Re: [obm-l] Conjuntos

[Pedro José]

Boa tarde!
Vou considerar 3 números mesmo.
3, 3, 3 é um número só repetido três  vezes.
Os três números obrigatoriamente estarão em P.A. Então usando a menor razão
r <>0;
temos r=1
{1,2,3} {2,3,4}...{2020, 2021, 2022}
{2021, 2022, 2023} temos 2021 conjuntos para r=1.
É fácil observar que para r=2 o último
conjunto será  {2019, 2021, 2023} assim sendo teremos 2019 conjuntos.
E a cada unidade que aumentamos em r diminuímos em 2 o número de conjuntos
Até que chegaremos a um conjunto apenas. {1, 1012, 2023}
Logo o número de conjuntos N será a soma de:
N= 1 + 3 +5+..2019+2021, que é uma PA de razão 2.
seja n o número de termos da PA
n=(2021-1)/2+1=1011
N=(1+2021)*1011/2=1.022.121

Cordialmente,
PJMS


Em ter., 8 de ago. de 2023 19:53, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> mande uma vez somente.
>
> Em ter, 8 de ago de 2023 12:33, Jamil Silva 
> escreveu:
>
>> Quantos conjuntos de três números inteiros positivos menores ou iguais a
>> 2023 contêm a média aritmética de seus elementos ?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Conjuntos

[Anderson Torres]

mande uma vez somente.

Em ter, 8 de ago de 2023 12:33, Jamil Silva 
escreveu:

> Quantos conjuntos de três números inteiros positivos menores ou iguais a
> 2023 contêm a média aritmética de seus elementos ?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Conjuntos

[Jamil Silva]

Quantos conjuntos de três números inteiros positivos menores ou iguais a 2023 
contêm a média aritmética de seus elementos ?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Conjuntos

[Prof. Douglas Oliveira]

Olá amigos mestres, podem me indicar bons livros de conjuntos, que trabalham
com álgebra dos conjuntos de todas as formas possíveis, por exemplo:
Trabalham com desigualdade de Bon Ferroni, mapas de Karnaugh,
relações com 4 conjuntos e etc.

Att
Prof Douglas Oliveira

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Conjuntos

[Pacini Bores]

 

10% 

Em 26/09/2021 3:47, marcone augusto araújo borges escreveu: 

> Uma pessoa cética em relação às boas intenções da humanidade acredita que 70% 
> dos homens são violentos, 70% são desonestos e 70% são intolerantes. Se essa 
> pessoa estiver certa, em uma amostra ideal de 100 homens, quantos são, no 
> mínimo, simultaneamente desonestos, violentos e intolerantes? 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

 
-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Conjuntos

[marcone augusto araújo borges]

Uma pessoa cética em relação às boas intenções da humanidade acredita que 70% 
dos homens são violentos, 70% são desonestos e 70% são intolerantes. Se essa 
pessoa estiver certa, em uma amostra ideal de 100 homens, quantos são, no 
mínimo, simultaneamente desonestos, violentos e intolerantes?

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos não enumeráveis

[Anderson Torres]

Em seg., 15 de jun. de 2020 às 23:31, Israel Meireles Chrisostomo
 escreveu:
>
> usa a bijeção da tangente no intervalo 0 a pi sobre 2

Sim, e o que isso implica? Que a tangente mapeia esse intervalo nos
reais, logo ambos terão o mesmo tamanho - mas onde você demonstrou que
um desses não é enumerável? No máximo você demonstrou que um certo
conjunto tem bijeção com um subconjunto de si mesmo - que é meio que
uma definição de infinito.

>
> Em seg., 15 de jun. de 2020 às 21:38, Anderson Torres 
>  escreveu:
>>
>> Não entendi a última parte.
>>
>> Em dom., 14 de jun. de 2020 Ã s 18:24, Israel Meireles Chrisostomo
>>  escreveu:
>> >
>> >
>> > https://www.overleaf.com/read/cwxhsnctfxcf
>> > Nesse link eu demostro trigonmetricamente que o conjunto dos irracionais 
>> > é não enumerável.
>> > --
>> > Israel Meireles Chrisostomo
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>
>
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos não enumeráveis

[Israel Meireles Chrisostomo]

usa a bijeção da tangente no intervalo 0 a pi sobre 2

Em seg., 15 de jun. de 2020 às 21:38, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Não entendi a última parte.
>
> Em dom., 14 de jun. de 2020 Ã s 18:24, Israel Meireles Chrisostomo
>  escreveu:
> >
> >
> > https://www.overleaf.com/read/cwxhsnctfxcf
> > Nesse link eu demostro trigonmetricamente que o conjunto dos irracionais
> é não enumerável.
> > --
> > Israel Meireles Chrisostomo
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>


-- 
Israel Meireles Chrisostomo

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos não enumeráveis

[Anderson Torres]

Não entendi a última parte.

Em dom., 14 de jun. de 2020 às 18:24, Israel Meireles Chrisostomo
 escreveu:
>
>
> https://www.overleaf.com/read/cwxhsnctfxcf
> Nesse link eu demostro trigonmetricamente que o conjunto dos irracionais é 
> não enumerável.
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Conjuntos não enumeráveis

[Israel Meireles Chrisostomo]

https://www.overleaf.com/read/cwxhsnctfxcf


Nesse link eu demostro trigonmetricamente que o conjunto dos irracionais é
não enumerável.
-- 
Israel Meireles Chrisostomo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Conjuntos

[Vanderlei Nemitz]

Matheus, como não pensei nisso?
hehehehe

Muito obrigado, bela solução!

Em sáb., 28 de mar. de 2020 às 10:48, Matheus Henrique <
matheushss2...@gmail.com> escreveu:

> Note que a soma dos elementos do conjunto é igual a 30*31/2=465
> 465-232=233,
> Denotemos por A um subconjunto de {1,2,3...30} e por A' os complemento
> desse subconjunto,isto é,os elementos que não fazem parte de A.
> Chamemos S(A) a soma dos elementos do conjunto A.
> É fácil ver que S(A)+S(A')=435.
> Mas se S(A)>232,logo,S(A')<=232,desse maneira,para conjunto o qual
> S(A)>232,existe um conjunto A',tal que S(A')<=232.
> Conclue-se assim, que o número de elementos que satisfazem o enunciado é
> igual à metade do total de subconjuntos,como existem 2^30 subconjuntos,há
> 2^29 conjuntos que satisfazem o enunciado.
>
> Em sáb., 28 de mar. de 2020 às 07:42, Vanderlei Nemitz <
> vanderma...@gmail.com> escreveu:
>
>> Bom dia, pessoal!
>> Alguém teria uma ideia bacana para esse problema?
>> Muito obrigado!
>>
>> *Quantos subconjuntos do conjunto {1, 2, 3, ..., 30} têm a propriedade de
>> que a soma de seus elementos seja maior do que 232?*
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Conjuntos

[Matheus Henrique]

Note que a soma dos elementos do conjunto é igual a 30*31/2=465
465-232=233,
Denotemos por A um subconjunto de {1,2,3...30} e por A' os complemento
desse subconjunto,isto é,os elementos que não fazem parte de A.
Chamemos S(A) a soma dos elementos do conjunto A.
É fácil ver que S(A)+S(A')=435.
Mas se S(A)>232,logo,S(A')<=232,desse maneira,para conjunto o qual
S(A)>232,existe um conjunto A',tal que S(A')<=232.
Conclue-se assim, que o número de elementos que satisfazem o enunciado é
igual à metade do total de subconjuntos,como existem 2^30 subconjuntos,há
2^29 conjuntos que satisfazem o enunciado.

Em sáb., 28 de mar. de 2020 às 07:42, Vanderlei Nemitz <
vanderma...@gmail.com> escreveu:

> Bom dia, pessoal!
> Alguém teria uma ideia bacana para esse problema?
> Muito obrigado!
>
> *Quantos subconjuntos do conjunto {1, 2, 3, ..., 30} têm a propriedade de
> que a soma de seus elementos seja maior do que 232?*
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Conjuntos

[Vanderlei Nemitz]

Bom dia, pessoal!
Alguém teria uma ideia bacana para esse problema?
Muito obrigado!

*Quantos subconjuntos do conjunto {1, 2, 3, ..., 30} têm a propriedade de
que a soma de seus elementos seja maior do que 232?*

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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Re: [obm-l] Conjuntos

[Ralph Teixeira]

Vou escrever n(A)=a e n(B)=b para facilitar. Voce sabe que n(P(A))=2^a e
n(P(B))=2^b, sim?

Como A e B sao disjuntos, entao P(A) e P(B) sao disjuntos EXCETO pelo
conjunto vazio que aparece em ambos. Assim:
n(P(A) U P(B))=n(P(A)) + n(P(B)) - 1 = 2^a+2^b-1

Juntando tudo, temos:
2^a+2^b=2^(a+b)
2^(a+b)-2^a-2^b=0
(2^a-1)(2^b-1)=1
Como sao inteiros:
2^a-1=2^b-1=1 (pois -1 cada nao seria possivel)
a=b=1
a-b=0

Ou seja, se eu nao errei bobagem, a resposta eh (a).


On Sat, Aug 3, 2019 at 5:07 PM Joao Breno  wrote:

> Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não vazios, tais que
> n(P(A) ∪ P(B)) + 1 = n(P(A∪B)). Então, a diferença n(A) - n(B) pode assumir:
>
> a)um unico valor
>
> b)dois valores distintos
>
> c)tres valores distintos
>
> d)quatro valores distintos
>
> e)mais que quatro valores distintos
>
> OBS: P(A) é o conjunto de partes de A.
>
> Alquem pode me ajudar nessa questao?
> Att. Breno.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Conjuntos

[Joao Breno]

Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não vazios, tais que
n(P(A) ∪ P(B)) + 1 = n(P(A∪B)). Então, a diferença n(A) - n(B) pode assumir:

a)um unico valor

b)dois valores distintos

c)tres valores distintos

d)quatro valores distintos

e)mais que quatro valores distintos

OBS: P(A) é o conjunto de partes de A.

Alquem pode me ajudar nessa questao?
Att. Breno.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Conjuntos (Petrobras)

[Marcelo Roseira]

Dos 1.000 alunos de uma escola, 90% possuem smartphones, 70% possuem notebooks 
e 55% possuem tablets. Qual o menor número de alunos que possui os 3 tipos de 
eletrônicos?
(A) 100(B) 150(C) 200(D) 250(E) 300
Forte abraço a todos.




-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Conjuntos - Diagrama de Venn

[Roger]

Olá, pessoal.
Boa noite. Peço gentilmente, caso alguém consiga, a resolução dela
completa.
Obrigado.

*Questão - Conjuntos*

As quartas de final A e B do campeonato brasileiro foram realizadas no
sábado às 17:00 hs. As quartas de final C e D foram realizadas no domingo
uma ás 17:00hs e outra às 19:00 hs.

As 4 maiores emissoras de TV transmitiram os jogos. Nenhum jogo ficou sem
transmissão.

Numa enquete entre 80 aficionados, 20 declararam terem assistido ao jogo A,
40 ao jogo B, 30 ao jogo C, 30 ao jogo D, 5 aos jogos B, C e D, 5 a somente
o jogo A, 10 aos jogos B e C, 60 assistiram a pelo menos um dos jogos A, C
e D, 10 aficionados não assistiram a nenhum dos jogos B, C e D.

Responda:

a) Quantos assistiram aos jogos A, C e D?
b) Quantos não assistiram a nenhum jogo?
c) Quantos assistiram somente ao jogo C ou somente ao jogo D?
d) Se os aficionados que assistiram aos jogos A e D são mais que o triplo
dos que assistiram somente ao jogo D, e os aficionados que assistiram
somente ao jogo C são menos que o dobro dos que assistiram somente aos
jogos A e C, quantos assistiram somente ao jogo D ou somente aos jogos A e
C?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Conjuntos

[Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues]

Um grupo de alunos foi visitar dois museus. Sabe-se que 48 foram pelo
menos ao um deles, e que 20% que foram ao museu A também foram ao B, e que
25% dos que foram ao B foram também ao A. Quantos foram aos dois museus.

-- 
Prof Marcus

Re: [obm-l] Conjuntos

[felipe araujo costa]

E ae Marcus.
 
Considera pelo diagrama os conjuntos A e B. Ficando com:
 
x para quem so foi ao A.
 
y para quem so foi ao B.
 
z para a interseçao entre A e B.
 
Se pelo menos 48 foram a um deles, entao sera a soma de todas as regioes ja que 
x, y e z foram no minimo em um dos museus.
Logo:
 
x mais y mais z igual a 48
 
Se 20 porcento foram ao A e tbm ao B essa regiao significa a interseçao entre 
os conjuntos = z
Logo:
 
z igual a 20 porcento de x mais z (numero dos que foram ao A).
 
Se 25 porcento foram em B e tbm emA.
 
z igual a 25 porcento de z mais y.
 
Ficando com o sistema.
 
x+y+z=48
 
z=20/100(x+z)
 
z=25/100(z+y)
 
abraço.
 
 
 
 

Felipe Araujo Costa
E-mail: faraujoco...@yahoo.com.br
faco...@metalmat.ufrj.br



De: Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues marcusaureli...@globo.com
Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
Enviadas: Segunda-feira, 16 de Abril de 2012 11:37
Assunto: [obm-l] Conjuntos


Um grupo de alunos foi visitar dois museus. Sabe-se que 48 foram pelo menos ao 
um deles, e que 20% que foram ao museu A também foram ao B, e que 25% dos que 
foram ao B foram também ao A. Quantos foram aos dois museus.
-- 
Prof Marcus

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2011/4/2 Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe:
 Oi Samuel,

 Na verdade não entendo muito de este tema, e queria te perguntar se os 
 círculos
 no plano são subconjuntos compactos do plano?
Sim, círculos são subconjuntos compactos do plano.

 Se for assim, se me ocurre um exemplo onde não é verdade:
 h(A,C) = h(A,B) + h(B,C)

 suponha que tem tres círculos com os centros colineales (na mesma reta). Nesse
 caso a distancia entre os mais afastados é maior que a soma das distancias 
 entre
 eles e o terceiro:  h(A,C)  h(A,B) + h(B,C)

 Isso está certo ou o exemplo não tem nada a ver com o que se quer demostrar?
Eu não entendi o seu exemplo... Você pode dar os centros dos círculos
(três pontos numa reta) e os respectivos raios? E ajudaria a mim e o
Samuel se você calculasse explicitamente quanto valem cada um dos
h(A,B), h(B,C) e h(A,C).

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil

[Julio César Saldaña]

Oi Samuel e Bernardo, desculpem , acho que eu tinha entendido mal o conceito de
distância.

Só para conferir

Se tenho dos círculos de radio 1, e os centros etão ém (0,0) e (0,3), então a
distância entre eles seria: 5, isso é correto?

Acho que eu tinha interpretado errado e achava que distância nesse exemplo é 1.

Agradeço sua explicação

Abraços

Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Mon, 4 Apr 2011 14:28:00 +0200
Asunto : [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil

2011/4/2 Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe:

Oi Samuel,

Na verdade não entendo muito de este tema, e queria te perguntar se os círculos
no plano são subconjuntos compactos do plano?

Sim, círculos são subconjuntos compactos do plano.


Se for assim, se me ocurre um exemplo onde não é verdade:
h(A,C) = h(A,B) + h(B,C)

suponha que tem tres círculos com os centros colineales (na mesma reta). Nesse
caso a distancia entre os mais afastados é maior que a soma das distancias entre
eles e o terceiro:  h(A,C)  h(A,B) + h(B,C)

Isso está certo ou o exemplo não tem nada a ver com o que se quer demostrar?

Eu não entendi o seu exemplo... Você pode dar os centros dos círculos
(três pontos numa reta) e os respectivos raios? E ajudaria a mim e o
Samuel se você calculasse explicitamente quanto valem cada um dos
h(A,B), h(B,C) e h(A,C).

Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=



__
Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a:
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2011/4/4 Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe:
 Oi Samuel e Bernardo, desculpem , acho que eu tinha entendido mal o conceito 
 de
 distância.
Oi Julio,

 Só para conferir

 Se tenho dos círculos de radio 1, e os centros etão ém (0,0) e (0,3), então a
 distância entre eles seria: 5, isso é correto?

 Acho que eu tinha interpretado errado e achava que distância nesse exemplo é 
 1.

Vamos lá, com calma. A definição, pra começar:

h(A,B) = inf { r , para cada x em A, existe y em B tq d(x,y)  r e
para cada y em B, existe x em A tq d(x,y)  r}

Ou seja, para todo ponto a de A, você tem um ponto b_a (ou seja, que
pode mudar em função de a) em B a distância menor ou igual a h(A,B) (o
problema do inf é que muda os quantificadores), e o mesmo com b em B,
e um ponto a_b em A. (Aqui, você usa que os conjuntos são compactos
para garantir a desigualdade no limite). O melhor é separar a
definição em distância de A até B e distância de B até A, cada uma
sendo uma das metades, e ver que como a gente exige que o r valha
para os dois, então temos que h(A,B) é o máximo dessas duas distâncias
(que não são simétricas, por isso que a gente não as usa)

Se você tem o seu círculo em (0,0) de raio 1 (ele é o meu A), o ponto
mais longe do outro círculo (o B) é (-1,0), mas para todo r  3
existe um ponto (o (2,0) para ser mais exato) que está a uma distância
menor do que r de (-1,0). Os outros pontos (a,b) têm pontos (a+3,b)
correspondentes no outro círculo também, de forma que a distância de
A até B é 3. Como a figura é simétrica, a distância (tal como
definida pelo Samuel) é 3.

Para dar um exemplo um pouco mais interessante, veja que se A =
segmento [0,1] e B = segmento [2,20], a distância de A até B como eu
defini é 2 porque todo ponto em A está a uma distância = a 2 do
[2,20]. Por outro lado, a distância de B até A é 19, porque o ponto
20 está a uma distância de 19 do 1, que é o ponto mais próximo do A.

Agora, de volta ao problema:

Uma forma interessante de ver essa definição da h(A,B) é a seguinte:
defina a distância entre x e A (um conjunto) como a menor distância
entre x e um ponto de A, ou seja, d(x, A) = inf{ d(x,a) / a pertence a
A}. Note que essa distância é sempre realizada quando A é um conjunto
fechado, porque você pode pegar uma seqüência decrescente de
distâncias, e os pontos que as realizam formam uma seqüência em A,
logo qualquer limite está em A, e porque elas estão a uma distância 
constante, isso dá um compacto, donde você pode extrair uma
subseqüência.
Agora, defina d(A - B) = sup{ d(a,B) / a pertence a A} = distância
de A até B, e h(A,B) = max{d(A - B), d(B - A)}. Isso quer dizer que
B inter {vizinhança de espessura r  h(A,B) em volta de A} é não vazio
para todo r, e reciprocamente em A e B. Repare que não é o mesmo que
pedir que B esteja contido na bola em volta de A de raio r. (bola
em volta de A = vizinhança de espessura r = conjunto dos pontos cuja
distância a A é menor do que r).

Agora, para concluir o problema, vai uma dica: use a desigualdade
triangular original, mais o fato que h(A,B)  r te dá um ponto em B
para cada ponto de A, e o mesmo para h(B,C)  s para fazer pontos em
C. E depois dê uma jogada de epsilon/2 e pode partir pro abraço.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil

[Julio César Saldaña]

Oi Samuel,

Na verdade não entendo muito de este tema, e queria te perguntar se os círculos
no plano são subconjuntos compactos do plano?

Se for assim, se me ocurre um exemplo onde não é verdade:
h(A,C) = h(A,B) + h(B,C)

suponha que tem tres círculos com os centros colineales (na mesma reta). Nesse
caso a distancia entre os mais afastados é maior que a soma das distancias entre
eles e o terceiro:  h(A,C)  h(A,B) + h(B,C)

Isso está certo ou o exemplo não tem nada a ver com o que se quer demostrar?


Obrigado


Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Sat, 2 Apr 2011 00:58:01 +
Asunto : [obm-l] conjuntos,  difícil


Seja (M,d) um espaço métrico. Denote por K(M) ao conj. de todos os subconj.

Compactos de M e defina a distância por:


h(A,B) = inf { r , para cada x em A, existe y em B tq d(x,y)  r e para cada y

em B, existe x em A tq d(x,y)  r}


Provar que (K(M) é espaço métrico).

i) h(A,B) = h(B,A)  (consegui fazer).

ii) h(A,B)  0 se A  B  e h(A,A) = 0 (aqui usei o fato de de os conj serem

compactos em um espaço métrico, então Hausdorff, portanto esses conj são fech.)
esse item também consegui fazer.


Agora vem o problemático (para mim) 


iii) h(A,C) = h(A,B) + h(B,C)  para todos A,B,C  pertencenta à K(M).


Queria pedir um socorro nesta última afirmação, não estou conseguindo fazer.

Obrigado. 		 	   		   


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] conjuntos, difícil

[Samuel Wainer]

Seja (M,d) um espaço métrico. Denote por K(M) ao conj. de todos os subconj. 
Compactos de M e defina a distância por:
 
h(A,B) = inf { r , para cada x em A, existe y em B tq d(x,y)  r e para cada y 
em B, existe x em A tq d(x,y)  r}
 
Provar que (K(M) é espaço métrico).
 
 i) h(A,B) = h(B,A)  (consegui fazer).
 
ii) h(A,B)  0 se A  B  e h(A,A) = 0 (aqui usei o fato de de os conj serem 
compactos em um espaço métrico, então Hausdorff, portanto esses conj são fech.) 
 esse item também consegui fazer.
 
Agora vem o problemático (para mim) 
 
iii) h(A,C) = h(A,B) + h(B,C)  para todos A,B,C  pertencenta à K(M).
 
 
Queria pedir um socorro nesta última afirmação, não estou conseguindo fazer.
 
Obrigado. 

[obm-l] Conjuntos Enumeráveis

[Luiz Neto Neto]

Sejam A1,An conjuntos enumeráveis, então A1xxAn é enumerável(Use 
Indução)



  

[obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos Enumeráveis

[Johann Dirichlet]

A ideia não é difícil, e o mais importante é o caso 2: X x Yé
enumerável se X,Y são.
Faz assim: os elementos de X são x1,x2,... e os de Y são y1,y2,y3...
(ambos são enumeráveis, então eu posso colocar índices)

Então podemos fazer assim:
Para cada natural N = 1,2,3,4,5...
liste os pares (xi,yj) tal que i+j=N

Teremos algo assim:
(x1,y1)
(x1,y2),(x2,y1)
(x1,y3),(x2,y2),(x3,y1)
E por aí vai...

Aí, basta aplicar o caso n=2 fazendo X=A1 x A2 x ... x An e Y=A(n+1)

Sem indução é mais fácil ainda: basta utilizar o algoritmo acima.

Em 30/10/10, Luiz Neto Netouizn...@yahoo.com.br escreveu:
 Sejam A1,An conjuntos enumeráveis, então A1xxAn é enumerável(Use
 Indução)






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[obm-l] Conjuntos enumeráveis

[Leandro Lima]

Caros,

peço ajuda para resolver os seguintes exercícios do livro Curso de Análise - 
Vol. 1 - do prof. Elon L. Lima:

1)

a)  Se X é finito e Y é enumerável, então F(X;Y) é enumerável. (F(X;Y) é o 
conjunto de todas as funções f: X - Y.)

b) Para cada função f : N - N seja A_f = {n pertencente a N; f(n) diferente de 
1}.

Prove que o conjunto X das funções f : N - N tais que A_f é finito é um 
conjunto enumerável.


2) Prove que o conjunto das sequências crescentes (n1  n2  n3  ...) de 
números naturais não é enumerável.


 
Desde já, 

grato!
 
  

 Leandro Lima. 

Re: [obm-l] Conjuntos

[Emanuel Valente]

Na verdade ele pede pra achar o ínfimo, supremo, máximo e mínimo. Vou
postar aqui o exercício:

http://files.myopera.com/epaduel/tmp/ex-calc1.jpg


2010/3/7 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com:
 2010/3/7 Emanuel Valente emanuelvale...@gmail.com:
 Pessoal, vocês poderiam explicitar quais são esses dois conjuntos? Tá
 complicado traduzir essa notação!
 http://files.myopera.com/epaduel/tmp/tmp11.jpg (não é vírus, podem clicar!)
 Acho que você poderia ter escrito direto aqui esses dois conjuntos,
 não tem nada de muito especial !
 Vou tentar fazer o primeiro, mas acho que o importante é você
 construir passo a passo o que a definição dos conjuntos diz.

 A = {x real tal que |x| = m + 1/n, para m e n inteiros estritamente positivos}

 Repare que já de ter trocado a notação matemática por palavras é um
 passo importante.
 1) Note que A é simétrico, ou seja, se x está em A, -x também.
 2) Note que A é a reunião de todos os A_m, onde A_m = {x real tal que
 |x| = m + 1/n, para n = 1,2,3, ...}
 3) Escreva explicitamente os termos positivos do A_1 (ajuda muito!): 1
 + 1, 1 + 1/2, 1 + 1/3, 1 + 1/4, ...
 4) Portanto, o A_1 é {1 + 1/N} união {-1 - 1/N}
 5) Os A_m são apenas translações do A_1 (mas em sentidos diferentes
 para os positivos e negativos, parar continuar simétrico)

 --
 Emanuel

 O que eu acho mais estranho o que se pede para esses conjuntos. É
 realmente explicite ? Acho muito difícil você ser mais explícito do
 que as definições dadas. Não é algo do tipo calcule a aderência ?
 Nesse caso, é muito útil você separar em A_m (ou A_n) para fazer por
 partes (mas atenção, tem que provar que você não perdeu nenhum
 ponto de aderência de todos os A_m)

 Abraços,
 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

 =
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 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =




-- 
Emanuel Valente

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Re: [obm-l] Conjuntos

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2010/3/7 Emanuel Valente emanuelvale...@gmail.com:
 Pessoal, vocês poderiam explicitar quais são esses dois conjuntos? Tá
 complicado traduzir essa notação!
 http://files.myopera.com/epaduel/tmp/tmp11.jpg (não é vírus, podem clicar!)
Acho que você poderia ter escrito direto aqui esses dois conjuntos,
não tem nada de muito especial !
Vou tentar fazer o primeiro, mas acho que o importante é você
construir passo a passo o que a definição dos conjuntos diz.

A = {x real tal que |x| = m + 1/n, para m e n inteiros estritamente positivos}

Repare que já de ter trocado a notação matemática por palavras é um
passo importante.
1) Note que A é simétrico, ou seja, se x está em A, -x também.
2) Note que A é a reunião de todos os A_m, onde A_m = {x real tal que
|x| = m + 1/n, para n = 1,2,3, ...}
3) Escreva explicitamente os termos positivos do A_1 (ajuda muito!): 1
+ 1, 1 + 1/2, 1 + 1/3, 1 + 1/4, ...
4) Portanto, o A_1 é {1 + 1/N} união {-1 - 1/N}
5) Os A_m são apenas translações do A_1 (mas em sentidos diferentes
para os positivos e negativos, parar continuar simétrico)

 --
 Emanuel

O que eu acho mais estranho o que se pede para esses conjuntos. É
realmente explicite ? Acho muito difícil você ser mais explícito do
que as definições dadas. Não é algo do tipo calcule a aderência ?
Nesse caso, é muito útil você separar em A_m (ou A_n) para fazer por
partes (mas atenção, tem que provar que você não perdeu nenhum
ponto de aderência de todos os A_m)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!

[Pedro Júnior]

Um ótimo raciocínio
E, claro que ajudou!!!
Não é realmente bom o problema? Encontramos sempre problemas fáceis de
conjuntos, e esse não é tão bobinho..
Abraços colegas
2009/4/3 Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande...@gmail.com

 Pedro.

 Seja P o número de participantes em cada conferência. Então 13P/12 pessoas
 assistiram somente a uma conferênciae (300 - 13P/12) assistiram a mais de
 uma. Sabendo que as três conferências foram assistidas pelo mesmo número de
 pessoas, a conferência com o maior número de pessoas dentre as (300 -
 13P/12) que assistiram mais de uma conferência será a terceira, que tem o
 menor número de pessoas que assistiram somente a ela. Assim, o número de
 pessoas na terceira conferência, P, será no máximo igual a P/4 + (300 -
 13P/12).

 Resolvendo a equação:

 P/4 + (300 - 13P/12) = P

 vem P = 163,636363...

 Então P  163,63 e pelo fato de 13P/12 ser um número inteiro positivo, P é
 múltiplo de 12.

 Ora, o maior múltiplo de 12 menor que 163,6363.. é 156.

 Espero ter ajudado.

 Abraços.

 Hugo.

 2009/4/2 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com

 Ok, Alex, aora imagine você em um concurso onde terás em torno de 3,5 min
 por questões! Então, quando postei tal problema na lista esperei que fosse
 de interesse geral dicutir melhores saídas para resolver problemas, mas acho
 que a turma não leu tal questão, pois inicialmente parece um probleminha
 bobo de conjuntos, quando de fato não é!!!
 Se a banca elaboradoa do concurso colocou sabendo da média de tempo que o
 candidato tem por questão deve ter um caminho manífico por aí
 Vamos esperar e ver se alguém com mais experiância que nós dois
 colabora...
 Deixo aqui meus sinceros agradecimentos pela sua engenhosa colaboração
 Abraços!!!

 2009/3/26 Alex pereira Bezerra alexmatematica1...@gmail.com



 Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do
 enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas ( 
 *P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na 
 figura
 acima:

 P/2 + x + y + t = P
 P/3 + x + y + z = P
 P/4 + x + z + t = P

 Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever
 também:

 P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300

 Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima
 e arrumando, fica:

 x + y + t = P/2
 x + y + z = 2P/3
 x + z + t = 3P/4
 x + y + z + t = 300 – 13P/12

 Substituindo o valor de *x +  y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t*= 
 300 – 13P/12, fica:

 P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12
 Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t
 = 300 – 13P/12, fica:
 2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12

 Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t*= 
 300 – 13P/12, fica:
 3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12

 Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação
 x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem:

 x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12
 Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem:
 x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12
 x + 600 = 49P/12
 x = 49P/12 – 600

 Em resumo:
 x = 49P/12 – 600
 y = 300 – 22P/12
 z = 300 – 19P/12
 t = 300 – 21P/12

 Ora, como x, y, z *e* t  referem-se a quantidade de pessoas, serão
 necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x  0, y  0,
 z  0 *e* t  0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima,
 sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja,
 para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um
 múltiplo de 12.

 Então poderemos escrever:
 49P/12 – 600  0  , logo,  49P/12  600 , logo, 49P  7200 , logo, P 
 7200/49 e, portanto P  146,93

 Analogamente,
 300 – 22P/12  0 , logo, 300  22P/12  , logo,  22P/12  300  , logo, 22P
  3600 e, portanto P  163,63

 E, também,
 300 – 19P/12  0 , logo, 300  19P/12  , logo,  19P/12  300  , logo,   19P
  3600 e, portanto P  189,47

 E, finalmente,
 300 – 21P/12  0  , logo,  300  21P/12 , logo,  21P/12  300  , logo,
 21P  3600  , e , portanto P  171,42

 Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender
 simultaneamente às desigualdades P  146,93  e  P  163,63  e
 P  189,47  e P  171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de
 12, maior do que 146,93 e menor do que 163,63.
 A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é:
 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160,
 161, 162 , 163.
 Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do
 problema, ou seja, a alternativa correta é a de letra C.

Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!

[Alex pereira Bezerra]

valeu Pedro é realmente uma questão atipica de conjuntos, e o tempo é um
fator importante demais, e a solução do Hugo foi deveras legal.
Abraços


Em 02/04/09, Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com escreveu:

 Ok, Alex, aora imagine você em um concurso onde terás em torno de 3,5 min
 por questões! Então, quando postei tal problema na lista esperei que fosse
 de interesse geral dicutir melhores saídas para resolver problemas, mas acho
 que a turma não leu tal questão, pois inicialmente parece um probleminha
 bobo de conjuntos, quando de fato não é!!!
 Se a banca elaboradoa do concurso colocou sabendo da média de tempo que o
 candidato tem por questão deve ter um caminho manífico por aí
 Vamos esperar e ver se alguém com mais experiância que nós dois colabora...
 Deixo aqui meus sinceros agradecimentos pela sua engenhosa colaboração
 Abraços!!!

 2009/3/26 Alex pereira Bezerra alexmatematica1...@gmail.com



 Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do
 enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas ( 
 *P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na figura
 acima:

 P/2 + x + y + t = P
 P/3 + x + y + z = P
 P/4 + x + z + t = P

 Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever
 também:

 P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300

 Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima e
 arrumando, fica:

 x + y + t = P/2
 x + y + z = 2P/3
 x + z + t = 3P/4
 x + y + z + t = 300 – 13P/12

 Substituindo o valor de *x +  y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t* =
 300 – 13P/12, fica:

 P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12
 Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t =
 300 – 13P/12, fica:
 2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12

 Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t* =
 300 – 13P/12, fica:
 3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12

 Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação
 x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem:

 x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12
 Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem:
 x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12
 x + 600 = 49P/12
 x = 49P/12 – 600

 Em resumo:
 x = 49P/12 – 600
 y = 300 – 22P/12
 z = 300 – 19P/12
 t = 300 – 21P/12

 Ora, como x, y, z *e* t  referem-se a quantidade de pessoas, serão
 necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x  0, y  0,
 z  0 *e* t  0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima,
 sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja,
 para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um
 múltiplo de 12.

 Então poderemos escrever:
 49P/12 – 600  0  , logo,  49P/12  600 , logo, 49P  7200 , logo, P 
 7200/49 e, portanto P  146,93

 Analogamente,
 300 – 22P/12  0 , logo, 300  22P/12  , logo,  22P/12  300  , logo, 22P
  3600 e, portanto P  163,63

 E, também,
 300 – 19P/12  0 , logo, 300  19P/12  , logo,  19P/12  300  , logo,   19P
  3600 e, portanto P  189,47

 E, finalmente,
 300 – 21P/12  0  , logo,  300  21P/12 , logo,  21P/12  300  , logo,
 21P  3600  , e , portanto P  171,42

 Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender
 simultaneamente às desigualdades P  146,93  e  P  163,63  e
 P  189,47  e P  171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de 12,
 maior do que 146,93 e menor do que 163,63.
 A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é:
 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160,
 161, 162 , 163.
 Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do
 problema, ou seja, a alternativa correta é a de letra C.

Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!

[Hugo Fernando Marques Fernandes]

Pedro.

Seja P o número de participantes em cada conferência. Então 13P/12 pessoas
assistiram somente a uma conferênciae (300 - 13P/12) assistiram a mais de
uma. Sabendo que as três conferências foram assistidas pelo mesmo número de
pessoas, a conferência com o maior número de pessoas dentre as (300 -
13P/12) que assistiram mais de uma conferência será a terceira, que tem o
menor número de pessoas que assistiram somente a ela. Assim, o número de
pessoas na terceira conferência, P, será no máximo igual a P/4 + (300 -
13P/12).

Resolvendo a equação:

P/4 + (300 - 13P/12) = P

vem P = 163,636363...

Então P  163,63 e pelo fato de 13P/12 ser um número inteiro positivo, P é
múltiplo de 12.

Ora, o maior múltiplo de 12 menor que 163,6363.. é 156.

Espero ter ajudado.

Abraços.

Hugo.

2009/4/2 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com

 Ok, Alex, aora imagine você em um concurso onde terás em torno de 3,5 min
 por questões! Então, quando postei tal problema na lista esperei que fosse
 de interesse geral dicutir melhores saídas para resolver problemas, mas acho
 que a turma não leu tal questão, pois inicialmente parece um probleminha
 bobo de conjuntos, quando de fato não é!!!
 Se a banca elaboradoa do concurso colocou sabendo da média de tempo que o
 candidato tem por questão deve ter um caminho manífico por aí
 Vamos esperar e ver se alguém com mais experiância que nós dois colabora...
 Deixo aqui meus sinceros agradecimentos pela sua engenhosa colaboração
 Abraços!!!

 2009/3/26 Alex pereira Bezerra alexmatematica1...@gmail.com



 Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do
 enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas ( 
 *P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na figura
 acima:

 P/2 + x + y + t = P
 P/3 + x + y + z = P
 P/4 + x + z + t = P

 Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever
 também:

 P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300

 Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima e
 arrumando, fica:

 x + y + t = P/2
 x + y + z = 2P/3
 x + z + t = 3P/4
 x + y + z + t = 300 – 13P/12

 Substituindo o valor de *x +  y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t* =
 300 – 13P/12, fica:

 P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12
 Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t =
 300 – 13P/12, fica:
 2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12

 Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t* =
 300 – 13P/12, fica:
 3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12

 Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação
 x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem:

 x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12
 Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem:
 x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12
 x + 600 = 49P/12
 x = 49P/12 – 600

 Em resumo:
 x = 49P/12 – 600
 y = 300 – 22P/12
 z = 300 – 19P/12
 t = 300 – 21P/12

 Ora, como x, y, z *e* t  referem-se a quantidade de pessoas, serão
 necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x  0, y  0,
 z  0 *e* t  0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima,
 sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja,
 para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um
 múltiplo de 12.

 Então poderemos escrever:
 49P/12 – 600  0  , logo,  49P/12  600 , logo, 49P  7200 , logo, P 
 7200/49 e, portanto P  146,93

 Analogamente,
 300 – 22P/12  0 , logo, 300  22P/12  , logo,  22P/12  300  , logo, 22P
  3600 e, portanto P  163,63

 E, também,
 300 – 19P/12  0 , logo, 300  19P/12  , logo,  19P/12  300  , logo,   19P
  3600 e, portanto P  189,47

 E, finalmente,
 300 – 21P/12  0  , logo,  300  21P/12 , logo,  21P/12  300  , logo,
 21P  3600  , e , portanto P  171,42

 Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender
 simultaneamente às desigualdades P  146,93  e  P  163,63  e
 P  189,47  e P  171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de 12,
 maior do que 146,93 e menor do que 163,63.
 A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é:
 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160,
 161, 162 , 163.
 Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do
 problema, ou seja, a alternativa correta é a de letra C.

Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!

[Pedro Júnior]

Ok, Alex, aora imagine você em um concurso onde terás em torno de 3,5 min
por questões! Então, quando postei tal problema na lista esperei que fosse
de interesse geral dicutir melhores saídas para resolver problemas, mas acho
que a turma não leu tal questão, pois inicialmente parece um probleminha
bobo de conjuntos, quando de fato não é!!!
Se a banca elaboradoa do concurso colocou sabendo da média de tempo que o
candidato tem por questão deve ter um caminho manífico por aí
Vamos esperar e ver se alguém com mais experiância que nós dois colabora...
Deixo aqui meus sinceros agradecimentos pela sua engenhosa colaboração
Abraços!!!

2009/3/26 Alex pereira Bezerra alexmatematica1...@gmail.com



 Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do
 enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas ( 
 *P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na figura
 acima:

 P/2 + x + y + t = P
 P/3 + x + y + z = P
 P/4 + x + z + t = P

 Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever
 também:

 P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300

 Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima e
 arrumando, fica:

 x + y + t = P/2
 x + y + z = 2P/3
 x + z + t = 3P/4
 x + y + z + t = 300 – 13P/12

 Substituindo o valor de *x +  y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t* =
 300 – 13P/12, fica:

 P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12
 Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t =
 300 – 13P/12, fica:
 2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12

 Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t* =
 300 – 13P/12, fica:
 3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12

 Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação
 x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem:

 x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12
 Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem:
 x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12
 x + 600 = 49P/12
 x = 49P/12 – 600

 Em resumo:
 x = 49P/12 – 600
 y = 300 – 22P/12
 z = 300 – 19P/12
 t = 300 – 21P/12

 Ora, como x, y, z *e* t  referem-se a quantidade de pessoas, serão
 necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x  0, y  0,
 z  0 *e* t  0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima,
 sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja,
 para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um
 múltiplo de 12.

 Então poderemos escrever:
 49P/12 – 600  0  , logo,  49P/12  600 , logo, 49P  7200 , logo, P 
 7200/49 e, portanto P  146,93

 Analogamente,
 300 – 22P/12  0 , logo, 300  22P/12  , logo,  22P/12  300  , logo, 22P
  3600 e, portanto P  163,63

 E, também,
 300 – 19P/12  0 , logo, 300  19P/12  , logo,  19P/12  300  , logo,   19P
  3600 e, portanto P  189,47

 E, finalmente,
 300 – 21P/12  0  , logo,  300  21P/12 , logo,  21P/12  300  , logo, 21P
  3600  , e , portanto P  171,42

 Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender
 simultaneamente às desigualdades P  146,93  e  P  163,63  e
 P  189,47  e P  171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de 12,
 maior do que 146,93 e menor do que 163,63.
 A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é:
 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160,
 161, 162 , 163.
 Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do
 problema, ou seja, a alternativa correta é a de letra C.

[obm-l] Conjuntos - Problema!!!

[Pedro Júnior]

Esse probleminha foi, como estão vendo da prova de 2008 da universidade Fed.
de Campina rande  - PB
O lance é: como melhor discutir com nossos alunos?

Gabarito (c)

Abraços!!!

(UFCG - 2008) Em um ciclo de três conferências, que ocorreram em
horários distintos, havia sempre o mesmo número de pessoas assistindo
a cada uma delas. Ora, sabe-se que a metade dos que compareceram
à primeira conferência não foi a mais nenhuma outra; um terço dos
que compareceram à segunda conferência assistiu a apenas ela e um
quarto dos que compareceram à terceira conferência não assistiu nem
a primeira nem a segunda. Sabendo ainda que havia um total de 300
pessoas participando do ciclo de conferências, e que cada uma assistiu
a pelo menos uma conferência, o número máximo de pessoas em cada
conferência foi:
(a) 180.
(b) 80
(c) 156
(d) 210
(e) 96.

Re: [obm-l] Conjuntos - Problema!!!

[Alex pereira Bezerra]

Seja P o número de pessoas que compareceram a cada uma das conferências. Do
enunciado da questão e lembrando que o mesmo número de pessoas (
*P*)compareceram às três conferências, poderemos escrever, com base na
figura
acima:

P/2 + x + y + t = P
P/3 + x + y + z = P
P/4 + x + z + t = P

Lembrando que o número total de pessoas é igual a 300, é lícito escrever
também:

P/2 + P/3 + P/4 + x + y + z + t = 300

Efetuando todas as operações indicadas em relação a P nas equações acima e
arrumando, fica:

x + y + t = P/2
x + y + z = 2P/3
x + z + t = 3P/4
x + y + z + t = 300 – 13P/12

Substituindo o valor de *x +  y + t* = P/2 na equação *x + y* + z *+ t* =
300 – 13P/12, fica:

P/2 + z = 300 – 13P/12, de onde vem: z = 300 – 19P/12
Substituindo o valor de *x + y + z* = 2P/3 na equação *x + y + z* *+ *t =
300 – 13P/12, fica:
2P/3 + t = 300 – 13P/12, de onde vem: t = 300 – 21P/12

Substituindo o valor de *x + z + t *= 3P/4 na equação *x* + y *+ z + t* =
300 – 13P/12, fica:
3P/4 + y = 300 – 13P/12, de onde vem: y = 300 – 22P/12

Substituindo os valores encontrados para y, z e t na equação
x + y + z + t = 300 – 13P/12, vem:

x + (300 – 22P/12) + (300 – 19P/12) + (300 – 21P/12) = 300 – 13P/12
Desenvolvendo e simplificando a expressão acima, vem:
x + 900 – 300 = 22P/12 + 19P/12 + 21P/12 – 13P/12
x + 600 = 49P/12
x = 49P/12 – 600

Em resumo:
x = 49P/12 – 600
y = 300 – 22P/12
z = 300 – 19P/12
t = 300 – 21P/12

Ora, como x, y, z *e* t  referem-se a quantidade de pessoas, serão
necessariamente números inteiros e positivos ou seja: x  0, y  0,
z  0 *e* t  0. Observe também que nas expressões de x, y, z e t acima,
sempre aparece o valor P dividido por 12, ou seja,
para que x, y, z e t sejam inteiros, P deverá ser necessariamente um
múltiplo de 12.

Então poderemos escrever:
49P/12 – 600  0  , logo,  49P/12  600 , logo, 49P  7200 , logo, P 
7200/49 e, portanto P  146,93

Analogamente,
300 – 22P/12  0 , logo, 300  22P/12  , logo,  22P/12  300  , logo, 22P 
3600 e, portanto P  163,63

E, também,
300 – 19P/12  0 , logo, 300  19P/12  , logo,  19P/12  300  , logo,   19P
 3600 e, portanto P  189,47

E, finalmente,
300 – 21P/12  0  , logo,  300  21P/12 , logo,  21P/12  300  , logo, 21P 
3600  , e , portanto P  171,42

Logo, o valor de *P* tem que ser inteiro e múltiplo de 12 e atender
simultaneamente às desigualdades P  146,93  e  P  163,63  e
P  189,47  e P  171,42. Então, o valor de P é um número múltiplo de 12,
maior do que 146,93 e menor do que 163,63.
A sucessão de inteiros que satisfazem à segunda condição é:
147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, *156*, 157, 158, 159, 160, 161,
162 , 163.
Destes, o único que é múltiplo de 12 é *156*, que é a resposta do problema,
ou seja, a alternativa correta é a de letra C.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Notação das Partes de (A)

[Bruno França dos Reis]

Sim, ambas as afirmações são verdadeiras, conforme a resposta do Leandro.

{ vazio } contido em P(A) == para todo elemento x de { vazio }, x pertence
a A == vazio pertence a P(A), o que é verdade, para todo conjunto A pela
definição de P(A)

vazio está contido em P(A) == para todo elemento x de vazio, x pertence a
A == verdadeira sempre, independente do que seja A (leia sobre proposições
existenciais e universais com respeito ao conjunto vazio, se esse tema te
interessar; acho que já foi discutido aqui na lista).

Quanto à notação, vc pode tb escrever (embora eu ache menos claro,
dependendo do contexto):
{ { } } contido em P(A); e
{ } contido em P(A)

Bruno


--
Bruno FRANÇA DOS REIS

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e^(pi*i)+1=0


2009/3/17 Marcelo Rodrigues ge...@ibest.com.br

 Legal esta discussão sobre as partes de A. (No lugar do símbolo de vazio eu
 escrevi vazio)

 Voltando sobre a notação seria correto expressar o seguinte:

 1- { vazio } está contido P(A) - esta notação entre chaves vazio está
 correta ?

 2- vazio está contido P(A) - ?

 Abraços, Marcelo

 2009/3/15 Palmerim Soares palmerimsoa...@gmail.com

 Olá amigos da lista,

 Realmente, é preciso sempre pensar no conjunto vazio com muito cuidado e
 não esquecer que apesar de ser vazio, de não ter nada,  ele existe (e pode
 complicar a vida do estudante). Por exemplo, pergunte a qualquer bom aluno
 (ou mesmo a um professor de matemática) se é verdadeira ou falsa a seguinte
 sentença:
 Se A é subconjunto de de B, então A e B não são disjuntos

 Invariavelmente, a resposta é SIM, por que o raciocínio normal é ora, se
 a interseção de dois conjuntos disjuntos é o conjunto vazio, então,  sendo
 dois conjuntos disjuntos, um não pode jamais  ser subconjunto do outro.
 Porém, que dizer de um conjunto A qualquer e o conjunto vazio? Pela
 definição, temos que admitir que eles são disjuntos, já que a interseção
 entre eles é vazia, porém o conjunto vazio é subconjunto de A ! Nesse caso,
 então estaria incorreta a sentença: Se A é subconjunto de de B, então A
 e B não são disjuntos.  Ou seja, é perfeitamentee possível que um conjunto
 seja subconjunto de outro e ainda assim, a interseção entre eles ser vazia!
 Não sei porque nenhuma banca explora essa pegadinha (fica a sugestão...
 :-)

 Abraços
 Palmerim

 Palmerim

 Se dois conjuntos são disjuntos, então
  O conjunto vazio

 2009/3/15 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com

 A está contido em B == para todo elemento a de A, a pertence a B
 A pertence a B == o conjunto B tem o elemento A dentro dele.

 Seja A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {{1, 2, 3}}, D = {{1, 2, 3},
 1, 2, 3}

 Temos que A está contido em B, mas A não pertence a B.
 Entretanto, A pertence a C, mas A não está contido em C.
 Finalmente, A está contido em D (pois os elementos 1, 2 e 3 pertencem a
 D) e também pertence a D (pois o elemento {1,2,3} = A pertence a D).

 Bruno

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 Bruno FRANÇA DOS REIS

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 e^(pi*i)+1=0


 2009/3/15 Arthur Moura art_mo...@hotmail.com

  Como assim possuem significados diferentes? Pode exemplificar?

 Abraço,
 Arthur

  Date: Thu, 12 Mar 2009 00:43:23 -0300
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Notação das Partes de (A)
  From: ralp...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br

 
  Ambas estao corretas. Vazio estah contido em qualquer conjunto,
  inclusive P(A). Vazio nao pertence a *qualquer* conjunto... mas, como
  voce disse, vazio *pertence* a P(A). Ambas corretas, mas significam
  coisas distintas.
 
  Abraco,
  Ralph
 
  2009/3/11 Marcelo Rodrigues ge...@ibest.com.br:
   Olá pessoal boa noite, solucionem para mim uma pequena dúvida em
 conjuntos,
   por favor:
  
   Temos o conjunto A = {1,2}
  
   Partes de A = P(A) = vazio, {1},{2},{1,2}, até aí ok.
  
   O conjunto P(A) possui 4 subconjuntos.
  
   Agora vem a dúvida:
   A afirmação : vazio está contido em P(A) , está correta ? Não seria:
 vazio
   pertence a P(A) ?
  
   Quem tiver um tempinho para dar uma explicaçãozinha nisso, agradeço,
 muito.
  
   Abraços, Marcelo.
  
 
 
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  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Conjuntos: Notaç ão das Partes de (A)

[Arthur Moura]

Como assim possuem significados diferentes? Pode exemplificar?

Abraço,
Arthur

 Date: Thu, 12 Mar 2009 00:43:23 -0300
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Notação das Partes de (A)
 From: ralp...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Ambas estao corretas. Vazio estah contido em qualquer conjunto,
 inclusive P(A). Vazio nao pertence a *qualquer* conjunto... mas, como
 voce disse, vazio *pertence* a P(A). Ambas corretas, mas significam
 coisas distintas.
 
 Abraco,
Ralph
 
 2009/3/11 Marcelo Rodrigues ge...@ibest.com.br:
  Olá pessoal boa noite, solucionem para mim uma pequena dúvida em conjuntos,
  por favor:
 
  Temos o conjunto A = {1,2}
 
  Partes de A = P(A) = vazio, {1},{2},{1,2}, até aí ok.
 
  O conjunto P(A) possui 4 subconjuntos.
 
  Agora vem a dúvida:
  A afirmação : vazio está contido em P(A) , está correta ? Não seria: vazio
  pertence a P(A) ?
 
  Quem tiver um tempinho para dar uma explicaçãozinha nisso, agradeço, muito.
 
  Abraços, Marcelo.
 
 
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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Nota ção das Partes de (A)

[Bruno França dos Reis]

A está contido em B == para todo elemento a de A, a pertence a B
A pertence a B == o conjunto B tem o elemento A dentro dele.

Seja A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {{1, 2, 3}}, D = {{1, 2, 3}, 1,
2, 3}

Temos que A está contido em B, mas A não pertence a B.
Entretanto, A pertence a C, mas A não está contido em C.
Finalmente, A está contido em D (pois os elementos 1, 2 e 3 pertencem a D) e
também pertence a D (pois o elemento {1,2,3} = A pertence a D).

Bruno

--
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2009/3/15 Arthur Moura art_mo...@hotmail.com

  Como assim possuem significados diferentes? Pode exemplificar?

 Abraço,
 Arthur

  Date: Thu, 12 Mar 2009 00:43:23 -0300
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Notação das Partes de (A)
  From: ralp...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br

 
  Ambas estao corretas. Vazio estah contido em qualquer conjunto,
  inclusive P(A). Vazio nao pertence a *qualquer* conjunto... mas, como
  voce disse, vazio *pertence* a P(A). Ambas corretas, mas significam
  coisas distintas.
 
  Abraco,
  Ralph
 
  2009/3/11 Marcelo Rodrigues ge...@ibest.com.br:
   Olá pessoal boa noite, solucionem para mim uma pequena dúvida em
 conjuntos,
   por favor:
  
   Temos o conjunto A = {1,2}
  
   Partes de A = P(A) = vazio, {1},{2},{1,2}, até aí ok.
  
   O conjunto P(A) possui 4 subconjuntos.
  
   Agora vem a dúvida:
   A afirmação : vazio está contido em P(A) , está correta ? Não seria:
 vazio
   pertence a P(A) ?
  
   Quem tiver um tempinho para dar uma explicaçãozinha nisso, agradeço,
 muito.
  
   Abraços, Marcelo.
  
 
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[obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Notação das Partes de (A)

[Ralph Teixeira]

Ambas estao corretas. Vazio estah contido em qualquer conjunto,
inclusive P(A). Vazio nao pertence a *qualquer* conjunto... mas, como
voce disse, vazio *pertence* a P(A). Ambas corretas, mas significam
coisas distintas.

Abraco,
   Ralph

2009/3/11 Marcelo Rodrigues ge...@ibest.com.br:
 Olá pessoal boa noite, solucionem para mim uma pequena dúvida em conjuntos,
 por favor:

 Temos o conjunto A = {1,2}

 Partes de A = P(A) = vazio, {1},{2},{1,2}, até aí ok.

 O conjunto P(A) possui 4 subconjuntos.

 Agora vem a dúvida:
 A afirmação : vazio está contido em P(A) , está correta ? Não seria: vazio
 pertence a P(A) ?

 Quem tiver um tempinho para dar uma explicaçãozinha nisso, agradeço, muito.

 Abraços, Marcelo.


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[obm-l] Conjuntos: Notação das Partes de (A)

[Marcelo Rodrigues]

Olá pessoal boa noite, solucionem para mim uma pequena dúvida em conjuntos,
por favor:

Temos o conjunto A = {1,2}

Partes de A = P(A) = vazio, {1},{2},{1,2}, até aí ok.

O conjunto P(A) possui 4 subconjuntos.

Agora vem a dúvida:
A afirmação : vazio está contido em P(A) , está correta ? Não seria: vazio
pertence a P(A) ?

Quem tiver um tempinho para dar uma explicaçãozinha nisso, agradeço, muito.

Abraços, Marcelo.

[obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos: Notação das Partes de (A)

[silverratio]

Olá Marcelo,

Veja bem.. em primeiro lugar, a afirmação Vazio está contido em X é
verdadeira
qualquer que seja o conjunto X (mesmo o próprio Vazio).

A demonstração se dá por absurdo: Suponha que não. Nesse caso, deve existir
então um elemento no conjunto Vazio que não está em X, o que imediatamente
gera uma contradição, pois o Vazio não possui elemento algum.

Em particular, o Vazio está contido nas Partes de A.

Agora, nesse caso, também é verdade que ele é um elemento de P(A), pela
própria definição de P(A).

As duas são verdadeiras.

Abraço,

- Leandro.

[obm-l] Conjuntos

[Arthur Matta Moura]

 
 Quero saber se o 0 pertence ou não pertence aos Naturais, e por que não é 
definido a idéia de ordem para os Complexos. 
 Uma explicação que eu tentei arranjar foi a seguinte: nos naturais não e 
definida a idéia de subtração, então não  
existiria o 0 que é quem divide os números simetricamente. Esta foi uma idéia 
que eu tive e não sei se esta correta. Ficarei feliz com melhores explicações.  



  [],Arthur
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Re: [obm-l] Conjuntos

[Lucas Prado Melo]

2009/1/21 Arthur Matta Moura art_mo...@hotmail.com:

  Quero saber se o 0 pertence ou não pertence aos Naturais, e por que não é
 definido a idéia de ordem para os Complexos.

O zero pertencer ou não aos naturais é mera questão técnica e os dois
casos são aceitos (cada autor tem o seu preferido e um ou outro se
torna mais conveniente conforme o assunto tratado). Isso acontece
porque muitos conceitos da matemática são criados como uma
racionalização posterior do que foi determinado antes (a axiomática de
Peano que define os números naturais, por exemplo, foi criada bem
depois de termos pensado a noção de número natural).
Os números complexos podem ter ordem definida, mas até agora nenhuma
ordem parece ser a mais natural (ou seja, uma ordem sensata que
fosse análoga à ordem usual para os naturais: 0  1  2  ... ).
Poderiamos tentar estabelecer que um número complexo Z seria menor que
outro complexo X se e somente se o módulo de Z for menor que o módulo
de X, mas isso não varia sentido por que i, 1, -i e -1 seriam tratados
como o mesmo número!

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Conjuntos

[Albert Bouskela]

Olá!

Apenas complementando a resposta do Lucas:

O conceito de ordem (i.e., conjunto ordenado) está intrinsecamente
relacionado aos conjuntos de dimensão unitária (N, Z, Q e R). Não obstante,
é possível estender este conceito aos conjuntos que tenham dimensão igual a
n. Aliás, foi exatamente isto que Cantor (pobre Cantor!) fez para provar
que o conjunto R^n tem o mesmo número de elementos que o conjunto R: Cantor
conseguiu estabelecer uma relação biunívoca entre os elementos de R e os de
um conjunto de dimensão n (R^n). Formalmente, isto quer dizer que R e R^n
têm a mesma cardinalidade, a qual Cantor chamou de alef1 (alef0 é
cardinalidade de N).

Assim, pode-se definir (definir!) a seguinte regra de ordenamento:

1]   (a1, a2 ... an) é menor do que (b1, b2 ... bn) se, e somente se, a1 for
menor do que b1;
2]   Se a1=b1, então (a1, a2 ... an) é menor do que (b1, b2 ... bn) se, e
somente se, a2 for menor do que b2;
3]   Se a1=b1 e a2=b2, então (a1, a2 ... an) é menor do que (b1, b2 ... bn)
se, e somente se, a3 for menor do que b3; e por aí vai...

Como os números complexos podem ser definidos como o par ordenado (a, b),
sendo a a parte real e b a parte imaginária, é só seguir a regra de
ordenamento acima.

Finalizando, lamento dizer que isto não servirá pra nada que eu conheça...

Saudações,
AB
bousk...@msn.com

 -Original Message-
 From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
 Behalf Of Lucas Prado Melo
 Sent: Wednesday, January 21, 2009 1:47 PM
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: Re: [obm-l] Conjuntos
 
 2009/1/21 Arthur Matta Moura art_mo...@hotmail.com:
 
   Quero saber se o 0 pertence ou não pertence aos Naturais, e por que não
é
  definido a idéia de ordem para os Complexos.
 
 O zero pertencer ou não aos naturais é mera questão técnica e os dois
 casos são aceitos (cada autor tem o seu preferido e um ou outro se
 torna mais conveniente conforme o assunto tratado). Isso acontece
 porque muitos conceitos da matemática são criados como uma
 racionalização posterior do que foi determinado antes (a axiomática de
 Peano que define os números naturais, por exemplo, foi criada bem
 depois de termos pensado a noção de número natural).
 Os números complexos podem ter ordem definida, mas até agora nenhuma
 ordem parece ser a mais natural (ou seja, uma ordem sensata que
 fosse análoga à ordem usual para os naturais: 0  1  2  ... ).
 Poderiamos tentar estabelecer que um número complexo Z seria menor que
 outro complexo X se e somente se o módulo de Z for menor que o módulo
 de X, mas isso não varia sentido por que i, 1, -i e -1 seriam tratados
 como o mesmo número!
 
 
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Re: [obm-l] Conjuntos

[José Corino]

Olá Arthur!
0 é natural ou não de acordo com o seu gosto. Quando se usa o conjunto N 
para ordenar séries é conveniente excluir o zero. Daí S1 é o primeiro termo, S2 
é o segundo, S9 é o nono, etc. Do contrário, S0 seria o primeiro, S1 o segundo, 
S8 o nono, e assim por diante. Pra que complicar? 
Já há quem goste de colocar o zero em N, para ganharmos o elemento neutro 
da adição. Uma simples questão de gosto. Na faculdade os analistas tiravam o 
zero e os algebristas gostavam dele em N.
Quanto à ordem em C, pode-se sim definir uma ordem para C. O que C não é ( 
e R é) é um corpo *ordenado*.
Num corpo ordenado, entre outras coisas, o quadrado de um elemento não nulo 
é positivo e, como sabemos o quadrado de i é -1. E mesmo que a ordem definida 
faça o 1 ser negativo (para o -1 ser positivo), uma outra exigência é que em um 
corpo ordenado 1 é positivo e -1 é negativo. Uma contradição seja qual for a 
forma que você definir a ordem.
No livro Meu Professor de Matemática do nosso idolatrado Elon, no 
capítulo Conceitos e Controvérsias ele aborda justamente a questão de quem é 
maior, (2+3i) ou (3+2i). Está na seção 9. Vale a pena você dar uma lida. É um 
ótimo livro.
Um abraço!
José CORINO

  - Original Message - 
  From: Arthur Matta Moura 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, January 21, 2009 11:50 AM
  Subject: [obm-l] Conjuntos


   
   Quero saber se o 0 pertence ou não pertence aos Naturais, e por que não é 
definido a idéia de ordem para os Complexos. 
   Uma explicação que eu tentei arranjar foi a seguinte: nos naturais não e 
definida a idéia de subtração, então não  
  existiria o 0 que é quem divide os números simetricamente. Esta foi uma idéia 
que eu tive e não sei se esta correta. Ficarei feliz com melhores explicações.  


  


[],Arthur



--
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[obm-l] RES: [obm-l] Conjuntos numéricos na Reta...Boas no tícias !!!!

[Paulo - Uniredes]

O livro Foundations of Geometry, de Hilbert (inglês, é claro) está
disponível digitalmente no Projeto Gutemberg (
http://www.gutenberg.org/wiki/Main_Page
http://www.gutenberg.org/wiki/Main_Page) !
 
Divirtam-se.

---
Paulo C. Santos (PC)
UNICARIOCA/RJ - Curso de Tecnologia de Redes

e-mail: [EMAIL PROTECTED]
homepage: http://uniredes.org http://uniredes.org/ 
Tel.: (21) 2510.8783 - Cel.: (21) 8753-0729

MS-Messenger: [EMAIL PROTECTED]


  _  

De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Fernando A Candeias
Enviada em: sexta-feira, 28 de março de 2008 18:43
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Conjuntos numéricos na Reta...


Caros colegas de lista
 
Uma outra maneira de responder ao questionamento do Paulo, mais trabalhosa
porém mais intuitiva, está descrita em Foundations of Geometry, de Hilbert.
Ele desenvolve a geometria de maneira puramente axiomática, e no # 8 trata
dos axiomas de continuiidade, que são o de Arquimedes V.1 e o da Completude
da Reta,  V.2. A partir do que, juntamente com os axiomas que dizem respeito
à ordem, é possível demonstrar  a equivalência entre os pontos da reta e do
conjunto dos reais. 

[obm-l] RES: [obm-l] Conjuntos numéricos na Reta...

[Paulo - Uniredes]

Parece que essa questão não tem correlação com a matemática olímpica. Mas
imaginem uma banca que lembre de números diferentes e consiga fazer
questões abordando o assunto. Isso pegaria nossos atletas desprevenidos...
 
 
[]s
 
---
Paulo C. Santos (PC)
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De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Fernando A Candeias
Enviada em: sexta-feira, 28 de março de 2008 18:43
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Conjuntos numéricos na Reta...


Caros colegas de lista
 
Uma outra maneira de responder ao questionamento do Paulo, mais trabalhosa
porém mais intuitiva, está descrita em Foundations of Geometry, de Hilbert.
Ele desenvolve a geometria de maneira puramente axiomática, e no # 8 trata
dos axiomas de continuiidade, que são o de Arquimedes V.1 e o da Completude
da Reta,  V.2. A partir do que, juntamente com os axiomas que dizem respeito
à ordem, é possível demonstrar  a equivalência entre os pontos da reta e do
conjunto dos reais. 
Em outro livro que tenho, de G. Verrier, uma introdução às geometrias não
euclidianas por métodos elementares, o autor substitui os dois postulados
citados pelo axioma de Dedekind, o que imediatamente identifica a reta
geométrica com os reais, como dito pelo Ralph. O livro baseia-se na obra de
Hilbert. Trata de todos axiomas comuns às três geomertrias, e posteriormente
introduz novos postulados e/ou suprime alguns,  a partir do que desenvolve o
assunto. Tudo por métodos elementares. É muito interessante. Está escrito
em francês, adquiri em 1951, creio que esta esgotado. Mas se alguém tiver
interesse, posso doá-lo juntamente com o de Hilbert.
Sobre os surreais conheço pouco, mas parece muito interessante a idéia de
que os numeros infinitesimais passem a ter existência efetiva, o que
dispensaria em parte os complicados épsilons e deltas da definição usual de
continuidade de uma função em um ponto. (Weierstrasse). Vou ver se encontro
o livro mencionado pelo Nehab. Gostaria de saber como os problemas
geoméricos são abordados, se fazendo corresponder a cada segmento de reta a
parte Re do surreal, ou o número completo, incluindo um infinitesimal. Nessa
hipótese lembraria Leibntz com suas mônadas, ou o sonho pitagórico do tudo
é número.
 
Fernando A Candeias

[obm-l] Conjuntos numéricos na Reta...

[Paulo - Uniredes]

Como é que sabemos que os conjuntos já conhecidos são suficientes para
representar números da Reta Real ? Existe alguma prova de que eles são
necessários e sufucientes ?

Explico:

Temos os naturais
Depois estendemos o conceito para os inteiros...
Depois os racionais...
Depois os irracionais...

Bom, que me garante que não há número, na reta, que não se enquadre em
qualquer desses conjuntos ?

Há algum teorema mágico que diga isso, como existe o maravilhoso Teorema
de Gödel sobre a inconsistência da lógica ?


[]s

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Re: [obm-l] Conjuntos numéricos na Reta...

[Ralph Teixeira]

Bom, a resposta à sua pergunta depende do que se entende por números
na reta. Se não há definição precisa de reta numérica, não dá para
discutir se todos os números dela (ela? que ela?) estão nos reais ou
não.

Uma solução rápida, limpa, simples e sem graça é **DEFINIR** a reta
numérica como o conjunto dos números reais. Rápido, limpo e simples
(mas sem graça). :) :) A boa notícia é que deste jeito a reta numérica
herda todas as propriedades dos números reais, inclusive aquela de que
todo conjunto numérico limitado tem um supremo.

Assim, a resposta usual é garantimos que não há número, na reta, que
não se enquadre no conjunto dos reais pois definimos a reta numérica
como o conjunto dos reais. :P

Abraço,
   Ralph

P.S.: Por outro lado, dá para definir números surreais (veja
http://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_numbers). Para trabalhar com
eles, algumas propriedades antigas têm de ser descartadas (por
exemplo, neles a=b e b=a não implica a=b), mas eles são bem bacanas,
são uma extensão dos reais que não tem nada a ver com os complexos e o
pessoal tenta pensar neles ainda numa espécie de reta, usando
nuvens ao invés de pontos, incluindo uns pontos no infinito e
fazendo várias outras barbáries. Por incrível que pareça, no final,
tudo funciona, as construções são justificadas formalmente e estes
objetos têm aplicações.

2008/3/27 Paulo - Uniredes [EMAIL PROTECTED]:
 Como é que sabemos que os conjuntos já conhecidos são suficientes para
 representar números da Reta Real ? Existe alguma prova de que eles são
 necessários e sufucientes ?

 Explico:

 Temos os naturais
 Depois estendemos o conceito para os inteiros...
 Depois os racionais...
 Depois os irracionais...

 Bom, que me garante que não há número, na reta, que não se enquadre em
 qualquer desses conjuntos ?

 Há algum teorema mágico que diga isso, como existe o maravilhoso Teorema
 de Gödel sobre a inconsistência da lógica ?


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Re: [obm-l] Conjuntos numéricos na Reta.. .

[Carlos Nehab]

Oi, Ralph (e Paulo),

Apenas matando as suadades...um rpido comentrio:

Para os aficcionados, o livro "Surreal Numbers"  "quase" novelesco
(com fundo matemtico,  claro) do Knuth (um verdadeiro mago) e j foi
traduzido para o portugus (a edio original tem mais de 30 anos - eu
era quase um "pirralho" na poca
:-)  e ainda dava aula no IME...- ah... que
saudades Ralph me lembrou...). 
 um belo, pequeno e imperdvel livro para a maioria dos participantes
desta lista. Quem ainda no leu em ingls, aproveite: eu comprei no
comeo do ano uma cpia em portugus na livraria da Travessa (acho que
foi uns 40 reais - mas pela Amazon em ingls  naturalmente mais
barato). 

E aproveitando a deixa do Ralph, quem for curioso tambm pode e deve
dar estudar Fuzzy Sets, Fuzzy Numbers (Numeros Nebulosos, etc). Os de
Engenharia Eltrica ou Computao, certamente tero contato com isto,
bem como com Algoritmos Genticos... 

Ou seja, h muito mais coisa para se aprender do que supe a v
flosofia, ou mesmo a reta (sur)real... 

Abraos,
Nehab

Ralph Teixeira escreveu:

  ...
P.S.: Por outro lado, d para definir nmeros "surreais" (veja
http://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_numbers). Para trabalhar com
eles, algumas propriedades antigas tm de ser descartadas (por
exemplo, neles a=b e b=a no implica a=b), mas eles so bem bacanas,
so uma extenso dos reais que no tem nada a ver com os complexos e o
pessoal tenta pensar neles ainda numa espcie de "reta", usando
"nuvens" ao invs de "pontos", incluindo uns "pontos no infinito" e
fazendo vrias outras barbries. Por incrvel que parea, no final,
tudo funciona, as construes so justificadas formalmente e estes
objetos tm aplicaes.




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Conjuntos

[Renato Godinho]

Tenho uma dúvida quanto a seguinte questão:
   
  Numa prova de matemática, 4 alunos fizeram a primeira questão, 3 alunos 
fizeram somente a segunda questão, 5 alunos fizeram somente a terceira questão, 
3 alunos fizeram estas 3 questões, 11 alunos acertaram a segunda, a terceira, 
ou ambas as questões, o número de alunos que acertaram somente a primeira e a 
segunda questão é igual ao número de alunos que acertaram somente a primeira e 
a terceira questão. Pergunta-se: a) Quantos alunos acertaram toda a prova?; b) 
Quantos alunos fizeram a prova?; c) Quantos alunos não acertaram nem a segunda 
nem a terceira questão?
   
  Esse problema tem solução admitindo-se que um aluno que faz uma das questões 
pode tanto acertar como errar? (A resposta seria imediata caso cada questão 
feita estivesse correta...)
   
  []s,
  Renato Godinho

   
-
Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! 

RE: [obm-l] Conjuntos (básico)

[Pedro Cardoso]

Amigos da lista, preciso da ajuda de vocês na solução de um problema. Como o 
texto é longo, vou resumir, tomando cuidado para não modificar o enunciado. 
Numa pesquisa, existem três propostas. Uma pessoa pesquisada pode ser favorável 
a uma, duas ou todas as propostas, ou seja, as propostas não são mutuamente 
excludentes. No resumo, 

78% são favoráveis a pelo menos uma proposta
50% são favoráveis à proposta A
30% são favoráveis à proposta B

20% são favoráveis à proposta C
5% favorável a todas as propostas

Questão: quantos % são favoráveis a mais de uma proposta?

O problema é do concurso público realizado pela ESAF, 2003/2004. De acordo com 
o gabarito, a resposta é 5%, mas achei 17%.

Obrigado,
Pedro Lazéra Cardoso

_
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Re: [obm-l] Conjuntos (básico)

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Pedro,

P(AUBUC) = 0,78
P(A)+P(B)+P(C)-P(AinterB)-P(AinterC)-P(BinterC)+P(AinterBinterC) = 0,78

do enunciado, temos que: P(A) = 0,50, P(B) = 0,30, P(C) = 0,20,
P(AinterBinterC) = 0,05
então: 0,50+0,30+0,20-P(AinterB)-P(AinterC)-P(BinterC)+0,05 = 0,78
logo: 0,27-P(AinterB)-P(AinterC)-P(BinterC) = 0
logo: P(AinterB)+P(AinterC)+P(BinterC) = 0,27
nós queremos P(AinterB)+P(AinterC)+P(BinterC) - 2*P(AinterBinterC) = 0,27 -
2*0,05 = 0,17

é.. chegamos a mesma resposta!
abraços,
Salhab


2008/1/21 Pedro Cardoso [EMAIL PROTECTED]:


 Amigos da lista, preciso da ajuda de vocês na solução de um problema. Como
 o texto é longo, vou resumir, tomando cuidado para não modificar o
 enunciado. Numa pesquisa, existem três propostas. Uma pessoa pesquisada pode
 ser favorável a uma, duas ou todas as propostas, ou seja, as propostas não
 são mutuamente excludentes. No resumo,

 78% são favoráveis a pelo menos uma proposta
 50% são favoráveis à proposta A
 30% são favoráveis à proposta B
 20% são favoráveis à proposta C
 5% favorável a todas as propostas

 Questão: quantos % são favoráveis a mais de uma proposta?

 O problema é do concurso público realizado pela ESAF, 2003/2004. De acordo
 com o gabarito, a resposta é 5%, mas achei 17%.

 Obrigado,
 Pedro Lazéra Cardoso

 --
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[obm-l] Conjuntos

[Aline]

Uma pesquisa recente que teve por objetivo traçar um perfil do vestibulando 
apontou que:
- 60% trabalham, além de estudar;
- 80% cursaram o ensino médio em escola pública;
- 80% dormem menos que o necessário.
De acordo com as informações acima, qual o percentual mínimo de vestibulandos 
que se enquadram nos três percentuais (ou seja, trabalham, estudaram em escola 
pública e dormem menos que o necessário)?

A) 20%
B) 25%
C) 30%
D) 35%
E) 40%


Como montar esse diagrama???

Obrigada

Aline

Re: [obm-l] Conjuntos finitos

[Henrique Rennó]

 ou seja, {X}-{o} e {Y}-{d}.

Desculpe. X-{o} e Y-{d}

-- 
Henrique
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Conjuntos finitos

[Henrique Rennó]

No livro Introduction to Algorithms, Cormen et al, na parte que fala
sobre fluxo máximo em grafos, ele utiliza, por exemplo, f(X,Y) onde X
e Y são conjuntos de vértices do grafo e f é o somatório dos fluxos
dos vértices que partem do conjunto X para aqueles no conjunto Y.
Geralmente, em uma rede, um grafo dirigido com pesos nas arestas, na
qual se quer encontrar o fluxo máximo, define-se um vértice como a
origem e outro como destino. Caso seja necessário desconsiderar esses
vértices no cálculo do fluxo poderíamos representar por f(X-o, Y-d),
onde o e d são origem e destino, respectivamente, e X-o seria o
conjunto X sem o elemento o e Y-d o conjunto Y sem o elemento d,
ou seja, {X}-{o} e {Y}-{d}.

Esse seria um exemplo de utilizar conjuntos e somatórios em uma única
representação através de função.

On 10/29/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Olá Marcelo \o/

 vou tentar explicar o que eu quis dizer sobre somatório em conjuntos
 finitos com relação de ordem, mas primeiro vou falar sobre minha
 opnião sobre o somatorio comum que aparece na matemática

 costuma-se definir
 somatorio k=0 até n f(k)= f(0)+...+f(n),

 só que eu me sinto meio desconfortavel usando esses pontinhos, acho
 meio informal, apesar que dá a idéia do que é o somatório, da uma
 noção intuitiva do que acontece, porém eu prefiro não usar esse modo e
 sim, definir da seguinte maneira

 somatorio k=0 até n f(k)= [somatorio k=0 até n-1 f(k)] +f(n)
 se n0, n natural e se n=0

 somatorio k=0 até 0 f(k)=f(0)
 , i,e repito o processo tirando o ultimo termo do somatorio até chegar
 no termo minimo, o mesmo faço para definir somatorio com limite
 inferior inteiro e superior inteiro


 somatorio k=a até a+p f(k)= [somatorio k=a até a+p-1 f(k)] +f(a+p)
 se p0, p natural e se p=0

 somatorio k=a até a f(k)=f(a)

 com a inteiro. se a inteiro então a+p=b um número inteiro maior ou igual à a
 então fica definido para mim o somatorio com limites nos inteiros.

 para provar alguns teoremas de somatorio me parece util definir
 somatorio k=b até a f(k) =0  se ab (i.e se o limite superior é menor
 que o limite inferior)

 com essas definições é possivel demonstrar algumas propriedades de
 somatorios como

 somatorio k=a até b f(k) =somatorio k=a+p até b+p f(k-p)
 somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=-b até -a f(-k)
 somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=a até s f(k) +somatorio k=s+1 até b f(k)
 se s=a e b=s+1. propriedade que chamo de abertura de somatorios
 ela é equivalente a definição que postei acima de somatorio, a partir
 de uma se prova outra e vice e versa (porém essa de abertura é mais
 geral de certo modo)

 mas ai estava pensando em definir somatorios em outros  conjuntos
 finitos, por exemplo, definir  formalmente somatorio sobre primos em
 um intervalo etc...
 na verdade eu me divirto um pouco fazendo essas coisas hehe, as vezes
 procurar algo já pronto para mim é o mesmo que contar o final de um
 filme, depois eu volto a postar mais sobre, e as idéias que estou
 tendo sobre esse assunto

 abraços

 Em 29/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Olá Rodrigo,
 
  pensando sobre o que você disse... pelo que sei a notação de conjuntos é
  geral..
  { a } é um conjunto finito cuja cardinalidade é 1... e a é qualquer
  coisa.. hehe (bem informal)
  sobre retirar os elementos, acredito que você pode fazer assim:
  Seja A um conjunto tal que |A| = n.
  Como A é finito e enumerável, vamos definir uma bijecao f : I_n - A
  onde I_n = { 1, 2, 3, ..., n }.
  façamos: A_0 = A ... A_k = A_(k-1) \ { f(k) }
  deste modo, temos: A_1 = A_0 \ { f(1) } ... A_2 = A_1 \ { f(2) }..
  vamos chegar em A_n = {} ...
 
  Agora, não entendi o que você quer definir sobre o somatório em conjuntos
  finitos com
  relação de ordem... :))
 
  um abraço,
  Salhab
 
 
 
 
  On 10/29/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
  
   Marcelo, obrigado , a fórmula está estranha pois foi eu  formulei
   hehehe, e que eu estava pensando no seguinte, se temos um conjunto de
   números com uma relação de ordem  finito ele possui um máximo e se
   formos tirando o máximo do conjunto em cada etapa, se ele é finito
   chega uma  hora que ele se torna o conjunto vazio
   ex:
   {0, 2.2 ,3}
   tira o máximo (3)
   { 0, 2.2}
   tira o maximo (2.2)
   {0}
   tira o maximo 0
   {}
  
   acho que o mesmo acontece quando vamos tirando o minimo do conjunto
   não é? se ele é um conjunto de numeros com relação de ordem e finito,
   chega uma hora que ficamos com o conjunto vazio (só pra explicar o que
   eu estava/estou pensando sobre essa questão).  A principio estava
   pensando que valia pra qualquer conjunto finito, mas é obvio que não
   ( conjunto {a} a sendo a letra do alfabeto , é um conjunto finito não
   é?, tendo apenas um elemento, ou essa nomenclatura é apenas para
   conjuntos númericos ?)
  
  
   esses conceitos eu estou usando para tentar definir formalmente
   somatorio sobre um conjunto finito de numeros com relação de ordem.
  
   abraços
   Em 

Re: [obm-l] Conjuntos finitos

[Rodrigo Renji]

Marcelo, obrigado , a fórmula está estranha pois foi eu  formulei
hehehe, e que eu estava pensando no seguinte, se temos um conjunto de
números com uma relação de ordem  finito ele possui um máximo e se
formos tirando o máximo do conjunto em cada etapa, se ele é finito
chega uma  hora que ele se torna o conjunto vazio
ex:
{0, 2.2 ,3}
tira o máximo (3)
{ 0, 2.2}
tira o maximo (2.2)
{0}
tira o maximo 0
{}

acho que o mesmo acontece quando vamos tirando o minimo do conjunto
não é? se ele é um conjunto de numeros com relação de ordem e finito,
chega uma hora que ficamos com o conjunto vazio (só pra explicar o que
eu estava/estou pensando sobre essa questão).  A principio estava
pensando que valia pra qualquer conjunto finito, mas é obvio que não
( conjunto {a} a sendo a letra do alfabeto , é um conjunto finito não
é?, tendo apenas um elemento, ou essa nomenclatura é apenas para
conjuntos númericos ?)


esses conceitos eu estou usando para tentar definir formalmente
somatorio sobre um conjunto finito de numeros com relação de ordem.

abraços
Em 27/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
 Olá Rodrigo,

 achei a formulação um tanto estranha... nao acho correto dizer: Existe n
 tal que S(n) = vazio... pois n está definido na questão..
 acredito que deveria ser: Se S(n) = vazio, entao |S(n)| = n ?

 |S(0)| = |S|
 |S(1)| = |S(0) - {max S(n)}| .. como {max S(n)} E S(0), e |{max S(n)}| = 1,
 entao: |S(1)| = |S| - 1
 por inducao: |S(k)| = |S| - k

 vamos supor que |S|  n, entao |S(n)|  0, absurdo! Pois |S(n)| = 0 por
 hipótese..
 vamos supor que |S|  n, entao |S(|S|)| = 0... assim: |S(n)| = 0
 vamos supor que |S| = n, entao |S(n)| = 0... assim: |S(n)| = 0

 logo, podemos concluir que S é finito, e que a cardinalidade S é menor ou
 igual a n...

 abraços,
 Salhab



 On 10/27/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
  Seja
  S um conjunto
  defino
  (n natural)
 
  S(n+1)=S(n)-{max S(n)}
  S(0)=S
 
  (se S(n) possui máximo) [prestar atenção nessa condição]
 
  Se existe n, tal que s(n)=vazio
  então n é finito e tem n elementos?
 
  e se um conjunto é finito vale a propriedade acima?
  (relaçao de se e somente se).
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
 



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Conjuntos finitos

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Rodrigo,

pensando sobre o que você disse... pelo que sei a notação de conjuntos é
geral..
{ a } é um conjunto finito cuja cardinalidade é 1... e a é qualquer
coisa.. hehe (bem informal)
sobre retirar os elementos, acredito que você pode fazer assim:
Seja A um conjunto tal que |A| = n.
Como A é finito e enumerável, vamos definir uma bijecao f : I_n - A
onde I_n = { 1, 2, 3, ..., n }.
façamos: A_0 = A ... A_k = A_(k-1) \ { f(k) }
deste modo, temos: A_1 = A_0 \ { f(1) } ... A_2 = A_1 \ { f(2) }..
vamos chegar em A_n = {} ...

Agora, não entendi o que você quer definir sobre o somatório em conjuntos
finitos com
relação de ordem... :))

um abraço,
Salhab



On 10/29/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Marcelo, obrigado , a fórmula está estranha pois foi eu  formulei
 hehehe, e que eu estava pensando no seguinte, se temos um conjunto de
 números com uma relação de ordem  finito ele possui um máximo e se
 formos tirando o máximo do conjunto em cada etapa, se ele é finito
 chega uma  hora que ele se torna o conjunto vazio
 ex:
 {0, 2.2 ,3}
 tira o máximo (3)
 { 0, 2.2}
 tira o maximo (2.2)
 {0}
 tira o maximo 0
 {}

 acho que o mesmo acontece quando vamos tirando o minimo do conjunto
 não é? se ele é um conjunto de numeros com relação de ordem e finito,
 chega uma hora que ficamos com o conjunto vazio (só pra explicar o que
 eu estava/estou pensando sobre essa questão).  A principio estava
 pensando que valia pra qualquer conjunto finito, mas é obvio que não
 ( conjunto {a} a sendo a letra do alfabeto , é um conjunto finito não
 é?, tendo apenas um elemento, ou essa nomenclatura é apenas para
 conjuntos númericos ?)


 esses conceitos eu estou usando para tentar definir formalmente
 somatorio sobre um conjunto finito de numeros com relação de ordem.

 abraços
 Em 27/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Olá Rodrigo,
 
  achei a formulação um tanto estranha... nao acho correto dizer: Existe
 n
  tal que S(n) = vazio... pois n está definido na questão..
  acredito que deveria ser: Se S(n) = vazio, entao |S(n)| = n ?
 
  |S(0)| = |S|
  |S(1)| = |S(0) - {max S(n)}| .. como {max S(n)} E S(0), e |{max S(n)}| =
 1,
  entao: |S(1)| = |S| - 1
  por inducao: |S(k)| = |S| - k
 
  vamos supor que |S|  n, entao |S(n)|  0, absurdo! Pois |S(n)| = 0 por
  hipótese..
  vamos supor que |S|  n, entao |S(|S|)| = 0... assim: |S(n)| = 0
  vamos supor que |S| = n, entao |S(n)| = 0... assim: |S(n)| = 0
 
  logo, podemos concluir que S é finito, e que a cardinalidade S é menor
 ou
  igual a n...
 
  abraços,
  Salhab
 
 
 
  On 10/27/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
  
   Seja
   S um conjunto
   defino
   (n natural)
  
   S(n+1)=S(n)-{max S(n)}
   S(0)=S
  
   (se S(n) possui máximo) [prestar atenção nessa condição]
  
   Se existe n, tal que s(n)=vazio
   então n é finito e tem n elementos?
  
   e se um conjunto é finito vale a propriedade acima?
   (relaçao de se e somente se).
  
  
 
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   Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

Re: [obm-l] Conjuntos finitos

[Rodrigo Renji]

Olá Marcelo \o/

vou tentar explicar o que eu quis dizer sobre somatório em conjuntos
finitos com relação de ordem, mas primeiro vou falar sobre minha
opnião sobre o somatorio comum que aparece na matemática

costuma-se definir
somatorio k=0 até n f(k)= f(0)+...+f(n),

só que eu me sinto meio desconfortavel usando esses pontinhos, acho
meio informal, apesar que dá a idéia do que é o somatório, da uma
noção intuitiva do que acontece, porém eu prefiro não usar esse modo e
sim, definir da seguinte maneira

somatorio k=0 até n f(k)= [somatorio k=0 até n-1 f(k)] +f(n)
se n0, n natural e se n=0

somatorio k=0 até 0 f(k)=f(0)
, i,e repito o processo tirando o ultimo termo do somatorio até chegar
no termo minimo, o mesmo faço para definir somatorio com limite
inferior inteiro e superior inteiro


somatorio k=a até a+p f(k)= [somatorio k=a até a+p-1 f(k)] +f(a+p)
se p0, p natural e se p=0

somatorio k=a até a f(k)=f(a)

com a inteiro. se a inteiro então a+p=b um número inteiro maior ou igual à a
então fica definido para mim o somatorio com limites nos inteiros.

para provar alguns teoremas de somatorio me parece util definir
somatorio k=b até a f(k) =0  se ab (i.e se o limite superior é menor
que o limite inferior)

com essas definições é possivel demonstrar algumas propriedades de
somatorios como

somatorio k=a até b f(k) =somatorio k=a+p até b+p f(k-p)
somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=-b até -a f(-k)
somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=a até s f(k) +somatorio k=s+1 até b f(k)
se s=a e b=s+1. propriedade que chamo de abertura de somatorios
ela é equivalente a definição que postei acima de somatorio, a partir
de uma se prova outra e vice e versa (porém essa de abertura é mais
geral de certo modo)

mas ai estava pensando em definir somatorios em outros  conjuntos
finitos, por exemplo, definir  formalmente somatorio sobre primos em
um intervalo etc...
na verdade eu me divirto um pouco fazendo essas coisas hehe, as vezes
procurar algo já pronto para mim é o mesmo que contar o final de um
filme, depois eu volto a postar mais sobre, e as idéias que estou
tendo sobre esse assunto

abraços

Em 29/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
 Olá Rodrigo,

 pensando sobre o que você disse... pelo que sei a notação de conjuntos é
 geral..
 { a } é um conjunto finito cuja cardinalidade é 1... e a é qualquer
 coisa.. hehe (bem informal)
 sobre retirar os elementos, acredito que você pode fazer assim:
 Seja A um conjunto tal que |A| = n.
 Como A é finito e enumerável, vamos definir uma bijecao f : I_n - A
 onde I_n = { 1, 2, 3, ..., n }.
 façamos: A_0 = A ... A_k = A_(k-1) \ { f(k) }
 deste modo, temos: A_1 = A_0 \ { f(1) } ... A_2 = A_1 \ { f(2) }..
 vamos chegar em A_n = {} ...

 Agora, não entendi o que você quer definir sobre o somatório em conjuntos
 finitos com
 relação de ordem... :))

 um abraço,
 Salhab




 On 10/29/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
  Marcelo, obrigado , a fórmula está estranha pois foi eu  formulei
  hehehe, e que eu estava pensando no seguinte, se temos um conjunto de
  números com uma relação de ordem  finito ele possui um máximo e se
  formos tirando o máximo do conjunto em cada etapa, se ele é finito
  chega uma  hora que ele se torna o conjunto vazio
  ex:
  {0, 2.2 ,3}
  tira o máximo (3)
  { 0, 2.2}
  tira o maximo (2.2)
  {0}
  tira o maximo 0
  {}
 
  acho que o mesmo acontece quando vamos tirando o minimo do conjunto
  não é? se ele é um conjunto de numeros com relação de ordem e finito,
  chega uma hora que ficamos com o conjunto vazio (só pra explicar o que
  eu estava/estou pensando sobre essa questão).  A principio estava
  pensando que valia pra qualquer conjunto finito, mas é obvio que não
  ( conjunto {a} a sendo a letra do alfabeto , é um conjunto finito não
  é?, tendo apenas um elemento, ou essa nomenclatura é apenas para
  conjuntos númericos ?)
 
 
  esses conceitos eu estou usando para tentar definir formalmente
  somatorio sobre um conjunto finito de numeros com relação de ordem.
 
  abraços
  Em 27/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
   Olá Rodrigo,
  
   achei a formulação um tanto estranha... nao acho correto dizer: Existe
 n
   tal que S(n) = vazio... pois n está definido na questão..
   acredito que deveria ser: Se S(n) = vazio, entao |S(n)| = n ?
  
   |S(0)| = |S|
   |S(1)| = |S(0) - {max S(n)}| .. como {max S(n)} E S(0), e |{max S(n)}| =
 1,
   entao: |S(1)| = |S| - 1
   por inducao: |S(k)| = |S| - k
  
   vamos supor que |S|  n, entao |S(n)|  0, absurdo! Pois |S(n)| = 0 por
   hipótese..
   vamos supor que |S|  n, entao |S(|S|)| = 0... assim: |S(n)| = 0
   vamos supor que |S| = n, entao |S(n)| = 0... assim: |S(n)| = 0
  
   logo, podemos concluir que S é finito, e que a cardinalidade S é menor
 ou
   igual a n...
  
   abraços,
   Salhab
  
  
  
   On 10/27/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
   
Seja
S um conjunto
defino
(n natural)
   
S(n+1)=S(n)-{max S(n)}
S(0)=S
   
(se 

[obm-l] Conjuntos finitos

[Rodrigo Renji]

Seja
S um conjunto
defino
(n natural)

S(n+1)=S(n)-{max S(n)}
S(0)=S

(se S(n) possui máximo) [prestar atenção nessa condição]

Se existe n, tal que s(n)=vazio
então n é finito e tem n elementos?

e se um conjunto é finito vale a propriedade acima?
(relaçao de se e somente se).

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Conjuntos finitos

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Rodrigo,

achei a formulação um tanto estranha... nao acho correto dizer: Existe n
tal que S(n) = vazio... pois n está definido na questão..
acredito que deveria ser: Se S(n) = vazio, entao |S(n)| = n ?

|S(0)| = |S|
|S(1)| = |S(0) - {max S(n)}| .. como {max S(n)} E S(0), e |{max S(n)}| = 1,
entao: |S(1)| = |S| - 1
por inducao: |S(k)| = |S| - k

vamos supor que |S|  n, entao |S(n)|  0, absurdo! Pois |S(n)| = 0 por
hipótese..
vamos supor que |S|  n, entao |S(|S|)| = 0... assim: |S(n)| = 0
vamos supor que |S| = n, entao |S(n)| = 0... assim: |S(n)| = 0

logo, podemos concluir que S é finito, e que a cardinalidade S é menor ou
igual a n...

abraços,
Salhab


On 10/27/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Seja
 S um conjunto
 defino
 (n natural)

 S(n+1)=S(n)-{max S(n)}
 S(0)=S

 (se S(n) possui máximo) [prestar atenção nessa condição]

 Se existe n, tal que s(n)=vazio
 então n é finito e tem n elementos?

 e se um conjunto é finito vale a propriedade acima?
 (relaçao de se e somente se).

 =
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Re: [obm-l] Conjuntos

[ralonso]

Certamente :)

Marcus wrote:

 Alguém sabe me dizer o que significa Ac ÇBcÇ Cc, quando eu utilizo
 três conjuntos, isso quer dizer complementar em relação ao universo?

 Marcus Aurélio

[obm-l] Conjuntos

[Marcus]

Alguém sabe me dizer o que significa Ac *Bc * Cc, quando eu utilizo três
conjuntos, isso quer dizer complementar em relação ao universo?

 

 

Marcus Aurélio

 

[obm-l] Conjuntos - dúvida conceitual

[Pedro Cardoso]

Olá amigos da lista,

estudando um pouco conjuntos fiquei com uma dúvida em relação ao conceito de 
CONJUNTOS DISJUNTOS.


Entendi que A e B são disjuntos se A(inter)B = vazio, mas, quando começo a 
trabalhar com três ou mais conjuntos...


Para N conjuntos serem disjuntos basta que a interseção simultãnea deles 
[quero dizer A(inter)B(inter)C...(inter)Z] = vazio? Ou é necessário também 
que eles sejam disjuntos dois a dois?


Se bastar que eles sejam disjuntos n a n [A(inter)B(inter)C...(inter)Z = 
vazio], não é sempre verdade que:


A,B,C...Z são disjuntos - n[A(união)B...(união)Z] = n(A)+n(B)+...+n(Z), 
certo?


Ex.: A ={1,2,3}; B ={2,4,6}; C={1,3,5}
A(inter)B(inter)C = vazio, mas [A(união)B(união)C] = {1,2,3,4,5,6} (6 
elementos)


e n(A)+n(B)+n(C) = 3+3+3 = 9.

Grato,

Pedro Lazéra Cardoso

_
Mande torpedos SMS do seu messenger para o celular dos seus amigos 
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Re: [obm-l] Conjuntos - dúvida conceitual

[Igor Castro]

Eles tem que ser disjuntos dois a dois.

On 3/7/07, Pedro Cardoso [EMAIL PROTECTED] wrote:


Olá amigos da lista,

estudando um pouco conjuntos fiquei com uma dúvida em relação ao conceito
de
CONJUNTOS DISJUNTOS.

Entendi que A e B são disjuntos se A(inter)B = vazio, mas, quando começo a
trabalhar com três ou mais conjuntos...

Para N conjuntos serem disjuntos basta que a interseção simultãnea deles
[quero dizer A(inter)B(inter)C...(inter)Z] = vazio? Ou é necessário também
que eles sejam disjuntos dois a dois?

Se bastar que eles sejam disjuntos n a n [A(inter)B(inter)C...(inter)Z =
vazio], não é sempre verdade que:

A,B,C...Z são disjuntos - n[A(união)B...(união)Z] = n(A)+n(B)+...+n(Z),
certo?

Ex.: A ={1,2,3}; B ={2,4,6}; C={1,3,5}
A(inter)B(inter)C = vazio, mas [A(união)B(união)C] = {1,2,3,4,5,6} (6
elementos)

e n(A)+n(B)+n(C) = 3+3+3 = 9.

Grato,

Pedro Lazéra Cardoso

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Re: [obm-l] Conjuntos

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Bem, podemos pensar em coisas assim, so precisa imaginacao.Por exemploa+b=b+a traduz aUb=bUaa*b=b*a traduz aNb=bNaA distributiva,(a+b)c=ab+acfica(aUb)Nc=(aNb)U(aNc)E da pra fazer tais analogias por ai...
Se vc proivar que da pra mapear os axiomas das duas teorias, bingo!2006/6/15, Iuri [EMAIL PROTECTED]:
Certa vez um professor meu comentou sobre existir isomorfismo entre (união e adição) e entre (intersecção e multiplicação), fazendo com que relações de conjuntos pudessem ser expressadas como expressões algebricas. Existe algo desse tipo ou é só um caso particular? Nunca vi demonstração disso...


-- Ideas are bulletproof.V

Re: [obm-l] Conjuntos

[Daniel S. Braz]

Humm, acho que é possível sim. Se não me engano o matemático G. Boole
provou isso.

2006/6/16, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED]:

Bem, podemos pensar em coisas assim, so precisa imaginacao.

Por exemplo
a+b=b+a traduz aUb=bUa
a*b=b*a traduz aNb=bNa

A distributiva,

(a+b)c=ab+ac
fica
(aUb)Nc=(aNb)U(aNc)

E da pra fazer tais analogias por ai...


Se vc proivar que da pra mapear os axiomas das duas teorias, bingo!

2006/6/15, Iuri [EMAIL PROTECTED]:

 Certa vez um professor meu comentou sobre existir isomorfismo entre (união
e adição) e entre (intersecção e multiplicação), fazendo com que relações de
conjuntos pudessem ser expressadas como expressões algebricas. Existe algo
desse tipo ou é só um caso particular? Nunca vi demonstração disso...





--
Ideas are bulletproof.

V



--
O modo mais provável do mundo ser destruído, como concordam a maioria
dos especialistas, é através de um acidente. É aí que nós entramos.
Somos profissionais da computação. Nós causamos acidentes - Nathaniel
Borenstein

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[obm-l] Conjuntos

[Iuri]

Certa vez um professor meu comentou sobre existir isomorfismo entre (união e adição) e entre (intersecção e multiplicação), fazendo com que relações de conjuntos pudessem ser expressadas como expressões algebricas. Existe algo desse tipo ou é só um caso particular? Nunca vi demonstração disso...

[obm-l] Conjuntos Geradores

[Claudio Freitas]

Olá colegas da lista.

Tenho a seguinte dúvida:

Seja A = {(0,0)} contido em R^2.
Posso dizer que o conjunto B = {(0,0)} gera A?
Pois consigo escrever qualquer elemento de A como uma combinação
linear dos elementos do conjunto B:
(0,0) = u pertence a A
(0,0) = w pertence a B
Posso gerar u como uma combinação linear de w:
0*w = u



Definição que eu tenho:
Um conjunto C é dito conjunto-gerador de um subespaço vetorial W se é
possível escrever qualquer elemento de W como uma combinação linear
dos elementos de C.



Abraços,
Claudio Freitas

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RE: [obm-l] CONJUNTOS

[Felipe Nardes]

O procedimento está correto, mas você se confundiu um pouco.

Observe o conjunto:

A - (A inter B) = {x E A e x ñE (A inter B)}

Se X E (A inter B), implica que: x E A  e  X E B
Por outro lado, se X ñE (A inter B), implica que: x ñE A  ou  X ñE B

Voltando ao seu problema, como x E A, se x ñE (A inter B) é porque x ñE B. 
Logo:


A - (A inter B) = {x E A e x ñE (A inter B)} = {x E A e X ñE B} = A - B


abracos,

Felipe Nardes



From: Miguel Mossoro [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] CONJUNTOS
Date: Fri, 9 Sep 2005 20:03:39 -0300 (ART)

Olá a todos.

Quero provar que A - B = A - (A inter B)

Usando o diagrama de venn é fica fácil. Entretanto, eu queria provar por 
uma forma analítica. Eu cheguei ao seguinte resultado:


Partindo do 2º membro:
A - (A inter B) = {x | x E A e x ñE (A inter B) } = {x | x E A e (x ñE A e 
x ñE B) } = vazio ???


Como é o procedimento para responder nesse estilo??

Agradeço antecipadamente,
Mossoro

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=

[obm-l] CONJUNTOS

[Miguel Mossoro]

Olá a todos.

Quero provar que A - B = A - (A inter B)

Usando o diagrama de venn é fica fácil. Entretanto, eu queria provar por uma forma analítica. Eu cheguei ao seguinte resultado:

Partindo do 2º membro:
A - (A inter B) = {x |x E A ex ñE(A inter B)} = {x | x E A e(x ñE A e x ñE B) } = vazio ???

Como é o procedimento para responder nesse estilo??

Agradeço antecipadamente,
Mossoro__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ 

RES: [obm-l] CONJUNTOS

[Luiz Viola]

B = C U D, onde C = (B inter Acomplementar) e D = (A inter B)



A - B = {x |x E A ex ñE B} = {x |x E A ex ñE (C
U D)} = {x |x E A ex ñE C e ñE D} = {x |x E A e ñE D} = A 
D = A - (A inter B)



Acho que é isso, se não for, me corrijam...

Abraços a todos





-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
de Miguel Mossoro
Enviada em: sexta-feira, 9 de
setembro de 2005 20:04
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] CONJUNTOS





Olá a todos.











Quero provar que A - B =
A - (A inter B)











Usando o diagrama de venn
é fica fácil. Entretanto, eu queria provar por uma forma analítica. Eu cheguei
ao seguinte resultado:











Partindo do 2º membro:





A - (A inter B) = {x
|x E A ex ñE(A inter B)} = {x | x E A e(x ñE A e
x ñE B) } = vazio ???











Como é o procedimento
para responder nesse estilo??











Agradeço antecipadamente,





Mossoro



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[obm-l] Conjuntos

[admath admath]

Provar (utilizando lógica matemática) que:

a) A está contido em (A U B),qualquer que sejaA.

b) (A inter B) está contido em A, qualquer que seja A.

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Re: [obm-l] Conjuntos

[Bruno Bonagura]

No lugar de "está contido" usarei "é subconjunto" 
e no lugar de "pertence" usarei "é elemento". E lembrando a definição de 
subconjunto:
X é subconjunto de Y se e, somente se, para 
qualquer x tal que x seja elemento de X, então x é elemento de 
Y.

a) A é subconjuntode (A U B), 
qualquer que sejaA.

Tome um x qualquer tal que: 
x é elemento de A união B.

Sem alterar o valor lógico da 
proposição:
x não é elemento de A ou x é elemento de 
Aunião B. 

Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, 
então q"
se x é elemento de A, então x é elemento de A 
união B.

Pela definião de subconjunto.
A é subconjunto de A união B. 
Q.E.D.

b) A interseção B é subconjunto de A, 
qualquer que seja A.

Tome um x qualquer tal que:
x é elemento de A interseção B.

Sem alterar o valor lógico da 
proposição:
x não é elemento de A ou x é elemento de 
Ainterseção B


Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, então q":
se x é elemento de A, então x é elemento de A 
interseção B.

Pela definição de subconjunto:
A interseção Bé subconjunto de A. 

Q.E.D.

___

Espero não ter escorregado em 
nada...
Atenciosamente,
Bruno Bonagura

  - Original Message - 
  From: 
  admath 
  admath 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, July 24, 2005 8:57 PM
  Subject: [obm-l] Conjuntos
  
  Provar (utilizando lógica matemática) 
que:
  
  a) A está contido em (A U B),qualquer que 
  sejaA.
  
  b) (A inter B) está contido em A, qualquer que seja 
  A.
  
  Obrigado.
  __Converse com seus 
  amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ 
  

RE: [obm-l] Conjuntos

[Guilherme Neves]

1-) Provar que A C (AUB), para todo A.

x pertence a A = ( x pertence a Aou x pertence a B) 
 é uma implicação verdadeira para todo x, portanto A C (AUB).

2- Provar que (A inter B) C A, para todo A.

 x pertence a ( A inter B) = (x pertence a Ae x pertence a B) = x pertence a A

 é umaimplicação verdadeira para todo x, portanto(A inter B) C A.Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis Instale Já! 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Conjuntos [Errata]

[Bruno Bonagura]

Desconsidere a demonstração b) !

  - Original Message - 
  From: 
  Bruno 
  Bonagura 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, July 24, 2005 10:22 
PM
  Subject: Re: [obm-l] Conjuntos
  
  No lugar de "está contido" usarei "é 
  subconjunto" e no lugar de "pertence" usarei "é elemento". E lembrando a 
  definição de subconjunto:
  X é subconjunto de Y se e, somente se, para 
  qualquer x tal que x seja elemento de X, então x é elemento de 
  Y.
  
  a) A é subconjuntode (A U B), 
  qualquer que sejaA.
  
  Tome um x qualquer tal que: 
  x é elemento de A união B.
  
  Sem alterar o valor lógico da 
  proposição:
  x não é elemento de A ou x é elemento de 
  Aunião B. 
  
  Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, 
  então q"
  se x é elemento de A, então x é elemento de A 
  união B.
  
  Pela definião de subconjunto.
  A é subconjunto de A união B. 
  Q.E.D.
  
  b) A interseção B é subconjunto de A, 
  qualquer que seja A.
  
  Tome um x qualquer tal que:
  x é elemento de A interseção B.
  
  Sem alterar o valor lógico da 
  proposição:
  x não é elemento de A ou x é elemento de 
  Ainterseção B
  
  
  Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, então 
q":
  se x é elemento de A, então x é elemento de A 
  interseção B.
  
  Pela definição de 
  subconjunto:
  A interseção Bé subconjunto de A. 
  
  Q.E.D.
  
  ___
  
  Espero não ter escorregado em 
  nada...
  Atenciosamente,
  Bruno Bonagura
  
- Original Message - 
From: 
admath 
admath 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Sunday, July 24, 2005 8:57 
PM
Subject: [obm-l] Conjuntos

Provar (utilizando lógica matemática) 
que:

a) A está contido em (A U B),qualquer que 
sejaA.

b) (A inter B) está contido em A, qualquer que seja 
A.

Obrigado.
__Converse com seus 
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Re: [obm-l] Conjuntos

[Bruno Bonagura]

Me perdoem pela tripla mensagem. Mas a 
demonstraçãoa) também está lógicamente furada. Desculpem... 

  - Original Message - 
  From: 
  Bruno 
  Bonagura 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, July 24, 2005 10:22 
PM
  Subject: Re: [obm-l] Conjuntos
  
  No lugar de "está contido" usarei "é 
  subconjunto" e no lugar de "pertence" usarei "é elemento". E lembrando a 
  definição de subconjunto:
  X é subconjunto de Y se e, somente se, para 
  qualquer x tal que x seja elemento de X, então x é elemento de 
  Y.
  
  a) A é subconjuntode (A U B), 
  qualquer que sejaA.
  
  Tome um x qualquer tal que: 
  x é elemento de A união B.
  
  Sem alterar o valor lógico da 
  proposição:
  x não é elemento de A ou x é elemento de 
  Aunião B. 
  
  Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, 
  então q"
  se x é elemento de A, então x é elemento de A 
  união B.
  
  Pela definião de subconjunto.
  A é subconjunto de A união B. 
  Q.E.D.
  
  b) A interseção B é subconjunto de A, 
  qualquer que seja A.
  
  Tome um x qualquer tal que:
  x é elemento de A interseção B.
  
  Sem alterar o valor lógico da 
  proposição:
  x não é elemento de A ou x é elemento de 
  Ainterseção B
  
  
  Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, então 
q":
  se x é elemento de A, então x é elemento de A 
  interseção B.
  
  Pela definição de 
  subconjunto:
  A interseção Bé subconjunto de A. 
  
  Q.E.D.
  
  ___
  
  Espero não ter escorregado em 
  nada...
  Atenciosamente,
  Bruno Bonagura
  
- Original Message - 
From: 
admath 
admath 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Sunday, July 24, 2005 8:57 
PM
Subject: [obm-l] Conjuntos

Provar (utilizando lógica matemática) 
que:

a) A está contido em (A U B),qualquer que 
sejaA.

b) (A inter B) está contido em A, qualquer que seja 
A.

Obrigado.
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Re: [obm-l] Conjuntos

[Bruno Bonagura]

Demonstração correta da a) em anexo.

Desculpe a trapalhada.

  - Original Message - 
  From: 
  Bruno 
  Bonagura 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, July 24, 2005 10:22 
PM
  Subject: Re: [obm-l] Conjuntos
  
  No lugar de "está contido" usarei "é 
  subconjunto" e no lugar de "pertence" usarei "é elemento". E lembrando a 
  definição de subconjunto:
  X é subconjunto de Y se e, somente se, para 
  qualquer x tal que x seja elemento de X, então x é elemento de 
  Y.
  
  a) A é subconjuntode (A U B), 
  qualquer que sejaA.
  
  Tome um x qualquer tal que: 
  x é elemento de A união B.
  
  Sem alterar o valor lógico da 
  proposição:
  x não é elemento de A ou x é elemento de 
  Aunião B. 
  
  Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, 
  então q"
  se x é elemento de A, então x é elemento de A 
  união B.
  
  Pela definião de subconjunto.
  A é subconjunto de A união B. 
  Q.E.D.
  
  b) A interseção B é subconjunto de A, 
  qualquer que seja A.
  
  Tome um x qualquer tal que:
  x é elemento de A interseção B.
  
  Sem alterar o valor lógico da 
  proposição:
  x não é elemento de A ou x é elemento de 
  Ainterseção B
  
  
  Pela equivalência entre "não p ou q" e "se p, então 
q":
  se x é elemento de A, então x é elemento de A 
  interseção B.
  
  Pela definição de 
  subconjunto:
  A interseção Bé subconjunto de A. 
  
  Q.E.D.
  
  ___
  
  Espero não ter escorregado em 
  nada...
  Atenciosamente,
  Bruno Bonagura
  
- Original Message - 
From: 
admath 
admath 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Sunday, July 24, 2005 8:57 
PM
Subject: [obm-l] Conjuntos

Provar (utilizando lógica matemática) 
que:

a) A está contido em (A U B),qualquer que 
sejaA.

b) (A inter B) está contido em A, qualquer que seja 
A.

Obrigado.
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a.gif
Description: GIF image

Re: [obm-l] Conjuntos

[Iuri]

a) Conjunto AUB  qualquer x pertencente a AUB, x pentence a A ou x pertence a B,entao, para qualquer x pertencente a A, x pertence a AUBb) A inter B  para qualquer x pertencente a A inter B, x pertence a A 
e x pertence a B; entao, qualquer x pertencente a A inter B, x pertence a A, logo A inter B está contido em A.

Acho q isso vale como demo.

Em 24/07/05, admath admath[EMAIL PROTECTED] escreveu: Provar (utilizando lógica matemática) que:   a) A está contido em (A U B),qualquer que seja A. 
  b) (A inter B) está contido em A, qualquer que seja A.   Obrigado.  __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger 
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Re: [obm-l] Conjuntos

[Claudio Freitas]

a)

TESE:
 A C (AUB)
 = {qualquer x: xEA == xE(AUB) }
 = {qualquer x: ~xE(AUB) == ~xEA }
 = "Qualquer que seja x, temos que: *se* x no pertence a (AUB),
*ento* x no pertence a (A)."

HIP.: ~xE(AUB)
S1: ~xE(AUB) = ~[ xEA ou xEB ] (HIP. = S1)
S2: ~[ xEA ou xEB ] = ~xEA e ~xEB (S1 = S2)
S3: ~xEA e ~xEB == ~xEA (S2 == S3)
S4:  ~xE(AUB) == ~xEA (HIP. == S3)
S5:  xEA == xE(AUB) (S4)
S6:  A C (AUB) (S5)

Q.E.D.



Abraos,
Claudio Freitas


admath admath escreveu:

  Provar (utilizando lgica matemtica) que:
  
  a) A est contido em (A U B),qualquer que
sejaA.
  
  b) (A inter B) est contido em A, qualquer
que seja A.
  
  Obrigado.
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[obm-l] Conjuntos

[matduvidas48]

01.Considere dois conjuntos de números reais A e B com 12 e 15 elementos, respectivamente. Então, sempre se pode afirmar que:
a) AÇB terá , no mínimo, 12 elementos.
b) AÈB terá , no mínimo, 15 elementos.
c) o número máximo de elementos de AÈB é igual ao número máximo de elementos de AÇB.
d) o número mínimo de elementos de AÈB é igual ao número máximo de elementos de AÇB.


Fico agradecido.

Ary Queiroz

Re: [obm-l] Conjuntos

[André Rodrigues da Cruz]

a) FAÇB terá , no MÁXIMO, 12 elementos.
Como |A|  |B|, então a número de interseções máxima será o número de elementos do menor conjunto, caso este esteja contido no conjunto maior.

b)VAÈB terá , no mínimo, 15 elementos.Se
 A está contindo em em B, implica que a união entre A e B possui o número de elementos de B que é 15.

c) FOnúmero máximo de elementos de AÈB poderá ser |A|+|B|, caso esses conjuntos sejam disjuntos, e o número máximo de elementos de AÇB poderá ser 12, caso A esteja contido em B.
d) FA explicação está nos itens anteriores

Me corrijam, caso fiz alguma coisa errada.
matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] wrote:



01.Considere dois conjuntos de números reais A e B com 12 e 15 elementos, respectivamente. Então, sempre se pode afirmar que:
a) AÇB terá , no mínimo, 12 elementos.
b) AÈB terá , no mínimo, 15 elementos.
c) o número máximo de elementos de AÈB é igual ao número máximo de elementos de AÇB.
d) o número mínimo de elementos de AÈB é igual ao número máximo de elementos de AÇB.


Fico agradecido.

Ary Queiroz
André Rodrigues da Cruz[EMAIL PROTECTED]"A paz seja convosco!"
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Re: [obm-l] Conjuntos

[Marcelo Roseira]

Olá Ary.

Esta questão já apareceu na prova da ANPAD. Gabarito
(C): quatro conjuntos. Seguem abaixo:

{1,2}
{1,2,3}
{1,2,4}
{1,2,3,4}.

Grande abraço.

Marcelo Roseira.

--- matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] wrote:
 O número de conjuntos X que satisfaz
 {1,2}  Ì X  Ì {1 , 2, 3 , 4 }é igual a:
 
 
a) 3
b) 5
c) 4
d) 6
e) 8
 
 
 
 Agradeço de já
 
 Ary Queiroz
  

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[obm-l] Conjuntos

[matduvidas48]

O número de conjuntos X que satisfaz 
{1,2} Ì X Ì {1 , 2, 3 , 4 }é igual a:


a) 3 b) 5 c) 4 d) 6 e)8
 


Agradeço de já

Ary Queiroz

Re: [obm-l] Conjuntos

[Gustavo]

Sol :4 o conjunto x 
pode ser {1,2},{1,2,3},{1,2,4} ou {1,2,3,4}. 

  - Original Message - 
  From: 
  matduvidas48 
  To: obm-l 
  Sent: Tuesday, April 12, 2005 9:12 
  PM
  Subject: [obm-l] Conjuntos
  
  
  
  O número de conjuntos X que satisfaz 
  {1,2} Ì 
  X Ì {1 , 2, 3 , 4 }é igual 
  a:
  
  
  a) 
  3 
  b) 5 
  c) 4 
  d) 6 
  e)8
   
  
  
  
  Agradeço de já
  
  Ary 
  Queiroz
  
  

  No virus found in this incoming message.Checked by AVG 
  Anti-Virus.Version: 7.0.308 / Virus Database: 266.9.7 - Release Date: 
  12/04/05

Re: [obm-l] Conjuntos

[Eduardo Wilner]

Olá.

Para o item 01.,note que 10 não acertaram as
ultimas questões, mas só a primeira, e que 11
acertaram pelo menos as duas ultimas. Daí fica
fácil...
Um raciocínio do tipo pode ser udado paro item
02., ou não?
Vc. pode uasra Diagrama de Venn que pode
facilitar.

  Abraços

  Wilner


--- matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] wrote:
 01.Numa turma de 31 alunos da EPCAR, foi aplicada
 uma Prova de Matemática valendo 10 pontos no dia em
 que 2 alunos estavam ausentes. Na prova, constavam
 questões subjetivas: a primeira, sobre conjuntos; a
 segunda, sobre funções e a terceira, sobre geometria
 plana. Sabe-se que dos alunos presentes
 
 nenhum tirou zero;
 11 acertaram a segunda  e a terceira questões;
 15 acertaram a questão sobre conjuntos;
 1 aluno acertou somente a parte de geometria plana,
 e7 alunos acertaram apenas a questão sobre
 funções.
 
 É correto afirmar que o número de alunos com grau
 máximo igual a 10 foi
 
 a) 4 b) 6  c) 5 
   d) 7
 
 
 
 02.Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17
 nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5
 nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol,
 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os três
 esportes. Qual o valor de n, sabendo-se que todos os
 cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses
 esportes?
 
 a) 31  b) 37   c) 47
 d) 51
 
 
 
 Voces poderiam me dar um ajudinha nestas questões.
 
 
 Agradeço desde de já
 
 
 Ary Queiroz
  

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Re: [obm-l] Conjuntos

[Eduardo Wilner]

--- Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
 Olá.
 
 Para o item 01.,note que 10 não acertaram as
 ultimas questões, mas só a primeira, e que 11
 acertaram pelo menos as duas ultimas. Daí fica
 fácil...
 Um raciocínio do tipo pode ser udado paro item
 02., ou não?
 Vc. pode uasra Diagrama de Venn que pode
 facilitar.
 
   Abraços
 
   Wilner
 

   Se vc. preferir mai formalismo pode usar o Teorema
da Soma: 

[A(união)B(união)C]-A(interseção)B-A(interseção)C-
  -B(interseção)C+[A(interseção)B(interseção)C].

   (Uff,um LATEX iria bem...)

   []'s 

  Wilner


 --- matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] wrote:
  01.Numa turma de 31 alunos da EPCAR, foi aplicada
  uma Prova de Matemática valendo 10 pontos no dia
 em
  que 2 alunos estavam ausentes. Na prova, constavam
  questões subjetivas: a primeira, sobre conjuntos;
 a
  segunda, sobre funções e a terceira, sobre
 geometria
  plana. Sabe-se que dos alunos presentes
  
  nenhum tirou zero;
  11 acertaram a segunda  e a terceira questões;
  15 acertaram a questão sobre conjuntos;
  1 aluno acertou somente a parte de geometria
 plana,
  e7 alunos acertaram apenas a questão sobre
  funções.
  
  É correto afirmar que o número de alunos com grau
  máximo igual a 10 foi
  
  a) 4 b) 6  c) 5   
  
d) 7
  
  
  
  02.Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17
  nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5
  nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam
 voleibol,
  5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os três
  esportes. Qual o valor de n, sabendo-se que todos
 os
  cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses
  esportes?
  
  a) 31  b) 37   c) 47  
  
  d) 51
  
  
  
  Voces poderiam me dar um ajudinha nestas questões.
  
  
  Agradeço desde de já
  
  
  Ary Queiroz
   
 

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=

[obm-l] Conjuntos

[matduvidas48]

01.Numa turma de 31 alunos da EPCAR, foi aplicada uma Prova de Matemática valendo 10 pontos no dia em que 2 alunos estavam ausentes. Na prova, constavam questões subjetivas: a primeira, sobre conjuntos; a segunda, sobre funções e a terceira, sobre geometria plana. Sabe-se que dos alunos presentes

nenhum tirou zero;
11 acertaram a segunda e a terceira questões;
15 acertaram a questão sobre conjuntos;
1 aluno acertou somente a parte de geometria plana,
e 7 alunos acertaram apenas a questão sobre funções.

É correto afirmar que o número de alunos com grau máximo igual a 10 foi

a) 4  b) 6 c) 5  d) 7



02.Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os três esportes. Qual o valor de n, sabendo-se que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses esportes?

a) 31 b) 37 c) 47 d) 51



Voces poderiam me dar um ajudinha nestas questões.


Agradeço desde de já


Ary Queiroz

[obm-l] Conjuntos?

[Raquel Erimil]

A todos da lista, peço auxilio num problema que parece de conjuntos
*Mostrar que em qualquer grupo de 6 pessoas existe, necessariamente, um 
conjunto de 3 pessoas que se conhecem ou que são totalmente estranhos. E num 
grupo de apenas 5 pessoas?

Não faço a menor idéia de como fazer
Erimil
_
MSN Messenger: converse online com seus amigos .  
http://messenger.msn.com.br

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Conjuntos?

[Bruno Bruno]

http://www.obm.org.br/eureka/artigos/gavetas.doc


On Wed, 09 Mar 2005 23:10:50 +, Raquel Erimil [EMAIL PROTECTED] wrote:
 A todos da lista, peço auxilio num problema que parece de conjuntos
 
 *Mostrar que em qualquer grupo de 6 pessoas existe, necessariamente, um
 conjunto de 3 pessoas que se conhecem ou que são totalmente estranhos. E num
 grupo de apenas 5 pessoas?
 
 Não faço a menor idéia de como fazer
 
 Erimil
 
 _
 MSN Messenger: converse online com seus amigos .
 http://messenger.msn.com.br
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =


=
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=

Re: [obm-l] CONJUNTOS (BOAS)

[Fábio Dias Moreira]

[26/2/2005, [EMAIL PROTECTED]:
 Me diga uma coisa eu não entendi a do irracional elevado a um irracional...
 
 no caso x = raiz q. de 2 , ae vc eleva os dois lados a raiz q. de 2 , ae fica
 
 x ^raiz q. de 2 = 2, mas isso diz que x ^raiz q. de 2 = 2 é
 racional mas não diz nada a respeito de x, estou certo?

Cuidado -- eu não disse isso; eu *defini* que x = sqrt(2)^sqrt(2).
Por definição, x é um irracional elevado a um irracional. Se x for um
número racional, o problema acabou, pois x é exatamente o que estamos
procurando (um irracional elevado a um irracional dando um racional).
Senão, então x^sqrt(2) é um irracional elevado a um irracional, e
sabemos que este último número vale 2.

Logo, em qualquer uma das hipóteses, conseguimos encontrar um
irracional elevado a um irracional dando um racional. Logo a resposta
ao problema é sim.
 
 Agora me esclareça uma coisa. Veio um arquivo em anexo no
 documento um tal de file... que arquivo é esse??? Meu PC não
 identifica ele acho...

Pode ficar tranqüilo; o arquivo é só a minha assinatura digital.

[]s,

-- 
Fábio Dias Moreira


pgpV5AYWJXPsC.pgp
Description: PGP signature

Re: [obm-l] CONJUNTOS (BOAS)

[André Barreto]

Oi Fábio,

Poxa muitoobrigado entendi agora a questão.

Eu entendi que era x = sqrt(2)^sqrt(2) mas na hora de digitar eu usei aquela representação horrivel "raiz q. de 2", vou me apoderar da sua forma de representar raiz quadrada, não se importe : )

O arquivo eu achei que era a questão de conjutos que vc tinha feito usando um programa e talz... e por isso meu pc não identificava, por falar nela será que vc pode me dar uma ajuda nela?

- Numa enquete entre 80 aficionados, 20 declaram ter assistido ao jogo A, 40 ao jogo B, 30 ao jogo C, 30 ao jogo D, 5 aos jogos B, C e D, 5 a somente o jogo A, 10 aos jogos B e C, 60 assistiram a pelo menos um dos jogos A,C e D. 10 aficionados não assistiram a nenhum dos jogos B,C e D. Quantos assitiram aos jogoa A,C e D?Quantos não assistiram a nenhum jogo?Quantos assistiram somente ao jogo C ou somente ao jogo D?Se os aficionados que assitiram aos jogos A e D são mais que o triplo dos que assistiram somente ao jogo D, e os aficionados que assistiram somente ao jogo C são menos que o dobro dos que assistiram somente aos jogos A e C, quantos assistiram somente ao jogo D ou somente aos jogos A e C?Eu estou com um problema quenão entendo... eu resolvi uma questão da escola naval de um geito que parece ser certo, olhe.

- (EN-88) Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de rock, quantos % da população, no mínimo gostam de samba, choro, bolero e rock?a) 5 b) 10 c) 20 d) 45 e) 70(encontreo 10% mas não tenho certeza)
eu resolvi aquela primeira de % da (EN-88) assim...
S = {70% gosta de samba}C = {75% de choro}B = {80% de bolero}R = {85% de rock}quantos % no minimo da população gostam de S,C,B e R.Eu fiz assim... o que ele quer é.S inter C inter B inter R = (((S inter C) inter B) inter R)ae eu fiz,n(S U C) = n(S) + n(C) - n(S inter C)100p = 70p + 75p - n(S inter C)n(S inter C) = 45pae repito o processo...100p = 45p + 80p - n((S inter C) inter B)n((S inter C) inter B) = 25p100p = 25p + 85p - n(((S inter C) inter B) inter R)n(((S inter C) inter B) inter R) = 110p - 100p = 10pou seja 10%, sendo p = número de pessoas da cidade divido por cem...
Bem creio que esteja certo... mas tentei usar isso nessa questão e não deu, alem de não dar aindaparece ser um absurdo,olhe.

*** 9- Numa pesquisa entre os alunos do Elite foi constatado que 80% gostam de salada, 95% gostam de carne bovina, 10% gostam de peixe, 90% não gostam de frango e 15% não gostam de massas. Pergunta-se quantos alunos no mínimo não gostam de saladas, nem de carne bovina, nem de massas mas gostam de frango e peixe.a) 10% b)15% c)20% d)25% e)30%
S = {80% gostam de salada}B = {95% gostam de carne bovina}P = {10% gostam de peixe}F = {90% não gostam de frango}M = {15% não gostam de massas}Pergunta-se quantos alunos no mínimo não gostam de saladas, nem de carne bovina, nem de massas mas gostam defrango e peixe.quem não gosta de salada é Cs (complementar da salada em relação a U)
Cs = {20% não gostam de Salada}Cb = {5% não gostam de carne bovina}Cf = {10% gostam de frango}Cs inter Cb inter M inter Cf inter P = Cs inter Cb) inter M) inter Cf) inter P)tenta fazer ae que está dando uma porcentagem negativa e altissima...acho que está dando -349p ou algo assim... tenta ae e vê se dá para saber o que fiz de errado.

Obrigado,

Atenciosamente

André Sento Sé BarretoFábio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] wrote:
[26/2/2005, [EMAIL PROTECTED]: Me diga uma coisa eu não entendi a do irracional elevado a um irracional... no caso x = raiz q. de 2 , ae vc eleva os dois lados a raiz q. de 2 , ae fica x ^raiz q. de 2 = 2, mas isso diz que x ^raiz q. de 2 = 2 é racional mas não diz nada a respeito de x, estou certo?Cuidado -- eu não disse isso; eu *defini* que x = sqrt(2)^sqrt(2).Por definição, x é um irracional elevado a um irracional. Se x for umnúmero racional, o problema acabou, pois x é exatamente o que estamosprocurando (um irracional elevado a um irracional dando um racional).Senão, então x^sqrt(2) é um irracional elevado a um irracional, esabemos que este último número vale 2.Logo, em qualquer uma das hipóteses, conseguimos encontrar umirracional elevado a um irracional dando um racional!
. Logo a
 respostaao problema é "sim". Agora me esclareça uma coisa. Veio um arquivo em anexo no documento um tal de file... que arquivo é esse??? Meu PC não identifica ele acho...Pode ficar tranqüilo; o arquivo é só a minha assinatura digital.[]s,-- Fábio Dias Moreira ATTACHMENT part 2 application/pgp-signature 
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[obm-l] CONJUNTOS (BOAS)

[André Barreto]

*** 4- Numa enquete entre 80 aficionados, 20 declaram ter assistido ao jogo A, 40 ao jogo B, 30 ao jogo C, 30 ao jogo D, 5 aos jogos B, C e D, 5 a somente o jogo A, 10 aos jogos B e C, 60 assistiram a pelo menos um dos jogos A,C e D. 10 aficionados não assistiram a nenhum dos jogos B,C e D. Quantos assitiram aos jogoa A,C e D?Quantos não assistiram a nenhum jogo?Quantos assistiram somente ao jogo C ou somente ao jogo D?Se os aficionados que assitiram aos jogos A e D são mais que o triplo dos que assistiram somente ao jogo D, e os aficionados que assistiram somente ao jogo C são menos que o dobro dos que assistiram somente aos jogos A e C, quantos assistiram somente ao jogo D ou somente aos jogos A e C?(essa foi a que achei mais complicada, mas só vendo a resolução para ter certeza)

6- 39) (ITA-74) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conujunto R dos numeros reais. Sejam as funções f: A - B, (y = f(x)), g: D - A (x = g(x)) e a função composta (fog): E - K, Então os conjunto E e K são tais que:a) E contido A e K contido Db) E contido B e K contém Ac) E contém D, D diferente E e K contido Bd) E contido D e K contido B e) nenhuma das respostas anteriores0bs: assinalei a (d).

*** 8- Um irracional elevado a um irracional pode ser racional? (alguem pode mostrar um exemplo e a prova ou só a prova mesmo está bom)*** 9- Numa pesquisa entre os alunos do Elite foi constatado que 80% gostam de salada, 95% gostam de carne bovina, 10% gostam de peixe, 90% não gostam de frango e 15% não gostam de massas. Pergunta-se quantos alunos no mínimo não gostam de saladas, nem de carne bovina, nem de massas mas gostam de frango e peixe.a) 10% b)15% c)20% d)25% e)30%

Atenciosamente

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[obm-l] Conjuntos

[Junior]

Pessoal, veja se meu raciocício esta correto na questão abaixo:

***
Em um grupo de pessoas, 32% tem idade entre 30 e 40 anos; 48% estão entre 41 e 
50;
e os demais 20%, entre 51 e 60 anos.
Dos que tem de 30 a 40 anos, 30% praticam exercícios. Esse numero sobe para 40% 
na
faixa dos que estão esntre 41 e 50 anos, mas só 22% daqueles que tem entre 51 e 
60
anos praticam exercícios.
Considere, agora, apenas as pessoas desse grupo que tem entre 30 e 50 anos.
Nesta faixa etária, as pessoas que fazem exercícios regurlamente corresponde:


Raciocínio:

Grupo de 30 a 40 anos:   32/100 X 30/100  = 9,6% fazem exercício e tem entre 30 
e
40 anos

Grupo de 40 a 50 anos:   48/100 X 40/100  = 19,2% fazem exercício e tem entre 
40 e
50 anos

Então a resposta é 28,8%.

Esta corretto o raciocínio?



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] CONJUNTOS (BOAS)

[Fábio Dias Moreira]

[25/2/2005, [EMAIL PROTECTED]:
 6- 39) (ITA-74) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do
 conujunto R dos numeros reais. Sejam as funções f: A - B, (y =
 f(x)), g: D - A (x = g(x)) e a função composta (fog): E - K, Então
 os conjunto E e K são tais que:
 a) E contido A e K contido D
 b) E contido B e K contém A
 c) E contém D, D diferente E e K contido B
 d) E contido D e K contido B 
 e) nenhuma das respostas anteriores
 0bs: assinalei a (d).

Certo.

(Mas eu tenho objeções ao enunciado: em todos os bons livros de
matemática que eu conheço, se f: A - B e g: B - C são funções,
então, *por definição*, a composta de g com f é (gof): A - C.
Naturalmente, podemos restringir o domínio e o contradomínio de gof,
mas isso tem que ser indicado, mesmo que implicitamente.)
 
 *** 8- Um irracional elevado a um irracional pode ser racional?
 (alguem pode mostrar um exemplo e a prova ou só a prova mesmo está
 bom)

Considere x = sqrt(2)^sqrt(2). Se x for racional, acabamos. Senão, x é
irracional. Mas então x^sqrt(2) = [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) =
sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = sqrt(2)^2 = 2, que é claramente racional.

(Para satisfazer a sua curiosidade, x é irracional; na realidade, x é
transcendente -- ou seja, x não é raiz de nenhum polinômio de
coeficientes inteiros.)

[]s,

-- 
Fábio Dias Moreira


pgpjtpwTpkSen.pgp
Description: PGP signature

Re: [obm-l] CONJUNTOS (BOAS)

[André Barreto]

Oi Fábio,

Obrigado pela resolução, essas foram as que estavam me pegando...

Agora me esclareça uma coisa. Veio um arquivo em anexo no documento um tal de file... que arquivo é esse??? Meu PC não identifica ele acho...

Atenciosamente

André Sento Sé BarretoFábio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] wrote:
[25/2/2005, [EMAIL PROTECTED]: 6- 39) (ITA-74) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conujunto R dos numeros reais. Sejam as funções f: A - B, (y = f(x)), g: D - A (x = g(x)) e a função composta (fog): E - K, Então os conjunto E e K são tais que: a) E contido A e K contido D b) E contido B e K contém A c) E contém D, D diferente E e K contido B d) E contido D e K contido B  e) nenhuma das respostas anteriores 0bs: assinalei a (d).Certo.(Mas eu tenho objeções ao enunciado: em todos os bons livros dematemática que eu conheço, se f: A - B e g: B - C são funções,então, *por definição*, a composta de g com f é (gof): A - C.Naturalmente, podemos restringir o domínio e o contradomínio de gof,mas isso tem que ser indicado, mesm!
o que
 implicitamente.) *** 8- Um irracional elevado a um irracional pode ser racional? (alguem pode mostrar um exemplo e a prova ou só a prova mesmo está bom)Considere x = sqrt(2)^sqrt(2). Se x for racional, acabamos. Senão, x éirracional. Mas então x^sqrt(2) = [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) =sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = sqrt(2)^2 = 2, que é claramente racional.(Para satisfazer a sua curiosidade, x é irracional; na realidade, x étranscendente -- ou seja, x não é raiz de nenhum polinômio decoeficientes inteiros.)[]s,-- Fábio Dias Moreira ATTACHMENT part 2 application/pgp-signature __Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ 

Re: [obm-l] CONJUNTOS (BOAS)

[André Barreto]

Oi Fábio,

Me diga uma coisa eu não entendi a do irracional elevado a um irracional...

no caso x = raizq. de 2, ae vc eleva os dois lados a raizq. de 2, ae fica

x ^raizq. de 2 = 2, mas isso diz que x ^raizq. de 2 = 2 é racional mas não diz nada a respeito de x, estou certo?

No caso então irracional elevado a irracional é sempre irracional?

Obrigado

Atenciosamente

André Sento Sé BarretoAndré Barreto [EMAIL PROTECTED] wrote:

Oi Fábio,

Obrigado pela resolução, essas foram as que estavam me pegando...

Agora me esclareça uma coisa. Veio um arquivo em anexo no documento um tal de file... que arquivo é esse??? Meu PC não identifica ele acho...

Atenciosamente

André Sento Sé BarretoFábio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] wrote:
[25/2/2005, [EMAIL PROTECTED]: 6- 39) (ITA-74) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conujunto R dos numeros reais. Sejam as funções f: A - B, (y = f(x)), g: D - A (x = g(x)) e a função composta (fog): E - K, Então os conjunto E e K são tais que: a) E contido A e K contido D b) E contido B e K contém A c) E contém D, D diferente E e K contido B d) E contido D e K contido B  e) nenhuma das respostas anteriores 0bs: assinalei a (d).Certo.(Mas eu tenho objeções ao enunciado: em todos os bons livros dematemática que eu conheço, se f: A - B e g: B - C são funções,então, *por definição*, a composta de g com f é (gof): A - C.Naturalmente, podemos restringir o domínio e o contradomínio de gof,mas isso tem que ser indicado, mesm!
! o que
 implicitamente.) *** 8- Um irracional elevado a um irracional pode ser racional? (alguem pode mostrar um exemplo e a prova ou só a prova mesmo está bom)Considere x = sqrt(2)^sqrt(2). Se x for racional, acabamos. Senão, x éirracional. Mas então x^sqrt(2) = [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) =sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = sqrt(2)^2 = 2, que é claramente racional.(Para satisfazer a sua curiosidade, x é irracional; na realidade, x étranscendente -- ou seja, x não é raiz de nenhum polinômio decoeficientes inteiros.)[]s,-- Fábio Dias Moreira ATTACHMENT part 2 application/pgp-signature 
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[obm-l] conjuntos

[marcio aparecido]

prove que n(A U B) = n(A) - n(B) - (A inteseção B) ??
alguem me da um help

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] conjuntos

[Daniel S. Braz]

Não entendi...

A = {a,b,c} ; B = {d,e,f}

n(A) = 3 ; n(B) = 3
n(A uniao B) = 6
n(A inter B) = 0

n(A uniao B) = n(A) - n(B) - (A inter B)

3 =/= 3 - 3 - 0

o que vc queria nao seria..n(A uniao B) = n(A) + n(B) - (A inter B) ?

basta notar que qdo fazemos n(A) + n(B) estamos contando duas vezes os
elementos que pertencem aos dois (intersecao)..

ou

n(A uniao B) = n(A) + n(B - A) = n(A) + n(B) - n(A inter B)

[]s
daniel

--

On Wed, 23 Feb 2005 13:39:35 -0300, marcio aparecido
[EMAIL PROTECTED] wrote:
 prove que n(A U B) = n(A) - n(B) - (A inteseção B) ??
 alguem me da um help
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =
 


-- 
A noção de infinito, de que é preciso se fazer um mistério em
Matemática, resume-se no seguinte princípio: depois de cada número
inteiro existe sempre um outro. (J. Tannery)

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] conjuntos...

[carlos gomes]

como saio dessa?


Uma população de 1000 pessoas votou a favor ou contrariamente a 
duas propostas. Contados os votos observou-se que:

· 50 pessoas foram contrárias à 
primeira proposta;
· 450 foram contrárias à Segunda 
proposta e
· 380 foram favoráveis às duas 
propostas.

O número de pessoas que votaram contra às duas propostas é 
igual a:

a) 80 b) 90 c) 100 d) 70 e) 110 
Valeu, cg.--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e 
 acredita-se estar livre de perigo.