[obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMTICA
Title: Help
Caros colegas:
Aqui vai a minha lista. Acredito que se tivesse encontrado os resultados l
mencionados durante o meu 2o. grau, talvez tivesse decidido cursar matemtica e
no engenharia, como acabei fazendo.
1. O princpio das Casas de Pombos,
no pelo princpio em si, que altamente intuitivo, mas pelas
consequncias surpreendentes:
i) Em todo grupo de 6 pessoas, existem 3 que se conhecem mutuamente ou 3
que se desconhecem mutuamente - este o ponto de partida pra teoria de Ramsey,
que ainda tem inmeros problemas em aberto;
ii) Se um paciente tem que tomar 48 plulas em 30 dias, sendo que ele toma
pelo menos uma plula por dia, ento existe uma sequncia de dias
consecutivosnos quaisele toma exatamente 11 plulas - este problema
no-trivial foi o que chamou a minha ateno para o PCP;
iii) Toda sequncia de nmeros reais possui uma subsequncia
montona- uma bela aplicao Anlise;
iv) Se a irracional, ento o conjunto A = {m + n*a; m, n inteiros}
denso em R - resultado interessante por si s, mas que o "pulo do gato" pra se
provar o inusitado
v)Dada uma sequnciaqualquer de algarismos, existe uma potncia
de 2 cuja representao decimal comea com aquela sequncia.
2. O teorema de Bezout: "Se a e b so dois inteiros quaisquer, ento
mdc(a,b) o menor inteiro positivo que pode ser expresso na forma a*x + b*y,
com x e y inteiros",
por ser uma das primeiras aplicaes no-triviais do axioma da Boa
Ordenao e ser usado pra provar que:
i) Se a e b so inteiros primos entre si e se a divide b*c (c inteiro),
ento a divide c;
ii) Se p primo, ento cada inteiro primo com p tem um inverso (mod
p);
Estes dois resultados, por sua vez, so usados pra provar:
iii) O pequeno teorema de Fermat;
iv) O teorema de Wilson;
Os quais, juntamente com o PCP, provam o sensacional:
3.Todo primo da forma 4k+1 soma de dois quadrados.
Sem comentrios. Se isso no bonito, ento o que ?
4. N perfeito par == N = 2^(p-1)*(2^p - 1), onde 2^p - 1
primo,
pela sacada simples mas brilhante de Euler. Como que os gregos no viram
essa?
5. O caso n = 4 do ltimo Teorema de Fermat,
por ser um belo exemplo de aplicao da "descida infinita" (uma variante do
axioma da Boa Ordenao) e porpressupor um conhecimento da bela teoria
sobre osternos Pitagricos.
6. Postulado de Bertrand: "Se x 1, ento existe (pelo menos) um primo
entre x e 2x",
por ser inusitado, e ter uma demonstraao que, apesar de meio longa,
muito engenhosa e totalmente elementar.
7. Teoremas sobre cardinalidade de conjuntos infinitos, tais como:
card(N) = card(Q),
card(N) card(R),
card(R) = card(R^2),
card(X) card(Partes(X)), onde X um conjunto qualquer,
card(Partes(N)) = card(R),
por serem surpreendentes para quem os v pela primeira vez e pela
engenhosidade das demonstraes, especialmente o mtodo da diagonal.
8. A existncia e unicidade dos 5 poliedros regulares,
no s pela beleza mas pela importncia histrica, pois foi o teorema que
Euclides escolheu pra encerrar os seus Elementos.
9. A desigualdade do rearranjo,
pela demonstrao essencialmente combinatria, por nose aplicar
apenas a nmeros positivos,e por implicar numa srie de outras
desigualdades, inclusive a das mdias geomtrica e aritmtica (apesar de
existirem demonstraes mais simples desta ltima).
10. A desigualdade isoperimtrica,
pela beleza do encadeamento lgico - passo a passo - da demonstrao.
*
Pro Frederico: Sobre o TNP, eu tambm acho a relao entre primos e
logaritmos altamente surpreendente, mas os pr-requisitos para que um aluno
normal de 2o. grau entenda quo especiais so os logaritmos naturais e o nmero
"e" talvez sejam pesados demais. Assim, eu achei melhor no incluir nem mesmo as
desigualdades de Chebichev envolvendo n/ln(n).
Por outro lado, um que quase inclu foi o fato de que a srie dos
recprocos dos primos divergente.
Tambm fiquei muito tentado a incluir os interessantssimos teoremas de
Desargues e Pappusda geometria projetiva, mas no fundo eu gosto mais de
lgebra e teoria dos nmeros...
Um abrao,
Claudio.
[obm-l] problemas
O número de anagramas formados com as letras da palavra ROMA de modo que não apareça vogais ou consoantes juntas é igual a: 4! 4 8 2 um atirador deu 49 tiros, pagando 10 de multa por tiro fora do alvo e recebendo 0,25 de premio pr tiro acertado no alvo. Se nada recebeu e nada pagou, então a multa foi de: 1,40 3,50 5,00 8,75 Se de um retangulo de perímetro 4 e dimensões ``x`` e ``y`` , XY, retira-se um quadrado de lado ``x``, então a área remanescente em função de ``x`` é: 1 2x x 2x^2 2x 2x^2 2x 4x^2 Uma das raízes da equação 2x^3 + x^2 7x 6 = 0 é x1= 2. Pode-se afirmar que: As outras raízes são imaginário puro As outras raízes são 3 e 2 Só uma das outras raízes é real As outras raízes estão entre 2 e 0 ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ITA-96
Tô com dificuldades na resoluçao. um abraço, Jorge ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br ITA-ANEXO.zip Description: ITA-ANEXO.zip
[obm-l] Re: [obm-l] Questes Esaex - RETA FINAL 4 e 5
1)
Seja:
Z1 =
2ei/6
Z2 = (1 + i/1 i)15
ln Z3 = 1 + i(/3 + 2k)
Ento o
valor de (Z1 + Z2)/e . Z3 :
R: minha resposta deu diferente da do fabio ... como ninguem
falou nada ate agora ! a minha deve ta errada!
4) NO CONSIGO
FATORAR A RAIZ CBICA!
O valor do
limite quando x 0 de
4(x+1) + 3(x+1) + (x+1)
3
(x+1) 1
Resposta:
Fazendo (x+1) = y^12 , como
x-0, y-1.
(y^3 + y^4 + y^6 - 3)/(y^6 - 1) ,[(y^3 -
1) + (y^4 -1) + (y^6 - 1)]/[(y^3 + 1)(y^3 -1)]
eleminando o fator (y-1),nao existira mais
a indeterminacao !
5)
Determinar lim ln (1 +
_2_ )2x 1/3
n
x+3
Resposta:
n-
ln[lim (1 + 2/(x+3))^(2x -
1/3)], lim (1 + 2/(x+3))^(x+3)*[(2x -1/3)/(x+3) Elevando a
(x+3)/(x+3)
temos o limite
fundamental{ n-} (1 + k/x)^x = e^k
(e^2)^lim(2x -1/3)/(x+3)
= (e^2)^2, logo ln e^4 eh 4.
Re: [obm-l] Re: [obm-l]_Re:_[obm-l]_ENQUETE_-_BELEZA_MATEMÁTICA
A demonstraçao que 3eu escrevi evitara este mal-entendido. Alias o Tengan me disse que este e um problema em aberto muito chato e de que ninguem conseguiu uma ideia muito esperançosa... --- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Wed, Aug 13, 2003 at 09:39:49PM -0200, Claudio Buffara wrote: on 13.08.03 20:28, Henrique Patrício Sant'Anna Branco at [EMAIL PROTECTED] wrote: Cláudio, A classica prova de Euclides é aquela que diz: Sejam p1, p2, ..., pm todos os primos. Entao consideremos o número N = p1 * p2 * ... * pm + 1. Esse número não seria divisível por nenhum primo e, portanto, contradiz o Teorema Fundamental da Aritmetica? Abraços, Henrique. Eh isso ai mesmo. Por falar nisso, esta prova aparentemente induz um dos erros mais comuns. As pessoas incorretamente entendem que foi provado que 2*3*...*p + 1 é primo. Isto é falso mas o primeiro contraexemplo demora o suficiente para aparecer para convencer os mais afoitos de que sim, estes números são primos: 2*3*5*7*11*13+1 = 30031 = 59*509 2*3*5*7*11*13*17+1 = 510511 = 19*97*277 2*3*5*7*11*13*17*19+1 = 9699691 = 347*27953 2*3*5*7*11*13*17*19*23+1 = 223092871 = 317*703763 Também dá errado se trocarmos +1 por -1 no final: 2*3*5*7-1 = 209 = 11*19 2*3*5*7*11*13*17-1 = 510509 = 61*8369 2*3*5*7*11*13*17*19-1 = 9699689 = 53*197*929 2*3*5*7*11*13*17*19*23-1 = 223092869 = 37*131*46027 Desculpem, eu sei que ninguém perguntou, mas eu já ouvi este erro vezes demais. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: not subject
On Wed, Aug 13, 2003 at 07:06:06PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote:
Olá Dirichlet,
eu também pensei sobre o problema: demonstrar que não existe uma função nos
reais contínua nos racionais e somente neles. Sequer tenho alguma estratégia
ou alguma idéia de como atacar o problema. Será que alguém pode dar uma
sugestão? O único progresso que fiz - que nem sei se está certo - é intuir
que os racionais não são um conjunto tão especial neste enunciado, eu
suspeito que podemos substituir por enumeraveis densos nos reais.
Quem quiser fazer comentários, sinta-se à vontade.
Isto é essencialmente um corolário do teorema de Baire.
Se a função é descontínua em um ponto x então existe um n tal que para todo
delta 0 exitem x1, x2, |x - x1| delta, |x - x2| delta,
com |f(x1) - f(x2)| = 1/n. Seja Xn o conjunto dos x que satisfazem esta
condição (para n dado). Prove que Xn é fechado. Se f é contínua nos racionais
prove que Xn tem interior vazio. A união de todos os Xn e de todos os conjuntos
da forma {x} com x racional não pode ser igual a R.
A sua intuição está certíssima. Não apenas a mesma prova se aplica mas
dados dois subconjuntos Y1 e Y2 enumeráveis densos de R, existe uma
bijeção crescente (portanto contínua e com inversa contínua) g com g(Y1) = Y2.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_ENQUETE_-_BELEZA_MATEMÁTICA
Na verdade esta prova nao e a original de Euclides mas e muito proxima no sentido de uma demonstraçao facil e bonita para um bom compilado de matematica antiga. Dado um conjunto qualquer finito de primos e possivel achar um primo que nao esteja no conjunto. Sejam p1,p2,p3,...,pn os tais primos do conjunto dado.Considere o numero 1+p1*p2*p3*...*pn.Se este cara for primo acabou.Caso contrario ele pode ser fatorado. Esse número nao e divisivel por nenhum primo deste conjunto, portanto,seus divisores primos estao fora do conjunto.E fim! --- Henrique_Patrício_Sant'Anna_Branco [EMAIL PROTECTED] escreveu: Cláudio, A classica prova de Euclides é aquela que diz: Sejam p1, p2, ..., pm todos os primos. Entao consideremos o número N = p1 * p2 * ... * pm + 1. Esse número não seria divisível por nenhum primo e, portanto, contradiz o Teorema Fundamental da Aritmetica? Abraços, Henrique. - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, August 13, 2003 6:08 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMÁTICA Eu vou dar mais um tempinho pra ver se alguem mais quer enviar sua lista e ai publico os enunciados, talvez ateh separados por assunto, como no Proofs from the Book. Jah as demonstracoes sao outra historia - e voluntarios serao muito bem-vindos. Eu me disponho a provar que ha infinitos primos (ou pelo menos mais de 200, o que jah eh um belo resultado parcial). Que tal? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l]
On Thu, Aug 14, 2003 at 03:08:34AM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: OLÁ AMIGOS. URGENTEE TEM UM TAL CARA COM O E-MAIL DE (CLAUDIO PRATICA) QUE ESTAR MADANDO VÍRUS PARA A LISTA DE MATEMATICA. ESSE ÍNDIVIDUO JÁ MANDOU 2 VEZES PARA O MEU PC! O Claudio já foi avisado. Por favor SEMPRE tratem este tipo de assunto por fora da lista. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] [univ] Teoria dos Grupos
Olá pessoal!
[Agradeço ao Nicolau pela solução enviada... teorema de Baire era o mais
natural...]
Uma questão de álgebra que não estou conseguindo resolver, do livro de
introdução a álgebra do Hernstein.
QUESTÃO. Um grupo abeliano finito possui dois subgrupos, um de ordem N e
outro de ordem M. Mostre que ele trambém possui um subgrupo de ordem MMC{ M,
N }.
Eu consigui resolver a questão no caso particular em que o grupo é cíclico.
No caso geral, eu pensei em usar o produto de subgrupos MN, mas a ordem pode
ser maior que MMC{ M, N }. O interessante é que unindo esta questão ao
teorema de Silow para grupos abelianos, acho que se demonstra a existência
de subgrupos de qualquer ordem divisora da ordem do grupo original. Este
resultado não é forte demais?
Agradeço pela ajuda!
Abração,
Duda.
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[obm-l] Produto de Cossenos
Thyago: Para um produto de senos de numeros em PA, eu acho que a sua solucao eh a melhor. No entanto, se o produto for de cossenos de numeros em PG da razao 2, ai a coisa muda de figura... P = cos(a)cos(2a)cos(4a)...cos(2^na) == sen(a)P = sen(a)cos(a)cos(2a)cos(4a)...cos(2^na) = = (1/2)sen(2a)cos(2a)cos(4a)...cos(2^na) = = (1/4)sen(4a)cos(4a)...cos(2^na) = = (1/8)sen(8a)cos(8a)...cos(2^na) = ... = (1/2^n)sen(2^na)cos(2^na) = = (1/2^(n+1))sen(2^(n+1)a) Logo: P = sen(2^(n+1)a)/(2^(n+1)sen(a)) Serah que era esse o problema do Lidski que voce procurava? Um abraco, Claudio. on 12.08.03 21:07, Thyago at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Claudio e companheiros da lista Bom, sabe que estou me convencendo mesmo que esta solução é prática :-) O que eu estava querendo inicialmente é uma solução que nem a da questão abaixo, veja só: S = sen(a) + sen(2a) + sen(3a) + ... + sen(na) Em que a solução consiste em multiplicar ambos os lados da igualdade pelo seno da metade da razão da PA, e após efetuar a prostaférese e sair cortando. Sem muitas delongas! ... Já ouvi dizer que a resolução que procuro existe, e está escrita em um tal livro russo chamado Lidski, problemas de PA, ou algo do gênero... mas nunca tive o privilégio de ter algum contato com essa obra. Alguém já ouviu falar? Atenciosamente ¡Thyago! - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, August 12, 2003 9:58 AM Subject: Re: [obm-l] Ajuda Oi, Thyago: Vou te confessar uma coisa: usando a identidade 1 - cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) e mais esse problema do IME, que alias eh uma propriedade classica (e, como voce mostrou, util!) das raizes n-esimas da unidade, voce chegou a uma solucao mais curta e elegante do que a que eu tinha em mente. Parabens! A minha ideia era separar os casos n par e n impar e fatorar x^n - 1 de duas maneiras diferentes: Primeiro: x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*(x^(2m-2) + x^(2m-4) + ... + x^4 + x^2 + 1) x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*(x^(2m) + x^(2m-1) + ... + x^2 + x + 1) Depois: x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*PRODUTO(1=k=m-1)(x^2 - 2xcos(kpi/m)x + 1) x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*PRODUTO(1=k=m)(x^2 - 2xcos(2kpi/(2m+1)) + 1) E depois, fazer x = 1 e igualar as expressoes obtidas, mas a sua solucao eh mais simples e, portanto, melhor. O passo que faltou na sua solucao foi mostrar explicitamente que (-i)^(m-1)*cis(pi/n)*cis(2pi/n)*...*cis((n-1)pi/n) = 1 mas isso eh bem facil (apesar de nao ser evidente). Um abraco, Claudio. PS: Se essa sua solucao nao eh pratica, entao eu nao sei o que eh. Repare: voce tem um produto de senos de numeros em PA. Como voce propoe calcula-los? Puramento por meio de identidades trigonometricas, sem usar complexos? Boa sorte... on 12.08.03 00:45, Thyago at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Cláudio, Obrigado pelas dicas :-) Mas a resolução que eu fiz não foi nada prática não. Eu já utilizei todas estas propriedades e não consegui chegar em nada. Bom, só para esclarecer um pouco mais... vou colocar o exercício que gerou tal questão: (IME) Sejam 1, X2, X3, ..., Xn as raízes de x^n=1. Calcule: P = (1 - x2)(1-x3)...(1-xn). Fazendo uso de Briot-Rufini e fatoração de polinômios, conseguimos chegar facilmente na resposta P = n. Mas, utilizando o tratamento vetorial de números complexos com a fórmula 1-cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) chegamos em P = 2^(n-1) . S Onde S = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n] Daí, utilizando a resposta da primeira resolução com a resposta da segunda resolução temos que S = n/[2^(n-1) ] Dá para ver que esta demonstração para S não é nada prática. Você citou uma solução padrão para este tipo de problema. Qual seria? Aguardo resposta Atenciosamente ¡Thyago! - Original Message - From: Cláudio (Prática) [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, August 11, 2003 2:19 PM Subject: Re: [obm-l] Ajuda Oi, Thyago: A solução padrão pra esse tipo de problema realmente envolve complexos e polinômios. Tentando resolver outros problemas similares, você vai perceber que complexos e polinômios são uma forma de resolução bastante natural. Os resultados básicos são os seguintes: 1) Todo número complexo pode ser representado na forma R*(cos(a) + i*sen(a)), onde R é um real não negativo e a é um real qualquer (mas normalmente limitado ao intervalo [0, 2pi) ou então (-pi,pi]); 2) e^(i*a) = cos(a) + i*sen(a): essa é a definição da função exponencial complexa, que permite, por exemplo, que você transforme sequências de senos e cossenos de números reais em PA em sequências de complexos em PG, que as vezes são mais fáceis de manipular; 3) Um polinômio com coeficientes reais pode ser expresso como o produto de binômios da forma (x - b) e/ou trinômios da forma (x^2 - 2*R*cos(a)*x + R^2), onde a e b são números reais quaisquer e R é um real positivo. Um abraço, Claudio.
[obm-l] triangulo ortico
Oi turma,alguem consegue dar uma demonstraçao de que o triangulo pedal do ortocentro e o triangulo inscrito de menor perimetro possivel? ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
On Mon, Aug 11, 2003 at 07:53:06PM -0300, Claudio Buffara wrote: Por mais que eu ache pedante e ridiculo alguem se vangloriar de ter o QI mais alto do mundo, nesse caso acho que a Marilyn estah certa. Voce deve trocar de porta. Desculpem a minha ignorancia, mas o que ha de errado com o argumento de 1 milhao de portas? Me parece que, nesse caso, a probabilidade de voce ter escolhido a porta certa de primeira eh apenas de 1/1.000.000. Logo, a probabilidade da outra porta ter o premio eh de 999.999/1.000.000. Ou nao? A Marilyn está certíssima e sua argumentação é perfeita (neste caso). Você também está certíssimo. Eu já escrevi um artigo na Eureka sobre este problema (entre outros). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEM ÁTICA
Eiu vou colocar a minha demonstraçao preferida da
infinitude dos primos:
Seja F(t)-1=2^2^t,na notaçao de Knuth para
potenciaçao.
Seja 1d um certo natural.
Se d divide F(a) e d divide F(b) com ab,entao
2^2^a=-1(d).Elevando a 2^(b-a),que e par pois
b-a=1, obtemos 2^2^b=1(d).Mas 2^2^b=-1(d),e
portanto d divide 2.Mas d nao pode ser 1 pele
restriçao inicial,e nao pode ser 2 pois 2 nao
divide F(x) pois F e impar.
Logo dois numeros de Fermat sao primos entre si
se e somente se forem diferentes.
E ai e facil ver que os primos sao
infinitos:fatore todos os possiveis numeros de
Fermat.Os primos nao devem se repetir,pelo que
acabamos de provar.E como a sequencia e infinita
existem infinitos primos.
Ou melhor:escolha um divisor primo de cada numero
de Fermat.
Ate,ass.:Johann
--- Claudio Buffara
[EMAIL PROTECTED] escreveu: Eu vou
dar mais um tempinho pra ver se alguem
mais quer enviar sua lista e
ai publico os enunciados, talvez ateh separados
por assunto, como no Proofs
from the Book. Jah as demonstracoes sao outra
historia - e voluntarios serao
muito bem-vindos. Eu me disponho a provar que
ha infinitos primos (ou pelo
menos mais de 200, o que jah eh um belo
resultado parcial). Que tal?
Um abraco,
Claudio.
on 13.08.03 15:58, Domingos Jr. at
[EMAIL PROTECTED] wrote:
E então, quando veremos todos esses belos
teoremas/problemas listados e
demonstrados/resolvidos?
Seria muito legal ter tudo isso reunido em
formato eletrônico...
[ ]'s
- Original Message -
From: Cláudio (Prática)
mailto:[EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, August 13, 2003 3:05 PM
Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMÁTICA
[EMAIL PROTECTED];s+
[EMAIL PROTECTED],Ak9Yt{T~tkTtO'T~UI/'E4YDwl
Ea2c/G
xYR +c%w= [EMAIL PROTECTED],ucz]*sYXF]fcuXGuc)Y2
]ffu]2*uc/uc+]cW]2T]l+]f1ucvuX]WFu+]X*u*]W/]WcY+A]c*YWvY!Y2,ucbucwY*F]fcu*{Y
Wb]2+]2]2TY]WZYcYWcY*2]*u,Y*+]X*W]fZ]WF]2
uXcu*]WZY*W]c+Y],ucz]*sYXF]fcuXGuc)Y2
]ffu]2*uc/uc+]cW]2T]l+]f1ucvuX]WFu+]X*u*]W/]WcY+A]c+YW,Y*z:[EMAIL PROTECTED]@[EMAIL
PROTECTED]
+1gAAA==^#~@
___
Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso.
Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens!
http://www.cade.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Opção_de_Compra
Olá Claudio! Interessante isso! :) Se o comprador pega a ações emprestado, ele terá que devolver daqui um ano a ações mais 100*a*0,2 (20% do valor do empréstimo), ou seja, a ações + 20a Na verdade, 20% é a taxa de juros para empréstimos e aplicações de reais e não de ações (desculpe-me se eu não deixei isso claro antes). Para este problema, vamos assumir que você toma ações emprestadas a 0% aa. se ele vender essa ação emprestada, ele embolsará 100*a reais então, supondo que x 100a: comprando a opção, sobrará 100a-x, o que ele poderá investir, obtendo (100a-x)*1,2 em 1 ano. ai temos dois casos: (i) a ação está valendo R$50 ele deverá comprar a ações por 50*a, para devolver a ações + 20a para o cara que emprestou as ações. nesse caso, ele gastará R$ 70a o que ele deve ter, para não ter prejuíso, então: (100a-x)*1,2 = 70a = 100a-x = 84a = 16a = x = a = x/16 (ii) a ação está valendo R$ 200 ele exerce a opção e compra 1 ação por R$ 110, mas ele tem que devolver a ações, e ainda pagar 20a reais. então lhe sobra 200 - 200a - 20a = 200-220a para ele não ter prejuíso: 200-220a = 0 = 200 = 220a = 20 = 22a = 10/11 = a então: x/16 = a = 10/11 mas para o vendedor não ter prejuíso, x = 40 será que o vendedor também deve pegar emprestado a ação, em vez de emprestar dinheiro do banco, para depois comprar a ação? Abraços, Hélder Fora o detalhe do custo do aluguel de ações, eu diria que você pegou o espírito da coisa. Tanto que eu vou dar a minha solução pro problema. Vamos assumir o ponto de vista do vendedor da opção: Na data inicial ele: - Vende 1 opção == Recebe x - Compra a ações == Paga 100a - Toma o saldo emprestado == Recebe (100a - x) Saldo Líquido = Zero Dentro de 1 ano, teremos 2 situações possíveis: 1) Ação vale R$ 200: - Repaga empréstimo == Paga (100a - x)*1,2 - Compra (1-a) ações == Paga 200*(1 - a) - Vende 1 ação contra exercício da opção == Recebe 110 Saldo Líquido: Recebe 110 - 200*(1 - a) - (100a - x)*1,2 2) Ação vale R$ 50: - Repaga empréstimo == Paga (100a - x)*1,2 - Vende a ações na bolsa == Recebe 50a Saldo Líquido: Recebe 50a - (100a - x)*1,2 Como na data inicial, ele não pagou nem recebeu nada (saldo = zero), a fim de evitar a possibilidade de uma arbitragem (lucro garantido com risco zero), dentro de 1 ano ele também não deverá pagar ou receber nada. Ou seja, em ambos os cenários o seu saldo deverá ser Zero. Isso implica que: 110 - 200*(1 - a) - (100a - x)*1,2 = 0 50a - (100a - x)*1,2 = 0 == 80a + 1,2x = 90 -70a + 1,2x = 0 == a = 3/5 e x = 35 Ou seja, o preço justo da opção é R$ 35,00 e a fim de se proteger o vendedor deve, após vendê-la, comprar 0,6 ações. Repare que o preço justo da opção independe da distribuição de probabilidade dos preços futuros da ação. Essa é a beleza da sacada do Black e do Scholes: existe uma quantidade de ações (o a acima) que o vendedor da opção pode comprar a fim de exatamente neutralizar o risco da opção. Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] BELEZA: belgas e pontos.
-- From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] BELEZA: belgas e pontos. Date: Sun, Aug 10, 2003, 8:23 AM On Sun, Aug 10, 2003 at 02:08:56AM -0300, Eduardo Wagner wrote: Nao ha duvida sobre o que esta escrito acima. Entretanto, ha um pedaco de frase assim: e ja sabemos o que estas curvas sao. Sim! Nos sabemos, mas os alunos provavelmente nao. Como não? No ensino médio eles sabem. Eu estranho a idéia de estudar cônicas de forma puramente grega, sem mencionar que estas são as curvas de grau 2. Eu nao disse isto. Os alunos conhecem as curvas do segundo grau mas nao sao capazes de identificar as secoes no cone com elas uma vez que a geometria analitica no espaco nao faz parte do programa de matematica do ensino medio do nosso pais. Coordenadas no R3 so existe aqui no Rio de Janeiro e, ainda assim, de forma muito elementar; equacao da reta e do plano e nada mais. Ja que fui citado (ou provocado) em mensagem anterior, quero dizer que os alunos podem perfeitamente conhecer as conicas muito antes de estarem familiarizados com a geometria analitica no espaco, translacoes e rotacoes. E isto eh muito bom. Conhecer desde cedo as curvas e suas diversas formas, definidas por um unico numero chamado excentricidade. A demonstracao legal que usa as esferas eh totalmente elementar e permite obter um resultado surpreendente que vai agora para a beleza matematica da lista. Só para pacificar um pouco, eu também gosto muito da demonstração com as esferas, não estou de forma alguma querendo sugerir que a demonstração que apresentei (de natureza algébrica) deva eliminar a demonstração de natureza mais geométrica. Mas eu me lembro de, ao descobrir a demonstração algébrica, ter tido aquela sensação de isto é tão simples, pq me esconderam isso durante tanto tempo?... Para pacificar totalmente eu talvez diria que voce deve ter tido bons professores. Eles tiveram a nocao do que um aluno do ensino medio pode compreender com as ferramentas que possuem na ocasiao, e deixar um mundo de decobertas surpreendentes para depois, quando tiveram mais maturidade e conhecimento. E isto foi muito bom. Abraco, Wagner. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] BELEZA: belgas e pontos.
-- From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] BELEZA: belgas e pontos. Date: Sat, Aug 9, 2003, 10:37 PM On Sat, Aug 09, 2003 at 08:42:04PM -0300, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote: Os teoremas a respeito de as seçoes do cone por planos que nao contem o vertice serem elipses, parabolas ou hiperboles foram demonstrados por dois belgas, Quetelet e Dandelin, e sao conhecidos por muitos como os teoremas belgas. As demonstraçoes sao particularmente elegantes e surpreendentemente simples, principalmente se expostas no quadro-negro pelo Wagner. Ok. A demonstração do Wagner deve ser uma que envolve desenhar umas esferas. É legal, mas não é minha demonstração favorita deste fato. Por mim a demonstração certa consiste em observar que o cone tem equação de grau 2 (x^2 + y^2 = z^2) e rodar ou transladar não altera o grau. Tomar a interseção com um plano, digamos o plano z=0, já que rodamos, também não altera o grau (só estamos eliminando os termos que envolvem z). Logo a interseção é uma curva de grau 2 e já sabemos o que estas curvas são. Observe que assim também demonstramos que a interseção de um parabolóide ou um hiperbolóide com um plano também é uma cônica. Em particular, a interseção de um hiperbolóide de revolução de uma folha (x^2 + y^2 = 1 + z^2) com um plano tangente tem um ponto duplo, logo é um par de retas. []s, N. Nao ha duvida sobre o que esta escrito acima. Entretanto, ha um pedaco de frase assim: e ja sabemos o que estas curvas sao. Sim! Nos sabemos, mas os alunos provavelmente nao. Ja que fui citado (ou provocado) em mensagem anterior, quero dizer que os alunos podem perfeitamente conhecer as conicas muito antes de estarem familiarizados com a geometria analitica no espaco, translacoes e rotacoes. E isto eh muito bom. Conhecer desde cedo as curvas e suas diversas formas, definidas por um unico numero chamado excentricidade. A demonstracao legal que usa as esferas eh totalmente elementar e permite obter um resultado surpreendente que vai agora para a beleza matematica da lista. Em um cone (duplo) as geratrizes fazem angulo X com o eixo do cone e um plano corta esse cone fazendo angulo Y com o eixo. Entao a secao do plano com o cone eh uma curva cuja excentricidade eh cosY/cosX. Abracos. E. Wagner. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questão de Geometria
Olá a todos! Considere um quadrado ABCD de lado unitário. Trace quatro circunferências de raios unitários centradas em A, B, C e D. No centro do quadrado, forma-se uma região limitada pelos quatro círculos. A pergunta que faço é: como calcular a área dessa figura? Um modo de fazer é encontrar funções cujos gráficos sejam a borda das circunferências e uttilizando-se uma integral calcular a área compreendida entre as curvas. Deste modo, eu chegei à área Pi/3 + 1 - sqrt(3). Eu gostaria de saber se existe uma solução usando somente dos recursos da geometria euclidiana, sem usar integrais. Abraço aos que leram! Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EsSA
Caros companheiros da lista: Para o problema da fábrica: tomando 'x' como o valor a ser pago por cada trabalhador e 't' como o número de trabalhadores a contribuir, temos: no primeiro caso: 900/x = t (i) no segundo caso: 888/x = t-2 = 888/x + 2 = t (ii) igualando o primeiro membro de (i) e (ii): 900/x = 888/x +2 = x = 6 Logo cada um dos participantes contribuiu com R$ 6,00 (Obs: no primeiro caso haviam 150 trabalhadores e no segundo caso 148.) Para o segundo problema: (x+y)^2 + x^2 - y^2 + 2x = x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - y^2 + 2x = 2x^2 + 2x +2xy = 2x(x +1 +y) = 2 . 19 . 101 (todos primos) Portanto a expressão é divisível por 2, 19 e 101. Cleber da Silva AlvesICQ # 198583572MSN [EMAIL PROTECTED]
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
A tal beleza começou pela idéia. Parabéns. Em 09 Aug 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros colegas da lista: Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza matematica. O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e cujas solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o enunciado. No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica (entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo utilizado. A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel a um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o Porisma de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos do Porisma poderiam ser incluidos). Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o. grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau. Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. Acho que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes pode ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau. Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar uma compilacao dos problemas e teoremas mais votados. Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Nao seria 3*10^(k+1) + 6*10^k? -Auggy - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, August 05, 2003 12:42 PM Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos Retorno do Abertos da lista? Que tal a gente achar quadrados perfeitos do tipo 3*10^k+6*10^l? O tres nao pode vir no final.Talvez modulo...Depois eu penso... --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros colegas: Aqui vao dois problemas que ainda estao em aberto na lista. O primeiro foi enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da olimpiada iraniana, se nao me engano. 1) Determinar o conjunto de números inteiros positivos que satisfazem à duas condições: (i) todo número possui exatamente dois algarismos não-nulos, sendo um deles o três(3), (ii) todo número é quadrado perfeito. 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2 tal que ao se permutar os algarismos de sua representacao decimal obtem-se uma outra potencia de 2. Esse segundo tem uma solucao aparentemente simples, mas esta solucao exclui o caso de potencias de 2 com algarismos 0 internos (ou seja, numeros do tipo abcdefg). Um abraco, Claudio. ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Esse segundo problema caiu na OBM 2000, numa versão mais fácil. Acho que foi essa versão a que vc resolveu, jah que ele dizia que as duas potências têm que ter o mesmo número de algarismos, de modo que os zeros não modificavam a quantidade de algarismos. Ateh mais, Yuri -- Mensagem original -- Caros colegas: Aqui vao dois problemas que ainda estao em aberto na lista. O primeiro foi enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da olimpiada iraniana, se nao me engano. 1) Determinar o conjunto de números inteiros positivos que satisfazem à duas condições: (i) todo número possui exatamente dois algarismos não-nulos, sendo um deles o três(3), (ii) todo número é quadrado perfeito. 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2 tal que ao se permutar os algarismos de sua representacao decimal obtem-se uma outra potencia de 2. Esse segundo tem uma solucao aparentemente simples, mas esta solucao exclui o caso de potencias de 2 com algarismos 0 internos (ou seja, numeros do tipo abcdefg). Um abraco, Claudio. []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EsSA
From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] EsSA Date: Sun, 10 Aug 2003 11:29:15 EDT Resolvi alguns, Em uma mensagem de 10/8/2003 11:37:02 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 2 â um festival de música lotou uma praça semicircular de 200m de diâmetro. Admitindo-se uma ocupação média de 3 pessoas por m^2, qual o número mais aproximado de pessoas presentes? (Adote pi=3,14) Achei: 47.100 3 â Sendo x= 19 e y= 81, então a expressão (x+y)^2 + x^2 â y^2 + 2x é divisÃvel por: a)2,19 e 81 b)2,19 e 101 c)2,81 e 100 d)19,100 e 101 e)81,100 e 101 achei a letra B (x+y)^2 + x^2 â y^2 + 2x 100^2 +((x+y)*(x-y)) + 38 1 + (100*(-62)) + 38 =3838 que eh dividsivel por 101, mas nao por 2,19...2,81...100... O que fiz de errado ? Um triângulo ABC tem área 75m^2. os pontos D,E,F e G dividem o lado AC em 5 partes congruentes: AD=DE=EF=FG=GC. Desse modo, a área do triangulo BDF é: 20 30 40 50 55 Esse nao consegui. Numa fábrica, trabalhadores reuniram-se para presentear um amigo que iria casar. O presente escolhido foi a quantia de 900,00, que seria dividida igualmente entre eles. Por razões particulares, dois daqueles trabalhadores tiraram seus nomes da lista e, por isso, decidiu-se diminuir a quantia para 888,00, de modo que na nova divisão coubesse a cada participante a mesma cota de antes da saÃda dos dois colegas. Com isso, coube a cada um dos participantes a quantia de : 4,00 6,00 9,00 10,00 12,00 x= numero de pessoas y=qtia paga por cada um x*y = 900 (i) (x-2)*y= 888 (ii) De (ii) xy - 2y = 888 900 - 2y = 888 y=6 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Número_de_soluções_de_sistema_linear_-_Correção
Nao necessariamenteOs caras nao precisam ser maximos.O e=23 serve... --- Aleandre Augusto da Rocha [EMAIL PROTECTED] escreveu: Uma maneira de resolver apenas com conhecimentos de 5a serie e por conversao de base... note que 23(base10) = abcde(base2) como 23(base10) = 10111(base2) a=c=d=e=1, b=0 -Auggy - Original Message - From: Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, August 07, 2003 12:38 AM Subject: [obm-l] Número de soluções de sistema linear - Correção Desculpem-me pelo meu erro. O problema é determinar o número de soluções inteiras não negativas... Sendo assim como posso resolver? (nível de segundo grau se possível) Claudio Buffara escreveu: on 06.08.03 02:15, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de ajuda para o seguinte problema: Calcular o número de soluções do sistema: 16a + 8b + 4c + 2d + e = 23 sendo a, b, c, d, e inteiros positivos. se possível usar somente conhecimentos de ensino médio, se isto não for possível, pelo tente explicar mais ou menos o q está fazendo para q um ignorante aluno q ainda não entrou em um curso superior possa entender :-) Alexandre Daibert - Juiz de Fora - [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Oi, Alexandre: Se a, b, c, d, e sao inteiros positivos, entao o menor valor possivel para: 16a + 8b + 4c + 2d + e eh igual a 16*1 + 8*1 + 4*1 + 2*1 + 1 = 31 23. Logo, o sistema dado (composto duma unica equacao) nao tem solucao em inteiros positivos, ou seja, o numero de solucoes pedido eh zero. Provavelmente, o enunciado nao eh bem esse. De uma conferida. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] ITA-96
Jorge, Eu pensei nessa questao e tenho uma observacao. Na 2a equacao do somatorio eles colocam X_i + 1 o que acarreta (x1 + 1)(x2+1) , etc... Mas eu considerei que o termo +1 estava somando o indice i e nao a x_i, e dai a questao saiu. Caso nao seja isso, eu nao sei como a questao sai. Use os fatos: f(x^n)=f(x.x^n-1) = f(x) + f(x^n-1) = nf(x) f(x1.x2.x3.x4.x5)=f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)+f(x5) ___ Do primeiro somatorio, voce tem Sum(i=1,5) f(xi) = 13f(2) + 2f(x1). Usando o fato de f(x.y)=f(x)+f(y) podemos escreve-lo como F(x1.x2.x3.x4.x5) = f(2^13.x1^2)(1) Como x1,x2,x3,x4,x5 formam uma PG entao temos f(x1^5.q^10)=f(2^13.x1^2). Mas f e injetora, logo, x1^5.q^10 = 2^13.x1^2 = x1^3.q^4 = 2^13 (*) Agora, o segundo somatorio (quebrei a cabeca ate ver a observacao acima) e acho que essa notacao induziu as pessoas a terem um pensamento errado: Sum(i=1,4) f(xi/x_i+1) = -2f(2x1). Usando a 1a propriedade de f podemos escrever o somatorio da forma f(x1.x2.x3.x4/x2.x3.x4.x5) = -2f(2x1) (2) Note que f(1)=0 = f(x.1/x) = f(x) + f(1/x) = 0 = f(x)=-f(1/x). Usando esse fato em (2) temos f(x1/x5) = f(1/4x1^2) = Como f e injetora temos x1/x5 = 1/4x1^2. Usando o fato de que x5=x1q^4 entao, q=(2x1)^(1/2). Substituindo esse valor em (*) entao teremos x1^3.q^10 = 2^13 = x1=2 e q=2. Se tiver algum erro de conta, corrijam por favor, mas o raciocinio era esse. Regards, Leandro. Los Angeles,CA -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Jorge Paulino Sent: Thursday, August 07, 2003 9:21 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ITA-96 Tô com dificuldades na resoluçao. um abraço, Jorge ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] x^x = 2^(-raiz(x))
on 01.08.03 15:10, Paulo Santa Rita at [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola Pessoal ! Alguem me propos a questao ( que compartilho com voces ) : Quantas solucoes reais tem X^X = 2^(- RAIZ_2(X)), onde RAIZ_2(X) e a raiz quadrada de X. Regra : Nao vale usar calculo ! Dica : X=1/e pode ser um ponto importante ... Um Abraco Paulo Santa Rita 6,1508,010803 Oi, Paulo: O universo de x tem que ser o conjunto dos reais positivos. x^x = 2^(-raiz(x)) == (x^raiz(x))^raiz(x) = (1/2)^raiz(x) == x^raiz(x) = 1/2 Vamos supor que x = 1/2^n. Nesse caso: x^raiz(x) = (1/2^n)^(1/2^(n/2)) = (1/2)^(n/2^(n/2)) = 1/2 == n/2^(n/2) = 1 == n = 2^(n/2) == n^2 = 2^n == n = 2 ou n = 4 ou n = -a, onde a eh um numero real positivo menor do que 1 e tal que a^2 = 2^(-a) (repare que os graficos de y = x^2 e y = 2^x se intersectam num ponto de abscissa negativa igual a -a. Nao faco a menor ideia se a eh racional ou irracional ou mesmo transcendente, mas apostaria nessa ultima alternativa) n 4 == 2^n n^2 == n = 4 eh a maior solucao de n^2 = 2^n Portanto: n = 2 == x = 1/4 Testando: x^x = (1/4)^(1/4) = (1/2)^(1/2) = 1/raiz(2) 2^(-raiz(x)) = 2^(-raiz(1/4)) = 2^(-1/2) = 1/raiz(2) == x = 1/4 eh raiz n = 4 == x = 1/16 Testando: x^x = (1/16)^(1/16) = (1/2)^(4/16) = 1/2^(1/4) 2^(-raiz(x)) = 2^(-raiz(1/16)) = 1/2^(1/4) == x = 1/16 eh raiz n = -a == x = 2^a Testando: x^x = (2^a)^(2^a) = 2^(a*2^a) = 2^(a/a^2) = 2^(1/a) 2^(-raiz(x)) = 2^(-raiz(2^a)) = 2^(-raiz(1/a^2)) = 2^(-1/a) == x = 2^a nao eh raiz Assim, a equacao original tem 2 solucoes: x = 1/4 e x = 1/16. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Vou mais longe:
Os candidatos são os quadrados da forma:
(3*10^m + A)*10^(2n)
onde A pertence a {1,4,6} e m e n são inteiros não negativos.
Até agora, só encontrei números do tipo:
36, 3600, 36, ..., 36*10^(2n), ...
mas não consegui provar que são os únicos.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
[EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, August 05, 2003 1:42 PM
Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Retorno do Abertos da lista?
Que tal a gente achar quadrados perfeitos do tipo
3*10^k+6*10^l?
O tres nao pode vir no final.Talvez
modulo...Depois eu penso...
--- Claudio Buffara
[EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros
colegas:
Aqui vao dois problemas que ainda estao em
aberto na lista. O primeiro foi
enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da
olimpiada iraniana, se nao me
engano.
1) Determinar o conjunto de números inteiros
positivos que satisfazem à duas
condições: (i) todo número possui exatamente
dois algarismos não-nulos,
sendo um deles o três(3), (ii) todo número é
quadrado perfeito.
2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2
tal que ao se permutar os
algarismos de sua representacao decimal
obtem-se uma outra potencia de 2.
Esse segundo tem uma solucao aparentemente
simples, mas esta solucao exclui
o caso de potencias de 2 com algarismos 0
internos (ou seja, numeros do
tipo abcdefg).
Um abraco,
Claudio.
___
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[obm-l] PREFERÊNCIA SEXUAL
Olá! meus amigos, Talvez eu não tenha mais vida longa na lista, isto se não for apedrejado por tocar num assunto tão delicado, mas é que, opção sexual, cada qual administra da melhor maneira possível. É bom deixar claro que em momento algum tive intenções de subestimar o prof. Morgado, jamais faria isto, apenas ratifiquei que o autor Jonofon Sérates participou magistralmente nos dois programas. Agora, não vamos misturar as coisas, pois quem de nós não tem um caso lamentável nas nossas famílias. O problema é que a verdade, muitas vezes é desconfortável. Sôbre a ocorrência policial, talvez tenha sido um dos primeiros a saber através da minha querida filha Dândara de 14 anos que adora o seu método CUCA LEGAL e vinha trocando e-mail's com o autor. Todos ficamos estarrecidos, mas a vida segue o seu curso e oremos! para que nossos filhos não sejam vítimas deste mundo insãno. Agora, vamos ao que interessa, pois os problemas do caramujo e dos dicionários, já estão dando o que falar, isto sem falar na pegadinha do Pereira e do viajante dorminhoco, que vocês não deram a mínima atenção. Avante! Um abraço! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Raizes Cubicas - em aberto
Oi, pessoal: Achei mais um problema em aberto, este submetido pelo Crom ha algumas semanas: Determine todos os inteiros positivos A e B tais que: (A^(1/3) + B^(1/3) - 1)^2 = 49 + 20*6^(1/3) Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções de sistemalinear
Ola Daibert e demais colegas desta lista ... OBM-L, Conforme outros membros desta lista ja observaram, a questao que voce propos nao tem solucao. Todavia, se voce aceitar que as solucoes sejam formadas por INTEIROS NAO NEGATIVOS, ela tem solucao. Alias, uma generalizacao natural PODE SER : (Generalizacao) Discutir as solucoes formadas por INTEIROS NAO-NEGATIVOS da equacao : A1*X1 + A2*X2 + ... + An*Xn = B onde os Ai e o B sao inteiros positivos. Um abraco Paulo Santa Rita 4,1113,060803 on 06.08.03 02:15, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de ajuda para o seguinte problema: Calcular o número de soluções do sistema: 16a + 8b + 4c + 2d + e = 23 sendo a, b, c, d, e inteiros positivos. se possível usar somente conhecimentos de ensino médio, se isto não for possível, pelo tente explicar mais ou menos o q está fazendo para q um ignorante aluno q ainda não entrou em um curso superior possa entender :-) Alexandre Daibert - Juiz de Fora - [EMAIL PROTECTED] _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ajuda
O conjunto solução dessa equação é vazio. (x²+1)²0 para todo x pertencente aos reais e (x²+3x-17)²=0, logo,(x²+1)²+(x²+3x-17)² não pode ser igual a zero para nenhum x pertencente aos reais. Resposta: letra A - Original Message - From: Daniel Pini [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, August 09, 2003 6:29 PM Subject: [obm-l] ajuda Eu estou com duvida na seguinte questão: dada a equação (x²+1)²+(x²+3x-17)²=0, pode-se afirmar que no universo dos números reais, o seu conjunto solução: a) é vazio b) tem apenas dois elementos Obs: essa é uma questão da prova do CN e segundo os cursinhos preparatorios a resposta correta é a) mas a marinha divulgou com correta a alternativa b) Esta mensagem continha vírus e foi descontaminada pelo E-mail Protegido Terra. Para impedir a contaminação do seu computador o E-mail Protegido Terra remove qualquer arquivo anexado que possua vírus. Por este motivo, a mensagem pode estar mencionando um arquivo anexado que foi removido por segurança. Veja abaixo o relatório do E-mail Protegido Terra Mensagem: [obm-l] ajuda Remetente: Daniel Pini [EMAIL PROTECTED] Data de envio: 09/08/2003 18:29'16 Arquivo contaminado: (t/033e.js/033e.js) Nome do vírus: JS/[EMAIL PROTECTED] (t/033e.js/033e.js) (JS/[EMAIL PROTECTED]) Estes anexos foram removidos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda
Olá Claudio e companheiros da lista Bom, sabe que estou me convencendo mesmo que esta solução é prática :-) O que eu estava querendo inicialmente é uma solução que nem a da questão abaixo, veja só: S = sen(a) + sen(2a) + sen(3a) + ... + sen(na) Em que a solução consiste em multiplicar ambos os lados da igualdade pelo seno da metade da razão da PA, e após efetuar a prostaférese e sair cortando. Sem muitas delongas! ... Já ouvi dizer que a resolução que procuro existe, e está escrita em um tal livro russo chamado Lidski, problemas de PA, ou algo do gênero... mas nunca tive o privilégio de ter algum contato com essa obra. Alguém já ouviu falar? Atenciosamente ¡Thyago! - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, August 12, 2003 9:58 AM Subject: Re: [obm-l] Ajuda Oi, Thyago: Vou te confessar uma coisa: usando a identidade 1 - cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) e mais esse problema do IME, que alias eh uma propriedade classica (e, como voce mostrou, util!) das raizes n-esimas da unidade, voce chegou a uma solucao mais curta e elegante do que a que eu tinha em mente. Parabens! A minha ideia era separar os casos n par e n impar e fatorar x^n - 1 de duas maneiras diferentes: Primeiro: x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*(x^(2m-2) + x^(2m-4) + ... + x^4 + x^2 + 1) x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*(x^(2m) + x^(2m-1) + ... + x^2 + x + 1) Depois: x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*PRODUTO(1=k=m-1)(x^2 - 2xcos(kpi/m)x + 1) x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*PRODUTO(1=k=m)(x^2 - 2xcos(2kpi/(2m+1)) + 1) E depois, fazer x = 1 e igualar as expressoes obtidas, mas a sua solucao eh mais simples e, portanto, melhor. O passo que faltou na sua solucao foi mostrar explicitamente que (-i)^(m-1)*cis(pi/n)*cis(2pi/n)*...*cis((n-1)pi/n) = 1 mas isso eh bem facil (apesar de nao ser evidente). Um abraco, Claudio. PS: Se essa sua solucao nao eh pratica, entao eu nao sei o que eh. Repare: voce tem um produto de senos de numeros em PA. Como voce propoe calcula-los? Puramento por meio de identidades trigonometricas, sem usar complexos? Boa sorte... on 12.08.03 00:45, Thyago at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Cláudio, Obrigado pelas dicas :-) Mas a resolução que eu fiz não foi nada prática não. Eu já utilizei todas estas propriedades e não consegui chegar em nada. Bom, só para esclarecer um pouco mais... vou colocar o exercício que gerou tal questão: (IME) Sejam 1, X2, X3, ..., Xn as raízes de x^n=1. Calcule: P = (1 - x2)(1-x3)...(1-xn). Fazendo uso de Briot-Rufini e fatoração de polinômios, conseguimos chegar facilmente na resposta P = n. Mas, utilizando o tratamento vetorial de números complexos com a fórmula 1-cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) chegamos em P = 2^(n-1) . S Onde S = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n] Daí, utilizando a resposta da primeira resolução com a resposta da segunda resolução temos que S = n/[2^(n-1) ] Dá para ver que esta demonstração para S não é nada prática. Você citou uma solução padrão para este tipo de problema. Qual seria? Aguardo resposta Atenciosamente ¡Thyago! - Original Message - From: Cláudio (Prática) [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, August 11, 2003 2:19 PM Subject: Re: [obm-l] Ajuda Oi, Thyago: A solução padrão pra esse tipo de problema realmente envolve complexos e polinômios. Tentando resolver outros problemas similares, você vai perceber que complexos e polinômios são uma forma de resolução bastante natural. Os resultados básicos são os seguintes: 1) Todo número complexo pode ser representado na forma R*(cos(a) + i*sen(a)), onde R é um real não negativo e a é um real qualquer (mas normalmente limitado ao intervalo [0, 2pi) ou então (-pi,pi]); 2) e^(i*a) = cos(a) + i*sen(a): essa é a definição da função exponencial complexa, que permite, por exemplo, que você transforme sequências de senos e cossenos de números reais em PA em sequências de complexos em PG, que as vezes são mais fáceis de manipular; 3) Um polinômio com coeficientes reais pode ser expresso como o produto de binômios da forma (x - b) e/ou trinômios da forma (x^2 - 2*R*cos(a)*x + R^2), onde a e b são números reais quaisquer e R é um real positivo. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: dex [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, August 11, 2003 11:05 AM Subject: [obm-l] Ajuda Olá pessoal Gostaria de saber uma boa demonstração para o exercício abaixo P = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n] com n Inteiro positivo A resposta é P = n/[2^(n-1)], mas cheguei até este resultado de uma maneira muito pouco prática, nada natural para uma questão de matemática (de vestibular). Consegui prová-la utilizando o resultado de uma outra questão, que versava sobre polinômios e complexos. Ou seja, se eu não tivesse visto esta outra
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Exatamente Cláudio, o Princípio de Dirichlet tb é conhecido como Princípio da Casa dos Pombos ou das gavetas. O exemplo do monge é muito bom. Coloquei-o certa vez numa prova de cálculo I. Os alunos acharam bacana. E quanto ao TNP a prova não é simples realmente, mas a tentação de mostrar aos alunos a relação entre ln e os nos primos, destas relações absolutaamente inesperadas, é forte. Aproveito para colocar mais alguns resultados e dizer que, a medida que leio as respostas dos nossos colegas a sua enquete, fico cada vez mais perplexo, pois raramente discordo de algum, o que me alegra por demonstrar que, convenhamos, a Matemática é linda demais. (6) Esse é simples e bonitinho demais: Existem desertos de primos tão grandes qto se queira, isto é, formalmente: dado N natural, existe uma sequência de N inteiros consecutivos compostos. (7) A demonstração de que os números transcendentes são não-enumeráveis. (8) A solução da eq: 2^x = x^2 . ( acho que se encontra isto em : Meu Professor de Matemática... , do Elon. SBM ) (9) A demonstração de que C não é um corpo ordenado, pela simplicidade. ( Aqui vale dizer que não é necessário o emprego dos termos técnicos, como corpo, por exemplo... ) (10) A relação de Euler para poliedros, que, pecaminosamente havia me esquecido. Abraços, Frederico. From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, 09 Aug 2003 20:34:04 -0300 on 09.08.03 18:39, Frederico Reis Marques de Brito at [EMAIL PROTECTED] wrote: 1) Acho que esse será praticamente unânime: Teorema de Euclides sobre a exist~encia de infinitos primos. 2) Teorema de Bezout sobre MDC: O máximo dvisor comum de dois inteiros é uma comb. linear inteira ( em realidade a menor positiva ) desses números , pelas várias aplicações deste na Teoria dos Números. 3) O Princípio de Dirichlet, pela potência . 4) O posto-linha = posto-coluna. Não sei mais sempre achei este resultado muito inusitado, já que uma matriz nada mais é que um amontoado de números... 5) Teorema do Valor Intermediário ( Acho que podemos abordar este tema no ensino médio... ) Como o Morgado, pensarei um pouco mais antes de enviar outros 5. ( A propósito é tentador citar o Teorema dos Números Primos, mas acho que esse tema não seria acessível. Fica um voto de louvor então!) Frederico. Oi, Frederico. O principio de Dirichlet a que voce se refere eh o das casas de pombos? O TNP eh um pouco avancado demais (mesmo com uma demonstracao elementar), mas aquelas desigualdades de Chebichev sao aceitaveis, assim como o postulado de Bertrand, que penso seriamente em botar na minha lista. Pra mim, o TVI (e qualquer resultado que dependa do axioma do supremo) foi um caso mais dificil de decidir, mas como tem aquele probleminha do monge subindo e descendo a montanha, acho que ele tambem eh aceitavel. E, afinal de contas, tem um volume da colecao do Iezzi que trata de limites, derivadas e integrais... Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Soma de Senos
Oi, Thyago: Uma solucao 100% trigonometrica pra essa soma de senos voce encontra no livro do Luis Lopes - Manual de Trigonometria, ou entao, voce pode usar sen(x) = (e^(ix) - e^(-ix))/(2i) e transformar a soma em duas PGs complexas. Os dois jeitos sao um pouco bracais. Um abraco, Claudio. on 12.08.03 21:07, Thyago at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Claudio e companheiros da lista Bom, sabe que estou me convencendo mesmo que esta solução é prática :-) O que eu estava querendo inicialmente é uma solução que nem a da questão abaixo, veja só: S = sen(a) + sen(2a) + sen(3a) + ... + sen(na) Em que a solução consiste em multiplicar ambos os lados da igualdade pelo seno da metade da razão da PA, e após efetuar a prostaférese e sair cortando. Sem muitas delongas! ... Já ouvi dizer que a resolução que procuro existe, e está escrita em um tal livro russo chamado Lidski, problemas de PA, ou algo do gênero... mas nunca tive o privilégio de ter algum contato com essa obra. Alguém já ouviu falar? Atenciosamente ¡Thyago! - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, August 12, 2003 9:58 AM Subject: Re: [obm-l] Ajuda Oi, Thyago: Vou te confessar uma coisa: usando a identidade 1 - cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) e mais esse problema do IME, que alias eh uma propriedade classica (e, como voce mostrou, util!) das raizes n-esimas da unidade, voce chegou a uma solucao mais curta e elegante do que a que eu tinha em mente. Parabens! A minha ideia era separar os casos n par e n impar e fatorar x^n - 1 de duas maneiras diferentes: Primeiro: x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*(x^(2m-2) + x^(2m-4) + ... + x^4 + x^2 + 1) x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*(x^(2m) + x^(2m-1) + ... + x^2 + x + 1) Depois: x^(2m) - 1 = (x^2 - 1)*PRODUTO(1=k=m-1)(x^2 - 2xcos(kpi/m)x + 1) x^(2m+1) - 1 = (x - 1)*PRODUTO(1=k=m)(x^2 - 2xcos(2kpi/(2m+1)) + 1) E depois, fazer x = 1 e igualar as expressoes obtidas, mas a sua solucao eh mais simples e, portanto, melhor. O passo que faltou na sua solucao foi mostrar explicitamente que (-i)^(m-1)*cis(pi/n)*cis(2pi/n)*...*cis((n-1)pi/n) = 1 mas isso eh bem facil (apesar de nao ser evidente). Um abraco, Claudio. PS: Se essa sua solucao nao eh pratica, entao eu nao sei o que eh. Repare: voce tem um produto de senos de numeros em PA. Como voce propoe calcula-los? Puramento por meio de identidades trigonometricas, sem usar complexos? Boa sorte... on 12.08.03 00:45, Thyago at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Cláudio, Obrigado pelas dicas :-) Mas a resolução que eu fiz não foi nada prática não. Eu já utilizei todas estas propriedades e não consegui chegar em nada. Bom, só para esclarecer um pouco mais... vou colocar o exercício que gerou tal questão: (IME) Sejam 1, X2, X3, ..., Xn as raízes de x^n=1. Calcule: P = (1 - x2)(1-x3)...(1-xn). Fazendo uso de Briot-Rufini e fatoração de polinômios, conseguimos chegar facilmente na resposta P = n. Mas, utilizando o tratamento vetorial de números complexos com a fórmula 1-cis(a) = -2isen(a/2)cis(a/2) chegamos em P = 2^(n-1) . S Onde S = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n] Daí, utilizando a resposta da primeira resolução com a resposta da segunda resolução temos que S = n/[2^(n-1) ] Dá para ver que esta demonstração para S não é nada prática. Você citou uma solução padrão para este tipo de problema. Qual seria? Aguardo resposta Atenciosamente ¡Thyago! - Original Message - From: Cláudio (Prática) [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, August 11, 2003 2:19 PM Subject: Re: [obm-l] Ajuda Oi, Thyago: A solução padrão pra esse tipo de problema realmente envolve complexos e polinômios. Tentando resolver outros problemas similares, você vai perceber que complexos e polinômios são uma forma de resolução bastante natural. Os resultados básicos são os seguintes: 1) Todo número complexo pode ser representado na forma R*(cos(a) + i*sen(a)), onde R é um real não negativo e a é um real qualquer (mas normalmente limitado ao intervalo [0, 2pi) ou então (-pi,pi]); 2) e^(i*a) = cos(a) + i*sen(a): essa é a definição da função exponencial complexa, que permite, por exemplo, que você transforme sequências de senos e cossenos de números reais em PA em sequências de complexos em PG, que as vezes são mais fáceis de manipular; 3) Um polinômio com coeficientes reais pode ser expresso como o produto de binômios da forma (x - b) e/ou trinômios da forma (x^2 - 2*R*cos(a)*x + R^2), onde a e b são números reais quaisquer e R é um real positivo. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: dex [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, August 11, 2003 11:05 AM Subject: [obm-l] Ajuda Olá pessoal Gostaria de saber uma boa demonstração para o exercício abaixo P = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n]
Re: [obm-l] MMC
126000 = 2^4 * 3² * 5³ * 7 sejam A, B inteiros, se mmc(A, B) = 126.000 então A= 2^r1 * 3^r2 * 5^r3 * 7^r4 B= 2^s1 * 3^s2 * 5^s3 * 7^s4 se definirmos t[i] = max(r[i], s[i]), i = 1..4 então mmc(A, B) = 2^t1 * 3^t2 * 5^t3 * 7^t4 t1 = 4, t2 = 2, t3 = 3, t4 = 1 vamos contar os pares que satisfazem isso: max(r1, s1) = 4, existem9 possibilidades max(r2, s2) = 2, existem 5 possibilidades max(r3, s3) = 3, existem 7 possibilidades max(r4, s4) = 1, existem 3 possibilidades isso daria 9*5*7*3 maneiras, no entanto, estamos contando o par (126000, 126000) uma única vez e todos os demais pares (A, B) duas vezes... ou seja, o total de pares é (9*5*7*3 + 1)/2 =472 pares... [ ]'s - Original Message - From: Pedro Costa To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, August 13, 2003 9:49 AM Subject: [obm-l] MMC Quantos pares de inteiros positivos A e B existem cujo mínimo múltiplo comum é 126000? ( Considere o par (A,B) como sendo o mesmo que (B,A) -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] OUTRAS Questes Esaex
numerador--[(y^3 - 1) + (y^4 -1) + (y^6 - 1)] denominador--(y^6 - 1) vou fatorar (y^3 - 1) = (y -1)(y^2 + y + 1) (y^4 -1) = (y -1)(y^3 +y^2 + y + 1) (y^6 - 1) =(y^3 + 1)(y^3 -1)=(y^3+1)(y -1)(y^2 + y + 1) agora: numerador( vou colar (y-1) em evidencia): (y-1)[(y^2 + y + 1) + (y^3 +y^2 + y + 1) + (y^3+1)(y^2 + y + 1)] denominador: (y^3+1)(y -1)(y^2 + y + 1), eliminando y-1 de ambos e substituindo y por 1, numerador: 13, denominador:6, ou seja, 13/6 esse limite! se eu nao errei nada, eh claro! eheheh Abracao Guto. obs.: eu so nao tinha efetuado as contas, mas daria um resultado sim ...! Resposta: Fazendo (x+1) = y^12 , como x-0, y-1. (y^3 + y^4 + y^6 - 3)/(y^6 - 1) ,[(y^3 - 1) + (y^4 -1) + (y^6 - 1)]/[(y^3 + 1)(y^3 -1)] eleminando o fator (y-1),nao existira mais a indeterminacao ! Esta fatorao vai te levar novamente a (y^2 + 1)(y + 1)(y - 1) / (y + 1)(y2 -y + 1)(y - 1)(y^2 + y + 1) Faremos um bocado de conta e o resultado no bate
[obm-l] OUTRAS Questes Esaex
4) NO CONSIGO FATORAR A RAIZ CBICA! O valor do limite quando x 0 de 4(x+1) + 3(x+1) + (x+1) 3 (x+1) 1 Resposta: Fazendo (x+1) = y^12 , como x-0, y-1. (y^3 + y^4 + y^6 - 3)/(y^6 - 1) ,[(y^3 - 1) + (y^4 -1) + (y^6 - 1)]/[(y^3 + 1)(y^3 -1)] eleminando o fator (y-1),nao existira mais a indeterminacao ! Esta fatorao vai te levar novamente a (y^2 + 1)(y + 1)(y - 1) / (y + 1)(y2 -y + 1)(y - 1)(y^2 + y + 1) Faremos um bocado de conta e o resultado no bate QUESTO NOVA: De quantas maneiras se pode colocar 3 anis em 5 dedos?
Re: [obm-l] Livro da OBM
Ola Nicolau, Você sabe detalhes a respeito de valor e formato do livro? Anderson At 16:38 7/8/2003 -0300, Nicolau C. Saldanha wrote: On Fri, Aug 08, 2003 at 03:01:12AM -0700, Olimpiada Brasileira de Matematica wrote: Livro Olimpiadas Brasileiras de Matematica 9a. a 16a. , problemas e resolucoes. Organizadores: Carlos Moreira (Gugu), Edmilson Motta, Eduardo Tengan, Luiz Amancio, Nicolau Saldanha, Paulo Rodrigues. Uma publicacao de: Olimpiada Brasileira de Matematica Sociedade Brasileira de Matematica 172 paginas Vendas e distribuicao: Sociedade Brasileira de Matematica Tel: (21)25295073 - (21)25295072 e-mail: [EMAIL PROTECTED] A SBM também tem uma home page, www.sbm.org.br, mas não garanto que o livro já esteja lá. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 06/08/2003 / Versão: 1.3.13 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Livro da OBM
On Fri, Aug 08, 2003 at 03:01:12AM -0700, Olimpiada Brasileira de Matematica wrote: Livro Olimpiadas Brasileiras de Matematica 9a. a 16a. , problemas e resolucoes. Organizadores: Carlos Moreira (Gugu), Edmilson Motta, Eduardo Tengan, Luiz Amancio, Nicolau Saldanha, Paulo Rodrigues. Uma publicacao de: Olimpiada Brasileira de Matematica Sociedade Brasileira de Matematica 172 paginas Vendas e distribuicao: Sociedade Brasileira de Matematica Tel: (21)25295073 - (21)25295072 e-mail: [EMAIL PROTECTED] A SBM também tem uma home page, www.sbm.org.br, mas não garanto que o livro já esteja lá. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Opção_de_Compra
--- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Claudio :) Tem razão! Vamos ver, Se eu compro a ação de hoje por R$ 100 e guardo até o ano que vem e o preço da opção é x: terei que pegar emprestado R$ (100-x), já que x deve ser menor que R$ 75. então daqui um ano pode acontecer: (i) a ação valer R$ 200 nesse caso, o comprador da opção irá comprar a ação por R$ 110, que deverei usar para pagar o empréstimo (ii) a ação valer R$ 50 nesse caso, o comprador da opção não irá comprar a ação, e eu ainda terei que pagar o empréstimo, então eu vendo a ação por R$ 50 e pago o empréstimo. logo, para não ter prejuíso: (100-x)*1,2 = 50 = 100-x = 60 = x = R$ 40 então 40 = x = 75 agora voltando ao caso (i): receberei R$ 110 reais, e o meu lucro será: l = 110 - (100-x)*1,2 = 110 - 120 + 1,2x = 1,2x - 10 se x for R$ 40, l = R$ 8 o que é excelente, pois nesse caso o comprador pode lucrar 200-110-40 = R$ 50 fazendo com que a opção não seja tão ruim de se comprar caso p seja grande, e eu ainda poderei ter um lucro de R$ 8 reais, sendo que no começo da operação eu não tinha nenhum tostão(peguei tudo emprestado do banco). e o melhor de tudo, é garantido que eu não terei nenhum prejuíso! Ainda poderia escolher valores maiores de x, dependendo de p. []'s, Hélder T. Suzuki Oi, Helder: Tudo bem pro vendedor da opcao! Mas pense no caso do comprador da opcao. Se a acao cair pra R$ 50, ele terah perdido todo o premio que pagou (premio eh o jargao do mercado para o preco de uma opcao). Assim, um premio entre R$ 40 e R$ 75 nao seria justo. Mas voce estah no caminho certo. A fim de se calcular o preco justo da opcao - isto eh, o preco no qual tanto o comprador quanto o vendedor saem no zero-a-zero - voce tem que fazer duas suposicoes: 1) A fim de se proteger contra uma alta no preco da acao, o vendedor da opcao tem de comprar a acao. Isso voce fez. 2) A fim de se proteger contra uma queda no preco da acao, o comprador da opcao precisa vender a acao. No mercado financeiro isso ocorreria da seguinte forma: ele tomaria a acao emprestada e a venderia no mercado, aplicando os reais provenientes da venda a juros. Ao fim de um ano, ele precisaria recomprar a acao para devolver ao dono (que alugou a acao pra ele). O truque eh determinar exatamente quantas acoes precisam ser compradas ou vendidas pro resultado financeiro no fim de 1 ano ser zero em qualquer hipotese (acao a R$ 200 ou acao a R$ 50). Da forma que o enunciado estah escrito, pode parecer que a acao eh um objeto indivisivel, mas este nao eh o caso. Ou seja, pra esse problema suponha que voce pode comprar ou vender a acoes, onde a eh um numero real qualquer entre 0 e 1. No mundo real, uma operacao envolveria tipicamente 10.000 ou mesmo 100.000 acoes == o montante financeiro equivalente seria de R$ 1 milhao ou R$ 10 milhoes. No entanto, para uma acao de R$100, o lote padrao para negociacao seria de 50 ou 100 acoes - R$ 5.000 a R$ 10.000. Um abraco, Claudio. Olá Claudio! Interessante isso! :) Se o comprador pega a ações emprestado, ele terá que devolver daqui um ano a ações mais 100*a*0,2 (20% do valor do empréstimo), ou seja, a ações + 20a se ele vender essa ação emprestada, ele embolsará 100*a reais então, supondo que x 100a: comprando a opção, sobrará 100a-x, o que ele poderá investir, obtendo (100a-x)*1,2 em 1 ano. ai temos dois casos: (i) a ação está valendo R$50 ele deverá comprar a ações por 50*a, para devolver a ações + 20a para o cara que emprestou as ações. nesse caso, ele gastará R$ 70a o que ele deve ter, para não ter prejuíso, então: (100a-x)*1,2 = 70a = 100a-x = 84a = 16a = x = a = x/16 (ii) a ação está valendo R$ 200 ele exerce a opção e compra 1 ação por R$ 110, mas ele tem que devolver a ações, e ainda pagar 20a reais. então lhe sobra 200 - 200a - 20a = 200-220a para ele não ter prejuíso: 200-220a = 0 = 200 = 220a = 20 = 22a = 10/11 = a então: x/16 = a = 10/11 mas para o vendedor não ter prejuíso, x = 40 será que o vendedor também deve pegar emprestado a ação, em vez de emprestar dinheiro do banco, para depois comprar a ação? Abraços, Hélder ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Exemplo contra-intuitivo
on 10.08.03 00:50, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu, por exemplo, acho um tanto contra intuitivo que o fato de f ser diferenciavel em R e apresentar limite no infinito nao implique que f' apresente limite zero no infinito. Artur Oi, Artur: Quando li sua mensagem tambem fiquei com a mesma impressao. Entao, fui olhar no livro Counterexamples in Analysis e achei um exemplo bem elementar: f(x) = sen(x^2)/x == f'(x) = 2*cos(x^2) - sen(x^2)/x^2 Naturalmente, lim(x - +inf) f(x) = 0 mas lim(x - +inf) f'(x) nao existe. Acho que uma explicacao seria a seguinte: a derivada de uma funcao mede a taxa de variacao dessa funcao em relacao ao seu argumento, certo? No caso de f(x) acima, a variacao tem duas componentes: o decaimento da amplitude (dado por 1/x) e o zig-zag (dado por sen(x^2)). No caso de f(x), quando x - infinito, o crescimento da frequencia do zig-zag eh mais rapido do que a reducao da amplitude (x^2 contra 1/x). Logo, eh de se esperar que a derivada nao tenda a zero. De fato, se tomarmos um exemplo mais vivido: g(x) = sen(x^3)/x == g'(x) = 3*x*cos(x^3) - sen(x^3)/x^2. veremos que, quando x cresce sem limite, a derivada nao soh nao se anula, como tambem assume valores arbitrariamente grandes (positivos e negativos). Nao sei se essa explicacao torna o fenomeno intuitivo, mas pelo menos pra mim, joga o pepino pra definicao de derivada e pro vilao de sempre - o infinito. * Serah que existe alguma f tal que: f(x) tende a zero e f'(x) tende a L (diferente de zero) quando x - infinito? * Acho que um sinal de que estamos fazendo progresso no nosso entendimento de matematica (e de qualquer outro assunto) eh o fato de passarmos a achar natural algo que antes parecia contra-intuitivo. Quanto maior esse entendimento, menor o numero de fatos que permanecem contra-intuitivos. O que eh meio chato eh eu ter levado uns 5 minutos pra pensar nos 10 exemplos da minha msg anterior, mas pelo menos eu tenho uma vaga ideia da extensao da minha ignorancia. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Minhas escolhas são, como pedido, bem em nível de ensino médio e revelam minha admiração pela simplicidade e pela surpresa. 1) O conjunto dos primos eh infinito. Incluído pela beleza da prova de Euclides. 2) Desigualdade das médias aritmética e geométrica. Incluída pela beleza da prova de Cauchy. 3) As alturas de um triângulo concorrem em um mesmo ponto. (Sei que vão achar surpreendente essa minha indicação, mas é um resultado que conhecemos desde pequenos e, em geral, não nos damos conta de quão surpreendente ele é, nem tampouco da engenhosidade da demonstração.) 4) O problema dos pontos. Pela beleza da solução de Fermat. 5) São apenas 5 os poliedros regulares. (Outro que, em geral, não nos damos conta de quão surpreendente ele é.) Claudio Buffara wrote: Caros colegas da lista: Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza matematica. O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e cujas solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o enunciado. No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica (entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo utilizado. A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel a um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o Porisma de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos do Porisma poderiam ser incluidos). Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o. grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau. Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. Acho que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes pode ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau. Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar uma compilacao dos problemas e teoremas mais votados. Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema das 3 portas
Oi Bernardo. Por favor, leia a última mensagem enviado por Camilo Marcantonio Junior, onde ele explica corretamente o problema. Há muitas pessoas que, mesmo depois de ler os argumentos que justificam que é melhor TROCAR DE PORTA, não se convencem e continuam a insistir que tanto faz trocar ou não trocar de porta. Posso lhe assegurar que a resposta correta (todos as pessoas sérias dessa lista, grandes matemáticos: Nicolau, Gugu, Morgado, Luis Lopes, Shine, Camilo, Paulo Santa Rita, etc. concordarão que o melhor é trocar de porta) é esta. Se você, ainda sim, não conseguir compreender o argumento, lhe sugiro para fazer o seguinte experimento. Se você souber programar em computador, faça um programa que escolha aleatoriamente uma dentre três opções (a premiada) e lhe pede para decidir uma delas (1, 2 ou 3). Depois ele mostra que um dos números que você escolheu não contém o prêmio. Por fim, ele diz se você ganha permanecendo na mesma porta ou se trocando de porta. E ele faz uma contagem. Repita este jogo, umas 100 vezes e você perceberá que em aproximadamente 67 casos você teria ganho TROCANDO de porta e em aproximadamente 33 casos você ganharia PERMANECENDO com a mesma porta. Isto tem de lhe convencer. Se você não souber programar, sugiro que pegue três copos (não transparentes) e uma bolinha de papel que é o prêmio. Peça para alguém ter a função do apresentador do programa, e vá você mesmo fazendo a contagem que lhe sugeri. Repita umas 100 vezes o jogo, e constate a proporção (aproximada) de 2/3 para 1/3. Mas faça mesmo essa experiência, antes de enviar uma outra mensagem à lista, ok? Abraço, Duda. From: Bernardo Vieira Emerick [EMAIL PROTECTED] Claudio, Eu insisto que tanto faz trocar de porta. Pensemos no problema em duas etapas. Na primeira você escolhe entre três portas. Atrás de uma está o prêmio. A probabilidade de você ganhar será de 1/3, certo? Na segunda, você tem que escolher entre duas portas. O prêmio está em uma delas. A sua probabilidade de ganhar será, portanto, 1/2 para as duas portas. Pouco importa o que você escolheu na primeira etapa. É como se fosse outro jogo, só que se tenha eliminada uma das opções erradas. From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Problema das 3 portas Date: Tue, 12 Aug 2003 00:43:58 -0300 Oi, Henrique: Eu insisto que a estrategia otima eh trocar de porta. Veja o meu raciocinio: Chame as 3 portas de A, B e C. Suponha s.p.d.g. que inicialmente voce escolhe a porta A. Temos 3 casos a considerar: 1) O premio estah atras de A: Nesse caso, o apresentador abre B ou abre C (qualquer uma das duas estarah vazia) Se voce trocar, voce estarah saindo da porta vencedora e indo para uma das perdedoras (a que ele nao abriu) - voce perde se trocar. 2) O premio estah atras de B: Nesse caso, o apresentador abre a porta C. Se voce trocar, voce estarah saindo de A e indo para B - a porta vencedora. Ou seja, voce ganha se trocar. 3) O premio estah atras de C: Nesse caso, o apresentador abre a porta B. Se voce trocar, voce estarah saindo de A e indo para C - a porta vencedora. Ou seja, voce ganha se trocar. Assim, ao decidir trocar voce perde em um caso e ganha em 2. Supondo que a probabilidade do premio estar atras de uma dada porta eh 1/3, a sua probabilidade de ganhar ao trocar eh igual a 2/3 1/2. Logo, voce deve trocar de porta. Com 1 milhao de portas, a decisao eh ainda mais obvia, pois se voce nao trocar, o que voce estarah dizendo eh que voce escolheu a porta certa de primeira, um evento que pra voce tem uma probabilidade de 1 em 10^6. Suponha que voce tenha escolhido inicialmente a porta no. 1, a qual tem, pra voce, probabilidade de 1/10^6 de conter o premio. Isso quer dizer que, pra voce, a probabilidade do premio estar atras de uma das outras 999.999 portas eh de 999.999/10^6. Quando o apresentador abre 999.998 portas dentre as 999.999 que voce nao escolheu, ele estah colapsando a probabilidade de cada porta aberta para 0, e concentrando a probabilidade total de 999.999/10^6 numa unica porta, que permanece fechada (estas probabilidades sao sempre do seu ponto de vista. Do ponto de vista do apresentador, que sabe qual a porta premiada, as probabilidades sao: 1 do premio estar atras da porta premiada e 0 de estar atras de qualquer outra). Nesse caso, voce seria louco de nao trocar de porta. Um abraco, Claudio. on 11.08.03 23:27, Henrique Patrício Sant'Anna Branco at [EMAIL PROTECTED] wrote: Por mais que eu ache pedante e ridiculo alguem se vangloriar de ter o QI mais alto do mundo, nesse caso acho que a Marilyn estah certa. Voce deve trocar de porta. Desculpem a minha ignorancia, mas o que ha de errado com o argumento de 1 milhao de portas? Me parece que, nesse caso, a probabilidade de voce ter escolhido a porta certa de primeira eh apenas de 1/1.000.000. Logo, a probabilidade da outra porta
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
O Noga Alon conta que fizeram esta pergunta para ele uma vez que ele começou explicando a prova de Euclides de que há infinitos primos em um programa de televisão, eu acho: And today, are there still infinitely many primes? E sem sair do clima, deem uma olhada em http://qsilver.queensu.ca/~phil158d/intro/montyh3.htm Eu deveria ter visto isso antes de escrever o meu artigo da Eureka! --- x --- Putz, essa mulher do QI mais alto do mundo (bullshit!) não concorda com o Princípio da Indução Finita também! hehehe, o pior é que é sério!!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Title: Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos on 05.08.03 19:03, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma idéia para o segundo: Considere, SPG, j i, tq: 2^j = a0 + a1*10 + ... + a[k]*10^k e f uma permutação tq. 2^i = f(a0) + f(a1)*10 + ... + f(a[k])*10^k então 2^j - 2^i = a0 - f(a0) + [a1 - f(a1)]*10 + ... + [a[k] - f(a[k])]*10^k logo 2^j - 2^i ~ a0 - f(a0) + ... + a[k] - f(a[k]) = 0 (mod 9) 2^i[2^(j-i) - 1] = 0 (mod 9) = j - i = 6k para algum k será que sai alguma coisa a partir daqui? o que fiz até aqui já mostra que a permutação tem que colocar pelo menos 1 zero a esquerda... Pois eh. O problema eh justamente se: 2^(i+6k) = a b c d 0 0 0 e f g e 2^i = f g a b d c ou algo do genero. 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2 tal que ao se permutar os algarismos de sua representacao decimal obtem-se uma outra potencia de 2. Esse segundo tem uma solucao aparentemente simples, mas esta solucao exclui o caso de potencias de 2 com algarismos 0 internos (ou seja, numeros do tipo abcdefg). Um abraco, Claudio.
Re: [obm-l] geometria
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Em Wednesday 13 August 2003 12:13, Fábio Dias Moreira escreveu: [...] Note que isso também vale para tetraedros -- se 6s é a área superficial do tetraedro, e r é o raio da esfera inscrita, então [ABCD] = s * r. [...] Correção: [...] se ***3s*** é a área superficial [...] (Obrigado, Cláudio!) []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.2 (GNU/Linux) iD8DBQE/OwNQalOQFrvzGQoRAvZnAKDHvUIh5K3BbGl8QvIsyoZuAQS0UgCfdqDd 5QfZyJ9Xmb7bXlFXmLWyb5U= =x416 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Número de soluções de sistema linear - Correção
Tive uma dvida nessa resoluo. Depois de tudo feito, faltando calcular o coeficiente de x. supondo para um problema menor, como calcularamos o coeficiente de x no grau 23 brao na expresso fatorada do tipo (1+x^16)*(x^24-1)^4/((x^8-1)*(x^4-1)*(x^2-1)*(x-1)) q no podemos desmembr-la, pois voltaramos ao problema inicial. obs: desculpe minha ignorncia, mas sou um mero pobre, ignorante e humilde vestibulando... :-P Claudio Buffara escreveu: on 07.08.03 01:38, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote: ... O problema determinar o nmero de solues inteiras no negativas do sistema: 16a + 8b + 4c + 2d + e = 23 ... Oi, Alexandre: A solucao classica pra esse tipo de problema eh via series formais (vide artigo do Eduardo Tengan na Eureka 11). No caso, nem precisamos usar series infinitas, mas apenas polinomios. Precisamente, voce estah interessado no coeficiente de x^23 do polinomio formal: f(x) = a(x)*b(x)*c(x)*d(x)*e(x), onde: a(x) = 1 + x^16 b(x) = 1 + x^8 + x^16 = (x^24-1)/(x^8-1) c(x) = 1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16 + x^20 = (x^24-1)/(x^4-1) d(x) = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + ... + x^20 + x^22 = (x^24-1)/(x^2-1) e(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^21 + x^22 + x^23 = (x^24-1)/(x-1) Voce consegue ver o porque disso? Logo: f(x) = (1+x^16)*(x^24-1)^4/((x^8-1)*(x^4-1)*(x^2-1)*(x-1)) Pondo esta expressao para f(x) (que de fato eh um polinomio de grau 97) para ser avaliada pelo PARI-GP, eu achei que o coeficiente de x^23 eh igual a 74. Logo, existm 74 solucoes inteiras nao-negativas para a sua equacao. Naturalmente, Mathematica, Matlab ou Maple tambem podem ser usados. O que eu nao recomendo eh fazer na mao. Nao soh ha uma grande chance de voce errar alguma conta, mas tambem voce vai ficar de saco tao cheio que corre o risco de comecar a odiar matematica e abondonar esta bela ciencia pela razao errada. O PARI-GP eh um software de matematica (especialmente teoria dos numeros) que pode ser baixado gratuitamente da internet. O site eh este aqui: http://www.parigp-home.de/ Um abraco, Claudio. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l]_Re:_[obm-l]_ENQUETE_-_BELEZA_MATEMÁTICA
Oi Dirichlet, o Nicolau não comentou sobre nenhum problema. De qual problema em aberto você está falando? Abraço, Duda. From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] A demonstraçao que 3eu escrevi evitara este mal-entendido. Alias o Tengan me disse que este e um problema em aberto muito chato e de que ninguem conseguiu uma ideia muito esperançosa... --- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Wed, Aug 13, 2003 at 09:39:49PM -0200, Claudio Buffara wrote: on 13.08.03 20:28, Henrique Patrício Sant'Anna Branco at [EMAIL PROTECTED] wrote: Cláudio, A classica prova de Euclides é aquela que diz: Sejam p1, p2, ..., pm todos os primos. Entao consideremos o número N = p1 * p2 * ... * pm + 1. Esse número não seria divisível por nenhum primo e, portanto, contradiz o Teorema Fundamental da Aritmetica? Abraços, Henrique. Eh isso ai mesmo. Por falar nisso, esta prova aparentemente induz um dos erros mais comuns. As pessoas incorretamente entendem que foi provado que 2*3*...*p + 1 é primo. Isto é falso mas o primeiro contraexemplo demora o suficiente para aparecer para convencer os mais afoitos de que sim, estes números são primos: 2*3*5*7*11*13+1 = 30031 = 59*509 2*3*5*7*11*13*17+1 = 510511 = 19*97*277 2*3*5*7*11*13*17*19+1 = 9699691 = 347*27953 2*3*5*7*11*13*17*19*23+1 = 223092871 = 317*703763 Também dá errado se trocarmos +1 por -1 no final: 2*3*5*7-1 = 209 = 11*19 2*3*5*7*11*13*17-1 = 510509 = 61*8369 2*3*5*7*11*13*17*19-1 = 9699689 = 53*197*929 2*3*5*7*11*13*17*19*23-1 = 223092869 = 37*131*46027 Desculpem, eu sei que ninguém perguntou, mas eu já ouvi este erro vezes demais. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Desculpe a ignorancia, poderia detalhar mais a segunda escolha? Paulo Santa Rita wrote: Ola Claudio ! Muito legal essa sua enquete. Bom, so pode entrar resultados elementares e/ou de facil compreensao, certo ? Entao me ocorre de imediato alguns resultados. PRIMEIRO ( trivial, mas mercece um quadro na parece. Devido a Bernoulli ) 1^P + 2^P + 3^P + ... + (N-1)^P + N^P = [(N+B)^P - B^P]/(P+1) onde B^k deve ser interpretado como o K-esimo numero de bernoulli. Alias, foi verificando as somas das potencias P-esimas dos numeros naturais que Bernoulli descobriu os fantasticos numeros que hoje levam o seu nome. Mais adiante, quando eu estiver mais tranquilo, vou escrever sobre este tema. SEGUNDO ( Isso nao e um principio, e um Salmo do Profeta. Devido a Erdos ) Se em um conjunto de objeto, um objeto tem uma probabilidade menor que 1 de ter uma determinada propriedade, entao existe um objeto do conjunto com aquela propriedade Esse principio, nao obstante muito contestado e criticado por alguns, e poderoso e acredito que abre novas e imensas possibilidades para o pensamente matematico. TERCEIRO ( trivial, mas facilita a prova de muitas coisas. A desigualdade Eduardo Wagner ) Em todo triangulo, o semi-perimetro nunca e menor que a soma dos produtos de cada lado pelo cosseno do angulo oposto p = a*cosA + b*cosB + c*cosC Com a desigualdade acima da pra derivar quase todas as desigualdades complicadas da Geometria Elemntar. Um Abraco Paulo Santa Rita 7,1425,090803 EM TEMPO. Sobre a beleza matematica : A Divina Proporcao Um Ensaio sobre a beleza na Matematica H. E. Huntley Editora UnB O autor mostra como o numero fi, ( 1 + raiz_quadrada(5) )/2, aparece nas mais diversas circunstancias e inesperadas circunstancias, sempre com um toque de inegavel beleza. Eu acredito que este numero contribuem pelo menos com um resultado : A UNICA progressao geometrica de termos positivos que na qual An+1 = An + An-1 e a sequencia : 1, fi, fi^2, fi^3, fi^4, ... From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] CC: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, 09 Aug 2003 10:24:26 -0300 Caros colegas da lista: Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza matematica. O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e cujas solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o enunciado. No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica (entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo utilizado. A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel a um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o Porisma de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos do Porisma poderiam ser incluidos). Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o. grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau. Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. Acho que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes pode ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau. Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar uma compilacao dos problemas e teoremas mais votados. Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Res: [obm-l] probabilidade
{p1,p2,b1,b2,a1,a2,c1,c2,p'1,p'2,b'1,b'2,a'1,a'2,c'1,c'2}
total 16 elementos
---Mensagem original---
De: [EMAIL PROTECTED]
Data: quinta-feira, 7 de agosto de 2003 09:07:02
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] probabilidade
considerando o experimento aleatório o nascimento de 2
gatos, qual o número de elementos do espaço amostral
considerando que os gatos podem ser macho ou fêmea,
nas cores preto, branco, amarelo ou cinza.
a) n(U) = 8
b) n(U) = 16
c) n(U) = 12
d) n(U) = 14
___
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Re: [obm-l] EsSA
Um tringulo ABC tem rea 75m^2. os pontos D,E,F e G dividem o lado AC em 5 partes congruentes: AD=DE=EF=FG=GC. Desse modo, a rea do triangulo BDF : 20 30 40 50 55 O tringulo considerado tem a mesma altura relativa ao vrtice B que o tringulo ABC com relao ao mesmo vrtice. Como podemos calcular a rea por baseXaltura/2 , e a base do tringulo BDF 2AC/5 , ento a rea do BDF 2/5 da rea do ABC, ou seja 30. Abrao Eduardo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l]
OLÁ AMIGOS. URGENTEE TEM UM TAL CARA COM O E-MAIL DE (CLAUDIO PRATICA) QUE ESTAR MADANDO VÍRUS PARA A LISTA DE MATEMATICA. ESSE ÍNDIVIDUO JÁ MANDOU 2 VEZES PARA O MEU PC! _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Trigonometria (ajuda)
mas e o senx?? sen(-pi/3) = -sqrt(3)/2 o resultado de senx + sqrt(3).cosx seria ZERO *** MENSAGEM ORIGINAL ***As 17:47 de 9/8/2003 Nelson escreveu: Olá a todos, estou com uma dúvida muito fácil, mas que não consigo uma explicação teórica. Para resolver equações trigonométricas do tipo a(senx) + b(cosx) = c, onde a, b e c são números conhecidos, existem, basicamente, três métodos para resolve-las. Por exemplo: Resolver a equação senx + raiz3(cosx) = raiz3 (obs: raiz quadrada) Utilizando o método que tenho dúvida, fica assim: Fazemos senx = y, cosx = z e resolvemos o sistema: y + (raiz3)z = raiz3 y^2 + z^2 = 1 (1) z = 1 = y = 0. Nesse caso, senx = 0 e cosx = 1; logo x= 2kpi (2) z = 1/2 = y = raiz3/2. Nesse caso, senx = raiz3/2 e cosx = 1/2; logo x = pi/3 + 2kpi Esse exemplo foi tirado do livro temas e metas, de Antônio dos Santos Machado.O problema é que temos em cosx = 1/2, x =+ou- pi/3 + 2kpi, então, qual éa explicação para descatarmos o negativo?: Desde já, agradeço. Nelson Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso.Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens!
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Alguns que acho legais: --- não diria que são os 5 mais belos, mesmo pq tem muita coisa que eu desconheço. - Teorema de Euler (generalização do pequeno teorema de Fermat). acredito que a demonstração poderia ser dada no ensino médio pois não é muito difícil - A dem. de que existem infinitos primos é sem dúvida um 'must' na sua enquete - Resolução de sistemas lineares através de escalonamento acho que é o primeiro algoritmo um pouco mais avançado que se vê no colegial! - Teorema Binomial + Triângulo de Pascal - O cálculo de 1² + 2² + ... + n² é sem dúvida muito interessante, existem várias demonstrações, variando de uso de técnicas consagradas (usando polinômios para definir a recorrência, ie p(n) - p(n-1) = n² e p(0) = 0) até uso de blocos 1x1x1 para formar uma figura geométrica que possui na base n x n blocos, sobre a base (n-1)x(n-1) blocos alinhados num dos quadrantes e por aí vai... fazendo algumas manipulações com a figura vc chega na fórmula! Isso tudo pode ser compreendido por um aluno do colegial e certamente empolgaria muitos alunos. Algumas outras que incluiria na lista apesar de serem mais avançadas: http://mathworld.wolfram.com/LagrangesGroupTheorem.html http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html http://mathworld.wolfram.com/DirichletSeriesGeneratingFunction.html essa última e sua relação com a teoria dos números é algo que me surpreendeu muito... se alguém sabe onde encontro mais coisas a respeito da conexão entre análise e teoria dos números por favor mande! [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: RES: [obm-l] CUCA LEGAL
Tem razão, não pensei nisso :) Desculpem-me -- Walter Gongora Jr [EMAIL PROTECTED] ** [EMAIL PROTECTED] #8368573 -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Eduardo Henrique Leitner Enviada em: terça-feira, 5 de agosto de 2003 00:05 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: RES: [obm-l] CUCA LEGAL está errado... 1o dia: sobe 3 metros - posição: 3metros 1a noite: desce 2 metros - posição: 1metros 2o dia: sobe 3 metros - posição: 4metros 2a noite: desce 2 metros - posição: 2metros ... ... ... ... ... 7a noite: desce 2 metros - posição: 7metros 8o dia: sobre 3 metros- posição: 10metros 8a noite: desce 2 metros - posição: 8metros 9o dia: sobre 3 metros- posição: 11metros 9a noite: desce 2 metros - posição: 9metros 10o dia: sobre 3 metros - posição: 12metros portanto, 10o dia On Mon, Aug 04, 2003 at 10:18:28PM -0300, Walter Gongora Junior wrote: Dois dicionários estão ordenadamente na estante da biblioteca, sendo o primeiro com 900 páginas e o segundo com 600. Quantas páginas impressas estão entre a primeira página do primeiro dicionário e a primeira do segundo? Resp: 600 ou 599 páginas O problema talvez não esteja contando as capas, o que somaria mais 2 ao resultado final, mas creio que a resposta seja 899 paginas impressas, caso as capas sejam contadas, 901. Um caramujo resolve subir um muro de 12 metros de altura da seguinte maneira: durante o dia ele sobe 3 metros e durante a noite desce 2 metros. Sabendo-se que iniciou a subida da base, ao amanhecer do primeiro dia, quantos dias gastará o caramujo para chegar ao topo? Resp: 09 dias e meio, 10 dias, no decorrer do décimo dia, etc..? Se durante o dia ele sobe 3, e desce 2 à noite, ele sobe 1 metro em um dia inteiro. Logo, ele levou 12 dias para subir o muro. Espero estar certo hehe Abraços! == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
BoasVeja o livro do Gugu e do Yoshi de Combinatoria Contemporanea. --- Fabio Henrique [EMAIL PROTECTED] escreveu: A tal beleza começou pela idéia. Parabéns. Em 09 Aug 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros colegas da lista: Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza matematica. O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e cujas solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o enunciado. No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica (entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo utilizado. A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel a um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o Porisma de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos do Porisma poderiam ser incluidos). Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o. grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau. Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. Acho que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes pode ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau. Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar uma compilacao dos problemas e teoremas mais votados. Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] EsSA
Numa fábrica, trabalhadores reuniram-se para presentear um amigo que iria casar. O presente escolhido foi a quantia de 900,00, que seria dividida igualmente entre eles. Por razões particulares, dois daqueles trabalhadores tiraram seus nomes da lista e, por isso, decidiu-se diminuir a quantia para 888,00, de modo que na nova divisão coubesse a cada participante a mesma cota de antes da saída dos dois colegas. Com isso, coube a cada um dos participantes a quantia de : 4,00 6,00 9,00 10,00 12,00 Sendo x= 19 e y= 81, então a expressão (x+y)^2 + x^2 y^2 + 2x é divisível por: a) 2,19 e 81 b) 2,19 e 101 c) 2,81 e 100 d) 19,100 e 101 e) 81,100 e 101 achei a letra B Um triângulo ABC tem área 75m^2. os pontos D,E,F e G dividem o lado AC em 5 partes congruentes: AD=DE=EF=FG=GC. Desse modo, a área do triangulo BDF é: 20 30 40 50 55 um festival de música lotou uma praça semicircular de 200m de diâmetro. Admitindo-se uma ocupação média de 3 pessoas por m^2, qual o número mais aproximado de pessoas presentes? (Adote pi=3,14) Achei: 47.100 ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Algebra
Será que alguem poderia me ajudar com este problema de algebra? Serei grato!! Encontre uma série central para os grupos D4 e S4 Marcos Neves __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMTICA
Title: Help E ento, quando veremos todos esses belos teoremas/problemas listados e demonstrados/resolvidos? Seria muito legal ter tudo isso reunido em formato eletrnico... [ ]'s - Original Message - From: Cludio (Prtica) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, August 13, 2003 3:05 PM Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMTICA
Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Nenhum nº qudrado perfeito termina em 3, logo o 3 deverá ser sempre o 1ºalg.
da esq. p/ a dir.;já o seis é mais complicado.
os nº serão da forma: 30000600...00=3*10^(f+2q+1)+6*10^(2q)
onde onde f é o nºde zeros entre o 3 e o 6 e 2q é o nºde zeros depois do 6,
f e q sendo inteiros não-negativos.
Agora vamos mostrar que f só poderá ser 0(admitindo q=0):
3*10^(f+1)+6=30*10^(f)+6=k^2 ; k inteiro positivo
k^2=6*(5*10^(f)+1) :. 6*a=k*k ; k=a=6 ou (a=6c e 6c=q^2) {a,c,q}C(Z*+),
c=1 :. 5*10^(n)+1=6*c :. c=(5*10^(f)+1)/6
6*c deverá ser múltiplo de 6, logo deverá ser múltiplo de 2 e de 3 ao mesmo
tempo, assim a soma dos alg. de c deve ser múltiplo de 3(o que é fácil de
observar que sempre ocorre) e c deverá ser par.
temos duas hipóteses, 1- n0 ou 2- n=0
1-se f0 então 6*c=50...001, isto é 6*c nunca será par.
2-se f=0 então c=6, que é par CONCLUSÃO: 6*c=6
Se c=1 então a=6=k, logo 3*10^(f+1)+6=36 = f=0
Logo o conjunto pedido será o dos números da forma:
36000...0; com nº par de zeros, ou: 3,6*10^(2q+1)
Em 5 Aug 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Vou mais longe:
Os candidatos são os quadrados da forma:
(3*10^m + A)*10^(2n)
onde A pertence a {1,4,6} e m e n são inteiros não negativos.
Até agora, só encontrei números do tipo:
36, 3600, 36, ..., 36*10^(2n), ...
mas não consegui provar que são os únicos.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
To:
Sent: Tuesday, August 05, 2003 1:42 PM
Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Retorno do Abertos da lista?
Que tal a gente achar quadrados perfeitos do tipo
3*10^k+6*10^l?
O tres nao pode vir no final.Talvez
modulo...Depois eu penso...
--- Claudio Buffara
escreveu: Caros
colegas:
Aqui vao dois problemas que ainda estao em
aberto na lista. O primeiro foi
enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da
olimpiada iraniana, se nao me
engano.
1) Determinar o conjunto de números inteiros
positivos que satisfazem à duas
condições: (i) todo número possui exatamente
dois algarismos não-nulos,
sendo um deles o três(3), (ii) todo número é
quadrado perfeito.
2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2
tal que ao se permutar os
algarismos de sua representacao decimal
obtem-se uma outra potencia de 2.
Esse segundo tem uma solucao aparentemente
simples, mas esta solucao exclui
o caso de potencias de 2 com algarismos 0
internos (ou seja, numeros do
tipo abcdefg).
Um abraco,
Claudio.
___
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Re: [obm-l] geometria....
on 07.08.03 22:59, guilherme S. at [EMAIL PROTECTED] wrote: Por favor gostaria da ajuda de vcs para a soluçao destes dois exercicios: Mostre que se P_1,P_2,...,P_n sao vertices de um poligono regular de n lados inscrito em um circulo de raio 1, entao : (P_1P_2)*(P_1P_3)*(P_1P_4)*.*(P_1P_n) =n. Este primeiro sai por complexos (mais especificamente, raizes n-esimas da unidade) - veja artigo do Edmilson Motta sobre aplicacoes dos complexos em geometria na Eureka no. 6. Prove que ,se uma secante a dois circulos ortogonais passa pelo centro de um deles ,os quatro pontos de intersecçao formam uma divisao harmonica. Sejam O e O' os centros, a e b as medidas dos raios e P e Q os pontos de de interseccao das circunferencias. Por hipotese, os triangulos OO'P e OO'Q sao retangulos (em P e Q), ja que as circunferencias sao ortogonais. Vamos considear primeiro o caso particular em que a secante passa pelos dois centros. Sejam A, B, C e D os pontos de interseccao (em ordem, digamos, da esquerda para a direita - supondo a secante horizontal). Seja x a medida de BC. OO' = OB + BC + BO' = (a - x) + x + (b - x) = a + b - x Alem disso, OO' = raiz(a^2 + b^2) (Pitagoras em OO'P) Logo, x = a + b - raiz(a^2+b^2). Com isso, teremos: AB = 2a - x = raiz(a^2+b^2) + a - b BC = x = a + b - raiz(a^2 + b^2) CD = 2b - x = raiz(a^2+b^2) - a + b AD = 2a + 2b - x = a + b + raiz(a^2+b^2) Logo: BC*AD = [a+b-raiz(a^2+b^2)]*[a+b+raiz(a^2+b^2)] = (a+b)^2 - (a^2+b^2) = 2ab AB*CD = [raiz(a^2+b^2)+a-b]*[raiz(a^2+b^2)-a+b] = (a^2+b^2) - (a-b)^2 = 2ab Ou seja, BC*AD = AB*CD == BC/AB = CD/AD == A, B, C, D formam uma divisao harmonica * Agora, tome uma secante generica passando por O e que intercepte cada circunferencia em 2 pontos. Sejam X, Y, Z e W os pontos de interseccao tais que O estah entre X e Y, Y entre O e Z e Z entre Y e W. Inicialmente teremos: OX = OZ = OA = a Alem disso (potencia de O em relacao a outra circunferencia): OY*OW = OB*OD = (a - x)*(2b + a - x) = a^2 (fazendo as contas) XY = OX + OY = a + OY YZ = OZ - OY = a - OY ZW = OW - OZ = OW - a XW = OX + OW = a + OW Assim: YZ*XW = (a - OY)*(a + OW) = a^2 + (OW - OY)*a - OY*OW XY*ZW = (a + OY)*(OW - a) = -a^2 + (OW - OY)*a + OY*OW Portanto: YZ*XW - XY*ZW = 2*(a^2 - OY*OW) = 0 == YZ*XW = XY*ZW == X, Y, Z, W formam uma divisao harmonica Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problemas em Aberto - Algarismos
Title: Problemas em Aberto - Algarismos Caros colegas: Aqui vao dois problemas que ainda estao em aberto na lista. O primeiro foi enviado pelo Duda Stabel. O segundo eh da olimpiada iraniana, se nao me engano. 1) Determinar o conjunto de números inteiros positivos que satisfazem à duas condições: (i) todo número possui exatamente dois algarismos não-nulos, sendo um deles o três(3), (ii) todo número é quadrado perfeito. 2) Prove ou disprove: existe uma potencia de 2 tal que ao se permutar os algarismos de sua representacao decimal obtem-se uma outra potencia de 2. Esse segundo tem uma solucao aparentemente simples, mas esta solucao exclui o caso de potencias de 2 com algarismos 0 internos (ou seja, numeros do tipo abcdefg). Um abraco, Claudio.
[obm-l]
PODERIA AJUDAM POR FAVOR.. ESTOU ENROLADO NAS QUESTÕES ;; 01) O valor de lim-x-0 (sen²x)/sen²x é: a) 1 b) 0c) 1d) 2e) + infinito 02)Considere o triângulo ABC de área S, baricentro G e medianas CM e BN. A área do quadrilátero AMGN é igual a: a) S/2 b) 2S/3 c) S/3 d) S/4 e) 3S/4 03)) A relação entre os coeficientes b e c para que a equação x³ + bx + x = 0 possua duas raízes iguais é: a) 4b³ + 27c² = 0 b) b³ + c² = 0 c) 2b³ + 3c² = 0d) b³ + c² = 0 e) 3b = c 04)Considere a proposição: Se x 5 então y = 6. A proposição equivalente é: a) Se x 5 então y 6 b) Se y 6 então x 5 c) Se y 5 então x = 5 d) Se y diferente 6 então x = 5 e) Se x =5 então y diferente 6 _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questes Esaex - RETA FINAL
Pessoal, faltam 31 dias para a prova e eu ainda no consigo fazer vrias questes. Gostaria mesmo de ter aprendido de verdade! Mas no d pra saber tudo! Por favor, quem quiser ajudar, sinta-se vontade. No precisa resolver as questes se no quiser,mas mandem dicas. Acho tambm que algumas so muito pesadas pra esta lista ( no para os Medalhistas hehehe! ).Ento quem quiser passarpro meu e-mail diminuindo o trfego da lista, agradeo tambm! Professor Morgado! Na Geometria Espacial aqui t brabssimo!! FORTE ABRAO A TODOS CLEBER 1) Seja: Z1 = 2ei/6 Z2 = (1 + i/1 i)15 ln Z3 = 1 + i(/3 + 2k) Ento o valor de (Z1 + Z2)/e . Z3 : 2) QUESTO DESGRAADA! Num determinado pas, em um ano de transio, a sua moeda foi desvalorizada frente ao dlar em 10% ao ms nos primeiros 6 meses e nos 6 meses seguintes em 6% ao ms. Neste ano a desvalorizao mdia mensal foi de: GABARITO: 7,98% am 3) O intervalo de convergncia da srie ax + 1 + (x+1)2/2 + (x+1)3/3 + ... + (x+1)n/n + ... GABARITO = -2 x 0 4) NO CONSIGO FATORAR A RAIZ CBICA! O valor do limite quando x 0 de 4(x+1) + 3(x+1) + (x+1) 3 (x+1) 1 5) Determinar lim ln (1 + _2_ )2x 1/3 n x+3 GABARITO = 4 6) Expandir a funo f(x) = 1 / (1 + x2) em potncias de x-2, determinando o intervalo de convergncia da srie obtida. 7) Sejam a,b 0 x1 = (a + b)/2 e y1 = ab, assim xn+1 = (xn + yn)/2 e yn = (xn + yn) , n = 1, 2, 3, ... Mostre que (xn) e (yn) so seqncias montonas e convergem para o mesmo limite: 8) Mostre que a soma de TODAS as razes da equao Zn 1 = 0, no conjunto dos nmeros complexos zero. 9) Dado um semi-crculo MN de raio R e um ponto P no prolongamento do dimetro, calcular a distncia do centro do semi-crculo ao ponto N, de modo que a tangente PQ possa gerar em torno do dimetro uma rea igual gerada pelo arco MQ em torno deste mesmo dimetro. 10) A transformao do plano no plano que representa uma CONTRAO (???) de 1/2 seguida de uma rotao horria de 45o : 11) NO ENTENDI NADA! Acumula-se areia num monte de forma cnica razo de 10 dm3/min. Se a altura do monte sempre igual ao dobro do raio da base, a razo na qual varia (???) a altura do monte quando esta (???) de 8 dm igual a: 12) A equao da curva que passa no ponto (1,1) e corta a famlia de hiprboles x2-y2 = a2 em ngulos retos para TODOS os valores de a : GABARITO x.y=1 13) A famlia de todas as curvas que tm o comprimento do segmento da normal constante : GABARITO (x-0)2 + y2 = k2 14) A rea do tringulo cujos vrtices so, o centro da esfera 3x2+3y2+3z2 6x+12y+3 = 0, a origem do espao e o ponto (1,0,0) ( COMO ACHO O CENTRO DA ESFERA???) 15) O coeficiente angular da reta perpendicular reta tangente ao grfico de y = (x) + 1 no ponto de abcissa h :
Re: [obm-l] Problema 6 do dia 1 da IMC-rascunhos
Ah,eu nao li sua soluçao ainda mas me lembrei do artigo.Va no link http://www.unl.edu/amc/a-activities/a4-for-students/ Ai estara um artigo do Kiran sobre desigualdades. Talvez depois eu acabe o problema... --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: on 08.08.03 17:16, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi turmaOntem imprimi a prova da decima IMC.Eu nao consegui fazer muita coisa,afinal ainda estou nmo ensino me dio.Mas parei pra pensar no problema seis no onibus enquanto voltava a casa.Aqui vai um resumo. Seja f(x)=soma de 1 ate n de a_n*x^n um polinomio em R[x].Se f(t)=0 acarreta Re(t)0 entao a_k*a_(k+3)a_(k+2)*a_(k+3) Podemos supor que o polinomio e monico. Consegui resolver isto no caso n=3: Caso 1:as raizes sao reais.Logo o polinomio pode ser escrito na forma (t+t1)(t+t2)(t+t3) com os ts positivos.Assim basta abrir e conferir a desigualdade automaticamente! Caso 2:complexos nas raizes.Basta fazer Re(f)=Im(f)=0,escrever e usar o caso anterior! Pro caso geral tive uma ideia bem legal.Tentem ver se este artigo ainda esta online,senao... Parece Parece que na pagina da AMS tem algo do Kiran Kedlaya sobre desigualdades.Tem um truque util que deve dar para o gasto nesse problema... Favor procurar em www.ams.org algo parecido... Oi, Dirichlet: O enunciado na verdade diz que: a(k)*a(k+3) a(k+1)*a(k+2) para k = 0,1,.., n-3 * Esse deu um certo trabalho... Na minha opiniao, a observacao mais importante para esse problema eh a seguinte: Se todas as raizes de um dado polinomio real p(x) tem parte real negativa, entao os fatores irredutiveis de p(x) serao da forma: (x + a), onde a eh um real positivo ou (x^2 + bx + c), onde b e c sao reais positivos. Assim, se p(x) = a(0) + a(1)*x + ... + a(n)*x^n, entao todos os a(i) terao o mesmo sinal (em particular, se p(x) for monico, entao todos os coeficientes serao positivos) Isso quer dizer que, para 0 = i = j = n, teremos a(i)*a(j) 0. * Os casos onde grau(p(x)) = 1, 2 e 3 podem ser verificados por inspecao, como voce disse. Hipotese de inducao: Suponha que o resultado seja verdadeiro para polinomios de grau = n. Seja p(x) = b(0) + b(1)*x + ... + b(n+1)*x^(n+1) um polinomio de grau n+1 cujas raizes tem parte real negativa. Precisamos considerar apenas dois casos: CASO 1: Todas as raizes de p(x) sao reais (e negativas). Nesse caso, podemos escolher duas dessas raizes e chamar a sua soma -t e seu produto de u (u, t: reais positivos). CASO 2: p(x) possui (pelo menos) um par de raizes complexas conjugadas. Nesse caso, podemos chamar as suas partes reais (que sao iguais) de -t/2 e seus modulos (tambem iguais) de raiz(u) (u, t: reais positivos). Em ambos os casos podemos escrever: p(x) = (x^2 + tx + u)*q(x), onde q(x) eh um polinomio de grau n-1 cujas raizes tem parte real negativa. * q(x) = a(0) + a(1)*x + ... + a(n-1)*x^(n-1) == Para 0 = k = n+1, a relacao entre os coeficientes de p(x) e q(x) eh: b(k) = u*a(k) + t*a(k-1) + a(k-2) onde convencionamos que: a(-2) = a(-1) = a(n) = a(n+1) = 0. * Seja k um inteiro tal que 0 = k = n-2. b(k+1)*b(k+2) - b(k)*b(k+3) = [u*a(k+1) + t*a(k) + a(k-1)]*[u*a(k+2) + t*a(k+1) + a(k)] - [u*a(k) + t*a(k-1) + a(k-2)]*[u*a(k+3) + t*a(k+2) + a(k+1)] = [a(k+1)a(k+2) - a(k)a(k+3)]*u^2 + [a(k+1)^2 - a(k-1)a(k+3)]*u*t + [a(k)a(k+1) - a(k-1)a(k+2)]*t^2 + [a(k-1)a(k+2) - a(k-2)a(k+3)]*u + [a(k)^2 - a(k-2)a(k+2)]*t + [a(k-1)a(k) - a(k-2)a(k+1)] = A*u^2 + B*u*t + C*t^2 + D*u + E*t + F, onde, pela hipotese de inducao aplicada a q(x), os coeficientes A, C, D e F sao positivos. a(k-1)a(k) a(k-2)a(k+1) 0 (vide observacao acima) a(k)a(k+1) a(k-1)a(k+2) 0 == Multiplicando ambas as desigualdades, obtemos: a(k-1)a(k)^2a(k+1) a(k-2)a(k-1)a(k+1)a(k+2) Dividindo ambos os membros por a(k-1)a(k+1) (que eh uma quantidade positiva), obtemos: a(k)^2 a(k-2)a(k+2) == E = a(k)^2 - a(k-2)a(k+2) 0 Analogamente, podemos provar que B 0. Ou seja, t, u, A, B, C, D, E, F sao todos positivos == b(k+1)b(k+2) - b(k)b(k+3) 0 e acabou!!! Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re: [obm-l] Teorema_das_raízes_racionais
Isto nao e tao dificil mas e trabalhoso...A ideia e substituir x=p/q e abrir tudo com muita vontade.Va ao artigo do Shine da ultima semana olimpica sobre polinomios. Dificil mesmo e generalizar... --- Henrique_Patrício_Sant'Anna_Branco [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros, Recentemente foi usado na lista o teorema das raízes racionais, que segue: Se um polinômio f(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_0 tiver raízes racionais, estas serão da forma p/q com p divisor de a_0 e q divisor de a_n. Todo mundo aprende isso no ensino médio, mas é raro ver a demonstração. Pesquisando na Internet, nao achei nada também... Alguém saberia me dar uma demonstração desse teorema? Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema das 3 portas
Claudio, Eu insisto que tanto faz trocar de porta. Pensemos no problema em duas etapas. Na primeira você escolhe entre três portas. Atrás de uma está o prêmio. A probabilidade de você ganhar será de 1/3, certo? Na segunda, você tem que escolher entre duas portas. O prêmio está em uma delas. A sua probabilidade de ganhar será, portanto, 1/2 para as duas portas. Pouco importa o que você escolheu na primeira etapa. É como se fosse outro jogo, só que se tenha eliminada uma das opções erradas. From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Problema das 3 portas Date: Tue, 12 Aug 2003 00:43:58 -0300 Oi, Henrique: Eu insisto que a estrategia otima eh trocar de porta. Veja o meu raciocinio: Chame as 3 portas de A, B e C. Suponha s.p.d.g. que inicialmente voce escolhe a porta A. Temos 3 casos a considerar: 1) O premio estah atras de A: Nesse caso, o apresentador abre B ou abre C (qualquer uma das duas estarah vazia) Se voce trocar, voce estarah saindo da porta vencedora e indo para uma das perdedoras (a que ele nao abriu) - voce perde se trocar. 2) O premio estah atras de B: Nesse caso, o apresentador abre a porta C. Se voce trocar, voce estarah saindo de A e indo para B - a porta vencedora. Ou seja, voce ganha se trocar. 3) O premio estah atras de C: Nesse caso, o apresentador abre a porta B. Se voce trocar, voce estarah saindo de A e indo para C - a porta vencedora. Ou seja, voce ganha se trocar. Assim, ao decidir trocar voce perde em um caso e ganha em 2. Supondo que a probabilidade do premio estar atras de uma dada porta eh 1/3, a sua probabilidade de ganhar ao trocar eh igual a 2/3 1/2. Logo, voce deve trocar de porta. Com 1 milhao de portas, a decisao eh ainda mais obvia, pois se voce nao trocar, o que voce estarah dizendo eh que voce escolheu a porta certa de primeira, um evento que pra voce tem uma probabilidade de 1 em 10^6. Suponha que voce tenha escolhido inicialmente a porta no. 1, a qual tem, pra voce, probabilidade de 1/10^6 de conter o premio. Isso quer dizer que, pra voce, a probabilidade do premio estar atras de uma das outras 999.999 portas eh de 999.999/10^6. Quando o apresentador abre 999.998 portas dentre as 999.999 que voce nao escolheu, ele estah colapsando a probabilidade de cada porta aberta para 0, e concentrando a probabilidade total de 999.999/10^6 numa unica porta, que permanece fechada (estas probabilidades sao sempre do seu ponto de vista. Do ponto de vista do apresentador, que sabe qual a porta premiada, as probabilidades sao: 1 do premio estar atras da porta premiada e 0 de estar atras de qualquer outra). Nesse caso, voce seria louco de nao trocar de porta. Um abraco, Claudio. on 11.08.03 23:27, Henrique Patrício Sant'Anna Branco at [EMAIL PROTECTED] wrote: Por mais que eu ache pedante e ridiculo alguem se vangloriar de ter o QI mais alto do mundo, nesse caso acho que a Marilyn estah certa. Voce deve trocar de porta. Desculpem a minha ignorancia, mas o que ha de errado com o argumento de 1 milhao de portas? Me parece que, nesse caso, a probabilidade de voce ter escolhido a porta certa de primeira eh apenas de 1/1.000.000. Logo, a probabilidade da outra porta ter o premio eh de 999.999/1.000.000. Ou nao? Cláudio, No problema original, temos três portas, escolhemos uma e o apresentador logo em seguida abre outra que, com certeza, não tem o prêmio. Inicialmente, havia uma chance de 1/3 de uma determinada porta conter o prêmio. Ao ser aberta uma das portas e mostrar que ela não contém o prêmio, sobram apenas duas portas: a que você escolheu e uma outra. É como se a probabilidade tivesse sido atualizada pelo fato do apresentador mostrar uma porta que não contém o prêmio (isso é o Teorema de Bayes se não me engano). Agora que sobraram apenas duas portas, cada uma delas tem uma em duas chances (1/2) de ter o prêmio e, portanto, não há justificativa (matematica) para trocar de porta ou não. O fato do apresentador abrir uma das portas muda a probabilidade das DUAS portas e não apenas para uma, como a Sra. Marilyn quer nos fazer crer. Quanto ao argumento de 1 milhão de portas... Como você disse, a probabilidade de você ter escolhido a porta certa de primeira é de 1/10^6 que é a mesma probabilidade de cada uma das outras portas individualmente. Lembre-se que todas as probabilidades devem somar 1 = 10^6/10^6. O caso que você apontou (999.999/10^6) é a probabilidade combinada de todas as outras portas (cada uma entre as 10^6 portas têm probabilidade de 1/10^6) que você não escolheu de terem o prêmio e não de uma única porta das que você não escolheu. Se você simplesmente muda de porta, a probabilidade continua sendo a mesma... E, se ele abrir 777.777 portas sem o prêmio, a probabilidade de TODAS as portas fica em 1/222.223 e, novamente, não faz diferença mudar a porta... Espero ter sido claro. Abraço, Henrique.
[obm-l] Ajuda
Olá pessoal Gostaria de saber uma boa demonstração para o exercício abaixo P = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n] com n Inteiro positivo A resposta é P = n/[2^(n-1)], mas cheguei até este resultado de uma maneira muito pouco prática, nada natural para uma questão de matemática (de vestibular). Consegui prová-la utilizando o resultado de uma outra questão, que versava sobre polinômios e complexos. Ou seja, se eu não tivesse visto esta outra questão não conseguiria provar nada! Atneciosamente ¡Thyago! -- POP. Nem parece internet grátis. Seja POP você também! Acesse: http://www.pop.com.br/pop_discador.php e baixe o POPdiscador. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questões da ESAEx Por favor!
Se n 1, o limite eh evidentemente infinito. Se 0= n 1 o limite evidentemente vale 0. Resta o caso n=1. Nesse caso temos [1 + 2/(x-1)]^x que tende a e^2. Nao existe n para o qual o limite seja 9. Joo wrote: Estou me matando e no consigo! 8) Se lim [(nx + 1)/(x-1)]^x = 9, qual o valor de n ? x- + oo QUEM POR FAVOR PUDER AJUDAR, ESTAS QUESTES SO DE CONCURSOS PASSADOS DA ESAEX! O CONCURSO EM SET E AINDA ESTOU MUITO FRACO! forte abrao CLEBER
[obm-l] Problema dos algarismos do Duda Stabel
Problema original: Achar todos os quadrados perfeitos que tenham apenas 2 algarismos significativos sendo um deles o 3. * O Eduardo ([EMAIL PROTECTED]) apresentou uma demonstracao de que os unicos numeros que satisfazem o enunciado sao os da forma 36*10^(2m), a qual eu ainda nao examinei. Entrementes, com algum esforco consegui encontrar demonstracoes (longas e nao muito elegantes mas espero que corretas) de que nenhum numero da forma 3*10^(m+1) + 1 ou da forma 3*10^(m+1) + 4 eh quadrado perfeito. Como estes eram os unicos numeros que ainda precisavam ser examinados (vide minha mensagem anterior sobre o assunto), concluimos que os unicos numeros que satisfazem o enunciado sao, de fato, os da forma 36*10^(2m) (m inteiro nao negativo) * Suponhamos que 3*10^(m+1) + 1 = N^2, para algum natural N. Como 34 e 304 nao sao quadrados, podemos supor que m = 2. N^2 == 1 (mod 10) == N == 1 ou N == -1 (mod 10) == N = 10a +ou- 1, para algum natural a == N^2 = 100a^2 +ou- 20a + 1 = 20a(5a +ou- 1) + 1 == 3*10^(m+1) = 20a(5a +ou- 1) == 3*2^(m-1)*5^m = a(5a +ou- 1) 5^m | a == a = b*5^m, para algum natural b == 3*2^(m-1) = b*(b*5^(m+1) +ou- 1) Caso 1: b eh par b*5^(m-1) +ou- 1 eh impar == 2^(m-1) | b == b = c*2^(m-1) para algum natural c == 3 = c*(c*2^m*5^(m-1) +ou- 1) Mas: m = 2 == c*2^m*5^(m-1) +ou- 1 = 20*c +ou- 1 3 == contradicao Caso 2: b eh impar 2^(m-1) | b*5^(m+1) +ou- 1 == b*5^(m+1) +ou- 1 = c*2^(m-1) para algum natural c == 3 = b*c == b = 1 e c = 3 ou b = 3 e c = 1 b = 1 e c = 3 == 5^(m+1) +ou- 1 = 3*2^(m-1) == contradicao, pois para m = 2, 5^(m+1) - 1 3*2^(m-1) (inducao facil) b = 3 e c = 1 == 3*5^(m+1) +ou- 1 = 2^(m-1) == contradicao (idem) Conclusao: nenhum numero da forma 3*10^(m+1) + 1 eh quadrado perfeito. * Suponhamos que 3*10^(m+1) + 4 = N^2, para algum natural N. Como 34, 304 e 3004 nao sao quadrados, podemos supor que m = 3. N^2 == 4 (mod 10) == N == 2 ou N == -2 (mod 10) == N = 10a +ou- 2, para algum natural a == N^2 = 100a^2 +ou- 40a + 4 = 20a(5a +ou- 2) + 4 == 3*10^(m+1) = 20a(5a +ou- 2) == 3*2^(m-1)*5^m = a(5a +ou- 2) 5^m | a == a = b*5^m para algum natural b == 3*2^(m-1) = b(b*5^(m+1) +ou- 2) Caso 1: b eh par b = 2c, para algum natural c == 3*2^(m-1) = 2c(2c*5^(m+1) +ou- 2) == 3*2^(m-3) = c(c*5^(m+1) +ou- 1) Caso 1.1: c eh par c*5^(m-1) +ou- 1 eh impar == 2^(m-3) | c == c = d*2^(m-3) para algum natural d == 3 = d*(d*2^(m-3)*5^(m-1) +ou- 1) == contradicao, pois d*2^(m-3)*5^(m-1) +ou-1 = 24 Caso 1.2: c eh impar == c*5^(m-1) +ou- 1 eh par == c*5^(m-1) +ou- 1 = 2^(m-3)*d, para algum natural d == 3 = c*d == c = 1, d = 3ouc = 3, d = 1 Ambos os casos resultam em contradicao, conforme visto acima Caso 2: b eh impar b(b*5^(m-1) +ou- 2) eh impar == 3*2^(m-1) eh impar == m = 1 == contradicao, pois estamos supondo m = 3. Conclusao: nenhum numero da forma 3*10^(m+1) + 4 eh quadrado perfeito * Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questões Esaex - RETA FINAL 4 e 5
Obrigado... eu nao formatei o texto ... os simbolos q tao com problemas sao
os da msg original!!
eu copiei o simbolo de infinito pra colocar na minha msg, ele deu errado
vou colocar so as respostas da 4 e 5 cujo titulo eh
[obm-l] Questões Esaex - RETA FINAL do Joao!
- Original Message -
From: amurpe [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Cc: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, August 14, 2003 4:43 AM
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questões Esaex - RETA FINAL 4 e 5
Os simbolos estão com problema, por favor reenvie a msg.
Um abraço.Amurpe
4) NÃfO CONSIGO FATORAR A RAIZ CÃsBICA!
Resposta:
Fazendo (x+1) = y^12 , como x-0 , y-1.
(y^3 + y^4 + y^6 - 3)/(y^6 - 1) , [(y^3 -
1) + (y^4 -1) + (y^6 - 1)]/[(y^3 + 1)(y^3 -1)]
eleminando o fator (y- 1), nao existira mais a indeterminacao !
5)
Resposta:
n-+infinito
ln[lim (1 + 2/(x+3))^(2x - 1/3)], lim (1 + 2/(x+3))^
(x+3)*[(2x -1/3)/(x+3) Elevando a (x+3)/(x+3)
temos o limite fundamental { n-+infinito } d (1 + k/x)^x = e^k
(e^2)^lim(2x -1/3)/(x+3) = (e^2)^2 , logo ln e^4 eh 4.
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[obm-l] Teorema das raízes racionais
Pessoal, Há um tempo atrás eu e o Fael lançamos uma pergunta sobre a demonstração desse teorema (respondida pelo Morgado). Procurando nos meus favoritos, achei um link interessante sobre Teoria da Factorização (parece ser lusitano), que tem a demonstração na página 17. Se interessar: http://hermite.cii.fc.ul.pt/~pedro/fact.pdf Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Colegas,nao acreditem em testes de QI --- Bernardo Vieira Emerick [EMAIL PROTECTED] escreveu: Que piada!!! Marylin vos Savant, tida como a pessoa com o maior QI do mundo (concordo com o Domingos Jr.: bulsshit!) confundiu tudo. O problema era assim: num jogo, a pessoa escolha uma entre três portas. O apresentador, então, abra uma das portas. Como ele sabe qual é a porta que contém o prêmio, ele abre uma que não o contém - já que o jogo dar-se-ia por encerrado. A pergunta é: o jogador deveria trocar de porta? Segundo Marylin, sim!, porque a probabilidade da opção que ele teria continuaria 1/3, enquanto a outra aumentaria para 2/3!!! Qual a razão disso? A probabilidade da porta que ele escolheu não poderia subir subitamente para 1/2, como sugerem os matemáticos. Ora, como então a outra porta pode??? Isso ela não explica. Ela aparentemente desconhece o conceito primeiro de probabilidade, que é a chance de se acertar, e por isso está atrelada ao número de possibilidades possíveis e o número de possibilidades requeridas para se acertar o resultado. Então, a probabilidade será dada - como é de conhecimento geral, exceto possivelmente de Marylin - pela divisão do número de possibilidades requeridas pelo número total de possibilidades. Parece-me que ela acredita que a única forma de se aumentar a probabilidade é aumentando o número de possibilidades requeridas. Isso justificaria o we've learned nothing to allow us to revise the chances on the shell under your finger que ela diz. O que mudou, e que ela incrivelmente não percebeu, é o número total de possibilidades. Simplificando para ela, o numerozinho de baixo diminuiu, então o número do outro lado do sinal de igualdade aumentou, já que o numerozinho de cima da fração permaneceu constante. Será que assim ela entenderia??? From: Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Mon, 11 Aug 2003 19:03:11 -0300 O Noga Alon conta que fizeram esta pergunta para ele uma vez que ele começou explicando a prova de Euclides de que há infinitos primos em um programa de televisão, eu acho: And today, are there still infinitely many primes? E sem sair do clima, deem uma olhada em http://qsilver.queensu.ca/~phil158d/intro/montyh3.htm Eu deveria ter visto isso antes de escrever o meu artigo da Eureka! --- x --- Putz, essa mulher do QI mais alto do mundo (bullshit!) não concorda com o Princípio da Indução Finita também! hehehe, o pior é que é sério!!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Livro da OBM
Esse livro da OBM é igual ao livro escrito somente pelo Luiz Amâncio que foi publicado pela Editora da UFC a alguns anos? Cícero Thiago -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
Você não pode usar isso assim, pois nada assegura que todos os divisores de
1024 são raízes da equação.
De fato, o teorema nos diz que, SE um polinômio f(x) = a_n*x^n +
a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_0 tiver raízes racionais, estas serão da forma p/q
com p divisor de a_0 e q divisor de a_n. No problema, só temos o dado que as
raízes são todas reais e positivas e, logo, pode haver raizes irracionais.
Abraço,
Henrique.
- Original Message -
From: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, August 09, 2003 10:18 PM
Subject: Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
Pelo teorema das raizes racionais temos as raizes p/q da eq. de modo que
a[n]
eh divisor de q e a[0] eh divisor de p.
No problema abaixo temos a[n] = 1 e a[0] = 1024. Com a[n] =1 e as raizes sao
reais e positivas, temos que as raizes da equacao abaixo eh o conjunto dos
divisores positivos de 1024 (=2^10) que sao obtidas tomando-se o produto
2^10
dois a dois {2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024}
Se cometi algum deslize, por favor Claudio (ou qualquer outro participante)
me corrija.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Caros colegas: Estou extremamente decepcionado com as listas de problemas supostamente bonitos que foram enviadas pra lista ateh o presente momento. Imaginem soh - teorema do valor intermediario, secoes conicas, poliedros regulares, conjuntos enumeraveis. Onde voces estao com a cabeca? Isso tudo eh matematica do tempo da carochinha. Infinitude dos primos? Isso eh tao velho que ja devia ter sido revogado! Pessoal, vamos olhar pra frente, prestigiar a modernidade e, mais importante, os talentos matematicos nacionais. Com isso em mente, elaborei uma lista que deixaria o David Hilbert morrendo de inveja. E o que eh melhor, com problemas propostos pelas mentes mais privilegiadas da nossa lista - aqueles que certamente vao cobrir o Brasil de gloria com medalhas Fields, premios Abel e ainda fazer os suecos criarem o premio Nobel de matematica. Sendo assim, aqui vao os problemas que pautarao o desenvolvimento da matematica nos seculos vindouros. As 7 primeiras perolas (perolas? brilhantes, isso sim!) sao de autoria do nobre sabio Jorge Luiz de Fortaleza. As 5 restantes - puro genio - do nosso querido e muitas vezes incompreendido mestre Dirichlet. Problemas e teoremas do Jorge Luiz: 1) A pegadinha no Pereira. 2) O caramujo. 3) A margem de erro real. 4) A compra, venda, recompra e revenda. 5) Apostar ou jogar uma moeda. 6) As páginas dos dicionários. 7) O método cuca legal de multiplicação. Problemas e teoremas do Dirichlet: 8) O da sequencia que sai facil por Kronecker - eh soh pegar os numeros das pontas e das extremidades e ir multiplicando de fora pra dentro; 9) O do triangulo que voce expressa o seno em funcao da tangente da metade do angulo externo do triangulo da pagina ao lado e cai num polinomio que os fatores se cancelam e se nao se cancelarem eh que voce errou alguma conta mas tudo bem que tambem tem a solucao cearense. 10) Aquele que voce aplica Schur 3 vezes e depois divide o intervalo em 4 sub-intervalos e aplica Schur mais umas 3 ou 4 vezes e ai fica trivial - basta usar Fermat, ou Cauchy, ou Euler, ou um cara desses ai. 11) Tem o outro que sai pelo teorema de Turan-Erdos-Von Neumann e mais outros dois ou tres hungaros que eu nao lembro o nome e ai com 4n^2+3 2n+1 7n^3+9 111 112 2m eh soh achar os dois grafos sem triangulos no meio do emaranhado de pontinhos. 12) Finalmente, tem aquele da soma dos senos que eh soh ver a Eureka e - ah! meu! Esse ai eh muito trivial - depois eu mando pra lista. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EsSA
Sendo x= 19 e y= 81, então a expressão (x+y)^2 + x^2 - y^2 + 2x é divisível por: Desenvolvendo, temos: x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - y^2 + 2x = 2x^2+2xy+2x Essa expressão é (claramente) divisível por x (logo, por 19). Dividindo chegamos a 2x + 2y + 2, divisível por 2. Assim, (2x + 2y + 2)/2 = x + y + 1. Divisível por ela mesma, ou seja, 101. Logo, letra b) 2, 19, 101. Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda - pequena obs.
Sendo n inteiro positivo, o caso n=1 teria que dar 1 segundo o resultado... so que P sera nulo! hehe - Original Message - From: dex [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, August 11, 2003 7:05 AM Subject: [obm-l] Ajuda Olá pessoal Gostaria de saber uma boa demonstração para o exercício abaixo P = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n] com n Inteiro positivo A resposta é P = n/[2^(n-1)], mas cheguei até este resultado de uma maneira muito pouco prática, nada natural para uma questão de matemática (de vestibular). Consegui prová-la utilizando o resultado de uma outra questão, que versava sobre polinômios e complexos. Ou seja, se eu não tivesse visto esta outra questão não conseguiria provar nada! Atneciosamente ¡Thyago! -- POP. Nem parece internet grátis. Seja POP você também! Acesse: http://www.pop.com.br/pop_discador.php e baixe o POPdiscador. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Resultado IX Olimpiada de Maio.
Caros(as) Professores(as) Ja' esta' publicado no nosso site o resultado oficial da IX Olimpiada de Maio. http://www.obm.org.br/maio.htm Abracos, Nelly. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problema das 3 portas
Oi, Henrique: Eu insisto que a estrategia otima eh trocar de porta. Veja o meu raciocinio: Chame as 3 portas de A, B e C. Suponha s.p.d.g. que inicialmente voce escolhe a porta A. Temos 3 casos a considerar: 1) O premio estah atras de A: Nesse caso, o apresentador abre B ou abre C (qualquer uma das duas estarah vazia) Se voce trocar, voce estarah saindo da porta vencedora e indo para uma das perdedoras (a que ele nao abriu) - voce perde se trocar. 2) O premio estah atras de B: Nesse caso, o apresentador abre a porta C. Se voce trocar, voce estarah saindo de A e indo para B - a porta vencedora. Ou seja, voce ganha se trocar. 3) O premio estah atras de C: Nesse caso, o apresentador abre a porta B. Se voce trocar, voce estarah saindo de A e indo para C - a porta vencedora. Ou seja, voce ganha se trocar. Assim, ao decidir trocar voce perde em um caso e ganha em 2. Supondo que a probabilidade do premio estar atras de uma dada porta eh 1/3, a sua probabilidade de ganhar ao trocar eh igual a 2/3 1/2. Logo, voce deve trocar de porta. Com 1 milhao de portas, a decisao eh ainda mais obvia, pois se voce nao trocar, o que voce estarah dizendo eh que voce escolheu a porta certa de primeira, um evento que pra voce tem uma probabilidade de 1 em 10^6. Suponha que voce tenha escolhido inicialmente a porta no. 1, a qual tem, pra voce, probabilidade de 1/10^6 de conter o premio. Isso quer dizer que, pra voce, a probabilidade do premio estar atras de uma das outras 999.999 portas eh de 999.999/10^6. Quando o apresentador abre 999.998 portas dentre as 999.999 que voce nao escolheu, ele estah colapsando a probabilidade de cada porta aberta para 0, e concentrando a probabilidade total de 999.999/10^6 numa unica porta, que permanece fechada (estas probabilidades sao sempre do seu ponto de vista. Do ponto de vista do apresentador, que sabe qual a porta premiada, as probabilidades sao: 1 do premio estar atras da porta premiada e 0 de estar atras de qualquer outra). Nesse caso, voce seria louco de nao trocar de porta. Um abraco, Claudio. on 11.08.03 23:27, Henrique Patrício Sant'Anna Branco at [EMAIL PROTECTED] wrote: Por mais que eu ache pedante e ridiculo alguem se vangloriar de ter o QI mais alto do mundo, nesse caso acho que a Marilyn estah certa. Voce deve trocar de porta. Desculpem a minha ignorancia, mas o que ha de errado com o argumento de 1 milhao de portas? Me parece que, nesse caso, a probabilidade de voce ter escolhido a porta certa de primeira eh apenas de 1/1.000.000. Logo, a probabilidade da outra porta ter o premio eh de 999.999/1.000.000. Ou nao? Cláudio, No problema original, temos três portas, escolhemos uma e o apresentador logo em seguida abre outra que, com certeza, não tem o prêmio. Inicialmente, havia uma chance de 1/3 de uma determinada porta conter o prêmio. Ao ser aberta uma das portas e mostrar que ela não contém o prêmio, sobram apenas duas portas: a que você escolheu e uma outra. É como se a probabilidade tivesse sido atualizada pelo fato do apresentador mostrar uma porta que não contém o prêmio (isso é o Teorema de Bayes se não me engano). Agora que sobraram apenas duas portas, cada uma delas tem uma em duas chances (1/2) de ter o prêmio e, portanto, não há justificativa (matematica) para trocar de porta ou não. O fato do apresentador abrir uma das portas muda a probabilidade das DUAS portas e não apenas para uma, como a Sra. Marilyn quer nos fazer crer. Quanto ao argumento de 1 milhão de portas... Como você disse, a probabilidade de você ter escolhido a porta certa de primeira é de 1/10^6 que é a mesma probabilidade de cada uma das outras portas individualmente. Lembre-se que todas as probabilidades devem somar 1 = 10^6/10^6. O caso que você apontou (999.999/10^6) é a probabilidade combinada de todas as outras portas (cada uma entre as 10^6 portas têm probabilidade de 1/10^6) que você não escolheu de terem o prêmio e não de uma única porta das que você não escolheu. Se você simplesmente muda de porta, a probabilidade continua sendo a mesma... E, se ele abrir 777.777 portas sem o prêmio, a probabilidade de TODAS as portas fica em 1/222.223 e, novamente, não faz diferença mudar a porta... Espero ter sido claro. Abraço, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Opo de Compra
Title: Help Caros colegas: No sei se algum vai se interessar pelo problema abaixo mas, dentro do mercado financeiro, a rea que mais utiliza mtodos matemticos avanados a de avaliao de instrumentos derivativos, dos quais existem inmeros tipos, entre os quais as opes de compra - objeto do problema * O mercado de opes (e, mais geralmente, o de instrumentos derivativos) movimenta todos os dias bilhes de dlares em todo o mundo.A definiodesse instrumento bem simples: Uma Opo de Compra um contrato entre duas partes que d a uma delas (o titular da opo) o direito, mas no a obrigao, de comprar um dado bem, por um preo fixo, numa certa data futura. Por exemplo,suponhamos que um investidor compre uma opo de compra sobre uma certa ao que lhe d o direito de, dentro de 1 ano, comprar esta ao por R$ 100,00. Ao fim de 1 ano, temos dois casos a considerar: Caso 1: A ao est sendo cotada em bolsa a um preo superior a R$ 100. Nesse caso, o investidor deve exercer sua opo de comprar a ao, uma vez que ao fazer isso, ele estar adquirindo esta ao a um preo inferior quele disponvel na bolsa. Por exemplo, se a ao estiver sendo cotada em bolsa a R$ 130, ao exercer a opo e adquirir a ao por apenas R$ 100, este investidor estar auferindo um lucro de R$ 30. Caso 2: A ao est sendo cotada em bolsa a um preo superior a R$ 100. Nesse caso, o investidor deve abandonar a sua opo (abrir mo do seu direito) pois, se quiser, poder adquirir a ao por um preo menor diretamente na bolsa. Por exemplo, se a ao estiver sendo cotada em bolsa a R$ 80, por que o investidor ir pagar R$ 100 por ela? * Feito esse prembulo explicativo, passemos ao problema matemtico de se avaliar uma opo de compra. Vamos supor o caso simples (e irreal) de uma ao cujo preo hoje R$ 100, e cujo preo, daqui a 1 ano,tem a seguinte distribuio probabilstica: R$ 200, com probabilidade = p e R$ 50, com probabilidade = 1 - p. Alm disso, vamos supor (tambm irrealmente) que seja possvel aplicar dinheiro e/ou tomar dinheiro emprestado a uma mesma taxa de juros, digamos de 20% ao ano. Pergunta: Quanto deve valer uma opo de compra que d o direito de se comprar esta ao daqui a 1 ano por R$ 110? * OBS1: Repare que, se daqui a 1 ano, a ao estiver valendo R$ 200, a opo permitir que o titular tenha um lucro de R$ 90 (200 - 110). Por outro lado, se a ao estiver valendo R$ 50, o titular dever simplesmente abandon-la. Assim,na pior das hipteses, o titular no perde nem ganha, e na melhor, ganha R$ 90. Logo, razovel se esperar que esta opo valha alguma coisa hoje. OBS2: Esse caso parece (de fato ) excesivamente simples e irreal. No entanto, a base para o chamado modelo binomial de avaliao de opes, um dos modelos que usado no mundo inteiro por investidores e instituies financeiras para avaliar opes de verdade. OBS3: Opes tem sido negociadas desde a Renascena (e talvez antes disso), mas foi apenas em 1973 que dois acadmicos (Fisher Black e Myron Scholes - este ltimo ganhador do prmio Nobel de Economia em 1997) tiveram a "sacada" que revolucionou as tcnicas de avaliao e, consequentemente, o mercado mundial de derivativos. Um abrao, Claudio.
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
On Sat, Aug 09, 2003 at 12:27:25PM -0300, A. C. Morgado wrote: 8) Os teoremas belgas a respeito das seções cônicas. Outro que eu não sei o que é. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] continuidade
Oi Cláudio, Talvez vc naum tenha observado que a função é f(x)=1/x²,não f(x)=1/x.De qualquer maneira,a resolução abaixo deuma encaminhada boa e acho que consegui terminar o problema. Brigadão, Eder on 10.08.03 20:58, edalbuquerque at [EMAIL PROTECTED] wrote: Como eu provo que f(x)=1/x² é contínua? Melhor,como determinar o delta apropriado? Grato por qualquer ajuda. Eder Oi, Eder: Devemos ter cuidado pra definir f, pois seu dominio nao cont em x = 0. Seja a 0. Temos que provar que lim(x - a) 1/x = 1/a. Seja eps 0. Como a 0, teremos |a| |a|/2 0 Tomemos delta = min( a^2*eps/2, |a|/2 ) |x - a| delta == a - delta x a + delta == a - |a|/2 x a + |a|/2 == se a 0, entao 3a/2 x a/2 e se a 0, entao a/2 x 3a/2 == de qualquer jeito, |x| |a|/2 == 1/|x| 1/(|a|/2) Assim: |1/x - 1/a| = |x - a|/(|a||x|) delta/ (|a||a|/2) = 2delta/a^2 = eps Um abraco, Claudio. PS: Acabei nao respondendo a sua pergunta. O delta apropriad o voce acha resolvendo o problema de tras pra frente, ou seja, fazendo: |1/x - 1/a| = |x - a|/(|a||x|) delta/(|a||x|) = eps == delta = eps*|a|*|x| A partir desse ponto, voce soh precisa achar um limitante in ferior para |x| (no caso, eu achei |a|/2). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a list a em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Cláudio: A Matemática é a única ciência em que uma geração não poe abaixo o que a anterior construiu. As idéias matemáticas belas são permanentes e a sua enquete em nada remetia a que enviássemos apenas teoremas modernosos, ademais a genialidade dos Matemáticos da Carochinha parece não ter mais espaço nos últimos anos ... Perplexo, com seu comentário, Frederico. From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Tue, 12 Aug 2003 15:15:20 -0300 (ART) Ah e,e??Veja o primeiro capitulo do Proofs from THE BOOK.Ai ce vai ver como topologia e ultrapassado Claudio Buffara wrote: Estou extremamente decepcionado com as listas de problemas supostamente bonitos que foram enviadas pra lista ateh o presente momento. Imaginem soh - teorema do valor intermediario, secoes conicas, poliedros regulares, conjuntos enumeraveis. Onde voces estao com a cabeca? Isso tudo eh matematica do tempo da carochinha. Infinitude dos primos? Isso eh tao velho que ja devia ter sido revogado! O Noga Alon conta que fizeram esta pergunta para ele uma vez que ele começou explicando a prova de Euclides de que há infinitos primos em um programa de televisão, eu acho: And today, are there still infinitely many primes? E sem sair do clima, deem uma olhada em http://qsilver.queensu.ca/~phil158d/intro/montyh3.htm Eu deveria ter visto isso antes de escrever o meu artigo da Eureka! []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Caro Claudio, Em termos de probabilidade não há razão para se mudar de opção, ou dee porta. Digamos que haja um milhão de portas. A probabilidade de se acertar em todas elas serão iguais entre si e iguai a 1/1.000.000. Digamos que o apresentador abra 999.998 portas, ou seja, que só sobrem duas. Está certo: a probabilidade de se acertar aumentou; mas ela aumenta para ambas as portas. O que modificou foi o número total de possibilidades. Antes, tinha-se que escolher uma porta entre um milhão; depois, uma porta entre duas. No entanto, a probabilidade de se ganhar em ambas as portas é de 1/2. Só seria necessário mudar a porta se após a abertura das outras portas a probabilidade de se acertar de uma porta ficasse maior do que a da outra. From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Mon, 11 Aug 2003 19:53:06 -0300 on 11.08.03 19:03, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote: O Noga Alon conta que fizeram esta pergunta para ele uma vez que ele começou explicando a prova de Euclides de que há infinitos primos em um programa de televisão, eu acho: And today, are there still infinitely many primes? E sem sair do clima, deem uma olhada em http://qsilver.queensu.ca/~phil158d/intro/montyh3.htm Eu deveria ter visto isso antes de escrever o meu artigo da Eureka! --- x --- Putz, essa mulher do QI mais alto do mundo (bullshit!) não concorda com o Princípio da Indução Finita também! hehehe, o pior é que é sério!!! Oi, Domingos e Nicolau: Por mais que eu ache pedante e ridiculo alguem se vangloriar de ter o QI mais alto do mundo, nesse caso acho que a Marilyn estah certa. Voce deve trocar de porta. Desculpem a minha ignorancia, mas o que ha de errado com o argumento de 1 milhao de portas? Me parece que, nesse caso, a probabilidade de voce ter escolhido a porta certa de primeira eh apenas de 1/1.000.000. Logo, a probabilidade da outra porta ter o premio eh de 999.999/1.000.000. Ou nao? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: not subject
Olá Dirichlet, eu também pensei sobre o problema: demonstrar que não existe uma função nos reais contínua nos racionais e somente neles. Sequer tenho alguma estratégia ou alguma idéia de como atacar o problema. Será que alguém pode dar uma sugestão? O único progresso que fiz - que nem sei se está certo - é intuir que os racionais não são um conjunto tão especial neste enunciado, eu suspeito que podemos substituir por enumeraveis densos nos reais. Quem quiser fazer comentários, sinta-se à vontade. Abraço, Duda. From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Como nao consegui demonstrar isto em tempo finito,alguem poderia demonstrar pra mim? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Ah e,e??Veja o primeiro capitulo do Proofs from THE BOOK.Ai ce vai ver como topologia e ultrapassado Claudio Buffara wrote: Estou extremamente decepcionado com as listas de problemas supostamente bonitos que foram enviadas pra lista ateh o presente momento. Imaginem soh - teorema do valor intermediario, secoes conicas, poliedros regulares, conjuntos enumeraveis. Onde voces estao com a cabeca? Isso tudo eh matematica do tempo da carochinha. Infinitude dos primos? Isso eh tao velho que ja devia ter sido revogado! O Noga Alon conta que fizeram esta pergunta para ele uma vez que ele começou explicando a prova de Euclides de que há infinitos primos em um programa de televisão, eu acho: And today, are there still infinitely many primes? E sem sair do clima, deem uma olhada em http://qsilver.queensu.ca/~phil158d/intro/montyh3.htm Eu deveria ter visto isso antes de escrever o meu artigo da Eureka! []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EsSA
Existe uma solução mais rápida. Basta subtrairmos 900 por 888, que nos dará 12. Como sairam dois trabalhadores, dividimos 20 por dois - já que as parcelas são iguais -, o que nos dá 6. Note-se que essa resposta só serve porque as parcelas de todos os trabalhadores permanecerá constante. From: Henrique Patrício Sant'Anna Branco [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] EsSA Date: Sat, 9 Aug 2003 15:09:15 -0300 Numa fábrica, trabalhadores reuniram-se para presentear um amigo que iria casar. O presente escolhido foi a quantia de 900,00, que seria dividida igualmente entre eles. Por razões particulares, dois daqueles trabalhadores tiraram seus nomes da lista e, por isso, decidiu-se diminuir a quantia para 888,00, de modo que na nova divisão coubesse a cada participante a mesma cota de antes da saída dos dois colegas. Com isso, coube a cada um dos participantes a quantia de : Vamos chamar de x o número de trabalhadores no início da divisão. Assim, (x-2) é o número final de participantes. Como as cotas tem que ser iguais, temos: 900/x = 888/(x-2) == 12x - 1800 = 0 Resolvendo, achamos x = 150. Agora, 900/150 = 6. Segunda opção. Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geomeria Plana
Como DF=DE+EF, A=(75/5).2=30 André T. From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Geomeria Plana Date: Mon, 11 Aug 2003 15:35:59 -0300 (ART) Um triângulo ABC tem área 75m^2. os pontos D,E,F e G dividem o lado AC em 5 partes congruentes: AD=DE=EF=FG=GC. Desse modo, a área do triangulo BDF é: 20 30 40 50 55 ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
1) Acho que esse será praticamente unânime: Teorema de Euclides sobre a exist~encia de infinitos primos. 2) Teorema de Bezout sobre MDC: O máximo dvisor comum de dois inteiros é uma comb. linear inteira ( em realidade a menor positiva ) desses números , pelas várias aplicações deste na Teoria dos Números. 3) O Princípio de Dirichlet, pela potência . 4) O posto-linha = posto-coluna. Não sei mais sempre achei este resultado muito inusitado, já que uma matriz nada mais é que um amontoado de números... 5) Teorema do Valor Intermediário ( Acho que podemos abordar este tema no ensino médio... ) Como o Morgado, pensarei um pouco mais antes de enviar outros 5. ( A propósito é tentador citar o Teorema dos Números Primos, mas acho que esse tema não seria acessível. Fica um voto de louvor então!) Frederico. From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] CC: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, 09 Aug 2003 10:24:26 -0300 Caros colegas da lista: Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza matematica. O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e cujas solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o enunciado. No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica (entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo utilizado. A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel a um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o Porisma de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos do Porisma poderiam ser incluidos). Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o. grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau. Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. Acho que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes pode ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O Proofs from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau. Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar uma compilacao dos problemas e teoremas mais votados. Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] geometria
A a´rea de um triangulo de perímetro 54m circunscrito a um círcuo de 25pim^2, em m^2 e´? ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda
Oi, Thyago: A solução padrão pra esse tipo de problema realmente envolve complexos e polinômios. Tentando resolver outros problemas similares, você vai perceber que complexos e polinômios são uma forma de resolução bastante natural. Os resultados básicos são os seguintes: 1) Todo número complexo pode ser representado na forma R*(cos(a) + i*sen(a)), onde R é um real não negativo e a é um real qualquer (mas normalmente limitado ao intervalo [0, 2pi) ou então (-pi,pi]); 2) e^(i*a) = cos(a) + i*sen(a): essa é a definição da função exponencial complexa, que permite, por exemplo, que você transforme sequências de senos e cossenos de números reais em PA em sequências de complexos em PG, que as vezes são mais fáceis de manipular; 3) Um polinômio com coeficientes reais pode ser expresso como o produto de binômios da forma (x - b) e/ou trinômios da forma (x^2 - 2*R*cos(a)*x + R^2), onde a e b são números reais quaisquer e R é um real positivo. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: dex [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, August 11, 2003 11:05 AM Subject: [obm-l] Ajuda Olá pessoal Gostaria de saber uma boa demonstração para o exercício abaixo P = sen(pi/n) . sen(2pi/n) . sen(3pi/n) . ... . sen[(n-1)pi/n] com n Inteiro positivo A resposta é P = n/[2^(n-1)], mas cheguei até este resultado de uma maneira muito pouco prática, nada natural para uma questão de matemática (de vestibular). Consegui prová-la utilizando o resultado de uma outra questão, que versava sobre polinômios e complexos. Ou seja, se eu não tivesse visto esta outra questão não conseguiria provar nada! Atneciosamente ¡Thyago! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Um que e o meu preferido, alias o meu par teorema-problema preferido:a
Desigualdade de Erdös-Mordell e o problema de geometria da IMO 1996.Ja
enviei ha bastante tempo uma mensagem completa com a solução do segundo mas
poucos tiveram tempo de ler (eu mesmo nem tive tempo de rever esta perola
problemistica!!!).Quem achar uma desigualdade mais legal,meus parabens.Caso
contrario continue tentando!!
Ass.;
From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Date: Tue, 12 Aug 2003 16:32:27 -0300
Olá!
É minha vez de enviar meus problemas/teoremas bonitos...
1) O teorema, devido a Euler, que diz que quando s 1 temos ZETA(s) =
SOMA{ 1/n^s, n=1...infinito } = PRODUTORIO { (1 - p^(-s) ), p primo }.
2) A surpreendente constatação de que um problema aparentemente não tão
complicado como o último teorema de Fermat tenha uma solução tão extensa e
complicada.
3) A demonstração (enviada para a lista) de que um número irracional
elevado
a um número irracional pode resultar um número racional. A saber, se p =
raiz(2) ^ raiz(2) é racional, está acabado; se p não for racional, é
irracional, e q = p ^ raiz(2) = 2 satisfaz o problema.
4) O método (não lembro de quem é, talvez Cauchy) para aproximar a soma de
séries SOMA{ s_n } onde s_1 s_2 s_3 ... 0, utilizando-se uma
integral.
5) A constatação maravilhosa de que certas constantes (como Pi e e) são
constantes em toda a matemática, isto é, aparecem em diversas áreas
(aparentemente desconexas) como geometria, análise, teoria dos números,
probabilidade, etc. dando a entender que toda a matemática tem um centro
firme (de onde saem os resultados) e uma arquitetura já planejada por
alguém
bem mais inteligente que nós...
6) O método do escalonamento de matrizes descoberto por Gauss. Brilhante
por
ser tão simples e ter levado tanto tempo para ser descoberto. Segundo o
Gilbert Strang: Ele é tão simples que mesmo qualquer um de nós poderíamos
tê-lo descoberto
7) O fato de que podemos definir num espaço vetorial uma função com
propriedades simples (=o produto interno) e dele derivarmos muitos e muitos
resultados interessantes. (isto realmente me surpreendeu, quando comecei a
estudar álgebra linear, pareceu mágica a existência e as conseqüências do
produto interno)
8) A menos de isomorfismo, o conjunto dos Reais é o único corpo ordenado
completo.
9) O primeiro teorema da inconsistência de Gödel.
E para finalizar:
10) O princípio da indução finita.
Abração,
Duda.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Caros colegas da lista:
Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre beleza
matematica.
O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo
algo
como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e
cujas
solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou
engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o
enunciado.
No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica
(entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo
utilizado.
A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel
acessivel
a
um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o
Porisma
de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para
triangulos
do Porisma poderiam ser incluidos).
Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o.
grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o.
grau.
Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem.
Acho
que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes
pode
ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao
encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O
Proofs
from the Book tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau.
Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar
uma
compilacao dos problemas e teoremas mais votados.
Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar.
Um abraco,
Claudio.
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[obm-l] Re: [obm-l] Problema das Tres Portas
Bom, quanto aos argumentos matemáticos, acho que o Cláudio já falou tudo. Mas é impressionante como este problema é difícil, pois ele envolve separar o que da informação do apresentador é útil e o que é inútil. Este problema me foi exposto recentemente durante o Colóquio Brasileiro de Matemática, numa palestra de Probabilistic Reasoning, que citou outro problema que o Nicolau comenta no seu artigo da Eureka!, também bastante contra-intuitivo e genial. Mas, voltando ao problema: Quando você escolhe a porta, qual a probabilidade de ela estar certa? 1/3, correto? Ok. O que acontece quando o apresentador abre uma porta? Ele diz para você: Olha, se não estiver na que você escolheu, está na outra!!! Você agora pode escolher entre duas portas, certo? Mas isso não quer dizer que as probabilidades são iguais, pois você não ganhou NADA em relação à sua porta, já que o apresentador não pode fazer NADA com a sua (ele não escolhe se abre a sua ou não, ele NÃO pode abrir a sua). Mas a outra ele ESCOLHEU não abrir. Ou seja, ele ESCOLHEU abrir a outra. Pense assim: O prêmio pode estar na 1, na 2 ou na 3. Você escolhe a 1. O apresentador pode abrir a 2 ou a 3, apenas. Se o prêmio estivesse numa delas, ele FORÇOSAMENTE terá que abrir a OUTRA! OU seja, se você errou, trocando você passa a ganhar. Por outro lado, se você acertou na escolha inicial, tanto faz para o apresentador, ele pode abrir qualquer uma, que não tem restrição. Ou seja, a informação relevante é a seguinte: se você trocar, a probabilidade de ganhar é a probabilidade de você ter errado. (o que talvez fique bem claro com o exemplo de 1.000.000 de portas) A grande sacada consiste em você se convencer de que, se você trocar, você vai ganhar SEMPRE que tiver errado o primeiro palpite. Uma vez isso, o jogo é fácil: você tem 1/3 de chances de acertar e o resto é erro! Ao abrir as portas, o apresentador consolida o resto do jogo: ao trocar, você troca seu estado, de certo para errado e vice-versa só que como P(errar o primeiro palpite) P(acertar o primeiro palpite), vale a pena trocar. É isso... qualquer dúvida, pergunte. Bernardo Costa -- Mensagem original -- Claudio, Matematicamente, tanto faz, porque a probabilidade de se ganhar é a mesma. Agora, se você for supersticioso, a coisa muda um pouco de figura. Mas eu, pessoalmente, não mudaria. Abraços, Bernardo From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Problema das Tres Portas Date: Mon, 11 Aug 2003 22:58:22 -0300 Bernardo: Pra resumir, qual eh a sua conclusao? O jogador deve ou nao deve trocar de porta? Claudio. on 11.08.03 21:51, Bernardo Vieira Emerick at [EMAIL PROTECTED] wrote: Que piada!!! Marylin vos Savant, tida como a pessoa com o maior QI do mundo (concordo com o Domingos Jr.: bulsshit!) confundiu tudo. O problema era assim: num jogo, a pessoa escolha uma entre três portas. O apresentador, então, abra uma das portas. Como ele sabe qual é a porta que contém o prêmio, ele abre uma que não o contém - já que o jogo dar-se-ia por encerrado. A pergunta é: o jogador deveria trocar de porta? Segundo Marylin, sim!, porque a probabilidade da opção que ele teria continuaria 1/3, enquanto a outra aumentaria para 2/3!!! Qual a razão disso? A probabilidade da porta que ele escolheu não poderia subir subitamente para 1/2, como sugerem os matemáticos. Ora, como então a outra porta pode??? Isso ela não explica. Ela aparentemente desconhece o conceito primeiro de probabilidade, que é a chance de se acertar, e por isso está atrelada ao número de possibilidades possíveis e o número de possibilidades requeridas para se acertar o resultado. Então, a probabilidade será dada - como é de conhecimento geral, exceto possivelmente de Marylin - pela divisão do número de possibilidades requeridas pelo número total de possibilidades. Parece-me que ela acredita que a única forma de se aumentar a probabilidade é aumentando o número de possibilidades requeridas. Isso justificaria o we've learned nothing to allow us to revise the chances on the shell under your finger que ela diz. O que mudou, e que ela incrivelmente não percebeu, é o número total de possibilidades. Simplificando para ela, o numerozinho de baixo diminuiu, então o número do outro lado do sinal de igualdade aumentou, já que o numerozinho de cima da fração permaneceu constante. Será que assim ela entenderia??? From: Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Mon, 11 Aug 2003 19:03:11 -0300 O Noga Alon conta que fizeram esta pergunta para ele uma vez que ele começou explicando a prova de Euclides de que há infinitos primos em um programa de televisão, eu acho: And today, are there still infinitely many primes? E sem sair do clima, deem uma olhada em http://qsilver.queensu.ca/~phil158d/intro/montyh3.htm
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
--- Henrique_Patrício_Sant'Anna_Branco [EMAIL PROTECTED] escreveu: Por mais que eu ache pedante e ridiculo alguem se vangloriar de ter o QI mais alto do mundo, nesse caso acho que a Marilyn estah certa. Voce deve trocar de porta. Desculpem a minha ignorancia, mas o que ha de errado com o argumento de 1 milhao de portas? Me parece que, nesse caso, a probabilidade de voce ter escolhido a porta certa de primeira eh apenas de 1/1.000.000. Logo, a probabilidade da outra porta ter o premio eh de 999.999/1.000.000. Ou nao? Cláudio, No problema original, temos três portas, escolhemos uma e o apresentador logo em seguida abre outra que, com certeza, não tem o prêmio. Inicialmente, havia uma chance de 1/3 de uma determinada porta conter o prêmio. Ao ser aberta uma das portas e mostrar que ela não contém o prêmio, sobram apenas duas portas: a que você escolheu e uma outra. É como se a probabilidade tivesse sido atualizada pelo fato do apresentador mostrar uma porta que não contém o prêmio (isso é o Teorema de Bayes se não me engano). Agora que sobraram apenas duas portas, cada uma delas tem uma em duas chances (1/2) de ter o prêmio e, portanto, não há justificativa (matematica) para trocar de porta ou não. O fato do apresentador abrir uma das portas muda a probabilidade das DUAS portas e não apenas para uma, como a Sra. Marilyn quer nos fazer crer. Quanto ao argumento de 1 milhão de portas... Como você disse, a probabilidade de você ter escolhido a porta certa de primeira é de 1/10^6 que é a mesma probabilidade de cada uma das outras portas individualmente. Lembre-se que todas as probabilidades devem somar 1 = 10^6/10^6. O caso que você apontou (999.999/10^6) é a probabilidade combinada de todas as outras portas (cada uma entre as 10^6 portas têm probabilidade de 1/10^6) que você não escolheu de terem o prêmio e não de uma única porta das que você não escolheu. Se você simplesmente muda de porta, a probabilidade continua sendo a mesma... E, se ele abrir 777.777 portas sem o prêmio, a probabilidade de TODAS as portas fica em 1/222.223 e, novamente, não faz diferença mudar a porta... Espero ter sido claro. Abraço, Henrique. Oi Henrique! Faz diferença mudar de porta nesses casos. Se tem 1 milhão de portas, com apenas 1 premiada, a chance de vc escolher ela é 10^-6 se o cara abre uma porta que não tem o prêmio, vc pode mudar de porta e ter uma chance de (10^6-2)/(10^6-1) de acertar a porta certa, caso vc não tenha pego ela na primeira escolha. []'s, Hélder T. Suzuki ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EsSA
3 Sendo x= 19 e y= 81, ento a expresso (x+y)^2 + x^2 y^2 + 2x divisvel por: a)2,19 e 81 b)2,19 e 101 c)2,81 e 100 d)19,100 e 101 e)81,100 e 101 achei a letra B (x+y)^2 + x^2 y^2 + 2x 100^2 +((x+y)*(x-y)) + 38 1 + (100*(-62)) + 38 =3838 que eh dividsivel por 101, mas nao por 2,19...2,81...100... O que fiz de errado ? Fael, 3838 divisvel por 2 e 19 sim. 3838/2 = 1919/19 = 101/101 = 1 Alis, segundo minha HP, so os nicos fatores primos desse nmero... :) D uma olhada na minha soluo (desenvolvendo a expresso). Acho mais simples... Abraos, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Fwd: Fabrício sem avião 2
Date: Wed, 13 Aug 2003 08:40:44 -0300 (ART) From: Paulo Rodrigues [EMAIL PROTECTED] Subject: Fabrício sem avião 2 To: [EMAIL PROTECTED] X-Spam-Status: No, hits=1.8 required=5.0 tests=HTML_00_10,HTML_FONT_BIG,HTML_FONT_COLOR_GRAY,HTML_MESSAGE, HTML_TAG_EXISTS_TBODY version=2.55 X-Spam-Level: * X-Spam-Checker-Version: SpamAssassin 2.55 (1.174.2.19-2003-05-19-exp) Escola privada carimba passaportes Fábio Campos [13 Agosto 04h22min] Certas histórias tocam fundo a alma dos leitores. A do estudante Fabrício Benevides, o sem-passagem, provocou a indignação de muitos. Fabrício é aluno da graduação em ciências da Computação (UFC). Passou pelas acirradas seletivas nacionais e se classificou para representar o Brasil nas Olimpíadas Internacionais de Matemática, em Bucareste, Romênia. A disputa já aconteceu, mas Fabrício não concorreu porque sua universidade e as instituições que criamos para promover o progresso da ciência negaram-lhe uma passagem aérea. A mesquinharia só faz vítimas entre os que freqüentam os bancos da escola pública. A garotada caxias que estuda nos melhores colégios da gloriosa Aldeota carimba seu passaporte com a inestimável ajuda do contribuinte cearense. E os melhores colégios estampam anúncios com o feito. OS AVIÕES APENAS SOBREVOAM O PICI Quando era aluno de uma escola particular, Fabrício nunca deixou de viajar para disputar uma olimpíada. É um recorrente ganhador de medalhas. Colocou-as no peito inclusive nas Olimpíadas Mundiais de 1999 e 2000. Sempre com o apoio de seu colégio, tivesse ou não a sempre bem vinda ajudinha das instituições públicas. Quando queimava as pestanas numa escola inscrita na junta comercial, Fabrício costumava ganhar a mesma atenção da que foi dedicada a Larissa Lima, 17 anos. Veja a notícia divulgada no sítio (www.sct.ce.gov.br) da Secitece: Ao saber que o governo do Ceará iria patrocinar a participação de Larissa na Global Young Leaders Conference (3 a 14 de agosto, nos EUA), o secretário da CT, Hélio Barros, propôs que a entrega do cheque de R$ 7.500 fosse feita pelo governador Lúcio Alcântara. O pedido foi aceito e a solenidade ocorreu no Palácio Iracema, dia 4 de maio. Pois é. O aluno da pública e gratuita UFC ficou a ver aviões. A questão é: porque nossos gestores foram sensíveis a um caso e tão impiedosos com outro? UMA AULA DE BOM SENSO E EQUILÍBRIO É de se esperar rompantes de revolta do estudante que, após a via-crucis pelos gabinetes de instituições públicas, não conseguiu o apoio para disputar as Olimpíadas Internacionais. O rancor seria próprio da idade e das circunstâncias. Ledo engano. Mensagem enviada à Coluna pelo próprio Fabrício desmente tal idéia. Fiquei surpreso e lisonjeado ao ler sua coluna no Jornal O POVO. Nela, você trata de maneira bastante crítica o descaso da administração pública e a falta de incentivo a nós estudantes. De fato, participo de Olimpíadas de Matemática desde a 7ª Série do Ensino Fundamental. Já tive diversas oportunidades de viajar e trazer prêmios para o Brasil, inclusive nas Olimpíadas Mundiais de 1999 e 2000. Nesta época, sempre tive apoio total do meu colégio. Não com grande surpresa, percebi que na UFC as coisas se passam de maneira bastante diferente. Assim, venho por meio deste, agradecer-lhe pela publicação. O grifo a seguir é do editor: Espero que a mesma tenha sido lida por nossas autoridades universitárias e que a partir desse momento elas passem a refletir melhor nas suas tomadas de decisão, procurando valorizar muito mais a todos nós que fazemos a Universidade. MARASMO DE TECNOCRATAS CORPORATIVISTAS O caso despertou a indignação de leitores. Um deles foi muito duro com a UFC. Apesar de ter cometido o pecado da generalização, vale fazer reflexão acerca de suas ácidas palavras: O mais incrível é verificar que os nossos professores da UFC levam um banho no que se refere a gestão e marketing dos gestores das escolas particulares. Logo eles que deveriam ser referencial de excelência. O que vemos são profissionais corporativistas, pouco interessados nas demandas sociais, agarrados aos seus empregos e sem a menor idéia de suas funções perante a sociedade. São esses comportamentos que favorecem a idéia daqueles que propõem a privatização de tudo. Aonde encontrar argumentos para defender a universidade pública enterrada no marasmo do seus tecnocratas incompetentes, que só enxergam seus contracheques e a reforma da previdência? AS NUANCES DO TER E DO NÃO TER De gente que convive com Fabrício na UFC veio o seguinte: A participação do Fabrício na Olímpiada não era imprescindível à sua carreira. Ele fará carreira brilhante de qualquer forma, dada a sua capacidade intelectual e emocional. Entretanto, ele teria orgulho, e para tanto fez a sua parte, em representar o Brasil e o Ceará. Com certeza, a sua participação contribuiria de maneira efetiva para o sucesso da equipe brasileira. Para o Fabrício, na ocasião, disse algumas palavras de consolo e encorajamento. Voltarei a fazê-lo. Mas, é difícil
Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA
Caros Colegas, Gostaria de pedir desculpas a todos pelos comentários horrorosos que teci sobre Marilyn vos Savant. Primeiro, porque ela acertou o problema que errei, e mais, que reiterei meu erro. Cabe aqui um agradecimento especial ao Claudio que solucionou corretamente, enquanto eu e o Henrique erramos. Eu, por outro lado, errei mais ao tentar ridicularizar alguém que estava correta o tempo inteiro. Explico aqui o meu erro, que creio ser o mesmo do Henrique, para que outros entendam bem: o problema não permitia que a análise fosse feita através de dois jogos diferentes. Se assim fosse, as probabilidades das duas portas seriam iguais. Como bem explicou o Claudio, o problema está na primeira escolha, porque ela altera a probabilidade do que considerei como o segundo jogo. O pior que fiz, e do que agora me arrependo profundamente, parece ter sido influenciar a última mensagem do Dirichlet: Colegas,nao acreditem em testes de QI. A ele peço desculpas, em especial. Estou escrevendo esse texto para que outros não façam a mesma bobagem que eu. Antes de comentar algo, reflita bem sobre as possibilidades. Eu não fiz isso, e olha no que deu. Agora fica claro porque ela tem o QI mais alto do mundo (reitero: bullshit!!!), e eu não Desculpas sinceras, e, desde já, agradeço pela compreensão da minha ignorância, SAPIENTIAM AUTEM NON VICIT MALITIA, Bernardo From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Tue, 12 Aug 2003 14:36:30 -0300 (ART) Colegas,nao acreditem em testes de QI --- Bernardo Vieira Emerick [EMAIL PROTECTED] escreveu: Que piada!!! Marylin vos Savant, tida como a pessoa com o maior QI do mundo (concordo com o Domingos Jr.: bulsshit!) confundiu tudo. O problema era assim: num jogo, a pessoa escolha uma entre três portas. O apresentador, então, abra uma das portas. Como ele sabe qual é a porta que contém o prêmio, ele abre uma que não o contém - já que o jogo dar-se-ia por encerrado. A pergunta é: o jogador deveria trocar de porta? Segundo Marylin, sim!, porque a probabilidade da opção que ele teria continuaria 1/3, enquanto a outra aumentaria para 2/3!!! Qual a razão disso? A probabilidade da porta que ele escolheu não poderia subir subitamente para 1/2, como sugerem os matemáticos. Ora, como então a outra porta pode??? Isso ela não explica. Ela aparentemente desconhece o conceito primeiro de probabilidade, que é a chance de se acertar, e por isso está atrelada ao número de possibilidades possíveis e o número de possibilidades requeridas para se acertar o resultado. Então, a probabilidade será dada - como é de conhecimento geral, exceto possivelmente de Marylin - pela divisão do número de possibilidades requeridas pelo número total de possibilidades. Parece-me que ela acredita que a única forma de se aumentar a probabilidade é aumentando o número de possibilidades requeridas. Isso justificaria o we've learned nothing to allow us to revise the chances on the shell under your finger que ela diz. O que mudou, e que ela incrivelmente não percebeu, é o número total de possibilidades. Simplificando para ela, o numerozinho de baixo diminuiu, então o número do outro lado do sinal de igualdade aumentou, já que o numerozinho de cima da fração permaneceu constante. Será que assim ela entenderia??? From: Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Mon, 11 Aug 2003 19:03:11 -0300 O Noga Alon conta que fizeram esta pergunta para ele uma vez que ele começou explicando a prova de Euclides de que há infinitos primos em um programa de televisão, eu acho: And today, are there still infinitely many primes? E sem sair do clima, deem uma olhada em http://qsilver.queensu.ca/~phil158d/intro/montyh3.htm Eu deveria ter visto isso antes de escrever o meu artigo da Eureka! --- x --- Putz, essa mulher do QI mais alto do mundo (bullshit!) não concorda com o Princípio da Indução Finita também! hehehe, o pior é que é sério!!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais
[obm-l] probleminha
José se deslocou entre as cidades A e B tres vezes pelo mesmo caminho, utilizando, em cada uma das vezes, um meio de transporte diferente. Na primeira ves foi de carro, com uma velocidade média de 60 Km/h. Na segunda vez doi de bicicleta, com velocidade média de 30 Km/h, e na terceira vez foi de moto, com velocidade média de 40 km/h. Sabendo que a soma dos tempos gastos nos tres deslocamentos doi igual a 45 h, o tempo gasto em cada um dos deslocamentos foi, respectivamente: a) 11h;22h e 12h b)12h; 25h e 7,5 h c)10h; 20h e 15h d)12h; 24h e 9h e)10,5h;21h e 13,5 ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] continuidade
on 10.08.03 20:58, edalbuquerque at [EMAIL PROTECTED] wrote: Como eu provo que f(x)=1/x² é contínua?Melhor,como determinar o delta apropriado? Grato por qualquer ajuda. Eder Oi, Eder: Devemos ter cuidado pra definir f, pois seu dominio nao contem x = 0. Seja a 0. Temos que provar que lim(x - a) 1/x = 1/a. Seja eps 0. Como a 0, teremos |a| |a|/2 0 Tomemos delta = min( a^2*eps/2, |a|/2 ) |x - a| delta == a - delta x a + delta == a - |a|/2 x a + |a|/2 == se a 0, entao 3a/2 x a/2 e se a 0, entao a/2 x 3a/2 == de qualquer jeito, |x| |a|/2 == 1/|x| 1/(|a|/2) Assim: |1/x - 1/a| = |x - a|/(|a||x|) delta/(|a||a|/2) = 2delta/a^2 = eps Um abraco, Claudio. PS: Acabei nao respondendo a sua pergunta. O delta apropriado voce acha resolvendo o problema de tras pra frente, ou seja, fazendo: |1/x - 1/a| = |x - a|/(|a||x|) delta/(|a||x|) = eps == delta = eps*|a|*|x| A partir desse ponto, voce soh precisa achar um limitante inferior para |x| (no caso, eu achei |a|/2). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Moedas em caixas
Title: Moedas em caixas Oi, Alexandre: Eu achei esse problema das moedas em caixas mais interessante do que o do no. de solucoes da equacao, onde a matematica legal acaba no momento em que voce estabelece a relacao entre o no. de solucoes de uma equacao e os coeficientes de um certo polinomio associado aquela equacao. Depois eh soh braco (ou de preferencia, transistor). O das moedas eh uma aplicacao bem legal da representacao binaria de numeros naturais. No caso de 10 caixas e 1000 moedas, a k-esima caixa tem que ter 2^(k-1) moedas, para k = 1, 2, ..., 9. Total das 9 primeiras caixas = 1 + 2 + 4 + ... + 128 + 256 = 511 moedas. A 10a. caixa contera as 489 moedas restantes. Usando as 9 primeiras caixas, voce consegue pegar qualquer numero de moedas entre 1 e 511 (inclusive) - pra ver isso basta reparar que qualquer numero tem uma (unica) representacao binaria (ou seja, como soma de potencias de 2). Pra pegar 512 ou mais moedas, voce usa a 10. caixa e depois uma combinacao das 9 primeiras que contenha de 1 a 511 moedas. Por exemplo, 836 = 489 + 256 + 64 + 16 + 8 + 2 + 1 = 489 + 2^(9-1) + 2^(7-1) + 2^(5-1) + 2^(4-1) + 2^(2-1) + 2^(1-1) == pra pegar 836 moedas voce vai usar as caixas 1, 2, 4, 5, 7, 9 e 10. O problema geral eh o seguinte: 1) Prove que com caixas contendo 1, 2, 4, ..., 2^(n-1) moedas, voce consegue pegar um numero qualquer de moedas entre 1 e 2^n - 1 (inclusive). 2) Prove que essa eh a unica forma de distribuir 2^n - 1 moedas por n caixas em que isso eh possivel. Um abraco, Claudio. on 10.08.03 00:26, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote: Não, isto não caiu em vestibular nenhum, eu cheguei nisto no meio de um problema, q eh o seguinte: Tendo 10 caixas e 1000 moedas, colocar as caixas nas moedas de modo q qualquer quantidade de 1 a 1000 moedas possam ser pegas de modo a não abrir nenhuma caixa. Se não me engano este problema eh do homem q calculava. tem uma solução mais usual para ele q eh ir colocando 1, 2, 4, 8, ... moedas em cada caixa, e no fim as q sobrarem colocar na última caixa. *** De uma checada nas contas: 1+2+4+8+...+256 = 511 == sobram 489 moedas. Esse 23 deve vir do fato de que 2^10 - 1 = 1023 e de que existem apenas 1000 moedas, ou seja, faltam 23 moedas pra completar uma eventual 11a. caixa, que conteria 2^9 = 512 moedas (489+23=512). Sobram 23 moedas, mas elas não precisam ser colocadas necessariamente apenas na última caixa. Se vc pensar em cima do problema vc chega q o número de soluções do problema é o número de soluções inteiras não negativas da equação: 16a + 8b + 4c + 2d + e = 23. Claro q isto vai além do q se esperava q a pessoa fizesse no problema. Cheguei a este resultado e quis, por curiosidade, saber como calcular o número de soluções deste tipo de equação, visto q o cálculo no braço seria muito trabalhoso. Pensei q houvesse alguma solução por análise combinatória deste problema, porém mais avançada q a resolução clássica da equação a + b + c + d = 10 por exemplo. Mas pelo que eu entendi, este tipo de problema, pelo q vimos ateh aki, mesmo com problemas menores, ou vc calcula todas as soluções no braço mesmo ou joga em um computador. Não há método matemático q seja pouco trabalhoso. Mas mesmo assim gostaria de agradecer imensamente ao colega, pois as suas explicações contribuiram muito para mim. :-) Se alguém quiser a minha resolução deste problema das caixas e como eu cheguei a isso, depois me dê um toque q colocarei minha resolução aki com paciência Alexandre Daibert
