[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Anderson Torres]

Em sáb., 4 de jul. de 2020 às 20:29, marcone augusto araújo borges
 escreveu:
>
> Determinar os inteiros positivos x tais que (x^5+5x2+x+1) é múltiplo de 121

Tente ver primeiro por 11. Isso já dá uma reduzida.

> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Congruência

[marcone augusto araújo borges]

Determinar os inteiros positivos x tais que (x^5+5x2+x+1) é múltiplo de 121

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Pedro José]

Boa tarde!

Daria para ter melhorado a procura para (10x+6)^3
10x(5x+8) = 20 mod125 ==> 10x(5x+8)=20 + 250*q ==> x(5x+8)=2 +25 q ==>
x(5x+8) = 2 mod 25
x(5x+8) tem que acabar em 2 ou em 7.
1 não
2 não
3 não
4 temos 28*4=112 não atende.
5 não
6 não
7 não
8 não
9 temos 477 = 2 mod25 OK!!!
10 não
11 não
12  não

Assim para 124 resíduos, só precisamos verificar 6 resíduos. 6, 21, 71,
121, 46 e 96. Diminuiu bastante a procura. Embora, deva haver uma forma
mais elegante.

Saudações,
PJMS




Em qua., 6 de nov. de 2019 às 11:32, Pedro José 
escreveu:

> Boa tarde!
> Esqueci o "vai um" que a tia Loló me ensinou: 346 e não 246.
>
> Desculpem-me,
> PJMS
>
> Em qua., 6 de nov. de 2019 às 10:59, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>>
>> Só consegui na grosseria.
>>
>> Para que o resto por 125 acabe em 1, x deverá acabar em 1 ou em 6.
>>
>> 6^3=216 não atende
>>
>> (10x+1)^3 = 300x^2 + 30x +1 = 111 mod 125 ==> 300x^2 + 30x= 110 + 250 q,
>> com q pertencente a |N.
>> 30x^2+3x =11 +25q.
>>
>> Tem que ser um x entre [1,12] e o produto 3x (10x+1) tem que acabar com 1
>> ou 6.
>> Quem vai comandar é 3x, únicos candidatos 2, 7 e 12.
>> x=2 ==>126=1 mod25 não atende.
>> x=7 ==> 1491= 16 mod 25
>> x=12 ==> 4356 = 6 mod25
>>
>> Logo não há número terminado em 1 que atenda o proposto.
>>
>> (10x+6)^3= 1800x^2 + 1080x + 216 = 111 mod 125 ==> 10x(5x+8) = 20 mod125
>> aqui não encontrei restrição, tem de ir na marra.
>> 1 ==>130 = 20 mod 125, não atende
>> 2==> 360 = 20 mod 125 não
>> 3==> 690 = 20 mod 125 não
>> 4 ==> 1120 = 20 mod 125 não
>> 5 ==> 1650 = 20 mod 125 não
>> 6===> 2280 = 20 mod125 não
>> 7 ==> 3010 = 20 mod125 não
>> 8==> 3840 =20 mod125 não
>> 9==> 4770 = 20 mod125 OK!
>> 10 ==> 5800 = 20 mod125 não
>> 11 ==> 6930 = 20 mod 125 não
>> 12 ==> 8160 = 20 mod125 não.
>>
>> Dentre os resíduos apenas os côngruos de 96 atendem. Como são os
>> primeiros positivos.
>> (96, 96 + 125, 96+250)= (96, 221, 246).
>>
>> Deve haver alguma forma mais elegante.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>>
>> Em ter., 5 de nov. de 2019 às 23:30, marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Determine os três menores inteiros positivos x, tais que x^3 = = 111
>>> (mod 5^3).
>>> Desde já agradeço
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Pedro José]

Boa tarde!
Esqueci o "vai um" que a tia Loló me ensinou: 346 e não 246.

Desculpem-me,
PJMS

Em qua., 6 de nov. de 2019 às 10:59, Pedro José 
escreveu:

> Boa tarde!
>
> Só consegui na grosseria.
>
> Para que o resto por 125 acabe em 1, x deverá acabar em 1 ou em 6.
>
> 6^3=216 não atende
>
> (10x+1)^3 = 300x^2 + 30x +1 = 111 mod 125 ==> 300x^2 + 30x= 110 + 250 q,
> com q pertencente a |N.
> 30x^2+3x =11 +25q.
>
> Tem que ser um x entre [1,12] e o produto 3x (10x+1) tem que acabar com 1
> ou 6.
> Quem vai comandar é 3x, únicos candidatos 2, 7 e 12.
> x=2 ==>126=1 mod25 não atende.
> x=7 ==> 1491= 16 mod 25
> x=12 ==> 4356 = 6 mod25
>
> Logo não há número terminado em 1 que atenda o proposto.
>
> (10x+6)^3= 1800x^2 + 1080x + 216 = 111 mod 125 ==> 10x(5x+8) = 20 mod125
> aqui não encontrei restrição, tem de ir na marra.
> 1 ==>130 = 20 mod 125, não atende
> 2==> 360 = 20 mod 125 não
> 3==> 690 = 20 mod 125 não
> 4 ==> 1120 = 20 mod 125 não
> 5 ==> 1650 = 20 mod 125 não
> 6===> 2280 = 20 mod125 não
> 7 ==> 3010 = 20 mod125 não
> 8==> 3840 =20 mod125 não
> 9==> 4770 = 20 mod125 OK!
> 10 ==> 5800 = 20 mod125 não
> 11 ==> 6930 = 20 mod 125 não
> 12 ==> 8160 = 20 mod125 não.
>
> Dentre os resíduos apenas os côngruos de 96 atendem. Como são os primeiros
> positivos.
> (96, 96 + 125, 96+250)= (96, 221, 246).
>
> Deve haver alguma forma mais elegante.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
> Em ter., 5 de nov. de 2019 às 23:30, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Determine os três menores inteiros positivos x, tais que x^3 = = 111 (mod
>> 5^3).
>> Desde já agradeço
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Pedro José]

Boa tarde!

Só consegui na grosseria.

Para que o resto por 125 acabe em 1, x deverá acabar em 1 ou em 6.

6^3=216 não atende

(10x+1)^3 = 300x^2 + 30x +1 = 111 mod 125 ==> 300x^2 + 30x= 110 + 250 q,
com q pertencente a |N.
30x^2+3x =11 +25q.

Tem que ser um x entre [1,12] e o produto 3x (10x+1) tem que acabar com 1
ou 6.
Quem vai comandar é 3x, únicos candidatos 2, 7 e 12.
x=2 ==>126=1 mod25 não atende.
x=7 ==> 1491= 16 mod 25
x=12 ==> 4356 = 6 mod25

Logo não há número terminado em 1 que atenda o proposto.

(10x+6)^3= 1800x^2 + 1080x + 216 = 111 mod 125 ==> 10x(5x+8) = 20 mod125
aqui não encontrei restrição, tem de ir na marra.
1 ==>130 = 20 mod 125, não atende
2==> 360 = 20 mod 125 não
3==> 690 = 20 mod 125 não
4 ==> 1120 = 20 mod 125 não
5 ==> 1650 = 20 mod 125 não
6===> 2280 = 20 mod125 não
7 ==> 3010 = 20 mod125 não
8==> 3840 =20 mod125 não
9==> 4770 = 20 mod125 OK!
10 ==> 5800 = 20 mod125 não
11 ==> 6930 = 20 mod 125 não
12 ==> 8160 = 20 mod125 não.

Dentre os resíduos apenas os côngruos de 96 atendem. Como são os primeiros
positivos.
(96, 96 + 125, 96+250)= (96, 221, 246).

Deve haver alguma forma mais elegante.

Saudações,
PJMS



Em ter., 5 de nov. de 2019 às 23:30, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Determine os três menores inteiros positivos x, tais que x^3 = = 111 (mod
> 5^3).
> Desde já agradeço
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Congruência

[marcone augusto araújo borges]

Determine os três menores inteiros positivos x, tais que x^3 = = 111 (mod 5^3).
Desde já agradeço

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Pedro José]

 Boa tarde!
Primeiramente, temos que considerar k positivo.
Depois temos que calcular  ord19 10
Mas ord19 10 | Fi(19)=18 então os possíveis valores são: 1, 2, 3, 6, 9 ,18.
Pois, ord19 10| Fi(19)
10^1=10; 1 não atente
10^2= 100= 5 mod19; 2 não atende
10^3= 5*10= 12 mod 19; 3 não atende
10^6= (10^3)^2= 144= 11 mod19, 6 não atende
10^9=10^3*10^6=132= 18 mod19; 9 não atende. Portanto, ord19 10=Fi(19)=18,
ou seja, 10 é uma raiz primitiva  mod19.
se 10^ko =2 ==>10^(ko+n* ord19 10)= 2
Mas 2.10= 1 mod19 ==> Portanto, 10^18=2*10 mod 19; e (19,10)=1, temos que
10^17=2 mod 19; portanto k=17 é o primeira solução positiva.
Pois, se existisse um k< 17, com 10^k=2, teríamos que 10^(k+1)=1 com k+1
<18 = ord19 10, absurdo.
Então a primeira é para k=17
E as seguintes, 35 e 53.
Note que foi necessário restringir k como positivo, pois, 10^-1, 10^-19,
10^-37, 10^-55... são soluções
Não sei se ficou claro, mas se houvesse um período p menor que 18 = ord19
10. 10^xo =10^(xo+p) mod19, teríamos 10^p=1 mod19, com p< 18 = ord19 1;
absurdo.
Saudações,
PJMS


Em sex, 25 de out de 2019 às 00:15, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Quais são as 3 primeiras soluções da congruência 10^k = = 2 (mod 19)?
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Pedro José]

Boa tarde!
Primeiramente, temos que calcular  ord19 10 .
Mas ord19 10 | Fi(19)=18 então os possíveis valores são: 1, 2, 3, 6, 9 ,18
1 não atente
10^2= 100= 5 mod19; 2 não atende
10^3= 5*10= 12 mod 19; 3 não atende
10^6= 5*12 =

Em sex, 25 de out de 2019 às 00:15, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Quais são as 3 primeiras soluções da congruência 10^k = = 2 (mod 19)?
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Congruência

[marcone augusto araújo borges]

Quais são as 3 primeiras soluções da congruência 10^k = = 2 (mod 19)?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência (?)

[Pedro José]

Boa noite!
Faltara também a explicação.
Seja a = r  mod 10 então a^n=(r)^n  mod 100  se n é múltiplo de 10.
Mas é só usar o binômio de Newton, para (10q+r)^n  só sobra o último termo.

Saudações.

Em qua, 9 de out de 2019 às 11:09, Pedro José 
escreveu:

> Bom dia!
>
> Achei um outro modo de resolver, só que ao retornar me apercebi de que
> "engolira a classe 6', ao invés de ir na PA(2,4,6,8) segui pela PG (2,4,8)
>
> Faltou então para o algarismo 6.
>
> 6^20=2^20.3^20 e ord1003=20então 2^20= 1 mod 100 então 6=^20=2^20 mod
> 100
> Se 3^n= 1 mod100 então 3^n= 1 mod10
> ord103=4
> (3)^n=1 mod100 então né múltiplo de 4. Então n=4k par k>1 inteiro.
> (3)^n=(81)^k=(10*8+1)^k
> Pelo binômio de Newton, só sobram os dois últimos termos. Os demais terão
> 10^m com m>2 que côngruo de 0  mod100
> k.10*8 +1, e portanto o menor k que satisfaz é k=5. Então ord1003=20
>
> Com isso completa o que faltara da resolução anterior.
>
> 2^10=1024=24 mod100
> 2^20=24^2=76 mod100
> 4^20=(2^20)^2=76^2=(-24)^2=576=76 mod100
> 8^20=2^20.4^20=76^2=24 mod100
> 6^20=3^20.2^20=2^20 pois ord1003=20
>
> Essa última ficou melhor.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em sáb, 5 de out de 2019 às 08:58, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Bom dia!
>> Esdras, tem como postar a resposta.
>> Não consigo ver a^p=a modp, para p primo se encaixando no problema, pois
>> 10 não é primo.
>>
>> Grato!
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em sex, 4 de out de 2019 às 20:20, Esdras Muniz <
>> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Dá pra fazer tb usando o pequeno teorema de Fermat.
>>>
>>>
>>> 
>>>  Livre
>>> de vírus. www.avast.com
>>> .
>>>
>>> <#m_3285326544539962876_m_-140568092169550719_m_1063528150960112747_m_-1601668305501320773_m_-5542290881960747167_m_-611650024147786599_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>>
>>> Em sex, 4 de out de 2019 às 17:36, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa tarde!
 Com minhas escusas retificação da solução.
 n<>o mod10 e não: "n<> 0 mod100"
 (100,4) <>1 e não: "(100,4) =1"
 b^x não se repete e não: "b^x não se repetem"
 Sds,
 PJMS.


 Em sex, 4 de out de 2019 às 17:16, Pedro José 
 escreveu:

> Boa tarde!
> Se 10 não divide n então n<>0 mod100; pois nesse caso daria "00".
> Então os números são 2,4 ou 8 côngruos mod10.
> 2^20=4^10
> 8^20 = 4^40
> 4^1= 4 mod10
> 4^2=6 mod10
> 4^3= 4 mod10
> Logo temos que 4^(2m+1) = 4 mod 10 (i)
> Se
> a=4 mod 100 ==> a=4 mod 10 (ii)
>
> Então vamos procurar o período de a^n mod100,  Não existe a que
> satisfaça a^m= 1 mod100, com m<>0, pois (100,4)=1
> Vamos tentar verificar se há repetição do 4.
> De (i) e (ii) , temos que: 4^(2m+1) = 4 mod 100
> m=1 ==> 4^3 = 64 mod 104, não serve
> m=2 ==> 4^5= (4^(3*2))*8 = 28*8= 224=24 mod 100, não serve
> m=3 ==> 4^7= 24*16=384=84 mod 100
> m=4 ==> 4^9= (2*84)*8=68*8= 544=44 mod100
> m=5 ==> 4^11=44*16= 704= 4 mod 100
> Portanto o período de 4^a mod100 é 1gual a 10, ou seja, 4^a=4(10x+a)
> mod100. com x,a não nulos (Cuidado, que para alguns casos em que (b,m)<>1,
> b^x não se repetem para x < xo,e.g., 2^a= 2 mod 100, só é atendido para
> a=1, aí tem de sair no braço para ver qual que se repete e pode-se gastar
> mais tempo. Por sorte o quatro repetiu. Mas o enunciado dava a dica de que
> repetiria, pois, 4^20=4^10 mod 100 para que o problema tenha uma solução
> única.
> 4^20 = 4^10= 4^9*4=44*4=176=76 mod100
> 8^20=4^40=4^10=76 mod100
> 2^20=4^10=76 mod 100.
>
> Portanto o algarismo da dezena é 7 e das unidades 6.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
> Em qui, 3 de out de 2019 às 17:51, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Se n é um número natural par não divisível por 10, quais são os dois
>> últimos algarismos de n^20?
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esdras Muniz Mota
>>> Mestrando em Matemática
>>> Universidade Federal do Ceará
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência (?)

[Pedro José]

Bom dia!

Achei um outro modo de resolver, só que ao retornar me apercebi de que
"engolira a classe 6', ao invés de ir na PA(2,4,6,8) segui pela PG (2,4,8)

Faltou então para o algarismo 6.

6^20=2^20.3^20 e ord1003=20então 2^20= 1 mod 100 então 6=^20=2^20 mod100
Se 3^n= 1 mod100 então 3^n= 1 mod10
ord103=4
(3)^n=1 mod100 então né múltiplo de 4. Então n=4k par k>1 inteiro.
(3)^n=(81)^k=(10*8+1)^k
Pelo binômio de Newton, só sobram os dois últimos termos. Os demais terão
10^m com m>2 que côngruo de 0  mod100
k.10*8 +1, e portanto o menor k que satisfaz é k=5. Então ord1003=20

Com isso completa o que faltara da resolução anterior.

2^10=1024=24 mod100
2^20=24^2=76 mod100
4^20=(2^20)^2=76^2=(-24)^2=576=76 mod100
8^20=2^20.4^20=76^2=24 mod100
6^20=3^20.2^20=2^20 pois ord1003=20

Essa última ficou melhor.

Saudações,
PJMS


Em sáb, 5 de out de 2019 às 08:58, Pedro José 
escreveu:

> Bom dia!
> Esdras, tem como postar a resposta.
> Não consigo ver a^p=a modp, para p primo se encaixando no problema, pois
> 10 não é primo.
>
> Grato!
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em sex, 4 de out de 2019 às 20:20, Esdras Muniz 
> escreveu:
>
>> Dá pra fazer tb usando o pequeno teorema de Fermat.
>>
>>
>> 
>>  Livre
>> de vírus. www.avast.com
>> .
>>
>> <#m_-140568092169550719_m_1063528150960112747_m_-1601668305501320773_m_-5542290881960747167_m_-611650024147786599_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
>> Em sex, 4 de out de 2019 às 17:36, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Com minhas escusas retificação da solução.
>>> n<>o mod10 e não: "n<> 0 mod100"
>>> (100,4) <>1 e não: "(100,4) =1"
>>> b^x não se repete e não: "b^x não se repetem"
>>> Sds,
>>> PJMS.
>>>
>>>
>>> Em sex, 4 de out de 2019 às 17:16, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa tarde!
 Se 10 não divide n então n<>0 mod100; pois nesse caso daria "00".
 Então os números são 2,4 ou 8 côngruos mod10.
 2^20=4^10
 8^20 = 4^40
 4^1= 4 mod10
 4^2=6 mod10
 4^3= 4 mod10
 Logo temos que 4^(2m+1) = 4 mod 10 (i)
 Se
 a=4 mod 100 ==> a=4 mod 10 (ii)

 Então vamos procurar o período de a^n mod100,  Não existe a que
 satisfaça a^m= 1 mod100, com m<>0, pois (100,4)=1
 Vamos tentar verificar se há repetição do 4.
 De (i) e (ii) , temos que: 4^(2m+1) = 4 mod 100
 m=1 ==> 4^3 = 64 mod 104, não serve
 m=2 ==> 4^5= (4^(3*2))*8 = 28*8= 224=24 mod 100, não serve
 m=3 ==> 4^7= 24*16=384=84 mod 100
 m=4 ==> 4^9= (2*84)*8=68*8= 544=44 mod100
 m=5 ==> 4^11=44*16= 704= 4 mod 100
 Portanto o período de 4^a mod100 é 1gual a 10, ou seja, 4^a=4(10x+a)
 mod100. com x,a não nulos (Cuidado, que para alguns casos em que (b,m)<>1,
 b^x não se repetem para x < xo,e.g., 2^a= 2 mod 100, só é atendido para
 a=1, aí tem de sair no braço para ver qual que se repete e pode-se gastar
 mais tempo. Por sorte o quatro repetiu. Mas o enunciado dava a dica de que
 repetiria, pois, 4^20=4^10 mod 100 para que o problema tenha uma solução
 única.
 4^20 = 4^10= 4^9*4=44*4=176=76 mod100
 8^20=4^40=4^10=76 mod100
 2^20=4^10=76 mod 100.

 Portanto o algarismo da dezena é 7 e das unidades 6.

 Saudações,
 PJMS




 Em qui, 3 de out de 2019 às 17:51, marcone augusto araújo borges <
 marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Se n é um número natural par não divisível por 10, quais são os dois
> últimos algarismos de n^20?
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esdras Muniz Mota
>> Mestrando em Matemática
>> Universidade Federal do Ceará
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência (?)

[Pedro José]

Bom dia!
Esdras, tem como postar a resposta.
Não consigo ver a^p=a modp, para p primo se encaixando no problema, pois 10
não é primo.

Grato!

Saudações,
PJMS


Em sex, 4 de out de 2019 às 20:20, Esdras Muniz 
escreveu:

> Dá pra fazer tb usando o pequeno teorema de Fermat.
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
>
> <#m_-5542290881960747167_m_-611650024147786599_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> Em sex, 4 de out de 2019 às 17:36, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Com minhas escusas retificação da solução.
>> n<>o mod10 e não: "n<> 0 mod100"
>> (100,4) <>1 e não: "(100,4) =1"
>> b^x não se repete e não: "b^x não se repetem"
>> Sds,
>> PJMS.
>>
>>
>> Em sex, 4 de out de 2019 às 17:16, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Se 10 não divide n então n<>0 mod100; pois nesse caso daria "00".
>>> Então os números são 2,4 ou 8 côngruos mod10.
>>> 2^20=4^10
>>> 8^20 = 4^40
>>> 4^1= 4 mod10
>>> 4^2=6 mod10
>>> 4^3= 4 mod10
>>> Logo temos que 4^(2m+1) = 4 mod 10 (i)
>>> Se
>>> a=4 mod 100 ==> a=4 mod 10 (ii)
>>>
>>> Então vamos procurar o período de a^n mod100,  Não existe a que
>>> satisfaça a^m= 1 mod100, com m<>0, pois (100,4)=1
>>> Vamos tentar verificar se há repetição do 4.
>>> De (i) e (ii) , temos que: 4^(2m+1) = 4 mod 100
>>> m=1 ==> 4^3 = 64 mod 104, não serve
>>> m=2 ==> 4^5= (4^(3*2))*8 = 28*8= 224=24 mod 100, não serve
>>> m=3 ==> 4^7= 24*16=384=84 mod 100
>>> m=4 ==> 4^9= (2*84)*8=68*8= 544=44 mod100
>>> m=5 ==> 4^11=44*16= 704= 4 mod 100
>>> Portanto o período de 4^a mod100 é 1gual a 10, ou seja, 4^a=4(10x+a)
>>> mod100. com x,a não nulos (Cuidado, que para alguns casos em que (b,m)<>1,
>>> b^x não se repetem para x < xo,e.g., 2^a= 2 mod 100, só é atendido para
>>> a=1, aí tem de sair no braço para ver qual que se repete e pode-se gastar
>>> mais tempo. Por sorte o quatro repetiu. Mas o enunciado dava a dica de que
>>> repetiria, pois, 4^20=4^10 mod 100 para que o problema tenha uma solução
>>> única.
>>> 4^20 = 4^10= 4^9*4=44*4=176=76 mod100
>>> 8^20=4^40=4^10=76 mod100
>>> 2^20=4^10=76 mod 100.
>>>
>>> Portanto o algarismo da dezena é 7 e das unidades 6.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Em qui, 3 de out de 2019 às 17:51, marcone augusto araújo borges <
>>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>>
 Se n é um número natural par não divisível por 10, quais são os dois
 últimos algarismos de n^20?
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esdras Muniz Mota
> Mestrando em Matemática
> Universidade Federal do Ceará
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência (?)

[Esdras Muniz]

Dá pra fazer tb usando o pequeno teorema de Fermat.


Livre
de vírus. www.avast.com
.
<#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

Em sex, 4 de out de 2019 às 17:36, Pedro José 
escreveu:

> Boa tarde!
> Com minhas escusas retificação da solução.
> n<>o mod10 e não: "n<> 0 mod100"
> (100,4) <>1 e não: "(100,4) =1"
> b^x não se repete e não: "b^x não se repetem"
> Sds,
> PJMS.
>
>
> Em sex, 4 de out de 2019 às 17:16, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Se 10 não divide n então n<>0 mod100; pois nesse caso daria "00".
>> Então os números são 2,4 ou 8 côngruos mod10.
>> 2^20=4^10
>> 8^20 = 4^40
>> 4^1= 4 mod10
>> 4^2=6 mod10
>> 4^3= 4 mod10
>> Logo temos que 4^(2m+1) = 4 mod 10 (i)
>> Se
>> a=4 mod 100 ==> a=4 mod 10 (ii)
>>
>> Então vamos procurar o período de a^n mod100,  Não existe a que satisfaça
>> a^m= 1 mod100, com m<>0, pois (100,4)=1
>> Vamos tentar verificar se há repetição do 4.
>> De (i) e (ii) , temos que: 4^(2m+1) = 4 mod 100
>> m=1 ==> 4^3 = 64 mod 104, não serve
>> m=2 ==> 4^5= (4^(3*2))*8 = 28*8= 224=24 mod 100, não serve
>> m=3 ==> 4^7= 24*16=384=84 mod 100
>> m=4 ==> 4^9= (2*84)*8=68*8= 544=44 mod100
>> m=5 ==> 4^11=44*16= 704= 4 mod 100
>> Portanto o período de 4^a mod100 é 1gual a 10, ou seja, 4^a=4(10x+a)
>> mod100. com x,a não nulos (Cuidado, que para alguns casos em que (b,m)<>1,
>> b^x não se repetem para x < xo,e.g., 2^a= 2 mod 100, só é atendido para
>> a=1, aí tem de sair no braço para ver qual que se repete e pode-se gastar
>> mais tempo. Por sorte o quatro repetiu. Mas o enunciado dava a dica de que
>> repetiria, pois, 4^20=4^10 mod 100 para que o problema tenha uma solução
>> única.
>> 4^20 = 4^10= 4^9*4=44*4=176=76 mod100
>> 8^20=4^40=4^10=76 mod100
>> 2^20=4^10=76 mod 100.
>>
>> Portanto o algarismo da dezena é 7 e das unidades 6.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>>
>>
>> Em qui, 3 de out de 2019 às 17:51, marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Se n é um número natural par não divisível por 10, quais são os dois
>>> últimos algarismos de n^20?
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência (?)

[Pedro José]

Boa tarde!
Com minhas escusas retificação da solução.
n<>o mod10 e não: "n<> 0 mod100"
(100,4) <>1 e não: "(100,4) =1"
b^x não se repete e não: "b^x não se repetem"
Sds,
PJMS.


Em sex, 4 de out de 2019 às 17:16, Pedro José 
escreveu:

> Boa tarde!
> Se 10 não divide n então n<>0 mod100; pois nesse caso daria "00".
> Então os números são 2,4 ou 8 côngruos mod10.
> 2^20=4^10
> 8^20 = 4^40
> 4^1= 4 mod10
> 4^2=6 mod10
> 4^3= 4 mod10
> Logo temos que 4^(2m+1) = 4 mod 10 (i)
> Se
> a=4 mod 100 ==> a=4 mod 10 (ii)
>
> Então vamos procurar o período de a^n mod100,  Não existe a que satisfaça
> a^m= 1 mod100, com m<>0, pois (100,4)=1
> Vamos tentar verificar se há repetição do 4.
> De (i) e (ii) , temos que: 4^(2m+1) = 4 mod 100
> m=1 ==> 4^3 = 64 mod 104, não serve
> m=2 ==> 4^5= (4^(3*2))*8 = 28*8= 224=24 mod 100, não serve
> m=3 ==> 4^7= 24*16=384=84 mod 100
> m=4 ==> 4^9= (2*84)*8=68*8= 544=44 mod100
> m=5 ==> 4^11=44*16= 704= 4 mod 100
> Portanto o período de 4^a mod100 é 1gual a 10, ou seja, 4^a=4(10x+a)
> mod100. com x,a não nulos (Cuidado, que para alguns casos em que (b,m)<>1,
> b^x não se repetem para x < xo,e.g., 2^a= 2 mod 100, só é atendido para
> a=1, aí tem de sair no braço para ver qual que se repete e pode-se gastar
> mais tempo. Por sorte o quatro repetiu. Mas o enunciado dava a dica de que
> repetiria, pois, 4^20=4^10 mod 100 para que o problema tenha uma solução
> única.
> 4^20 = 4^10= 4^9*4=44*4=176=76 mod100
> 8^20=4^40=4^10=76 mod100
> 2^20=4^10=76 mod 100.
>
> Portanto o algarismo da dezena é 7 e das unidades 6.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
> Em qui, 3 de out de 2019 às 17:51, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Se n é um número natural par não divisível por 10, quais são os dois
>> últimos algarismos de n^20?
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência (?)

[Pedro José]

Boa tarde!
Se 10 não divide n então n<>0 mod100; pois nesse caso daria "00".
Então os números são 2,4 ou 8 côngruos mod10.
2^20=4^10
8^20 = 4^40
4^1= 4 mod10
4^2=6 mod10
4^3= 4 mod10
Logo temos que 4^(2m+1) = 4 mod 10 (i)
Se
a=4 mod 100 ==> a=4 mod 10 (ii)

Então vamos procurar o período de a^n mod100,  Não existe a que satisfaça
a^m= 1 mod100, com m<>0, pois (100,4)=1
Vamos tentar verificar se há repetição do 4.
De (i) e (ii) , temos que: 4^(2m+1) = 4 mod 100
m=1 ==> 4^3 = 64 mod 104, não serve
m=2 ==> 4^5= (4^(3*2))*8 = 28*8= 224=24 mod 100, não serve
m=3 ==> 4^7= 24*16=384=84 mod 100
m=4 ==> 4^9= (2*84)*8=68*8= 544=44 mod100
m=5 ==> 4^11=44*16= 704= 4 mod 100
Portanto o período de 4^a mod100 é 1gual a 10, ou seja, 4^a=4(10x+a)
mod100. com x,a não nulos (Cuidado, que para alguns casos em que (b,m)<>1,
b^x não se repetem para x < xo,e.g., 2^a= 2 mod 100, só é atendido para
a=1, aí tem de sair no braço para ver qual que se repete e pode-se gastar
mais tempo. Por sorte o quatro repetiu. Mas o enunciado dava a dica de que
repetiria, pois, 4^20=4^10 mod 100 para que o problema tenha uma solução
única.
4^20 = 4^10= 4^9*4=44*4=176=76 mod100
8^20=4^40=4^10=76 mod100
2^20=4^10=76 mod 100.

Portanto o algarismo da dezena é 7 e das unidades 6.

Saudações,
PJMS




Em qui, 3 de out de 2019 às 17:51, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Se n é um número natural par não divisível por 10, quais são os dois
> últimos algarismos de n^20?
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Congruência (?)

[marcone augusto araújo borges]

Se n é um número natural par não divisível por 10, quais são os dois últimos 
algarismos de n^20?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Caio Costa]

2000 = 2⁴.5³
1776 é múltiplo de 16
1776 % 125 = 26
26⁵ % 125 = 1
Assim, 1776^(2011!) % 125 = (26^5)^(2011!/5) % 125 = 1
Precisamos agora achar o menor k tal que 125k + 1 é múltiplo de 16.
Por inspeção, k = 11.
Logo, o número 125*11 + 1 = 1376 é o resto pedido.

Em ter, 23 de jul de 2019 às 16:11, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Qual é o resto da divisão de 1776^2011! por 2000?
> Desde já agradeço.
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Congruência

[marcone augusto araújo borges]

Qual é o resto da divisão de 1776^2011! por 2000?
Desde já agradeço.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência(?)

[Pedro José]

Bom dia!

Envio espúrio, digitando o resto.

Em 30 de outubro de 2015 11:41, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> Podemos generalizar e mostrar que:
>
> 1^k + 2^k + 3^k +...+ (p-2)^k = (p-1)^k= (p-1)^k ≡ a mod p, onde a ≡ 0 se
> (p-1) não divide k ou a ≡ -1 se (p-1) divide k, onde p é primo.
>
> Se (p-1) divide k é fácil por Euller Fermat x^(p-1) ≡ 1 mod p ==>x^k ≡ 1.
> Como há p-1 parcelas côngruas a 1, o resultado é (p-1) que é côngruo a -1.
>
>
>
>
>
>
>
> Em 30 de outubro de 2015 10:32, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Mostre que 1^10 + 2^10 + ... + 100^10 é divisível por 101
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência(?)

[Pedro José]

Bom dia!

Podemos generalizar e mostrar que:

1^k + 2^k + 3^k +...+ (p-2)^k = (p-1)^k= (p-1)^k ≡ a mod p, onde a ≡ 0 se
(p-1) não divide k ou a ≡ -1 se (p-1) divide k, onde p é primo.

Se (p-1) divide k é fácil por Euller Fermat x^(p-1) ≡ 1 mod p ==>x^k ≡ 1.
Como há p-1 parcelas côngruas a 1, o resultado é (p-1) que é côngruo a -1.







Em 30 de outubro de 2015 10:32, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Mostre que 1^10 + 2^10 + ... + 100^10 é divisível por 101
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Congruência(?)

[marcone augusto araújo borges]

Mostre que 1^10 + 2^10 + ... + 100^10 é divisível por 101   
  
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência(?)

[Pedro José]

Bom dia!

Podemos generalizar e mostrar que:

1^k + 2^k + 3^k +...+ (p-2)^k + (p-1)^k ≡ a mod p, onde a ≡ 0 se (p-1) não
divide k ou a ≡ -1 se (p-1) divide k, onde p é primo.

Se (p-1) divide k é fácil por Euller Fermat x^(p-1) ≡ 1 mod p ==>x^k ≡ 1.
Como há p-1 parcelas côngruas a 1, o resultado é (p-1) que é côngruo a -1.
Se (p-1) não divide k.

Temos que existe uma raiz primitiva g mod p.

Como a raiz primitiva módulo m é uma geratriz de (Z/Zm*) = {g^1, g^2,g^3,
..., g^(Ф(m) -1), g^Ф(m)}
Como p é primo, Ф(p) = p-1 ==> (Z/Zp)* = {1, 2, 3, ..., p-2, p-1} = {g^1,
g^2,g^3, ..., g^(Ф(p) -1), g^Ф(p)}
Nota (Z/Zm*) é o conjunto das classes de congruência mod m, onde os
elementos são coprimos com m.
A notação correta deveria ter uma barrinha em cima de 1, 2, etc
_
1 = { ... 1-2m, 1-m, 1, 1+m, 1+2m...}
Se p é primo p admite raiz primitiva, então:
Existe g tal que {1, 2, 3, ..., p-2, p-1} = {g^1, g^2,g^3, ..., g^(Ф(p) -1),
g^Ф(p)}
1^k + 2^k + 3^k +...+ (p-2)^k + (p-1)^k ≡ g^k + g^(2k) + g^(3k) +...+
g^((p-3)k) + g^((p-2)k) + g^((p-1)k) ≡ S mod p (i)
Multiplicando-se por g^k ambos os lados:
g^k +g^(2k) + g^(3k) +...+ g^((p-2)k) + g^((p-1)k) ≡ g^k.S mod p
Por (i) temos que g^k.S ≡ S mod p ==> (g^k-1)S ≡ 0 mod p
Então S ≡ 0 mod p ou g^k ≡ 1 mod p
Como g é raiz primitiva e (p-1) não divide k acarreta que g^k ǂ 1 mod p
Logo S ≡ 0 mod p ==> S divide p.

100 não divide 10 e 101 é primo, logo a soma divide 101, para o exemplo
solicitado.

Mais detalhes e demosntrações:
http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf e definição de raiz
primitiva.

Saudações,
PJMS





Em 30 de outubro de 2015 11:41, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> Envio espúrio, digitando o resto.
>
> Em 30 de outubro de 2015 11:41, Pedro José  escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> Podemos generalizar e mostrar que:
>>
>> 1^k + 2^k + 3^k +...+ (p-2)^k = (p-1)^k= (p-1)^k ≡ a mod p, onde a ≡ 0 se
>> (p-1) não divide k ou a ≡ -1 se (p-1) divide k, onde p é primo.
>>
>> Se (p-1) divide k é fácil por Euller Fermat x^(p-1) ≡ 1 mod p ==>x^k ≡
>> 1. Como há p-1 parcelas côngruas a 1, o resultado é (p-1) que é côngruo a
>> -1.
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> Em 30 de outubro de 2015 10:32, marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Mostre que 1^10 + 2^10 + ... + 100^10 é divisível por 101
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] (Congruência de triângulos e quadriláteros)

[saulo nilson]

(a-c)/D1=(b-x)/D2


2014-08-20 8:56 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com:

 Então Warley, quando falou de artista plástico acho que entendi o que pede
 na letra a.
 Faz assim chamando o paralelogramo de ABCD, coloque-o no R^3 e imagine que
 A=(m,n,a); B=(r,s,b); C=(p,q,c) e D=(x,y,z), no caso em questão o que voce
 quer é z em função de a, b e c, assim use segmentos orientados, como é
 paralelogramo AB=DC, assim C-D=B-A,  e substituindo os pontos terá (  ,
  ,c-z)=(  ,  ,b-a);
 perceba que não interessa abcissa e ordenada e sim as cotas, logo c-z=b-a,
 a última dimensão que você quer será z=a+c-b.

 Quanto a letra b não entendi o que quer.

 Abraços
 Douglas Oliveira.


 Em 19 de agosto de 2014 23:05, warley ferreira lulu...@yahoo.com.br
 escreveu:



 Boa tarde pessoal,
 gostaria de uma ajuda nesta questão.
 Desde já, agradeço.
 Att.
 Warley Souza

 Questão um (Congruência de triângulos e quadriláteros)

 a) Uma mesa decorativa inclinada em forma de paralelogramo foi criada por
 um artista
 plástico. A medida de um dos pés da mesa deveria ser de a cm. O segundo
 pé mediria b
 cm e o terceiro mediria c cm. Determine o tamanho x do quarto pé para que
 a mesa não
 manque.

 b) Substitua no item anterior o paralelogramo por um quadrilátero convexo
 ou não.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] (Congruência de triângulos e quadriláteros)

[Douglas Oliveira de Lima]

Então Warley, quando falou de artista plástico acho que entendi o que pede
na letra a.
Faz assim chamando o paralelogramo de ABCD, coloque-o no R^3 e imagine que
A=(m,n,a); B=(r,s,b); C=(p,q,c) e D=(x,y,z), no caso em questão o que voce
quer é z em função de a, b e c, assim use segmentos orientados, como é
paralelogramo AB=DC, assim C-D=B-A,  e substituindo os pontos terá (  ,
 ,c-z)=(  ,  ,b-a);
perceba que não interessa abcissa e ordenada e sim as cotas, logo c-z=b-a,
a última dimensão que você quer será z=a+c-b.

Quanto a letra b não entendi o que quer.

Abraços
Douglas Oliveira.


Em 19 de agosto de 2014 23:05, warley ferreira lulu...@yahoo.com.br
escreveu:



 Boa tarde pessoal,
 gostaria de uma ajuda nesta questão.
 Desde já, agradeço.
 Att.
 Warley Souza

 Questão um (Congruência de triângulos e quadriláteros)

 a) Uma mesa decorativa inclinada em forma de paralelogramo foi criada por
 um artista
 plástico. A medida de um dos pés da mesa deveria ser de a cm. O segundo pé
 mediria b
 cm e o terceiro mediria c cm. Determine o tamanho x do quarto pé para que
 a mesa não
 manque.

 b) Substitua no item anterior o paralelogramo por um quadrilátero convexo
 ou não.


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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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[obm-l] Congruência de triângulos e quadriláteros

[warley ferreira]

Boa tarde pessoal,
gostaria de uma ajuda nesta questão.
Desde já, agradeço.
Att.
Warley Souza


Questão um (Congruência de triângulos e quadriláteros)

a) Uma mesa decorativa inclinada em forma de paralelogramo foi criada por um 
artista
plástico. A medida de um dos pés da mesa deveria ser de a cm. O segundo pé 
mediria b
cm e o terceiro mediria c cm. Determine o tamanho x do quarto pé para que a 
mesa não
manque.

b) Substitua no item anterior o paralelogramo por um quadrilátero convexo ou 
não.
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] (Congruência de triângulos e quadriláteros)

[warley ferreira]

 
Boa tarde pessoal,
gostaria de uma ajuda nesta questão.
Desde já, agradeço.
Att.
Warley Souza


Questão um (Congruência de triângulos e quadriláteros)

a) Uma mesa decorativa inclinada em forma de paralelogramo foi criada por um 
artista
plástico. A medida de um dos pés da mesa deveria ser de a cm. O segundo pé 
mediria b
cm e o terceiro mediria c cm. Determine o tamanho x do quarto pé para que a 
mesa não
manque.

b) Substitua no item anterior o paralelogramo por um quadrilátero convexo ou 
não.

-- 
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[obm-l] Congruência(não quero a solução)

[marcone augusto araújo borges]

Eu gostaria de alguma pista para a questão:Mostre que 101 divide 1^10 + 2^10 + 
... + 10^10Se não me engano 1^100 + 2^100 + ... + 100^100 = = -1 (mod 101)Claro 
que 101 divide 1+2+...+ 100,mas... 
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[obm-l] Re: [obm-l] Congruência(não quero a solução)

[Douglas Oliveira de Lima]

Coloquei no wolfram , não dividiu não !
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%5E10+%2B+2%5E10+%2B+3%5E10%2B4%5E10%2B5%5E10%2B6%5E10%2B7%5E10%2B8%5E10%2B9%5E10+%2B+10%5E10%29%2F101


Em 13 de junho de 2014 19:22, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Eu gostaria de alguma pista para a questão:
 Mostre que 101 divide 1^10 + 2^10 + ... + 10^10
 Se não me engano 1^100 + 2^100 + ... + 100^100 = = -1 (mod 101)
 Claro que 101 divide 1+2+...+ 100,mas...

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[obm-l] Re: [obm-l] Congruência(não quero a solução)

[Douglas Oliveira de Lima]

E mostra que dá resto 74 , voce quer chegar no resto??


Em 13 de junho de 2014 19:44, Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Coloquei no wolfram , não dividiu não !

 http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%5E10+%2B+2%5E10+%2B+3%5E10%2B4%5E10%2B5%5E10%2B6%5E10%2B7%5E10%2B8%5E10%2B9%5E10+%2B+10%5E10%29%2F101


 Em 13 de junho de 2014 19:22, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

  Eu gostaria de alguma pista para a questão:
 Mostre que 101 divide 1^10 + 2^10 + ... + 10^10
 Se não me engano 1^100 + 2^100 + ... + 100^100 = = -1 (mod 101)
 Claro que 101 divide 1+2+...+ 100,mas...

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência módulo m

[Pacini Bores]

Observe que são apenas 11 valores para  a devida verificação, portanto sem
grandes trabalhos, ok ?

Pacini


Em 2 de maio de 2014 01:43, ruymat...@ig.com.br escreveu:

  Módulo 11.




 Em 02/05/2014 00:49, Cassio Anderson Feitosa escreveu:

  Em qual módulo?

 Em 2 de maio de 2014 00:42, ruymat...@ig.com.br escreveu:

  É fácil ver que para todo inteiro x, x^5 é côngruo a -1, 0 e 1 apenas.
 Mas como prova-lo para todos sem ter que testar um a um dos possíveis
 valores de x ( x=1,2,3,4,5,6,...)? Abraços e agradecimentos antecipados a
 quem responder .

R.O.




 --
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 acredita-se estar livre de perigo.




 --
 Cássio Anderson
 Graduando em Matemática - UFPB

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência módulo m

[Pedro José]

Boa tarde!

Ruy,

Observe que são onze classe de congruência módulo 11:

Não tenho como colocar a barra acima dos números, mas enxergue a barra.

0 = {...-33, -22, -11, 0, 11, 22, 33...}
1 = {-32, -21, -10, 1, 12, 23, 34}

E assim sucessivamente até 10 = {...-23, -12, -1, 10, 21, 32...}


É fácil provar que as classes módulo m preservam a adição, basta usar
divisão de Euclides e fechamento da adição(por tabela  fechamento da
multiplicação) em Z.

Se preservam a adição preservam a multiplicação e a potenciação.

Portanto qualquer elemento de uma classe de congruência elevado a um dado
inteiro terá a mesma congruência módulo p.

Razão pela qual o colega informou que bastam serem verificados 11 valores
para congruência módulo 11.

Saudações,
PJMS





Em 2 de maio de 2014 08:15, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu:

 Observe que são apenas 11 valores para  a devida verificação, portanto sem
 grandes trabalhos, ok ?

 Pacini


 Em 2 de maio de 2014 01:43, ruymat...@ig.com.br escreveu:

  Módulo 11.




 Em 02/05/2014 00:49, Cassio Anderson Feitosa escreveu:

  Em qual módulo?

 Em 2 de maio de 2014 00:42, ruymat...@ig.com.br escreveu:

  É fácil ver que para todo inteiro x, x^5 é côngruo a -1, 0 e 1 apenas.
 Mas como prova-lo para todos sem ter que testar um a um dos possíveis
 valores de x ( x=1,2,3,4,5,6,...)? Abraços e agradecimentos antecipados a
 quem responder .

R.O.




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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




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 Cássio Anderson
 Graduando em Matemática - UFPB

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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 acredita-se estar livre de perigo.



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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência módulo m

[ruymatrix]

 

Obrigado a todos os que responderam as minhas duvidas sobre congruência.
Só agora estou me familiarizando com o tema, tão apreciado pelas
olimpíadas. Todas as duvidas foram sanadas. Obrigado Pacini, 

Em 02/05/2014 08:15, Pacini Bores escreveu: 

 Observe que são apenas 11 valores para a devida verificação, portanto sem 
 grandes trabalhos, ok ? 
 
 Pacini, Terence, Cássio, enfim, todos. 
 
 Em 2 de maio de 2014 01:43, ruymat...@ig.com.br escreveu:
 
 Módulo 11. 
 
 Em 02/05/2014 00:49, Cassio Anderson Feitosa escreveu: 
 
 Em qual módulo?
 
 Em 2 de maio de 2014 00:42, ruymat...@ig.com.br escreveu:
 
 É fácil ver que para todo inteiro x, x^5 é côngruo a -1, 0 e 1 apenas. Mas 
 como prova-lo para todos sem ter que testar um a um dos possíveis valores de 
 x ( x=1,2,3,4,5,6,...)? Abraços e agradecimentos antecipados a quem responder 
 . 
 
 R.O. 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 
 
 -- 
 
 Cássio Anderson 
 Graduando em Matemática - UFPB 
 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e 
 
 acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo. 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência módulo m

[Pacini Bores]

Olá,

Para o (2), todo   n da forma  52k+12 , satisfaz a condição do problema,

Pacini


Em 30 de abril de 2014 21:41, terence thirteen
peterdirich...@gmail.comescreveu:

 Este primeiro tem uma solução bonita e outra mágica.

 Mágica: módulo 11 no bicho! Veja que x^5 só pode assumir os valores 0,1,-1
 módulo 11, e os quadrados módulo 11 são fáceis de achar. Daí você pode ver
 que não tem como combinar os resultados!

 A segunda você pode fazer quase do mesmo jeito. Basta calcular os restos
 de cada parcelinha.






 Em 30 de abril de 2014 16:02, ruymat...@ig.com.br escreveu:

  1) Prove que a equação y^2=x^5-4 não tem soluções inteiras.

 2) Para que valores de n o número 5^n+n^5 é divisível por 13?

 Agradeço antecipadamente a quem resolver. PS- Faz anos que não uso
 congruência módulo m, e por isso estou enferrujado . Estou retomando, mas
 esses dois travaram.

  Abraços.

R.O.




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 /**/
 神が祝福

 Torres

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[obm-l] Congruência módulo m

[ruymatrix]

 

É fácil ver que para todo inteiro x, x^5 é côngruo a -1, 0 e 1 apenas.
Mas como prova-lo para todos sem ter que testar um a um dos possíveis
valores de x ( x=1,2,3,4,5,6,...)? Abraços e agradecimentos antecipados
a quem responder . 

 R.O. 

 
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[obm-l] Re: [obm-l] Congruência módulo m

[Cassio Anderson Feitosa]

Em qual módulo?

Em 2 de maio de 2014 00:42, ruymat...@ig.com.br escreveu:

  É fácil ver que para todo inteiro x, x^5 é côngruo a -1, 0 e 1 apenas.
 Mas como prova-lo para todos sem ter que testar um a um dos possíveis
 valores de x ( x=1,2,3,4,5,6,...)? Abraços e agradecimentos antecipados a
 quem responder .

R.O.




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Cássio Anderson
Graduando em Matemática - UFPB

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência módulo m

[ruymatrix]

 

Módulo 11. 

Em 02/05/2014 00:49, Cassio Anderson Feitosa escreveu: 

 Em qual módulo?
 
 Em 2 de maio de 2014 00:42, ruymat...@ig.com.br escreveu:
 
 É fácil ver que para todo inteiro x, x^5 é côngruo a -1, 0 e 1 apenas. Mas 
 como prova-lo para todos sem ter que testar um a um dos possíveis valores de 
 x ( x=1,2,3,4,5,6,...)? Abraços e agradecimentos antecipados a quem 
 responder . 
 
 R.O. 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
 
 -- 
 
 Cássio Anderson 
 Graduando em Matemática - UFPB 
 -- 
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 acredita-se estar livre de perigo.
 
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[obm-l] Congruência módulo m

[ruymatrix]

 

1) Prove que a equação y^2=x^5-4 não tem soluções inteiras. 

2) Para que valores de n o número 5^n+n^5 é divisível por 13? 

 Agradeço antecipadamente a quem resolver. PS- Faz anos que não uso
congruência módulo m, e por isso estou enferrujado . Estou retomando,
mas esses dois travaram. 

 Abraços. 

 R.O. 

 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência módulo m

[terence thirteen]

Este primeiro tem uma solução bonita e outra mágica.

Mágica: módulo 11 no bicho! Veja que x^5 só pode assumir os valores 0,1,-1
módulo 11, e os quadrados módulo 11 são fáceis de achar. Daí você pode ver
que não tem como combinar os resultados!

A segunda você pode fazer quase do mesmo jeito. Basta calcular os restos de
cada parcelinha.






Em 30 de abril de 2014 16:02, ruymat...@ig.com.br escreveu:

  1) Prove que a equação y^2=x^5-4 não tem soluções inteiras.

 2) Para que valores de n o número 5^n+n^5 é divisível por 13?

 Agradeço antecipadamente a quem resolver. PS- Faz anos que não uso
 congruência módulo m, e por isso estou enferrujado . Estou retomando, mas
 esses dois travaram.

  Abraços.

R.O.




 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




-- 
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Torres

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência(?)

[marcone augusto araújo borges]

Eu vi depois:
a^p ==b^p(modp) = a^p ==b^p(modp^2)
Como 46^47==(-48)^47 = - 48^47(mod47),então 46^47 == - 48^47(mod47^2)46^47 + 
48^47 == 0(mod47^2)  
 Date: Tue, 20 Aug 2013 10:39:25 -0300
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência(?)
 From: bernardo...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 2013/8/20 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
  Mostre que 46^47 + 48^47 divide 47^2
 Você quer que um número gigantesco divida um número pequenininho? Ou é
 ao contrário?
 
  Eu só consegui desenvolvendo (47 - 1)^47 + (47 + 1)^47.
  Como fazer por congruência?
 Acho que dá pra fazer, mas no fim das contas é mais fácil expandir
 como você pensou, porque para usar congruências você tem que fazer
 tudo módulo 47^2... e daí as contas vão ficar feias... Note que o
 pulo do gato é que C(47,p) é divisível por 47 para todo 0  p  47,
 daí nem adianta muito você tentar simplificar 46^2 = (47 - 1)^2 ==
 -2*47 + 1 (mod 47^2) e 48^2 == 2*47 + 1.
 
 Abraços,
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
  
-- 
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[obm-l] Congruência(?)

[marcone augusto araújo borges]

Mostre que 46^47 + 48^47 divide 47^2



 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  


Eu só consegui desenvolvendo (47 - 1)^47 + (47 + 1)^47.Como fazer por 
congruência?
  
-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Congruência(?)

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/8/20 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
 Mostre que 46^47 + 48^47 divide 47^2
Você quer que um número gigantesco divida um número pequenininho? Ou é
ao contrário?

 Eu só consegui desenvolvendo (47 - 1)^47 + (47 + 1)^47.
 Como fazer por congruência?
Acho que dá pra fazer, mas no fim das contas é mais fácil expandir
como você pensou, porque para usar congruências você tem que fazer
tudo módulo 47^2... e daí as contas vão ficar feias... Note que o
pulo do gato é que C(47,p) é divisível por 47 para todo 0  p  47,
daí nem adianta muito você tentar simplificar 46^2 = (47 - 1)^2 ==
-2*47 + 1 (mod 47^2) e 48^2 == 2*47 + 1.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência(?)

[marcone augusto araújo borges]

Obrigado.Quanto ao pulo do gato eu entendi,mas eu pensei nos expoentes de 
47,todos maiores que 2,exceto no termo C(47,1)*47^1*(-1)^46,que acaba dando um 
fator 47^2,e no termo igual a -1.

 Date: Tue, 20 Aug 2013 10:39:25 -0300
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência(?)
 From: bernardo...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 2013/8/20 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
  Mostre que 46^47 + 48^47 divide 47^2
 Você quer que um número gigantesco divida um número pequenininho? Ou é
 ao contrário?
 
  Eu só consegui desenvolvendo (47 - 1)^47 + (47 + 1)^47.
  Como fazer por congruência?
 Acho que dá pra fazer, mas no fim das contas é mais fácil expandir
 como você pensou, porque para usar congruências você tem que fazer
 tudo módulo 47^2... e daí as contas vão ficar feias... Note que o
 pulo do gato é que C(47,p) é divisível por 47 para todo 0  p  47,
 daí nem adianta muito você tentar simplificar 46^2 = (47 - 1)^2 ==
 -2*47 + 1 (mod 47^2) e 48^2 == 2*47 + 1.
 
 Abraços,
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
  
-- 
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[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência(?)

[marcone augusto araújo borges]

Muito bom.
 From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência(?)
Date: Sun, 17 Mar 2013 00:32:09 -0300




Como n tem 2 algarismos, sendo n = (10a+b)

10^n-n tem (n-2) noves seguidos do número (100-n)

Para b=0, S(10^n-n) = (10a-2).9 + (10-a) = 89a-8 = (mod.170)
Analizando mod.10, -a+2 = 0 (mod 10), a = 2 (mod 10), a = 2 satizfaz
Analizando mod.17, 4a-8 = 0 (mod 17) - a-2 = 0 (mod.17), 2 satizfaz

Para b!= 0, S(100-n) = (9-a) + (10-b) = 19-(a+b)
S(10^n-n) =  (10a+b-2).9 + 19-(a+b) = 89a + 8b + 1
Analizando mod.10, -a-2b+1 = 0 (mod 10), a+2b = 1 (mod 10)
Analizando mod.17, 4a+8b-16 = 0 (mod  17), a+2b = 4 (mod 17)
a+2b = k
k=10x+1 = 17y+4 - (17y+3)/10 = x = 2-3(y-1)/10, y = 10Y+ 1
Desse modo k = 170Y + 21,
a+2b = 21
Temos a ímpar
a=3 - b=9
a=5, b=8
a=7, b=7
a=9, b=6

Logo n = 20, 39, 58, 77, 96 satisfazem

[]`s
João

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Congruência(?)
Date: Sun, 17 Mar 2013 01:02:24 +




Determine todos os números naturais N de dois algarismos para os quais a soma 
dos
algarismos de 10^N - N seja divisível por 170.

  

[obm-l] Congruência(?)

[marcone augusto araújo borges]

Determine todos os números naturais N de dois algarismos para os quais a soma 
dosalgarismos de 10^N - N seja divisível por 170.   

[obm-l] RE: [obm-l] Congruência(?)

[João Maldonado]

Como n tem 2 algarismos, sendo n = (10a+b)

10^n-n tem (n-2) noves seguidos do número (100-n)

Para b=0, S(10^n-n) = (10a-2).9 + (10-a) = 89a-8 = (mod.170)
Analizando mod.10, -a+2 = 0 (mod 10), a = 2 (mod 10), a = 2 satizfaz
Analizando mod.17, 4a-8 = 0 (mod 17) - a-2 = 0 (mod.17), 2 satizfaz

Para b!= 0, S(100-n) = (9-a) + (10-b) = 19-(a+b)
S(10^n-n) =  (10a+b-2).9 + 19-(a+b) = 89a + 8b + 1
Analizando mod.10, -a-2b+1 = 0 (mod 10), a+2b = 1 (mod 10)
Analizando mod.17, 4a+8b-16 = 0 (mod  17), a+2b = 4 (mod 17)
a+2b = k
k=10x+1 = 17y+4 - (17y+3)/10 = x = 2-3(y-1)/10, y = 10Y+ 1
Desse modo k = 170Y + 21,
a+2b = 21
Temos a ímpar
a=3 - b=9
a=5, b=8
a=7, b=7
a=9, b=6

Logo n = 20, 39, 58, 77, 96 satisfazem

[]`s
João

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Congruência(?)
Date: Sun, 17 Mar 2013 01:02:24 +




Determine todos os números naturais N de dois algarismos para os quais a soma 
dos
algarismos de 10^N - N seja divisível por 170.

  

[obm-l] RE: [obm-l] Congruência

[Maikel Andril Marcelino]

Tentepelo teorema de Fermat

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Congruência
Date: Thu, 14 Feb 2013 00:20:57 +








Alguem resolveria essa?
 
Prove que 2^1093 - 2 é divisível por 1093^2

  

[obm-l] Congruência

[marcone augusto araújo borges]

Alguem resolveria essa? Prove que 2^1093 - 2 é divisível por 1093^2 
  

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Rogerio Ponce]

Ola' Thiago,

Vou representar o resto da divisao de N por D como N%D.

Tambem estou considerando que o operador % (resto da divisao) tem
precedencia menor que ** (exponenciacao).

Ou seja, queremos o valor de

  [ 41**41+36**36] % 77

= [ 41**41%77 +36**36%77 ] % 77

= [ 41**41%77 + (-41)**36%77 ] % 77

= [ 41**41%77 +41**36%77 ] % 77

= [ 41**41+41**36] % 77

= [(41**5 + 1) *   41**36] % 77


Ora, o fator (41**5 + 1) pode ser reescrito como ((42-1)**5 + 1), e a
expansao de (42-1)**5 tem quase todos os termos multiplos de potencias de
42, com excecao do ultimo, que vale -1**5 = -1.
Portanto, ((42-1)**5 + 1) e' multiplo de 42, que e' multiplo de 7.

Por outro lado, o mesmo fator (41**5 + 1) pode ser reescrito como
((44-3)**5 + 1), e a expansao de (44-3)**5 tem quase todos os termos
multiplos de potencias de 44 (que e' multiplo de 11), com excecao do
ultimo, que vale -3**5 = -243.
Como -243 + 1 = -242, que tambem e' multiplo de 11, entao ((44-3)**5 + 1)
e' multiplo de 11.

Assim, o fator (41**5 + 1) e' multiplo de 7 e de 11, de modo que a
expressao original e' multipla de 77.

Logo o resto vale zero.

[]'s
Rogerio Ponce


Em 25 de junho de 2012 18:43, Thiago Bersch thiago_t...@hotmail.comescreveu:

  Qual o resto da divisão de 36^36+41^41 por 77 ?

[obm-l] Congruência

[Thiago Bersch]

Qual o resto da divisão de 36^36+41^41 por 77 ? 
  

[obm-l] Congruência

[Alan Pellejero]

Boa tarde, 

Gostaria de pedir o auxílio dos senhores para mostrar que:

 2^(2p-3) + 72 .=. 2^(p-2) (mod 100), sendo p um múltiplo de quatro positivo.

Nota: o símbolo .=.  significa côngruo.

Agradeço a ajuda.




  

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Ralph Teixeira]

Vai parecer magica, porque eu fiz dum jeito meio feioso e depois arrumei:

Queremos mostrar que:
2^(2p-3)-2^(p-2) + 72 = 0 (mod 100)

Farei x=2^(p-4) (note que p=4), para enxergar isso melhor:
32x^2-4x+72=0 (mod 100)

Magiquinha:
32x^2-4x-28=0 (mod 100)

Agora dah para fatorar!
4(8x^2-x-7)=0 (mod 100)
4(8x+7)(x-1)=0 (mod 100)

Agora, como x=2^(p-4)=16^((p-4)/4), entao x=1 (mod 5).
Portanto, 8x+7=15=0 (mod 5)  e x-1=0 (mod 5). Isto mostra que (8x+7)(x-1)=0
(mod 25), e portanto acabou.

Abraco,
Ralph

2012/6/4 Alan Pellejero mathhawk2...@yahoo.com.br

 Boa tarde,

 Gostaria de pedir o auxílio dos senhores para mostrar que:

  2^(2p-3) + 72 .=. 2^(p-2) (mod 100), sendo p um múltiplo de quatro
 positivo.

 Nota: o símbolo .=.  significa côngruo.

 Agradeço a ajuda.

[obm-l] Congruência modulo n

[Kleber Bastos]

Queria saber qual o método para calcular:
Dado que 12^13145(mod 25), calcular o resto da divisão de 12^13145 por 25.

Desde já agradeço a ajuda.
Abraços, Kleber.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência modulo n

[Carlos Victor]

Olá  Kleber ,

Usando o teorema de Euler temos que  12^20 é congruo a 1 mod (25). Elevando
a 657 , temos que  12^13140 é congruo 1 mod(25).Logo , basta ver a divisão
de 12^5 por 25 , ok ?.

Teorema de Euler :Sejam a,m naturais com m  1 e mdc(a,m) =1. Então  a^(fi
de m) é congruo a 1 modm .

Abraços

Carlos  Victor

Em 16 de dezembro de 2011 13:49, Kleber Bastos klebe...@gmail.comescreveu:


 Queria saber qual o método para calcular:
 Dado que 12^13145(mod 25), calcular o resto da divisão de 12^13145 por 25.

 Desde já agradeço a ajuda.
 Abraços, Kleber.

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência modulo n

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2011/12/16 Kleber Bastos klebe...@gmail.com:

 Queria saber qual o método para calcular:
 Dado que 12^13145(mod 25), calcular o resto da divisão de 12^13145 por 25.
Como os números são pequenos, é mais fácil ir na força bruta. Ou seja:
12^2 = 144 = -6 mod 25
12^4 = (-6)^2 = 36 = 11 mod 25
12^8 = 11^2 = 121 = -4 mod 25
12^10 = 12^2 * 12^8 = (-6)*(-4) = 24 = -1 mod 25
Logo 12^20 = 1 mod 25

Assim, 12^13145 = 12^a mod 25 se a = 13145 mod 25, ou seja, a = 5.
12^5 = 12*11 = 132 = 7 mod 25

Obs: sabemos que 12 é primo com 25, portanto 12^phi(25) = 1 mod 25.
Aqui, phi é a função de Euler, e vale 5*4 = 20, o que é coerente com o
que a gente fez. Poderíamos ter usado direto phi(25) = 20, e ter
continuado a partir do Assim,  do segundo parágrafo, mas o fato é
que (como eu disse) não precisa disso nesse caso.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência

[Kleber Bastos]

Bom dia, pensei assim:

13 = 3 mod(10)
13^2 = -1 mod(10)
13^4 = -1^2 mod(10)
13^4 = 1 mod(10)
(13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10)
(13)^9^9 = 1 mod(10)

Ou seja, Resto igual a 1. Que será o último algarismo.
Será que tá errado?

Abraços, Kleber.

2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com


 Se for  13^(9^9) mod(10) = 3^(9^9) mod(10)

 Vamos analisar 3^x  mod 10
 3^0 = 1  (4k)
 3^1 = 3  (4k+1)
 3^2 = 9  (4k+2)
 3^3 = 7  (4k+3)

 9^9  mod(4) = 1^9 mod(4) = 1

 Logo  9^9  = 4k+1 e  3^(4k+1 = 3 mod(10)

 Resposta: 3

 --
 Date: Sun, 27 Nov 2011 21:13:15 -0200
 Subject: [obm-l] Congruência
 From: klebe...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Olá amigos,

 O exercício é simples, mas não estou conseguindo visualizar essa solução.

 Achar o último algarismo de (13)^9^9 (13 elevado a 9^9).

 Desde de já agradeço a ajuda.

 Abraços,

 --
 Kleber (Ps. fiz por congruência módulo 10, mas não cheguei a conclusão)




-- 
Kleber B. Bastos

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência

[João Maldonado]

Como você  disse,  13^4 = 1  mod(10), analisando 13, ou 3, mod 10,  concluimos 
que 13^n = 1 mod(10) se n = 4k,  ou seja, se n é múltiplo de 4.   Mas 9^9 não é 
múltiplo de 4
Para  ficar  mais claro
13^0 = 113^0 = 113^0 = 113^0 = 113^0 = 113^0 = 113^0 = 113^0 = 113^0 = 113^0 = 
113^0 = 113^0 = 113^0 = 1
Date: Mon, 28 Nov 2011 07:27:19 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência
From: klebe...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Bom dia, pensei assim:

13 = 3 mod(10)
13^2 = -1 mod(10)
13^4 = -1^2 mod(10)
13^4 = 1 mod(10)
(13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10)
(13)^9^9 = 1 mod(10)

Ou seja, Resto igual a 1. Que será o último algarismo.

Será que tá errado?

Abraços, Kleber.

2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com







Se for  13^(9^9) mod(10) = 3^(9^9) mod(10)
Vamos analisar 3^x  mod 103^0 = 1  (4k)3^1 = 3  (4k+1)3^2 = 9  (4k+2)3^3 = 7  
(4k+3)

9^9  mod(4) = 1^9 mod(4) = 1
Logo  9^9  = 4k+1 e  3^(4k+1 = 3 mod(10)
Resposta: 3

Date: Sun, 27 Nov 2011 21:13:15 -0200
Subject: [obm-l] Congruência

From: klebe...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá amigos,

O exercício é simples, mas não estou conseguindo visualizar essa solução.


Achar o último algarismo de (13)^9^9 (13 elevado a 9^9).

Desde de já agradeço a ajuda.

Abraços, 

-- 
Kleber (Ps. fiz por congruência módulo 10, mas não cheguei a conclusão)
  


-- 
Kleber B. Bastos
  

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência

[João Maldonado]

Desculpe pelo outro email, saiu errado
Como você  disse,  13^4 = 1  mod(10), analisando 13, ou 3, mod 10,  concluimos 
que 13^n = 1 mod(10) se n = 4k,  ou seja, se n é múltiplo de 4.   Mas 9^9 não é 
múltiplo de 4Portanto é impossível que 13^(9^9) = 1 mod(10)
Para  ficar  mais claro
13^0 = 1  (4k)13^1 = 3  (4k+1)13^2 = 9  (4k+2)13^3 = 7  (4k+3)13^4 = 1  
(4k)13^5 = 3  (4k+1)13^6 = 9  (4k+2)13^7 = 7  (4k+3)13^8 = 1  (4k)13^9 = 3  
(4k+1)13^10 = 9  (4k+2)13^11 = 7  (4k+3)13^12 = 1  (4k)13^13 = 3  (4k+1)...
O 1, 3, 9, 7  vai se repetindo
Não entendi essa passagem que você fez
13^4 = 1 mod(10)
(13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10)

Sim, 13^4 = 1 mod(10)Mas 13 não
[]'sJoao
Date: Mon, 28 Nov 2011 07:27:19 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência
From: klebe...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Bom dia, pensei assim:

13 = 3 mod(10)
13^2 = -1 mod(10)
13^4 = -1^2 mod(10)
13^4 = 1 mod(10)
(13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10)
(13)^9^9 = 1 mod(10)

Ou seja, Resto igual a 1. Que será o último algarismo.

Será que tá errado?

Abraços, Kleber.

2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com







Se for  13^(9^9) mod(10) = 3^(9^9) mod(10)
Vamos analisar 3^x  mod 103^0 = 1  (4k)3^1 = 3  (4k+1)3^2 = 9  (4k+2)3^3 = 7  
(4k+3)

9^9  mod(4) = 1^9 mod(4) = 1
Logo  9^9  = 4k+1 e  3^(4k+1 = 3 mod(10)
Resposta: 3

Date: Sun, 27 Nov 2011 21:13:15 -0200
Subject: [obm-l] Congruência

From: klebe...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá amigos,

O exercício é simples, mas não estou conseguindo visualizar essa solução.


Achar o último algarismo de (13)^9^9 (13 elevado a 9^9).

Desde de já agradeço a ajuda.

Abraços, 

-- 
Kleber (Ps. fiz por congruência módulo 10, mas não cheguei a conclusão)
  


-- 
Kleber B. Bastos
  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência

[Kleber Bastos]

13^4=1 mod(10) , elevando o 13 a qualquer potência o 1 poderá se elevar
pela mesma potência (pela proprieda de congruência). Por isso que pulei
direto para  (13)^9^9 = (1)^9^9 mod 10 ...(13)^387420489 = (1)^387420489
mod 10. Ou seja, (13)^9^9 = 1 mod (10)

Não sei se é certo, por isso perguntei.

Abraços, Kleber.

2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com387420489

  Desculpe pelo outro email, saiu errado

 Como você  disse,  13^4 = 1  mod(10), analisando 13, ou 3, mod 10,
  concluimos que 13^n = 1 mod(10) se n = 4k,  ou seja, se n é múltiplo de 4.
   Mas 9^9 não é múltiplo de 4
 Portanto é impossível que 13^(9^9) = 1 mod(10)

 Para  ficar  mais claro

 13^0 = 1  (4k)
 13^1 = 3  (4k+1)
 13^2 = 9  (4k+2)
 13^3 = 7  (4k+3)
 13^4 = 1  (4k)
 13^5 = 3  (4k+1)
 13^6 = 9  (4k+2)
 13^7 = 7  (4k+3)
 13^8 = 1  (4k)
 13^9 = 3  (4k+1)
 13^10 = 9  (4k+2)
 13^11 = 7  (4k+3)
 13^12 = 1  (4k)
 13^13 = 3  (4k+1)
 ...

 O 1, 3, 9, 7  vai se repetindo

 Não entendi essa passagem que você fez

 13^4 = 1 mod(10)
 (13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10)


 Sim, 13^4 = 1 mod(10)
 Mas 13 não

 []'s
 Joao

 --
 Date: Mon, 28 Nov 2011 07:27:19 -0200
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência

 From: klebe...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 Bom dia, pensei assim:

 13 = 3 mod(10)
 13^2 = -1 mod(10)
 13^4 = -1^2 mod(10)
 13^4 = 1 mod(10)
 (13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10)
 (13)^9^9 = 1 mod(10)

 Ou seja, Resto igual a 1. Que será o último algarismo.
 Será que tá errado?

 Abraços, Kleber.

 2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com


 Se for  13^(9^9) mod(10) = 3^(9^9) mod(10)

 Vamos analisar 3^x  mod 10
 3^0 = 1  (4k)
 3^1 = 3  (4k+1)
 3^2 = 9  (4k+2)
 3^3 = 7  (4k+3)

 9^9  mod(4) = 1^9 mod(4) = 1

 Logo  9^9  = 4k+1 e  3^(4k+1 = 3 mod(10)

 Resposta: 3

 --
 Date: Sun, 27 Nov 2011 21:13:15 -0200
 Subject: [obm-l] Congruência
 From: klebe...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Olá amigos,

 O exercício é simples, mas não estou conseguindo visualizar essa solução.

 Achar o último algarismo de (13)^9^9 (13 elevado a 9^9).

 Desde de já agradeço a ajuda.

 Abraços,

 --
 Kleber (Ps. fiz por congruência módulo 10, mas não cheguei a conclusão)




 --
 Kleber B. Bastos




-- 
Kleber B. Bastos

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência

[João Maldonado]

Na verdade é quase isso
13^4 =  1 mod(10),  elevando o 13^4 ( e não o 13) a qualquer potência o 1 será 
elevado à mesma

Date: Mon, 28 Nov 2011 12:51:38 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência
From: klebe...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

13^4=1 mod(10) , elevando o 13 a qualquer potência o 1 poderá se elevar pela 
mesma potência (pela proprieda de congruência). Por isso que pulei direto para  
(13)^9^9 = (1)^9^9 mod 10 ...(13)^387420489 = (1)^387420489 mod 10. Ou seja, 
(13)^9^9 = 1 mod (10)


Não sei se é certo, por isso perguntei.

Abraços, Kleber.

2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com387420489






Desculpe pelo outro email, saiu errado

Como você  disse,  13^4 = 1  mod(10), analisando 13, ou 3, mod 10,  concluimos 
que 13^n = 1 mod(10) se n = 4k,  ou seja, se n é múltiplo de 4.   Mas 9^9 não é 
múltiplo de 4
Portanto é impossível que 13^(9^9) = 1 mod(10)

Para  ficar  mais claro

13^0 = 1  (4k)
13^1 = 3  (4k+1)13^2 = 9  (4k+2)
13^3 = 7  (4k+3)13^4 = 1  (4k)
13^5 = 3  (4k+1)13^6 = 9  (4k+2)
13^7 = 7  (4k+3)13^8 = 1  (4k)
13^9 = 3  (4k+1)13^10 = 9  (4k+2)
13^11 = 7  (4k+3)13^12 = 1  (4k)
13^13 = 3  (4k+1)...

O 1, 3, 9, 7  vai se repetindo

Não entendi essa passagem que você fez

13^4 = 1 mod(10)
(13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10)



Sim, 13^4 = 1 mod(10)Mas 13 não

[]'s
Joao
Date: Mon, 28 Nov 2011 07:27:19 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência
From: klebe...@gmail.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Bom dia, pensei assim:

13 = 3 mod(10)
13^2 = -1 mod(10)
13^4 = -1^2 mod(10)
13^4 = 1 mod(10)
(13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10)

(13)^9^9 = 1 mod(10)

Ou seja, Resto igual a 1. Que será o último algarismo.

Será que tá errado?

Abraços, Kleber.

2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com








Se for  13^(9^9) mod(10) = 3^(9^9) mod(10)
Vamos analisar 3^x  mod 103^0 = 1  (4k)3^1 = 3  (4k+1)3^2 = 9  (4k+2)3^3 = 7  
(4k+3)


9^9  mod(4) = 1^9 mod(4) = 1
Logo  9^9  = 4k+1 e  3^(4k+1 = 3 mod(10)
Resposta: 3

Date: Sun, 27 Nov 2011 21:13:15 -0200
Subject: [obm-l] Congruência


From: klebe...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá amigos,

O exercício é simples, mas não estou conseguindo visualizar essa solução.



Achar o último algarismo de (13)^9^9 (13 elevado a 9^9).

Desde de já agradeço a ajuda.

Abraços, 

-- 
Kleber (Ps. fiz por congruência módulo 10, mas não cheguei a conclusão)
  


-- 
Kleber B. Bastos
  


-- 
Kleber B. Bastos
  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência

[Kleber Bastos]

Olá João,

Obrigado pelo esclarecimento.

Abração, Kleber.

Em 28 de novembro de 2011 13:06, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
 escreveu:


 Na verdade é quase isso

 13^4 =  1 mod(10),  elevando o 13^4 ( e não o 13) a qualquer potência o 1
 será elevado à mesma

 --
 Date: Mon, 28 Nov 2011 12:51:38 -0200
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l]
 Congruência

 From: klebe...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 13^4=1 mod(10) , elevando o 13 a qualquer potência o 1 poderá se elevar
 pela mesma potência (pela proprieda de congruência). Por isso que pulei
 direto para  (13)^9^9 = (1)^9^9 mod 10 ...(13)^387420489 = (1)^387420489
 mod 10. Ou seja, (13)^9^9 = 1 mod (10)

 Não sei se é certo, por isso perguntei.

 Abraços, Kleber.

 2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com387420489

  Desculpe pelo outro email, saiu errado

 Como você  disse,  13^4 = 1  mod(10), analisando 13, ou 3, mod 10,
  concluimos que 13^n = 1 mod(10) se n = 4k,  ou seja, se n é múltiplo de 4.
   Mas 9^9 não é múltiplo de 4
 Portanto é impossível que 13^(9^9) = 1 mod(10)

 Para  ficar  mais claro

 13^0 = 1  (4k)
 13^1 = 3  (4k+1)
 13^2 = 9  (4k+2)
 13^3 = 7  (4k+3)
 13^4 = 1  (4k)
 13^5 = 3  (4k+1)
 13^6 = 9  (4k+2)
 13^7 = 7  (4k+3)
 13^8 = 1  (4k)
 13^9 = 3  (4k+1)
 13^10 = 9  (4k+2)
 13^11 = 7  (4k+3)
 13^12 = 1  (4k)
 13^13 = 3  (4k+1)
 ...

 O 1, 3, 9, 7  vai se repetindo

 Não entendi essa passagem que você fez

 13^4 = 1 mod(10)
 (13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10)


 Sim, 13^4 = 1 mod(10)
 Mas 13 não

 []'s
 Joao

 --
 Date: Mon, 28 Nov 2011 07:27:19 -0200
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Congruência

 From: klebe...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 Bom dia, pensei assim:

 13 = 3 mod(10)
 13^2 = -1 mod(10)
 13^4 = -1^2 mod(10)
 13^4 = 1 mod(10)
 (13)^9^9 = (1)^9^9 mod(10)
 (13)^9^9 = 1 mod(10)

 Ou seja, Resto igual a 1. Que será o último algarismo.
 Será que tá errado?

 Abraços, Kleber.

 2011/11/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com


 Se for  13^(9^9) mod(10) = 3^(9^9) mod(10)

 Vamos analisar 3^x  mod 10
 3^0 = 1  (4k)
 3^1 = 3  (4k+1)
 3^2 = 9  (4k+2)
 3^3 = 7  (4k+3)

 9^9  mod(4) = 1^9 mod(4) = 1

 Logo  9^9  = 4k+1 e  3^(4k+1 = 3 mod(10)

 Resposta: 3

 --
 Date: Sun, 27 Nov 2011 21:13:15 -0200
 Subject: [obm-l] Congruência
 From: klebe...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Olá amigos,

 O exercício é simples, mas não estou conseguindo visualizar essa solução.

 Achar o último algarismo de (13)^9^9 (13 elevado a 9^9).

 Desde de já agradeço a ajuda.

 Abraços,

 --
 Kleber (Ps. fiz por congruência módulo 10, mas não cheguei a conclusão)




 --
 Kleber B. Bastos




 --
 Kleber B. Bastos




-- 
Kleber B. Bastos

[obm-l] Congruência

[Kleber Bastos]

Olá amigos,

O exercício é simples, mas não estou conseguindo visualizar essa solução.

Achar o último algarismo de (13)^9^9 (13 elevado a 9^9).

Desde de já agradeço a ajuda.

Abraços,

-- 
Kleber (Ps. fiz por congruência módulo 10, mas não cheguei a conclusão)

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Marcelo Costa]

É o mesmo que achar o resto da divisão do número por 10.

13 congruente a 3 mod 10

13^3 congruente a  7  mod 10

Assim sugere que

13^(9^9) = 13^(3^18) congruente a 7 mod 10

13^1 , resto 3
13^2, resto 9
13^3, resto 7


Ao meu ver o resto seria 7, se alguém percebeu algum erro me corrijam por
favo, obrigado.


Em 27 de novembro de 2011 21:13, Kleber Bastos klebe...@gmail.comescreveu:

 Olá amigos,

 O exercício é simples, mas não estou conseguindo visualizar essa solução.

 Achar o último algarismo de (13)^9^9 (13 elevado a 9^9).

 Desde de já agradeço a ajuda.

 Abraços,

 --
 Kleber (Ps. fiz por congruência módulo 10, mas não cheguei a conclusão)

[obm-l] RE: [obm-l] Congruência

[João Maldonado]

Se for  13^(9^9) mod(10) = 3^(9^9) mod(10)
Vamos analisar 3^x  mod 103^0 = 1  (4k)3^1 = 3  (4k+1)3^2 = 9  (4k+2)3^3 = 7  
(4k+3)
9^9  mod(4) = 1^9 mod(4) = 1
Logo  9^9  = 4k+1 e  3^(4k+1 = 3 mod(10)
Resposta: 3

Date: Sun, 27 Nov 2011 21:13:15 -0200
Subject: [obm-l] Congruência
From: klebe...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá amigos,

O exercício é simples, mas não estou conseguindo visualizar essa solução.

Achar o último algarismo de (13)^9^9 (13 elevado a 9^9).

Desde de já agradeço a ajuda.

Abraços, 

-- 
Kleber (Ps. fiz por congruência módulo 10, mas não cheguei a conclusão)
  

[obm-l] Congruência módulo m

[Luiz F]

Pessoal
Estou com bastante dúvida no exercício que recebi de um amigo:
mostre que 333^555+555^333 é divisível por 97.
Acontece que encontrei outro exercício, que pede para mostrar que esse
número 333^555+555^333
é divisível por 57,  e consegui chegar ao ponto que falta provar que
5^555 +2^111 é divisivel por 19, mas não passei daqui.
Quanto ao primeiro exercício, nem saí do lugar.
Alguém pode me ajudar?
Desde já, o meu obrigado.

Luiz Fabiano Damy
Engenheiro Aeronáutico

[obm-l] Congruência!!!

[Pedro Júnior]

01) Existe um inteiro positivo tal que seus fatores primos pertenem ao
conjunto {2, 3, 5, 7} e que terminam em 11? Se existir, ache o menor deles.
Se não existir, mostre porquê.

claramente percebe-se que tal problema poderá ser feito sem congruência,
mas, como esse problema faz parte de uma lista de exercícios de congruência
então, queria saber como faço...

Abraços a todos.

Re: [obm-l] Congruência!!!

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2008/6/5 Pedro Júnior [EMAIL PROTECTED]:
 01) Existe um inteiro positivo tal que seus fatores primos pertenem ao
 conjunto {2, 3, 5, 7} e que terminam em 11? Se existir, ache o menor deles.
 Se não existir, mostre porquê.

 claramente percebe-se que tal problema poderá ser feito sem congruência,
 mas, como esse problema faz parte de uma lista de exercícios de congruência
 então, queria saber como faço...
Eu não conheço muitas outras idéias que não tenham a ver com
congruência, mas como é o que você quer, vou dar uma idéia :

O teu número se escreve 2^a 3^b 5^c 7^d, e o enunciado diz que ele é
côngruo a 11 mod 100 (termina em 11). Em particular, ele é
congruente a 1 mod 2 e a 1 mod 5, logo não pode ter fator 2 ou 5 (o
que já simplifica pra burro o problema !)

Então temos 3^b 7^d = 11 mod 100. Podemos agora calcular tudo no grupo
multiplicativo (Z/100Z)* que tem 100(1 - 1/2)(1 - 1/5) = 40 elementos.
Se a gente der sorte, 3 (ou 7) é um gerador desse grupo, então acabou
(enfim, existe, mas ainda falta calcular o menor deles). Então a minha
idéia é calcular as potências de 3 e 7 mod 100 :
3, 9, 27, 81, 243 == 43, 129 == 29, 87, 261 == 61, 183 == 83, 249 ==
49, 147 == 47, 141 == 41, 123 == 23, 69, 207 == 7 (olha que legal,
isso permite que a gente calcule só as potências do 3, as do 7 são do
3 também, e 3^15 == 7), 21, 63, 189 == 89 == -11 estamos quase lá ;)
Resumindo : 3^15 = 7, 3^18 = -11. Agora a gente tem que ver como fazer
um -1, vamos continuar multiplicando por três :
3^19 == -33, 3^20 = -99 == 1. Opa, não dá mais (repare que os próximos
são 3, 9, ...) Então não dá pra fazer -1. E como a gente consegue
fazer -11 com 3, e o 7 = 3^15, o 7 também não pode fazer -1. Resultado
: é impossível.

É bem força bruta, mas isso garante os seus pontos sem precisar de
uma idéia genial (ou seja, você perde tempo fazendo contas, mas não
precisa penar 10 horas até achar a solução mágica). Mas não vai pra
Eureka! :D
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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[obm-l] Re: [obm-l] Congruência!!!

[rodrigocientista]

qualquer número que tenha como fator 2 e 5, tem como fator 10 e termina em 0, 
se o problema se refere a pelo menos um dos fatores, aí a coisa muda de figura, 
pois podemos usar uma combinação de 7 e 3, tal que N = 3^a*7^b, então o 
problema seria: existe solução para a equação 3^a*7^b == 11 mod 100?
  - Original Message - 
  From: Pedro Júnior 
  To: obm-l 
  Sent: Thursday, June 05, 2008 4:57 AM
  Subject: [obm-l] Congruência!!!


  01) Existe um inteiro positivo tal que seus fatores primos pertenem ao 
conjunto {2, 3, 5, 7} e que terminam em 11? Se existir, ache o menor deles. Se 
não existir, mostre porquê.

  claramente percebe-se que tal problema poderá ser feito sem congruência, mas, 
como esse problema faz parte de uma lista de exercícios de congruência então, 
queria saber como faço...

  Abraços a todos.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência de Triângulos

[marcio aparecido]

estou na oitava série, nesse periodo eu tentei umas 4, 5 vezes fazer!!

Re: [obm-l] Congruência de Triângulos

[Palmerim Soares]

Olá Márcio,

Parabéns pelo seu gosto por matemática e pela perseverança.
Para fazer essa demonstração você terá que admitir como princípio primitivo
o caso LAL, e, a partir deste, demonstrar os casos os casos ALA e LLL. Tente
fazer assim e, se não conseguir, agente ajuda.

Abraços
Palmerim

2007/10/9, marcio aparecido [EMAIL PROTECTED]:

 Como eu posso fazer para provar os casos ALA e LLL de congruência de
 triângulos ??

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência de Triângulos

[marcio aparecido]

não consegui demostrar

[obm-l] Congruência de Triângulos

[marcio aparecido]

Como eu posso fazer para provar os casos ALA e LLL de congruência de
triângulos ??

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência de Triângulos

[Victor]

use o teorema (ou como alguns chamam lei) dos senos que sai.
  - Original Message - 
  From: marcio aparecido 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, October 09, 2007 12:34 PM
  Subject: [obm-l] Congruência de Triângulos


  Como eu posso fazer para provar os casos ALA e LLL de congruência de 
triângulos ?? 

[obm-l] Congruência

[Fabio Honorato]

... pessoal estou tentando resolver os problemas propostos do livro do Prof 
José Plínio de Oliveira (Introdução a Teoria dos Números) e gostaria que 
vocês mim ajudasse com essa questão.


(Pag50) Provar que para p primo (p-1)!==p-1(mod 1+2+3+...+(p-1)) e encontrar 
o máximo divisor comum de (p-1)!-1 e p! .


Desde jah agradeço.

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Re: [obm-l] Res: [obm-l] Congruência - Dúvida

[Marcelo Salhab Brogliato]

Ola Danilo,

acredito que seu argumento nao é válido, pois não garante que apenas
estes valores sao possiveis.
Por exemplo, ele nao garante que nao existe b diferente de 1 e -1, tal
que: 3^11 == b (mod23) implica que 3^22 == b^2 == 1 mod 23.

abracos,
Salhab

On 5/19/07, Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED] wrote:


Ola,
   3^11==1 mod 23, pois (^2) - 3^22==1 mod 23 -- 3^23==3 mod 23 o que
eh verdade pela pequeno teorema de fermat. a^p==a mod p, p primo.
vlw.


- Mensagem original 
De: Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Sábado, 19 de Maio de 2007 16:28:49
Assunto: [obm-l] Congruência - Dúvida



Colegas, estava olhando a solução de um problema de congruência e não
entendi uma passagem. Está assim:
sendo 23 um número primo, segue que 3^11== 1(mod 23) ou 3^11== -1(mod 23)
Como não consigo ver nessa arfirmação o pequeno teorema de Fermat, logo deve
ser algo que ainda não estudei.
Obrigado  pela ajuda.

Obs: estou usando  == com o significado de é congruente

_
O Windows Live Spaces é seu espaço na internet com fotos (500 por mês), blog
e agora com rede social http://spaces.live.com/

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Re: [obm-l] Congruência - Dúvida

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

vamos tentar provar o seguinte teorema:
Seja p um numero primo, entao: a = +- 1 (mod p)   sss   a^2 = 1 (mod p)

ida: trivial..
volta:
a^2 - 1 = 0 (mod p)
(a+1)(a-1) = 0 (mod p)

assim, p divide (a+1) ou (a-1)..
logo: a+1 = 0 (mod p) ... a = -1 (mod p)
ou: a-1 = 0 (mod p) ... a = 1 (mod p)

cqd.

abracos,
Salhab






On 5/19/07, Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED] wrote:

Colegas, estava olhando a solução de um problema de congruência e não
entendi uma passagem. Está assim:
sendo 23 um número primo, segue que 3^11== 1(mod 23) ou 3^11== -1(mod 23)
Como não consigo ver nessa arfirmação o pequeno teorema de Fermat, logo deve
ser algo que ainda não estudei.
Obrigado  pela ajuda.

Obs: estou usando  == com o significado de é congruente

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[obm-l] Congruência - Dúvida

[Rhilbert Rivera]

Colegas, estava olhando a solução de um problema de congruência e não 
entendi uma passagem. Está assim:

sendo 23 um número primo, segue que 3^11== 1(mod 23) ou 3^11== -1(mod 23)
Como não consigo ver nessa arfirmação o pequeno teorema de Fermat, logo deve 
ser algo que ainda não estudei.

Obrigado  pela ajuda.

Obs: estou usando  == com o significado de é congruente

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[obm-l] Res: [obm-l] Congruência - Dúvida

[Danilo Nascimento]

Ola,
   3^11==1 mod 23, pois (^2) - 3^22==1 mod 23 -- 3^23==3 mod 23 o que eh 
verdade pela pequeno teorema de fermat. a^p==a mod p, p primo. 
vlw.


- Mensagem original 
De: Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Sábado, 19 de Maio de 2007 16:28:49
Assunto: [obm-l] Congruência - Dúvida


Colegas, estava olhando a solução de um problema de congruência e não 
entendi uma passagem. Está assim:
sendo 23 um número primo, segue que 3^11== 1(mod 23) ou 3^11== -1(mod 23)
Como não consigo ver nessa arfirmação o pequeno teorema de Fermat, logo deve 
ser algo que ainda não estudei.
Obrigado  pela ajuda.

Obs: estou usando  == com o significado de é congruente

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência modular

[Ronaldo Alonso]

Olá Bruna.  Vc pode pensar assim que não está errado.
 Creio que sua pergunta tem a ver com propriedades da congruência quevc ainda 
não está familiarizada.
Por exemplo: Se b ≡ 1 mod 2   então b^2 ≡ 1 mod 2A pergunta q vc deve estar se 
fazendo, é como isso é concluído?
   As congruências podem ser somadas e multiplicadas, por exemplo tomeduas 
congruências:a  ≡ b mod cc  ≡ d mod c
então temos que (ac)  ≡  (bd) mod c
   Voltando ao exemplo anterior, tome duas congruencias
b ≡ 1 mod 2b ≡ 1 mod 2
multiplique as duas:
  b^2 ≡  1 mod 2
(sacou?).   Agora tome duas congruências:

  b^2 ≡  1 mod 2   1 ≡  1 mod 2
 some uma com a  outra:

  b^2 + 1 ≡ ( 1 + 1) mod 2   ≡   2  mod 2   ≡   0  mod 2
2 e 0 pertencem a mesma classe de congruência módulo 2 (os pares) portanto .. ≡ 
  8 ≡ 6 ≡  4 ≡  2 ≡   0  mod 2
 Acho que essa página pode acrescentar algo::  
http://math.usask.ca/encryption/lessons/lesson05/page4.html
 Em relação a exercícios novos é só vc entrar em contato com o pessoal que 
jáparticipou de olimpiadas brasileiras ou internacionais que eles tem 
bastantematereial e experiência podem te fornecer.   Espero que minha humilde 
contribuição tenha te ajudado.
[]s
Ronaldo Luiz Alonso
On 3/29/07, Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] wrote: Marcelo, muito obrigado acho que agora foi, só fiquei na 
dúvida em uma coisa, só pra ver se estou no caminho certo. quando você afirno que b^2+1 ≡ 2 ≡ 0 (mod 2) b^2+1 
= 0 (mod 2) porque 2 ≡ 0 (mod 2) assim 2 divide 2, ou seja, deixa resto 0. assim b^2+1 ≡ 0 ≡ 2 (mod 2). 
mais uma coisa vocês tem mais alguns exercicios desse tipo pra mim treinar um pouco. Bjnhos, muito obrigado 
pela atenção e paciência comigo.

-- -Analista de 
DesenvolvimentoConselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência modular

[Bruna Carvalho]

Marcelo, muito obrigado acho que agora foi, só fiquei na dúvida em uma
coisa, só pra ver se estou no caminho certo.
quando você afirno que b^2+1 ≡ 2 ≡ 0 (mod 2)
b^2+1 = 0 (mod 2) porque 2 ≡ 0 (mod 2) assim 2 divide 2, ou seja, deixa
resto 0.
assim b^2+1 ≡ 0 ≡ 2 (mod 2).

mais uma coisa vocês tem mais alguns exercicios desse tipo pra mim treinar
um pouco.

Bjnhos, muito obrigado pela atenção e paciência comigo.

Re: [obm-l] Congruência modular

[Ronaldo Alonso]

Olá Bruna, vou acrescentar alguns comentários 'as
demonstrações dos colegas que podem passar despercebidos
a você em uma primeira leitura.


On 3/24/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote:


n^2-1=(2t+1)^2-1
=4t^2+4t=4t(t+1)



   Se n é impar n se escreve como n = 2t+ 1 para todo t, logo temos que n^2
-1 = 4t(t+1) que é
divisível por 4, logo é congruente a zero mod 4 (resto da divisão é zero).

   Por outro lado o colega Saulo está afirmando que t(t+1) é congruente a
zero mod 2, ou seja,
é divisivel por  2.
  Veja, temos que :

   1) Se t for par então automaticamente t(t+1) é divisivel por 2, porque é
o produto
de um par por um impar, respectivamente (t é par e t+1 é impar).
  Se t for impar então t é impar, mas t+1 é par e t(t+1) é o produto de
um impar por um
par, respectivamente.






logo


4t(t+1)=0mod8

 Agora note que 4t(t+1) é divisivel por 4, por causa do quatro na
frente.

E que 4t(t+1) também é divisivel por 2, mas
agora não por causa do 4, mas porque t(t+1) é divisivel por 2 e isso não tem
nada a ver
com o fator 4.   Logo essas divisibilidades  são independentes e 4t(t+1) é
divisivel por
8, porque é divisivel por 4 e por 2.
Assim podemos escrever:

   4t(t+1) = 0mod8

  aqui o = significa congruente e não igual.

Uma coisa que é mais ou menos óbvia, mas que pode ser muito dificil de
perceber a
priori para resolver esse exercício é perceber que t (t+1) é sempre
divisível por 2 para todo valor
de t inteiro.   Isso pode ser verificado por inspeção (tome t= 1, 2, 3 etc e
verifique).
 Ou também por indução.

  Sallab mostrou, inclusive,  que o problema todo pode ser resolvido por
indução, como você
deve ter checado.

   Bem, espero que minhas explicações não a tenham deixado mais confusa.
Qq dúvida pergunte!

Abraço!
Ronaldo Luiz Alonso




 On 3/24/07, Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Se n é ímpar, prove que n²-1 é divisível por 8.
 Eu quero aprender como faz esse tipo de questão por congruência, alguém
 pode me dar uma ajudinha.
 bjos.

 --
 Bjos,
 Bruna






--
-
Analista de Desenvolvimento
Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.

Re: [obm-l] Congruência modular

[Bruna Carvalho]

Vamos ver se consigo, peguei um exercício bem simples pra tentar.
Sejam a e b números naturais assim relacionados:
a = 1 + b^2. Se b é ímpar, provar que a é par.

fiz assim:
a = 1 + b^2
b = 2k + 1

então temos:
a = 1 + (2k+1)^2
a = 1 + 4k^2 + 4k + 1
a = 4k^2 + 4k + 2
a = 2(2k^2 + 2k + 1)

como a tem um fator 2 ele vai ser par, se ele é par deixa 0 na divisão por
2, então:
a ≡ 0 (mod 2).

mas se eu for começar a fazer o exercício por congruência eu não consigo, só
consigo concluir
que a ≡ 0 (mod 2).

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência modular

[Marcelo Salhab Brogliato]

Ola Bruna,

veja bem: b = 2k+1... entao b = 1 (mod 2)
elevando ao quadrado: b^2 = 1 (mod 2)
agora, somando 1, temos: b^2+1 = 2 = 0 (mod 2)

espero que tenha ajudado
abracos,
Salhab

  - Original Message - 
  From: Bruna Carvalho 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, March 28, 2007 7:53 PM
  Subject: Re: [obm-l] Congruência modular


  Vamos ver se consigo, peguei um exercício bem simples pra tentar.
  Sejam a e b números naturais assim relacionados:
  a = 1 + b^2. Se b é ímpar, provar que a é par.

  fiz assim:
  a = 1 + b^2
  b = 2k + 1

  então temos:
  a = 1 + (2k+1)^2
  a = 1 + 4k^2 + 4k + 1
  a = 4k^2 + 4k + 2
  a = 2(2k^2 + 2k + 1)

  como a tem um fator 2 ele vai ser par, se ele é par deixa 0 na divisão por 2, 
então:
  a ≡ 0 (mod 2).

  mas se eu for começar a fazer o exercício por congruência eu não consigo, só 
consigo concluir 
  que a ≡ 0 (mod 2).

[obm-l] Res: [obm-l] Congruência modular

[Jefferson Franca]

É só fazer n =2k + 1 ou se vc preferir n = 2k -1.



- Mensagem original 
De: Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Sábado, 24 de Março de 2007 14:19:14
Assunto: [obm-l] Congruência modular

Se n é ímpar, prove que n²-1 é divisível por 8.
Eu quero aprender como faz esse tipo de questão por congruência, alguém pode me 
dar uma ajudinha.
bjos.

-- 
Bjos, 
Bruna

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[obm-l] Congruência modular

[Bruna Carvalho]

Se n é ímpar, prove que n²-1 é divisível por 8.
Eu quero aprender como faz esse tipo de questão por congruência, alguém pode
me dar uma ajudinha.
bjos.

--
Bjos,
Bruna

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência modular

[R Parenti]

dá para fazer essa questão por PIF
foi mal, eu nao vou fazer pq eu já tou de saída, mai essa questão é feita por 
isso
tipo, se o caso( n ) acontece, logo o caso ( n+1 ), ocorre, ok??
abraços
  - Original Message - 
  From: Bruna Carvalho 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Saturday, March 24, 2007 2:19 PM
  Subject: [obm-l] Congruência modular


  Se n é ímpar, prove que n²-1 é divisível por 8.
  Eu quero aprender como faz esse tipo de questão por congruência, alguém pode 
me dar uma ajudinha.
  bjos.

  -- 
  Bjos, 
  Bruna 

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência modular

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

n = 1(mod 8) ... n^2 = 1 (mod8) ... n^2-1 = 0(mod 8)
n = 3(mod 8) ... n^2 = 9 = 1 (mod8) ... n^2 - 1 = 0 (mod 8)
n = 5(mod 8) ... n^2 = 25 = 1(mod 8) ... n^2 - 1 = 0 (mod 8)
n = 7(mod 8) ... n^2 = 49 = 1(mod 8) ... n^2 - 1 = 0 (mod 8)

logo, esta provado que se para n impar, n^2 - 1 é divisivel por 8..

uma outra demonstracao seria:
n = 2k+1 ... n^2 - 1 = 4k^2 + 4k = 4(k^2 + k)
temos que mostrar que k^2 + k  = 0 (mod2)
se k = 0 (mod2), entao: k^2 = 0(mod2) ... k^2+k = 0(mod2)
se k = 1 (mod2), entao: k^2 = 1(mod2) ... k^2+k = 2 = 0(mod2)
tambem esta provado..

outro jeito ainda seria: se k é par, k^2 é par, k^2 + k é par, logo, é 
divisivel por 2...
se k é impar, k^2 é impar, k^2 + k é par (a soma de 2 impares é sempre par), 
logo, é divisivel por 2
[esse demonstracao eh analoga a anterior]


abracos,
Salhab

  - Original Message - 
  From: Bruna Carvalho 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Saturday, March 24, 2007 2:19 PM
  Subject: [obm-l] Congruência modular


  Se n é ímpar, prove que n²-1 é divisível por 8.
  Eu quero aprender como faz esse tipo de questão por congruência, alguém pode 
me dar uma ajudinha.
  bjos.

  -- 
  Bjos, 
  Bruna 

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência modular

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

vamos testar para n=1 ... 1^2 - 1 = 0 ok
para n=3 ... 3^2 - 1 = 8 ok
suponha que vale para n ímpar, entao, vamos mostrar que vale para n+2 (proximo 
impar)

(n+2)^2 - 1 = n^2 + 4n + 4 - 1 = (n^2 -1) + 4n + 4 .. opa, por hipotese: n^2 - 
1 é divisivel por 8, entao temos que mostrar
que 4n+4 tambem é... de fato: 4n+4 = 4(n+1) ... como n é impar, n+1 é par, 
logo, 4(n+1) é divisivel por 8...
e esta provado por inducao

abracos,
Salhab

  - Original Message - 
  From: R Parenti 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Saturday, March 24, 2007 3:18 PM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência modular


  dá para fazer essa questão por PIF
  foi mal, eu nao vou fazer pq eu já tou de saída, mai essa questão é feita por 
isso
  tipo, se o caso( n ) acontece, logo o caso ( n+1 ), ocorre, ok??
  abraços
- Original Message - 
From: Bruna Carvalho 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Saturday, March 24, 2007 2:19 PM
Subject: [obm-l] Congruência modular


Se n é ímpar, prove que n²-1 é divisível por 8.
Eu quero aprender como faz esse tipo de questão por congruência, alguém 
pode me dar uma ajudinha.
bjos.

-- 
Bjos, 
Bruna 

Re: [obm-l] Congruência modular

[saulo nilson]

^n^2-1=(2t+1)^2-1
=4t^2+4t=4t(t+1)
logo
4=4mod0
t*(t+1)=0mod2
logo
4t(t+1)=0mod8


On 3/24/07, Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] wrote:


Se n é ímpar, prove que n²-1 é divisível por 8.
Eu quero aprender como faz esse tipo de questão por congruência, alguém
pode me dar uma ajudinha.
bjos.

--
Bjos,
Bruna

Re: [obm-l] Congruência modular

[Tertuliano]

Se n é ímpar, então n=1,3,5 ou 7(mod 8). Portanto n^2 -1=0(mod 8).

Tertuliano.

Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] escreveu:Se n é ímpar, prove que n²-1 é 
divisível por 8.
Eu quero aprender como faz esse tipo de questão por congruência, alguém pode me 
dar uma ajudinha.
bjos.

-- 
Bjos, 
Bruna 

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Re: [obm-l] RES: [obm-l] Congruência, módulo m

[Bruna Carvalho]

Eu ainda não conseguir entender. Nunca fiquei tão perdida assim em
matemática. Não entra na minha cabeça isso de congruência. Eu leio, leio e
leio sobre o assunto e parece que sei menos a cada leitura.
descupas pela minha ignorãncia, juro que estou me esforçando para aprender.
Bjos a todos.

[obm-l] Congruência, módulo m

[Bruna Carvalho]

Alguém poderia me ajudar em como usar, para que serve a tal de congruência
mod m, alguns exemplos de apliacação.

--
Bjos,
Bruna

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência, módulo m

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Bruna,

vou te mostrar algumas coisas simples. Uma abordagem mais completa pode ser 
vista no site do Nicolau aqui da lista, porem, nao sei o endereco. Acredito que 
alguem nos forneca! :)

Vamos comecar com exemplos.. hehe :)
Vejamos que: 4 = 5*0 + 4 ... isto é, 4 deixa resto 4 quando dividido por 5...
Agora... 89 = 5*17 + 4... isto é, 89 deixa resto 4 quando dividido por 5...
assim como todo numero da forma 5k + 4, onde k é inteiro, deixa resto 4 quanto 
dividido por 5...
entao, quando trabalhamos com modulo 5, dizemos que todos esses numeros sao 
iguais... ou, mais corretamente, deixam o mesmo resto...
entao: 4 = 9 = 89 (mod 5) 
podemos aplicar isso pra qualquer numero...
note que a subtracao de quaisquer 2 numeros que tenham essa propriedade é um 
numero divisivel por 5.. vejamos:
9 - 4 = 5 = 5*1 + 0
89 - 4 = 5*17 + 0

utilizamos isso qdo nao nos importa qual o quociente da divisao, mas sim o 
resto dela!

temos algumas propriedades interessantes... vejamos:

a = b (mod m) significa que existe k1 inteiro, tal que: a = mk1 + b
c = d (mod m) significa que existe k2 inteiro, tal que: c = mk2 + d
somando as duas, temos: a + c = m(k1 + k2) + b + d ... isto é: a + c = b + d 
(mod m)
se fizermos c = a, b = d, temos: 2a = 2b (mod m)... ou, mais genericamente, se 
a = b(modm), entao: ka = kb (mod m) para qualquer k inteiro...

é facil mostrar (tente ai) que: se a = b (mod m)  e c = d (mod m), entao: ac = 
bd (mod m)
desta propriedade, tambem tiramos que, se: a = b (mod m), entao: a^k = b^k (mod 
m) ... para k inteiro!

vamos ver uma utilidade pra isso...
sabe aquela regrinha: um numero eh divisivel por 3 se a soma de seus digitos 
tambem for?

vejamos: 10 = 1 (mod 3)  pois: 10 = 3*3 + 1 .. ou, 10 deixa resto 1 quando 
dividido por 3... ou, 10 - 1 é divisivel por 3 (sao todas formulacoes iguais)

agora, pegue um numero qualquer, ele pode ser escrito como: Somatorio(i=0 até 
n) a_i * 10^i. onde a_i sao os seus digitos..
por exemplo: 123 = 1 * 10^2 + 2 * 10^1 + 3 * 10^0 ... entendeu?

bom, a_i = a_i (mod 3) 10 = 1 (mod3) ... 10^i = 1^i = 1 (mod3) ... 
multiplicando, temos: a_i * 10^i = a_i (mod 3)
somando todos os a_i, temos: Somatorio (i=0 até n) a_i * 10^i = Somatorio (i=0 
até n) i (mod 3)
se somatorio (i=0 até n) a_i = 0 (mod 3), isto é, a soma dos digitos eh 
divisivel por 3, entao o numero tambem eh divisivel por 3..
e esta provada nossa regrinha! :)

facilmente mostramos regra pra 2, 5, 7, 11... tente ai!

bom, é uma introducao né?
espero ter esclarecido um pouco!

abracos,
Salhab


  - Original Message - 
  From: Bruna Carvalho 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, March 23, 2007 12:52 PM
  Subject: [obm-l] Congruência, módulo m


  Alguém poderia me ajudar em como usar, para que serve a tal de congruência 
mod m, alguns exemplos de apliacação.

  -- 
  Bjos, 
  Bruna 

[obm-l] RES: [obm-l] Congruência, módulo m

[Artur Costa Steiner]

Oi Bruna
 
O Ronaldo ja deu uma explicacao bem interessante. Vou dar um exemplo de 
aplicacao de congruencias. Vamos mostrar que a soma dos quadrados de 2 numeros 
impares nunca eh um quadrado perfeito. 
 
Sendo a e b numeros impares, suponhamos que exista um inteiro c tal que a^2 + 
b^2 = c^2. Entao, c tem que ser par e c^2 tem que ser multiplo de 4, o que, em 
termos  de congruencias, significa que c^2 = 0 (mod 4) (aqui, = significa os 3 
tracos horizontais da congruencia). Logo,
 
a^2 + b^2 = 0 (mod 4))
 
Pelas propriedades dos numeros impares (que sugiro que vc demonstre), temos que 
 
a^2 = 1 (mod 4) , b^2 = 1 (mod 4) e , pelas propriedades das congruencias, a^2 
+ b^2 = 1 + 1 = 2 (mod 4)
 
A primeira congruencia diz que a^2 +b^2 eh multiplo de 4, ao passo que a 
segunda diz que, quando dividido por 4, a^2 + b^2 deixa resto 2. Temos assim 
uma contradicao, pois este resto tem que ser unico. Logo, a^2 + b^2 nunca eh um 
quadrado perfeito.
 
Artur
 
 

[Artur Costa Steiner]  -Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruna Carvalho
Enviada em: sexta-feira, 23 de março de 2007 12:53
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Congruência, módulo m



Alguém poderia me ajudar em como usar, para que serve a tal de congruência mod 
m, alguns exemplos de apliacação.

-- 
Bjos, 
Bruna 

[obm-l] Congruência

[Josh Rodrigues]

Olá, estive dando uma olhada no site do grupoteorema que citaram 
anteriormente aqui na lista e vi um artigo sobre congruências. Fiquei 
interessado pois ouvi dizer que essa ferramenta ajuda bastante a resolver e 
provar vários problemas. Só que eu não entendi como se aplica, li as 
propriedades mas não entendi muito bem como usá-las. No primeiro problema 
diz Qual o último dígito de 777^777?. Gostaria de ter esse problema 
resolvido para que eu entenda como se aplica essas propriedades.


Obrigado pela atenção.

_
Verificador de Segurança do Windows Live OneCare: combata já vírus e outras 
ameaças! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Congruência

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

vou apenas resolver o problema pq to com pressa..
se tiver duvidas, dps eu respondo com calma! ok?

pra descobrir o ultimo digito, temos que saber o resto da divisao de 777^777 
por 10..

isto é: 777^777 mod 10

777 = 7 mod 10 (pois deixa resto 7 qdo dividido)

777 = 3*7*37

7^1 = 7 mod 10
7^2 = 49 = 9 mod 10
7^3 = 7^2*7 = 9*7 = 63 = 3 mod 10
7^4 = 7^3*7 = 3*7 = 21 = 1 mod 10
7^5 = 7^4*7 = 7 mod 10

opa.. temos uma periodicidade, pois:
7^6 = 7^5*7 = 7*7 = 9 mod 10

assim, temos que descobrir o resto de 777 quando divido por 4
vejamos: 3*7 = 21 = 1 mod 4
777 = 3*7*37 = 37*1 = 37 = 1 mod 4

assim, 777^777 tem resto 7 quando dividido por 10.. isto é, tem 7 como 
ultimo digito.


abracos,
Salhab





- Original Message - 
From: Josh Rodrigues [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, March 04, 2007 1:23 PM
Subject: [obm-l] Congruência


Olá, estive dando uma olhada no site do grupoteorema que citaram 
anteriormente aqui na lista e vi um artigo sobre congruências. Fiquei 
interessado pois ouvi dizer que essa ferramenta ajuda bastante a resolver 
e provar vários problemas. Só que eu não entendi como se aplica, li as 
propriedades mas não entendi muito bem como usá-las. No primeiro problema 
diz Qual o último dígito de 777^777?. Gostaria de ter esse problema 
resolvido para que eu entenda como se aplica essas propriedades.


Obrigado pela atenção.

_
Verificador de Segurança do Windows Live OneCare: combata já vírus e 
outras ameaças! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
= 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Congruência

[diego andres]

777 eh congruo a 7 mod 10
  logo (777)^2 eh congruo a 49 que eh congruo a -1 mod 10
  então  [(777)^2]^388 = 777^776 eh congruo a 1 mod 10
= 777^777 eh congruo a 7 mod 10.
Josh Rodrigues [EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Olá, estive dando uma olhada no site do grupoteorema que citaram 
anteriormente aqui na lista e vi um artigo sobre congruências. Fiquei 
interessado pois ouvi dizer que essa ferramenta ajuda bastante a resolver e 
provar vários problemas. Só que eu não entendi como se aplica, li as 
propriedades mas não entendi muito bem como usá-las. No primeiro problema 
diz Qual o último dígito de 777^777?. Gostaria de ter esse problema 
resolvido para que eu entenda como se aplica essas propriedades.

Obrigado pela atenção.

_
Verificador de Segurança do Windows Live OneCare: combata já vírus e outras 
ameaças! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


 __
Fale com seus amigos  de graça com o novo Yahoo! Messenger 
http://br.messenger.yahoo.com/ 

[obm-l] Re: [obm-l] congruência

[leandro-epcar]

Obrigado Carlos, valeu pela dica!!!
 


-- Início da mensagem original --- 

De: [EMAIL PROTECTED] 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
Cc: 
Data: Sun, 15 Oct 2006 23:03:27 -0200 
Assunto: Re: [obm-l] congruência 

 Oi, Leandro, 
 
 Não custa lembrar qual o contexto original da questão postada, pois 
 esta questão, particularmente não veio do nada... 
 
 Primos de Fermat 
 
 Um número é primo de Fermat se é primo e é da forma 2^n + 1. É 
 simples perceber que se N é primo de Fermat, o expoente n deve ser 
 potência de 2. Assim, para k = 0 a 4, N = 2^(2^k) + 1 são de fato 
 primos (3, 5, 17, 257 e 65.537), mas Fermat havia conjecturado que qq 
 cara da forma 2^(2^k) + 1 era primo, o que se mostrou não ser verdade 
 para k = 5, que é exatamente o problema que você propôs (e cuja 
 solução, clássica, já foi postada). 
 
 Nehab 
 
 
 At 12:44 15/10/2006, you wrote: 
 Demonstre que (2^32)+1 é divisível por 641 
 

Re: [obm-l] congruência

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Bem, apenas mais um comentário meio que filosófico sobre a soluçao do colega:Qualquer pessoa que chegue e veja isso, sem conhecer a história de tal prova, pensa coisas do tipo Nossa! Como será que ele fez isso? ou Eu nunca vou conseguir pensar nisto na hora da prova... e coisas assim... Por isso mesmo, vou falar um pouco de como Euler produziu esta pequena jóia (pode ser pura mandracaria agora, mas quase ninguém nega que esta tem lugar reservado no O Livro). Para tal, esteja com o seguinte material em mãos:
-- Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes), disponível nas páginas pessoais do Gugu e do Nicolau.-- Eureka! 2, disponível na página da OBM.Só vou aterrorizar, digo, avisar de que a leitura dos dois acima demanda um tempinho e muito boa vontade de quem se aventura a tal, mas não deixa de ser interessante...
Bem, é fato que os primos da forma 2^n+1 sao da forma F(n)=2^2^n+1=pow(2,pow(2,n))+1 (aqui, potenciacao é a operacao de maior precedencia e a associatividade é pela esquerda).Então, seria bom saber como são os fatores primos de F(n).
Bem, se p (primo por SP) divide F(n), temos2^(2^n) = -1 (mod p)Assim2^(p-1) = +1 (mod p) (Euler-Fermat)2^(2^(n+1)) = 1 (mod p) Se g é o menor tal que2^g = +1 (mod p)temos queg divide p-1,
g divide 2^(n+1)mas g nâo divide 2^nLogo g=2^n, e 2^n divide p-1Assim p=k*2^n+1Logo temos um teoreminha bastante interessante...Os fatores primos de F(n) são da forma k*2^n+1. (nao tenho certeza mas creio que dá pra melhorar tal teorema...)
No nosso caso, F(5), temos que testar caras da forma k*2^5+1=32k+1 que sejam menores que sqrt(F(5)).Fazendo algumas contas na raça, vemos que o melhor ajuste é 641, com k=20.Uma pergunta que muita gente um pouco mais curiosa se faz é Mas como Fermat tinha uma esperança tão grande de que tais números fossem realmente primos, sendo que o problema até hoje falhou espetacularmente?, ou Como ele se expôs a uma gafe dessas? Bem, a minha resposta fica para outra hora :P
Em 15/10/06, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu:


Oi, Leandro,
Não custa lembrar qual o contexto original da questão postada, pois esta
questão, particularmente não veio do nada...
Primos de Fermat
Um número é primo de Fermat se é primo e é da forma 2^n +
1. É simples perceber que se N é primo de Fermat, o
expoente n deve ser potência de 2. Assim, para k = 0 a
4, N = 2^(2^k) + 1 são de fato primos (3, 5, 17, 257 e 65.537), mas
Fermat havia conjecturado que qq cara da forma 2^(2^k) + 1 era primo, o
que se mostrou não ser verdade para k = 5, que é exatamente o problema
que você propôs (e cuja solução, clássica, já foi postada).
Nehab

At 12:44 15/10/2006, you wrote:
Demonstre que (2^32)+1 é
divisível por 641


-- Ideas are bulletproof.V

[obm-l] congruência

[leandro-epcar]

Demonstre que (2^32)+1 é divisível por 641

[obm-l] Re:[obm-l] congruência

[Giuliano \(stuart\)]

Temos que 2^4+5^4=0(mod 641) (basta testar 625+16=641)
=2^4=-5^4(mod641) e temos que 2^7*5=-1(mod641) (basta ver que 
2^7*5=128*5=640=641-1)
temos que 2^32=2^28*2^4
temos que provar que
2^32=2^28*2^4=-1(mod 641)=5^4*2^28*2^4=-5^4(mod 641)=
(5^1*2^4)^4 * 2^4=-5^4(mod 641) = (-1)^4 * 2^4=-5^4(mod 641)
=2^4=-5^4(mod 641) o que foi mostrado no início.
Abraços,
Giuliano Pezzolo Giacaglia
(Stuart)
 Demonstre que (2^32)+1 é divisível por 641




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=