEST-91) Existem dois valores de m para os quaistem solução única o
  sistema:
  
  x + y = m
  x^2 + y^3 = -4
  
  A soma desses dois valores de m é:
  
  a) -2
  b) -2sqrt{2}
  c) 0
  d) 2
  e) 2sqrt{2}
  
  
 Tem certeza de que a 2a. equacao eh x^2 + y^3 = -4?
 Porque se for, entao existe uma infinidade de valores de m para os quais a
 interseccao eh unica.
 
 Faca x = m - y. Entao, interseccao ==
 (m-y)^2 + y^3 = -4 ==
 y^3 + y^2 - 2my + m^2 + 4 = 0 (*)
 
 Interseccaco unica == (*) tem uma unica raiz real.
 
 A fim de que (*) tenha uma unica raiz real, eh suficiente que a derivada
 3y^2 + 2y - 2m seja estritamente  0 ==
 delta = 4 + 24m  0 ==
 m  -1/6.
 
 Ou seja, se m  -1/6, entao a equacao (*) tem uma unica raiz real e,
 portanto, a reta e a cubica se intersectam num unico ponto.
 
 Um abraco,
 Claudio.
 
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RE: [obm-l] sistema

[Leandro Recova]

Ha um erro ai Eduardo !!! 1a fase da FUVEST raramente tem questoes
complicadas.

Olhe o link

http://www.fuvest.br/vest1991/provas/p1f91_07.stm

E la diz que o sistema e o seguinte:

X + Y = M
X^2 + Y^2 = 4

Agora fica facil, pois voce isolando o X=Y-M e substituindo na 2a equacao,
teremos

2y^2 - 2ym + (m^2 -4) = 0

Impondo discriminante DELTA=4(8-m^2) = 0, encontramos m=2sqrt(2) ou
m=-2sqrt(2). Logo, a soma dos valores de m sera ZERO.

O GABARITO VOCE PODE VER EM

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See you..

Leandro
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-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
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Sent: Thursday, December 11, 2003 7:51 AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] sistema

tenho, tenho certeza sim, pelo menos é assim que está no livro do Iezzi...

eh o volume 7, 4a edição, 4a reimpressão, exercihcios 181 de
vestibulares...

valeu!

On Thu, Dec 11, 2003 at 10:26:16AM -0200, Claudio Buffara wrote:
 on 10.12.03 22:00, Eduardo Henrique Leitner at [EMAIL PROTECTED] wrote:

  não faço idéia de como fazer esss... se alguém puder ajudar... =)
 
  181. (FUVEST-91) Existem dois valores de m para os quaistem solução
única o
  sistema:
 
  x + y = m
  x^2 + y^3 = -4
 
  A soma desses dois valores de m é:
 
  a) -2
  b) -2sqrt{2}
  c) 0
  d) 2
  e) 2sqrt{2}
 
 
 Tem certeza de que a 2a. equacao eh x^2 + y^3 = -4?
 Porque se for, entao existe uma infinidade de valores de m para os quais
a
 interseccao eh unica.

 Faca x = m - y. Entao, interseccao ==
 (m-y)^2 + y^3 = -4 ==
 y^3 + y^2 - 2my + m^2 + 4 = 0 (*)

 Interseccaco unica == (*) tem uma unica raiz real.

 A fim de que (*) tenha uma unica raiz real, eh suficiente que a derivada
 3y^2 + 2y - 2m seja estritamente  0 ==
 delta = 4 + 24m  0 ==
 m  -1/6.

 Ou seja, se m  -1/6, entao a equacao (*) tem uma unica raiz real e,
 portanto, a reta e a cubica se intersectam num unico ponto.

 Um abraco,
 Claudio.



=
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Sistema Linear

[leonardo mattos]

2m^3+10m^2+14m-26=0
Por inspeçao visual 1 eh raiz da equacao...fatore ou abaixe o grau por 
briot-ruffini e encotre as outras 2 raizes da equacao...


From: Anderson Sales Pereira [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
CC: [EMAIL PROTECTED], [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Sistema Linear
Date: Wed, 19 Nov 2003 09:28:53 -0200
Bom dia a todos (OBM,Poli e Pedrinho),

Mais uma de Sistema (Apolo 8 - Nivel 2), nao consigo resolver o item b:

1. (FUVEST) Considere o sistema de equacoes lineares:
x+y+z=-2m
x-y-2z=2m
2x+y-2z=3m+5
a)Para cada valor de m, determine a solucao (Xm,Ym,Zm)do sistema.
b)Determine todos os valores de n, reais ou complexos para os quais o 
produto (Xm.Ym.Zm) e igual a 32.

Resolvendo o item a:
(I)   x+y+z=-2m
(II)  x-y-2z=2m
(III) 2x+y-2z=3m+5
(I) + (II):
x+y+z=-2m
x-y-2z=2m
-
2x-z=0 = z=2x
(II) + (III)
x-y-2(2x)=2m
2x+y-2(2x)=3m+5
---
3x-8x=5m+5 = -5x=5m+5 = x=-m-1
Substituindo x e z em (I):
x+y+z=-2m
-m-1+y+2(-m-1) = -2m
-m-1+y-2m-2=-2m = y=m+3
S={(-m-1;m+3;-2m-2)}

Resolvendo o item b:
Xm.Ym.Zm=32
(-m-1)(m+3)(-2m-2)=32
(-m^2-3m-m-3)(-2m-2)=32
(-m^2-4m-3)(-2m-2)=32
2m^3+10m^2+14m-26=0
Travei aqui.A apostila nao traz a solucao. Acho que teria que atribuir 
alguma outra variavel a m^3 mas nao consegui. Agradeco qualquer ajuda.

[]'s

Anderson - F04





















---
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Version: 6.0.542 / Virus Database: 336 - Release Date: 18/11/2003
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