[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
Em qua., 13 de mar. de 2024 às 13:07, Claudio Buffara escreveu: > > Mas este caso tem 7 pessoas. E o enunciado fala em 3 A e 3 C. > > On Wed, Mar 13, 2024 at 9:28 AM Pedro Júnior > wrote: >> >> Eu pensei sim, mas e os casos do tipo ACCACAC. Esse caso não entra na conta >> 6! - 2* 3!* 3!. >> >> Em qua., 13 de mar. de 2024 às 09:09, Claudio Buffara >> escreveu: >>> >>> Pense no oposto: de quantas maneiras as crianças e adultos podem se sentar >>> separados uns dos outros. >>> >>> On Wed, Mar 13, 2024 at 8:39 AM Pedro Júnior >>> wrote: Olá pessoal, bom dia. Alguém poderia me ajudar nesse problema? Seis poltronas enfileiradas em um cinema e entram 3 adultos e 3 crianças. De quantas maneiras podem sentar-se 2 crianças juntas e dois adultos juntos? Eu pensei numa maneira muito feia: enumeração na raça! AAA CCC + AACACC + AACCAC + AACCCA + ACAACC + ACACAC - ACACCA - CAAACC + CAACAC - CAACCC + ACCAAC + ACCACA - ACCCAA + CACAAC - CACACA - CACCAA + CCAAAC + CCAACA + CCACAA + CCC AAA + 20 possibilidades. Apenas 14 servem. Cada uma nos permite permutar as crianças seis vezes, os adultos outras seis. 6x6x14, que dá meh. Desde já fico grato! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> >> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior >> >> Professor de Matemática >> >> Geo João Pessoa – PB >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
Mas este caso tem 7 pessoas. E o enunciado fala em 3 A e 3 C. On Wed, Mar 13, 2024 at 9:28 AM Pedro Júnior wrote: > Eu pensei sim, mas e os casos do tipo ACCACAC. Esse caso não entra na > conta 6! - 2* 3!* 3!. > > Em qua., 13 de mar. de 2024 às 09:09, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Pense no oposto: de quantas maneiras as crianças e adultos podem se >> sentar separados uns dos outros. >> >> On Wed, Mar 13, 2024 at 8:39 AM Pedro Júnior >> wrote: >> >>> Olá pessoal, bom dia. >>> Alguém poderia me ajudar nesse problema? >>> >>> Seis poltronas enfileiradas em um cinema e entram 3 adultos e 3 >>> crianças. De quantas maneiras podem sentar-se 2 crianças juntas e dois >>> adultos juntos? >>> >>> >>> Desde já fico grato! >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > > Pedro Jerônimo S. de O. Júnior > > Professor de Matemática > > Geo João Pessoa – PB > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
Eu pensei sim, mas e os casos do tipo ACCACAC. Esse caso não entra na conta 6! - 2* 3!* 3!. Em qua., 13 de mar. de 2024 às 09:09, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Pense no oposto: de quantas maneiras as crianças e adultos podem se sentar > separados uns dos outros. > > On Wed, Mar 13, 2024 at 8:39 AM Pedro Júnior > wrote: > >> Olá pessoal, bom dia. >> Alguém poderia me ajudar nesse problema? >> >> Seis poltronas enfileiradas em um cinema e entram 3 adultos e 3 crianças. >> De quantas maneiras podem sentar-se 2 crianças juntas e dois adultos juntos? >> >> >> Desde já fico grato! >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
Pense no oposto: de quantas maneiras as crianças e adultos podem se sentar separados uns dos outros. On Wed, Mar 13, 2024 at 8:39 AM Pedro Júnior wrote: > Olá pessoal, bom dia. > Alguém poderia me ajudar nesse problema? > > Seis poltronas enfileiradas em um cinema e entram 3 adultos e 3 crianças. > De quantas maneiras podem sentar-se 2 crianças juntas e dois adultos juntos? > > > Desde já fico grato! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Combinatória
Olá pessoal, bom dia. Alguém poderia me ajudar nesse problema? Seis poltronas enfileiradas em um cinema e entram 3 adultos e 3 crianças. De quantas maneiras podem sentar-se 2 crianças juntas e dois adultos juntos? Desde já fico grato! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento
Em seg., 4 de mar. de 2024 às 09:53, Pedro José escreveu: > > Bom dia! > Mas provar que ocorrendo as duas está certo, não é o que foi pedido. Não foi isso que ele fez. Ele demonstrou que ambas as expressões são equivalentes a r==7s (mod17). Portanto, ambas são equivalentes entre si. > Pode ser que ocorrendo as duas esteja OK e também que haja pelo menos um > caso, que dá certo para a primeira assertiva e não ocorre para a segunda ou > pode ter pelo menos um caso que ocorra para a segunda e não ocorra para > primeira, já é suficiente para furar. > O certo é: > supor (i) e mostrar que ocorre(ii) e depois provar a volta, supor (ii) e > mostrar que ocorre (i). Essa é uma das maneiras de se demonstrar equivalências, não a única. A bem da verdade, você simplesmente reverteu a ida para provar a volta - bastava mostrar que cada implicação era reversível para assim economizar duas linhas. > (i) 9r + 5s | 17. 17s + 17r | 17 (iii) logo 4*(i)-2(iii) ==> 2r - 14s | 17 > (iv). > Como 17s! 17 (v); (1v)+ (v) ==> 2r+3s | 17. Provada a ida. 17 > 2r +3s |17 (ii) . Mas 17r + 17 s | 17 (iii). (iii)- 4*(i) ==> 9r +5s | 17 > Provada a volta. > logo 9r + 5s | 17 <=> 2r+ 3s | 17 C.Q.D. > > > Cordialmente, > PJMS > > Em sáb., 2 de mar. de 2024 às 12:37, Marcone Borges > escreveu: >> >> Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r + 3s >> divide 17. >> De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que >> r==7s (mod17). Daí sai a resposta. >> Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s) >> Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas >> expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também >> será? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento
Em sáb., 2 de mar. de 2024 às 15:28, Claudio Buffara escreveu: > > Isso só perguntando pra quem elaborou a questão. > Mas a ideia pode ter surgido quando, ao manipular expressões desse tipo, a > pessoa notou que: > 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s) > e isso a fez pensar no enunciado. Eu me lembro de ter visto expressões semelhantes com outros módulos (primos, por que será?) faz muito tempo. Para mim o mais interessante é descobrir equivalências. Por exemplo, se Ax+By é múltiplo de 17, quem seria C tal que x-Cy é múltiplo de 7? Isso é basicamente uma classe de equivalência. Na verdade daria para fazer o contrário: se C não é múltiplo de 17, então Kx+y é múltiplo de 17 se e somente se (CK mod 17)x+(C mod 17)y também for. Daí é só reduzir CK e C módulo 17. Com isso dá para gerar problemas interessantes: - Se x+10y é múltiplo de 17, então 9x+90y, ou 9x+5y, são múltiplos de y (e vice-versa) - Se x+10y é múltiplo de 17, então 2x+20y, ou 2x+3y, são múltiplos de y (e vice-versa) Logo, - Se 9x+5y é múltiplo de 17, então 2x+3y é múltiplo de y (e vice-versa). > > > On Sat, Mar 2, 2024 at 12:37 PM Marcone Borges > wrote: >> >> Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r + 3s >> divide 17. >> De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que >> r==7s (mod17). Daí sai a resposta. >> Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s) >> Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas >> expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também >> será? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento
Bom dia! Mas provar que ocorrendo as duas está certo, não é o que foi pedido. Pode ser que ocorrendo as duas esteja OK e também que haja pelo menos um caso, que dá certo para a primeira assertiva e não ocorre para a segunda ou pode ter pelo menos um caso que ocorra para a segunda e não ocorra para primeira, já é suficiente para furar. O certo é: supor (i) e mostrar que ocorre(ii) e depois provar a volta, supor (ii) e mostrar que ocorre (i). (i) 9r + 5s | 17. 17s + 17r | 17 (iii) logo 4*(i)-2(iii) ==> 2r - 14s | 17 (iv). Como 17s! 17 (v); (1v)+ (v) ==> 2r+3s | 17. Provada a ida. 17 2r +3s |17 (ii) . Mas 17r + 17 s | 17 (iii). (iii)- 4*(i) ==> 9r +5s | 17 Provada a volta. logo 9r + 5s | 17 <=> 2r+ 3s | 17 C.Q.D. Cordialmente, PJMS Em sáb., 2 de mar. de 2024 às 12:37, Marcone Borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r + > 3s divide 17. > De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que > r==7s (mod17). Daí sai a resposta. > Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s) > Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas > expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também > será? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento
Isso só perguntando pra quem elaborou a questão. Mas a ideia pode ter surgido quando, ao manipular expressões desse tipo, a pessoa notou que: 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s) e isso a fez pensar no enunciado. On Sat, Mar 2, 2024 at 12:37 PM Marcone Borges wrote: > Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r + > 3s divide 17. > De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que > r==7s (mod17). Daí sai a resposta. > Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s) > Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas > expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também > será? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento
Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r + 3s divide 17. De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que r==7s (mod17). Daí sai a resposta. Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s) Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também será? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade e frações
Desculpas, Cláudio. É isso mesmo, com "a" e "b" inteiros e positivos. Obrigado pela brilhante solução. Em ter, 27 de fev de 2024 01:41, Claudio Buffara escreveu: > Deveria ser a e b inteiros positivos, não? > Pois se forem inteiros sem restrição, então como 2022/2023 < 2022,5/2023,5 > < 2023/2024, bastaria tomar a sequência: > a(n) = -20225*n e b(n) = -20235*n. > Daí teríamos 2022/2023 < a(n)/b(n) < 2023/2024 e a sequência a(n)+b(n) > seria ilimitada inferiormente. > > Assim, suponhamos que a e b sejam inteiros positivos. > 2022/2023 < a/b < 2023/2024 implica que b > a+1, já que a sequência > (n/(n+1)) é crescente. > Além disso, usando razões e proporções, achamos que: > 2022 < a/(b-a) < 2023 < b/(b-a) < 2024 > ==> para que a+b seja o menor possível, b-a deverá ser o menor possível. > E o menor valor possível de b-a é 2. > Usando frações equivalentes, dá pra escrever 4044/4046 < a/b < 4046/4048 e > daí teríamos uma única fração a/b com b - a = 2. > Seria a/b = 4045/4047 ==> a+b mínimo = 8092. > > []s, > Claudio. > > > > > On Mon, Feb 26, 2024 at 10:12 PM Pedro Júnior > wrote: > >> Quem puder me ajudar, fixo grato. >> >> Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b < >> 2023/2024, determine o menos calor da soma a + b. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade e frações
Deveria ser a e b inteiros positivos, não? Pois se forem inteiros sem restrição, então como 2022/2023 < 2022,5/2023,5 < 2023/2024, bastaria tomar a sequência: a(n) = -20225*n e b(n) = -20235*n. Daí teríamos 2022/2023 < a(n)/b(n) < 2023/2024 e a sequência a(n)+b(n) seria ilimitada inferiormente. Assim, suponhamos que a e b sejam inteiros positivos. 2022/2023 < a/b < 2023/2024 implica que b > a+1, já que a sequência (n/(n+1)) é crescente. Além disso, usando razões e proporções, achamos que: 2022 < a/(b-a) < 2023 < b/(b-a) < 2024 ==> para que a+b seja o menor possível, b-a deverá ser o menor possível. E o menor valor possível de b-a é 2. Usando frações equivalentes, dá pra escrever 4044/4046 < a/b < 4046/4048 e daí teríamos uma única fração a/b com b - a = 2. Seria a/b = 4045/4047 ==> a+b mínimo = 8092. []s, Claudio. On Mon, Feb 26, 2024 at 10:12 PM Pedro Júnior wrote: > Quem puder me ajudar, fixo grato. > > Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b < > 2023/2024, determine o menos calor da soma a + b. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade e frações
Vejam se este caminho é uma possibilidade (sujeita a ajustes e correções. Fiquem à vontade!) 2022/2023 < a/b < 2023/2024 (I) 2022/2023 < (a+b-b)/b < 2023/2024 2022/2023 < (a+b)/b-b/b < 2023/2024 2022/2023 < (a+b)/b-1 < 2023/2024 2022/2023 +1< (a+b)/b-1 +1 < 2023/2024+1 (2022+2023)/2023 < (a+b)/b < (2023+2024)/2024 4045/2023 < (a+b)/b < 4047/2024 1,999505... aprox 2 < (a+b)/b < 1.999505... approx 2 *2 < (a+b)/b < 2 => (a+b)/b = 2(II)* De (I), tem-se que 2022/2023 = 0,999505... aprox 1 < a/b < 2023/2024 = 0,999505... aprox 1 *1 < a/b < 1 => a/b = 1 (III)* Sendo a e b inteiros, de (II) e (III), pode-se concluir que a=b=-1 e somando a+b = -2. Atenciosamente, Prof. Dsc. Alexandre Antunes www alexandre antunes com br Em seg., 26 de fev. de 2024 às 22:11, Pedro Júnior < pedromatematic...@gmail.com> escreveu: > Quem puder me ajudar, fixo grato. > > Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b < > 2023/2024, determine o menos calor da soma a + b. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdade e frações
Quem puder me ajudar, fixo grato. Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b < 2023/2024, determine o menos calor da soma a + b. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: Const. de triângulo
Em ter, 16 de jan de 2024 12:23, Claudio Buffara escreveu: > "Há vários problemas de CT com duas soluções." > > Claro!... Fora o óbvio , com infinitas soluções (todas > semelhantes entre si...) tem o se, por exemplo, A for agudo e a < b > < a/sen(A). > > O Geogebra certamente é uma tremenda ferramenta. > Mas quantos professores sabem usá-lo adequadamente? > 1. Quantos professores têm contato? Mesmo fatorando o acesso à internet, ainda creio serem poucos 2. Seria interessante se fosse adotado, é bem lúdico! > []s, > Claudio. > > > On Mon, Jan 15, 2024 at 7:53 PM Luís Lopes wrote: > >> Oi Claudio, >> >> Eu acho que para os problemas no contexto que estamos falando a álgebra >> pode decidir. Como o 17-gon. É construtível mas talvez a construção em si >> poderia não ser conhecida. Os problemas dados 3 pontos da lista do Wernick >> também precisaram de pesquisas para se decidir. Mas não sei muito sobre o >> assunto. >> >> Há vários problemas de CT com duas soluções. >> >> O problema do quadrilátero é muito legal e também muito difícil acho que >> para qualquer um. Há soluções (não sei se são fundamentalmente diferentes) >> no livro do Virgílio, Court e do FG-M. >> >> Mas, pra mim, a principal função destes problemas de construção e’ >> pedagógica. >> >> É isso aí. Muita criatividade. E o Geogebra pode ajudar muito. >> >> Abs, >> Luís >> >> >> >> On Jan 14, 2024, at 11:21 AM, Claudio Buffara >> wrote: >> >> Não tenho dúvidas de que o nível de dificuldade destes problemas varia de >> “trivial” até “extremamente difícil”. Talvez até existam problemas em >> aberto - ninguém acha uma solução e nem consegue provar que não existe >> solução. >> >> O problem dos dados e’ interessante: existem triplas de dados que >> resultam em dois ou mais triângulos não congruentes? Os casos clássicos de >> congruência sugerem que a resposta é não. Mas talvez alguns tipos de dado >> sejam mais “fracos” e não determinem totalmente o triângulo. >> >> Saindo dos triângulos, um legal e não muito fácil (pra mim…) é construir >> um quadrilátero inscritível dados os comprimentos dos lados. >> >> Mas, pra mim, a principal função destes problemas de construção e’ >> pedagógica. Inseridos num curso de geometria, eles são uma variante >> interessante de problemas métricos (a enorme maioria dos problemas vistos >> na escola) nos quais os estudantes precisam usar a criatividade pra aplicar >> propriedades básicas de figuras geométricas simples mas de um jeito >> diferente, com muito mais necessidade de visualização. >> >> []s, >> Claudio >> >> Em dom., 14 de jan. de 2024 às 11:41, Luís Lopes >> escreveu: >> >>> Oi Claudio, >>> >>> Mando pra vc com CC pra lista pra fazer mais um teste e ver se a lista >>> recebe. Reply não funciona. >>> >>> Outra maneira seria usando o triângulo AMaMb. Esse problema é simples. >>> Mais interessantes são (d_a; e_a bissetrizes interna e externa) e >>> e os primos esquecidos <,e_a>. >>> >>> Problemas com e_a não são muito vistos. Como aquele que apareceu no >>> WhatsApp do Madeira: construir o triângulo retângulo dados D_b, D_c e X, >>> ponto do incírculo na reta BC. Não considerei com E_b , E_c, a gente acaba >>> esquecendo. Nem sei como seria. Ou até com X_a, ponto do >>> A-exincírculo. A lista é enorme. >>> >>> Considere agora . Tirei o < _a>. Bem fácil. E como dados dois qq >>> entre o terceiro fica determinado (sem falar em >>> B-C), então e também são fáceis. E cai na >>> categoria e . >>> >>> O que pode ser um desafio é a discussão sobre os dados nos problemas >>> . Todos eles têm somente uma solução (considerando triângulos não >>> congruentes, a segunda solução no , m>=h> não conta). No os >>> dados têm que satisfazer d sin(A/2) < h <= d. Para não sei como >>> determinar. >>> >>> Abs, >>> Luís >>> >>> >>> On Jan 14, 2024, at 7:48 AM, Claudio Buffara >>> wrote: >>> >>> >>> >>> Trace AM com comprimento m_a. >>> Trace a circunferência com diâmetro AM. >>> Trace AP com comprimento h_a e P na circunferência. >>> >>> * M será o ponto médio de BC e P o pé da altura relativa a A. >>> >>> Prolonga AM até MA', com AM = MA'. >>> >>> * AA' será a diagonal do paralelogramo ABA'C, cujas diagonais se >>> bissectam em M. >>> >>> Traça arco capaz de 180-A sobre AA'. >>> >>> * Já que, num paralelogramo, ângulos consecutivos são suplementares. >>> >>> Chame de B o ponto de intersecção deste arco capaz com a reta PM. >>> Marque C na reta PM tal que B-M-C e MC = MB. >>> E acabou. >>> >>> Há outra solução marcando P na outra semicircunferência de diâmetro AM >>> (a menos que h_a = m_a). >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> On Sun, Jan 14, 2024 at 12:58 AM Luís Lopes >>> wrote: >>> Saudações, oi Anderson, Soluções usando fórmulas servem para mostrar que o triângulo é construtível e qual é sua forma e tamanho. Já ajuda naquela parte - suponha o problema resolvido. Mas a construção procurada deverá ser feita usando as propriedades da figura. Posso mandar no
[obm-l] Re: Const. de triângulo
"Há vários problemas de CT com duas soluções." Claro!... Fora o óbvio , com infinitas soluções (todas semelhantes entre si...) tem o se, por exemplo, A for agudo e a < b < a/sen(A). O Geogebra certamente é uma tremenda ferramenta. Mas quantos professores sabem usá-lo adequadamente? []s, Claudio. On Mon, Jan 15, 2024 at 7:53 PM Luís Lopes wrote: > Oi Claudio, > > Eu acho que para os problemas no contexto que estamos falando a álgebra > pode decidir. Como o 17-gon. É construtível mas talvez a construção em si > poderia não ser conhecida. Os problemas dados 3 pontos da lista do Wernick > também precisaram de pesquisas para se decidir. Mas não sei muito sobre o > assunto. > > Há vários problemas de CT com duas soluções. > > O problema do quadrilátero é muito legal e também muito difícil acho que > para qualquer um. Há soluções (não sei se são fundamentalmente diferentes) > no livro do Virgílio, Court e do FG-M. > > Mas, pra mim, a principal função destes problemas de construção e’ > pedagógica. > > É isso aí. Muita criatividade. E o Geogebra pode ajudar muito. > > Abs, > Luís > > > > On Jan 14, 2024, at 11:21 AM, Claudio Buffara > wrote: > > Não tenho dúvidas de que o nível de dificuldade destes problemas varia de > “trivial” até “extremamente difícil”. Talvez até existam problemas em > aberto - ninguém acha uma solução e nem consegue provar que não existe > solução. > > O problem dos dados e’ interessante: existem triplas de dados que resultam > em dois ou mais triângulos não congruentes? Os casos clássicos de > congruência sugerem que a resposta é não. Mas talvez alguns tipos de dado > sejam mais “fracos” e não determinem totalmente o triângulo. > > Saindo dos triângulos, um legal e não muito fácil (pra mim…) é construir > um quadrilátero inscritível dados os comprimentos dos lados. > > Mas, pra mim, a principal função destes problemas de construção e’ > pedagógica. Inseridos num curso de geometria, eles são uma variante > interessante de problemas métricos (a enorme maioria dos problemas vistos > na escola) nos quais os estudantes precisam usar a criatividade pra aplicar > propriedades básicas de figuras geométricas simples mas de um jeito > diferente, com muito mais necessidade de visualização. > > []s, > Claudio > > Em dom., 14 de jan. de 2024 às 11:41, Luís Lopes > escreveu: > >> Oi Claudio, >> >> Mando pra vc com CC pra lista pra fazer mais um teste e ver se a lista >> recebe. Reply não funciona. >> >> Outra maneira seria usando o triângulo AMaMb. Esse problema é simples. >> Mais interessantes são (d_a; e_a bissetrizes interna e externa) e >> e os primos esquecidos <,e_a>. >> >> Problemas com e_a não são muito vistos. Como aquele que apareceu no >> WhatsApp do Madeira: construir o triângulo retângulo dados D_b, D_c e X, >> ponto do incírculo na reta BC. Não considerei com E_b , E_c, a gente acaba >> esquecendo. Nem sei como seria. Ou até com X_a, ponto do >> A-exincírculo. A lista é enorme. >> >> Considere agora . Tirei o < _a>. Bem fácil. E como dados dois qq >> entre o terceiro fica determinado (sem falar em >> B-C), então e também são fáceis. E cai na >> categoria e . >> >> O que pode ser um desafio é a discussão sobre os dados nos problemas >> . Todos eles têm somente uma solução (considerando triângulos não >> congruentes, a segunda solução no , m>=h> não conta). No os >> dados têm que satisfazer d sin(A/2) < h <= d. Para não sei como >> determinar. >> >> Abs, >> Luís >> >> >> On Jan 14, 2024, at 7:48 AM, Claudio Buffara >> wrote: >> >> >> >> Trace AM com comprimento m_a. >> Trace a circunferência com diâmetro AM. >> Trace AP com comprimento h_a e P na circunferência. >> >> * M será o ponto médio de BC e P o pé da altura relativa a A. >> >> Prolonga AM até MA', com AM = MA'. >> >> * AA' será a diagonal do paralelogramo ABA'C, cujas diagonais se >> bissectam em M. >> >> Traça arco capaz de 180-A sobre AA'. >> >> * Já que, num paralelogramo, ângulos consecutivos são suplementares. >> >> Chame de B o ponto de intersecção deste arco capaz com a reta PM. >> Marque C na reta PM tal que B-M-C e MC = MB. >> E acabou. >> >> Há outra solução marcando P na outra semicircunferência de diâmetro AM (a >> menos que h_a = m_a). >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> On Sun, Jan 14, 2024 at 12:58 AM Luís Lopes >> wrote: >> >>> Saudações, oi Anderson, >>> >>> Soluções usando fórmulas servem para mostrar que o triângulo é >>> construtível e qual é sua forma e tamanho. Já ajuda naquela parte - suponha >>> o problema resolvido. Mas a construção procurada deverá ser feita usando as >>> propriedades da figura. >>> >>> Posso mandar no privado para quem se interessar as construções com as >>> figuras que um correspondente me enviou. Esse que tem h_c/b como dado é bem >>> interessante. >>> >>> Agora o problema pode ser resolvido de 3 ou mais maneiras. >>> Com medianas é sempre bom pensar em simetrias e paralelogramos. >>> >>> Luís >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de
[obm-l] Recorrência Elon Lages Lima 2021
Na competição Elon Lages Lima de 2021 caiu a seguinte recorrência:
x_{0}=1,x_{n+1}=sen(x_{n}). E a questão pergunta o valor do limite
\lim_{n\to +\infty}\frac{\log(x_{n})}{log(n)}.
Alguém sabe como proceder?
Obrigado.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Const. de triângulo
Em dom., 14 de jan. de 2024 às 00:58, Luís Lopes escreveu: > > Saudações, oi Anderson, > > Soluções usando fórmulas servem para mostrar que o triângulo é construtível e > qual é sua forma e tamanho. Mostrar que é construtível, neste caso, implica mostrar a construção. E ela é recheada de > Já ajuda naquela parte - suponha o problema resolvido. Mas a construção > procurada deverá ser feita usando as propriedades da figura. > > Posso mandar no privado para quem se interessar as construções com as figuras > que um correspondente me enviou. Esse que tem h_c/b como dado é bem > interessante. > > Agora o problema pode ser resolvido de 3 ou mais maneiras. Com > medianas é sempre bom pensar em simetrias e paralelogramos. Acabei de resolver. A minha ideia foi a fórmula da mediana, que é basicamente uma lei dos cossenos no triângulo (b,c,180-A). Com isso, fica fácil construir o arco de circunferência que olha o dobro da mediana de um ângulo 180-A. Como disse antes, a solução full eu mando outro dia. > > Luís > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Const. de triângulo
Não tenho dúvidas de que o nível de dificuldade destes problemas varia de “trivial” até “extremamente difícil”. Talvez até existam problemas em aberto - ninguém acha uma solução e nem consegue provar que não existe solução. O problem dos dados e’ interessante: existem triplas de dados que resultam em dois ou mais triângulos não congruentes? Os casos clássicos de congruência sugerem que a resposta é não. Mas talvez alguns tipos de dado sejam mais “fracos” e não determinem totalmente o triângulo. Saindo dos triângulos, um legal e não muito fácil (pra mim…) é construir um quadrilátero inscritível dados os comprimentos dos lados. Mas, pra mim, a principal função destes problemas de construção e’ pedagógica. Inseridos num curso de geometria, eles são uma variante interessante de problemas métricos (a enorme maioria dos problemas vistos na escola) nos quais os estudantes precisam usar a criatividade pra aplicar propriedades básicas de figuras geométricas simples mas de um jeito diferente, com muito mais necessidade de visualização. []s, Claudio Em dom., 14 de jan. de 2024 às 11:41, Luís Lopes escreveu: > Oi Claudio, > > Mando pra vc com CC pra lista pra fazer mais um teste e ver se a lista > recebe. Reply não funciona. > > Outra maneira seria usando o triângulo AMaMb. Esse problema é simples. > Mais interessantes são (d_a; e_a bissetrizes interna e externa) e > e os primos esquecidos <,e_a>. > > Problemas com e_a não são muito vistos. Como aquele que apareceu no > WhatsApp do Madeira: construir o triângulo retângulo dados D_b, D_c e X, > ponto do incírculo na reta BC. Não considerei com E_b , E_c, a gente acaba > esquecendo. Nem sei como seria. Ou até com X_a, ponto do > A-exincírculo. A lista é enorme. > > Considere agora . Tirei o < _a>. Bem fácil. E como dados dois qq > entre o terceiro fica determinado (sem falar em > B-C), então e também são fáceis. E cai na > categoria e . > > O que pode ser um desafio é a discussão sobre os dados nos problemas > . Todos eles têm somente uma solução (considerando triângulos não > congruentes, a segunda solução no , m>=h> não conta). No os > dados têm que satisfazer d sin(A/2) < h <= d. Para não sei como > determinar. > > Abs, > Luís > > > On Jan 14, 2024, at 7:48 AM, Claudio Buffara > wrote: > > > > Trace AM com comprimento m_a. > Trace a circunferência com diâmetro AM. > Trace AP com comprimento h_a e P na circunferência. > > * M será o ponto médio de BC e P o pé da altura relativa a A. > > Prolonga AM até MA', com AM = MA'. > > * AA' será a diagonal do paralelogramo ABA'C, cujas diagonais se bissectam > em M. > > Traça arco capaz de 180-A sobre AA'. > > * Já que, num paralelogramo, ângulos consecutivos são suplementares. > > Chame de B o ponto de intersecção deste arco capaz com a reta PM. > Marque C na reta PM tal que B-M-C e MC = MB. > E acabou. > > Há outra solução marcando P na outra semicircunferência de diâmetro AM (a > menos que h_a = m_a). > > []s, > Claudio. > > > On Sun, Jan 14, 2024 at 12:58 AM Luís Lopes wrote: > >> Saudações, oi Anderson, >> >> Soluções usando fórmulas servem para mostrar que o triângulo é >> construtível e qual é sua forma e tamanho. Já ajuda naquela parte - suponha >> o problema resolvido. Mas a construção procurada deverá ser feita usando as >> propriedades da figura. >> >> Posso mandar no privado para quem se interessar as construções com as >> figuras que um correspondente me enviou. Esse que tem h_c/b como dado é bem >> interessante. >> >> Agora o problema pode ser resolvido de 3 ou mais maneiras. >> Com medianas é sempre bom pensar em simetrias e paralelogramos. >> >> Luís >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Const. de triângulo
Trace AM com comprimento m_a. Trace a circunferência com diâmetro AM. Trace AP com comprimento h_a e P na circunferência. * M será o ponto médio de BC e P o pé da altura relativa a A. Prolonga AM até MA', com AM = MA'. * AA' será a diagonal do paralelogramo ABA'C, cujas diagonais se bissectam em M. Traça arco capaz de 180-A sobre AA'. * Já que, num paralelogramo, ângulos consecutivos são suplementares. Chame de B o ponto de intersecção deste arco capaz com a reta PM. Marque C na reta PM tal que B-M-C e MC = MB. E acabou. Há outra solução marcando P na outra semicircunferência de diâmetro AM (a menos que h_a = m_a). []s, Claudio. On Sun, Jan 14, 2024 at 12:58 AM Luís Lopes wrote: > Saudações, oi Anderson, > > Soluções usando fórmulas servem para mostrar que o triângulo é > construtível e qual é sua forma e tamanho. Já ajuda naquela parte - suponha > o problema resolvido. Mas a construção procurada deverá ser feita usando as > propriedades da figura. > > Posso mandar no privado para quem se interessar as construções com as > figuras que um correspondente me enviou. Esse que tem h_c/b como dado é bem > interessante. > > Agora o problema pode ser resolvido de 3 ou mais maneiras. Com > medianas é sempre bom pensar em simetrias e paralelogramos. > > Luís > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Const. de triângulo
Saudações, oi Anderson, Soluções usando fórmulas servem para mostrar que o triângulo é construtível e qual é sua forma e tamanho. Já ajuda naquela parte - suponha o problema resolvido. Mas a construção procurada deverá ser feita usando as propriedades da figura. Posso mandar no privado para quem se interessar as construções com as figuras que um correspondente me enviou. Esse que tem h_c/b como dado é bem interessante. Agora o problema pode ser resolvido de 3 ou mais maneiras. Com medianas é sempre bom pensar em simetrias e paralelogramos. Luís -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Const. de triangulo
Em qui, 11 de jan de 2024 17:32, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > > > Em qui, 11 de jan de 2024 12:40, Luís Lopes > escreveu: > >> Vou mandar um texto bem carequinha. >> >> h_a,m_a,h_c:b >> > > Esse não fiz ainda. > Quanto a esse aqui, o máximo que consegui foi: h_c/b = ach_c/abc = a.2S/4SR = a/2R = sin(A). Então sabemos o ângulo A, h_a e m_a. Com h_a e m_a nós construímos o ponto A e a reta BC. O problemão agora é onde meter esse ângulo A nisso tudo. Tentei algumas ideias mas sem sucesso... CLARO, eu posso ser altamente ignorante e mostrar fórmulas para a,b,c em termos de A, h_a e m_a, mas isso seria muita sacanagem. > b+c,h_a,h_b:h_c >> > > Bem, ah_a=bh_b=ch_c = 2S onde S é a área de ABC. > Assim, c/b = hb/hc. > > Conhecendo b+c e c/b, obtemos c e b (é uma construção fácil via > paralelismo). > > Conhecendo b, c e h_a, é fácil obter o triângulo: marca o segmento AHa, a > perpendicular por A, e depois os círculos de raios b e c por A. > > Mais tarde eu escrevo isso de forma algorítmica. > > > > >> LuÃs >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: Re: [obm-l] Const. de triangulo
Vou tentar reply por aqui. Fiz reply no hotmail e no chegou. Obrigado pela soluo (AT). Finalmente consegui as construes dos dois problemas com as figuras. Posso mand-las no privado para quem se interessar. Lus -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Const. de triangulo
Em qui, 11 de jan de 2024 17:59, Marcelo Gonda Stangler < marcelo.gonda.stang...@gmail.com> escreveu: > Qual o objetivo disso? > Dadas certas informações, construir um triângulo com régua e compasso > Em qui., 11 de jan. de 2024 5:41 PM, Anderson Torres < > torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > >> >> Em qui, 11 de jan de 2024 12:40, Luís Lopes >> escreveu: >> >>> Vou mandar um texto bem carequinha. >>> >>> h_a,m_a,h_c:b >>> >> >> Esse não fiz ainda. >> >> b+c,h_a,h_b:h_c >>> >> >> Bem, ah_a=bh_b=ch_c = 2S onde S é a área de ABC. >> Assim, c/b = hb/hc. >> >> Conhecendo b+c e c/b, obtemos c e b (é uma construção fácil via >> paralelismo). >> >> Conhecendo b, c e h_a, é fácil obter o triângulo: marca o segmento AHa, a >> perpendicular por A, e depois os círculos de raios b e c por A. >> >> Mais tarde eu escrevo isso de forma algorítmica. >> >> >> >> >>> LuÃs >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> = >>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> = >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Const. de triangulo
Qual o objetivo disso? Em qui., 11 de jan. de 2024 5:41 PM, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > > > Em qui, 11 de jan de 2024 12:40, Luís Lopes > escreveu: > >> Vou mandar um texto bem carequinha. >> >> h_a,m_a,h_c:b >> > > Esse não fiz ainda. > > b+c,h_a,h_b:h_c >> > > Bem, ah_a=bh_b=ch_c = 2S onde S é a área de ABC. > Assim, c/b = hb/hc. > > Conhecendo b+c e c/b, obtemos c e b (é uma construção fácil via > paralelismo). > > Conhecendo b, c e h_a, é fácil obter o triângulo: marca o segmento AHa, a > perpendicular por A, e depois os círculos de raios b e c por A. > > Mais tarde eu escrevo isso de forma algorítmica. > > > > >> LuÃs >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Const. de triangulo
Em qui, 11 de jan de 2024 12:40, Luís Lopes escreveu: > Vou mandar um texto bem carequinha. > > h_a,m_a,h_c:b > Esse não fiz ainda. b+c,h_a,h_b:h_c > Bem, ah_a=bh_b=ch_c = 2S onde S é a área de ABC. Assim, c/b = hb/hc. Conhecendo b+c e c/b, obtemos c e b (é uma construção fácil via paralelismo). Conhecendo b, c e h_a, é fácil obter o triângulo: marca o segmento AHa, a perpendicular por A, e depois os círculos de raios b e c por A. Mais tarde eu escrevo isso de forma algorítmica. > LuÃs > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Const. de triangulo
Mando outra mensagem pois reply não funciona. Pensei que estava claro. Notação padrão de triângulo. Construir os triângulos com R com os dados fornecidos. h_a altura; m_a mediana; b+c soma dos lados AC e AB (vértices do triângulo); h_c:b razão h_c/b -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Const. de triangulo
Em qui, 11 de jan de 2024 12:40, Luís Lopes escreveu: > Vou mandar um texto bem carequinha. > > h_a,m_a,h_c:b > b+c,h_a,h_b:h_c > Eu não entendi nada. > LuÃs > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Const. de triangulo
Vou mandar um texto bem carequinha. h_a,m_a,h_c:b b+c,h_a,h_b:h_c Luís -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Teste
Mensagens não chegam. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] TC dados e
Sauda,c~oes, ha=h_a, ma=m_a, hc=h_c etc. Construir o tringulo ABC dadosha,ma,hc:b e b+c,ha,hb:hc. Os problemas foram retirados do livro de Julius Petersen. Problemas 252 e 258, p.48. No mando o link do livro pois j mandei duas mensagens de emails diferentes com o link e nenhuma das duas chegou. Desconfio e espero que seja por causa disso. Lus -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] TC and
Sauda,c~oes, ha=h_a, ma=m_a, hc=h_c etc. TC (construo geomtrica de tringulo), conhecimento-quase-morto. Notao consagrada. Os problemas foram retirados do livro de Julius Petersen (ver link). Problemas 252 e 258, p.48. https://books.google.ca/books?id=H89FAQAAIAAJprintsec=frontcover#v=onepageqf=false Livro difcil de ler no sentido de que quase no h figuras e exemplos resolvidos. Alguma ideia de como usar as razes? No me ocorre nenhuma. Lus -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] OBM 88 Problema 6.
Em dom., 31 de dez. de 2023 às 00:56, Pedro José escreveu:
>
> Boa noite!
> Cláudio, minha preocupação é com a solução em si da equação.
> O problema original pede que demonstre que k é um quadrado perfeito. Todas
> soluções que vi são baseadas nas relações de Girad ou Vieta's fórmula como
> chamam lá fora.
> Eu parti do conhecimento de que k tem de ser quadrado perfeito.
> Consegui provar que tirando as soluções triviais a=0 ou b=0 ou a=b=1
> b>=raiz(k)
> Aí achei a primeira solução para a equação, sem perda de generalidade,
> considerei a>b, a=b só ocorre para a=b=1 ou a=b=0. Lá fora acho que nem
> consideram 0 natural. Seguem a risca como foi o postulado de Peano.
O enunciado original dizia INTEIRO POSITIVO, e não "natural".
Os proponentes da IMO têm uma certa noção dessas pequenas polêmicas,
então eles costumam ser bastante verbosos sobre se 0 é considerado ou
não parte das soluções.
Curiosidade: na França 0 é considerado positivo E negativo ao mesmo tempo.
https://mathfour.com/arithmetic/is-zero-positive-or-negative
> Então para cada k=w^2 com w>1
> Tem um conjunto com uma sequência infinita de soluções.
> Sk={si=(ai,bi,k): i natural e i>=1| s1=(w^3,w,w^2) e si+1=(ai*w^2-bi, ai,
> w^2).
> Consigo provar que todos termos da sequência são soluções.
> Não consigo provar que se há uma solução (a*,b*, k*) então (a*,b*,k*) ou
> (b*,a*, k*) pertence a sequência Sk para k=w^2.
Ué, você pode imitar a solução do problema original. Se (a*,b*,K) é
solução E não está na rota dourada, então é possível encontrar uma
solução menor fora da rota dourada também, e assim por diante até
chegar na solução minimal. Mas a solução minimal é justo a que inicia
a rota dourada, absurdo.
> Eu não acho a solução da equação, só do problema como foi pedido, mostrar que
> k é um QP, sem no entanto achar todas as soluções
>
> Cordialmente,
> PJMS
>
> Em sex., 29 de dez. de 2023 09:18, Claudio Buffara
> escreveu:
>>
>> Dá um Google em "IMO 88".
>> Vai ter até vídeo com a solução deste problema.
>>
>> On Thu, Dec 28, 2023 at 4:35 PM Pedro José wrote:
>>>
>>> Boa tarde!
>>> Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar
>>> com a pretensão de abranger todas as soluções da equação:
>>>
>>> (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa restrição
>>> para retirar as soluções triviais.
>>> E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora pela
>>> restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b.
>>> O problema era provar que k era um quadrado perfeito.
>>> Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do
>>> problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação.
>>> Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para dar
>>> divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter encontrado
>>> todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no Universo dos
>>> Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1.
>>>
>>> Agradeço quem puder me orientar.
>>>
>>> Cordialmente,
>>> PJMS
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] OBM 88 Problema 6.
Boa noite!
Cláudio, minha preocupação é com a solução em si da equação.
O problema original pede que demonstre que k é um quadrado perfeito. Todas
soluções que vi são baseadas nas relações de Girad ou Vieta's fórmula como
chamam lá fora.
Eu parti do conhecimento de que k tem de ser quadrado perfeito.
Consegui provar que tirando as soluções triviais a=0 ou b=0 ou a=b=1
b>=raiz(k)
Aí achei a primeira solução para a equação, sem perda de generalidade,
considerei a>b, a=b só ocorre para a=b=1 ou a=b=0. Lá fora acho que nem
consideram 0 natural. Seguem a risca como foi o postulado de Peano.
Então para cada k=w^2 com w>1
Tem um conjunto com uma sequência infinita de soluções.
Sk={si=(ai,bi,k): i natural e i>=1| s1=(w^3,w,w^2) e si+1=(ai*w^2-bi, ai,
w^2).
Consigo provar que todos termos da sequência são soluções.
Não consigo provar que se há uma solução (a*,b*, k*) então (a*,b*,k*) ou
(b*,a*, k*) pertence a sequência Sk para k=w^2.
Eu não acho a solução da equação, só do problema como foi pedido, mostrar
que k é um QP, sem no entanto achar todas as soluções
Cordialmente,
PJMS
Em sex., 29 de dez. de 2023 09:18, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
> Dá um Google em "IMO 88".
> Vai ter até vídeo com a solução deste problema.
>
> On Thu, Dec 28, 2023 at 4:35 PM Pedro José wrote:
>
>> Boa tarde!
>> Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar
>> com a pretensão de abranger todas as soluções da equação:
>>
>> (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa
>> restrição para retirar as soluções triviais.
>> E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora pela
>> restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b.
>> O problema era provar que k era um quadrado perfeito.
>> Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do
>> problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação.
>> Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para
>> dar divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter
>> encontrado todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no
>> Universo dos Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1.
>>
>> Agradeço quem puder me orientar.
>>
>> Cordialmente,
>> PJMS
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] OBM 88 Problema 6.
Dá um Google em "IMO 88". Vai ter até vídeo com a solução deste problema. On Thu, Dec 28, 2023 at 4:35 PM Pedro José wrote: > Boa tarde! > Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar > com a pretensão de abranger todas as soluções da equação: > > (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa > restrição para retirar as soluções triviais. > E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora pela > restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b. > O problema era provar que k era um quadrado perfeito. > Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do > problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação. > Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para dar > divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter encontrado > todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no Universo dos > Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1. > > Agradeço quem puder me orientar. > > Cordialmente, > PJMS > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] OBM 88 Problema 6.
Peço máxima vênia. Nem.reparata que fizera uma referência errada. OBM ao invés de IMO. Interpretei erroneamente como uma censura. Só depois é que reparei que falhará na referência. Minhas escusas. Cordialmente, PJMS. Em qui., 28 de dez. de 2023 19:47, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > > > Em qui, 28 de dez de 2023 19:01, Pedro José > escreveu: > >> E daí? >> > > E daí e daí? > > >> Em qui., 28 de dez. de 2023 18:42, Anderson Torres < >> torres.anderson...@gmail.com> escreveu: >> >>> Isso não é da OBM mas da IMO >>> >>> Em qui, 28 de dez de 2023 16:35, Pedro José >>> escreveu: >>> Boa tarde! Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar com a pretensão de abranger todas as soluções da equação: (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa restrição para retirar as soluções triviais. E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora pela restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b. O problema era provar que k era um quadrado perfeito. Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação. >>> >>> Sim, o próprio método de resolução por descenso provê um método de >>> listagem das soluções. >>> >>> Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para dar divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter encontrado todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no Universo dos Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1. Agradeço quem puder me orientar. Cordialmente, PJMS -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] OBM 88 Problema 6.
Em qui, 28 de dez de 2023 19:01, Pedro José escreveu: > E daí? > E daí e daí? > Em qui., 28 de dez. de 2023 18:42, Anderson Torres < > torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > >> Isso não é da OBM mas da IMO >> >> Em qui, 28 de dez de 2023 16:35, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar >>> com a pretensão de abranger todas as soluções da equação: >>> >>> (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa >>> restrição para retirar as soluções triviais. >>> E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora >>> pela restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b. >>> O problema era provar que k era um quadrado perfeito. >>> Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do >>> problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação. >>> >> >> Sim, o próprio método de resolução por descenso provê um método de >> listagem das soluções. >> >> Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para >>> dar divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter >>> encontrado todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no >>> Universo dos Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1. >>> >>> Agradeço quem puder me orientar. >>> >>> Cordialmente, >>> PJMS >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] OBM 88 Problema 6.
E daí? Em qui., 28 de dez. de 2023 18:42, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > Isso não é da OBM mas da IMO > > Em qui, 28 de dez de 2023 16:35, Pedro José > escreveu: > >> Boa tarde! >> Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar >> com a pretensão de abranger todas as soluções da equação: >> >> (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa >> restrição para retirar as soluções triviais. >> E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora pela >> restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b. >> O problema era provar que k era um quadrado perfeito. >> Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do >> problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação. >> > > Sim, o próprio método de resolução por descenso provê um método de > listagem das soluções. > > Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para dar >> divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter encontrado >> todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no Universo dos >> Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1. >> >> Agradeço quem puder me orientar. >> >> Cordialmente, >> PJMS >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] OBM 88 Problema 6.
Isso não é da OBM mas da IMO Em qui, 28 de dez de 2023 16:35, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar > com a pretensão de abranger todas as soluções da equação: > > (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa > restrição para retirar as soluções triviais. > E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora pela > restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b. > O problema era provar que k era um quadrado perfeito. > Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do > problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação. > Sim, o próprio método de resolução por descenso provê um método de listagem das soluções. Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para dar > divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter encontrado > todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no Universo dos > Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1. > > Agradeço quem puder me orientar. > > Cordialmente, > PJMS > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] OBM 88 Problema 6.
Em qui, 28 de dez de 2023 17:40, Bruno Bianchi Pagani < brunobianchipag...@gmail.com> escreveu: > Como que eu saio disso? > procure pelas instruções de unsubscribe. > On Thu, Dec 28, 2023, 4:35 PM Pedro José wrote: > >> Boa tarde! >> Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar >> com a pretensão de abranger todas as soluções da equação: >> >> (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa >> restrição para retirar as soluções triviais. >> E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora pela >> restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b. >> O problema era provar que k era um quadrado perfeito. >> Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do >> problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação. >> Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para >> dar divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter >> encontrado todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no >> Universo dos Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1. >> >> Agradeço quem puder me orientar. >> >> Cordialmente, >> PJMS >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] OBM 88 Problema 6.
Como que eu saio disso? On Thu, Dec 28, 2023, 4:35 PM Pedro José wrote: > Boa tarde! > Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar > com a pretensão de abranger todas as soluções da equação: > > (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa > restrição para retirar as soluções triviais. > E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora pela > restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b. > O problema era provar que k era um quadrado perfeito. > Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do > problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação. > Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para dar > divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter encontrado > todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no Universo dos > Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1. > > Agradeço quem puder me orientar. > > Cordialmente, > PJMS > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] OBM 88 Problema 6.
Boa tarde! Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar com a pretensão de abranger todas as soluções da equação: (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa restrição para retirar as soluções triviais. E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora pela restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b. O problema era provar que k era um quadrado perfeito. Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação. Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para dar divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter encontrado todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no Universo dos Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1. Agradeço quem puder me orientar. Cordialmente, PJMS -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] O que aconteceu com os backups do prof. Carlos Shine no site de treinamento IMO/IBERO?
Olá, pessoas! O site https://imoibero.blogspot.com/ mantém alguns arquivos de treinamentos antigos da IMO e IBERO. Mas os links estão quebrados. Alguém tem as cópias ou sabe como posso contatar o webmaster para reavê-las? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Pesagens ( Balança Eletrônica)
Por que você não começa com um caso menor, tal como 4, 6 ou 9 moedas no total? Como você não consegue distinguir, numa dada pesagem, um grupo só com moedas verdadeiras e um grupo com 2 moedas falsas, um algoritmo pra resolver este problema com o menor número possível de pesagens não me parece óbvio. Daí, a análise de um caso menor pode dar alguma luz. []s, Claudio. On Sun, Nov 19, 2023 at 3:50 PM Jeferson Almir wrote: > Eu tinha errado umas contas, mas sua cota está correta Ralph, preciso > montar um exemplo com 21 pesagens > > Em dom., 19 de nov. de 2023 às 15:00, Jeferson Almir < > jefersonram...@gmail.com> escreveu: > >> Pelo visto, está sim Ralph!! Agora temos que montar uma estratégia que >> com 21 pesagens. >> >> Em dom., 19 de nov. de 2023 às 13:55, Ralph Costa Teixeira < >> ralp...@gmail.com> escreveu: >> >>> Existem 2022*2021/2 possibilidades para as 2 falsas. Qualquer estratégia >>> que seja criada com k pesagens que dão apenas 2 respostas cada distingue no >>> máximo dentre 2^k possibilidades. Então devemos ter 2^k >= 2022*2021/2... >>> hmm, isso daria k como pelo menos 21? Errei algo? >>> >>> On Sun, Nov 19, 2023, 12:16 Jeferson Almir >>> wrote: >>> Amigos, encontrei como K mínimo o valor 11 mas desconfio que seja menos. Se alguém souber uma ideia que acabe o problema serei grato. Em Villa Par todas as moedas autênticas pesam uma quantidade par de gramas e todas as moedas falsas pesam uma quantidade impar de gramas. Se você tiver 2022 moedas entre as quais sabe que exatamente 2 são falsas. Se tiver uma balança eletrônica que informe apenas se o peso total dos objetos colocados nela é par ou impar. Determine o valor mínimo de k para qualquer estratégia que permita identificar as moedas falsas usando a balança no máximo k vezes. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Pesagens ( Balança Eletrônica)
Eu tinha errado umas contas, mas sua cota está correta Ralph, preciso montar um exemplo com 21 pesagens Em dom., 19 de nov. de 2023 às 15:00, Jeferson Almir < jefersonram...@gmail.com> escreveu: > Pelo visto, está sim Ralph!! Agora temos que montar uma estratégia que com > 21 pesagens. > > Em dom., 19 de nov. de 2023 às 13:55, Ralph Costa Teixeira < > ralp...@gmail.com> escreveu: > >> Existem 2022*2021/2 possibilidades para as 2 falsas. Qualquer estratégia >> que seja criada com k pesagens que dão apenas 2 respostas cada distingue no >> máximo dentre 2^k possibilidades. Então devemos ter 2^k >= 2022*2021/2... >> hmm, isso daria k como pelo menos 21? Errei algo? >> >> On Sun, Nov 19, 2023, 12:16 Jeferson Almir >> wrote: >> >>> Amigos, encontrei como K mínimo o valor 11 mas desconfio que seja menos. >>> Se alguém souber uma ideia que acabe o problema serei grato. >>> >>> >>> Em Villa Par todas as moedas autênticas pesam uma quantidade par de >>> gramas e todas as moedas falsas pesam uma quantidade impar de gramas. >>> >>> Se você tiver 2022 moedas entre as quais sabe que exatamente 2 são >>> falsas. >>> >>> Se tiver uma balança eletrônica que informe apenas se o peso total dos >>> objetos colocados nela é par ou impar. >>> >>> Determine o valor mínimo de k para qualquer estratégia que permita >>> identificar as moedas falsas usando a balança no máximo k vezes. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Pesagens ( Balança Eletrônica)
Pelo visto, está sim Ralph!! Agora temos que montar uma estratégia que com 21 pesagens. Em dom., 19 de nov. de 2023 às 13:55, Ralph Costa Teixeira < ralp...@gmail.com> escreveu: > Existem 2022*2021/2 possibilidades para as 2 falsas. Qualquer estratégia > que seja criada com k pesagens que dão apenas 2 respostas cada distingue no > máximo dentre 2^k possibilidades. Então devemos ter 2^k >= 2022*2021/2... > hmm, isso daria k como pelo menos 21? Errei algo? > > On Sun, Nov 19, 2023, 12:16 Jeferson Almir > wrote: > >> Amigos, encontrei como K mínimo o valor 11 mas desconfio que seja menos. >> Se alguém souber uma ideia que acabe o problema serei grato. >> >> >> Em Villa Par todas as moedas autênticas pesam uma quantidade par de >> gramas e todas as moedas falsas pesam uma quantidade impar de gramas. >> >> Se você tiver 2022 moedas entre as quais sabe que exatamente 2 são falsas. >> >> Se tiver uma balança eletrônica que informe apenas se o peso total dos >> objetos colocados nela é par ou impar. >> >> Determine o valor mínimo de k para qualquer estratégia que permita >> identificar as moedas falsas usando a balança no máximo k vezes. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Pesagens ( Balança Eletrônica)
Existem 2022*2021/2 possibilidades para as 2 falsas. Qualquer estratégia que seja criada com k pesagens que dão apenas 2 respostas cada distingue no máximo dentre 2^k possibilidades. Então devemos ter 2^k >= 2022*2021/2... hmm, isso daria k como pelo menos 21? Errei algo? On Sun, Nov 19, 2023, 12:16 Jeferson Almir wrote: > Amigos, encontrei como K mínimo o valor 11 mas desconfio que seja menos. > Se alguém souber uma ideia que acabe o problema serei grato. > > > Em Villa Par todas as moedas autênticas pesam uma quantidade par de gramas > e todas as moedas falsas pesam uma quantidade impar de gramas. > > Se você tiver 2022 moedas entre as quais sabe que exatamente 2 são falsas. > > Se tiver uma balança eletrônica que informe apenas se o peso total dos > objetos colocados nela é par ou impar. > > Determine o valor mínimo de k para qualquer estratégia que permita > identificar as moedas falsas usando a balança no máximo k vezes. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Pesagens ( Balança Eletrônica)
Amigos, encontrei como K mínimo o valor 11 mas desconfio que seja menos. Se alguém souber uma ideia que acabe o problema serei grato. Em Villa Par todas as moedas autênticas pesam uma quantidade par de gramas e todas as moedas falsas pesam uma quantidade impar de gramas. Se você tiver 2022 moedas entre as quais sabe que exatamente 2 são falsas. Se tiver uma balança eletrônica que informe apenas se o peso total dos objetos colocados nela é par ou impar. Determine o valor mínimo de k para qualquer estratégia que permita identificar as moedas falsas usando a balança no máximo k vezes. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Teoria de Resposta ao Item
Boa tarde, Aos professores deste grupo, pergunto: Qual a opnião de vocês na implementação de análises TRI para olimpíadas, provas, vestibulares? A psicometria não é utilizada em muitos sistemas de avaliações no Brasil (apenas o ENEM a aplica em escala nacional), mas é um modelo que pode ajudar bastante como instrumento pedagógico no aprendizado dos estudantes. Suspeito que - ademais da pouca visibilidade - a inacessibilidade à softwares de análise seja um dos principais agravantes. Será que se houvesse acesso fácil às ferramentas de análise psicométrica, poderiam haver ganhos pedagógicos no caso do Brasil? Atenciosamente, Marcelo Gonda Stangler -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Transcendentais
Boa noite, Compreendo que os reais formam um corpo incontável, e por isso são uma extensão algébrica infinita (transcendental) sobre os racionais; assim, formam um espaço vetorial de dimensão infinita sobre esses. Minha questão é: é necessário o axioma da escolha para que se possa escolher um número cujo corpo de menor grau de extensão é o próprio corpo dos reais? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
Oi, Alexandre. Quando a gente escreve uma "pilha" de potências sem parênteses, a convenção é que ela deve ser calculada "de cima para baixo." Por exemplo: 2^3^4 = 2^(3^4)=2^81 (convenção usual) ao invés de (2^3)^4=2^12 (essa precisa de parênteses ali no 2^3). No caso, acho que o pessoal falava de x^x^x^x = x^(x^(x^x)) = coisa complicada que depende do x e que eu não sei simplificar mais que isso ;D ao invés de ((x^x)^x)^x = x^(x^3) Ralph. On Wed, Nov 1, 2023 at 7:45 PM Alexandre Antunes < prof.alexandreantu...@gmail.com> wrote: > Boa noite, > > Tem uma coisa que não estou entendendo ... Enxergo , a expressão > infinita de x elevada a x elevada a x (aplicando a propriedade de potência > de potência) ... Como segue > > x^(x^(n-1)) = 2 > E > x^(x^(n-1)) = 4 > Com n tendendo a infinito. > > log x . log x = log (log 2))/(n-1) > E > log x . log x = log (log 4))/(n-1) > > Para n tendendo a infinito > > log x . log x =0 > > log^2 x = 0 > > Tem sentido?!!? Ou viajei? > > > Outra coisa, essas equações soltas, sem algum tipo de restrição do valor > de x fica um pouco sem rumo! > > > > Em qua, 1 de nov de 2023 18:37, Pacini Bores > escreveu: > >> Oi Claudio, mas sabe, o que mais me incomoda é o fato de que em lnx = >> lnL/L, se tomarmos a função g(L) = lnL/L , teremos 0< g(L) <= 1/e. Para >> um único valor de "x" temos dois valores para L e, daí reforçando ( não sei >> se estou bobeando em algo) a ideia de que na hipótese de existir lim >> a(n+1) = lim a(n) = L ,e se tomarmos L=15 por exemplo , teremos um único >> "x" no intervalo em que colocastes anteriormente. No Wolfram ou geogebra >> fui fazendo f(x)= x^x^x... com o aumento na quantidade de"x" , o gráfico >> me pareceu crescente a partir de um certo momento e tendo sempre uma reta >> paralela ao eixo horizontal intersectando sempre o gráfico de "f(x)" . Ou >> seja, aquele fato de que x^x^x...=4 e dizer que é impossível me causou >> estranheza. Desculpem se estou cometendo erros conceituais, mas de qualquer >> forma agradeço a atenção de todos. >> >> Pacini >> >> Em qua., 1 de nov. de 2023 às 16:17, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> Dando um Google em x^x^x, eu achei sites que NADA tinham a ver com este >>> problema... >>> Mas procurando um pouco mais, achei a afirmação (sem demonstração) de >>> que a sequência converge para e^(-e) <= x <= e^(1/e). >>> Explorando numericamente, me convenci de que isso está (provavelmente) >>> correto. >>> Ou seja, dado x naquele intervalo, existe L tal que x^L = L >>> Em particular, L = 1/e ==> (e^(-e))^(1/e) = 1/e, e L = e ==> >>> (e^(1/e))^e = e. >>> Ou seja, minha conjectura é: a função f é crescente, tem domínio >>> [e^(-e),e^(1/e)] e imagem [1/e,e]. >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> On Wed, Nov 1, 2023 at 1:21 PM Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> wrote: >>> A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por: a(0) = x e a(n+1) = x^a(n) e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual limite. Se a(n) convergir para L, então x^L = L. Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2). Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2), a sequência parece convergir para 2. O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo I de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) = limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x. Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I, f(raiz(2)) = 2, e 4 não pertence a f(I). O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I). Vamos ver... Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L). Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e), para L = e. ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2 = 0 para L = e ) Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e). Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e. Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à imagem de f. []s, Claudio. On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores wrote: > Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas > equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma > resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é > possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver > errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a > igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis > para "k", enquanto há apenas um valor para "x". > > A minha pergunta : Estou errando em algo ? > > Pacini > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. >>> -- >>> Esta
Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
Ok Claudio, obrigado. Abraços Em qua., 1 de nov. de 2023 às 19:18, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Se entendi direito, você pegou L = 15 e fez x = 15^(1/15) = 1,19786. Foi > isso? > Mas este x está no intervalo [e^(-e), e^(1/e)]. > Daí, pra este x, a sequência converge (pra 1,254088...). > > Pra x > 1, quando você aumenta a "quantidade de x" o valor da torre de > expoentes aumenta. > Ou seja, x > 1 ==> x < x^x < x^x^x < ... > Mas o que acontece é que, para x > e^(1/e), a sequência (x, x^x, x^x^x, > ... ) cresce para além de qualquer limite (ou seja, diverge > para +infinito). > E para 1 < x <= e^(1/e), ela converge para um limite <= e. > Não tem "meio-termo", ou seja, não existe x tal que x^x^x^... = 4 ou > qualquer outro número > e. > > []s, > Claudio. > > > > > > > On Wed, Nov 1, 2023 at 6:38 PM Pacini Bores wrote: > >> Oi Claudio, mas sabe, o que mais me incomoda é o fato de que em lnx = >> lnL/L, se tomarmos a função g(L) = lnL/L , teremos 0< g(L) <= 1/e. Para >> um único valor de "x" temos dois valores para L e, daí reforçando ( não sei >> se estou bobeando em algo) a ideia de que na hipótese de existir lim >> a(n+1) = lim a(n) = L ,e se tomarmos L=15 por exemplo , teremos um único >> "x" no intervalo em que colocastes anteriormente. No Wolfram ou geogebra >> fui fazendo f(x)= x^x^x... com o aumento na quantidade de"x" , o gráfico >> me pareceu crescente a partir de um certo momento e tendo sempre uma reta >> paralela ao eixo horizontal intersectando sempre o gráfico de "f(x)" . Ou >> seja, aquele fato de que x^x^x...=4 e dizer que é impossível me causou >> estranheza. Desculpem se estou cometendo erros conceituais, mas de qualquer >> forma agradeço a atenção de todos. >> >> Pacini >> >> Em qua., 1 de nov. de 2023 às 16:17, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> Dando um Google em x^x^x, eu achei sites que NADA tinham a ver com este >>> problema... >>> Mas procurando um pouco mais, achei a afirmação (sem demonstração) de >>> que a sequência converge para e^(-e) <= x <= e^(1/e). >>> Explorando numericamente, me convenci de que isso está (provavelmente) >>> correto. >>> Ou seja, dado x naquele intervalo, existe L tal que x^L = L >>> Em particular, L = 1/e ==> (e^(-e))^(1/e) = 1/e, e L = e ==> >>> (e^(1/e))^e = e. >>> Ou seja, minha conjectura é: a função f é crescente, tem domínio >>> [e^(-e),e^(1/e)] e imagem [1/e,e]. >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> On Wed, Nov 1, 2023 at 1:21 PM Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> wrote: >>> A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por: a(0) = x e a(n+1) = x^a(n) e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual limite. Se a(n) convergir para L, então x^L = L. Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2). Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2), a sequência parece convergir para 2. O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo I de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) = limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x. Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I, f(raiz(2)) = 2, e 4 não pertence a f(I). O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I). Vamos ver... Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L). Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e), para L = e. ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2 = 0 para L = e ) Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e). Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e. Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à imagem de f. []s, Claudio. On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores wrote: > Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas > equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma > resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é > possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver > errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a > igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis > para "k", enquanto há apenas um valor para "x". > > A minha pergunta : Estou errando em algo ? > > Pacini > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de
Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
Boa noite, Tem uma coisa que não estou entendendo ... Enxergo , a expressão infinita de x elevada a x elevada a x (aplicando a propriedade de potência de potência) ... Como segue x^(x^(n-1)) = 2 E x^(x^(n-1)) = 4 Com n tendendo a infinito. log x . log x = log (log 2))/(n-1) E log x . log x = log (log 4))/(n-1) Para n tendendo a infinito log x . log x =0 log^2 x = 0 Tem sentido?!!? Ou viajei? Outra coisa, essas equações soltas, sem algum tipo de restrição do valor de x fica um pouco sem rumo! Em qua, 1 de nov de 2023 18:37, Pacini Bores escreveu: > Oi Claudio, mas sabe, o que mais me incomoda é o fato de que em lnx = > lnL/L, se tomarmos a função g(L) = lnL/L , teremos 0< g(L) <= 1/e. Para > um único valor de "x" temos dois valores para L e, daí reforçando ( não sei > se estou bobeando em algo) a ideia de que na hipótese de existir lim > a(n+1) = lim a(n) = L ,e se tomarmos L=15 por exemplo , teremos um único > "x" no intervalo em que colocastes anteriormente. No Wolfram ou geogebra > fui fazendo f(x)= x^x^x... com o aumento na quantidade de"x" , o gráfico > me pareceu crescente a partir de um certo momento e tendo sempre uma reta > paralela ao eixo horizontal intersectando sempre o gráfico de "f(x)" . Ou > seja, aquele fato de que x^x^x...=4 e dizer que é impossível me causou > estranheza. Desculpem se estou cometendo erros conceituais, mas de qualquer > forma agradeço a atenção de todos. > > Pacini > > Em qua., 1 de nov. de 2023 às 16:17, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Dando um Google em x^x^x, eu achei sites que NADA tinham a ver com este >> problema... >> Mas procurando um pouco mais, achei a afirmação (sem demonstração) de que >> a sequência converge para e^(-e) <= x <= e^(1/e). >> Explorando numericamente, me convenci de que isso está (provavelmente) >> correto. >> Ou seja, dado x naquele intervalo, existe L tal que x^L = L >> Em particular, L = 1/e ==> (e^(-e))^(1/e) = 1/e, e L = e ==> >> (e^(1/e))^e = e. >> Ou seja, minha conjectura é: a função f é crescente, tem domínio >> [e^(-e),e^(1/e)] e imagem [1/e,e]. >> >> []s, >> Claudio. >> >> On Wed, Nov 1, 2023 at 1:21 PM Claudio Buffara >> wrote: >> >>> A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por: >>> a(0) = x e a(n+1) = x^a(n) >>> e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual >>> limite. >>> >>> Se a(n) convergir para L, então x^L = L. >>> >>> Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2). >>> >>> Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2), >>> a sequência parece convergir para 2. >>> >>> O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo >>> I de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) = >>> limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x. >>> Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I, >>> f(raiz(2)) = 2, e 4 não pertence a f(I). >>> >>> O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I). Vamos ver... >>> >>> Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L). >>> Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e), >>> para L = e. >>> ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2 >>> = 0 para L = e ) >>> Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e). >>> Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e. >>> Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à >>> imagem de f. >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> >>> On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores >>> wrote: >>> Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis para "k", enquanto há apenas um valor para "x". A minha pergunta : Estou errando em algo ? Pacini -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
Se entendi direito, você pegou L = 15 e fez x = 15^(1/15) = 1,19786. Foi isso? Mas este x está no intervalo [e^(-e), e^(1/e)]. Daí, pra este x, a sequência converge (pra 1,254088...). Pra x > 1, quando você aumenta a "quantidade de x" o valor da torre de expoentes aumenta. Ou seja, x > 1 ==> x < x^x < x^x^x < ... Mas o que acontece é que, para x > e^(1/e), a sequência (x, x^x, x^x^x, ... ) cresce para além de qualquer limite (ou seja, diverge para +infinito). E para 1 < x <= e^(1/e), ela converge para um limite <= e. Não tem "meio-termo", ou seja, não existe x tal que x^x^x^... = 4 ou qualquer outro número > e. []s, Claudio. On Wed, Nov 1, 2023 at 6:38 PM Pacini Bores wrote: > Oi Claudio, mas sabe, o que mais me incomoda é o fato de que em lnx = > lnL/L, se tomarmos a função g(L) = lnL/L , teremos 0< g(L) <= 1/e. Para > um único valor de "x" temos dois valores para L e, daí reforçando ( não sei > se estou bobeando em algo) a ideia de que na hipótese de existir lim > a(n+1) = lim a(n) = L ,e se tomarmos L=15 por exemplo , teremos um único > "x" no intervalo em que colocastes anteriormente. No Wolfram ou geogebra > fui fazendo f(x)= x^x^x... com o aumento na quantidade de"x" , o gráfico > me pareceu crescente a partir de um certo momento e tendo sempre uma reta > paralela ao eixo horizontal intersectando sempre o gráfico de "f(x)" . Ou > seja, aquele fato de que x^x^x...=4 e dizer que é impossível me causou > estranheza. Desculpem se estou cometendo erros conceituais, mas de qualquer > forma agradeço a atenção de todos. > > Pacini > > Em qua., 1 de nov. de 2023 às 16:17, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Dando um Google em x^x^x, eu achei sites que NADA tinham a ver com este >> problema... >> Mas procurando um pouco mais, achei a afirmação (sem demonstração) de que >> a sequência converge para e^(-e) <= x <= e^(1/e). >> Explorando numericamente, me convenci de que isso está (provavelmente) >> correto. >> Ou seja, dado x naquele intervalo, existe L tal que x^L = L >> Em particular, L = 1/e ==> (e^(-e))^(1/e) = 1/e, e L = e ==> >> (e^(1/e))^e = e. >> Ou seja, minha conjectura é: a função f é crescente, tem domínio >> [e^(-e),e^(1/e)] e imagem [1/e,e]. >> >> []s, >> Claudio. >> >> On Wed, Nov 1, 2023 at 1:21 PM Claudio Buffara >> wrote: >> >>> A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por: >>> a(0) = x e a(n+1) = x^a(n) >>> e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual >>> limite. >>> >>> Se a(n) convergir para L, então x^L = L. >>> >>> Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2). >>> >>> Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2), >>> a sequência parece convergir para 2. >>> >>> O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo >>> I de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) = >>> limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x. >>> Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I, >>> f(raiz(2)) = 2, e 4 não pertence a f(I). >>> >>> O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I). Vamos ver... >>> >>> Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L). >>> Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e), >>> para L = e. >>> ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2 >>> = 0 para L = e ) >>> Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e). >>> Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e. >>> Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à >>> imagem de f. >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> >>> On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores >>> wrote: >>> Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis para "k", enquanto há apenas um valor para "x". A minha pergunta : Estou errando em algo ? Pacini -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
Oi Claudio, mas sabe, o que mais me incomoda é o fato de que em lnx = lnL/L, se tomarmos a função g(L) = lnL/L , teremos 0< g(L) <= 1/e. Para um único valor de "x" temos dois valores para L e, daí reforçando ( não sei se estou bobeando em algo) a ideia de que na hipótese de existir lim a(n+1) = lim a(n) = L ,e se tomarmos L=15 por exemplo , teremos um único "x" no intervalo em que colocastes anteriormente. No Wolfram ou geogebra fui fazendo f(x)= x^x^x... com o aumento na quantidade de"x" , o gráfico me pareceu crescente a partir de um certo momento e tendo sempre uma reta paralela ao eixo horizontal intersectando sempre o gráfico de "f(x)" . Ou seja, aquele fato de que x^x^x...=4 e dizer que é impossível me causou estranheza. Desculpem se estou cometendo erros conceituais, mas de qualquer forma agradeço a atenção de todos. Pacini Em qua., 1 de nov. de 2023 às 16:17, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Dando um Google em x^x^x, eu achei sites que NADA tinham a ver com este > problema... > Mas procurando um pouco mais, achei a afirmação (sem demonstração) de que > a sequência converge para e^(-e) <= x <= e^(1/e). > Explorando numericamente, me convenci de que isso está (provavelmente) > correto. > Ou seja, dado x naquele intervalo, existe L tal que x^L = L > Em particular, L = 1/e ==> (e^(-e))^(1/e) = 1/e, e L = e ==> (e^(1/e))^e > = e. > Ou seja, minha conjectura é: a função f é crescente, tem domínio > [e^(-e),e^(1/e)] e imagem [1/e,e]. > > []s, > Claudio. > > On Wed, Nov 1, 2023 at 1:21 PM Claudio Buffara > wrote: > >> A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por: >> a(0) = x e a(n+1) = x^a(n) >> e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual >> limite. >> >> Se a(n) convergir para L, então x^L = L. >> >> Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2). >> >> Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2), >> a sequência parece convergir para 2. >> >> O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo I >> de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) = >> limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x. >> Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I, f(raiz(2)) >> = 2, e 4 não pertence a f(I). >> >> O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I). Vamos ver... >> >> Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L). >> Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e), >> para L = e. >> ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2 >> = 0 para L = e ) >> Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e). >> Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e. >> Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à >> imagem de f. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> >> On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores >> wrote: >> >>> Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas >>> equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma >>> resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é >>> possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver >>> errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a >>> igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis >>> para "k", enquanto há apenas um valor para "x". >>> >>> A minha pergunta : Estou errando em algo ? >>> >>> Pacini >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
Dando um Google em x^x^x, eu achei sites que NADA tinham a ver com este problema... Mas procurando um pouco mais, achei a afirmação (sem demonstração) de que a sequência converge para e^(-e) <= x <= e^(1/e). Explorando numericamente, me convenci de que isso está (provavelmente) correto. Ou seja, dado x naquele intervalo, existe L tal que x^L = L Em particular, L = 1/e ==> (e^(-e))^(1/e) = 1/e, e L = e ==> (e^(1/e))^e = e. Ou seja, minha conjectura é: a função f é crescente, tem domínio [e^(-e),e^(1/e)] e imagem [1/e,e]. []s, Claudio. On Wed, Nov 1, 2023 at 1:21 PM Claudio Buffara wrote: > A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por: > a(0) = x e a(n+1) = x^a(n) > e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual > limite. > > Se a(n) convergir para L, então x^L = L. > > Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2). > > Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2), a > sequência parece convergir para 2. > > O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo I > de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) = > limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x. > Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I, f(raiz(2)) > = 2, e 4 não pertence a f(I). > > O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I). Vamos ver... > > Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L). > Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e), > para L = e. > ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2 = > 0 para L = e ) > Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e). > Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e. > Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à > imagem de f. > > []s, > Claudio. > > > > On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores wrote: > >> Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas >> equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma >> resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é >> possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver >> errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a >> igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis >> para "k", enquanto há apenas um valor para "x". >> >> A minha pergunta : Estou errando em algo ? >> >> Pacini >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
Ok Marcelo, ciente. Abraços Em qua., 1 de nov. de 2023 às 15:46, Marcelo Gonda Stangler < marcelo.gonda.stang...@gmail.com> escreveu: > Note, que o engano está, no caso de encontrar o valor quando L=4, em pular > de 'se há convergência, x=raiz(2)' para 'x=raiz(2) equivale à convergência' > > Abs > > Em qua, 1 de nov de 2023 08:47, Pacini Bores > escreveu: > >> Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas >> equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma >> resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é >> possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver >> errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a >> igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis >> para "k", enquanto há apenas um valor para "x". >> >> A minha pergunta : Estou errando em algo ? >> >> Pacini >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
Note, que o engano está, no caso de encontrar o valor quando L=4, em pular de 'se há convergência, x=raiz(2)' para 'x=raiz(2) equivale à convergência' Abs Em qua, 1 de nov de 2023 08:47, Pacini Bores escreveu: > Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas > equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma > resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é > possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver > errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a > igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis > para "k", enquanto há apenas um valor para "x". > > A minha pergunta : Estou errando em algo ? > > Pacini > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
Oi Claudio, obrigado pelo esclarecimento. O que eu vejo sempre é alguns dando simplesmente a resposta que para L=4 o problema se torna impossível, e na verdade necessita de uma análise de como você bem colocou. Abraços Pacini Em qua., 1 de nov. de 2023 às 13:34, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por: > a(0) = x e a(n+1) = x^a(n) > e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual > limite. > > Se a(n) convergir para L, então x^L = L. > > Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2). > > Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2), a > sequência parece convergir para 2. > > O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo I > de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) = > limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x. > Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I, f(raiz(2)) > = 2, e 4 não pertence a f(I). > > O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I). Vamos ver... > > Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L). > Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e), > para L = e. > ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2 = > 0 para L = e ) > Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e). > Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e. > Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à > imagem de f. > > []s, > Claudio. > > > > On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores wrote: > >> Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas >> equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma >> resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é >> possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver >> errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a >> igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis >> para "k", enquanto há apenas um valor para "x". >> >> A minha pergunta : Estou errando em algo ? >> >> Pacini >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
A ideia me parece ser definir a sequência (a(n)) por: a(0) = x e a(n+1) = x^a(n) e daí ver para que valores de x ela converge e, se convergir, para qual limite. Se a(n) convergir para L, então x^L = L. Com L = 2 e L = 4, x^L = L implica que x = raiz(2). Explorando numericamente com uma planilha, eu noto que para x = raiz(2), a sequência parece convergir para 2. O problema pode ser reformulado como sendo o de obter o maior intervalo I de R para o qual é possível definir uma função f:I -> R tal que f(x) = limite da sequência (a(n)) acima com valor inicial a(0) = x. Daí, a análise informal acima sugere que raiz(2) pertence a I, f(raiz(2)) = 2, e 4 não pertence a f(I). O que você está dizendo é que e^(1/e) = sup(I). Vamos ver... Se f(x) = L, então x^L = L ==> x = L^(1/L). Agora, a função g(L) = L^(1/L) atinge seu valor máximo, igual a e^(1/e), para L = e. ( g(L) = e^log(L^(1/L)) = e^(log(L)/L) ==> g'(L) = g(L)*(1 - log(L))/L^2 = 0 para L = e ) Assim, se f(x) está definida, deve ser x <= e^(1/e). Além disso, numericamente parece plausível que f(e^(1/e)) = e. Se este for o caso, então, dado que e < 4, realmente 4 não pertence à imagem de f. []s, Claudio. On Wed, Nov 1, 2023 at 8:47 AM Pacini Bores wrote: > Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas > equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma > resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é > possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver > errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a > igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis > para "k", enquanto há apenas um valor para "x". > > A minha pergunta : Estou errando em algo ? > > Pacini > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] x^x^x^x....=2 e x^x^x...=4
Olá pessoal, gostaria da opinão de vocês com relação a essas duas equações, em que ambas , é claro garantindo a convergência, temos a mesma resposta para "x". O que muitos falam que a segunda igualdade não é possível. O que me intriga é que é possível mostrar( se não estiver errado), é que o "x" é que varia entre "0" e " e^(1/e)" para que a igualdade x^x^x..=k(k>0) e não o "k". Ou seja, há dois valores possíveis para "k", enquanto há apenas um valor para "x". A minha pergunta : Estou errando em algo ? Pacini -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação
Obrigado, Marcelo, abs! Em qua., 25 de out. de 2023 00:24, Marcelo Gonda Stangler < marcelo.gonda.stang...@gmail.com> escreveu: > Este problema, com um pouco de uso de substituição pode ser mostrado como > análogo a isolar em x: k=x-e^(-1/x+1) > Tu precisas limitar o "quanto" estás disposto a fatorar, pois poderiamos > isolar x deixando-o em função de f(x) tal que f(x)-e^(-1/f(x)+1)=k. Mas > suspeito que não é isto que queres. > Se estamos falando de isolar algebricamente x, podemos notar alguns pontos: > Exp(x) para valores não triviais causa transformações relativas a x na > base minimal que contém x de extensão sobre A, o corpo dos algébricos. > Se k é algébrico não nulo, x deve ser transcedental, visto que e é > transcedental e (-1/x+1) pertence ao corpo dos A[x], assim x ser algebráico > seria um absurdo. > Se x é algébrico, à exceção de 1, raiz de -1/x+1, k será transcedental > uma vez que e o é. > Assim, à exceção do caso (k,x)=(0,1), não haverá soluções em que x e k são > algebráicos. Então, ao isolar o x, obteriamos algo em relação a "e" ou "ln". > Como k=x-e^(-1/x+1), a base minimal de extensão que contém k é a união > desta base de x, e da base transformada de x por Exp(). > Assim, a base minimal de x teria que ser a união da base de k e da base > transformada de k por Exp() (1) ou Ln() (2). > (1) implica que ambos são algébricos e (k,x)=(0,1) > (2) implica que BM(x) = BM(k) U BM(Ln(k)) = BM(x) U BM(Exp(x)) U > BM(Ln(k)), também implica (k,x)=(0,1) > > Dessa forma provamos que é impossível 'isolar' o x em função de k. > > Em ter, 24 de out de 2023 21:15, Daniel Jelin > escreveu: > >> Caros, olá. Tenho a seguinte equação: 1/ln(x) - 1/(x-1) = k, com x e k >> reais. Quero isolar o x, mas não consigo. Pergunto: alguém tem alguma dica? >> E pergunto tb: é possível que simplesmente não haja meios de isolar o x? >> Nesse caso, como se prova isso? abs. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] equação
Este problema, com um pouco de uso de substituição pode ser mostrado como análogo a isolar em x: k=x-e^(-1/x+1) Tu precisas limitar o "quanto" estás disposto a fatorar, pois poderiamos isolar x deixando-o em função de f(x) tal que f(x)-e^(-1/f(x)+1)=k. Mas suspeito que não é isto que queres. Se estamos falando de isolar algebricamente x, podemos notar alguns pontos: Exp(x) para valores não triviais causa transformações relativas a x na base minimal que contém x de extensão sobre A, o corpo dos algébricos. Se k é algébrico não nulo, x deve ser transcedental, visto que e é transcedental e (-1/x+1) pertence ao corpo dos A[x], assim x ser algebráico seria um absurdo. Se x é algébrico, à exceção de 1, raiz de -1/x+1, k será transcedental uma vez que e o é. Assim, à exceção do caso (k,x)=(0,1), não haverá soluções em que x e k são algebráicos. Então, ao isolar o x, obteriamos algo em relação a "e" ou "ln". Como k=x-e^(-1/x+1), a base minimal de extensão que contém k é a união desta base de x, e da base transformada de x por Exp(). Assim, a base minimal de x teria que ser a união da base de k e da base transformada de k por Exp() (1) ou Ln() (2). (1) implica que ambos são algébricos e (k,x)=(0,1) (2) implica que BM(x) = BM(k) U BM(Ln(k)) = BM(x) U BM(Exp(x)) U BM(Ln(k)), também implica (k,x)=(0,1) Dessa forma provamos que é impossível 'isolar' o x em função de k. Em ter, 24 de out de 2023 21:15, Daniel Jelin escreveu: > Caros, olá. Tenho a seguinte equação: 1/ln(x) - 1/(x-1) = k, com x e k > reais. Quero isolar o x, mas não consigo. Pergunto: alguém tem alguma dica? > E pergunto tb: é possível que simplesmente não haja meios de isolar o x? > Nesse caso, como se prova isso? abs. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] equação
Caros, olá. Tenho a seguinte equação: 1/ln(x) - 1/(x-1) = k, com x e k reais. Quero isolar o x, mas não consigo. Pergunto: alguém tem alguma dica? E pergunto tb: é possível que simplesmente não haja meios de isolar o x? Nesse caso, como se prova isso? abs. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Em qua, 4 de out de 2023 15:49, carlos h Souza escreveu: > Boa tarde, > > Para fins didáticos é mais fácil encontrar os números primos em forma de > fatoração numérica ou usar o Crivo de Eratóstenes ? > Fatoração, de longe. Os primos são definidos precisamente como "os infatoráveis". Já o crivo de Eratóstenes é um algoritmo de classificação em massa. Pensa da seguinte forma: para verificar se um número N é primo, o que é mais natural: - tentar dividir em k partes iguais, para todos os k pequenos; - escrever todos os números de 1 a N num papel e ir furando o papel de acordo com uma regra mágica? > Obrigados a todos. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Fatoração, com certeza. Por exemplo, diga pra garotada analisar os números de 2 a 100 e determinar quais podem ser expressos como produto de números naturais menores. Como dica, pra facilitar o trabalho, diga pra eles consultarem a tabuada (e também pra observarem que, na tabuada, nem todos os números aparecem como resultado de alguma multiplicação). Acho que essa é uma boa motivação pra definição de número primo. As dificuldades encontradas por eles nesta tarefa podem motivar a busca de uma forma sistemática (um algoritmo) pra determinar os números primos na sequência de números naturais. Esse seria o crivo de Eratóstenes, cuja descoberta poderia ser guiada por perguntas e dicas pertinentes. Outra forma de motivar a definição de primo é representar o natural N (N = 1, 2, 3, ...) por N bolinhas, que devem ser dispostas num arranjo retangular com 2 ou mais linhas (ou colunas). Para alguns valores de N, isso será impossível. Estes são os números primos. Numa digressão, faça a garotada determinar pra quais N as bolinhas podem ser particionadas em pares (conjuntos com 2 elementos)... daí o nome. Há vários probleminhas interessantes que podem ser resolvidos com esta representação dos números - o do jovem Gauss, por exemplo, ou o da soma dos ímpares consecutivos, ou determinar pra quais N o arranjo pode ter o mesmo número de linhas e de colunas. []s, Claudio. On Wed, Oct 4, 2023 at 3:49 PM carlos h Souza wrote: > Boa tarde, > > Para fins didáticos é mais fácil encontrar os números primos em forma de > fatoração numérica ou usar o Crivo de Eratóstenes ? > > Obrigados a todos. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Números primos
Boa tarde, Para fins didáticos é mais fácil encontrar os números primos em forma de fatoração numérica ou usar o Crivo de Eratóstenes ? Obrigados a todos. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] f(f(x))=e^(-x)
Minhas mensagens não chegam quando faço reply. Tenho sempre que começar uma nova. Segue a que mandei ontem, agora incluindo o Gugu (parece que é assim que ele gosta de ser chamado). %% Saudações, Obrigado aos que responderam. É por aí, Ralph. Seu argumento é quase uma cópia do que veio no e-mail. Coloco aqui sem editá-lo. Vou encaminhar sua resposta ao correspondente (não o conheço). Obrigado novamente. Luís === Navegando pela Internet Youtube encontrei um desafio atinente à composição de FRVR .A F função seguinte: (FoF)(X) = e^(-X) Após mostrar que a função exponencial é decrescente e^(-X) Se X(FoF)(Y) é verdadeiro! FD. Se Xhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] f(f(x))=e^(-x)
Por outro lado existem funções (necessariamente descontínuas) de R em R que
satisfazem essa equação funcional. Vou tentar
descrever uma delas.
Seja a=LambertW(1)~0,5671432904... a solução real de e^(-x)=x, como o Ralph
mencionou. Vou escrever g(x)=e^(-x).
Queremos f(f(x))=g(x). Vamos definir recursivamente g^n(x) por g^0(x)=x,
g^(n+1)(x)=g(g^n(x)). Vou usar o seguinte fato,
que deixo como exercício: para todo y real diferente de a existe um único x
em (-infinito,0] e um único n natural tais que y=g^n(x).
Definimos f(x) para x em (-infinito,-1] como f(x)=-(x+1)/x (assim f leva
(-infinito,-1] em (-1,0]), e definimos f em (-1,0] para
termos f(f(x))=g(x) se x está em (-infinito,-1], ou seja, f(y)=e^(1/(y+1))
para y em (-1,0]. A partir daí, se y=g^n(x) com n
natural e x em (-infinito,0], definimos f(y)=g^n(f(x)).Finalmente definimos
f(a)=a.
Abraços,
Gugu
On Sat, Sep 23, 2023 at 9:32 PM Ralph Costa Teixeira
wrote:
> P.S.: Existe um argumento simples para mostrar que NÃO existe *f:R->R*
> *contínua* com f(f(x))=g(x) que serve para qualquer g estritamente
> decrescente (como esta g(x)=e^(-x)). Funciona assim:
>
> i) f teria que ser bijetiva. Afinal, f(a)=f(b) implica f(f(a))=f(f(b)) e,
> daqui (g bijetiva) vem a=b.
> ii) Mas f bijetiva continua em R implica f (estritamente) monótona!
> iiia) se f (estritamente) crescente, absurdo, pois f(f(x))=g(x) seria
> crescente;
> iiib) se f (estritamente) decrescente, absurdo, pois f(f(x))=g(x) seria
> crescente de novo!
>
> Ralph.
>
> On Sat, Sep 23, 2023 at 9:03 PM Ralph Costa Teixeira
> wrote:
>
>> Tecnicamente esta f existe: você pode tomar f:{a}->{a} dada por f(a)=a
>> onde a=LambertW(1)~0,56714... (a raiz de e^(-x)=x). ;D ;D ;D
>>
>> Ou melhor dizendo: o problema fala algo sobre o domínio dessa f? Ou dela
>> ser contínua, pelo menos?
>>
>>
>> On Sat, Sep 23, 2023 at 8:25 PM Luís Lopes wrote:
>>
>>> Saudações,
>>>
>>> Existe tal f? Se sim, qual seria?
>>>
>>> Recebi um e-mail com esta pergunta, sem maiores detalhes. Pelo e-mail,
>>> tal f não existe. Problema encontrado pelo remetente no YouTube.
>>>
>>> LuÃs
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> =
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] f(f(x))=e^(-x)
P.S.: Existe um argumento simples para mostrar que NÃO existe *f:R->R*
*contínua* com f(f(x))=g(x) que serve para qualquer g estritamente
decrescente (como esta g(x)=e^(-x)). Funciona assim:
i) f teria que ser bijetiva. Afinal, f(a)=f(b) implica f(f(a))=f(f(b)) e,
daqui (g bijetiva) vem a=b.
ii) Mas f bijetiva continua em R implica f (estritamente) monótona!
iiia) se f (estritamente) crescente, absurdo, pois f(f(x))=g(x) seria
crescente;
iiib) se f (estritamente) decrescente, absurdo, pois f(f(x))=g(x) seria
crescente de novo!
Ralph.
On Sat, Sep 23, 2023 at 9:03 PM Ralph Costa Teixeira
wrote:
> Tecnicamente esta f existe: você pode tomar f:{a}->{a} dada por f(a)=a
> onde a=LambertW(1)~0,56714... (a raiz de e^(-x)=x). ;D ;D ;D
>
> Ou melhor dizendo: o problema fala algo sobre o domínio dessa f? Ou dela
> ser contínua, pelo menos?
>
>
> On Sat, Sep 23, 2023 at 8:25 PM Luís Lopes wrote:
>
>> Saudações,
>>
>> Existe tal f? Se sim, qual seria?
>>
>> Recebi um e-mail com esta pergunta, sem maiores detalhes. Pelo e-mail,
>> tal f não existe. Problema encontrado pelo remetente no YouTube.
>>
>> LuÃs
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] f(f(x))=e^(-x)
Tecnicamente esta f existe: você pode tomar f:{a}->{a} dada por f(a)=a onde
a=LambertW(1)~0,56714... (a raiz de e^(-x)=x). ;D ;D ;D
Ou melhor dizendo: o problema fala algo sobre o domínio dessa f? Ou dela
ser contínua, pelo menos?
On Sat, Sep 23, 2023 at 8:25 PM Luís Lopes wrote:
> Saudações,
>
> Existe tal f? Se sim, qual seria?
>
> Recebi um e-mail com esta pergunta, sem maiores detalhes. Pelo e-mail, tal
> f não existe. Problema encontrado pelo remetente no YouTube.
>
> LuÃs
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] f(f(x))=e^(-x)
Se f(x) puder ser constante, a aproximação de ~10^(-8) de diferença é 0.567143290 Em sáb., 23 de set. de 2023 20:25, Luís Lopes escreveu: > Saudações, > > Existe tal f? Se sim, qual seria? > > Recebi um e-mail com esta pergunta, sem maiores detalhes. Pelo e-mail, tal > f não existe. Problema encontrado pelo remetente no YouTube. > > LuÃs > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] f(f(x))=e^(-x)
Saudações, Existe tal f? Se sim, qual seria? Recebi um e-mail com esta pergunta, sem maiores detalhes. Pelo e-mail, tal f não existe. Problema encontrado pelo remetente no YouTube. Luís -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos
Boa tarde!
Vou considerar 3 números mesmo.
3, 3, 3 é um número só repetido três vezes.
Os três números obrigatoriamente estarão em P.A. Então usando a menor razão
r <>0;
temos r=1
{1,2,3} {2,3,4}...{2020, 2021, 2022}
{2021, 2022, 2023} temos 2021 conjuntos para r=1.
É fácil observar que para r=2 o último
conjunto será {2019, 2021, 2023} assim sendo teremos 2019 conjuntos.
E a cada unidade que aumentamos em r diminuímos em 2 o número de conjuntos
Até que chegaremos a um conjunto apenas. {1, 1012, 2023}
Logo o número de conjuntos N será a soma de:
N= 1 + 3 +5+..2019+2021, que é uma PA de razão 2.
seja n o número de termos da PA
n=(2021-1)/2+1=1011
N=(1+2021)*1011/2=1.022.121
Cordialmente,
PJMS
Em ter., 8 de ago. de 2023 19:53, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
> mande uma vez somente.
>
> Em ter, 8 de ago de 2023 12:33, Jamil Silva
> escreveu:
>
>> Quantos conjuntos de três números inteiros positivos menores ou iguais a
>> 2023 contêm a média aritmética de seus elementos ?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Comunicação
Data: 25/08/2023 De: Priscila Santana Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Comunicação Olá! Existe algum grupo de discussão de questões olímpicas no WhatsApp? Atte. Priscila S. da Paz Sauda,c~oes, O Renato Madeira administra um. Ele pede somente que quem pedir para se inscrever que se identifique cono membro desta lista. Renato Madeira WhatsApp: 55 21 99889 1516 Luís Lopes -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Comunicação
Sauda,c~oes, O Renato Madeira administra um. Ele pede somente que quem pedir para se inscrever que se identifique cono membro desta lista. Renato Madeira WhatsApp: 55 21 99889 1516 Lus Lopes Data: 25/08/2023 De: Priscila Santana priscila@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Comunicao Ol! Existe algum grupo de discusso de questes olmpicas no WhatsApp? Atte. Priscila S. da Paz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Comunicação
https://t.me/+jz8XW7bgRqNlOTg5 Criei esse grupo no telegram. A principal vantagem do Telegram em relação ao Whatsapp é que quem entra pode ter acesso a todas as mensagens e arquivos anteriores. A quantidade de membros que podem entrar é de 200.000. Tô pensando aqui em umas regras também, tais como proibição de pirataria, spam e algumas coisas a mais que podemos discutir lá. Melhor que isso, só se alguém fizesse um fórum e fosse possível escrever em latex lá. Tem o AOPS ok, mas nada nosso mesmo. Fiquem à vontade para entrar. Se o link expirar, podem me solicitar outro por aqui. Att. *Prof. Tiago Sandino* *85 999134896* Em seg., 28 de ago. de 2023 02:02, Rogerio Ponce escreveu: > Ola pessoal! > > Nesta lista, da qual participamos, qualquer um (mesmo que não esteja > inscrito na lista) pode acessar os arquivos, fazer pesquisas e ler > todos os problemas e suas solucoes. > > No whatsapp, isto seria impossivel, a menos que o individuo ja > estivesse participando desde o inicio. > > []'s > Rogerio Ponce > > On Sat, Aug 26, 2023 at 1:36 PM Esdras Muniz > wrote: > > > > Seria muito legal se existisse. > > > > Em sex, 25 de ago de 2023 18:24, Priscila Santana < > priscila@hotmail.com> escreveu: > >> > >> > >> Olá! > >> > >> Existe algum grupo de discussão de questões olímpicas no WhatsApp? > >> > >> Atte. > >> > >> Priscila S. da Paz > >> > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Comunicação
Ola pessoal! Nesta lista, da qual participamos, qualquer um (mesmo que não esteja inscrito na lista) pode acessar os arquivos, fazer pesquisas e ler todos os problemas e suas solucoes. No whatsapp, isto seria impossivel, a menos que o individuo ja estivesse participando desde o inicio. []'s Rogerio Ponce On Sat, Aug 26, 2023 at 1:36 PM Esdras Muniz wrote: > > Seria muito legal se existisse. > > Em sex, 25 de ago de 2023 18:24, Priscila Santana > escreveu: >> >> >> Olá! >> >> Existe algum grupo de discussão de questões olímpicas no WhatsApp? >> >> Atte. >> >> Priscila S. da Paz >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Comunicação
https://chat.whatsapp.com/CNGgk3NcgwY4AFsB61COXB Quem sabe? On Sat, Aug 26, 2023 at 1:36 PM Esdras Muniz wrote: > Seria muito legal se existisse. > > Em sex, 25 de ago de 2023 18:24, Priscila Santana < > priscila@hotmail.com> escreveu: > >> >> Olá! >> >> Existe algum grupo de discussão de questões olímpicas no WhatsApp? >> >> Atte. >> >> *Priscila S. da Paz* >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Comunicação
Seria muito legal se existisse. Em sex, 25 de ago de 2023 18:24, Priscila Santana escreveu: > > Olá! > > Existe algum grupo de discussão de questões olímpicas no WhatsApp? > > Atte. > > *Priscila S. da Paz* > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Comunicação
Olá! Existe algum grupo de discussão de questões olímpicas no WhatsApp? Atte. Priscila S. da Paz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: teoria dos números
Muito obrigado! Em qui., 10 de ago. de 2023 22:27, Ian Barquette < ianbarquettelou...@gmail.com> escreveu: > Se a função já está definida, e você quer apenas pontuar os limites dela, > seria o conceito de imagem da função: > > Im(f) = (0, 1) = ]0, 1[ > > > > Caso a função não esteja definida, a restrição seria o contradomínio da > função: > > CD(f) = (0, 1) = ]0, 1[ > > Ao definir a função, considerando C um conjunto qualquer, > > f: C -> (0, 1) > > Em qui., 10 de ago. de 2023 20:11, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > >> Como faço para definir em notação de conjuntos uma função com a >> restrição, tipo 0> Seria (0,1]x(0,1]? >> >> Em qui., 10 de ago. de 2023 às 20:15, Israel Meireles Chrisostomo < >> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: >> >>> Como faço para definir em notação de conjuntos uma função com a >>> restrição, tipo f(x)<1 >>> Seria (0,1]x(0,1]? >>> >>> -- >>> Israel Meireles Chrisostomo >>> >> >> >> -- >> Israel Meireles Chrisostomo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: teoria dos números
Se a função já está definida, e você quer apenas pontuar os limites dela, seria o conceito de imagem da função: Im(f) = (0, 1) = ]0, 1[ Caso a função não esteja definida, a restrição seria o contradomínio da função: CD(f) = (0, 1) = ]0, 1[ Ao definir a função, considerando C um conjunto qualquer, f: C -> (0, 1) Em qui., 10 de ago. de 2023 20:11, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Como faço para definir em notação de conjuntos uma função com a restrição, > tipo 0 Seria (0,1]x(0,1]? > > Em qui., 10 de ago. de 2023 às 20:15, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > >> Como faço para definir em notação de conjuntos uma função com a >> restrição, tipo f(x)<1 >> Seria (0,1]x(0,1]? >> >> -- >> Israel Meireles Chrisostomo >> > > > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: teoria dos números
Como faço para definir em notação de conjuntos uma função com a restrição, tipo 0 escreveu: > Como faço para definir em notação de conjuntos uma função com a restrição, > tipo f(x)<1 > Seria (0,1]x(0,1]? > > -- > Israel Meireles Chrisostomo > -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] teoria dos números
Como faço para definir em notação de conjuntos uma função com a restrição, tipo f(x)<1 Seria (0,1]x(0,1]? -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Conjuntos
mande uma vez somente. Em ter, 8 de ago de 2023 12:33, Jamil Silva escreveu: > Quantos conjuntos de três números inteiros positivos menores ou iguais a > 2023 contêm a média aritmética de seus elementos ? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Contagem
Em ter, 8 de ago de 2023 19:11, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > > > Em ter, 8 de ago de 2023 13:01, Jamil Silva escreveu: > >> Quantos conjuntos de três números inteiros positivos menores ou iguais a >> 2023 contêm a média aritmética de seus elementos ? >> > > Bem, a ideia é escolher dois números diferentes e com a mesma paridade, > pois eles determinarão a média - a qual será inteira e estará entre eles. > > Temos 1011 pares e 1012 ímpares, o que nos dá C(1011,2)+C(1012,2) = 1012^2. > Aqui errei a contagem, deveria ser 1011^2 > Agora tô curioso, como demonstrar que o resultado para 2n-1 é n^2 com > bijeção? > 2N+1, no caso aqui, dá N^2 Como associar trincas de PAs com casas de um tabuleiro de xadrez nXn? > > Talvez não seja algo muito bonito, porque para 2n o resultado é n^2-n. > Para 2N dá N^2-N, aqui tá certo. >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Contagem
Em ter, 8 de ago de 2023 13:01, Jamil Silva escreveu: > Quantos conjuntos de três números inteiros positivos menores ou iguais a > 2023 contêm a média aritmética de seus elementos ? > Bem, a ideia é escolher dois números diferentes e com a mesma paridade, pois eles determinarão a média - a qual será inteira e estará entre eles. Temos 1011 pares e 1012 ímpares, o que nos dá C(1011,2)+C(1012,2) = 1012^2. Agora tô curioso, como demonstrar que o resultado para 2n-1 é n^2 com bijeção? Como associar trincas de PAs com casas de um tabuleiro de xadrez nXn? Talvez não seja algo muito bonito, porque para 2n o resultado é n^2-n. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Contagem
O que vc quer é o número de PAs de 3 termos distintos contidas em
{1,2,3,...,2023}.
Daí dá pra enumerar na mão e achar o padrão:
(1,2,3), (2,3,4), ..., (2021,2022,2023) ==> 2021 PAs de razão 1
(1,3,5), (2,4,6), ..., (2019,2021,2023) ==> 2019 PAs de razão 2
(1,4,7), (2,6,8), ..., (2017,2020,2023) ==> 2017 PAs de razão 3
...
(1,1011,2021), (2,1012,2022), (3,2023,2023) ==> 3 PAs de razão 1010
(1,1012,2023) ==> 1 PA de razão 1011.
Total = 1+3+5+...+2017+2019+2021 = 1011^2 = 1022121 PAs.
On Tue, Aug 8, 2023 at 1:02 PM Jamil Silva wrote:
> Quantos conjuntos de três números inteiros positivos menores ou iguais a
> 2023 contêm a média aritmética de seus elementos ?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Contagem
Quantos conjuntos de três números inteiros positivos menores ou iguais a 2023 contêm a média aritmética de seus elementos ? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Contagem
Quantos conjuntos de três números inteiros positivos menores ou iguais a 2023 contêm a média aritmética de seus elementos ? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Conjuntos
Quantos conjuntos de três números inteiros positivos menores ou iguais a 2023 contêm a média aritmética de seus elementos ? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Mestrado ligado ao Rubik's Cube
Boa tarde, Matemáticos. Sou Maikel Marcelino, 32 anos. Me tornei servidor público no meio da graduação, o que acabou resultando em não ter um projeto de pesquisa. A Álgebra Abstrata sempre foi umas das cadeiras mais difíceis por contar demonstrações. Atualmente, estou, aos poucos, sabendo demonstrar pequenas coisas. Alguém poderia me sugerir alguma linha de pesquisa com o Rubik's Cube (Cubo Mágico) para eu pesquisar e criar uma linha de pesquisa? Eu nunca iniciei nenhuma linha de pesquisa. Maikel Andril Marcelino IFRN/SPP - Biblioteca (84) 98851-3451 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Sugestão para alunos do 6° ano
Acho que os livros da SBM são muito bons para quem está começando: Primeiros passos em Geometria Primeiros passos em Combinatória, Aritmética e Álgebra Problemas Olímpicos de Matemática para o Nível 1 On Fri, Jun 30, 2023 at 10:12 PM Marcelo Salhab Brogliato < msbro...@gmail.com> wrote: > Pessoal, tenho uma prima que está no 6° ano e adora matemática. Acabei de > ensinar algumas brincadeiras de adivinhar o número usando álgebra básica e > ela adorou! > > Alguém tem alguma recomendação de livros que possam incentivá-la ainda > mais com matemática? > > Eu pensei no Círculos Matemáticos A Experiência Russa, mas não me parece > ser adequado para a idade dela. Já comprei o conjunto de Matemática > Elementar do Iezzi mas ainda não é a hora. > > Abraços, > Salhab > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Sugestão para alunos do 6° ano
Pessoal, tenho uma prima que está no 6° ano e adora matemática. Acabei de ensinar algumas brincadeiras de adivinhar o número usando álgebra básica e ela adorou! Alguém tem alguma recomendação de livros que possam incentivá-la ainda mais com matemática? Eu pensei no Círculos Matemáticos A Experiência Russa, mas não me parece ser adequado para a idade dela. Já comprei o conjunto de Matemática Elementar do Iezzi mas ainda não é a hora. Abraços, Salhab -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] OBM 2022 Problema
problema 6 obm 2022 nivel 2
On Tue, Jun 13, 2023, 14:49 Anderson Torres
wrote:
> De onde é esse problema?
>
> Em ter, 13 de jun de 2023 07:50, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Determine o maior inteiro positivo k para o qual a afirmação é
>> verdadeira: Dados k subconjuntos distintos do conjunto {1, 2, 3, ...,
>> 2023}, cada um com 1011 elementos, é possível particionar os subconjuntos
>> em duas coleções em a forma que quaisquer dois subconjuntos na mesma
>> coleção têm algum elemento em comum.
>>
>>
>>
>> Abraço do Douglas Oliveira.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] OBM 2022 Problema
De onde é esse problema?
Em ter, 13 de jun de 2023 07:50, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
> Determine o maior inteiro positivo k para o qual a afirmação é verdadeira:
> Dados k subconjuntos distintos do conjunto {1, 2, 3, ..., 2023}, cada um
> com 1011 elementos, é possível particionar os subconjuntos em duas coleções
> em a forma que quaisquer dois subconjuntos na mesma coleção têm algum
> elemento em comum.
>
>
>
> Abraço do Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] OBM 2022 Problema
Determine o maior inteiro positivo k para o qual a afirmação é verdadeira:
Dados k subconjuntos distintos do conjunto {1, 2, 3, ..., 2023}, cada um
com 1011 elementos, é possível particionar os subconjuntos em duas coleções
em a forma que quaisquer dois subconjuntos na mesma coleção têm algum
elemento em comum.
Abraço do Douglas Oliveira.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Diferencial de ordem superior
Obrigado Anderson. A minha dúvida surgiu pois no livro do Dacorso Neto, ele fala de dx^2 como (dx)^2.. Bob Roy Em dom., 11 de jun. de 2023 às 07:13, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > > > Em qui, 8 de jun de 2023 09:03, Bob Roy escreveu: > >> Olá pessoal, >> A notação de leibniz para f´´(x) = d^2(f) / dx^2 é apenas uma notação ? >> ou podemos isolar os numeradores? >> Vejo em alguns livros colocando dx^2 como (dx)^2.. >> > > Sim, é apenas uma notação. Uma muito bem feita, mas apenas uma notação. > > > >> Bob Roy >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Diferencial de ordem superior
Em qui, 8 de jun de 2023 09:03, Bob Roy escreveu: > Olá pessoal, > A notação de leibniz para f´´(x) = d^2(f) / dx^2 é apenas uma notação ? ou > podemos isolar os numeradores? > Vejo em alguns livros colocando dx^2 como (dx)^2.. > Sim, é apenas uma notação. Uma muito bem feita, mas apenas uma notação. > Bob Roy > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
