[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade e frações

[Pedro Júnior]

Desculpas, Cláudio. É isso mesmo, com "a" e "b" inteiros e positivos.

Obrigado pela brilhante solução.

Em ter, 27 de fev de 2024 01:41, Claudio Buffara 
escreveu:

> Deveria ser a e b inteiros positivos, não?
> Pois se forem inteiros sem restrição, então como 2022/2023 < 2022,5/2023,5
> < 2023/2024, bastaria tomar a sequência:
> a(n) = -20225*n  e  b(n) = -20235*n.
> Daí teríamos 2022/2023 < a(n)/b(n) < 2023/2024 e a sequência a(n)+b(n)
> seria ilimitada inferiormente.
>
> Assim, suponhamos que a e b sejam inteiros positivos.
> 2022/2023 < a/b < 2023/2024 implica que b > a+1, já que a sequência
> (n/(n+1)) é crescente.
> Além disso, usando razões e proporções, achamos que:
> 2022 < a/(b-a) < 2023 < b/(b-a) < 2024
> ==> para que a+b seja o menor possível, b-a deverá ser o menor possível.
> E o menor valor possível de b-a é 2.
> Usando frações equivalentes, dá pra escrever 4044/4046 < a/b < 4046/4048 e
> daí teríamos uma única fração a/b com b - a = 2.
> Seria a/b = 4045/4047 ==> a+b mínimo = 8092.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
>
> On Mon, Feb 26, 2024 at 10:12 PM Pedro Júnior 
> wrote:
>
>> Quem puder me ajudar, fixo grato.
>>
>> Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b <
>> 2023/2024, determine o menos calor da soma a + b.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade e frações

[Claudio Buffara]

Deveria ser a e b inteiros positivos, não?
Pois se forem inteiros sem restrição, então como 2022/2023 < 2022,5/2023,5
< 2023/2024, bastaria tomar a sequência:
a(n) = -20225*n  e  b(n) = -20235*n.
Daí teríamos 2022/2023 < a(n)/b(n) < 2023/2024 e a sequência a(n)+b(n)
seria ilimitada inferiormente.

Assim, suponhamos que a e b sejam inteiros positivos.
2022/2023 < a/b < 2023/2024 implica que b > a+1, já que a sequência
(n/(n+1)) é crescente.
Além disso, usando razões e proporções, achamos que:
2022 < a/(b-a) < 2023 < b/(b-a) < 2024
==> para que a+b seja o menor possível, b-a deverá ser o menor possível.
E o menor valor possível de b-a é 2.
Usando frações equivalentes, dá pra escrever 4044/4046 < a/b < 4046/4048 e
daí teríamos uma única fração a/b com b - a = 2.
Seria a/b = 4045/4047 ==> a+b mínimo = 8092.

[]s,
Claudio.




On Mon, Feb 26, 2024 at 10:12 PM Pedro Júnior 
wrote:

> Quem puder me ajudar, fixo grato.
>
> Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b <
> 2023/2024, determine o menos calor da soma a + b.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade e frações

[Alexandre Antunes]

Vejam se este caminho é uma possibilidade (sujeita a ajustes e correções.
Fiquem à vontade!)
2022/2023 < a/b < 2023/2024 (I)
2022/2023 < (a+b-b)/b < 2023/2024
2022/2023 < (a+b)/b-b/b < 2023/2024
2022/2023 < (a+b)/b-1 < 2023/2024
2022/2023 +1< (a+b)/b-1 +1 < 2023/2024+1
(2022+2023)/2023 < (a+b)/b < (2023+2024)/2024
4045/2023 < (a+b)/b < 4047/2024
1,999505... aprox 2 < (a+b)/b < 1.999505... approx 2
*2 < (a+b)/b < 2 => (a+b)/b = 2(II)*

De (I), tem-se que  2022/2023 = 0,999505... aprox 1 < a/b < 2023/2024 =
0,999505... aprox 1
*1 < a/b < 1 =>   a/b = 1  (III)*

Sendo a e b inteiros, de (II) e (III), pode-se concluir que a=b=-1 e
somando a+b = -2.

Atenciosamente,

Prof. Dsc. Alexandre Antunes
www alexandre antunes com br


Em seg., 26 de fev. de 2024 às 22:11, Pedro Júnior <
pedromatematic...@gmail.com> escreveu:

> Quem puder me ajudar, fixo grato.
>
> Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b <
> 2023/2024, determine o menos calor da soma a + b.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade e frações

[Pedro Júnior]

Quem puder me ajudar, fixo grato.

Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b < 2023/2024,
determine o menos calor da soma a + b.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade isoperimétrica

[Anderson Torres]

Em qui, 29 de ago de 2019 às 22:26, Eduardo Henrique
 escreveu:
>
> Olá pessoal, tudo bem?
>
> Alguém tem o artigo sobre desigualdade isoperimétrica que saiu na revista 
> matemática universitária em pdf para me enviar?
>
> O link no site deles está fora...

O Saldanha tem uma cópia na sua page pessoal. Be happy!

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/publ.html

>
> Att.
>
> Eduardo
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Desigualdade isoperimétrica

[Eduardo Henrique]

Olá pessoal, tudo bem?

Alguém tem o artigo sobre desigualdade isoperimétrica que saiu na revista 
matemática universitária em pdf para me enviar?

O link no site deles está fora...

Att.

Eduardo



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Vanderlei Nemitz]

Muito obrigado, Claudio!
Vou analisar com calma suas contas, mas a ideia parece muito elegante!

Em qua, 12 de set de 2018 11:21, Claudio Buffara 
escreveu:

> Com certeza dá. A questão é saber se há alguma fórmula ou algoritmo
> engenhoso pra fazer isso sem "ir somando até passar de 1".
> Uma ideia é calcular uma cota inferior e uma cota superior pra soma
> 1/(n-k) + 1/(n-k+1) + ... + 1/n.
> Por exemplo, sabemos que:
> 1/(n-k) + ... + 1/(n-1) + 1/n < log(n) - log(n-k-1) < 1/(n-k-1) + ... +
> 1/(n-2) + 1/(n-1)
> (pra ver isso, faça o gráfico)
> Isso implica que 1/(n-k-1) + ... + 1/(n-1) + 1/n > log(n) - log(n-k-1) +
> 1/n.
> Assim, é suficiente (mas não necessário) achar k tal que:
> log(n) - log(n-k-1) <= 1 <= log(n) - log(n-k-1) + 1/n ==>
> log(n/(n-k-1)) <= 1 <= log(n/(n-k-1)) + 1/n ==>
> n/(n-k-1) <= e <= n/(n-k-1) * e^(1/n) ==>
> n*(1 - e^(1/n-1)) - 1 <= k <= n*(1 - e^(-1)) - 1
>
> Por exemplo, se n = 100, a desigualdade acima fica:
> 100*(1 - e^(-0,99)) - 1 <= k <= 100*(1 - e^(-1)) - 1
> 61,84 <= k <= 62,21 ==> k = 62.
> E, de fato, 1/38 + ... + 1/100 = 0,9858 e 1/37 + ... + 1/100 = 1,0128
>
> Já, se n = 200, as cotas acima serão 125,0553 e 125,4241, de modo que não
> há nenhum k (inteiro) no intervalo.
> No entanto, 1/75 + ... + 1/200 < 1 < 1/74 + ... + 1/200, de modo que o k
> desejado é 125.
>
> De qualquer forma, vale a fórmula k = parte inteira de n*(1 - e^(-1)) - 1,
> pelo menos pra n = 2 (k = 0) e pra n >= 4.
> Pra n = 3, k = 1 (1/2 + 1/3 < 1 < 1 + 1/2 + 1/3), mas a fórmula dá k = 0.
>
> Se eu não errei nenhuma conta, acho que é isso.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Wed, Sep 12, 2018 at 9:57 AM Vanderlei Nemitz 
> wrote:
>
>> Bom dia!
>> É possível determinar, em função de n, o maior valor de k tal que 1/n +
>> 1/(n - 1) + 1/(n - 2) + ... + 1/(n - k) < 1, em que n é um inteiro maior do
>> que 1?
>>
>> Muito obrigado!
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Claudio Buffara]

Com certeza dá. A questão é saber se há alguma fórmula ou algoritmo
engenhoso pra fazer isso sem "ir somando até passar de 1".
Uma ideia é calcular uma cota inferior e uma cota superior pra soma
1/(n-k) + 1/(n-k+1) + ... + 1/n.
Por exemplo, sabemos que:
1/(n-k) + ... + 1/(n-1) + 1/n < log(n) - log(n-k-1) < 1/(n-k-1) + ... +
1/(n-2) + 1/(n-1)
(pra ver isso, faça o gráfico)
Isso implica que 1/(n-k-1) + ... + 1/(n-1) + 1/n > log(n) - log(n-k-1) +
1/n.
Assim, é suficiente (mas não necessário) achar k tal que:
log(n) - log(n-k-1) <= 1 <= log(n) - log(n-k-1) + 1/n ==>
log(n/(n-k-1)) <= 1 <= log(n/(n-k-1)) + 1/n ==>
n/(n-k-1) <= e <= n/(n-k-1) * e^(1/n) ==>
n*(1 - e^(1/n-1)) - 1 <= k <= n*(1 - e^(-1)) - 1

Por exemplo, se n = 100, a desigualdade acima fica:
100*(1 - e^(-0,99)) - 1 <= k <= 100*(1 - e^(-1)) - 1
61,84 <= k <= 62,21 ==> k = 62.
E, de fato, 1/38 + ... + 1/100 = 0,9858 e 1/37 + ... + 1/100 = 1,0128

Já, se n = 200, as cotas acima serão 125,0553 e 125,4241, de modo que não
há nenhum k (inteiro) no intervalo.
No entanto, 1/75 + ... + 1/200 < 1 < 1/74 + ... + 1/200, de modo que o k
desejado é 125.

De qualquer forma, vale a fórmula k = parte inteira de n*(1 - e^(-1)) - 1,
pelo menos pra n = 2 (k = 0) e pra n >= 4.
Pra n = 3, k = 1 (1/2 + 1/3 < 1 < 1 + 1/2 + 1/3), mas a fórmula dá k = 0.

Se eu não errei nenhuma conta, acho que é isso.

[]s,
Claudio.


On Wed, Sep 12, 2018 at 9:57 AM Vanderlei Nemitz 
wrote:

> Bom dia!
> É possível determinar, em função de n, o maior valor de k tal que 1/n +
> 1/(n - 1) + 1/(n - 2) + ... + 1/(n - k) < 1, em que n é um inteiro maior do
> que 1?
>
> Muito obrigado!
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade

[Vanderlei Nemitz]

Bom dia!
É possível determinar, em função de n, o maior valor de k tal que 1/n +
1/(n - 1) + 1/(n - 2) + ... + 1/(n - k) < 1, em que n é um inteiro maior do
que 1?

Muito obrigado!

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade com potências

[Douglas Oliveira de Lima]

Valeu Ralph, thanks.

Douglas Oliveira.

Em dom, 29 de abr de 2018 16:49, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Que tal assim:
>
> POR BAIXO (BEM folgado): Como 3^3=27<32=2^5, temos
> 3^100<(3^3)^34<(2^5)^34=2^170. Portanto
> 3^100+2^100<2^170+2^100<2^170+2^170=2^171<2^200=4^100.
> POR CIMA (mais apertado!): Como 3^7=2187>2^11=2048, temos
> 3^100=9.(3^98)>9.(2^154)>(2^3).(2^154)=2^157. Somando 2^100, ficamos abaixo
> de 2.(2^157)=2^158=4^79.
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2018-04-29 13:09 GMT-03:00 Anderson Torres :
>
>> 2018-04-29 8:45 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
>> :
>> > Prove que 4^79<2^100+3^100<4^100, usando matemática elementar.
>> >
>>
>> O desejo de trapacear isso com log é muito forte :)
>>
>> Isso equivale a mostrar que
>>
>> 2^158-2^100<3^100<2^200-2^100
>>
>> Ou
>>
>> (2^58-1)*2^100<3^100<(2^100-1)*2^100
>>
>> Ou talvez
>>
>> 2^58 < (3/2)^100+1 < 2^100
>>
>> Daqui, tenho poucas ideias para a desigualdade mais à esquerda...
>>
>> > Douglas Oliveira.
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade com potências

[Ralph Teixeira]

Que tal assim:

POR BAIXO (BEM folgado): Como 3^3=27<32=2^5, temos
3^100<(3^3)^34<(2^5)^34=2^170. Portanto
3^100+2^100<2^170+2^100<2^170+2^170=2^171<2^200=4^100.
POR CIMA (mais apertado!): Como 3^7=2187>2^11=2048, temos
3^100=9.(3^98)>9.(2^154)>(2^3).(2^154)=2^157. Somando 2^100, ficamos abaixo
de 2.(2^157)=2^158=4^79.

Abraco, Ralph.

2018-04-29 13:09 GMT-03:00 Anderson Torres :

> 2018-04-29 8:45 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
> :
> > Prove que 4^79<2^100+3^100<4^100, usando matemática elementar.
> >
>
> O desejo de trapacear isso com log é muito forte :)
>
> Isso equivale a mostrar que
>
> 2^158-2^100<3^100<2^200-2^100
>
> Ou
>
> (2^58-1)*2^100<3^100<(2^100-1)*2^100
>
> Ou talvez
>
> 2^58 < (3/2)^100+1 < 2^100
>
> Daqui, tenho poucas ideias para a desigualdade mais à esquerda...
>
> > Douglas Oliveira.
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade com potências

[Anderson Torres]

2018-04-29 8:45 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
:
> Prove que 4^79<2^100+3^100<4^100, usando matemática elementar.
>

O desejo de trapacear isso com log é muito forte :)

Isso equivale a mostrar que

2^158-2^100<3^100<2^200-2^100

Ou

(2^58-1)*2^100<3^100<(2^100-1)*2^100

Ou talvez

2^58 < (3/2)^100+1 < 2^100

Daqui, tenho poucas ideias para a desigualdade mais à esquerda...

> Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Desigualdade com potências

[Douglas Oliveira de Lima]

Prove que 4^79<2^100+3^100<4^100, usando matemática elementar.

Douglas Oliveira.

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Re: [obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Eu, quase que por acaso, achei uma solução de quem nem todos gostamArtur Costa Steiner Em 19 de abr de 2018 11:15, Pedro José  escreveu:Bom dia!É muito legal o problema.Se você ordenar em crescente, os termos de ordem ímpar serão positivos e os de par serão negativos.Só |p1| > |p2|, se tiverem mais de dois elementos. então 1/p1 + 1p2 <0Mas os demais 1/p3 + 1/p4 > 0 e assim por diante e acabam fazendo o número positivo.Se só tiverem dois elementos. |p1| < |p2| e 1/p1 + 1/p2 > 0.Mas daí a provar.Saudações,PJMSEm 17 de abril de 2018 09:20, Artur Steiner  escreveu:É isso mesmo.Artur Costa SteinerEm Ter, 17 de abr de 2018 08:04, Douglas Oliveira de Lima  escreveu:Nao entendi esse a_k Produto. por exemplo se fossem a_1, a_2 e a_3, entao seria 1/a_1[(a_3)^2-(a_1)^2][(a_2)^2-(a_1)^2] +1/a_2[(a_3)^2-(a_2)^2][(a_1)^2-(a_2)^2]+1/a_3[(a_2)^2-(a_3)^2][(a_1)^2-(a_3)^2], é maior que zero , é isso?Douglas Oliveira.Em ter, 17 de abr de 2018 00:49, Artur Costa Steiner  escreveu:Sejam a_1, a_n  números positivos, distintos dois a dois, e, para k = 1, ... n, definamos

p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) 

Mostre que 1/p_1 ... + 1/p_n > 0

Artur



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 acredita-se estar livre de perigo.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.


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 acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Pedro José]

Bom dia!

É muito legal o problema.
Se você ordenar em crescente, os termos de ordem ímpar serão positivos e os
de par serão negativos.
Só |p1| > |p2|, se tiverem mais de dois elementos. então 1/p1 + 1p2 <0
Mas os demais 1/p3 + 1/p4 > 0 e assim por diante e acabam fazendo o número
positivo.
Se só tiverem dois elementos. |p1| < |p2| e 1/p1 + 1/p2 > 0.
Mas daí a provar.

Saudações,
PJMS

Em 17 de abril de 2018 09:20, Artur Steiner 
escreveu:

> É isso mesmo.
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em Ter, 17 de abr de 2018 08:04, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Nao entendi esse a_k Produto.
>>
>> por exemplo se fossem a_1, a_2 e a_3, entao seria 1/a_1[(a_3)^2-(a_1)^2][
>> (a_2)^2-(a_1)^2] +1/a_2[(a_3)^2-(a_2)^2][(a_1)^2-(a_2)^2]+
>> 1/a_3[(a_2)^2-(a_3)^2][(a_1)^2-(a_3)^2], é maior que zero , é isso?
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>> Em ter, 17 de abr de 2018 00:49, Artur Costa Steiner <
>> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Sejam a_1, a_n  números positivos, distintos dois a dois, e, para k
>>> = 1, ... n, definamos
>>>
>>> p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2)
>>>
>>> Mostre que 1/p_1 ... + 1/p_n > 0
>>>
>>> Artur
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Re: [obm-l] Desigualdade

[Artur Steiner]

É isso mesmo.

Artur Costa Steiner

Em Ter, 17 de abr de 2018 08:04, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Nao entendi esse a_k Produto.
>
> por exemplo se fossem a_1, a_2 e a_3, entao seria 
> 1/a_1[(a_3)^2-(a_1)^2][(a_2)^2-(a_1)^2]
> +1/a_2[(a_3)^2-(a_2)^2][(a_1)^2-(a_2)^2]+1/a_3[(a_2)^2-(a_3)^2][(a_1)^2-(a_3)^2],
> é maior que zero , é isso?
>
> Douglas Oliveira.
>
> Em ter, 17 de abr de 2018 00:49, Artur Costa Steiner <
> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
>
>> Sejam a_1, a_n  números positivos, distintos dois a dois, e, para k
>> = 1, ... n, definamos
>>
>> p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2)
>>
>> Mostre que 1/p_1 ... + 1/p_n > 0
>>
>> Artur
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Douglas Oliveira de Lima]

Nao entendi esse a_k Produto.

por exemplo se fossem a_1, a_2 e a_3, entao seria
1/a_1[(a_3)^2-(a_1)^2][(a_2)^2-(a_1)^2]
+1/a_2[(a_3)^2-(a_2)^2][(a_1)^2-(a_2)^2]+1/a_3[(a_2)^2-(a_3)^2][(a_1)^2-(a_3)^2],
é maior que zero , é isso?

Douglas Oliveira.

Em ter, 17 de abr de 2018 00:49, Artur Costa Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:

> Sejam a_1, a_n  números positivos, distintos dois a dois, e, para k =
> 1, ... n, definamos
>
> p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2)
>
> Mostre que 1/p_1 ... + 1/p_n > 0
>
> Artur
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Sejam a_1, a_n  números positivos, distintos dois a dois, e, para k = 1, 
... n, definamos

p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) 

Mostre que 1/p_1 ... + 1/p_n > 0

Artur



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Oi amigos.

Sejam a_1,  a_n números positivos, distintos dois a dois e seja

p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) 

Mostre que 1/p_1  + 1/p_n > 0

Abraços

Artur





-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Boa noite amigos.

Sejam a_1,  a_n números positivos, distintos dois a dois, e seja

p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2)

Mostre que 1/p_1  + 1/p_n > 0

Abraços

Artur

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Oi amigos.

Sejam a_1,  a_n números positivos, distintos dois a dois e seja

p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) 

Mostre que 1/p_1  + 1/p_n > 0

Abraços

Artur




-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Oi amigos.

Sejam a_1,  a_n números positivos, distintos dois a dois, e seja

p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) 

Mostre que 1/p_1  + 1/p_n > 0

Abraços

Artur

Enviado do meu iPad
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Boa noite amigos.

Sejam a_1,  a_n números positivos, distintos dois a dois e seja

p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) 

Mostre que 1/p_1  + 1/p_n > 0

Abraços

Artur

Enviado do meu iPad

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Desigualdade

[Douglas Oliveira de Lima]

A_1=3

Em 28 de mai de 2017 12:44 PM, "Esdras Muniz" 
escreveu:

> Se vc colocar a1 igual a 0, 1 ou 2 vai ver queisso não é verdade. Acho que
> é verdade se |a1|>e.
>
> Em 28 de mai de 2017 11:58, "Douglas Oliveira de Lima" <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
> Então amigos, eu tive uma idéia mas não estou conseguindo concluir, vamos
> lá:
>
> Montei uma sequência e fiz a_1=3, e assim 
> [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
> se, e somente se,
> [3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<(3^2)/2, portanto a_2=(3^2)/2, e assim
> sucessivamente escrevi a sequência
> a_n=(a_(n-1)^2)/n, e usei um "leminha" para resolver, que é (a_n)^2>n+1, e
> assim sai fácil, só não consegui escrever
> a prova desse lema.
>
> Mas com ele sai bem facil, pois se  (a_n)^2>n+1, então (a_n)>(n+1)^(1/2),
> logo  (a_(n-1)^2)/n>(n+1)^(1/2), ou seja,
> a_(n-1)>n^(1/2)(n+1)^(1/4), ., 
> a_1>[2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...,
> e como a_1=3, está provado.
>
> Peço a ajuda de vocÊs para provar o lema.
>
>  Lema:
> Considere a sequência a_n=(a_(n-1)^2)/n, onde a_1=3 então (a_n)^2>n+1.
>
>
>
> Douglas Oliveira
>
>
>
>
> Em 27 de maio de 2017 18:10, Esdras Muniz 
> escreveu:
>
>> Solução muito boa.
>>
>> Em 27 de mai de 2017 00:37, "Gabriel Tostes" 
>> escreveu:
>>
>>> Tira ln, esse produto vai ser:
>>> Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M
>>>
>>> Bora escrever M de outro jeito:
>>>
>>> M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ...
>>>
>>> M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1)
>>>
>>> Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n
>>>
>>> M=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2)
>>>
>>> Para achar L considere:
>>> 1/(1-x)= 1+x^2+x^3+...
>>>
>>> Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+...
>>> Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1
>>> E entao
>>> M< 3ln(2)-1 < ln(3)
>>>
>>>  E o produto pedido inicialmente eh menor que 3
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Sent from my iPad
>>> > On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima <
>>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>>> >
>>> > Como posso fazer essa daqui:
>>> >
>>> > [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
>>> >
>>> > Grande abraço a todos
>>> >
>>> > DouglasOliveira
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Esdras Muniz]

Se vc colocar a1 igual a 0, 1 ou 2 vai ver queisso não é verdade. Acho que
é verdade se |a1|>e.

Em 28 de mai de 2017 11:58, "Douglas Oliveira de Lima" <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

Então amigos, eu tive uma idéia mas não estou conseguindo concluir, vamos
lá:

Montei uma sequência e fiz a_1=3, e assim
[2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
se, e somente se,
[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<(3^2)/2, portanto a_2=(3^2)/2, e assim
sucessivamente escrevi a sequência
a_n=(a_(n-1)^2)/n, e usei um "leminha" para resolver, que é (a_n)^2>n+1, e
assim sai fácil, só não consegui escrever
a prova desse lema.

Mas com ele sai bem facil, pois se  (a_n)^2>n+1, então (a_n)>(n+1)^(1/2),
logo  (a_(n-1)^2)/n>(n+1)^(1/2), ou seja,
a_(n-1)>n^(1/2)(n+1)^(1/4), .,
a_1>[2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...,
e como a_1=3, está provado.

Peço a ajuda de vocÊs para provar o lema.

 Lema:
Considere a sequência a_n=(a_(n-1)^2)/n, onde a_1=3 então (a_n)^2>n+1.



Douglas Oliveira




Em 27 de maio de 2017 18:10, Esdras Muniz 
escreveu:

> Solução muito boa.
>
> Em 27 de mai de 2017 00:37, "Gabriel Tostes" 
> escreveu:
>
>> Tira ln, esse produto vai ser:
>> Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M
>>
>> Bora escrever M de outro jeito:
>>
>> M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ...
>>
>> M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1)
>>
>> Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n
>>
>> M=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2)
>>
>> Para achar L considere:
>> 1/(1-x)= 1+x^2+x^3+...
>>
>> Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+...
>> Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1
>> E entao
>> M< 3ln(2)-1 < ln(3)
>>
>>  E o produto pedido inicialmente eh menor que 3
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> Sent from my iPad
>> > On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>> >
>> > Como posso fazer essa daqui:
>> >
>> > [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
>> >
>> > Grande abraço a todos
>> >
>> > DouglasOliveira
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Douglas Oliveira de Lima]

Então amigos, eu tive uma idéia mas não estou conseguindo concluir, vamos
lá:

Montei uma sequência e fiz a_1=3, e assim
[2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
se, e somente se,
[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<(3^2)/2, portanto a_2=(3^2)/2, e assim
sucessivamente escrevi a sequência
a_n=(a_(n-1)^2)/n, e usei um "leminha" para resolver, que é (a_n)^2>n+1, e
assim sai fácil, só não consegui escrever
a prova desse lema.

Mas com ele sai bem facil, pois se  (a_n)^2>n+1, então (a_n)>(n+1)^(1/2),
logo  (a_(n-1)^2)/n>(n+1)^(1/2), ou seja,
a_(n-1)>n^(1/2)(n+1)^(1/4), .,
a_1>[2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...,
e como a_1=3, está provado.

Peço a ajuda de vocÊs para provar o lema.

 Lema:
Considere a sequência a_n=(a_(n-1)^2)/n, onde a_1=3 então (a_n)^2>n+1.



Douglas Oliveira




Em 27 de maio de 2017 18:10, Esdras Muniz 
escreveu:

> Solução muito boa.
>
> Em 27 de mai de 2017 00:37, "Gabriel Tostes" 
> escreveu:
>
>> Tira ln, esse produto vai ser:
>> Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M
>>
>> Bora escrever M de outro jeito:
>>
>> M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ...
>>
>> M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1)
>>
>> Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n
>>
>> M=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2)
>>
>> Para achar L considere:
>> 1/(1-x)= 1+x^2+x^3+...
>>
>> Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+...
>> Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1
>> E entao
>> M< 3ln(2)-1 < ln(3)
>>
>>  E o produto pedido inicialmente eh menor que 3
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> Sent from my iPad
>> > On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>> >
>> > Como posso fazer essa daqui:
>> >
>> > [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
>> >
>> > Grande abraço a todos
>> >
>> > DouglasOliveira
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Esdras Muniz]

Solução muito boa.

Em 27 de mai de 2017 00:37, "Gabriel Tostes"  escreveu:

> Tira ln, esse produto vai ser:
> Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M
>
> Bora escrever M de outro jeito:
>
> M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ...
>
> M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1)
>
> Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n
>
> M=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2)
>
> Para achar L considere:
> 1/(1-x)= 1+x^2+x^3+...
>
> Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+...
> Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1
> E entao
> M< 3ln(2)-1 < ln(3)
>
>  E o produto pedido inicialmente eh menor que 3
>
>
>
>
>
>
>
>
> Sent from my iPad
> > On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
> >
> > Como posso fazer essa daqui:
> >
> > [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
> >
> > Grande abraço a todos
> >
> > DouglasOliveira
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Gabriel Tostes]

Tira ln, esse produto vai ser: 
Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M

Bora escrever M de outro jeito:

M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ...

M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1)

Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n

M=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2)

Para achar L considere:
1/(1-x)= 1+x^2+x^3+...

Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+...
Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1
E entao
M< 3ln(2)-1 < ln(3)

 E o produto pedido inicialmente eh menor que 3








Sent from my iPad
> On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima 
>  wrote:
> 
> Como posso fazer essa daqui:
> 
> [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
> 
> Grande abraço a todos
> 
> DouglasOliveira
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Desigualdade

[Douglas Oliveira de Lima]

Como posso fazer essa daqui:

[2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3

Grande abraço a todos

DouglasOliveira

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdade

[Pedro José]

Não acerto uma,
 e z/(z+x)<1 (não z/(z+x)<0,5)  ==> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) < 2.

Em 8 de maio de 2017 10:16, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> sendo x< y < z, a afirmação que fizera é errônea: o que dará a maior soma
> é x , y = x+1 e z= y+1 = x+2
>
> Mas vale ainda:
>
> x/(x+y) < 0,5, y/(y+z) < 0,5 e z/(z+x)<0,5 ==> x/(x+y) + y/ (y+z) +
> z/(z+x) < 2.
>
> Saudações.
>
> Em 8 de maio de 2017 02:19, Esdras Muniz 
> escreveu:
>
>> Se vc faz S(x,y,z)=x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x). S>x/(x+y+z) + y/
>> (x+y+z) + z/(z+y+x)=1.
>>
>> Por outro lado, se vc toma x=1; n=n e z= 1/n, fica:
>> S(n)=1/(n+1)+n/(n+1)+(1/n)/(1+1/n) e se vc faz n tender para o infinito,
>> S(n) tende para 1.
>>
>> Em 7 de maio de 2017 23:58, Anderson Torres > > escreveu:
>>
>>> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x)
>>>
>>> 1/(1+y/x) + 1/ (1+z/y) + 1/(1+x/z)
>>>
>>> 1/(1+A) + 1/ (1+B) + 1/(1+C) com ABC=1
>>>
>>> talvez dê para prosseguir
>>>
>>>
>>>
>>> Em 2 de maio de 2017 14:21, Pedro José  escreveu:
>>> > Se pelo menos dois números forem iguais é fácil mostrar que a soma
>>> dará 1,5
>>> > <= 2.
>>> >
>>> > Para x, y e z diferentes, vamos supor x < y >> soma é x
>>> > , y = x+1 e z= y+1 = x+2
>>> >
>>> > teremos: x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2)
>>> >
>>> > é fácil ver que x/(2x+1) < 0,5 e y/(2y+1) < 0,5 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1
>>> <1
>>> >
>>> > (2z-2)/z = 2 -2/z, como x,y,z >0 e x < y < z ==> z>=3 ==> (2z-2)/z > 1
>>> ==>
>>> > z/(2z-2) <1 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) < 2
>>> >
>>> > x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) <= x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) ==>
>>> x/(x+y) +
>>> > y/ (y+z) + z/(z+x) < 2.
>>> >
>>> > O sinal de desigualdade deve estar invertido.
>>> >
>>> > Saudações,
>>> > PJMS
>>> >
>>> > Em 30 de abril de 2017 21:32, Gabriel Tostes 
>>> escreveu:
>>> >>
>>> >> Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale.
>>> >>
>>> >> Sent from my iPad
>>> >>
>>> >> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima
>>> >>  wrote:
>>> >>
>>> >> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não
>>> >> basta substituir x+y=a,Â
>>> >> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário"Â
>>> x/(x+y) +
>>> >> y/ (y+z) + z/(z+x) <= 2.
>>> >> A não ser que seja outra questão como por exemplo:
>>> >> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.
>>> >>
>>> >> Grande abraço
>>> >>
>>> >> Douglas Oliveira.
>>> >>
>>> >> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges
>>> >>  escreveu:
>>> >>>
>>> >>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) +
>>> >>> z/(z+x) > = 2
>>> >>>
>>> >>>
>>> >>> --
>>> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> >>> acredita-se estar livre de perigo.
>>> >>
>>> >>
>>> >>
>>> >> --
>>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>>> >>
>>> >>
>>> >> --
>>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>>> >
>>> >
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esdras Muniz Mota
>> Mestrando em Matemática
>> Universidade Federal do Ceará
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdade

[Pedro José]

Bom dia!

sendo x< y < z, a afirmação que fizera é errônea: o que dará a maior soma é
x , y = x+1 e z= y+1 = x+2

Mas vale ainda:

x/(x+y) < 0,5, y/(y+z) < 0,5 e z/(z+x)<0,5 ==> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x)
< 2.

Saudações.

Em 8 de maio de 2017 02:19, Esdras Muniz 
escreveu:

> Se vc faz S(x,y,z)=x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x). S>x/(x+y+z) + y/ (x+y+z)
> + z/(z+y+x)=1.
>
> Por outro lado, se vc toma x=1; n=n e z= 1/n, fica:
> S(n)=1/(n+1)+n/(n+1)+(1/n)/(1+1/n) e se vc faz n tender para o infinito,
> S(n) tende para 1.
>
> Em 7 de maio de 2017 23:58, Anderson Torres 
> escreveu:
>
>> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x)
>>
>> 1/(1+y/x) + 1/ (1+z/y) + 1/(1+x/z)
>>
>> 1/(1+A) + 1/ (1+B) + 1/(1+C) com ABC=1
>>
>> talvez dê para prosseguir
>>
>>
>>
>> Em 2 de maio de 2017 14:21, Pedro José  escreveu:
>> > Se pelo menos dois números forem iguais é fácil mostrar que a soma dará
>> 1,5
>> > <= 2.
>> >
>> > Para x, y e z diferentes, vamos supor x < y > é x
>> > , y = x+1 e z= y+1 = x+2
>> >
>> > teremos: x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2)
>> >
>> > é fácil ver que x/(2x+1) < 0,5 e y/(2y+1) < 0,5 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1
>> <1
>> >
>> > (2z-2)/z = 2 -2/z, como x,y,z >0 e x < y < z ==> z>=3 ==> (2z-2)/z > 1
>> ==>
>> > z/(2z-2) <1 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) < 2
>> >
>> > x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) <= x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) ==>
>> x/(x+y) +
>> > y/ (y+z) + z/(z+x) < 2.
>> >
>> > O sinal de desigualdade deve estar invertido.
>> >
>> > Saudações,
>> > PJMS
>> >
>> > Em 30 de abril de 2017 21:32, Gabriel Tostes 
>> escreveu:
>> >>
>> >> Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale.
>> >>
>> >> Sent from my iPad
>> >>
>> >> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima
>> >>  wrote:
>> >>
>> >> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não
>> >> basta substituir x+y=a,Â
>> >> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y)
>> +
>> >> y/ (y+z) + z/(z+x) <= 2.
>> >> A não ser que seja outra questão como por exemplo:
>> >> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.
>> >>
>> >> Grande abraço
>> >>
>> >> Douglas Oliveira.
>> >>
>> >> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges
>> >>  escreveu:
>> >>>
>> >>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) +
>> >>> z/(z+x) > = 2
>> >>>
>> >>>
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>> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >>> acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >>
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>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >>
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>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>> >
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>> > acredita-se estar livre de perigo.
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>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
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>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
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> Esdras Muniz Mota
> Mestrando em Matemática
> Universidade Federal do Ceará
>
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> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdade

[Esdras Muniz]

Se vc faz S(x,y,z)=x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x). S>x/(x+y+z) + y/ (x+y+z) +
z/(z+y+x)=1.

Por outro lado, se vc toma x=1; n=n e z= 1/n, fica:
S(n)=1/(n+1)+n/(n+1)+(1/n)/(1+1/n) e se vc faz n tender para o infinito,
S(n) tende para 1.

Em 7 de maio de 2017 23:58, Anderson Torres 
escreveu:

> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x)
>
> 1/(1+y/x) + 1/ (1+z/y) + 1/(1+x/z)
>
> 1/(1+A) + 1/ (1+B) + 1/(1+C) com ABC=1
>
> talvez dê para prosseguir
>
>
>
> Em 2 de maio de 2017 14:21, Pedro José  escreveu:
> > Se pelo menos dois números forem iguais é fácil mostrar que a soma dará
> 1,5
> > <= 2.
> >
> > Para x, y e z diferentes, vamos supor x < y  é x
> > , y = x+1 e z= y+1 = x+2
> >
> > teremos: x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2)
> >
> > é fácil ver que x/(2x+1) < 0,5 e y/(2y+1) < 0,5 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1 <1
> >
> > (2z-2)/z = 2 -2/z, como x,y,z >0 e x < y < z ==> z>=3 ==> (2z-2)/z > 1
> ==>
> > z/(2z-2) <1 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) < 2
> >
> > x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) <= x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) ==>
> x/(x+y) +
> > y/ (y+z) + z/(z+x) < 2.
> >
> > O sinal de desigualdade deve estar invertido.
> >
> > Saudações,
> > PJMS
> >
> > Em 30 de abril de 2017 21:32, Gabriel Tostes 
> escreveu:
> >>
> >> Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale.
> >>
> >> Sent from my iPad
> >>
> >> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima
> >>  wrote:
> >>
> >> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não
> >> basta substituir x+y=a,Â
> >> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y) +
> >> y/ (y+z) + z/(z+x) <= 2.
> >> A não ser que seja outra questão como por exemplo:
> >> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.
> >>
> >> Grande abraço
> >>
> >> Douglas Oliveira.
> >>
> >> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges
> >>  escreveu:
> >>>
> >>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) +
> >>> z/(z+x) > = 2
> >>>
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> >> acredita-se estar livre de perigo.
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> >> acredita-se estar livre de perigo.
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> > acredita-se estar livre de perigo.
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>  acredita-se estar livre de perigo.
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> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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Re: [obm-l] desigualdade

[Anderson Torres]

x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x)

1/(1+y/x) + 1/ (1+z/y) + 1/(1+x/z)

1/(1+A) + 1/ (1+B) + 1/(1+C) com ABC=1

talvez dê para prosseguir



Em 2 de maio de 2017 14:21, Pedro José  escreveu:
> Se pelo menos dois números forem iguais é fácil mostrar que a soma dará 1,5
> <= 2.
>
> Para x, y e z diferentes, vamos supor x < y  , y = x+1 e z= y+1 = x+2
>
> teremos: x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2)
>
> é fácil ver que x/(2x+1) < 0,5 e y/(2y+1) < 0,5 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1 <1
>
> (2z-2)/z = 2 -2/z, como x,y,z >0 e x < y < z ==> z>=3 ==> (2z-2)/z > 1 ==>
> z/(2z-2) <1 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) < 2
>
> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) <= x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) ==> x/(x+y) +
> y/ (y+z) + z/(z+x) < 2.
>
> O sinal de desigualdade deve estar invertido.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em 30 de abril de 2017 21:32, Gabriel Tostes  escreveu:
>>
>> Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale.
>>
>> Sent from my iPad
>>
>> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima
>>  wrote:
>>
>> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não
>> basta substituir x+y=a,Â
>> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y) +
>> y/ (y+z) + z/(z+x) <= 2.
>> A não ser que seja outra questão como por exemplo:
>> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.
>>
>> Grande abraço
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges
>>  escreveu:
>>>
>>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) +
>>> z/(z+x) > = 2
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] desigualdade

[Pedro José]

Se pelo menos dois números forem iguais é fácil mostrar que a soma dará 1,5
<= 2.

Para x, y e z diferentes, vamos supor x < y  x/(2x+1) + y/(2y+1 <1

(2z-2)/z = 2 -2/z, como x,y,z >0 e x < y < z ==> z>=3 ==> (2z-2)/z > 1 ==>
z/(2z-2) <1 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) < 2

x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) <= x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) ==> x/(x+y)
+ y/ (y+z) + z/(z+x) < 2.

O sinal de desigualdade deve estar invertido.

Saudações,
PJMS

Em 30 de abril de 2017 21:32, Gabriel Tostes  escreveu:

> Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale.
>
> Sent from my iPad
>
> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>
> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não
> basta substituir x+y=a,Â
> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y) +
> y/ (y+z) + z/(z+x) <= 2.
> A não ser que seja outra questão como por exemplo:
> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.
>
> Grande abraço
>
> Douglas Oliveira.
>
> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) +
>> z/(z+x) > = 2
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdade

[Gabriel Tostes]

Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale.

Sent from my iPad

> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima 
>  wrote:
> 
> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não basta 
> substituir x+y=a, 
> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y) + y/ 
> (y+z) + z/(z+x) <= 2.
> A não ser que seja outra questão como por exemplo:
> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.
> 
> Grande abraço
> 
> Douglas Oliveira.
> 
> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges 
>  escreveu:
>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) > 
>> = 2
>> 
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdade

[Douglas Oliveira de Lima]

Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não basta
substituir x+y=a,
x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y) + y/
(y+z) + z/(z+x) <= 2.
A não ser que seja outra questão como por exemplo:
(x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.

Grande abraço

Douglas Oliveira.

Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) >
> = 2
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdade

[Gabriel Tostes]

X+y=a x+z=b y+z=c so fazer essa substituicao

Sent from my iPad

> On Apr 30, 2017, at 10:46 AM, marcone augusto araújo borges 
>  wrote:
> 
> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) > = 2
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] desigualdade

[marcone augusto araújo borges]

Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) > = 2

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade trigonométrica

[Israel Meireles Chrisostomo]

quais as soluções da desigualdade cotx>1/2x?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

Seja cota>=cota', cob>=cotb' e cotc'>=cotc>0 e seja
cotacotb+cotacotc+cotbcotc=1 e cota'cotb'+cota'cotc'+cotb'cotc'=1, prove
que:
cota+cotc<=cota'+cotc'
cotb+cotc<=cotb'+cotc'



Eu consigo provar que pelo menos uma dessas desigualdades é verdadeira, mas
as duas está complicado, veja, suponha que as duas sejam falsas:
cota+cotc>cota'+cotc'
cotb+cotc>cotb'+cotc'
Multiplicando ambas as desigualdades teremos:
1+cot²c>1+cot²c'
cot²c>cot²c' Absurdo

Alguém por favor poderia me ajudar, dando contra exemplos ou me ajudando
com a demonstração?
Caso essa desigualdade não seja verdadeira, é possível escolher cotc' tal
que cotc'>=máximo(cota+cotc-cota',cotb+cotc-cotb')?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

Sejam a,b e c lados de um triângulo e x,y,z reais positivos, então é
possível provar que vale a desigualdade:
2a^2x+2b^2y+2c^2z>=(b^2+c^2)x+(a^2+c^2)y+(a^2+b^2)z

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade.

[Douglas Oliveira de Lima]

Muitissimo obrigado Carlos , era isso mesmo, pois nos livros eles realmente
usam para provar a convexidade.
Em 25 de jun de 2016 23:46, "Carlos Gomes"  escreveu:

> Olá Douglas,
>
> Na maioria dos livros essa desigualdade é usada para definir uma função
> convexa, ou seja, uma função f:[x,y] -->R que satisfaz a condição
> f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] é, por definição convexa.
>
> No entanto se a função f:[x,y] --> possuir derivada segunda no intervalo
> (x,y), então pode-se mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E
> [0,1]  se, e somente se f ''(a)>=0, para todo a E [x,y].
>
> Talvez seja isso que vc quer: supondo que f ''(a)>=0, para todo a E
> [x,y], mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1]. SE for vc
> faz assim:
>
> Determina a fórmula de Taylor de f em torno de x e de y: sendo
> z=ty+(1-t)x, com t E [0,1] um ponto genérico do intervalo [x,y], segue que
>
> f(x)=f(z)+f'(z)(x-z)+1/2.f ''(c_1)(x-z)^2, com c_1 E [x,z]
> f(y)=f(z)+f'(z)(y-z)+1/2.f ''(c_2)(y-z)^2, com c_2 E [x,z]
>
> multiplicando a primeira por (1-t), a segunda por t a adicionando membro a
> membro, segue que
>
> tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R  (Faça as contas para conferir!)
>
> onde R:=1/2(1-t).f ''(c_1)(x-z)^2+1/2.t.f ''(c_2)(y-z)^2>=0, pois (1-t), t
> e f '' são >=0.
>
> Assim,
>
> tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R>=f(z)=f(ty+(1-t)x)
>
> ou seja, f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1].
>
> Abraço, Cgomes.
>
>
>
>
> Em 25 de junho de 2016 20:55, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá amigos preciso de ajuda na seguinte questão:
>>
>> Mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] e f sendo convexa.
>>
>> Obs: Não usar geometria.
>>
>> Agradeço a ajuda.
>>
>> Douglas Oliveira
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade.

[Carlos Gomes]

Olá Douglas,

Na maioria dos livros essa desigualdade é usada para definir uma função
convexa, ou seja, uma função f:[x,y] -->R que satisfaz a condição
f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] é, por definição convexa.

No entanto se a função f:[x,y] --> possuir derivada segunda no intervalo
(x,y), então pode-se mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1]
se, e somente se f ''(a)>=0, para todo a E [x,y].

Talvez seja isso que vc quer: supondo que f ''(a)>=0, para todo a E [x,y],
mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1]. SE for vc faz
assim:

Determina a fórmula de Taylor de f em torno de x e de y: sendo z=ty+(1-t)x,
com t E [0,1] um ponto genérico do intervalo [x,y], segue que

f(x)=f(z)+f'(z)(x-z)+1/2.f ''(c_1)(x-z)^2, com c_1 E [x,z]
f(y)=f(z)+f'(z)(y-z)+1/2.f ''(c_2)(y-z)^2, com c_2 E [x,z]

multiplicando a primeira por (1-t), a segunda por t a adicionando membro a
membro, segue que

tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R  (Faça as contas para conferir!)

onde R:=1/2(1-t).f ''(c_1)(x-z)^2+1/2.t.f ''(c_2)(y-z)^2>=0, pois (1-t), t
e f '' são >=0.

Assim,

tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R>=f(z)=f(ty+(1-t)x)

ou seja, f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1].

Abraço, Cgomes.




Em 25 de junho de 2016 20:55, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá amigos preciso de ajuda na seguinte questão:
>
> Mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] e f sendo convexa.
>
> Obs: Não usar geometria.
>
> Agradeço a ajuda.
>
> Douglas Oliveira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade.

[Douglas Oliveira de Lima]

Olá amigos preciso de ajuda na seguinte questão:

Mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] e f sendo convexa.

Obs: Não usar geometria.

Agradeço a ajuda.

Douglas Oliveira

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

Alguém tem uma segunda solução para a desigualdade que está no link abaixo?

http://math.stackexchange.com/questions/1710644/inequalities-of-the-triangle

Ou pelo menos um solução parecida, só que mais simples?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade, limitante inferior

[Israel Meireles Chrisostomo]

Caramba Ralph, muito inteligente sua colocação.

Em 14 de março de 2016 17:42, Ralph Teixeira  escreveu:

> O mesmo epsilon para todas as escolhas positivas das variaveis? Acho que
> nao.
>
> Seja F(x,y,z,a,b,c)=ax+by+cz restrita ao dominio definido por {xy+xz+yz=1;
> ab+ac+bc=1}. Note que F eh continua.
>
> Agora, dado eps>0, tome k>0 tal que F(k,1/k,0, k, 0, 1/k) = k^2 (note que o ponto que eu peguei estah no dominio). Como F eh continua,
> entao existe uma vizinhanca do ponto (k,1/k,0,k,0,1/k) onde F nessa vizinhanca devem existir pontos com todas as coordenadas positivas
> que ainda satisfazem as restricoes.
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2016-03-14 14:52 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com>:
>
>> Olá pessoal,
>> Seja xy+xz+yz=1 e x'y'+x'z'+y'z'=1, com cada variável sendo positiva, é
>> possível mostrar que existe épsilon>0 tal que x'x+y'y+z'z>épsilon?Em caso
>> positivo, alguém poderia me ajudar?A questão que estou resolvendo não é bem
>> essa mas estou dependendo disso para que minha demonstração esteja
>> correta...
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
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Re: [obm-l] Desigualdade, limitante inferior

[Ralph Teixeira]

O mesmo epsilon para todas as escolhas positivas das variaveis? Acho que
nao.

Seja F(x,y,z,a,b,c)=ax+by+cz restrita ao dominio definido por {xy+xz+yz=1;
ab+ac+bc=1}. Note que F eh continua.

Agora, dado eps>0, tome k>0 tal que F(k,1/k,0, k, 0, 1/k) = k^2:

> Olá pessoal,
> Seja xy+xz+yz=1 e x'y'+x'z'+y'z'=1, com cada variável sendo positiva, é
> possível mostrar que existe épsilon>0 tal que x'x+y'y+z'z>épsilon?Em caso
> positivo, alguém poderia me ajudar?A questão que estou resolvendo não é bem
> essa mas estou dependendo disso para que minha demonstração esteja
> correta...
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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Re: [obm-l] Desigualdade, limitante inferior

[Israel Meireles Chrisostomo]

Eu disse todos positivos

Em 14 de março de 2016 15:08, Sávio Ribas  escreveu:

> x=y=z=1/sqrt(3) e x'=y'=z'=-1/sqrt(3) => xx'+yy'+zz'=-1, falso
> Em 14/03/2016 15:01, "Israel Meireles Chrisostomo" <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá pessoal,
>> Seja xy+xz+yz=1 e x'y'+x'z'+y'z'=1, com cada variável sendo positiva, é
>> possível mostrar que existe épsilon>0 tal que x'x+y'y+z'z>épsilon?Em caso
>> positivo, alguém poderia me ajudar?A questão que estou resolvendo não é bem
>> essa mas estou dependendo disso para que minha demonstração esteja
>> correta...
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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Re: [obm-l] Desigualdade, limitante inferior

[Sávio Ribas]

x=y=z=1/sqrt(3) e x'=y'=z'=-1/sqrt(3) => xx'+yy'+zz'=-1, falso
Em 14/03/2016 15:01, "Israel Meireles Chrisostomo" <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Olá pessoal,
> Seja xy+xz+yz=1 e x'y'+x'z'+y'z'=1, com cada variável sendo positiva, é
> possível mostrar que existe épsilon>0 tal que x'x+y'y+z'z>épsilon?Em caso
> positivo, alguém poderia me ajudar?A questão que estou resolvendo não é bem
> essa mas estou dependendo disso para que minha demonstração esteja
> correta...
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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[obm-l] Desigualdade, limitante inferior

[Israel Meireles Chrisostomo]

Olá pessoal,
Seja xy+xz+yz=1 e x'y'+x'z'+y'z'=1, com cada variável sendo positiva, é
possível mostrar que existe épsilon>0 tal que x'x+y'y+z'z>épsilon?Em caso
positivo, alguém poderia me ajudar?A questão que estou resolvendo não é bem
essa mas estou dependendo disso para que minha demonstração esteja
correta...

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade de giroux

[Anderson Torres]

Em 10 de dezembro de 2015 14:03, Israel Meireles Chrisostomo
 escreveu:
> Estava lendo sobre a desigualdade de giroux e me surgiu uma dúvida:existe o
> análogo a desigualdade de giroux para funções côncovas?Ou seja, que se prova
> para funções convexas se estende para funções côncovas-trocando o sinal da
> desigualdade é claro?Alguém tem uma prova da desigualdade de Giroux?

Sim, basta trocar o sinal para uma côncava.

Me passa o enunciado!

>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Desigualdade de giroux

[Israel Meireles Chrisostomo]

Estava lendo sobre a desigualdade de giroux e me surgiu uma dúvida:existe o
análogo a desigualdade de giroux para funções côncovas?Ou seja, que se
prova para funções convexas se estende para funções côncovas-trocando o
sinal da desigualdade é claro?Alguém tem uma prova da desigualdade de
Giroux?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade de jensen

[Israel Meireles Chrisostomo]

Eu posso aplicar a desigualdade de jensen se a função for estritamente
concava, isto é, se
f((1-t)x+ty)>(1-t)f(x)+tf(y) e t existe no intervalo ABERTO (0,1)?
isto é a desigualdade de jensen é válida se t no ABERTO (0,1)(se t não é
igual a 1)?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade

[marcone augusto araújo borges]

Sejam a, b e c números reais positivos.Mostre quea^3/bc + b^3/ac + c^3/ab > = a 
+ b + c   
-- 
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RE: [obm-l] Desigualdade

[Esdras Muniz]

Suponha spdg a>=d>=c. Daí, pela desigualdade do rearranjo, temos:
a(a^2/bc)+b(b^2/ac)+c(c^2/ab)>=(1/3)(a+b+c)(a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab).
Daí vc usa MA>=MG pra mostrar que (a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab)>=3. E acaba :)

-Mensagem Original-
De: "marcone augusto araújo borges" <marconeborge...@hotmail.com>
Enviada em: ‎08/‎10/‎2015 18:03
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] Desigualdade

Sejam a, b e c números reais positivos.Mostre que
a^3/bc + b^3/ac + c^3/ab > = a + b + c

-- 
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acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

Alguem consegue provar que se a,b e c sao angulos de um triangulo entao e
valido que
 cos²a/2+cos²b/2+cos²c/2=(sena/2+senb/2+senc/2)²

-- 
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Re: [obm-l] Desigualdade

[Pacini Bores]

Qual é a desigualdade ?

Pacini

Em 14 de junho de 2015 20:39, Israel Meireles Chrisostomo 
israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Olá estou resolvendo uma desigualdade e preciso usar a desigualdade do
 rearranjo, e para isso preciso supor algumas coisas sem perda de
 generalidade, por exemplo:
 eu posso supor sem perda de generalidade que z=x=y, certo?
 Mas eu posso supor sem perda de generalidade ou pelo menos com alguma
 perda de generalidade mas sem entrar em contradição que
 z=x=y e que z/(x+z)(y+z)=x/(y+x)(z+z)=y/(y+z)(x+y), isto é. há alguma
 contradição em supor as duas desigualdades triplas ao mesmo tempo?
 Ah só para constar, se eu trocar as ordens das variáveis não altera a
 desigualdade que estou querendo provar...

 --
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-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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[obm-l] Desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

Olá estou resolvendo uma desigualdade e preciso usar a desigualdade do
rearranjo, e para isso preciso supor algumas coisas sem perda de
generalidade, por exemplo:
eu posso supor sem perda de generalidade que z=x=y, certo?
Mas eu posso supor sem perda de generalidade ou pelo menos com alguma perda
de generalidade mas sem entrar em contradição que
z=x=y e que z/(x+z)(y+z)=x/(y+x)(z+z)=y/(y+z)(x+y), isto é. há alguma
contradição em supor as duas desigualdades triplas ao mesmo tempo?
Ah só para constar, se eu trocar as ordens das variáveis não altera a
desigualdade que estou querendo provar...

-- 
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Re: [obm-l] Desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

Eu quero provar que
sqrt[ z²/(x+z)(y+z) ]+sqrt[ x²/(x+y)(x+z)]+sqrt[ y²/(y+z)(x+y) ] =  sqrt[
xy/(x+z)(y+z) ]+sqrt[ yz/(x+y)(x+z)]+sqrt[ xz/(y+z)(x+y) ]

Em 14 de junho de 2015 21:23, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com
escreveu:

 Qual é a desigualdade ?

 Pacini

 Em 14 de junho de 2015 20:39, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Olá estou resolvendo uma desigualdade e preciso usar a desigualdade do
 rearranjo, e para isso preciso supor algumas coisas sem perda de
 generalidade, por exemplo:
 eu posso supor sem perda de generalidade que z=x=y, certo?
 Mas eu posso supor sem perda de generalidade ou pelo menos com alguma
 perda de generalidade mas sem entrar em contradição que
 z=x=y e que z/(x+z)(y+z)=x/(y+x)(z+z)=y/(y+z)(x+y), isto é. há alguma
 contradição em supor as duas desigualdades triplas ao mesmo tempo?
 Ah só para constar, se eu trocar as ordens das variáveis não altera a
 desigualdade que estou querendo provar...

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



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Re: [obm-l] Desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

Na verdade vou aproveitar esse tópico para perguntar outra coisa, eu posso
supor sem perda de generalidade que:
(x/z+1)(y/z+1)=(z/x+1)(z/y+1);(x/y+1)(z/y+1)=(y/x+1)(y/z+1);(y/x+1)(z/x+1)=(x/y+1)(x/z+1);
a desigualdade é a mesma, há alguma contradição nessas desigualdades?

Em 14 de junho de 2015 21:40, Israel Meireles Chrisostomo 
israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Eu quero provar que
 sqrt[ z²/(x+z)(y+z) ]+sqrt[ x²/(x+y)(x+z)]+sqrt[ y²/(y+z)(x+y) ] =  sqrt[
 xy/(x+z)(y+z) ]+sqrt[ yz/(x+y)(x+z)]+sqrt[ xz/(y+z)(x+y) ]

 Em 14 de junho de 2015 21:23, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com
 escreveu:

 Qual é a desigualdade ?

 Pacini

 Em 14 de junho de 2015 20:39, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Olá estou resolvendo uma desigualdade e preciso usar a desigualdade do
 rearranjo, e para isso preciso supor algumas coisas sem perda de
 generalidade, por exemplo:
 eu posso supor sem perda de generalidade que z=x=y, certo?
 Mas eu posso supor sem perda de generalidade ou pelo menos com alguma
 perda de generalidade mas sem entrar em contradição que
 z=x=y e que z/(x+z)(y+z)=x/(y+x)(z+z)=y/(y+z)(x+y), isto é. há
 alguma contradição em supor as duas desigualdades triplas ao mesmo tempo?
 Ah só para constar, se eu trocar as ordens das variáveis não altera a
 desigualdade que estou querendo provar...

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Re: [obm-l] Desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

pode deixar já vi que não posso supor isso, ainda mais querer que essas
suposições não limitem o problema, mesmo vlw


Em 14 de junho de 2015 23:30, Israel Meireles Chrisostomo 
israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Na verdade vou aproveitar esse tópico para perguntar outra coisa, eu posso
 supor sem perda de generalidade que:

 (x/z+1)(y/z+1)=(z/x+1)(z/y+1);(x/y+1)(z/y+1)=(y/x+1)(y/z+1);(y/x+1)(z/x+1)=(x/y+1)(x/z+1);
 a desigualdade é a mesma, há alguma contradição nessas desigualdades?

 Em 14 de junho de 2015 21:40, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Eu quero provar que
 sqrt[ z²/(x+z)(y+z) ]+sqrt[ x²/(x+y)(x+z)]+sqrt[ y²/(y+z)(x+y) ] =
  sqrt[ xy/(x+z)(y+z) ]+sqrt[ yz/(x+y)(x+z)]+sqrt[ xz/(y+z)(x+y) ]

 Em 14 de junho de 2015 21:23, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com
 escreveu:

 Qual é a desigualdade ?

 Pacini

 Em 14 de junho de 2015 20:39, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Olá estou resolvendo uma desigualdade e preciso usar a desigualdade do
 rearranjo, e para isso preciso supor algumas coisas sem perda de
 generalidade, por exemplo:
 eu posso supor sem perda de generalidade que z=x=y, certo?
 Mas eu posso supor sem perda de generalidade ou pelo menos com alguma
 perda de generalidade mas sem entrar em contradição que
 z=x=y e que z/(x+z)(y+z)=x/(y+x)(z+z)=y/(y+z)(x+y), isto é. há
 alguma contradição em supor as duas desigualdades triplas ao mesmo tempo?
 Ah só para constar, se eu trocar as ordens das variáveis não altera a
 desigualdade que estou querendo provar...

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Re: [obm-l] Desigualdade

[gugu]

C(n,k+1)=n(n-1)...(n-k)/(k+1)!=n^(k+1)/(k+1)!.
Quoting Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com:


Alguém tem uma demonstração da desigualdade C(n,k+1) = n^(k+1) / (k+1)! de
preferência que não envolva indução hehehe

--
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This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.



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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

De fato, era isso mesmo que eu tinha feito, obrigado gugu

Em 4 de maio de 2015 22:55, g...@impa.br escreveu:

 C(n,k+1)=n(n-1)...(n-k)/(k+1)!=n^(k+1)/(k+1)!.
 Quoting Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com:

  Alguém tem uma demonstração da desigualdade C(n,k+1) = n^(k+1) / (k+1)!
 de
 preferência que não envolva indução hehehe

 --
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 This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.



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 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =


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[obm-l] Desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

Alguém tem uma demonstração da desigualdade C(n,k+1) = n^(k+1) / (k+1)! de
preferência que não envolva indução hehehe

-- 
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[obm-l] Desigualdade(indução?)

[marcone augusto araújo borges]

Prove que 2^(m+n-2)  = m.n se m e n são inteiros.Alguém ajuda? 
  
-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade(indução?)

[Pedro José]

Bom dia!

Deve ser para m,n naturais. m=-1 e n=-1 == 2^-4 = 1, falso.

Para m e n não nulos temos:


a e b positivos a=b == log 2 a =  log 2 b

2^(m+n-2)  = m.n == m+n-2 = log2 m +log 2 n

m -1 = log2 m; m=1 == 0 = 0, atende.

m-1 - log2 m é monótona crescente para m=2. Pois f(m) = m-1 - log2 m == f
'(m) = 1 -1/ (m. ln2) e ln(2)  0,5.

Pelo mesmo motivo:

n-1 = log2 n; m.=1

então m+n -2 = log2 m +log 2 n == 2^(m+n-2) = m.n

Para m ou n nulos é fácil 2^(x) =0, verdade.

Saudações.


Em 31 de março de 2015 09:09, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Prove que 2^(m+n-2)  = m.n se m e n são inteiros.
 Alguém ajuda?

 --
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Re: [obm-l] Desigualdade

[Manoel P G Neto Neto]

a, b, c são distintos.
 

 Em Quarta-feira, 18 de Fevereiro de 2015 23:03, Bernardo Freitas Paulo da 
Costa bernardo...@gmail.com escreveu:
   

 2015-02-18 11:21 GMT-02:00 Manoel P G Neto Neto buniakov...@yahoo.com.br:
 Caros
 Gostaria de receber uma dica sobre
 a demonstração da desigualdade:

 a^-1+b^-1+c^-1(a^8+b^8+c^8)/a^3b^3c^3
 a, b, c positivos, distintos.

Bunching (também conhecida como Muirhead). Ah, sim, é =, claro (se
a=b=c=1, dá 3 dos dois lados)

 Usei a desigualdade entre as médias, mas não
 consegui.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
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=
Instru�es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=


   
-- 
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[obm-l] Desigualdade

[Manoel P G Neto Neto]

CarosGostaria de receber uma dica sobrea demonstração da desigualdade:
a^-1+b^-1+c^-1(a^8+b^8+c^8)/a^3b^3c^3a, b, c positivos, distintos.
Usei a desigualdade entre as médias, mas nãoconsegui.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2015-02-18 11:21 GMT-02:00 Manoel P G Neto Neto buniakov...@yahoo.com.br:
 Caros
 Gostaria de receber uma dica sobre
 a demonstração da desigualdade:

 a^-1+b^-1+c^-1(a^8+b^8+c^8)/a^3b^3c^3
 a, b, c positivos, distintos.

Bunching (também conhecida como Muirhead). Ah, sim, é =, claro (se
a=b=c=1, dá 3 dos dois lados)

 Usei a desigualdade entre as médias, mas não
 consegui.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Desigualdade

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2015-01-15 17:32 GMT-02:00 Carlos Yuzo Shine cysh...@yahoo.com:
 Outra maneira, partindo de e^x  1 + x *para todo x  0* (é, aqui parece que
 precisa de pelo menos um pouco de Cálculo),

Não... enfim, precisa de Análise, mas deixando isso de lado:

exp(x) = lim_{n - infinito} (1 + 1/n)^(nx)

Ora, pelo fórmula do binômio (1 + a)^b = 1 + ab + a^2 * Comb(b, 2 a 2)
+ ...  1 + ab
Logo exp(x) = lim (1 + 1/n * nx) = 1 + x

 é

 e^x = (e^(x/2))^2  (1 + x/2)^2 = 1 + x + x^2/4.

 Aqui, aplicamos a desigualdade acima com x/2 no lugar do x.

Fantástico. Isso explica inclusive porque a questão está com um x^2/4
e não x^2/2 (que quem sabe Cálculo poderia usar).

 []'s
 Shine

Aliás, continuando a minha idéia até o segundo termo:

exp(x) = lim (1 + 1/n * nx + (1/n)^2 * (nx * (nx - 1))/2) = lim (1 +
x + x*(x - 1/n)/2) = 1 + x + x^2/2

Então, sei lá qual a razão profunda do x^2/4...
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Definamos f(x) = e^x - (1 + x + (x^2)/4), x = 0. Então

f'(x) = e^x - 1 - x/2

Como e^x = 1 + x + x^2/(2!) + x^3/(3!), para x = 0 temos que e^x = 1 + x. 
Assim,

f'(x)  x - x/2 = x/2 = 0 para x = 0, com igualdade sse x = 0. Logo, f é 
estritamente crescente em [0, oo) e, em razão disto, f(x) = f(0) = 0 para x = 
0, com igualdade sse x = 0.

Disto concluímos que e^x  1 + x +(x^2)/4  para x  0. Se x = 0, temos 
igualdade. 

Artur Costa Steiner

 Em 14/01/2015, às 11:58, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu:
 
 Pessoal, alguém sabe como mostrar que e^x  1 + x + (x^2)/4, para todo x  0?
 
 Muito obrigado!
 
 Vanderlei
 
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Re: [obm-l] Desigualdade

[Ralph Teixeira]

Se voce nao quiser usar Taylor, pode fazer assim (que no fundo no fundo eh
Taylor disfarcado):

Seja f(x)=e^x-1-x-x^2/4. Note que f'(x)=e^x-1-x/2 e f''(x)=e^x-1/2

Como f''(x)0 para todo x0, temos que f'(x) eh crescente em (0,+Inf). Como
f'(0)=0, isto significa que f'(x)0 em (0,+Inf).

Entao f(x) eh crescente em (0,+Inf). Como f(0)=0, entao f(x)0 para x0.

Abraco, Ralph.

2015-01-14 11:58 GMT-02:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Pessoal, alguém sabe como mostrar que e^x  1 + x + (x^2)/4, para todo x 
 0?

 Muito obrigado!

 Vanderlei

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Re: [obm-l] Desigualdade

[Vanderlei Nemitz]

Muito obrigado a todos, ficou muito claro!

Vanderlei

Em 15 de janeiro de 2015 14:44, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 Se voce nao quiser usar Taylor, pode fazer assim (que no fundo no fundo eh
 Taylor disfarcado):

 Seja f(x)=e^x-1-x-x^2/4. Note que f'(x)=e^x-1-x/2 e f''(x)=e^x-1/2

 Como f''(x)0 para todo x0, temos que f'(x) eh crescente em (0,+Inf).
 Como f'(0)=0, isto significa que f'(x)0 em (0,+Inf).

 Entao f(x) eh crescente em (0,+Inf). Como f(0)=0, entao f(x)0 para x0.

 Abraco, Ralph.

 2015-01-14 11:58 GMT-02:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Pessoal, alguém sabe como mostrar que e^x  1 + x + (x^2)/4, para todo x
  0?

 Muito obrigado!

 Vanderlei

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Re: [obm-l] Desigualdade

[Carlos Yuzo Shine]

Outra maneira, partindo de e^x  1 + x *para todo x  0* (é, aqui parece que 
precisa de pelo menos um pouco de Cálculo), ée^x = (e^(x/2))^2  (1 + x/2)^2 = 
1 + x + x^2/4.
Aqui, aplicamos a desigualdade acima com x/2 no lugar do x.
[]'sShine 

 On Thursday, January 15, 2015 3:44 PM, Vanderlei Nemitz 
vanderma...@gmail.com wrote:
   

 Muito obrigado a todos, ficou muito claro!
Vanderlei
Em 15 de janeiro de 2015 14:44, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

Se voce nao quiser usar Taylor, pode fazer assim (que no fundo no fundo eh 
Taylor disfarcado):
Seja f(x)=e^x-1-x-x^2/4. Note que f'(x)=e^x-1-x/2 e f''(x)=e^x-1/2
Como f''(x)0 para todo x0, temos que f'(x) eh crescente em (0,+Inf). Como 
f'(0)=0, isto significa que f'(x)0 em (0,+Inf).
Entao f(x) eh crescente em (0,+Inf). Como f(0)=0, entao f(x)0 para x0.
Abraco, Ralph.
2015-01-14 11:58 GMT-02:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

Pessoal, alguém sabe como mostrar que e^x  1 + x + (x^2)/4, para todo x  0?
Muito obrigado!
Vanderlei
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Re: [obm-l] Desigualdade

[Leonardo Borges Avelino]

Bom dia

Você pode tentar olhar pra expansão de e^x em Taylor.. e^x = 1 + x + x^2/2
+ x^3/6 + ... e notar que você tem um pedaço da expressão sua da direita
mais algo que será positivo

Abs

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RE: [obm-l] Desigualdade

[Celso Souza]

Compare o termo com a expansão de Taylor de e^x. Enviado do Yahoo Mail para iPhoneEm 14/01/2015 11:58:39, Vanderlei Nemitz<'vanderma...@gmail.com'> escreveu:Pessoal, alguém sabe como mostrar que e^x > 1 + x + (x^2)/4, para todo x > 0?Muito obrigado!Vanderlei
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Desigualdade

[Vanderlei Nemitz]

Pessoal, alguém sabe como mostrar que e^x  1 + x + (x^2)/4, para todo x 
0?

Muito obrigado!

Vanderlei

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[obm-l] Desigualdade

[marcone augusto araújo borges]

Se x+y+z  = xyz,mostre que x^2 + y^2 + z^2  = xyz 
  
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[obm-l] Desigualdade

[marcone augusto araújo borges]

Para x,y e z positivos mostre que m = x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x)  = 2
Se não errei em algo,usando H  = A e G  = A, acabei encontrando m  = 3/2H é 
média harmônica, A é média aritmética e G, média geométricaAlguém ajuda?
   
-- 
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Re: [obm-l] Desigualdade

[Marcos Martinelli]

Considerando x,y,z  0:

Faça a = y/x, b = z/x e c = x/z (repare que abc = 1).

x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) = 1/(1+a) + 1/(1+b) + 1/(1+c) = (3 + 2(a+b+c) +
(ab+ac+bc)) / (1 + (a+b+c) + (ab+ac+bc) + abc).

Nessa última expressão: S1 = a+b+c, S2 = ab+ac+bc. Lembrando que abc = 1,
vamos ter o seguinte:

x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) = (3 + 2S1 + S2) / (2 + S1 + S2) = 2 - 3 +
2S1 + S2 = 4 + 2S1 + 2S2 - 0 = 1 + S2, que é uma desigualdade
verdadeira.


Em 30 de abril de 2014 11:02, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Para x,y e z positivos mostre que m = x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x)  = 2

 Se não errei em algo,usando H  = A e G  = A, acabei encontrando m  = 3/2
 H é média harmônica, A é média aritmética e G, média geométrica
 Alguém ajuda?

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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Desigualdade das médias

[Marcos Martinelli]

Lema 1) x + y + z = raiz (3 . (xy + yz + zx)) para quaisquer x, y e z
positivos.

Prova:

Sabemos que: (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0 [*a igualdade ocorre se
somente se x=y=z*]. Desenvolvendo, teremos: 2.(x^2 + y^2 + z^2) - 2xy - 2yz
- 2zx = 0 - x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx= 3xy + 3yz + 3zx - (x +
y + z)^2 = 3xy + 3yz + 3zx - x + y + z = raiz (3 . (xy + yz + zx)).

Já que xy + yz + zx = 1, teremos, necessariamente: x + y + z = raiz(3) [a
igualdade ocorrendo quando z=y=z=raiz(3)/3].

Lema 2) raiz ((xy + yz + zx)/3) = raiz(3) (xyz) para quaisquer x, y e z
positivos [raiz(3) quer dizer raiz cúbica].

Prova:

Da desigualdade das médias, temos: (xy + yz + zx)/3 = raiz(3) (x^2y^2z^2) [
*a igualdade ocorre se somente se x=y=z*] - raiz((xy + yz + zx)/3) =
raiz(raiz(3) (x^2y^2z^2)) = raiz(3) (xyz).

Já que xy + yz + zx = 1, teremos, necessariamente: raiz(3) (xyz) = 1 -
xyz = 1 [a igualdade ocorrendo quando z=y=z=1].

Então, nossa resposta é: x + y + z = raiz (3) e xyz = 1!


Em 16 de julho de 2013 00:01, João Maldonado
joao_maldona...@hotmail.comescreveu:

 (x-y)² + (y-z)² +(z-x)² = 2(x²+y²+z²-xy-yz-zx) = 0
 (x²+y²+z²-xy-yz-zx) =0
 (x+y+z)² =3(xy+yz+zx)=3
 (x+y+z)=3^(1/2)
 O valor máximo diverge, já que podemos ter x infinitamente grande
 satisfazendo o sistema, ex:
 x = 10^k, y=10^-k e z = 10^-k satisfaz para k0, faça k tender ao infinito
 e (x+y+z) tende ao infinito

 Divida por xyz:
 3/xyz = 1/x + 1/y + 1/z = 3/(xyz)^(1/3)  (desigualdade das médias)
 Daonde vem que xyz=1
 O limite inferior é zero: mais uma vez, com a solução  acima mencionada
 teríamos xyz = 10^-k, faça k tende ao infinito xyz tende a 0

 --
 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Desigualdade das médias
 Date: Tue, 16 Jul 2013 01:18:33 +


 Sejam x,y,z números positivos tais que 1  = xy + xz + yz  = 3.Determine
   o conjunto dos valores de xyz e de x+y+z.Peço ajuda e ja
 agradeço.

 --
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-- 
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[obm-l] Desigualdade das médias

[marcone augusto araújo borges]

Sejam x,y,z números positivos tais que 1  = xy + xz + yz  = 3.Determine
 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  

o conjunto dos valores de xyz e de x+y+z.Peço ajuda e ja agradeço.  
  
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Desigualdade das médias

[João Maldonado]

(x-y)² + (y-z)² +(z-x)² = 2(x²+y²+z²-xy-yz-zx) = 0
(x²+y²+z²-xy-yz-zx) =0
(x+y+z)² =3(xy+yz+zx)=3
(x+y+z)=3^(1/2)
O valor máximo diverge, já que podemos ter x infinitamente grande satisfazendo 
o sistema, ex:
x = 10^k, y=10^-k e z = 10^-k satisfaz para k0, faça k tender ao infinito e 
(x+y+z) tende ao infinito

Divida por xyz:
3/xyz = 1/x + 1/y + 1/z = 3/(xyz)^(1/3)  (desigualdade das médias)
Daonde vem que xyz=1
O limite inferior é zero: mais uma vez, com a solução  acima mencionada 
teríamos xyz = 10^-k, faça k tende ao infinito xyz tende a 0 

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Desigualdade das médias
Date: Tue, 16 Jul 2013 01:18:33 +




Sejam x,y,z números positivos tais que 1  = xy + xz + yz  = 3.Determine
 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  

o conjunto dos valores de xyz e de x+y+z.Peço ajuda e ja agradeço.  
  
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
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[obm-l] Desigualdade envolvendo números primos

[Artur Costa Steiner]

Seja (q(n)) = (2, 5, 11, 17...) a sequencia que enumera os primos de ordem 
ímpar. Isto é, q(n) = primo de ordem 2n - 1. 

Mostre que, para todo k  1, a desigualdade q(n)  n^k ocorre para uma 
infinidade de valores de n.

Abraços. 

Artur Costa Steiner
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo números primos

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/2/11 Artur Costa Steiner artur_stei...@yahoo.com:
 Seja (q(n)) = (2, 5, 11, 17...) a sequencia que enumera os primos de ordem 
 ímpar. Isto é, q(n) = primo de ordem 2n - 1.

 Mostre que, para todo k  1, a desigualdade q(n)  n^k ocorre para uma 
 infinidade de valores de n.
Vale usar o TNP?


-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo números primos

[Artur Costa Steiner]

Vale usar tudo o que vc conhecer.

Abraços.

Artur Costa Steiner
Em 11/02/2013 12:59, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2013/2/11 Artur Costa Steiner artur_stei...@yahoo.com:
  Seja (q(n)) = (2, 5, 11, 17...) a sequencia que enumera os primos de
 ordem ímpar. Isto é, q(n) = primo de ordem 2n - 1.
 
  Mostre que, para todo k  1, a desigualdade q(n)  n^k ocorre para uma
 infinidade de valores de n.
 Vale usar o TNP?


 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

RE: [obm-l] Desigualdade(ajuda)

[João Maldonado]

Faça c' = -c
Temos a³ +b³ + c'³-3abc' 0
Mas pela fatoração de cardano
x³+y³+z³-3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)

Mas (x²+y²+z²-xy-xz-yz) = [(x-y)² + (y-z)² + (z-x)²)]/2  que é =0 para 
quaisquer reais x, y, z e 0 (a igualdade só vale quando x=y=z, logo teríamos 
a=b=-c, impossível, logo essa parcela é positiva

A segunda parcela (a+b-c) é positiva pela condição de existência de um triângulo

Logo a³+b³+3abc  c³

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Desigualdade(ajuda)
Date: Thu, 7 Feb 2013 02:28:49 +








Sejam a,b,c lados de um triângulo.Prove que a^3 + b^3 + 3abc  c^3
 
 

  

[obm-l] Desigualdade(ajuda)

[marcone augusto araújo borges]

Sejam a,b,c lados de um triângulo.Prove que a^3 + b^3 + 3abc  c^3  
  

Re: [obm-l] Desigualdade(ajuda)

[terence thirteen]

Faz tempo que resolvi este! A dica é simples: escreva a=x+y, b=x+z, c=y+z
com x,y,z positivos, faça as contas e tenha fé!


Em 7 de fevereiro de 2013 00:28, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

  Sejam a,b,c lados de um triângulo.Prove que a^3 + b^3 + 3abc  c^3






-- 
/**/
神が祝福

Torres

[obm-l] Desigualdade

[marcone augusto araújo borges]

9(a^3 +b^3 + c^3)  = (a + b + c)^3Usando (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 +c^3 + 3(a + 
b)(a + c)(b+c),basta mostrar que 8(a^3 + b^3 + c^3)  = 3(a+b)(a+c)(b+c)Dai pra 
frente parece que andei em círculosConto com ajudaAgradeço desde já.
 

Re: [obm-l] Desigualdade

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/2/5 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com:
 9(a^3 +b^3 + c^3)  = (a + b + c)^3
 Usando (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 +c^3 + 3(a + b)(a + c)(b+c),basta
 mostrar que 8(a^3 + b^3 + c^3)  = 3(a+b)(a+c)(b+c)
Está faltando uma carta na sua manga:
http://en.wikipedia.org/wiki/Muirhead%27s_inequality.
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Desigualdade

[João Maldonado]

Desigualdade das potências
Média cúbica = Média aritmética
[(a³ + b³ + c³)/3]^1/3 = (a + b + c)/3
eleva ao cubo a acabou 

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Desigualdade
Date: Tue, 5 Feb 2013 10:10:27 +








9(a^3 +b^3 + c^3)  = (a + b + c)^3
Usando (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 +c^3 + 3(a + b)(a + c)(b+c),basta 
mostrar que 8(a^3 + b^3 + c^3)  = 3(a+b)(a+c)(b+c)
Dai pra frente parece que andei em círculos
Conto com ajuda
Agradeço desde já.

  

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade associada a trinômios do 2o grau dados por f o f

[Artur Costa Steiner]

Grande Bernardo

Bom 2013. Para vc e todos os amigos da lista, que em 2013 o conjunto de suas 
realizações e de suas alegrias seja denso com medida infinita,

Uma sugestão para o problema: sendo g = fof, pense nos pontos a e b distintos 
tais que g(a) = g(b) e g(b) = g(a), atentando para o fato de que g é a 
composição de uma função com ela mesma.

Por exemplo, não existe nenhuma função de R em R tal que f(f(x)) = x^2 - 1996. 
Isto foi discutido aqui em 2003.

Abraços

Artur

Artur Costa Steiner

Em 06/01/2013, às 22:15, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2012/12/12 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 Suponhamos que exista alguma função de R em R tal que, para todo x, 
 tenhamos f(f(x)) = ax^2 + bx + c, a não nulo, b e c reais. Mostre que (b 
 +1) (b - 3) ≤ 4ac.
 
 Eu consegui fazer para x^2 + c^2, e também no caso de mudanças afins
 g(x) = f(x + beta) + beta. Eu suspeito que x^2 - c^2 seja impossível,
 mas não bate com a sua condição... e eu não tenho uma demonstração.
 
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 =
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 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

=
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=

[obm-l] Desigualdade associada a trinômios do 2o grau dados por f o f

[Artur Costa Steiner]

Suponhamos que exista alguma função de R em R tal que, para todo x, tenhamos 
f(f(x)) = ax^2 + bx + c, a não nulo, b e c reais. Mostre que (b +1) (b - 3) ≤ 
4ac.

Abraços

Artur Costa Steiner
=
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=

[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular

[Julio César Saldaña]

Parece que faltou disser que AB=CD=1.

Nesse caso, sejam M, N e P   os pontos meios de BD, BC e AD respectivamente.
Então PM=MN=0.5 e NMP=60, então PN=1. Seja Q o ponto meio de CD, então PQ=AC/2
e QN=BD/2. Aplicando a desigualdade triangular no PQN:

PQ+QN = PN

então

AC/2+BD/2=0.5

AC+BD=1

Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Wed, 25 Apr 2012 04:42:06 +0300
Asunto : [obm-l] Desigualdade Triangular



Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e

m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1.

Desde já obrigado!!
		 	   		   


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RE: [obm-l] Desigualdade Triangular

[marcone augusto araújo borges]

Faltou um detalhe ai no enunciado,não?
 



From: vitor__r...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Desigualdade Triangular
Date: Wed, 25 Apr 2012 04:42:06 +0300




Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e 
m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1.
Desde já obrigado!!
  

RE: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular

[marcone augusto araújo borges]

PN = 0.5,certo?
Interessante a solução!

 

 From: saldana...@pucp.edu.pe
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 CC: 
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular
 Date: Wed, 25 Apr 2012 07:31:13 -0500
 
 
 
 Parece que faltou disser que AB=CD=1.
 
 Nesse caso, sejam M, N e P os pontos meios de BD, BC e AD respectivamente.
 Então PM=MN=0.5 e NMP=60, então PN=1. Seja Q o ponto meio de CD, então 
 PQ=AC/2
 e QN=BD/2. Aplicando a desigualdade triangular no PQN:
 
 PQ+QN = PN
 
 então
 
 AC/2+BD/2=0.5
 
 AC+BD=1
 
 Julio Saldaña
 
 
 -- Mensaje original ---
 De : obm-l@mat.puc-rio.br
 Para : obm-l@mat.puc-rio.br
 Fecha : Wed, 25 Apr 2012 04:42:06 +0300
 Asunto : [obm-l] Desigualdade Triangular
 
 
 Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e
 m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1.
 Desde já obrigado!!
  
 
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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular

[Julio César Saldaña]

é verdade, PN=0,5

obrigado pela correção

Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Wed, 25 Apr 2012 14:17:16 +
Asunto : RE: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular


PN = 0.5,certo?
Interessante a solução!




From: saldana...@pucp.edu.pe
To: obm-l@mat.puc-rio.br
CC: 
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular

Date: Wed, 25 Apr 2012 07:31:13 -0500



Parece que faltou disser que AB=CD=1.

Nesse caso, sejam M, N e P os pontos meios de BD, BC e AD respectivamente.
Então PM=MN=0.5 e NMP=60, então PN=1. Seja Q o ponto meio de CD, então PQ=AC/2
e QN=BD/2. Aplicando a desigualdade triangular no PQN:

PQ+QN = PN

então

AC/2+BD/2=0.5

AC+BD=1

Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Wed, 25 Apr 2012 04:42:06 +0300
Asunto : [obm-l] Desigualdade Triangular


Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e
m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1.
Desde já obrigado!!
 


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[obm-l] Desigualdade com radicais

[ennius]

Prezados amigos da Lista:

Como podemos provar que a raiz n-ésima de (a + b) é menor que soma das raízes 
n-ésimas de a e b?

( n é natural diferente de zero, a e b são números reais positivos.)


Abraços!
Ennius Lima
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Re: [obm-l] Desigualdade com radicais

[Ralph Teixeira]

Tome a=x^n e b=y^n (com x e y positivos). Entao voce quer mostrar quea raiz 
n-esima de (x^n+y^n) eh menor que x+y, isto eh, que
x^n+y^n=(x+y)^n
Se voce abrir o lado direito pelo binomio de Newton, fica facil.
Serve assim?
Abraco,Ralph
2012/4/24 ennius enn...@bol.com.br: Prezados amigos da Lista: Como podemos 
provar que a raiz n-ésima de (a + b) é menor que soma das raízes n-ésimas de a 
e b? ( n é natural diferente de zero, a e b são números reais positivos.) 
Abraços! Ennius Lima 
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