from:"Victor"

Re: [obm-l] Amigo secreto ENEM

2021-01-26 Por tôpico Victor Pompêo

Olá a todos!

Vanderlei, não sou um dos especialistas da lista, mas espero que tudo bem
se eu oferecer uma humilde contribuição :-)

Creio que ainda haja outra possibilidade: considerando a pergunta como ela
de fato foi feita e admitindo a possibilidade de uma pessoa sortear a si
própria (o que não foi proibido pelo enunciado, mas que, bem, seria uma
regra implícita sobre o funcionamento de amigos secretos), a resposta seria
1/50.

Explicando: se uma pessoa pode sortear a si própria, há 10! permutações
possíveis da sequência de 10 pessoas. Considerando que o exercício pede que
uma pessoa do casal entregue o primeiro presente e a outra pessoa do casal
receba o último presente, não podemos admitir que a sequência de
presenteados forme um ciclo único (ou o primeiro a entregar seria o último
a receber). Há 9! ciclos únicos. Portanto, a probabilidade de que a
distribuição de presentes ocorra com mais de um ciclo é de [image:
\frac{10!-9!}{10!}=\frac{9}{10}].

Depois disso, basta considerar que a probabilidade de que uma das pessoas
do casal inicie a permutação é [image: \frac{2}{10}] e que a outra pessoa
termine é [image: \frac{1}{9}]. Portanto, a probabilidade pedida seria [image:
\frac{9}{10} \cdot \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{50}].

Eu realmente espero que essa não seja a solução esperada, porque bem... é
uma abordagem muito ruim para uma questão de um exame desse nível.

Eu não concordo com a resolução sugerida no vídeo anterior. Se eu entendi
bem, o Benício fez a conta supondo que uma pessoa não pode presentear a si
própria. No entanto, no cálculo dos casos totais, ele evita uma maneira de
ocorrer pontos fixos (impedindo que quem começa a entrega dos presentes
seja o primeiro ou penúltimo presenteado), mas não lida com os ciclos
menores, que também podem gerar esse problema.

Abraço,

--
Victor

On Tue, 26 Jan 2021 at 13:45, Professor Vanderlei Nemitz <
vanderma...@gmail.com> wrote:

> Oi, pessoal!
>
> Com certeza vocês estão acompanhando desde domingo as resoluções da
> questão do ENEM do amigo secreto.
> Além da resposta proposta, *1/45*, que parece não estar correta, já vi
> outras duas, *12001/741645* (ETAPA e ANGLO), que consideram também que o
> sorteio anterior para definir "quem presenteia quem", e *7/360*, do vídeo
> a seguir:
>
> https://www.youtube.com/watch?v=c-t_BAMASKE
>
> Gostaria da opinião (e se possível, uma resolução) dos especialistas da
> lista (Ralph e cia :))
>
> Muito obrigado!
>
>
>
>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ângulos de um triângulo

2020-12-04 Por tôpico Carlos Victor

 

Use a lei dos senos e o fato de que sen(54º)-sen(18º)=sen(30º). 

Em 04/12/2020 1:50, Anderson Torres escreveu: 

> Em seg., 30 de nov. de 2020 às 19:28, Professor Vanderlei Nemitz 
>  escreveu: 
> 
>> Boa noite!
>> 
>> Alguém conhece uma saída para o seguinte problema? 
>> Muito obrigado! 
>> 
>> NUM TRIÂNGULO ISÓSCELES ABC, AB = AC. 
>> SEJA D UM PONTO INTERNO TAL QUE OS ÂNGULOS DBC, DCB, DBA E DCA MEDEM, 
>> RESPECTIVAMENTE, 12°, 18°, 54° E 48°. 
>> DETERMINE A MEDIDA DO ÂNGULO DAC.
> 
> Eu ainda nao resolvi, mas sei que e 30 graus. 
> 
>> [1]
>> Livre de vírus. www.avast.com [1].

 

Links:
--
[1]
https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=emailutm_source=linkutm_campaign=sig-emailutm_content=webmail

Re: [obm-l] Prova interessante de que lim n ---> oo n^(1/n) = 1

2020-10-29 Por tôpico Carlos Victor

 

Muito linda Artur. 

Carlos Victor 

Em 28/10/2020 7:44, Artur Costa Steiner escreveu: 

> Achei essa prova bem imaginativa. 
> 
> Para n>= 2, temos n^(1/n) > 1. n^(1/n) pode ser escrito como 
> 
> n^(1/n) = ((raiz(n) . raiz(n) . 1  1)^(1/n) 
> 
> onde o 1 aparece n - 2 vezes. Logo, n^(1/n) é a média geométrica dos números 
> {raiz(n), raiz(n), 1, . .1}. 
> 
> Pela desigualdade MA >= MG temos, para n>= 2, que 
> 
> 1 < n^(1/n) < (raiz(n) + raiz(n) + 1 +1)/n= (2 raiz(n) + (n - 2))/n 
> 
> 1 < n^(1/n) < 2/raiz(n) + 1 - 2/n 
> 
> Como na desigualdade acima o membro da direita tende a 1 quando n vai para 
> oo, segue-se por confronto que 
> 
> lim n ---> oo n^(1/n) = 1 
> 
> Artur

Re: [obm-l] teste

2020-08-08 Por tôpico Carlos Victor

 

Há muito tempo que os meus emails enviados também estão assim e não sei
o motivo. 

Carlos Victor 

PS : este email não sei se chegará aos companheiros da lista 

Em 08/08/2020 17:39, Luís Lopes escreveu: 

> Recebo as mensagens normalmente. Mas não tenho confirmação de 
> chegada ao grupo das que envio. E não aparecem nos arquivos também. 
> 
> Mandei uma há umas 5 horas intitulada polinômio minimal. 
> Chegou? Alguém recebeu ? 
> 
> Luís 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíada de Matemática Online?

2020-05-18 Por tôpico Victor Pompêo

Eu conheço a Purple Comet:
https://purplecomet.org/?action=information/summary

--
Victor


On Mon, 18 May 2020 at 11:52, Anderson Torres 
wrote:

> NÃ£o lembro onde vi, acho que foi no AOPS/Mathlinks, mas existem
> iniciativas de olimpÃadas de matemÃ¡tica feitas online?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Dois problemas

2020-04-26 Por tôpico Carlos Victor

 

Para o (1), observar que a_n é periódico e tem período igual a 20, daí
 

Abraços 

Carlos Victor 

Em 26/04/2020 19:21, Rogério Possi Júnior escreveu: 

> Boa noite. 
> 
> Quem pode ajudar com esses dois problemas: 
> 
> 1) (Ibero-1992) Para cada inteiro positivo n, seja a_n o último dígito de 
> 1+2+3+...+n. Calcule a_1+a_2+...+a_n. 
> 
> 2) (UK-1997) N é um número inteiro de 4 dígitos não terminado em zero, e R(N) 
> é o número inteiro de 4 dígitos obtido pela reversão dos dígitos de N; por 
> exemplo R(3275)=5723. Determine todos os inteiros N ára os quais R(N)=4N+3. 
> 
> Sds, 
> 
> Rogério 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

 
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Re: [obm-l]

2020-04-05 Por tôpico Carlos Victor

 

Inscrevendo o triângulo em um círculo, é possível chegar a esta
resposta. 

Carlos Victor 

Em 05/04/2020 19:10, Anderson Torres escreveu: 

> Em dom., 5 de abr. de 2020 às 19:09, Anderson Torres
>  escreveu: 
> Em qui., 13 de fev. de 2020 às 18:19, Vanderlei Nemitz
>  escreveu: 
> Usei várias leis dos senos, obtive coisas legais, mas não o ângulo pedido. 
> Alguém conhece algo interessante?
> 
> Muito obrigado!
> 
> Em um triângulo ABC, em AC localiza-se os pontos consecutivos M,Q e N, tal 
> que AM=NC. Se Q é ponto médio de MN e os ângulos NBC e ABM medem 20º, calcule 
> a medida do ângulo BQC. 
> Se fizermos BAC=\alpha, BCA=\gamma, obtemos que BM/sin alpha = AM/sin
> 20 = CN/sin 20 = BN/sin gamma
> 
> Também, MNB=20+gamma e NMB = 20+alpha.

Dessa forma, usando outra lei dos senos, temos sin alpha / sin
(20+gamma) = sin gamma / sin (20+alpha).

O que nos dá cos (20+2 alpha) = cos (20 + 2 gamma), o que implica
alpha = gamma, ou ABC isósceles, portanto BQC = 90.

>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.

 
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Re: [obm-l] teoria dos numeros

2020-03-30 Por tôpico Carlos Victor

 

Basta fazer (2^3-1)^2n+(2^3+1)^2n -2 e usar binômio de Newton. 

Em 28/03/2020 13:55, Israel Meireles Chrisostomo escreveu: 

> Eu sei resolver o problema abaixo,porém não sei se é a forma mais simples de 
> se fazer.Vcs poderiam por favor colocar suas soluções nos comentários dessa 
> publicação? O problema é o seguinte:
> Prove que 128 divide 49^{n} + 81^{n} -2, para todo n ≥ 1.Se possível não use 
> indução, pois eu já estou usando indução. 
> 
> -- 
> 
> Israel Meireles Chrisostomo 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
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[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

2020-02-24 Por tôpico Carlos Victor

 

Estou conjecturando que 1/3^n tem período igual a 3^(n-2) , para n>=3. 

Carlos Victor 

Em 20/02/2020 18:01, Prof. Douglas Oliveira escreveu: 

> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? 
> 
> Saudações 
> Douglas Oliveira 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

 
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Re: [obm-l]

2019-11-18 Por tôpico Carlos Victor

 

O Pacini me pediu que enviasse para a lista a ideia abaixo, pois ele não
está conseguindo concluir o devido envio : 

Para n par o link que o Carlos Gustavo colocou mostra a análise. 

Acredito ter encontrado uma outra ideia para todas as soluções com
a=2n+1, usando 

3^(2n+1) = 2(b^2) + 1 

3^(2n+1) = 2(b^2) +3 -2 

3(3^(2n)-1) = 2(b^2 - 1) 

3(3^n-1)(3^n+1) = 2(b-1)(b+1). 

Vou verificar se realmente usando esta ideia chegarei às soluções e
postarei mais adiante. 

Pacini 

Carlos Victor 

Em 16/11/2019 14:47, Pedro José escreveu: 

> Boa tarde! 
> Curioso, a solução (2,2) sai para q =0 no segundo caso 3q+2. 
> Todavia, falta mostrar que para os côngruos de 3 mod81, embora 6q^2+8q+3 
> dívida 81, não é uma potência de 3, já vi que ficou capenga. 
> Saudações, 
> PJMS 
> 
> Em sáb, 16 de nov de 2019 14:54, Pedro José  escreveu: 
> 
>> Boa tarde! 
>> O Esdras conseguiu para a e b par. 
>> Creio ter conseguido para a e b ímpares. 
>> Já havia encontrado (1,1) é (5,11)além de (2,2) para se b pares. 
>> Vamos atrás dos peixes maiores. 
>> 3^a=2*(3q+c)^2+1, 0=> c=1 ou c=2. 
>> Para c=1. 
>> 3^a=18q^2+12q+3 
>> 3^(a-1)=6q^2+4q+1 
>> Note que a solução (1,1) acontece para q =0. 
>> E novamente uma restrição q=2 mod3pois já encontramos a soluçao para q =0. 
>> Mas como não havia soluções menores que as citadas com a e b ímpares, 
>> 3^a>81. 
>> Então 81 |6q^2+4q+1 Para algum resíduo de{5, 8 , 11...77,80}, o que não 
>> acontece. 
>> Para c =2 
>> 3^a =2(3q^2+2)^2+1 
>> 3^(a-1)=6q^2+8q+3 E temos nova restrição q=0 mod3. 
>> Observe que a solução (5,11) vem de q=3. 
>> Usando o mesmo raciocínio anterior, 
>> 81 | 6q^2+8q+3 para algum resíduo de {6,9,12..75 78} 
>> O que não acontece. 
>> Então juntando essa restrição braçal com a refinada do Esdras só existem as 
>> soluções que mencionara lá atrás.: (1,1); (2,2) e (5,11). 
>> Alguém poderia verificar se está correto? 
>> Saudações, 
>> PJMS
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l]

2019-11-18 Por tôpico Carlos Victor

 

O Pacini me pediu que enviasse para a lista a ideia abaixo, pois ele não
está conseguindo concluir o devido envio : 

Para n par o link que o Carlos Gustavo colocou mostra a análise. 

Acredito ter encontrado uma outra ideia para todas as soluções com
a=2n+1, usando 

3^(2n+1) = 2(b^2) + 1 

3^(2n+1) = 2(b^2) +3 -2 

3(3^(2n)-1) = 2(b^2 - 1) 

3(3^n-1)(3^n+1) = 2(b-1)(b+1). 

Vou verificar se realmente usando esta ideia chegarei às soluções e
postarei mais adiante. 

Pacini 

Carlos Victor 

Em 16/11/2019 14:47, Pedro José escreveu: 

> Boa tarde! 
> Curioso, a solução (2,2) sai para q =0 no segundo caso 3q+2. 
> Todavia, falta mostrar que para os côngruos de 3 mod81, embora 6q^2+8q+3 
> dívida 81, não é uma potência de 3, já vi que ficou capenga. 
> Saudações, 
> PJMS 
> 
> Em sáb, 16 de nov de 2019 14:54, Pedro José  escreveu: 
> 
>> Boa tarde! 
>> O Esdras conseguiu para a e b par. 
>> Creio ter conseguido para a e b ímpares. 
>> Já havia encontrado (1,1) é (5,11)além de (2,2) para se b pares. 
>> Vamos atrás dos peixes maiores. 
>> 3^a=2*(3q+c)^2+1, 0=> c=1 ou c=2. 
>> Para c=1. 
>> 3^a=18q^2+12q+3 
>> 3^(a-1)=6q^2+4q+1 
>> Note que a solução (1,1) acontece para q =0. 
>> E novamente uma restrição q=2 mod3pois já encontramos a soluçao para q =0. 
>> Mas como não havia soluções menores que as citadas com a e b ímpares, 
>> 3^a>81. 
>> Então 81 |6q^2+4q+1 Para algum resíduo de{5, 8 , 11...77,80}, o que não 
>> acontece. 
>> Para c =2 
>> 3^a =2(3q^2+2)^2+1 
>> 3^(a-1)=6q^2+8q+3 E temos nova restrição q=0 mod3. 
>> Observe que a solução (5,11) vem de q=3. 
>> Usando o mesmo raciocínio anterior, 
>> 81 | 6q^2+8q+3 para algum resíduo de {6,9,12..75 78} 
>> O que não acontece. 
>> Então juntando essa restrição braçal com a refinada do Esdras só existem as 
>> soluções que mencionara lá atrás.: (1,1); (2,2) e (5,11). 
>> Alguém poderia verificar se está correto? 
>> Saudações, 
>> PJMS
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l]

2019-11-18 Por tôpico Carlos Victor

 

O Pacini me pediu que enviasse para a lista a ideia abaixo, pois ele não
está conseguindo concluir o devido envio : 

Para n par o link que o Carlos Gustavo colocou mostra a análise. 

Acredito ter encontrado uma outra ideia para todas as soluções com
a=2n+1, usando 

3^(2n+1) = 2(b^2) + 1 

3^(2n+1) = 2(b^2) +3 -2 

3(3^(2n)-1) = 2(b^2 - 1) 

3(3^n-1)(3^n+1) = 2(b-1)(b+1). 

Vou verificar se realmente usando esta ideia chegarei às soluções e
postarei mais adiante. 

Pacini 

Carlos Victor 

Em 12/11/2019 19:06, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira escreveu: 

> Há uma menção a esse problema em 
> https://math.stackexchange.com/questions/2826307/integer-solutions-of-3n-1-2m2
>  [1] 
> Uma sugestão é usar o fato de que Z[i.sqrt(2)] é um domínio de fatoração 
> única, e escrever 1+2b^2 como (1+b.i.sqrt(2))(1-b.i.sqrt(2)). 
> Notem que 3 se fatora aí como (1+i.sqrt(2))(1- i.sqrt(2)). 
> Abraços, 
> Gugu 
> 
> On Tue, Nov 12, 2019 at 7:21 PM Pedro José  wrote: 
> 
> Boa noite! 
> Agora captei vosso pensamento. 
> Só que ao transformar a equação em uma equação de Pell, nós maculamos a 
> função 3^n. 
> Em verdade a solução para a par a= 2n, seria (2,2); pois, como mencionara 
> anteriormente se a é par, b também o é. 
> Só que quando procuramos as outras soluções, baseando-se na propriedade de 
> que a norma em Q [RAiz(A)] conserva a multiplicação. Só que quando eu pego a 
> solução 
> 3 + 2 Raiz(2) e elevo ao quadrado 17 + 12 Raiz(2). Se eu pegar 17^2-2*12^2=1 
> eu atendo x^2 - 2Y^2=1. E assim sucessivamente. Mas não existe n inteiro tal 
> que 3^n=17, então não é uma solução da equação original. 
> Creio que seja um pouco mais complicada a solução. Pois o difícil é saber 
> quando atende também a 3^n. 
> Acredito que deva haver uma forma de restringir a essas soluções, pois, 
> definir em que condições a solução terá x como uma potência de 3 seja bem 
> difícil. 
> Estou apanhando mais do que mala velha em véspera de viagem. 
> Se alguém postar uma solução, me ajudaria bastante. 
> 
> Saudações, 
> PJMS 
> 
> Saudações, 
> PJMS. 
> 
> Em ter., 12 de nov. de 2019 às 17:25, Pedro José  
> escreveu: 
> 
> Boa tarde! 
> Douglas, 
> perdoe-me pela minha miopia, mas você poderia detalhar melhor onde entra a 
> equação de Pell? 
> A equação de Pell não é x^2-Dy^2 = N? 
> Se a é par b é par e se a ímpar b é ímpar para atender mod8, 
> Não consegui captar a sugestão. 
> 
> Saudações, 
> PJMS 
> 
> Em ter., 12 de nov. de 2019 às 16:50, Prof. Douglas Oliveira 
>  escreveu: 
> Hum, então, vamos analisar o caso de a ser par do tipo 2n. 
> 
> Assim podemos escrever que (3^n+b(sqrt2))(3^n-b(sqrt2))=1 
> Dai através da solução mínima que o Pedro fez, como (1,1) por exemplo, da pra 
> ver que são infinitas soluções usando a equação de Pell. 
> 
> Abraco 
> Douglas Oliveira. 
> 
> Em dom, 10 de nov de 2019 19:33, gilberto azevedo  
> escreveu: 
> 
> [HELP] 
> Achas todos os pares (a,b) inteiros positivos tais que : 
> 3^a = 2b² + 1. 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo. 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
 

Links:
--
[1]
https://math.stackexchange.com/questions/2826307/integer-solutions-of-3n-1-2m2
-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

2018-11-24 Por tôpico Carlos Victor

 

Oi Vanderlei, vamos lá: 

Seja ABCD o quadrado de diagonais AC e BD. Sejam os pontos P, E e F como
no enunciado. Tracemos a reta que passa por A e E encontrando o
prolongamento de DC em R.Seja também Q o ponto de interseção da reta que
passa por B e F com o prolongamento de DC.Seja T a interseção da reta
que passa por Q e E com o lado AB. 

Sejam BP=z, quadrado de lado AB=L, TB=k, CQ=x e QR=y. Por semelhança de
triângulos verifique que : 

x/k =L/z e y/L =x/z donde x^2=ky. Agora por semelhança veja que 

y/AT= x/k ou seja ky=x.AT e como ky=x^2 temos que x=AT ou seja CQ=AT. 

Como CQ é paralelo a AT e congruentes, temos que o quadrilátero ACQT é
um paralelogramo e já que as diagonais do quadrado são perpendiculares
temos que QT é perpendicular a BD. 

Temos então que no triângulo BDQ, BC e QH( H é a interseção de QT com
BD); 

ou seja E é o ortocentro de BDQ; donde PD é perpendicular a BQ. 

Verifiquem se há algum erro, ok? 

Abraços 

Carlos Victor 

Em 23/11/2018 22:38, Vanderlei Nemitz escreveu: 

> Estamos aguardando o Carlos Victor... 
> :) 
> 
> Em sex, 23 de nov de 2018 18:14, Mauricio de Araujo 
>  Alguem conseguiu finalizar a demonstração? 
> 
> Em qua, 21 de nov de 2018 11:52, Vanderlei Nemitz  escreveu: 
> Hummm... 
> Parece que prolongando BF e DC, que se encontram num ponto Q, E é o 
> ortocentro do triângulo BDQ. 
> O desenho sugere isso. 
> Mas como mostrar isso? 
> 
> Em ter, 20 de nov de 2018 23:38, Carlos Victor  escreveu: 
> 
> Oi Vanderlei, 
> 
> Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo " 
> estratégico". É muito legal que você descubra sozinho 
> 
> Abraços 
> 
> Carlos Victor 
> 
> Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu: 
> Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria Analítica. 
> Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir. Será 
> que é possível? 
> 
> Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD, 
> traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD, conduzimos 
> a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e PD são 
> perpendiculares. 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

2018-11-23 Por tôpico Carlos Victor

 

Desculpem, estou em trânsito. Até amanhã eu posto, ok ? 

Abraços 

Em 23/11/2018 18:05, Mauricio de Araujo escreveu: 

> Alguem conseguiu finalizar a demonstração? 
> 
> Em qua, 21 de nov de 2018 11:52, Vanderlei Nemitz  escreveu: 
> Hummm... 
> Parece que prolongando BF e DC, que se encontram num ponto Q, E é o 
> ortocentro do triângulo BDQ. 
> O desenho sugere isso. 
> Mas como mostrar isso? 
> 
> Em ter, 20 de nov de 2018 23:38, Carlos Victor  escreveu: 
> 
> Oi Vanderlei, 
> 
> Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo " 
> estratégico". É muito legal que você descubra sozinho 
> 
> Abraços 
> 
> Carlos Victor 
> 
> Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu: 
> Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria Analítica. 
> Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir. Será 
> que é possível? 
> 
> Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD, 
> traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD, conduzimos 
> a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e PD são 
> perpendiculares. 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
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acredita-se estar livre de perigo. 
 
-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

2018-11-20 Por tôpico Carlos Victor

 

Oi Vanderlei, 

Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo "
estratégico". É muito legal que você descubra sozinho 

Abraços 

Carlos Victor 

Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu: 

> Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria Analítica. 
> Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir. Será 
> que é possível? 
> 
> Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD, 
> traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD, conduzimos 
> a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e PD são 
> perpendiculares. 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

 
-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Valor mínimo

2018-09-08 Por tôpico Carlos Victor

 

Olá Daniel, 

Esta questão saiu da original que foi de uma Olimpíada de Leningrad em
1988 cujo enunciado era : 

a,b,c e d reais positivos; prove que 1/a+1/b+4/c+16/d >= 64/(a+b+c+d). 

Tome (1/a+1/b+4/c+16/d).(a+b+c+d)= 22+(a/b+b/a)+2(2a/c+
c/2a)+4(4a/d+d/4a)+2(2b/c+c/2b)+4(4b/d+d/4b)+8(2c/d+d/2c)>=22+2+2.2+4.2+2.2+4.2+8.2=64


Abraços 

Carlos Victor 

Em 08/09/2018 9:31, Daniel Quevedo escreveu: 

> Se A, B, C e D são reais positivos então o valor mínimo de 1/A + 1/B + 4/C + 
> 16/D é igual a: 
> A) 1/(A + B +C+D) 
> B) 16/(A + B +C+D) 
> C) 2/(A + B +C+D) 
> D) 64/(A + B +C+D) 
> E) 4/(A + B +C+D) 
> 
> R: d -- 
> 
> Fiscal: Daniel Quevedo 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

 
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[obm-l] Re: [obm-l] Equação 4 grau

2018-06-26 Por tôpico Carlos Victor

 

Oi daniel, 

Faça (x^2+1)^2 =2(x+1)^2 e . 

Abraçõs 

Carlos Victor 

Em 26/06/2018 15:09, Daniel Quevedo escreveu: 

> As raizes reais da equação x^4 -4x=1 pertencem ao intervalo: 
> A) (1,11) 
> B) (2, 12) 
> C) (3, 13) 
> D) (4, 14) 
> E) ( 5, 15) 
> 
> R: c -- 
> 
> Fiscal: Daniel Quevedo 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

 
-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional

2018-06-12 Por tôpico Carlos Victor

 

Olá pessoal, 

Devemos ser cuidadosos com este livro. Há muitas respostas
inconsistentes no gabarito. 

Carlos Victor 

Em 12/06/2018 14:00, Pedro José escreveu: 

> Boa tarde!
> 
> Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e, 
> verifiquei que nunca vai dar a identidade. Dá o quociente de duas funções 
> afins e portanto nunca dará x. Por curiosidade, os coeficientes dos 
> polinômios de primeiro grau são, em módulo, termos da sequência de Fibonacci. 
> E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é a 
> solução temos:
> 
> f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x - 2 + 
> x^2/(2x^2-3x+1)
> 
> só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será cancelado 
> esse termo em x^3, por exemplo. Será que fiz barbeiragem nesse 
> desenvolvimento?
> 
> Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.
> 
> Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de (1-x)/x=x
> 
> Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==> 
> f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4
> 
> mas aplicando a solução proposta:
> 
> f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5) +5) 
> - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser visto, 
> de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.
> 
> O problema não está fechando, creio eu. 
> Ou defeito na proposição ou no resultado. 
> Saudações, PJMS
> 
> Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir  
> escreveu:
> 
> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática ( Gandhi 
> ) 
> E resposta que ele diz é 
> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1) 
> 
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir  
> escreveu: 
> 
> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x 
> 
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira  
> escreveu: 
> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer 
> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então: 
> f(x)+f(y)=1+x 
> f(y)+f(z)=1+y 
> f(z)+f(x)=1+z 
> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha, 
> acharíamos f(x). 
> 
> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo, 
> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas 
> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa. 
> 
> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)). Dado 
> um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) -- observe 
> que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que nenhum dos 
> números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de valores {x_k} de 
> "órbita" do número a. 
> 
> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f dentro 
> de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais nada, ou 
> seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a órbita é 
> infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode ESCOLHER f(a) como 
> quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como recorrência. 
> 
> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão, para 
> vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a para 
> algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que é uma 
> equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais. Então, 
> mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que fazem a 
> órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis, então há 
> várias órbitas infinitas Acho. 
> 
> Abraço, Ralph. 
> 
> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a lista... 
> Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é 
> interessante, não? 
> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer algo 
> usando o limite de x_k... 
> 
> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir  
> wrote: 
> 
> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que 
> 
> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) . 
> 
> Obs: ( 1-x | x) é 1-x dividido por x . 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo. 
> -- 
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Re: [obm-l] Limite

2018-03-19 Por tôpico Carlos Victor

 

Oi Vanderlei, 

Use a equivalência de Stirling : 

n! ~ n^n.e^(-n).sqrt(2pi.n) e que lim(n^(1/n)=1 e o resultado será 1/e. 

Abraços 

Carlos Victor 

Em 19/03/2018 12:27, Vanderlei Nemitz escreveu: 

> Bom dia! 
> Eu resolvi o limite a seguir de um modo muito complicado e encontrei 1/e. 
> 
> Alguém conhece alguma solução? 
> 
> lim [n!/n^n]^(1/n), quando n tende ao infinito. 
> 
> Muito obrigado! 
> -- 
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> acredita-se estar livre de perigo.

 
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Re: [obm-l] Algebra (Polinomios)

2017-07-10 Por tôpico Carlos Victor

 

Oi Douglas, faça o seguinte: 

p(x) = (x^2+x+1)^40 = [x(x+1)+1]^40 e tomando y = x(x+1) e desenvolva o
binômo de Newton 

(y+1)^40 = [y+1)^39](y+1). Observe que os três últimos do
desenvolvimento dentro dos colchetes serão : 741y^2+39y+1, pois os
anteriores serão divisíveis por (x+1)^3. 

Basta então encontrar o resto de (741y^2+39y+1)(y+1) por (x+1)^3. 

Seja g(y) = (741y^2+39y+1)(y+1) com y = x(x+1). Como estamos dividindo
por x^3+3x^2+3x+1, basta substituirmos x^3 por -3x^2-3x-1 no
desenvolvimento de g(y). 

Fazendo algumas continhas (confira), encontramos o resto igual a
820x^2+1600x+781. 

Abraços 

Carlos Victor 

Em 10/07/2017 20:37, Douglas Oliveira de Lima escreveu: 

> Encontrar o resto da divisão do polinomio (x^2+x+1)^40 por (x+1)^3. 
> 
> Obs: Sem usar derivadas. 
> 
> Douglas Oliveira. 
> -- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Polinômios

2017-05-27 Por tôpico Carlos Victor

 

Oi Wanderlei, 

seja o resto dado por R(x)=ax^3+bx^2+cx+d. 

Onde tiver x^2 em R(x) substitua por (-x-1) e force ser igual a -x+1;
encontrando : 

c-b=-1 e a+d-b=1. Depois onde tiver x^2 substitua por(x-1) e force ser
igual a 3x+5; encontrando b+c=3 e d-b-a=5. 

conclusão : a=-2, b=2 , c=1 e d=5. 

Abraços 

Carlos Victor 

Em 27/05/2017 11:17, Vanderlei Nemitz escreveu: 

> Bom dia! 
> 
> Alguém poderia dar uma ideia na seguinte questão? Já tentes algumas 
> estratégias, mas sem êxito. 
> 
> UM POLINÔMIO P(X) DIVIDIDO POR X^2 + X + 1 DÁ RESTO -X + 1 E DIVIDIDO POR X^2 
> -X + 1 DÁ RESTO 3X + 5. QUAL O RESTO DA DIVISÃO DE P(X) POR X^4 + X^2 + 1? 
> 
> A resposta que tenho é -2X^3 + 2X^2 + X + 5. 
> 
> Obrigado! 
> 
> Vanderlei 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

 
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[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Questão Geometria

2016-10-10 Por tôpico Carlos Victor

 

Olá Vinicius, 

Seja R a intersecção de AO com BC. Seja T a intersecção da bissetriz de
 Será que alguém poria me ajudar na seguinte questão? 
> 
> * 
> 
> (Belarus) Seja O o centro do círculo ex-inscrito do triângulo ABC oposto ao 
> vértice A. Seja M o ponto médio de AC e seja P a intersec ̧ão das retas MO e 
> BC. Prove que se ∠BAC = 2∠ACB, então AB = BP. 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
 
-- 
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Re: [obm-l] Re: Geometria

2016-09-11 Por tôpico Carlos Victor

 

Oi Jeferson, 

Tome E sobre BD tal que o ângulo EAB seja 30º. Observe que o ângulo ADB
é igual a 100º e que o ângulo DAE é igual a 20º. Daí o ângulo AED é
igual a 60º. Como E está na bissetriz de ACB, então o ângulo AEC é igual
a 120º. Observe agora que D é o ponto de encontro das bissetrizes
internas do triângulo AEC e consequentemente o ângulo BDC é igual a
110º. 

Abraços 

Carlos Victor 

Em 10/09/2016 17:34, Jeferson Almir escreveu: 

> Olá pessoa queria uma ajuda nessa questão
> 
> A figura em anexo mostra um triângulo _ABC_. _D_ é um ponto interior onde a 
> medida dos ângulos _CAD_, _ABD_, _CBD_, e _BAD_ são 20º, 30º, 40º e 50º , 
> respectivamente. Encontre a medida do ângulo _BDC_. 
> 
> Em 28 de agosto de 2016 18:31, Jeferson Almir <jefersonram...@gmail.com> 
> escreveu:
> 
>> Olá pessoa queria uma ajuda nessa questão
>> 
>> A figura em anexo mostra um triângulo _ABC_. _D_ é um ponto interior onde a 
>> medida dos ângulos _CAD_, _ABD_, _CBD_, e _BAD_ são 20º, 30º, 40º e 50º , 
>> respectivamente. Encontre a medida do ângulo _BDC_.
> 
> -- 
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> acredita-se estar livre de perigo.
 
-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida sobre a Obm U

2016-07-25 Por tôpico Carlos Victor

 

Oi Otávio, 

Você já viu a Revista Matemática Universitária da SBM ? 

Em 25/07/2016 10:09, Otávio Araújo escreveu: 

> Pois é, se algum professor com experiência em olimpíadas, como o Nicolau por 
> exemplo, respondesse minha pergunta seria de grande ajuda 
> 
> Em 24 de jul de 2016, às 23:25, Israel Meireles Chrisostomo 
>  escreveu:
> 
> Boa pergunta, eu tambÃ(c)m tenho interesse em participar da OBM U e gostaria 
> de umas dicas 
> 
> Em 16 de julho de 2016 13:29, OtÃ¡vio AraÃºjo  
> escreveu:
> Galera, gostaria que vocÃƒÂªs me dessem dicas de o que estudar, como estudar 
> e por quais livros e materiais estudar para a prova da Obm nÃƒÂvel 
> universitÃƒÂ¡rio...
> Estou muito interessado em participar, mas fico meio confuso por onde 
> estudar...
> Por favor me ajudem
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
> Â acredita-se estar livre de perigo.
> 
> =
> InstruÃ§Ãµes para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html [1]
> =
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
acredita-se estar livre de perigo. 

Links:
--
[1] http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] [OFF] Aneis Adélicos (Adèles)

2016-05-24 Por tôpico Carlos Victor

 

OI Listeiro.
Dê uma olhada neste
material:http://www.pg.im.ufrj.br/teses/Matematica/Mestrado/319.pdf [1] 

Abraços 

Carlos Victor 

Em 23/05/2016 12:04, Listeiro 037 escreveu: 

> Saudações a todos.
> 
> Esbarrei com um conceito algébrico chamado Adele. Não encontrei
> material claro sobre este conceito. Alguém conhece algum? Desde já
> agradeço.
 

Links:
--
[1] http://www.pg.im.ufrj.br/teses/Matematica/Mestrado/319.pdf

-- 
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Re: [obm-l] Combinatoria

2016-02-01 Por tôpico Carlos Victor

 

Olá, 

A figura(cartela) é um retângulo dividido em seis quadrados, tendo dois
quadrados por coluna. 

Pacini 

Em 01/02/2016 3:06, Israel Meireles Chrisostomo escreveu:

Em 31 de janeiro de 2016 22:43, Pacini Bores 
escreveu:

> Olá pessoal, 
> 
> Creio que a figura não apareceu. É um retângulo dividido em seis quadrados, 
> tendo dois quadrados por coluna. 
> 
> Obrigado 
> 
> Pacini 
> 
> Em 31/01/2016 14:30, Pacini Bores escreveu: 
> 
>> Olá pessoal , poderia me ajudar na questão abaixo ? 
>> 
>> Cada cartela de uma coleção é formado por seis quadrados colorodos, 
>> justapostos como indica a figura abaixo: 
>> 
>> Em cada cartela, dois quadrados foram coloridos de azul, dois de verde e 
>> dois de rosa. A coleção apresenta as possibilidades de distribuição dessas 
>> cores nas cartelas nas condições citadas e não existem cartelas com a mesma 
>> distribuição de cores. Retirando-se ao acaso uma cartela, determine a 
>> probabilidade de que somente uma coluna apresente os quadrados de mesma cor. 
>> 
>> Agradeço desde já qualquer comentário 
>> 
>> Pacini

[obm-l] Re: [obm-l] Máximo absoluto de f(x) =( 5x -1) / (x^2 + 1)

2015-12-14 Por tôpico Carlos Victor

 

Oi Pedro, observe inicialmente que o campo de definição é o conjunto dos
reais. 

Chame y = (5x-1)/(x^2+1) e monte uma equação do segundo grau em x. Faça
o delta maior do que ou igual a zero. 

Abraços 

Carlos Victor 

Em 13/12/2015 22:07, Pedro Chaves escreveu: 

> Caros Colegas,
> 
> Como provar, sem recorrer a limites nem a derivadas, que existe o máximo 
> absoluto da função f(x) = (5x - 1) / (x^2 + 1), definida para todo x real?
> 
> Abraços do Pedro Chaves
> --- 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
 
-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Soma de números compostos

2015-12-13 Por tôpico Carlos Victor

 

Oi Marcone, 

Para n maior do que ou igual a 1, temos: 

i)11+3n = 8+3(n+1) 

ii)11+3n+1 = 9+3(n+1) 

iii) 11+3n+2 = 10+3(n+1) 

Faltando : 12 =8+4 e 13 = 9+4. 

Abraços 

Carlos Victor 

Em 11/12/2015 23:36, marcone augusto araújo borges escreveu: 

> Mostre que todo inteiro n > 11 pode ser escrito como soma de números 
> compostos positivos 
> 
> para n par : n = 11 + 2t-1 = 4 + [2(t + 3)] 
> mas... 
> -- 
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Re: [obm-l] Primo?

2015-11-25 Por tôpico Carlos Victor

 

Não. 

Observe um dos emails do Pacini. 

(2^83-1)(2^83+1)=2^166-1; por Fermat...; daí ele tentou verificar se 167
é fator do número pedido. 

Abraços 

Carlos victor 

Em 24/11/2015 20:13, Mauricio de Araujo escreveu: 

> Só para ser chato, o primo 167 caiu do céu? rsss (sem ofensas) 
> 
> No enunciado original não é mencionado o primo 167... 
> 
> Em 24 de novembro de 2015 16:48, Matheus Secco <matheusse...@gmail.com> 
> escreveu:
> 
> Acredito que você possa usar resíduos quadráticos: 
> 
> (2 legendre p) = (-1)^(p^2-1)/8 
> 
> (2 legendre p) == 2^(p-1)/2 (mód p) 
> 
> Para p = 167, temos que (167^2-1)/8 é par. Logo (2 legendre 167) = 1. 
> Com isso, obtemos que 2^83 == 1 (mód 167). 
> 
> Abraços 
> 
> 2015-11-24 10:16 GMT-02:00 Pacini Bores <pacini.bo...@globo.com>:
> 
> Olá Marcone, 
> 
> Observe que 2^166-1 é divisível por 167; logo um dos fatores de 
> (2^83-1)(2^83+1) divide 167, já que 167 é primo. Só estou tentando provar que 
> é 2^83-1, que ainda não consegui. 
> 
> Pacini 
> 
> Em 24/11/2015 7:32, marcone augusto araújo borges escreveu: 
> Mostre que 2^83 - 1 não é primo 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
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> -- 
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Abraços 

oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ 

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Conicas

2015-10-31 Por tôpico Carlos Victor

 

Usando a ideia do Pacini, observe que dy/dx =0 para x=1 e y=0; dy/dx não
existe para x =-1/2 e que o eixo de simetria passa pelo ponto(-1/2,0) ;
ou seja o eixo de simetria é dado por y= -x-1/2. Fazendo a intersecção
dessa reta com a curva dada, encontramos x=-1/8 e y= -3/8, que são as
coordenadas do vértice. 

Abraços 

Carlos Victor 

Em 29/10/2015 23:01, Douglas Oliveira de Lima escreveu: 

> Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda no seguinte problema: 
> 
> PROBLEMA: Encontrar a abscissa da parábola de equação 
> x^2+2xy+y^2-2x+4y+1=0. 
> 
> OBS: Essa questão caiu na prova do ITA acho que de 2012, e vi uma solução que 
> envolvia limites do qual não compreendi muito bem. 
> Sei portanto como usar a rotação de eixos e também através de diagonalização. 
> Mas gostaria de saber se existe outro modo de chegar a tal abscissa. 
> 
> Desde já obrigado. 
> Forte abraço do Douglas Oliveira. 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

2015-09-08 Por tôpico Carlos Victor

Oi  Israel,
lim(n!/((n^n).(e^(-n)).(sqrt(2.pi.n))) = 1( relação de Stirling)  e use  o
fato de que lim (n^(1/n))=1.

Abraços

Carlos  Victor

Em 8 de setembro de 2015 21:03, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Como posso provar de forma simples que ((2n)!/(n!)²)^{1/n}=4?Estou
> dependendo desse resultado para calcular um outro limite...
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] indução

2015-06-28 Por tôpico Carlos Victor

Oi Marcone, irei resumir .

Inicialmente a prova de que  n^33^n ou igual. Por indução:

3^(n+1) = 3.3^n  ou igual  que 3.n^3 = n^3+3n^2+3n + (n-3).n^2 + (n^2-3).n
 n^3+3n^2+3n+1 = (n+1)^3.

Suponha agora  que mn , então  m^(1/n) n^(1/n)  ou igual a 3^(1/3), ok ?

PS:
Esta questão foi da AMM, 1970,p 768, problem E2190, proposed by Harry
Pollard, Purdue University , solved by Charles Wexler, Arizona State
University, and 118 others.

Abraços

Carlos  Victor

Em 28 de junho de 2015 11:31, rigillesbmene...@gmail.com escreveu:

 Qual a necessidade de escrever n^1 ao invés de n? É algo da questão
 mesmo?

 Enviado do meu iPhone

 Em 28/06/2015, às 11:17, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Prove por indução que n^1/n  = 3^1/3, para n  = 2. Mostre que um dos
 números
 n^1/m ou m^1/n é maior que ou igual a 3, m e  naturais

 --
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[obm-l] Re: [obm-l] indução

2015-06-28 Por tôpico Carlos Victor

Observar que o enunciado é 3^(1/3), ok ?

Em 28 de junho de 2015 12:03, Carlos Victor victorcar...@globo.com
escreveu:

 Oi Marcone, irei resumir .

 Inicialmente a prova de que  n^33^n ou igual. Por indução:

 3^(n+1) = 3.3^n  ou igual  que 3.n^3 = n^3+3n^2+3n + (n-3).n^2 +
 (n^2-3).n  n^3+3n^2+3n+1 = (n+1)^3.

 Suponha agora  que mn , então  m^(1/n) n^(1/n)  ou igual a 3^(1/3), ok ?

 PS:
 Esta questão foi da AMM, 1970,p 768, problem E2190, proposed by Harry
 Pollard, Purdue University , solved by Charles Wexler, Arizona State
 University, and 118 others.

 Abraços

 Carlos  Victor

 Em 28 de junho de 2015 11:31, rigillesbmene...@gmail.com escreveu:

 Qual a necessidade de escrever n^1 ao invés de n? É algo da questão
 mesmo?

 Enviado do meu iPhone

 Em 28/06/2015, às 11:17, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Prove por indução que n^1/n  = 3^1/3, para n  = 2. Mostre que um dos
 números
 n^1/m ou m^1/n é maior que ou igual a 3, m e  naturais

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[obm-l] Re: [obm-l] Área da Cicloide

2015-05-24 Por tôpico Carlos Victor

Oi  Eduardo, existe um texto no endereço a seguir. Verifique se é o que
você deseja.
http://www.apm.pt/apm/foco98/activ9.html

Abraços

Carlos  Victor

Em 24 de maio de 2015 18:46, Eduardo Henrique dr.dhe...@outlook.com
escreveu:

 Eu lendo um livro de história da matemática vi que Torricelli e Wren
 conseguiram demonstrar que a área sob um arco de cicloide é 3x a área do
 circulo que a gera utilizando o método da exaustão! Alguém saberia me
 indicar onde conseguir essas demonstrações ou até mesmo me dar uma luz em
 como faze-la?

 Att

 Eduardo

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Re: [obm-l] Re:

2015-03-30 Por tôpico Carlos Victor

Olá Gabriel, esta é do livro do Gandhi :

(x^2+2)^2 = 4(x-2)^2 e daí .

Abraços

Carlos  Victor

Em 30 de março de 2015 07:16, Carlos Victor victorcar...@globo.com
escreveu:

 Tente completar quadrados.

 Abraços

 Carlos Victor

 Em 29 de março de 2015 21:27, Gabriel Tostes gtos...@icloud.com
 escreveu:

 AlguÃĐm me ajuda a responder?
 determine as raÃzes reais da equaÃ§ÃĢo:
 X^4 + 16x - 12 = 0
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instruįões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =



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Re: [obm-l] Tabuleiro 3x3 com 4 cores

2015-03-30 Por tôpico Carlos Victor

Acredito que  ideia do Bob Roy é o mais rápida para obter a solução.

Carlos  Victor

Em 30 de março de 2015 10:39, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com
escreveu:

 Sim Pedro, esta é uma solução; ou seja, há possibilidade de se usar até
 quatro cores.

 Pacini

 Em 30 de março de 2015 10:23, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia!

 Uma dúvida há necessidade de se usar as quatro cores ou há a
 possibilidade de se usar até quatro cores?

 Por exemplo,

 0 1 0
 1 0 1
 0 1 0

 onde 0 e 1 representam duas cores distintas, seria uma solução?

 Saudações,

 PJMS





 Em 29 de março de 2015 11:26, Bob Roy bob...@globo.com escreveu:

 Olá, O melhor para este problema é utlizar  o que o grande mestre
 Morgado falava : devemos inicialmente eliminar as dificuldades.

 Considerando uma matriz 3x3 , temos que os quadradinhos a12, a21, a23 e
 a32 não poderão ter todas as cores diferentes.

 Comece fazendo a análise com  duas cores iguais, três cores iguais e
 depois quatro cores iguais para essas posições.

 A análise ficará menos trabalhosa .

 Farei as contas e depois eu posto o resultado.

 Roy


 Em 28 de março de 2015 10:22, Carlos Victor victorcar...@globo.com
 escreveu:

 Comece pelo centro e pelas laterais, isto deve diminuir as
 dificuldades. Abrirão vários casos para serem analisados.

 E se  não me engano, esta questão tem como origem  não considerando os
 quadrados pelos vértices com as mesmas cores. Neste  caso a análise fica
 mais silmplificada.

 Abraços

 Carlos Victor

 Em 28 de março de 2015 09:38, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com
 escreveu:

 Olá pessoal,  como pensar nesta ?

 De quantas maneiras podemos pintar um tabuleiro 3x3 com 4 cores de tal
 forma que não tenhamos cores adjacentes ?

 Nota : em diagonal não é considerado adjacente.

 Agradeço desde já

 Pacini.

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[obm-l] Re:

2015-03-30 Por tôpico Carlos Victor

Tente completar quadrados.

Abraços

Carlos Victor

Em 29 de março de 2015 21:27, Gabriel Tostes gtos...@icloud.com escreveu:

 AlguÃĐm me ajuda a responder?
 determine as raÃzes reais da equaÃ§ÃĢo:
 X^4 + 16x - 12 = 0
 --
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  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instruįões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =


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Re: [obm-l] Tabuleiro 3x3 com 4 cores

2015-03-28 Por tôpico Carlos Victor

Comece pelo centro e pelas laterais, isto deve diminuir as dificuldades.
Abrirão vários casos para serem analisados.

E se  não me engano, esta questão tem como origem  não considerando os
quadrados pelos vértices com as mesmas cores. Neste  caso a análise fica
mais silmplificada.

Abraços

Carlos Victor

Em 28 de março de 2015 09:38, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com
escreveu:

 Olá pessoal,  como pensar nesta ?

 De quantas maneiras podemos pintar um tabuleiro 3x3 com 4 cores de tal
 forma que não tenhamos cores adjacentes ?

 Nota : em diagonal não é considerado adjacente.

 Agradeço desde já

 Pacini.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problema IMO

2015-03-10 Por tôpico Carlos Victor

Oi Israel, no link

http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1985_IMO_Problems/Problem_4,
 vc encontra a solução, ok ?


Abraços


Carlos  Victor



Em 10 de março de 2015 21:46, Israel Meireles Chrisostomo 
israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Alguém poderia me ajudar nessa questão envolvendo o princípio da casa dos
 pombos?
 Dado um conjunto M com 1985 inteiros positivos distintos, nenhum dos
 quais tem divisores maiores do que 23, mostre que há 4 elementos em M cujo
 produto é uma quarta potência.
 Pensei em usar que de 2 a 23 tem 9 números primos, mas não sei bem como
 aplicar o princípio, se alguém pudesse me ajudar serei grato.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM NÍVEL 3 TERCEIRA FASE PRIMEIRO DIA

2014-11-17 Por tôpico Carlos Victor

Oi grande Douglas !!

Como sempre postando bons problemas para a nossa comunidade.

Vamos lá :

Sejam M,N,R e Q os incentros dos triângulos ABP, BPC, CPD e APD
respectivamente.

Sejam S, T, U e V  os incentros dos triângulos ABC,BCD, ACD e ABD
respectivamente.

1º) mostre que  MNRQ é um losango. Mostre também que os raios dos círculos
inscritos em ABC e ADC são iguais; da mesma forma dos triângulos ABD e BCD.

2º) depois mostre que  AM/MS =  AQ/QU  e que  SN/NC = RU/RT .

3º) como consequência SU é paralelo a BD e que VT é paralelo  a AC.

4º) mostre que mostre que MS/AM = UR/RC.

5º) mostre que o ângulo MSN = ângulo QUR ; da mesma forma  ângulo NTR  =
ângulo MVQ.

6º) conclua então que ASCU é um paralelogramo.

7º) conclua daí que pelo fato de PN = PQ e  MP = PR , teremos S pertencente
a BD e  V pertencente a AC.

8º) Como BP é bissetriz e intersecta AC no ponto médio, temos que AB=AC e
BP é perpendicular a BC.

9º) da mesma forma ACD é isósceles.

10º) ídem para BCD e ABD .


Conclusão : ABCD é um losango.. UFA .


Abraços

Carlos  Victor


Em 30 de outubro de 2014 12:22, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com
escreveu:

 Opa, eu tinha entendido círculos circunscritos... Foi mal.

 Em 30 de outubro de 2014 11:02, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com
 escreveu:



 Em 29 de outubro de 2014 22:50, Douglas Oliveira de Lima 
 profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:


  *PROBLEMA 1 *

 Seja *ABCD *um quadrilátero convexo e seja *P *a interseção das
 diagonais *AC *e *BD*. Os raios dos círculos inscritos nos triângulos
 *ABP*, *BCP*, *CDP *e *DAP *são iguais. Prove que *ABCD *é um losango.


 Como poderíamos fazer esse problema?




 --
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 --
 Esdras Muniz Mota
 Graduando em Matemática Bacharelado
 Universidade Federal do Ceará





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 Esdras Muniz Mota
 Graduando em Matemática Bacharelado
 Universidade Federal do Ceará



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Re: [obm-l] Geometria.

2014-11-03 Por tôpico Carlos Victor

Oi  Pedro, esse  é um problema bem difícil e a solução, o Gandhi ( Antonio
Luis) me mostrou um tempo atrás ( 1997 se não me engano...). Vou tentar
escrevê-lo. Faça uma figura e acompanhe, ok ?

Vamos lá :

Vamos escolher dois pontos  M e N sobre BC, tais que N seja o simétrico de
E( ângulo em E igual a 18) em relação à bissetriz CF  e M o simétrico  de F
em relação à bissetriz  BE. Trace NI, NF  e trace ME.  Seja Q o encontro de
ME com FC. Conclua que os ângulos MQF, MQN e NQC são iguais a 60º. Como FN
é bissetriz do ângulo MFQ e NQ é bissetriz externa do ângulo MQF, temos
 que MN é bissetriz externa do ângulo QMF e daí encontre o ângulo interno
em B igual a 72º. Como o ângulo em A é 96º , temos que o ângulo interno em
C é igual 12º.

Donde  B- C = 60º, UFA !!!.

Caso não entenda alguma parte , escreva, ok ?


Abraços

Carlos  Victor

Em 3 de novembro de 2014 13:37, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Seja ABC um triângulo e E e F os pés das bissetrizes internas dos ângulos
 B e C respectivamente. Sabendo-se que os ângulos E e F do triângulo EIF,
 onde I é o incentro de ABC, medem 18 e 24 graus, calcule B-C.

 Alguém tem alguma ideia?

 Grato,
 PJMS

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Re: [obm-l] Problema de Geometria

2014-11-03 Por tôpico Carlos Victor

Oi Mariana,

Seja   x o  ângulo DCA . Aplicando a lei dos senos nos triângulos ACD e BCD
, vc encontrará a seguinte relação :

senx = 2sen(x+20).cos80.

Transformando em soma teremos : senx = sen(x+100) + sen(x-60).

Jogando para a esquerda o sen(x-60), teremos  senx - sen(x-60) =
sen(x+100); ou  seja :

2sen(30)cos(x-30) = sen(x+100) ; ou seja ;  sen(120-x) = sen(x+100) ; ou
seja :

x = 10º. Confira as contas, ok ?

Abraços

Carlos  Victor


PS : este problema se torna mais interessante, colocando o seguinte
enunciado :

No triângulo ABC, AB = AC . Um ponto D está sobre o lado AB e
AD = BC,  tal que  CD passe pelo circuncentro de ABC. Calcule os ângulos do
 triângulo.

Em 3 de novembro de 2014 20:21, Mariana Groff 
bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu:

 Boa Noite,
 Alguém poderia me ajudar no problema a seguir?

 No triângulo ABC, AB = AC e BÂC = 20º. Um ponto D está sobre o lado AB e
 AD = BC. Calcule o ângulo BCD.

 Obrigada,
 Mariana

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Re: [obm-l] Geometria

2014-10-25 Por tôpico Carlos Victor

Oi  Douglas,

Pense assim :

1) Mostre inicialmente que aplicando a lei dos senos para o triângulo OHA,
encontramos

cosB =2cosA.cosC., sabendo que AH = 2. OS, onde  S é o ponto médio de CB.

2) Sabendo que os lados do triângulo órtico são dados por :

Rsen2A, Rsen2B e Rsen2C e fazendo a semi-soma do primeiro com o último, e
utilizando (1),

conclua que esse triângulos tem as medidas dos lados em PA, ok ?

Nota : R é o raio do círculo circunscrito ao triângulo. ( confira as contas)


Abraços

Carlos Victor




Em 24 de outubro de 2014 07:07, Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Bom dia a todos, não vi solução para essa questão,

 Sejam H, O o ortocentro e o circuncentro do triÂngulo ABC. AD, BE e CF são
 as alturas relativas aos vértices A, B e C. Suponha que OH seja paralelo
 a AC. Mostre que os lados do triângulo DEF estão em progressão aritmética.


 Agradeço a ajuda!!

 Douglas Oliveira.




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Re: [obm-l] Inteiros

2014-09-13 Por tôpico Carlos Victor

Oi  Marcone, essa é do Mathematical Morsels.

Já que 3abc é positivo, devemos ter  a^3 maior que b^3  e c^3.

Logo ba  e ca dando b+c  2a  e portanto  a^2  4a , ou seja, a  4.

A segunda igualdade mostra também a é par , então  a = 2, b = c = 1.

Abraços

Carlos Victor

Em 13 de setembro de 2014 20:12, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Determine todos os naturais a,b e c tais que a^3 - b^3 - c^3 = 3abc e a^2
 = 2(b+c)

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Re: [obm-l] Problema de geometria!

2014-07-06 Por tôpico Carlos Victor

OI Douglas ,

Pensando neste problema, se usar a lei dos cossenos nos triângulos FCE, AFD
e DBE e usando o fato de que cos(90+B)= -senB ( não é muito trabalhoso);
 deixando na forma de quadrados não é difícil de concluir que 4 FE^2= ED^2
e que 4DF^2 = 3ED^2 ; ou seja o triângulo EFD é retângulo e que que os
ângulos pedidos são 90º e 30º , ok ?

Pelo visto vc está querendo uma solução com algum traçado mágico, não é
verdade?
Estarei pensando, ok  Douglas! Estou desconfiado que deve ter alguma coisa
com o Teorema de Napoleão ...

Vamos tentar, pois deve ser assaz interessante tal traçado.

Abraços

Carlos Victor


Em 13 de junho de 2014 16:09, Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Olá caros amigos, me encontro mais uma vez com um pequeno problema de
 geometria no qual estou com uma solução muito absurda(muito trabalho
 braçal), gostaria de uma ajuda com outras soluções, desde já agradeço a
 colaboração dos senhores.

 PROBLEMA:
 Considere um triângulo ABC, são construídos externamente os triângulos ADB
 e BCE de forma que ADB=BEC=90 GRAUS E DAB=EBC=30 graus. No segmento AC
 marca-se o ponto F tal que AF=3FC. Calcular os ângulos DFE e FDE.

 Douglas Oliveira de Lima

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Re: [obm-l] Provar perpendicularidade em Geometria Plana

2014-05-25 Por tôpico Carlos Victor

Oi Martins, Observe o seguinte :

Os segmentos AE e AF são respectivamente : c.cosA e bcosA.
Observe agora que os triângulos ABC e AEF são semelhantes, por possuirem
 os lados AC e AB  com razões iguais aos lados AE e AF e, claro um ângulo
em comum.

Donde o ângulo FEA = ângulo em B.

 Como o ângulo OAC = 90 - B, teremos o
ângulo ERA = 90 graus, ok ?

Abraços

Victor


Em 25 de maio de 2014 11:03, Martins Rama martin...@pop.com.br escreveu:

 Caros amigos, alguém me auxilia nessa demonstração de Geom Plana? É do
 livro da SBM do Antonio Caminha Muniz Neto.
 Abraço a todos.
 Martins Rama.

 Seja ABC um triângulo acutângulo de circuncentro O. Se E e F são os pés
 das alturas relativas aos vértices B e C, respectivamente, prove que o
 segmento OA é perpendicular ao segmento EF.
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Re: [obm-l] Provar perpendicularidade em Geometria Plana

2014-05-25 Por tôpico Carlos Victor

Oi Martins, esqueci de dizer que o ponto  R é a interseccão de OA e EF, ok ?

Abraços
Carlos Victor


Em 25 de maio de 2014 13:31, Carlos Victor victorcar...@globo.comescreveu:

 Oi Martins, Observe o seguinte :

 Os segmentos AE e AF são respectivamente : c.cosA e bcosA.
 Observe agora que os triângulos ABC e AEF são semelhantes, por possuirem
  os lados AC e AB  com razões iguais aos lados AE e AF e, claro um ângulo
 em comum.

 Donde o ângulo FEA = ângulo em B.

  Como o ângulo OAC = 90 - B, teremos o
 ângulo ERA = 90 graus, ok ?

 Abraços

 Victor


 Em 25 de maio de 2014 11:03, Martins Rama martin...@pop.com.br escreveu:

 Caros amigos, alguém me auxilia nessa demonstração de Geom Plana? É do
 livro da SBM do Antonio Caminha Muniz Neto.
 Abraço a todos.
 Martins Rama.

 Seja ABC um triângulo acutângulo de circuncentro O. Se E e F são os pés
 das alturas relativas aos vértices B e C, respectivamente, prove que o
 segmento OA é perpendicular ao segmento EF.
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Re: [obm-l] Provar perpendicularidade em Geometria Plana

2014-05-25 Por tôpico Carlos Victor

Oi Hermann, certamente a sua solução é bonita e mais simples.

Abraços

Carlos Victor


Em 25 de maio de 2014 16:02, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:

 A solução do Carlos é excelente.

 A minha solução é só com arco capaz

 Como o ângulo BEC e BFC =90 temos a circunferência BEFC e nela observamos
 pelo arco FC que os ângulos B e E são iguais.

 Agora (como já visto pelo Carlos) na circunferência BAC o ângulo A = 90 - B


 E o  segmento OA é perpendicular ao segmento EF.

 Abraços
 Hermann



 - Original Message - From: Martins Rama
 To: OBM-L
 Sent: Sunday, May 25, 2014 11:03 AM
 Subject: [obm-l] Provar perpendicularidade em Geometria Plana



 Caros amigos, alguém me auxilia nessa demonstração de Geom Plana? É do
 livro da SBM do Antonio Caminha Muniz Neto.
 Abraço a todos.
 Martins Rama.

 Seja ABC um triângulo acutângulo de circuncentro O. Se E e F são os pés
 das alturas relativas aos vértices B e C, respectivamente, prove que o
 segmento OA é perpendicular ao segmento EF.
 --
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 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =


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Re: [obm-l] Re: Mais uma que quero compartilhar!!

2014-05-17 Por tôpico Carlos Victor

Esse é um dos problemas mais lindo que o  meu grande companheiro Gandhi me
apresentou.
Abraços Douglas.

Carlos Victor


Em 15 de maio de 2014 23:16, Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Eu nao sei se deu pra compreender direito a expressão , mas acho que
 escrevi certinho, o resultado da 3.



 Em 15 de maio de 2014 17:45, Douglas Oliveira de Lima 
 profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Essa vai em homenagem a meu grande amigo Gandhi(Antonio Luiz Santos) que
 me ensinou como fazer, quero dizer também que essa lista da obm(do qual
 usamos para discutir questões de olimpíadas e outras questões
 interessantes) esta sendo pra mim muito gratificante neste momento, porque
 nos que gostamos de matemática, gostamos de resolver questões ate em papel
 de guardanapo no restaurante,pois desde que me mudei para Brasilia não
 encontrei professores aqui como os que tive a oportunidade de  conhecer no
 Rio de Janeiro como Gandhi, Carlos Victor, Eduardo Mauro, Eduardo Wagner,
 Haroldo, Poncio, Ivan, Bandeira, e claro não poderia esquecer do grande
 Alvaro, e que me ajudaram a crescer dentro desta área. Existem outros que
 conheci, mas hoje o mérito vai pra eles,professores humildes, que nunca me
 negaram sequer uma questão, ajudando o amigo a crescer para que um dia
 possamos derrubar essa grande massa de professores ruins(que não gostam de
 estudar) do mercado,e quem sabe assim incentivando a futura geração a
 curtir matemática.

 Encontrar o valor de (1+2(1+3(1+4(1+...)^(1/2))^(1/2))^(1/2))^(1/2)



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[obm-l] Re: [obm-l] Retângulo de incentros num quadrilatero inscritível

2014-04-05 Por tôpico Carlos Victor

Olá Martins,

Vamos mostrar inicialmente que o ângulo (abc) é reto, então para os outros
 a demonstração é idêntica.

1) Como ABCD é inscritível, então os ângulos ADB e ACB são iguais. Da mesma
forma  que os ângulos ABD e DCA são iguais, ok ?

2) Vamos denominar o seguinte :

DCA = ABD = 2x ; CAD= DBC=2z ; ADB = ACB = 2y ; BDC= 2t .

3) Observe que o ângulo DbC = 90+z = DaC ; donde se conclui que o
quadrilátero abDC é inscritível, ok ?
Logo os ângulos Cba e  CDa são iguais, ou seja, Cba= t.

4) Pelo mesmo motivo, os ângulos  Dcb = DAb= z   e ADc = Abc = y.

5) Agora, olhando para o vértice b  e tomando  a soma dos ângulos  em
torno dele  igual a 360 graus e  fazendo x+y+z +t =90 graus, encontraremos
o ângulo b = 90 graus , do quadrilátero abcd.

Para os outros vértices , utilizamos a mesma ideia.

Abraços

Carlos  Victor


Em 4 de abril de 2014 15:59, martin...@pop.com.br escreveu:

 Olá amigos da lista. Não estou conseguindo resolver esta de Geometria
 Plana:

 Seja ABCD um quadrilátero inscritível e sejam I(a), I(b), I(c) e I(d),
 respectivamente, os incentros dos triângulos BCD, CDA, DAB e ABC. Prove que
 o quadrilátero I(a)I(b)I(c)I(d) é um retângulo.

 Alguém pode ajudar?

 Martins Rama.


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[obm-l] Re: [obm-l] Retângulo de incentros num quadrilatero inscritível

2014-04-05 Por tôpico Carlos Victor

No email anterior, onde estiver a , lê-se I(a)...; ok ?

Abraços

Carlos Victor


Em 5 de abril de 2014 14:27, Carlos Victor victorcar...@globo.comescreveu:

 Olá Martins,

 Vamos mostrar inicialmente que o ângulo (abc) é reto, então para os outros
  a demonstração é idêntica.

 1) Como ABCD é inscritível, então os ângulos ADB e ACB são iguais. Da
 mesma forma  que os ângulos ABD e DCA são iguais, ok ?

 2) Vamos denominar o seguinte :

 DCA = ABD = 2x ; CAD= DBC=2z ; ADB = ACB = 2y ; BDC= 2t .

 3) Observe que o ângulo DbC = 90+z = DaC ; donde se conclui que o
 quadrilátero abDC é inscritível, ok ?
 Logo os ângulos Cba e  CDa são iguais, ou seja, Cba= t.

 4) Pelo mesmo motivo, os ângulos  Dcb = DAb= z   e ADc = Abc = y.

 5) Agora, olhando para o vértice b  e tomando  a soma dos ângulos  em
 torno dele  igual a 360 graus e  fazendo x+y+z +t =90 graus, encontraremos
 o ângulo b = 90 graus , do quadrilátero abcd.

 Para os outros vértices , utilizamos a mesma ideia.

 Abraços

 Carlos  Victor


 Em 4 de abril de 2014 15:59, martin...@pop.com.br escreveu:

 Olá amigos da lista. Não estou conseguindo resolver esta de Geometria
 Plana:

 Seja ABCD um quadrilátero inscritível e sejam I(a), I(b), I(c) e I(d),
 respectivamente, os incentros dos triângulos BCD, CDA, DAB e ABC. Prove que
 o quadrilátero I(a)I(b)I(c)I(d) é um retângulo.

 Alguém pode ajudar?

 Martins Rama.


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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Três de inteiros

2014-02-24 Por tôpico Carlos Victor

Pacini,

 vc tem que  retirar os casos de que  x+y+z =0 , ok ?

Carlos Victor


Em 24 de fevereiro de 2014 16:44, Pacini Bores pacini.bo...@globo.comescreveu:

 Olá pessoal, posso fazer o que está descrito a seguir  no terceiro
 problema ?

 Sabemos que x^2+y^2+z^2 ** xy+xz+yz  e na hipótese de que  xy+xz+yz não
 seja nulo, teremos :

 (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) ** 1/2 , para xy+xz+yz   0   e

 (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) ** -1/2 , para xy+xz+yz   0 .

 Daí  F(x,y,z)  varia de  [-1/2, 0[  união  [1/2,+infinito[ .

 Pacini





 Em 24 de fevereiro de 2014 12:43, terence thirteen 
 peterdirich...@gmail.com escreveu:

 Quanto ao último,

 3) Se x,y,z são números reais não nulos,com x+y+z também não nulo
 Calcule os valores possíveis da expressão F(x,y,z) = (x^2 + y^2 +
 z^2)/2(xy+yz+xz)

 Acho que dá para aplicar rearranjo, não?

 Primeiro, por homogeneidade, supunhetemos que x+y+z=1. Segundo, por
 simetria, x=y=z.

 Temos x^2+y^2+z^2 = x^2+yz+zy, afinal basta subtrair:

 (x^2-x^2) + (y^2-yz) + (z^2-zy) = 0 + y(y-z) + z(z-y) = (z-y)^2 =0

 E também,

 x^2+yz+zy = xy+yz+zy

 Demonstre da mesma forma!

 Agora, temos que ver os sinais...

 Em 21/02/14, Tarsis Esautarsise...@gmail.com escreveu:
  Bernado, vc tinha razão. resolvendo 2) a resposta é (-33, -33).
 
  Desenvolvendo 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn, vamos chegar a
 
  m² -mn + 33m + n² + 33n + 33² = 0
 
  Resolvendo em função de n, teremos um delta [(n-33)² - 4.(n² + 33n +
 33²)]
  = -3n² -6.33n - 3.33²,
 
  Sendo que -3n² -6.33n - 3.33² =0
 
  Estudando o sinal da parábola, temos que a concavidade deve estar
 voltada
  para baixo, assumindo assim um máximo
 
  O delta desta nova equação é 0 e ela apresenta máximo em n = -33.
  Substituindo-se em 2), m = -33.
 
 
 
 
 
 
 
  2014-02-21 17:02 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa 
  bernardo...@gmail.com:
 
  2014-02-21 14:24 GMT-03:00 Tarsis Esau tarsise...@gmail.com:
   Fiz a segunda, vou tentar fazer a terceira :)
  
   m³ + n³ + 99mn = 33³
  
   (m + n)³ - 3m²n - 3mn² + 99mn = 33³
   (m + n)³ - 33³ = 3mn.[(m + n) - 33]
   [(m +n) - 33].[(m + n)² + (m +n).33 + 33²] = 3mn.[(m+n) - 33]
  
   Assim, temos
  
   1) m + n - 33 = 0
  
   e
 
  Deveria ser ou, mas você agiu como se fosse ou. Mas isso é menos
  importante que o meu próximo comentário.
 
   2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn
  
   De 1) temos todos os pares (x,y): (0,33); (1,32), ..., (32, 1), (33,
   0).
   Todos os inteiros estão neste intervalo.
  
   Uma vez que , caso um m seja maior que 33, o n necessariamente deve
 ser
   menor que zero, o que vai contra o enunciado de m.n =0.
  
   Desse modo, não há necessidade de resolver 2).
 
  Claro que há. Pode ser que a equação 2 tenha uma solução com m = 20 e
  n = 10 (sei lá) cuja soma não é 33. Se você tivesse obtido TODOS os
  pares (a,b) com 0=a=33, 0 =b=33 como solução, aí tava certo. Mas
  veja que essa é uma equação cúbica, portanto para cada m existem
  três soluções n possíveis. É bastante provável que, se m é inteiro,
  não haja muitas soluções com n inteiro, mas você tem que demonstrar
  isso. Além disso, o enunciado diz que m.n = 0, ou seja, pode ser que
  m e n sejam NEGATIVOS! (mas talvez o enunciado tenha sido copiado
  errado, e era para ser m E n = 0).
  --
  Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
  --
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 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
 
 
  --
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 --
 /**/
 神が祝福

 Torres

 --
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 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =



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Re: [obm-l] R^2=(BC^2+AH^2)/4

2014-02-18 Por tôpico Carlos Victor

Olá luís,

O enunciado é este com o seguinte detalhe : H é o ortocentro de ABC, daí AH
não é a altura, ok ?

Abraços

Victor


Em 17 de fevereiro de 2014 23:29, luiz silva
luizfelipec...@yahoo.com.brescreveu:

 É porque eu não vi o enunciado. Seria assim : Em qualquer triângulo ABC, a
 soma do quadrado do lado BC e do quadrado da altura AH, relativa a BC, é
 igual ao quadrado do diâmetro do círculo circunscrito?

 Abs
 Felipe


   Em Segunda-feira, 17 de Fevereiro de 2014 19:02, Carlos Victor 
 victorcar...@globo.com escreveu:
  Sim Luís,
 Você pode encontrar essa relação em vários livros de geometria que fale
 sobre a reta de Euler,   que passa  pelo circuncentro, ortocentro e
 baricentro, ok ?
 Abraços

 Carlos Victor


 Em 17 de fevereiro de 2014 18:33, luiz silva 
 luizfelipec...@yahoo.com.brescreveu:

 Essa relação é valida em um triangulo qualquer ?

 Abs
 Felipe



   Em Segunda-feira, 17 de Fevereiro de 2014 15:49, Carlos Victor 
 victorcar...@globo.com escreveu:
   Oi Luís,
 Apesar do enunciado não falar, H é o ortocentro do triângulo, ok ?

 Abraços

 Carlos Victor


 Em 16 de fevereiro de 2014 22:33, luiz silva 
 luizfelipec...@yahoo.com.brescreveu:

 AH é a altura relativa à BC?


   Em Sábado, 15 de Fevereiro de 2014 17:30, Carlos Victor 
 victorcar...@globo.com escreveu:
  Oi Luís,
 digitei errado.

 Onde está AM lê-se  AH, ok ?

 Desculpe  o engano...

 Carlos  Victor


 Em 15 de fevereiro de 2014 16:53, Carlos Victor 
 victorcar...@globo.comescreveu:

 Oi Luís,

 Seja M o ponto médio de BC  e O o circuncentro do triângulo ABC. Prove
 inicialmente que AM= 2.OM http://2.om/ e aplique Pitágoras no triângulo
 OMC, por exemplo.
 Daí sai legal a relação que tu queres, ok ?

 Para provar que AM = 2.OM http://2.om/ , pense no alinhamento que
 existe entre o circuncentro, ortocentro e baricentro... .

 Abraços

 Carlos  Victor


 Em 13 de fevereiro de 2014 13:13, Luís qed_te...@hotmail.com escreveu:

  Sauda,c~oes,

 Como provar a relação abaixo?

 R^2=(BC^2+AH^2)/4

 Imaginei colocar os pontos B,C,H com as seguintes coordenadas:

 B=(0,0)  C=(a,0)  H=(h,y_H) A=(h,y_A)

 Daí a gente obtém o ponto H_c=(x,y) com régua e compasso e
 em seguida o ponto A. O circuncentro (O) é calculado e finalmente R.

 As contas não são legais com papel e lápis. Alguém poderia dar as
 coordenadas dos pontos A e (O) usando um programa de
 cálculo simbólico ?

 Obrigado.

 Luís


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Re: [obm-l] R^2=(BC^2+AH^2)/4

2014-02-17 Por tôpico Carlos Victor

Oi Luís,
Apesar do enunciado não falar, H é o ortocentro do triângulo, ok ?

Abraços

Carlos Victor


Em 16 de fevereiro de 2014 22:33, luiz silva
luizfelipec...@yahoo.com.brescreveu:

 AH é a altura relativa à BC?


   Em Sábado, 15 de Fevereiro de 2014 17:30, Carlos Victor 
 victorcar...@globo.com escreveu:
  Oi Luís,
 digitei errado.

 Onde está AM lê-se  AH, ok ?

 Desculpe  o engano...

 Carlos  Victor


 Em 15 de fevereiro de 2014 16:53, Carlos Victor 
 victorcar...@globo.comescreveu:

 Oi Luís,

 Seja M o ponto médio de BC  e O o circuncentro do triângulo ABC. Prove
 inicialmente que AM= 2.OM http://2.om/ e aplique Pitágoras no triângulo
 OMC, por exemplo.
 Daí sai legal a relação que tu queres, ok ?

 Para provar que AM = 2.OM http://2.om/ , pense no alinhamento que
 existe entre o circuncentro, ortocentro e baricentro... .

 Abraços

 Carlos  Victor


 Em 13 de fevereiro de 2014 13:13, Luís qed_te...@hotmail.com escreveu:

  Sauda,c~oes,

 Como provar a relação abaixo?

 R^2=(BC^2+AH^2)/4

 Imaginei colocar os pontos B,C,H com as seguintes coordenadas:

 B=(0,0)  C=(a,0)  H=(h,y_H) A=(h,y_A)

 Daí a gente obtém o ponto H_c=(x,y) com régua e compasso e
 em seguida o ponto A. O circuncentro (O) é calculado e finalmente R.

 As contas não são legais com papel e lápis. Alguém poderia dar as
 coordenadas dos pontos A e (O) usando um programa de
 cálculo simbólico ?

 Obrigado.

 Luís


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Re: [obm-l] R^2=(BC^2+AH^2)/4

2014-02-17 Por tôpico Carlos Victor

Sim Luís,
Você pode encontrar essa relação em vários livros de geometria que fale
sobre a reta de Euler,   que passa  pelo circuncentro, ortocentro e
baricentro, ok ?
Abraços

Carlos Victor


Em 17 de fevereiro de 2014 18:33, luiz silva
luizfelipec...@yahoo.com.brescreveu:

 Essa relação é valida em um triangulo qualquer ?

 Abs
 Felipe



   Em Segunda-feira, 17 de Fevereiro de 2014 15:49, Carlos Victor 
 victorcar...@globo.com escreveu:
  Oi Luís,
 Apesar do enunciado não falar, H é o ortocentro do triângulo, ok ?

 Abraços

 Carlos Victor


 Em 16 de fevereiro de 2014 22:33, luiz silva 
 luizfelipec...@yahoo.com.brescreveu:

 AH é a altura relativa à BC?


   Em Sábado, 15 de Fevereiro de 2014 17:30, Carlos Victor 
 victorcar...@globo.com escreveu:
  Oi Luís,
 digitei errado.

 Onde está AM lê-se  AH, ok ?

 Desculpe  o engano...

 Carlos  Victor


 Em 15 de fevereiro de 2014 16:53, Carlos Victor 
 victorcar...@globo.comescreveu:

 Oi Luís,

 Seja M o ponto médio de BC  e O o circuncentro do triângulo ABC. Prove
 inicialmente que AM= 2.OM http://2.om/ e aplique Pitágoras no triângulo
 OMC, por exemplo.
 Daí sai legal a relação que tu queres, ok ?

 Para provar que AM = 2.OM http://2.om/ , pense no alinhamento que
 existe entre o circuncentro, ortocentro e baricentro... .

 Abraços

 Carlos  Victor


 Em 13 de fevereiro de 2014 13:13, Luís qed_te...@hotmail.com escreveu:

  Sauda,c~oes,

 Como provar a relação abaixo?

 R^2=(BC^2+AH^2)/4

 Imaginei colocar os pontos B,C,H com as seguintes coordenadas:

 B=(0,0)  C=(a,0)  H=(h,y_H) A=(h,y_A)

 Daí a gente obtém o ponto H_c=(x,y) com régua e compasso e
 em seguida o ponto A. O circuncentro (O) é calculado e finalmente R.

 As contas não são legais com papel e lápis. Alguém poderia dar as
 coordenadas dos pontos A e (O) usando um programa de
 cálculo simbólico ?

 Obrigado.

 Luís


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Re: [obm-l] R^2=(BC^2+AH^2)/4

2014-02-15 Por tôpico Carlos Victor

Oi Luís,

Seja M o ponto médio de BC  e O o circuncentro do triângulo ABC. Prove
inicialmente que AM= 2.OM e aplique Pitágoras no triângulo OMC, por exemplo.
Daí sai legal a relação que tu queres, ok ?

Para provar que AM = 2.OM , pense no alinhamento que existe entre o
circuncentro, ortocentro e baricentro... .

Abraços

Carlos  Victor


Em 13 de fevereiro de 2014 13:13, Luís qed_te...@hotmail.com escreveu:

 Sauda,c~oes,

 Como provar a relação abaixo?

 R^2=(BC^2+AH^2)/4

 Imaginei colocar os pontos B,C,H com as seguintes coordenadas:

 B=(0,0)  C=(a,0)  H=(h,y_H) A=(h,y_A)

 Daí a gente obtém o ponto H_c=(x,y) com régua e compasso e
 em seguida o ponto A. O circuncentro (O) é calculado e finalmente R.

 As contas não são legais com papel e lápis. Alguém poderia dar as
 coordenadas dos pontos A e (O) usando um programa de
 cálculo simbólico ?

 Obrigado.

 Luís


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Re: [obm-l] R^2=(BC^2+AH^2)/4

2014-02-15 Por tôpico Carlos Victor

Oi Luís,
digitei errado.

Onde está AM lê-se  AH, ok ?

Desculpe  o engano...

Carlos  Victor


Em 15 de fevereiro de 2014 16:53, Carlos Victor
victorcar...@globo.comescreveu:

 Oi Luís,

 Seja M o ponto médio de BC  e O o circuncentro do triângulo ABC. Prove
 inicialmente que AM= 2.OM e aplique Pitágoras no triângulo OMC, por
 exemplo.
 Daí sai legal a relação que tu queres, ok ?

 Para provar que AM = 2.OM , pense no alinhamento que existe entre o
 circuncentro, ortocentro e baricentro... .

 Abraços

 Carlos  Victor


 Em 13 de fevereiro de 2014 13:13, Luís qed_te...@hotmail.com escreveu:

  Sauda,c~oes,

 Como provar a relação abaixo?

 R^2=(BC^2+AH^2)/4

 Imaginei colocar os pontos B,C,H com as seguintes coordenadas:

 B=(0,0)  C=(a,0)  H=(h,y_H) A=(h,y_A)

 Daí a gente obtém o ponto H_c=(x,y) com régua e compasso e
 em seguida o ponto A. O circuncentro (O) é calculado e finalmente R.

 As contas não são legais com papel e lápis. Alguém poderia dar as
 coordenadas dos pontos A e (O) usando um programa de
 cálculo simbólico ?

 Obrigado.

 Luís


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Re: [obm-l] Apostila de Desenho 2 Impacto OFF TOPIC

2013-12-03 Por tôpico Carlos Victor

Obrigado João,

Envie-me a sua conta bancária para depósito, ok ?

Também posso lhe enviar o custo pelo correio.

Agradeço e fico a disposição para o que precisares.

Abraços

Carlos Victor


Em 1 de dezembro de 2013 17:54, jjun...@fazenda.ms.gov.br escreveu:

  Senhores:

 Ontem (sábado), por volta das 15h em Campo Grande, foi enviada cópia da
 Apostila 2 de Desenho do IMPACTO, uma ao senhor Carlos Victor (Nilópolis -
 RJ), e outra a Graciliano Antônio Damazo (Penápolis - SP).

 ATT.
 João (Campo Grande - MS)

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Re: [obm-l] Como que faz??

2013-09-27 Por tôpico Carlos Victor

Olá Eduardo ,
Observe que na circunferência  C´ , o arco CE é dado por : 2x+2y ; pois AC
é tangente  em  à C´ já que o ângulo externo em C no triângulo ACE é dado
por : x+ y . O ângulo CGE é inscrito na circunferência  C   , ok ? . Note
que o ângulo ADE = x+y , está inscrito na circunferência C´´ .

Abs
Carlos  Victor


Em 26 de setembro de 2013 01:05, Eduardo Wilner
eduardowil...@yahoo.com.brescreveu:

 Oi Carlos.

 No item 2) vc. diz que CGE = x+y; isto significaria,  CGE = ADE . Vc.
 poderia explicar?

 Obrigado

 [ ]'s


   --
  *De:* Carlos Victor victorcar...@globo.com
 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
 *Enviadas:* Terça-feira, 24 de Setembro de 2013 19:30
 *Assunto:* Re: [obm-l] Como que faz??

 Olá Douglas,
 Acredito ter conseguido uma resolução para o problema 2 de geometria que
 vc postou aqui  .

 Vamos lá  e acompanhe fazendo a figura , ok ?
 vamos provar que na verdade o ângulo DEF é o dobro de ADC.
 Seja  o ângulo  ADC = x e o ângulo CDE = y .

 1) Trace CE e observe que o quadrilátero ACED é inscritível . então AEC =
 x  e  EAC = y .

 2) seja G a intersecção de CD com a circunferência C´ . Trace  EG e
 observe que  o ângulo CGE = x + y . Daí concluímos que o ângulo GED = x .

 3) Não é difícil de mostrar que EB  é bissetriz de AEG . Seja então os
 ângulos AEB= DEB = z .

 4) Trace agora a perpendicular de B  ao segmento ED e seja H o pé desta
 perpendicular. Observe que o quadrilátero BFHD é inscritível , então BHF =
 x .Trace FH e observe que EG é perpendicular  a FH . Seja J a intersecção
 de FH com EG .

 5) Como o triângulo CEG está inscrito na circunferência C´ e observando
 que BF é perpendicular ao lado CD , pelo enunciado ; teremos pela reta de
 SIMSON , que  os pés das  perpendiculares traçadas de B aos lados CG , EG e
 EC  estão alinhados. Sejam então I o pé da perpendicular traçada de ao lado
 EG  e R o pé  da perpendicular traçada de B ao lado CE .

 6) observando os quadriláteros inscritíveis : BIER , BIHE , teremos q









 Em 23 de agosto de 2013 16:03, douglas.olive...@grupoolimpo.com.brescreveu:

 **
 Olá , alguns alunos do ensino médio da instituição onde trabalho me deram
 alguns problemas do site https://brilliant.org/
 E não consegui achar solução para dois deles, vou escreve-los abaixo e se
 alguém puder me ajudar agradeço.

 PROBLEMA 1: Dada uma função f:R-R tal que f(2x^2 -1)=2(f(x))^2 -1 e f(x)
 é um polinômio de grau 13, sendo assim determine o coeficiente de x^5 de
 f(x).

 PROBLEMA 2: Seja uma circunferência C'  e um ponto externo A , traça-se
 por A duas tangentes a circunferência que a interceptam nos pontos B e C ,
 marca-se no prolongamento de AB no sentido de A para B um ponto D tal que o
 ângulo ADC=25 graus, traça-se por B uma perpendicular ao segmento CD que
 intercepta CD em F . Agora considere um outra circunferência C''
 circunscrita ao triângulo ADC que intercepta a primeira circunferência C'
 no ponto E . Determinar a medida do ângulo DEF.


 Obs: Fiz a segunda figura no geogebra e encontrei 50 graus como resposta ,
 preciso na verdade de uma resolução.

 Att, Douglas Oliveira.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



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Re: [obm-l] Como que faz??

2013-09-24 Por tôpico Carlos Victor

Olá Douglas,
Acredito ter conseguido uma resolução para o problema 2 de geometria que vc
postou aqui  .

Vamos lá  e acompanhe fazendo a figura , ok ?
vamos provar que na verdade o ângulo DEF é o dobro de ADC.
Seja  o ângulo  ADC = x e o ângulo CDE = y .

1) Trace CE e observe que o quadrilátero ACED é inscritível . então AEC = x
 e  EAC = y .

2) seja G a intersecção de CD com a circunferência C´ . Trace  EG e observe
que  o ângulo CGE = x + y . Daí concluímos que o ângulo GED = x .

3) Não é difícil de mostrar que EB  é bissetriz de AEG . Seja então os
ângulos AEB= DEB = z .

4) Trace agora a perpendicular de B  ao segmento ED e seja H o pé desta
perpendicular. Observe que o quadrilátero BFHD é inscritível , então BHF =
x .Trace FH e observe que EG é perpendicular  a FH . Seja J a intersecção
de FH com EG .

5) Como o triângulo CEG está inscrito na circunferência C´ e observando que
BF é perpendicular ao lado CD , pelo enunciado ; teremos pela reta de
SIMSON , que  os pés das  perpendiculares traçadas de B aos lados CG , EG e
EC  estão alinhados. Sejam então I o pé da perpendicular traçada de ao lado
EG  e R o pé  da perpendicular traçada de B ao lado CE .

6) observando os quadriláteros inscritíveis : BIER , BIHE , teremos q









Em 23 de agosto de 2013 16:03, douglas.olive...@grupoolimpo.com.brescreveu:

 **

 Olá , alguns alunos do ensino médio da instituição onde trabalho me deram
 alguns problemas do site https://brilliant.org/

 E não consegui achar solução para dois deles, vou escreve-los abaixo e se
 alguém puder me ajudar agradeço.



 PROBLEMA 1: Dada uma função f:R-R tal que f(2x^2 -1)=2(f(x))^2 -1 e f(x)
 é um polinômio de grau 13, sendo assim determine o coeficiente de x^5 de
 f(x).



 PROBLEMA 2: Seja uma circunferência C'  e um ponto externo A , traça-se
 por A duas tangentes a circunferência que a interceptam nos pontos B e C ,
 marca-se no prolongamento de AB no sentido de A para B um ponto D tal que o
 ângulo ADC=25 graus, traça-se por B uma perpendicular ao segmento CD que
 intercepta CD em F . Agora considere um outra circunferência C''
 circunscrita ao triângulo ADC que intercepta a primeira circunferência C'
 no ponto E . Determinar a medida do ângulo DEF.





 Obs: Fiz a segunda figura no geogebra e encontrei 50 graus como resposta ,
 preciso na verdade de uma resolução.



 Att, Douglas Oliveira.


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Re: [obm-l] Como que faz??

2013-09-24 Por tôpico Carlos Victor

Olá ,
sem querer dei um enter e a mensagem foi enviada incompleta , também
digitei um ângulo errado no ítem (3) : acompanhe agora :


completando o ítem (6)  e consertando que  no ítem (3) AEB= DEG = z , pois
eu digitei DEB.
teremos que o ângulo BHI = z ; ânguloFIG = 90-x-z  e ângulo EIH = 90-x-z .

7) concluímos então que IJ é bissetriz e altura no triângulo FIH ;
ou seja FJ =JH , daí o triângulo FEH é isósceles .

Temos então que  ângulo FEJ = x ; ou seja

ângulo FED = 2x ... Ufa !!!

Abraços

Carlos Victor



Em 24 de setembro de 2013 19:30, Carlos Victor victorcar...@globo.comescreveu:

 Olá Douglas,
 Acredito ter conseguido uma resolução para o problema 2 de geometria que
 vc postou aqui  .

 Vamos lá  e acompanhe fazendo a figura , ok ?
 vamos provar que na verdade o ângulo DEF é o dobro de ADC.
 Seja  o ângulo  ADC = x e o ângulo CDE = y .

 1) Trace CE e observe que o quadrilátero ACED é inscritível . então AEC =
 x  e  EAC = y .

 2) seja G a intersecção de CD com a circunferência C´ . Trace  EG e
 observe que  o ângulo CGE = x + y . Daí concluímos que o ângulo GED = x .

 3) Não é difícil de mostrar que EB  é bissetriz de AEG . Seja então os
 ângulos AEB= DEB = z .

 4) Trace agora a perpendicular de B  ao segmento ED e seja H o pé desta
 perpendicular. Observe que o quadrilátero BFHD é inscritível , então BHF =
 x .Trace FH e observe que EG é perpendicular  a FH . Seja J a intersecção
 de FH com EG .

 5) Como o triângulo CEG está inscrito na circunferência C´ e observando
 que BF é perpendicular ao lado CD , pelo enunciado ; teremos pela reta de
 SIMSON , que  os pés das  perpendiculares traçadas de B aos lados CG , EG e
 EC  estão alinhados. Sejam então I o pé da perpendicular traçada de ao lado
 EG  e R o pé  da perpendicular traçada de B ao lado CE .

 6) observando os quadriláteros inscritíveis : BIER , BIHE , teremos q









 Em 23 de agosto de 2013 16:03, douglas.olive...@grupoolimpo.com.brescreveu:

 **

 Olá , alguns alunos do ensino médio da instituição onde trabalho me deram
 alguns problemas do site https://brilliant.org/

 E não consegui achar solução para dois deles, vou escreve-los abaixo e se
 alguém puder me ajudar agradeço.



 PROBLEMA 1: Dada uma função f:R-R tal que f(2x^2 -1)=2(f(x))^2 -1 e f(x)
 é um polinômio de grau 13, sendo assim determine o coeficiente de x^5 de
 f(x).



 PROBLEMA 2: Seja uma circunferência C'  e um ponto externo A , traça-se
 por A duas tangentes a circunferência que a interceptam nos pontos B e C ,
 marca-se no prolongamento de AB no sentido de A para B um ponto D tal que o
 ângulo ADC=25 graus, traça-se por B uma perpendicular ao segmento CD que
 intercepta CD em F . Agora considere um outra circunferência C''
 circunscrita ao triângulo ADC que intercepta a primeira circunferência C'
 no ponto E . Determinar a medida do ângulo DEF.





 Obs: Fiz a segunda figura no geogebra e encontrei 50 graus como resposta
 , preciso na verdade de uma resolução.



 Att, Douglas Oliveira.


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[obm-l] Re: [obm-l] Álgebra(não tá saindo)

2013-09-15 Por tôpico Carlos Victor

Olá Marcone,

Na hipótese de que quatro vezes maior significa o quádruplo , teremos :

Seja N = y..y6, o número procurado, em que y representa algarismos não
necessariamente iguais . Podemos escrever  N = 10X + 6 .

Logo  4N = 6.(10^n) + X  = 6.( 10^n) + ( N -6)/10 ; ou seja ,

N = 2( 10^(n+1) -1)/13.

Como  10^3 = -1(mod13) , então o menor  N = 2(10^6-1)/13 = 153846 .

Abraços

Carlos  Victor


Em 14 de setembro de 2013 19:15, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Encontre o menor inteiro positivo n que possui as seguintes propriedades:
 I. Em sua representação tem o 6 como último dígito
 II.Se o último dígito(6) é apagado  e colocado na frente dos dígitos
 restantes,o número resultante
 é quatro vezes maior que o número original n

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Re: [obm-l] trigonometria

2013-08-05 Por tôpico Carlos Victor

Olá  João ,

Esta questão é  de uma olimpíada não brasileira ou de um livro de
olimpíadas ( não lembro qual País), mas encontrar os outros ângulos é um
trabalho árduo e há uma estratégia para a sua solução geométrica . A que
conheço ( em que o mestre Antonio Luis( Gandhi) me mostrou)  é traçar os
simétricos de D e E em relação à  BD e CE , respectivamente, sobre BC .
Faça  uma análise nos triângulos que surgirão , no sentido de que a
bissetriz interna e externa de um triângulo se encontram num ex-incentro e,
aparecerá um ângulo de 120º que é o mentor da solução, ok ? Vale apena
pensar nessa solução ...

Abraços

Carlos Victor


Em 5 de agosto de 2013 11:04, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu:

  Ora João!

 Nem vem. Você é muito inteligente para odiar Geometria...
 Não acho má ideia você estudar um pouquinho disso...
 Costumo ter sucesso ensinando essa parte maravilhosa da Matemática para
 quem odeia Geometria (hahaha) e gosta de Trigonometria...
 Veja que o ângulo A é imediato... Chamando de I o incentro, segue-se:
 a) No triângulo BIC, ang(BIC) = 180 - (B/2+C/2) = 90 + A/2
 b) No triângulo EID, ang(EID) = 180 - (24 + 18) = 138
 c) Mas ang(BIC) = ang(EID) e daí sai A: 90 + A/2 = 138, ou seja, A = 96

 Tente completar a solução...

 Grande abraço,
 Nehab


 On 04/08/2013 23:37, João Maldonado wrote:

 Fala professor!

 Adorei a resolução, tinha esquecido do 4sen18.cos36 =1   =D
 Na verdade o problema era de geometria, mas como eu sou péssimo em GP,
 sempre resolvo tudo por trigonometria (meu professor fala que eu sou louco)
 O problema era o seguinte:
 Em um triângulo ABC, D e E são os pés das bissetrizes traçadas dos
 vértices B e C respectivamente. CED = 24 graus e BDE = 18 graus, calcule os
 ângulos do triângulo.

 De acordo com o que foi dito os ângulos são 2*36 = 72 graus, 12 graus e 96
 graus

 []'s
 João

  --
 Date: Sat, 3 Aug 2013 23:16:56 -0300
 From: carlos.ne...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: Re: [obm-l] trigonometria

 Caramba, João,
 Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

 a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro
 problema.

 b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois
 4sen18.cos36 =1.
 Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é
 clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de
 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o
 lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o
 lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é
 manjada razão áurea.
 Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas
 deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2.
 Logo, 4sen18.cos36 = 1...

 c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...

 Então, fica assim:

 tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
 tgx. cos36 = B/C onde
 B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36** *] e
 C = 2cos66
 Desenvolvendo B, vem:
 B = sen30 + sen102 - *1* =
 B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
 B = 2sen36cos66
 Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
 Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 +
 k180)

 Abraços
 Nehab

 On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

 tgx = tg66 - 2sen18/cos66
 Como achar x?



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
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-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] trigonometria

2013-08-04 Por tôpico Carlos Victor

Olá grande Mestre Nehab,
Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a
igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo :

sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18=

sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!)

Abraços

Carlos Victor


Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu:

  Caramba, João,
 Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

 a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro
 problema.

 b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois
 4sen18.cos36 =1.
 Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é
 clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de
 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o
 lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o
 lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é
 manjada razão áurea.
 Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas
 deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2.
 Logo, 4sen18.cos36 = 1...

 c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...

 Então, fica assim:

 tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
 tgx. cos36 = B/C onde
 B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36** *] e
 C = 2cos66
 Desenvolvendo B, vem:
 B = sen30 + sen102 - *1* =
 B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
 B = 2sen36cos66
 Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
 Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 +
 k180)

 Abraços
 Nehab


 On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

 tgx = tg66 - 2sen18/cos66
 Como achar x?



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] trigonometria

2013-08-04 Por tôpico Carlos Victor

Olá Marcone, aproveitando a ideia do meu mestre Nehab, podemos escrever :

acertando a expressão dada chegamos a

sen(66-x) = 2sen18.cosx

tomando 36-x =y ,teremos

sen(30+y) = 2sen18.cos(36-y) = 2sen18[ cos36.cosy + sen36.seny]

sen(30+y) = 2sen18.cos36.cosy + 2sen18.sen36.seny

sen30.cosy+seny.cos30 = 2sen18.cos36.cosy + 2sen18.sen36.seny

usando que o Nehab lembrou , teremos

(1/2)cosy +seny.cos30 =(1/2).cos30 +2sen18.sen36.seny

seny.cos30 = 2sen18.sen36.seny .

Não é difícil de mostrar que 2sen18.sen36 é diferente de cos30 ;

logo devemos ter seny =0 ; ou seja y = k180 ; daí

x= k180 +36 .

Agradecendo ao Nehab ,

Abraços

Carlos Victor


Em 4 de agosto de 2013 13:33, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Essa foi muito legal.

 --
 From: ilhadepaqu...@bol.com.br
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: Re: [obm-l] trigonometria
 Date: Sun, 4 Aug 2013 10:59:12 -0300


 correção
 2014-1974=40 bodas de rubi ou esmeralda, mas mesmo assim merece uma
 comemoração
 Abraço a todos
 Hermann

 - Original Message -
 *From:* Carlos Victor victorcar...@globo.com
 *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
 *Sent:* Sunday, August 04, 2013 9:32 AM
 *Subject:* Re: [obm-l] trigonometria

 Olá grande Mestre Nehab,
 Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a
 igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo :

 sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18=

 sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!)

 Abraços

 Carlos Victor


 Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu:

  Caramba, João,
 Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

 a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro
 problema.

 b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois
 4sen18.cos36 =1.
 Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é
 clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de
 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o
 lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o
 lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é
 manjada razão áurea.
 Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas
 deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2.
 Logo, 4sen18.cos36 = 1...

 c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...

 Então, fica assim:

 tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
 tgx. cos36 = B/C onde
 B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36** *] e
 C = 2cos66
 Desenvolvendo B, vem:
 B = sen30 + sen102 - *1* =
 B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
 B = 2sen36cos66
 Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
 Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 +
 k180)

 Abraços
 Nehab


 On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

 tgx = tg66 - 2sen18/cos66
 Como achar x?



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] trigonometria

2013-08-04 Por tôpico Carlos Victor

Desculpem ,

digitei errado na linha
(1/2)cosy +seny.cos30 =(1/2).cos30 +2sen18.sen36.seny

que na verdade é
(1/2)cosy +seny.cos30 =(1/2).cosy +2sen18.sen36.seny .

Abraços

Carlos  Victor



Em 4 de agosto de 2013 14:09, Carlos Victor victorcar...@globo.comescreveu:

 Olá Marcone, aproveitando a ideia do meu mestre Nehab, podemos escrever :

 acertando a expressão dada chegamos a

 sen(66-x) = 2sen18.cosx

 tomando 36-x =y ,teremos

 sen(30+y) = 2sen18.cos(36-y) = 2sen18[ cos36.cosy + sen36.seny]

 sen(30+y) = 2sen18.cos36.cosy + 2sen18.sen36.seny

 sen30.cosy+seny.cos30 = 2sen18.cos36.cosy + 2sen18.sen36.seny

 usando que o Nehab lembrou , teremos

 (1/2)cosy +seny.cos30 =(1/2).cos30 +2sen18.sen36.seny

 seny.cos30 = 2sen18.sen36.seny .

 Não é difícil de mostrar que 2sen18.sen36 é diferente de cos30 ;

 logo devemos ter seny =0 ; ou seja y = k180 ; daí

 x= k180 +36 .

 Agradecendo ao Nehab ,

 Abraços

 Carlos Victor


 Em 4 de agosto de 2013 13:33, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

  Essa foi muito legal.

 --
 From: ilhadepaqu...@bol.com.br
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: Re: [obm-l] trigonometria
 Date: Sun, 4 Aug 2013 10:59:12 -0300


 correção
 2014-1974=40 bodas de rubi ou esmeralda, mas mesmo assim merece uma
 comemoração
 Abraço a todos
 Hermann

 - Original Message -
 *From:* Carlos Victor victorcar...@globo.com
 *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
 *Sent:* Sunday, August 04, 2013 9:32 AM
 *Subject:* Re: [obm-l] trigonometria

 Olá grande Mestre Nehab,
 Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a
 igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo :

 sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18=

 sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!)

 Abraços

 Carlos Victor


 Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu:

  Caramba, João,
 Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

 a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro
 problema.

 b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois
 4sen18.cos36 =1.
 Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é
 clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de
 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o
 lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o
 lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é
 manjada razão áurea.
 Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas
 deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2.
 Logo, 4sen18.cos36 = 1...

 c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...

 Então, fica assim:

 tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
 tgx. cos36 = B/C onde
 B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36** *] e
 C = 2cos66
 Desenvolvendo B, vem:
 B = sen30 + sen102 - *1* =
 B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
 B = 2sen36cos66
 Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
 Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 +
 k180)

 Abraços
 Nehab


 On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

 tgx = tg66 - 2sen18/cos66
 Como achar x?



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras da equação x/y = x - y

2013-06-18 Por tôpico Carlos Victor

Olá ,
É interessante também  observar que nesses tipos de problemas , já que y=0
e  y =1 não são soluções, podemos escrever :

x = y^2/(y-1) = y+1 +1/(y-1) ; ou seja (y-1) deve ser -1 ou +1 . Daí y = 2
e x = 4 .

Abraços

Carlos Victor



Em 18 de junho de 2013 19:43, Marcelo Salhab Brogliato
msbro...@gmail.comescreveu:

 É verdade! Nesse caso, chega-se a mesma conclusão, mas em outros problemas
 esse erro pode esconder alguma possível solução.

 Obrigado! :)

 Abraços,
 Salhab


 2013/6/18 Paulo Argolo pauloarg...@outlook.com

 Caro Salhab,

 Na verdade:  k|y e y|k = |k| = |y|
 De qualquer forma, chega-se a mesma conclusão.

 Um abraço do Paulo Argolo!
 ___



 Date: Tue, 18 Jun 2013 15:14:58 -0300
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras da equação x/y = x - y
 From: msbro...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 Olá, Ennius, tudo bem?

 Se as soluções são inteiras, então temos que y|x, logo: x = ky. Assim:
 ky/y = ky - y

 k = ky - y
 k + y = ky

 Então: k|y e y|k = y = k.

 y + y = y*y = y(y-2) = 0 = y = 0 ou y = 2. Mas y não pode ser 0, pois a
 equação original é x/y = x - y.
 Assim: y = 2, k = 2 e x = ky = 4.

 Abraços,
 Salhab


 2013/6/18 ennius enn...@bol.com.br
 Colegas da Lista,

 Como mostrar que a equaÃ§Ã£o x/y = x - y nÃ£o admite soluÃ§Ãµes inteiras,
  alÃ©m de x = 4 e y = 2?
 --

 --
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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Duas perguntas(teoria dos números)

2013-05-27 Por tôpico Carlos Victor

Olá ,
Observando que m+48 = 2^k e m-48 = 2^(n-k) ,
teremos  3 = 2^(k-5) - 2^(n-k-5) ; ou seja k - 5 =2 e n-k-5 = 0 .

Então n =12 . Está Ok isso ?

Carlos Victor




Em 27 de maio de 2013 14:16, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 1) Gostaria de saber se a soma de duas ou mais potencias de base 2
 distintas pode ser uma potencia de base 2.

 Acredito que não e escrevendo esses números na base 2 talvez se possa
 mostrar isso.

 2) Desconfio que   2304 + 2^n é um quadrado perfeito para um único valor
 de n.

 Eu fiz 2^n = (m + 48)(m - 48)
 m + 48 e m - 48 devem ser potencias de base 2
 As únicas potencias de base 2 cuja diferença é 96 são 128 e 32
 Dai o único valor de n seria 12
 Um esclarecimento seria muito bem vindo

 Desde já agradeço

Re: [obm-l] Problema de Geometria

2013-04-28 Por tôpico Carlos Victor

Olá Raphael,
Pense no seguinte :

1) Trace OC
2) Trace BD
3) Conclua que BD é o dobro de OC.
4) Denomine EF = x
5) Faça  a semelhança de OCF com BFD e determine x , ok ?

Abraços

Carlos  Victor


Em 28 de abril de 2013 18:19, Raphael Feijao
raphaelfei...@hotmail.comescreveu:

 O segmento AB é o diametro de uma circunferencia de centro O. Toma-se um
 ponto C desse círculo e prolonga-se o segmento AC de um segmento CD igual a
 AC. O segmento OD corta a circunferencia em E e corta o segmento BC em F.
 Se AB=a e OD=b. Calcule EF.

[obm-l] Re: [obm-l] Potência encardida

2013-04-02 Por tôpico Carlos Victor

Olá Vanderlei ,
O que vc pode perceber que  na sequência 2^2, 2^22,2^42,..., todos terminam
em 04 . 2^222 está nesta sequência , ok ?

Abraços

Carlos Victor

Em 2 de abril de 2013 13:01, Vanderlei * vanderma...@gmail.com escreveu:

 *Bom dia, pessoal! Gostaria de uma ajuda na seguinte questão, a qual eu
 só consegui com binômio de Newton e alguma força bruta.*
 **
 *Quais são os dois últimos algarismos do resultado de 2^222?*
 **
 *A resposta é 04.*
 **
 *Obrigado!*
 **
 *Vanderlei*

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Re: [obm-l] Desigualdades

2013-03-23 Por tôpico Carlos Victor

Ok,  Meu Grande Mestre Nehab,

Um Saudoso Abraço

Carlos

Victor

Em 20 de março de 2013 23:21, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu:

  Oi, querido amigo,

 Apenas uma observação:
 Ficou provado que 96 majora a soma, mas ainda temos que explicitar x, y e
 z com xyz = 32 que faz a soma ser IGUAL a 96.
 Em sua prova a igualdade a 96 valeria se houvesse x, y e z com 4xy = z^2
 (e naturalmente xyz = 32).
 De fato isto ocorre qdo z = 4 e dai, x =4 e y = 2.

 Um grande abraço,
 Saudades
 Nehab


 On 20/03/2013 08:51, Carlos Victor wrote:

 Olá ,
 acredito que dê  só por médias :
 4xy + (x^2 + 4y^2) + 2z^2 = 4xy + 4xy + 2z^2 = 3.raiz cúbica de (
 32(xyz)^2) =3.32 = 96.

 Carlos Victor


 Em 19 de março de 2013 20:41, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
 bernardo...@gmail.com escreveu:

 2013/3/19 Carlos Yuzo Shine cysh...@yahoo.com:
  Só para evitar derivadas (especialmente de mais de uma variável, em que
 há vários detalhes), aí vão soluções:
 
  1) Pela desigualdade de médias, a expressão é igual a 4xy + (x^2 +
 4y^2) + 2z^2 = 4xy + 4xy + 2z^2 = 8xy + 2z^2 = 4xyz = 4*32 = 128. A
 igualdade ocorre quando x = 2y e 4xy = z^2, ou seja, x = 2^(11/6), y =
 2^(5/6) e z = 2^(7/3).

  Oi Shine,

 eu não entendi a passagem 8xy + 2z^2 = 4xyz. Não pode ser só
 desigualdade das médias, porque essa é homogênea, e todos os termos da
 esquerda são de ordem dois. Acho que faltou uma dica para o seu caro
 leitor.

 Pensando um pouco mais, eu resolveria com multiplicadores de Lagrange
 (e portanto com derivadas). Mas se fosse antes de aprender Lagrange,
 eu teria feito assim:

 Note que se z é fixo, temos que minimizar (x + 2y)^2, com xy =
 constante. (Aplicando a famosa técnica escolha produtos notáveis que
 vão te ajudar.) Pela MA = MG, obtemos x = 2y (como todo mundo
 obteve...).

 xy = 32/z, x = 2y = 2y^2 = 32/z = y^2 = 16/z, x^2 = 4*16/z e
 portanto x^2 + 4xy + 4y^2 = 4*16/z + 4*32/z + 4*16/z = 4*32*2/z.

 Queremos minimizar 4*32*2/z + 2z^2. Pela desigualdade das médias com 3
 termos: 4*32/z + 4*32/z + 2z^2 = 3 * (4*32 * 4*32 * 2)^1/3 = 3 *
 (2^(2+5+2+5+1))^1/3 = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96. A igualdade ocorre para

 4*32/z = 2z^2 = 64 = z^3, ou seja z = 4, y = 4/raiz(z) = 4/2 = 2, x = 4.

 Verificando: x^2 = 4^2 = 16
 4xy = 4*2*4 = 32
 4*y^2 = 4*2^2 = 16
 2z^2 = 2*4^2 = 32
 Somando = 96.

 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] Desigualdades

2013-03-20 Por tôpico Carlos Victor

Olá ,
acredito que dê  só por médias :
4xy + (x^2 + 4y^2) + 2z^2 = 4xy + 4xy + 2z^2 = 3.raiz cúbica de (
32(xyz)^2) =3.32 = 96.

Carlos Victor


Em 19 de março de 2013 20:41, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2013/3/19 Carlos Yuzo Shine cysh...@yahoo.com:
  Só para evitar derivadas (especialmente de mais de uma variável, em que
 há vários detalhes), aí vão soluções:
 
  1) Pela desigualdade de médias, a expressão é igual a 4xy + (x^2 + 4y^2)
 + 2z^2 = 4xy + 4xy + 2z^2 = 8xy + 2z^2 = 4xyz = 4*32 = 128. A igualdade
 ocorre quando x = 2y e 4xy = z^2, ou seja, x = 2^(11/6), y = 2^(5/6) e z =
 2^(7/3).

 Oi Shine,

 eu não entendi a passagem 8xy + 2z^2 = 4xyz. Não pode ser só
 desigualdade das médias, porque essa é homogênea, e todos os termos da
 esquerda são de ordem dois. Acho que faltou uma dica para o seu caro
 leitor.

 Pensando um pouco mais, eu resolveria com multiplicadores de Lagrange
 (e portanto com derivadas). Mas se fosse antes de aprender Lagrange,
 eu teria feito assim:

 Note que se z é fixo, temos que minimizar (x + 2y)^2, com xy =
 constante. (Aplicando a famosa técnica escolha produtos notáveis que
 vão te ajudar.) Pela MA = MG, obtemos x = 2y (como todo mundo
 obteve...).

 xy = 32/z, x = 2y = 2y^2 = 32/z = y^2 = 16/z, x^2 = 4*16/z e
 portanto x^2 + 4xy + 4y^2 = 4*16/z + 4*32/z + 4*16/z = 4*32*2/z.

 Queremos minimizar 4*32*2/z + 2z^2. Pela desigualdade das médias com 3
 termos: 4*32/z + 4*32/z + 2z^2 = 3 * (4*32 * 4*32 * 2)^1/3 = 3 *
 (2^(2+5+2+5+1))^1/3 = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96. A igualdade ocorre para

 4*32/z = 2z^2 = 64 = z^3, ou seja z = 4, y = 4/raiz(z) = 4/2 = 2, x = 4.

 Verificando: x^2 = 4^2 = 16
 4xy = 4*2*4 = 32
 4*y^2 = 4*2^2 = 16
 2z^2 = 2*4^2 = 32
 Somando = 96.

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 Bernardo Freitas Paulo da Costa

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[obm-l] Re: [obm-l] Dízima de período 9

2012-10-14 Por tôpico Victor Villas Bôas Chaves

Experimente a divisão 111445112/3

Em 14 de outubro de 2012 07:00, Pedro Chaves brped...@hotmail.comescreveu:


 Caros Colegas:

 Pode a divisão de números naturais resultar numa dízima periódica (simples
 ou composta) de período 9?
 Como mostrar que não (ou sim) ?

 Abraços do Pedro Chaves!

 



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Re: [obm-l] OBM 2011

2012-10-13 Por tôpico Victor Hugo

3, 4 e 5

Sent from my iPad

On 13/10/2012, at 11:16, Athos Couto athos...@hotmail.com wrote:

 Dizemos que um número inteiro positivo é chapa quando ele é formado apenas 
 por algarismos não nulos e a 
 soma dos quadrados de todos os seus algarismos é também um quadrado perfeito. 
 Prove que, para todo inteiro positivo n, existe um número chapa com 
 exatamente n algarismos.
 
 Alguma ideia?

Re: [obm-l] 2,5999... = 2,6 ?

2012-10-13 Por tôpico Victor Seixas Souza

Na verdade, 2.599... é 2.6.

Veja a prova de que 0.99... é igual a 1.0 e depois, por analogia, fica
fácil provar.
Algo como, 2.59 = 2.5 + 0.0 = (25 + 0.99...)/10 = 26 / 10 = 2.6

Veja este artigo da wikipedia http://pt.wikipedia.org/wiki/0,999...

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?

2012-09-13 Por tôpico Victor Hugo Rodrigues

Mas ele nao pergunta a quantidade de zeros...

Em 13 de setembro de 2012 14:29, diego andres
diegoandre...@yahoo.com.br escreveu:
 Oi ennius,
 A quantidade de digitos dependerá do número de fatores 2 e 5 que aparece na
 decomposição em fatores primos. Como num fatorial temos uma certa abundancia
 no número de fatores 2, o que determinará será o número de fatores 5.

 1 - parte inteira de [7000/5] = 1400 (quantidade de numeros divisiveis por
 5)
 2 - parte inteira de [7000/25] =  280 (Contando o segundo fator dos numeros
 divisiveis por 25  --- * o primeiro ja foi contado em 1)
 3 - parte inteira de [7000/125] =  56 (Contando o terceiro fator dos numeros
 divisiveis por 125  --- * o primeiro ja foi contado em 1 e o segundo em 2)
 4 - parte inteira de [7000/625] =  11
 .
 5 - parte inteira de [7000/3125] =  2
 ...

 S = 1400 + 280 + 56 + 11 + 2 = 1749

 O caso geral voce deve fazer:

 S = Somatorio(Parte inteira[ N / 5^i ] )   para i de 1 até infinito.

 O livro Teoria Elementar dos Numeros do Edmund Landau acho que ajudará
 você a entender melhor essa parte (Página 23 teorema 27 - e exemplo
 resolvido da pagina 25). Segue o link:
 http://books.google.com.br/books?id=Q0wBV6wln3wCpg=PA11dq=teoria+elementar+dos+numeros+edmund+landausource=gbs_toc_rcad=4#v=onepageqf=false

 abs,
 Diego Andrés

 
 De: ennius enn...@bol.com.br
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
 Enviadas: Quinta-feira, 13 de Setembro de 2012 10:27
 Assunto: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?

 Prezados Colegas,

 Qual o melhor mÃ©todo para calcular quantos dÃgitos tem o fatorial de 7000
 (ou de qualquer outro nÃºmero natural grande)?

 Desde jÃ¡, muito obrigado.

 Ennius Lima
 =
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=
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Quantos dígitos tem o fatorial de 7000?

2012-09-13 Por tôpico Victor Hugo

Acho que aqui tem passo a passo como achar o que você quer...

http://en.wikipedia.org/wiki/Factorial



On 13/09/2012, at 15:27, ennius enn...@bol.com.br wrote:

 Desejo calcular quantos digitos tem o fatorial de 7000, e nao em quantos 
 zeros termina.
 Ennius
 _
 
 
 
 
 Em 13/09/2012 10:55, Bernardo Freitas Paulo da Costa  bernardo...@gmail.com 
  escreveu:
 2012/9/13 ennius enn...@bol.com.br:
 Prezados Colegas,
 
 Qual o melhor mÃ©todo para calcular quantos dÃgitos tem o fatorial de 7000 
 (ou de qualquer outro nÃºmero natural grande)?
 Calcule o logaritmo em base 10.
 
 Vai dar uma soma bem grande. A única coisa que falta é aproximar a
 soma por uma integral, calculando o erro da aproximação.
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 =
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[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Plana - Triângulo

2012-08-28 Por tôpico Carlos Victor

Olá  Arkon ,
Uma solução é :

Seja O o ortocentro de ABC . Observe que o triângulo AOC é semelhante ao
triângulo OEH  , pois o quadrilátero ACHE é inscritível . Seja x  = EH ,
então 7/x = AO/EO e como OE = OA.cosB . Usando a lei dos cosenos  encontre
cosB = 1/5 e daí x =7/5 , ok ? .Acredito que pensar no círculo dos nove
pontos  pode também resolver .

Confira as contas .

Abraços

Carlos  Victor

Em 28 de agosto de 2012 19:31, arkon ar...@bol.com.br escreveu:

 Pessoal, qual o bizu?
 Â
 Em um triÃ¢ngulo ABC, traÃ§am-se as alturas AH e CE. Se AB=5m, BC=6m e
 AC=7m, calcule EH.
 Â
 (A) 7/5 m (B) 9/5 m (C) 10/7 m (D) 10/3 m (E) 2
 =
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dados n naturais consecutivos, um é múltiplo de n

2012-06-09 Por tôpico Victor Villas Bôas Chaves

Provar que existe pelo menos um é fácil.

Para provar a unicidade...

suponha que existem ao menos dois e subtraia o maior do menor.
Você vai ter um número entre 1 n-1 que divide n

impossível

Em 9 de junho de 2012 21:21, Tiago hit0...@gmail.com escreveu:

 Você pode pensar como um princípio da casa dos pombos.


 2012/6/9 Paulo Argolo pauloarg...@bol.com.br

 CarÃssimos Colegas,

 Como posso provar o teorema seguinte?

 --- Dados n nÃºmeros naturais consecutivos, um deles (e somente um) Ã©
 mÃºltiplo de n. ---


 AbraÃ§os do Paulo.

 =
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 =




 --
 Tiago J. Fonseca
 http://legauss.blogspot.com

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dados n naturais consecutivos, um é múltiplo de n

2012-06-09 Por tôpico Victor Villas Bôas Chaves

perdão, você vai ter um número entre 1 e n-1 que É DIVISÍVEL por n

isso sim é impossível ;)

Em 9 de junho de 2012 22:14, Victor Villas Bôas Chaves 
victor.chaves@gmail.com escreveu:

 Provar que existe pelo menos um é fácil.

 Para provar a unicidade...

 suponha que existem ao menos dois e subtraia o maior do menor.
 Você vai ter um número entre 1 n-1 que divide n

 impossível

 Em 9 de junho de 2012 21:21, Tiago hit0...@gmail.com escreveu:

 Você pode pensar como um princípio da casa dos pombos.


 2012/6/9 Paulo Argolo pauloarg...@bol.com.br

 CarÃssimos Colegas,

 Como posso provar o teorema seguinte?

 --- Dados n nÃºmeros naturais consecutivos, um deles (e somente um) Ã©
 mÃºltiplo de n. ---


 AbraÃ§os do Paulo.

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 Tiago J. Fonseca
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Abaixar o nível da aula

2012-06-03 Por tôpico Victor Villas Bôas Chaves

Caro Marco Antonio,

sou atualmente aluno de graduação no Rio de Janeiro e compartilho de
seus sentimentos. Fui aluno de escolas públicas a vida inteira, federais ao
menos, então tenho experiência de caso nesse quesito.

A realidade é triste mesmo. O que é cobrado hoje dos alunos é um
utilitarismo que beira a ignorância. Atualmente o que o aluno precisa saber
de matemática ao sair do ensino médio é equivalente a ser 'razoavelmente'
alfabetizado em português. Infelizmente, os alunos em grande maioria assim
preferem e pouca gente se levanta para discutir isso como um problema.

É lamentável que haja um abismo tão escandaloso entre a matemática do
ensino médio e a matemática desejada para um bom desempenho na graduação
(qualquer que seja, quiçá no próprio bacharel de matemática). Tão grande é
a distância entre as duas exigências que as faculdades estão começando a
incluir algo como espécie de Cálculo 0 (Disfarçado de Cálculo I) para poder
dar ao aluno de graduação as ferramentas básicas que o E.M. não foi capaz
de passar.

Não ouvirá da maioria dos alunos o que estou prestes a dizer: não abaixe o
nível da aula. Alguns irão odiar sua didática, te acusar de exagerado,
louco. Você irá passar por um exame de auto-consciência. O que é ser um bom
professor? Satisfazer a vontade do aluno e ensinar-lhe apenas o suficiente
ou tentar despertar em todos alguma inspiração, algum interesse na
matemática?

Se você abaixar o nível da aula, pode ter certeza que será um professor
muito querido entre futuros alunos. Irão se referir ao senhor como um
professor muito legal, muito tranquilo e com uma matéria bem *relax*. Mas
qual é o produto final disto? É realmente necessário um diploma de
licenciatura pra fazer *só isso*?

Tentar extrair o máximo possível de uma classe é o que eu vejo como ser um
bom professor. Meu maior lamento é que não tive professores assim a vida
inteira. Sou minoria, sou daqueles que defendia o professor de matemática
quando diziam que ele era carrasco e *garfava* todo mundo na prova.

Mas os anos passaram. Quem não gostava da aula por achar que não era
necessário saber tanto mas se dedicou passou de ano assim mesmo. Quem
gostava da aula e se interessou cresceu e aproveitou ao máximo.

Se apenas um aluno, um de milhares alunos, algum dia, olhar pra trás e ver
que foi bom que o senhor tenha exigido um pouco a mais, então terá sido
proveitoso.

Essa é minha opinião.

Atte.
Victor Chaves

Em 3 de junho de 2012 19:49, Francisco Barreto fcostabarr...@gmail.com
escreveu:
Saudações Marco Antonio,
Vou sugerir uma leitura, A Arte de Resolver Problemas (How to Solve It)
de
George Pólya, para você, caso ainda não tenha lido é claro.
A outra coisa que eu gostaria de sugerir é inscrever-se no
Programa de Aperfeiçoamento para Professores de Matemática do Ensino Médio

http://www.impa.br/opencms/pt/programas/programa_ensino_medio/ensino_medio_2012_modulo2.html

ou assitir alguns dos vídeos disponíveis gratuitamente no site do IMPA de
eventos passados.

Abraços

2012/6/3 Gabriel Merêncio gmerencio.san...@gmail.com

Posso falar apenas como aluno, mas espero que seja relevante à
discussão. Acredito que a escola deva ser um agente auxiliar à formação
do
indivíduo, possibilitando um desenvolvimento pleno e sadio. Desse ponto
de
vista, é muito bom que você queira oferecer algo além que pode
complementar
a bagagem de conhecimento do aluno, mas, ao mesmo tempo, não dá para
querer
impor a todos.

Não vejo como questão de abaixar o nível, porém adequar-se ao contexto:
não são todos que verão o conteúdo como algo significativo em suas vidas.
Uma boa parte só tem interesse em matemática até onde o vestibular
cobra, o
que é perfeitamente compreensível. Aliás, o que parece trivial pode ser
um
verdadeiro pesadelo aos que, por exemplo, preferem dedicar-se ao estudo
de
idiomas ou textos filosóficos de pensadores.

Uma boa alternativa são aulas extras fora do horário normal voltadas aos
alunos interessados; por exemplo, muitas escolas têm cursos preparatórios
para olimpíadas.

2012/6/2 Marco Antonio Leal marcoantonio_elemen...@hotmail.com

Sou professor de matemática em Belém do Pará e sempre tento incentivar
os
alunos a estudar forte, buscar mais problemas, falo e resolvo problemas
sobre olimpíadas, mostro teoremas como menelaus, ceva e demonstro todos
os
teoremas, mas, para minha surpresa, os alunos se preocupam apenas em
tentar
resolver problemas triviais das universidades estadual, federal e
Cesupa,
que é uma universidade particular. Estas universidades junto com o ENEM
cobram problemas triviais, sem profundidade e imediatos que, na minha
opinião, não selecionam os melhores candidatos nem fazem jus ao conteudo
ministrado. Me deixa muito triste esse fato, ja que, começo a perceber
que
uma geração de alunos esta se formando, onde o contexto da questão é
mais
importante do que o conteudo. Gostaria de saber dos meus colegas de
profissão se passam pela mesma angustia em suas escolas, melhor

[obm-l] Re: [obm-l] plinômios

2012-05-27 Por tôpico Victor Villas Bôas Chaves

As raízes de P(x) são as raízes n-ésimas da unidade exceto o 1.
A única possibilidade de raízes real que sobra é (-1).
Mas como n é par, P(-1) = 1
Logo, não há raiz real.

Em 26 de maio de 2012 23:54, marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com escreveu:
 Mostre que se n é um número par o polinômio x^n + x^(n-1) +...+ x +1 não tem
 raizes reais

 Eu fiz assim:chamandoo polinômio acima de p(x),temos que
 p(x) = [x^(n+1) -1]/(x - 1)
 como x diferente de 1,pois 1 não é raiz de p(x),então p(x) = 0 - x^(n+1) =
 1,o que é impossível para x real diferente de 1 e n natural
 Alguem poderia mostrar de outra forma?

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Solucões em inteiros positivos

2012-05-23 Por tôpico Victor Villas Bôas Chaves

Não consigo ver solução mais simples do que fazendo caso a caso e
utilizando o princípio de inclusão-exclusão.

Faça o nº de soluções com x_17 (simples substituição de variáveis
para x_1 = a_1 +7) e assim por diante, depois as respectivas
interseções de casos...

Deve dar uns 10 casos para calcular. Não é tão demorado se você já tem
memorizado a fórmula da quantidade de soluções inteiras de uma
equação.

Assim a unica restrição agora é que a_k0
Em 23 de maio de 2012 11:46, marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com escreveu:
 Como determinar o número de soluções,em inteiros positivos,de x_1 + x_2 +
 x_3 + x_4 = 22
 em que x_1 = 7,x_2  = 6,x_3  = 9 e x_4  = 8 ?

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] combinatória

2012-05-23 Por tôpico Victor Villas Bôas Chaves

Certo. São 2p moedas para repartir entre duas pessoas, 2p+1 maneiras.

Em 23 de maio de 2012 10:55, marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com escreveu:
 obrigado.E caso k = 2,teremos 2p + 1 resultados,e não p + 1,certo?
 Date: Tue, 22 May 2012 19:33:07 -0300
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] combinatória
 From: victor.chaves@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 Tem-se um total de K*p moedinhas. Basta contar o número de soluções da
 equação:
 x_1 + x_2 + ... + x_k = K*p

 Em 22 de maio de 2012 17:50, marcone augusto araújo borges
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:
  K condes estao jogando cartas.Originalmente,eles tem todos p
  moedinhas.No
  final do jogo,eles contam quanto eles tem.Eles nao tomam emprestado um
  do
  outro,de modo que que eles nao podem perder mais do que suas p
  moedinhas.Quantos resultados possiveis existem?

  No enunciado,nao faltaria dizer,por exemplo,que eles apostam uma
  moedinha
  por rodada?

  Nesse caso,se fossem 2 jogadores,creio,o numero de resultados possiveis
  seria p + 1

  Alguem poderia esclarecer?

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Soma

2012-05-22 Por tôpico Victor Villas Bôas Chaves

A soma 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N é chamado número harmônico de n ( H_n
) e não possui fórmula fechada.

Atte.
Victor Chaves


Em 22 de maio de 2012 13:21, Anselmo Sousa starterm...@hotmail.com escreveu:
 Pessoal,

 resolvendo um problema me deparei com a seguinte soma:

 N(1 +1/2 +1/3 + ... + 1/N), N inteiro não negativo.

 Qual a solução?

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] combinatória

2012-05-22 Por tôpico Victor Villas Bôas Chaves

Tem-se um total de K*p moedinhas. Basta contar o número de soluções da equação:
x_1 + x_2 + ... + x_k = K*p

Em 22 de maio de 2012 17:50, marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com escreveu:
 K condes estao jogando cartas.Originalmente,eles tem todos p moedinhas.No
 final do jogo,eles contam quanto eles tem.Eles nao tomam emprestado um do
 outro,de modo que que eles nao podem perder mais do que suas p
 moedinhas.Quantos resultados possiveis existem?

 No enunciado,nao faltaria dizer,por exemplo,que eles apostam uma moedinha
 por rodada?

 Nesse caso,se fossem 2 jogadores,creio,o numero de resultados possiveis
 seria p + 1

 Alguem poderia esclarecer?

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Divisibilidade

2012-05-20 Por tôpico Carlos Victor

Olá Thiago ,

Pense assim :

43x+75y = 38x +76y  + 5x -y

Basta então mostrar que  5x-y é múltiplo de 19 .

5x-y = 5(5x-y) - 2(3x+7y) = 19x - 19y . Como  3x+7y =19k , temos que 43x+
75y também é .

Abraços

Carlos  Victor

Em 11 de maio de 2012 08:25, Thiago Bersch thiago_t...@hotmail.comescreveu:

  Mostre que se [image: 19|3x+7y] então [image: 19|43x+75y]

Re: [obm-l] insegurança

2012-04-06 Por tôpico Victor Hugo

Certo...

Sent from my iPad

On 06/04/2012, at 12:15, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br wrote:

 Senhores bom dia
  
 Com o intuito de voltar a estudar adquiri o livro
 Tópicos de Matemática Elementar 3 - Introdução à Análise - Antonio Caminha 
 Muniz Neto - SBM - Coleção do Professor de Matemática.
  
 Já nos primeiros exercícios pagina 14 dei minha resposta e aí bateu a 
 insegurança: está certo ou ta errado?
  
 Por isso recorro a lista que já me ajudou por diversas vezes. (desculpem-me)
  
 3) Seja f: R-R uma função tal que f(x+y)=f(x)+f(y) para x e y reais.
 Se a_k é uma PA de razão r, prove que a sequência f(a_k) é uma PA de razão 
 f(r)
  
 minha solução (insegura)
 Como a_(k+1)=a_k + r por definição de PA temos que f(a_(k+1))=f(a_k + r 
 )=f(a_k)+f(r)
 provando que a sequência f(a_k) é uma PA de razão f(r)
  
 ?tá errado?
  
 Abraços
 Acredito que daqui a uns dez(20, 30)  anos estudando todo dia diminua a 
 insegurança
 Hermann

Re: [obm-l] Desigualdade

2012-04-04 Por tôpico Victor Hugo

Indução...

On 04/04/2012, at 20:03, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com wrote:

 Como provar que (1.3.5.7...2n-1)/(2.4.6...2n) 1/sqrt(2n), para o caso n=50 
 (pergunta da minha prova)?
 
 Isso vale para qualquer inteiro maior que 1 ?
 
 
 []s
 Joao

Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional...

2012-03-25 Por tôpico Victor Hugo



Em 24/03/2012, às 23:25, marcone augusto araújo 
borgesmarconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Obrigado.Eu vi essa questão numa lista de indução.
 Vejo uma idéia de indução ai,mas,se não for abusar da sua boa vontade,como 
 seria uma solução com um
 procedimento mais explicito de indução? 
   
  
 From: joao_maldona...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional...
 Date: Sat, 24 Mar 2012 19:34:57 -0300
 
 Bom, sendo f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...), x vezes, é óbvio que f(x+1)  
 f(x), Logo o valor máximo é f(infinito), mas se x tende ao infinito, temos 
 que f(x) = raiz(2 + f(x)), que elevando ao quadrado temos f(x) = 2, logo para 
 qualuqer x diferente do infinito (que é o caso), f(x)  2, além disso f(x)  
 0 e f(x) = f(1) = raiz(2) =~ 1.4
 
 Elevando ao quadrado desse modo:
 f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...)  - f(x)² - 2 = f(x-1) - (f(x)²-2)²-2 = 
 f(x-2), repetindo isso x vezes temos -
  ((f(x)²-2)²-2)²-2...²-2)=0, que expandindo tem coeficiente lider 1 e 
 termo independendo -2, logo pelo teorema das raízes racionais, se f(x) é 
 racional, é -2, -1, 1, ou 2, absurdo, logo f(x) é irracional.
 
 []'s
 João
 
 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Provar que é irracional...
 Date: Sat, 24 Mar 2012 21:56:30 +
 
 Como provar q raiz(2+raiz(2+raiz(2+...raiz(2)),generalizando para n raizes,é 
 irracional?

[obm-l] Re: [obm-l] combinatória

2012-01-14 Por tôpico Victor Seixas Souza

Se você estiver se referindo a somas fundamentalmente diferentes, o nome
disso é partição. Por soma fundamentalmente diferente me refiro que para as
formas 10 + 5 e 5 + 10 não são contadas mais de uma vez. Se você estiver
querendo o número de partições para um número n, acredito que não tenha uma
fórmula fechada (corrijam-me se estiver enganado). Existe como calcular o
número de partições com algumas restrições, utilizando funções geradoras,
mas eu não sei muito sobre o assunto. Acho que se for fazer na mão grande,
pode fazer algo do tipo:
15
14 + 1
13 + 2
13 + 1 + 1
12 + 3
12 + 2 + 1
12 + 1 + 1 + 1
...

Mas acredito que não ajuda muito.

Re: [obm-l] feliz 2012 (geometria)

2011-12-31 Por tôpico Victor Hugo Rodrigues

Trace perpendiculares a partir dos pés das bissetrizes e depois de um
angle-chasing procure ex-incentros.

Em 31 de dezembro de 2011 14:20, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.brescreveu:

 **
 Meus amigos, desejo a todos, um *feliz 2012*.

 Gostaria de uma luz num exercicio de geometria, se alguém puder me
 auxiliar, agradeço!

 Dado um triângulo ABC, tracemos BD e CE bissetrizes (D pertrence ao lado
 AC e E ao lado AB).
 Sendo I o ponto de interseção de BD com CE.
 Dados os seguintes ângulos IDE 18º e IED 24º.
 Pede-se:
 Qual a diferença dos ângulos B e C?

 Muito obrigado!
 Hermann

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência modulo n

2011-12-16 Por tôpico Carlos Victor

Olá  Kleber ,

Usando o teorema de Euler temos que  12^20 é congruo a 1 mod (25). Elevando
a 657 , temos que  12^13140 é congruo 1 mod(25).Logo , basta ver a divisão
de 12^5 por 25 , ok ?.

Teorema de Euler :Sejam a,m naturais com m  1 e mdc(a,m) =1. Então  a^(fi
de m) é congruo a 1 modm .

Abraços

Carlos  Victor

Em 16 de dezembro de 2011 13:49, Kleber Bastos klebe...@gmail.comescreveu:


 Queria saber qual o método para calcular:
 Dado que 12^13145(mod 25), calcular o resto da divisão de 12^13145 por 25.

 Desde já agradeço a ajuda.
 Abraços, Kleber.

[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida

2011-11-02 Por tôpico Victor Hugo Rodrigues

Como assim? Acho que falta algo aí.

Em 2 de novembro de 2011 17:17, Kleber Bastos klebe...@gmail.com escreveu:

 Olá grupo,
 Estou me enrolando nesta prova.

 Mostre q ∀ nº a/b0, MDC(a,b) = 1,
 é válido: f(a/b) = f(1)^a/b .

 --
 Kleber.

[obm-l] Re: [obm-l] Limite difícil

2011-09-07 Por tôpico Victor Seixas Souza

Conhecendo a regra de L`Hôpital, fica simples:

Temos que:
L = lim v- 0 [ c((v²+c²)^(1/2) - c )/v² ] = c lim v- 0 [ ((v²+c²)^(1/2) -
c )/v² ]
Aplicando a Regre de L`Hôpital para indeterminações do tipo 0/0, temos:
L = c lim v- 0  [ ((v²+c²)^(1/2) - c )' / (v²)' ] = c lim v- 0  [ 2v /
(2(v² + c²)^(1/2)) / 2v ] = c lim v-0 [ 1/(2(v²+c²)^(1/2)) ] = c * (1/2c) =
1/2

Victor

Re: [obm-l] Complexo

2011-08-03 Por tôpico Victor Seixas Souza

Escrevendo i na forma polar, temos:
i = e ^ (i pi/2)
Para calcular i ^ i, fazemos:
i ^ i = e ^ ln ( i^i ) = e ^ i ln i
Utilizando a forma polar, verificamos que
ln i = ln e ^(i pi/2) = i pi/2
Portanto,
i ^ i = e ^ ( i (i pi/2) ) = e ^ (-pi/2)

[obm-l] Re: [obm-l] Exercício proposto(Eureka!)

2011-07-28 Por tôpico Carlos Victor

Olá Marcone ,
Sabendo  que  : cos(pi/7) - cos(2pi/7) + cos(3pi/7) = 1/2 , use as
expressões de  cos3x  e de  cos2x  em função de cosx , com  x = pi/7 ,  ok ?

Abraços

Carlos  Victor

Em 28 de julho de 2011 18:24, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

  Prove que x = 2cos(pi/7) satisfaz a equação x^3 + x^2 -2x + 1 = 0.

 Há um exercício resolvido na revista,mostrando que pi/7 é raíz da equação
 8x^3 - 4x^2 -4x + 1 = 0
 Mas não estou conseguindo e peço ajuda
 Agradeço desde já.

[obm-l] Re: [obm-l] SUGESTÃO PARA RESOLVER EQUAÇÃO

2011-07-24 Por tôpico Victor Seixas Souza

Acredito que a substituição   Xi = Yi - 2  resolve (já que Xi  -3, Yi  -1
= Y1 = 0).
Ou seja,
X1 + X2 + X3 + X4 = 12
(Y1 - 2) + (Y2 - 2) + (Y3 - 2) + (Y4 - 2) = 12
Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 12 + 4*2 = 20,  Yi = 0, i = 1, 2, 3, 4.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Essa ainda não consegui!!!

2011-07-24 Por tôpico Victor Seixas Souza

Refiz o seu rascunho no Geogebra
A(0,0), B(10,-3), C(9,1), D(7,5) e E(2,8)
Nenhuma interseção tem coordenadas Inteiras.

Re: [obm-l] Geometria OBM

2011-07-24 Por tôpico Carlos Victor

Olá João ,

Vamos inicialmente a uma solução trigonométrica :

Seja z o ângulo pedido .Sejam também AB =a ; AO2 = x  e AO1= y.Então teremos
:

Triang  *BO1O2 : y/sen(160-z) = x/sen*z

Triang ABO2 : x/sen50 = a/sen80

Triang BO1A : y/sen80 = a/sen70

Logo :sen(20+z) = 4cos10.sen20.senz  ; ou  sen(20+z) -senz = 2senz.sen10

Donde  cos(z+10) = senz ; ou seja  z = 40 ° .

Tentarei uma solução geométrica . ok ?

Abraços

Carlos  Victor





2011/7/24 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com

  Inglaterra -- 1970

 No triângulo ABC, AB = AC e A=80°,  dado O1 em AC tal que O1BC =  20° e O2
 em  BC tal que   CAO2 = 30°,  calcule   BO1O2

 Obrigado
 João

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