[obm-l] Re: [obm-l] Teorema Chinês do resto

[Anderson Torres]

Em ter., 27 de out. de 2020 às 20:50, joao pedro b menezes <
joaopedrobmene...@gmail.com> escreveu:

> Olá, eu estava fazendo esse exercício :
> " . (OBM 2005) Dados os inteiros positivos a, c e o inteiro b, prove que
> existe um inteiro positivo x tal que a^x + x ≡ b (mod c)."
>
> Eu pensei nessa solução, mas eu tenho quase certeza que ela está errada...
>
> "Primeiramente , suponhamos c primo. Desse modo, se escolhermos x tal que
> x  ≡ 0 (mod c - 1) , teremos a^x + x  ≡ 1 + x <=> x  ≡ b - 1 (mod c) (pelo
> teorema de fermat) . Teríamos o sistema de congruências:
> x  ≡ 0 ( mod c)
> x  ≡ b - 1 (mod c-1)
> Como c e c-1 são primos entre sí, pelo teorema chinês do resto esse
> sistema infinitas soluções.
> Agora, suponhamos c composto. Como um número composto é nada mais que o
> produto de uma quantidade finita de primos, podemos chamar todos os primos
> divisores de c como p1, p2, p3 ... pn . Forçando  x  ≡ b - 1 (mod pi) para
> qualquer pi divisor primo de c, montamos o sistema de congruências:
> x  ≡ 0 (mod p1 - 1)
> x  ≡ b - 1 (mod p1)
> .
> x  ≡ 0 (mod pn - 1)
> x  ≡ b - 1 (mod pn)
>

Apenas olhando por cima, você não pode ignorar os expoentes da fatoração.

Além disso, Euler-Fermat exige que a seja primo com c.


> O único empecilho para o teorema é que pj - 1 e ph - 1 ( com j e h
> inteiros 1 <= j <= h <= n) possivelmente terão múltiplos em comum. Para
> anular esse problema, basta fazer com que x seja múltiplo de p1 - 1, p2 - 1
> . pn - 1,e chamando de Z o produto de todos esses números, podemos
> construir:
> x  ≡ b - 1 (mod p1)
> x  ≡ b - 1( mod p2)
> 
> x  ≡ b - 1 (mod pn)
> x  ≡ 0 (mod Z)
> Como p1, p2 , ... pn e  Z são primos entre si, o sistema sempre terá
> infinitas soluções pelo teorema chinês do resto
> Dessa forma, comprovamos o enunciado"
>
> Se ela estiver errada( o que eu tenho quase certeza) , alguém poderia, por
> favor, me falar por que ?
> Agradeço pela ajuda e pelo tempo por ler este email gigante 
>

[obm-l] Teorema Chinês do resto

[joao pedro b menezes]

Olá, eu estava fazendo esse exercício :
" . (OBM 2005) Dados os inteiros positivos a, c e o inteiro b, prove que
existe um inteiro positivo x tal que a^x + x ≡ b (mod c)."

Eu pensei nessa solução, mas eu tenho quase certeza que ela está errada...

"Primeiramente , suponhamos c primo. Desse modo, se escolhermos x tal que
x  ≡ 0 (mod c - 1) , teremos a^x + x  ≡ 1 + x <=> x  ≡ b - 1 (mod c) (pelo
teorema de fermat) . Teríamos o sistema de congruências:
x  ≡ 0 ( mod c)
x  ≡ b - 1 (mod c-1)
Como c e c-1 são primos entre sí, pelo teorema chinês do resto esse sistema
infinitas soluções.
Agora, suponhamos c composto. Como um número composto é nada mais que o
produto de uma quantidade finita de primos, podemos chamar todos os primos
divisores de c como p1, p2, p3 ... pn . Forçando  x  ≡ b - 1 (mod pi) para
qualquer pi divisor primo de c, montamos o sistema de congruências:
x  ≡ 0 (mod p1 - 1)
x  ≡ b - 1 (mod p1)
.
x  ≡ 0 (mod pn - 1)
x  ≡ b - 1 (mod pn)
O único empecilho para o teorema é que pj - 1 e ph - 1 ( com j e h inteiros
1 <= j <= h <= n) possivelmente terão múltiplos em comum. Para anular esse
problema, basta fazer com que x seja múltiplo de p1 - 1, p2 - 1 . pn -
1,e chamando de Z o produto de todos esses números, podemos construir:
x  ≡ b - 1 (mod p1)
x  ≡ b - 1( mod p2)

x  ≡ b - 1 (mod pn)
x  ≡ 0 (mod Z)
Como p1, p2 , ... pn e  Z são primos entre si, o sistema sempre terá
infinitas soluções pelo teorema chinês do resto
Dessa forma, comprovamos o enunciado"

Se ela estiver errada( o que eu tenho quase certeza) , alguém poderia, por
favor, me falar por que ?
Agradeço pela ajuda e pelo tempo por ler este email gigante 

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teorema Fundamental da álgebra prova

[Anderson Torres]

Em qui., 10 de out. de 2019 às 19:03, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> vc poderia me passar a prova desses resultados particulares do TFA(  o
> caso em que n/4 e 3n/4 não são quadrados perfeitos )?
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avg.com
> .
> <#m_-2634427926988328542_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> Em qui, 10 de out de 2019 às 17:07, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> muito obrigado
>>
>> Em qui, 10 de out de 2019 às 16:59, Esdras Muniz <
>> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Se o polinômios tem grau ímpar, vc consegue mostrar que ele tem uma raíz
>>> real, usando só a continuidade do polinômio. Tem tb uma demonstração
>>> elementar de um caso particular do tfa, o caso em que n/4 e 3n/4 não são
>>> quadrados perfeitos, onde n é o grau do polinômio.
>>>
>>> Em qui, 10 de out de 2019 16:12, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>

 Existe alguma demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra sem
 recorrer aos números complexos?Tipo uma versão mais fraca (para polinômio
 com coeficientes inteiros e raízes reais)?

>>>
Como você quer não usar Complexos quando o problema é sobre números
complexos? Afinal o teorema fala claramente que todo polinômio complexo tem
uma raiz complexa.

O que melhor você pode tentar é o livro de Teoria dos Números do Ivan
Niven, ou alguns papers na internet. Achei isso com 10s de Google.

https://arxiv.org/abs/0808.0097
https://www.researchgate.net/publication/236965958_A_short_proof_of_the_Fundamental_Theorem_of_Algebra/link/54863b9a0cf268d28f044de6/download
https://www.ime.usp.br/~oliveira/FTAAUTHOR.pdf
http://math.fau.edu/richman/docs/Fta.pdf
https://math.nyu.edu/faculty/edwardsd/carnegie.pdf
http://www.cs.ru.nl/~herman/PUBS/Types00-GeuversWiedijkZwanenburg.pdf
https://link.springer.com/article/10.1007/s00283-011-9199-2
https://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/artigos/FTA2.pdf
https://math.stackexchange.com/questions/1384350/is-this-elementary-proof-of-fundamental-theorem-of-algebra-correct



> --
 Israel Meireles Chrisostomo


 
  Livre
 de vírus. www.avg.com
 .

 <#m_-2634427926988328542_m_-1569285011696930660_m_3733022141868703845_m_-2898584284853493076_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Israel Meireles Chrisostomo
>>
>
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teorema Fundamental da álgebra prova

[Israel Meireles Chrisostomo]

vc poderia me passar a prova desses resultados particulares do TFA(  o caso
em que n/4 e 3n/4 não são quadrados perfeitos )?


Livre
de vírus. www.avg.com
.
<#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

Em qui, 10 de out de 2019 às 17:07, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> muito obrigado
>
> Em qui, 10 de out de 2019 às 16:59, Esdras Muniz <
> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
>
>> Se o polinômios tem grau ímpar, vc consegue mostrar que ele tem uma raíz
>> real, usando só a continuidade do polinômio. Tem tb uma demonstração
>> elementar de um caso particular do tfa, o caso em que n/4 e 3n/4 não são
>> quadrados perfeitos, onde n é o grau do polinômio.
>>
>> Em qui, 10 de out de 2019 16:12, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>>
>>> Existe alguma demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra sem
>>> recorrer aos números complexos?Tipo uma versão mais fraca (para polinômio
>>> com coeficientes inteiros e raízes reais)?
>>> --
>>> Israel Meireles Chrisostomo
>>>
>>>
>>> 
>>>  Livre
>>> de vírus. www.avg.com
>>> .
>>>
>>> <#m_-1569285011696930660_m_3733022141868703845_m_-2898584284853493076_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Israel Meireles Chrisostomo
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Israel Meireles Chrisostomo

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teorema Fundamental da álgebra prova

[Israel Meireles Chrisostomo]

muito obrigado

Em qui, 10 de out de 2019 às 16:59, Esdras Muniz 
escreveu:

> Se o polinômios tem grau ímpar, vc consegue mostrar que ele tem uma raíz
> real, usando só a continuidade do polinômio. Tem tb uma demonstração
> elementar de um caso particular do tfa, o caso em que n/4 e 3n/4 não são
> quadrados perfeitos, onde n é o grau do polinômio.
>
> Em qui, 10 de out de 2019 16:12, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>>
>> Existe alguma demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra sem recorrer
>> aos números complexos?Tipo uma versão mais fraca (para polinômio com
>> coeficientes inteiros e raízes reais)?
>> --
>> Israel Meireles Chrisostomo
>>
>>
>> 
>>  Livre
>> de vírus. www.avg.com
>> .
>>
>> <#m_3733022141868703845_m_-2898584284853493076_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



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Israel Meireles Chrisostomo

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Teorema Fundamental da álgebra prova

[Esdras Muniz]

Se o polinômios tem grau ímpar, vc consegue mostrar que ele tem uma raíz
real, usando só a continuidade do polinômio. Tem tb uma demonstração
elementar de um caso particular do tfa, o caso em que n/4 e 3n/4 não são
quadrados perfeitos, onde n é o grau do polinômio.

Em qui, 10 de out de 2019 16:12, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

>
> Existe alguma demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra sem recorrer
> aos números complexos?Tipo uma versão mais fraca (para polinômio com
> coeficientes inteiros e raízes reais)?
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avg.com
> .
> <#m_-2898584284853493076_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Teorema Fundamental da álgebra prova

[Israel Meireles Chrisostomo]

Existe alguma demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra sem recorrer
aos números complexos?Tipo uma versão mais fraca (para polinômio com
coeficientes inteiros e raízes reais)?
-- 
Israel Meireles Chrisostomo


Livre
de vírus. www.avg.com
.
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-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teorema do Valor Médio

[Jeferson Almir]

Tem razão!! Tem que mostrar que a única que satisfaz é a função constante .
Obrigado

Em qua, 23 de mai de 2018 às 17:59, Otávio Araújo 
escreveu:

> Tem que haver uma condição adicional ao enunciado
>
> Em qua, 23 de mai de 2018 17:50, Otávio Araújo 
> escreveu:
>
>> E existe contra exemplo: f constante satisfaz essa condição
>>
>> Em qua, 23 de mai de 2018 17:44, Otávio Araújo 
>> escreveu:
>>
>>> O teorema do valor médio se refere a funções deriváveis. Acho que Vc
>>> está falando do teorema do valor intermediário ou que a função f é derivável
>>>
>>> Em qua, 23 de mai de 2018 17:36, Jeferson Almir <
>>> jefersonram...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Como eu uso o teorema do Valor Médio  pra mostrar que não existe função
 real continua tal que f ( x+f(x)) = f(x)?

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Teorema do Valor Médio

[Otávio Araújo]

Tem que haver uma condição adicional ao enunciado

Em qua, 23 de mai de 2018 17:50, Otávio Araújo 
escreveu:

> E existe contra exemplo: f constante satisfaz essa condição
>
> Em qua, 23 de mai de 2018 17:44, Otávio Araújo 
> escreveu:
>
>> O teorema do valor médio se refere a funções deriváveis. Acho que Vc está
>> falando do teorema do valor intermediário ou que a função f é derivável
>>
>> Em qua, 23 de mai de 2018 17:36, Jeferson Almir 
>> escreveu:
>>
>>> Como eu uso o teorema do Valor Médio  pra mostrar que não existe função
>>> real continua tal que f ( x+f(x)) = f(x)?
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Teorema do Valor Médio

[Otávio Araújo]

E existe contra exemplo: f constante satisfaz essa condição

Em qua, 23 de mai de 2018 17:44, Otávio Araújo 
escreveu:

> O teorema do valor médio se refere a funções deriváveis. Acho que Vc está
> falando do teorema do valor intermediário ou que a função f é derivável
>
> Em qua, 23 de mai de 2018 17:36, Jeferson Almir 
> escreveu:
>
>> Como eu uso o teorema do Valor Médio  pra mostrar que não existe função
>> real continua tal que f ( x+f(x)) = f(x)?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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[obm-l] Re: [obm-l] Teorema do Valor Médio

[Otávio Araújo]

O teorema do valor médio se refere a funções deriváveis. Acho que Vc está
falando do teorema do valor intermediário ou que a função f é derivável

Em qua, 23 de mai de 2018 17:36, Jeferson Almir 
escreveu:

> Como eu uso o teorema do Valor Médio  pra mostrar que não existe função
> real continua tal que f ( x+f(x)) = f(x)?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Teorema do Valor Médio

[Jeferson Almir]

Como eu uso o teorema do Valor Médio  pra mostrar que não existe função
real continua tal que f ( x+f(x)) = f(x)?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Teorema de wilson

[Pedro José]

Boa noite!
Corrigindo.
2^2 não divide 3!+1 ao invés de 1!+1
Então em (w^2-1)!  ao invés de (w-1)!


Em 8 de mai de 2018 19:12, "Pedro José"  escreveu:

Boa noite!

Não seria w^2 não divide (w^2-1)!+1?
Pois 5^2 | 4! +1

2^2 Não divide 1! +1
w >2 ==> w^2 -1> 2 w
Então em (w-1)! haverá um fator w e outro 2w, logo w^2 | (w^2-1)! Para w >2.
Mas se w^2 | (w^2-1)! +1, então w^2 | 1, absurdo, pois, w é primo.
Saudações,
PJMS


Em 5 de mai de 2018 16:09, "Anderson Torres" 
escreveu:

Em 18 de janeiro de 2018 18:44, Israel Meireles Chrisostomo
 escreveu:
>
> Como provar que se w é primo então w² não divide (w-1)!+1, é possível?

Tente verificar o que acontece com a fatoração prima desse cara.

> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Teorema de wilson

[Pedro José]

Boa noite!

Não seria w^2 não divide (w^2-1)!+1?
Pois 5^2 | 4! +1

2^2 Não divide 1! +1
w >2 ==> w^2 -1> 2 w
Então em (w-1)! haverá um fator w e outro 2w, logo w^2 | (w^2-1)! Para w >2.
Mas se w^2 | (w^2-1)! +1, então w^2 | 1, absurdo, pois, w é primo.
Saudações,
PJMS

Em 5 de mai de 2018 16:09, "Anderson Torres" 
escreveu:

Em 18 de janeiro de 2018 18:44, Israel Meireles Chrisostomo
 escreveu:
>
> Como provar que se w é primo então w² não divide (w-1)!+1, é possível?

Tente verificar o que acontece com a fatoração prima desse cara.

> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Teorema de wilson

[Anderson Torres]

Em 18 de janeiro de 2018 18:44, Israel Meireles Chrisostomo
 escreveu:
>
> Como provar que se w é primo então w² não divide (w-1)!+1, é possível?

Tente verificar o que acontece com a fatoração prima desse cara.

> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teorema fundamental da álgebra

[Anderson Torres]

Em 28 de março de 2018 07:39, Anderson Torres
 escreveu:
> Em 27 de março de 2018 21:04, Claudio Buffara
>  escreveu:
>> Pra quem se interessa por polinômios complexos e suas raízes, aqui vão dois
>> teoremas muito legais e razoavelmente bem conhecidos (demonstrações são
>> facilmente achadas via Google. Mas, é claro, tentar demonstrá-los é um belo
>> exercício - obs: o segundo é bem mais difícil, pelo menos eu acho):
>>
>> 1) Teorema de Gauss-Lucas: o fecho convexo das raízes de um polinômio contém
>> as raízes da derivada do polinômio.
>> (dica pra quem quiser tentar a demonstração: expresse p'(z)/p(z) como soma
>> de termos da forma 1/(z - a_i), onde a_i é raiz de p, e depois use
>> conjugação).
>>
>> 2) Teorema de Marden: as raízes de um polinômio cúbico são, em geral,
>> vértices de um triângulo no plano complexo (em que situação as raízes são
>> colineares?). Neste caso, as raízes da derivada deste polinômio são os focos
>> da única (exercício: provar a unicidade) elipse inscrita neste triângulo e
>> tangente aos lados em seus pontos médios. Esta elipse se chama a inelipse de
>> Steiner do triângulo.
>>
>> Exemplo simples: z^3 - 1. Os vértices do triângulo são as raízes cúbicas da
>> unidade. A inelipse de Steiner é, de fato, o incírculo, cujo cetro é z = 0
>> (raiz dupla da derivada).
>>
>> Acabou de me ocorrer que qualquer triângulo no plano pode ser levado, por
>> uma transformação afim adequada, no triângulo cujos vértices são 1, w e w^2
>> (w = exp(i*2*pi/3) ), e que transformações afins preservam tangência, pontos
>> médios e elipses (das quais os círculos são um caso particular). Será que
>> isso ajuda a provar o teorema de Marden?
>
> E a parte das propriedades da inelipse? Isso fica meio que perdido,
> afinal transformações afins não costumam respeitar nada além da
> "figura exterior"; tanto que os focos da elipse "colapsam" no
> incentro.
>
> Mas a ideia parece salvável. E se jogássemos, mediante homotetias, as
> raízes da derivada no eixo X, de modo a ter raízes bonitinhas - ou,
> mais precisamente, forçar uma elipse de focos 1 e -1?

Ainda estou nas contas, mas vou deixar minha ideia registrada:

- Começa provando isso para o caso em que a dita inelipse é o famoso
círculo unitário centrado na origem.

- Uma transformação afim leva este círculo em uma elipse típica cujos
eixos são os eixos coordenados. Verifica-se aonde foram parar os
pontos do triângulo e aonde vão parar os focos da elipse, conferindo
assim o teorema.

- Verifica-se como rotações e translações podem alterar os valores
relevantes ao problema, tratando assim do caso geral.

>
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>> 2018-03-24 20:13 GMT-03:00 Carlos P. :
>>>
>>> Boa noite!
>>>
>>> Estou estudando análise complexa e gostaria de alguns esclarecimentos
>>> sobre o TFA.
>>>
>>> 1) Na prova baseada no teorema de Liouville, as únicas propriedades de
>>> polinômios de grau >= 1 utilizadas é que são funções inteiras tais que lim z
>>> ---> oo p(z) = oo. Logo, o teorema aplica-se igualmente a qualquer inteira f
>>> tal que lim z ---> oo f(z) = oo, certo? Não está restrito a polinômios.
>>>
>>> 2) Alguém conhece uma prova do TFA que, além de mostrar a existência de
>>> raízes, mostre que há exatamente n raízes, contando suas ordens? Me
>>> informaram que há uma
>>>
>>> Muito obrigado
>>>
>>> Carlos
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teorema fundamental da álgebra

[Anderson Torres]

Em 27 de março de 2018 21:04, Claudio Buffara
 escreveu:
> Pra quem se interessa por polinômios complexos e suas raízes, aqui vão dois
> teoremas muito legais e razoavelmente bem conhecidos (demonstrações são
> facilmente achadas via Google. Mas, é claro, tentar demonstrá-los é um belo
> exercício - obs: o segundo é bem mais difícil, pelo menos eu acho):
>
> 1) Teorema de Gauss-Lucas: o fecho convexo das raízes de um polinômio contém
> as raízes da derivada do polinômio.
> (dica pra quem quiser tentar a demonstração: expresse p'(z)/p(z) como soma
> de termos da forma 1/(z - a_i), onde a_i é raiz de p, e depois use
> conjugação).
>
> 2) Teorema de Marden: as raízes de um polinômio cúbico são, em geral,
> vértices de um triângulo no plano complexo (em que situação as raízes são
> colineares?). Neste caso, as raízes da derivada deste polinômio são os focos
> da única (exercício: provar a unicidade) elipse inscrita neste triângulo e
> tangente aos lados em seus pontos médios. Esta elipse se chama a inelipse de
> Steiner do triângulo.
>
> Exemplo simples: z^3 - 1. Os vértices do triângulo são as raízes cúbicas da
> unidade. A inelipse de Steiner é, de fato, o incírculo, cujo cetro é z = 0
> (raiz dupla da derivada).
>
> Acabou de me ocorrer que qualquer triângulo no plano pode ser levado, por
> uma transformação afim adequada, no triângulo cujos vértices são 1, w e w^2
> (w = exp(i*2*pi/3) ), e que transformações afins preservam tangência, pontos
> médios e elipses (das quais os círculos são um caso particular). Será que
> isso ajuda a provar o teorema de Marden?

E a parte das propriedades da inelipse? Isso fica meio que perdido,
afinal transformações afins não costumam respeitar nada além da
"figura exterior"; tanto que os focos da elipse "colapsam" no
incentro.

Mas a ideia parece salvável. E se jogássemos, mediante homotetias, as
raízes da derivada no eixo X, de modo a ter raízes bonitinhas - ou,
mais precisamente, forçar uma elipse de focos 1 e -1?

>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-03-24 20:13 GMT-03:00 Carlos P. :
>>
>> Boa noite!
>>
>> Estou estudando análise complexa e gostaria de alguns esclarecimentos
>> sobre o TFA.
>>
>> 1) Na prova baseada no teorema de Liouville, as únicas propriedades de
>> polinômios de grau >= 1 utilizadas é que são funções inteiras tais que lim z
>> ---> oo p(z) = oo. Logo, o teorema aplica-se igualmente a qualquer inteira f
>> tal que lim z ---> oo f(z) = oo, certo? Não está restrito a polinômios.
>>
>> 2) Alguém conhece uma prova do TFA que, além de mostrar a existência de
>> raízes, mostre que há exatamente n raízes, contando suas ordens? Me
>> informaram que há uma
>>
>> Muito obrigado
>>
>> Carlos
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.


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[obm-l] Re: [obm-l] Teorema fundamental da álgebra

[Claudio Buffara]

Pra quem se interessa por polinômios complexos e suas raízes, aqui vão dois
teoremas muito legais e razoavelmente bem conhecidos (demonstrações são
facilmente achadas via Google. Mas, é claro, tentar demonstrá-los é um belo
exercício - obs: o segundo é bem mais difícil, pelo menos eu acho):

1) Teorema de Gauss-Lucas: o fecho convexo das raízes de um polinômio
contém as raízes da derivada do polinômio.
(dica pra quem quiser tentar a demonstração: expresse p'(z)/p(z) como soma
de termos da forma 1/(z - a_i), onde a_i é raiz de p, e depois use
conjugação).

2) Teorema de Marden: as raízes de um polinômio cúbico são, em geral,
vértices de um triângulo no plano complexo (em que situação as raízes são
colineares?). Neste caso, as raízes da derivada deste polinômio são os
focos da única (exercício: provar a unicidade) elipse inscrita neste
triângulo e tangente aos lados em seus pontos médios. Esta elipse se chama
a inelipse de Steiner do triângulo.

Exemplo simples: z^3 - 1. Os vértices do triângulo são as raízes cúbicas da
unidade. A inelipse de Steiner é, de fato, o incírculo, cujo cetro é z = 0
(raiz dupla da derivada).

Acabou de me ocorrer que qualquer triângulo no plano pode ser levado, por
uma transformação afim adequada, no triângulo cujos vértices são 1, w e w^2
(w = exp(i*2*pi/3) ), e que transformações afins preservam tangência,
pontos médios e elipses (das quais os círculos são um caso particular).
Será que isso ajuda a provar o teorema de Marden?

[]s,
Claudio.


2018-03-24 20:13 GMT-03:00 Carlos P. :

> Boa noite!
>
> Estou estudando análise complexa e gostaria de alguns esclarecimentos
> sobre o TFA.
>
> 1) Na prova baseada no teorema de Liouville, as únicas propriedades de
> polinômios de grau >= 1 utilizadas é que são funções inteiras tais que lim
> z ---> oo p(z) = oo. Logo, o teorema aplica-se igualmente a qualquer
> inteira f tal que lim z ---> oo f(z) = oo, certo? Não está restrito a
> polinômios.
>
> 2) Alguém conhece uma prova do TFA que, além de mostrar a existência de
> raízes, mostre que há exatamente n raízes, contando suas ordens? Me
> informaram que há uma
>
> Muito obrigado
>
> Carlos
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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[obm-l] Re: [obm-l] Teorema fundamental da álgebra

[Anderson Torres]

Em 24 de março de 2018 20:13, Carlos P.  escreveu:
> Boa noite!
>
> Estou estudando análise complexa e gostaria de alguns esclarecimentos sobre
> o TFA.
>
> 1) Na prova baseada no teorema de Liouville, as únicas propriedades de
> polinômios de grau >= 1 utilizadas é que são funções inteiras tais que lim z
> ---> oo p(z) = oo. Logo, o teorema aplica-se igualmente a qualquer inteira f
> tal que lim z ---> oo f(z) = oo, certo? Não está restrito a polinômios.
>
> 2) Alguém conhece uma prova do TFA que, além de mostrar a existência de
> raízes, mostre que há exatamente n raízes, contando suas ordens? Me
> informaram que há uma

Mas isso é imediato, não? Se você demonstra que todo polinômio tem ao
menos uma raiz complexa, basta fatorar!

Por exemplo, sabendo que x^2+1 tem uma raiz, é só aplicar o mesmo para
(x^2+1)/(x-raiz)

Não sei qual o interesse que haveria em algo maior que isso, um
teorema que mostre de uma vez todas as raízes...

>
> Muito obrigado
>
> Carlos
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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Re: [obm-l] Teorema fundamental da álgebra

[Artur Costa Steiner]

O Bernardo já fez uma excelente explanação. Vou dar uma outra prova de que f é 
um polinômio de grau n >= 1,

Para z em C /{0}, façamos g = f(1/z).  g é meromorfa em C, tendo em z = 0 o seu 
único 
pólo, o qual tem ordem n >= 1.. Assim, g é dada em torno de 0 pela série de 
Laurent em torno de 0

g(z) = Soma (k = -n, oo) c_k z^k, z em C/{0}, c_n <> 0

(Série de Laurent é uma generalizaçäo de série de potências para funçöes com 
singularidades. Os expoentes dos termos podem ser negativos. No caso de séries 
em torno de um pólo, há um número finito de termos com expoentes negativos.)

Entäo, para z <> 0

f(z) = g(1/z) = c_-n z^n ... + c_-1 z + c_0 + Soma (k = 1, oo) c_ k z^(-k)

Mas como f é inteira, a série acima é na realidade uma série de potências, de 
modo que os coeficientes associados a termos com expoentes negativos são nulos. 
Assim, 

f(z) = c_-n z^n ... + c_-1 z + c_0 , z em C/{0}

Como f(0) existe em C e f é contínua em 0, entâo f(0) = lim z --> 0 f(z) = c_0 
e temos assim

f(z) = c_-n z^n ... + c_-1 z + c_0 para todo z

Logo, f é um polinômio de grau n >= 1.  Incrível, não? Isso näo acontece para 
funções reais.

2) Eu conheço uma prova deste tipo, baseada no Teorema de Rouché (o da análise 
complexa, não o da álgebra linear)

Seja P um polinômio de grau  n >= 1 e façamos Q(z) = c z^n, onde c <> 0 é o 
coeficiente líder de P. Então, Q tem n zeros em toda vizinhança de 0 e P - Q é 
um polinômio de grau <= n - 1, Desta última condição segue-se que lim z —> oo 
(P(z) - Q(z))/Q(z) = 0, havendo assim r0 tal que 

|z| > r0 =>  |P(z) - Q(z)|/|Q(z)| < 1 e, portanto

|P(z) - Q(z)| < |Q(z)| (1) (notemos a desigualdade estrita)

Assim, para r > r0, (1) é satisfeita para todo z na periferia S do disco aberto 
D(0, r). Como P e Q são inteiras e S é uma curva fechada e suave tal que Ind(S, 
z) = 1 para z em D(0, 1) e Ind(S, z) = 0 para z em {z em C | |z| > r}, segue- 
se do T. De Rouché que, em W = {z em C | Ind(S, z) = 1}, P e Q têm o mesmo 
número de zeros. Como W = D(0, r), concluímos que, neste disco, P e Q têm o 
mesmo número de zeros, ou seja, n zeros. E como isto vale para todo r > r0, 
concluímos que P tem n zeros em todo o plano complexo C (se P tivesse mais de n 
zeros em C, então, contrariamente ao que vimos, para algum r > r0 P teria mais 
de n zeros em D(0, r). 

Assim, provamos näo apenas que polinômios de de grau n >= 1 têm zeros, como 
também que têm exatamente n zeros (contando suas ordens).

No Wikipedia há uma interessante  explanação sobre o T. de Rouché, que se 
baseia em curvas homotópicas.

Artur




Enviado do meu iPad
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[obm-l] Re: [obm-l] Teorema fundamental da álgebra

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2018-03-24 20:13 GMT-03:00 Carlos P. :
> Boa noite!

Boa noite,

> Estou estudando análise complexa e gostaria de alguns esclarecimentos sobre
> o TFA.
>
> 1) Na prova baseada no teorema de Liouville, as únicas propriedades de
> polinômios de grau >= 1 utilizadas é que são funções inteiras tais que lim z
> ---> oo p(z) = oo. Logo, o teorema aplica-se igualmente a qualquer inteira f
> tal que lim z ---> oo f(z) = oo, certo? Não está restrito a polinômios.

Exato, o teorema se aplica a qualquer função inteira tal que |f(z)| ->
oo quando |z| -> oo.  Mas olha só: esta hipótese diz que existe um R
tal que |f(z)| > 1 para |z| > R.  Daí, defina

g(w) = 1/f(1/w) no disco de raio 1/R, para w != 0.

Note que g está bem-definida, neste disco (pequeno!), e podemos
estender g(0) = 0 continuamente, logo de forma holomorfa.  A ordem do
zero de g em zero (única raiz de g no disco, por hipótese de f ser
holomorfa) é, digamos, "d".  Pelo princípio do argumento, a função g
dá "d" voltas em torno da origem dentro do disco.  Olhando agora para
f(z) no disco de raio R, ela também dá "d" voltas (na mesma direção,
porque invertemos duas vezes).  De novo pelo princípio do argumento,
isso quer dizer que f tem "d" raízes (com multiplicidade) no disco de
raio R (porque f é holomorfa, logo não tem pólos), que chamamos de
z_k.  Agora, olhando para h(z) = 1/f(z), vamos "retirar" os "d" pólos
de h(z) (= d raízes de f).  Isso dá uma função

H(z) = 1/f(z) - soma a_k/(z - z_k), onde a_k são os resíduos, que é
holomorfa (já que retiramos os pólos) no disco de raio R, mas também
fora do disco, pois os termos que adicionamos tendem a zero quando |z|
-> oo.

De novo por Liouville (agora em H(z)!), esta função é constante.
Simplificando a expressão, teremos que 1/f(z) = H + Q(z)/P(z), onde
P(z) é o produto dos fatores (z - z_k) contendo as raízes de f, e Q(z)
é o polinômio em z que aparecer.  Botando H "na fração", ficamos com
1/f(z) = QQ(z)/P(z), e assim f(z) = P(z)/QQ(z), onde QQ(z) é um
polinômio.  Como f(z) é holomorfa, QQ(z) não tem raízes, logo tem que
ser constante (pelo resultado acima!), e f é um polinômio.

Ou seja: o TFA funciona para todas as funções holomorfas em C, que
tendem a infinito no infinito.  Mas apenas os polinômios são ao mesmo
tempo holomorfos e tendem a infinito no infinito!

Um "contra-exemplo" interessante para você pensar: exp(z) é holomorfa,
mas não tem raízes.  Em que direções do plano complexo ela não tende a
infinito?

> 2) Alguém conhece uma prova do TFA que, além de mostrar a existência de
> raízes, mostre que há exatamente n raízes, contando suas ordens? Me
> informaram que há uma

Deve ser o princípio do argumento, que eu usei acima.  Ele é,
realmente, muito poderoso!
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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[obm-l] Re: [obm-l] Teorema fundamental da álgebra

[Pedro Soares]

Sobre o segundo item, depois de demonstrar que para qualquer polinômio deve
exister uma raíz complexa é fácil mostar que existem n. Basta fatorar o
polinômio original em p(z) = (x-z_0)* h(z), onde z_0 é raíz de p e aplicar
o que já foi provado em h(z) e repetir o processo. Basta vc formalizar
melhor essa ideia.

On Saturday, 24 March 2018, Carlos P.  wrote:

> Boa noite!
>
> Estou estudando análise complexa e gostaria de alguns esclarecimentos
> sobre o TFA.
>
> 1) Na prova baseada no teorema de Liouville, as únicas propriedades de
> polinômios de grau >= 1 utilizadas é que são funções inteiras tais que lim
> z ---> oo p(z) = oo. Logo, o teorema aplica-se igualmente a qualquer
> inteira f tal que lim z ---> oo f(z) = oo, certo? Não está restrito a
> polinômios.
>
> 2) Alguém conhece uma prova do TFA que, além de mostrar a existência de
> raízes, mostre que há exatamente n raízes, contando suas ordens? Me
> informaram que há uma
>
> Muito obrigado
>
> Carlos
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>

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Teorema fundamental da álgebra

[Carlos P.]

Boa noite!

Estou estudando análise complexa e gostaria de alguns esclarecimentos sobre o 
TFA.

1) Na prova baseada no teorema de Liouville, as únicas propriedades de 
polinômios de grau >= 1 utilizadas é que são funções inteiras tais que lim z 
---> oo p(z) = oo. Logo, o teorema aplica-se igualmente a qualquer inteira f 
tal que lim z ---> oo f(z) = oo, certo? Não está restrito a polinômios.

2) Alguém conhece uma prova do TFA que, além de mostrar a existência de raízes, 
mostre que há exatamente n raízes, contando suas ordens? Me informaram que há 
uma

Muito obrigado

Carlos

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[obm-l] Teorema de wilson

[Israel Meireles Chrisostomo]

Como provar que se w é primo então w² não divide (w-1)!+1, é possível?
-- 
Israel Meireles Chrisostomo

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Re: [obm-l] Teorema de Eudoxius

[Anderson Torres]

Ué, vai de indução, ou de boa ordenação. Desprezando trocas de sinal,
podemos lidar somente com inteiros positivos


Se A<=B, então 0*B < A <= 1*B - este é nosso caso base.


Se A>B, seja C = A-B. Por hipótese, existe K tal que KB < C <= (K+1)
B. Somando-se B dos dois lados, obtemos o que queríamos.



Em 7 de junho de 2017 07:33, Pedro Chaves  escreveu:
> Caros Colegas,
>
> Como poderemos demonstrar o Teorema de Eudoxius, sem recorrer ao Algoritmo
> da Divisão?
> --- Teorema de Eudoxius:   Dados dois inteiros a e b, com b diferente de
> zero, então a é múltiplo de b ou está entre dois múltiplos consecutivos de
> b.  ---
>
> Abraços!
> Pedro Chaves
> -
>
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Teorema de Eudoxius

[Pedro Chaves]

Caros Colegas,

Como poderemos demonstrar o Teorema de Eudoxius, sem recorrer ao Algoritmo da 
Divisão?
--- Teorema de Eudoxius:   Dados dois inteiros a e b, com b diferente de zero, 
então a é múltiplo de b ou está entre dois múltiplos consecutivos de b.  ---

Abraços!
Pedro Chaves
-

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Re: [obm-l] Teorema de Eudoxius

[Matheus Henrique]

Olá,sou um aluno estudando para o nível 3 da OBM e ao ver vocês falarem do 
principio da boa ordenação me surgiu uma série de dúvidas(no qual acredito que 
vocês já dominam o assunto).Como utilizar,o 1° e 2°(estou com duvida em relação 
ao significado de k,sendo 0<=k<=n  <=-menor ou igual) princípio da indução e o 
principio da boa ordenação na resolução de problemas,ou seja,em quais situações 
usar?Desde já obrigado pela atenção(e futura ajuda)!!


obs: estou estudando muito para ,futuramente,conseguir estudar com vocês (e 
quem sabe uma medalha na OBM).


De: owner-ob...@mat.puc-rio.br <owner-ob...@mat.puc-rio.br> em nome de Gabriel 
Lopes <cronom...@gmail.com>
Enviado: segunda-feira, 24 de outubro de 2016 18:32
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Teorema de Eudoxius


Talvez pelo Principio da boa ordenação rola

Em 24/10/2016 18:07, "Pedro Chaves" 
<brped...@hotmail.com<mailto:brped...@hotmail.com>> escreveu:

Caros Colegas,

Como demonstrar, sem recorrer ao algoritmo da divisão euclidiana, o 'Teorema de 
Eudoxius':

Dados os inteiros a e b, com b diferente de zero, então a é múltiplo de b ou se 
encontra entre dois múltiplos consecutivos de b.

Obrigado a todos!
Pedro Chaves

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Re: [obm-l] Teorema de Eudoxius

[Gabriel Lopes]

Talvez pelo Principio da boa ordenação rola

Em 24/10/2016 18:07, "Pedro Chaves"  escreveu:

> Caros Colegas,
>
> Como demonstrar, sem recorrer ao algoritmo da divisão euclidiana, o
> 'Teorema de Eudoxius':
>
> Dados os inteiros a e b, com b diferente de zero, então a é múltiplo de b
> ou se encontra entre dois múltiplos consecutivos de b.
>
> Obrigado a todos!
> Pedro Chaves
>
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[obm-l] Teorema de Eudoxius

[Pedro Chaves]

Caros Colegas,

Como demonstrar, sem recorrer ao algoritmo da divisão euclidiana, o 'Teorema de 
Eudoxius':

Dados os inteiros a e b, com b diferente de zero, então a é múltiplo de b ou se 
encontra entre dois múltiplos consecutivos de b.

Obrigado a todos!
Pedro Chaves

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[obm-l] Re: [obm-l] Teorema do valor intermediário

[Marcos Martinelli]

Precisamos supor que f é contínua.

Considere g: (0,1/2) -> R tal que g(x) = f(x + 1/2) - f(x) para todo x em
(0, 1/2).

Se f(1/2) = f(0), é satisfeito o enunciado. Vamos supor, então, f(1/2) <>
f(0).

Como g é contínua, g(0) = f(1/2) - f(0) e g(1/2) = f(1) - f(1/2) = -
(f(1/2) - f(0)) = - g(0), vai existir A em (0, 1/2) tal que g(A) = 0 ->
f(A) = f(A + 1/2).

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[obm-l] Teorema do valor intermediário

[Adilson Francisco da Silva]

Boa tarde!

Estou com dificuldades nesta questão, acredito que seja pelo teorema
do valor intermediário. Se alguém puder me ajudar eu agradeço.

Seja f : [0,1] em R, tal que f (0) = f (1). Prove que existe x
pertencente a [0, 1/2] tal que f (x) = f (x+1/2).

Muito Obrigado
Adilson

-- 
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Re: [obm-l] Teorema de Varignon

[Marcelo de Moura Costa]

Eu tenho a citação do teorema, mas não cita que é de Varignon.
Exercices de Geométrie
par F.J.
Página 239
(Há uma nota de rodapé sobre ele na página 234)
Troisième édition
Tours, Alfred Mame Paris, Poussielgue
1896
Em 18 de mar de 2016 11:57 AM, "Luís"  escreveu:

> Sauda,c~oes,
>
>
> O teorema de Varignon é bem conhecido: os pontos médios dos lados
>
> de um quadrilátero formam um paralelogramo.
>
>
> Alguém conhece uma referência em português que o demostra ?
>
> Não preciso da demonstração, só a citação.
>
>
> Penso ter visto algo a respeito na RPM, Eureka, publicações do
>
> IMPA ou livro de Geometria do Wagner/Morgado.
>
>
> Abs,
>
> Luís
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Re: [obm-l] Teorema de Varignon

[Carlos Nehab]

Titio google nao respondeu?
Em 18/03/2016 11:57, "Luís"  escreveu:

> Sauda,c~oes,
>
>
> O teorema de Varignon é bem conhecido: os pontos médios dos lados
>
> de um quadrilátero formam um paralelogramo.
>
>
> Alguém conhece uma referência em português que o demostra ?
>
> Não preciso da demonstração, só a citação.
>
>
> Penso ter visto algo a respeito na RPM, Eureka, publicações do
>
> IMPA ou livro de Geometria do Wagner/Morgado.
>
>
> Abs,
>
> Luís
>
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Re: [obm-l] Teorema de Varignon

[Luís]

Sauda,c~oes,


Obrigado aos que escreveram.


Tudo começou com isso aqui


https://books.google.ca/books?id=mIT5-BN_L0oC=PA108_esc=y#v=onepage=false


Fala do Varignon e da reta de Newton.


Aí encontrei isso aqui.


http://www.academia.edu/1095647/Propriedades_para_visualização_da_reta_de_Newton


E há pouco me lembrei de algumas palavras do título que podia ser da Eureka.

Fiz a busca no site e encontrei


http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/ponto_medio_cicero.pdf


Pronto. Tenho a referência em português.


Como o Sergio disse, muito pomposo citar uma referência em inglês ou

qualquer outra coisa diferente de português para tal teorema.


Luis



De: owner-ob...@mat.puc-rio.br <owner-ob...@mat.puc-rio.br> em nome de Sergio 
Lima <sergi...@smt.ufrj.br>
Enviado: sábado, 19 de março de 2016 17:42
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Teorema de Varignon

Oi, Luís,

Honestamente, não creio que esse resultado precise de uma citação.
Talvez não precise nem do nome pomposo de T. de Varignon.
Eu escreveria algo tipo "o que pode ser facilmente demonstrado com o
conceito de base média" e seguiria em frente.

Em todo caso, procurei nos Morgados e não achei.

Abraço,
Sergio

On Friday, March 18, 2016, Luís 
<qed_te...@hotmail.com<mailto:qed_te...@hotmail.com>> wrote:

Sauda,c~oes, oi Nehab, Marcelo,


Como disse, gostaria de ter uma referência em português.

Procurando algo no titio google sobre a reta de Newton-Gauss

caí no Varignon. E aí encontrei muita coisa em inglês e em

espanhol. Não procurei em francês pois na verdade quero

saber se por acaso teria visto o teorema em alguma publicação

em português.


Luis




De: owner-ob...@mat.puc-rio.br <owner-ob...@mat.puc-rio.br> em nome de Carlos 
Nehab <carlos.ne...@gmail.com>
Enviado: sexta-feira, 18 de março de 2016 18:26
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Teorema de Varignon


Titio google nao respondeu?

Em 18/03/2016 11:57, "Luís" <qed_te...@hotmail.com> escreveu:

Sauda,c~oes,


O teorema de Varignon é bem conhecido: os pontos médios dos lados

de um quadrilátero formam um paralelogramo.


Alguém conhece uma referência em português que o demostra ?

Não preciso da demonstração, só a citação.


Penso ter visto algo a respeito na RPM, Eureka, publicações do

IMPA ou livro de Geometria do Wagner/Morgado.


Abs,

Luís


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
acredita-se estar livre de perigo.

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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Re: [obm-l] Teorema de Varignon

[Sergio Lima]

Oi, Luís,

Honestamente, não creio que esse resultado precise de uma citação.
Talvez não precise nem do nome pomposo de T. de Varignon.
Eu escreveria algo tipo "o que pode ser facilmente demonstrado com o
conceito de base média" e seguiria em frente.

Em todo caso, procurei nos Morgados e não achei.

Abraço,
Sergio

On Friday, March 18, 2016, Luís <qed_te...@hotmail.com> wrote:

> Sauda,c~oes, oi Nehab, Marcelo,
>
>
> Como disse, gostaria de ter uma referência em português.
>
> Procurando algo no titio google sobre a reta de Newton-Gauss
>
> caí no Varignon. E aí encontrei muita coisa em inglês e em
>
> espanhol. Não procurei em francês pois na verdade quero
>
> saber se por acaso teria visto o teorema em alguma publicação
>
> em português.
>
>
> Luis
>
>
>
>
> --
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br
> <javascript:_e(%7B%7D,'cvml','owner-ob...@mat.puc-rio.br');> <
> owner-ob...@mat.puc-rio.br
> <javascript:_e(%7B%7D,'cvml','owner-ob...@mat.puc-rio.br');>> em nome de
> Carlos Nehab <carlos.ne...@gmail.com
> <javascript:_e(%7B%7D,'cvml','carlos.ne...@gmail.com');>>
> *Enviado:* sexta-feira, 18 de março de 2016 18:26
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> <javascript:_e(%7B%7D,'cvml','obm-l@mat.puc-rio.br');>
> *Assunto:* Re: [obm-l] Teorema de Varignon
>
>
> Titio google nao respondeu?
> Em 18/03/2016 11:57, "Luís" <qed_te...@hotmail.com
> <javascript:_e(%7B%7D,'cvml','qed_te...@hotmail.com');>> escreveu:
>
>> Sauda,c~oes,
>>
>>
>> O teorema de Varignon é bem conhecido: os pontos médios dos lados
>>
>> de um quadrilátero formam um paralelogramo.
>>
>>
>> Alguém conhece uma referência em português que o demostra ?
>>
>> Não preciso da demonstração, só a citação.
>>
>>
>> Penso ter visto algo a respeito na RPM, Eureka, publicações do
>>
>> IMPA ou livro de Geometria do Wagner/Morgado.
>>
>>
>> Abs,
>>
>> Luís
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Teorema de Varignon

[Israel Meireles Chrisostomo]

Acho que tem uma aulo do humerto bortolossi no youtube falando sobre
geogebra em que ele demonstra este teorema

Em 18 de março de 2016 22:45, Luís <qed_te...@hotmail.com> escreveu:

> Sauda,c~oes, oi Nehab, Marcelo,
>
>
> Como disse, gostaria de ter uma referência em português.
>
> Procurando algo no titio google sobre a reta de Newton-Gauss
>
> caí no Varignon. E aí encontrei muita coisa em inglês e em
>
> espanhol. Não procurei em francês pois na verdade quero
>
> saber se por acaso teria visto o teorema em alguma publicação
>
> em português.
>
>
> Luis
>
>
>
>
> --
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br <owner-ob...@mat.puc-rio.br> em nome de
> Carlos Nehab <carlos.ne...@gmail.com>
> *Enviado:* sexta-feira, 18 de março de 2016 18:26
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* Re: [obm-l] Teorema de Varignon
>
>
> Titio google nao respondeu?
> Em 18/03/2016 11:57, "Luís" <qed_te...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Sauda,c~oes,
>>
>>
>> O teorema de Varignon é bem conhecido: os pontos médios dos lados
>>
>> de um quadrilátero formam um paralelogramo.
>>
>>
>> Alguém conhece uma referência em português que o demostra ?
>>
>> Não preciso da demonstração, só a citação.
>>
>>
>> Penso ter visto algo a respeito na RPM, Eureka, publicações do
>>
>> IMPA ou livro de Geometria do Wagner/Morgado.
>>
>>
>> Abs,
>>
>> Luís
>>
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>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Teorema de Varignon

[Luís]

Sauda,c~oes,


O teorema de Varignon é bem conhecido: os pontos médios dos lados

de um quadrilátero formam um paralelogramo.


Alguém conhece uma referência em português que o demostra ?

Não preciso da demonstração, só a citação.


Penso ter visto algo a respeito na RPM, Eureka, publicações do

IMPA ou livro de Geometria do Wagner/Morgado.


Abs,

Luís


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Teorema de Varignon

[Luís]

Sauda,c~oes, oi Nehab, Marcelo,


Como disse, gostaria de ter uma referência em português.

Procurando algo no titio google sobre a reta de Newton-Gauss

caí no Varignon. E aí encontrei muita coisa em inglês e em

espanhol. Não procurei em francês pois na verdade quero

saber se por acaso teria visto o teorema em alguma publicação

em português.


Luis




De: owner-ob...@mat.puc-rio.br <owner-ob...@mat.puc-rio.br> em nome de Carlos 
Nehab <carlos.ne...@gmail.com>
Enviado: sexta-feira, 18 de março de 2016 18:26
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Teorema de Varignon


Titio google nao respondeu?

Em 18/03/2016 11:57, "Luís" 
<qed_te...@hotmail.com<mailto:qed_te...@hotmail.com>> escreveu:

Sauda,c~oes,


O teorema de Varignon é bem conhecido: os pontos médios dos lados

de um quadrilátero formam um paralelogramo.


Alguém conhece uma referência em português que o demostra ?

Não preciso da demonstração, só a citação.


Penso ter visto algo a respeito na RPM, Eureka, publicações do

IMPA ou livro de Geometria do Wagner/Morgado.


Abs,

Luís


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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

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acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Teorema de Wilson(?)

[marcone augusto araújo borges]

Sávio, muito obrigado!
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Teorema de Wilson?

[Sávio Ribas]

No teorema de Wilson, agrupe o termo k com o termo p-k == -k mod p, isso
gera um termo -k^2, onde 0 < k  escreveu:

> Seja p um número primo tal que p = 1 (mod4)
> Mostre que {[(p-1)/2]!}^2 + 1 = 0 (modp)
> Como resolver?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Teorema de Wilson?

[marcone augusto araújo borges]

Seja p um número primo tal que p = 1 (mod4)Mostre que {[(p-1)/2]!}^2 + 1 = 0 
(modp)Como resolver? 
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[obm-l] Teorema de Wilson(?)

[marcone augusto araújo borges]

Seja p um primo ímpar e seja N = 1.3.5(p-2).Mostre que N = 1(modp)ou N+1 = 
0(modp)
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Re: [obm-l] Teorema de Wilson(?)

[Marcelo Salhab Brogliato]

Oi, Marcone,

Acho que tem alguma coisa errada. Veja que não funciona para p=13, pois N =
1.3.5.7.9.11 == 8 (mod13).

Abraços,
Salhab

2015-07-30 17:20 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com:

 Seja p um primo ímpar e seja N = 1.3.5(p-2).Mostre que N = 1(modp)
 ou N+1 = 0(modp)

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Teorema de Wilson(?)

[Sávio Ribas]

O teorema de Wilson diz que (p-1)! == -1 mod p se p é primo. Sabendo que k
== -(p-k) mod p e que exatamente um elemento de {k,p-k} ímpar (pois p é
ímpar), temos:
-1 == 1.2.3.4...(p-2)(p-1) == 1.(2-p).3.(4-p).5...(p-2)(p-1-p) ==
[(-1).1²][(-1).3²][(-1).5²]...[(-1).(p-2)²] ==
(-1)^[(p-1)/2][1.3.5...(p-2)]² mod p.

Logo:
[1.3.5...(p-2)]² == (-1)^[(p+1)/2] mod p.

Se p == 1 mod 4 então [1.3.5...(p-2)]² == -1 mod p e nesse caso o enunciado
falha (por exemplo, p = 13 como fez o Salhab, ou qualquer outro valor de p
da forma 4k+1).
Se p == 3 mod 4 então [1.3.5...(p-2)]² == 1 mod p e nesse caso sim vale N
== 1 ou -1 mod p.

Em 30 de julho de 2015 22:56, Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com
escreveu:

 Oi, Marcone,

 Acho que tem alguma coisa errada. Veja que não funciona para p=13, pois N
 = 1.3.5.7.9.11 == 8 (mod13).

 Abraços,
 Salhab

 2015-07-30 17:20 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com:

 Seja p um primo ímpar e seja N = 1.3.5(p-2).Mostre que N = 1(modp)
 ou N+1 = 0(modp)

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Re: [obm-l] Teorema

[terence thirteen]

Não é complicaada, mas é incomum. Vou tentar passar, até hoje de noite,
a demo que o Erdös deu para este problema.

A ideia é estudar a sequência C(2n,n), que conta os conjuntos de n
elementos contidos em {1,2,3,...,2n}, e demonstrar que se o Postulado de
Betrand for falso, ele é falso para números pequenos.

Em 19 de dezembro de 2014 18:56, Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com
 escreveu:

 Hoje é teorema mesmo. Vale para qualquer inteiro  2.

 Artur Costa Steiner

 Em 19/12/2014, às 18:00, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com
 escreveu:

 Dá uma olhada no postulado de Bertrand.

 Em 19 de dezembro de 2014 16:44, Marcos Martinelli 
 mffmartine...@gmail.com escreveu:

 Sim. Complicada. Decorre de um teorema de Chebyshev.

 2014-12-19 17:32 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com:

 Seja p um primo.Existe um primo p´tal que p  p´ 2p.
 A demostração é complicada?Onde achar?

 --
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 acredita-se estar livre de perigo.


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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esdras Muniz Mota
 Graduando em Matemática Bacharelado
 Universidade Federal do Ceará



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/**/
神が祝福

Torres

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Teorema

[marcone augusto araújo borges]

Seja p um primo.Existe um primo p´tal que p  p´ 2p.A demostração é 
complicada?Onde achar?   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Teorema

[Marcos Martinelli]

Sim. Complicada. Decorre de um teorema de Chebyshev.

2014-12-19 17:32 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com:

 Seja p um primo.Existe um primo p´tal que p  p´ 2p.
 A demostração é complicada?Onde achar?

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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Teorema

[Esdras Muniz]

Dá uma olhada no postulado de Bertrand.

Em 19 de dezembro de 2014 16:44, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com
escreveu:

 Sim. Complicada. Decorre de um teorema de Chebyshev.

 2014-12-19 17:32 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com:

 Seja p um primo.Existe um primo p´tal que p  p´ 2p.
 A demostração é complicada?Onde achar?

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 acredita-se estar livre de perigo.


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Esdras Muniz Mota
Graduando em Matemática Bacharelado
Universidade Federal do Ceará

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Teorema

[Artur Costa Steiner]

Hoje é teorema mesmo. Vale para qualquer inteiro  2.

Artur Costa Steiner

 Em 19/12/2014, às 18:00, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com escreveu:
 
 Dá uma olhada no postulado de Bertrand.
 
 Em 19 de dezembro de 2014 16:44, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com 
 escreveu:
 
 Sim. Complicada. Decorre de um teorema de Chebyshev.
 
 2014-12-19 17:32 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com:
 Seja p um primo.Existe um primo p´tal que p  p´ 2p.
 A demostração é complicada?Onde achar?
 
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 acredita-se estar livre de perigo.
 
 
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 acredita-se estar livre de perigo.
 
 
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 Esdras Muniz Mota
 Graduando em Matemática Bacharelado
 Universidade Federal do Ceará
 
 
 
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 acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Teorema de Weierstrass

[Fabio Silva]

Alguém me ajude a responder e justificar?...


(a) O Teorema de Weierstrass continua valendo sem a hipótese de que f é 
contínua?
(b) O Teorema de Weierstrass continua valendo sem a hipótese de que o domínio I 
é fechado?
(c) O Teorema de Weierstrass continua valendo sem a hipótese de que o domínio I 
é limitado?
(d) Podemos afirmar que o ponto x0 no enunciado do Teorema de Weierstrass é 
único?

Um abraço

Fabio MS
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

RES: [obm-l] Teorema da Incompletude de Godel

[Albert Bouskela]

Olá a todos!

 

Bem, vou sugerir dois livros sobre o assunto (o primeiro é mais do que clássico 
‒ é a bíblia do tema!):

 

1) O Teorema de Gödel e a Hipótese do Contínuo ‒ Antologia organizada, 
prefaciada e traduzida por Manuel Lourenço | Fundação Calouste Gulbenkian, 
Lisboa, Fevereiro de 1979

 

É um calhamaço de 1000 páginas, muito raro (eu tenho um exemplar!), mais do que 
árido, mas plenamente exaustivo, pelo menos até a data da sua publicação. É uma 
leitura só para os “iniciados”!

 

2) Incompletude (A prova e o paradoxo de Kurt Gödel) ‒ Rebecca Goldstein | 
Companhia das Letras, 2008.

 

Este é bem digerível (250 páginas) e é um bom começo.

 

  _  

Albert Bouskelá

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
Carlos Nehab
Enviada em: domingo, 2 de fevereiro de 2014 07:24
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Teorema da Incompletude de Godel

 

Oi, Luiz

Mande sua análise.
Você é da patota da Ciência da Computação, Matemática ou Filosofia?

Abs
Nehab

On 01/02/2014 23:46, luiz silva wrote:

É que eu estou querendo saber se tenho como formalizar uma análise que fiz.

 

Abs

Felipe

 

Em Sábado, 1 de Fevereiro de 2014 23:21, Francisco Barreto 
costadutrabarr...@gmail.com escreveu:

Não sou especialista, perdoe-me. Meu nome é Francisco Costa Barreto e este 
assunto me interessa. Estou acompanhando, quem sabe não torno-me útil em alguns 
dias para ajudá-lo neste aspecto, em tempo. 

Eu costumo dizer incompleteza, mas podem me acusar de ser um Stickler neste 
caso.

=)

Abraços,

Francisco.

 

2014-02-01 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br:

Pessoal,

 

Alguem aqui é especialista em logica-matematica, e conhece bem o teorema de 
godel?

 

Abs

Felipe


-- 
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acredita-se estar livre de perigo. 


-- 
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Re: RES: [obm-l] Teorema da Incompletude de Godel

[luiz silva]

Pessoal,

Jé enviei duas vezes a análise para a lista, e os emails não chegaram(não estão 
nos arquivos da lista). 

Prezado Carlos, dada  a dificuldade, enviei diretamente para seu email pessoal. 
Vc poderia confirmar o recebimento ?

Desde já, agradeço.

Abs
Felipe





Em Segunda-feira, 3 de Fevereiro de 2014 11:03, Albert Bouskela 
bousk...@ymail.com escreveu:
 
Olá a todos!
 
Bem, vou sugerir dois livros sobre o assunto (o primeiro é mais do que clássico 
‒ é a bíblia do tema!):
 
1) O Teorema de Gödel e a Hipótese do Contínuo ‒ Antologia organizada, 
prefaciada e traduzida por Manuel Lourenço | Fundação Calouste Gulbenkian, 
Lisboa, Fevereiro de 1979
 
É um calhamaço de 1000 páginas, muito raro (eu tenho um exemplar!), mais do que 
árido, mas plenamente exaustivo, pelo menos até a data da sua publicação. É uma 
leitura só para os “iniciados”!
 
2) Incompletude (A prova e o paradoxo de Kurt Gödel) ‒ Rebecca Goldstein | 
Companhia das Letras, 2008.
 
Este é bem digerível (250 páginas) e é um bom começo.
 



Albert Bouskelá
 
De:owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
Carlos Nehab
Enviada em: domingo, 2 de fevereiro de 2014 07:24
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Teorema da Incompletude de Godel
 
Oi, Luiz

Mande sua análise.
Você é da patota da Ciência da Computação, Matemática ou Filosofia?

Abs
Nehab

On 01/02/2014 23:46, luiz silva wrote:
É que eu estou querendo saber se tenho como formalizar uma análise que fiz.
 
Abs
Felipe
 
Em Sábado, 1 de Fevereiro de 2014 23:21, Francisco Barreto 
costadutrabarr...@gmail.com escreveu:
Não sou especialista, perdoe-me. Meu nome é Francisco Costa Barreto e este 
assunto me interessa. Estou acompanhando, quem sabe não torno-me útil em 
alguns dias para ajudá-lo neste aspecto, em tempo. 
Eu costumo dizer incompleteza, mas podem me acusar de ser um Stickler neste 
caso.
=)
Abraços,
Francisco.
 
2014-02-01 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br:
Pessoal,
 
Alguem aqui é especialista em logica-matematica, e conhece bem o teorema de 
godel?
 
Abs
Felipe

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acredita-se estar livre de perigo. 
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[obm-l] Teorema da Incompletude II

[luiz silva]

Pessoal,

Já enviei mais de tres emails para a lista, mas nenhum deles está chegando. 
Este é mais uma tentativa.

Prezado Carlos,

Eu enviei do meu Gmail, um email para o seu email pessoal. Se for possível, 
confirme o recebimento.

Desde já, agradeço

Abs
Felipe

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Teorema da Incompletude de Godel

[Carlos Nehab]

Oi, Luiz

Mande sua análise.
Você é da patota da Ciência da Computação, Matemática ou Filosofia?

Abs
Nehab

On 01/02/2014 23:46, luiz silva wrote:
É que eu estou querendo saber se tenho como formalizar uma análise que 
fiz.


Abs
Felipe


Em Sábado, 1 de Fevereiro de 2014 23:21, Francisco Barreto 
costadutrabarr...@gmail.com escreveu:
Não sou especialista, perdoe-me. Meu nome é Francisco Costa Barreto e 
este assunto me interessa. Estou acompanhando, quem sabe não torno-me 
útil em alguns dias para ajudá-lo neste aspecto, em tempo.
Eu costumo dizer incompleteza, mas podem me acusar de ser um 
Stickler neste caso.

=)
Abraços,
Francisco.


2014-02-01 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br 
mailto:luizfelipec...@yahoo.com.br:


Pessoal,

Alguem aqui é especialista em logica-matematica, e conhece bem o
teorema de godel?

Abs
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[obm-l] Teorema da Incompletude de Godel

[luiz silva]

Pessoal,

Alguem aqui é especialista em logica-matematica, e conhece bem o teorema de 
godel?

Abs
Felipe
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Re: [obm-l] Teorema da Incompletude de Godel

[Francisco Barreto]

Não sou especialista, perdoe-me. Meu nome é Francisco Costa Barreto e este
assunto me interessa. Estou acompanhando, quem sabe não torno-me útil em
alguns dias para ajudá-lo neste aspecto, em tempo.
Eu costumo dizer incompleteza, mas podem me acusar de ser um Stickler
neste caso.
=)
Abraços,
Francisco.


2014-02-01 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br:

 Pessoal,

 Alguem aqui é especialista em logica-matematica, e conhece bem o teorema
 de godel?

 Abs
 Felipe

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Re: [obm-l] Teorema da Incompletude de Godel

[luiz silva]

É que eu estou querendo saber se tenho como formalizar uma análise que fiz.

Abs
Felipe



Em Sábado, 1 de Fevereiro de 2014 23:21, Francisco Barreto 
costadutrabarr...@gmail.com escreveu:
 
Não sou especialista, perdoe-me. Meu nome é Francisco Costa Barreto e este 
assunto me interessa. Estou acompanhando, quem sabe não torno-me útil em alguns 
dias para ajudá-lo neste aspecto, em tempo.
Eu costumo dizer incompleteza, mas podem me acusar de ser um Stickler neste 
caso.
=)
Abraços,
Francisco.



2014-02-01 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br:

Pessoal,


Alguem aqui é especialista em logica-matematica, e conhece bem o teorema de 
godel?


Abs
Felipe
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[obm-l] Re: [obm-l] Teorema sobre séries

[terence thirteen]

Ainda não foi respondido? Tente demonstrar isto por indução.

Um lema importante é que:
Dada a sequência a(n), é verdade que

lim a(n) = lim a(n+k)

em que k é um inteiro positivo. Em outras palavras, o limite de uma
sequência não se altera quando arrancamos os termos iniciais.

Isto é algo que sai da definição de limite - tente fazer em casa!


Primeiro, temos a sequência

a(0), a(1), a(2),...

e a sequência das somas parciais:

S(0), S(1), S(2),...


Agora, a sequência modificada:


a(0), a(1), a(2),... a(n), X, a(n+1), a(n+2)...

e a sequência das somas parciais:

S(0), S(1), S(2),...,S(n), S(n)+X, S(n+1)+X, S(n+2)+X ...

Pelo lema, o limite desta sequência 'S+X' não muda sem os primeiros n
termos. E este limite é o mesmo que o da sequência S, mais X.

O passdo da indução é somente acrescentar mais e mais termos X.





Em 5 de novembro de 2013 16:59, Ennius Lima enn...@bol.com.br escreveu:


 Caros Colegas,

 Como provar o teorema abaixo?
 Desde já, muito grato.
 Ennius Lima
 

 Teorema:

 Quando se insere, em qualquer ordem, um ou mais termos (números reais) a
 uma série de números reais obtém-se:
 --- uma série divergente, se a série inicial é divergente;
 --- uma série convergente, com soma S + s, se a série inicial é
 convergente, com soma S, e s é a soma dos termos inseridos.

 


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[obm-l] Teorema sobre séries

[Ennius Lima]

Caros Colegas,

Como provar o teorema abaixo?
Desde já, muito grato.
Ennius Lima


Teorema:

Quando se insere, em qualquer ordem, um ou mais termos (números reais) a uma 
série de números reais obtém-se:
--- uma série divergente, se a série inicial é divergente;
--- uma série convergente, com soma S + s, se a série inicial é convergente, 
com soma S, e s é a soma dos termos inseridos.


 

-- 
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[obm-l] Teorema de Pitágoras

[marcone augusto araújo borges]

Alguém poderia indicar textos interessantes sobre o teorema de Pitágoras?



 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  

Preciso fazer um trabalho sobre o assunto acessível a alunos do oitavo 
e nono anos e do ensino médio.Se alguém souber de uma demonstração diferente 
também me interessa muito.Agradeço desde já.
  
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[obm-l] Re: [obm-l] Teorema de Pitágoras

[Hermann]

Veja o índice da RPM na internet e lá (nas RPM) você terá muito material.

http://www.rpm.org.br/indice.pdf


  - Original Message - 
  From: marcone augusto araújo borges 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Saturday, October 26, 2013 7:17 PM
  Subject: [obm-l] Teorema de Pitágoras


  Alguém poderia indicar textos interessantes sobre o teorema de Pitágoras?
   
   
   
   
   
   
   
   
   
  Preciso fazer um trabalho sobre o assunto acessível a alunos do oitavo e 
  nono anos e do ensino médio.
  Se alguém souber de uma demonstração diferente também me interessa muito.
  Agradeço desde já. 

  -- 
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[obm-l] Teorema do valor médio nos complexos

[Artur Costa Steiner]

Num site americano eu vi uma pessoa abalizada dizer que existe, na análise 
complexa,  algo análogo, porém com desigualdade, ao teorema do valor médio da 
análise real. Não conhecia e não consegui descobrir. Sei que há um para funções 
de R^n, n  1, em R, também com desigualdade, envolvendo produto escalar.

Alguém conhece este dos complexos?

Abraços

Artur Costa Steiner
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[obm-l] Teorema sobre o resto

[Pedro Chaves]

Caros amigos,


Como podemos provar o teorema abaixo?

Dados n números inteiros (x_1, x_2, ..., x_n),  cujo produto é P, então o resto 
da divisão de P por d (d é inteiro diferente de zero) é o resto da divisão do 
produto (r_1).( r_2) .( r_n) por d, onde r_1, r_2, ..., r_n são os 
respectivos restos das divisões de x_1, x_2, ..., x_n por d.

Muitíssimo grato!

Pedro Chaves  
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Re: [obm-l] Teorema sobre o resto

[Johann Dirichlet]

Eureka! 2, Divisibilidade, Congruências e Aritmética módulo n.
Em 17/08/11, Pedro Chavesbrped...@hotmail.com escreveu: Caros amigos, 
Como podemos provar o teorema abaixo? Dados n números inteiros (x_1, x_2, 
..., x_n),  cujo produto é P, então o resto da divisão de P por d (d é inteiro 
diferente de zero) é o resto da divisão do produto (r_1).( r_2) .( r_n) 
por d, onde r_1, r_2, ..., r_n são os respectivos restos das divisões de x_1, 
x_2, ..., x_n por d. Muitíssimo grato! Pedro Chaves 

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RE: [obm-l] Teorema sobre o resto

[João Maldonado]

Faça  x1 = m1.d + r1, x2 = m2.d + r2,  xn = mn. d + rn
O produto vale( m1.d + r1)(m2.d + r2)(m3.d + r3)(m4.d + r4)...(mn.d + rn)
Note que pela propriedade  comutativa da multiplicação, se multiplicarmos o 
fator (m2.d + r2)(m3.d + r3)(m4.d + r4)...(mn.d + rn) por  m1.d, este será 
divisível por d, logo o resto  será 0, e podemos excluí-l o do resto final. Do 
mesmo modo (m3.d + r3)(m4.d + r4)...(mn.d + rn) se multiplicado por  m2.d, 
também será divisível por d. Concluímos que a única parcela que PODE não ser 
divisível por d é  r1.r2.r3... rn

[]'sJoão
 From: brped...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Teorema sobre o resto
 Date: Wed, 17 Aug 2011 14:00:56 +0300
 
 
 Caros amigos,
 
 
 Como podemos provar o teorema abaixo?
 
 Dados n números inteiros (x_1, x_2, ..., x_n),  cujo produto é P, então o 
 resto da divisão de P por d (d é inteiro diferente de zero) é o resto da 
 divisão do produto (r_1).( r_2) .( r_n) por d, onde r_1, r_2, ..., r_n 
 são os respectivos restos das divisões de x_1, x_2, ..., x_n por d.
 
 Muitíssimo grato!
 
 Pedro Chaves
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Re: [obm-l] Teorema sobre mediana

[Ralph Teixeira]

Isso é legal, né?

-- A média minimiza a soma dos quadrados dos desvios
-- A mediana minimiza a soma dos módulos dos desvios.

Olhando deste jeito, a mediana parece mais natural do que média para
resumir os dados de uma sequência alíás, vocês já pararam para
pensar PORQUE a gente usa a média o tempo todo? No fundo no fundo, é
só por costume, não há uma razão matemática muito forte não... vou
exagerar um pouco: se eu pudesse, usava a mediana para calcular as
notas finais dos meus alunos.

Mas vamos à solução pedida:

Reordenando a sequência se necessário, podemos supor x1=x2=...=xn.
Considere então f(x)=|x-x1|+|x-x2|+...+|x-xn|. Queremos minimizar
f(x).

Se xx1, note que |x-xi||x1-xi| para todo i, e este x jamais seria
minimizante. Então o x minimizante deve satisfazer x=x1.
Analogamente, x=xn.

Agora, sabendo que x está em [x1,xn], tem-se
|x-x1|+|x-xn|=x-x1+xn-x=xn-x1, que não depende de x. Ou seja, agora
que já sabemos que estamos no intervalo [x1,xn], estas duas parcelas
têm soma constante, e portanto podem ser descartadas na tarefa de
achar o x que minimiza f(x).

Então queremos minimizar g(x)=|x-x2|+|x-x3|++|x-x{n-1}|. Aplicando
o mesmo raciocínio de antes, o x minimizante tem de estar em
[x2,x{n-1}], e então a soma |x-x2|+|x-x{n-1}| é constante e pode ser
descartada...

Continuemos descascando esta cebola... chegamos a uma das duas
seguintes situações:

a) Se n for ímpar (n=2k+1), ao final ficamos com o problema de
minimizar |x-xk|, cuja solução é claramente x=xk (a mediana da
sequência original);
b) Se n for par (n=2k), ao final ficamos com o problema de minimizar
|x-xk|+|x-x{k+1}|, e então qualquer x em [xk,x{k+1}] dá o mesmo valor
mínimo (a função original f(x) tem um platô neste intervalo). Bom, a
mediana está ali, então dá o valor mínimo para f(x).

Abraço,
Ralph

P.S.: O gráfico de f(x) não é difícil de entender não:
-- para xx1, é uma (semir)reta do tipo f(x)=-nx+c1, coeficiente angular -n.
-- para x1xx2, é um segmento do tipo f(x)=-(n-2)x+c2, coeficiente
angular -(n-2).
-- para x2xx3, é f(x)=-(n-4)x+c3.
...
-- para xix{i+1}, é f(x)=-(n-2i)+ci.
...
(c1, c2, ..., ci,... são constantes)

Ou seja, o gráfico de f(x) é uma poligonal, cada vértice em x=xi,
cujos coeficientes angulares vão aumentando de 2 em 2. Se n=2k+1, o
mínimo ocorre onde o coeficiente troca de -1 para +1, exatamente em
xk; se n=2k, tem um pedaço todo em [xk,x{k+1}] com coeficiente angular
0, que é o platô de mínimos.


2011/5/12 Guilherme Neves guigo_ne...@hotmail.com:
 Considere a sequência (x1,x2,x3,..., xn). Demonstrar que o somatório dos
 módulos dos desvios em relação à mediana é um valor mínimo.


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Re: [obm-l] Teorema sobre mediana (OFFTOPIC)

[Johann Dirichlet]

Em 13/05/11, Ralph Teixeiraralp...@gmail.com escreveu:
 Isso é legal, né?

 -- A média minimiza a soma dos quadrados dos desvios
 -- A mediana minimiza a soma dos módulos dos desvios.

 Olhando deste jeito, a mediana parece mais natural do que média para
 resumir os dados de uma sequência alíás, vocês já pararam para
 pensar PORQUE a gente usa a média o tempo todo? No fundo no fundo, é
 só por costume, não há uma razão matemática muito forte não... vou
 exagerar um pouco: se eu pudesse, usava a mediana para calcular as
 notas finais dos meus alunos.


A ideia é que a média é um balanço entre perdas e ganhos.
Por exemplo, a média entre 5 e 7 é 6, e 6 perde 1 de 7 mas ganha 1 de 5.
O problema é que a média é muito sensível a variações dos dados.

Antes de eu fugir da facul, já tive professores que usavam média
harmônica para as provas!
Zerou uma prova, já era! Ou tão pior quanto, ao se tirar vários 10, um
5 te jogava pra baixo.

Mas enfim, acho que a média é mais usada porque embute a ideia que eu
exibi acima.

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Re: [obm-l] Teorema sobre mediana (OFFTOPIC)

[Ralph Teixeira]

Concordo que, se a soma dos seus dados tem algum sentido, a media tem
esta propriedade adicional de zerar a soma dos desvios (com sinal) e,
portanto, manter a mesma soma. Como voce disse, **quando somar faz
sentido**, a soma perdas com ganhos se anula... Mas note como a
ideia de soma eh essencial neste contexto.

Em outras palavras: o aluno que tirou 0, 3, 9, 9 e 9 nas 5 provas tem
soma de pontos 30. Quanto eu faco a media dele (6), eu estou meio que
dizendo que ele equivale a um que tirou 6, 6, 6, 6 e 6, o que mantem a
mesma soma das pontuacoes. Ou seja, eh como se voce pensasse que as 5
provas juntas fazem uma enorme super-prova de 10h de duracao, e o cara
tirou 60% nesta super-prova. Faz sentido.

Agora, aas vezes os dados vem de voce fazer a mesma experiencia varias
vezes, ou de ter varias pessoas julgando a mesma prova. Por exemplo,
um aluno faz UMA prova, e 5 juizes dao notas 0, 3, 9, 9 e 9. Agora
somar as notas jah nao eh tao obviamente natural... entao manter o
balanco (soma dos desvios 0) jah nao eh tao essencial para mim...
Nestes casos eu costumo preferir a mediana, que, como voce disse, eh
bem menos sensivel aa variacao dos dados --  ou outras coisas
estranhas (por exemplo: jogue fora os dois extremos, faca a media do
que sobrar -- eh uma ideia intermediaria, usada em algumas praticas
olimpicas e apuracoes de escolas de samba...).

Em suma, se tem um numero que eh um alvo, e as variacoes vem de erros
ou perturbacoes aleatorias, e nao da variavel a ser estudada em si, eu
*tendo* a preferir a mediana para ser o alvo. Nao eh que eu ache que a
media eh pessima e tinha que ser abolida ou algo assim; mas gostaria
que as pessoas percebessem que usar media o tempo todo eh um tanto
arbitrario.

Agora, concordo, media harmonica para nota final eh muita maldade... :) :) :)

Abraco,
  Ralph

2011/5/13 Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com:
 Em 13/05/11, Ralph Teixeiraralp...@gmail.com escreveu:
 Isso é legal, né?

 -- A média minimiza a soma dos quadrados dos desvios
 -- A mediana minimiza a soma dos módulos dos desvios.

 Olhando deste jeito, a mediana parece mais natural do que média para
 resumir os dados de uma sequência alíás, vocês já pararam para
 pensar PORQUE a gente usa a média o tempo todo? No fundo no fundo, é
 só por costume, não há uma razão matemática muito forte não... vou
 exagerar um pouco: se eu pudesse, usava a mediana para calcular as
 notas finais dos meus alunos.


 A ideia é que a média é um balanço entre perdas e ganhos.
 Por exemplo, a média entre 5 e 7 é 6, e 6 perde 1 de 7 mas ganha 1 de 5.
 O problema é que a média é muito sensível a variações dos dados.

 Antes de eu fugir da facul, já tive professores que usavam média
 harmônica para as provas!
 Zerou uma prova, já era! Ou tão pior quanto, ao se tirar vários 10, um
 5 te jogava pra baixo.

 Mas enfim, acho que a média é mais usada porque embute a ideia que eu
 exibi acima.

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Re: [obm-l] Teorema sobre logaritmos irracionais

[Johann Dirichlet]

log_b a= x é o mesmo que a^x=b.
Usando o lema da fatoração única, vemos que se x fosse racional então
a e b teriam os mesmos fatores primos e com os expoentes múltiplos.

Em 06/11/10, Pedro Chavesbrped...@hotmail.com escreveu:

 Estou reapresentando o teorema sobre logaritmos, pois não consegui ainda uma
 demonstração completa. Peço, mais uma vez, a colaboração dos colegas.

 Teorema:
 Sendo a e b números inteiros maiores do que 1, que não podem ser
 representados como potências de mesma base (inteira), com expoente inteiro,
 então o logaritmo de a, na base b, é um número irracional.


 Um abraço do Pedro!   


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[obm-l] Teorema sobre logaritmos irracionais

[Pedro Chaves]

Estou reapresentando o teorema sobre logaritmos, pois não consegui ainda uma 
demonstração completa. Peço, mais uma vez, a colaboração dos colegas.

Teorema: 
Sendo a e b números inteiros maiores do que 1, que não podem ser representados 
como potências de mesma base (inteira), com expoente inteiro, então o logaritmo 
de a, na base b, é um número irracional.


Um abraço do Pedro!   

[obm-l] Teorema sobre logaritmos

[Pedro Chaves]

Caros Colegas,

Gostaria muito de obter uma demonstração do teorema que segue.

Teorema: 
Sendo a e b números inteiros positivos, com b diferente de 1,  que não podem 
ser representados como potências (de expoente inteiro) de um mesmo número 
inteiro, então o logaritmo de a, na base b, é um número irracional.


Um abraço do Pedro!   

Re: [obm-l] Teorema sobre rank de matrizes

[Lucas Prado Melo]

Obrigado pelos esclarecimentos. :)
A definição do meu Cormen está correta, eu que li errado. (d'oh)
Vou tentar responder o exercício novamente.

Valeu

[obm-l] Teorema sobre rank de matrizes

[Lucas Prado Melo]

Olá,

eu estava resolvendo os exercícios do livro Introdução a algoritmos de
Cormen et al. E encontrei o que eu acredito ser um erro.

No livro, a definição dita alternativa para o rank (não sei traduzir) de
uma matriz 'A' mxn é o maior valor 'r' tal que existam duas matrizes (uma
mxr e outra rxn) tais que seu produto seja igual à 'A'. (A definição
principal é a de que uma matriz tem rank 'r' se existirem no máximo 'r'
linhas/colunas linearmente independentes).

O livro também fala que para uma matriz 'A' mxn, rank(A) = min(m, n).

Então, na questão 31.1-9, é pedido pra provar que rank(AB) = min( rank(A),
rank(B) ).
No entanto, eu consegui provar que min( rank(A), rank(B) ) = rank(AB)

Este é meu argumento:
Seja 'A' uma matriz mxk
e seja 'B' uma matriz kxn

Então rank(AB) = k, já que é possível multiplicar duas matrizes mxk e kxn
pra encontrar AB, mas não se sabe se é possível encontrar duas matrizes de
maiores dimensões para se obter AB. (Ver definição acima)

Sabemos que rank(A) = min(m, k) e que rank(B) = min(k, n)
E sabemos que k = min(m, k) e que k = min(k, n)

Para a matriz A, temos:
rank(A) = min(m, k) = k = rank(AB)

Portanto, rank(A) = rank(AB). De forma análoga, rank(B) = rank(AB) e,
portanto,
rank(AB) = max( rank(A), rank(B) ) = min( rank(A), rank(B) )


Eu cometi algum engano? Se eu realmente cometi e alguém pudesse responder
este exercício pra mim, eu ficaria grato ;)

Re: [obm-l] Teorema sobre rank de matrizes

[Gabriel Haeser]

veja AB como uma matriz onde cada coluna é uma combinação linear das
colunas de A, logo o posto de AB deve ser menor ou igual ao posto de A
(pois cada coluna de AB está no espaço-coluna de A).

veja AB como uma matriz onde cada linha é uma combinação linear das
linhas de B. vc conclui que posto(AB)=posto(B) e acabou.

Nunca vi essa definição alternativa para o posto... tem certeza que é
assim mesmo?

Em 30 de março de 2010 10:51, Lucas Prado Melo luca...@dcc.ufba.br escreveu:
 Olá,

 eu estava resolvendo os exercícios do livro Introdução a algoritmos de
 Cormen et al. E encontrei o que eu acredito ser um erro.

 No livro, a definição dita alternativa para o rank (não sei traduzir) de
 uma matriz 'A' mxn é o maior valor 'r' tal que existam duas matrizes (uma
 mxr e outra rxn) tais que seu produto seja igual à 'A'. (A definição
 principal é a de que uma matriz tem rank 'r' se existirem no máximo 'r'
 linhas/colunas linearmente independentes).

 O livro também fala que para uma matriz 'A' mxn, rank(A) = min(m, n).

 Então, na questão 31.1-9, é pedido pra provar que rank(AB) = min( rank(A),
 rank(B) ).
 No entanto, eu consegui provar que min( rank(A), rank(B) ) = rank(AB)

 Este é meu argumento:
 Seja 'A' uma matriz mxk
 e seja 'B' uma matriz kxn

 Então rank(AB) = k, já que é possível multiplicar duas matrizes mxk e kxn
 pra encontrar AB, mas não se sabe se é possível encontrar duas matrizes de
 maiores dimensões para se obter AB. (Ver definição acima)

 Sabemos que rank(A) = min(m, k) e que rank(B) = min(k, n)
 E sabemos que k = min(m, k) e que k = min(k, n)

 Para a matriz A, temos:
 rank(A) = min(m, k) = k = rank(AB)

 Portanto, rank(A) = rank(AB). De forma análoga, rank(B) = rank(AB) e,
 portanto,
 rank(AB) = max( rank(A), rank(B) ) = min( rank(A), rank(B) )


 Eu cometi algum engano? Se eu realmente cometi e alguém pudesse responder
 este exercício pra mim, eu ficaria grato ;)


=
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Re: [obm-l] Teorema sobre rank de matrizes

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Oi Lucas,

Bom, claramente há um erro. Mas eu acho que é na definição. (e como
você usou uma definição errada, nada mais natural do que chegar numa
situação estranha)

Veja bem: seja A uma matriz m x n. Considere a seguinte matriz m x (n
+ r) : (A | 0), ou seja, a matriz A seguida de um monte de zeros.
Chame-a de X. Em seguida, considere a matriz Y que é (n+r) x n, cujas
primeiras n linhas dão a matriz identidade, e no resto, você bota o
que você quiser. Por exemplo, zeros :) Ou seja,

Id
--- = Y
0

Bom, agora multiplique X por Y, vai dar A, é claro.

Mas peraí, isso faz matrizes de tamanho cada vez maior, e o rank
(posto, em português) não existiria... Deduz-se que, na verdade, deve
ser o MENOR valor de r tal que existam X (m x r) e Y (r x n) tal que
XY = A.

Como exercício (importantíssimo quando se lê um livro), verifique que
as duas definições que você tem para o posto da matriz dão o mesmo
resultado! (Vai ajudar você ter provado a tal da questão sobre o posto
do produto e o mínimo dos postos)

abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


2010/3/30 Lucas Prado Melo luca...@dcc.ufba.br:
 Olá,

 eu estava resolvendo os exercícios do livro Introdução a algoritmos de
 Cormen et al. E encontrei o que eu acredito ser um erro.

 No livro, a definição dita alternativa para o rank (não sei traduzir) de
 uma matriz 'A' mxn é o maior valor 'r' tal que existam duas matrizes (uma
 mxr e outra rxn) tais que seu produto seja igual à 'A'. (A definição
 principal é a de que uma matriz tem rank 'r' se existirem no máximo 'r'
 linhas/colunas linearmente independentes).

 O livro também fala que para uma matriz 'A' mxn, rank(A) = min(m, n).

 Então, na questão 31.1-9, é pedido pra provar que rank(AB) = min( rank(A),
 rank(B) ).
 No entanto, eu consegui provar que min( rank(A), rank(B) ) = rank(AB)

 Este é meu argumento:
 Seja 'A' uma matriz mxk
 e seja 'B' uma matriz kxn

 Então rank(AB) = k, já que é possível multiplicar duas matrizes mxk e kxn
 pra encontrar AB, mas não se sabe se é possível encontrar duas matrizes de
 maiores dimensões para se obter AB. (Ver definição acima)

 Sabemos que rank(A) = min(m, k) e que rank(B) = min(k, n)
 E sabemos que k = min(m, k) e que k = min(k, n)

 Para a matriz A, temos:
 rank(A) = min(m, k) = k = rank(AB)

 Portanto, rank(A) = rank(AB). De forma análoga, rank(B) = rank(AB) e,
 portanto,
 rank(AB) = max( rank(A), rank(B) ) = min( rank(A), rank(B) )


 Eu cometi algum engano? Se eu realmente cometi e alguém pudesse responder
 este exercício pra mim, eu ficaria grato ;)


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Teorema sobre rank de matrizes

[Cesar Kawakami]

Acredito que a dúvida já tenha sido sanada. Para fins de completude,
segue o texto da segunda edição (o Lucas, provavelmente, deve ter a
primeira) do Cormen americano que fala sobre a definição alternativa.

(...) An alternate, but equivalent and often more useful, definition
is that the rank of a nonzero mxn matriz A is the *smallest* number r
such that there exist matrices B and C of respective sizes mxr and rxn
such that A = BC. (grifo meu)




[]'s
Cesar

2010/3/30 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com:
 Oi Lucas,

 Bom, claramente há um erro. Mas eu acho que é na definição. (e como
 você usou uma definição errada, nada mais natural do que chegar numa
 situação estranha)

 Veja bem: seja A uma matriz m x n. Considere a seguinte matriz m x (n
 + r) : (A | 0), ou seja, a matriz A seguida de um monte de zeros.
 Chame-a de X. Em seguida, considere a matriz Y que é (n+r) x n, cujas
 primeiras n linhas dão a matriz identidade, e no resto, você bota o
 que você quiser. Por exemplo, zeros :) Ou seja,

 Id
 --- = Y
 0

 Bom, agora multiplique X por Y, vai dar A, é claro.

 Mas peraí, isso faz matrizes de tamanho cada vez maior, e o rank
 (posto, em português) não existiria... Deduz-se que, na verdade, deve
 ser o MENOR valor de r tal que existam X (m x r) e Y (r x n) tal que
 XY = A.

 Como exercício (importantíssimo quando se lê um livro), verifique que
 as duas definições que você tem para o posto da matriz dão o mesmo
 resultado! (Vai ajudar você ter provado a tal da questão sobre o posto
 do produto e o mínimo dos postos)

 abraços,
 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa


 2010/3/30 Lucas Prado Melo luca...@dcc.ufba.br:
 Olá,

 eu estava resolvendo os exercícios do livro Introdução a algoritmos de
 Cormen et al. E encontrei o que eu acredito ser um erro.

 No livro, a definição dita alternativa para o rank (não sei traduzir) de
 uma matriz 'A' mxn é o maior valor 'r' tal que existam duas matrizes (uma
 mxr e outra rxn) tais que seu produto seja igual à 'A'. (A definição
 principal é a de que uma matriz tem rank 'r' se existirem no máximo 'r'
 linhas/colunas linearmente independentes).

 O livro também fala que para uma matriz 'A' mxn, rank(A) = min(m, n).

 Então, na questão 31.1-9, é pedido pra provar que rank(AB) = min( rank(A),
 rank(B) ).
 No entanto, eu consegui provar que min( rank(A), rank(B) ) = rank(AB)

 Este é meu argumento:
 Seja 'A' uma matriz mxk
 e seja 'B' uma matriz kxn

 Então rank(AB) = k, já que é possível multiplicar duas matrizes mxk e kxn
 pra encontrar AB, mas não se sabe se é possível encontrar duas matrizes de
 maiores dimensões para se obter AB. (Ver definição acima)

 Sabemos que rank(A) = min(m, k) e que rank(B) = min(k, n)
 E sabemos que k = min(m, k) e que k = min(k, n)

 Para a matriz A, temos:
 rank(A) = min(m, k) = k = rank(AB)

 Portanto, rank(A) = rank(AB). De forma análoga, rank(B) = rank(AB) e,
 portanto,
 rank(AB) = max( rank(A), rank(B) ) = min( rank(A), rank(B) )


 Eu cometi algum engano? Se eu realmente cometi e alguém pudesse responder
 este exercício pra mim, eu ficaria grato ;)


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Teorema sobre rank de matrizes

[LEANDRO L RECOVA]

Lucas,

 

Rank quer dizer o posto da matriz mxn. Basicamente, se voce tem uma 
transformacao linear T de um espaco em T:R^m - R^{n} , o posto vai te dizer 
qual e a dimensao da imagem dessa transformacao. Como cada coluna da matriz 
associada a T e a imagem de um dos vetores da base canonica em R^{m}, entao, o 
numero de colunas linearmente independentes vai lhe fornecer informacao sobre a 
dimensao da imagem.  O livro do Elon tem uma excelente explicacao sobre o 
assunto e inclusive prova o que voce esta querendo. 

 

Leandro.
 


From: luca...@dcc.ufba.br
Date: Tue, 30 Mar 2010 10:51:16 -0300
Subject: [obm-l] Teorema sobre rank de matrizes
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá,

eu estava resolvendo os exercícios do livro Introdução a algoritmos de Cormen 
et al. E encontrei o que eu acredito ser um erro.

No livro, a definição dita alternativa para o rank (não sei traduzir) de uma 
matriz 'A' mxn é o maior valor 'r' tal que existam duas matrizes (uma mxr e 
outra rxn) tais que seu produto seja igual à 'A'. (A definição principal é a de 
que uma matriz tem rank 'r' se existirem no máximo 'r' linhas/colunas 
linearmente independentes).

O livro também fala que para uma matriz 'A' mxn, rank(A) = min(m, n).

Então, na questão 31.1-9, é pedido pra provar que rank(AB) = min( rank(A), 
rank(B) ).
No entanto, eu consegui provar que min( rank(A), rank(B) ) = rank(AB)

Este é meu argumento:
Seja 'A' uma matriz mxk
e seja 'B' uma matriz kxn

Então rank(AB) = k, já que é possível multiplicar duas matrizes mxk e kxn pra 
encontrar AB, mas não se sabe se é possível encontrar duas matrizes de maiores 
dimensões para se obter AB. (Ver definição acima)

Sabemos que rank(A) = min(m, k) e que rank(B) = min(k, n)
E sabemos que k = min(m, k) e que k = min(k, n)

Para a matriz A, temos:
rank(A) = min(m, k) = k = rank(AB)

Portanto, rank(A) = rank(AB). De forma análoga, rank(B) = rank(AB) e, 
portanto,
rank(AB) = max( rank(A), rank(B) ) = min( rank(A), rank(B) )


Eu cometi algum engano? Se eu realmente cometi e alguém pudesse responder este 
exercício pra mim, eu ficaria grato ;)
  

[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm -l] Teorema da difer ença de dois números elevados ao mesmo e xpoente

[Rafael Aguiar]

Um olá a todos, e obrigado pelas boas vindas, Calos.

Estou na terceira série do ensino médio e já estudei o binômio de Newton, na 
verdade foi por causa de uma dúvida em relação a ele que eu vim aqui.
Na verdade a forma como eu desenvolvi o meu raciocínio foi o contrário do que 
você pensou, vou explicar melhor agora:
Numa noite, a dois anos, antes que eu pegasse no sono eu estava fazendo 
subtrações de potências quadradas de cabeça e eu achei um padrão que eu escrevi 
no outro dia durante a aula, o padrão era a expressão que eu descrevi no 
primeiro e-mail, que era:
a^2 - b^2 = 2.(a-b).b - (a-b)^2
No outro dia para passar o tempo eu resolvi fazer a subtração de cabeça de 
potências de expoente 3 e foi natural o surgimento da expressão:

a^3 - b^3 = 3.b.(a-b)^2 + 3.b^2.(a-b) + (a-b)^3
O meu intuito inicial foi facilitar casos particulares como:
101^3 - 100^3 = 3.(101-100)^2.100 + 3.(101-100).100^2 + (101-100)^3
101^3 - 100^3 = 3.1.100 + 3.1.1 + 1
101^3 - 100^3 = 300 + 3 +1
101^3 - 100^3 = 30301
Ou seja, quando são números grandes, com o mesmo expoente e diferenças pequenas 
entre eles.
Na mesma hora eu observei que isso repetia o padrão dos dois produtos notáveis 
que conhecia, para (a+b)^2 e (a+b)^3, excluindo o primeiro termo. Estava no 
primeiro ano e na época eu ainda não conhecia o binômio de Newton, então só 
escrevi isso e deixei para lá.
Já no começo desse ano eu vi uma demonstração geométrica da relação pitágoras e 
resolvi fazer o mesmo com o meu teorema usando um quadrado de lado a, de onde 
se tirava um quadrado de lado b, sobrando dois retângulos de lados  
(a-b) e b, e um quadrado de lado (a-b). Foi então que eu percebi que a 
expressão podia ser escrita como :

a^2 = 1.b^2 + 2.(a-b).b + 1.(a-b)^2 
Logo eu observei a semelhança com o binômio de Newton e encontrei um padrão que 
me permitia escrever expressões como essa para todos os números naturais.
Não bastando isso, resolvi ir além e tentar achar um padrão que achasse 
diferenças entre números de expoente negativo, o que fiz da mesma forma que da 
primeira vez, executando as diferenças para achar um padrão, o que resultou que:
a^-2 - b^-2 = -2.(a-b).b/a^2.b^2 - (a-b)^2/a^2.b^2
a^-3 - b^-3 = -3.(a-b).b^2/a^3.b^3 - 3.(a-b)^2.b/a^3.b^3 - (a-b)^3/a^3.b^3
...
Achei uma generalização que na prática serve só para demonstrar e identificar 
as expressões para uma determinada potência, já que executar a conta a partir de
a^n - b^n = [b - (a-b)]^n - b^n
se torna mais complexo que fazer o calculo inicial em si. 
Entretanto, surgiu para mim uma dúvida relacionada às expressões com expoente 
negativo:
Passando o b para o outro lado
a^-2 = b^-2 -2.(a-b).b/a^2.b^2 - (a-b)^2/a^2.b^2
a^-2 = 1.a^2/a^2.b^2 -2.(a-b).b/a^2.b^2 - 1.(a-b)^2/a^2.b^2
Como por definição não existe fatorial negativo, o binômio de Newton não 
poderia achar os coeficientes para os produtos notáveis de expoente menor que 
zero. Mostrei o caso para meu professor, perguntando se, por analogia, os 
coeficientes de um possível triângulo de pascal ao contrário não poderiam ser 
aqueles que eu estava identificando pelo teorema. Ele me falou então que já 
existe uma função que permite calcular um fatorial negativo ou com números 
decimais e que possivelmente deve existir essa continuação do triângulo de 
pascal, mas que ele, entretanto, não sabia usar. Ele me passou então a lista 
para que eu mostrasse o teorema que eu encontrei e saber qual é a opinião vocês 
sobre esse método para facilitar alguns tipos de subtrações e mais tarde 
perguntar se faz sentido essa minha idéia de continuar o binômio de Newton em 
linhas e colunas negativas (não necessariamente usando o meus teoremas, claro).
O meu texto talvez tenha ficado demasiadamente longo e confuso e o final da 
minha idéia tenha sido meio nonsense, mas ele foi necessário para explicar 
melhor o que eu tenho em mente e saber as suas opiniões sobre o assunto.
Abraço, Rafael
 
 
Date: Thu, 10 Sep 2009 07:58:14 -0300
From: ne...@infolink.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] Teorema da diferença de dois números elevados 
ao mesmo expoente






  
  


Oi, Arthur (e Rafael)



O Rafael não foi muito claro no que escreveu, mas o que eu entendi é
que ele estava descobrindo uma forma de reescrever, usando Binômio de
Newton, a espressão

a^n - b^n = [a + (b-a) ]^n - b^n.



Os exemplos que ele explicitou para n = 2 e n = 3 mostram isto...



Abraços,

Nehab



PS: Rafael, seja benvindo... Você já estudou Binômio de Newton? Em qual
série você está?





Artur Steiner escreveu:

  A igualdade, sem dúvida está certa, mas creio que você pensou
em escrever algo diferente, pois, da forma como está, ele é imediata: 

[b + (a-b)]^n - b^n = [b + a - b]^n - b^n = a^n - b^n

Acho que vc tinha em mente algo diferente.

Artur

  

 

  
From: leafar...@hotmail.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Subject: [obm-l] Teorema da diferença de dois números elevados ao mesmo
expoente

Date: Wed, 9 Sep 2009 13:49:24 -0300

  

  
Um olá

Re: [obm-l] RE: [obm-l] Teorema da diferença de dois números elevados ao mesmo expoente

[Carlos Nehab]

Oi, Arthur (e Rafael)

O Rafael no foi muito claro no que escreveu, mas o que eu entendi 
que ele estava descobrindo uma forma de reescrever, usando "Binmio de
Newton", a espresso
a^n - b^n = [a + (b-a) ]^n - b^n.

Os exemplos que ele explicitou para n = 2 e n = 3 mostram isto...

Abraos,
Nehab

PS: Rafael, seja benvindo... Voc j estudou Binmio de Newton? Em qual
srie voc est?


Artur Steiner escreveu:

  A igualdade, sem dvida est certa, mas creio que voc pensou
em escreveralgo diferente, pois, da forma como est, ele  imediata: 
[b + (a-b)]^n - b^n = [b + a - b]^n - b^n = a^n - b^n
Acho que vc tinha em mente algo diferente.
Artur
  

  
From: leafar...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Teorema da diferena de dois nmeros elevados ao mesmo
expoente
Date: Wed, 9 Sep 2009 13:49:24 -0300
  
  
Um ol para todos.
Meu nome  Rafael Aguiar, estou cursando o ensino mdio e encontrei uma
propriedade matemtica interessante que meu professor recomendou enviar
para essa lista:
Comecei encontrando um teorema para potncias de segundo grau que diz
que:
a^2 - b^2 = 2.b.(a-b) + (a-b)^2
Algum tempo depois desenvolvi-lo para potncias de terceiro grau:
a^3 - b^3 = 3.b.(a-b)^2 + 3.b^2.(a-b) + (a-b)^3
E assim sucessivamente com naturais, inteiros, etc...
Cheguei ento a uma generalizao do teorema que afirma que:
a^n - b^n = [b + (a-b)]^n - b^n
No sei se usei a notao adequada para escrever isto no teclado, mas
espero que vocs tenham entendido.
Gostaria de saber o que vocs acham sobre essa propriedade que
encontrei juntamente com a generalizao, se est correta, etc.
Desde j agradeo.
  
  
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Teorema da diferença de dois números ele vados ao mesmo expoente

[Rafael Aguiar]

Um olá para todos.
Meu nome é Rafael Aguiar, estou cursando o ensino médio e encontrei uma 
propriedade matemática interessante que meu professor recomendou enviar para 
essa lista:
Comecei encontrando um teorema para potências de segundo grau que diz que:
a^2 - b^2 = 2.b.(a-b) + (a-b)^2
Algum tempo depois desenvolvi-lo para potências de terceiro grau:
a^3 - b^3 = 3.b.(a-b)^2 + 3.b^2.(a-b) + (a-b)^3
E assim sucessivamente com naturais, inteiros, etc...
Cheguei então a uma generalização do teorema que afirma que:
a^n - b^n = [b + (a-b)]^n - b^n
Não sei se usei a notação adequada para escrever isto no teclado, mas espero 
que vocês tenham entendido. 
Gostaria de saber o que vocês acham sobre essa propriedade que encontrei 
juntamente com a generalização, se está correta, etc.
Desde já agradeço.

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[obm-l] RE: [obm-l] Teorema da diferença de dois números elevados ao mesmo expoente

[Artur Steiner]

A igualdade, sem dúvida está certa, mas creio que você pensou em escrever algo 
diferente, pois, da forma como está, ele é imediata: 

[b + (a-b)]^n - b^n = [b + a - b]^n - b^n = a^n - b^n

Acho que vc tinha em mente algo diferente.

Artur

 


From: leafar...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Teorema da diferença de dois números elevados ao mesmo expoente
Date: Wed, 9 Sep 2009 13:49:24 -0300



Um olá para todos.
Meu nome é Rafael Aguiar, estou cursando o ensino médio e encontrei uma 
propriedade matemática interessante que meu professor recomendou enviar para 
essa lista:
Comecei encontrando um teorema para potências de segundo grau que diz que:
a^2 - b^2 = 2.b.(a-b) + (a-b)^2
Algum tempo depois desenvolvi-lo para potências de terceiro grau:
a^3 - b^3 = 3.b.(a-b)^2 + 3.b^2.(a-b) + (a-b)^3
E assim sucessivamente com naturais, inteiros, etc...
Cheguei então a uma generalização do teorema que afirma que:
a^n - b^n = [b + (a-b)]^n - b^n
Não sei se usei a notação adequada para escrever isto no teclado, mas espero 
que vocês tenham entendido. 
Gostaria de saber o que vocês acham sobre essa propriedade que encontrei 
juntamente com a generalização, se está correta, etc.
Desde já agradeço.



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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Teorema da Ordinalid ade dos Números Primos

[Luciana Rodrigues]

Carpe Dien
Em 29/06/2009 23:11, Rogerio Ponce  abrlw...@gmail.com  escreveu:Ola' Marco,infelizmente o seu resultado nao traz nada de novo.Basicamente voce concluiu que um primo P  e' igual a soma daquantidade de primos menores que P com a quantidade de nao primosmenores que P , mais 1.Na verdade, alem de obvio, isso vale para qualquer numero P natural.[]'sRogerio Ponce2009/6/29 Marco Bivar :> Caros Rhilbert/Felipe, obrigado pelas considerações. Olha, uma coisa eu digo> a vocês: estou sendo sincero, não há motivos porque mentir(!). Se minhas> técnicas parecem ser pouco convecionais, a culpa é minha, por esquecer de> ler nos livros e confiar apenas no papel e lápis!>> Bem, o que afirmo é que a ordinalidade dos números primo
 s é determinada> daquela forma, i.e., fazendo a diferença p-c-1, pois p é tomado como número> posicionado na sucessão dos números naturais (o que condiz) e c nada mais é> do que o valor de posições "deslocadas" de compostos devido ao método de> aproximar os números primos (ou seja, c é quantidade de compostos até p).>> Ainda, como temos Op=p-c-1, obtemos c=p-|Op|-1 e p=c+|Op|+1 (Pn=n+c+1). Isso> é demasiadamente complexo computacionalmente. Podemos obter qualquer número> primo, desde que saibamos calcular o c. Eu pergunto: nós sabemos? O que> temos é o conjunto dos números p-complementares, do qual poderão surgir> novas relações.>> Tudo bem, mas como eu calculei naqueles exemplos? Não disse que sabia como,> afirmei que podemos fazê-lo. Como eu fiz? Simples: lancei mão de uma lista> de números primos, ao lado de cada um sua ordem em valor absoluto. Como sei> que c=p-|Op|-1, 
 uma planilha funcionou bem. Mas como agora tenho a lista dos> números p-complementares, então posso calcular qualquer número primo. Mas> não sabemos como calcular c, realmente! Não sabendo determinar o c não> podemos calcular o p!>> Enfim, para ser mais realista, digo o seguinte: se você conhece o primo p e> a quantidade de números compostos c até p, e quer saber a ordem do primo p,> faça |Op|=p-c-1. Se conhece um primo p e sua ordem, e quer saber quantos> números compostos aparecem antes de p, faça c=p-|Op|-1 (esta, mais realista,> pois conhecemos milhares de primos). Se conhece a quantidade de números> compostos até um primo p e a ordem desse primo p e quer saber qual é o primo> p, faça Pn=n+c+1. A essência está em sabermos como fazê-lo, não se iremos> conseguir fazê-lo - conseguir fazer é coisa que deixo para os mais> avançados. Talvez eu mesmo consiga resolver esse problema um dia e 
 então> ficarei feliz.>> Rhilbert, não coloco o "c" como a quantidade de compostos de zero até p-1> (p-1 é número composto se não consideramos a exceção de 2 e 3), eu digo que> "c" é o número que representa a quantidade de compostos até p. A redundância> que você encontrou está em substituir |Op| pelo valor do outro membro em> p=c+|p-c-1|+1. Não é assim que funciona. Isso é absolutamente redundante.> Existem meios a serem descobertos para se chegar ao que você procura. Aliás,> não estamos procurando meios para calcular os números primos? Igualmente.>> Agora, pessoalmente, acho que esta é a fórmula mais bonita para calcular> números primos: é simples, elegante e funciona. Nem preciso dizer porque> vocês são matemáticos e vocês também sabem mais ou menos porque eu sou!>> Uma coisa afirmo com a devida certeza: se um dia conseguirmos calcular os> números primos e ai
 nda tivermos a esperança de que isso aconteça numa> simples equação, podemos esperar que isso vai ser em função do c na fórmula> Pn=n+c+1, pois no resto da fórmula não será necessário mudanças.> --> Marco Bivar=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Teorema da Ordin alidade dos Números Primos

[tiago lucas gouveia]

por favor Henrique envie-me seu arquivo em pdf para 
tiago-lucas-gouv...@hotmail.com

 

 

 

um abraço

 

 

Tiago
 


Date: Thu, 2 Jul 2009 14:27:20 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Números Primos
From: henrique.re...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

No começo do texto você cita que pelo teorema de Euclides existem infinitos 
primos, mas o teorema não é válido, pois supõe que exista um primo maior que 
todos e demonstra que existe um outro primo maior que o maior, gerando uma 
inconsistência e assim concluindo que não há um maior primo, ou seja, são 
infinitos. Mas quando se faz a suposição de que existe um maior primo, já é uma 
falha do teorema. Acredito que uma prova válida de que existem infinitos primos 
é através do somatório 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... que foi demonstrado por Euler e 
converge para infinito.


2009/6/24 Marco Bivar marco.bi...@gmail.com


Caros colegas, 
Quero lhes contar que obtive um resultado sobre os números primos e que acho 
ser muito importante para a teoria dos números. Existe porém um grande problema 
para mim, pois não consigo ver pessoas que considerem a relevância de tal 
descoberta. Como sei que muitos de vocês se dedicam à teoria dos números, 
gostaria de compartilhar os resultados que obtive com alguns dentre vós. 
Primeiro, algo importante devo dizer: iniciei recentemente meu curso de 
Matemática na UFAM, mas este trabalho venho desenvolvendo-o muito antes, desde 
o ano 2005, portanto, desde já estou me considerando como matemático amador na 
apresentação do mesmo. 
O que apresento é a demonstração do Teorema da Ordinalidade dos Números 
Primos, com o que poderemos determinar a posição de um número primo p no 
conjunto dos números primos, para todo e qualquer valor de p. As consequências 
disso, o conjunto dos números p-complementares e a fórmula geral para calcular 
o n-ésimo numero primo são apresentadas na parte final do texto.
Talvez eu não tenha o domínio da linguagem matemática formal necessária para 
descrever precisamente os fatos que observei e isso se reflete na construção do 
texto (mais palavras, menos letras) e no estilo. Então, àqueles que lerem o 
texto, considerem-no um tipo de rascunho aperfeiçoado. De qualquer maneira, 
acho que sei bem o que escrevi. (Afinal, as idéias são mais importantes que os 
símbolos que possam representá-las). 
Por favor, quem tiver interesse me mande um e-mail e eu lhe enviarei um PDF. 
(Caro colega Nicolau Saldanha, você que conhece bem o assunto, por favor me 
mande o e-mail). 
Minha única necessidade(!) neste momento é mostrar à comunidade que talvez meus 
resultados sejam (são!) importante para a teoria dos números e dos números 
primos. 
 
Sinceramente,
Marco Bivar
 

-- 
Henrique

_
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[obm-l] Re: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Números Pri mos

[Henrique Rennó]

No começo do texto você cita que pelo teorema de Euclides existem infinitos
primos, mas o teorema não é válido, pois supõe que exista um primo maior que
todos e demonstra que existe um outro primo maior que o maior, gerando uma
inconsistência e assim concluindo que não há um maior primo, ou seja, são
infinitos. Mas quando se faz a suposição de que existe um maior primo, já é
uma falha do teorema. Acredito que uma prova válida de que existem infinitos
primos é através do somatório 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... que foi demonstrado por
Euler e converge para infinito.

2009/6/24 Marco Bivar marco.bi...@gmail.com

 Caros colegas,
 Quero lhes contar que obtive um resultado sobre os números primos e que
 acho ser muito importante para a teoria dos números. Existe porém um grande
 problema para mim, pois não consigo ver pessoas que considerem a relevância
 de tal descoberta. Como sei que muitos de vocês se dedicam à teoria dos
 números, gostaria de compartilhar os resultados que obtive com alguns dentre
 vós.
 Primeiro, algo importante devo dizer: iniciei recentemente meu curso de
 Matemática na UFAM, mas este trabalho venho desenvolvendo-o muito antes,
 desde o ano 2005, portanto, desde já estou me considerando como matemático
 amador na apresentação do mesmo.
 O que apresento é a demonstração do Teorema da Ordinalidade dos Números
 Primos, com o que poderemos determinar a posição de um número primo *p*no 
 conjunto dos números primos, para todo e qualquer valor de
 *p*. As consequências disso, o conjunto dos números *p*-complementares e a
 fórmula geral para calcular o *n*-ésimo numero primo são apresentadas na
 parte final do texto.
 Talvez eu não tenha o domínio da linguagem matemática formal necessária
 para descrever precisamente os fatos que observei e isso se reflete na
 construção do texto (mais palavras, menos letras) e no estilo. Então,
 àqueles que lerem o texto, considerem-no um tipo de rascunho aperfeiçoado.
 De qualquer maneira, acho que sei bem o que escrevi. (Afinal, as idéias são
 mais importantes que os símbolos que possam representá-las).
 Por favor, quem tiver interesse me mande um e-mail e eu lhe enviarei um
 PDF. (Caro colega Nicolau Saldanha, você que conhece bem o assunto, por
 favor me mande o e-mail).
 Minha única necessidade(!) neste momento é mostrar à comunidade que talvez
 meus resultados sejam (são!) importante para a teoria dos números e dos
 números primos.

 Sinceramente,
 Marco Bivar





-- 
Henrique

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Números Primos

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Oi Henrique e obm-l,

2009/7/2 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com:
 No começo do texto você cita que pelo teorema de Euclides existem infinitos
 primos, mas o teorema não é válido, pois supõe que exista um primo maior que
 todos e demonstra que existe um outro primo maior que o maior, gerando uma
 inconsistência e assim concluindo que não há um maior primo, ou seja, são
 infinitos.
Isso se chama prova por (redução ao) absurdo, e consiste numa das
ferramentas mais uteis em matemática (pois nem todas as demonstrações
são construtivas. Ah, Euclides era (e para muitos, continua sendo) um
dos grandes fundadores da logica, portanto, se você acha que uma das
demonstrações dele está errada, pense bem forte, e verifique bem o que
você vai dizer.

 Mas quando se faz a suposição de que existe um maior primo, já é
 uma falha do teorema.
Justamente, isso se chama a hipótese de absurdo. E é justamente por
ela ser falsa que se chega a uma contradição, e o principio do
terceiro excluído garante que na verdade ela é realmente falsa.
Existem sistemas lógicos onde proposições não são necessariamente
falsas ou verdadeiras, existindo uma terceira possibilidade, mas
isso é bastante discutido em filosofia, não tanto assim em matemática
(mesmo que talvez devesse sê-lo !)

 Acredito que uma prova válida de que existem infinitos
 primos é através do somatório 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... que foi demonstrado por
 Euler e converge para infinito.
Ah, se você olhar bem, esta também é uma prova por absurdo : se fossem
finitos números primos, a tal seqüência convergiria, e por um
raciocínio muito esperto, se chega à conclusão de que a série
harmônica divergiria, o que não é o caso !

Abraços lógicos,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teorema da Ordin alidade dos Números Primos

[Henrique Rennó]

2009/7/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com

 Oi Henrique e obm-l,

 2009/7/2 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com:
  No começo do texto você cita que pelo teorema de Euclides existem
 infinitos
  primos, mas o teorema não é válido, pois supõe que exista um primo maior
 que
  todos e demonstra que existe um outro primo maior que o maior, gerando
 uma
  inconsistência e assim concluindo que não há um maior primo, ou seja, são
  infinitos.
 Isso se chama prova por (redução ao) absurdo, e consiste numa das
 ferramentas mais uteis em matemática (pois nem todas as demonstrações
 são construtivas. Ah, Euclides era (e para muitos, continua sendo) um
 dos grandes fundadores da logica, portanto, se você acha que uma das
 demonstrações dele está errada, pense bem forte, e verifique bem o que
 você vai dizer.


No livro Os Problemas do Milênio do autor Keith Devlin (que o Marco Bivar
colocou como uma das referências), ele coloca em apêndice a demonstração que
Euclides fez e diz que essa demonstração não é verdadeira. Posso colocar a
demonstração aqui caso necessário. Ela é lógica e simples de entender.

Conheço muitos problemas que são demonstrados por absurdo (ou por
contradição), mas a falha da demonstração de Euclides está onde ele diz que
o novo primo gerado a partir do suposto maior primo é um novo número primo,
o que pelo mencionado no livro é falso já que através de outras teorias ou
listagens de primos geradas por computador esse novo número pode ser um
composto.



  Mas quando se faz a suposição de que existe um maior primo, já é
  uma falha do teorema.
 Justamente, isso se chama a hipótese de absurdo. E é justamente por
 ela ser falsa que se chega a uma contradição, e o principio do
 terceiro excluído garante que na verdade ela é realmente falsa.
 Existem sistemas lógicos onde proposições não são necessariamente
 falsas ou verdadeiras, existindo uma terceira possibilidade, mas
 isso é bastante discutido em filosofia, não tanto assim em matemática
 (mesmo que talvez devesse sê-lo !)

  Acredito que uma prova válida de que existem infinitos
  primos é através do somatório 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... que foi demonstrado
 por
  Euler e converge para infinito.
 Ah, se você olhar bem, esta também é uma prova por absurdo : se fossem
 finitos números primos, a tal seqüência convergiria, e por um
 raciocínio muito esperto, se chega à conclusão de que a série
 harmônica divergiria, o que não é o caso !

 Abraços lógicos,
 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
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-- 
Henrique

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re : [obm-l] Re: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Números Primos

[luiz silva]

Ola Pessoal,
 
Pelo que sei, Euclides não fala que existe um primo maior, gerado de um primo 
menor. Ele fala que o número n não é divisível por nenhum do primos daquele 
conjunto finito, tendo assim, que existir ao menos mais um primo que divida 
este número 
 
Vamos supor que o conjunto de primos é finito {2,3,5,p1,p2,pk}
Agora, vamos imaginar um número n, tal que 
 
n = 2.3.5.p1.p2.  .pk + 1
 
Nenhum dos p's anteriores divide este número, então, tem que existir um outro 
número primo p(k+1) que seja fator de n = p1.p2.  .pk + 1. 
 

--- Em qui, 2/7/09, Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande...@gmail.com 
escreveu:


De: Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande...@gmail.com
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teorema da 
Ordinalidade dos Números Primos
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 2 de Julho de 2009, 16:25


Henrique.

Poderia colocar aqui a tal demonstração da falsidade do argumento de Euclides, 
para que possamos discuti-la de forma mais consistente?

Abraços.

Hugo.


2009/7/2 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com




2009/7/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com


Oi Henrique e obm-l,

2009/7/2 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com:

 No começo do texto você cita que pelo teorema de Euclides existem infinitos
 primos, mas o teorema não é válido, pois supõe que exista um primo maior que
 todos e demonstra que existe um outro primo maior que o maior, gerando uma
 inconsistência e assim concluindo que não há um maior primo, ou seja, são
 infinitos.
Isso se chama prova por (redução ao) absurdo, e consiste numa das
ferramentas mais uteis em matemática (pois nem todas as demonstrações
são construtivas. Ah, Euclides era (e para muitos, continua sendo) um
dos grandes fundadores da logica, portanto, se você acha que uma das
demonstrações dele está errada, pense bem forte, e verifique bem o que
você vai dizer.

No livro Os Problemas do Milênio do autor Keith Devlin (que o Marco Bivar 
colocou como uma das referências), ele coloca em apêndice a demonstração que 
Euclides fez e diz que essa demonstração não é verdadeira. Posso colocar a 
demonstração aqui caso necessário. Ela é lógica e simples de entender.

Conheço muitos problemas que são demonstrados por absurdo (ou por contradição), 
mas a falha da demonstração de Euclides está onde ele diz que o novo primo 
gerado a partir do suposto maior primo é um novo número primo, o que pelo 
mencionado no livro é falso já que através de outras teorias ou listagens de 
primos geradas por computador esse novo número pode ser um composto.






 Mas quando se faz a suposição de que existe um maior primo, já é
 uma falha do teorema.
Justamente, isso se chama a hipótese de absurdo. E é justamente por
ela ser falsa que se chega a uma contradição, e o principio do
terceiro excluído garante que na verdade ela é realmente falsa.
Existem sistemas lógicos onde proposições não são necessariamente
falsas ou verdadeiras, existindo uma terceira possibilidade, mas
isso é bastante discutido em filosofia, não tanto assim em matemática
(mesmo que talvez devesse sê-lo !)


 Acredito que uma prova válida de que existem infinitos
 primos é através do somatório 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... que foi demonstrado por
 Euler e converge para infinito.
Ah, se você olhar bem, esta também é uma prova por absurdo : se fossem
finitos números primos, a tal seqüência convergiria, e por um
raciocínio muito esperto, se chega à conclusão de que a série
harmônica divergiria, o que não é o caso !

Abraços lógicos,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa




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Henrique




  

Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm -l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teorema da Ordinalid ade dos Números Primos

[José Corino]

Olá colegas!
Luiz, tirou as palavras a minha boca.
Só complementando: há duas possibilidades para n = 2.3.5. ... . pk + 1: Ou 
ele é primo ou composto.
Bem, se for primo não há o que fazer.
Se for composto, nenhum dos primos 2, 3, 5, ..., pk divide n, já que o 
resto da divisão de n por cada primo é 1. Portanto, TEM que existir outro primo 
fora dessa lista fechada. Absurdo. O conjunto dos primos não é finito.
E quanto às demonstrações de Euclides, algumas não satisfazem os níveis 
atuais de rigor. Há certos teoremas de geometria dos Elementos que não são 
conclusão lógica dos cinco famosos axiomas. Daí vários grandes matemáticos 
lançarem as suas versões axiomáticas da Geometria Euclidiana.
Mas a demonstração da infinitude dos números primos de Euclides é 
irretocável. E pensar que séculos antes de Cristo já era um resultado 
conhecido...
José CORINO

  - Original Message - 
  From: luiz silva 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, July 02, 2009 6:09 PM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
Teorema da Ordinalidade dos Números Primos


Ola Pessoal,

Pelo que sei, Euclides não fala que existe um primo maior, gerado de um 
primo menor. Ele fala que o número n não é divisível por nenhum do primos 
daquele conjunto finito, tendo assim, que existir ao menos mais um primo que 
divida este número 

Vamos supor que o conjunto de primos é finito 
{2,3,5,p1,p2,pk}
Agora, vamos imaginar um número n, tal que 

n = 2.3.5.p1.p2.  .pk + 1

Nenhum dos p's anteriores divide este número, então, tem que existir um 
outro número primo p(k+1) que seja fator de n = p1.p2.  .pk + 1. 


--- Em qui, 2/7/09, Hugo Fernando Marques Fernandes 
hfernande...@gmail.com escreveu:


  De: Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande...@gmail.com
  Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
Teorema da Ordinalidade dos Números Primos
  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
  Data: Quinta-feira, 2 de Julho de 2009, 16:25


  Henrique.

  Poderia colocar aqui a tal demonstração da falsidade do argumento de 
Euclides, para que possamos discuti-la de forma mais consistente?

  Abraços.

  Hugo.


  2009/7/2 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com




2009/7/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com 


  Oi Henrique e obm-l,

  2009/7/2 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com:

   No começo do texto você cita que pelo teorema de Euclides 
existem infinitos
   primos, mas o teorema não é válido, pois supõe que exista um 
primo maior que
   todos e demonstra que existe um outro primo maior que o maior, 
gerando uma
   inconsistência e assim concluindo que não há um maior primo, ou 
seja, são
   infinitos.

  Isso se chama prova por (redução ao) absurdo, e consiste numa 
das
  ferramentas mais uteis em matemática (pois nem todas as 
demonstrações
  são construtivas. Ah, Euclides era (e para muitos, continua 
sendo) um
  dos grandes fundadores da logica, portanto, se você acha que uma 
das
  demonstrações dele está errada, pense bem forte, e verifique bem 
o que
  você vai dizer.

No livro Os Problemas do Milênio do autor Keith Devlin (que o 
Marco Bivar colocou como uma das referências), ele coloca em apêndice a 
demonstração que Euclides fez e diz que essa demonstração não é verdadeira. 
Posso colocar a demonstração aqui caso necessário. Ela é lógica e simples de 
entender.

Conheço muitos problemas que são demonstrados por absurdo (ou por 
contradição), mas a falha da demonstração de Euclides está onde ele diz que o 
novo primo gerado a partir do suposto maior primo é um novo número primo, o que 
pelo mencionado no livro é falso já que através de outras teorias ou listagens 
de primos geradas por computador esse novo número pode ser um composto.





   Mas quando se faz a suposição de que existe um maior primo, já é
   uma falha do teorema.

  Justamente, isso se chama a hipótese de absurdo. E é justamente 
por
  ela ser falsa que se chega a uma contradição, e o principio do
  terceiro excluído garante que na verdade ela é realmente falsa.
  Existem sistemas lógicos onde proposições não são necessariamente
  falsas ou verdadeiras, existindo uma terceira possibilidade, mas
  isso é bastante discutido em filosofia, não tanto assim em 
matemática
  (mesmo que talvez devesse sê-lo !)


   Acredito que uma prova válida de que existem infinitos
   primos é através do somatório 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... que foi 
demonstrado por
   Euler e converge para infinito

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Nú meros Primos VER PARA CRER...

[Carlos Nehab]

Oi, gente,

No resisto  tentao.

Vejam em http://farside.ph.utexas.edu/euclid/Elements.pdf na pgina
271. Quem preferir ler em grego, tambm t l...

Nehab  :-)  :-) 

PS: Uma das raras vantagens em no ser mais garoto, alm de ter netos,
 levar as coisas na esportiva...e ler grego nas horas vagas...(sic) :-D 


Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu:

  Oi Henrique e obm-l,

2009/7/2 Henrique Renn henrique.re...@gmail.com:
  
  
No comeo do texto voc cita que pelo teorema de Euclides existem infinitos
primos, mas o teorema no  vlido, pois supe que exista um primo maior que
todos e demonstra que existe um outro primo maior que o maior, gerando uma
inconsistncia e assim concluindo que no h um maior primo, ou seja, so
infinitos.

  
  Isso se chama "prova por (reduo ao) absurdo", e consiste numa das
ferramentas mais uteis em matemtica (pois nem todas as demonstraes
so construtivas. Ah, Euclides era (e para muitos, continua sendo) um
dos grandes fundadores da logica, portanto, se voc acha que uma das
demonstraes dele est errada, pense bem forte, e verifique bem o que
voc vai dizer.

  
  
Mas quando se faz a suposio de que existe um maior primo, j 
uma falha do teorema.

  
  Justamente, isso se chama a "hiptese de absurdo". E  justamente por
ela ser falsa que se chega a uma contradio, e o principio do
terceiro excludo garante que na verdade ela  realmente falsa.
Existem sistemas lgicos onde proposies no so necessariamente
falsas ou verdadeiras, existindo uma "terceira possibilidade", mas
isso  bastante discutido em filosofia, no tanto assim em matemtica
(mesmo que talvez devesse s-lo !)

  
  
Acredito que uma prova vlida de que existem infinitos
primos  atravs do somatrio 1/2 + 1/3 + 1/5 + ... que foi demonstrado por
Euler e converge para infinito.

  
  Ah, se voc olhar bem, esta tambm  uma prova por absurdo : se fossem
finitos nmeros primos, a tal seqncia convergiria, e por um
raciocnio muito esperto, se chega  concluso de que a srie
harmnica divergiria, o que no  o caso !

Abraos lgicos,
  




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

[obm-l] Re: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Números Pri mos

[Henrique Rennó]

Você poderia me enviar o .pdf?

2009/6/24 Marco Bivar marco.bi...@gmail.com

 Caros colegas,
 Quero lhes contar que obtive um resultado sobre os números primos e que
 acho ser muito importante para a teoria dos números. Existe porém um grande
 problema para mim, pois não consigo ver pessoas que considerem a relevância
 de tal descoberta. Como sei que muitos de vocês se dedicam à teoria dos
 números, gostaria de compartilhar os resultados que obtive com alguns dentre
 vós.
 Primeiro, algo importante devo dizer: iniciei recentemente meu curso de
 Matemática na UFAM, mas este trabalho venho desenvolvendo-o muito antes,
 desde o ano 2005, portanto, desde já estou me considerando como matemático
 amador na apresentação do mesmo.
 O que apresento é a demonstração do Teorema da Ordinalidade dos Números
 Primos, com o que poderemos determinar a posição de um número primo *p*no 
 conjunto dos números primos, para todo e qualquer valor de
 *p*. As consequências disso, o conjunto dos números *p*-complementares e a
 fórmula geral para calcular o *n*-ésimo numero primo são apresentadas na
 parte final do texto.
 Talvez eu não tenha o domínio da linguagem matemática formal necessária
 para descrever precisamente os fatos que observei e isso se reflete na
 construção do texto (mais palavras, menos letras) e no estilo. Então,
 àqueles que lerem o texto, considerem-no um tipo de rascunho aperfeiçoado.
 De qualquer maneira, acho que sei bem o que escrevi. (Afinal, as idéias são
 mais importantes que os símbolos que possam representá-las).
 Por favor, quem tiver interesse me mande um e-mail e eu lhe enviarei um
 PDF. (Caro colega Nicolau Saldanha, você que conhece bem o assunto, por
 favor me mande o e-mail).
 Minha única necessidade(!) neste momento é mostrar à comunidade que talvez
 meus resultados sejam (são!) importante para a teoria dos números e dos
 números primos.

 Sinceramente,
 Marco Bivar





-- 
Henrique

RE: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Números Primos

[Rhilbert Rivera]

Não gostei da sua resposta Marco. Você não precisava ser tão prolixo para dar 
uma resposta tão simples. E também não precisava de tanto esforço para  
explicar o óbvio.

Você precisa se livrar do perigo do raciocínio circular. Objetividade é uma 
obrigação para quem quer escrever  sobre Matemática.

Desejo sinceramente muita sorte a você nessa árdua busca do   c. Caso você 
consiga, terá obtido o Crivo de Eratóstenes Alternativo. Afinal,  enquanto 
Eratóstenes  eliminou os compostos ( mas não nos disse a quantidade de primos) 
na sequência dos naturais, seu trabalho mostraria como eliminar os primos nessa 
sequência e ainda nos dizer quantos compostos  existem!

Boa sorte!

 

(^_^)

 

 

 





Date: Mon, 29 Jun 2009 15:34:44 -0400
Subject: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Números Primos
From: marco.bi...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br



Caros Rhilbert/Felipe, obrigado pelas considerações. Olha, uma coisa eu digo a 
vocês: estou sendo sincero, não há motivos porque mentir(!). Se minhas técnicas 
parecem ser pouco convecionais, a culpa é minha, por esquecer de ler nos livros 
e confiar apenas no papel e lápis!

Bem, o que afirmo é que a ordinalidade dos números primos é determinada daquela 
forma, i.e., fazendo a diferença p-c-1, pois p é tomado como número posicionado 
na sucessão dos números naturais (o que condiz) e c nada mais é do que o valor 
de posições deslocadas de compostos devido ao método de aproximar os números 
primos (ou seja, c é quantidade de compostos até p).

Ainda, como temos Op=p-c-1, obtemos c=p-|Op|-1 e p=c+|Op|+1 (Pn=n+c+1). Isso é 
demasiadamente complexo computacionalmente. Podemos obter qualquer número 
primo, desde que saibamos calcular o c. Eu pergunto: nós sabemos? O que temos é 
o conjunto dos números p-complementares, do qual poderão surgir novas relações.

Tudo bem, mas como eu calculei naqueles exemplos? Não disse que sabia como, 
afirmei que podemos fazê-lo. Como eu fiz? Simples: lancei mão de uma lista de 
números primos, ao lado de cada um sua ordem em valor absoluto. Como sei que 
c=p-|Op|-1, uma planilha funcionou bem. Mas como agora tenho a lista dos 
números p-complementares, então posso calcular qualquer número primo. Mas não 
sabemos como calcular c, realmente! Não sabendo determinar o c não podemos 
calcular o p!

Enfim, para ser mais realista, digo o seguinte: se você conhece o primo p e a 
quantidade de números compostos c até p, e quer saber a ordem do primo p, faça 
|Op|=p-c-1. Se conhece um primo p e sua ordem, e quer saber quantos números 
compostos aparecem antes de p, faça c=p-|Op|-1 (esta, mais realista, pois 
conhecemos milhares de primos). Se conhece a quantidade de números compostos 
até um primo p e a ordem desse primo p e quer saber qual é o primo p, faça 
Pn=n+c+1. A essência está em sabermos como fazê-lo, não se iremos conseguir 
fazê-lo - conseguir fazer é coisa que deixo para os mais avançados. Talvez eu 
mesmo consiga resolver esse problema um dia e então ficarei feliz.

Rhilbert, não coloco o c como a quantidade de compostos de zero até p-1 (p-1 
é número composto se não consideramos a exceção de 2 e 3), eu digo que c é o 
número que representa a quantidade de compostos até p. A redundância que você 
encontrou está em substituir |Op| pelo valor do outro membro em p=c+|p-c-1|+1. 
Não é assim que funciona. Isso é absolutamente redundante. Existem meios a 
serem descobertos para se chegar ao que você procura. Aliás, não estamos 
procurando meios para calcular os números primos? Igualmente.

Agora, pessoalmente, acho que esta é a fórmula mais bonita para calcular 
números primos: é simples, elegante e funciona. Nem preciso dizer porque vocês 
são matemáticos e vocês também sabem mais ou menos porque eu sou!

Uma coisa afirmo com a devida certeza: se um dia conseguirmos calcular os 
números primos e ainda tivermos a esperança de que isso aconteça numa simples 
equação, podemos esperar que isso vai ser em função do c na fórmula Pn=n+c+1, 
pois no resto da fórmula não será necessário mudanças.

-- 
Marco Bivar
_
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[obm-l] RE: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Números Primos

[Rhilbert Rivera]

 Oi Marco, foi interessante folhear seu trabalho. É sempre agradável ver alguém 
tentando algo novo em Matemática. Mesmo que muitas vezes não leve a lugar 
nenhum o esforço vale a pena e nunca se perde nada com isso ( a não ser algumas 
noites de sono..rsss...).

Dei uma olhada rápida no que você escreveu, estou sem meu livro  Mistérios e 
records sobre primos, para poder comparar com que você escreveu.

Queria lhe perguntar uma coisa: Na sua fórmula para encontar o n-ésimo primo  p 
você coloca o  c que corresponde a quantidade de compostos  de zero até p-1.  
Logo, ao que parece o problema se resume a contar os compostos, certo?

Quando eu procuro no seu trabalho como fazer isso, você diz que para contar os 
compostos eu preciso saber quantos compostos ou tenho ( sic) Não seria 
redundante? Ou estou enganado? Afinal você coloca a seguinte fórmula: 

 c= p- |p-c-1| -1. 

Você dar o seguinte exemplo para se encontrar o 23º  primo:  ( n+1)+c, onde  
n=23  e c a quantidade de compostos de zero até  esse esse primo. Você diz que 
existem 59 compostos ( não contei) e chega a  reposta correta (23 + 1) + 59 = 
83.

Como você sabe que tinham 59 compostos antes de 83, sem contá-los? Assim como 
eu te pergunto, como você sabe que existem 95104 compostos antes do número 
primo 105137?

Como eu disse é sempre agradável ver alguém se dedicando à Matemática. É muito 
fácil zombar e ridicularizar.  Se você for sincero, só posso lhe dizer pra 
continuar tentando independente dos percalços. 

 

(^_^)

 

P.S. Eu conheço uma fórmula devida a C. P. Willans, apresentada em 1964 que 
determina o mesmo que você está tentando fazer.

_
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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Teorema da Ordinalidad e dos Números Primos

[luiz silva]

Ola Rhilbert/Marcos,
 
Também fquei com a mesma impressãoParece que o método entra numa espécie de 
referência circular...para calcular p ele depende de c, que depende de p.
 
 
Abs
Felipe

--- Em seg, 29/6/09, Rhilbert Rivera rhilbert1...@hotmail.com escreveu:


De: Rhilbert Rivera rhilbert1...@hotmail.com
Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Números Primos
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Segunda-feira, 29 de Junho de 2009, 9:42




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#yiv140493464 {
font-size:10pt;font-family:Verdana;}


 Oi Marco, foi interessante folhear seu trabalho. É sempre agradável ver alguém 
tentando algo novo em Matemática. Mesmo que muitas vezes não leve a lugar 
nenhum o esforço vale a pena e nunca se perde nada com isso ( a não ser algumas 
noites de sono..rsss...).
Dei uma olhada rápida no que você escreveu, estou sem meu livro  Mistérios e 
records sobre primos, para poder comparar com que você escreveu.
Queria lhe perguntar uma coisa: Na sua fórmula para encontar o n-ésimo primo  p 
você coloca o  c que corresponde a quantidade de compostos  de zero até p-1.  
Logo, ao que parece o problema se resume a contar os compostos, certo?
Quando eu procuro no seu trabalho como fazer isso, você diz que para contar os 
compostos eu preciso saber quantos compostos ou tenho ( sic) Não seria 
redundante? Ou estou enganado? Afinal você coloca a seguinte fórmula: 
 c= p- |p-c-1| -1. 
Você dar o seguinte exemplo para se encontrar o 23º  primo:  ( n+1)+c, onde  
n=23  e c a quantidade de compostos de zero até  esse esse primo. Você diz que 
existem 59 compostos ( não contei) e chega a  reposta correta (23 + 1) + 59 = 
83.
Como você sabe que tinham 59 compostos antes de 83, sem contá-los? Assim como 
eu te pergunto, como você sabe que existem 95104 compostos antes do número 
primo 105137?
Como eu disse é sempre agradável ver alguém se dedicando à Matemática. É muito 
fácil zombar e ridicularizar.  Se você for sincero, só posso lhe dizer pra 
continuar tentando independente dos percalços. 
 
(^_^)
 
P.S. Eu conheço uma fórmula devida a C. P. Willans, apresentada em 1964 que 
determina o mesmo que você está tentando fazer.



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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Números Pr imos

[Lu]

 
Carpe Dien
Em 25/06/2009 08:09, luiz silva  luizfelipec...@yahoo.com.br  escreveu:





Ola Marco,
 
Vc pode me enviar o material?
 
Abs
Felipe--- Em qua, 24/6/09, Marco Bivar escreveu:
De: Marco Bivar Assunto: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Números PrimosPara: obm-l@mat.puc-rio.brData: Quarta-feira, 24 de Junho de 2009, 22:38

Caros colegas, Quero lhes contar que obtive um resultado sobre os números primos e que acho ser muito importante para a teoria dos números. Existe porém um grande problema para mim, pois não consigo ver pessoas que considerem a relevância de tal descoberta. Como sei que muitos de vocês se dedicam à teoria dos números, gostaria de compartilhar os resultados que obtive com alguns dentre vós. Primeiro, algo importante devo dizer: iniciei recentemente meu curso de Matemática na UFAM, mas este trabalho venho desenvolvendo-o muito antes, desde o ano 2005, portanto, desde já estou me considerando como matemático amador na apresentação do mesmo. O que apresento é a demonstração do "Teorema da Ordinalidade dos Números Primos", com o que poderemos determinar a posição de um número primo p no conjunto dos números primos, para todo e qualquer valor de p. As consequências disso, o conjunto dos números p-complementar
 es e a fórmula geral para calcular o n-ésimo numero primo são apresentadas na parte final do texto.Talvez eu não tenha o domínio da linguagem matemática formal necessária para descrever precisamente os fatos que observei e isso se reflete na construção do texto (mais palavras, menos "letras") e no estilo. Então, àqueles que lerem o texto, considerem-no um tipo de rascunho aperfeiçoado. De qualquer maneira, acho que sei bem o que escrevi. (Afinal, as idéias são mais importantes que os símbolos que possam representá-las). Por favor, quem tiver interesse me mande um e-mail e eu lhe enviarei um PDF. (Caro colega Nicolau Saldanha, você que conhece bem o assunto, por favor me mande o e-mail). Minha única necessidade(!) neste momento é mostrar à comunidade que talvez meus resultados sejam (são!) importante para a teoria dos números e dos números primos.  
Sinceramente,Marco Bivar 








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[obm-l] Res: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Números P rimos

[Diogo FN]

Compartilha conosco então.
Pode mandar com oanexo.





De: Marco Bivar marco.bi...@gmail.com
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quarta-feira, 24 de Junho de 2009 22:38:41
Assunto: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Números Primos


Caros colegas, 
Quero lhes contar que obtive um resultado sobre os números primos e que acho 
ser muito importante para a teoria dos números. Existe porém um grande problema 
para mim, pois não consigo ver pessoas que considerem a relevância de tal 
descoberta. Como sei que muitos de vocês se dedicam à teoria dos números, 
gostaria de compartilhar os resultados que obtive com alguns dentre vós. 
Primeiro, algo importante devo dizer: iniciei recentemente meu curso de 
Matemática na UFAM, mas este trabalho venho desenvolvendo-o muito antes, desde 
o ano 2005, portanto, desde já estou me considerando como matemático amador na 
apresentação do mesmo. 
O que apresento é a demonstração do Teorema da Ordinalidade dos Números 
Primos, com o que poderemos determinar a posição de um número primo p no 
conjunto dos números primos, para todo e qualquer valor de p. As consequências 
disso, o conjunto dos números p-complementares e a fórmula geral para calcular 
o n-ésimo numero primo são apresentadas na parte final do texto.
Talvez eu não tenha o domínio da linguagem matemática formal necessária para 
descrever precisamente os fatos que observei e isso se reflete na construção do 
texto (mais palavras, menos letras) e no estilo. Então, àqueles que lerem o 
texto, considerem-no um tipo de rascunho aperfeiçoado. De qualquer maneira, 
acho que sei bem o que escrevi. (Afinal, as idéias são mais importantes que os 
símbolos que possam representá-las). 
Por favor, quem tiver interesse me mande um e-mail e eu lhe enviarei um PDF. 
(Caro colega Nicolau Saldanha, você que conhece bem o assunto, por favor me 
mande o e-mail). 
Minha única necessidade(!) neste momento é mostrar à comunidade que talvez meus 
resultados sejam (são!) importante para a teoria dos números e dos números 
primos. 
 
Sinceramente,
Marco Bivar


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[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Teorema da Ordinalid ade dos Números Primos

[Pedro Júnior]

Vamos lá Marco estou aguardando o material, afim de tentar compreender
algo...
Abraços e Parabéns

2009/6/29 Marco Bivar marco.bi...@gmail.com

 Caros Rhilbert/Felipe, obrigado pelas considerações. Olha, uma coisa eu
 digo a vocês: estou sendo sincero, não há motivos porque mentir(!). Se
 minhas técnicas parecem ser pouco convecionais, a culpa é minha, por
 esquecer de ler nos livros e confiar apenas no papel e lápis!

 Bem, o que afirmo é que a ordinalidade dos números primos é determinada
 daquela forma, i.e., fazendo a diferença p-c-1, pois p é tomado como número
 posicionado na sucessão dos números naturais (o que condiz) e c nada mais é
 do que o valor de posições deslocadas de compostos devido ao método de
 aproximar os números primos (ou seja, c é quantidade de compostos até p).

 Ainda, como temos Op=p-c-1, obtemos c=p-|Op|-1 e p=c+|Op|+1 (Pn=n+c+1).
 Isso é demasiadamente complexo computacionalmente. Podemos obter qualquer
 número primo, desde que saibamos calcular o c. Eu pergunto: nós sabemos? O
 que temos é o conjunto dos números p-complementares, do qual poderão surgir
 novas relações.

 Tudo bem, mas como eu calculei naqueles exemplos? Não disse que sabia como,
 afirmei que podemos fazê-lo. Como eu fiz? Simples: lancei mão de uma lista
 de números primos, ao lado de cada um sua ordem em valor absoluto. Como sei
 que c=p-|Op|-1, uma planilha funcionou bem. Mas como agora tenho a lista dos
 números p-complementares, então posso calcular qualquer número primo. Mas
 não sabemos como calcular c, realmente! Não sabendo determinar o c não
 podemos calcular o p!

 Enfim, para ser mais realista, digo o seguinte: se você conhece o primo p e
 a quantidade de números compostos c até p, e quer saber a ordem do primo p,
 faça |Op|=p-c-1. Se conhece um primo p e sua ordem, e quer saber quantos
 números compostos aparecem antes de p, faça c=p-|Op|-1 (esta, mais realista,
 pois conhecemos milhares de primos). Se conhece a quantidade de números
 compostos até um primo p e a ordem desse primo p e quer saber qual é o primo
 p, faça Pn=n+c+1. A essência está em sabermos como fazê-lo, não se iremos
 conseguir fazê-lo - conseguir fazer é coisa que deixo para os mais
 avançados. Talvez eu mesmo consiga resolver esse problema um dia e então
 ficarei feliz.

 Rhilbert, não coloco o c como a quantidade de compostos de zero até p-1
 (p-1 é número composto se não consideramos a exceção de 2 e 3), eu digo que
 c é o número que representa a quantidade de compostos até p. A redundância
 que você encontrou está em substituir |Op| pelo valor do outro membro em
 p=c+|p-c-1|+1. Não é assim que funciona. Isso é absolutamente redundante.
 Existem meios a serem descobertos para se chegar ao que você procura. Aliás,
 não estamos procurando meios para calcular os números primos? Igualmente.

 Agora, pessoalmente, acho que esta é a fórmula mais bonita para calcular
 números primos: é simples, elegante e funciona. Nem preciso dizer porque
 vocês são matemáticos e vocês também sabem mais ou menos porque eu sou!
 Uma coisa afirmo com a devida certeza: se um dia conseguirmos calcular os
 números primos e ainda tivermos a esperança de que isso aconteça numa
 simples equação, podemos esperar que isso vai ser em função do c na fórmula
 Pn=n+c+1, pois no resto da fórmula não será necessário mudanças.

 --
 Marco Bivar

[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Teorema da Ordinalid ade dos Números Primos

[Rogerio Ponce]

Ola' Marco,
infelizmente o seu resultado nao traz nada de novo.
Basicamente voce concluiu que um primo P  e' igual a soma da
quantidade de primos menores que P com a quantidade de nao primos
menores que P , mais 1.
Na verdade, alem de obvio, isso vale para qualquer numero P natural.

[]'s
Rogerio Ponce


2009/6/29 Marco Bivar marco.bi...@gmail.com:
 Caros Rhilbert/Felipe, obrigado pelas considerações. Olha, uma coisa eu digo
 a vocês: estou sendo sincero, não há motivos porque mentir(!). Se minhas
 técnicas parecem ser pouco convecionais, a culpa é minha, por esquecer de
 ler nos livros e confiar apenas no papel e lápis!

 Bem, o que afirmo é que a ordinalidade dos números primos é determinada
 daquela forma, i.e., fazendo a diferença p-c-1, pois p é tomado como número
 posicionado na sucessão dos números naturais (o que condiz) e c nada mais é
 do que o valor de posições deslocadas de compostos devido ao método de
 aproximar os números primos (ou seja, c é quantidade de compostos até p).

 Ainda, como temos Op=p-c-1, obtemos c=p-|Op|-1 e p=c+|Op|+1 (Pn=n+c+1). Isso
 é demasiadamente complexo computacionalmente. Podemos obter qualquer número
 primo, desde que saibamos calcular o c. Eu pergunto: nós sabemos? O que
 temos é o conjunto dos números p-complementares, do qual poderão surgir
 novas relações.

 Tudo bem, mas como eu calculei naqueles exemplos? Não disse que sabia como,
 afirmei que podemos fazê-lo. Como eu fiz? Simples: lancei mão de uma lista
 de números primos, ao lado de cada um sua ordem em valor absoluto. Como sei
 que c=p-|Op|-1, uma planilha funcionou bem. Mas como agora tenho a lista dos
 números p-complementares, então posso calcular qualquer número primo. Mas
 não sabemos como calcular c, realmente! Não sabendo determinar o c não
 podemos calcular o p!

 Enfim, para ser mais realista, digo o seguinte: se você conhece o primo p e
 a quantidade de números compostos c até p, e quer saber a ordem do primo p,
 faça |Op|=p-c-1. Se conhece um primo p e sua ordem, e quer saber quantos
 números compostos aparecem antes de p, faça c=p-|Op|-1 (esta, mais realista,
 pois conhecemos milhares de primos). Se conhece a quantidade de números
 compostos até um primo p e a ordem desse primo p e quer saber qual é o primo
 p, faça Pn=n+c+1. A essência está em sabermos como fazê-lo, não se iremos
 conseguir fazê-lo - conseguir fazer é coisa que deixo para os mais
 avançados. Talvez eu mesmo consiga resolver esse problema um dia e então
 ficarei feliz.

 Rhilbert, não coloco o c como a quantidade de compostos de zero até p-1
 (p-1 é número composto se não consideramos a exceção de 2 e 3), eu digo que
 c é o número que representa a quantidade de compostos até p. A redundância
 que você encontrou está em substituir |Op| pelo valor do outro membro em
 p=c+|p-c-1|+1. Não é assim que funciona. Isso é absolutamente redundante.
 Existem meios a serem descobertos para se chegar ao que você procura. Aliás,
 não estamos procurando meios para calcular os números primos? Igualmente.

 Agora, pessoalmente, acho que esta é a fórmula mais bonita para calcular
 números primos: é simples, elegante e funciona. Nem preciso dizer porque
 vocês são matemáticos e vocês também sabem mais ou menos porque eu sou!

 Uma coisa afirmo com a devida certeza: se um dia conseguirmos calcular os
 números primos e ainda tivermos a esperança de que isso aconteça numa
 simples equação, podemos esperar que isso vai ser em função do c na fórmula
 Pn=n+c+1, pois no resto da fórmula não será necessário mudanças.
 --
 Marco Bivar

=
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[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Núm eros Primos

[Luciana Rodrigues]

 
Carpe Dien
Em 29/06/2009 16:34, Marco Bivar  marco.bi...@gmail.com  escreveu:

Caros Rhilbert/Felipe, obrigado pelas considerações. Olha, uma coisa eu digo a vocês: estou sendo sincero, não há motivos porque mentir(!). Se minhas técnicas parecem ser pouco convecionais, a culpa é minha, por esquecer de ler nos livros e confiar apenas no papel e lápis!
Bem, o que afirmo é que a ordinalidade dos números primos é determinada daquela forma, i.e., fazendo a diferença p-c-1, pois p é tomado como número posicionado na sucessão dos números naturais (o que condiz) e c nada mais é do que o valor de posições "deslocadas" de compostos devido ao método de aproximar os números primos (ou seja, c é quantidade de compostos até p).
Ainda, como temos Op=p-c-1, obtemos c=p-|Op|-1 e p=c+|Op|+1 (Pn=n+c+1). Isso é demasiadamente complexo computacionalmente. Podemos obter qualquer número primo, desde que saibamos calcular o c. Eu pergunto: nós sabemos? O que temos é o conjunto dos números p-complementares, do qual poderão surgir novas relações.
Tudo bem, mas como eu calculei naqueles exemplos? Não disse que sabia como, afirmei que podemos fazê-lo. Como eu fiz? Simples: lancei mão de uma lista de números primos, ao lado de cada um sua ordem em valor absoluto. Como sei que c=p-|Op|-1, uma planilha funcionou bem. Mas como agora tenho a lista dos números p-complementares, então posso calcular qualquer número primo. Mas não sabemos como calcular c, realmente! Não sabendo determinar o c não podemos calcular o p!
Enfim, para ser mais realista, digo o seguinte: se você conhece o primo p e a quantidade de números compostos c até p, e quer saber a ordem do primo p, faça |Op|=p-c-1. Se conhece um primo p e sua ordem, e quer saber quantos números compostos aparecem antes de p, faça c=p-|Op|-1 (esta, mais realista, pois conhecemos milhares de primos). Se conhece a quantidade de números compostos até um primo p e a ordem desse primo p e quer saber qual é o primo p, faça Pn=n+c+1. A essência está em sabermos como fazê-lo, não se iremos conseguir fazê-lo - conseguir fazer é coisa que deixo para os mais avançados. Talvez eu mesmo consiga resolver esse problema um dia e então ficarei feliz.
Rhilbert, não coloco o "c" como a quantidade de compostos de zero até p-1 (p-1 é número composto se não consideramos a exceção de 2 e 3), eu digo que "c" é o número que representa a quantidade de compostos até p. A redundância que você encontrou está em substituir |Op| pelo valor do outro membro em p=c+|p-c-1|+1. Não é assim que funciona. Isso é absolutamente redundante. Existem meios a serem descobertos para se chegar ao que você procura. Aliás, não estamos procurando meios para calcular os números primos? Igualmente.
Agora, pessoalmente, acho que esta é a fórmula mais bonita para calcular números primos: é simples, elegante e funciona. Nem preciso dizer porque vocês são matemáticos e vocês também sabem mais ou menos porque eu sou!
Uma coisa afirmo com a devida certeza: se um dia conseguirmos calcular os números primos e ainda tivermos a esperança de que isso aconteça numa simples equação, podemos esperar que isso vai ser em função do c na fórmula Pn=n+c+1, pois no resto da fórmula não será necessário mudanças.
-- Marco Bivar

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] RE: [obm-l] Teorema da Ordinalid ade dos Números Primos

[Luciana Rodrigues]

 
Carpe Dien
Em 29/06/2009 22:45, Pedro Júnior  pedromatematic...@gmail.com  escreveu:
Vamos lá Marco estou aguardando o material, afim de tentar compreender algo...Abraços e Parabéns
2009/6/29 Marco Bivar marco.bi...@gmail.com

Caros Rhilbert/Felipe, obrigado pelas considerações. Olha, uma coisa eu digo a vocês: estou sendo sincero, não há motivos porque mentir(!). Se minhas técnicas parecem ser pouco convecionais, a culpa é minha, por esquecer de ler nos livros e confiar apenas no papel e lápis!
Bem, o que afirmo é que a ordinalidade dos números primos é determinada daquela forma, i.e., fazendo a diferença p-c-1, pois p é tomado como número posicionado na sucessão dos números naturais (o que condiz) e c nada mais é do que o valor de posições "deslocadas" de compostos devido ao método de aproximar os números primos (ou seja, c é quantidade de compostos até p).
Ainda, como temos Op=p-c-1, obtemos c=p-|Op|-1 e p=c+|Op|+1 (Pn=n+c+1). Isso é demasiadamente complexo computacionalmente. Podemos obter qualquer número primo, desde que saibamos calcular o c. Eu pergunto: nós sabemos? O que temos é o conjunto dos números p-complementares, do qual poderão surgir novas relações.
Tudo bem, mas como eu calculei naqueles exemplos? Não disse que sabia como, afirmei que podemos fazê-lo. Como eu fiz? Simples: lancei mão de uma lista de números primos, ao lado de cada um sua ordem em valor absoluto. Como sei que c=p-|Op|-1, uma planilha funcionou bem. Mas como agora tenho a lista dos números p-complementares, então posso calcular qualquer número primo. Mas não sabemos como calcular c, realmente! Não sabendo determinar o c não podemos calcular o p!
Enfim, para ser mais realista, digo o seguinte: se você conhece o primo p e a quantidade de números compostos c até p, e quer saber a ordem do primo p, faça |Op|=p-c-1. Se conhece um primo p e sua ordem, e quer saber quantos números compostos aparecem antes de p, faça c=p-|Op|-1 (esta, mais realista, pois conhecemos milhares de primos). Se conhece a quantidade de números compostos até um primo p e a ordem desse primo p e quer saber qual é o primo p, faça Pn=n+c+1. A essência está em sabermos como fazê-lo, não se iremos conseguir fazê-lo - conseguir fazer é coisa que deixo para os mais avançados. Talvez eu mesmo consiga resolver esse problema um dia e então ficarei feliz.
Rhilbert, não coloco o "c" como a quantidade de compostos de zero até p-1 (p-1 é número composto se não consideramos a exceção de 2 e 3), eu digo que "c" é o número que representa a quantidade de compostos até p. A redundância que você encontrou está em substituir |Op| pelo valor do outro membro em p=c+|p-c-1|+1. Não é assim que funciona. Isso é absolutamente redundante. Existem meios a serem descobertos para se chegar ao que você procura. Aliás, não estamos procurando meios para calcular os números primos? Igualmente.
Agora, pessoalmente, acho que esta é a fórmula mais bonita para calcular números primos: é simples, elegante e funciona. Nem preciso dizer porque vocês são matemáticos e vocês também sabem mais ou menos porque eu sou!
Uma coisa afirmo com a devida certeza: se um dia conseguirmos calcular os números primos e ainda tivermos a esperança de que isso aconteça numa simples equação, podemos esperar que isso vai ser em função do c na fórmula Pn=n+c+1, pois no resto da fórmula não será necessário mudanças.
-- Marco Bivar



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[obm-l] Re: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Números Pr imos

[luiz silva]

Ola Marco,
 
Vc pode me enviar o material?
 
Abs
Felipe

--- Em qua, 24/6/09, Marco Bivar marco.bi...@gmail.com escreveu:


De: Marco Bivar marco.bi...@gmail.com
Assunto: [obm-l] Teorema da Ordinalidade dos Números Primos
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 24 de Junho de 2009, 22:38



Caros colegas, 
Quero lhes contar que obtive um resultado sobre os números primos e que acho 
ser muito importante para a teoria dos números. Existe porém um grande problema 
para mim, pois não consigo ver pessoas que considerem a relevância de tal 
descoberta. Como sei que muitos de vocês se dedicam à teoria dos números, 
gostaria de compartilhar os resultados que obtive com alguns dentre vós. 
Primeiro, algo importante devo dizer: iniciei recentemente meu curso de 
Matemática na UFAM, mas este trabalho venho desenvolvendo-o muito antes, desde 
o ano 2005, portanto, desde já estou me considerando como matemático amador na 
apresentação do mesmo. 
O que apresento é a demonstração do Teorema da Ordinalidade dos Números 
Primos, com o que poderemos determinar a posição de um número primo p no 
conjunto dos números primos, para todo e qualquer valor de p. As consequências 
disso, o conjunto dos números p-complementares e a fórmula geral para calcular 
o n-ésimo numero primo são apresentadas na parte final do texto.
Talvez eu não tenha o domínio da linguagem matemática formal necessária para 
descrever precisamente os fatos que observei e isso se reflete na construção do 
texto (mais palavras, menos letras) e no estilo. Então, àqueles que lerem o 
texto, considerem-no um tipo de rascunho aperfeiçoado. De qualquer maneira, 
acho que sei bem o que escrevi. (Afinal, as idéias são mais importantes que os 
símbolos que possam representá-las). 
Por favor, quem tiver interesse me mande um e-mail e eu lhe enviarei um PDF. 
(Caro colega Nicolau Saldanha, você que conhece bem o assunto, por favor me 
mande o e-mail). 
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primos. 
 
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Marco Bivar
 


  

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