[obm-l] IMO Polinomio irredutivel
Sauda,c~oes, oi Johann Dirichlet,
Fiz reply e a mensagem não foi. Mando como nova msg.
Vc(s) saberia dizer o ano da IMO deste problema?
Haveria uma outra solução para este problema?
O mesmo problema x^n + 5x^{n-1} + a_0 para
o termo independente a_0 igual a 4, 5 e 6.
a) a_0=4. Redutível para n par pois 1 - 5 + 4 = 0
b) a_0=5.
c) a_0=6.
Juntamente com o problema
Mostre que se m é composto a fatoração de polinômios
mód. m não é única.
[]s
Luís
_
QUER FICAR SEMPRE EM CONTATO COM SEUS AMIGOS? ACESSE O MESSENGER PELO SEU
CELULAR.
http://celular.windowslive.com.br/messenger.asp?produto=Messengerutm_source=Live_Hotmailutm_medium=Taglineutm_content=QUERFICARS82utm_campaign=MobileServices
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Re: [obm-l] Núme ro Harmônico
Sauda,c~oes, oi Maycon, Escrevi dois livros que tratam justamente disso (função em forma de somatório e colocar em forma fechada), cujas amostras encontram-se em www.escolademestres.com/qedtexte Dá uma olhada na amostra do Manual de Seq. e Séries Vol. I. []'s Luís Date: Sun, 28 Mar 2010 00:57:17 -0300 From: mayconm...@yahoo.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número Harmônico Só um detalhe: Na segunda formula quis dizer 2^i. Estou cometendo algumas gafes com relação aos nomes, estou querendo a forma fechada, como dito. A proposta inicial é pegar uma função em forma de somatório e colocar em forma fechada. Estou lendo o capitulo 2 do livro do Knuth. Poderia me indicar uma boa bibliografia sobre a história da matemática? Obrigado, Maycon Maia Vitali Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu: 2010/3/27 Maycon Maia Vitali mayconm...@yahoo.com.br: Fala Bernardo, Oi Maycon. Obrigado pela resposta. Colocar em forma de função é semelhante a dizer: sum[i de A até B] i = [Formula de PA] sum[i de A até B] i^2 = [Formula de PG] Entendeu? Ah, você quer dizer forma fechada. Tipo, porque eu acho que \sum [n inteiro] exp(pi * i * n^2 * tau + 2*pi*i*z) é uma função. De z e tau, inclusive. Ah, acho que você quis dizer PA de segunda ordem para a segunda fórmula que você botou. Vou aproveitar e dar uma olhada no Knuth. Aproveite e dê uma olhada na definição de função. A melhor coisa seria ver num livro de história da matemática, para ver como as pessoas mudaram a forma de ver isso, até chegar na definição de hoje, que é um conjunto de pares ordenados de AxB tal que bla bla bla. Funções já foram polinômios, composições algébricas de funções conhecidas, somas de séries, ... Digamos que a única resposta exata, que eu conheça, para a série harmônica, é ela mesma, H(n). Só para perturbar: você acha que se fosse algo do tipo sin(n) + log(n) seria muito melhor ? O que é melhor ? Abraços, Maycon Maia Vitali abraços, __ Faça ligações para outros computadores com o novo Yahoo! Messenger http://br.beta.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = _ Quer transformar suas fotos em emoticons para Messenger? Conheça o I Love Messenger. http://ilm.windowslive.com.br/?ocid=ILM:ILM:Hotmail:Tagline:1x1:Tagline
RE: [obm-l] arquivo sobre conicas
Sauda,c~oes, http://majorando.com/arquivos/conicaspensi.pdf Acabei achando o link acima no meu computador mas ele aponta para outro lugar. Luis Date: Wed, 17 Mar 2010 11:26:44 -0300 Subject: Re: Re: [obm-l] arquivo sobre conicas From: jrcarped...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, Também tenho interesse na apostila de cônicas. Se vcs puderem me enviar ficaria extremamente grato! ~Carpe Diem~ Luís. 2010/3/17 qedte...@escolademestres.com Sauda,c~oes, Mandei ontem uma resposta mas parece que não chegou. Aproveito para dizer que o site majorando (não me lembrava dele) aponta para outra coisa. []'s Luís From: qed_te...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] arquivo sobre conicas Date: Tue, 16 Mar 2010 21:13:51 + Oi Sergio, Obrigado. Desta vez já salvei os arquivos dos sites que vc mandou. O material neles é mesmo bom. Mas ainda gostaria de ter a apostila de cônicas do Cohen. []'s Luis _ Navegue sem medo com o Internet Explorer 8. Clique aqui para instalar gratuitamente. http://go.microsoft.com/?linkid=9707132
RE: [obm-l] arquivo sobre conicas
Sauda,c~oes, Continuando minhas buscas no meu computador acabei achando o link http://majorando.com/arquivos/conicaspensi.pdf O qual não leva ao arquivo. No site do Pensi também não encontro. Alguém teria condições de mandar o arquivo em questão? Luis Date: Wed, 17 Mar 2010 11:26:44 -0300 Subject: Re: Re: [obm-l] arquivo sobre conicas From: jrcarped...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, Também tenho interesse na apostila de cônicas. Se vcs puderem me enviar ficaria extremamente grato! ~Carpe Diem~ Luís. 2010/3/17 qedte...@escolademestres.com Sauda,c~oes, Mandei ontem uma resposta mas parece que não chegou. Aproveito para dizer que o site majorando (não me lembrava dele) aponta para outra coisa. []'s Luís From: qed_te...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] arquivo sobre conicas Date: Tue, 16 Mar 2010 21:13:51 + Oi Sergio, Obrigado. Desta vez já salvei os arquivos dos sites que vc mandou. O material neles é mesmo bom. Mas ainda gostaria de ter a apostila de cônicas do Cohen. []'s Luis _ Não deixe rastros ao navegar na Internet. Instale Grátis o Internet Explorer 8 agora. http://go.microsoft.com/?linkid=9707132
[obm-l] arquivo sobre conicas
Sauda,c~oes, Parece que minhas mensagens não chegam fazendo reply. Tento mandar iniciando uma nova mensagem. Continuando minhas buscas no meu computador acabei achando o link http://majorando.com/arquivos/conicaspensi.pdf O qual não leva ao arquivo. No site do Pensi também não encontro. Alguém teria condições de mandar o arquivo em questão? Luis Date: Wed, 17 Mar 2010 11:26:44 -0300 Subject: Re: Re: [obm-l] arquivo sobre conicas From: jrcarped...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, Também tenho interesse na apostila de cônicas. Se vcs puderem me enviar ficaria extremamente grato! ~Carpe Diem~ Luís. 2010/3/17 qedte...@escolademestres.com Sauda,c~oes, Mandei ontem uma resposta mas parece que não chegou. Aproveito para dizer que o site majorando (não me lembrava dele) aponta para outra coisa. []'s Luís From: qed_te...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] arquivo sobre conicas Date: Tue, 16 Mar 2010 21:13:51 + Oi Sergio, Obrigado. Desta vez já salvei os arquivos dos sites que vc mandou. O material neles é mesmo bom. Mas ainda gostaria de ter a apostila de cônicas do Cohen. []'s Luis _ Não deixe rastros ao navegar na Internet. Instale Grátis o Internet Explorer 8 agora. http://go.microsoft.com/?linkid=9707132
[obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas
Sauda,c~oes, Desculpem pelo envio de mensagens mais ou menos repetidas. Vamos ver se esta chega com uma resposta somente. Fiz o sistema (a_2/q)/(1-q^2) = 8 e (a_2q^2)/(1-q^4) = 4/5. Resolvendo encontro 10q^3 = 1 + q^2 E parei aqui. q = ? []'s Luis Date: Wed, 17 Mar 2010 10:51:55 -0700 From: paulobarc...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] Dúvidas To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi Pessoal. Peço uma orientação para resolver os seguintes problemas: 1)Dada uma PG infinita com razão entre 0 e 1 do tipo a_1 , a_2..a_n... Tiram-se dela as PG's igualmente infinitas: a) a_1, a_3,a_6a_3n. cuja soma é 8. b) a_4, a_8, a_12.a_4n cuja soma é quatro quintos. Determine a soma da PG original. Neste problema acho uma razão maior do que 1. Acho que na primeira PG o termo a_1 não deveria figurar, por favor me digam se estou com a razão. 2) Um número inteiro positivo k possui 4 algarismos.Subtraindo-se dele o número 6633 o obtem-se um número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de k.E mais a diferença entre o algarismo das unidades de milhar e do das unidades simples é igual a 7.Quantos númros inteiros positivos k existem com essas caracteristicas? Desde já agradeço a atenção Grato Paulobarclay Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes _ Navegue sem medo com o Internet Explorer 8. Clique aqui para instalar gratuitamente. http://go.microsoft.com/?linkid=9707132
[obm-l] arquivo sobre conicas
Sauda,c~oes, Há algum tempo alguém (o Marcio Cohen?) mandou um link pra lista disponibilizando o download de um arquivo cujo conteúdo abordava as cônicas. Alguém tem este arquivo? Poderia mandá-lo pra mim? Obrigado. []'s Luís _ Não deixe rastros ao navegar na Internet. Instale Grátis o Internet Explorer 8 agora. http://go.microsoft.com/?linkid=9707132
[obm-l] RE: [obm-l] questão de números complexos
Sauda,c~oes, Oi Alexandre, Este é o exercício 79 do Manual de Seq. e Séries Vol II e também resolvi desta maneira. Gostaria também de conhecer outra solução. Mas nada contra a utilizada. []'s Luis Date: Sat, 21 Nov 2009 16:56:34 -0200 From: azvd...@terra.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] questão de números complexos Boa tarde a todos! Alguém conhece alguma solução para a soma Cn,1(sen x) + Cn,2 (sen 2x) + ...Cn,n(sen nx) que não seja utilizando a expressão (1 + cis x) = 2cos(x/2)cis(x/2)?? Não conseguir resolver esta questão sem partir de (1 + cisx)^n e depois utilizar a relação acima... abraços a todos e obrigado! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = _ Novo site do Windows Live: Novidades, dicas dos produtos e muito mais. Conheça! http://www.windowslive.com.br/?ocid=WindowsLive09_MSN_Hotmail_Tagline_out09
[obm-l] RE: [obm-l] RES: [ob m-l] Livros olímpic os de progressões
Sauda,c~oes, Oi Lafayette Escrevi o Manual de Progressões cujo conteúdo aborda exatamente o que você quer. Dá uma conferida na amostra em pdf em www.escolademestres.com/qedtexte Sobre o Manual de Sequência e Séries (MSS) Editora didática científica Este livro está esgotado. Ganhou uma versão muito ampliada e foi substituído pelos MSS Volumes I e II. Ver amostras no mesmo site. []'s Luís From: prof_fabioberna...@yahoo.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Livros olímpicos de progressões Date: Tue, 8 Sep 2009 21:29:00 -0300 Tenho dois que gosto muito. Não sei se são os melhores, mas são excelentes. Progressões e Matemática Financeira Coleção do Professor de Matemática – SBM Morgado, Eduardo Wagner e Sheila C. Zani Manual de Sequência e Séries Editora didática científica Luís Lopes O Professores luiz Lopes e Eduardo Wagner estão sempre presentes na lista contribuindo com soluções brilhantes. Espero ter ajudado. De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Lafayette Jota Enviada em: terça-feira, 8 de setembro de 2009 17:45 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Livros olímpicos de progressões Bom dia amigos, Gostaria de saber se alguém tem como indicar um bom livro de progressões, que trate de tópicos que geralmente ficam mais restritos a olimpíadas, para recomendar. Pretendo usá-lo como livro texto em turmas específicas, nível de 2o grau. O pré-requisito, como citado acima, é que aborde temas mais olímpicos, como P.A. de segunda ordem; P.A.G; soma de quadrados, soma de cubos etc. Se alguém da lista for o autor de um destes livros, melhor ainda, será um prazer comprar! []s Lafayette De: Lafayette Jota l...@ymail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Segunda-feira, 7 de Setembro de 2009 16:34:05 Assunto: Res: [obm-l] Desafio! Poxa, esse é difícil! Manda mais dados aí :-) De: jose silva jccardo...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 6 de Setembro de 2009 23:07:52 Assunto: [obm-l] Desafio! Novo Internet Explorer 8: faça tudo com menos cliques. Baixe agora, é gratis! Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Verificado por AVG - www.avgbrasil.com.br Versão: 8.5.375 / Banco de dados de vírus: 270.13.83/2352 - Data de Lançamento: 09/07/09 18:03:00 _ Você sabia que pode acessar o Messenger direto do seu Hotmail? Descubra como! http://www.microsoft.com/brasil/windows/windowslive/products/tutoriais.aspx
[obm-l] link para prob. olimpicos
Sauda¸c~oes, N~ao tenho recebido mensagens. A lista anda tranquila? Segue um link com problemas olìmpicos. Vietnam Team Selection Tests 2009 http://www.mathlinks.ro/resources.php?c=186cid=41year=2009 []'s Luis _ Descubra todas as novidades do novo Internet Explorer 8 http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
[obm-l] RE: [obm-l] Elipse i nscritível
Sauda,c~oes, Oi Valle, Vc quis dizer Prove que todo triângulo acutângulo possui uma elipse inscritível (tangente aos lados do triângulo), cujos focos são o ortocentro (H) e o circuncentro (O) de raio R e cujo centro é o centro do círculo de nove pontos. Teorema 1 O simétrico de H em relação a um dos lados do triângulo pertence ao círculo circunscrito Gamma=(O,R) ao triângulo. Seja H1 este ponto. Então a mediatriz de HH1 é a reta suporte deste lado. Teorema 2 Seja P um ponto qq em Gamma. Então a mediatriz de PH é tangente à elipse de focos O,H e círculo diretor (O,R). Daí a conclusão da elipse inscritível. Pergunta: e se o triângulo não for acutângulo? []'s Luís Date: Fri, 10 Jul 2009 18:40:31 -0300 Subject: [obm-l] Elipse inscritível From: marcos.vall...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal, gostaria de uma ajuda na seguinte questão: Prove que todo triângulo acutângulo possui uma elipse inscritível (tangente aos lados do triângulo), cujos focos são o ortocentro e o baricentro e cujo centro é o centro do círculo de nove pontos. A parte do círculo de 9 pontos é só embromação, pois este é conhecidamente o ponto médio do segmento HG. De qualquer forma, não consegui provar o resto (mais difícil). Obrigado! =] Valle. _ Emoticons e Winks super diferentes para o Messenger. Baixe agora, é grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
[obm-l] RE: [obm-l] recorrên cia
Sauda,c~oes, Oi Diogo, A teoria deste assunto e exemplos pode ser vista no livro de Progressões do Morgado da Coleção do Professor da SBM. Aplicações dela com muitos exercícios você pode ver no Manual de Progressões de minha autoria. www.escolademestres.com/qedtexte []'s Luís Date: Thu, 18 Jun 2009 12:40:29 -0700 From: diog...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] recorrência To: obm-l@mat.puc-rio.br Tudo bem , amigos? Estava estudando e não consegui resolver essa questão. Vocês poderiam me ajudar? S(1) = 1 S(n) = 2S(n-1) + 3 Qual a fórmula fechada, isto é, direta, dessa recorrência? Ainda: Como fazer esse tipo de questão? Existe um método prático? Agradeço a todos que ajudarem. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes _ Descubra todas as novidades do novo Internet Explorer 8 http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
RE: Enc: Re: [obm-l] resolver sistema graficamente
Sauda,c ~oes, Recebi 3 soluções. Mando duas. Não sei se a que usa o raio r é a que segue a sugestão (do livro do Virgilio). De qq jeito são muito engenhosas. []'s Luis Paul Yiu wrote: Dear Luis and Antreas, [LL]:I would like to know a graphical (without any or little algebraic manipulations) solution to the system 1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2 (*) 1/x + 1/y = 1/a (**) *** Provided a b a*sqrt(2), (i) construct two parallel lines L, L' with separation b, (ii) construct a square CADB of side a, between the two lines, with C on L and D on L', (iii) extend CA and CB to intersect L' at X and Y. Then XYC is a right triangle with CY = x, CX = y solving the system of equations. Nice construction ! I was about to answer 1/r = 1/ha + 1/hb + 1/hc as a way of introducing the 1/b + 1/c = 1/n into the triangle ABC by Luìs Lopes Then line BC would be tangent to the first circle he mentioned and also to the incircle constructed from the previous relation, as hb = c and hc=b and ha = m, so we get 1/b + 1/c + 1/m = 1/r giving 1/r = 1/n + 1/m directly constructible (with the changed notation to not confuse the given b=m with unknown side b of ABC triangle etc) Best Regards. Philippe. Date: Wed, 17 Jun 2009 19:37:55 -0300 Subject: Re: Enc: Re: [obm-l] resolver sistema graficamente From: edward.elric...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Talvez fosse mais interessante fazer a substituição u=1/x, v=1/y ver q a segunda equação como um circulo de raio 1/b^2, a a primeira equação é uma reta. A solução é a interseção da reta com o circulo 2009/6/17 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Sauda,c~oes, 1/x + 1/y = 1/a (*) 1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2 (**) a=3 cm b=3,5 cm Obrigado pelas respostas mas gostaria de ver algo na linha da sugestão dada: de (*) conclui-se que a hipotenusa de um tri. ret. cujos catetos têm comprimentos x e y passa por um ponto distante um comprimento a de seus suportes; (**) informa que b é o comprimento da altura deste tri. []'s Luís Date: Tue, 16 Jun 2009 08:21:48 -0700 From: luizfelipec...@yahoo.com.br Subject: Enc: Re: [obm-l] resolver sistema graficamente To: obm-l@mat.puc-rio.br Continuandoque é uma reta. Abs Felipe --- Em ter, 16/6/09, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu: De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Assunto: Re: [obm-l] resolver sistema graficamente Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 16 de Junho de 2009, 12:20 Ola Luis, Eleve ao quadrado a primeira equação, substitua a 2a. nesta nova equação. Aaaim, vc terá que xy = f(a,b). Reduza ao mesmo denominador a 1a. equação, e vc terá (x+y)/xy = a Substitua o 1o. resultado no segundo, e vc terá x+y = a(f(a,b)), que --- Em ter, 16/6/09, Luís Lopes qed_te...@hotmail.com escreveu: De: Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Assunto: [obm-l] resolver sistema graficamente Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 16 de Junho de 2009, 10:17 Sauda,c~oes, Como resolver graficamente o seguinte sistema: 1/x + 1/y = 1/a (*) 1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2 (**) (**) é de fácil interpretação e uso num triângulo retângulo. Não sei como usar (*). []'s Luís Quer uma internet mais segura? Baixe agora o novo Internet Explorer 8. É grátis! Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Instale o novo Internet Explorer 8 otimizado para o MSN. Download aqui _ Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
RE: Enc: Re: [obm-l] resolver sistema graficamente
Sauda,c~oes, 1/x + 1/y = 1/a (*) 1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2 (**) a=3 cm b=3,5 cm Obrigado pelas respostas mas gostaria de ver algo na linha da sugestão dada: de (*) conclui-se que a hipotenusa de um tri. ret. cujos catetos têm comprimentos x e y passa por um ponto distante um comprimento a de seus suportes; (**) informa que b é o comprimento da altura deste tri. []'s Luís Date: Tue, 16 Jun 2009 08:21:48 -0700 From: luizfelipec...@yahoo.com.br Subject: Enc: Re: [obm-l] resolver sistema graficamente To: obm-l@mat.puc-rio.br Continuandoque é uma reta. Abs Felipe --- Em ter, 16/6/09, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu: De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Assunto: Re: [obm-l] resolver sistema graficamente Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 16 de Junho de 2009, 12:20 Ola Luis, Eleve ao quadrado a primeira equação, substitua a 2a. nesta nova equação. Aaaim, vc terá que xy = f(a,b). Reduza ao mesmo denominador a 1a. equação, e vc terá (x+y)/xy = a Substitua o 1o. resultado no segundo, e vc terá x+y = a(f(a,b)), que --- Em ter, 16/6/09, Luís Lopes qed_te...@hotmail.com escreveu: De: Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Assunto: [obm-l] resolver sistema graficamente Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 16 de Junho de 2009, 10:17 Sauda,c~oes, Como resolver graficamente o seguinte sistema: 1/x + 1/y = 1/a (*) 1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2 (**) (**) é de fácil interpretação e uso num triângulo retângulo. Não sei como usar (*). []'s Luís Quer uma internet mais segura? Baixe agora o novo Internet Explorer 8. É grátis! Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes _ Novo Internet Explorer 8. Baixe agora, é grátis! http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
[obm-l] resolver sistema graficamente
Sauda,c~oes, Como resolver graficamente o seguinte sistema: 1/x + 1/y = 1/a (*) 1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2 (**) (**) é de fácil interpretação e uso num triângulo retângulo. Não sei como usar (*). []'s Luís _ Emoticons e Winks super diferentes para o Messenger. Baixe agora, é grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
RE: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c
Sauda,c~oes,
Oi Sergio,
Essa sua solução (confesso que não me detive nela)
não segue o espírito das construções geométricas.
Pode no máximo mostrar que o problema possui uma
solução geométrica.
Conheço muitas construções elegantes com estes dados.
Pensei ontem e consegui a construção sugerida no Virgilio.
Repito o início da construção:
Sejam os círculos phi_1 = (C,b) e phi_2 = (C,a).
Trace uma reta (horizontal) e marque CD_c=d_c nela.
Até aqui é a sugestão do Virgilio.
Agora o problema aparece: construir uma reta p
passando por D_c tal que se p intersecta phi_1
e phi_2 em A e B, respectivamente, então
AD_c/D_cB = b/a (teorema das bissetrizes).
Ou seja, o ponto B possui duas propriedades:
1) pertence a phi_2;
2) é a imagem de A pela homotetia inversa de centro D_c
e razão a/b. Como A pertence a phi_1, então B pertence
ao círculo phi'_1, transformado de phi_1 pela mesma homotetia.
Descrever a constução de phi'_1 é um pouco longo e complicado
sem uma figura. O livro do Wagner mostra como fazer na página 83.
Ache B como interseção de phi_2 e phi'_1. A reta (B,D_c) é a reta
p pedida.
[]'s
Luís
From: sergi...@lps.ufrj.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c
Date: Wed, 3 Jun 2009 10:32:57 -0200
Caro Luís,
Como vão as coisas? Por aqui tudo corrido, mas sempre se
acha um pouco de tempo para um probleminha desses.
Eu resolvi assim:
Ignore os circulos phi_1 e phi_2 e esboce um triângulo ABC
tradicional, marcando D_c sobre AB. O problema pede
para determinarmos a reta suporte do lado AB
passando por D_c e fazendo um angulo teta (a ser determinado) com CD_c.
Chamemos de C/2 o angulo ACD_c = BCD_c. Assim, usaremos a
mesma letra C para denotar duas coisas distintas
(o vértice do triângulo e o ângulo ACB). O contexto
deixa claro do que estamos falando.
Pela lei dos senos no triângulo ABC:
(1) CD_c / sen (teta - C/2) = b / sen (180 - teta) = b / sen (teta)
(2) CD_c / sen (180 - C/2 - teta) = CD_c / sen (C/2 + teta) = a / sen (teta)
Temos que eliminar o angulo C/2 das equacoes acima e achar
uma expressao (trigonometrica) para teta. Reescrevendo o sistema:
(3) sen (teta - C/2) = CD_c sen (teta) / b
(4) sen (teta + C/2) = CD_c sen (teta) / a
= (transformação em produto)
(5) sen (teta) cos (C/2) = CD_c sen (teta) (a + b) / (2ab)
(6) sen (C/2) cos (teta) = CD_c sen (teta) (b - a) / (2ab)
=
(7) cos (C/2) = CD_c (a + b) / (2ab)
(8) sen (C/2) = CD_c (b - a) tg (teta) / (2ab)
= (relação trigonométrica fundamental)
(9) [ CD_c^2 (a + b)^2 ] + [ CD_c^2 (b - a)^2 tg^2 (teta) ] = 4 a^2 b^2
=
(10) tg (teta) = sqrt{ [4 a^2 b^2 - CD_c^2 (a + b)^2 ] } / ( CD_c | b - a | )
Ou seja, basta você construir no braço a expressão acima para determinar
o ângulo teta e, conseqüentemente, a reta suporte do lado AB! Com certeza,
um geômetra mediano olha esta expressão e gera uma
construção elegante. Se não me engano a expressão de cos (teta) fica um
pouco mais simples.
Abraço,
sergio
_
Novo Internet Explorer 8. Baixe agora, é grátis!
http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
[obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c
Sauda,c~oes, Aqui CD_c = d_c é o comprimento da bissetriz interna de C. Há muitas maneiras de se construir um triângulo com estes dados. Folheando um livro do Virgilio encontrei uma outra. Bem, quase. Sejam os círculos phi_1 = (C,b) e phi_2 = (C,a). Trace uma reta (horizontal) e marque CD_c=d_c nela. Até aqui é a sugestão do Virgilio. Agora o problema aparece: construir uma reta p passando por D_c tal que se p intersecta phi_1 e phi_2 em A e B, respectivamente, então AD_c/D_cB = b/a (teorema das bissetrizes). Como fazer? []'s Luís _ Descubra todas as novidades do novo Internet Explorer 8 http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Re: [obm-l] Inte gral 'difícil'
Sauda,c~oes,
Oi Ralph, Angelo,
Baixei o livro e encontrei o exercício 55 na p. 320.
\int_0^1 \int_0^{e^x} (x^2 + 1/y)dydx
Digitei o código acima no site WolframAlpha aqui indicado
que retornou
integral_0^1( integral_0^(e^x)(x^2+1/y) dy) dx (integral does not converge)
sua resposta pelo Mathematica dá -3/2 + e
Estranho. E se fosse
\int_0^1 \int_1^{e^x} (x^2 + 1/y)dydx ??
O site retornou Computation timed out
[]'s
Luís
Date: Tue, 26 May 2009 20:22:48 -0700
From: quintern...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral 'difícil'
To: obm-l@mat.puc-rio.br
CC: obm-l@mat.puc-rio.br; quintern...@yahoo.com.br
Ralph, obrigado pela análise.
Também tenho vários argumentos para a não existência de tal integral,
contudo, sua resposta
pelo Mathematica dá -3/2 + e
De fato está escrito corretamente!
Está no exercício 55 do livro Numerical Methods for Engineers and
Scientists, Joe D. Hoffman.
http://www.4shared.com/file/18204220/5da74c3c/Numerical_Methods_for_Engineers_and_Scientists_2nd_Edition.html?s=1
Obrigado
--- Em ter, 26/5/09, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:
De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Integral 'difícil'
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 26 de Maio de 2009, 22:20
Oi, Angelo.
Vi aqui por alto, talvez eu esteja falando bobagem...
Eu acho que esta integral iterada nao existe. O problema eh
que a integral de dentro, que eh impropria pois y^-1 eh
descontinua em y=0, diverge! De fato:
Int[0,e^x] (x^2+y^-1) dy = x^2.y+lny (y de 0 ateh e^x)
= lim(b-0) (x^2.e^x+x)-(x^2.b+lnb) = -Inf ?!?
Pensando de outro jeito: note que f(x,y)=x^2+y^(-1)
eh positiva na regiao R que voce deu (0x1,
0ye^x). Agora, considere o retangulozinho
S:0x1, ayb onde a,b sao bem pequenos (bom,
eu soh preciso de a,b1). Se a integral de f em R
existisse, seria maior ou igual que a integral de f em S,
certo (pois f eh positiva, e S estah contido em R)?
Mas:
Int(0,1)Int(a,b) x^2+y^(-1) dydx=Int(0,1)
x^2(b-a)+ln(b/a) dx = (b-a)/3 + ln(b/a)
Mantendo b fixo e tomando a-0, isto se aproxima
de +Inf. Entao, a sua integral eh maior do que a integral em
S, que por sua vez fica maior que qualquer numero
positivo Ela nao pode existir! Confere a digitacao da
questao para a gente?
Abraco,
Ralph
2009/5/26 Angelo Schranko quintern...@yahoo.com.br
Pessoal, alguém pode me ajudar por favor???
Como resolver analiticamente a seguinte integral dupla?
Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx
Obrigado.
R. -3/2 + e
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo!
+Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
_
Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É
grátis!
http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
Re: [obm-l] Exponencial
Sauda,c~oes, Vamos ver se esta chega tambem. O que conhecia eh 4^x + 6^x = 9^x (Divida tudo por e ... ) []'s Luis Thu, 21 May 2009 20:58:01 -0300, fabrici...@usp.br fabrici...@usp.br escreveu: Acredito que seja: 4^x + 6^x = 2.9^x Aí, a solução existe. (Divida tudo por 9^x e...) . On May 21, 2009, at 19:59 , Rhilbert Rivera wrote: A resposta do Luís bate com o valor obtido no Maple. Se quiser um valor inteiro, o único jeito é dar um jeitinho 4^x+x^6=29^x ... From: qed_te...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Exponencial Date: Thu, 21 May 2009 21:35:21 + Sauda,c~oes, Pelo excelente site aqui indicado há poucos dias encontrei x ~~ 0.3915575306295271 []'s Luís Date: Thu, 21 May 2009 18:19:02 -0300 Subject: Re: [obm-l] Exponencial From: saulo.nil...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br x=0,6355 2009/5/20 Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br Ops , estou me referindo a x natural (inteiro positivo). --- Em qua, 20/5/09, Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.comescreveu: De: Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com Assunto: [obm-l] Exponencial Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 20 de Maio de 2009, 18:18 Amigos, Deparei-me com a questão do livro do Euclides Roxo 190. e lá vai... 4^x + 6^x = 29 ^x Tentei uma solução algébrica e não numérica. Não creio que haja um x inteiro. Alguma idéia? Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Novo Internet Explorer 8: mais rápido e muito mais seguro. Baixe agora, é grátis! Quer uma internet mais segura? Baixe agora o novo Internet Explorer 8. É grátis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Exponencial
Sauda,c~oes, Pelo excelente site aqui indicado há poucos dias encontrei x ~~ 0.3915575306295271 []'s Luís Date: Thu, 21 May 2009 18:19:02 -0300 Subject: Re: [obm-l] Exponencial From: saulo.nil...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br x=0,6355 2009/5/20 Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br Ops , estou me referindo a x natural (inteiro positivo). --- Em qua, 20/5/09, Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com escreveu: De: Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com Assunto: [obm-l] Exponencial Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 20 de Maio de 2009, 18:18 Amigos, Deparei-me com a questão do livro do Euclides Roxo 190. e lá vai... 4^x + 6^x = 29 ^x Tentei uma solução algébrica e não numérica. Não creio que haja um x inteiro. Alguma idéia? Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes _ Conheça os novos produtos Windows Live! Clique aqui. http://www.windowslive.com.br
[obm-l] Geometric Methods of Calculating Trigonometric Funtionsþ
Sauda,c~oes, Mando esta mensagem com dois propoacute;sitos: ver se ela realmente eacute; enviada (jaacute; mandei diversas que nunca chegaram) e apresentar um algoritmo para calcular as funccedil;otilde;es trigonomeacute;tricas para quem (como o autor) se pergunta como isto poderia ter sido feito sem os recursos e conhecimentos de hoje. Eacute; um pouco longo e por isso talvez soacute; mereceraacute; uma leitura dos membros dos comitecirc;s editoriais das revistas da SBM (Eureka e RPM talvez). Como motivaccedil;atilde;o, copio e colo o trecho que aparece mais abaixo: Here is an example: Say we want to calculate sin and cos of angle 17.448 degrees to 3 decimal places. Therefore we will use 4 decimal places for all the steps that follow []'s Luiacute;s From: b_balev...@yahoo.com Subject: Re: Geometric Methods of Calculating Trigonometric Funtions Date: Thu, 23 Apr 2009 21:42:34 + To: appr...@support1.mathforum.org To: geometry-coll...@support1.mathforum.org Hello, guys. I believe I can give a good answer to the question you ask. If I understand your question correctly, this is the exact question I have been asking myself part of my life. And during that time I have done quite some searches to find a good answer. I've found several methods, but most of them would not satisfy me: 1. Many calculators and computers generally use Taylor's series (plus maybe small tables). This is the fastest method, I believe, but I didn't like it because you need to convert the angle to radians to use that method, and thus the accuracy of the method is limited to the accuracy of your knowledge of PI. 2. Other calculators and computers reportedly use CORDIC algorithm. It is good, clean algorithm, and requires no multiplication. But was not satisfied by CORDIC either, because in order to use it you need to prepare a table of atan(2^(-n)), and some people find it difficult to understand (not me of course, ;-P). 3. And then one day I discovered my own simple algorithm. It is not the fastest one out there, and is not the easiest to use for calculation. But still it is reasonably good, does not require previously calculated values, can be carried to an arbitrary level of accuracy, can calculate sin, cos, tan etc, their inverses, and does not need you to know PI at all. Actually, it can be used to calculate PI, though I am not going to explain in detail how, it is not difficult... In addition, it does not require a specific angular unit to be used, any convenient unit will do. I was proud of myself and satisfied at last. I give a detailed description below, as I have seen several people here in the net asking essentially the same question. Of course the method is not at all a secret. I once saw almost exactly the same algorithm published by a math teacher here in the net, but I forgot where I saw it and who the teacher was. Still, I have seen it only once, and I think it deserves more attention. First, here are some simple things you need in advance: 1. You need to know how to add, subtract, multiply, divide and find square roots or positive numbers which are a little smaller than 1. Not very many people nowadays can find square roots, but the best method I know is the newtons method. I believe that anybody should know that algorithm, and even should be able to discover it without external help, it is not that difficult. Mesopotamian people did, as far as I know. If you like me to show you an easy way of discovering the Newtons method for square roots, drop me a letter at b_balevsky at yahoo.com. (I would love to know how many people like what I write here. Or maybe dislike it. Or just hate me... whatever :-)) 2. If you have the coordinates of the end points of a linear segment in rectangular coordinate system, you can find the midpoint of the segment by averaging the coordinates. For instance, let's have a segment with end points at (3, 4) and (1, 8). The coordinates of its middle point are (2, 6), because 2 = (3+1)/2 and 6 = (4 + 8) / 2. And this is the exact location of the midpoint. 3. If you have a segment and one of the ends of that segment is point (0,0) then the coordinates of the other end of the segment (x,y) can give you the length of that segment simply by using the Pythagorean theorem: Length = square_root_of(x * x + y * y). Now suppose you divide both x and y by that length. By doing this, you have in effect extended or shortened the segment, but you have _NOT_ changed its slope at all! The new segment has length of exactly 1, meaning its end is on the unit circle. Those things said, here is how you would use the algorithm: 1. Simplify/transform the problem so that the angle in question is between 0 and 90. This should be easy to to in all cases. Now you either have got a particular angle and want to know its sin/cos/tan, or you have sine cos or tan, and
[obm-l] FW: foto de Einstein
Mais uma tentativa. From: qed_te...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: foto de Einstein Date: Tue, 12 May 2009 15:01:02 + Sauda,c~oes, Segunda tentativa de hoje para mandar uma mensagem para a lista. Como Einstein foi citado aqui recentemente, mando este link como informação e teste para a minha mensagem. O outro na foto deve ser Steinmetz. Não sei quem é mas se a minha primeira mensagem chegar tem um link nela que poderia me dar a biografia dele. []'s Luís Attachment available at http://mathforum.org/kb/servlet/JiveServlet/download/125-1904094-6706074-555350/steinmetz_einstein.jpg Novo Internet Explorer 8: mais rápido e muito mais seguro. Baixe agora, é grátis! _ Novo Internet Explorer 8. Baixe agora, é grátis! http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
[obm-l] produtos notaveis
Sauda,c~oes, Oi Márcio Pinheiro, Se não estou enganado, a sugestão era calcular [x + x^(-1)]^2. Mas realmente não me lembro se houve tal mensagem. E não quero olhar os arquivos. Tento mandar esta mensagem fazendo nova mensagem. Com reply minhas mensagens ou não chegam ou preciso mandá-las diversas vezes. Isso acontece com mais alguém? Agradeço as últimas mensagens do PSR e Nehab sobre DG. []'s Luís = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] produtos notaveis
Oi Nehab, É verdade. Mas isso está acontecendo com outras listas também. A propósito, era para calcular x^200 + (1/x)^200 (se é o problema que estou pensando) Acho que era x^2000 + (1/x)^2000 (detalhe). Mas a sugestão(?) era pra começar calculando [x + x^(-1)]^2. Tentei nessa linha e não consegui nada. Mas a solução mandada é muito boa. Ah, me lembrei que tenho também uma apostila de G. Espacial do Célio. Mas como ela apareceu um dia lá em casa (irmãos mais velhos, amigos dos irmãos mais velhos que estudavam lá m casa etc) não me lembro da sua procedência. E nunca me detive nela. E já que toquei nisso tenho também uma sua de Trigonometria, espólio do material do Impacto de um irmão nesse caso mais novo. []'s Luís Date: Fri, 8 May 2009 16:23:26 -0300 From: ne...@infolink.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] produtos notaveis Oi, Luís, Comigo também. Desanimador. Eu diria que de cada 2 mensagens minhas uma vai e a outra não. Fora o fato de, muitas vezes, a mensagem chegar lá mais de 24 horas depois, em especial nos fins de semana. Acho que o Nicolau viaja e o servidor aproveita para dar uma descansadinha... A propósito, era para calcular x^200 + (1/x)^200 (se é o problema que estou pensando) Grande abraço, Nehab Luís Lopes escreveu: Sauda,c~oes, Oi Márcio Pinheiro, Se não estou enganado, a sugestão era calcular [x + x^(-1)]^2. Mas realmente não me lembro se houve tal mensagem. E não quero olhar os arquivos. Tento mandar esta mensagem fazendo nova mensagem. Com reply minhas mensagens ou não chegam ou preciso mandá-las diversas vezes. Isso acontece com mais alguém? Agradeço as últimas mensagens do PSR e Nehab sobre DG. []'s Luís = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = _ Conheça os novos produtos Windows Live! Clique aqui. http://www.windowslive.com.br
[obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)]
Sauda,c~oes, Oi PSR e Bernardo, Valeu, gostei das respostas. Gostaria de ver textos com tais discussões/explicações; nunca vi. É a mesmice de sempre nas fontes a que tenho acesso. Bom, pode ser também que não tenha sabido procurar. === OBS : Para aqueles que estao acompanhando esta mensagem, saibam que Luis Lopes e autor do maior e mais completo livro DO MUNDO sobre construcao geometrica de triangulos. === Menos, Paulo, menos. Conheço e tenho (oferecido por um alemão que fazia(faz?) parte de uma lista de geometria) um em alemão muito bom. E pela velhice do assunto deve haver muitos outros. O que faço é expor o assunto à minha maneira. === Pena que ( pelo que sei ) ainda nao ha uma versao em portugues. === É verdade. Só existe a edição em francês, já esgotada. Mas estou trabalhando na muito melhor versão em português. Ainda sem prazo de lançamento. === Dado 2P, construa o triangulo tal que : Soma das medianas = 2P perimetro = 2P === Foi assim que interpretei os dados. === Eu nao pensei sobre a questao. Nem sei se e trivial ou trabalhosa. Ela veio a minha cabeca quando respondia o Luis Lopes. Como o Luis e um Mestre consumado no assunto, === Novamente, menos, Paulo, menos. Talvez o Nehab possa mencionar alguns verdadeiros mestres do assunto. Poderia prestar uma homenagem tardia ao Prof. Virgilio A. Pinheiro. Ele foi meu professor de DG em 1968, quando estava no 4o. ginásio. Infelizmente não sabia que estava tendo aulas com tal Prof! Atualmente temos o Wagner e tenho uma apostila do Célio Pinto de Almeida sobre Cônicas. Não fui aluno dele mas deve ter sido um verdadeiro mestre também. === queria saber se tal questao ja constava no livro dele === Não. O volume no qual trabalho só envolve construções com dados simples, sem somas, diferenças etc dos elementos do triângulo. Como o seguinte, que fica como sugestão: (h_a,h_b,d_c). d_c é a bissetriz interna. Pode-se pensar também em e_c, bissetriz externa. === ou se ele dispunha de tempo pra apresentar uma solucao, caso exista. === Hum conheço construções do tipo (A,a+b,a+c) e muitas outras envolvendo operações com os elementos do triângulo. Este seu problema eu nunca tinha visto e ele me parece indeterminado. Falta um dado, não? Não sei se (A,m_a+m_b+m_c,p) é possível. Se for, poderá fazer parte de um trabalho futuro, já iniciado. []'s Luís _ Descubra todas as novidades do novo Internet Explorer 8 http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
RE: [obm-l] produtos notaveis
Sauda,c~oes, Oi Márcio Pinheiro, Legal, gostei. Mas me parece que o Bernardo(?) deu uma sugestão para um começo de solução. Ou não? Se sim, como seria esta solução? []'s Luís Date: Thu, 30 Apr 2009 05:41:38 -0700 From: profmar...@yahoo.com.br Subject: Re: [obm-l] produtos notaveis To: obm-l@mat.puc-rio.br Saudações. O melhor caminho que vislumbro pra resolver esse tipo de questão não é exatamente por produtos notáveis, mas por números complexos. LEMA: Sendo x um número complexo, não real, x + 1/x é real se, e somente se, x tem módulo unitário. Adotar-se-á a notação cisk para significar cosk + isenk, sendo k um número real e i^2 = - 1. Seja x = pcisk, em que p = módulo de x (número real positivo, já que x não é nulo). Pela 1ª Lei de De Moivre, x^n = p^ncis(nk), qualquer que seja n inteiro. PROVA DO LEMA: x + 1/x = x + x^(-1) = pcis k + p^(-1)cis(-k)= (p + 1/p)cosk + i(p - 1/p)senk, que é um número real se, e somente se, p = 1/p, pois senk é diferente de zero. Daí, p = 1, como se desejava demonstrar. Assim, sendo x + x^(-1) = (1+sqrt5)/2 (o número de ouro, por sinal), é fácil ver que x não pode ser real, porque o discriminante (delta) é negativo. Logo, de acordo com o lema precedente, x = cisk, com k real. Daí, x + x^(-1) = 2cosk = (1+sqrt5)/2, ou seja, cosk = (1+sqrt5)/4 = cos (pi/5). Portanto, usando o argumento principal (isto é, de 0 a pi) para o valor de k, pode-se tomar x = cis (pi/5). Pela 1ª Lei de De Moivre, conclui-se que: x^2000 + x^(-2000) = 2cis(400pi) = 2(1 + 0i) = 2. Espero ter ajudado. Márcio Pinheiro. --- Em qua, 29/4/09, Marcus marcusaureli...@globo.com escreveu: De: Marcus marcusaureli...@globo.com Assunto: [obm-l] produtos notaveis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 21:00 Alguem sabe como se faz essa questão? Se X + X^-1 = (1+sqrt5)/2 então x^2000 + x^-2000 vale? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] serie para ln(2)
Sauda,c~oes, Oi Paulo e para os outros três que responderam, Então de 1 - (1/2) + 1/3 - (1/4) + 1/5 - (1/6) + ... = Ln(2) posso fazer [1 - (1/2)] + [1/3 - (1/4)] + [1/5 - (1/6)] + ... e obter o mesmo resultado?? Sempre, ou seja, posso botar [ ] à vontade em séries cond. convergentes? Ando sempre em águas turvas com estas manipulações de séries cond. conv. P.S.: Paulo, o Rousseau acabou de me dizer que encontrou uma solução para aquela conjectura. Mas não a tenho. Obrigado pelo seu email a respeito. Muito trabalho nele. []'s Luís From: paulo.santar...@gmail.com Date: Mon, 4 May 2009 18:22:28 -0300 Subject: Re: [obm-l] serie para ln(2) To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Luis e demais colegas desta lista ... OBM-L, A expressao 1(2n(2n-1)) pode ser olhada assim :: 1/(2n(2n-1)) = ( 1/(2n-1) ) - ( 1/2n ) Assim, para n=1, 2, 3, ... 1 - (1/2) + 1/3 - (1/4) + 1/5 - (1/6) + ... = Ln(2) De maneira geral, se A1, A2, A3, ... e uma PA, a expressao soma de 1/(Ai+1*Ai+2*Ai+3*...*Ai+k) onde i = 1, 2, 3, ... e k=2 Tambem permite uma olhada especial de onde deriva sua soma. Como fazer isso ? Exemplo : 1/(Ai*Ai+1*Ai+2) = (1/(2(r^2)))*((1/Ai) - (2/(Ai+1)) + (1/Ai+2)) Use o fato de que Ai= (Ai+1) - r e Ai+2 = (Ai+2) + r, onde r e a razao da PA Agora, considere o seguinte : Seja S = 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + ... = Ln(2) Nos olhar esta serie assim : +-+-+-+- ... onde, sem tirar os termos de lugar, notamos que em cada posicao par ha um sinal - e em cada posicao impar ha um sinal +. Representarei este fato com a notacao S (1,1), significando que apos 1 sinal par segue um impar. O simbolo S(2,3) significa que apos 2 sinais + sempre seguem 3 sinais -, assim : S(2,3) = 1 + (1/2)-(1/3)-(1/4)-(1/5)+(1/6)+(1/7) - (1/8)-(1/9)-(1/10)+... Eu afirmo que S(N,P) converge se N e P sao inteiros positivos. Como provar isso ? Um Abraco a Todos PSR, 20405091800 2009/5/4 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com: Sauda,c~oes, No meio de vários reply ao thread CEGUEIRA FRACIONÁRIA! encontrei a seguinte mensagem: [obm-l] Mais um divertimento: 0 1/2 (???) Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o segundo: [...] E, assim, demonstra-se que 0 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69 1/2 [...] Como demonstrar a curiosidade acima? []'s Luís Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Descubra uma nova internet. Internet Explorer 8. Mergulhe. _ Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] serie para ln(2)
Sauda,c~oes, No meio de vários reply ao thread CEGUEIRA FRACIONÁRIA! encontrei a seguinte mensagem: [obm-l] Mais um divertimento: 0 1/2 (???) Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o segundo: [...] E, assim, demonstra-se que 0 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69 1/2 [...] Como demonstrar a curiosidade acima? []'s Luís _ Descubra todas as novidades do novo Internet Explorer 8 http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
[obm-l] conjectura com numeros de Fibonacci
Sauda,c~oes,
Numa troca recente de mensagens com o
prof. Rousseau ele me mandou o problema
abaixo:
I have a problem for you. This was communicated to me by
Marko Riedel about a week ago, and I still haven’t found a solution.
A coin-tossing game is played as follows. The player starts with a
fortune of 0 and tosses a coin repeatedly. On each toss, his
fortune is increased by 1 if he gets “heads” and is reduced by a
factor of ½ if he gets a “tail.” After the nth toss, what is the number
of possible values for his fortune? Thus
Coin tossSet of fortunes and its cardinality
0 {0}, || = 1 = 2-1
1 {0,1}, ||=2 = 3-1
2 {0,1/2,1,2}, ||=4=5-1
3 {0,1/4,1/2,1,3/2,2,3},||=7=8-1
It is conjectured that the number of possible fortunes is F_{n+3}-1.
Let A_n denote the set of possible fortunes after n tosses, and
let B_n = A_n + 1 and C_n = ½ A_n (using what I hope is obvious notation).
Then A_{n+1} = B_n \cup C_n so |A_{n+1}| =|B_n|+|C_n|-|B_n \cap C_n|,
and if the conjecture is true then F_{n+4}-1 = 2(F_{n+3}-1)-|B_n \cap C_n|,
so |B_n \cap C_n| = 2(F_{n+3}-1)-F_{n+4} + 1 = F_{n+1}-1 .
Thus it would suffice to exhibit a bijection from A_{n-1} to B_n \cap C_n.
Example (n=1): |A_0|= 1 = |B_2 \cap C_2| (I hope the indices are OK;
I am writing this without the benefit of any source.)
Eu acho que ele quis dizer
to exhibit a bijection from A_{n-2} to B_n \cap C_n.
Alguém sabe como fazer? A conjectura é verdadeira?
[]'s
Luís
_
Novo Windows Live: Messenger 2009 e muito mais. Descubra!
http://www.windowslive.com.br
[obm-l] Eureka 29 p. 25
Sauda,c~oes,
Seja (ir no site da Eureka na obm pra ver
o resultado do código LaTeX abaixo)
S_n(j) := \sum_{k=0}^{n-1} \frac{k^j 4^k}{\binom{2k}{k}}
Na Eureka 29 p. 25 vejo o seguinte problema:
calcular \sum_{k=0}^{n-1} \frac{k^4 4^k}{\binom{2k}{k}}
Ou seja, o problema pede S_n(4). Usando somação por
partes, calculei S_n(0), S_n(1) e S_n(2). Poderia calcular
S_n(3) e em seguida S_n(4). Mas parei pois as contas
ficavam muito grandes.
Gostaria de ver a solução de S_n(4) pelo método mostrado
no artigo.
[]'s
Luís
_
Faça já uma busa e ganhe um wink do Messenger. Está esperando o que? É grátis!
http://www.ibud.com.br/
[obm-l] RE: [obm-l] Sugestão de Tema para Monogr afia - Cônicas
Sauda,c~oes, Oi Marcelo, Já que você falou no Régua e Compasso. Já pensei vários temas...mas ainda não me resolvi. Já pensou nas construções geométricas ? Não conheço muita bibliografia em português neste tema. []'s Luís Date: Wed, 8 Apr 2009 12:46:19 -0300 Subject: [obm-l] Sugestão de Tema para Monografia - Cônicas From: elementos@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá pessoal da lista, boa tarde a todos. Estou para iniciar os escritos de minha monografia e o tema é cônicas . Gostaria de perguntar também aos senhores, além do que já fiz com meu orientador, se os senhores teriam alguma idéia ainda pouco explorada ou não, sobre cônicas, para o ensino médio ou não. Às vezes existem mestres e doutores que teriam vontade que seus orientandos explorassem alguma área específica dentro deste tema e talvez ainda não tenham tido esta oportunidade. Já pensei vários temas...mas ainda não me resolvi. Se vocês puderem sugerir, irão ampliar meus horizontes ainda mais neste tema. Desde já agradeço muito a todos, Um abração, Marcelo. _ Messenger 2009: Instale já! http://download.live.com
RE: [obm-l] 6 amigos no cinema
Sauda,c~oes, Vou me arriscar mas vou escrever pouco. Chame de P as duas moças juntas. Elas formam um bloco e sobram 5 lugares. Como os rapazes r não sentam juntos, as duas disposições possíveis nas poltronas são: rMrPr (a) rPrMr (b) Então faço (a) e dobro o resultado para considerar (b). (3,2) é o símbolo de combinação. O P é dado por (3,2)=3. R(3)M(1)R(2)P(3,2)R(1)=3X1X2X3X1=18 Mas P pode permutar. Logo, 18X2=36. E dobrando para levar em conta a disposição (b), encontro 72. []'s Luís Date: Fri, 20 Mar 2009 09:42:24 -0300 Subject: Re: [obm-l] 6 amigos no cinema From: palmerimsoa...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br OPS! quem escreveu o texto abaixo fui eu Palmerim. Enviei sem querer pelo e-mail do meu amigo Ney Falcao quando tentava ajuda-lo a resolver a questão. Afinal, a resposta é 72 ou 144, amigos? Palmerim 2009/3/20 Ney Falcao neyfal...@gmail.com Olá Ney, Paulo Cesar e Rafael Geralmente há mais de uma forma de resolver esses problemas, e algumas vezes acabamos deixando escapar algum detalhe (deve ser por isso que muitos alunos odeiam análise combinatória). Devo ter deixado escapar algum detalhe, porque a solução está parecendo outra para mim, mas não consigo detectar a falha. Ajudem-me, se for possível. Analisei da seguinte forma: 1) Se os rapazes e as moças pudessem se sentar em qualquer das seis poltronas e do lado de quem quisessem (independente do sexo) então seria um problema trivial de permutação, teríamos 6! = 720. Mas como duas moças devem estar sempre juntas, podemos considerar as duas moças como se fossem uma só pessoa, e assim, ao invés de 6 pessoas, contaríamos 5 pessoas e teríamos 5! = 120. Só que as duas moças podem permutar entre si (2! = 2) e para cada permutação das moças teremos as 120 permutações do grupo todo. Portanto, há 2 x 120 = 240 grupamentos que podem ser formados onde duas moças estão sempre juntas. 2) Só que entre esses possíveis 240 grupamentos estão incluídos aqueles onde há dois rapazes sempre juntos também. Então, precisamos retirar todos os grupamentos que contém 2 rapazes juntos e também contém 2 moças juntas e assim restarão só os grupamentos onde há 2 moças juntas, mas não há 2 rapazes juntos, certo? 3) Agora, para calcular quantos grupamentos podemos formar onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas, podemos fazer como fizemos para o cálculo anterior: consideramos 2 moças como se fossem 1 só pessoa e consideramos dois rapazes come se fossem 1 só pessoa. Neste caso, então, das 6 pessoas passaríamos a ter apenas 4 “pessoas’ para permutar, ou seja, 4! = 24. Mas, não podemos esquecer que os dois rapazes que estão juntos podem permutar entre si (2!=2) e o mesmo se dá com as duas moças juntas (2!=2). Assim, teremos 24 X 2 X 2 = 96 grupamentos onde há 2 rapazes sempre juntos e 2 moças sempre juntas. 4) Finalmente, 240 – 96 = 144. A pergunta agora é: onde foi que eu errei??? Abraços Palmerim Seis amigos vão ao cinema, sendo 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que duas moças estejam sempre juntas e dois rapazes nunca estejam juntos? _ Windows Live Messenger. O melhor em multitarefa. http://www.microsoft.com/windows/windowslive/products/messenger.aspx
RE: [obm-l] integral do PME journal
Sauda,c~oes, Oi Carlos Victor, Será que o desenvolvimento abaixo está correto ? Está. []'s Luís Date: Tue, 16 Dec 2008 15:24:48 -0200From: victorcar...@globo.comto: ob...@mat.puc-rio.brsubject: Re: [obm-l] integral do PME journal Olá , Será que o desenvolvimento abaixo está correto ? Desenvolvendo a sére de ln(1+x) , dividindo por x e calculando a integral definida da série resultante , encontramos a seguinte soma : 1 - 1/4 + 1/9 - 1/16 + 1/25 - ... = (pi)^2/12 . Abraços Carlos Victor 2008/12/16 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Sauda,c~oes, Numa das mensagens trocadas recentemente com o prof. Rousseau ele mandou o problema \int_0^1 (ln(1+x)/x) dx que foi publicado no jornal do assunto. Não mexo nisso há muito tempo. Será que sai por partes? []'s Luís Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu! _ Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o Messenger! É GRÁTIS! http://www.msn.com.br/emoticonpack
[obm-l] integral do PME journal
Sauda,c~oes, Numa das mensagens trocadas recentemente com o prof. Rousseau ele mandou o problema \int_0^1 (ln(1+x)/x) dx que foi publicado no jornal do assunto. Não mexo nisso há muito tempo. Será que sai por partes? []'s Luís _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
RE: [obm-l] Somatório
Sauda,c~oes, Oi Bruno, De onde você tirou este problema? A resposta (enviada pelo professor Rousseau) é n(2n-1)/3. A resolução é complicada, trabalhosa e usa o teorema dos resíduos. Tenho somente o .pdf e posso mandá-lo pra quem pedir. []'s Luís From: brconter...@hotmail.comto: ob...@mat.puc-rio.brsubject: [obm-l] SomatórioDate: Fri, 28 Nov 2008 20:28:52 -0200 Bom galera...gostaria de saber como se calcula o somatório S = sum[ k=1 - n ] cot^2 ( (K*pi) / (2n + 1) )Tentei colocar a soma em função de cossec^2 ( (K*pi) / (2n + 1) ), usando a relaçãocossec^2 (x) = 1 + cot^2 (x), e depois transformar o somatório utilizando a expressãod ( cot ( (K*pi) / (2n + 1) ) ) / dk = - (cossec ( (K*pi) / (2n + 1) ) )*( pi / (2n + 1) )+ num cheguei a lugar algumdesde ja agradeço...abraços! Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu! _ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br
RE: [obm-l] circulos tangentes
Sauda,c~oes, Oi Felipe Não entendi o enunciado... Porém tentei ser bem claro. Este circulo gamma é algum circulo em especial ? Não sei, pode ser. Nada sei a respeito dele, se tem um nome, por exemplo. Esta notação gamma=(p,pq), Na verdade (P,PQ). o q significa. centro e raio?... Isso. Um esboço da figura ajuda a ver o resultado anunciado. []'s Luís Date: Thu, 11 Sep 2008 13:58:31 -0700From: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] circulos tangentesTo: obm-l@mat.puc-rio.br Luis, Não entendi o enunciado...Este circulo gamma é algum circulo em especial ? Esta notação gamma=(p,pq), o q significa. centro e raio?... Abs Felipe--- Em qui, 11/9/08, Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Luís Lopes [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] circulos tangentesPara: [EMAIL PROTECTED]: Quinta-feira, 11 de Setembro de 2008, 13:01 Sauda,c~oes, Considre o triângulo ABC, a bissetriz interna (reta d) do ângulo A, o incentro I e o circuncírculo Gamma. A perpendicular por I à reta AI (reta d) intersecta o lado AB no ponto Q. A perpendicular por Q à reta AB intersecta a reta d no ponto P. Então os círculos gamma=(P,PQ) e Gamma são tangentes. Gostaria de ter a demonstração deste resultado, bem como conhecer alguma referência que fale dele. Obrigado. []'s Luís Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o Messenger! É GRÁTIS! Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger! http://www.amigosdomessenger.com.br/
RE: [obm-l] circulos tangentes
Sauda,c~oes, Oi Felipe Procurei na internet Eu também. :) e nada encontrei sobre ele...E acabo de achar. Vá em http://mathworld.wolfram.com/MixtilinearIncircles.html []'s Luís Date: Fri, 12 Sep 2008 11:31:28 -0700From: [EMAIL PROTECTED]: RE: [obm-l] circulos tangentesTo: obm-l@mat.puc-rio.br Procurei na internet e nada encontrei sobre ele...mas agora é que reparei que gamma é um círculo circunscrito (tinha lido círculo). Vou tentar resolver. Abs Felipe--- Em sex, 12/9/08, Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Luís Lopes [EMAIL PROTECTED]Assunto: RE: [obm-l] circulos tangentesPara: [EMAIL PROTECTED]: Sexta-feira, 12 de Setembro de 2008, 12:26 Sauda,c~oes, Oi Felipe Não entendi o enunciado... Porém tentei ser bem claro. Este circulo gamma é algum circulo em especial ? Não sei, pode ser. Nada sei a respeito dele, se tem um nome, por exemplo. Esta notação gamma=(p,pq), Na verdade (P,PQ). o q significa. centro e raio?... Isso. Um esboço da figura ajuda a ver o resultado anunciado. []'s Luís Date: Thu, 11 Sep 2008 13:58:31 -0700From: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] circulos tangentesTo: obm-l@mat.puc-rio.br Luis, Não entendi o enunciado...Este circulo gamma é algum circulo em especial ? Esta notação gamma=(p,pq), o q significa. centro e raio?... Abs Felipe--- Em qui, 11/9/08, Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Luís Lopes [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] circulos tangentesPara: [EMAIL PROTECTED]: Quinta-feira, 11 de Setembro de 2008, 13:01 Sauda,c~oes, Considre o triângulo ABC, a bissetriz interna (reta d) do ângulo A, o incentro I e o circuncírculo Gamma. A perpendicular por I à reta AI (reta d) intersecta o lado AB no ponto Q. A perpendicular por Q à reta AB intersecta a reta d no ponto P. Então os círculos gamma=(P,PQ) e Gamma são tangentes. Gostaria de ter a demonstração deste resultado, bem como conhecer alguma referência que fale dele. Obrigado. []'s Luís Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o Messenger! É GRÁTIS! Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie já o seu! Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger! http://www.amigosdomessenger.com.br/
[obm-l] circulos tangentes
Sauda,c~oes, Considre o triângulo ABC, a bissetriz interna (reta d) do ângulo A, o incentro I e o circuncírculo Gamma. A perpendicular por I à reta AI (reta d) intersecta o lado AB no ponto Q. A perpendicular por Q à reta AB intersecta a reta d no ponto P. Então os círculos gamma=(P,PQ) e Gamma são tangentes. Gostaria de ter a demonstração deste resultado, bem como conhecer alguma referência que fale dele. Obrigado. []'s Luís _ Cansado de espaço para só 50 fotos? Conheça o Spaces, o site de relacionamentos com até 6,000 fotos! http://www.amigosdomessenger.com.br
[obm-l] FW: trigonometric sum
Sauda,c~oes,
Acabo de receber este arquivo do prof. Rousseau
com a solução da soma envolvendo o termo tan^2
e também a solução da soma resolvida pelo Ralph
com uma generalização.
O .pdf também veio mas é muito grande para anexar.
Com o luis3.tex alguém pode gerar o .pdf e colocar
disponível na página do N., por exemplo. Ainda tenho que entender a parte
abaixo:
===
This equation simplifies to yield
t^n - n(2n-1)t^{n-1} + \cdots + (-1)^n =0.===
[]'s
Luis
From: Prof. Rousseau
To: [EMAIL PROTECTED]: Tue, 27 May 2008 17:06:49 -0500Subject: RE:
trigonometric sum
Dear Luis:
Here is what I have on the tan^2 problem.
(I found a little more direct method.)
I hope that it is helpful. Congratulations to
your member for his or her nice solution of
he Math Horizons problem. I was attracted
to it for its possibilities in the Putnam training.
It is typical of an A1 or B1 problem. There is
one problem that I never got very far with.
Could you remind me how it goes (including
the background); I think the last time there
was some notation I didn’t follow.
Cecil
_
Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas
e muito mais no MSN Video!
http://video.msn.com/?mkt=pt-br
luis3.TEX
Description: TeX document
RE: [obm-l] trigonometria 2
Sauda,c~oes,
Oi Pedro,
Mais uma vez recorri ao prof. Rousseau e ele
me mandou a solução.
Bem, ele se desculpou por mandar uma solução parcial
pois ($\ast$) foi considerado um resultado conhecido.
Uma soma parecida usando \csc^2 no lugar de
\sec^2 apareceu na AMM de 1967.
Foi ele também que mandou a soma resolvida pelo
Ralph.
Fica então o problema de mostrar ($\ast$).
===
Cópia do código LaTeX
This is easily proved with the aid of\begin{equation}\sum_{k=0}^{2n-1} \sec^2
\left( \frac{\pi(2k+1)}{4n} \right) =4n^2. \tag{$\ast$}\end{equation}Using
($\ast$) with $n = 45$, straightforward calculation
gives\begin{align*}\sum_{k=0}^{89} \tan^2 \left( \frac{\pi(2k+1)}{180} \right)
=\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{89} \left\{ \sec^2 \left(\frac{\pi(2k+1)}{180}
\right) - 1 \right\} \\[.1in] = \frac{1}{2} (90^2 - 90) =
4005.\end{align*}=== []'s
Luís
From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] trigonometria 2Date: Thu, 1
Nov 2001 03:25:29 -0200
Feras da lista como faço issa?
Prove que :
_
Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas
e muito mais no MSN Video!
http://video.msn.com/?mkt=pt-brattachment: clip_image002.gif
Re: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Sauda,c~oes, Respondendo ao Rogerio Ponce mandei para muitos outros em BCC o arquivo pdf com a solução do limite. Quem pediu o arquivo e não recebeu favor escrever novamente. Boa leitura. []'s Luís = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Sauda,c~oes, Primeiramente gostaria de me dirigir ao Nicolau. Não sei o que acontece mas recebo normalmente as mensagens da lista pelo email [EMAIL PROTECTED]. Entretanto, todas as mensagens que tento mandar para a lista voltam, (usando o [EMAIL PROTECTED]), como se houvesse um filtro bloqueando tal usuário. Você saberia me dizer o que está acontecendo? Oi Artur, outros interessados na mensagem deste assunto, O professor Rousseau me mandou um pdf com a solução (bem difícil) deste limite. Posso mandá-lo para os que quiserem vê-la. []'s Luís From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Tue, 8 Apr 2008 17:41:45 -0300 Subject: RES: [obm-l] lim (n -- oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!) Achei um link sobre este limite. Estou tentando entender http://www.whim.org/nebula/math/gammaratio.html Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Virgilio Athayde Pinheiro, Geometrografia 2, Aula Editora, 1986
Sauda,c~oes, Comprei recentemente um exemplar do livro acima mas ao folheá-lo descobri que a página 47 está faltando (veio em branco). Gostaria de pedir a quem tiver o livro uma cópia desta página. Pode ser via xerox, fax ou arquivo jpg. Obrigado. []'s Luís = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Diferença finita ( de novo)
Sauda,c~oes,
Oi Pedro,
Tudo isto está demonstrado no exercício 56 do
Manual de Seq. e Séries Vol II.
[]'s
Luís
From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Diferença finita ( de
novo)Date: Thu, 1 Nov 2001 00:23:32 -0200
Essa sequecncia foi resolvida Pelo Professor Luís lopes (em 2003)de maneira
brilhante, muito mais eficaz do que diferença finita.
Pergunto ao Professor ou os demais da lista.Como demonstrar as fórmulas que
estão em negritos a abaixo.
1)Seja a PA de ordem 31,3,19,61,141,271,... a_iVamos gerar outras PAs
fazendo a_{i+1} - a_i:2,16,42,80,130Delta a_i14,26,38,50 Delta^2
a_i12,12,12 Delta^3 a_ia_i = a_1 + Delta a_1 binom(i-1,1) +
Delta^2 a_1binom(i-1,2) + Delta^3 a_1 binom(i-1,3)a_i = 1 + 2(i-1) +
14(i-1)(i-2)/2 + 12(i-1)(i-2)(i-3)/6a_i = 2i^3 - 5i^2 + 3i + 1S_n = a_1
binom(n,1) + Delta a_1 binom(n,2) +Delta^2 a_1 binom(n,3) + Delta^3
binom(n,4)S_n = n[3n^3 - 4n^2 - 3n + 10] / 6
2) Posso reslver da mesma forma a seguinte questão (arrumando)
Determine o termo geral da sequência { 3, 0, 5, 34 , 135, 452}
e calcule em seguida a soma dos n primeiros termos.
_
Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver
offline. Conheça o MSN Mobile!
http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
[obm-l] 3 somas trigonometricas
Sauda,c~oes, Mostre que a) 1/(sen45 sen46)+1/(sen47 sen48)+... +1/(sen133 sen134) = 1/sen1 = csc1 b) 1/(sen1 sen2)+1/(sen2 sen3)+... +1/(sen89 sen90) = cos1/(sen1)^2 = cot1 csc1 c) 2sen2 + 4sen4 + 6sen6 + ... + 180sen180 = 90cot1 []'s Luís _ Cansado de espaço para só 50 fotos? Conheça o Spaces, o site de relacionamentos com até 6,000 fotos! http://www.amigosdomessenger.com.br
RE: [obm-l] tan81-tan63-tan27+tan9=4
Sauda,c ões, Oi Shine, Comecei com tan9+cot9-(tan27+cot27) = tan9+1/tan9-(tan(45-18)+1/tan(45-18)) e cheguei a 2/sen18 - 2/cos36. Como sen18=(sqrt5-1)/4 vi que numericamente estava certo e já servia como solução. Estava vendo como terminar e sua resposta chegou. :) []'s Luís Date: Wed, 9 Jan 2008 06:07:01 -0800 From: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] tan81-tan63-tan27+tan9=4 To: obm-l@mat.puc-rio.br Vamos lá: tan81 + tan9 = cot9 + tan9 = cos9/sen9 + sen9/cos9 = (cos^2 9 + sen^2 9)/(sen9cos9) = 2/sen18. Analogamente, tan63 + tan27 = 2/sen54. Assim tan81-tan63-tan27+tan9 = 2/sen18 - 2/sen54 = 2(sen54-sen18)/sen54sen18 Utilizando Prostaferese, sen54 - sen18 = 2cos((54+18)/2)sen((54-18)/2) = 2cos36sen18 = 2sen54sen18. Substituindo, obtemos o resultado: tan81-tan63-tan27+tan9 = 2.2sen54sen18/sen54sen18 = 4. Aliás, fiquei curioso sobre o seguinte: para que valores de a e b, digamos, no primeiro quadrante, vale a identidade sen a - sen b = 2sen a sen b? Vale, por exemplo, para a = 54 e b = 18. Não cheguei a pensar e tampouco sei se esse novo problema é tratável, mas parece interessante... []'s Shine - Original Message From: Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, January 9, 2008 10:47:42 AM Subject: [obm-l] tan81-tan63-tan27+tan9=4 Sauda,c~oes, Alguém sabe como mostrar? []'s Luís _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger! http://www.amigosdomessenger.com.br/
[obm-l] blog e livro de construcoes de triangulos
Sauda,c~oes, Não sei como vou me sair com um blog mas vou tentar a experiência. No Endereço do blog: http://blog.escolademestres.com/qedtexte coloquei uma amostra do livro que pretendo publicar no começo de 2009. Em 2008 farei atualizações periódicas nos arquivos para download. Espero que este será um projeto que contará com a participação de quem queira sugerir construções diferentes, bibliografia, comentários, correções e desenho de algumas figuras. A notação no arquivo dos exercícios é quase universal. Uso d_k e e_k, k=a,b,c para designar as bissetrizes internas e externas, respectivamente. Saliento o caráter embrionário e tosco dos arquivos e peço parcimônia na impressão das páginas em nome do meio ambiente. Os arquivos permanecerão disponíveis e então algumas páginas de versões mais bem acabadas poderiam ser impressas. Um abraço, Luís _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger! http://www.amigosdomessenger.com.br/
RE: [obm-l] mais uma de trigonometria
Sauda,c~oes, Oi Graciliano, Dá pra construir o triângulo (T) com RC. E aí obter seus ângulos, lados etc. Seja (B,C) a base do T. A reta (A,C) é a reflexão da reta (A,B) em torno da bissetriz interna de A. Se B' é a imagem de B, então AB'=AB=c e CB'=b-c. Considere agora o T BCB'. Deste T conhecemos BC=a, CB'=b-c e ângulo CBB'=(B-C)/2. E o ângulo BB'C? O T BCB' é fácil de construir. Prolongue a reta (C,B') e ache o ponto A. Sabe como? Outro problema: construir o T ABC dados a,b+c,B-C. []'s Luís Date: Fri, 30 Nov 2007 09:35:32 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] mais uma de trigonometriaTo: [EMAIL PROTECTED]) em um triangulo qualquer ABC, temos como dado o lado a, a diferença dos lados b-c, a diferença dos angulos B-C e pede-se calcular cos(A/2). gostaria da colaboração dos amigos da lista Graciliano _ Encontre o que procura com mais eficiência! Instale já a Barra de Ferramentas com Windows Desktop Search GRÁTIS! http://desktop.msn.com.br/
RE: [obm-l] Vetores e complexos etc
Sauda,c~oes, E já que estamos nisso. Qual a diferença entre imagem e afixo no plano de Argand-Gauss: (a,b)=a+bi é imagem e/ou afixo ou nada disso? []'s Luís From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Vetores e complexos etcDate: Thu, 15 Nov 2007 14:46:34 -0200 Nehab, Gostei do entusiasmo pela didática. Aguardo o produto de complexos. Abraços, Sérgio _ Receba as últimas notícias do Brasil e do mundo direto no seu Messenger com Alertas MSN! É GRÁTIS! http://alertas.br.msn.com/
RE: [obm-l] identidade binomial Mathematics Magazine June 2007 p. 225
Sauda¸c~oes,
Retomo uma velha mensagem.
Na revista Mathematics Magazine June 2007 p. 225
deparei-me com a identidade
\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1}
\binom{2n-2k}{n-k} = \delta_{n,0} .
Ela aparece como corolário de uma longa exposição.
Tentando prová-la, seja
S_n := \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1}
\binom{2n-2k}{n-k} .
Uma das idéias é fazer S_n = [x^n] F(x) (coeficiente de x^n em F(x)),
onde F(x) é dada por
F(x) = \sum_{k\geq 0} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1}
Fazendo k=0,1,2,3,4 vem:
S_n = [x^n] {1 -14x^4 + 28x^5 - 20x^6 + 5x^7 + 14x^4(1-x)^5 +
\sum_{k\geq 5} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1} }
Assim, S_0=1 e S_1=S_2=S_3=S_4=0.
Falta provar que [x^n] F(x) = 0 para n\geq 5.
Dá pra fazer isso?
[]'s,
Luis
Dá sim. Escreva
F(x) = (1-x) \sum_{k\geq 0} C_k (x(1-x))^k
onde $C_k$ é o k-ésimo número de Catalan (NC).
Tendo em vista a função geratriz dos NC,
F(x) = (1-x) \frac{1-\sqrt{1 – 4x(1-x)}}{2x(1-x)} =
\frac{1-(1-2x)}{2x} = 1.
Na dedução acima teve a passagem 1 – 4x(1-x) = (1-2x)^2.
Logo, S_0=1 e S_n=0 para n\geq1.
[]'s
Luís
_
Veja mapas e encontre as melhores rotas para fugir do trânsito com o Live
Search Maps!
http://www.livemaps.com.br/index.aspx?tr=true
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
RE: [obm-l] [(1+x^2)/x] arctan x
Oi Henrique,
Quase. \frac{A}{B} = A/B.
Assim a expressão
\sum_{n = 0} \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} (\frac{4x^2}{1+x^2})^n =\frac{1+x^2}{x}
arctan x
se escreve tb como
\sum_{n = 0} {[(n!)^2]/[(2*n+1)!]}*[(4*x^2)/(1+x^2)]^n =
[(1+x^2)/x]*arctan(x)Se o Rodrigo puder colocar a imagem na pàgina dele, a
expressão é
\sum_{n\geq0} \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} \Bigl(\frac{4x^2}{1+x^2}\Bigr)^{\!n}
=\frac{1+x^2}{x} \arctan x
Não sei se tem o comando \arctan . Talvez seja \atan.
[]'s
Luis
Date: Thu, 1 Nov 2007 14:06:00 -0300 From: [EMAIL PROTECTED] To:
obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] [(1+x^2)/x] arctan x \sum_n
\frac{(n!)^2}{(2n+1)!} (\frac{4x^2}{1+x^2})^n = \frac{1+x^2}{x} arctan x
Essa expressão seria? sum_k=1_n {[(k!)^2]/(2*k+1)!}*[(4*x^2)/(1+x^2)^n]
= [(1+x^2)/x]*arctan(x) -- Henrique
_
Encontre o que procura com mais eficiência! Instale já a Barra de Ferramentas
com Windows Desktop Search GRÁTIS!
http://desktop.msn.com.br/
[obm-l] [(1+x^2)/x] arctan x
Sauda,c~oes,
Na resoluç~ao de um exercìcio, o resultado
\sum_n \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} (\frac{4x^2}{1+x^2})^n =
\frac{1+x^2}{x} arctan x
é considerado conhecido. Gostaria de saber como obtê-lo.
[]'s
Luis
_
Encontre o que procura com mais eficiência! Instale já a Barra de Ferramentas
com Windows Desktop Search GRÁTIS!
http://desktop.msn.com.br/
[obm-l] desigualdade triangular
Sauda¸c~oes, Hah algum tempo pediram para demonstrar que |b-c| a |b+c| . Usando o resultado -1 cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc 1 vem: -2bc b^2 + c^2 - a^2 2bc (bc 0)b^2 + c^2 - 2bc a^2 b^2 + c^2 +2bc(b-c)^2 a^2 (b+c)^2 |b-c| a |b+c| qed []'s Luìs _ Encontre o que procura com mais eficiência! Instale já a Barra de Ferramentas com Windows Desktop Search GRÁTIS! http://desktop.msn.com.br/
RE: [obm-l] Sequência e Indução (Urgente!!!)
Sauda¸c~oes,
Na revista Mathematics Magazine June 2007 p. 225 deparei-me com a identidade
\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} = =
\delta_{n,0} . Ela aparece como corolàrio de uma longa exposiç~ao.
Tentando provà-la, seja
S_n := \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} .
Uma das idéias é fazer S_n = [x^n] F(x) (coeficiente de x^n em F(x)),
onde F(x) é dada por
F(x) = \sum_{k\geq 0} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1}
Fazendo k=0,1,2,3,4 vem:
S_n = [x^n] {1 -14x^4 + 28x^5 - 20x^6 + 5x^7 + 14x^4(1-x)^5 +
\sum_{k\geq 5} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1} }
Assim, S_0=1 e S_1=S_2=S_3=S_4=0.
Falta provar que [x^n] F(x) = 0 para n\geq 5.
Dà pra fazer isso?
[]'s,
Luis
_
Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver
offline. Conheça o MSN Mobile!
http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
[obm-l] identidade binomial Mathematics Magazine June 2007 p. 225
Sauda¸c~oes,
Caro Ivan,
Você tem toda raz~ao. Eu fiz reply na ùltima mensagem guardada na caixa das
mensagens da lista e simplesmente esqueci de editar o assunto. Esquecimento
bobo mas que compromete o bom funcionamento da lista. Aliàs gostaria de pedir
ao Nicolau para retirar a mensagem com o assunto errado dos arquivos e deixar
somente esta. []'s
Luis
From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: RE: [obm-l] Sequência e Indução
(Urgente!!!)Date: Sat, 13 Oct 2007 23:40:35 +
Sauda¸c~oes, Na revista Mathematics Magazine June 2007 p. 225 deparei-me com a
identidade \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k}
\frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} = = \delta_{n,0} . Ela aparece como corolàrio
de uma longa exposiç~ao. Tentando provà-la, seja S_n := \sum_{k=0}^n (-1)^k
\binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} . Uma das idéias é fazer
S_n = [x^n] F(x) (coeficiente de x^n em F(x)), onde F(x) é dada por F(x) =
\sum_{k\geq 0} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1} Fazendo k=0,1,2,3,4
vem: S_n = [x^n] {1 -14x^4 + 28x^5 - 20x^6 + 5x^7 + 14x^4(1-x)^5 +
\sum_{k\geq 5} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1} } Assim, S_0=1 e
S_1=S_2=S_3=S_4=0. Falta provar que [x^n] F(x) = 0 para n\geq 5. Dà pra fazer
isso? []'s, Luis
_
Receba as últimas notícias do Brasil e do mundo direto no seu Messenger com
Alertas MSN! É GRÁTIS!
http://alertas.br.msn.com/
[obm-l] identidade binomial [era: RE: [obm-l] Sequência e Indu ção (Urgente!!!)]
Sauda¸c~oes,
Oi Rodrigo,
coloquei em imagem para ficar mais fácil de entender
Isso mesmo. Gostei de ver a imagem. Legal.
eu queria saber o que é o \delta_{n,0}
\delta_{n,0}=1 para n=0 e 0 para n\not= 0.
Dando valores para n na identidade você
entende melhor.
será que não da para provar usando alguma propriedade de potência fatorial
(factorial power)?Pode ser que sim (teoria das séries hipergeométricas).
Antes recomendo a leitura do livro A=B de Zeilberger e
outros.
[]'s
Luis
Date: Sat, 13 Oct 2007 23:13:56 -0300 From: [EMAIL PROTECTED] To:
obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Sequência e Indução (Urgente!!!)
vê se é esse o problema
http://s178.photobucket.com/albums/w268/rodrigo_renji/?action=viewcurrent=lista.jpg
coloquei em imagem para ficar mais fácil de entender, eu queria saber o
que é o \delta_{n,0} , será que não da para provar usando alguma
propriedade de potência fatorial (factorial power)? Rodrigo Em 13/10/07,
Luís Lopes[EMAIL PROTECTED] escreveu: Sauda¸c~oes, Na revista
Mathematics Magazine June 2007 p. 225 deparei-me com a identidade
\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} =
= \delta_{n,0} . Ela aparece como corolàrio de uma longa exposiç~ao.
Tentando provà-la, seja S_n := \sum_{k=0}^n (-1)^k
\binom{n-k+1}{k} \frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} . Uma das idéias
é fazer S_n = [x^n] F(x) (coeficiente de x^n em F(x)), onde F(x) é dada
por F(x) = \sum_{k\geq 0} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k
(1-x)^{k+1}Fazendo k=0,1,2,3,4 vem: S_n = [x^n] {1 -14x^4 +
28x^5 - 20x^6 + 5x^7 + 14x^4(1-x)^5 + \sum_{k\geq 5}
\frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1} } Assim, S_0=1 e
S_1=S_2=S_3=S_4=0. Falta provar que [x^n] F(x) = 0 para n\geq 5. Dà
pra fazer isso? []'s, Luis
_
Receba as últimas notícias do Brasil e do mundo direto no seu Messenger com
Alertas MSN! É GRÁTIS!
http://alertas.br.msn.com/
RE: RES: [obm-l] Uma PAG
Sauda,c~oes,
Uma outra solução é por antidiferenças.
S_n(x) = \sum_{k=1}^n kx^{k-1} =
(1/x)\sum_{k=1}^n kx^k
Se f(k) = kx^k, então F(k) (antidiferença
de f(k) ) é
F(k) = \frac{kx^k}{x-1} - \frac{x^{k+1}}{(x-1)^2}
S_(x) = 1/x \sum_{k=1}^n f(k) = 1/x[F(n+1) - F(1)].
Agora é só fazer as contas.
S_n(x) = (1-(n+1)x^n+nx^{n+1}) / (1-x)^2
[]'s
Luís
Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome
de vitoriogaussEnviada em: quinta-feira, 20 de setembro de 2007 15:54Para:
obm-lAssunto: [obm-l] Uma PAG
Calcule a soma Sn=1+2x+3x^2+...+nx^n-1
Eu cheguei ao seguinte resultado:
Sn= (1 - (n+1)x^n + nx^n+1 ) / ( 1 - x )^2
Estou correto
_
Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver
offline. Conheça o MSN Mobile!
http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
[obm-l] interse,c~ao de reta e c^onica
Sauda,c~oes, Alguém conheceria alguma referência -atual- em português que dê a construção com régua e compasso da interseção de uma reta com uma cônica? Tenho uma referência em italiano e uma parcial em inglês que ainda preciso confirmar: Ruler and Compass by H.P. Hudson. Tenho o Petersen (inglês) e o F.G.-M. (Geometria e Trigonometria, ambos em francês) mas não sei se tal solução encontra-se neles. O idioma e a solução não são o problema, procuro uma referência fácil de ser encontrada aqui. Tenho também uma apostila de Cônicas do Célio que trata deste problema mas imagino que seja uma publicação que poucos conhecem. []'s Luís _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] problema do livro
Oi Vanderlei, Pode. A resposta no livro está imprecisa. Fique com a solução apresentada na lista. Acho que do Rogério. Um abraço, Luís From: vandermath [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] problema do livro Date: Wed, 20 Jun 2007 10:54:41 -0300 Prezado Luis Lopes A minha dúvida é a seguinte: Não pode acontecer de uma pessoa ser desconhecida de todas, mas todas as outras conheceram pelo menos uma pessoa? Como se esse pessoa fosse um penetra da festa? Um abraço, Vanderlei Em (14:17:58), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Sauda,c~oes, Oi Vanderlei, Não está dito mas supõe-se que se eu não conheço você então você também não me conhece. Talvez aí esteja a sua dúvida. Um abraço, Luís From: Bruno França dos Reis Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] problema do livro é divertido resolver problemas Date: Wed, 13 Jun 2007 23:32:31 -0300 Talvez fosse legal vc colocar detalhes sobre esse problema... se não quem não conhece o livro terá que ir atrás dele pra responder pra vc! 2007/6/13, vandermath : Caros colegas da lista! Não entendi a explicação do problema número 14 (o teorema da amizade) do livro do Luís Lopes cujo título é: É divertido resolver problemas. Ele diz que no caso de uma das pessoas ter zero amigos, pelo menos mais uma outra pessoa terá zero amigos. Porque? Não pode acontecer de apenas uma pessoa ter nenhum amigo? Se alguém puder ajudar, talvez o próprio autor, eu agradeço... Um abraço, Vanderlei _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html -- _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] problema do livro é divertido resolver problemas
Sauda,c~oes, Oi Vanderlei, Não está dito mas supõe-se que se eu não conheço você então você também não me conhece. Talvez aí esteja a sua dúvida. Um abraço, Luís From: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] problema do livro é divertido resolver problemas Date: Wed, 13 Jun 2007 23:32:31 -0300 Talvez fosse legal vc colocar detalhes sobre esse problema... se não quem não conhece o livro terá que ir atrás dele pra responder pra vc! 2007/6/13, vandermath [EMAIL PROTECTED]: Caros colegas da lista! Não entendi a explicação do problema número 14 (o teorema da amizade) do livro do Luís Lopes cujo título é: É divertido resolver problemas. Ele diz que no caso de uma das pessoas ter zero amigos, pelo menos mais uma outra pessoa terá zero amigos. Porque? Não pode acontecer de apenas uma pessoa ter nenhum amigo? Se alguém puder ajudar, talvez o próprio autor, eu agradeço... Um abraço, Vanderlei _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] número de inteiros num intervalo
Sauda,c~oes,
Se x=3^{2005}, determine o número de inteiros
compreendidos entre \sqrt{x^2 + 2x + 4} e
\sqrt{4x^2 + 2x + 1}.
R.: 3^{2005} - 1.
[]'s
Luís
_
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re:[obm-l] Teoria dos números
Sauda,c~oes, Esta questão já apareceu na lista e foi resolvida pelo Gugu. http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200602/msg00042.html []'s Luís De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 2 May 2007 13:27:51 -0300 Assunto: [obm-l] Teoria dos números Este problema parece interessante. Talvez tenha alguma solucao facil, mas nao vi. Mostre que, para todo inteiro positivo n, (raiz(2) - 1)^n = raiz(m) - raiz(m -1), sendo m=1 um inteiro. Artur _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] racionalizar
Sauda,c~oes,
Como se racionaliza X/Y, com
X = a^{15} - 1 e
Y = a^{3/16} + a(a^{1/8}) + a^2(a^{1/16}) + a^3 ?
[]'s
Luís
_
MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] desigualdade de Bonferroni
Sauda,c~oes, Acabo de fazer uma busca e encontrei estes links. http://www.cargalmathbooks.com/24%20Bonferroni%20Inequality.pdf http://www.cargalmathbooks.com/lectures.htm http://www.cargalmathbooks.com []'s Luís Em 18/04/07, Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] escreveu: Que tal usar a desigualdede de Bonferroni(essa eu aprendi com o querido Morgado há alguns anos..) n(A1 e A2 e A3 e...An) ou = n(A1)+n(A2)+n(A3) + ...-(n-1).n(A1 ou A2 ou A3 ou ... ou An) para n=3 ,temos que: n(AeBeC) ou = n(A)+n(B)+n(C) - (3-1).n(A ou B ou C) n(AeBeC) ou = 82+78+75 - 2 . 100 n(AeBeC) ou = 35% == o mínimo valor de n(AeBeC) é 35%. Valew, Cgomes - Original Message - *From:* Ricardo Teixeira [EMAIL PROTECTED] *To:* obm-l obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Wednesday, April 18, 2007 8:02 PM *Subject:* [obm-l] Preciso de ajuda. Eis o problema. Numa escola, 82% dos alunos gostam de pizza, 78% de chocolate e 75% de pastel. Quantos alunos, no mínimo, gostam dos três ao mesmo tempo? _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] problema de geometria e link de IMO's
Sauda,c~oes, No email editado abaixo tem um problema de geometria, sua fonte (um jornal de Hong Kong com o link) e uma discussão de sua solução. Se o Claudio (obrigado pelas demonstrações, muito claras) não conhece, o jornal de HK traz muitos problemas tipo IMO. []'s Luís Dear all my friends: The problem angles is from Mathematical Excalibur Vol 7 nº 3, problem 158 http://www.math.ust.hk/excalibur/v7_n3.pdf Best regard Ricardo Vladimir Dubrovsky wrote: Dear Tuan, Ricardo, Kostas, Tarik, Francois and Nikolaos Somehow I missed some posts and found another solution to Tuan's question. It seems to be shorter, so I decided to add it to the collection. So we have point P on AD such that Angle BPD=Angle BAC=2Angle DPC. Extend AD to meet the circumcircle of ABC at E; let CE=d, BE=e. Then BD:DC=area(ABE) :area(ACE) =ce/bd. (*) Triangle PBE is similar to ABC; hence PE=be/a. (This is, actually, Francois's similarity.) Triangle CPF is similar to A'AB, where AA' is the bisector of A (this is another similarity, but a transformational argument escapes me; maybe Francois can shed light on it). Hence PE= cd/BA' =(b+c)d/a. It remains to equate the two expressions for PE and substitute the resulting e/d=(b+c)/b into (*). Notice that if we take triangle EBC as the initial one (instead of ABC), then P will be on the *extension* of ED. The original relation between the angles is violated, but it will remain the same if we think of angles as oriented angles between lines rather than rays. So, in a certain way, this answers Tarik's question: BD/DC = e(e-d)/dd. Best regards, Vladimir == [QTB] This fact is still true for any triangle ABC. In this case, D divide BC by one simple ratio depending on sides a, b, c. What is this ratio and how is the proof for this general case? [TA] Dear kostas, if the point P is on the extension of the line AD will your proof work there? Moon Bangladesh [ND] We construct a point D on BC such that BD/DC = k =c(b+c)/bb The parallel from D to AC meets AB at E. The circumcircle EBC meets AC at F. The circumcircle EBD meets AD at P. It is easy to prove that DF is parallel to AA' the A_bisector from CA'=ac/(b+c) DC=a/(k+1) AE = c/(k+1) AE.AB = AF.AC and CF/CA = CD/CA' Hence the ratio is k. For b=c we get k=2 as in Barosso's problem. The contruction of D is as follows: We construct the parallelogram BCAC1. The parallel from C to AA' meets AB at C2 The reflection of A in B is the point C3. The circumcircle of C1C2C3 meets the line BC1 at C4. The line AC4 meets BC at the point we want D. Best regards Nikos Dergiades [FR] Here another proof where I have tried to minimize the number of auxiliary points. Let f be the direct similarity of center B sending A to P and E = f(C). By hypothesis, A, P, E are on a same line. We have the following equalities between angles of lines: (CA, CB) = (EP, EB) (invariance of angles by a direct similarity) (EP, EB) = (EA, EB) (for A, B, P are on a same line) So (EA, EB) = (CA, CB) and points A, B, C, E are cocyclic (i.e on a same circle) Now as A is on the perpendicular bisector of segment BC, line EA is a bisector of angle The other bisector is through the point D harmonic conjugate of D wrt BC. But by assumption done on D (i.e BD = 2 DC), C is the middle of BD. Let F be the middle of segment BE. Then FC is parallel to EDand hence perpendicular to line EDPA. Hence C and F are symmetric wrt this last line and we are done : Un abrazo Francois _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] sites com problemas olímpicos
Sauda,c~oes, O mesmo Ricardo da mensagem anterior mandou mais dois links. Deixo os três aqui juntos. Mathematical Excalibur http://www.math.ust.hk/excalibur/v7_n3.pdf In http://members.tripod.com/%7EPertselV/RusMath.html http://www.komal.hu/info/bemutatkozas.e.shtml there are many problems.. Ricardo Dei uma olhada bem rápido no site russo e peguei este problema: Prove that for every natural n the following inequality is held: (2n + 1)^n = (2n)^n + (2n - 1)^n. []'s Luís _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] raízes comuns e IME 56
Sauda,c~oes,
Oi Claudio,
Seja mdc(m,n)=d.
Como provar que mdc(x^n-1,x^m-1)=x^d-1 ?
Resumindo minhas tentativas, x^n-1=(x^d-1)p(x)
e x^m-1=(x^d-1)q(x) com grau[p(x)]=n-d ;
x^m-1=(x^d-1)q(x) com grau[q(x)]=m-d .
Não consigo ver que mdc(p(x),q(x))=k ,
ou seja, p e q são primos.
Fiz uma busca e encontrei o site
http://everything2.com/index.pl?node_id=1736976lastnode_id=0
Gostei.
E pra terminar, um problema do IME 56. Não sei se faz parte
do arquivo do Sérgio.
Determine n natural para que (z+a)^n - z^n - a^n = 0, onde
a é um real diferente de zero e z = a.e^{2\pi i/3}.
[]'s
Luís
_
MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re:[obm-l] algebra complexa dos complexos
Sauda,c~oes, Oi Claudio, Teorema 5: A cns para que r_k = cis(2k\pi/n) seja raiz primitiva de índice n da unidade é que k seja primo com n. Com efeito, para r_k ser raiz primitiva da unidade, r_k não pode ser raiz da unidade com índice menor que n e, portanto, a fração k/n deve ser insimplificável (ou irredutível). Isto remete ao Teorema 6, onde antes escrevera e o Claudio respondera: Depois mando o Teorema 6, que trata do número de raízes primitivas de índice n da unidade. Também sem demonstração. Este número é Phi(n) = número de inteiros positivos menores do que n e primos com n. Teorema 6: Se a decomposição do número n em fatores primos é n = p^\alpha q^\beta ... s^\lambda , então o número de raízes primitivas de índice n da unidade é Phi(n). E Phi(n) = n(1 - 1/p)(1 - 1/q) ... (1 - 1/s). Como demonstrar isto é outra história. No livro de Álgebra do Morgado tem uma referência. E o Google ajuda também. []'s, Luís _ Descubra como mandar Torpedos SMS do seu Messenger para o celular dos seus amigos. http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] desigualdade da Eureka romena (2)
Sauda,c~oes,
===
2(1+x^{n+1})^n = (1+x^n)^{n+1}
para x0 , n\in N.
===
Tentei por indução e não consegui.
===
Depois mando outra.
===
Aí vai:
Seja S_n(p) = S = 1 + 2^p + 3^p + n^p
com n,p\in N; p = n 0. Mostre que
[n/(p+1)] + 1/2 = S/n^p 2 .
Fonte: Gazeta Matematica V.97, p.228.
[]'s
Luis
_
MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re:[obm-l] desigualdade da Eureka romena (2)
Sauda,c~oes,
Oi Claudio,
===
2(1+x^{n+1})^n = (1+x^n)^{n+1}
para x0 , n\in N.
===
Sua solução é a padrão. ok.
Nem tentei deste modo pois se funcionar não
tem graça. Valeu.
===
Seja S_n(p) = S = 1 + 2^p + 3^p + n^p
com n,p\in N; p = n 0. Mostre que
[n/(p+1)] + 1/2 = S/n^p 2 .
===
Gostei. Valeu novamente.
===
Pra outra desigualdade vou ter que pensar mais um pouco,
mas imagino que [n/(p+1)] não deva ser a parte inteira de
n/(p+1), que é zero.
===
Não é. O termo é somente n/(p+1). Não tenho hábito de
escrever [x] parte inteira de x. Escrevo \lfloor e \rfloor do
LaTeX ou defino [x] parte inteira. Foi mal.
[]'s
L.
_
MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] desigualdade da Eureka romena
Sauda,c~oes,
Obrigado Shine e Claudio.
Mais um da Gazeta Matematica V.97, p.228.
2(1+x^{n+1})^n = (1+x^n)^{n+1}
para x0 , n\in N.
Depois mando outra.
[]'s
Luis
_
MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] soma da Eureka romena
Sauda,c~oes,
Esta é da Gazeta Matematica V.97, p.229.
Calcular
\sum_{k=1}^{n-1} \tan(k\pi/n) \tan[(k+1)\pi/n]
n=3, ímpar.
[]'s
Luis
_
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Soma com a função piso [Era:Numeros Irraci onais]
Oi Claudio,
Tudo muito bom, muito didático.
Como a gente aprende nesta lista.
===
Eu tenho um exemplar da 5a. edição, de 1991.
===
Não ajuda. Gostaria de saber se tem alguma anterior
a 1970. Pois ...
A solução da referência de 1970 é igual a que você mandou.
===
Antes de mandar outro email, gostaria de ter a prova do
seguinte resultado:
[a] + [b] = [a+b] para todo a,b em R.
===
Agora que temos a prova :), mostremos por indução
que
S_n(x) := \sum_{k=1}^n \frac{\lfloor kx\rfloor}{k} =
\sum_{k=1}^n [kx]/k = [nx], n=1,2,... x\in R.
Usando a definição de S_n(x), podemos escrever:
S_1(x) = [x]
2(S_2(x) - S_1(x)) = [2x]
3(S_3(x) - S_2(x)) = [3x]
..
n(S_n(x) - S_{n-1}(x)) = [nx]
A desigualdade (proposição P_n) é claramente verdadeira para
n=1. Supomos agora que P_k é verdadeira para k=2,3,...,n-1.
Devemos mostrar que P_k é verdadeira para k=n, ou seja,
S_n(x) = [nx].
Somando as n igualdades acima, vem:
nS_n(x) = S_1(x) + S_2(x) + ... S_{n-1}(x) + [x] + ... + [(n-1)x] + [nx] .
(*)
Como S_k(x) = [kx] para 2 = k = n-1 pela hipótese de indução
e S_1(x) = [x], podemos escrever: S_k(x) = [kx] para 1 = k = n-1.
Logo,
S_k(x) + [(n-k)x] = [kx] + [(n-k)x] para 1 = k = n-1.
Mas como sabemos, [a] + [b] = [a+b] para todo a,b em R. Portanto,
S_k(x) + [(n-k)x] = [nx] para 1 = k = n-1.
Voltando a (*):
nS_n(x) = (n-1)[nx] + [nx] = n[nx]
S_n(x) = [nx] qed
A César o que é de César: pedi ao professor Rousseau
alguns exercícios legais de Indução e este é um deles.
Não sei dizer se a solução é dele.
Mas que é elegante é.
[]'s
Luís
From: claudio\.buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Numeros Irracionais
Date: Thu, 15 Feb 2007 08:20:56 -0300
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Wed, 14 Feb 2007 13:34:04 +
Assunto:Re: [obm-l] Numeros Irracionais
Sauda,c~oes,
Oi Claudio,
===
No entanto, o terceiro (do qual o Niven eh co-autor)
Introduction to the Theory of Numbers.
===
De que ano é este livro?
Eu tenho um exemplar da 5a. edição, de 1991.
===
tem uma das mais completas colecoes de problemas sobre
teoria elementar (*) dos numeros que eu conheco, inclusive os famosos:
1. [...]
2. Seja [x] o unico inteiro tal que [x] = x [x]+1.
Prove que, para todo n em N:
[x] + [2x]/2 + [3x]/3 + ... + [nx]/n = [nx]
===
Como é a solução (tem?) do livro?
Não, mas tem aqui:
http://www.kalva.demon.co.uk/usa/usoln/usol815.html
(aliás, eu me enganei - a questão foi da USAMO-1981 e não da IMO)
Em Nieuw Archief voor Wiskunde 18 (1970), pp.93--95
tem uma solução para este problema.
E se não estou enganado, aqui ele supõe x0.
Como vc não falou nada, suponho que a desigualdade
é verdadeira para todo x.
Você está certo, a questão original pressupõe x 0.
No entanto, se x = M + a, com M inteiro e 0 = a 1, então:
[kx] = [kM + ka] = kM + [ka], de modo que:
[nx] = nM + [na]
e
SOMA(1=k=n) [kx]/k = nM + SOMA(1=k=n) [ka]/k.
Logo, basta verificar a desigualdade para 0 = x 1.
(repare que se, por exemplo, x = -4.7, então M = -5 e a = 0.3)
Antes de mandar outro email, gostaria de ter a prova do
seguinte resultado:
[a] + [b] = [a+b] para todo a,b em R.
Basta escrever a = m+x, b = n+y, com m, n em Z e 0 = x, y 1.
Então: [a+b] = [m+x+n+y] = m+n + [x+y] = m+n = [a]+[b].
Aliás, também é verdade que [a+b] [a]+[b]+1.
Boa parte dos problemas envolvendo [.] pode ser resolvida por meio do
algoritmo da divisão: se m e n são inteiros, então existem (e são únicos)
inteiros q e r tais que m = qn + r e 0 = r = |n|-1.
Por exemplo, estes aqui:
1. Prove que, para todo x real e todo n em N, [x/n] = [[x]/n].
2. Prove que:
[x] + [x + 1/n] + [x + 2/n] + ... + [x + (n-1)/n] = [nx].
3. Se m e n são inteiros positivos primos entre si, então:
SOMA(1=k=n-1) [km/n] = SOMA(1=k=m-1) [kn/m] = (m-1)(n-1)/2.
[]s,
Claudio.
_
Chegou o Windows Live Spaces com rede social. Confira
http://spaces.live.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Desenho Geométrico [Complexos em Geometria e Napoleao]
Sauda,c~oes, Oi Nehab, Os problemas a que você está se referindo são os de construir o triângulo dados 3 pontos. Isto será tema de um outro estudo para o qual já estou pensando e coletando dados. Assim sua lista pode considerar o problema A,G,I (e outros derivados como A,I,M_a) resolvido com solução geométrica pura, enquanto que o H,I,O (e outros derivados) está resolvido no sentido de não ser possível a construção com régua e compasso. No entanto, dá pra se falar muito deste problema (pra começar, dá pra construir os raios R e r) pois muitos pontos notáveis podem ser construídos. E também, coisa interessante, há uma elipse inscrita no triângulo com focos O e H se todos os ângulos são agudos. E por aí vai. Prefiro também os problemas com solução geométrica pura, mas às vezes não consigo fugir da solução algébrica ou analítica. A maioria dos problemas de construção dados ângulos e segmentos possui tal solução. Dois que gosto: a,h_a,d_a e h_a,h_b,d_c (este é difícil). Tem uma solução no livro alemão e outra no do Posamantier (não estou certo da grafia). A solução usando d_c sen(C/2)/h_a = h_b/(h_a+h_b) não vale. Por outro lado, ainda procuro uma deste tipo para A,m_a,r e A,m_a,r_a. Não sei se tem. Tem uma usando álgebra e o poder de fatoração do Mathematica pra recair num polinômio do segundo grau e uma outra por GA onde aparece a interseção de uma reta com uma parábola. Já escrevi muito de novo. []'s Luís From: Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Desenho Geométrico [Complexos em Geometria e Napoleao] Date: Thu, 15 Feb 2007 10:44:41 -0200 Oi, Luís Embora sem poder dedicar muito tempo para isto, estou mapeando os exercícios de construções geométricas no triângulo em níveis de aprendizagem (em 3 niveis) pois de fato, uns são imediatos mas outros ainda são problemas em aberto. Minhas referências centrais continuam sendo os artigos publicados no Mathematics Magazin - do William Wernick (1982), que listou 139 problemas e do Leroy F. Meyers (1996), que complementou algumas soluções (não sei quantos dos problemas estão em aberto - parece que são uns 20). Mas meu interesse é desenvolver nos alunos o olhar geométrico, e então prefiro enfatizar os problemas com solução geométrica pura, evitando os que usam soluções por Geometria Analítica ou usando provas indiretas de não construtividade (usando Gauss, ou suas conseqüências) Quanto ao prof Astyages Brasil (acho difícil haver duas pessoas com este nome) não o conheço pessoalmente, mas há pouco tempo dei de cara numa livraria com um livro (possivelmente o que você soube que ele publicou), com no máximo umas 100 páginas em que o referido professor apresenta 3 demonstrações do último teorema de Fermat. Logo... (é raro de acontecer, mas este é um livro que não eu li e não gostei...). Vide http://www.papelvirtual.com.br/sitenovo/detalhes_produto2.asp?IDProduto=1058 Quanto ao problema que você propôs (o problema 25 do Wernick) - que prometeu a solução ... Construir com régua e compasso um triângulo dados o lado a ; a mediana m relativa ao lado a e a bisetriz interna d relativa ao lado não consegui uma solução simples e fui atrás de sua dica (lá vi a solução) e de fato é muito engenhosa e dificilmente eu a encontraria. Abraços, Nehab At 14:30 14/2/2007, you wrote: Sauda,c~oes, Oi Nehab, Este teu email é o gancho pra mandar o problema e a solução abaixo. == rhombus (losange) construction Posted by: Lu?s Lopes [EMAIL PROTECTED] qedtexte Date: Wed Feb 14, 2007 4:03 am ((PST)) Dear Hyacinthists, Construct a rhombus given a line and any four points so that a diagonal is parallel to the line and each side goes through one of those four points. Mr. Smith presented me this problem yesterday and told me it has been given as an assignment in 1963. And that he is still looking for a solution! As his memory may fail and I don't want to lose time in an ill problem I would like to have your opinion about it. Best regards, Luis Dear Luis, Let A,B,C,D be the given points, where A and C are supposed to lie on opposite sides of the rhombus. Reflect the vector BD in the given line to obtain B'D' and draw the latter from A to obtain vec. AM= vec. B'D'. Then point M must lie on the same side line of the rhombus as C. This defines (unless M=C, of course) the side line and hence the directions of all the sides. Best regards, Vladimir O Vladimir é da Rússia e lá eu acho que o DG faz parte do currículo. O professor do teste em 1963 era o Astyages Brasil. Só conheci o Brasil recentemente, mas já ouvi dizer que ele foi um excelente professor de geometria e afins. Talvez você possa falar um pouco a respeito dele. Soube que ele publicou um livro recentemente. Quem me propôs o problema ontem foi o xxx (encontrei-me ontem com ele pela primeira vez). Ele era estudante da PUC e o Brasil passou o problema num teste. Ele viu na tela do meu
RE: [obm-l] Ajuda urgente
Sauda,c~oes,
Oi Marcus Aurélio,
Este é o exercício 102 no meu livro Manual de Progressões
(ver www.escolademestres.com/qedtexte).
{3, 0, 5, 34, 135, 452, ...}
Sugestão: faça uma tabela de diferenças.
a_0=3, a_1=0 ...
Então a_k = 2.3^k + 1 -7k. Se a_1=3, então
a_k= 2.3^{k-1} + 8 - 7k
S_n = \sum_{k=1}^n a_k = n(9-7n)/2 + 3^n - 1.
[]'s
Luís
From: Marcus Aurélio [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Ajuda urgente
Date: Thu, 15 Feb 2007 11:57:18 -0200
Alguem poderia me ajudar nessa questão?
Determine o termo geral da seqüência {3, 0, 5, 34, 135, 452, ...} e calcule
em seguida a soma dos seus n primeiros termos.
_
MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Numeros Irracionais
Sauda,c~oes, Oi Claudio, === No entanto, o terceiro (do qual o Niven eh co-autor) Introduction to the Theory of Numbers. === De que ano é este livro? === tem uma das mais completas colecoes de problemas sobre teoria elementar (*) dos numeros que eu conheco, inclusive os famosos: 1. [...] 2. Seja [x] o unico inteiro tal que [x] = x [x]+1. Prove que, para todo n em N: [x] + [2x]/2 + [3x]/3 + ... + [nx]/n = [nx] === Como é a solução (tem?) do livro? Em Nieuw Archief voor Wiskunde 18 (1970), pp.93--95 tem uma solução para este problema. E se não estou enganado, aqui ele supõe x0. Como vc não falou nada, suponho que a desigualdade é verdadeira para todo x. Antes de mandar outro email, gostaria de ter a prova do seguinte resultado: [a] + [b] = [a+b] para todo a,b em R. []'s Luis From: claudio\.buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Numeros Irracionais Date: Tue, 13 Feb 2007 09:47:19 -0300 Faleceu pra voce, matematico ingrato...(rs) Continua bem vivo no meu coracao e na minha estante na forma do Irrational Numbers, mencionado abaixo, do Mathematics of Choice (How to Count without Counting) e do Introduction to the Theory of Numbers. O segundo eh uma introducao a combinatoria enumerativa (mas que nao deve nada a este aqui: http://www.sbm.org.br/livros/cpm/lcpm02.html e, de fato, eh um pouco mais elementar e tem bem menos problemas - resolvidos e propostos). No entanto, o terceiro (do qual o Niven eh co- autor) tem uma das mais completas colecoes de problemas sobre teoria elementar (*) dos numeros que eu conheco, inclusive os famosos: 1. Prove que se a, b e (a^2+b^2)/(1+ab) sao inteiros positivos entao (a^2+b^2)/(1+ab) eh quadrado perfeito. 2. Seja [x] o unico inteiro tal que [x] = x [x]+1. Prove que, para todo n em N: [x] + [2x]/2 + [3x]/3 + ... + [nx]/n = [nx] os quais cairam na IMO. (*) Elementar e Facil sao duas coisas bem distintas... []s, Claudio. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Desenho Geométrico [Complexos em Geometria e Napoleao]
Sauda,c~oes, Oi Nehab, Este teu email é o gancho pra mandar o problema e a solução abaixo. == rhombus (losange) construction Posted by: Lu?s Lopes [EMAIL PROTECTED] qedtexte Date: Wed Feb 14, 2007 4:03 am ((PST)) Dear Hyacinthists, Construct a rhombus given a line and any four points so that a diagonal is parallel to the line and each side goes through one of those four points. Mr. Smith presented me this problem yesterday and told me it has been given as an assignment in 1963. And that he is still looking for a solution! As his memory may fail and I don't want to lose time in an ill problem I would like to have your opinion about it. Best regards, Luis Dear Luis, Let A,B,C,D be the given points, where A and C are supposed to lie on opposite sides of the rhombus. Reflect the vector BD in the given line to obtain B'D' and draw the latter from A to obtain vec. AM= vec. B'D'. Then point M must lie on the same side line of the rhombus as C. This defines (unless M=C, of course) the side line and hence the directions of all the sides. Best regards, Vladimir O Vladimir é da Rússia e lá eu acho que o DG faz parte do currículo. O professor do teste em 1963 era o Astyages Brasil. Só conheci o Brasil recentemente, mas já ouvi dizer que ele foi um excelente professor de geometria e afins. Talvez você possa falar um pouco a respeito dele. Soube que ele publicou um livro recentemente. Quem me propôs o problema ontem foi o xxx (encontrei-me ontem com ele pela primeira vez). Ele era estudante da PUC e o Brasil passou o problema num teste. Ele viu na tela do meu computador a figura da solução do problema a,h_a,m_b e se deteve perto de mim (assim do nada) pra me dizer que recentemente tinha resolvido um problena de DG. A conversa avançou e ele quer dizer pro Brasil que conseguiu resolvê-lo. Por essas e outras não consigo entender por que o DG foi retirado do currículo. E agora com os programas de desenho deveria voltar. O problema a,h_a,m_b de construir o triângulo com estes dados é fácil. Um outro A,m_a,d_a d_a=bissetriz interna é bem interessante e legal. Conheço umas 4 soluções para ele. A solução sintética que apareceu num periódico é muito elegante. Recai no problema A,a,d_a, um clássico. A solução com GA (do A,m_a,d_a) permite o uso de diversos conceitos, a começar pela dedução do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos determinados pelas interseções das retas que passam pelo pé (D_a) da bissetriz com os lados do triângulo. Num sistema conveniente isto dá uma hipérbole (cônicas, outro assunto que poderia reaparecer num tratamento geométrico como o da apostila do Célio Pinto) de vértices A e D_a e assíntotas paralelas aos lados do ângulo no vértice A. A interseção com o círculo (A,m_a) resolve o problema. Conheço tb a solução sintética de um livro alemão que vou mostrar num livro que estou escrevendo. Podemos pensar no problema com a bissetriz externa também. Outro problema interessante é a,m_a,d_a. Vou colocar a solução sintética (a essência da geometria) do prof. Paul Yiu que apareceu num jornal eletrônico (ForumGeometricorum) recentemente. Caraca, não quero ganhar o concurso de quem faz o mais longo email. []'s Luís From: Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Complexos em Geometria e Napoleao Date: Wed, 14 Feb 2007 13:04:33 -0200 Oi Claudio, Espero que este email nao seja considerado muito off-topic pelos colegas, pois que é mais sobre Educação em Matemática (que é minha praia mais amada) do que sobre problemas em Matemática (que hoje é apenas um passatempo delicioso para mim - mas um passatempo - me encanto aprendendo com vocês). Muito úteis as informações complementares inclusive a piadinha da pressão... (e cá para nós, em matéria de ego o Fermat e o Napoleao... uhmmm não sei quem era mais doente, não)... Mas a principal razão de eu ter comentado que uso a tal propriedade dos complexos para matar problemas em geometria vem de uma preocupação anterior que não explicitei (só pensei) no email anterior :-) Hoje eu percebo nos alunos uma imensa dificuldade em enxergar geometria (uma quantidade enorme de alunos tem uma dificuldade inacreditável até para desenhar um cubo em perspectiva).Talvez a razão se origine lá atrás, quando disciplinas como Desenho Geométrico, Geometria Descritiva e Perspectiva faziam parte do currículo normal e deixaram de sê-lo. A cegueira geométrica aumentou consideravelmente de lá para cá. Assim rotações, translações, homotetias, simetrias, inversões e um pouco de homologia eram técnicas usadas para matar geometricamente inúmeros problemas e desenvolver nossa capacidade de ver geometricamente. Hoje, embora haja inúmeros textos bem escritos sobre todos estes assuntos, a maioria não possui o desejado viés puramente geométrico. Naturalmente, como você comentou, há a informação abundante disponível na Internet (aliás sou frequentador
[obm-l] RE: [obm-l] Séries
Sauda,c~oes,
Resumindo:
Achei
A = 1/3 + \frac{\sqrt3}{9}\ln(2+\sqrt3).
O Nicolau achou
Em particular, a série pedida originalmente é
z(1) = 1/3 + 2/(3 sqrt(3)) arcsenh(1/sqrt(2)) ~= .5867819986
===
Hum de repente
2/(3 sqrt(3)) arcsenh(1/sqrt(2)) = \frac{\sqrt3}{9} \ln(2+\sqrt3).
Deixo isso para ser mostrado verdade ou falso pra vocês.
Ou então
2 arcsenh(1/sqrt(2)) = \ln(2+\sqrt3).
Como arcsenh(u) = \ln(u+\sqrt{u^2+1}), a igualdade é verdadeira.
Troquei algumas mensagens com o prof. Rousseau
sobre esta série e seu último email segue. Vale a pena ler
o paper ali citado.
Cito este paper no Manual de SS2. Uma amostra deste livro,
com a bibliografia, pode ser vista em
www.escolademestres.com/qedtexte
[]'s
Luís
Dear Luis:
Good. This series and many similar
ones are discussed in a 1985 article in
the American Mathematical Monthly by
D. H. Lehmer. I have attached the
pdf file.
Cecil
_
MSN Messenger: converse com os seus amigos online.
http://messenger.msn.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Séries
Sauda,c~oes,
Oi Nicolau, Salhab, Cleber (cadê vc?),
Estou enferrujado e preguiçoso para tentar achar a integral.
Ontem à noite olhei em casa no Manual de Fórmulas da
Coleção Schaum e cheguei a
U(x) = \frac{2}{\sqrt{2/x - 1}} arctan\frac{1}{\sqrt{2/x - 1}}
Não parecia nada bom. Continuei assim mesmo e calculei U'(x)
pois S(x) = xU'(x).
Depois de cálculos longos e chatos e achando que não ia
dar em nada (pois tinha o resultado do N.) encontrei
S(-1) = -1/3 - \frac{2\sqrt3}{9}arctanh(\sqrt3/3) .
E como A = valor da série pedida = -S(-1), vem:
A = 1/3 + \frac{2\sqrt3}{9}arctanh(\sqrt3/3) que pode
ser escrito como
A = 1/3 + \frac{\sqrt3}{9}\ln(2+\sqrt3).
Terminei isso ontem à noite. Tá certo??? Me perguntava.
A fórmula do N. tinha arcsenh, lembrava-me.
Chego aqui e pego minha calculadora, que mostra:
A ~= 0.586781999 , com o último 9 suspeito.
===
Pego o final da mensagem do N. :
Em particular, a série pedida originalmente é
z(1) = 1/3 + 2/(3 sqrt(3)) arcsenh(1/sqrt(2)) ~= .5867819986
===
Hum de repente
2/(3 sqrt(3)) arcsenh(1/sqrt(2)) = \frac{\sqrt3}{9} \ln(2+\sqrt3).
Deixo isso para ser mostrado verdade ou falso pra vocês.
[]'s
Luís
From: Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Séries
Date: Tue, 30 Jan 2007 19:34:22 -0200
Olá,
int { t / (2t^2 - 2t + 1/x) } dt pode ser resolvida por decomposicao em
fracoes parciais, nao pode?
[...]
_
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] [obm-l] Séries
Sauda,c~oes,
Oi Nicolau,
Legal, então temos uma forma fechada para a soma.
Volto agora aos meus cálculos.
Sabendo disso (que se tem uma forma fechada), e se
o que fiz está certo,
U(x) = 2\int_0^1 \frac{t}{2t^2-2t+1/x} dt
tem também uma forma fechada. Será que alguém pode
me confirmar isso? Usando Maple ou Mathematica, por
exemplo?
[]'s
Luís
_
MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Séries
Sauda,c~oes,
Oi Carlos Gomes,
Não escrevi pois não achei a forma fechada.
Mostro o que fiz.
Seja A := 1 - 2!/(1*3) + 3!/(1*3*5) - 4!/(1*3*5*7)
Eu achei que A =\sum_{n\geq1}) = (-1)^{n+1} 2^n/binomial(2n,n).
Seja então S(x) = \sum_{n\geq1}) = x^n 2^n/binomial(2n,n) =
\sum_{n\geq1}) = [1/binomial(2n,n)] (2x)^n .
Assim A = -S(-1).
Escrevendo 1/binomial(2n,n) usando a função Beta, vem:
S(x) = \sum_{n\geq1} = n B(n+1,n) (2x)^n.
Não sei seguir daqui pra frente mas acho que faríamos
progressos se pudéssemos calcular
U(x) = \sum_{n\geq1} B(n+1,n) (2x)^n = \int_0^1
dt/(1-t) \sum_{n\geq1} [2xt(1-t)]^n = 2\int_0^1 \frac{t}{2t^2-2t+1/x} dt .
Dá pra calcular a integral? O que os programas dizem?
[]'s
Luís
From: Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Séries
Date: Sun, 28 Jan 2007 13:21:32 -0200
Nicolau, fiquei muito curioso pela resolução da questão abaixo, que foi
proposta essa semana pelo Cleber aqui ma lista...mas ninguem respondeu...vc
tem alguma dica para ela? achei o termo
geral...a(n)=(-1)^n.2^n/binomial(2n,n) , acho que é isso...mas não consegui
estabelecer a soma...
Olá amigos não estou enxergando a fórmula fechada para a seguinte série:
1 - 2!/(1*3) + 3!/(1*3*5) - 4!/(1*3*5*7) + será que poderiam me
ajudar?
Obrigado
Cleber
valew, Cgomes
- Original Message -
From: cleber vieira
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, January 25, 2007 7:14 PM
Subject: [obm-l] Séries
Olá amigos não estou enxergando a fórmula fechada para a seguinte série:
1 - 2!/(1*3) + 3!/(1*3*5) - 4!/(1*3*5*7) + será que poderiam me
ajudar?
Obrigado
Cleber
__
Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger
http://br.messenger.yahoo.com/
--
No virus found in this incoming message.
Checked by AVG Free Edition.
Version: 7.1.410 / Virus Database: 268.17.8/649 - Release Date:
23/1/2007
_
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RE: [obm-l] COMBINATORIA - Putnam 87
Sauda,c~oes,
Oi Joÿe3o Silva,
Este é o problema 97 do Manual de Seq. e Séries Vol. 2.
Dica: lembre-se da função Beta e que
1/binom{c}{b+k} = (c+1) \int_0^1 t^{b+k}(1-t)^{c-b-k} dt
[]'s
Luís
From: Joÿe3o Silva [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] COMBINATORIA - Putnam 87
Date: Wed, 24 Jan 2007 18:44:04 + (GMT)
Sejam r, s, t inteiros não-negativos com r + s = t. Prove que
C(s,0)/C(t,r) + C(s,1)/C(t,r+1) + C(s,2)/C(t,r+2) + ... +
C(s,s)/C(t,r+s) =
= (t+1)/((t+1-s) C(t-s,r)), onde C(n,k) =
[n(n-1)...(n+1-k)]/[k(k-1)...3*2*1]
_
MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Função
Sauda,c~oes, Oi Ronaldo, Isso mesmo. Ou na notação desta teoria: (E-2)a_n=3 == a_n = c_1(2^n) + c_0. Como a_0=0, a_1=3. Daí c_0=-3 , c_1=3 e a_n = 3(2^n - 1). Falo disso no Manual de Progressões. []'s Luís From: Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] Função Date: Sat, 20 Jan 2007 17:34:36 -0200 O livro Finite Difference Equations de Saber Elandi discute com detalhes formulas desse tipo. Elas nada mais são do que equações de diferença. Da uma olhada nessa pagina: http://ltcconline.net/greenl/courses/204/firstOrder/differenceEquations.htm Reconheces alguma conexão com equações diferenciais? Note que as equaçoes como a que você colocou: Ache a sequencia x tal que: i) x(0)=0 ii) x(n+1)=2x(n)+3 podem ser resolvidas atraves da transformada z. On 1/20/07, Filipe de Carvalho Hasché [EMAIL PROTECTED] wrote: Calcule f(n) sabendo-se que: i) f(0)=0 ii) f(n+1)=2f(n)+3 Caro, Rogério. [...] f(n) = 3.(2^n - 1) Abraços, FC. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inducao
Sauda,c~oes, Oi Pacini Bores, Por que esse branco?? Não sei. Tendo dividido em 9 e 16 quadradinhos não deveríamos ter tido dificuldade em gerar aquelas seqüências. Bem, pensando melhor pode ser usado indução. Mostramos ser verdade para n=6,7,8. Supomos verdade para n=k e usando o argumento do Carlos Victor provamos para n=k+1. Este problema é bem mais difícil se todos os quadradinhos tiverem que ter lados diferentes. []'s Luís From: Pacini Bores [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br, obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Inducao Date: Thu, 18 Jan 2007 15:35:55 -0200 Olá Luís , Também fiquei um bom tempo para ver a divisão em 8 quadradinhos. Para provar por indução , basta usar a indução em cada uma das sequências .O que você ou um outro membro da lista avalia ? []´s Carlos Victor At 09:23 18/1/2007, Luís Lopes wrote: Sauda,c~oes, Oi Carlos Victor, Pô, tava na cara!! Como não pude ver??? Obrigado. Mas isto não é bem uma solução (ou um problema para ser resolvido com) por indução. []'s Luís From: Carlos Victor [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br, obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Inducao Date: Wed, 17 Jan 2007 20:50:07 -0200 Olá Luís , Divida inicialmente o quadrado original em 16 quadradinhos , apague os 9 quadradinhos do canto superior esquerdo (por exemplo) , ficará um quadrado maior , junto com os outros 7 quadradinhos que sobraram , ok ? Abraços e satisfação em fala com você []´s Carlos Victor _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inducao
Sauda,c~oes, Oi Carlos Victor, Pô, tava na cara!! Como não pude ver??? Obrigado. Mas isto não é bem uma solução (ou um problema para ser resolvido com) por indução. []'s Luís From: Carlos Victor [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br, obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Inducao Date: Wed, 17 Jan 2007 20:50:07 -0200 Olá Luís , Divida inicialmente o quadrado original em 16 quadradinhos , apague os 9 quadradinhos do canto superior esquerdo (por exemplo) , ficará um quadrado maior , junto com os outros 7 quadradinhos que sobraram , ok ? Abraços e satisfação em fala com você []´s Carlos Victor _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inducao
Sauda,c~oes, Oi Carlos Victor, Como obter 8 quadrados? Seguindo suas idéias dividi o quadrado inicial em 9 e 16 quadrados iguais. Com os 9 quadrados gera-se a seqüência 6,9,12, E com os 16, a seqüência 4,7,10,13,16,19... A 8,11,14,... não consegui. Talvez se eu soubesse resolver 3k+8=n^2 ajudasse. []'s Luís From: Carlos Victor [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br, obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Inducao Date: Tue, 16 Jan 2007 19:58:49 -0200 Olá Klaus, para o segundo : Observe que quando dividimos um quadrado em 4 partes , na verdade acrescentamos 3 quadradinhos ao quadrado original . Pensando desta forma basta você conseguir dividir um quadrado em 6 , 7 e 8 outros quadradinhos, pois a partir desses usa o procedimento inicial . Com um pouco de paciência verifica-se que dividir um quadrado em 6 , 7 e 8 outros quadradinhos não é difícil e , consequentemente teremos as seguintes sequências : 1) 6 ,9 , 12 , ... 2) 7 , 10 , 13 , ... 3) 8 , 11 , 14 , ... Unindo as sequências temos os naturais a partir de 6 , ok ? []´s Carlos Victor At 18:27 16/1/2007, Klaus Ferraz wrote: 1)Prove que todo inteiro positivo pode ser escrito como potencias de 2 com expoentes distintos 2)Prove que um quadrado pode ser dividido em n quadrados para n=6. 3)Prove que [1.3.5..(2n-1)]/[2.4.6.8...2n]=1/sqrt(2n+1) Grato. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] soma 2
Sauda,c~oes,
Oi Jonas,
Conheço este truque. Mas você deveria conhecer também
a teoria das PA-G, ou seja, as seqüências cujo termo geral é
a_k = [a_1 + (k-1)r]q^{k-1} k=1, r=/0, q=/0,1 =/ diferente
Há uma forma fechada para \sum a_k.
[]'s
Luís
From: Jonas [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] soma 2
Date: Wed, 03 Jan 2007 20:30:12 -0200
Olá LuÃs, para resolver esse tipo de seqüencia eu costumo a escrever na
forma de um triângulo...
S = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ...
Se organizarmos os números da seguinte forma:
1/2 +
1/4 + 1/4 +
1/8 + 1/8 + 1/8 +
1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 +
1/32 + 1/32 + 1/32 + 1/32 + 1/32 +
..
Pela soma de PG sabemos que:
a soma da primeira coluna é 1, da segunda é 1/2, da terceira é 1/4.. e
assim por diante (numa prova rigorosa deveria haver uma pequena indução
aqui)
Então a soma pode ser reescrita como
1 + 1/2 + 1/4.. que é 2.
Deve existir algum método mais rápido, mas acho esse bem simples.
Abraços,
J. Renan
_
MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] soma 2
Sauda,c~oes, Oi Nicolau, Eu já sabia o que perguntei. Quis apenas chamar a atenção para que depois de se conhecer um resultado particular deve-se tentar generalizá-lo. E o contrário também pois resultados particulares de resultados gerais também podem ser interessantes. O Polya já disse isso no livro A Arte de resolver Problemas. []'s Luís _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] soma 2
Sauda,c~oes,
E se fosse S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} k^2 ?
O problema acima caiu numa Olimpíada Canadense (1974).
S = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ...
Esta é a soma de uma progressão aritmético-geométrica
(escrevi sobre ela na lista recentemente).
E se fosse S_n = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ... + n/2^n ?
[]'s
Luís
From: Marcelo Amorim Menegali [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] soma 2
Date: Tue, 2 Jan 2007 18:44:05 -0300
Ha! Achei um jeito mais elegante para resolver a primeira soma:
1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ... + 99^2 - 100^2 =
(1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + (5^2 - 6^2) + ... + (99^2 - 100^2) =
(1-2)(1+2) + (3-4)(3+4) + (5-6)(5+6) + ... + (99-100)(99+100) =
-(3 + 7 + 11 + ... + 199) =
-(202*50)/2 =
-5050
Atenciosamente,
Marcelo Amorim Menegali
2007/1/2, Marcelo Amorim Menegali [EMAIL PROTECTED]:
1^1- 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ...+ 99^2 - 100^2
(Vou supor conhecida a igualdade S[n] = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 =
n(n+1)(2n+1)/6.)
Temos, para n=50:
S[50] = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 50^2
Multiplicando ambos os lados por -8, temos:
-8S[50] = -2*2^2 -2*4^2 -2*6^2 -... -2*100^2 (Equação.I)
Agora, para n=100, temos:
S[100] = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 100^2 (Equação.II)
Somando a Equação.I com a Equação.II, obtemos a soma pedida:
1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + 99^2 - 100^2 = S[100] - 8S[50] =
100*101*201/6 - 8*50*51*101/6 = -5050
---
1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ...
Chamando a soma de X, temos:
X = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + ... (Equação.I)
Multiplicando essa equação por 2, ficamos com:
2X = 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + ... (Equação.II)
Subtraindo a Equação.I da Equação.II, ficamos com:
X = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2
Atenciosamente,
Marcelo Amorim Menegali
2007/1/2, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED]:
Essas aí são somas clássicas.
Dá uma olhada em:
http://mathworld.wolfram.com/PowerSum.html
a primeira é a eq. 23 .
On 1/2/07, Marcus Aurélio [EMAIL PROTECTED] wrote:
alguem me ajude nessas?
1^1- 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ...+ 99^2 - 100^2
outra
1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ...
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
--
Ronaldo Luiz Alonso
--
Computer Engeener
LSI-TEC/USP - Brazil.
_
MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] construir segmento
Sauda,c~oes,
Bom dia e bom 2007 para todos.
Lembro-me de ter lido numa RPM uma construção
bem legal com régua e compasso para o segmento
m tal que m = \sqrt{u^4+v^4}.
Alguém sabe como fazer? Ou conhece o número da RPM?
[]'s
Luís
_
MSN Messenger: converse com os seus amigos online.
http://messenger.msn.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] construir segmento
Sauda,c~oes,
Oi Sergio,
Ah, é root[4]{u^4 + v^4}. Ok, estava me
referindo a isso mesmo (RPM).
Mas o que quero é \sqrt[2]{u^4 + v^4}. Ou
\sqrt{u^4+v^4}. Estou procurando uma construção
sem manipulações algébricas como a sua e sem uso
do segmento unitário. (CONTINUEM A LER, SEI QUE
ISSO NÃO está certo).
Estou resolvendo o problema de construir um triângulo
dados a,h_a,d_a onde d_a é a bissetriz interna. Ou
a,h,d pra simplificar.
Conheço duas soluções para tal problema e uma outra algébrica
cuja prova dos comprimentos dos segmentos envolvidos depende
(bom, a prova que encontrei) de uma das soluções acima.
O fato é que se x representa o comprimento do segmento D_aD,
onde D_a é o pé da bissetriz interna e D é a interseção da reta
(A,D_a) com o círculo circunscrito, então x(x+p)=q^2 ,
onde p=\frac{d^3}{d^2-h^2} e q=\frac{ad}{2\sqrt{d^2-h^2}} .
As construções para obter-se x são clássicas e o problema está resolvido.
Mas no processo calculei R (raio do círc. circunscrito) e encontrei
R=\frac{d^4-2d^2h^2+d^2\sqrt{a^2(d^2-h^2)+d^4}}
{4h(d^2-h^2)}
Eu sei que dá pra construir R pois construí o triângulo ABC.
Não vou nunca construir realmente R desta maneira mas
gostaria de saber como construir o segmento x tal que
x=\sqrt{a^2(d^2-h^2)+d^4}
onde a,h,d são comprimentos adequados do lado, altura e
bissetriz interna relativas ao lado a.
Bom, depois de escrever tudo isso acho que sei como fazer:
x = a\sqrt{(d^2-h^2)+d^4/a^2} =
a\sqrt{[\sqrt{(d+h)(d-h)}]^2 + (d^2/a)^2}
e x está construído. O fato de se tirar a^2 para fora da
raiz muda tudo.
Voltando ao que escrevi no começo: Mas o que quero é
\sqrt[2]{u^4 + v^4}. Ou \sqrt{u^4+v^4}. Estou procurando
uma construção sem manipulações algébricas como a sua e
sem uso do segmento unitário
Isso não é possível. Quis mandar um problema simplificado
e escrevi bobagem. Ainda bem que não perdi muito tempo
com ele.
[]'s
Luis
From: Sergio Lima Netto [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] construir segmento
Date: Tue, 2 Jan 2007 15:19:17 -0200 (BRST)
oi Luis,
A construcao correta eh do segmento
x = \sqrt[4]{u^4 + v^4}
o que torna o problema homogeneo.
Eh na RPM no 8 num artigo do Elon (Sobre um problema da olimpiada).
Ele cita uma professora que deu uma solucao muito elegante, e ainda
a solucao de um aluno que dependeria da unidade.
Eu fiz uma solucao alternativa, muito algebrica, mas ai vai:
x = \sqrt[4]{u^4+v^4}
= \sqrt[4]{(u^2+v^2)^2 - 2a^2b^2}
= \sqrt[4]{(u^2+v^2-uv\sqrt{2})(u^2+v^2+uv\sqrt{2})}
= \sqrt{ab}
onde
a = \sqrt{(u-v\sqrt{2}/2)^2+(v\sqrt{2}/2)^2}
b = \sqrt{(u+v\sqrt{2}/2)^2+(v\sqrt{2}/2)^2}
Logo, segue-se a construcao:
i) Determine x1 = v\sqrt{2}/2
ii) Construa o triangulo retangulo de catetos (u-x1) e x1,
gerando a hipotenusa de valor a
iii) construa o triangulo retangulo de catetos (u+x1) e x1,
gerando a hipotenusa de valor b
iv) Determine x, media geometrica de a e b
Esta solucao nao eh muito elegante. A indicada na RPM
eh muito mais.
Abraco,
sergio
_
Insta-le já o Windows Live Messenger. A nova geração do messenger.
http://get.live.com/messenger/overview
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] SOMA
Sauda,c~oes,
O termo geral a_k é a_k = k2^{k-1}=
[a_1 + (k-1)r]q^{k-1} com a_1=r=1 e q=2.
Então queremos achar a soma S_n = \sum_{k=1}^n a_k
com n=100 e a_k termo de uma progressão aritmético-geométrica.
S_{100} = S =
= \frac{a_1(q^n-1)}{q-1} + \frac{rq[1-nq^{n-1}+(n-1)q^n]}{(q-1)^2}
onde \frac{x}{y} = x/y . Como q=2 o denominador vale 1 e escrevemos
somente o numerador (sabendo que a_1=r=1):
S = 2^{100} - 1 + 2[1 - 100*2^{99} + 99*2^{100}] =
= 99*2^{100} + 1
[]'s
Luís
From: vinicius aleixo [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] SOMA
Date: Fri, 29 Dec 2006 10:33:40 -0300 (ART)
Achar a soma S= 1 + 2.2 + 3.2^2 + 4.2^3 + 5.2^4 + ... + 100. 2^99
Esse basta vc desmembrar em varias PGs de razao 2
1+ 2 +4 +...
2 +4 +... =
4 +...
=(2^100 -1) + 2(2^99 -1) + 4(2^98 -1) + ... + 2^98(2^2 -1) + 2^99(2 -1)=
100*2^100- (1+2+4+...+2^99) = 100*2^100 - 2^100 +1= 99*2^100 + 1
Abracos
Vinicius Meireles Aleixo
__
Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger
http://br.messenger.yahoo.com/
_
MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] tetraedro e locus dos pes dos bissetores
Sauda,c~oes, Bom, a equação de Gamma é a seguinte: h_ax^2+2axy+h_ay^2+2a^2y-h_aa^2=0. A conferir. Teria que rever (na verdade estudar tudo de novo) o estudo de cônicas mas daria pra se dizer quais são os focos, diretriz(es), vértice etc pela equação acima? Mandaram-me o seguinte problema: as bases de um trapézio isósceles são AB=a e CD=3a e a altura mede a. A partir dos pontos E e F, médios dos lados não paralelos, levantam-se, no mesmo sentido, as perpendiculares ao plano da figura: EM=3a e EN=4a. Por meio de segmentos retilíneos, unem-se os seguintes pontos: M a N; cada um destes aos pontos P e Q, médios das bases do trapézio; P a Q. Pede-se calcular, em função de a, o volume do tetraedro MNPQ. []'s Luís From: Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] locus dos pes dos bissetores Date: Mon, 18 Dec 2006 21:31:01 + Sauda,c~oes, Dados BC=a , AH_a=h_a e BD_b=d_b (bissetriz interna), construir o triângulo ABC. Coloque BC=a numa reta r e trace s paralela à reta r distando h_a. Faça A variável em s e determine o lugar geométrico (Gamma) dos pés D_b e E_b das bissetrizes internas e externas que partem de B. A interseção de Gamma com o círculo (B,d_b) determina D_b*, solução do problema. Mesmo procedimento para a bissetriz externa e_b. É razoável pensar desta maneira mas usando argumentos sintéticos, como concluir que Gamma é uma cônica? Há muito tempo mandei este problema para um Forum e obtive a seguinte resposta: it is a hyperbola, a parabola, an ellipse for h_a a, h_a = a, h_a a. Como obter Gamma sinteticamente e os resultados acima? []'s Luís _ Insta-le agora o Windows Live Messenger! http://get.live.com/messenger/overview = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] locus dos pes dos bissetores
Sauda,c~oes, Dados BC=a , AH_a=h_a e BD_b=d_b (bissetriz interna), construir o triângulo ABC. Coloque BC=a numa reta r e trace s paralela à reta r distando h_a. Faça A variável em s e determine o lugar geométrico (Gamma) dos pés D_b e E_b das bissetrizes internas e externas que partem de B. A interseção de Gamma com o círculo (B,d_b) determina D_b*, solução do problema. Mesmo procedimento para a bissetriz externa e_b. É razoável pensar desta maneira mas usando argumentos sintéticos, como concluir que Gamma é uma cônica? Há muito tempo mandei este problema para um Forum e obtive a seguinte resposta: it is a hyperbola, a parabola, an ellipse for h_a a, h_a = a, h_a a. Como obter Gamma sinteticamente e os resultados acima? []'s Luís _ Experimente o novo Windows Live Messenger! http://get.live.com/messenger/overview = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] razao entre as medidas dos lados dos quadrados [era:ajuda em tres questoes]
Sauda,c~oes,
Oi Carlos Victor,
Achei lado1=p=2r e lado2=q=ah/(a+h) (como no livro
do Wagner de Const. Geom.).
Tá certo isso? Encontro p/q = \frac{a^2+2r(a+r)}{a(a+r)} .
\frac{x}{y} = x/y
Gostei da solução do Morgado pro problema
dos 4 conjuntos da EN.
[]'s
Luís
3) Para o terceiro : faça duas semelhanças e utilize o fato de que o raio do
circulo inscrito é dado por p-a , onde p é o semi-perímetro e a é a
hipotenusa , ok ?
[]´s Carlos Victor
At 20:20 5/12/2006, Fabio Silva wrote:
Quem puder dê uma ajuda estou estudando para futuros
concursos:
[]
3) Considere um triangulo ret de hip a, sendo h a altura
relativa a hip e r o raio do circulo inscrito no
triangulo. Inscrevem-se neste triangulo um quadrado de
lados sobre os catetos e vértice na hip, e um outro de
lado sobre a hip e vértices sobre os catetos. A razão
entre as medidas dos lados do primeiro e do segundo
quadrado é:. Resp: a+r sobre a+2r
_
Inscreva-se no novo Windows Live Mail beta e seja um dos primeiros a testar
as novidades-grátis. Saiba mais:
http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RE: [obm-l] Um problema
Sauda,c~oes,
Oi Ph,
O resultado vale para i=0 (a soma é igual a 1).
Vamos então considerar ki0.
Usando o resultado
\sum_{n=0}^i \binom{i}{n} (-1)^n = 0 (i0)
o resultado a provar é
\sum_{n=0}^i \binom{i}{n} (-1)^{n+1} \frac{n}{n+k-i} .
Vou mudar a notação para uma mais padrão
e provar que
S_n(m) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^{k+1} \frac{k}{k+m-n} =
= \frac{1} {\binom{m}{n}} (mn0).
S_n(m)=\sum_{k\geq0} n \binom{n-1}{k} (-1)^k \frac{1}{k+1+m-n}
pois \binom{n}{k}=\frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1}.
S_n(m)=\sum_{k\geq0} t_k, onde
t_k = n \binom{n-1}{k} (-1)^k \frac{1}{k+1+m-n}.
Então t_0=\frac{n}{m+1-n} e \frac{t_{k+1}}{t_k}=
=\frac {(k+m+1-n)(k-n+1)}{(k+m+2-n)(k+1)} .
Um resultado devido a Gauss (séries hipergeométricas)
diz que S_n(m) = t_0 \frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}
{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}
com a=m+1-n ; b=-n+1 ; c=m+2-n .
Sabendo que \Gamma(p+1)=p! (p inteiro) e fazendo as
contas, vem:
S_n(m) = \frac{n}{m+1-n} \frac{(m+1-n)!(n-1)!}{m!} =
=\frac{n!(m-n)!}{m!}=\frac{1}{\binom{m}{n}}, (mn\geq0) \qed
Qual a interpretação combinatória do resultado (o Claudio iria
certamente perguntar)?
[]'s
Luís
From: Paulo Henrique Souza Lima [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm lista obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Um problema
Date: Wed, 6 Dec 2006 08:15:35 -0800 (PST)
Oi pessoal,
Um problema:
Prove que
\sum_{n=0}^i C_{i,n} (-1)^n (k-i)/ (n+k-i) = 1/C_{k,i},
para ki.
Este problema surgiu dentro de um problema de probabilidade. Algumas contas
no computador sugerem que resultado está certo.
Obrigado,
Paulo
_
MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RE: [obm-l] Web Site de Geometria
Sauda,c~oes, Oi Claudio, Isso mesmo. Esta notação para estes pontos do triângulo está bem consagrada. Assim como H e O. N para o centro do círculo dos nove pontos é muito comum, assim como I_a, I_b, I_c para os exincentros. Ah, resolvi este problema da mesma maneira. []'s Luís From: claudio\.buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Web Site de Geometria Date: Wed, 29 Nov 2006 20:08:21 -0300 Num triângulo, b=12, c=10 e os pontos G e I estão numa mesma reta paralela ao lado BC. Quanto vale a? Estou supondo que G e I sejam o baricentro e o incentro de ABC, respectivamente. GI paralelo a BC == raio do incirculo = 1/3 da altura h relativa ao lado BC == 2*Area(ABC) = (a+b+c)*h/3 = a*h == a+b+c = 3a == a = (b+c)/2 = 11. []s, Claudio. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] somatorio
Sauda,c~oes,
Oi Shine,
É mesmo interessante.
Para n=0 e n=1 deixamos para o leitor.
Para n1 usando os resultados de
http://www.escolademestres.com/qedtexte/tomo2serieamostra.pdf
e em particular o exercício 98 encontra-se n/(n-1)[1 - 2/((n+1)n)] .
No Megazine (revista do jornal O Globo) de 19/10/04 tem um
simulado com o seguinte problema: prove que
\prod_{k=0}^{m-1} [ \binom{m}{k} + \binom{m}{k+1} ] =
\frac{(m+1)^m}{m!} \prod_{j=1}^m \binom{m}{j} .
\prod é produtório
\binom{m}{k} = m! / k! (m-k)!
\frac{a}{b} = a/b
Sugestão: \binom{m+1}{k} = \frac{m+1}{m+1-k}\binom{m}{k}
Voltando ao seu email
===
Hm, acho que para 1/1 + 1/2 + ... + 1/n não tem fórmula fechada bonitinha
===
Não tem. Ver o capítulo V em
http://www.escolademestres.com/qedtexte/tomo1serieamostra.pdf
[]'s
Luís
From: Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] somatorio
Date: Mon, 27 Nov 2006 16:05:48 -0800 (PST)
Hm, acho que para 1/1 + 1/2 + ... + 1/n não tem fórmula fechada bonitinha,
mas a soma
1/C(n,n) + 1/C(n+1,n) + 1/C(n+2,n) + ... + 1/C(n+k,n)
tem fórmula bonitinha para n 1, n inteiro. Ah, aqui, C(m,r) é o binomial
m escolhe k.
Pensem nessa, vale a pena!
[]'s
Shine
- Original Message
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, November 27, 2006 4:20:29 AM
Subject: Re: [obm-l] somatorio
Ele perguntou se ha uma formula fechada para f(n)=1+1/2+...+1/n
Bem, ate onde eu saiba nao ha, mas da pra aproximar por log(n) + uma
constante...
2006/11/25, Davi de Melo Jorge Barbosa [EMAIL PROTECTED]:
Ela não vale, pois não é uma série convergente.
O limite dessa série quando n - +inf é +inf, ou seja, ela assume um valor
tão grande quando você queria.
A demonstração sai assim:
1 + 1/2 + ( 1/3 + 1/4 ) + ( 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 ) + ( 1/9 + ... + 1/16 )
+ ...
= 1 + 1/2 + ( 1/4 + 1/4 ) + ( 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 ) + ( 1/16 + ... +
1/16 ) + ...
= 1 + 1/2 + ( 1/2 ) + ( 1/2 ) + ( 1/2 ) + ...
e assim você pode somar quanto quiser, sem limites.
veja mais em:
http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_%28mathematics%29
On 11/25/06, Renato Godinho [EMAIL PROTECTED] wrote:
Alguém sabe quanto vale 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n ?
O mais longe que cheguei foi em 1/C1,1 + 1/C2,1 + 1/C3,1 + ... + 1/Cn,1 ,
mas nao soube sair dai. Quem puder ajudar...
[]s,
Renato
Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
--
Ideas are bulletproof.
V
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
_
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] princípio da indução finita
Sauda,c~oes, O livro da Mir é a referência 33 do Manual de Indução Matemática cuja amostra está no mesmo site que acabei de citar. A edição em português acho que foi publicada pela Editora Atual. []'s Luís From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] princípio da indução finita Date: Wed, 29 Nov 2006 02:24:02 -0200 Eureka! 5, tem um artigo muito bom do Elon sobre isso. Em 28/11/06, regis barros [EMAIL PROTECTED] escreveu: tem um livro otimo sobre o assunto foi publicado pela mir cujo titulo é principio de indução matematica em espanhol contudo foi traduzido para o portugues e agora eu não lembro o nome do autor. assim que eu voltar para minha casa irei mandar um email para vc contendo o titulo do livro do qual eu tenho uma copia e outra dica é um livro de Análise Combinatoria publicada pela editora da Unicamp tem lá um capitulo sobre PIF e muitos exercicios vc encontrará lá. regis *Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED]* escreveu: Alguém poderia me explicar o que é o princípio da indução finita , pois estava vendo a prova do ITA e em vários anos sempre caia uma questão ou outra que exigia o conhecimento deste tópico. Se alguém tiver algumas questões e pudesse copiar corpo do e-mail para eu entender bem o conceito eu ficaria agradecida. -- Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostashttp://us.rd.yahoo.com/mail/br/tagline/answers/*http://br.answers.yahoo.com/! -- Ideas are bulletproof. V _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Web Site de Geometria
Sauda,c~oes, Oi Claudio, Eu já conhecia este site, ele é mesmo muito legal e bem feito. Me passaram o seguinte problema, parece que de um concurso pra Escola de Sargentos. Num triângulo, b=12, c=10 e os pontos G e I estão numa mesma reta paralela ao lado BC. Quanto vale a? Há 5 escolhas de resposta mas deixo assim mesmo. []'s Luís From: claudio\.buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Web Site de Geometria Date: Tue, 28 Nov 2006 22:18:30 -0300 Oi, pessoal: Achei um site muito legal sobre geometria, com applets contendo demonstracoes de varios teoremas classicos alem de alguns outros dos quais eu nunca tinha ouvido falar. Vale a pena conferir. http://agutie.homestead.com/files/geometry_help_online.htm []s, Claudio. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
