[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função phi de Euler

[Anderson Torres]

Em qui, 14 de jul de 2022 12:19, Esdras Muniz 
escreveu:

> Quis dizer φ(p)=p-1.
>
> Em qui, 14 de jul de 2022 12:02, Esdras Muniz 
> escreveu:
>
>> Oi(o)=p-1, aí isso só vale se o primo for da firma 6k+1.
>>
>
phi(4+3)=7-1


>> Em qui, 14 de jul de 2022 11:52, Rubens Vilhena Fonseca <
>> rubens.vilhen...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Saudações a todos da lista.
>>> É um fato que para primos p ímpares, a função de Euler phi(p)=p-1 é
>>> sempre um valor par.
>>> Os primos 7, 13, 19, 31, 37, 67, 73, 79, 97, ... tem valores pares
>>> múltiplos de 3.
>>> Existe algum caminho a tomar para determinar quando phi(p) = 3 .(2k)?
>>> Agradeço qualquer solução ou  informação ou indicação de leituras sobre
>>> o  problema.
>>> Att
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função

[Israel Meireles Chrisostomo]

obrigado


Livre
de vírus. www.avast.com
.
<#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

Em qua., 19 de mai. de 2021 às 10:56, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em seg., 26 de abr. de 2021 às 17:18, Israel Meireles Chrisostomo
>  escreveu:
> >
> > Mas aí então a+bi e b+ai são os mesmos números
>
> Não são.
>
> 4+5i e 5+4i são diferentes, e 4+5i < 5+4i por essas regras.
>
> >
> > Em seg, 26 de abr de 2021 13:36, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
> >>
> >> Em qui., 22 de abr. de 2021 às 07:19, Israel Meireles Chrisostomo
> >>  escreveu:
> >> >
> >> > Me desculpem se eu estou falando bobagem, mas considere uma função
> com domínio complexo, então essa função não pode ser bijetora, pois toda
> função bijetora ou é crescente ou é decrescente, mas não há ordem nos
> complexos
>
> Você não entendeu nada aqui, suponho. Primeiramente, funções não são
> coisas limitadas a números.
>
> Segundamente, quando usamos esse teorema de que funções contínuas são
> monótonas, é óbvio que estamos supondo de antemão que estamos
> trabalhando com um sistema numérico que admita a ideia de ordem.
> Especialmente, a de um corpo ordenado completo.
>
> Por exemplo, não faz sentido falar de "continuidade" quando se fala de
> funções de naturais para naturais, porque números naturais não formam
> um sistema numérico contínuo.
>
> >>
> >> Não é correto dizer que não existe ordem nos complexos. É só atribuir
> >> o seguinte: o complexo A é maior que o complexo B se e somente se ou o
> >> módulo de A é maior que o de B ou os módulos são iguais mas o
> >> argumento de A é maior que o de B (tomando este módulo no intervalo de
> >> 0 a tau).
> >>
> >> >
> >> > --
> >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> > acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>  acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >>
> =
> >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >>
> =
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>


-- 
Israel Meireles Chrisostomo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função

[Anderson Torres]

Em seg., 26 de abr. de 2021 às 17:18, Israel Meireles Chrisostomo
 escreveu:
>
> Mas aí então a+bi e b+ai são os mesmos números

Não são.

4+5i e 5+4i são diferentes, e 4+5i < 5+4i por essas regras.

>
> Em seg, 26 de abr de 2021 13:36, Anderson Torres 
>  escreveu:
>>
>> Em qui., 22 de abr. de 2021 às 07:19, Israel Meireles Chrisostomo
>>  escreveu:
>> >
>> > Me desculpem se eu estou falando bobagem, mas considere uma função com 
>> > domínio complexo, então essa função não pode ser bijetora, pois toda 
>> > função bijetora ou é crescente ou é decrescente, mas não há ordem nos 
>> > complexos

Você não entendeu nada aqui, suponho. Primeiramente, funções não são
coisas limitadas a números.

Segundamente, quando usamos esse teorema de que funções contínuas são
monótonas, é óbvio que estamos supondo de antemão que estamos
trabalhando com um sistema numérico que admita a ideia de ordem.
Especialmente, a de um corpo ordenado completo.

Por exemplo, não faz sentido falar de "continuidade" quando se fala de
funções de naturais para naturais, porque números naturais não formam
um sistema numérico contínuo.

>>
>> Não é correto dizer que não existe ordem nos complexos. É só atribuir
>> o seguinte: o complexo A é maior que o complexo B se e somente se ou o
>> módulo de A é maior que o de B ou os módulos são iguais mas o
>> argumento de A é maior que o de B (tomando este módulo no intervalo de
>> 0 a tau).
>>
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função

[Israel Meireles Chrisostomo]

Mas aí então a+bi e b+ai são os mesmos números

Em seg, 26 de abr de 2021 13:36, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em qui., 22 de abr. de 2021 às 07:19, Israel Meireles Chrisostomo
>  escreveu:
> >
> > Me desculpem se eu estou falando bobagem, mas considere uma função com
> domínio complexo, então essa função não pode ser bijetora, pois toda função
> bijetora ou é crescente ou é decrescente, mas não há ordem nos complexos
>
> Não é correto dizer que não existe ordem nos complexos. É só atribuir
> o seguinte: o complexo A é maior que o complexo B se e somente se ou o
> módulo de A é maior que o de B ou os módulos são iguais mas o
> argumento de A é maior que o de B (tomando este módulo no intervalo de
> 0 a tau).
>
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função

[Israel Meireles Chrisostomo]

Obrigado

Em qui, 22 de abr de 2021 11:25, Artur Costa Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:

> O que vc disse só vale para funções contínuas de R em R. No domínio
> complexo, não vale.
> Nos complexos, uma função inteira é injetora se, e somente se, for um
> mapeamento afim não constante, caso em que é bijetora.
>
> Artur
>
>
> Em qui., 22 de abr. de 2021 07:19, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Me desculpem se eu estou falando bobagem, mas considere uma função com
>> domínio complexo, então essa função não pode ser bijetora, pois toda função
>> bijetora ou é crescente ou é decrescente, mas não há ordem nos complexos
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função parte inteira

[Ralph Costa Teixeira]

Hm, confere o enunciado - era parte inteira, ou inteiro mais proximo?

On Wed, Feb 3, 2021, 18:39 joao pedro b menezes 
wrote:

> Obrigado pela dica! Honestamente creio que existe um erro nesse problema.
> Fazendo alguns casos na mão é possivel perceber que isso sempre resulta em
> 8n + 7. Essa é a prova:
> "Provar que ( n^(1/3) + ( n + 2)^(1/3) )³  < 8n + 8. Abrindo a potência,
> temos:
> 2n + 2 + 3 * ( (n² ( n + 2))^(1/3) + (n(n + 2)²)^(1/3)) < 8n + 8
>   (n² ( n + 2))^(1/3) + (n(n + 2)²)^(1/3)   < 2n + 2
> Porém temos que  (n² ( n + 2))^(1/3) < n + 2/3  , e  (n(n + 2)²)^(1/3) <
> n + 4/3 ( eu testei elevando ambos os lados ao cubo deu certo) . Isso
> confirma a inequação inicial.
> Agora se 8n + 7 <  ( n^(1/3) + ( n + 2)^(1/3) )³  o exercício acaba. De
> fato, trabalhando a expressão:
>(n² ( n + 2))^(1/3) + (n(n + 2)²)^(1/3)   > 2n + 5/3
> Mas novamente, tem se que  (n² ( n + 2))^(1/3) > n + 1/2 e  (n(n +
> 2)²)^(1/3) > n + 7/6 para qualquer n > 1 ( no caso n =1 basta testar na
> mão). E como 1/2 + 7/6 = 5/3 ,  tem se que ela é verdade, logo:
> 8n + 7 <  ( n^(1/3) + ( n + 2)^(1/3) )³  < 8n + 8 ==> [ ( n^(1/3) + ( n +
> 2)^(1/3) )³ ] = 8n + 7"
> Eu estranhei bastante porque nunca tinha acontecido de um exercicio do
> POTI estar errado.
> obs: Se a minha solução estiver errada de alguma forma, adoraria saber!
>
> On Wed, Feb 3, 2021 at 12:42 PM Ralph Costa Teixeira 
> wrote:
>
>> Sem tempo agora, mas olhando por alto eu aproximaria o que estah dentro
>> do () por 2(n+1)^(1/3), o que levaria imediatamente a 8(n+1). Serah que a
>> parte inteira daquela coisa eh 8(n+1)?
>>
>> Entao eu tentaria abrir os cubos, subtrair 8(n+1), e mostrar que o que
>> sobra eh menor que 1.
>>
>> Serah que funciona?
>>
>> On Wed, Feb 3, 2021 at 10:03 AM joao pedro b menezes <
>> joaopedrobmene...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Olá, estava tentando fazer esta questão:
>>>   Prove que [ ( n^(1/3) + (n + 2)^(1/3)  )³] é divisível por 8.
>>> obs: não tinha a tecla de função parte inteira, por isso escolhi [ ]
>>> Se alguém tiver alguma dica ou souber como resolver, ajudaria bastante.
>>>
>>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função parte inteira

[joao pedro b menezes]

Obrigado pela dica! Honestamente creio que existe um erro nesse problema.
Fazendo alguns casos na mão é possivel perceber que isso sempre resulta em
8n + 7. Essa é a prova:
"Provar que ( n^(1/3) + ( n + 2)^(1/3) )³  < 8n + 8. Abrindo a potência,
temos:
2n + 2 + 3 * ( (n² ( n + 2))^(1/3) + (n(n + 2)²)^(1/3)) < 8n + 8
  (n² ( n + 2))^(1/3) + (n(n + 2)²)^(1/3)   < 2n + 2
Porém temos que  (n² ( n + 2))^(1/3) < n + 2/3  , e  (n(n + 2)²)^(1/3) <
n + 4/3 ( eu testei elevando ambos os lados ao cubo deu certo) . Isso
confirma a inequação inicial.
Agora se 8n + 7 <  ( n^(1/3) + ( n + 2)^(1/3) )³  o exercício acaba. De
fato, trabalhando a expressão:
   (n² ( n + 2))^(1/3) + (n(n + 2)²)^(1/3)   > 2n + 5/3
Mas novamente, tem se que  (n² ( n + 2))^(1/3) > n + 1/2 e  (n(n +
2)²)^(1/3) > n + 7/6 para qualquer n > 1 ( no caso n =1 basta testar na
mão). E como 1/2 + 7/6 = 5/3 ,  tem se que ela é verdade, logo:
8n + 7 <  ( n^(1/3) + ( n + 2)^(1/3) )³  < 8n + 8 ==> [ ( n^(1/3) + ( n +
2)^(1/3) )³ ] = 8n + 7"
Eu estranhei bastante porque nunca tinha acontecido de um exercicio do POTI
estar errado.
obs: Se a minha solução estiver errada de alguma forma, adoraria saber!

On Wed, Feb 3, 2021 at 12:42 PM Ralph Costa Teixeira 
wrote:

> Sem tempo agora, mas olhando por alto eu aproximaria o que estah dentro do
> () por 2(n+1)^(1/3), o que levaria imediatamente a 8(n+1). Serah que a
> parte inteira daquela coisa eh 8(n+1)?
>
> Entao eu tentaria abrir os cubos, subtrair 8(n+1), e mostrar que o que
> sobra eh menor que 1.
>
> Serah que funciona?
>
> On Wed, Feb 3, 2021 at 10:03 AM joao pedro b menezes <
> joaopedrobmene...@gmail.com> wrote:
>
>> Olá, estava tentando fazer esta questão:
>>   Prove que [ ( n^(1/3) + (n + 2)^(1/3)  )³] é divisível por 8.
>> obs: não tinha a tecla de função parte inteira, por isso escolhi [ ]
>> Se alguém tiver alguma dica ou souber como resolver, ajudaria bastante.
>>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Desconhecida

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Anderson!
Bom dia!
Visitei o site que você indicou.
É muito bom!
Muito obrigado!
Abs

Em qua, 15 de jan de 2020 8:11 AM, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em sex., 20 de dez. de 2019 às 18:24, Luiz Antonio Rodrigues
>  escreveu:
> >
> > Olá, Esdras!
> > Eu de novo!
> > Você, ou alguém do grupo, pode me indicar um bom material relacionado às
> funções transcendentes?
> > É um assunto que me interessa bastante!
> > Abraços!
> > Luiz
> >
> > Em sex, 20 de dez de 2019 4:38 PM, Esdras Muniz <
> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
> >>
> >> Acho que essa função é trancendente.
>
> Pelo que eu sei, existe um algoritmo (sim, um programa de computador)
> que verifica se uma funçao é ou não passível de "integração
> bonitinha".
>
> Sempre que a dúvida bater, use esse site:
>
> https://www.integral-calculator.com/
>
> >>
> >> Em sex, 20 de dez de 2019 14:42, Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
> >>>
> >>> Olá, pessoal!
> >>> Tudo bem?
> >>> Estou tentando, há alguns dias, resolver o seguinte problema:
> >>>
> >>> Preciso descobrir uma função f(x) cuja derivada é sen(x^3). Sabe-se
> que f(0)=2.
> >>>
> >>> Utilizei um software e mesmo assim não cheguei numa resposta para esta
> integral...
> >>> Alguém sabe se esta função é de algum tipo "especial"?
> >>> Muito obrigado!
> >>> Luiz
> >>>
> >>> --
> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Desconhecida

[Anderson Torres]

Em sex., 20 de dez. de 2019 às 18:24, Luiz Antonio Rodrigues
 escreveu:
>
> Olá, Esdras!
> Eu de novo!
> Você, ou alguém do grupo, pode me indicar um bom material relacionado às 
> funções transcendentes?
> É um assunto que me interessa bastante!
> Abraços!
> Luiz
>
> Em sex, 20 de dez de 2019 4:38 PM, Esdras Muniz  
> escreveu:
>>
>> Acho que essa função é trancendente.

Pelo que eu sei, existe um algoritmo (sim, um programa de computador)
que verifica se uma funçao é ou não passível de "integração
bonitinha".

Sempre que a dúvida bater, use esse site:

https://www.integral-calculator.com/

>>
>> Em sex, 20 de dez de 2019 14:42, Luiz Antonio Rodrigues 
>>  escreveu:
>>>
>>> Olá, pessoal!
>>> Tudo bem?
>>> Estou tentando, há alguns dias, resolver o seguinte problema:
>>>
>>> Preciso descobrir uma função f(x) cuja derivada é sen(x^3). Sabe-se que 
>>> f(0)=2.
>>>
>>> Utilizei um software e mesmo assim não cheguei numa resposta para esta 
>>> integral...
>>> Alguém sabe se esta função é de algum tipo "especial"?
>>> Muito obrigado!
>>> Luiz
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Desconhecida

[Luiz Antonio Rodrigues]

Olá, Esdras!
Eu de novo!
Você, ou alguém do grupo, pode me indicar um bom material relacionado às
funções transcendentes?
É um assunto que me interessa bastante!
Abraços!
Luiz

Em sex, 20 de dez de 2019 4:38 PM, Esdras Muniz 
escreveu:

> Acho que essa função é trancendente.
>
> Em sex, 20 de dez de 2019 14:42, Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá, pessoal!
>> Tudo bem?
>> Estou tentando, há alguns dias, resolver o seguinte problema:
>>
>> Preciso descobrir uma função f(x) cuja derivada é sen(x^3). Sabe-se que
>> f(0)=2.
>>
>> Utilizei um software e mesmo assim não cheguei numa resposta para esta
>> integral...
>> Alguém sabe se esta função é de algum tipo "especial"?
>> Muito obrigado!
>> Luiz
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Desconhecida

[Luiz Gustavo Alves Brandão]

Como faz pra sair do grupo? Meu e-mail luizbg...@gmail.com.

Em sex., 20 de dez. de 2019 às 17:14, Luiz Antonio Rodrigues <
rodrigue...@gmail.com> escreveu:

> Olá, Esdras!
> Muito obrigado pela resposta!
> Vou fazer uma pesquisa sobre este assunto!
> Um abraço!
> Luiz
>
> Em sex, 20 de dez de 2019 4:38 PM, Esdras Muniz 
> escreveu:
>
>> Acho que essa função é trancendente.
>>
>> Em sex, 20 de dez de 2019 14:42, Luiz Antonio Rodrigues <
>> rodrigue...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Olá, pessoal!
>>> Tudo bem?
>>> Estou tentando, há alguns dias, resolver o seguinte problema:
>>>
>>> Preciso descobrir uma função f(x) cuja derivada é sen(x^3). Sabe-se que
>>> f(0)=2.
>>>
>>> Utilizei um software e mesmo assim não cheguei numa resposta para esta
>>> integral...
>>> Alguém sabe se esta função é de algum tipo "especial"?
>>> Muito obrigado!
>>> Luiz
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Bruno Visnadi]

Realmente eu me expressei mal ali. Eu quis dizer que o menor N deve ser 1,
2 ou 5.

Em 13 de maio de 2018 21:22, Jeferson Almir 
escreveu:

> Boa noite.
> Eu só não entendi essa passagem
>  “ Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50
> menores ou iguais a 5).“
> Pois pra mim eu teria que levar em conta somente os divisores de 50
>
> Em dom, 13 de mai de 2018 às 19:43, Bruno Visnadi <
> brunovisnadida...@gmail.com> escreveu:
>
>> Não sei se ficou meio confuso:
>> De fato a função é injetiva, pois se f(a) = f(b) então f^50(a) = f^50(b)
>> e a = b. E claramente é sobrejetiva, portanto, é bijetiva. Existem 5! = 120
>> bijeções de S em S. Vamos descontar as que não tem a propriedade desejada.
>> Em cada bijeção de S em S, dado um a, existe um menor N tal que f^N(a) =
>> a. Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50
>> menores ou iguais a 5).
>> Se existem um a cujo N é igual a 3, temos um caso em que f(a) = b, f(b)
>> = c e f(c) = a . Existem 10 maneiras de escolher a, b, c de S, duas
>> maneiras de escolher o 'ciclo' entre eles (a->b->c ou a->c->b), e mais 2
>> maneiras de escolher a imagem dos outros 2 elementos (se forem x e y,
>> podemos ter f(x) = x e f(y) = y ou f(x) = y e f(y) = x). Então temos 10*2*2
>> = 40 funções deste tipo.
>> Se existe um a cujo N é igual a 4, temos um caso em que f(a) = b, f(b) =
>> c e f(c) = d e f(d) = a. Temos 5 maneiras de escolher estes 4 elementos de
>> S, e mais 6 maneiras de ordenar o 'ciclo' entre eles (basta fixar um deles
>> e vemos que são 3! maneiras). Então 6*5 = 30 funções deste tipo.
>> Logo a quantidade de funções com as propriedades que buscamos é 120-40-30
>> = 50.
>>
>> Em 13 de maio de 2018 18:03, Jeferson Almir 
>> escreveu:
>>
>>> Seja S = { 1,2,3,4,5 }, quantas são as funções de f: S -> S tais que
>>> f^50(x)= x para todo x pertencente a S ?? ( f^50(x) = fofofo...of(x)
>>> Eu provei que ela era injetiva e acho que provei também que ela era
>>> sobrejetiva mas minha resposta dar 45 . O gabarito diz que são 50. Desde já
>>> agradeço qualquer ajuda.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Jeferson Almir]

Boa noite.
Eu só não entendi essa passagem
 “ Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50
menores ou iguais a 5).“
Pois pra mim eu teria que levar em conta somente os divisores de 50

Em dom, 13 de mai de 2018 às 19:43, Bruno Visnadi <
brunovisnadida...@gmail.com> escreveu:

> Não sei se ficou meio confuso:
> De fato a função é injetiva, pois se f(a) = f(b) então f^50(a) = f^50(b) e
> a = b. E claramente é sobrejetiva, portanto, é bijetiva. Existem 5! = 120
> bijeções de S em S. Vamos descontar as que não tem a propriedade desejada.
> Em cada bijeção de S em S, dado um a, existe um menor N tal que f^N(a) =
> a. Para todo a, queremos que N seja igual a 1, 2 ou 5 (os divisores de 50
> menores ou iguais a 5).
> Se existem um a cujo N é igual a 3, temos um caso em que f(a) = b, f(b) =
> c e f(c) = a . Existem 10 maneiras de escolher a, b, c de S, duas
> maneiras de escolher o 'ciclo' entre eles (a->b->c ou a->c->b), e mais 2
> maneiras de escolher a imagem dos outros 2 elementos (se forem x e y,
> podemos ter f(x) = x e f(y) = y ou f(x) = y e f(y) = x). Então temos 10*2*2
> = 40 funções deste tipo.
> Se existe um a cujo N é igual a 4, temos um caso em que f(a) = b, f(b) =
> c e f(c) = d e f(d) = a. Temos 5 maneiras de escolher estes 4 elementos de
> S, e mais 6 maneiras de ordenar o 'ciclo' entre eles (basta fixar um deles
> e vemos que são 3! maneiras). Então 6*5 = 30 funções deste tipo.
> Logo a quantidade de funções com as propriedades que buscamos é 120-40-30
> = 50.
>
> Em 13 de maio de 2018 18:03, Jeferson Almir 
> escreveu:
>
>> Seja S = { 1,2,3,4,5 }, quantas são as funções de f: S -> S tais que
>> f^50(x)= x para todo x pertencente a S ?? ( f^50(x) = fofofo...of(x)
>> Eu provei que ela era injetiva e acho que provei também que ela era
>> sobrejetiva mas minha resposta dar 45 . O gabarito diz que são 50. Desde já
>> agradeço qualquer ajuda.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Jeferson Almir]

Valeu Raph e os demais. Aprendi muito com vcs!!

Em sáb, 12 de mai de 2018 às 20:25, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Oops, eh verdade, esqueci de mostrar que f nao tem ponto fixo em Z_2005
> (obviamente f nao tem ponto fixo, pois f(f(a))<>a).
>
> Suponha por absurdo que f(a)=a+K.2005 para algum a em {0,1,...2004}, com K
> natural. Entao f(a+K.2005)=f(f(a))=a+2005. Agora, usando nossa
> propriedadezinha:
>
> f(a+K.2005)-f(a)=K.2005
> a+2005 - (a+K.2005) = K.2005
> K = 1/2 (absurdo).
>
> Abraco, Ralph.
>
>
>
> 2018-05-12 2:49 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com>:
>
>> Oi Ralph,
>>
>> 2018-05-11 20:03 GMT-03:00 Ralph Teixeira :
>> > (Vou supor que 0 eh natural; se nao for, apenas troque 0 por 2005 ali
>> > embaixo e ajeite as coisas)
>> >
>> > Primeiro: f eh injetiva. De fato, f(a)=f(b) => f(f(a))=f(f(b)) =>
>> > a+2005=b+2005 => a=b.
>> >
>> > Segundo: para todo n natural, f(n+2005)=f(f(f(n)))=f(n)+2005. Portanto,
>> por
>> > indução, para qualquer K natural, tem-se
>> > f(n+K.2005)=f(n)+K.2005, ou seja, f(n+K.2005)-f(n)=K.2005.
>> >
>> > VERSÃO CURTA COM TERMINOLOGIA "MOD":
>> > Ou seja, mostramos que   a=b (mod 2005) => f(a)=f(b) (mod 2005).
>> > Agora, se f(m)=n (mod 2005), entao f(n)=f(f(m))=m+2005=m (mod 2005). Ou
>> > seja, f estah bem definida e eh sua propria inversa em Z_2005, o que eh
>> > absurdo, pois Z_2005 tem um numero impar de elementos.
>>
>> Peraí, não entendi direito... se f(n) == n (mod 2005), temos uma
>> função que é sua própria inversa mod 2005.  Temos que excluir este
>> caso...
>>
>> > 2018-05-11 10:42 GMT-03:00 Jeferson Almir :
>> >>
>> >> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005
>> ???
>> >>
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Ralph Teixeira]

Oops, eh verdade, esqueci de mostrar que f nao tem ponto fixo em Z_2005
(obviamente f nao tem ponto fixo, pois f(f(a))<>a).

Suponha por absurdo que f(a)=a+K.2005 para algum a em {0,1,...2004}, com K
natural. Entao f(a+K.2005)=f(f(a))=a+2005. Agora, usando nossa
propriedadezinha:

f(a+K.2005)-f(a)=K.2005
a+2005 - (a+K.2005) = K.2005
K = 1/2 (absurdo).

Abraco, Ralph.



2018-05-12 2:49 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com>:

> Oi Ralph,
>
> 2018-05-11 20:03 GMT-03:00 Ralph Teixeira :
> > (Vou supor que 0 eh natural; se nao for, apenas troque 0 por 2005 ali
> > embaixo e ajeite as coisas)
> >
> > Primeiro: f eh injetiva. De fato, f(a)=f(b) => f(f(a))=f(f(b)) =>
> > a+2005=b+2005 => a=b.
> >
> > Segundo: para todo n natural, f(n+2005)=f(f(f(n)))=f(n)+2005. Portanto,
> por
> > indução, para qualquer K natural, tem-se
> > f(n+K.2005)=f(n)+K.2005, ou seja, f(n+K.2005)-f(n)=K.2005.
> >
> > VERSÃO CURTA COM TERMINOLOGIA "MOD":
> > Ou seja, mostramos que   a=b (mod 2005) => f(a)=f(b) (mod 2005).
> > Agora, se f(m)=n (mod 2005), entao f(n)=f(f(m))=m+2005=m (mod 2005). Ou
> > seja, f estah bem definida e eh sua propria inversa em Z_2005, o que eh
> > absurdo, pois Z_2005 tem um numero impar de elementos.
>
> Peraí, não entendi direito... se f(n) == n (mod 2005), temos uma
> função que é sua própria inversa mod 2005.  Temos que excluir este
> caso...
>
> > 2018-05-11 10:42 GMT-03:00 Jeferson Almir :
> >>
> >> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005
> ???
> >>
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Oi Ralph,

2018-05-11 20:03 GMT-03:00 Ralph Teixeira :
> (Vou supor que 0 eh natural; se nao for, apenas troque 0 por 2005 ali
> embaixo e ajeite as coisas)
>
> Primeiro: f eh injetiva. De fato, f(a)=f(b) => f(f(a))=f(f(b)) =>
> a+2005=b+2005 => a=b.
>
> Segundo: para todo n natural, f(n+2005)=f(f(f(n)))=f(n)+2005. Portanto, por
> indução, para qualquer K natural, tem-se
> f(n+K.2005)=f(n)+K.2005, ou seja, f(n+K.2005)-f(n)=K.2005.
>
> VERSÃO CURTA COM TERMINOLOGIA "MOD":
> Ou seja, mostramos que   a=b (mod 2005) => f(a)=f(b) (mod 2005).
> Agora, se f(m)=n (mod 2005), entao f(n)=f(f(m))=m+2005=m (mod 2005). Ou
> seja, f estah bem definida e eh sua propria inversa em Z_2005, o que eh
> absurdo, pois Z_2005 tem um numero impar de elementos.

Peraí, não entendi direito... se f(n) == n (mod 2005), temos uma
função que é sua própria inversa mod 2005.  Temos que excluir este
caso...

> 2018-05-11 10:42 GMT-03:00 Jeferson Almir :
>>
>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ???
>>

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Bruno Visnadi]

 Vou considerar que 0 é natural (para N = {1, 2, 3...} a prova é análoga).
Lema 1: f é injetora.
Prova: Se f(a) = f(b) então f(f(a)) = f(f(b)) e a = b.
Lema 2: Se f(a) > 2004, então a está na imagem de f.
Prova: Se f(a) > 2004, então f(f(f(a) - 2005)) = f(a). Como a função é
injetora, f(f(a) - 2005) = a.
Suponha que existe uma função f, N -> N, tal que f(f(n)) = n + 2005.
Seja S o conjunto dos 2005 naturais [0, 2004]. Suponha que existam 1003
elementos t de S tais que f(t) ∈ S. Portanto, há no máximo 1002 elementos t
de S tais que f(t) ∉ S. Assim, uma vez que a função é injetora, pelo
princípio das casas dos pombos haveria um elemento t tal que f(f(t)) ∈ S ⇒
2015 + t  ∈ S, absurdo, pois 2005 + t > 2004.

Então existem pelo menos 1003 elementos t de S com f(t) > 2004. Sejam a1,
a2 (...) a1003 tais elementos. Pelo Lema 2, estes números estão na imagem
de f. Então existem 1003 números b1, b2, (...) b1003 tais que f(b1) = a1,
f(b2) = a2, (...) f(b1003) = a1003. Não podem haver i e j tais que bi = aj,
pois f(bi) < 2005 e f(aj) > 2004. Assim, se bi ∈ S, bi é um dos 1002
elementos t de S com f(t) ∈ S. Mas existem 1003 números bi, portanto, ao
menos um deles não pertence a S. Seja bk tal elemento, com f(bk) = ak. Pelo
Lema 2, bk está na imagem de f, então existe c com f(c) = bk ⇒ f(f(c)) =
f(bk) ⇒ 2005 + c = ak. Absurdo, pois ak < 2005.

Portanto, não existe tal f.

Em 11 de maio de 2018 18:46, Rodrigo Ângelo 
escreveu:

> acho que, de forma mais geral, não pode existir nenhuma f: |N -> |N, tal
> que f(f(n)) = n*p(n) + i, onde g(n) seja qualquer polinômio natural de n e
> i é um número ímpar
>
> On Fri, May 11, 2018 at 6:37 PM Rodrigo Ângelo 
> wrote:
>
>> Se f não for polinomial, então f deve ser da forma f(n) = g(n) + m, onde
>> g(n) é uma função não polinomial de n e m é um natural ou zero
>> f(f(n)) = g(f(n)) + m
>>
>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos
>> g(f(n)) + m = n  + 2005
>> g(f(n)) = n  + 2005 - m onde m é uma constante natural então g(f(n)) é um
>> polinômio, que é um absurdo.
>>
>> On Fri, May 11, 2018 at 6:20 PM Rodrigo Ângelo 
>> wrote:
>>
>>> Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é
>>> um polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial
>>>
>>> On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica <
>>> saldana...@pucp.edu.pe> wrote:
>>>
 com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais
 geral

 El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo 
 escribió:

> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
> teríamos
> f(f(n)) = a(an + m) + m
> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>
> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m
> deve ser um número natural.
>
> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir <
> jefersonram...@gmail.com> wrote:
>
>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n +
>> 2005 ???
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Rodrigo Ângelo]

acho que, de forma mais geral, não pode existir nenhuma f: |N -> |N, tal
que f(f(n)) = n*p(n) + i, onde g(n) seja qualquer polinômio natural de n e
i é um número ímpar

On Fri, May 11, 2018 at 6:37 PM Rodrigo Ângelo 
wrote:

> Se f não for polinomial, então f deve ser da forma f(n) = g(n) + m, onde
> g(n) é uma função não polinomial de n e m é um natural ou zero
> f(f(n)) = g(f(n)) + m
>
> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos
> g(f(n)) + m = n  + 2005
> g(f(n)) = n  + 2005 - m onde m é uma constante natural então g(f(n)) é um
> polinômio, que é um absurdo.
>
> On Fri, May 11, 2018 at 6:20 PM Rodrigo Ângelo 
> wrote:
>
>> Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é um
>> polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial
>>
>> On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica <
>> saldana...@pucp.edu.pe> wrote:
>>
>>> com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais
>>> geral
>>>
>>> El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo 
>>> escribió:
>>>
 Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
 teríamos
 f(f(n)) = a(an + m) + m
 f(f(n)) = (a^2)n + am + m

 Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m
 deve ser um número natural.

 On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir <
 jefersonram...@gmail.com> wrote:

> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005
> ???
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Rodrigo Ângelo]

Se f não for polinomial, então f deve ser da forma f(n) = g(n) + m, onde
g(n) é uma função não polinomial de n e m é um natural ou zero
f(f(n)) = g(f(n)) + m

Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos
g(f(n)) + m = n  + 2005
g(f(n)) = n  + 2005 - m onde m é uma constante natural então g(f(n)) é um
polinômio, que é um absurdo.

On Fri, May 11, 2018 at 6:20 PM Rodrigo Ângelo 
wrote:

> Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é um
> polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial
>
> On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica <
> saldana...@pucp.edu.pe> wrote:
>
>> com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais
>> geral
>>
>> El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo 
>> escribió:
>>
>>> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
>>> teríamos
>>> f(f(n)) = a(an + m) + m
>>> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>>>
>>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m
>>> deve ser um número natural.
>>>
>>> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir <
>>> jefersonram...@gmail.com> wrote:
>>>
 Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005
 ???

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Rodrigo Ângelo]

Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é um
polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial

On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica <
saldana...@pucp.edu.pe> wrote:

> com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais geral
>
> El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo 
> escribió:
>
>> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
>> teríamos
>> f(f(n)) = a(an + m) + m
>> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>>
>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve
>> ser um número natural.
>>
>> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir 
>> wrote:
>>
>>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005
>>> ???
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Bruno Visnadi]

Acredito que isso só prova que a função não pode ser um polinômio do
primeiro grau, mas não prova que ela não existe.

Em 11 de maio de 2018 17:21, Rodrigo Ângelo 
escreveu:

> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
> teríamos
> f(f(n)) = a(an + m) + m
> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>
> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve
> ser um número natural.
>
> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir 
> wrote:
>
>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ???
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Composta

[Pedro José]

Boa noite!

Porém,  existem funções de|N em |N que não as afins.
Saudações,
PJMS

Em 11 de mai de 2018 17:33, "Rodrigo Ângelo" 
escreveu:

> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
> teríamos
> f(f(n)) = a(an + m) + m
> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>
> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m deve
> ser um número natural.
>
> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir 
> wrote:
>
>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n + 2005 ???
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

[Artur Costa Steiner]

Isso é consequência do fato de que x —> sen(x^2) é contínua mas não 
uniformemente contínua.  

Artur


Enviado do meu iPad

Em 14 de abr de 2018, à(s) 1:10 PM, Claudio Buffara  
escreveu:

> Que tal começar provando que x --> sen(x^2) não é periódica?
> 
> 2018-04-14 13:04 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> Eu também fiquei inseguro em relação a isso e também notei que não usei 
>> (pelo menos não explicitamente) a continuidade de f.
>> 
>> Mas g(raiz(x+kT)) = g(raiz(x+(k+1)T) não só para um número x fixo, mas 
>> para cada x >= -kT: um intervalo infinito.
>> Será que isso não é suficiente para estabelecer a periodicidade de g?
>> 
>> []s,
>> Claudio.
>> 
>> 
>> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa 
>> :
>>> Oi Claudio,
>>> 
>>> 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>>> > f é periódica (digamos, de período T > 0).
>>> >
>>> > Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>>> >
>>> > Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>>> > f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>>> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>>> 
>>> não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
>>> múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
>>> todo a.
>>> 
>>> > Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>>> > raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que 
>>> > contraria
>>> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>>> 
>>> Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
>>> limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
>>> complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
>>> contínua"...
>>> 
>>> > 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>> >>
>>> >> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. 
>>> >> Mostre
>>> >> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>>> >>
>>> >> Artur
>>> 
>>> Abraços,
>>> -- 
>>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>> 
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

[Pedro Angelo]

Eu imagino que a continuidade de f seja necessária para esse problema.
Estou tentando aqui, mas não consigo encontrar um exemplo de função f
periódica descontínua (em todos os pontos) tal que g seja periódica.
Alguém tem alguma ideia?

2018-04-14 13:50 GMT-03:00 Pedro Angelo :
> Aparentemente, a minha foi desnecessariamente complicada mesmo. De
> qualquer forma, acho que a ideia é a mesma né: usar o fato de que g
> oscila cada vez mais rápido à medida que x-->oo.
>
> 2018-04-14 13:36 GMT-03:00 Artur Steiner :
>> A prova que encontrei baseia-se no fato de que, se g é contínua e periódica,
>> então g é unformemente contínua.
>>
>> Sendo a composição de duas funcões contínuas, f e x --> x^2, g é contínua.
>> Vamos mostrar que não é uniformemente contínua, o que implica que não seja
>> periódica.
>>
>> Como f não é constante, existem a e b com f(a) <> f(b). Sendo contínua,
>> periódica e não constante, f tem um período fundamental p > 0. Definamos
>> duas sequências por u_n = raiz(a + np) e v_n = raiz(b + np). Então, u_n -
>> v_n --> 0. Mas como para todo n g(u_n) - g(v_n) = f(a + np) - f(b + np) =
>> f(a) - f(b) <> 0, g(u_n) - g(v_n) não converge para 0. Logo, g não é
>> uniformemente contínua e, portanto, não é periódica.
>>
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> Em 14 de abr de 2018 11:02, "Claudio Buffara" 
>> escreveu:
>>
>> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>>
>> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>>
>> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que contraria
>> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>>
>>
>>
>>
>> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>>
>>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
>>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>>>
>>> Artur
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

[Pedro Angelo]

Aparentemente, a minha foi desnecessariamente complicada mesmo. De
qualquer forma, acho que a ideia é a mesma né: usar o fato de que g
oscila cada vez mais rápido à medida que x-->oo.

2018-04-14 13:36 GMT-03:00 Artur Steiner :
> A prova que encontrei baseia-se no fato de que, se g é contínua e periódica,
> então g é unformemente contínua.
>
> Sendo a composição de duas funcões contínuas, f e x --> x^2, g é contínua.
> Vamos mostrar que não é uniformemente contínua, o que implica que não seja
> periódica.
>
> Como f não é constante, existem a e b com f(a) <> f(b). Sendo contínua,
> periódica e não constante, f tem um período fundamental p > 0. Definamos
> duas sequências por u_n = raiz(a + np) e v_n = raiz(b + np). Então, u_n -
> v_n --> 0. Mas como para todo n g(u_n) - g(v_n) = f(a + np) - f(b + np) =
> f(a) - f(b) <> 0, g(u_n) - g(v_n) não converge para 0. Logo, g não é
> uniformemente contínua e, portanto, não é periódica.
>
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em 14 de abr de 2018 11:02, "Claudio Buffara" 
> escreveu:
>
> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>
> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>
> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que contraria
> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>
>
>
>
> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>
>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>>
>> Artur
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

[Pedro Angelo]

Vou seguir um caminho diferente do que vcs estavam seguindo, porque
sou ruim com demonstrações mais algébricas :)

Sabemos que f é periódica. Para facilitar as contas, digamos que 1
seja período de f (se não for, adaptar a demonstração é fácil).
Digamos que g seja periódica, de período T.

Vamos olhar para a parte positiva dos domínios de f e de g. Na
semireta positiva, x-->x^2 é uma bijeção. Como o Claudio já mencionou
lá em cima, quando transpomos o domínio de g de volta para o de f
através dessa bijeção, as transposições dos períodos de f ficam cada
vez menores à medida que os valores aumentam. O "primeiro período" de
f é [0,1], que é levado em [0,1]. O segundo é [1,2], levado em
[1,sqrt(2)]. O n-ésimo é [n,n+1], e é levado em [sqrt(n),sqrt(n+1)],
que tem tamanho igual a sqrt(n+1)-sqrt(n) = 1/(sqrt(n)+sqrt(n+1)), que
tende a zero.

Isso tudo significa que, quando olhamos para x-->oo no domínio de g,
cada período [kT, (k+1)T] de g engloba uma quantidade cada vez maior
de períodos de f. Em particular, à medida que esse k aumenta,
conseguimos fazer com que o intervalo [kT,kT+epsilon] englobe um
período inteiro de f, e o menor epsilon necessário para isso tende a
zero quando k-->

Como [kT,kT+epsilon] engloba um período inteiro de f, a imagem desse
intervalo sob g é igual à imagem (global) de f. Como g é periódica,
essa imagem é a mesma que a imagem do intervalo [0,epsilon] sob g.
Resumindo: para qualquer epsilon, a imagem do intervalo [0,epsilon]
sob g é igual à imagem de f. Como f é contínua não-constante, a sua
imagem é um intervalo fechado [a,b] com b>a. Isso significa que g não
pode ser contínua em 0.

Não sei se isso foi tiro de canhão para matar mosca, talvez a
demonstração algébrica seja mais simples, mas eu gosto dessa :)

2018-04-14 13:27 GMT-03:00 Pedro Angelo :
> Acho que a definição mais abrangente de "função periódica" é "qualquer
> função que apresente um período".  Um "período" é qualquer número
> positivo T tal que para todo x, f(x+T)=f(x). Eu dei o exemplo da
> função indicadora dos racionais ali em cima: f(x)=1 quando x é
> racional, e f(x)=0 quando x é irracional. Essa função é "periódica"
> nessa definição, pois qualquer número racional é um período dessa
> função (ou seja, se r é racional, então para todo x, f(x)=f(x+r)). Mas
> essa função não apresenta um "menor período", justamente porque não
> existe um menor racional negativo.
>
> Acho que matei a questão do g não ser periódica, mas na verdade não
> precisei usar o fato de que f tem período fundamental, mas usei uma
> ideia parecida. Vou enviar daqui a pouco.
>
> 2018-04-14 13:15 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> Mas a existência de um período fundamental (o menor real positivo T tal que
>> f(x) = f(x+T) para todos x, x + T no domínio de f) não é o que define uma
>> função periódica não-constante (contínua ou não)?
>>
>>
>> 2018-04-14 13:03 GMT-03:00 Pedro Angelo :
>>>
>>> Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei
>>> provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de
>>> que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período
>>> fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não
>>> apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos
>>> racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há
>>> período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da
>>> função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual
>>> para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à
>>> oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa
>>> oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero,
>>> então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é
>>> contínua em nenhum ponto.
>>>
>>> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>> :
>>> > Oi Claudio,
>>> >
>>> > 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>>> >> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>>> >>
>>> >> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>>> >>
>>> >> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>>> >> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>>> >
>>> > não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
>>> > múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
>>> > todo a.
>>> >
>>> >> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>>> >> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
>>> >> contraria
>>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>>> >
>>> > Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
>>> > limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
>>> > complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
>>> > contínua"...
>>> >
>>> 

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

[Artur Steiner]

A prova que encontrei baseia-se no fato de que, se g é contínua e
periódica, então g é unformemente contínua.

Sendo a composição de duas funcões contínuas, f e x --> x^2, g é contínua.
Vamos mostrar que não é uniformemente contínua, o que implica que não seja
periódica.

Como f não é constante, existem a e b com f(a) <> f(b). Sendo contínua,
periódica e não constante, f tem um período fundamental p > 0. Definamos
duas sequências por u_n = raiz(a + np) e v_n = raiz(b + np). Então, u_n -
v_n --> 0. Mas como para todo n g(u_n) - g(v_n) = f(a + np) - f(b + np) =
f(a) - f(b) <> 0, g(u_n) - g(v_n) não converge para 0. Logo, g não é
uniformemente contínua e, portanto, não é periódica.


Artur Costa Steiner

Em 14 de abr de 2018 11:02, "Claudio Buffara" 
escreveu:

f é periódica (digamos, de período T > 0).

Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.

Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
contraria raiz(x+(k+1)T)
- raiz(x+kT) = nP.




2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner :

> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>
> Artur
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

[Pedro Angelo]

Acho que a definição mais abrangente de "função periódica" é "qualquer
função que apresente um período".  Um "período" é qualquer número
positivo T tal que para todo x, f(x+T)=f(x). Eu dei o exemplo da
função indicadora dos racionais ali em cima: f(x)=1 quando x é
racional, e f(x)=0 quando x é irracional. Essa função é "periódica"
nessa definição, pois qualquer número racional é um período dessa
função (ou seja, se r é racional, então para todo x, f(x)=f(x+r)). Mas
essa função não apresenta um "menor período", justamente porque não
existe um menor racional negativo.

Acho que matei a questão do g não ser periódica, mas na verdade não
precisei usar o fato de que f tem período fundamental, mas usei uma
ideia parecida. Vou enviar daqui a pouco.

2018-04-14 13:15 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> Mas a existência de um período fundamental (o menor real positivo T tal que
> f(x) = f(x+T) para todos x, x + T no domínio de f) não é o que define uma
> função periódica não-constante (contínua ou não)?
>
>
> 2018-04-14 13:03 GMT-03:00 Pedro Angelo :
>>
>> Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei
>> provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de
>> que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período
>> fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não
>> apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos
>> racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há
>> período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da
>> função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual
>> para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à
>> oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa
>> oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero,
>> então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é
>> contínua em nenhum ponto.
>>
>> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> :
>> > Oi Claudio,
>> >
>> > 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> >> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>> >>
>> >> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>> >>
>> >> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>> >> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>> >
>> > não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
>> > múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
>> > todo a.
>> >
>> >> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>> >> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
>> >> contraria
>> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>> >
>> > Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
>> > limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
>> > complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
>> > contínua"...
>> >
>> >> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner
>> >> :
>> >>>
>> >>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante.
>> >>> Mostre
>> >>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>> >>>
>> >>> Artur
>> >
>> > Abraços,
>> > --
>> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >  acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> >
>> > =
>> > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> >
>> > =
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

[Claudio Buffara]

Mas a existência de um período fundamental (o menor real positivo T tal que
f(x) = f(x+T) para todos x, x + T no domínio de f) não é o que define uma
função periódica não-constante (contínua ou não)?


2018-04-14 13:03 GMT-03:00 Pedro Angelo :

> Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei
> provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de
> que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período
> fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não
> apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos
> racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há
> período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da
> função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual
> para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à
> oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa
> oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero,
> então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é
> contínua em nenhum ponto.
>
> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
> :
> > Oi Claudio,
> >
> > 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> >> f é periódica (digamos, de período T > 0).
> >>
> >> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
> >>
> >> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
> >> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
> >
> > não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
> > múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
> > todo a.
> >
> >> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
> >> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
> contraria
> >> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
> >
> > Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
> > limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
> > complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
> > contínua"...
> >
> >> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner  >:
> >>>
> >>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante.
> Mostre
> >>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
> >>>
> >>> Artur
> >
> > Abraços,
> > --
> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >  acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > 
> =
> > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > 
> =
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

[Claudio Buffara]

Que tal começar provando que x --> sen(x^2) não é periódica?

2018-04-14 13:04 GMT-03:00 Claudio Buffara :

> Eu também fiquei inseguro em relação a isso e também notei que não usei
> (pelo menos não explicitamente) a continuidade de f.
>
> Mas g(raiz(x+kT)) = g(raiz(x+(k+1)T) não só para um número x fixo, mas
> para cada x >= -kT: um intervalo infinito.
> Será que isso não é suficiente para estabelecer a periodicidade de g?
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com>:
>
>> Oi Claudio,
>>
>> 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> > f é periódica (digamos, de período T > 0).
>> >
>> > Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>> >
>> > Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>> > f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>>
>> não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
>> múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
>> todo a.
>>
>> > Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>> > raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
>> contraria
>> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>>
>> Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
>> limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
>> complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
>> contínua"...
>>
>> > 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner > >:
>> >>
>> >> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante.
>> Mostre
>> >> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>> >>
>> >> Artur
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

[Claudio Buffara]

Eu também fiquei inseguro em relação a isso e também notei que não usei
(pelo menos não explicitamente) a continuidade de f.

Mas g(raiz(x+kT)) = g(raiz(x+(k+1)T) não só para um número x fixo, mas para
cada x >= -kT: um intervalo infinito.
Será que isso não é suficiente para estabelecer a periodicidade de g?

[]s,
Claudio.


2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com>:

> Oi Claudio,
>
> 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> > f é periódica (digamos, de período T > 0).
> >
> > Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
> >
> > Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
> > f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>
> não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
> múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
> todo a.
>
> > Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
> > raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que
> contraria
> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>
> Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
> limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
> complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
> contínua"...
>
> > 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner  >:
> >>
> >> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
> >> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
> >>
> >> Artur
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

[Pedro Angelo]

Eu quando li o enunciado original, não reparei no "contínua". Tentei
provar, e não consegui. Sabendo que é contínua, dá pra usar o fato de
que uma função periódica não-constante contínua sempre tem um período
fundamental. Demonstração: seja f uma função periódica que não
apresenta período fundamental (por exemplo, a função indicadora dos
racionais, que aceita qualquer racional como período). Como não há
período mínimo, a imagem de qualquer intervalo é igual à imagem da
função inteira, e portanto a oscilação de f em [x,x+epsilon] é igual
para qualquer epsilon. Ou seja, essa oscilação é constante (igual à
oscilação global de f) à medida que epsilon tende a zero. Se essa
oscilação global for zero, a função é constante. Se não for zero,
então a função não é contínua em x. Como x é arbitrário, f não é
contínua em nenhum ponto.

2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
:
> Oi Claudio,
>
> 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>>
>> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>>
>> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
>> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
>> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.
>
> não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
> múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
> todo a.
>
>> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
>> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que contraria
>> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.
>
> Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
> limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
> complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
> contínua"...
>
>> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>>
>>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
>>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>>>
>>> Artur
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função não periódica

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Oi Claudio,

2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> f é periódica (digamos, de período T > 0).
>
> Suponhamos que g também seja periódica, digamos de período P.
>
> Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) =
> f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==>
> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N.

não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y é
múltiplo do período.  Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para
todo a.

> Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) -
> raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que contraria
> raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP.

Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o
limite da diferença das raízes em PA, mas acho que é um pouco mais
complicado.  Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f
contínua"...

> 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>
>> Suponhamos que f:R —> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre
>> que g(x) = f(x^2) não é periódica.
>>
>> Artur

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Sobrejetiva

[Jeferson Almir]

Peço ajuda na seguinte questão:

Seja f: R -> Z tal que f(x) = [ x ∙ {x} ]

a) Mostre que f(x) é sobrejetiva

b) Resolva a equação [ x ∙ {x} ]= [ x ∙ [x] ]
onde [ x ] é a parte inteira e { x } é a parte fracionária

Em 17 de setembro de 2015 13:04, Esdras Muniz 
escreveu:

> Cara, vc pode fazer isso, pega duas sequências x_n e y_n, com
> lim f(x_n)=+infinito elim f(y_n)=-infinito, e lim(x_n)=+infinito e
> lim(y_n)=-infinito.
> Daí tu usa que f é contínua.
> vc pode pegar x_n=2kpi+pi/2 e y_n=-2kpi-pi/2.
>
> Em 17 de setembro de 2015 12:27, Jeferson Almir 
> escreveu:
>
>> 1. Provar que a função f( x ) = (x^3)sen( x ) é Sobrejetiva.
>>
>> A ideia que penso e que peço ajuda é que todo x real pode ser
>> representado da forma x = 2kpi + 2/pi isso é válido ??? Caso seja, o
>> problema está resolvido!!!
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
>
> --
> Esdras Muniz Mota
> Mestrando em Matemática
> Universidade Federal do Ceará
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Convexidade

[Israel Meireles Chrisostomo]

vlw bernardo é negativa então é côncova, só queria que alguém que
entendesse mais do que eu me desse certeza disso!


Em 7 de dezembro de 2015 10:57, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2015-12-07 9:42 GMT-02:00 Israel Meireles Chrisostomo
> :
> > Olá rapazes, será que alguém poderia confirmar para mim que a função
> √senx é
> > côncova no intervalo (0,pi/2)?
>
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%C2%B2%2Fdx%C2%B2%28sqrt%28sin%28x%29%29
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Convexidade

[Israel Meireles Chrisostomo]

Ok obrigado


Em 7 de dezembro de 2015 10:07, Pacini Bores 
escreveu:

>
>
>
> Oi Israel, uma boa dica para confirmar algo desse tipo, é usar o site do
> www.wolframalpha.com, ok?
>
> Abraços
>
> Pacini
>
> Em 07/12/2015 9:42, Israel Meireles Chrisostomo escreveu:
>
> Olá rapazes, será que alguém poderia confirmar para mim que a função √senx
> é côncova no intervalo (0,pi/2)?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função

[Pedro José]

Boa tarde!

Não tinha me atentado. Porém, novamente creio que não exista esse n.

seja (i) a + 1 = a * e^(1/6x) ==> log (a+1) = log a* 1/6x ==> 1/6x =
log(a=1) - log a ==> 1/6x = log ( (a+1)/a)

Seja f(a) = (a+1)/a ==> F(a) é monótona decrescente para a > 0 ==> (a+1)/a
<= (1+1)/2, para todo a >0 ==>

==> (a+1)/a <= 2 , e , para todo a > 0 ==> log ( (a+1)/a) < 0 ==> que não
existe natural tal que (i) seja atendida (ii)

Seja f(x) = x^(2x+1) + 1 e h(x) = x^(2x+1) *e^(1/6x) ==> f(1) = 33 < g(1) =
34,78.

Como f(x) e g (x) são contínuas, para que exista n > 0 | f(x) > g(x), para
todo x >=n teríamos que ter um
x* > 1  | f(x*) = g (x*), mas por (ii) é absurdo.

Embora tenha, a princípio, lhe trazido essa frustação, gostaria de externar
minha admiração pela sua sede de conhecimento. Se tivesse essa perseverança
quando ainda jovem, certamente teria ido mais longe.

Saudações,
PJMS.








Saudações,
PJMS

Em 1 de setembro de 2015 19:17, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Na verdade Pedro José, eu não preciso que seja maior do que 1 para todos
> os inteiros, o que preciso é que seja maior do que 1 para algum inteiro x=n
> e para todos os inteiros maiores do que esse inteiro, aí consigo provar o
> que eu quero...E aí é possível?Por isso que citei provar que ocorre a
> igualdade para algum natural e depois notar h'(x)
> Em 31 de agosto de 2015 09:55, Pedro José  escreveu:
>
>> Infelizmente não.
>> Já falha em x = 2.
>>
>> 2^5+1 < 2^5*e^(1/12)
>> 32 < 34,78
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em 29 de agosto de 2015 19:30, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> É possível provar para x inteiro positivo que a função definida por
>>> f(x)=(x^{2x+1}+1)/(x^{2x+1}e^{1/(6x)}) é maior do que 1?Ou seja provar que
>>> f(x)>1?
>>> Por exemplo, eu poderia definir g(x)=x^{2x+1}+1 e
>>> h(x)=x^{2x+1}e^{1/(6x)}, com isso f(x) fica definida como o quociente
>>> f(x)=g(x)/h(x), depois disso devo provar que existe um x tal que h(x)=g(x)
>>> e depois é fácil observar que h(x) cresce mais devagar do que g(x), pois o
>>> fator e^{1/(6x)} decresce quando x cresce, isto é possível?Alguém poderia
>>> me ajudar a provar isto?Na verdade eu não sei se f(x) é maior do que 1 para
>>> x>0, na realidade estou precisando dessa desigualdade para provar a
>>> irracionalidade de e.π...
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função

[Israel Meireles Chrisostomo]

Na verdade Pedro José, eu não preciso que seja maior do que 1 para todos os
inteiros, o que preciso é que seja maior do que 1 para algum inteiro x=n e
para todos os inteiros maiores do que esse inteiro, aí consigo provar o que
eu quero...E aí é possível?Por isso que citei provar que ocorre a igualdade
para algum natural e depois notar h'(x) escreveu:

> Infelizmente não.
> Já falha em x = 2.
>
> 2^5+1 < 2^5*e^(1/12)
> 32 < 34,78
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em 29 de agosto de 2015 19:30, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> É possível provar para x inteiro positivo que a função definida por
>> f(x)=(x^{2x+1}+1)/(x^{2x+1}e^{1/(6x)}) é maior do que 1?Ou seja provar que
>> f(x)>1?
>> Por exemplo, eu poderia definir g(x)=x^{2x+1}+1 e
>> h(x)=x^{2x+1}e^{1/(6x)}, com isso f(x) fica definida como o quociente
>> f(x)=g(x)/h(x), depois disso devo provar que existe um x tal que h(x)=g(x)
>> e depois é fácil observar que h(x) cresce mais devagar do que g(x), pois o
>> fator e^{1/(6x)} decresce quando x cresce, isto é possível?Alguém poderia
>> me ajudar a provar isto?Na verdade eu não sei se f(x) é maior do que 1 para
>> x>0, na realidade estou precisando dessa desigualdade para provar a
>> irracionalidade de e.π...
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função

[Israel Meireles Chrisostomo]

ops menor do que 1 e maior do que -1 rsrsrs


Em 13 de agosto de 2015 20:01, Israel Meireles Chrisostomo 
israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Ah é verdade, devia ter pensado nisso antes fazendo a substituição por
 tagente chega-se a seno de x que é maior do que 1 e menor do que -1, vlw
 Ralph

 Em 13 de agosto de 2015 19:38, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
 escreveu:

 Tecnicamente, eu diria que f(x)=0 faz o que voce pediu.

 Mas acho que voce quer algo como f(x)=2x/(1+x^2). Eh facil ver que
 -1=f(x)=1 para todo x real, e os pontos criticos sao atingidos em x=+-1.

 2015-08-13 19:10 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com:

 É possível existir uma função definida apenas com as operações
 aritméticas usuais (multiplicação, divisão, subtração,soma,exponenciação,
 logaritmo-não vale usar módulo ou definir a função arbitrariamente, tipo
 dizer que no intervalo tal vale uma relação, digamos |x| no outro intervalo
 vale x², isso é roubar rsrsrs) com domínio nos reais que tenha um máximo e
 um mínimo(não estou me referindo a uma máximo local ou a um mínimo local,
 mas um máximo e um mínimo para todos os outros valores da imagem)?

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2015-08-13 19:38 GMT-03:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com:
 Tecnicamente, eu diria que f(x)=0 faz o que voce pediu.
E sin(x) ? Mas a pergunta sobre a pergunta é: porquê você quer uma
função assim?

-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função

[Israel Meireles Chrisostomo]

Eu quero uma função assim pq eu queria provar a bijetividade de um
intervalo de R com R, o raciocínio está no novo post que postei aqui, vcs
podiam me ajudar a verificar a correção do raciocínio...obrigado gente

Em 13 de agosto de 2015 20:07, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2015-08-13 19:38 GMT-03:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com:
  Tecnicamente, eu diria que f(x)=0 faz o que voce pediu.
 E sin(x) ? Mas a pergunta sobre a pergunta é: porquê você quer uma
 função assim?

 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função periodica

[Ralph Teixeira]

Usando MA=MG, voce mostra que **=x1/x2+x2/x3+...+x(n-1)/xn+xn/x1 = n para
quaisquer x1,x2,...,xn0.

Suponha b=T/n. Entao divida a integral em n pedaços, com intervalos 0 a b,
b a 2b, ..., (n-1)b a b. Coloque todas no intervalo 0 a b (tomando y=x na
primeira, y=x-b na segunda, etc.), e voce vai ficar com uma integral de 0 a
b cujo integrando tem a cara de ** acima (onde x1=f(x), x2=f(x+b),...etc.).
Entao a integral é maior ou igual que Int(0 a b) n dx=nb=T.

E se b não for dessa forma? Bom, se for b=mT/n com m e n inteiros voce pode
fazer o mesmo truque integrando de 0 a mT=nb (que são m cópias da integral
original, pois f é periódica de período T)... Você vai acabar mostrando que
m*(Integral original) = nb=mT usando o mesmo tipo de raciocínio.

Enfim, como a sua integral depende continuamente de b, e a gente acabou de
mostrar que ela vale =T em todos os b múltiplos racionais de T (que é
denso em R)... acabou.

Abraço,
Ralph


2013/9/16 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com

 2013/9/16 Francisco Lage franciscou...@gmail.com:
  Alguém pode me ajudar?
 
  Seja F : R - R*+ , uma função continua e periódica de período T , prove
 que
  (1/T)*inegral(f(x)/f(x+b))dx de 0 até 1 é maior ou igual a T , para todo
 b
  real

 Isso tá meio errado... se f(x) = 1 para todo x, então a integral dá
 1/T... Não seria 1/T * (integral de 0 até T) = 1 ?
 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função periodica

[Francisco Lage]

Eh isso mesmo , eu errei aqui ao escrever...
Em 16/09/2013 14:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2013/9/16 Francisco Lage franciscou...@gmail.com:
  Alguém pode me ajudar?
 
  Seja F : R - R*+ , uma função continua e periódica de período T , prove
 que
  (1/T)*inegral(f(x)/f(x+b))dx de 0 até 1 é maior ou igual a T , para todo
 b
  real

 Isso tá meio errado... se f(x) = 1 para todo x, então a integral dá
 1/T... Não seria 1/T * (integral de 0 até T) = 1 ?
 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função periódica

[marcone augusto araújo borges]

valeu,Saulo!

Date: Sun, 23 Jun 2013 18:27:20 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função periódica
From: saulo.nil...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

procurando x1  f(x1)=0, se x1 e raiz entao 
x1+p tambem e logo o grafico da funçao corta o eixo x em dois pontos tendo um 
maximo ou um minimo.



2013/5/1 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com




Uma função f:R-R é dita periódica quando existe um número real p  0,tal que 
f(x) = f(x + p),para
todo x real.Prove que toda função periódica continua admite máximo e admite 
mínimo
  




--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função periódica

[LEANDRO L RECOVA]

Seja I=[0,T] o intervalo em que f:R-R e periodica. Como f e continua e 
definida sobre um conjunto compacto, entao f admite maximo e minimo. 

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função periódica 
Date: Mon, 24 Jun 2013 15:30:13 +




valeu,Saulo!

Date: Sun, 23 Jun 2013 18:27:20 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função periódica
From: saulo.nil...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

procurando x1  f(x1)=0, se x1 e raiz entao 
x1+p tambem e logo o grafico da funçao corta o eixo x em dois pontos tendo um 
maximo ou um minimo.



2013/5/1 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com




Uma função f:R-R é dita periódica quando existe um número real p  0,tal que 
f(x) = f(x + p),para
todo x real.Prove que toda função periódica continua admite máximo e admite 
mínimo
  




--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Função Quadrática e Desigualdade

[Pedro Júnior]

Falou João, muito obrigado!


Em 7 de abril de 2013 15:16, João Maldonado
joao_maldona...@hotmail.comescreveu:

 É o teorema de Jensen, temos que provar que a função é convexa (meio fácil
 de ver né? )
 Suponha o contrário, ou seja,
 f((x+y)/2) = [f(x) +f(y)]/2.
 E suponha x!=y


 teríamos
 a(x+y)²/4 + b(x+y)/2 + c = a(x²+y²)/2 + b(x+y)/2 + c  =
 (x+y)² = 2(x²+y²)
 (x-y)²=0, absurdo

 []'s
 João


 Date: Sun, 7 Apr 2013 13:43:42 -0300
 Subject: [obm-l] Função Quadrática e Desigualdade
 From: pedromatematic...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Seja f(x) = ax² + bx + c com a  0. Mostre que f((x+y)/2)  [f(x) +f(y)]/2.

 --
 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
 Professor de Matemática
 Geo João Pessoa – PB

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Função Quadrática e Desigualdade

[Pedro Júnior]

Já vi que usando o teorema fica simples... mas fiquei curioso com uma
coisa: dos arquivos que baixei sobre a desiguldade de Jansen, nenhum deles
mostra como foi intuida tal desigualdade. Usam indução numa desigualdade
que surgiu de onde? Será que te uma prova direta... ou só o fato geométrico
é suficiente para intuir tal desigualdade?


2013/4/7 Hyon Ferreira Cordeiro h-y-o...@hotmail.com

 Temos que f''(x)= 2a 0 para todo x.
 Segue de Jensen que f(x+y/2)  (f(x)+f(y))/2

 --
 Date: Sun, 7 Apr 2013 13:43:42 -0300
 Subject: [obm-l] Função Quadrática e Desigualdade
 From: pedromatematic...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 Seja f(x) = ax² + bx + c com a  0. Mostre que f((x+y)/2)  [f(x) +f(y)]/2.

 --
 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
 Professor de Matemática
 Geo João Pessoa – PB

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Função Quadrática e Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Não, para que uma prova seja matematicamente válida não podemos apelar para a 
geometria.  A prova da desigualdade de Jensen baseia-se na definição de função 
convexa. Uma função com valores em R é convexa se, para todos x1 e x2 de seu 
domínio tivermos f(Lx1  + (1 - L)x2)  = L f(x1) + (1 - L) f)x2) para todo L em 
[0, 1].. Se sempre tivermos desigualdade estrita a função é dita estritamente 
convexa. E neste caso, na desigualdade de Jensen a desigualdade também é 
estrita. 

Se for uma função de R em R, isto significa que, geometricamente, o segmento do 
gráfico que une 2 pontos da função está abaixo ou coincidindo com o segmento de 
reta que une os dois pontos.  Mas a definição de função convexa não é 
geométrica. 

No caso da função quadrática, nem precisaríamos da desigualdade de Jensen. Como 
a derivada  segunda é positiva em R, a função é estritamente convexa (porque a 
1a derivada é estritamente crescente). Basta então aplicar a definição de 
convexidade estrita com L = 1/2. 

Artur Costa Steiner

Em 07/04/2013, às 21:47, Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com escreveu:

 Já vi que usando o teorema fica simples... mas fiquei curioso com uma coisa: 
 dos arquivos que baixei sobre a desiguldade de Jansen, nenhum deles mostra 
 como foi intuida tal desigualdade. Usam indução numa desigualdade que surgiu 
 de onde? Será que te uma prova direta... ou só o fato geométrico é suficiente 
 para intuir tal desigualdade?
 
 
 2013/4/7 Hyon Ferreira Cordeiro h-y-o...@hotmail.com
 Temos que f''(x)= 2a 0 para todo x.
 Segue de Jensen que f(x+y/2)  (f(x)+f(y))/2
 
 Date: Sun, 7 Apr 2013 13:43:42 -0300
 Subject: [obm-l] Função Quadrática e Desigualdade
 From: pedromatematic...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Seja f(x) = ax² + bx + c com a  0. Mostre que f((x+y)/2)  [f(x) +f(y)]/2.
 
 -- 
 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
 Professor de Matemática
 Geo João Pessoa – PB 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 
 -- 
 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
 
 Professor de Matemática
 
 Geo João Pessoa – PB
 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Função trigonométrica sem período

[Artur Costa Steiner]

OK. Sabemos então que, se f é contínua, periódica e não constante, então, para 
todo a  0, diferente de 1, g(x) = f(x^a) não é periódica. E se a  1, também 
não é uniformemente contínua. Para a em (0, 1) acho que também não é 
uniformemente contínua.

Artur Costa Steiner

Em 09/03/2013, às 18:38, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Obrigado Artur e Claudio,ajudaram muito.
 
 CC: obm-l@mat.puc-rio.br
 From: claudiog...@yahoo.com.br
 Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] Função trigonométrica sem período
 Date: Sat, 9 Mar 2013 01:55:27 -0300
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Boa noite.
 Seja por absurdo o periodo T da funcao  f(x)=cos(x^1/2). Dessa forma, para 
 todo x nao negativo, tem-se f(x)=f(x+T). Como vale para todo x nas condicoes 
 acima, escolhemos x=0: f(0)=cos0=1. Logo f(0)=f(0+T), o que dah: 
 cos(T^1/2)=1, T^1/2=2Qpi sendo Q inteiro. Por outro lado, 
 f(0)=f(0+T)=f(0+2T), logo cos((2T)^1/2)=1 e (2T)^1/2=2Hpi, sendo H um inteiro 
 qualquer.
 Dividindo os resultados (2T)^1/2 = 2Hpi  por T^1/2 = 2Qpi tem-se 2^1/2 = K, 
 sendo K um numero racional qualquer. Dai encontra-se o absurdo logo a funcao 
 f(x) dada nao eh periodica.
 
 Espero ter ajudado.
 Claudio Gustavo.
 
 Enviado via iPhone
 
 Em 09/03/2013, às 01:15, Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com 
 escreveu:
 
 Eu vou usar um outro argumento, de caráter geral. Antes, vejamos o seguinte 
 lema:
 
 Seja f de R em R, ou de [0, oo) em R, uma função periódica e não constante. 
 Para todo a  0, a  1,a função g(x) = f(x^a) não é uniformemente contínua.
 
 Prova:
 
 Sabemos que uma função g é uniformemente contínua em seu domínio se, e 
 somente se, para todas sequências (u_n) e (v_n) no domínio de g tais que u_n 
 - v_n  -- 0, tivermos que g(u_n) - g(v_n) -- 0. 
 
 Consideremos inicialmente o caso a  1. Sendo p  0 um período qualquer de f, 
 definamos (u_n) e (v_n) por u_n = (np + u)^(1/a) e v_n =  (np + v)^(1/a), 
 onde u e v são reais tais que f(u)  f(v) (como f não é constante, este 
 números existem). Como a  1, 0   1/a  1, o que implica que u_n - v_n -- 0 
 (isto pode ser deduzido da definição da função potência). Entretanto, para 
 todo n, g(u_n) - g(v_n) = f((u_n)^a) - f((v_n)^a) = f(np + u) - f(np + v) = 
 f(u) - f(v), pois p é período de f. Logo, g(u_n) - g(v_n) converge 
 trivialmente para f(u) - f(v)  0. Isto nos mostra que g não é uniformemente 
 contínua em R.
 
 Na abordagem a seguir, consideramos o fato de que funções contínuas e 
 periódicas são uniformemente contínuas.
 
 Suponhamos agora que, além de periódica e não constante, f seja contínua. 
 Então, f é uniformemente contínua e g é contínua (composição das funções 
 contínuas f e x-- x^a). Se g for periódica, então g, contrariamente ao lema 
 que demonstramos, é uniformemente contínua. Desta contradição, deduzimos que 
 g não é periódica. 
 
 Supondo novamente f contínua, periódica e não constante, consideremos agora o 
 caso a em (0, 1). Então, g não pode ser constante, pois a função não negativa 
 x -- x^a é uma bijeção. Admitamos que g seja periódica. Como 1/a  1, temos 
 do caso anterior que f, dada por f(x) = g(x^(1/a)), não é uniformemente 
 contínua., Uma contradição. Logo, g não é periódica.
 
 Verificamos assim, que, se f for contínua, periódica e não constante, então 
 pata todo a  0, a  1, g não é periódica. Na sua questão, temos o caso 
 particular para f(x) = cos(x) e a = 1/2.
 
 Abraços
 
 Artur Costa Steiner
 
 Em 08/03/2013, às 22:58, Márcio Pinheiro profmar...@hotmail.com escreveu:
 
 Basta resolver a equação cos ((x + t)^1/2) = cos (x^1/2), supondo, 
 inicialmente, que f é periódica, para concluir que, em qualquer solução, t 
 depende de x. Logo, f não pode ser periódica, pois, se fosse, deveria haver t 
  0, independente de x (ponto de partida), tal que f (x + t) = f (x), para 
 todo x, isto é, não importa qual seja x.
 
 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Função trigonométrica sem período
 Date: Fri, 8 Mar 2013 18:52:48 +
 
 O objetivo dessa questao é demonstrar que f(x) = cos(x^1/2),x  = 0,não é 
 periódica,ou seja,não existe nenhum numero
 real positivo T tal que cos[(x+T)]^1/2 = cos(x^1/2) para todo x  = 0. 
  
 a) Encontre todos os valores de T  = 0 para os quais f(T) = f(0) e,a seguir 
 encontre todos os valores de T  = 0 para os quais
 f(T) = f(2T)
  
 b) use o ítem a para mostrar que f(x) não é periodica 

Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Função trigonométrica sem período

[Artur Costa Steiner]

É verdade Bernardo! Supondo que f seja diferenciável. Se não for, acho que vai 
ser bem difícil analisar. 

Abraços

Artur Costa Steiner

Em 10/03/2013, às 10:18, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2013/3/10 Artur Costa Steiner artur_stei...@yahoo.com:
 OK. Sabemos então que, se f é contínua, periódica e não constante, então,
 para todo a  0, diferente de 1, g(x) = f(x^a) não é periódica. E se a  1,
 também não é uniformemente contínua. Para a em (0, 1) acho que também não é
 uniformemente contínua.
 
 Se 0  a  1, g é uniformemente contínua. Da mesma forma que a raiz
 quadrada é uniformemente contínua sem ser Lipschitz.
 
 - Para x em [0, 1], g(x) é contínua num intervalo compacto, logo g é
 uniformemente contínua.
 
 - Para x em [1, infinito), g'(x) = f'(x) * a * x^(a-1). Como f é
 periódica, f'(x) é limitada em [1, infinito), e como a  1 o fator
 restante é menor do que 1 (e tende a zero), logo g é uniformemente
 contínua porque de derivada limitada.
 
 Logo g é uniformemente contínua na reta inteira.
 
 Abraços,
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Função trigonométrica sem período

[marcone augusto araújo borges]

Obrigado Artur e Claudio,ajudaram muito.

CC: obm-l@mat.puc-rio.br
From: claudiog...@yahoo.com.br
Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] Função trigonométrica sem período
Date: Sat, 9 Mar 2013 01:55:27 -0300
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Boa noite.Seja por absurdo o periodo T da funcao  f(x)=cos(x^1/2). Dessa forma, 
para todo x nao negativo, tem-se f(x)=f(x+T). Como vale para todo x nas 
condicoes acima, escolhemos x=0: f(0)=cos0=1. Logo f(0)=f(0+T), o que dah: 
cos(T^1/2)=1, T^1/2=2Qpi sendo Q inteiro. Por outro lado, f(0)=f(0+T)=f(0+2T), 
logo cos((2T)^1/2)=1 e (2T)^1/2=2Hpi, sendo H um inteiro qualquer.Dividindo os 
resultados (2T)^1/2 = 2Hpi  por T^1/2 = 2Qpi tem-se 2^1/2 = K, sendo K um 
numero racional qualquer. Dai encontra-se o absurdo logo a funcao f(x) dada nao 
eh periodica.
Espero ter ajudado.Claudio Gustavo.

Enviado via iPhone
Em 09/03/2013, às 01:15, Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com escreveu:

Eu vou usar um outro argumento, de caráter geral. Antes, vejamos o seguinte 
lema:
Seja f de R em R, ou de [0, oo) em R, uma função periódica e não constante. 
Para todo a  0, a  1,a função g(x) = f(x^a) não é uniformemente contínua.
Prova:
Sabemos que uma função g é uniformemente contínua em seu domínio se, e somente 
se, para todas sequências (u_n) e (v_n) no domínio de g tais que u_n - v_n  -- 
0, tivermos que g(u_n) - g(v_n) -- 0. 
Consideremos inicialmente o caso a  1. Sendo p  0 um período qualquer de f, 
definamos (u_n) e (v_n) por u_n = (np + u)^(1/a) e v_n =  (np + v)^(1/a), onde 
u e v são reais tais que f(u)  f(v) (como f não é constante, este números 
existem). Como a  1, 0   1/a  1, o que implica que u_n - v_n -- 0 (isto 
pode ser deduzido da definição da função potência). Entretanto, para todo n, 
g(u_n) - g(v_n) = f((u_n)^a) - f((v_n)^a) = f(np + u) - f(np + v) = f(u) - 
f(v), pois p é período de f. Logo, g(u_n) - g(v_n) converge trivialmente para 
f(u) - f(v)  0. Isto nos mostra que g não é uniformemente contínua em R.
Na abordagem a seguir, consideramos o fato de que funções contínuas e 
periódicas são uniformemente contínuas.
Suponhamos agora que, além de periódica e não constante, f seja contínua. 
Então, f é uniformemente contínua e g é contínua (composição das funções 
contínuas f e x-- x^a). Se g for periódica, então g, contrariamente ao lema 
que demonstramos, é uniformemente contínua. Desta contradição, deduzimos que g 
não é periódica. 
Supondo novamente f contínua, periódica e não constante, consideremos agora o 
caso a em (0, 1). Então, g não pode ser constante, pois a função não negativa x 
-- x^a é uma bijeção. Admitamos que g seja periódica. Como 1/a  1, temos do 
caso anterior que f, dada por f(x) = g(x^(1/a)), não é uniformemente contínua., 
Uma contradição. Logo, g não é periódica.
Verificamos assim, que, se f for contínua, periódica e não constante, então 
pata todo a  0, a  1, g não é periódica. Na sua questão, temos o caso 
particular para f(x) = cos(x) e a = 1/2.
Abraços
Artur Costa Steiner
Em 08/03/2013, às 22:58, Márcio Pinheiro profmar...@hotmail.com escreveu:




Basta resolver a equação cos ((x + t)^1/2) = cos (x^1/2), supondo, 
inicialmente, que f é periódica, para concluir que, em qualquer solução, t 
depende de x. Logo, f não pode ser periódica, pois, se fosse, deveria haver t  
0, independente de x (ponto de partida), tal que f (x + t) = f (x), para todo 
x, isto é, não importa qual seja x.

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Função trigonométrica sem período
Date: Fri, 8 Mar 2013 18:52:48 +




O objetivo dessa questao é demonstrar que f(x) = cos(x^1/2),x  = 0,não é 
periódica,ou seja,não existe nenhum numero
real positivo T tal que cos[(x+T)]^1/2 = cos(x^1/2) para todo x  = 0. 
 
a) Encontre todos os valores de T  = 0 para os quais f(T) = f(0) e,a seguir 
encontre todos os valores de T  = 0 para os quais
f(T) = f(2T)
 
b) use o ítem a para mostrar que f(x) não é periodica 
  
  
  

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Injetora

[Carlos Nehab]

Caro Bernardo et alli,
Contrariando Goedel, como sempre, você continua_completo e consistente_ 
nas suas belas intervenções...

Abraços do admirador,
Nehab

On 13/12/2011 19:46, Bernardo Freitas Paulo da Costa wrote:

2011/12/13 Rodrigo Renjirodrigo.uff.m...@gmail.com:

Olá joão!

Isso não vale em geral em conjuntos infinitos

considere por exemplo

f: N em N com
f(n) =n+1

a função é injetora, porém não é sobrejetora.

nenhum elemento é enviado no número 0 ( com N= {0,1,2,3,} )

Só para completar: o exemplo do Renji e a questão do João são
universais. Ou seja, vale o seguinte:

- se um conjunto é finito, então toda função injetora é bijetora,
- se um conjunto é infinito, então existe uma função injetora que não
é bijetora.

Para ver a segunda parte, basta lembrar que cada conjunto infinito
contém uma cópia de N dentro dele, e daí você usa uma função que é a
função do Renji na cópia do N, e identidade no resto (se houver),
que é injetiva e não sobrejetiva.

Em uma frase só: um conjunto é finito se, e somente se, toda função
injetora é bijetora.

Ah, quase esqueci: um conjunto X é infinito quando ele não é finito
(daã), ou seja, quando não existir uma bijeção de {0, 1, ..., n}
em X. Se existisse uma sobrejeção de  {0, 1, ..., n} em X mas não
bijeção, X é finito também, porque os subconjuntos de um conjunto
finito são finitos, e X seria bijetivo com a um subconjunto de {0, 1,
..., n}. Assim, se X é infinito, podemos construir uma família de
injeções de {0, 1, ..., n} em X que não são sobrejetivas. Chame-as de
f_n. Construa a cópia de N dentro de X por indução: comece com 0 -
f_0(0). Daí, 1 -  f_1(1) ou f_1(0), pelo menos um deles é diferente de
f_0(0) porque são ambos diferentes entre si. Em seguida, suponha que
você já definiu até n-1 -  alguma coisa em X, e quer definir a de n.
Podemos supor que f_n(n) é diferente de todas as imagens anteriores
(porque a imagem de {0, 1, ..., n} por f_n tem cardinal n+1, que é
maior que n) e assim n -  f_n(n). Se você preferir, diga que n -
algum elemento de f_n({0, 1, , n}) \ {elementos já utilizados},
que é de cardinal= (n+1) - n = 1. Isso prova que todo conjunto
infinito contém uma cópia de N. Para os puristas, isso usa o axioma da
escolha... para quem gosta da wikipédia, a definição de infinito
como possui uma função injetiva e não bijetiva foi dada pelo
Dedekind, e é interessante em si porque é independente de N ser o
menor conjunto infinito que existe.

Abraços,

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Injetora

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2011/12/13 Rodrigo Renji rodrigo.uff.m...@gmail.com:
 Olá joão!

 Isso não vale em geral em conjuntos infinitos

 considere por exemplo

 f: N em N com
 f(n) =n+1

 a função é injetora, porém não é sobrejetora.

 nenhum elemento é enviado no número 0 ( com N= {0,1,2,3,} )
Só para completar: o exemplo do Renji e a questão do João são
universais. Ou seja, vale o seguinte:

- se um conjunto é finito, então toda função injetora é bijetora,
- se um conjunto é infinito, então existe uma função injetora que não
é bijetora.

Para ver a segunda parte, basta lembrar que cada conjunto infinito
contém uma cópia de N dentro dele, e daí você usa uma função que é a
função do Renji na cópia do N, e identidade no resto (se houver),
que é injetiva e não sobrejetiva.

Em uma frase só: um conjunto é finito se, e somente se, toda função
injetora é bijetora.

Ah, quase esqueci: um conjunto X é infinito quando ele não é finito
(daã), ou seja, quando não existir uma bijeção de {0, 1, ..., n}
em X. Se existisse uma sobrejeção de  {0, 1, ..., n} em X mas não
bijeção, X é finito também, porque os subconjuntos de um conjunto
finito são finitos, e X seria bijetivo com a um subconjunto de {0, 1,
..., n}. Assim, se X é infinito, podemos construir uma família de
injeções de {0, 1, ..., n} em X que não são sobrejetivas. Chame-as de
f_n. Construa a cópia de N dentro de X por indução: comece com 0 -
f_0(0). Daí, 1 - f_1(1) ou f_1(0), pelo menos um deles é diferente de
f_0(0) porque são ambos diferentes entre si. Em seguida, suponha que
você já definiu até n-1 - alguma coisa em X, e quer definir a de n.
Podemos supor que f_n(n) é diferente de todas as imagens anteriores
(porque a imagem de {0, 1, ..., n} por f_n tem cardinal n+1, que é
maior que n) e assim n - f_n(n). Se você preferir, diga que n -
algum elemento de f_n({0, 1, , n}) \ {elementos já utilizados},
que é de cardinal = (n+1) - n = 1. Isso prova que todo conjunto
infinito contém uma cópia de N. Para os puristas, isso usa o axioma da
escolha... para quem gosta da wikipédia, a definição de infinito
como possui uma função injetiva e não bijetiva foi dada pelo
Dedekind, e é interessante em si porque é independente de N ser o
menor conjunto infinito que existe.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função de Euler - T. Números

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2011/9/26 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com:
 Aqui na página da Wikipedia tem uma boa demonstração dessa propriedade
 quando x e y são coprimos.
Aliás, quando x e y não são coprimos, não vale! phi(2) = 1, phi(4) =
2. Em geral, phi(p^n) = (p-1)p^(n-1), ou seja, phi não é
completamente multiplicativa, é apenas aritmeticamente
multiplicativa.

Note que se f(a*b) = f(a)*f(b) para TODOS a e b inteiros (e f tem
valores inteiros) restam menos possibilidades : f(1) = f(1*1) =
f(1)*f(1), logo f(1) = 1 ou 0. Se for zero, f(a) = f(1*a) = f(1)*f(a)
= 0, uma função pouco interessante. As outras funções dependem apenas
da fatoração prima de a = produto de p_i^(e_i) (p como primo, e como
expoente, i como índice), e daí f(a) = produto (f(p_i))^(e_i).

Se a função é apenas aritmeticamente multiplicativa, depende do valor
de f em todas as potências de primos, não apenas nos primos.

 http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_totient_function

Tem uma referência em português também, do Nicolau  do Gugu:
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/mersenne.pdf (a prova está
dividida em duas partes, a parte legal está no meio do Teorema
Chinês dos restos).

-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


 2011/9/26 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com:
 Alguém sabe uma demonstração bem legal para a propriedade phi(x.y) =
 phi(x) . phi(y), onde essa função é a phi de Euler?

 --

 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função de Euler - T. Números

[douglas . oliveira]

  

Bom existe uma demostraçao no livro introducao a teoria dos numeros
do josé plinio dos santos. 

On Mon, 26 Sep 2011 16:32:00 +0200,
Bernardo Freitas Paulo da Costa wrote: 

 2011/9/26 Henrique Rennó :


 Aqui na página da Wikipedia tem uma boa demonstração dessa
propriedade quando x e y são coprimos.
 
 Aliás, quando x e y não são
coprimos, não vale! phi(2) = 1, phi(4) =
 2. Em geral, phi(p^n) =
(p-1)p^(n-1), ou seja, phi não é
 completamente multiplicativa, é
apenas aritmeticamente
 multiplicativa.
 
 Note que se f(a*b) =
f(a)*f(b) para TODOS a e b inteiros (e f tem
 valores inteiros) restam
menos possibilidades : f(1) = f(1*1) =
 f(1)*f(1), logo f(1) = 1 ou 0.
Se for zero, f(a) = f(1*a) = f(1)*f(a)
 = 0, uma função pouco
interessante. As outras funções dependem apenas
 da fatoração prima de
a = produto de p_i^(e_i) (p como primo, e como
 expoente, i como
índice), e daí f(a) = produto (f(p_i))^(e_i).
 
 Se a função é apenas
aritmeticamente multiplicativa, depende do valor
 de f em todas as
potências de primos, não apenas nos primos.
 

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler [1]'s_totient_function
 
 Tem uma
referência em português também, do Nicolau  do Gugu:

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/mersenne.pdf [3](a prova
está
 dividida em duas partes, a parte legal está no meio do
Teorema
 Chinês dos restos).
 
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da
Costa
 2011/9/26 Pedro Juac
 
 ype=cite style=padding-left:5px;
border-left:#1010ff 2px solid; margin-left:5px; width:100%Alguém sabe
uma demonstração bem legal para a propriedade phi(x.y) = phi(x) .
phi(y), onde essa função é a phi de Euler? -- Pedro Jerônimo S. de O.
Júnior 
 

=
Instruções para entra
 air da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html [4]
=


 

Links:
--
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Euler
[2]
mailto:henrique.re...@gmail.com
[3]
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/mersenne.pdf
[4]
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função complexa - mostrar que não é possível e^(f(z)) = z

[Merryl M]

Muito obrigada pela aula!! Quanto lhe devo? rss
 
Também gostei muito da prova do Artur
 
As duas provas seguem, na realidadae, a mesma linha, certo?
 
Amanda 
 
 Date: Fri, 27 May 2011 21:51:45 +0200
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função complexa - mostrar que não é possível 
 e^(f(z)) = z
 From: bernardo...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 2011/5/27 Merryl M sc...@hotmail.com:
  Boa tarde amigos
 Boa tarde (ou dia, ou noite, sei lá em que fuso vocês vivem),
 
 Apertem os cintos, afiem o raciocínio, a análise vai começar.
 
  Estou me iniciando em análise complexa e estou com dificuldade nisto aqui.
 
  Mostre que não existe nenhuma função inteira f tal que e^(f(z)) = z para
  todo z  0.
 Bom eu vou assumir que você quis dizer holomorfa. Porque inteira (ou
 seja, definida em TODOS os números complexos) não pode dar certo. Veja
 só, se f é inteira (enfim, basta holormorfa em 0), ela é definida (ou
 seja, assume algum valor em C) e contínua em 0. Daí, e^(f(z)) também é
 contínua em 0. Isso quer dizer que e^(f(0)) = 0, mas isso a gente já
 sabe que não dá.
 
 Na verdade, eu vou assumir mais: eu acho que você quis dizer
 holomorfa em C - {0}.
 
  O que eu concluí é que, para todo z não nulo, temos pela regra da cadeia que
  e^(f(z)) f'(z) = 1 e, portanto, f'(z) = 1/(e^f(z)) = 1/z. Bom, até aí morreu
  Neves, né? Não fiz nada de interessante. Isto representa uma contradição?
 Ainda não. Mas pode começar por aqui sim.
 
   Na reta real, não é nenhuma contradição, mas como nos complexos temos
  várias ramificações para o logaritmo, talvez seja por aí.
 É por aí mesmo, enfim, pelo menos a mim parece.
 
  Não estou vendo. Podem ajudar?
 Bom, com o que você fez, eu acho que o melhor é olhar para a equação
 diferencial f'(z) = 1/z mesmo. Mas em vez de olhar na reta real (que
 como você mesma disse, não apresenta problemas), vou olhar na direção
 transversa. E essa direção transversa é (de certa forma) um círculo em
 volta da origem. O que vai começar a fazer a ponte para as várias
 definições do logaritmo.
 
 O círculo é parametrizado por t - exp(it), ou e^it para abreviar.
 
 Chame g(t) = f(e^it).
 Vamos lá: f'(e^it) = 1/e^it = e^(-it). Isso deve ajudar a obter uma
 equação diferencial para g.
 g'(t) = (Regra da cadeia) f'(e^it) * i e^it = i.
 
 Para resolver essa eq. diferencial, temos que achar g(0). Mas e^f(1) =
 1, logo f(1) = 2ki pi para algum k inteiro. E g(0) = f(1).
 Assim, g(t) = i(2k pi + t).
 
 Muito bem, né? Parece que tá tudo bem. Mas, na verdade, não. Note que
 g(0) = f(1), mas g(2pi) = f(1) também ! (e g(246747654908 pi), etc,
 etc). Ora, isso quer dizer que 2ki pi = g(0) = f(1) = g(2pi) = 2(k+1)i
 pi. Pára tudo! Absurdo. Assim, não existe uma função definida no
 círculo unitário que satisfaça a equação funcional que você deu. Na
 verdade, não existe função definida em nada que dê uma volta em torno
 da origem que satisfaça, mais ou menos pela mesma razão: se você for
 seguindo a equação diferencial, você vai seguindo um ramo do
 logaritmo, mas quando você terminar a sua volta, você vai estar no
 ramo seguinte, e daí vai ser impossível que a sua função seja
 definida.
 
  Análise complexa não aparece muito aqui na lista, mas sei que nosso amigo
  Bernardo, nosso São Bernardo da matemática conhece muito.
 Obrigado pelo cumprimento, mas eu aproveito para dar umas dicas a mais
 sobre o problema para mostrar que, na verdade, ele não tem muito de
 análise complexa, mas de homotopia. (Mesmo que a homotopia seja
 super-útil em análise complexa, e tenha sido inventada para ajudar a
 entender um monte de fenômenos que apareceram pela primeira vez em
 complexa)
 
 O problema que você falou (as múltiplas determinações do logaritmo), é
 um problema puramente topológico. É porque você tem uma função que
 dá uma volta na origem e não volta no mesmo lugar, mas 2pi depois.
 Isso é um fenômeno típico de (inversas) de funções periódicas. Sim,
 sim, a exponencial é periódica, mesmo que a primeira vez que a gente
 descobre isso soe um pouco estranho. Aliás, isso explica porque o
 seno, cosseno, são periódicas também :). Voltando ao nosso problema,
 você quer construir a função inversa da exponencial. Mas a função é
 periódica, daí não dá. (pense assim, você tem que botar alguma
 restrição também quando você constrói arcsin. Ou a raiz quadrada...).
 A grande sacada dos analistas (hoje a gente os chamaria de
 topólogos, mas na época era Analisis situs, como escrevia o
 Poincaré) foi ver que esses problemas de periodicidade têm
 contrapartidas que dependem unicamente da estrutura do seu espaço
 topológico (o que eles chamaram de 1-conexidade), e portanto, a
 verdadeira restrição à sua questão não é f uma função holomorfa em C
 - {0}, mas sim f contínua num domínio que dê uma volta em torno da
 origem (a tradução da parte de 1-conexo para o problema particular
 da exponencial). Talvez (talvez) exista uma demonstração mais rápida
 de que seja impossível usando o fato de f ser holomorfa. A
 demonstração que eu dei, 

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função complexa - mostrar que não é possível e^(f(z)) = z

[Marcelo Salhab Brogliato]

Caramba!
Muito interessante... gostei mesmo!

Não conheço análise complexa, mas me motivou a ler um bocado sobre o
logaritmo e a raíz
quadrada no domínio dos complexos.
Bom.. leitura de Wikipedia, mas aprendi um bocado.

Valeu! :)

Abraços,
Salhab


2011/5/27 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com

 2011/5/27 Merryl M sc...@hotmail.com:
  Boa tarde amigos
 Boa tarde (ou dia, ou noite, sei lá em que fuso vocês vivem),

 Apertem os cintos, afiem o raciocínio, a análise vai começar.

  Estou me iniciando em análise complexa e estou com dificuldade nisto
 aqui.
 
  Mostre que não existe nenhuma função inteira f tal que e^(f(z)) = z para
  todo z  0.
 Bom eu vou assumir que você quis dizer holomorfa. Porque inteira (ou
 seja, definida em TODOS os números complexos) não pode dar certo. Veja
 só, se f é inteira (enfim, basta holormorfa em 0), ela é definida (ou
 seja, assume algum valor em C) e contínua em 0. Daí, e^(f(z)) também é
 contínua em 0. Isso quer dizer que e^(f(0)) = 0, mas isso a gente já
 sabe que não dá.

 Na verdade, eu vou assumir mais: eu acho que você quis dizer
 holomorfa em C - {0}.

  O que eu concluí é que, para todo z não nulo, temos pela regra da cadeia
 que
  e^(f(z)) f'(z) = 1 e, portanto, f'(z) = 1/(e^f(z)) = 1/z. Bom, até aí
 morreu
  Neves, né? Não fiz nada de interessante. Isto representa uma contradição?
 Ainda não. Mas pode começar por aqui sim.

   Na reta real, não é nenhuma contradição, mas como nos complexos temos
  várias ramificações para o logaritmo, talvez seja por aí.
 É por aí mesmo, enfim, pelo menos a mim parece.

  Não estou vendo. Podem ajudar?
 Bom, com o que você fez, eu acho que o melhor é olhar para a equação
 diferencial f'(z) = 1/z mesmo. Mas em vez de olhar na reta real (que
 como você mesma disse, não apresenta problemas), vou olhar na direção
 transversa. E essa direção transversa é (de certa forma) um círculo em
 volta da origem. O que vai começar a fazer a ponte para as várias
 definições do logaritmo.

 O círculo é parametrizado por t - exp(it), ou e^it para abreviar.

 Chame g(t) = f(e^it).
 Vamos lá: f'(e^it) = 1/e^it = e^(-it). Isso deve ajudar a obter uma
 equação diferencial para g.
 g'(t) = (Regra da cadeia) f'(e^it) * i e^it = i.

 Para resolver essa eq. diferencial, temos que achar g(0). Mas e^f(1) =
 1, logo f(1) = 2ki pi para algum k inteiro. E g(0) = f(1).
 Assim, g(t) = i(2k pi + t).

 Muito bem, né? Parece que tá tudo bem. Mas, na verdade, não. Note que
 g(0) = f(1), mas g(2pi) = f(1) também ! (e g(246747654908 pi), etc,
 etc). Ora, isso quer dizer que 2ki pi = g(0) = f(1) = g(2pi) = 2(k+1)i
 pi. Pára tudo! Absurdo. Assim, não existe uma função definida no
 círculo unitário que satisfaça a equação funcional que você deu. Na
 verdade, não existe função definida em nada que dê uma volta em torno
 da origem que satisfaça, mais ou menos pela mesma razão: se você for
 seguindo a equação diferencial, você vai seguindo um ramo do
 logaritmo, mas quando você terminar a sua volta, você vai estar no
 ramo seguinte, e daí vai ser impossível que a sua função seja
 definida.

  Análise complexa não aparece muito aqui na lista, mas sei que nosso amigo
  Bernardo, nosso São Bernardo da matemática conhece muito.
 Obrigado pelo cumprimento, mas eu aproveito para dar umas dicas a mais
 sobre o problema para mostrar que, na verdade, ele não tem muito de
 análise complexa, mas de homotopia. (Mesmo que a homotopia seja
 super-útil em análise complexa, e tenha sido inventada para ajudar a
 entender um monte de fenômenos que apareceram pela primeira vez em
 complexa)

 O problema que você falou (as múltiplas determinações do logaritmo), é
 um problema puramente topológico. É porque você tem uma função que
 dá uma volta na origem e não volta no mesmo lugar, mas 2pi depois.
 Isso é um fenômeno típico de (inversas) de funções periódicas. Sim,
 sim, a exponencial é periódica, mesmo que a primeira vez que a gente
 descobre isso soe um pouco estranho. Aliás, isso explica porque o
 seno, cosseno, são periódicas também :). Voltando ao nosso problema,
 você quer construir a função inversa da exponencial. Mas a função é
 periódica, daí não dá. (pense assim, você tem que botar alguma
 restrição também quando você constrói arcsin. Ou a raiz quadrada...).
 A grande sacada dos analistas (hoje a gente os chamaria de
 topólogos, mas na época era Analisis situs, como escrevia o
 Poincaré) foi ver que esses problemas de periodicidade têm
 contrapartidas que dependem unicamente da estrutura do seu espaço
 topológico (o que eles chamaram de 1-conexidade), e portanto, a
 verdadeira restrição à sua questão não é f uma função holomorfa em C
 - {0}, mas sim f contínua num domínio que dê uma volta em torno da
 origem (a tradução da parte de 1-conexo para o problema particular
 da exponencial). Talvez (talvez) exista uma demonstração mais rápida
 de que seja impossível usando o fato de f ser holomorfa. A
 demonstração que eu dei, basta que f seja diferenciável (o que não é
 

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Bijetiva

[Pedro Júnior]

Olá a todos, seguinte o livro que foi retirado o problema é Set Theory, cujo
autor Charles C. Pinter, Bucknell Unniversity, publicado pela Addison-Wesley
Publishing Company na década de 70.

Problema:

A~B iff A is one-to-one correspondence with B.

1. Suppose that A ~ B, a \in A, and b \in B. Prove that (A - {a}) ~ (B -
{b}).

2. Suppose that A ~ B, C ~ D, C \cup A and D \cup B. Prove that (A - C) ~ (B
- D).

De fato, havia esquecido da bijeção entre C e D.





Em 9 de maio de 2011 23:23, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 É, tome A=B=D=Z e C=N.

 Então existe uma bijeção I:A-B (a identidade);
 e existe uma bijeção f:C-D (levando {0,1,2,...} em
 {0,-1,1,-2,2,-3,...}, respectivamente)

 Mas não há bijeção de A-C=Z_{-} em B-D=vazio!

 Abraço,
 Ralph

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =




-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Bijetiva

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2011/5/13 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com:
 Olá a todos, seguinte o livro que foi retirado o problema é Set Theory, cujo
 autor Charles C. Pinter, Bucknell Unniversity, publicado pela Addison-Wesley
 Publishing Company na década de 70.

 Problema:

 A~B iff A is one-to-one correspondence with B.

 1. Suppose that A ~ B, a \in A, and b \in B. Prove that (A - {a}) ~ (B -
 {b}).

 2. Suppose that A ~ B, C ~ D, C \cup A and D \cup B. Prove that (A - C) ~ (B
 - D).

 De fato, havia esquecido da bijeção entre C e D.
Como eu disse e o Ralph provou, ainda falta alguma coisa. Tipo uma
hipótese de que C e D são finitos, para você poder usar recorrência da
propriedade 1. ; sem isso, continua falso.
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa



 Em 9 de maio de 2011 23:23, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 É, tome A=B=D=Z e C=N.

 Então existe uma bijeção I:A-B (a identidade);
 e existe uma bijeção f:C-D (levando {0,1,2,...} em
 {0,-1,1,-2,2,-3,...}, respectivamente)

 Mas não há bijeção de A-C=Z_{-} em B-D=vazio!

 Abraço,
        Ralph


 --

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Bijetiva

[Pedro Júnior]

Em 13 de maio de 2011 13:42, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2011/5/13 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com:
  Olá a todos, seguinte o livro que foi retirado o problema é Set Theory,
 cujo
  autor Charles C. Pinter, Bucknell Unniversity, publicado pela
 Addison-Wesley
  Publishing Company na década de 70.
 
  Problema:
 
  A~B iff A is one-to-one correspondence with B.
 
  1. Suppose that A ~ B, a \in A, and b \in B. Prove that (A - {a}) ~ (B -
  {b}).
 
  2. Suppose that A ~ B, C ~ D, C \cup A and D \cup B. Prove that (A - C) ~
 (B
  - D).
 
  De fato, havia esquecido da bijeção entre C e D.
 Como eu disse e o Ralph provou, ainda falta alguma coisa. Tipo uma
 hipótese de que C e D são finitos, para você poder usar recorrência da
 propriedade 1. ; sem isso, continua falso.
 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 Não Bernardo, veja que entre C e D existe uma bijeção, ou seja, esta é a
 hipótese que faltava, agora falta provar!


   Em 9 de maio de 2011 23:23, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
 escreveu:
 
  É, tome A=B=D=Z e C=N.
 
  Então existe uma bijeção I:A-B (a identidade);
  e existe uma bijeção f:C-D (levando {0,1,2,...} em
  {0,-1,1,-2,2,-3,...}, respectivamente)
 
  Mas não há bijeção de A-C=Z_{-} em B-D=vazio!
 
  Abraço,
 Ralph
 
 
  --

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =




-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] função diferenciável

[Artur Costa Steiner]

P

Em mar 7, 2011 5:45 PM, Samuel Wainer sswai...@hotmail.comescreveu:

 Brigadão Marcelo,
Fiquei travado nesse exercício um tempão.
Eu estudo sozinho e quando surge uma dúvida assim me ferro.
Você explicou bem tranquilo que eu fiquei com vontade de perguntar uma
última coisinha, sem abusar:

Por exemplo, pra mostrar que a função f(x,y) = sqrt(|xy|) não é
diferenciável em (0,0), pelo que vi no livro, tomo a derivada direcional na
direção (1,1) e mostro que a mesma não existe. Beleza. Mas a minha dúvida
acho que é mais conceitual. Por que que o fato de uma derivada direcional
não existir implica que a função não diferenciável?

Desde já agradeço.


--
Date: Mon, 7 Mar 2011 17:12:04 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] função diferenciável
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
CC: sswai...@hotmail.com

Olá, Samuel, Se t != 0, temos: h(t) = f(tx) = |tx| . g(tx/|tx|) Para t0,
temos: |tx| = t|x| = ...

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] função diferenciável

[Samuel Wainer]

Brigadão Marcelo,
Fiquei travado nesse exercício um tempão. 
Eu estudo sozinho e quando surge uma dúvida assim me ferro. 
Você explicou bem tranquilo que eu fiquei com vontade de perguntar uma última 
coisinha, sem abusar:
 
Por exemplo, pra mostrar que a função f(x,y) = sqrt(|xy|) não é diferenciável 
em (0,0), pelo que vi no livro, tomo a derivada direcional na direção (1,1) e 
mostro que a mesma não existe. Beleza. Mas a minha dúvida acho que é mais 
conceitual. Por que que o fato de uma derivada direcional não existir implica 
que a função não diferenciável?
 
Desde já agradeço. 

 


Date: Mon, 7 Mar 2011 17:12:04 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] função diferenciável
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
CC: sswai...@hotmail.com

Olá, Samuel,


Se t != 0, temos:
h(t) = f(tx) = |tx| . g(tx/|tx|)


Para t0, temos:
|tx| = t|x| = h(t) = f(tx) = t|x| . g(x/|x|)


Para t0, temos:
|tx| = -t|x| = h(t) = f(tx) = -t|x| . g(-x/|x|) = t|x| . g(x/|x|)


Assim:
h(t) = t|x| . g(x/|x|) para t != 0.


Para t != 0, temos:
h'(t) = lim{k-0} [ h(t+k) - h(t) ] / k = lim{k-0} [ (t+k)|x| . g(x/|x|) - 
t|x| . g(x/|x|) ] / k = lim{k-0} |x|.g(x/|x|) = |x|.g(x/|x|)


Desta maneira, para t!=0, temos que a derivada de h é constante e tem valor 
|x|.g(x/|x|).


Abraços,
Salhab




2011/3/7 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com


Seja g uma função conínua sobre o círculo unitário {x em R^2: |x| = 1} tal que 
g(0,1) = g(1,0) = 0 e g(-x) = -g(x). Defina f: R^2 - R por:
 
 
f(x) = |x| . g(x\|x|) para x diferente de 0
   0 para x = 0
 
Se x pertence à R^2 e h: R - R é definida por h(t) = f(tx), mostrar que h é 
diferenciável.
 
 
consegui fazer para caso t=0, usando que f(x) = 0 direto da definição, mas 
mostrar que   lim ((h(t+l)-h(t))/l)existe para t quaquer não foi trivial. 
Alguém consegue me dar um socorro?  
 (l - 
0) 

  

[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] função diferenciável

[Artur Steiner]

Porque se f for derivável em algum a de R^n, então todas as suas derivadas 
direcionais existem em a e são dadas por grad f(a) . u, onde grad f(a) designa 
o gradiente de f em a, . designa produto escalar e u é o vetor unitário em uma 
dada direção. Se uma das derivadas direcionais não existir, então, por 
contraposição, segue-se que f não é derivável em a.
 
Artur
 
 


From: sswai...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br; msbro...@gmail.com
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] função diferenciável
Date: Mon, 7 Mar 2011 20:30:13 +




Brigadão Marcelo,
Fiquei travado nesse exercício um tempão. 
Eu estudo sozinho e quando surge uma dúvida assim me ferro. 
Você explicou bem tranquilo que eu fiquei com vontade de perguntar uma última 
coisinha, sem abusar:
 
Por exemplo, pra mostrar que a função f(x,y) = sqrt(|xy|) não é diferenciável 
em (0,0), pelo que vi no livro, tomo a derivada direcional na direção (1,1) e 
mostro que a mesma não existe. Beleza. Mas a minha dúvida acho que é mais 
conceitual. Por que que o fato de uma derivada direcional não existir implica 
que a função não diferenciável?
 
Desde já agradeço. 

 


Date: Mon, 7 Mar 2011 17:12:04 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] função diferenciável
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
CC: sswai...@hotmail.com

Olá, Samuel, 


Se t != 0, temos:
h(t) = f(tx) = |tx| . g(tx/|tx|)


Para t0, temos:
|tx| = t|x| = h(t) = f(tx) = t|x| . g(x/|x|)


Para t0, temos:
|tx| = -t|x| = h(t) = f(tx) = -t|x| . g(-x/|x|) = t|x| . g(x/|x|)


Assim:
h(t) = t|x| . g(x/|x|) para t != 0.


Para t != 0, temos:
h'(t) = lim{k-0} [ h(t+k) - h(t) ] / k = lim{k-0} [ (t+k)|x| . g(x/|x|) - 
t|x| . g(x/|x|) ] / k = lim{k-0} |x|.g(x/|x|) = |x|.g(x/|x|)


Desta maneira, para t!=0, temos que a derivada de h é constante e tem valor 
|x|.g(x/|x|).


Abraços,
Salhab




2011/3/7 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com


Seja g uma função conínua sobre o círculo unitário {x em R^2: |x| = 1} tal que 
g(0,1) = g(1,0) = 0 e g(-x) = -g(x). Defina f: R^2 - R por:
 
 
f(x) = |x| . g(x\|x|) para x diferente de 0
   0 para x = 0
 
Se x pertence à R^2 e h: R - R é definida por h(t) = f(tx), mostrar que h é 
diferenciável.
 
 
consegui fazer para caso t=0, usando que f(x) = 0 direto da definição, mas 
mostrar que   lim ((h(t+l)-h(t))/l)existe para t quaquer não foi trivial. 
Alguém consegue me dar um socorro?  
 (l - 
0) 

  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Função

[João Luís Gomes Guimarães]

É porque assim, você obterá uma expressão para g(a), e agora você pode fazer 
a=3 e obterá  o g(3) procurado. Fez-se aqui a chamada mudança de variável, 
trocando a variável x pela variável a, através de uma expressão que as 
relaciona.


Você também poderia pensar assim (o que é equivalente): se eu tenho uma 
expressão para g(1+x) e estou procurando g(3), basta então fazer 1+x = 3, ou 
seja, x = 2.


Compreendido?

Sds,

João Luís.


- Original Message - 
From: Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, January 29, 2007 5:26 PM
Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] Função


pq fazer 1+x =a, não entendi isso!!

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
= 



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Função

[Marcus Aurélio]

Isso é uma mudança de variavel...em muitos casos pode nos ajudar
-- Mensagem Original --
Date: Mon, 29 Jan 2007 18:26:30 -0200
From: Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] Função
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br


pq fazer 1+x =a, não entendi isso!!

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Função

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes,

Oi Ronaldo,

Isso mesmo.

Ou na notação desta teoria:

(E-2)a_n=3 == a_n = c_1(2^n) + c_0.

Como  a_0=0, a_1=3. Daí c_0=-3 , c_1=3 e

a_n = 3(2^n - 1).

Falo disso no Manual de Progressões.

[]'s
Luís



From: Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] Função
Date: Sat, 20 Jan 2007 17:34:36 -0200

O livro Finite Difference Equations  de Saber Elandi discute com detalhes
formulas desse tipo.
Elas nada mais são do que equações de diferença.
  Da uma olhada nessa pagina:
http://ltcconline.net/greenl/courses/204/firstOrder/differenceEquations.htm

  Reconheces alguma conexão com equações diferenciais?
 Note que as equaçoes como a que você colocou:
Ache a sequencia x tal que:

i) x(0)=0
ii) x(n+1)=2x(n)+3

 podem ser resolvidas atraves da transformada z.


On 1/20/07, Filipe de Carvalho Hasché [EMAIL PROTECTED] wrote:


Calcule f(n) sabendo-se que:

i) f(0)=0
ii) f(n+1)=2f(n)+3



Caro, Rogério.

[...]


f(n) = 3.(2^n  -  1)


Abraços,
FC.


_
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l]Função

[Welma Pereira]

já me achei como a funçao é simples foi só uma questão de redefinir o 
intervalo para a função composta.

valew



From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l]Função
Date: Wed, 8 Nov 2006 11:05:30 -0800 (PST)

Uma dica. Verifique para quais valores de x g(x) pertence a cada um dos 
intervalos da definição de  f.

Aqui não tem mudança de variável, é funçao composta, certo?
Artur

- Original Message 
From: Welma Pereira [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, November 8, 2006 1:05:13 PM
Subject: [obm-l]Função


Olá Pessoal,

me surgiu uma dúvida sobre a funçao composta ou mudança de variavel

dada f(t)= 1 se 1  ou= t ou = 3

   f(t)= -1 se 3  t  ou = 5

e g(x) = 2x + 3

como calcular f(g(x)) ?
Se alguem puder me dar uma luz...
[]s

_
Acompanhe os desfiles do evento São Paulo Fashion Week.
http://www.msn.com.br/diversao/spfw/

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


_
Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse 
http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Logarítmica?

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

então, observe que:

Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1)
f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + f(x4/x5) = 
-2f(2x1)

mas f(xy) = f(x) + f(y) ... assim: f(abcd) = f(a) + 
f(b) + f(c) + f(d)

logo: f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + f(x4/x5) = 
f(x1/x2 * x2/x3 * x3/x4 * x4/x5) = f(x1/x5)

mas x5 = x1 * q^4 ... logo: f(x1/x5) = f(x1/[x1 * 
q^4]) = f(1/q^4) = -f(q^4) = -f(q*q*q*q) = -4f(q)

logo: -4f(q) = -2f(2x1)

mas f(2x1) = f(2) + f(x1)

logo: -4f(q) = -2[f(2) + f(x1)] ... 2f(x1) - 
4f(q) = -2f(2) . f(x1) - 2f(q) = -f(2)

entendeu?

nao refiz a questao toda, só essa parte.. entao 
ainda nao achei meu erro na outra solucao...

abraços,
Salhab



  - Original Message - 
  From: 
  J. Renan 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, November 03, 2006 2:54 
  AM
  Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função 
  Logarítmica?
  Olá novamente,O erro que você cometeu foi o 
  seguinte
  f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + f(x4/x5) = f(x1/x5) = 
f(1/q^4)O enunciado diz:Soma (i=1 até 4) 
  f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1)O meu problema foi justamente nessa parte, se 
  fosse dessa forma simplificaria um pouco... mas acontece que ele não define f 
  (a + b) =\ Bom, desenvolvendo essa parte ficariaf(x1*x2*x3*x4) 
  - f(x2+1) + f(x3+1) + f(x4+1) +f(x5+1)...a partir daí não consigo 
  lidar com a função com a soma dentro =\Abraços e obrigado pela 
  ajudaJ.Renan
  Em 03/11/06, Marcelo 
  Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu:
  

Olá novamente,

já em relacao a questao, vamos resolve-la sem 
saber que a funcao é o log, ok?

por inducao, mostramos que f(x1 * x2 * x3 * ... 
* xn) = Soma(i=1 até n) f(xi)

f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5) = f(x1 * 
x2 * x3 * x4 * x5)
eles estao em PG, entao: xn = x1 * q^(n-1) ... 
logo: x1 * x2 * x3 * x4 * x5 = (x1)^5 * q^(1 + 2 + 3 + 4) = (x1)^5 * 
q^10
assim: f[(x1)^5* q^10] = f[(x1)^5] + 
f(q^10) = 5f(x1) + 10f(q) = 12 * f(2) + 2f(x1)
logo: 3 f(x1) + 10 f(q) = f(2)

agora: f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + 
f(x4/x5) = f(x1/x5) = f(1/q^4)
mas, sabemos que f(xy) = f(x) + f(y) ... 
tomando y = 1/x, temos: f(1) = f(x) + f(1/x) = 0 .. f(1/x) = 
-f(x)
logo: f(1/q^4) = -f(q^4) = -4 f(q)
assim: -4 f(q) = -2 f(2x1) = -2[f(2) + f(x1)] 
 2 f(x1) - 4 f(q) = -2 f(2)

assim, temos um sistema:
3 f(x1) + 10 f(q) = f(2)
2 f(x1) - 4 f(q) = -2 f(2)

resolvendo, temos: [ 4 * 3+10 
*2 ] f(x1) = [ 4 - 20 ] f(2) ..
assim: f(x1) = -16/32 f(2) = -f(2)/2 = f(1/2) / 
2
logo: 2f(x1) = f(x1^2) = f(1/2)

como f é injetiva, temos:
x1^2 = 1/2 ... x1 = sqrt(2)/2

tenho certeza que errei alguma 
conta...
po.. ultimamente tenho feito bastante 
isso...
mas acho que deu pra entender a 
ideia..

abraços,
Salhab





  - 
  Original Message - 
  From: 
  J. Renan 
  To: 
  obm-l@mat.puc-rio.br 
  
  Sent: 
  Thursday, November 02, 2006 11:40 PM
  Subject: 
  [obm-l] Função Logarítmica?
  
  Por favor, peço ajuda na 
  resolução das seguintes questões:1seja a função f uma 
  função injetora, com domínio em reais positivos e controdominio os reais, 
  tal quef(1) = 0f(xy) = f(x) + f(y) (x0 y0) Se 
  x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)e sabendo 
  queSoma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e Soma (i=1 até 
  4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 éa) -2b) 
  2c) 3d) 4e) 1Certa vez me disseram (ou 
  eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. 
  Isso está correto? Realmente não tive idéias para resolver 
  essa2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando) 
  Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistemalog[2][X+Y] - 
  log[3][X-2Y] = 2 X² - 4Y² = 4Então Xo + Yo valea) 
  7/4b) 9/4c) 11/4d) 13/4e) 17/4A segunda 
  questão consegui fazer "chutando" valores (Inspeção?). Infelizmente não é 
  um método muito confiável =) Sugestões? Qualquer ajuda é 
  bem vinda.A lista tem ajudado bastante, obrigado 
  pessoal!-- Abraços,Jonas Renan 
  
  
  
  
  
  

  No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free 
  Edition.Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.13.26/516 - Release Date: 
  3/11/2006

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função phi(n)

[Ricardo Khawge]

Muintíssimo obrigado!!! Já posso descansar em paz!

[[ ]]'s




From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função phi(n)
Date: Mon, 16 Oct 2006 16:29:12 -0200

On Sat, Oct 14, 2006 at 01:46:00PM -0200, Ricardo Khawge wrote:
 Prof. Nicolau, tentei, tentei mais não entendi a parte em que você diz:
 Se 11 entrar então phi(n/11) deve ser 2...

 Poderia, por favor me explicar, o que isso significa?

Se phi(n) = 20 e n é múltiplo de 11 então (como n não pode ser múltiplo de 
121)

devemos ter n = 11*m, mdc(11,m) = 1. Assim phi(n) = phi(11)*phi(m).
Como phi(11) = 10 temos phi(m) = 2.

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


_
Descubra como mandar Torpedos Messenger do computador para o celular  
http://www.msn.com.br/artigos/maguire/default.asp


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função

[Viviane Silva]

Obrigada Diogo
MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto.  Encontre o que você quiser. Clique aqui. 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função

[Murilo Rebouças Fernandes de Lima]

f(3x+1)=x^2+3x+25 
 g(x+1)=2x+1

x=-2 temos: g((-2)+1)=2(-2)+1
g(-1)=-3

3x+1=-3
x=-4/3
f(3x+1)=x^2+3x+25 
f(3(-4/3)+1)=(-4/3)^2+3(-4/3)+25 
f(-3)=268/9

f(g(-1))=268/9

  From: 
  Viviane Silva 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, May 03, 2005 6:25 PM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função
  
  
  
  
  
  Como se resolve uma função do tipo. Este não é o exercício mas é parecido 
  com este
  
  1) f(3x+1)=x^2+3x+25
   g(x+1)=2x+1
   Encontre f(g(-1))
  
  Grata
  
  MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. Encontre o que você 
  quiser. Clique aqui. 
  = 
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
  = 

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função

[Diogo B. Moraes M. de Holanda]

From: Viviane Silva [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função
Date: Tue, 03 May 2005 21:25:36 +
1) f(3x+1)=x^2+3x+25
   g(x+1)=2x+1
   Encontre f(g(-1))
estudo funçoes a pouco tempo mas creio q a resposta eh simples:
g(-1)=g(-2+1)=2(-2)+1=1-4=-3
portanto temos q:
f(g(-1))=f(-3)=f(3(-4/3)+1)=16/9 - 4+25=16/9 + 21=16/9 + 189/9=205/9
_
Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! 
http://www.msn.com.br/discador
---BeginMessage---



Como se resolve uma função do tipo. Este não é o exercício mas é parecido com este

1) f(3x+1)=x^2+3x+25
 g(x+1)=2x+1
 Encontre f(g(-1))

GrataMSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto.  Encontre o que você quiser. Clique aqui. 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

---End Message---

[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] função monótona

[Osvaldo]

Seja a funçao f definida em um intervalo [a,b] por ex.
Para que f seja estrit. crescente teremos que
para quaisquer x_1, x_2 pertencentes a [a,b], o fato 
de x_1x_2 implicar sempre em f(x_1)f(x_2).

Bom, SE EXISTIR derivada teremos que ela não se 
anulará em (a,b), seria um lema facil de ser mostrado.

Desculpe meu equivoco anterior. Fui.


 o que é uma função estritamente crescente?
 
 fabiano
   - Original Message - 
   From: Lista OBM 
   To: [EMAIL PROTECTED] 
   Sent: Saturday, June 05, 2004 9:00 PM
   Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] função monótona
 
 
   Osvaldo, ainda não vi diferenciabilidade.
 
   Osvaldo [EMAIL PROTECTED] wrote: 
 Acredito que seja um dos tipos de funçoes abaixo:
 
 Estritamente crescente;
 Estritamente decrescente;
 Crescente;
 Decrescene;
 
 Os dois primeiros tipos de funçoes monotonas 
acima tem 
 a prop. de que a derivada de primeira ordem 
nunca se 
 anula e os dois restantes que ela nao é nula em 
todo 
 intervalo, porem podendo anular se em um 
subconjunto 
 do domínio.
 
 Nao sei se isso te ajuda mais to mandando mesmo 
assim.
 ]
  
  O que é uma função monótona?
  Lista OBM wrote:Gostaria 
 que alguém me ajudasse com o problema abaixo:
  
  Seja f: J -- R uma função monótona, definida 
no 
 intervalo J. Se a 
  
  imagem f(J) é um intervalo, prove que f é 
contínua.
  
  Obs.: Tentei supondo o contrário, mas não 
consegui!!!
  
  Grato, Éder.
  
   
  -
  Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos 
online. 
 Instale agora!
  
  
  
  -
  Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global 
sobre o 
 Yahoo! Mail. Clique aqui!
 
 Atenciosamente,
 
 Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
 Osvaldo Mello Sponquiado 
 Usuário de GNU/Linux
 
 
 
 
___
___
 Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua 
tela.
 AntiPop-up UOL - É grátis!
 http://antipopup.uol.com.br/
 
 
 
 
===
==
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e 
usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-
l.html
 
===
==
 
 
 
 
 -
-
   Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. 
Instale agora!
 

Atenciosamente,

Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
Osvaldo Mello Sponquiado 
Usuário de GNU/Linux


 
__
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
AntiPop-up UOL - É grátis!
http://antipopup.uol.com.br/



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] função monótona

[Osvaldo]

Desculpem meu novo equívoco. Esse lema que falei me 
basei no fato de que se uma função de R em R tem 
derivada de primeira ordem positiva ela é, então, 
estrit. cresc.; porém a recíproca não é verdadeira.

Falou!


 Nem se existir. f(x)=x^3 eh estritamente crescente em 
[-1;1] e f'(0)=0.
 
 

==
 Mensagem  enviada  pelo  CIP  WebMAIL  - Nova 
Geração - v. 2.1
 CentroIn Internet Provider  
http://www.centroin.com.br
 Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 
2295-2978
 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando 
servicos online
 
 
 -- Original Message ---
 From: Osvaldo [EMAIL PROTECTED]
 To: obm-l [EMAIL PROTECTED]
 Sent: Sun,  6 Jun 2004 03:41:53 -0300
 Subject: [obm-l]  Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
função  monótona
 
  Seja a funçao f definida em um intervalo [a,b] por 
ex.
  Para que f seja estrit. crescente teremos que
  para quaisquer x_1, x_2 pertencentes a [a,b], o 
fato 
  de x_1x_2 implicar sempre em f(x_1)f(x_2).
  
  Bom, SE EXISTIR derivada teremos que ela não se 
  anulará em (a,b), seria um lema facil de ser 
mostrado.
  
  Desculpe meu equivoco anterior. Fui.
  
   o que é uma função estritamente crescente?
   
   fabiano
 - Original Message - 
 From: Lista OBM 
 To: [EMAIL PROTECTED] 
 Sent: Saturday, June 05, 2004 9:00 PM
 Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] função monótona
   
   
 Osvaldo, ainda não vi diferenciabilidade.
   
 Osvaldo [EMAIL PROTECTED] wrote: 
   Acredito que seja um dos tipos de funçoes 
abaixo:
   
   Estritamente crescente;
   Estritamente decrescente;
   Crescente;
   Decrescene;
   
   Os dois primeiros tipos de funçoes monotonas 
  acima tem 
   a prop. de que a derivada de primeira ordem 
  nunca se 
   anula e os dois restantes que ela nao é nula 
em 
  todo 
   intervalo, porem podendo anular se em um 
  subconjunto 
   do domínio.
   
   Nao sei se isso te ajuda mais to mandando 
mesmo 
  assim.
   ]

O que é uma função monótona?
Lista OBM wrote:Gostaria 
   que alguém me ajudasse com o problema abaixo:

Seja f: J -- R uma função monótona, 
definida 
  no 
   intervalo J. Se a 

imagem f(J) é um intervalo, prove que f é 
  contínua.

Obs.: Tentei supondo o contrário, mas não 
  consegui!!!

Grato, Éder.

 
-
Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos 
  online. 
   Instale agora!



-
Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global 
  sobre o 
   Yahoo! Mail. Clique aqui!
   
   Atenciosamente,
   
   Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
   Osvaldo Mello Sponquiado 
   Usuário de GNU/Linux
   
   
   
   
  
___
  ___
   Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua 
  tela.
   AntiPop-up UOL - É grátis!
   http://antipopup.uol.com.br/
   
   
   
   
  
===
  ==
   Instruções para entrar na lista, sair da 
lista e 
  usar a lista em
   http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-
  l.html
   
  
===
  ==
   
   
   
   
   --
---
  -
 Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. 
  Instale agora!
  
  
  Atenciosamente,
  
  Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
  Osvaldo Mello Sponquiado 
  Usuário de GNU/Linux
  
  

__
  Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
  AntiPop-up UOL - É grátis!
  http://antipopup.uol.com.br/
  
  

=
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e 
usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
  

=
 --- End of Original Message ---
 
 

=
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar 
a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 

=
 

Atenciosamente,

Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
Osvaldo Mello Sponquiado 
Usuário de GNU/Linux


 
__
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
AntiPop-up UOL - É grátis!
http://antipopup.uol.com.br/



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] função monótona

[Fabiano Sant'Ana]

o que é uma função estritamente 
crescente?

fabiano

  - Original Message - 
  From: 
  Lista 
  OBM 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Saturday, June 05, 2004 9:00 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] função 
  monótona
  
  Osvaldo, ainda não vi diferenciabilidade.Osvaldo [EMAIL PROTECTED] wrote: 
  Acredito 
que seja um dos tipos de funçoes abaixo:Estritamente 
crescente;Estritamente 
decrescente;Crescente;Decrescene;Os dois primeiros tipos de 
funçoes monotonas acima tem a prop. de que a derivada de primeira ordem 
nunca se anula e os dois restantes que ela nao é nula em todo 
intervalo, porem podendo anular se em um subconjunto do 
domínio.Nao sei se isso te ajuda mais to mandando mesmo 
assim.]  O que é uma função monótona? Lista OBM 
<[EMAIL PROTECTED]>wrote:Gostaria que alguém me ajudasse com o 
problema abaixo:  Seja f: J -- R uma função monótona, 
definida no intervalo J. Se a   imagem f(J) é um 
intervalo, prove que f é contínua.  Obs.: Tentei supondo o 
contrário, mas não consegui!!!  Grato, Éder. 
   - Yahoo! Messenger 
- Fale com seus amigos online. Instale agora!   
 - Yahoo! Mail - Participe 
da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique 
aqui!Atenciosamente,Engenharia Elétrica - UNESP Ilha 
SolteiraOsvaldo Mello Sponquiado Usuário de 
GNU/Linux__Acabe 
com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.AntiPop-up UOL - É 
grátis!http://antipopup.uol.com.br/=Instruções 
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
  
  
  Yahoo! 
  Messenger - Fale com seus amigos online. Instale 
  agora!

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

[Cláudio \(Prática\)]

Caros Artur e Salvador:

Por enquanto, o que eu tenho é isso:

Por favor, prestem atenção, em especial, à passagem marcada por (*) na
volta da demonstração de (2), pois acho que eu introduzi uma hipótese
restritiva.

Seja I um intervalo real.

1. Prove que:
f é unif. diferenciável em I == f' é unif. contínua em I

Suponhamos que f seja uniformemente diferenciável em I:
Seja eps0.
Então existe d0 tal que, se x e y estiverem em I e
se 0  |x-y|  d, então:
| [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x) |  eps/2  e
| [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(y) |   eps/2
Mas, nesse caso:
| f'(x) - f'(y) | =
| f'(x) - [f(x)-f(y)]/(x-y) + [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(y)| =
| [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x) | + | [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(y) |  
eps/2 + eps/2 = eps. ==
f' é uniformemente contínua em I

Suponhamos, agora, que f' seja uniformemente contínua em I:
Seja eps0. Então existe d0 tal que, se x e y estiverem em I e
se 0  |x-y|  d, então | f'(x) - f'(y) |  eps.
Pelo teorema do valor médio, para quaisquer x e y em I,
existe z entre x e y tal que f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y).
Como z está entre x e y, teremos 0  |z - x|  |x - y|  d, o que implica,
pela continuidade uniforme de f', que |f'(z) - f'(x)|  eps.
Sendo assim:
| [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x) | = | f'(z) - f'(x) |  eps ==
f'é uniformememente diferenciável em I.



2. Seja f diferenciável em I.
f' é limitada em I == existe uma constante K0 tal que:
|f(x) - f(y)| = K|x-y| para todos x e y em I

Suponhamos que f' seja limitada em I. Então, para todo t em I,
existe K  0, tal que -K  f'(t)  K.
Sejam x e y em I, com x = y.
Integrando a desigualdade acima de x até y, teremos:
y  y   y
INTEGRAL -Kdt  INTEGRAL f'(t)dt  INTEGRAL Kdt  ==
x  x   x
-K(y-x)  f(y) - f(x)  K(y-x)  ==
|f(y) - f(x)|  K|y-x|.
Se x  y, tudo muda de sinal e a mesma desigualdade entre valores
absolutos continua valendo ==
f obedece à condição de Lipschitz em I.

Suponhamos, agora, que f' não seja limitada.
Então, para todo K  0, existirão x e y em I, com x  y,
tais que para todo t entre x e y, f'(t)  K  (*).
Integrando de x até y, teremos:
y   y
INTEGRAL f'(t)dt  INTEGRAL Kdt  ==
x   x
f(y) - f(x)  K(y-x)  ==
|f(y) - f(x)|  K|y-x|  ==
f não obedece à condição de Lipschitz.



Funções da forma f(x) = x^n*sen(1/x) ou x^n*sen^2(1/x) para X  0 e f(0) =
0, são muito usadas em livros de análise como exemplos de:
1. funções descontínuas em x =0:
f(x) = sen(1/x), se x  0, f(0) = qualquer número real

2. funções contínuas mas não diferenciáveis em x=0:
f(x) = x*sen(1/x), se x  0, f(0) = 0

3. funções diferenciáveis mas com derivadas descontínuas em x=0:
f(x) = x^2*sen(1/x), se x 0, f(0) = 0.

Etc

**

(3) acima mostra que podem haver funções diferenciáveis em toda a reta mas
com derivada descontínua em algum ponto.

No entanto, vale o Teorema do Valor Intermediário para derivadas:
Seja f diferenciável em (a,b). Dados x1 e x2, com a  x1  x2  b, se f'(x1)
 f'(x2) então, para todo c com f'(x1)  c  f'(x2), existe z ( x1  z 
x2 ) com f'(z) = c. Analogamente para quando f'(x1)  f'(x2).

**

Um abraço,
Claudio.


- Original Message -
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 06, 2003 11:20 PM
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável


 -Original Message-
 From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
 [EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Cláudio (Prática)
 Sent: Wednesday, February 05, 2003 12:40 PM
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

 Caro Artur:

 Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas
dos
 se
 e somente se) eu me deparei com uma dúvida:

 Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I.
 É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que:
 f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ?
 Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio.

Não, não é verdade. Considere, por exemplo, f dada por f(x) = x^3, no
ponto z=0 . É fácil verificar que se y0x, então f(x)-f(y)]/(x-y)0 e
jamais se iguala a f'(0)=0. Observe que, para termos uma recíproca do
teorema do valor médio, deveríamos ter z entre  x e y.

PS. Vc achou interessantes os problemas que eu propus?
Abraços
Artur



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

[Salvador Addas Zanata]

Caro Artur,

Quando voce disse que f era diferenciavel, imaginei que voce estivesse
supondo que f' fosse continua. Eh isso que garante que a G da minha
provinha seja continua em I^2. Na verdade, fora da diagonal identidade,
ela eh sempre continua, basta f ser continua. 

Pra provar a continuidade de G em um ponto da forma (x,x), usamos que f'
eh funcao continua.


G(x,x)=f'(x), assim:


G(a,b)-G(x,x)=[G(a,b)-G(x,b)]+[G(x,b)-G(x,x)].


Agora e so usar a definicao de continuidade e tentar encontrar o delta que
sirva para um epsilon dado. 



A f que o seu amigo exibiu tem derivada 0 em x=0, mas a derivada nao eh
continua em x=0, pois a derivada de f eh (p/ x0):

x^2(9/2-3/2cos(2/x^2))-2sin(2/x^2)


Assim, para valores convenientes de x arbitrariamente proximos do zero,
essa funcao fica maior que 1, por exemplo, logo f'nao pode ser continua.


Mas se voce queria saber se a afirmacao era verdade para f apenas
diferenciavel, a resposta como voce provou exibindo esse exemplo eh nao.


Um abraco,

Salvador 


On Fri, 7 Feb 2003, Artur Costa Steiner wrote:

  Caro Artur,
  
  
  Observe que uma hipotese crucial para a provinha abaixo eh que f'(z)
 nao
  seja nem maximo, nem minimo da derivada de f no intervalo. E x^3 tem
 por
  derivada 3x^2, logo o zero nao se aplica ao teorema, pois eh minimo da
  derivada da f, qualquer que seja o intervalo que contenha a origem.
 Acho
  que a prova esta correta.
  
  
  Abraco,
  
  Salvador
  
 OK, de fato vc fez esta hipótese e me passou desapercebido. Eu realmente
 me confundi na sua prova. A função G é de fato contínua em I^2? 
  
 Eu conversei sobre esta questão com uns amigos e um deles me deu como
 contra-exemplo a função f(x) = x^3 + x^3*[sin(1/x^2)]^2, se x0, e 0 se
 x=0. (não sei como que ele sacou esta função).  Verificamos que
 f’(0)=0. Verificamos também que f é positiva para x0 e negativa para
 x0, do que deduzimos que não existem x e y que satisfaçam à condicão
 procurada. Com algum algebrismo podemos constatar que em qualquer
 vizinhança de 0 f’ assume valores positivos e negativos, de modo que
 f’(0)=0 não é ponto extremo de f’. 
  
 Um abraço
 Artur
 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

[Salvador Addas Zanata]

Caro Artur,


Observe que uma hipotese crucial para a provinha abaixo eh que f'(z) nao
seja nem maximo, nem minimo da derivada de f no intervalo. E x^3 tem por
derivada 3x^2, logo o zero nao se aplica ao teorema, pois eh minimo da
derivada da f, qualquer que seja o intervalo que contenha a origem. Acho
que a prova esta correta.


Abraco,

Salvador


On Thu, 6 Feb 2003, Artur Costa Steiner wrote:

  Oi Claudio,
 
  Seja I=[a,b] e z em I.
 
  Defina G(x,y)=(f(x)-f(y))/(x-y) uma funcao de 2 variaveis em
  IxI da seguinte forma:
 
  Se xy, nao ha problema.
 
  Se x=y, G(x,x)=f'(x).
 
 
 
  Eh claro que G eh continua, porque f eh derivavel,  G(x,x)=f'(x) e
  G(x,y)=G(y,x).
 
  Vamos supor que {min f' em I}  f'(z)  {max f' em I}.
 
  Nesse caso existe (x0,y0) e (x1,y1) tais que:
 
  1) G(x0,y0)f'(z)G(x1,y1).
 
  2) x0y0 e x1y1.
 
 
  Una agora os pontos (x0,y0) e (x1,y1) por uma reta. Como essa reta
 nao
  cruza a diagonal, pelo teorema do valor intermediario segue o que
 voce
  quer. O ponto crucial eh garantir que a reta nao cruza a diagonal.
 
 
  Abraco,
 
  Salvador
 
 Há algum engano aí , Salvador. Considere como contra exemplo f(x) = x^3
 no ponto 0. Verificamos facilmente que a condição procurada jamais é
 atendida. Certo?
 
 Um abraço
 Artur
 
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
 =
 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

[Cláudio \(Prática\)]

Sim. Até agora só fiz metade de cada um. Também gostei do seu exemplo de
f(x) = raiz(x) em [0,1].
Continue mandando...

Um abraço,
Claudio.

- Original Message -
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 06, 2003 11:20 PM
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável


 -Original Message-
 From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
 [EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Cláudio (Prática)
 Sent: Wednesday, February 05, 2003 12:40 PM
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

 Caro Artur:

 Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas
dos
 se
 e somente se) eu me deparei com uma dúvida:

 Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I.
 É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que:
 f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ?
 Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio.

Não, não é verdade. Considere, por exemplo, f dada por f(x) = x^3, no
ponto z=0 . É fácil verificar que se y0x, então f(x)-f(y)]/(x-y)0 e
jamais se iguala a f'(0)=0. Observe que, para termos uma recíproca do
teorema do valor médio, deveríamos ter z entre  x e y.

PS. Vc achou interessantes os problemas que eu propus?
Abraços
Artur


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

[Salvador Addas Zanata]

Caro Claudio,


Observe a minha mensagem. Basta que a derivada de f em z nao seja nem
maximo, nem minimo da derivada de f em I para que o que voce quer valha.

x^3 tem derivada 3x^2, cujo minimo global eh no zero, assim qualquer
intervalo que contenha o zero nao pode ter essa propriedade.


Abraco,

Salvador



On Fri, 7 Feb 2003, Cláudio (Prática) wrote:

 Sim. Até agora só fiz metade de cada um. Também gostei do seu exemplo de
 f(x) = raiz(x) em [0,1].
 Continue mandando...
 
 Um abraço,
 Claudio.
 
 - Original Message -
 From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Sent: Thursday, February 06, 2003 11:20 PM
 Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável
 
 
  -Original Message-
  From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
  [EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Cláudio (Prática)
  Sent: Wednesday, February 05, 2003 12:40 PM
  To: [EMAIL PROTECTED]
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável
 
  Caro Artur:
 
  Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas
 dos
  se
  e somente se) eu me deparei com uma dúvida:
 
  Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I.
  É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que:
  f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ?
  Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio.
 
 Não, não é verdade. Considere, por exemplo, f dada por f(x) = x^3, no
 ponto z=0 . É fácil verificar que se y0x, então f(x)-f(y)]/(x-y)0 e
 jamais se iguala a f'(0)=0. Observe que, para termos uma recíproca do
 teorema do valor médio, deveríamos ter z entre  x e y.
 
 PS. Vc achou interessantes os problemas que eu propus?
 Abraços
 Artur
 
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
 =
 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

[Artur Costa Steiner]

 Caro Artur,

 

 

 Observe que uma hipotese crucial para a provinha abaixo eh que
f'(z) nao

 seja nem maximo, nem minimo da derivada de f no intervalo. E x^3
tem por

 derivada 3x^2, logo o zero nao se aplica ao teorema, pois eh
minimo da

 derivada da f, qualquer que seja o intervalo que contenha a
origem. Acho

 que a prova esta correta.

 

 

 Abraco,

 

 Salvador



OK, de
fato vc fez esta hipótese e me passou desapercebido. Eu realmente me confundi na
sua prova. A função G é de fato contínua em I^2? 



Eu
conversei sobre esta questão com uns amigos e um deles me deu como
contra-exemplo a função f(x) = x^3 + x^3*[sin(1/x^2)]^2, se x0, e 0 se x=0. (não sei
como que ele sacou esta função). 
Verificamos que f(0)=0. Verificamos também que f é positiva para
x0 e negativa para x0, do que deduzimos que não existem x e y que
satisfaçam à condicão procurada. Com algum algebrismo podemos constatar que em
qualquer vizinhança de 0 f assume valores positivos e negativos, de modo
que f(0)=0 não é ponto extremo de f. 



Um abraço

Artur

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

[Artur Costa Steiner]

 Oi Claudio,

 Seja I=[a,b] e z em I.

 Defina G(x,y)=(f(x)-f(y))/(x-y) uma funcao de 2 variaveis em
 IxI da seguinte forma:

 Se xy, nao ha problema.

 Se x=y, G(x,x)=f'(x).



 Eh claro que G eh continua, porque f eh derivavel,  G(x,x)=f'(x) e
 G(x,y)=G(y,x).

 Vamos supor que {min f' em I}  f'(z)  {max f' em I}.

 Nesse caso existe (x0,y0) e (x1,y1) tais que:

 1) G(x0,y0)f'(z)G(x1,y1).

 2) x0y0 e x1y1.


 Una agora os pontos (x0,y0) e (x1,y1) por uma reta. Como essa reta
nao
 cruza a diagonal, pelo teorema do valor intermediario segue o que
voce
 quer. O ponto crucial eh garantir que a reta nao cruza a diagonal.


 Abraco,

 Salvador

Há algum engano aí , Salvador. Considere como contra exemplo f(x) = x^3
no ponto 0. Verificamos facilmente que a condição procurada jamais é
atendida. Certo?

Um abraço
Artur


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

[Artur Costa Steiner]

 -Original Message-
 From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
 [EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Cláudio (Prática)
 Sent: Wednesday, February 05, 2003 12:40 PM
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

 Caro Artur:

 Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas
dos
 se
 e somente se) eu me deparei com uma dúvida:

 Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I.
 É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que:
 f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ?
 Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio.

Não, não é verdade. Considere, por exemplo, f dada por f(x) = x^3, no
ponto z=0 . É fácil verificar que se y0x, então f(x)-f(y)]/(x-y)0 e
jamais se iguala a f'(0)=0. Observe que, para termos uma recíproca do
teorema do valor médio, deveríamos ter z entre  x e y.

PS. Vc achou interessantes os problemas que eu propus?
Abraços
Artur


attachment: winmail.dat

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função de Escolha Canônica

[Artur Costa Steiner]

O axioma da escolha fala que, p/ qq família não-vazia F de conjuntos
não-vazios, vc pode fazer uma seleção contendo exatamente um elemento
de
cada elemento de F. I.e., existe uma função c:F-UF tq c(A) é unitário,
p/
todo A em F. Essa c é a tal função de escolha.
O canônica deve ser se vc já tem a seleção que o axioma da escolha
dá, e
c(A) é exatamente o elemento que foi selecionado em A. Espero que seja
isso
q vc quer...
David

Obrigado David.
Acho que é de fato algo neste sentido, mas se é realmente, não sei
dizer.
Abraços
Artur 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=