>
> On Fri, Apr 23, 2021 at 4:43 PM Marcos Martinelli
> wrote:
>
>> Opa, pessoal. Pensei nos últimos dias no problema seguinte. Cheguei a uma
>> solução um pouco mais genérica, mas me deu trabalho. Gostaria de estudar
>> outras abordagens.
>>
>> Problema)
Opa, pessoal. Pensei nos últimos dias no problema seguinte. Cheguei a uma
solução um pouco mais genérica, mas me deu trabalho. Gostaria de estudar
outras abordagens.
Problema) Prove que raiz (2) + raiz_cúbica (2) é irracional.
Na sequência posto um rascunho do que pensei.
Obrigado.
--
Esta
Correção: fazendo y=1/(r+i).
Em seg, 26 de out de 2020 às 10:49, Marcos Martinelli <
mffmartine...@gmail.com> escreveu:
> Sendo i a unidade imaginária:
>
> 1/(1+r_k^2) = 1/(2i)*(1/(r_k-i)-1/(r_k+i) (k=[1,n], onde r_k <> {-i,i}).
>
> i) Seja z_k = 1/(r_k-i) e fazendo
0i+21)/(-7i+2) (II).
Usando (I) e (II):
Soma_(k=[1,n]) 1/(1+r_k^2) = 1/(2i)*(-(-20i+21)/(7i+2)
-(-(20i+21)/(-7i+2))) = 1/(2i)*1/(-49)*(-80i-294i) = 187/49.
Em dom., 25 de out. de 2020 às 10:25, Marcos Martinelli <
mffmartine...@gmail.com> escreveu:
> Sendo i o complexo imaginário:
>
&g
Correção:
1/(1+r_k^2) = 1/(2i)*(1/(r_k-i)-1/(r_k+i)
Em dom, 25 de out de 2020 às 10:25, Marcos Martinelli <
mffmartine...@gmail.com> escreveu:
> Sendo i o complexo imaginário:
>
> 1/(1+r_k^2) = 1/(2i)*(1/(r_k-i)+1/(r_k+i)
>
> Depois você deve considerar dois novos polinô
Sendo i o complexo imaginário:
1/(1+r_k^2) = 1/(2i)*(1/(r_k-i)+1/(r_k+i)
Depois você deve considerar dois novos polinômios com as seguintes mudanças
de variáveis:
. x=1/y-i
. x=1/y+i
Devemos então calcular as somas dos inversos das raizes nesses dois
polinômios para termos como calcular o
Precisamos supor que f é contínua.
Considere g: (0,1/2) -> R tal que g(x) = f(x + 1/2) - f(x) para todo x em
(0, 1/2).
Se f(1/2) = f(0), é satisfeito o enunciado. Vamos supor, então, f(1/2) <>
f(0).
Como g é contínua, g(0) = f(1/2) - f(0) e g(1/2) = f(1) - f(1/2) = -
(f(1/2) - f(0)) = - g(0),
Pequena correção no enunciado:
Sejam k, p naturais, sendo p um primo diferente de 2.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Acredito que devemos ter p primo e diferente de 2 também. Reformulando o
enunciado então:
Sejam k, p naturais, sendo p um primo. Provar que:
i) se k == 0 (mod p - 1) = soma{ t = 1 }_{ p - 1 } t^k == - 1 (mod p); e
ii) se k 0 (mod p - 1) = soma{ t = 1 }_{ p - 1 } t^k == 0 (mod p).
Solução:
É verdade.
Minha demonstração foi para um caso particular mesmo.
Já conhecia a versão desse problema para p primo diferente de 2... :) !
Mais tarde vou tentar estudar a sua demonstração.
Obrigado.
Em 5 de maio de 2015 14:00, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:
Boa tarde!
Marcos
Não é uma solução com geometria pura.
___
Lema) Um quadrilátero XYZW é inscritível se somente se XZ * YW = XY * ZW +
XW * YZ .
Solução)
Sejam p, r, a, b e c a notação usual de um triângulo ABC qualquer.
Seja F o ponto de
Na realidade, o pedido do problema é: calcular lim P_N quando N - + infty.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com:
Um número natural m é chamado interessante se existirem n e k naturais
tais que n k 0, k é ímpar e ainda:
m = n^2 - (n - 1)^2 + (n - 2)^2 - ... - (n - k)^2 .
Seja P_N a probabilidade de escolhermos um número interessante dentre os
primeiros N naturais
Sim. Complicada. Decorre de um teorema de Chebyshev.
2014-12-19 17:32 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com:
Seja p um primo.Existe um primo p´tal que p p´ 2p.
A demostração é complicada?Onde achar?
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
Os casos 0! e 1! são os únicos exemplos em que um fatorial pode ser um
quadrado perfeito.
Vamos considerar N = 2.
Seja {p_i} (i natural) a sequência dos primos. Vamos usar a seguinte
desigualdade (Chebychev): p_(n+1) 2 * p_(n) para todo n natural.
Seja também j natural tal que p_(j) = N
Um número natural m é chamado interessante se existirem n e k naturais tais
que n k 0, k é ímpar e ainda:
m = n^2 - (n - 1)^2 + (n - 2)^2 - ... - (n - k)^2 .
Seja P_N a probabilidade de escolhermos um número interessante dentre os
primeiros N naturais.
Calcular lim (P_N / N) quando N - +
Considerando x,y,z 0:
Faça a = y/x, b = z/x e c = x/z (repare que abc = 1).
x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) = 1/(1+a) + 1/(1+b) + 1/(1+c) = (3 + 2(a+b+c) +
(ab+ac+bc)) / (1 + (a+b+c) + (ab+ac+bc) + abc).
Nessa última expressão: S1 = a+b+c, S2 = ab+ac+bc. Lembrando que abc = 1,
vamos ter o
Esse link é interessante:
https://www.youtube.com/watch?v=0Oazb7IWzbA
Em 12 de abril de 2014 12:53, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.comescreveu:
Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta:
http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893
Lembrei que uma vez um aluno meu
--
Date: Mon, 30 Dec 2013 20:34:20 -0200
Subject: Re: [obm-l] soma da Eureka
From: mffmartine...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Na linha seguinte:
* {1/2 . sum{k = 2}^{100} [-1/k + 1/(k - 1)]}
Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
Uma pequena correção na
A gente pode considerar f(k) = (k + 1)/(k^2 + k + 1).
Podemos mostrar a seguinte relação: 1/(k^4 + k^2 + 1) = 1/2 . [(k + 1)/(k^2
+ k + 1) - (k - 1)/(k^2 - k +1)] = 1/2 . [f(k) - f(k - 1) + 1/(k^2 - k +1)]
.
Assim, a soma que queremos é tal que: sum{k = 1}^{100} 1/(k^4 + k^2 + 1) =
[1/2 . sum{k
Uma pequena correção na escrita (quinta linha):
* = 1/2 . f(100) +1/2 . sum{k = 2}^{100} 1/(k^2 - k + 1)
Em segunda-feira, 30 de dezembro de 2013, Marcos Martinelli escreveu:
A gente pode considerar f(k) = (k + 1)/(k^2 + k + 1).
Podemos mostrar a seguinte relação: 1/(k^4 + k^2 + 1) = 1/2
Para resolver o problema proposto, repare que: f(x) + f(1 - x) = 2/(4^x +
2) + 2/[4^(1 - x) + 2] = 2/(4^x + 2) + 4^x/(2 + 4^x) = 1.
Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
Sauda,c~oes,
Adaptando o problema 3 da p. 37 da Eureka 37,
existiria ?? uma forma fechada para a soma
S(n)
f(x) + f(1 - x) = a^x/(a^x + sqr(a)) + a^(1 - x)/[a^(1 - x) + sqr(a)]
= a^x/(a^x
+ sqr(a)) + a/(a + a^x . sqr(a)) = a^x/(a^x + sqr(a)) + sqr(a)/(a^x +
sqr(a)) = 1.
Em domingo, 29 de dezembro de 2013, Luís escreveu:
Oi, oi Marcos,
Verdade. O problema 4 tem uma solução parecida:
f(x) + f(1/x)
Mostre sua solução?!
Em 11 de dezembro de 2013 14:36, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
escreveu:
Boa Tarde pra todo mundo :)
Eu prestei o IME no mês de outubro e recentemente chegou a prova corrigida
no meu email,
Eu fiquei com nota 9 em matemática, mas jurava que tinha acertado
Podemos supor que as matrizes A, B e C pertencem todas a C_n (são matrizes
de elementos complexos e de ordem n).
Vamos considerar três casos:
i) A = B e det(A) 0 - C = 2A^2 - C . (A^(-1)/sqr(2))^(2) = 2 . A^2 .
(A^(-1))^(2) . 1/2 = (A . A^(-1))^(2) = I^(2) = I, o que mostra que C é
Seja A pertencente a M_n (R) (A é uma matriz do espaço das matrizes
quadradas de ordem n *com coeficientes reais*).
*Lema 01)* Se A é simétrica - todos seus autovalores são números reais.
*obs* (corolário do Lema 01): dado que temos todos os autovalores reais,
sempre podemos escolher os
Como ele é do terceiro grau, vai ter que cruzar o eixo dos x pelo menos uma
vez. No ponto de máximo ele tangência o eixo dos x, não o cruza. Por isso
tem uma raiz dupla no ponto de tangência.
Em sábado, 3 de agosto de 2013, marcone augusto araújo borges escreveu:
Eu não entendi ´´esse polinomio
Eu, de fato, não demonstrei nada... só quis justificar uma abordagem para
desvendar o mistério da inequação que eu propus. Por isso que falei No
rascunho. Para esse caso, como existe o máximo absoluto entre - 1 e + 1, a
abordagem funcionou. Daí é só fazer a volta, com a inequação.
Espero ter
No rascunho, você pode tentar fazer o seguinte: vamos admitir que g(t) = -
2t^3 + 2t possui um máximo M. Esse máximo deve ser positivo já que g(t) =
2t . (1 - t^2) é positivo para 0 t 1.
Agora você pode definir o seguinte polinômio h(t) = - 2t^3 + 2t - M. Essa
função de terceiro grau deve tocar
Considere os seguintes casos:
i) x = 0 - x^n = 0 - |x^n| = x^n = |x|^n;
ii) x 0 (considere x = - y (onde y 0). Temos: |x| = - x = y) e n = 2k
(onde k é natural) - x^n = (-y)^(2k) = y^(2k) 0 - |x^n| = x^n
= y^(2k) = |x|^n;
iii) x 0 (considere x = - y (onde y 0). Temos: |x| = - x = y) e n =
cos x = 0 - x = k.pi + pi/2. Se você colocar 2k.pi + pi/2 só vai estar
contando os arcos côngruos a pi/2. Vai esquecer os côngruos a 3.pi/2.
cos x = sqrt(2)/2 - x = 2kpi +- pi/4.
cos x = - sqrt(2)/2 - x = 2kpi +- 3.pi/4.
Em 31 de julho de 2013 06:04, Rafael Dumas dk.virtua...@gmail.comescreveu:
f(x) = sex(x) . sex(2x) = sen(x) . [2sen(x)cos(x)] = 2cos(x)sen^2(x) =
2cos(x).(1-cos^2(x)). Fazendo cox(x) = t (- 1 = t = + 1), devemos
descobrir o máximo da seguinte função: g(t) = - 2t^3 + 2t.
Sabemos que para t = - 1, temos: t + 2sqrt(3)/3 = 0 (- 2sqrt(3)/3 - 1)
- (t - sqrt(3)/3)^2 . (t +
i) se n = 2k (para k natural) - (-x)^n = (-1)^(2k) . x^(2k) = x^n -
|(-x)^n| = |x^n|.
ii) se n = 2k + 1 (para k natural) - (-x)^n = (-1)^(2k+1) . x^(2k+1) = -
x^n - |(-x)^n| = |- x^n| = |x^n|. Essa última igualdade ocorre pois |-a| =
|a| para qualquer a real.
Em 31 de julho de 2013 20:22, Pedro
2BD=2DE*=EC*
Consegue fazer a construção agora? =D
Em 27 de julho de 2013 11:54, Marcos Martinelli
mffmartine...@gmail.comescreveu:
Acho que dá pra provar que não existem pontos D e E pertencentes à BC e
que satisfaçam as outras condições do enunciado.
i) supondo que D e E pertencem ao
Se um plano é ortogonal a um vetor de coordenadas (a,b,c) então a equação
desse plano é: ax + by + cz = d, onde d é uma constante.
Em 29 de julho de 2013 23:47, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu:
**
Meus amigos, não estou enxergando:
Determinar a equação cartesiana e paramétrica do
.
Em 26 de julho de 2013 20:19, Bruno Rodrigues
brunorodrigues@gmail.comescreveu:
Pelo que eu entendi da questão,sim.
Saudações
Em 26 de julho de 2013 17:00, Marcos Martinelli
mffmartine...@gmail.comescreveu:
Então o problema está dizendo que os segmentos de reta BD, DE e EC são
Da segunda equação, devemos ter: x 0 e y 0 (*). Suponhamos, sem perda
de generalidade, que x = 0 - e^x = 1 - e^y = (1 - e^x) = 0. Absurdo,
pois e^y 0 para qualquer y real.
I) sen (x + y) = sen(x) + sen(y) - sen (x + y) - sen(x) = sen(y) - 2 .
sen(y/2) . cos(x + y/2) = 2 . sen(y/2) . cos(y/2).
Lema 1) x + y + z = raiz (3 . (xy + yz + zx)) para quaisquer x, y e z
positivos.
Prova:
Sabemos que: (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0 [*a igualdade ocorre se
somente se x=y=z*]. Desenvolvendo, teremos: 2.(x^2 + y^2 + z^2) - 2xy - 2yz
- 2zx = 0 - x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx= 3xy + 3yz
Tem certeza dessa condição: 2BD=2DE=2EC?
Achei meio estranho colocar o fator dois em todos os membros.
Em 24 de julho de 2013 21:25, Bruno Rodrigues
brunorodrigues@gmail.comescreveu:
Oi pessoal,será que alguém consegue me dar uma luz nessa questão de
geometria?
Seja ABC um
julho de 2013 14:12, Marcos Martinelli
mffmartine...@gmail.comescreveu:
Tem certeza dessa condição: 2BD=2DE=2EC?
Achei meio estranho colocar o fator dois em todos os membros.
Em 24 de julho de 2013 21:25, Bruno Rodrigues
brunorodrigues@gmail.com escreveu:
Oi pessoal,será que alguém
, às 13:21, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com
escreveu:
Da segunda equação, devemos ter: x 0 e y 0 (*). Suponhamos, sem perda
de generalidade, que x = 0 - e^x = 1 - e^y = (1 - e^x) = 0. Absurdo,
pois e^y 0 para qualquer y real.
I) sen (x + y) = sen(x) + sen(y) - sen (x + y) - sen(x
Acho que não poderia ocorrer concordância em uma infinidade de pontos.
Considere g tal que g(x) = exp(x) - P(x), onde P(x) seria nosso polinômio.
Por hipótese, existiriam infinitos pontos pertencentes a [a,b] tais que a
função g é nula nesse intervalo.
Como g é de classe c^{+ oo} nesse
Seja G um polinômio de grau (n+1) tal que G(x) = x . P(x) - 1 (*) para
qualquer x real.
Fazendo x = k (k natural tal que 1 = k = n + 1), obteremos G(k) = 0 para
todos os (n + 1) k´s. Portanto, temos todas as raízes de G e podemos
escrever:
G(x) = A . produtório (1 = k = n + 1) (x - k).
Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na
equação do terceiro grau, teremos:
(z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 - z^3 - 5z + 5 =
0 (*).
Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de
variáveis. Queremos encontrar p e q
imaginárias, não
podem ser obtidas?
Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli
mffmartine...@gmail.comescreveu:
Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na
equação do terceiro grau, teremos:
(z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 - z
Se x^n = y^n - |x^n| = |y^n| - |x|^n = |y|^n (|ab| = |a| . |b| para
quaisquer a,b reais) - |x|^n - |y|^n = 0.
Podemos supor, por absurdo, que: |x| |y|. Assim, podemos dividir e
multiplicar o lado esquerdo de (*) por (|x| - |y|). Teremos:
(|x| - |y|) . (|x|^n - |y|^n)/(|x| - |y|) = 0 - (|x| -
Ponce
2013/7/12 Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com
Acho que não existe uma fórmula fechada para os primos.
Acho que tentamos encontrá-la há um bom tempo... mas sem sucesso, apesar
de inúmeras outras portas que foram abertas com a teoria analítica dos
números.
Em sexta-feira, 12 de
Só não entendi essa parte: 100-(2+2+2+1)=97.
Em 12 de julho de 2013 09:08, Marcos Martinelli
mffmartine...@gmail.comescreveu:
Legal.
Em 12 de julho de 2013 09:02, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu:
Ola' Artur,
como queremos que a distancia minima entre os elementos seja de pelo
Seja {A_n} a quantidade de seqüências com 4 números escolhidos de 1 a n
tais que a diferença positiva seja maior ou igual a 2 (n=4).
Seja {B_n} a quantidade de seqüências com 3 números escolhidos de 1 a n
tais que a diferença positiva seja maior ou igual a 2 (n=3).
Seja {C_n} a quantidade de
Acho que não existe uma fórmula fechada para os primos.
Acho que tentamos encontrá-la há um bom tempo... mas sem sucesso, apesar de
inúmeras outras portas que foram abertas com a teoria analítica dos números.
Em sexta-feira, 12 de julho de 2013, Nehab escreveu:
Oi, Marcone,
Números primos
(5^2 + 9^2).(12^2 + 17^2) = 60^2 + 85^2 + 108^2 + 153^2 = (60 + 153)^2 -
2.60.153 + 108^2 + 85^2 = 213^2 + (108^2 - 2.60.153 + 85^2) = 213^2 + (108
- 85)^2 = 213^2 + 23^2. Resposta: 213 + 23 = 236. Letra e).
Em 17 de junho de 2012 15:44, Vanderlei * vanderma...@gmail.com escreveu:
Se (5^2 +
Se 7 | a + 3b - a + 3b = 7q, onde q é algum inteiro. Assim: 13.(a + 3b) =
7.13.q - 13a + 39 b = 7.13.q - 13a + 11b = 7.13.q - 28b = 7. (13q -
4b) - 7 | 13a + 11b.
Em 17 de junho de 2012 16:54, Thiago Bersch thiago_t...@hotmail.comescreveu:
1°: Mostre que se 7 | a + 3b então 7| 13a + 11b,
Pois é, galera.
A discussão foi muito interessante, e a solução geométrica muito legal.
Mas não podemos negar que a questão é bastante difícil... acho difícil
haver uma outra solução puramente geométrica.
Enfim, o Colégio Naval é uma prova bastante interessante e,
normalmente, os gabaritos que
Peço desculpas por ter sido muito formal nesta questão. É que, pra mim,
realmente não foi tão intuitivo supor que o perímetro seria crescente. Deve
haver sim uma solução por geometria pura, mas ficarei devendo.
Agora, quanto à questão levantada pelo último email, posso contribuir um
pouco:
Não sei se provar que o perímetro do hexágono é menor que o do heptágono é
assim *tão banal*.
Deu trabalho pra eu demonstrar isso (como feito em email anterior).
Mas, com certeza, deve ter um jeito bem mais simples do que as funções que
analisei.
Em 26 de março de 2012 10:26, Carlos Nehab
perímetro máximo: o
perímetro do próprio círculo (2 pi r).
** **
Albert Bouskela
bousk...@msn.com
** **
*De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
nome de *Marcos Martinelli
*Enviada em:* 26 de março de 2012 14:06
*Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
O perímetro deste heptágono pode ser calculado ao olharmos para os
triângulos isósceles formados pelo centro do círculo e por vértices
adjacentes do heptágono. Assim:
2p_(heptágono) = (2 * 2.5 * sen(pi/7)) * 7 = 35 * sen(pi/7) (*)
Lema 01) Seja g: A = [ 0,pi/6 ] --- R tal que g(x) = x * cos(x)
Bernardo, creio que, ao considerar as tangentes, podemos melhorar sim as
desigualdades. Tentei incrementar um pouco mais minha solução e demonstrei
as seguintes desigualdades:
n! = n^n (***) * raiz(n) / (e^((2*n^2-3*n+1)/(4*n))) = (**) n^n /
(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))) = (*) n^n / (e^(n-1)), para
Pequena correção:
n! = *(***)* n^n * raiz(n) / (e^((2*n^2-3*n+1)/(4*n))) = *(**)* n^n /
(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))) = *(*)* n^n / (e^(n-1)),
Os parênteses seguidos de asterisco procurar identificar as desigualdades
citadas no email anterior.
Fala, Bernardo.
Existe um pequeno erro sim no meu denominador. Mas vou tentar esboçar aqui
as contas:
i) pelos trapézios (considerando n = 2): sum_{k=2}^{n} 1/2 . [(ln(t) -1/t)
+ ln(t)] int_{1}^{n} ln(t) . dt. Após algumas contas, chegamos à seguinte
expressão: ln(n!) n . ln(n) - n + 1 + 1/2 .
Uma desigualdade um pouco mais forte (e com uma demonstração legal) seria a
seguinte:
(n!) = (n^n)/(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n)))
Em 23 de março de 2012 15:21, Bernardo Freitas Paulo da Costa
bernardo...@gmail.com escreveu:
2012/3/23 terence thirteen peterdirich...@gmail.com:
Em 22 de março de
:
Basta provar que (1+1/n)^n=3 para todo n (e não será necessário falar
em limites). De fato, isto é equivalente a
3n^n=(n+1)^n, que é equivalente a
(n+1).(n/3)^n=((n+1)/3)^(n+1)**, e agora é usar o PIF.
A.
Citando Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com:
Uma
Creio que você errou no delta da equação do segundo grau.
Teríamos:
x1 = [1-sqrt(- 4h+1)]/2.
x2 = [1+sqrt(- 4h+1)]/2.
E aqui devemos considerar também o caso em que delta é negativo (h 1/4)!
=
Instruções para entrar na
Tal número é na verdade natural e igual a 1.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
Na minha solução, você consegue calcular a soma para uma parcela
finita de termos.
Agora, como w = e^(ix) = cos(x) + isen(x) tem módulo unitário, para as
duas pg´s convergirem devemos ter |a| 1.
=
Instruções para entrar na
Repare que cos (kx) = [e^(ikx) + e^(-ikx)]/2 = (w^k + 1/w^k)/2, onde w = e^(ix).
Assim nosso somatório será: 1 + soma(1 = k = n) [(aw)^k + (a/w)^k]/2.
Repare agora que este somatório é na realidade a soma de duas PG's.
Espero ter ajudado.
É o seguinte: quando temos uma recorrência linaer homogênea a menos de
uma constante, podemos sempre chutar uma outra recorrência {t_n} tal
que s_n = t_n + k. Se substituirmos na equação recorrente, encontramos
k. No nosso caso, k deve ser - 3.
Considere {t(n)} (n natural) tal que s(n) = t(n) - 3. Substituindo na
recorrência, teremos:
t(n) - 3 = 2[t(n - 1) - 3] + 3 - t(n) = 2t(n - 1). A solução geral
para esta recorrência é claramente t(n) = t(1)*2^(n - 1).
Como t(1) = s(1) + 3 = 4, teremos t(n) = 4*2^(n - 1) = 2^(n + 1). Logo
CADA UMA QUE AQUI APARECE...
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
É isso aí. Essa questão é do ISS NATAL, prova recente da ESAF. O
examinador não foi feliz no enunciado. A questão teria de ser anulada.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
O correto seria S = (a^m - 1)/a-1 x (b^n - 1)/b-1 x (c^p - 1)/c-1.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
Basta observar que detX0 - X é inversível.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Se x-0^+, naturalmente x0. Como 2/x-1[2/x]=2/x -
2/3-x/3x/3*[2/x]=2/3. Pelo Teorema do Confronto temos, portanto,
lim(x-0^+)(x/3.[2/x])=2/3.
Mas no outro item, basta observar que 2/x.[x/3]=0 para qq 0x1. Logo
o limite procurado é nulo.
A é anti-simétrica - A = -A^(t) - det[A] = det[-A^(t)] - det[A]
= (-1)^{n}det[A].
Mas como n é ímpar, temos: det[A] = -det[A] - det[A]=0. c.q.d
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
Legal!
Faça a seguinte mudança de variáveis a=px, b=py e c=pz, onde p é o semiperímetro do triângulo e agora teremos que mostrar que
2x^2(1-x)+2y^2(1-y)+2z^2(1-z)=3xyz - 2(x^2+y^2+z^2)-2(x^3+y^3+z^3)=3xyz -
2[(x+y+z)^2-2xy-2xz-2yz]-2(x^3+y^3+z^3)+6xyz=9xyz -
2[4-2xy-2xz-2yz]-2[x^3+y^3+z^3-3xyz]=9xyz -
Seja
and sequence
Considere também
Calcular
onde n como de usual tende para +infinito.
Na questão 74, faça y=x^2-3x-2 e obtenha o seguinte sistema de equações:
.y=x^2-3x-2
.x=y^2-3y-2
E agora subtraia as duas equações.
Se a+b+c=0 - a+b=-c - a^2+2ab+b^2=c^2. Como a^2+b^2=1-c^2 - 1-c^2+2ab=c^2
- c^2=(1+2ab)/2. Mas (a^2+b^2)^2=(1-c^2)^2 - a^4+b^4+2a^2b^2=[(1-2ab)/2]^2 -
a^4+b^4+2(ab)^2=[1-4ab+4(ab)^2]/4 - a^4+b^4+2(ab)^2=1/4-ab+(ab)^2. Mas ainda temos que ab=c^2-1/2 - a^4+b^4+(c^2-1/2)^2=1/4-(c^2-1/2). E então
{[n^(1/n)] - 1}^n=e^{ln{[n^(1/n)] - 1}^n}}=e^{n*ln{[n^(1/n)] - 1}}. É fácil de demonstrar que
lim n^[1/n]=1. Logo o expoente tende pra -infinito e o termo todo tende pra zero.
É simples. Como disse lim [n^1/n]=1 - lim[n^1/n-1]=0 -
lim{ln[n^1/n-1]}=-infinito. Como lim n=+infinito, podemos concluir que: lim{n*ln[n^1/n-1]}=-infinito.
Vou provar o caso 1). O caso 2) seria análogo.
lim{a_n/b_n}=0 - Para qualquer L0, existe N natural tal que para todo n natural tal que nN então |a_n/b_n|L.
Podemos concluir que |a_k/b_k|L para todo k natural tal que Nk=n e então podemos escrever -La_k/b_kL -
-L*b_ka_kL*b_k -
Na verdade, S seria o limite de (p^(n)-1)/(p-1). E a sequência {a_n} é na verdade uma P.G.
Seja n natural maior ou igual que 2. Provar que 1/(n+1)*Somatório(1=k=n)[1/(2*k-1)]1/n*Somatório(1=k=n)[1/(2*k)]. Um abraço!
Será que tem como você enviar para o meu e-mail também? Obrigado!!!
Tenta série de Taylor na função f(x)=2^x e depois na função f(x)=ln(1+x). Essa última você avaliza ln(2) e na primeira expanda até a segunda derivada no máximo.
Provar que (2005!)^(1/2005)=(2006!)^(1/2006).
Artur, o limte procurado vale 1. Já tentei postar aqui a solução duas vezes masnão está entrando na lista. Usei uma desigualdade importante: n*ln(n)-n+1=ln(n!)=ln(n)+n*ln(n)-n+1 (para todo n natural), que pode ser verificada através de uma simples comparação de áreas com a integral da função
Interessante essa demonstração. Tinha pensado em algo mais complexo usando o fato de que n*ln(n)-n+1=ln(n!)=ln(n)+n*ln(n)-n+1, usar essa relação pra n e pra n+1 pra tentar forçar ln(n!)/n=ln[(n+1)!]/(n+1) e aí é so mostrar que a função f(x)=ln(x)/x+ln(x)+1/x é crescente, o que é imediato, basta
Usando a desigualdade do ln(n!), acredito que pode-se estimar melhor a desigualdade. O que você acha?
Seja f(x)=ln(x)/x-1/e para todo x real tal que x=e. f(e)=0 e f´(x)=(1-ln(x))/x^2=0 para todo x tal que x=e. Como pie = ln(pi)/pi-1/ef(e)=0 = ln(pi)/pi1/e = e*ln(pi)pi =
ln(pi^e)ln(e^pi) = pi^ee^pi.
Artur, consegui fazer sim. Tentei postar aqui o esboço da minha solução, mas acho que não entrou na lista. Basicamente utilizei o critério de comparação de áreas com a integral de uma função. É interessante notar também a seguinte relação:
n*ln(n)-n+1=ln(n!)=ln(n)+n*ln(n)-n+1, para qualquer n
Facilmente em termos não é? Se você utilizar esta abordagem existe
um teorema que garante que a soma dos termos de uma p.a de grau 5 é um
polinômio de grau 5 sem o termo independente. Porém terá que resolver
um sistema 5x5 para encontrar seus coeficientes, o que dá trabalho.
Sem levar em
Não entendi. Você pode explicar melhor por favor. Obrigado!
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Esta soma é um polinômio de quinto grau em n, no caso n=40. Para
conseguir desenvolvê-la você precisa conhecer a soma dos cubos e dos
quadrados previamente. Existe uma solução longa mas interessante por
combinatória.
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Provar que se A,B e C são matrizes reais comutativas de ordem 2 então temos
det[(A+B+C)*(A^3+B^3+C^3-3*A*B*C)]=0.
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Boa tarde pessoal. Achei essa questão super legal. Vou tentar
produzi-la aqui:
Calcular lim {ln(n!)/n-a(n)/n}, onde a seqüência {a_n} é definida
da seguinte maneira:
a(n)=Somatório(1=k=n){ln(k)*Somatório(k=j=n)[1/j]}.
OBS: O limite é tomado quando n-+infinito.
Sejam A,B e C ângulos de um triângulo ABC.
Provar que 1/sen(A)+1/sen(b)=8/[3+2*cos(C)].
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Tenho uma legal sim. Utilizei a Desigualdade de Jensen na função
f(x)=1/sen(x). Não é difícil verificar que a segunda derivada dessa
função é positiva para todo x pertencente ao primeiro e segundo
quadrantes. Temos então que:
[1/sen(A)+1/sen(B)]/2=1/sen[(A+B)/2]=8/{2*[3+2*cos(C)]} =
Não é difícil provar que existe m inteiro tal que a=m^4 e n inteiro
tal que c=n^2. Basta decompor b e d em produto de fatores primos. Logo
c-a=n^2-m^4=(n+m^2)*(n-m^2)=19=19*1=1*19 e então analisar os únicos
casos válidos que se chega á resposta.
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