subject:"\[obm\-l\] fibonacci"

Re: [obm-l] Fibonacci terminado em zeros

2019-03-25 Por tôpico Claudio Buffara

Dá pra provar algo mais geral: qualquer que seja M natural, existe um
número de Fibonacci divisível por M.
A sequência é definida por: F(0) = 0, F(1) = 1 e, pra n > 1, F(n) =
F(n-1) + F(n-2).
Dado M, considere os pares ordenados:
(F(0), F(1));  (F(1),F(2)); (F(2),F(3)); ...; (F(M^2),F(M^2+1))
Há um total de M^2 + 1 pares.
Mas, olhando-os mod M, existem apenas M^2 possibilidades (M possibilidades
para o primeiro elemento e M para o segundo).
Logo, pelo PCP, existem dois pares (F(r),F(r+1)) e F((s),F(s+1))  com 0 <=
r < s <= M^2, tais que:
F(r) == F(s) mod M   e   F(r+1) == F(s+1) mod M
Pela definição da sequência, deve valer então (mod M):
F(r-1) = F(r+1) - F(r) == F(s+1) - F(s) = F(s-1)
F(r-2) == F(s-2)
...
F(2) == F(s-r+2)
F(1) == F(s-r+1)
F(0) == F(s-r).
Mas F(0) = 0, de modo que F(s-r) == 0 (mod M), ou seja, F(s-r) é múltiplo
de M.


On Sun, Mar 24, 2019 at 5:51 PM Jeferson Almir 
wrote:

> Como eu provo que existe um Fibonacci terminado em n zeros ?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fibonacci terminado em zeros

2019-03-24 Por tôpico Fabianne

Meu filho de 12 anos, o Leo, interessou-se e respondeu:
A sequência de Fibonacci inicia-se com os números 1 e 1 e se sucedem pela
soma dos dois termos anteriores.
Se calcularmos os algarismos das unidades dos 15 primeiros números, teremos
: 1;1;2;3;5;8;3;1;4;5;9;4;3;7e0. Assim, podemos verificar que há ao menos
um número de Fibonacci que tem o algarismo das unidades 0. Mas podemos
demonstrar também que há infinitos números de Fibonacci com essa
propriedade.
Ao calcularmos as unidades dos próximos 45 números de Fibonacci, temos :
7;7;4;1;5;6;1;7;8;5;3;8;1;9;0;9;9;8;7;5;2;7;9;6;5;1;6;7;3;0;3;3;6;9;5;4;9;3;2;5;7;2;9;1;0.
Assim, concluímos que para os 60 primeiros números de Fibonacci, os números
com algarismo das unidades terminados em 0 se repetem de quinze em quinze.
No entanto, quando os dois últimos números da sequência de algarismos são 0
e 1 , os próximos números serão 1 e 1, reiniciando a sequência e o ciclo,
que sempre vai se repetir.
Assim demonstramos que, a partir do 1° número dessa sequência, a cada 15 n.
um, e apenas um deles, terminará em 0. Portanto, há infinitos números da
sequência de Fibonacci que acabam em 0. Para cada n. que termina em 0, há
14 outros que não terminam em 0.

Em dom, 24 de mar de 2019 17:51, Jeferson Almir 
escreveu:

> Como eu provo que existe um Fibonacci terminado em n zeros ?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Fibonacci terminado em zeros

2019-03-24 Por tôpico Jeferson Almir

Como eu provo que existe um Fibonacci terminado em n zeros ?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

2017-09-05 Por tôpico Ralph Teixeira

P.S.: ah, agora que eu vi, o Anderson jah tinha resolvido essa exatamente
do mesmo jeito que eu.

2017-09-05 19:18 GMT-03:00 Ralph Teixeira :

> Bom, a gente pode olhar a sequencia de Fibonacci modulo n. Daqui para a
> frente, vamos fazer TUDO modulo n.
>
> Agora olhe para todos os pares (F_i,F_{i+1}). Ha apenas n^2 possibilidades
> para tais pares, portanto em algum momento eles tem de repetir. Seja (F_a,
> F_{a+1}) o par com o menor "a" possivel que repete depois na sequencia,
> quer dizer, F_a=F_b e F_{a+1}=F_{b+1} com b>a.
>
> Por "desinducao" finita, eu afirmo que a=1. Afinal caso contrario eu
> poderia olhar para F_{a-1}=F_{a+1}-F_a = F_{b+1}-F_b = F_{b-1}, e portanto
> (F_{a-1},F_a) tambem serviria!
>
> Mas entao F_{b-1}=F_{b+1}-F_b=F_2-F_1=1-1=0 mod n, ou seja, F_{b-1} eh
> divisivel por n.
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2017-09-05 16:25 GMT-03:00 Pedro José :
>
>> Boa tarde!
>>
>> Douglas,
>>
>> esse problema você viu em algum local ou foi uma conjectura sua?
>>
>> Fiz em computador a sequência de Fibonacci mod 29791, o o F_14 = 377
>> mod29791 e F_15 = 610 mod2971 e F_28844 = 377 mod29791 e F_28845 = 610
>> mod29791, o que caracteriza que haverá um padrão de repetição na geração
>> dos números de Fibonacci mod 29791. E como não tem um elemento F_i = 0 mod
>> para i <28844, não haverá mais nenhum termo F_j = 0. Pois para qualquer j
>> >= 28844 haverá um i < 28844, onde F_j = F_i <>0 mod 29791, logo 29791, não
>> tem um único múltiplo na sequência de Fibonacci e portanto, a hipótese é
>> falsa.
>>
>> Deve ter um modo mais elegante para mostrar que a proposição é fasla.
>>
>> Sds,
>> PJMS
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> Em 5 de setembro de 2017 10:16, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Bom dia!
>>>
>>> Eu pensei que entendera, porém, os números não são sequenciais.
>>> Se nós tivermos dois números consecutivos F_j e F_j+1  congruentes
>>> módulo m, pela lei de geração da sequencia de Fibonacci teremos que F_j-1 =
>>> 0 módulo m.
>>> O enunciado deveria ter uma restrição ... existe um número de Fibonacci, não
>>> nulo, que é múltiplo n, para evitar a corrente que considera zero como
>>> o primeiro termo da sequencia, pois, aí ficaria elementar a solução.
>>> Acho que o caminho é provar que como F_1 = F_2  ==> que para algum j
>>> : F_j = F_j+1 módulo m o que leva a F_j-1= 0 módulo m.
>>> Mas por casa de pombo só não daria, por exemplo, se consideramos A_1 = 3
>>> e A_2 = 7 e Ai = A_i-1 + A_i-2, não haveria um número múltiplo de 8.
>>> A sequência mod 8 ficaria: 3, 7, 2, 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4, 3, 7, 2,
>>> 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4...
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>> Em 4 de setembro de 2017 16:48, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa tarde!

 Nehab,

 não consegui entender o restante da solução, mas ele usou o sinal de
 igual para congruência por comodidade de edição, e até pela lei de formação
 da sequência, só o segundo e terceiro termos são iguais, quando se admite
 que comece de zero, ou os dois primeiros, para a corrente que não considera
 como o primeiro termo da sequencia..
 Por exemplo, 13 = 23 mod 10 mas (13, 23) = 1. Portanto, não fere o
 princípio de que dois números consecutivos na sequência de Fibonacci sejam
 primos entre si.
 Até aí captei e entendi, pelo princípio da casa de pombos. Estou
 tentando entender o restante.

 Saudações,
 PJMS

 Em 4 de setembro de 2017 14:53, Carlos Nehab 
 escreveu:

> Oi, Douglas.
>
> Acho que o mdc entre Fibbonaccis consecutivos é sempre 1...
>
> Nehab
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
>
> <#m_-6736870374412433224_m_-7782833122447588826_m_4365848760417512581_m_408333944165922029_m_4928629599140568768_m_2006884623661450834_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> Em 4 de setembro de 2017 07:24, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>> Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima
>>  escreveu:
>> > Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe
>> um
>> > número de Fibonacci que é múltiplo de n?
>>
>> Casa dos Pombos! Maybe?
>>
>> Bem, pegue os pares de Fibonaccis consecutivos, (F0, F1), (F1, F2),
>> (F2, F5),... módulo M.
>>
>> Por PCP, dois deles , digamos (Fk, F(k+1)) e (F(k+j),F(k+j+1)) serão
>> iguais.
>>
>> Assim, Fk=F(k+j) e F(k+1)=F(k+j+1).
>>
>> Mas aí, F(k+1)-F(k)=F(k+j+1)-F(k+j) e portanto F(k-1) = F(k+j-1).
>>
>> Prosseguindo dessa forma, chegaremos em F(j)=F(0)=0.
>>
>>
>>
>> >
>> > Douglas Oliveira.
>> >
>> >

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

2017-09-05 Por tôpico Ralph Teixeira

Bom, a gente pode olhar a sequencia de Fibonacci modulo n. Daqui para a
frente, vamos fazer TUDO modulo n.

Agora olhe para todos os pares (F_i,F_{i+1}). Ha apenas n^2 possibilidades
para tais pares, portanto em algum momento eles tem de repetir. Seja (F_a,
F_{a+1}) o par com o menor "a" possivel que repete depois na sequencia,
quer dizer, F_a=F_b e F_{a+1}=F_{b+1} com b>a.

Por "desinducao" finita, eu afirmo que a=1. Afinal caso contrario eu
poderia olhar para F_{a-1}=F_{a+1}-F_a = F_{b+1}-F_b = F_{b-1}, e portanto
(F_{a-1},F_a) tambem serviria!

Mas entao F_{b-1}=F_{b+1}-F_b=F_2-F_1=1-1=0 mod n, ou seja, F_{b-1} eh
divisivel por n.

Abraco, Ralph.

2017-09-05 16:25 GMT-03:00 Pedro José :

> Boa tarde!
>
> Douglas,
>
> esse problema você viu em algum local ou foi uma conjectura sua?
>
> Fiz em computador a sequência de Fibonacci mod 29791, o o F_14 = 377
> mod29791 e F_15 = 610 mod2971 e F_28844 = 377 mod29791 e F_28845 = 610
> mod29791, o que caracteriza que haverá um padrão de repetição na geração
> dos números de Fibonacci mod 29791. E como não tem um elemento F_i = 0 mod
> para i <28844, não haverá mais nenhum termo F_j = 0. Pois para qualquer j
> >= 28844 haverá um i < 28844, onde F_j = F_i <>0 mod 29791, logo 29791, não
> tem um único múltiplo na sequência de Fibonacci e portanto, a hipótese é
> falsa.
>
> Deve ter um modo mais elegante para mostrar que a proposição é fasla.
>
> Sds,
> PJMS
>
>
>
>
>
>
> Em 5 de setembro de 2017 10:16, Pedro José  escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> Eu pensei que entendera, porém, os números não são sequenciais.
>> Se nós tivermos dois números consecutivos F_j e F_j+1  congruentes módulo
>> m, pela lei de geração da sequencia de Fibonacci teremos que F_j-1 = 0
>> módulo m.
>> O enunciado deveria ter uma restrição ... existe um número de Fibonacci, não
>> nulo, que é múltiplo n, para evitar a corrente que considera zero como o
>> primeiro termo da sequencia, pois, aí ficaria elementar a solução.
>> Acho que o caminho é provar que como F_1 = F_2  ==> que para algum j
>> : F_j = F_j+1 módulo m o que leva a F_j-1= 0 módulo m.
>> Mas por casa de pombo só não daria, por exemplo, se consideramos A_1 = 3
>> e A_2 = 7 e Ai = A_i-1 + A_i-2, não haveria um número múltiplo de 8.
>> A sequência mod 8 ficaria: 3, 7, 2, 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4, 3, 7, 2,
>> 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4...
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em 4 de setembro de 2017 16:48, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>>
>>> Nehab,
>>>
>>> não consegui entender o restante da solução, mas ele usou o sinal de
>>> igual para congruência por comodidade de edição, e até pela lei de formação
>>> da sequência, só o segundo e terceiro termos são iguais, quando se admite
>>> que comece de zero, ou os dois primeiros, para a corrente que não considera
>>> como o primeiro termo da sequencia..
>>> Por exemplo, 13 = 23 mod 10 mas (13, 23) = 1. Portanto, não fere o
>>> princípio de que dois números consecutivos na sequência de Fibonacci sejam
>>> primos entre si.
>>> Até aí captei e entendi, pelo princípio da casa de pombos. Estou
>>> tentando entender o restante.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>> Em 4 de setembro de 2017 14:53, Carlos Nehab 
>>> escreveu:
>>>
 Oi, Douglas.

 Acho que o mdc entre Fibbonaccis consecutivos é sempre 1...

 Nehab


 
  Livre
 de vírus. www.avast.com
 .

 <#m_-7782833122447588826_m_4365848760417512581_m_408333944165922029_m_4928629599140568768_m_2006884623661450834_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

 Em 4 de setembro de 2017 07:24, Anderson Torres <
 torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima
>  escreveu:
> > Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe
> um
> > número de Fibonacci que é múltiplo de n?
>
> Casa dos Pombos! Maybe?
>
> Bem, pegue os pares de Fibonaccis consecutivos, (F0, F1), (F1, F2),
> (F2, F5),... módulo M.
>
> Por PCP, dois deles , digamos (Fk, F(k+1)) e (F(k+j),F(k+j+1)) serão
> iguais.
>
> Assim, Fk=F(k+j) e F(k+1)=F(k+j+1).
>
> Mas aí, F(k+1)-F(k)=F(k+j+1)-F(k+j) e portanto F(k-1) = F(k+j-1).
>
> Prosseguindo dessa forma, chegaremos em F(j)=F(0)=0.
>
>
>
> >
> > Douglas Oliveira.
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> 
>

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

2017-09-05 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima

O problema caiu na olimpíada de matemática do Rio de Janeiro se não me
engano em 1999 ou 1998.

Em 5 de set de 2017 17:52, "Pedro José"  escreveu:

> Boa tarde!
>
> O programa comera o F_28830 que é igual a zero.
> Desconsiderar o exposto anteriormente.
>
> Em 5 de setembro de 2017 16:25, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa tarde!
>>
>> Douglas,
>>
>> esse problema você viu em algum local ou foi uma conjectura sua?
>>
>> Fiz em computador a sequência de Fibonacci mod 29791, o o F_14 = 377
>> mod29791 e F_15 = 610 mod2971 e F_28844 = 377 mod29791 e F_28845 = 610
>> mod29791, o que caracteriza que haverá um padrão de repetição na geração
>> dos números de Fibonacci mod 29791. E como não tem um elemento F_i = 0 mod
>> para i <28844, não haverá mais nenhum termo F_j = 0. Pois para qualquer j
>> >= 28844 haverá um i < 28844, onde F_j = F_i <>0 mod 29791, logo 29791, não
>> tem um único múltiplo na sequência de Fibonacci e portanto, a hipótese é
>> falsa.
>>
>> Deve ter um modo mais elegante para mostrar que a proposição é fasla.
>>
>> Sds,
>> PJMS
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> Em 5 de setembro de 2017 10:16, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Bom dia!
>>>
>>> Eu pensei que entendera, porém, os números não são sequenciais.
>>> Se nós tivermos dois números consecutivos F_j e F_j+1  congruentes
>>> módulo m, pela lei de geração da sequencia de Fibonacci teremos que F_j-1 =
>>> 0 módulo m.
>>> O enunciado deveria ter uma restrição ... existe um número de Fibonacci, não
>>> nulo, que é múltiplo n, para evitar a corrente que considera zero como
>>> o primeiro termo da sequencia, pois, aí ficaria elementar a solução.
>>> Acho que o caminho é provar que como F_1 = F_2  ==> que para algum j
>>> : F_j = F_j+1 módulo m o que leva a F_j-1= 0 módulo m.
>>> Mas por casa de pombo só não daria, por exemplo, se consideramos A_1 = 3
>>> e A_2 = 7 e Ai = A_i-1 + A_i-2, não haveria um número múltiplo de 8.
>>> A sequência mod 8 ficaria: 3, 7, 2, 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4, 3, 7, 2,
>>> 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4...
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>> Em 4 de setembro de 2017 16:48, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa tarde!

 Nehab,

 não consegui entender o restante da solução, mas ele usou o sinal de
 igual para congruência por comodidade de edição, e até pela lei de formação
 da sequência, só o segundo e terceiro termos são iguais, quando se admite
 que comece de zero, ou os dois primeiros, para a corrente que não considera
 como o primeiro termo da sequencia..
 Por exemplo, 13 = 23 mod 10 mas (13, 23) = 1. Portanto, não fere o
 princípio de que dois números consecutivos na sequência de Fibonacci sejam
 primos entre si.
 Até aí captei e entendi, pelo princípio da casa de pombos. Estou
 tentando entender o restante.

 Saudações,
 PJMS

 Em 4 de setembro de 2017 14:53, Carlos Nehab 
 escreveu:

> Oi, Douglas.
>
> Acho que o mdc entre Fibbonaccis consecutivos é sempre 1...
>
> Nehab
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
>
> <#m_-2219119211184066607_m_-112899321461919009_m_4365848760417512581_m_408333944165922029_m_4928629599140568768_m_2006884623661450834_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> Em 4 de setembro de 2017 07:24, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>> Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima
>>  escreveu:
>> > Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe
>> um
>> > número de Fibonacci que é múltiplo de n?
>>
>> Casa dos Pombos! Maybe?
>>
>> Bem, pegue os pares de Fibonaccis consecutivos, (F0, F1), (F1, F2),
>> (F2, F5),... módulo M.
>>
>> Por PCP, dois deles , digamos (Fk, F(k+1)) e (F(k+j),F(k+j+1)) serão
>> iguais.
>>
>> Assim, Fk=F(k+j) e F(k+1)=F(k+j+1).
>>
>> Mas aí, F(k+1)-F(k)=F(k+j+1)-F(k+j) e portanto F(k-1) = F(k+j-1).
>>
>> Prosseguindo dessa forma, chegaremos em F(j)=F(0)=0.
>>
>>
>>
>> >
>> > Douglas Oliveira.
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> 
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> 
>>

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

2017-09-05 Por tôpico Pedro José

Boa tarde!

O programa comera o F_28830 que é igual a zero.
Desconsiderar o exposto anteriormente.

Em 5 de setembro de 2017 16:25, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
>
> Douglas,
>
> esse problema você viu em algum local ou foi uma conjectura sua?
>
> Fiz em computador a sequência de Fibonacci mod 29791, o o F_14 = 377
> mod29791 e F_15 = 610 mod2971 e F_28844 = 377 mod29791 e F_28845 = 610
> mod29791, o que caracteriza que haverá um padrão de repetição na geração
> dos números de Fibonacci mod 29791. E como não tem um elemento F_i = 0 mod
> para i <28844, não haverá mais nenhum termo F_j = 0. Pois para qualquer j
> >= 28844 haverá um i < 28844, onde F_j = F_i <>0 mod 29791, logo 29791, não
> tem um único múltiplo na sequência de Fibonacci e portanto, a hipótese é
> falsa.
>
> Deve ter um modo mais elegante para mostrar que a proposição é fasla.
>
> Sds,
> PJMS
>
>
>
>
>
>
> Em 5 de setembro de 2017 10:16, Pedro José  escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> Eu pensei que entendera, porém, os números não são sequenciais.
>> Se nós tivermos dois números consecutivos F_j e F_j+1  congruentes módulo
>> m, pela lei de geração da sequencia de Fibonacci teremos que F_j-1 = 0
>> módulo m.
>> O enunciado deveria ter uma restrição ... existe um número de Fibonacci, não
>> nulo, que é múltiplo n, para evitar a corrente que considera zero como o
>> primeiro termo da sequencia, pois, aí ficaria elementar a solução.
>> Acho que o caminho é provar que como F_1 = F_2  ==> que para algum j
>> : F_j = F_j+1 módulo m o que leva a F_j-1= 0 módulo m.
>> Mas por casa de pombo só não daria, por exemplo, se consideramos A_1 = 3
>> e A_2 = 7 e Ai = A_i-1 + A_i-2, não haveria um número múltiplo de 8.
>> A sequência mod 8 ficaria: 3, 7, 2, 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4, 3, 7, 2,
>> 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4...
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em 4 de setembro de 2017 16:48, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>>
>>> Nehab,
>>>
>>> não consegui entender o restante da solução, mas ele usou o sinal de
>>> igual para congruência por comodidade de edição, e até pela lei de formação
>>> da sequência, só o segundo e terceiro termos são iguais, quando se admite
>>> que comece de zero, ou os dois primeiros, para a corrente que não considera
>>> como o primeiro termo da sequencia..
>>> Por exemplo, 13 = 23 mod 10 mas (13, 23) = 1. Portanto, não fere o
>>> princípio de que dois números consecutivos na sequência de Fibonacci sejam
>>> primos entre si.
>>> Até aí captei e entendi, pelo princípio da casa de pombos. Estou
>>> tentando entender o restante.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>> Em 4 de setembro de 2017 14:53, Carlos Nehab 
>>> escreveu:
>>>
 Oi, Douglas.

 Acho que o mdc entre Fibbonaccis consecutivos é sempre 1...

 Nehab


 
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 de vírus. www.avast.com
 .

 <#m_-112899321461919009_m_4365848760417512581_m_408333944165922029_m_4928629599140568768_m_2006884623661450834_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

 Em 4 de setembro de 2017 07:24, Anderson Torres <
 torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima
>  escreveu:
> > Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe
> um
> > número de Fibonacci que é múltiplo de n?
>
> Casa dos Pombos! Maybe?
>
> Bem, pegue os pares de Fibonaccis consecutivos, (F0, F1), (F1, F2),
> (F2, F5),... módulo M.
>
> Por PCP, dois deles , digamos (Fk, F(k+1)) e (F(k+j),F(k+j+1)) serão
> iguais.
>
> Assim, Fk=F(k+j) e F(k+1)=F(k+j+1).
>
> Mas aí, F(k+1)-F(k)=F(k+j+1)-F(k+j) e portanto F(k-1) = F(k+j-1).
>
> Prosseguindo dessa forma, chegaremos em F(j)=F(0)=0.
>
>
>
> >
> > Douglas Oliveira.
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> 
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> 
> =
>


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

2017-09-05 Por tôpico Pedro José

Boa tarde!

Douglas,

esse problema você viu em algum local ou foi uma conjectura sua?

Fiz em computador a sequência de Fibonacci mod 29791, o o F_14 = 377
mod29791 e F_15 = 610 mod2971 e F_28844 = 377 mod29791 e F_28845 = 610
mod29791, o que caracteriza que haverá um padrão de repetição na geração
dos números de Fibonacci mod 29791. E como não tem um elemento F_i = 0 mod
para i <28844, não haverá mais nenhum termo F_j = 0. Pois para qualquer j
>= 28844 haverá um i < 28844, onde F_j = F_i <>0 mod 29791, logo 29791, não
tem um único múltiplo na sequência de Fibonacci e portanto, a hipótese é
falsa.

Deve ter um modo mais elegante para mostrar que a proposição é fasla.

Sds,
PJMS






Em 5 de setembro de 2017 10:16, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> Eu pensei que entendera, porém, os números não são sequenciais.
> Se nós tivermos dois números consecutivos F_j e F_j+1  congruentes módulo
> m, pela lei de geração da sequencia de Fibonacci teremos que F_j-1 = 0
> módulo m.
> O enunciado deveria ter uma restrição ... existe um número de Fibonacci, não
> nulo, que é múltiplo n, para evitar a corrente que considera zero como o
> primeiro termo da sequencia, pois, aí ficaria elementar a solução.
> Acho que o caminho é provar que como F_1 = F_2  ==> que para algum j : F_j
> = F_j+1 módulo m o que leva a F_j-1= 0 módulo m.
> Mas por casa de pombo só não daria, por exemplo, se consideramos A_1 = 3 e
> A_2 = 7 e Ai = A_i-1 + A_i-2, não haveria um número múltiplo de 8.
> A sequência mod 8 ficaria: 3, 7, 2, 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4, 3, 7, 2, 1,
> 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4...
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em 4 de setembro de 2017 16:48, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa tarde!
>>
>> Nehab,
>>
>> não consegui entender o restante da solução, mas ele usou o sinal de
>> igual para congruência por comodidade de edição, e até pela lei de formação
>> da sequência, só o segundo e terceiro termos são iguais, quando se admite
>> que comece de zero, ou os dois primeiros, para a corrente que não considera
>> como o primeiro termo da sequencia..
>> Por exemplo, 13 = 23 mod 10 mas (13, 23) = 1. Portanto, não fere o
>> princípio de que dois números consecutivos na sequência de Fibonacci sejam
>> primos entre si.
>> Até aí captei e entendi, pelo princípio da casa de pombos. Estou tentando
>> entender o restante.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em 4 de setembro de 2017 14:53, Carlos Nehab 
>> escreveu:
>>
>>> Oi, Douglas.
>>>
>>> Acho que o mdc entre Fibbonaccis consecutivos é sempre 1...
>>>
>>> Nehab
>>>
>>>
>>> 
>>>  Livre
>>> de vírus. www.avast.com
>>> .
>>>
>>> <#m_4365848760417512581_m_408333944165922029_m_4928629599140568768_m_2006884623661450834_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>>
>>> Em 4 de setembro de 2017 07:24, Anderson Torres <
>>> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima
  escreveu:
 > Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe um
 > número de Fibonacci que é múltiplo de n?

 Casa dos Pombos! Maybe?

 Bem, pegue os pares de Fibonaccis consecutivos, (F0, F1), (F1, F2),
 (F2, F5),... módulo M.

 Por PCP, dois deles , digamos (Fk, F(k+1)) e (F(k+j),F(k+j+1)) serão
 iguais.

 Assim, Fk=F(k+j) e F(k+1)=F(k+j+1).

 Mas aí, F(k+1)-F(k)=F(k+j+1)-F(k+j) e portanto F(k-1) = F(k+j-1).

 Prosseguindo dessa forma, chegaremos em F(j)=F(0)=0.



 >
 > Douglas Oliveira.
 >
 >
 > --
 > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 > acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 
 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =

>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

2017-09-05 Por tôpico Pedro José

Bom dia!

Eu pensei que entendera, porém, os números não são sequenciais.
Se nós tivermos dois números consecutivos F_j e F_j+1  congruentes módulo
m, pela lei de geração da sequencia de Fibonacci teremos que F_j-1 = 0
módulo m.
O enunciado deveria ter uma restrição ... existe um número de Fibonacci, não
nulo, que é múltiplo n, para evitar a corrente que considera zero como o
primeiro termo da sequencia, pois, aí ficaria elementar a solução.
Acho que o caminho é provar que como F_1 = F_2  ==> que para algum j : F_j
= F_j+1 módulo m o que leva a F_j-1= 0 módulo m.
Mas por casa de pombo só não daria, por exemplo, se consideramos A_1 = 3 e
A_2 = 7 e Ai = A_i-1 + A_i-2, não haveria um número múltiplo de 8.
A sequência mod 8 ficaria: 3, 7, 2, 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4, 3, 7, 2, 1,
3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4...

Saudações,
PJMS


Em 4 de setembro de 2017 16:48, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
>
> Nehab,
>
> não consegui entender o restante da solução, mas ele usou o sinal de igual
> para congruência por comodidade de edição, e até pela lei de formação da
> sequência, só o segundo e terceiro termos são iguais, quando se admite que
> comece de zero, ou os dois primeiros, para a corrente que não considera
> como o primeiro termo da sequencia..
> Por exemplo, 13 = 23 mod 10 mas (13, 23) = 1. Portanto, não fere o
> princípio de que dois números consecutivos na sequência de Fibonacci sejam
> primos entre si.
> Até aí captei e entendi, pelo princípio da casa de pombos. Estou tentando
> entender o restante.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em 4 de setembro de 2017 14:53, Carlos Nehab 
> escreveu:
>
>> Oi, Douglas.
>>
>> Acho que o mdc entre Fibbonaccis consecutivos é sempre 1...
>>
>> Nehab
>>
>>
>> 
>>  Livre
>> de vírus. www.avast.com
>> .
>>
>> <#m_408333944165922029_m_4928629599140568768_m_2006884623661450834_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
>> Em 4 de setembro de 2017 07:24, Anderson Torres <
>> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima
>>>  escreveu:
>>> > Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe um
>>> > número de Fibonacci que é múltiplo de n?
>>>
>>> Casa dos Pombos! Maybe?
>>>
>>> Bem, pegue os pares de Fibonaccis consecutivos, (F0, F1), (F1, F2),
>>> (F2, F5),... módulo M.
>>>
>>> Por PCP, dois deles , digamos (Fk, F(k+1)) e (F(k+j),F(k+j+1)) serão
>>> iguais.
>>>
>>> Assim, Fk=F(k+j) e F(k+1)=F(k+j+1).
>>>
>>> Mas aí, F(k+1)-F(k)=F(k+j+1)-F(k+j) e portanto F(k-1) = F(k+j-1).
>>>
>>> Prosseguindo dessa forma, chegaremos em F(j)=F(0)=0.
>>>
>>>
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>>> >
>>> > Douglas Oliveira.
>>> >
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>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
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>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

2017-09-04 Por tôpico Pedro José

Boa tarde!

Nehab,

não consegui entender o restante da solução, mas ele usou o sinal de igual
para congruência por comodidade de edição, e até pela lei de formação da
sequência, só o segundo e terceiro termos são iguais, quando se admite que
comece de zero, ou os dois primeiros, para a corrente que não considera
como o primeiro termo da sequencia..
Por exemplo, 13 = 23 mod 10 mas (13, 23) = 1. Portanto, não fere o
princípio de que dois números consecutivos na sequência de Fibonacci sejam
primos entre si.
Até aí captei e entendi, pelo princípio da casa de pombos. Estou tentando
entender o restante.

Saudações,
PJMS

Em 4 de setembro de 2017 14:53, Carlos Nehab 
escreveu:

> Oi, Douglas.
>
> Acho que o mdc entre Fibbonaccis consecutivos é sempre 1...
>
> Nehab
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
>
> <#m_4928629599140568768_m_2006884623661450834_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> Em 4 de setembro de 2017 07:24, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>> Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima
>>  escreveu:
>> > Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe um
>> > número de Fibonacci que é múltiplo de n?
>>
>> Casa dos Pombos! Maybe?
>>
>> Bem, pegue os pares de Fibonaccis consecutivos, (F0, F1), (F1, F2),
>> (F2, F5),... módulo M.
>>
>> Por PCP, dois deles , digamos (Fk, F(k+1)) e (F(k+j),F(k+j+1)) serão
>> iguais.
>>
>> Assim, Fk=F(k+j) e F(k+1)=F(k+j+1).
>>
>> Mas aí, F(k+1)-F(k)=F(k+j+1)-F(k+j) e portanto F(k-1) = F(k+j-1).
>>
>> Prosseguindo dessa forma, chegaremos em F(j)=F(0)=0.
>>
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>> > Douglas Oliveira.
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>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
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>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

2017-09-04 Por tôpico Carlos Nehab

Oi, Douglas.

Acho que o mdc entre Fibbonaccis consecutivos é sempre 1...

Nehab


Livre
de vírus. www.avast.com
.
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Em 4 de setembro de 2017 07:24, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima
>  escreveu:
> > Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe um
> > número de Fibonacci que é múltiplo de n?
>
> Casa dos Pombos! Maybe?
>
> Bem, pegue os pares de Fibonaccis consecutivos, (F0, F1), (F1, F2),
> (F2, F5),... módulo M.
>
> Por PCP, dois deles , digamos (Fk, F(k+1)) e (F(k+j),F(k+j+1)) serão
> iguais.
>
> Assim, Fk=F(k+j) e F(k+1)=F(k+j+1).
>
> Mas aí, F(k+1)-F(k)=F(k+j+1)-F(k+j) e portanto F(k-1) = F(k+j-1).
>
> Prosseguindo dessa forma, chegaremos em F(j)=F(0)=0.
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> > Douglas Oliveira.
> >
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> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
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> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

2017-09-04 Por tôpico Anderson Torres

Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima
 escreveu:
> Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe um
> número de Fibonacci que é múltiplo de n?

Casa dos Pombos! Maybe?

Bem, pegue os pares de Fibonaccis consecutivos, (F0, F1), (F1, F2),
(F2, F5),... módulo M.

Por PCP, dois deles , digamos (Fk, F(k+1)) e (F(k+j),F(k+j+1)) serão iguais.

Assim, Fk=F(k+j) e F(k+1)=F(k+j+1).

Mas aí, F(k+1)-F(k)=F(k+j+1)-F(k+j) e portanto F(k-1) = F(k+j-1).

Prosseguindo dessa forma, chegaremos em F(j)=F(0)=0.



>
> Douglas Oliveira.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

2017-09-01 Por tôpico Pedro José

Bom dia!

Desculpem-me, mas fiz lambança, a fatoração pode ter primos repetidos, ou
seja elevados a algum expoente diferente de 1.
Destarte, a solução acima não atende. Tenho que se procurar mais.

Em 31 de agosto de 2017 20:29, Pedro José  escreveu:

> Boa noite!
>
> Desculpe-me, mas não entendi.
> Para usar a propriedade acima, teria que provar que o número natural w (no
> proposto pelo Douglas era n, mudei para não confundir) divide f_{(m,n)}, o
> que dá mesmo.
> Por exemplo se fizer m= 278 e n = 2085, (m,n) = 139 então f_139 =
> (f_278,f_2085). Todavia como provar que existe um múltiplo de Fibonacci que
> é múltiplo de 139, usando a propriedade acima?
>
> Creio que você pode pegar a demonstração que para todo número p primo,
> p<>5 ; p | F_p^2-1, no livro *Teoria dos Números: Um Passeio com Primos e
> Outros Números Familiares Pelo Mundo Inteiro* cap. 6, exemplo 6.2.2.
> Utilizar a propriedade que se a | b ==> F_a | F_b e por conseguinte se x |
> F_a ==> x | F_ka, a,b,k e x naturais.
>
> Como F_5 = 5, existe um número de Fibonacci que é múltiplo de 5.
>
> Agora se fatora n= p1 p2 p3 ...pj
> e para cada pi,  1<= i <= j calcula-se ai = pi^2-1 se p<>5 e ai = pi se
> p=5. e acha-se o k= mmc(a1, a2, a3,..., aj-1, aj) e n| F_k.
>
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em 31 de agosto de 2017 18:26, Esdras Muniz 
> escreveu:
>
>> Usa que f_{(m,n)}=(f_m, f_n)
>> Onde (a,b)=mdc(a,b).
>>
>> Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe um
>>> número de Fibonacci que é múltiplo de n?
>>>
>>> Douglas Oliveira.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esdras Muniz Mota
>> Mestrando em Matemática
>> Universidade Federal do Ceará
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

2017-08-31 Por tôpico Pedro José

Boa noite!

Desculpe-me, mas não entendi.
Para usar a propriedade acima, teria que provar que o número natural w (no
proposto pelo Douglas era n, mudei para não confundir) divide f_{(m,n)}, o
que dá mesmo.
Por exemplo se fizer m= 278 e n = 2085, (m,n) = 139 então f_139 =
(f_278,f_2085). Todavia como provar que existe um múltiplo de Fibonacci que
é múltiplo de 139, usando a propriedade acima?

Creio que você pode pegar a demonstração que para todo número p primo, p<>5
; p | F_p^2-1, no livro *Teoria dos Números: Um Passeio com Primos e Outros
Números Familiares Pelo Mundo Inteiro* cap. 6, exemplo 6.2.2.
Utilizar a propriedade que se a | b ==> F_a | F_b e por conseguinte se x |
F_a ==> x | F_ka, a,b,k e x naturais.

Como F_5 = 5, existe um número de Fibonacci que é múltiplo de 5.

Agora se fatora n= p1 p2 p3 ...pj
e para cada pi,  1<= i <= j calcula-se ai = pi^2-1 se p<>5 e ai = pi se
p=5. e acha-se o k= mmc(a1, a2, a3,..., aj-1, aj) e n| F_k.


Saudações,
PJMS.

Em 31 de agosto de 2017 18:26, Esdras Muniz 
escreveu:

> Usa que f_{(m,n)}=(f_m, f_n)
> Onde (a,b)=mdc(a,b).
>
> Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe um
>> número de Fibonacci que é múltiplo de n?
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
>
> --
> Esdras Muniz Mota
> Mestrando em Matemática
> Universidade Federal do Ceará
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

2017-08-31 Por tôpico Esdras Muniz

Usa que f_{(m,n)}=(f_m, f_n)
Onde (a,b)=mdc(a,b).

Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe um
> número de Fibonacci que é múltiplo de n?
>
> Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

2017-08-31 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima

Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe um
número de Fibonacci que é múltiplo de n?

Douglas Oliveira.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Fibonacci

2013-03-31 Por tôpico marcone augusto araújo borges

Prove por indução que F_3n =  F^3_n + F^3_(n+1) - F^3_(n-1) 
  
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

RE: [obm-l] Fibonacci

2013-03-31 Por tôpico João Maldonado

Eu fiz assim: 


From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Fibonacci
Date: Sun, 31 Mar 2013 13:58:40 +

Prove por indução que F_3n =  F^3_n + F^3_(n+1) - F^3_(n-1) 
  
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Fibonacci

2012-04-25 Por tôpico marcone augusto araújo borges


Prove que F_km é divisível por F_m(use indução em k)
Agradeço a quem puder ajudar.

Re: [obm-l] Fibonacci

2012-04-25 Por tôpico Carlos Nehab


Oi Marcone,

A forma mais simples de provar esta joça é usar duas coisinhas:

1) a^(km) - b^(km) é divisível por a^m - b^m   e
2) a formuleta do Binet para o termo geral da sequência de Fibonacci...

Tente! Na verdade esta estratégia mata zilhões de propriedades 
envolvendo Fibonacci de forma muito, mas muito simples.


Abraços
Nehab

Em 25/04/2012 09:21, marcone augusto araújo borges escreveu:

Prove que F_km é divisível por F_m(use indução em k)
Agradeço a quem puder ajudar.

Re: [obm-l] Fibonacci

2012-04-25 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa

2012/4/25 Carlos Nehab carlos.ne...@gmail.com:
 Oi Marcone,

 A forma mais simples de provar esta joça é usar duas coisinhas:

 1) a^(km) - b^(km) é divisível por a^m - b^m   e
 2) a formuleta do Binet para o termo geral da sequência de Fibonacci...
The chato Strikes Back

Claro que o raiz(5) do denominador vai pros dois F_(km) e F_m. O
problema é que o outro fator, a saber

a^{(k-1)m} + a^{(k-2)m} * b + ... + b^{(k-1)m}

tem um montão de números irracionais (começando com a e b,
respectivamente (raiz(5) - 1)/2 e (raiz(5) + 1)/2, que eu chamo de
phi-zinho e Phi-zão). Claro que F_(km) e F_m são inteiros (não é ?) e
portanto o outro fator é, apesar dos pesares (irracionais),
racional. Então, ainda tem um pouquinho de trabalho (e talvez um
montão...) pra provar que essa galera toda somada dá um número
inteiro.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Fibonacci

2012-04-25 Por tôpico Carlos Yuzo Shine

Eu acho que cheguei atrasado à discussão, mas, enfim, o modo como provo que F_m 
divide F_{km} (é isso que era para provar?) é ver tudo módulo F_m (= aqui vai 
significar congruente mód F_m): F_m = 0 e F_{m+1} = F_{m-1} e a partir daí, 
como é usual, F_{m+n} = F_{m+n-1} + F_{m+n-2}. Mas isso é o mesmo que Fibonacci 
multiplicado por F_{m-1}, ou seja, F_{m+n} = F_{m-1}*F_n. Em particular, F_{2m} 
= F_{m-1}*F_m = 0. E F_{2m+1} = F_{m-1}^2. Não é difícil ver, então, e prova-se 
por indução, que F_{km+n} = (F_{m-1})^kF_n, e considerando que F_m e F_{m-1} 
são primos entre si (use o algoritmo de Euclides para provar isso), temos na 
verdade que F_m divide F_n *se, e somente se,* m divide n.

[]'s
Shine


- Original Message -
From: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: 
Sent: Wednesday, April 25, 2012 12:29 PM
Subject: Re: [obm-l] Fibonacci

2012/4/25 Carlos Nehab carlos.ne...@gmail.com:
 Oi Marcone,

 A forma mais simples de provar esta joça é usar duas coisinhas:

 1) a^(km) - b^(km) é divisível por a^m - b^m   e
 2) a formuleta do Binet para o termo geral da sequência de Fibonacci...
The chato Strikes Back

Claro que o raiz(5) do denominador vai pros dois F_(km) e F_m. O
problema é que o outro fator, a saber

a^{(k-1)m} + a^{(k-2)m} * b + ... + b^{(k-1)m}

tem um montão de números irracionais (começando com a e b,
respectivamente (raiz(5) - 1)/2 e (raiz(5) + 1)/2, que eu chamo de
phi-zinho e Phi-zão). Claro que F_(km) e F_m são inteiros (não é ?) e
portanto o outro fator é, apesar dos pesares (irracionais),
racional. Então, ainda tem um pouquinho de trabalho (e talvez um
montão...) pra provar que essa galera toda somada dá um número
inteiro.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] Fibonacci

2012-04-08 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa

2012/4/8 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com:
 Ola'  Gabriel,
 se cada casal viver por k+0.5 meses (0.5 e' para nao haver confusao
 sobre a geracao de descendentes no momento em que o casal morre),
 entao basta voce subtrair a quantidade de coelhos com idade igual ou
 mais velhos que k+1 meses.
 Assim, a resposta para o seu problema seria
 F(n) - F(n-k-1)
Bom, vou dizer que eu achei estranha essa resposta porque a sua
seqüência satisfaz a mesma recorrência que o problema original,
enquanto que eu acho que a recorrência aqui é

G(n+k+2) = G(n+k+1) + G(n+k) - G(n)

(Ou seja, entre o mês n+k+1 e o seguinte, os coelhos que têm mais de 1
mês geram um novo casal, o que corresponde ao termo + G(n+k), e os
que são bem velhinhos morrem, o que dá o termo - G(n) ; isso dá
k+1+0.5 meses de vida para os coelhos, seguindo a sua idéia).

Ora,

F(n+k+2) - F(n+alfa+2) = F(n+k+1) + F(n+k) - (F(n+alfa+1) + F(n+alfa))
= [F(n+k+1) - F(n+alfa+1)] + [F(n+k) - F(n+alfa)]

que é a recorrência de Fibonacci (claro) para X(n) = F(n+k) -
F(n+alfa). A mesma demonstração diz que nenhuma combinação de F(n)'s
pode ser solução da recorrência modificada.

Daí eu acho que você esqueceu de subtrair também os filhos que F(n)
inclui para os coelhos velhos demais.

Quanto à recorrência que eu propus acima, eu acho que ela é bem mais
chata de resolver porque o polinômio característico depende de k;
x^(k+2) = x^(k+1) + x^k - 1.

Sem computador, você já pode perceber que há sempre uma solução x = 1.
Se k for ímpar, você também tem x = -1. Também sem computador, você
pode acreditar que a maior solução é sempre menor do que Phi = (1 +
raiz(5))/2, porque tem que haver menos coelhos do que no caso que eles
são imortais, e você pode até chutar que a maior solução é
crescente. Com um computador, você pode continuar chutando: as
raízes reais são apenas as que eu mostrei acima, e as outras são
complexas de módulo menor do que 1. Talvez dê pra provar isso sem
muito trabalho, mas sei lá. Eu acho que a gente também pode chutar que
o módulo delas é maior do que o módulo de phi = (1 - raiz(5))/2, mas
eu não tenho grandes justificativas pra isso não. Também parece que o
módulo delas tende a 1 (ou seja de todas as raízes exceto a maior), e
talvez isso seja mais fácli de demonstrar.

Ah, outra coisa importante de chutar (depois disso tudo) é que as
raízes são todas simples, porque daí basta saber qual é a maior, e o
coeficiente das raízes 1 e -1 para achar os valores para n grande por
truncamento ;)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
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Re: [obm-l] Fibonacci

2012-04-08 Por tôpico Gabriel Guedes

Oi amigos da lista.
Bernardo, mas ai estaria implícito nas suas hipóteses que a quantidade dos
que morrem é igual as do que nasceram a certo tempo atrás. Acredito que
deveriam existir três relações F para os nascimentos ( que é a seq de
Fibonacci que conhecemos). G uma outra para a morte dos coelhos. E uma H em
função de F e G para modelar o novo problema.
O que acha?

Em 8 de abril de 2012 03:49, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2012/4/8 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com:
  Ola'  Gabriel,
  se cada casal viver por k+0.5 meses (0.5 e' para nao haver confusao
  sobre a geracao de descendentes no momento em que o casal morre),
  entao basta voce subtrair a quantidade de coelhos com idade igual ou
  mais velhos que k+1 meses.
  Assim, a resposta para o seu problema seria
  F(n) - F(n-k-1)
 Bom, vou dizer que eu achei estranha essa resposta porque a sua
 seqüência satisfaz a mesma recorrência que o problema original,
 enquanto que eu acho que a recorrência aqui é

 G(n+k+2) = G(n+k+1) + G(n+k) - G(n)

 (Ou seja, entre o mês n+k+1 e o seguinte, os coelhos que têm mais de 1
 mês geram um novo casal, o que corresponde ao termo + G(n+k), e os
 que são bem velhinhos morrem, o que dá o termo - G(n) ; isso dá
 k+1+0.5 meses de vida para os coelhos, seguindo a sua idéia).

 Ora,

 F(n+k+2) - F(n+alfa+2) = F(n+k+1) + F(n+k) - (F(n+alfa+1) + F(n+alfa))
 = [F(n+k+1) - F(n+alfa+1)] + [F(n+k) - F(n+alfa)]

 que é a recorrência de Fibonacci (claro) para X(n) = F(n+k) -
 F(n+alfa). A mesma demonstração diz que nenhuma combinação de F(n)'s
 pode ser solução da recorrência modificada.

 Daí eu acho que você esqueceu de subtrair também os filhos que F(n)
 inclui para os coelhos velhos demais.

 Quanto à recorrência que eu propus acima, eu acho que ela é bem mais
 chata de resolver porque o polinômio característico depende de k;
 x^(k+2) = x^(k+1) + x^k - 1.

 Sem computador, você já pode perceber que há sempre uma solução x = 1.
 Se k for ímpar, você também tem x = -1. Também sem computador, você
 pode acreditar que a maior solução é sempre menor do que Phi = (1 +
 raiz(5))/2, porque tem que haver menos coelhos do que no caso que eles
 são imortais, e você pode até chutar que a maior solução é
 crescente. Com um computador, você pode continuar chutando: as
 raízes reais são apenas as que eu mostrei acima, e as outras são
 complexas de módulo menor do que 1. Talvez dê pra provar isso sem
 muito trabalho, mas sei lá. Eu acho que a gente também pode chutar que
 o módulo delas é maior do que o módulo de phi = (1 - raiz(5))/2, mas
 eu não tenho grandes justificativas pra isso não. Também parece que o
 módulo delas tende a 1 (ou seja de todas as raízes exceto a maior), e
 talvez isso seja mais fácli de demonstrar.

 Ah, outra coisa importante de chutar (depois disso tudo) é que as
 raízes são todas simples, porque daí basta saber qual é a maior, e o
 coeficiente das raízes 1 e -1 para achar os valores para n grande por
 truncamento ;)

 Abraços,
 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] Fibonacci

2012-04-08 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa

2012/4/8 Gabriel Guedes g.a.gue...@gmail.com:
 Oi amigos da lista.
 Bernardo, mas ai estaria implícito nas suas hipóteses que a quantidade dos
 que morrem é igual as do que nasceram a certo tempo atrás.
Ué, não foi isso que você quis dizer com morrem após um determinado
período de tempo?

Eu interpretei dizendo: os coelhos nascidos há k + 1 meses morrem. No
tempo n+k+2, os que nasceram há k+1 meses foram os que nasceram no
tempo n+1, e disse que valia G(n), porque eu não prestei atenção.
Primeiro, deveria ser somente G(n-1), porque os do tempo G(n) contém
também os que acabaram de nascer e que portanto não geraram filho
nenhum.

Mas o erro mais sério (como eu acho que você percebeu) é que os
coelhos que estavam vivos no tempo G(n-1) talvez já tenham morrido no
tempo G(n) e portanto não teriam tido tempo de fazer um filho para o
tempo n+1.

  Acredito que
 deveriam existir três relações F para os nascimentos ( que é a seq de
 Fibonacci que conhecemos). G uma outra para a morte dos coelhos. E uma H em
 função de F e G para modelar o novo problema.
 O que acha?
Eu acho que é por aí, mas eu não tenho certeza que F(n) aparecerá.

Como eu disse aí em cima, o chato é você saber quantos nasceram no
tempo n. Chamemos esta relação de N(n) para nascimentos. Os que
morrem no tempo (n+k) são exatamente os que nasceram no tempo n. Seja
C(n) o número de coelhos total. Vamos tentar fazer uma relação de
recorrência.

C(n+k+1) = C(n+k) + N(n+k) - N(n)
- no tempo n+k+1, nascem e morrem alguns coelhos, cuja esperança de
vida é k meses.

O número de nascimentos no tempo n+k é igual ao número de coelhos, do
tempo n+k, em idade de reproduzir. Ou seja, os coelhos nascidos há
mais de um mês, e há menos de k meses. Os nascidos há mais de um mês
são C(n+k-1). Dentre estes, os que nasceram há k meses, ou seja
N(n-1), morreram. Portanto N(n+k) = C(n+k-1) - N(n-1).

Isso dá um sistema de recorrências que deve dar pra resolver. Se eu
não me enganei nas contas,

N(n+k+2) = N(n+k+1) + N(n+k) - N(n+1)

que (olhe só que a coincidência!) é a primeira recorrência que eu
tinha indicado. Porque realmente eu estava mais pensando em
nascimentos do que em totais. Veja que faz sentido: os que nascem no
tempo n+k+2 são os que nasceram antes, mais os que vão poder nascer
dado ao envelhecimento dos mais jovens (que nasceram há exatamente 2
meses atrás, e portanto não haviam contribuído a N(n+k+1), mas agora
vão começar a se multiplicar) menos os que acabaram de bater as botas.
Daí para calcular C(n) é um pulinho, pela segunda equação.

Bom problema! Mas acho que pela dificuldade prática de cálculo (eu
continuo acreditando em uma solução diferente por cada k diferente) é
menos elementar do que o Fibonacci original.

Abraços(n+k+3),
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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[obm-l] Fibonacci

2012-04-07 Por tôpico Gabriel Guedes

Caros colegas da lista,
alguem conhece um texto sobre o problema dos coelhos  de Fibonacci,
mas que troque a hipótese dos coelhos nunca morrerem, por uma hipótese
dos coelhos morrerem após um determinado período de tempo?
Atenciosamente,
Gabriel Guedes

Re: [obm-l] Fibonacci

2012-04-07 Por tôpico Rogerio Ponce

Ola'  Gabriel,
se cada casal viver por k+0.5 meses (0.5 e' para nao haver confusao
sobre a geracao de descendentes no momento em que o casal morre),
entao basta voce subtrair a quantidade de coelhos com idade igual ou
mais velhos que k+1 meses.
Assim, a resposta para o seu problema seria
F(n) - F(n-k-1)

[]'s
Rogerio Ponce

PS: para quem nao sabe, o problema dos coelhos e' o seguinte:
 Coloca-se um casal de coelhos recem-nascidos em um jardim.
Sabendo-se que a cada mes, a partir dos dois meses de idade, cada
casal de coelhos da' origem a um novo casal, quantos casais de coelhos
havera' no jardim ao fim de n meses? 

Resposta:
 Ao final do mes n, havera' F(n) casais, onde
 F(0)=1
 F(1)=1
 F(n)=F(n-1)+F(n-2)



Em 07/04/12, Gabriel Guedesg.a.gue...@gmail.com escreveu:
 Caros colegas da lista,
 alguem conhece um texto sobre o problema dos coelhos  de Fibonacci,
 mas que troque a hipótese dos coelhos nunca morrerem, por uma hipótese
 dos coelhos morrerem após um determinado período de tempo?
 Atenciosamente,
 Gabriel Guedes


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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci e Razão Áurea

2010-10-28 Por tôpico Johann Dirichlet

Poxa, alguém tem um exemplo de uma sequencia x_n que sempre é positiva
mas o limite não é?
Eu acho que 1/n tende a zero sempre sendo maior que zero, mas tem que
tomar cuidado com o estritamente positivo.

P.S.: um treco legal sobre racionais tendendo a irracionais é o artigo
do Gugu na Eureka! 3, sobre frações contínuas. Se eu não me engano os
F/F são reduzidas da fração contínua da razão áurea.


Em 27/10/10, Ralph Teixeiraralp...@gmail.com escreveu:
 Como pode uma razão de números inteiros convergir para um número irracional
 ?

 Bom, como ilustração, pi é irracional, e é o limite da sequencia:

 3
 3,1=31/10
 3,14=314/100
 3,141=3141/1000
 3,1415=31415/1
 ...

 Acho que este exemplo deve te convencer que qualquer número irracional é
 limite de uma sequencia de racionais (razões entre inteiros).

 ---///---

 Para ponderar: raciocínios do tipo: se cada x_n tem a propriedade P, então
 lim(x_n) tem a propriedade P são muito naturais. Infelizmente, este tipo de
 raciocínio está frequentemente errado! Por exemplo, seu espanto acima seria
 representado pela frase:

 se cada x_n é racional (quociente de inteiros), então lim(x_n), se existir,
 também será.
 (FALSO!)

 Outras frases FALSAS do mesmo tipo (todos os limites são quando n-+Inf):
 se cada x_n é positivo, então lim(x_n) é positivo.
 se cada x_n é menor que 1, então lim(x_n) é menor que 1 (que, no fundo no
 fundo, é o problema que o pessoal tem com 0,9...=1)
 se cada uma das funções f_n(x) é contínua, então f(x)=lim f_n(x) é
 contínua
 se cada uma das funções f_n(x) é derivável, então f(x)=lim f_n(x) é
 derivável

 Bom, e assim por diante. O que eu quero dizer é que passar um raciocínio
 ao limite é perigoso (mas, quando funciona, é bem legal)

 Abraço,

 Ralph


 2010/10/27 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br

   Pessoal,

 Pelo que lembro, a razão entre dois números consecutivos(an+1/an), da
 sequência Fibonacci converge para 1,61834 quando n tende a infinito.
 Porém, pelo que lembro, tb, este número é um número irracional.

 Como pode uma razão de números inteiros convergir para um número
 irracional
 ?

 Abs
 Felipe





-- 
/**/
Quadrinista e Taverneiro!

http://tavernadofimdomundo.blogspot.com  Quadrinhos, histórioas e afins
http://baratoeletrico.blogspot.com / Um pouco sobre elétrons em movimento
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[obm-l] Fibonacci e Razão Áurea

2010-10-27 Por tôpico luiz silva

Pessoal,
 
Pelo que lembro, a razão entre dois números consecutivos(an+1/an), da sequência 
Fibonacci converge para 1,61834 quando n tende a infinito. Porém, pelo que 
lembro, tb, este número é um número irracional.
 
Como pode uma razão de números inteiros convergir para um número irracional ?
 
Abs
Felipe

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci e Razão Áurea

2010-10-27 Por tôpico Adalberto Dornelles

Olá,

Outra questão interessante é perceber que dizer que uma sequência {a_k}
converge para L não implica que a_j = L para algum j. Caso contrário, no
exemplo da sequência de Fibonacci, L = phi deveria ser racional.

Adalberto


Em 27 de outubro de 2010 13:41, Daniel da Silva Nunes
klein...@globo.comescreveu:

 Pois é! Interessante, não? Uma das formas de ver isso é por indução sobre n
 e usando a definição da seqüência de Fibonacci:

 a_(n+1) = a_n + a_(n-1)

 a_2 = 1
 a_1 = 0

 (não faz muita diferença os termos iniciais da sequência, desde que, claro,
 funcionem para frente)

 Note que, para a_3, a_2 e a_1, temos o arranjo abaixo:

 Q_2 = a_3/a_2 = (a_2 + a_1)/a_2 = 1 + a_2/a_1 = 1 + 1/(a_1/a_2) = 1

 A partir daí é fácil provar por indução que a_(n+1)/a_n pode ser escrito
 como fração contínua com todos os termos iguais a 1, salvo o último, pois

 Q_n = a_(n+1) / a_n = 1 + 1/(a_n/a_(n-1)) = 1 + 1/Q_(n-1)

 Com isso, quando n tende a infinito, a razão tende à fração contínua com
 todos os termos iguais a um:

 Q_n -- Q = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + . = [1;1,1,1,1,1,1...]

 Para descobrir seu valor, note que Q = 1 + 1/Q.

 Q é a raiz positiva, justamente a razão áurea (1 + raiz(5))/ 2.

 Outra forma poderia ser através da relação de recorrência usando o
 polinômio característico (não tentei). Lá você consegue ver como os
 irracionais servem para formar cada número de Fibonacci!

 []s,
 Daniel
 Em 27 de outubro de 2010 12:15, luiz silva 
 luizfelipec...@yahoo.com.brescreveu:

Pessoal,

 Pelo que lembro, a razão entre dois números consecutivos(an+1/an), da
 sequência Fibonacci converge para 1,61834 quando n tende a infinito.
 Porém, pelo que lembro, tb, este número é um número irracional.

 Como pode uma razão de números inteiros convergir para um número
 irracional ?

 Abs
 Felipe

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci e Razão Áurea

2010-10-27 Por tôpico luiz silva

Ola Bernardo,
 
E é possível encontrar a série para qqer irracional algébrico(não sei se usei o 
termo certo), tipo 2^(1/2) ou x^(a/b) , com a,b e x naturais, e outros ?
 
De qqer forma, é muito estranho, contra-intuitivosinistro...rsrsO que 
parece é que todo limite que dá oo/oo representa, na realidade, um irracional.
 
Abs
Felipe

--- Em qua, 27/10/10, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com 
escreveu:


De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci e Razão Áurea
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 27 de Outubro de 2010, 13:00


2010/10/27 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br
 Pessoal,

 Pelo que lembro, a razão entre dois números consecutivos(an+1/an), da 
 sequência Fibonacci converge para 1,61834 quando n tende a infinito. 
 Porém, pelo que lembro, tb, este número é um número irracional.

 Como pode uma razão de números inteiros convergir para um número irracional ?
Felipe: o problema é que os racionais e os irracionais formam um
queijo infinitamente esburacado. Você pode pensar os racionais como
o queijo, e os irracionais como os buracos. Você tem uma poeirinha
de queijo, que tem buracos infinitamente pequenos do lado... Daí,
parece razoável que, para chegar num buraco, você pode vir andando
pelo queijo até o limite!

Talvez o exemplo mais fácil que me vêm à mente é que os irracionais
têm expansão decimal não periódica. Mas quando você trunca um
irracional, o que você obtém é um racional... E se você vai truncando
cada vez mais longe, você converge. Com esse procedimento, você pode
começar com um irracional qualquer, e, unicamente pelos racionais,
chegar nos irracionais!

Para citar umas propriedades nesse sentido (que juntas constituem a
melhor formalização do queijo infinitamente esburacado, sem falar
como os buracos estão repartidos, que é um problema de medida):

Todo racional é limite de irracionais
Todo irracional é limite de racionais
Todo racional é limite de racionais (diferentes entre si !!)
Todo irracional é limite de irracionais (idem)

 Abs
 Felipe

Existe uma razão mais profunda para o que você acabou de dizer (mas
não para o resto das proposições acima). O conjunto dos irracionais é,
de certa forma, *definido* como Todos os limites que os racionais
podem ter, e que não são racionais. Se você partir disso (o que é
feito em grande parte dos livros de Análise / Topologia, que são os
que tratam dessa questão), então, simplesmente *por definição*, os
irracionais são limites de racionais ! (E você nem sabe se dá para
fazer irracionais como limites de irracionais, mas isso é um outro
problema).

Abraços de Dedekind,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci e Razão Áurea

2010-10-27 Por tôpico Ralph Teixeira

Como pode uma razão de números inteiros convergir para um número irracional
?

Bom, como ilustração, pi é irracional, e é o limite da sequencia:

3
3,1=31/10
3,14=314/100
3,141=3141/1000
3,1415=31415/1
...

Acho que este exemplo deve te convencer que qualquer número irracional é
limite de uma sequencia de racionais (razões entre inteiros).

---///---

Para ponderar: raciocínios do tipo: se cada x_n tem a propriedade P, então
lim(x_n) tem a propriedade P são muito naturais. Infelizmente, este tipo de
raciocínio está frequentemente errado! Por exemplo, seu espanto acima seria
representado pela frase:

se cada x_n é racional (quociente de inteiros), então lim(x_n), se existir,
também será.
(FALSO!)

Outras frases FALSAS do mesmo tipo (todos os limites são quando n-+Inf):
se cada x_n é positivo, então lim(x_n) é positivo.
se cada x_n é menor que 1, então lim(x_n) é menor que 1 (que, no fundo no
fundo, é o problema que o pessoal tem com 0,9...=1)
se cada uma das funções f_n(x) é contínua, então f(x)=lim f_n(x) é
contínua
se cada uma das funções f_n(x) é derivável, então f(x)=lim f_n(x) é
derivável

Bom, e assim por diante. O que eu quero dizer é que passar um raciocínio
ao limite é perigoso (mas, quando funciona, é bem legal)

Abraço,

Ralph


2010/10/27 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br

   Pessoal,

 Pelo que lembro, a razão entre dois números consecutivos(an+1/an), da
 sequência Fibonacci converge para 1,61834 quando n tende a infinito.
 Porém, pelo que lembro, tb, este número é um número irracional.

 Como pode uma razão de números inteiros convergir para um número irracional
 ?

 Abs
 Felipe

Re: [obm-l] Fibonacci - Outras Sequências e Razã o Áurea

2010-04-02 Por tôpico Carlos Nehab





Oi, Luiz

Uma pequena contribuiÃ§Ã£o para sua intuiÃ§Ã£o das sequencias que
satisfazem Ã  recorrÃªncia a(n+2) = a(n+1) +a(n), que eu gosto de chamar
de recorrÃªncia de Fibonnacci.

Se vocÃª procurar PGs que atendam Ã  recorrÃªncia vocÃª encontra 2 PGs
cujas razÃµes sÃ£o os nÃºmeros Ã¡ureos FI = [(raiz(5) + 1]/2 e fi =
[(raiz(5) - 1]/2 (note que FI.fi = 1 e FI - fi =1 tb).
Alem disso, nÃ£o Ã© difÃcil mostrar que qq seq destas pode ser expressa
como "combinaÃ§Ã£o linear" das duas PGs (porque sÃ£o uma base, blÃ¡, blÃ¡,
blÃ¡).
Assim se u(n) Ã© Fibonnacci (no sentido de satisfazer Ã  recorrÃªncia),
pode ser expressa comoÂ  u(n) = p.FI^n + q.fi^n para algum p e q (reais,
se vocÃª estiver nos reais) e dai vocÃª chega Ã  sua questÃ£o e ainda por
cima deduz a formuleta de Binet para a sequencia clÃ¡ssica de Fibonacci
1, 1, 2, 3, ...(tenha curiosidade e procure pela sequencia de Lucas,
que satisfaz tb Ã  recorrÃªncia).Â  

O melhor site (que eu conheÃ§o) sobre Fibonnacci (muito completo e
divertido), embora feioso Ã©:
http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibmaths.html

Tem coisas do arco da velha (acho que vocÃª nÃ£o conhece esta expressÃ£o,
mas o Ralph e o Ponce com certeza a conhecem... :-) ).

Bom proveito,

AbraÃ§os,
Nehab

luiz silva escreveu:

  

  

Pessoal,

Â 

Eu estava
fazendo um trabalho no excel e fui âbincarâ um pouco. Comecei a criar
seqÃ¼Ãªncias e analisar a relaÃ§Ã£o entre dois elementos consecutivos. 

Â 

Assim,
escolhendo aleatoriamente os dois primeiros elementos da seqÃ¼Ãªncia,
estabeleci uma relaÃ§Ã£o de recorrÃªncia igual a relaÃ§Ã£o de Fibonacci an+2=an+1+an-1.
Para a minha surpresa, quaisquer que fossem os dois primeiros elementos
(inteiros, racionais, irracionais...), o resultado era sempre o mesmo,
quando olhava a razÃ£o an+1/an. Em todos os casos,
eles convergiram "rapidamente" para a razÃ£o Ã¡urea (1,618.).

Â 

Resolvi atacar
o problema, e encontrei essa soluÃ§Ã£o. PorÃ©m, nÃ£o estou certo que meu
argumento esteja 100% correto(qdo aplico limites). AlguÃ©m pode me
ajudar? Abaixo o desenvolvimento :

Â 

S = a, b, a+b,
a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b.

Â 

Analisando os
elementos, percebemos que existe uma regra relacionando as constantes
que multiplicam a e b:

Â 

ParaÂ  a : a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b

Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â  1,Â Â Â Â  1,Â Â Â Â Â Â  2,Â Â Â Â Â Â Â Â  3,Â Â Â Â Â Â Â Â  5,Â Â Â Â Â Â Â Â Â  8 

ParaÂ  b: a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b

Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â  Â Â Â 1,Â Â Â Â  2,Â Â Â Â  Â Â Â Â 3,Â Â Â Â Â Â Â Â  5,Â Â Â Â Â Â Â Â  Â 8,Â Â Â Â Â Â Â Â  13

Â 

Estas
duas seqÃ¼Ãªncias sÃ£o a prÃ³pria seqÃ¼Ãªncia de Fibinacci, e as constantes
que estÃ£o multiplicando a e b sÃ£o sempre Fn e Fn+1

Â 

Ps: Ã fÃ¡cil
verificar o que falei por induÃ§Ã£o.

Â 

EntÃ£o, a
relaÃ§Ã£o entre os termos desta seqÃ¼Ãªncia fica na forma :

Â 

R = (aFn+1+bFn+2)/(aFn+bFn+1)

Â 

Analisando
esta fraÃ§Ã£o, como a e b sÃ£o constantes, veremos o que ocorre quando n
varia:

Â 

Fazendo nââ ,
temos que Fn,Fn+1e Fn+2 tornam-se
infinitmente grandes, assim :

R = (aFn+1+bFn+2)/(aFn+bFn+1)
â (Fn+1+Fn+2)/(Fn+Fn+1) =( Fn+3)/(Fn+2)
= 1,618.

Â 

Aparentemente,
a e b nÃ£o podem, ao mesmo tempo, tenderem a infinito ou a zero, pois aÃ
terÃamos uma indeterminaÃ§Ã£o na fraÃ§Ã£o.

Â 

AgradeÃ§o a
ajuda de vcs.

Â 

Abs

Felipe

Â 

  

  
  
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=
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=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci - Outras Se quências e Razão Áurea

2010-03-29 Por tôpico luiz silva

Oi Ralph,
 
Eu tamb'em nao achei muito convincente a aproximacao q fiz quando n tende a 
infinito. Por isso solicitei a revisaoQto a questao q vc colocou , vou dar 
uma pensada
 
Outra coisa, vou analisar sequencias  onde um termo e a soma dos 3 anteriores, 
4 anteriores, etc...para ver se todas tb convergem para um mesmo valor. Gracas 
ao Excel, a parte emp'irica vai ser moleza!!!
 
Abs
Felipe

--- Em sáb, 27/3/10, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:


De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci - Outras Sequências e Razão Áurea
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sábado, 27 de Março de 2010, 20:18



Oi, Luiz.
 
O que voce escreveu eh muito legal. A unica coisa que eu mudaria eh no 
finalzinho, quando voce faz aquela aproximacao, que, para mim, nao foi 
convincente...
 
Eu prefiro fazer assim:
R_n=(aF_(n+1)+bF_(n+2))/(aF_n+bF_(n+1))
Dividindo numerador e denominador por F_(n+1), vem:
R_n=(a+b F_(n+2)/F_(n+1) ) / (a F_n/F_(n+1) + b)
Agora, suponho que jah sabemos que F_(n+2)/F_(n+1) tem limite z=1,618... quando 
n vai para infinito (voce mostrou que jah sabia disto tambem). Entao, quando n 
vai para infinito:
 
lim R_n = (a+bz)/(a/z+b)=(a+bz)/((a+bz)/z)=z
 
que eh a sua conclusao.
 
Note-se que isto que eu escrevi estah errado no caso em que a+bz=0. Pergunta 
bacana: neste caso, o que acontece? Se a=b=0, voce jah disse que dah 
indeterminado Mas e se a+bz=0 com a0?
 
Abraco, Ralph.
 


 
2010/3/27 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br






Pessoal, 
  
Eu estava fazendo um trabalho no excel e fui “bincar” um pouco. Comecei a criar 
seqüências e analisar a relação entre dois elementos consecutivos. 
  
Assim, escolhendo aleatoriamente os dois primeiros elementos da seqüência, 
estabeleci uma relação de recorrência igual a relação de Fibonacci 
an+2=an+1+an-1. Para a minha surpresa, quaisquer que fossem os dois primeiros 
elementos (inteiros, racionais, irracionais...), o resultado era sempre o 
mesmo, quando olhava a razão an+1/an. Em todos os casos, eles convergiram 
rapidamente para a razão áurea (1,618.). 
  
Resolvi atacar o problema, e encontrei essa solução. Porém, não estou certo que 
meu argumento esteja 100% correto(qdo aplico limites). Alguém pode me ajudar? 
Abaixo o desenvolvimento : 
  
S = a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b. 
  
Analisando os elementos, percebemos que existe uma regra relacionando as 
constantes que multiplicam a e b: 
  
Para  a : a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b 
  1, 1,   2, 3, 5,  8 
Para  b: a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b 
     1, 2, 3, 5,  8, 13 
  
Estas duas seqüências são a própria seqüência de Fibinacci, e as constantes que 
estão multiplicando a e b são sempre Fn e Fn+1 
  
Ps: É fácil verificar o que falei por indução. 
  
Então, a relação entre os termos desta seqüência fica na forma : 
  
R = (aFn+1+bFn+2)/(aFn+bFn+1) 
  
Analisando esta fração, como a e b são constantes, veremos o que ocorre quando 
n varia: 
  
Fazendo n→∞ , temos que Fn,Fn+1e Fn+2 tornam-se infinitmente grandes, assim : 
R = (aFn+1+bFn+2)/(aFn+bFn+1) ≈ (Fn+1+Fn+2)/(Fn+Fn+1) =( Fn+3)/(Fn+2) = 
1,618. 
  
Aparentemente, a e b não podem, ao mesmo tempo, tenderem a infinito ou a zero, 
pois aí teríamos uma indeterminação na fração. 
  
Agradeço a ajuda de vcs. 
  
Abs 
Felipe 
 







































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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci - Outr as Sequências e Razão Áurea

2010-03-29 Por tôpico Adalberto Dornelles

Olá,


 Outra coisa, vou analisar sequencias  onde um termo e a soma dos 3
 anteriores, 4 anteriores, etc...para ver se todas tb convergem para um mesmo
 valor. Gracas ao Excel, a parte emp'irica vai ser moleza!!!


Não convergem para o mesmo valor.
Sendo a(i) = a(i-1) + ...+a(i-k) e r = lim a(i)/a(i-1) temos

 k   r
 2   1.618033988749895
 3   1.839286755214161
 4   1.927561975482925
 5   1.965948236645485
 6   1.983582843424326
 7   1.991964196605035
 8   1.996031179735415
 9   1.998029470262287
10   1.999018632710101

Os valores de r são os autovalores de F_k, sendo
F_2 = [1 1
   1 0]
F_3 = [1 1 1
   1 0 0
   0 1 0]
F_4 = [1 1 1 1
  1 0 0 0
  0 1 0 0
  0 0 1 0]
etc.
Abraço,
Adalberto



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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re : [obm-l] Fibonacci - Outras Sequências e Razão Áurea

2010-03-29 Por tôpico luiz silva

Ola Adalberto/Ralph e Bernardo,
 
Legal que tenham achado interessante,e que tenham corrigido a minha forcacao 
de barra no limite. O que achei interessante, tb, foi como a sequencia 
converge rapidamente para 1,618 (alias, acho q da para determinar n no qual, 
dada uma precisao arbitraria, a razao converge).
 
Adalberto, na realidade me expressei mal. O que quis dizer 'e exatamente isso : 
independentemente dos n'umeros escolhidos inicialmente, a sequencia com soma de 
3 numeros converge para uma razao especifica, a com 4 outra razao e assim, 
sucessivamente. E isto aparentemente ocorre, pois testei no Excel. E mais, 
creio que o limite desta razao qdo a qde de parcelas que compoe um dado 
elemento da sequencia tende ao infinito e' 2. Ainda acho que estas sequencias 
terao em seu DNA(assim como qqer sequncia cuja recorrencia seja an=an-1+an-2 
tem)  numeros da sequencia de Fibonacci.
 
Nao entendi muito bem qdo vc falou que os valores de R sao os autovalores de 
Fk. 
 
Abs
Felipe


--- Em seg, 29/3/10, Adalberto Dornelles aadornell...@gmail.com escreveu:


De: Adalberto Dornelles aadornell...@gmail.com
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci - Outras 
Sequências e Razão Áurea
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Segunda-feira, 29 de Março de 2010, 10:27


Olá, 








 
Outra coisa, vou analisar sequencias  onde um termo e a soma dos 3 anteriores, 
4 anteriores, etc...para ver se todas tb convergem para um mesmo valor. Gracas 
ao Excel, a parte emp'irica vai ser moleza!!!

Não convergem para o mesmo valor. 
Sendo a(i) = a(i-1) + ...+a(i-k) e r = lim a(i)/a(i-1) temos

 k   r
 2   1.618033988749895
 3   1.839286755214161
 4   1.927561975482925
 5   1.965948236645485
 6   1.983582843424326
 7   1.991964196605035
 8   1.996031179735415
 9   1.998029470262287
10   1.999018632710101

Os valores de r são os autovalores de F_k, sendo
F_2 = [1 1
   1 0]
F_3 = [1 1 1
           1 0 0
           0 1 0]
F_4 = [1 1 1 1
          1 0 0 0
          0 1 0 0
          0 0 1 0]
etc.
Abraço,
Adalberto








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[obm-l] Fibonacci - Outras Sequências e Razão Áure a

2010-03-27 Por tôpico luiz silva

Pessoal,
 
Eu estava fazendo um trabalho no excel e fui “bincar” um pouco. Comecei a criar 
seqüências e analisar a relação entre dois elementos consecutivos. 
 
Assim, escolhendo aleatoriamente os dois primeiros elementos da seqüência, 
estabeleci uma relação de recorrência igual a relação de Fibonacci 
an+2=an+1+an-1. Para a minha surpresa, quaisquer que fossem os dois primeiros 
elementos (inteiros, racionais, irracionais...), o resultado era sempre o 
mesmo, quando olhava a razão an+1/an. Em todos os casos, eles convergiram 
rapidamente para a razão áurea (1,618.).
 
Resolvi atacar o problema, e encontrei essa solução. Porém, não estou certo que 
meu argumento esteja 100% correto(qdo aplico limites). Alguém pode me ajudar? 
Abaixo o desenvolvimento :
 
S = a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b.
 
Analisando os elementos, percebemos que existe uma regra relacionando as 
constantes que multiplicam a e b:
 
Para  a : a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b
  1, 1,   2, 3, 5,  8 
Para  b: a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b
     1, 2, 3, 5,  8, 13
 
Estas duas seqüências são a própria seqüência de Fibinacci, e as constantes que 
estão multiplicando a e b são sempre Fn e Fn+1
 
Ps: É fácil verificar o que falei por indução.
 
Então, a relação entre os termos desta seqüência fica na forma :
 
R = (aFn+1+bFn+2)/(aFn+bFn+1)
 
Analisando esta fração, como a e b são constantes, veremos o que ocorre quando 
n varia:
 
Fazendo n→∞ , temos que Fn,Fn+1e Fn+2 tornam-se infinitmente grandes, assim :
R = (aFn+1+bFn+2)/(aFn+bFn+1) ≈ (Fn+1+Fn+2)/(Fn+Fn+1) =( Fn+3)/(Fn+2) = 
1,618.
 
Aparentemente, a e b não podem, ao mesmo tempo, tenderem a infinito ou a zero, 
pois aí teríamos uma indeterminação na fração.
 
Agradeço a ajuda de vcs.
 
Abs
Felipe
 


  

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[obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci - Outras Sequências e Razão Áurea

2010-03-27 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa

Belíssima idéia, Luiz.

Só um detalhe: quando você vai passar o limite, você diz que (a F_n+1
+ b F_n+2) / (a F_n + b F_n+1) ~ (F_n+1 + F_n+2)/(F_n + F_n+1), o que
não é imediato. Porquê? Porque a definição de x_n ~ y_n é (x_n / y_n)
- 1, e o argumento de cortar o b e o a porque eles não tendem a
infinito é falso. Se não fosse Fibonacci, mas uma outra sequência,
não ia dar certo. (veja mais embaixo).

Primeiro, uma demonstração geral: o modo que eu diria fácil de ver é assim:

F_n+1 ~= phi F_n (phi = razão áurea). Portanto, a F_n+1 + b F_n+2 ~=
phi (a F_n + b F_n+1). E pronto, taí o teu phi, que vai ficando cada
vez melhor aproximado pelos quocientes, pouco importando o a e b
iniciais. Grande problema dessa solução, a gente não vê a velocidade
de convergência aparecer...

Mas uma coisa me deixou curioso, porque o seu equivalente funciona com
a sequência de Fibonacci. Veja só o que acontece se você usar a
definição :

Multiplicando em cruz as condições para x_n ~ y_n acontecer, você tem

(a F_n+1 + b F_n+2) / (a F_n + b F_n+1) ~ (F_n+1 + F_n+2)/(F_n + F_n+1)

sse (definição de equivalente: lim = 1)

| [(a F_n+1 + b F_n+2) / (a F_n + b F_n+1)] / [(F_n+1 + F_n+2)/(F_n +
F_n+1)] - 1 |  epsilon

sse (simplificando os denominadores)

| (a F_n+1 + b F_n+2)(F_n + F_n+1) / [(a F_n + b F_n+1) (F_n+1 +
F_n+2)] - 1 |  epsilon

sse (multiplicando tudo)

| (a F_n+1 F_n + a F_n+1 F_n+1 + b F_n+2 F_n + b F_n+2 F_n+1) / [(a
F_n F_n+1 + a F_n F_n+2 + b F_n+1 F_n+1 + b F_n+1 F_n+2)] - 1 | 
epsilon

sse (passando o -1 no numerador)

| (a F_n+1 F_n + a F_n+1 F_n+1 + b F_n+2 F_n + b F_n+2 F_n+1 - (a F_n
F_n+1 + a F_n F_n+2 + b F_n+1 F_n+1 + b F_n+1 F_n+2)) / [(a F_n F_n+1
+ a F_n F_n+2 + b F_n+1 F_n+1 + b F_n+1 F_n+2)] |  epsilon

sse (simplificando)

| [( a F_n+1 F_n+1 + b F_n+2 F_n  - (a F_n F_n+2 + b F_n+1 F_n+1) ) /
[(a F_n F_n+1 + a F_n F_n+2 + b F_n+1 F_n+1 + b F_n+1 F_n+2)] | 
epsilon

sse (fatorando o numerador em (a-b) )

| (a - b) (F_n+1 F_n+1 - F_n+2 F_n) / [(a F_n F_n+1 + a F_n F_n+2 + b
F_n+1 F_n+1 + b F_n+1 F_n+2)] |  epsilon

Observe que, até agora, funcionava para qualquer que fosse a sequência
em questão. O problema é mostrar que o novo quociente tende a zero com
n, o que, dessa vez, depende da sequência. Em geral, portanto, você só
conseguiria simplificar se a=b... Maaas :

Use (Fibomagic) que F_n * F_n+2 difere de 1 de F_n+1 * F_n+1. Isso
você pode achar que é pouco importante, e é verdade. O que importa é
que a F_n é crescente, e mais ou menos uniforme. Note que no
numerador você tem uma diferença de produtos, um do meio com os
extremos. Pensando (n+1)^2 = n(n+2) + 1, tem grandes chances de a
diferença compensar bem e quando dividir pelo denominador, que tem
produtos, vai ser pequeno. Se a sua sequência for bonitinha
(analítica ?), deve dar certo, mas se for do tipo 10^n, 10^n,
10^{n+1}, esse quociente dá -(1 - 1/10)/(1 + 1/10 + 1 + 1/10), que não
tende pra zero.

Bom, continuando a mágica...: o que a gente obtém é |(a-b)| / | [a
F_nF_n+3 + b F_n+1 F_n+3] | = |(a-b)| / F_n+3 (a F_n + b F_n+1). Que é
muito, mas muuito, melhor do que as estimativas que eu tinha feito
antes (F_n+1 ~ phi F_n), e até explica porquê a convergência é tão
rápida. Certo ? Errado !

Isso funciona porque o denominador não se anula... pense que, por
acaso, você escolheu a/b perto de -phi (ou igual a - phi). O que
acontece com o denominador? Ah, ele vai ficar muuito perto de
zero, enfim, ele não vai divergir tão rápido assim. (e se você pegou
a/b = -phi, vai tender pra zero) No seu caso, funciona bem porque a e
b tem o mesmo sinal, mas se a = -phi * b ia pro beleléu. A
demonstração lá em cima usa isso de forma crucial, escondida. Preste
muita atenção, a divisão por zero é uma coisa terível, e muitas vezes
a gente nem vê!

Mas o que é bonito é que, no caso bem comportado, a gente vê que o
erro da aproximação converge exponencialmente : se a gente vai no
termo n, o erro é menor do que (phi^n)^2. O que explica porque você
viu o comportamento convergente apenas com uns poucos termos ! E,
usando o argumento inicial para todos os outros casos (a/b diferente
de -phi), a gente vê que converge, e dá até pra se convencer que a
convergência será ainda phi^2n, mas com uma constante pior, que
depende de a e b, e quão perto está a/b de -phi.

Ufa, um bocado de análise, mas espero que esteja claro, e
principalmente, que ajude a entender a lógica de limites (tudo tem uma
definição: use, senão, fica difícil, e pode parecer certo, mas é bom
demonstrar para ter certeza) e que você tem uma boa intuição :)

um grande abraço,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa


2010/3/27 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br

 Pessoal,



 Eu estava fazendo um trabalho no excel e fui “bincar” um pouco. Comecei a 
 criar seqüências e analisar a relação entre dois elementos consecutivos.



 Assim, escolhendo aleatoriamente os dois primeiros elementos da seqüência, 
 estabeleci uma relação de recorrência igual a relação de Fibonacci 
 an+2=an+1+an-1. Para a

[obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci - Outras Sequências e Razão Áurea

2010-03-27 Por tôpico Ralph Teixeira

Oi, Luiz.

O que voce escreveu eh muito legal. A unica coisa que eu mudaria eh no
finalzinho, quando voce faz aquela aproximacao, que, para mim, nao foi
convincente...

Eu prefiro fazer assim:
R_n=(aF_(n+1)+bF_(n+2))/(aF_n+bF_(n+1))
Dividindo numerador e denominador por F_(n+1), vem:
R_n=(a+b F_(n+2)/F_(n+1) ) / (a F_n/F_(n+1) + b)
Agora, suponho que jah sabemos que F_(n+2)/F_(n+1) tem limite z=1,618...
quando n vai para infinito (voce mostrou que jah sabia disto tambem). Entao,
quando n vai para infinito:

lim R_n = (a+bz)/(a/z+b)=(a+bz)/((a+bz)/z)=z

que eh a sua conclusao.

Note-se que isto que eu escrevi estah errado no caso em que a+bz=0. Pergunta
bacana: neste caso, o que acontece? Se a=b=0, voce jah disse que dah
indeterminado Mas e se a+bz=0 com a0?

Abraco, Ralph.




2010/3/27 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br

   Pessoal,



 Eu estava fazendo um trabalho no excel e fui “bincar” um pouco. Comecei a
 criar seqüências e analisar a relação entre dois elementos consecutivos.



 Assim, escolhendo aleatoriamente os dois primeiros elementos da seqüência,
 estabeleci uma relação de recorrência igual a relação de Fibonacci an+2=a
 n+1+an-1. Para a minha surpresa, quaisquer que fossem os dois primeiros
 elementos (inteiros, racionais, irracionais...), o resultado era sempre o
 mesmo, quando olhava a razão an+1/an. Em todos os casos, eles convergiram
 rapidamente para a razão áurea (1,618.).



 Resolvi atacar o problema, e encontrei essa solução. Porém, não estou certo
 que meu argumento esteja 100% correto(qdo aplico limites). Alguém pode me
 ajudar? Abaixo o desenvolvimento :



 S = a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b.



 Analisando os elementos, percebemos que existe uma regra relacionando as
 constantes que multiplicam a e b:



 Para  a : a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b

   1, 1,   2, 3, 5,  8

 Para  b: a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b

  1, 2, 3, 5,  8, 13



 Estas duas seqüências são a própria seqüência de Fibinacci, e as constantes
 que estão multiplicando a e b são sempre Fn e Fn+1



 Ps: É fácil verificar o que falei por indução.



 Então, a relação entre os termos desta seqüência fica na forma :



 R = (aFn+1+bFn+2)/(aFn+bFn+1)



 Analisando esta fração, como a e b são constantes, veremos o que ocorre
 quando n varia:



 Fazendo n→∞ , temos que Fn,Fn+1e Fn+2 tornam-se infinitmente grandes,
 assim :

 R = (aFn+1+bFn+2)/(aFn+bFn+1) ≈ (Fn+1+Fn+2)/(Fn+Fn+1) =( Fn+3)/(Fn+2) =
 1,618.



 Aparentemente, a e b não podem, ao mesmo tempo, tenderem a infinito ou a
 zero, pois aí teríamos uma indeterminação na fração.



 Agradeço a ajuda de vcs.



 Abs

 Felipe




 --
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[obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci - Outras Sequências e Razão Áurea

2010-03-27 Por tôpico Rauryson Alves

Estou lendo um livro do Martin Gardner que traz as seguintes observações sobre 
esse assunto:
 
Sejam a, b e c três termos consecutivos de uma sequência definida por 
an+2=an+1+an-1
vale para estes elementos que:
c = a + b
Gardner, cita, sem demonstrar que para essas sequências também vale o fato de 
que:
an² = (an-1.an+1) + x portanto
b² = ac + x
Se resolvemos o sistema poderemos escrever b em função de a, onde a solução 
positiva será:
b = (1+sqr(5))*a/2
Por outras palavras, a única sucessão de Fibonacci em que o quadrado do termo é 
exatamente igual ao produto dos termos adjacente é 
1, fi, (fi)², (fi)³, ... = 1, fi, fi+1, 2*fi + 1, ...

--- Em sáb, 27/3/10, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:


De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] Fibonacci - Outras Sequências e Razão Áurea
Para: Matematica Lista obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sábado, 27 de Março de 2010, 18:16







Pessoal, 
  
Eu estava fazendo um trabalho no excel e fui “bincar” um pouco. Comecei a criar 
seqüências e analisar a relação entre dois elementos consecutivos. 
  
Assim, escolhendo aleatoriamente os dois primeiros elementos da seqüência, 
estabeleci uma relação de recorrência igual a relação de Fibonacci 
an+2=an+1+an-1. Para a minha surpresa, quaisquer que fossem os dois primeiros 
elementos (inteiros, racionais, irracionais...), o resultado era sempre o 
mesmo, quando olhava a razão an+1/an. Em todos os casos, eles convergiram 
rapidamente para a razão áurea (1,618.). 
  
Resolvi atacar o problema, e encontrei essa solução. Porém, não estou certo que 
meu argumento esteja 100% correto(qdo aplico limites). Alguém pode me ajudar? 
Abaixo o desenvolvimento : 
  
S = a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b. 
  
Analisando os elementos, percebemos que existe uma regra relacionando as 
constantes que multiplicam a e b: 
  
Para  a : a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b 
  1, 1,   2, 3, 5,  8 
Para  b: a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b 
     1, 2, 3, 5,  8, 13 
  
Estas duas seqüências são a própria seqüência de Fibinacci, e as constantes que 
estão multiplicando a e b são sempre Fn e Fn+1 
  
Ps: É fácil verificar o que falei por indução. 
  
Então, a relação entre os termos desta seqüência fica na forma : 
  
R = (aFn+1+bFn+2)/(aFn+bFn+1) 
  
Analisando esta fração, como a e b são constantes, veremos o que ocorre quando 
n varia: 
  
Fazendo n→∞ , temos que Fn,Fn+1e Fn+2 tornam-se infinitmente grandes, assim : 
R = (aFn+1+bFn+2)/(aFn+bFn+1) ≈ (Fn+1+Fn+2)/(Fn+Fn+1) =( Fn+3)/(Fn+2) = 
1,618. 
  
Aparentemente, a e b não podem, ao mesmo tempo, tenderem a infinito ou a zero, 
pois aí teríamos uma indeterminação na fração. 
  
Agradeço a ajuda de vcs. 
  
Abs 
Felipe 
 


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Re: [obm-l] fibonacci

2006-03-09 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Mon, Mar 06, 2006 at 04:45:21PM -0300, filipe junqueira wrote:
   Nicolau Saldanha escreveu sobre uma demonstração duma expressão que 
 envolvia os numeros da sequencia do fibo. Citou uma expressão em que F(n)= 
 a^n  -   b^n/sqrt5  : a=(1+sqrt5)/2 e b=(1-sqrt5)/2. GOstaria de saber como 
 demonstrar ou de onde vem essa expressão que define f(n)?!!!

Muita gente já respondeu (eu inclusive) mas há um método interessante
que não foi apresentado.

Escreva f(z) = F(0) + F(1) z + F(2) z^2 + ... + F(k) z^k + ...
Escreva agora
(z + z^2) f(z) = 
F(0) z + F(1) z^2 + F(2) z^3 + ... + F(k-1) z^k + ...
 F(0) z^2 + F(1) z^3 + ... + F(k-2) z^k + ...

   (usando que F(k-1) + F(k-2) = F(k) e que F(0) = 0)

=F(2) z^2 + F(3) z^3 + ... + F(k)   z^k + ...

   (usando que F(0) = 0, F(1) = 1)

= f(z) - z

Assim f(z) = z/(1-z-z^2) = -z/((z+a)(z+b))

onde, como antes, a = (1+sqrt(5))/2, b = (1-sqrt(5))/2.

Queremos agora escrever f(z) = C/(z+a) + D/(z+b).
Expandindo temos
f(z) = (Cz+Cb+Dz+Da)/((z+a)(z+b)) = ((C+D)z + (Cb+Da))/((z+a)(z+b)) 
donde C+D = -1, bC+aD = 0 donde C = -a/sqrt(5), D = b/sqrt(5).
Ou seja,
f(z) = 1/sqrt(5) ( - a/(a+z) + b/(b+z) )
   (como 1/a = -b, 1/b = -a)
 = 1/sqrt(5) ( 1/(1-az) - 1/(1-bz) )

Por outro lado, sabemos (pg infinita) que
1/(1-az) = 1 + a z + a^2 z^2 + ... + a^k z^k + ...
1/(1-bz) = 1 + b z + b^2 z^2 + ... + b^k z^k + ...

Assim
f(z) = 1/sqrt(5) ( (a-b) z + (a^2-b^2) z^2 + ... + (a^k-b^k) z^k + ... )
que dá a fórmula desejada para F(k).

[]s, N.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] fibonacci /eq. diferenças/ transf. z

2006-03-09 Por tôpico Ronaldo Luiz Alonso


Alguns comentários relevantes e interessantes:


Escreva f(z) = F(0) + F(1) z + F(2) z^2 + ... + F(k) z^k + ...


Hmmm.  Isso parece ter um análogo com  métodos para resolver equações 
diferenciais

utilizando séries de potências...


Escreva agora
(z + z^2) f(z) =
   F(0) z + F(1) z^2 + F(2) z^3 + ... + F(k-1) z^k + ...
F(0) z^2 + F(1) z^3 + ... + F(k-2) z^k + ...
  (usando que F(k-1) + F(k-2) = F(k) e que F(0) = 0)
=F(2) z^2 + F(3) z^3 + ... + F(k)   z^k + ...
  (usando que F(0) = 0, F(1) = 1)
= f(z) - z


Esse é um truque bastante interessante.  Se multiplicarmos por z +z^2, 
fazemos

um shift na sequência, o que nos permite usar a fórmula de Fibonacci.


Assim f(z) = z/(1-z-z^2) = -z/((z+a)(z+b))
onde, como antes, a = (1+sqrt(5))/2, b = (1-sqrt(5))/2.
Queremos agora escrever f(z) = C/(z+a) + D/(z+b).
Expandindo temos
f(z) = (Cz+Cb+Dz+Da)/((z+a)(z+b)) = ((C+D)z + (Cb+Da))/((z+a)(z+b))
donde C+D = -1, bC+aD = 0 donde C = -a/sqrt(5), D = b/sqrt(5).


A decomposição em frações parciais feita pelo professor, é apenas um
outro método de escrever a série de potências.
  A vantagem de escrever a série como ela é mostrada abaixo:



f(z) = 1/sqrt(5) ( - a/(a+z) + b/(b+z) )
  (como 1/a = -b, 1/b = -a)
= 1/sqrt(5) ( 1/(1-az) - 1/(1-bz) )


É que 1/(1-az), por exemplo, pode ser enxergada como a soma de uma série 
geométrica infinita
1/(1-az) = sum (0,oo) (az)^n   de razão az.  Isso pode ser feito porque |az| 
 1 ,certo?



Por outro lado, sabemos (pg infinita) que
1/(1-az) = 1 + a z + a^2 z^2 + ... + a^k z^k + ...
1/(1-bz) = 1 + b z + b^2 z^2 + ... + b^k z^k + ...


  Alguém que fez ou faz a matéria controle e servomecanismos, identificará 
que esta passagem

está de certo modo relacionada com o uso de transformadas z.

   Explicando melhor:  O leitor se lembra que existe uma analogia entre 
equações de diferença e

equações diferenciais.
   Pois bem.
   Podemos resolver uma equação diferencial usando a transformada de 
Laplace nas funções de

variável t.
   Ao fazermos isso, transformamos uma EQ. DIFERENCIAL  em uma EQ. 
ALGÉBRICA  na
variável complexa s e depois aplicando a transformada inversa obtemos a 
solução da equação na variável t.
   Para equações de diferença dá para fazer a mesma coisa, só que 
aplicando a transformada z ao invés
da transformada de Laplace (desde que o disco de convergência da série seja 
 1).


O professor Nicolau, nesta mensagem  parece estar provocando a 
imaginação de mentes analíticas ... haha.

[]s
Ronaldo L. Alonso




Assim
f(z) = 1/sqrt(5) ( (a-b) z + (a^2-b^2) z^2 + ... + (a^k-b^k) z^k + ... )
que dá a fórmula desejada para F(k).

[]s, N.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] fibonacci

2006-03-08 Por tôpico Nicolau C. Saldanha

On Mon, Mar 06, 2006 at 04:45:21PM -0300, filipe junqueira wrote:
   Nicolau Saldanha escreveu sobre uma demonstração duma expressão que 
 envolvia os numeros da sequencia do fibo. Citou uma expressão em que F(n)= 
 a^n  -   b^n/sqrt5  : a=(1+sqrt5)/2 e b=(1-sqrt5)/2. GOstaria de saber como 
 demonstrar ou de onde vem essa expressão que define f(n)?!!!

A expressão correta é F(n) = (a^n - b^n)/sqrt(5).
Note que a^2 = a + 1, b^2 = b + 1.

Vamos primeiro verificar que qualquer seqüência da forma
g(n) = C a^n + D b^n (onde C e D são constantes) satisfaz a relação
g(n+2) = g(n+1) + g(n). De fato, basta expandir:
g(n+2) = C a^(n+2) + D a^(n+2) = C a^n a^2 + D b^n b^2 =
C a^n (a + 1) + D b^n (b + 1) = C a^(n+1) + C a^n + D b^(n+1) + D b^n =
(C a^(n+1) + D b^(n+1)) + (C a^n + D b^n) = g(n+1) + g(n).
Agora, tomando C = 1/sqrt(5) e D = -1/sqrt(5) podemos verificar que
g(0) = C + D = 1/sqrt(5) - 1/sqrt(5) = 0,
g(1) = C a + D b = (1+sqrt(5))/(2 sqrt(5)) - (1-sqrt(5))/(2 sqrt(5)) =
(sqrt(5)+5-sqrt(5)+5)/(2*5) = 10/10 = 1.
Assim, g(0) = F(0), g(1) = F(1). Podemos provar por indução que g(n) = F(n)
para todo n: g(n+2) = g(n+1) + g(n) = F(n+1) + F(n) = F(n+2).

[]s, N.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Fibonacci e Eq. de diferenças.

2006-03-08 Por tôpico ronaldo\.luiz\.alonso


A lém do método geométrico que o Bruno citou ,há também
uma outra forma de chegar a uma fórmula fechada para sequencia
de Fibonacci.

F(n) = F(n-1) + F(n-2).

Podemos considerá-la como uma equação de diferenças de segunda ordem com
coeficientes constantes.

Geralmente as soluções deste tipo de equação são da forma a^n (assim como
soluções de equações diferenciais com coeficentes constantes 
são do tipo e^{\lambda*x}).

Para simplificar vamos colocar.
F(n+2) = F(n+1) + F(n)

F(n) = a^n == F(n+2) = a^{n+2} = a^n * a^2. (*)

Fazendo isso com os outros termos, isolando o a^n chegamos a uma
equação do segundo grau em a.
Resolvendo temos dois valores de a. Daí basta substituir em (*) e voilá!

Tá pronto.

[]s Ronaldo L. Alonso

[obm-l] Re: [obm-l] fibonacci e eq. de diferenças.

2006-03-08 Por tôpico Ronaldo Luiz Alonso




Olá pessoal, estou de volta.
Não tenho certeza se a útima mensagem foi, 
mas
estou enviando novamente porque troquei de 
e-mail...
Então me desculpem se a mensagem foi 
repetida.


A seq. de fibonacci pode ser enxergada como uma eq. 
de
diferenças de segunda ordem do tipo:

p*x[n+2] + q*x[n+1] + r*x[n] = 0

colocando x[n] = a^n , temos:

p*a^(n+2) + q* a^(n+1) + r* a^(n) = 0.

Fatorando a^n temos:

p*a^2 + q^a + r = 0.

Note que é uma eq. do 2 grau. A solução 
geral, como
foi mostrada pelo Nicolau tem a forma:

c1 *a1^n + c2 *a2 = x[n] onde c1 e c2 são 
constantes
a serem determindas.

Para enxergar que a seq. de Fibonacci pode ser 
colocada
nesta forma, basta olhar o e-mail anterior do prof. 
Nicolau,
isto é F(n+2) = F(n+1) + 
F(n)


O leitor deve notar a forte 
analogia com equações diferenciais.
Temos duas condições iniciais F(0) = 1 e F(1) = 1 
que
determinam as constantes. A solução de uma 
eq. 
diferencial de segunda ordem do tipo 

py'' + qy' + ry = 0 pode ser reduzida a uma eq. do segundo
grau pela mesma técnica colocando y = e^(m*x).

e a solução geral tem a forma:

y = c1 e^m1 +c2 e^m2
onde m1 e m2 são raizes da eq. diferencial.

[]s a todos.


).




  - Original Message - 
  From: 
  Bruno França dos 
  Reis 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, March 07, 2006 11:36 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] fibonacci
  Oi Filipe, não tenho tempo para fazer uma demo agora.No 
  curso de Algebra Linear tivemos métodos de algelin para resolução de sistemas 
  de equações diferencias lineares de 1a. ordem, e também para estudar algumas 
  recorrências.Defina uma transformação de R^2 em R^2 T(x,y) = (y,x+y) (que 
  é a seq. de fibonacci de alguma forma) daí vc vai brincando com ela e chega 
  nessa expressão. Foi uma demo bonitinha que vimos lá em 
  aula.Abraço,Bruno
  On 3/6/06, filipe 
  junqueira [EMAIL PROTECTED] 
  wrote:
  Caros 
amigos da lista...a um bom tempo naum escrevo a lista visto que o 
vestibular me tomou muitotempograças a deus estou livre desse peso e 
posso me deliciar com osproblemas da lista.Ai vai...: 
 Nicolau Saldanha escreveu sobre uma demonstração duma 
expressão queenvolvia os numeros da sequencia do fibo. Citou uma 
expressão em que F(n)=a^n- 
b^n/sqrt5: a=(1+sqrt5)/2 e b=(1-sqrt5)/2. GOstaria de saber como 
demonstrar ou de onde vem essa expressão que define 
f(n)?!!!Desde ja muito obrigado.Filipe Louly Quinan 
Junqueira= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= 
-- Bruno França dos 
  Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: 
  http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 
  12626000e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] fibonacci

2006-03-07 Por tôpico Bruno França dos Reis

Oi Filipe, não tenho tempo para fazer uma demo agora.
No curso de Algebra Linear tivemos métodos de algelin para resolução de
sistemas de equações diferencias lineares de 1a. ordem, e também para
estudar algumas recorrências.
Defina uma transformação de R^2 em R^2 T(x,y) = (y,x+y) (que é a seq.
de fibonacci de alguma forma) daí vc vai brincando com ela e chega
nessa expressão. Foi uma demo bonitinha que vimos lá em aula.

Abraço,
BrunoOn 3/6/06, filipe junqueira [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caros amigos da lista...a um bom tempo naum escrevo a lista visto que o vestibular me tomou muitotempograças a deus estou livre desse peso e posso me deliciar com osproblemas da lista.Ai vai...:
 Nicolau Saldanha escreveu sobre uma demonstração duma expressão queenvolvia os numeros da sequencia do fibo. Citou uma expressão em que F(n)=a^n- b^n/sqrt5: a=(1+sqrt5)/2 e b=(1-sqrt5)/2. GOstaria de saber como
demonstrar ou de onde vem essa expressão que define f(n)?!!!Desde ja muito obrigado.Filipe Louly Quinan Junqueira=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: 
http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0

[obm-l] fibonacci

2006-03-06 Por tôpico filipe junqueira




Caros amigos da lista...
a um bom tempo naum escrevo a lista visto que o vestibular me tomou muito 
tempograças a deus estou livre desse peso e posso me deliciar com os 
problemas da lista.

Ai vai...:
  Nicolau Saldanha escreveu sobre uma demonstração duma expressão que 
envolvia os numeros da sequencia do fibo. Citou uma expressão em que F(n)= 
a^n  -   b^n/sqrt5  : a=(1+sqrt5)/2 e b=(1-sqrt5)/2. GOstaria de saber como 
demonstrar ou de onde vem essa expressão que define f(n)?!!!



Desde ja muito obrigado.

Filipe Louly Quinan Junqueira


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